Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1550 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas

L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)   klas 11

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

 

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

 

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

Advertenties

VRIJESCHOOL – Rekenen

.

methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs

Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten dan is dat toch nog geen kennis die per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatige gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze kijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.

Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd door het als volgorde te nemen.

Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.

Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan in zo op deze 9 punten:

.         .         .
                                                          .         .         .
                                                          .         .         .

dan doen ze zich voor als  3  +  3  +  3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9 bestaand uit    3  +  3  +  3   kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt

dan krijg je de rij: 9 = 1  + 2  + 3  +  2  +  1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:

groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 

het verschil tussen de kwadraatgetallen.

De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ppk door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluistern toe of helemaal niet te zeggen maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.

Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Dat geldt ook voor het rekenen dat in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen op een natuurlijke manier daaraan voldoet.

Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.

Een voorbeeld:

De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.

Dat wordt meestal zo gedaan:

80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur  100/80 º  Celsius
en  18º Réaumur is dan  100  x  18/80 º

Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en vandaaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80   4/5         en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur   18 x 5/4=  22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer aan de klein de deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk over zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij b reuken jet juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.

I.p.v. de breukenrij  1/6  +  1/12 + 1/3  + 1/4

uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
                                                                                               12

10/12  5/6

kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een kwart is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is:   1  +  ½  +  2  +3½  = 5.

Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.

Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.

Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de fortmule gebruikt.

Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.

Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt,dan wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering  beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.

Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop maakt een systeem van vergelijkingen  die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden  heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding van een uitzondering, maar van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.

Bij het lesgeven op e vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervoor zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.

Juist wat het rekenonderwijs is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren hoort, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.

De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:

bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.

Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen,  10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.

Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:

E(ven) G(etal)      +   E(ven) G(etal)   =  E(ven) G(etal)
E G   +  O(oneven) G(etal)  =  O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G

P(ositief) G(etal)  x P(ositief) G(etal)  = P(ositief) G(etal)
P G  x   N(egatief) G(etal  =  N(egatief) G(etal
N G x P G  = N G
N G x N G = P G

Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar in innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, de oneven getallen negatief is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.

Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.

Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623  x  3, 1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x 2, 1544 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421;  √3 = 1,73206,  √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….

Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het   n-de  differentiaalquotiënt van xn  is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3  x  2  x  1)

Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x  3  x  2  x  1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld.
.

Herman von Baravalle,  Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934

.

Rekenen: alle artikelen

.

1659

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Sint-Maarten (24)

.

SINT-MAARTEN EN ‘DELEN’

Sint-Maarten is het feest dat wij in Nederland op 11 november vieren. Het feest dat ons beelden schenkt die gaan over delen en ontvangen. Een actueel onderwerp voor alle inwoners van Europa, ‘aan de poorten’ staan duizenden vluchtelingen aan te kloppen op zoek naar onderdak, warmte, eten, kleding, veiligheid en hoop op een beter leven.

In dit jaarfeestenartikel worden enkele beelden van ‘delen’ belicht.

Sint-Maarten

11 november wordt in Nederland het feest van Sint-Maarten gevierd. Het feest dat de heilige Maarten of Martinus herdenkt.

Martinus werd in het jaar 316 geboren en stierf op 81-jarige leeftijd in 397, zestien eeuwen geleden en nog steeds spreken de beelden uit het leven van deze mens ons aan. Dat moeten grootse beelden zijn!

In Nederland vieren wij het Sint-Maartenfeest door met onze kinderen langs de deuren te trekken met uitgeholde knollen en een brandend kaarsje daarin. Zingend trekken de kinderen van deur tot deur en ontvangen gaven van de mensen die het lied en het licht in ontvangst nemen. De kinderen delen het lied en het licht, de mensen bij de deur geven iets lekkers als een mandarijn, snoep of een mooi steentje, schelpje of ander geschenk.

Martinus en de poort

Aan de kinderen op de scholen wordt het verhaal van de heilige Maarten of Martinus verteld.

Martinus reed op een koude winteravond naar Amiens en kwam vlak voor het sluiten van de poorten aan. Daar trof hij een bedelaar die om een aalmoes vroeg. De geldbuidel van Maarten was leeg, de tas met proviand eveneens.

Het verhaal gaat dat Maarten zijn zwaard trok en zijn mantel door midden sneed: een deel voor de bedelaar en een deel voor hemzelf. In de nacht daarna verschijnt Christus in een droom bij Martinus en vertelt dat Hij het was die aan de poort zat. Vanaf die tijd vertellen mensen elkaar het verhaal van Martinus, het delen van de mantel en het onbaatzuchtig omzien naar elkaar.

Sint-Maarten voor volwassenen

In deze jaarfeestenrubriek* hebben wij al vaker stil gestaan bij het onderwerp ‘delen en Sint-Maarten of Sint-Martinus’. Tijdens lezingen of cursussen die ik in het land verzorg rondom de jaarfeesten, klinkt vaak de vraag: ‘En wat kan dit feest of wat kunnen de beelden in een feest voor mij als volwassene betekenen?’

Afgelopen periode heb ik het beeld van ‘het delen’ op verschillende manieren ontmoet. In de krant, op televisie en in andere media klinkt de vraag: kan ik mijn huis delen met een vluchteling? Ben ik bereid een vluchteling op te nemen in mijn huis opdat deze ontheemde medemens ook weer een veilig thuis kan ervaren? Los van de discussie of een ‘gewone burger’ in staat is om een vluchteling, met wellicht psychische vragen als een trauma, onderdak te bieden, blijkt deze vraag voor menigeen moeilijk te beantwoorden. Het onderwerp: het ‘delen’ van ‘huis en haard’, ‘have en goed’, ‘hebben en houwen’, klopt bij ons allen aan de poort, de gemoederen lopen soms hoog op bij gemeenteraadsvergaderingen en demonstraties op straat. De vraag om te delen blijkt niet alleen voor volwassenen (soms) lastig te zijn.

Delen, spelen en rekenen

Kinderen leren in het leven ‘delen’. Delen van speelgoed, delen van snoepjes, delen van getallen in sommen. Veel kinderen groeien op met de gevleugelde uitspraak, ‘samen spelen, samen delen’.

Een pasgeboren kind deelt met ons het onvoorwaardelijk vertrouwen, dat wij als opvoeders er zijn om aan alle behoeften van het kind tegemoet te komen: eten, drinken, troost, warmte, liefde. Ouders delen soms zoveel uit na de geboorte van hun kindje, dat zij na een paar weken met donkere kringen onder hun ogen aangeven ‘moe te zijn en tijd nodig te hebben om zichzelf weer op te laden’. Gelukkig deelt het kind na ongeveer zes weken een glimlach met de ouders en dat maakt veel goed en doet ‘donkere kringen onder de ogen’ een beetje verminderen.

