Tagarchief: rekenen in beweging

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 4

.

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 4: Rekenen in de wereld

4.1 Maat en vorm
4.2 Klok en kalender
4.3 Rekenen met geld
Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen

4.1 Maat en vorm

Interview met Sint:
“En Sint, hoe was uw bezoek aan de kleuterklas?”
“Ach, ik was daar heel gelukkig mee. Ontroerend, met welk een vreugde en eerbied de kleintjes je daar tegemoet komen! Maar daarom begrijp ik deze tekening ook helemaal niet.”
“Hoezo, u staat er toch prima op, met mijter en al. Dat kind heeft goed gekeken.” “Goed gekeken? Zie je, Piet is bijna twee keer zo groot als ik en dat terwijl in werkelijkheid mijn mijter wel een kop boven hem uitsteekt!”
“Zo heeft dat kind het beleefd, Sint.”
“Wat beleefd, ik vind het onbeleefd. Eerst word je als een heilige toegezongen, niemand ziet meer Hazewinkel, de buurman in mij, en vervolgens leveren ze zo’n ontluisterende tekening bij mij in. Dat vind ik niet reëel.”
“Nu, dat is toch juist het bewijs van hun realisme. Voor hen bent u een heilige, geen schijnheilige. Alleen, u stond er ingetogen en eerbiedig bij, terwijl Piet potsierlijk in het rond sprong. In die tekening drukt dat kind uw ingetogenheid en Piets uitbundigheid uit. Dat is heel reëel. Ik zou het magisch realisme willen noemen.”
“Maar toch, als ik dat jochie op de gang tegenkom, vraag ik hem of hij Sint nou werkelijk twee keer zo klein vond als Piet!”
“Misselijke vent, gun dat kind zijn werkelijkheid of speel anders niet meer voor de Sint!”

Gelukkig is bovenstaand interview ‘bedacht’ door een oud-leerkracht, die voor Sint speelde en die juist zo genoot van de geschonken tekening, die liet zien in welke mate(n) de kleuter de ontmoeting met Sinterklaas en Zwarte Piet beleefde. De dingen (en mensen) in de wereld hebben voor de kleuters nog geen objectieve maat. De mate waarin zij door de hen omringende wereld beroerd worden, bepaalt de grootte van die wereld. In tekeningen van kleuters en jonge kinderen is te zien hoe de eigen innerlijke maat de verhoudingen bepaalt van de ‘voorwerpen’ om hen heen. “Was er niet ook een tekening bij, Sint, met een hele grote Sinterklaas en een nog grotere rode mantel, naast een heel klein huis?!”

Het jonge kind leert door nadoen, met het accent op doen, op bewegen. Het neemt geen afstand tot zijn beweging, het zit er helemaal in: de ander beweegt in hem.
Een kleutert pleegt zijn bewegings- en evenwichtsvermogen te beleven door het verrichten van halsbrekende toeren. Zo wandelde een peuter eens doodgemoedereerd door de dakgoot, vergenoegd lachend naar zijn ontzette vader die machte-
148

149

loos toekeek vanuit het zolderraam. Alleen een slaapwandelaar zou het hem nadoen. En dat typeert precies het bewustzijn waarmee een kleuter in zijn zintuigen leeft.
In het spel van de kleuter zien we dat hij mede door nabootsen en eigen beweging ook met zijn zintuigen de wereld wat bewuster begint te verkennen. In het vrije spel spelen ervaringen met grootheden (lengte, dikte, gewicht …) en het ‘zien’ van de juiste maat al een rol. Hoe zorgvuldig bouwen de kinderen niet hun huizen met planken en blokken. Nauwkeurig worden er boomstammen bij elkaar gezocht, want anders ‘wordt het dak scheef’. Je ziet dat grote lappen op elkaar worden gelegd om de grootte te vergelijken, of om ze in gelijke stapels te kunnen vouwen. De situaties waarin ‘gemeten’ wordt, zijn legio: een brug bouwen voor een houten treinbaan, zodat de trein niet scheef hangt, of al spelend ontdekken hoe de schuinte (hellingshoek) moet zijn van de brug, zodat de trein wel een lekker vaartje neemt, maar niet uit de rails vliegt (of juist een keer expres wel!).
Ook buiten zie je kleuters al uitzoeken waar de boomstam onder de plank moet liggen om samen lekker te kunnen ‘wip-wappen’. In de zandbak ontaardde het spel zelfs eens in een fikse ruzie, omdat het deurtje ‘niet groot genoeg’ was voor de koning van het kasteel!
Bij het doen van kringspelletjes en arbeidsspelen bewegen de kinderen in allerlei geometrische vormen van verschillend formaat. Al deze activiteiten scheppen gelegenheden om ervaringen op te doen met meten en maten. Hierdoor ontwikkelt de kleuter, voor wie maat alleen nog in de zin van ‘verhouding tot’ leeft, zich in een (school)wereld waarin voor meten en meetkunde een speciale plaats is ingeruimd.

Op het moment dat het kind echt bewust anderen nabootst, is het geen kleuter meer! Dat is ook het moment, waarop je als leraar in de eerste klas kunt zeggen: “Kijk goed kinderen, wat ik hier teken, dat noemen we een rechte lijn.” En de kinderen kijken, naar alle rechte lijnen, die hun klasgenootjes op het bord tekenen: krachtige, evenwichtige lijnen, wiebelende, onzekere lijnen, rechte en scheve, dikke en dunne lijnen. De kinderen bewegen innerlijk mee en zien de resultaten. Bewegingszin en evenwichtszin komen samen met de gezichtszin in het oordeel: deze lijn is mooi recht en die kan je nog wat mooier recht maken. Oordelen ontstaan door afstand te nemen, door niet helemaal in de beleving op (of onder) te gaan, door combinatie van zintuigindrukken.
Naast de rechte lijn komt vervolgens de kromme lijn op het bord te staan en alle kinderen tekenen kromme lijnen. Zo begint ieder kind zijn eerste schooldag met twee geometrische oervormen!

Vanaf de eerste dag wordt het vormtekenen beoefend en geoefend en net als bij de euritmie zien we hoe hiervoor langzamerhand gevoel ontstaat en vaardigheden tot stand komen, die een voorwaarde zijn voor het leren en werken in de meetkunde in de hogere klassen. Dat neemt niet weg dat het vormtekenen ook een belangrijke bijdrage levert aan de motorische ontwikkeling, en ondersteuning biedt bij de lateralisatie en de oog-handcoördinatie.(Lateralisatie is het proces, waarbij een kind leert gecompliceerde handelingen te verrichten met twee handen tegelijk, zo dat één van beide handen de nauwkeurige bewegingen maakt en de andere hand een ondersteunende functie heeft. Het hele proces voltrekt zich tussen het zevende en twaalfde levensjaar.)
150

Het basisschoolkind moet niet alleen doen, maar ook zien wat het doet en er over leren nadenken, opdat het tenslotte tot inzicht komt. Omdat het oog bij uitstek een gevoelszintuig is, is het oordeel dat ontstaat door het zien een esthetisch oordeel. Door het vormtekenen ontwikkelen de kinderen ook een gevoel voor schoonheid, schoonheid die zich laat zien in de gestolde beweging. We zullen in dit hoofdstuk het vormtekenen alleen beschouwen in het kader van voorbereidingen op de meetkunde.

In de eerste klas worden rechte en kromme lijnen in regelmatige ritmische vormen getekend ter voorbereiding op het schrijven. Rudolf Steiner adviseert om ook in de tweede klas spiegelsymmetrische oefeningen te doen waarin de meetkundige grondvormen als cirkel, driehoek, vierhoek en ellips voorkomen. Voor het daaropvolgende jaar staan gecompliceerdere symmetrische figuren op het programma. Nu ook met meer dan één spiegelas. Zelfs draaisymmetrische vormen en symmetrie ten opzichte van een cirkel behoren tot uitdagende opgaven. Het kunstzinnig werken en het beleven van de vormen staan bij alles wat genoemd is voorop!

In de vierde klas voltrekt zich een, hier al eerder genoemde, verandering. Het ‘ik beleven’ wordt versterkt en het kind wordt zich bewust van de afstand die het heeft tot de wereld die hem omringt. Dit afstand nemen maakt het mogelijk om een voorzichtig begin te maken met een vooruitblik op de vlakke en beschrijvende meetkunde. De kinderen leren nu om de ‘wereld rondom’ ook te bezien vanuit een meetkundig standpunt; er komen kaarten en plattegronden aan te pas.

Bij het vormtekenen zien we in de vierde klas dat meetkundige figuren uit de hand getekend worden. De eigenschappen van de getekende vormen kunnen nu opgemerkt worden. Het bekijken, bestuderen van zijden, hoeken, eventuele
symmetrie-eigenschappen heeft hier nog uitsluitend een aanschouwend karakter.
151

Een levendige karakterisering schept ruimte voor begrippen die steeds meer inhoud krijgen en zo een leven lang meegroeien. Vandaar de waarschuwing kinderen geen definities, ‘dode’ begrippen, bij te brengen. Eerst driehoeken in het vormtekenen en ook driehoekige vormen in de natuur en de cultuur. Later pas een driehoek van lijnstukken, met zijden en hoeken. Dat wordt een figuur met eigenschappen (som van de hoeken 180°, a + b > c, enzovoort).

Op een mooie dag stappen we voor de vormtekenlessen nog eens naar buiten. Daar gaan we met elkaar allerlei meetkundige vormen zichtbaar maken. “Maak met z’n allen een zo klein mogelijk vierkant.” Dicht tegen elkaar aan staan ze daar! “En een zo groot mogelijke driehoek.” Iedereen probeert een positie te vinden om te gaan staan , tot één van de jongens zegt: ”Past niet op het plein, heb je wel de hele wereld nodig!” “Zou dat lukken?”, vraag ik voorzichtig. “Nee”, zegt Jessica vastberaden, “dan wordt het rond.” We gaan verder en vormen nog meer figuren met z’n allen of in groepjes. De kinderen zijn er zo vol van, dat er zelfs bomen, hekjes en muren mee mogen doen.

In deze leeftijdsfase, waarin het wakend bewustzijn zich langzaam vanuit de ledematen, de bewegingsorganen terugtrekt om zich via het ritmische systeem een plaats te verwerven in het denken, moeten we het ruimtelijk voorstellingsvermogen bij de kinderen ook nog via de beweging blijven ontwikkelen.
Al bewegend vormt het kind, maar ook ieder volwassen mens, geometrische vormen in de ruimte en is daarmee een onderdeel van de kosmos. Dit voltrekt zich onbewust, maar in de geometrische figuren, die de kinderen tekenen, is de beweging vastgelegd.
Het kind beleeft zichzelf nog niet in de ruimte, in de stroom van de tijd, maar veeleer in een tijdloze situatie, die ook afbeeldingen in het twee-dimensionale vlak kenmerken. In het ruimtelijk beleven kan je onderscheid maken tussen het beleven met de tastzin en met de gezichtszin. Je zou dat kunnen vergelijken met een kind dat zich ‘in’ een ruimtelichaam, bijvoorbeeld in een kubus bevindt en tastend het grondvlak, het voor- en zijvlak verkent. Het is echter niet in staat om van buitenaf de kubus te bezien. Het kan nog geen afstand tot de
drie-dimensionale ruimte nemen
In het teken- en schilderwerk van de kinderen is de ontwikkeling van het waarnemingsvermogen af te lezen. Vierde en vijfdeklassers zie je nog prachtige tekeningen maken van landschappen met grote driehoekige ‘platte’ bergen. Zij ‘weten’ dat de bergen ruimte innemen, maar verstandelijk kunnen ze dat nog niet bevatten.

Pas in de zesde of voor sommigen zelfs in de zevende klas, ontwaakt het vermogen ook in perspectief te zien en weer te geven. Dan worden tijdens de tekenlessen vele oefeningen gedaan in waarnemend tekenen van ruimtelijke objecten, vazen, theepotten, tekendozen of de eigen schoen. De schaduw van het voorwerp vormt een belangrijk hulpmiddel voor de tekenaar.

Rudolf Steiner dringt er op aan, om het ruimtelijk voorstellingsvermogen al vanaf het negende jaar te ontwikkelen door samen met de kinderen naar schaduwvormen te kijken. Je onderzoekt dan letterlijk het ruimtelijke ten opzichte van het platte vlak. Een bol in de zon geeft een schaduw op de tafel, waaraan de kinderen onmiddellijk de elliptische vorm herkennen. Ook van andere voorwerpen kan de
152

schaduw onderzocht worden. We tekenen deze waarnemingen niet, maar praktisch onderzoekend kun je het op allerlei manieren uitbreiden. Hoe is het met de lengte van de schaduw in verhouding tot het voorwerp zelf?
Een mooie aanleiding om in het kader van de meetkunde ook aan ‘verhoudingen’ te werken. Op zeker ogenblik is bijvoorbeeld de verhouding stok : schaduw overal in de omgeving even groot. Je kunt dat verhoudingsgetal gemakkelijk bepalen door wat meet- en rekenwerk. Heb je dat verhoudingsgetal eenmaal, dan kun je allerlei onbereikbare afstanden en hoogtes ‘meten’. Gebruik in dat geval de verhoudingstabel. (Zie blz. 251.) Wie weet maken de kinderen nog eens een kleine tafelzonnewijzer en ongetwijfeld komen ze op school met verhalen over experimenten thuis met het bedlampje of de zaklantaren!

Meetkunde komt zo op natuurlijke wijze tot stand. Wat kinderen eerst aan vormen hebben beleefd, gelopen, getekend en gemaakt, wordt later steeds preciezer geconstrueerd en er worden steeds meer wetmatigheden herkend.

Meten met maten

In vele situaties, vak- en vormingsgebieden en door de hele schooltijd heen, speelt meten een rol. Hoe belangrijk zijn niet de streepjes op de strook papier langs de deurpost van de eerste klas, waar de kinderen een jaar lang steeds weer even naast gaan staan. “Juffie ik ben groter dan Eric, Hoe kan dat nou, hij is groter dan ik?”
Voortdurend doen kinderen nieuwe ervaringen op. Soms dienen zich conflictsituaties aan die tot nadenken stemmen. Wat is groter worden? Nu eens is dat langer worden, dan weer gaat het om leeftijd: groter is hetzelfde als ouder. Er zijn dus soorten groter en kleiner.
En dan een feest, de eerste feestmutsen die zelf gemaakt worden zijn meestal lange versierde stroken papier, die op maat om het hoofd geplakt worden. “Hoe groot moet de strook voor jouw feestmuts worden, Anneke?” Als de kinderen klaar zijn gaan ze naar buiten, waar ze elkaar moeten opzoeken voor het vormen van groepjes die elkaars muts passen! Ongemerkt hebben we zo een oefening in het schatten georganiseerd en op weg naar buiten zie je dat de kinderen elkaars mutsen echt even gaan passen.
Later in het jaar is het leuk het vraagstuk van de puntmuts eens aan de orde te stellen. Laat de kinderen zelf uitvinden hoe groot het stuk moet zijn, dat uit het ronde stuk karton moet worden gevouwen of geknipt, zodat de muts op het hoofd past. “Kun je eigenlijk meer mutsen uit zo’n stuk karton halen?”
153

Het hoeft hier verder geen betoog dat handvaardigheidslessen uitnodigen om op allerlei manieren het meten in praktijk te brengen. Alle werkstukken, uiteenlopend van kleine doosjes van papier in de laagste klassen tot houten weeframen, gemaakt door de zevendeklassers voor de jongste kinderen, vragen om meetactiviteiten die in meer of mindere mate zelf uitgedacht zijn. Bij het meten als zodanig gaat het beleven doorgaans vooraf aan het weten.
Op het gebied van meten en maten wordt in onderwijsland veel abstractie bedreven, tot groot onbegrip van de kinderen. Via trap- en kommatrucs tracht men het leed te verzachten; het begrip wordt er zeker niet groter op. Als er één gebied is waar men zich zou moeten bezinnen over het wat, het wanneer en het hoe, dan is het wel de meterrij. En hoe simpel is het niet in de praktijk van het leven!
Hoe de mens de maat aller dingen weerspiegelt, werd duidelijk in de jeugdherinnering die een leerkracht eens aan zijn klas vertelde:
“Mijn moeder placht af en toe op de stofjesmarkt inkopen te doen. Daar was een blozende, forse koopvrouw haar favoriet. Onvergetelijk deze marktkoopvrouw. In rap tempo mat ze de ellen katoen, van haar hand tot de elleboog, waarbij haar onderarm als een pompzwengel heen en weer bewoog. Het was een goedhartige dame, ze mat met ruime hand, waarbij wij innerlijk de beweging mee deden en daarbij telden.”
Deze herinnering houdt een didactische aanbeveling in: meten is een menselijke activiteit. Stel kinderen dan ook in de gelegenheid via activiteiten kennis en inzicht te verwerven.

In de derde klas, als de kinderen zo’n jaar of negen zijn, geeft onderwijs in de zaakvakken spontaan aanleiding tot allerlei meet- en weegactiviteiten. De kinderen meten steeds enthousiaster met duimen, palmen, spannen, voeten, ellen en vademen en begrijpen al gauw dat een tweeduimsnagel (spijker) van smid Hein, dezelfde lengte moet hebben als de betreffende nagel van smid Hans, anders zou de timmerman voor zonderlinge problemen komen te staan. De stap naar de duimstok en ellemaat is dan ook snel genomen en behoeft geen historische fundering, al bezwijken we graag voor de verleiding om de ark van Noach op het schoolplein uit te zetten.
Tenslotte kunnen we, bijvoorbeeld op een stuk kassarol, allemaal een echte meter maken, zoals die misschien al voor het bord ligt, wellicht met een gekleurde tien-deling. Daarmee kunnen we van alles in en om de school gaan opmeten.
154

Van een klas gingen de kinderen altijd graag in de pauze naar een veldje in de buurt van de school. Ze wilden wel eens weten hoe ver dat dan was. Na wat heen en weer gepraat had één van de kinderen bedacht: “Als we nu allemaal één meter vingerhaken en we binden dat aan elkaar, kunnen we er heen lopen en dan weten we het”. Een van de jongens zei meteen dat 24 meter niet genoeg was. Voor een aantal kinderen ging dat wel snel, maar dat ze veel nodig hadden, dat hadden ze ook wel bedacht. Met restjes katoen, bij elkaar gebedeld bij de handwerkjuffie en thuis, waren ze dagenlang iedere pauze in de weer. Kinderen uit andere klassen gingen meehelpen en uiteindelijk wisten ze niet alleen de afstand tot het speelveld, maar ook dat het station bijna twee km ver was.

Als een klas zo enthousiast is wil je de activiteit niet stoppen. Ze vergeten niet gauw hoe lang 1 km is als je die een keer rennend hebt afgelegd. Maar een klasse-gesprek over andere mogelijkheden van meten zou je graag wat sneller laten verlopen. Hoe een en ander ook met een klikwiel (fietswiel met knijper gaat ook goed) nog beter had gekund, moet in zo’n geval dan ineens op het woord van de leerkracht aangenomen worden. Of kan die zich er niet zo gemakkelijk van af maken?
Tijdens de bouwperiode in de derde klas gaat het metselen van een bank op het schoolplein, een huisje voor de kleuters of een plantenbak gepaard met allerhande metingen. De rolmaat en het meetlint, de centimeter, bewijzen goede diensten terwijl ‘en passant’ kennis gemaakt wordt met haak, zwei, waterpas en schietlood. De centimeter heeft dan voor de kinderen geen geheimen meer en we kunnen onze jaarlijkse lengtemetingen in de klas gerust in ‘grote mensen taal’ vaststellen. Vorig jaar was Eelco 1 meter 30 en nu 1 meter 35. Kinderen hebben hun eigen referentiematen en breiden hun repertoire steeds uit. Een mooi idee is het aanleggen van een persoonlijk matenboekje, dat de komende jaren steeds verder aangevuld kan worden.
Aan veel meetwerk gaat schatten vooraf; hoe hoog denk je dat de klas is, hoe breed is de gang, hoe diep is het zwembad? Dit schatten geeft ook realiteitszin aan het meten, het is immers niet echt van belang of het zwembad 1 meter 60 of 62 diep is. Maar als je moet behangen is het wel van belang of de hoogte van de kamer 2 meter 50 of 80 is. De context waarin de meetopgaven staan, bepaalt de zin van de nauwkeurigheid van het antwoord. Dat feit verdient ook aandacht in de les, het is alleszins een reflectief moment waard.
Het motorische kind zal bij het schatten innerlijk meebewegen, ook in gedachten passen doen. Zulke kinderen zullen al snel de behoefte tonen om de meter aan 1 grote stap gelijk te stellen. Het visuele kind beleeft meer de onderliggende verhoudingen. Een combinatie van zien en doen, dus zien wat je doet, zal de klas wellicht het meest aanspreken en tot een goed gevoel voor maat leiden. En daar gaat het om.
In hoeverre wordt in de lagere klassen al kennis gemaakt met de begrippen oppervlakte en inhoud? We moeten vooral in de ‘doe sfeer’ blijven. Verrassend blijkt bijvoorbeeld het (grote) aantal bakstenen te zijn, dat we nodig hebben voor het metselen van onze plantenbak. Menig derde klas bouwsel is halverwege blijven steken door onderschatting.
155

156

In de bouwperiode besteden we ook tijd aan rekenwerk, waarbij we gebruik maakten van eenvoudige meetkundige structuren. De kinderen hebben immers verschillende steenverbanden leren kennen!
Ik liet de kinderen nu b.v. drie verschillende muurtjes ontwerpen als scheiding tussen de tuinen van mevrouw Jansen en mijnheer De Boer. Ze maakten er een duidelijke tekening van, met verband en al. Natuurlijk was er toen de vraag hoeveel stenen er voor ieder van de muurtjes nodig zouden zijn. Het aantal stenen per pallet is bekend, dus er kan ook uitgerekend worden hoeveel pallets er besteld zouden moeten worden. Maar niet alle tekeningen waren gelijk. Wat nu? De ene muur was wel twee keer zo lang, de andere wel twee keer zo hoog. Hoe zit het nu met het aantal stenen, en wat te doen als de muur twee keer zo lang en twee keer zo hoog is? Dat werd ook onderzocht. Het was leuk om te zien hoe de kinderen aan hun antwoorden kwamen. Sommigen maakten getekende oplossingen, anderen waren met getallen in de weer. Ik liet de kinderen ook aan elkaar vertellen waarom en hoe ze aan hun antwoorden kwamen. Twee kinderen die het heel verschillend deden liet ik een volgende keer eens samen werken.
Het feit dat er nu vier keer zoveel stenen nodig waren was ons natuurlijk wel opgevallen. Hoe zit dat bij een muur waar de maten drie keer zo groot zijn, was een vraag voor onderzoekers.

Voor weer een nieuwe fase in het meten met maten gaan we onderdak zoeken bij de aardrijkskundeperiode in de vierde klas. De verandering bij de kinderen in de oriëntatie naar ruimte en tijd vraagt om ordening van de ruimte om hen heen. “Waar sta ik, wat is voor mij wat is achter mij, links van mij, rechts van mij? Wat is binnen en wat buiten? Waar gaat de zon op als ik wakker, word waar staat de zon als we tussen de middag op het plein zijn?” “Woon ik in het noorden, oosten, zuiden of westen?”
Vanuit de eigen positie wordt de omgeving verkend. Kinderen tekenen de weg van school naar huis, met alles er op en er aan, de dikke boom waar je rechts af moet, de kerk tegenover de winkel en de kapotte steen in de stoep als je bijna bij school bent; belangrijke mijlpalen waar je langs komt. We beklimmen de kerktoren en kijken uit over het oude dorp. Weer op school tekenen wij onze eigen kaarten in vogelvlucht perspectief, plattegronden van het eigen dorp. Een fietstocht in de omgeving op zoek naar streeknamen, oude gebouwen en namen die bepaalde functies of eigenschappen laten zien, Bergweg, Zuiderschans, enzovoort. Een heleboel aanknopingspunten om als leerkracht bij stil te staan, reken-meetkundige opdrachten te maken en vooral onderzoekjes te laten doen door de kinderen.

Plattegronden van huizen, kamers, tuinen, boerenbedrijven kunnen begrippen als vierkante meter en hectare verduidelijken. Zoek referentiepunten op bekend terrein voor de kinderen, zoals voor Maurice, die zo dol is op voetballen: één voetbalveld is ongeveer een halve hectare.
157

leder kind heeft thuis zijn eigen kamer opgemeten en daar maken we een mooie plattegrond van compleet met bed, stoel, kast, treinbaan, enzovoort. We maken de kamer ook op schaal, bedenken met de klas wat een goede verhouding zou zijn. “Iedere meter 5 cm lang maken op tekenpapier?”, stelt Peter voor. Maar Justin zegt dat hij een hele grote kamer heeft en dat hij wel 10 cm nodig heeft. We komen er toch uit en besluiten tot 4 cm.
Van gekleurd papier hebben we nu een heleboel vierkante meters nodig in onze nieuwe ‘meter-maat’. En dan gaan we passen en meten, op zoek naar de oppervlakte van de eigen kamer. De schaar moet er bij veel kinderen ook aan te pas komen. Door verschillende kleuren te gebruiken is goed te zien waar de uiteengeknipte vierkanten (nu niet meer ‘vierkante meter’) zijn gebleven.

In een volgende rekenperiode gaan we op zoek naar andere grootheden dan lengte (afstand) en naar andere maten. Concrete inhouden levert de melkboer met zijn liter en halve liter pakken. Hoeveel glazen gaan er in een liter? Hoeveel liter hebben we nodig voor de hele klas? Hoeveel liters gaan er in een emmer, enzovoort. De meer wiskundige benadering van oppervlakten en inhouden, met de afleiding van de betreffende formules, is een zaak voor de oudere kinderen. Formules als 1 x b voor de oppervlakte van een rechthoek, krijgen hun betekenis in de zesde klas waar het letterrekenen, de eerste algebra, wordt geïntroduceerd. Deze overstap kunnen ze dan vanzelf nemen na alle ervaringen in verschillende perioden en rekenwerkuren op school en thuis.
Het wegen brengt ons onherroepelijk bij het winkeltjesspel terug. Er worden ponden suiker en kilo’s meel verkocht alsof het niets is! Op de balans is het ook niets, of praktisch niets; het gaat niet om het gewicht maar om het evenwicht, de vergelijking. Jonge kinderen beleven de ‘zwaarte’ nog niet zo als een volwassene dat doet.
Dus ook nu weer schatten. Wat zal zwaarder zijn, deze zak suiker of dat pakje koffie? Neem ze maar in de hand! Alle mogelijke varianten op het oude ‘kilo veren of kilo lood probleem’ vormen een uitermate belangrijke zintuigoefening! Het conflict dat er in verscholen zit, leidt tot voorstellingsactiviteiten, de kinderen worden aan het denken gezet. Tot in de hoogste klas zijn de leerlingen verbaasd over het gewicht van een flesje kwik; dat hadden ze niet gedacht! Schijn bedriegt en het oog is niet altijd te vertrouwen. Wie heeft tegenwoordig nog betrouwbare referentiematen?

Enige tijd stond nu de ouderwetse weegschaal in de klas en dagelijks wordt er van alles gewogen, afgewogen en ‘verkocht’. Daarnaast maken we ook kennis met veerunster, brievenweger, de bascule en de personenweegschaal, waarop ieder zijn gewicht nog eens wil controleren, niet in de laatste plaats om ook een ‘vergelijkend onderzoek’ te doen.

In de natuurkunde van de achtste klas ontmoeten wegen en meten elkaar op een heel bijzondere wijze, namelijk bij het berekenen van de soortelijke massa.
Maak aan het eind van de vierde klas wat tijd vrij, bijvoorbeeld een laatste rekenperiodeweek, om de inmiddels in dat jaar vergaarde kennis omtrent meten met maten eens op een rij te zetten. Ga ook nog eens kort aan het werk met wat opdrachten. Denkbeeldige situaties mondeling geschetst of in beeld gebracht op een werkblad, samen met leuke opdrachten en vragen, worden met enthousiasme begroet.
158

Terugkijken op en terughalen wat we geleerd hebben levert een bijdrage aan het (op tijd) verdiepen van het inzicht. Niet voor niets geeft de vrijeschool haar lessen in perioden van enkele weken; daarna laten we het geleerde rusten, vergeten, maar dient er aan het eind van het schooljaar op wat gedaan is nog eens teruggekeken te worden. Het bewustzijn van de mens kan onmogelijk alles wat het tegenkomt ook paraat houden. ‘Ritme’ versterkt dat vermogen. Zorg ervoor dat het kind ook leert ontdekken wat zijn ‘instrument’ is om de opgedane inzichten en kennis weer in het bewustzijn terug te halen. Het geeft het kind een waardevol vertrouwen in zichzelf als hij weet, dat wat even niet te voorschijn komt, toch herinnerd kan worden. Maar oefening hierin kan zeker voor wat betreft de ‘rekenkunst’, voor veel kinderen een welkome hulp zijn.

Ideeën voor het maken van opgaven in het kader van meten. Denk daarbij aan lengte, gewicht, tijd, oppervlakte, inhoud; ook richting (denk aan: 10 meter of stappen naar het oosten) kan een onderdeel zijn.
• Koekjes bakken. Het recept is voor 12 tot 15 koekjes, maar we bakken voor de ouderavond. Wat nu?
• Limonade maken voor de hele klas, hoeveel siroop, hoeveel water?
Hoeveel drinkt ieder? Is een volle emmer genoeg?
• Een nieuw pak tekenpapier van 200 vel. Hoe dik is het pak en hoe dik is dan een vel tekenpapier?
• Maak een vierkante meter van (kranten)papier.
• Ruilverkavelen in de polder. Van de biologisch dynamische boeren moet het erf naast elkaar komen te liggen.
• De buurman heeft een vijver gegraven. Kan hij daarvan nu nog de oppervlakte te weten komen? Hoe rekent hij uit hoeveel water er in de vijver moet komen? Zou je ook kunnen bedenken hoe lang de kraan van de tuinslang dan open moet staan om de vijver vol te laten lopen?
• Er komt een nieuwbouwwijk. Hoe zou je de fietspaden aan willen leggen?
Op hoeveel manieren kan je in jouw plan van een huis naar de winkel fietsen? Wat is de kortste weg?
• De landkaarten uit het magazijn uitgerold in de zaal. Waar is het noorden en waar het noorden op de kaart? In welke richting ligt Delft? Of Moskou?
• Bij dit voorbeeld van een oude plaat: Hoe zien de 12 bouwwerken er van voren uit? Kun je dat tekenen? En van opzij?

159

• Een grote boom in de buurt. Tekeningen maken vanuit alle windrichtingen.
En omgekeerd, kijk een foto van het schoolfeest op het plein.
Waar stond de fotograaf?
• Hoe hoog is die lantaarnpaal?
• Hoe komt het dat een vliegtuig, hoog in de lucht, zo langzaam vliegt?
• Wat is de gemiddelde snelheid van een fietser? … een wandelaar? … een atleet die de marathon van New York wint? Een schaatser op de 10 kilometer?
• Maak ook eens een werkblad waarbij de ingrediënten om het antwoord te vinden al in beeld zijn gebracht.

De kinderen hadden allerlei voorwerpen meegebracht waar water in kon. Ik hield een mooie met water geheel gevulde vaas omhoog. Eerst bedachten we samen wat voor het meten hiervan een geschikte maat was. Mireille liet ik alvast het daarbij passende maatglas pakken. Toen werd de inhoud -in de geschikte maat- geschat. Er kwamen ook getallen met cijfers achter de komma. De grootste en de kleinste waarde kwamen -met de eenheid erachter- op het bord. En passant rekenden we hiervan het gemiddelde uit. Toen goten we het water in het maatglas. Er ging iets meer dan 2 liter in. Ja toen moest ook de maatcilinder van 100 cm3 er nog bij gepakt worden, het antwoord kwam op het bord in liters. Wie had er meer dan twee cijfers achter de komma? Op mijn suggestie dat Frits dan ook de in de vaas achtergebleven druppels mocht komen tellen wilde hij niet ingaan.

4.2 Klok en kalender

“Juf, dit is de fijnste tijd van mijn leven!”
Veel te vroeg op school hebben kinderen kans gezien de nog dichte schooldeur te passeren en stormen als stralend zonlicht met windkracht zeven de klas binnen: “We gaan alvast in de zaal werken, anders zijn we niet op tijd klaar voor de generale!” Weg zijn ze. Ik blijf beduusd, maar aangestoken door hun ‘zin in deze dag’ achter. Morgen zullen ze hun ‘eind’toneelstuk spelen en ik bedenk met een beetje weemoed, dat de tijd is omgevlogen.

Klok en kalender zijn maar een klein onderdeel van het leren kennen van- en leren leven met de tijd. Tijd is beweging en het kan een mensenleven duren om er grip op te krijgen. Ook in de schooltijd zijn er dwars door het leerplan heen allerlei momenten, waarbij we de kinderen helpen steeds meer bewustzijn te ontwikkelen voor alles wat met tijd te maken heeft.
Als volwassene kunnen we aan tijd drie gebieden onderscheiden die onlosmakelijk verbonden zijn:
• De kosmische tijd, waarvan we de beweging beleven in de kringloop van het jaar, de seizoenen, de maanden, de weken, het ritme van dag en nacht en de veranderingen aan de hemel als we naar zon, maan en sterren kijken.
• De eigen tijd, de biologische tijd in de mens zelf, waarin ook de kosmische tijd zich uitdrukt. Dag-nacht, waken-slapen, ook maancyclus en vruchtbaarheid, zijn voorbeelden daarvan. Tot in de organen van de mens zien we lineaire en cyclische bewegingen. Te denken valt daarbij aan bijvoorbeeld het hart-ritme, de beweging van de longen, de cyclus in de leverwerking, de stroming en vernieuwing van het bloed, enzovoort. En niet in de laatste plaats zien we de
160

eigen tijdsstroom tot uitdrukking komen in de ontwikkelingsfasen binnen de levensloop van de mens.
Rudolf Steiner spreekt ook over de verschillende ritmen van de vier wezens-delen (Geisteswissenschaftliche Menschenkunde, GA 107). Hij beschrijft daarin de vernieuwende impulsen die door middel van of dankzij zo’n ritme plaatsvinden. Het fysieke lichaam kent ongeveer een jaarritme, letterlijk spreekt hij bij vrouwen over een ritme van 10 x 7 x 4 dagen en bij mannen van 12 x 7 x 4 dagen (!), het etherlichaam heeft een ritme van 4×7 dagen, het astraallichaam een weekritme en het Ik-organisme een dag-nacht ritme.
•De levenstijd beleeft de mens, door het heden tussen verleden en toekomst te ervaren. (De geschiedenis van aarde en mensheid speelt hierin een grote rol). Het wordt wel als een lineaire tijd gezien, maar in wezen maakt de levenstijd van de mens deel uit van de grote cyclische beweging langs geboorte, dood en wedergeboorte.

Het tijdsbeleven van het kind , van de mens, speelt een rol in alle drie de bovengenoemde tijdsaspecten, maar voor een kind heel anders dan voor de volwassene en nog weer anders dan voor de oudere mens. Kleine kinderen leven in het moment van de gebeurtenis zelf, daarbij meebewegend in de tijdsstroom. Kleuters zitten toch nooit stil? Hollend kwamen ze de keukendeur binnen “Gaan we eten?” “Nee, over een half uur.” Vijf minuten later stonden ze er weer. “Zijn we op tijd? Waarom zijn er geen borden?” De dag was toch om, ze hadden trek en wat had dat met halve uren te maken?!
De jongen uit de aanhef van deze paragraaf, die als eerste de klas binnenstormde genoot van alle lessen dit schooljaar. Zijn enorme betrokkenheid liet hem geen tijd zich te vervelen. Bovendien stond hij dankzij zijn temperament onbevangen in het heden, waardoor hij zijn vreugde van dat moment aan een tijdperk verbond, ongeacht de belevenissen van gisteren of van morgen.
Het mag duidelijk zijn dat zowel levens- en ontwikkelingsfase als individuele geaardheid een grote rol spelen bij het beleven, het tot leven wekken, van de tijd.

Leven primitieve volken, kinderen en menige vakantieganger, nog intuïtief vanuit de kosmische en biologische klok, in onze en andere culturen probeert de mens steeds om meer greep te krijgen op het ordenen van de tijdsstroom. Door de getallenwereld aan de beweging van de tijd toe te voegen werd met steeds grotere nauwkeurigheid de duur van de tijd in een maat uitgedrukt en vast gelegd.
De klok en de kalender zijn daar een uitdrukking van, toch is ook de meest geavanceerde atoomklok niet in staat om iets anders aan te geven dan een tijdsinterval.
Zo houdt ook in de cultuur de mens niet op te zoeken naar de wonderlijke wereld van de natuurlijke bewegingen en ritmen.

Op school maken we gebruik van de tijdsprincipes, enerzijds om het onderwijs te structureren, anderzijds om kinderen te leren met tijd om te gaan en zijn gevolgen voor ons bestaan te leren kennen.

In didactische principes van het vrijeschool onderwijs herkennen we de indeling naar de ritmen van de wezensdelen. ‘Gebruikmaken van de nacht’ bij de verzorging en toediening van de leerstof en het indelen van het hoofdonderwijs in
161

periodes van vier weken zijn daar voorbeelden van.
In de kleuterklas begint het omgaan met en het leren kennen van tijd door het herkennen van vaste gewoontes in de dag en de week. De mooi verzorgde
jaartafel, centraal in de klas, geeft de kleuters -zij het niet volbewust – steun bij het beleven van veranderingen over grotere tijdsspannen.

“Juffie, ik wil geen vakantie!” zei een van de grote kleuters bij de feestelijke afsluiting van de palmpaastijd. De kleuterleidster nam het kind op schoot en vertelde over allerlei fijne momenten die de vakantie zou brengen. Daarna zouden we elkaar weer allemaal terugzien in de klas. Helaas het hielp niet en zo mogelijk nog droeviger zei het jongetje: “Maar dan weet ik niet wanneer het ‘broodbak’dag is?!” Dit kind zocht houvast voor een ontwakend tijdsbewustzijn; het wist wat er aan tijd gebonden was.

Vanaf de eerste klas spelen de natuurlijke ritmen in de kosmische en de menselijke tijd een rol bij het leren kennen van de getallenwereld. Bij het ritmisch tellen, uit telrijen ontstaan, sluiten we aan bij de natuurlijke herhalingen en de bewegingen in de kosmische en de menselijke tijd.
Denk daarbij aan ordeningen die ontstaan in 12, of in 60 naast de ordening in tientallen. Het tiental is ook op het fysieke vlak bij de mens terug te vinden; het kind kan immers ‘van nature’ op en dus ook met zijn vingers rekenen: In de cultuur is daar een 10-tallig stelsel uit ontstaan. Telrijen en later de tafels, tot 12 en terug zijn daarom een ondersteuning van natuurlijke ritmen, rijen, en tafels tot 10 zijn een basis voor onze rekencultuur. Beiden moeten in ons rekenonderwijs een belangrijke plaats innemen, onder andere op weg naar tijdsmeting, metriekstelsel en handel.

Kalender en klok

In de tweede klas gaan we in een rekenperiode op zoek naar de tijd op de klok. Veel in ons onderwijs draait in die dagen om de grote klok, die met gejuich ontvangen wordt. Helemaal wanneer het een koekoeksklok blijkt te zijn, die elk uur luid zijn roep doet horen. De kinderen leren klokkijken en we proberen inzicht te geven in het verstrijken van tijd , in tijdsduur en het vastleggen daarvan. Alsook in de opeenvolging van de dagen van de week en de maanden van het jaar, die samen de kalender vormen. Naast de beweging van de tijd gaat het ook om kwaliteiten van de tijdsduur. In gedichtjes en liedjes spreken die kwaliteiten tot de kinderen:

Januari, sneeuw en ijs,
schaatsen aan en dan op reis.

Februari in het woud,
wie het koud heeft sprokkelt hout.

Alle vogeltjes in mei
leggen in een nest hun ei.

162

De eerste ochtend kwam ik in gesprek met de kinderen over de tijd van het jaar. We wisten er met z’n allen veel over te vertellen, daarna wist een van de kinderen welke maand het was, compleet met datum, “Want morgen ben ik jarig!” en zo kwamen we op de dag van de week. “Het is nu dus maandag” zei ik, “maar hoe laat is het eigenlijk?”
En zo begon die maandagmorgen het moment van de klokkentijd in het groter geheel van ‘tijd’. Na het leren lezen van de klok zou de klokkentijd langzaam uitgebreid worden met de tijd van de week, de maand, het jaar. En aan het eind van de periode zouden we allemaal een eigen week en een verjaardagskalender gemaakt hebben, had ik me voorgenomen.
In het gesprekje over de klok vroeg ik de kinderen hoeveel uren een dag had. Ze wisten allemaal dat er 24 uren in een dag zaten. Maar dat grote mensen dat een etmaal noemden, vanwege de dag en de nacht, dat leerden ze van mij. Een snugger ventje deelde meteen eigenwijs mee dat de klok dus 2 keer rond gaat voordat zo’n dag, eh etmaal, voorbij gaat en het weer ochtend is.
“Gaat de klok rond? Ik denk dat de kleine wijzer 2 keer rond gaat, maar hoe zit dat nu met de grote wijzer van de klok?” Er werd gekeken en gerekend, het juiste antwoord kwam al snel: 24. De kleine wijzer gaat dus I keer rond in de dag en I keer rond in de nacht en de grote wijzer draait 12 keer mee in de dag en net zoveel keer in de nacht.

Vanuit de vraag “Wat doen jullie in de uren van de dag?” kun je met de leerlingen een ‘eigen uren klok’ gaan maken; in het schrift is een grote ronde klok getekend, een cirkel die, met hulp, van 12 stralen is voorzien. Net als op de klok in de klas zijn er de uren bij geschreven. De kinderen wisten al veel over de tijd, ook al had klokkijken er niet veel mee te maken gehad. “Hoe laat sta je op?” Er zijn heel verschillende antwoorden, dus werd dat moment ook op verschillende plekken in de klok getekend. “Wanneer begint de school?” “Hoe laat eet je?”. Zulke vragen en andere stelden de kinderen zelf en zo raakte de hele dagklok gevuld. Een snelle werker ontdekte dat het niet past. “Ik ga naar bed als ik al wakker ben!” Er zat niets anders op, er was nog een nachtklok nodig. Bij veel kinderen werd die geheel gevuld met sterren.
Later, om de klok nog beter te leren kennen, werden de bewegingen van de wijzers nauwkeuriger bekeken.
163

Op het plein tekenden we een aantal klokken, twee aan twee liepen de kinderen rond. De ene was ‘kleine wijzer’ de andere ‘ging voor de grote’. We zongen het lied van Henry Zagwijn over de tijd en reciteerden een klein gedichtje over de wijzers.

“Een keer rond gaat die grote heer,
haalt de kleine in telkens weer.
Een keer groot snel rond gegaan
mag die kleine 1 stapje verder gaan”.

Sommige kinderen gingen steeds sneller lopen om toch vooral de hele dag te volbrengen! Lastig om daarbij de tel niet kwijt te raken.

Kinderen brengen in deze periode vaak allerlei klokken mee en ontdekken van alles aan de verschillende wijzerplaten!
Zij maken ook, al of niet in hun schrift, zelf een klok met twee losse wijzers, beweeglijk met een splitpen vastgezet.
Als tussenvorm kan het ook goed zijn eerst nog een minutenklok te maken met alleen de grote wijzer. De minutenklok met zijn indeling in intervallen van 5 minuten is wat overzichtelijker en er kan rustig geoefend worden met begrippen als: ‘half;’ ‘kwart voor’; ‘kwart over’, ‘vijf voor’, enzovoort…
Daarna schuif je deze twee klokken als het ware in elkaar tot een klok met twee wijzers en twee schalen.

Het geeft gevoel voor tijd als ook met andere klokken, zelfgemaakte zandlopers, water- of kaarsklokken, het verstrijken van tijd gemeten wordt. “Hoe lang duurt het om heen en weer het plein over te rennen? Een of twee zandlopers?” enzovoort.

Op een regendag mochten de kinderen, na een frisse neus gehaald te hebben, in de pauze weer naar binnen. Daar ontstond spontaan een torenbouw-wedstrijd, geklokt met de zandloper. De kinderen raakten zo in de ban van de bouwsnelheid dat er blokken bij geleend moesten worden in de kleuterklas.

Via gesprekken over zaken die kinderen meemaken, die langer duren, kom je verder in de opbouw van de week, de maanden en het jaar. Laat de kinderen hun kalender vooral op basis van eigen belevingen indelen in mooie opeenvolgende tekeningen. Het is leuk om met een kind dat eens speciale aandacht verdient,
164

voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.

Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.

Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskundeperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).

Tijd in de hogere klassen

In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’, ‘een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.

Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakker worden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.

In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165

voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.

Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.

Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskun-deperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.

Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).

Tijd in de hogere klassen

In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’/een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.

Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.

In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakkerworden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.

In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.

In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165

sterren onderzocht. De bewegingen worden in kaart gebracht om inzicht te verwerven in dag-nacht verschijnselen, in maanden, seizoenen, zonne- en sterrentijd, in schrikkeljaren en hun consequenties voor de kalender, in tijdzones en wat dies meer zij. Kinderen krijgen zo, naast gevoel voor tijd, ook verstand van tijd.
Dat allemaal heeft ook met rekenen te maken. Niet alleen omdat daarbij heel levensecht te rekenen valt, maar vooral omdat zo duidelijk wordt dat rekenen-wiskunde een menselijke activiteit is, waarmee de wereld verkend en ontsloten kan worden.

4.3 Rekenen met geld

(In vorige hoofdstukken heb ik het guldenteken vervangen voor het euroteken. Hieronder heb ik dat niet gedaan: het spreekt voor zich dat er voor gulden euro moet worden gelezen)

“Dan was ik de bankmeneer en jij kocht geld bij mij!” “Nietes, ik trok het uit de muur!”
Ook kleuters ‘rekenen’ al met geld. Soms wordt daarbij (nog?!) met blokken, schelpen of ander voorradig materiaal ‘betaald’. Nu het tijdperk van loonzakjes is vervangen door dat van pin- en andere codes waarmee geld ‘uit de muur’ gehaald kan worden, brengt dat met zich mee dat kleuters in het vrije spel ook dat uit de wereld van de volwassenen nabootsen. Is dit een reden om kinderen zich de elementaire beginselen van ruilhandel of de waarde van geld(stukken) bewust te laten worden? Of dienen we de omgang met ‘het slijk der aarde’ ver te houden van het kind?

Wanneer we in dit hoofdstuk aandacht schenken aan rekenen en geld beogen we daarmee noch de ene noch de andere vraag positief te beantwoorden. Het rekenen met geld leren de meeste kinderen ook wel buiten de school. Daar ligt een reden om dit thema hier op te nemen. Rekenen met geld kan namelijk het rekenen (in en buiten school) ondersteunen. Daarnaast kan het bijdragen om rekenen en wereldoriëntatie te integreren.
Toen Rudolf Steiner zich eens in Engeland positief uitliet over de mogelijkheden die het – daar nog niet op het decimale stelsel georiënteerde – geldstelsel voor het rekenen bood, liet hij merken dat geld volgens hem ook tot de concrete materialen behoort, waarmee kinderen kunnen leren rekenen. Daarbij gaat het om de (gevarieerde) structuren die in een muntstelsel besloten liggen en vooralsnog niet om inzicht in het stelsel zelf. Het is van belang om concrete zaken uit de omgeving het kind te gebruiken, zoals munten, bankbiljetten en postzegels, maar ook ‘bammen’ en ‘eentellers’.in de knikkertijd. Het zijn even zovele ‘eenheden’ die in zichzelf geleed zijn.
Door zijn interne structuur vormt geld een denkmodel en wordt zo voor mensen tot een bron voor referentiegetallen, waarmee het rekenen makkelijker is uit te voeren. Veel volwassenen betrappen zich erop dat ze bij sommen met breuken of kommagetallen doen alsof het geld is. Een voorbeeld:  2¼ : 4½ =… Denk aan guldens en ‘vertaal’ in kwartjes, dan zijn dit 9 en 18 kwartjes, ofwel 9 : 18 = ½. De veelvuldige omgang met geld in het dagelijks leven, draagt ertoe bij, dat oefening kunst baart op dit concrete niveau.

Een elfjarig meisje dat steeds vastliep bij rekenopgaves als 3 x 1,75, gaf op de vraag: “Hoeveel is drie keer f 1,75” meteen het goede antwoord, met een gezicht alsof dit wel het stomste was wat je kon vragen. Het valt op dat zwak rekenende
166

kinderen niet zelf deze relatie met het ‘geldrekenen’ leggen, hoewel ze binnen het geldstelsel wel tot goede oplossingen weten te komen.
Het is efficiënt om regelmatig, tijdens en nadat het rekenen met geld in de aandacht gestaan heeft, aan geld als model te refereren voor ‘lastig’ rekenwerk. Zo ontstaat een repertoire voor mogelijke aanpakken, die bij ‘moeilijke’ sommen maar ook bij schatten gehanteerd kunnen worden. De vijfstructuur kan veel extra steun bij rekenwerk geven, denk daarbij aan stuivers, kwartjes, rijksdaalders, enzovoort, maar ook aan dubbeltjes als twee stuivers enzovoort.
De context ‘winkelen’ biedt vele mogelijkheden om het rekenen met geld als ruilmiddel te ontwikkelen. Wie zo gelijktijdig geld als denkmodel voor rekenwerk wil introduceren, kan daarbij het ‘geldwisselspoor’ hanteren.

In de voorafgaande dagen hadden we allerlei munten en papiergeld ‘nagemaakt’. Op dik papier, met een munt eronder, waren door wrijven met een potlood ‘echte’ munten gekopieerd. Dat kostte meer tijd dan ik verwachtte, maar nu beschikte iedereen over een papieren beurs met daarin heel wat -zij het niet klinkende- munten. Gezamenlijk kozen we nu een munt of ‘briefje’ en legden dit bovenaan op de bank. Daarna werd hetzelfde bedrag in andere munten eronder gelegd; steeds werd er verder gesplitst in andere, kleinere, munteenheden. We ontdekten uitgaande van eenzelfde bedrag, verschillende mogelijkheden. Zo ontstond het ‘geldwisselspoor’; kinderen konden (zelfstandig of voor elkaar) opdrachten verzinnen, uitgaande van goed gekozen startbedragen.

de illustratie is niet meer  van deze tijd:

167

Feitelijk werken we bij deze procedure dus weer vanuit het geheel naar de delen. Dat blijft een zinvolle oefening. Goede rekenaars beleven er veel plezier aan om zelf te zoeken naar getallen, waarmee je een ‘lang’ geldwisselspoor kunt maken. Zo breiden ze hun repertoire uit van referentie getallen, waarmee handig te rekenen valt.
In een latere fase is het geldrekenen ook te gebruiken om het breukenonderwijs te ondersteunen. Op basis van geld kun je een ‘breukenbord’ maken. Daartoe wordt een blad papier met lijnen in gelijke evenwijdige stroken verdeeld. Op de bovenste strook wordt dan bijvoorbeeld f 5,- genoteerd. De strook daaronder wordt nu in vijf gelijke stukken verdeeld, elk stuk staat nu voor f 1,-. Daaronder volgt een strook voor kwartjes enzovoort. Je kunt zoiets ook al in een derde klas doen en er later, in het kader van de breuken, op terug komen.
Het is belangrijk dat kinderen ervaringen opdoen, waarbij ze geld als model voor breuken kiezen en bemerken dat het rekenwerk daarmee gemakkelijker verloopt. Juist voor rekenaars die moeite hebben zich (breuk)getallen voor te stellen en ermee op mentaal niveau te manipuleren, kan het ‘denken in geld’ houvast bieden. Vaak blijken zulke kinderen heel gewiekst in het rekenen met geld, omdat ze dat vanuit allerlei praktische levenssituaties gewend zijn.
Ook daaraan werken we wanneer we in de derde klas weer eens winkeltje spelen.

