Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1325 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)   klas 11

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Met sprookjesbeelden, nog wel. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Door de dierkundeperiode in klas 4, o.a. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

Luc Cielen:
In tot nog toe 11 artikelen probeert Luc aan te tonen dat er teveel antroposofie zit in het leerplan van de vrijeschool.
In zijn artikel 1 gaat het over geschiedenis, dier- en plantkunde.
In geschiedenis toont Pieter Witvliet aan dat je daar nog heel anders naar kunt (en wat hem betreft móet) kijken; ook ‘Atlantis’ is niet per definitie ‘antroposofie’

In dierkunde toont Pieter Witvliet aan dat de indeling in hoofd, romp en ledematen niet iets ‘typisch van Steiner is’. Door te werken als Steiner aangeeft, kan er een met eerbied gevoelde relatie ontstaan tussen kind en wereld, wat geen antroposofie is.

In plantkunde toont Pieter Witvliet aan dat ook het plantkunde-onderwijs geen antroposofisch onderwijs genoemd kan worden, behalve het onderdeel plantenkarakter en zieleneigenschap. Dit wordt echter in vrijwel geen enkele school aan de orde gesteld.

In morgenspreuk 1 toont Pieter Witvliet aan dat de spreuk weinig heeft van een ‘geloofsbelijdenis’, maar juist iets ‘algemeen menselijks’ benoemt. Om kinderen innerlijk vertrouwen te geven. Dat staat ver van ‘indoctrinatie’.

Dat geldt ook voor morgenspreuk 2

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

spel

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

Advertenties

VRIJESCHOOL – 5e klas – rekenen

.

Staartdelingen: best lastig om ze onder de knie te krijgen. Als je ze echt snapt, weet je welke beredeneerfouten hier worden gemaakt:

DE GOOCHEMERDS

Er waren eens drie leerlingen bij wie rekenen niet hun sterkste kant was. Hoofdrekenen wilde al helemaal niet. Maar ze waren wel ijverig en wanneer ze bij elkaar waren, gaven ze elkaar sommen op om door oefening vooruit te gaan.

Op een dag hielden ze zich bezig met een som die beslist niet makkelijk was, namelijk: hoe vaak zit de 7 in de 28.

Hoofdrekenen lukte dus niet en dus begon er een met een staartdeling en wel zo:

 

 

Dat wilden de andere twee toch narekenen, want ze hadden een vaag gevoel, dat er iets niet klopte. Maar om dat nu meteen te zeggen….ze wilden zich liever niet blootgeven. Dus zeiden ze allebei dat ze eerst de proef op de som wilden nemen.

De ene rekende uit:

‘Is goed!’, riep hij.

De andere vertrouwde het toch mog niet helemaal, het was hem te geheimzinnig: hij wilde het echt voor zich zien. En dus schreef hij zeven keer het getal 13 onder elkaar  en rekende:

13
13
13
13
13
13
13
__

Eerst telde hij alle drieën op en kreeg, heel goed……….,21; nu waren er nog 7 enen: dus 7, die telde hij er bij op, en…..28! ‘Het klopt!’, riep ook hij.

En zo gingen ze opgewekt uit elkaar met het gevoel deze keer eens goed gerekend te hebben.

Of heeft iemand een andere mening?
.

A.Strakosch, Zur Pädagogik Rudolf Steiners jrg.7 nr.3 08-1933
.

5e klas rekenen: alle artikelen

5e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

1297

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – breuken (8)

.

REKENEN MET BREUKEN OP DE VRIJESCHOOL

Toen Rudolf Steiner voor de oprichting van de allereerste vrijeschool de door hem gevraagde leerkrachten voorbereidde op hun nieuwe opdracht, wees hij er nadrukkelijk op dat het bij het werk dat nu op deze school begon,

‘u erop gericht bent niet zozeer kennis als zodanig over te dragen, maar die kennis te hanteren als een middel om menselijke capaciteiten te ontwikkelen’. [1]

Je werkt, wanneer je het kind lezen en schrijven bijbrengt, dat een puur op conventie berustende activiteit is, anders, dan wanneer je met hem rekent. Dan heb je te maken met onomstotelijke reëel-geestelijke wetmatigheden, die veel sterker de geest-zielenkrachten van het kind ontwikkelen. En nog meer omvattend bereik je met alle kunstzinnige activiteit een harmonisering van de innerlijke mens.
Daarom is het zo belangrijk dat heel het onderwijs doordrongen is van een kunstzinnig element, omdat dan pas de hele mens aangesproken wordt.

Nadat het kind vanuit het kunstzinnig oefenen van zuivere vormen tot het eerste schrijven van enkele letters is gekomen, zal enige tijd later het rekenen beginnen. Daarbij moeten twee basisprincipes in acht worden genomen:
de analytische weg die van het geheel naar de delen gaat (je rekent niet bijv. 3  +  2  =  5, maar 5  =  3  +  2),
de vier rekenbewerkingen worden tegelijkertijd aangeleerd.
Daarmee ga je enerzijds zo te werk dat het in overeenstemming is met de zielenactiviteit van de mens in het kennisproces [2] en anderzijds is door het tegelijkertijd beleven van de polariteiten optellen – aftrekken en vermenigvuldigen-delen een buitengewoon economisch werken mogelijk.
Door deze methode kun je zonder dwang bereiken dat de kinderen tegen het eind van de derde klas de vier rekenbewerkingen met zekerheid kunnen uitvoeren en dat ze de kleine en de grote tafels al enigszins precies beheersen.

Daarmee zijn de voorwaarden voor het begin van het rekenen met breuken aan het begin van de vierde klas gegeven. Het is belangrijk dat dit doel, eerder dan op de staatsscholen* gebruikelijk, bereikt wordt, omdat de kinderen nu een wezenlijke stap in hun zielenontwikkeling gaan zetten, waarvoor de breuken een bijzondere betekenis hebben.

Gedurende de eerste schooljaren voelt het kind zich nog geheel vanzelfsprekend hecht verbonden met de hem omringende wereld. Ik en wereld zijn voor hem nog een volledige eenheid. Alles wat het meemaakt, wat het om zich heen waarneemt, beleeft als werkelijk, net zo als wat het in zichzelf beleeft. Ouders en opvoeders worden als geliefde autoriteit geacht en geëerd. De harmonie van zijn fysieke constitutie vertoont zich ook in zijn zielengrondstemming.
Met het bereiken van het negende levensjaar voltrekt zich in het kind een belangrijke verandering in zijn innerlijk beleven t.o.v. de omringende wereld. Daartegen zet het zich veel meer af en wordt er onafhankelijker van. Nu gaat de jonge mens een onderscheid maken tussen Ik en wereld. Wat er om hem heen gebeurt, wordt niet meer, zoals tot nu toe, gepersonifieerd. Hij staat nu vooral veel kritischer tegenover alles. Ook met de ouders en de leerkrachten ontstaat er een nieuwe verhouding en hij ‘test’ op een bepaalde manier of de tot nog toe aanwezige verering nog op z’n plaats is. Het zelfbewustzijn wordt sterker en de innerlijke beleving wordt dieper en rijker. Wat als een harmonische samenhang tussen het kinderlijke zielenleven en zijn omgeving pendelen kon, wordt nu letterlijk verbroken: een breuk.
Aan deze verandering in het zielenleven komt het leerplan van de vrijeschool tegemoet, door de kinderen nu met de gebroken getallen te laten omgaan. Ze ervaren het als een weldaad wanneer hun nu als een soort spiegel wordt voorgehouden, wat ze vanbinnen beleven. Zo kunnen ze zich makkelijker in de nieuwe situatie gaan thuis voelen en ze krijgen hulp bij hun verdere gevoelsontwikkeling.

