.
REKENEN IN BEWEGING
Hoofdstuk 4: Rekenen in de wereld
4.1 Maat en vorm
4.2 Klok en kalender
4.3 Rekenen met geld
Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen
4.1 Maat en vorm
Interview met Sint:
“En Sint, hoe was uw bezoek aan de kleuterklas?”
“Ach, ik was daar heel gelukkig mee. Ontroerend, met welk een vreugde en eerbied de kleintjes je daar tegemoet komen! Maar daarom begrijp ik deze tekening ook helemaal niet.”
“Hoezo, u staat er toch prima op, met mijter en al. Dat kind heeft goed gekeken.” “Goed gekeken? Zie je, Piet is bijna twee keer zo groot als ik en dat terwijl in werkelijkheid mijn mijter wel een kop boven hem uitsteekt!”
“Zo heeft dat kind het beleefd, Sint.”
“Wat beleefd, ik vind het onbeleefd. Eerst word je als een heilige toegezongen, niemand ziet meer Hazewinkel, de buurman in mij, en vervolgens leveren ze zo’n ontluisterende tekening bij mij in. Dat vind ik niet reëel.”
“Nu, dat is toch juist het bewijs van hun realisme. Voor hen bent u een heilige, geen schijnheilige. Alleen, u stond er ingetogen en eerbiedig bij, terwijl Piet potsierlijk in het rond sprong. In die tekening drukt dat kind uw ingetogenheid en Piets uitbundigheid uit. Dat is heel reëel. Ik zou het magisch realisme willen noemen.”
“Maar toch, als ik dat jochie op de gang tegenkom, vraag ik hem of hij Sint nou werkelijk twee keer zo klein vond als Piet!”
“Misselijke vent, gun dat kind zijn werkelijkheid of speel anders niet meer voor de Sint!”
Gelukkig is bovenstaand interview ‘bedacht’ door een oud-leerkracht, die voor Sint speelde en die juist zo genoot van de geschonken tekening, die liet zien in welke mate(n) de kleuter de ontmoeting met Sinterklaas en Zwarte Piet beleefde. De dingen (en mensen) in de wereld hebben voor de kleuters nog geen objectieve maat. De mate waarin zij door de hen omringende wereld beroerd worden, bepaalt de grootte van die wereld. In tekeningen van kleuters en jonge kinderen is te zien hoe de eigen innerlijke maat de verhoudingen bepaalt van de ‘voorwerpen’ om hen heen. “Was er niet ook een tekening bij, Sint, met een hele grote Sinterklaas en een nog grotere rode mantel, naast een heel klein huis?!”
Het jonge kind leert door nadoen, met het accent op doen, op bewegen. Het neemt geen afstand tot zijn beweging, het zit er helemaal in: de ander beweegt in hem.
Een kleutert pleegt zijn bewegings- en evenwichtsvermogen te beleven door het verrichten van halsbrekende toeren. Zo wandelde een peuter eens doodgemoedereerd door de dakgoot, vergenoegd lachend naar zijn ontzette vader die machte-
148
149
loos toekeek vanuit het zolderraam. Alleen een slaapwandelaar zou het hem nadoen. En dat typeert precies het bewustzijn waarmee een kleuter in zijn zintuigen leeft.
In het spel van de kleuter zien we dat hij mede door nabootsen en eigen beweging ook met zijn zintuigen de wereld wat bewuster begint te verkennen. In het vrije spel spelen ervaringen met grootheden (lengte, dikte, gewicht …) en het ‘zien’ van de juiste maat al een rol. Hoe zorgvuldig bouwen de kinderen niet hun huizen met planken en blokken. Nauwkeurig worden er boomstammen bij elkaar gezocht, want anders ‘wordt het dak scheef’. Je ziet dat grote lappen op elkaar worden gelegd om de grootte te vergelijken, of om ze in gelijke stapels te kunnen vouwen. De situaties waarin ‘gemeten’ wordt, zijn legio: een brug bouwen voor een houten treinbaan, zodat de trein niet scheef hangt, of al spelend ontdekken hoe de schuinte (hellingshoek) moet zijn van de brug, zodat de trein wel een lekker vaartje neemt, maar niet uit de rails vliegt (of juist een keer expres wel!).
Ook buiten zie je kleuters al uitzoeken waar de boomstam onder de plank moet liggen om samen lekker te kunnen ‘wip-wappen’. In de zandbak ontaardde het spel zelfs eens in een fikse ruzie, omdat het deurtje ‘niet groot genoeg’ was voor de koning van het kasteel!
Bij het doen van kringspelletjes en arbeidsspelen bewegen de kinderen in allerlei geometrische vormen van verschillend formaat. Al deze activiteiten scheppen gelegenheden om ervaringen op te doen met meten en maten. Hierdoor ontwikkelt de kleuter, voor wie maat alleen nog in de zin van ‘verhouding tot’ leeft, zich in een (school)wereld waarin voor meten en meetkunde een speciale plaats is ingeruimd.
Op het moment dat het kind echt bewust anderen nabootst, is het geen kleuter meer! Dat is ook het moment, waarop je als leraar in de eerste klas kunt zeggen: “Kijk goed kinderen, wat ik hier teken, dat noemen we een rechte lijn.” En de kinderen kijken, naar alle rechte lijnen, die hun klasgenootjes op het bord tekenen: krachtige, evenwichtige lijnen, wiebelende, onzekere lijnen, rechte en scheve, dikke en dunne lijnen. De kinderen bewegen innerlijk mee en zien de resultaten. Bewegingszin en evenwichtszin komen samen met de gezichtszin in het oordeel: deze lijn is mooi recht en die kan je nog wat mooier recht maken. Oordelen ontstaan door afstand te nemen, door niet helemaal in de beleving op (of onder) te gaan, door combinatie van zintuigindrukken.
Naast de rechte lijn komt vervolgens de kromme lijn op het bord te staan en alle kinderen tekenen kromme lijnen. Zo begint ieder kind zijn eerste schooldag met twee geometrische oervormen!
Vanaf de eerste dag wordt het vormtekenen beoefend en geoefend en net als bij de euritmie zien we hoe hiervoor langzamerhand gevoel ontstaat en vaardigheden tot stand komen, die een voorwaarde zijn voor het leren en werken in de meetkunde in de hogere klassen. Dat neemt niet weg dat het vormtekenen ook een belangrijke bijdrage levert aan de motorische ontwikkeling, en ondersteuning biedt bij de lateralisatie en de oog-handcoördinatie.(Lateralisatie is het proces, waarbij een kind leert gecompliceerde handelingen te verrichten met twee handen tegelijk, zo dat één van beide handen de nauwkeurige bewegingen maakt en de andere hand een ondersteunende functie heeft. Het hele proces voltrekt zich tussen het zevende en twaalfde levensjaar.)
150
Het basisschoolkind moet niet alleen doen, maar ook zien wat het doet en er over leren nadenken, opdat het tenslotte tot inzicht komt. Omdat het oog bij uitstek een gevoelszintuig is, is het oordeel dat ontstaat door het zien een esthetisch oordeel. Door het vormtekenen ontwikkelen de kinderen ook een gevoel voor schoonheid, schoonheid die zich laat zien in de gestolde beweging. We zullen in dit hoofdstuk het vormtekenen alleen beschouwen in het kader van voorbereidingen op de meetkunde.
Rechte en kromme lijnen
In de eerste klas worden rechte en kromme lijnen in regelmatige ritmische vormen getekend ter voorbereiding op het schrijven. Rudolf Steiner adviseert om ook in de tweede klas spiegelsymmetrische oefeningen te doen waarin de meetkundige grondvormen als cirkel, driehoek, vierhoek en ellips voorkomen. Voor het daaropvolgende jaar staan gecompliceerdere symmetrische figuren op het programma. Nu ook met meer dan één spiegelas. Zelfs draaisymmetrische vormen en symmetrie ten opzichte van een cirkel behoren tot uitdagende opgaven. Het kunstzinnig werken en het beleven van de vormen staan bij alles wat genoemd is voorop!
In de vierde klas voltrekt zich een, hier al eerder genoemde, verandering. Het ‘ik beleven’ wordt versterkt en het kind wordt zich bewust van de afstand die het heeft tot de wereld die hem omringt. Dit afstand nemen maakt het mogelijk om een voorzichtig begin te maken met een vooruitblik op de vlakke en beschrijvende meetkunde. De kinderen leren nu om de ‘wereld rondom’ ook te bezien vanuit een meetkundig standpunt; er komen kaarten en plattegronden aan te pas.
