Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1775 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)   klas 11

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

 

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

 

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (14)

.

Pieter HA Witvliet
.

CONCREET EN ABSTRACT

Als je een kind, laten we zeggen, een rekenopdracht geeft, ga je ervan uit, dat het deze ook begrijpt.

Een kind van 7 moest het getal 5 splitsen en daarvoor was een som bedacht:

In een portemonneetje zit € 5,–

Je koopt een kam van € 1. Het kind moet nu naast de betreffende balk het antwoord € 4 invullen, dat is over.

De bedoeling van de somontwerper was, dat in de volgende balk 1 kwam te staan; bij de volgende balk 2 enz.

Maar in de tweede balk gaf het kind als antwoord: 0

De derde opdracht met het getal 3 maakte het kind niet.

Op mijn vraag waarom het die niet had gedaan, antwoordde het kind: ‘Dat kan toch niet, je hebt geen 3 meer.’

Ik moest even nadenken wat het kind precies bedoelde en begreep het opeens en ook het antwoord 0, daarboven.

Het kind was heel concreet uitgegaan van de inhoud van de portemonnee met 5 euro en ja, als je er 1 uitgeeft hou je er 4 over, maar als je die dan uitgeeft, is je portemonnee leeg!

En inderdaad: je hebt geen 3 meer.

Hier nog een voorbeeld van een concrete en abstracte opgave.

Overigens is het wel heel belangrijk dat de 1e-klassers de eerste 10 getallen feilloos kunnen splitsen.
Dat kunnen ze m.i. beter leren met hun eigen vingers – bv. met de ene hand er 3 verbergen; wat moet er aan de andere hand zichtbaar zijn als het om ‘vijf’ gaat, enz.
Uiteindelijk is het goed dat de kinderen vanuit wat ze begrepen hebben a.h.w. een soort opteltafel van 5 leren:

5= 0 + 5
1 + 4  enz.

En er doen zich vele ogenblikjes voor waarop je even door de klas kan roepen: ‘het gaat om ‘7, ik zeg 3, dan zeg jij …..’vier’, enz!

.

Rekenen: 1e klas alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle artikelen

.

1927

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (5)

.

Ernst Bindel, Erziehungskunst 19e jrg nr.10 1955

.

Introductie van de negatieve getallen

optellen en aftrekken van positieve en negatieve getallen

Het leerplan van de vrijeschool plaatst de introductie van de negatieve getallen  en het rekenen ermee in het zevende schooljaar; droog staat daar: ‘machtsverheffen, worteltrekken, negatieve getallen en de leer van de vergelijkingen in samenhang met het praktische leven wordt doorgenomen.’

Maar, hoe  de negatieve getallen te behandelen: daarover geen woord. Ook in de pedagogische voordrachten van Rudolf Steiner wordt daarover voor zover ik weet, niets gezegd. Dus ben je voor het doornemen van deze stof op jezelf aangewezen. Hoogstens mag je hopen dat uit de historische ontwikkeling van het wiskundig bewustzijn in de mensheid een stimulans is te halen. Maar daarmee is het ook maar karig gesteld.
Rond het midden van de derde eeuw na Christus was het Diophantus van Alexandrië die al een onderscheid maakte tussen getallen die erbij komen en die eraf gaan. Hij sprak de twee formules uit:

af te trekken maal af te trekken = komt erbij  (- x – = +)
af te trekken maal erbij te doen = af te trekken (- x + = -)

maar hij paste ze alleen maar toe op verschillen die een echte getalswaarde hebben, waarbij de aftrekker groter blijft dan de opteller. Het begrip van het positieve en negatieve getal als maatstaf van tegenovergestelde grootheden was hem nog onbekend, de aftrekking van een groter getal van een kleiner werd door hem nog niet uitgevoerd. Diofantisch zou de berekening zijn:

Echte positieve en negatieve getallen zie je voor het eerst bij de na Diophantus komende Indische wiskundigen. Ze geven de negativiteit van een getal aan door er een punt boven te zetten. Dat was voor hen geen rekenbewerkingsteken, maar alleen een teken voor het soort getal. Door hen werd al de aftrekking van een grootte omgewerkt naar een tegenovergestelde grootte in de optelling. 

De positieve getallen kregen de naam  dhara  of bezit, de negatieve  rina  of schulden. Het duidelijk maken door de tegenovergestelde richting van een lijnstuk is daar al te vinden.

Met dit weinig historische materiaal uitgerust, moet je er nu aan beginnen de negatieve getalleen op een adequate manier aan jongens en meisjes van ongeveer dertien jaar aan te leren. Dan kan op de volgende manier:

Aan het begin stel je de vraag of het mogelijk is of van een bepaalde te tellen hoeveelheid meer afgenomen kan worden dan er ligt. Het antwoord van de meesten zal ontkennend zijn; je kan b.v. van 5 appels geen 8 appels wegpakken.
Maar als leraar kan je met dit antwoord geen genoegen nemen en aageven dat je wel bepaalde gevallen kent waarbij het tóch mogelijk is meer weg te nemen dan er is.
Wanneer geen van de kinderen een voorbeeld kan vinden, vraag je of ze niet al eens hebben meegemaakt dat op een winteravond de thermometer wanneer ze naar bed gaan, laten we zeggen, b.v. op 2 graden C stond en dan gedurende de nacht tot aan de morgen 5º lager staat, zodat het 3º onder 0 is. Dan kan je op het bord schrijven:

2 graden min 5 graden = 0 graden min 3 graden ofwel: 2 – 5 = 0 -3

Op dit voorbeeld volgen er door de kinderen wel andere:

1 Je loopt op een vlakke straat, dan loop je omhoog tegen een heuvel, laten we zeggen 50m en aan de andere kant ga je weer naar beneden: 70 m tot je weer op een vlakke straat loopt:

50m min 70m = 0m min 20m. Ofwel: 50 – 70 = 0 – 20

waarbij de hoogte van de 1e straat op 0 wordt gesteld. Als je dat met de 2e straat doet, wordt de berekening:

20m plus 50m min 70m = 0m

2. Vanuit de huisdeur loop je 5 passen naar voren. Dan bedenk je plotseling dat je wat vergeten hebt, wat binnen klaarstaat. Je keert op je schreden terug, maar je hebt er nu meer nodig dan 5.

3. Je staat in het zwembad op de hoge duikplank van 2m en je komt na een duik 3m lager uit:

2m min 3m = 0m – 1m. Ofwel: 2 – 3 = 0 – 1

Dan ben je 1m in het water gedoken.

4.Het voorbeeld dat je meer geld uitgeeft dan je bij je hebt, hoeft alleen maar genoemd te worden.

