Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.

Via onderstaande rubrieken vind je de weg naar meer dan 1900 artikelen.

In het zoekblokje (op deze pagina rechtsboven) een trefwoord ingeven, leidt ook vaak tot artikelen waar het betreffende woord in voorkomt.
Wanneer er meerdere koppen van artikelen worden getoond, is het raadzaam ieder artikel open te maken en onder aan het artikel bij de tag-woorden te kijken of het gezochte woord daar staat.
.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com
.

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

BORDTEKENEN zie TEKENEN

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KERSTSPELEN
Alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8;  klas 9: klas 10; klas 11  klas 12

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
Alle artikelen

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7
Bordtekenen [1]
Bordtekenen [2]

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
alle artikelen

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen
.
EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein
.

VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

Deze blog wordt/werd bekeken in:

Afghanistan; Albanië; Algerije; Amerikaans-Samoa; Andorra; Angola; Argentinië; Armenië; Aruba; Australië; Azerbeidzjan; Bahama’s; Bahrein; Bangladesh; Belarus; België; Benin; Bolivia; Bosnië en Herzegovina; Brazilië; Brunei; Bulgarije; Burkina Faso; Burundi; Cambodja; Canada; Caribisch Nederland; Chili; China, Congo Kinshasa; Costa Rica; Cuba; Curaçao; Cypres; Denemarken; Dominicaanse Republiek; Duitsland; Ecuador; Egypte; Estland; Ethiopië; Europese Unie; Finland; Filipijnen; Frankrijk; Frans-Guyana; Gambia; Georgië; Gibraltar; Griekenland; Ghana; Guadeloupe; Guatemala; Guyana; Haïti; Honduras; Hongarije; Hongkong; Ierland; IJsland; India: Indonesië; Isle of Man; Israel; Italië; Ivoorkust; Jamaica; Japan; Jemen; Jordanië; Kaapverdië; Kameroen; Kazachstan; Kenia; Kirgizië; Koeweit; Kroatië; Laos; Letland; Libanon; Liberia;  Libië; Liechtenstein; Litouen; Luxemburg; Macedonië; Madagaskar; Maldiven; Maleisië; Mali; Malta; Marokko; Martinique; Mauritius; Mexico; Moldavië; Monaco; Mongolië; Montenegro; Myanmar; Namibië; Nederland; Nepal; Nicaragua; Nieuw-Zeeland; Nigeria; Noorwegen; Oeganda; Oekraïne; Oman; Oostenrijk; Pakistan; Panama; Paraguay; Peru; Polen; Portugal; Puerto Rico; Quatar; Réunion; Roemenië; Rusland; Saoedi-Arabië; Senegal; Servië; Sierra Leone; Singapore; Sint-Maarten; Slovenië; Slowakije; Soedan; Somalië; Spanje; Sri Lanka; Suriname; Syrië; Taiwan; Tanzania; Thailand; Togo; Tsjechië; Trinidad en Tobago; Tunesië; Turkije; Uruguay; Vanuatu; Venezuela; Verenigde Arabische Emiraten; Verenigde Staten; Verenigd Koninkrijk; Vietnam; Zambia; Zuid-Afrika; Zuid-Korea; Zweden; Zwitserland’ (156)

..

VRIJESCHOOL – Rekenen in de tijd van 7 tot 14 jaar

.
In een ‘Leherrundbrief’ verscheen een artikel over rekenen.
De tekst heeft voor mij hier en daar wonderlijke passages; anderzijds ook gezichtspunten die de moeite van het overdenken waard zijn. Ze kunnen ook je blik verruimen en maken dat je je nog weer beter en dieper op het rekenen voorbereidt. 
O.a. wat is een incarnerende en excarnerende werking van het rekenen; wat is de betekenis van hoofdrekenen; wat gebeurt er met schriftelijk rekenen, enz. 
Het standpunt van de schrijver over ‘rekenen met de vingers’ kan ik niet op deze manier met hem delen, maar hij opent wél de ogen voor het gevaar van daar te lang mee door te gaan. 
En zo staan er wel meer ‘eye-openers’ in.

 

Tobias Schaumann, Lehrerrundbrief 70, 11-2000

.

Over het kunstzinnig omgaan met het rekenen in de tweede zevenjaarsfase

‘Één is het grootste getal’. Vaak wordt dat aan de eersteklassers geleerd. Daarmee wordt bedoeld dat de één aan alle andere getallen als eenheid ten grondslag ligt.
Het gebeurt heel gemakkelijk de eersteklasser daarvan te overtuigen wanneer ze het niet meteen inzien; en dat, wanneer ze het trouw geloven, in de loop van de tijd toch iets blijkt te zijn dat alleen maar voor het begin van de eerste klas gedacht is.

Hier wordt geprobeerd deze gedachte gedurende vele jaren als basis te nemen voor al het rekenen.

Wanneer het bij de hele natuur van het kind hoort, bij alles wat het leert analytisch te werk te gaan, moet je het voor mogelijk houden dat er van Rudolf Steiner nog meer aanwijzingen voor het rekenen bestaan die wellicht belangrijk zijn voor het verloop van de volgende jaren en niet alleen maar voor het eerste rekenonderwijs.
De aanwijzing dat je het rekenen moet beginnen met delen en dat je zo snel mogelijk met alle vier de rekenoperaties moet beginnen, hoort daarbij.

[Voor zover ik heb kunnen nagaan, begint Steiner niet met delen in de zijn van ‘gedeeld door’ maar met verdelen – zie GA 295, 4e voordracht]

Waarom moet je zo snel mogelijk alle vier de bewerkingen tegelijk gebruiken?
Waarom neem je niet de tijd om stap voor stap er één gedegen aan te leggen? Kan het dan echt beter zijn om vier zulke verschillende zaken tegelijkertijd toe te passen, vóór de kinderen helemaal begrepen hebben wat ze aan het doen zijn, i.p.v. een onderwerp nu eerst eens grondig te leren om daarna het verschil tussen de ene rekenbewerking en de andere, echt te leren te begrijpen?

Het antwoord daarop komt van een beschouwing over de natuur van het kind met het oog op het analyseren.
Want wanneer ik het rekenen begin met delen en ik heb daadwerkelijk een klas voor me zitten – die met een paar uitzonderingen – al gauw levendig bij het rekenen betrokken is, en ik voer het ‘keer nemen’ in en ‘het erbij doen’ en ‘eraf nemen’ tegelijk met het delen, dan wordt het de kinderen toch niet helemaal duidelijk wat nu de verschillen zijn bij wat ze doen.
Dat ze echter toch snel op de gestelde rekenvragen goede antwoorden geven, toont wel aan dat ze zich nu al in het rekenen kunnen inleven.
Vanaf het begin is het al duidelijk dat de kinderen voor de oplossing van een rekenopdracht – of het nu om delen, vermenigvuldigen, optellen of aftrekken gaat – steeds aan de andere rekensoort denken. Het kind legt de meeste nadruk op wat er wordt gevraagd.

Als een kind echt heeft begrepen wat delen is en het kent het getal 12, zal het vrij snel, wanneer er gevraagd wordt: ‘hoeveel moet er van de 12 af om 9 te krijgen?’, er rekening mee houden, dat ’12 gedeeld door 4′ ook met de 9 heeft te maken, dat namelijk ’12 gedeeld door 4′, met de getallen 3, 6, 9 wezenlijk te maken heeft, niet alleen met de 3 als resultaat.
Het kind zal ook met de opdracht ‘hoeveel moet er van de 12 af om 6 te krijgen’, meedenken dat dit te maken heeft met ‘6 en 6 is 12′, en ook met ’12 gedeeld door 4’ of met ‘2 keer drie’ en met ‘4 keer 3’. Wanneer ik dus aan het kind vraag: ‘3 en 3 erbij, hoeveel is dat en het zegt ‘6’ en ik ben de hele tijd bezig met ’12’, dan zal het bij de uitkomst ‘6’, de 12 ook paraat hebben en weten: ‘6 is de helft van 12’.
Als er op deze manier met de kinderen wordt gerekend, dan zien ze van begin af aan af om hun vingers te gebruiken. Dat heb ik ervaren.

Een andere ervaring is, dat sommige kinderen die het rekenen begonnen zijn met hun vingers, dat niet zo snel achterwege laten. En dat in een klas waarin met de vingers wordt gerekend, de kinderen die dat vanaf het begin niet hebben gedaan, jarenlang met verbazing naar de kinderen kijken die daar maar niet van loskomen. Soms op ze neerkijken.
Zo’n ervaring is makkelijk te begrijpen, wanneer je de volgende waarnemingen samenbrengt: de eerste is: dat je het rekenen uit de ledematen haalt, de andere: het volledig tot rust komen op het actuele ogenblik van de rekeninspiratie. De waarnemer die kijkt naar een kind dat met de vingers rekent, kan het innerlijk gaan ervaren dat het bewegen van de vingers nooit tot rekeninzicht zal leiden, dat dit hoogstens ondanks dat gebeurt.

Kinderen tot rust vermanen om ze te leren rekenen, heeft geen zin. Want de rust waarvan hier sprake is, ontstaat alleen maar wanneer die door het rekenen veroorzaakt wordt. Iedere van buiten verlangde rust leidt echt niet tot een ‘rekenkundige’ gevoels-lichamelijke stemming. Krijgt het kind daarentegen de kans zich een rekenopdracht, dus een rekenkundige vraag, concreet voor te stellen, dat het daardoor vanzelf stil wordt, dan zal het waarschijnlijk al gauw een antwoord hebben.
Kinderen die erg goed rekenen, vallen niet op doordat ze bijzonder stil zijn, maar dat ze telkens in staat zijn in vrijheid van die rustmomenten te creëren. En dat ze meteen weer over kunnen gaan tot lichamelijk bewegen, zonder meteen de basale rekenstemming kwijt te raken. In tegendeel: komt er weer een vraag tot leven, zijn ze weer een ogenblik rustig, weliswaar zo kort dat het bijna niet opvalt, en zo absoluut stil dat er dan niets beweegt – en dan hebben ze het antwoord al. Daarbij komt het niet aan op het bewegingsloze, maar dat het kind geen bewegingsdoel heeft.

Het gaat op ieder vlak om een analytisch proces. Niet alleen de getallen ten opzichte van elkaar worden geanalyseerd, er wordt ook gevoelsmatig een overgang gemaakt van het overzicht over het geheel naar een verdelingspunt.
Bijv.: ’12 = 3  3  3  3, of  0  3  6  9  12′. Deze gedachte leidt naar een andere, een deelgezichtspunt volgend. Dat wordt bijv.: ’12 – ? = 9   3′, een aftrekopdracht dus. Of ’12: ? = 3; 4′. Of 12 = ? x 3; 4. Of ’12 = 9 + ?; 3′.
En ook lichamelijk wordt er geanalyseerd: wat er zo samen in het levende lichaam gebeurt, verandert heel even in een soort rekenachtige-muzikale toestand, geordend verdeeld waarin het bewustzijn de overhand heeft. Het lichaam wordt door het rekenen veranderd.
Wanneer je daarentegen het rekenen begint met optellen, leg je bij de kinderen een heel andere basis aan.

‘2 +3 = ?, 5’ eist van het kind in relatie tot zijn lichaam kant-en-klare voorstellingen van de ‘2’ en de ‘3’ en – ook nog eens een geforceerde actie voor de concrete vorm – ‘2 + 3 = 5’. (Alle snelle rekenaars analyseren ook bij naar het synthetiseren gaande vragen, als probeersels verschillende getallen en nemen de juiste.
De door Rudolf Steiner geschetste werking (GA 301voordracht 10 op deze blog vertaald -) het deels goedmaken van de kindertijd en de neiging van de volwassene naar materialistische voorstellingen – blijft ook deze snelle rekenaars niet bespaard. Want wat zich ten slotte vastzet is ook voor deze kinderen ‘2 + 3 = 5″.
De gangbare manier van leren rekenen maakt het noodzakelijk alles na elkaar te leren.
De aan het begin gestelde bewering wordt bevestigd: Rudolf Steiners aanwijzing het rekenonderwijs te beginnen met het delen en de andere aanwijzing de andere rekenbewerkingen vrijwel gelijktijdig in te voeren en te oefenen, horen samen, zijn pas samen werkelijk zinvol.
Wordt, zoals voorgesteld, de hele fase van de tweede zeven jaar analyserend het rekenen te oefenen, ontwikkelt het kind een bewustzijn dat ‘grotere’ getallen eigenlijk alleen maar een speciaal soort ‘kleinere’ getallen zijn. En dat de kleinere eigenlijk de grotere zijn en ‘één’ dan het grootste getal.
Uiteindelijk kan ik, zonder de ‘één’ te denken, al helemaal nooit analyserend rekenen. Het bewustzijn van ‘rijke’ en ‘arme’ getallen en nog veel meer, ontstaat zo allang in de kinderen voor ze de regels waarbinnen ze zich bewegen, kunnen verwoorden. En wanneer ze de leeftijd bereikt hebben waarop zoiets in begrippen wordt vervat, zullen ze bekennen dat het waar is, wat ze als kleine kinderen over de ‘één’ als grootste getal geleerd hebben en dat dit niet alleen maar ‘aardig’ of ‘leuk’ bedoeld was.

Rekenproblemen en de mogelijkheid van oefenen bij muziek

Bij kinderen die in het begin niet kunnen rekenen, worden de gevolgen van de manier waarop we met hen werken, het duidelijkst.
In elke klas zitten kinderen die niet zoveel aanleg voor rekenen hebben. Maar er zijn ook steeds weer kinderen die voor rekenen lichamelijk een sterke aanleg hebben, maar het ondanks dat, niet kunnen. Dat zijn vaak kinderen die bij rekenen op de een of andere manier moeilijkheden ondervonden hebben, die de opening naar het rekenen blokkeren. Kinderen die op deze manier door hun lichamelijk-gevoelsmatige toestand voor rekenen bijzonder geschikt zouden moeten zijn, kan je in alle rust de ervaring laten opdoen, naar de andere kinderen bij het rekenen te luisteren. Zonder de kennis van de volwassene over dit gedrag dat zelf een sterke invloed heeft en al zijn woorden en gebaren omvormt, is dit resultaat nauwelijks mogelijk. Wanneer er een vreugdevolle stemming heerst, kan plotseling ‘het kwartje vallen’. Je vraagt je dan af, hoe ze opeens zoveel hebben kunnen leren.

Daarentegen moet je heel anders te werk gaan met kinderen die weinig aanleg hebben voor het rekenen,  en het daarom niet goed kunnen. Zij moeten intensief oefenend geholpen worden.
Wanneer er aan de onbevredigende rekenaanleg daadwerkelijk een a-rekenkundig lichamelijke aanleg ten grondslag ligt, helpt het zo’n kind meestal weinig, veel met rekenen zelf te oefenen.
Het heeft veel meer zin om te oefenen met muziek. Oefen je bijv. met zo’n kind het spelen op de lier en laat je het, afwisselend het luisteren oefenen, dan kun je het daarmee in zijn lichamelijke toestand richting rekenen relatief snel verder brengen.
Wanneer ik een kind de vraag stel, welke toon het nu hoort – zonder dat het met de ogen naar het instrument kijkt – en het kind heeft hier al wat geleerd, dan komt in hem met net zo’n precisie en met net zo’n absolute zekerheid als bij het rekenen het antwoord op de vraag op. het is juist ‘precies deze toon’ en geen andere – juist zoals ‘twee keer twee’ niet ongeveer vier is, maar ‘precies vier’- of ik weet het antwoord even niet.

Wanneer met kinderen die door hun lichamelijke aanleg niet tot rekenen komen, afwisselend het zingen en zo’n vorm van luisteren geoefend wordt, zetten ze geweldige stappen om hun moeilijkheden te overwinnen. Want er is waarschijnlijk niets dat meer in beweging brengt dan zingen – ook wanneer de kinderen daarbij heel stil op hun stoel zitten. En er is waarschijnlijk niets waarbij de kinderen stiller worden dan bij het luisteren naar een toon met de vraag welke toon dat dan was die ze zojuist hoorden.
Dat ze zo stil worden heeft niets te maken met dat de tonen zo zacht zijn dat ze anders niet gehoord zouden kunnen worden, maar op de innerlijke noodzaak als bewegingsmens stil te worden, wanneer je antwoord op de genoemde, zichzelf gestelde vraag wil krijgen. Bij het oefenen met muziek is dit aan zintuiglijke waarneming gebonden. Dat brengt voor veel kinderen een onschatbaar voordeel met zich mee wat het rekenen betreft. Ook is door de relatie tot de tonen die je voordien speelde, een innerlijk beleven wakker geroepen dat de kinderen vervult. Daardoor kun je ook op een levendige en prettige manier met deze kinderen oefenen, die dat bij het rekenen niet ervoeren. Het stil worden bij zulke luisteroefeningen is zeker zo intens dat je het met jonge kinderen maar mondjesmaat moet toepassen om ze niet te vroeg uit hun kinderlijke zijn te halen, waarin ze de eerste twee, drie jaar op school leven. Intensief – maar dan ook niet te lang – kun je dat luisteren pas na het 9e jaar oefenen. Dit dan af en toe en dikwijls maar een paar minuten, zoveel dat de kinderen het na een poosje allemaal kunnen en uit plezier verder oefenen: wat de gezondheid van de mens betreft, is daar in het geheel genomen veel voor te zeggen en ook wat in het bijzonder de vaardigheden bij muziek, rekenen en grammatica betreft.

