Categorie archief: meetkunde

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.

Via onderstaande rubrieken vind je de weg naar meer dan 2300 artikelen.

In het zoekblokje (op deze pagina rechtsboven) een trefwoord ingeven, leidt ook vaak tot artikelen waar het betreffende woord in voorkomt.
Wanneer er meerdere koppen van artikelen worden getoond, is het raadzaam ieder artikel open te maken en onder aan het artikel bij de tag-woorden te kijken of het gezochte woord daar staat.
Wanneer het artikel is geopend, kan je Ctr + F klikken. Er verschijnt dan een zoekvenstertje waarin je het gezochte woord kan intikken. Als dit woord in het artikel aanwezig is, kleurt het op.
.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com
.

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

BORDTEKENEN zie TEKENEN

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KERSTSPELEN
Alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8;  klas 9: klas 10; klas 11  klas 12

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
Alle artikelen

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
Alle artikelen

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7
Bordtekenen [1]
Bordtekenen [2]

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
alle artikelen

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

Vanwaar de naam van onze schoolsoort
Maarten Zwakman
over: de naam vrijeschool; hoe geschreven; de naam Waldorf, ontstaan; enkele spellingskwesties toegevoegd

.
EN VERDER:

[1] Burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

[2] Met vreugde in het nu aanwezig zijn
Joop van Dam
over: ‘anti’- burn-out: aanwijzingen om naar jezelf te kijken en daar kracht uit te putten; de kracht van de ‘terugblik’; het belang van de gemeenschap; hoe wordt de gemeenschap sterker; hoe sta je als tijdgenoot in het heden

[3] Samen sterker
Lisette Thooft over: boek van Annejet Rümke ‘Als een feniks uit de as‘; analyse van burn-out op de vrijeschool; hoe komt dat, wat is er aan te doen; het individu in de sociale context; de grote verwachtingen door het ideaal;

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein
.

VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

Deze blog wordt/werd bekeken in:

Afghanistan; Albanië; Algerije; Amerikaans-Samoa; Andorra; Angola; Argentinië; Armenië; Aruba; Australië; Azerbeidzjan; Bahama’s; Bahrein; Bangladesh; Belarus; België; Benin; Bolivia; Bosnië en Herzegovina; Brazilië; Brunei; Bulgarije; Burkina Faso; Burundi; Cambodja; Canada; Caribisch Nederland; Chili; China, Congo Kinshasa; Costa Rica; Cuba; Curaçao; Cypres; Denemarken; Dominicaanse Republiek; Duitsland; Ecuador; Egypte; Estland; Ethiopië; Europese Unie; Finland; Filipijnen; Frankrijk; Frans-Guyana; Gambia; Georgië; Gibraltar; Griekenland; Ghana; Guadeloupe; Guatemala; Guyana; Haïti; Honduras; Hongarije; Hongkong; Ierland; IJsland; India: Indonesië; Isle of Man; Israel; Italië; Ivoorkust; Jamaica; Japan; Jemen; Jordanië; Kaapverdië; Kameroen; Kazachstan; Kenia; Kirgizië; Koeweit; Kroatië; Laos; Letland; Libanon; Liberia;  Libië; Liechtenstein; Litouen; Luxemburg; Macedonië; Madagaskar; Maldiven; Maleisië; Mali; Malta; Marokko; Martinique; Mauritius; Mexico; Moldavië; Monaco; Mongolië; Montenegro; Myanmar; Namibië; Nederland; Nepal; Nicaragua; Nieuw-Zeeland; Nigeria; Noorwegen; Oeganda; Oekraïne; Oman; Oostenrijk; Pakistan; Panama; Paraguay; Peru; Polen; Portugal; Puerto Rico; Quatar; Réunion; Roemenië; Rusland; Saoedi-Arabië; Senegal; Servië; Sierra Leone; Singapore; Sint-Maarten; Slovenië; Slowakije; Soedan; Somalië; Spanje; Sri Lanka; Suriname; Syrië; Taiwan; Tanzania; Thailand; Togo; Tsjechië; Trinidad en Tobago; Tunesië; Turkije; Uruguay; Vanuatu; Venezuela; Verenigde Arabische Emiraten; Verenigde Staten; Verenigd Koninkrijk; Vietnam; Zambia; Zuid-Afrika; Zuid-Korea; Zweden; Zwitserland’ (156)

..

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 7

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 7: Rekenen en wiskunde in klas 7 en 8

7.1 Menskundige achtergronden
7.2 Uitbreiding van de getallenwereld
7.3 Algebra
7.4 Meetkunde
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Terzijde: Peilingen

Menskundige achtergronden

In de zevende klas en daarna wordt steeds duidelijker dat leerlingen hun eigen weg willen bepalen. In de verte gloort het licht van de wijde wereld en leerlingen willen met al hun zintuigen verder ‘kijken’ dan de horizon die de school biedt. Ontdekking, uitvinding en revolutie zijn grote thema’s in het laatste deel van de tweede zevenjaarsperiode. Andere denkwijzen dienen zich aan, causaliteit en oordeelsvermogen worden gewekt en bereiden de ontplooiing van het zelfbewustzijn voor.
De zevende- en achtsteklassers bevinden zich in de fase van de prepuberteit, de ‘Sturm-und-Drang’-periode, soms ook ‘negatieve fase’ genoemd. Deze derde fase in de tweede zevenjaarsperiode wordt afgesloten rond het veertiende jaar, wanneer de klassenleraar uit de benedenbouw zijn klas overdraagt aan de mentor van de bovenbouw, die nu samen met vele vakleraren de leerlingen in hun puberteit zal begeleiden.
Net als omstreeks het tiende levensjaar vindt er ook rond het twaalfde jaar een markante ontwikkelingsovergang plaats. Het begrip voor oorzaak en gevolg, voor causaliteit, groeit in de kinderen. Nu zijn de leerlingen erop gericht de buitenwereld als geheel te veroveren. Ze zijn actief naar buiten gericht, maar tonen daarbij nog een labiele houding. Het zoeken naar een relatie tot de medemens in toeneiging of afwijzing, getuigt van onzekerheid en gaat soms met agressie gepaard. Het stemgeluid wil letterlijk en figuurlijk verder reiken dan tot nu toe, en van maat houden of zakelijke berekening is in allerlei omstandigheden geen sprake meer. Aan de fysieke gestalte zien we dat er een volgende strekkingsfase, vanuit handen en voeten naar de romp toe, intreedt. Langzamerhand begint de prepuber een verhouding te krijgen tot de nieuwe ‘zwaarte’ en afmetingen van zijn lichaam. In de uiteenzetting met deze ‘zwaartekracht’ is hij op weg ‘aarde-burger’ te worden.
In deze levensfase is het van het grootste belang dat de oefenweg die gegaan wordt, kan plaatsvinden binnen de veilige muren van de ‘eigen’ school. Wie de weg kwijt raakt, het verkeerde pad neemt, moet de zekerheid hebben zich geaccepteerd te weten, om het zelf zoeken keer op keer opnieuw te willen proberen.

Deze nieuwe levensfase betekent dat ook in het reken-wiskundeonderwijs van de zevende en achtste klas nieuwe werelden betreden worden: de getallenwereld van de negatieve getallen, de formele breuken, het letterrekenen, nieuwe bewerkingen zoals machtsverheffen en worteltrekken, het werken met formules, het

284

oplossen van vergelijkingen, de aanschouwelijke bewijzen van de stelling van Pythagoras, het begrip meetkundige plaats en de platonische ruimtelichamen.
Vanuit de beweging en aan de hand van praktische en levensechte vraagstukken die steeds om nieuwe zienswijzen vragen, worden denkbeelden ontwikkeld die leiden tot een exact maar ook flexibel denken.
In de aanwijzingen van Rudolf Steiner voor deze leerjaren herkennen we twee wegen. Enerzijds is er de ontwikkeling van het abstracte denken; vanuit het rekenen met getallen en het redenerend ontdekken van algemeenheden komt men tot wetmatigheden in bijvoorbeeld de algebra. Anderzijds zijn er de situaties uit het dagelijks leven, van waaruit onder andere het oplossen van vergelijkingen wordt opgebouwd, die de verbinding scheppen met de realiteit. Bovendien worden in de zevende klas de algebra en de meetkunde met elkaar in verband gebracht.
Denk daarbij aan: formules voor de oppervlakte van meetkundige figuren, figuren voor de onderbouwing van algebraïsche formules het ontwikkelen van de geometrische naast algebraïsche inzichten in de stelling van Pythagoras.
De zevendeklassers krijgen toegang tot een wereld die eerder onbekend was.
Net als Leonardo van Pisa, rond het jaar 1200, ervaren zij dat sommige vergelijkingen onoplosbaar zijn met de bestaande getallen en dat er negatieve getallen moeten worden ingevoerd. Middels deze leerstof komt een nieuwe fase in het bewustzijn van de kinderen tot stand. Vermogens worden aangesproken om louter op basis van causaliteit een nieuw mathematisch principe met de realiteit te verbinden en zelfstandig relaties te leggen tussen de rekennatuur en de rekencultuur (zie H 1).

Het leerplan van de zevende en achtste klas geeft ook de gelegenheid om allerlei geïntegreerde wiskundige activiteiten (g.w.a.) te ontplooien. De kinderen doen ook in andere dan de reken-wiskundelessen wiskundige ervaringen op. Indien we ons als leerkracht daarvan bewust zijn, kunnen de leerlingen daar optimaal van profiteren. In tekenlessen en tijdens de perioden sterrenkunde en natuurkunde liggen de g.w.a. als het ware voor het oprapen, maar ook in tal van andere situaties doen die gelegenheden zich voor (zie H7.5). Bijvoorbeeld in de geschiedenisperioden. De tijdspanne, die de geschiedenislessen van de zevende klas bestrijkt, is die van de Middeleeuwen en Renaissance tot aan de Nieuwe Tijd.
Kenmerken van die tijd worden ook zichtbaar in de biografie van de leerlingen.
Het leven en werk van Leonardo da Vinci is daarom een belangrijk thema. De kunstenaars van de Renaissance leverden immers een belangrijke bijdrage aan het wetenschappelijk denken. Zo geeft de studie van het perspectief, in die tijd begonnen, bijvoorbeeld zevendeklassers goede aangrijpingspunten voor meetkunde. Bij het bestuderen van Leonardo’s werk kan een bladzijde uit zijn Atlanticus een goede aanleiding zijn om een werkblad met meetkundige opdrachten te ontwerpen. Hierbij kan bijvoorbeeld op verschillende constructies van rechte hoeken, zoals de kinderen die in de zesde klas hebben leren kennen, gereflecteerd worden.

285


.
In de zevende en achtste klas krijgen ook de rekenwerkuren een wat ander karakter. De leerlingen gaan meer en meer zelfstandig werken (zie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken). Leerstof uit voorafgaande jaren, zoals metriek stelsel, breuken, decimale getallen, procenten en verhoudingen worden bij het voortgezet rekenen in samenhang met elkaar verder ontwikkeld. In deze levensfase kunnen de kinderen ook door generalisatie tot oplossingsstrategieën komen. Vanuit realistische situaties kunnen nu formele rekenregels en formules ontwikkeld worden, bijvoorbeeld voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Ook een verkenning op de zakrekenmachine (zie Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?) kan in de rekenwerkuren van deze schooljaren worden ingepast. Bij het werk, dat vanuit nieuwe perioden in de rekenwerkuren terecht zal komen, gaat het bij al deze lessen mede om de vorming van de wil, om het ontwikkelen van vaardigheid door volhardend oefenen, om middels uitdagende opdrachten de nieuw verworven inzichten te beproeven.

Kortom, vanuit menskundig standpunt bezien kenmerkt zich het reken-wiskunde onderwijs van de zevende en achtste klas op de volgende punten:

• onderzoekende uitdagende aanpak.
• grenzen verleggen en overschrijden.
• geïntegreerde wiskundige activiteiten in andere (periode)vakken.
De leerlingen worden daarbij uitgedaagd:
• reflecterend vermogen te ontwikkelen.
• wisselende standpunten in te nemen.
• causaal te redeneren.
• zelfstandig en volhardend te werken.

7.2. Uitbreiding van de getallen wereld

“Juf, vandaag heb ik het koud en gisteren was het in mijn shirtje nog te warm!” Ernst had gelijk, het was erg wisselvallig weer. Ter plekke besloot ik zijn opmerkzaamheid te benutten om de reken-wiskundeperiode van volgende week voor te bereiden. Dus stelde ik voor op een grote rol papier de verandering van de buitentemperatuur af te beelden. Eloy, onze cartoonist, liet ik vergroot de buitenthermometer, compleet met schaalverdeling, aan het begin van de rol tekenen. Elke morgen zouden we daarnaast de temperatuur aangeven, afgelezen op de echte thermometer die buiten hing.

.
286

Het werd een sport om als eerste op school te zijn en de waarnemingen bij te houden! De eerste dag tekenden we een lange horizontale lijn op de hoogte van de temperatuur van deze ochtend, dat zou ons uitgangspunt worden. Met pijlen gaven we de volgende ochtenden temperatuurstijgingen en -dalingen aan.

Zo’n temperatuuronderzoek is een goede inleiding op de periode ‘getallenleer’. Dan worden in de zevende klas de negatieve getallen ‘ontdekt’ en wordt de getallenwereld uitgebreid tot de verzameling van de rationale getallen. De getallen waarmee we tot nu toe werken, blijken in allerlei situaties ontoereikend. Vanuit de ervaring met de temperatuur kunnen kinderen zich gemakkelijk voorstellen, wat er gebeurd zou zijn als op de eerste dag de temperatuur 0” geweest was. Bij de herinnering aan winterse ijspret blijken kinderen als vanzelfsprekend negatieve getallen te hanteren. In de periode breekt dan het moment aan om deze informele kennis tot bewustzijn te brengen en langzaam maar zeker de rekenregels voor negatieve getallen, in combinatie met positieve getallen, uit te vinden.

De beweging van de vloeistof in de thermometer kun je met de kinderen, langs een denkbeeldige getallenlijn, ook lopen. Stijgt de temperatuur, dan loop je vooruit. Daalt hij, dan beweeg je achteruit, elke graad is een stap. Met krijt wordt de uitgangspositie met een kleine cirkel op de grond aangegeven. Later wordt dit de 0 op de getallenlijn. Elk kind weet: als je bij 0° begint en de temperatuur stijgt eerst 5” om vervolgens weer 8° te dalen, dat het daarna 3” vriest en het dan 3° ‘onder nul’ is.
Wat gelopen is, wordt vervolgens in het schrift getekend. Dat gebeurt met verschillende kleuren: ‘boven nul’ geven we de getallen bijvoorbeeld aan met warm geel en ‘onder nul’ met het koele blauw. Afgesproken wordt om de blauwe getallen negatieve getallen te noemen. Wie het verschil in kleur wil verlaten of dit niet wil gebruiken, kan 3° onder nul noteren als (-3) of (neg 3); 5° boven nul wordt dan (+5) of (pos 5).
Het aantal gelopen stappen komt tot uitdrukking in de lengte van de -in dezelfde kleur als de bewerkingstekens- getekende pijlen. Een temperatuurstijging waarbij vooruitgelopen is, met bijvoorbeeld rode pijlen; een temperatuurdaling waarbij dus achteruitgelopen is, met rode pijlen, die de andere kant op wijzen.

.
Schrijven we daarna wat gedaan en getekend is als ‘sommen’ op, dan zijn dezelfde kleuren te gebruiken: de getallen en tekens die de bewerking aangeven in rood en de anderen in hun eigen kleur.

Nu zie je:

0 + 5 (stappen) = (+ 5)
(+ 5) – 8 (stappen) = (- 3)
(- 3) + 2 (stappen) = (-1)

287

Zo is te ervaren dat de wereld van de positieve getallen gespiegeld wordt in het nulpunt en dat een uitbreiding van de getallen met de negatieve getallen, nodig is. Ook het verschil in getallen die met het bijbehorende teken een positie en getallen die met het teken een verplaatsing aangeven, komt zo tot uitdrukking. Het is belangrijk dat de leerlingen zich dit verschil goed bewust worden.
Dit verschil kwamen we in feite al bij het leren tellen in de eerste klas tegen: tellen we de posities (punten op de getallenlijn) of tellen we de stappen? (zie H 2.3). Bij het werken met negatieve getallen duikt dit als probleem weer op en kan bij het rekenen met negatieve getallen een struikelblok vormen. Het kan daarentegen ook beleefd worden als een uitdaging om ‘wat erachter steekt’ te doorzien. Stap je hierbij snel over op regeltjes, dan onthoud je aan de leerlingen een bewustzijns-moment en breng je hen ertoe wiskunde te beleven als iets wat je op gezag moet aannemen. In dat geval is er pedagogisch iets braak blijven liggen. Wiskunde is bij uitstek een vak waaraan (zelf)bewustzijn te ontwikkelen is. Wie in deze leeftijdsfase niet steeds opnieuw in de gelegenheid wordt gesteld op eigen kracht en op eigen niveau zijn gedachten te vormen, zal zich al snel innerlijk afwenden of erger nog, het gevoel overhouden dom te zijn.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

• optellen is vooruitlopen
• aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

• reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
• reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen:

(+5) – (+8) = (-3)
(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-3) – (+8) = (-11)
(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-11) + (+5) = (-6)
(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen)

(-6) – (-5) = (-1)
(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen)

(-1) – (-5) = (+4)
(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrekken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie.

288
.

.
289

In plaats van uit te gaan van de temperatuur zijn er ook andere concrete situaties en praktische problemen die aan de introductie van de negatieve getallen ten grondslag kunnen worden gelegd: geldlenen, hoogteverschillen ten opzichte van NAP, rekenen met tekorten, enzovoort. Ook in die gevallen is het een goede gewoonte de gebeurtenissen eerst op een getallenlijn af te beelden voordat je de opdracht als ‘som’ noteert.
Er is veel praktisch te oefenen en ook het werken met breuken kan in dit oefenwerk aan de orde komen. Rekenwerk met negatieve gebroken getallen vraagt om extra oplettendheid en het gebruik van de getallenlijn zal in het begin onontbeerlijk zijn; 3 – 51/3    =  -21/3    geeft meestal geen problemen, maar – 3¾ – – 6 = 2¼ (!) vormt een grotere uitdaging.

Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen

Opgaven als: 5 x (-2) = (-10) en (-10) : 2 = (-5) leveren in het algemeen geen problemen op, de leerlingen kunnen zich er nog iets bij voorstellen, zeker als de ‘actieve’ getallen eerst rood zijn. Lastiger wordt het als het gaat om (-2) x 5 =…, want wat kun je je voorstellen bij ‘(-2) keer’ ?
Wie evenwel bedenkt dat (-2) x 5 hetzelfde resultaat geeft als 5 x (-2), omzeilt dit probleem. Dan geldt dus: (-2) x 5 = (-10), het tegengestelde van (+10) en dus ook van 2 x (+5). Op analoge wijze geldt dan ook dat (-2) x (-5) hetzelfde is als het tegengestelde van 2 x (-5), ofwel het tegengestelde van (-10). Kortom (-2) x (-5) heeft als uitkomst het tegengestelde van het tegengestelde van (+10) en dat is dan weer (+10).
Een korte reflectie op het verschil tussen de bewerkingstekens en de

toestandstekens, zoals we die al bij het optellen en aftrekken tegenkwamen, is hier op zijn plaats. Daar ontdekten we bij het lopen dat aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat gaf als optellen van het tegengestelde van dat negatieve getal, ofwel: – (-5) geeft hetzelfde resultaat als +(+5). Bedenken we nu dat (+5) erbij doen hetzelfde betekent als 1 x (+5) erbij doen, dan is hier een brug naar het vermenigvuldigen te slaan, want – (-5) is dan op te vatten als (-1) x (-5) en dat is, zoals we eerder ontdekten: (+5).

Zo komen we tot de bekende rekenregels:

+ x + = +                                                                       – x – = +

+ x – = –                                                                          – x + = –

Vanuit dezelfde principes kunnen we ook de rekenregels voor het delen door een negatief getal onderzoeken en (uit)vinden.

De vraag: “Kunnen deze regels niet evengoed als axioma’s voor het rekenen met negatieve getallen gegeven worden?” is in feite met het voorgaande beantwoord. Het gaat in de wiskunde niet om het omzeilen van problemen, maar juist om het beleven van de uitdaging die het oplossen van problemen aan de zich ontwikkelende, denkende mens stelt. Belangrijk is of de leraar deze gezindheid bij zijn leerlingen weet te wekken. De ontwikkeling van de zevendeklasser is in het algemeen nu zover gevorderd dat deze formele stappen, die zich geheel in het den-

290

ken af spelen, nu gezet kunnen worden. Voor die leerlingen, die dit mentale niveau nog niet verworven hebben, kan een praktisch voorbeeld met temperatuursveranderingen toch de gelegenheid geven op eigen niveau de rekenregel te begrijpen.

Andere onderwerpen

Schept het rekenen met negatieve getallen de mogelijkheid om ook oud rekenwerk te herhalen, hetzelfde geldt voor de hierna genoemde bijzondere onderwerpen:

• priemgetallen
• deelbaarheidskenmerken
• vierkantsgetallen (kwadraten)
• driehoeksgetallen
• kubusgetallen (derde machten)
• machten van 2 (exponentiële schrijfwijze)
• rekenregels voor machten
• worteltrekken uit kwadraten
• een algoritme voor de worteltrekking
• andere vormen voor de vier standaardalgoritmen

Niet al deze onderwerpen zullen in de periode getallenleer aan bod komen. Het gaat daarbij vooral om het ontdekken en beleven van de schoonheid die in de wiskunde verborgen ligt en het toegankelijk maken van nieuwe gedachtewerelden.
.

.
291

7.3. Algebra

In de geschiedenislessen uit de zevende klas ervaren de kinderen hoe met de verbreiding van het Mohammedaanse Rijk de Arabische en Oosterse cultuur via Spanje in Europa gekomen is. Ons woord algebra, de latinisering van het
arabische ‘al-jabr’, getuigt daarvan. In de loop van de zevende en achtste klas ontvouwt zich in zulke perioden de ontwikkeling van de wetenschap en daarmee ook van de wiskunde.
De overgang van rekenen naar algebra geeft een nieuwe impuls aan de ontwikkeling van het mathematische denken. Voor sommige leerlingen is de niveauverhoging van het rekenen met cijfers naar het rekenen met letters geruime tijd ondoorzichtig, zelfs al voeren ze het ‘rekenwerk’ op zich goed uit. Als we in de algebra structuren, die in het rekenen nog verborgen blijven, bewust maken, spreken we krachten aan die nu in de prepuberteit vrijkomen voor het denken en stimuleren we de overgang van basis- naar voortgezet onderwijs.

In de zesde klas kan al een eerste stap naar de algebra gezet worden door het werken met benoemde getallen (zie ook blz. 216), met de kapitaalformule:

R = K x P x T
            100

als g w.a. in bijvoorbeeld het handelsrekenen, waar ‘het Netto gewicht is het Bruto gewicht verminderd met de Tarra’, wordt tot Netto = Bruto -Tarra en vervolgens N = B – T.
Hoe gaan we daarbij te werk? Eerst zijn vanuit een concrete context berekeningen uitgevoerd, dan worden de hieraan ten grondslag liggende gedachten verwoord, vervolgens worden ze bondig in begrippen samengevat en uiteindelijk schematisch met letters weergegeven. Waarna de letters, bij gebruik van de formule, weer te vervangen zijn door getallen die voortkomen uit nieuwe concrete opdrachten. Het gaat hierbij dus om het leren redenerend te denken, waarbij een goed georganiseerde handeling schematisch, met begrippen wordt vastgelegd en uiteindelijk als formule in een abstracte vorm wordt gegoten. Tenslotte kunnen de leerlingen in het concrete werken met de zelf uitgevonden formule ervaren dat het (reken)werk nu efficiënter is uit te voeren. Formules zijn dus geen instrumenten voor mysterieuze handelingen van niet te begrijpen geleerden of leraren, maar dienen om eenduidig, kort en bondig zelf gevonden interessante verbanden vast te leggen en zo efficiënt rekenen mogelijk te maken. Wie leert met dit wiskundig gereedschap om te gaan, zal dit van meet af aan zo moeten ervaren. Algebra kan behalve uit het vinden van formules ook voortkomen uit de wetmatigheden in rijen en reeksen, de meetkunde en uit het onderzoek naar vergelijkingen.

Formules

Een formule, zoals bijvoorbeeld de kapitaalformule, kan dus geen doel in zichzelf zijn, het gaat immers om het leren redeneren in verband met de realiteit, de formule is het residu van dit proces. Er zijn vele vormen voor formules waarmee dit mathematiseren beoefend kan worden. De meeste formules zijn nu nog van de vorm a =  b  x  c   of  c = a/. Maar ook formules van de vorm a = p + q,   a = p- q  of a = b  x  c + q kunnen door de leerlingen middels zo’n redeneerproces zelf uitgevonden worden.

292

Formules komen voor als beschrijver van steeds dezelfde berekening, als op zichzelf staand object waarmee gemanipuleerd kan worden en als ‘beschrijver’ van een verband tussen variabelen. Het mag duidelijk zijn dat in de zesde klas het accent nog ligt op het als eerste genoemde.

Een werkblad zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:
.

.
293

Er kunnen nog tal van opdrachten volgen, waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt om naast de afstand per trapronde, de hele afstand naar huis te schatten. Ook kan gevraagd worden een woordformule te bedenken waarmee je het aantal traprondes kunt uitrekenen, dat nodig is om die afstand te rijden. Huiswerk kan dan zijn om het aantal traprondes naar huis te tellen en daar op de kaart uit te zoeken of er goed geschat is. Of een opdracht als: Wie kan zelf een formule ontwerpen waarmee je meteen de afstand in kilometers vindt?, enzovoort.

Het werken met formules begint steeds met herkenbaar rekenwerk uit het dagelijks leven. Geleidelijk komen de kinderen tot generaliseren. Via afkortingen kunnen die verder geformaliseerd worden tot letters.
Doordat leerlingen de vrijheid hebben zelf namen en letters te kiezen voor variabelen, houden ze contact met de concrete betekenis ervan. Algebra is dan een vorm van redeneren, dat geleidelijk op steeds hoger niveau van abstractie komt.

Tot slot nog een aantal voorbeelden van situaties die tot het ontwerpen van formules aanleiding kunnen geven:

• Het verband tussen Engelse en Franse schoenmaten.
• Het verband tussen maten in het metriek stelsel.
• Omrekenen van geldbedragen in andere valuta.
• Rekenwerk rond een brommer, het benzineverbruik, de benzineprijs en het aantal kilometers.

• Het te betalen bedrag als de prijs per meter stof bekend is. (g.w.a. in de handwerklessen)
• Het verband tussen het schijnbare gewicht en de lengte van een hefboom (g.w.a in mechanikaperiode)
• Het verband tussen de temperatuurschalen van Celcius en Fahrenheit. (g.w.a. in natuurkunde periode)
• Soortelijk gewicht (massa) als verband tussen gewicht (massa) en volume.
(g.w.a. in natuurkunde periode)

Rijen en reeksen

Bij rekenen, dat voortkomt uit een concrete situatie, gaat het over dingen die van buiten op het kind afkomen. Er is in de voorgaande jaren ook in het kind zelf een basis gelegd voor de algebra. Bedoeld worden hier getalreeksen, sommige getallenspelletjes, rekenprocedures en voorschriften, die de kinderen al van vroeger kennen. Die algebra kan nu in het bewustzijn oplichten.
Voorbeeld 1:
Elke tafel bestaat uit twee getallenrijen, die je onder elkaar op stroken papier kunt plaatsen.
.

.
294

Bij zulke wetmatigheden kan nu naar de bewerkingen en hun inverse gezocht worden. Daarna vinden we de formule, die het voorschrift weergeeft waardoor de ene rij in de andere overgaat.

Voorbeeld 2:
Onderzoek bij kwadraten:
.

.
Voorbeeld 3:
De omgekeerde weg: het voorschrift is gegeven en er wordt gevraagd naar de te vormen reeks. Zo belanden we bij het substitueren. Bij het werken met benoemde breuken is dit in zekere zin al eerder gedaan.
Bij substitutieopdrachten wordt niet alleen het gewone rekenen herhaald, ook het rekenen met negatieve getallen, het letterrekenen en het omgaan met haakjes worden geoefend.

Meetkunde

Ook vanuit de meetkunde is algebra voort te brengen. Denk bijvoorbeeld aan het vinden van formules voor omtrek en oppervlakte van vierkant, rechthoek, parallellogram en driehoek.
Een heel ander voorbeeld: Teken een rechthoek. Meet de lengte en de breedte. Bereken het verschil. Reken vervolgens de omtrek en de oppervlakte uit.
Zet je rekenwerk in een schema en varieer daarna de maten van je rechthoek.
.

.
295

Zo kun je ook nog eens naar de rij van de kwadraten kijken, gebruik makend van de oppervlakteformules voor vierkant en rechthoek.
.
.
Een paar kinderen uit de klas helpen op zaterdag op de kinderboerderij en vanuit die praktische situatie is het volgende realistische probleem als vraagstuk ontstaan:
Op een kinderboerderij moet voor het hooi van de dieren een deel van het grasland omheind worden. Eerst is besloten een hectare af te zetten, daar wordt een tekening van gemaakt met de maten in de juiste verhouding. Maar later wordt bedacht dat het stuk groter moet zijn. Hoeveel meter omheining moet er bijgeplaatst worden als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter langer wordt?
De hectare grond is net ingezaaid met graszaad. Het gewicht van het graszaad, dat per vierkante meter nodig is, staat op de verpakking van het zaaigoed. Hoeveel graszaad is er extra nodig als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter verlengd wordt? (Dit antwoord blijkt afhankelijk van de breedte. Hoe zit dat?) Hoeveel gaat dat extra kosten als 1 kg graszaad …, enzovoort.

Vergelijkingen

Vergelijkingen zijn bijzondere gevallen van formules. Een basis voor vergelijkingen werd al gelegd bij het in de afgelopen jaren steeds moeilijker wordende spel ‘Raad mijn getal’.

Bij een groenteboer leende ik de oude balansweegschaal die daar geschiedenis maakte in de etalage van de winkel. Als de weegschalen in evenwicht waren, stond een naald precies loodrecht op twee evenwijdige ‘lijnen’.

Met een grote verzameling blokjes van hetzelfde gewicht mocht Eric de ‘raad mijn getal’som uitbeelden: “Ik heb een getal in gedachte, ik tel daar 5 bij op en het antwoord is 12. Wat was mijn getal?” Een wit, papieren zakje lag leeg op een van de schalen. Eric legde daar vijf blokken bij en vervolgens twaalf blokken op de andere schaal.

296

Geen probleem; de grote onbekende was natuurlijk 7!, want er moesten zeven blokken in de zak gedaan worden om de weegschaal in balans te krijgen.

Dat onbekende getal gaven we nu de naam x en schreven dat op de zak. Nu konden we ook noteren:  x + 5  =  12
x = 7

Later deden we een ander experiment met de weegschaal: Annemarie mocht de zak, met x er opgeschreven, met een alleen aan haar en mij bekend aantal blokken vullen en dicht maken. We smoesden even, waarna we de klas de volgende opgave stelden: x – 3 = 9. Annemarie zette de zak op de ene schaal en de negen blokken op de andere.
Wat nu, er was geen evenwicht! Er waren kinderen die wel wisten dat het antwoord 12 was, maar hoe zat het nu met het evenwicht? Na allerlei ideeën kwam Jort met de oplossing: “Aan beide kanten eerst drie blokken erbij !” “Goed, maar waarom en wat schrijven we nu op?”, was mijn antwoord. “Als je geen drie blokken kan weghalen, moet je er eerst aan beide kanten drie blokken bij leggen, je mag bij een weegschaal toch altijd aan beide kanten hetzelfde veranderen?! En daarna kan je bij de zak drie blokken wegnemen” Nu kan je opschrijven: x – 3 + 3 =  9 + 3
x = 12

Vanuit de ervaring dat je met de ‘vergelijking’ van alles kan doen, als je het maar aan twee kanten van de balans (het gelijkteken) doet, onderzoeken de kinderen de gevolgen van:

• Een getal erbij optellen aan twee kanten.
• Een getal ervan aftrekken aan twee kanten.
• Met een getal vermenigvuldigen aan twee kanten.
• Door een getal delen aan twee kanten.

De kinderen bedenken zelf opgaven om het experiment uit te voeren. Een klein groepje uit de klas krijgt de weegschaal erbij om proefondervindelijk tot conclusies te kunnen komen.

Dit alles sluit aan bij de aanwijzingen van Rudolf Steiner om ook de vergelijking juist vanuit het praktische leven te ontwikkelen. Uit het rekenverhaal destilleren de kinderen dan de onbekende x en de vergelijking.

Voorbeeld:

In de menskundeperiode hebben we gezien dat je ongeveer net zoveel weegt als je langer bent dan 1 meter. Anja en Ben wegen respectievelijk 63 en 78 kilo. Wat is hun lengte? Schrijf een vergelijking op, behorend bij deze opgave. (1 = 100 + g en anderen schreven g = 1 – 100, waaruit bleek dat sommige kinderen vanuit het gevraagde redeneren en de anderen vanuit het gegeven.)

Na flink wat oefening kan het volgende een echte uitdaging zijn.

Historisch voorbeeld:

Diophantus wordt wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij leefde tussen 200 en 400. Door toeval weten we hoe oud hij is geworden, omdat een van zijn bewonderaars een algebraïsch raadsel heeft gemaakt van zijn biografie: Diophantus jeugd duurde een zesde van zijn leven, een twaalfde van zijn leven later kreeg hij een baard, na nog een zevende van zijn leven trouwde Diophantus en vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon leefde precies half zo lang als zijn

297

vader en Diophantus stierf juist vier jaar na zijn zoon. Dit alles samen levert de levensduur van Diophantus op.
Probeer de biografie in een formule weer te geven. Wat is nu de vergelijking die bij dit verhaal hoort? Hoe oud werd Diophantus?

Laat de kinderen ook zelf eens zo’n levensverhaal als algebraïsch raadsel maken!

Het is een goede oefening om bij herhaling aan het begin van de dag ‘Raad mijn getal’-vergelijkingen te maken. Na het antwoord hoofdrekenend te hebben gevonden, schrijven de kinderen iedere dag zo’n opgave met zogenaamde ‘eierschalen’ op.
Voorbeeld: “Neem +9; haal daar -7 af; trek de wortel; verdubbel; doe daar +1 bij. Wat is de uitkomst?”

Laat de kinderen ook eens om de beurt thuis zo’n opgave bedenken om de volgende dag aan de klas op te geven.
Het is een goede oefening ook eens opgaven te laten bedenken, waarbij je van het gevonden antwoord uitgaat en bij het begingetal uitkomt. Dus: “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er …(enzovoort) en nu is de uitkomst 71”. En dan vanuit die 7 door middel van terug-redeneren het begingetal vinden.

298

Bij dergelijke opgaven wordt op de ‘heenweg’ de volgorde van de bewerkingen door steeds groter wordende ‘eierschalen’ aangegeven, die de kinderen daarna door haakjes leren vervangen. Bij het formuleren van de ‘terugweg’ worden de ‘eierschalen’ of haakjes er stuk voor stuk afgepeld. Iedere bewerking blijkt over te gaan in zijn inverse.
Door regelmatig oefenen kunnen de kinderen zowel vanuit het bekende als vanuit de onbekende vergelijkingen opschrijven en oplossen.

Zo is in de zevende klas de vergelijking met een onbekende geïntroduceerd. Juist op deze leeftijd zoeken de kinderen innerlijk naar nieuwe evenwichten, daar sluit dit rekenen met vergelijkingen prachtig bij aan. Het principe wordt uitgebreid in de jaren erna. Naast het oplossen van lastige lineaire vergelijkingen met één onbekende, wordt in de achtste klas ook gewerkt aan het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Waar dit gebeurt is het zinvol dit voort te laten komen uit het (hoofd)rekenen. Daarbij zou de volgende weg bewandeld kunnen worden:
Voorbeeld: “Ik heb twee getallen in gedachte, samen zijn ze 12. Welke kunnen dat zijn?”
Al snel wordt ontdekt dat er hier oneindig veel mogelijkheden bestaan. We kunnen een aantal daarvan in een tabel noteren. Noemen we die getallen x en y dan ziet zo’n tabel er zo uit:

Om welke twee getallen het gaat is hier niet zonder meer duidelijk. Dat wordt anders wanneer nog een tweede kenmerk gegeven is. Bijvoorbeeld, dat het verschil van beide getallen 6 is. Dan kan ook van dit verband een tabel gemaakt worden:

299

300

Vergelijken we nu beide tabellen dan levert dat voor (x,y) het getallenpaar (9,3) op, dat aan beide voorwaarden voldoet. Op dezelfde wijze kunnen nu ook praktische problemen worden onderzocht, waarbij twee eigenschappen of voorwaarden aan de onbekenden zijn verbonden.
Voorbeeld: Roel is jarig en heeft de hele klas uitgenodigd voor zijn feest. De klasgenoten besluiten gezamenlijk een cadeau te geven; ze hebben € 60,- bij elkaar. Jesse kocht voor hem drie single-C.D.’s en drie fijnschrijvers. Een C.D. was drie keer zo duur als een fijnschrijver. Wat kosten de C.D.’s en de fijnschrijvers per stuk? Probeer de vraag in een vergelijking weer te geven.

Later, in de bovenbouw, kunnen hier de meer algoritmisch verlopende
oplossingswijzen bij aansluiten.

7.4 Meetkunde

“Juf, wanneer gaan we weer van die mooie tekeningen maken met passers en zo?” De leerstof had in de zesde klas duidelijk een snaar geraakt. De met passer en liniaal geconstrueerde en fraai gekleurde tekeningen sierden toen extra lang de gang boven de kapstokken. Maar net als bij andere vak- en vormings-gebieden moet er in de meetkundelessen van de zevende klas een volgende stap gezet worden.

In het jaar daarvoor sloten de meetkundige constructies nog zo prachtig aan bij de oefeningen die al uit het vormtekenen bekend waren. Daar werd ontluikende kennis nog geheel ingebed in schoonheid. ‘Schoonheid’, het motto van de belevingswereld van de kinderen in de onderbouw, wordt nu steeds vaker aangevuld met het motto uit de bovenbouw: ‘waarheid’. Daarin wordt het eigen denken steeds meer aangesproken.
In het reken-wiskundeonderwijs en dus ook in de meetkunde worden de kinderen nu tot ‘denken’ uitgedaagd. Denken en beleven groeien in de puberteit uit elkaar. Een worsteling speelt zich af in het overbruggen van schoonheid en waarheid, van hetgeen schijnbaar in kunst en wetenschap gescheiden leeft.

Aan het eind van de schooltijd, in de twaalfde klas, is het zoeken naar
‘wederverbinding’ (reliare) de leidraad. Voor wie zo de puberteit overwint, gelden de woorden van Goethe:

“Wer Kunst und Wissenschaft beide hat, der hat auch religion.
Doch wer nur einst der beiden hat, der habe Religion.”

Uitbreiding van constructies en kenmerken van figuren

De leerstof uit de geometrieperiode van de zesde klas zal weer gewekt moeten worden. Om het werken met passer en liniaal weer ‘in de vingers’ te krijgen, kan begonnen worden met een opdracht als:

• Construeer een cirkel met daarin een zeshoek en een gelijkbenige driehoek, die allebei de hoekpunten op de cirkelomtrek hebben. Maak je constructie duidelijk door het inkleuren. Verbind in nog zo’n figuur ook de hoekpunten van de figuren met elkaar. Welke andere meetkundige figuren zijn hier ontstaan?

301

Er zal met behulp van de vijf grondconstructies, die geleerd zijn in de zesde klas, op zoek gegaan worden naar de lijnen met bijzondere eigenschappen in de driehoek: middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen (of bissectrices) en hoogtelijnen.

Daarna gaan we met de kinderen ook op onderzoek uit naar de bijzondere eigenschappen van de snijpunten van deze lijnen: het zwaartepunt, het middelpunt van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.

“Op stevig karton gaan we een driehoek construeren met daarin de zwaartelijnen duidelijk aangegeven.” Op de vraag “Hoe groot moet de driehoek worden?”, wil ik geen antwoord geven en het gevolg is een scala van verschillende driehoeken, pietepeuterig klein en heel groot! Enkele fraaie exemplaren hing ik aan een punt op. “Loopt die zwaartelijn uit de punt nu echt verticaal? Of lijkt dat maar zo?”. Dat controleerden we door er een schietlood naast te houden. “Juf, als ik mijn passer onder het zwaartepunt zet blijft de driehoek balanceren. Net een weegschaal”.
De kinderen waren verrast toen dat bij tal van driehoeken ook zo bleek te zijn. Maar de driehoek van Peter viel steeds op de grond, ook als Marieke zijn driehoek op haar passer probeerde. Omdat de natuurkundeperiode, waarin we ook hefbomen onderzochten, al geweest was, begreep hij dat er iets niet klopte en samen met anderen ontdekte hij, dat hij geen zwaartelijnen maar hoogtelijnen getekend had. Dat euvel was snel verholpen!

