Categorie archief: meetkunde

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1325 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)   klas 11

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Met sprookjesbeelden, nog wel. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Door de dierkundeperiode in klas 4, o.a. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

Luc Cielen:
In tot nog toe 11 artikelen probeert Luc aan te tonen dat er teveel antroposofie zit in het leerplan van de vrijeschool.
In zijn artikel 1 gaat het over geschiedenis, dier- en plantkunde.
In geschiedenis toont Pieter Witvliet aan dat je daar nog heel anders naar kunt (en wat hem betreft móet) kijken; ook ‘Atlantis’ is niet per definitie ‘antroposofie’

In dierkunde toont Pieter Witvliet aan dat de indeling in hoofd, romp en ledematen niet iets ‘typisch van Steiner is’. Door te werken als Steiner aangeeft, kan er een met eerbied gevoelde relatie ontstaan tussen kind en wereld, wat geen antroposofie is.

In plantkunde toont Pieter Witvliet aan dat ook het plantkunde-onderwijs geen antroposofisch onderwijs genoemd kan worden, behalve het onderdeel plantenkarakter en zieleneigenschap. Dit wordt echter in vrijwel geen enkele school aan de orde gesteld.

In morgenspreuk 1 toont Pieter Witvliet aan dat de spreuk weinig heeft van een ‘geloofsbelijdenis’, maar juist iets ‘algemeen menselijks’ benoemt. Om kinderen innerlijk vertrouwen te geven. Dat staat ver van ‘indoctrinatie’.

Dat geldt ook voor morgenspreuk 2

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

spel

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

Advertenties

VRIJESCHOOL – 6e/7e klas – meetkunde (2-4)

.

meetkunde klas 6 en 7

Een artikel in de Branding over meetkunde dat was de vraag die de redactie me stelde. Na nauwelijks deze vraag met ‘ja’ te hebben beantwoord, zag ik me voor de volgende moeilijkheid geplaatst: hoe kun je het wezenlijke van meetkunde dat zich tenslotte uitdrukt in lijnen en vlakken die tezamen de vormenwereld zichtbaar maken, beschrijven in woorden?
Om dit dilemma zoveel mogelijk op te lossen zal ik na een inleiding de vormen grotendeels zelf laten spreken en de woorden slechts als aanvulling gebruiken en om een overzicht te geven, hoe de meetkunde in de lessituatie in klas ó en 7 gestalte krijgt.

In de ontwikkeling van de mens van geboorte tot volwassenheid zijn 3 fasen te onderscheiden:

– van 0 – 7 jaar: baby-peuter-kleuterfase
– van 7 ~ 11 jaar; lagere schoolkind
– van 14 – 21 jaar: puberteit en adolecentie

In elke fase is er sprake van een samengaan van het willen, het voelen en het denken. Hoe deze drie zich in elke fase t.a.v. elkaar verhouden voert in het bestek van dit artikel te ver; enkel het volgende gegeven is van belang:

Bij de leeftijd van 0 tot 7 ligt het accent op het willen. Van 7 tot 14 ligt het accent op het voelen.
En bij de fase van 14 tot 21 ligt het accent op het denken.

Deze driegeleding van willen, voelen, denken is ook per fase een gegeven. Zo zit het benedenbouwkind in de lagere klassen nog sterk in de beweging (het willen) – denk aan het klappen en stampen van tafels, versjes etc. Vanaf ongeveer klas 6/7 groeit het kind langzaam naar de puberteit toe en ontstaat het vermogen tot o.a. het causale en abstracte denken. Het leerplan op de vrijeschool neemt de ontwikkeling van het kind als uitgangspunt. Zo komen dan in klas 6 en klas 7 voor het eerst een aantal vakken aan de orde waarbij een appèi op het causale en abstracte denken wordt gedaan zoals: natuurkunde, scheikunde, sterrenkunde, algebra en natuurlijk meetkunde.

Het verkennen, en op papier zetten van de vormenwereld begint al bij de peuter. De eerste dag in de 1e klas leert het kind twee oervormen: de rechte en de kromme.

meetkunde-6e

Vanaf deze dag zal het vormtekenen een dagelijkse of wekelijkse activiteit zijn. Een deel van de vormtekenlessen zullen bestaan uit geometrische vormen, die meerdere malen in één beweging worden getekend.

meetkunde-6e-2

 

In klas 6 gaan vele vormen die het kind al eens getekend heeft wederom getekend worden. Nu echter niet met de vrije hand als voordien, maar m.b.v. passer en lineaal.

De intentie van de meetkundeperiode kan het best als volgt omschreven worden;

“Exactheid, schoonheid en maat. Dat is waar het in de meetkunde om gaat”

Nadat de kinderen een gesprek te hebben gevoerd waar meetkunde overal in het praktische leven is toegepast, zijn de kinderen enthousiast en aangesproken in de wil om aan de slag te gaan met die fonkelnieuwe passer, of die passer die nog een erfstuk blijkt te zijn van de grootvader van moeder…

Zoals met vormtekenen veelal het geval was, zo zal men in beginsel ook elke vorm die op papier zal verschijnen eerst in het groot in de beweging doen; met de hele klas, een groepje of individueel.

De cirkel
Teken met grote bewegingen in de lucht of op de grond; een exacte cirkel vormen met de hele klas (een sociale oefening bij uitstek! )

Waar komen cirkelvormen voor? De aardbol, de schedel, een voetbal, een gloeilamp etc, etc. zullen als antwoorden van de kinderen komen. En dan uiteindelijk de eerste cirkel in het schrift; een lijn even dik of dun met de passer op bladzijde een – tongpuntje tussen de tanden! Vanaf nu heet dit geen “rondje” meer, maar een cirkel met al zijn andere namen erbij.

meetkunde-6e-3

Dan het eerste meetkundewonder!

De straal (afstand tussen de benen van de passer) blijkt precies 6x rond de omtrek van de cirkel afgezet te kunnen worden. De 6 punten kunnen dan op verschillende manieren met elkaar verbonden worden

meetkunde-6e-4

Vanuit deze mogelijkheid volgen dan een reeks tekeningen, waarbij het kleuraspect nog een zeer grote rol speelt voor de schoonheidsbeleving van het kind. Elk kind kiest eigen kleurcombinaties,- verhoudingen en hanteert de mogelijkheden hierin van de licht-donker effecten.

Voorbeelden vanuit de 6-deling:

meetkunde-6e-5

Dan komen er verschillende soorten hoeken aan bod. Ook weer om je heen kijken on hoeken benoemen of d© hoeken vormen met b.v, je lichaam (hoofd-romp, houding boven-benedenarin) of hoeken gevormd met meerdere kinderen samen.

Na de hoeken 2 constructies:
-het delen van een hoek (bissectrice)
-het oprichten en neerlaten van een loodlijn

Vanuit deze nieuw geleerde constructies zijn er weer talloze nieuwe figuren mogelijk. Zo kan men komen van de 6~deling naar een veelvoud hiervan:

meetkunde-6e-6

Als volgende is de mogelijkheid de driehoek te bekijken. Opdracht voor de kinderen voor thuis kan dan luiden: probeer eens uit hoeveel verschillende soorten driehoeken er zijn.

Bij het behandelen en het gebruik van de geodriehoek of de gradenboog greep ik terug op de geschiedenisperiode in de 5e klas. In deze periode wordt o.a. verteld over de Egyptische cultuurperiode en het ontstaan van de meetkunde aldaar. Het Egyptische jaar telde 5 heilige dagen en 360 overige dagen; de zon stond dan weer op hetzelfde punt.

Vandaar het volgende gegeven:

meetkunde-6e-7

Ook de termen complement, supplement en applement komen nu aan bod.