We waren al een paar dagen bezig spullen te verzamelen voor een soort rommelmarkt, die we met elkaar gingen houden, leder had van thuis spulletjes mee genomen waar hij afstand van wilde doen. Het was een bonte verzameling geworden.
We hadden al met het geldwisselspoor gewerkt. Bij het hoofdrekenen kon ik al eenvoudige sommetjes geven: “Één kwartje, hoeveel stuivers krijg je daarvoor? Hoeveel dubbeltjes zijn samen even veel waard als twee kwartjes?” Ook hadden we al enkele dagen verschillende bedragen met munten gelegd en daarbij ontdekt, dat er vaak meer dan één mogelijkheid bestaat zo’n bedrag te vormen.
En vanmorgen was het zover. Natuurlijk, onderhands was al menige koop gesloten, dat wist ik wel. Daarom besloot ik dat iedereen eerst de ronde ging doen langs de meegebrachte spullen om daarna op de eigen plaats een wenslijstje te maken met daarop de drie meest begeerde artikelen. Bovendien moest daarachter het bedrag staan wat ze ervoor wilden uitgeven.
Toen liet ik een kind voor de klas komen en vroeg hem om zijn lijstje, las op wat bij de nummer één stond en nodigde de eigenaar uit met het artikel naar voren te komen. Daar had ik mijn eigen tafel als een soort marktkraampje voor ingericht. En toen begon de handel, loven en bieden.
De afspraak was: Je mocht niet meer betalen dan er op het lijstje stond. Maar hoeveel het was, dat wist alleen de koper en ikzelf. Zo hoopte ik de woekerprijzen een beetje in de hand te houden, want ook de koopman wist dat hij bij een te hoge vraagprijs met zijn spullen zou blijven zitten. Toen er zo een aantal koopjes gesloten was, waarbij dan ook echt betaald, en soms zelfs gewisseld moest worden, verdeelde ik de klas in twee helften, een groep kopers en een groep verkopers. Er was tien minuten tijd om te handelen en daarna zouden de rollen omgedraaid worden. Natuurlijk toen werd het echt wel een beetje een rommeltje, maar de kinderen genoten. En daar is een rommelmarkt toch voor!
In de dagen die daarop volgden, werd er zo nu en dan nog flink gehandeld. Maar er werd ook flink op papier gerekend: “Ik heb de volgende geldstukken in mijn portemon-
168

nee, een … Hoe kan ik nu … (f 3,55 bijvoorbeeld) gepast betalen? Wat krijg ik terug als ik een muntstuk van vijf gulden geef?
Sommen had ik nu bij de vleet. Ze maakten ze voor elkaar. Bij onenigheid rekenden we met de hele klas de som na en bespraken de verschillende oplossingswijzen. Daarna moest er dan weer met ons namaakgeld betaald worden. Een paar kinderen hadden zelf thuis extra bankbiljetten gemaakt en brachten die ook in roulatie. Toen moest ik wel even ingrijpen, want zoiets geeft meteen een enorme prijsinflatie.
Ja in tijden had mijn klas er niet zoveel bij geleerd als in deze paar dagen.

Dat het daarbij niet gaat om vaardigheden die ‘even aan te leren zijn’, kan iedereen beamen die in het buitenland onverwachts met een ander muntstelsel geconfronteerd werd. Toch verloopt het leren omgaan met geld voor de meeste kinderen haast ongemerkt, hoewel niet altijd zonder hobbels. Dat merk je bijvoorbeeld wanneer een kind moeite heeft met het feit dat een rooie rug maar één briefje is (en bovendien groen is!) en toch staat voor duizend guldens.

Geld kan ook een denkmodel vormen achter het cijferen:

• Kassabonnen om na te rekenen.
• “Ik wil… kopen af… per … Heb ik genoeg bij me als er f … in mijn portemonnee zit?”
• “Voor … stuks … heb ik f … betaald.Wat is de prijs per stuk?”

Het rekenen met geld plaatst rekenen ‘in de wereld’; het vestigt namelijk de aandacht op wat er zoal in die wereld omgaat en te koop is. Zoiets maakt kinderen wereldwijs. Het kan ook morele vragen oproepen en hartstochten losmaken. Voor de leraar is het dus steeds de vraag: “Wat wil ik bij mijn kinderen wekken en hoe sluit dit aan bij de levensfase waarin ze verkeren?”

Enkele opdrachten die rond het thema geld in hogere klassen gegeven kunnen worden, volgen hier ter illustratie. Het is vaak inspirerend om aantrekkelijke werkbladen te ontwerpen. (Zie Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen) Kinderen kunnen dat zelf ook met behulp van foldermateriaal. Ze komen in dat geval niet zelden tot prachtige ‘eigen producties’. Het is ook een goed idee om de ontwerpers oplossingen van de zelf bedachte opgaven te laten maken en voor het gebruik van anderen te laten opschrijven. Ze kunnen daarnaast elkaars werk corrigeren, dat geeft een goede aanleiding om de zaak nog eens na te rekenen.

Ideeën voor het maken van opgaven:
• Een folder met artikelen en prijzen. Maak een wenslijst. Wat zal dit alles kosten? Hoe lang moet je daarvoor sparen als je per week f … zakgeld krijgt?
169

• Maak een prent (werkblad) van een etalage met prijzen bij de artikelen, of geef een reclamefolder. Je vriend(in) heeft f … voor zijn/haar verjaardag gekregen. Wat gaan jullie daarvoor in deze winkel kopen?

Het berekenen van uitgaven op basis van tabellen en dergelijke:
• De tarieven voor de dierentuin, schouwburg, … zijn … We gaan met het hele gezin, we zijn dus met z’n … Wat moeten we betalen?
• We gaan met… man op reis naar … Hier is het tarieven boekje van de N.S.
Wat gaat dat kosten?
• Ontwerp een advertentie voor … Zoek in de krant op wat het plaatsen van een advertentie per kolom per millimeter kost. Wat zal de krant jou voor deze advertentie in rekening brengen?

Het verzamelen en ordenen van gegevens.
• Je wilt een cake bakken. Wat heb je daar voor nodig? Wat zal het kosten?
Zoek dat voor morgen uit.
• Een begroting maken voor het verjaardagsfeest dat je wilt geven, op basis van een gegeven totaal bedrag.
• Ontwerp een boekenkast. Wat heb je aan hout nodig? Hier is een folder van de ‘Doe-het-zelf’zaak. Wat gaat het kosten?
• We gaan op schoolreis zelf koken. Stel een menu samen. Hoeveel heb je van alles nodig? Overleg dat thuis en zoek in winkels uit wat dat zou kosten.
• Bijhouden van inkomsten en uitgaven per dag (of per …). Maak een kasboek.
• Bereken de jaaruitgaven voor elektriciteit, de telefoon, de …, op basis van deze rekeningen.

Het omrekenen naar … (bijvoorbeeld met gebruikmaking van de verhoudingstabel, zie blz. 251):

• Recepten gemaakt voor … personen omrekenen naar … personen.
Bereken daarbij de nieuwe prijzen op basis van de oude.
• Vreemde valuta. Prijzen (inkomsten …) omrekenen op basis van de wisselkoers.
• Gegeven de kosten per eenheid, wat kost het dan om …?

Rente berekeningen (zie ook H 6).

Handelsrekenen
170

Het ontwerpen van werkbladen

Zelfstandig, actueel en op maat

Waarom zou je werkbladen maken voor de kinderen? Het antwoord is eenvoudig en heeft drie kanten: In de eerste plaats geeft het je de gelegenheid de kinderen gedurende een bepaalde tijd zelfstandig aan een welgekozen taak te laten werken. Zelfstandig hoeft niet te betekenen ‘individueel’, men kan ook in kleine groepjes zonder directe begeleiding van de leerkracht aan de slag gaan.
In de tweede plaats kun je met eigen ontwerpen goed inspelen op datgene wat actueel is in het periodeonderwijs en je kunt ingaan op de dingen die de kinderen op een zeker moment bezig houden. Juist in de hoogste klassen geeft dat de gelegenheid school en wereld op een gezonde manier te verbinden.
Ten slotte kun je met zelfgemaakte werkbladen maatwerk leveren voor kinderen, die die extra aandacht of zorg nodig hebben.
In de laagste klassen kan een doos met mooie, getekende rekenkaarten gemaakt worden. Het formaat is kleiner, en daardoor overzichtelijker voor de kinderen. Hieronder een aardig voorbeeld van zo’n werkkaart.

Werkbladen kun je ontwerpen voor gebruik in het hoofdonderwijs. Maar meer nog hebben ze een functie in de rekenwerkuren, waarin we dat wat we in de periode geleerd hebben, beoefenen en verwerken.

De leraar treedt terug

Ontwerpen is heel wat anders dan kopiëren, hoewel bij het maken van werkbladen het kopieerapparaat een goede steun kan zijn. Aanleidingen om tot creatieve ontwerpen te komen, kunnen gevonden worden ‘op de rand van de krant’, in reclamefolders, in inspirerende reken-wiskundeboeken, bij gezelschapsspelen en andere spelletjes, na een diagnostisch gesprek met een leerling enzovoort.

171

Vooral de krant levert ongekend veel mogelijkheden voor het ontwerpen van goede ‘probleemgeoriënteerde’ werkbladen. Er wordt informatie gegeven die tot narekenen noodt (een olievlek van 50 vierkante kilometer komt overeen met
100 000 ton olie?); een bepaalde berekening nodigt uit tot reconstructie (795 inwoners, dat is 12% van het totaal, …) en hetzelfde geldt als je meent een fout te zien (de prijs van de superbenzine ging van f 1,50 naar f 2,00. Dat is een stijging van 25 procent).

De krant geeft ook rechtstreekse rekenproblemen, denk maar aan advertenties en abonnementen.
De leraar, die materiaal zoekt voor zijn werkbladen, rekent zelf eerst wat ‘op de rand van de krant’, en ervaart zo de mogelijkheden en moeilijkheden. Op dezelfde manier zou hij met de andere bronnen om kunnen gaan: eerst zelf problemen oplossen en vervolgens reflecteren op het eigen denk- en rekenwerk.
Een licht gevaar doet zich hier voor. De leraar die nadenkt over zijn eigen rekenaanpak, is gemakkelijk geneigd om in termen van een stapsgewijze uitleg (met veel voorzeggen) te denken.
Hoe loste ik dat probleem van de olievlek ook weer op? Eerst 100 000 ton olie, hoeveel liter is dat? Ik weet dat 1 ton = 1000 kilo, zeg 1000 liter. Dus 100 000 ton is 100 miljoen liter. Nu 50 vierkante kilometer. Eén vierkante kilometer is 1000 x 1000 vierkante meter, dus 1 miljoen vierkante meter. Eén vierkante meter is 10 x 10 vierkante decimeter, dus 100 dm2. Terug naar 50  km2, dat is dus 50 x 100 x miljoen = 5 miljard dm2. Smeer die 100 miljoen liter uit over 5 miljard dm2, dat geeft dan een laagje van: 100 : 5000 dm = 1/50  dm = 2 mm. Een (te?) dikke laag!

Het werkblad zou nu, op basis van de voorgaande oplossingsaanpak, gemakkelijk het karakter kunnen krijgen van een invulformulier:

172

In dat geval blijft er weinig initiatief en denkwerk voor de leerlingen over. Het verdient evenwel aanbeveling om ook de leerlingen een kans te geven, het probleem bij het begin op te pakken en op de eigen manier op te lossen. Als de vraagstelling open is, kan het nuttig zijn er (gefaseerde) hulp bij te leveren, in de vorm van tips die al dan niet (gesloten envelop erbij doen) gevolgd mogen worden.

Ten slotte wat tips voor het ontwerpen van probleemgeoriënteerde werkbladen Vooraf: Bedenk dat de keuze van het onderwerp ook een pedagogische dimensie heeft.

1. Formuleer eerst de opgave helder en los die zelf op.
2. Reflecteer op de eigen oplossing en neem de essentiële momenten in beschouwing.
3. Denk aan je leerlingen en schat de moeilijkheidsgraad in.
4. Zoek illustratief, en zoveel mogelijk authentiek materiaal (krantenknipsel, fotokopie van stukje uit boek, …).
5. Bedenk titel van het werkblad en deel het globaal in; met kernvragen, ruimte voor het rekenwerk van de kinderen, het geven van tips, enzovoort.
6. Bedenk iets waardoor de kinderen ‘gedwongen’ worden om te reflecteren.
7. Maak zelf de eerste versie van het werkblad, alsof je een leerling was.
8. Probeer het prototype-werkblad uit met één (of meer) leerling(en) en verwerk de ervaringen.
9. Maak eventueel meer dan één versie van het werkblad; in het algemeen zijn er diverse niveaus mogelijk.
10. Noteer ergens de eigen (reflectieve) oplossing, voor het geval de kinderen willen weten ‘of ze het goed gedaan hebben’. (In een reflectieve oplossing wordt ook het denkproces beschreven. Zie bijvoorbeeld Goffree,F., Faes, W. en W. Oonk, (1992) Reken Vaardig, Groningen: Wolters Noordhoff).

173

174

175

In dit hoofdstuk is sprake van

bouwperiode
cultuurperioden
kindertekeningen
kleuter
kringspel
meetkunde (driehoek)
meten
rechte-ronde
ritme
schaduwtekenen 7e kl
spel 
 sterrenkunde 7e
 tijden in 4e klas
vormtekenen

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk 1;      [2]      [3]

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2441

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging- hoofdstuk 3

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 3: Rekenwerk vanaf klas 2 

3.1 Hoofdrekenen tot honderd
3.2 De tafels
3.3 Cijferen
3.4 Schattend rekenen Terzijde: Rekenspelen

3.1 Hoofdrekenen tot honderd

Het ligt voor de hand, ervan uit te gaan, dat al het rekenen dat niet op papier gebeurt hoofdrekenen is. Maar, als je een kind vraagt hoeveel 6 x 6 is en het zegt onmiddellijk 36, dan wordt er niet gerekend en weet het kind dat eenvoudigweg omdat die kennis geautomatiseerd is. Maar ook bij de mondeling gegeven opgave, waarbij een kind op zijn vingers het antwoord uitrekent, is er geen sprake van hoofdrekenen, maar van tellen.
Daarmee hebben we twee gebieden, die -vooral in de eerste en de tweede klas worden geoefend en als voorwaarde gelden om tot het eigenlijke rekenen uit het hoofd te komen. Daarbij gaat het vooral om het leren kennen van de kwaliteiten van de getallen, het zien van structuren en de ervaring hoe je met het rekenen betekenis kunt geven aan de dingen om je heen.
Nu sta je als leraar op een cruciaal punt. In het oorspronkelijke leerplan voor de tweede en derde klas lezen we:
‘De vier hoofdbewerkingen worden voortgezet tot 100 en daarboven. Er wordt veel uit het hoofd gerekend (de tweede klas). De vier hoofdbewerkingen worden geoefend met grote getallen in relatie tot het leven van alle dag.’

Als we onoordeelkundig te werk gaan, kan rekenen voor het kind tot een vak worden waarbij op mysterieuze wijze gegoocheld wordt met getallen, waarbij steeds nieuwe problemen opduiken op het ogenblik dat het dacht het net een beetje te snappen. Zo kan een kind zelden genieten van wat hij ‘geleerd’ heeft en raakt de interesse voor het rekenen steeds meer verloren. In het gunstigste geval ontwikkelt een goede rekenaar zich dan tot een handige cijferaar, die alle rekenhandelingen correct op een standaardmanier uitvoert, maar bij wie de innerlijke betrokkenheid ontbreekt. Misschien dat zo’n rekenaar vroeger nog wel enig emplooi had voor zijn vaardigheid, maar in het huidige informatietijdperk kan een kind daar nog maar weinig mee.

Wat moeten de kinderen beheersen?

De basisvaardigheden onder de twintig moeten geautomatiseerd zijn en de tafels gekend worden. Dit immers zijn onmisbare elementen van het hoofdrekenen tot honderd. Daaraan moet zeker in de eerste drie klassen veelvuldig gewerkt worden. Wat de kinderen al geautomatiseerd hebben en wat nog niet, zal de leraar dienen te weten. Daaraan kan gewerkt worden met korte op memoriseren gerichte mondelinge oefeningen, maar bijvoorbeeld ook door spelen als ‘Ladder op en af’, en ‘Samen’ (zie Terzijde: Rekenspelen).
77

Het optellen en aftrekken tot twintig vraagt van de leerkracht een systematisch didactische aanpak. Wordt maar aangenomen dat de kinderen alle optellingen en aftrekkingen onder de twintig uit het hoofd kennen, waarbij sommige kinderen toch maar liever op de vingers blijven tellen? Of wordt uitgegaan van de vaardigheden waarover de kinderen al beschikken? Vanuit de principes van de reconstructiedidactiek kunnen de kinderen op die vaardigheden verder bouwen en deze uitbreiden. Het geeft ze een handreiking om handiger te rekenen dan door ‘alleen maar’ tellen.
Mogelijkheden, die ook elders in dit boek besproken worden, zijn:
-Het verdubbelen als een rekenvorm die de kinderen al ‘wisten’:

2 + 2 = 4
3 + 3 = 6
4 + 4 = 8

Daarop kan worden voortgebouwd met:

4 + 5 = 4 + 4 + 1 = 8 + 1 =9 
6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13

Maar ook door het werken met de vijfstructuur van het rekenrek leren de kinderen de structuur kennen van de getallen onder de twintig.

Rekenen in het leven van alle dag

Overal komen ons tegenwoordig getallen tegemoet: pincodes, telefoonnummers, sofinummers of ledennummers. En ook moderne apparaten laten ons voortdurend cijfers zien: de (wekker)radio, de videorecorder, de magnetron of de televisie. In de krant staan dagelijks tabellen en schema’s waarin bepaalde verhoudingen uitgedrukt worden. In het spraakgebruik zijn begrippen als procenten of decimale breuken al gemeengoed voordat de kinderen daar in de school mee geconfronteerd zijn.

Een praktijksituatie:

Kareltje kan zijn ouders niet meer vinden tussen al die mensen op het strand. “Hoe heet je, waar woon je, wat is je telefoonnummer of dat van de buren of weet je soms de postcode?” vraagt een vriendelijke strandwacht. Kareltje kijkt op zijn digitale horloge alsof dat uitkomst kan bieden. Daar verspringen steeds getallen, zou hij de structuren doorzien en weten waarom de voorste getallen na 24 en de achterste bij 60 opnieuw beginnen? “Zoek je al lang?” probeert de strandwacht nog een keer …
Ja, als kind moet je tegenwoordig al vroeg thuis zijn in de wereld van getallen. Maar je moet ze ook naar je hand kunnen zetten.
Thea heeft van opa voor haar verjaardag vijfentwintig euro gekregen. “Wat kan ze daar allemaal voor kopen”, vraagt ze zich af? Gelukkig, boodschappen doen en betalen heeft ze vaker gedaan. Van prijzen weet ze iets af, daardoor heeft ze enkele getallen in haar hoofd waaraan ze zich kan oriënteren. Ze schat een paar bedragen, maakt daar in gedachten een kaal sommetje mee, rondt daartoe
78

getallen handig af en overziet dat alles bij benadering binnen de grens van € 25,-blijtt. Thea boft dat ze niet in Italië woont, met die kleine lires rekenen kinderen daar met enorme bedragen. [het boek verscheen vóór de euro zin intrede deed]

Het leren van zulke vaardigheden behoort zeker tot het rekenonderwijs dat tegenwoordig nodig is. Het leidt tot een vorm van gecijferdheid, die verbonden is met het rekenen van alle dag, ontdaan van geheimzinnigheid, maar daarom nog niet van schoonheid of van het plezier erin.
Er zijn legio voorbeelden te vinden van alledaagse rekensituaties. Het was al een aanwijzing van Steiner om het rekenen van jonge kinderen aan te laten sluiten bij het praktische leven. Bij dit alledaagse rekenen hoort, dat rekenopgaven zich zelden mondeling of op schrift aandienen. Wanneer er bijvoorbeeld hoeveelheden geteld worden door de kinderen, zoals knikkers of kwartjes in een spaarpot, doet zich het rekenprobleem concreet aan de kinderen voor.
Zo kunnen, vanaf de eerste klas in kleine schetsjes op het bord, rekenopgaven gegeven worden:

79

Later kan ook op het bord geschreven worden:

De vraag aan de kinderen is nu: “Je mag nog vijf minuten spelen voor je aan tafel moet. Wat voor cijfers geeft de klok dan aan?”

Of: “Vader zegt: “Om kwart over gaan we weg.” Wat staat er dan op de klok?” Een kind weet dat wel:

“En hoeveel tijd heb je nu nog om naar de wc te gaan en je schoenen te zoeken?”

Zo zijn er overal voorbeelden te vinden, die aansluiten bij situaties die de kinderen kennen. Wie opgaven in zo’n context naar voren brengt, maakt werkelijk waar: ‘uitgaan van het leven van alle dag’.

Natuurlijk is er goed te putten uit hetgeen bijvoorbeeld in de heemkunde- of bouwperiode aan de orde kwam. En waarom ook niet de kinderen zelf dingen laten ‘berekenen’ voor een uitstapje, of een klassikale activiteit?

Het actief verkennen van de getallenwereld

Wie zich wil oriënteren in de getallenwereld, zal zich ook moeten kunnen bewegen in de getallenwereld. Het bewegingsonderwijs kan die ervaring aandragen:

De kinderen schatten het aantal stappen naar de overkant van het plein. Daarna wordt de afstand ook gelopen. Bij iedere tien stappen legt een kind een ‘tiental-merkteken’ neer. Langs deze route kunnen de kinderen zich nu gaan bewegen; van 30 naar 40; of ze doen: 60 en 30 erbij! Opdrachten kunnen in velerlei vorm, door de leraar of door een kind, gegeven worden. Zelfs binnen de ruimte van het tiental kan bewogen worden: 30 – 2 of 25 + 5. Opdrachten als 2 x 15 zijn in dit verband ook belangrijk.
Later wordt het stappen met tientallen op het bord getekend en proberen de kinderen de opdrachten ook uit het hoofd te doen.
80

• Nu kan ook de 100-ketting gebruikt worden, gemaakt van twee verschillende
kleuren kralen (uit een kralenzitting voor een autostoel) telkens om en om een
kleur voor een tiental. Met een wasknijper kunnen de posities op de ketting aangegeven worden. Voor minder snelle rekenaars is zo’n hulpmiddel een goede houvast, terwijl er toch een verband bestaat met de bewegingen die de kinderen zelf uitgevoerd hebben.

• Allerhande rekenverhalen, bijvoorbeeld naar aanleiding van de heemkunde kunnen aanleiding zijn om ook met getallen tot 100 te gaan rekenen. Hoeveel beukennootjes verzamelt een eekhoorn op een dag? En als hij een week lang verzamelt? Nu komt er een luie eekhoorn die uit de voorraad stiekem wat weghaalt; wat is er dan over, hoeveel moet… enzovoort.

Het verhaaltje mag niet belangrijker worden dan de rekenopgave. Want dan lopen dromerige kinderen de kans om zo in de situatie op te gaan, dat ze niet aan het rekenen toe komen. Rekenen, dat voor hen nu juist zo goed is.
Voor zulke dromers kan een ‘gedachtenstrook’ goede diensten bewijzen. Op zo’n strook – die de kinderen zelf kunnen maken – staan de getallen tot 100, in een mooie tientalkleur. Nu kunnen de kinderen bijvoorbeeld een steentje leggen bij het getal waar het rekenverhaal is.

• Op de tegels van het schoolplein wordt een ganzenbordspel getekend. In de hokjes staan opdrachten in sommetjesvorm, die aangeven hoe de kinderen langs het parcours moeten gaan. De klas wordt bijvoorbeeld in drie of vier groepen verdeeld, die elk mogen gooien, een kind als pion in het spel mogen brengen en de opgaven moeten uitrekenen om naar ‘het antwoord’ te lopen. Zoiets kan later ook in een klassikale versie worden gespeeld.

Reconstructie didactiek – de lege getallenlijn

In al deze situaties kunnen de notoire tellers ook meedoen. Het zal ze juist stimuleren om ook eens een grotere sprong te maken, dan sprongen van één. Een spel is dan ook geen extraatje, maar een wijze van rekenen die alledaagse activiteit verbindt met het rekenen. Een spel dat alleen gespeeld mag worden door kinderen die hun werk al af hebben, stigmatiseert een zwakke rekenaar: voor die leerling is rekenen alleen maar ploeteren.
Het probleem van zwakke rekenaars ligt vaak op het gebied van de concentratie, het onthouden en het memoriseren. Als voor hen het rekenen alleen bestaat uit het toepassen van regeltjes, wat ze telkens toch niet lukt, dan ontgaat ze de mogelijkheid om het rekenen te oefenen aan situaties van alle dag.

In het realistisch rekenen is het begrip ‘reconstructiedidaktiek’ geïntroduceerd.
Hierbij wordt steeds verder gebouwd op de kennis die al bij de kinderen aanwezig is. Deze kennis wordt aangepast, uitgebreid en verdiept. De aanpak wordt als volgt omschreven:

‘Zorg voor zoveel mogelijk parate betekenisvolle basiskennis, want die levert de kapstok waaraan gevorderd rekenwerk kan worden opgehangen. Maar … wat je vergeten bent, kun je zelf opnieuw maken. Laat je dan leiden door je gezond verstand en volg de aanwijzingen die in de aard van het probleem besloten liggen.
81

Organiseer en orden, wees steeds attent op regelmaat en structuur. Zoek interne en externe structuren van de gegeven getallen, vind hulp bij eenvoudige visuele modellen en weet dat er niet slechts één mogelijke (moeilijke) methode is, maar dat er diverse eenvoudige wegen naar de oplossing leiden.’

Een voorbeeld van zo’n eenvoudig visueel model is de lege getallenlijn. Voor het rekenen tot honderd is als voorbereiding de 100-kralenketting (zie blz. 81) heel geschikt. Een wasknijper, bij wijze van ruitertje, tussen de 26e en 27e kraal geeft aan dat er 26 kralen voor zitten. Verschillende wasknijpers kunnen vervolgens in verband gebracht worden met streepjes op de lege getallenlijn, die in plaats van de kralenketting getekend wordt.

Zo krijgt zelfs het streepje bij de nul betekenis: daarvóór zitten er geen kralen meer. Deze streepjesbenadering -vergelijk de hectometerpaaltjes langs de snelweg- blijkt de meest zinvolle invulling van de getallenlijn te zijn. Het is simpel en biedt mogelijkheden voor het globaal schatten van de hoeveelheid waar het om gaat. Het zelf vullen van de getallenlijn is onderdeel van het leerproces. Dat moet geoefend worden, zoals dat ook gebeurde met concrete stappen op het plein of in de klas.
De opdracht: “Ga eens van 27 naar 45 in sprongen”, sluit aan bij het vragen naar de ‘actieve’, naar de handeling in: “Wat moet ik bij 27 optellen om 45 te krijgen?” Aan de getallenlijn kunnen de kinderen zo het optellen en aftrekken oefenen. Daarbij wordt de lijn een soort kladblaadje, waarop men even aantekent wat men niet wil vergeten. Vooral de zwakke rekenaar is bij zulke geheugensteuntjes gebaat. Veel meer, dan bij het steeds maar tellen op de vingers. Allengs zullen de sprongen groter worden en wordt er meer uit het hoofd gerekend.

De opgave in de klas luidt: “We maken een fietstocht van 47 km, maar na 25 km zijn we al aardig moe en we rusten even. Hoeveel kilometer moeten we nog?”
Nu kan de getallenlijn als een stuk weg getekend worden. Bij de rustplek komt een streepje met 25 te staan; ook het eindpunt wordt zo gemarkeerd. Dan kan er gekeken worden naar de sprongen die zijn gemaakt, om de overgebleven kilometers te berekenen.

82

83

Wat voor sprongen worden er gemaakt door de kinderen?
• Kees springt eerst met een sprong van vijf naar 30, dan met sprongen van tien naar 50 en vervolgens met een sprongetje van drie terug naar 47. Hij telt eerst de sprongen bij elkaar: 25; dan nog 3 eraf, dat is 22.
• Job doet meteen 2 sprongen van tien tot hij bij 45 is en dan nog twee erbij; hij weet direct: ”22.”
• Annemieke springt in één keer naar 45, en weet dan het antwoord al direct.
• Peter maakt eerst sprongetjes van één, maar dat duurt wel erg lang en het past ook niet op de getallenlijn. Daarom maakt hij bij 37 opeens een hoge sprong naar 47. Hoe nu het antwoord te vinden met al die kleine boogjes? Hoeveel waren het er ook weer? De methode van Job lijkt hem wel. Iets om te onthouden voor de volgende keer!

De rij(g)methode

Hierbij is aan het eerste getal, dat heel gelaten wordt, het andere getal in stukken toegevoegd. Deze methode sluit aan bij de natuurlijke wijze van doortellen. Door verkorting op basis van de structuur van de getallen, komen de kinderen op een hoger rekenniveau. In bovenstaande voorbeelden werd dat duidelijk. Deze methode vormt een goed tegenwicht tegen cijfermatige oplossingen, volgens de traditionele manier met splitsen in tientallen en eenheden.
Een voorbeeld van een fout die bij de splitsmethode vaak gemaakt wordt:

47 – 26 = … Eerst de tientallen: 4 – 2 = 2, dan de eenheden: 7 – 6 = 1. Dan is het antwoord 12 …? Oh nee, 21!
Dat lijkt heel simpel, maar nu hetzelfde met 43 – 27 = … Bij de tientallen lukt 4 – 2 nog, maar doe dat eens met 3 – 7? Dan maar de kleinste van de grootste: 7 – 3 = 4; antwoord: 24.

De getallenlijn is geen foefje, dat de kinderen zo maar eventjes aangeleerd wordt. De getallenlijn ondersteunt een rekenaanpak, die zorgvuldig moet worden aangelegd. Daarbij moet de getallenlijn systematisch van een structuur worden voorzien. Stappen daarin kunnen zijn:
• Tekenen van bewegingen die langs de getallenlijn zijn gemaakt bij het bewegingsonderwijs.
• Tekenen van kralenkettingen, met telkens bijvoorbeeld vijf (of tien) kralen in één kleur.

84

Ook bij aftreksommen is de lege getallenlijn goed bruikbaar, mits de voorbereidingen -net als bij het optellen- maar bewegend geoefend worden. Als je dat op het bord weergeeft -je kunt zelfs de getallenlijn suggestief laten hellen- kun je gaan bekijken hoeveel je teruggesprongen bent. Dat kan verwarrend zijn, omdat bij het aftrekken nu opgeteld moet worden. Maar als de aftrekking zijn oorsprong vindt in een opgave als: “Een boek heeft 47 bladzijden en ik ben gekomen tot bladzijde 23, hoeveel bladzijden kan ik nu nog lezen?”, dan is het bijtellen (doorbladeren in het boek) een vanzelfsprekende zaak.
Ook nu blijkt weer het nut van de lege getallenlijn als kladblaadje, waarop je steeds ziet wat je doet. De vraagstelling moet eerst zijn: “Wat moet je van 47 afhalen om 24 over te houden”, waarbij naar de ‘actieve’ gevraagd wordt. Daarna pas de vraag: “Wat houd ik over als ik van 47 (kralen) er 23 (kralen) afhaal?” Mogelijke sprongvariaties:

Kolommethode

Een mooie vorm is het kolom-rekenen . Dat is géén hoofdcijfermanier, maar een methode om eenheden en tientallen apart bij elkaar te tellen. Op papier ziet dat er zo uit:

85

Bij al deze situaties wordt duidelijk: hoofdrekenen is uit het hoofd uitrekenen van opgaven, maar ook de instelling ten opzichte van het rekenen waarbij steeds gezocht wordt naar manieren om met een rekenprobleem om te gaan. De kinderen een kunstje leren dat ook door een zakrekenmachine kan worden gedaan, is makkelijk genoeg. Het doorzien van structuren, het jezelf kunnen terugvinden in de opgave, is zinvolle vrijeschooldidactiek.
Kees Boeke (‘De werkplaats’ in Bilthoven) zei eens tegen een jonge onderwijzer die een rekenles gaf: “Meneer, u gaat aan de kant van de som staan, maar gaat u nu eens aan de kant van de kinderen staan, en kijk samen hoe u zo’n opgave zou aanpakken”. Veel voorbeelden in dit boek kunnen met die blik bekeken worden.

Raden en schatten

Als het rekenen dicht bij het kind moet komen, is het raden en schatten een wezenlijke activiteit.
“Ik heb een getal in gedachten, dat groter dan 40 en kleiner dan 100 is”. Om beurten mogen de kinderen een getal zeggen.
Al snel wordt duidelijk wie zicht heeft op de structuur van de getallenrij. Vooral in lagere klassen wil raden nog wel eens betekenen dat de kinderen maar iets roepen om de ander te overtroeven. Als de leraar daar serieus op in gaat, ontstaat er juist geen inzicht bij de kinderen. In plaats van raden, zou je bij dit spel dan ook beter kunnen spreken van ‘benaderen’.

Een goede visuele ondersteuning van het benaderen kan zijn, als de tijdens het spelletje genoemde getallen op een lege getallenlijn worden aangegeven. Voor een kind is het een prachtige oefening, de ruimte om het bedachte getal heen kleiner en kleiner te zien worden. Natuurlijk mogen de kinderen ook wel eens een getal in gedachten nemen en natuurlijk mag de leerkracht ook wel eens laten zien hoe slim hij kan benaderen.

Schattend rekenen in de praktijk kan goed van pas komen.
“Pauline, haal eens vijf broden. Hier heb je een tientje, een brood kost € 1,95 … eh … heb je dan genoeg?” Als je hebt leren schatten zeg je: “Van € 1,95 maak ik even € 2,—; dat is dan 5 x 2 (2 x 5 euro), dat is ongeveer een tientje … iets meer of iets minder … we hadden naar boven afgerond, dus het getal is iets te groot: ja, het kan!”
86

Zo werkend komen vaardigheden aan bod als: herformuleren, vertalen en compenseren, die nodig zijn voor het schatten en daarbij verder ontwikkeld worden.

Voor het schatten moet je vaak terug kunnen vallen op hoeveelheden die een makkelijke referentie bieden. Voor veel mensen is dat de opbouw van ons geldstelsel. 20  x 5 eurocent in een euro; 10 x 10 eurocent in een euro; 5 van 20 eurocent. Enz.  Bijvoorbeeld bij de opgave:

37 x € 0,05    = 20 x 5  + 20 x 5 = 1 euro + 1 euro = 2 euro – 3 x 5 = 15: € 1,85

Ook maten zijn belangrijke referentiegetallen: drie keer zo groot als de kamer, dat kost zes weken zakgeld, wel drie voetbalvelden groot, ongeveer zo ver als van het station naar school.

Niet te vlug gaan cijferen

Onder de honderd – en iets daarboven- hoeft er niet gecijferd te worden. Je moet dat ook niet doen. Het maakt de kinderen afhankelijk van het ‘kunstje’, en verlegt de aandacht naar de afzonderlijke cijfers in het getal, waardoor de getallen niet meer in hun werkelijke waarde worden beleefd.

Het gebruik van een blaadje, als geheugensteuntje, is een belangrijke ondersteuning om het hoofdrekenen onder de knie te krijgen.

Als een kind een eigen, handige manier heeft, en bijvoorbeeld de opgave 83 – 37 uitrekent door te doen: 83 – 40 + 3 = 46, hoeft die methode geen plaats te maken voor de klassenmanier. Maar voor de kinderen die te weinig houvast hebben, geeft de ‘veilige’ manier juist zekerheid.

Af en toe een paar snelle hoofdrekensommetjes

Het voorgaande gaat er vanuit dat de kinderen in alle situaties – onder de honderd – uit het hoofd rekenen. Dat is een uitgangspunt, dat ten grondslag ligt aan een bewuste rekendidaktiek, die veel meer inhoudt dan af en toe wat hoofdrekenopgaven aan de kinderen voorleggen. Anderszins vinden de kinderen het meestal spannend, als ze hun kennis nu ook eens mogen laten blijken. Af en toe een kort moment hoofdrekenen heeft daarom zijn waarde.

Elke ochtend beginnen met een aantal korte hoofdrekenopgaven is zeker goed, om de kinderen wakker aan het rekenen te laten beginnen. Het is niet voldoende om het ‘rekenen uit het hoofd’ te oefenen. Dat moet een onderdeel van de dagelijkse rekenpraktijk zijn. Soms blijkt ook dat zo’n vast hoofdrekenmoment, iedere dag in hetzelfde deel van de les terugkomend, op den duur toch tegenzin bij de kinderen oproept.

Elke leraar zal opgaven kunnen bedenken die bruikbaar zijn. Als zulke hoofdrekenopgaven gegeven worden, dan moeten de kinderen horen of ze de opgaven goed gemaakt hebben. Voor de hand ligt het, om de kinderen op een blaadje de antwoorden te laten opschrijven en daarna de goede antwoorden te geven. Een bezwaar is echter, dat -zelfs als de som nog eens herhaald wordt- de kinderen al veel te ver verwijderd zijn van het rekenmoment: de antwoorden blijven lege getallen.
Veel beter kan -vooral in de lagere klassen- bij iedere opgave ook de rekenmanier(en) en het antwoord besproken worden.
87

In de tweede klas geeft meester soms een ‘kettingsom’ op. Dat is een doorlopende reeks opgaven, waarbij de kinderen de tussenantwoorden niet mogen zeggen: 4 + 4 = tel daar 2 bij op: vermenigvuldig dat getal met 5, dat is…: doe dat getal door de helft trek daar 7 af als je door 3 deelt, krijg je …
De leraar loopt snel door de klas en laat zich de antwoorden in het oor fluisteren. Al naar gelang het antwoord goed of fout is, geeft hij de kinderen een tikje op het hoofd of trekt hij aan hun neus. “Wanneer heb je het nu goed? Als je getikt wordt, of bij de neus genomen bent?” Dat weten de kinderen als meester zegt: “Alle kinderen die getikt zijn roepen het antwoord!” Dan klinkt pas: “zes!”
Maar daarmee is het nog niet gedaan, want aan een flegmatisch kind dat het antwoord verkeerd had, wordt nu gevraagd: “Wat was de opgave eigenlijk?” Voor een flegmaticus is het niet moeilijk dat te onthouden. Dat weet hij beter dan de snelle, sanguinische rekenaar, die de hele opgave al weer vergeten is. Als de opgave nog eens klinkt, roepen ook een paar langzame rekenaars van harte: “Oh, ja, nu heb ik het ook!” En aan het melancholische kind wordt gevraagd: “Waar ging het nu fout?” Dat blijkt bij het delen door 3 te zijn. “Dat gebeurde mij vroeger ook altijd”, zegt meester eerlijk en voor het melancholische kind zegt hij nog even: “Je moet gewoon denken aan 3 x 6 = 18, want dat weet je allang.” “Oh”, zegt het kind, “dan kan ik het ook!” Maar een paar andere kinderen roepen al: “Meester, nog een som, nog een som!”

3.2 De tafels

“Het vermenigvuldigen is nog maar net geïntroduceerd, of men brengt het kind er al toe zich de tafels als geheugenstof eigen te maken”, aldus Rudolf Steiner.

Inleiding

De tafels van vermenigvuldiging nemen in het rekenen op de vrijeschool een bijzondere plaats in. Het gaat namelijk niet alleen om rekenen, maar ook om geheugenvorming. Door het getallenritme dat aan tafels ten grondslag ligt, werkt het ritmisch oefenen ervan direct versterkend op het etherlichaam en draagt daarmee bij aan de grondslag van het geheugen.
In de eerste drie klassen wordt het wakkere (tijds)bewustzijn geleidelijk meer aangesproken. Het kinderlijke bewustzijn is er nog ingebed in het middengebied, het ritmische systeem, het is daarmee nog een ‘dromend’ bewustzijn. Dit bewustzijn stimuleren we door de tafels aanvankelijk geheel in te bedden in het ritmische bewegen. Daaruit wordt dan de ‘tafelleerstof’ gewekt en opgenomen in het meer op het wakkere denken stoelende (tijds)bewustzijn dat we vanaf de overgang naar het negende en tiende jaar steeds directer gaan aanspreken. Voortkomend uit het tellen en de basisbewerkingen ontwikkelt zich de leerstof rond vermenigvuldigen deels parallel aan de tafels van vermenigvuldiging en deels uit het ritmisch oefenen ervan. Van de relaties die zo ontstaan zal de leraar zich bewust moeten zijn.
De tafels van vermenigvuldiging hebben in het rekenen binnen drie gebieden een plaats.
Allereerst moet de relatie, die bestaat tussen de regelmaat van de tafelrijen en de ritmiek van het bewegen, genoemd worden. Bewegen en tafels zijn onlosmakelijk verbonden.
88

In de tweede plaats zijn de vermenigvuldigingsstructuren, die in het tafelrekenen frequent gebruikt worden, nauw verwant met kwaliteiten, zoals die in het rekenen van de eerste klas een belangrijke plaats hebben gekregen, (zie blz. 35)
En ten slotte biedt de studie van de tafels, onder andere door het ontdekken van structuren en ‘regelmatigheden’, de mogelijkheid iets van de schoonheid van de wiskunde te tonen. Kijk bijvoorbeeld op blz. 112, waar een tafelster is afgebeeld. En op blz. 93, waar de ritmiek van een bewegingsspel door leerlingen in beeld is gebracht.

Het vermenigvuldigen

Voor we hier het ‘tafelwerk’ in de klassen beschrijven, kijken we eerst naar de ontwikkeling die de bewerking vermenigvuldigen doormaakt. We beginnen met te bedenken wat vermenigvuldigen is. Met de wiskundige definitie ‘vermenigvuldigen is herhaald optellen’ wordt wel de kern geraakt, maar is men er didactisch nog niet uit. Waarschijnlijk kunnen we een vingerwijzing vinden bij rekenaars uit het verre verleden. In het oude Egypte werd bijvoorbeeld de deling 45 : 5 geformuleerd met de vraag: tel met 5 tot 45. Antwoord: 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Hoeveel stappen? Negen, dus 9 x 5 = 45 en 45 : 5 = 9. Ziehier hoe tellen, verkort tellen, vermenigvuldigen en delen op een natuurlijke wijze samenhangen. Wie goed kijkt ziet ook nog de tafel(rij) van 5 in het voorgaande.
Wat is vermenigvuldigen nu precies, was de vraag. Welnu, vermenigvuldigen is een bewerking die te beschouwen is als een verkorte telling.
Maar er is meer. Bepaalde vormen om ons heen nodigen uit tot handige, verkorte tellingen. Neem bijvoorbeeld het rechthoekige stippenpatroon hieronder (vraag: hoeveel stippen?)

Of het tegelplateau voor de school, of de raampjes in het venster, of de snijpunten van het rooster, of de eieren in een doos, of … Het zijn in feite allemaal vermenigvuldigstructuren. Tellen van de aantallen (stippen, tegels, raampjes, enzovoort) voert tot vermenigvuldigen.

De genoemde voorbeelden zijn allemaal van eenzelfde structuur, in feite gaat het om de (oppervlakte van een) rechthoek. Er zijn ook andere
vermenigvuldigstructuren. Neem bijvoorbeeld het boomdiagram, dat tot stand komt bij een telprobleem als het volgende:
Er zijn speelgoed bouwstenen in de aanbieding: witte, rode en gele stenen van twee formaten: grote en kleine. Uit hoeveel verschillende soorten kun je kiezen?

89

Hoe tel je? Of je nu de stenen erbij hebt, of niet, het tellen moet op basis van een goede organisatie gebeuren. Bijvoorbeeld: neem een wit blok, dan heb je twee mogelijkheden, wit-groot en wit-klein. Dat geldt ook voor rode blokken en gele. Dus drie keer twee. Of, iets simpeler: 2 + 2 + 2. En je kunt natuurlijk ook nog één voor één tellen: wit-groot, wit-klein, rood-groot, rood-klein, enzovoort. Dat laatste doe je eerder als je de echte blokken erbij hebt.
Dit is een didactische aanwijzing; wie de leerlingen van tellen tot vermenigvuldigen wil brengen en met concreet materiaal werkt, moet hen de stap laten maken van het tellen van elk ding afzonderlijk tot het tellen van groepjes. Bijvoorbeeld hoe vaak je een groepje van twee hebt. Daarbij worden ook de taalbegrippen één keer, twee maal, enzovoort gevormd. Wordt zonder concreet materiaal, dus meer voorstellend gewerkt, dan roept een structuur de bewerking ‘vermenigvuldigen’ op.

Een bijna zelfde structuur past bij het ‘muis-en-kaas probleem’: een muis kan naar de kaas toe op verschillende manieren. Op het eerste stuk van de route kan hij uit drie poortjes kiezen, op het tweede deel uit twee poortjes. Op hoeveel manieren kan de muis bij de kaas komen?

Van een ander karakter is de vermenigvuldigstructuur die met sprongen op de getallenlijn is uit te beelden:

Wie hier bij telt, zegt zoiets als een, twee, drie, vier, vijf, zes, … Of, in een ander ritme: twee, vier, zes, acht. Dit zelfde telwerk kun je verrichten bij het per twee tellen van de kralen aan het volgende snoer:

90

Deze structuur past bij bewegingen, die door regelmatige patronen en ritmiek worden begeleid. Hier doen de kinderen in de vrijeschool ongemerkt de eerste ervaringen op met de tafels.
De bovenstaande vermenigvuldigstructuren zijn niet voor niets gevisualiseerd. De kinderen doen dat ook, als ze hun ervaringen met tellen of bewegen volgens de ritmische tafelrijen op schrift mogen zetten. Bij die gevisualiseerde structuren kan later steun gezocht worden. Bijvoorbeeld om een rekenstrategie te zien of een eigenschap te onthouden.

Zie je hier niet gemakkelijk dat 4 x 8 hetzelfde is als 4 x 5 + 4 x 3?
En gebruik je die eigenschap niet als je het aantal raampjes snel wilt tellen: 20 plus 12, dat is 32. Oh ja, het zijn er 8 x 4!

Vermenigvuldigen volgt, zo opgevat, dus (rechtstreeks) uit het tellen. Als je dat standpunt inneemt, wordt het voorbereidend werk voor de tafels spannend en interessant. Bewegen en tellen! De weg via de herhaalde optelling, waarlangs de tafels stapje voor stapje worden opgebouwd en gememoriseerd, steekt daar saai bij af.

Er is nog meer van te zeggen. De aandacht voor vermenigvuldigstructuren is vergelijkbaar met de aandacht die in de eerste klas werd besteed aan ‘kwaliteiten’ (zie blz. 35). Toen was er de overtuiging dat getallen meer zijn dan (kale) representanten van (abstracte) hoeveelheden. Ze vertegenwoordigen bijvoorbeeld ook fraaie vormen in de natuur en vertellen een geschiedenis van het denken. Voor vermenigvuldigen geldt iets dergelijks. Het is niet alleen een rekenkundige bewerking met (kale) getallen, die precies één uitkomst heeft. Vermenigvuldigen vertegenwoordigt onder meer ritmische bewegingen, mooie patronen en structuren en is het gevolg van denkwerk bij lastige telproblemen.

Het gebied van het vermenigvuldigen is veel uitgestrekter dan dat van de tafels. Tafels ‘gaan’ van 1 x 1 tot 10 x 10 (of 12 x 12, daarover komen we nog te spreken). Eigenlijk is dit niet waar, tafels kun je zo lang laten doorlopen als je zelf wilt:

In het tweede boekje is een fout geslopen. Wie ziet de fout? Wie kan bedenken hoe die fout erin gekomen is?

91

Maar het deel van de tafels, dat we uit het hoofd moeten kennen, is begrensd. Waarom moeten kinderen zo’n 100 tafelproducten uit het hoofd leren? Het antwoord op die vraag is eenvoudig: de tafels zijn onmisbaar bij het hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen. Dit geldt overigens ook voor de optel- en aftrektafels tot twintig.
De bedoelde tafelkennis is gemakkelijk in kaart te brengen. Alle producten, die geleerd moeten worden, zijn in een 10 x 10 tabel onder te brengen:

In de loop van de derde klas, als de kinderen zich langzamerhand deze tafelkennis bewust, ‘wakker’ verworven hebben, kunnen ze de tabel gebruiken om hun eigen vorderingen bij te houden. Het was in de tweede klas al opgevallen dat dezelfde producten twee keer voorkomen. Eigenlijk hoef je maar de helft te weten, immers 5 x 9 = 45, en ook 9 x 5 = 45.
Iets minder voor de hand liggend: 3 x 8 = 24, en ook 6 x 4 = 24 (verdubbel en halveer). En kijk eens naar de laatste kolom, de tafel van 10. Daar valt niet veel aan te ‘leren’. Hoe zit dat met de voorlaatste kolom, de tafel van 9? Hoe kom je bijvoorbeeld aan 7×9, dat lastig te onthouden product? Dan kijk je in de tafel van 7, naar 10 x 7 = 70. Je ziet dat 9 x 7, één stapje van 7 minder is dan 70: dus 63.

Met de laatste beschouwingen is veel meer naar voren gekomen dan kale tafelproducten. De relaties tussen de tafels werden er zichtbaar. Ook die relaties dienen deel uit te maken van de tafelkennis. Dat betekent dat bovenstaande tabel eigenlijk niet een juist beeld geeft. Tafelkennis moet meer gezien worden als een netwerk (zie blz. 96) van vermenigvuldigingen, dat op allerlei manieren samenhangt.

In de tweede klas, de tafelklas van oudsher, wordt vooral gewerkt aan het inbedden van de tafels in het ritmische geheugen. Later in het jaar zal de tafelkennis hieruit steeds vaker gewekt worden. Dat betekent dat we de kinderen ook producten laten reconstrueren. Daarmee bedoelen we dat ze nog niet gememoriseerde tafelproducten (handig) uitrekenen op basis van tafelproducten, die ze wel al kennen.
92

Kinderen in de derde klas kunnen hun eigen tafelnetwerken maken, soms in kleine groepjes, als eigen producties. Het geeft een goede mogelijkheid om de kennis nog eens op te halen en aandacht te besteden aan de verschillende manieren, waarop de relaties tussen de producten (vermenigvuldigingen) tot stand kunnen worden gebracht.
Door onderzoek is gebleken dat kinderen, die op de oude manier de tafels leerden, spontaan dit soort rekenstrategieën uitvonden. Helaas werd er meestal geen aandacht aan besteed, en ging de meerwaarde voor hoofd- en schattend rekenen weer verloren.
Dit werken aan rekenstrategieën doen we onder andere door de kinderen daartoe uit te dagen, via geschikt gekozen opgaven (wat voor het ene kind reeds parate kennis is, levert voor het andere kind nog geschikte rekenstof op!), en ze vervolgens aan het woord te laten over hun oplossingsmethode. Natuurlijk met de opdracht aan de anderen om goed te luisteren en zo mogelijk de eigen oplossing er naast te zetten of aan te prijzen. Zoiets wordt ook mooi op schrift gezet, met gebruikmaking van de vermenigvuldigstructuren, die hierboven genoemd zijn. Het sluit aan bij het gewone rekenwerk. Daar komen ook af en toe de toepassingen onder de aandacht (zie H 2.5).

Van beweging naar voorstelling

Na de tel- en de strategie-ingang tot het vermenigvuldigen en de tafels, komt nu het bewegen aan bod.
We kunnen in het leren van de tafels vijf fasen onderscheiden.
Eerst brengen we de kinderen in de beweging tot de beleving van de telrij, de tafelrij en de tafelproductrij. Hoe gaat dat in zijn werk? De volwassene kan zich van te voren een handeling die hij gaat verrichten voorstellen. Het kind gaat de omgekeerde weg. Het zal de rij eerst levendig moeten ervaren voordat het zich deze beleving als voorstelling bewust kan maken.