Om de mogelijke werking van het rekenen met breuken op de innerlijke ontwikkeling van de leerling te bereiken, is weliswaar een andere dan de tot nog toe geoefende methode, bij het invoeren van breuken noodzakelijk.
Hierover vind je echter in alle pedagogische cursussen en in de lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner, geen aanwijzingen.
De leerkrachten van de eerste school moesten het aanvankelijk alleen doen met een korte opmerking in de tweede leerplanvoordracht: ‘In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.'[3]

Het is de grote verdienste van de wiskundeleraar Ernst Bindel dat hij door zijn zeer gedegen studies een weg gebaand heeft die niet alleen het goede motief geeft, maar ook vanuit de ontwikkelingsgeschiedkundige kant de breuk beschrijft vanuit ‘de mens en de mensheid’. [4]

Zo merken we door zijn blikrichting dat het ontstaan van het eigenlijke rekenen met breuken in de bloeitijd van de Oud-Egyptiche cultuur, dus in de tijd van het derde, ook nog in het tweede millennium voor Christus ligt.
Als een oersymbool van het breukenrekenen staat het mythologische beeld van Isis en Osiris in het middelpunt van het religieuze leven van de Egyptenaar. Isis verliest haar echtgenoot door Typhon-Seth (Seth = Hebreews: Satan) die Osiris in het licht van de maan in veertien stukken deelt en Isis een treurende weduwe laat worden. (Duits Witwe, dat etymologisch van ‘delen’ afstamt). Ernst Bindel zegt: ‘De zon vertoont zich voor het oog als een volledige cirkel; de maan doorloopt in zijn veertien sikkelgestalten de fasen van nieuwe naar volle maan en omgekeerd….Zoals de maan alleen maar gespiegeld zonlicht naar de aarde zendt, kon (nu na het verlies van de goddelijke wijsheid van Osiris) het aan de hersenen gebonden verstand dat nu tot zijn recht kwam, alles wat zon is, slechts uit de tweede hand tot zich nemen. De aardse mens spiegelt, speculeert met de hersenen als de maan de oude wijsheid; vangt door zijn denken echter alleen nog maar het gedempte licht.'[5]
Zoals in Egypte in de loop van zijn cultuur in de samenhang met het bovenzintuiglijke een steeds grotere breuk komt, wat in het beeld van de Osiris-mythe tot uitdrukking komt, zo ook beleeft het kind volgens de biogenetische grondwet** waarin de individuele mens in bepaald opzicht de ontwikkelingsgeschiedenis van de gezamenlijke mensheid herhaalt, rond het negende jaar dit ‘verbreken’ van zijn eigen verbonden zijn met de omgeving. Dat is het ogenblik dat er in het rekenen bij de het delen de opgaven niet alleen meer precies hoeven uit te komen en is het tijd om met de gebroken getallen te beginnen. Daarbij kan het niet gaan om de Oud-Egyptische manier van met breuken rekenen uit te voeren, maar ‘vaag mag toch nog wel in het kind meeklinken wat er bij het eerste verschijnen van de breuken voor de mensheid eraan werd beleefd’. [6]
Het komt er in het begin minder op aan om meteen snel met de breuken te kunnen werken.
Het allerbelangrijkste is toch het kind het ontstaan van de breuk tot een diepe belevenis te laten zijn. Het uitgangspunt vind je in de manier waarop de Egyptenaren met de breuken omgingen. Ze streefden ernaar alle deelopgaven in een reeks zogenaamde stambreuken (aliqoutbreuken), d.w.z. ze de teller 1 hebben  (½, ¼  enz) om te zetten.[7] Neem je zo’n breuk goed in je op, dan zie je meteen het ogenblik van het breken, namelijk het ontstaan van de breuk uit de eenheid. Alle andere breuken hebben dit ogenblik al achter zich gelaten, zij zijn al weer een bij elkaar voegen van meerdere dergelijke breukstukken.

3/5 = 1/5 + 1/5  + 1/5

De kinderen houden van opdrachten als: ‘Beschrijf eens hoe een vijfde ontstaat!’ en zeggen graag: ‘Een vijfde ontstaat als je een geheel in vijf gelijke delen verdeeld en er een deel van wegneemt.” Daarbij valt de blik tegelijk op de verhouding van een deel tot het geheel en op de rest van vier vijfden.

Het is aan te raden bij het allereerste begin uitvoerig de manier van zeggen bewust te benadrukken en over een halve, half deel), een derde (deel), een vierde (deel), een vijfde (deel) ……te spreken en deze namen ook eens op te schrijven alvorens je tot schrijven van de getallen overgaat.
Ook dan zou je, zoals Ernst Bindel dat aanraadt, eerst de schuine breukstreep moeten gebruiken, waarbij de getallen niet onder elkaar, maar bijna naast elkaar staan en dan langzaam overgaan naar de horizontale streep met de getallen boven en onder elkaar. Dan ga je aanschouwelijker te werk en blijf je dichter voor het begrip van de kinderen bij de oorsprong van de breuk uit de stambreuk.

In het verdere verloop zal het erop aankomen het kind wat het pas heeft geleerd, op velerlei manieren duidelijk aanschouwelijk in beeld te brengen. Dat is bijv. door het delen van een cirkel vanuit het middelpunt mogelijk. Heel ijverig worden er dan stambreukdelen van allerlei grootte met verschillende kleuren in getekend of gevouwen en uitgeknipt en dan kun je op een veelzijdige manier met deze delen rekenen.
Om de tegenstelling van het hele getal en de erbij horende stambreuken aanschouwelijk te maken, stelt Ernst Bindel het beeld van een boom voor, waarbij eerst uit de stam twee nieuwe takken komen en hij wijst erop dat het woord (het Duits heeft hier Zweig, in het Nederlands twijg) wijsheidsvol het getal ‘zwei’- twee – in zich heeft. Zo ontstaan uit de hele boomstam die zich dan steeds weer vertakt, halven, vierden, achtsten enz. Dan kun je ook bomen tekenen die zich volgens andere getallen vertakken.
Een derde mogelijkheid om de stambreuken (en later ook de overige breuken) aanschouwelijk te maken, ligt, volgens een aanwijzing van Erich Schwebsch, in de muziek.
Het notenschrift is gezien vanuit het tijdsaspect,  niets anders dan een verborgen rekenen met breuken. Het is niet moeilijk passende voorbeelden te vinden, van een eenvoudig lied tot aan gecompliceerde toonreeksen.

Zo zijn er dus rijkelijk veel mogelijkheden gegeven de kinderen eerst op een levendige manier met het wezen van de breuk en in het bijzonder met de stambreuk, vertrouwd te maken. Dit werk kan zeker het grootste deel van de eerste rekenperiode in de vierde klas beslaan, voor je er dan toe over gaat de breuken op een manier die bij het kind past, uit te breiden. Alles wat je verder eerst gaat doen met de vier hoofdbewerkingen, moet – zie boven – via de analytische weg gaan.
Voor de overgang naar de tiendelige breuken staat als aanvulling de rekentijd van de vijfde klas ter beschikking, die het kind uiteindelijk tot het hoge doel, ‘zich nu op het gebied van alle hele en gebroken getallen vrij rekenend zich te kunnen bewegen'[8] moet brengen.