Incarnatie en excarnatie

Wanneer moeten de kinderen beseffen dat ze vier verschillende rekenbewerkingen gebruiken?
Wanneer je een tijdje gerekend hebt, zoals hier beschreven, valt op hoe een bepaalde levendigheid samenvalt met de omstandigheid dat ze nog niet bewust meedenken met welke rekenbewerking ze juist nu denken. Ze luisteren naar de vragen en ze zoeken naar het antwoord. direct aansluitend op de vraag.
Bewustzijn van het onderscheid tussen de rekenbewerkingen veroorzaakt afstand tot de vraag. Deze waarneming laat zien, dat het er niet op aankomt dat alle kinderen op een dag dit begrip van de verschillende rekenbewerkingen door aanwijzingen begrijpen. Veel meer ligt in de stroom van het levendige denken als volwassene af en toe een opmerking te maken over de juist uitgevoerde rekenstap; of een vraag te stellen over de net gebruikte rekenbewerking. Daardoor wordt, ieder kind op zijn tijd, duidelijk, hoe het met rekenen de getallen ordent.
Bij kinderen die op de gestelde vragen goede antwoorden kunnen geven, zonder dat het hun duidelijk is wat ze aan het doen zijn, gaat het zeker niet om het gedachtelezen van het antwoord, echter wel om een gedachtelezen van de vraag. Dat is een wezenlijk verschil. De kinderen glippen in het gedachteleven van de volwassene, wanneer het daar aan toe is. De oplossing moeten ze uit zichzelf vinden. Daarvoor is het beter zich op een levendige manier op het omgaan met de getallen voor te bereiden dan op de opgaven in detail. Zo beleven de kinderen alleen al door de leerkracht de aanwezigheid van het denken.
Het antwoord op een rekenkundige vraag wordt uit het eigen lichaam, uit de ledematen, gehaald. En weliswaar niet – zoals zo vaak wordt gezegd – uit de beweging van de ledematen, maar uit de volkomen onbeweeglijke ledematen. Dat betekent niet dat de aanleg voor rekenen niet ook met de vaardigheid voor bewegen zou samenhangen. Het betekent echter wel, dat de ontwikkelde bewegingsvaardigheid juist moet rusten, als je een rekenprobleem tot een oplossing wil brengen. In het bewegen, ook in het kunstzinnige, excarneert de mens. In het zich verbinden met een voorstellingsinhoud incarneert hij.

Bij muziek is een van de sterkst excarnerende activiteit in de eerste schooljaren het met de melodie meebewegende zingen – zonder op maat en ritme een bijzondere nadruk te leggen. Een van de krachtigste incarnerende processen is daarentegen, precies de maat te houden – zonder dat de kinderen zich dat bewust zijn. Je hoeft de maat hiervoor zeker niet op een of andere manier te benadrukken, maar je hoeft die slecht in alle rust te handhaven. Dat is genoeg. Dat werkt sterk, zelfs sterker dan het benadrukken – waarin door de versterkte bewegingsimpuls bij het nadruk geven – meteen weer wat excarnerends ligt.
Bij muziek is de relatie van incarnatie en excarnatie heel veel makkelijker op een kunstzinnige manier te behandelen dan bij rekenen. Maar bij het rekenen is het mogelijk, nodig en juist. Want juist kinderen die te langzaam rekenen, te weinig of niet graag, gaan sneller en komen in een levendig rekenen, wanneer je rekening houdt met incarnatie- en excarnatieprocessen.
Zich een rekenkundige vraag te stellen is een vaardigheid die ieder kind van tevoren echt niet bezit. Wanneer het echter de vraag heeft gesteld en zich met hoe het in zijn werk gaat, bezighoudt, raakt het in een excarnatieproces.
Het moet zichzelf door het intensieve voorstellen van deze vraag geïncarneerd gedragen om niet helemaal ‘z’n hoofd te verliezen’. Komt dan echter het antwoord, dan is het weer bij zichzelf, de ‘voeten op de grond’. Het wordt er een beetje enthousiast van (excarnerend) dat het zelf het goede antwoord heeft gevonden, duidelijk, zonder misverstand. Zo’n antwoord bindt het kind aan zijn lichamelijke organisatie. Door de vrije verbinding daarmee ontstaat het antwoord.
Voor het dagelijkse rekenen betekent dit, dat het hoofdrekenen een grote nadruk moet krijgen, want hier kan je als volwassene kunstzinnig met de vorming van het gevoelsmatig-lichamelijke in de tijd werken. Bij het schriftelijke rekenen laat ik het kind aan zichzelf over en het kind zal het alleen zo goed doen als het tot dan toe geleerd heeft met de tijd om te gaan. Reken ik daarentegen uit het hoofd, dan kan ik voor de klas en voor het individuele kind in hoge mate het verloop mede bepalen. Welke vragen ik na elkaar laat volgen, is hier het werkzame bestanddeel. Maar ook of ik langzaam of snel sprekend vragen stel, vormt mee aan het ritme van het verloop van de rekenkundige inspiratie. Voor het ritme van incarnatie en excarnatie maakt het zeker uit of ik bij het spreken zelf in de taal leef of min of meer zo spreek dat het alleen maar op de inhoud aankomt en bij de kinderen alleen de vraag verschijnt, maar niet dat ik die aan hen gesteld heb.

De snelste rekenaars van de klas

Iets van het allerfijnste bij de beschreven manier van rekenen is, dat kinderen die zeer goed en snel rekenen, steeds nieuw plezier ontwikkelen bij het oplossen ook van de eenvoudigste opgaven tot in de hoogste klassen. Dat komt omdat deze opgaven in een kunstzinnige relatie staan tot de opgaven waarmee ze tijdelijk te maken hebben en het ook de moeite loont zich de vraag te stellen; ‘sinds wanneer reken ik eigenlijk binnen het bereik van de rijen waarmee ik nu bezig ben en wanneer ben ik daar ‘ingestapt’? Vraag ik bijv.: na het invoeren van de tiendelige breuken: ’60 en dan 6 minder, hoeveel?’ en de kinderen antwoorden ’54’ en ik vraag dan ‘plus 3′, en het antwoord ’57’ komt en ik vraag dan ‘plus 2 x 1,5’? en het antwoord 60 komt en  ik vraag dan ‘4 x 1,5 eraf en we zijn dan weer bij 54 en ik vraag dan misschien ‘hoeveel keer 6 is 60’ en het antwoord 10 wordt gegeven; en dan ‘hoeveel 3 is 60?’ en het antwoord ’20’ klinkt en ik vraag dan ‘hoeveel keer 1,5 is 60′, dan is het antwoord ’40 keer 1,5’, dan moet ik me afvragen: wie was er zo snel op 40 keer 1,5 gekomen, als hij niet met de andere opgaven meegedaan had! En dat dan niet omdat hij zich het resultaat herinnert, maar omdat hij de uitkomst met de nieuwe vraag vergelijkt en daaruit een betere vraagstelling vindt. Een vraagstelling die speels, licht en prettig naar een antwoord leidt.

Zo kan ik steeds verder rekenen, bijv.: ‘de helft van 60?”. ‘dat is 30’. En ‘de helft van 30?’, ‘dat is 15’. ‘Hoeveel keer 1,5 is dat?’, ’10 keer’. ‘Wat is 11 x 1,5?, ”dat is 16,5’ en ‘hoeveel keer 1,5 is 21?’ Snelle rekenaars denken nu: 15 tot 21 is 2 x 3, is 4 x 1,5 – is dus 3 x 1,5 van 16,5 naar 21.’  [11,5 en 3,5 = 14x]

Als je iedere keer weer zo rekent, zullen de snelle rekenaars bij dergelijke antwoorden heel erg snel worden. En de kinderen die niet zo vlug rekenen, worden door het antwoord verrast en gaan over naar de volgende vraag, maar zonder de aansluiting te hebben verloren. Want ze weten: het gaat nu om ’21’ en als ik dan vraag ‘6 eraf’, dan zijn we weer bij de 15 en veel kinderen melden zich, die bij de vraag: ‘16,5 en hoeveel keer 1,5 is 21?’ niet zo snel hadden kunnen antwoorden als de anderen. Zo blijf je in een stroom.
Af en toe wissel je de rekenkundige omgeving van de vraag af: niet alleen van de rij van 3 naar die van 6 en van 9, van die van 12 naar die van 1,5 en soortgelijke ‘sprongen’, maar plotseling ook naar die van 5 of 7. Dat kan even moeilijk zijn, maar ook een weldaad. Ze zijn allemaal verrast en verheugen zich op de nieuwe opdrachten. Of je eindigt weer met het hoofdrekenen en geeft er een draai aan en vraagt misschien: ‘door welk getal werd de verrassende overgang voltrokken?’ Overal zijn er aanknopingspunten. Vanzelfsprekend kan je ook zonder meer op deze manier de aftrekking doen, de procenten, het worteltrekken en de kwadraatberekening.

Het probleem van het schriftelijke rekenen 

Heb je in de gaten dat de voorbereiding van de rekenkundige inspiratie samenhangt met dat je door verinnerlijken van de vraag de bewegingsmens volledig tot rust brengt, dan hoeft het ook niet te verwonderen dat veel kinderen in hun hoofd veel beter kunnen rekenen dan op papier. Dikwijls is men van mening dat de getallen op papier de kinderen in de war zouden maken. Maar het is nog erger. Het schrijven zelf al houdt de kinderen van het rekenen af. Daarom is het gunstig deze kinderen eerst de opgaven te laten opschrijven, voordat deze uitgerekend worden. Wie het rekenen gelijk al kan doen, moet dat zeer zeker doen. Daaruit kan geen slechte gewoonte ontstaan. Wie het echter niet fijn vindt om gelijktijdig te rekenen, omdat hij al weet dat het tijdens het schrijven op z’n slechtst gaat, die moet eerst rustig de opgaven opschrijven en dan in alle rust gaan rekenen. Want daarna hoeft hij de getallen alleen nog te lezen en de uitkomsten op te schrijven. Schrijven houdt iemand van de oplossing van rekenkundige vraagstukken af, omdat het een intensieve doelgerichte beweging is. Lezen is ook een hinderlijke activiteit. Luisteren daarentegen is uiterst gunstig. Wat goed dat het hoofdrekenen functioneert doordat de leerkracht spreekt en niet op basis van iets zichtbaars. Als het kind goed geoefend heeft uit het hoofd te rekenen, dan hoeft het het lezen van een rekenkundige activiteit niet als een zo sterke hindernis te worden ervaren, dat het niet meer op de oplossing zou kunnen komen.

Er moet wel op gelet worden dat iedere ingevoerde of allang half vergeten rekenbewerking die echter door het hoofdrekenen wel levend gebleven is, voor de gewoonte van het schriftelijke rekenen vaak genoeg herhaald wordt. Het schriftelijk rekenen kan t.o.v. de hier geschetste manier van rekenen mechanisch genoemd worden. In zoverre, dat bij het schriftelijk rekenen veel kinderen ophouden het overzicht over de rekensom te bewaren en alleen nog maar simpele rekenstappen in de vier rekenbewerkingen zetten en al het andere schematisch uit het geheugen schrijvend oplossen; ze weten zich te herinneren waar je wat neer moet schrijven. Op deze manier kan het resultaat zelf volkomen vals zijn en het kind stoort zich daar helemaal niet aan, omdat het de losse stappen goed gedaan heeft. alleen de getallen op de verkeerde plaats geschreven. Daaraan kan je zien hoe mechanisch kinderen dikwijls rekenen, wanneer ze dat schriftelijk doen.

De zojuist beschreven mechanische manier van rekenen is alleen maar nodig, omdat het rekenen ook die kant heeft om daarmee de buitenwereld te leren beheersen.
Vanaf het 9e levensjaar, op school bijv. vanaf de huizenbouwperiode in de 3e klas, dient het rekenen ook om met de grootte en zwaarte van de dingen door de maat van lengte en gewicht om te kunnen gaan.
Wat voor het rekenen echter het beslissende is, is het feit dat het rekenen een bepaalde verhouding van het etherlijf tot het fysieke lichaam verzorgt, dat anders zou verkommeren.
In ieder geval kan door muziek deze samenhang ook zonder rekenen levend gehouden worden, maar niet zo duidelijk als door rekenen. Het is dus voor een gezonde lichamelijke ontwikkeling nodig dat de kinderen tussen het zevende en veertiende jaar steeds weer rekenen. Het aanleren van de verschillende rekenbewerkingen op de vrijeschool – verdeeld over de verschillende leeftijden in de tweede zevenjaarsfase – betekent, zoals ruim bekend, geen opbouw naar moeilijkheidsgraad alleen, maar ook een verloop van het levend houden van de relatie gevoel-levenskrachten-lichaam. En wanneer deze relatie verandert, moet er ook een rekenbewerking bijkomen. Typerend voor de eerste ‘rubicon’ is wat dit betreft natuurlijk het rekenen met breuken; voor de tweede zijn het de negatieve getallen, met procentberekeningen en nog meer.

Herinneren en vergeten en het actuele denken

Het gebeurt steeds weer, dat kinderen – zelfs jaren lang – niet verder komen dan de beheersing van basisrekenvaardigheden in de getallenruimte van 10 of 15 of 20, terwijl andere kinderen allang de moeilijkste sommen maken, in alle mogelijke getallenruimten. Dat deze kinderen dikwijls echter in werkelijkheid helemaal niet tot zover rekenen, maar alle mogelijke uitkomsten – soms bijna alle denkbare uitkomsten – onthouden, wordt snel over het hoofd gezien.

Wanneer je de kinderen niet zo precies waarneemt dat je weet of ze zich herinneren of zich actueel nieuwe vragen stellen, kan het je gemakkelijk ontgaan dat sommige kinderen inderdaad niet rekenen, hoewel ze veel opdrachten binnen een getalbereik goed beantwoorden. De voorgestelde manier om te rekenen schept de mogelijkheid steeds weer alle kinderen gemeenschappelijk zeer ‘makkelijke’ sommen te geven, zonder daarmee iets ondoorzichtigs te doen. En dat laat vrij de opdrachten op zichzelf staand of in een levendige en gecompliceerde samenhang te bedenken.
Met de verschillende rijen die de kinderen paraat hebben en die langzaam kunnen veranderen, wordt gedurende een lange tijd intensief gewerkt aan een levende relatie tussen het zich herinneren van de plaats in de rij – bijv. de 15 of 21 in de rij van 3 – en het actuele rekenen rondom deze vaste herinneringpunten.
Ik kan me bijv. herinneren  dat na de 21 en 24, 27 volgt. Wanneer er aan mij bijv. wordt gevraagd: ’27 is 21 en wat moet erbij?’ en ik antwoord ‘6’, dan heb ik zo gerekend dat 27 vanaf de 20   7   is, dus vanaf 21   6  , maar ook heb ik gerekend dat het van 21 naar 27 twee stappen van 3 zijn, dus 6, want 2 x 3 is 6. Misschien heb ik ook nog gerekend, dat er tot de 30 nog een stap van 3 open is, dat dus deze ‘6’ daar een beetje disharmonisch ligt. Mooier was het wellicht geweest om de vraag te hebben gekregen ’24 en hoeveel is 30?’ Dat is ook 6, maar die 6 ligt dan netjes in de rij van 6 en niet met de ene helft in de rij van 6 en met de andere helft in de andere rij.
Wanneer je de wereld van de getallen zo hebt leren kennen, zal je ook de steeds weer terugkerende bewering dat 3 keer 4 en 4 x 3 hetzelfde is, dus 12, niet kunnen onderschrijven. Dat is iets heel anders.

Veel van deze overwegingen vinden bliksemsnel plaats, bijna gelijktijdig, wanneer ik een antwoord geef. Bij sommige kinderen leven veel van dit soort gedachten, bij anderen veel minder en het antwoord zal toch gelijk zijn.
Op deze manier zijn de snelle denkers steeds bezig en niet met iets wat hierbij vreemd is, maar door een activiteit die de verhouding tot de getallenwereld verdiept en op een muzikaal-ritmische manier levendiger maakt.

Kinderen met een wiskundige aanleg die deze manier van rekenen zeer waarderen en die fijn vinden, zijn vaak niet weinig verbaasd wanneer ze dezelfde leerkracht die met hen zo graag denkt, rijen hoort opzeggen. Ze vragen misschien: ‘Hoe kan dat?’ of zoiets. Het betekent iets heel heilzaams wanneer zulke kinderen mogen ervaren dat het geen blamage is, je los te maken van het helderste dagbewustzijn en je te verdiepen in het herinneren en spreken. Wanneer het wakkere denken met het herinneringsproces zich ritmisch herhalend, zich wederzijds opheffen en een verbinding aangaan, oefent dat een gezonde invloed uit op de mens.

Wanneer je kinderen waarneemt bij het leren en het oefenen van het rekenen, zoals vaak op de vrijeschool gebeurt, kan iemand argwanend worden: wordt daar niet veel te veel gedachteloos gereciteerd. Dat kan je vaak al horen aan hoe het klinkt.
De heersende opvatting van nu neigt juist naar het tegenovergestelde: je zou het aanleren van iets helemaal ‘uit wat het kind nu begrijpt’ moeten beginnen.
Dat maakt de kinderen innerlijk ‘dun’ en zwak. Gedachteloze activiteit maakt ze duf en traag. In beide gevallen gaat de levendige interesse van het jonge schoolkind dat voor ieder kiezelsteentje enthousiast kan worden en voortdurend iets nieuws mee naar school neemt, op zijn laatst in de middenklassen verloren.  Een levendig heen- en weer gaan tussen de beide elementen – de herinnering en de opvatting van nu – maakt daarentegen de kinderen innerlijk levend en sterk in het gevoelsmatige verwerken en verdragen van wat er in de wereld gebeurt.

Het rekenen op school zal dan niet meer de aanwezige gezondheid – in zoverre dat voor ‘het hoge doel’ te verantwoorden lijkt – opsouperen. Het zal gezondheid creëren en dienen.

.

Rekenen; alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle beelden

.

2202

VRIJESCHOOL – Spel – knikkeren (1-2)

.

Straks komen de kinderen weer – als hadden ze het afgesproken – vrijwel altijd tegelijkertijd met een knikkerzak naar school.

Daarover is in dit artikel al e.e.a. gezegd.
In het artikel dat volgt, geeft de schrijver een terugblik op de knikkertijd van dat jaar. Hij knoopt er het rekenen aan vast.

Rimbert Moeskops, nadere gegevens onbekend.
.

KNIKKERTIJD
.

Enige tijd geleden was het knikkertijd. Met knikkerzakken, jampotjes, penetuis, broekzakken of wat dan ook gevuld met knikkers kwamen de kinderen op school. Met piraatjes, geluksies, bier-en wijnballen, duizend- en miljoenentellers, gewoontjes, pottenbakkers enzovoorts werd geknikkerd. ‘Laatst op, ik lig, knipperlicht, met uithaal, met oppak, wagen moet.’
Vol ijver, vol fanatisme soms, werd er geknikkerd.

Of niet geknikkerd? Vol trots paradeerden sommige kinderen met hun knikkers over het veld, bang om te spelen, want bang om te verliezen. Anderen echter waagden have en goed.

