Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen enz.
voor klas 1 t/m 7

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1175 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

REMEDIAL TEACHING
[1]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

EN VERDER:

burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

spel

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (11)

.

UIT DE EERSTE REKENLESSEN

Door het laten ontstaan van de letters uit beelden [1] komt het schrijven dicht bij het gevoel van de kinderen.
Op soortgelijke manier moeten ook de getallen voor het kind vertrouwde dingen zijn voor hij gaat tellen en rekenen. Dat proces wordt bij elke rekenperiode [2] weer verdiept.
In de eerste klas kun je bijv. vragen: ‘Waarvan is er maar één in de wereld?” (Bijv. Barbara en Ulrich en ieder ander kind in de klas), of twee, of drie, vijf of zeven? Dan vinden de kinderen al gauw de zeven dagen van de week, de zeven kleuren van de regenboog en de zeven tonen en als belangrijkste de zeven raven [3] en de zeven dwergen. Ze kunnen niet ophouden met op te sommen wat er zo al in het dwergenhuis aanwezig is: 7 mesjes en 7 vorkjes, 7 bordjes, bekertjes, stoeltjes, 7 bedjes, kussens, 7 lantaarntjes, 7 hamertjes.

Moeilijker is het wel om te ontdekken dat er ook in hen zelf een zeven zit: op hun 7e kwamen ze allemaal op school.
Zeven jaar was ook Sneeuwwitje toen ze bij de dwergen kwam.
En van klein Hansje, dat alleen het bos introk wordt gezegd: ‘Zeven jaar, klip en klaar, was Hansje in den vreemde (daar).’

En wat verbaasd zijn de kinderen, wanneer ze horen dat ook de maan met de zeven kan rekenen. Iedere zeven dagen verschijnt deze weer in een nieuwe fase. Wij maken nog weleens een rekenfout, de maan verrekent zich nooit! Ook de zon kan rekenen. De zon, hè??? De hele wereld kan rekenen!
De blaadjes van de narcis worden geteld, de zaden van de vruchten. Veel dieren hebben vier poten, koeien zelfs vier magen,( alleen geen vier staarten!)

De hele wereld rekent en wij rekenen ook; dat is de stemming die het rekenonderwijs doortrekt en levend maakt.

Iedere vorm van onderwijs heeft op het kind een andere uitwerking. Het rekenonderwijs kan de kinderen op een gezonde manier aards maken, vooral wanneer het rekenen met de vingers wordt geoefend.. Eerst moeten alle kinderen eens proberen hun vingers te spreiden en ervaren dat in die tien vingers heel het rekenen zit. Hoe onbezield de vingers van veel kinderen nog zijn, vooral bij kinderen die vaak wat buiten zichzelf zijn en het nodig hebben dat zij met hun zielenkrachten dieper in hun lichaam komen. Dan kan het wel moeilijk zijn – maar ook heilzaam – de vingers van iedere hand door een opening tussen twee en drie vingers te verdelen. Er zijn veel oefeningen waaraan de kinderen plezier beleven:
Ze vouwen de handen; dan staan eerst de twee pinken op en zeggen: ‘1 en 1 is 2’; daarbij komen dan de ringvingers: ‘2 en 2 is 4’; dan de middelvingers, enz. De kinderen kunnen, zonder hun vingers krampachtig te spannen, allerlei van zulke symmetrische figuren vormen. In het midden staan de duimen en de wijsvingers, rechts en links de drie andere: 10 = 4 en 3  en 3.

Wanneer ze zo een tijdje zichzelf met hun vingers wat geplaagd hebben en daarbij goed in zichzelf zijn gekomen, zorgt het ritmische tellen en rekenen voor de noodzakelijke afwisseling en ontspanning in de klas.