In deze korte uiteenzetting kon er maar een zeer beknopt overzicht worden gegeven over de pedagogische bedoeling van het eerste rekenen met breuken. Daarbij werd hier meer een van de vele mogelijke wegen getoond. Zo beschrijft bijv. Hermann von Baravalle een heel andere aanpak die naar hetzelfde doel leidt [9]
Ondertussen mag wel voldoende onderbouwd zijn waarom deze activiteit, wat voor veel ouders aanvankelijk een verrassing was, al in de vierde klas plaatsvindt. Naast de eerste mens- en dierkunde en de aardrijkskunde vormt dit werk een derde belangrijk zwaartepunt in de reeks nieuwe perioden in de vierde klas. Maar je moet niet meteen een perfecte rekenvaardigheid verwachten, maar met begripsvol meeleven volgen, hoe het kind in een nieuwe levendige begrippenwereld zijn weg vindt, waar hij vol van is en die hem tot steun kan zijn bij het ontwikkelen van zijn gevoelsleven om de noodzakelijke capaciteiten te ontwikkelen om het leven aan te kunnen.

.
Benedikt Picht, Erziehungskunst jrg. 48, 02-1984

.

[1] Rudolf Steiner GA 294/7
vertaald/19
[2] GA 301 -voordracht 10
Vertaald
[3] GA 295/168
vertaald/155
[4] Ernst Bindel: Das Rechnen. Hfdst. 10
[5] hierin blz. 67ff.
[6] hierin blz. 69ff.
[7] Wanneer bijv. de som ‘deel 2 door 5’ uitgerekend moest worden, zei de Egyptenaar: ‘Laat 2 zich in 5 uitspreken’ en hij schreef dan als antwoord 1/3  +  1/15  (zie blz.66). Het belangrijke hierbij is dat willekeurige breuken zoveel mogelijk vermeden werden en alle waarden zoveel mogelijk in stambreuken uitgedrukt werden.
[8] Caroline von Heydebrand: Vom Lehrplan
[9] Hermann von Baravalle: Rechenunterricht und der Waldorfschulplan
Methodische Gesichtspunkte für den Aufbau des Rechenunterrichts, blz.14

* in Duitsland (1984)
**Steiner over Haeckels biogenetische wet:
‘Men heeft geprobeerd deze wet ook op de geestelijke- en  gevoelsontwikkeling van de mens toe te passen, op de individuele mens in verhouding tot de hele mensheid. Daardoor is men in een verkeerd vaarwater terechtgekomen.

‘De ontwikkeling van een kind is een herhaling van de ontwikkeling van het mensengeslacht’ kan men als fantasiebouwwerk opzetten, maar het is niet in overeenstemming met de werkelijkheid. 
Wanneer je het menselijk embryo volgt van de eerste, tweede, derde week – zo goed als men dit nu kan – tot aan de volgroeiing – dan zie je daar de opeenvolgende, steeds volmaakter wordende vormen, visgestalte enz. Wanneer je daarentegen het kind waarneemt in de eerste ontwikkelingsjaren, dan zie je niets van een herhaling of in een verdere ontwikkeling van volgende fasen van de mensheidsontwikkeling.’

Haeckel en het leerplan: nr. 12 in Menskunde en pedagogie

4e klas rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 4e klas

 

1290

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

.