5. Je duwt een stuk kurk van laten we zeggen 500g helemaal onder water. Daarbij verliest het werkelijk tegen de 2000g aan gewicht, zodat het niet alleen niets meer weegt, maar met 1500g ‘lichtgewicht’ naar boven drukt:

500g min 2000g = 0g min 1500g aan gewicht.

6. Stimulerend is het ook om wiskundige figuren zo te laten krimpen dat ze door het nulpunt gaan. Wanneer de stralen van een cirkel gelijkmatig naar het middelpunt korter worden, wordt de cirkel teruggebracht tot zijn nulpunt: het middelpunt. Bij het nog korter worden van de stralen, komt de cirkel weer tevoorschijn. Gecompliceerdere voorbeelden zijn er volop.

Alles roept op om erover na te denken waarom bij de temperatuur, bij het lopen, bij het uitgeven van geld enz. mogelijk wordt, wat bij de appels niet mogelijk is. Het antwoord is makkelijk gevonden: er moet een tegenovergestelde bij zijn. Dat is er niet bij de appels, wél bij geld in de vorm van vermogen en schuld, bij het lopen in de vorm van omhoog en omlaag of vooruit en achteruit, bij temperatuur in de vorm van kou en warmte, bij gewicht in de vorm van zwaarte en lichtheid.

Deze vaststelling opent interessante perspectieven waar niet altijd op gelet wordt. Waarom kun je de tegenstelling licht donker niet net zo berekenen als die van kou en warmte? Omdat er geen scheidingspunt, geen nulpunt aanwezig is. Dit antwoord kwam verrassenderwijs uit de mond van een slimme leerling.

Wanneer er echter een nulpunt bestaat, komt het er weer opaan, hoe dit tussen de beide delen van de tegenstelling ligt. Bij het meten van de temperatuur volgens Fahrenheit neemt die een andere positie in dan bij Celcius. 

Het voorbeeld van daarstraks met Celcius:

2 graden C min 5 graden C =0  graden C – 3 graden C , zou met Fahrenheit er zo uitzien:

36,5 graad F min 9 graden F = 26,5 graad F, omdat 0 graden C al 32 graden F en 0 graden F  – 177/9  graad C zijn.

Verder moet je nog bedenken dat de pluskant en de minkant van een polariteit beide al naar gelang om het gekozen 0-punt verwisselbaar zijn. Voor een beroepsschuldenmaker, die zich alleen op z’n gemak voelt als hij schulden heeft, zouden de schulden ongetwijfeld iets zijn wat hij bevestigt, dus iets positiefs. Hij heeft b.v. 1000 euro schuld, wat hij huichelachtig betreurt. En vriend heft voor hem de schuld meer op dan hij had door hem 1500 euro te schenken. Van zijn schulden verlost, betreedt hij met 500 euro vermogen het gebied waar hij niet graag is en dat voor hem een gebied is dat hij als negatief ervaart. De 500 euro in zijn zak laten hem niet met rust en hij haast zich om deze weer uit te geven, d.w.z. 500 euro schuld te innen, te sparen. Daardoor heeft hij op z’n minst het nulpunt waar hij zich  op zijn gemak begint te voelen, weer bereikt.
Een minder grotesk voorbeeld zouden de dieren zijn die zich alleen in de kou thuisvoelen. Het staat de fantasie van de leerkracht vrij om meer voorbeelden te vinden.

Nu wordt het tijd om los te komen van de aanschouwelijke voorbeelden en je  louter op het gebied van de getallen te begeven. Dan moet je niet alleen maar de hele getallen, maar ook opdrachten met tiendelige breuken geven of met gelijknamige breuken waarbij de aftrekker steeds groter is dan het aftrektal. Mij lijkt het bij al deze opgaven belangrijk dat in de uitkomst nog het cijfer 0 voorkomt. Als dat zichtbaar is, is dat de garantie dat het minteken dat volgt nog het karakter van een rekenbewerkingsteken heeft, dus een teken van activiteit in zich draagt, zodat het negatieve getal dat hierbij ontstaat, eerst nog gehuld is in het kleed van een niet uitgevoerde aftrekking van 0. Pas nadat dit een poos zo gedaan is, ga je ertoe over, het cijfer 0 weg te laten, omdat het een overbodige schrijfactie betreft. Daardoor verandert nu het karakter van de de volgende tekens wezenlijk: van rekenbewerkingsteken metamorfoseert het zich naar het voorteken. Het is alsof het eerst nog vloeibare water tot ijs verstard is.

De som: 15 – 20 = 0 – 5, wordt 15 – 20 = -5

Je zou ook kunnen zeggen: de activiteit van het wegnemen van het getal 5 van de 0 wordt een eigenschap van het getal 5, als 0 – 5 het getal -5 wordt. Elke keer gebruik je daarbij hetzelfde teken, het aftrekteken van eerder. 
Om een misverstand te voorkomen, is het raadzaam, in ieder geval bij het lezen van dit teken onderscheid te maken, door b.v. het bewerkingsteken als ‘weg’ of ‘minder’ te lezen, het voorteken als ‘min’ of ‘minus’, zodat de som

15 – 20 = -5

gelezen wordt als ’15 eraf/weg/ 20 is gelijk aan min 5′. Wanneer de leerkracht deze manier van zeggen consequent handhaaft, doen de leerlingen dat ook.

Hier komen heel ongedwongen de positieve getallen bij. Het getal 5 dat tot nog toe geen voorteken had, verandert bij de optelsom 0 + 5 en wel door het geschetste verstarringsproces in het getal +5 waarbij het ook nodig is de dubbele betekenis van het +teken dat ook eerst weer een bewerkingsteken was, nu tot voorteken te maken, door het bij het lezen uit elkaar te houden: het bewerkingsteken + krijgt dan de naam ‘en’ of ‘meer’, het voorteken+ door het woord ‘plus’.

Wanneer de positieve en negatieve getallen zijn ingevoerd, sta je voor de opgave er rekenend mee te werken. Ik beperk me hier tot het aangeven van een mogelijke weg hoe je met de optelling en aftrekking verder kan komen, zonder al te abstract te worden. 
Allereerst laat je de leerlingen zelf vinden hoeveel opdrachttypen er zijn. Ze zullen met enige hulp erop komen dat het om niet minder dan om 8 soorten opgaven gaat. Die moeten allereerst zo uitvoerig mogelijk opgesomd worden:

(pg= positief getal; ng = negatief getal)

1.pg en pg, b.v. (+3) + (+4)
2.pg en ng. b.v. (+3) – (-4)
3.ng en pg. b.v. (-3) + (+4)
4.ng en ng. b.v. (-3) + (-4)

5.pg af pg. b.v. (+3) – (+4)
6.pg af ng. b.v. (+3) – (-4)
7.ng af pg. b.v. (-3)  – (-4)
8.ng af ng b.v. (-3)  –  (-4) 