Nu kan er dan ook volop met gradenboog of geodriehoek worden gewerkt. Verder komen nog aan bod zaken als snijdende lijnen, parallelle lijnen, tegenoverliggende hoeken, verwisselende hoeken etc.

Als afsluiting in klas 6 wordt de 5-hoekconstructie geleerd. Tekeningen die vanuit deze constructie afgeleid kunnen worden volgen hierna. Ook kan gesproken.worden over de gulden snedeverhouding die in deze constructie te vinden is en terugkomt op vele wijzen in de menselijke gestalte.

meetkunde-6e-8

In klas 7 wordt het variëren en uitproberen van allerlei vormen nóg verder uitpewerkt. Het benoemen’en construeren van allerlei mogelijke meetkundefenomenen zal dan echter een groter accent krijgen.

Opgave waarin bepaalde constructies worden gegeven met daarbij een vraag zijn dan aan de orde.

Bijvoorbeeld:
1)gegeven: lijnstuk AB = 5 cm
lijnstuk BC 6 cm
LA of X = 90°

gevraagd:
a) teken een driehoek ABC
b) hoeveel graden zijn B en. X

2) Bewijs dat de 3 hoeiken van een driehoek samen. 180 zijn. etc.

Verder komen zaken als congruentie, rotatie en merkwaardige lijnen aan de orde.

Voorbeeld van een soort merkwaardige lijn in dichtvorm:

We zullen eens proberen
Een lijn te constueren
Die vanuit een hoekpunt gaat
En loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat
Deze hoeken zijn dus beiden recht
90º dat is goed gezegd
Deze lijn heet: hoogtelijn
Het geeft de hoogte aan
Maar dat zal duidelijk zijn

Ook de bissectrice en de zwaartelijn komen zo aan de orde.

De berekening van omtrek en oppervlakte van o.a de cirkel, de driehoek, het parallellogram, de trapezoïde etc. worden in dit jaar behandeld.

Langzaam kan er ook toegewerkt worden naar perspectief en 3-dimensionaliteit als voorbereiding op de platonische lichamen die in klas 8 een centrale plek zullen krijgen.

meetkunde-6e-9

De periode zal eindigen bij de stelling van Pythagoras, zichtbaar gemaakt in:

Tijdens of na de periode krijgen de kinderen opdracht om met alle mogelijkheden en constructies die ze hebben leren kennen zelf een vorm te bedenken en te ontwerpen. Deze worden dan beoordeeld op exactheid, schoonheid en originaliteit.

Peter Giesen, vrijeschool Nijmegen, nadere gegevens onbekend

 

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

 

1181

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/3)

.

Hier volgt een impressie van de 3e week van de periode meetkunde in klas 6.

De eerste week         de tweede week

De derde week

Een eerste dag
Na een paar weken kan het zijn dat als je deze werkwijze volgt, toch in een heel andere tijdsindeling terechtkomt. Dat is uiteraard geen enkel punt: het gaat in jouw klas op jouw manier. Beschouw deze ‘weken’ en ‘dagen’ dus als een soort indicatie, maar bewandel je eigen weg.

Iedere dag weer herhalen wat er al geleerd is. Misschien huiswerkopdrachten om het geleerde toe te passen; gerichte opdrachten die ook over de stof van voorbije dagen kan gaan. Geef kinderen die gemotiveerd zijn extra opdrachten (mee), bijv. om ‘terug te herkennen’ hoe een vorm tot stand is gekomen; of vraag ze naar geheel eigen vormen (die als huiswerk niet per se  (in)gekleurd hoeven te zijn.

We gaan weer willekeurige lijnen trekken die elkaar moeten snijden:

meetkunde-36

 

 

 

 

 

 

 

We bekijken verschillende snijpunten:

meetkunde-47-1

 

 

 

 

meetkunde-47-2

meetkunde-47-3

 

 

 

 

En wanneer we die accentueren zien we hoeken ontstaan.
Bij alle kinderen heel verschillende. Die worden op het bord getekend. Dan zou je kunnen vragen die hoeken in een volgorde te zetten, een volgorde van bijv. groot naar klein of omgekeerd.
Wanneer je de kinderen vraagt die hoeken met hun armen te maken, de ene hoek na de andere, en dan heel snel, zien we als vanzelf ‘de’ hoek een beweging worden, zoals we de lijn als beweging hadden in de eerste week en wanneer we dan plotseling onze armen stilhouden, hebben we ‘een’ hoek.
De idee hoek is een beweeglijke hoek die zich bevindt tussen onze zich bewegende armen. Verrassend is, dat dus op zeker ogenblik wanneer de armen bijna horizontaal zijn, er nog steeds sprake is van een hoek en als we ze horizontaal hebben en nog verder gaan, we nog steeds een hoek hebben.

Dat betekent dat ook de horizontale, dus anders gezegd de lijn of het lijnstuk, vanuit een bepaalde optiek óók een hoek is.

Dat is bijzonder. Gevraagd naar een andere heel bijzondere hoek vinden de kinderen de rechte hoek. Alle hoeken die kleiner of groter zijn, zijn er in een groot aantal: er is maar 1 rechte hoek (en 1 gestrekte)

Hoe heten dan de andere. Opnieuw is het interessant om de kinderen zelf de namen te laten vinden. Natuurlijk leren we dan de officiële namen:
meetkunde-48

1.scherpe hoek
2.rechte hoek
3.stompe hoek
4.gestrekte hoek
5.inspringende hoek

Uiteraard komt nu ook het sympool voor hoek: ∠  en voor de rechte hoek:

meetkunde-49

voor deze bestaan er verschillende

 

 

Als opdracht zou je nu weer de zesster en zeshoek in 1 tekening kunnen laten maken en daarin moeten dan de verschillende hoeken zichtbaar worden.

meetkunde-50

rood= scherpe hoek
groen=scherpe hoek
paars=stompe hoek
blauw= gestrekte hoek
groen + rood=rechte hoek

Een tweede dag
We gaan terug naar de tweede week, de derde dag en herhalen het ontstaan van de rechte lijn en bepaalde eigenschappen daarvan, zoals ‘de verzameling puntjes’.

Dan kun je teruggaan naar de geschiedenisperiode van de 5e klas, naar Babylonië en weer wijzen op de sterrenkunde, de kennis van wat zich aan de hemel vertoont.
Wellicht vertel je een eigen ervaring, bijv. dat je in Ierland was, in Newgrange en heb je – al dan niet kunstmatig – gezien hoe de zon op midwinterdag naar binnen straalt en een bepaalde ruimte precies verlicht.
Je kunt nu vooruitlopen op de sterrenkunde van klas 7 en samen met de Babylonische geleerden de zonneboog aan de hemel beschrijven met een lijn als verzameling van puntjes: die dag staat de zon op tijdstip x daar; de volgende dag op hetzelfde tijdstip x daar (ietsje verder opgeschoven).

De zonnebaan wordt weergegeven met de cirkel en het verschuiven van het punt waar de zon opkomt met de punten, die eigenlijk heel dicht tegen elkaar aan horen te liggen, maar waarvan je er voor de duidelijkheid maar een paar tekent.

En, de Oude Babyloniërs stelden die zonnetijdstippen vast op een aantal van 360 per jaaromgang als product van 12 maanden en 30 dagen per maand.

meetkunde-29

 

 

 

 

 

 

 

Dat betekent dat we door de middellijn te tekenen 2 halve bogen krijgen, waarvan we er 1 tekenen:

meetkunde-31

 

 

 

 

Als de hele boog ‘volgens afspraak’ 360 punten heeft, dan de halve boog 180.
Stel dat deze punten naar de middellijn afdalen en ze nemen de kortste weg, dan moeten ze loodrecht naar beneden:

meetkunde-30

 

 

 

 

Dat betekent dat de middellijn uit 180 puntjes bestaat, hoe klein of groot deze ook is. Dat kunnen we voor iedere lijn zeggen: nee, lijnSTUK: het eerste en laatste puntje valt samen met het begin en einde van de cirkelboog.

