VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging- hoofdstuk 3

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 3: Rekenwerk vanaf klas 2 

3.1 Hoofdrekenen tot honderd
3.2 De tafels
3.3 Cijferen
3.4 Schattend rekenen Terzijde: Rekenspelen

3.1 Hoofdrekenen tot honderd

Het ligt voor de hand, ervan uit te gaan, dat al het rekenen dat niet op papier gebeurt hoofdrekenen is. Maar, als je een kind vraagt hoeveel 6 x 6 is en het zegt onmiddellijk 36, dan wordt er niet gerekend en weet het kind dat eenvoudigweg omdat die kennis geautomatiseerd is. Maar ook bij de mondeling gegeven opgave, waarbij een kind op zijn vingers het antwoord uitrekent, is er geen sprake van hoofdrekenen, maar van tellen.
Daarmee hebben we twee gebieden, die -vooral in de eerste en de tweede klas worden geoefend en als voorwaarde gelden om tot het eigenlijke rekenen uit het hoofd te komen. Daarbij gaat het vooral om het leren kennen van de kwaliteiten van de getallen, het zien van structuren en de ervaring hoe je met het rekenen betekenis kunt geven aan de dingen om je heen.
Nu sta je als leraar op een cruciaal punt. In het oorspronkelijke leerplan voor de tweede en derde klas lezen we:
‘De vier hoofdbewerkingen worden voortgezet tot 100 en daarboven. Er wordt veel uit het hoofd gerekend (de tweede klas). De vier hoofdbewerkingen worden geoefend met grote getallen in relatie tot het leven van alle dag.’

Als we onoordeelkundig te werk gaan, kan rekenen voor het kind tot een vak worden waarbij op mysterieuze wijze gegoocheld wordt met getallen, waarbij steeds nieuwe problemen opduiken op het ogenblik dat het dacht het net een beetje te snappen. Zo kan een kind zelden genieten van wat hij ‘geleerd’ heeft en raakt de interesse voor het rekenen steeds meer verloren. In het gunstigste geval ontwikkelt een goede rekenaar zich dan tot een handige cijferaar, die alle rekenhandelingen correct op een standaardmanier uitvoert, maar bij wie de innerlijke betrokkenheid ontbreekt. Misschien dat zo’n rekenaar vroeger nog wel enig emplooi had voor zijn vaardigheid, maar in het huidige informatietijdperk kan een kind daar nog maar weinig mee.

Wat moeten de kinderen beheersen?

De basisvaardigheden onder de twintig moeten geautomatiseerd zijn en de tafels gekend worden. Dit immers zijn onmisbare elementen van het hoofdrekenen tot honderd. Daaraan moet zeker in de eerste drie klassen veelvuldig gewerkt worden. Wat de kinderen al geautomatiseerd hebben en wat nog niet, zal de leraar dienen te weten. Daaraan kan gewerkt worden met korte op memoriseren gerichte mondelinge oefeningen, maar bijvoorbeeld ook door spelen als ‘Ladder op en af’, en ‘Samen’ (zie Terzijde: Rekenspelen).
77

Het optellen en aftrekken tot twintig vraagt van de leerkracht een systematisch didactische aanpak. Wordt maar aangenomen dat de kinderen alle optellingen en aftrekkingen onder de twintig uit het hoofd kennen, waarbij sommige kinderen toch maar liever op de vingers blijven tellen? Of wordt uitgegaan van de vaardigheden waarover de kinderen al beschikken? Vanuit de principes van de reconstructiedidactiek kunnen de kinderen op die vaardigheden verder bouwen en deze uitbreiden. Het geeft ze een handreiking om handiger te rekenen dan door ‘alleen maar’ tellen.
Mogelijkheden, die ook elders in dit boek besproken worden, zijn:
-Het verdubbelen als een rekenvorm die de kinderen al ‘wisten’:

2 + 2 = 4
3 + 3 = 6
4 + 4 = 8

Daarop kan worden voortgebouwd met:

4 + 5 = 4 + 4 + 1 = 8 + 1 =9 
6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13

Maar ook door het werken met de vijfstructuur van het rekenrek leren de kinderen de structuur kennen van de getallen onder de twintig.

Rekenen in het leven van alle dag

Overal komen ons tegenwoordig getallen tegemoet: pincodes, telefoonnummers, sofinummers of ledennummers. En ook moderne apparaten laten ons voortdurend cijfers zien: de (wekker)radio, de videorecorder, de magnetron of de televisie. In de krant staan dagelijks tabellen en schema’s waarin bepaalde verhoudingen uitgedrukt worden. In het spraakgebruik zijn begrippen als procenten of decimale breuken al gemeengoed voordat de kinderen daar in de school mee geconfronteerd zijn.

Een praktijksituatie:

Kareltje kan zijn ouders niet meer vinden tussen al die mensen op het strand. “Hoe heet je, waar woon je, wat is je telefoonnummer of dat van de buren of weet je soms de postcode?” vraagt een vriendelijke strandwacht. Kareltje kijkt op zijn digitale horloge alsof dat uitkomst kan bieden. Daar verspringen steeds getallen, zou hij de structuren doorzien en weten waarom de voorste getallen na 24 en de achterste bij 60 opnieuw beginnen? “Zoek je al lang?” probeert de strandwacht nog een keer …
Ja, als kind moet je tegenwoordig al vroeg thuis zijn in de wereld van getallen. Maar je moet ze ook naar je hand kunnen zetten.
Thea heeft van opa voor haar verjaardag vijfentwintig euro gekregen. “Wat kan ze daar allemaal voor kopen”, vraagt ze zich af? Gelukkig, boodschappen doen en betalen heeft ze vaker gedaan. Van prijzen weet ze iets af, daardoor heeft ze enkele getallen in haar hoofd waaraan ze zich kan oriënteren. Ze schat een paar bedragen, maakt daar in gedachten een kaal sommetje mee, rondt daartoe
78

getallen handig af en overziet dat alles bij benadering binnen de grens van € 25,-blijtt. Thea boft dat ze niet in Italië woont, met die kleine lires rekenen kinderen daar met enorme bedragen. [het boek verscheen vóór de euro zin intrede deed]

Het leren van zulke vaardigheden behoort zeker tot het rekenonderwijs dat tegenwoordig nodig is. Het leidt tot een vorm van gecijferdheid, die verbonden is met het rekenen van alle dag, ontdaan van geheimzinnigheid, maar daarom nog niet van schoonheid of van het plezier erin.
Er zijn legio voorbeelden te vinden van alledaagse rekensituaties. Het was al een aanwijzing van Steiner om het rekenen van jonge kinderen aan te laten sluiten bij het praktische leven. Bij dit alledaagse rekenen hoort, dat rekenopgaven zich zelden mondeling of op schrift aandienen. Wanneer er bijvoorbeeld hoeveelheden geteld worden door de kinderen, zoals knikkers of kwartjes in een spaarpot, doet zich het rekenprobleem concreet aan de kinderen voor.
Zo kunnen, vanaf de eerste klas in kleine schetsjes op het bord, rekenopgaven gegeven worden:

79

Later kan ook op het bord geschreven worden:

De vraag aan de kinderen is nu: “Je mag nog vijf minuten spelen voor je aan tafel moet. Wat voor cijfers geeft de klok dan aan?”

Of: “Vader zegt: “Om kwart over gaan we weg.” Wat staat er dan op de klok?” Een kind weet dat wel:

“En hoeveel tijd heb je nu nog om naar de wc te gaan en je schoenen te zoeken?”

Zo zijn er overal voorbeelden te vinden, die aansluiten bij situaties die de kinderen kennen. Wie opgaven in zo’n context naar voren brengt, maakt werkelijk waar: ‘uitgaan van het leven van alle dag’.

Natuurlijk is er goed te putten uit hetgeen bijvoorbeeld in de heemkunde- of bouwperiode aan de orde kwam. En waarom ook niet de kinderen zelf dingen laten ‘berekenen’ voor een uitstapje, of een klassikale activiteit?

Het actief verkennen van de getallenwereld

Wie zich wil oriënteren in de getallenwereld, zal zich ook moeten kunnen bewegen in de getallenwereld. Het bewegingsonderwijs kan die ervaring aandragen:

De kinderen schatten het aantal stappen naar de overkant van het plein. Daarna wordt de afstand ook gelopen. Bij iedere tien stappen legt een kind een ‘tiental-merkteken’ neer. Langs deze route kunnen de kinderen zich nu gaan bewegen; van 30 naar 40; of ze doen: 60 en 30 erbij! Opdrachten kunnen in velerlei vorm, door de leraar of door een kind, gegeven worden. Zelfs binnen de ruimte van het tiental kan bewogen worden: 30 – 2 of 25 + 5. Opdrachten als 2 x 15 zijn in dit verband ook belangrijk.
Later wordt het stappen met tientallen op het bord getekend en proberen de kinderen de opdrachten ook uit het hoofd te doen.
80

• Nu kan ook de 100-ketting gebruikt worden, gemaakt van twee verschillende
kleuren kralen (uit een kralenzitting voor een autostoel) telkens om en om een
kleur voor een tiental. Met een wasknijper kunnen de posities op de ketting aangegeven worden. Voor minder snelle rekenaars is zo’n hulpmiddel een goede houvast, terwijl er toch een verband bestaat met de bewegingen die de kinderen zelf uitgevoerd hebben.

• Allerhande rekenverhalen, bijvoorbeeld naar aanleiding van de heemkunde kunnen aanleiding zijn om ook met getallen tot 100 te gaan rekenen. Hoeveel beukennootjes verzamelt een eekhoorn op een dag? En als hij een week lang verzamelt? Nu komt er een luie eekhoorn die uit de voorraad stiekem wat weghaalt; wat is er dan over, hoeveel moet… enzovoort.

Het verhaaltje mag niet belangrijker worden dan de rekenopgave. Want dan lopen dromerige kinderen de kans om zo in de situatie op te gaan, dat ze niet aan het rekenen toe komen. Rekenen, dat voor hen nu juist zo goed is.
Voor zulke dromers kan een ‘gedachtenstrook’ goede diensten bewijzen. Op zo’n strook – die de kinderen zelf kunnen maken – staan de getallen tot 100, in een mooie tientalkleur. Nu kunnen de kinderen bijvoorbeeld een steentje leggen bij het getal waar het rekenverhaal is.

• Op de tegels van het schoolplein wordt een ganzenbordspel getekend. In de hokjes staan opdrachten in sommetjesvorm, die aangeven hoe de kinderen langs het parcours moeten gaan. De klas wordt bijvoorbeeld in drie of vier groepen verdeeld, die elk mogen gooien, een kind als pion in het spel mogen brengen en de opgaven moeten uitrekenen om naar ‘het antwoord’ te lopen. Zoiets kan later ook in een klassikale versie worden gespeeld.

Reconstructie didactiek – de lege getallenlijn

In al deze situaties kunnen de notoire tellers ook meedoen. Het zal ze juist stimuleren om ook eens een grotere sprong te maken, dan sprongen van één. Een spel is dan ook geen extraatje, maar een wijze van rekenen die alledaagse activiteit verbindt met het rekenen. Een spel dat alleen gespeeld mag worden door kinderen die hun werk al af hebben, stigmatiseert een zwakke rekenaar: voor die leerling is rekenen alleen maar ploeteren.
Het probleem van zwakke rekenaars ligt vaak op het gebied van de concentratie, het onthouden en het memoriseren. Als voor hen het rekenen alleen bestaat uit het toepassen van regeltjes, wat ze telkens toch niet lukt, dan ontgaat ze de mogelijkheid om het rekenen te oefenen aan situaties van alle dag.

In het realistisch rekenen is het begrip ‘reconstructiedidaktiek’ geïntroduceerd.
Hierbij wordt steeds verder gebouwd op de kennis die al bij de kinderen aanwezig is. Deze kennis wordt aangepast, uitgebreid en verdiept. De aanpak wordt als volgt omschreven:

‘Zorg voor zoveel mogelijk parate betekenisvolle basiskennis, want die levert de kapstok waaraan gevorderd rekenwerk kan worden opgehangen. Maar … wat je vergeten bent, kun je zelf opnieuw maken. Laat je dan leiden door je gezond verstand en volg de aanwijzingen die in de aard van het probleem besloten liggen.
81

Organiseer en orden, wees steeds attent op regelmaat en structuur. Zoek interne en externe structuren van de gegeven getallen, vind hulp bij eenvoudige visuele modellen en weet dat er niet slechts één mogelijke (moeilijke) methode is, maar dat er diverse eenvoudige wegen naar de oplossing leiden.’

Een voorbeeld van zo’n eenvoudig visueel model is de lege getallenlijn. Voor het rekenen tot honderd is als voorbereiding de 100-kralenketting (zie blz. 81) heel geschikt. Een wasknijper, bij wijze van ruitertje, tussen de 26e en 27e kraal geeft aan dat er 26 kralen voor zitten. Verschillende wasknijpers kunnen vervolgens in verband gebracht worden met streepjes op de lege getallenlijn, die in plaats van de kralenketting getekend wordt.

Zo krijgt zelfs het streepje bij de nul betekenis: daarvóór zitten er geen kralen meer. Deze streepjesbenadering -vergelijk de hectometerpaaltjes langs de snelweg- blijkt de meest zinvolle invulling van de getallenlijn te zijn. Het is simpel en biedt mogelijkheden voor het globaal schatten van de hoeveelheid waar het om gaat. Het zelf vullen van de getallenlijn is onderdeel van het leerproces. Dat moet geoefend worden, zoals dat ook gebeurde met concrete stappen op het plein of in de klas.
De opdracht: “Ga eens van 27 naar 45 in sprongen”, sluit aan bij het vragen naar de ‘actieve’, naar de handeling in: “Wat moet ik bij 27 optellen om 45 te krijgen?” Aan de getallenlijn kunnen de kinderen zo het optellen en aftrekken oefenen. Daarbij wordt de lijn een soort kladblaadje, waarop men even aantekent wat men niet wil vergeten. Vooral de zwakke rekenaar is bij zulke geheugensteuntjes gebaat. Veel meer, dan bij het steeds maar tellen op de vingers. Allengs zullen de sprongen groter worden en wordt er meer uit het hoofd gerekend.

De opgave in de klas luidt: “We maken een fietstocht van 47 km, maar na 25 km zijn we al aardig moe en we rusten even. Hoeveel kilometer moeten we nog?”
Nu kan de getallenlijn als een stuk weg getekend worden. Bij de rustplek komt een streepje met 25 te staan; ook het eindpunt wordt zo gemarkeerd. Dan kan er gekeken worden naar de sprongen die zijn gemaakt, om de overgebleven kilometers te berekenen.

82

83

Wat voor sprongen worden er gemaakt door de kinderen?
• Kees springt eerst met een sprong van vijf naar 30, dan met sprongen van tien naar 50 en vervolgens met een sprongetje van drie terug naar 47. Hij telt eerst de sprongen bij elkaar: 25; dan nog 3 eraf, dat is 22.
• Job doet meteen 2 sprongen van tien tot hij bij 45 is en dan nog twee erbij; hij weet direct: ”22.”
• Annemieke springt in één keer naar 45, en weet dan het antwoord al direct.
• Peter maakt eerst sprongetjes van één, maar dat duurt wel erg lang en het past ook niet op de getallenlijn. Daarom maakt hij bij 37 opeens een hoge sprong naar 47. Hoe nu het antwoord te vinden met al die kleine boogjes? Hoeveel waren het er ook weer? De methode van Job lijkt hem wel. Iets om te onthouden voor de volgende keer!

De rij(g)methode

Hierbij is aan het eerste getal, dat heel gelaten wordt, het andere getal in stukken toegevoegd. Deze methode sluit aan bij de natuurlijke wijze van doortellen. Door verkorting op basis van de structuur van de getallen, komen de kinderen op een hoger rekenniveau. In bovenstaande voorbeelden werd dat duidelijk. Deze methode vormt een goed tegenwicht tegen cijfermatige oplossingen, volgens de traditionele manier met splitsen in tientallen en eenheden.
Een voorbeeld van een fout die bij de splitsmethode vaak gemaakt wordt:

47 – 26 = … Eerst de tientallen: 4 – 2 = 2, dan de eenheden: 7 – 6 = 1. Dan is het antwoord 12 …? Oh nee, 21!
Dat lijkt heel simpel, maar nu hetzelfde met 43 – 27 = … Bij de tientallen lukt 4 – 2 nog, maar doe dat eens met 3 – 7? Dan maar de kleinste van de grootste: 7 – 3 = 4; antwoord: 24.

De getallenlijn is geen foefje, dat de kinderen zo maar eventjes aangeleerd wordt. De getallenlijn ondersteunt een rekenaanpak, die zorgvuldig moet worden aangelegd. Daarbij moet de getallenlijn systematisch van een structuur worden voorzien. Stappen daarin kunnen zijn:
• Tekenen van bewegingen die langs de getallenlijn zijn gemaakt bij het bewegingsonderwijs.
• Tekenen van kralenkettingen, met telkens bijvoorbeeld vijf (of tien) kralen in één kleur.

84

Ook bij aftreksommen is de lege getallenlijn goed bruikbaar, mits de voorbereidingen -net als bij het optellen- maar bewegend geoefend worden. Als je dat op het bord weergeeft -je kunt zelfs de getallenlijn suggestief laten hellen- kun je gaan bekijken hoeveel je teruggesprongen bent. Dat kan verwarrend zijn, omdat bij het aftrekken nu opgeteld moet worden. Maar als de aftrekking zijn oorsprong vindt in een opgave als: “Een boek heeft 47 bladzijden en ik ben gekomen tot bladzijde 23, hoeveel bladzijden kan ik nu nog lezen?”, dan is het bijtellen (doorbladeren in het boek) een vanzelfsprekende zaak.
Ook nu blijkt weer het nut van de lege getallenlijn als kladblaadje, waarop je steeds ziet wat je doet. De vraagstelling moet eerst zijn: “Wat moet je van 47 afhalen om 24 over te houden”, waarbij naar de ‘actieve’ gevraagd wordt. Daarna pas de vraag: “Wat houd ik over als ik van 47 (kralen) er 23 (kralen) afhaal?” Mogelijke sprongvariaties:

Kolommethode

Een mooie vorm is het kolom-rekenen . Dat is géén hoofdcijfermanier, maar een methode om eenheden en tientallen apart bij elkaar te tellen. Op papier ziet dat er zo uit:

85

Bij al deze situaties wordt duidelijk: hoofdrekenen is uit het hoofd uitrekenen van opgaven, maar ook de instelling ten opzichte van het rekenen waarbij steeds gezocht wordt naar manieren om met een rekenprobleem om te gaan. De kinderen een kunstje leren dat ook door een zakrekenmachine kan worden gedaan, is makkelijk genoeg. Het doorzien van structuren, het jezelf kunnen terugvinden in de opgave, is zinvolle vrijeschooldidactiek.
Kees Boeke (‘De werkplaats’ in Bilthoven) zei eens tegen een jonge onderwijzer die een rekenles gaf: “Meneer, u gaat aan de kant van de som staan, maar gaat u nu eens aan de kant van de kinderen staan, en kijk samen hoe u zo’n opgave zou aanpakken”. Veel voorbeelden in dit boek kunnen met die blik bekeken worden.

Raden en schatten

Als het rekenen dicht bij het kind moet komen, is het raden en schatten een wezenlijke activiteit.
“Ik heb een getal in gedachten, dat groter dan 40 en kleiner dan 100 is”. Om beurten mogen de kinderen een getal zeggen.
Al snel wordt duidelijk wie zicht heeft op de structuur van de getallenrij. Vooral in lagere klassen wil raden nog wel eens betekenen dat de kinderen maar iets roepen om de ander te overtroeven. Als de leraar daar serieus op in gaat, ontstaat er juist geen inzicht bij de kinderen. In plaats van raden, zou je bij dit spel dan ook beter kunnen spreken van ‘benaderen’.

Een goede visuele ondersteuning van het benaderen kan zijn, als de tijdens het spelletje genoemde getallen op een lege getallenlijn worden aangegeven. Voor een kind is het een prachtige oefening, de ruimte om het bedachte getal heen kleiner en kleiner te zien worden. Natuurlijk mogen de kinderen ook wel eens een getal in gedachten nemen en natuurlijk mag de leerkracht ook wel eens laten zien hoe slim hij kan benaderen.

Schattend rekenen in de praktijk kan goed van pas komen.
“Pauline, haal eens vijf broden. Hier heb je een tientje, een brood kost € 1,95 … eh … heb je dan genoeg?” Als je hebt leren schatten zeg je: “Van € 1,95 maak ik even € 2,—; dat is dan 5 x 2 (2 x 5 euro), dat is ongeveer een tientje … iets meer of iets minder … we hadden naar boven afgerond, dus het getal is iets te groot: ja, het kan!”
86

Zo werkend komen vaardigheden aan bod als: herformuleren, vertalen en compenseren, die nodig zijn voor het schatten en daarbij verder ontwikkeld worden.

Voor het schatten moet je vaak terug kunnen vallen op hoeveelheden die een makkelijke referentie bieden. Voor veel mensen is dat de opbouw van ons geldstelsel. 20  x 5 eurocent in een euro; 10 x 10 eurocent in een euro; 5 van 20 eurocent. Enz.  Bijvoorbeeld bij de opgave:

37 x € 0,05    = 20 x 5  + 20 x 5 = 1 euro + 1 euro = 2 euro – 3 x 5 = 15: € 1,85

Ook maten zijn belangrijke referentiegetallen: drie keer zo groot als de kamer, dat kost zes weken zakgeld, wel drie voetbalvelden groot, ongeveer zo ver als van het station naar school.