“Meester, tien winst.'” Gelukzalig het kinderleven? om deze tien te winnen, moesten er misschien twintig worden verloren, maar het verlies telt niet, alleen de winst telt. Je moet het positief zien.
Maar soms een drama? Tranen met tuiten. Een mooie stuiter als inzet verloren. Of woede? Deze of gene had gemeen gespeeld…

Knikkeren. Voor een volwassene niet te begrijpen. Nergens kon ik mijn piraatje, tien waard, was mij toch verzekerd, ruilen voor tien gewoontjes. Vijf gewoontjes was de hoogste koers die ik kon bedingen. Kwaliteit speelt nog een belangrijke rol! Je kunt beter een tienwaardige bezitten, dan tien ónwaardige, want die tienwaardige is mooier dan elk der ónwaardige. Volwassenen weten dit overigens soms ook! Liever een meier dan honderd piek (want dat is zoveel zwaarder), liever een hele appel dan twee halve (want dat bederft zo vlug).

Opvallend het verschil, waarmee de verschillende kinderen met het knikkeren konden omgaan. Wat is hoofdzaak? Het spel of de knikkers? Op deze vraag had ieder kind een hoogst eigen antwóord. Ging het bij de een om het winnen van het spel, een ander speelde meer om het winnen van de knikkers, een derde om het spelen van het spel, een volgende om het spelen met deze of gene, weer een ander om het winnen van een bepaald soort of een bepaalde knikker, ja soms leek het wel dat er waren, die in het verliezen van de knikkers het meeste plezier schepten.
En dus waren er kinderen die een ander poogden blut te spelen (om de gein ervan, óf om de gewonnen knikkers), anderen gaven onmiddellijk na het blut spelen een deel van de knikkers terug (anders was het spel af – daar was het niet om begonnen.) of leenden knikkers uit. Enzovoorts.

Knikkertijd. Een goed moment om je in de derde klas met geldrekenen bezig te houden. Vele vergelijkingen zijn mogelijk. De koers? Een piraatje is twee geluksies, een dubbeltje twee stuivers. De manieren van verwerven? Winnen (verdienen), lenen of krijgen. Of (meer van je af) de manieren van kwijtraken? Verliezen, uitlenen of weggeven. De naamgeving? Piraatjes enz» (zie boven), een meier of snippie, een geeltje, een joet.enz.

Met de kinderen heb ik gesproken over welke knikkers de fijnste knikkers zijn? een gewonnen knikker, een geleende of een gekregen?

Oppervlakkig bezien maakt het geen verschil of je een gewonnen of een gekregen knikker hebt? De knikker is van jou! Een geleende knikker echter is een minder fijne knikker? Hij moet nog terug!

Toch bleek verder pratend en een praktijkvoorbeeld aanhalend een gegeven knikker de mooiste te zijn en dat zelfs een geleende knikker in feite nog mooier is dan een gewonnen. Een gegeven knikker is een knikker die uit vriendschap van eigenaar verwisseld is, een geleende knikker idem uit kameraadschap, een gewonnen echter uit (een zekere) rivaliteit. En blijkens de praktijk dit laatste soms uit een zeer zekere rivaliteit.

In een verhaal was deze drieledigheid, maar dan met betrekking tot geld al aan de orde geweest. Schenkgeld, leengeld, koopgeld. Geld dat weliswaar steeds een kwestie van duiten is, maar daarnaast een variërende klank in de overdracht heeft.

Verder hebben we ons gedurende deze periode met het rekenen met het geld bezig gehouden (waartoe een winkeltje was ingericht) en geld gemaakt (valsemunterij dus, wat wegens de strafbaarheid in uiterste stilte diende te geschieden.)

We gaan weer even terug naar de knikkertijd. Je zag soms kinderen over het veld lopen met een zak knikkers waarvan de bodem nooit in zicht kwam. Steeds was de knikkerzak met een ongebruikte hoeveelheid knikkers gevuld. Deze knikkers vervulden geen andere functie dan dat ze de status van de bezitter verhoogden. ‘Oei, heb jij zo’n zak vol knikkers.”
Deze knikkers hadden eigenlijk alleen de kwaliteit en gewicht en vulling en vanwege status werden ze voortdurend rondgesjouwd. Ze vormden nooit— afgeworpen ballast. Andere kinderen, kinderen zonder knikkers, zouden met deze knikkers heel fijn hebben kunnen knikkeren. Ideaal gesproken is dat zo, maar de kinderziel werkt zo niet, is meer realistisch dan idealitisch ingesteld.

Bij veel volwassenen is dit helaas ook zo. Menigeen staat bv. voortdurend doodsangsten uit dat zijn bezit gestolen wordt. Wérd zo iemand maar eens bestolen. Want in de eerste plaats is zo iemand dan zijn angst ontstolen. ‘Bezit kun je toch niet meenemen’, ‘een doodshemd heeft geen zakken.’
De beste preventie tegen diefstal is en blijft: geen bezit hebben. Waarmee ik niet bedoel, dat je maar het beste niets kunt bezitten, maar als ieder zich.eens afvroeg: ‘Heb ik dit of dat echt nodig, gebruik ik het echt?’ (zie boven met de status-knikkers), er dan bij velen niet zo heel.veel te stelen overbleef en het beroep van dief zou uitsterven, want de statussymbolen stonden op grofvuildag hoog opgepakt aan de straat.

Rudolf Steiner schreef in 1905 in een artikel: ‘Het welzijn van een geheel van samenwerkende mensen is des te groter, naarmate de enkeling minder aanspraak maakt op de opbrengsten van zijn prestaties, dat wil zeggen, naarmate hij meer van deze opbrengsten aan zijn medewerkers afstaat en naarmate meer van zijn eigen behoeften niet door zijn eigen prestaties, maar door de prestaties van anderen worden bevredigd.” [1]
Dit betekent in simpeler bewoordingen, dat ieder geeft wat hij heeft en als ieder geeft wat hij heeft, niemand gebrek lijdt.

En zo was het in de knikkertijd. Er waren ruim voldoende knikkers voorhanden om ieder te kunnen laten knikkeren. Ook kon ieder kind een handjevol “de allermooiste knikkers” bezitten. Er stond maar één iets in de weg om dit mooie beeld te bereiken: de jonge mensenzielen die zich met de knikkers bezighielden. Inderdaad, voor de kinderen is een dergelijke inrichting van knikkertijd te hoog gegrepen (al hebben de periode geld in de derde klas en het voorbeeld van de juffie en meesters wel het nodige in die richting bijgedragen).
Voor de kinderen is een dergelijke instelling nog toekomstmuziek.

Maar het was knikkertijd.’ En we hebben ervan kunnen leren. Als ieder geeft wat hij heeft, arbeid, geld, goederen, dan kan er niets mis gaan.

Een vrijeschool blijft, zolang er kinderen zijn, dan altijd bestaan (net als vele andere instellingen). Hoeveel knikkers er ook van eigenaar verwisselen, de totale hoeveelheid knikkers op het veld blijft gelijk.

Steeds kan er plezier worden beleefd aan en geleerd worden van het geven en ontvangen, het spel van het spel, het verliezen en winnen, het spelen met elkaar, de schoonheid van de knikkers.

[1]  Rudolf Steiner: De kernpunten van het sociale vraagstuk

Over geld: Sociale driegeleding: onder [6]

Spel: alle artikelen

Vrijeschool in beeld

.
2014

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (14)

.

Pieter HA Witvliet
.

CONCREET EN ABSTRACT

Als je een kind, laten we zeggen, een rekenopdracht geeft, ga je ervan uit, dat het deze ook begrijpt.

Een kind van 7 moest het getal 5 splitsen en daarvoor was een som bedacht:

In een portemonneetje zit € 5,–

Je koopt een kam van € 1. Het kind moet nu naast de betreffende balk het antwoord € 4 invullen, dat is over.

De bedoeling van de somontwerper was, dat in de volgende balk 1 kwam te staan; bij de volgende balk 2 enz.

Maar in de tweede balk gaf het kind als antwoord: 0

De derde opdracht met het getal 3 maakte het kind niet.

Op mijn vraag waarom het die niet had gedaan, antwoordde het kind: ‘Dat kan toch niet, je hebt geen 3 meer.’

Ik moest even nadenken wat het kind precies bedoelde en begreep het opeens en ook het antwoord 0, daarboven.

Het kind was heel concreet uitgegaan van de inhoud van de portemonnee met 5 euro en ja, als je er 1 uitgeeft hou je er 4 over, maar als je die dan uitgeeft, is je portemonnee leeg!

En inderdaad: je hebt geen 3 meer.

Hier nog een voorbeeld van een concrete en abstracte opgave.

Overigens is het wel heel belangrijk dat de 1e-klassers de eerste 10 getallen feilloos kunnen splitsen.
Dat kunnen ze m.i. beter leren met hun eigen vingers – bv. met de ene hand er 3 verbergen; wat moet er aan de andere hand zichtbaar zijn als het om ‘vijf’ gaat, enz.
Uiteindelijk is het goed dat de kinderen vanuit wat ze begrepen hebben a.h.w. een soort opteltafel van 5 leren:

5= 0 + 5
1 + 4  enz.

En er doen zich vele ogenblikjes voor waarop je even door de klas kan roepen: ‘het gaat om ‘7, ik zeg 3, dan zeg jij …..’vier’, enz!

.

Rekenen: 1e klas alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: alle artikelen

.

1927

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (5)

.

Ernst Bindel, Erziehungskunst 19e jrg nr.10 1955

.

Introductie van de negatieve getallen

optellen en aftrekken van positieve en negatieve getallen

Het leerplan van de vrijeschool plaatst de introductie van de negatieve getallen  en het rekenen ermee in het zevende schooljaar; droog staat daar: ‘machtsverheffen, worteltrekken, negatieve getallen en de leer van de vergelijkingen in samenhang met het praktische leven wordt doorgenomen.’

Maar, hoe  de negatieve getallen te behandelen: daarover geen woord. Ook in de pedagogische voordrachten van Rudolf Steiner wordt daarover voor zover ik weet, niets gezegd. Dus ben je voor het doornemen van deze stof op jezelf aangewezen. Hoogstens mag je hopen dat uit de historische ontwikkeling van het wiskundig bewustzijn in de mensheid een stimulans is te halen. Maar daarmee is het ook maar karig gesteld.
Rond het midden van de derde eeuw na Christus was het Diophantus van Alexandrië die al een onderscheid maakte tussen getallen die erbij komen en die eraf gaan. Hij sprak de twee formules uit:

af te trekken maal af te trekken = komt erbij  (- x – = +)
af te trekken maal erbij te doen = af te trekken (- x + = -)

maar hij paste ze alleen maar toe op verschillen die een echte getalswaarde hebben, waarbij de aftrekker groter blijft dan de opteller. Het begrip van het positieve en negatieve getal als maatstaf van tegenovergestelde grootheden was hem nog onbekend, de aftrekking van een groter getal van een kleiner werd door hem nog niet uitgevoerd. Diofantisch zou de berekening zijn:

Echte positieve en negatieve getallen zie je voor het eerst bij de na Diophantus komende Indische wiskundigen. Ze geven de negativiteit van een getal aan door er een punt boven te zetten. Dat was voor hen geen rekenbewerkingsteken, maar alleen een teken voor het soort getal. Door hen werd al de aftrekking van een grootte omgewerkt naar een tegenovergestelde grootte in de optelling. 

De positieve getallen kregen de naam  dhara  of bezit, de negatieve  rina  of schulden. Het duidelijk maken door de tegenovergestelde richting van een lijnstuk is daar al te vinden.

Met dit weinig historische materiaal uitgerust, moet je er nu aan beginnen de negatieve getalleen op een adequate manier aan jongens en meisjes van ongeveer dertien jaar aan te leren. Dan kan op de volgende manier:

Aan het begin stel je de vraag of het mogelijk is of van een bepaalde te tellen hoeveelheid meer afgenomen kan worden dan er ligt. Het antwoord van de meesten zal ontkennend zijn; je kan b.v. van 5 appels geen 8 appels wegpakken.
Maar als leraar kan je met dit antwoord geen genoegen nemen en aageven dat je wel bepaalde gevallen kent waarbij het tóch mogelijk is meer weg te nemen dan er is.
Wanneer geen van de kinderen een voorbeeld kan vinden, vraag je of ze niet al eens hebben meegemaakt dat op een winteravond de thermometer wanneer ze naar bed gaan, laten we zeggen, b.v. op 2 graden C stond en dan gedurende de nacht tot aan de morgen 5º lager staat, zodat het 3º onder 0 is. Dan kan je op het bord schrijven:

2 graden min 5 graden = 0 graden min 3 graden ofwel: 2 – 5 = 0 -3

Op dit voorbeeld volgen er door de kinderen wel andere:

1 Je loopt op een vlakke straat, dan loop je omhoog tegen een heuvel, laten we zeggen 50m en aan de andere kant ga je weer naar beneden: 70 m tot je weer op een vlakke straat loopt:

50m min 70m = 0m min 20m. Ofwel: 50 – 70 = 0 – 20

waarbij de hoogte van de 1e straat op 0 wordt gesteld. Als je dat met de 2e straat doet, wordt de berekening:

20m plus 50m min 70m = 0m

2. Vanuit de huisdeur loop je 5 passen naar voren. Dan bedenk je plotseling dat je wat vergeten hebt, wat binnen klaarstaat. Je keert op je schreden terug, maar je hebt er nu meer nodig dan 5.

3. Je staat in het zwembad op de hoge duikplank van 2m en je komt na een duik 3m lager uit:

2m min 3m = 0m – 1m. Ofwel: 2 – 3 = 0 – 1

Dan ben je 1m in het water gedoken.

4.Het voorbeeld dat je meer geld uitgeeft dan je bij je hebt, hoeft alleen maar genoemd te worden.

5. Je duwt een stuk kurk van laten we zeggen 500g helemaal onder water. Daarbij verliest het werkelijk tegen de 2000g aan gewicht, zodat het niet alleen niets meer weegt, maar met 1500g ‘lichtgewicht’ naar boven drukt:

500g min 2000g = 0g min 1500g aan gewicht.

6. Stimulerend is het ook om wiskundige figuren zo te laten krimpen dat ze door het nulpunt gaan. Wanneer de stralen van een cirkel gelijkmatig naar het middelpunt korter worden, wordt de cirkel teruggebracht tot zijn nulpunt: het middelpunt. Bij het nog korter worden van de stralen, komt de cirkel weer tevoorschijn. Gecompliceerdere voorbeelden zijn er volop.

Alles roept op om erover na te denken waarom bij de temperatuur, bij het lopen, bij het uitgeven van geld enz. mogelijk wordt, wat bij de appels niet mogelijk is. Het antwoord is makkelijk gevonden: er moet een tegenovergestelde bij zijn. Dat is er niet bij de appels, wél bij geld in de vorm van vermogen en schuld, bij het lopen in de vorm van omhoog en omlaag of vooruit en achteruit, bij temperatuur in de vorm van kou en warmte, bij gewicht in de vorm van zwaarte en lichtheid.

Deze vaststelling opent interessante perspectieven waar niet altijd op gelet wordt. Waarom kun je de tegenstelling licht donker niet net zo berekenen als die van kou en warmte? Omdat er geen scheidingspunt, geen nulpunt aanwezig is. Dit antwoord kwam verrassenderwijs uit de mond van een slimme leerling.

Wanneer er echter een nulpunt bestaat, komt het er weer opaan, hoe dit tussen de beide delen van de tegenstelling ligt. Bij het meten van de temperatuur volgens Fahrenheit neemt die een andere positie in dan bij Celcius. 

Het voorbeeld van daarstraks met Celcius:

2 graden C min 5 graden C =0  graden C – 3 graden C , zou met Fahrenheit er zo uitzien:

36,5 graad F min 9 graden F = 26,5 graad F, omdat 0 graden C al 32 graden F en 0 graden F  – 177/9  graad C zijn.

Verder moet je nog bedenken dat de pluskant en de minkant van een polariteit beide al naar gelang om het gekozen 0-punt verwisselbaar zijn. Voor een beroepsschuldenmaker, die zich alleen op z’n gemak voelt als hij schulden heeft, zouden de schulden ongetwijfeld iets zijn wat hij bevestigt, dus iets positiefs. Hij heeft b.v. 1000 euro schuld, wat hij huichelachtig betreurt. En vriend heft voor hem de schuld meer op dan hij had door hem 1500 euro te schenken. Van zijn schulden verlost, betreedt hij met 500 euro vermogen het gebied waar hij niet graag is en dat voor hem een gebied is dat hij als negatief ervaart. De 500 euro in zijn zak laten hem niet met rust en hij haast zich om deze weer uit te geven, d.w.z. 500 euro schuld te innen, te sparen. Daardoor heeft hij op z’n minst het nulpunt waar hij zich  op zijn gemak begint te voelen, weer bereikt.
Een minder grotesk voorbeeld zouden de dieren zijn die zich alleen in de kou thuisvoelen. Het staat de fantasie van de leerkracht vrij om meer voorbeelden te vinden.

Nu wordt het tijd om los te komen van de aanschouwelijke voorbeelden en je  louter op het gebied van de getallen te begeven. Dan moet je niet alleen maar de hele getallen, maar ook opdrachten met tiendelige breuken geven of met gelijknamige breuken waarbij de aftrekker steeds groter is dan het aftrektal. Mij lijkt het bij al deze opgaven belangrijk dat in de uitkomst nog het cijfer 0 voorkomt. Als dat zichtbaar is, is dat de garantie dat het minteken dat volgt nog het karakter van een rekenbewerkingsteken heeft, dus een teken van activiteit in zich draagt, zodat het negatieve getal dat hierbij ontstaat, eerst nog gehuld is in het kleed van een niet uitgevoerde aftrekking van 0. Pas nadat dit een poos zo gedaan is, ga je ertoe over, het cijfer 0 weg te laten, omdat het een overbodige schrijfactie betreft. Daardoor verandert nu het karakter van de de volgende tekens wezenlijk: van rekenbewerkingsteken metamorfoseert het zich naar het voorteken. Het is alsof het eerst nog vloeibare water tot ijs verstard is.

De som: 15 – 20 = 0 – 5, wordt 15 – 20 = -5

Je zou ook kunnen zeggen: de activiteit van het wegnemen van het getal 5 van de 0 wordt een eigenschap van het getal 5, als 0 – 5 het getal -5 wordt. Elke keer gebruik je daarbij hetzelfde teken, het aftrekteken van eerder. 
Om een misverstand te voorkomen, is het raadzaam, in ieder geval bij het lezen van dit teken onderscheid te maken, door b.v. het bewerkingsteken als ‘weg’ of ‘minder’ te lezen, het voorteken als ‘min’ of ‘minus’, zodat de som

15 – 20 = -5

gelezen wordt als ’15 eraf/weg/ 20 is gelijk aan min 5′. Wanneer de leerkracht deze manier van zeggen consequent handhaaft, doen de leerlingen dat ook.