Bij het vormtekenen zien we in de vierde klas dat meetkundige figuren uit de hand getekend worden. De eigenschappen van de getekende vormen kunnen nu opgemerkt worden. Het bekijken, bestuderen van zijden, hoeken, eventuele
symmetrie-eigenschappen heeft hier nog uitsluitend een aanschouwend karakter.
151
Een levendige karakterisering schept ruimte voor begrippen die steeds meer inhoud krijgen en zo een leven lang meegroeien. Vandaar de waarschuwing kinderen geen definities, ‘dode’ begrippen, bij te brengen. Eerst driehoeken in het vormtekenen en ook driehoekige vormen in de natuur en de cultuur. Later pas een driehoek van lijnstukken, met zijden en hoeken. Dat wordt een figuur met eigenschappen (som van de hoeken 180°, a + b > c, enzovoort).
Op een mooie dag stappen we voor de vormtekenlessen nog eens naar buiten. Daar gaan we met elkaar allerlei meetkundige vormen zichtbaar maken. “Maak met z’n allen een zo klein mogelijk vierkant.” Dicht tegen elkaar aan staan ze daar! “En een zo groot mogelijke driehoek.” Iedereen probeert een positie te vinden om te gaan staan , tot één van de jongens zegt: ”Past niet op het plein, heb je wel de hele wereld nodig!” “Zou dat lukken?”, vraag ik voorzichtig. “Nee”, zegt Jessica vastberaden, “dan wordt het rond.” We gaan verder en vormen nog meer figuren met z’n allen of in groepjes. De kinderen zijn er zo vol van, dat er zelfs bomen, hekjes en muren mee mogen doen.
In deze leeftijdsfase, waarin het wakend bewustzijn zich langzaam vanuit de ledematen, de bewegingsorganen terugtrekt om zich via het ritmische systeem een plaats te verwerven in het denken, moeten we het ruimtelijk voorstellingsvermogen bij de kinderen ook nog via de beweging blijven ontwikkelen.
Al bewegend vormt het kind, maar ook ieder volwassen mens, geometrische vormen in de ruimte en is daarmee een onderdeel van de kosmos. Dit voltrekt zich onbewust, maar in de geometrische figuren, die de kinderen tekenen, is de beweging vastgelegd.
Het kind beleeft zichzelf nog niet in de ruimte, in de stroom van de tijd, maar veeleer in een tijdloze situatie, die ook afbeeldingen in het twee-dimensionale vlak kenmerken. In het ruimtelijk beleven kan je onderscheid maken tussen het beleven met de tastzin en met de gezichtszin. Je zou dat kunnen vergelijken met een kind dat zich ‘in’ een ruimtelichaam, bijvoorbeeld in een kubus bevindt en tastend het grondvlak, het voor- en zijvlak verkent. Het is echter niet in staat om van buitenaf de kubus te bezien. Het kan nog geen afstand tot de
drie-dimensionale ruimte nemen
In het teken- en schilderwerk van de kinderen is de ontwikkeling van het waarnemingsvermogen af te lezen. Vierde en vijfdeklassers zie je nog prachtige tekeningen maken van landschappen met grote driehoekige ‘platte’ bergen. Zij ‘weten’ dat de bergen ruimte innemen, maar verstandelijk kunnen ze dat nog niet bevatten.
Pas in de zesde of voor sommigen zelfs in de zevende klas, ontwaakt het vermogen ook in perspectief te zien en weer te geven. Dan worden tijdens de tekenlessen vele oefeningen gedaan in waarnemend tekenen van ruimtelijke objecten, vazen, theepotten, tekendozen of de eigen schoen. De schaduw van het voorwerp vormt een belangrijk hulpmiddel voor de tekenaar.
Rudolf Steiner dringt er op aan, om het ruimtelijk voorstellingsvermogen al vanaf het negende jaar te ontwikkelen door samen met de kinderen naar schaduwvormen te kijken. Je onderzoekt dan letterlijk het ruimtelijke ten opzichte van het platte vlak. Een bol in de zon geeft een schaduw op de tafel, waaraan de kinderen onmiddellijk de elliptische vorm herkennen. Ook van andere voorwerpen kan de
152
schaduw onderzocht worden. We tekenen deze waarnemingen niet, maar praktisch onderzoekend kun je het op allerlei manieren uitbreiden. Hoe is het met de lengte van de schaduw in verhouding tot het voorwerp zelf?
Een mooie aanleiding om in het kader van de meetkunde ook aan ‘verhoudingen’ te werken. Op zeker ogenblik is bijvoorbeeld de verhouding stok : schaduw overal in de omgeving even groot. Je kunt dat verhoudingsgetal gemakkelijk bepalen door wat meet- en rekenwerk. Heb je dat verhoudingsgetal eenmaal, dan kun je allerlei onbereikbare afstanden en hoogtes ‘meten’. Gebruik in dat geval de verhoudingstabel. (Zie blz. 251.) Wie weet maken de kinderen nog eens een kleine tafelzonnewijzer en ongetwijfeld komen ze op school met verhalen over experimenten thuis met het bedlampje of de zaklantaren!
Meetkunde komt zo op natuurlijke wijze tot stand. Wat kinderen eerst aan vormen hebben beleefd, gelopen, getekend en gemaakt, wordt later steeds preciezer geconstrueerd en er worden steeds meer wetmatigheden herkend.
Meten met maten
In vele situaties, vak- en vormingsgebieden en door de hele schooltijd heen, speelt meten een rol. Hoe belangrijk zijn niet de streepjes op de strook papier langs de deurpost van de eerste klas, waar de kinderen een jaar lang steeds weer even naast gaan staan. “Juffie ik ben groter dan Eric, Hoe kan dat nou, hij is groter dan ik?”
Voortdurend doen kinderen nieuwe ervaringen op. Soms dienen zich conflictsituaties aan die tot nadenken stemmen. Wat is groter worden? Nu eens is dat langer worden, dan weer gaat het om leeftijd: groter is hetzelfde als ouder. Er zijn dus soorten groter en kleiner.
En dan een feest, de eerste feestmutsen die zelf gemaakt worden zijn meestal lange versierde stroken papier, die op maat om het hoofd geplakt worden. “Hoe groot moet de strook voor jouw feestmuts worden, Anneke?” Als de kinderen klaar zijn gaan ze naar buiten, waar ze elkaar moeten opzoeken voor het vormen van groepjes die elkaars muts passen! Ongemerkt hebben we zo een oefening in het schatten georganiseerd en op weg naar buiten zie je dat de kinderen elkaars mutsen echt even gaan passen.
Later in het jaar is het leuk het vraagstuk van de puntmuts eens aan de orde te stellen. Laat de kinderen zelf uitvinden hoe groot het stuk moet zijn, dat uit het ronde stuk karton moet worden gevouwen of geknipt, zodat de muts op het hoofd past. “Kun je eigenlijk meer mutsen uit zo’n stuk karton halen?”
153
Het hoeft hier verder geen betoog dat handvaardigheidslessen uitnodigen om op allerlei manieren het meten in praktijk te brengen. Alle werkstukken, uiteenlopend van kleine doosjes van papier in de laagste klassen tot houten weeframen, gemaakt door de zevendeklassers voor de jongste kinderen, vragen om meetactiviteiten die in meer of mindere mate zelf uitgedacht zijn. Bij het meten als zodanig gaat het beleven doorgaans vooraf aan het weten.
Op het gebied van meten en maten wordt in onderwijsland veel abstractie bedreven, tot groot onbegrip van de kinderen. Via trap- en kommatrucs tracht men het leed te verzachten; het begrip wordt er zeker niet groter op. Als er één gebied is waar men zich zou moeten bezinnen over het wat, het wanneer en het hoe, dan is het wel de meterrij. En hoe simpel is het niet in de praktijk van het leven!
Hoe de mens de maat aller dingen weerspiegelt, werd duidelijk in de jeugdherinnering die een leerkracht eens aan zijn klas vertelde:
“Mijn moeder placht af en toe op de stofjesmarkt inkopen te doen. Daar was een blozende, forse koopvrouw haar favoriet. Onvergetelijk deze marktkoopvrouw. In rap tempo mat ze de ellen katoen, van haar hand tot de elleboog, waarbij haar onderarm als een pompzwengel heen en weer bewoog. Het was een goedhartige dame, ze mat met ruime hand, waarbij wij innerlijk de beweging mee deden en daarbij telden.”