302

Bij zulke constructieopdrachten kun je aan kinderen de vraag stellen: “Beschrijf in woorden, waarom je denkt dat met het snijpunt van de middelloodlijnen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gevonden”.

“Welke figuren hebben ook een omgeschreven cirkel?” In groepjes kunnen de kinderen zo’n opdracht uitvoeren, samen weet je immers meer dan alleen.

Nieuw in de zevende klas is de constructie van een rechte door een punt evenwijdig aan een bestaande rechte.
Bij alle opdrachten in de zevende klas is het goed om meteen een notatie in te voeren: hoofdletters voor punt (hoekpunten), kleine letters voor zijden en rechten (l, m, n, …) en tekens en aanduidingen voor gelijke lijnstukken, voor evenwijdigheid //, enzovoort.
Nieuwe opdrachten worden nu op de volgende wijze gegeven:

• Teken in je schrift een willekeurige rechte l en een punt A erbuiten.
• Trek nu een lijn m door A die l snijdt en noem het snijpunt van m en l: A1.
• Construeer een cirkel met middelpunt A en noem het snijpunt met l B’.
• Breng hoek x tussen m en l, met behulp van de cirkel met middelpunt A1, over naar punt A op m.
• Trek door het op de nieuwe cirkelboog ontstane punt B en A een lijn n.
• Nu geldt: n//l.

Op een werkblad kunnen we nu een aantal toepassingsvragen stellen, waarbij weer de bekende constructies gebruikt worden:

303

304

Congruentie

Twee figuren die elkaar precies kunnen bedekken noemen we congruent. In de zevende klas worden congruentiekenmerken van driehoeken onderzocht. In de zesde klas is al geoefend met het construeren van driehoeken, waarbij drie gegevens bekend waren. Nadat de congruentie kenmerken ZZZ, ZHZ en HZH, onderzocht en ontdekt zijn, kan er een opdracht gesteld worden zoals hierna in het doorkijkje beschreven is.

Vanmorgen gaf ik als opdracht: “Construeer een driehoek ABC met de volgende gegevensn: AB = 6, AC = 4 en hoek B = 30°
Even later bleekt dat niet iedereen dezelfde oplossing vond. “Wat nu, jongens?!”

Joris die niets liever doet dan zijn passer steeds weer rond te laten draaien, ontdekte, vol verbazing, twee mogelijkheden in dezelfde tekening! “Kan dat altijd?”, vroeg Iris. Dat besloten we te onderzoeken. Met elkaar kwamen we snel tot de conclusie dat je een scherpe en een stompe hoek A kon construeren.

De voldoening is groot als de kinderen na dit conflict zelf het kenmerk ZZR vinden.
Het is belangrijk regelmatig de gelegenheid te bieden op eigen kracht tot ontdekkingen te komen. Ook kunnen de kinderen voor elkaar opgaven bedenken in de vorm van allerlei figuren, waar congruente driehoeken in te vinden of te herkennen zijn:

305

De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden

“Vandaag gaan we een beroemde stelling onderzoeken! Construeer twee congruente driehoeken. Eén in het schrift en één op een los tekenvel.” Daarna wordt de laatste uitgeknipt en moeten de overeenkomstige hoeken in beide driehoeken gelijk gekleurd worden. Van de losse driehoek knippen we de gekleurde hoeken af en leggen die rondom een hoekpunt in het schrift (hoeken van dezelfde kleur komen op elkaar te liggen). Zo ontdekten we dat de som van de hoeken 180 graden is.

Bijzondere constructies

Zevendeklassers leren ook de constructie van de vijfhoek en de gulden snede uit te voeren. Kinderen raken onder de indruk wanneer ze, samen in een aantal kunst- en geschiedenisboeken kijkend, ontdekken hoe men al in de Oudheid en Renaissance in de bouwkunde en schilderkunst van deze bijzondere constructies gebruik maakte.

Naast het constructiewerk kunnen ook vormtekeningen gemaakt worden. Een goede oefening is: in een vijfhoek, in één doorgaande beweging, metamorfoses van de vijfster maken.

Ten slotte zal het volbrengen van de moeilijke tekening met vlechtwerk in de vijfhoek de kinderen een enorme voldoening kunnen geven.

Translatie, Spiegeling, Rotatie, vermenigvuldigen van figuren in klas 8

Wat er gebeurt bij translatie, spiegeling en rotatie kennen de kinderen al vanuit het vormtekenen in de lagere klassen. Nu leren ze deze wetmatigheden door constructie kennen. Daarbij verhoogt het aangeven in kleur van de beweging het bewustzijn ervan.

306

Translatie:

Spiegeling in een lijn of spiegelas en spiegeling in een punt

In de natuurkundeperiode is er veel geëxperimenteerd met spiegels. De proeven die daar gedaan zijn, kunnen nog eens in de herinnering worden geroepen. Want hoe zat het ook weer met de spiegeling van een voorwerp in twee onder een hoek van 90° staande spiegels? Kan je dat nu ook construeren?

Rotatie

Rotatie oefenen we met verschillende rotatie hoeken. Wat ontdekken de kinderen bij een rotatie van bijvoorbeeld 180°? en 360°? Wat gebeurt er als het rotatiepunt binnen de figuur ligt?
Er wordt ook gesproken over: ‘draaisymmetrie’. De kinderen kunnen zelf onderzoeken wat dat kan betekenen. Ook een werkblad met bijzondere figuren, waar rotaties en draaisymmetrie in te ontdekken zijn is een goede oefening voor het voorstellingsvermogen.
De relatie tussen rotatie en spiegeling kan door de kinderen gevonden worden door zich bij bepaalde opgaven af te vragen of bijvoorbeeld de rotatie ook door spiegelen bereikt kan worden.

307

Vermenigvuldigen van figuren

In de achtste klas breiden we de translaties uit met de vermenigvuldiging vanuit een punt. Het principe van de ‘gelijkvormigheid’ wordt daaruit ontwikkeld. Het rekenwerk met verhoudingen wordt meteen weer opgepakt. Bijvoorbeeld met vragen als: “Wat gebeurt er met de oppervlakte van een driehoek die vermenigvuldigd wordt met factor 3?”

Stelling van Pythagoras

In de vijfde klas, waar de leerlingen ontdekten hoe de Egyptenaren bij het landmeten met het twaalf-knopentouw rechte hoeken uitzetten, is er impliciet met de stelling kennis gemaakt. Er bestaan al eeuwenlang vele schitterende meetkundige bewijzen voor deze stelling.
Op verschillende manieren kunnen we met de kinderen tot praktische bewijsvoering (ontdekking) van de Stelling van Pythagoras komen.
Om te beginnen zou je vanuit de gelijkbenige rechthoekige driehoek kunnen beginnen. Na het tekenen van het principe kan met behulp van schaar en gekleurd papier, door passen en meten, aangetoond worden, dat de oppervlakte van het grote vierkant net zo groot is als de oppervlakte van de twee kleine vierkanten samen.

308

Een tweede voorbeeld: we kijken nog eens terug naar de periode, waarin we de kwadraten van de getallen hebben leren kennen in combinatie met de oppervlakte formule voor een vierkant.
Laat de kinderen dan een rechthoekige driehoek construeren met zijden van 5, 4 en 3 cm. Op iedere zijde construeren ze een vierkant en onderzoeken nu de oppervlakte van die vierkanten op de volgende manier:

De kinderen kunnen op zoek gaan naar andere rechthoekige driehoeken met zulke bijzondere drietallen als rechthoekszijden. (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8,15,17), enzovoort.

Ten slotte kunnen we ook voor een willekeurige rechthoekige driehoek de stelling bewijzen. Eén van de mogelijkheden is bijvoorbeeld het ‘molenwieken’-bewijs.

Wat gedaan, is wordt weer getekend (of geplakt). Wat we ontdekt hebben, wordt weer eerst in woorden, dan in begrippen en tenslotte in letters geformuleerd, zoals we dat ook bij ‘formules’ (zie H 7.3) tegen kwamen. Zo komen we ook tot de alom bekende vorm a2 + b2 = c2 voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. Juist een verscheidenheid aan bewijzen toont hier de speelse en creatieve kant van de wiskunde.
In het toepassen kunnen we de Stelling van Pythagoras ook in allerlei problemen uit het dagelijks leven tegenkomen. Een werkblad als voorbeeld:

309

310

Puntverzamelingen in het vlak

Op zoek naar figuren, bestaande uit punten die allen aan dezelfde eigenschap voldoen, gaan we met de achtsteklassers deze ochtend eerst naar de zaal.

Behalve bij Elise, fluisterde ik alle kinderen in het oor dat ze op een afstand van 3 meter van Elise moesten gaan staan. Na wat verwarring en allerlei beweging ontstaat er een cirkel met een straal van 3 meter en Elise als middelpunt. Samen vormen de kinderen een verzameling punten waarvan geldt dat de afstand tot Elise 3 meter bedraagt.
Pascal en Edu zijn nu twee vaste punten en mogen een plek in de zaal zoeken om te gaan staan. Nu vraag ik de anderen de verzameling punten te vormen met gelijke afstand tot Pascal en Edu. Een aantal kinderen vloog natuurlijk naar het punt tussen Pascal en Edu in, maar snel hadden andere kinderen in de gaten dat dat niet nodig was om aan de voorwaarde te voldoen. Zo ontstond de middelloodlijn (van kinderen) van het lijnstuk tussen P én E.
Eenmaal in de klas, gingen we opzoek naar een notatie, die zo kort mogelijk zou zijn in woorden en met eigen tekens. Bij de cirkel werd dat bijvoorbeeld: {P I PM=3}.

Uiteraard worden de constructies behorend bij deze opdrachten, ook in het schrift uitgevoerd. Daarna zoeken de kinderen nog door constructie naar de middenparallel van twee gegeven evenwijdige rechten en naar de bissectrice van twee gegeven elkaar snijdende rechten.
Ook maken ze tekeningen van doorsnijdingen van meer dan één verzameling.

In deze periode vinden we ook als puntverzameling de ellips, als de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is en de hyperbool, lemniscaat, cirkels van Apollonius. Deze worden gevonden door een

311

constant verschil, product en quotiënt. Het is voor de leerlingen altijd verrassend de invloed van de vier basisbewerkingen te ervaren in deze constructies.
Ten slotte besteden we aandacht aan de parabool, waarbij alle punten even ver van een vast punt en een rechte lijn liggen.

Voorafgaand aan deze wiskundeperiode hebben de kinderen in de afgelopen jaren allerlei ervaring opgedaan met het ‘bepalen van plaats’. Niet alleen in andere perioden, zoals bijvoorbeeld aardrijkskunde (sterrenkunde) en natuurkunde, maar ook in de euritmielessen en wellicht tijdens nachtelijke speurtochten in de werkweek van de zevende of achtste klas. Daarbij bleek, dat diegene, die zich ruimtelijk goed wist te oriënteren en wiens voorstellingsvermogen goed ontwikkeld was, in staat was zich ‘naar eigen inzicht’ vrij te bewegen op weg naar een vast punt (doel).
Nu de leerlingen in de achtste klas volop in de puberteit komen, zien we verstarring en onbeweeglijkheid samen gaan met het ontstaan van beweeglijkheid in het denken. Het bijzondere van de meetkundelessen in die leeftijdsfase is, dat de kinderen ervaren hoe beweging zich verbindt met een plaats op aarde en dan vastligt. Alleen in het denken komen de figuren weer in beweging.
In deze fase kan het noteren van plaatsbepalingen uitgebreid worden. Verbonden aan de getallenwereld en de getallenlijn zal de meetkundige plaats van een punt als coördinatenpaar in het platte vlak op natuurlijke wijze zijn intrede doen.

Platonische ruimtelichamen

Aan het einde van de achtste klas maken de kinderen van gekleurd karton de Platonische ruimtelichamen. Misschien worden ze eerst in klei geboetseerd, waarna ze zelf op onderzoek uitgaan naar hoe een uitslag in een bouwtekening eruit zal zien (waar zullen de plakstroken moeten komen?!). Daarna kunnen wetmatigheden in een schema worden weergegeven.

312

Een introductie ter voorbereiding op de ruimtemeetkunde van de negende klas, die de leerlingen nooit meer vergeten!

7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten

Reken-wiskundige activiteiten kunnen in allerlei perioden aan bod komen, door de hele schooltijd heen. Bijvoorbeeld in relatie tot een actualiteit, een uitstapje een jaarfeest, of een door een leerling gebroken ruit, waarvan het herstellen betaald moet worden. In die gevallen passen leerlingen hun reken-wiskundige bagage in levensechte situaties toe. We noemen dat: ‘Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (g.w.a)’. Ook rekenwerkuren kunnen door g.w.a.’s verlevendigd worden, er het saaie oefenwerk goeddeels vervangen en duidelijk maken dat je rekenen praktisch kunt gebruiken. Elke school zou op rekenkaarten en werkbladen een aantal g.w.a.’s kunnen verzamelen. Zoiets zou in geval van vervanging ook heel handig zijn. En het komt de gecijferdheid van leerlingen ten goede als zich in elke klas een bak met zulke kaarten, aangepast aan de leeftijd, zou bevinden.

313

Suggesties voor g.w.a’s

voorbeeld 1
Uit de sterrenkundeperiode in de zevende klas: ‘De zonnewijzer’.

voorbeeld 2
Uit de Romeinse geschiedenisperiode: ‘De Peuteringerkaart’.
De Peuteringerkaart is een kopie van een Romeinse kaart uit de 12e eeuw. De afstanden tussen de toenmalige Romeinse steden zijn genoteerd in Romeinse cijfers, die het aantal leuga’s weergeven. De leuga is een Gallische lengtemaat en komt overeen met ca 2220 meter.

314

Gezamenlijk is er gekeken naar de afstand tussen NOVIOMAGI (Nijmegen) en CEUCLIUM (Cuyk). Die is volgens de Peuteringerkaart III leuga’s. Omgerekend dus 3 x 2220 = 6660 meter. Bij benadering klopte dit aardig toen we het vergeleken met de ANWB kaart.

“Pak een grote passer en probeer nu zelf te ontdekken welke plaats bedoeld kan zijn met de naam BLARIACO. Deze ligt aan de Maas en is XXV leuga’s verwijderd van NOVIOMAGI. Krijg je zelf geen ‘brain wave’ gebruik dan een of meer van de onderstaande suggesties.”
(suggestie 1: Denk erover na wat je met een passer allemaal kunt DOEN.)
(suggestie 2: Gebruik een wegenkaart, het centrum van Nijmegen en een grote passer.)
(suggestie 3: Hou rekening met de schaal op de kaart en het verband tussen leuga’s en kilometers.)

voorbeeld 3

Na de weerkundeperiode: ‘Weer of geen weer’.

Lees elke morgen om 8.25 uur de buitentemperatuur af.
Noteer de uitkomst in een tabel, vergeet de datum niet.
Zet aan het eind van de maand je waarnemingen uit in een lijndiagram.
En beantwoord dan de volgende vragen:

• Wat deden we ook al weer op de warmste dag van deze maand?
• Tussen welke dagen was het temperatuursverschil het grootst? Herinner ‘
nog iets over het weer op die dagen? ]e
• … (bedenk zelf nog iets)

voorbeeld 4
Tijdens of na de mineralogieperiode: ‘Kristalvormen’.

315

Verschillende kristalvormen worden onderzocht en getekend, waarbij de specifieke meetkundige vormen tot ordening en herkenning leiden.

voorbeeld 5
Vanuit het waarnemend tekenen in de zevende klas: ‘Doordringingen’.

In het leerplan tekenen van de zevende klas wordt naast waarnemend tekenen speciaal ‘doordringingen’ genoemd. Naast het tekenen van ronde, rechte,
kubische, … gebruiksvoorwerpen, tekenen de kinderen juist stereometrische figuren met doordringingen en schaduwwerking.
Dergelijke tekeningen kunnen aanleiding zijn tot het volgende vraagstuk:
Je ziet hieronder twee doordringingen, een ronde piramide met een vlak erin en een cilinder met een balk erdoor.
Teken wat je zou zien als deze dingen over 90° gedraaid worden.
Kies zelf een voorwerp om te tekenen. Laat er zo mogelijk iets doorheen steken.

Zie Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, Uitverkocht.  (Scan via vspedagogie@gmail.com)

316

voorbeeld 6
G.w.a’s in het rekenwerkuur.
Hieronder volgen twee g.w.a’s uit een rekenwerkuur. Deze opdrachten zijn in groepsverband of individueel te maken.

‘Welke offerte?’
We hebben een glazenwasser nodig. Twee glazenwassers leverden een offerte in op school:

Offerte I.
Voor alle ramen geldt de prijs van € 1,70 per m2.

Offerte II.
Ramen lager dan drie meter kosten € 1,50 per m2 . Voor ramen boven de drie-metergrens geldt een prijs van € 2,10 per m2

Welke glazenwasser raden jullie aan? Waarom?

‘Schilderwerk’

Alle binnendeuren van onze school moeten twee keer geschilderd worden. Uit een pot verf van 0,75 liter kunnen tien vierkante meters beschilderd worden. Hoeveel liter verf moeten we inkopen? Hoeveel bussen verf zijn er dan nodig? Zoek dat voor ons uit.

Het voordeel van de g.w.a.’s in de rekenwerkuren is dat je als leerkracht wat meer tijd hebt om te zien hoe leerlingen met de opdracht omgaan en hoe ze tot hun antwoorden komen. Zie hier een voorbeeld hoe het een leerkracht daarbij verging.

Bij de opdracht zoals hierboven beschreven, liep ik langs de tafel van Niels en zag hoe hij met uiterste nauwgezetheid alle deuren die hij zich in de school kon voorstellen, naast elkaar getekend had. “Juf mag ik gaan kijken of er achter het kamertje ook nog een deur is?” Dat mocht en juist toen Niels terugkwam, liet Hanne zien dat ze het antwoord wist. Ik schrok van een onooglijk blaadje met wat verspreide getallen en in het midden het berekende antwoord triomfantelijk omcirkeld.
Op dat moment besloot ik om zowel voor Hanne als voor Niels een speciaal werkblad te maken voor volgende week. Voor Niels zal er een opdracht komen, waarbij zijn voorstellingsvermogen toereikend zou zijn om ook een aantal stappen mentaal te kunnen maken. Voor Hanne ga ik op zoek naar een context, waarbij de g.w.a. zodanig verborgen zit, dat zij een breder kader dan getallengoochelarij nodig heeft om tot een oplossing te komen. Zij bleek namelijk niet te kunnen terugvertellen hoe ze aan haar ‘verf-antwoord’ gekomen was.

317

Peilingen

Als we in de klas met het rekenen bezig zijn, krijgen we een eerste indruk van hoe de kinderen de leerstof in zich opnemen. Wanneer we hier naderhand op terugkijken, kan het duidelijk worden, hoe het programma voor de volgende dagen eruit zou moeten zien. Als we het schriftelijk werk van de kinderen bezien, is dit een aanvulling op ons beeld van hoe het ervoor staat. Zo ontstaat meer en meer het zicht op de vaardigheden van ieder kind. Als de afronding van een periode nadert maken we de balans op en bekijken we de vrucht van de tevoren uitgezette bakens. Door goed waar te nemen hoe de kinderen met het rekenen bezig zijn, kan het beeld van de zich ontwikkelende vermogens steeds duidelijker worden. Daarbij kunnen we ook het sociale proces betrekken; drijft het kind mee op de golven van het klasse-gebeuren of is er een eigen richtinggevende activiteit? Hoe het kind rekent, is minstens zo belangrijk als de vraag of het antwoord op de som wel of niet juist is. Is een optelling gemaakt door doortellen of verkort tellen?

Als we niet geheel zeker van de zaak zijn kunnen we een peiling houden als aanvulling op onze eigen waarnemingen. Zo’n peiling is bedoeld voor onszelf. In de hogere klassen is een peiling ook bedoeld voor de leerlingen zelf; het is belangrijk dat zij weten wat ze wel en niet kunnen. Dan groeit ook de verantwoordelijkheid voor het eigen werk.

Peilingen kunnen zowel mondeling als schriftelijk plaatsvinden. In een lagere klas zal een peiling een ander karakter hebben dan in een hogere klas. In een eerste klas laten we bijvoorbeeld steeds één kind enkele cijfers tekenen om te zien of de vorm en schrijfwijze goed verankerd zijn. Een dergelijke peiling vindt eigenlijk terloops plaats.
In de derde klas laten de kinderen de tafels individueel horen, ook een vorm van peiling. Ditzelfde geldt ook voor de vraag; vertel eens precies hoe jij 35 en 27 bij elkaar optelt, hoe je ontdekt hebt uit welke stambreuken ^ bestaat. Het laten verwoorden van rekenhandelingen brengt ons heel dicht bij het stadium waarin het kind zich op dat moment bevindt. Het elkaar laten horen van een oplossing geeft ons het nodige inzicht maar is tegelijkertijd zeer stimulerend voor anderen.
Mogelijkheden voor een peiling in een lagere klas:

• Getallendictee.
• Zoveel mogelijk sommen maken met het antwoord 12 in verschillende bewerkingen.
• Hoeveelheden schatten.
Deze opgaven komen niet uit de lucht vallen, ze zijn al eerder mondeling of schriftelijk beoefend.

In een hogere klas zal een periode vaak met een peiling worden afgesloten. De kinderen zijn hier dan al op voorbereid. De peiling zou kunnen bestaan uit verschillende soorten opgaven; open en gesloten opdrachten, een verhaal bedenken bij een opgave, zo mogelijk een kunstzinnige uitwerking, opgaven verschillend van niveau. Om een beeld te krijgen van de individuele prestaties van de leerlingen moet er zelfstandig aan deze peiling worden gewerkt.

In de beoordeling is het van belang dat van ieder kind duidelijk wordt waar nog aan gewerkt moet worden. We kunnen de nadruk leggen op hetgeen goed gemaakt is door aan te geven; zoveel goed van de zoveel. De ervaring leert dat kinderen dit voor zichzelf vertalen in voldoende of onvoldoende. Soms vragen ze er ook naar. Het is belangrijk dat ieder kind een reëel beeld heeft van de eigen prestatie. Elke illusie daaromtrent dient dus voorkomen te worden. Aan de andere kant zou een peiling het zelfvertrouwen moeten versterken in de zin van: dit heb ik geleerd, dit beheers ik nu, daar ga ik verder aan werken. Met een dergelijke vaststelling is de periode afgerond.

318

Hoe gaan we om met de resultaten van de peiling? Om te beginnen leggen we de te voren opgestelde bakens ernaast. Wat wilden we bereiken toen de periode een aanvang nam? Wat is daar nu van terecht gekomen? Welke kinderen hadden er weinig moeite mee en vroegen om meer? Welke kinderen hadden er voortdurend moeite mee? Zijn er kinderen die afhaakten? Konden ze daarna de draad weer oppakken? Welk soort hulp hadden ze daarbij nodig?

Vervolgens kunnen we de resultaten vergelijken met die van een vorige peiling. Dan kunnen we zien welke kinderen zich, met het verwerken van de leerstof, in een stijgende lijn bevinden, welke kinderen in toenemende mate moeite hebben met de leerstof en wellicht een andere aanpak behoeven. De resultaten zouden kunnen worden vergeleken met die van een andere klas. Daarvoor kunnen we te rade gaan bij een collega in een andere school die dezelfde klas heeft. Wellicht kunnen de leerkrachten in de eigen school hun ervaringen vergelijken. Ook kan men zich op de hoogte stellen van de resultaten van het PPON, een door het CITO uitgevoerde ‘periodieke peiling van het onderwijsniveau’. Alle leer- en vormingsgebieden van het basisonderwijs komen in dit onderzoek aan de orde. In de publicaties van het CITO kan men een beeld krijgen van het onderwijsniveau in Nederlandse scholen. Met opgaven en resultaten zou men in (met?) de eigen klas een peiling kunnen organiseren. En een PPON-publicatie geeft alle aanleiding om met de collega’s de vraag te bediscussiëren: Wat willen wij dat de kinderen leren?

Ook geeft een peiling ons inzicht in de werkzaamheid van onze eigen didactische werkwijze. Daarvoor hoeven we er geen schoolgemiddelde naast te leggen. Welke onderdelen van de leerstof zijn door vrijwel alle kinderen goed verwerkt en met welke onderdelen hadden veel kinderen nog moeite? Het is ook aardig een peiling af te sluiten met de vraag: “Wat heb je het meest van deze periode geleerd?” Dit kan interessante informatie opleveren. Het antwoord laat zien wat de kinderen er naar hun beleving aan hebben gehad.
Wie in de periode al goed heeft waargenomen, komt meestal niet meer voor verrassingen te staan. Of toch, er zijn kinderen die bij een gelegenheid als een peiling extra op scherp staan en er zijn kinderen die juist dan ietwat geblokkeerd zijn. Iets om op te letten. Alhoewel de resultaten in het getuigschrift verwerkt worden, moeten we er niet alles aan ophangen. Door de bril van de peiling heen kijken we weer naar het kind en tegelijk naar hetgeen in de periode is doorgemaakt.

319

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

7-jaarsfasen
7e klas ontdekkingsreizen
algebra en rekenen in 7e en 8e klas
causaliteit en oordeelsvermogen
CITO-toets
geschiedenis
Leonardo da Vinci
mineralogieperiode
natuurkunde klas 8
Platonische lichamen
Sterrenkunde 7e klas
zonnewijzer
weersperiode

VRIJESCHOOL in beeldmeetkundevormen
tekenen 7e klas

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.
Rekenenalle artikelen

.

2458

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 6

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 6: Reken-wiskundewerk vanaf klas 4

6.1 Decimale breuken
6.2 De wereld in verhoudingen
6.3 Procenten
6.4 Geometrie
Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken

Hier en daar is sprake van geld, dus van de gulden en de bijbehorende munten. Ik heb daar zoveel mogelijk euro’s van gemaakt. Waar het het voorbeeld onduidelijker zou maken, heb ik de gulden laten staan.

6. 1 Decimale breuken

ORIËNTATIE OP HET NIEUWE TERREIN

Wat zijn decimale breuken?

Decimale breuken worden ook wel eens aangeduid met ‘kommagetallen’. Daarmee is feitelijk het essentiële ervan aangegeven, zij het dat de bijbehorende positionele schrijfwijze als vanzelfsprekend wordt aangenomen. De uitvinding van de decimale breuken dateert van 1585, toen Simon Stevin zijn vondst publiceerde in het boekje De thiende. In feite was dat boekje een pleidooi voor het invoeren van de tientallige (positionele) schrijfwijze van de getallen. Met die getallen zou het rekenwerk (lees cijferwerk) namelijk heel wat gemakkelijker gaan dan met de gebruikelijke Romeinse cijfers en gewone breuken.
Met decimale breuken kun je dus gemakkelijker rekenen. Wie kan cijferen met gehele getallen, kan het eigenlijk ook met (decimale) breuken. Die gedragen zich in feite bij het cijferen net als gehele getallen. Slechts de rekenregel die het aantal cijfers achter de komma bepaalt, dient erbij in acht genomen te worden.
Vergelijk de berekening 23¾ x 5 ~ maar eens met 23,75 x 5,5. (Komt bijvoorbeeld voor in het geval je van een stukje multiplex van 23,75 cm x 5,5 cm de prijs wilt weten.)
Hoewel de kommagetallen eerst veel weerstand opriepen bij de gebruikers (kooplieden bijvoorbeeld, die ineens allerlei mogelijkheden voor vervalsingen zagen), zijn ze al lang niet meer uit ons dagelijks leven weg te denken. In het bijzonder waar gemeten wordt of met geldbedragen wordt omgegaan, treden kommagetallen op. Dit betekent onder andere dat decimale breuken als meetgetallen naar voren komen. Wie weet dat meten altijd neerkomt op een benadering en tevens inzicht heeft in de schrijfwijze van kommagetallen, kan aan de genoteerde meetgetallen iets aflezen over de nauwkeurigheid van de meting. Zo zegt bijvoorbeeld een afstandsmeting van 60,25 meter, dat er tot op de centimeter nauwkeurig gemeten is.
Het onderwerp decimale breuken staat niet op zichzelf. Het verband met ‘gewone’ breuken is natuurlijk duidelijk. Eigenlijk geldt dit ook voor de verwantschap met ‘procenten’ en ‘verhoudingen’. Goed beschouwd kan het laatstgenoemde leerstofgebied gezien worden als overkoepeling van breuken, kommagetallen en procenten.
Neem de breuk ¼. Als kommagetal genoteerd is het 0,25. En in procenten uitgedrukt: 25%. Wat betekent 25%? Van oudsher betekent 25% niet anders dan 25 per honderd, ofwel  25/100   = 0,25. We zijn rond.

225

Je kunt je afvragen waarom er na de uitvinding van de kommagetallen nog breuken bestaan. Er zijn ook in het (recentere) verleden stemmen van rekendidactici opgegaan, om het rekenonderwijs op de basisschool te beperken tot kommagetallen. Het is er niet van gekomen en wellicht gelukkig maar.
Behalve het feit dat kommagetallen de aandacht sterk op het cijferen richten, zijn er ook een paar beperkingen. Neem maar het geval dat je bij een verdeling tussen drie personen niet over  1/3     maar over zoiets als 0,333… beschikt. Er zijn maar weinig gewone breuken die zich zonder meer laten omzetten in kommagetallen. Bijvoorbeeld ½  ¼  3/5   7/25  en dergelijke. Het zijn de (niet meer te vereenvoudigen) breuken die louter factoren 2 en/of 5 in de noemer hebben. Voor alle andere gevallen moet men zich behelpen met een afronding 1/6    = 0,167 of afbreking 1/6    ~ 0,166. In het dagelijks gebruik van breuken zou dit trouwens weinig problemen veroorzaken. Overigens levert dit onderdeel, het omzetten van gewone breuken in kommagetallen, een interessant reken-wiskundig onderzoeksgebied voor leerlingen op.

Decimale breuken in de vijfde klas (en verder)

In de bovenstaande inleiding is het belang van het onderwerp aangegeven. De maatschappelijke relevantie en reken-wiskundige mogelijkheden zijn evident. Maar ook werden reeds de belangrijke aspecten van het leerstofgebied naar voren gebracht. We komen tot de volgenden aandachtspunten voor het onderwijs over decimale breuken in de vijfde klas:

Elementaire kennis en vaardigheden

Men kan daarbij onder meer denken aan:

• Een half = 1/2    = 5/10 = 0,5 = (50%)
• 0,25 = 25/100  = 25% = ¼ = een kwart.
• 0,125 = hondervijfentwintig duizendsten.
• De plaatswaarde van de cijfers in een kommagetal.
• Het idee van nauwkeurigheid in verband met het aantal cijfers achter de komma.

Cijfervaardigheid

Dit betreft de basiskennis en -vaardigheid die te maken heeft met de techniek van de rekenprocedures.

Daarbij valt te denken aan vragen als:

• Hoe reken ik uit 0,125 + 3,5?
• Hoe 2,25 x 3,75?
. Hoe 3,75: 5?
• Hoe 3,25 : 0,25?
• Tot hoever zet ik de staartdeling, achter de komma, in een bepaalde situatie voort?
• Zaag een plank van 2,25 m in 7 gelijke stukken. Hoe lang wordt elk stuk?
• Hoe zet ik eenvoudige breuken om in decimale breuken?
• Waarom is 10 x 12,25 =122,5? Waarom kan ik in dit geval beter zeggen dat het getal verschuift, en niet de komma?

226

227

Interessante reken- en wiskundige inzichten

Zoals bijvoorbeeld die van de wetmatigheden (eigenschappen, regelmaat, patronen), die bij het omzetten van gewone breuken naar kommagetallen, in zicht komen.

De toepassingsgebieden

Bijvoorbeeld op het gebied van geld. Omdat kinderen in het dagelijks leven veelvuldig met geld rekenen, biedt dit toepassingsgebied een goede mogelijkheid om het onderwerp decimale getallen te introduceren en het daarmee een concrete basis te geven op grond van eigen ervaring en beleving.
Bij het meten zijn decimale getallen essentieel. Een meetresultaat, uitgedrukt in een kommagetal (decimale breuk), geeft ook iets prijs van de nauwkeurigheid van de meting. Natuurlijk mogen daarbij de context van het meten en het metriek stelsel niet vergeten worden.
Er zijn op vele gebieden toepassingen te vinden van kommagetallen. Denk maar aan prijskaartjes, kassabonnen, reclamefolders, benzinepomptellers, sportrecords, afstandstabellen, windsnelheden, koerslijsten, wegwijzers, peilglazen, radiofrequenties, snelheidsmetingen, enzovoort. Het verdient sterke overweging om deze toepassingsgebieden van meet af aan te benutten, om het rekenen met kommagetallen voor de kinderen (een) ‘betekenis’ te geven.

Rudolf Steiner over decimale breuken

Rudolf Steiner geeft slechts aan dat je in de vierde klas al kan overgegaan op de decimale breuken. Verder is in de voordrachten niets te vinden wat direct met decimale breuken samenhangt.
In de vijfde klas wordt twaalf weken hoofdonderwijs ter beschikking gesteld. Er valt meer te doen dan alleen het meten en rekenen met kommagetallen. Ook de verbanden met gewone breuken en eenvoudige procenten (als aantal per honderd) worden, zo mogelijk ook in reële situaties, aan de orde gesteld.

WERKEN AAN ELEMENTAIRE INZICHTEN EN BASISVAARDIGHEDEN

Voorbeelden van onderwijsleersituaties met kommagetallen

Het onderwerp decimale breuken hoeft voor de leerlingen geen grote moeilijkheden op te leveren. Daartoe dient men de doelen die men zich stelt (zie H 9) gedifferentieerd op te vatten. De elementaire inzichten en basisvaardigheden op dit terrein, vertonen grote verwantschap met hetgeen eerder geleerd werd in het gebied van de gehele getallen. De bekendheid met geldbedragen en het rekenen ermee, kan goede steun bieden bij het verwerven van meer abstracte inzichten. Niet alle leerlingen hoeven alle leerdoelen op het hoogste niveau van abstractiete bereiken. Bij het ontwerpen van het eigen onderwijs kan men variëren (en dus differentiëren) op onder andere:

• Grootte van de getallen.
• Complexiteit van de berekeningen.
• Mate van concrete ondersteuning.
• Relatie met de toepassingen.
• Vereiste flexibiliteit.
• Keus tussen cijferen en (schattend) hoofdrekenen.

228

Ik ben begonnen met de vraag waar in het dagelijks leven decimale breuken te vinden zijn. De kinderen kwamen vrijwel direct met geld. Dit heb ik dan ook als ingang genomen voor deze periode: “Neem het bedrag f€ 125,45. Bedenk nu eens hoe we dit bedrag aan de kassa kunnen betalen.” Dan komen de kinderen met een antwoord als:

“Eén briefje van honderd, twee briefjes van tien, vijf 1-eurostukken, vier dubbeltjes en vijf cent.”
Er zijn er ook die wat anders hebben bedacht:

“Twee briefjes van vijftig en een briefje van twintig en een van vijf, en twee 20-cent stukken en 1 van 10 cent, dan krijg ik nog 5 cent terug.’.”

De mogelijkheden schrijven we in ons notitieblokje:

Op deze manier hebben we allerlei bedragen ‘ontleed’. Later kwamen we ertoe om een tabel te maken:

Op die manier kun je ook bedragen samenstellen. Dat geeft goed inzicht in de plaatswaarden. Voorafgaand aan de tabel deden we al oefeningen als:
“Schrijf in je notitieblok en reken steeds het volgende bedrag direct uit:

Eén gulden 1,00
Erbij drie dubbeltjes 1,30
Erbij een stuiver 1,35
Erbij een kwartje 1,60
Eraf tachtig cent 0,80
……..                       ……..

229

Daarna hebben we boodschappenlijstjes en optellingen gemaakt. Reclamefolders boden allerlei interessante mogelijkheden om ‘wens’boodschappenlijstjes samen te stellen. De kinderen mochten dat ook doen voor andere kinderen. Ik vroeg dan wel of ze het totale bedrag op de achterkant van het lijstje wilden noteren.
Interessant was ook de vraag om inkopen te doen voor een feestje: “Er komen zes vrienden en vriendinnen, dus zijn ze met zeven personen. Je hebt een bedrag van f 23,75 te besteden. Kijk maar op de folder wat het zal worden.”

Het viel me op dat de kinderen spontaan de komma’s onder elkaar schreven, dus hoefde ik daar nauwelijks bij stil te staan.

Móet je de komma’s onder elkaar opschrijven of is het alleen maar ‘handig’ om dat te doen? Dat laatste natuurlijk. Door in een optelling of aftrekking de komma’s onder elkaar te zetten, is het cijferwerk al voor een goed deel georganiseerd. Dat organiseren van rekenwerk verdient in het rekenonderwijs aparte aandacht. Als de kinderen gebruik hebben leren maken van positiestrepen, is ook voor dit geval met decimale breuken het organisatieschema al gegeven:

Uitgaande van het concrete zijn er meer mogelijkheden om een instap te maken in de wereld van de decimale breuken. Zojuist werd geldberekening genoemd. Het kan ook via het meten.
Neem bijvoorbeeld een sportdag waarop de kinderen een bepaalde afstand geworpen hebben of een zekere afstand hebben gelopen in een bepaalde tijd. Wanneer de uitslagen bekend zijn, kan aan de hand van deze ‘metingen’ gewerkt worden aan het begrip van decimale breuken.
Stel bijvoorbeeld dat er een afstand van 16,25 meter geworpen is. Men kan dan het volgende daarmee doen:
“Wat is er geworpen?” “16,25 meter.” “Schets de situatie op het bord.”
“Waar kwam de bal terecht?”
“Ergens tussen de 16 en de 17 meterlijn.”
“Op ruim 16 meter.”
“Preciezer: op 16 meter en een kwart.”

230

“Met de centimeter erlangs: 16 meter en 0,25 meter.
Of: 16 meter, 2 decimeter en 5 centimeter.
16,25 m is dus:16 meter + 2/10  m + 5/100  m.”

Er is een wezenlijk verschil tussen het gebruik van kommagetallen in de context van geldrekenen en meten. Meten is namelijk nooit precies; een meetresultaat is slechts een benadering. Daarom lenen decimale breuken zich zo goed voor het meten. Maar pas op! Hoe meer cijfers achter de komma, des te nauwkeuriger de meting lijkt. Inderdaad: lijkt! Neem bijvoorbeeld een plank van één meter, die moet je in drie gelijke delen zagen. Voordat je echt gaat zagen, kun je uitrekenen hoe lang elk van de drie plankjes wordt. Wat komt eruit? 100 (cm) gedeeld door 3 levert de volgende repeterende decimale breuk op: 33,333333 cm. Je kunt zover achter de komma doorgaan, als je (rekenkundig) wilt. Maar hoever ga je door? De eerste 3 achter de komma staat voor 0,3 cm, dat is 3 mm. Met een goede liniaal zijn die 3 mm nog wel te zien, al moet je bedenken dat de zaagsnede die 3 mm aardig kan benaderen. De tweede 3 achter de komma (0,3 mm) is al niet meer met onze huishoudcentimeter vast te stellen. In de gegeven meetcontext heeft een lengte van 33,333333 cm dus geen betekenis.

231

Een dergelijke overweging zou niet aan de kinderen van de vijfde klas voorbij mogen gaan. Een reflectie op de meetprocedure in samenhang met het gevonden meetresultaat, kan leiden tot een rijker begrip van decimale breuken. Zowel rekenkundig als toegepast.
In andere situaties waarin de decimale breuken gebruikt worden, kunnen dergelijke dingen natuurlijk ook gedaan worden. Zoek maar in de krant of denk aan het Guiness Book of Records. Ook de doe-‘t-zelfwinkel heeft rekenwerk met decimale breuken in petto. De folders van de Hubo, Houtland, Gamma enzovoort vormen een onuitputtelijke bron voor realistisch rekenwerk met kommagetallen. Ook op verpakkingen kan men niet om kommagetallen heen.
Bijvoorbeeld de tekst op een melkpak:

Het is goed denkbaar dat dit alles het sterkst werkt wanneer de kinderen direct betrokken zijn; een sportdag, sporttijden bijhouden, metingen doen, zelf boodschappen bedenken, …

We hebben allerlei getallen ontleed. Beginnend bij geldbedragen, kwamen we tot de essentie van de decimale getallen.
Neem het getal 2345: de 5 staat op de plaats van de eenheden, de 4 staat op de plaats van de tientallen, de 3 staat op de plaats van de honderdtallen en de 2 staat op de plaats van de duizendtallen, dus 2345 = 2000 +300 + 40+ 5.
Elke cijfer verder naar links heeft een (plaats)waarde die tien keer zo groot is als de plaatswaarde van het cijfer ernaast.

Eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, zo kunnen we verder gaan. Gaan we van links naar rechts (volgen we dus de leesrichting), dan is elke plaatswaarde verder dus nog maar van de vorige. We hebben gezien in de geldbedragen dat je dan niet bij de eenheden hoeft te stoppen. Je gaat dan ‘achter de komma’ verder, met de tienden en honderdsten. En, kun je je dan afvragen, waarom zouden we bij de honderdsten stoppen?

Duizenden, honderden, tienen, enen, tienden, honderdsten, duizendsten.
De komma staat dus op de grens tussen de hele getallen- en de breukenwereld. Dit alles wetende, hebben we vele getallen met bewegingen uitgebeeld; elke plaats van het cijfer in het getal had een bepaalde beweging.

232

Nu zijn we inmiddels toe aan het vermenigvuldigen van een getal met een tiental. We kunnen hierbij teruggrijpen naar wat in de jaren daarvoor bij de kinderen aangelegd is.
Bijvoorbeeld: 10 x 2 = 20. De 2 komt te staan op de plaats van de tientallen. Hoe deden we dat ‘vroeger’ ook weer? Weet je het nog, tien keer twee (schoenen) betekende natuurlijk dat we het aantal van tien paren (schoenen) moesten vinden. De positiestrepen waren toen pas in gebruik genomen. Het komt nu goed van pas daar nog eens op terug te zien.

Dit laatste is natuurlijk ook te lezen als 10 x ½. Gemakkelijker nog als ½ x 10; en zo komen we dus ook aan het antwoord 5. Nog anders; we kiezen namelijk verschillende inbeddingen van het inzicht: “Maak tien sprongetjes van 0,5 cm over de liniaal. Waar denk je dat je terecht komt?”

Zo hebben we dus drie sporen gevolgd:

1. Via het cijferen van vroeger.
2. Via de breuken uit de vierde klas.
3. Via meetgetallen op de liniaal (getallenlijn).

Deze activiteiten zijn bekend vanuit het verleden. De bedoeling is dat de kinderen bepaalde rekenregels ontdekken of zelf uitvinden. Bijvoorbeeld:
10 x 3,75 = 37,5 en 10 x 12,25 = 122,5. “Hé, wat gebeurt hier?”
Bedenk bij deze voorbeelden dat de kennis van geldbedragen goede steun kan bieden, als de rekenregels nog niet opgemerkt zijn:

10 x euro is 30 euro
10 x 75 cent is 7 euro 50 cent (10 x een dubbeltje is een euro, enzovoort).
Samen: 37 euro 50 cent, oftewel € 37,50.

In het geval van 100 x 0,5 = 50,00 wordt de aanpak van zojuist uitgebreid. Je kunt via 10 x (10 x 0,5) = 10 x 5 op 50 komen. Schrijf je de getallen tussen positiestrepen, dan ligt de rekenregel zichtbaar voor het oprapen: de 5 op de plaats van de tienden, gaat na vermenigvuldiging met 100 naar de plaats van de tientallen. Dat is twee plaatsen naar links. Dus een verschuiving van het getal en niet van de komma!

233

In een spel maken we nog eens duidelijk dat de komma bij het vermenigvuldigen met tien een grens is, die door de cijfers van rechts naar links overschreden wordt.
De kinderen waren de cijfers in een bepaald getal. De honderdtallen stonden op een tafel, de tientallen op een stoel, de eenheden op de grond. Dan stond er een kind met een grote komma; de grens! Daarnaast weer de tienden knielend, de honderdsten zittend. Aan de buitenste zijden was er nog een tafel met een stoel erop voor de duizendtallen en aan de andere kant een plaats om te liggen voor de duizendsten.
Om een bepaald getal uit te beelden, kregen ze elk een kaart met een cijfer. Dan klonk de opdracht: “Ik vermenigvuldig dit getal met tien.” (Later ook met honderd, enzovoort). Alle kinderen klommen dan een of meer plaatsen omhoog.

Bij delen was dat natuurlijk weer anders. De rekenwijze hebben we daarna in het schrift op allerlei manieren beoefend.
Zo kwam het idee van getalverschuiving spontaan naar voren. De uitdrukking kommaverschuiving heb ik nooit correct gevonden.

Natuurlijk is dit ook maar, hóe je het bekijkt. Als je het getal fixeert dan verschuift de komma na vermenigvuldiging. Je zult zien dat het gebruik van positiestrepen er toe leidt dat kinderen zeggen: het getal verschuift want de cijfers gaan (bij de vermenigvuldiging met 10), een plaats hogerop (naar links dus). Logisch, want zo is ons positionele decimale systeem ingericht.

OEFENINGEN

Getallendictees

Getallendictees maken dat de kinderen de getallen op een geschikte manier gaan uitspreken. Wat wordt hier bedoeld met ‘geschikt’? Wel, kommagetallen worden in velerlei situaties gebruikt. En elke situatie heeft een eigen, specifieke context. Op school hoor je nogal eens het getal 425,12 uitspreken als vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten. Dat is een manier om te laten zien, dat je

234

weet hebt van de waarde van de cijfers achter de komma. In een didactische context is het dus vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten, of vierhonderdvijfentwintig twaalf honderdsten. Maar neem nu eens het bedrag € 425,12. Dat spreek je natuurlijk heel anders uit: 425 euro 12. Of 425 euro 12 cent. Of 425 12. Of 425 komma 12.

Decimale getallen ordenen

Zie de gewone breuk achter een decimale breuk:

• “Wat is groter 0,1 of 0,01?”
• “Welk getal ligt het dichtst bij 2,5; 2,45 of 2,449?” Hier kan een meetlat of een getallenlijn natuurlijk hulp bieden:

• “Tussen welke twee hele getallen ligt 2,3?”

Het omzetten van breuken in kommagetallen

Dit onderwerp brengt ons weer op het niveau van het abstracte rekenen. De vraag luidt: “hoe zet je een gewone breuk om in een decimale?” Begin bij ½ = 0,5. Dat wisten we al. Maar hoe doe je dat? Laat de kinderen aan het woord. Vaak komen ze zelf al met goede ideeën.

Bijvoorbeeld:

• Een halve euro is gelijk aan 50 cent. Heel concreet dus. Maar er moet wel ingezien worden dat  0,5 = 0,50. Is daar al aandacht aan besteed?
• Een half (½) betekent dat je 1 gedeeld hebt door 2. Dus ga die deling maar eens maken.
• Je kunt het ook zó zien: maak van ½ de ‘tiendelige’ breuk 5/10   of 5/100  .

Hoe vind je nu 3/8    = 0,375 ? Dat kan via 1/8   en dan 3x. Sommige kinderen weten 1/ al uit het hoofd, of kunnen het handig uitrekenen via de helft van ¼ (= 0,25 : 2, de helft van een kwartje, enzovoort). Zo niet, dan moet er gedeeld worden, of handig op een liniaal van 100 cm (= 1000 mm) gekeken worden. Deze opgaven zijn nuttig, want nu leren de kinderen onder meer uit het hoofd dat 1/ deel gelijk is aan 0,125 of 12,5%. En ze leren dat met een visueel beeld en met een concrete context op de achtergrond. Als je het goed beschouwt, komen hier diverse leerstoflijnen bij elkaar: staartdelen, handig rekenen, meten, breuken, en kommagetallen / procenten.

Wat doe je als leraar van een vrijeschool, wanneer de kinderen vragen waar je dat voorgaande voor nodig hebt; waarom je dat allemaal moet weten? Natuurlijk neem je die vraag uiterst serieus.

235

Wie geïnteresseerd is in getallen zal verrast worden bij het omzetten van 1/7          in een decimale breuk. Om een kader te scheppen waarbinnen de bijbehorende decimale breuk gecontroleerd kan worden, kun je beginnen met een schatting te maken: Er zijn zeven zesdeklassers die met oude kranten 100 gulden voor de school hebben verdiend. Hoeveel heeft elk van deze groep verdiend? Deel dan 100 gulden door 7. Dat kun je wel schatten: elk 14 gulden, want 7 x 14 = 98. Over 2 gulden, dat zijn 8 kwartjes. Verdeel die ook maar met z’n zevenen: ieder 0,25. Nog 25 cent over: deel door 7, er komt 3 cent. Over 4 cent, vergeet die maar. Dus 100 gedeeld door 7 is ongeveer 14,28.
Nu de staartdeling en vergeet niet gebruik te maken van wat we zojuist gedaan hebben.

Waarom enzovoort? kun je de kinderen vragen. En vervolgens: “hoe lang gaat het, denk je, duren met deze staartdeling? Ben je zeker van je antwoord? Kun je dat aan de anderen uiteggen?”
De essentie is natuurlijk dat er nooit de rest 0 komt. Je kunt dat op twee manieren ‘weten’.
In de eerste plaats kun je het inzien als op een zeker moment de rest 1 opduikt. Je bent dan weer op hetzelfde punt als waarmee de delingsprocedure begon: “1 als rest, haal een 0 aan, het wordt 10 gedeeld door 7. Dat gaat 1 keer enzovoort.”
Je kunt het ook anders inzien, wat abstracter. Om de breuk  1/7   om te zetten, zou je van de noemer 7 een macht van 10 moeten maken. En dat gaat niet, omdat machten van 10 slechts uit de factoren 2 en/of 5 bestaan. Basta. Overigens is deze redenering niet zo geschikt om aan de hele klas uit te leggen.

Het ambachtelijke werk van het omzetten veroorzaakte een waar enthousiasme in de klas. Ze vinden  1/7    maar een vreemd geval. We zochten met elkaar uit:

1/7    = 0,142857                                      4/= 2 x 0,285714 = 0,571428

 2/7   =  2 x 0,142857  = 0,285714         5/7 = 0,714285

3/= 3 x 0,142857  = 0,428571          6/7 = 0,857142

Als we de cijfers achter de komma van 1/7 in een cirkel opschrijven, dan zijn de andere breuken af te lezen. Je hoeft alleen maar een ander beginpunt te kiezen.

236

Kinderen kunnen zich afvragen hoe dat komt dat steeds hetzelfde patroon zich herhaalt;
1/7   = 0,142857 142857 142857 142857 142857 enzovoort.
Om de oorzaak daarvan te onderzoeken, moet je de staartdeling nog eens goed bekijken. Je ziet dan, net zoals daarstraks, dat na zes keer de eerste rest 1 weer terugkomt. Voordat het zover was, zijn er zes andere resten geweest: 1, 3, 2, 6, 4, en 5. Dat zijn precies de zes getallen kleiner dan 7.
Neem je nu bijvoorbeeld de breuk 3/, dan moet je eigenlijk de volgende staartdeling maken:

7 / 3,000000\ … De eerste deling, die je tegen komt, is dan 30 : 7. En dat was in het vorige geval precies de tweede deling. Wat daarna gebeurt, is in beide gevallen hetzelfde. En zo komen dan in het geval van 3/ de resten 3, 2, 6, 4, 5 en 1 achtereenvolgens tevoorschijn. In het quotiënt verschijnen dan ook in dezelfde volgorde de cijfers als bij 1/7   . Vandaar 3/= 0,4 285714 enzovoort.

We zetten natuurlijk slechts een bepaald aantal breuken om in decimale breuken. Dit doende wordt er ook geoefend met het delen; een goede rekenoefening dus.

237

Moeten de kinderen van de vijfde en zesde klas dit rijtje uit het hoofd weten? En zo ja, waarom dan wel? Moeten ze weten dat  1/3   tot een repeterende breuk voert? En als we op dat probleem in gaan, moeten ze dan leren dat er ook andere repeterende breuken bestaan, zoals we eerder bij 1/7   aantroffen? Wie in de bakens en concrete leerdoelen kijkt, vindt een antwoord. Dat kan persoonlijke elementen bevatten!
Laten we ook een breuk als  25/43  omzetten? Als we dat doen als een rekenoefening, dan moeten we de kans waarnemen om een schatting te laten maken.
Wat moeten de kinderen dan doen? Eerst inzien dat bijvoorbeeld  25/43  > 25/50
= ½ =  0,5.  Of preciezer: 25/43 > 25/45  = 5/9 = 0,555555.

Omzetten van komma getallen in breuken

Gaan we ook de weg terug? Dus zoeken we een oplossing voor de vraag van 0,55 een gewone breuk te maken? Wie de vraag beschouwt voor ‘niet’ repeterende decimale breuken is gauw klaar. Al het rekenwerk, dat nodig is om van 0,55 te komen tot  5/9  bestaat uit het vereenvoudigen van breuken. Dus technisch gezien uit het vinden van gemeenschappelijke delers, ontbinden in factoren en delen. Niet de moeite waard dus om gewichtig over te doen.

Kommagetallen en procenten

Belangrijker is dat er ook verband gelegd wordt met procenten. We zagen hierboven al ½ = 0,50 ofwel 50%.
Dit verband, dat tussen kommagetallen, breuken en procenten bestaat, kan ten nutte gemaakt worden. Het volgende voorbeeld, van een lastige procentenopgave, laat daar iets van zien:
De vraag luidt: “Hoeveel procent is 8 van 27?”
In de zestiende eeuw had de vraag geluid: “Hoeveel ‘ten honderd’ is 8 van 27?” In deze formulering komt de essentie van de vraag goed naar voren. Het gaat er immers om te zien, welk getal zich ten opzichte van 100 verhoudt, als 8 dat doet ten opzichte van 27.
Bekijk dan de breuk (beter verhouding) 8/27 . Maak er een decimale breuk van, door de deling uit te voeren:

Het antwoord is: 8/27  = 0,296. Wie afrondt, leest dit als: = 0,30. En ziet dan dat
8/27  = 30% (30 ten honderd!).

Zo ook :”Hoeveel procent is 3 van de 8?” Noteer  3/8   = 3 x 0,125 = 0,375 en zeg 3/8   =37,5%.”
Procenten vormen een onuitputtelijke bron van fouten. Veel ervan zijn te voorkomen als men het verband met decimale breuken kent en met decimale breuken weet om te gaan.

238

239

Een gedachte-experiment: procenten en kommagetallen

“De prijzen zijn vorige trimester met vijf procent gestegen. Nu heeft men gelukkig weer met een 5% prijsdaling de zaak recht getrokken.
Is dat zo, zijn de prijzen weer op het oude peil teruggebracht?
Laten we even rekenen. Neem een prijs van 100 euro. Prijsstijging 5%, dat betekent dat het artikel nu 1,05 x 100 = 105 euro kost.
Zie je hoe die vermenigvuldiging met 1,05 werkt? Vermenigvuldigen met 1,05 betekent vermenigvuldigen met 1 + 0,05, of met 1 + 5/100   . Je krijgt dus het getal vermeerderd met 5 procent ervan.
Nu dan de prijsdaling met vijf procent. Het artikel kost daarna 0,95 x 105 euro . Dat is € 99,75. Zie je hoe dat gekomen is?
Wat gebeurt er als eerst de prijsdaling had plaatsgevonden, en dan de stijging? Het antwoord in één keer: 0,95 x 1,05 x 100 = 99,75. Verrast? Niet als je de berekeningen met de decimale getallen goed in het oog hebt gehouden.”

Deze werkwijze levert ook een goede toegang tot berekeningen met rente en samengestelde interest. Je hebt € 525,00 op de spaarrekening. De rente bedraagt 4%. Na 1 jaar heb je dan 1,04 x € 525,00 = € 546,00 op de bank.
En na twee jaar? Wel, dat is dan 1,04 x € 546,00 = 567,84. Wie een
zakrekenmachientje mag gebruiken, vindt hier een opening naar een relevant wiskundig leerstofgebied: groeifuncties, samengestelde interest.

IDEEEN VOOR EIGEN ONTWERPWERK

Er zijn ook heel wat situaties waarin kommagetallen niet gemist kunnen worden. Elke situatie kan aanleiding zijn voor een verkenning, een probleemstelling, een toepassing, een oefening, een doordenking, een berekening of een reflectie. Hier volgen er een paar:

• Kilometerteller met één cijfer achter de komma (dagteller met hectometers).
• Boodschappenlijstjes met bedragen: schatten. (“Heb ik genoeg geld bij me?”).
• Liniaal met millimeter-indeling. Ook regenmeter en dergelijke. Om af te lezen.
• Uit een berekening komt 0,8. Welke deling kan dat geweest zijn? En in welke situatie?
• Het boek van de Olympische Spelen 1992 met records. Ook Guiness Book of Records.
• Geef jurypunten (met één cijfer achter de komma) en bepaal eindstanden.
• Maak prijsvergelijkingen.
• Buitenlands geld: omrekenen van prijzen.
• Omtrek en oppervlakte van cirkels: π – 3,1415.
• Omrekenen van zeemijlen naar kilometers, van km/u naar m/sec en knopen.
• De zuinigste auto bepalen, gegeven aantal kilometers en aantal gebruikte liters.
• Handig (schattend) rekenen met 0,25 (kwartjes) en dergelijke.
• Gordijnen maken.

240

6.2.De wereld in verhoudingen

De wereld in verhoudingen

Achtergrond

De wereld is vol met datgene wat wij verhoudingen noemen. In de proporties van mens en dier, in de vormen en ritmen der plantenwereld en in de kristalstructuren van de mineralen vinden we herkenbare verhoudingen. Ook binnen de stof zelf heerst structuur. Avogadro ontdekte, dat de elementen zich in verbindingen verhouden als eenvoudige, gehele getallen. (Bijvoorbeeld H2O)
Een schitterend voorbeeld van verhoudingen vinden we in de muziek. Al kunnen we ten aanzien van een muziekstuk van mening verschillen over de tempi, de verhoudingen binnen de maat blijven gelijk en bepalen mede de herkenbaarheid van het stuk.
Van stond af aan is het kind dus omringd door een wereld vol verhoudingen, uiterlijke zowel als innerlijke, die vormend op hem werken, op een geheel natuurlijke en veelal onbewuste wijze.

“Zondags in de Hout, kregen wij ons traditionele La Venezia-ijsje: onze ouders een ijsje van vijf, wij van drie cent en het kwam niet in ons hoofd op om daartegen te protesteren. Het was immers volgens de natuurlijke verhoudingen geregeld, destijds in de jaren dertig. (Leuk hè, bijna volgens de Gulden Snede!)”

In de eerste schooljaren knopen we bij het natuurlijke gevoel voor verhoudingen aan. Vragen we een eersteklasser zijn twaalf kastanjes eens mooi over de bank te verdelen, dan liggen er in negen van de tien gevallen op elke hoek drie. Ook bij het vormtekenen gaat het allereerst om mooie verdelingen en verhoudingen, om gestructureerde, ritmische vormen.
Het schatten, graag en veel door kinderen beoefend, heeft alles met het verder ontwikkelen van hun gevoel voor verhoudingen te maken.
Zo omstreeks het negende jaar treedt het kind bewuster de buitenwereld tegemoet. Het gaat de wereld met andere ogen bezien en wat beleefd is, wordt nu ook beschouwd. De doorleefde ervaring wordt tot voorstelling, tot ‘denkbeeld’. Het vermogen zich tegenover de dingen te kunnen plaatsen, ontwikkelt zich vanaf nu in toenemende mate. Het oordeelsvermogen maakt zich los uit de directe ervaring.

“Onlangs kwamen twee vierdeklassertjes aan de deur met een intekenlijst. Ik tekende achteloos voor twee euro in: leuk toch, zulke actieve kinderen! Maar ik had beter moeten luisteren! Voor elk rondje, dat zij binnen een kwartier rondom het hertenkamp zouden rennen, moest ik twee euro betalen. “Dus als we bijvoorbeeld vier keer rondrennen, moet u acht euro betalen meneer.” En lachend verdwenen zij.”

Een tweedeklasser zou de situatie zeker niet zo goed hebben doorzien. Vanaf klas vier komen de verhoudingen bij diverse thema’s aan de orde, ook naar maat en getal.

“Een olifant eet 325 kg groen per dag, een rinoceros 50 kg. Hoeveel keer eet een olifant meer dan een rinoceros?” Dat zijn sprekende feiten, waar de vierdeklasser dol op is. Wat in de tweede en derde klas aan winkelbedrijf en heemkunde is

241

bedreven, kan nu bewuster rekenkundig worden benaderd en de nieuwe onderwerpen, zoals breuken, decimale maten en het op schaal tekenen, zijn uiteraard geheel uitdrukkingen van verhoudingen.

Omstreeks het twaalfde jaar kan het kind een volgende stap nemen. Aansluitend op bovengenoemd ‘groenetersprobleem’ zou een volgende vraag kunnen luiden: “Als Artis drie ton groen voor de twee dieren samen aanvoert, hoeveel krijgt de olifant daar dan van?” Hier moet dan een gecompliceerde berekening uitgevoerd worden, waarbij verscheidene bewerkingen op elkaar betrokken worden. Rekenkundig zit dat zo: de olifant en de rinoceros eten per dag samen 375 kg groen; zij verorberen 3000 kg in (3000 : 375 = 6000 : 750 = 12000 : 1500 = …) 8 dagen. De olifant heeft daarvan 8 x 325 kg = 2600 kg gegeten. Een
beredeneersom dus, die aan het verstandelijke vermogen van een zesdeklasser appelleert.

Omstreeks het veertiende jaar kan de leerling het vraagstuk in een algemene, abstracte vorm oplossen: O : R = 325 : 50 = 13 : 2. O eet  13/15   3000 kg = 2600 kg.
Met deze algebraïsche benadering kunnen we elke situatie van O en R oplossen, tot grote vreugde van de puber, die nu op zo’n slimme manier de werkelijkheid kan bemeesteren.

Kort samengevat: zie verhoudingen in de juiste verhouding tot leeftijd en de totaliteit van het leerplan. En vooral: zie ze niet over het hoofd!

Verhoudingen in het traditionele rekenonderwijs

Tot in de jaren zeventig werden de verhoudingen in het rekenonderwijs aan het eind van de vijfde klas, meestal pas in de zesde klas behandeld. De breuken, kommagetallen en de procenten waren dan inmiddels al aan de orde geweest. Dat mag op z’n minst merkwaardig heten, want het verschijnsel verhouding ligt ten grondslag aan elk van die onderwerpen.
Waarom dan toch pas zo achteraan in het rekenprogramma? Het antwoord op die vraag wordt duidelijk als we zien welke leerstof behandeld werd. Goed beschouwd werd het verschijnsel ‘verhouding’ nauwelijks in beschouwing genomen. Het ging hoofdzakelijk over evenredigheden (‘reden’ voor verhouding en ‘even’ voor gelijk, dus over de gelijkheid van verhoudingen) als a : b = 3 : 4. En bovendien werkte men louter getalsmatig en meetkundige situaties werden niet in beeld gebracht.

Het hoofdstuk verhoudingen bestond in principe uit vier paragrafen.
Eerst een introductie op het begrip en de notatiewijze: “De waarden van een stuiver en een dubbeltje verhouden zich als 5 en 10. Je mag ook zeggen dat ze zich verhouden als 5 staat tot 10, geschreven als 5 : 10. En dat is hetzelfde als 1 : 2. Dus stuiver : dubbeltje = 1 : 2.” (Een echte schoolmeester voegde daar aan toe: “het moet natuurlijk zijn, de waarde van een stuiver staat tot de waarde van een dubbeltje is als één staat tot twéé.”) Hier staat ook te lezen dat een dubbeltje twee keer zoveel waard is als een stuiver. Of dat een stuiver de helft is van een dubbeltje. Dan kwam er een paragraaf met opgaven als: “Twee kapitalen verhouden zich als 3 : 4. Het grootste kapitaal is f 200,-, hoe groot is het kleinste kapitaal?”
De oplossing verliep via een evenredigheid als K : 200 = 3:4. Soms pastte men de hoofdeigenschap van de evenredigheden toe: 4 x K = 3 x 200, dus K =  600/ = 150.

242

Wie inzag dat 200 = 50 x 4 en dus K = 50 x 3 moest zijn, was sneller klaar.
De volgende paragraaf behandelde opgaven als: “De aantallen knikkers van Jan en Wim verhouden zich als 3 : 5. Samen hebben ze er 40. Hoeveel heeft elk?”
De oplossing ging ongeveer aldus: ‘Jan’ : ‘Wim’ = 3 : 5. J + W = 40. Dan heeft Jan 3/8    x 40 = 15 en Wim  5/8   x 40 = 25 knikkers. Het getal 8 kreeg je door 3 en 5 op te tellen, en je wist dat omdat het aantal knikkers was gegeven, dat ze samen hadden.
In de laatste paragraaf was de verhouding en het verschil gegeven: “Twee stokken verhouden zich als 3 : 8, de ene stok is 40 cm langer dan de andere. Hoe lang zijn de beide stokken?”
Oplossing: Stok A =  3/5   x 40 cm = 24 cm. De andere is dus 64 cm. (Routineuze rekenaartjes vonden dit via  8/5 x 40 cm = 64 cm).

In de jaren vijftig werd de didactiek van de verhoudingen verrijkt met het zogeheten verhoudingsblok. Hiermee konden de drie genoemde typen vraagstukken in één klap en met inzicht worden opgelost.
De evenredigheid a : b = 3 : 6 werd in een schema geplaatst:

                  a                      b            of                    a                          3

                  3                      6                                   b                          6

Kijkend van a naar b zie je ook de stap van 3 naar 6. Dat is dus een vermenigvuldigingsfactor van 2. Je krijgt b door a met 2 te vermenigvuldigen.

Is nu bijvoorbeeld gegeven dat B – A = 40, zoals in het vraagstukje met de twee stokken, dan breid je in gedachten het schema uit:

A                     B                                 B – A = 40

3                      8                                8 – 3 = 5
(Vermenigvuldigingsfactor is: 8)

Je ziet dat de stap van de onderste rij verhoudingsgetallen naar de bovenste rij ‘werkelijke’ getallen een is van vermenigvuldigen met 8. Hieruit volgt direct a = 8  x  3  en  b = 8  x  8

Dit verhoudingsblok is nauw verwant met de ‘evenredigheidsmatrix’ die door de didacticus P.M. van Hiele werd geïntroduceerd. In dit boek zijn we het idee ook al tegenkomen in het hoofdstuk over breuken: de verhoudingstabel. Met deze constatering wordt ook duidelijk dat de verhoudingen in het rekenonderwijs al vóór de introductie van de breuken, vóór de vierde klas dus, aandacht verdienen.

Kinderen ontmoeten verhoudingen

Observatie: het haantje van de toren

Met een paar kleuters bij een toren. “Kan iemand vertellen hoe groot dat haantje op de toren is?” K: “Ik weet het.” “Zo groot ongeveer? Wat denk jij?” K: “Hij is nog veel groter.” “Ik zag laatst dat ze de haan naar beneden haalden. Hij was wat kaal geworden en ze wilden ‘m schilderen. Toen stond hij dus op de grond. Hier vlak bij. Wat denk je, hoe groot was het haantje toen hier?” K: “Zoiets. Een kip is toch niet zo lang!” “Nee, een echte kip niet. Maar is dit een echte kip?” K: “Nee.”

243

“Het is een haantje van ijzer. Hoe groot is een vliegtuig in de lucht? K: “Heel klein!” K: “Ik weet het, net zo groot als het schoolplein.”… “Denk nog eens aan de haan. Hoe groot was die op de toren? En hoe groot als die hier op de grond staat?” K: “Groter, nog veel groter.” “En als ik nu naar boven zou gaan op de toren, hoe groot zou ik dan worden?” K: “Zo’n klein mannetje.” “Nu neem ik het haantje mee als ik naar boven ga. En ik word kleiner en kleiner.” K: “Ik zie geen haan.” “Nu moet jij zeggen hoe groot ik ben als je me boven op de toren ziet.”… K: “Zo’n klein mannetje.” “En de haan naast me?” K: “Zó klein.” “Nu komen we allebei naar beneden. Ik heb de haan meegenomen. Hoe groot zou die haan zijn?” K: “Dan is de haan net zo groot als de schoolbank …”

(Uit Goffree,F.(1979). Leren onderwijzen met wiskobas, IOWO Utrecht.)

Of je zo’n vraag aan kleuters moet stellen? Misschien beter aan de leerlingen van de vierde klas, die op weg zijn naar de grote kerk om de toren te beklimmen en dan de stad in vogelvluchtperspectief willen zien.

Observatie: Bastiaan en de regenwolken

Bastiaan (7;6). Na een reeks zonnedagen ziet hij wolken en zegt: “Het gaat regenen.” “Neen”, zeg ik, “dit zijn heel hoge wolken, daar komt geen regen van; regenwolken zijn laag en donker .”Hij: “En hoe hoog zijn die wolken?” Ik: (overdrijvend) “Tienduizend meter.” Hij: “En hoe hoog zijn die regenwolken?” Ik: “Duizend meter.” Hij: “Dus (met de hand op de grond) als wij hier zijn en de regenwolk zó hoog (wijst ongeveer dertig centimeter boven de grond), dan zijn dat (wijst ongeveer één meter boven de grond), geen regenwolken.”

(Geciteerd in Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jrg.8 nr.2, blz.57)

Het blijkt dat het verschijnsel verhoudingen niet zonder meer aan kinderen voorbijgaat. Ze voelen soms de zaak intuïtief heel goed aan, kunnen zelfs aan hun intuïtieve noties uiting geven, in gebaar en woord. Maar ook kunnen ze door de omstandigheden misleid of door hun intuïtie in de steek gelaten worden. Hoe het ook zij, de wereld om hen heen en de kinderen zelf geven aanleiding om verhoudingen niet buiten beschouwing te laten.

Het verschijnsel verhoudingen

Onze wereld zit vol met verhoudingen, visueel en numeriek (meetkundig en getalsmatig), onopvallend en aandachttrekkend, om accenten te plaatsen en om verschillen te verhullen. Vul zelf maar in en aan, wie om zich heen ziet en een verhoudingenbril opzet, kan daar tegen deze bewering geen bezwaar hebben.
Wat overigens direct opvalt, zijn de zaken waarbij sprake is van
‘wan’verhouding. Neem bijvoorbeeld een karikatuur, waarin karakteristieke trekken buiten verhouding zijn weergegeven. Maar ook de plaat waarop het menselijk lichaam in bepaalde ontwikkelingsstadia is weergegeven, vraagt aandacht voor verhoudingen: Is het hoofdje van de baby niet veel groter dan dat van de volwassene verder op in de rij? Natuurlijk niet in absolute zin, maar wel ‘naar verhouding’. Wie let daar in het bijzonder op? De schilder, die een jong kind wil tekenen! Diezelfde schilder weet veel meer van verhoudingen met betrekking tot het menselijk lichaam. Een mooie geheugensteun werd eens getekend door Leonardo da Vinci:

244

Het zijn verhoudingen die opvallen als je je er niet aan houdt. Veel gewone verhoudingen vallen haast nooit op. Neem de vakantiefoto’s, waarop de mensen, dieren en dingen vele malen kleiner staan afgebeeld dan ze in werkelijkheid zijn. Niemand zal daar een aanmerking op maken, want alle objecten zijn naar verhouding evenveel verkleind. En geldt niet hetzelfde voor hetgeen juf of meester op het bord zet? Die vormtekening van een meter lijkt achter in de klas maar een decimeter en wordt vervolgens weer vergroot tot twintig centimeter, geen kind of leraar die daarover valt. En dan de dia’s of misschien wel de transparanten op de overheadprojector: vergrotingen van verkleiningen van de werkelijkheid. Wie de dia tegen het licht houdt, meent toch ‘hetzelfde te zien’ als hetgeen op de wand wordt geprojecteerd! Wij zijn eraan gewend en zolang niet aan de onderlinge verhoudingen wordt getornd, valt het verschijnsel ons niet meer op.

Wanneer maken we gebruik van verhoudingen? Daar is al sprake van op het moment dat kinderen zich in de fysieke ruimte gaan oriënteren. Als ze schattingen maken, bijvoorbeeld: “Wat is verder vanaf het tafeltje voor de klas, de deur in het lokaal of de kast achterin? Even afpassen met stappen.” Of als kinderen een legpuzzel maken. Eén achteloos gesteld vraagje kan de aandacht richten: “Hoe groot denk je dat de puzzel zal worden?” Het antwoord kan globaal, louter met gebaren worden gegeven. Net zoals Bastiaan dat deed met de regenwolken. Maar het kan ook heel precies, als kinderen het meten al onder de knie hebben.
Foto’s, waar de verhouding onopvallend aanwezig is, geven ook aanleiding tot het doen van schattingen en dus het gebruiken van het verschijnsel verhoudingen.

“Hoe hoog is die boom? Ik denk dat dat grootste kind ongeveer 1,55 m is. Dan is de boom, laten we zeggen …”

245

Wie schat, zoekt vergelijkingsmateriaal. We zeggen ook wel: referentiepunten. Ieder mens bouwt in de loop van de jaren een repertoire op van persoonlijke referentiematen. Ik ben 1.69 m lang en dus schat ik de hoogte van die keukenplank op ongeveer 1.85 m. Deze balk is ongeveer 2,5 cm dik, dat zie ik door mijn duim ertegen aan te houden. Een mok is ongeveer 2 dl, dus kan ik gemakkelijk een halve liter melk afpassen: 2½ mok. En in mijn kookboek vind ik dat één theelepeltje hetzelfde is als drie gram. Maar dan gaat het wel over …
Later komt de laatste overweging terug als het begrip dichtheid aan de orde is. Massadichtheid, wat vroeger soortelijk gewicht werd genoemd. Het is de verhouding van gewicht en volume; anders gezegd is het het gewicht van een bepaalde hoeveelheid van een stof. Hoeveel kg weegt 1 dm3 lood? Of, meer van deze tijd: wat is de massa van 1 m3 lood?
Ook bevolkingsdichtheid (verhouding van aantal bewoners en oppervlakte van het land waarop gewoond wordt).
Met deze verhoudingsproblematiek zijn we te snel door de wereld van de verhoudingen heen gesneld. We hebben het vergroten van foto’s en platen (kopieerapparaten doen dat momenteel procentsgewijs) niet genoemd. En het werken met landkaarten en stadsplattegronden, waarbij het begrip schaal essentieel is. Zowel getalsmatig (schaal 1 : 10 000 bijvoorbeeld) als meetkundig (dit lijnstuk is 1 km). Ook nebben we de modelbouw niet behandeld, met speelgoed op schaal of Madurodam op schaal 1 : 25. Ook de Mercatorprojectie niet, waarop Groenland naar verhouding veel te groot is afgebeeld.

En wat te zeggen van de verhoudingen die schaduwen met zich meebrengen? De schaduw van de vlaggenmast was om vijf uur langer dan om twaalf uur. Wat zegt die lengte, van de hoogte van de zon en dus van de tijd? Later, in klas 10, zie je dat het om een hoek, dus om een goniometrische verhouding gaat.
We zijn meetkundig bezig. Dat geldt ook voor het verschijnsel van de grijstinten op papier (of op een computerscherm). De indruk ‘grijs’ ontstaat door een mengsel van witte en zwarte puntjes. De verhouding ‘wit : zwart’ bepaalt de donkerheid van het grijs:

Mengsels worden ook bepaald door verhoudingen. Kinderen hebben ervaringen op dit terrein met limonadesiroop, waarschijnlijk niet zozeer getalsmatig, maar zeker intuïtief.
Pas echt moeilijk wordt het rekenwerk als we ons begeven op het terrein van scheikunde. Daar moeten verdunningen precies naar voorschrift gemaakt worden. De verhoudingen van het metriek stelsel (“Hoeveel cc gaan er ook weer in een ml?”) komen nu ook in beeld. En hoe zit dat ook weer met de verhouding tussen km/uur en m/sec of het Angelsaksische miles/hour (knoop)?
Omrekenen doe je ook op reis, bijvoorbeeld naar de V.S.. Euro’s  voor dollars, tegen een vastgestelde verhouding (wisselkoers). En wie in het buitenland prijsbewust is, loopt al winkelend verhoudingsrekenen te beoefenen.

246

Met voorgaande beschouwing is het verschijnsel nog lang niet uitputtend behandeld. Zo zijn voor de hand liggende zaken als prijs-kwaliteit verhouding, prijs per gewicht-lengte-aantal en dergelijke, inflatie en koopkracht, indexcijfer, kiesdeler, kijkdichtheid, … niet behandeld. Een leraar, die oog heeft voor het onderwerp, hoeft niet ver te zoeken. En als hij ook verder ziet dan de basisschool, komen onderwerpen als lineaire verbanden, formules en grafieken in zicht.

Verhoudingen in het leerplan

Het is niet mogelijk een volledig leerplan voor verhoudingen te geven. Dat moet met de bovenstaande verkenning van het gebied al duidelijk geworden zijn. Verhoudingen moeten in het kader van veel andere onderwerpen aan de orde worden gesteld. Dit houdt een gevaar in, namelijk dat het onderwerp in de vergeethoek geraakt. Er kan echter van een minutieus gefaseerde leergang, zoals in het geval van de tafels en de cijferalgoritmen, hier geen sprake zijn omdat elke vrijeschoolleraar de onderwerpen kiest, die in zijn klas geschikt zijn en hij ze vervolgens in de context van andere onderwerpen aan de orde stelt.
Globaal kan men het volgende als richtlijn beschouwen: Verhoudingen vormen in de eerste drie klassen geen leerstof die expliciet aan de orde komt. Toch is er een bedding voor te vormen middels het schatten en vormtekenen. In de vierde klas is door het denken in breuken een goede basis te leggen voor de verhoudingstabel, die handig is om verhoudingsvragen mee te bewerken. Zo ontstaat de verhouding als relatieve maat.
De laatste stap kan dan in de hogere klassen plaatsvinden, waar inzicht in de dubbele open getallenlijn en het gebruik van de verhoudingstabel worden geleerd. Met de laatste kunnen verhoudingssvragen ook algoritmisch worden opgelost. Bij een goed doordachte keuze kan in de loop van acht jaar het onderwerp verhoudingen doorgewerkt worden. Tot en met de toepassingen binnen en buiten de wiskunde, tot en met de lineaire functies en als een goede basis om het gebied van de hogere machts- en exponentiële functies te betreden.

Nu volgen suggesties om het onderwerp door alle lessen en perioden heen aan de orde te stellen.

1 vormtekenen

Wat op het bord voorgedaan is, wordt ‘in verhouding’ overgebracht op het eigen papier.

2 Het elementaire meten

Hier worden natuurlijke grootheden vergeleken, vaak met behulp van het eigen lichaam als maatstaf. Meetgetallen zijn verhoudingsgetallen.

3 Schatten met referentiematen

In het dagelijks leven, maar ook op foto’s en platen. Het is een waar feest wanneer de kinderen in de lagere klassen mogen schatten. Er verschijnen vele antwoorden op het bord. Ze zoeken nog houvast bij elkaar: “Zou ik er helemaal naast zitten of heeft Johan ‘het’ te ruim genomen?” Dan mag iemand het gaan nameten. Met ingehouden adem wacht de klas af, tot de ‘nameter’ met het juiste antwoord terug komt en een gejuich stijgt op, wanneer iemand dat antwoord ook geschat heeft.

247

De bakker had aan de school een oude balans uitgeleend met grote gewichten. We waren net begonnen met metselen in de huizenbouwperiode en een eerste zakje met cement stond in de hal klaar. Ik gaf een van de kinderen de opdracht het te halen en op de balans te plaatsen. Daarna gaf ik hem een gewicht in zijn handen en vroeg: “Hoeveel van die gewichten moet ik aan de andere kant op de weegschaal zetten?” Daarna deden we dat dan ook met grotere en kleinere gewichten.

Zo is tot in de hoogste klassen bij kinderen in het ‘schatten’ gevoel voor verhoudingen te stimuleren.

4 ruilhandel

Het begint voor de kinderen al in de knikkertijd op het schoolplein. Knikkers, bammen en supers staan in vaste verhouding tot elkaar. Omrekenen naar knikkers is het gemakkelijkst om ruilhandel te kunnen plegen. Maar op een zeker moment komen koerslijstjes in de klas …

5 Vergroten en verkleinen

Met roosters op papier en met een projector in werkelijkheid.
Bouwen van een voorbeeld, een plattegrondje van de klas maken, een tekening maken van de weg van huis naar school, met karakteristieke punten op de juiste plekken.
Op een overheadprojector liggen drie munten. Op de wand zijn drie zwarte
cirkelschijven te zien. Welke munten zijn dat? Het antwoord wordt gemakkelijker als een van de munten wordt geïdentificeerd als een dubbeltje. Hoe kunnen we zeker zijn?