HET GROOTSTE GETAL VAN DE WERELD

LEREN REKENEN VANUIT MENSKUNDIG PERSPECTIEF

‘Moeder, moeder! Vandaag hebben we het allergrootste getal van de wereld geleerd….!
Met dit vanzelfsprekend hoogst opwindend nieuwtje stormt het kind na zijn eerste rekenles naar binnen om zijn moeder als eerste deze belangrijke boodschap vol vreugde mee te delen. Het kind zit op de vrijeschool.
Hopelijk zijn vader en moeder naar de laatste ouderavond geweest, toen de leerkracht over de op handen zijnde eerste (en belangrijkste) rekenperiode in het leven van de kinderen sprak. Anders zou de grote vreugde van het kind snel kunnen verdwijnen voor een reusachtige teleurstelling. Want wee de moeder die nu vermoedt dat het om het getal 1000 gaat, omdat ze – onwetend en niets vermoedend – aanneemt dat 1000 voor een eersteklassers op z’n minst een zeer groot, zo niet voor nu het allergrootste getal is. Of zouden de kinderen al iets van een miljoen geleerd hebben….? O jee! Er helemaal naast! De moeder die zoiets vermoedt, heeft zelf beslist niet op de vrijeschool gezeten, anders was het haar volkomen duidelijk geweest, dat het ‘grootste getal van de wereld’ natuurlijk alleen maar de  een(heid) kan zijn, zoals ze nu te horen krijgt van een trots kind.
Wanneer de kinderen op de vrijeschool met de getallen vertrouwd raken, leren ze eerst, net zo als bij het leren kennen van de letters, de kwaliteit en niet de kwantiteit van de getallen kennen.
En dus vertelt de leerkracht in het eerste uur rekenen de kinderen een verhaal dat over de eenheid  gaat. In deze eenheid, leren de kinderen, zit al het andere besloten. Er is maar een wereld (als eenheid), ook ieder mens is een eenheid op zich. De kleine Tobias heeft onmiddellijk door dat er van hemzelf maar één is. Hij is een eenheid, hij is uniek, net zoals zijn vader, zijn moeder, zoals ieder mens. Door de kinderen worden snel andere eenheden gevonden: godvader, de zon, de maan, de boom, de hond, de school, het lokaal, de broer, enz. Alles is – kwalitatief beschouwd – uniek, is elke keer een eenheid. En het getal (het cijfer) voor de eenheid is de 1! Omdat de eenheid alles omvat, is het cijfer dat er symbool voor staat 1 het ‘grootste’ getal van de wereld. Dat begrijpen de kinderen volkomen, omdat het waar is en daarom zijn zer zo opgetogen over.
Getallen (en letters) eerst leren kennen vanuit de wezenskenmerken, is helemaal niet wereldvreemd of ‘klinkende onzin’.  Want wanneer je de kwaliteit van een ding, een wezen niet begrijpt, begrijp je van de kwaliteit nog minder. Iedere praktisch ingestelde koopman handelt zo, uit de aard der zaak iedere huisvrouw ook, ieder mens die iets kopen wil. Eerst kijkt hij naar de kwaliteit van de koopwaar. voordat hij over de kwantiteit, hoeveel ervan, beslist. Want niemand koopt graag een kat in de zak.
Moeten kinderen dan – zoals tegenwoordig algemeen gangbaar is – getallen, letters puur intellectualistisch abstract leren, wordt dan niet van het getal en de letters het levende, het wezenlijke, de kwaliteit onthouden; meestal hebben ze ook problemen met het begrijpen waarom het eigenlijk gaat. Ze dreunen weliswaar zuiver automatisch na, bijv. 1 + 1 = 2; 2 + 2 = 4 enz., maar dat zijn dan volledig oppervlakkige activiteiten, bloedeloze rekenoperaties die door eenvoudig uit het hoofd leren in het brein van de leerlingen vast komen te liggen. En hoeveel leerlingen kampen juist in de 1e klas al met grote begripsproblemen bij het eerste schrijven, lezen en rekenen.
We moeten steeds uitgaan van wat een kind begrijp! Wat zou er voor een kind groter kunnen zijn dan die ene  wereld waarin het leeft? Die omvat al het andere. Dat begrijpen de kinderen en vandaar dat ze wat ze geleerd hebben trots mee naar huis nemen.
Op deze manier worden ook de andere getallen langzaam aan de orde gesteld. De volwassene kan weten dat uit de eenheid van het paradijs, waarin slechts die  ene  mens Adam leeft, uiteindelijk het dualisme, het wezen van de tweeheid (de 2), het tegenover elkaar staan, ontstond. Adam en Eva, het aardse leven en het hiernamaals, man en vrouw, licht en donkerte, warmte en koud. hard en zacht, hoog en laag, goed en slecht enz. Tegengestelden die als paar steeds bij elkaar horen. ‘Waar licht is, is ook schaduw’. Het dualisme is de tweeheid die uit de eenheid ontstond. Er heeft een delingsactiviteit plaatsgevonden, twee verschillende kwaliteiten staan voor de eerste keer als tegengestelden tegenover elkaar, iets is gedifferentieerd, afgezonderd. Dat is het begin van een ontwikkeling waarin een eerste proce waarin het bewustzijn zich ontwikkelt. Het ervaren van het tegenovergestelde veroorzaakt een mogelijkheid iets te weten over hier en daar, ik en jij, waarbij echter wat nu een gescheiden eenheid is, één oorsprong heeft en in wezen bij elkaar hoort.
Ook in de (goddelijke) natuur komen wij overal kwaliteit tegen. Door de celdeling ontstaan uit één cel, de eenheid, twee cellen. Uit deze twee ontstaan door een nieuwe deling opnieuw twee cellen. Uit een bevruchte kiem wordt door onophoudelijke celdeling een nieuw wezen gevormd. Uit de eenheid (van de kiem) volgt de differentiatie in de veelvoud, zonder het karakter van de eenheid te verliezen. Uit een eikel komt een eikenboom.
Ook de oude, overgeleverde sprookjes en fabels schilderen altijd het kwalitatieve, het wezenlijke. De sprookjesmotieven hebben symbool(beeld)karakter. Zo bestaan er veel sprookjes met de koning. Voor het kind is deze in alle sprookjes een en hetzelfde koninklijke wezen, de heerser. Het intellect zou spitsvondig erop kunnen wijzen dat ieder sprookje zijn eigen, dus een andere koning heeft en verder nog opmerken, dat het maar om ‘sprookjes’verhalen gaat, die je niet seriwus hoeft te nemen. En wat vertellen de fabels? Er is bijv. de vos die de kwaliteit, de representant is van het listige, geslepene; de wolf symboliseert de hebzucht enz.
Voor kinderen die getallen – zoals het nu gewoonlijk gaat – kwantitatief leren kennen, dus 1 + 2 + 4 + 3 = 10 uitrekenen, kan er geen grootste getal zijn. Want de zakelijke logica zegt dat bij ieder getal, al is het nog zo groot, steeds nieuwe getallen bijgevoegd kunnen worden, zonder einde. Om toch een einde te hebben, is de uitweg ‘onvoorstelbaar’, ‘oneindig groot’ gevormd. Hoe groot een dergelijk getal kan zijn, gaat het voorstellingsvermogen te boven, je kunt het niet bevatten, is niet meer denkbaar.
Is dat niet ook zo met veel andere denkmodellen, ‘theorieën’ genoemd? Theorie is volgens Duden: …een bedachte, werkelijkheisvreemde voorstelling’. En toch wordt onze wetenschap en daarmee ons leven, door vele theorieën beheerst en gesteund. Je hoeft maar aan de atoomtheorie te denken – en de concrete gevolgen voor de mensheid – aan de relativiteitstheorie, de quantentheorie en andere denkmodellen. Zo werden ook de economie, het sociale leven, de politiek als ook het onderwijs door denkmodellen, door theorieën beheerst. Veel is gebaseerd, ondanks hoogst wetenschappelijke formuleringen, op hypothesen, op aannames, op onzekerheden. Is het daarom verwonderlijk wanneer steeds meer mensen tegenwoordig in hun levensgevoel zich onzeker, bedreigd en willoos voelen, zonder precies de oorzaken te kennen?
Nog een voorbeeld kan het onderwerp waarom het hier gaat, nog duidelijker maken. In het mainstreamonderwijs leren de kinderen, zoals al gezegd, volgens de methode: 6 + 6 = 12. Rekenkundig is de uitkomst helemaal goed. Wanneer je je bewust wordt van de rekenweg die je volgt, de manier waarop het bij het optellen gaat, moet je vaststellen dat de uitkomst, de 12, volkomen vastligt.
Wat speelt zich in de ziel van het kind af die op deze manier leert rekenen en optellen: 2 + 2 = 4;  2 + 3 = 5;  7 + 8 = 15;  20 + 20 = 40 enz.?
Rudolf Steiner wijst de leerkrachten erop  dat degene die zo rekent, van te voren al denken (de uitkomst) op de plaats van de werkelijkheid zet. Dat leidt tot eenzijdigheid.
Veel meer vrijlatend, bonter en levendiger is de door Rudolf Steiner aanbevolen manier van het eerste, aanvankelijke rekenen. Je geeft het kind bijv. 12 kastanjes. Die vormen de eenheid die in het echt voor het kind ligt, de werkelijkheid. Deze kastanjes kan het kind nu op alle mogelijke manieren verdelen en daarbij levendig en vrijlatend rekenen. 12 is bijv. 11 + 1  of  10 + 2  of  9  +  3  of  8  +  4  of  7  +  5  of  14 – 2  of  22 –  10 enz. Je legt de kinderen als je zo met getallen en uitkomsten bezigbent niet vast. Ook hebben ze er zoveel meer plezier in en roept in hen een heel andere levendigheid en geestelijke beweeglijkheid op. Maar dat is maar een deel. Een ander, veel belangrijker gezichtspunt is de aandacht waard. Leert een kind rekenen met de gewone methode 6  +  6  =  12, dan betekent dit concreet, dat het rekenende kind al meteen iets heeft, namelijk 6 en wanneer het er nu nog 6 bijkrijgt, heeft het er 12 in zijn bezit. Rudolf Steiner wijst erop dat de mensen zich niet moeten verbazen , wanneer deze manier van optellen – ik bezit en er komt meer bij – in het gevoel begeerte, egoïsme enz, oproept. De manier waarop in de vrijeschool wordt gerekend, ias daarom anders, zoals al aangegeven.
De leerling gaat uit van de realiteit, zijn hoopje eikels of kastanjes, die daadwerkelijk in zijn hand liggen. Die verdeelt het, geeft ze weg, het kind  geeft, maar het haalt niet naar zich toe. 12 is bijv. 3  +  3  +  6 enz. En zo heeft de manier van rekenen de mogelijkheid in zich dat de leerling (onbewust) de zielenhouding van het (onzelfzuchtige) geven oefent en wellicht tot gewoonte maakt.
Zo zijn de beide manieren van leren rekenen niet alleen uiterlijk twee volledig verschillende wegen, ze zijn het ook kwalitatief zeer. Leren de kinderen in hun eerste levensjaren, daar horen ook de eerste jaren op school bij, de wereld die hun omringt weznelijk, d.w.z. in haar kwalitatieve vorm te kennen en te begrijpen, dan zijn dat voor hen absolute zekerheden en waarheden; ze bevinden zich op een absluut zekere basis (van vertrouwen). Daar kunnen ze op bouwen. En deze levenshouding geeft hun levenszekerheid!
Het rekenen, zoals het in de eerste klas van de vrijeschool begonnen wordt, was maar een voorbeeld van een fundamentele, levenspraktische methode die niet alleen naar het kind kijkt, maar naar de hele mens.
Wat voor een buitengewoon diepingrijpende uitwerkingen onderwijsmethoden kunnen hebben die voor de mens wezenlijk zijn, zoals bijv. de theoretisch uitgedachte rekenpraktijk voor volwassenen en hoe die op de opgroeiende zielen van invloed zijn, sprak Rudolf Steiner in alle duidelijkheid in een voordracht die hij in Oxford hield op 21-08-1922 [1]:
‘Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element.(….) Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
(….) Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
Het volgende zal u wellicht uiterst paradoxaal in de oren klinken, maar daar ik over de werkelijkheid spreek, en niet over hetgeen ons tijdperk zich verbeeldt, wil ik, daar de waarheid in onze tijd vaak paradoxaal lijkt, voor dergelijke paradoxen ook niet terugschrikken. Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen Bolsjewisme geweest in Oost-Europa.”
GA 305/110
vertaald

Hans Harres, Erziehungskunst 50-7/8-1986

.