Niet te vlug gaan cijferen

Onder de honderd – en iets daarboven- hoeft er niet gecijferd te worden. Je moet dat ook niet doen. Het maakt de kinderen afhankelijk van het ‘kunstje’, en verlegt de aandacht naar de afzonderlijke cijfers in het getal, waardoor de getallen niet meer in hun werkelijke waarde worden beleefd.

Het gebruik van een blaadje, als geheugensteuntje, is een belangrijke ondersteuning om het hoofdrekenen onder de knie te krijgen.

Als een kind een eigen, handige manier heeft, en bijvoorbeeld de opgave 83 – 37 uitrekent door te doen: 83 – 40 + 3 = 46, hoeft die methode geen plaats te maken voor de klassenmanier. Maar voor de kinderen die te weinig houvast hebben, geeft de ‘veilige’ manier juist zekerheid.

Af en toe een paar snelle hoofdrekensommetjes

Het voorgaande gaat er vanuit dat de kinderen in alle situaties – onder de honderd – uit het hoofd rekenen. Dat is een uitgangspunt, dat ten grondslag ligt aan een bewuste rekendidaktiek, die veel meer inhoudt dan af en toe wat hoofdrekenopgaven aan de kinderen voorleggen. Anderszins vinden de kinderen het meestal spannend, als ze hun kennis nu ook eens mogen laten blijken. Af en toe een kort moment hoofdrekenen heeft daarom zijn waarde.

Elke ochtend beginnen met een aantal korte hoofdrekenopgaven is zeker goed, om de kinderen wakker aan het rekenen te laten beginnen. Het is niet voldoende om het ‘rekenen uit het hoofd’ te oefenen. Dat moet een onderdeel van de dagelijkse rekenpraktijk zijn. Soms blijkt ook dat zo’n vast hoofdrekenmoment, iedere dag in hetzelfde deel van de les terugkomend, op den duur toch tegenzin bij de kinderen oproept.

Elke leraar zal opgaven kunnen bedenken die bruikbaar zijn. Als zulke hoofdrekenopgaven gegeven worden, dan moeten de kinderen horen of ze de opgaven goed gemaakt hebben. Voor de hand ligt het, om de kinderen op een blaadje de antwoorden te laten opschrijven en daarna de goede antwoorden te geven. Een bezwaar is echter, dat -zelfs als de som nog eens herhaald wordt- de kinderen al veel te ver verwijderd zijn van het rekenmoment: de antwoorden blijven lege getallen.
Veel beter kan -vooral in de lagere klassen- bij iedere opgave ook de rekenmanier(en) en het antwoord besproken worden.
87

In de tweede klas geeft meester soms een ‘kettingsom’ op. Dat is een doorlopende reeks opgaven, waarbij de kinderen de tussenantwoorden niet mogen zeggen: 4 + 4 = tel daar 2 bij op: vermenigvuldig dat getal met 5, dat is…: doe dat getal door de helft trek daar 7 af als je door 3 deelt, krijg je …
De leraar loopt snel door de klas en laat zich de antwoorden in het oor fluisteren. Al naar gelang het antwoord goed of fout is, geeft hij de kinderen een tikje op het hoofd of trekt hij aan hun neus. “Wanneer heb je het nu goed? Als je getikt wordt, of bij de neus genomen bent?” Dat weten de kinderen als meester zegt: “Alle kinderen die getikt zijn roepen het antwoord!” Dan klinkt pas: “zes!”
Maar daarmee is het nog niet gedaan, want aan een flegmatisch kind dat het antwoord verkeerd had, wordt nu gevraagd: “Wat was de opgave eigenlijk?” Voor een flegmaticus is het niet moeilijk dat te onthouden. Dat weet hij beter dan de snelle, sanguinische rekenaar, die de hele opgave al weer vergeten is. Als de opgave nog eens klinkt, roepen ook een paar langzame rekenaars van harte: “Oh, ja, nu heb ik het ook!” En aan het melancholische kind wordt gevraagd: “Waar ging het nu fout?” Dat blijkt bij het delen door 3 te zijn. “Dat gebeurde mij vroeger ook altijd”, zegt meester eerlijk en voor het melancholische kind zegt hij nog even: “Je moet gewoon denken aan 3 x 6 = 18, want dat weet je allang.” “Oh”, zegt het kind, “dan kan ik het ook!” Maar een paar andere kinderen roepen al: “Meester, nog een som, nog een som!”

3.2 De tafels

“Het vermenigvuldigen is nog maar net geïntroduceerd, of men brengt het kind er al toe zich de tafels als geheugenstof eigen te maken”, aldus Rudolf Steiner.

Inleiding

De tafels van vermenigvuldiging nemen in het rekenen op de vrijeschool een bijzondere plaats in. Het gaat namelijk niet alleen om rekenen, maar ook om geheugenvorming. Door het getallenritme dat aan tafels ten grondslag ligt, werkt het ritmisch oefenen ervan direct versterkend op het etherlichaam en draagt daarmee bij aan de grondslag van het geheugen.
In de eerste drie klassen wordt het wakkere (tijds)bewustzijn geleidelijk meer aangesproken. Het kinderlijke bewustzijn is er nog ingebed in het middengebied, het ritmische systeem, het is daarmee nog een ‘dromend’ bewustzijn. Dit bewustzijn stimuleren we door de tafels aanvankelijk geheel in te bedden in het ritmische bewegen. Daaruit wordt dan de ‘tafelleerstof’ gewekt en opgenomen in het meer op het wakkere denken stoelende (tijds)bewustzijn dat we vanaf de overgang naar het negende en tiende jaar steeds directer gaan aanspreken. Voortkomend uit het tellen en de basisbewerkingen ontwikkelt zich de leerstof rond vermenigvuldigen deels parallel aan de tafels van vermenigvuldiging en deels uit het ritmisch oefenen ervan. Van de relaties die zo ontstaan zal de leraar zich bewust moeten zijn.
De tafels van vermenigvuldiging hebben in het rekenen binnen drie gebieden een plaats.
Allereerst moet de relatie, die bestaat tussen de regelmaat van de tafelrijen en de ritmiek van het bewegen, genoemd worden. Bewegen en tafels zijn onlosmakelijk verbonden.
88

In de tweede plaats zijn de vermenigvuldigingsstructuren, die in het tafelrekenen frequent gebruikt worden, nauw verwant met kwaliteiten, zoals die in het rekenen van de eerste klas een belangrijke plaats hebben gekregen, (zie blz. 35)
En ten slotte biedt de studie van de tafels, onder andere door het ontdekken van structuren en ‘regelmatigheden’, de mogelijkheid iets van de schoonheid van de wiskunde te tonen. Kijk bijvoorbeeld op blz. 112, waar een tafelster is afgebeeld. En op blz. 93, waar de ritmiek van een bewegingsspel door leerlingen in beeld is gebracht.

Het vermenigvuldigen

Voor we hier het ‘tafelwerk’ in de klassen beschrijven, kijken we eerst naar de ontwikkeling die de bewerking vermenigvuldigen doormaakt. We beginnen met te bedenken wat vermenigvuldigen is. Met de wiskundige definitie ‘vermenigvuldigen is herhaald optellen’ wordt wel de kern geraakt, maar is men er didactisch nog niet uit. Waarschijnlijk kunnen we een vingerwijzing vinden bij rekenaars uit het verre verleden. In het oude Egypte werd bijvoorbeeld de deling 45 : 5 geformuleerd met de vraag: tel met 5 tot 45. Antwoord: 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Hoeveel stappen? Negen, dus 9 x 5 = 45 en 45 : 5 = 9. Ziehier hoe tellen, verkort tellen, vermenigvuldigen en delen op een natuurlijke wijze samenhangen. Wie goed kijkt ziet ook nog de tafel(rij) van 5 in het voorgaande.
Wat is vermenigvuldigen nu precies, was de vraag. Welnu, vermenigvuldigen is een bewerking die te beschouwen is als een verkorte telling.
Maar er is meer. Bepaalde vormen om ons heen nodigen uit tot handige, verkorte tellingen. Neem bijvoorbeeld het rechthoekige stippenpatroon hieronder (vraag: hoeveel stippen?)

Of het tegelplateau voor de school, of de raampjes in het venster, of de snijpunten van het rooster, of de eieren in een doos, of … Het zijn in feite allemaal vermenigvuldigstructuren. Tellen van de aantallen (stippen, tegels, raampjes, enzovoort) voert tot vermenigvuldigen.

De genoemde voorbeelden zijn allemaal van eenzelfde structuur, in feite gaat het om de (oppervlakte van een) rechthoek. Er zijn ook andere
vermenigvuldigstructuren. Neem bijvoorbeeld het boomdiagram, dat tot stand komt bij een telprobleem als het volgende:
Er zijn speelgoed bouwstenen in de aanbieding: witte, rode en gele stenen van twee formaten: grote en kleine. Uit hoeveel verschillende soorten kun je kiezen?

89

Hoe tel je? Of je nu de stenen erbij hebt, of niet, het tellen moet op basis van een goede organisatie gebeuren. Bijvoorbeeld: neem een wit blok, dan heb je twee mogelijkheden, wit-groot en wit-klein. Dat geldt ook voor rode blokken en gele. Dus drie keer twee. Of, iets simpeler: 2 + 2 + 2. En je kunt natuurlijk ook nog één voor één tellen: wit-groot, wit-klein, rood-groot, rood-klein, enzovoort. Dat laatste doe je eerder als je de echte blokken erbij hebt.
Dit is een didactische aanwijzing; wie de leerlingen van tellen tot vermenigvuldigen wil brengen en met concreet materiaal werkt, moet hen de stap laten maken van het tellen van elk ding afzonderlijk tot het tellen van groepjes. Bijvoorbeeld hoe vaak je een groepje van twee hebt. Daarbij worden ook de taalbegrippen één keer, twee maal, enzovoort gevormd. Wordt zonder concreet materiaal, dus meer voorstellend gewerkt, dan roept een structuur de bewerking ‘vermenigvuldigen’ op.

Een bijna zelfde structuur past bij het ‘muis-en-kaas probleem’: een muis kan naar de kaas toe op verschillende manieren. Op het eerste stuk van de route kan hij uit drie poortjes kiezen, op het tweede deel uit twee poortjes. Op hoeveel manieren kan de muis bij de kaas komen?

Van een ander karakter is de vermenigvuldigstructuur die met sprongen op de getallenlijn is uit te beelden:

Wie hier bij telt, zegt zoiets als een, twee, drie, vier, vijf, zes, … Of, in een ander ritme: twee, vier, zes, acht. Dit zelfde telwerk kun je verrichten bij het per twee tellen van de kralen aan het volgende snoer:

90

Deze structuur past bij bewegingen, die door regelmatige patronen en ritmiek worden begeleid. Hier doen de kinderen in de vrijeschool ongemerkt de eerste ervaringen op met de tafels.
De bovenstaande vermenigvuldigstructuren zijn niet voor niets gevisualiseerd. De kinderen doen dat ook, als ze hun ervaringen met tellen of bewegen volgens de ritmische tafelrijen op schrift mogen zetten. Bij die gevisualiseerde structuren kan later steun gezocht worden. Bijvoorbeeld om een rekenstrategie te zien of een eigenschap te onthouden.

Zie je hier niet gemakkelijk dat 4 x 8 hetzelfde is als 4 x 5 + 4 x 3?
En gebruik je die eigenschap niet als je het aantal raampjes snel wilt tellen: 20 plus 12, dat is 32. Oh ja, het zijn er 8 x 4!

Vermenigvuldigen volgt, zo opgevat, dus (rechtstreeks) uit het tellen. Als je dat standpunt inneemt, wordt het voorbereidend werk voor de tafels spannend en interessant. Bewegen en tellen! De weg via de herhaalde optelling, waarlangs de tafels stapje voor stapje worden opgebouwd en gememoriseerd, steekt daar saai bij af.

Er is nog meer van te zeggen. De aandacht voor vermenigvuldigstructuren is vergelijkbaar met de aandacht die in de eerste klas werd besteed aan ‘kwaliteiten’ (zie blz. 35). Toen was er de overtuiging dat getallen meer zijn dan (kale) representanten van (abstracte) hoeveelheden. Ze vertegenwoordigen bijvoorbeeld ook fraaie vormen in de natuur en vertellen een geschiedenis van het denken. Voor vermenigvuldigen geldt iets dergelijks. Het is niet alleen een rekenkundige bewerking met (kale) getallen, die precies één uitkomst heeft. Vermenigvuldigen vertegenwoordigt onder meer ritmische bewegingen, mooie patronen en structuren en is het gevolg van denkwerk bij lastige telproblemen.

Het gebied van het vermenigvuldigen is veel uitgestrekter dan dat van de tafels. Tafels ‘gaan’ van 1 x 1 tot 10 x 10 (of 12 x 12, daarover komen we nog te spreken). Eigenlijk is dit niet waar, tafels kun je zo lang laten doorlopen als je zelf wilt:

In het tweede boekje is een fout geslopen. Wie ziet de fout? Wie kan bedenken hoe die fout erin gekomen is?

91

Maar het deel van de tafels, dat we uit het hoofd moeten kennen, is begrensd. Waarom moeten kinderen zo’n 100 tafelproducten uit het hoofd leren? Het antwoord op die vraag is eenvoudig: de tafels zijn onmisbaar bij het hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen. Dit geldt overigens ook voor de optel- en aftrektafels tot twintig.
De bedoelde tafelkennis is gemakkelijk in kaart te brengen. Alle producten, die geleerd moeten worden, zijn in een 10 x 10 tabel onder te brengen:

In de loop van de derde klas, als de kinderen zich langzamerhand deze tafelkennis bewust, ‘wakker’ verworven hebben, kunnen ze de tabel gebruiken om hun eigen vorderingen bij te houden. Het was in de tweede klas al opgevallen dat dezelfde producten twee keer voorkomen. Eigenlijk hoef je maar de helft te weten, immers 5 x 9 = 45, en ook 9 x 5 = 45.
Iets minder voor de hand liggend: 3 x 8 = 24, en ook 6 x 4 = 24 (verdubbel en halveer). En kijk eens naar de laatste kolom, de tafel van 10. Daar valt niet veel aan te ‘leren’. Hoe zit dat met de voorlaatste kolom, de tafel van 9? Hoe kom je bijvoorbeeld aan 7×9, dat lastig te onthouden product? Dan kijk je in de tafel van 7, naar 10 x 7 = 70. Je ziet dat 9 x 7, één stapje van 7 minder is dan 70: dus 63.

Met de laatste beschouwingen is veel meer naar voren gekomen dan kale tafelproducten. De relaties tussen de tafels werden er zichtbaar. Ook die relaties dienen deel uit te maken van de tafelkennis. Dat betekent dat bovenstaande tabel eigenlijk niet een juist beeld geeft. Tafelkennis moet meer gezien worden als een netwerk (zie blz. 96) van vermenigvuldigingen, dat op allerlei manieren samenhangt.

In de tweede klas, de tafelklas van oudsher, wordt vooral gewerkt aan het inbedden van de tafels in het ritmische geheugen. Later in het jaar zal de tafelkennis hieruit steeds vaker gewekt worden. Dat betekent dat we de kinderen ook producten laten reconstrueren. Daarmee bedoelen we dat ze nog niet gememoriseerde tafelproducten (handig) uitrekenen op basis van tafelproducten, die ze wel al kennen.
92

Kinderen in de derde klas kunnen hun eigen tafelnetwerken maken, soms in kleine groepjes, als eigen producties. Het geeft een goede mogelijkheid om de kennis nog eens op te halen en aandacht te besteden aan de verschillende manieren, waarop de relaties tussen de producten (vermenigvuldigingen) tot stand kunnen worden gebracht.
Door onderzoek is gebleken dat kinderen, die op de oude manier de tafels leerden, spontaan dit soort rekenstrategieën uitvonden. Helaas werd er meestal geen aandacht aan besteed, en ging de meerwaarde voor hoofd- en schattend rekenen weer verloren.
Dit werken aan rekenstrategieën doen we onder andere door de kinderen daartoe uit te dagen, via geschikt gekozen opgaven (wat voor het ene kind reeds parate kennis is, levert voor het andere kind nog geschikte rekenstof op!), en ze vervolgens aan het woord te laten over hun oplossingsmethode. Natuurlijk met de opdracht aan de anderen om goed te luisteren en zo mogelijk de eigen oplossing er naast te zetten of aan te prijzen. Zoiets wordt ook mooi op schrift gezet, met gebruikmaking van de vermenigvuldigstructuren, die hierboven genoemd zijn. Het sluit aan bij het gewone rekenwerk. Daar komen ook af en toe de toepassingen onder de aandacht (zie H 2.5).

Van beweging naar voorstelling

Na de tel- en de strategie-ingang tot het vermenigvuldigen en de tafels, komt nu het bewegen aan bod.
We kunnen in het leren van de tafels vijf fasen onderscheiden.
Eerst brengen we de kinderen in de beweging tot de beleving van de telrij, de tafelrij en de tafelproductrij. Hoe gaat dat in zijn werk? De volwassene kan zich van te voren een handeling die hij gaat verrichten voorstellen. Het kind gaat de omgekeerde weg. Het zal de rij eerst levendig moeten ervaren voordat het zich deze beleving als voorstelling bewust kan maken.

Een paar dagen geleden, na die heftige herfststorm, hadden we in de laan achter de school eikels geraapt. Ik had ze ook al gebruikt tijdens de rekenles. Ze zijn een beetje groter dan bonen en je hebt er al snel heel wat bij elkaar. Ik had verteld
over kabouters die zo wijs waren dat ze ook goed konden rekenen. En ik had dat gedemonstreerd met Jacobus, onze lappenkabouter, die altijd alles wist wat er in de klas gebeurde. Hij bleek samen met mij verrassend goed te kunnen rekenen. Vandaag vertelde ik over kabouters die in het bos eikels verzamelden om ze aan de dieren, in de winter, te kunnen uitdelen. Hele manden vol verzamelden ze en deelden die dan later weer uit.

93

94

Dat speelden we na. In een lange slinger liepen we door de klas. Steeds deed ieder een greep in de denkbeeldige tas die hij droeg en deelde vervolgens drie denkbeeldige eikeltjes in het rond. Daarbij werd steeds gezegd: ei – kel – tje, ei – kel – tje, ei – kel- tje. Waarbij na ‘tje’ weer een nieuw greep in de tas gedaan werd. Zo ontstond als vanzelf in een gebaar het ritme van twee korte, gevolgd door één lange. Maar dan ga je ook tellen hoeveel eikeltjes de kabouter uitdeelt en met dezelfde gebaren tel je:1I 2 3 4 5 6 7 8 9 … Dat kun je ook lopen met telkens drie stapjes: kort, kort, lang; kort, kort, lang, enzovoort.

Zo zorgde ik ervoor dat de kinderen zich betrokken konden voelen bij de oefening van de ‘telrij van 3’.
In de volgende dagen legde ik tijdens de activiteit steeds meer de nadruk op de concentratie. De kinderen ervoeren dat er met de oefening een appel op hen gedaan werd: “Maaike, misschien vind jij tellen niet zo moeilijk, maar vinden je voeten dat ook? Houd ze in de gaten, die stappers, want voor je het weet tellen ze verkeerd!”. Nu komt het er op aan dat er precies gelijk begonnen wordt, met dezelfde voet, dat er in het juiste ritme gelopen wordt en dat we precies gelijk eindigen, met de goede voet!

Je zoekt bij dit ritmische tellen naar passende bewegingsvormen, waarin nog iets van kwaliteit van de getallen beleefbaar is. Maar je zorgt er ook voor dat de beweging exact is, zodat het kind greep krijgt op de krachten die je met het bewegen wilt vrijmaken. Al weet je dat dit proces in de eerste klas nog grotendeels ‘dromend’ verloopt, binnen het met de natuurlijke beweging en de spraak verbonden ritmische bewustzijn.
Dat geldt ook nog bij het aanleggen van de tafelrij zelf: 3, 6, 9, … die uit de telrij voortkomt wanneer de overige getallen, eerst alleen in gedachten en vervolgens helemaal niet meer, gezegd worden. De tafelrij nu hardop zeggen, ook in omgekeerde volgorde en met een sprongetje erbij, brengt het wakkere bewustzijn al iets nader. Voor dit bewustzijn geldt: Je beheerst iets pas echt wanneer je het ‘heen en terug’ kunt doen. Omstreeks de tweede klas oefenen we de
tafelproductrij. Dat is een rij waarbij ook het aantal ‘keren’ genoemd wordt. Dat is al veel abstracter. Het is de x-tafel in zijn traditionele vorm: 3 = 1 x 3 en 1 x 3 = 3 enzovoort. De bewegingen die daarbij als steun dienen, hebben vaak het volgende karakter:

3                  klap
=                  armen in = houding
1                   handen op de schouders
x                   onderarmen kruisen
3                   klap
95

Toch draagt al dit klappen, stampen, lopen en springen het gevaar in zich, dat niet meer bereikt wordt dan een begriploos kennen van een liedje.
In de volgende (tweede) fase gaat het juist om het bewustmaken van dat, wat door middel van het bewegen beleefd kan worden. Dat kan op verschillende manieren. Bijvoorbeeld door in de beweging deze te doorbreken.