Ik merkte altijd wel dat deze redeneringen voor sommige kinderen naar een abstractie gaan die nog moeilijk voor ze is. Maar meestal neem je ze wel mee in het begrijpen, als je het rustig opbouwt en er vooral weer op terugkomt en het juist door de kinderen die het nog moeilijk vinden laat uitleggen om te zien hoe ver ze zijn.

Omdat we het woord ‘punt’ al gebruiken voor een plaatsbepaling – op een lijn(stuk) of erbuiten, ligt het voor de hand dat de puntjes aan de hemelboog = halve cirkelboog – anders moeten heten. Die heten graden en hebben het symbool  º.  In hoeverre je nu al over ‘minuten en seconden’ moet spreken, hangt er misschien vanaf of je op de landkaart het plaatsbepalen al hebt behandeld.
Zo niet, dan zou ik wachten, want voor de meetkunde zijn ze in de 6e klas niet belangrijk.

Zo leren we nu dat de cirkel bestaat uit 360º  en de halve dus uit 180º. En deze is gelijk aan de gestrekte hoek, die dus ook 180º is.
We trekken de belangrijkste conclusie: dat een hoek ook graden heeft!

We strekken de armen weer horizontaal: de hoek is 180º. We maken de hoek kleiner. Hoeveel graden is die? Moeilijk te zeggen. Nog kleiner ( we hebben nog steeds een stompe hoek!). We weten het aantal graden niet. Wanneer weten we dat wel. Ah, ja: als we op de helft zijn. Dan hebben we 90º. Maar dat is de rechte hoek!
Hoewel we niet precies weten hoe groot een hoek is die kleiner is dan 90º, kunnen we nu wel de scherpe hoek nader definiëren:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: < 90º
stompe hoek: >  90º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º

Het kan nog iets nauwkeuriger – dat wil de meetkunde: precies, exact zijn.

Als we met de armen in de rechte hoek = 90º deze kleiner maken en dus terugtellen, komen we uiteindelijk met de armen in de gestrekte hoek en met het tellen bij 0 uit. Dat is op zich weer verrassend: die gestrekte is dus 180º, maar tegelijkertijd ook 0º.
Nu kunnen we aangeven:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: 0º of >0º < 90º  (groter dan 0 en kleiner dan 90 of tussen 0 en 90º)
stompe hoek: ,  >90º maar kleiner dan <180º :  >90º   <180º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º  = ?

Het blijkt bij de inspringende hoek, wanneer we die met de armen groter maken dat we uiteindelijk de hele cirkelboog beschrijven, dus tot aan de 360º:

inspringende hoek > 180º  < 360º

De kinderen kunnen dat dus verwoorden als: de inspringende hoek heeft een grootte die ligt tussen de 180 en de 360 graden.

Nu tekenen we een lijn en richten op 2 punten met enige afstand van elkaar 2 loodlijnen op. We nemen voor de loodlijn een grootte van 3 cm. We verbinden de gevonden punten met een streepjeslijn. Die lijnen lopen dus evenwijdig. Een nieuw begrip, met het woord dat er bij hoort: parallel.

We gummen de loodlijnen weg. De parallelle lijnen blijven staan en daarvan maken we deze tekening:

meetkunde-67

Omdat de lijnen parallel lopen, is het niet moeilijk in te zien dat hoek A het spiegelbeeld is van hoek C1. We leren nu meteen dat we de gelijkheid van de hoeken aangeven met een boogje in de betreffende hoeken. Zo ook: hoek B met hoek C2.
We weten hoe groot hoek C is: als gestrekte hoek: 180º. We kunnen nu ook zeggen: C1  +  C3  +  C2 zijn 180º.
Voor C1 en C2 kunnen we echter invullen: A  en B.
De hoeken A + C3  + B zijn daarmee dus ook 180º.
En daarmee hebben we aangetoond dat de 3 hoeken van een driehoek samen 180º zijn.

Nu trekken we een lijn en nemen tussen de passer een grootte van bijv. 3 cm. We nemen op de lijn een willekeurig punt A en passen de afstand af op de lijn, snijpunt B. Vanuit A zetten we ook nog ongeveer middenboven de lijn een boogje. Dan doen we dat laatste ook vanuit B en het snijpunt noemen we C. We hebben nu een driehoek geconstrueerd. Wat kunnen we van die driehoek zeggen.

meetkunde-68

Dat de 3 zijden gelijk zijn. Hij heet dan ook: gelijkzijdige driehoek

Wat weten we van de hoeken? Ze zijn daarom ook gelijk en als 3 gelijke hoeken samen 180º zijn, dan is elke hoek 60º

We nemen weer een lijn en passen lijnstuk AB af. Met een grotere afstand tussen de passer cirkelen we vanuit A en B om boven de lijn: snijpunt C en trekken AC en BC:

meetkunde-69

Zo wordt de gelijkbenige driehoek gevonden. We kunnen alleen weten dat hoek A gelijk is aan hoek B, over de grootte weten we niets.

Nu tekenen we een rechthoekige driehoek met de al geleerde constructie: richt op een lijn op een willekeurig punt A een loodlijn op; pas op deze loodlijn een willekeurige grootte af: snijpunt C; cirkel vanuit A met een andere willekeurige grootte op de basislijn een lijnstuk af: snijpunt B; verbindt B met C:

meetkunde-70

gevolgd door een rechthoekige driehoek waarbij AC en BC even groot zijn:

meetkunde-71

Dit is de gelijkbenige  rechthoekige driehoek.
Hoek A = 90º; bij een gelijkbenige driehoek zijn er altijd 2 hoeken even groot; dat zijn hier dus hoek B en C. Samen zijn de hoeken 180º; voor hoek B en C blijven er 90 over: ze zijn ieder 45º.

Met deze kennis gewapend tekenen we een cirkel met middelpunt M en nemen een willekeurig punt op de cirkelboog A; met dezelfde passeropening cirkelen we vanuit A om op de cirkelboog: B; we verbinden MA; AB; BM en hebben een gelijkzijdige driehoek gekregen: (we noemen die lijnen weer even en passant de stralen)

Opdracht: hoe groot zijn ∠ M, A, B?
Omdat MA = AB = BM hebben we te maken met een gelijkz. ∆;  ∠ M, A, B zijn dan alle drie 60º.

meetkunde-72

We verlengen AM (we vragen steeds aan de kinderen wat voor lijnen we krijgen: hier dus de middellijn (2x straal = 2r) en richten in M de loodlijn op: snijpunt met cirkelboog: C; we trekken CB. We zien nu dat ∠ M eigenlijk uit 2 ∠ ∠ bestaat. Dat moeten we dan ook aangeven:   M1   M2.  Dat geldt ook voor ∠ B.

Kun je nu zeggen hoe groot M2  en B2  zijn?

meetkunde-73

∠  M1   M2  zijn samen 90º. ∠  M1  als hoek van een gelijkzijdige driehoek is 60º; dan is M90 – 60= 30º
CM = BM, de driehoek MCB is gelijkbenig en dus zijn de hoeken C en B2  gelijk. Omdat hoek M2  30º is, blijven er 180 – 30 = 150º over voor 2 hoeken, d.w.z. iedere hoek is 75º.

Probeer de grootte van de gekleurde ∠ ∠ te bepalen.

meetkunde-50

Met deze opdracht, die ook thuis afgemaakt mag/moet worden, is de derde dag voorbij.

Een vierde dag

Nadat we alles van gisteren herhaald hebben, bekijken we de opdracht. Hoe groot zijn de hoeken in bovenstaande tekening.
De rode hoeken bevinden zich alle in gelijkzijdige driehoeken, dus zijn die 60º.