Rudolf Steiner over: van geheel naar de delen i.v.m. rekenen: GA 301 voordracht 10

Rekenen 1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenliedjes

.

Vanuit menskundige aspecten kan rekenen makkelijk worden verbonden met ‘ritme’ – in zekere zin dus: met muziek. In onderstaand artikel vind je interessante gedachten over de toepassing van muziek bij het rekenen. Door de kennis van het mensbeeld dat de basis vormt van de vrijeschoolpedagogie zul je wellicht hier en daar tot andere conclusies en aanpak komen, maar het is altijd goed te onderzoeken hoe waardevol de vindingen van anderen (kunnen) zijn.

Rekenliedje!

Hoe kun je elf paardebloemen eerlijk verdelen?

Pabo-docente Marjolein Kool heeft de teksten geschreven voor een cd met rekenliedjes voor groep drie. De liedjes zijn prima te gebruiken als aanvulling op een rekenmethode.

“Met de cd kun je bij rekenen en wiskunde meer doen dan alleen de methode volgen”, zegt Marjolein Kool. “Het maakt het rekenonderwijs gevarieerder.” Kool geeft* aan de pabo Domstad in Utrecht les in de didactiek van rekenen en wiskunde. En ze is hoofdredacteur van Willem Bartjens, een tijdschrift voor reken- en wiskundeonderwijs op de basisschool. Kool is ook nog dichteres. Samen met drs. P heeft ze het gedichtenboek Wis- en natuurlyriek geschreven. “Als aardigheidje tussendoor worden de gedichten nog wel eens gebruikt in de wiskundelessen in het voortgezet onderwijs.”

Rondje rekenliedjes heet de cd met liedjes over tellen van hoeveelheden, terugtellen van tien naar nul, splitsen, delen en passen en meten. Optellen en aftrekken en sommen bedenken ontbreken natuurlijk niet. Anneke Noteboom, die werkzaam is bij het instituut voor leerplanontwikkeling SLO heeft samen met Kool de onderwerpen voor de cd bedacht en een handleiding met lessuggesties geschreven. In de docentenhandleiding staat een schema op welk moment de liedjes bij de verschillende rekenmethoden kunnen worden gebruikt. Voor de leerlingen is er een speel-rekenboek met allerlei aanvullende opdrachten. “Hoewel de melodie soms wat moeilijk is, pakken de kinderen de liedjes zo op”, zegt Kool. Leuke bijkomstigheid voor de kinderen is dat Frank Groothof uit Sesamstraat de liedjes zingt.

Superwonderbril
In ieder liedje zit een moeilijkheid of een conflict verwerkt waardoor kinderen aan het denken worden gezet. In het Verjaardagslied moeten twee jarige dieren elf paardebloemen met zijn tweeën verdelen. Kool: “Wij hadden bedacht dat de oplossing van de kinderen zou zijn een bloem teruggeven of een bloem doormidden breken. Maar waar komen ze op? We zetten ze bij elkaar in een vaas en dan kunnen de dieren er samen van genieten.” Bij de Superwonderbril wordt een aantal munten over twee handen verdeeld. De ene hand gaat open en daar liggen drie muntjes. Hoeveel zitten er in de hand die gesloten is? Kan ik dat zien met de superwonderbril? “Intussen zijn de leerlingen allerlei splitsingen van getallen aan het leren”, zegt Noteboom. “Bij kleine aantallen heb je grotere kans dat kinderen die minder rekenvaardig zijn ook mee kunnen komen. Wat je hierbij ziet is dat de kinderen aan elkaar gaan uitleggen hoe het zit.” Als je aan leerkrachten van groep drie vraagt waar ze in de reken- en wiskundeles met de kinderen mee bezig zijn, noemen ze meten en meetkunde meestal niet. “Dat onderdeel vinden leerkrachten moeilijk en dan heb ik het niet alleen over de leerkrachten van groep drie. Als ze even in tijdnood komen, slaan ze meetkunde over.” Bij Wat past er in mijn schoenendoos gaan de kinderen voorwerpen vergelijken op basis van lengte, breedte en hoogte. Bij het Schaduwlied worden de kinderen geconfronteerd met schaduw als meetkundig fenomeen. Kool: “Hoe zit het met je schaduw als je onder een lantaarnpaal door loopt, daar kun je het dan met ze over hebben.”

Bij de Stoelendans leren de kinderen ruimtelijke begrippen toe te passen. Aan de orde komen begrippen als eromheen, rechts, andersom, erop en omhoog. Bij Springen komen even en oneven getallen aan bod Kool: “Als ze het niet snappen geeft dat niet, want ze hoeven het niet direct te snappen: Bij deze twee liedjes moeten de kinderen ook in beweging komen.

De tafels
Op het tweede deel van de cd staat alleen de muziek van de liedjes en kunnen de kinderen met elkaar nieuwe sommen of telrijen bedenken. Op de basisschool waar de cd is uitgeprobeerd gebeurde dat vol overgave. Voor leerkrachten die zelf willen musiceren is de bladmuziek van de reken-cd te downloaden via http://www.zwijsen.nl. Van leerkrachten krijgen Kool en Noteboom de vraag om een cd over de tafels te maken. Er is al een cd op de markt waar met housemuziek op de achtergrond de tafels worden opgezegd. Kool: “Wij willen het op een andere manier aanpakken, bijvoorbeeld met vermenigvuldigstrategieën als uitgangspunt. Zoals verwissele als je 5 x 6 weet, weet je 6 x 5 ook. En een keer minder: als je 10 x 8 weet, kun je 9 x snel berekenen.” De tafel-cd, die meer onderwerpen dan vermenigvuldigen zal bevatten, wordt voor groep vier.

Meetlied
Ik wilde wel eens weten:
Hé, hoe lang is onze gang?
Ik heb hem opgemeten.
Hij was dertien stappen lang.

Dat wilde ik noteren,
maar toen zei de meester: ‘Wacht,
laat mij het eens proberen.’
En bij hem was het maar acht!

Schaduwlied

Ik sliep laatst als een roosje
in de schaduw van een boom.
Toen werd het na een poosje
alsmaar warmer in mijn droom.

Het zonnetje daarboven
scheen weer helemaal op mij.
De schaduw was verschoven.
Of deed jij de boom opzij?

Knikkerlied
Alle knikkers willen rollen.
Hoeveel zijn het er deze keer?
Ikke negen, Robin één en samen
is dat tien meneer.

Robin wint het eerste potje.
Robin krijgt er eentje meer.
Ikke acht en Robin twee en
samen is dat tien meneer.

 

Tineke Snel in Het Onderwijsblad *05-04-2003
(Overname met toestemming van de Aob)

 

Rekenen: alle artikelen

 

1226

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – over getallen

.

GETALLEN

Wie een getal onder de tien moet raden, bijvoorbeeld om het ene overgebleven taartje te mogen verschalken, kan het best drie of zeven zeggen. Want dat zijn de getallen die het meest genoemd worden als mensen naar hun lievelingsgetal wordt gevraagd.

Dat er met deze getallen wat aan de hand is, weet zelfs een kind. Want ze figureren veelvuldig in sprookjes en kinderrijmpjes: De drie kleine kleutertjes op een hek, de wolf die zeven geitjes oppeuzelt of de zeven kikkertjes in een boerensloot.

Psychologe drs M. Milikowski promoveert volgende week vrijdag* aan de
Universiteit van Amsterdam op een onderzoek naar de manier waarop mensen omgaan met de getallen één tot en met honderd. Niet alleen vroeg ze proefpersonen naar hun lievelingsgetal en naar de associatie die ze bij een getal hebben, ook onderzocht ze met welke getallen het gemakkelijk rekenen is en met welke moeilijker.