“Kinderen, we springen nu met de ‘rij van drie’ over de beek, van de ene steen op de andere Toen we voorbij 18 waren riep ik ineens: “Stil, een vis. Nu vier heel voorzichtige passen tot de overkant, anders zwemt hij weg. Ik wil ook niets horen. Pas als we daar met de vierde pas aankomen spreken we luid verder. Ik ben benieuwd wie dan het juiste getal nog weet.” En toen gingen we, in vier grote passen. Daar klonk ook al luid en duidelijk: 30!
Niet alleen in de onderbreking van de beweging, ook in allerlei toepassingen kan aan het gewone bewustzijn geappelleerd worden.
“Merian, Gerben, Indra en Elja, steken jullie eens ieder één hand in de lucht.”… “Wie nu weet hoeveel vingers er in de lucht gestoken zijn, gaat staan! Corrie, jij mag het zeggen. (… 20 …). En jij Peter wat dacht jij? (… 20 …). En jij …? Goed zo, want 4 keer 5 is 20. Nu nog eens allemaal zodat we het niet vergeten: 4 keer …”
Zo, in het vlugge staan had ik meteen gezien wie dit nu door hadden.

In de hierop volgende (derde) fase gaat het om te beschouwen wat bewustgemaakt is. Vermenigvuldigen wordt nader verkend in concrete situaties. Er wordt bijvoorbeeld kat en muis gespeeld. Er worden daarbij ook vermenigvuldigstructuren afgelezen aan de realiteit en op meer schematisch niveau onderzocht.

Ik liet mijn kinderen in de derde klas hun eigen tafelnetwerken maken als eigen producties. Soms deden ze dat in kleine groepjes.
“6 x 7. Wie weet dat ? … Het zit maar één stap van 5 x 7. Dat is de helft van ? …(10 x 7), dus van …(70), dat is …(35). Nu vind ik 6 x 7 door 35 + …(7) dus …(42).” Samen stelden we het netwerk op …

Een uitvoerig tafelnetwerk kwam er dan bijvoorbeeld zo uit te zien:

96

De kinderen leren ook welke situaties aanleiding geven tot vermenigvuldigen.

De bewustmaking vindt natuurlijk ook plaats in het schriftelijk werk. Een individuele leerling kan niet iets doen als hij niet weet wat er gebeuren moet. Dat kan in een groep wel, als een ander van de groep het weet.
Bij dit alles wordt tafelkennis opgebouwd. De toepassingssituaties worden in het hoofdrekenen niet weggelaten en vermenigvuldigstructuren kunnen een modelfunctie krijgen. Ook nieuwe tafel(product)rijen worden, vaak op basis van oude tafelrijen, geleerd.
Er worden al verschillende tafelproducten in de loop van de tweede klas 
gememoriseerd.

De nu volgende (vierde) fase is te karakteriseren als: Memoriseren en automatiseren van hetgeen bewust gemaakt is. Nu gaat het om gericht oefenen. Er mag bij het memoriseren van tafelproducten ook gerekend worden; daarbij valt te denken aan het voorbeeld dat hiervoor met 6 x 7 is getoond. Er wordt nu gericht geoefend, met bewustzijn voor wat nog niet gekend wordt. Daarbij kunnen leerlingen elkaar ook individueel helpen; samen moeten ze het door oefenen zover brengen. Daarmee wordt het rekenen ook een sociale aangelegenheid.

Ik werkte nu met tennisballen; bij het vangen is daar meer bewustzijn voor nodig dan met pittenzakjes. Ik gaf een rekenopdracht, wachtte even en wierp vervolgens de bal naar een van de leerlingen, die hem direct, onder het uitspreken van het juiste antwoord, terug moest gooien. Daarbij lette ik erop mijn vragen zo te stellen dat de betreffende leerling het juiste antwoord ook geven kon. Als je zoiets niet al weet uit je kennis over die leerling, kun je het vaak aflezen aan de oogopslag.
Door dat zo te doen voorkom je dat de andere leerlingen zich bij dit ‘zakjes- of balrekenen’ verkeerde (maar gehoorde) antwoorden inprenten. Door de handeling van het terugwerpen samen te laten gaan met het uitspreken van het antwoord, wordt het automatiseren ai subtiel voorbereid. Ik stelde daarbij mijn vragen vaak zo, dat er impliciet rekenstrategieën aan ten grondslag lagen (zie blz. 66).
Ik werkte ook met de ‘Keersom van de week’. Dat is een lastige tafelsom, bijvoorbeeld 56 = 7 x 8, die al voor het begin van de les groot en mooi op een van de borden stond. Nadat we het bewegende deel van de les afgesloten hadden en de som door het inmiddels opengeklapte bord al lang niet meer zichtbaar was, vroeg ik: “Wie heeft gezien welke som hier opgeschreven was? … Het is een lastige som uit de tafel van 8 … En ook een lastige uit de tafel van 7… Wat kan het zijn?” Hadden ze hem gevonden, of wist iemand het nog, dan werd het bord teruggedraaid.
97

Er werd vervolgens, met enige bombarie, een (deel van) tafelnetwerk toegevoegd. Het bord bleef nog een tijdje open staan, zodat iedereen er goed naar kon kijken. Aan het eind van de les spraken we er nog een keer over. De volgende morgen stond het er nog steeds. Weer praatten we erover en plechtig veegde ik de som uit. “Ik ben benieuwd wie straks nog weet wat daar stond!” Later worden de plekken van de verschillende keersommen van de week nog eens aangewezen. ”Wie weet wat er hier achter op het bord staat?… En hier?… En in deze hoek hadden we hem uitgeveegd, wat stond daar?… En op deze plaats?… Met welke som waren we begonnen?…” Tenslotte klapte ik het bord weer open en we verheugden ons over de goed gegeven antwoorden. Zo’n ceremonie werd dagelijks opgevoerd. Hoe specialer ik het wist te maken, des te beter zoiets bleef hangen. Na elke dag stond er minder op het bord. Na een paar dagen stond er zelfs helemaal niets meer. Toch werd de ceremonie nog gehouden. “Wie weet wat hier stond?… En daar?”
Ik deed dit in de derde klas om het geheugen aan te spreken.

Memoriseren onderscheidt zich van automatiseren, waar het uiteindelijk om gaat, doordat bij memoriseren nog gerekend kan worden, terwijl het bij automatiseren, naast het inprenten van feiten, vooral gaat om greep te krijgen op wat reeds in het ritmische geheugen verankerd is. Daaraan draagt het leren van de tafels bij door de vorming van het tijdsgeheugen. Het kind zal tenslotte vrij kunnen beschikken over een relatienetwerk van rekenfeiten. Het kan dit naar eigen willekeur ‘oproepen’ en bij rekenproblemen praktisch, in gedachten handelend, gebruiken. Daarmee openbaart zich dan de wil in het denken. Deze ontwikkeling is nodig. Het kind zal later beter in staat zijn bewust (vanuit zijn Ik) richting te geven aan zijn voorstellingen en handelingen. Je leert het als het ware uit te groeien boven gevoelens van sympathie en antipathie, die vooral vanuit de ziel associërend het voorstellingsleven sturen.

Op het bord had ik drie keer, kris kras door elkaar, de getallen uit de tafelrij van 6 opgeschreven. Welke groep, die bij het raam, die aan de deurkant of die uit de middelste rij, zou als eerste in de goede volgorde zijn tafel op het bord uitgeveegd hebben? Je mag pas naar voren komen als degene voor jou het juiste getal gewist heeft.
Steiner geeft deze oefening speciaal voor flegmatici. Een cholericus wordt in de volgende oefening aangesproken:
De klas was in een rij opgesteld. Kay stond er met zijn korte gedrongen gestalte voor. De leerlingen waren bezig een tafelproductrij te zeggen. Steeds als een tafelgetal klonk deed de klas een stap vooruit en Kay twee stappen achteruit. Maar na elk tafelproduct noemde Kay een verkeerd getal als afleider van het volgende product en deed daarbij zelf een stap vooruit. De anderen moesten nu eerst dit getal herhalen voor ze het volgende tafelproduct uitspraken. Maakte ook maar één kind een vergissing dan moest de hele klas een stap terug doen.

Ik werkte ook met flitskaarten. Dat zijn kaarten op briefkaartformaat, met aan de ene kant de opgave en aan de andere kant het antwoord. Ik stak zo’n kaart even in de lucht. Zo kort dat er niet gerekend kon worden. Daarna moest meteen het antwoord paraat zijn en opgeschreven worden.
98

Zwakke rekenaars gaf ik zo’n stapeltje kaarten op hun bank. Terwijl ik tijdens het schriftelijke werk in de klas rondliep, oefende ik met een van die kinderen even individueel. Nu eens begon ik met het antwoord, dan weer met de opgave. Ik zorgde ervoor dat het stapeltje dun was en haalde de kaarten weg zodra het kind de antwoorden kende. Zo merkte het dat oefenen resultaat oplevert.

Ten slotte is er de (vijfde) fase van consolideren en beschikbaar houden. Rekenen is een vak dat middels het bewegingsorganisme van de mens gewekt en ontwikkeld wordt. Evenals voor het bewegingssysteem van de mens geldt: ‘wat niet geoefend wordt, gaat weer verloren’. Daarom duurt deze fase tot het eind van de schooltijd. De vastgelegde kennis moet onderhouden (ook de bronnen van inzicht, die van de tafelkennis een infrastructuur maken, mogen niet opdrogen!) en regelmatig aangesproken worden. Dit laatste vooral ook in toepassingssituaties, die van rekenkundige en ook van realistische aard kunnen zijn.

Het is duidelijk dat voornoemde vijf fasen wel te onderscheiden zijn, maar tijdens het onderwijs niet gescheiden worden. Het komt zelfs veelvuldig voor dat tijdens eenzelfde lesonderdeel de ene leerling zich in een andere fase bevindt dan zijn buurman of buurvrouw.

Het is belangrijk dat we ons realiseren welke mogelijkheden we hebben om de kinderen met de tafels in aanraking te brengen.
We lopen daarom het tafelrekenen nog eens na zoals het zich in de verschillende klassen manifesteert.

De praktijk in de eerste klas

Het rekenen in de eerste klas staat nog in het teken van het beleven van de ‘kwaliteiten’ van getallen, structuren en reeksen. Daarbij komen natuurlijk ook aspecten van het tafelrekenen aan de orde, omdat deze nu eenmaal binnen dit geheel hun plaats hebben. Ze worden echter nog niet als een afzonderlijk onderdeel van het rekenen behandeld. Nog neemt het structureren, het leren kennen van reeksen (waaronder tafelrijen) en het rekenen tot 20 (24), de belangrijkste plaats in.

HET BELEVEN VAN DE TAFELS (RIJEN)

Lopen van ritmes

Het accentueren van twee- en drieritmes in de getallenrij behoort tot de ‘grondoefeningen’ in de eerste klas. Toch is het eigenlijk niet zo vanzelfsprekend voor kinderen om een getallenrij te lopen in het ritme 1 2 3 4 5 6 … Men moet dit klappen of lopen op een ritme eerst voorbereiden. Laat de kinderen eerst lopen in het herhaalde ritme van 1 2 1 2 1 2… en 1 2 3 1 2 3 1 2 3… alvorens je de hele rij gaat lopen. Al eerder, ook buiten het rekenen, kunnen de kinderen een ritme oefenen door lopen of klappen. Daartoe zijn gedichtjes en versjes in een vast ritme zeer geschikt. In de eerste rekenperiode kan men dus vruchten plukken van de ritmische oefeningen uit de (meestal) voorafgaande taalperiode.
99

Hoe geef je het lopen van een ritme zo vorm dat de kinderen het bewegen niet beleven als versiering, en ze zich erbij betrokken voelen?
Allereerst door uit te gaan van een beeld, zoals dat bijvoorbeeld beschreven is in hoofdstuk 2 over het rekenen in de eerste klas. Een boertje loopt op een slof en een klomp 1 2 1 2 1 2 … en later gaat hij lopen 1 2 3 4 5 6

Het lopen van karakteristieke vormen

Bij het bewegen op de getallenrij is het van belang dat de oefeningen ook ruimtelijk worden uitgevoerd. Daarmee ondersteun je de ervaring dat de getallenrij een voortgaande reeks is. Het handigste is wanneer er een zaal ter beschikking staat. De rijen kun je heen en terug lopen. Dat hoeft niet altijd achterwaarts te gebeuren; wanneer de kinderen in een rij lopen, is het veel praktischer om ze ook terug gewoon vooruit te laten lopen; dat voorkomt veel onrust en gebots. Wanneer een oefening zo gedaan wordt dat de kinderen vrije ruimte achter zich hebben zoals bij oefeningen in een kring, waarbij naar het middelpunt toe bewogen wordt, of bij het lopen in een frontale rij, is het voor- en achteruit lopen juist wél zinnig. Het werkt namelijk incarnerend.

Nu enkele voorbeelden van zulke ruimtelijke vormen:

Met de 1-2-rij: de kinderen staan in de kring en zijn om en om kabouter en elf. De kabouters blijven eerst staan en tellen, de elven lopen daarbij in twee stappen in een boogje naar voren om een elfje heen. Terugtellend bewegen de kabouters en tellen de elfen.

Met de 1-2-3-rij:de kinderen gaan in de vorm van driehoeken staan (ook de kring-vorm is mogelijk) en zijn genummerd 1, 2 en 3. Nu loopt -al tellend- 1 naar 2, 2 naar 3 en 3 naar de lege plaats.
Deze vorm is ook te doen in één beweging, waarbij alle kinderen tegelijk gaan
lopen.
Zo zijn er voor andere rijen ook legio vormen te bedenken. Maar pas op voor al te gekunstelde opdrachten bij de bewegingsvormen. Even bij de leerkracht euritmie te rade gaan, kan heel zinvol zijn, vooral als in de euritmieles de vormprincipes al voorbereid kunnen worden.
100

TELACTIVITEITEN 

Pittenzakjes 

Met pittenzakjes op het 1-2-ritme, het zakje van de ene in de andere hand pakken.
Ook door het zakje van de ene in de andere hand te laten vallen, of het overpakken voor en achter het lichaam te doen.
Met het 1-2-3-ritme het zakje voor het lichaam op 1 en 2 van de ene hand in de andere doorgeven en op 3 achter doorgeven. Zo ook vormen met 4 en 5.

Tennisballen

Tellen met een tennisbal door hem, individueel of in tweetallen, op de grond te stuiteren.

Klautervormen

(vanaf de drie-rij) bijvoorbeeld:

• 1: één been op de stoel
• 2: twee benen op de stoel
• 3: sprong op de grond.

Tellen met sprongen

Zoals onder andere gebeurt bij het tellen van kralen aan een ketting. Als het patroon daartoe aanleiding geeft, helpt deze handeling het één voor één tellen los te laten. Vooral als de ketting klaar is -met knoopjes aan de uiteinden- en de kinderen de hoeveelheden schuivend kunnen tellen.
Er zijn verschillende mogelijkheden: Het rijgen van slingers met echte kralen, bijvoorbeeld om en om drie rode en drie gele. Het rijgen van gelegenheidskettingen met bijvoorbeeld rozijnen en stukjes gedroogde appel enzovoort, bij feesten als Palmpasen. Het ‘rijgen’ zonder draad: de kinderen leggen bijvoorbeeld om en om vier witte bonen en vier bruine bonen neer. In deze losse vorm moeten de kinderen nog bewuster de aparte groepjes verschuiven; het tendeert naar grote hoeveelheden tellen via groepjes.

OP WEG NAAR BEWUSTMAKING VAN DE ERVARING

Allereerst is het belangrijk dat, waar mogelijk, de bewegingsvormen ook hun neerslag op papier krijgen. Uiteraard is daarbij de volgorde: eerst doen, dan pas tekenen. Een bewegingsactiviteit wordt eerst enkele dagen gedaan, alvorens er wat op papier komt. Het gaat er dan om dat de kinderen op een of andere manier de beweging tekenen. Dat kan heel concreet doordat ze tekenen wat ze geteld of gedaan hebben. Het wordt wat schematischer als bijvoorbeeld de getallen langs een getekende ketting, een snoer of een weg worden gezet.
Door op die manier verbanden tussen verschillende lesonderdelen te leggen, leren de kinderen de bewegingsoefeningen ook als betekenisvol ervaren. Voorbeelden:

Het representeren (= tekenen) van ritmes langs de getallenlijn

Eerst, met name als de kinderen nog geen Arabische cijfers schrijven, meer door gewoon te tekenen wat ervaren is, dan door de cijfers erbij te zetten.
101

102

Kralensnoer 

Het representeren van kralenrijgen (tekenen, na ze eerst gelegd of geregen te hebben, later ook zonder concrete vooroefening) in het schrift.
De opdracht zou kunnen zijn: Teken een ketting met telkens rood, wit, groen, geel. Schrijf steeds onder de volgende rode kraal hoeveel kralen je tot dan toe geregen hebt. Of: Teken een kralenketting van telkens zes gelijke kralen en gebruik 48 kralen.
Bij alles wat de kinderen zo in kaart brengen, is het van belang dat de regelmaat ook verwoord wordt, bijvoorbeeld: “Aan mijn ketting zitten 3-6-9-12-15-18 kralen”. Daarbij zijn de kinderen zich al tekenend steeds bewust van: “Wat ik nu teken, hebben we ook gedaan.”

Hier past weer een opmerking over de getallenlijn, die een schematisch beeld geeft van de getallenrij. Het is als het ware een representatie van de getallen, geordend naar grootte. Daarmee wordt het mogelijk ook bepaalde ritmes te representeren, omdat ritmes gebaseerd zijn op regelmatige patronen in de rij.
In de loop van de eerste klas kan de getallenlijn (tot 10, 20 en later tot 100) heel goed geïntroduceerd worden als tekening, van wat in de beweging gedaan is.

Zo’n getallenlijn kan een tijdlang achterin de klas als waslijn aanwezig zijn. De getallen zijn op A-4’tjes getekend en die zijn met wasknijpers opgehangen. Kinderen mogen hun mooiste getal ophangen. Als je dat mag doen, heb je je getal natuurlijk erg mooi ‘getekend’. Zoiets kun je leuk doen wanneer je van de Romeinse cijfers overstapt op de Arabische. Daarmee wordt de getallenlijn een vertrouwd gegeven, waarvan ook gebruik kan worden gemaakt bij het optellen en aftrekken (zie blz. 55).

Tot nu toe hebben we de kinderen telrijstructuren laten beleven, door ze expliciet aan te bieden: loop eens zo, teken eens zus, enzovoort. Nu gaan we de kinderen actiever betrekken bij het waarnemen en hen leren om zelf structuur aan te brengen.

“Kinderen, teken op je papier eens de blaadjes die van een boom dwarrelen. Ga maar door, tot ik ‘stop’ zeg.” De kinderen tekenen. Als ieder kind er tenminste een dertigtal heeft, moeten ze ophouden. “Kinderen, weet je wat je nu hebt? De foto die de boswachter maakte in het bos. Maar in plaats van bomen ziet hij alleen maar blaadjes. En hij denkt, hoeveel zouden dat er zijn? Hij pakt zijn potloodje en neemt er telkens …?” Enkele kinderen roepen getallen. “Voor deze keer nemen we: ‘zes bij elkaar’; en let op, als je ze bij elkaar zoekt, moet je de groepjes mooi laten aansluiten, …” Dan ontstaat de tekening, die door een van de kinderen ook als voorbeeld op het bord gemaakt mag worden.
103

“Nu tellen we hoeveel je er hebt. Tel je groepjes maar.” Al tellend vinden de kinderen hoeveel groepjes van zes ze hebben en klassikaal wordt geteld: 6, 12, 18, 24, …Kinderen onthoud welk getal bij jouw tekening hoort!’

Kastanjes

De zelf gevonden kastanjes of eikels geven mogelijkheden om te werken met gehelen (gestructureerde aantallen) en delen daarvan: “Leg eens tien eikels in twee gelijke groepen:”

Bedenk dat zo’n opdracht anders wordt, als er een bepaalde zin aan wordt gegeven. Dus je ordent de eikels niet alleen omdat de leraar dat zegt, maar bijvoorbeeld ook omdat je dan handig kunt tellen. “Leg die eikels zo neer, dat je buurman in één oogopslag kan zeggen hoeveel het er zijn”, luidt dan de opdracht.
Het inbouwen van een conflictje leidt tot een reflectief moment, omdat de kinderen dan even stilstaan bij het nieuwe probleem. Bijvoorbeeld: “Leg die tien eikels in drie gelijke groepen.”