In de spelontwikkeling van het jonge kind kunnen wij zien dat zij langzaamaan groeien van ‘spel met mij zelf’ naar ‘spel naast elkaar’, naar ‘samenspel’, ‘fantasiespel’ tot uiteindelijk coöperatief spel waarin het niet gaat om winnen maar om samen rijker te worden van het gespeelde spel en de opgedane ervaring.

Tijdens een studiedag over rekenen met onderbouwleerkrachten en kleuterleerkrachten werd gesproken over het belang van de vroege
kindontwikkeling van 0 tot 7 jaar, in relatie tot rekenproblemen. Opvallend was met elkaar te concluderen dat met name ‘deelsommen’ voor veel kinderen lastig blijken te zijn. Tijdens deze studiedag werd besproken dat een kind dat rekent, vaardigheden in huis moet hebben om werkelijk te begrijpen wat het moet doen bij het rekenen. Het moet het rekenen kunnen ‘ grijpen, pakken’. Het kind moet ook een stevig innerlijk emotioneel fundament hebben om tot rekenen te kunnen komen.

Deze rubriek staat in het teken van Sint-Maarten en delen. De vaardigheden die een kind moet hebben om bij het rekenen tot delen te kunnen komen, zullen beschreven worden aan de hand van beelden uit het Sint-Maartenfeest.

Deelsommen

Voor het kunnen uitvoeren van delen en deelsommen maken moet een kind zichzelf kunnen sturen, actief en betrokken zijn, beweeglijk zijn, tot samenwerken en samenspelen kunnen komen, zich goed kunnen concentreren, met woorden de rekenopdracht kunnen verwoorden, het spel kunnen spelen dat past bij de leeftijd, motorisch goed kunnen bewegen passend bij de leeftijd én het kind moet uitgerust zijn. Wie moe is, komt minder tot bloei en groei dan iemand die uitgerust is.

De genoemde onderwerpen worden hieronder apart uitgewerkt.

Zichzelf kunnen sturen

Iemand die impulsief is of die emotioneel dichtklapt als er een vraag wordt gesteld, kan niet of moeilijk tot ‘delen’ komen. Martinus stond bij de poort en zag de bedelaar zitten. Hij kon handelen vanuit een diep menselijk meevoelen met een ander en bedenken wat hij kon doen. Zijn willen, voelen en denken werkten congruent samen.

Actief zijn

Martinus reed op zijn paard de wereld door. De kinderen trekken, lopend en zingend door weer en wind, de wereld in om het licht te schenken en misschien een geschenk(je) te ontvangen. Martinus en de kinderen zijn actief, zij bewegen, misschien zijn ze ook nieuwsgierig wie achter deze deur waar aangebeld is, woont en wat er geschonken wordt na het zingen van het lied. De mens die de deur opent voor de kinderen is ook in actie gekomen, namelijk van de bank opgestaan en heeft de voordeur geopend. En ook de mens die de voordeur opent, kent een zekere nieuwsgierigheid naar het lied, wie het lied zingen en hoe de knol of lantaren eruit zal zien.

Beweeglijkheid, wendbaarheid in het handelen, samenwerken en samenspelen

Martinus trok met zijn troep soldaten door het land. Het was al laat en de poorten zouden gaan sluiten, zo luidt het verhaal. De soldaten van Martinus hebben de bedelaar misschien ook zien zitten, maar zij kozen ervoor om door te rijden om op tijd binnen te zijn. Martinus stopte. Dit vraagt een beweeglijkheid in het denken, voelen en willen. Kan ik als mens afstappen van een plan dat ik wilde uitvoeren, kan ik mij aanpassen aan een nieuwe situatie?

Om tot samenspelen te komen, moet een kind een eigen binnenwereld hebben ontwikkeld waarin de spelbeelden die het wil spelen, kunnen klinken. Het kind moet ook een beleving hebben, dat het een individu is, een zelf, een ik. Werkelijk samenspel ontstaat daar waar twee ikken in wisselwerking en afstemming samen tot saam kunnen komen. Martinus deelde de helft van zijn mantel, hij gaf niet de hele mantel weg. In echte samenwerking en samenspel zijn de betrokkenen allen ‘warm en staat er niemand in de kou’. Niemand staat zonder een stuk van de warme mantel.

Goede concentratie

Martinus sneed zijn mantel met zijn zwaard doormidden. In veel kleuterklassen wordt het sintmaartenspelletje gespeeld. Met de grootste ernst wordt met een houten zwaard een mantel in twee ‘gesneden’. Natuurlijk ‘weten’ kleuters dat dit ‘net-als-of’ spel is. De twee mantelstukken zitten met een strikje of stukje klittenband aan elkaar vast. En toch, de concentratie die op het moment van ‘snijden’ getoond wordt, is met de grootst mogelijke ernst die menig kleuter ten toon kan spreiden. Delen is dus niet iets dat wij even ‘hup hup doen’, het vraagt goede concentratie.

In de media wordt gesproken over ‘het in jouw eigen huis opnemen van vluchtelingen’. De een is voor, de ander is tegen. Een goede afstemming of concentratie op de vraag die door de vluchtelingen of hulpverleners gesteld wordt, lijkt in deze discussie door te klinken. Maar ook: hoe geconcentreerd ben ik zelf op de vraag die gesteld wordt?

Een goede taalontwikkeling die past bij de leeftijd

De kinderen trekken met hun lichtjes al zingend van deur tot deur. Zingen ondersteunt de taalontwikkeling. Iemand die een zwakke taalontwikkeling heeft, heeft vaak moeite om de eigen innerlijke binnenwereld onder woorden te brengen en zo tot delen te komen van die innerlijke wereld met zichzelf maar ook met een ander.

De liederen die de kinderen bij het Sint-Maartenfeest zingen zijn rijk aan taal. In een lied klinkt bijvoorbeeld:

‘Sinte-Maarten had een mantel aan, e
n daar zat een gouden kantel aan,
hij was gevoerd met wit satijn,
het zal heel gauw Sinte- Maarten zijn’.

Soms vragen ouders wel eens waarom op de vrijeschool liederen worden gezongen met ‘ouderwetse taal’. Satijn, kantel… dat zijn geen alledaagse woorden meer.

Jonge kinderen, genieten van de klanken die in de taal verschijnen. Kinderen ervaren door deze ‘ouderwetse woorden’ een spel van klank en taal dat hen helpt om liefde voor het woord en voor taal te ontwikkelen. Zij ondergaan in deze ‘ouderwetse taal’ een proeven aan klanken, geschiedenis, vormen en bewegingen die onze taal mede opbouwt.