Deze hoeveelheid ziet er eerst verwarrend uit, maar laat zich toch op een volledig zelfde manier behandelen. De eenheid zit in het feit da tje de acht sommen kan lopen: 

het voorteken + een stap voorwaarts
het voorteken – een stap naar achter
het rekenteken + je NIET omdraaien
het rekenteken –  je omdraaien

In alle acht gevallen leidt deze manier van lopen tot het juiste resultaat. Maar aan het begin moet je wél het nulpunt plaatsen en vastleggen aan welke kant het plusgebied ligt.
Om hier niet te abstract te worden, moet je het lopen in werkelijkheid of in gedachten bij de deur als nulpunt beginnen. Binnen is de minkant, het schoolplein is de pluskant. 
Hier alleen ter verduidelijking twee van de acht mogelijkheden: de sommen (hierbovenv 3 en 8)

Opgave 3:    (-3) en (+4)

Vanaf de deur 3 stappen achteruit, dus naar binnen; je draait je niet om en je loopt vier passen naar voren. Je komt met 1 pas op het schoolplein:

(-3) + (+4) = + 1

opdracht 8:

(-3) af (-4)

Je loopt vanaf de deur 3 passen achteruit, dus naar binnen, je draait je om en loopt vier passen terug. Je komt ook zo met 1 pas op het schoolplein te staan:

(-3) – (-4) = +1

Juist deze beide sommen tonen wanneer je ze vergelijkt, dat het resultaat gelijk is, of je je nu niet omdraait en vooruit loopt (opgave 3) of dat je je omkeert en terugloopt (opgave 8).

Heel ongedwongen ontstaat nu de belangrijke abstracte regel: 

een getal wordt afgetrokken wanneer je het tegenovergestelde getal optelt.

Deze regel brengt de acht opgaventypen terug tot vier, wanneer elk van vier aftreksommen aan een van de vier optelsommen gelijkgesteld wordt. Al het aftrekken met relatieve* getallen kan worden vermeden en je hoeft de leerling alleen te bekwamen in het leren optellen. Dit gaat zonder problemen en kan ook aan het wederzijds verrekenen van bezit en schuld op een eenvoudige manier duidelijk worden.

Het lopen van de uitkomsten is voor wie het doet, heel leuk. Maar met een grote klas niet zo makkelijk te doen om iedereen aan de beurt te laten komen. De meesten moeten dan toekijken. Maar later kan je de hele activiteit wél tekenen. Wie loopt wordt voorgesteld door de oud-Egyptische manier van een paar benen. 

Dat ziet er zo uit: (opgave 3)

mingebied               deur           plusgebied
                                                           binnen                                         buiten (plein)

Opgave 8:  (-3) – (-4) = +1          

mingebied                  deur            plusgebied                                                                            binnen                                         buiten (plein)

Soms gebruikt men de regel dat de aftrekking van een getal met de optelling van het tegenovergestelde getal gelijk is, aan de hand van de zich beide opheffende dubbele ontkenning zoals die in de taal duidelijk is.
Een niet onvriendelijk mens betekent zoveel als een vriendelijk mens, een niet slecht gedrag zou hetzelfde zijn als een goed gedrag, enz.
De vergelijking van het rekenen met de taal gaat in zoverre mank dat bij de laatste een dubbele ontkenning slechts bij benadering in een gelijke positie komt. Een vriendelijk mens is ietsje vriendelijker dan een niet onvriendelijk mens, een goed gedrag ietsje beter dan een niet slecht gedrag. Toch zou je dit verschil niet willen missen. Door de ontkenning drie keer of vier keer te nemen wordt de bedoelde betekenis steeds donkerder, b.v. wanneer bij een troep gevangen soldaten die aan verschillende verhoren werd onderwerpen, gezegd wordt: ‘Geen van de gevangenen heeft ooit iets onwezenlijks verzwegen’. Betekent dit dan meteen dat niemand iets wezenlijks heeft gezegd? Ongewtijfeld nog niet!   

Wie gebruik maakt van het lopen van de optellingen en aftrekkingen van de relatieve getallen, moet ook de trucjes kennen die hierin zitten. In de opdrachten waarin zich maar twee samen te nemen getallen zitten, worden ze nog niet zichtbaar, maar wel bij drie of meer dergelijke getallen. Voorbeeld:

(+3) –  (-2) + (-1) 

Om er zeker van te zijn, wat eruit komt, vervangen we de aftrekiing -2 door de optelling +2:

(+3) + (+2) + (-1) = +4

Zouden we de opdracht in de oorsrponkelijke vorm volgens voorschrift gelopen hebben, dan was er foutief +6 uitgekomen, daarentegen de opgave in de veranderde vorm, waarbij wij door ononderbroken optellen ons niet hoeven om te keren, alleen voorwaarts dan wel achteruit te lopen, het juiste resultaat +4 krijgen. 
In waarheid is het nu zo dat het lopen ook voor willekeurig veel samen te nemen getallen tot de juiste uitkomst leidt, het moet alleen op de juiste manier gebeuren.

Dat moet de lezer zelf maar eens onderzoeken.

De kinderen moeten ingeprent krijgen: draai je nooit om wanneer je meer dan twee getallen bij elkaar moet brengen! Zorg ervoor, ook wanneer het maar om twee getallen gaat, dat je alleen maar optelt! Dan kan je niets gebeuren.

Anders zou het ook zo kunnen gaan als bij de mythische zanger Orpheus die zijn door de dood weggerukte gemalin Euridice weer uit de onderwereld mag halen onder de voorwaarde dat hij zich niet naar haar omdraait. Dat deed hij wel en daardoor verdween ze voorgoed.

Sommigen zullen hoe het hier voorgesteld wordt, tamelijk omslachtig vinden. Het precieze onderscheid tussen rekenteken en voorteken inclusief het uitspreken, alsook de daardoor ontstane noodzakelijkheid de positieve en negatieve getallen tussen haakjes te plaatsen, is dat niet te veel?

Waarheen is dat spook dan verdwenen wanneer je de opgave zo schrijft:

3 – 5 + 9 + 12 – 8 – 20?

Dan kom je er toch zonder haakjes en zonder onderscheid van rekenteken en voorteken ook uit? Helemaal niet! Je hebt hier alleen met een vereenvoudigde manier van opschrijven te maken. Alle tekens zijn hier als voorteken te beschouwen en de zo naast elkaar staande getallen kun je gezamenlijk optellen; alleen de verbinding van het rekenteken + blijft verborgen. Want het gaat om de som:

(+3) + (-5) + (+9) + (+12) – (+8) – (-20) = 9 

Je mag ook omgekeerd redeneren en alle tekens in de opgave rekentekens noemen. Dan zou het alleen gaan om de optelling en aftrekking van louter positieve getallen, dus om:

(+3) -( +5) + (+9) + (+12) – (+8) – (+20) = 9 

Met bovenstaande uitleg over het invoeren van de relatieve getallen en hoe die opgeteld en afgetrokken worden is weliswaar het probleem dat de leerrkacht van een zevende klas heeft, nog niet uitputtend behandeld. Hij zou ook nog willen weten hoe vermenigvuldgit en deelt met relatieve getallen.
Beantwoorden van die vraag maakt een nieuw artikel noodzakelijk. 