De klas ombouwen

Het verdelen van kinderen, bijvoorbeeld over een aantal groepjes, hoeft niet op een werkblad uitgetekend te worden. Af en toe zijn er prima gelegenheden om dat eens te oefenen, als bijvoorbeeld de klas moet worden omgebouwd voor een feest. “Kinderen kom met je stoeltje voor de klas staan.” Dan worden de tafels in feestopstelling gezet. Een kind mag nu de kinderen met stoeltjes over de tafels verdelen. “Aan elke tafel drie kinderen.”
De volgende dag kun je tekenen, wat er de dag tevoren verdeeld is. In plaats van stoelen, kun je wellicht beter kinderen laten tekenen, want dat spreekt natuurlijk veel meer aan.
104

Zonnepitten in pootpotjes

Geef de kinderen een vel waarop 6 x 8 hokjes getekend staan (of laat ze het zelf tekenen). Eventueel op het bord uit te voeren. Nu krijgt ieder kind 34 boontjes. “Een bloemist stopt zonnebloempitten in een broeikasje, waarin 48 (6 x 8) pootpotjes zitten. Jouw boontjes zijn de zonnepitten. Ga maar verdelen, maar wel aaneengesloten leggen.” Vragen:
• “Hoeveel boontjes heb je uitgelegd?”
• “Hoeveel moet je er nog bijhalen om het broeikasje vol te maken?”
• “Hoe is jouw ‘telsom’?”

Tellen van grote hoeveelheden

Je geeft de kinderen een flinke, willekeurige hoeveelheid boontjes en laat ze die bijvoorbeeld makkelijk tellen in tweetallen of drietallen, door ze in groepjes te verplaatsen.
De gevonden verdeling natekenen in het schrift, en wie dat kan mag (op een later moment in de eerste klas) er ‘telsommen’ bij schrijven, bijvoorbeeld: 40 = 10 x 4 of 40 = 20 x 2 of 40 = 4 x 10 of iets dergelijks.

Hopelijk heeft iedereen tot nu toe voldoende inspiratie en inzicht gekregen bij het kennisnemen van de bovenstaande voorstellen en voorbeelden. Hier volgt nog een drietal opmerkingen:

Eigen producties van kinderen

“Bedenk zelf zulke sommetjes en teken ze” nodigt uit tot denkwerk en een reflectie op het eigen leerproces. De eigen bedenksels kunnen op tekenvellen gemaakt worden. Daarna houden we een ‘tentoonstelling’. De klas mag nu zeggen welk sommetje bij welke tekening hoort. Zulke vormen van ‘hoofdrekenen’ maakt het oefenen met gekopieerde werkbladen overbodig.

Differentiatie

De niveaus van de kinderen kunnen al direct behoorlijk uit elkaar liggen. Kinderen komen met verschillende bagage de eerste klas binnen, daarnaast pakken sommigen nu eenmaal de dingen sneller op dan anderen. Wordt het rekenen in de eerste klas alleen klassikaal en frontaal gegeven, dan gaan de vlugge leerlingen zich snel vervelen. Hun inzicht wordt mondjesmaat gehonoreerd, steeds moeten ze weer terug naar het niveau dat ze al overstegen zijn.
Bij eigen producties kun je de snelle leerlingen ook iets moeilijkers te doen geven: laat ze eerst de klassikale opgave maken en zeg dan bijvoorbeeld: “Je hebt in jouw tekening nu 24 bloemen in bosjes van 4 verdeeld, kun je het nu ook met 28 bloemen? Kun je dat ook als een ‘sommetje’ opschrijven?” Voor kinderen, die de structuren in één keer overzien, kan het ontmoedigend zijn, steeds weer bloemetjes te moeten tekenen. Zij tekenen bijvoorbeeld liever:

105

Zwakke leerlingen zijn ermee gebaat, zolang het nodig is, het verdelen met boontjes of ander concreet telmateriaal uit te voeren. Stimuleer ze dit ‘makkelijke tellen’ in twee- of drietallen te oefenen. Het rekenen op de vingers helpt hen niet, integendeel zij zullen er aan blijven vastzitten en niet tot hogere niveaus van rekenen doorgroeien.

Het principe van vermenigvuldigen

In de inleiding werden Rudolf Steiners woorden geparafraseerd. Hij formuleerde het zo: ‘Maakt u de kinderen zo snel mogelijk bekend met het principe van het vermenigvuldigen en oefen dan de tafels met ze.” In dit leerplan wordt veel tijd geclaimd voor het bekend maken met de principes van het vermenigvuldigen. Dit is gedaan omdat in de praktijk gebleken is dat de sprong naar het vermenigvuldigen voor veel kinderen erg abstract kan uitvallen. Het ‘bekend maken met het vermenigvuldigen’ houdt namelijk niet in, dat de kinderen een definitie te horen krijgen, maar dat ze de principes al doende en reflecterend ervaren. Dat zou zo moeten gebeuren, dat ze het vermenigvuldigen niet als een extra moeilijkheid ervaren, maar juist als een vereenvoudiging.

De praktijk in de tweede klas

De tweede klas wordt wel de tafelklas genoemd. Alle tafels komen hier aan bod, hoewel dat niet wil zeggen dat alle leerlingen die ook aan het eind van de tweede klas uit het hoofd moeten kennen. Gestreefd wordt naar zoveel mogelijk parate kennis op dit gebied, verworven bij het oefenen van de tafelrijen vanuit de beweging en opgedaan tijdens het reconstrueren van tafelproducten op basis van ankerpunten (bekende tafels) en rekenstrategieën. De eerstgenoemde kennis is opgeslagen in de vorm van rijtjes (gehele tafels), in het tweede geval moet meer gedacht worden aan netwerken van producten uit verschillende tafels.
De tafelkennis zelf, de wijze waarop die tot stand komt, de manier om het te onthouden en de aanpak om het kennisbezit uit te breiden, verschillen in beide gevallen. In de tweede klas kunnen beide kanten van het tafelwerk als aanvullend beschouwd worden. Elke leraar moet aanvoelen waarop in een bepaalde periode het accent moet worden gelegd. Maatgevend is wat de kinderen laten zien, richtinggevend de derde klas, waar de tafelkennis als netwerk beschikbaar is.

Tot hoever ga je met de tafels?

In de tweede klas worden de tafels gememoriseerd, dat wil zeggen dat de kinderen de vermenigvuldigingen tot 100 (of 144) uit het hoofd leren. Wat is het nu, tot 100 of tot 144? Tot tien keer, of tot twaalf keer? Wat wordt het grondgetal, 10 of 12?
Er is veel over het twaalfritme te zeggen. Enerzijds sluit het immers aan bij het kosmische aspect in de (astrale) constitutie van het kind. De oude Babyloniërs beleefden nog de verbinding tussen de meer geestelijke (Ik-astrale) en de meer aardse (fysiek-etherische) kant van de mens. Zij brachten dit ‘half-bovenfysieke’ aspect van de getallenwereld tot uitdrukking in een sexagesimaal stelsel waarin geteld werd op basis van de getallen 6 en 10. Van deze verbinding tussen het geestelijke en het aardse vinden we nog een flauwe afspiegeling terug in de tijdrekening van 12 maanden in een jaar, twee maal twaalf uren in een dag en 60 ofwel 12 x 5 minuten in een uur. Een jaar van 360 dagen en nog vijf aardse
106

(feest)dagen, kennen wij al lang niet meer. Die kosmische beleving in een twaalfritme staat nog dicht bij de kinderen.
Daarnaast is er echter de nuchtere realiteit van de 10, uitgedrukt in de tien vingers van de handen, waarop het tientallig stelsel gebaseerd is. Het tientallig systeem is daarmee veel ‘aardser’ dan dat van de ‘twaalfheid’. Waar kies je nu voor? Wil je al dat de kinderen zo ‘aards’ worden, dat ze zich nu in deze wereld terecht kunnen vinden? Dan kun je niet aan de ‘aardse’ tienheid voorbij gaan. Aan de andere kant, leidt het oefenen van de tafels tot 10 keer ertoe, dat de kinderen denken dat ‘een tafel’ hetzelfde is als een rijtje getallen met tien vermenigvuldigingen, terwijl de tafel in feite een oneindige rij vormt. Juist het doorgaan tot 12 keer, doorbreekt die gedachte. Een goede oplossing zou kunnen zijn dat we de tafels wél tot 12 keer oefenen, maar tijdens het memoriseren tot tien keer een apart accent geven. Daarmee bieden we de kinderen een ‘steunpunt’ dat in het rekenen nu eenmaal van onmisbaar belang is.
Voor het twee- en drieritme in de telrij en de tafelrij kan het praktisch zijn deze aanvankelijk ook eens veel verder dan twaalf keer te doen. Het ligt dan al een beetje in het gehoor wanneer je een ‘hogere’ tafel uit zo’n rij tevoorschijn wilt laten komen.
Er is nog een praktisch argument om de tafels tot 12 keer te oefenen. Bij het rekenen tot 20 (24) is 12 een getal dat op veel meer verschillende manieren te structureren is dan 10. Klinkt ’12 keer’ bekend, dan zullen kinderen ook vaker naar deze mogelijkheid grijpen.

Maar automatiseren, dat doe je vooral wanneer je rekent tot tien keer.

Het ervaren van de tafels vanuit de beweging

De tafelproductrijen kunnen in de tweede klas in ruimtelijke vormen geoefend worden. In de eerste klas is daar al een voorzichtig begin mee gemaakt. De nieuwe vormen voegen aan het ritmische element een inzichtelijk en een concentratie-moment toe: weet wat je doen moet.
Bijvoorbeeld bij de tafel van 5 ligt het voor de hand om uit te gaan van de vijfster.

Eerst staan we in een kring. “Kinderen doe maar mee”. We beginnen te tellen. Op de tafel van 5 geef ik daarbij een klap. Sommige kinderen die dat doorkrijgen, gaan dat mee doen. “Wie is er bij het klappen nog meer iets opgevallen? … Kinderen nu gaan we dat lopen, maar bij de getallen uit de tafel van 5 geven we dus een klap (later: blijven we staan).” De volgende dag: “Wie weet nog wat we gisteren deden met de tafel van 5?” … We lopen het nog een keer in de kring. “Kinderen we gaan het nu anders doen. Mariska terwijl wij tellen, loop jij in vijf passen naar Michiel … Goed zo. Nu loopt Michiel in de volgende vijf tellen naar Anja … (enzovoort)”. Er ontstaat zo binnen de kring een gelopen vijfster. “Wie heeft er gezien welke vorm er nu gelopen is?” … Ik laat de vijf kinderen een stap naar binnen doen en met hun armen de richting aangeven waarin gelopen is. Daarna doen we dat nog eens met een andere groep. De dag daarop, nadat we ons eerst de voorgaande dag herinnerd hebben en het lopen nog eens herhalen, mogen vijf kinderen de vorm tijdens ons tellen gezamenlijk lopen. In het midden heerst even verwarring, daarna verbazing dat het kan zonder elkaar daarbij aan te (hoeven) raken. Ik vormde vervolgens verschillende groepjes van vijf kinderen.
107

Bij elke weg die de kinderen lopen, zeggen ze een product uit de tafel van 5.

Een oefening van geheel andere aard is de volgende:
Zet de kinderen in twee rijen tegenover elkaar. Met de tekst van de tafel lopen de kinderen op elkaar toe, haken de armen in, draaien (naar believen een halve of een hele draai) om elkaar heen en gaan weer in de rij staan.

Is het niet voldoende de tafels alleen in de ‘traditionele’ vorm: 3×6= 18 te oefenen? Wat kan de zin ervan zijn om gelijktijdig ook te werken met: 18 = 3×6?
Vanuit het memoriseren gezien betekent het namelijk even zoveel rekenfeiten die gekend moeten worden; de helft daarvan vormt voor de zwakke rekenaar al een hele opgave. Dat de laatste vorm meer aansluit bij het ‘analyserend uitgaan van het geheel’, kan hier nauwelijks een argument zijn. Er wordt hier immers ritmiserend en niet analyserend gewerkt.
Een argument pro zou kunnen zijn dat de laatste vorm aansluit bij het vermenigvuldigen, zoals dat bij de temperamenten aangegeven is: “12, hoeveel keer past daar een groepje van 3 in?”(zie blz. 52)
Er wordt zo bovendien een basis gelegd voor het delen. Bij hoofdrekenen (hoeveel is 18 : 6? en even later 186 : 6?) en nog meer bij schattend rekenen. “Schat hoe vaak 3 in 62 zit.” “Wel 20 keer, want 60 = 20 x 3.” Delen is zo een vorm van ‘op-vermenigvuldigen’.
108

Bewustmaking van de ervaring

Stilte oefening

Bovenstaande bewegingsoefeningen krijgen een extra bewustmakend accent als ze ‘stil’ gedaan worden. De opdracht kan bijvoorbeeld zijn:
• “Doe de vorm en zeg in jezelf de tafel mee; als ik mijn hand opsteek, spreek jehardop verder”,
• “Als ik (stop) roep, onthoud je waar we gebleven waren”,
• “Ik wil alleen de oneven tafelproducten horen”.
Zulke stille varianten van bewegingsvormen, vergroten de concentratie en ze helpen de kennis te verinnerlijken.

Er kan nu ook een verbinding gelegd worden tussen het leren van de tafelrijen en dat van de tafelnetwerken. Het werken met de eerder genoemde strategieën, zoals ‘één keer meer of minder’, ‘verdubbelen’ of ‘verwisselen’, verhoogt ook het bewustzijnsmoment in de beweging.

De ‘één keer meer of minder’ strategie, geoefend in een kring

In de kring wordt de tafel van bijvoorbeeld 6 gelopen. In het midden staat een kind dat roept: 1 x 6 = …, 2 x 6 = …, enzovoort. De kinderen maken met ieder antwoord telkens een stap in de looprichting van de kring. Bij een bepaald aantal keren zeg je:

• “Stop, waar ben je?”
• “Eén stap terug.”
• “Waar was je?”
• “Twee stappen vooruit.”
• “Waar ben je nu?”
Bij zulke bewegingsvormen wordt van het kind telkens even wakkerheid gevraagd.

Verdubbelen

De kinderen staan op een rij. Het eerste kind stapt naar voren en zegt: “één”, heft daarna beide handen en zegt “twee”. Handen weer omlaag.
Een volgend kind erbij, samen klinkt: “twee”, ze heffen beide de handen en zeggen: “vier”. Daarna volgen de combinaties: vier kinderen – acht armen, enzovoort.
Het spreekt voor zichzelf dat oefeningen die in de eerste klas gedaan zijn, ook hier opgenomen kunnen worden. Het bewustzijnsmoment zal geleidelijk steeds meer op de voorgrond treden, waarbij de collectiviteit binnen de grote(re) groep de minder zekere leerling nog steun kan bieden.

Bewustwording door schriftelijk werk

Alle voorgaande oefeningen kunnen weer aanleiding zijn voor even zovele tekeningen. Daarnaast is de tweede klas bij uitstek de klas om de schoonheid en het ritme van de tafels van vermenigvuldiging te leren kennen.
De vormen die in beweging geoefend werden, kunnen ook mooi getekend worden, zoals bijvoorbeeld bij de tafel van 4.
109

De kinderen wisten uit het bewegingsonderwijs al, dat ze drie vierkanten gelopen hadden. Die tekenen ze nu en zetten de getallen erbij. Daarna geven ze met bogen de ‘tafelstappen’ aan; eventueel schrijven ze de tafelsom in de vierkanten:

Geheimen van de tafels

Wanneer de tafels getekend en geschreven zijn, kan er ook gevraagd worden naar de ‘geheimen’ van een tafel. Zo eindigen (bijvoorbeeld) alle getallen uit de tafel van 5 op een 0 of op een 5.

Later bij het in kaart brengen van de persoonlijke tafelkennis in de 10 x 10 of 12 x 12 tabel, kunnen dergelijke onderzoekjes ook nog een nuttig effect hebben op die tafelkennis. Het ontdekken van een geheim kan ineens een uitbreiding van de kennis tot gevolg hebben. De verwisseleigenschap is het sterkste voorbeeld.

Oefeningen

• Tafels op het bord; wie de tafel al kent draait zich om en zegt de tafel op met de rug naar het bord. Soms zullen we kinderen die de tafels nog niet kennen, er op deze manier te veel ‘uitlichten’. Geef dan ieder kind een eigen hulpblaadje, waarop wat ze al kennen door henzelf is gekleurd. Aan zo’n blaadje kun je direct aflezen wat ze al weten.
• Ook kun je wat ze kennen als steunpunten laten staan en de moeilijke producten weg laten, om zo de steunpuntstrategie uit te lokken. Een voorbeeld:

1 x 3 = 3 (vanzelfsprekend)
2 x 3 = 6 (makkelijk)
3 x 3 = 9 (uit het liedje)
4 x 3 = 12 (verdubbelen uit 2×3)
5 x 3 = 15 (helft van 10 x 3)
6 x 3 = 18 (één keer meer)
7 x 3 = 21 (leren)
8 x 3 =  24 (dubbele van 4×3)
9 x 3 = 27 (eentje minder dan 10 x 3
10 x 3 = 30 (3 met een 0 erachter)

Zo voor een overzicht geplaatst, zijn kinderen bij het zien ervan vaak verbaasd wat ze al ‘weten’.
110

• Tafelnetwerken laten maken, individueel of in kleine groepjes. Geef de kinderen een groot vel papier en laat ze de volgende dag ermee verder gaan. Dan kunnen ze thuis ook nog het een en ander bedenken.
• Er kan met het ‘product van de week’ gewerkt worden.
• De kinderen kunnen een tafel helemaal uit het hoofd opzeggen. Ook daarbij kunnen variaties weer extra levendigheid brengen:
• Tafels voor- en achteruit opzeggen.
• Het tegelijkertijd opzeggen van 2 tafels.

Het tegelijkertijd opzeggen van meer dan één tafel vraagt van de kinderen een ik-bewustzijn, dat eigenlijk pas in de vierde klas aangesproken kan worden. Bovenstaande vorm kan gezien worden als een systeem van tafelsommetjes, waarbij het door elkaar gaan van de tafels nog niet zo’n rol speelt. Bij vormen waarbij bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3 een klap, en die van de tafel van 4 een stamp krijgen, moet je afwegen of dat niet teveel van de kinderen vraagt en of er niet beter tot in een hogere klas gewacht kan worden.

Toepassen van tafelkennis

• Hoofdrekenvragen met tafelelementen: “Op vakantie in Frankrijk koopt vader vier ijsjes van twee euro per stuk. Hoeveel euro kosten de ijsjes samen?”
• In de ‘omgekeerde vorm’: “Moeder koopt meloenen, ze heeft € 15,— bij zich. Een meloen kost € 3,—. Hoeveel kan ze er kopen?”
• Allerlei verbijzonderingen van vermenigvuldigstructuren; ramen in flatgebouwen, tegels in een terras, bloembolletjes in een bloembak, glazen in een doos, kransen van bladeren aan een stengel enzovoort. Deze situaties lenen zich goed, om ze snel op het bord te schetsen.
• Het maken van ‘keer’sommen in een geheel van opgaven met de vier hoofdbe-werkingen.
• Concretiseren van rekensituaties in bijvoorbeeld het uitdelen van dingen in de klas. Bijvoorbeeld: “Ieder drie blaadjes; hoeveel heb je er nodig in je rij?” “Elk kind zes zonnepitten; Hoeveel zijn er nodig per rij?”
Als je gespitst bent op zulke situaties, zijn er legio mogelijkheden om de tafels als vanzelfsprekend toe te passen.

De praktijk in de derde klas

Nu gaat het om individueel greep te krijgen op de tafelsommen. Er vindt een omslag plaats in het ritmisch bewegend rekenen. Niet langer wordt uitgegaan van de dominantie van de lichamelijkheid, zoals in de eerste zevenjaarsfase. Toen was het zo, dat de fysieke indrukken omgevormd werden tot vaardigheden als lopen, spreken en denken. Deze onbewuste manier van leren gaf het kind een vanzelfsprekende, naïeve, kennis. De kennis die we nu op school willen aanbrengen, kan daar echter niet op steunen. Het kind verwerft eerst kennis, waar niet vrij over beschikt kan worden. Voor de tafels houdt dat in, dat er steeds gebruik gemaakt moet worden van het ritmische element, waarin het kind zich deze tafelkennis eigen gemaakt heeft. Het moet dus de hele tafelrij opzeggen voor het dat ene produkt te pakken heeft. Daarom is er ook het werken met tafelnetwerken aan toegevoegd. Dit geeft de beschikking over flexibele tafelkennis, bestaande uit feiten en procedures. Deze zijn nu beide in te zetten bij hoofdrekenen en schattend rekenen boven 100, alsook in toepassingssituaties.
111

In de derde klas kan het werk van de tweede klas voortgezet worden. Het bewegende deel krijgt een andere invulling en het memoriseren en automatiseren van tafels wordt nu gericht geoefend. In de derde klas is het, naast het leren van nog niet geoefende tafels, de bedoeling dat het reconstrueren afneemt en het reproduceren en actualiseren de overhand krijgen. Reproduceren gewoon als putten uit het geheugen, zonder meer. Actualiseren in het geval van opgaven uit het dagelijkse leven, waarbij eerst de bewerking met bijbehorende getallen gevonden moet worden en daarna pas aan het reproduceren gedacht kan worden.
We besluiten dit deel over tafels met enige ideeën voor de praktijk.

De ‘tafelster’

De kinderen staan in een kring van tien kinderen. Bij de tafel van 6, begint het kind dat in de 0-positie staat; het loopt naar plaats 6 (positie 1). Het kind dat daar stond, loopt door naar plaats 12 (positie 2). Men kan de stappen laten nemen met alléén de getallen, maar ook met de tekst: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, enzovoort.


Een aardige manier om de vorm zichtbaar te maken is om een draad katoen mee te nemen, die tussen de kinderen gespannen wordt. Dat kan gebeuren door het ‘lopende’ kind, maar ook door een kind dat in het midden van de kring staat.