Als schoolkinderen wordt gevraagd hoe lang een trein over één rondje doet als hij er tien in 30 minuten aflegt, dan geven ze snel het juiste antwoord. Maakt de trein echter twaalf rondjes in 84 minuten, dan levert het antwoord heel wat meer hoofdbrekens op.

Milikowski vroeg zich af, of valt te voorspellen welke sommen het gemakkelijkst te maken zijn. Of er in de hersenen een soort opslagmechanisme is waardoor dicht bij elkaar liggende getallen ook veelvuldiger met elkaar worden geassocieerd.
Daarvoor deed ze associatie-experimenten, zoals ook in de taalkunde worden gedaan. Een proefpersoon zegt bijvoorbeeld in meer dan vijftig procent ‘zwart’ als hij ‘wit’ op een beeldscherm te lezen krijgt. Milikowski vroeg haar proefpersonen associaties bij getallen te maken. Hoog – maar nooit boven de 50 procent – scoorden bijvoorbeeld de paren 59-60, 70-7, 9-3, 25-5 en 100-10.

De associaties bleken overigens niet wederkerig. Het aantal mensen dat 3 zegt als het 9 ziet bijvoorbeeld, is bijna twee keer zo groot als zij die de associatie 9 krijgen als ze 3 zien. Ook wordt het cijfer twee onevenredig vaak als associatie genoemd, terwijl het aantal associaties dat men bij twee krijgt, niet boven het gemiddelde uitstijgt.

Milikowski constateert dat er grote verschillen zijn tussen verschillende categorieën van getallen, als ze kijkt naar de frequentie waarin ze in associatie-experimenten worden genoemd. De enkelvoudige getallen, de cijfers 0 tot en met 9, worden veruit het meest genoemd, gevolgd door de tientallen. Daarna komen de getallen die deel uitmaken van de tafels van vermenigvuldiging en tenslotte de getallen die geen deel uitmaken van deze tafels.

Ook bij het onthouden van getallenrijen scoren de eencijferige getallen en de tientallen het best. Verder blijken proefpersonen 59 en 41, gevraagd naar het gevoel dat ze erbij hebben, heel vervelende getallen te vinden en ze worden ook slecht onthouden. Maar de kroon spant 67. Dat moet wel het rotste getal op aarde zijn, want mensen blijken het niet alleen een ‘naar’ getal te vinden, ze weigeren ook het te onthouden als het in een rijtje voorkomt.

Het is misschien een beetje raar om mensen te vragen welk gevoel ze bij een getal krijgen, en Milikowski moest constateren dat een aantal proefpersonen dacht dat ze gek was, maar toch blijken mensen sympathie of antipathie voor bepaalde getallen te hebben. Denk alleen maar aan het getal dertien, waarvan velen menen dat het ongeluk brengt.

Op de schaal ‘goed-slecht’ scoren vooral de even getallen goed (met 10 en 100 als.absolute toppers) en de oneven getallen slecht (met 67 en 53 als slechtste). Verder worden 87 en 83 als ‘zware’ getallen beschouwd en 22 en 4 als ‘lichte’. En 13 en 19 vonden Milikowskis proefpersonen ‘opwindend’; 80 en 82 juist ‘kalm’.

Achteraf kwamen sommige proefpersonen met hele ontboezemingen over wat ze bij diverse getallen voelden. 7 is geen goed getal voor mij, vertelt één van hen. ‘Het is onvriendelijk, net als 11.’

Een ander over het getal 13: ‘Het is een ongeluksgetal. Ik geloof er niet zo in, maar… Het is ook een priemgetal en 13, geen goede leeftijd ook.’

Dat getallen worden geassocieerd met gevoelens uit het dagelijks leven en dat ze een rol spelen in de interpretatie daarvan is ouder dan de weg naar Rome. Bij de Babyloniërs was zeven het aantal delen waaruit alle volkomen dingen bestonden. Er waren zeven hemelen, zeven afdelingen van de onderwereld met zeven poorten.

OOK IN DE BIJBEL speelt zeven, als teken van volmaaktheid, veelvuldig een rol. De Schepping duurde niet voor niets zeven dagen en Joshua moest op de zevende dag, zeven keer om de stad Jericho trekken terwijl zeven priesters op zeven ramshoorns bliezen.

Dertien* geldt als ongeluksgetal: er is geen dertiende rij stoelen in vliegtuigen, vaak missen hotelkamers 13 en in flatgebouwen wil ook nog wel eens de dertiende etage ontbreken. En over het onheil dat ons op vrijdag (de dag waarop Jezus werd gekruisigd) de dertiende kan overkomen, kunnen we beter zwijgen.

Het bijgeloof in het getal 13 hangt in de Westerse wereld samen met het laatste avondmaal van Jezus waaraan dertien personen deelnamen. Judas verlaat als eerste de tafel en zal ook als eerste sterven nadat hij Jezus verraden heeft. Dertien wordt daarom ook wel het Judasgetal genoemd. In Nederland herinneren de gezegden ‘De dertiende man brengt de dood an’ en ‘Dertien aan tafel, morgen één dood’, nog aan die betekenis. In het Midden-Oosten is dertien ook een ongeluksgetal. Het is immers één meer dan twaalf, het getal dat aansluit bij de verdeling van het uitspansel ïn sterrenbeelden.

Tot in de Middeleeuwen was dertien onder Christenen in Europa echter juist een geluksgetal. Het was immers een combinatie van tien (de tien geboden) en drie (de heilige drieëenheid). In de kabbalistiek – waarin op grond van onder meer de getalswaarde van de (Hebreeuwse) letters inzicht wordt gekregen in God en zijn verhouding tot mens en wereld – is dertien ook een geluksgetal. En ook op andere plekken in Joodse geschriften komt dertien naar voren als een getal van verlossing.

De Christelijke leer heeft heel wat getallen een betekenis gegeven. De 1, ondeelbaar, werd het symbool van God, 3 de drieëenheid, 7 en 12 zijn heilige getallen omdat ze de drieëenheid combineren met de vier elementen (water, lucht, aarde, vuur): 3 + 4 en 3 x 4. Het getal 10 staat voor de Christelijke volmaaktheid, terwijl het getal 11 de onmatigheid en de zonde symboliseerde.

De Griekse filosoof Pythagoras (zesde eeuw voor Christus) en zijn volgelingen brachten de getallensymboliek bij uitstek in praktijk. Elke scholier kent de stelling van Pythagoras over de rechthoekige driehoek waarin de lengte van de schuine zijde de wortel is van het de som der kwadraten van de rechte zijden  (c2=a2+b2).

Net zoals deze stelling een belangrijke bouwsteen werd van de meetkunde, hebben andere ideeën van de meester en zijn discipelen religie en literatuur beïnvloed. Voor Pythagoras draaide alles om orde en regelmaat. Hij zou hebben ontdekt dat de intervallen op de muzikale toonschaal zich verhouden als 1:2, 2:3 of 3:4, waarmee de eerste vier gehele getallen uit de wiskunde worden vastgelegd.,

Hij en zijn volgelingen bouwden deze gedachte uit en concludeerden ten slotte dat alles in het universum te meten is met gewone gehele getallen. Zij waren buitengewoon gefascineerd door even en oneven getallen, waarmee ze de wereld indeelden. De oneven getallen behoren tot de rechter zijde en ze hangen samen met de beperking, het mannelijke, rust, eerlijkheid, licht en goedheid en – in meetkudige zin – het vierkant.

De even getallen behoren toe aan de linker zijde; het oneindige (want ze zijn oneindig deelbaar), het vrouwelijke, beweging, oneerlijkheid, donker en kwaad en de rechthoek. Dit contrast tussen even en oneven, tussen het ondeelbare (God) en het oneindige, heeft een belangrijke rol gekregen in het volksgeloof en in theologische speculaties.