De rode hoek van 60 ligt op een rechte lijn naast een paarse hoek. Samen zijn deze 180, dus de paarse hoek is 120. In de gelijkbenige driehoeken met de groene en paarse hoeken, blijven na aftrek van 180 – 120 = 60 over: Iedere groene hoek is 30º.

Gisteren stelden we vast dat de rode en de groene hoek samen een rechte hoek vormen = 90, dat hebben we hiermee dus bewezen.

We zijn nog niet klaar met onze ontdekkingsreis langs de hoeken. We nemen deze tekening weer:

meetkunde-72

We weten al een hele tijd dat AB een zesde deel van de cirkelboog is. Omdat de hele cirkelboog 360 is, is het stuk AB dus 60º.

Toen we voor het eerst kennis maakten met de graden, maakten we de tekening dat de puntjes van de cirkelboog loodrecht op de middellijn vallen.
Dat geldt ook voor de (denkbeeldige) puntjes op de cirkelboog AB. Dat betekent dat het lijnstuk AB ook 60º is.
Wanneer we de hoeklijnen van M volgen, komen we bij A en B uit. Hoek M, dat hadden we al gevonden, is ook  60º en nu zien we dat hoek M en het lijnstuk AB een soort eenheid vormen. Hoek M is dan ook eigenlijk hoek AMB. We ontswkkwn ook dat, wat de graden betreft hoek M = AB.

Hoe zouden we hoek M kunnen noemen. Het is de hoek van het middelpunt, dus ligt het voor de hand dat deze middelpuntshoek heet. Die is even groot als het lijnstuk waar hij bij hoort en bij de boog die daar weer bij hoort. Natuurlijk heeft die lijn ook een aparte naam: koorde: de lijn die twee punten op de cirkelboog verbindt.

Wat kun je nu ook van de middellijn zeggen? Het is de langste = grootste lijn die 2 punten op de cirkelboog verbindt, dus mag hij de grootste koorde worden genoemd.

De boog die bij de koorde hoort, zou natuurlijk koordeboog moeten heten, maar dat woord wordt zelden gebruikt.

De naam van het vlak tussen de boog en de koorde heet segment.

Nu kunnen we zeggen dat de middelpuntshoek even groot is als de koorde waar hij bij hoort en ook omgekeerdL weet je hoe groot de koorde is, dan weet je hoe groot de hoek is die erbij hoort.

We zien op de tekening hierboven dat er ook op de omtrek van de cirkel hoeken kunnen liggen. Vanzelfsprekend hebben die de naam  omtrekshoek. Wat kuunen we daarover te weten komen?

meetkunde-74

Dit is de tekening die we zojuist ook maakten: MA = AB. We weten al dat hoek A = 60. Hoek A is eigenlijk hoe CAB wat betekent dat hoek bij de koorde(boog) CD hoort. Die is 180 – 60 = 120. Hoek A is als omtrekshoek even groot als de helft van de koorde die bij hem hoort.

Misschien heb je in klas 5 in de geschiedenisperiode waarin Griekenland aan bod kwam, iets verteld over Thales. Anders kun je dat nu doen.

Van hem stamt een stelling, je zou kunnen zeggen een wet waaraan niet te tornen valt: het is altijd zo!

Als de omtrekshoek de middellijn omsluit, is deze hoek 90º, waar deze zich ook bevindt:

meetkunde-75

Hoek C, D en E behoren als omtrekshoek bij de grootste koorde = AB = 180º en zijn daarvan de helft, dus 90º.

Dit gegeven is ook weer kunstzinnig te verwerken:

meetkunde-76

Ga uit van een middellijn; richt de loodlijn op; trek de loodlijn, ook naar de tegenovergestelde cirkelboog. Maak de omtrekshoeken. Deel de koordelijn doormidden; pas de helft af op de overige koordebogen en maak op de punten de omtrekshoeken; ga zo door.

Kleur kan, maar hoeft niet; ook zwart-wit is mooi:

meetkunde-77

Als afronding van ‘de hoeken’ zou je nog de volgende kunnen aanleren:

meetkunde-78

Lijn a en b lopen parallel; ze worden gesneden door lijn c die met lijn a de hoek A en met lijn b de hoek B vormt. Hoek A en B bestaan beide uit 4 hoeken.

Wanneer we uit A op a naar links omcirkelen met de afstand AB (op c) ontstaat de gelijkzijdige driehoek ABC en wanneer we dit vanuit B op lijn b doen naar rechts de gelijkz. driehoek ABD. De driehoeken zijn gelijk, de hoeken ook. Dat betekent dat hoek A3 even groot is als hoek B2. Deze hoeken kun je a.h.w. verwisselen. Omdat ze binnen de parallelle lijnen liggen heten ze:
verwisselende binnenhoeken – zijn even groot.

Voor hoek A2 en hoek B3 kunnen we hetzelfde verhaal houden: ze zijn even groot, maar liggen nu buiten de parallelle lijnen en daarom heten deze hoeken:
verwisselende buitenhoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en B1 (de hele hoek – de lijn CB is niet van invloed) zijn precies dezelfde hoeken, die heten:
overeenkomstige hoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en A2 liggen naast elkaar en heten:
nevenhoeken – zoals we al geleerd hebben:  zijn samen 180º

De hoeken A1 en A4 staan tegenover elkaar en heten:
overstaande hoeken.

Met de opdracht om nog een fraaie tekening met de stelling van Thales te maken en alle hoeken van de hoekentekening te benoemen – ze kunnen dubbele namen hebben, is deze dag ten einde.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

 

 

 

 
dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

 

 

 

 

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-6-7

 

 

 

 

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

 

 

 

 

 

 

 

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

 

 

 

 

 

 

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

 

 

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

1152

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.26 t/m 30

Over de cirkel en over de rechte lijnen

Bij de ‘bloem’ en in het cirkelveld in ’t algemeen kunnen we zien, dat een cirkel een andere cirkel in de regel in twee punten snijdt. Verder kunnen we zien dat steeds de rechte verbindingslijn van de middelpunten, ‘centrale lijn’ genoemd, loodrecht staat op de rechte verbindingslijnen van de snijpunten. De ene rechte lijn is steeds de middellijn van een groot, de andere die van een klein blad en deze staan – zoals we al weten – loodrecht op elkaar.

Op deze tekening staan twee elkaar snijdende cirkels met willekeurige stralen. De stralen die de snijpunten met de middelpunten verbinden, vormen een deltoïde, waarvan de diagonalen de centrale lijn en de rechte verbindingslijnen van de snijpunten zijn; deze staan zoals bekend loodrecht op elkaar:

meetkunde-strakosch-5-8

 

 

 

 

 

 

 
In de volgende tekening is de linker cirkel even groot als de rechter, die t.o.v. de  tekening hierboven kleiner is geworden; de lengte van de centralen, dat is de afstand van de middelpunten, is hier en bij de volgende tekeningen even groot. Omdat hier de rechter cirkel even groot is als de linker, is de deltoïde een ruit geworden. Belangrijk is dat de afstand van de snijpunten kleiner is geworden; de figuur is vlakker geworden. De som van de stralen is nog steeds groter dan de centrale lijn:

meetkunde-strakosch-5-9

 

 

 

 

 

 
In de tekening hieronder is de som precies gelijk aan de centrale lijn. De deltoïde waarvan het langere paar zijden en het kortere, na door de ruit te zijn gegaan, van plaats gewisseld zijn, is nu geheel plat geworden; de beide snijpunten liggen bovenop elkaar, zijn in een dubbelpunt samengekomen. Dit punt ligt zowel op de ene als op de andere cirkel en heet raakpunt (Duits heeft ‘äussere‘ ‘buitenraakpunt), omdat het middelpunt van de ene cirkel buiten dat van de andere ligt. De beide cirkels hebben alleen dit punt gemeenschappelijk.