Met een afleider

Vormen waarbij het bewustzijn middels een afleider actief wordt aangesproken. De kinderen staan bij elkaar en zeggen gezamenlijk een tafelrij op. Eén kind staat er voor en mag de groep in de war brengen (zie Terzijde Rekenspelen).

Het tafelfront

Wanneer de kinderen de tafels al redelijk kennen, kan het ‘tafelfront’ gelopen worden; een vorm die het best op het schoolplein of in de gymzaal gedaan kan worden.
Hierbij staan er zoveel kinderen op een rij, als er tafels gebruikt worden. Gaan we bijvoorbeeld uit van de tafels van 1 tot 12, dan staan er twaalf kinderen naast elkaar. De andere kinderen zijn de tellers, ze tellen in een rustig tempo van 1 tot bijvoorbeeld 50. Het kind dat de tafel van 1 loopt, doet bij elk getal een stap, de
112

kinderen met de andere tafels doen dat alleen als er een getal van hun tafel gezegd wordt. Ze moeten dan echter zo’n sprong of spurt nemen, dat ze op de positie van het front aankomen, die aangegeven wordt door het kind dat de tafel van 1 loopt.
Een variant: aan beide kanten van het tafelfront staat een kind. Ze spannen een touw tussen zich, dat het tafelfront zichtbaar maakt en doen bij elk getal een stap naar voren.
De getallenrij kan ook achterwaarts gezegd worden, dan beginnen bijvoorbeeld alle kinderen vanuit de positie 100 (Laat ze niet achteruit lopen, ze zien dan niet hoe groot de sprong moet zijn).

Het herkennen van de tafelproducten

Dit is van belang om snel bewerkingen als vermenigvuldigen en delen te kunnen uitvoeren. Een vorm daarvoor is:
In de klas worden drie groepen aangewezen die bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3, 5 of 7 laten zien. Als de getallen van 1 tot en met… klinken, maken de kinderen, die één van de drie tafels toegewezen kregen, een gebaar als hun tafel-product genoemd wordt. Meestal wordt gekozen voor een klap of een stamp. Vaak geeft dat teveel hilariteit en is een stille beweging zinvoller; een knikje met het hoofd, even door de knieën buigen, of alleen met de vingers het aantal keren aangeven.
De oefeningen kunnen ook als stille ‘spookoefening’ gedaan worden, waarbij ze alleen de tafelproducten uitspreken, of helemaal in stilte werken. Ook is het mogelijk om af te wisselen tussen stilte en spreken, op een teken van de leraar.

Het mag duidelijk zijn dat het maken van een onderscheid tussen de beleving en de bewustmaking daarvan in een derde klas niet langer zinvol is, al hoeft dat niet voor alle kinderen te gelden.

Vormen waarbij meer individueel gewerkt wordt

Veel van hetgeen in de beweging gedaan is, laat zich ook tekenen; daarop hoeft hier niet niet meer ingegaan te worden.
Alleen de stervormen vragen nog om enige toelichting. Vormen die bijvoorbeeld met een draad katoen uitgebeeld werden, kunnen ook getekend worden of op een bordje met tien spijkers ‘geweven’ worden. Daarbij zijn de hogere tafels nog moeilijk voor de kinderen. Het gaat er nu om dat ze eerst in hun hoofd het
product vinden en de juiste positie in de cirkel niet eenvoudigweg via doortellen zoeken.
Je kunt ze nu laten ontdekken, dat iedere tafel een tegenhanger heeft: de tafels van 2 en 8, 3 en 7, enzovoort, vormen telkens een paar. In plaats van in de tiencirkel, kunnen de tafels ook in de twaalfcirkel getekend worden. Ook daar zijn weer paren in te ontdekken.

Tafelcirkels van Schulz

Hierbij is iedere cirkel een tafelrij en ontstaan op de stralen opnieuw de tafels . Mogelijkheden:

• Iedere dag een cirkel erbij laten tekenen door de kinderen.
• In het geheel van de cirkels nu nummers op de stralen zetten en de tafel van getal tot getal met een lijn volgen, zodat een bloemmotief ontstaat.
113

Het tafelvierkant

Een zelfde principe wordt gevolgd in het tafelvierkant, dat de kinderen allengs kunnen invullen. Dergelijke vierkanten kunnen in een 10 x 10-veld getekend worden, maar ook heel goed in een 12 x 12-veld.
Bijzonderheid is, dat op de diagonaal de kwadraten afgelezen kunnen worden.

Willemijn, die haar kennis van de tafels op een zeker moment zelf aldus zag:

Een ‘vraag op maat’ voor Willemijn was geweest: “Je weet wel wat 9 x 2, maar niet wat 2 x 9 is. Welke producten ken je nu nog meer?” Dat was dan een kwestie van bewustmaken (verwisselen, symmetrie en spiegelen) en invullen.
Maar ik vroeg: “Reken 8 x 6 uit. Kun je gebruik maken van wat je al weet?”
Wat was het mooi dat ze toen de verdubbelingsstrategie (uit)vond: (2), 4, 8, 16 en (3), 6, 12, 24 en (4), 8, 16, 32 en dan springend van kolom tot kolom: (6), 12, 24, 48. Zo’n ontdekking moest Willemijn toen wel aan de hele klas laten zien!
114

Met zulke ‘tafelkennisvierkanten’ als hierboven getekend, kunnen kinderen ook opgaven voor elkaar bedenken. Het gaat om ‘weten’ of ‘rekenen’. Je kunt het ook spelen met flitskaarten. Twee leerlingen krijgen een stapeltje van die kaarten, waarvan ze de antwoorden nog niet geautomatiseerd hebben, op de bank. De ene leerling zegt het antwoord (of de opgave) bij de kaart die boven ligt. Bij een goed gegeven antwoord mag hij de kaart houden. Is het antwoord fout of moet er ‘gerekend’ worden, dan wisselt de beurt.

De tafeltrainer

Veel kinderen zullen baat hebben bij een visueel steuntje. Een tafeltekening krijgt meerwaarde, als hij gebruikt wordt om er, bij het opzeggen, de tafelproducten aan af te lezen.
Een hulpmiddel, dat ook individueel kan worden ingezet, is de tafeltrainer, een ontwerp van F. Moerlands:

Links is de voorkant van de tafeltrainer. De dikke lijnen stellen elastiekjes voor die vanaf links boven, 6 x 7 hokjes afbakenen. Rechts is de achterkant, daar zie je hetzelfde patroon. Daar zijn alle hokjes ingevuld met de bijbehorende produkten. Op de achterkant staat dus bij het snijpunt van de elastiekjes het getal 42.
Bij het zelf maken van de tafeltrainer levert het invullen van de achterkant voor veel kinderen toch nog ‘verrassing’ op!

Context opgaven

Allerlei contexten, in verhaal- of tekenvorm, waarin herhaalde hoeveelheden voorkomen: tegelpatronen, kratjes met flessen, telkens vijf foto’s op een bladzijde van een fotoalbum, cd’s in een rekje, kopjes koffie uit koffiekannen, kinderen verdeeld over tafels of tenten enzovoort. Met telopdrachten in dergelijke situaties kan het gebruik van strategieën gestimuleerd worden.

Grote getallen

Ook producten van grotere getallen kunnen vanuit de tafelkennis via de kolom-methode of op een andere manier uitgerekend worden. Het verdient aanbeveling dit niet alleen aan de goede rekenaars over te laten, maar het specifiek te oefenen met de hele klas, al dan niet met gebruikmaking van de lege getallenlijn om bepaalde getallen even vast te houden:
115

Deze vormen zijn vooral goed, omdat de kinderen dan leren om meer dan één stap te onthouden. Nadrukkelijk zij er hier op gewezen, dat het nog niet gaat om cijferen.

Springen langs de lege getallenlijn

Ook sprongen die gemaakt worden langs de lege getallenlijn nodigen soms uit tot het inzetten van tafelkennis (zie blz. 90).

116

Cijferen

Niet eerder dan dat het hoofdrekenen tot 100 en de tafels tot 10 x min of meer zitten, wordt met het cijferen begonnen. Dit moment ligt meestal niet voor het einde van de derde klas. Het cijferen wordt aanvankelijk vooral in dienst gesteld van het automatiseren van de tafels. Dat wil zeggen dat opgaven zo gekozen worden dat de kinderen puur gebruik kunnen maken van beschikbare kennis. Zo wordt er bijvoorbeeld nog niet vermenigvuldigd of gedeeld door 13, want dat is geen tafelgetal.

De praktijk in de vierde klas en de hogere klassen

Het werken met de tafels is aan het eind van de derde klas helemaal ingebed in het hoofdrekenen tot 100 en verder (bijvoorbeeld de tafel van 600 en de ‘lastigere’ tafel van 60). Het ritmisch oefenen heeft zijn werk in de ontwikkeling van het ‘middengebied’ gedaan en ondersteunt nu het wakker en bewust werken met producten en vermenigvuldigingsstructuren.
Heel wat vormen die in hogere klassen gedaan worden, zijn uitwerkingen van de hiervoor besproken principes. We laten die uitbreidingen en variaties aan de vindingrijkheid van de leraar over.

3.3 Cijferen

Cijferen: wat leert de geschiedenis?

Het is met cijferen eigenlijk vreemd gesteld. Wie het optellen en aftrekken in kolommen en vermenigvuldigen ‘onder elkaar’ alsook de staartdeling op school gehad heeft, meent vaak dat hij standaardprocedures heeft geleerd, die van alle tijden zijn en nimmer aan verandering onderhevig waren. Leraren die er zo over denken trekken hieruit vaak de didactische consequentie dat ook het
cijferonderwijs volgens aloude principes dient te geschieden: stap voor stap, recht toe recht aan in de richting van de meest efficiënte rekenwijze. Wie evenwel de geschiedenis van de wiskunde bekijkt of zijn oor te luisteren legt bij kinderen en volwassenen die hun rekenwerk durven tonen, weet wel beter.

Eerst een paar voorbeelden uit de geschiedenis van de wiskunde.

Gaan we ver terug, tot in de tijd van de oude Egyptenaren, dan treffen we rekenwijzen die geen enkele overeenkomst vertonen met ons cijferen. Dat is niet zo moeilijk te begrijpen, want de schrijfwijze van de getallen was niet positioneel (zoals in ons tientallige stelsel, waarbij elk cijfer een plaatswaarde heeft), maar additief (zoals we nog kennen van de Romeinse cijfers, waarbij je alles bij elkaar moet optellen om tot het getal te komen). Eén principe van ons tientallige stelsel vindt men echter wel bij de Romeinse en Egyptische talstelsels: de bundeling van tientallen. Heel natuurlijk voor mensen met tien vingers!

117

Bij het rekenen speelde evenwel de tien geen grote rol. Men schreef tien ook niet als 10 (positioneel!) en kon niet, zoals wij bij het vermenigvuldigen, het voordeel van de 0 benutten (10 x 34 = 340). Het vermenigvuldigen in de oud-Egyptische rekenkunde gebeurde op basis van het verdubbelen (en het delen op basis van halveren). In sommige gevallen leidt het verdubbelen rechtstreeks en feilloos tot resultaat. Wij zouden het anno 2000 ook nog zo kunnen doen: 8 x 17? verdubbel 17, dat wordt 34. Nog een keer verdubbelen: 68, en nog een keer: 136. Maar in het geval van bijvoorbeeld 9 keer 17 moest je bij die 8 keer van zojuist er nog een keer 17 bij optellen. Welnu, die werkwijze had men tot standaardprocedure gemaakt. We spreken nu van de Egyptische vermenigvuldiging.
Bijvoorbeeld 11 x 17 (maar met andere symbolen voor elf en zeventien):

Vergelijk dit maar eens met ons cijferwerk ten behoeve van 11 x 17. (Eigenlijk zullen er weinigen zijn die dit product niet uit het hoofd berekenen: 170 + 17 = 187). Heel merkwaardig is het feit dat de Romeinse rekenaars gebruik maakten van een ‘abacus’. Dit was een soort schema van gleuven in het zand, waarin de aantallen (rekengetallen) door middel van kleine steentjes (calculi genaamd) werden aangegeven. Wat is nu zo merkwaardig? Het feit dat de abacus eigenlijk geheel positioneel was ingericht. Er was een gleuf voor de eenheden, een voor de tientallen, enzovoort. In sommige gevallen was er ook plaats voor vijftallen, vijftigtallen, enzovoort. Wie de Romeinse cijfers kent, begrijpt de achtergrond hiervan.

Optellen op zo’n abacus ging eigenlijk niet veel anders dan bij ons het optellen onder elkaar: tientallen bundelen en inwisselen. Alleen de additieve schrijfwijze verhinderde dat het met de getallen zelf kon gebeuren (‘driehonderd’ werd in het genoteerde getal drie ‘honderdjes’: CCC) en verhinderde ook dat het vermenigvuldigen onder elkaar kon worden uitgevonden. Want daarvoor heb je echt ons talstelsel met de plaatswaarden nodig. En je hebt ook het getal nul nodig, dat later door Indische wiskundigen werd uitgevonden.
118

Het ‘geworstel’ met de Romeinse cijfers (waarmee je dus niet kon cijferen op de manier die wij nu kennen) heeft ook in onze streken lang geduurd. Pas toen de Arabische cijfers via Spanje (Moren) bij ons hun intrede deden, kwam er een kentering. Dat ging, zoals alle veranderingen van zaken die diepe wortels in het verleden hebben, niet van een leien dakje. Reeds in het jaar 1202 verscheen er een voortreffelijk rekenboek in Italië: het Liber Abaci van Leonardo van Pisa. Deze had de Arabische cijfers en het positionele stelsel (met de nul!) van zijn Moorse leermeester geleerd. De Romeinse cijfers, het additieve systeem en de abacus (die inmiddels met lijnen op papier werd getekend en door middel van schijfjes met cijfers erop werd ingevuld) kwamen er niet best van af. Maar, zoals gezegd, de vernieuwing kwam er niet zomaar door. Hoewel handelaren en boekhouders zich de voordelen van de nieuwe schrijfwijze van meet af aan ten nutte maakten, kwamen er bezwaren van anderen: het zou nu gemakkelijker zijn om rekeningen en dergelijke te vervalsen. Tot in de zestiende eeuw bleef men beide systemen naast elkaar gebruiken. Omstreeks 1504 kwam er een rekenboekje uit waarin de strijd tussen de twee partijen, aangeduid met ‘abacisten’ en ‘algoritmici’, aardig in beeld was gebracht.

In de zestiende eeuwse rekenboekjes was het pleit beslecht, het positionele stelsel had het gewonnen. Maar wie de Cijfferinge van meester Willem Bartjens napluist (eerste uitgave omstreeks 1604, de laatste bewerkingen ervan waren nog in de negentiende eeuw in gebruik!) vindt een mechanistische didactiek. De leerlingen wordt verteld hoe het cijferen gedaan moet worden. Waarom die geheimzinnige handelingen tot een goed antwoord leiden dient op gezag van de leraar aangenomen te worden. Deze benaderingswijze kon zelfs tot voor kort nog in Nederlandse basisschoolklassen aangetroffen worden.

Toch blijken kinderen en volwassenen soms zelf uitvindingen te doen om op school geleerde algoritmen naar eigen hand te zetten. Bij het leren van de tafels hebben we hiervan al het een en ander gezien en ook de ijzeren wet, die bij het optellen over de tien heen in sommige klassen geldt (eerst splitsen en dan aanvullen tot 10), blijkt minder hard te zijn, zoals we bijvoorbeeld zien als kinderen gebruik maken van reeds geleerde doubletten (6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1).
119

De les die we uit het voorgaande voor onze didactiek kunnen trekken is niet mis. In de eerste plaats blijkt het (leren) cijferen een interessante historie te hebben. Wie iets van die geschiedenis in zijn onderwijs meeneemt, biedt de leerlingen een goede mogelijkheid de wereld van het getal op een andere manier te kunnen bekijken, en meer oog te krijgen voor de schoonheid van het systeem en de inspanningen die de mens heeft verricht om het zover te krijgen. Tevens is het dan bijna onvermijdelijk om leerlingen iets van de ontwikkeling te laten meebeleven en ook ruimte te bieden om zelf kleine uitvindingen te doen. Voor de zwakke rekenaars kan vanuit dat standpunt gezocht worden naar hulpmiddelen (als de abacus), die bepaalde rekenfuncties ontlasten, of naar rekenwijzen die op concreter niveau uitgevoerd worden. Verder leert de geschiedenis van het cijferen ons dat de activiteit van het tientallig bundelen en het daarmee gepaard gaande inwisselen, essentieel is voor het vaardig rekenen in ons decimale stelsel.

Cijferen en hoofdrekenen

Cijferen valt niet weg te denken uit ons reken-wiskundeonderwijs. Het is een deel van ons cultuurbezit dat qua rekenactiviteit en leeropbrengst de moeite waard is om goed onderwezen te worden. Zelfs nu, in een tijd dat electronische hulpmiddelen de maatschappelijke relevantie van cijfervaardigheid opnieuw ter overweging geven, heeft cijferen een meerwaarde. Voor het reken-wiskundeonderwijs op de vrijeschool heeft cijferen nog een extra dimensie. Je kunt dat als volgt bekijken:
Als we zover zijn dat er bewegingsvrijheid is ontstaan in het gebruiken van de vier basisbewerkingen voor getallen tot honderd, en soms daarboven, dan is het moment aangekomen dat we ook in allerlei situaties willen rekenen, waarin de getallen te groot of te ingewikkeld zijn om ze in het hoofd vast te houden en te bewerken.
Bedenk daarbij dat er in de ambachtenperiode, bouwperiode en dergelijke, een heleboel Tekenverhaal’ is voorgekomen, waarbij het zinvol is een extern hulpmiddel te hanteren. Het leren cijferen is dan, vanuit dit oogpunt, ook op zijn plaats.
Door zijn aard is het cijferen een onderdeel van de gereedschapskist, dat van buitenaf aangeleerd wordt, maar wat een kind (op basis van het voorafgaande rekenen) kan begrijpen c.q. uitvoeren van binnen uit. De keuzen voor het aanleren van de rekenwijzen (algoritmen) moeten dan bepaald worden door de herkenbaarheid van de basisbewerkingen en de toepassing van de eerder geleerde rekenkennis en -vaardigheid. Wat er gebeurt in, of ingezet wordt vanuit het hoofd, moet op het papier te zien zijn. Vervolgens moet de weg, al werkend op papier en met inzet van reeds verworven kennis, zo kort mogelijk worden. Zo opgevat is cijferen in het eind van de derde klas en in de vierde klas een zinvolle aangelegenheid, zowel pedagogisch als rekendidactisch. Het gaat namelijk over het organiseren van rekenwerk, het overzichtelijk noteren van berekeningen, het zoeken naar systematiek, het gebruik maken van de positionele structuur van getallen en het streven naar een efficiënte rekenwijze, die mogelijk persoonlijke elementen bevat.

Nog twee opmerkingen:

In de eerste plaats zal de (reken)leerstof er nooit toe mogen dienen, dat de leerkracht er zijn autoriteit aan gaat ontlenen. Al lerend moet het kind op den duur
120

zijn eigen autoriteit worden, dat wil zeggen gaan vertrouwen op eigen kunnen. Ten tweede zal cijferen niet onbegrepen in de ‘rugzak’ mogen komen om er later, op rijpere leeftijd, uit te voorschijn gehaald te worden met de bedoeling het dan alsnog te doorzien. Ieder kind kan zich op eigen niveau toegang verschaffen tot het cijferen: laat in de levensrugzak liever heel veel ruimte over voor alles, wat we vanuit de lessen aan kwaliteiten aan de kinderen willen meegeven. Dingen die ze later hard nodig hebben!

Het hoofdrekenen, dat in het rekenen van de vrijeschool altijd een belangrijke plaats heeft ingenomen, dient dus bijzondere aandacht te krijgen. Hiermee wordt de leraar in de derde klas voor een dilemma geplaatst. Wanneer kan veilig met cijferen begonnen worden, is de vraag. Iedere leraar weet namelijk dat de routine van het cijferen gemakkelijk de mentale inspanningen van het hoofdrekenen kan overschaduwen. Het schijnt zelfs wel eens voorgekomen te zijn dat leraren cijferen beschouwen als laatste redmiddel voor zwakke rekenaars, die in het gebied tot honderd geen vaardigheid en inzicht konden verwerven. “Nu kan het dan toch nog leren rekenen”, werd dan gezegd.
Op dit punt willen we in dit vrijeschoolleerplan geen misverstand laten bestaan. Het fundament voor al het verdere reken-wiskundeonderwijs wordt gelegd bij het leren rekenen tot honderd. En dat is hoofdrekenen en schattend rekenen. Daar leren de kinderen de getallen kennen zoals ze zijn. Niet 75 als een 5 op de plaats van de eenheden en een 7 op de plaats van de tientallen, maar onder meer 75 als 70 + 5, ook als 80 – 5 of zelfs 100 -25. Een getal dat op de getallenlijn tot honderd ergens ‘daar’ ligt, tussen 50 en 100, of preciezer tussen 70 en 80, of tussen 74 en 76. Soms zie je 75 als 50 + 25, en als het je uitkomt ook als 2 x 40 – 5 … Ga zo maar door. Het is een kijk op getallen die bij het cijferen niet meer van pas komt en, als de leraar niet oppast, gemakkelijk verloren gaat. Want bij cijferen wordt niet meer gewerkt (gerekend) met hele getallen en hun interne en externe structuren, maar met losse cijfers.