Deze herinnering houdt een didactische aanbeveling in: meten is een menselijke activiteit. Stel kinderen dan ook in de gelegenheid via activiteiten kennis en inzicht te verwerven.
In de derde klas, als de kinderen zo’n jaar of negen zijn, geeft onderwijs in de zaakvakken spontaan aanleiding tot allerlei meet- en weegactiviteiten. De kinderen meten steeds enthousiaster met duimen, palmen, spannen, voeten, ellen en vademen en begrijpen al gauw dat een tweeduimsnagel (spijker) van smid Hein, dezelfde lengte moet hebben als de betreffende nagel van smid Hans, anders zou de timmerman voor zonderlinge problemen komen te staan. De stap naar de duimstok en ellemaat is dan ook snel genomen en behoeft geen historische fundering, al bezwijken we graag voor de verleiding om de ark van Noach op het schoolplein uit te zetten.
Tenslotte kunnen we, bijvoorbeeld op een stuk kassarol, allemaal een echte meter maken, zoals die misschien al voor het bord ligt, wellicht met een gekleurde tien-deling. Daarmee kunnen we van alles in en om de school gaan opmeten.
154
Van een klas gingen de kinderen altijd graag in de pauze naar een veldje in de buurt van de school. Ze wilden wel eens weten hoe ver dat dan was. Na wat heen en weer gepraat had één van de kinderen bedacht: “Als we nu allemaal één meter vingerhaken en we binden dat aan elkaar, kunnen we er heen lopen en dan weten we het”. Een van de jongens zei meteen dat 24 meter niet genoeg was. Voor een aantal kinderen ging dat wel snel, maar dat ze veel nodig hadden, dat hadden ze ook wel bedacht. Met restjes katoen, bij elkaar gebedeld bij de handwerkjuffie en thuis, waren ze dagenlang iedere pauze in de weer. Kinderen uit andere klassen gingen meehelpen en uiteindelijk wisten ze niet alleen de afstand tot het speelveld, maar ook dat het station bijna twee km ver was.
Als een klas zo enthousiast is wil je de activiteit niet stoppen. Ze vergeten niet gauw hoe lang 1 km is als je die een keer rennend hebt afgelegd. Maar een klasse-gesprek over andere mogelijkheden van meten zou je graag wat sneller laten verlopen. Hoe een en ander ook met een klikwiel (fietswiel met knijper gaat ook goed) nog beter had gekund, moet in zo’n geval dan ineens op het woord van de leerkracht aangenomen worden. Of kan die zich er niet zo gemakkelijk van af maken?
Tijdens de bouwperiode in de derde klas gaat het metselen van een bank op het schoolplein, een huisje voor de kleuters of een plantenbak gepaard met allerhande metingen. De rolmaat en het meetlint, de centimeter, bewijzen goede diensten terwijl ‘en passant’ kennis gemaakt wordt met haak, zwei, waterpas en schietlood. De centimeter heeft dan voor de kinderen geen geheimen meer en we kunnen onze jaarlijkse lengtemetingen in de klas gerust in ‘grote mensen taal’ vaststellen. Vorig jaar was Eelco 1 meter 30 en nu 1 meter 35. Kinderen hebben hun eigen referentiematen en breiden hun repertoire steeds uit. Een mooi idee is het aanleggen van een persoonlijk matenboekje, dat de komende jaren steeds verder aangevuld kan worden.
Aan veel meetwerk gaat schatten vooraf; hoe hoog denk je dat de klas is, hoe breed is de gang, hoe diep is het zwembad? Dit schatten geeft ook realiteitszin aan het meten, het is immers niet echt van belang of het zwembad 1 meter 60 of 62 diep is. Maar als je moet behangen is het wel van belang of de hoogte van de kamer 2 meter 50 of 80 is. De context waarin de meetopgaven staan, bepaalt de zin van de nauwkeurigheid van het antwoord. Dat feit verdient ook aandacht in de les, het is alleszins een reflectief moment waard.
Het motorische kind zal bij het schatten innerlijk meebewegen, ook in gedachten passen doen. Zulke kinderen zullen al snel de behoefte tonen om de meter aan 1 grote stap gelijk te stellen. Het visuele kind beleeft meer de onderliggende verhoudingen. Een combinatie van zien en doen, dus zien wat je doet, zal de klas wellicht het meest aanspreken en tot een goed gevoel voor maat leiden. En daar gaat het om.
In hoeverre wordt in de lagere klassen al kennis gemaakt met de begrippen oppervlakte en inhoud? We moeten vooral in de ‘doe sfeer’ blijven. Verrassend blijkt bijvoorbeeld het (grote) aantal bakstenen te zijn, dat we nodig hebben voor het metselen van onze plantenbak. Menig derde klas bouwsel is halverwege blijven steken door onderschatting.
155
156
In de bouwperiode besteden we ook tijd aan rekenwerk, waarbij we gebruik maakten van eenvoudige meetkundige structuren. De kinderen hebben immers verschillende steenverbanden leren kennen!
Ik liet de kinderen nu b.v. drie verschillende muurtjes ontwerpen als scheiding tussen de tuinen van mevrouw Jansen en mijnheer De Boer. Ze maakten er een duidelijke tekening van, met verband en al. Natuurlijk was er toen de vraag hoeveel stenen er voor ieder van de muurtjes nodig zouden zijn. Het aantal stenen per pallet is bekend, dus er kan ook uitgerekend worden hoeveel pallets er besteld zouden moeten worden. Maar niet alle tekeningen waren gelijk. Wat nu? De ene muur was wel twee keer zo lang, de andere wel twee keer zo hoog. Hoe zit het nu met het aantal stenen, en wat te doen als de muur twee keer zo lang en twee keer zo hoog is? Dat werd ook onderzocht. Het was leuk om te zien hoe de kinderen aan hun antwoorden kwamen. Sommigen maakten getekende oplossingen, anderen waren met getallen in de weer. Ik liet de kinderen ook aan elkaar vertellen waarom en hoe ze aan hun antwoorden kwamen. Twee kinderen die het heel verschillend deden liet ik een volgende keer eens samen werken.
Het feit dat er nu vier keer zoveel stenen nodig waren was ons natuurlijk wel opgevallen. Hoe zit dat bij een muur waar de maten drie keer zo groot zijn, was een vraag voor onderzoekers.
Voor weer een nieuwe fase in het meten met maten gaan we onderdak zoeken bij de aardrijkskundeperiode in de vierde klas. De verandering bij de kinderen in de oriëntatie naar ruimte en tijd vraagt om ordening van de ruimte om hen heen. “Waar sta ik, wat is voor mij wat is achter mij, links van mij, rechts van mij? Wat is binnen en wat buiten? Waar gaat de zon op als ik wakker, word waar staat de zon als we tussen de middag op het plein zijn?” “Woon ik in het noorden, oosten, zuiden of westen?”
Vanuit de eigen positie wordt de omgeving verkend. Kinderen tekenen de weg van school naar huis, met alles er op en er aan, de dikke boom waar je rechts af moet, de kerk tegenover de winkel en de kapotte steen in de stoep als je bijna bij school bent; belangrijke mijlpalen waar je langs komt. We beklimmen de kerktoren en kijken uit over het oude dorp. Weer op school tekenen wij onze eigen kaarten in vogelvlucht perspectief, plattegronden van het eigen dorp. Een fietstocht in de omgeving op zoek naar streeknamen, oude gebouwen en namen die bepaalde functies of eigenschappen laten zien, Bergweg, Zuiderschans, enzovoort. Een heleboel aanknopingspunten om als leerkracht bij stil te staan, reken-meetkundige opdrachten te maken en vooral onderzoekjes te laten doen door de kinderen.
Plattegronden van huizen, kamers, tuinen, boerenbedrijven kunnen begrippen als vierkante meter en hectare verduidelijken. Zoek referentiepunten op bekend terrein voor de kinderen, zoals voor Maurice, die zo dol is op voetballen: één voetbalveld is ongeveer een halve hectare.