Een paar dagen geleden, na die heftige herfststorm, hadden we in de laan achter de school eikels geraapt. Ik had ze ook al gebruikt tijdens de rekenles. Ze zijn een beetje groter dan bonen en je hebt er al snel heel wat bij elkaar. Ik had verteld
over kabouters die zo wijs waren dat ze ook goed konden rekenen. En ik had dat gedemonstreerd met Jacobus, onze lappenkabouter, die altijd alles wist wat er in de klas gebeurde. Hij bleek samen met mij verrassend goed te kunnen rekenen. Vandaag vertelde ik over kabouters die in het bos eikels verzamelden om ze aan de dieren, in de winter, te kunnen uitdelen. Hele manden vol verzamelden ze en deelden die dan later weer uit.

93

94

Dat speelden we na. In een lange slinger liepen we door de klas. Steeds deed ieder een greep in de denkbeeldige tas die hij droeg en deelde vervolgens drie denkbeeldige eikeltjes in het rond. Daarbij werd steeds gezegd: ei – kel – tje, ei – kel – tje, ei – kel- tje. Waarbij na ‘tje’ weer een nieuw greep in de tas gedaan werd. Zo ontstond als vanzelf in een gebaar het ritme van twee korte, gevolgd door één lange. Maar dan ga je ook tellen hoeveel eikeltjes de kabouter uitdeelt en met dezelfde gebaren tel je:1I 2 3 4 5 6 7 8 9 … Dat kun je ook lopen met telkens drie stapjes: kort, kort, lang; kort, kort, lang, enzovoort.

Zo zorgde ik ervoor dat de kinderen zich betrokken konden voelen bij de oefening van de ‘telrij van 3’.
In de volgende dagen legde ik tijdens de activiteit steeds meer de nadruk op de concentratie. De kinderen ervoeren dat er met de oefening een appel op hen gedaan werd: “Maaike, misschien vind jij tellen niet zo moeilijk, maar vinden je voeten dat ook? Houd ze in de gaten, die stappers, want voor je het weet tellen ze verkeerd!”. Nu komt het er op aan dat er precies gelijk begonnen wordt, met dezelfde voet, dat er in het juiste ritme gelopen wordt en dat we precies gelijk eindigen, met de goede voet!

Je zoekt bij dit ritmische tellen naar passende bewegingsvormen, waarin nog iets van kwaliteit van de getallen beleefbaar is. Maar je zorgt er ook voor dat de beweging exact is, zodat het kind greep krijgt op de krachten die je met het bewegen wilt vrijmaken. Al weet je dat dit proces in de eerste klas nog grotendeels ‘dromend’ verloopt, binnen het met de natuurlijke beweging en de spraak verbonden ritmische bewustzijn.
Dat geldt ook nog bij het aanleggen van de tafelrij zelf: 3, 6, 9, … die uit de telrij voortkomt wanneer de overige getallen, eerst alleen in gedachten en vervolgens helemaal niet meer, gezegd worden. De tafelrij nu hardop zeggen, ook in omgekeerde volgorde en met een sprongetje erbij, brengt het wakkere bewustzijn al iets nader. Voor dit bewustzijn geldt: Je beheerst iets pas echt wanneer je het ‘heen en terug’ kunt doen. Omstreeks de tweede klas oefenen we de
tafelproductrij. Dat is een rij waarbij ook het aantal ‘keren’ genoemd wordt. Dat is al veel abstracter. Het is de x-tafel in zijn traditionele vorm: 3 = 1 x 3 en 1 x 3 = 3 enzovoort. De bewegingen die daarbij als steun dienen, hebben vaak het volgende karakter:

3                  klap
=                  armen in = houding
1                   handen op de schouders
x                   onderarmen kruisen
3                   klap
95

Toch draagt al dit klappen, stampen, lopen en springen het gevaar in zich, dat niet meer bereikt wordt dan een begriploos kennen van een liedje.
In de volgende (tweede) fase gaat het juist om het bewustmaken van dat, wat door middel van het bewegen beleefd kan worden. Dat kan op verschillende manieren. Bijvoorbeeld door in de beweging deze te doorbreken.

“Kinderen, we springen nu met de ‘rij van drie’ over de beek, van de ene steen op de andere Toen we voorbij 18 waren riep ik ineens: “Stil, een vis. Nu vier heel voorzichtige passen tot de overkant, anders zwemt hij weg. Ik wil ook niets horen. Pas als we daar met de vierde pas aankomen spreken we luid verder. Ik ben benieuwd wie dan het juiste getal nog weet.” En toen gingen we, in vier grote passen. Daar klonk ook al luid en duidelijk: 30!
Niet alleen in de onderbreking van de beweging, ook in allerlei toepassingen kan aan het gewone bewustzijn geappelleerd worden.
“Merian, Gerben, Indra en Elja, steken jullie eens ieder één hand in de lucht.”… “Wie nu weet hoeveel vingers er in de lucht gestoken zijn, gaat staan! Corrie, jij mag het zeggen. (… 20 …). En jij Peter wat dacht jij? (… 20 …). En jij …? Goed zo, want 4 keer 5 is 20. Nu nog eens allemaal zodat we het niet vergeten: 4 keer …”
Zo, in het vlugge staan had ik meteen gezien wie dit nu door hadden.

In de hierop volgende (derde) fase gaat het om te beschouwen wat bewustgemaakt is. Vermenigvuldigen wordt nader verkend in concrete situaties. Er wordt bijvoorbeeld kat en muis gespeeld. Er worden daarbij ook vermenigvuldigstructuren afgelezen aan de realiteit en op meer schematisch niveau onderzocht.

Ik liet mijn kinderen in de derde klas hun eigen tafelnetwerken maken als eigen producties. Soms deden ze dat in kleine groepjes.
“6 x 7. Wie weet dat ? … Het zit maar één stap van 5 x 7. Dat is de helft van ? …(10 x 7), dus van …(70), dat is …(35). Nu vind ik 6 x 7 door 35 + …(7) dus …(42).” Samen stelden we het netwerk op …

Een uitvoerig tafelnetwerk kwam er dan bijvoorbeeld zo uit te zien:

96

De kinderen leren ook welke situaties aanleiding geven tot vermenigvuldigen.

De bewustmaking vindt natuurlijk ook plaats in het schriftelijk werk. Een individuele leerling kan niet iets doen als hij niet weet wat er gebeuren moet. Dat kan in een groep wel, als een ander van de groep het weet.
Bij dit alles wordt tafelkennis opgebouwd. De toepassingssituaties worden in het hoofdrekenen niet weggelaten en vermenigvuldigstructuren kunnen een modelfunctie krijgen. Ook nieuwe tafel(product)rijen worden, vaak op basis van oude tafelrijen, geleerd.
Er worden al verschillende tafelproducten in de loop van de tweede klas 
gememoriseerd.

De nu volgende (vierde) fase is te karakteriseren als: Memoriseren en automatiseren van hetgeen bewust gemaakt is. Nu gaat het om gericht oefenen. Er mag bij het memoriseren van tafelproducten ook gerekend worden; daarbij valt te denken aan het voorbeeld dat hiervoor met 6 x 7 is getoond. Er wordt nu gericht geoefend, met bewustzijn voor wat nog niet gekend wordt. Daarbij kunnen leerlingen elkaar ook individueel helpen; samen moeten ze het door oefenen zover brengen. Daarmee wordt het rekenen ook een sociale aangelegenheid.

Ik werkte nu met tennisballen; bij het vangen is daar meer bewustzijn voor nodig dan met pittenzakjes. Ik gaf een rekenopdracht, wachtte even en wierp vervolgens de bal naar een van de leerlingen, die hem direct, onder het uitspreken van het juiste antwoord, terug moest gooien. Daarbij lette ik erop mijn vragen zo te stellen dat de betreffende leerling het juiste antwoord ook geven kon. Als je zoiets niet al weet uit je kennis over die leerling, kun je het vaak aflezen aan de oogopslag.
Door dat zo te doen voorkom je dat de andere leerlingen zich bij dit ‘zakjes- of balrekenen’ verkeerde (maar gehoorde) antwoorden inprenten. Door de handeling van het terugwerpen samen te laten gaan met het uitspreken van het antwoord, wordt het automatiseren ai subtiel voorbereid. Ik stelde daarbij mijn vragen vaak zo, dat er impliciet rekenstrategieën aan ten grondslag lagen (zie blz. 66).
Ik werkte ook met de ‘Keersom van de week’. Dat is een lastige tafelsom, bijvoorbeeld 56 = 7 x 8, die al voor het begin van de les groot en mooi op een van de borden stond. Nadat we het bewegende deel van de les afgesloten hadden en de som door het inmiddels opengeklapte bord al lang niet meer zichtbaar was, vroeg ik: “Wie heeft gezien welke som hier opgeschreven was? … Het is een lastige som uit de tafel van 8 … En ook een lastige uit de tafel van 7… Wat kan het zijn?” Hadden ze hem gevonden, of wist iemand het nog, dan werd het bord teruggedraaid.
97

Er werd vervolgens, met enige bombarie, een (deel van) tafelnetwerk toegevoegd. Het bord bleef nog een tijdje open staan, zodat iedereen er goed naar kon kijken. Aan het eind van de les spraken we er nog een keer over. De volgende morgen stond het er nog steeds. Weer praatten we erover en plechtig veegde ik de som uit. “Ik ben benieuwd wie straks nog weet wat daar stond!” Later worden de plekken van de verschillende keersommen van de week nog eens aangewezen. ”Wie weet wat er hier achter op het bord staat?… En hier?… En in deze hoek hadden we hem uitgeveegd, wat stond daar?… En op deze plaats?… Met welke som waren we begonnen?…” Tenslotte klapte ik het bord weer open en we verheugden ons over de goed gegeven antwoorden. Zo’n ceremonie werd dagelijks opgevoerd. Hoe specialer ik het wist te maken, des te beter zoiets bleef hangen. Na elke dag stond er minder op het bord. Na een paar dagen stond er zelfs helemaal niets meer. Toch werd de ceremonie nog gehouden. “Wie weet wat hier stond?… En daar?”
Ik deed dit in de derde klas om het geheugen aan te spreken.

Memoriseren onderscheidt zich van automatiseren, waar het uiteindelijk om gaat, doordat bij memoriseren nog gerekend kan worden, terwijl het bij automatiseren, naast het inprenten van feiten, vooral gaat om greep te krijgen op wat reeds in het ritmische geheugen verankerd is. Daaraan draagt het leren van de tafels bij door de vorming van het tijdsgeheugen. Het kind zal tenslotte vrij kunnen beschikken over een relatienetwerk van rekenfeiten. Het kan dit naar eigen willekeur ‘oproepen’ en bij rekenproblemen praktisch, in gedachten handelend, gebruiken. Daarmee openbaart zich dan de wil in het denken. Deze ontwikkeling is nodig. Het kind zal later beter in staat zijn bewust (vanuit zijn Ik) richting te geven aan zijn voorstellingen en handelingen. Je leert het als het ware uit te groeien boven gevoelens van sympathie en antipathie, die vooral vanuit de ziel associërend het voorstellingsleven sturen.

Op het bord had ik drie keer, kris kras door elkaar, de getallen uit de tafelrij van 6 opgeschreven. Welke groep, die bij het raam, die aan de deurkant of die uit de middelste rij, zou als eerste in de goede volgorde zijn tafel op het bord uitgeveegd hebben? Je mag pas naar voren komen als degene voor jou het juiste getal gewist heeft.
Steiner geeft deze oefening speciaal voor flegmatici. Een cholericus wordt in de volgende oefening aangesproken:
De klas was in een rij opgesteld. Kay stond er met zijn korte gedrongen gestalte voor. De leerlingen waren bezig een tafelproductrij te zeggen. Steeds als een tafelgetal klonk deed de klas een stap vooruit en Kay twee stappen achteruit. Maar na elk tafelproduct noemde Kay een verkeerd getal als afleider van het volgende product en deed daarbij zelf een stap vooruit. De anderen moesten nu eerst dit getal herhalen voor ze het volgende tafelproduct uitspraken. Maakte ook maar één kind een vergissing dan moest de hele klas een stap terug doen.

Ik werkte ook met flitskaarten. Dat zijn kaarten op briefkaartformaat, met aan de ene kant de opgave en aan de andere kant het antwoord. Ik stak zo’n kaart even in de lucht. Zo kort dat er niet gerekend kon worden. Daarna moest meteen het antwoord paraat zijn en opgeschreven worden.
98

Zwakke rekenaars gaf ik zo’n stapeltje kaarten op hun bank. Terwijl ik tijdens het schriftelijke werk in de klas rondliep, oefende ik met een van die kinderen even individueel. Nu eens begon ik met het antwoord, dan weer met de opgave. Ik zorgde ervoor dat het stapeltje dun was en haalde de kaarten weg zodra het kind de antwoorden kende. Zo merkte het dat oefenen resultaat oplevert.

Ten slotte is er de (vijfde) fase van consolideren en beschikbaar houden. Rekenen is een vak dat middels het bewegingsorganisme van de mens gewekt en ontwikkeld wordt. Evenals voor het bewegingssysteem van de mens geldt: ‘wat niet geoefend wordt, gaat weer verloren’. Daarom duurt deze fase tot het eind van de schooltijd. De vastgelegde kennis moet onderhouden (ook de bronnen van inzicht, die van de tafelkennis een infrastructuur maken, mogen niet opdrogen!) en regelmatig aangesproken worden. Dit laatste vooral ook in toepassingssituaties, die van rekenkundige en ook van realistische aard kunnen zijn.

Het is duidelijk dat voornoemde vijf fasen wel te onderscheiden zijn, maar tijdens het onderwijs niet gescheiden worden. Het komt zelfs veelvuldig voor dat tijdens eenzelfde lesonderdeel de ene leerling zich in een andere fase bevindt dan zijn buurman of buurvrouw.

Het is belangrijk dat we ons realiseren welke mogelijkheden we hebben om de kinderen met de tafels in aanraking te brengen.
We lopen daarom het tafelrekenen nog eens na zoals het zich in de verschillende klassen manifesteert.

De praktijk in de eerste klas

Het rekenen in de eerste klas staat nog in het teken van het beleven van de ‘kwaliteiten’ van getallen, structuren en reeksen. Daarbij komen natuurlijk ook aspecten van het tafelrekenen aan de orde, omdat deze nu eenmaal binnen dit geheel hun plaats hebben. Ze worden echter nog niet als een afzonderlijk onderdeel van het rekenen behandeld. Nog neemt het structureren, het leren kennen van reeksen (waaronder tafelrijen) en het rekenen tot 20 (24), de belangrijkste plaats in.

HET BELEVEN VAN DE TAFELS (RIJEN)

Lopen van ritmes

Het accentueren van twee- en drieritmes in de getallenrij behoort tot de ‘grondoefeningen’ in de eerste klas. Toch is het eigenlijk niet zo vanzelfsprekend voor kinderen om een getallenrij te lopen in het ritme 1 2 3 4 5 6 … Men moet dit klappen of lopen op een ritme eerst voorbereiden. Laat de kinderen eerst lopen in het herhaalde ritme van 1 2 1 2 1 2… en 1 2 3 1 2 3 1 2 3… alvorens je de hele rij gaat lopen. Al eerder, ook buiten het rekenen, kunnen de kinderen een ritme oefenen door lopen of klappen. Daartoe zijn gedichtjes en versjes in een vast ritme zeer geschikt. In de eerste rekenperiode kan men dus vruchten plukken van de ritmische oefeningen uit de (meestal) voorafgaande taalperiode.
99

Hoe geef je het lopen van een ritme zo vorm dat de kinderen het bewegen niet beleven als versiering, en ze zich erbij betrokken voelen?
Allereerst door uit te gaan van een beeld, zoals dat bijvoorbeeld beschreven is in hoofdstuk 2 over het rekenen in de eerste klas. Een boertje loopt op een slof en een klomp 1 2 1 2 1 2 … en later gaat hij lopen 1 2 3 4 5 6

Het lopen van karakteristieke vormen

Bij het bewegen op de getallenrij is het van belang dat de oefeningen ook ruimtelijk worden uitgevoerd. Daarmee ondersteun je de ervaring dat de getallenrij een voortgaande reeks is. Het handigste is wanneer er een zaal ter beschikking staat. De rijen kun je heen en terug lopen. Dat hoeft niet altijd achterwaarts te gebeuren; wanneer de kinderen in een rij lopen, is het veel praktischer om ze ook terug gewoon vooruit te laten lopen; dat voorkomt veel onrust en gebots. Wanneer een oefening zo gedaan wordt dat de kinderen vrije ruimte achter zich hebben zoals bij oefeningen in een kring, waarbij naar het middelpunt toe bewogen wordt, of bij het lopen in een frontale rij, is het voor- en achteruit lopen juist wél zinnig. Het werkt namelijk incarnerend.

Nu enkele voorbeelden van zulke ruimtelijke vormen:

Met de 1-2-rij: de kinderen staan in de kring en zijn om en om kabouter en elf. De kabouters blijven eerst staan en tellen, de elven lopen daarbij in twee stappen in een boogje naar voren om een elfje heen. Terugtellend bewegen de kabouters en tellen de elfen.

Met de 1-2-3-rij:de kinderen gaan in de vorm van driehoeken staan (ook de kring-vorm is mogelijk) en zijn genummerd 1, 2 en 3. Nu loopt -al tellend- 1 naar 2, 2 naar 3 en 3 naar de lege plaats.
Deze vorm is ook te doen in één beweging, waarbij alle kinderen tegelijk gaan
lopen.
Zo zijn er voor andere rijen ook legio vormen te bedenken. Maar pas op voor al te gekunstelde opdrachten bij de bewegingsvormen. Even bij de leerkracht euritmie te rade gaan, kan heel zinvol zijn, vooral als in de euritmieles de vormprincipes al voorbereid kunnen worden.
100

TELACTIVITEITEN 

Pittenzakjes 

Met pittenzakjes op het 1-2-ritme, het zakje van de ene in de andere hand pakken.
Ook door het zakje van de ene in de andere hand te laten vallen, of het overpakken voor en achter het lichaam te doen.
Met het 1-2-3-ritme het zakje voor het lichaam op 1 en 2 van de ene hand in de andere doorgeven en op 3 achter doorgeven. Zo ook vormen met 4 en 5.

Tennisballen

Tellen met een tennisbal door hem, individueel of in tweetallen, op de grond te stuiteren.

Klautervormen

(vanaf de drie-rij) bijvoorbeeld:

• 1: één been op de stoel
• 2: twee benen op de stoel
• 3: sprong op de grond.

Tellen met sprongen

Zoals onder andere gebeurt bij het tellen van kralen aan een ketting. Als het patroon daartoe aanleiding geeft, helpt deze handeling het één voor één tellen los te laten. Vooral als de ketting klaar is -met knoopjes aan de uiteinden- en de kinderen de hoeveelheden schuivend kunnen tellen.
Er zijn verschillende mogelijkheden: Het rijgen van slingers met echte kralen, bijvoorbeeld om en om drie rode en drie gele. Het rijgen van gelegenheidskettingen met bijvoorbeeld rozijnen en stukjes gedroogde appel enzovoort, bij feesten als Palmpasen. Het ‘rijgen’ zonder draad: de kinderen leggen bijvoorbeeld om en om vier witte bonen en vier bruine bonen neer. In deze losse vorm moeten de kinderen nog bewuster de aparte groepjes verschuiven; het tendeert naar grote hoeveelheden tellen via groepjes.

OP WEG NAAR BEWUSTMAKING VAN DE ERVARING

Allereerst is het belangrijk dat, waar mogelijk, de bewegingsvormen ook hun neerslag op papier krijgen. Uiteraard is daarbij de volgorde: eerst doen, dan pas tekenen. Een bewegingsactiviteit wordt eerst enkele dagen gedaan, alvorens er wat op papier komt. Het gaat er dan om dat de kinderen op een of andere manier de beweging tekenen. Dat kan heel concreet doordat ze tekenen wat ze geteld of gedaan hebben. Het wordt wat schematischer als bijvoorbeeld de getallen langs een getekende ketting, een snoer of een weg worden gezet.
Door op die manier verbanden tussen verschillende lesonderdelen te leggen, leren de kinderen de bewegingsoefeningen ook als betekenisvol ervaren. Voorbeelden:

Het representeren (= tekenen) van ritmes langs de getallenlijn

Eerst, met name als de kinderen nog geen Arabische cijfers schrijven, meer door gewoon te tekenen wat ervaren is, dan door de cijfers erbij te zetten.
101

102

Kralensnoer 

Het representeren van kralenrijgen (tekenen, na ze eerst gelegd of geregen te hebben, later ook zonder concrete vooroefening) in het schrift.
De opdracht zou kunnen zijn: Teken een ketting met telkens rood, wit, groen, geel. Schrijf steeds onder de volgende rode kraal hoeveel kralen je tot dan toe geregen hebt. Of: Teken een kralenketting van telkens zes gelijke kralen en gebruik 48 kralen.
Bij alles wat de kinderen zo in kaart brengen, is het van belang dat de regelmaat ook verwoord wordt, bijvoorbeeld: “Aan mijn ketting zitten 3-6-9-12-15-18 kralen”. Daarbij zijn de kinderen zich al tekenend steeds bewust van: “Wat ik nu teken, hebben we ook gedaan.”

Hier past weer een opmerking over de getallenlijn, die een schematisch beeld geeft van de getallenrij. Het is als het ware een representatie van de getallen, geordend naar grootte. Daarmee wordt het mogelijk ook bepaalde ritmes te representeren, omdat ritmes gebaseerd zijn op regelmatige patronen in de rij.
In de loop van de eerste klas kan de getallenlijn (tot 10, 20 en later tot 100) heel goed geïntroduceerd worden als tekening, van wat in de beweging gedaan is.

 

Zo’n getallenlijn kan een tijdlang achterin de klas als waslijn aanwezig zijn. De getallen zijn op A-4’tjes getekend en die zijn met wasknijpers opgehangen. Kinderen mogen hun mooiste getal ophangen. Als je dat mag doen, heb je je getal natuurlijk erg mooi ‘getekend’. Zoiets kun je leuk doen wanneer je van de Romeinse cijfers overstapt op de Arabische. Daarmee wordt de getallenlijn een vertrouwd gegeven, waarvan ook gebruik kan worden gemaakt bij het optellen en aftrekken (zie blz. 55).

Tot nu toe hebben we de kinderen telrijstructuren laten beleven, door ze expliciet aan te bieden: loop eens zo, teken eens zus, enzovoort. Nu gaan we de kinderen actiever betrekken bij het waarnemen en hen leren om zelf structuur aan te brengen.

“Kinderen, teken op je papier eens de blaadjes die van een boom dwarrelen. Ga maar door, tot ik ‘stop’ zeg.” De kinderen tekenen. Als ieder kind er tenminste een dertigtal heeft, moeten ze ophouden. “Kinderen, weet je wat je nu hebt? De foto die de boswachter maakte in het bos. Maar in plaats van bomen ziet hij alleen maar blaadjes. En hij denkt, hoeveel zouden dat er zijn? Hij pakt zijn potloodje en neemt er telkens …?” Enkele kinderen roepen getallen. “Voor deze keer nemen we: ‘zes bij elkaar’; en let op, als je ze bij elkaar zoekt, moet je de groepjes mooi laten aansluiten, …” Dan ontstaat de tekening, die door een van de kinderen ook als voorbeeld op het bord gemaakt mag worden.
103

“Nu tellen we hoeveel je er hebt. Tel je groepjes maar.” Al tellend vinden de kinderen hoeveel groepjes van zes ze hebben en klassikaal wordt geteld: 6, 12, 18, 24, …Kinderen onthoud welk getal bij jouw tekening hoort!’

Kastanjes

De zelf gevonden kastanjes of eikels geven mogelijkheden om te werken met gehelen (gestructureerde aantallen) en delen daarvan: “Leg eens tien eikels in twee gelijke groepen:”

Bedenk dat zo’n opdracht anders wordt, als er een bepaalde zin aan wordt gegeven. Dus je ordent de eikels niet alleen omdat de leraar dat zegt, maar bijvoorbeeld ook omdat je dan handig kunt tellen. “Leg die eikels zo neer, dat je buurman in één oogopslag kan zeggen hoeveel het er zijn”, luidt dan de opdracht.
Het inbouwen van een conflictje leidt tot een reflectief moment, omdat de kinderen dan even stilstaan bij het nieuwe probleem. Bijvoorbeeld: “Leg die tien eikels in drie gelijke groepen.”

De klas ombouwen

Het verdelen van kinderen, bijvoorbeeld over een aantal groepjes, hoeft niet op een werkblad uitgetekend te worden. Af en toe zijn er prima gelegenheden om dat eens te oefenen, als bijvoorbeeld de klas moet worden omgebouwd voor een feest. “Kinderen kom met je stoeltje voor de klas staan.” Dan worden de tafels in feestopstelling gezet. Een kind mag nu de kinderen met stoeltjes over de tafels verdelen. “Aan elke tafel drie kinderen.”
De volgende dag kun je tekenen, wat er de dag tevoren verdeeld is. In plaats van stoelen, kun je wellicht beter kinderen laten tekenen, want dat spreekt natuurlijk veel meer aan.
104

Zonnepitten in pootpotjes

Geef de kinderen een vel waarop 6 x 8 hokjes getekend staan (of laat ze het zelf tekenen). Eventueel op het bord uit te voeren. Nu krijgt ieder kind 34 boontjes. “Een bloemist stopt zonnebloempitten in een broeikasje, waarin 48 (6 x 8) pootpotjes zitten. Jouw boontjes zijn de zonnepitten. Ga maar verdelen, maar wel aaneengesloten leggen.” Vragen:
• “Hoeveel boontjes heb je uitgelegd?”
• “Hoeveel moet je er nog bijhalen om het broeikasje vol te maken?”
• “Hoe is jouw ‘telsom’?”

Tellen van grote hoeveelheden

Je geeft de kinderen een flinke, willekeurige hoeveelheid boontjes en laat ze die bijvoorbeeld makkelijk tellen in tweetallen of drietallen, door ze in groepjes te verplaatsen.
De gevonden verdeling natekenen in het schrift, en wie dat kan mag (op een later moment in de eerste klas) er ‘telsommen’ bij schrijven, bijvoorbeeld: 40 = 10 x 4 of 40 = 20 x 2 of 40 = 4 x 10 of iets dergelijks.

Hopelijk heeft iedereen tot nu toe voldoende inspiratie en inzicht gekregen bij het kennisnemen van de bovenstaande voorstellen en voorbeelden. Hier volgt nog een drietal opmerkingen:

Eigen producties van kinderen

“Bedenk zelf zulke sommetjes en teken ze” nodigt uit tot denkwerk en een reflectie op het eigen leerproces. De eigen bedenksels kunnen op tekenvellen gemaakt worden. Daarna houden we een ‘tentoonstelling’. De klas mag nu zeggen welk sommetje bij welke tekening hoort. Zulke vormen van ‘hoofdrekenen’ maakt het oefenen met gekopieerde werkbladen overbodig.

Differentiatie

De niveaus van de kinderen kunnen al direct behoorlijk uit elkaar liggen. Kinderen komen met verschillende bagage de eerste klas binnen, daarnaast pakken sommigen nu eenmaal de dingen sneller op dan anderen. Wordt het rekenen in de eerste klas alleen klassikaal en frontaal gegeven, dan gaan de vlugge leerlingen zich snel vervelen. Hun inzicht wordt mondjesmaat gehonoreerd, steeds moeten ze weer terug naar het niveau dat ze al overstegen zijn.
Bij eigen producties kun je de snelle leerlingen ook iets moeilijkers te doen geven: laat ze eerst de klassikale opgave maken en zeg dan bijvoorbeeld: “Je hebt in jouw tekening nu 24 bloemen in bosjes van 4 verdeeld, kun je het nu ook met 28 bloemen? Kun je dat ook als een ‘sommetje’ opschrijven?” Voor kinderen, die de structuren in één keer overzien, kan het ontmoedigend zijn, steeds weer bloemetjes te moeten tekenen. Zij tekenen bijvoorbeeld liever:

105

Zwakke leerlingen zijn ermee gebaat, zolang het nodig is, het verdelen met boontjes of ander concreet telmateriaal uit te voeren. Stimuleer ze dit ‘makkelijke tellen’ in twee- of drietallen te oefenen. Het rekenen op de vingers helpt hen niet, integendeel zij zullen er aan blijven vastzitten en niet tot hogere niveaus van rekenen doorgroeien.

Het principe van vermenigvuldigen

In de inleiding werden Rudolf Steiners woorden geparafraseerd. Hij formuleerde het zo: ‘Maakt u de kinderen zo snel mogelijk bekend met het principe van het vermenigvuldigen en oefen dan de tafels met ze.” In dit leerplan wordt veel tijd geclaimd voor het bekend maken met de principes van het vermenigvuldigen. Dit is gedaan omdat in de praktijk gebleken is dat de sprong naar het vermenigvuldigen voor veel kinderen erg abstract kan uitvallen. Het ‘bekend maken met het vermenigvuldigen’ houdt namelijk niet in, dat de kinderen een definitie te horen krijgen, maar dat ze de principes al doende en reflecterend ervaren. Dat zou zo moeten gebeuren, dat ze het vermenigvuldigen niet als een extra moeilijkheid ervaren, maar juist als een vereenvoudiging.

De praktijk in de tweede klas

De tweede klas wordt wel de tafelklas genoemd. Alle tafels komen hier aan bod, hoewel dat niet wil zeggen dat alle leerlingen die ook aan het eind van de tweede klas uit het hoofd moeten kennen. Gestreefd wordt naar zoveel mogelijk parate kennis op dit gebied, verworven bij het oefenen van de tafelrijen vanuit de beweging en opgedaan tijdens het reconstrueren van tafelproducten op basis van ankerpunten (bekende tafels) en rekenstrategieën. De eerstgenoemde kennis is opgeslagen in de vorm van rijtjes (gehele tafels), in het tweede geval moet meer gedacht worden aan netwerken van producten uit verschillende tafels.
De tafelkennis zelf, de wijze waarop die tot stand komt, de manier om het te onthouden en de aanpak om het kennisbezit uit te breiden, verschillen in beide gevallen. In de tweede klas kunnen beide kanten van het tafelwerk als aanvullend beschouwd worden. Elke leraar moet aanvoelen waarop in een bepaalde periode het accent moet worden gelegd. Maatgevend is wat de kinderen laten zien, richtinggevend de derde klas, waar de tafelkennis als netwerk beschikbaar is.

Tot hoever ga je met de tafels?

In de tweede klas worden de tafels gememoriseerd, dat wil zeggen dat de kinderen de vermenigvuldigingen tot 100 (of 144) uit het hoofd leren. Wat is het nu, tot 100 of tot 144? Tot tien keer, of tot twaalf keer? Wat wordt het grondgetal, 10 of 12?
Er is veel over het twaalfritme te zeggen. Enerzijds sluit het immers aan bij het kosmische aspect in de (astrale) constitutie van het kind. De oude Babyloniërs beleefden nog de verbinding tussen de meer geestelijke (Ik-astrale) en de meer aardse (fysiek-etherische) kant van de mens. Zij brachten dit ‘half-bovenfysieke’ aspect van de getallenwereld tot uitdrukking in een sexagesimaal stelsel waarin geteld werd op basis van de getallen 6 en 10. Van deze verbinding tussen het geestelijke en het aardse vinden we nog een flauwe afspiegeling terug in de tijdrekening van 12 maanden in een jaar, twee maal twaalf uren in een dag en 60 ofwel 12 x 5 minuten in een uur. Een jaar van 360 dagen en nog vijf aardse
106

(feest)dagen, kennen wij al lang niet meer. Die kosmische beleving in een twaalfritme staat nog dicht bij de kinderen.
Daarnaast is er echter de nuchtere realiteit van de 10, uitgedrukt in de tien vingers van de handen, waarop het tientallig stelsel gebaseerd is. Het tientallig systeem is daarmee veel ‘aardser’ dan dat van de ‘twaalfheid’. Waar kies je nu voor? Wil je al dat de kinderen zo ‘aards’ worden, dat ze zich nu in deze wereld terecht kunnen vinden? Dan kun je niet aan de ‘aardse’ tienheid voorbij gaan. Aan de andere kant, leidt het oefenen van de tafels tot 10 keer ertoe, dat de kinderen denken dat ‘een tafel’ hetzelfde is als een rijtje getallen met tien vermenigvuldigingen, terwijl de tafel in feite een oneindige rij vormt. Juist het doorgaan tot 12 keer, doorbreekt die gedachte. Een goede oplossing zou kunnen zijn dat we de tafels wél tot 12 keer oefenen, maar tijdens het memoriseren tot tien keer een apart accent geven. Daarmee bieden we de kinderen een ‘steunpunt’ dat in het rekenen nu eenmaal van onmisbaar belang is.
Voor het twee- en drieritme in de telrij en de tafelrij kan het praktisch zijn deze aanvankelijk ook eens veel verder dan twaalf keer te doen. Het ligt dan al een beetje in het gehoor wanneer je een ‘hogere’ tafel uit zo’n rij tevoorschijn wilt laten komen.
Er is nog een praktisch argument om de tafels tot 12 keer te oefenen. Bij het rekenen tot 20 (24) is 12 een getal dat op veel meer verschillende manieren te structureren is dan 10. Klinkt ’12 keer’ bekend, dan zullen kinderen ook vaker naar deze mogelijkheid grijpen.

Maar automatiseren, dat doe je vooral wanneer je rekent tot tien keer.

Het ervaren van de tafels vanuit de beweging

De tafelproductrijen kunnen in de tweede klas in ruimtelijke vormen geoefend worden. In de eerste klas is daar al een voorzichtig begin mee gemaakt. De nieuwe vormen voegen aan het ritmische element een inzichtelijk en een concentratie-moment toe: weet wat je doen moet.
Bijvoorbeeld bij de tafel van 5 ligt het voor de hand om uit te gaan van de vijfster.

Eerst staan we in een kring. “Kinderen doe maar mee”. We beginnen te tellen. Op de tafel van 5 geef ik daarbij een klap. Sommige kinderen die dat doorkrijgen, gaan dat mee doen. “Wie is er bij het klappen nog meer iets opgevallen? … Kinderen nu gaan we dat lopen, maar bij de getallen uit de tafel van 5 geven we dus een klap (later: blijven we staan).” De volgende dag: “Wie weet nog wat we gisteren deden met de tafel van 5?” … We lopen het nog een keer in de kring. “Kinderen we gaan het nu anders doen. Mariska terwijl wij tellen, loop jij in vijf passen naar Michiel … Goed zo. Nu loopt Michiel in de volgende vijf tellen naar Anja … (enzovoort)”. Er ontstaat zo binnen de kring een gelopen vijfster. “Wie heeft er gezien welke vorm er nu gelopen is?” … Ik laat de vijf kinderen een stap naar binnen doen en met hun armen de richting aangeven waarin gelopen is. Daarna doen we dat nog eens met een andere groep. De dag daarop, nadat we ons eerst de voorgaande dag herinnerd hebben en het lopen nog eens herhalen, mogen vijf kinderen de vorm tijdens ons tellen gezamenlijk lopen. In het midden heerst even verwarring, daarna verbazing dat het kan zonder elkaar daarbij aan te (hoeven) raken. Ik vormde vervolgens verschillende groepjes van vijf kinderen.
107

Bij elke weg die de kinderen lopen, zeggen ze een product uit de tafel van 5.

Een oefening van geheel andere aard is de volgende:
Zet de kinderen in twee rijen tegenover elkaar. Met de tekst van de tafel lopen de kinderen op elkaar toe, haken de armen in, draaien (naar believen een halve of een hele draai) om elkaar heen en gaan weer in de rij staan.

Is het niet voldoende de tafels alleen in de ‘traditionele’ vorm: 3×6= 18 te oefenen? Wat kan de zin ervan zijn om gelijktijdig ook te werken met: 18 = 3×6?
Vanuit het memoriseren gezien betekent het namelijk even zoveel rekenfeiten die gekend moeten worden; de helft daarvan vormt voor de zwakke rekenaar al een hele opgave. Dat de laatste vorm meer aansluit bij het ‘analyserend uitgaan van het geheel’, kan hier nauwelijks een argument zijn. Er wordt hier immers ritmiserend en niet analyserend gewerkt.
Een argument pro zou kunnen zijn dat de laatste vorm aansluit bij het vermenigvuldigen, zoals dat bij de temperamenten aangegeven is: “12, hoeveel keer past daar een groepje van 3 in?”(zie blz. 52)
Er wordt zo bovendien een basis gelegd voor het delen. Bij hoofdrekenen (hoeveel is 18 : 6? en even later 186 : 6?) en nog meer bij schattend rekenen. “Schat hoe vaak 3 in 62 zit.” “Wel 20 keer, want 60 = 20 x 3.” Delen is zo een vorm van ‘op-vermenigvuldigen’.
108

Bewustmaking van de ervaring

Stilte oefening

Bovenstaande bewegingsoefeningen krijgen een extra bewustmakend accent als ze ‘stil’ gedaan worden. De opdracht kan bijvoorbeeld zijn:
• “Doe de vorm en zeg in jezelf de tafel mee; als ik mijn hand opsteek, spreek jehardop verder”,
• “Als ik (stop) roep, onthoud je waar we gebleven waren”,
• “Ik wil alleen de oneven tafelproducten horen”.
Zulke stille varianten van bewegingsvormen, vergroten de concentratie en ze helpen de kennis te verinnerlijken.

Er kan nu ook een verbinding gelegd worden tussen het leren van de tafelrijen en dat van de tafelnetwerken. Het werken met de eerder genoemde strategieën, zoals ‘één keer meer of minder’, ‘verdubbelen’ of ‘verwisselen’, verhoogt ook het bewustzijnsmoment in de beweging.

De ‘één keer meer of minder’ strategie, geoefend in een kring

In de kring wordt de tafel van bijvoorbeeld 6 gelopen. In het midden staat een kind dat roept: 1 x 6 = …, 2 x 6 = …, enzovoort. De kinderen maken met ieder antwoord telkens een stap in de looprichting van de kring. Bij een bepaald aantal keren zeg je:

• “Stop, waar ben je?”
• “Eén stap terug.”
• “Waar was je?”
• “Twee stappen vooruit.”
• “Waar ben je nu?”
Bij zulke bewegingsvormen wordt van het kind telkens even wakkerheid gevraagd.

Verdubbelen

De kinderen staan op een rij. Het eerste kind stapt naar voren en zegt: “één”, heft daarna beide handen en zegt “twee”. Handen weer omlaag.
Een volgend kind erbij, samen klinkt: “twee”, ze heffen beide de handen en zeggen: “vier”. Daarna volgen de combinaties: vier kinderen – acht armen, enzovoort.
Het spreekt voor zichzelf dat oefeningen die in de eerste klas gedaan zijn, ook hier opgenomen kunnen worden. Het bewustzijnsmoment zal geleidelijk steeds meer op de voorgrond treden, waarbij de collectiviteit binnen de grote(re) groep de minder zekere leerling nog steun kan bieden.

Bewustwording door schriftelijk werk

Alle voorgaande oefeningen kunnen weer aanleiding zijn voor even zovele tekeningen. Daarnaast is de tweede klas bij uitstek de klas om de schoonheid en het ritme van de tafels van vermenigvuldiging te leren kennen.
De vormen die in beweging geoefend werden, kunnen ook mooi getekend worden, zoals bijvoorbeeld bij de tafel van 4.
109

De kinderen wisten uit het bewegingsonderwijs al, dat ze drie vierkanten gelopen hadden. Die tekenen ze nu en zetten de getallen erbij. Daarna geven ze met bogen de ‘tafelstappen’ aan; eventueel schrijven ze de tafelsom in de vierkanten:

Geheimen van de tafels

Wanneer de tafels getekend en geschreven zijn, kan er ook gevraagd worden naar de ‘geheimen’ van een tafel. Zo eindigen (bijvoorbeeld) alle getallen uit de tafel van 5 op een 0 of op een 5.

Later bij het in kaart brengen van de persoonlijke tafelkennis in de 10 x 10 of 12 x 12 tabel, kunnen dergelijke onderzoekjes ook nog een nuttig effect hebben op die tafelkennis. Het ontdekken van een geheim kan ineens een uitbreiding van de kennis tot gevolg hebben. De verwisseleigenschap is het sterkste voorbeeld.

Oefeningen

• Tafels op het bord; wie de tafel al kent draait zich om en zegt de tafel op met de rug naar het bord. Soms zullen we kinderen die de tafels nog niet kennen, er op deze manier te veel ‘uitlichten’. Geef dan ieder kind een eigen hulpblaadje, waarop wat ze al kennen door henzelf is gekleurd. Aan zo’n blaadje kun je direct aflezen wat ze al weten.
• Ook kun je wat ze kennen als steunpunten laten staan en de moeilijke producten weg laten, om zo de steunpuntstrategie uit te lokken. Een voorbeeld:

1 x 3 = 3 (vanzelfsprekend)
2 x 3 = 6 (makkelijk)
3 x 3 = 9 (uit het liedje)
4 x 3 = 12 (verdubbelen uit 2×3)
5 x 3 = 15 (helft van 10 x 3)
6 x 3 = 18 (één keer meer)
7 x 3 = 21 (leren)
8 x 3 =  24 (dubbele van 4×3)
9 x 3 = 27 (eentje minder dan 10 x 3
10 x 3 = 30 (3 met een 0 erachter)

Zo voor een overzicht geplaatst, zijn kinderen bij het zien ervan vaak verbaasd wat ze al ‘weten’.
110

 

• Tafelnetwerken laten maken, individueel of in kleine groepjes. Geef de kinderen een groot vel papier en laat ze de volgende dag ermee verder gaan. Dan kunnen ze thuis ook nog het een en ander bedenken.
• Er kan met het ‘product van de week’ gewerkt worden.
• De kinderen kunnen een tafel helemaal uit het hoofd opzeggen. Ook daarbij kunnen variaties weer extra levendigheid brengen:
• Tafels voor- en achteruit opzeggen.
• Het tegelijkertijd opzeggen van 2 tafels.

Het tegelijkertijd opzeggen van meer dan één tafel vraagt van de kinderen een ik-bewustzijn, dat eigenlijk pas in de vierde klas aangesproken kan worden. Bovenstaande vorm kan gezien worden als een systeem van tafelsommetjes, waarbij het door elkaar gaan van de tafels nog niet zo’n rol speelt. Bij vormen waarbij bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3 een klap, en die van de tafel van 4 een stamp krijgen, moet je afwegen of dat niet teveel van de kinderen vraagt en of er niet beter tot in een hogere klas gewacht kan worden.

Toepassen van tafelkennis

• Hoofdrekenvragen met tafelelementen: “Op vakantie in Frankrijk koopt vader vier ijsjes van twee euro per stuk. Hoeveel euro kosten de ijsjes samen?”
• In de ‘omgekeerde vorm’: “Moeder koopt meloenen, ze heeft € 15,— bij zich. Een meloen kost € 3,—. Hoeveel kan ze er kopen?”
• Allerlei verbijzonderingen van vermenigvuldigstructuren; ramen in flatgebouwen, tegels in een terras, bloembolletjes in een bloembak, glazen in een doos, kransen van bladeren aan een stengel enzovoort. Deze situaties lenen zich goed, om ze snel op het bord te schetsen.
• Het maken van ‘keer’sommen in een geheel van opgaven met de vier hoofdbe-werkingen.
• Concretiseren van rekensituaties in bijvoorbeeld het uitdelen van dingen in de klas. Bijvoorbeeld: “Ieder drie blaadjes; hoeveel heb je er nodig in je rij?” “Elk kind zes zonnepitten; Hoeveel zijn er nodig per rij?”
Als je gespitst bent op zulke situaties, zijn er legio mogelijkheden om de tafels als vanzelfsprekend toe te passen.

De praktijk in de derde klas

Nu gaat het om individueel greep te krijgen op de tafelsommen. Er vindt een omslag plaats in het ritmisch bewegend rekenen. Niet langer wordt uitgegaan van de dominantie van de lichamelijkheid, zoals in de eerste zevenjaarsfase. Toen was het zo, dat de fysieke indrukken omgevormd werden tot vaardigheden als lopen, spreken en denken. Deze onbewuste manier van leren gaf het kind een vanzelfsprekende, naïeve, kennis. De kennis die we nu op school willen aanbrengen, kan daar echter niet op steunen. Het kind verwerft eerst kennis, waar niet vrij over beschikt kan worden. Voor de tafels houdt dat in, dat er steeds gebruik gemaakt moet worden van het ritmische element, waarin het kind zich deze tafelkennis eigen gemaakt heeft. Het moet dus de hele tafelrij opzeggen voor het dat ene produkt te pakken heeft. Daarom is er ook het werken met tafelnetwerken aan toegevoegd. Dit geeft de beschikking over flexibele tafelkennis, bestaande uit feiten en procedures. Deze zijn nu beide in te zetten bij hoofdrekenen en schattend rekenen boven 100, alsook in toepassingssituaties.
111

In de derde klas kan het werk van de tweede klas voortgezet worden. Het bewegende deel krijgt een andere invulling en het memoriseren en automatiseren van tafels wordt nu gericht geoefend. In de derde klas is het, naast het leren van nog niet geoefende tafels, de bedoeling dat het reconstrueren afneemt en het reproduceren en actualiseren de overhand krijgen. Reproduceren gewoon als putten uit het geheugen, zonder meer. Actualiseren in het geval van opgaven uit het dagelijkse leven, waarbij eerst de bewerking met bijbehorende getallen gevonden moet worden en daarna pas aan het reproduceren gedacht kan worden.
We besluiten dit deel over tafels met enige ideeën voor de praktijk.

De ‘tafelster’

De kinderen staan in een kring van tien kinderen. Bij de tafel van 6, begint het kind dat in de 0-positie staat; het loopt naar plaats 6 (positie 1). Het kind dat daar stond, loopt door naar plaats 12 (positie 2). Men kan de stappen laten nemen met alléén de getallen, maar ook met de tekst: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, enzovoort.


Een aardige manier om de vorm zichtbaar te maken is om een draad katoen mee te nemen, die tussen de kinderen gespannen wordt. Dat kan gebeuren door het ‘lopende’ kind, maar ook door een kind dat in het midden van de kring staat.

Met een afleider

Vormen waarbij het bewustzijn middels een afleider actief wordt aangesproken. De kinderen staan bij elkaar en zeggen gezamenlijk een tafelrij op. Eén kind staat er voor en mag de groep in de war brengen (zie Terzijde Rekenspelen).

Het tafelfront

Wanneer de kinderen de tafels al redelijk kennen, kan het ‘tafelfront’ gelopen worden; een vorm die het best op het schoolplein of in de gymzaal gedaan kan worden.
Hierbij staan er zoveel kinderen op een rij, als er tafels gebruikt worden. Gaan we bijvoorbeeld uit van de tafels van 1 tot 12, dan staan er twaalf kinderen naast elkaar. De andere kinderen zijn de tellers, ze tellen in een rustig tempo van 1 tot bijvoorbeeld 50. Het kind dat de tafel van 1 loopt, doet bij elk getal een stap, de
112

kinderen met de andere tafels doen dat alleen als er een getal van hun tafel gezegd wordt. Ze moeten dan echter zo’n sprong of spurt nemen, dat ze op de positie van het front aankomen, die aangegeven wordt door het kind dat de tafel van 1 loopt.
Een variant: aan beide kanten van het tafelfront staat een kind. Ze spannen een touw tussen zich, dat het tafelfront zichtbaar maakt en doen bij elk getal een stap naar voren.
De getallenrij kan ook achterwaarts gezegd worden, dan beginnen bijvoorbeeld alle kinderen vanuit de positie 100 (Laat ze niet achteruit lopen, ze zien dan niet hoe groot de sprong moet zijn).

Het herkennen van de tafelproducten

Dit is van belang om snel bewerkingen als vermenigvuldigen en delen te kunnen uitvoeren. Een vorm daarvoor is:
In de klas worden drie groepen aangewezen die bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3, 5 of 7 laten zien. Als de getallen van 1 tot en met… klinken, maken de kinderen, die één van de drie tafels toegewezen kregen, een gebaar als hun tafel-product genoemd wordt. Meestal wordt gekozen voor een klap of een stamp. Vaak geeft dat teveel hilariteit en is een stille beweging zinvoller; een knikje met het hoofd, even door de knieën buigen, of alleen met de vingers het aantal keren aangeven.
De oefeningen kunnen ook als stille ‘spookoefening’ gedaan worden, waarbij ze alleen de tafelproducten uitspreken, of helemaal in stilte werken. Ook is het mogelijk om af te wisselen tussen stilte en spreken, op een teken van de leraar.

Het mag duidelijk zijn dat het maken van een onderscheid tussen de beleving en de bewustmaking daarvan in een derde klas niet langer zinvol is, al hoeft dat niet voor alle kinderen te gelden.

Vormen waarbij meer individueel gewerkt wordt

Veel van hetgeen in de beweging gedaan is, laat zich ook tekenen; daarop hoeft hier niet niet meer ingegaan te worden.
Alleen de stervormen vragen nog om enige toelichting. Vormen die bijvoorbeeld met een draad katoen uitgebeeld werden, kunnen ook getekend worden of op een bordje met tien spijkers ‘geweven’ worden. Daarbij zijn de hogere tafels nog moeilijk voor de kinderen. Het gaat er nu om dat ze eerst in hun hoofd het
product vinden en de juiste positie in de cirkel niet eenvoudigweg via doortellen zoeken.
Je kunt ze nu laten ontdekken, dat iedere tafel een tegenhanger heeft: de tafels van 2 en 8, 3 en 7, enzovoort, vormen telkens een paar. In plaats van in de tiencirkel, kunnen de tafels ook in de twaalfcirkel getekend worden. Ook daar zijn weer paren in te ontdekken.

Tafelcirkels van Schulz

Hierbij is iedere cirkel een tafelrij en ontstaan op de stralen opnieuw de tafels . Mogelijkheden:

• Iedere dag een cirkel erbij laten tekenen door de kinderen.
• In het geheel van de cirkels nu nummers op de stralen zetten en de tafel van getal tot getal met een lijn volgen, zodat een bloemmotief ontstaat.
113

Het tafelvierkant

Een zelfde principe wordt gevolgd in het tafelvierkant, dat de kinderen allengs kunnen invullen. Dergelijke vierkanten kunnen in een 10 x 10-veld getekend worden, maar ook heel goed in een 12 x 12-veld.
Bijzonderheid is, dat op de diagonaal de kwadraten afgelezen kunnen worden.

Willemijn, die haar kennis van de tafels op een zeker moment zelf aldus zag:

Een ‘vraag op maat’ voor Willemijn was geweest: “Je weet wel wat 9 x 2, maar niet wat 2 x 9 is. Welke producten ken je nu nog meer?” Dat was dan een kwestie van bewustmaken (verwisselen, symmetrie en spiegelen) en invullen.
Maar ik vroeg: “Reken 8 x 6 uit. Kun je gebruik maken van wat je al weet?”
Wat was het mooi dat ze toen de verdubbelingsstrategie (uit)vond: (2), 4, 8, 16 en (3), 6, 12, 24 en (4), 8, 16, 32 en dan springend van kolom tot kolom: (6), 12, 24, 48. Zo’n ontdekking moest Willemijn toen wel aan de hele klas laten zien!
114

Met zulke ‘tafelkennisvierkanten’ als hierboven getekend, kunnen kinderen ook opgaven voor elkaar bedenken. Het gaat om ‘weten’ of ‘rekenen’. Je kunt het ook spelen met flitskaarten. Twee leerlingen krijgen een stapeltje van die kaarten, waarvan ze de antwoorden nog niet geautomatiseerd hebben, op de bank. De ene leerling zegt het antwoord (of de opgave) bij de kaart die boven ligt. Bij een goed gegeven antwoord mag hij de kaart houden. Is het antwoord fout of moet er ‘gerekend’ worden, dan wisselt de beurt.