Hier komen heel ongedwongen de positieve getallen bij. Het getal 5 dat tot nog toe geen voorteken had, verandert bij de optelsom 0 + 5 en wel door het geschetste verstarringsproces in het getal +5 waarbij het ook nodig is de dubbele betekenis van het +teken dat ook eerst weer een bewerkingsteken was, nu tot voorteken te maken, door het bij het lezen uit elkaar te houden: het bewerkingsteken + krijgt dan de naam ‘en’ of ‘meer’, het voorteken+ door het woord ‘plus’.

Wanneer de positieve en negatieve getallen zijn ingevoerd, sta je voor de opgave er rekenend mee te werken. Ik beperk me hier tot het aangeven van een mogelijke weg hoe je met de optelling en aftrekking verder kan komen, zonder al te abstract te worden. 
Allereerst laat je de leerlingen zelf vinden hoeveel opdrachttypen er zijn. Ze zullen met enige hulp erop komen dat het om niet minder dan om 8 soorten opgaven gaat. Die moeten allereerst zo uitvoerig mogelijk opgesomd worden:

(pg= positief getal; ng = negatief getal)

1.pg en pg, b.v. (+3) + (+4)
2.pg en ng. b.v. (+3) – (-4)
3.ng en pg. b.v. (-3) + (+4)
4.ng en ng. b.v. (-3) + (-4)

5.pg af pg. b.v. (+3) – (+4)
6.pg af ng. b.v. (+3) – (-4)
7.ng af pg. b.v. (-3)  – (-4)
8.ng af ng b.v. (-3)  –  (-4) 

Deze hoeveelheid ziet er eerst verwarrend uit, maar laat zich toch op een volledig zelfde manier behandelen. De eenheid zit in het feit da tje de acht sommen kan lopen: 

het voorteken + een stap voorwaarts
het voorteken – een stap naar achter
het rekenteken + je NIET omdraaien
het rekenteken –  je omdraaien

In alle acht gevallen leidt deze manier van lopen tot het juiste resultaat. Maar aan het begin moet je wél het nulpunt plaatsen en vastleggen aan welke kant het plusgebied ligt.
Om hier niet te abstract te worden, moet je het lopen in werkelijkheid of in gedachten bij de deur als nulpunt beginnen. Binnen is de minkant, het schoolplein is de pluskant. 
Hier alleen ter verduidelijking twee van de acht mogelijkheden: de sommen (hierbovenv 3 en 8)

Opgave 3:    (-3) en (+4)

Vanaf de deur 3 stappen achteruit, dus naar binnen; je draait je niet om en je loopt vier passen naar voren. Je komt met 1 pas op het schoolplein:

(-3) + (+4) = + 1

opdracht 8:

(-3) af (-4)

Je loopt vanaf de deur 3 passen achteruit, dus naar binnen, je draait je om en loopt vier passen terug. Je komt ook zo met 1 pas op het schoolplein te staan:

(-3) – (-4) = +1

Juist deze beide sommen tonen wanneer je ze vergelijkt, dat het resultaat gelijk is, of je je nu niet omdraait en vooruit loopt (opgave 3) of dat je je omkeert en terugloopt (opgave 8).

Heel ongedwongen ontstaat nu de belangrijke abstracte regel: 

een getal wordt afgetrokken wanneer je het tegenovergestelde getal optelt.

Deze regel brengt de acht opgaventypen terug tot vier, wanneer elk van vier aftreksommen aan een van de vier optelsommen gelijkgesteld wordt. Al het aftrekken met relatieve* getallen kan worden vermeden en je hoeft de leerling alleen te bekwamen in het leren optellen. Dit gaat zonder problemen en kan ook aan het wederzijds verrekenen van bezit en schuld op een eenvoudige manier duidelijk worden.

Het lopen van de uitkomsten is voor wie het doet, heel leuk. Maar met een grote klas niet zo makkelijk te doen om iedereen aan de beurt te laten komen. De meesten moeten dan toekijken. Maar later kan je de hele activiteit wél tekenen. Wie loopt wordt voorgesteld door de oud-Egyptische manier van een paar benen. 

Dat ziet er zo uit: (opgave 3)

mingebied               deur           plusgebied
                                                           binnen                                         buiten (plein)

Opgave 8:  (-3) – (-4) = +1          

mingebied                  deur            plusgebied                                                                            binnen                                         buiten (plein)

Soms gebruikt men de regel dat de aftrekking van een getal met de optelling van het tegenovergestelde getal gelijk is, aan de hand van de zich beide opheffende dubbele ontkenning zoals die in de taal duidelijk is.
Een niet onvriendelijk mens betekent zoveel als een vriendelijk mens, een niet slecht gedrag zou hetzelfde zijn als een goed gedrag, enz.
De vergelijking van het rekenen met de taal gaat in zoverre mank dat bij de laatste een dubbele ontkenning slechts bij benadering in een gelijke positie komt. Een vriendelijk mens is ietsje vriendelijker dan een niet onvriendelijk mens, een goed gedrag ietsje beter dan een niet slecht gedrag. Toch zou je dit verschil niet willen missen. Door de ontkenning drie keer of vier keer te nemen wordt de bedoelde betekenis steeds donkerder, b.v. wanneer bij een troep gevangen soldaten die aan verschillende verhoren werd onderwerpen, gezegd wordt: ‘Geen van de gevangenen heeft ooit iets onwezenlijks verzwegen’. Betekent dit dan meteen dat niemand iets wezenlijks heeft gezegd? Ongewtijfeld nog niet!   

Wie gebruik maakt van het lopen van de optellingen en aftrekkingen van de relatieve getallen, moet ook de trucjes kennen die hierin zitten. In de opdrachten waarin zich maar twee samen te nemen getallen zitten, worden ze nog niet zichtbaar, maar wel bij drie of meer dergelijke getallen. Voorbeeld:

(+3) –  (-2) + (-1) 

Om er zeker van te zijn, wat eruit komt, vervangen we de aftrekiing -2 door de optelling +2:

(+3) + (+2) + (-1) = +4

Zouden we de opdracht in de oorsrponkelijke vorm volgens voorschrift gelopen hebben, dan was er foutief +6 uitgekomen, daarentegen de opgave in de veranderde vorm, waarbij wij door ononderbroken optellen ons niet hoeven om te keren, alleen voorwaarts dan wel achteruit te lopen, het juiste resultaat +4 krijgen. 
In waarheid is het nu zo dat het lopen ook voor willekeurig veel samen te nemen getallen tot de juiste uitkomst leidt, het moet alleen op de juiste manier gebeuren.

Dat moet de lezer zelf maar eens onderzoeken.

De kinderen moeten ingeprent krijgen: draai je nooit om wanneer je meer dan twee getallen bij elkaar moet brengen! Zorg ervoor, ook wanneer het maar om twee getallen gaat, dat je alleen maar optelt! Dan kan je niets gebeuren.

Anders zou het ook zo kunnen gaan als bij de mythische zanger Orpheus die zijn door de dood weggerukte gemalin Euridice weer uit de onderwereld mag halen onder de voorwaarde dat hij zich niet naar haar omdraait. Dat deed hij wel en daardoor verdween ze voorgoed.

Sommigen zullen hoe het hier voorgesteld wordt, tamelijk omslachtig vinden. Het precieze onderscheid tussen rekenteken en voorteken inclusief het uitspreken, alsook de daardoor ontstane noodzakelijkheid de positieve en negatieve getallen tussen haakjes te plaatsen, is dat niet te veel?

Waarheen is dat spook dan verdwenen wanneer je de opgave zo schrijft:

3 – 5 + 9 + 12 – 8 – 20?

Dan kom je er toch zonder haakjes en zonder onderscheid van rekenteken en voorteken ook uit? Helemaal niet! Je hebt hier alleen met een vereenvoudigde manier van opschrijven te maken. Alle tekens zijn hier als voorteken te beschouwen en de zo naast elkaar staande getallen kun je gezamenlijk optellen; alleen de verbinding van het rekenteken + blijft verborgen. Want het gaat om de som:

(+3) + (-5) + (+9) + (+12) – (+8) – (-20) = 9 

Je mag ook omgekeerd redeneren en alle tekens in de opgave rekentekens noemen. Dan zou het alleen gaan om de optelling en aftrekking van louter positieve getallen, dus om:

(+3) -( +5) + (+9) + (+12) – (+8) – (+20) = 9 

Met bovenstaande uitleg over het invoeren van de relatieve getallen en hoe die opgeteld en afgetrokken worden is weliswaar het probleem dat de leerrkacht van een zevende klas heeft, nog niet uitputtend behandeld. Hij zou ook nog willen weten hoe vermenigvuldgit en deelt met relatieve getallen.
Beantwoorden van die vraag maakt een nieuw artikel noodzakelijk. 

*Relatieve getallen of waarden zijn afhankelijk van andere absolute getallen.
Anders gezegd staan ze in relatie tot deze andere absolute getallen.
Lang niet altijd worden die andere absolute getallen gegeven.
Bijvoorbeeld 1 op de 5 auto’s op deze weg rijdt te hard.
Je weet niet hoeveel auto’s er precies te hard rijden. Alleen welk deel.

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas

1778

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen

 

Dit artikel is uit 1926, uit een van de eerste brochures van de Vrije School Den Haag.

Over deze brochure                    Hier te downloaden

Ondanks het bijna 100-jarig bestaan van het artikel, heeft het aan bepaalde gezichtspunten niets aan actualiteit ingeboet.

Ik heb het in de oorspronkelijke spelling laten staan.  

 

BEELD EN RYTHME IN HET REKENONDERWIJS

door E. VAN BEMMELEN—SMIT.

Het rekenonderwijs te brengen in die kunstzinnig beeldende vorm, die voor jongere kinderen een vereischte is, lijkt op het eerste gezicht misschien bezwaarlijk. De vier hoofdbewerkingen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, deelen zijn bewerkingen, die zoo volkomen wetmatig verloopen, dat het lijkt, dat daar voor de verbeeldingskracht geen plaats is. Toch, wanneer we ons richten op wat in de kinderen leeft, dan vinden we ook hier de weg om een vak als rekenen in kunstzinnige vorm te onderwijzen.

In het kunstzinnige onderwijs gaat het er om in beeld en rythme de stof uit te drukken.

Een beeld van de getallenwereld vinden we in de meetkundige figuren. In driehoek, vierhoek en vijfhoek hebben we een beeld van de drietHeid, vierheid en vijfheid. Het teekenen van de elementaire meetkundige figuren kunnen we dan ook al heel vroeg met kinderen doen. Ze vinden daarin behalve het beeld van de veelheid, ook al het verband tusschen enkele getallen, bijv. 2 en 6.

Aan fig. 1 in de zeshoek kunnen we o.a. duidelijk maken, hoe van 6, 2 driemaal afgetrokken kan worden en er dan geen rest blijft. In de vijfhoek kunnen we dit niet. De vijfpuntige ster en de gesloten driehoek drukken dit in beeld uit. Het rythmische rekenen sluit zich aan bij alles wat met tellen samenhangt. Het tellen kan op oneindig veel manieren rythmisch ingericht worden. Het is een genot de vreugde van vele kinderen te zien die door rythme gedragen opstijgen tot een duizelingwekkende hoogte van den getallenberg.

Het getal is een concreetheid voor de kinderen. Ze stijgen mee bij het hooger worden van het getal. De spanning om wat er komen zal en waar dat eindigen moet, is reëel, maar het einde komt niet. De oneindigheid beroert de kinderziel.

De geestdrift, die ontstaan kan door dit invoeren in de totaliteit van de getallenwereld is een noodzakelijkheid bij het onderwijs. Maar deze kan niet ontstaan, wanneer we ons moeten beperken tot een brokstuk, bijv. de getallen tusschen 1 en 10 of tusschen 1 en 100. Voor het leeren van de bewerkingen is deze beperking natuurlijk noodig, maar in het rythmische rekenen kan deze achterwege blijven. Welke weg moeten we nu gaan om de kinderen in het elementaire rekenen in te leiden?

Die weg, die het kind zelf geneigd is te gaan. We moeten bij de eenheid beginnen en dan tot handeling over gaan, handeling, die tot de veelheid voert, dus deelen, verdeelen. Dat is de weg, die bij de ontwikkelingsgang van het kind aansluit.

De deeling, de splitsing in gelijke en ongelijke deelen dus als eerste bewerking. Ook het getal kan als eenheid opgevat worden en dan verdeeld worden. Richten we ons op datgene, wat innerlijk gebeurt, wanneer we deelen, en vergelijken dat met hetgeen gebeurt, wanneer we optellen. Nemen we een concreet voorbeeld, b.v. we splitsen 12 in ongelijke deelen: 12 = 3 + 5 + 4 of 6 + 5 +1.

We hebben daar de vrijheid te kiezen tusschen zeer veel verschillende combinaties van verschillende getallen. Onze fantasie heeft daar (binnen zekere grenzen) vrij spel. Bij de omgekeerde bewerking, de optelling, zijn deze zelfde 3 getallen: 3 + 5 + 4 niet anders dan tot één bepaald getal te vereenigen. We hebben daar geen vrijheid, het antwoord is bepaald.

Dit ontplooien van de fantasiekrachten, dat is het juist, waar het op aan komt bij jonge kinderen. Wordt er in het onderwijs geen ruimte gelaten voor deze krachten, dan verdroogt en verdort het kind innerlijk. Te vroeg moeten dan de intellectueele krachten opgeroepen worden, die zich juist richten naar het bepaalde, het wetmatige, het logische. Het zich voegen naar de wetmatigheid past den volwassenen, het kind moet dit eerst langzamerhand, geleidelijk leeren.

In de praktijk van het onderwijs, dat deze fantasiekrachten van het kind tot zijn recht laat komen, komen we tot verrassende ervaringen. We vinden n.l. dat de individueele geaardheid van het kinid tot in het rekenonderwijs toe gelegeheid heeft zich te uiten.

Uit mijn praktijk kan ik het volgende voorbeeld opschrijven. Splitsingen van het getal 18, door twee verschillende kinderen gevonden.

Van beide rijen kon ik nog tweemaal zooveel neerschrijven, wanneer de plaatsruimte dat toeliet.

Wanneer we de gedachtengang volgen, die deze beide kinderen gegaan zijn bij het bedenken van deze getallen, dan wordt het ons duidelijk, hoe daar twee totaal verschillende karakters achter staan.

In de eerste rij vinden we een kind, dat van het gegevene is uitgegaan. Enkele hoofdgedachten heeft het gehad, die uit het getal 18 zelf voortkwamen.

18 = 10 + 8 was zijn eerste gedachte. Die gedachte uitgewerkt; toen kwam de volgende: 18 = 9 + 9. ook deze wordt uitgewerkt. Andere hoofdgedachten volgen nog, als 18 = 6 + 6 + 6 die hier niet verder opgeschreven zijn. Enkele speelsche fantasiën als 18 = 1 + 1 + 1 + 1 enz., zijn er ingevlochten, als trillers in een muziekstuk.

Bij het andere kind totaal het tegenovergestelde. Niet van het getal 18 is uitgegaan, maar van zijn eigen willekeur. In iedere vorm zet een nieuwe frissche impuls in. Niets van het oude mocht blijven, geen aanleunen aan wat er al is. Met een overmaat van scheppende fantasie is gewerkt.

De eerste rij kan doen denken aan een vloeiend melodieus spel, de tweede aan forsche accoorden. Hoe deze kinderen zichzelf konden zijn bij dit werk! Ze werkten met genot, want hun werkkracht kon zich vrij en onbelemmerd geven.

Van het deelen vindt men heel gemakkelijk een overgang naar het aftrekken. In tegengestelde richting teruggaande kan men dan met vrucht de optelling, daarna de vermenigvuldiging behandelen.

De kinderen moeten daarbij altijd een zeker gevoel krijgen voor het getal, zooals het in ons tientallig stelsel zijn plaats vindt. Door een symmetrieoefening als in fig. 4 is aangeduid, bereikt men veel. Men bedekt de eene helft en laat de kinderen de andere helft zelf vinden.

De vermenigvuldiging geeft zeer veel mogelijkheden tot rythmisch rekenen.

Tellend in rythmen van bijv. 3 en 4 vindt men direct de tafels van vermenigvuldiging van die getallen. Het is nu van het grootste gewicht, dat de tafels zonder meer uit het hoofd geleerd worden. Juist in deze eerste jaren van de lagere school, wanneer de krachten, die vroeger aan het lichamelijke van het kind gewerkt hebben, vrij komen als zielskrachten, als geheugenkrachten, moet aan deze krachten stof gegeven worden, waardoor ze in werking kunnen treden*).

De afleiding van de tafel kan, behalve op rythmische manier, ook op beeldende wijze behandeld worden. In fig. 2 is daarvan een eenvoudig voorbeeld gegeven. Natuurlijk is daar een oneindig aantal variaties mogelijk, die zoo gezocht kunnen worden, dat ze ingang vinden bij de verschillende typen van kinderen.

In hoofdzaak zijn de kinderen onder te brengen in vier typen, . naar de vier temperamenten. Alleen wil ik wijzen op enkele eigenaardigheden in verband met het rekenonderwijs.

Voor een sanguinisch kind zou b.v. een teekening als in fig 2 veel winnen in aantrekkelijkheid, wanneer die een beetje versierd of gekruld werd. Fig. 3 zou voor zoo’n kind interessanter, bevredigender zijn. Een melancholisch kind heeft graag een langgerekte, eenigszins magere vorm, de vorm, die ook zijn eigen gestalte heeft. Een cholerisch kind zal meer bevrediging vinden in sterk geaccentueerde, sprekende vormen. 

Het gelijkmatige, rythmisch verloopende van fig. 4 zal voor het phlegmatisohe kind nog het meest passende zijn.

Ieder temperament heeft zijn eigenaardigheden. Kan men in het onderwijs daarmee rekening houden, en dat is mogelijk in een onderwijs, zooals dat gegeven wordt aan de „Vrije School”, dan kan het kind zich ontwikkelen naar zijn eigen aard, het kan zich ook individueel vrij voelen in het klassicale onderwijs.