6 Vervormen

Met behulp van roosters: van vierkantenrooster naar rechthoeken. Uitrekken in de lengte of in de breedte. De verhoudingen ‘kloppen niet meer’.

248

In de handwerklessen van de zevende klas maken de kinderen vergrotingen en verkleiningen met behulp van een raster. Wellicht hebben ze in de zesde klas al eens de kaart van het Romeinse Rijk vergroot, maar er komt meer bij kijken als het erom gaat een kledingstuk passend te krijgen.
In de voorgaande klassen maakten de kinderen patronen voor handschoenen, stoffen beesten of sloffen, door bijvoorbeeld de voet om te trekken en dan de stof iets groter te knippen. Nu, in de zevende klas, wordt er een blouse ontworpen. Om een blouse of bodywarmer op de juiste maat te krijgen bepalen de kinderen de verhouding tussen patroon en lichaam. Het meten aan lichaam en patroon levert dan de vergrotingsfactor, die vertelt hoe de ruitjes van het raster vergroot moeten worden.
Daarbij komt het vraagstuk of het kledingstuk misschien langer of wijder moet worden dan het patroon aangeeft. Dat vraagt om veranderingen (vervormingen), waarbij de verhoudingen niet in stand blijven. Hoe brengen we die vervormingen tot stand in het op ruitjespapier getekende patroon?

En vanuit een andere invalshoek komen er vragen als: “Wat is er aan de hand met die karikaturen?” “Is het hoofd van die getekende baby niet te klein?” “Hoe lang moet je de armen van een mens tekenen?”

249

7 Referenties voor schaal

Gegeven een foto van een bij. De afbeelding van het insect is veel groter dan het in werkelijkheid is. Dat kun je zien omdat er en liniaaltje naast ligt.

Je ziet dat het een vergroting is. Wie weet hoe groot die bij in werkelijkheid is? Op het fotokopieerapparaat kun je ook vergroten en verkleinen. Wat betekent een vergroting van 125%? Probeer het maar uit.

8 schaal

Maak een schets van je kamer op schaal. Wat is een geschikte schaal? Lukt het met 1 : 10? Of moet je naar 1 : 20? Welke schaal staat op stadsplattegrond? Wat betekent die visuele schaal: een lijntje van 1,5 cm staat voor 1 km? Wat betekent schaal 1 :100 000? Weet je een grotere schaal? Weet je wat een curvimeter is? Hoe werkt dat met schalen?

9 Schattend rekenen met aandacht voor de relatieve fout

Afronden gebeurt binnen bepaalde grenzen. Hoever ga je door met de staartdeling 3 / 100,0000\ … als het erom gaat een plank van 1 meter in drie gelijke plankjes te zagen? Welke benadering is nauwkeuriger: 7,8 = 8 of 97,8 « 100?

10 Opgaven ‘onderweg’

Die kaars heeft volgens de fabriek 10 branduren. Hoelang zou hij al gebrand hebben? Die wegwijzer moet ergens op de weg van Driebergen naar Arnhem gestaan hebben? Waar precies? Hoe kunnen we een ‘schaalmodel’ maken van de aarde, maan en zon? Kunnen we ook de grootten van de hemellichamen op die schaal maken? Leg eens uit waarom de zon en de maan even groot lijken als ze aan de hemel staan? Weet je een manier om de snelheidsmeter in de auto van je vader (of een ander) te controleren? Kun je uitrekenen hoeveel de afstand van 12 cm op een kaart met schaal 1 : 100 000, in werkelijkheid is?

11 Stok-schaduwmodel

Zet een stok van één meter verticaal op het schoolplein en meet met vaste tussenpozen de schaduwlengte op. Gebruik de verhouding stok-schaduw om de hoogte van een boom, schutting, hek, muur of iets dergelijks in de buurt te vinden. Let eens op de driehoeken, die hebben dezelfde vorm.

250

12 Dichtheid en mengverhouding

“Pap kom eens kijken, deze struik zit vol bosbessen, hij ziet helemaal blauw, de blaadjes zie je haast niet meer!” We kwamen allemaal aanrennen, misschien zaten er op die fantastische plek van Bride nog meer van die struiken. “Poeh, wat een klein struikje”, riep Jannes mijn andere spruit, “de mijne ziet wel niet zo blauw, je ziet meer blaadjes, maar er zitten veel meer bessen aan! Ik ga terug.” “Dat kan niet!” zei Bride, “ik heb nog nooit zo’n volle struik gezien.”
Wie heeft er gelijk? Als je rekening houdt met de grootte, verhoudingsgewijs dus, dan zitten er absoluut gezien misschien wel meer bessen aan de struik van Jannes, maar relatief gezien zijn het er minder.
Verhoudingsgewijs … in verhouding tot wat? Relatief … ten opzichte waarvan?
Als de struik van Jannes even groot was als die van Bride dan zaten er aan zijn struik minder bessen. Om Bride gelijk te geven moet je dus beide struiken even groot denken, terwijl je de blauwheid -dat is de verhouding tussen bessen en blaadjes- van elke struik gelijk laat en de afmetingen in gedachten verandert.

13 Verhoudingen in de breukenleergang

Zie hoofdstuk 5 en denk in het bijzonder aan de introductie van de dubbele getallenlijn. Ook het breukenelastiek is gebaseerd op inzicht in verhoudingen.

Enkele opgaven ertussendoor: Ze kunnen nu ook verhoudingsopgaven aan. Voorbeelden:

• Dit recept… is voor vier personen er komen negen gasten, …

• Mijn flat is keer  1½  zo hoog als die aan de overkant, die is 20 meter hoog Hoe hoog is mijn flat ?

• De vader van Brandaan ziet op zijn dashbord dat de benzinetank nog maar voor ongeveer  2/5    gevuld is. Er passen 70 liter in een volle tank. Maar er moeten nog heel wat kilometers gereden worden voor hij thuis is. Hoeveel liter ongeveer zit er nog in die tank?
Deze opgave is heel goed op te lossen met de dubbele open getallenlijn.

14 Introductie en verkenning van de verhoudingstabel

Het begint eigenlijk al bij de tafels van vermenigvuldiging, een rij als 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … hoort bij de rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Zet je beide rijen in één mooi schema:

dan heb je een verhoudingstabel, met vele eigenschappen om al te verkennen. Bijvoorbeeld in de bovenste rij 1 + 4 = 5, geeft in de onderste rij ook een juiste optelling: 3 + 12 = 15. Logisch, zeggen we later, alle getallen zijn naar verhouding vergroot (vermenigvuldigingsfactor 3).

251

In de lessen over breuken, in de vijfde klas, komt de verhoudingstabel uitvoerig in beeld. Daar ziet men dat een breuk ook steeds een verhouding weergeeft, waarbij een deel (teller) op een geheel (noemer) betrokken wordt.

Kinderen kunnen het ‘relatieve’ van de getallen in de context van verhoudingen ook (leren) ervaren, wanneer ze bezig zijn met gelijkwaardige breuken. Met het breukenelastiek (blz. 191) is dit ook mooi te demonstreren. We hoeven het hen daarbij nog niet in abstracte zin bewust te maken, maar ze werken er mee wanneer een gelijkrij wordt aangelegd:

De verhoudingstabel is op te vatten als notatieschema (om evenredigheden in op te slaan) en rekenschema (om te rekenen met verhoudingsgetallen) voor het oplossen van verhoudingsproblemen. Hiermee kunnen we nu verschillende opgaven te lijf:

• Hoeveel kwartjes in 13 gulden?

• Als 1 Franse franc ongeveer 32 cent is, hoeveel gulden krijg je dan ongeveer voor f 250,-?

De benadering scheelt dus ongeveer 0,12 francs, laat maar zitten.

• Als 0,25 % van een bedrag f 70,- is, hoe groot is dan het hele bedrag?

Procenten zijn dus op te vatten als op 100 genormeerde verhoudingen. (In plaats van 1 : 4 zegt men dan 25 : 100, ofwel 25%).

• We kopen in voor f 12.500,-; we willen 8 % winst maken. Wat is de nieuwe prijs?

In dit voorbeeld zien we dat uit verhoudingen (inkoop : winst) nieuwe verhoudingen (inkoop : verkoop) door optelling (en de andere basisbewerkingen) te vormen zijn. De verhoudingstabel maakt dat rekenwerk overzichtelijk.

252

15 Verhoudingen bij procenten

Procenten zijn verhoudingen met die bijzonderheid, dat de verhouding steeds ten opzichte van het getal 100 wordt beschouwd.( zie ook H 6.3) Dat maakt het vergelijken van twee of meer ongelijke verhoudingen gemakkelijker.
Welk grijs is donkerder: 17 witte puntjes op 19 zwarte, of grijs van 33 wit en 37 zwart? In het eerste geval zijn er 17 wit op een totaal van 36, in het tweede geval 33 wit op een totaal van 70. Hoeveel procent?
17 op 36 is
(17 : 36 = 0,4722222… = 0,472 =  472/1000   =) ongeveer 47,2%.
En 33 op 70 is
(33 : 70 = 0,4714285… » 0,471 = 471/1000   =) ongeveer 47,1%!

16 Rekenregels met letters in verhoudingen

Twee gelijkvormige driehoeken, de ene met zijden p = 5,0;   q = 5,5;   r = 7,5.
De andere met zijden a; b; c.
Als a = 10,0 bereken dan b en c. Een opdracht, die met behulp van een verhoudingstabel eenvoudig tot een oplossing leidt.

17 Op onderzoek naar het getal π

Het gaat om de onveranderlijke verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn (of straal). Laat de kinderen dit merkwaardige verschijnsel nameten aan allerlei cirkelvormige figuren: rijksdaalder, schoteltje, kopje, bord, lampenkap, … Verzamel de gegevens in een mooie tabel en laat de verhouding (= quotiënt, de uitkomst van een deling) uitrekenen tot achter de komma. Wie bedenkt vervolgens een formule voor de omtrek van alle cirkels?
Zou er ook een formule bestaan voor de oppervlakte van een cirkel?

18 Lineaire verbanden in formules
Verder in de zevende klas (H 7).

253

6.3 Procenten

Uit de Cijfferinge van Mr. Willem Bartjens, 1 February, 1763.

Geschiedenis

Bovenstaande opgave is overgenomen uit een van de vele herdrukken van het beroemdste rekenboek in de Nederlandse taal, de Cijfferinge van Willem Bartjens. Het woord ‘procent’ komt er niet in voor, maar het gaat wel over procenten, men wil namelijk van die 600 gulden 7 ten honderd rente per jaar ontvangen. Dat is van elke 100 gulden er dus 7 gulden op toe krijgen. Of anders gezegd: voor elke 100 gulden die je uitleent, krijg je er na één jaar 107 terug.
De eigenlijke vraag is in dit geval anders, en behoorlijk lastig: “Wat mag je verwachten te ontvangen als men je nu contant terugbetaalt?” Dan kun je dat bedrag zelf op rente zetten en dan groeit het successievelijk weer in drie jaar aan tot 600 gulden.
De antwoorden en de berekeningen zijn er in het boek bij gegeven. Voor het rekenen is gebruik gemaakt van de ‘Regel van Drieën’. Eigenlijk de ‘Verkeerde Regel van Drieën’, die in de regel 107____100____200 | 186  98/107      tot uitdrukking is gebracht: “zoals 100 groeit tot 107, zo groeit het getal dat ik zoek tot 200.” Wie de goede opstelling van de getallen heeft,107____ 100____ 200 , kan gaan rekenen, middelste getal maal het meest rechtse, gedeeld door het meest linkse getal:  100 x 200/107    = 186 98/107  

Wie denkt dat deze opgave in het rekenprogramma van de vrijeschool anno 2000 thuishoort, heeft het mis. De opgave kan hoogstens als uitdaging voor een rekenbolleboos achter de hand worden gehouden. Nee, deze opgave is bedoeld om te laten zien dat het rekenen met procenten niet van de laatste tijd is en dat het behoorlijk lastig kan zijn om een ogenschijnlijk eenvoudige opgave met de gegeven middelen op te lossen.

254

De geschiedenis van het procentrekenen gaat verder terug dan het begin van de zeventiende eeuw, toen de eerste druk van de Cijfferinge uitkwam. Reeds de Grieken konden al tegen betaling geld lenen bij de bank. De rente werd vastgesteld per 100 drachmen. In de Middeleeuwen en daarna kende men het verschijnsel, dat boeren een tiende deel van de opbrengst van hun land moesten afstaan aan de kerk. In Brabant vindt men nog steeds landerijen die in het verleden van een dergelijke belasting vrijgesteld waren .’Tiendvrij’ werden deze stukken land genoemd. Toen zich in de twaalfde eeuw de handel en dus ook het boekhoudkundig rekenen begonnen te ontwikkelen, behoorde daartoe ook het rekenen met procenten.
Simon Stevin (1548-1620) stelde Tafelen van Interest samen om het berekenen van rente gemakkelijker en sneller te maken. Soortgelijke ‘tafels van rente’, of beter ‘kortingstafels’, vinden we heden ten dage in grootwinkelbedrijven, als er weer uitverkoop is.
Het woord procent (percent) komt van ‘per honderd’, of ‘ten honderd’, zoals in de opgave uit het boek van 1763. Op een gegeven moment is ook het symbool % uitgevonden.
Zo te zien werden aanvankelijk de procenten alleen gebruikt in de context van rente, maar momenteel komen ze in allerlei andere contexten voor. Denk maar aan ‘geen alcohol in het verkeer’ met alcoholpromillage en -percentage. Of aan de samenstelling van vezels in kleding (50% wol). Andere contexten zijn bevolkingssamenstelling, werkeloosheid, ziekteverzuim, AOW, loonsverhoging, winst en verlies, belasting, prijsverlaging, inflatie, koopkracht, uitverkoop, BTW, de discount, stoffen oplossen in een vloeistof, legeringen, kijkdichtheid, hypotheek, …
Procenten zijn niets anders dan verhoudingen. Als je wilt weten welke verhouding groter uitvalt, 17 op de 35 of 19 op de 39, dan kun je beide verhoudingen herleiden tot ‘per honderd’; 17 : 35 = 49 : 100 en 19 : 39 = 49 : 100. Allebei dus ongeveer 49 procent. Reken je wat nauwkeuriger, dan blijkt de eerste ongeveer 48,6 en de tweede ongeveer 48,7 procent te zijn. (Je vindt dat bijvoorbeeld door de delingen 17 / 35 \… en 19 / 39 \… te maken, en af te lezen ‘hoeveel honderdsten’ er zijn. Hiermee is dan ook weer een verbinding gelegd met de decimale breuken).

Achtergronden

In de veertiende voordracht van Erziehungskunst, Methodisch-didactisches koppelt Rudolf Steiner de behandeling van de rente, de procenten en het disconto aan de leeftijd van twaalf jaar. Hij stelt dat rond deze leeftijd de laatste instincten van de ziel overwonnen moeten worden door het oordeelsvermogen. Duidend op de renteberekening voegt hij er de waarschuwing aan toe, dat we met de genoemde stof niet te laat moeten zijn. Op de leeftijd van twaalf jaar zijn in het kind de innerlijke egoïstische gevoelens nog niet ontwaakt. Het werken met procenten in de context van renteberekeningen, appelleert dan nog niet aan een mogelijk sluimerende hebzucht.
In de dertiende voordracht van Erziehungskunst, Seminarbesprechungen und Lehrplanvortrage ligt de nadruk op de
overgang van interestformule

R = K x P x T
                 100                 
naar de algebra. In die voordracht komen ook andere onderwerpen aan de orde, die destijds maatschappelijk relevant waren, zoals rabat, emballage en het rekenwerk met betrekking tot een wis-

255

sel. Handelsrekenen, zeggen we nu. De relevantie voor het reken-wiskundeonderwijs van nu heeft zich gewijzigd.

We kunnen ons afvragen of Rudolf Steiners aanwijzingen voor het leerplan gelden voor het hele gebied van de procenten. We menen van niet, de dominante context van weleer, de renteberekening, is vervangen door een scala van andersoortige contexten, waarvan vele een duidelijke maatschappelijke relevantie hebben zonder in direct verband te staan met het vermeerderen van eigen bezit of vermogen.

Bakens voor een rekenperiode over procenten zijn:

• Procenten worden visueel in beeld gebracht.
• Schattingen maken van percentages in concrete voorstellingen.
• Percentages van stroken; percentages bepalen met ‘breukenelastiek’ (met een indeling ‘in 100’); gebruik leren maken van de dubbele lege getallenlijn.
• Gebruik leren maken van de verhoudingstabel (zie blz. 251) om percentages te berekenen.
• Procenten als groei/krimpfactor.
• Toepassingen.

Procenten in de zesde en zevende klas

Vragen, waarvoor op dit terrein samen met de leerlingen een antwoord gezocht moet worden, zijn:

• Waar zijn we het % begrip (al) tegengekomen?
• Wat zijn procenten?
• Waarvoor gebruikt men procenten?
• Wat is de meerwaarde van procenten ten opzichte van gewone en decimale breuken?
• Hoe rekent men met procenten?
• Hoe kun je het reken- en denkwerk bij procenten ondersteunen?
• Wat zijn de knelpunten bij het procentrekenen?
• Welke toepassingen zijn er?
• Wat is het verband met decimale breuken?
• Wat is het verband met verhoudingen?

Gezien het veelvuldig gebruik van procenten en de vele contexten, waarin dit gebruik zinvol is, is het verstandig in de vijfde klas al te beginnen met een periode procenten. Het onderwerp procenten wordt eerst verkend, het gaat dan om een inventarisatie van hetgeen de kinderen al weten of denken te weten. Vervolgens wordt het onderwerp nader onderzocht met voorbeelden uit de eigen omgeving. Het gaat om de begripsvorming, het idee dat procenten bijzondere verhoudingen zijn (tegen de achtergrond van 100) of breuken, waarvan de eenheid niet 1 is maar 100 is geworden. Natuurlijk komen dan ook de visuele voorstellingen in beschouwing, ze zijn bij de breuken net aan de orde geweest.

256

En als bij de breuken de dubbele getallenlijn (zie blz. 218) in gebruik is genomen, kunnen de procenten ook op dat schematische niveau tot ontplooiing komen. De bemiddelende grootheid is nu 100.

Het werken met stroken kan hieraan voorafgaan, het breukenelastiek als procenten’meter’ voor ‘liefhebbers’, als toegift er achteraan.
Procenten worden gekoppeld aan het begrip verhouding, de begripsvorming bij de kinderen gaat vooraf aan het verwerven van rekentechniek; van de traditionele ‘1% didactiek’ is geen sprake.
Het verband met breuken kan als volgt duidelijk worden: ½ = 1/25       =0,25 is 25%

In de zesde klas kan een tweede periode aan (onder andere) de procenten gewijd worden. Nu kunnen de door Rudolf Steiner aangegeven ontwikkelingsdoelen verwezenlijkt worden. Ook kan de dubbele lege getallenlijn verder geëxploiteerd worden, de verhoudingstabel in gebruik worden genomen, veel toepassingen als uitgangspunt worden gekozen en, meer theoretisch van aard, het verband met de decimale breuken onderzocht worden.

Hoe maak je van   3/8   de decimale breuk 0,375? Bijvoorbeeld via 1/8         , waarvan je wist dat het 0,125 is. Misschien wist je dat indirect, omdat bij het hoofdrekenen het getal 1000 al meer dan een keer ontbonden was in 8 x 125, eventueel aanvankelijk door drie keer te halveren: 1000; 500, 250, 125. Of nog indirecter, omdat je de decimale breuk 12,5 goed kunt thuisbrengen, als het achtste deel van 100. Maar de herleiding hoeft natuurlijk niet te lopen langs 3 x 0,125; je kunt ook  3/8 ineens aanpakken, en de deling 8 / 3, 000 \… gaan maken
Wie bij deze opgave zijn zakrekenmachientje kan gebruiken, is er met vier welgekozen toetsen uit. Met de weg terug, om van 0,375 weer een gewone breuk te maken, kan een gewone zakrekenmachine geen hulp bieden. (Dat kan een bijzondere uitvoering van de zakrekenmachine wel. We denken hier aan de Galaxy 9x van Texas Instruments, waarop je met gewone breuken en decimale breuken kunt rekenen. Het is een zakrekenmachine die speciaal voor het onderwijs is ontworpen.)

Het rekenen met procenten moet na deze tweede rekenperiode natuurlijk niet in het vergeetboek raken. Welnu, het leven van alledag levert genoeg op om ze af en toe nog eens voor het voetlicht te halen. De fouten, die op dit gebied regelmatig gemaakt worden, vormen een rijke bron voor opgaven. Een voorbeeld:
‘Het ministerie van onderwijs heeft de oorspronkelijke vraagprijs van 1,2 miljoen gulden voor de lhno-school de Oesterschelp in Tholen met bijna 100% verlaagd tot 608.000 gulden. Voor die prijs kocht de gemeenteraad maandagmiddag het pand aan. De Eendrachtbode.’

257

Rekenen met procenten (I)

De opgave uit de Cijfferinge, waarmee deze paragraaf begon, werd destijds opgelost met de (Verkeerde) Regel van Drieën. Een ondoorzichtige rekenregel, die bij juist gebruik tot de goede uitkomst voert. Is men in staat goed in verhoudingen (evenredigheden) te denken, dan kan hetzelfde resultaat, via dezelfde berekening, bereikt worden.

Hoe was het ook weer? Het ging om 200 gulden, te betalen over één jaar. De vraag was wat er er nu contant betaald zou moeten worden (bij een rente van zeven procent per jaar), zodat dit bedrag over één jaar aangegroeid is tot de verschuldigde 200 gulden. Je denkt dan eerst aan een groei van 100 (procent) tot 107 (procent). Dit leidt tot de evenredigheid 107 : 100 = 200 : … Want de verschuldigde 200 gulden komt overeen met het aangegroeide bedrag van 107, en het gevraagde bedrag met 100. De hoofdeigenschap van evenredigheden levert 107 x … = 100 x 200, zodat je het gevraagde bedrag vindt via  100 x 200/107

In een bekende rekenmethode uit de jaren vijftig (Ik Reken, van P. Bosdijk) werden evenredigheden geschreven in de vorm van verhoudingsblokken. Een prachtige didactische vondst, die in één slag de bekende verhoudingssommen van die tijd tot een peulenschil maakten.

Ons instapprobleem zou met de verhoudingsblokken aldus opgelost zijn:

In die tijd, maar ook daarvoor en ver daarna, namelijk tot op de dag van vandaag, worden procentberekeningen veelal via ‘de 1%-methode’ gemaakt. Het verhoudingsidee is hier volledig verdwenen, men volgt in dat geval slaafs de regel: ‘neem eerst 1 procent’.

Ook in het geval dat bijvoorbeeld 10 procent van 15,45 moet worden berekend: 1% van 15,45 = 0,1545; 10% is 10 x 0,1545 = 1,545. Of, nog merkwaardiger, 75% van 64:1% van 64 = 0,64; 75% is 75 x 0,64 = … In plaats van| te nemen van 64, bijvoorbeeld als de helft (32) plus de helft van de helft (16) is 48.

Rudolf Steiner zegt in de dertiende werkbespreking, dat iemand die deze berekeningen beheerst (bedoeld worden renteberekening en rabatberekening), de werkwijze van het hele rekenen beheerst. Met deze uitspraak heeft Rudolf Steiner waarschijnlijk op het centrale belang van verhoudingen willen wijzen. Het hele rekenen is doortrokken van het verhoudingsbegrip. Dat geldt niet alleen de procenten, maar ook de gewone en decimale breuken, de meetkunde, het meten, begrippen als (bevolkings-, kijk-, massa-)dichtheid, kans, gehalte en ook de getallenlijn. Merkwaardig genoeg is ons slechts één plaats bekend waar Rudolf Steiner

258

de verhoudingen noemt. Dat is in het leerplan voor de gecombineerde klas 5/6, opgesteld op 25 mei 1919: “Verhoudingen zouden heel goed in samenhang met procenten behandeld kunnen worden.”
In het realistisch reken-wiskundeprogramma van nu wordt deze gedachte gerealiseerd, zij het dat het begrip verhouding het eerst onderwerp van studie is en het rekenen met procenten wordt gebaseerd op de notie van verhouding.

Rekenen met procenten (2)

Op dit gebied zijn niet zoveel opgaven te bedenken, die wezenlijk van elkaar verschillen.
Welke procentenopgaven kun je tegenkomen?
In de eerste plaats moet je een bepaald percentage van een gegeven bedrag kunnen berekenen. Al naar gelang de gegeven getallen kies je een geschikte rekenwijze. Soms is het voldoende een grove schatting te maken. In dat geval, maar niet alleen, is het bezitten van een visuele voorstelling een prettig hulpmiddel.
De omgekeerde opgave is lastiger, je moet bijvoorbeeld berekenen hoeveel procent 37,50 is van 245 (gulden). In het algemeen leerde men daar, op basis van de 1%-methode, een algoritme voor. Maar dat zouden we nu handiger kunnen doen met de zakrekenmachine, denkend aan verhoudingen en decimale breuken. Je toetst 37.5 : 245 = en leest af 0.1530612. Wetend dat een percentage de verhouding tot 100 aangeeft, neem je van het venstergetal alleen het deel wat je kunt gebruiken: 0,15. Dat is  15/100  , of wel 15 procent. Een goede rekenaar vraagt zich toch nog even af of hij geen (toets)fout gemaakt heeft, en maakt daarom nog een schatting. Hoeveel procent is 40 van de 250? O, dat is 160 van de 1000, dat is 16 van de 100, dat is 16 procent. Niet gek!

Een ander type opgaven gaat over groei of krimp, prijsstijging of prijsdaling, loonsverhoging of premieverlaging en dergelijke. In het algemeen werden dit soort opgaven in de vorige categorie geplaatst.
Bijvoorbeeld: op een bedrag van 65 euro wordt 15% korting gegeven. Hoeveel te betalen? Neem 1% van 65, … Momenteel, mede met het oog op komende wiskunde, pakken we de zaak anders aan: te betalen 0,85 x 65 = 55,25.
We zetten de rekenwijzen nog even op een rijtje aan de hand van het volgende sommetje

259

Rekenwijze 1: de visuele voorstelling
Hier is de situatie van het ‘bedrag + BTW’ op een strook afgebeeld. Het verdelen van de strook, in zes gelijke porties, vraagt inzicht in de betekenis van ‘20% erbij’. Is de voorstelling tot stand gekomen, dan is het rekenwerk uit het hoofd te doen: deel 204 door 6; dat is 102 : 3, dat is (bijvoorbeeld) 99 : 3 = 33 plus 3:3 = 1, samen 34. Nettoprijs, zie strook, 5 x 34 = 170.

Rekenwijze 2: de dubbele lege getallenlijn
Deze is eerst in het geval van de gewone breuken in de vijfde klas geïntroduceerd en wat daar geleerd is, kan nu zijn vruchten afwerpen. De bemiddelende grootheid is in het geval van de procenten altijd 100 (zo nodig 1000).
In dit geval is er sprake van een denkmodel. De lijn noodt uit om de gegeven getallen op een rijtje te zetten, hetgeen aanwijzingen geeft voor de uit te voeren berekening. Hoe kom ik van 204 naar …? Dat moet op dezelfde manier als van 120 naar 100. Een stap van 20 terug, dat is (‘verhoudingsdenken!) een zesde deel terug.
Hier wordt duidelijk dat bekendheid met het werken met verhoudingen op dit niveau heel noodzakelijk is.

Rekenwijze 3: verhoudingstabel
De verhoudingstabel is een bruikbaar notatieschema dat grote verwantschap vertoont met het eerder genoemde verhoudingsblok. Het schema is zo ingericht, dat de berekening er stap voor stap en meer in algoritmische zin gemaakt kan worden.
Hier staat de vraag in schemavorm geformuleerd: als 204 overeenkomt met 120 (procent), wat komt dan overeen met 100 (procent)? Rekentechnisch ligt het voor de hand om door 6 te delen:

260

Rekenwijze 4: de vermenigvuldigingsfactor
Deze aanpak is al eerder genoemd. Hij is meer verwant met het letterrekenen en de algebra. Nu kunnen we hem nader uitwerken. De vraag was hoe we 100 procent kunnen vinden als 204 euro gelijk is aan 120 procent.
Noem het gevraagde nettobedrag G. G staat dus voor een nog niet bekend getal, dat hier voor 100 procent doorgaat. Er komt 20 procent bij, dat is 0,20 x G. G groeit zo aan tot G + 0,20 G = 1,20 x G. Hier staat de essentie van deze rekenwijze: 120% van G is hetzelfde als 1,20 x G (of 1,2 x G). Anders gezegd:
Bij een groei van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 1,20. En natuurlijk bij een krimp van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 0,80. En bij een prijsverlaging van 12% worden de prijzen met 0,88 vermenigvuldigd.
De boormachine kostte dus netto 204 :1,2 euro, dat is 170 euro.

Een verrassend probleem:
De boormachine kostte netto € 170,00. Maar er moest f 204,00 betaald worden. Dat scheelt € 34,00.Hoeveel procent is de nettoprijs lager dat hetgeen ervoor betaald moest worden? Hoeveel procent is 34 van 204? Dat is (schatting) krap 17%. Hoe zit dat nu met die 20% BTW?
Zie ook het krantenbericht (probleem) over de lhno-school in Tholen (blz. 257).

Een nog verrassender probleem:
Bij een discount wordt op een artikel van € 375,00 12% korting gegeven. Bij de kassa moet je nog 18% BTW betalen. Zou het niet goedkoper zijn als je eerst de BTW betaalde, en dan van dat hogere bedrag de korting nam?
Nee hoor, de volgorde doet er niet toe. Reken maar mee. Geval 1 leidt tot 0,88 x 1,18 x 375 en geval 2 tot 1,18 x 0,88 x 375. Je hoeft niet eens te rekenen, je doorziet het met deze rekenwijze direct.

Ideeën voor rekenwerk met procenten

Na de tekenles werden alle citroengele kleurpotloden verzameld. Toen ze naast elkaar gelegd werden, bleek dat sommige potloden veel vaker gebruikt werden dan andere. Hoe kun je iets (getalsmatigs) zeggen van dat gebruik? Met procenten! Hoeveel procent is van een gegeven potlood gebruikt?
Al snel besloten we om de lengte van een ongebruikt potlood op 100 procent te stellen. Dat potlood bleek 17 cm lang. We dachten meteen aan een strook van 17 cm, die op 100% moest worden gesteld. Een dubbele getallenlijn mag ook.
Iedereen kon aan het werk om de verbruikspercentages van de potloden te bepalen. Het breukenelastiek werd ook nog even erbij gehaald. Dat was om de verdeling van 17, in tien gelijke delen snel af te handelen.

Na het kleurpotlodenvraagstuk heb ik de ‘procentenmeter’ geïntroduceerd. Met dat ‘instrument’ kun je de kinderen mooi de relativiteit van procenten laten zien.

261

De overeenkomst met het breukenelastiek is treffend en de kinderen moeten dat zelf kunnen ontdekken. De uitrekking van het elastiek, waarbij de onderlinge verhoudingen in takt blijven, komt overeen met de meetkundige vermenigvuldiging, die op de percentagemeter tot stand wordt gebracht.

De kleurpotlodendoos

Hoeveel procent is het potlood afgeslepen? Zie tekening hieronder. Schuif het hele potlood zover naar rechts, dat de punt precies tegen de schuine lijn, die naar 100% loopt, aan past. Trek dan een lijn door het startpunt links onder en de bovenkant van het afgesleten potlood. Die lijn snijdt de verticale ‘schaal’ rechts in een punt P. Als de schaal van 0 tot 100 netjes is aangegeven, kun je het percentage zo aflezen.

Het kledingstuk

Tijdens een gesprek over procenten kwam al snel naar voren dat in bijna ieder kledingstuk een etiket zit waarop de samenstelling van de vezels vermeld staat. Er waren kinderen die konden vertellen waarom de fabrikant dat deed. Voor de aardigheid hebben we een paar kledingstukken gewogen en vervolgens uitgerekend hoeveel gram wol (knotten van 50 en/of van 100 g) (katoen) ervoor gebruikt was.

Segment- en sectordiagrammen

We hebben eerst uit de vrije hand cirkels verdeeld in gegeven percentages. Ook hebben we grove schattingen gemaakt bij gegeven sectordiagrammen.

262

Het buurtcentrum

De wijk krijgt een nieuw buurtcentrum. Hoe zal de verdeling van de ruimten eruit komen te zien? In een enquête wordt naar de voorkeur van de buurtbewoners gevraagd. Men kan kiezen uit: Lezen/bibliotheek, (jazz)ballet, sport, koken, spel, techniek/hobby, muziek en toneel.
Nu wordt de klas in groepen verdeeld van zo’n acht à tien kinderen. Elke groep maakt zijn keuzen in een sectordiagram op een groot vel zichtbaar. Die vellen worden voor de klas gehangen.

Daarna zijn we in groepjes allerlei statistische gegevens van de klas gaan verwerken in segment- en sectordiagrammen. De groepen mochten zelf bepalen hoe en wat. Eerst dienden ze de gegevens te bepalen en vervolgens moesten ze de verwerkingsplannen even met mij bespreken. Als voorbeeld hebben we eerst samen een sectordiagram gemaakt van het aantal jongens en meisjes in de klas. Daarvan konden we percentages schatten en de schattingen hebben een paar kinderen toen met precieze berekeningen geverifieerd.
De volgende onderwerpen werden door de kinderen zelf gekozen: Bedtijden, met/zonder beugel, zakgeld, favoriete snoepgoed, sport.

Fouten opsporen

Er zijn inmiddels in de media al heel wat verhalen met fouten op het gebied van procenten, gepubliceerd. Hieraan is het heerlijk werken. De kinderen voelen zich uitgedaagd en willen zelf ook op zoek gaan. Hier een paar voorbeelden. Ze zijn niet allemaal even gemakkelijk, sommige horen pas in de zevende klas thuis.

Voorbeeld 1: Samen 27 procent

Uit onderzoek is gebleken dat 12% van de leerlingen die naar de mavo gaat, niet goed kan lezen en 15% niet goed kan schrijven. We kunnen er dus vanuit gaan dat meer dan een kwart van de aanstaande mavoleerlingen met onvoldoende taalvaardigheid beginnen •••!(?)

263

Voorbeeld 2: Zeventien procent van …
Een reclame campagne van Dirk van den Broek:

Moet dat eigenlijk niet ruim 14% zijn?

Voorbeeld 3: Verdubbeling

United verdubbelt de toegangsprijzen

MANCHESTER (Rtr) -Manchester United verhoogt volgend seizoen de prijs van de toegangsbewijzen met 50 procent …

Voorbeeld 4: Honderd procent per dag?

(…) Het inflatiespook, dat vrijwel heel Latijns Amerika tot zijn jachtgebied heeft gemaakt, is kind aan huis in Nicaragua. In 1988 gierde de geldontwaarding omhoog tot een percentage tussen de 32.500 en 36.000. “Ik zeg altijd maar: honderd procent per dag. Dat rekent lekker makkelijk”, grapt een westerse diplomaat in Midden-Amerika. (…)

Ten slotte

Hoe zou men de opgave van Willem Bartjens, waarmee deze paragraaf over procenten begint, nu – in de zevende klas – oplossen? Misschien wel met de vermenigvuldigingsfactor en een zakrekenmachine?

6.4 Geometrie

Voorbereidend periodeonderwijs meetkunde in de vijfde klas

De eersteklasser weet het al; als je later groot bent en bijna aan het eind van de gang zit (in de zesde klas) maak je van die mooie grote tekeningen met ‘rondjes door elkaar en allemaal kleuren!’ Een geliefd toekomstbeeld om naar uit te zien! De meetkunde, als wiskundig vak, vindt zijn aanvang in het onderwijs als het heldere denken begint te ontwaken. Het oordelend vermogen van de leerlingen wordt sterker en de zesdeklasser vindt zijn weg in het sociale leven en gaat op zoek naar ‘law and order’. De kinderen gaan, zogezegd in de voetsporen van Caesar, letterlijk en figuurlijk het dagelijks leven strijdlustig tegemoet. Dam- en schaakspel, door orde en wetmatigheid geleid, worden geliefde en zinvolle bezigheden in regenachtige pauzes.

We gaan ervan uit dat het denken van een kind zich in dezelfde fasen ontwikkelt (in één leven), als het denken van de gehele mensheid in de opeenvolgende
cultuurtijdperken.
In de vrijeschool zijn de meetkundelessen bedoeld als een bijzondere bijdrage aan de scholing van het denken. Het leerplan voor geometrie (en algebra) laat

264

zien, dat de kinderen de ontwikkeling van het denken in de geest der geschiedenis opnieuw kunnen meemaken. We doorlopen als het ware iedere fase uit de geschiedenis van de geometrie en geven de leerlingen de gelegenheid en ruimte om hun wiskundige talenten naar eigen vermogen te ontwikkelen. Door het herbeleven en zelfstandig beoefenen van de klassieke meetkunde ontstaat een vruchtbare bodem voor de leerstof in een volgende (ontwikkelings)fase. Meetkunde draagt zo bij aan de ontwikkeling van het denken en reflecteren (dat is denken over het eigen handelen, dus ook het mentale handelen, dus ook het denken zelf). De interactie van de mens met de hem omringende wereld stimuleert de ontwikkeling van vermogens die het abstracte denken mogelijk maken.

In de Oudindische en Perzische cultuur, de periode die onderdeel uitmaakt van het geschiedenisonderwijs in de vijfde klas, was de mens één geheel met het heelal. Omdat de mens nog niet beschikte over een eigen bewustzijn, werd hij geleid door de goden. In Egypte leidden de ingewijden (de priesters) het volk, als plaatsvervangers van de goden. Op oude Egyptische voorstellingen en inscripties zien we dat de priesters, die wiskundige handelingen voor het volk verrichtten, zoals bijvoorbeeld landmeten, als goden werden afgebeeld.

In de Griekse cultuur komt een verandering tot stand. De mens probeert bewust kennis te verkrijgen over de goddelijke wereld middels het beoefenen van de natuurwetenschappen en filosofie. De afstand tussen mens en goddelijke wereld wordt groter, de mens wordt zelfstandiger.
In de geschiedenislessen van de zevende klas zien we dat het tot ver in de Middeleeuwen duurt tot er verandering komt in het klassieke wereldbeeld. In de Nieuwe Tijd gaat Copernicus voorop. Hij ontdoet zijn waarnemingen van alle mythische elementen en maakt hemel en aarde tot een kwantitatief ruimtelijk geheel. Niet de aarde, maar de zon beschouwt hij als middelpunt van de wereld. De acceptatie van zo een afwijkend standpunt verloopt niet zonder strijd tegen de gevestigde orde. De kinderen maken in deze periode kennis met de levensloop van verschillende grote natuurwetenschappers, met Leonardo Da Vinei als centrale figuur. Het denken van deze geleerden staat model voor wat in de zevendeklasser ontwaakt.

In de vrijeschool staat, net als in de scholen van de Griekse wijsgeren, al het onderwijs en zeker de wiskunde in dienst van de vorming van de gehele mens. Kennisinhouden en denkvaardigheid, ingebed in het grote geheel, geven de mens de mogelijkheid het denkend handelen te toetsen aan Goedheid, Schoonheid en Waarheid. In het bijzonder in de meetkundelessen wordt dit zichtbaar.
Voor het leerplan wiskunde, dat in de laatste klassen van de onderbouw aanvangt, heeft de keuze van deze historische leerroute grote consequenties. De

265

meest recente ontwikkelingen in de wiskunde krijgen namelijk zo pas laat een plaats in het curriculum. Zeker met betrekking tot de nieuwe ontwikkelingen in deze eeuw is er nog veel te onderzoeken. De laatste ontwikkelingen, die onder meer voerden tot een algebraïsche meetkunde en/of een meetkundige algebra, hebben sinds de jaren ’50 hun weg in het Nederlandse onderwijs gevonden. Resultaten ervan zijn nu ook zichtbaar in de reken-wiskunde programma’s van de basisschool en de basisvorming.

Een gefundeerd onderzoek naar de kwalitatieve betekenis van de nieuwe wiskunde en de veranderende inzichten in het wezen van de wiskunde zal, voor het vrijeschoolonderwijs, nodig zijn om zicht (geesteswetenschappelijk inzicht) te krijgen op het waarom, hoe en wanneer van het invoeren van de grondprincipes uit deze nieuwe onderwijsinhouden.