*Relatieve getallen of waarden zijn afhankelijk van andere absolute getallen.
Anders gezegd staan ze in relatie tot deze andere absolute getallen.
Lang niet altijd worden die andere absolute getallen gegeven.
Bijvoorbeeld 1 op de 5 auto’s op deze weg rijdt te hard.
Je weet niet hoeveel auto’s er precies te hard rijden. Alleen welk deel.

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas

1778

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen

 

Dit artikel is uit 1926, uit een van de eerste brochures van de Vrije School Den Haag.

Over deze brochure                    Hier te downloaden

Ondanks het bijna 100-jarig bestaan van het artikel, heeft het aan bepaalde gezichtspunten niets aan actualiteit ingeboet.

Ik heb het in de oorspronkelijke spelling laten staan.  

 

BEELD EN RYTHME IN HET REKENONDERWIJS

door E. VAN BEMMELEN—SMIT.

Het rekenonderwijs te brengen in die kunstzinnig beeldende vorm, die voor jongere kinderen een vereischte is, lijkt op het eerste gezicht misschien bezwaarlijk. De vier hoofdbewerkingen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, deelen zijn bewerkingen, die zoo volkomen wetmatig verloopen, dat het lijkt, dat daar voor de verbeeldingskracht geen plaats is. Toch, wanneer we ons richten op wat in de kinderen leeft, dan vinden we ook hier de weg om een vak als rekenen in kunstzinnige vorm te onderwijzen.

In het kunstzinnige onderwijs gaat het er om in beeld en rythme de stof uit te drukken.

Een beeld van de getallenwereld vinden we in de meetkundige figuren. In driehoek, vierhoek en vijfhoek hebben we een beeld van de drietHeid, vierheid en vijfheid. Het teekenen van de elementaire meetkundige figuren kunnen we dan ook al heel vroeg met kinderen doen. Ze vinden daarin behalve het beeld van de veelheid, ook al het verband tusschen enkele getallen, bijv. 2 en 6.

Aan fig. 1 in de zeshoek kunnen we o.a. duidelijk maken, hoe van 6, 2 driemaal afgetrokken kan worden en er dan geen rest blijft. In de vijfhoek kunnen we dit niet. De vijfpuntige ster en de gesloten driehoek drukken dit in beeld uit. Het rythmische rekenen sluit zich aan bij alles wat met tellen samenhangt. Het tellen kan op oneindig veel manieren rythmisch ingericht worden. Het is een genot de vreugde van vele kinderen te zien die door rythme gedragen opstijgen tot een duizelingwekkende hoogte van den getallenberg.

Het getal is een concreetheid voor de kinderen. Ze stijgen mee bij het hooger worden van het getal. De spanning om wat er komen zal en waar dat eindigen moet, is reëel, maar het einde komt niet. De oneindigheid beroert de kinderziel.

De geestdrift, die ontstaan kan door dit invoeren in de totaliteit van de getallenwereld is een noodzakelijkheid bij het onderwijs. Maar deze kan niet ontstaan, wanneer we ons moeten beperken tot een brokstuk, bijv. de getallen tusschen 1 en 10 of tusschen 1 en 100. Voor het leeren van de bewerkingen is deze beperking natuurlijk noodig, maar in het rythmische rekenen kan deze achterwege blijven. Welke weg moeten we nu gaan om de kinderen in het elementaire rekenen in te leiden?

Die weg, die het kind zelf geneigd is te gaan. We moeten bij de eenheid beginnen en dan tot handeling over gaan, handeling, die tot de veelheid voert, dus deelen, verdeelen. Dat is de weg, die bij de ontwikkelingsgang van het kind aansluit.

De deeling, de splitsing in gelijke en ongelijke deelen dus als eerste bewerking. Ook het getal kan als eenheid opgevat worden en dan verdeeld worden. Richten we ons op datgene, wat innerlijk gebeurt, wanneer we deelen, en vergelijken dat met hetgeen gebeurt, wanneer we optellen. Nemen we een concreet voorbeeld, b.v. we splitsen 12 in ongelijke deelen: 12 = 3 + 5 + 4 of 6 + 5 +1.

We hebben daar de vrijheid te kiezen tusschen zeer veel verschillende combinaties van verschillende getallen. Onze fantasie heeft daar (binnen zekere grenzen) vrij spel. Bij de omgekeerde bewerking, de optelling, zijn deze zelfde 3 getallen: 3 + 5 + 4 niet anders dan tot één bepaald getal te vereenigen. We hebben daar geen vrijheid, het antwoord is bepaald.

Dit ontplooien van de fantasiekrachten, dat is het juist, waar het op aan komt bij jonge kinderen. Wordt er in het onderwijs geen ruimte gelaten voor deze krachten, dan verdroogt en verdort het kind innerlijk. Te vroeg moeten dan de intellectueele krachten opgeroepen worden, die zich juist richten naar het bepaalde, het wetmatige, het logische. Het zich voegen naar de wetmatigheid past den volwassenen, het kind moet dit eerst langzamerhand, geleidelijk leeren.

In de praktijk van het onderwijs, dat deze fantasiekrachten van het kind tot zijn recht laat komen, komen we tot verrassende ervaringen. We vinden n.l. dat de individueele geaardheid van het kinid tot in het rekenonderwijs toe gelegeheid heeft zich te uiten.

Uit mijn praktijk kan ik het volgende voorbeeld opschrijven. Splitsingen van het getal 18, door twee verschillende kinderen gevonden.

Van beide rijen kon ik nog tweemaal zooveel neerschrijven, wanneer de plaatsruimte dat toeliet.

Wanneer we de gedachtengang volgen, die deze beide kinderen gegaan zijn bij het bedenken van deze getallen, dan wordt het ons duidelijk, hoe daar twee totaal verschillende karakters achter staan.

In de eerste rij vinden we een kind, dat van het gegevene is uitgegaan. Enkele hoofdgedachten heeft het gehad, die uit het getal 18 zelf voortkwamen.

18 = 10 + 8 was zijn eerste gedachte. Die gedachte uitgewerkt; toen kwam de volgende: 18 = 9 + 9. ook deze wordt uitgewerkt. Andere hoofdgedachten volgen nog, als 18 = 6 + 6 + 6 die hier niet verder opgeschreven zijn. Enkele speelsche fantasiën als 18 = 1 + 1 + 1 + 1 enz., zijn er ingevlochten, als trillers in een muziekstuk.