Kleine ritmische gedichten hadden ze al eerder geleerd, bijv. de eenvoudige jambe: ‘Te paard, te paard, door weer en wind!’ [4]
Wat een verrassing en een plezier als ze nu ontdekken dat in het gedicht de tafel van twee zit. Het rijmpje: ‘Komt een reus, groot en dom'[4] werd ‘een, twee, drie – vier, vijf  zes, enz. Dat wordt met handen en voeten na elkaar geoefend, want de voeten wachten er al een tijdje op ook mee te mogen doen. Maar, wanneer uiteindelijk handen en voeten samen op de mooie drietelsmaat moeten bewegen: oei! Handen en voeten apart ging nog wel, met de handen makkelijker dan met de voeten; maar samen, dan lijkt het erop of sommige kinderen uit twee vreemde delen bestaan.

Wat belangrijk om te weten dat je juist aan het vermogen of onvermogen een beeld voor je hebt van het spel der krachten in de kinderen en ook een  gezondmakend middel de boven- en ondermens harmonisch met elkaar te verbinden.

Zo wordt het rekenen met de ledematen geoefend. Natuurlijk worden de getallen ook sprekend geoefend. Maar hoe anders zijn de kinderen daarmee bezig, wanneer ze daadwerkelijk honderd stappen in de klas gezet hebben. En wanneer de passen dan uit louter ijver steeds luider worden en de kinderen het meteen nog eens willen doen, moeten we snel muisjes zijn en honderd pasjes heel zachtjes zetten. Je kunt ook 50 keer in je handen klappen en eraan ontdekken hoe warm en rood ze worden. Wat zit er een plezier in de ledematen van de kinderen!

Zo bezig zijn neemt de kinderen ongetwijfeld meer mee, dan het telraam of de rekenmachine die doods en af voor het kind staat of ligt en alleen maar de activiteit van het verstand en de ogen vraagt. Het populaire aanschouwelijkheidsonderwijs op alle gebied, het zien en ‘inzien’ behoort enkel tot het hoofd. Daarmee wordt iets intellectualistisch in het kind aangelegd.

Wanneer bij ons met carnaval honderd lampions beschilderd worden, in rijen van tien opgehangen, ontstaat weliswaar hetzelfde beeld als de bolletjes op een telraam, maar het kind heeft ieder gekleurd bolletje wel eerst zelf geschilderd.

Het grootste deel van de rekenlessen bestaat uit oefenen. Bijzonder belangrijk is elke stap die weer naar iets nieuws leidt. Al het nieuwe moet langzaam zo opgebouwd worden dat het kind met heel zijn ziel mee kan doen.

Je hebt bijv. de vier tekens voor de vier rekenoperaties – ze hebben een diepe betekenis en oorsprong.
Gelukkige Hans [5] heeft eerst een klomp goud, toen hij op weg ging; het werd een paard, na een poosje een koe, een varken, een gans, een molensteen en tenslotte had hij niets meer. Het stuk weg werd met een streep getekend, dat is het teken voor het aftrekken: 12  –  4  –  3  –  2  –  2  –  1  =  0.
Vergeet niet te zeggen dat hij gelukkig was, toen hij niets meer had.

Over het deelteken werd aan de kinderen verteld:
Een koningin had 12 dienaren en zij wilde dat er altijd drie samen hetzelfde werk zouden doen. In de zaal stonden twee zuilen, daar moesten zij zo doorheen lopen dat er vier groepen van drie dienaren zouden zijn. Daar werd een beeld bij getekend. En nu zjn de twee zuilen tot twee punten geworden.

Bij het vermenigvuldigen mocht er altijd iemand Nicolaas zijn. Er was een heel diepe zak en het kind moest zich vier maal diep bukken en viermaal drie noten pakken om die aan vier kinderen te geven. Bij het vermenigvuldigen hoort het dat het aan de activiteit ontwikkeld wordt. Je moet vier keer iets doen.

Heel verschillend is de invloed van de aparte rekenbewerkingen op de klas.
Bij het vermenigvuldigen ontstaat er een drukke, plezierige stemming die echter door schatten en vergelijken weer rustiger wordt; nadenkend worden de kinderen bij delen en aftrekken; ietwat saai is het optellen; vrolijk en vindingrijk zijn ze wanneer ze uit een totaalsom verschillende getallen kunnen halen.
Voor het aftrekken en optellen is het aan te bevelen niet al te snel de tien als grensgetal in te voeren. Het rekenen boven de tien geeft meer problemen wanneer je het te vroeg op de voorstelling 10-keer-10 vastpint. Wanneer dat niet is gebeurd, dan rekenen de kinderen zorgeloos boven die grens.