Cijferen dient dus pas te beginnen als het ‘fundament tot honderd’ gelegd is. Maar ook dan nog moet het hoofdrekenen en schattend rekenen in de aandacht blijven. Het is wellicht een vruchtbare gedachte om hier het begrip ‘gecijferdheid’ te introduceren. Het woord gecijferdheid is een vrije vertaling van het Engelse ‘numeracy’ (numeral = cijfer). Dit werd uitgevonden naar aanleiding van het begrip ‘literacy’ (naast ‘illiteracy’, dat staat voor analfabetisme). Naast ‘geletterdheid’ dus ‘gecijferdheid’, moet de gedachte geweest zijn.
Elke volwassene dient een zekere mate van gecijferdheid te bezitten om zich in de samenleving te kunnen bewegen en handhaven. Via de media komt heel wat getalsmatige informatie op ons af, wie de krant leest moet tenminste in staat zijn een en ander naar waarde te schatten. Welnu, iemand die gecijferd is, maakt dan gepast gebruik van hoofdrekenen, van schattend rekenen, van cijferen en soms van een rekenmachientje. Het is de combinatie van die kennis en vaardigheden, die zijn gecijferdheid bepalen. Van groot belang is hierbij de zelfkennis (en het zelfvertrouwen) om in de verschillende situaties, waarin een beroep gedaan wordt op de gecijferdheid, de meest geschikte werkwijze te kiezen. Meestal komt men tot een combinatie van hoofdrekenen, schatten, cijferen en/of gebruik van een rekenmachientje.
121

Op de vrijeschool zou men de culturele kant van het reken-wiskundeonderwijs door de maatschappelijk relevantie van gecijferd zijn, moeten laten beheersen. Zoals bovenal bleek, gaat het daarbij niet alleen om vaardigheid en inzicht, maar ook om houding, opvatting en zelfvertrouwen.

De plaatswaarde van cijfers in een getal

Aan het eigenlijke cijferen gaat een bewustwording van de plaatswaarde van de cijfers vooraf. Door hier zorg aan te besteden kan voorkomen worden dat het prille getalbegrip (weer) ondersneeuwt in het manipuleren met ‘tallen’. Er wordt zo een basis gelegd voor het inwisselen, zoals dat in de eindfase van de verschillende algoritmen gebeurt wanneer er ‘onthouden’ of ‘geleend’ (!?) wordt.

Dat woord ‘lenen’ zou bij het rekenen verboden moeten worden. In de eerste plaats is er geen sprake van lenen, er wordt immers nooit iets teruggeven! En in de tweede plaats beïnvloeden we met dit merkwaardige lenen de moraliteit op een negatieve wijze. Niet doen dus! Houd het bij inwisselen.

Bij een aantal groter dan tien dat als getal genoteerd wordt, is in principe al ingewisseld. Zo’n handeling is eerst concreet, later op papier en ten slotte mentaal uitgevoerd. Met ‘concreet, op papier en mentaal’ is de leerweg die we met de kinderen willen gaan, gekarakteriseerd.
Wanneer begin je met het ordenen van aantallen in groepjes van tien? De een doet dit eerder en de ander later, maar het is zeker niet iets dat van meet af aan gebeurt. Wel dragen de 2 x 5 structuur van de handen en de tienstructuur van het geschreven getal dit gegeven altijd in zich. Bij de introductie van de getallen is dit evenwel nog niet geaccentueerd. Kinderen beleven het als een vanzelfsprekendheid zonder zich bewust te zijn van de cultureel bepaalde conventie erachter. Maar op een dag maak je hier geleidelijk of abrupt een leermoment van.

Tien penselen in een pot, tien potten op een plank en de volgende tien op een andere plank. Schilderstukken steeds in rijen van tien op de grond bij het nabespreken in de klas; of in rijen van tien opgehangen aan de muur. “Nu in tien passen allemaal naar je plaats.” “Ik tel tot tien en dan is het stil.” Of gewoon: “10, 20, …, 110; wie niet weg is, is gezien.”
Daarna kijken we nog eens terug op al dat gedoe met tien. Waarvoor al die aandacht voor tienen? Een doordenkertje!

Sommigen maken zo van de 10 in de tweede klas al een bijzonder aantal. Worden aan eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort speciale kleuren gegeven dan kan dit, in de hier bedoelde zin, het cijferen voorbereiden. Hiermee stijgt het kleuren uit boven louter verfraaiing van het periodeschrift. Het kan zelfs meer zijn dan alleen een oefening om zorgvuldig getallen op (ongelinieerd) papier te noteren. Een meerwaarde dus, in het perspectief van het cijferen straks.

Maar er komt een dag waarop we de tienstructuur in het geschreven getal nog eens extra laten beleven. Dat moet een happening worden, een gebeurtenis die daarna ook model kan staan voor de inwisselhandeling en zo tot model kan wor-
122

den voor deze rekenactiviteit. Een goed gekozen en met de kinderen doorleefde gebeurtenis kan later een mentaal houvast bieden, waar ze naar kunnen grijpen wanneer het begrip van de meer abstracte cijfers zo’n houvast niet kan bieden.

Op een dag schafte ik het rekenen met losse bonen resoluut en met veel bombarie af. Alle bruine bonen, in de hele klas waren dat er in alle potjes nog een paar honderd, werden verzameld. Vervolgens verpakten we ze in luciferdoosjes in aantallen van 10. Met fraai papier werden die beplakt en zo verzegeld. Lossen, die gebruikten we niet meer, je mocht ze alleen nog horen rammelen. Er bleef maar één doosje open en dat kreeg een heel bijzondere plek in de klas. Niet lang daarna maakten we van mooi karton bakjes. In een zo’n bakje pasten precies 10 luciferdoosjes. En voor 10 van die bakjes had ik kistjes op mijn tafel staan. Ik had er ook nog een mooi verhaal bij bedacht. Later toen we het inwisselen op papier en met positiestrepen oefenden, konden ze zich dat nog herinneren. Wie daarbij nog met ‘losse’ wilden werken, moest ze gaan halen en vervolgens op de speciale plaats terug zetten.

Een getal kan op verschillende manieren in cijfers uitgebeeld worden:

• Met geld, wanneer ze bij het winkeltje spelen met centen, dubbeltjes en guldens betaald hebben.
• Door kinderen die door middel van hun waardigheid (prinsen 10, koningen 100, enzovoort) een bepaald ‘tal’ representeren.
• Met klankstaven, waarbij elk getal onder de duizend als drieklank hoorbaar te maken is.
• Met gebaren of bewegingen die een bepaald aantal keren herhaald worden.
• Met MAB materiaal, waarin het tientallige bundelen en het inwisselen als het ware gematerialiseerd zijn.
• Met een lusabacus, die lijkt op de abacus van de Romeinen, maar op basis van didactische overwegingen twintig kralen op één staaf bezit

Pas op, in de bovenstaande opsomming is groen en rijp, kunstmatig en natuurlijk door elkaar naar voren gekomen. Ik vind dat met die koningen en prinsen echt nonsens. Hoe kun je nu in alle redelijkheid beweren dat je tien prinsen voor één koning kunt inruilen?! Geld is eigenlijk de enige natuurlijke materialisering van het positionele systeem. Enigszins dichtbij komt de kilometerteller, die niet genoemd wordt. Daarop is heel mooi te zien hoe dat inwisselen gaat. Met een lusabacus kun je dat idee naspelen, noem het maar een kilometerteller uit het stenen tijdperk.

Door twee getallen na elkaar of gelijktijdig uit te beelden, kan ook naar hun som of hun verschil of naar de aanvulling tot bijvoorbeeld 1000 gevraagd worden. Zo wordt het cijferen op papier voorbereid. Daarbij geldt dan weer de gouden regel: Wat gedaan en zelf ervaren is, daarvan kun je op papier verslag doen.
Steeds gaat het bij al deze activiteiten om het leren denken in ‘tallen’, met daarbij op de achtergrond het bundelen en inwisselen.

Ik liet de kinderen heel eventjes, zodat er niet geteld kon worden, in een gedeeltelijk met eieren gevulde doos (van tien stuks) kijken. Ze raadden hoeveel er in zaten, of hoeveel er ontbraken. We schatten vervolgens hoeveel dozen we nodig hadden in een week, als de kippen elke dag (gemiddeld) 28 eieren legden. Dat rekenen kan alle kan-
123

ten opgaan: 7 x 2 volle dozen en 7 dozen waar er 2 ontbreken. Dat is 140 eieren en nog 70 – 14. Samen 140 + 56. Of 7 x 3 volle dozen, min 14, dat is 210 – 14. Hopelijk komt daar hetzelfde uit, mompelde ik. “Dat kun je toch zo zien!”, werd ik op m’n nummer gezet. Daarna tekenden we wat we bedacht hadden. De een meer en de ander minder schematisch, wel geleidelijk steeds meer met gebruikmaking van getallen.

Met dobbelstenen kunnen spelen verzonnen worden, waarbij de plaatswaarde van de cijfers in een getal extra aandacht krijgt:
• Op de zijvlakken van een dobbelsteen staan verschillende getallen (bijvoorbeeld 3; 6; 8; 11; 32; 40). Op de bank liggen lucifers. Gebroken stokjes zonder kop tellen voor 1; die met kop voor 10 en de hele lucifers voor 100. En nu maar dobbelen. Wie heeft als eerste 1000 bij elkaar? Luciferstukjes kunnen daarbij voor grotere gehelen ingewisseld worden.
• Elke speler zet naast elkaar drie stippen op zijn papier. Om beurten wordt er gedobbeld. Het cijfer dat je gooit, vul je in op één van de stippen. Je mag kiezen welke stip je wilt nemen, je gooit om de beurt. Wie heeft, nadat er zes keer geworpen is, het grootste getal?

Als we wat verder zijn met het cijferen, kunnen ook verwondering en bewondering een piek krijgen:
• Schrijf een getal op van drie cijfers, draai het om en trek de getallen van elkaar af. Het middelste cijfer is nu steeds een 9, de buitenste cijfers zijn samen negen.
• Draai in het vorige geval het laatste cijfer weer om en tel het voorgaande op. Er komt altijd 1089 uit. Kan iemand dat verklaren?
• Neem een getal van drie cijfers. Schrijf het getal er achterstevoren onder. Tel op. Draai nu het verkregen getal weer om, zet het eronder en tel op. Ga zolang door tot je een getal krijgt dat door omkering niet meer verandert (dit lukt meestal na enkele keren, maar niet altijd).
Dat bij deze opgaven het cijferend optellen en aftrekken al bekend is, zal duidelijk zijn. We laten ermee zien dat het nadenken over de plaats van de cijfers in een getal steeds weer vanuit nieuwe invalshoeken mogelijk is.

Optellen onder elkaar (cijferend optellen)

Ook het leren optellen onder elkaar vergt een langer lopend leerproces. Tussen het ‘uit het hoofd’ weten, het uitrekenen of schatten hoeveel twee getallen samen zijn en het cijferend optellen van twee getallen, zijn andere vormen voor rekenen op papier mogelijk. Denk bijvoorbeeld aan het optellen via sprongen op de lege getallenlijn, of aan het kolomsgewijze optellen: 47 + 35 = …

‘Rijgen’:

124

Zulke manieren houden het getalbeeld langer intact en bereiden toch het rekenen met grotere getallen op papier voor. Het anticipeert ook op het kolomsgewijs rekenen, met meer dan twee getallen, zoals je dat op kassarollen wel doet.

Hoe introduceer je nu zo’n ‘nieuwe’ werkwijze? Tussen de twee uitersten “Kijk kinderen, de grote mensen doen het zo” en “Dit boek heeft 124 bladzijden, we zijn nu op bladzijde 88, hoeveel bladzijden zijn er nog te lezen? Hoe zou je dat uitzoeken ?”, ligt een pedagogische beslissing over wat je bij je leerlingen wilt wekken. Alsook de keuze voor een onderwijsstijl waar je achter kunt staan en die bij Teerlingen van nu’ past.
Bij beide uitgangspunten is het mogelijk om van een zelf ervaren situatie uit te gaan, om rekenen iets anders te laten zijn dan manipuleren met kale cijfers. Meer iets dat je gebruikt in situaties waar mensen samenwerken en proberen elkaar te begrijpen. Die gedachte zou van meet af aan het rekenonderwijs kunnen doordringen en niet pas achteraf in toepassingssituaties moeten blijken.

Pas op. Het eerstgenoemde uitgangspunt (“Kijk kinderen, de grote mensen doen dat zó”) roept gemakkelijk een misverstand op. Men kan namelijk geneigd zijn te denken, dat hier voorgedaan wordt hoe ‘het moet’, waarna de kinderen die werkwijze van volwassenen gaan nabootsen.
Een dergelijk mechanistische aanpak is hier evenwel niet bedoeld. Wat dan wel?

125

Op een morgen kwam ik de klas binnen met wat cijferwerk, dat volwassenen (in een bepaalde situatie) op hun blaadje hadden genoteerd. Wie kan dit ‘geheimschrift’doorgronden?
Een ander aardig moment ontstond in de klas toen we al wat verder waren met cijferend optellen en aftrekken, en het volgende blaadje moest worden ‘ontcijferd’.

Na heel wat discussie kwamen we er achter dat daar met ‘tekorten’ werd gerekend. Er was een nieuwe rekenwijze uitgevonden! Zo voelden de kinderen dat ook aan.

Ik kwam toen ook op het idee de kinderen volwassenen in hun eigen omgeving (thuis) te laten interviewen over de manier waarop ze cijferen (hebben geleerd). Je moet ze dan vragen de blaadjes, waarop dat uitgelegd is, mee naar school te nemen.

Wanneer er lang genoeg is stilgestaan bij de plaatswaarde van de cijfers in een getal en vervolgens het cijferen onder elkaar geïntroduceerd wordt, kan er ‘per tal’ in kolommen gewerkt worden. Het is dan praktisch die kolommen aanvankelijk te benoemen naar hun plaatswaarde: eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort. Zo ontstaat dan een papieren abacus, aangegeven met positiestrepen.

126

‘Onthouden’ hoeft daarbij niet van meet af aan gepraktiseerd te worden. Eerst wordt er verticaal in de kolommen opgeteld. Daarna, als alle kolommen zo behandeld zijn, wordt er ingewisseld en hergroepeerd. Zonodig begint het inwisselen opnieuw. We werken daarbij van rechts naar links, anders dan bij het hoofdrekenen, waar natuurlijk eerst de grote delen worden samengenomen.

Een voorbeeld:

Voor veel kinderen is het aanvankelijk lastig om meer dan twee getallen (onder de tien) ‘uit het hoofd’ op te tellen, vooral wanneer je daarbij boven de twintig komt. Dat leidt dan tot nog eens overdoen, om zeker te zijn. Zijn de uitkomsten ongelijk, dan is een derde berekening nodig om uitkomst te bieden. De ervaren rekenaar hanteert hierbij allerhande persoonlijke handigheidjes om deze onhandige procedure te bekorten.

127

Zo’n handigheidje is ook hierna in het voorbeeld ‘optellen met onthouden’ gebruikt. De zwakke rekenaar kan er steun aan hebben omdat ‘rekenen boven de twintig’ nu niet nodig is en juist het rekenen onder de twintig, dat bij zulke leerlingen vaak onvoldoende geautomatiseerd is, nog eens extra geoefend wordt.

Naast elkaar staan hier nog eens drie vormen voor het cijferend optellen onder elkaar. Bij de linker vorm is er gewerkt met kolommen en inwisselen zoals hiervoor beschreven werd. Bij de middelste vorm wordt het onthouden ingeleid, het cijfer dat ingewisseld wordt is al klein geschreven. Bij de laatste vorm is onthouden wat ingewisseld moet worden. Dit is de meest verkorte werkwijze, die nu ook voor een groot deel uit een mentale handeling (in het hoofd dus) bestaat. Noodzakelijk voor het vinden van het antwoord is dat laatste niet. Het hoeft niet zo kort en er kan meer op papier komen.
Kinderen zijn erbij gebaat de fase van het ‘onthouden’ in eigen tempo te bereiken. Een zwakke rekenaar, die problemen heeft met het tegelijkertijd onthouden en rekenen, hoeft dat niveau niet te bereiken. Dat geldt straks ook voor de andere bewerkingen.

Het aanvankelijk hardop verwoorden van hetgeen gedaan wordt tijdens het uitrekenen ondersteunt het leerproces. Globaal gezien kan dit leerproces dan via de volgende fasen verlopen: eerst concrete handelingen (bijvoorbeeld met geschikt materiaal), dan het beschrijven van die handelingen op papier (ondersteund door de papieren abacus), vervolgens worden de handelingen hardop verwoord en tenslotte gebeurt dit alles ‘in het hoofd’. Het mentale niveau is bereikt. Onderweg kunnen verkortingen (handigheidjes) worden aangebracht, zodat de uiteindelijke mentale handeling zo efficiënt mogelijk is voor die bepaalde rekenaar.

Hiervoor was sprake van een handigheidje. Sommige leraren en leerlingen spreken in dergelijke gevallen over foefjes. Dat zou ik niet doen, want het woord foefje roept een verkeerd beeld van het rekenen op. Het woord ‘handigheid’ klinkt positiever, kan iets persoonlijks hebben en bij rekenen dient er altijd een redenering aan het werk ten grondslag te liggen.

Wie later het optelalgoritme nog eens bewust wil maken kan uit de voeten met ‘getalgriezels’. Eén keer op dit spoor gezet vinden kinderen het leuk om dergelijke opgaven voor elkaar te bedenken. Vraag dan wel of ze zelf het antwoord ergens willen bewaren!

Een klein voorbeeld:

128

Cijferend vermenigvuldigen

Ziet men het vermenigvuldigen als een herhaalde optelling, dan ligt het voor de hand om cijferend vermenigvuldigen in nauwe aansluiting op het cijferend optellen te ontwikkelen. En wel op twee sporen, die pas bij het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers in elkaars verlengde komen te liggen. Het ene spoor volgt het schattend vermenigvuldigen, nu ook met getallen groter dan 100. Het andere spoor staat aanvankelijk geheel in dienst van het door elkaar oefenen van tafelproducten van één tafel per opgave.

Daartussen loopt nog een derde spoor. Dit is het spoor van de ‘natuurlijke’ aanpak. Het begint met een probleem, waarvoor de kinderen nog niet direct een oplossing bij de hand hebben. Bijvoorbeeld: “Er staat in de gang een groot aantal pakken met schriften. Hoeveel zouden dat er zijn?” Na telling blijken er 17 pakken te staan, van elk 25 schriften.
“Hoe kunnen we dat aantal uitrekenen?” Het idee wordt dan geopperd om dat met de (papieren) abacus te doen. Dat is er één met behoorlijk lange kolommen (staven).

Het schema (de positiestrepen van de papieren abacus) noodt tot structureren, eerst naar tientallen en eenheden, vervolgens naar groepen van tien. Want 10 x 25 = 250. Wie die rekenregel niet door heeft, kan hem op de abacus ook nog eens zien ontstaan. Want de 0 ‘erachter plaatsen’ is uiteindelijk niets anders dan ‘een plaatsje opschuiven’, hier tien vijven inwisselen voor vijf tientallen, net als in de tafel van 5 al, onopgemerkt, gebeurde: 10 x 5 = 50.
Nu, na de afsplitsing van 10 x 25, is er nog 7 x 25 te berekenen.
Langzamerhand ontwikkelt men zo, samen met de kinderen, een rekenwijze voor het cijferend vermenigvuldigen, die uitmondt in een vaardige toepassing van de bekende standaardprocedure op mentaal niveau. Zwakke rekenaars krijgen de vrijheid om op een minder hoog niveau toch cijferend te vermenigvuldigen, ook met grote getallen.

129

En nu de beide andere sporen. Eerst het schatten verbonden met het handig rekenen, waarbij aanvankelijk de getallen in de buurt van de 100-tallen gekozen werden.

“Is 5 x 201 groter of kleiner dan 1000?” Bij zulke vragen plukte ik de vruchten van het al vaak gespeelde spel: Ik heb een getal in gedachten, het is groter dan 200 en kleiner dan 300; of de variant daarop: “Het zit in de tafel van 2 en is groter dan 4 x 2 en kleiner dan 8 x 2, enzovoort.”
Nadat de tafel van 200 een paar keer gezegd was, leverde het uit het hoofd vermenigvuldigen van 100-tallen weinig problemen op. Datzelfde gold voor het vervangen van 201 door 200.

Dan het andere spoor, waarmee de tafels nog eens extra geoefend kunnen worden.