In deze paragraaf beperken we ons tot het geven van ideeën voor periodelessen meetkunde, gegeven vanuit de visie dat het meetkundeonderwijs enerzijds een algemeen pedagogisch ontwikkelingsdoel dient, maar anderzijds ook een relatie heeft met de directe levenspraktijk van het kind.

Periode-opbouw in de vijfde, zesde en zevende klas

In aansluiting op de geschiedenis van de Egyptische, Babylonische en Griekse cultuur, waarvoor in de vijfde klas al een aanzet is gegeven, verkennen we de meetkunde uit die tijd. Dit neemt een korte periode van veel doe-werk in de vijfde klas in beslag en bereidt voor op het geometrie-onderwijs in de zesde klas. De werkzaamheden zullen vooral een ‘handvaardig’ karakter hebben.
In het woord ‘geometrie’ lezen we de herkomst: het opmeten van de aarde (bijvoorbeeld van stukken land). Het vak werd in aanzet ontwikkeld door de Egyptenaren, die daartoe door de omstandigheden werden genoodzaakt. Als de jaarlijkse overstroming van de Nijl de akkers met een dikke en vruchtbare
sliblaag had bedekt, deelden de priesters (wiskundigen), als bemiddelaar van de goden, het land opnieuw in. Ze gebruikten daarvoor twee stokken en een stuk touw met een vaste lengte.
Verschillende lengten werden vergeleken door de stokken in de grond te zetten, maar er werd ook met oppervlakte gewerkt. Eén stok vast in de grond en met de ander werd een cirkel in het zand getrokken. Door dit te herhalen met hetzelfde touw, en ondertussen de positie en rol van beide stokken te verwisselen, konden landstukken worden afgepast.
Er werden geen tekeningen gemaakt. Al het meetwerk werd ter plekke uitgevoerd (zie blz. 265).

Ook kenden zij het ‘twaalf-knopen touw’. Een touw met twaalf knopen op gelijke afstanden, waarbij de einden in een van de knopen aan elkaar zijn gebonden. Met behulp van zo’n touw kunnen rechte hoeken worden uitgezet.

266

De Egyptenaren gaven aan de bijbehorende driehoekszijden godennamen. Later in de zevende klas ontdekken de kinderen dat in dit ‘meetwonder’ de stelling van Pythagoras schuil gaat (32 + 42 = 52).

Gewapend met stukken touw en de zelfgemaakte knopentouwen (een van de kinderen wilde per se het tien-knopen-touw uitproberen) gaan we buiten ‘landverdelen’.
In de kleuterzandbak, of liever nog op een groter zanderig veldje in de buurt van de school, zetten we rechte stukken, cirkels en rechthoeken uit.

Wie weet gaan we op deze manier de schooltuinen nog eens indelen. Hoe zouden we dat aan moeten pakken?”

“Kun je ook andere driehoeken maken met het twaalf-knopentouw?” Of stel de vraag anders: “Hoe maak je driehoeken met het twaalf-knopentouw? Teken de knopen er in.”

Door de levendige handel van Italië met het Oosten is via overlevering bekend gebleven, dat ook de Babyloniërs de bijzondere eigenschappen van de rechthoekige driehoek kenden.
We weten bijvoorbeeld hoe een landmeter in die tijd de afstand van een schip tot de kust bepaalde.
De landmeter zag het schip vanaf de kust recht vooruit en markeerde de grond. Vervolgens zette hij een paal een eind verderop en markeerde dezelfde afstand langs de kust nog eens. Dan liep hij landinwaarts net zolang tot hij het schip precies ‘in-lijn’ had met de paal.
Hij ‘wist’ dat de laatste afstand die hij gelopen had gelijk was aan de afstand tot het schip.

267

Aan de klas wordt vervolgens de vraag gesteld hoe de landmeter er zeker van kon zijn dat zijn methode juist was. De verleiding is groot om ook eens te overdenken hoe ze in die tijd zouden kunnen uitrekenen, hoe laat het schip de haven zou bereiken. Misschien een leuk probleem voor de ‘rekenhardlopers’ in de klas. Het probleem ‘afstand schip-kust’ vraagt erom om in ‘werkelijkheid’ uitgevoerd te worden. Ga met de klas buiten op onderzoek. Kies een vast voorwerp in de verte (niet te ver!), een boom bijvoorbeeld, en probeer of je de afstand kunt bepalen, zoals de Babyloniërs dat deden. We moeten wel een ‘kustlijn’ afspreken, want we kunnen natuurlijk niet naar het schip, pardon de boom, toelopen.
De kinderen kunnen in groepjes aan de oplossing gaan werken. De leraar pendelt tussen de groepjes en houdt in de gaten of men op het goede spoor zit. Tevens moedigt hij de kinderen aan om de gang van zaken op papier te zetten. Dat maakt de verslaglegging, straks in de klas, gemakkelijker.

Als sluitstuk van de periode gaan we de ons bekende meetkundige figuren nog eens tekenen. Ze worden ook uitgeknipt, nadat ze op gekleurd karton zijn getekend. Dezelfde figuren wel even groot maken, tenminste een aantal van dezelfde grootte! Kinderen vinden het heerlijk om hiermee in groepjes mooie patronen te leggen of te plakken, ze ontdekken er van alles aan. Wat een verrassing als je zomaar eens drie ruiten aan elkaar legt op de volgende manier:

Voor wie het al ‘ziet’, is spelen met kleureffecten ook leuk. Er is altijd wel een kind dat ontdekt, dat “het lijkt of de zon erop schijnt!”
En misschien komt een van de kinderen de volgende dag met Tangram, het eeuwenoude Chinese spel, op school. Dat inspireert tot het zelf maken van Tangram en het verzinnen van vormopdrachten, die aan elkaar worden opgegeven. Een heerlijk spel (ook buiten op het gras) voor zo’n echte warme zomerdag aan het eind van het schooljaar, waardoor de kinderen al doende lekker aan het (meetkundewerk zijn.

268

Eindelijk de zesde klas 

Meetkunde, maandagmorgen: Op die ochtend geen druk besproken weekendbelevenissen, maar een serieuze klas ernstig in de weer om alle nieuwe bezittingen voor deze periode uit te stallen. Midden op tafel liggen een passer, liniaal, geodriehoek, zwart potlood (met schuurpapiertje voor het scherp houden), kleurdoos, gum (het zoveelste).

Na de spreuk zie ik alle ogen vol verwachting op mij gericht. Onmiddellijk laat ik mijn voornemen, om eerst de bekende meetkundige figuren te lopen en op allerlei manieren uit de hand te tekenen, vallen. “Jongens, behalve je periodeschrift krijgen jullie nu ook een tekenvel. Zoek heel precies het midden van je papier op!” “Mag je vouwen juf?” “leder mag het op zijn eigen manier doen”, antwoord ik diplomatiek. Maar ik laat duidelijk weten dat het papier glad moet blijven om goed op te kunnen ‘construeren’.
Nieuwe, voor hen ongebruikelijke, woorden doen wonderen en nadat we de passer eerst goed bestudeerd hebben, zetten we de passerpunt in het zo juist gevonden middelpunt, trekken de benen van de passer uit elkaar en maken onze eerste, echte cirkel.
“Mogen we er nog een maken?” “Natuurlijk. Ik weet nog iets leuks: probeer een vorm te vinden waarbij je gebruik maakt van allemaal cirkels met hetzelfde middelpunt.”

Het resultaat van het werk varieerde van bijna chaos tot zeer geordende regelmatige cirkels.

In de zesde klas is een aantal kinderen natuurlijk al bedreven in het gebruik van passer en liniaal, anderen hebben bij de start van de periode nog hulp nodig. Het vraagt enige motorische vaardigheid om de cirkel ook echt rond te laten worden en niet als de passer ‘er bijna is’ een zijspoor te laten ontstaan.
Het construeren zelf roept precisie op en is daarmee een extra oefening voor de fijne motoriek. De op motorisch gebied zwakke kinderen zwoegen hier met plezier en in de loop van de periode gaat ook hun werk er nauwkeuriger uitzien.
Na deze ‘opmaat’, al of niet voorafgegaan door het uit de hand tekenen van bekende figuren, gaan we meetkundige figuren construeren en proberen we deze figuren en hun karakteristieke eigenschappen te doorzien.

In de voetsporen van de Griekse wiskundigen, die de grondslag legden voor onze wiskunde, gaan we nu aan het werk.

269

Bij het voorbereiden van de lessen en het kiezen van de opdrachten moeten we ons van ‘meet’ af aan voornemen geen definities te geven. We gaan dus niet uit van een definitie, maar van beelden. We proberen de gegeven figuur vanuit zoveel mogelijk gezichtspunten te bekijken en trachten zo kenmerken en eigenschappen ervan te vinden.

Bij de opbouw van de lessen maken we gebruik van de aanwijzingen van Rudolf Steiner. Zo zegt hij bijvoorbeeld dat wat wij met de kinderen in de reken-wiskun-delessen doen, ’s nachts tijdens de slaap in het kind doorwerkt, (zie ook H 2.) We houden hier rekening mee door de ene dag de (nieuwe) eigenschappen alleen maar te karakteriseren. De volgende dag komen we er dan op terug, reflecteren vervolgens op het werk van de vorige dag en gaan van daaruit weer een stapje verder. Op deze manier kan er bij de kinderen inzicht ontstaan dat door henzelf tot stand is gebracht.
De door het ‘nachtproces’ versterkte beelden van de vorige dag voeren naar activiteiten die het wiskundig denken op gang brengen; een proces, dat niet alleen voor de meetkunde, maar voor alle reken-wiskundige activiteiten geldt.

Schematisch voorgesteld:
1e dag: • doen
              • karakteriseren
              • beschrijven

nacht (niet meer aan denken, bezinken)

2e dag: • actualiseren, reflecteren
              • beschouwen, oordelen, uitbreiden
              • inzicht

Bij het leren kennen van de regelmatige figuren, hadden op een dag de gelijkzijdige driehoek en de rechthoek de aandacht gehad. De volgende dag daarop terugkijkend, kregen de kinderen de opdracht: “Construeer een driehoek, waarvan de basis zes centimeter is en de opstaande zijden beide acht centimeter. Kun je van deze driehoek een rechthoek maken met dezelfde oppervlakte?”
Het was niet makkelijk. En we moesten nog even met elkaar in gesprek blijven tot een aantal kinderen durfde te beginnen.
De eerste, die een idee kreeg, vroeg: “Mag je de driehoek nog een keer maken en dan verknippen?” Dat mocht natuurlijk, maar als die vragen hardop en centraal in de klas gesteld worden, is het wel moeilijk de andere kinderen ervan te weerhouden om ook de schaar te pakken.
Een aantal probeerde eerst op een blaadje wat uit en durfde, vooral door mijn aanmoedigingen, verder te gaan. Zo kwamen de kinderen toch tot verschillende oplossingen.

270

Bij het voorbereiden van de lessen en het bedenken van opdrachten gaan we ook op een andere manier te rade bij de Griekse Klassieken. In navolging van Plato en Aristoteles uit de oude school der wijsbegeerte kunnen we in het meetkundeonderwijs twee wegen bewandelen.
De ene weg volgt de opvatting van Plato: de ontwikkeling van het verstand geschiedt via de voorstelling, los van de stoffelijk waarneembare werkelijkheid. De meetkunde wordt dan uit de figuren, de voorstelling, de idee ervan verder ontwikkeld.
De andere weg sluit aan op de opvatting van zijn leerling Aristoteles, die afstand
nam van zijn leermeester door te beweren dat de algemene principes juist gevormd worden door ervaringen in het dagelijks leven. Dat gebeurt dan via de zintuigen. Zo gezien leiden meetkundige activiteiten in ‘het dagelijks leven’ tot meetkundige begrippen en inzichten.

In de lespraktijk leiden de mooie constructietekeningen met cirkels tot versterking van het voorstellingsvermogen. Ook de volgende oefening zou je met de klas kunnen doen.

“Stellen jullie je eens voor: we hebben een cirkel. Nu laten we de cirkel steeds groter worden. Hoe groot kan de cirkel worden?
Stel je voor dat je een klein stukje uit de eerste cirkel hebt genomen. Dat is een klein gebogen lijntje. Wat is er nu met dat lijnstukje gebeurd?” Waarschijnlijk antwoorden sommige kinderen: “Het wordt steeds rechter en is uiteindelijk helemaal recht.” Er kan ook twijfel aan deze uitspraak ontstaan: “Misschien toch niet, want je kunt altijd een nog grotere cirkel denken!”
Maak er een tekening bij of laat de kinderen een tekening erbij maken.

We maken ook uitstapjes, op zoek naar rechte lijnen, naar horizontale en verticale lijnen en naar een loodrechte stand. “Hoe weet een timmerman eigenlijk hoe hij een plank horizontaal moet ophangen, hoe weet hij waar de haken aan de muur moeten komen? Waarom gebruikt hij wel waterpas, schietlood en zweihaak, maar geen duimstok om vanaf de vloer gelijke stukken af te passen?”
Door zo’n ‘onderzoekje’ naar het werk van de timmerman ervaren we recht en loodrecht, wat we weer in een tekening kunnen weergeven. Horizontaal langs de aarde en loodrecht daarop naar het middelpunt van de aarde.

We zien hier twee verschillende benaderingen van de ideeën recht, rechte en loodrecht. Ze kunnen een voorbereiding zijn op de lessen over de
grondconstructies.
Door meetkunde in de zesde klas ook dicht bij de praktijk en de toepassingen te verkennen, kunnen we proberen beide bovengenoemde wegen, die leiden tot wiskundig denken, te verbinden.

271

Meetkunde in de zesde klas is een ontmoeting met en een verkenning van:

• passer, liniaal en geodriehoek
• cirkels en bijzondere lijnstukken in de cirkel
• geometrische figuren in cirkelconstructies
• karakteristieke eigenschappen en het leren construeren van geometrische vormen zoals driehoeken, vierhoeken in verschillende gedaanten.
• cirkelverdelingen in graden en schattend meten van hoeken
• scherpe, stompe, rechte en gestrekt hoeken en hun constructie
• symmetrieën in figuren en het beschrijven ervan, zoals bekend uit het vormtekenen
• de vijf basisconstructies en het gebruik ervan in andere opdrachten
• ruimtelijk meetkundige figuren in de wereld van de kinderen

De opbouw van een periode

Na de eerste dag vervolgen we het construeren van figuren met behulp van de passer. Bij het inkleuren van de figuren laten we de kinderen zoeken naar ideeën om dit zo te doen, dat het karakter van de tekeningen nog sterker tot uiting komt.

We hadden al eerder een cirkel in zessen verdeeld. Vandaag volgde de constructie van de verdeling in twaalven. “Teken een cirkel en twaalf nieuwe cirkels, met de middelpunten op gelijke afstanden op de cirkelomtrek van de eerste cirkel”, was de opdracht. “Hoe groot mag de straal worden zodat het figuur de hele tekenbladzijde in je schrift vult?”
Nu gaan we op zoek naar (andere) regelmatige figuren in deze figuur. “Zien jullie een vierkant? Zoek de hoekpunten, ze liggen op de snijpunten van cirkels.”
Dat was geen gemakkelijke vraag. Eerst moesten we de uit de tekenlessen bekende figuren uit het geheugen opfrissen en toen vonden we met elkaar de eerste figuur (de ruit) op het bord. Vervolgens gingen de kinderen, vooral samen, het verder proberen. Het vinden, het zelf ‘zien’ van de andere figuren in de cirkels, was voor veel kinderen een moeilijke opgave. Met wat hulp kwamen ze er allemaal uit en dan was er grote vreugde over het prachtige resultaat.

272

Nu we ‘weten’ hoe een cirkelomtrek verdeeld kan worden, maken we ook regelmatige figuren in een cirkel zonder de hulpcirkels volledig te tekenen. Een klein hulplijntje is voldoende om een punt op de cirkelomtrek aan te geven.

De variaties zijn eindeloos en alle kinderen kunnen hierin hun eigen weg gaan, waarna ze de resultaten kunnen uitwisselen. Dat kan een sprankelende happening worden.

Vanuit de gelijkzijdige driehoek, die we leerden construeren op een zelf gekozen basis, gaan we nu ook figuren construeren. Hier geldt weer dat de kinderen enerzijds zelf mogen ontwerpen en dat er anderzijds ook een aantal verplichte vormen door iedereen gemaakt worden. Nu krijgen de kinderen de opdracht te beschrijven, hoe ze de constructie hebben uitgevoerd. Het blijkt niet makkelijk om dat zo kort en functioneel mogelijk te doen.

Het is de moeite waard om tekeningen van meetkundige figuren, bijvoorbeeld de ‘cirkel-bloemen’, nu ook in de schilderlessen te gebruiken. Laat de cirkels bijvoorbeeld inkleuren met een beetje verdunde verf op droog papier; daar waar de ‘sluiers’ over elkaar vallen ontstaan de mooiste ‘bloemen’. Dit kan weer op een andere manier bijdragen aan het ervaren van de schoonheid van regelmatige figuren.

De vijf basisconstructies

Vervolgens krijgen de vijf basisconstructies een plaats in de lessen. Deze periode is niet alleen een periode van ‘tekenen en inkleuren’, maar vooral een periode waarin we ook respect krijgen voor de exactheid van het vak.
Het leren kennen van de basisconstructies moet geen activiteit op zichzelf zijn. Zorg dat de kinderen de toepassing ervan ook echt ervaren.

273

Zoek samen met de kinderen naar een ‘taal’ waarmee de constructies beschreven kunnen worden en leer ze ook een aantal wiskundige benamingen en symbolen, zoals loodlijn en                                                                                                    enzovoort

Ter introductie gaf ik de opdracht een horizontaal lijnstuk AB te tekenen. De letters A en B komen bij de eindpunten van het lijnstuk te staan.
“Maak een cirkel met middelpunt A en met een straal gelijk aan de lengte van AB. Daarna doen we hetzelfde met B als middelpunt. Nu maken we de straal van de cirkels steeds kleiner, maar tekenen steeds vanuit A en B een cirkel met dezelfde straal.”
De kinderen ontdekken zelf het ontstaan van de verschillende driehoeken op dezelfde basis, die we ook ‘gelijkbenige’ driehoeken noemen.
De volgende dag roepen we de opdracht van gisteren nog even in herinnering en kiezen opnieuw een lijnstuk AB. “Vandaag construeren we uit ieder punt A en B maar twee keer twee cirkels met gelijke straal.”
We komen nu tot de duidelijke conclusie dat de twee cirkels met middelpunt A en middelpunt B twee snijpunten hebben. Als we deze snijpunten verbinden, ontstaat er een rechte lijn die het lijnstuk AB precies middendoor deelt.
In deze tekening kunnen de kinderen op zoek gaan naar gelijke driehoeken en die met een kleur aangeven.

274

Na een uitvoerige introductie van de eerste basisconstructie kunnen de andere gewoon door middel van een korte instructie gegeven worden.

275

De regelmatige figuren

Nu de kinderen lijnstukken en hoeken kunnen verdelen en loodlijnen kunnen oprichten en neerlaten, gaan we verder met het construeren van de regelmatige figuren. Belangrijk is daarbij, dat we ook de eigenschappen en de namen van de figuren leren kennen.
Na de regelmatigheden in verschillende driehoeken gevonden te hebben (weten we nog van het twaalf-knopentouw van de Egyptenaren?), gaan we verder met de vierhoeken. Uit het vierkant ontstaan steeds onregelmatigere figuren, die steeds minder gemeenschappelijk hebben en tenslotte enig in hun soort zijn; wiskundige ‘individuutjes’.

Dit overzicht kan ook op een later tijdstip gebruikt worden om met de kinderen terug te kijken naar het werk in de periode.

276

Omgekeerd kan uit dit bijzondere weer het algemene voortkomen; uit een willekeurige vierhoek ontstaat weer het vierkant. De constructietekening kan de kroon op het werk van deze dagen zijn!

Al doende leren de kinderen de eigenschappen kennen en hanteren, zodat bijvoorbeeld opgaven als hieronder, geen moeilijkheden meer op hoeven te leveren:

• Construeer een vierkant met een zijde van 7 cm.
• Construeer een gelijkbenige driehoek met een basis van 6 cm en benen (opstaande zijden) van 8 cm.
• Construeer een ruit met zijden van 6 cm.

Dergelijke opdrachten kunnen de kinderen ook aan elkaar geven. Ze hebben veel plezier bij het controleren van de opgave. Wie knipte het eerst een zelfgemaakte figuur uit, om die vervolgens op het werk van de buurman te leggen? Klopt het? Had de opdrachtgever dezelfde ruit in gedachten als de buurman heeft geconstrueerd? Dit levert een mooi moment om hoeken nader te bekijken!!

Hoeken

Nog even de breuken:
We gaan terug naar de cirkel! We proberen ons de breukenperiode te herinneren: allerlei verdelingen van de cirkel(schijf).

We vertellen dat de Babyloniërs hun jaar in 360 dagen verdeelden en dan vijf godendagen eraan toevoegden. We laten zien hoe die 360 dagen geleid hebben tot de verdeling van de cirkel in 360 graden. Nu weten ze ook waarom een rechte hoek 90 graden is, en niet 100 graden, wat meer voor de hand zou liggen als ‘rekenaars van nu’ het voor het zeggen hadden.
We construeren een cirkel en kiezen vanuit het middelpunt twee loodrecht op elkaar staande middellijnen. We onderzoeken de hoeken die zijn ontstaan en de grootte, die we nu in graden gaan aangeven.

We kiezen ook willekeurige middellijnen en vinden de scherpe hoek, de stompe hoek en de gestrekte hoek.

277

Ik sprak af dat de kinderen deze week iedere ochtend tenminste één keer op de klok moesten kijken. Achter in het schrift moest de klok schematisch met de wijzers worden weergegeven. “Hoe groot schat je de hoek tussen de wijzers in graden? Hoe heet de hoek?”
Een wilsoefening, want had ieder kind aan het eind van deze week wel iedere dag gekeken? En een goede oefening voor het schatten van hoeken.

We zien ook de halve gradenboog op de geodriehoek en leren daarmee hoeken in graden nauwkeurig aan te geven.
Met veel plezier voeren de kinderen opdrachten uit, zoals: “Construeer een ruit met een zijde van 6 cm en een hoek van 60 graden.”
“Heeft de buurman, die de opdracht ook uitvoert, nu weer een andere ruit?”
En is het een heel mooie dag, dan ‘doen’ we deze opdrachten ook weer eens in het groot met stoepkrijt op het plein. Juist bij dit samenwerken gaat menig kind, waarvoor het werk nog niet al zijn geheimen had prijsgegeven, een lichtje op!

Tot slot: veel bleef onbesproken. Hopelijk is duidelijk geworden dat meetkunde voor de kinderen een geweldige ervaring is, maar dat er stevig doorgewerkt moet worden. Want iedere leerkracht wil de kinderen juist deze laatste mooie constructies niet onthouden.

Er zijn tekeningen, die zich lenen om eens in het groot te worden uitgevoerd. En wat een verrassing, als er in de pauze op het grote speelplein zo’n mooie vorm in prachtige kleuren is ontstaan.
Een tentharing met een touw en een krijtje is een uitstekende passer! En je kunt er heel grote cirkels mee maken.

278

Van oefenuren naar zelfstandig werken

Over oefenen, bijhouden, inslijpen, toepassen, beoefenen en zelfstandig werken

De discussie over oefenuren

Spreken we in de vrijeschool over oefenuren voor rekenen, dan bedoelen we de tijd die tussen twee rekenperioden aan rekenen besteed wordt. Het woord oefenuren is ingeburgerd, maar de term werkuren (of zelfstandig werken) dekt de lading beter. Hoe het ook zij, oefenuren behoren eigenlijk niet bij onze visie op rekenonderwijs. In de rekenperioden zelf dient het karwei geklaard te worden; de introductie, de verkenning, de verdieping en de oefening. Deze fasen in het leerproces zouden elk op hun tijd voldoende aandacht moeten krijgen, wat een kwestie is van het economisch inrichten van de beschikbare tijd.
De erop volgende periode, waarin een ander vak in het hoofdonderwijs gegeven wordt, is van belang voor rekenen – hoewel er geen rekenlessen worden gegeven- omdat het geleerde dan kan bezinken. De kinderen moeten dan op het gebied van rekenen even tot rust komen; de zojuist verworven inzichten behoeven niet meteen parate kennis te zijn. Meestal lijkt het alsof veel van het geleerde vergeten wordt en dat het weer heel wat herhaling en onderwijs zal vergen om het belangrijkste ervan weer in het bewustzijn te brengen. Maar wie de ontwikkeling van kinderen observeert, ziet ook dat op onverwachte momenten van herinnering nieuwe inzichten -en daar gaat het nu net om- optreden. De stof is blijkbaar niet vergeten, heeft zelfs nog doorgewerkt en er is iets tot stand gekomen, dat er voordien nog niet was.
Zo is de filosofie van het periodeonderwijs in de vrijeschool. De praktijk van het onderwijs is evenwel weerbarstiger. Reeds in de tijd van Rudolf Steiner werden twee rekenwerkuren ingevoerd omdat het met het rekenen slecht gesteld was. Sindsdien zijn zulke wekelijkse uren op het lesrooster terechtgekomen.
Thor Keiler (zie Gedanken zu den Üb- und wiederholungsstunden uit Lehrerrundbrief nr.46, okt. ’92) heeft ze in zijn klas om principiële en praktische redenen weer afgeschaft. De praktijk wees uit dat de oefenuren niet goed voorbereid konden worden omdat het hoofdonderwijs alle voorbereidingstijd opeiste, dat de oefenuren voor rekenen (wiskunde) teveel van de tijd van het andere vak afsnoepten en dat het zelfs voorkwam dat de oefenuren (oneigenlijk) besteed werden aan bijvoorbeeld het schrijven in het periodeschrift. Het ergste was dat de zwakke leerlingen niet geholpen waren met de oefenstof en de andere leerlingen zich verschrikkelijk zaten te vervelen. In plaats van een krachtige impuls aan het reken-wiskundeonderwijs te geven, werkten de oefenuren verlammend.

De bovenstaande analyse van de situatie in de schoolklassen met betrekking tot het rekenonderwijs, is heel actueel. Het pedagogische principe is duidelijk, maar de praktijk vraagt om aanpassingen. Zwakke rekenaars hebben extra zorg nodig, een grote groep leerlingen moet leren zich te concentreren en zelfstandig te werken. Elke leerling en ook de leraar vindt het prettig als iedereen eens goed voor zichzelf bezig is. Automatiseren heeft oefentijd nodig. Leerlingen die ziek zijn geweest moeten weer bij kunnen komen zonder dat het om extra (t)huiswerk vraagt en zonder dat de anderen daar onder lijden. Het is daarnaast ook belangrijk dat kinderen leren in alle rust systematisch en ordelijk te werken.
Kijken we naar onze leerlingen dan constateren we dat ze het erg druk hebben met buitenschoolse activiteiten en media-verstrooiing. De concentratie neemt af en de conventionele leerstof beklijft moeilijker. Tegelijkertijd beschikken ze enerzijds over veel informele kennis en anderzijds over veel onverteerde informatie. Daarbij zijn ze meer dan wakker, rap en soms zeer vaardig met de tong.

279

Er komt bij, dat een toenemend aantal kinderen steeds meer moeite heeft de leerstof te onthouden. Ook al is er in de periode efficiënt geoefend, dan nog beklijft niet alles. Deze kinderen zullen veel hebben aan momenten dat er zelfstandig gewerkt wordt.
In de hogere klassen hebben we bovendien te maken met een veelheid aan onderwerpen, bijvoorbeeld in klas zes:

• Verder werken aan de breuken-bewerkingen
• Verhoudingen
• Schaal-begrip (kan ook eerder behandeld worden)
• Redactie vraagstukjes
• Procenten
• Renteberekening en rente-formule
• Bruto, netto, tarra
• De eerste algebra (zo men daar aan toekomt)
• Afronding van het cijferen, deelbaarheid.

Per periode moet er een keuze gemaakt worden uit de onderwerpen, globaal zullen er zo’n drie rekenperioden zijn. Het kan dus lang duren voor een onderwerp, in de periode althans, terugkomt.

Kortom, goed voorbereid, didactisch doordacht en creatief ontworpen materiaal voor rekenwerkuren voorziet in een behoefte.
Tegelijkertijd weten we dat de praktijk van de oefenuren er anders uitziet: geen voorbereidingstijd, weinig geschikt materiaal, kopieën uit rekenboekjes uit lang vervlogen tijden (Naar Zelfstandig Rekenen schijnt nog hoog te scoren …!?), instrumentele uitleg, met als resultaat het ontstaan van weerzin tegen het vak rekenen.

Conclusies:
• Richt in eerste instantie het hoofdonderwijs economisch in, dat wil zeggen verdeel de tijd evenwichtig over de genoemde fasen van het leerproces.
• Creëer, indien gewenst, tussen de rekenperioden een aantal uitgekiende rekenwerkuren met een duidelijke doelstelling en een creatieve invulling.
• Verzamel voortdurend materiaal dat gebruikt kan worden om dergelijke uren van een goede invulling te voorzien.

Economisch werken in het periode-onderwijs

Eigenlijk zou de ‘bekende stof in elke periode een vast onderdeel moeten zijn, bijvoorbeeld aan het begin. Hier zou een halfuur d drie kwartier voor uitgetrokken kunnen worden. Zo ontdekken de kinderen ook wat ze wel en niet beheersen. In de hogere klassen wordt dit steeds belangrijker, dit besef van wat ze wel en niet weten. Als we er niet toe komen de stof in de periode te oefenen, kan in de volgende rekenperiode het gevoel ontstaan dat we weer opnieuw kunnen beginnen. De leerstof is weggezakt en in de vergetelheid terecht gekomen. In het werken aan bekende stof kan vaak de nieuwe stof al voorbereid worden, zodat het nieuwe van meet af aan ingebed is in wat gekend wordt en niet ondersneeuwt in wat weggezakt is en daarom ‘even’ herhaald wordt. Dat vraagt om een programmatische en didactische doordenking vooraf. Is de nieuwe stof behandeld dan kan deze eveneens naar het begin van de dag ‘verhuizen’. Het is belangrijk dat gedurende een aantal dagen de stof geoefend wordt; dan pas kunnen we van inslijpen spreken. Dan ontstaat de vaardigheid om ook met die stof om te gaan.
Complete muzieklessen aan het begin van de dag moeten vermeden worden. Een kort dagbegin en vervolgens van start met rekenen, om de twee uur zo optimaal mogelijk te benutten. Aan het eind van de periode kunnen de kinderen zelf aangeven waar ze nog moeite mee hebben. Ze kiezen dan zelf uit waar ze nog aan zullen werken. Dit betreft dus de stof, die door de periode heen                                 steeds herhaald is.

280

Rekenwerkuren 

Tussen de rekenperioden zouden er wekelijks één of twee rekenwerkuren kunnen worden ingericht. Daarbij kunnen we denken aan werkbladen die eventueel ook thuis afgemaakt kunnen worden. Het voordeel hiervan is, dat het huiswerk gekoppeld is aan een vaste dag in de week.
De leerkracht zou tijdens de periode al werkbladen kunnen maken, die het behandelde herhalen. Hij zit dan goed in de stof en maakt zo ‘werk op maat’ voor zijn klas. Van ieder werkblad zijn er een paar exemplaren. Met sterretjes zou de moeilijkheidsgraad op het werkblad aan te geven zijn, zodat kinderen zelf hun niveau kunnen kiezen. De kinderen werken de vragen dan in hun schrift uit. Het voordeel is dat het niet voor iedereen gekopieerd hoeft te worden en dat niet iedereen aan hetzelfde werkt.
Het blijkt voor kinderen een stimulans te zijn om aan een opdracht te werken, die ook al door een ander gemaakt is.

De rekenwerkuren zijn bedoeld om:

• het vaardig rekenen van de hele klas op peil te houden
• parate kennis in te slijpen
• achterblijvers op maat te helpen
• vaardigheden en inzichten creatief toe te passen

Thematisch onderwijs

Een andere invulling voor de zelfstandig werkuren is het rekenen in het kader van een ander vak, dat op dat moment in het periode-onderwijs naar voren komt, zoals bijvoorbeeld in de geschiedenisperiode de indeling van een tijdbalk of de kalender. En in de aardrijkskundeperiode het uitwerken van de schaal of het verrichten van metingen rond het weer. Hierdoor worden de vakken geïntegreerd. Taal speelt in elke periode een grote rol.
Hoe zit het in dit verband met het rekenen? Rudolf Steiner heeft vaak gewezen op de samenhang tussen de verschillende vakken en de mogelijkheden om daar optimaal gebruik van te maken. Wat een plezier geeft het om bij Engels te ontdekken, dat men in het United Kingdom de getallen precies omgekeerd benoemt! De tafels opzeggen in het Duits is ook geen verspilde tijd!

Wanneer beginnen met de rekenwerkuren?

De praktijk wijst uit dat als men al in de derde of vierde klas begint met een uurtje rekenen, buiten het hoofdonderwijs, dit nog niet ‘werkt’. De kinderen zijn dan nog niet in staat zich te concentreren op een activiteit, die eigenlijk in het hoofdonderwijs thuishoort.
In de vijfde klas kan het wel werkzaam zijn.
Voor het individueel helpen van zwakke rekenaars kan en moet al eerder tijd worden vrijgemaakt.

Kort rekenen aan het begin van de dag

Een mogelijkheid om bepaalde onderdelen van het rekenen bij te houden is het dagelijks oefenen, buiten de rekenperiode. Dit hoeft zeker geen rekenles te worden en mag hooguit vijf d tien minuten duren. Hier kan gedacht worden aan hoofdrekenen of aan het oefenen van tafels. Hoofdrekenen kan zowel mondeling als (gedeeltelijk) schriftelijk gebeuren. We kunnen ook denken aan een staartdeling die ’s morgens al te wachten staat op het bord.
Ook kunnen kinderen die moeite hebben met bepaalde onderdelen van het rekenen, elke dag een eigen oefening krijgen. Deze kan ook liggen op het vlak van de lichaamsgeografie of de ruimtelijke oriëntatie.

281

Samenhang in de zelfstandig werkuren

Door de weken heen kunnen we wat lijn in de rekenwerkuren brengen door één thema bijvoorbeeld vier weken lang te herhalen. Achtereenvolgens kunnen zo verschillende aspecten aan bod komen. Het wordt ook pas echt oefenen als de stof die problemen oplevert, de week daarop in dezelfde of in een andere vorm terugkeert.

Rekenwerkuren ten tijde van de rekenperiode?

In eerste instantie gaat het om rekenwerkuren tussen de rekenperioden. Drie uur achter elkaar rekenen op één dag is teveel. Het rekenwerkuur kan dan beter een andere invulling krijgen.

Als het rekenwerkuur in de middaguren plaatsvindt en een heel ander onderwerp heeft dan in de rekenperiode behandeld wordt, kan het juist zinvol zijn dit niet te onderbreken. Het hangt er ook vanaf welke werkvormen daarbij gehanteerd worden. Als de invulling gericht is op zelfstandig werken aan een eigen opdracht, verdient het wellicht aanbeveling de leerlingen hier juist wel aan te laten werken.

Taakuren

Voor veel kinderen in de vijfde klas wordt het echt nodig om rekenwerkuren in te richten, omdat ze meer ervaring met het aangeboden onderwerp moeten opdoen dan er binnen de periode mogelijk is. In de zesde en zevende klas is het eveneens zinvol om een rekenwerkuur in het rooster te hebben, maar daarnaast zou er een taakuur kunnen worden ingericht om verschillende kinderen eens extra met het rekenwerk te helpen. De overige leerlingen krijgen dan andere opdrachten omdat voor hen het rekenwerk nooit problemen geeft en zij in het rekenuur al extra materiaal hebben verwerkt. In het taakuur zou de ‘kaartenbak’ heel goed gebruikt kunnen worden. Deze kaartenbak bevat allerlei opdrachten waarmee de leerlingen zelfstandig aan het werk kunnen. De kinderen kiezen zelf een kaart uit de bak en kijken het werk ook weer zelf na. De kaarten zouden ook betrekking kunnen hebben op het reilen en zeilen van de school. Kinderen kunnen zich zo ook nog eens bewust worden wat er zoal nodig is aan brandstof, elektriciteit, of welke consequenties een gebroken ruit heeft.

Uit de kaartenbak:

1 Het zand in de grote zandbak moet ververst worden.
a) Hoeveel kubieke meter oud zand moet er afgevoerd worden?
b) Hoeveel kubieke meter zand gaat in de bak wanneer ik hem tot aan de rand vul?
c) Het zand klinkt tien procent in, hoeveel centimeter staat het zand onder de rand van de zandbak?

2 Met één pot lakverf kun je tien vierkante meter schilderen. Hoeveel potten zijn nodig om alle binnendeuren van de gang twee keer te lakken?

3 De klas lager is nu bezig met het onderwerp … Maak een lijstje van punten die daar mee te maken ‘hadden’. Herinner je je nog hoe jij die dingen vorig jaar hebt geleerd en begrepen? Dat kun je dan goed gebruiken om iets voor die kinderen te maken. Kies er een leuk onderwerp uit en maak daarover zelf een werkblad. Vergeet niet er een antwoordenlijstje bij te maken.

Aan de keuzen die leerlingen maken, kan de leraar zien waartoe zijn leerlingen in staat zijn.

282

Herhaling van de leerstof

Het is een goede gewoonte de leerstof van een heel jaar in de laatste weken van het schooljaar te herhalen. Zo komt alles, de nieuwe leerstof inclusief de vaardigheden die hierin ontwikkeld zijn, nog weer eens terug in verkorte vorm.

Rekenen in praktijk situaties

Een zeer belangrijk onderdeel van het rekenen is het toepassen van de kennis en de verworven vaardigheden. De verhaalsommen, de vroegere redactiesommen, hebben hun plaats in het geheel. Het leren lezen van een vraagstuk en vervolgens zelf een oplossingsmethode zoeken, is een belangrijke oefening die juist in hogere klassen meer aandacht kan krijgen. Veel kinderen hebben moeite om de gegevens te verzamelen, die nodig zijn voor het beantwoorden van een vraag. Deze vraagstukjes, eigenlijk ook een vorm van begrijpend lezen, kunnen een vaste plaats hebben in het rekenwerkuur.
Daarnaast kunnen kinderen ook zelf opgaven maken, waarbij ze zelf gegevens, bijvoorbeeld uit de krant of een folder, verzamelen, gegevens schattenderwijs bedenken of berekeningen (uit de krant) controleren op hun werkelijkheidswaarde. Juist zulk rekenen is verwant aan het rekenen van alle dag, waarbij ook niet alle gegevens panklaar aanwezig zijn. Zulke opgaven kunnen weer een plaats krijgen in de kaartenbak.

.In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

Vormtekenen: alle artikelen
Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, uitverkocht. (Scan via vspedagogie@gmail.com)
Meetkunde: alle artikelen
Periodeonderwijs: alle artikelen

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.

Rekenen klas 4: alle artikelen

Rekenen klas 5alle artikelen

Rekenen klas 6: alle artikelen

Meetkunde klas 6: begin van een periode

Rekenenalle artikelen op deze blog

 

2455

 

.

VRIJESCHOOL – 8e klas – meetkunde (1-1)

.

In de meetkundeperioden in klas 6 leren de kinderen de hoeken kennen. Meestal komt in de 8e klas iets van stereometrie aan bod en vaak zie je daar dat de Platonische lichamen worden behandeld.
Hieronder een paar voorbeelden en aanwijzingen:

REGELMATIGE VEELVLAKKEN

In het platte vlak kennen we regelmatige veelhoeken. Van zo’n veelhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken even groot. Voor elk getal n, groter dan 2, bestaat er een regelmatige n – hoek. De grootte van elk van de hoeken bedraagt

n – 2    . 180    
  n

Bijvoorbeeld:  een driehoek:  n = 3, -2 = 1, : n = 3  = 1/3 x 180° = 60°
voor een vierhoek: n = 4, – 2 = 2, : n= 2 = 1/2 x 180° = 90°,
voor een vijfhoek: n = 5, – 2 = 3, : n = 5 = 3/5 x 180 = 108°  enz.

In de ruimte verstaan we onder een regelmatig veelvlak een figuur waarvan alle zijvlakken congruent zijn, en bovendien alle een regelmatige veelhoek zijn.

Er blijken slechts vijf regelmatige veelvlakken te bestaan. Om dit in te zien, bekijken we eerst een vlak vol regelmatige zeshoeken.

In een hoekpunt vullen drie zeshoeken precies de 360° rond het punt op. We kunnen daarom in het hoekpunt geen ruimtelijke kromming met de drie zeshoeken tot stand brengen, want de hoeken zouden dan samen kleiner dan 360° worden. Met meer dan drie zeshoeken kan het in elk geval ook niet, want 4 x 120° is helemaal te veel. En met twee zeshoeken kan het evenmin: dit zou een platte figuur opleveren óf er zouden ‘gaten’ vallen.