157
leder kind heeft thuis zijn eigen kamer opgemeten en daar maken we een mooie plattegrond van compleet met bed, stoel, kast, treinbaan, enzovoort. We maken de kamer ook op schaal, bedenken met de klas wat een goede verhouding zou zijn. “Iedere meter 5 cm lang maken op tekenpapier?”, stelt Peter voor. Maar Justin zegt dat hij een hele grote kamer heeft en dat hij wel 10 cm nodig heeft. We komen er toch uit en besluiten tot 4 cm.
Van gekleurd papier hebben we nu een heleboel vierkante meters nodig in onze nieuwe ‘meter-maat’. En dan gaan we passen en meten, op zoek naar de oppervlakte van de eigen kamer. De schaar moet er bij veel kinderen ook aan te pas komen. Door verschillende kleuren te gebruiken is goed te zien waar de uiteengeknipte vierkanten (nu niet meer ‘vierkante meter’) zijn gebleven.
In een volgende rekenperiode gaan we op zoek naar andere grootheden dan lengte (afstand) en naar andere maten. Concrete inhouden levert de melkboer met zijn liter en halve liter pakken. Hoeveel glazen gaan er in een liter? Hoeveel liter hebben we nodig voor de hele klas? Hoeveel liters gaan er in een emmer, enzovoort. De meer wiskundige benadering van oppervlakten en inhouden, met de afleiding van de betreffende formules, is een zaak voor de oudere kinderen. Formules als 1 x b voor de oppervlakte van een rechthoek, krijgen hun betekenis in de zesde klas waar het letterrekenen, de eerste algebra, wordt geïntroduceerd. Deze overstap kunnen ze dan vanzelf nemen na alle ervaringen in verschillende perioden en rekenwerkuren op school en thuis.
Het wegen brengt ons onherroepelijk bij het winkeltjesspel terug. Er worden ponden suiker en kilo’s meel verkocht alsof het niets is! Op de balans is het ook niets, of praktisch niets; het gaat niet om het gewicht maar om het evenwicht, de vergelijking. Jonge kinderen beleven de ‘zwaarte’ nog niet zo als een volwassene dat doet.
Dus ook nu weer schatten. Wat zal zwaarder zijn, deze zak suiker of dat pakje koffie? Neem ze maar in de hand! Alle mogelijke varianten op het oude ‘kilo veren of kilo lood probleem’ vormen een uitermate belangrijke zintuigoefening! Het conflict dat er in verscholen zit, leidt tot voorstellingsactiviteiten, de kinderen worden aan het denken gezet. Tot in de hoogste klas zijn de leerlingen verbaasd over het gewicht van een flesje kwik; dat hadden ze niet gedacht! Schijn bedriegt en het oog is niet altijd te vertrouwen. Wie heeft tegenwoordig nog betrouwbare referentiematen?
Enige tijd stond nu de ouderwetse weegschaal in de klas en dagelijks wordt er van alles gewogen, afgewogen en ‘verkocht’. Daarnaast maken we ook kennis met veerunster, brievenweger, de bascule en de personenweegschaal, waarop ieder zijn gewicht nog eens wil controleren, niet in de laatste plaats om ook een ‘vergelijkend onderzoek’ te doen.
In de natuurkunde van de achtste klas ontmoeten wegen en meten elkaar op een heel bijzondere wijze, namelijk bij het berekenen van de soortelijke massa.
Maak aan het eind van de vierde klas wat tijd vrij, bijvoorbeeld een laatste rekenperiodeweek, om de inmiddels in dat jaar vergaarde kennis omtrent meten met maten eens op een rij te zetten. Ga ook nog eens kort aan het werk met wat opdrachten. Denkbeeldige situaties mondeling geschetst of in beeld gebracht op een werkblad, samen met leuke opdrachten en vragen, worden met enthousiasme begroet.
158
Terugkijken op en terughalen wat we geleerd hebben levert een bijdrage aan het (op tijd) verdiepen van het inzicht. Niet voor niets geeft de vrijeschool haar lessen in perioden van enkele weken; daarna laten we het geleerde rusten, vergeten, maar dient er aan het eind van het schooljaar op wat gedaan is nog eens teruggekeken te worden. Het bewustzijn van de mens kan onmogelijk alles wat het tegenkomt ook paraat houden. ‘Ritme’ versterkt dat vermogen. Zorg ervoor dat het kind ook leert ontdekken wat zijn ‘instrument’ is om de opgedane inzichten en kennis weer in het bewustzijn terug te halen. Het geeft het kind een waardevol vertrouwen in zichzelf als hij weet, dat wat even niet te voorschijn komt, toch herinnerd kan worden. Maar oefening hierin kan zeker voor wat betreft de ‘rekenkunst’, voor veel kinderen een welkome hulp zijn.
Ideeën voor het maken van opgaven in het kader van meten. Denk daarbij aan lengte, gewicht, tijd, oppervlakte, inhoud; ook richting (denk aan: 10 meter of stappen naar het oosten) kan een onderdeel zijn.
• Koekjes bakken. Het recept is voor 12 tot 15 koekjes, maar we bakken voor de ouderavond. Wat nu?
• Limonade maken voor de hele klas, hoeveel siroop, hoeveel water?
Hoeveel drinkt ieder? Is een volle emmer genoeg?
• Een nieuw pak tekenpapier van 200 vel. Hoe dik is het pak en hoe dik is dan een vel tekenpapier?
• Maak een vierkante meter van (kranten)papier.
• Ruilverkavelen in de polder. Van de biologisch dynamische boeren moet het erf naast elkaar komen te liggen.
• De buurman heeft een vijver gegraven. Kan hij daarvan nu nog de oppervlakte te weten komen? Hoe rekent hij uit hoeveel water er in de vijver moet komen? Zou je ook kunnen bedenken hoe lang de kraan van de tuinslang dan open moet staan om de vijver vol te laten lopen?
• Er komt een nieuwbouwwijk. Hoe zou je de fietspaden aan willen leggen?
Op hoeveel manieren kan je in jouw plan van een huis naar de winkel fietsen? Wat is de kortste weg?
• De landkaarten uit het magazijn uitgerold in de zaal. Waar is het noorden en waar het noorden op de kaart? In welke richting ligt Delft? Of Moskou?
• Bij dit voorbeeld van een oude plaat: Hoe zien de 12 bouwwerken er van voren uit? Kun je dat tekenen? En van opzij?
159
• Een grote boom in de buurt. Tekeningen maken vanuit alle windrichtingen.
En omgekeerd, kijk een foto van het schoolfeest op het plein.
Waar stond de fotograaf?
• Hoe hoog is die lantaarnpaal?
• Hoe komt het dat een vliegtuig, hoog in de lucht, zo langzaam vliegt?
• Wat is de gemiddelde snelheid van een fietser? … een wandelaar? … een atleet die de marathon van New York wint? Een schaatser op de 10 kilometer?
• Maak ook eens een werkblad waarbij de ingrediënten om het antwoord te vinden al in beeld zijn gebracht.
De kinderen hadden allerlei voorwerpen meegebracht waar water in kon. Ik hield een mooie met water geheel gevulde vaas omhoog. Eerst bedachten we samen wat voor het meten hiervan een geschikte maat was. Mireille liet ik alvast het daarbij passende maatglas pakken. Toen werd de inhoud -in de geschikte maat- geschat. Er kwamen ook getallen met cijfers achter de komma. De grootste en de kleinste waarde kwamen -met de eenheid erachter- op het bord. En passant rekenden we hiervan het gemiddelde uit. Toen goten we het water in het maatglas. Er ging iets meer dan 2 liter in. Ja toen moest ook de maatcilinder van 100 cm3 er nog bij gepakt worden, het antwoord kwam op het bord in liters. Wie had er meer dan twee cijfers achter de komma? Op mijn suggestie dat Frits dan ook de in de vaas achtergebleven druppels mocht komen tellen wilde hij niet ingaan.
4.2 Klok en kalender
“Juf, dit is de fijnste tijd van mijn leven!”
Veel te vroeg op school hebben kinderen kans gezien de nog dichte schooldeur te passeren en stormen als stralend zonlicht met windkracht zeven de klas binnen: “We gaan alvast in de zaal werken, anders zijn we niet op tijd klaar voor de generale!” Weg zijn ze. Ik blijf beduusd, maar aangestoken door hun ‘zin in deze dag’ achter. Morgen zullen ze hun ‘eind’toneelstuk spelen en ik bedenk met een beetje weemoed, dat de tijd is omgevlogen.