Plato bijvoorbeeld, zag in alle even getallen slechte voortekens. In tegenstelling tot de hedendaagse proefpersonen van Milikowski die de even getallen juist als positief waarderen.

Pythagoras introduceerde ook het perfecte getal, waarvan de componenten bij elkaar opgeteld weer het betreffende getal leveren. Zes is het eerste perfecte getal (1+2+3=6) en 28 het volgende (1+2+7 + 14=28). Inmiddels zijn er 23 van zulke perfecte getallen ontdekt. Zes is zelfs een dubbel perfect getal want ook 1 x 2 x 3 levert 6 op.

‘In de structuur van de wiskunde zit iets bovenmenselijks’, verklaart emeritus-hoogleraar wiskunde prof.dr F. van der Blij, de vroege drang van de mens tot getallensymboliek. ‘Het is een manier om de onzekerheid van het leven een zekerheid te geven.’

Van der Blij meent dat veel wiskundigen denken dat de wiskunde een ontdekking is van ideeën. De aantrekkingskracht van wiskunde zit ook in de oneindigheid. Er is altijd een getal te bedenken dat groter of kleiner is. ‘Vroeger geloofde men in de eindigheid der dingen, maar de wiskunde heeft dat denken op z’n kop gezet.’

Over de bijzonderheid van bepaalde getallen, moet wiskundige Van der Blij een beetje lachen. Alle getallen zijn bijzonder, is zijn stelling. Want het eerste getal dat niet bijzonder is, is juist daardoor ook weer speciaal, waardoor het volgende getal het eerste niet-bijzondere getal wordt, enzovoort.

Van der Blij vergelijkt het tellen en het toekennen van getallen aan gebeurtenissen met de eerste grottekeningen van de primitieve mens. Door hun tekening – wellicht gebruikt voor de jacht of in de magie – kregen ze macht over wat ze waarnamen. ‘Ook als je het kunt tellen, heb je er macht over’, stelt Van der Blij.

In veel primitieve culturen – vooral onderzocht aan het eind van de vorige eeuw, begin van deze eeuw – is de bevolking gezegend met drie telwoorden: één, twee, veel. Andere maken bij het tellen combinaties. De Braziliaanse Bakaïri-indianen zeggen tokále als ze één bedoelen en aháge voor twee. Vijf is bij hen
aháge-aháge-tokále.

Het is niet verwonderlijk dat bij veel natuurvolken 5 vaak met ‘hand’, 10 met ‘beide handen’ en 20 met ‘mens’ (inclusief de tenen) wordt aangeduid. De Groenlandse Eskimo zou, volgens de in 1947 gehouden oratie van dr J. Popken tot hoogleraar aan de Univeriteit Utrecht, het getal 53 hebben uitgedrukt als ‘aan de derde man aan de eerste voet drie’, Wat betekent dat men eerst vingers en tenen van twee mannen moet aftellen daarna de vingers van een derde man en vervolgens drie tenen van diens voet.

In de moderne samenleving gebruiken we zonder aarzelen getallen, waarvoor handen en voeten absoluut te kort schieten. Van bijvoorbeeld de lezer van een krantenartikel wordt verwacht dat deze een miljoen, miljard of zelfs biljoen nog kan bevatten.

Onderzoekster Milikowski vraagt zich af of zulke getallen nog wel kunnen worden onthouden. Daarvoor gaat zij, inmiddels werkzaam bij de afdeling publieksstudies van de Universiteit van Amsterdam, onderzoeken hoe getallen het best kunnen worden gepresenteerd aan argeloze krantenlezers.

Heeft het bijvoorbeeld zin om te schrijven dat 1.123.000 Nederlanders de film Schindlers List hebben gezien? Denkt de lezer dan: ‘heel veel’ mensen hebben de film gezien, of rondt hij of zij het aantal kijkers automatisch af op ruim een miljoen? En hoe kunnen getallen het best gepresenteerd worden: cijfers of letters?

Misschien wel het best als symbolen, zoals de Maya’s in Latijns Amerika deden of de Pythagoreeërs met hun geometrische figuren. Want het menselijk brein is nu eenmaal beter in staat om figuren en symbolen te onthouden dan cijfers. Een wereldbol zou kunnen staan voor vijf miljard, een voetbalstadion voor tienduizend. Maar wat moet je dan antwoorden op de vraag: ‘noem-es ’n symbool onder een voetbalstadion?’

Maarten Evenblij, Volkskrant *21-10-1995

.

*Accipicchia, o jee, vrijdag de 17′! Veel Italianen zullen die dag nog eens extra over hun malocchio-hangertje wrijven. Het getal 17 brengt in Italia namelijk ongeluk. Het is niet helemaal duidelijk waarom dit zo is. Een verklaring luidt dat het te maken heeft met de schrijfwijze in Romeinse cijfers. 17 wordt met deze cijfers namelijk als XVII geschreven. In de middeleeuwen, toen Italiaanse volkeren voornamelijk dialect spraken en er veel analfabetisme was, verwarden ze xvii en vixi. Het laatste betekent in het Latijn ‘ik heb geleefd’, en werd veel op graven van overledenen geschreven. Vandaar dus dat het getal 17 in Italia met de dood wordt geassocieerd, en dus vermeden moet worden.

Dat verklaart ook meteen waarom de Renault 17 in Italia R177 heet, en waarom de vliegtuigen van Alitalia geen stoelnummer 17 hebben. Het bijgeloof gaat soms zelfs zo ver dat in sommige straten huisnummer 17 wordt overgeslagen. Nummer 16 wordt dan gevolgd door 16a en daarna komt 18. Zo omzeil je het ongeluk!

(calendria italiana)

.

Milikowski over: discalculie

Rekenen: alle artikelen

 

1225

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Een schoolboekje

.

UIT DE KINDERJAREN VAN HET SCHOOLBOEKJE

In 1836 werd een boekje, het „Nommerkransje”, uitgegeven als een van de eerste pogingen het leren rekenen voor de kinderen aantrekkelijk te maken.

 

 

 

 

 

 

‘Nut en vreugde’ te bieden was het doel van het Nommerkransje, een van de eerste boekjes waaruit de Nederlandse kinderen leerden tellen en rekenen….

 

 

 

 

 

De inhoud van de boekjes uit het begin van de negentiende eeuw varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme: de beschrijving van de drie doodgeschoten haasjes doet óns haast wellusitg aan!

 


Een voorbeeld van het zoetsappig brave: stille Piet waagt zich niet ‘roekloos’op het ijs en de schrijver noemt dat maar een wijze daad!


Het Nommerkransje werd uitgegeven in 1836: in die tijd was het algemeen gebruik dat de kinderen tijdens de maaltijden aan tafel stonden – kijkt U maar ; tien en een is elf’.


Kennelijk was de verjaardag van de koning toen een even groot feest als koninginnedag nu: dankbaar maakte de schrijver gebruik van die feestelijkheden voor een van zijn sommetjes.

 

 

 

Tachtig leerlingen, twee onderwijzers: wat dit betreft is er niet zoveel veranderd in al die jaren…..

Mijn spelen is leren,
mijn leren is spelen,

En waarom zou mij dan
het leren vervelen ?

Het lezen en schrijven|
verschaft mij vermaak.

Mijn hoepel, mijn priktol
verruil ik voor boeken;

Ik wil in mijn prenten
mijn tijdverdrijf zoeken,

’t Is wijsheid, ’t zijn deugden,
naar welke ik haak.\

HET VROLIJK LEEREN.