De liederen van Sint-Maarten lenen zich hier goed voor. Zo leert Sint-Maarten ons niet alleen in het beeld van het verhaal om te delen, maar helpt de rijkdom van de taal in de liederen de mensen ook om de taal als brug te laten groeien om de eigen gevoels- en gedachtewereld naar ‘buiten’ te brengen en tot ontmoeting met de ander te komen. Ook de taal helpt ons om te delen.

Spel spelen dat past bij de leeftijd

Het klinkt misschien wonderlijk, maar om later goed te kunnen rekenen, moet een kind in de kleuterleeftijd fantasie- en rollenspel hebben gespeeld. In fantasie- en rollenspel fungeert de taal die het kind gebruikt ook als brug tussen de eigen binnenwereld en de buitenwereld. Het kind oefent de eigen gedachtewereld onder woorden te brengen. Het kind treedt tijdens het spel buiten de ‘hier en nu wereld’, speelt in de ‘net-als-of-wereld’ en oefent daarmee samenhang aan te brengen in het spel en logisch te redeneren. In veel kleuterklassen en klas 1, 2 worden sintmaartenspelletjes gespeeld met de kinderen. De kinderen beelden zich een rol in, bijvoorbeeld de bedelaar, de poortwachter en vele rollen meer. Met elkaar wordt uit de losse rollen één spel gespeeld. Hierin beleven de kinderen dat het geheel meer is dan de optelsom van de losse delen (= de rollen) en dat iedere rol, groot of klein, nodig was om samen dit spel tot stand te brengen.

De motorische ontwikkeling moet ook passen bij de leeftijd van het kind

Door zich vrij in de omgeving te bewegen, ervaart het kind de verschillende ruimtelijke dimensies: boven, onder, achter, voor, links, rechts, schuin. Bij het Sint-Maartenfeest klinken in de liederen de ruimtelijke richtingen: Maarten reed door weer en wind, op zijn paard, bij de poort, aan de hemel flonkeren de sterren… Om tot delen te komen moet een kind ervaren hebben waar het zelf staat in de ruimte, in de wereld maar ook hoe het verankerd is in en met zichzelf. Hoe meer bewegingsruimte een kind ervaart, in letterlijke zin, hoe meer het in emotionele zin zal kunnen delen of juist een gezonde grens kan aangeven tot hoever het met delen wil gaan.

Het kind moet zich vitaal, uitgerust voelen

Om tot leren en ontwikkelen te komen, moet een kind uitgerust zijn. De wil om waar te nemen neemt af en ook het geheugen lijdt aan vermoeidheid.

De deelsommen in de onderbouwklassen worden beter gemaakt als je maag gevuld is en je lekker uitgerust bent. Om tot delen te komen, is het van belang dat het kind uitgerust is, vitaal is en overschotskrachten heeft

Aan de poort van Amiens zat 1600 jaar geleden een bedelaar

Aan de poorten van Europa staan in 2015 vele duizenden medemensen, groot en klein, te kloppen.

Aan onze poorten lijkt de vraag de klinken: Kan ik als wereldburger delen? Hoe groot is de mantel die ik door midden snijd? Kan ik diep in mijzelf het gevoel of de kracht van de medeverantwoordelijkheid ervaren? Kan ik werkelijk interesse opbrengen voor de wereld en al haar bewoners?

.(weet iemand wie dit gemaakt heeft?)

Loïs Eijgenraam

Dit artikel verscheen eerder in  VRIJE OPVOEDKUNST, herfst 2015.
Hier gepubliceerd met toestemming van de auteur.

.
Boeken van Loïs Eijgenraam

 

Sint-Maarten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: Sint-Maarten   jaartafel

Rekenen: delen en temperament

Rekenen: alle artikelen

.

1657

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (1-8/9)

.

bovenbouwkost

EENHEDENSTELSELS

Iets uit de historie van de eenhedenstelsels

In het laatste artikel van deze reeks vertellen wij u het een en ander over de stelsels, die als voorlopers van het SI kunnen worden beschouwd.

Sinds jaar en dag zijn er twee typen van eenhedenstelsels in gebruik geweest: in de wetenschap stelsels met als basisgrootheden lengte, massa en tijd (dynamische stelsels) en in de techniek stelsels met de basisgrootheden lengte, kracht en tijd (statische stelsels).

De kilogram is in het jaar 1795 in Frankrijk volgens een wet tot eenheid van massa verklaard. Het gewicht van deze massastandaard, dus de kracht die deze standaard in het zwaartekrachtsveld van de Aarde ondervindt, werd als eenheid van kracht gekozen. Helaas heeft men deze kracht gewoonlijk ook kilogram genoemd, slechts hier en daar sprak men van kilogramkracht.

De massa van het standaardkilogram is onafhankelijk van zijn plaats op aarde of in het heelal. Het kilogram is dus een universeel bruikbare eenheid van massa. Met de kilogramkracht is dat niet het geval; deze kracht wordt kleiner met de hoogte. Bovendien werkt er op de lichamen op aarde een middelpuntzoekende kracht, die ze op het aardoppervlak vasthoudt. De waarde van deze middelpuntzoekende kracht wordt kleiner als men van een pool in de richting van de evenaar gaat. Buiten de aarde verliest de kilogramkracht zijn betekenis geheel, daar andere hemellichamen een duidelijk merkbare zwaartekracht gaan uitoefenen. Daar de kilogramkracht als zodanig niet constant is, zijn de statische stelsels gedoemd te verdwijnen. Wij zullen er verder over zwijgen.

Het dynamische stelsel, dat in de vorige eeuw in de wetenschap het eerste is aanvaard, had als eenheid van lengte de centimeter, als eenheid van massa de gram en als eenheid van tijd de seconde. Dit stelsel is afkomstig van de mathematicus Gauss en de fysicus Weber; het wordt centimeter.gram.seconde stelsel of cm.g.s. stelsel genoemd. In dit stelsel is de eenheid van de snelheid de centimeter per seconde cm/s, de eenheid van versnelling de centimeter per seconde per seconde cm/s² en de eenheid van kracht de gramcentimeter per seconde kwadraat g.cm/s². Deze krachtseenheid wordt afgekort tot dyne: 1 dyne = 1 g.cm/s². Daar 1 g = 10—³ kg en 1 cm = 10—² m is 1 dyne = 10—newton en 1 N = 105 dyne. De dyne is een kleine krachtseenheid.