Klok en kalender zijn maar een klein onderdeel van het leren kennen van- en leren leven met de tijd. Tijd is beweging en het kan een mensenleven duren om er grip op te krijgen. Ook in de schooltijd zijn er dwars door het leerplan heen allerlei momenten, waarbij we de kinderen helpen steeds meer bewustzijn te ontwikkelen voor alles wat met tijd te maken heeft.
Als volwassene kunnen we aan tijd drie gebieden onderscheiden die onlosmakelijk verbonden zijn:
• De kosmische tijd, waarvan we de beweging beleven in de kringloop van het jaar, de seizoenen, de maanden, de weken, het ritme van dag en nacht en de veranderingen aan de hemel als we naar zon, maan en sterren kijken.
• De eigen tijd, de biologische tijd in de mens zelf, waarin ook de kosmische tijd zich uitdrukt. Dag-nacht, waken-slapen, ook maancyclus en vruchtbaarheid, zijn voorbeelden daarvan. Tot in de organen van de mens zien we lineaire en cyclische bewegingen. Te denken valt daarbij aan bijvoorbeeld het hart-ritme, de beweging van de longen, de cyclus in de leverwerking, de stroming en vernieuwing van het bloed, enzovoort. En niet in de laatste plaats zien we de
160
eigen tijdsstroom tot uitdrukking komen in de ontwikkelingsfasen binnen de levensloop van de mens.
Rudolf Steiner spreekt ook over de verschillende ritmen van de vier wezens-delen (Geisteswissenschaftliche Menschenkunde, GA 107). Hij beschrijft daarin de vernieuwende impulsen die door middel van of dankzij zo’n ritme plaatsvinden. Het fysieke lichaam kent ongeveer een jaarritme, letterlijk spreekt hij bij vrouwen over een ritme van 10 x 7 x 4 dagen en bij mannen van 12 x 7 x 4 dagen (!), het etherlichaam heeft een ritme van 4×7 dagen, het astraallichaam een weekritme en het Ik-organisme een dag-nacht ritme.
•De levenstijd beleeft de mens, door het heden tussen verleden en toekomst te ervaren. (De geschiedenis van aarde en mensheid speelt hierin een grote rol). Het wordt wel als een lineaire tijd gezien, maar in wezen maakt de levenstijd van de mens deel uit van de grote cyclische beweging langs geboorte, dood en wedergeboorte.
Het tijdsbeleven van het kind , van de mens, speelt een rol in alle drie de bovengenoemde tijdsaspecten, maar voor een kind heel anders dan voor de volwassene en nog weer anders dan voor de oudere mens. Kleine kinderen leven in het moment van de gebeurtenis zelf, daarbij meebewegend in de tijdsstroom. Kleuters zitten toch nooit stil? Hollend kwamen ze de keukendeur binnen “Gaan we eten?” “Nee, over een half uur.” Vijf minuten later stonden ze er weer. “Zijn we op tijd? Waarom zijn er geen borden?” De dag was toch om, ze hadden trek en wat had dat met halve uren te maken?!
De jongen uit de aanhef van deze paragraaf, die als eerste de klas binnenstormde genoot van alle lessen dit schooljaar. Zijn enorme betrokkenheid liet hem geen tijd zich te vervelen. Bovendien stond hij dankzij zijn temperament onbevangen in het heden, waardoor hij zijn vreugde van dat moment aan een tijdperk verbond, ongeacht de belevenissen van gisteren of van morgen.
Het mag duidelijk zijn dat zowel levens- en ontwikkelingsfase als individuele geaardheid een grote rol spelen bij het beleven, het tot leven wekken, van de tijd.
Leven primitieve volken, kinderen en menige vakantieganger, nog intuïtief vanuit de kosmische en biologische klok, in onze en andere culturen probeert de mens steeds om meer greep te krijgen op het ordenen van de tijdsstroom. Door de getallenwereld aan de beweging van de tijd toe te voegen werd met steeds grotere nauwkeurigheid de duur van de tijd in een maat uitgedrukt en vast gelegd.
De klok en de kalender zijn daar een uitdrukking van, toch is ook de meest geavanceerde atoomklok niet in staat om iets anders aan te geven dan een tijdsinterval.
Zo houdt ook in de cultuur de mens niet op te zoeken naar de wonderlijke wereld van de natuurlijke bewegingen en ritmen.
Op school maken we gebruik van de tijdsprincipes, enerzijds om het onderwijs te structureren, anderzijds om kinderen te leren met tijd om te gaan en zijn gevolgen voor ons bestaan te leren kennen.
In didactische principes van het vrijeschool onderwijs herkennen we de indeling naar de ritmen van de wezensdelen. ‘Gebruikmaken van de nacht’ bij de verzorging en toediening van de leerstof en het indelen van het hoofdonderwijs in
161
periodes van vier weken zijn daar voorbeelden van.
In de kleuterklas begint het omgaan met en het leren kennen van tijd door het herkennen van vaste gewoontes in de dag en de week. De mooi verzorgde
jaartafel, centraal in de klas, geeft de kleuters -zij het niet volbewust – steun bij het beleven van veranderingen over grotere tijdsspannen.
“Juffie, ik wil geen vakantie!” zei een van de grote kleuters bij de feestelijke afsluiting van de palmpaastijd. De kleuterleidster nam het kind op schoot en vertelde over allerlei fijne momenten die de vakantie zou brengen. Daarna zouden we elkaar weer allemaal terugzien in de klas. Helaas het hielp niet en zo mogelijk nog droeviger zei het jongetje: “Maar dan weet ik niet wanneer het ‘broodbak’dag is?!” Dit kind zocht houvast voor een ontwakend tijdsbewustzijn; het wist wat er aan tijd gebonden was.
Vanaf de eerste klas spelen de natuurlijke ritmen in de kosmische en de menselijke tijd een rol bij het leren kennen van de getallenwereld. Bij het ritmisch tellen, uit telrijen ontstaan, sluiten we aan bij de natuurlijke herhalingen en de bewegingen in de kosmische en de menselijke tijd.
Denk daarbij aan ordeningen die ontstaan in 12, of in 60 naast de ordening in tientallen. Het tiental is ook op het fysieke vlak bij de mens terug te vinden; het kind kan immers ‘van nature’ op en dus ook met zijn vingers rekenen: In de cultuur is daar een 10-tallig stelsel uit ontstaan. Telrijen en later de tafels, tot 12 en terug zijn daarom een ondersteuning van natuurlijke ritmen, rijen, en tafels tot 10 zijn een basis voor onze rekencultuur. Beiden moeten in ons rekenonderwijs een belangrijke plaats innemen, onder andere op weg naar tijdsmeting, metriekstelsel en handel.
Kalender en klok
In de tweede klas gaan we in een rekenperiode op zoek naar de tijd op de klok. Veel in ons onderwijs draait in die dagen om de grote klok, die met gejuich ontvangen wordt. Helemaal wanneer het een koekoeksklok blijkt te zijn, die elk uur luid zijn roep doet horen. De kinderen leren klokkijken en we proberen inzicht te geven in het verstrijken van tijd , in tijdsduur en het vastleggen daarvan. Alsook in de opeenvolging van de dagen van de week en de maanden van het jaar, die samen de kalender vormen. Naast de beweging van de tijd gaat het ook om kwaliteiten van de tijdsduur. In gedichtjes en liedjes spreken die kwaliteiten tot de kinderen:
Januari, sneeuw en ijs,
schaatsen aan en dan op reis.
Februari in het woud,
wie het koud heeft sprokkelt hout.
Alle vogeltjes in mei
leggen in een nest hun ei.
162
De eerste ochtend kwam ik in gesprek met de kinderen over de tijd van het jaar. We wisten er met z’n allen veel over te vertellen, daarna wist een van de kinderen welke maand het was, compleet met datum, “Want morgen ben ik jarig!” en zo kwamen we op de dag van de week. “Het is nu dus maandag” zei ik, “maar hoe laat is het eigenlijk?”
En zo begon die maandagmorgen het moment van de klokkentijd in het groter geheel van ‘tijd’. Na het leren lezen van de klok zou de klokkentijd langzaam uitgebreid worden met de tijd van de week, de maand, het jaar. En aan het eind van de periode zouden we allemaal een eigen week en een verjaardagskalender gemaakt hebben, had ik me voorgenomen.