De tafeltrainer

Veel kinderen zullen baat hebben bij een visueel steuntje. Een tafeltekening krijgt meerwaarde, als hij gebruikt wordt om er, bij het opzeggen, de tafelproducten aan af te lezen.
Een hulpmiddel, dat ook individueel kan worden ingezet, is de tafeltrainer, een ontwerp van F. Moerlands:

Links is de voorkant van de tafeltrainer. De dikke lijnen stellen elastiekjes voor die vanaf links boven, 6 x 7 hokjes afbakenen. Rechts is de achterkant, daar zie je hetzelfde patroon. Daar zijn alle hokjes ingevuld met de bijbehorende produkten. Op de achterkant staat dus bij het snijpunt van de elastiekjes het getal 42.
Bij het zelf maken van de tafeltrainer levert het invullen van de achterkant voor veel kinderen toch nog ‘verrassing’ op!

Context opgaven

Allerlei contexten, in verhaal- of tekenvorm, waarin herhaalde hoeveelheden voorkomen: tegelpatronen, kratjes met flessen, telkens vijf foto’s op een bladzijde van een fotoalbum, cd’s in een rekje, kopjes koffie uit koffiekannen, kinderen verdeeld over tafels of tenten enzovoort. Met telopdrachten in dergelijke situaties kan het gebruik van strategieën gestimuleerd worden.

Grote getallen

Ook producten van grotere getallen kunnen vanuit de tafelkennis via de kolom-methode of op een andere manier uitgerekend worden. Het verdient aanbeveling dit niet alleen aan de goede rekenaars over te laten, maar het specifiek te oefenen met de hele klas, al dan niet met gebruikmaking van de lege getallenlijn om bepaalde getallen even vast te houden:
115

Deze vormen zijn vooral goed, omdat de kinderen dan leren om meer dan één stap te onthouden. Nadrukkelijk zij er hier op gewezen, dat het nog niet gaat om cijferen.

Springen langs de lege getallenlijn

Ook sprongen die gemaakt worden langs de lege getallenlijn nodigen soms uit tot het inzetten van tafelkennis (zie blz. 90).

116

Cijferen

Niet eerder dan dat het hoofdrekenen tot 100 en de tafels tot 10 x min of meer zitten, wordt met het cijferen begonnen. Dit moment ligt meestal niet voor het einde van de derde klas. Het cijferen wordt aanvankelijk vooral in dienst gesteld van het automatiseren van de tafels. Dat wil zeggen dat opgaven zo gekozen worden dat de kinderen puur gebruik kunnen maken van beschikbare kennis. Zo wordt er bijvoorbeeld nog niet vermenigvuldigd of gedeeld door 13, want dat is geen tafelgetal.

De praktijk in de vierde klas en de hogere klassen

Het werken met de tafels is aan het eind van de derde klas helemaal ingebed in het hoofdrekenen tot 100 en verder (bijvoorbeeld de tafel van 600 en de ‘lastigere’ tafel van 60). Het ritmisch oefenen heeft zijn werk in de ontwikkeling van het ‘middengebied’ gedaan en ondersteunt nu het wakker en bewust werken met producten en vermenigvuldigingsstructuren.
Heel wat vormen die in hogere klassen gedaan worden, zijn uitwerkingen van de hiervoor besproken principes. We laten die uitbreidingen en variaties aan de vindingrijkheid van de leraar over.

3.3 Cijferen

Cijferen: wat leert de geschiedenis?

Het is met cijferen eigenlijk vreemd gesteld. Wie het optellen en aftrekken in kolommen en vermenigvuldigen ‘onder elkaar’ alsook de staartdeling op school gehad heeft, meent vaak dat hij standaardprocedures heeft geleerd, die van alle tijden zijn en nimmer aan verandering onderhevig waren. Leraren die er zo over denken trekken hieruit vaak de didactische consequentie dat ook het
cijferonderwijs volgens aloude principes dient te geschieden: stap voor stap, recht toe recht aan in de richting van de meest efficiënte rekenwijze. Wie evenwel de geschiedenis van de wiskunde bekijkt of zijn oor te luisteren legt bij kinderen en volwassenen die hun rekenwerk durven tonen, weet wel beter.

Eerst een paar voorbeelden uit de geschiedenis van de wiskunde.

Gaan we ver terug, tot in de tijd van de oude Egyptenaren, dan treffen we rekenwijzen die geen enkele overeenkomst vertonen met ons cijferen. Dat is niet zo moeilijk te begrijpen, want de schrijfwijze van de getallen was niet positioneel (zoals in ons tientallige stelsel, waarbij elk cijfer een plaatswaarde heeft), maar additief (zoals we nog kennen van de Romeinse cijfers, waarbij je alles bij elkaar moet optellen om tot het getal te komen). Eén principe van ons tientallige stelsel vindt men echter wel bij de Romeinse en Egyptische talstelsels: de bundeling van tientallen. Heel natuurlijk voor mensen met tien vingers!

117

Bij het rekenen speelde evenwel de tien geen grote rol. Men schreef tien ook niet als 10 (positioneel!) en kon niet, zoals wij bij het vermenigvuldigen, het voordeel van de 0 benutten (10 x 34 = 340). Het vermenigvuldigen in de oud-Egyptische rekenkunde gebeurde op basis van het verdubbelen (en het delen op basis van halveren). In sommige gevallen leidt het verdubbelen rechtstreeks en feilloos tot resultaat. Wij zouden het anno 2000 ook nog zo kunnen doen: 8 x 17? verdubbel 17, dat wordt 34. Nog een keer verdubbelen: 68, en nog een keer: 136. Maar in het geval van bijvoorbeeld 9 keer 17 moest je bij die 8 keer van zojuist er nog een keer 17 bij optellen. Welnu, die werkwijze had men tot standaardprocedure gemaakt. We spreken nu van de Egyptische vermenigvuldiging.
Bijvoorbeeld 11 x 17 (maar met andere symbolen voor elf en zeventien):

Vergelijk dit maar eens met ons cijferwerk ten behoeve van 11 x 17. (Eigenlijk zullen er weinigen zijn die dit product niet uit het hoofd berekenen: 170 + 17 = 187). Heel merkwaardig is het feit dat de Romeinse rekenaars gebruik maakten van een ‘abacus’. Dit was een soort schema van gleuven in het zand, waarin de aantallen (rekengetallen) door middel van kleine steentjes (calculi genaamd) werden aangegeven. Wat is nu zo merkwaardig? Het feit dat de abacus eigenlijk geheel positioneel was ingericht. Er was een gleuf voor de eenheden, een voor de tientallen, enzovoort. In sommige gevallen was er ook plaats voor vijftallen, vijftigtallen, enzovoort. Wie de Romeinse cijfers kent, begrijpt de achtergrond hiervan.

Optellen op zo’n abacus ging eigenlijk niet veel anders dan bij ons het optellen onder elkaar: tientallen bundelen en inwisselen. Alleen de additieve schrijfwijze verhinderde dat het met de getallen zelf kon gebeuren (‘driehonderd’ werd in het genoteerde getal drie ‘honderdjes’: CCC) en verhinderde ook dat het vermenigvuldigen onder elkaar kon worden uitgevonden. Want daarvoor heb je echt ons talstelsel met de plaatswaarden nodig. En je hebt ook het getal nul nodig, dat later door Indische wiskundigen werd uitgevonden.
118

Het ‘geworstel’ met de Romeinse cijfers (waarmee je dus niet kon cijferen op de manier die wij nu kennen) heeft ook in onze streken lang geduurd. Pas toen de Arabische cijfers via Spanje (Moren) bij ons hun intrede deden, kwam er een kentering. Dat ging, zoals alle veranderingen van zaken die diepe wortels in het verleden hebben, niet van een leien dakje. Reeds in het jaar 1202 verscheen er een voortreffelijk rekenboek in Italië: het Liber Abaci van Leonardo van Pisa. Deze had de Arabische cijfers en het positionele stelsel (met de nul!) van zijn Moorse leermeester geleerd. De Romeinse cijfers, het additieve systeem en de abacus (die inmiddels met lijnen op papier werd getekend en door middel van schijfjes met cijfers erop werd ingevuld) kwamen er niet best van af. Maar, zoals gezegd, de vernieuwing kwam er niet zomaar door. Hoewel handelaren en boekhouders zich de voordelen van de nieuwe schrijfwijze van meet af aan ten nutte maakten, kwamen er bezwaren van anderen: het zou nu gemakkelijker zijn om rekeningen en dergelijke te vervalsen. Tot in de zestiende eeuw bleef men beide systemen naast elkaar gebruiken. Omstreeks 1504 kwam er een rekenboekje uit waarin de strijd tussen de twee partijen, aangeduid met ‘abacisten’ en ‘algoritmici’, aardig in beeld was gebracht.

In de zestiende eeuwse rekenboekjes was het pleit beslecht, het positionele stelsel had het gewonnen. Maar wie de Cijfferinge van meester Willem Bartjens napluist (eerste uitgave omstreeks 1604, de laatste bewerkingen ervan waren nog in de negentiende eeuw in gebruik!) vindt een mechanistische didactiek. De leerlingen wordt verteld hoe het cijferen gedaan moet worden. Waarom die geheimzinnige handelingen tot een goed antwoord leiden dient op gezag van de leraar aangenomen te worden. Deze benaderingswijze kon zelfs tot voor kort nog in Nederlandse basisschoolklassen aangetroffen worden.

Toch blijken kinderen en volwassenen soms zelf uitvindingen te doen om op school geleerde algoritmen naar eigen hand te zetten. Bij het leren van de tafels hebben we hiervan al het een en ander gezien en ook de ijzeren wet, die bij het optellen over de tien heen in sommige klassen geldt (eerst splitsen en dan aanvullen tot 10), blijkt minder hard te zijn, zoals we bijvoorbeeld zien als kinderen gebruik maken van reeds geleerde doubletten (6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1).
119

De les die we uit het voorgaande voor onze didactiek kunnen trekken is niet mis. In de eerste plaats blijkt het (leren) cijferen een interessante historie te hebben. Wie iets van die geschiedenis in zijn onderwijs meeneemt, biedt de leerlingen een goede mogelijkheid de wereld van het getal op een andere manier te kunnen bekijken, en meer oog te krijgen voor de schoonheid van het systeem en de inspanningen die de mens heeft verricht om het zover te krijgen. Tevens is het dan bijna onvermijdelijk om leerlingen iets van de ontwikkeling te laten meebeleven en ook ruimte te bieden om zelf kleine uitvindingen te doen. Voor de zwakke rekenaars kan vanuit dat standpunt gezocht worden naar hulpmiddelen (als de abacus), die bepaalde rekenfuncties ontlasten, of naar rekenwijzen die op concreter niveau uitgevoerd worden. Verder leert de geschiedenis van het cijferen ons dat de activiteit van het tientallig bundelen en het daarmee gepaard gaande inwisselen, essentieel is voor het vaardig rekenen in ons decimale stelsel.

Cijferen en hoofdrekenen

Cijferen valt niet weg te denken uit ons reken-wiskundeonderwijs. Het is een deel van ons cultuurbezit dat qua rekenactiviteit en leeropbrengst de moeite waard is om goed onderwezen te worden. Zelfs nu, in een tijd dat electronische hulpmiddelen de maatschappelijke relevantie van cijfervaardigheid opnieuw ter overweging geven, heeft cijferen een meerwaarde. Voor het reken-wiskundeonderwijs op de vrijeschool heeft cijferen nog een extra dimensie. Je kunt dat als volgt bekijken:
Als we zover zijn dat er bewegingsvrijheid is ontstaan in het gebruiken van de vier basisbewerkingen voor getallen tot honderd, en soms daarboven, dan is het moment aangekomen dat we ook in allerlei situaties willen rekenen, waarin de getallen te groot of te ingewikkeld zijn om ze in het hoofd vast te houden en te bewerken.
Bedenk daarbij dat er in de ambachtenperiode, bouwperiode en dergelijke, een heleboel Tekenverhaal’ is voorgekomen, waarbij het zinvol is een extern hulpmiddel te hanteren. Het leren cijferen is dan, vanuit dit oogpunt, ook op zijn plaats.
Door zijn aard is het cijferen een onderdeel van de gereedschapskist, dat van buitenaf aangeleerd wordt, maar wat een kind (op basis van het voorafgaande rekenen) kan begrijpen c.q. uitvoeren van binnen uit. De keuzen voor het aanleren van de rekenwijzen (algoritmen) moeten dan bepaald worden door de herkenbaarheid van de basisbewerkingen en de toepassing van de eerder geleerde rekenkennis en -vaardigheid. Wat er gebeurt in, of ingezet wordt vanuit het hoofd, moet op het papier te zien zijn. Vervolgens moet de weg, al werkend op papier en met inzet van reeds verworven kennis, zo kort mogelijk worden. Zo opgevat is cijferen in het eind van de derde klas en in de vierde klas een zinvolle aangelegenheid, zowel pedagogisch als rekendidactisch. Het gaat namelijk over het organiseren van rekenwerk, het overzichtelijk noteren van berekeningen, het zoeken naar systematiek, het gebruik maken van de positionele structuur van getallen en het streven naar een efficiënte rekenwijze, die mogelijk persoonlijke elementen bevat.

Nog twee opmerkingen:

In de eerste plaats zal de (reken)leerstof er nooit toe mogen dienen, dat de leerkracht er zijn autoriteit aan gaat ontlenen. Al lerend moet het kind op den duur
120

zijn eigen autoriteit worden, dat wil zeggen gaan vertrouwen op eigen kunnen. Ten tweede zal cijferen niet onbegrepen in de ‘rugzak’ mogen komen om er later, op rijpere leeftijd, uit te voorschijn gehaald te worden met de bedoeling het dan alsnog te doorzien. Ieder kind kan zich op eigen niveau toegang verschaffen tot het cijferen: laat in de levensrugzak liever heel veel ruimte over voor alles, wat we vanuit de lessen aan kwaliteiten aan de kinderen willen meegeven. Dingen die ze later hard nodig hebben!

Het hoofdrekenen, dat in het rekenen van de vrijeschool altijd een belangrijke plaats heeft ingenomen, dient dus bijzondere aandacht te krijgen. Hiermee wordt de leraar in de derde klas voor een dilemma geplaatst. Wanneer kan veilig met cijferen begonnen worden, is de vraag. Iedere leraar weet namelijk dat de routine van het cijferen gemakkelijk de mentale inspanningen van het hoofdrekenen kan overschaduwen. Het schijnt zelfs wel eens voorgekomen te zijn dat leraren cijferen beschouwen als laatste redmiddel voor zwakke rekenaars, die in het gebied tot honderd geen vaardigheid en inzicht konden verwerven. “Nu kan het dan toch nog leren rekenen”, werd dan gezegd.
Op dit punt willen we in dit vrijeschoolleerplan geen misverstand laten bestaan. Het fundament voor al het verdere reken-wiskundeonderwijs wordt gelegd bij het leren rekenen tot honderd. En dat is hoofdrekenen en schattend rekenen. Daar leren de kinderen de getallen kennen zoals ze zijn. Niet 75 als een 5 op de plaats van de eenheden en een 7 op de plaats van de tientallen, maar onder meer 75 als 70 + 5, ook als 80 – 5 of zelfs 100 -25. Een getal dat op de getallenlijn tot honderd ergens ‘daar’ ligt, tussen 50 en 100, of preciezer tussen 70 en 80, of tussen 74 en 76. Soms zie je 75 als 50 + 25, en als het je uitkomt ook als 2 x 40 – 5 … Ga zo maar door. Het is een kijk op getallen die bij het cijferen niet meer van pas komt en, als de leraar niet oppast, gemakkelijk verloren gaat. Want bij cijferen wordt niet meer gewerkt (gerekend) met hele getallen en hun interne en externe structuren, maar met losse cijfers.

Cijferen dient dus pas te beginnen als het ‘fundament tot honderd’ gelegd is. Maar ook dan nog moet het hoofdrekenen en schattend rekenen in de aandacht blijven. Het is wellicht een vruchtbare gedachte om hier het begrip ‘gecijferdheid’ te introduceren. Het woord gecijferdheid is een vrije vertaling van het Engelse ‘numeracy’ (numeral = cijfer). Dit werd uitgevonden naar aanleiding van het begrip ‘literacy’ (naast ‘illiteracy’, dat staat voor analfabetisme). Naast ‘geletterdheid’ dus ‘gecijferdheid’, moet de gedachte geweest zijn.
Elke volwassene dient een zekere mate van gecijferdheid te bezitten om zich in de samenleving te kunnen bewegen en handhaven. Via de media komt heel wat getalsmatige informatie op ons af, wie de krant leest moet tenminste in staat zijn een en ander naar waarde te schatten. Welnu, iemand die gecijferd is, maakt dan gepast gebruik van hoofdrekenen, van schattend rekenen, van cijferen en soms van een rekenmachientje. Het is de combinatie van die kennis en vaardigheden, die zijn gecijferdheid bepalen. Van groot belang is hierbij de zelfkennis (en het zelfvertrouwen) om in de verschillende situaties, waarin een beroep gedaan wordt op de gecijferdheid, de meest geschikte werkwijze te kiezen. Meestal komt men tot een combinatie van hoofdrekenen, schatten, cijferen en/of gebruik van een rekenmachientje.
121

Op de vrijeschool zou men de culturele kant van het reken-wiskundeonderwijs door de maatschappelijk relevantie van gecijferd zijn, moeten laten beheersen. Zoals bovenal bleek, gaat het daarbij niet alleen om vaardigheid en inzicht, maar ook om houding, opvatting en zelfvertrouwen.

De plaatswaarde van cijfers in een getal

Aan het eigenlijke cijferen gaat een bewustwording van de plaatswaarde van de cijfers vooraf. Door hier zorg aan te besteden kan voorkomen worden dat het prille getalbegrip (weer) ondersneeuwt in het manipuleren met ‘tallen’. Er wordt zo een basis gelegd voor het inwisselen, zoals dat in de eindfase van de verschillende algoritmen gebeurt wanneer er ‘onthouden’ of ‘geleend’ (!?) wordt.

Dat woord ‘lenen’ zou bij het rekenen verboden moeten worden. In de eerste plaats is er geen sprake van lenen, er wordt immers nooit iets teruggeven! En in de tweede plaats beïnvloeden we met dit merkwaardige lenen de moraliteit op een negatieve wijze. Niet doen dus! Houd het bij inwisselen.

Bij een aantal groter dan tien dat als getal genoteerd wordt, is in principe al ingewisseld. Zo’n handeling is eerst concreet, later op papier en ten slotte mentaal uitgevoerd. Met ‘concreet, op papier en mentaal’ is de leerweg die we met de kinderen willen gaan, gekarakteriseerd.
Wanneer begin je met het ordenen van aantallen in groepjes van tien? De een doet dit eerder en de ander later, maar het is zeker niet iets dat van meet af aan gebeurt. Wel dragen de 2 x 5 structuur van de handen en de tienstructuur van het geschreven getal dit gegeven altijd in zich. Bij de introductie van de getallen is dit evenwel nog niet geaccentueerd. Kinderen beleven het als een vanzelfsprekendheid zonder zich bewust te zijn van de cultureel bepaalde conventie erachter. Maar op een dag maak je hier geleidelijk of abrupt een leermoment van.

Tien penselen in een pot, tien potten op een plank en de volgende tien op een andere plank. Schilderstukken steeds in rijen van tien op de grond bij het nabespreken in de klas; of in rijen van tien opgehangen aan de muur. “Nu in tien passen allemaal naar je plaats.” “Ik tel tot tien en dan is het stil.” Of gewoon: “10, 20, …, 110; wie niet weg is, is gezien.”
Daarna kijken we nog eens terug op al dat gedoe met tien. Waarvoor al die aandacht voor tienen? Een doordenkertje!

Sommigen maken zo van de 10 in de tweede klas al een bijzonder aantal. Worden aan eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort speciale kleuren gegeven dan kan dit, in de hier bedoelde zin, het cijferen voorbereiden. Hiermee stijgt het kleuren uit boven louter verfraaiing van het periodeschrift. Het kan zelfs meer zijn dan alleen een oefening om zorgvuldig getallen op (ongelinieerd) papier te noteren. Een meerwaarde dus, in het perspectief van het cijferen straks.

Maar er komt een dag waarop we de tienstructuur in het geschreven getal nog eens extra laten beleven. Dat moet een happening worden, een gebeurtenis die daarna ook model kan staan voor de inwisselhandeling en zo tot model kan wor-
122

den voor deze rekenactiviteit. Een goed gekozen en met de kinderen doorleefde gebeurtenis kan later een mentaal houvast bieden, waar ze naar kunnen grijpen wanneer het begrip van de meer abstracte cijfers zo’n houvast niet kan bieden.

Op een dag schafte ik het rekenen met losse bonen resoluut en met veel bombarie af. Alle bruine bonen, in de hele klas waren dat er in alle potjes nog een paar honderd, werden verzameld. Vervolgens verpakten we ze in luciferdoosjes in aantallen van 10. Met fraai papier werden die beplakt en zo verzegeld. Lossen, die gebruikten we niet meer, je mocht ze alleen nog horen rammelen. Er bleef maar één doosje open en dat kreeg een heel bijzondere plek in de klas. Niet lang daarna maakten we van mooi karton bakjes. In een zo’n bakje pasten precies 10 luciferdoosjes. En voor 10 van die bakjes had ik kistjes op mijn tafel staan. Ik had er ook nog een mooi verhaal bij bedacht. Later toen we het inwisselen op papier en met positiestrepen oefenden, konden ze zich dat nog herinneren. Wie daarbij nog met ‘losse’ wilden werken, moest ze gaan halen en vervolgens op de speciale plaats terug zetten.

Een getal kan op verschillende manieren in cijfers uitgebeeld worden:

• Met geld, wanneer ze bij het winkeltje spelen met centen, dubbeltjes en guldens betaald hebben.
• Door kinderen die door middel van hun waardigheid (prinsen 10, koningen 100, enzovoort) een bepaald ‘tal’ representeren.
• Met klankstaven, waarbij elk getal onder de duizend als drieklank hoorbaar te maken is.
• Met gebaren of bewegingen die een bepaald aantal keren herhaald worden.
• Met MAB materiaal, waarin het tientallige bundelen en het inwisselen als het ware gematerialiseerd zijn.
• Met een lusabacus, die lijkt op de abacus van de Romeinen, maar op basis van didactische overwegingen twintig kralen op één staaf bezit

Pas op, in de bovenstaande opsomming is groen en rijp, kunstmatig en natuurlijk door elkaar naar voren gekomen. Ik vind dat met die koningen en prinsen echt nonsens. Hoe kun je nu in alle redelijkheid beweren dat je tien prinsen voor één koning kunt inruilen?! Geld is eigenlijk de enige natuurlijke materialisering van het positionele systeem. Enigszins dichtbij komt de kilometerteller, die niet genoemd wordt. Daarop is heel mooi te zien hoe dat inwisselen gaat. Met een lusabacus kun je dat idee naspelen, noem het maar een kilometerteller uit het stenen tijdperk.

Door twee getallen na elkaar of gelijktijdig uit te beelden, kan ook naar hun som of hun verschil of naar de aanvulling tot bijvoorbeeld 1000 gevraagd worden. Zo wordt het cijferen op papier voorbereid. Daarbij geldt dan weer de gouden regel: Wat gedaan en zelf ervaren is, daarvan kun je op papier verslag doen.
Steeds gaat het bij al deze activiteiten om het leren denken in ‘tallen’, met daarbij op de achtergrond het bundelen en inwisselen.

Ik liet de kinderen heel eventjes, zodat er niet geteld kon worden, in een gedeeltelijk met eieren gevulde doos (van tien stuks) kijken. Ze raadden hoeveel er in zaten, of hoeveel er ontbraken. We schatten vervolgens hoeveel dozen we nodig hadden in een week, als de kippen elke dag (gemiddeld) 28 eieren legden. Dat rekenen kan alle kan-
123

ten opgaan: 7 x 2 volle dozen en 7 dozen waar er 2 ontbreken. Dat is 140 eieren en nog 70 – 14. Samen 140 + 56. Of 7 x 3 volle dozen, min 14, dat is 210 – 14. Hopelijk komt daar hetzelfde uit, mompelde ik. “Dat kun je toch zo zien!”, werd ik op m’n nummer gezet. Daarna tekenden we wat we bedacht hadden. De een meer en de ander minder schematisch, wel geleidelijk steeds meer met gebruikmaking van getallen.

Met dobbelstenen kunnen spelen verzonnen worden, waarbij de plaatswaarde van de cijfers in een getal extra aandacht krijgt:
• Op de zijvlakken van een dobbelsteen staan verschillende getallen (bijvoorbeeld 3; 6; 8; 11; 32; 40). Op de bank liggen lucifers. Gebroken stokjes zonder kop tellen voor 1; die met kop voor 10 en de hele lucifers voor 100. En nu maar dobbelen. Wie heeft als eerste 1000 bij elkaar? Luciferstukjes kunnen daarbij voor grotere gehelen ingewisseld worden.
• Elke speler zet naast elkaar drie stippen op zijn papier. Om beurten wordt er gedobbeld. Het cijfer dat je gooit, vul je in op één van de stippen. Je mag kiezen welke stip je wilt nemen, je gooit om de beurt. Wie heeft, nadat er zes keer geworpen is, het grootste getal?

Als we wat verder zijn met het cijferen, kunnen ook verwondering en bewondering een piek krijgen:
• Schrijf een getal op van drie cijfers, draai het om en trek de getallen van elkaar af. Het middelste cijfer is nu steeds een 9, de buitenste cijfers zijn samen negen.
• Draai in het vorige geval het laatste cijfer weer om en tel het voorgaande op. Er komt altijd 1089 uit. Kan iemand dat verklaren?
• Neem een getal van drie cijfers. Schrijf het getal er achterstevoren onder. Tel op. Draai nu het verkregen getal weer om, zet het eronder en tel op. Ga zolang door tot je een getal krijgt dat door omkering niet meer verandert (dit lukt meestal na enkele keren, maar niet altijd).
Dat bij deze opgaven het cijferend optellen en aftrekken al bekend is, zal duidelijk zijn. We laten ermee zien dat het nadenken over de plaats van de cijfers in een getal steeds weer vanuit nieuwe invalshoeken mogelijk is.

Optellen onder elkaar (cijferend optellen)

Ook het leren optellen onder elkaar vergt een langer lopend leerproces. Tussen het ‘uit het hoofd’ weten, het uitrekenen of schatten hoeveel twee getallen samen zijn en het cijferend optellen van twee getallen, zijn andere vormen voor rekenen op papier mogelijk. Denk bijvoorbeeld aan het optellen via sprongen op de lege getallenlijn, of aan het kolomsgewijze optellen: 47 + 35 = …

‘Rijgen’:

124

Zulke manieren houden het getalbeeld langer intact en bereiden toch het rekenen met grotere getallen op papier voor. Het anticipeert ook op het kolomsgewijs rekenen, met meer dan twee getallen, zoals je dat op kassarollen wel doet.

Hoe introduceer je nu zo’n ‘nieuwe’ werkwijze? Tussen de twee uitersten “Kijk kinderen, de grote mensen doen het zo” en “Dit boek heeft 124 bladzijden, we zijn nu op bladzijde 88, hoeveel bladzijden zijn er nog te lezen? Hoe zou je dat uitzoeken ?”, ligt een pedagogische beslissing over wat je bij je leerlingen wilt wekken. Alsook de keuze voor een onderwijsstijl waar je achter kunt staan en die bij Teerlingen van nu’ past.
Bij beide uitgangspunten is het mogelijk om van een zelf ervaren situatie uit te gaan, om rekenen iets anders te laten zijn dan manipuleren met kale cijfers. Meer iets dat je gebruikt in situaties waar mensen samenwerken en proberen elkaar te begrijpen. Die gedachte zou van meet af aan het rekenonderwijs kunnen doordringen en niet pas achteraf in toepassingssituaties moeten blijken.

Pas op. Het eerstgenoemde uitgangspunt (“Kijk kinderen, de grote mensen doen dat zó”) roept gemakkelijk een misverstand op. Men kan namelijk geneigd zijn te denken, dat hier voorgedaan wordt hoe ‘het moet’, waarna de kinderen die werkwijze van volwassenen gaan nabootsen.
Een dergelijk mechanistische aanpak is hier evenwel niet bedoeld. Wat dan wel?

125

Op een morgen kwam ik de klas binnen met wat cijferwerk, dat volwassenen (in een bepaalde situatie) op hun blaadje hadden genoteerd. Wie kan dit ‘geheimschrift’doorgronden?
Een ander aardig moment ontstond in de klas toen we al wat verder waren met cijferend optellen en aftrekken, en het volgende blaadje moest worden ‘ontcijferd’.

Na heel wat discussie kwamen we er achter dat daar met ‘tekorten’ werd gerekend. Er was een nieuwe rekenwijze uitgevonden! Zo voelden de kinderen dat ook aan.

Ik kwam toen ook op het idee de kinderen volwassenen in hun eigen omgeving (thuis) te laten interviewen over de manier waarop ze cijferen (hebben geleerd). Je moet ze dan vragen de blaadjes, waarop dat uitgelegd is, mee naar school te nemen.

Wanneer er lang genoeg is stilgestaan bij de plaatswaarde van de cijfers in een getal en vervolgens het cijferen onder elkaar geïntroduceerd wordt, kan er ‘per tal’ in kolommen gewerkt worden. Het is dan praktisch die kolommen aanvankelijk te benoemen naar hun plaatswaarde: eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort. Zo ontstaat dan een papieren abacus, aangegeven met positiestrepen.

126

‘Onthouden’ hoeft daarbij niet van meet af aan gepraktiseerd te worden. Eerst wordt er verticaal in de kolommen opgeteld. Daarna, als alle kolommen zo behandeld zijn, wordt er ingewisseld en hergroepeerd. Zonodig begint het inwisselen opnieuw. We werken daarbij van rechts naar links, anders dan bij het hoofdrekenen, waar natuurlijk eerst de grote delen worden samengenomen.

Een voorbeeld:

Voor veel kinderen is het aanvankelijk lastig om meer dan twee getallen (onder de tien) ‘uit het hoofd’ op te tellen, vooral wanneer je daarbij boven de twintig komt. Dat leidt dan tot nog eens overdoen, om zeker te zijn. Zijn de uitkomsten ongelijk, dan is een derde berekening nodig om uitkomst te bieden. De ervaren rekenaar hanteert hierbij allerhande persoonlijke handigheidjes om deze onhandige procedure te bekorten.

127

Zo’n handigheidje is ook hierna in het voorbeeld ‘optellen met onthouden’ gebruikt. De zwakke rekenaar kan er steun aan hebben omdat ‘rekenen boven de twintig’ nu niet nodig is en juist het rekenen onder de twintig, dat bij zulke leerlingen vaak onvoldoende geautomatiseerd is, nog eens extra geoefend wordt.

Naast elkaar staan hier nog eens drie vormen voor het cijferend optellen onder elkaar. Bij de linker vorm is er gewerkt met kolommen en inwisselen zoals hiervoor beschreven werd. Bij de middelste vorm wordt het onthouden ingeleid, het cijfer dat ingewisseld wordt is al klein geschreven. Bij de laatste vorm is onthouden wat ingewisseld moet worden. Dit is de meest verkorte werkwijze, die nu ook voor een groot deel uit een mentale handeling (in het hoofd dus) bestaat. Noodzakelijk voor het vinden van het antwoord is dat laatste niet. Het hoeft niet zo kort en er kan meer op papier komen.
Kinderen zijn erbij gebaat de fase van het ‘onthouden’ in eigen tempo te bereiken. Een zwakke rekenaar, die problemen heeft met het tegelijkertijd onthouden en rekenen, hoeft dat niveau niet te bereiken. Dat geldt straks ook voor de andere bewerkingen.

Het aanvankelijk hardop verwoorden van hetgeen gedaan wordt tijdens het uitrekenen ondersteunt het leerproces. Globaal gezien kan dit leerproces dan via de volgende fasen verlopen: eerst concrete handelingen (bijvoorbeeld met geschikt materiaal), dan het beschrijven van die handelingen op papier (ondersteund door de papieren abacus), vervolgens worden de handelingen hardop verwoord en tenslotte gebeurt dit alles ‘in het hoofd’. Het mentale niveau is bereikt. Onderweg kunnen verkortingen (handigheidjes) worden aangebracht, zodat de uiteindelijke mentale handeling zo efficiënt mogelijk is voor die bepaalde rekenaar.

Hiervoor was sprake van een handigheidje. Sommige leraren en leerlingen spreken in dergelijke gevallen over foefjes. Dat zou ik niet doen, want het woord foefje roept een verkeerd beeld van het rekenen op. Het woord ‘handigheid’ klinkt positiever, kan iets persoonlijks hebben en bij rekenen dient er altijd een redenering aan het werk ten grondslag te liggen.

Wie later het optelalgoritme nog eens bewust wil maken kan uit de voeten met ‘getalgriezels’. Eén keer op dit spoor gezet vinden kinderen het leuk om dergelijke opgaven voor elkaar te bedenken. Vraag dan wel of ze zelf het antwoord ergens willen bewaren!

Een klein voorbeeld:

128

Cijferend vermenigvuldigen

Ziet men het vermenigvuldigen als een herhaalde optelling, dan ligt het voor de hand om cijferend vermenigvuldigen in nauwe aansluiting op het cijferend optellen te ontwikkelen. En wel op twee sporen, die pas bij het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers in elkaars verlengde komen te liggen. Het ene spoor volgt het schattend vermenigvuldigen, nu ook met getallen groter dan 100. Het andere spoor staat aanvankelijk geheel in dienst van het door elkaar oefenen van tafelproducten van één tafel per opgave.

Daartussen loopt nog een derde spoor. Dit is het spoor van de ‘natuurlijke’ aanpak. Het begint met een probleem, waarvoor de kinderen nog niet direct een oplossing bij de hand hebben. Bijvoorbeeld: “Er staat in de gang een groot aantal pakken met schriften. Hoeveel zouden dat er zijn?” Na telling blijken er 17 pakken te staan, van elk 25 schriften.
“Hoe kunnen we dat aantal uitrekenen?” Het idee wordt dan geopperd om dat met de (papieren) abacus te doen. Dat is er één met behoorlijk lange kolommen (staven).

Het schema (de positiestrepen van de papieren abacus) noodt tot structureren, eerst naar tientallen en eenheden, vervolgens naar groepen van tien. Want 10 x 25 = 250. Wie die rekenregel niet door heeft, kan hem op de abacus ook nog eens zien ontstaan. Want de 0 ‘erachter plaatsen’ is uiteindelijk niets anders dan ‘een plaatsje opschuiven’, hier tien vijven inwisselen voor vijf tientallen, net als in de tafel van 5 al, onopgemerkt, gebeurde: 10 x 5 = 50.
Nu, na de afsplitsing van 10 x 25, is er nog 7 x 25 te berekenen.
Langzamerhand ontwikkelt men zo, samen met de kinderen, een rekenwijze voor het cijferend vermenigvuldigen, die uitmondt in een vaardige toepassing van de bekende standaardprocedure op mentaal niveau. Zwakke rekenaars krijgen de vrijheid om op een minder hoog niveau toch cijferend te vermenigvuldigen, ook met grote getallen.

129

En nu de beide andere sporen. Eerst het schatten verbonden met het handig rekenen, waarbij aanvankelijk de getallen in de buurt van de 100-tallen gekozen werden.

“Is 5 x 201 groter of kleiner dan 1000?” Bij zulke vragen plukte ik de vruchten van het al vaak gespeelde spel: Ik heb een getal in gedachten, het is groter dan 200 en kleiner dan 300; of de variant daarop: “Het zit in de tafel van 2 en is groter dan 4 x 2 en kleiner dan 8 x 2, enzovoort.”
Nadat de tafel van 200 een paar keer gezegd was, leverde het uit het hoofd vermenigvuldigen van 100-tallen weinig problemen op. Datzelfde gold voor het vervangen van 201 door 200.

Dan het andere spoor, waarmee de tafels nog eens extra geoefend kunnen worden.

130

Op een morgen had ik de tafel van 6 nog eens goed ‘bewogen’. Bij het ‘door elkaar’ vragen waren daarbij een paar lastige tafelproducten op het bord geschreven. Bijvoorbeeld 6 x 458. Dat deden we nog eens netjes en in kleur over.
En zo ontstond (a): 6×8 (enen) = 48 ‘eenheden’. En 6 x 5 (tienen) = 30 ‘tientallen’, vervolgens 6×4 (honderden) = 24 ‘honderdtallen’.
Niet lang daarna gebruikte ik de meer compacte schrijfwijze (b1): 2400 en 48 passen toevallig op een regel als 2448; 30, eigenlijk 300, moet dan nog apart vermeld worden. Nog weer later (b2): de cijfers van de tientallen op één regel, en ook die van de eenheden. Zo dus: 6 x 8 = 48, noteer 4 als tiental en 8 als eenheid. Dan 6 x 5, met de wetenschap dat het antwoord nu één plaats naar links komt te staan, omdat 5 staat voor 5 tientallen. Dus 6 x 5 = 30, noteer de 3 als tiental (maar op de plaats van de honderdtallen) en de 0 als eenheid (maar op de plaats van de tientallen). Nu 6 x 4 = 24, de 2 op de plaats van de tientallen (hier duizendtallen) en de 4 op de plek van de eenheden (hier honderdtallen).
Met (c) werkte ik het ‘onthouden’ in de hand. Bijvoorbeeld bij 6 x 8 = 48 eerst de 8 op de goede plaats te noteren, en dan de 4 in de rij erboven, een plaats naar links.
Wie dat ging doen kwam ui‘ bij (d), waar in één keer het antwoord wordt genoteerd: 6×8 = 48; schrijf op de 8 en onthoud 4 (tienen); 6 x 5 = 30 (tienen), plus 4 (tienen), is 34 (tienen). Noteer 4 en onthoud 3 (honderdtallen). Enzovoort.
Zoiets doe je natuurlijk niet in een paar dagen.

Worden vervolgens ook opdrachten gegeven om grote aantallen te bepalen, bijvoorbeeld totalen uit een aantal dozen met nietjes, met elastieken, met lucifers, enzovoort, dan kan dat wat rekenkundig ontdekt is, ook praktisch toegepast worden.

Bij de eerder genoemde ‘natuurlijke aanpak’ van het cijferen op school, is het praktische toepassingsgebied van het cijferen van meet af aan in beeld. De gang van zaken is daar, didactisch gezien, precies andersom. De rekenkundige bewerking wordt geconstrueerd op basis van praktische problemen; hier wordt de rekenkundige bewerking ‘theoretisch’ behandeld, en later praktisch toegepast. Welk spoor men ook kiest, het mag niet gebeuren dat men aan het toepassen niet toekomt!

Er kan op verschillende manieren gewerkt worden: schattend, tellend, optellend, vermenigvuldigend. Wat handig is, wordt zo al doende ervaren. Het rekenen wordt daarbij aangezet vanuit echte situaties, die bij kinderen het vermenigvuldigen oproepen. Wie kinderen wijst op bepaalde vermenigvuldigstructuren laat het mes aan twee kanten snijden: men ziet de toepassingen en ondervindt steun bij het cijferen.
131

Een van de opgaven van een rekenkaart of werkblad (zie ook Terzijde: Over werkvormen) is:
Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72e verjaardag? Probeer dat zelf uit te zoeken!

Vragen en situaties als op zo’n werkblad kunnen het vermenigvuldigen met grote(re) getallen uitlokken. Het ‘zoek dat zelf uit’ houdt weer zowel een pedagogische als een didactische keuze in. Eerder zijn bouwstenen aangereikt. Wil je de leerlingen zelf, onder begeleiding en met ruimte voor eigen inbreng, een algoritme laten opbouwen of kies je voor een gestuurd leerproces dat sterk bepaald is door de standaardprocedures van het cijferen?
Valt je keuze op het zelf ontdekken, dan bewandelt niet ieder kind een zelfde weg
naar het eindalgoritme. En er wordt niet gemeenschappelijk op eenzelfde niveau gewerkt. De leerlingen construeren via zelf ontdekte verkortingen de uiteindelijke vorm waarin zij het algoritme gaan uitvoeren. De leraar die hiervoor kiest, moet stevig in zijn schoenen staan. Behalve een diep inzicht in verschillende varianten van cijferprocedures, moet hij zijn leerlingen ook goed kennen naar rekenvaardigheid en inzicht. Bovendien is kennis van de verschillende niveaus, waarop gecijferd kan worden, noodzakelijk.
Hieronder een schets van de mogelijke niveaus waarop de vraag “Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72ste verjaardag?” met cijferwerk aangepakt kan worden. Vergeten we even de schrikkeljaren tijdens de 72 jaar van opa (het zijn er misschien 18, of 19?), dan gaat het om de vermenigvuldiging 72 x 365.
Op het meest primitieve niveau worden (in gedachten, of echt op papier) 72 keer 365 onder elkaar gezet. Dat wordt een fikse optelling, misschien dat de kinderen door de nood gedwongen toch kleine verkortingen (tafels toepassen of 10 x zien) aan gaan brengen.
Op een iets hoger niveau brengen de kinderen direct al structuur aan in de lange optelrij onder elkaar. Ze maken 7 ‘brokken’ van 10 x 365 en moeten daar dan nog 2 x 365 aan toevoegen.
Op een nog hoger niveau is het vermenigvuldigen al in zicht. Men ziet in één klap 70 x 365, later te vermeerderen met 2 x 365. Die eerste vermenigvuldiging kan nog met de steun van de papieren abacus gedaan worden:

Op de volgende niveaus worden de handelingen van het inwisselen steeds meer mentaal uitgevoerd. De meest gevorderden maken gebruik van de standaardprocedure, zoals die algemeen bekend is.
132

De bovenstaande niveaus geven een onderwijsroute aan, die voor een individuele leerling anders kan verlopen; of doordat deze nog andere notatievormen gebruikt, of omdat niet alle stappen nodig waren voor het verwerven van de vaardigheid en het daarbij gewenste inzicht.

Aftrekken onder elkaar

“Dat was dan € 8,80, voor u nog twee dubbeltjes en één euro terug.”
Zo wordt er aan een kassa teruggegeven na betaling met een tientje. Men kan op die manier het aftrekken middels aanvullend optellen omzeilen. Dat is in deze situatie een vrij natuurlijke aanpak, die in de didactiek met ‘op-een-rij’ of ‘rijgmethode’ wordt aangeduid. Het is een handige manier van hoofdrekenen, het materiaal (hier de twee dubbeltjes en de gulden) geeft concrete steun. Later kan een dergelijke steun, op schematischer niveau, door de lege getallenlijn geboden worden. Het aanvullen gebeurt dan in principe op dezelfde wijze:

(lees voor gulden: euro)

Maar we zouden het over cijferend aftrekken hebben, en daar gaat het weer anders toe.

Ook dan dient de leraar een eigen keus te maken. En ook in dit geval van aftrekken heeft die keus een pedagogische en didactische dimensie. Laten we eens zien wat er didactisch mogelijk is.
In de eerste plaats kan men uitleggen, hoe de rekenwijze van het aftrekken onder elkaar werkt en waarom die werkwijze tot een goed antwoord leidt. Een veelgebruikt hulpmiddel is het MAB-unifixmateriaal, met eenheden (kubusjes van ca 1 x 1 x 1 cm), staafjes (van 10 eenheden), plakken (van 10 x 10 eenheden) en een kubus (van 10 plakken). De eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen zijn duidelijk gestructureerd en laten over het inwisselen geen enkel misverstand bestaan. De didactiek, die hiervan gebruik maakt, wordt wel eens gekarakteriseerd als een structuralistische didactiek. De structuur van de standaardprocedure is uitgangspunt. Deze werkwijze sluit ook aan bij het inpakken van de ‘tallen’ in steeds grotere eenheden, zoals dat gebeurde in een doorkijkje.

133

Evengoed kan hier met geld gewerkt worden, al zijn er leraren, die het ontbreken van echte centen in het geldverkeer van nu als een didactische beperking zien.
Een andere mogelijkheid is om de kinderen zelf te laten uitzoeken hoe de standaardprocedure, door volwassenen gebruikt, eigenlijk werkt. De leraar moet dan wel proberen de kinderen ook te laten uitdenken, waarom die rekenwijze goed werkt. Dus niet louter instrumentele kennis ontwikkelen, maar ook inzichtelijke.

In de loop der tijd hebben leraren geprobeerd de rekenwijze van allerlei ‘franje’ te voorzien, met het doel het voor de kinderen gemakkelijker te maken. Men kan er nu niet meer omheen te constateren dat sommige ‘versieringen’ mechanistische trekken vertonen. De didactische inzichten zijn inmiddels zover gevorderd, dat elke leraar nu zijn eigen keus kan maken en precies weet waarvoor hij kiest.

Ten slotte noemen we de aanpak, die dicht staat bij de leergang zoals die geschetst is bij het optellen onder elkaar:
• Eerst op de lus-abacus met concrete handelingen voor het wegnemen en inwisselen.
• Dan noteren in het schema van de positiestrepen op papier.
• In toenemende mate verwoorden en zo mogelijk verkorten.
• En tenslotte mentaal, als de rekenhandelingen uit/in het hoofd gebeuren.
Hier spreekt men van de reconstructiedidactiek: de kinderen (re-)construeren zelf de rekenwijze. Een didactiek die zich onderscheidt van de reproductiedidactiek, waarmee de leerlingen alleen leren het voorgezegde na te doen, te reproduceren.

Voor de aardigheid laten we hier nog drie verschillende rekenwijzen (op het hoogste niveau van de standaardprocedure) volgen. De eerste is ‘oer-Hollands’, de tweede hebben we op bladzijde 85 al ontmoet en gaat via het rekenen met tekorten. Tenslotte is er de rekenwijze die bekend staat als ‘de Oostenrijkse aftrekking’. Je kunt ook zeggen: de methode van het voorschieten.

134

Ziet u wat er allemaal gebeurd is?
Hier kan men even denken aan het inwisselen van tien amethiststeentjes voor een tijgeroog. 8 van 6 gaat niet, bedenk 16 (dus denk er een tijgeroog bij) en noteer die even op de goede plaats (in de kolom onder de 4) om niet te vergeten. Nu staan er dus 5 (= 4 +1) tijgerogen om eraf te halen! Nu 5 van 0 gaat niet, bedenk 10, enzovoort.
De rekenwijze oorspronkelijk gebruikt, volgt een andere redenering, die natuurlijk uiteindelijk op hetzelfde neerkomt. Er wordt dan niet gedacht aan aftrekken (6 – 8) maar in termen van optellen: 8 + … = 6. Je ziet dan dat het alleen maar 8 + 8 = 16 kan zijn en schrijft dan de 8 op, en ook de 1 (10 dus) van 16. Dan gaat men verder: 5 + 5 = 10; noteer de 5 en de 1 (eigenlijk 100), enzovoort.

De staartdeling

Geldt ook voor cijferend delen, net als bij temperamentsrekenen, dat het gelijktijdig met de andere cijferbewerkingen ingevoerd moet worden? Het antwoord hierop is “Nee”. Het gaat immers om het leren van een cultureel bepaalde werkwijze en niet om het creëren van een bewerking. Bovendien vooronderstelt hier de ene werkwijze vaardigheid in de andere.
Wie cijferend delen volgens de reconstructiedidactiek wil onderwijzen, kan dit ontwikkelen in nauwe aansluiting met cijferend aftrekken.
“Maaikes moeder kocht voor de verjaarstractatie snoepjes. Maaike telde ze, het waren er 68. Ze verwacht drie vriendinnetjes, zodat ze met z’n vieren zullen zijn.” Met een dergelijk probleem kan de leergang begonnen worden. Het is een opgave waarvan de kinderen in klas 4 (5) niet direct op basis van hun tafelkennis de oplossing zien. Bovendien is het een probleem waarmee ze concreet aan de gang kunnen. Als de snoepjes (of representanten ervan) in concreto aanwezig zijn, worden er natuurlijk even vier bakjes bij gezocht. En eerlijk verdelen kan iedereen. Wat is precies de vraag? “Hoeveel snoepjes krijgt elk in het zakje, als ze eerlijk verdeeld worden?”
De klas gaat als geheel of in kleine groepjes aan het verdelen. Onderwijl, of naderhand, kan de gang van zaken schematisch weergegeven worden op het bord. Het is een rechthoekschema, met de vier zakjes (of namen van de kinderen) bovenaan en de aantallen snoepjes, zoals die stap voor stap werden verdeeld, eronder


135

Was dit verjaardagsprobleem voorafgegaan door een ander, dat op bovenstaande manier is behandeld, dan kan deze verdeling nog schematischer worden aangepakt.
In het geval dat er 68 snoepjes zijn voor vijf kinderen zie je dan:

Deze werkwijze wordt door de kinderen in de klas ontwikkeld. De leraar levert, zo mogelijk tijdens het werk, het notatieschema. Hij zorgt er voor dat dit notatie-schema nauw aansluit bij de werkwijze van het verdelen. De kinderen zien hun werkwijze weerspiegeld op het bord.
Er volgen meer van deze problemen, de deeltallen worden groter en langzaam aan ook de delers. We sturen in deze fase ook aan op het plezier in eigen ontdekkingen die op basis van inzicht in de concrete handeling (verdelen, uitdelen, inpakken, …) tot stand kunnen worden gebracht.

• “Als moeder nu eens 112 snoepjes gekocht had, zouden er dan genoeg traktaties zijn voor alle 28 kinderen uit de klas?”
• “Wim vond op zolder een doos vol 413 buttons met bekende voetballers erop. Hij mag ze eerlijk verdelen met zijn vriendjes van het voetbalteam. Samen twaalf. Hoeveel buttons krijgt elk?”

Op een gevorderd niveau van verkorting (de sliert met ‘happen van tien’) ziet de oplossing van het laatste probleem er als volgt uit:

De werkwijze is nu bekend, er zijn al heel wat opgaven gemaakt, nu gaat het erom vlugger en met grotere getallen te werken. Daarbij komt het handig rekenen, verdubbelen en halveren, samennemen van ‘tussen antwoorden’, rekenen met nullen, maar ook globaal schattend rekenen als vanzelf onder de aandacht. De kinderen kunnen van elkaars vondsten leren. Door ze uit te dagen het steeds korter te doen, kan ieder op eigen niveau -en dus gedifferentieerd- aan dezelfde opgaven werken.
136

De ‘grootste mooie hap’ markeert nu het moment, dat de fase van het eindalgoritme bereikt wordt. Dat kan er bijvoorbeeld als volgt uit zien:

Het werken met resten hoeft nu geen probleem te zijn. Door van meet af aan en op elk moment in de staart af te trekken met complete getallen, wordt een rest ook beleefd als datgene wat overblijft.
Niet alle leerlingen zullen al snel tot deze eindvorm overgaan. Dat is ook niet nodig om tot het juiste antwoord te komen. Wel kan het voor de wat langzamere leerling een steun zijn, zeker als de delers groter worden, om het berekenen van de happen niet langer binnen het bewerkingsschema, maar veeleer er naast in een afzonderlijke tabel uit te schrijven. Bij de bovenstaande opgave komt dat neer op:

Ook het happenschema kan steeds meer verkort worden. Zo komt het accent nu haast ongemerkt op het handig rekenen binnen het happenschema te liggen.

Welke notatie willen we dat onze leerlingen (uiteindelijk) hanteren? Er zijn in Nederland verschillende in gebruik:
24 /5621 \ … is wel de van oudsher meest bekende. De kinderen zien niet direct dat het om een deling gaat, die schreven ze immers als 5621 : 24, waarin deeltal en deler een andere volgorde hebben.
Hetzelfde geldt eigenlijk ook voor de hiervoor gehanteerde notatievorm. Plaatsen we de deler achter het deeltal, dan is dit verband wel direct te zien. In principe verandert er dan rekenkundig niets en didactisch maar weinig, en wie inventief is kan bovendien aan die notatiewijze ook een bruikbare betekenis geven.