Een melancholisch kind, dat weinig begaafdheid voor rekenen had en er daardoor een groote tegenzin in had, had eens op een morgen met veel plezier gerekend. Wat was er voor soort werk gegeven? Die vorm van rekenen, waartoe het melancholische kind zich bijzonder aangetrokkén voelt, n.l. het aftrekken en wel in deze vorm: hoeveel moet ik van een zeker getal aftrekken om maar zóó weinig over te houden? Deze in mineur gestemde bewerking roept een lustgevoel bij de melaneholica op, wat dan zoo werken kan, dat een voor rekenen weinig begaafd kind daardoor toch plezier krijgt in dit vak.

De kinderen vinden wel een groote hulp door dit ingaan op hun temperament, maar toch moet voor weinig begaafde kinderen nog een andere weg worden gezocht.

In de anthroposophische litteratuur wordt herhaaldelijk gesproken over de drieledige indeeling van het menschelijk organisme**), een indeeling in hoofd-zenuw-mensch, borst- (of rythmische) mensch en stofwisselings- ledematen-mensch. Men vindt daar uiteengezet hoe denken, voelen en willen hun zetel vinden in deze drie systemen.

Bij een kind is het denken, voelen en willen nog veel enger verbonden met het lichamelijke dan bij een volwassene. Er treedt daar een sterke wisselwerking op tusschen het zieleleven en het lichamelijke.

In de paedagogie moet men daarmee rekening houden. Het wilselement, dat in een vak als rekenen een groote rol speelt, kan men versterken door het kind het ledematenstelsel te laten gebruiken, door het na te loopen. Bijvoorbeeld laat men het 7 stappen vooruit loopen en dan 3 achteruit en vraagt het dan hoeveel stappen het nu voorwaarts gekomen is.

Dergelijke oefeningen dragen er, bij herhaling toegepast, enorm toe bij, om de capaciteiten, die voor het rekenen noodig zijn te versterken. Het is zelfs heel goed mogelijk, dat men na eenige jaren die kinderen zoo ver brengen kan, dat men van onbegaafdheid voor rekenen niet meer spreken kan.

Ook in de eurhythmie en de gymnastiek zijn voor het rekenen groote hulpmiddelen te vinden. Men kan daar oefeningen geven, waarin het getal ingevloohten is, speciaal voor de onbegaafden in het rekenen.

Zoo geeft de Anthroposophische paedagogie, die gebouwd is op het wezen en de ontwikkelingsgang van het kind zelf, de mogelijkheid in alle vakken heilbrengend aan de kinderen te werken.

Het beeld, dat ik heb trachten te geven van het onderwijs in het rekenen, wil een bescheiden aanduiding zijn in die’richting. Ieder onderwijzer kan ze naar alle zijden uitbouwen. Beeld en rythme in het onderwijs versterken de phantasie en gevoelskrachten van het kind, maar geven ook ieder onderwijzer de vrijheid steeds nieuwe wegen te vinden, de kinderen vreugde te schenken in het leven. Dr. Rudolf Steiner mogen wij dankbaar zijn, die vrije velden van de kunst aan het onderwijs dienstbaar te hebben gemaakt.

*) Zie paedagogische cursus van 1921 van Albert Steffen,
[deze kreeg later het GA-nummer 301, vertaald op deze blog.]

**) o.a. in „Von Seelenrätseln” van Dr. R. Steiner en in de Paedagogische Cursus in 1921 door Albert Steffen. [zie 1]

rekenen met temperamenten: deel 1 van 4

1e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeldalle klassen

.

Antroposophische paedagogie

Het kunstonderwijs op de ‘Vrije School’

Over het chemie-onderwijs in de achtste klasse

Het taalonderwijs in de laagste klasse

Schoolfeesten
.

.
1757

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

.
pieter ha witvliet

CIJFERS SCHRIJVEN

Op zeker ogenblik gaan de kinderen de cijfers schrijven. 

Er bestaat een aardig vers dat de manier beschrijft hoe je ze schrijft:

 

0 Zo rond als een ei, dan is de nul blij.

1 Van top tot teen, zo schrijven wij de één.

2 Eerst zijn bek, dan zijn nek, zo staat de twee niet voor gek.

3 Een kleine boog en een grote boog, de drie heeft altijd zijn voeten omhoog.

4 Een schuine lijn en een rechte pier, een hek ervoor, zo gaat de vier.

5 Eerst z’n nek, dan z’n lijf, pet erop, zo moet de vijf.

6 Een boog met een oog, dat is de les voor de zes.

7 Van links naar rechts heel even, schuin omlaag, zo gaat de zeven. Nog een streepje erbij, dan zijn we blij.

8 Eerst z’n lijf, dan z’n kop, zo staat de acht er goed op.

9 Eerst een oog en dan een boog, doe het goed, dan weet je hoe de negen moet.

Uiteraard is het belangrijk dat dit zó gebeurt en niet anders, want de bewegingen gaan zo veel mogelijk van links naar rechts: de richting waarin we het volgende cijfer – voor de letters geldt hetzelfde – schrijven.

Laatst schreef een vrijeschoolkind uit de 5e! klas iets voor me op met getallen. Ik was verbaasd dat het een paar cijfers niet met de juiste beweging schreef. 
‘Dat deed het altijd zo’, kreeg ik als antwoord op mijn vraag naar het waarom.

Uit eigen ervaring weet ik dat, hoe goed je het ook in een klas hebt voorgedaan en met bovenstaand versje – er geen garantie is dat het bij ieder kind voor altijd goed zit.

M.a.w. je zal regelmatig moeten controleren of ieder kind het nog steeds goed doet.
Dat hoeft niet veel tijd te kosten.

Ik had een schriftje met op iedere bladzij bovenaan de naam van het kind.
Wanneer we de pauzeboterham aten, liet ik een voor een een paar kinderen de rij van 0 – 9 schrijven. Het cijfer dat nog niet goed werd geschreven liet ik ze een aantal malen schrijven, eventueel een herinnering aan het versje en ze kregen de opdracht mee om thuis dit cijfer te oefenen.
De andere dag liet ik ze dit bij het binnenkomen of op een ander ogenblijk nog even opschrijven, ter controle, net zo lang dagelijks herhaald tot de fout niet meer werd gemaakt.

Als je dat in de 1e klas regelmatig herhaalt en in de latere jaren nog steeds, kan het niet gebeuren dat een kind in de 5e de cijfers niet goed schrijft.

En dat geldt zeer zeker ook voor de schrijfhouding en hoe het potlood, de pen wordt vastgehouden!

.

1e klas rekenenalle artikelen

1e klasalle artikelen

 VRIJESCHOOL in beeld1e klas: alle letterbeelden

.

1730

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Realistisch rekenen

.

Wanneer we kinderen sommen laten uitrekenen, kan er over een som als deze: 300 : 20=    geen misverstand bestaan: de uitkomst is 15

Anders wordt het, als je de som in een omschrijving geeft.
Dat gebeurt in rekenboekjes veelvuldig.

Dan kan er bijv. staan: Je hebt stukjes stof nodig van 20 cm. Je hebt een reep stof van 3m. Hoeveel stukjes van 20cm kun je daaruit knippen?

Natuurlijk geeft iedereen als antwoord: 15.

Dan kan een opmerking van Steiner je nader aan het denken zetten:

‘Dus de berekening is absoluut goed uitgevoerd, maar de zaak is niet in overeenstemming met de realiteit. Wij zijn nu eenmaal tegenwoordig in ons intellectualistische tijdperk te zeer uit op het juiste en we hebben de gewoonte losgelaten dat alles wat we in het leven moeten begrijpen, niet alleen maar logisch juist moet zijn, maar ook in overeenstemming met de werkelijkheid.’ [1]

De 15 stukjes zijn niet in overeenstemming met de werkelijkheid. Door het knippen gaat er op de knipsnee stof verloren. Bij 14x knippen is dat zoveel dat het laatste stuk geen 15cm meer kan zijn. Het antwoord in overeenstemming met de werkelijkheid hoort dus 14 te zijn.

Bij de opgave had ook nog kunnen staan: ‘je hoeft geen rekening te houden met de knipsnee’ en dat vervreemdt de opgave nog meer van de werkelijkheid: je kan niet knippen zonder een knipsnee te maken.

Dus, als je het antwoord 15 wil krijgen, moet je de som niet met een verhaaltje omschrijven. Zo gauw je er woorden bij zoekt, gaat het erom de realiteit niet uit het oog te verliezen.

[1] GA 306/20
Vertaald

Nog meer voorbeelden

Rekenen: alle artikelen

Rudolf Steiner: alle artikelen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen (9)

.

methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs

Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit, doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. Alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen, daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten, dan is dat toch nog geen kennis die ik per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatig gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze bekijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat, is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.

Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd, door het als volgorde te nemen.

Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.

Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan zo op deze 9 punten:

                                                          .         .         .
                                                          .         .         .
                                                          .         .         .

dan doen ze zich voor als  3  +  3  +  3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9, bestaand uit    3  +  3  +  3   kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt

dan krijg je de rij: 9 = 1  + 2  + 3  +  2  +  1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:

groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 

het verschil tussen de kwadraatgetallen.

De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ook door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluisteren toe of helemaal niet te zeggen, maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.

Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Daaraan voldoet op een natuurlijke manier ook voor rekenen in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen.

Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.

Een voorbeeld:

De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.

Dat wordt meestal zo gedaan:

80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur  100/80 º  Celsius
en  18º Réaumur is dan  100  x  18/80 º

Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en van daaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80   4/5         en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur   18 x 5/4=  22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer denkt aan de kleine deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij breuken het juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.

I.p.v. de breukenrij  1/6  +  1/12 + 1/3  + 1/4

uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
                                                                                               12

10/12  5/6

kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een derde is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is:   1  +  ½  +  2  +3½  = 5.

Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.

Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. Dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.

Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt, dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de formule gebruikt.

Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.

Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt, wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.

Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop  een systeem van vergelijkingen maakt die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding om van een uitzondering, maar om van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.

Bij het lesgeven op de vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervan zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.

Juist wat het rekenonderwijs betreft, is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren horen, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.

De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:

bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.

Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen,  10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.

Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:

E(ven) G(etal)      +   E(ven) G(etal)   =  E(ven) G(etal)
E G   +  O(oneven) G(etal)  =  O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G

P(ositief) G(etal)  x P(ositief) G(etal)  = P(ositief) G(etal)
P G  x   N(egatief) G(etal  =  N(egatief) G(etal
N G x P G  = N G
N G x N G = P G

Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar een innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, van oneven getallen oneven is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.

Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.

Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623  x  3,1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x
2,15444 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421;  √3 = 1,73206,  √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….

Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het   n-de  differentiaalquotiënt van xn  is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3  x  2  x  1)

Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x  3  x  2  x  1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld. [niet op deze blog].
.

Herman von Baravalle,  Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934

.

Rekenen: alle artikelen

.

1659

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Sint-Maarten (24)

.

SINT-MAARTEN EN ‘DELEN’

Sint-Maarten is het feest dat wij in Nederland op 11 november vieren. Het feest dat ons beelden schenkt die gaan over delen en ontvangen. Een actueel onderwerp voor alle inwoners van Europa, ‘aan de poorten’ staan duizenden vluchtelingen aan te kloppen op zoek naar onderdak, warmte, eten, kleding, veiligheid en hoop op een beter leven.

In dit jaarfeestenartikel worden enkele beelden van ‘delen’ belicht.

Sint-Maarten

11 november wordt in Nederland het feest van Sint-Maarten gevierd. Het feest dat de heilige Maarten of Martinus herdenkt.

Martinus werd in het jaar 316 geboren en stierf op 81-jarige leeftijd in 397, zestien eeuwen geleden en nog steeds spreken de beelden uit het leven van deze mens ons aan. Dat moeten grootse beelden zijn!

In Nederland vieren wij het Sint-Maartenfeest door met onze kinderen langs de deuren te trekken met uitgeholde knollen en een brandend kaarsje daarin. Zingend trekken de kinderen van deur tot deur en ontvangen gaven van de mensen die het lied en het licht in ontvangst nemen. De kinderen delen het lied en het licht, de mensen bij de deur geven iets lekkers als een mandarijn, snoep of een mooi steentje, schelpje of ander geschenk.

Martinus en de poort

Aan de kinderen op de scholen wordt het verhaal van de heilige Maarten of Martinus verteld.

Martinus reed op een koude winteravond naar Amiens en kwam vlak voor het sluiten van de poorten aan. Daar trof hij een bedelaar die om een aalmoes vroeg. De geldbuidel van Maarten was leeg, de tas met proviand eveneens.

Het verhaal gaat dat Maarten zijn zwaard trok en zijn mantel door midden sneed: een deel voor de bedelaar en een deel voor hemzelf. In de nacht daarna verschijnt Christus in een droom bij Martinus en vertelt dat Hij het was die aan de poort zat. Vanaf die tijd vertellen mensen elkaar het verhaal van Martinus, het delen van de mantel en het onbaatzuchtig omzien naar elkaar.

Sint-Maarten voor volwassenen

In deze jaarfeestenrubriek* hebben wij al vaker stil gestaan bij het onderwerp ‘delen en Sint-Maarten of Sint-Martinus’. Tijdens lezingen of cursussen die ik in het land verzorg rondom de jaarfeesten, klinkt vaak de vraag: ‘En wat kan dit feest of wat kunnen de beelden in een feest voor mij als volwassene betekenen?’

Afgelopen periode heb ik het beeld van ‘het delen’ op verschillende manieren ontmoet. In de krant, op televisie en in andere media klinkt de vraag: kan ik mijn huis delen met een vluchteling? Ben ik bereid een vluchteling op te nemen in mijn huis opdat deze ontheemde medemens ook weer een veilig thuis kan ervaren? Los van de discussie of een ‘gewone burger’ in staat is om een vluchteling, met wellicht psychische vragen als een trauma, onderdak te bieden, blijkt deze vraag voor menigeen moeilijk te beantwoorden. Het onderwerp: het ‘delen’ van ‘huis en haard’, ‘have en goed’, ‘hebben en houwen’, klopt bij ons allen aan de poort, de gemoederen lopen soms hoog op bij gemeenteraadsvergaderingen en demonstraties op straat. De vraag om te delen blijkt niet alleen voor volwassenen (soms) lastig te zijn.

Delen, spelen en rekenen

Kinderen leren in het leven ‘delen’. Delen van speelgoed, delen van snoepjes, delen van getallen in sommen. Veel kinderen groeien op met de gevleugelde uitspraak, ‘samen spelen, samen delen’.

Een pasgeboren kind deelt met ons het onvoorwaardelijk vertrouwen, dat wij als opvoeders er zijn om aan alle behoeften van het kind tegemoet te komen: eten, drinken, troost, warmte, liefde. Ouders delen soms zoveel uit na de geboorte van hun kindje, dat zij na een paar weken met donkere kringen onder hun ogen aangeven ‘moe te zijn en tijd nodig te hebben om zichzelf weer op te laden’. Gelukkig deelt het kind na ongeveer zes weken een glimlach met de ouders en dat maakt veel goed en doet ‘donkere kringen onder de ogen’ een beetje verminderen.

In de spelontwikkeling van het jonge kind kunnen wij zien dat zij langzaamaan groeien van ‘spel met mij zelf’ naar ‘spel naast elkaar’, naar ‘samenspel’, ‘fantasiespel’ tot uiteindelijk coöperatief spel waarin het niet gaat om winnen maar om samen rijker te worden van het gespeelde spel en de opgedane ervaring.

Tijdens een studiedag over rekenen met onderbouwleerkrachten en kleuterleerkrachten werd gesproken over het belang van de vroege
kindontwikkeling van 0 tot 7 jaar, in relatie tot rekenproblemen. Opvallend was met elkaar te concluderen dat met name ‘deelsommen’ voor veel kinderen lastig blijken te zijn. Tijdens deze studiedag werd besproken dat een kind dat rekent, vaardigheden in huis moet hebben om werkelijk te begrijpen wat het moet doen bij het rekenen. Het moet het rekenen kunnen ‘ grijpen, pakken’. Het kind moet ook een stevig innerlijk emotioneel fundament hebben om tot rekenen te kunnen komen.

Deze rubriek staat in het teken van Sint-Maarten en delen. De vaardigheden die een kind moet hebben om bij het rekenen tot delen te kunnen komen, zullen beschreven worden aan de hand van beelden uit het Sint-Maartenfeest.

Deelsommen

Voor het kunnen uitvoeren van delen en deelsommen maken moet een kind zichzelf kunnen sturen, actief en betrokken zijn, beweeglijk zijn, tot samenwerken en samenspelen kunnen komen, zich goed kunnen concentreren, met woorden de rekenopdracht kunnen verwoorden, het spel kunnen spelen dat past bij de leeftijd, motorisch goed kunnen bewegen passend bij de leeftijd én het kind moet uitgerust zijn. Wie moe is, komt minder tot bloei en groei dan iemand die uitgerust is.

De genoemde onderwerpen worden hieronder apart uitgewerkt.

Zichzelf kunnen sturen

Iemand die impulsief is of die emotioneel dichtklapt als er een vraag wordt gesteld, kan niet of moeilijk tot ‘delen’ komen. Martinus stond bij de poort en zag de bedelaar zitten. Hij kon handelen vanuit een diep menselijk meevoelen met een ander en bedenken wat hij kon doen. Zijn willen, voelen en denken werkten congruent samen.

Actief zijn

Martinus reed op zijn paard de wereld door. De kinderen trekken, lopend en zingend door weer en wind, de wereld in om het licht te schenken en misschien een geschenk(je) te ontvangen. Martinus en de kinderen zijn actief, zij bewegen, misschien zijn ze ook nieuwsgierig wie achter deze deur waar aangebeld is, woont en wat er geschonken wordt na het zingen van het lied. De mens die de deur opent voor de kinderen is ook in actie gekomen, namelijk van de bank opgestaan en heeft de voordeur geopend. En ook de mens die de voordeur opent, kent een zekere nieuwsgierigheid naar het lied, wie het lied zingen en hoe de knol of lantaren eruit zal zien.

Beweeglijkheid, wendbaarheid in het handelen, samenwerken en samenspelen

Martinus trok met zijn troep soldaten door het land. Het was al laat en de poorten zouden gaan sluiten, zo luidt het verhaal. De soldaten van Martinus hebben de bedelaar misschien ook zien zitten, maar zij kozen ervoor om door te rijden om op tijd binnen te zijn. Martinus stopte. Dit vraagt een beweeglijkheid in het denken, voelen en willen. Kan ik als mens afstappen van een plan dat ik wilde uitvoeren, kan ik mij aanpassen aan een nieuwe situatie?