In het gesprekje over de klok vroeg ik de kinderen hoeveel uren een dag had. Ze wisten allemaal dat er 24 uren in een dag zaten. Maar dat grote mensen dat een etmaal noemden, vanwege de dag en de nacht, dat leerden ze van mij. Een snugger ventje deelde meteen eigenwijs mee dat de klok dus 2 keer rond gaat voordat zo’n dag, eh etmaal, voorbij gaat en het weer ochtend is.
“Gaat de klok rond? Ik denk dat de kleine wijzer 2 keer rond gaat, maar hoe zit dat nu met de grote wijzer van de klok?” Er werd gekeken en gerekend, het juiste antwoord kwam al snel: 24. De kleine wijzer gaat dus I keer rond in de dag en I keer rond in de nacht en de grote wijzer draait 12 keer mee in de dag en net zoveel keer in de nacht.
Vanuit de vraag “Wat doen jullie in de uren van de dag?” kun je met de leerlingen een ‘eigen uren klok’ gaan maken; in het schrift is een grote ronde klok getekend, een cirkel die, met hulp, van 12 stralen is voorzien. Net als op de klok in de klas zijn er de uren bij geschreven. De kinderen wisten al veel over de tijd, ook al had klokkijken er niet veel mee te maken gehad. “Hoe laat sta je op?” Er zijn heel verschillende antwoorden, dus werd dat moment ook op verschillende plekken in de klok getekend. “Wanneer begint de school?” “Hoe laat eet je?”. Zulke vragen en andere stelden de kinderen zelf en zo raakte de hele dagklok gevuld. Een snelle werker ontdekte dat het niet past. “Ik ga naar bed als ik al wakker ben!” Er zat niets anders op, er was nog een nachtklok nodig. Bij veel kinderen werd die geheel gevuld met sterren.
Later, om de klok nog beter te leren kennen, werden de bewegingen van de wijzers nauwkeuriger bekeken.
163
Op het plein tekenden we een aantal klokken, twee aan twee liepen de kinderen rond. De ene was ‘kleine wijzer’ de andere ‘ging voor de grote’. We zongen het lied van Henry Zagwijn over de tijd en reciteerden een klein gedichtje over de wijzers.
“Een keer rond gaat die grote heer,
haalt de kleine in telkens weer.
Een keer groot snel rond gegaan
mag die kleine 1 stapje verder gaan”.
Sommige kinderen gingen steeds sneller lopen om toch vooral de hele dag te volbrengen! Lastig om daarbij de tel niet kwijt te raken.
Kinderen brengen in deze periode vaak allerlei klokken mee en ontdekken van alles aan de verschillende wijzerplaten!
Zij maken ook, al of niet in hun schrift, zelf een klok met twee losse wijzers, beweeglijk met een splitpen vastgezet.
Als tussenvorm kan het ook goed zijn eerst nog een minutenklok te maken met alleen de grote wijzer. De minutenklok met zijn indeling in intervallen van 5 minuten is wat overzichtelijker en er kan rustig geoefend worden met begrippen als: ‘half;’ ‘kwart voor’; ‘kwart over’, ‘vijf voor’, enzovoort…
Daarna schuif je deze twee klokken als het ware in elkaar tot een klok met twee wijzers en twee schalen.
Het geeft gevoel voor tijd als ook met andere klokken, zelfgemaakte zandlopers, water- of kaarsklokken, het verstrijken van tijd gemeten wordt. “Hoe lang duurt het om heen en weer het plein over te rennen? Een of twee zandlopers?” enzovoort.
Op een regendag mochten de kinderen, na een frisse neus gehaald te hebben, in de pauze weer naar binnen. Daar ontstond spontaan een torenbouw-wedstrijd, geklokt met de zandloper. De kinderen raakten zo in de ban van de bouwsnelheid dat er blokken bij geleend moesten worden in de kleuterklas.
Via gesprekken over zaken die kinderen meemaken, die langer duren, kom je verder in de opbouw van de week, de maanden en het jaar. Laat de kinderen hun kalender vooral op basis van eigen belevingen indelen in mooie opeenvolgende tekeningen. Het is leuk om met een kind dat eens speciale aandacht verdient,
164
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskundeperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’, ‘een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakker worden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.
In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskun-deperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’/een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakkerworden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.
In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165
sterren onderzocht. De bewegingen worden in kaart gebracht om inzicht te verwerven in dag-nacht verschijnselen, in maanden, seizoenen, zonne- en sterrentijd, in schrikkeljaren en hun consequenties voor de kalender, in tijdzones en wat dies meer zij. Kinderen krijgen zo, naast gevoel voor tijd, ook verstand van tijd.
Dat allemaal heeft ook met rekenen te maken. Niet alleen omdat daarbij heel levensecht te rekenen valt, maar vooral omdat zo duidelijk wordt dat rekenen-wiskunde een menselijke activiteit is, waarmee de wereld verkend en ontsloten kan worden.
4.3 Rekenen met geld
(In vorige hoofdstukken heb ik het guldenteken vervangen voor het euroteken. Hieronder heb ik dat niet gedaan: het spreekt voor zich dat er voor gulden euro moet worden gelezen)
“Dan was ik de bankmeneer en jij kocht geld bij mij!” “Nietes, ik trok het uit de muur!”
Ook kleuters ‘rekenen’ al met geld. Soms wordt daarbij (nog?!) met blokken, schelpen of ander voorradig materiaal ‘betaald’. Nu het tijdperk van loonzakjes is vervangen door dat van pin- en andere codes waarmee geld ‘uit de muur’ gehaald kan worden, brengt dat met zich mee dat kleuters in het vrije spel ook dat uit de wereld van de volwassenen nabootsen. Is dit een reden om kinderen zich de elementaire beginselen van ruilhandel of de waarde van geld(stukken) bewust te laten worden? Of dienen we de omgang met ‘het slijk der aarde’ ver te houden van het kind?
Wanneer we in dit hoofdstuk aandacht schenken aan rekenen en geld beogen we daarmee noch de ene noch de andere vraag positief te beantwoorden. Het rekenen met geld leren de meeste kinderen ook wel buiten de school. Daar ligt een reden om dit thema hier op te nemen. Rekenen met geld kan namelijk het rekenen (in en buiten school) ondersteunen. Daarnaast kan het bijdragen om rekenen en wereldoriëntatie te integreren.
Toen Rudolf Steiner zich eens in Engeland positief uitliet over de mogelijkheden die het – daar nog niet op het decimale stelsel georiënteerde – geldstelsel voor het rekenen bood, liet hij merken dat geld volgens hem ook tot de concrete materialen behoort, waarmee kinderen kunnen leren rekenen. Daarbij gaat het om de (gevarieerde) structuren die in een muntstelsel besloten liggen en vooralsnog niet om inzicht in het stelsel zelf. Het is van belang om concrete zaken uit de omgeving het kind te gebruiken, zoals munten, bankbiljetten en postzegels, maar ook ‘bammen’ en ‘eentellers’.in de knikkertijd. Het zijn even zovele ‘eenheden’ die in zichzelf geleed zijn.
Door zijn interne structuur vormt geld een denkmodel en wordt zo voor mensen tot een bron voor referentiegetallen, waarmee het rekenen makkelijker is uit te voeren. Veel volwassenen betrappen zich erop dat ze bij sommen met breuken of kommagetallen doen alsof het geld is. Een voorbeeld: 2¼ : 4½ =… Denk aan guldens en ‘vertaal’ in kwartjes, dan zijn dit 9 en 18 kwartjes, ofwel 9 : 18 = ½. De veelvuldige omgang met geld in het dagelijks leven, draagt ertoe bij, dat oefening kunst baart op dit concrete niveau.
Een elfjarig meisje dat steeds vastliep bij rekenopgaves als 3 x 1,75, gaf op de vraag: “Hoeveel is drie keer f 1,75” meteen het goede antwoord, met een gezicht alsof dit wel het stomste was wat je kon vragen. Het valt op dat zwak rekenende
166
kinderen niet zelf deze relatie met het ‘geldrekenen’ leggen, hoewel ze binnen het geldstelsel wel tot goede oplossingen weten te komen.