Bij het andere kind totaal het tegenovergestelde. Niet van het getal 18 is uitgegaan, maar van zijn eigen willekeur. In iedere vorm zet een nieuwe frissche impuls in. Niets van het oude mocht blijven, geen aanleunen aan wat er al is. Met een overmaat van scheppende fantasie is gewerkt.

De eerste rij kan doen denken aan een vloeiend melodieus spel, de tweede aan forsche accoorden. Hoe deze kinderen zichzelf konden zijn bij dit werk! Ze werkten met genot, want hun werkkracht kon zich vrij en onbelemmerd geven.

Van het deelen vindt men heel gemakkelijk een overgang naar het aftrekken. In tegengestelde richting teruggaande kan men dan met vrucht de optelling, daarna de vermenigvuldiging behandelen.

De kinderen moeten daarbij altijd een zeker gevoel krijgen voor het getal, zooals het in ons tientallig stelsel zijn plaats vindt. Door een symmetrieoefening als in fig. 4 is aangeduid, bereikt men veel. Men bedekt de eene helft en laat de kinderen de andere helft zelf vinden.

De vermenigvuldiging geeft zeer veel mogelijkheden tot rythmisch rekenen.

Tellend in rythmen van bijv. 3 en 4 vindt men direct de tafels van vermenigvuldiging van die getallen. Het is nu van het grootste gewicht, dat de tafels zonder meer uit het hoofd geleerd worden. Juist in deze eerste jaren van de lagere school, wanneer de krachten, die vroeger aan het lichamelijke van het kind gewerkt hebben, vrij komen als zielskrachten, als geheugenkrachten, moet aan deze krachten stof gegeven worden, waardoor ze in werking kunnen treden*).

De afleiding van de tafel kan, behalve op rythmische manier, ook op beeldende wijze behandeld worden. In fig. 2 is daarvan een eenvoudig voorbeeld gegeven. Natuurlijk is daar een oneindig aantal variaties mogelijk, die zoo gezocht kunnen worden, dat ze ingang vinden bij de verschillende typen van kinderen.

In hoofdzaak zijn de kinderen onder te brengen in vier typen, . naar de vier temperamenten. Alleen wil ik wijzen op enkele eigenaardigheden in verband met het rekenonderwijs.

Voor een sanguinisch kind zou b.v. een teekening als in fig 2 veel winnen in aantrekkelijkheid, wanneer die een beetje versierd of gekruld werd. Fig. 3 zou voor zoo’n kind interessanter, bevredigender zijn. Een melancholisch kind heeft graag een langgerekte, eenigszins magere vorm, de vorm, die ook zijn eigen gestalte heeft. Een cholerisch kind zal meer bevrediging vinden in sterk geaccentueerde, sprekende vormen. 

Het gelijkmatige, rythmisch verloopende van fig. 4 zal voor het phlegmatisohe kind nog het meest passende zijn.

Ieder temperament heeft zijn eigenaardigheden. Kan men in het onderwijs daarmee rekening houden, en dat is mogelijk in een onderwijs, zooals dat gegeven wordt aan de „Vrije School”, dan kan het kind zich ontwikkelen naar zijn eigen aard, het kan zich ook individueel vrij voelen in het klassicale onderwijs.

Een melancholisch kind, dat weinig begaafdheid voor rekenen had en er daardoor een groote tegenzin in had, had eens op een morgen met veel plezier gerekend. Wat was er voor soort werk gegeven? Die vorm van rekenen, waartoe het melancholische kind zich bijzonder aangetrokkén voelt, n.l. het aftrekken en wel in deze vorm: hoeveel moet ik van een zeker getal aftrekken om maar zóó weinig over te houden? Deze in mineur gestemde bewerking roept een lustgevoel bij de melaneholica op, wat dan zoo werken kan, dat een voor rekenen weinig begaafd kind daardoor toch plezier krijgt in dit vak.

De kinderen vinden wel een groote hulp door dit ingaan op hun temperament, maar toch moet voor weinig begaafde kinderen nog een andere weg worden gezocht.

In de anthroposophische litteratuur wordt herhaaldelijk gesproken over de drieledige indeeling van het menschelijk organisme**), een indeeling in hoofd-zenuw-mensch, borst- (of rythmische) mensch en stofwisselings- ledematen-mensch. Men vindt daar uiteengezet hoe denken, voelen en willen hun zetel vinden in deze drie systemen.

Bij een kind is het denken, voelen en willen nog veel enger verbonden met het lichamelijke dan bij een volwassene. Er treedt daar een sterke wisselwerking op tusschen het zieleleven en het lichamelijke.

In de paedagogie moet men daarmee rekening houden. Het wilselement, dat in een vak als rekenen een groote rol speelt, kan men versterken door het kind het ledematenstelsel te laten gebruiken, door het na te loopen. Bijvoorbeeld laat men het 7 stappen vooruit loopen en dan 3 achteruit en vraagt het dan hoeveel stappen het nu voorwaarts gekomen is.

Dergelijke oefeningen dragen er, bij herhaling toegepast, enorm toe bij, om de capaciteiten, die voor het rekenen noodig zijn te versterken. Het is zelfs heel goed mogelijk, dat men na eenige jaren die kinderen zoo ver brengen kan, dat men van onbegaafdheid voor rekenen niet meer spreken kan.

Ook in de eurhythmie en de gymnastiek zijn voor het rekenen groote hulpmiddelen te vinden. Men kan daar oefeningen geven, waarin het getal ingevloohten is, speciaal voor de onbegaafden in het rekenen.

Zoo geeft de Anthroposophische paedagogie, die gebouwd is op het wezen en de ontwikkelingsgang van het kind zelf, de mogelijkheid in alle vakken heilbrengend aan de kinderen te werken.

Het beeld, dat ik heb trachten te geven van het onderwijs in het rekenen, wil een bescheiden aanduiding zijn in die’richting. Ieder onderwijzer kan ze naar alle zijden uitbouwen. Beeld en rythme in het onderwijs versterken de phantasie en gevoelskrachten van het kind, maar geven ook ieder onderwijzer de vrijheid steeds nieuwe wegen te vinden, de kinderen vreugde te schenken in het leven. Dr. Rudolf Steiner mogen wij dankbaar zijn, die vrije velden van de kunst aan het onderwijs dienstbaar te hebben gemaakt.

*) Zie paedagogische cursus van 1921 van Albert Steffen,
[deze kreeg later het GA-nummer 301, vertaald op deze blog.]

**) o.a. in „Von Seelenrätseln” van Dr. R. Steiner en in de Paedagogische Cursus in 1921 door Albert Steffen. [zie 1]

rekenen met temperamenten: deel 1 van 4

1e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeldalle klassen

.