Om tot samenspelen te komen, moet een kind een eigen binnenwereld hebben ontwikkeld waarin de spelbeelden die het wil spelen, kunnen klinken. Het kind moet ook een beleving hebben, dat het een individu is, een zelf, een ik. Werkelijk samenspel ontstaat daar waar twee ikken in wisselwerking en afstemming samen tot saam kunnen komen. Martinus deelde de helft van zijn mantel, hij gaf niet de hele mantel weg. In echte samenwerking en samenspel zijn de betrokkenen allen ‘warm en staat er niemand in de kou’. Niemand staat zonder een stuk van de warme mantel.

Goede concentratie

Martinus sneed zijn mantel met zijn zwaard doormidden. In veel kleuterklassen wordt het sintmaartenspelletje gespeeld. Met de grootste ernst wordt met een houten zwaard een mantel in twee ‘gesneden’. Natuurlijk ‘weten’ kleuters dat dit ‘net-als-of’ spel is. De twee mantelstukken zitten met een strikje of stukje klittenband aan elkaar vast. En toch, de concentratie die op het moment van ‘snijden’ getoond wordt, is met de grootst mogelijke ernst die menig kleuter ten toon kan spreiden. Delen is dus niet iets dat wij even ‘hup hup doen’, het vraagt goede concentratie.

In de media wordt gesproken over ‘het in jouw eigen huis opnemen van vluchtelingen’. De een is voor, de ander is tegen. Een goede afstemming of concentratie op de vraag die door de vluchtelingen of hulpverleners gesteld wordt, lijkt in deze discussie door te klinken. Maar ook: hoe geconcentreerd ben ik zelf op de vraag die gesteld wordt?

Een goede taalontwikkeling die past bij de leeftijd

De kinderen trekken met hun lichtjes al zingend van deur tot deur. Zingen ondersteunt de taalontwikkeling. Iemand die een zwakke taalontwikkeling heeft, heeft vaak moeite om de eigen innerlijke binnenwereld onder woorden te brengen en zo tot delen te komen van die innerlijke wereld met zichzelf maar ook met een ander.

De liederen die de kinderen bij het Sint-Maartenfeest zingen zijn rijk aan taal. In een lied klinkt bijvoorbeeld:

‘Sinte-Maarten had een mantel aan, e
n daar zat een gouden kantel aan,
hij was gevoerd met wit satijn,
het zal heel gauw Sinte- Maarten zijn’.

Soms vragen ouders wel eens waarom op de vrijeschool liederen worden gezongen met ‘ouderwetse taal’. Satijn, kantel… dat zijn geen alledaagse woorden meer.

Jonge kinderen, genieten van de klanken die in de taal verschijnen. Kinderen ervaren door deze ‘ouderwetse woorden’ een spel van klank en taal dat hen helpt om liefde voor het woord en voor taal te ontwikkelen. Zij ondergaan in deze ‘ouderwetse taal’ een proeven aan klanken, geschiedenis, vormen en bewegingen die onze taal mede opbouwt.

De liederen van Sint-Maarten lenen zich hier goed voor. Zo leert Sint-Maarten ons niet alleen in het beeld van het verhaal om te delen, maar helpt de rijkdom van de taal in de liederen de mensen ook om de taal als brug te laten groeien om de eigen gevoels- en gedachtewereld naar ‘buiten’ te brengen en tot ontmoeting met de ander te komen. Ook de taal helpt ons om te delen.

Spel spelen dat past bij de leeftijd

Het klinkt misschien wonderlijk, maar om later goed te kunnen rekenen, moet een kind in de kleuterleeftijd fantasie- en rollenspel hebben gespeeld. In fantasie- en rollenspel fungeert de taal die het kind gebruikt ook als brug tussen de eigen binnenwereld en de buitenwereld. Het kind oefent de eigen gedachtewereld onder woorden te brengen. Het kind treedt tijdens het spel buiten de ‘hier en nu wereld’, speelt in de ‘net-als-of-wereld’ en oefent daarmee samenhang aan te brengen in het spel en logisch te redeneren. In veel kleuterklassen en klas 1, 2 worden sintmaartenspelletjes gespeeld met de kinderen. De kinderen beelden zich een rol in, bijvoorbeeld de bedelaar, de poortwachter en vele rollen meer. Met elkaar wordt uit de losse rollen één spel gespeeld. Hierin beleven de kinderen dat het geheel meer is dan de optelsom van de losse delen (= de rollen) en dat iedere rol, groot of klein, nodig was om samen dit spel tot stand te brengen.

De motorische ontwikkeling moet ook passen bij de leeftijd van het kind

Door zich vrij in de omgeving te bewegen, ervaart het kind de verschillende ruimtelijke dimensies: boven, onder, achter, voor, links, rechts, schuin. Bij het Sint-Maartenfeest klinken in de liederen de ruimtelijke richtingen: Maarten reed door weer en wind, op zijn paard, bij de poort, aan de hemel flonkeren de sterren… Om tot delen te komen moet een kind ervaren hebben waar het zelf staat in de ruimte, in de wereld maar ook hoe het verankerd is in en met zichzelf. Hoe meer bewegingsruimte een kind ervaart, in letterlijke zin, hoe meer het in emotionele zin zal kunnen delen of juist een gezonde grens kan aangeven tot hoever het met delen wil gaan.

Het kind moet zich vitaal, uitgerust voelen

Om tot leren en ontwikkelen te komen, moet een kind uitgerust zijn. De wil om waar te nemen neemt af en ook het geheugen lijdt aan vermoeidheid.

De deelsommen in de onderbouwklassen worden beter gemaakt als je maag gevuld is en je lekker uitgerust bent. Om tot delen te komen, is het van belang dat het kind uitgerust is, vitaal is en overschotskrachten heeft

Aan de poort van Amiens zat 1600 jaar geleden een bedelaar

Aan de poorten van Europa staan in 2015 vele duizenden medemensen, groot en klein, te kloppen.

Aan onze poorten lijkt de vraag de klinken: Kan ik als wereldburger delen? Hoe groot is de mantel die ik door midden snijd? Kan ik diep in mijzelf het gevoel of de kracht van de medeverantwoordelijkheid ervaren? Kan ik werkelijk interesse opbrengen voor de wereld en al haar bewoners?

.(weet iemand wie dit gemaakt heeft?)

Loïs Eijgenraam

Dit artikel verscheen eerder in  VRIJE OPVOEDKUNST, herfst 2015.
Hier gepubliceerd met toestemming van de auteur.

.
Boeken van Loïs Eijgenraam

Praktijk voor ouderbegeleiding en opvoedingsondersteuning
website van Loïs Eijgenraam

 

Sint-Maarten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: Sint-Maarten   jaartafel

Rekenen: delen en temperament

Rekenen: alle artikelen

.

1657

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (1-8/9)

.

bovenbouwkost

EENHEDENSTELSELS

Iets uit de historie van de eenhedenstelsels

In het laatste artikel van deze reeks vertellen wij u het een en ander over de stelsels, die als voorlopers van het SI kunnen worden beschouwd.

Sinds jaar en dag zijn er twee typen van eenhedenstelsels in gebruik geweest: in de wetenschap stelsels met als basisgrootheden lengte, massa en tijd (dynamische stelsels) en in de techniek stelsels met de basisgrootheden lengte, kracht en tijd (statische stelsels).

De kilogram is in het jaar 1795 in Frankrijk volgens een wet tot eenheid van massa verklaard. Het gewicht van deze massastandaard, dus de kracht die deze standaard in het zwaartekrachtsveld van de Aarde ondervindt, werd als eenheid van kracht gekozen. Helaas heeft men deze kracht gewoonlijk ook kilogram genoemd, slechts hier en daar sprak men van kilogramkracht.

De massa van het standaardkilogram is onafhankelijk van zijn plaats op aarde of in het heelal. Het kilogram is dus een universeel bruikbare eenheid van massa. Met de kilogramkracht is dat niet het geval; deze kracht wordt kleiner met de hoogte. Bovendien werkt er op de lichamen op aarde een middelpuntzoekende kracht, die ze op het aardoppervlak vasthoudt. De waarde van deze middelpuntzoekende kracht wordt kleiner als men van een pool in de richting van de evenaar gaat. Buiten de aarde verliest de kilogramkracht zijn betekenis geheel, daar andere hemellichamen een duidelijk merkbare zwaartekracht gaan uitoefenen. Daar de kilogramkracht als zodanig niet constant is, zijn de statische stelsels gedoemd te verdwijnen. Wij zullen er verder over zwijgen.

Het dynamische stelsel, dat in de vorige eeuw in de wetenschap het eerste is aanvaard, had als eenheid van lengte de centimeter, als eenheid van massa de gram en als eenheid van tijd de seconde. Dit stelsel is afkomstig van de mathematicus Gauss en de fysicus Weber; het wordt centimeter.gram.seconde stelsel of cm.g.s. stelsel genoemd. In dit stelsel is de eenheid van de snelheid de centimeter per seconde cm/s, de eenheid van versnelling de centimeter per seconde per seconde cm/s² en de eenheid van kracht de gramcentimeter per seconde kwadraat g.cm/s². Deze krachtseenheid wordt afgekort tot dyne: 1 dyne = 1 g.cm/s². Daar 1 g = 10—³ kg en 1 cm = 10—² m is 1 dyne = 10—newton en 1 N = 105 dyne. De dyne is een kleine krachtseenheid.

De eenheid van arbeid in dit stelsel is de dyne maal centimeter; deze eenheid wordt afgekort tot erg. Uit omrekenen blijkt:

1 erg = 1 dyne.cm = 10—5.10—² Nm = 10-N.m of 10—J. Bovendien 1 J = 107  erg. Ook de erg is een kleine eenheid.

Voor de wetenschap zijn kleine eenheden niet bezwaarlijk, voor de techniek wei. Om bezwaren van die kant te ondervangen heeft men al spoedig een groot  dynamisch stelsel ingevoerd met als eenheden de meter, de kilogram en de seconde en wel het m.k.g. stelsel. Deze grote eenheden zijn in volgende stelsels blijven bestaan en tenslotte in het SI terechtgekomen, evenals de eruit afgeleide eenheden voor kracht, arbeid en arbeidsvermogen.

In de elektriciteitsleer heeft men vele stelsels naast elkaar gebruikt. De uit het cm.g.s. stelsel afgeleide eenheden waren voor praktische toepassingen bruikbaar gemaakt. Zo is de coulomb C als eenheid van lading ontstaan, evenals de ampère A als eenheid van elektrische stroom, de volt V als eenheid van potentiaal om er enkele te noemen. Hierbij zijn ook de eenheden joule en watt ingevoerd. Immers, wanneer een stroom van 1 A een potentiaalverschil van 1 V doorloopt, wordt daarbij een arbeid van 1 J verricht; gebeurt dit juist in 1 seconde, dan is het arbeidsvermogen van de stroom 1 W.

Van de vele definities van elektrische eenheden heeft men de meest nauwkeurige overgehouden en wel de definitie van ampère. De ampère is de constante elektrische stroom, die geleid door twee evenwijdige, rechte en oneindige lange geleiders met te verwaarlozen dikte en geplaatst in het luchtledige op een onderlinge afstand van 1 meter, tussen deze geleiders voor elke meter lengte een kracht veroorzaakt van 2 . 10—N.

De genoemde definitie geldt voor het SI en ook voor een reeds eerder bestaand stelsel.

De eenhedenstelsel zijn uit de mechanica te voorschijn gekomen. De Italiaan Giorgi (1871 – 1950) heeft gepleit voor een uitbreiding van het m.kg.s stelsel met een eenheid uit de elektriciteitsleer. Een uit 4 grondeenheden opgebouwd stelsel kan dan ook de elektriciteitsleer met behulp van afgeleide eenheden omvatten. Een dergelijk stelsel is in 1901 voorgesteld; het stelsel kan zowel wetenschap als techniek bevredigen.

De gedachtegang van Giorgi berustte op het volgende. In die tijd kende de mechanica de newton.meter, de elektriciteitsleer de joule. Beide eenheden zijn 107 erg groot en dus aan elkaar gelijk: 1 N.m = 1 J (de vergelijking van Georgi).

Het stelsel van Georgi heeft in vele kringen weerklank gevonden. In de eerste jaren van zijn bestaan zijn er verschillende elektrische eenheden als basis gebruikt. Na de vergaderingen in 1935, 1950 en 1951 is de voorkeur voor de ampère uitgesproken. Hiermee is het meter-kilogram-seconde-ampère stelsel (MKSA stelsel) vastgelegd. Later is dit stelsel uitgebreid met eenheden voor warmte en straling.

Als eenheid van warmte is de joule gekozen. In het achtste artikel van deze reeks hebben wij de voordelen hiervan toegelicht. Als vijfde grondgrootheid is de graad celsius °C als aanduiding van de temperatuur erbij gekomen. Later is deze eenheid vervangen door de kelvin. Dit op vijf grondeenheden gebaseerde stelsel is „Praktisch Eenheden Stelsel” genoemd. Aan dit stelsel is een zesde basisgrootheid toegevoegd en wel de lichtsterkte met als eenheid de candela cd.

De candela is de lichtsterkte, in loodrechte richting, van een oppervlak, dat 1/600.000 deel is van een vierkant met zijden van 1 meter, van een integrale straler bij de stollingstemperatuur van platina onder een druk van 101.325 N/m².

Het op de zes genoemde grondgrootheden gebaseerd stelsel heet Internationaal Stelsel van Eenheden SI. De afkorting is afkomstig uit de Franse naam van het stelsel: Système International d’Unitès.

Het SI is in 1960 vastgesteld bij besluit tijdens een Algemene Vergadering over Maten en Gewichten. Bij een wet van 6 juni 1968 is het SI in de Nederlandse IJkwet opgenomen. Met de bijbehorende besluiten is deze wet in 1969 in werking getreden.

In 1971 is besloten om aan de SI eenheid van druk, de N/m², de naam pascal Pa te geven. Een druk van 1 atmosfeer (760 mm kwikdruk) wordt nu aangegeven met 101.325 Pa of afgerond met 101,3 kPa.

De verplichte invoering is reeds bij het onderwijs geschied. Ook buiten het onderwijs is men bezig met de aanpassing. Na 31 december 1977 mogen oude stelsels niet meer worden gebruikt. Ook in het buitenland wordt het SI verplicht voorgeschreven. Wel zijn er van land tot land verschillen over de datum van invoering. Over enkele jaren moet overal de omschakeling zijn voltooid.

Bij dit alles zullen er niet veel moeilijkheden zijn. Men moet er echter goed aan denken, dat voortaan de kilogram alleen een aanduiding van hoeveelheid stof is. Men koopt dus 5 kilogram suiker, men draagt 5 kilogram suiker naar huis. Maar men mag niet zeggen: die portie suiker weegt 5 kg. Men moet zeggen: die portie is 5 kg. Aan de kinderen mag men niet meer vragen: hoeveel weeg je, tenzij men een antwoord in newton verwacht.

Bij bruggen geeft men het draagvermogen; een bord vermeld bijvoorbeeld 5 ton. Deze aanduiding kan blijven. De betekenis is dan, dat de brug maximaal belast mag worden met een lichaam, waarvan de massa 5.000 kg is. De kracht behoeft men daarbij niet te weten; deze is afgerond 50 kN.

Als er bij het beginonderwijs hier goed op wordt gelet, worden hierdoor de leerlingen later veel moeilijkheden bespaard. Een foutief en slordig begin zorgt later voor verwarring en onbegrip. Een juiste algemene toepassing van het SI is onderwijsvernieuwing van de beste soort.

.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

natuurkundealle artikelen

.

1459

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/8)

.

natuurkunde bovenbouw

Eenhedenstelsels

Arbeid en arbeidsvermogen

Wat arbeid in het dagelijks leven voorstelt, is genoegzaam bekend. Op scheepswerven weerklinkt het lied van de arbeid voor wie er oren naar heeft. De man, die aan het bureau zijn werk verricht, doet het met minder lawaai. Werken is inspannend. Sommige mensen zijn liever lui dat moe en zijn niet verzot op arbeid. De meeste mensen zijn niet lui en als zij bij hun werkzaamheden te weinig lichaamsbeweging hebben, zoeken zij compensatie in de sport.

De natuurkundige definitie van arbeid kunnen wij u duidelijk maken met behulp van de trekschuit. Stug doortrekkend zeult een paard de schuit achter zich aan. Tijdens het trekken oefent het dier een kracht op de boot uit en wel op de plaats, waar het touw aan de boot is vastgemaakt. De boot gaat vooruit en legt daarbij een weg af. De verrichte arbeid is gelijk aan het product van de uitgeoefende kracht en de afgelegde weg, mits kracht en weg dezelfde richting hebben.

Het paard verricht geen arbeid, als de boot stil ligt in een haven of als de boot in ondiep water is vastgelopen en onwrikbaar vast ligt, waardoor het paard er alleen een kracht op uitoefent.

De zwaartekracht verricht arbeid op een vallend lichaam. Op een satelliet, die in een cirkelvormige baan om de aarde beweegt, verricht de zwaartekracht geen arbeid, omdat deze satelliet geen weg aflegt in de richting van de werkzame kracht. De zwaartekracht en de richting van de snelheid op ieder moment sluiten hier een rechte hoek in.

De arbeid, die de zwaartekracht verricht op een lichaam, dat loodrecht omhoog wordt gegooid, is negatief, daar in dit geval kracht en weg tegengesteld gericht zijn.

De eenheid van arbeid wordt verricht, als de eenheid van kracht een voorwerp over de eenheid van lengte in zijn richting verplaatst. In het SI is de eenheid van arbeid de newtonmeter of N.m. Deze eenheid wordt verkort tot joule J (uitspraak volgens het normalisatie-blad dzjoel).

Een pak suiker van 1 kilogram ondervindt in Nederland een kracht van 9,8 newton; wanneer dit pak suiker over een afstand van 1 meter valt, verricht de zwaartekracht een arbeid van 9,8 joule.

De natuurkundige definitie van arbeid kan in het dagelijks leven een probleem doen ontstaan, als men iemand betaalt naar zijn verrichte arbeid. Als men die persoon opdraagt een tijd een zware koffer opgetild vast te houden, kan men daarna menen, dat hiervoor geen vergoeding is vereist. Er is namelijk wel een kracht op de koffer uitgeoefend, maar geen arbeid verricht. Bij een nauwkeurige waarneming blijkt echter, dat men een koffer niet stil kan houden, maar dat deze kleine bewegingen op en neer maakt. De drager beweegt dus wel degelijk bij herhaling de koffer omhoog. Dit kost energie, de man wordt hongerig en moet een extra portie eten kopen.