De regels hierboven schreef Hieronymus van Alphen bijna twee eeuwen geleden in zijn kindergedichtje „Het vrolijk leren”, en daarmee luidde hij voor het Nederlandse kind een tijdperk in waarin het lezen en leren veel aantrekkelijker werden dan voordien het geval was. Van Alphens bundel Proeve van kleine Gedigten voor Kinderen, die in 1778 verscheen bij de weduwe Jan van Terveen te Utrecht, was het eerste Nederlandse kinderboek dat niet uitsluitend ten doel had de kinderen te stichten en iets te leren, maar bovendien enig vermaak en een prettige ontspanning beoogde. Als zodanig was de bundel het begin van de Nederlandse kinderliteratuur.

Bijna alles wat voor die tijd voor kinderen in druk was verschenen, was niet erg op de „lieve kleinen” afgestemd: leerboekjes over de godsdienst, de deugden, het rekenen, spellen en lezen. Hun inhoud was meestal dor, zakelijk en miste de kinderlijke toon. Onder Duitse invloed was Hieronymus van Alphen in ons land de eerste die wél de kinderlijke toon benaderde. Het succes van zijn in 1778 verschenen dichtbundeltje was enorm. In datzelfde jaar beleefde het vier herdrukken, binnen drie jaar elf, en doordat Van Alphens initiatief onmiddellijk navolging vond, ontketende hij daarmee een ware lawine van kinderboeken, waardoor hun aantal in een jaar of vijf van nul tot vele honderden steeg….

In het begin van de vorige eeuw had Nederland al zó’n omvangrijke productie van kinderboeken, dat deze, gerekend naar het aantal titels per jaar, waarschijnlijk weinig voor die van tegenwoordig onderdoet. Het waren in vele gevallen beeldige boekjes, formaat als van een pocketboek of kleiner, voortreffelijk gedrukt en prachtig geïllustreerd met kopergravures of houtsneden.

De inhoud ervan varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme. Op het gebied van ziekten en en dood, sociale toestand en sex, had men nauwelijks geheimen voor kinderen. Vaak werd gewezen op de broosheid van het menselijk bestaan. Als een meisje haar broertje opwekt ook blij te zijn, te dansen, te zingen en springen, antwoordt Pietje:

Neen, al ben ik klein,
Licht kan mij op heden
Nog de dood vertreden.
Zou ik dan zo dartel zijn?

KOSTELIJKE LEER- EN LEESBOEKJES

Het leren lezen en spellen was honderden jaren lang een nogal saaie, moeizame aangelegenheid geweest. Pas tegen het einde de achttiende eeuw kwam daar verandering in toen pioniers Nieuwold en De Perponcher opmerkelijk frisse en aantrekkelijke lees- en leerboekjes publiceerden. Treffend is bijvoorbeeld een dialoog tussen een moeder en kind in Nieuwolds boekje met de veelzeggende titel: Wij zijn kinderen met elkanderen, ik ben er ook bij:

De Moeder. Maar wat doet gij wanneer gij slaapt ?
Het kind. Dan sluit ik mijne oogjes toe.
De Moeder. Hoe sluit gij uwe oogjes toe?
Het kind. Met de oogleden.
De Moeder. Die oogleden zijn evenals kleine gordijntje; dies kan men ophalen, en neder laten vallen.

In onze ogen minder kinderlijk is wat we lezen in Nieuwolds boekje voor de eerste klas van de lagere school:

„Frans-man! Wees hups,
heus en kuis; niet wulps!’

Zeer origineel en raak zijn de schoolboekjes van De Perponcher, waarvan wij hier een bladzijde verkleind weergeven.

Hierbij vergeleken is de bestseller van N. Anslijn, De brave Hendrik, eigenlijk een achteruitgang:

„Kent gij Hendrik niet, die altijd zo beleefd zijnen hoed af neemt als hij voorbijgaat? Vele mensen noemen hem de brave Hendrik, omdat hij zo gehoorzaam is, en omdat hij zich zo vriendelijk jegens ieder gedraagt. Hij doet nooit iemand kwaad. Er zijn wel kinderen die hem niet liefhebben. Ja, maar dat zijn dan ook ondeugende kinderen. Alle brave kinderen zijn gaarne bij Hendrik. Kinderen, die met Hendrik omgaan, worden nog braver, want zij leren van tem, hoe zij handelen moeten ”

Wat ons van die spreekwoordelijk geworden „Brave Hendrik” toch wel weer meevalt, is dat uit het vervolgdeeltje blijkt dat Hendrik ,ene vriendin” heeft: Maria.

Gij kent zeker deze Maria wel. Het is dat meisje, hetwelk altijd zo zindelijk in de kleren is.”

In Gezondheidslessen en -regelen voor de kinderlijke leeftijd,
uitgegeven door de Maatschappij tot Nut van ’t Algemeen, lezen we ter waarschuwing tegen koud drinken:

Een braaf en bevallig meisje, op ene danspartij wat al te veel bezweet geworden zijnde, had de onvoorzichtigheid om, ter lessing van hare dorst, de bierkan aan hare mond te stellen, en met volle teugen daaruit te drinken. Ogenblikkelijk ontwaarde zij daarvan de zo dodelijke uitwerking. Haar gezicht werd verduisterd, haar gelaat opgezet en blauw; ene duizeling greep haar aan, zij viel neder en was binnen enige ogenblikken een lijk!

Datzelfde boekje voor kinderen bevat een hoofdstuk onder de titel „Vlied den wellust” — dermate schokkend realistisch dat vele lezers zouden protesteren als we het in Margriet zouden afdrukken!

HET MOOIE ABC
D kennis van het ABC opent de toegang tot de wereldliteratuur. Wat begon met het ABC-bordje, bestaande uit een plankje of kartonnetje met handvat en daarop een perkament of papierblaadje, tegen slijtage en vuil beschermd door een doorzichtig hoornblaadje en een koperen lijstje, ontwikkelde zich tot ABC~boekjes, die soms openden met de afbeelding van een haan, bijvoorbeeld onder het motto:

’s Morgens de haan
zijn ijver bewijst.

Leert, jonge jeugd,
dat men u ook zo prijst.

Dergelijke „Haneboeken” werden lange tijd bij het onderwijs gebruikt. In de 26ste druk anno 1819 van zo’n haneboek lezen we:

Een kind, dat goed leert,
Niet vloekt en niet zweert,
Dat graag naar school gaat,
Dat niet te veel praat,
Dat tot Gods eer leeft,
Dat naar Zijn wet streeft,
Hem met zijn hart mint,
Dat is een braaf kind.

Betje Wolff noemde dergelijke versjes terecht „dweperachtige zotternijen”. Gelukkig kwamen er ABC-boekjes met pittiger versjes, waarvan het bekendste werd:

A is een aap-je,
dat eet uit zijn poot.

B is de bak-ker,
die bakt voor ons brood.-

Ook voor het leren van de cijfers en de getallen kwam men tot steeds aantrekkelijker boekjes, zoals Niets is nul, waarvan wij hier een aantal pagina’s reproduceren. Grappig is hierin Jans antwoord op Trijns vraag waar hij heen gaat: „’k ga, mijn lieve Trijn, waar vrouwen niet nieuwsgierig zijn”

Vele boekjes met kopergravures werden met de hand gekleurd — met waterverf in grote gezinnen, waarbij de kinderen meehielpen. Tot de fraaiste exemplaren op dit gebied behoort het Nommerkransje door J. F. L. Müller, dat in 1836 werd uitgegeven door Joh. Guykens te Amsterdam — op de bladzijden hiervoor volledig gereproduceerd — waarvan het volgend jaar bij de uitgeverij J. M. Meulenhoff een facsimile-herdruk verschijnt, naar ik hoop tot veler genoegen.

Leonard de Vries, in het weekblad Margriet, nadere gegevens onbekend

.

Schrijven: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.