Met vijfhoeken dan? Drie hoekpunten zouden kunnen want 3 x 108° is minder dan 360°.
Vier vijfhoeken kunnen weer niet in één punt samenkomen, want dan zitten we boven 360°.

De vierkanten. Drie zou kunnen want 3 x 90° is minder dan 360°. Vier is al te veel, want 4 x 90° = 360°

Tot slot de driehoeken. Omdat de hoeken slechts 60° zijn, kunnen in elk hoekpunt van het veelvlak drie (3 x 60=180) of vier (4 x 60 = 240) of vijf (5 x 60=300) zijvlakken samenk0men.

Samenvattend zijn dus maximaal mogelijk: één regelmatig veelvlak van vijfhoeken,
één regelmatig veelvlak van vierkanten,
drie regelmatige veelvlakken van driehoeken.

Deze veelvlakken bestaan alle vijf. 

– het twaalfvlak van vijfnoeken,
– het zesvlak van vierkanten (beter bekend als kubus), 
– het twintigvlak van driehoeken,
– het achtvlak van driehoeken,
– het viervlak van driehoeken.

De bouwtekening spreekt voor zich. Op de lijnen uitsnijden, op de stippellijntjes vouwen (lipjes eventueel iets langer laten). Vooraf een koordje door het gaatje van binnenuit, en dan lijmen en plakken.

Enkele theoretische bijzonderheden.
Om te beginnen kan men de formule van Euler voor de veelvlakken controleren:

AANTAL RIBBEN + 2 = AANTAL VLAKKEN + AANTAL PUNTEN

Bij de regelmatige veelvlakken valt bovendien op:

20-vlak: 12 hoekpunten,
12-vlak: 20 hoekpunten,
t8-vlak: 6 hoekpunten,
6 – vlak: 8 hoekpunten,
4-vlak: 4 hoekpunten.

Daar kan je iets mee te doen:

alle middelpunten van de vlakken in een 20 – vlak vormen precies de hoekpunten van een 12 – vlak en omgekeerd.
En net zo voor 8 – vlak en 6-vlak (gemakkelijk na te gaan in een tekening van een kubus).
En in een viervlak vormen de middelpunten van de vlakken de hoekpunten van een kleiner viervlak.

De overgang 20 ↔ 12-vlak en 8 ↔ 6-vlak is terug te vinden in de ‘mooiste opstelling’.
Voor een 20-vlak lijkt de natuurlijke stand die met een punt naar boven (en beneden); voor een 12 -vlak die met een vlak naar boven.
Voor een 8-vlak weer een punt naar boven, een kubus staat gewoonlijk weer op een vlak.
Probeer dat eens te verwisselen. Als het vouwen en plakken goed is gedaan, maakt het niet uit, welk vlak als grondvlak dienst doet.

viervlak = tetraëder

 

zesvlak = kubus: hexaëder

achtvlak: octaëder

 

twaalfvlak: dodecaëder

twintigvlak: icosaëder

.

8e klas: alle artikelen

.

2017

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 8e -12e klas – meetkunde

.

Dit is een overzicht van onderwerpen die in de verschillende klassen van de bovenbouw aan de orde komen.
Of wellicht kwamen. Het is mij niet bekend hoeveel mogelijkheden de middelbare vrijescholen nog hebben om, door exameneisen, het vrijeschoolleerplan nog te kunnen uitvoeren.

MEETKUNDE KLAS  8 T/M 12

8e klas

In 7 weken periodeonderwijs kan heel wat gedaan worden. Meestal worden deze 7 weken verdeeld in 2 periodes van resp. 3 weken, bijv, één in de herfst en één in de lente voor zover dit roostertechnisch mogelijk is.

In de eerste periode komen de bekende meetkundige figuren aan de orde zoals vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit, vlieger, trapezium waarvan de oppervlakte nu berekenbaar is zo ook van de driehoek.

De oppervlakte van een rechthoek is lengte x breedte.

Wat is nu de oppervlakte van een driehoek? Deze blijkt de helft van de basis x hoogte te zijn:

Hebben twee driehoeken dus dezelfde basis en dezelfde hoogte maar voor de rest zijn ze verschillend, dan is toch hun oppervlakte gelijk:

 

Verder komen aan de orde het meetkundig vermenigvuldigen van een figuur ten opzichte van een punt. Gelijkvormigheid van figuren vloeit hier als vanzelf uit voort:

Een begin wordt gemaakt met de ruimtelijke meetkunde door de vijf platonische lichamen knippend en plakkend van papier te maken.

In de tweede periode staan de “puntverzamelingen” centraal. Dit houdt het volgende in. Tot nu toe is een lijn een lijn, een cirkel een cirkel. Nu komt het moment om een lijn als een verzameling punten te zien die op een rij liggen. Zo is de cirkel te beschouwen als een verzameling punten die alle even ver van één centraal punt af liggen. Ais je alle punten neemt die even ver van een lijn L als van een punt P liggen dan krijg je een kromme die we de parabool noemen:

Alle punten die even ver van een centraal punt P liggen, vormen een cirkel

 

 

 

 

 

 

Alle punten die even ver van een punt P als van een lijn l af liggen vormen een parabool.

Op soortgelijke wijze kun je nu komen tot geheel nieuwe meetkundige figuren, nl. de ellips, de hyperbool, de cassinische curven met name de lemniscaat en de cirkels van appollonius. Dit alles wordt door de leerlingen met grote nauwgezetheid geconstrueerd.

Cassinische curven i.h.b. de lemniscaat

9e klas

Zoals in de periode Nederlands de tegenstelling sentimentaliteit – rationaliteit behandeld wordt zo wordt in de meetkunde het thema cirkel-lijn aangeroerd.

De omtrek van een cirkel blijkt 3 à 4 keer zo lang te zijn als zijn straal. Bij nadere bestudering blijkt het 3,14 keer zo lang te zijn. Maar ook dit getal blijkt niet nauwkeurig. Uit de geschiedenis is bekend dat reeds de oude Egyptenaren en de Grieken zochten naar dit getal, (het zgn. getal pi =  π). Het aantal decimalen waarin men kon vastleggen werd steeds groter totdat in onze tijd de computer in staat is tot op 1,  2 miljoen decimalen te berekenen. Met dit getal kunnen we ook de oppervlakte van een cirkel uitrekenen.

Verder maken we in deze periode kennis met begrippen als middelpuntshoeken, omtrekshoeken, booggraden, de stelling van Thales enz. dit alles in het kader van de cirkelmeetkunde:

Alle hoeken waarvan het hoekpunt op de omtrek van de cirkel ligt, zgn. omtrekshoeken, zijn alle even groot, omdat ze dezelfde cirkelboog snijden.

De platte meetkunde wordt nu verlaten en de ruimte-meetkunde, de stereometrie, wordt betreden. In de 8e hebben we de platonische lichamen geknipt en geplakt; nu worden ze getekend alsmede uitslagen ervan gemaakt. Onderlinge samenhangen worden ontdekt en samengevat in de stelling van Euler. Het begrip dualiteit krijgt inhoud. Ook de ontdekking van Keppler in de 15e eeuw dat ons planetenstelsel opgebouwd is volgens platonische lichamen wordt behandeld.

Kubus en achtvlak zijn onderling duaal, d.w.z. dat de kubus evenveel zijdevlakken als de oktaeder hoekpunten heeft en omgekeerd.

10e klas

De stereometrie wordt nu verder verkend. Lichamen met platte vlakken, kubus, blok, piramide, prisma laten we doorsneden worden door willekeurige platte vlakken. De doorsnijdingen kunnen we nauwkeurig construeren. Punt, lijn en vlak zijn de elementen waarmee we de fysieke ruimte ai denkende doordringen, parallel aan de natuurkunde waarin de fysische processen met name de mechanica nu denkend verkend worden. Ook de periode landmeten sluit hier goed op aan. Op de aarde staand van je omgeving een nauwkeurige plattegrond maken luidt hierbij de opdracht. Technische hulpmiddelen zijn meetlint en theodoliet (hoekmeter). Wiskundige hulpmiddelen zijn hierbij de goniometrie en de trigonometrie de z.g. driehoeksmeetkunde. Deze is in de algebraperiode en in de vaklessen flink geoefend om nu toegepast te kunnen worden.

Constructie ter bepaling van de doorsnijding van het scheve prisma door een vlak dat door de grondlijn en door P gaat.

We meten de hoeken A1, A2, B1 en B2 en de afstand tussen A en B en met de cosinusregel en de sinusregel zijn we in staat de afstanden tot het torentje en de antenne alsook de onderlinge afstand tussen beide te berekenen. Rekenmachientje toegestaan, waarna op schaal de plattegrond gemaakt kan worden.

11e klas

In de 11e klas wordt het assenkruis ingevoerd, ofwel het coördinatenstelsel, uitgevonden door de Fransman Descartes. Lijn, parabool, hyperbool, cirkel, figuren die we in de 8e klas als puntverzameling hebben leren kermen, zijn nu te vangen in een algebraïsch verband tussen 2 coördinaten, een formule. Algebra en meetkunde ontmoeten elkaar hier en het oplossen van vergelijkingen, ontbinden in faktoren, merkwaardige producten waarmee de leerlingen jarenlang gepijnigd zijn in de vaklessen, blijken hier zichtbaar gemaakt te kunnen worden en uiterst nuttig te zijn.

parabool                                                                                                      lijn

Y= X  – 4                                                                                               Y = X + 2

 

 

 

Snijpunten van parabool en lijn vinden we door gelijkstelling:
x2 – 4 = x + 2
verder uitwerken:

 

x2 – x – 6 = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 2           x = 3
↓                 ↓

y = 0          y = 5

Dus punt A ( -2,0)  en B (3,5) zijn de snijpunten van parabool en lijn.

Dezelfde bovengenoemde figuren komen ook weer te voorschijn als de kegelsneden behandeld worden. Daarmee wordt het volgende bedoeld.

Als we een kegel laten snijden door een plat vlak dan is de doorsnijding van dit vlak met de kegel een meetkundig figuur, welk figuur hangt af van de stand van het vlak t.o.v. de kegel. Hiermee wordt de “Griekse” meetkunde afgesloten

Verder is het streven om in deze klas een begin te maken met de projectieve meetkunde*

Omdat hier nog ervaring mee moet worden opgedaan, gaan we hier niet verder op in.

De 12e klas

De 12e klas zet als het goed is een kroon op een ontwikkeling die 12 jaar duurt. Van een meetkunde periode is echter niet meer sprake, wel van een
bouwkundeperiode, waarin veel meetkundige vaardigheid toegepast wordt.

De opdracht luidt namelijk: ontwerp je eigen huis.

Wel degelijk is er een wiskunde-periode dit jaar, doch deze weken worden gebruikt om ingewijd te worden in de geheimen van het differentiëren en integreren.

L. Bronkhorst, Karel de Grote College, Nijmegen, datum onbekend

.

Meetkunde: alle artikelen

.

VRIJESCHOOL  in beeld: meetkunde klas 6

.

1624

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (5)

.

VOORBEREIDENDE MEETKUNDE

Gedurende de kinderleeftijd moeten rekenen en meetkunde zo gegeven worden, dat ze bij de leeftijd van het kind passen.
Rudolf Steiner heeft het over een levendigheid in het doen en laten van de mens die daaruit kan ontstaan.
De symmetrie is daarbij heel belangrijk.
De tekeningen die hieronder volgen zijn bedoeld als een kunstzinnig, geen intellectualistisch begin.
Van hier naar het bewijs van de stelling van Pythagoras in de 7e klas, is nog een lange weg. [1]  [2]

Deze bijdrage over de driehoeken is gedacht voor de 4e tot de 6e klas als waarnemende meetkunde.

Onder de vele verschillende driehoeksvormen bevinden er zich een paar die door hun symmetrie en hun ‘karakter’ bijzondere aandacht verdienen. Een nadere kennismaking met deze eenvoudige geometrische figuren is buitengewoon stimulerend.

Eerst noemen we de gelijkzijdige driehoek, het is de oerdriehoek. Behalve de drie zijden zijn ook de drie hoeken gelijk (60º).
De hoogtelijnen, bisectrices, middelloodlijnen en zwaartelijnen zijn allemaal even groot en gaan alle door één punt dat we ‘middenpunt’noemen. Die is tegelijkertijd zwaartepunt, middelpunt van de ingeschreven cirkel en van de omgeschreven cirkel. De lijnen zijn symmetrie-assen:

De halve gelijkzijdige driehoek is rechthoekig, heeft dus een hypotenusa en twee rechthoekszijden. Door het halveren is de symmetrie verloren gegaan. Het verschijnsel links – rechts treedt op. Naast de rechte hoek is de hoek van 30º ontstaan. We gebruiken deze driehoek van hout of kunststof om te tekenen. Er zijn twee soorten, met een linker en een rechter helft die je niet op elkaar kan leggen zonder ze om te draaien. Een halve gelijkzijdige driehoek is meer dan alleen maar een helft:

De gelijkbenige rechthoekige driehoek kan ook als een een half vierkant worden beschouwd. Die is eveneens rechthoekig, heeft echter twee even lange zijden; daardoor is die eveneens nog gelijkbenig. Er is een hoek van 45º, de driehoek heeft een symmetrie-as. Ook deze driehoek gebruiken we als tekendriehoek:
Tot slot moet het paar ‘gouden driehoeken‘ worden genoemd. Het gaat om de driehoeken waarvan de zijden in de verhouding van de ‘gulden snede’ staan. Omdat we een lange en een korte zijde hebben, kunnen we daarmee twee verschillende driehoeken maken: één met twee lange en een korte zijde en één met een lange en twee korte zijden:

 

De eerste noemen we de ‘scherpe gouden driehoek’ en de tweede de ‘stompe gouden driehoek’. Beide zijn gelijkbenig. Er ontstaan hoeken van 36º, 72º en 108º.

Nu moeten deze driehoeken zichzelf karakteriseren. Daartoe proberen we uit een van de driehoeken figuren te maken. Wat er zich aan mogelijkheden voordoet, is verbazingwekkend groot, hier kan er slechts een deel van worden weergegeven.

Uit zes gelijkzijdige driehoeken ontstaat een zeshoek:

Dit is de basisfiguur
We klappen de driehoeken een voor een naar buiten om en krijgen de zesster:

Klappen we ieder tweede punt weer naar binnen, dan ontstaat er een vergrote gelijkzijdige driehoek:

De randen zijn drie keer zo lang, het vlak is negen keer zo groot.
Wanneer we in de onderste rij de buitendriehoeken naar binnen en de binnendriehoek naar buiten omklappen, ontstaat er een grote ruit:

Hoe de zesster uit de basisfiguur door een gelijktijdig draaiende en verschuivende beweging van alle driehoeken ontstaat, wordt aan de vindingrijkheid van de lezer overgelaten.

De halve gelijkzijdige driehoek biedt ons meer mogelijkheden. Twee gelijke (linker of rechter) laten twee verschillende parallellogrammen of een rechthoek ontstaan:

Van verschillende kunnen we een stompe driehoek maken of een vliegerfiguur:

De derde mogelijkheid geeft de gelijkzijdige driehoek aan ons terug. Vier gelijke helften doen een vierkant ontstaan, waarin een tweede, kleinere, uitgespaard is:

We klappen de driehoeken naar buiten om en hebben dan weer een gelijke (niet in meetkundige zin!) figuur voor ons:

Uit drie paren ontstaat een grote gelijkzijdige driehoek:

Wanneer we alle driehoeken omklappen, hebben we een zeshoek voor ons waarin de oorspronkelijke driehoek uitgespaard is:

Zes gelijke driehoeken vormen twee zeshoeken in elkaar:

en twaalf gelijke driehoeken zowaar een twaalfhoek:

Een opdracht:
Uit zes gelijke driehoeken een zesster maken. Hierbij ontstaat een beweeglijke figuur die wat het middelpunt betreft symmetrisch is.

De gelijkbenige rechthoekige driehoek stelt een beetje teleur: die heeft niet zo’n grote vormenrijkdom te bieden. 2, 4, 8, 16, enz. laten zich tot een vierkant voegen. Maar ook achthoeken!:

De lezer moet zelf de twee verschillende achtsterren vinden waarin de afgebeelde achthoek veranderd kan worden.

Een vrolijke combinatie vertoont 18:

Nu wat betreft het ‘gouden driehoekspaar‘.
Door ze passend bij elkaar te zetten, herhalen ze zich zelf afwisselend in een steeds groter wordende vorm. In afb. 19 is met de scherpe driehoek links begonnen, daarbij een stompe geeft een vergrote stompe. De middelste, schuin op de punt staande scherpe driehoek daarbij, leidt tot een grotere scherpe, die net zo staat als de begindriehoek. Nog een stompe en een scherpe erbij en we krijgen die in afb. 19 getoonde grote stomphoekige driehoek. Daarmee kun je willekeurig verder gaan:

Hoe zou de afbeelding afgemaakt moeten worden om de eerst volgende grotere rechthoekige gouden driehoek te maken?

Een scherpe en twee stompe vormen een vijfhoek:

Van vijf scherpe driehoeken kunnen we het pentagram leggen:

Maar ook vijf stompe driehoeken laten dit rijke teken verschijnen, dit keer als binnenvorm:

Klappen we alle driehoeken naar buiten om, zien we twee vijfhoeken:

Dat betekent niet dat de scherpe driehoek op zich geen vijfhoek zou kunnen doen ontstaan:

Kenners zullen de positie van de driehoeken in afb. 25 in de voorstelling zo metamorfoseren dat enerzijds de vijfhoek van afb. 24 en anderzijds het pentagram van afb. 21 ontstaat:

De mooie ‘tienhoekkrans’ van tien stomphoekige driehoeken is het slot van deze ‘tentoonstelling’.

Natuurlijk kunnen tien scherpe driehoeken ook een tienhoek vormen en ook een tienster.

Als we het samenvatten:
De gelijkzijdige driehoek doet de zeshoek en de zesster ontstaan; ze is verwant met de getallen 3 en 6. Je kan er vierhoeken mee maken, maar geen vierkant; ook geen rechthoek.
Links en rechts van de halve gelijkzijdige driehoek zorgt voor beweeglijkheid. Door de rechte hoek kunnen ook de rechthoek en het vierkant ontstaan. De relatie met de getallen 3 en 6 blijft natuurlijk bestaan, nieuw is de twaalfhoek. We vinden dus verwantschap met de getallen 3, 4, 6 en 12.
De verwantschap van de gelijkbenige rechthoekige driehoek met de getallen 4 en 8 is duidelijk.
De ‘gouden driehoeken‘ verrassen ons door het ontstaan van het pentagram. Er is verwantschap met de getallen 5 en 10.

Waar haal je nu die driehoeken? Je kan ze van karton maken, bijv. Om ze voor de klas te kunnen laten zien, kan je ze met gekleurd karton en klittenband op het bord ‘plakken’.
.

Walter Kraul, Erziehungskunst jrg. 34 -04-1970
.

[1] Die wordt soms ook in klas 6 behandeld.

[2] Onder meetkunde alle artikelen vind je de reeks 2-3/1  t/m 2-3/4 als mogelijke weg naar dit doel.
.

De schrijver van het artikel heeft uit gekleurd hout een ‘vierhoek-vijfhoek- en zeshoeklegspel’ uitgebracht. De verschillende afmetingen van gelijkvormige driehoeken in de legspellen geven nog meer vormenrijkdom dan de hier getoonde voorbeelden.
Bij de genoemde uitgeverij zijn ze op dit ogenblik (02-01-2018) niet voorradig.
.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

.

1401

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/4)

.

1e week    2e week    3e week

4e week
Dit is de laatste week van de periode.
Het kan zijn dat je door omstandigheden een periode had van maar drie weken. Dan moet je een andere keus maken, dan ik heb gedaan. Trouwens, mijn keuze heeft ook een zekere willekeur: er zijn legio andere mogelijkheden.
Er is wel veel aan de orde gekomen en aan het begin van zo’n laatste week is het goed om alles nog eens terug te halen.

eerste dag

Je zou van een bepaalde begrippenlijst uit kunnen gaan:

geometrie
-passer (passerpunt, benen van de passer)
-willekeurige vorm t.o. vastliggende (gegeven) vorm – onwillekeurig
-cirkel
-middel (midden-)punt
-middellijn
-liniaal (lineair)
-omtrek    omtrekslijn
-snijden
-horizontaal, verticaal, diagonaal
-gemeenschappelijk
-vlak
-snijden
-punt
-hoekpunt
-symbool
– ꙩ M
-lijnstuk
-straal
-radius = r
-construeren
-constructie
-daaruit volgt    →
-loodlijn    met constructie
-loodrecht op:   ⊥
-zesster – hexagram
-zeshoek – hexagoon
-verzameling
– hoek  ∠ : scherpe, rechte, stompe, gestrekte, inspringende
-middelpuntshoek
-omtrekshoek
-overstaande hoek
-verwisselende binnen- en buitenhoek
-nevenhoek
-complement   supplement
-graad   º
-groter dan >
-kleiner dan <  (je kunt er een k, van kleiner, van maken)
-parallel
-driehoek: gelijkzijdig, gelijkbenig, rechthoekig, rechthoekig gelijkbenig
-koorde   koordeboog
-segment
-stelling
-hoekdeellijn -bisectrice
-middelloodlijn
-zwaartelijn
-vijfhoek – pentagoon
-vijfster – pentagram
-hypothenusa

We kunnen dus nu een aantal hoeken construeren: van 90º, van 60º en als we teruggaan naar deze constructie:

meetkunde-62

en we trekken er de lijnstukken CA en CB in, hebben we  ∠ C in twee gelijke hoeken verdeeld. ∠ C is de ∠ van een gelijkzijdige Δ, een hoek van 60º, dus elk deel is 30º.

We hebben dus weliswaar een ∠ van 60º verdeeld, maar we mogen ook gewoon zeggen dat we een ∠ hebben gedeeld. We kunnen nu iedere willekeurige ∠ delen!

Een willekeurige hoek ( ∠ A) delen we als volgt middendoor: construeer een willekeurige cirkel met A als m.p.; deze snijdt de benen van ∠A in B en C (de cirkel wordt niet in zijn geheel geconstrueerd, maar alleen de punten B en C). Construeer om B een cirkel met een willekeurige straal en om C een cirkel met dezelfde straal; deze cirkels snijden elkaar in P (ook van deze cirkels tekenen we maar een klein boogje). De halve lijn AP deelt nu ∠ A middendoor ( ∠ A1 = ∠ A2).

De (halve)lijn AP heet hoekdeellijn en we leren naast de benen v.e. hoek ook de moeilijkere naam: bisectrice.

Uiteraard moet dit goed worden geoefend.
Deel de rechte  ∠.   = 45º. Deze gedeeld: 22,5º.
Laat de kinderen ook zelf combinaties uitdenken en construeren. Bijv. 15 en dan dus 22,5 en 15= 37,5;
Als je nog toe komt aan de constructie van een hoe overbrengen, is er nog veel meer mogelijk.

Je zou nu meer bijzonder lijnen kunnen behandelen: de middelloodlijn, die we eigenlijk al gedaan hebben, de zwaartelijn. Het feit dat ze door één punt gaan.
Zie bijv. dit artikel   Je zou een deel hiervan in je periode kunnen opnemen. Het gedicht is zeker een vondst, maar ik weet niet of je zoveel tijd moet gaan besteden aan het leren ervan. Dat zouden bijv. een paar kinderen, die de stof snel snappen en wellicht ook snel klaar zijn, samen kunnen doen.
Uiteraard moet iedereen wél proberen om een kartonnen driehoek op het zwaartepunt in evenwicht te houden. (Exacte constructie!)

tweede dag

Herhalen. Maar stel dat je deze periode tegen de kersttijd geeft, dan is het heel mooi voor de kinderen wanneer ze ook nog de vijfster (pentagram) en de vijfhoek (pentagoon) leren construeren.

De constructie is ingewikkelder dan die van de zesster en met de kennis die we tot nog toe hebben verworven, niet te bewijzen. Dat hoeft ons er niet van te weerhouden, de constructie te leren. Uiteraard eerst weer een cirkel met middelpunt M; willekeurige straal,  bijv, 3 cm.

 

 

 

  • Teken een cirkel met het middelpunt in O, waarop de hoekpunten AEGHF van de vijfhoek moeten komen te liggen. In de figuur is deze eerste cirkel groen. Een snijpunt van de verticale as en de groene cirkel is punt A.
  • Een van de snijpunten van de groene cirkel met de horizontale as is punt B.
  • Bepaal op de bekende manier het midden C tussen O en B.
  • Zet nu de passerpunt op punt C, en de potloodpunt op A. Teken een deel van de cirkel, in de figuur rood onderbroken, tot het snijpunt met de horizontale as. Dit is punt DD ligt aan de andere kant van de oorsprong O dan C.
  • Zet de passerpunt in A, trek nu een cirkel door D. Deze cirkel, in de figuur blauw onderbroken, heeft twee snijpunten met de eerste groene cirkel. Dit zijn de punten E en F, de eerste twee gevonden hoekpunten van de regelmatige vijfhoek.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in E en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt G.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in F en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt H.
  • Zet nu ter controle de passerpunt zonder de passer te veranderen in punt G, de cirkel moet nu door punt H lopen.
  • Het door rechte lijnstukken verbinden van de vijf punten AEGHF resulteert in een regelmatige vijfhoek.

Wikipedia

Vóór we aan de construcitie beginnen kunnen we 2 even grote cirkels tekenen. De ene wordt onze werkvorm, de andere – uiterst dun – wordt het resultaat, dus zonder uitgegomde lijnen en punten. Als we in de werkvorm de juiste afstand van de zijden tussen de passer hebben, brengen we die over op de andere vorm, vanuit het geschatte midden boven op de omtrek.
Nu is er een ‘schone’ vijfhoek ontstaan.

Door de punten met elkaar te verbinden – steeds 1 overslaan – ontstaat ook de vijfster:


en dan weer naar hartelust fantaseren en kunstzinnig uitwerken:

meer op VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder 5

Een bijzondere kunstzinnige verwerking van het pentagoon is het maken van een transparant of een lantaarntje:

zie voor een beschrijving:

Je kan hiermee, naast herhalen, de periode afsluiten als je deze de laatste week van december heb gegeven. Is dat niet het geval en wanneer je geen lantaarntje(s) of transparant wil maken, kan je ook nog kiezen voor de stelling van Pythagoras.
Sommige scholen geven die pas in de 7e. Dat vergt wel overleg met de leerkracht van die klas.

Of je een tweede periode kan geven, hangt van veel factoren af die ik vanhieruit niet kan overzien. Omdat ik zelf nog les kon geven in de 7e, omdat die toen nog bij de onderouw hoorde, heb ik het wel gedaan.
In Stockmeyers leerplan wordt voor de klassen 6-8 10 weken hoofdonderwijs uitgetrokken voor rekenen en wiskunde. En 1 uur per week om te oefenen, behalve als wiskunde hoofdonderwijs is. Maar toen golden er andere omstandigheden, al is het wel een indicatie.

Je kan ook verdergaan met, naast de driehoek, het vierkant, de rechthoek, de ruit, het trapezium, het parallellogram.

Steiner neemt de stelling van Pythagoras om aan te geven hoe je aanschouwelijk onderwijs kan geven.
In de pedagogische voordrachten GA 294, 295 en 311 staat:

GA 294
De meetkunde biedt u een buitengewoon fraai voorbeeld van de manier waarop een meetkundig probleem aanschouwelijk aangepakt kan worden. U tekent bijvoorbeeld een gelijkbenige recht­hoekige driehoek. Dan kunt u onder aan deze driehoek een vier­kant tekenen, zodat het vierkant grenst aan die gelijkbenige recht­hoekige driehoek [zie tekening 1]. Nu vertelt u de leerlingen, als u dat nog niet gedaan hebt, dat bij een rechthoekige driehoek de zij­den a en b de rechthoekszijden heten en c de hypotenusa wordt ge­noemd. Op de hypotenusa hebt u een vierkant geconstrueerd.* Dat geldt allemaal uiteraard alleen voor een gelijkbenige driehoek. Nu deelt u het vierkant in door middel van diagonalen. U maakt een deel ervan [boven en onder] rood en een deel [rechts] geel. Nu zegt u: ‘Het gele stuk knip ik eruit en ik zet het hiernaast’ [tekening 11].

Dan haalt u ook nog een rood stuk weg en u zet dat aan het gele stuk vast. Nu hebt u een vierkant gevormd op één rechthoekszijde, en dit vierkant bestaat uit een rood en een geel stuk. Dus wat ik ernaast heb getekend [tekening11], is net zo groot als rood en geel samen in tekening 1, en het is de helft van het vierkant op de hy­potenusa. Hetzelfde doe ik voor de andere zijde met blauw. Het blauw plak ik er aan de onderkant aan, zodat ik nog een gelijkbenige rechthoekige driehoek krijg. Dat teken ik er ook weer naast [tekening 111]. Daarmee heb ik nu het vierkant op de andere rechthoekszijde geconstrueerd.0

*voetnoot in de vertaling:
Een vierkant geconstrueerd: in de Duitse taal heeft de leraar bij deze verklaring van de stelling van Pythogoras het voordeel dat hetzelfde woord (Quadrat) zowel vierkant als kwadraat betekent
voetnoot in de vertaling:
voor wie de stelling van Pythagoras niet kent: het kwadraat van de hypothenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden, algebraïsch: c2= a2 + b2. De tussenstap die Steiner beschrijft – het aansluiten van een nieuwe (blauwe) driehoek onderaan het vierkant – is misschien verwarrend en in ieder geval overbodig; zie ook de pijlen die van tek. 1 naar tek. 3 gaan.

Dat geldt in eerste instantie alleen voor een gelijkbenige drie­hoek, maar bij een ongelijkbenige rechthoekige driehoek kunt u net zo goed de stukken op elkaar leggen, zoals ik u dat net heb la­ten zien. Dat is aanschouwelijk onderwijs. U kunt de meetkunde in de vorm gieten van aanschouwelijk onderwijs. Wanneer u
er­naar toewerkt om ook de stelling van Pythagoras voor kinderen na het negende jaar aanschouwelijk te maken, dan is het niet on­belangrijk – ik heb dikwijls de proef op de som genomen – dat u zich voor ogen stelt om de stelling van Pythagoras werkelijk op te bouwen uit de verschillende velden van het vierkant op de hypo­tenusa. En als u zich als leraar bewust bent dat u dat bij de meet- kundelessen wilt bereiken, dan kunt u in hoogstens zeven à acht lessen alles aanleren wat in de meetkunde nodig is om tot de stel­ling van Pythagoras – de bekende ezelsbrug – te komen. U zult ui­terst economisch te werk gaan wanneer u de eerste beginselen van de meetkunde op deze manier aanschouwelijk maakt. U zult veel tijd sparen en bovendien zult u de leerlingen iets heel belangrijks besparen – iets wat afbrekend werkt in het onderwijs als er niet spaarzaam mee wordt omgegaan – en dat is: u laat de kinderen geen abstracte gedachten volgen om de stelling van Pythagoras te begrijpen, maar u laat ze concrete gedachten volgen en u gaat van het eenvoudige naar het samengestelde. Het beste is om de stelling van Pythagoras eerst bij een gelijkbenige driehoek uit die verschillende velden op te bouwen zoals het hier in de tekening is gedaan, en dan pas over te gaan naar de ongelijkbenige driehoek. Zelfs daar waar de stelling van Pythagoras tegenwoordig aanschouwe­lijk wordt gebracht – wat zeker wel gebeurt – wordt dat niet vol­ledig gedaan. Men gaat niet eerst uit van het eenvoudige procédé bij de gelijkbenige driehoek, om daarmee het andere procédé goed voor te bereiden en over te stappen naar de ongelijkbenige recht­hoekige driehoek. Maar dat is belangrijk, dat men dat bewust op­neemt in de doelstelling van het meetkundeonderwijs. Wilt u er dus aan denken om verschillende kleuren te gebruiken. U moet de verschillende vlakken inkleuren en dan de kleuren over elkaar leggen. De meesten van u zullen iets dergelijks al wel eens gedaan hebben, maar toch niet op deze manier.
GA 294/148 e.v.
vertaald/148 e.v.

We kunnen in ieder geval aannemen dat de kinderen die we nu dit jaar krijgen bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras verkeerd geleerd hebben, dat ze die niet geleerd hebben zoals wij dat be­sproken hebben. De vraag is dan wat we moeten doen om de leer­lingen niet alleen te geven wat ze gemist hebben, maar in zekere zin nog iets meer, zodat bepaalde krachten die al uitgedroogd en verdord zijn weer kunnen opbloeien, voorzover dat mogelijk is. We kunnen dan bijvoorbeeld een leerling vragen om zich nog eens de stelling van Pythagoras voor de geest te halen, we zeggen: ‘Je hebt die stelling geleerd. Hoe luidt die? – Inderdaad, dat is de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.’ Maar daarbij heeft zo’n leerling beslist niet dat in zijn ziel wat het leren van de stelling van Pythagoras hem gegeven zou moeten hebben. Daarom doe ik iets extra’s. Ik maak de zaak niet alleen aanschou­welijk voor hem, maar ik bouw die ‘aanschouwing’ ook nog eens genetisch voor hem op. Ik laat 181die op een heel speciale manier ont­staan. Ik zeg: ‘Ik wil graag drie leerlingen voor het bord. Eén van de drie kleurt dit vlak met krijt in. De anderen in de klas letten goed op dat hij niet meer krijt gebruikt dan echt nodig is. De tweede pakt een ander krijtje en kleurt dit vlak in. En de derde kleurt dit vlak, weer met een ander krijtje.’ En dan zeg ik tegen de jongen of het meisje dat het vierkant op de hypotenusa bedekt heeft: ‘Kijk, nu heb jij evenveel krijt gebruikt als de twee anderen samen. Jij hebt net zoveel krijt op dat vierkant gekalkt als de twee anderen bij elkaar, omdat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.’ Ik maak de stelling dus aanschouwelijk door middel van het krijtverbruik. Dat gaat nog dieper in de ziel als de leerling ook nog bedenkt dat er iets van

het krijtje af is, iets wat nu niet meer aan het krijtje, maar op het bord zit. En dan ga ik nog een stap verder en zeg ik: ‘Nu verdeel ik de vierkanten in kleine vierkantjes: het eerste in 16, het tweede in 9 en het derde in 25 vierkantjes. Nu zet ik midden in ieder vierkantje één van jullie neer, 182 en je stelt je voor dat dat een akker is die je moet omspitten. De kinderen die deze 25 kleine vierkantjes hier omge­spit hebben, hebben net zoveel werk verzet als de kinderen van de 16 vierkantjes en de kinderen van de 9 vierkantjes samen. Door jul­lie werk is het vierkant van de hypotenusa omgespit, door jullie werk het vierkant op de ene rechthoekszijde en door jullie werk het vierkant op de andere rechthoekszijde/ Zo verbind ik met de stelling van Pythagoras iets wat de wil van het kind raakt, wat ten­minste de voorstelling oproept dat het kind met zijn wil zinvol in de wereld staat, en ik breng leven in iets wat tamelijk levenloos zijn schedel binnengekomen is.
GA 294/181 e.v.
vertaald/181 e.v.

 

Rudolf Steiner geeft vervolgens nog een aanschouwelijke toelichting bij de stelling van Pythagoras en verwijst naar een artikel van Ernst Müller: ‘Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegmg des pythagoreischen Lehrsatzes’.
In de tekening is de stelling van Pythagoras (het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de gekwadrateerde rechthoekszijden) geometrisch aangetoond. De tekening laat in principe één driehoek zien met drie vierkanten, die de kwadraten vormen van zijn drie zijden. De beide ‘rechtopstaande’ vierkanten zijn de kwadraten van de rechthoekszijden, het ‘schuine’ vierkant is het kwadraat van de hypotenusa. Men ziet dat het rode deel van de eerstgenoemde vierkanten het vierkant op de hypotenusa al ten dele bedekt. Het restant wordt bedekt door de blauwe en de groene driehoek omhoog te schuiven, zodat het oppervlak van de kleinere vierkanten exact binnen het oppervlak van de grootste blijkt te passen.

Rudolf Steiner:… Men moet het allemaal uit karton knippen, pas dan wordt het aanschouwelijk.
GA 295/119
vertaald/110

GA 311
Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen. Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is  iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt.
Ik moest eens een dame die toen al ouder was, omdat ze er zo van hield, meetkunde leren. Ik weet niet of ze alles vergeten was – maar vermoedelijk had ze op het meisjesinternaat waar je als meisje opgevoed werd niet veel geleerd – in ieder geval wist ze niets van meetkunde. Ik begon en liet alles uitmonden in de stelling van Pythagoras. Nu had deze stelling voor die dame inderdaad iets buitengewoon frapperends. Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)

fig.lGA 311 blz. 91

Dat, wanner ik aardappelen poot en die  overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien.
En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.
Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)

GA 311 blz. 93 1

dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer

(fig.lll: ABC)

GA 311 blz. 93 2

Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH).
Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert.
Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijkhebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5).
Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen. Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is.
Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg jeleven in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw  moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden.
Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden.
GA 311/90 e.v.
Vertaald  op deze blog

Het ziet er in eerste instantie wel ingewikkeld uit, maar als je het uitknipt – wat Steiner al aangeeft – is het veel makkelijker te doorzien. Ik heb de losse delen door de kinderen laten maken – vrij groot – en daarmee konden ze dan proberen de delen weer goed te leggen.

Tot zover een impressie van 4 weken meetkunde in klas 6.

Wanneer je er een geschikt ogenblik voor vindt, zou je nog kunnen teruggrijpen op de plantkundeperiode uit de vijfde klas.
Toen het over de bloem ging, moet haast wel aan de beurt zijn gekomen de bloem met de 5 blaadjes en die met de 6. Grohmann besteedt er hier aandacht aan:

Er bestaan prachtige foto’s van deze ‘meetkunde’bloemen. Een opdracht zou kunnen zijn dat alle kinderen met een bloemillustratie naar school komen en daarbij aangeven om welk getal het gaat:

bosanemoon (erachter speeenkruid)

ooievaarsbek

Ook in sneeuw- ijskristallen zit meetkunde:

Afbeeldingsresultaat voor sneeuwkristallen

wat opvalt is dat de kristallen alle van een 6- of veelvoud daarvan – structuur zijn.

 

suggesties voor de periode:

1e week
2e week
3e week

 

6e klasalle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkundealle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1391

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – 6e/7e klas – meetkunde (2-4)

.

meetkunde klas 6 en 7

Een artikel in de Branding over meetkunde dat was de vraag die de redactie me stelde. Na nauwelijks deze vraag met ‘ja’ te hebben beantwoord, zag ik me voor de volgende moeilijkheid geplaatst: hoe kun je het wezenlijke van meetkunde dat zich tenslotte uitdrukt in lijnen en vlakken die tezamen de vormenwereld zichtbaar maken, beschrijven in woorden?
Om dit dilemma zoveel mogelijk op te lossen zal ik na een inleiding de vormen grotendeels zelf laten spreken en de woorden slechts als aanvulling gebruiken en om een overzicht te geven, hoe de meetkunde in de lessituatie in klas ó en 7 gestalte krijgt.

In de ontwikkeling van de mens van geboorte tot volwassenheid zijn 3 fasen te onderscheiden:

– van 0 – 7 jaar: baby-peuter-kleuterfase
– van 7 ~ 11 jaar; lagere schoolkind
– van 14 – 21 jaar: puberteit en adolecentie

In elke fase is er sprake van een samengaan van het willen, het voelen en het denken. Hoe deze drie zich in elke fase t.a.v. elkaar verhouden voert in het bestek van dit artikel te ver; enkel het volgende gegeven is van belang:

Bij de leeftijd van 0 tot 7 ligt het accent op het willen. Van 7 tot 14 ligt het accent op het voelen.
En bij de fase van 14 tot 21 ligt het accent op het denken.

Deze driegeleding van willen, voelen, denken is ook per fase een gegeven. Zo zit het benedenbouwkind in de lagere klassen nog sterk in de beweging (het willen) – denk aan het klappen en stampen van tafels, versjes etc. Vanaf ongeveer klas 6/7 groeit het kind langzaam naar de puberteit toe en ontstaat het vermogen tot o.a. het causale en abstracte denken. Het leerplan op de vrijeschool neemt de ontwikkeling van het kind als uitgangspunt. Zo komen dan in klas 6 en klas 7 voor het eerst een aantal vakken aan de orde waarbij een appèi op het causale en abstracte denken wordt gedaan zoals: natuurkunde, scheikunde, sterrenkunde, algebra en natuurlijk meetkunde.