Energie is een meer algemeen begrip dan arbeid. Ook warmte is een vorm van energie, evenals een elektrische stroom. Er zijn vele vormen van energie. Bovendien is van de energie de waarde niet vast te leggen, wel van energieverschillen. De door het paard voor de trekschuit verrichte arbeid gaat ten koste van de energie van het paard en is gelijk aan het energieverschil. In het paardelichaam wordt de verbruikte energie aangevuld door de bij de spijsvertering vrijkomende energie; een paard loopt dus op haver. De waarde van de verrichte arbeid en van het energieverschil kan men in een getal uitdrukken, niet de waarde van de energie van het paard.

Op een vallend lichaam verricht de zwaartekracht arbeid. Als de luchtweerstand ontbreekt, is deze arbeid gelijk aan de toename van de energie van het vallend lichaam, wat tot uiting komt in zijn vergrote snelheid. Van een omhoog geschoten kogel neemt de snelheid af ten gevolge van de arbeid, die de zwaartekracht erop verricht, totdat de kogel in zijn hoogste punt is aangekomen. Bij de valbeweging neemt de snelheid weer toe, totdat bij aankomst op de grond de beginsnelheid weer is bereikt.

De verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet, geheel of voor een deel. De bij wrijving verrichte mechanische arbeid wordt geheel in warmte omgezet. De arbeid van het paard verricht op de trekschuit wordt door de wrijving, die de schuit in het water ondervindt, geheel in warmte omgezet; langs een omweg verwarmt het paard het water. De kogel, die op de grond valt, ondervindt daar een grote weerstand en bij het maken van een kuiltje wordt zijn mechanische energie in warmte omgezet.

Een elektrische stroom kan een elektromotor, bijvoorbeeld van een stofzuiger, doen lopen; daarbij wordt elektrische energie in mechanische energie omgezet. Ook kan de elektrische stroom in een straalkachel warmte produceren, waarbij elektrische energie in warmte wordt omgezet. In elektrische centrales wordt verbrandingswarmte of atoomenergie in elektrische energie omgezet, in waterkrachtcentrales geschiedt dit uit de energie van stromend water.

Het ligt voor de hand, dat men voor alle vormen van energie dezelfde eenheid van arbeid gebruikt. In het SI is dit de joule J. De joule is een reeds lang bestaande eenheid van arbeid in de elektriciteitsleer. Doordat de joule nu algemeen wordt gebruikt, vervallen allerlei omrekeningsfactoren, hetgeen het rekenen vereenvoudigt.

Hierdoor is de eenheid van warmte, de calorie, komen te vervallen. De calorie is de hoeveelheid warmte nodig voor het verwarmen van 1 gram water van 14,5 tot 1 5,5 °C. Experimenteel is vastgesteld: 1 calorie = 4,19 joule of met een kleine verwaarlozing: 1 cal = 4,2 J. De waarden in calorieën uitgedrukt moeten met de factor 4,19 of 4,2 worden vermenigvuldigd om ze uit te drukken met behulp van de joule.
Voor grote bedragen arbeid gebruikt men de kilojoule kJ, de megajoule MJ en zo nodig de gigajoule GJ.

De moderne, dynamisch ingestelde mens is niet alleen in arbeid geïnteresseerd, maar ook in de tijd, waarin deze arbeid ter beschikking komt. Een schip kan alleen in een korte tijd worden gelost, als de benodigde arbeid snel wordt geleverd. De arbeidssnelheid of het arbeidsvermogen is de arbeid verricht in de tijdseenheid in het SI de joule per seconde J/s. Deze eenheid wordt afgekort tot watt W: 1 J/s = 1 W. Hieruit volgt: 1 J = 1 W.s (1 joule is 1 wattseconde). In dagbladen, in periodieken en in prospecti, zelfs van een grote fabriek in het zuiden des lands, vindt men niet zelden de foute aanduiding W/s (watt per seconde). Bij vele samengestelde eenheden komt ,,per” voor, echter hier niet.

Wij betalen thuis de verbruikte elektrische energie in ( kilowattuur kWh, de arbeid, die bij een vermogen van 1 kW gedurende een uur wordt verricht. Daar een uur 3600 seconden bevat is 1 kWh = 3600 kJ. De kWh behoort niet tot het SI. De industrie betaalt de elektrische energie per MJ en per GJ. Als voor ons de tarieven in de toekomst worden berekend per MJ in plaats van per kWh, moeten zij gedeeld worden door 3,6 indien men tariefsverhoging wil vermijden.

Grote eenheden van arbeidsvermogen zijn de megawatt MW en de gigawatt GW. Evenals de joule is de watt een van oudsher bekende eenheid in de elektriciteitsleer.

Een eenheid van arbeidssnelheid, die moet verdwijnen, is de paardekracht. De naam is fout, want de pk is geen kracht, zelfs geen arbeid. De pk is een gemeten vermogen van een zeker paard, dat men 8 uur lang water uit een put heeft doen ophalen. Gemiddeld beurde het paard per seconde 75 kg 1 meter omhoog.

In Nederland wordt daarbij verricht een arbeid van 75 . 9,8 = 735 joule. Dus 1 pk = 735 watt of 0,735 kilowatt. Bij benadering: 1 pk = 0,75 kW. Het vermogen van een auto van 100 pk wordt nu 75 kW.

Jammer voor de bezitter van de wagen, dat het gebruikte getal kleiner wordt. Hij zal er mee moeten leren leven.

Tot slot laten wij u aan de hand van een voorbeeld zien, hoe plezierig het is, dat in het SI allerlei omrekeningsfactoren zijn verdwenen. Stel er is ergens in het hooggebergte een groot meer met een inhoud van 1,02 km3. Het water valt door buizen over een afstand van 1 km, voordat het in een elektriciteitscentrale terecht komt. Boven in de bergen heeft dit water een arbeidsvermogen van plaats gelijk aan het product van de massa, de versnelling van de zwaartekracht en de hoogte, dus 1,02 .109 . 9,8 . 10³ =1013 =1010 kJ =10MJ = 10GJ. Wanneer deze arbeid geheel in elektrische energie wordt omgezet, verkrijgt men hiervan 104 GJ; hieruit kan men maximaal 104 GJ mechanische energie in elektromotoren verkrijgen.

Wanneer al deze energie in warmte wordt omgezet, krijgt men daarvan 104 GJ.

Stel, dat al deze energie in 10.000 seconden wordt geleverd, dan is het vermogen van de waterkrachtcentrale 1 gigawatt of 1 GW. Een dergelijk vermogen is enorm.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend.

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

natuurkunde: alle artikelen

.

1456

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/7)

.
Dit artikel is geen achtergrondinformatie voor de onderbouw

.

Krachten

Wat een kracht is, behoeven wij u niet te vertellen. Er is veel kracht nodig om de 100 meter hardlopen in minder dan 10 seconden te volbrengen, er is nog meer kracht nodig om een kampioensplaats bij de bokssport te veroveren. Wat kracht is hebben wij aan den lijve ondervonden.

Het natuurkundig definiëren van een kracht geschiedt door te letten op de uitwerking ervan. Bovendien moeten wij dat zodanig doen, dat wij daarbij kunnen meten en het resultaat in een getal kunnen uitdrukken. Ter inleiding van het verhaal veronderstellen wij, dat u vele sporten beoefent. Bij het tennissen is het de bedoeling, dat u de ballen terugslaat. Een tennisbal heeft een zekere massa en, als deze naar u toekomt, een bepaalde snelheid; het product van massa en snelheid heet „Hoeveelheid van beweging”. Als u de bal wilt stoppen, moet deze hoeveelheid van beweging worden vernietigd en dit geschiedt door op de bal gedurende een zekere tijd een kracht uit te oefenen. Hoe sneller de bal gaat, des te groter is die kracht. U voelt het in uw arm. Als u de bal terugslaat, moet er een grotere kracht worden uitgeoefend, want de bal moet dan ook de nodige hoeveelheid van beweging in de tegengestelde richting krijgen. Kortom, voor het veranderen van een snelheid is er een kracht nodig.

Wij veronderstellen, dat u na het tennissen gaat slingerballen. Een slingerbal heeft een veel grotere massa dan een tennisbal. Wanneer deze bal naar u komt aangevlogen, kunt u alleen maar proberen deze bal te stoppen. De benodigde kracht is nu zo groot, dat u op een heel speciale manier deze bal moet vangen in gebogen armen, zodat u er niet bij beschadigd wordt.

Een vrachtwagen in volle vaart moet u met uw lichaamskracht niet proberen te stoppen; zijn hoeveelheid van beweging is te groot.

Wij kunnen ook proberen verschillende lichamen in beweging te brengen. Onze kracht dient er dan voor om het voorwerp snelheid te geven; de snelheid neemt toe, totdat de op het lichaam uitgeoefende kracht gelijk is aan de wrijving. Het lichaam heeft een constante snelheid gekregen. Wanneer er geen wrijving is, neemt de snelheid van het voorwerp steeds toe; het voorwerp heeft in dat geval een versnelde beweging. De versnelling (de toename van de snelheid per seconde) blijkt volgens proeven van Galileï evenredig te zijn met de uitgeoefende kracht bij constante massa. Bij constante kracht is de versnelling omgekeerd evenredig met de massa; hoe groter de massa, des te kleiner is de versnelling.

De hierbij behorende wetten zijn door Newton geformuleerd. Als wij veronderstellen, dat de massa van een lichaam niet verandert met de snelheid, is de kracht gelijk aan het product van massa en versnelling bij het kiezen van bij elkaar passende eenheden.

In de relativiteitstheorie is een correctie aangebracht, die pas merkbaar wordt, als de snelheden in de buurt komen van de lichtsnelheid; wel blijft dan waar: de kracht is gelijk aan de verandering van de hoeveelheid van beweging met de tijd.

Uit dit alles volgt de oplossing van het oude vraagstuk of er een kracht werkt op een weggeworpen steen of een afgeschoten pijl. Nadat de steen de hand heeft verlaten en nadat de pijl geen contact meer heeft met het gespannen koord, is de kracht verdwenen, die steen en pijl in beweging heeft gebracht. Als er geen wrijving en geen gravitatie zou zijn, zouden steen en pijl hun beweging behouden. Dit zijn toepassingen van de wet der traagheid: de bewegingstoestand van een lichaam verandert niet, als er geen kracht op wordt uitgeoefend. Daar in de lucht steen en pijl wrijving ondervinden, worden hun bewegingen langzaam afgeremd; door de aantrekkingskracht van de aarde vallen zij uiteindelijk op de grond.

Een satelliet in een baan om de aarde of om een ander hemellichaam beweegt in een gebogen baan door de werking van de gravitatie. Bij een cirkelvormige baan is de snelheid van de satelliet constant; toch is hier de wet der traagheid niet van toepassing, daar de richting van de beweging steeds verandert. De hier werkzame kracht heet centripetale (middelpuntzoekende) kracht. Nu kunnen wij u de definitie van de eenheid van kracht in het SI geven. Hiertoe beschouwen wij een lichaam met een massa van 1 kilogram; hierop werkt een kracht, waardoor dit lichaam een versnelling krijgt van 1 m/s² (hierdoor neemt de snelheid iedere seconde toe met 1 meter per seconde). De werkzame kracht is dan de eenheid van kracht. De naam van deze kracht is newton, afgekort N.

De eenheden, die van namen zijn afgeleid, worden met een kleine letter geschreven, de afkorting ervan met een hoofdletter. Een kracht van 1 N geeft aan een lichaam van 1 kg een versnelling van 1 m/s². De normalisatiebladen geven ook de uitspraak en vermelden njoeton met de klemtoon op de eerste lettergreep.

In het SI is de newton geen grondeenheid. Kracht is massa maal versnelling of kracht maal lengte gedeeld door de tijd in het kwadraat. Dus 1 N = 1 kg m/s². De newton is een afgeleide eenheid. Men kan ook zeggen, dat kg m/s² wordt afgekort tot N.

Op de bekende manier zijn van de newton grotere en kleinere eenheden afgeleid: 1 kN = 1000 N; 1 mN = 1/1000 N.

In het dagelijks leven spreekt men gewoonlijk niet over de grootte van krachten. Men schept op over zijn spierkracht, maar gebruikt daarbij geen getallen. Bij het onderwijs moeten we beginnen met de grondeenheden lengte, massa en tijd; de afgeleide eenheden komen pas later aan de orde.

Als volgt kunnen wij een indruk krijgen van de waarde van 1 N. Wanneer u een pak van 1 kg suiker in de hand houdt, moet u het stevig vastpakken. Als u het pak ergens in Nederland laat vallen, krijgt het een versnelling van 9,8 m/s². De erop werkende zwaartekracht is dus 9,8 N groot. Om een massa van 1 kg tegen vallen te behoeden, moet u het met een kracht van 9,8 N ondersteunen. Daar men in het dagelijks leven niet om een grote nauwkeurigheid vraagt, kan men dit bedrag afronden op 10 N. Er is een kracht van 1 N nodig om 100 g stof te ondersteunen (nauwkeuriger 102 g).

Bij het wegen met een balans worden de massa’s van de voorwerpen vergeleken. Gelijke massa’s ondervinden evengrote gravitatiekrachten. De waarden van die krachten worden op de weegschaal niet vermeld. Op verschillende plaatsen op aarde hebben die krachten een andere waarde. Gelukkig hebben wij bij het wegen met de waarden van deze veranderlijke krachten niet te maken.

In het achter ons liggend tijdperk is voor de invoering van de newton veel gewerkt met de kilogramkracht kgf (f van fors kracht), de kracht, die de kilogrammassa in het gravitatieveld van de aarde ondervindt. In Nederland geldt: 1 kgf = 9,8 N. Deze van de plaats op aarde afhankelijke grootheid heeft voor veel verwarring gezorgd, daar in het dagelijks leven de f vaak werd weggelaten. Hierdoor worden nu moeilijkheden ondervonden bij het invoeren van het SI.

Hiermee samenhangend is er nog een probleem: het soortgelijk gewicht, het gewicht van een stof per volu-me-eenheid. Dit begrip moet vermeden worden. De volume-eenheid is de m³; de massa van 1 m³ water is 1000 kg, het gewicht hiervan in Nederland op zeeniveau 9810 N. In ons land is het soortelijk gewicht van water 9810 N/m³. In andere landen worden hiervan afwijkende waarden gevonden.

Constant in het heelal is de soortelijke massa. Van water is bij 4 °C de soortelijke massa 1000 kg/m³, 1 g/cm³ of1 mg/mm³.

Men kan ook de dichtheden van stoffen onderling vergelijken en wel door van gelijke volumes de massa’s op elkaar te delen. Daarbij kan men bijvoorbeeld water nemen. Zo verkrijgt men „relatieve soortelijke massa’s”, onbenoemde getallen, die helaas vroeger ook met de naam soortelijk gewicht werden aangeduid. Dit maakte de verwarring van het begrip soortelijk gewicht compleet. Als er nu moeilijkheden zijn, komt dat door oude fouten.

Tot slot een getallenvoorbeeld. Van koper is de soortelijke massa 8,9 g/cm³, althans bij gewone temperatuur. Hiermee is de informatie volledig. Wij hadden ook als waarden 8900 kg/m³ kunnen geven, mits men zich goed realiseert, dat de twee nullen rechts geen gemeten waarden voorstellen, maar de orde van grootte van het getal geven. Het soortelijk gewicht van koper in Nederland op zeeniveau is 9,81 . 8900 = 87.000 N/m³of 87 kN/m³. De relatieve soortelijke massa van koper ten opzichte van water is 8,9.

Bij gassen worden de relatieve soortelijke massa’s gewoonlijk ten opzichte van een ander gas bij dezelfde temperatuur en druk gegeven. Dit gas kan lucht zijn, waterstof of zuurstof. Men moet dus steeds vermelden ten opzichte van welke stof de relatieve soortelijke massa’s gemeten zijn.

.
Drs. E.J.Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

.

rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1454

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/6)

.

Het vergelijken van massa’s

In het vorige artikel hebben wij verteld, dat men de hoeveelheid van een stof kan geven door de massa ervan te vermelden. Daar de massa een nogal nieuw begrip is, zijn er van deze natuurkundige grootheid slechts enkele eenheden in gebruik geweest. Voor ons is alleen van belang de kilogram als eenheid van massa en de daarvan afgeleide grotere en kleinere eenheden.

Het woord massa is afkomstig van het Griekse woord madza (in ons schrift weergegeven), wat klomp deeg betekent; de Griekse werkwoordsvorm masso betekent ‘ik kneed. Het Latijnse woord massa heeft een meer algemene betekenis, behalve een stuk deeg kan het ook een stuk kaas voorstellen en een stuk metaal met de toevoeging van de naam van het metaal. Op die wijze spreken wij over een baar goud. In de moderne talen wordt massa bij alle stoffen gebruikt. Als u dit woord in „Koenen” opzoekt, kunt u zich hiervan overtuigen en ook de andere betekenissen ervan vinden.

De stoffen hebben eigenschappen, die met de massa samenhangen, en eigenschappen, die onafhankelijk van de hoeveelheid zijn. Een stuk koper heeft een metaalglans als het gepolijst is; de grootte van het stuk is hierbij niet van belang. Ook onafhankelijk van de hoeveelheid is de kleur van het koper en de temperatuur. De prijs van koper is wel afhankelijk van de massa.

Een groot stuk koper kunnen wij niet optillen, een klein stuk wel. Een groot stuk koper is zwaar, een klein stuk is licht. Een klein stuk koper doet een veer weinig uittrekken, een groter stuk veel uitrekken. De oorzaak van deze verschijnselen is de wederzijdse aantrekkingskracht van de lichamen, die des te groter is, naar mate hun massa groter is. Ook de afstand van de zwaartepunten van deze lichamen is van belang; wordt de afstand tweemaal zo groot, dan worden de wederzijdse krachten viermaal zo klein; wordt de afstand driemaal zo groot, dan worden zij negenmaal zo klein. Deze krachten zijn omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand en recht evenredig met de massa’s van de lichamen. Deze kracht heet gravitatiekracht of zwaartekracht.

Van de gravitatie, veroorzaakt door de Aarde, kunnen wij een dankbaar gebruik maken, als wij de massa’s van verschillende voorwerpen wilIen vergelijken. Wanneer een van die voorwerpen een kopie is van het standaardkilogram, vinden wij de massa van het andere in kilogram.