De eenheid van arbeid in dit stelsel is de dyne maal centimeter; deze eenheid wordt afgekort tot erg. Uit omrekenen blijkt:

1 erg = 1 dyne.cm = 10—5.10—² Nm = 10-N.m of 10—J. Bovendien 1 J = 107  erg. Ook de erg is een kleine eenheid.

Voor de wetenschap zijn kleine eenheden niet bezwaarlijk, voor de techniek wei. Om bezwaren van die kant te ondervangen heeft men al spoedig een groot  dynamisch stelsel ingevoerd met als eenheden de meter, de kilogram en de seconde en wel het m.k.g. stelsel. Deze grote eenheden zijn in volgende stelsels blijven bestaan en tenslotte in het SI terechtgekomen, evenals de eruit afgeleide eenheden voor kracht, arbeid en arbeidsvermogen.

In de elektriciteitsleer heeft men vele stelsels naast elkaar gebruikt. De uit het cm.g.s. stelsel afgeleide eenheden waren voor praktische toepassingen bruikbaar gemaakt. Zo is de coulomb C als eenheid van lading ontstaan, evenals de ampère A als eenheid van elektrische stroom, de volt V als eenheid van potentiaal om er enkele te noemen. Hierbij zijn ook de eenheden joule en watt ingevoerd. Immers, wanneer een stroom van 1 A een potentiaalverschil van 1 V doorloopt, wordt daarbij een arbeid van 1 J verricht; gebeurt dit juist in 1 seconde, dan is het arbeidsvermogen van de stroom 1 W.

Van de vele definities van elektrische eenheden heeft men de meest nauwkeurige overgehouden en wel de definitie van ampère. De ampère is de constante elektrische stroom, die geleid door twee evenwijdige, rechte en oneindige lange geleiders met te verwaarlozen dikte en geplaatst in het luchtledige op een onderlinge afstand van 1 meter, tussen deze geleiders voor elke meter lengte een kracht veroorzaakt van 2 . 10—N.

De genoemde definitie geldt voor het SI en ook voor een reeds eerder bestaand stelsel.

De eenhedenstelsel zijn uit de mechanica te voorschijn gekomen. De Italiaan Giorgi (1871 – 1950) heeft gepleit voor een uitbreiding van het m.kg.s stelsel met een eenheid uit de elektriciteitsleer. Een uit 4 grondeenheden opgebouwd stelsel kan dan ook de elektriciteitsleer met behulp van afgeleide eenheden omvatten. Een dergelijk stelsel is in 1901 voorgesteld; het stelsel kan zowel wetenschap als techniek bevredigen.

De gedachtegang van Giorgi berustte op het volgende. In die tijd kende de mechanica de newton.meter, de elektriciteitsleer de joule. Beide eenheden zijn 107 erg groot en dus aan elkaar gelijk: 1 N.m = 1 J (de vergelijking van Georgi).

Het stelsel van Georgi heeft in vele kringen weerklank gevonden. In de eerste jaren van zijn bestaan zijn er verschillende elektrische eenheden als basis gebruikt. Na de vergaderingen in 1935, 1950 en 1951 is de voorkeur voor de ampère uitgesproken. Hiermee is het meter-kilogram-seconde-ampère stelsel (MKSA stelsel) vastgelegd. Later is dit stelsel uitgebreid met eenheden voor warmte en straling.

Als eenheid van warmte is de joule gekozen. In het achtste artikel van deze reeks hebben wij de voordelen hiervan toegelicht. Als vijfde grondgrootheid is de graad celsius °C als aanduiding van de temperatuur erbij gekomen. Later is deze eenheid vervangen door de kelvin. Dit op vijf grondeenheden gebaseerde stelsel is „Praktisch Eenheden Stelsel” genoemd. Aan dit stelsel is een zesde basisgrootheid toegevoegd en wel de lichtsterkte met als eenheid de candela cd.

De candela is de lichtsterkte, in loodrechte richting, van een oppervlak, dat 1/600.000 deel is van een vierkant met zijden van 1 meter, van een integrale straler bij de stollingstemperatuur van platina onder een druk van 101.325 N/m².

Het op de zes genoemde grondgrootheden gebaseerd stelsel heet Internationaal Stelsel van Eenheden SI. De afkorting is afkomstig uit de Franse naam van het stelsel: Système International d’Unitès.

Het SI is in 1960 vastgesteld bij besluit tijdens een Algemene Vergadering over Maten en Gewichten. Bij een wet van 6 juni 1968 is het SI in de Nederlandse IJkwet opgenomen. Met de bijbehorende besluiten is deze wet in 1969 in werking getreden.

In 1971 is besloten om aan de SI eenheid van druk, de N/m², de naam pascal Pa te geven. Een druk van 1 atmosfeer (760 mm kwikdruk) wordt nu aangegeven met 101.325 Pa of afgerond met 101,3 kPa.

De verplichte invoering is reeds bij het onderwijs geschied. Ook buiten het onderwijs is men bezig met de aanpassing. Na 31 december 1977 mogen oude stelsels niet meer worden gebruikt. Ook in het buitenland wordt het SI verplicht voorgeschreven. Wel zijn er van land tot land verschillen over de datum van invoering. Over enkele jaren moet overal de omschakeling zijn voltooid.

Bij dit alles zullen er niet veel moeilijkheden zijn. Men moet er echter goed aan denken, dat voortaan de kilogram alleen een aanduiding van hoeveelheid stof is. Men koopt dus 5 kilogram suiker, men draagt 5 kilogram suiker naar huis. Maar men mag niet zeggen: die portie suiker weegt 5 kg. Men moet zeggen: die portie is 5 kg. Aan de kinderen mag men niet meer vragen: hoeveel weeg je, tenzij men een antwoord in newton verwacht.

Bij bruggen geeft men het draagvermogen; een bord vermeld bijvoorbeeld 5 ton. Deze aanduiding kan blijven. De betekenis is dan, dat de brug maximaal belast mag worden met een lichaam, waarvan de massa 5.000 kg is. De kracht behoeft men daarbij niet te weten; deze is afgerond 50 kN.

Als er bij het beginonderwijs hier goed op wordt gelet, worden hierdoor de leerlingen later veel moeilijkheden bespaard. Een foutief en slordig begin zorgt later voor verwarring en onbegrip. Een juiste algemene toepassing van het SI is onderwijsvernieuwing van de beste soort.

.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

natuurkundealle artikelen

.