Het verkennen, en op papier zetten van de vormenwereld begint al bij de peuter. De eerste dag in de 1e klas leert het kind twee oervormen: de rechte en de kromme.

meetkunde-6e

Vanaf deze dag zal het vormtekenen een dagelijkse of wekelijkse activiteit zijn. Een deel van de vormtekenlessen zullen bestaan uit geometrische vormen, die meerdere malen in één beweging worden getekend.

meetkunde-6e-2

 

In klas 6 gaan vele vormen die het kind al eens getekend heeft wederom getekend worden. Nu echter niet met de vrije hand als voordien, maar m.b.v. passer en lineaal.

De intentie van de meetkundeperiode kan het best als volgt omschreven worden;

“Exactheid, schoonheid en maat. Dat is waar het in de meetkunde om gaat”

Nadat de kinderen een gesprek te hebben gevoerd waar meetkunde overal in het praktische leven is toegepast, zijn de kinderen enthousiast en aangesproken in de wil om aan de slag te gaan met die fonkelnieuwe passer, of die passer die nog een erfstuk blijkt te zijn van de grootvader van moeder…

Zoals met vormtekenen veelal het geval was, zo zal men in beginsel ook elke vorm die op papier zal verschijnen eerst in het groot in de beweging doen; met de hele klas, een groepje of individueel.

De cirkel
Teken met grote bewegingen in de lucht of op de grond; een exacte cirkel vormen met de hele klas (een sociale oefening bij uitstek! )

Waar komen cirkelvormen voor? De aardbol, de schedel, een voetbal, een gloeilamp etc, etc. zullen als antwoorden van de kinderen komen. En dan uiteindelijk de eerste cirkel in het schrift; een lijn even dik of dun met de passer op bladzijde een – tongpuntje tussen de tanden! Vanaf nu heet dit geen “rondje” meer, maar een cirkel met al zijn andere namen erbij.

meetkunde-6e-3

Dan het eerste meetkundewonder!

De straal (afstand tussen de benen van de passer) blijkt precies 6x rond de omtrek van de cirkel afgezet te kunnen worden. De 6 punten kunnen dan op verschillende manieren met elkaar verbonden worden

meetkunde-6e-4

Vanuit deze mogelijkheid volgen dan een reeks tekeningen, waarbij het kleuraspect nog een zeer grote rol speelt voor de schoonheidsbeleving van het kind. Elk kind kiest eigen kleurcombinaties,- verhoudingen en hanteert de mogelijkheden hierin van de licht-donker effecten.

Voorbeelden vanuit de 6-deling:

meetkunde-6e-5

Dan komen er verschillende soorten hoeken aan bod. Ook weer om je heen kijken on hoeken benoemen of d© hoeken vormen met b.v, je lichaam (hoofd-romp, houding boven-benedenarin) of hoeken gevormd met meerdere kinderen samen.

Na de hoeken 2 constructies:
-het delen van een hoek (bissectrice)
-het oprichten en neerlaten van een loodlijn

Vanuit deze nieuw geleerde constructies zijn er weer talloze nieuwe figuren mogelijk. Zo kan men komen van de 6~deling naar een veelvoud hiervan:

meetkunde-6e-6

Als volgende is de mogelijkheid de driehoek te bekijken. Opdracht voor de kinderen voor thuis kan dan luiden: probeer eens uit hoeveel verschillende soorten driehoeken er zijn.

Bij het behandelen en het gebruik van de geodriehoek of de gradenboog greep ik terug op de geschiedenisperiode in de 5e klas. In deze periode wordt o.a. verteld over de Egyptische cultuurperiode en het ontstaan van de meetkunde aldaar. Het Egyptische jaar telde 5 heilige dagen en 360 overige dagen; de zon stond dan weer op hetzelfde punt.

Vandaar het volgende gegeven:

meetkunde-6e-7

Ook de termen complement, supplement en applement komen nu aan bod.

Nu kan er dan ook volop met gradenboog of geodriehoek worden gewerkt. Verder komen nog aan bod zaken als snijdende lijnen, parallelle lijnen, tegenoverliggende hoeken, verwisselende hoeken etc.

Als afsluiting in klas 6 wordt de 5-hoekconstructie geleerd. Tekeningen die vanuit deze constructie afgeleid kunnen worden volgen hierna. Ook kan gesproken.worden over de gulden snedeverhouding die in deze constructie te vinden is en terugkomt op vele wijzen in de menselijke gestalte.

meetkunde-6e-8

In klas 7 wordt het variëren en uitproberen van allerlei vormen nóg verder uitpewerkt. Het benoemen’en construeren van allerlei mogelijke meetkundefenomenen zal dan echter een groter accent krijgen.

Opgave waarin bepaalde constructies worden gegeven met daarbij een vraag zijn dan aan de orde.

Bijvoorbeeld:
1)gegeven: lijnstuk AB = 5 cm
lijnstuk BC 6 cm
LA of X = 90°

gevraagd:
a) teken een driehoek ABC
b) hoeveel graden zijn B en. X

2) Bewijs dat de 3 hoeiken van een driehoek samen. 180 zijn. etc.

Verder komen zaken als congruentie, rotatie en merkwaardige lijnen aan de orde.

Voorbeeld van een soort merkwaardige lijn in dichtvorm:

We zullen eens proberen
Een lijn te constueren
Die vanuit een hoekpunt gaat
En loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat
Deze hoeken zijn dus beiden recht
90º dat is goed gezegd
Deze lijn heet: hoogtelijn
Het geeft de hoogte aan
Maar dat zal duidelijk zijn

Ook de bissectrice en de zwaartelijn komen zo aan de orde.

De berekening van omtrek en oppervlakte van o.a de cirkel, de driehoek, het parallellogram, de trapezoïde etc. worden in dit jaar behandeld.

Langzaam kan er ook toegewerkt worden naar perspectief en 3-dimensionaliteit als voorbereiding op de platonische lichamen die in klas 8 een centrale plek zullen krijgen.

meetkunde-6e-9

De periode zal eindigen bij de stelling van Pythagoras, zichtbaar gemaakt in:

Tijdens of na de periode krijgen de kinderen opdracht om met alle mogelijkheden en constructies die ze hebben leren kennen zelf een vorm te bedenken en te ontwerpen. Deze worden dan beoordeeld op exactheid, schoonheid en originaliteit.

Peter Giesen, vrijeschool Nijmegen, nadere gegevens onbekend

 

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

 

1181

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/3)

.

Hier volgt een impressie van de 3e week van de periode meetkunde in klas 6.

1e week    2e week    4e week

 

De derde week

Een eerste dag
Na een paar weken kan het zijn dat als je deze werkwijze volgt, toch in een heel andere tijdsindeling terechtkomt. Dat is uiteraard geen enkel punt: het gaat in jouw klas op jouw manier. Beschouw deze ‘weken’ en ‘dagen’ dus als een soort indicatie, maar bewandel je eigen weg.

Iedere dag weer herhalen wat er al geleerd is. Misschien huiswerkopdrachten om het geleerde toe te passen; gerichte opdrachten die ook over de stof van voorbije dagen kan gaan. Geef kinderen die gemotiveerd zijn extra opdrachten (mee), bijv. om ‘terug te herkennen’ hoe een vorm tot stand is gekomen; of vraag ze naar geheel eigen vormen (die als huiswerk niet per se (in)gekleurd hoeven te zijn.
Voor de natuurkunde gaf Steiner een bepaalde ‘leerweg’ aan. ‘De drie stappen‘. Daar heb je ook wat aan voor de meetkundedagen. Je moet ze inpassen in hoe jij je lessen hebt opgebouwd.

We gaan weer willekeurige lijnen trekken die elkaar moeten snijden:

meetkunde-36

 

 

 

 

 

 

 

We bekijken verschillende snijpunten:

meetkunde-47-1

 

 

 

 

meetkunde-47-2

meetkunde-47-3

 

 

 

 

En wanneer we die accentueren zien we hoeken ontstaan.
Bij alle kinderen heel verschillende. Die worden op het bord getekend. Dan zou je kunnen vragen die hoeken in een volgorde te zetten, een volgorde van bijv. groot naar klein of omgekeerd.
Wanneer je de kinderen vraagt die hoeken met hun armen te maken, de ene hoek na de andere, en dan heel snel, zien we als vanzelf ‘de’ hoek een beweging worden, zoals we de lijn als beweging hadden in de eerste week en wanneer we dan plotseling onze armen stilhouden, hebben we ‘een’ hoek.
De idee hoek is een beweeglijke hoek die zich bevindt tussen onze zich bewegende armen. Verrassend is, dat dus op zeker ogenblik wanneer de armen bijna horizontaal zijn, er nog steeds sprake is van een hoek en als we ze horizontaal hebben en nog verder gaan, we nog steeds een hoek hebben.

Dat betekent dat ook de horizontale, dus anders gezegd de lijn of het lijnstuk, vanuit een bepaalde optiek óók een hoek is.

Dat is bijzonder. Gevraagd naar een andere heel bijzondere hoek vinden de kinderen de rechte hoek. Alle hoeken die kleiner of groter zijn, zijn er in een groot aantal: er is maar 1 rechte hoek (en 1 gestrekte)

Hoe heten dan de andere. Opnieuw is het interessant om de kinderen zelf de namen te laten vinden. Natuurlijk leren we dan de officiële namen:
meetkunde-48

1.scherpe hoek
2.rechte hoek
3.stompe hoek
4.gestrekte hoek
5.inspringende hoek

Uiteraard komt nu ook het sympool voor hoek: ∠  en voor de rechte hoek:

meetkunde-49

voor deze bestaan er verschillende

 

 

Als opdracht zou je nu weer de zesster en zeshoek in 1 tekening kunnen laten maken en daarin moeten dan de verschillende hoeken zichtbaar worden.

meetkunde-50

rood= scherpe hoek
groen=scherpe hoek
paars=stompe hoek
blauw= gestrekte hoek
groen + rood=rechte hoek

Een tweede dag
We gaan terug naar de tweede week, de derde dag en herhalen het ontstaan van de rechte lijn en bepaalde eigenschappen daarvan, zoals ‘de verzameling puntjes’.

Dan kun je teruggaan naar de geschiedenisperiode van de 5e klas, naar Babylonië en weer wijzen op de sterrenkunde, de kennis van wat zich aan de hemel vertoont.
Wellicht vertel je een eigen ervaring, bijv. dat je in Ierland was, in Newgrange en heb je – al dan niet kunstmatig – gezien hoe de zon op midwinterdag naar binnen straalt en een bepaalde ruimte precies verlicht.
Je kunt nu vooruitlopen op de sterrenkunde van klas 7 en samen met de Babylonische geleerden de zonneboog aan de hemel beschrijven met een lijn als verzameling van puntjes: die dag staat de zon op tijdstip x daar; de volgende dag op hetzelfde tijdstip x daar (ietsje verder opgeschoven).

De zonnebaan wordt weergegeven met de cirkel en het verschuiven van het punt waar de zon opkomt met de punten, die eigenlijk heel dicht tegen elkaar aan horen te liggen, maar waarvan je er voor de duidelijkheid maar een paar tekent.

En, de Oude Babyloniërs stelden die zonnetijdstippen vast op een aantal van 360 per jaaromgang als product van 12 maanden en 30 dagen per maand.

meetkunde-29

 

 

 

 

 

 

 

Dat betekent dat we door de middellijn te tekenen 2 halve bogen krijgen, waarvan we er 1 tekenen:

meetkunde-31

 

 

 

 

Als de hele boog ‘volgens afspraak’ 360 punten heeft, dan de halve boog 180.
Stel dat deze punten naar de middellijn afdalen en ze nemen de kortste weg, dan moeten ze loodrecht naar beneden:

meetkunde-30

 

 

 

 

Dat betekent dat de middellijn uit 180 puntjes bestaat, hoe klein of groot deze ook is. Dat kunnen we voor iedere lijn zeggen: nee, lijnSTUK: het eerste en laatste puntje valt samen met het begin en einde van de cirkelboog.

Ik merkte altijd wel dat deze redeneringen voor sommige kinderen naar een abstractie gaan die nog moeilijk voor ze is. Maar meestal neem je ze wel mee in het begrijpen, als je het rustig opbouwt en er vooral weer op terugkomt en het juist door de kinderen die het nog moeilijk vinden laat uitleggen om te zien hoe ver ze zijn.

Omdat we het woord ‘punt’ al gebruiken voor een plaatsbepaling – op een lijn(stuk) of erbuiten, ligt het voor de hand dat de puntjes aan de hemelboog = halve cirkelboog – anders moeten heten. Die heten graden en hebben het symbool  º.  In hoeverre je nu al over ‘minuten en seconden’ moet spreken, hangt er misschien vanaf of je op de landkaart het plaatsbepalen al hebt behandeld.
Zo niet, dan zou ik wachten, want voor de meetkunde zijn ze in de 6e klas niet belangrijk.

Zo leren we nu dat de cirkel bestaat uit 360º  en de halve dus uit 180º. En deze is gelijk aan de gestrekte hoek, die dus ook 180º is.
We trekken de belangrijkste conclusie: dat een hoek ook graden heeft!

We strekken de armen weer horizontaal: de hoek is 180º. We maken de hoek kleiner. Hoeveel graden is die? Moeilijk te zeggen. Nog kleiner ( we hebben nog steeds een stompe hoek!). We weten het aantal graden niet. Wanneer weten we dat wel. Ah, ja: als we op de helft zijn. Dan hebben we 90º. Maar dat is de rechte hoek!
Hoewel we niet precies weten hoe groot een hoek is die kleiner is dan 90º, kunnen we nu wel de scherpe hoek nader definiëren:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: < 90º
stompe hoek: >  90º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º

Het kan nog iets nauwkeuriger – dat wil de meetkunde: precies, exact zijn.

Als we met de armen in de rechte hoek = 90º deze kleiner maken en dus terugtellen, komen we uiteindelijk met de armen in de gestrekte hoek en met het tellen bij 0 uit. Dat is op zich weer verrassend: die gestrekte is dus 180º, maar tegelijkertijd ook 0º.
Nu kunnen we aangeven:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: 0º of >0º < 90º  (groter dan 0 en kleiner dan 90 of tussen 0 en 90º)
stompe hoek: ,  >90º maar kleiner dan <180º :  >90º   <180º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º  = ?

Het blijkt bij de inspringende hoek, wanneer we die met de armen groter maken dat we uiteindelijk de hele cirkelboog beschrijven, dus tot aan de 360º:

inspringende hoek > 180º  < 360º

De kinderen kunnen dat dus verwoorden als: de inspringende hoek heeft een grootte die ligt tussen de 180 en de 360 graden.

Een ezelsbruggetje:

Nu tekenen we een lijn en richten op 2 punten met enige afstand van elkaar 2 loodlijnen op. We nemen voor de loodlijn een grootte van 3 cm. We verbinden de gevonden punten met een streepjeslijn. Die lijnen lopen dus evenwijdig. Een nieuw begrip, met het woord dat er bij hoort: parallel.

We gummen de loodlijnen weg. De parallelle lijnen blijven staan en daarvan maken we deze tekening:

meetkunde-67

Omdat de lijnen parallel lopen, is het niet moeilijk in te zien dat hoek A het spiegelbeeld is van hoek C1. We leren nu meteen dat we de gelijkheid van de hoeken aangeven met een boogje in de betreffende hoeken. Zo ook: hoek B met hoek C2.
We weten hoe groot hoek C is: als gestrekte hoek: 180º. We kunnen nu ook zeggen: C1  +  C3  +  C2 zijn 180º.
Voor C1 en C2 kunnen we echter invullen: A  en B.
De hoeken A + C3  + B zijn daarmee dus ook 180º.
En daarmee hebben we aangetoond dat de 3 hoeken van een driehoek samen 180º zijn.

Nu trekken we een lijn en nemen tussen de passer een grootte van bijv. 3 cm. We nemen op de lijn een willekeurig punt A en passen de afstand af op de lijn, snijpunt B. Vanuit A zetten we ook nog ongeveer middenboven de lijn een boogje. Dan doen we dat laatste ook vanuit B en het snijpunt noemen we C. We hebben nu een driehoek geconstrueerd. Wat kunnen we van die driehoek zeggen.

meetkunde-68

Dat de 3 zijden gelijk zijn. Hij heet dan ook: gelijkzijdige driehoek

Wat weten we van de hoeken? Ze zijn daarom ook gelijk en als 3 gelijke hoeken samen 180º zijn, dan is elke hoek 60º

We nemen weer een lijn en passen lijnstuk AB af. Met een grotere afstand tussen de passer cirkelen we vanuit A en B om boven de lijn: snijpunt C en trekken AC en BC:

meetkunde-69

Zo wordt de gelijkbenige driehoek gevonden. We kunnen alleen weten dat hoek A gelijk is aan hoek B, over de grootte weten we niets.

Nu tekenen we een rechthoekige driehoek met de al geleerde constructie: richt op een lijn op een willekeurig punt A een loodlijn op; pas op deze loodlijn een willekeurige grootte af: snijpunt C; cirkel vanuit A met een andere willekeurige grootte op de basislijn een lijnstuk af: snijpunt B; verbindt B met C:

meetkunde-70

gevolgd door een rechthoekige driehoek waarbij AC en BC even groot zijn:

meetkunde-71

Dit is de gelijkbenige  rechthoekige driehoek.
Hoek A = 90º; bij een gelijkbenige driehoek zijn er altijd 2 hoeken even groot; dat zijn hier dus hoek B en C. Samen zijn de hoeken 180º; voor hoek B en C blijven er 90 over: ze zijn ieder 45º.

Met deze kennis gewapend tekenen we een cirkel met middelpunt M en nemen een willekeurig punt op de cirkelboog A; met dezelfde passeropening cirkelen we vanuit A om op de cirkelboog: B; we verbinden MA; AB; BM en hebben een gelijkzijdige driehoek gekregen: (we noemen die lijnen weer even en passant de stralen)

Opdracht: hoe groot zijn ∠ M, A, B?
Omdat MA = AB = BM hebben we te maken met een gelijkz. ∆;  ∠ M, A, B zijn dan alle drie 60º.

meetkunde-72

We verlengen AM (we vragen steeds aan de kinderen wat voor lijnen we krijgen: hier dus de middellijn (2x straal = 2r) en richten in M de loodlijn op: snijpunt met cirkelboog: C; we trekken CB. We zien nu dat ∠ M eigenlijk uit 2 ∠ ∠ bestaat. Dat moeten we dan ook aangeven:   M1   M2.  Dat geldt ook voor ∠ B.

Kun je nu zeggen hoe groot M2  en B2  zijn?

meetkunde-73

∠  M1   M2  zijn samen 90º. ∠  M1  als hoek van een gelijkzijdige driehoek is 60º; dan is M90 – 60= 30º
CM = BM, de driehoek MCB is gelijkbenig en dus zijn de hoeken C en B2  gelijk. Omdat hoek M2  30º is, blijven er 180 – 30 = 150º over voor 2 hoeken, d.w.z. iedere hoek is 75º.

Probeer de grootte van de gekleurde ∠ ∠ te bepalen.

meetkunde-50

Met deze opdracht, die ook thuis afgemaakt mag/moet worden, is de derde dag voorbij.

Een vierde dag

Nadat we alles van gisteren herhaald hebben, bekijken we de opdracht. Hoe groot zijn de hoeken in bovenstaande tekening.
De rode hoeken bevinden zich alle in gelijkzijdige driehoeken, dus zijn die 60º.

De rode hoek van 60 ligt op een rechte lijn naast een paarse hoek. Samen zijn deze 180, dus de paarse hoek is 120. In de gelijkbenige driehoeken met de groene en paarse hoeken, blijven na aftrek van 180 – 120 = 60 over: Iedere groene hoek is 30º.

Gisteren stelden we vast dat de rode en de groene hoek samen een rechte hoek vormen = 90, dat hebben we hiermee dus bewezen.

We zijn nog niet klaar met onze ontdekkingsreis langs de hoeken. We nemen deze tekening weer:

meetkunde-72

We weten al een hele tijd dat AB een zesde deel van de cirkelboog is. Omdat de hele cirkelboog 360 is, is het stuk AB dus 60º.

Toen we voor het eerst kennis maakten met de graden, maakten we de tekening dat de puntjes van de cirkelboog loodrecht op de middellijn vallen.
Dat geldt ook voor de (denkbeeldige) puntjes op de cirkelboog AB. Dat betekent dat het lijnstuk AB ook 60º is.
Wanneer we de hoeklijnen van M volgen, komen we bij A en B uit. Hoek M, dat hadden we al gevonden, is ook  60º en nu zien we dat hoek M en het lijnstuk AB een soort eenheid vormen. Hoek M is dan ook eigenlijk hoek AMB. We ontdekken ook dat, wat de graden betreft hoek M = AB.

Hoe zouden we hoek M kunnen noemen. Het is de hoek van het middelpunt, dus ligt het voor de hand dat deze middelpuntshoek heet. Die is even groot als het lijnstuk waar hij bij hoort en bij de boog die daar weer bij hoort. Natuurlijk heeft die lijn ook een aparte naam: koorde: de lijn die twee punten op de cirkelboog verbindt.

Wat kun je nu ook van de middellijn zeggen? Het is de langste = grootste lijn die 2 punten op de cirkelboog verbindt, dus mag hij de grootste koorde worden genoemd.

De boog die bij de koorde hoort, zou natuurlijk koordeboog moeten heten, maar dat woord wordt zelden gebruikt.

De naam van het vlak tussen de boog en de koorde heet segment.

Nu kunnen we zeggen dat de middelpuntshoek even groot is als de koorde waar hij bij hoort en ook omgekeerdL weet je hoe groot de koorde is, dan weet je hoe groot de hoek is die erbij hoort.

We zien op de tekening hierboven dat er ook op de omtrek van de cirkel hoeken kunnen liggen. Vanzelfsprekend hebben die de naam  omtrekshoek. Wat kunnen we daarover te weten komen?

meetkunde-74

Dit is de tekening die we zojuist ook maakten: MA = AB. We weten al dat hoek A = 60. Hoek A is eigenlijk hoe CAB wat betekent dat de hoek bij de koorde(boog) CB hoort. Die is 180 – 60 = 120. Hoek A is als omtrekshoek even groot als de helft van de koorde die bij hem hoort.

Misschien heb je in klas 5 in de geschiedenisperiode waarin Griekenland aan bod kwam, iets verteld over Thales. Anders kun je dat nu doen.

Van hem stamt een stelling, je zou kunnen zeggen een wet waaraan niet te tornen valt: het is altijd zo!

Als de omtrekshoek de middellijn omsluit, is deze hoek 90º, waar deze zich ook bevindt:

meetkunde-75

Hoek C, D en E behoren als omtrekshoek bij de grootste koorde = AB = 180º en zijn daarvan de helft, dus 90º.

Dit gegeven is ook weer kunstzinnig te verwerken:

meetkunde-76

Ga uit van een middellijn; richt de loodlijn op; trek de loodlijn, ook naar de tegenovergestelde cirkelboog. Maak de omtrekshoeken. Deel de koordelijn doormidden; pas de helft af op de overige koordebogen en maak op de punten de omtrekshoeken; ga zo door.

Kleur kan, maar hoeft niet; ook zwart-wit is mooi:

meetkunde-77

Als afronding van ‘de hoeken’ zou je nog de volgende kunnen aanleren:

meetkunde-78

Lijn a en b lopen parallel; ze worden gesneden door lijn c die met lijn a de hoek A en met lijn b de hoek B vormt. Hoek A en B bestaan beide uit 4 hoeken.

Wanneer we uit A op a naar links omcirkelen met de afstand AB (op c) ontstaat de gelijkzijdige driehoek ABC en wanneer we dit vanuit B op lijn b doen naar rechts de gelijkz. driehoek ABD. De driehoeken zijn gelijk, de hoeken ook. Dat betekent dat hoek A3 even groot is als hoek B2. Deze hoeken kun je a.h.w. verwisselen. Omdat ze binnen de parallelle lijnen liggen heten ze:
verwisselende binnenhoeken – zijn even groot.

Voor hoek A2 en hoek B3 kunnen we hetzelfde verhaal houden: ze zijn even groot, maar liggen nu buiten de parallelle lijnen en daarom heten deze hoeken:
verwisselende buitenhoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en B1 (de hele hoek – de lijn CB is niet van invloed) zijn precies dezelfde hoeken, die heten:
overeenkomstige hoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en A2 liggen naast elkaar en heten:
nevenhoeken – zoals we al geleerd hebben:  zijn samen 180º

De hoeken A1 en A4 staan tegenover elkaar en heten:
overstaande hoeken – ze zijn evengroot

Met de opdracht om nog een fraaie tekening met de stelling van Thales te maken en alle hoeken van de hoekentekening te benoemen – ze kunnen dubbele namen hebben, is deze dag ten einde.

vijfde dag

De herhaling van dag 4 is belangrijk om al de nieuwe stof te laten beklijven. Wanneer je te snel verder gaat en de leerlingen maken zich de stof niet eigen die je behandeld hebt, is het net of het toch niet zo belangrijk is. als je het zelf niet belangrijk genoeg vindt, kan je het beter achterwege laten. Doe je het wel, dan moet je zorgen dat het bezit wordt van de leerlingen.
Dat betekent ook: oefenen met opdrachten.

Bijv.:
=Teken door een punt S drie lijnen. Geef de zes hoeken, die er ontstaan, met cijfertjes aan. Noem nu van elke hoek de beide nevenhoeken. Noem ook van elke hoek de overstaande hoek. Hoe groot is de som van alle zes de hoeken? Doet het er wat toe hoe groot de hoeken afzonderlijk zijn?

 

meetkunde 79

=Hier is /_ A3 = 20°. Hoe groot is /_ A1 en /_ A2?

=Een hoek is even groot als zijn nevenhoek. Hoe groot is die hoek?

=Twee overstaande hoeken zijn eikaars complement. Hoe groot is elk?

De begrippen complement en supplement zijn nog niet genoemd. Dat kan nu:
complement: twee hoeken waarvan de som 90º is heten elkaars complement

suppplement: twee hoeken waarvan de som 180º is heten elkaars supplement

=Een hoek is 2 x zo groot als zijn nevenhoek. Hoe groot is die hoek?

=Het verschil van twee nevenhoeken is 40°. Bereken ze allebei.

Je kan er zelf ook bedenken, maar de leerlingen snappen het pas echt als ze zelf opgaven – met het antwoord – kunnen maken en aan elkaar voorleggen. (Bijv. in groepjes van 2)

Omdat het volgende week de 4e en laatste week is van de periode, is het goed dat er niet te veel werk onafgemaakt blijft. Daarvoor zou je de resterende tijd van deze vijfde dag kunnen gebruiken.
Voor wie klaar is, bestaat weer de mogelijkheid om met alles wat tot nog toe geleerd is, een kunstzinnige tekening te maken.

 

meetkunde 80

Veel behandelde hoeken zichtbaar, evenals de koorden en segmenten; gelijkzijdige en gelijkbenig, ook rechthoekige. Een mooie vondst!
(Toch kan de leerling, na het compliment (geen complement) worden gevraagd de tekening nog eens te maken met dunnere potloodpunten, dunner aangegeven verdeelpunten en dunnere verbindingslijnen, exact getrokken – dit is te slordig).

.

suggesties voor de periode:

1e week
2e week
4e week

6e klasalle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkundealle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

 

 

 

 
dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

 

 

 

 

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-6-7

 

 

 

 

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

 

 

 

 

 

 

 

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

 

 

 

 

 

 

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

 

 

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

1152

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.26 t/m 30

Over de cirkel en over de rechte lijnen

Bij de ‘bloem’ en in het cirkelveld in ’t algemeen kunnen we zien, dat een cirkel een andere cirkel in de regel in twee punten snijdt. Verder kunnen we zien dat steeds de rechte verbindingslijn van de middelpunten, ‘centrale lijn’ genoemd, loodrecht staat op de rechte verbindingslijnen van de snijpunten. De ene rechte lijn is steeds de middellijn van een groot, de andere die van een klein blad en deze staan – zoals we al weten – loodrecht op elkaar.

Op deze tekening staan twee elkaar snijdende cirkels met willekeurige stralen. De stralen die de snijpunten met de middelpunten verbinden, vormen een deltoïde, waarvan de diagonalen de centrale lijn en de rechte verbindingslijnen van de snijpunten zijn; deze staan zoals bekend loodrecht op elkaar:

meetkunde-strakosch-5-8

 

 

 

 

 

 

 
In de volgende tekening is de linker cirkel even groot als de rechter, die t.o.v. de  tekening hierboven kleiner is geworden; de lengte van de centralen, dat is de afstand van de middelpunten, is hier en bij de volgende tekeningen even groot. Omdat hier de rechter cirkel even groot is als de linker, is de deltoïde een ruit geworden. Belangrijk is dat de afstand van de snijpunten kleiner is geworden; de figuur is vlakker geworden. De som van de stralen is nog steeds groter dan de centrale lijn:

meetkunde-strakosch-5-9

 

 

 

 

 

 
In de tekening hieronder is de som precies gelijk aan de centrale lijn. De deltoïde waarvan het langere paar zijden en het kortere, na door de ruit te zijn gegaan, van plaats gewisseld zijn, is nu geheel plat geworden; de beide snijpunten liggen bovenop elkaar, zijn in een dubbelpunt samengekomen. Dit punt ligt zowel op de ene als op de andere cirkel en heet raakpunt (Duits heeft ‘äussere‘ ‘buitenraakpunt), omdat het middelpunt van de ene cirkel buiten dat van de andere ligt. De beide cirkels hebben alleen dit punt gemeenschappelijk.

meetkunde-strakosch-5-10

 

meetkunde-strakosch-5-8

In bovenstaande tekening kunnen we de snijpunten van beide cirkels naar links laten lopen waarbij de rechter cirkel groter wordt en we kunnen waarnemen hoe deze zich steeds meer van elkaar verwijderen. De afstand zal het grootst zijn, wanneer het bovenste (snijpunt) het hoogste, het onderste het laagste punt van de cirkel heeft bereikt. Hun verbindingslijn gaat door het middelpunt en staat loodrecht op de centrale lijn; de deltoïde die uit twee gelijkbenige driehoeken ssamengesteld schijnt te zijn, is in één gelijkbenige driehoek veranderd, daar de linker driehoek steeds vlakker en tenslotte een rechte is geworden. Zoals op onderstaande tekening:

meetkunde-strakosch-5-11

Laten we de snijpunten nog verder naar links opschuiven, komt het middelpunt van de cirkel rechts van haar verbindingslijn te liggen. In onderstaande tekening met streepjes getekend:

meetkunde-strakosch-5-12Er vormt zich een gelijkbenige driehoek, die echter naar rechts ingestulpt is.

Gaan de snijpunten nog verder naar links, dan wordt de straal van de rechter cirkel nog groter, dan vallen ze weer samen, maar nu op het uiterste linkerpunt van de cirkel, op de centrale lijn; de beide cirkels raken elkaar zo, dat de ene binnen de andere ligt.

Hieruit volgt dat de afstand van middelpunt en straal van de beide cirkels zich zo verhouden: een cirkel raakt de ander aan de buitenkant: hun middelpuntsafstand is gelijk aan de som van hun stralen.
Een cirkel raakt de ander aan de binnenkant: hun middelpuntafstand is gelijk aan het verschil van hun stralen.

Kijken we nu ook naar de verbindingslijn van de snijpunten. Die staat als een diagonaal van een deltoïde loodrecht op de anderre diagonaal, de centrale. – Op de rechte. waarvan de richting bepaald wordt door de snijpunten van de twee cirkels, begrenzen de twee snijpunten een vlak dat in relatie tot de cirkel een ‘koorde’ wordt genoemd. Is deze rechte een niet begrensde lijn die de cirkel snijdt. wordt deze secant snijlijn’ genoemd. 

De lengte van een koorde groeit naar mate deze het middelpunt nadert. Wanneer deze door dit punt heengaat, heeft ze de grootste mogelijke lengte bereikt.

De doorsnede geeft de grootste koorde weer.

Iedere koorde is ook de basis van een gelijkbenige driehoek waarvan de beide benen door twee stralen worden gevormd. (Een driehoek die we in het cirkelveld overal gezien hebben met de drie zijden gelijk, heet gelijkzijdige driehoek; zijn er maar twee gelijk, dan heten de gelijke zijden ‘benen’, de driehoek: gelijkbenig).

Op iedere koorde als basis kun je nog een tweede gelijkbenige driehoek construeren. Die twee kunnen als een deltoïde beschouwd worden, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar over en weer halveren. Daaruit volgt dat de op een basis van een gelijkbenige driehoek opgerichte loodlijn steeds door het er tegenoverliggende hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat; de loodlijn die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde valt, heet een ‘hoogtelijn’. Bij een onregelmatige driehoek gaat de hoogtelijn niet door het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

De tekeningen die hierboven zijn gebruikt vatten we nu samen in  1 tekening:

meetkunde-strakosch-6-1hier staan alle snijlijnen (secanten)  – als diagonalen van deltoïden loodrecht op de centrale lijn. De koorden, d.w.z. de stukken van de snijlijnen binnen de cirkel, werden steeds kleiner, naarmate de rechte lijnen zich verder van het middelpunt (van de linker cirkel) verwijderen. In de getoonde tekeningen trekken de koorden zich in 1 punt samen; de richting van de rechten blijft echter onveranderd loodrecht t.o.v. de centrale lijn; het kleiner worden van de lengte is geen aanleiding tot een verandering van de richting. De rechte lijnen 1 en 6 snijden de cirkel niet meer, ze raken deze slechts aan. Daarom heten ze raaklijn of tangent of tangens.
Als je er zo naar kijkt is het duidelijk dat een tangens altijd loodrecht zal staan op de door het raakpunt getrokken straal (radius). Dat dit altijd zo is, blijkt ook uit hetvolgende:
Zou je de raaklijn ook maar met een oneindig klein hoekje om het raakpunt draaien, dan zou deze meteen de cirkel op nog een tweede punt snijden. Al naar gelang van de draairichting zou dit op de ene of op de andere kant van het raakpunt liggen en de hoek t.o.v. de centrale lijn zou geen rechte meer zijn.

Als we weer naar het cirkelveld kijken, dan kunnen we in deze tekening inzien, dat het zonet gevonden feit ook hier zichtbaar is.:

meetkunde-strakosch-6-2hier is de middellijn van het grootste blad gepuncteerd getekend als verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels. Deze staat loodrecht op de straal door het raakpunt, omdat deze straal de middellijn is van het erbij behorende kleine blad. Door het punt dat het raakpunt moet zijn, loopt de middellijn van de volgende grote bladeren parallel aan de eerste middellijn, dus ook loodrecht op de straal. Deze voldoet dus aan de voorwaarden van een tangens, zoals hierboven geformuleerd. In het maken van deze tekening ligt dus de oplossing van de opgave:

In elk gegeven punt van een cirkel een raaklijn tekenen.

In de eerste tekening lopen de tangenten 1 en 6 parallel, hun snijpunt ligt in het oneindige. Vanuit een punt in het oneindige kunnen we dus twee raaklijnen op 1 cirkel trekken, meer kunnen het er niet zijn. Dit blijft ook zo, wanneer het punt niet in het oneindige vanaf de cirkel ligt. Dat is hier te zien:

meetkunde-strakosch-6-3De verbindingsrechte van de beide raakpunten gaat niet meer, zoals bij de eerste tekening door het middelpunt van de cirkel (hier is ze middellijn van een groot blad); de stralen naar de raakpunten vormen geen rechte lijn meer, ze vormen een hoek die kleiner wordt naar mate het punt buiten de cirkel naar de cirkel toe komt te liggen. Deze twee stralen vormen samen met het vlak dat de raaklijnen begrenzen tussen de punten van waaruit de raaklijnen beginnen en de snijpunten een deltoïde met de bijzondere eigenschap dat de ongelijke zijden een rechte hoek vormen en alle vier de hoekpunten op een cirkel liggen.

Nu moet echter eerst in deze tekening de algemene oplossing van de opgave getoond worden hoe vanuit een punt buiten de cirkel de twee raaklijnen aan deze cirkel te trekken:

meetkunde-strakosch-6-4De oplossing moet eruit bestaan dat wat net getoond is, een deltoïde in een cirkel te tekenen. Het middelpunt van deze cirkel ligt op het midden van een rechte lijn die het beginpunt van de beide raaklijnen met het middelpunt van die cirkel verbindt waaraan de raaklijnen moeten komen. De snijpunten van de beide cirkels zijn de gezochte raakpunten.

meetkunde-strakosch-7-1

Op bovenstaande tekening zien wij verschillende punten op de omtrek van een cirkel en iedere keer blijkt uit de verhouding van de hoek tussen die van een klein en een groot blad, dat deze hoek de beide verbindingslijnen naar de eindputen van de doorsnedelijn, de zogenaamde omtrekshoek, een rechte hoek is. Het zijn hier echter punten waarvan de plaats door het cirkelveld wordt bepaald en wij moeten ons afvragen of in het algemeen iedere hoek op de omtrek een rechte hoek is.

Hiertoe willen we twee verschillende gezichtspunten uitvoeren waarvan elk tot het gewenste doel kan leiden. Echter is het steeds een verrijking van de ervaring via twee verschillende wegen een doel te bereiken.

Met bovenstaande tekening kunnen we zeggen: Er zijn bepaalde punten op de cirkelomtrek die aan de vereiste voorwaarde voldoen dat hun verbindingslijnen naar het uiteinde van de middellijn een rechte hoek vormen. (Wanneer er voor een andere richting van de middellijn wordt gekozen, verandert de rechte hoek alleen van plaats. Laten we ons voorstellen dat deze hoek groter en kleiner wordt, dus vlakker of spitser dan 90º zou worden, dan zou het hoekpunt niet meer op de cirkel liggen, dat zou zich erbinnen of erbuiten bevinden. Deze kan derhalve alleen maar het hoogste punt van een rechte hoek zijn, wanneer deze op de cirkel zelf ligt. Daarmee is vastgesteld  dat het deel van de hele cirkelboog dat overblijft precies zo groot moet zijn als dat waartoe de rechte hoek behoort.
Op de andere helft van de cirkel ligt echter ook een punt met dezelfde eigenschappen, maar symmetrisch daarop. – Je moet erop letten dat er steeds sprake van is, dat deze hoek tegenover de middellijn ligt. Draaien we de middellijn een hoekpunt verder, dan gaat hij niet meer door het middelpunt en is dus geen middellijn meer. Het ene been van de hoek (die bij het draaipunt) behoudt zijn positie, de andere moet anders worden wanneer hij het andere zich bewegende snijpunt volgt. In welk van de beide mogelijke richtingen deze zich ook mogen bewegen, de hoek kan geen rechte meer zijn. We kunnen dus zeggen:

Alleen de hoek op de halve cirkelboog (namelijk boven een middellijn) is een rechte hoek, maar ook: iedere hoek op de halve cirkelboog is een rechte hoek.

Dit feit kunnen we ook nog op een andere manier aanschouwelijk maken. We nemen deze tekening nog een keer:

meetkunde-strakosch-5-7We kijken nog eens naar de benen van de gelijkbenige driehoek. Die zijn – de naam zegt het al – in iedere driehoek van gelijke lengte en kunnen daarom ook als stralen van een cirkel met het middelpunt in de tophoek van de driehoek beschouwd worden. Wanneer je deze cirkels nu trekt, dan gaan ze vanzelfsprekend allebei door de beide eindpunten van de basis die alle driehoeken gemeenschappelijk hebben, zoals hier is te zien:

meetkunde-strakosch-7-2Er ontstaan in in iedere cirkel twee gelijkbenige driehoeken met een gemeenschappelijke basis die samen in iedere cirkel een vierhoek vormen en wel een deltoïde. Iedere vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek, omdat iedere kant een cirkelkoorde is. De basis van de driehoeken, een diagonaal, zal over het algemeen een koorde vormen en zolang dat het geval is, zullen de hoeken van de top van de driehoek  de ene groter, de andere kleiner dan 90º zijn. Alleen wanneer de koorde de bijzondere positie van de middellijn aanneemt:

meetkunde-strakosch-7-3en daarmee tegelijk haar grootste lengte heeft, worden deze beide hoeken gelijk en ieder ligt op een halve cirkel, ieder wordt een rechte hoek, de koordenvierhoek wordt een vierkant.

We zouden nog steeds te maken hebben met een bijzonder geval wanneer in iedere vierhoek elke twee aangrenzende zijden gelijk waren, wanneer het uit twee paren van gelijke zijden zou bestaan die elkaar raken, dan was het dus een deltoïde.