Met behulp van een veerbalans heeft men reeds eeuwen massa’s vergeleken. Nog steeds gebruikt men veerbalansen of unsters, al is hun nauwkeurigheid niet groot. Een unster is een klein apparaatje, dat gemakkelijk is mee te nemen en dat niet gauw kapot gaat. Men let op de uitrekking van de veer ten gevolge van een belasting; deze uitrekking is recht evenredig met de massa van het aan de unster gehangen voorwerp. Met een bekende massa moet de unster van te voren zijn geijkt. Daarna kan men een schaalverdeling erop aanbrengen.

Een veel nauwkeuriger toestel is de balans met twee schalen. Dit instrument is zeer gevoelig, daar er vrijwel geen wrijving is bij het schommelen van de schalen. Maar de balans is kwetsbaar en moet op een tafel staan, die niet in trilling kan worden gebracht. Ook kan de balans gemakkelijk ontregeld worden. Op een van de schalen plaatst men het voorwerp met onbekende massa, op de andere „gewichten”, totdat er evenwicht is. De massa van ieder „gewicht” is bekend, door optelling kan men de massa van het gewogen voorwerp vinden.

Het wegen met gewichten berust erop, dat op een zelfde plaats op Aarde stilstaande voorwerpen een zelfde massa hebben, als er even grote krachten door de zwaartekracht van de Aarde worden uitgeoefend. Het verschil in plaats van de beide schalen van een balans kan verwaarloosd worden. En als men daarvan niet overtuigd is, moet men bijvoorbeeld met droog zand evenwicht maken; daarna wordt het voorwerp van de balans gehaald en vervangen door gewichten, totdat er juist evenwicht is.

De bekende éénarmige schalen in winkels werken met een vast contragewicht. Hoe groter de massa van de gekochte waren, hoe meer het contragewicht verplaatst wordt en des te verder een wijzer over een geijkte schaalverdeling beweegt.

Het vergelijken van massa’s door wegen lukt niet in een satelliet, die om de Aarde beweegt. De voorwerpen zijn onder die omstandigheden „gewichtsloos”. De stand van een balans verandert daar niet bij het opzetten of weghalen van gewichten.

Wanneer men op zeer grote hoogte uit een vliegtuig valt, kan men ook niet wegen. Wij veronderstellen, dat de lucht daar nog zo ijl is, dat de weerstand ervan tegen het vallen te verwaarlozen is. Daar de val niet geremd wordt, dient de gravitatie alleen tot het krijgen van meer snelheid en van de zwaartekracht is verder niets te merken. Ook dan is er gewichtsloosheid.

Er is nog een mogelijkheid van gewichtsloosheid, namelijk ergens tussen de Aarde en de Maan, vrij dicht bij de Maan, waar de gravitatiekracbten van de Aarde en de Maan even groot zijn, maar tegengesteld gericht. De krachten heffen elkaar op, zij doen elkaars uitwerking teniet.

De genoemde beperkingen bij het wegen zullen u niet afschrikken, want niet ieder beoefent de ruimtevaart of is gewoon uit vliegtuigen te vallen. Wel moet men op de beperkingen bij het wegen letten, bijvoorbeeld als het.juk van een balans erg lang is. Wij krijgen dan last van doorbuigen. Maar ook moeten wij er aan denken, dat de Aarde geen homogene bol is. Bovendien draait de Aarde om een as. De gravitatie verandert met de plaats op Aarde en met de hoogte. Bij het beklimmen van een berg wordt de gravitatie iets minder, al is dit niet direct te merken.

De waarde van de gravitatie kan met behulp van een slinger worden bepaald. Door veel slingeringen te laten uitvoeren door uiterst gevoelige slingers, kan men de gravitatie nauwkeurig onderzoeken. Men doet dit in de geologie om meer over dieper gelegen aardlagen te weten te komen. Daardoor kan men aanwijzingen krijgen over het voorkomen van ertsen en aardolie.

Als standaardeenheid heeft men geen kracht, bijvoorbeeld de zwaartekracht, gekozen. Men kan een kracht moeilijk ergens in een laboratorium opbergen. De zwaartekracht is bovendien ongeschikt om te dienen bij het vastleggen van een eenheid, daar deze op Aarde niet constant is. Blijvende op zeeniveau is de zwaartekracht werkend op een massa van bijvoorbeeld 1 kilogram bij de polen ongeveer 0,5 % groter dan bij de evenaar.

Hoe kan men tenslotte massa’s vergelijken, als dat door wegen niet gaat? Men moet in een dergelijk geval gedurende een zekere tijd op een voorwerp een kracht uitoefenen en de beweging onderzoeken, die het voorwerp daardoor krijgt. Dit vereist een hele opstelling. Want hierbij moet zeer nauwkeurig worden gewerkt, wil men betrouwbare waarden krijgen. Met een balans gaat het heel veel gemakkelijker.

Over krachten leest u meer in het volgende artikel*.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature nadere gegevens onbekend

.

*rekenenalle artikelen   uit deze serie onder nr.8

.

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1452

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-2)

.

DE METER

Een‘dom’ verhaaltje     Het ontstaan en vergaan van de meter

Toen ik nog heel klein was, wist ik al goed, dat de zondag het feestelijk begin was van de nieuwe week. Er gebeurden bij ons thuis op zondag dan ook allerlei feestelijke dingen. Het feest begon doordat ik in de vroege morgen bij mijn vader in bed mocht kruipen, die mij dan ‘een dom verhaaltje’ ging vertellen.
Mijn vader, filosoof, was daar erg goed in. Hij heeft me er een paar honderd verteld.

Ik zal hier drie voorbeelden van zo’n domme geschiedenis aanstippen.

Daar had je bijvoorbeeld het verhaaltje van de juffrouw, die haar met bloemcretonnen overtrokken canapé dagelijks begoot, menende, dat de bloemen dat nodig hadden en dan ook verder zouden groeien.

Dan het verhaaltje van de zuinige dagboekschrijver, die het verleden een afgedane zaak vond. Die schreef in zijn witte dagboek met witte inkt. Hij kwam dan niet in de verleiding om het geschrevene toch nog eens te gaan lezen. Bovendien kon je, als de laatste bladzijde bereikt was, weer op de eerste beginnen. Je hoefde nooit een nieuw dagboek te kopen. Dat was erg voordelig.

Daar had je de timmerman, die als hij een plank op een bepaalde lengte afgezaagd had, steeds weer ontdekte dat hij zich in de maat had vergist. Wat deed deze timmerman op een goeie dag? Hij maakte een duimstok van elastiek. Als hij daarmee mat, bleek zijn zaagwerk steeds in orde te zijn. ‘Dat ik daar niet eerder aan gedacht heb! verzuchtte hij toen blij.

Ik weet dit timmermansverhaaltje nog zo goed, omdat vader mij eraan herinnerde in een tijd, dat er al lang geen domme verhaaltjes meer verteld werden. Dat was op mijn tiende verjaardag, toen ik van mijn moeder en hem een echte timmerkist kreeg.
Daar zat een echte duimstok in met koperen scharnieren. Inches waren af te lezen op de ene kant, centimeters op de andere.
Ik vroeg vader wat inches waren:
‘Een inch is een duim, een Engelse duim, de breedte van een duim en dat is ruim twee en een halve centimeter.’ ‘En is een centimeter dan de breedte van een pink? ’ vroeg ik. Toen schoot mijn vader in de lach: ‘Nee hoor. Maar je weet al wel, dat 100 cm. een meter is hè? ‘Ja’. ‘Herinner je je, dat ik je vroeger in bed domme verhaaltjes vertelde? ’ ‘En of.
Toen kwam het verhaaltje van de timmerman, die een duimstok van elastiek maakte nog eens op de proppen. Daarop zei hij: ‘Er bestaat nog een veel en veel dommer verhaaltje. Een heel dom verhaaltje, dat een echt gebeurde geschiedenis is: De geschiedenis van de meter’.
‘Waarom hebt u me dat dan nooit verteld? ’
‘In de eerste plaats zou het te lang geweest zijn om zondags in bed te vertellen. In de tweede plaats is het zo dom, dat je het zelfs nu je tien jaar bent geworden, nog niet zou kunnen begrijpen! Daarvoor moet je eerst op de grote school zijn! ’ Toen kwam het echt gebeurde domme verhaaltje in het vergeetboek terecht.

Mijn vader had al jaren het ondermaanse land verlaten, toen ik het zelf op het spoor kwam. Het lag verspreid in een paar boeken en brochures. Ook verspreid over meer dan anderhalve eeuw.
Het begon in 1791 en eindigde in 1960.

de laatste meter

In dat jaar had de elfde in Parijs gehouden ‘Algemene Conferentie der Maten en Gewichten’ de meter aldus gedefinieerd:

‘De meter is de lengte gelijk aan 1650763,73 golflengten in vacuo van de straling tussen de toestanden 2p.l0 en 5d.5 van het atoom krypton 86.’

Iets minder cryptisch kunnen we schrijven: Eén meter is 1650763,73 golflengten van de oranje-rode spectraallijn, die door in het luchtledige tot gloeiing gebracht kryptongas wordt geproduceerd.

Krypton is een schaars voorkomend edelgas, dat pas in 1898 ontdekt werd. De meter moet dus daarvoor heel iets anders geweest zijn. Dat klopt.

het inititatief tot de eerste meter

Een van de laatste regeringsdaden van Lodewijk XVI, die in 1791 plaats vond, was het verlenen van wetskracht aan de te nemen besluiten ener door de ‘Académie des Sciences’ benoemde commissie van vijf geleerden, ter bepaling van een algemeen bruikbare vaste maateenheid, die meter zou heten, en die een einde zou maken aan de bonte verscheidenheid der oude maten en gewichten.

De initiatiefnemer tot dit plan was de toenmalige president van het eerste parlement der revolutie, de jonge ex-bisschop van Autun: Charles Maurice de Talleyrand-Périgord (1754-1838). Hij had toen net zijn revolutionair élan getoond door de secularisatie van alle Franse kerkelijke goederen door te drijven.

Paus Pius VI (1775-1799) had hem daarvoor beloond met de banvloek en daarmee begon zijn lumineuze carrière. Men weet het: Deze grote diplomaat met een onvervalst kameleontalent overleefde alle Franse regimes zijner jaren in prominente politieke posities.

Waardoor? Doordat het zijn overtuiging was, dat je nooit met een vaste maat moest meten, maar met een zeer snel verstelbare, die precies paste op de eisen van het moment. Dat was de vader van de meter.

het beraad

Nog in het zelfde jaar 1791 ging de vijfkoppige commissie op zoek naar een echte objectieve maat, die niet aan menselijke afmetingen ontleend was, zoals de duim, de palm, de voet de el en de vadem. Die waren alle te subjectief. Eerst wilde men de lengte van Christiaan Huygens’ secondenslinger kiezen.

Maar al spoedig rees het idee, dat het tienmiljoenste deel van een kwart van de equator een veel betere conceptie was voor een mundiale maateenheid. Maar hoe moest je de evenaar meten en waarmee?
Om praktische en nationale redenen koos men niet voor de equator, maar wel voor de aarde-omtrek over de polen en wel speciaal voor een kwart van de meridiaan, die van noord naar zuid over de sterrenwacht van Parijs gedacht kon worden te lopen. Hoe groot was dat kwadrant? Uiteraard 90 graden. Die waren niet te meten, maar wel de 9-gradenmeridiaan, die zich uitstrekte van (nabij) Duinkerken, over Parijs tot nabij Barcelona. Als men die afstand nu eens middels driehoekmeting opmat en het gevonden getal door miljoen deelde, dan was de uitkomst gelijk aan het tienmiljoenste deel van het meridiaankwadrant en het veertigmiljoenste deel van de aardeomtrek: de meter!

Maar waarmee nu te meten, want de meter was er nog niet. Men koos daarvoor de toise, een populaire maat van die dagen, die gelijk was aan zes (Parijse) voet.

het werk

De eervolle opdracht om de afstand Duinkerken—Barcelona te meten viel te beurt aan twee Franse landmeters en sterrenkundigen: Méchain (1744 -1805) en Délambre (1749 – 1822).

Het bleek een moeizaam karwei te zijn De twee landmeters waren er ruim zes jaar mee bezig (van juni 1972 – oktober 1798). Voetje voor voetje. Met de meetkettingen en met de driehoekmetingsapparatuur.

Ze hadden het niet gemakkelijk. Boeren wier land zij betraden vonden hun geleidebrief verdacht reactionair. Die immers was gesigneerd door een koning, die in 1792 onttroond en in 1793 onthoofd was. (Toen zij hun witte meetvlaggetjes door tricolores hadden vervangen ging het wat beter.) Dan was er de ellende met de meetkettingen, die in warme streken een uitzetting kregen, die ze in koude streken niet vertoonden. En dan de narigheid, dat je al je maten – ze moesten over de Pyreneeën — nauwkeurig moest herleiden tot zeespiegelhoogte-maten.

Toen Méchain en Délambre in 1798 uitgemeten waren hadden ze 513074 toises afgeteld. En zo werd de meter dat getal gedeeld door miljoen en kwam dus te staan op 0,513074 toise!

glorieuze resultaten

Het Directoire en de volksvergadering sanctioneerden hun grootse arbeid, die als een glorieuze mijlpaal (als men dat van een meter zeggen kan) in de geschiedenis der mensheid beschouwd werd, in 1799.

De meter werd met twee ragfijne graveerstreepjes uitgezet op een lat van platina, waar wat irridium aantoegevoegd was, om de meter hard en temperatuurbestendig te maken. De staaf werd plechtig gestationeerd in het ‘chateau de St. Cloud’. De naam St.-Cloud, die Heilige Spijker betekent, kreeg ineens een magisch aureool.

De vierkante meter en de kubieke meter konden nu eveneens worden bepaald. Ook de liter, die aan een kubieke decimeter gelijk zou zijn. Het kilogram verscheen daarna, want dat werd het gewicht van een liter gedistilleerd water van vier graden Celsius in het luchtledige. Vóór de komst van de 19e eeuw was de hele zaak in orde.

Mede dankzij het tot stand komen van deze maateenheden, nam de precisie-behoefte van alle meters, tellers en wegers, de natuurwetenschappers en de technici in de 19e eeuw, ziender ogen toe. Het gevolg daarvan was, dat de meterlat in St.-Cloud niet meer vertrouwd werd. Hij was nog iets te buigzaam, vond men.

In 1872 werd hij vervangen door een steviger staaf, die een x-vorm doorsnede vertoonde. Dat werd de grootste hoeveelheid platina (en wat irridium) ooit gesmolten. De grootste klomp platina ter wereld. Betrouwbaarheid is nu eenmaal een kostbaar goed!
Een dure, maar hechte stabilisatie van de standaardmaat, gevestigd op het veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek.

een ramp

Maar wat geschiedde? Enige duivels-precieze rekenaars vermochten vast te stellen, dat Méchain en Délambre in hun telwerk een paar lelijke vergissingen gemaakt hadden: De aarde-omtrek was negen kilometer groter, dan zij hadden aangegeven.
Te Parijs werd een wereldconferentie van meters en wegers saamgeroepen.
Dat werd de ‘Conférance Diplomatique du Mètre’ van 1875, waarop achttien landen zich lieten vertegenwoordigen.

Dat was een bijzonder spijtige zaak. Men moest de blijkbaar gemaakte vergissingen officieel toegeven.
Maar van het opbouwen van een nieuwe meter, die dan wél het
veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek was, zag men om zeer begrijpelijke praktische redenen af. Men besloot genoegen te nemen met de van het
meridiaankwadrant losgeslagen meter, de afstand dus tussen de ingegraveerde lijntjes op de platinastaaf, die vastlag in St.-Gloud.

Wat was de meter dan toch maar wél, als hij geen deel meer had aan de omtrek van de aarde? Dat, waaruit hij afgeleid was, dat aantal toises, of dat nu goed of niet goed gemeten was, waar hij een deel van was. Die zes voet, van waaruit men aan het meten en rekenen gegaan was.
En zo stond men weer precies aan het punt van uitgang, dat de datum 1791 droeg.

Als je de oppervlakte van een kamer grofweg wilt opmeten, kun je die met flinke passen doorschrijden. Elke pas is dan ongeveer een meter. Die afstand had men ook tot een preciesiemaat kunnen verfijnen. (Exacter zelfs, want een deel van een meridiaan — een cirkel – wordt, hoe kort ook gemeten, nog geen rechte lijn). Maar dan was de wereld een dom verhaaltje armer geweest! Hij zou ook iets rijker geweest zijn, namelijk aan het inzicht dat meten en wegen niets objectiefs tot stand brengt. Dat het geen ‘objectieve’ zaak kan zijn, maar alleen een tot kwantitatieve aspecten gereduceerde verhouding van de mens tot zijn omgeving.

een nieuwe angst

Na twee wereldoorlogen bekroop de meters en wegers een nieuwe angst.
Dat de meter van St.-Cloud maar een willekeurige afmeting was werd ‘uitermate’ betreurd. Onherstelbare rampspoed zou het zijn, als bijvoorbeeld in een volgende oorlog de hele platinastaaf teloor ging.

Hij zou opgemeten moeten worden. Waarmee?

Er werd gelukkig een slimme oplossing gevonden. Met lichtgolflengten. Het uitwerken van deze gedachte besloeg vele conferenties. De Amerikanen stelden voor de golflengte van een bepaald groenstralend kwiklicht, maar de Russen hadden een sterke voorkeur voor een andere kleur: De rode spectraallijn van gloeiend Cadmiumgas. Daar was men in de U.S.A. sterk tegen gekant.

Uiteindelijk werd het, op de elfde Parijse meet- en weegkonferentie van 1960, ‘oranje boven’ met de mundiaal aanvaarde kryptonlijn uit het begin van dit domme verhaaltje.

De staaf van St.-Goud ging hiermee niet de wereld uit, maar men wist nu dat hij 1650763,73 kryptongolflengten lang was geweest als hij eens de wereld uitging.

Als onze Charles Maurice, Duc de Talleyrand, Prince de Périgord, dat allemaal eens geweten had! Van een verre voorganger van de paus die hem in de ban deed, Paus Paulus IV, (1555-1559) stamt de zegswijze ‘Mundus vult decipi, ergo decipiatur’: De wereld wil bedrogen worden; wel, hij worde bedrogen. Geen dom verhaaltje.

.

J.M.Bierens de Haan, Jonas 23-05-1975

.

ook over de meter: [8-1/3]

4e klas rekenen: metriek stelsel

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1451

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.