Antroposophische paedagogie

Het kunstonderwijs op de ‘Vrije School’

Over het chemie-onderwijs in de achtste klasse

Het taalonderwijs in de laagste klasse

Schoolfeesten
.

.
1757

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

.
pieter ha witvliet

CIJFERS SCHRIJVEN

Op zeker ogenblik gaan de kinderen de cijfers schrijven. 

Er bestaat een aardig vers dat de manier beschrijft hoe je ze schrijft:

 

0 Zo rond als een ei, dan is de nul blij.

1 Van top tot teen, zo schrijven wij de één.

2 Eerst zijn bek, dan zijn nek, zo staat de twee niet voor gek.

3 Een kleine boog en een grote boog, de drie heeft altijd zijn voeten omhoog.

4 Een schuine lijn en een rechte pier, een hek ervoor, zo gaat de vier.

5 Eerst z’n nek, dan z’n lijf, pet erop, zo moet de vijf.

6 Een boog met een oog, dat is de les voor de zes.

7 Van links naar rechts heel even, schuin omlaag, zo gaat de zeven. Nog een streepje erbij, dan zijn we blij.

8 Eerst z’n lijf, dan z’n kop, zo staat de acht er goed op.

9 Eerst een oog en dan een boog, doe het goed, dan weet je hoe de negen moet.

Uiteraard is het belangrijk dat dit zó gebeurt en niet anders, want de bewegingen gaan zo veel mogelijk van links naar rechts: de richting waarin we het volgende cijfer – voor de letters geldt hetzelfde – schrijven.

Laatst schreef een vrijeschoolkind uit de 5e! klas iets voor me op met getallen. Ik was verbaasd dat het een paar cijfers niet met de juiste beweging schreef. 
‘Dat deed het altijd zo’, kreeg ik als antwoord op mijn vraag naar het waarom.

Uit eigen ervaring weet ik dat, hoe goed je het ook in een klas hebt voorgedaan en met bovenstaand versje – er geen garantie is dat het bij ieder kind voor altijd goed zit.

M.a.w. je zal regelmatig moeten controleren of ieder kind het nog steeds goed doet.
Dat hoeft niet veel tijd te kosten.

Ik had een schriftje met op iedere bladzij bovenaan de naam van het kind.
Wanneer we de pauzeboterham aten, liet ik een voor een een paar kinderen de rij van 0 – 9 schrijven. Het cijfer dat nog niet goed werd geschreven liet ik ze een aantal malen schrijven, eventueel een herinnering aan het versje en ze kregen de opdracht mee om thuis dit cijfer te oefenen.
De andere dag liet ik ze dit bij het binnenkomen of op een ander ogenblijk nog even opschrijven, ter controle, net zo lang dagelijks herhaald tot de fout niet meer werd gemaakt.

Als je dat in de 1e klas regelmatig herhaalt en in de latere jaren nog steeds, kan het niet gebeuren dat een kind in de 5e de cijfers niet goed schrijft.

En dat geldt zeer zeker ook voor de schrijfhouding en hoe het potlood, de pen wordt vastgehouden!

.

1e klas rekenenalle artikelen

1e klasalle artikelen

 VRIJESCHOOL in beeld1e klas: alle letterbeelden

.

1730

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen (9)

.

methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs

Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit, doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. Alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen, daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten, dan is dat toch nog geen kennis die ik per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatig gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze bekijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat, is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.

Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd, door het als volgorde te nemen.

Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.

Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan zo op deze 9 punten:

                                                          .         .         .
                                                          .         .         .
                                                          .         .         .

dan doen ze zich voor als  3  +  3  +  3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9, bestaand uit    3  +  3  +  3   kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt

dan krijg je de rij: 9 = 1  + 2  + 3  +  2  +  1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:

groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 

het verschil tussen de kwadraatgetallen.

De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ook door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluisteren toe of helemaal niet te zeggen, maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.

Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Daaraan voldoet op een natuurlijke manier ook voor rekenen in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen.

Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.

Een voorbeeld:

De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.

Dat wordt meestal zo gedaan:

80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur  100/80 º  Celsius
en  18º Réaumur is dan  100  x  18/80 º

Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en van daaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80   4/5         en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur   18 x 5/4=  22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer denkt aan de kleine deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij breuken het juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.

I.p.v. de breukenrij  1/6  +  1/12 + 1/3  + 1/4

uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
                                                                                               12

10/12  5/6

kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een derde is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is:   1  +  ½  +  2  +3½  = 5.

Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.

Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. Dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.

Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt, dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de formule gebruikt.

Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.

Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt, wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.

Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop  een systeem van vergelijkingen maakt die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding om van een uitzondering, maar om van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.

Bij het lesgeven op de vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervan zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.

Juist wat het rekenonderwijs betreft, is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren horen, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.

De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:

bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.

Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen,  10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.

Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:

E(ven) G(etal)      +   E(ven) G(etal)   =  E(ven) G(etal)
E G   +  O(oneven) G(etal)  =  O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G

P(ositief) G(etal)  x P(ositief) G(etal)  = P(ositief) G(etal)
P G  x   N(egatief) G(etal  =  N(egatief) G(etal
N G x P G  = N G
N G x N G = P G

Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar een innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, van oneven getallen oneven is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.

Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.

Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623  x  3,1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x
2,15444 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421;  √3 = 1,73206,  √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….

Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het   n-de  differentiaalquotiënt van xn  is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3  x  2  x  1)

Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x  3  x  2  x  1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld. [niet op deze blog].
.

Herman von Baravalle,  Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934

.

Rekenen: alle artikelen

.

1659

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Sint-Maarten (24)

.

SINT-MAARTEN EN ‘DELEN’

Sint-Maarten is het feest dat wij in Nederland op 11 november vieren. Het feest dat ons beelden schenkt die gaan over delen en ontvangen. Een actueel onderwerp voor alle inwoners van Europa, ‘aan de poorten’ staan duizenden vluchtelingen aan te kloppen op zoek naar onderdak, warmte, eten, kleding, veiligheid en hoop op een beter leven.

In dit jaarfeestenartikel worden enkele beelden van ‘delen’ belicht.

Sint-Maarten

11 november wordt in Nederland het feest van Sint-Maarten gevierd. Het feest dat de heilige Maarten of Martinus herdenkt.

Martinus werd in het jaar 316 geboren en stierf op 81-jarige leeftijd in 397, zestien eeuwen geleden en nog steeds spreken de beelden uit het leven van deze mens ons aan. Dat moeten grootse beelden zijn!

In Nederland vieren wij het Sint-Maartenfeest door met onze kinderen langs de deuren te trekken met uitgeholde knollen en een brandend kaarsje daarin. Zingend trekken de kinderen van deur tot deur en ontvangen gaven van de mensen die het lied en het licht in ontvangst nemen. De kinderen delen het lied en het licht, de mensen bij de deur geven iets lekkers als een mandarijn, snoep of een mooi steentje, schelpje of ander geschenk.