130

Op een morgen had ik de tafel van 6 nog eens goed ‘bewogen’. Bij het ‘door elkaar’ vragen waren daarbij een paar lastige tafelproducten op het bord geschreven. Bijvoorbeeld 6 x 458. Dat deden we nog eens netjes en in kleur over.
En zo ontstond (a): 6×8 (enen) = 48 ‘eenheden’. En 6 x 5 (tienen) = 30 ‘tientallen’, vervolgens 6×4 (honderden) = 24 ‘honderdtallen’.
Niet lang daarna gebruikte ik de meer compacte schrijfwijze (b1): 2400 en 48 passen toevallig op een regel als 2448; 30, eigenlijk 300, moet dan nog apart vermeld worden. Nog weer later (b2): de cijfers van de tientallen op één regel, en ook die van de eenheden. Zo dus: 6 x 8 = 48, noteer 4 als tiental en 8 als eenheid. Dan 6 x 5, met de wetenschap dat het antwoord nu één plaats naar links komt te staan, omdat 5 staat voor 5 tientallen. Dus 6 x 5 = 30, noteer de 3 als tiental (maar op de plaats van de honderdtallen) en de 0 als eenheid (maar op de plaats van de tientallen). Nu 6 x 4 = 24, de 2 op de plaats van de tientallen (hier duizendtallen) en de 4 op de plek van de eenheden (hier honderdtallen).
Met (c) werkte ik het ‘onthouden’ in de hand. Bijvoorbeeld bij 6 x 8 = 48 eerst de 8 op de goede plaats te noteren, en dan de 4 in de rij erboven, een plaats naar links.
Wie dat ging doen kwam ui‘ bij (d), waar in één keer het antwoord wordt genoteerd: 6×8 = 48; schrijf op de 8 en onthoud 4 (tienen); 6 x 5 = 30 (tienen), plus 4 (tienen), is 34 (tienen). Noteer 4 en onthoud 3 (honderdtallen). Enzovoort.
Zoiets doe je natuurlijk niet in een paar dagen.

Worden vervolgens ook opdrachten gegeven om grote aantallen te bepalen, bijvoorbeeld totalen uit een aantal dozen met nietjes, met elastieken, met lucifers, enzovoort, dan kan dat wat rekenkundig ontdekt is, ook praktisch toegepast worden.

Bij de eerder genoemde ‘natuurlijke aanpak’ van het cijferen op school, is het praktische toepassingsgebied van het cijferen van meet af aan in beeld. De gang van zaken is daar, didactisch gezien, precies andersom. De rekenkundige bewerking wordt geconstrueerd op basis van praktische problemen; hier wordt de rekenkundige bewerking ‘theoretisch’ behandeld, en later praktisch toegepast. Welk spoor men ook kiest, het mag niet gebeuren dat men aan het toepassen niet toekomt!

Er kan op verschillende manieren gewerkt worden: schattend, tellend, optellend, vermenigvuldigend. Wat handig is, wordt zo al doende ervaren. Het rekenen wordt daarbij aangezet vanuit echte situaties, die bij kinderen het vermenigvuldigen oproepen. Wie kinderen wijst op bepaalde vermenigvuldigstructuren laat het mes aan twee kanten snijden: men ziet de toepassingen en ondervindt steun bij het cijferen.
131

Een van de opgaven van een rekenkaart of werkblad (zie ook Terzijde: Over werkvormen) is:
Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72e verjaardag? Probeer dat zelf uit te zoeken!

Vragen en situaties als op zo’n werkblad kunnen het vermenigvuldigen met grote(re) getallen uitlokken. Het ‘zoek dat zelf uit’ houdt weer zowel een pedagogische als een didactische keuze in. Eerder zijn bouwstenen aangereikt. Wil je de leerlingen zelf, onder begeleiding en met ruimte voor eigen inbreng, een algoritme laten opbouwen of kies je voor een gestuurd leerproces dat sterk bepaald is door de standaardprocedures van het cijferen?
Valt je keuze op het zelf ontdekken, dan bewandelt niet ieder kind een zelfde weg
naar het eindalgoritme. En er wordt niet gemeenschappelijk op eenzelfde niveau gewerkt. De leerlingen construeren via zelf ontdekte verkortingen de uiteindelijke vorm waarin zij het algoritme gaan uitvoeren. De leraar die hiervoor kiest, moet stevig in zijn schoenen staan. Behalve een diep inzicht in verschillende varianten van cijferprocedures, moet hij zijn leerlingen ook goed kennen naar rekenvaardigheid en inzicht. Bovendien is kennis van de verschillende niveaus, waarop gecijferd kan worden, noodzakelijk.
Hieronder een schets van de mogelijke niveaus waarop de vraag “Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72ste verjaardag?” met cijferwerk aangepakt kan worden. Vergeten we even de schrikkeljaren tijdens de 72 jaar van opa (het zijn er misschien 18, of 19?), dan gaat het om de vermenigvuldiging 72 x 365.
Op het meest primitieve niveau worden (in gedachten, of echt op papier) 72 keer 365 onder elkaar gezet. Dat wordt een fikse optelling, misschien dat de kinderen door de nood gedwongen toch kleine verkortingen (tafels toepassen of 10 x zien) aan gaan brengen.
Op een iets hoger niveau brengen de kinderen direct al structuur aan in de lange optelrij onder elkaar. Ze maken 7 ‘brokken’ van 10 x 365 en moeten daar dan nog 2 x 365 aan toevoegen.
Op een nog hoger niveau is het vermenigvuldigen al in zicht. Men ziet in één klap 70 x 365, later te vermeerderen met 2 x 365. Die eerste vermenigvuldiging kan nog met de steun van de papieren abacus gedaan worden:

Op de volgende niveaus worden de handelingen van het inwisselen steeds meer mentaal uitgevoerd. De meest gevorderden maken gebruik van de standaardprocedure, zoals die algemeen bekend is.
132

De bovenstaande niveaus geven een onderwijsroute aan, die voor een individuele leerling anders kan verlopen; of doordat deze nog andere notatievormen gebruikt, of omdat niet alle stappen nodig waren voor het verwerven van de vaardigheid en het daarbij gewenste inzicht.

Aftrekken onder elkaar

“Dat was dan € 8,80, voor u nog twee dubbeltjes en één euro terug.”
Zo wordt er aan een kassa teruggegeven na betaling met een tientje. Men kan op die manier het aftrekken middels aanvullend optellen omzeilen. Dat is in deze situatie een vrij natuurlijke aanpak, die in de didactiek met ‘op-een-rij’ of ‘rijgmethode’ wordt aangeduid. Het is een handige manier van hoofdrekenen, het materiaal (hier de twee dubbeltjes en de gulden) geeft concrete steun. Later kan een dergelijke steun, op schematischer niveau, door de lege getallenlijn geboden worden. Het aanvullen gebeurt dan in principe op dezelfde wijze:

(lees voor gulden: euro)

Maar we zouden het over cijferend aftrekken hebben, en daar gaat het weer anders toe.

Ook dan dient de leraar een eigen keus te maken. En ook in dit geval van aftrekken heeft die keus een pedagogische en didactische dimensie. Laten we eens zien wat er didactisch mogelijk is.
In de eerste plaats kan men uitleggen, hoe de rekenwijze van het aftrekken onder elkaar werkt en waarom die werkwijze tot een goed antwoord leidt. Een veelgebruikt hulpmiddel is het MAB-unifixmateriaal, met eenheden (kubusjes van ca 1 x 1 x 1 cm), staafjes (van 10 eenheden), plakken (van 10 x 10 eenheden) en een kubus (van 10 plakken). De eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen zijn duidelijk gestructureerd en laten over het inwisselen geen enkel misverstand bestaan. De didactiek, die hiervan gebruik maakt, wordt wel eens gekarakteriseerd als een structuralistische didactiek. De structuur van de standaardprocedure is uitgangspunt. Deze werkwijze sluit ook aan bij het inpakken van de ‘tallen’ in steeds grotere eenheden, zoals dat gebeurde in een doorkijkje.

133

Evengoed kan hier met geld gewerkt worden, al zijn er leraren, die het ontbreken van echte centen in het geldverkeer van nu als een didactische beperking zien.
Een andere mogelijkheid is om de kinderen zelf te laten uitzoeken hoe de standaardprocedure, door volwassenen gebruikt, eigenlijk werkt. De leraar moet dan wel proberen de kinderen ook te laten uitdenken, waarom die rekenwijze goed werkt. Dus niet louter instrumentele kennis ontwikkelen, maar ook inzichtelijke.

In de loop der tijd hebben leraren geprobeerd de rekenwijze van allerlei ‘franje’ te voorzien, met het doel het voor de kinderen gemakkelijker te maken. Men kan er nu niet meer omheen te constateren dat sommige ‘versieringen’ mechanistische trekken vertonen. De didactische inzichten zijn inmiddels zover gevorderd, dat elke leraar nu zijn eigen keus kan maken en precies weet waarvoor hij kiest.

Ten slotte noemen we de aanpak, die dicht staat bij de leergang zoals die geschetst is bij het optellen onder elkaar:
• Eerst op de lus-abacus met concrete handelingen voor het wegnemen en inwisselen.
• Dan noteren in het schema van de positiestrepen op papier.
• In toenemende mate verwoorden en zo mogelijk verkorten.
• En tenslotte mentaal, als de rekenhandelingen uit/in het hoofd gebeuren.
Hier spreekt men van de reconstructiedidactiek: de kinderen (re-)construeren zelf de rekenwijze. Een didactiek die zich onderscheidt van de reproductiedidactiek, waarmee de leerlingen alleen leren het voorgezegde na te doen, te reproduceren.

Voor de aardigheid laten we hier nog drie verschillende rekenwijzen (op het hoogste niveau van de standaardprocedure) volgen. De eerste is ‘oer-Hollands’, de tweede hebben we op bladzijde 85 al ontmoet en gaat via het rekenen met tekorten. Tenslotte is er de rekenwijze die bekend staat als ‘de Oostenrijkse aftrekking’. Je kunt ook zeggen: de methode van het voorschieten.

134

Ziet u wat er allemaal gebeurd is?
Hier kan men even denken aan het inwisselen van tien amethiststeentjes voor een tijgeroog. 8 van 6 gaat niet, bedenk 16 (dus denk er een tijgeroog bij) en noteer die even op de goede plaats (in de kolom onder de 4) om niet te vergeten. Nu staan er dus 5 (= 4 +1) tijgerogen om eraf te halen! Nu 5 van 0 gaat niet, bedenk 10, enzovoort.
De rekenwijze oorspronkelijk gebruikt, volgt een andere redenering, die natuurlijk uiteindelijk op hetzelfde neerkomt. Er wordt dan niet gedacht aan aftrekken (6 – 8) maar in termen van optellen: 8 + … = 6. Je ziet dan dat het alleen maar 8 + 8 = 16 kan zijn en schrijft dan de 8 op, en ook de 1 (10 dus) van 16. Dan gaat men verder: 5 + 5 = 10; noteer de 5 en de 1 (eigenlijk 100), enzovoort.

De staartdeling

Geldt ook voor cijferend delen, net als bij temperamentsrekenen, dat het gelijktijdig met de andere cijferbewerkingen ingevoerd moet worden? Het antwoord hierop is “Nee”. Het gaat immers om het leren van een cultureel bepaalde werkwijze en niet om het creëren van een bewerking. Bovendien vooronderstelt hier de ene werkwijze vaardigheid in de andere.
Wie cijferend delen volgens de reconstructiedidactiek wil onderwijzen, kan dit ontwikkelen in nauwe aansluiting met cijferend aftrekken.
“Maaikes moeder kocht voor de verjaarstractatie snoepjes. Maaike telde ze, het waren er 68. Ze verwacht drie vriendinnetjes, zodat ze met z’n vieren zullen zijn.” Met een dergelijk probleem kan de leergang begonnen worden. Het is een opgave waarvan de kinderen in klas 4 (5) niet direct op basis van hun tafelkennis de oplossing zien. Bovendien is het een probleem waarmee ze concreet aan de gang kunnen. Als de snoepjes (of representanten ervan) in concreto aanwezig zijn, worden er natuurlijk even vier bakjes bij gezocht. En eerlijk verdelen kan iedereen. Wat is precies de vraag? “Hoeveel snoepjes krijgt elk in het zakje, als ze eerlijk verdeeld worden?”
De klas gaat als geheel of in kleine groepjes aan het verdelen. Onderwijl, of naderhand, kan de gang van zaken schematisch weergegeven worden op het bord. Het is een rechthoekschema, met de vier zakjes (of namen van de kinderen) bovenaan en de aantallen snoepjes, zoals die stap voor stap werden verdeeld, eronder


135

Was dit verjaardagsprobleem voorafgegaan door een ander, dat op bovenstaande manier is behandeld, dan kan deze verdeling nog schematischer worden aangepakt.
In het geval dat er 68 snoepjes zijn voor vijf kinderen zie je dan:

Deze werkwijze wordt door de kinderen in de klas ontwikkeld. De leraar levert, zo mogelijk tijdens het werk, het notatieschema. Hij zorgt er voor dat dit notatie-schema nauw aansluit bij de werkwijze van het verdelen. De kinderen zien hun werkwijze weerspiegeld op het bord.
Er volgen meer van deze problemen, de deeltallen worden groter en langzaam aan ook de delers. We sturen in deze fase ook aan op het plezier in eigen ontdekkingen die op basis van inzicht in de concrete handeling (verdelen, uitdelen, inpakken, …) tot stand kunnen worden gebracht.

• “Als moeder nu eens 112 snoepjes gekocht had, zouden er dan genoeg traktaties zijn voor alle 28 kinderen uit de klas?”
• “Wim vond op zolder een doos vol 413 buttons met bekende voetballers erop. Hij mag ze eerlijk verdelen met zijn vriendjes van het voetbalteam. Samen twaalf. Hoeveel buttons krijgt elk?”

Op een gevorderd niveau van verkorting (de sliert met ‘happen van tien’) ziet de oplossing van het laatste probleem er als volgt uit:

De werkwijze is nu bekend, er zijn al heel wat opgaven gemaakt, nu gaat het erom vlugger en met grotere getallen te werken. Daarbij komt het handig rekenen, verdubbelen en halveren, samennemen van ‘tussen antwoorden’, rekenen met nullen, maar ook globaal schattend rekenen als vanzelf onder de aandacht. De kinderen kunnen van elkaars vondsten leren. Door ze uit te dagen het steeds korter te doen, kan ieder op eigen niveau -en dus gedifferentieerd- aan dezelfde opgaven werken.
136

De ‘grootste mooie hap’ markeert nu het moment, dat de fase van het eindalgoritme bereikt wordt. Dat kan er bijvoorbeeld als volgt uit zien:

Het werken met resten hoeft nu geen probleem te zijn. Door van meet af aan en op elk moment in de staart af te trekken met complete getallen, wordt een rest ook beleefd als datgene wat overblijft.
Niet alle leerlingen zullen al snel tot deze eindvorm overgaan. Dat is ook niet nodig om tot het juiste antwoord te komen. Wel kan het voor de wat langzamere leerling een steun zijn, zeker als de delers groter worden, om het berekenen van de happen niet langer binnen het bewerkingsschema, maar veeleer er naast in een afzonderlijke tabel uit te schrijven. Bij de bovenstaande opgave komt dat neer op:

Ook het happenschema kan steeds meer verkort worden. Zo komt het accent nu haast ongemerkt op het handig rekenen binnen het happenschema te liggen.

Welke notatie willen we dat onze leerlingen (uiteindelijk) hanteren? Er zijn in Nederland verschillende in gebruik:
24 /5621 \ … is wel de van oudsher meest bekende. De kinderen zien niet direct dat het om een deling gaat, die schreven ze immers als 5621 : 24, waarin deeltal en deler een andere volgorde hebben.
Hetzelfde geldt eigenlijk ook voor de hiervoor gehanteerde notatievorm. Plaatsen we de deler achter het deeltal, dan is dit verband wel direct te zien. In principe verandert er dan rekenkundig niets en didactisch maar weinig, en wie inventief is kan bovendien aan die notatiewijze ook een bruikbare betekenis geven.

137

Het staartdelen volgens het bekende model 24/ 5641 \ … is problematisch omdat er van links naar rechts moet worden gedacht. Bij al het andere cijferwerk begonnen we aan de kant van de kleinste positie, bij de eenheden. Nu moeten we met delen ineens aan de andere kant beginnen! Wie kan vertellen waarom eigenlijk? Is het trouwens echt nodig?
Heel nuttig is ook het feit dat bij de hier gekozen notatie het achterliggende verhaal zichtbaar gemaakt kan worden. Stel dat 5621 staat voor negerzoenen, die in bussen van 24 worden verpakt:

138

Met dergelijke vragen zijn we op een reflectief niveau terecht gekomen: de rekenwijze (algoritme) wordt niet ‘geleerd’, maar ‘aan een kritische beschouwing’ onderworpen. Dit idee werd hier ook al eerder naar voren gebracht (zie blz 126). Men kan zelfs de kinderen van de vijfde of zesde klas in dit kader laten reflecteren op hun eigen leerproces. Je vraagt dan om hun advies: “Welke methode vinden jullie het meest geschikt voor de kinderen die volgend jaar staartdelen gaan leren? Kun je ook zeggen waarom?”
Rekendidactici spreken bij dergelijke opdrachten over ‘eigen producties’. Bij het beantwoorden van de vraag worden de kinderen genoodzaakt om na te denken over de wijze waarop zij de staartdeling geleerd en begrepen hebben. Het is eigenlijk een ‘didactische’ opdracht, niet zo vreemd dat er goede resultaten mee behaald zijn, want leraren weten uit ervaring dat bepaalde zaken pas echt duidelijk worden als ze moeten worden onderwezen.

3.4 Schattend rekenen

Naast het gewone rekenen en later het cijferen, is het belangrijk ook bewust aandacht te besteden aan het schatten. Immers, het kleine kind leert bij het ontdekken van zijn wereld het schatten kennen als een natuurlijk appel van de buitenwereld aan zijn wil. We mogen misschien wel stellen, dat deze activiteit van het schatten, in de zin van iets wel of niet kunnen, het wel of niet wagen, één van de motivaties is voor zijn bewegingszin. En afhankelijk van de aard van de activiteit is het ook bevorderlijk voor de evenwichtszin, wellicht zelfs voor de levenszin, omdat schatten erg veel te maken heeft met vertrouwen in, en leren kennen en hanteren van, allerlei levenssituaties.

Het is duidelijk, dat we met schatten niet bedoelen: raden (hoeveel vingers houd ik op mijn rug?), of gokken of gissen; dat is gebaseerd op puur (on)geluk.
Het schatten staat tegenover het precieze berekenen en meten: het exact willen vaststellen van een uitkomst of meetresultaat. Het laatste is een denkactiviteit, die pas eindigt, wanneer, na goed opgezet rekenwerk, het precieze antwoord is gevonden. Dit antwoord en de rekenwijze kunnen gecontroleerd worden met een objectieve methode.

De eersteklas leerkracht weet heel goed dat je om bepaalde afstanden, hoogten, oppervlakten, enzovoort te kunnen schatten, enige referentiematen tot je beschikking moet hebben. Nu is ‘meten’ in eerste instantie niets anders dan vergelijken. En als de kinderen rechtstreeks kunnen vergelijken hoeft er natuurlijk niet geschat te worden. Daarom heeft de leerkracht dit keer een paar stapeltjes boeken op zijn tafeltje gezet. De kinderen hebben er al eens vreemd naar gekeken. Die boeken stonden er voorheen toch niet! Op een zeker moment komt de aap uit de mouw. Hen wordt gevraagd of ze denken dat die stapeltjes op de één na bovenste plank in de kast passen …

We weten het niet zo goed. Wordt er door de kinderen in de eerste klas ook binnen de wereld van het getal geschat? Je zou in dat geval van ‘schattend rekenen’ kunnen praten. Zoiets als in een hogere klas: “Wat denk je, is die berekening van Herman goed? Hij kreeg uit 45 x 237 het getal 40 665? Even proberen: 50 x 200 = 10 000. En 50 x 230 is 1500 meer, dus 11 500. Het is vast te groot!”

139

We stelden al eerder, dat rekenen geleerd wordt vanuit de bewegingszin en steeds meer tot denkactiviteit wordt. Het is zelfs zo, dat het wiskundewerk in een later stadium alleen nog door de bijzondere kracht van het denken kan worden volbracht, namelijk als het geheel abstract is geworden. Schatten is dan de bron geworden voor ‘globaal rekenen’.
De maatschappelijke relevantie hiervan is, nu het pietluttig cijferen steeds vaker aan de zakrekenmachine (zie blz. 361) overgelaten kan worden, bijzonder groot. Een toets wordt al snel verkeerd ingedrukt, wie zo’n ‘machien’ gebruikt moet het antwoord dat in het venster verschijnt, dus globaal rekenend kunnen controleren. Wat komt er bij dit schatten zoal kijken?

“Karin wil jij even vijf broden van € 1,95 halen, hier heb je een tientje. Heeft Karin hieraan genoeg?” Dat is even ons probleem. Kinderen die niet hebben leren schatten gaan zoiets precies uitrekenen. Hoe kun je dat voorkomen? En welke vaardigheden wil je daarvoor bij hen ontwikkelen? Maar eerst: Hoe schat je nu zo’n antwoord?
Wel: € 1,95 dat is natuurlijk (ongeveer) 2 euro. Dat het euro’s  zijn, daar zien we nu eerst van af. Dan kunnen we er in plaats van 5 x 2 ook wel 2 x 5 (en dat is 10) van maken. Oh ja, het ging over euro’s, dus dat is ongeveer een tientje. Hebben we nu genoeg? Want ‘ongeveer’ dat kan ook wel ‘iets meer’ zijn. Ja, gelukkig het is iets minder, we hadden toch naar boven afgerond, het antwoord is dus iets te groot! Nog genoeg voor een toverbal? Die dingen kosten een 25 eurocent. Even zien …

Wat is er nu ‘gedaan’? Eerst hebben we door afronden het probleem opnieuw geformuleerd, € 1,95 werd f €2,-. Daarna hebben we het vertaald, € 2,- werd kortweg 2 en toen rekenden we met 5 x 2 of met 2 x 5. Het resultaat werd weer terugvertaald in geld. Ten slotte zijn we even nagegaan of we nu het antwoord hadden; de procedure werd onder de loep genomen, moet er voor dit globale rekenen nog ergens gecompenseerd worden? Het antwoord was “nee” en leverde meteen een nieuwe vraagstelling op. Zo gaat dat vaak bij schatten.