1459

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/8)

.

natuurkunde bovenbouw

Eenhedenstelsels

Arbeid en arbeidsvermogen

Wat arbeid in het dagelijks leven voorstelt, is genoegzaam bekend. Op scheepswerven weerklinkt het lied van de arbeid voor wie er oren naar heeft. De man, die aan het bureau zijn werk verricht, doet het met minder lawaai. Werken is inspannend. Sommige mensen zijn liever lui dat moe en zijn niet verzot op arbeid. De meeste mensen zijn niet lui en als zij bij hun werkzaamheden te weinig lichaamsbeweging hebben, zoeken zij compensatie in de sport.

De natuurkundige definitie van arbeid kunnen wij u duidelijk maken met behulp van de trekschuit. Stug doortrekkend zeult een paard de schuit achter zich aan. Tijdens het trekken oefent het dier een kracht op de boot uit en wel op de plaats, waar het touw aan de boot is vastgemaakt. De boot gaat vooruit en legt daarbij een weg af. De verrichte arbeid is gelijk aan het product van de uitgeoefende kracht en de afgelegde weg, mits kracht en weg dezelfde richting hebben.

Het paard verricht geen arbeid, als de boot stil ligt in een haven of als de boot in ondiep water is vastgelopen en onwrikbaar vast ligt, waardoor het paard er alleen een kracht op uitoefent.

De zwaartekracht verricht arbeid op een vallend lichaam. Op een satelliet, die in een cirkelvormige baan om de aarde beweegt, verricht de zwaartekracht geen arbeid, omdat deze satelliet geen weg aflegt in de richting van de werkzame kracht. De zwaartekracht en de richting van de snelheid op ieder moment sluiten hier een rechte hoek in.

De arbeid, die de zwaartekracht verricht op een lichaam, dat loodrecht omhoog wordt gegooid, is negatief, daar in dit geval kracht en weg tegengesteld gericht zijn.

De eenheid van arbeid wordt verricht, als de eenheid van kracht een voorwerp over de eenheid van lengte in zijn richting verplaatst. In het SI is de eenheid van arbeid de newtonmeter of N.m. Deze eenheid wordt verkort tot joule J (uitspraak volgens het normalisatie-blad dzjoel).

Een pak suiker van 1 kilogram ondervindt in Nederland een kracht van 9,8 newton; wanneer dit pak suiker over een afstand van 1 meter valt, verricht de zwaartekracht een arbeid van 9,8 joule.

De natuurkundige definitie van arbeid kan in het dagelijks leven een probleem doen ontstaan, als men iemand betaalt naar zijn verrichte arbeid. Als men die persoon opdraagt een tijd een zware koffer opgetild vast te houden, kan men daarna menen, dat hiervoor geen vergoeding is vereist. Er is namelijk wel een kracht op de koffer uitgeoefend, maar geen arbeid verricht. Bij een nauwkeurige waarneming blijkt echter, dat men een koffer niet stil kan houden, maar dat deze kleine bewegingen op en neer maakt. De drager beweegt dus wel degelijk bij herhaling de koffer omhoog. Dit kost energie, de man wordt hongerig en moet een extra portie eten kopen.

Energie is een meer algemeen begrip dan arbeid. Ook warmte is een vorm van energie, evenals een elektrische stroom. Er zijn vele vormen van energie. Bovendien is van de energie de waarde niet vast te leggen, wel van energieverschillen. De door het paard voor de trekschuit verrichte arbeid gaat ten koste van de energie van het paard en is gelijk aan het energieverschil. In het paardelichaam wordt de verbruikte energie aangevuld door de bij de spijsvertering vrijkomende energie; een paard loopt dus op haver. De waarde van de verrichte arbeid en van het energieverschil kan men in een getal uitdrukken, niet de waarde van de energie van het paard.

Op een vallend lichaam verricht de zwaartekracht arbeid. Als de luchtweerstand ontbreekt, is deze arbeid gelijk aan de toename van de energie van het vallend lichaam, wat tot uiting komt in zijn vergrote snelheid. Van een omhoog geschoten kogel neemt de snelheid af ten gevolge van de arbeid, die de zwaartekracht erop verricht, totdat de kogel in zijn hoogste punt is aangekomen. Bij de valbeweging neemt de snelheid weer toe, totdat bij aankomst op de grond de beginsnelheid weer is bereikt.

De verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet, geheel of voor een deel. De bij wrijving verrichte mechanische arbeid wordt geheel in warmte omgezet. De arbeid van het paard verricht op de trekschuit wordt door de wrijving, die de schuit in het water ondervindt, geheel in warmte omgezet; langs een omweg verwarmt het paard het water. De kogel, die op de grond valt, ondervindt daar een grote weerstand en bij het maken van een kuiltje wordt zijn mechanische energie in warmte omgezet.

Een elektrische stroom kan een elektromotor, bijvoorbeeld van een stofzuiger, doen lopen; daarbij wordt elektrische energie in mechanische energie omgezet. Ook kan de elektrische stroom in een straalkachel warmte produceren, waarbij elektrische energie in warmte wordt omgezet. In elektrische centrales wordt verbrandingswarmte of atoomenergie in elektrische energie omgezet, in waterkrachtcentrales geschiedt dit uit de energie van stromend water.

Het ligt voor de hand, dat men voor alle vormen van energie dezelfde eenheid van arbeid gebruikt. In het SI is dit de joule J. De joule is een reeds lang bestaande eenheid van arbeid in de elektriciteitsleer. Doordat de joule nu algemeen wordt gebruikt, vervallen allerlei omrekeningsfactoren, hetgeen het rekenen vereenvoudigt.

Hierdoor is de eenheid van warmte, de calorie, komen te vervallen. De calorie is de hoeveelheid warmte nodig voor het verwarmen van 1 gram water van 14,5 tot 1 5,5 °C. Experimenteel is vastgesteld: 1 calorie = 4,19 joule of met een kleine verwaarlozing: 1 cal = 4,2 J. De waarden in calorieën uitgedrukt moeten met de factor 4,19 of 4,2 worden vermenigvuldigd om ze uit te drukken met behulp van de joule.
Voor grote bedragen arbeid gebruikt men de kilojoule kJ, de megajoule MJ en zo nodig de gigajoule GJ.

De moderne, dynamisch ingestelde mens is niet alleen in arbeid geïnteresseerd, maar ook in de tijd, waarin deze arbeid ter beschikking komt. Een schip kan alleen in een korte tijd worden gelost, als de benodigde arbeid snel wordt geleverd. De arbeidssnelheid of het arbeidsvermogen is de arbeid verricht in de tijdseenheid in het SI de joule per seconde J/s. Deze eenheid wordt afgekort tot watt W: 1 J/s = 1 W. Hieruit volgt: 1 J = 1 W.s (1 joule is 1 wattseconde). In dagbladen, in periodieken en in prospecti, zelfs van een grote fabriek in het zuiden des lands, vindt men niet zelden de foute aanduiding W/s (watt per seconde). Bij vele samengestelde eenheden komt ,,per” voor, echter hier niet.