meetkunde-strakosch-5-10

 

meetkunde-strakosch-5-8

In bovenstaande tekening kunnen we de snijpunten van beide cirkels naar links laten lopen waarbij de rechter cirkel groter wordt en we kunnen waarnemen hoe deze zich steeds meer van elkaar verwijderen. De afstand zal het grootst zijn, wanneer het bovenste (snijpunt) het hoogste, het onderste het laagste punt van de cirkel heeft bereikt. Hun verbindingslijn gaat door het middelpunt en staat loodrecht op de centrale lijn; de deltoïde die uit twee gelijkbenige driehoeken ssamengesteld schijnt te zijn, is in één gelijkbenige driehoek veranderd, daar de linker driehoek steeds vlakker en tenslotte een rechte is geworden. Zoals op onderstaande tekening:

meetkunde-strakosch-5-11

Laten we de snijpunten nog verder naar links opschuiven, komt het middelpunt van de cirkel rechts van haar verbindingslijn te liggen. In onderstaande tekening met streepjes getekend:

meetkunde-strakosch-5-12Er vormt zich een gelijkbenige driehoek, die echter naar rechts ingestulpt is.

Gaan de snijpunten nog verder naar links, dan wordt de straal van de rechter cirkel nog groter, dan vallen ze weer samen, maar nu op het uiterste linkerpunt van de cirkel, op de centrale lijn; de beide cirkels raken elkaar zo, dat de ene binnen de andere ligt.

Hieruit volgt dat de afstand van middelpunt en straal van de beide cirkels zich zo verhouden: een cirkel raakt de ander aan de buitenkant: hun middelpuntsafstand is gelijk aan de som van hun stralen.
Een cirkel raakt de ander aan de binnenkant: hun middelpuntafstand is gelijk aan het verschil van hun stralen.

Kijken we nu ook naar de verbindingslijn van de snijpunten. Die staat als een diagonaal van een deltoïde loodrecht op de anderre diagonaal, de centrale. – Op de rechte. waarvan de richting bepaald wordt door de snijpunten van de twee cirkels, begrenzen de twee snijpunten een vlak dat in relatie tot de cirkel een ‘koorde’ wordt genoemd. Is deze rechte een niet begrensde lijn die de cirkel snijdt. wordt deze secant snijlijn’ genoemd. 

De lengte van een koorde groeit naar mate deze het middelpunt nadert. Wanneer deze door dit punt heengaat, heeft ze de grootste mogelijke lengte bereikt.

De doorsnede geeft de grootste koorde weer.

Iedere koorde is ook de basis van een gelijkbenige driehoek waarvan de beide benen door twee stralen worden gevormd. (Een driehoek die we in het cirkelveld overal gezien hebben met de drie zijden gelijk, heet gelijkzijdige driehoek; zijn er maar twee gelijk, dan heten de gelijke zijden ‘benen’, de driehoek: gelijkbenig).

Op iedere koorde als basis kun je nog een tweede gelijkbenige driehoek construeren. Die twee kunnen als een deltoïde beschouwd worden, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar over en weer halveren. Daaruit volgt dat de op een basis van een gelijkbenige driehoek opgerichte loodlijn steeds door het er tegenoverliggende hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat; de loodlijn die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde valt, heet een ‘hoogtelijn’. Bij een onregelmatige driehoek gaat de hoogtelijn niet door het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

De tekeningen die hierboven zijn gebruikt vatten we nu samen in  1 tekening:

meetkunde-strakosch-6-1hier staan alle snijlijnen (secanten)  – als diagonalen van deltoïden loodrecht op de centrale lijn. De koorden, d.w.z. de stukken van de snijlijnen binnen de cirkel, werden steeds kleiner, naarmate de rechte lijnen zich verder van het middelpunt (van de linker cirkel) verwijderen. In de getoonde tekeningen trekken de koorden zich in 1 punt samen; de richting van de rechten blijft echter onveranderd loodrecht t.o.v. de centrale lijn; het kleiner worden van de lengte is geen aanleiding tot een verandering van de richting. De rechte lijnen 1 en 6 snijden de cirkel niet meer, ze raken deze slechts aan. Daarom heten ze raaklijn of tangent of tangens.
Als je er zo naar kijkt is het duidelijk dat een tangens altijd loodrecht zal staan op de door het raakpunt getrokken straal (radius). Dat dit altijd zo is, blijkt ook uit hetvolgende:
Zou je de raaklijn ook maar met een oneindig klein hoekje om het raakpunt draaien, dan zou deze meteen de cirkel op nog een tweede punt snijden. Al naar gelang van de draairichting zou dit op de ene of op de andere kant van het raakpunt liggen en de hoek t.o.v. de centrale lijn zou geen rechte meer zijn.

Als we weer naar het cirkelveld kijken, dan kunnen we in deze tekening inzien, dat het zonet gevonden feit ook hier zichtbaar is.:

meetkunde-strakosch-6-2hier is de middellijn van het grootste blad gepuncteerd getekend als verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels. Deze staat loodrecht op de straal door het raakpunt, omdat deze straal de middellijn is van het erbij behorende kleine blad. Door het punt dat het raakpunt moet zijn, loopt de middellijn van de volgende grote bladeren parallel aan de eerste middellijn, dus ook loodrecht op de straal. Deze voldoet dus aan de voorwaarden van een tangens, zoals hierboven geformuleerd. In het maken van deze tekening ligt dus de oplossing van de opgave:

In elk gegeven punt van een cirkel een raaklijn tekenen.

In de eerste tekening lopen de tangenten 1 en 6 parallel, hun snijpunt ligt in het oneindige. Vanuit een punt in het oneindige kunnen we dus twee raaklijnen op 1 cirkel trekken, meer kunnen het er niet zijn. Dit blijft ook zo, wanneer het punt niet in het oneindige vanaf de cirkel ligt. Dat is hier te zien:

meetkunde-strakosch-6-3De verbindingsrechte van de beide raakpunten gaat niet meer, zoals bij de eerste tekening door het middelpunt van de cirkel (hier is ze middellijn van een groot blad); de stralen naar de raakpunten vormen geen rechte lijn meer, ze vormen een hoek die kleiner wordt naar mate het punt buiten de cirkel naar de cirkel toe komt te liggen. Deze twee stralen vormen samen met het vlak dat de raaklijnen begrenzen tussen de punten van waaruit de raaklijnen beginnen en de snijpunten een deltoïde met de bijzondere eigenschap dat de ongelijke zijden een rechte hoek vormen en alle vier de hoekpunten op een cirkel liggen.

Nu moet echter eerst in deze tekening de algemene oplossing van de opgave getoond worden hoe vanuit een punt buiten de cirkel de twee raaklijnen aan deze cirkel te trekken:

meetkunde-strakosch-6-4De oplossing moet eruit bestaan dat wat net getoond is, een deltoïde in een cirkel te tekenen. Het middelpunt van deze cirkel ligt op het midden van een rechte lijn die het beginpunt van de beide raaklijnen met het middelpunt van die cirkel verbindt waaraan de raaklijnen moeten komen. De snijpunten van de beide cirkels zijn de gezochte raakpunten.

meetkunde-strakosch-7-1

Op bovenstaande tekening zien wij verschillende punten op de omtrek van een cirkel en iedere keer blijkt uit de verhouding van de hoek tussen die van een klein en een groot blad, dat deze hoek de beide verbindingslijnen naar de eindputen van de doorsnedelijn, de zogenaamde omtrekshoek, een rechte hoek is. Het zijn hier echter punten waarvan de plaats door het cirkelveld wordt bepaald en wij moeten ons afvragen of in het algemeen iedere hoek op de omtrek een rechte hoek is.