Aan het eind van de eerste klas kan er ‘gekocht en verkocht’ gespeeld worden. Wat een opmerkingen wanneer de winkelier de klant teveel geld teruggeeft of wanneer deze niet merkt dat hij te weinig terugkrijgt. Maar hoe tot tevredenheid stemt het niet, wanneer het rekenen het liefst geleerd wordt door weg te geven.

Er waren in de klas veel paashazen die de eieren vrolijk mochten beschilderen voor hun families met 3 of 4 of 5 kinderen. 12 of 15 eieren hadden ze daarvoor. Daar kwamen nog eens berekeningen uit!

Veel van wat belangrijk is voor de vorming van de mens gebeurt in het rekenonderwijs.

En toch is het precies te merken wanneer het rekenen weer beëindigd moet worden en de kinderen zich weer met veel plezier op het schrijven willen toeleggen en op de eerste heemkunde.

Elisabeth Klein. Erziehungskunst 16e jrg.7 1952

[1] 1e klas schrijven: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas – letterbeelden

[2] Periode-onderwijs

[3] Spelletje De Zeven Raven
Grimm Sprookjes nr. 25

[4] Waarschijnlijk uit Hermien IJzerman (welk?) Bim Bam Belletje

[5] Grimm Sprookjes nr. 83

1e klasrekenen – alle artikelen

1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

1135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (10)

.

Opnieuw een artikel van lang geleden.
Met een mooie kunstzinngie aanpak worden de kinderen vertrouwd gemaakt met de getallen.

Of je de hier meer gekozen ‘hemelse’ ( en (te?) ‘heilige’) kant kiest, of de meer ‘aardse’ is aan jou.
Er zijn een paar ‘gevaren’: Hiërarchische wezens (engelen) en elementairwezens in je onderwijs laten optreden, kan maar zo leiden tot een soort inflatie van deze aspecten van het leven. Bovendien zou het voor jou een beleefbare waarheid moeten zijn om er op een bepaalde manier over te kunnen spreken, anders wordt het een (vrijeschool)maniertje! en dan komt al gauw het tweede gevaar: het wordt antroposofie. En dat hoort als inhoud niet thuis op de vrijeschool. Daarover is Steiner heel duidelijk.
Ik geeft het artikel toch weer omdat het ook mooie voorbeelden geeft om kinderen met de getallenwereld op beeldende manier te laten kennis maken.


Hier en daar heb ik het wat vrijer vertaald.

GETAL EN CIJFER IN HET ONDERWIJS VAN DE 1E KLAS

Getal, maat en gewicht zijn de belangrijkste hulpmiddelen van de huidige natuurwetenschap. Met deze hulpmiddelen zijn de grootste uitvindingen en ontdekkingen van onze tijd gedaan.
Een natuurproces lijkt verklaard, wanneer ik het met het rekenende, metende en wegende verstand toegankelijk kan maken.
Maar het leven verstart, wanneer je het in getal, maat en gewicht alleen wil vangen. Bekijk ik bijv. een lichtstraal of een toon slechts als een golfbeweging van een meetbare lengte, dan heb ik het leven gedood en slechts het lijk voor me. Want alleen de dode dingen kun je tellen, wegen en meten; tegenover het leven schiet de verstarde vorm tekort.
We hebben een vloeistof voor ons en erin opgelost een of ander zout. We kijken naar de oplossing. We ontdekken er niets in van geometrische vorm en gestalte. Nu koelt de vloeistof steeds meer af. Plotseling komen er kristallen tevoorschijn; wonderbaarlijke vormen van een meetkundige, kristalheldere schoonheid. Krachten schieten in de vorm en verstarren tot geometrische beelden. Maar als ze de vorm hebben gekregen, is het leven erin gestorven. Geometrische vorm is verstard leven. Hier zien we duidelijk hoe uit het levende het dode ontstaat.