Martinus en de poort

Aan de kinderen op de scholen wordt het verhaal van de heilige Maarten of Martinus verteld.

Martinus reed op een koude winteravond naar Amiens en kwam vlak voor het sluiten van de poorten aan. Daar trof hij een bedelaar die om een aalmoes vroeg. De geldbuidel van Maarten was leeg, de tas met proviand eveneens.

Het verhaal gaat dat Maarten zijn zwaard trok en zijn mantel door midden sneed: een deel voor de bedelaar en een deel voor hemzelf. In de nacht daarna verschijnt Christus in een droom bij Martinus en vertelt dat Hij het was die aan de poort zat. Vanaf die tijd vertellen mensen elkaar het verhaal van Martinus, het delen van de mantel en het onbaatzuchtig omzien naar elkaar.

Sint-Maarten voor volwassenen

In deze jaarfeestenrubriek* hebben wij al vaker stil gestaan bij het onderwerp ‘delen en Sint-Maarten of Sint-Martinus’. Tijdens lezingen of cursussen die ik in het land verzorg rondom de jaarfeesten, klinkt vaak de vraag: ‘En wat kan dit feest of wat kunnen de beelden in een feest voor mij als volwassene betekenen?’

Afgelopen periode heb ik het beeld van ‘het delen’ op verschillende manieren ontmoet. In de krant, op televisie en in andere media klinkt de vraag: kan ik mijn huis delen met een vluchteling? Ben ik bereid een vluchteling op te nemen in mijn huis opdat deze ontheemde medemens ook weer een veilig thuis kan ervaren? Los van de discussie of een ‘gewone burger’ in staat is om een vluchteling, met wellicht psychische vragen als een trauma, onderdak te bieden, blijkt deze vraag voor menigeen moeilijk te beantwoorden. Het onderwerp: het ‘delen’ van ‘huis en haard’, ‘have en goed’, ‘hebben en houwen’, klopt bij ons allen aan de poort, de gemoederen lopen soms hoog op bij gemeenteraadsvergaderingen en demonstraties op straat. De vraag om te delen blijkt niet alleen voor volwassenen (soms) lastig te zijn.

Delen, spelen en rekenen

Kinderen leren in het leven ‘delen’. Delen van speelgoed, delen van snoepjes, delen van getallen in sommen. Veel kinderen groeien op met de gevleugelde uitspraak, ‘samen spelen, samen delen’.

Een pasgeboren kind deelt met ons het onvoorwaardelijk vertrouwen, dat wij als opvoeders er zijn om aan alle behoeften van het kind tegemoet te komen: eten, drinken, troost, warmte, liefde. Ouders delen soms zoveel uit na de geboorte van hun kindje, dat zij na een paar weken met donkere kringen onder hun ogen aangeven ‘moe te zijn en tijd nodig te hebben om zichzelf weer op te laden’. Gelukkig deelt het kind na ongeveer zes weken een glimlach met de ouders en dat maakt veel goed en doet ‘donkere kringen onder de ogen’ een beetje verminderen.

In de spelontwikkeling van het jonge kind kunnen wij zien dat zij langzaamaan groeien van ‘spel met mij zelf’ naar ‘spel naast elkaar’, naar ‘samenspel’, ‘fantasiespel’ tot uiteindelijk coöperatief spel waarin het niet gaat om winnen maar om samen rijker te worden van het gespeelde spel en de opgedane ervaring.

Tijdens een studiedag over rekenen met onderbouwleerkrachten en kleuterleerkrachten werd gesproken over het belang van de vroege
kindontwikkeling van 0 tot 7 jaar, in relatie tot rekenproblemen. Opvallend was met elkaar te concluderen dat met name ‘deelsommen’ voor veel kinderen lastig blijken te zijn. Tijdens deze studiedag werd besproken dat een kind dat rekent, vaardigheden in huis moet hebben om werkelijk te begrijpen wat het moet doen bij het rekenen. Het moet het rekenen kunnen ‘ grijpen, pakken’. Het kind moet ook een stevig innerlijk emotioneel fundament hebben om tot rekenen te kunnen komen.

Deze rubriek staat in het teken van Sint-Maarten en delen. De vaardigheden die een kind moet hebben om bij het rekenen tot delen te kunnen komen, zullen beschreven worden aan de hand van beelden uit het Sint-Maartenfeest.

Deelsommen

Voor het kunnen uitvoeren van delen en deelsommen maken moet een kind zichzelf kunnen sturen, actief en betrokken zijn, beweeglijk zijn, tot samenwerken en samenspelen kunnen komen, zich goed kunnen concentreren, met woorden de rekenopdracht kunnen verwoorden, het spel kunnen spelen dat past bij de leeftijd, motorisch goed kunnen bewegen passend bij de leeftijd én het kind moet uitgerust zijn. Wie moe is, komt minder tot bloei en groei dan iemand die uitgerust is.

De genoemde onderwerpen worden hieronder apart uitgewerkt.

Zichzelf kunnen sturen

Iemand die impulsief is of die emotioneel dichtklapt als er een vraag wordt gesteld, kan niet of moeilijk tot ‘delen’ komen. Martinus stond bij de poort en zag de bedelaar zitten. Hij kon handelen vanuit een diep menselijk meevoelen met een ander en bedenken wat hij kon doen. Zijn willen, voelen en denken werkten congruent samen.

Actief zijn

Martinus reed op zijn paard de wereld door. De kinderen trekken, lopend en zingend door weer en wind, de wereld in om het licht te schenken en misschien een geschenk(je) te ontvangen. Martinus en de kinderen zijn actief, zij bewegen, misschien zijn ze ook nieuwsgierig wie achter deze deur waar aangebeld is, woont en wat er geschonken wordt na het zingen van het lied. De mens die de deur opent voor de kinderen is ook in actie gekomen, namelijk van de bank opgestaan en heeft de voordeur geopend. En ook de mens die de voordeur opent, kent een zekere nieuwsgierigheid naar het lied, wie het lied zingen en hoe de knol of lantaren eruit zal zien.

Beweeglijkheid, wendbaarheid in het handelen, samenwerken en samenspelen

Martinus trok met zijn troep soldaten door het land. Het was al laat en de poorten zouden gaan sluiten, zo luidt het verhaal. De soldaten van Martinus hebben de bedelaar misschien ook zien zitten, maar zij kozen ervoor om door te rijden om op tijd binnen te zijn. Martinus stopte. Dit vraagt een beweeglijkheid in het denken, voelen en willen. Kan ik als mens afstappen van een plan dat ik wilde uitvoeren, kan ik mij aanpassen aan een nieuwe situatie?