Het is efficiënt om regelmatig, tijdens en nadat het rekenen met geld in de aandacht gestaan heeft, aan geld als model te refereren voor ‘lastig’ rekenwerk. Zo ontstaat een repertoire voor mogelijke aanpakken, die bij ‘moeilijke’ sommen maar ook bij schatten gehanteerd kunnen worden. De vijfstructuur kan veel extra steun bij rekenwerk geven, denk daarbij aan stuivers, kwartjes, rijksdaalders, enzovoort, maar ook aan dubbeltjes als twee stuivers enzovoort.
De context ‘winkelen’ biedt vele mogelijkheden om het rekenen met geld als ruilmiddel te ontwikkelen. Wie zo gelijktijdig geld als denkmodel voor rekenwerk wil introduceren, kan daarbij het ‘geldwisselspoor’ hanteren.
In de voorafgaande dagen hadden we allerlei munten en papiergeld ‘nagemaakt’. Op dik papier, met een munt eronder, waren door wrijven met een potlood ‘echte’ munten gekopieerd. Dat kostte meer tijd dan ik verwachtte, maar nu beschikte iedereen over een papieren beurs met daarin heel wat -zij het niet klinkende- munten. Gezamenlijk kozen we nu een munt of ‘briefje’ en legden dit bovenaan op de bank. Daarna werd hetzelfde bedrag in andere munten eronder gelegd; steeds werd er verder gesplitst in andere, kleinere, munteenheden. We ontdekten uitgaande van eenzelfde bedrag, verschillende mogelijkheden. Zo ontstond het ‘geldwisselspoor’; kinderen konden (zelfstandig of voor elkaar) opdrachten verzinnen, uitgaande van goed gekozen startbedragen.
de illustratie is niet meer van deze tijd:
167
Feitelijk werken we bij deze procedure dus weer vanuit het geheel naar de delen. Dat blijft een zinvolle oefening. Goede rekenaars beleven er veel plezier aan om zelf te zoeken naar getallen, waarmee je een ‘lang’ geldwisselspoor kunt maken. Zo breiden ze hun repertoire uit van referentie getallen, waarmee handig te rekenen valt.
In een latere fase is het geldrekenen ook te gebruiken om het breukenonderwijs te ondersteunen. Op basis van geld kun je een ‘breukenbord’ maken. Daartoe wordt een blad papier met lijnen in gelijke evenwijdige stroken verdeeld. Op de bovenste strook wordt dan bijvoorbeeld f 5,- genoteerd. De strook daaronder wordt nu in vijf gelijke stukken verdeeld, elk stuk staat nu voor f 1,-. Daaronder volgt een strook voor kwartjes enzovoort. Je kunt zoiets ook al in een derde klas doen en er later, in het kader van de breuken, op terug komen.
Het is belangrijk dat kinderen ervaringen opdoen, waarbij ze geld als model voor breuken kiezen en bemerken dat het rekenwerk daarmee gemakkelijker verloopt. Juist voor rekenaars die moeite hebben zich (breuk)getallen voor te stellen en ermee op mentaal niveau te manipuleren, kan het ‘denken in geld’ houvast bieden. Vaak blijken zulke kinderen heel gewiekst in het rekenen met geld, omdat ze dat vanuit allerlei praktische levenssituaties gewend zijn.
Ook daaraan werken we wanneer we in de derde klas weer eens winkeltje spelen.
We waren al een paar dagen bezig spullen te verzamelen voor een soort rommelmarkt, die we met elkaar gingen houden, leder had van thuis spulletjes mee genomen waar hij afstand van wilde doen. Het was een bonte verzameling geworden.
We hadden al met het geldwisselspoor gewerkt. Bij het hoofdrekenen kon ik al eenvoudige sommetjes geven: “Één kwartje, hoeveel stuivers krijg je daarvoor? Hoeveel dubbeltjes zijn samen even veel waard als twee kwartjes?” Ook hadden we al enkele dagen verschillende bedragen met munten gelegd en daarbij ontdekt, dat er vaak meer dan één mogelijkheid bestaat zo’n bedrag te vormen.
En vanmorgen was het zover. Natuurlijk, onderhands was al menige koop gesloten, dat wist ik wel. Daarom besloot ik dat iedereen eerst de ronde ging doen langs de meegebrachte spullen om daarna op de eigen plaats een wenslijstje te maken met daarop de drie meest begeerde artikelen. Bovendien moest daarachter het bedrag staan wat ze ervoor wilden uitgeven.
Toen liet ik een kind voor de klas komen en vroeg hem om zijn lijstje, las op wat bij de nummer één stond en nodigde de eigenaar uit met het artikel naar voren te komen. Daar had ik mijn eigen tafel als een soort marktkraampje voor ingericht. En toen begon de handel, loven en bieden.
De afspraak was: Je mocht niet meer betalen dan er op het lijstje stond. Maar hoeveel het was, dat wist alleen de koper en ikzelf. Zo hoopte ik de woekerprijzen een beetje in de hand te houden, want ook de koopman wist dat hij bij een te hoge vraagprijs met zijn spullen zou blijven zitten. Toen er zo een aantal koopjes gesloten was, waarbij dan ook echt betaald, en soms zelfs gewisseld moest worden, verdeelde ik de klas in twee helften, een groep kopers en een groep verkopers. Er was tien minuten tijd om te handelen en daarna zouden de rollen omgedraaid worden. Natuurlijk toen werd het echt wel een beetje een rommeltje, maar de kinderen genoten. En daar is een rommelmarkt toch voor!
In de dagen die daarop volgden, werd er zo nu en dan nog flink gehandeld. Maar er werd ook flink op papier gerekend: “Ik heb de volgende geldstukken in mijn portemon-
168
nee, een … Hoe kan ik nu … (f 3,55 bijvoorbeeld) gepast betalen? Wat krijg ik terug als ik een muntstuk van vijf gulden geef?
Sommen had ik nu bij de vleet. Ze maakten ze voor elkaar. Bij onenigheid rekenden we met de hele klas de som na en bespraken de verschillende oplossingswijzen. Daarna moest er dan weer met ons namaakgeld betaald worden. Een paar kinderen hadden zelf thuis extra bankbiljetten gemaakt en brachten die ook in roulatie. Toen moest ik wel even ingrijpen, want zoiets geeft meteen een enorme prijsinflatie.
Ja in tijden had mijn klas er niet zoveel bij geleerd als in deze paar dagen.
Dat het daarbij niet gaat om vaardigheden die ‘even aan te leren zijn’, kan iedereen beamen die in het buitenland onverwachts met een ander muntstelsel geconfronteerd werd. Toch verloopt het leren omgaan met geld voor de meeste kinderen haast ongemerkt, hoewel niet altijd zonder hobbels. Dat merk je bijvoorbeeld wanneer een kind moeite heeft met het feit dat een rooie rug maar één briefje is (en bovendien groen is!) en toch staat voor duizend guldens.
Geld kan ook een denkmodel vormen achter het cijferen:
• Kassabonnen om na te rekenen.
• “Ik wil… kopen af… per … Heb ik genoeg bij me als er f … in mijn portemonnee zit?”
• “Voor … stuks … heb ik f … betaald.Wat is de prijs per stuk?”
Het rekenen met geld plaatst rekenen ‘in de wereld’; het vestigt namelijk de aandacht op wat er zoal in die wereld omgaat en te koop is. Zoiets maakt kinderen wereldwijs. Het kan ook morele vragen oproepen en hartstochten losmaken. Voor de leraar is het dus steeds de vraag: “Wat wil ik bij mijn kinderen wekken en hoe sluit dit aan bij de levensfase waarin ze verkeren?”
Enkele opdrachten die rond het thema geld in hogere klassen gegeven kunnen worden, volgen hier ter illustratie. Het is vaak inspirerend om aantrekkelijke werkbladen te ontwerpen. (Zie Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen) Kinderen kunnen dat zelf ook met behulp van foldermateriaal. Ze komen in dat geval niet zelden tot prachtige ‘eigen producties’. Het is ook een goed idee om de ontwerpers oplossingen van de zelf bedachte opgaven te laten maken en voor het gebruik van anderen te laten opschrijven. Ze kunnen daarnaast elkaars werk corrigeren, dat geeft een goede aanleiding om de zaak nog eens na te rekenen.
Ideeën voor het maken van opgaven:
• Een folder met artikelen en prijzen. Maak een wenslijst. Wat zal dit alles kosten? Hoe lang moet je daarvoor sparen als je per week f … zakgeld krijgt?
169
• Maak een prent (werkblad) van een etalage met prijzen bij de artikelen, of geef een reclamefolder. Je vriend(in) heeft f … voor zijn/haar verjaardag gekregen. Wat gaan jullie daarvoor in deze winkel kopen?