Wij betalen thuis de verbruikte elektrische energie in ( kilowattuur kWh, de arbeid, die bij een vermogen van 1 kW gedurende een uur wordt verricht. Daar een uur 3600 seconden bevat is 1 kWh = 3600 kJ. De kWh behoort niet tot het SI. De industrie betaalt de elektrische energie per MJ en per GJ. Als voor ons de tarieven in de toekomst worden berekend per MJ in plaats van per kWh, moeten zij gedeeld worden door 3,6 indien men tariefsverhoging wil vermijden.

Grote eenheden van arbeidsvermogen zijn de megawatt MW en de gigawatt GW. Evenals de joule is de watt een van oudsher bekende eenheid in de elektriciteitsleer.

Een eenheid van arbeidssnelheid, die moet verdwijnen, is de paardekracht. De naam is fout, want de pk is geen kracht, zelfs geen arbeid. De pk is een gemeten vermogen van een zeker paard, dat men 8 uur lang water uit een put heeft doen ophalen. Gemiddeld beurde het paard per seconde 75 kg 1 meter omhoog.

In Nederland wordt daarbij verricht een arbeid van 75 . 9,8 = 735 joule. Dus 1 pk = 735 watt of 0,735 kilowatt. Bij benadering: 1 pk = 0,75 kW. Het vermogen van een auto van 100 pk wordt nu 75 kW.

Jammer voor de bezitter van de wagen, dat het gebruikte getal kleiner wordt. Hij zal er mee moeten leren leven.

Tot slot laten wij u aan de hand van een voorbeeld zien, hoe plezierig het is, dat in het SI allerlei omrekeningsfactoren zijn verdwenen. Stel er is ergens in het hooggebergte een groot meer met een inhoud van 1,02 km3. Het water valt door buizen over een afstand van 1 km, voordat het in een elektriciteitscentrale terecht komt. Boven in de bergen heeft dit water een arbeidsvermogen van plaats gelijk aan het product van de massa, de versnelling van de zwaartekracht en de hoogte, dus 1,02 .109 . 9,8 . 10³ =1013 =1010 kJ =10MJ = 10GJ. Wanneer deze arbeid geheel in elektrische energie wordt omgezet, verkrijgt men hiervan 104 GJ; hieruit kan men maximaal 104 GJ mechanische energie in elektromotoren verkrijgen.

Wanneer al deze energie in warmte wordt omgezet, krijgt men daarvan 104 GJ.

Stel, dat al deze energie in 10.000 seconden wordt geleverd, dan is het vermogen van de waterkrachtcentrale 1 gigawatt of 1 GW. Een dergelijk vermogen is enorm.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend.

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

natuurkunde: alle artikelen

.

1456

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/7)

.
Dit artikel is geen achtergrondinformatie voor de onderbouw

.

Krachten

Wat een kracht is, behoeven wij u niet te vertellen. Er is veel kracht nodig om de 100 meter hardlopen in minder dan 10 seconden te volbrengen, er is nog meer kracht nodig om een kampioensplaats bij de bokssport te veroveren. Wat kracht is hebben wij aan den lijve ondervonden.

Het natuurkundig definiëren van een kracht geschiedt door te letten op de uitwerking ervan. Bovendien moeten wij dat zodanig doen, dat wij daarbij kunnen meten en het resultaat in een getal kunnen uitdrukken. Ter inleiding van het verhaal veronderstellen wij, dat u vele sporten beoefent. Bij het tennissen is het de bedoeling, dat u de ballen terugslaat. Een tennisbal heeft een zekere massa en, als deze naar u toekomt, een bepaalde snelheid; het product van massa en snelheid heet „Hoeveelheid van beweging”. Als u de bal wilt stoppen, moet deze hoeveelheid van beweging worden vernietigd en dit geschiedt door op de bal gedurende een zekere tijd een kracht uit te oefenen. Hoe sneller de bal gaat, des te groter is die kracht. U voelt het in uw arm. Als u de bal terugslaat, moet er een grotere kracht worden uitgeoefend, want de bal moet dan ook de nodige hoeveelheid van beweging in de tegengestelde richting krijgen. Kortom, voor het veranderen van een snelheid is er een kracht nodig.

Wij veronderstellen, dat u na het tennissen gaat slingerballen. Een slingerbal heeft een veel grotere massa dan een tennisbal. Wanneer deze bal naar u komt aangevlogen, kunt u alleen maar proberen deze bal te stoppen. De benodigde kracht is nu zo groot, dat u op een heel speciale manier deze bal moet vangen in gebogen armen, zodat u er niet bij beschadigd wordt.

Een vrachtwagen in volle vaart moet u met uw lichaamskracht niet proberen te stoppen; zijn hoeveelheid van beweging is te groot.

Wij kunnen ook proberen verschillende lichamen in beweging te brengen. Onze kracht dient er dan voor om het voorwerp snelheid te geven; de snelheid neemt toe, totdat de op het lichaam uitgeoefende kracht gelijk is aan de wrijving. Het lichaam heeft een constante snelheid gekregen. Wanneer er geen wrijving is, neemt de snelheid van het voorwerp steeds toe; het voorwerp heeft in dat geval een versnelde beweging. De versnelling (de toename van de snelheid per seconde) blijkt volgens proeven van Galileï evenredig te zijn met de uitgeoefende kracht bij constante massa. Bij constante kracht is de versnelling omgekeerd evenredig met de massa; hoe groter de massa, des te kleiner is de versnelling.

De hierbij behorende wetten zijn door Newton geformuleerd. Als wij veronderstellen, dat de massa van een lichaam niet verandert met de snelheid, is de kracht gelijk aan het product van massa en versnelling bij het kiezen van bij elkaar passende eenheden.

In de relativiteitstheorie is een correctie aangebracht, die pas merkbaar wordt, als de snelheden in de buurt komen van de lichtsnelheid; wel blijft dan waar: de kracht is gelijk aan de verandering van de hoeveelheid van beweging met de tijd.

Uit dit alles volgt de oplossing van het oude vraagstuk of er een kracht werkt op een weggeworpen steen of een afgeschoten pijl. Nadat de steen de hand heeft verlaten en nadat de pijl geen contact meer heeft met het gespannen koord, is de kracht verdwenen, die steen en pijl in beweging heeft gebracht. Als er geen wrijving en geen gravitatie zou zijn, zouden steen en pijl hun beweging behouden. Dit zijn toepassingen van de wet der traagheid: de bewegingstoestand van een lichaam verandert niet, als er geen kracht op wordt uitgeoefend. Daar in de lucht steen en pijl wrijving ondervinden, worden hun bewegingen langzaam afgeremd; door de aantrekkingskracht van de aarde vallen zij uiteindelijk op de grond.