Om tot samenspelen te komen, moet een kind een eigen binnenwereld hebben ontwikkeld waarin de spelbeelden die het wil spelen, kunnen klinken. Het kind moet ook een beleving hebben, dat het een individu is, een zelf, een ik. Werkelijk samenspel ontstaat daar waar twee ikken in wisselwerking en afstemming samen tot saam kunnen komen. Martinus deelde de helft van zijn mantel, hij gaf niet de hele mantel weg. In echte samenwerking en samenspel zijn de betrokkenen allen ‘warm en staat er niemand in de kou’. Niemand staat zonder een stuk van de warme mantel.

Goede concentratie

Martinus sneed zijn mantel met zijn zwaard doormidden. In veel kleuterklassen wordt het sintmaartenspelletje gespeeld. Met de grootste ernst wordt met een houten zwaard een mantel in twee ‘gesneden’. Natuurlijk ‘weten’ kleuters dat dit ‘net-als-of’ spel is. De twee mantelstukken zitten met een strikje of stukje klittenband aan elkaar vast. En toch, de concentratie die op het moment van ‘snijden’ getoond wordt, is met de grootst mogelijke ernst die menig kleuter ten toon kan spreiden. Delen is dus niet iets dat wij even ‘hup hup doen’, het vraagt goede concentratie.

In de media wordt gesproken over ‘het in jouw eigen huis opnemen van vluchtelingen’. De een is voor, de ander is tegen. Een goede afstemming of concentratie op de vraag die door de vluchtelingen of hulpverleners gesteld wordt, lijkt in deze discussie door te klinken. Maar ook: hoe geconcentreerd ben ik zelf op de vraag die gesteld wordt?

Een goede taalontwikkeling die past bij de leeftijd

De kinderen trekken met hun lichtjes al zingend van deur tot deur. Zingen ondersteunt de taalontwikkeling. Iemand die een zwakke taalontwikkeling heeft, heeft vaak moeite om de eigen innerlijke binnenwereld onder woorden te brengen en zo tot delen te komen van die innerlijke wereld met zichzelf maar ook met een ander.

De liederen die de kinderen bij het Sint-Maartenfeest zingen zijn rijk aan taal. In een lied klinkt bijvoorbeeld:

‘Sinte-Maarten had een mantel aan, e
n daar zat een gouden kantel aan,
hij was gevoerd met wit satijn,
het zal heel gauw Sinte- Maarten zijn’.

Soms vragen ouders wel eens waarom op de vrijeschool liederen worden gezongen met ‘ouderwetse taal’. Satijn, kantel… dat zijn geen alledaagse woorden meer.

Jonge kinderen, genieten van de klanken die in de taal verschijnen. Kinderen ervaren door deze ‘ouderwetse woorden’ een spel van klank en taal dat hen helpt om liefde voor het woord en voor taal te ontwikkelen. Zij ondergaan in deze ‘ouderwetse taal’ een proeven aan klanken, geschiedenis, vormen en bewegingen die onze taal mede opbouwt.

De liederen van Sint-Maarten lenen zich hier goed voor. Zo leert Sint-Maarten ons niet alleen in het beeld van het verhaal om te delen, maar helpt de rijkdom van de taal in de liederen de mensen ook om de taal als brug te laten groeien om de eigen gevoels- en gedachtewereld naar ‘buiten’ te brengen en tot ontmoeting met de ander te komen. Ook de taal helpt ons om te delen.

Spel spelen dat past bij de leeftijd

Het klinkt misschien wonderlijk, maar om later goed te kunnen rekenen, moet een kind in de kleuterleeftijd fantasie- en rollenspel hebben gespeeld. In fantasie- en rollenspel fungeert de taal die het kind gebruikt ook als brug tussen de eigen binnenwereld en de buitenwereld. Het kind oefent de eigen gedachtewereld onder woorden te brengen. Het kind treedt tijdens het spel buiten de ‘hier en nu wereld’, speelt in de ‘net-als-of-wereld’ en oefent daarmee samenhang aan te brengen in het spel en logisch te redeneren. In veel kleuterklassen en klas 1, 2 worden sintmaartenspelletjes gespeeld met de kinderen. De kinderen beelden zich een rol in, bijvoorbeeld de bedelaar, de poortwachter en vele rollen meer. Met elkaar wordt uit de losse rollen één spel gespeeld. Hierin beleven de kinderen dat het geheel meer is dan de optelsom van de losse delen (= de rollen) en dat iedere rol, groot of klein, nodig was om samen dit spel tot stand te brengen.

De motorische ontwikkeling moet ook passen bij de leeftijd van het kind

Door zich vrij in de omgeving te bewegen, ervaart het kind de verschillende ruimtelijke dimensies: boven, onder, achter, voor, links, rechts, schuin. Bij het Sint-Maartenfeest klinken in de liederen de ruimtelijke richtingen: Maarten reed door weer en wind, op zijn paard, bij de poort, aan de hemel flonkeren de sterren… Om tot delen te komen moet een kind ervaren hebben waar het zelf staat in de ruimte, in de wereld maar ook hoe het verankerd is in en met zichzelf. Hoe meer bewegingsruimte een kind ervaart, in letterlijke zin, hoe meer het in emotionele zin zal kunnen delen of juist een gezonde grens kan aangeven tot hoever het met delen wil gaan.

Het kind moet zich vitaal, uitgerust voelen

Om tot leren en ontwikkelen te komen, moet een kind uitgerust zijn. De wil om waar te nemen neemt af en ook het geheugen lijdt aan vermoeidheid.

De deelsommen in de onderbouwklassen worden beter gemaakt als je maag gevuld is en je lekker uitgerust bent. Om tot delen te komen, is het van belang dat het kind uitgerust is, vitaal is en overschotskrachten heeft

Aan de poort van Amiens zat 1600 jaar geleden een bedelaar

Aan de poorten van Europa staan in 2015 vele duizenden medemensen, groot en klein, te kloppen.

Aan onze poorten lijkt de vraag de klinken: Kan ik als wereldburger delen? Hoe groot is de mantel die ik door midden snijd? Kan ik diep in mijzelf het gevoel of de kracht van de medeverantwoordelijkheid ervaren? Kan ik werkelijk interesse opbrengen voor de wereld en al haar bewoners?

.(weet iemand wie dit gemaakt heeft?)

Loïs Eijgenraam

Dit artikel verscheen eerder in  VRIJE OPVOEDKUNST, herfst 2015.
Hier gepubliceerd met toestemming van de auteur.

.
Boeken van Loïs Eijgenraam

Praktijk voor ouderbegeleiding en opvoedingsondersteuning
website van Loïs Eijgenraam

 

Sint-Maarten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: Sint-Maarten   jaartafel

Rekenen: delen en temperament

Rekenen: alle artikelen

.

1657

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.