Om het algemeen te maken, trekken we door het middelpunt van de basis in een willekeurige richting een rechte:

meetkunde-strakosch-7-4die zal iedere cirkel in twee punten snijden. Deze snijpunten en de hoekpunten van de basis vormen in iedere cirkel een koordenvierhoek met vier ongelijke zijden en even zovele verschillende hoeken. Volgen we de veranderingen van de hoeken die op de rechte liggen wanneer we van de grootste cirkel naar binnen gaan. Van de beide hoeken wordt de spitse steeds vlakker, de vlakke steeds spitser. Dan komt de cirkel waarin ze allebei even groot zijn, dan veranderen ze weer in omgekeerde verhouding en de cirkels worden steeds groter.
In die kleinste cirkel echter is de basis een middellijn. De bogen aan weerszijden zijn halve cirkels en de hoeken moeten recht zijn, want bij de minste positieverandering van de basis (door groter worden van de cirkel naar rechts of links) zouden de hoeken opnieuw – zoals beschreven is, ongelijk zijn. We mogen weer zeggen:
Iedere hoek op een halve cirkelboog is een rechte hoek.

 

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.22 t/m 26

Over de geometrische basisfiguren
Deze zijn: cirkel, gelijkzijdige driehoek, vierkant en de regelmatige vierhoeken. Zoals we hier oefenend waarnemen, kunnen de regelmatige figuren niet alleen maar als ‘speciale gevallen’ worden gezien. In het verdere verloop zal blijken dat zij het juist zijn waaraan je de wetten het eenvoudigst en duidelijkst kunt aflezen die – in erbij behorende afwijkende vormen – dan overal gevonden kunnen worden.

Van tevoren – als een vorm van vervolmaking van het handwerk – zal steeds sprake zijn van een eenvoudige, steeds terugkerende constructie. Het gebruiken van de rechte hoek is daarbij nuttig, waarbij twee basisvragen beantwoord moeten worden.

1.Op een bepaalde plaats op een rechte lijn een loodrechte lijn oprichten:

meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 

 

Vanuit het gegeven punt als middelpunt teken je het bovenste deel van de ‘bloem’. Aan weerszijden van dit punt ontstaan twee kleine blaadjes, loodrecht daarop een groot blad, waarvan de middellijn de gezochte loodlijn is.

Op de volgende tekening zie je, dat je uit het gegeven punt als middelpunt een cirkel kunt trekken met een willekeurige straal die wel groot genoeg moet zijn, zodat op de rechte lijn twee snijpunten ontstaan. De doorsnede van deze cirkel neem je dan tussen de passer en vanuit de twee snijpunten trek je twee cirkels. Deze vormen weer een een ‘groot’ blad, de eerste cirkel kan als ‘klein’ blad gezien worden:
meetkunde-strakosch-5-2

 

 

 

 

Als je goed kijkt, zie je dat het erop aankomt dat een of ander punt van de gezochte rechte lijn vanuit twee punten op de gegeven lijn dezelfde afstand heeft, die dus zelf vanaf het gegeven punt even ver verwijderd zijn.

2.Vanuit een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodlijn neerlaten, d.w.z. een lijn trekken die door dat punt gaat en loodrecht op de rechte lijn staat.
Met een  willekeurige  straal maak je een cirkel vanuit dit punt; deze cirkel zal de rechte lijn op twee plaatsen snijden die even ver van het gegeven punt verwijderd zijn:
meetkunde-strakosch-5-3

 

 

 

 

De afstand van die punten tot het gegeven punt is de straal van die cirkel. Vanuit die punten trek je nog twee cirkels. Die gaan door het gegeven punt en je vindt de loodlijn als je de middellijn van het ‘blad’ trekt dat ontstaan is. De stralen van deze cirkels zijn op de tekening even groot als die van de eerste cirkel, maar ze mogen ook anders zijn, als ze maar even groot zijn. De middellijn van het ontstane blad zal steeds door het gegeven punt gaan en loodrecht op de rechte lijn staan.

3.Een vierkant tekenen waarvan de diagonalen zijn gegeven.
meetkunde-strakosch-5-4

 

 

 

De dubbelgetrokken horizontale lijn is de gegeven diagonaal waarvan de eindpunten twee hoekpunten van het vierkant vormen. Vanuit deze als middelpunten trekt je twee cirkels met de gegeven diagonaal als straal. De middellijn van het ontstane grote blad deelt de diagonaal middendoor en staat er loodrecht op. Vormt daarmee de tweede diagonaal. Met het punt van de twee zich snijdende diagonalen als middelpunt en de halve diagonaal als straal, trek je een cirkel die de vertikale diagonaal op twee plaatsen snijdt. Dat zijn de twee andere punten van het vierkant.

4.Een gegeven hoek doormidden delen, d.w.z. een rechte lijn trekken die met de beide benen een even grote hoek vormt.
meetkunde-strakosch-5-5

 

 

 

 

Dit is in deze tekening met cirkels uitgewerkt. Links wordt een hoek van 60º in twee delen van 30º gedeeld; rechts een hoek van 2  x  60º  = 120º  in twee delen van ieder 60º . – In de tekening is het proces goed te zien: (links) met behulp van een cirkel waarvan het middelpunt in het toppunt ligt van de te verdelen hoek, worden op de beide benen van de te delen hoek gelijke stukken afgepast (de straal van de cirkel). Met dezelfde straal worden vanuit de gevonden snijpunten twee cirkels getrokken die elkaar snijden en een groot blad vormen. Het ene punt ligt in het gegeven hoekpunt; het andere daar tegenover. De verbindingslijn is de middellijn van het blad en tegelijkertijd de lijn die de hoek deelt.

Deze tekening laat de gang van zaken zien voor een willekeurige hoek:
meetkunde-strakosch-5-6

 

 

 

 

 

De hoekdeellijn wordt bepaald door de tophoek en het snijpunt van de twee cirkels die het blad vormen. Die moeten wel even groot zijn, maar de straal kan anders zijn dan van de cirkel die op de benen de gelijke afstand heeft, en de middelpunten aangeeft van de andere cirkels. In het algemeen, d.w.z. wanneer de drie cirkels niet allemaal even groot zijn, zal het tweede punt niet in de tophoek liggen, maar ergens op de hoekdeellijn en dan wel binnen de hoek wanneer de cirkel die het blad vormt kleiner is dan de eerste en erbuiten wanneer het omgekeerde het geval is. Omdat echter één punt van de hoekdeellijn altijd in de punt van de te delen hoek moet liggen en een rechte lijn door twee punten moet gaan, is het voldoende, om slechts één snijpunt van die twee cirkels die het ‘blad’ vormen, te vinden.

Wanneer je echter alleen het hoogst nodige van de constructie wil tekenen, dan zijn de sterker benadrukte cirkelstukjes genoeg. – Iemand zou kunnen zeggen: waarom dan eerst die constructie van deze tekening:
meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 
het kan toch simpeler?
Bij het puur technisch tekenen komt het – waar hier sterk naar gestreefd wordt – op de eenvoud aan. Maar we willen zo werken dat we door het oefenen juist veel leren van de verschijnselen en we de daarin tot uitdrukking komende wetten leren kennen. Want we willen ons, zogezegd, oefenend inleven in de geometrie. Steeds maar naar het simpele kijken, betekent: oogkleppen opzetten, i.p.v. steeds verder en dieper doordringen in de rijke wereld van de meetkundige feiten en de geheimzinnige en belangrijke wetten doorgronden. De mooiste constructie is, die ons de meeste samenhangen tot bewustzijn brengt. Wanneer je er steeds naar streeft, de blik op het geheel niet te verliezen, wordt later de praktische toepassing – je zou kunnen zeggen – een peulenschil. Bij het eenvoudiger maken, blijven we ons bewust van de samenhang. We hebben niet simpelweg een regel van buiten geleerd, die we weer snel vergeten; we hebben dan veel meer de samenhang innerlijk paraat, we kunnen dus uit het overzicht steeds opnieuw het detail halen. De ervaring leert dat degene die op deze manier oefent, in stijgende mate wat geoefend werd in zijn voorstellingsbeleven heeft en in staat is, ‘in het hoofd’ de meetkundige operatie uit te voeren; ja, hij zal daarbij ook op nieuwe ideeën komen en veel zelf vinden dat erbij hoort en pas later wordt besproken. Je leert met dezelfde intentie voorstellen, waarmee je voordien waargenomen hebt en dat is waardevol.

In deze trant nemen we deze oefening:
meetkunde-strakosch-5-7

 

 
We hebben deze aleens gezien (meetkunde 4-2, tek.7) en later komt die nog terug.

In het midden hebben we een lijnstuk (zo noem je ter onderscheiding van een onbegrensde rechte lijn, een door een of twee daarop liggende punten begrensd deel(stuk) van een (rechte) lijn.(pw.: let op het is de dikke vertikale (korte lijn).
In een rechte hoek daarop staat een gepuncteerde loodrechte lijn die het lijnstuk in het midden snijdt; die noemt men middelloodlijn.

Het woord loodlijn heeft te maken met het schietlood die de richting van de zwaarte aangeeft, namelijk van boven naar beneden. De richting staat ‘loodrecht’ op de oppervlakte dat gevormd wordt door stilstaand water. In de meetkunde wordt echter het begrip ‘loodrecht’ gebruikt, onafhankelijk van de richting van die krachten die ieder object wanneer het wordt losgelaten rechtlijnig naar beneden aanhoudt. Hier wordt alleen gekeken naar het feit van een rechte hoek. Men zegt dat rechte lijnen loodrecht op elkaar staan, wanneer ze een hoek van 90º vormen, een rechte hoek omsluiten en dat totaal onafhankelijk van hun positie. Ga je dus, zoals hierboven van een lijnstuk uit dat van boven naar beneden loopt en wil je de rechte lijn benoemen die door het middelpunt van dit lijnstuk gaat en daarmee een rechte hoek vormt, dan noemt men dat een ‘middelloodlijn’. 
Net zo noemt men in de meetkunde de ‘hoogte van een driehoek’ de kortste afstand, het lood van twee snijpunten op de derde driehoekszijde, dus de rechte lijn die loodrecht op een zijde staat en daarbij door de snijpunten van de beide andere gaat. Ook dat is onafhaneklijk van de positie van de driehoek op het vlak. De zijde waarop de hoogte loodrecht staat, heet haar’ basis’; deze kan dus elke willekeurige lengte hebben. – Staat ze horizontaal dan kan de hoogte zelfs in de oorspronkelijke zin een ‘loodrechte’ lijn of ‘loodlijn’ genoemd worden.

(Terug naar bovenstaande tekening): Een paar punten van de middelloodlijn(en) zijn verbonden met de hoekpunten van het lijnstuk en door het cirkelveld zie je dat ieder punt van de gepuncteerde horizontale lijn even ver verwijderd is van de eindpunten van het lijnstuk. – Dit feit kun je ook zo uitspreken, wanneer je allereerst de daardoor ontstane gelijbenige driehoeken op het oog hebt:
richt men op een gegeven basis alle mogelijke gelijkbenige driehoeken op, dan liggen alle tophoeken steeds op de middelloodlijn op de basis. Of: de middelloodlijn op de basis is de ‘meetkundige plaats‘ voor de tophoeken van alle op haar opgerichte gelijkbenige driehoeken.

De van de tophoek naar de eindpunten van de basis gaande rechte lijnen vormen een bepaalde hoek die kleiner wordt naarmate de tophoek zich verwijdert van de basis. Daarbij worden de steeds gelijkblijvende basishoeken groter. – In de tekening zie je naast het ‘grote’ blad, waarvan de lengteas de basis is, een zich steeds herhalende rij van ‘grote’ bladeren. De spitsen ervan liggen op twee rechte lijnen die steeds even ver van elkaar verwijderd blijven, hoe ver je ook het cirkelveld (in beide richtingen) uitbreidt: zulke rechte lijnen noemt men parallellen en zegt dat deze elkaar pas snijden in het ‘oneidige’. Aan de tekening kun je aflezen dat de middelloodlijnen op de basis ook parallel zijn aan deze beide rechte lijnen; verder, dat de zijden  (verbindingslijnen tussen de tophoek en eindpunt op de basis) de eerstgenoemde parallel steeds dichter naderen, naarmate de tophoek zich verder verwijdert naar het oneindige. Dat gebeurt wanneer ieder been zich om het eigen eindpunt op de basis draait. Hierbij wordt de hoek die ze insluiten, steeds groter en wanneer zij parallel gaan lopen, wordt deze recht = 90º (de rechte lijnen gaan dan door de spitsen van de boven- en onderrij van de ‘grote’ bladeren).
Je kan een hoek beschouwen als de mate waarin twee rechte lijnen samenlopen of uit elkaar bewegen, al naar gelang in welke richting je je op de rechten beweegt, naar het kruispunt of daar vandaan. Wanneer twee rechte lijnen samen lopen, noch uit elkaar gaan, dan is er geen hoek tussen hen; je kunt zeggen: de hoek die ze omsluiten is gelijk aan nul, ze zijn parallel.
Bij een driehoek met de hoogte ∞ (dat is het teken voor ‘oneindig’) zijn dus de basishoeken allebei recht, de tophoek is = 0: de som van alle drie de hoeken = 2  x  90º =  180º. Daaraan verandert niets, ook al heeft de hoogte een eindige lengte, want iedere basishoek wordt om de helft van de tophoek kleiner, als de met zwarte dubbelboogjes aangegeven hoeken gelijk zijn. omdat namelijk hun benen dezelfde richting hebben, parallel zijn.

De som van de binnenhoeken van een driehoek zijn steeds 2 R = 180º
Hiermee wordt op een feit gewezen en een oefening gegeven die later vruchtbaar blijkt te zijn.

In de tekening (boven) zijn rechts en links van de vertikale lijn punten van de horizontale middelloodlijnen met de beide eindpunten van de vertikale lijn verbonden. Zulke punten die van daaraf gelijke afstanden hebben wat je aan de kleine blaadjes makkelijk kan zien, zijn met de eindpunten van de vertikale lijn door lijnen verbonden die op dezelfde manier uitgetrokken zijn (gepuncteerd, gestippeld enz). Zo ontstaan geheel gesloten figuren, zgn. ruiten of rhomben (enkelvoud: rombe) Je kunt ze bestempelen als bestaand uit ieder twee gelijkzijdige driehoeken die allemaal de vertikale lijn als gemeenschappelijke basis hebben. Maar je kunt ook vierhoeken maken die uit twee paar even lange rechten bestaan, waarbij de rechten van ieder paar verschillend zijn; de tophoeken van de beide driehoeken waaruit ieder figuur bestaat, liggen op de middelloodlijn, maar niet op gelijke afstand van de vertikale lijn zoals bij de ruiten het geval is. Zulke vierhoekn zijn deltoïden of vliegers. De laatste naam komt van de verwantschap met de vlieger die de kinderen zo graag oplaten.

Ruiten en deltoïden hebben de belangrijke eigenschap dat hun diagonalen steeds loodrecht op elkaar staan. Bij de ruiten halveren de diagonalen elkaar over en weer, bij de deltoïden wordt alleen die diagonaal gehalveerd die de hoeken verbindt waarin de ongelijke zijden bij elkaar komen. – Uiteindelijk kun je ook vierhoeken uit zulke driehoeken met verschillende hoogte vormen die op dezelfde vertikale lijn liggen:
meetkunde-strakosch-5-12

 

 

 

 
Je kunt ze ingestulpte deltoïden noemen. De diagonaal die gehalveerd wordt, ligt buten de figuur. Om het snijpunt te bepalen, moet je de andere diagonaal langer maken.

.

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-4)

.

Ter verduidelijking heb ik in een tekening wat letters aangebracht – het is een deel uit de grotere tekening.

Over het ontstaan van een gelijkzijdige driehoek

Teken eens drie cirkels X. Y, Z die ieder door het middelpunt van de twee andere gaan. Er ontstaan drie grote bladeren: AYZX; YZCX; XYBZ  en door de punten van ieder blad trek je een rechte lijn: a, b en c. Het resultaat is het belangrijke feit dat deze drie rechten elkaar in één punt D snijden. Dat kan niet anders, want dan zouden de drie grote bladeren uit ongelijke boogstukken moeten bestaan. En dan zou echter iedere cirkel onmogelijk door het middelpunt van de beide andere kunnen gaan.

 

meetkunde-strakosch-3-1

 

 

 

 

 

 

 

Voor twee van de drie punten pas je nu toe wat voor deze tekening al werd gezegd, (meetkunde 4-3) wanneer je de cirkelmiddelpunten op de drie rechten steeds verder naar buiten op laat schuiven. Zodra deze middelpunten in het oneindige vallen, worden de ieder door twee punten gaande cirkelbogen tot rechten:

In deze tekening (uit 4-3) is er 1 zo’n rechte lijn ontstaan; hier doet Strakosch
meetkunde-53

het met 2 punten en dan zie je de rechte lijnen – die met de vele steeds vlakker wordende boogjes ontstaan:
meetkunde-strakosch-3
Je.kan echter ook, zoals hieronder, de middelpunten op de drie rechten in plaats van naar buiten, ook naar binnen laten verschuiven, naar het middelpunt van de driehoek toe, het snijpunt van de drie rechten. Daarbij worden de boogstukken tussen elke twee punten meer gebogen. Wanneer tenslotte de drie middelpunten met het snijpunt van de drie rechten samenvallen, dan ontstaat een drievoudige cirkel door de drie punten. (Worden bij het opschuiven naar binnen de drie middelpunten even ver van het snijpunten van de drie rechten genomen, wat vrij staat, dan liggen de snijpunten van de deze cirkels op dezelfde rechten – en wel op het gepuncteerde deel.):
meetkunde-54

Wanneer je de beweging van de middelpunten naar buiten en naar binnen in dezelfde tekning weergeeft, krijg je een cirkel waarin een gelijkzijdige driehoek ingeschreven is, een van de basisfiguren van de geometrie.

Op basis van wat zojuist werd opgemerkt en door de tekeningen hoef je het trekken van rechte lijnen in regelmatige cirkelvelden niet meer als een vreemd, erbij gehaald element te zien..

Ook het vierkant kun je in het cirkelveld intekenen.
In de middencirkel van een ‘bloem’ teken je een zeshoek:

meetkunde-31

 

 

 

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-4-1
Op  iedere hoek komen twee grote bladeren bij elkaar waarvan de middelpunten (deels verlengd en gepuncteerd) loodrecht op de zijden van de zeshoek staan die door de aanliggende kleine blaadjes gevormd worden. Ieder door een van de hoekpunten gaande cirkels snijdt op de middellijnen de lengte van zeshoekszijde. De verbindingslijnen van deze punten zijn de vier zijden van de zo ontstane zes vierkanten.

Snijd je de inzet tussen de vierkanten weg en breng je de vierkanten omhoog, dan krijg je een doosje. De vlakken kunnen binnen en buiten (wanneer je de tekening op de achterkant met behulp van de middelpunten nog een keer maakt) met behulp van de cirkels, gekleurd worden. –

Tussen ieder twee vierkanten ligt een klein blad. Snijd je ze langs hun middellijn door en schuif je de zo ontstane tussenruimten over elkaar, dan krijg je een schaal.

Meetkunde: alle artikelen

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

1134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

.

1e week    3e week   4e week

Hier volgt een impressie van de 2e week van de periode meetkunde in klas 6.

Als voorbereiding is het raadzaam Meetkunde [1]   en [2] te bestudere

Vakkenintegratie is belangrijk: de leerlingen kunnen ervaren hoe alles met elkaar samenhangt. En wat ze in het ene vak leren, zien ze in een ander vak, vanuit een ander standpunt, terug.

Een indeling in dagen is nu niet zo makkelijk te geven, want als je bijv. teruggaat naar de 5e klas – Egypte – en je laat na, na het vertellen over hoe de akkers werden gemeten, de ‘godin van de richting’te tekenen – of aan het eind van de 1e dag daar een begin mee maken, wordt de tijdsindeling anders.

De tweede week

Een eerste dag

In klas 5 kwam in de gechiedenisperioden ook Egypte aan de beurt.

In het hier al genoemde boek van Alexander Strakosch besteedt de schrijver ook aandacht aan Egypte:

Wanneer duidelijk is geworden dat je kennelijk ‘stukken grond’ met een stok en een touw kunt bepalen, moet dat ook worden bekeken:

meetkunde-32

En hierin is wel een rechthoekige akker te zien:

meetkunde-33

Dit is een zeer belangrijk ogenblik in de meetkundeperiode: voor het eerst wordt duidelijk dat een meetkundig figuur – hier de rechthoek – ontstaat vanuit de cirkel. We gaan natuurlijk vanaf nu na of dat voor elke andere figuur ook geldt.

We gaan terug naar de eerste week en nemen deze tekening:

meetkunde-23

Daarin tekenen we alle mogelijke lijnen, nadat we ons goed gerealiseerd hebben, dat de lijnen een verbinding vormen tussen punten, zoals bij de rechthoek ontdekt werd.

meetkunde-34

De kinderen zien in ieder geval driehoeken en ja, ook deze figuur ontstaat in de cirkel; en ‘déze figuur’, waarmee ze de ontstane ruit bedoelen.

Maar ‘deze figuur’ is niet echt handig als mogelijkheid om iets in een meetkundige tekening aan te duiden.
En daar hebben de mensen iets voor bedacht. Een afspraak die over de hele wereld geldt: punten geven we een letter uit het alfabet en we schrijven die met een hoofdletter.

meetkunde-35

Wanneer je naar die punten kijkt, blijken het hoekpunten te zijn, maar D bijv. is ook middelpunt van een cirkel.

Meestal gebruiken we voor het middelpunt de letter M, maar het is niet verplicht.

Het telkens moeten opschrijven: ‘teken een cirkel met een middelpunt M’ zijn wel veel woorden en daarom werken de mensen liever met symbolen en dat gaan wij ook voortaaan doen, dus zo:

ꙩ M

En nu we toch weer bij de cirkel stilstaan en aan het benoemen zijn, willen we ook weten hoe we de lijn noemen die de grootte van de cirkel bepaalt.

Wanneer de leerlingen ‘middellijn’ zeggen, is dit niet fout, maar hoe ontstaat dan die middellijn. Met een bepaald stukje lijn tussen de passer.

Dat bepaalde stukje lijn noemen de mensen een lijnstuk: van A naar B; of van D naar E. En omdat we het woord ‘naar’ niet echt nodig hebben, laten we dat weg: lijnstuk AB en/of DE enz.

In bovenstaande tekening kunnen we nu alle lijnstukken benoemen.

En we zien nu dat lijnstuk AD; DC; DB; DE; AB; BF even groot zijn, want het zijn dezelfde lijnstukken die we tussen de passer hadden toen we met de 1e cirkel begonnen.

Toen we in de 1e week deze tekening maakten:

meetkunde-10

was het woord ‘stralen’ al eens gevallen en ja, al deze lijnen zijn stralen.

Het Latijnse woord voor straal  = radius en de =r= staat symbool voor dit lijnstuk.

Dus als er dit staat:

Ꙩ M  r=5, dan weet je dat je een cirkel M – dit is het middelpunt – moet tekenen met een straal van 5 cm.

Ook de middellijn kunnen nu nog anders benoemen: 2 x de straal of wel 2  x   r. Dus 2r.

Uiteraard is het goed om te kinderen zelf de omschrijvingen te laten vinden! Zoals al eerder gezegd: ze zijn soms sprekender dan de officieel gangbare; maar de laatste leren we.

Een tweede dag
Voor je weer verder gaat met de lesstof, is het iedere dag belangrijk te herhalen wat er eerder werd geleerd. De ontstane begrippen, symbolen. Of in het algemeen: wat hebben we tot nog toe geleerd.

We gaan ook weer naar de ‘bloem’ kijken en tekenen Ꙩ M   r=5    r = MA

meetkunde-38

r blijft 5 en we tekenen nu vanuit A  Ꙩ A. De snijpunten waar deze cirkel de omtrek van Ꙩ M  raakt, noemen we B en C. Je ziet meteen dat AC een straal is van  Ꙩ A en AB eveneens.

meetkunde-39

We kunnen nu al de conclusie trekken dat MA=AB=AC

Met dezelfde passergrootte trekken we vanuit B    Ꙩ  B:
Het snijpunt op de omtrek van Ꙩ  M   noemen we D

meetkunde-40

En: BD = MA= AB (= AC, die ik hier niet teken om duidelijker te laten zien hoe de figuur verder groeit)

Weer verder met vanuit D: Ꙩ  D

meetkunde-41

We vinden op de omtrek van Ꙩ  M een nieuw snijpunt dat we E noemen.

Je kunt de letters omkeren, wanneer je vanuit de andere richting benoemt, wat je zeker moet doen om te laten zien dat het niet per se op één manier hoeft:

ED = DB =BA = AM

Vanuit E doen we het nog eens: snijpunt F

meetkunde-42

MA = AB = BD = DE = EF

En nog eens vanuit F: het snijpunt C staat er al!

meetkunde-43

CF = FE = ED = DB = BA = AM

Wanneer we dan nog C als middelpunt van de Ꙩ  C nemen:

meetkunde-44

zijn we rond en kunnen we concluderen dat AB =BD=DE=EF=FC=CA=AM

Dat betekent dat al deze lijnstukken evengroot zijn. Dat we hier 6 even grote stralen hebben en als we naar cirkel M kijken, hebben op die cirkelboog 6 punten gekregen die evenver van elkaar moeten liggen, omdat de afstand die tussen deze punten ligt dezelfde lijn is: straal MA.

Daarmee hebben we bewezen dat de straal van een cirkel 6 x op de omtrek past, m.a.w. we kunnen nu een cirkelboog in 6 gelijke delen verdelen.

Ook zien we in, dat we niet steeds de volledige cirkel hoeven te tekenen, maar alleen de punten die we nodig hebben.

meetkunde-45

De kinderen moeten er goed van doordrongen zijn, dat we, telkens als we iets willen construeren en we deze kleine boogjes zetten, we eigenlijk cirkels tekenen die we niet echt nodig hebben, maar die, als we ze wel volledig tekenen ons laten zien waarom het juist is wat we doen: het bewijs is er in te lezen!

Nu we de cirkel geometrisch juist in 6-en kunnen verdelen, levert dat weer nieuwe mogelijkheden op:

We zijn in staat een zeshoek én een zesster te construeren – het nieuwe woord dat we voortaan zullen gebruiken, mét het woord ‘constructie’.

En als we de cirkel(s) niet echt nodig hebben, tekenen we die uiterst dun, zodat we de overbodige lijnen later kunnen verwijderen:

meetkunde-46

Uiteraard levert dat weer vele schoonheidsvormen op:

6e-klas-meetkunde-2d

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder nummer 2

Na een best inspannende manier van voorstellen om tot bovenstaande bewijzen te komen, is het fijn als er in het kunstzinnige toepassen weer een andere kwaliteit wordt aangesproken dan het denken: de wil in de exacte uitvoering van bijv. de zesster  en het gevoel in het zoeken van mooie kleurcombinaties.
Daarmee wordt dan dag 2 afgesloten.

Een derde dag
Nu we een tijdlang aan de cirkel hebben gewerkt, is het misschien een mooi tegengesteld onderwerp: de rechte lijn.
Als voorbereiding zou je nu meetkunde 4-3 kunnen bestuderen.
Omdat het goed is er telkens aan te denken, hoe kun je met de leerlingen ‘levend’ denken, welke weg kun je gaan om van levende begrippen – en hoe minder subjectief die zijn, des te meer zijn het ‘ideeën’, geestelijke realiteiten, in een zekere verstarring te komen, dus bij het begrip dat weinig ruimte meer laat: de definitie.
Zo zou je hier – zie Strakosch – ook van een cirkel uit kunnen gaan en – in gedachten – de middellijn langer kunnen denken . Wat gebeurt er dan met de cirkelboog. Deze komt dus steeds lager te liggen, totdat hij samenvalt met de middellijn. Je kunt even een uitstapje maken naar ronde of bijna ronde voorwerpen in je omgeving en deze op soortgelijke manier veranderen. Hilariteit! Ook als je de omgekeerde weg bewandelt en een rechte lijn probeert ‘naar een halve boog te denken’. Hoe wonderlijk en vreemd zou de wereld eruit zien, als dit ook met de materie zou kunnen. (Het principe van de lachspiegel!)

Nu laten we deze oefening even rusten.
We nemen de passer en tekenen Ꙩ,  r=willekeurig (maar niet te groot). We trekken de straal. Iets verder naast het middelpunt zetten we de passerpunt op de straal en in het verlengde van de straal, met dezelfde straalgrootte, zetten we een klein boogje ( dat is dus weer een heel klein gedeelte van een cirkel. Dat herhalen we een aantal keren.

meetkunde-55
Nu kunnen we weer een voorstellingsoefening doen: Denk je eens in dat we de passerpunt op de straal bijna op het middelpunt hadden gezet en zoals boven, een cirkelboogje getrokken en dat vele keren achter elkaar. Wat zie je buiten de cirkel in het verlengde van de straal ontstaan: heel veel dicht bij elkaar liggende kleine boogjes. Als je die boogjes nog kleiner denkt, krijg je het kleinst denkbare boogje: een punt. En als je die punten heel dicht tegen elkaar aan denkt, heb je een……lijn.
En daarom wordt er van de lijn gezegd dat het een verzameling van punten is.

meetkunde-56

We hebben de lijn dus leren kennen als ‘een spoor van een beweging’, onzichtbaar totdat er concreet – op aarde, op papier enz. – een stukje ervan zichtbaar wordt; en nu als een verzameling punten.

meetkunde-57Dit is een lijn

meetkunde-58Het zichtbaar geworden stuk: een lijnstuk. Een begrensd stuk, vandaar dat het afgebakend dient te worden:

meetkunde-59

strikt genomen kunnen we dus niet zomaar over ‘een lijn’ spreken als we die in de meetkunde nodig hebben. We moeten eigenlijk steeds ‘lijnstuk’ zeggen. Maar in het dagelijks spraakgebruik zeggen we toch meestal: een lijn van 5 cm bijv.

Wanneer je dit consequent verder denkt is een halve lijn dus dit:

meetkunde-60

Niet dat de leerlingen dat allemaal hoeven te weten (maar er zijn er altijd bij die deze wetenschap prachtig vinden, dus waarom niet), het is wél goed dat ze kennis maken met een wereld waarin het om exact formuleren gaat, om goede afspraken die voor iedereen gelden.

Uiteraard komt de vraag: wat is dan de helft van een lijn, dus in het spraakgebruik: een halve lijn – meetkundig gezegd: een half, de helft van een lijnstuk.
En als je dit niet met liniaal mag meten – of kunt meten – dan moet deze geconstrueerd kunnen worden. Hoe?
Je raadt het al: terug naar de cirkel(s).

meetkunde-35

De driehoeken ABC en ADC zijn op precies gelijke manier getekend. Als je ABC omklapt met AGC als vouwlijn, vallen ze precies over elkaar: ze zijn dus gelijk. Dat geldt ook voor ABD en CBD. Als je die omvouwt met BGD als vouwlijn, vallen ze ook precies over elkaar. Dat geldt dan ook voor ABG en BGC.
Daaruit volgt dat AG = GC en BG=GD.

Omdat we ‘daaruit volgt’ nog vaak nodig hebben, leren we alvast het geometrische teken daarvoor: →

M.a.w. we hebben het lijnstuk AC precies in het midden gedeeld in G.

We trekken een lijnstuk AB van bijv. 5 cm. Deze nemen we als straal en maken vanuit A en B 2 cirkels met de snijpunten C en D. We trekken CD die AB snijdt in G. G is het midden van AB.

meetkunde-61

Nu gaan we de overtollige lijnen weglaten:

meetkunde-62

Alleen de kleine omcirkelboogjes zijn nodig en punt G.

Het is goed om dit zo (lang) te oefenen (tot)dat ieder kind het moeiteloos kan. En ook weet waarom het goed is.
Dat hoort dus bij het herhalen, de volgende morgen: wat hebben we gisteren geleerd.
Nu komt het zeker aan op juist en in volgorde van handelen te formuleren.
Natuurlijk worden ook alle begrippen en symbolen iedere keer herhaald.

Nu we een lijnstuk kunnen delen, nemen de mogelijkheden om dit kunstzinnig toe te passen enorm toe. Want de 6-ster en de 6-hoek kunnen nu 12-ster en 12-hoek worden, met al die variaties waarvan we hier maar een klein deel zien:
(voor meer achtergrond: meetkunde 4-5)

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde –  (onder nr. 4)

.
6e-klas-meetkunde-23

Een vierde dag
De geleerde constructie van gisteren wordt, nadat deze door de kinderen mondeling beschreven is, in het periodeschrift bij de constructies nauwkeurig schriftelijk beschreven. Dit kan bijv. ook een opdracht zijn voor thuis.

Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat je met het delen van een lijnstuk – zie boven – wanneer je G gevonden hebt – tegelijk eigenlijk een loodrechte lijn in G hebt opgericht. Loodrecht omdat G van driehoek ABG net zo groot is als hoek G van driehoek CBG, dus moet de lijn precies loodrecht staan.

Van hieruit proberen we nu een loodlijn op te richten op een willekeurig punt G op lijnstuk AB:

meetkunde-63

Gegeven: lijnstuk AB = 5cm
Punt G willekeurig
Gevraagd: loodlijn in G

Je zorgt ervoor dat G in het midden komt te liggen door GB als straal te nemen en deze af te zetten op GA, snijpunt C. Nu ben je bij het uitgangspunt van de constructie om een lijn doormidden te delen. Je neemt de opening tussen de passer iets groter en cirkelt boven G om vanuit C en B. Snijpunt D. Vanuit G naar D getrokken is de gevraagde lijn de loodlijn. Je kunt hem ook doortrekken naar E als je vanuit C en B omcirkeld hebt.

Een nieuw symbool: staat loodrecht op:   ⊥

Bij de constructie van een lijnstuk halveren, een loodlijn oprichten op een gegeven punt op een willekeurig(e) lijn(stuk, ‘hoort’ eigenlijk nog de construcite vanuit een gegeven punt boven (of onder) een willekeurig(e) lijn(stuk een loodlijn neerlaten, dan wel oprichten. ‘Hoort’ omdat ze bijna hetzelfde zijn.

Voor het lijnstuk onder de gegeven punt, nemen we nu eerst maar wat het meest natuurlijk lijkt: een horizontale.

Rond deze vorm kun je het nog over de heemkundeperiode in de 3e klas hebben, waarin de huizenbouw aan de orde kwam. Bij alle gereedschappen is zeker ook het schietlood behandeld en is het ‘lood’ in loodrecht weer wat duidelijker.

Gegeven:
willekeurig punt X en lijn a
Gevraagd: vanuit X een loodlijn op a

meetkunde-64

Neem een straal tussen de passer zo groot dat omcirkelen vanuit X op a twee snijpunten geeft: A  en   B.
Cirkel vanuit deze punten onder lijn a zo om dat de boogjes elkaar snijden: Y
Trek vanuit X met een liniaal het lijnstuk X tot op lijnstuk AB: C
XC is de gevraagde lijn.
Het is goed om zo precies te zijn, dat – hoewel XC en CX even groot zijn, tóch XC te zeggen, omdat de vraag is: vanuit punt X
C is dus ook het punt wanneer we vanuit Y een loodlijn op a construeren.

Om nog even bij de loodlijnen te blijven en ons te realiseren dat we de constructies eigenlijk maken met behulp van cirkels waarvan echter alleen maar kleine (om)cirkelboogjes worden gebruikt, is dit bijv. een mooie kunstzinnige verwerking:

Vanuit (het denkbeeldige) A en B is op XY steeds met een kleiner wordende straal omcirkeld. Zou je de straal bijv. steeds 1 cm kleiner willen maken, dan moet je die grootte vanaf een liniaal overnemen.

6e-klas-meetkunde-29

Een vijfde dag
Het herhalen neemt elke dag wel een bepaalde begintijd in.
Soms moet er ook gelegenheid zijn om dingen af te maken.
vooral de kunstzinnige tekeningen. Die kunnen ook wel als huiswerk thuis afgemaakt worden.

Inmiddels kunnen de leerlingen zessterren- en hoeken tekenen; daarin driehoeken; twaalfsterren- en hoeken met daarin ook weer driehoeken en vierkanten enz.
Omgekeerd is het ook een hele opgave om een kunstzinnige tekening zo te doorzien, dat je weet hoe die tot stand is gekomen.

Hoe is deze gemaakt?

6e-klas-meetkunde-31

Vanuit de waarneming de volgorde van handelen proberen te zien.
1)  de grote cirkel
2) zesmaal de straal afzetten op de cirkelboog
3) het midden bepalen van 1 zo’n boogje
4) vandaaruit weer zes keer afzetten op de cirkelboog: er zijn nu twaalf punten
5) De punten zo verbinden dat je er telkens twee overslaat
6) Het staande vierkant helemaal tekenen
7) Het vierkant daaronder: alleen de lijnen die zichtbaar zijn
8) Het onderste vierkant: alleen de lijnen die zichtbaar zijn.

Uiteraard maken de kinderen er zelf ook een, met andere kleuren; of halen bijv. als laatste de cirkel weg, waardoor er een puntiger karakter ontstaat.

Je kunt ervoor zorgen dat je een aantal van bovenstaande vormen – oplopend in moeilijkheidsgraad – klaar hebt liggen, die de leerlingen kunnen uitzoeken en meenemen naar hun plaats om de constructie ervan te vinden en uit te voeren.

cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden; straal; snijpunt; constructie, construeren; zesster; zeshoek (hexagram, hexagoon); cirkelboog; verzameling; lijn; lijnstuk; loodlijn;

symbolen:
Ꙩ             cirkel met middelpunt
cirkel met middelpunt M
r              radius = straal
2r           2x de radius = de middellijn
→           daaruit volgt
⊥            staat loodrecht op

suggesties voor de periode:

1e week
3e week
4e week

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1130

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-5)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 21 t/m 22

Over de bloem met de twaalf blaadjes

meetkunde-strakosch-4-2

Tussen twee kleine blaadjes* ontspringt een groot blad als direct vervolg van de bogen die de kleine blaadjes insluiten. De punten van de grote blaadjes liggen weer op een cirkel waarvan de straal even groot is als de lengte van het grote blad.**

Trek je door de grote alsmede door de kleine blaadjes een rechte lijn van punt naar punt, ontstaan er om het gemeenschappelijke middelpunt twaalf gelijke hoeken van ieder 360° : 12 = 30°  (tekening hierboven)

De punten als een rondje waar de cirkel de zes assen van de grote blaadjes snijdt, halveren ieder de boog tussen de punt van de kleine blaadjes. Wanneer je vanuit die punten met een gelijke straal cirkels trekt, ontstaan opnieuw zes blaadjes; in totaal krijg je dus een ‘bloem’ met twaalf blaadjes:

meetkunde-strakosch-4-6

Je kan echter niet een heel blad met ‘bloemen van twaalf blaadjes vullen; want bij ieder ring van cirkels die je rond de begincirkel tekent, verschuiven de middelpunten ieder met de breedte van een klein blad, zoals je kan ervaren bij het maken van deze tekening.

Daarvoor in de plaas biedt de bloem met de twaalf blaadjes de gelegenheid een nieuwe wetmatigheid in te zien. Terwijl zich bij de zes-bloem steeds gelijkzijdige driehoeken vormden of figuren die daaruit te vormen zijn (zeshoeken, ruiten) kan je hier ook vierkanten ontdekken. De volgende drie tekeningen laten een serie voorbeelden zien waarmee de hoeveelheid nog lang niet uitgeput is en de liefhebber rijkelijk gelegenheid biedt om ze zelf uit te werken. Daarbij moet je er echter op letten, dat de verlengde zijden van de vierkanten, ruiten of zeshoeken op de snijpunten van cirkels of in het midden van de driehoeken liggen. Je vindt steeds aanknopingspunten in de omgeving, je hebt een goede controle voor een precieze tekening en leert steeds meer de wetmatigheden kennen.

meetkunde-strakosch-4-3

 

meetkunde-strakosch-4-4

 

meetkunde-strakosch-4-5

 

*kijk naar de bovenste twee cirkels De twee kleine blaadjes met de stippellijn erdoorheen zijn ‘de kleine blaadjes’ en het ‘grote blad’ is het blad waarin deze twee kleinere liggen met ook nog een grotere ronde punt.
**Dat zie ik niet. Strakosch merkt over die lijn op: deze lengte, preciezer gezegd de lengte van zijn middellijn is √3, wanneer de lengte van het kleine blad als eenheid wordt genomen. √3 is echter ook de lengte van de ruimtediaognaal van een kubus met een lengte van 1. Zo zit in deze eenvoudigste constructie in het plattevlak een belangrijke wetmatigheid van de ruimte verborgen.

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1129

 

 

 

 

 

 

 

 

.