Hiertoe willen we twee verschillende gezichtspunten uitvoeren waarvan elk tot het gewenste doel kan leiden. Echter is het steeds een verrijking van de ervaring via twee verschillende wegen een doel te bereiken.

Met bovenstaande tekening kunnen we zeggen: Er zijn bepaalde punten op de cirkelomtrek die aan de vereiste voorwaarde voldoen dat hun verbindingslijnen naar het uiteinde van de middellijn een rechte hoek vormen. (Wanneer er voor een andere richting van de middellijn wordt gekozen, verandert de rechte hoek alleen van plaats. Laten we ons voorstellen dat deze hoek groter en kleiner wordt, dus vlakker of spitser dan 90º zou worden, dan zou het hoekpunt niet meer op de cirkel liggen, dat zou zich erbinnen of erbuiten bevinden. Deze kan derhalve alleen maar het hoogste punt van een rechte hoek zijn, wanneer deze op de cirkel zelf ligt. Daarmee is vastgesteld  dat het deel van de hele cirkelboog dat overblijft precies zo groot moet zijn als dat waartoe de rechte hoek behoort.
Op de andere helft van de cirkel ligt echter ook een punt met dezelfde eigenschappen, maar symmetrisch daarop. – Je moet erop letten dat er steeds sprake van is, dat deze hoek tegenover de middellijn ligt. Draaien we de middellijn een hoekpunt verder, dan gaat hij niet meer door het middelpunt en is dus geen middellijn meer. Het ene been van de hoek (die bij het draaipunt) behoudt zijn positie, de andere moet anders worden wanneer hij het andere zich bewegende snijpunt volgt. In welk van de beide mogelijke richtingen deze zich ook mogen bewegen, de hoek kan geen rechte meer zijn. We kunnen dus zeggen:

Alleen de hoek op de halve cirkelboog (namelijk boven een middellijn) is een rechte hoek, maar ook: iedere hoek op de halve cirkelboog is een rechte hoek.

Dit feit kunnen we ook nog op een andere manier aanschouwelijk maken. We nemen deze tekening nog een keer:

meetkunde-strakosch-5-7We kijken nog eens naar de benen van de gelijkbenige driehoek. Die zijn – de naam zegt het al – in iedere driehoek van gelijke lengte en kunnen daarom ook als stralen van een cirkel met het middelpunt in de tophoek van de driehoek beschouwd worden. Wanneer je deze cirkels nu trekt, dan gaan ze vanzelfsprekend allebei door de beide eindpunten van de basis die alle driehoeken gemeenschappelijk hebben, zoals hier is te zien:

meetkunde-strakosch-7-2Er ontstaan in in iedere cirkel twee gelijkbenige driehoeken met een gemeenschappelijke basis die samen in iedere cirkel een vierhoek vormen en wel een deltoïde. Iedere vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek, omdat iedere kant een cirkelkoorde is. De basis van de driehoeken, een diagonaal, zal over het algemeen een koorde vormen en zolang dat het geval is, zullen de hoeken van de top van de driehoek  de ene groter, de andere kleiner dan 90º zijn. Alleen wanneer de koorde de bijzondere positie van de middellijn aanneemt:

meetkunde-strakosch-7-3en daarmee tegelijk haar grootste lengte heeft, worden deze beide hoeken gelijk en ieder ligt op een halve cirkel, ieder wordt een rechte hoek, de koordenvierhoek wordt een vierkant.

We zouden nog steeds te maken hebben met een bijzonder geval wanneer in iedere vierhoek elke twee aangrenzende zijden gelijk waren, wanneer het uit twee paren van gelijke zijden zou bestaan die elkaar raken, dan was het dus een deltoïde.

Om het algemeen te maken, trekken we door het middelpunt van de basis in een willekeurige richting een rechte:

meetkunde-strakosch-7-4die zal iedere cirkel in twee punten snijden. Deze snijpunten en de hoekpunten van de basis vormen in iedere cirkel een koordenvierhoek met vier ongelijke zijden en even zovele verschillende hoeken. Volgen we de veranderingen van de hoeken die op de rechte liggen wanneer we van de grootste cirkel naar binnen gaan. Van de beide hoeken wordt de spitse steeds vlakker, de vlakke steeds spitser. Dan komt de cirkel waarin ze allebei even groot zijn, dan veranderen ze weer in omgekeerde verhouding en de cirkels worden steeds groter.
In die kleinste cirkel echter is de basis een middellijn. De bogen aan weerszijden zijn halve cirkels en de hoeken moeten recht zijn, want bij de minste positieverandering van de basis (door groter worden van de cirkel naar rechts of links) zouden de hoeken opnieuw – zoals beschreven is, ongelijk zijn. We mogen weer zeggen:
Iedere hoek op een halve cirkelboog is een rechte hoek.

 

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.22 t/m 26

Over de geometrische basisfiguren
Deze zijn: cirkel, gelijkzijdige driehoek, vierkant en de regelmatige vierhoeken. Zoals we hier oefenend waarnemen, kunnen de regelmatige figuren niet alleen maar als ‘speciale gevallen’ worden gezien. In het verdere verloop zal blijken dat zij het juist zijn waaraan je de wetten het eenvoudigst en duidelijkst kunt aflezen die – in erbij behorende afwijkende vormen – dan overal gevonden kunnen worden.

Van tevoren – als een vorm van vervolmaking van het handwerk – zal steeds sprake zijn van een eenvoudige, steeds terugkerende constructie. Het gebruiken van de rechte hoek is daarbij nuttig, waarbij twee basisvragen beantwoord moeten worden.

1.Op een bepaalde plaats op een rechte lijn een loodrechte lijn oprichten:

meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 

 

Vanuit het gegeven punt als middelpunt teken je het bovenste deel van de ‘bloem’. Aan weerszijden van dit punt ontstaan twee kleine blaadjes, loodrecht daarop een groot blad, waarvan de middellijn de gezochte loodlijn is.

Op de volgende tekening zie je, dat je uit het gegeven punt als middelpunt een cirkel kunt trekken met een willekeurige straal die wel groot genoeg moet zijn, zodat op de rechte lijn twee snijpunten ontstaan. De doorsnede van deze cirkel neem je dan tussen de passer en vanuit de twee snijpunten trek je twee cirkels. Deze vormen weer een een ‘groot’ blad, de eerste cirkel kan als ‘klein’ blad gezien worden:
meetkunde-strakosch-5-2

 

 

 

 

Als je goed kijkt, zie je dat het erop aankomt dat een of ander punt van de gezochte rechte lijn vanuit twee punten op de gegeven lijn dezelfde afstand heeft, die dus zelf vanaf het gegeven punt even ver verwijderd zijn.

2.Vanuit een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodlijn neerlaten, d.w.z. een lijn trekken die door dat punt gaat en loodrecht op de rechte lijn staat.
Met een  willekeurige  straal maak je een cirkel vanuit dit punt; deze cirkel zal de rechte lijn op twee plaatsen snijden die even ver van het gegeven punt verwijderd zijn:
meetkunde-strakosch-5-3

 

 

 

 

De afstand van die punten tot het gegeven punt is de straal van die cirkel. Vanuit die punten trek je nog twee cirkels. Die gaan door het gegeven punt en je vindt de loodlijn als je de middellijn van het ‘blad’ trekt dat ontstaan is. De stralen van deze cirkels zijn op de tekening even groot als die van de eerste cirkel, maar ze mogen ook anders zijn, als ze maar even groot zijn. De middellijn van het ontstane blad zal steeds door het gegeven punt gaan en loodrecht op de rechte lijn staan.