Een satelliet in een baan om de aarde of om een ander hemellichaam beweegt in een gebogen baan door de werking van de gravitatie. Bij een cirkelvormige baan is de snelheid van de satelliet constant; toch is hier de wet der traagheid niet van toepassing, daar de richting van de beweging steeds verandert. De hier werkzame kracht heet centripetale (middelpuntzoekende) kracht. Nu kunnen wij u de definitie van de eenheid van kracht in het SI geven. Hiertoe beschouwen wij een lichaam met een massa van 1 kilogram; hierop werkt een kracht, waardoor dit lichaam een versnelling krijgt van 1 m/s² (hierdoor neemt de snelheid iedere seconde toe met 1 meter per seconde). De werkzame kracht is dan de eenheid van kracht. De naam van deze kracht is newton, afgekort N.

De eenheden, die van namen zijn afgeleid, worden met een kleine letter geschreven, de afkorting ervan met een hoofdletter. Een kracht van 1 N geeft aan een lichaam van 1 kg een versnelling van 1 m/s². De normalisatiebladen geven ook de uitspraak en vermelden njoeton met de klemtoon op de eerste lettergreep.

In het SI is de newton geen grondeenheid. Kracht is massa maal versnelling of kracht maal lengte gedeeld door de tijd in het kwadraat. Dus 1 N = 1 kg m/s². De newton is een afgeleide eenheid. Men kan ook zeggen, dat kg m/s² wordt afgekort tot N.

Op de bekende manier zijn van de newton grotere en kleinere eenheden afgeleid: 1 kN = 1000 N; 1 mN = 1/1000 N.

In het dagelijks leven spreekt men gewoonlijk niet over de grootte van krachten. Men schept op over zijn spierkracht, maar gebruikt daarbij geen getallen. Bij het onderwijs moeten we beginnen met de grondeenheden lengte, massa en tijd; de afgeleide eenheden komen pas later aan de orde.

Als volgt kunnen wij een indruk krijgen van de waarde van 1 N. Wanneer u een pak van 1 kg suiker in de hand houdt, moet u het stevig vastpakken. Als u het pak ergens in Nederland laat vallen, krijgt het een versnelling van 9,8 m/s². De erop werkende zwaartekracht is dus 9,8 N groot. Om een massa van 1 kg tegen vallen te behoeden, moet u het met een kracht van 9,8 N ondersteunen. Daar men in het dagelijks leven niet om een grote nauwkeurigheid vraagt, kan men dit bedrag afronden op 10 N. Er is een kracht van 1 N nodig om 100 g stof te ondersteunen (nauwkeuriger 102 g).

Bij het wegen met een balans worden de massa’s van de voorwerpen vergeleken. Gelijke massa’s ondervinden evengrote gravitatiekrachten. De waarden van die krachten worden op de weegschaal niet vermeld. Op verschillende plaatsen op aarde hebben die krachten een andere waarde. Gelukkig hebben wij bij het wegen met de waarden van deze veranderlijke krachten niet te maken.

In het achter ons liggend tijdperk is voor de invoering van de newton veel gewerkt met de kilogramkracht kgf (f van fors kracht), de kracht, die de kilogrammassa in het gravitatieveld van de aarde ondervindt. In Nederland geldt: 1 kgf = 9,8 N. Deze van de plaats op aarde afhankelijke grootheid heeft voor veel verwarring gezorgd, daar in het dagelijks leven de f vaak werd weggelaten. Hierdoor worden nu moeilijkheden ondervonden bij het invoeren van het SI.

Hiermee samenhangend is er nog een probleem: het soortgelijk gewicht, het gewicht van een stof per volu-me-eenheid. Dit begrip moet vermeden worden. De volume-eenheid is de m³; de massa van 1 m³ water is 1000 kg, het gewicht hiervan in Nederland op zeeniveau 9810 N. In ons land is het soortelijk gewicht van water 9810 N/m³. In andere landen worden hiervan afwijkende waarden gevonden.

Constant in het heelal is de soortelijke massa. Van water is bij 4 °C de soortelijke massa 1000 kg/m³, 1 g/cm³ of1 mg/mm³.

Men kan ook de dichtheden van stoffen onderling vergelijken en wel door van gelijke volumes de massa’s op elkaar te delen. Daarbij kan men bijvoorbeeld water nemen. Zo verkrijgt men „relatieve soortelijke massa’s”, onbenoemde getallen, die helaas vroeger ook met de naam soortelijk gewicht werden aangeduid. Dit maakte de verwarring van het begrip soortelijk gewicht compleet. Als er nu moeilijkheden zijn, komt dat door oude fouten.

Tot slot een getallenvoorbeeld. Van koper is de soortelijke massa 8,9 g/cm³, althans bij gewone temperatuur. Hiermee is de informatie volledig. Wij hadden ook als waarden 8900 kg/m³ kunnen geven, mits men zich goed realiseert, dat de twee nullen rechts geen gemeten waarden voorstellen, maar de orde van grootte van het getal geven. Het soortelijk gewicht van koper in Nederland op zeeniveau is 9,81 . 8900 = 87.000 N/m³of 87 kN/m³. De relatieve soortelijke massa van koper ten opzichte van water is 8,9.

Bij gassen worden de relatieve soortelijke massa’s gewoonlijk ten opzichte van een ander gas bij dezelfde temperatuur en druk gegeven. Dit gas kan lucht zijn, waterstof of zuurstof. Men moet dus steeds vermelden ten opzichte van welke stof de relatieve soortelijke massa’s gemeten zijn.

.
Drs. E.J.Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1454

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/6)

.

Het vergelijken van massa’s

In het vorige artikel hebben wij verteld, dat men de hoeveelheid van een stof kan geven door de massa ervan te vermelden. Daar de massa een nogal nieuw begrip is, zijn er van deze natuurkundige grootheid slechts enkele eenheden in gebruik geweest. Voor ons is alleen van belang de kilogram als eenheid van massa en de daarvan afgeleide grotere en kleinere eenheden.

Het woord massa is afkomstig van het Griekse woord madza (in ons schrift weergegeven), wat klomp deeg betekent; de Griekse werkwoordsvorm masso betekent ‘ik kneed. Het Latijnse woord massa heeft een meer algemene betekenis, behalve een stuk deeg kan het ook een stuk kaas voorstellen en een stuk metaal met de toevoeging van de naam van het metaal. Op die wijze spreken wij over een baar goud. In de moderne talen wordt massa bij alle stoffen gebruikt. Als u dit woord in „Koenen” opzoekt, kunt u zich hiervan overtuigen en ook de andere betekenissen ervan vinden.