Het berekenen van uitgaven op basis van tabellen en dergelijke:
• De tarieven voor de dierentuin, schouwburg, … zijn … We gaan met het hele gezin, we zijn dus met z’n … Wat moeten we betalen?
• We gaan met… man op reis naar … Hier is het tarieven boekje van de N.S.
Wat gaat dat kosten?
• Ontwerp een advertentie voor … Zoek in de krant op wat het plaatsen van een advertentie per kolom per millimeter kost. Wat zal de krant jou voor deze advertentie in rekening brengen?
Het verzamelen en ordenen van gegevens.
• Je wilt een cake bakken. Wat heb je daar voor nodig? Wat zal het kosten?
Zoek dat voor morgen uit.
• Een begroting maken voor het verjaardagsfeest dat je wilt geven, op basis van een gegeven totaal bedrag.
• Ontwerp een boekenkast. Wat heb je aan hout nodig? Hier is een folder van de ‘Doe-het-zelf’zaak. Wat gaat het kosten?
• We gaan op schoolreis zelf koken. Stel een menu samen. Hoeveel heb je van alles nodig? Overleg dat thuis en zoek in winkels uit wat dat zou kosten.
• Bijhouden van inkomsten en uitgaven per dag (of per …). Maak een kasboek.
• Bereken de jaaruitgaven voor elektriciteit, de telefoon, de …, op basis van deze rekeningen.
Het omrekenen naar … (bijvoorbeeld met gebruikmaking van de verhoudingstabel, zie blz. 251):
• Recepten gemaakt voor … personen omrekenen naar … personen.
Bereken daarbij de nieuwe prijzen op basis van de oude.
• Vreemde valuta. Prijzen (inkomsten …) omrekenen op basis van de wisselkoers.
• Gegeven de kosten per eenheid, wat kost het dan om …?
Rente berekeningen (zie ook H 6).
Handelsrekenen
170
Het ontwerpen van werkbladen
Zelfstandig, actueel en op maat
Waarom zou je werkbladen maken voor de kinderen? Het antwoord is eenvoudig en heeft drie kanten: In de eerste plaats geeft het je de gelegenheid de kinderen gedurende een bepaalde tijd zelfstandig aan een welgekozen taak te laten werken. Zelfstandig hoeft niet te betekenen ‘individueel’, men kan ook in kleine groepjes zonder directe begeleiding van de leerkracht aan de slag gaan.
In de tweede plaats kun je met eigen ontwerpen goed inspelen op datgene wat actueel is in het periodeonderwijs en je kunt ingaan op de dingen die de kinderen op een zeker moment bezig houden. Juist in de hoogste klassen geeft dat de gelegenheid school en wereld op een gezonde manier te verbinden.
Ten slotte kun je met zelfgemaakte werkbladen maatwerk leveren voor kinderen, die die extra aandacht of zorg nodig hebben.
In de laagste klassen kan een doos met mooie, getekende rekenkaarten gemaakt worden. Het formaat is kleiner, en daardoor overzichtelijker voor de kinderen. Hieronder een aardig voorbeeld van zo’n werkkaart.
Werkbladen kun je ontwerpen voor gebruik in het hoofdonderwijs. Maar meer nog hebben ze een functie in de rekenwerkuren, waarin we dat wat we in de periode geleerd hebben, beoefenen en verwerken.
De leraar treedt terug
Ontwerpen is heel wat anders dan kopiëren, hoewel bij het maken van werkbladen het kopieerapparaat een goede steun kan zijn. Aanleidingen om tot creatieve ontwerpen te komen, kunnen gevonden worden ‘op de rand van de krant’, in reclamefolders, in inspirerende reken-wiskundeboeken, bij gezelschapsspelen en andere spelletjes, na een diagnostisch gesprek met een leerling enzovoort.
171
Vooral de krant levert ongekend veel mogelijkheden voor het ontwerpen van goede ‘probleemgeoriënteerde’ werkbladen. Er wordt informatie gegeven die tot narekenen noodt (een olievlek van 50 vierkante kilometer komt overeen met
100 000 ton olie?); een bepaalde berekening nodigt uit tot reconstructie (795 inwoners, dat is 12% van het totaal, …) en hetzelfde geldt als je meent een fout te zien (de prijs van de superbenzine ging van f 1,50 naar f 2,00. Dat is een stijging van 25 procent).
De krant geeft ook rechtstreekse rekenproblemen, denk maar aan advertenties en abonnementen.
De leraar, die materiaal zoekt voor zijn werkbladen, rekent zelf eerst wat ‘op de rand van de krant’, en ervaart zo de mogelijkheden en moeilijkheden. Op dezelfde manier zou hij met de andere bronnen om kunnen gaan: eerst zelf problemen oplossen en vervolgens reflecteren op het eigen denk- en rekenwerk.
Een licht gevaar doet zich hier voor. De leraar die nadenkt over zijn eigen rekenaanpak, is gemakkelijk geneigd om in termen van een stapsgewijze uitleg (met veel voorzeggen) te denken.
Hoe loste ik dat probleem van de olievlek ook weer op? Eerst 100 000 ton olie, hoeveel liter is dat? Ik weet dat 1 ton = 1000 kilo, zeg 1000 liter. Dus 100 000 ton is 100 miljoen liter. Nu 50 vierkante kilometer. Eén vierkante kilometer is 1000 x 1000 vierkante meter, dus 1 miljoen vierkante meter. Eén vierkante meter is 10 x 10 vierkante decimeter, dus 100 dm2. Terug naar 50 km2, dat is dus 50 x 100 x miljoen = 5 miljard dm2. Smeer die 100 miljoen liter uit over 5 miljard dm2, dat geeft dan een laagje van: 100 : 5000 dm = 1/50 dm = 2 mm. Een (te?) dikke laag!
Het werkblad zou nu, op basis van de voorgaande oplossingsaanpak, gemakkelijk het karakter kunnen krijgen van een invulformulier:
172
In dat geval blijft er weinig initiatief en denkwerk voor de leerlingen over. Het verdient evenwel aanbeveling om ook de leerlingen een kans te geven, het probleem bij het begin op te pakken en op de eigen manier op te lossen. Als de vraagstelling open is, kan het nuttig zijn er (gefaseerde) hulp bij te leveren, in de vorm van tips die al dan niet (gesloten envelop erbij doen) gevolgd mogen worden.
Ten slotte wat tips voor het ontwerpen van probleemgeoriënteerde werkbladen Vooraf: Bedenk dat de keuze van het onderwerp ook een pedagogische dimensie heeft.
1. Formuleer eerst de opgave helder en los die zelf op.
2. Reflecteer op de eigen oplossing en neem de essentiële momenten in beschouwing.
3. Denk aan je leerlingen en schat de moeilijkheidsgraad in.
4. Zoek illustratief, en zoveel mogelijk authentiek materiaal (krantenknipsel, fotokopie van stukje uit boek, …).
5. Bedenk titel van het werkblad en deel het globaal in; met kernvragen, ruimte voor het rekenwerk van de kinderen, het geven van tips, enzovoort.
6. Bedenk iets waardoor de kinderen ‘gedwongen’ worden om te reflecteren.
7. Maak zelf de eerste versie van het werkblad, alsof je een leerling was.
8. Probeer het prototype-werkblad uit met één (of meer) leerling(en) en verwerk de ervaringen.
9. Maak eventueel meer dan één versie van het werkblad; in het algemeen zijn er diverse niveaus mogelijk.
10. Noteer ergens de eigen (reflectieve) oplossing, voor het geval de kinderen willen weten ‘of ze het goed gedaan hebben’. (In een reflectieve oplossing wordt ook het denkproces beschreven. Zie bijvoorbeeld Goffree,F., Faes, W. en W. Oonk, (1992) Reken Vaardig, Groningen: Wolters Noordhoff).
173
174
175
In dit hoofdstuk is sprake van
bouwperiode
cultuurperioden
kindertekeningen
kleuter
kringspel
meetkunde (driehoek)
meten
rechte-ronde
ritme
schaduwtekenen 7e kl
spel
sterrenkunde 7e
tijden in 4e klas
vormtekenen
.
Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk [1] [2] [3] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
Rekenen: alle artikelen op deze blog
.
2441
.
VRIJESCHOOL 