137

Het staartdelen volgens het bekende model 24/ 5641 \ … is problematisch omdat er van links naar rechts moet worden gedacht. Bij al het andere cijferwerk begonnen we aan de kant van de kleinste positie, bij de eenheden. Nu moeten we met delen ineens aan de andere kant beginnen! Wie kan vertellen waarom eigenlijk? Is het trouwens echt nodig?
Heel nuttig is ook het feit dat bij de hier gekozen notatie het achterliggende verhaal zichtbaar gemaakt kan worden. Stel dat 5621 staat voor negerzoenen, die in bussen van 24 worden verpakt:

138

Met dergelijke vragen zijn we op een reflectief niveau terecht gekomen: de rekenwijze (algoritme) wordt niet ‘geleerd’, maar ‘aan een kritische beschouwing’ onderworpen. Dit idee werd hier ook al eerder naar voren gebracht (zie blz 126). Men kan zelfs de kinderen van de vijfde of zesde klas in dit kader laten reflecteren op hun eigen leerproces. Je vraagt dan om hun advies: “Welke methode vinden jullie het meest geschikt voor de kinderen die volgend jaar staartdelen gaan leren? Kun je ook zeggen waarom?”
Rekendidactici spreken bij dergelijke opdrachten over ‘eigen producties’. Bij het beantwoorden van de vraag worden de kinderen genoodzaakt om na te denken over de wijze waarop zij de staartdeling geleerd en begrepen hebben. Het is eigenlijk een ‘didactische’ opdracht, niet zo vreemd dat er goede resultaten mee behaald zijn, want leraren weten uit ervaring dat bepaalde zaken pas echt duidelijk worden als ze moeten worden onderwezen.

3.4 Schattend rekenen

Naast het gewone rekenen en later het cijferen, is het belangrijk ook bewust aandacht te besteden aan het schatten. Immers, het kleine kind leert bij het ontdekken van zijn wereld het schatten kennen als een natuurlijk appel van de buitenwereld aan zijn wil. We mogen misschien wel stellen, dat deze activiteit van het schatten, in de zin van iets wel of niet kunnen, het wel of niet wagen, één van de motivaties is voor zijn bewegingszin. En afhankelijk van de aard van de activiteit is het ook bevorderlijk voor de evenwichtszin, wellicht zelfs voor de levenszin, omdat schatten erg veel te maken heeft met vertrouwen in, en leren kennen en hanteren van, allerlei levenssituaties.

Het is duidelijk, dat we met schatten niet bedoelen: raden (hoeveel vingers houd ik op mijn rug?), of gokken of gissen; dat is gebaseerd op puur (on)geluk.
Het schatten staat tegenover het precieze berekenen en meten: het exact willen vaststellen van een uitkomst of meetresultaat. Het laatste is een denkactiviteit, die pas eindigt, wanneer, na goed opgezet rekenwerk, het precieze antwoord is gevonden. Dit antwoord en de rekenwijze kunnen gecontroleerd worden met een objectieve methode.

De eersteklas leerkracht weet heel goed dat je om bepaalde afstanden, hoogten, oppervlakten, enzovoort te kunnen schatten, enige referentiematen tot je beschikking moet hebben. Nu is ‘meten’ in eerste instantie niets anders dan vergelijken. En als de kinderen rechtstreeks kunnen vergelijken hoeft er natuurlijk niet geschat te worden. Daarom heeft de leerkracht dit keer een paar stapeltjes boeken op zijn tafeltje gezet. De kinderen hebben er al eens vreemd naar gekeken. Die boeken stonden er voorheen toch niet! Op een zeker moment komt de aap uit de mouw. Hen wordt gevraagd of ze denken dat die stapeltjes op de één na bovenste plank in de kast passen …

We weten het niet zo goed. Wordt er door de kinderen in de eerste klas ook binnen de wereld van het getal geschat? Je zou in dat geval van ‘schattend rekenen’ kunnen praten. Zoiets als in een hogere klas: “Wat denk je, is die berekening van Herman goed? Hij kreeg uit 45 x 237 het getal 40 665? Even proberen: 50 x 200 = 10 000. En 50 x 230 is 1500 meer, dus 11 500. Het is vast te groot!”

139

We stelden al eerder, dat rekenen geleerd wordt vanuit de bewegingszin en steeds meer tot denkactiviteit wordt. Het is zelfs zo, dat het wiskundewerk in een later stadium alleen nog door de bijzondere kracht van het denken kan worden volbracht, namelijk als het geheel abstract is geworden. Schatten is dan de bron geworden voor ‘globaal rekenen’.
De maatschappelijke relevantie hiervan is, nu het pietluttig cijferen steeds vaker aan de zakrekenmachine (zie blz. 361) overgelaten kan worden, bijzonder groot. Een toets wordt al snel verkeerd ingedrukt, wie zo’n ‘machien’ gebruikt moet het antwoord dat in het venster verschijnt, dus globaal rekenend kunnen controleren. Wat komt er bij dit schatten zoal kijken?

“Karin wil jij even vijf broden van € 1,95 halen, hier heb je een tientje. Heeft Karin hieraan genoeg?” Dat is even ons probleem. Kinderen die niet hebben leren schatten gaan zoiets precies uitrekenen. Hoe kun je dat voorkomen? En welke vaardigheden wil je daarvoor bij hen ontwikkelen? Maar eerst: Hoe schat je nu zo’n antwoord?
Wel: € 1,95 dat is natuurlijk (ongeveer) 2 euro. Dat het euro’s  zijn, daar zien we nu eerst van af. Dan kunnen we er in plaats van 5 x 2 ook wel 2 x 5 (en dat is 10) van maken. Oh ja, het ging over euro’s, dus dat is ongeveer een tientje. Hebben we nu genoeg? Want ‘ongeveer’ dat kan ook wel ‘iets meer’ zijn. Ja, gelukkig het is iets minder, we hadden toch naar boven afgerond, het antwoord is dus iets te groot! Nog genoeg voor een toverbal? Die dingen kosten een 25 eurocent. Even zien …

Wat is er nu ‘gedaan’? Eerst hebben we door afronden het probleem opnieuw geformuleerd, € 1,95 werd f €2,-. Daarna hebben we het vertaald, € 2,- werd kortweg 2 en toen rekenden we met 5 x 2 of met 2 x 5. Het resultaat werd weer terugvertaald in geld. Ten slotte zijn we even nagegaan of we nu het antwoord hadden; de procedure werd onder de loep genomen, moet er voor dit globale rekenen nog ergens gecompenseerd worden? Het antwoord was “nee” en leverde meteen een nieuwe vraagstelling op. Zo gaat dat vaak bij schatten.

Herformuleren, vertalen en compenseren zijn termen voor vaardigheden, die voor schatten ontwikkeld moeten worden. Zulke vaardigheden kun je pas leren wanneer je durft te schatten. Voor veel kinderen is dat inderdaad een zaak van courage. En het schatten blijft, ook daarna, een zeer praktische wilsaktiviteit, die met beide benen op de grond moet worden verricht. Nu eens ter controle van de zojuist bedoelde abstracte berekeningen, ook vooraf aan dergelijk mechanisch rekenwerk, dan weer in de context van eigen uitgaven.
Schatten kan ook inhouden, dat je genoegen moet nemen met een grofschalige en gevoelsmatige benadering, hetgeen voor precies-alles-beredenerende mensen en kinderen wel eens moeilijk te accepteren is. De wilsactiviteit van het schatten is vooral gelegen in het vergelijken, in het leggen van verbanden. Het is vooral het zien van een relatie tussen enkele grootheden of getallen. Je moet een verband leggen en vervolgens gevoelsmatig afwegen.

Enkele voorbeelden, waarbij het schatten als natuurlijke kwaliteit wordt benaderd:
• Een kind schat of het ‘ergens overheen kan springen’; het tast gevoelsmatig af of de relatie tussen die hoge heg en zijn wilskracht van dien aard is, dat zijn sprong hoog genoeg zal zijn. We ervaren, dat hier geen sprake is van enige
140

objectiviteit; er speelt immers het persoonlijke element van zelfkennis en moed mee, dat zelfs per keer bij het zelfde kind nog kan verschillen.
• Een kind schat of het ‘kan oversteken’. Essentieel is hier de individueel geaarde tegenwoordigheid van geest, wil, moed, voorzichtigheid, angst.
• Het gooien van een voorwerp met de bedoeling iets te raken, berust op schatten. Je ‘mikt’ zo goed mogelijk. Je legt verband tussen diverse realiteiten: afstand, zwaarte van het voorwerp, eigen kracht, later ook windrichting.
• Bij dit alles hoort ook het leren van ervaringen, het herhaaldelijk doen en het desgewenst bijstellen om een zo fijn mogelijk inschattingsvermogen te krijgen. Op dit punt komt ook het idee van ‘persoonlijke referentiemaat’ weer om de hoek kijken. Ook die verwerft men door de ervaring. Maar op school kan de leraar een geschikte omgeving ervoor creëren.

Zo uitgedrukt is het een talent dat in diepste wezen te maken heeft met zelfkennis: het al dan niet juist inschatten (taxeren) van situaties en daarbij het eventueel onderschatten en overschatten van jezelf of van anderen. Dan ligt ook hier een direct verband tussen de ‘bewegingszin’ en de ‘ik-zin’.

Practische toepassingen van schatten:

• De hoogte van een boom schatten; ongeveer 4 x de lengte van mijn vader. Waar valt de kruin als hij zou worden omgehakt?
• Het aantal opgestoken vingers tellen in een volle zaal. Even snel een groep van tien tellen en dat vermenigvuldigen met groepen van naar schatting tien mensen.
• Hoe hoog is de deuropening? Ik ben 1.60 m. Kan dat paneel erdoor?
• Hoeveel velletjes papier liggen er op die grote stapel?
• Een praktisch controlerende functie in: 3,7 x 15,8 = 5846. Waar staat de komma? 3 x 15 = 45…
• Hoeveel stappen is het naar je plaats?
• Hoe lang zal het gaan duren? (nootjes uittellen voor 25 kinderen uit de klas).
• Hoeveel schat je?

141

Tenslotte nog wat ‘creatieve oefenstof’:

• Kan dat: 18 000 baby’s geboren in één jaar in Nederland?
• Iemand is 1 miljoen seconden oud. Hoeveel jaar is dat ongeveer?
• Een olietanker verloor 1 miljoen liter ruwe olie. Hoe groot is de olievlek die daardoor de kust bedreigt?
• Hoe groot is de gemiddelde snelheid van een wandelaar?
• Hoeveel aardappelen denk je dat er gemiddeld in een kilo (kuub, mud,…) gaan?
• Hoeveel auto’s denk je dat er in die file van 4 kilometer voor de Coentunnel staan?
• Wat denk je dat het kost als die lamp van 100 Watt de hele vakantie, dag en nacht heeft gebrand?
• Hoeveel zouden wij met elkaar ongeveer wegen?
• Hoe rond je 135,776 af?
• Wat weet je als bekend is dat het getal 3700 afgerond is op honderdtallen?
• Hoe groot is de fout die gemaakt wordt bij de benadering 74 x 28 = 2100′?
• Maak een benadering van 74 x 28 met een afwijking die niet groter is dan tien procent.
• Bij de Primafoonwinkel kun je een ‘homevox’ kopen voor € 289,- of huren voor € 13,- per maand. Wat zou voordeliger zijn?

142

Rekenspelen

Inleiding

Wie de kleuter waarneemt in het vrije spel en het plezier, de ernst en overgave ziet waarmee het de wereld om zich heen ordent en structureert, ervaart dat spelen meer is dan spelletjes doen. De drang tot nabootsen wordt gevormd door de krachten van de fantasie, die daardoor zelf tot ontwikkeling komen.
Wanneer met de schoolrijpheid de krachten, die zich eerst hoofdzakelijk hadden ingezet voor het vormen van het lichaam, meer en meer beschikbaar komen voor het leren, kan het kind deze met fantasie inzetten. Dat gebeurt als inhouden, die via leren verworven zijn, verwerkt worden in spelsituaties.
Vanuit deze achtergrond bezien voegen rekenspelletjes aan het (reken)onderwijs iets toe, dat in het gewone klassikale leren of in het oefenen niet zonder meer gegeven is. Zulke spelen zijn hier dus niet bedoeld als een extraatje, als iets wat je doet wanneer er tijd over is of als beloning wanneer kinderen met hun werk klaar zijn, doch als werkvorm om leerstof op te nemen ofte verwerken.
Dat betrokkenheid, die aan het spelen van kinderen eigen is, ook het leerproces positief ondersteunt vormt dus niet de aanleiding tot het doen van rekenspelletjes. Het gaat om de meerwaarde die het spelen voor de ontwikkeling van het kind heeft.
Karakteristiek voor het spelen is dat de activiteit doel in zichzelf is en niet primair een ander doel dient zoals dat bij leren het geval is. Daarbij verlopen spelletjes volgens spelregels die aan de bezigheid betekenis geven en deze in ruimte en tijd structureren.

Een extra dimensie krijgen de rekenspelletjes als we ze met de kinderen samen maken of als we ze zelf door de kinderen laten ontwerpen.

De werklust bij het rekenen in de klas was niet te stuiten. We hadden de Arabische cijfers geleerd en de kinderen deden niets liever dan vellen vol tekenen met getallen. Dat inspireerde tot het gaan maken van een rekenspel.
Ik liet de kinderen op kartonnen kaartjes de getallen 1 tot en met 9 schrijven. En wel zo dat de kinderen twee aan twee konden gaan werken. Het ene kind kreeg de opdracht de getallen 1 tot en met 5, het andere kind 5 tot en met 9 op te schrijven.
Sommige kinderen vonden het maar vreemd. Jantine en Esther kregen bijna ruzie: “Waarom allebei 5? Ik heb toch al de 5 gedaan?” “Waar is de 10, juf?” Voorlopig liet ik de vragen onbeantwoord en bleef het voor de kinderen allemaal een groot geheim.
Toen het schrijfwerk gedaan was, mochten de kinderen de kaartjes in een stapel van 30 stuks met een elastiekje bij elkaar binden, Jantine, altijd even gewiekst, organiseerde onmiddellijk nog vier vriendjes om samen te doen! “Rekenen zal ik haar niet hoeven leren”, ging er even door mij heen.
In de loop van de volgende dag gingen we ons spel spelen. De kinderen zaten in groepjes van zes rond een tafel en kregen ieder een stapel kaartjes om omgekeerd op tafel te leggen. De spanning steeg en toen kwam de spelregel: om de beurt mag ieder kind twee kaartjes omdraaien, als de som tien is mag je de kaartjes open naast elkaar aan de rand van de tafel leggen. Is het geen tien samen, dan moet je de kaartjes weer omdraaien en terugleggen en is het volgende kind aan de beurt.
Tijdens het spelen deden de kinderen zelf allerlei rekenontdekkingen. “Nu weet ik waarom we allebei een 5 moesten maken!” en het grote geheim van de ontbrekende 10 werd een verrassende vanzelfsprekendheid.
Nog lang werden de spelkaarten op allerlei manieren gebruikt omdat de kinderen er steeds meer spelletjes mee wisten te bedenken.

143

Juist door het zelf maken en het naderhand spelen kunnen de kinderen rekenwerk, dat in het spel verborgen zit en waarvan ze zich bij het maken niet bewust waren, ook zelf uitvinden.
Voor de hogere klassen kan het maken van een spel eveneens een bijdrage zijn aan de begripsvorming. Het gaat dan niet alleen om sport en spel buiten, waarin bijvoorbeeld met een stopwatch de kommagetallen (decimale breuken) onder de aandacht worden gebracht. Het kan ook anders. In de zesde klas bijvoorbeeld kunnen de kinderen een pro-centen-ganzenbord maken. Tijdens het vertellen is in de kinderen een ware Romeinse koopmanslust ontwaakt. In kleine groepjes kunnen de kinderen nu de levensloop van een koopman uitbeelden. Voor elk beeld een procentensom. In de loop van zijn leven doen zich allerlei gebeurtenissen voor, zoals inkopen en verkopen, winst maken en verlies lijden, loonsverhogingen voor de werknemers vaststellen, de huur van het huis verhogen of verlagen, een huis bouwen en naar verhouding inrichten voor het eigen gezin en ook voor het inwonende gezin van een broer, …
Zijn de bordspelen gemaakt, dan gaan de verschillende groepen elkaars spel spelen en wie weet is het spel wel zo mooi, dat het als werkblad in de rekenmap terecht komt.

Veelal kenmerken spelletjes zich door het plezier dat ze geven, maar ook doordat ze de kinderen leren omgaan met vreugde en teleurstelling bij winnen of verliezen, door concentratie op te roepen, door herhaling mogelijk te maken en door samenwerking met anderen te stimuleren. Zo worden in het spel naast de ontplooiing van de fantasiekrachten ook andere vermogens en gevoelens ontwikkeld.
Het kunnen uitvoeren van rekenspelletjes vooronderstelt enige vaardigheid in het kunnen tellen en het kunnen herkennen van aantallen en structuren, (onder andere bij het gebruik van dobbelstenen). In lagere klassen zullen ze meer aansluiten bij bewegingsactiviteiten in kring en tikspelen. In hogere klassen wordt in strategiespelen meer geappelleerd aan het handelen met inzicht. Daarnaast zijn er de gezelschapsspelen met kaarten of een speelbord; deze spelactiviteit staat gelijk aan het oefenen van (reken)vaardigheden.
Veel spelen uit het gebied van de lichamelijke opvoeding laten zich met enige fantasie ombouwen tot rekenspelen (Zie Wil van Haren en Rudolf Kischnick, Het grote spelenboek, Christofoor).
Voorbeelden van rekenspelletjes zijn op diverse plaatsen in dit boek te vinden. Hier volgen nog enkele voorbeelden ter inspiratie om zelf andere te bedenken.

I Memoriseren van de tafels

Op de stoel

De leerlingen staan op hun stoel. De spelleider zegt een getal bijvoorbeeld uit de tafel van 6 of van 7. Zit het getal in beide tafels (bijvoorbeeld 42), dan ga je voor je stoel staan. Bij een getal uit de tafel van 7 (bijvoorbeeld 21) sta je links ervan, bij een getal uit de tafel van 6 (bijvoorbeeld 54) rechts er van. En is het een getal uit geen van beide tafels (bijvoorbeeld 32) dan blijf je gewoon staan.

Variatie 1

Gebruik slechts één tafel (bijvoorbeeld die van 3). Is het ‘keergetal’ even (bijvoorbeeld 18), dan ga je rechts van de stoel staan; is het oneven dan sta je er links van.

Variatie 2

Is het keergetal een viervoud (bijvoorbeeld 12) sta je rechts; bij de andere tweevouden sta je links en bij de overige veelvouden sta je er voor.
144

Ratten en raven

In een open ruimte staan de leerlingen in twee rijen op ongeveer twee meter afstand tegenover elkaar. Rij A tikt rij B bij een getal uit bijvoorbeeld de tafel van 3; het omgekeerde gebeurt bij een getal uit de tafel van 7
Wie getikt wordt is af of geeft een pand (zie pandverbeuren), of iets dergelijks.
Om niet getikt te worden, moeten de leerlingen tot achter twee vooraf afgesproken lijnen rennen.

Pose

Kies twee (of meer ) tafels. Spreek voor elke tafel een eigen gebaar of pose af. Wordt een getal uit de betreffende tafel genoemd dan nemen de leerlingen de betreffende pose aan. Wie zich vergist kan bijvoorbeeld getikt worden door een tikker.

Variatie

Kies een tafel. Bij even keergetallen (bijvoorbeeld 6 keer), wordt een andere pose aangenomen dan bij oneven keergetallen.

Oversteken

Er is een tikker. De overige leerlingen staan achter een lijn Elke leerling draagt (bijvoorbeeld op een A-4 tje) een van de getallen 1 tot en met 12. De tikker noemt een getal uit één van de vooraf afgesproken taf els.De leerling met het corresponderende keergetal moet oversteken, maar kan getikt worden tot hij de overkant bereikt heeft.

Tik me.

De leerlingen staan in een ruime kring. Diametraal tegenover elkaar staan buiten de kring een renner en een tikker. Een getal uit de tafel wordt genoemd door de renner. Hij loopt evenveel leerlingen verder als het keergetal aangeeft en wisselt met de daar aanwezige leerling die een nieuw getal uit de tafel roept, enzovoort. Wordt er getikt dan wisselen de leerlingen van rol, gaan weer diametraal tegenover elkaar staan, waarna het spel opnieuw begint.

Molen

Alle leerlingen vormen met elkaar de vier wieken van een molen. Elke wiek is een andere tafel. Er is een renner die een getal uit een van de vier tafels roept. De betreffende wiek rent nu in zijn geheel een rondje om de molen. De renner gaat op de plek van de lege wiek staan. De leerling die als laatste terug is, wordt de nieuwe renner en noemt een nieuw getal.

Kat en muis

De leerlingen staan in een aantal rijen en kolommen opgesteld. Leerlingen in eenzelfde rij houden elkaar vast. Er is een kat die een muis probeert te vangen. Ze mogen niet door een rij heen breken, maar de muis kan van een kolom een rij maken (en vice versa) door uit een vooraf afgesproken tafel een (on)even keergetal te roepen. De leraar tikt daarbij op een tamboerijn. Zodra een met het tafelgetal corresponderend aantal ‘keer-tikken’ geklonken heeft, veranderen de kolommen weer in de oorspronkelijke rijen. De kat en de muis bewegen zich bij dit spel op vier poten voort.

II Bordspelen voor basisvaardigheden

Ladder op en af

Teken een ladder met 20 sporten. Zet boven de eerste sport een 1, boven de tweede een 2 enzovoort tot en met 20. Plaats één pion op de 10. Bij toerbeurt werpen leerling A en leerling B met één dobbelsteen. Daarbij gaat A zijn geworpen aantal ogen omhoog en B zijn aantal ogen omlaag. Wie is als eerste van de ladder af?

Bij gebruik van een dobbelsteen met twaalf vlakken (pentagon dodecaëder) kan een ladder met 100 sporten genomen worden en beginnen ze met de pion op 50. (Het spel duurt dan vrij lang).

Samen tien

Er worden (ten minste) tien kartonnen kaartjes gemaakt met daarop de cijfers 1 tot en met 9. Op het overgebleven kaartje komt nog een 5. De kaartjes worden omgekeerd op tafel gelegd. Om beurten mogen de spelers twee kaarten omdraaien. Wie samen tien heeft, mag de kaartjes open naast zich op tafel leggen. Wie de meeste kaartjes heeft, is winnaar.

Samen zeven

De getallen 1 tot en met 6 worden op kaartjes gezet en die worden open op tafel gelegd. Er wordt met één dobbelsteen gespeeld. Na elke worp mag het kaartje genomen worden dat het aantal ogen aanvult tot 7. Wie zich vergist moet zijn kaartje laten liggen. (Het goede antwoord staat onder op de dobbelsteen).

Men kan een groter ‘combinatiegetal’ maken door met een groter getal op de kaartjes te beginnen.

Vijftien op een rij

Speler A heeft vijf witte platte ‘stenen’ met daarop de oneven getallen tot en met 9. Speler B heeft vier groene platte stenen met daarop de even getallen tot 9. Het speelveld is een vierkant met daarin een kruis en twee diagonalen. Speler A begint en legt een steen op een snijpunt van lijnen, daarna speler B. Het doel is drie stenen op een rij (horizontaal, verticaal of diagonaal) te krijgen die samen vijftien zijn. Je mag de tegenspeler natuurlijk hinderen.

Door alle getallen met eenzelfde bedrag te vermeerderen, te vermenigvuldigen of te delen (breuken), kan naar een andere ‘rijsom’gevraagd worden.

‘De slechte één’

Eén speler schrijft. Er wordt met een dobbelsteen geworpen zolang men wil, maar nooit langer dan dat er een 1 geworpen wordt. Zodra men gestopt is komt de volgende speler aan de beurt. Ieder houdt zijn eigen score bij door zijn geworpen ogen met luide stem op te tellen. Wordt de beurt met een 1 afgesloten, dan tellen de ogen van die hele beurt niet. Wie heeft als eerste 111?

III Hoofdrekenspelen

Spelen waarbij zelfstandig uit het hoofd gerekend wordt.

Vind mijn getal

Eerst leg je een gebied vast waarbinnen het te raden getal zich bevindt. Daarna geef je hints waarmee het getal te vinden is. Wie het getal gevonden heeft, zegt het niet maar geeft ook hints. Een voorbeeld:

“Het is een getal tussen de 48 en de 101.”
146

“Het verschilt één met een vierkantsgetal (kwadraat).”
“Het is een getal uit de tafel van 5.”
“Doe je er vijf bij dan is het een getal uit de tafel van 7.”
“Het getal is oneven.”

Eigen getal in gedachten

Alle spelers kiezen een ‘eigen’ getal. De spelleider geeft rekenopdrachten, die ieder met zijn eigen getal uitvoert. Tenslotte noemt hij één uitkomst, die dan voor iedereen, onafhankelijk van het gekozen startgetal, blijkt te kloppen.

Welk getal heb ik in gedachten?

“Ik heb een getal in gedachten, ik doe daar ……., … dan is het antwoord nu 10! Wat was mijn oorspronkelijke getal?”

De kinderen krijgen nu even de tijd om zich alle stappen te herinneren en de bewerkingen in omgekeerde volgorde en op de tegengestelde wijze uit te voeren. Zo vinden ze een antwoord. Dit wordt nog niet gezegd. Daarna worden alle vragen nog eens in de oorspronkelijke volgorde gezegd. De kinderen rekenen nu op basis van hun antwoord mee en kunnen zo zichzelf controleren.
In een lagere klas laat bijvoorbeeld de leraar zich nu de gevonden antwoorden in het oor fluisteren, trekt sommige kinderen nu aan hun oor en strijkt anderen over hun bol. Daarna zegt hij: “Wie over zijn bol geaaid is, zegt nu het antwoord!”
In een zevende klas worden de bewerkingen bij het ‘voor de tweede keer vragen’ in de heengaande volgorde op het bord geschreven. Vervangen we het vraagteken nu door een x, dan verschijnt er zo een vergelijking met één onbekende. Daarna worden ook de diverse bewerkingen in de omgekeerde volgorde op het bord geschreven. Dan wordt de ‘vergelijking opgelost’. (Zie H 7).

IV Solitaire spelen

Spelen die door een leerling alleen gespeeld kunnen worden.

Aftrek vierkant

Teken op een blad papier een zo groot mogelijk vierkant. Zet op de hoekpunten vier willekeurige getallen onder de 100. Laat nu alle verschillen bepalen van twee getallen op dezelfde zijden. Laat deze vier getallen in het midden van die zijden opschrijven. Teken binnen het oude een nieuw (dus kleiner) vierkant met de nieuwe getallen op de hoekpunten.
147

In dit hoofdstuk is er sprake van:
leerplan: Rudolf Steineralle artikelen
                    Het leerplanalle artikelen
periodeonderwijs
schoolrijpheid
spel
tafelcirkels
zintuigen

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk 1;

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2438

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging- hoofdstuk 2

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 2: Op weg naar rekenen

2.1 De eerste rekenlessen
2.2 Kwaliteiten
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn
2.4 Temperamenten
2.5 De basisbewerkingen
2.6 Het schriftelijk werk
Terzijde: Over werkvormen

2.1 De eerste rekenlessen

Wie kinderen leert rekenen werkt ook vormend op hun persoonlijkheid. Wanneer je met kinderen rekent, moet je je dus afvragen wat je daarmee in hen wakker roept. Spreken we misschien krachten aan die van het kind een berekenend mens maken, een uitbuiter, een egoïst….? Of kunnen we door het rekenen andere, wellicht edeler krachten tot ontwikkeling brengen?

Voor de vrijeschoolleraar is leerstof niet alleen doel op zichzelf, maar vooral een middel dat vormend ingrijpt in de ontwikkeling van kinderen. Deze vorming richt zich op aspecten van lichaam, ziel en geest. Die drie gebieden vragen elk hun verzorging, hun voeding, hun opvoeding. Rudolf Steiner hechtte daarom veel belang aan de wijze waarop kinderen het eerste rekenen leren. Hij zag een direct verband tussen het materialistisch gerichte denken van zijn tijd en het gangbare rekenonderwijs.

In de ziel leeft van nature de neiging ervaringen steeds verder te differentiëren. We zeggen: de natuurlijke instelling van het kind is analytisch. Een opgave als 2 + 5 + 3 = … sluit daarbij niet aan. Zo’n opgave laat niets meer vrij, de rekenaar dient zich te schikken naar de wetmatigheid van de optelling.

 

Vanuit realistische hoek kun je hier de opmerking verwachten dat je kinderen wél vrijheid kunt geven bij de aanpak van een opgave als 2 + 5 + 3 =. De ene leerling bedenkt 2 + 3 = 5, en kent de dubbele 5 + 5 = 10. Een ander ziet 7 in 2 + 5, en rekent 7 + 3 = 10. Er is misschien ook wel een die achteraan begint en komt tot 8 + 2 = 10. Misschien zijn er leerlingen die in ‘getalbeelden’ denken, en met 2 + 5 + 3 in één klap een hele staaf op het rekenrek gevuld zien. Variatie genoeg, het is aan de leraar om daartoe ruimte te bieden. Of meer nog: om de kinderen aan te moedigen op zoek te gaan.

 

Ga je uit van de vraagstelling ‘tien’, wat kan dat allemaal zijn?’, dan stel je een vraag naar bijvoorbeeld optellingen die tien tot uitkomst hebben (10 =… + … + …), je kunt dan zo’n geheel in allerlei structuren, naar eigen keuze, verdelen. Bij deze analytische aanpak is er sprake van een vrije, innerlijke activiteit. Zo wordt aan de behoefte van het kind tot analyseren, tot het uit elkaar leggen van gehelen, op positieve wijze tegemoet gekomen.
31

Deze aanwijzing volgend gaan we dus van het geheel naar de delen. Waar het op aan komt bij optellen is de som, daarin zijn de delen in feite al besloten. Zo brengen we het kind ertoe eerst het geheel te zien, niet steeds de weg te volgen van minder naar meer. Dat is wat wezenlijk vormend werkt: in het kind worden nu geen behoeften gewekt waarin de begeerte naar méér overheerst. Integendeel, zo betoogt Steiner, het kind ontwikkelt in dit geval bezonnenheid en gematigdheid.

Door ook bij rekenen uit te gaan van een geheel, een totaliteit, sluiten we aan bij de wijze waarop het kind de realiteit beleeft. Daar ziet het immers vaak eerst gehelen (gestalten) en komt er vervolgens pas toe daarin delen te onderscheiden. Door nu het kind eerst op zijn natuurlijke behoefte tot analyse aan te spreken, wordt het etherlichaam zo in beweging gebracht, dat het ontluikende denken -immers een omvorming van etherkrachten- zich vrij kan ontwikkelen. Daar wordt dan in tweede instantie de vraag om samen te stellen wat gedifferentieerd werd, dus de vraag naar synthese, aan toegevoegd. Ook bij dit rekenen dienen we niet in eenzijdigheden te vervallen Deze overwegingen liggen ten grondslag aan de eerste rekenperiode in de eerste klas van de vrijeschool.

Op de eerste schooldag belooft de leraar zijn kinderen, dat hij ze zal leren rekenen, net zoals de grote mensen dat doen. Nu is het dan zo ver! Voor de kinderen is dat een groots ogenblik.

“Vandaag gaan we leren rekenen.”
“Dat kan ik al, hoor maar: een en een is twee; twee en twee is vier.” En zo ging het verder met acht, met tien, met 100, zelfs met 1000. Sommige kinderen gaan tellen vanaf I en kunnen, als je zo verder laat gaan, een heel eind komen, ook tot 100. Dan volgt vrijwel altijd: één honderd, twee honderd…
“Nee, zo zeggen grote mensen dat niet. Ik zal je nog leren hoe dat wel heet. Wie kent er grote getallen?”
“Duizend, drie duizend, honderd duizend. (Het valt op dat er eerst deze mooie, ronde getallen gezegd worden, zelden noemen de kinderen een getal als 893).
En dan de onvermijdelijke vraag: “Wie weet het grootste getal?” “Dertig miljard twintig?!” “Nee.”
Stilte na nog wat andere mogelijke en onmogelijke combinaties.
“Ontelbaar”.
“Wat is ontelbaar?”
“Net zo lang tellen als je leeft.”
“Dat is nog niet het grootst!”
“Ontelbaar keer ontelbaar!”
Je staat als leraar steeds weer verbaasd over de inventiviteit van kinderen op dit gebied. Maar nu zit je op een ander spoor en zegt: “Ook niet.”
“Ik zal jullie het laten zien.”

Moet je hier trouwens wel naar het ‘grootste’ getal vragen, of moet je juist meer uitgaan van de ondeelbaarheid van de eenheid? Je kunt het kind, naar een voorbeeld van Rudolf Steiner, heel goed laten beleven wat het verschil is tussen iets waarvan je er maar één hebt en een werkelijke éénheid. Een stuk hout kun je nog in stukken verdelen, maar de mens zelf is een eenheid die ondeelbaar is.
32

De vraag wordt ook vaak zo gesteld: “Waarvan is er maar één in de wereld”. Meestal volgen dan de grote ‘eenheden’: God, de zon, de maan, de oceaan, of zegt een kind: “Er is maar één Peter en dat ben ik”.
De leraar moet aan zijn klas aflezen hoeveel getallen hij zo’n eerste dag kan ‘behandelen’. In de eerste week kunnen wellicht de getallen van een tot zeven aan de beurt komen. Of je nog verder moet gaan dan zeven is maar de vraag.
De tekeningen die de kinderen maken aan de hand van deze getallen, kunnen het begin vormen van het eerste perioderekenschrift.

Het schrijven van de getallen tot 10

Ga je nu over tot het schrijven van de getallen, dan kun je met de kinderen afspreken voor de 1 een I te tekenen en de twee met II weer te geven. Op die manier kom je tot een notatie die het kind zelf had kunnen bedenken, omdat het in het gebaar van de II bijvoorbeeld het eigen paar armen of benen uitgedrukt ziet. En als het kind naar het hondje van de buurman kijkt, ontdekt het dat je’ de vier zo kunt schrijven: IIII. Zo kun je vanuit het dagelijkse leven de opbouw en de schrijfwijze van de getallen als Romeinse cijfers, aan de kinderen leren.

Tellen tot tien

Wil je de rij van de natuurlijke getallen aan de kinderen leren, dan kun je je afvragen wat nu je uitgangspunt is. Begin je met niets, waarbij zich dan iets voegt: de 1, die dan gevolgd wordt door een volgend iets: 2, 3, 4, 5… ? Of ga je uit van een grotere eenheid, bijvoorbeeld de tien vingers? Dan moet je voor lief nemen, dat je met terugtellen begint. Herhalingsversjes of liedjes liggen dan voor de hand.

De kinderen leren het volgende liedje:

33

De kinderen staan in de kring en laten bij de regels: ‘Stonden tien groene potjes in de glazenkast’, hun tien vingers zien. Een huppelpasje om hun as, maakt er nog meer een dansje van. En ja, dan moet er één potje aan geloven: ‘En als één groen potje nu eens gevallen was …’ Nu steken de kinderen die ene vinger op en maken een sprongetje, waardoor ze in de hurkhouding op één knie terechtkomen. Spektakel alom, maar dat gaat gauw over, want het gaat door met: ‘… stonden negen groene potjes in de glazenkast!’ Daarbij laten de kinderen nu negen vingers zien, waarmee ze langzaam opstaan, om daarna verder te gaan met de onvermijdelijke verwijdering van alle potjes uit de glazenkast.

Aan het eind van het lied zitten de kinderen op de grond, moe van het springen, nadat ze gezongen en getoond hebben: ‘… staan er geen groene potjes, in de glazenkast’. Even uitblazen is geboden en dan komen ze overeind met:
“Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast En omdat er gelukkig niks gebroken was Staan er tien groene potjes in de glazenkast!”

Wanneer je nu gaat tellen, is het van belang je niet alleen te richten op de reeks getallen, maar je ook af te vragen, hoe je daarbij de vormkrachten van het kind kunt laten meedoen. Dat is mogelijk door vooral nadruk te leggen op het ritmische element van het tellen.

Rudolf Steiner wijst er op, dat je die kwaliteit (het ritmische dus) bij het kind aanspreekt, door de kinderen als bewegingsoefening te laten lopen: 1-2 1-2 1-2; met telkens een stamp op de 2. Zo natuurlijk ook met 1-2-3 of 1-2-3 -4. Daardoor ontwikkelen we eerst het ritme, om vanuit dit ritme het tellen voort te zetten en te ontwikkelen en het als een geheel te doen beleven.

Omdat tellen en rekenen door ons, volwassenen, beleefd wordt als iets dat typisch bij het denken hoort, zijn we geneigd de didaktiek ook door het abstracte denken te laten kleuren. Het kan geen kwaad je steeds af te vragen waar het rekenen verankerd is in de mens.
Rudolf Steiner stelt dat het tellen weliswaar ooit is ‘bedacht’ door de mens zelf, maar dat diezelfde mens bij het tellen eigenlijk -innerlijk- langs zijn vingers (tot tien ) en tenen (tot twintig) telt. Ook nu nog is het bij primitieve culturen gebruikelijk, dat zelfs grotere getallen worden aangeduid door bepaalde plekken op het lichaam aan te raken. Het hoofd is daarbij slechts de waarnemer van dit, innerlijke, concrete tellen.

Nadat het liedje ‘Tien groene potjes …’ verschillende keren gedaan was, werd er steeds meer tekst weggelaten: … toen waren er nog negen, nog acht enz. Maar het slotcouplet: … stonden tien groene potjes in de glazenkast, liet zich makkelijk aanpassen tot: … stonden I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 groene potjes in de glazenkast!

Alle mogelijke bewegingsvormen kunnen nu ontworpen worden om te leren ritmisch verder te tellen, zodat we kunnen zeggen dat de getallenrij ‘akoestisch’ verkend wordt. Daarop moet nog heel wat volgen om straks, voordat de hoofdbewerkingen aan de orde zijn, ‘resultatief te kunnen tellen …
34

Getalbegrip

Het getalbegrip moet ook ontwikkeld worden. Daarvoor kun je in de herfst, wanneer meestal met de eerste rekenperiode begonnen wordt, onder meer heel goed kastanjes en dergelijke gebruiken.
Je geeft de kinderen er elk tien en vraagt hen een mooie vorm te leggen. Voor sommigen betekent dat een bloem of een slinger. Anderen leggen twee rijen van vijf; vijf rijen van twee. Je zegt: “Kijk, tien is twee rijen van vijf en vijf rijen van twee.”
De bloem kan bijvoorbeeld bestaan uit 4 en 6. Terwijl ze de kastanjes in diverse figuren uiteenleggen, ontdekken de kinderen de vele splitsingen van 10, of van 8, of van 16, al naar gelang de begin hoeveelheid. Deze 10, 8,16 is telkens de eenheid die dan verdeeld wordt. Dergelijke concrete handelingen met kastanjes, geven legio mogelijkheden om de verdelingen ook in het schrift (na) te laten tekenen.

Op deze manier werkend, vanuit de principes die Rudolf Steiner formuleerde, kun je een geweldige rijkdom aan mogelijkheden en werkvormen vinden. Hierdoor kunnen de kinderen uitgaand van het geheel, de getallen ritmisch beleven, concreet verdelen, tekenen, zingen of zeggen. Daarna ga je door met het voorbereiden van de introductie van de hoofdbewerkingen.

2.2 Kwaliteiten

Bij het aanleren van de getallen in de eerste klas houden we rekening met kwalitatieve verschillen tussen getallen. Eerst brengen we het kind tot een beleven van de 1 als ondeelbaar geheel. De 1 als oerbeeld voor de totaliteit kan dan de bron zijn van waaruit structuren herkend worden. De andere getallen ontstaan nu als geleding in deze totaliteit. Elk getal kan er zijn eigen karakter, zijn eigen kwaliteit krijgen.

Dan komt dus de eerste rekenles waarin je aan de kinderen vraagt: “Waarvan is er in de wereld maar één?” Je hebt je daar wel op voorbereid. Maar thuis kur. je niet de keuze maken of de klas zich aangesproken zal voelen door de ene neus midden op je gezicht, of de zon aan de blauwe hemel.
Je stelt de vraag dus en de klas kiest voor het zonnespoor. Het blijkt de toon te zetten voor de hele week. Want na zon en maan en aarde -en hoofd, pop, tot “Ik heb een nieuwe fiets gehad”- komt zelfs God aan de orde, en één hemel, waarbij we en passant de woorden heelal en kosmos vinden.

De tweede dag betreft de vraag de alom vertegenwoordiging van de 2. Nu de blik al omhoog gericht geweest is, ligt het dualistische karakter van zon en maan, dag en nacht voor het oprapen. Het levert prachtig materiaal om in het periodeschrift een bladzijde aan te wijden, terwijl er ook nog een bladzijde gevuld wordt met de tweeledigheid in de mens zelf: twee armen, twee benen; maar ook lachen en huilen. Stof te over om over te praten, want de tegenstellingen hoog-laag, mooi-lelijk dienen zich aan. Dan durf ik ook best het gesprek af te sluiten met ‘To be or not to be, that’s the question‘.
35

De derde dag treed ik wat zorgelijker tegemoet, want Vader, Zoon en Geest zie ik me nog zo maar niet introduceren, terwijl lepel, mes en vork na de afgelopen dagen wel wat erg platvloers zijn. Dan maar op de reacties uit de klas gewacht: “Wat is er drie in de wereld kinderen?” Zegt een jongetje: “Het stoplicht”. De klas beaamt het. Waardering alom, want daar had nou niemand aan gedacht. Ik zie het licht voor me verspringen van groen op oranje en opeens realiseer ik me ook, waarom dit antwoord zo treffend goed is. Het stoplicht heeft te maken met het overgaan van de ene situatie in de andere. Dat oranje is geen versiering, het is het draaipunt tussen stoppen en rijden. Nu kan ik de kinderen verder helpen. En we komen tot onderarm, elleboog, bovenarm; hetzelfde principe in het been; tot hoofd, romp en ledematen en tot ik, jij en hij.

Nu merk ik ook waarheen de weg voert die we zijn opgegaan. Eerst de grote eenheid van het kosmische, dan de tweeledigheid van donker en licht, hemel en aarde. Als derde komen we bij de mens zoals die, naar gods beeld geschapen, op aarde leeft.

Voor de vierde dag is het spoor nu duidelijk. Met de vier komen we op aarde aan. En de kinderen tekenen de benen van een paard, de poten van een tafel en de vier stevige muren van een huis.

De vijfde dag zien we de vijfster in de appel en ook de mens als vijfster met hoofd, voet, arm, arm en voet: nu staat de mens rechtop en kijkt de wereld in.

De zes brengt ons bij de honingraat, maar ik laat de kinderen ook een tekening maken van een zesster, want ik wil de doordringing van onder en boven, ook al zeg ik er niets over, toch in de schriften hebben.

Maar de zevende dag is weer duidelijker. De zeven brengt ons bij de dagen van de week. Dan ook maar verteld dat die dagen te maken hebben met zon en maan, met mars, en venus en de andere planeten, waarbij we een prachtige tekening maken van zeven concentrische cirkels. De acht en de volgende getallen heb ik maar laten rusten. Het was de klas ook eigenlijk genoeg, merkte ik.

Maar afgesloten heb ik met de twaalf, want de maanden van het jaar, de uren van de klok en de grote kring van dierenriemtekens aan de hemel, dienden zich wel aan als vanzelfsprekend eindpunt van onze getallenonderzoekingstocht. Zou er een periode geweest zijn, waarin de kinderen zo leergierig waren, zoveel geleerd hebben, als in hun eerste rekenperiode?

En de tien? Die heb ik dagelijks geoefend in het lopend tellen en het tellen op de vingers. Daarvoor heb ik geen beeld gezocht. Dat vond ik nou eens concreet.

Waar het om aantallen gaat, kan nog een ander onderscheid gemaakt worden. Strikt genomen is er met getallen die een kwaliteit uitdrukken niet te tellen. Dat wordt pas mogelijk wanneer we ze opvatten als hoeveelheden. Het is het verstand dat zich een maat, een eenheid, kiest om de hoeveelheid te bemeten. De stap van meer, van veel, naar hoeveel is een ontwikkelingsstap.
De aandacht voor kwaliteiten leidt ook tot het opmerken van structuur. Kinderen zijn daar gevoelig voor en kunnen mooie structuren waarderen. Maar er is meer.
36

Het herkennen van een structuur als de indeling in twaalf gelijke delen op een wijzerplaat, kan later tot steun zijn bij het optellen en vermenigvuldigen. Neem maar de indeling van het uur in vier kwartieren, een cirkel met vier kwarten; het is niet moeilijk dat beeld op te roepen om bijvoorbeeld 12 = 4 x 3 of 60 = 4 x 15, of 60 : 4 = 15, of 15 + 45 = 60 enzovoort, zonder ingwikkeld rekenwerk tot stand te brengen. Die getallen 12 en 60 hebben zo een eigen kwaliteit, de tijdrekening geeft er betekenis aan, de klok laat de structuren zien.

Kinderen kunnen ook zelf aangezet worden om door maatkeuze tot aantallen te komen. Een voorbeeld om duidelijk te maken wat hier bedoeld is:

We staan met de klas in een kring rond de tafeltjes. “En nu allemaal in twaalf stappen naar je plaats; twaalf niet meer en niet minder!” Even chaos, en dan zit iedereen op zijn stoel.

Zo is twaalf een uitgangspunt, een geheel, waarin de twaalf stappen als ‘maat’ passen. Maar ik had ook negen, tien of dertien stappen kunnen vragen.

Dat kinderen hun getalbegrip niet steeds aan aantallen leren blijkt uit de volgende observaties:

Wilma doet stenen in haar emmertje.
Wilma: “één, twee, drie.”
Ik: “Geef mij twee!”
Wilma: “Ik weet niet meer welke twee is.”
(Wilma vat de getallen hier op als namen).

In de gymzaal wordt een soort ganzenbord gespeeld.
Diana is afgeteld als nummer drie.
Als ze aan de beurt is gooit ze vier.
“Hè”, zegt ze. “Hoe kan dat, ik ben drie.”

“Nee”, zegt haar vriendinnetje, “je bent geen drie maar vijf.”
(Hier worden ‘telgetal’ en ‘maatgetal’ verwisseld).

Uit dergelijke waarnemingen kan men afleiden dat kinderen tijd gegund moet worden om tot een gedifferentieerd getalbegrip te komen. Een kwalitatieve benadering, waarin het kunnen tellen niet voorondersteld is, schept zo’n ruimte. Het in beschouwing nemen van kwaliteiten en het leren tellen dragen bij aan het verwerven van getalbegrippen: hoeveelheidsgetal, telgetal en maatgetal. Aan al deze ‘tallen’ zal de school dan pas in tweede instantie het rekengetal toevoegen.

Robbie, de ondeugende zeerob

De kinderen hebben een flinke handvol schelpen op hun bank gekregen. Ze zijn vandaag dolfijntjes, die voedsel verzameld hebben. Het is teveel om te gaan tellen, daarvoor heeft juf wel gezorgd. Robbie, de ondeugende zeerob waart door de klas. Op gezette tijden staat hij stil voor een van de dolfijntjes. Die moet dan de ogen toeknijpen, want hij mag niet zien hoeveel schelpen Robbie meeneemt. Maar als daarna geraden wordt hoeveel Robbie er precies heeft weggenomen, dan worden ze teruggegeven. Anders is de dolfijn ze echt kwijt.
37

Aanvankelijk maakt de ondeugende zeerob heel wat schelpen buit. Hij lacht zich een kriek als hij de beteuterde dolfijnen ziet. Maar dan opeens is er een dolfijn, die zijn schelpen in een mooi patroon op de bank legt. En als Robbie wat heeft weggenomen, kan de slimmerik precies zeggen hoeveel er ontbreken. Die handigheid wordt al ras door anderen overgenomen. Robbie blijft nergens meer…

Met deze didactische vondst heeft juf het structureren van de hoeveelheden uitgelokt. Geen mooie patronen leggen omdat de juf het vraagt, maar omdat je zelf de zin ervan ziet.

2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn

Marieke kreeg zeven mooie steentjes voor zich op tafel met de vraag of ze die eens wilde tellen.
Enthousiast begon ze met uiterste nauwgezetheid de steentjes eerst op een rij te leggen en vervolgens te tellen: “zes”. Om niet meteen te reageren op het foute antwoord, legde de leerkracht de steentjes nog eens willekeurig neer, nu ver uit elkaar, verspreid over de hele tafel en zij kreeg dezelfde vraag. Weer alle steentjes netjes op een rij, weer tellen: “zes”. Nu stelde de leerkracht voor ook eens te tellen en telde er ‘zichtbaar’ zeven. Met een gezicht van ‘Ja, zo tel je niet’, pakte ze resoluut een van de steentjes weg en zei: “Zes, want deze is niet mooi”

De leerkracht kan opgelucht ademhalen, want Marieke kan dus toch tellen. Duidelijk wordt op zo’n moment dat voor de jongste leerlingen op school het hele leven ‘kwaliteit’ is en dat kwantiteit nog niet leeft. Het in kwalitatieve zin leren kennen van de getallen, te beginnen met 1, zoals dat in de eerste rekenperiode in de eerste klas gebeurt, is iets dat alle kinderen direct aanvoelen en daardoor ook begrijpen. Het komt voort uit datgene dat als (reken)natuurlijke mogelijkheden in de mens en in het leven aanwezig is. Bij kinderen kunnen we tijdens het leerproces die verbondenheid met de oorsprong van de getallenwereld nog herkennen.
Dan beginnen we met het tellen. Vanuit de beweging gaan we met de kinderen ‘de weg naar de aarde’ bewandelen. Met iedere beweging zet de geestelijke, niet stoffelijke voet een stap in het aardse bestaan. Uiteindelijk leidt dat
bewegingsprincipe tot het zuiver kwantitatieve tellen.

Uit liedjes, rijmpjes en ritmische spraakoefeningen kennen de kinderen de getal-namen en de volgorde van de getallen. Dit eerste tellen, ook wel akoestisch tellen genoemd, is nog onafhankelijk van kwaliteit en kwantiteit van de getallen. In dit tellen zijn de kinderen niet wakker. Het is heerlijk om te doen, je kan zelfs overdag wegdromen op het ritme van de rij en bovendien kan je ’s nachts ‘wakker’ gemaakt worden om de getallenrij op te zeggen; ongetwijfeld rolt de hele rij er slapend uit!

Als we aan dit tellen beweging toevoegen, beter gezegd: als we aan bewegen dit tellen toevoegen, ontstaat er een andere activiteit van tellen. Tellen dat een kwantitatief aspect heeft. Denk daarbij aan spelletjes als ‘De bomen zwaaien en
38

zwiepen’, ‘de zevensprong’ en ook opdrachten als ‘hoeveel stappen is het tot de deur?’, die bij dit tellen horen.

Het oerprincipe van het bewegen is al het levende, al wat geheel in- en uit zichzelf beweegt. De beweging van de mens en dus het ‘bewegen’ van kinderen is het directe gevolg van dit oerprincipe dat in hen aanwezig is. Het gericht bewegen is ook de kracht waarmee het kind alles in zijn jonge leven op aarde wil doen.

Als kinderen tijdens spel of opdracht bewegen, veranderen zij geheel of gedeeltelijk van plaats in de ruimte. Iedere beweging kost ook tijd. Je kunt je voorstellen dat, wanneer er beweging is op aarde, de gevolgen gekoppeld zijn aan ruimte en tijd.

Omdat in de bewegingsimpuls ook het doel van de beweging een rol speelt, komt er aan die beweging in een spel of opdracht ook een eind. Het bewegende is dan een interval tussen begin- en (stilstaand) eindmoment. Als we nu de kinderen ‘het aantal stappen tot de muur’ laten tellen, tellen zij in feite de passen, de intervallen tussen het vertrek en neerkomen van de stap. Dit tellen is het toevoegen van de opeenvolgende getallen aan de beweging in de ruimte (en tijd). Als didacticus weet je dat we dan met (de toekomstige vijfde klas) meetgetallen te maken hebt.