De stoffen hebben eigenschappen, die met de massa samenhangen, en eigenschappen, die onafhankelijk van de hoeveelheid zijn. Een stuk koper heeft een metaalglans als het gepolijst is; de grootte van het stuk is hierbij niet van belang. Ook onafhankelijk van de hoeveelheid is de kleur van het koper en de temperatuur. De prijs van koper is wel afhankelijk van de massa.

Een groot stuk koper kunnen wij niet optillen, een klein stuk wel. Een groot stuk koper is zwaar, een klein stuk is licht. Een klein stuk koper doet een veer weinig uittrekken, een groter stuk veel uitrekken. De oorzaak van deze verschijnselen is de wederzijdse aantrekkingskracht van de lichamen, die des te groter is, naar mate hun massa groter is. Ook de afstand van de zwaartepunten van deze lichamen is van belang; wordt de afstand tweemaal zo groot, dan worden de wederzijdse krachten viermaal zo klein; wordt de afstand driemaal zo groot, dan worden zij negenmaal zo klein. Deze krachten zijn omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand en recht evenredig met de massa’s van de lichamen. Deze kracht heet gravitatiekracht of zwaartekracht.

Van de gravitatie, veroorzaakt door de Aarde, kunnen wij een dankbaar gebruik maken, als wij de massa’s van verschillende voorwerpen wilIen vergelijken. Wanneer een van die voorwerpen een kopie is van het standaardkilogram, vinden wij de massa van het andere in kilogram.

Met behulp van een veerbalans heeft men reeds eeuwen massa’s vergeleken. Nog steeds gebruikt men veerbalansen of unsters, al is hun nauwkeurigheid niet groot. Een unster is een klein apparaatje, dat gemakkelijk is mee te nemen en dat niet gauw kapot gaat. Men let op de uitrekking van de veer ten gevolge van een belasting; deze uitrekking is recht evenredig met de massa van het aan de unster gehangen voorwerp. Met een bekende massa moet de unster van te voren zijn geijkt. Daarna kan men een schaalverdeling erop aanbrengen.

Een veel nauwkeuriger toestel is de balans met twee schalen. Dit instrument is zeer gevoelig, daar er vrijwel geen wrijving is bij het schommelen van de schalen. Maar de balans is kwetsbaar en moet op een tafel staan, die niet in trilling kan worden gebracht. Ook kan de balans gemakkelijk ontregeld worden. Op een van de schalen plaatst men het voorwerp met onbekende massa, op de andere „gewichten”, totdat er evenwicht is. De massa van ieder „gewicht” is bekend, door optelling kan men de massa van het gewogen voorwerp vinden.

Het wegen met gewichten berust erop, dat op een zelfde plaats op Aarde stilstaande voorwerpen een zelfde massa hebben, als er even grote krachten door de zwaartekracht van de Aarde worden uitgeoefend. Het verschil in plaats van de beide schalen van een balans kan verwaarloosd worden. En als men daarvan niet overtuigd is, moet men bijvoorbeeld met droog zand evenwicht maken; daarna wordt het voorwerp van de balans gehaald en vervangen door gewichten, totdat er juist evenwicht is.

De bekende éénarmige schalen in winkels werken met een vast contragewicht. Hoe groter de massa van de gekochte waren, hoe meer het contragewicht verplaatst wordt en des te verder een wijzer over een geijkte schaalverdeling beweegt.

Het vergelijken van massa’s door wegen lukt niet in een satelliet, die om de Aarde beweegt. De voorwerpen zijn onder die omstandigheden „gewichtsloos”. De stand van een balans verandert daar niet bij het opzetten of weghalen van gewichten.

Wanneer men op zeer grote hoogte uit een vliegtuig valt, kan men ook niet wegen. Wij veronderstellen, dat de lucht daar nog zo ijl is, dat de weerstand ervan tegen het vallen te verwaarlozen is. Daar de val niet geremd wordt, dient de gravitatie alleen tot het krijgen van meer snelheid en van de zwaartekracht is verder niets te merken. Ook dan is er gewichtsloosheid.

Er is nog een mogelijkheid van gewichtsloosheid, namelijk ergens tussen de Aarde en de Maan, vrij dicht bij de Maan, waar de gravitatiekracbten van de Aarde en de Maan even groot zijn, maar tegengesteld gericht. De krachten heffen elkaar op, zij doen elkaars uitwerking teniet.

De genoemde beperkingen bij het wegen zullen u niet afschrikken, want niet ieder beoefent de ruimtevaart of is gewoon uit vliegtuigen te vallen. Wel moet men op de beperkingen bij het wegen letten, bijvoorbeeld als het.juk van een balans erg lang is. Wij krijgen dan last van doorbuigen. Maar ook moeten wij er aan denken, dat de Aarde geen homogene bol is. Bovendien draait de Aarde om een as. De gravitatie verandert met de plaats op Aarde en met de hoogte. Bij het beklimmen van een berg wordt de gravitatie iets minder, al is dit niet direct te merken.

De waarde van de gravitatie kan met behulp van een slinger worden bepaald. Door veel slingeringen te laten uitvoeren door uiterst gevoelige slingers, kan men de gravitatie nauwkeurig onderzoeken. Men doet dit in de geologie om meer over dieper gelegen aardlagen te weten te komen. Daardoor kan men aanwijzingen krijgen over het voorkomen van ertsen en aardolie.

Als standaardeenheid heeft men geen kracht, bijvoorbeeld de zwaartekracht, gekozen. Men kan een kracht moeilijk ergens in een laboratorium opbergen. De zwaartekracht is bovendien ongeschikt om te dienen bij het vastleggen van een eenheid, daar deze op Aarde niet constant is. Blijvende op zeeniveau is de zwaartekracht werkend op een massa van bijvoorbeeld 1 kilogram bij de polen ongeveer 0,5 % groter dan bij de evenaar.

Hoe kan men tenslotte massa’s vergelijken, als dat door wegen niet gaat? Men moet in een dergelijk geval gedurende een zekere tijd op een voorwerp een kracht uitoefenen en de beweging onderzoeken, die het voorwerp daardoor krijgt. Dit vereist een hele opstelling. Want hierbij moet zeer nauwkeurig worden gewerkt, wil men betrouwbare waarden krijgen. Met een balans gaat het heel veel gemakkelijker.

Over krachten leest u meer in het volgende artikel*.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature nadere gegevens onbekend

.

*rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1452

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.