3.Een vierkant tekenen waarvan de diagonalen zijn gegeven.
meetkunde-strakosch-5-4

 

 

 

De dubbelgetrokken horizontale lijn is de gegeven diagonaal waarvan de eindpunten twee hoekpunten van het vierkant vormen. Vanuit deze als middelpunten trekt je twee cirkels met de gegeven diagonaal als straal. De middellijn van het ontstane grote blad deelt de diagonaal middendoor en staat er loodrecht op. Vormt daarmee de tweede diagonaal. Met het punt van de twee zich snijdende diagonalen als middelpunt en de halve diagonaal als straal, trek je een cirkel die de vertikale diagonaal op twee plaatsen snijdt. Dat zijn de twee andere punten van het vierkant.

4.Een gegeven hoek doormidden delen, d.w.z. een rechte lijn trekken die met de beide benen een even grote hoek vormt.
meetkunde-strakosch-5-5

 

 

 

 

Dit is in deze tekening met cirkels uitgewerkt. Links wordt een hoek van 60º in twee delen van 30º gedeeld; rechts een hoek van 2  x  60º  = 120º  in twee delen van ieder 60º . – In de tekening is het proces goed te zien: (links) met behulp van een cirkel waarvan het middelpunt in het toppunt ligt van de te verdelen hoek, worden op de beide benen van de te delen hoek gelijke stukken afgepast (de straal van de cirkel). Met dezelfde straal worden vanuit de gevonden snijpunten twee cirkels getrokken die elkaar snijden en een groot blad vormen. Het ene punt ligt in het gegeven hoekpunt; het andere daar tegenover. De verbindingslijn is de middellijn van het blad en tegelijkertijd de lijn die de hoek deelt.

Deze tekening laat de gang van zaken zien voor een willekeurige hoek:
meetkunde-strakosch-5-6

 

 

 

 

 

De hoekdeellijn wordt bepaald door de tophoek en het snijpunt van de twee cirkels die het blad vormen. Die moeten wel even groot zijn, maar de straal kan anders zijn dan van de cirkel die op de benen de gelijke afstand heeft, en de middelpunten aangeeft van de andere cirkels. In het algemeen, d.w.z. wanneer de drie cirkels niet allemaal even groot zijn, zal het tweede punt niet in de tophoek liggen, maar ergens op de hoekdeellijn en dan wel binnen de hoek wanneer de cirkel die het blad vormt kleiner is dan de eerste en erbuiten wanneer het omgekeerde het geval is. Omdat echter één punt van de hoekdeellijn altijd in de punt van de te delen hoek moet liggen en een rechte lijn door twee punten moet gaan, is het voldoende, om slechts één snijpunt van die twee cirkels die het ‘blad’ vormen, te vinden.

Wanneer je echter alleen het hoogst nodige van de constructie wil tekenen, dan zijn de sterker benadrukte cirkelstukjes genoeg. – Iemand zou kunnen zeggen: waarom dan eerst die constructie van deze tekening:
meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 
het kan toch simpeler?
Bij het puur technisch tekenen komt het – waar hier sterk naar gestreefd wordt – op de eenvoud aan. Maar we willen zo werken dat we door het oefenen juist veel leren van de verschijnselen en we de daarin tot uitdrukking komende wetten leren kennen. Want we willen ons, zogezegd, oefenend inleven in de geometrie. Steeds maar naar het simpele kijken, betekent: oogkleppen opzetten, i.p.v. steeds verder en dieper doordringen in de rijke wereld van de meetkundige feiten en de geheimzinnige en belangrijke wetten doorgronden. De mooiste constructie is, die ons de meeste samenhangen tot bewustzijn brengt. Wanneer je er steeds naar streeft, de blik op het geheel niet te verliezen, wordt later de praktische toepassing – je zou kunnen zeggen – een peulenschil. Bij het eenvoudiger maken, blijven we ons bewust van de samenhang. We hebben niet simpelweg een regel van buiten geleerd, die we weer snel vergeten; we hebben dan veel meer de samenhang innerlijk paraat, we kunnen dus uit het overzicht steeds opnieuw het detail halen. De ervaring leert dat degene die op deze manier oefent, in stijgende mate wat geoefend werd in zijn voorstellingsbeleven heeft en in staat is, ‘in het hoofd’ de meetkundige operatie uit te voeren; ja, hij zal daarbij ook op nieuwe ideeën komen en veel zelf vinden dat erbij hoort en pas later wordt besproken. Je leert met dezelfde intentie voorstellen, waarmee je voordien waargenomen hebt en dat is waardevol.

In deze trant nemen we deze oefening:
meetkunde-strakosch-5-7

 

 
We hebben deze aleens gezien (meetkunde 4-2, tek.7) en later komt die nog terug.

In het midden hebben we een lijnstuk (zo noem je ter onderscheiding van een onbegrensde rechte lijn, een door een of twee daarop liggende punten begrensd deel(stuk) van een (rechte) lijn.(pw.: let op het is de dikke vertikale (korte lijn).
In een rechte hoek daarop staat een gepuncteerde loodrechte lijn die het lijnstuk in het midden snijdt; die noemt men middelloodlijn.

Het woord loodlijn heeft te maken met het schietlood die de richting van de zwaarte aangeeft, namelijk van boven naar beneden. De richting staat ‘loodrecht’ op de oppervlakte dat gevormd wordt door stilstaand water. In de meetkunde wordt echter het begrip ‘loodrecht’ gebruikt, onafhankelijk van de richting van die krachten die ieder object wanneer het wordt losgelaten rechtlijnig naar beneden aanhoudt. Hier wordt alleen gekeken naar het feit van een rechte hoek. Men zegt dat rechte lijnen loodrecht op elkaar staan, wanneer ze een hoek van 90º vormen, een rechte hoek omsluiten en dat totaal onafhankelijk van hun positie. Ga je dus, zoals hierboven van een lijnstuk uit dat van boven naar beneden loopt en wil je de rechte lijn benoemen die door het middelpunt van dit lijnstuk gaat en daarmee een rechte hoek vormt, dan noemt men dat een ‘middelloodlijn’. 
Net zo noemt men in de meetkunde de ‘hoogte van een driehoek’ de kortste afstand, het lood van twee snijpunten op de derde driehoekszijde, dus de rechte lijn die loodrecht op een zijde staat en daarbij door de snijpunten van de beide andere gaat. Ook dat is onafhaneklijk van de positie van de driehoek op het vlak. De zijde waarop de hoogte loodrecht staat, heet haar’ basis’; deze kan dus elke willekeurige lengte hebben. – Staat ze horizontaal dan kan de hoogte zelfs in de oorspronkelijke zin een ‘loodrechte’ lijn of ‘loodlijn’ genoemd worden.

(Terug naar bovenstaande tekening): Een paar punten van de middelloodlijn(en) zijn verbonden met de hoekpunten van het lijnstuk en door het cirkelveld zie je dat ieder punt van de gepuncteerde horizontale lijn even ver verwijderd is van de eindpunten van het lijnstuk. – Dit feit kun je ook zo uitspreken, wanneer je allereerst de daardoor ontstane gelijbenige driehoeken op het oog hebt:
richt men op een gegeven basis alle mogelijke gelijkbenige driehoeken op, dan liggen alle tophoeken steeds op de middelloodlijn op de basis. Of: de middelloodlijn op de basis is de ‘meetkundige plaats‘ voor de tophoeken van alle op haar opgerichte gelijkbenige driehoeken.