Dit zelfde tellen hanteren we als we met tijd te maken hebben, als we de beweging van de schaduw van de zonnewijzer op het schoolplein of de beweging van de wijzers van de klok benoemen; als één keer de grote wijzer ronddraait, duurt dat 1 uur.

Toch kennen de kinderen nog een andere wijze van tellen, waarvoor we dezelfde getallen gebruiken: “Ik heb vijf vingers aan mijn hand, ik heb tien tenen aan mijn voet, ik heb twee ogen”, enzovoort.

We gaan met de klas naar buiten en verzamelen kastanjes, eikels of steentjes uit de natuur om ons heen, “Ik heb er wel duizend, Juf.” Weer terug in de klas krijgen de kinderen een aantal kastanjes op tafel, die ze kunnen verdelen in groepjes. Bij kleine groepjes kastanjes ‘herkennen’ ze meteen het getal: twee, drie, vier … (minstens tot en met het getal, dat hetzelfde is als het aantal waarmee ze in het dagelijks leven veel te maken hebben, zoals zes gezinsleden met zes borden, zes bekers op tafel, zes …).
39

40

Bij het tellen van grotere groepjes kastanjes komt de beweging tot stand door het een voor een aanwijzen. De beweging eindigt bij de kastanje die we als laatste meetellen! De elementen die we tellen, waaraan de getallen worden toegevoegd, zijn nu onafhankelijk van het bewegen in ruimte en tijd. Het is een ‘aardse’ wijze van tellen; er moet materie aanwezig zijn, zichtbaar, tastbaar, eventueel hoorbaar.
Dit tellen begint waar de beweging eindigt!
Ruimer bezien kun je stellen dat daar, waar bewegen eindigt (denk ook aan groeiprocessen), ontstaat vaste vorm, materie, waarmee onmiddellijk de telgetallen verbonden zijn.

Als het rekenen uitsluitend opgebouwd wordt vanuit dit tellen, is het gevaar aanwezig dat je alleen met materieel vermeerderen bezig bent, wat in de ziel van het kind een materialistische houding zou kunnen oproepen.
Toch is het noodzakelijk dit tellen goed te oefenen, omdat het de kinderen helpt de wereld waarin zij leven als waarneembare realiteit te leren kennen en deze vast te leggen om er zo grip op te krijgen .
Dat te kunnen is net zo noodzakelijk voor een mens als de aanwezigheid van het bot in zijn bewegende ledematen. Spieren zijn bemiddelaars van het bewegen, maar zonder bot kan de mens niet op zijn benen gaan en staan.

Het is belangrijk dat de wereld van het tellen voor de kinderen één geheel blijft, het is niet zinvol de genoemde verschillen bij het tellen al in het bewustzijn van de kinderen te brengen.
Door het bewegingsonderwijs worden de kinderen de drie ‘tel-werelden’ (de tel-namen, de meetgetallen en de hoeveelheidsgetallen) gewaar in en aan lichaam en ziel en niet in het zelfstandige denken met het hoofd, dat zich als
bewustzijnsorgaan dan nog ontwikkelen moet.

Wel is het van het grootste belang voor de leerkracht, om bij het maken van lesmateriaal, de spelletjes en opdrachten, zich te realiseren wat hij de kinderen laat tellen. Het gaat erom vanuit een beeld(verhaal) via het gerichte bewegen, het tellen te creëren.

Een mooi voorbeeld hiervan is de manier waarop Rudolf Steiner dat aanpakte Hij zei, tijdens een bezoek aan een klas, tegen de kinderen: “Nu is het zomer en bloeien buiten de rozen. Wat zou het mooi zijn, als er nu iemand binnen kwam, die ons een mand met rozen bracht. Ieder van jullie zou er dan evenveel moeten krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie!” Dat zegt hij tegen een meisje met wegdromende ogen. “Maar jullie moeten wel handig zijn en ze echt vangen; dan zullen we tegelijk zien, hoeveel rozen er in de mand zaten.” Dan krijgt het tweede kind zijn drie rozen toegeworpen en het roept bij het ‘vangen’: zes. Daarna de derde: negen; waarna het steeds sneller gaat: 12,15,18, 21, 24, 27, tot bij 30 de mand leeg is. De klas juicht, maar er is ook protest, want de overige twintig willen ook hun rozen hebben. Dus wordt alles herhaald.
Zo werd de tafel van drie geoefend, waarbij het hele lichaam werd aangesproken; de handjes en voeten waren minstens zo beweeglijk als het hoofd. Mooi was ook het ritme dat in de beweging van het werpen en het vangen zat, en dat tegelijkertijd de band tussen leraar en leerling vormde.
41

Hier is de laatst genoemde vorm van tellen aan de orde, zelfs in verkorte vorm (met drie tegelijk), zonder dat er sprake is van een materialistisch element.

Anders is het bij de zevensprong, daar zijn de getallen het aantal stappen, dus de bewegende meetgetallen, die als de beweging stil staat een maat hebben bij ieder kind. Omdat aan ieder getal ook een gebaar wordt toegevoegd is hier ook het ‘kwalitatieve’ betrokken.

“Jongens, wie weet er nog wat we bij de zes moeten doen?”
“Zes stappen, meester.”
“Met de ellebogen op de grond, meester!”

Stappen tellen, muzikale spelletjes met ‘maat’-tellen behoren bij het met meetgetallen bewegende tellen. Bewegingen worden daarbij tot lengtemaat of tijdsduur. Oefeningen met ritmische rijen van getallen, kunnen ten dienste staan van verschillende telvormen. Zoals in het voorbeeld van ‘de boer met één klomp en één sok’. Hier gaat het om het tellen van het neerkomen van de stap: zacht-hard, zacht-hard wordt 1 – 2,1 – 2 of 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, …

Door het ritme van de rij te variëren leren kinderen de structuren ervaren die er in de getallenrijen te vinden zijn. Verkort tellen, zoals 2, 4, 6, 8, …, legt een basis voor de tafels van vermenigvuldiging. In het periodeschrift laten de kinderen dit zien met sprongen over de getallenlijn.

Door deze ritmische teloefeningen ook achterstevoren te doen, leren de kinderen niet alleen terugtellen om beter te weten dat de 4 voor de 5 komt. Het gaat hierbij direct om een pedagogische activiteit die een versterkende werking op het ether-lichaam van het kind heeft. Rudolf Steiner geeft dit aan omdat bij een zwak ether-lichaam er nerveuze spanningen kunnen ontstaan die de leerprocessen hinderen, het kind kan dan de ervaringen, waarvan het leert, niet goed verwerken.
De vraag is hierbij of het in omgekeerde volgorde tellen (denk ook aan het alfabet) wel een leerdoel moet zijn. Gaat het hier niet om een activiteiten-doel?

Tot slot nog: spelletjes, waarbij heen en terug geteld en ook heen en terug lopend, bewogen wordt, stemmen tot nadenken, of zouden dat moeten doen.

Meester zet alle kinderen op het schoolplein met de rug tegen de muur. Dan gaan ze lopend tellen tot tien. Daarna achterwaarts terug, te beginnen bij tien. De kinderen begrijpen er niets van (en de leerkracht?). Ze hebben toch goed geteld, maar komen niet meer bij de muur terug!?

Op de heenweg telden de kinderen vanuit het begin van de beweging:

42

Op de terugweg echter werden de momenten van staan(!) geteld:

Er moest toch begonnen worden waar op de heenweg geëindigd was?

Op de heenweg meetgetallen en in dezelfde opdracht op de terugweg telgetallen. Dat gaat niet samen!
Dit probleem ontloop je door te kiezen (intuïtief gebeurt dat ook vaak) voor de geschikte telvorm. Laat de kinderen een sprong maken op de plaats bij iedere stap en noem de telnaam op het moment van die sprong, dan doet het uitgangspunt gewoon mee!

3 tellen, maar 2 bewegingen!

of blijf het bewegen tellen:

3 tellen, tussen 4 plaatsen!

Overbodig is het om te waarschuwen dat bij tel-oefeningen (denk ook aan het leren van de tafels), waarbij het woord ‘thuis’ nodig is, de twee werelden van het tellen door elkaar en oneigenlijk gebruikt zijn. Wie ‘thuis’ wil komen moet zich bewegen en zijn bewegingen tellen!
In de getallenleerperiode van de zevende klas gaan de kinderen met de nul, door ‘thuis’ heen naar de negatieve getallen.
43

Tot slot een opmerking met een vooruitblik op het schriftelijk werk na het tellen. Getallen in kwalitatieve zin kunnen de kinderen met een tekening in beeld brengen. Ook kun je elementen – zoals kastanjes – tekenen nadat ze geteld zijn. Zakken met aantallen stenen uit een verhaal kun je in beeld brengen op papier. Ook stappen die je gezet hebt kun je op een lange rol krantenpapier afdrukken.
Opvallend is dat je het bewegen dat leidt tot de meetgetallen niet kunt vastleggen, omdat het zich helemaal in de beweging voltrekt. Eigenlijk kunnen we pas in de meetkundeperiode van de vierde klas dit tellen ook ‘schrijven’, wanneer de kinderen met lichaamsdelen, duim, voet, el …dagenlang beweging vastleggen waar deze tot de afstand wordt tussen een begin- en een eindpunt. Want pas na het beleven van deze eenheden kunnen we meetgetallen echt vastleggen (klok, liniaal).

Uit de wereld van de volwassenen kennen we de pijl als mogelijkheid om toch te tekenen wat we meten, maar bewegen doet hij niet op papier tussen 

En zo beweegt ook de wijzer van de klok en is het na één uur 1 uur.
Kwantitatief tellen heeft zo toch kwaliteit!

Drie vormen van een bekend didactisch probleem:

1. ‘De eerste januari 1900: Een nieuwe eeuw op bevel van de keizer.’

Onder de talloze bevelen en verordeningen die de Duitse keizer in het najaar van 1899 liet uitgaan, is er één die op zijn minst verwondering wekt.
De Keizerlijke Hoogheid bepaalde daarin eens en voorgoed dat de twintigste eeuw zou beginnen op 1 januari 1900.
Die oekaze was voor zijn onderdanen het beslissende woord in een discussie die in een groot deel van Europa al geruime tijd gaande was. Lang niet iedereen was er namelijk van overtuigd dat de nieuwe eeuw inderdaad op die dag zou aanvangen. Nog op 1 januari publiceerde een Nederlandse krant een ingezonden stuk van een lezer uit Den Haag waarin deze berekende dat de negentiende eeuw pas voorbij zou zijn op 31 december 1900 te middernacht. Eerst op dat moment immers, zouden er, sinds het begin van de jaartelling, 1900 volle jaren zijn verstreken: de twintigste eeuw zou derhalve pas op 1 januari 1901 ingaan…
(Uit: Documentaire 20e eeuw. Kroniek en aanzien van onze tijd. Waanders Uitgevers, Zwolle 1992).

2. Punten of appels ?

Werken met punten of ruitjes is abstracter dan het werken met voorwerpen, dat blijkt al dadelijk uit het feit dat de kinderen tobben met het begin en het eind. Nemen we bijvoorbeeld eens deze rij, waarin de punten de achtereenvolgende getallen vervangen:

Zo’n rij gebruikt men voor de kinderen als steun bij de sommetjes 14 + 3, 14 + 8, 24 – 2, 24 – 6 enzovoort.

Veronderstel, een kind weet niet heel zeker meer, hoeveel 14 + 8 is, en wil het op zo’n rij gaan uittellen. Nu moet het niet bij 14 beginnen, maar bij het eerstvolgen-
44

de punt. Wil het echter acht van 24 afdoen, dan moet het wel bij 24 en niet bij het eerstvolgende punt beginnen. Het getal, waarvan men uitgaat, telt dus bij het optellen niet mee, bij ’t aftrekken wel. Als de onderwijzer daar van te voren nu niet op bedacht is, krijgt hij er getob mee, en de leerlingen raken zóo in de war, dat het hulpmiddel een hindernis wordt.
Bij concrete dingen, bijvoorbeeld appels, bestaat de moeilijkheid niet, en zal geen kind het verkeerd doen. Daarom tekene men eerst appels of moppen om de punten en getallen heen. De kinderen mogen ze er in ’t begin ook nog omheen tekenen, later nog er omheen dénken, en weer later praat men er niet meer over.(Uit: C. Kellinga, Noodig Rekenen op de lagere school, Tilburg\A’dam, z.j.)

3. Wilfried.

Wilfried zit in klas 1 en behoort tot de zogenoemde ‘tellers’. Alle optellingen doet hij met doortellen: 7 + 5: begin bij 7 en tel 5 verder. Manda, zijn klasgenootje, doet dat nog primitiever. Zij begint steeds helemaal opnieuw te tellen: 7 + 5: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, en dan nog 5 verder.
De leerkracht zit met een brandende vraag: Hoe komt het nu dat Manda minder fouten in de sommetjes maakt dan Wilfried?

De getallenlijn

Nadat de kinderen met rekenen flink bewogen hebben, komen ze in de klas ook weer op hun stoel terecht. Daar maken ze tekeningen van wat gedaan is of oefenen nog het tellen met bijvoorbeeld kastanjes of steentjes.
In het voorbeeld van Marieke uit het begin van deze paragraaf, zagen we dat ze bij het tellen van voorwerpen, voor haar dus de steentjes, er behoefte aan had deze te rangschikken voor ze begon met tellen. Ze legde de steentjes daarom eerst keurig op een rij. Een ander kind telde juist voor de vuist weg allerlei ongestructureerde dingen door weg te schuiven wat ze gehad heeft.
Voor beide kinderen is het overigens een moeilijke oefening om de planten in de klas te tellen, die staan immers niet alleen op rij in de vensterbank maar ook her en der in de klas. Marieke kreeg ze niet op een rijtje en het andere kind kon ze niet wegschuiven, maar ontdekte wel dat het tellen van de planten in de vensterbank makkelijker was dan het tellen van de rest.

In periodeschriften zien we mooie tekeningen van een getallenlijn met grote gekleurde bogen die de beweging van het lopen aangeven. Het is een model van wat we gedaan hebben. Uit zichzelf weten kinderen dat ze de ritmische rijen, de telrijen, waarbij de nadruk bijvoorbeeld op de tweetallen lag, met grote bogen kunnen weergeven. Ook in de tweede klas zie je dat dit weergeven van de tafel-rijen de kinderen goed afgaat.
Bij het tekenen van wat we gelopen hadden, ontdekten kinderen zelf dat ze verschillende ideeën hadden over waar de 1 moest staan. Net als bij een hardloopwedstrijd vonden we met elkaar dat je bij de start nog niet gelopen had en dat 1 daar dan niet kon. “Hoe zullen we dat nu noemen, daar waar nog niets gebeurd is?” “Gewoon 0”, dat vonden een heleboel kinderen heel vanzelfsprekend, zij zagen daar geen enkel probleem. En zo ontstond de meetgetallenlijn in het periodeschrift.
45

Het probleem van het rijtje steentjes van Marieke blijft. Als zij die steentjes op een papier legt om de getallen erbij te schrijven begint ze natuurlijk met 1 en staan er vervolgens getallen op een lijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)

Zo’n rij getallen zie je in vele gedaanten voor de klas, in het rekenschrift, op het bord, bij huisnummers, maar ook in de natuur, in de wereld om ons heen. Waar mensen in de wereld een aantal dingen willen aanduiden door ze te nummeren, daarbij is dan zowel de opeenvolging als het aantal, meteen duidelijk .

Hoe zit dat nu eigenlijk met ‘de‘ getallenlijn? Is het een lijn met ‘punten’, of is het een lijn met ‘intervallen’? Een liniaal is ook een getallenlijn, maar als je er mee meet, gebruik je eerder de lijnstukjes tussen de punten, dan de punten zelf. De 1 hoort bij de eerste centimeter, het stukje op de liniaal dat van 0 tot 1 loopt. Waar begint men te meten? Bij 0 natuurlijk. Kinderen vergissen zich daar wel mee, en beginnen bij punt 1 te meten. Dat misverstand ontstaat doordat ze denken aan tellen. Waarmee begin je te tellen? Met 1 natuurlijk.
Toch kun je meten ook opvatten als tellen: hoeveel stukjes van een centimeter passen er langs de lange kant van je boek?
Bij het meten denk je dus aan een getallenlijn die opgebouwd is uit intervallen. Meetgetallen, dat klopt, zijn ook eigenlijk altijd ‘benaderingen’. Hoe lang ben jij? Ik ben 1 meter 75. Ongeveer, weet men dan.
In de vrijeschool proberen we de getallenlijn te gebruiken wanneer dat aansluit bij iets wat gedaan is. Het is geen model waaruit in het aanvankelijk rekenen de basisbewerkingen te ontwikkelen zijn. Hebben kinderen in de eerste leerjaren moeite met de opeenvolging van de getallen, dan laten we ze liever werken met door hen zelf op kaartjes geschreven getallen. Ze kunnen die op rij, als steunpunten op hun tafel leggen. Zo kunnen ze aan concrete zaken toegevoegd worden. Dat je er ook meetgetallen mee kunt tellen blijkt wanneer we op het plein zijn en een spel doen. Dan voegen we getallen toe aan een beweging, en kunnen we deze kaartjes neerleggen bij het resultaat van een (aantal) stap(pen) of van een andere beweging.

In de vierde klas krijgt het stuk van de getallenlijn tussen de 0 en de 1 voor de kinderen meer betekenis. Met de breuken raakt de getallenlijn steeds meer gevuld. In deze fase van de ontwikkeling van kinderen, dus na het negende jaar,
46

kunnen de kinderen de getallenlijn ook gaan hanteren als model voor de getallenwereld. Juist in het leerplan van de vierde klas krijgen de meetgetallen hun betekenis en waarde voor het meten zelf.
Eindelijk krijgen de meetgetallenlijn en de rij van de telgetallen nu dezelfde ‘lengte’! Voor hoeveelheidsgetallen en meetgetallen kunnen de kinderen nu wel dezelfde getallenlijn gebruiken als model.

Terug naar de problemen, zoals gesteld aan het begin van dit stuk over de getallenlijn. Het aangeven van hoeveelheden en maten met onbenoemde getallen op een getallenlijn, blijft ingewikkeld!
De getallenlijn van ‘Kellinga’ was blijkbaar zo bedoeld: een stelletje punten (voor appels) op een rijtje geplaatst. Als je die hardop telt, en de telnaam er dan bij zet, krijg je ‘een’ getallenlijn. Wat betekent dan het punt 5? Dat geeft aan dat je er tot dan toe al vijf geteld hebt. Erbij doen is dan ernaast plaatsen en doortellen. Eraf doen is dan wegstrepen en kijken wat je overhoudt.

Wat een soesa.

• Hoe zit dat als je in intervallen (concreet: meetgetallen) denkt?
• Hoe zit het nu met het stappen om het tellen te leren? Anders gezegd: welk beeld moeten de kinderen hebben om stappen nemen en tellen op elkaar af te kunnen stemmen
• Hoe zit dat met de een en twintigste eeuw? Begint die op 1 januari 2000 of op 31 december 2000, te middernacht?

• Waar zit ‘m de denkfout?
47

48

2.4 Temperamenten

Het temperamentenonderwijs is een van de belangrijkste pijlers van de vrijeschoolpedagogiek. In het temperament zoals we dat in onszelf beleven, ligt de ‘oer-vierheid’ besloten, die we overal in de wereld terug vinden: in de loop van de seizoenen, in de vier elementen, maar bijvoorbeeld ook in de vier basisbewerkingen van het rekenen. Door de relatie te leggen tussen temperament en basisbewerking werk je allereerst vormend aan de persoonlijkheid van het kind, maar tevens maak je ze zo vertrouwd met een rekenkundig principe. Om zelf een verhouding te krijgen tot hetgeen uit de temperamenten spreekt, is het een hulp om het ‘gebaar’ van de temperamenten te leren kennen.

De vormtekening voor het flegmatische temperament gaat van een gesloten, een hele cirkel, naar een doorbroken cirkel.

Optellen

Wanneer we naar dit ‘gebaar’ kijken en we denken aan rekenen, dan zien we dat de vorm gaat van het geheel naar de delen.

Ik laat een aantal kinderen (12) voor de klas komen. Ze gaan in een rij naast elkaar staan. Nu roep ik een flegmatisch kind. “Hoeveel kinderen staan hier?” Het kind telt: “12”. Ik: “Breng jij die twaalf kinderen nu eens in groepjes of een voor een op een andere plaats in de klas”. Nu gaat het kind aan de gang. Als het de kinderen een voor een wegbrengt is de kans zeer groot , dat je met een flegmatisch kind te doen hebt. Als het klaar is vraag ik: “Wie heb je het eerst weggebracht? Wie daarna en toen?” Enzovoort. Ik laat het kind z’n eigen handelingen beschouwen. Vaak weet het die niet meer. Dan moet het over. Daarna dringt er al iets meer door. “Hoeveel kinderen stonden hier voor de klas?” Kind: “twaalf’. “In welke groepjes heb je die weggebracht?” Kind: “Twee daar en drie daar en vier daar en drie daar.” Ik: “Ja, 12 is twee en drie en vier en drie. Zeg jij dat ook eens” en wijs op de groepjes. Kind: “12 is twee en drie en vier en drie”.

Hierna zal er een de cholerisch kind aan de beurt komen. Welk gebaar maakt de vormtekening die Rudolf Steiner voor de cholericus gegeven heeft? Het gaat om vormen met punten, ‘spitsen’, die veranderd moeten worden in gesloten vormen.
49

Wanneer we naar dit gebaar kijken en we denken aan rekenen, zien we dat de vorm gaat van de delen naar het geheel.

De groepjes die het flegmatische kind heeft neergezet, staan er nog. Ik roep nu een cholerisch kind: “Je hebt gezien, dat zij de kinderen die hier in de rij stonden, heeft weggebracht, daar en daar. Jij mag ze nu weer in de rij brengen.” Het is altijd weer verrassend om te zien hoe de cholericus weg wil stormen! Dat zal hij wel even klaren. En dan: de nog grotere verrassing wanneer hij hoort: “Stop! Kom eens terug. Je mag ze weer hier brengen, maar zo, dat die het laatst zijn weggebracht, nu het eerst worden teruggebracht enzovoort.” En dan, wat een cholericus zo slecht lukt: hij denkt, voor hij gaat doen. Ineens zegt hij dan letterlijk: “Dan moet ik nadenken.”

Een grandioos ogenblik. Hier voltrekt zich iets unieks! Hier worden de woorder van Gezelle waar: “Denkt aleer gij doende zijt …” En door de cholericus komer de groepjes één voor één weer voor de klas. Drie en vier en drie en twee. En hi zegt het:” Drie en vier en drie en twee.” De flegmaticus: vanuit het geheel -d< som- naar de delen. De cholericus: vanuit de delen naar het geheel, waarbij dar de omkering komt. Die omkering is mijns inziens het meest essentieel. Het lijkt
50

nauwelijks belangrijk, maar het is voor de cholericus ‘het’ ogenblik: hij moet nadenken. We kunnen zeggen dat door de wijze waarop het flegmatische en het cholerische kind de opdracht uitvoeren, de andere klasgenoten leren optellen; beide vormen komen vanaf het begin aan voor: 10 = … + … +…      … + … + … = 10

Nu doet zich de vraag voor: Maken alle kinderen de flegmatische vormtekening, bieden we deze klassikaal aan? Mijn antwoord is: Neen! Temperaments-vormtekeningen zijn therapeutische oefeningen. Ze zijn specifiek voor dit temperament. Wanneer ik de cholericus wil helpen zijn ongebreidelde drang om zich in de wereld te manifesteren, te beheersen, moet ik hem geen oefening geven die dit manifesteren juist ondersteunt: van het geheel naar de delen (vanuit jezelf de wereld in). En de flegmaticus die ik zojuist graag ‘in de wereld’ wil brengen, wil ik niet bevestigen in zijn zielehouding zich in zichzelf op te sluiten, door hem een oefening te geven van de delen naar het geheel. Dit houdt immers een nog sterkere verdichting, afsluiting voor de wereld in.

 

Geldt dit ook voor de rekenopgaven?

Zoals ik deze klassikaal uitvoerde in mijn voorbeelden, laat ik geen ander temperament aan de beurt komen dan het flegmatische en het cholerische. Zelfs wanneer ik klassikaal met kastanjes of iets dergelijks werk, spoor ik de flegmatische en cholerische kinderen aan ‘hun’ eigen beweging uit te voeren. Alle kinderen doen dus mee, maar ik accentueer per temperament de opdracht.

Het is hier al vaker uiteengezet: werk vanuit het geheel naar de delen. Voor het optellen betekent dit dus veel opdrachten in de trant van: wat is 10; 8; 11 enzovoort.

Wanneer de opdrachten zonder voorwerpen gemaakt kunnen worden, dus uit het hoofd, ga ik er van lieverlede toe over alle kinderen beide optelsommen te vragen. 9 = … + … + … en … + … + … = 9 (de cholericus kan hier nog steeds omgekeerd antwoorden); waarbij ik langzaam van de meer-dan-twee splitsingen overga naar … = … + …; om dat ten slotte te laten uitmonden in uit het hoofd leren, als tafel van optelling, bijvoorbeeld:

5=4 + 1
3 + 2
2 + 3
1 + 4

waarbij ik opnieuw het flegmatisch kind extra beurten geef en het cholerische, als een soort echo laat herhalen 4 + 1 = 5 of als het lukt: omgekeerd 1+4 = 5         2 + 3 = 5 enzovoort.

Tenslotte moeten alle kinderen leren optellen.

Vermenigvuldigen

Voor het vermenigvuldigen wordt de sanguinicus voor de klas gevraagd. Laten we eerst eens naar zijn vormtekening kijken. Hij krijgt een los motiefje op en datzelfde motiefje een aantal keren vast aan elkaar.
51

We weten dat een ritmische herhaling zich aan het bewustzijn onttrekt – deze krijgt gevoels(=droom) karakter. Herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls (Anthroposofische menskunde, vierde voordracht). Het stoppen en het weer beginnen, daar gaat het om wanneer we de sanguinicus een grotere concentratie willen geven.

Ik zet twaalf kinderen voor de klas. Ik roep een sanguinisch kind. Ik laat het tellen, “twaalf’. “Goed”. Nu wijs ik drie kinderen aan. “Zie je dit groepje van drie?” “Nu moet jij me eens zeggen, hoeveel keer zo’n groepje van drie in deze twaalf zit”.

Wat heb ik de kinderen meestal zien doen? Ze lopen langs de rij en maken een ope-ning. En dan nog eens; en opnieuw en opnieuw. Ze vinden: vier keer. Nu moet het melancholische kind komen. Laten we ook hier eerst de vormtekening voor de melancholici bekijken. Het moet deze vorm natekenen:

Daarna moet het de tegengestelde vorm tekenen. Rudolf Steiner: “Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is, zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor is de buitenste vorm (b) tegengesteld aan de binnenste vorm (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind”.

Het is niet meteen duidelijk of het kind ook moet arceren of kleuren. In zijn uitleg wendt hij zich tot de leraren, en niet, zoals wel vaker, tot de kinderen. Zonder het gearceerde kan ik de zin van de twee tekeningen echter niet vatten. Dan zijn ze gelijk en kom ik niet tot een tegenovergestelde vorm. Ik kan er dus niet omheen om, wanneer het kind figuur a -nog zonder arcering- heeft nagetekend, te zeggen: “Kijk, dat maak ik blauw (het gearceerde). Dit is wit”. Ik wijs op het binnenste. “Maak jij nu eens zo’n tekening, waarbij het witte deel blauw wordt en het blauwe wit”. Ik meen hiermee te voldoen aan de opdracht: “Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden”. Wat gebeurt er dan? Het kind kijkt, denkt na en tekent. Het binnenste wordt blauw gekleurd. En de melancholicus is klaar! Zien we hier niet bij uitstek het melancholische: het gericht zijn op het binnenste -de binnenwereld- het eigen wereldje? “Neen”, zeg ik, “het is nog niet klaar …” De blik van de melancholicus wordt weer naar het bord getrokken, naar buiten. Hij kijkt, denkt na en … Wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste gewicht. Het gaat mijns inziens om het gearceerde, buiten de vorm.
52

Met het ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het ‘buiten’ moet hij gewekt worden. Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Het binnenste komt nu ook buiten. Een blikwisseling, het gericht zijn op het eigen zelf, wordt tot een gericht zijn op de buitenwereld. Dat is wat de melancholicus moet leren.

De twaalf kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in vier groepjes van drie, staan daar nog. Ik roep het melancholische kind en zeg: “Jij moet goed kijken. Er staan vier groepjes van drie. Van jou wil ik weten hoeveel groepjes van vier je hiervan kunt maken?” Het duurt meestal even, maar dan klinkt: “drie”. Wat betreft het verdere oefenen in de klas: Zoals ik doe bij het optellen, ga ik ook hier te werk. Het sanguinische kind legt met de acht kastanjes vier groepjes van twee; de melancholicus vraag ik naar twee groepjes van …? Alle andere kinderen doen dat op hun bank mee, maar krijgen niet voor de klas de beurt. Wanneer ik later mondeling deze soort vragen voortzet, probeer ik tenslotte ieder kind het goede antwoord te laten geven.

Delen

Dat moet het cholerische kind doen. De vormtekening (zie blz.52) laat ons het gebaar zien van de delen naar het geheel. Deze vorm is als het ware het gebaar van de cholericus: zich naar alle richtingen doen gelden. Je kunt er de ellebogen, de armen, desnoods de benen in zien, waarmee hij zich in de wereld manifesteert. Als je het even verder voert, zeg je: “Hij is daar! En daar! En daar!” ofwel:

Dit nu moet in een geheel geplaatst worden of moet een geheel worden, de scherpe kantjes moeten eraf. Invoegen in het geheel. Deel zijn van een totaliteit; een constructief lid van een gemeenschap, als we van de vormtekening naar de karaktervorming kijken.

Ik vraag een cholerisch kind voor de klas. “Breng jij eens een groepje van drie kinderen hier.” Hij haalt ze uit de klas en daar staan ze voor het bord. “Nu wil ik hier geen groepje van drie, maar een groep zo groot, dat dit groepje van drie daar vier keer in past.” (Zou je na “zo groot..” niets meer zeggen, dan zou de cholericus erop losstromen en zijn gang gaan). Nee, hier weer de beperking: “dat er vier keer in past”. Natuurlijk werden de kinderen nog uit allerlei ‘hoeken en gaten’ gehaald, met tumult ook, maar begrensd, in een geheel geplaatst: er kwamen er netjes twaalf te staan.

je kunt natuurlijk weer zeggen dat dit een vermenigvuldiging is, maar als je naar het gebaar kijkt, zeg je dit niet meer. Van het deel naar het geheel, net zoals de vormtekening voor het cholerische temperament. Rudolf Steiner: “Op deze
53

manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de temperamenten”. Wie nogmaals de vormtekening voor de flegmaticus bekijkt, ziet het gebaar: van het geheel naar de delen. Voor het rekenen is het verder heel simpel. Van het, door de cholericus gevonden geheel, moeten weer groepjes worden gemaakt, het moet worden verdeeld.

Ik zei dan: “Kijk, hier staan er twaalf, en liet het voor de klas geroepen flegmatische kind nogmaals tellen als die het niet meer of nog niet wist “twaalf”. “Verdeel jij die eens in groepjes van drie en breng die weer op een plaats in de klas.” Het flegmatische kind doet dit en moet daarna weten hoeveel groepjes het heeft weggebracht. (Weet het die nog te staan …?)
Het zegt dus: “daar een groepje, dat is een en daar is twee en daar is drie en daar vier, in vier groepjes. Eigenlijk zegt het dus: 12 = 3 + 3 + 3 + 3. Je ziet de vormtekening weer voor je. Later kan natuurlijk ook gevraagd worden hoeveel groepjes van vier er gemaakt kunnen worden.

Rudolf Steiner: “U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken”.
Aan bovenstaande kan je zien hoe levendig Rudolf Steiner de omgang met het rekenen voor ogen stond. Na het eerste aanbieden volgens het beschreven vaste patroon, volgt het aanbieden door elkaar.

Aftrekken

De aftrekking moeten wij allereerst met het melancholische kind doen. Elders wordt uiteengezet waarom we de rest als het geheel moeten beschouwen.

Rudolf Steiner geeft daar een rekenvoorbeeld van als hij beschrijft hoe moeder Marietje erop uitgestuurd heeft om appels te gaan kopen. Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen, want dat heeft de koopvrouw op een papiertje geschreven. Marietje komt thuis en heeft maar tien appels bij zich. Dat komt voor in het leven: Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen en ze brengt er maar tien thuis. Marietje is een eerlijk Marietje, ze heeft er onderweg echt geen enkele opgegeten. Nu komt er iemand achterop gelopen die ook eerlijk is. Die brengt alle appels terug die Marietje onderweg verloren is. Nu rijst de vraag: hoeveel heeft diegene er bij zich? Je ziet hem uit de verte aankomen, maar wilt alvast weten hoeveel hij er mee brengt. Nu, Marietje is aangekomen met tien appels; zij heeft er vijfentwintig ontvangen, dat kun je nog op het blaadje van de koopvrouw lezen. Marietje heeft dus vijftien appels verloren.

Het is verhelderend eens te zien hoe Steiner te werk gaat. Een eenvoudig beeld, een voorbeeld slechts -maar uit het leven!- als opstapje naar een rekenprobleem. Dat Marietje een melancholische meisje is, is begrijpelijk. Het is zielig om iets te verliezen. De aandacht wordt echter naar de buitenwereld getrokken: waar zijn die appels gebleven? Het sanguinische temperament moet de omgekeerde bewerking maken. Dit kind vindt het heerlijk al die verloren appels op te rapen, ze op te zoeken. Aan het melancholische kind vraag je: “Jij hebt tien appels over. Je had
54

er vijfentwintig. Hoeveel zijn er verloren?” De nadruk ligt in het begin op de rest, de tien appels die over zijn.
Daarentegen wend je je tot het sanguinische kind met: “Kijk, als ik vijftien appels
van de vijfentwintig afhaal, hoeveel blijven er dan over?” De vormtekening voor
het melancholische kind vertoont iets van het binnen en buiten. Het is moeilijk
om precies de relatie met het rekenen aan te geven. Daarvoor geldt, zoals ook
voor het rekenaspect van de andere temperamenten, dat er geen pasklare
didaktiek gegeven kan worden: die ontstaat slechts door verdere studie en
ervaringen in de praktijk!

2. 5 De basisbewerkingen

Er is hiervoor beschreven hoe het leren tellen vanuit de beweging en het leren kennen van de getallen vooraf gaat aan het ontstaan van de vier basisbewerkingen. Uitgaande van de vier temperamenten als ‘oergebaren’ om handelend mee in de wereld te staan, werd het optellen, het vermenigvuldigen, delen en aftrekken uit dit handelen van kinderen ontwikkeld. Hoewel het door cultuur invloeden steeds moeilijker is de temperamenten in het gedrag van kinderen waar te nemen, werden de kinderen in het, door hun temperament gekleurde, handelen aangesproken om die bewerkingen te creëren. Elke bewerking werd daarbij zowel vanuit de analyse als vanuit de synthese ontwikkeld. Deze twee polaire rekengebaren werden daarbij door polaire temperamenten tot uitdrukking gebracht. Als daarna alle kinderen deze bewerkingshandelingen in rekenoefeningen gaan doen, beleven ze de vier bewerkingen dus vanuit de vier temperamenten.

De bewerkingstekens

Het is een (goede) gewoonte om in het aanvankelijk rekenen aandacht te besteden aan de introductie van de rekentekens. Dat zijn immers symbolen die voor de kinderen in eerste instantie geen enkele betekenis hebben. In het begin kennen de kinderen de bewerkingstekens niet en spreken we bijvoorbeeld nog over ‘erbij doen’, over ‘verder of door gaan’, over hoeveel meer of minder, over ‘eraf of weg halen’, over ‘hoeveel keren’ of over ‘verdelen onder’ danwel ‘in’, enzovoorts. De gespeelde situatie of voorgestelde context staat daarbij voor het ‘gebaar’ van de bewerking. Waar geoefend wordt met voorwerpen, kastanjes, steentjes, bonen, pepernoten enz. leren de kinderen de bij de bewerkingen passende handelingen goed kennen.
Dit rekenen ligt nog dicht bij het tellen. Von Baravalle laat zien hoe je vanuit het tellen de hoofdbewerking optellen zichtbaar kunt maken. Dat gaat aldus. Onderstreep onder de getallenrij wat er geteld wordt:

55

Een ‘lopen’ met de hand, waarna dit bewegen langs de te tellen getalsymbolen, onderbroken wordt door een verticaal gebaar – het doorsnijdingsteken – om vervolgens weer vervolgd te worden tot het eindgetal; dan weer een gebaar, namelijk het onderstrepen van dit geheel. Merk op dat hiermee ook het plusteken tot stand gebracht is. In het bewegen zien we de voorloper van wat later de getallenlijn wordt. De plaats van de getallen op de getallenlijn en schattingen van uitkomsten krijgen zo een speciale (je zou kunnen zeggen motorische) dimensie.

Vóór in de klas heb ik de getallen aan een waslijn gehangen, zodat we ze heen en weer kunnen schuiven.

Op het bord laten we het nog een keer (anders) zien:

Hoe de verschillende bewerkingen onderling samenhangen wordt in dit ‘doen’ als vanzelf zichtbaar Bijvoorbeeld wanneer 7 = 9 – 2 en 9 = 7 + 2 met kastanjes gelegd is; of wanneer er 3 x 2 = 2 + 2 + 2 met eikels in drie keer neergelegd werd en de gelijkheid zichtbaar geworden is. Ook binnen één bewerking zijn eigenschappen zo te ontdekken, bijvoorbeeld de commutatieve eigenschap,
2 + 3 = 3 + 2  of  2 x 3 = 3 x 2, wanneer die in het geheel van een uitgevoerde handeling ingebed blijven en bij voorbeeld in een patroon zichtbaar worden. Kinderen werken er als vanzelfsprekend mee. Vanuit een onbewust weten passen ze deze eigenschappen gewoon toe als het zo uitkomt. Instructie is hier in de meeste gevallen niet nodig, het wordt allemaal nog niet benadrukt.
56

De rekenbewerkingen, die met symbolen worden aangegeven, hebben eerst ‘van binnen uit’ voor de kinderen betekenis gekregen, hoofdzakelijk door middel van het bewegen. Het ligt dan ook voor de hand om de rekensymbolen daarmee te verbinden. In navolging van Von Baravalle gebeurde dit hierboven bij het optellen. Het kan ook anders, namelijk vanuit het temperamentenrekenen. Het gebaar, het bewegen, van de bewerking wordt in dat geval door een verhaal met beelden verbonden. Daaruit komen vier tekeningen te voorschijn, die de bewerking uitbeelden.

De leraar vertelt: “Kinderen, je moest eens weten wat er allemaal in het bos te vinden is aan eikels, beukenootjes, zaadjes en alles wat de dieren graag eten. Maar er is veel dat onder bladeren en stenen, tussen het gras blijft liggen. Weet je, ik heb wel eens gehoord dat er kabouters zijn die zorgen, dat alles wat er zo verborgen is, toch bij de dieren komt. Er zijn speciale kabouters die alles bij elkaar zoeken. Ze hebben manden bij zich, die ze vol laden met wat ze vinden voor de dieren (…)”.
“Kom eens even in de kring staan. Laten we eens doen of wij de kabouters zijn. Hier ligt wat en daar ook nog wat. Pak het maar en doe het in je mand”.
De kinderen lopen in de kring en ‘rapen’ steeds iets op dat ze dan in hun ‘mand’ doen. “Heb je gemerkt, hoe die kabouters lopen?”
In een gesprekje met de kinderen komt er uit, dat deze kabouters goed moeten kijken, dat ze rustig stappen en dat hun mand steeds voller wordt, zodat ze niet eens snel kunnen lopen. En met het volgende gedichtje lopen de kinderen vervolgens weer rond, terwijl ze om de beurt links en rechts rapend hun denkbeeldige manden vullen.’

Zoeken, zoeken, links en rechts,
Hier wat pakken, daar wat rapen.
Dieren blijf maar rustig slapen,
Want kabouters zijn we slechts,
Die in manden vol en zwaar,
‘t Een na ‘t ander, alle dagen,
Rustig werkend samendragen,
Wat we vinden hier en daar.

De volgende dag maken de kinderen een tekening van de dikbuikige kabouters, die met hun manden door het bos lopen.

Op die manier is het karakter van het optellen heel goed uit te beelden. Het wekt bij de kinderen het gevoel voor het wezen van het optellen, voor het flegmatische karakter van het verzamelen. Ook in het gedichtje kan dat onderstreept worden.
In dit omgaan met de hoofdbewerkingen zijn juist de verschillen tussen de kabouters, die daar in het bos bezig zijn, van wezenlijk belang.
De verzamelaar met zijn blozende bolle wangen, die alles bijeen raapt wat in de zomer gegroeid en in de herfst gerijpt is.
De magere kabouter, die alles uitdeelt wat door de verzamelaar vergaard is, totdat hij niets meer over heeft en hij melancholisch kan zeggen: “Nu heb ik niets meer.” De springer, die door het bos danst en overal zorgt dat de bloesems aan de bomen komen en dat de planten in veelvoud zaad kunnen dragen uit één luttel zaadje.
En ten slotte de stevige kabouter, die alles wat te groot en te hoog is, verdeelt zodat ieder het zijne krijgt.
57

De abstracte rekentekens zijn in bovenstaand doorkijkje aan de kabouters toegevoegd; die brengen de tekens bij wijze van spreken mee. Ze kunnen vervolgens gebruikt worden om wat gedaan is te tekenen of later met symbolen als ‘sommen’ mee te beschrijven.

Duidelijk zal zijn dat dit een geheel andere weg is om de rekentekens in de wereld van het kind te brengen, dan die hiervoor bij het tellen werd aangegeven. Beide wegen, die van het bewegend tellen en die vanuit de ‘verbeelde’ rekenkabouters, hoeven elkaar niet in de weg te staan, want het is goed denkbaar dat de rekenkabouters aan het werk gaan met de getallen (was)lijn!

Het is jammer dat de rekentekens zelf niet goed de bewerking (het x-teken bijvoorbeeld, de vermenigvuldiging) verbeelden. Bij vermenigvuldigen denk ik eerder aan een bepaald aantal gelijke groepjes, of aan een rechthoekig tegel-plein dan aan een kabouter die van de ene hoeveelheid naar de andere springt. Misschien dat er nog eens een creatieve rekenaar in de vrijeschool opstaat, die een betekenisvollere introductie van de rekentekens bedenkt.
58

Pijlentaal

Dit kan een goed moment zijn om, als overgang naar de notatie van ‘echte’ sommen, het pijlentaaltje te introduceren (beter: samen met de kinderen uit te vinden). Ook hier kan aanvankelijk uitgegaan worden van het tekenen van wat er gedaan is: In Wims spaarpot zitten twee guldens, als opa en oma geweest zijn zitten er zes guldens is. Dat kan zo getekend worden:

Daarna kan de notatie ook meer schematisch worden, of kan op het spaarpottenthema gevarieerd worden met gelijksoortige opgaven:

Als de kinderen kunnen verwoorden wat er gebeurd is, bijvoorbeeld: “Eerst waren we met zijn tweeën. Later met zijn zessen. Er waren er vier bijgekomen.” Of: “We stonden met z’n tweeën te praten, vier kwamen erbij. Toen waren we …”, kan ook tot de meer schematische notatie overgegaan worden:

Met het pijlentaaltje zet je enerzijds een stap in de richting van het abstracte, anderzijds is er nog iets te zien van de dynamiek van de rekenhandeling. Dit ‘taaltje’ staat dichter bij de werkelijkheid, dan wat met rekensymbolen beschreven wordt. In het tweede geval verschijnt de ‘actieve’ boven de pijl. In een volgende stap kan daaraan het bewerkingsteken worden toegevoegd.

Zo wordt de overgang naar de formele rekentaai met rekentekens, waarin vaak voor de kinderen de reken handelingen niet meer herkenbaar zijn, geleidelijk gemaakt.
59

Hoe verder …

In de loop van de eerste klas krijgen de kinderen steeds meer zicht op de gebeurtenissen in de kleine wereld om hen heen. Met het rekenen maken we daarvan gebruik en vertellen in de klas een verhaal over zo’n concrete gebeurtenis uit het dagelijks leven. De kinderen herkennen onmiddellijk in de handelingen de ‘rekengebeurtenissen’. Nu komen de vier basisbewerkingen vanuit de wereld op de kinderen af en zij herkennen die vanuit hun eigen dynamiek.

In zo’n rekenverhaal zijn er elementen die een actieve of een passieve rol spelen bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Voorbeelden:

1. Esther kreeg zeven appels mee voor oma. Onderweg struikelde ze, en met een flinke schaafwond op haar knie kwam ze bij oma aan. Daar aangekomen ontdekte ze dat er in de zak met appels een scheur zat. Er zaten nog vier appels in voor oma.
Hoeveel appels heeft Esther verloren? Zij denkt: Ik kom bij oma met 4. Ik ging op stap met 7. Dan …4 = 7-…?

2. Jan is jarig en hij heeft voor tien vriendjes een mooie uitnodiging getekend voor zijn feestje. Met hulp van zijn zusje zijn de kaarten geadresseerd en nu wil hij ze op de post doen. Zijn moeder geeft hem vier postzegels, dan loopt hij naar zijn vader om nog meer postzegels te vragen.

Hoeveel postzegels moet vader hem erbij geven om alle kaarten te versturen. Hij denkt: Ik heb 10 nodig. Ik heb er al 4, dus … 10 = 4 + …?

Bij deze eerste verhaalsommen is het belangrijk situaties te kiezen waarbij van het geheel kan worden uitgegaan. Dan kan het kind zoeken naar de gebeurtenis die tot de betreffende bewerking leidt en is de opgave in het verhaal op te lossen. Het kind vindt dan het getal dat een actieve rol speelde. 4 = 7 – 3, ik heb 3 appels verloren. 10 = 4 + 6, ik moet nog 6 postzegels erbij zien te krijgen.
Merk op dat kinderen vaak zo in het verhaal opgaan dat ze het rekenen erbij vergeten. Steeds weer een nieuw verhaal, versterkt dat. Daarom is het goed om in hetzelfde verhaal de getallen te variëren en een vraag te stellen als: “Hoe zou het zijn als Esther met 10 appels van huis zou zijn gegaan?” of ” … als Jan 12 vriendjes wilde uitnodigen?”


60

In andere opgaven zijn steeds twee getallen gegeven. Het kind moet actief, zich in de handeling inlevend, zoeken naar het derde getal, hier de ‘actieve ‘ genoemd, dat de gebeurtenis in de bewerking weergeeft.
Dit kan op verschillende niveaus gedaan worden:
met concrete objecten (drie appels, het moeten er vijf worden …), met representaties van concrete objecten (ik denk aan appels en pak drie blokjes of teken drie stippen …), schematisch (bijvoorbeeld stippen of getallen in een dubbeldekker of op een getallenlijn), symbolisch, puur met getallen en misschien uiteindelijk geautomatiseerd, zonder te rekenen of zelfs maar erbij na te denken komt er 3 + 2 = 5.
Bij het maken van de opgaven moet steeds weer de vraagstelling en de situatie in het verhaal getoetst worden aan de levensfase en de relatie van het kind met de omringende wereld. Concrete situaties moeten ‘levensecht’ en niet onwaarachtig zijn. Het kind moet zich erin kunnen verplaatsen. Dat laatste is wat didactici bedoelen met ‘realistisch rekenen’.

Ook vragen de verschillende zintuigen als waarnemingsorgaan hier de aandacht. In de rekenopgaven zijn kinderen ook aan het ‘waarnemen’ van rekensituaties. Als we rekenen met voorwerpen ligt het voor de hand dat we wat zien of horen en dat we iets kunnen voelen. Bedenk nu ook eens opgaven waarbij we alleen maar luisteren, alleen maar kijken, of zoals in de voorbeelden hieronder: alleen maar voelen.

Voorbeelden:

1. Alle kinderen hebben de ogen dicht of mogen een blinddoek voor. Op hun tafeltje krijgen ze een aantal steentjes (of iets dergelijks) waarvan er een aantal glad en een aantal ruw zijn. Dan een lap erover en de kinderen mogen eerst voelend tellen hoeveel steentjes er liggen. Vervolgens mag de doek eraf en voelen ze de optelsom! Dan mogen de kinderen ‘op de tast’ van plaats ruilen en de som van een ander ‘voelend maken’.

2. Alle kinderen gaan in de klas op zoek naar voorwerpen waaraan een getal te ontdekken is. Ze nemen deze mee en leggen ze onder een doek op hun tafel: de pot met verfkwasten, de stapel broodplankjes, … Vervolgens gaan alle kinderen twee aan twee naar de verstopte rekenvoorwerpen toe en om de beurt moeten ze het getal van het verstopte voorwerp van de ander zeggen. Samen vormen ze daarna een optelsom. Of misschien ook andere sommen.

61

3. De hele klas heeft de ogen dicht. Eén kind wordt aangetikt en mag met open ogen de doek over iets in de klas heen leggen, dat je verdelen kunt! bijvoorbeeld tien kaartjes van het memory spel. Een tweede kind mag nu meekomen en krijgt de opdracht: Voel eens wat er onder de doek ligt. Kun je er een verdeling van maken? Doe dat maar! (10 = 5 + 5; 10 = 2 x 5; 10 = 3 x 3 + 1). Nu doet iedereen de ogen open. Alle kinderen mogen naar de geheimzinnige som toegaan en met de ogen weer dicht gaan ze er voelend naar op zoek.
Ze fluisteren juffie de som die ze gevonden hebben, in het oor. Niet verder vertellen, hoor!

Het is interessant om te zien, als alle kinderen geweest zijn, wie er aan één keer tellen genoeg heeft om de som te maken en wie er moet blijven tellen om een optelsom te vinden.
Hoe kun je de langzame rekenaars een beetje steun bieden? Denk aan de mogelijkheden om de onzichtbare hoeveelheid te representeren. (‘Kijk eens, aan de muur zie je ook 10 …) en daarin structuur aan te brengen (denk eens aan je 2 handen, 10 vingers, dat zijn er ook …).

 

Van het woord verhaalsommen kan ten onrechte de suggestie uitgegaan zijn dat dit rekenen alleen verbaal wordt aangeboden via een vertelling of een mondelinge situatieschets. Het is evenwel belangrijk om hier ook aandacht aan de visuele waarneming te schenken. Een rekenverhaal kan juist ook heel goed in een mooie tekening (foto?!) worden weergegeven, ook als het om een hele gewone dagelijkse situatie gaat. Bekend zijn in dit verband de praatplaten, die bij de kinderen persoonlijke ervaringen oproepen of de fantasie aan de gang brengen. Er zijn altijd aanleidingen om te gaan rekenen en het rekenwerk met elkaar te bespreken.

 

 

 

Hoeveel eieren heeft mijn zusje gebruikt bij het bakken van de cake?

Van tellen naar rekenen

Omdat we de kinderen zo vertrouwd willen maken met het rekenen met getallen, dat het tellen op den duur niet meer nodig is, moeten we door middel van opdrachten helpen het tellen te verlaten. Dit is vooral voor de zwakke rekenaars nodig. Iedere leraar kent ze wel, de kinderen die voortdurend terugvallen op het tellen en er niet toe komen de opteltafels toe te passen en te memoriseren.