Herformuleren, vertalen en compenseren zijn termen voor vaardigheden, die voor schatten ontwikkeld moeten worden. Zulke vaardigheden kun je pas leren wanneer je durft te schatten. Voor veel kinderen is dat inderdaad een zaak van courage. En het schatten blijft, ook daarna, een zeer praktische wilsaktiviteit, die met beide benen op de grond moet worden verricht. Nu eens ter controle van de zojuist bedoelde abstracte berekeningen, ook vooraf aan dergelijk mechanisch rekenwerk, dan weer in de context van eigen uitgaven.
Schatten kan ook inhouden, dat je genoegen moet nemen met een grofschalige en gevoelsmatige benadering, hetgeen voor precies-alles-beredenerende mensen en kinderen wel eens moeilijk te accepteren is. De wilsactiviteit van het schatten is vooral gelegen in het vergelijken, in het leggen van verbanden. Het is vooral het zien van een relatie tussen enkele grootheden of getallen. Je moet een verband leggen en vervolgens gevoelsmatig afwegen.

Enkele voorbeelden, waarbij het schatten als natuurlijke kwaliteit wordt benaderd:
• Een kind schat of het ‘ergens overheen kan springen’; het tast gevoelsmatig af of de relatie tussen die hoge heg en zijn wilskracht van dien aard is, dat zijn sprong hoog genoeg zal zijn. We ervaren, dat hier geen sprake is van enige
140

objectiviteit; er speelt immers het persoonlijke element van zelfkennis en moed mee, dat zelfs per keer bij het zelfde kind nog kan verschillen.
• Een kind schat of het ‘kan oversteken’. Essentieel is hier de individueel geaarde tegenwoordigheid van geest, wil, moed, voorzichtigheid, angst.
• Het gooien van een voorwerp met de bedoeling iets te raken, berust op schatten. Je ‘mikt’ zo goed mogelijk. Je legt verband tussen diverse realiteiten: afstand, zwaarte van het voorwerp, eigen kracht, later ook windrichting.
• Bij dit alles hoort ook het leren van ervaringen, het herhaaldelijk doen en het desgewenst bijstellen om een zo fijn mogelijk inschattingsvermogen te krijgen. Op dit punt komt ook het idee van ‘persoonlijke referentiemaat’ weer om de hoek kijken. Ook die verwerft men door de ervaring. Maar op school kan de leraar een geschikte omgeving ervoor creëren.

Zo uitgedrukt is het een talent dat in diepste wezen te maken heeft met zelfkennis: het al dan niet juist inschatten (taxeren) van situaties en daarbij het eventueel onderschatten en overschatten van jezelf of van anderen. Dan ligt ook hier een direct verband tussen de ‘bewegingszin’ en de ‘ik-zin’.

Practische toepassingen van schatten:

• De hoogte van een boom schatten; ongeveer 4 x de lengte van mijn vader. Waar valt de kruin als hij zou worden omgehakt?
• Het aantal opgestoken vingers tellen in een volle zaal. Even snel een groep van tien tellen en dat vermenigvuldigen met groepen van naar schatting tien mensen.
• Hoe hoog is de deuropening? Ik ben 1.60 m. Kan dat paneel erdoor?
• Hoeveel velletjes papier liggen er op die grote stapel?
• Een praktisch controlerende functie in: 3,7 x 15,8 = 5846. Waar staat de komma? 3 x 15 = 45…
• Hoeveel stappen is het naar je plaats?
• Hoe lang zal het gaan duren? (nootjes uittellen voor 25 kinderen uit de klas).
• Hoeveel schat je?

141

Tenslotte nog wat ‘creatieve oefenstof’:

• Kan dat: 18 000 baby’s geboren in één jaar in Nederland?
• Iemand is 1 miljoen seconden oud. Hoeveel jaar is dat ongeveer?
• Een olietanker verloor 1 miljoen liter ruwe olie. Hoe groot is de olievlek die daardoor de kust bedreigt?
• Hoe groot is de gemiddelde snelheid van een wandelaar?
• Hoeveel aardappelen denk je dat er gemiddeld in een kilo (kuub, mud,…) gaan?
• Hoeveel auto’s denk je dat er in die file van 4 kilometer voor de Coentunnel staan?
• Wat denk je dat het kost als die lamp van 100 Watt de hele vakantie, dag en nacht heeft gebrand?
• Hoeveel zouden wij met elkaar ongeveer wegen?
• Hoe rond je 135,776 af?
• Wat weet je als bekend is dat het getal 3700 afgerond is op honderdtallen?
• Hoe groot is de fout die gemaakt wordt bij de benadering 74 x 28 = 2100′?
• Maak een benadering van 74 x 28 met een afwijking die niet groter is dan tien procent.
• Bij de Primafoonwinkel kun je een ‘homevox’ kopen voor € 289,- of huren voor € 13,- per maand. Wat zou voordeliger zijn?

142

Rekenspelen

Inleiding

Wie de kleuter waarneemt in het vrije spel en het plezier, de ernst en overgave ziet waarmee het de wereld om zich heen ordent en structureert, ervaart dat spelen meer is dan spelletjes doen. De drang tot nabootsen wordt gevormd door de krachten van de fantasie, die daardoor zelf tot ontwikkeling komen.
Wanneer met de schoolrijpheid de krachten, die zich eerst hoofdzakelijk hadden ingezet voor het vormen van het lichaam, meer en meer beschikbaar komen voor het leren, kan het kind deze met fantasie inzetten. Dat gebeurt als inhouden, die via leren verworven zijn, verwerkt worden in spelsituaties.
Vanuit deze achtergrond bezien voegen rekenspelletjes aan het (reken)onderwijs iets toe, dat in het gewone klassikale leren of in het oefenen niet zonder meer gegeven is. Zulke spelen zijn hier dus niet bedoeld als een extraatje, als iets wat je doet wanneer er tijd over is of als beloning wanneer kinderen met hun werk klaar zijn, doch als werkvorm om leerstof op te nemen ofte verwerken.
Dat betrokkenheid, die aan het spelen van kinderen eigen is, ook het leerproces positief ondersteunt vormt dus niet de aanleiding tot het doen van rekenspelletjes. Het gaat om de meerwaarde die het spelen voor de ontwikkeling van het kind heeft.
Karakteristiek voor het spelen is dat de activiteit doel in zichzelf is en niet primair een ander doel dient zoals dat bij leren het geval is. Daarbij verlopen spelletjes volgens spelregels die aan de bezigheid betekenis geven en deze in ruimte en tijd structureren.

Een extra dimensie krijgen de rekenspelletjes als we ze met de kinderen samen maken of als we ze zelf door de kinderen laten ontwerpen.

De werklust bij het rekenen in de klas was niet te stuiten. We hadden de Arabische cijfers geleerd en de kinderen deden niets liever dan vellen vol tekenen met getallen. Dat inspireerde tot het gaan maken van een rekenspel.
Ik liet de kinderen op kartonnen kaartjes de getallen 1 tot en met 9 schrijven. En wel zo dat de kinderen twee aan twee konden gaan werken. Het ene kind kreeg de opdracht de getallen 1 tot en met 5, het andere kind 5 tot en met 9 op te schrijven.
Sommige kinderen vonden het maar vreemd. Jantine en Esther kregen bijna ruzie: “Waarom allebei 5? Ik heb toch al de 5 gedaan?” “Waar is de 10, juf?” Voorlopig liet ik de vragen onbeantwoord en bleef het voor de kinderen allemaal een groot geheim.
Toen het schrijfwerk gedaan was, mochten de kinderen de kaartjes in een stapel van 30 stuks met een elastiekje bij elkaar binden, Jantine, altijd even gewiekst, organiseerde onmiddellijk nog vier vriendjes om samen te doen! “Rekenen zal ik haar niet hoeven leren”, ging er even door mij heen.
In de loop van de volgende dag gingen we ons spel spelen. De kinderen zaten in groepjes van zes rond een tafel en kregen ieder een stapel kaartjes om omgekeerd op tafel te leggen. De spanning steeg en toen kwam de spelregel: om de beurt mag ieder kind twee kaartjes omdraaien, als de som tien is mag je de kaartjes open naast elkaar aan de rand van de tafel leggen. Is het geen tien samen, dan moet je de kaartjes weer omdraaien en terugleggen en is het volgende kind aan de beurt.
Tijdens het spelen deden de kinderen zelf allerlei rekenontdekkingen. “Nu weet ik waarom we allebei een 5 moesten maken!” en het grote geheim van de ontbrekende 10 werd een verrassende vanzelfsprekendheid.
Nog lang werden de spelkaarten op allerlei manieren gebruikt omdat de kinderen er steeds meer spelletjes mee wisten te bedenken.

143

Juist door het zelf maken en het naderhand spelen kunnen de kinderen rekenwerk, dat in het spel verborgen zit en waarvan ze zich bij het maken niet bewust waren, ook zelf uitvinden.
Voor de hogere klassen kan het maken van een spel eveneens een bijdrage zijn aan de begripsvorming. Het gaat dan niet alleen om sport en spel buiten, waarin bijvoorbeeld met een stopwatch de kommagetallen (decimale breuken) onder de aandacht worden gebracht. Het kan ook anders. In de zesde klas bijvoorbeeld kunnen de kinderen een pro-centen-ganzenbord maken. Tijdens het vertellen is in de kinderen een ware Romeinse koopmanslust ontwaakt. In kleine groepjes kunnen de kinderen nu de levensloop van een koopman uitbeelden. Voor elk beeld een procentensom. In de loop van zijn leven doen zich allerlei gebeurtenissen voor, zoals inkopen en verkopen, winst maken en verlies lijden, loonsverhogingen voor de werknemers vaststellen, de huur van het huis verhogen of verlagen, een huis bouwen en naar verhouding inrichten voor het eigen gezin en ook voor het inwonende gezin van een broer, …
Zijn de bordspelen gemaakt, dan gaan de verschillende groepen elkaars spel spelen en wie weet is het spel wel zo mooi, dat het als werkblad in de rekenmap terecht komt.

Veelal kenmerken spelletjes zich door het plezier dat ze geven, maar ook doordat ze de kinderen leren omgaan met vreugde en teleurstelling bij winnen of verliezen, door concentratie op te roepen, door herhaling mogelijk te maken en door samenwerking met anderen te stimuleren. Zo worden in het spel naast de ontplooiing van de fantasiekrachten ook andere vermogens en gevoelens ontwikkeld.
Het kunnen uitvoeren van rekenspelletjes vooronderstelt enige vaardigheid in het kunnen tellen en het kunnen herkennen van aantallen en structuren, (onder andere bij het gebruik van dobbelstenen). In lagere klassen zullen ze meer aansluiten bij bewegingsactiviteiten in kring en tikspelen. In hogere klassen wordt in strategiespelen meer geappelleerd aan het handelen met inzicht. Daarnaast zijn er de gezelschapsspelen met kaarten of een speelbord; deze spelactiviteit staat gelijk aan het oefenen van (reken)vaardigheden.
Veel spelen uit het gebied van de lichamelijke opvoeding laten zich met enige fantasie ombouwen tot rekenspelen (Zie Wil van Haren en Rudolf Kischnick, Het grote spelenboek, Christofoor).
Voorbeelden van rekenspelletjes zijn op diverse plaatsen in dit boek te vinden. Hier volgen nog enkele voorbeelden ter inspiratie om zelf andere te bedenken.

I Memoriseren van de tafels

Op de stoel

De leerlingen staan op hun stoel. De spelleider zegt een getal bijvoorbeeld uit de tafel van 6 of van 7. Zit het getal in beide tafels (bijvoorbeeld 42), dan ga je voor je stoel staan. Bij een getal uit de tafel van 7 (bijvoorbeeld 21) sta je links ervan, bij een getal uit de tafel van 6 (bijvoorbeeld 54) rechts er van. En is het een getal uit geen van beide tafels (bijvoorbeeld 32) dan blijf je gewoon staan.

Variatie 1

Gebruik slechts één tafel (bijvoorbeeld die van 3). Is het ‘keergetal’ even (bijvoorbeeld 18), dan ga je rechts van de stoel staan; is het oneven dan sta je er links van.

Variatie 2

Is het keergetal een viervoud (bijvoorbeeld 12) sta je rechts; bij de andere tweevouden sta je links en bij de overige veelvouden sta je er voor.
144

Ratten en raven

In een open ruimte staan de leerlingen in twee rijen op ongeveer twee meter afstand tegenover elkaar. Rij A tikt rij B bij een getal uit bijvoorbeeld de tafel van 3; het omgekeerde gebeurt bij een getal uit de tafel van 7
Wie getikt wordt is af of geeft een pand (zie pandverbeuren), of iets dergelijks.
Om niet getikt te worden, moeten de leerlingen tot achter twee vooraf afgesproken lijnen rennen.

Pose

Kies twee (of meer ) tafels. Spreek voor elke tafel een eigen gebaar of pose af. Wordt een getal uit de betreffende tafel genoemd dan nemen de leerlingen de betreffende pose aan. Wie zich vergist kan bijvoorbeeld getikt worden door een tikker.

Variatie

Kies een tafel. Bij even keergetallen (bijvoorbeeld 6 keer), wordt een andere pose aangenomen dan bij oneven keergetallen.

Oversteken

Er is een tikker. De overige leerlingen staan achter een lijn Elke leerling draagt (bijvoorbeeld op een A-4 tje) een van de getallen 1 tot en met 12. De tikker noemt een getal uit één van de vooraf afgesproken taf els.De leerling met het corresponderende keergetal moet oversteken, maar kan getikt worden tot hij de overkant bereikt heeft.

Tik me.

De leerlingen staan in een ruime kring. Diametraal tegenover elkaar staan buiten de kring een renner en een tikker. Een getal uit de tafel wordt genoemd door de renner. Hij loopt evenveel leerlingen verder als het keergetal aangeeft en wisselt met de daar aanwezige leerling die een nieuw getal uit de tafel roept, enzovoort. Wordt er getikt dan wisselen de leerlingen van rol, gaan weer diametraal tegenover elkaar staan, waarna het spel opnieuw begint.

Molen

Alle leerlingen vormen met elkaar de vier wieken van een molen. Elke wiek is een andere tafel. Er is een renner die een getal uit een van de vier tafels roept. De betreffende wiek rent nu in zijn geheel een rondje om de molen. De renner gaat op de plek van de lege wiek staan. De leerling die als laatste terug is, wordt de nieuwe renner en noemt een nieuw getal.

Kat en muis

De leerlingen staan in een aantal rijen en kolommen opgesteld. Leerlingen in eenzelfde rij houden elkaar vast. Er is een kat die een muis probeert te vangen. Ze mogen niet door een rij heen breken, maar de muis kan van een kolom een rij maken (en vice versa) door uit een vooraf afgesproken tafel een (on)even keergetal te roepen. De leraar tikt daarbij op een tamboerijn. Zodra een met het tafelgetal corresponderend aantal ‘keer-tikken’ geklonken heeft, veranderen de kolommen weer in de oorspronkelijke rijen. De kat en de muis bewegen zich bij dit spel op vier poten voort.

II Bordspelen voor basisvaardigheden

Ladder op en af

Teken een ladder met 20 sporten. Zet boven de eerste sport een 1, boven de tweede een 2 enzovoort tot en met 20. Plaats één pion op de 10. Bij toerbeurt werpen leerling A en leerling B met één dobbelsteen. Daarbij gaat A zijn geworpen aantal ogen omhoog en B zijn aantal ogen omlaag. Wie is als eerste van de ladder af?

Bij gebruik van een dobbelsteen met twaalf vlakken (pentagon dodecaëder) kan een ladder met 100 sporten genomen worden en beginnen ze met de pion op 50. (Het spel duurt dan vrij lang).

Samen tien

Er worden (ten minste) tien kartonnen kaartjes gemaakt met daarop de cijfers 1 tot en met 9. Op het overgebleven kaartje komt nog een 5. De kaartjes worden omgekeerd op tafel gelegd. Om beurten mogen de spelers twee kaarten omdraaien. Wie samen tien heeft, mag de kaartjes open naast zich op tafel leggen. Wie de meeste kaartjes heeft, is winnaar.

Samen zeven

De getallen 1 tot en met 6 worden op kaartjes gezet en die worden open op tafel gelegd. Er wordt met één dobbelsteen gespeeld. Na elke worp mag het kaartje genomen worden dat het aantal ogen aanvult tot 7. Wie zich vergist moet zijn kaartje laten liggen. (Het goede antwoord staat onder op de dobbelsteen).

Men kan een groter ‘combinatiegetal’ maken door met een groter getal op de kaartjes te beginnen.

Vijftien op een rij

Speler A heeft vijf witte platte ‘stenen’ met daarop de oneven getallen tot en met 9. Speler B heeft vier groene platte stenen met daarop de even getallen tot 9. Het speelveld is een vierkant met daarin een kruis en twee diagonalen. Speler A begint en legt een steen op een snijpunt van lijnen, daarna speler B. Het doel is drie stenen op een rij (horizontaal, verticaal of diagonaal) te krijgen die samen vijftien zijn. Je mag de tegenspeler natuurlijk hinderen.

Door alle getallen met eenzelfde bedrag te vermeerderen, te vermenigvuldigen of te delen (breuken), kan naar een andere ‘rijsom’gevraagd worden.

‘De slechte één’

Eén speler schrijft. Er wordt met een dobbelsteen geworpen zolang men wil, maar nooit langer dan dat er een 1 geworpen wordt. Zodra men gestopt is komt de volgende speler aan de beurt. Ieder houdt zijn eigen score bij door zijn geworpen ogen met luide stem op te tellen. Wordt de beurt met een 1 afgesloten, dan tellen de ogen van die hele beurt niet. Wie heeft als eerste 111?

III Hoofdrekenspelen

Spelen waarbij zelfstandig uit het hoofd gerekend wordt.

Vind mijn getal

Eerst leg je een gebied vast waarbinnen het te raden getal zich bevindt. Daarna geef je hints waarmee het getal te vinden is. Wie het getal gevonden heeft, zegt het niet maar geeft ook hints. Een voorbeeld:

“Het is een getal tussen de 48 en de 101.”
146

“Het verschilt één met een vierkantsgetal (kwadraat).”
“Het is een getal uit de tafel van 5.”
“Doe je er vijf bij dan is het een getal uit de tafel van 7.”
“Het getal is oneven.”

Eigen getal in gedachten

Alle spelers kiezen een ‘eigen’ getal. De spelleider geeft rekenopdrachten, die ieder met zijn eigen getal uitvoert. Tenslotte noemt hij één uitkomst, die dan voor iedereen, onafhankelijk van het gekozen startgetal, blijkt te kloppen.

Welk getal heb ik in gedachten?

“Ik heb een getal in gedachten, ik doe daar ……., … dan is het antwoord nu 10! Wat was mijn oorspronkelijke getal?”

De kinderen krijgen nu even de tijd om zich alle stappen te herinneren en de bewerkingen in omgekeerde volgorde en op de tegengestelde wijze uit te voeren. Zo vinden ze een antwoord. Dit wordt nog niet gezegd. Daarna worden alle vragen nog eens in de oorspronkelijke volgorde gezegd. De kinderen rekenen nu op basis van hun antwoord mee en kunnen zo zichzelf controleren.
In een lagere klas laat bijvoorbeeld de leraar zich nu de gevonden antwoorden in het oor fluisteren, trekt sommige kinderen nu aan hun oor en strijkt anderen over hun bol. Daarna zegt hij: “Wie over zijn bol geaaid is, zegt nu het antwoord!”
In een zevende klas worden de bewerkingen bij het ‘voor de tweede keer vragen’ in de heengaande volgorde op het bord geschreven. Vervangen we het vraagteken nu door een x, dan verschijnt er zo een vergelijking met één onbekende. Daarna worden ook de diverse bewerkingen in de omgekeerde volgorde op het bord geschreven. Dan wordt de ‘vergelijking opgelost’. (Zie H 7).

IV Solitaire spelen

Spelen die door een leerling alleen gespeeld kunnen worden.

Aftrek vierkant

Teken op een blad papier een zo groot mogelijk vierkant. Zet op de hoekpunten vier willekeurige getallen onder de 100. Laat nu alle verschillen bepalen van twee getallen op dezelfde zijden. Laat deze vier getallen in het midden van die zijden opschrijven. Teken binnen het oude een nieuw (dus kleiner) vierkant met de nieuwe getallen op de hoekpunten.
147

In dit hoofdstuk is er sprake van:
leerplan: Rudolf Steineralle artikelen
                    Het leerplanalle artikelen
periodeonderwijs
schoolrijpheid
spel
tafelcirkels
zintuigen

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [4] [5] [6] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave.
.

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2438

.

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.