De van de tophoek naar de eindpunten van de basis gaande rechte lijnen vormen een bepaalde hoek die kleiner wordt naarmate de tophoek zich verwijdert van de basis. Daarbij worden de steeds gelijkblijvende basishoeken groter. – In de tekening zie je naast het ‘grote’ blad, waarvan de lengteas de basis is, een zich steeds herhalende rij van ‘grote’ bladeren. De spitsen ervan liggen op twee rechte lijnen die steeds even ver van elkaar verwijderd blijven, hoe ver je ook het cirkelveld (in beide richtingen) uitbreidt: zulke rechte lijnen noemt men parallellen en zegt dat deze elkaar pas snijden in het ‘oneidige’. Aan de tekening kun je aflezen dat de middelloodlijnen op de basis ook parallel zijn aan deze beide rechte lijnen; verder, dat de zijden  (verbindingslijnen tussen de tophoek en eindpunt op de basis) de eerstgenoemde parallel steeds dichter naderen, naarmate de tophoek zich verder verwijdert naar het oneindige. Dat gebeurt wanneer ieder been zich om het eigen eindpunt op de basis draait. Hierbij wordt de hoek die ze insluiten, steeds groter en wanneer zij parallel gaan lopen, wordt deze recht = 90º (de rechte lijnen gaan dan door de spitsen van de boven- en onderrij van de ‘grote’ bladeren).
Je kan een hoek beschouwen als de mate waarin twee rechte lijnen samenlopen of uit elkaar bewegen, al naar gelang in welke richting je je op de rechten beweegt, naar het kruispunt of daar vandaan. Wanneer twee rechte lijnen samen lopen, noch uit elkaar gaan, dan is er geen hoek tussen hen; je kunt zeggen: de hoek die ze omsluiten is gelijk aan nul, ze zijn parallel.
Bij een driehoek met de hoogte ∞ (dat is het teken voor ‘oneindig’) zijn dus de basishoeken allebei recht, de tophoek is = 0: de som van alle drie de hoeken = 2  x  90º =  180º. Daaraan verandert niets, ook al heeft de hoogte een eindige lengte, want iedere basishoek wordt om de helft van de tophoek kleiner, als de met zwarte dubbelboogjes aangegeven hoeken gelijk zijn. omdat namelijk hun benen dezelfde richting hebben, parallel zijn.

De som van de binnenhoeken van een driehoek zijn steeds 2 R = 180º
Hiermee wordt op een feit gewezen en een oefening gegeven die later vruchtbaar blijkt te zijn.

In de tekening (boven) zijn rechts en links van de vertikale lijn punten van de horizontale middelloodlijnen met de beide eindpunten van de vertikale lijn verbonden. Zulke punten die van daaraf gelijke afstanden hebben wat je aan de kleine blaadjes makkelijk kan zien, zijn met de eindpunten van de vertikale lijn door lijnen verbonden die op dezelfde manier uitgetrokken zijn (gepuncteerd, gestippeld enz). Zo ontstaan geheel gesloten figuren, zgn. ruiten of rhomben (enkelvoud: rombe) Je kunt ze bestempelen als bestaand uit ieder twee gelijkzijdige driehoeken die allemaal de vertikale lijn als gemeenschappelijke basis hebben. Maar je kunt ook vierhoeken maken die uit twee paar even lange rechten bestaan, waarbij de rechten van ieder paar verschillend zijn; de tophoeken van de beide driehoeken waaruit ieder figuur bestaat, liggen op de middelloodlijn, maar niet op gelijke afstand van de vertikale lijn zoals bij de ruiten het geval is. Zulke vierhoekn zijn deltoïden of vliegers. De laatste naam komt van de verwantschap met de vlieger die de kinderen zo graag oplaten.

Ruiten en deltoïden hebben de belangrijke eigenschap dat hun diagonalen steeds loodrecht op elkaar staan. Bij de ruiten halveren de diagonalen elkaar over en weer, bij de deltoïden wordt alleen die diagonaal gehalveerd die de hoeken verbindt waarin de ongelijke zijden bij elkaar komen. – Uiteindelijk kun je ook vierhoeken uit zulke driehoeken met verschillende hoogte vormen die op dezelfde vertikale lijn liggen:
meetkunde-strakosch-5-12

 

 

 

 
Je kunt ze ingestulpte deltoïden noemen. De diagonaal die gehalveerd wordt, ligt buten de figuur. Om het snijpunt te bepalen, moet je de andere diagonaal langer maken.

.

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-4)

.

Ter verduidelijking heb ik in een tekening wat letters aangebracht – het is een deel uit de grotere tekening.

Over het ontstaan van een gelijkzijdige driehoek

Teken eens drie cirkels X. Y, Z die ieder door het middelpunt van de twee andere gaan. Er ontstaan drie grote bladeren: AYZX; YZCX; XYBZ  en door de punten van ieder blad trek je een rechte lijn: a, b en c. Het resultaat is het belangrijke feit dat deze drie rechten elkaar in één punt D snijden. Dat kan niet anders, want dan zouden de drie grote bladeren uit ongelijke boogstukken moeten bestaan. En dan zou echter iedere cirkel onmogelijk door het middelpunt van de beide andere kunnen gaan.

 

meetkunde-strakosch-3-1

 

 

 

 

 

 

 

Voor twee van de drie punten pas je nu toe wat voor deze tekening al werd gezegd, (meetkunde 4-3) wanneer je de cirkelmiddelpunten op de drie rechten steeds verder naar buiten op laat schuiven. Zodra deze middelpunten in het oneindige vallen, worden de ieder door twee punten gaande cirkelbogen tot rechten:

In deze tekening (uit 4-3) is er 1 zo’n rechte lijn ontstaan; hier doet Strakosch
meetkunde-53

het met 2 punten en dan zie je de rechte lijnen – die met de vele steeds vlakker wordende boogjes ontstaan:
meetkunde-strakosch-3
Je.kan echter ook, zoals hieronder, de middelpunten op de drie rechten in plaats van naar buiten, ook naar binnen laten verschuiven, naar het middelpunt van de driehoek toe, het snijpunt van de drie rechten. Daarbij worden de boogstukken tussen elke twee punten meer gebogen. Wanneer tenslotte de drie middelpunten met het snijpunt van de drie rechten samenvallen, dan ontstaat een drievoudige cirkel door de drie punten. (Worden bij het opschuiven naar binnen de drie middelpunten even ver van het snijpunten van de drie rechten genomen, wat vrij staat, dan liggen de snijpunten van de deze cirkels op dezelfde rechten – en wel op het gepuncteerde deel.):
meetkunde-54

Wanneer je de beweging van de middelpunten naar buiten en naar binnen in dezelfde tekning weergeeft, krijg je een cirkel waarin een gelijkzijdige driehoek ingeschreven is, een van de basisfiguren van de geometrie.

Op basis van wat zojuist werd opgemerkt en door de tekeningen hoef je het trekken van rechte lijnen in regelmatige cirkelvelden niet meer als een vreemd, erbij gehaald element te zien..

Ook het vierkant kun je in het cirkelveld intekenen.
In de middencirkel van een ‘bloem’ teken je een zeshoek:

meetkunde-31

 

 

 

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-4-1
Op  iedere hoek komen twee grote bladeren bij elkaar waarvan de middelpunten (deels verlengd en gepuncteerd) loodrecht op de zijden van de zeshoek staan die door de aanliggende kleine blaadjes gevormd worden. Ieder door een van de hoekpunten gaande cirkels snijdt op de middellijnen de lengte van zeshoekszijde. De verbindingslijnen van deze punten zijn de vier zijden van de zo ontstane zes vierkanten.

Snijd je de inzet tussen de vierkanten weg en breng je de vierkanten omhoog, dan krijg je een doosje. De vlakken kunnen binnen en buiten (wanneer je de tekening op de achterkant met behulp van de middelpunten nog een keer maakt) met behulp van de cirkels, gekleurd worden. –

Tussen ieder twee vierkanten ligt een klein blad. Snijd je ze langs hun middellijn door en schuif je de zo ontstane tussenruimten over elkaar, dan krijg je een schaal.

Meetkunde: alle artikelen

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

1134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.