62

Een gevorderd stadium in het telproces is het verkorte tellen. Hoeveelheden worden dan geteld via groepjes of zelf aangebrachte structuren. Wie zover is om bij het tellen handigheidjes toe te passen (bijvoorbeeld schoenen tellen met twee tegelijk of vingers met sprongen van vijf), is op de goede weg. Goede hulp op dit gebied van het ‘tellen afleren’ sluit dan ook hierop aan. Turfjes maken of tellen met sprongen krijgen zodoende extra didactische betekenis. Je kunt structuren ook geven in een verhaal; de vier poten van de tafels in de klas of een tegelpatroon op het schoolplein als dat er is, (anders kun je misschien zelf een plateautje maken in de klas, van kartonnen tegels of van een partijtje tapijttegels). Er zijn kinderen die ertoe neigen steeds te blijven tellen, steeds de losse elementen apart te blijven zien. Zorg ervoor dat in het getekende verhaal bijvoorbeeld ook dichte eierdozen (tien stuks) voorkomen, dat stimuleert de overgang naar het vermenigvuldigen zonder eerst nog te gaan optellen, of zelfs te gaan tellen.
Hetzelfde principe, tellen van onzichtbare hoeveelheden, kun je al eerder, bij het optellen, toepassen. Bijvoorbeeld:

Of bij vermenigvuldigen:

Langzamerhand zijn we met dit rekenen al in de tweede of mischien wel derde klas beland. De kinderen gaan steeds meer zelf de bewerkingen herkennen in di verse opdrachten, maar ze gaan ook de mogelijkheden van de vier basisbewerkingen binnen één opgave uitproberen en onderzoeken. Zij kunnen na verloop van tijd ook andere dan de vier hoofdvragen beantwoorden Er zijn ook dagelijks-leven-situaties waarbij juist de ‘actieve‘ gegeven is en naar het resultaat van de bewerking gevraagd wordt.
Margriet ging met 7 appels op pad en heeft er onderweg met haar vriendinnen 4 opgegeten. Met hoeveel appels …? 7 – 4 = …
63

We kijken nu nog eens naar verschillende situaties binnen de opgaven met de vier basisbewerkingen. Kinderen kunnen vaak de sommen als vanzelfsprekend oplossen. Als leerkracht moet je steeds attent blijven op wat je vraagt om verkeerd gekozen oplossingswegen van de kinderen te kunnen herkennen.

Allereerst bij het aftrekken:

a) Kinderen kunnen het verschil vaststellen. Denk daarbij aan het voorbeeld van de appels voor oma.
b) Kinderen kunnen ook uitrekenen wat je overhoudt, als je iets weggeeft.
Jan komt op school met 10 knikkers. Zijn vriend Bas is zijn knikkers vergeten. Jan geeft er 4 aan Bas om toch mee te kunnen doen. Hoeveel heeft Jan over om mee te knikkeren? 10 – 4 = …, een echte ‘min’-som.
c) Kinderen kunnen een verschil bepalen ook als een optelling gesuggereerd wordt:
Rien heeft 5 appels en Reinie heeft er 9. Hoeveel heeft Reinie er meer dan Rien?

Dan bij het optellen.

a) Kinderen kunnen aanvullen tot een gegeven aantal.
Floris had 5 euro in zijn spaarpot, hoeveel moet hij nog sparen om een zakmes van 12 euro te kunnen kopen? 5 + … = 12
b)Kinderen kunnen optellen door ‘aan te rijgen’.
Jan ging van huis met 10 knikkers. Hij wint er die dag 22 bij. Met hoeveel knikkers kwam hij thuis? 10 + 22 = 10 + 20 + 2 =

N.B. In de context zijn de getallen 10 en 22 even actief, maar op het moment dat je gaat rekenen kiest het kind toch eerst een getal om mee te beginnen, wat daarmee passief wordt.

Bij het vermenigvuldigen:

a) Kinderen kunnen de operator vinden als het product gegeven is.
Een boswachter wil 12 bomen planten. Hij kan er 3 tegelijk vervoeren op een kar. Hoe vaak moet hij rijden? (… x 3 = 12).
b) Kinderen kunnen ook vermenigvuldigen als de operator bekend is en ze weten wat er gaat gebeuren.
Een boswachter kan 3 bomen vervoeren. Hij rijdt 4 keer met zijn kar.
Hoeveel bomen heeft hij weggebracht?
4 x 3 = …

Tot slot over het delen:
a) Kinderen kunnen delen als er een hoeveelheid verdeeld moet worden.
Jullie zijn met z’n vijven. Ik heb hier 10 snoepjes, verdeel die eerlijk onder elkaar. Wat krijgt ieder?
10 : 5 = … Het antwoord is hier 2 snoepjes, het aantal als benoemd getal, dat ieder krijgt…
b) Kinderen kunnen delen vanuit een aantal dat als benoemde maat gegeven is Verdeel 10 snoepjes in porties van 2 snoepjes. Hoeveel porties van 2 snoepjes kun je daarmee maken?
10 : 2 = …? Of is 10 : …= 2 beter. Het antwoord is hier 5 als aantal zonder toevoeging.
64

 

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

 

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

Inmiddels zijn we weer verder in de tijd, zitten de kinderen echt in de 3e klas en hebben enkelen hun negende verjaardag al gevierd.
De kinderen kunnen nu met allerlei opgaven, ook in toepassingssituaties rekenend -niet ‘uit’ het hoofd maar met het lichaam- uit de voeten! Belangrijk was dat er door de kinderen eerst gerekend werd vanuit henzelf, door het bewegen en het aanspreken van het temperament. Daarna kwam het rekenen steeds meer terecht in de wereld, mede omdat de opgaven concrete situaties weergaven, naar voorbeelden uit de wereld van het kind.

De natuurlijke instelling van het kind is analytisch, we laten het dan ook analyserend werken door structuur te brengen in hoeveelheden, structuur te herkennen in een rij getallen en tussen de cijfers in de getallen zelf. Door in de basisbewerkingen vanuit het geheel naar de delen te gaan en door te vragen naar het ‘actieve’ getal in de opgave, appelleren we aan de wil tot analyseren. Vanuit de wereld, de cultuur, komt ook de synthese op de kinderen af. In dat geval ontstaat vanuit onderdelen een nieuw geheel. Bijvoorbeeld: “Eén etui pennen kost € 4,- Wat kost een doos met vijfentwintig van zulke etuis ?”
Het is zinvol om dit soort vragen pas in het laatste stadium van het leren kennen van alle structuren binnen de vier basisbewerkingen aan de orde te laten komen, bijvoorbeeld tijdens het winkeltje spelen in de derde klas.

We zijn nu aan het punt gekomen, dat Rudolf Steiner aangaf als het moment waar het rekenen meer abstract wordt. In de tweede helft van de derde klas, als de kinderen op een leeftijd zijn gekomen tussen het negende en tiende jaar. Nu we met het kind de weg van binnen naar buiten hebben bewandeld in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen zij de getallen zelf in de opgaven als concrete gegevens zien. Door verschillen in ontwikkeling en rekenvermogens is wat voor het ene kind abstract blijft, voor het andere nu juist concreet.
Om de overgang naar dit abstracte rekenen met kale getallen te bewerkstelligen kunnen we gebruik maken van benoemde getallen! Denk daarbij aan geldreke-nen. Niet alleen 2 x 10 = 20, maar twee stukjes van 10 eurocent = 2 x 10 cent = 20 cent.
Of aan het boodschappen doen: drie dozijn jampotten in een doos uit de voorraadschuur van de kruidenier. Drie dozijn potten = 3 x 12 potten = 36 potten.
Of nog anders, twee paar schoenen = vier schoenen.
Ook tijdsvragen lenen zich hiertoe: Hoeveel dagen is drie weken? Hoeveel kwar-lieren zitten er in vijf uur? De klok en de kalender leveren prachtige
rekenstructuren, straks -in klas vier en vijf- ook nog goed te gebruiken als concrete basis voor het rekenen met benoemde breuken. (Hoeveel kwarten in vijf helen? Zie H5).
65

Als we op deze wijze gerekend hebben, is het voor de kinderen niet meer moeilijk om in een opgave als 3 x 20 = 60, het getal 20 als een concreet gegeven te zien ook al is daarbij 20 ‘kaal’ met 3 vermenigvuldigd. Achter de ‘kale som’ kan weer het benoemde getal, bijvoorbeeld ’20 druppels’ van de medicijn, beleefd worden.
Ze moeten dat afzien daarvan ook leren, want al is 3 x 2 pillen niet hetzelfde als 2 x 3 pillen, in de rekenkunde geldt wel dat 3 x 2 = 2 x 3. Een eigenschap die in het algemeen geldt, dus ook voor grote getallen. Dat kan nuttig zijn: 99 x 2 is vlugger te berekenen wanneer het als 2 x 99 = 200 – 2 gelezen is. Veel kinderen ontdekken dat zelf, sommigen moeten er eerst op gewezen worden.
Je kunt als leraar op vele manieren ruggensteuntjes geven. Bijvoorbeeld door opgaven te maken waarbij de kinderen zelf de eigenschappen tijdens het rekenen met kale sommen, kunnen vinden.
Bijvoorbeeld: 2 + 7 + 8 + 4 + 6 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) = 3 x 10 = 30.

Het gaat hier nadrukkelijk niet om rekenregels, die kinderen uit het hoofd moeten kennen. Maar om eigen ontdekkingen die hun rekenwerk kunnen vereenvoudigen of verkorten. Wie aan het doen van zulke vondsten aandacht besteedt, ontwikkelt bij kinderen een wiskundige attitude, stimuleert hen op zoek te gaan naar regelmaat, wetmatigheid en getalstructuur, geeft hen oog voor de schoonheid van de wiskunde. In elke klas heb je wel kinderen die bijna van nature zo’n wiskundige attitude hebben meegekregen.

Hier een paar voorbeelden van wetmatigheden op het niveau van het derde klas rekenen:

• De wisseleigenschap: 5 + 12 = 12 + 5 en 3 x 8 = 8 x 3.
• De schakeleigenschap: (8 + 5) + 2 = (8 + 2) + 5.
• Het afhalen en aanvullen: 17 + 9 = 16 + 10.
• Halveren en verdubbelen: 16 x 5 = 8 x 10.
• Vergroten of verkleinen: 68 : 4 = 34 : 2 en 115 : 5 = 230 : 10.
• De verdeeleigenschap: 6 x 14 = 6 x 10 + 6 x 4

Kinderen kunnen nu ook oprecht genieten van alle soorten kale abstracte sommen. Voor sommigen kunnen die niet moeilijk genoeg gemaakt worden. ‘Bedenk een verhaaltje bij zo’n som’, is een opdracht waarbij ze de concrete situaties zelf mogen invullen Kinderen die met plezier rekenen vinden het leuk om zelf problemen te bedenken en op te lossen. De vele wegen die zij met de basisbewerkingen hebben leren kennen, zullen hen de vrijheid en het vertrouwen geven hun eigen weg te gaan en hun eigen rekenstrategieën te ontwerpen. Want handig rekenen is toch handig handelen, handig bewegen, binnen de getallenwereld.

Rest ons de vraag of aan de keuze van de rekenstrategieën bij het oplossen van sommen, het temperament, de geaardheid van het kind als basis ten grondslag ligt? Doorziet hij zijn ‘eigen-weg’ het beste? Welke waarde moeten we nu toekennen aan het klassengesprek, waarin de diverse rekenstrategieën door de uitvinders zelf naar voren worden gebracht om door de anderen nader te worden doorschouwd? Interactief rekenonderwijs staat ook in dienst van het leren verwoorden van gevonden regelmatigheden, en dus van bewustwording en draagt zo bij aan de vorming van de eigenheid van het kind.
66

2.6 Het schriftelijk werk

Wat er in de rekenles wordt gedaan als bewegingsvorm, of als concrete rekenactiviteit, kan een neerslag krijgen op papier. In de eerste twee perioden worden nog geen sommen op papier gemaakt. Toch kan hier voorbereidend werk gedaan worden. Activiteiten rond de vier hoofdbewerkingen verwerken de kinderen naderhand in ‘rekentekeningen’. Later zetten ze er de getallen bij.
Op basis van dit werk kunnen dan aan het eind van de eerste klas de eerste ‘echte’ sommen ontstaan. Met ‘echte’ sommen wordt gedoeld op de notatie, zoals 10 = 2+3+5. In feite is het maken van die verdeling, bijvoorbeeld uitgaande van 10 kastanjes, ook een volwaardige rekenopgave. Deze sommen hebben in dat geval hun oorsprong in iets dat gedaan en beleefd is, in het spel, in de beweging.

• Zo kunnen op papier de dwergen verschijnen, die hun zakken met stenen dragen. Dertig stenen hebben ze nodig, in elke zak kunnen er 5. In de tekening zie je in elke zak 5 stenen.
• In het paleis van de koning zijn twaalf kamers, die allemaal een raam hebben. Teken de voorkant van het paleis maar eens. Hoeveel kamers zou je kunnen zien!
• Tekeningen over een natuuronderwerp: een tuin met telkens 6 bloemen die bij elkaar horen, of stapeltjes boomstammen in het bos. Of ook de tulp en de lelie, met elk 6 bloemblaadjes, of de roos met een 5-structuur. Hoeveel bloemblaadjes zien we in een struik van de Chinese roos met 6 bloemen?
• De ‘hoeveelheden tekening’: maak een tekening waarin je zelf de hoeveelheden 3, 4 en 5 verstopt hebt.

In een tekening horen eigenlijk geen woorden of cijfers. Maar in een rekentekening is dat wel mogelijk. In elk geval stoort het daar niet.
67

Het voorbeeld van de dertig stenen kan later tot een som leiden.
Bijvoorbeeld 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Nu kunnen als voorbereiding daarop al enkele getallen bij de hoeveelheden geschreven worden.

Wat is er nog meer aan schriftelijk werk in de eerste klas? Heel wat, als de leraar inventief genoeg is. Het vormtekenen kan een belangrijke aanleiding en ondersteuning zijn. Als de kinderen bezig zijn met getal en kwaliteit kunnen de getallen, elk apart groot op papier verschijnen. In het (vorm)tekenen gaat het kind vele malen bewegend over de vorm heen zodat die goed in het lichaam verankerd wordt. Dat kunnen ook cijfervormen zijn.

Daarnaast kan iets van getal en kwaliteit in het (kleur)tekenen zichtbaar gemaakt worden: de 3 koningen, de 6-hoekige honingraat, de 7 kleuren van de regenboog.

De tekeningen, die in het kader van het thema getal en kwaliteit zijn gemaakt, krijgen in de eerste rekenperiode hun beslag.

Verder kunnen allerlei verdelingen op papier uitgewerkt worden die tevoren met kastanjes, snippers, enzovoorts concreet handelend tot stand zijn gebracht. Zo kunnen de kinderen laten zien op hoeveel manier het getal 7 kan worden verdeeld, 1 en 6; 2 en 5; 3 en 4; 4 en 3 (dat wezenlijk iets anders is dan het voorgaande), 5 en 2; 6 en 1. Dit zelfde kan gebeuren met de verdeling in drie groepjes. Interessant is hier de voorstelling van een dubbeldekker, en bekende Londense stadsbus. Er komen 7 passagiers binnen. Op welke verschillende manieren kunnen die (boven, beneden) in de bus plaatsnemen? Belangrijke vraag: “Heb je alle manieren gevonden? Hoeveel verschillende verdelingen zijn er in het geval van zeven passagiers? Hoe kun je dat zeker weten?”
68

Een opgave: De kinderen hebben 24 snippers neergelegd in drie stapeltjes. Hoe kan deze verdeling eruit zien? De oplossing kan vervolgens op papier uitgewerkt worden. De uitkomsten kunnen zeer verschillend zijn. Uiteraard laten de kinderen aan elkaar zien, hoe zij hun verdeling gemaakt hebben. Dat nodigt ook uit om van hieruit steeds nieuwe verdelingen te maken.

69

Het splitsen van een getal kunnen we ook zichtbaar laten maken met een ‘trapje’ De twee getallen, die tegenover elkaar staan, vormen samen het geheel. Dit kan bij meer getallen gebeuren ook met variaties.

Als de kinderen in de eerste klas beginnen met het tellen, vervolgens gaan tellen met accenten, lopend, hinkelend, enzovoorts, kunnen de bijbehorende rijen bij vormtekenen worden uitgewerkt. Ook dit is een goede voorbereiding op het komende rekenen op papier. Wat beleefd is, wordt nu namelijk zichtbaar gemaakt. Regelmatigheden van het bewegen worden mooie visuele patronen op papier. Hier wordt ook een fundament gelegd voor een van de belangrijkste wiskundige denkmodellen: de getallenlijn. De verschillende structuren, die met het aangeven van de accenten en regelmatigheden in het gebied van de getallen zichtbaar worden, kunnen later weer van pas komen. Denk maar aan de tafels van vermenigvuldiging.
In het midden van het blad komt de ononderbroken rij, de getallenlijn met de ongenuanceerde rij getallen, boven en onder de bogen die de accenten aangeven. Naarmate de kinderen meer van deze rijen bewegen en ‘in kaart brengen’, kunnen deze vormen uitgebreid worden.
Het is een ook goed idee gebleken om jonge kinderen de ritmiek van de rijen in een kralenketting te laten rijgen. Deze activiteit bereid de getallenlijn, die abstracter is, goed voor. Er zijn collega’s die een goedkope versie van de kralen-rugbekleding (autostoel) ervoor hebben ontmanteld.

Met de geometrische vormen die in de eerste klas centraal staan, kan ook schriftelijk gewerkt worden. Het is voor de kinderen een uitdaging om het geheel mooi op papier te krijgen. Ook hier wordt steeds iets eraan toegevoegd, de vorm groeit. De kinderen kunnen er in de dagen er na veel aan ontdekken. Welke getallen zien we bij elke punt verschijnen?
70

Op het eind van de eerste, en ook nog in de tweede klas kan gewerkt worden met andere getalpatronen. Hier zijn weer vele mogelijkheden tot het vinden van eigen variaties. De figuren die als stramien dienst doen, kunnen de vorm hebben van een cirkel, driehoek of vierkant.

Het vergt concentratie en doorzettingsvermogen om een getallenrij precies weer te geven. Aan de andere kant wordt hierin ook de schoonheid van de getallenwereld beleefd.
Het is tegelijkertijd ook een goede oefening om de getallen goed te leren plaatsen. Het recht onder elkaar zetten vraagt zeker om enige oefening.
In het begin moet zo’n getallenrij niet uit te veel cijfers bestaan. Veel aandacht moet er besteed worden aan de wijze waarop elk cijfer getekend wordt: hoe begin je, welke richting draai je rond? En je kunt best een paar maal over hetzelfde cijfer heen gaan met je krijtje, tot de cijfers er stevig op staan!
Later kunnen de rijen meer getallen bevatten, zodat de kinderen mettertijd in staat zijn een geordend blad vol cijfers te produceren, waaraan dan ook weer het nodige waar te nemen valt vanuit allerhande ordeningsprincipes. Want ook daar staat de vraag centraal: wat kunnen de kinderen er aan beleven?
Daarom gaat het in de eerste plaats. Ook in het schriftelijk werk wordt het gevoelsleven van het kind aangesproken.
71

Goede ideeën uit de hoek van het realistische reken-wiskundeonderwijs, kunnen in het bovenstaande kader wellicht ook worden meegenomen. We sommen er enkele op:
• De kinderen maken een telboekje, met een tekeningetje maken ze daarin zichtbaar wat ze aan het ernaast geschreven getal beleven (Individueel of met elkaar).

• In de klas wordt met tafels en stoelen een dubbeldekker gebouwd. De passagierverdelingen mogen later getekend worden.
• Kegelspel: met pijlentaal uitgetekend.

• Op werkbladen staan twee grote hoeveelheden (bloemen, sterren, …). Waarvan zijn er meer? Ze kunnen niet geteld worden, er moeten dus verschillende aanpakken bedacht worden.

• Er worden zelf op grote vellen ‘posters’ gemaakt waarop telproblemen getekend zijn. Tellen wordt lastiger, als je de te tellen objecten niet kunt aanraken, of als ze bewegen, of als je ze niet allemaal tegelijk ziet.
• Er staan bouwsels van blokken in de klas. Wie kan van zijn plaats af tellen hoeveel blokken er in één bouwwerkje gebruikt zijn? Kun je ook een tekening maken om het tellen te ondersteunen?
72

• Met het rekenrek worden getalbeelden, vanuit ‘gehelen’, tot stand gebracht.
Die kunnen ook getekend worden. Met ‘flitskaarten’ worden ze nog eens extra geoefend. Nadere informatie hierover in Willem Bartjens, jrg. 10, nr 3.
Daar staan twee alternatieve leergangen voor het rekenrek. Beide leergangen zijn realistisch van architectuur.
• De leraar kan bordspelen als ganzenbord ontwerpen en laten spelen.
De aantallen worden nu in verband gebracht met ‘ogen’ op een dobbelsteen en de cijfers op het bord.

Ten overvloede: Bij het werken in het -eventueel uit losse bladen samen te stellen eerste rekenschrift geldt: Goede gewoonten moeten geleerd en voorgeleefd worden, ze ontstaan nooit vanzelf. Besteed zorg aan het werk. Wees geconcentreerd bezig. Gebruik de kleuren als het kan betekenisvol. Neem de tijd ervoor om ook te laten begrijpen wat je aan het doen bent. Probeer je steeds te herinneren waar zulk rekenwerk al eerder ‘gedaan’ werd.

En bedenk ook: de leraar laat die goede gewoonten onder meer zien als het bord gebruikt wordt: wat op het bord komt is ‘mooi’. Het bord is voorbeeld voor een bladzij in het schrift, op het bord komt zeker niet alleen oefenstof. Het midden-bord is werkbord, de mooie tekeningen komen op de flappen (wat je op het bord zet, heeft een goede voorbereiding nodig). Samen met de klas wordt het bordwerk afgemaakt, daarbij kan de leraar het goede voorbeeld tonen. Op het bord kunnen beelden verschijnen, die het onthouden gemakkelijk maken. Het bord hoeft er niet alleen te zijn om vanaf de zitplaats bekeken te worden, kinderen kunnen er naar toe lopen en ook een bijdrage leveren. Op het bord verschijnt ‘de wereld’ nog eens op een andere manier. Zet op het bord eens een geschikte situatie uit de werkelijkheid, op basis waarvan rekenproblemen bedacht en opgelost kunnen worden.

73

Over werkvormen

Rekenen is een beweeglijk vak, zoals in dit boek op vele plaatsen mag blijken. In de paragraaf over klok en kalender (zie H4.2) hebben we kunnen lezen waarom het rekenen in periodeonderwijs wordt gegeven en in de hogere klassen wordt aangevuld met de wekelijkse rekenwerkuren.
Een rekenperiode van drie à vier weken biedt heel wat mogelijkheden om de rekenleerstof te verwerken via verschillende werkvormen. Daaraan vooraf gaat nog dat, om het rekenen in de loop der jaren goed ‘op de grond’ te krijgen, het verstandig is dit ritmische vak in een zekere regelmaat te laten terugkeren, waarbij de zomervakantie niet voor een al te groot gat mag zorgen.
Bovendien beveelt Rudolf Steiner de laatste maand van het schooljaar aan als herhalingstijd. Verschillende vakken worden dan wat losser naast en door elkaar behandeld, een belangrijke aanvulling op het initiërende element van het periodesysteem. Voor rekenen is dat met name van belang in de lagere klassen, omdat er daar nog geen sprake is van een regelmatig terugkerend rekenwerkuur, om onder andere lesstof in te herhalen.

Werkvormen in het rekenonderwijs

De verschillende rekenactiviteiten vragen deels om een klassikale vorm, deels om een individuele vorm of om werken in groepjes.
Niet alleen de onderlinge verhouding in het gebruik van verschillende werkvormen zal voor de kinderen uit de laagste klassen sterk verschillen van het gebruik voor de grotere kinderen, maar ook per dag zal het karakter van de dagen van de week, de keuze voor verschillende werkvormen beïnvloeden.
In een periodeochtend hebben we in principe de beschikking over twee uren. Daar moeten we economisch mee om leren gaan.
Na een korte dagopening, de morgenspreuk, wellicht een enkel lied en wat bewust gekozen spreek(spraak)-oefeningen kan het rekenen beginnen.

Hoofdrekenen

Korte hoofdrekenlesjes zijn voor de kinderen iedere keer weer een uitdaging, geestdriftig worden er, afwisselend door de leerkracht en de kinderen, sommen opgegeven. Het gaat er niet om moeilijke opgaven te geven, maar juist opgaven te bedenken die de getallenbeweeglijkheid stimuleert en doet ervaren. Dit onderdeel van de morgen hoeft niet alleen in een rekenperiode plaats te vinden, juist ook in andere perioden kan tien minuten hoofdrekenen heel goed deel uitmaken van de opmaat.

Reflecteren

In een klassengesprek, na deze klassikale opmaat, proberen we gezamenlijk aan te knopen bij het rekenen van de vorige dag. We reflecteren en ontdekken de verworvenheden van die dag met de kinderen. Rekenen is immers bij uitstek een activiteit, die in de nacht onbewust doorgaat. We kunnen de kinderen mogelijk ook nog een paar opgaven, gelijkend op die van de vorige dag, laten maken. Voor de luisterende leerkracht geeft het een schat aan gegevens over de kinderen om zowel in pedagogische als in didactische zin op voort te bouwen.

Het bewegende deel

Het actieve bewegende rekenen, het bewegingsdeel, kan in de lagere klassen terecht flink uitlopen, zeker als de leerkracht rekening houdt met de temperamenten van de kinderen en de aard van de behandelde leerstof. Het kan hier gaan om herhaling en om (bewegend) leren kennen van nieuw rekenwerk.
74

In een tweede of derde klas is een half uur gevarieerd tafels lopen, klappen, stampen en springen in vele figuren en vormen, ‘tempi’ en ‘forte’ voor de fantasievolle leraar en de enthousiaste leerlingen geen enkele moeite. Tussendoor zal de leraar momenten van rust inlassen en de kinderen door vragen te stellen trachten bewust te maken van wat hen bewoog.
Naast deze dagelijkse herhaling van wat ritmisch moet worden geoefend, bedenken de kinderen ook zelf ‘bewegings-sommen’ om met elkaar en in groepjes uit te voeren.

Nieuwe stof

Luisteren en kijken, waarbij actieve interacties vanuit het temperament van de kinderen gevraagd worden, zijn de voornaamste activiteiten bij de introductie van nieuwe leerstof of de uitbreiding van het oude. Klassikaal gaat dit rustige lesmoment vooraf aan de individuele verwerking.
Bij de individuele verwerking worden door de kinderen individueel en in groepjes opdrachten gemaakt, die ruimte laten voor eigen ontdekkingen. Bij het maken van de opdrachten houdt de leerkracht niet alleen rekening met de temperamenten van de kinderen, maar ook met het gebruiken van de verschillende zintuigen. Visuele opdrachten zullen in dit onderdeel van de morgen een belangrijke plaats innemen. Het gaat dan uiteraard niet alleen om rijen sommetjes op het bord, maar vooral ook om mooie getekende rekenverhalen.

Rekenkaarten

In de hogere klassen neemt dit onderdeel van de morgen een steeds grotere plaats in, Naarmate de leerlingen ouder zijn, zijn ze steeds beter in staat om langer zelfstandig en geconcentreerd te werken. In de laagste klassen zal samen doen en zelf doen sneller afgewisseld moeten worden en misschien worden er zelfs korte momenten van bewegen, bij voorbeeld touwtje springen, tussen gevoegd.
Het is voor de kinderen niet altijd makkelijk om alle opdrachten steeds van het schoolbord te moeten halen. Een speciale doos met rekenkaarten (kaarten met mooie getekende rekenopgaven) om uit te delen, is een welkome aanvulling om de kinderen in alle rust aan hun eigen tafeltje te laten werken.
Rekenkaarten, of werkbladen in de hogere klassen, kunnen ook gebruikt worden voor andere opdrachten, die juist samen of in een klein groepje gemaakt kunnen worden. De interacties die ontstaan bij het samenwerken, dragen bij aan het ontstaan van begrip en het opbouwen van het eigen repertoire van rekenstrategieën.
Het spreekt voor zich dat er ruim tijd genomen moet worden voor de kunstzinnige verwerking van het geleerde in het periodeschrift.

In een kort moment van gezamenlijk terugblikken, overzien we wat we die morgen gedaan hebben. De enerverende rekenmorgen sluiten we tenslotte af met een verhaal uit de vertelstof.

Het weekritme

Alle hiervoor beschreven onderdelen van de ochtend, en daarmee ook de verschillende werkvormen, dragen in het verloop van de periodeweek bij aan het leerproces, want het accent komt daardoor iedere dag op een andere activiteit te liggen.
De maandag vraagt aandacht voor het spiegelen van de leerstof uit de vorige periode of de vorige week.
Dinsdag is bij uitstek een dag om individueel flink door te werken aan de nieuwe leerstof. Op woensdag gaan we daar mee verder, maar kan de nadruk veel meer liggen op interactieve activiteiten van de kinderen. We moeten deze dagen twee klippen omzeilen. Gaan we
75

in ons enthousiasme te snel, dan beklijft de leerstof niet; een onderwerp moet toch wel een dag of drie in de aandacht staan. Gaan we in onze degelijkheid te ver en verwijlen we eindeloos bij hetzelfde, dan zien we bijvoorbeeld klassen met veel opteltalenten en weinig deelvermogen. Kinderen houden van Mozart, dus geef thema’s met speelse variaties. Donderdag krijgt het inzicht en daarmee het overzicht over het geleerde de aandacht. Vrijdag kunnen we extra zorg besteden aan het mooie periodeschrift. Bovendien maken we extra ruimte voor wat reflectieve momenten en komt er misschien een kleine vooruitblik op de komende week. In de hoogste klassen is het ook prettig om dan een toetsmoment in te bouwen, waarmee de kinderen zelf ook zicht krijgen op hun eigen vorderingen en vermogens.
Mogelijk zal de leerkracht op de laatste dag ook een toetsles inbouwen. Voor de kinderen niet te onderscheiden van iedere andere dag, maar voor de leerkracht een gelegenheid om diagnostisch te werk te gaan bij het waarnemen van de kinderen en hun rekenwerk. Aan het begin van een nieuwe rekenperiode kunnen we zo zicht krijgen op de verwerking, die zich juist heeft voltrokken in de periode dat we niet aan het rekenen waren.
76

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk 1;

Rekenenalle artikelen op deze blog

 

2436

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 1

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de                                       vrijeschool

1.1 Vooraf
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling
1.3 Het rekenen in de vrijeschool
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool
1.7 Conclusie

1.1 Vooraf

Om tot een goede plaatsbepaling te komen van het rekenonderwijs op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs, begint dit eerste hoofdstuk met een historische beschrijving van de rekendidactiek. In aansluiting hierop zullen de visies van beide ‘rekenwegen’ worden beschreven alsook hun mogelijke raakpunten.

1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling

Rekenen gaat over sommen maken. Hoe zit dat met de aftrekking 52 – 39? Valt daar nog iets anders over te zeggen dan dat er 13 uitkomt? Dat antwoord komt er nu uit, dat kwam er in de tijd van Willem Bartjens en van Ernst Bindel uit en het zal er de komende eeuwen nog wel uit blijven komen. Als we ergens zeker van zijn …

De eerste rekenaars zijn van heel lang geleden, de eerste tekenen van het rekenwerk zijn natuurlijk van later datum. Om dat tot stand te brengen was namelijk een symbolentaal en een schrijftechniek nodig. De papyrus Rhind, van ca 1850 v C, wordt wel eens het oudste rekenboek genoemd. Het toont onder meer hoe de Egyptenaren destijds reeds in staat waren met breuken te rekenen. Maar de papyrus was geen rekenboekje, zoals we dat later kennen, voor gebruik in de school. De papyrus was een rekenboek voor volwassenen, voor schrijvers die de kunst van het ‘boekhouden’ erbij wilden leren.

Rekenboekjes voor het onderwijs werden in ons land voor het eerst in de zestiende eeuw gemaakt. Een van de vele was het boek dat naar alle waarschijnlijkheid in 1567 is verschenen, Arithmetica, door Claes Pietersz. van Deventer, ook bekend als Nicolaus Petri Daventriensis. Dit boek krijgt een flink aantal herdrukken, zelfs tot in de zeventiende eeuw. Claes had zich eerder in Amsterdam gevestigd als schoolmeester en de kans is vrij groot dat de nog bekendere Willem Bartjens, een geboren Amsterdammer, uit de Arithmetica, of een herdruk daarvan, het rekenen heeft geleerd. Zijn Cijfferinge van 1604 vertoont namelijk sterke overeenkomsten met Petri’s leerboek. En ook het laatste was niet echt een origineel boek, het leek
11

daarvoor teveel op het allereerste Noordnederlandse rekenboek in de volkstaal, van Martinus Carolus Creszfelt (1557 te Deventer).
Maar natuurlijk was er ook weinig origineels te bedenken, de rekenboeken behandelen in die tijd de getallen, hun uitspraak, de technieken van het cijferen, dat alles ook in het gebrokene, de regel van drieën. Daarmee kon de rekenaar in de zeventiende en een groot deel van de achttiende eeuw de opgaven, waar de praktijk hem voor stelde, maken: Cassiersrekening, Interest op maanden, Rekening van Intrest of gewin, Tarra, Gezelschapsrekening, Interest op intrest, Menging. In het boek stond precies volgens welke rekenregels men de optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen diende te maken. Alle andere opgaven waren niet alleen van een ‘facit’, een antwoord, voorzien, maar ook van een oplossingswijze. Wie goed rekende in die eeuwen, deed dat ‘volgens Bartjens’. Een mechanische rekenaanpak, geleerd via een mechanistische didactiek. Men wist dat heel goed, en men had een argument: waarom zou je tijd verloren laten gaan met uitleggen? De domme klerken zouden dat niet eens zelf willen. De Cijfferinge van Willem Bartjens heeft vele herdrukken beleefd, tot ver in de achttiende eeuw. Steeds was er wel weer een schoolmeester die zich waagde aan een herziene druk. Waarbij de herziening dan bestond uit het verbeteren van fouten, die toch weer in de vorige druk waren geslopen.
Omstreeks 1820 komt de eerste fundamentele kritiek op het boek van Bartjens en wel uit wiskundige hoek. Het is de Leidse hoogleraar Jacob de Gelder die erop wijst dat veel van het rekenen rekenkundig gefundeerd, en daardoor beter begrepen kan worden. Maar het rekenonderwijs verandert niet echt in de achttiende eeuw. Er waren geen rekenboekjes, zoals we ze na 1875 zouden kennen. De onderwijzers gaven les zoals Willem Bartjens het had opgeschreven: sommen voormaken op het bord en vervolgens laten nadoen. Wat op het bord behandeld werd, was al eeuwenlang hetzelfde. Dit tijdperk zal later (door Kellinga, in zijn Beknopte Overzicht van de Geschiedenis van het Rekenonderwijs, ca 1930) aangeduid worden met de periode van het Mechanische Bordrekenen.
In 1875 verschijnt de eerste volledige rekenmethode voor de lagere school, geschreven door Jan Versluys. Nu is dus een duidelijke leerstofordening voor handen en er kan gewerkt worden aan inzicht én vaardigheid. Versluys’ methode luidt, zo stelt Kellinga achteraf vast, een nieuw tijdperk van het rekenonderwijs in: de periode van het Verstandelijk Rekenen. Het gaat niet alleen om het rekenen zelf, zoals voorheen, maar men wil ook door de manier waarop gerekend wordt, het verstand ontwikkelen en vormen.
Interessant is het werk van Van Pelt. In zijn De Nieuwe Rekencursus maakt hij veel werk van het verdubbelen en halveren. Bij de tafels van vermenigvuldiging wordt er gebruik van gemaakt en gaat hij zelfs nog verder: 10 x 7 is het dubbele van 5 x 7 en als je 10 x 7 hebt, kun je ook gemakkelijk 9 x 7 vinden. Kellinga, die veel kritiek heeft op de werkwijze in deze periode, ziet in Van Pelts aanpak slechts een poging om al het rekenwerk ‘rekenkundig te verantwoorden’. (Het is bijvoorbeeld niet moeilijk in te zien dat 9 x 7 = (10-l)x7 = 10 x 7- l x 7, met een verwijzing naar de distributieve wet uit de rekenkunde). Maar wat beoogd wordt met het rekenonderwijs, kennis, vaardigheid en inzicht, wordt niet bereikt. Het is allemaal veel te moeilijk, de op inzicht gebaseerde uitleg van de staartdeling, dat onderscheid tussen verdelings- en verhoudingsdeling, die rekenregels voor de breuken, dat gedoe met ggd en kgv, de kenmerken van deelbaarheid,…
De reactie laat niet op zich wachten, maar de eerste poging in 1910 al gedaan
12

door Langeraap, Eenvoudig Rekenen, slaat nog niet aan. De inmiddels opgebouwde traditie van leerstofordening en -verdeling over de leerjaren, wordt teveel geweld aangedaan. Wie durft er bijvoorbeeld met de staartdeling te wachten tot de zesde klas?
Maar er verschijnen meer boeken: Kleine Rekenschool, School en Leven, Praktische Rekenschool, Stap voor stap, Sommenboek voor de volksschool (Theo Thijssen!), Rekemverk voor de Lagere School, Eenvoudig Rekenboek én Noodig Rekenen (Kellinga). Als exponent van dit nieuwe tijdperk in het rekenonderwijs, typeert Kellinga dit voorzichtig met: de periode van het streven naar eenvoud. Wij weten nu dat de ‘verstandelijke’ methode van Bouman en Van Zelm (van omstreeks 1916) het lang heeft volgehouden, zelfs tot na de Tweede Wereldoorlog. Hoogstwaarschijnlijk was dit niet een gevolg van de speciale didactiek (volgens de auteurs gebaseerd op de filosofie van Bolland en bedoeld om het rekenen te zien als ‘toegepaste logica’), maar van de bruikbaarheid als opgavenboekjes.
Een reactie komt met de verschijning van Fundamenteel Rekenen, van P.A. Diels en J. Nauta. Geen onzinnige denkopgaven en vormsommen meer, al vraagt men er in het middelbaar onderwijs nog steeds om. Er komt nu meer aandacht voor de didactiek: inzicht aanbrengen, oefenen in een bepaald ritme, niet mechanisch rekenen met grote getallen, het rekenen praktisch houden, voldoende tijd aan hoofdrekenen besteden, de stof aanbieden in schemavorm, zelfwerkzaamheid stimuleren, … (Richtlijnen voor het rekenonderwijs op de Lagere School, Wolters 1939).
Helaas moet achteraf weer geconstateerd worden dat het rekenonderwijs ook in de jaren vijftig en zestig, niet tot tevredenheid stemt. Ondanks het verschijnen van vele methoden (Naar Zelfstandig Rekenen, Ik Reken, De Grondslag, Boeiend Rekenen, Naar Aanleg en Tempo, Functioneel Rekenen, Nieuw Rekenen, School Zonder Zitten Blijven en meer van dergelijke schone beloften), is het rekenonderwijs van mechanistische aard. Het voordoen-nadoen uit voorgaande eeuwen bepaalt de didactiek. Voortdurende klachten over de slechte resultaten leiden slechts tot besnoeiing van de leerstof: hete hangijzers als ‘delen door een breuk’ en ‘ggd en kgv’ worden uit het leerplan geschrapt. Wat er over blijft, schept blijkbaar weinig vreugde. Een inspecteur van het onderwijs karakteriseert rekenen anno 1961 als een dood vak.

Dat ziet er in de jaren zestig niet best uit. Je kunt je afvragen wat de oorzaken zijn van een dergelijk verval. En op die vraag doorgaand kom je ertoe te bedenken welke de invloeden zijn, die vorm en inhoud van een vak als rekenen bepalen. Die vraag stelde Kellinga zich ook reeds. En hij had een antwoord: Vorm en inhoud van het rekenonderwijs worden beïnvloed door: denkbeelden over hetgeen een kind later nodig heeft van het rekenen, inbreng van de vakwetenschap (wiskunde), wat er op de kweekschool geleerd wordt, de schoolmeesterij en de traditie. Blijkbaar waren algemene didactiek, vakdidactiek, ontwikkelings- en onderwijspsychologie nog niet in beeld. En een ‘filosofie van het wiskundeonderwijs’, in samenhang met een mensbeeld, was nog verder weg.

Maar 52 – 39 = 13, dat staat nog steeds als een paal boven water. Hoe kinderen het beste kunnen leren deze aftrekking te maken, is een vraag van de didactiek. Moet je gewoon 52 en 39 onder elkaar zetten en dan ‘volgens Bartjens’ aan het cijferen gaan? Of kun je de kinderen beter leren dit soort berekeningen uit het hoofd te
13

maken? En moet dat dan volgens vaste procedures (52 – 39; eerst 52 – 2 = 50, dan 50 – 30 = 20 en tenslotte 20 – 7 = 13), of leer je de kinderen handig te rekenen (bijvoorbeeld 52 – 39 = 53 – 40)? Wat te zeggen van de kritiek op die laatste handigheid, dat kinderen door dat soort trucjes alleen maar in de war gebracht worden? En wat te denken van het commentaar uit een totaal andere hoek, dat hier vergeten is dat kinderen zich bij getallen ook nog iets concreets kunnen (willen) voorstellen? Bijvoorbeeld zoals die leerling die bij deze som onmiddellijk ‘= 13, één kwartaal’ zei en bij navraag aan de kalender (52 weken, 4 kwartalen, 52 – 39 is vier kwartalen min drie kwartalen is …) bleek te hebben gedacht. Of heeft de veelzijdige rekendidacticus het kolomsgewijze rekenen met tekorten nog in petto: 50 min 30 is 20; 2 min 9 is 7 tekort, dus 20 min 7 is 13? Behoort wellicht de ondersteuning van het hoofdrekenen met een lege getallenlijn tot zijn didactisch repertoire? En laat hij de keuze van de aanpak voorlopig nog wat open om de leerling eerst een kans te geven zijn eigen gedachten te vormen?
Met het laatste commentaar zijn we gekomen bij ontwikkelingen, die in de jaren zeventig een nieuwe impuls gaven aan het vak rekenen. Voordat die ter sprake komen, noteren we enkele fundamentele uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool, die het geheel vanuit een nieuwe dimensie vormgeeft.

Opmerking: De korte beschrijving van de ontwikkelingsgeschiedenis van het rekenonderwijs hierboven, geeft enig zicht op de situatie, die de pioniers van de vrijeschoolbeweging in de eerste helft van deze eeuw in de ‘reguliere’ schoolklassen aan konden treffen. Hun kritiek op het onderwijs kan in dit licht begrepen worden.

1.3 Het rekenen in de vrijeschool

Rekennatuur en rekencultuur

Elke vorm van onderwijs bevindt zich grotendeels in het spanningsveld tussen individuele vermogens van leerlingen en eisen van de maatschappij. In de vrijeschool wordt getracht dit spanningsveld te verkleinen of zelfs op te heffen. Dat vereist inzicht in de leer- en ontwikkelingsmogelijkheden van kinderen en in het rekenen als zodanig, of anders gezegd: we moeten ons zowel verdiepen in de rekennatuur van het kind als in de cultuur van het rekenen zelf.

Het rekenende kind

Als we het rekenen mogen zien, als behorende tot het gebied van de wiskunde, kunnen we zeggen: het mathematische vereist in uiterste consequentie, een innerlijke activiteit, een hanteren van voorstellingen en begrippen los van de zichtbare, tastbare, kortom fysieke werkelijkheid. Het oplossen van een reken-wiskundig probleem kan een intens geluksgevoel geven, een soortgelijk gevoel als wat opstijgt in een kind, dat ontdekt dat het kan lezen. Het is als een wakker worden voor iets, dat weliswaar al bestond, maar nog niet werd waargenomen.
Rudolf Steiner beschrijft het mathematiseren als een ontwakend vermogen, als een vrij komen van bepaalde zielenkrachten, die eerst noodzakelijkerwijze in het lichamelijke werkzaam zijn geweest. In het kind tot ongeveer zeven jaar schuilt een innerlijke wiskunde, die niet zo abstract is als onze uiterlijke, maar die van kracht is vervuld; die niet alleen kan worden aanschouwd, maar levend werk-
14

zaam is. Tot op dat tijdstip bestaat in ons iets, een vermogen om te mathematiseren . Hij vergelijkt deze onbewust werkende kracht met latente warmte.
Vervolgens duidt Steiner op drie vormen van naar binnen gerichte waarneming, die ons in de eerste levensjaren nog onbewust blijven; drie zintuigachtige functies, die een activiteit uitoefenen, welke in de eerste jaren mathematiserend in ons werken. Hij noemt deze de levenszin, de bewegingszin en de evenwichtszin. Het is duidelijk, dat juist deze drie functies in de eerste levensjaren heel actief zijn, zij het onbewust. Het kleine kind reageert veel directer en openlijker op ziekte of welzijn, beleeft sterker de eigen bewegingen in de uiteenzetting met de omgeving, ervaart voortdurend zijn eigen evenwicht. Later, na de tandenwisseling, komen de voordien aan deze zintuigachtige functies gebonden krachten als denken zielenkrachten vrij.
Een kleuterklas, waarin het kind vrij mag spelen, klimmen, klauteren, glijden en wippen en zo z’n vitaliteit, bewegingsdrang en evenwichtskunsten kan uitleven, biedt onder andere een goede voorbereiding voor een latere ontplooiing van de wiskundige vermogens. Voor leerlingen, die (later) rekenproblemen hebben, geeft Steiner bewegingsoefeningen aan.
De bewegingen moeten (dan) heel bewust worden gemaakt, dus anders dan bij spelende kleuters. Bewustzijn van de beweging maakt het rekenvermogen vrij! Over het bewegen wordt in dit boek nog geschreven, met name in verband met de ontwikkeling van de wil. (zie H8).

Fundamenteel voor een benadering van het rekenen als vak, is de plaats die Rudolf Steiner het rekenen in het leerplan toekent. Hij plaatst het daar tussen twee uitersten: tussen het leren van het conventionele en het beoefenen van het kunstzinnige. Onder het conventionele verstaat hij datgene wat een mens moet kennen aan algemeen geldende afspraken, wat men ook wel eens publieke kennis noemt. Dus dat wat in zogenoemde kerndoelen globaal wordt aangeduid en dus onafhankelijk is van individuele verschillen. Het kunnen onthouden en reproduceren van conventionele kennis wordt sterk bepaald door het lichamelijke, met name door de status van de hersenen.

Bovenfysiek en half-bovenfysiek

Het kunstzinnige berust juist wel op kwaliteiten van de individuele mens. We bedrijven het met onze volle persoonlijkheid, met dat wat Steiner noemt: het ‘bovenfysieke’. Rekenen, tussen deze twee uitersten geplaatst, noemt hij daarom ‘half-bovenfysiek’. Daarmee krijgt het rekenen ruimte om zich te bewegen tussen het gebied van de algemeen geldende (onpersoonlijke) afspraken en dat van de individuele vermogens en wegen.
Geen wonder, dat er op het gebied van rekendidactiek zoveel verschillende opvattingen kunnen zijn! Aan de conventionele kant kiest men voor eensporig-heid, de oplossingsweg laat geen twijfel bestaan, want die is voor ieder gelijk: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10+ 5 = 15. We spreken af, dat we het voortaan altijd zo en niet anders doen. Dat geeft houvast. Hier is het rekenen aan de fysieke kant geplaatst: volg de regels die door anderen ooit eens zijn vastgesteld.
De aanpak in het realistische rekenen is anders. Men kiest veelsporigheid en houdt rekening met eigen inzichten en ontwikkelingsniveaus: 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15 of 8 + 7 = 7 + 7 + l = 14 + l = 15 of 8 + 6 = 14 dus: 8 + 7 is er eentje meer, is dus
15

gelijk aan 15. En vervolgens is er ook nog de blikwisseling om te komen tot 15 = 8 + 7 en ‘alle’ varianten, die op een andere wijze ruimte schept voor creativiteit, het kunstzinnige.
De vrijeschooldidactiek begint zelfs aan de andere kant en laat van meet af aan veel verschillende mogelijkheden onderzoeken: 15 = 8 +7, 15 = 6 + 3 + 6 (ook mooi!) 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Ziehier drie opvattingen over rekenonderwijs, elk met vérstrekkende gevolgen voor de rekenpraktijk. Achter elke opvatting zit een visie op het vak, een kijk op de mens en een ontwikkelingstheorie (leertheorie).

Temperamenten

In de eerste voordrachten van de Praktijk van het lesgeven gaat Steiner uitvoerig in op de temperamenten, in samenhang met het rekenen. Hij demonstreert de temperamentenleer daar niet als een didactisch hulpmiddel, om bijvoorbeeld de aandacht van de kinderen te trekken, maar laat zien, dat rekenen en temperamenten met elkaar te maken hebben, ja, zelfs verwant zijn aan elkaar. Want het menselijk temperament is zelf ook half-bovenfysiek! “Tussen dat wat we uit ons vroegere aardeleven meebrengen en dat wat zich in ons uitdrukt als culturele erfenis, staat een bemiddelaar; iets dat tegelijkertijd meer algemene eigenschappen heeft en toch in staat is om geïndividualiseerd te worden. Datgene, wat zich midden tussen de erfelijkheidslijn en de lijn van onze eigen individualiteit stelt, drukt zich uit in het woord temperament”. Met zijn temperament bevindt het kind zich tussen het algemene en het individuele, tussen het fysiek bepaalde en het boven-fysieke. Het verkeert met andere woorden in hetzelfde gebied als waarin het rekenen zich manifesteert. Met name voor het rekenen kan de temperamenten-psychologie tot een uiterst vruchtbare didactiek leiden.
Samenvattend zou je kunnen stellen: in zijn opmerkingen over de zintuigen en de beweging geeft Steiner zijn visie op wat je zou kunnen noemen de rekenvoorwaarden. In de temperamentenbenadering van het rekenen ontwikkelt hij een rekeneigen didactiek, die de brug slaat van rekennatuur naar rekencultuur.

Rekenen en cultuur

Twee klassen gaan op schoolreis. Van tijd tot tijd trachten de leraren de schare te overzien. “Even controleren of we compleet zijn”, roept de ene leraar. Hij begint te tellen: “O nee, ik tel er maar 24; we missen er twee! Wie weet welke kinderen er weg zijn?” De ander overziet zijn klas en constateert: “Jongens we missen Peter en Marianne. Wie heeft ze gezien?” De eerste leraar kan ongetwijfeld goed rekenen, de tweede heeft een goed beeld van zijn klas. Uiteraard dien je als leraar tot op zekere hoogte over beide vermogens te beschikken, al zal ieder, wanneer hij zich de kinderen van de klas voor de geest haalt, wel eens moeten afturven of hij of zij ze wel allemaal ‘gehad’ heeft.
Het kwalitatieve voorstellen, het hebben van innerlijke beelden, is een vermogen, dat in onze tijd niet meer als een cultuurfactor wordt beoefend, maar als een natuurlijk talent wordt ervaren, een kinderlijk vermogen, dat in de loop der jaren verloren kan gaan. Een wat oudere architect vertelde, hoe het voor zijn jongere collega’s, die niet meer thuis waren in de beschrijvende meetkunde, maar wel in de analytische geometrie, moeilijk was een juist en volledig beeld te hebben van hun eigen scheppingen; van de plaats van ramen en deuren in het geheel.
16

Omgekeerd zal in een samenleving, die nog in ruime mate over dit innerlijke voorstellingsvermogen beschikt, de kwantitatieve wiskunde niet zo’n overheersende rol spelen. Pas voor een maatschappij die de natuur cultiveert en tot nieuwe, zichtbare scheppingen komt, is de beheersing van de getallenwereld van belang.
Wiskunde (rekenen) is ook door die behoefte tot stand gekomen waarbij de natuur een brongebied vormde waaraan wiskunde werd afgelezen. Zo is wiskunde door mensen ontwikkeld die daar in bepaalde omstandigheden behoefte aan hadden. Vervolgens hebben anderen de draad opgepakt om hetgeen er was te verbeteren, verder te ontwikkelen en uiteindelijk in theoretische kaders te organiseren. Eerst in het beleven van de werkelijkheid door de mens kreeg deze wiskunde vorm en karakter, vervolgens werd hij op die werkelijkheid toegepast en tenslotte werd de wiskundige kennis zelf met wiskundige middelen georganiseerd. Het is niet moeilijk om zo de herkomst van verschillende takken van de wiskunde te traceren: de rekenkunde vindt zijn wortels in het tellen, de meetkunde in het meten en ruimtelijk oriënteren, de logica in het uitleggen, verklaren en redeneren.
Wie de lijn van het scheppen van de wiskunde (uitvinden, ontdekken) als richtlijn neemt voor de programmering van zijn reken-wiskundeonderwijs, kan de leerlingen dit proces in verkorte vorm opnieuw laten beleven (geleide
her-uitvinding), en af en toe het ‘geluksgevoel’ van een wiskundige schepping laten ervaren. Maar er is meer te zeggen voor deze historisch-genetische didactiek.

Zo boven, zo beneden

Een goed voorbeeld biedt de Egyptische cultuur met zijn ongeëvenaarde bouwwerken en voortreffelijke landbouw. De Egyptenaren kenden het tientallig stelsel, breuken en getallensymbolen tot 1.000.000! Ze maakten de cultuur-historische stap van de kwalitatieve naar de kwantitatieve benadering van de wereld. Haar oorsprong schreven zij toe aan Thot (Griekse cultuur: Hermes Trismegistos). Uit de Thot-mysteriën stamt de uitdrukking: Zo boven, zo beneden. Zo werd Thot de inspirator van het inzicht dat in Egypte ontstond, dat de fysieke wereld een afspiegeling van de goddelijke wereld is; een soort godenschrift. Het lezen van dit godenschrift vormde de basis voor de Egyptische wetenschappen.
Tot in de Middeleeuwen leefde deze idee over de herkomst van de wetenschappen nog voort als de leer van de zeven vrije kunsten, voorgesteld als vrouwengestalten. Leerzaam in verband met ons rekenthema is de volgorde waarin deze kunsten werden beoefend. Allereerst ging het om de beheersing van het ‘trivium’: grammatica (de beheersing van het juiste woord), dialectica (het vermogen om gedachten onder woorden te brengen) en de rhetorica (het middel om invloed uit te oefenen op anderen). Deze vermogens waren noodzakelijk om in de geheimen van het ‘quadrivium’ door te dringen: de geometria, de aritmetica, de musica en de astronomia. Het quadrivium vinden we bijvoorbeeld terug in het werk van Pythagoras, in de door hem gevonden wetmatigheden in de meetkunde en de muziek.
Ook in de individuele ontwikkeling gaat het taalvermogen vooraf aan het rekenvermogen. Of moeten we zeggen: het rekenen zit dieper, in het gebied van de onderste zintuigen? Spreken leer je door nabootsing. Bij het rekenen ligt dat anders.
17

18

Je zou kleuters door lopen en zingen best de tafels kunnen aanleren, maar we ervaren dit als weinig zinvol. Er moet immers een inzicht (wat is vermenigvuldigen?) aan vooraf gaan en juist dit inzicht kan een jong kind in het algemeen nog niet bevatten. Pas als de nabootsingskrachten afnemen, zo omstreeks de tandenwisseling, kan het kind de stap van spiegeling naar bespiegeling zetten. Wat het eerst deed zonder bewustmaking, kan nu reflectief beleefd en doorschouwd worden. Dat geldt zowel hetgeen tot de parate kennis moet gaan behoren (5 x 7 = 35) als de handige oplossingsaanpakken (5 x 7 is de helft van 10 x 7). Bij het rekenen worden dus twee vermogens aangesproken: het reflecteren -het bewustmaken van een eerdere rekenhandeling- en het vrijkomende wiskundige vermogen, dat aanvankelijk onbewust was en zich op fysiek vlak manifesteerde in ritme en beweging.

Middel en doel

Kinderen komen doorgaans naar school met een geweldige leergierigheid: ze willen groot worden, dat wil zeggen dat ze een weg willen vinden in de cultuur van de volwassenen. In onze tijd behelst deze weg een lang traject. Terecht wordt daarom een flink deel van de schooltijd besteed aan het verwerven van de basiskennis van onze cultuur: taal en rekenen. Dat gebeurt voor een groot deel in doorgaans witgekalkte gemeenschapsruimten, klaslokalen, waar onderwezen wordt.
In enkele andere culturen waren deze instituties niet nodig. Men had andere ‘opvoedingspakketten’ beschikbaar, als rituele dansen, reciteren en het zingen van heldenliederen of, om iets heel anders te noemen, het beoefenen van de vijfkamp. De opvoedingsdoelen van die samenlevingen pasten bij de wijze, waarop het leven ingericht was en stonden daardoor dicht bij de natuurlijke vermogens van het kind, met zijn bewegingsdrang, z’n behoefte aan ritme en beeld en zijn natuurlijke behoefte aan religiositeit.
In onze westerse samenleving van de jaren negentig (multicultureel, technologisch, emancipatorisch) moeten we de kinderen binnen leiden in een cultuur, die een hoge mate van abstraherend vermogen verlangt. Vanuit rekendidactisch standpunt moet daaraan worden toegevoegd dat het gaat om abstrahering met behoud van inzicht en abstracties die in nauwe relatie staan met concrete situaties. Abstrahering wordt, van dat standpunt gezien, tot stand gebracht door reflectie. Wiskunde moet men dan ook zien als het denken over het eigen handelen. Dat kan handelen op materiëel niveau zijn, maar evengoed is hier mentaal handelen bedoeld.
We willen het verantwoord doen en het onderwijs onder andere ook maken tot een middel om het geheugen te trainen en de wil te sterken. Terecht! De grote kunst zal daarbij zijn om het evenwicht tussen middel en doel te bewaren en niet het een met het ander te verwarren. Als middel tot doel wordt, zouden we wellicht betere middelen kunnen bedenken dan scholen! Het doel kan alleen zijn, de kinderen aansluiting te laten vinden aan hun cultuur: kundig maar ook kritisch. De middelen reikt het kind ons aan: de drang tot bewegen, het gevoel voor ritme cn de mogelijkheid van creativiteit. En we maken gebruik van het groeiende reflectieve vermogen dat tot uiting komt in verstand en geheugen. Maar het vereist veel kennis en inzet om deze vermogens goed vorm en richting te geven.
Hier past tenslotte een variatie op een reclamekreet: meesterschap is vakmanschap!
19

In de volgende paragraaf pakken we de draad van de rekencultuur, die in 1.2 in de buurt van het jaar 1970 werd afgebroken, weer op en komen tot een nadere beschrijving van het realistisch reken-wiskundeonderwijs.

1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig

Al tegen het eind van de jaren vijftig komt een beweging op gang, die het reken-wiskundeonderwijs in vele landen, wereldwijd, grondig zal veranderen: de New Math Movement. Globaal gezegd wordt nu de mechanistische didactiek vervangen door een structuralistische, waarin wiskundige structuren als uitgangspunt worden gekozen. Dat kan gebeuren omdat tevens de leerstof ingrijpend wordt herzien. Het bekendst is de poging om de leer der verzamelingen, een centraal onderwerp in het gebied van het wiskundige grondslagenonderzoek, in het leerplan van de basisschool op te nemen. Hoewel in Nederland alleen al door het bestaan van de New Math nieuwe mogelijkheden worden gecreëerd om het wiskundeonderwijs nieuwe impulsen te geven, komen de -voornamelijk-Amerikaanse schoolboeken niet of nauwelijks in onze schoolklassen. Onder leiding van Professor Hans Freudenthal gaat in het kader van het IOWO (Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs, 1971-1981) een team aan het werk om aan de nieuwe ideeën een eigen kleur te geven. Het project Wiskobas komt tot stand en de resultaten ervan zijn in de reken-wiskundeboekjes van de jaren negentig te zien.
Over de opbrengsten van het Wiskobasproject gaat deze paragraaf. We kiezen opbrengsten op het niveau van uitgangspunten. In de andere hoofdstukken van dit boek worden concrete uitwerkingen naar voren gebracht, voor zover de uitgangspunten stroken met die van de Vrije School.
De sleutelbegrippen die in het ontwikkelwerk van Wiskobas successievelijk naar voren komen en ingevuld worden, laten zien waarmee men zich vooral bezig houdt. We noemen er een paar.

Mathematiseren en rijke context:

Wiskunde voor het onderwijs is niet de in boeken opgeslagen kennis, die via didactische methoden ‘overgedragen’ moet worden. Wiskunde is een menselijke activiteit, die onder bepaalde voorwaarden in bepaalde omstandigheden tot ontwikkeling komt. Problemen, voortkomend uit de wereld rondom, zetten aan tot onderzoek. De eigen ervaring en kennis worden zo goed en zo kwaad als het kan, ingezet. Men probeert de problematiek binnen het gebied van de inmiddels bekende wiskunde te brengen en het daar met alle beschikbare middelen op te lossen. Het is goed als men vervolgens ook de tijd neemt voor reflectie op het oplossings (denk-)proces. Dan léért men van de activiteit en heeft men het repertoire aan wiskundige kennis uitgebreid. Hoe rijker de context waarin dit gebeurt, des te meer valt er te leren.

Progressieve schematisering en denkmodellen:

Bij het leren van de rekenwijzen (algoritmen) van het cijferen, volgde men voorheen een didactiek die gekenmerkt kan worden met de term ‘progressieve com-
20

plicering’. Men begon met eenvoudige getallen (bijvoorbeeld 2 / 12 \ om het staartdelen te beginnen) en liet daaraan zien hoe de rekenwijze stapsgewijs tot het goede antwoord voert. In elke volgende fase van de leergang werden de getallen groter en soms werd het rekenen gecompliceerder (bijvoorbeeld 2 / 102 \ of 12 / 144 \, ga maar na).
Bij progressieve schematisering wordt gestart met een probleemsituatie, die onderzoek vereist en waarbij het rekenwerk eerst nog georganiseerd moet worden. Het organiseren van rekenwerk (denk bijvoorbeeld aan de opgave om uit te zoeken hoe vaak een minibus voor 12 personen zou moeten rijden om 196 personen van het hotel naar de steiger te brengen) wordt op zichzelf ook deel van het onderzoek. Men gaat systematisch werken, ziet een handig te gebruiken (notatie-) schema en gebruikt dat, misschien in verbeterde vorm, om een volgend probleem op te lossen. Zo ontwikkelen de kinderen in deze leergang ‘hun eigen’ rekenwijze, gezamenlijk met de anderen en zoveel mogelijk een werkwijze volgend, die door het gezonde verstand wordt ingegeven.
Een groot voordeel van deze aanpak is, dat er verschillende niveaus van handelen (rekenen) blijken te zijn, waarop de leerlingen al naar hun begaafdheid en gevorderdheid de aangeboden problemen kunnen aanpakken en oplossen. (Bijvoorbeeld in het geval van de minibus kunnen kinderen eruit komen door van 196 steeds 12 af te trekken; meer gevorderden zullen misschien direct beginnen met er 120 af te trekken, en dan van de overgebleven 76 in een keer (6 x 12 =) 72. Dat deze werkwijze ondersteund kan worden door een handig schema, kan op blz.135 nagelezen worden.)
Schema’s, die tijdens de leergang in ontwikkeling zijn (het wordt eerst uitgevonden, dan beter vormgegeven, dan worden verkortingen aangebracht), krijgen soms de kracht van een denkmodel (denken aan het schema helpt het rekenwerk te organiseren en geeft er richting aan). Bekende denkmodellen in het Wiskobaswerk zijn onder meer getallenlijn, abacus, rechthoek-model en verhoudingstabel.

Veelzijdige benadering en blikwisseling:

De gedachte dat rekenproblemen steeds precies één antwoord hebben en dat er ook precies één weg is die daar naar toe voert, heeft een mechanistische achtergrond. Dat is niet moeilijk te begrijpen, want wie kinderen precies wil voorzeggen wat er in bepaalde gevallen gedaan moet worden om ‘het’ goede antwoord te krijgen, komt in de moeilijkheden als het gegeven probleem niet één antwoord heeft en meer dan één aanpak toelaat. Wiskobas neemt een ander standpunt in: Laat kinderen ervaren dat je problemen op verschillende manieren tot een goede oplossing kunt brengen. Soms loop je in de eerst gekozen richting vast. Wees dan zo flexibel, dat je de problematiek van een andere kant gaat bekijken. Het is voor het oplossen van problemen van groot belang dat men kan ‘blik-wisselen’. De kinderen ontwikkelen in het reken-wiskundeonderwijs een, wat je kunt noemen, wiskundige houding. Blikwisselen is een aspect daarvan; andere aspecten zijn onder meer ‘reflecteren’, ‘zoeken naar regelmaat’, ‘durven te beginnen zonder de eindoplossing in zicht te hebben’, ‘een plan maken om het probleem aan te pakken’ en ‘systematisch gaan werken’.
21

Meervoudige inbedding en eigen constructies

Wiskundige begrippen als ‘getal’, ‘optellen’, ‘oppervlakte’, ‘maat’ en dergelijke hebben in de wereld velerlei toepassingen. Hoe abstracter het begrip is, des te groter het toepassingsbereik. Het begrip getal is een mooi voorbeeld van deze uitspraak. Om nu het toepassingsbereik van de op school behandelde wiskundige begrippen groot te laten zijn, moeten van meet af aan de toepassingsgebieden als leeromgevingen naar voren worden gebracht.
Neem de natuurlijke getallen. Wie ze alleen maar heeft ontmoet in de telrij, heeft veel gemist. Bijvoorbeeld het getal 6 als een mooi patroon van stippen, zoals dat op elke dobbelsteen te zien is. Getallen komen ook voor als klanken en soms is daar ook een (ritmisch) patroon in te herkennen. Ze kunnen worden voorgesteld door symbolen. Een heel handige systematiek is de positionele schrijfwijze, waarin gebruik wordt gemaakt van de tientallige structuur. Maar getallen staan ook op meetinstrumenten, op een liniaal bijvoorbeeld. Daarmee doe je weer andere dingen.
Sommige getallen hebben een bijzondere achtergrond, zoals 7 bij de kalender hoort en 12 bij de klok. En 0611[nu [112] is het nationaal alarmnummer, dat niets met tellen, patronen, decimale systematiek of kalender te maken heeft. Het is niet meer dan een naam die je goed moet onthouden. Wie reken-wiskundeonderwijs geeft, beperkt zich niet tot ‘één inbedding’ van het begrip getal, maar kiest er meer dan een. Kinderen geven overigens het voorbeeld. Observaties van jonge kinderen laten zien wat ze zelf van getallen ‘maken’, al dan niet geholpen door anderen. Wiskobas neemt veel waar in deze periode en spreekt van ‘eigen constructies’ van kinderen. Geef daar ruimte voor en speel er op in, is het devies.
In de jaren tachtig wordt het werk van Wiskobas op verschillende locaties in Nederland voortgezet. De opbrengsten van het ontwikkel- en onderzoekswerk worden zichtbaar in de nieuwe reken-wiskundemethoden, die zich langzamerhand een belangrijke plaats veroveren op de Nederlandse basisscholen. Tegelijkertijd verschijnen delen van de Proeve van een Nationaal Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. (A. Treffers, E. de Moor en E. Feys, Zwijsen 1989, 1991,1994). De richting en basisfilosofie van het nieuwe reken-wiskundeonderwijs wordt steeds duidelijker door de helder geformuleerde en geïllustreerde algemene einddoelen en concrete leerdoelen. Men spreekt nu van ‘realistisch’ en onderscheidt dat van ‘mechanistisch’, ‘structuralistisch’ en ‘empiristisch’ reken-wiskundeonderwijs. Het ‘mechanistische’ wordt afgewezen op grond van gegevens en inzichten van de huidige onderwijs- en leerpsychologie. De toepassing van deze psychologische kennis op het gebied van het reken-wiskundeonderwijs leidt bovendien tot de keuze van hetgeen beide andere opvattingen aan goeds te bieden hebben: het zicht op wezenlijke wiskundige structuren bij het samenstellen van leergangen, zonder die tot uitgangspunt van het leerproces te nemen. En de verkenning van de ‘empirie’, de wereld rondom, om (in rijke contexten) te kunnen komen tot een goede begripsvorming (met ruimte voor eigen constructies), zonder te vervallen in een onsamenhangend geëxperimenteer, waarin leerkrachten en leerlingen de grote lijn niet meer herkennen.
22

Realistische leergangen zijn aldus te typeren:

• Het begint met een verkenning van toekomstige toepassingsgebieden.
• De kinderen beginnen met het aanpakken van een probleem, dat in eerste instantie wat onoverzichtelijk is.
• Het reken-wiskundige werk heeft eerst het karakter van trial-and-error (gissen en missen) en geschiedt op basis van gezond verstand en beschikbare ervaring
• Er is veel ruimte voor eigen inbreng en interactie.
• Op een zeker moment komt er meer aandacht voor een handige, bruikbare organisatie van het werk.
• Zo mogelijk wordt er een notatie (schema) bedacht en gebruikt.
• Bij nieuwe opgaven wordt de opbrengst van voorgaande activiteiten gebruikt en verbeterd.
• Men besteedt tijd aan reflectieve momenten, waarin de leerlingen de opbrengst in hun repertoire gaan opnemen.
• Er treden op bepaalde momenten niveauverhogingen in het leerproces van verschillende leerlingen op; het zijn vaak zelfbepaalde verkortingen en verbeteringen in de aanpak, aangebracht op basis van een nieuw inzicht of uitvinding.
• De leraar presenteert op cruciale punten in de leergang situaties, problemen, concretiseringen, visualiseringen, uitleg, kernvragen, nieuwe probleemstellingen, notatieschema’s, denkmodellen, cognitieve conflicten, toetsjes en oefenstof.
• Niet alle leerlingen sluiten de leergang op hetzelfde niveau af; (bijna) alle leerlingen kunnen aan het eind van de leergang, de aangeboden problematiek op een bepaald niveau de baas.

Het realistisch reken-wiskundeonderwijs besteedt veel aandacht aan basisvaardigheden, hoofdrekenen en schattend rekenen. Meetkunde en meten zijn belangrijke werkgebieden, de verhoudingen zijn fundamenteel en vormen een paraplu voor breuken, kommagetallen en procenten. Op goede momenten wordt leerlingen geleerd met een rekenmachine aan de slag te gaan.

Leergangen, die in grote trekken een realistisch reken-wiskundeprogramma bepalen, zijn:

• Tellen
• Getalbegrip in ontwikkeling
• Opteltafels en aftrektafels tot 20 uit het hoofd
• Hoofdrekenen tot honderd
• De tafels van vermenigvuldiging en verwante deeltafels
• Cijferend optellen
• Cijferend aftrekken
• Cijferend vermenigvuldigen
• Cijferend delen
• Hoofdrekenen *
• Schattend rekenen *
• Meten *
• Meetkunde *
• Breuken
• Kommagetallen
• Verhoudingen *
• Procenten

*door de leerjaren heen
23

Opmerking: plaats deze leergangen in het licht van de bovengenoemde typering, dan worden in de eerste plaats de toepassingen en toepassingsgebieden eraan toegevoegd, in de tweede plaats moet het dan duidelijk worden dat de leergangen niet los van elkaar kunnen worden gezien. Verstrengeling van de leerstoflijnen is, als een van de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, hier rechtstreeks mee verbonden.

Met het ontwikkelde materiaal en de achterliggende visie op reken-wiskundeonderwijs, is het werk van de leraar basisonderwijs er niet eenvoudiger op geworden. Auteurs van methoden zijn zich dat heel goed bewust, er verschijnen bij elke reken-wiskundemethode dan ook dikke handleidingen. Wie de handleidingen goed bekijkt, kan zich een beeld vormen van het werk van een leraar. Om zo’n beeld te scheppen zijn de boekjes van Pluspunt (Malmberg) voor groep 3 nauwkeurig bekeken. Het reken-wiskundeonderwijs is in die klas gesitueerd rond twaalf thema’s: Het dorp, de bakker, de post, de bus, de markt, in de boekwinkel, winter, op weg, zwemmen, de tuin, de kinderboerderij, op de fiets. Hier volgt een impressie:

De leraar introduceert de thema’s, probeert de kinderen er warm voor te krijgen, wijdt een kringgesprek aan een praatplaat, bedenkt een nieuwe context, zorgt ervoor dat de kinderen er hun eigen wereld in herkennen, geeft ruimte voor reacties van leerlingen, speelt in op wat kinderen uit eigen ervaring en herinnering naar voren brengen, probeert te bedenken wat de kinderen al moeten kennen en kunnen om aan de te stellen problemen te kunnen beginnen, bespreekt met de groep een plan van aanpak, geeft hier en daar een uitleg en laat kinderen uitleggen, biedt een schema aan of laat de kinderen dit zelf bedenken, geeft een situatieschetsje of laat de kinderen er zelf een maken, brengt een interessante gedachte van een leerling onder de aandacht van de anderen, plaatst accenten op belangrijke leerstofonderdelen, houdt zich van de domme, vertoont een toverkunst om het gemak van getalbeelden te laten ervaren, stelt een vraag, geeft een opdracht voor een vervolgactiviteit, helpt een achterblijver, bedenkt een cognitief conflict en brengt een paar kinderen opzettelijk in verwarring, neemt de tijd voor een reflectief moment, geeft enkele oefeningen, registreert wat bepaalde leerlingen ervan terecht brengen, bedenkt toetsvragen, geeft een toetsles, doet een stap terug in de leergang op basis van de gebeurtenissen in de toetsles, speelt het spel ‘raad mijn getal’ om de lege getallenlijn te laten gebruiken, zoekt in de handleiding op wat er morgen staat te doen, ontwerpt verrijkingsstof voor snelle leerlingen, ontwerpt maatwerk voor een enkele achterblijver, accentueert nog eens de vijfstructuur, neemt een echte pendule mee naar school, zet nonchalant een wek-ker-radio op tafel, vertelt een anekdote van een kleuter die verkeerd telde, vertelt een verhaal met allerlei rekenfouten-onzin, laat de leerlingen met een zelfontworpen werkblad aan de gang gaan, werkt gedurende tien minuten met rekenrek en flitskaarten, laat een paar kinderen voor de klas kegelen en geeft de anderen de opdracht om het verloop van het spel in pijlentaal op te schrijven, gaat na of de aftrekking 14-5 beter met terugtellen of met doortellen kan geschieden, schat in hoe de leerlingen de volgende opgave zullen aanpakken, speelt met de kinderen het spel: ‘breng de post rond’, krijgt in de gaten dat alle kinderen uit de groep de stadsplattegrond vlak bij school, niet kunnen lezen, neemt een wegwijzer mee naar school en vraagt waar die (hoe) zou moeten staan, heeft een kralenketting
24

omgehangen en vraagt hoeveel kralen er aan geregen zijn, heeft een zak vol knopen bij zich en vraagt een groep kinderen die te sorteren, signaleert dat er kinderen zijn die nog a-synchroon tellen, bedenkt teloefeningen voor deze kinderen, ziet dat een bepaalde leerling de 2 spiegelbeeldig schrijft, …

Tot zover een impressie op basis van een gedachtenexperiment naar aanleiding van een handleiding.

Met het bovenstaande is de opbrengst van het onderzoeks- en ontwikkelwerk globaal weergegeven. Twee interessante aanvullingen mogen evenwel ook niet ongenoemd blijven. In de eerste plaats wijzen we op, wat men noemt, de recon-structie-didactiek. Het is de realistische invulling van het onderwijs in de basisvaardigheden en staat haaks op de mechanistische reproductie-didactiek. In het laatste geval worden basisvaardigheden als 14 – 6 = 8 en 8 x 7 = 56 aangeleerd volgens de methode voordoen-nazeggen-inslijpen-opzeggen-toepassen. In de realistische leergangen is, zo werd eerder getoond, de gang van zaken anders. Men begint met verkenning en begripsvorming, geeft leerlingen ruimte voor eigen constructies (in dit geval reconstrueren de leerlingen 14 – 6 op basis van kennis, die ze al bezitten en het handig gebruik maken daarvan, bijvoorbeeld ’14 = 7 + 7, dus 14 – 6 = 7 + 1 = 8′, of ‘4 – 6 is 2 tekort, dus 14 – 6 = 10 – 2 = 8’.

En 8 x 7 bijvoorbeeld zo: ‘8 x 7 = 7 x 8; 5 x 8 = 40, 2 x 8 = 16, dus … 56.’ Men ruimt tijd in voor reflectieve momenten, waarbij niet alleen de uitkomsten, maar ook de handige rekenwijzen beschouwd worden. En de kinderen leren de eigen kennis te onderzoeken: wat weet je wel, wat weet je nog niet echt goed en welke dingen vergeet je steeds weer? Dan volgt er een fase van gerichte oefening en reproductie. Tenslotte moet hetgeen verworven is, ook ‘onderhouden’ worden: consolidatie.

De reconstructie-didactiek is in ’t kort vast te leggen in vijf onderwijs-leerprincipes. In het voorgaande moet men ze kunnen herkennen. Hiermee is een geschikt reflectief moment voor de aandachtige lezer aangebroken:

Principe 1: Construeren en concretiseren

Principe 2: Niveaus en modellen

Principe 3: Reflectie en eigen productie

Principe 4: Sociale context en interactie

Principe 5: Structureren en verstrengelen

De tweede aanvulling komt uit een andere bron. De onderzoeker Alan Bishop publiceert in 1988 het resultaat van zijn werk onder de titel ‘Mathematics Enculturation. A cultural perspective on mathematics education’. (Kluwer Academie Publishers). Hij ziet wiskunde als ‘een manier van kennen’ en vat het leren van rekenen en wiskunde dan ook op als een socialisatieproces. Met die manier van kennen verwerf je je een plaats in de samenleving. Wiskunde is in vroegere samenlevingen tot stand gebracht, al naar gelang de behoefte en al naar gelang de mogelijkheden die geboden werden. Kinderen, zo stelt hij, zouden de wiskunde
25

26

net zo moeten kunnen verwerven als ze in vorige samenlevingen tot stand is gekomen. Een gedachte die al eerder door Hans Freudenthal is verwoord (zie blz.000). Leerplannen voor wiskunde zouden dan ook de herkomst van de wiskunde dienen te weerspiegelen. Dat is niet zo moeilijk, want er zijn duidelijk zes gebieden aan te wijzen, waar de wiskunde in ontwikkeling is gekomen:

1. Tellen, als start van het rekenen en als brongebied van de rekenkunde en de algebra.
2. Meten, onderdeel van de meetkunde en brug naar vele toepassingen.
3. Oriëntatie in de ruimte en de tijd, als brongebied van de meetkunde.
4. Technisch construeren als brongebied van de geometrie, waarin ook de meetkunde zelf als wiskundig studieobject wordt beschouwd.
5. Spel, als oefenterrein van het creatieve en strategische denken en als brongebied van het formaliseren en het werken met wiskundige modellen.
6. Verklaringen zoeken, redeneren en uitleggen, als oefenterrein voor de wiskundige attitude en als brongebied van de logica.

1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool

De bovenstaande uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs zijn – in samenhang- naar voren gebracht om te tonen dat er een zekere verwantschap is te zien. Het bestaan van verwantschap is een noodzakelijke voorwaarde voor het verrijken van het vrijeschoolprogramma. In deze paragraaf gaan we kort op het begrip verrijking in.

Confrontatie

Wie het eigen vertrouwde rekenonderwijs wil vergelijken met een totaal ander programma, kan verschillende dingen doen. In de vrijeschool is het niet ongebruikelijk dat men eerst een confronterend en vervolgens een afwijzend standpunt inneemt. Van een discussie met die ‘anderen’ komt het meestal niet en is dat incidenteel wel het geval, dan wordt het al gauw een partijtje aanvallen en verdedigen, met de nadruk op het laatste aan de kant van de vrijeschool. Dit standpunt is hier niet gekozen. Het feit dat dit boek inmiddels op tafel ligt, bewijst dat de rekenwerkgroep verder gegaan is.

Adoptie-integratie-verrijking

Innovaties in het onderwijs vragen meestal om ingrijpende veranderingen van inzichten, werkmethoden en materialen. Gaat het om een geheel leerplan, dat vernieuwd is, dan moet er heel wat gebeuren voordat er in de klas ook het een en ander verandert. Men denkt dan in termen van adaptatie: leraren moeten het niet alleen eens zijn met de veranderingen, ze moeten ook weten hoe de veranderingen te implementeren. Ze moeten ‘het nieuwe’ tot hun persoonlijk en geestelijk eigendom hebben gemaakt. Zoals de vrijeschoolleraar zijn rekenprogramma op eigen kracht, met hulp van anderen en door ervaring wijs geworden, heeft verworven en ‘bezit’, zo zou een leraar van de toekomst het nieuwe rekenprogramma moeten ‘bezitten’. Dat is adoptie, zover hoeven we hier niet te gaan.

Iets minder ingrijpend, maar toch niet mis te verstaan van innovatief standpunt gezien, is integratie. Bestaande kennis en inzichten en de persoonlijke opvattin-
27

gen over rekenen leren en onderwijzen, worden geïntegreerd met de nieuwe denkbeelden, die stroken met hetgeen er is. Dit vereist een lange periode van experimenteren met nieuwe materialen en discussies met anderen, collega’s uit hetzelfde ‘kamp’ en de ontwikkelaars van het nieuwe leerplan. Dit proces heeft de rekenontwikkelgroep in zekere zin en op onderdelen doorgemaakt. Rekenen in Beweging laat zien wat de opbrengst is. Het zal duidelijk zijn dat lezers en gebruikers van dit boek de integratie-doelstelling eventueel op lange termijn kunnen verwezenlijken. Maar op korte termijn moet men zich daardoor niet laten ontmoedigen, of laten verleiden het confrontatie-standpunt maar in te nemen. ‘Verrijking’ van het eigen methodisch-didactische programma is het hoogst haalbare in de huidige situatie. Met ideeën uit dit boek kan een ieder het eigen reken-wiskundeonderwijs een nieuwe invulling geven op punten, waar hij dat mogelijk acht.
In de werkgroep werd naar aanleiding van dit punt een discussie gevoerd over ‘verrijking’. Het volgende voorbeeld, daar naar voren gebracht, kan misschien ook hier iets verduidelijken.

Bijvoorbeeld de tafels

In de vrijeschool staat nu leren van de tafels in dienst van de geheugentraining en concentratie-oefening. Maar ook is iedereen ervan overtuigd dat de kinderen op een bepaald moment (liefst voor het begin van klas 4) de tafels uit het hoofd moeten kennen. Zo mogelijk ‘door elkaar’. Dat is onder meer noodzakelijk voor het cijferen en hoofdrekenen. Met deze beide uitgangspunten
(geheugenontwikkeling en praktisch nut) is onder invloed van didactische opvattingen uit de jaren ’20 tot ’70 een soort ‘tafeldidactiek’ ontstaan, die op het volgende neerkomt:

• Eerste ervaringen met tafels in de beweging, begeleid door ritmisch tellen.
• Gemeenschappelijk en ritmisch zeggen (opdreunen) van de tafels.
• Inprenten van de tafels op een rij.
• Oefenen van de tafels, door elkaar en als losstaande basis-vermenigvuldigingen. Het resultaat kan als volgt omschreven worden:
• De goede rekenaars kunnen de tafels wendbaar en vaardig toepassen in vermenigvuldigingssituaties, bij cijferen en het hoofdrekenen.
• De modale rekenaars kennen de tafels-op-rij; hun kennis is niet wendbaar en het toepassingskarakter is gering.
• De zwakke rekenaars hebben het gevoel dat ze de tafels niet kennen en steeds weer bekende producten vergeten. Bij het cijferen leidt dit tot grote blokkeringen en in toepassingssituaties gaat men nogal eens over tot optellen of zelfs tellen.

Wat heeft de verrijking in dit geval te bieden?

• Breng de bewegingen en ritmiek in beeld en geef de kinderen gelegenheid zich de regelmatigheid en structuur bewust te maken, (getallenlijn?)
• Laat ervaren dat dezelfde regelmatigheden en structuur te vinden zijn in andere (numerieke en meetkundige) situaties.
• Geef de kinderen veel gelegenheid in allerlei situaties de
vermenigvuldigstructuur te verkennen. Laat schema’s maken die tot modellen (rechthoek-, rooster-, sprongen-op-de-getallenlijn-, boomdiagram-, wegenmodel) leiden, die op hun beurt verkend kunnen worden.
28

• Ga met de kinderen op zoek naar de strategietjes die ze zelf (hopelijk) bedacht hebben om nog niet parate tafelproducten uit te rekenen.
• Geef kinderen gelegenheid om op de eigen aanpak te reflecteren.
• Laat kinderen de eigen kennis (weet- en procedurele kennis) bewust bijhouden, bijvoorbeeld op een 12 x 12 rooster.
• Houd diagnostische gesprekken met zwakke (tafel)rekenaars en ontwerp een leergang-op-maat.

En tenslotte: zeg nu niet dat die dingen al lang in alle vrijeschoolklassen gebeuren!

1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool

Dit hoofdstuk behandelt uitgangspunten van reken-wiskundeonderwijs. Twee programma’s zijn naast elkaar geplaatst om te zien of het rekenonderwijs op de vrijeschool verrijkt kan worden met de opbrengsten van het realistisch reken-wiskundeonderwijs. We zagen lijnen in beide programma’s, sommige liepen uiteen, andere liepen evenwijdig en er waren lijnen die naar elkaar toeliepen. We zijn op zoek naar mogelijke raakpunten, ontmoetingspunten van de programma’s. Dergelijke raakpunten kunnen referentiepunten zijn voor het verrijken. Op die raakpunten zal het referentiekader van de vrijeschoolleraar, die open staat voor het verrijken van zijn rekenonderwijs, gebaseerd kunnen worden. We noemen er enkele, met de bedoeling om het zoeken op gang te brengen, want elke Vrije Schoolleraar wil natuurlijk zijn eigen referentiekader tot stand brengen. Bovendien is dat pas echt goed mogelijk als de volgende hoofdstukken tenminste doorgenomen en hopelijk al gedeeltelijk uitgeprobeerd zijn.

Als raakpunten komen onder meer in aanmerking:

• De aandacht voor kwaliteiten tijdens de ontwikkeling van getalbegrip.
Getallen zijn meer dan hun cijfermatige voorkomen en ook meer dan ze als hoeveelheidsgetal voorstellen of als telgetal aangeven.
• Het idee van mathematiseren als ontwakend vermogen past goed bij de observaties van jonge kinderen, bezig met de verkenning van hun (getallen)wereld en bij de opvatting dat wiskunde een menselijke activiteit is.
De analytische benadering van het eerste optellen, waarbij de kinderen als het ware een eigen productie kunnen gaan maken: 7 =… + …
• Het grote belang dat wordt toegekend aan hoofdrekenen.
• De opvatting dat rekenen een ambachtelijke (volg de algemene afspraken) en een creatieve kant (schep je persoonlijke strategieën en kennis van de getallenwereld) heeft.
• De programmering van het onderwijs langs de lijnen van de wordingsgeschiedenis kan heel goed stroken met de ideeën van de genetisch-historische didactiek en de geleide heruitvinding.
• Het feit dat het periode-onderwijs het mogelijk maakt exemplarisch te werken en grote leergangen intensief aan de orde te stellen.
• Het in verband brengen van de ritmiek van het bewegen met patronen op de getallenlijn.
29

1.7 Conclusie

Wie een innovatie plant moet zich goed realiseren hoe de implementatie van de nieuwe ideeën en materialen tot stand moet worden gebracht. Centraal in het gebeuren staat de leerkracht, die zich volledig achter de nieuwe plannen moet willen opstellen. In eerste instantie ligt een confrontatie van het oude gedachtengoed (rekenonderwijs) met het nieuwe voor de hand. Beter is het om goed kennis te nemen van beider uitgangspunten en zo mogelijk van de wijze waarop ze tot stand zijn gekomen. Dan gaat men op zoek naar gemeenschappelijke uitgangspunten of raakpunten, die het mogelijk maken samen op weg te gaan.
Als die beslissing is genomen, dan ligt het voor de hand aan de slag te gaan. Aan de slag vanuit geaccepteerde uitgangspunten en eigen inzichten, nieuwe ideeën, inspirerende voorbeelden, met de eigen leerlingen en zo mogelijk in discussie met collega’s. Daarvoor heb je iets nodig, iets dat meer is dan een verzameling losse ideeën. Een schets van een programma, met een begrijpelijke structuur en illustratieve voorbeelden. Een programma waarvan de uitgangspunten en achterliggende filosofie ook beschreven zijn. Een programma waarin ook je eigen onderwijs van voorgaande jaren herkenbaar is.

De volgende hoofdstukken pretenderen dat te bieden.
30
.

In het boek is sprake van temperamenten.
Artikelen daarover in ‘Menskunde en pedagogie‘ onder nr. 15
Het genoemde werk van Steiner: ‘Praktijk van het lesgeven‘ is uitverkocht. Via vspedagogie@gmail.com kan ik nadere informatie geven. 

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk 2

Rekenenalle artikelen op deze blog

 

2433

 

 

..

 

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – voorwoord en inleiding

.

REKENEN IN BEWEGING
.

VOORWOORD

Op 1 december 1989 deed de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs een veldaanvraag bij het Instituut voor Leerplanontwikkeling SLO, voor het maken van een ‘Leerplan rekenen voor de Vrije School’. De aanvraag had twee kanten. In de eerste plaats diende bij de leerplanontwikkeling uitgegaan te worden van het bestaande leerplanmateriaal. Hierin zou ordening en samenhang moeten worden aangebracht, met behoud van bestaande menskundige inzichten en specifieke didactische uitwerkingen. In de tweede plaats werd gesteld dat bestaande leerplannen te beperkt zijn en dat de laatste ontwikkelingen op het gebied van realistisch reken-wiskundeonderwijs er niet in zijn opgenomen. Daarmee is de tweede kant van de aanvraag aangegeven. Gevraagd werd een uitgebreid leerplan rekenen, karakteristiek voor de Vrije School en verrijkt met passende elementen uit de realistische didactiek.

In het voorjaar van 1990 gaf de Bestuursraad van de SLO het groene licht: er kon een project ‘rekenen’ gestart worden. In overleg tussen SLO en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs werd besloten een ontwikkelgroep in het leven te roepen. Onder leiding van prof. dr. Fred Goffree van de SLO kwamen de leraren Annemieke Zwart, Kees van Broekhuizen, Frank de Kiefte, Paul van Meurs, Pieter Witvliet en Job de Raadt, samen met de schoolbegeleiders Jan Kraamwinkel en Kees Verhage en de opleider Peter Landweer, in september 1990 voor het eerst bijeen.

Tegelijkertijd werd er een zogeheten ‘resonansgroep’ samengesteld. Zij zou de ontwikkelingen op enige afstand volgen en op gezette tijden commentaar leveren op de ontwikkelde leerplanmaterialen. Kernleden van deze resonansgroep waren Rudolf Klinkenberg, Geert Ormel, Regine Wolbert en Jaap de Boer.

De ontwikkelgroep kwam gemiddeld om de drie weken bijeen. Startpunt was steeds het onderwijs in de eigen klas. De vertelde onderwijsverhalen werden uitgangspunt voor soms diepgaande discussies over de achtergronden en invullingen van het Vrije Schoolonderwijs. De achterliggende filosofie werd geëxpliciteerd, er werden lijnen getrokken naar oorspronkelijke bronnen en indien zich een mogelijkheid aandiende werden nieuwe inzichten uit de realistische didactiek mede in de discussie betrokken. Zo ontstonden de eerste leerplanteksten, geïllustreerd met ‘doorkijkjes’ in de klassen en soms opgeluisterd met ‘stops’, als men het in de groep niet honderd procent eens kon worden over een onderdeel. Met het aanbrengen van de stops geeft de ontwikkelgroep ook aan dat de discussie over de invulling van het rekenonderwijs niet gesloten is. Bovendien heeft men willen beklemtonen dat de leraar in de klas uiteindelijk het beste kan kiezen wat een geschikte invulling is voor zijn kinderen en de gegeven omstandigheden. In vervolg op vele fundamentele discussies, bestudering van bekende rekendidactici uit het Vrije Schoolverleden en reflecties op elkaars werk, ontstonden onderdelen van dit boek. Maar van een geïsoleerde opstelling wilde men niets weten. Al gauw werden rekenzaterdagen op de Hoge School voor Opvoedkunst (VPA) georganiseerd om aan belangstellenden het materiaal te presenteren. De belangstelling was zo groot dat men het ook aandurfde enige onderwijsexperimenten te starten. Hiervan was het doel de eerste leerplanmaterialen met de klas uit te proberen en leerlingenmateriaal te verzamelen, dat in de uiteindelijke publicatie voor sfeertekening en verheldering zou kunnen zorgen. De logboeken
6

van de deelnemende leraren hebben rijk informatief materiaal opgeleverd en in de gesprekken erover konden belangrijke aanwijzingen voor verbetering worden gevonden. In het voorjaar van 1993 werd het zo langzaam aan tijd om aan de vormgeving te gaan denken. De eerste gedachten daarover werden in de marge van de inhoudelijke discussies gelanceerd. Het zou een mooi vormgegeven boek worden en de noodzaak, die hieruit naar voren kwam, om sponsors te zoeken, bracht het ontwikkelwerk in een stroomversnelling. Er moest een ‘dummy’ gemaakt worden om duidelijk te kunnen maken wat men kon verwachten. En weer laaide de discussie op, nu hoofdzakelijk over de plaats die in dit leerplan voor de Vrije School aan de kerndoelen zou kunnen worden toegekend …

Ruim drie jaar ontwikkelwerk hebben geleid tot dit boekwerk: Rekenen in beweging. We hopen dat het reken-wiskundeonderwijs in de Vrije School in beweging blijft; eerst door de impulsen die hopelijk van deze publicatie uitgaan, maar later ook door leraren zelf, geïnspireerd door de mogelijkheden van het rekenen en de schoonheid van de wiskunde.

Aan de samenwerking tussen het Instituut voor Leerplanontwikkeling (SLO) en de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs is naar onze waarneming door de ontwikkelgroep voortreffelijk vorm gegeven.

Dit boek is daarvan een overtuigend bewijs. We hopen dat alle leraren hun voordeel kunnen doen om de beste keuze te maken bij de invulling van het rekenonderwijs.

Jaap de Boer, directeur Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs.
Bram Donkers, hoofd basisonderwijs, speciaal onderwijs en opleidingen SLO.
7

inleiding

Leerplanpublicaties voor het onderwijs worden nogal eens voorafgegaan door een lijst van doelstellingen, die richting aan het onderwijs beogen te geven. Met het formuleren van de doelstellingen doet men een poging om de kwaliteit van het onderwijs zichtbaar te maken en zodoende op peil te houden. In wat vervolgens in het leerplan naar voren wordt gebracht, moeten die doelstellingen dan ook herkenbaar zijn. Voor het Nederlandse basisonderwijs zijn in dit verband door de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO), in samenwerking met deskundigen uit de verschillende vak- en vormingsgebieden, voorlopige eindtermen ontwikkeld (1987). De discussie over dit SLO-voorstel leidde omstreeks 1990 tot een herziening. Vanaf dat tijdstip ging men ook spreken van ‘kerndoelen’, (zie H9)
In de Vrije Schoolbeweging is nog een andere discussie rond ‘de’ kerndoelen gaande. Onderwijsdoelen, door de overheid opgelegd, kunnen de noodzakelijke vrijheid, die er moet zijn om binnen de school de pedagogische begeleiding te bieden bij de individuele ontwikkeling van het kind belemmeren. Verschillende vak- en vormingsgebieden, waaronder ook rekenen en wiskunde, zijn middel om die ontwikkeling te doen plaats vinden. De vraag is, of aanvaarden van ‘de’ kerndoelen de vrijheid van onderwijs en daarmee de vrije ontwikkeling van ieder kind, beperkt of te niet doet.

Een rekenleerplan voor de Vrije School dient in de eerste plaats te laten zien hoe en met welke leerstof het vak rekenen bouwstenen biedt voor een gezonde en evenwichtige ontwikkeling van het kind. Rekenen op de Vrije School beoogt dus meer te zijn dan het louter verwerven van een cultureel-instrumentele vaardigheid. De rekenleerstof is ontwikkelstof voor kinderen, met een ontwikkelingspsychologische functie. Er wordt gekeken naar de relatie tussen de lichamelijke en geestelijke ontplooiing van het kind en de zielestemming waarin deze tot uitdrukking komt. Wat een Vrije Schoolleerplan moeilijk maakt, is het feit dat beide onderdelen van het leren in de praktijk van het onderwijs moeilijk te onderscheiden zijn. Dat blijkt in de klas, als men bijvoorbeeld ziet hoe ‘het bewegen’ in het rekenonderwijs een fundamentele plaats heeft gekregen. En ook als men ziet hoe ‘vormtekenen’ voorbereidt op geometrie, de analytische benadering het aanvankelijke optellen vorm geeft of ‘kwaliteiten van getallen’ de aandacht van de kinderen richt op regelmaat, structuur en schoonheid. Dergelijke zaken worden in de kerndoelen niet genoemd, evenmin als de nuances van het realistische reken-wiskundeonderwijs. Maar in verschillende hoofdstukken van dit boek zal de lezer ze beide tegenkomen, zo mogelijk in onderlinge samenhang naar voren gebracht. Dat blijkt te kunnen, want de opvattingen over het rekenen in de Vrije School en de principes van de realistische didactiek blijken op vele punten dicht bij elkaar te staan.

In het reguliere onderwijs worden op grond van deze richtlijnen die het leerplan aangeeft, de verschillende schoolboekjes geschreven. Deze worden door leraren en kinderen gebruikt om conform ‘het’ leerplan te onderwijzen en te leren. In de Vrije School daarentegen moet een leerplan bron van inspiratie zijn voor het ontwerpen van eigen onderwijs. De leraar, die zijn rekenperiode voorbereidt, gaat op zoek naar de leerstof, naar een mogelijke opbouw daarin. Hij wil zicht hebben op de
8

grote lijn en denkt dan in termen van ‘leerlingenactiviteiten’. Hoe begint de eerste les, welke opgaven ga ik geven, hoe zal ik een en ander uitleggen, wat zet ik op het bord en wat mogen de kinderen in hun periodeschrift zetten?
Dit boek beoogt op al deze punten hulp te bieden, hoewel direct duidelijk zal zijn dat de leraar veel ruimte wordt gelaten zelf invullingen te bedenken. Om het gevoel te hebben met al die ruimte toch nog op koers te blijven, zijn in dit leerplan ook bakens (leerdoelen) opgenomen. Bakens, om aan het onderwijs richting te geven en ook bakens om bepaalde fundamentele ervaringen voor de leerlingen veilig te stellen. In enkele gevallen komt men ook ijkpunten tegen, dat zijn momenten in het onderwijs waarop de vorderingen van de leerlingen gepeild kunnen worden. Meestal doet de ervaren leraar dat tijdens het werken met de kinderen, maar wie nog wat ervaring mist, kan er gepast gebruik van maken. Welke leraar heeft tijdens zijn voorbereiding niet eens gewenst een kijkje te mogen nemen in de klas van zijn ervaren collega? Welnu, in dit leerplan zijn doorkijkjes opgenomen. Het zijn kleine onderwijsverhaaltjes, aangeboden als voorbeelden, maar ook, indien gewenst, te gebruiken als concreet materiaal. Er is ook werk van leerlingen opgenomen. Dat is bedoeld als illustratiemateriaal bij onderdelen van het leerplan – hopelijk tekent het goed de sfeer in de Vrije Schoolklas – en geeft suggesties voor het geven van opdrachten in de eigen klas.

Misschien heeft de lezer al wat zitten bladeren in dit boekwerk. Waarschijnlijk is hij dan begonnen bij een hoofdstuk dat zijn eigen klas op het moment aangaat. Behalve bij de doorkijkjes is hij dan vast ook gestoten op de ‘stops‘. Daarin wordt met betrekking tot voorgaande uitspraken of uitwerkingen een ander standpunt ingenomen. Meestal staat dat er haaks op. De lezer kan in dat geval niet veel anders doen dan zich in de discussie (die in de ontwikkelgroep tot deze tegenstrijdige meningen voerde) te mengen. Beter gezegd, hij moet een afweging maken en een eigen keus doen. De klas zal wellicht wel laten merken of die keus goed is uitgevallen, andere deskundigen zijn namelijk niet voor handen.

Dit boek is dus in de eerste plaats bedoeld als hulp bij het voorbereiden van de rekenperiode en de invulling van rekenlessen. Maar er is meer, een rekenperiode staat niet op zichzelf, er is het een en ander voordien gebeurd en na de periode staan nog meer rekenactiviteiten te wachten. Daarom is het van belang dat in dit boek ook een (weliswaar) globaal totaalbeeld wordt geschetst. Hiermee kan men zien wat en waar de plaats van deze rekenperiode (rekenles) in het geheel is. Hopelijk worden er rode draden door de verschillende leerstofgebieden zichtbaar, hopelijk ook de verbindingen tussen de gebieden. Denk bijvoorbeeld aan de verbindingen tussen de basisvaardigheden en cijferen, tussen de breuken en de procenten, tussen de tafels en het hoofdrekenen, tussen de kwaliteiten en patronen.

Wie zijn onderwijs wil funderen, wie met anderen wil discussiëren over de achterliggende filosofie, vindt ook het een en ander van zijn gading. Soms wordt een leraar gevraagd een standpunt in te nemen, bijvoorbeeld met betrekking tot het gebruik van een rekenmachine in de klas of over het al dan niet gewenst zijn van inzicht bij cijferen. Op essentiële punten zijn in dit boek bijdragen te vinden. Leraren die zich nog meer willen verdiepen in de uitgangspunten van het rekenen op de Vrije School, vinden ook aanwijzingen voor voortgezette studie (zie bronnen).
9

De ontwikkelgroep heeft, na al het studieuze en reflectieve werk dat aan het samenstellen van dit leerplan is voorafgegaan, de verwachting dat dit boek behalve de bovengenoemde functies, ook nog een leerboek zal kunnen zijn. Een leerboek dat de meeste vruchten zal afwerpen, als het in de klas en voor de kinderen wordt benut. Het boek moet, zo meent men, tenminste de reflectie op het eigen onderwijs mogelijk maken. Wanneer dit ook werkelijk gebeurt, zou het de moeite waard zijn om deze reflecties aan het papier toe te vertrouwen. ‘Rekenen in beweging’ en een persoonlijk dagboek vol reflectieve notities, dat zal het tweede rondje nog eens ten goede komen!
10

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Hoofdstuk 1

Rekenenalle artikelen op deze blog

 .

2432

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – inhoudsopgave

.

REKENEN IN BEWEGING
.

INHOUDSOPGAVE

Artikel nog in opbouw

 

Voorwoord      6

Inleiding          8

Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de                           vrijeschool        11

1.1 Vooraf          11    
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling          11
1.3 Het rekenen in de vrijeschool          14
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig  20
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool   27
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de         vrijeschool          29
1.7 Conclusie          30

Hoofdstuk 2: Op weg naar rekenen        31

2.1 De eerste rekenlessen       31
2.2 Kwaliteiten         35
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn         38
2.4 Temperamenten          49
2.5 De basisbewerkingen          55
2.6 Het schriftelijk werk          67
Terzijde: Over werkvormen          74

.
Over het boek
Voorwoord en inleiding

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2431

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging

.
In 1994 verscheen t.b.v. het rekenonderwijs in de vrijeschool het rekenwerkboek

‘REKENEN IN BEWEGING’

Een aantal vrijeschoolleerkrachten, waaronder ikzelf, werkten o.l.v. prof. Fred Goffree alle mogelijke gezichtspunten uit wat resulteerde in het boek waarvan hieronder voor- en achterkant staan.
Fred Goffree is vorig overleden; een nieuwe druk – het boek is inmiddels uitverkocht – wordt niet overwogen.
Dat betekent dat niet iedereen die geïnteresseerd is in ‘rekenen op de vrijeschool’ gemakkelijk over dit boek kan beschikken.

Van de Stichting Leerplan Ontwikkeling kreeg ik toestemming om het op deze blog te publiceren.
Dat zal (onregelmatig) in delen gebeuren.

 

 

.

Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk 1

Rekenen: alle artikelen op deze blog

.

2440

 

 

 

 

 

 

.