In de tegenovergestelde richting moeten we gaan, wanneer we kinderen voor ons hebben in een eerste klas. Nu moeten we van het leven uitgaan; van de geestelijke wereld afdalen in de fysieke. Want het kind is met de geestelijke wezens en hun vormkracht nog veel sterker verbonden dan de volwassene; het maakt in zijn ontwikkeling het afdalen van het levende naar het verstarrende pas langzaam door. Vóór de tandenwisseling werkten de vormkrachten aan de vorming van het fysieke lichaam, nu komen ze omgevormd tevoorschijn in de voorstellingsbeelden. Maar deze voorstellingsbeelden zijn doortrokken van beeldende kracht, ze zijn niet af of afgesloten, maar doortrokken van kosmisch leven; ze metamorfoseren voortdurend, de scheppende fantasie leeft zich erin uit, nooit zijn deze beelden dode begrippen, maar ze lichten op in alle kleuren van de ziel – het kind beleeft niet zozeer het gewordene, maar het worden, het groeiende, vomende, daar gaat het helemeaal in op.

Zo kunnen we ons wel voorstellen hoe abstract en doods het is, wanneer we het kind de kant-en-klare getallen en cijfers, de geometrische vormen die af zijn en van het voorstellingsleven van de volwassene komen, voor de geest voeren.
De scheppende kracht van het getal, de zinvolle levendige betekenis, de vormgevende krachten moet het beleven, wil het niet voortijdig ouwelijk worden. We moeten de weg bewandelen van het levendige naar het verstarde, willen we het wezen van het kind recht doen.
En deze weg proberen we in het volgende te gaan; ik zou aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien, hoe ik gepoogd heb uit het leven het gestorvene, uit het wezen van het getal het cijfer te halen.

Vanuit de eenheid is de wereld ontstaan. In de ene God rustte verborgen de schepping voor deze zichtbaar werd. In de schoot van God-Vader ligt de hele kosmos besloten. Zo kun je van de één* uitgaan als de oerbasis van al wat geworden is.
Deze een bevat echter ook de tengenpolen: licht en donker. Goed en kwaad liggen er ook in verborgen. Ze worden zichtbaar wanneer de wereld vanuit de rust in het worden komt. Zo kun je de twee als de polaire tendens aan de kinderen uitleggen. Wanneer de wereld moet ontstaan, dan moet de godheid naast het goede principe ook het kwade zetten, moeten licht en duisternis elkaar tegenwerken, moet de deling in mannelijk en vrouwelijk ontstaan – Maar iedere schepping zou weer verloren gaan wanneer er geen hogere eenheid in de drie zou worden gevonden. Door de drie worden licht en donker samengenomen. Man en vrouw vinden de nieuwe drie-eenheid in het kind. Zo kun je de weg bewandelen van de eenheid als de oergrond van de schepping, door de zondeval in de twee en tot de verlossing door de drie.

Daarom vertelde ik de kinderen in de vorm van een sprookje in grote lijnen het volgende:
‘Er was eens een koning die een zoon had. Boven alles had hij deze zoon lief. Wat van zijn vader was, was van zijn zoon. Hij sliep in een bed van zijde, dronk uit een gouden beker, at van een zilveren bord, speelde met een gouden bal, plukte gouden appels; iedere dag was hij omgeven door muziek en werd er gedanst. Heel erg mooi was de tuin van zijn vader: wonderlijke bloemen bloeiden er, Vanaf de bergen bruisten klaterende stroompjes naar het dal, een milde wind ruiste door de twijgen van de bomen. En wanneer ’s avonds de sterren en de zilveren maan aan de hemel hoger kwamen en het zilveren licht van boven neerdaalde, dan hoorde en verstond de koningszoon het gezang van de sterren die zich in een kring aan de hoge hemel bewogen. Dan zongen de sterren hem toe:

‘Wij samen in het licht
van godes aangezicht,
wij
en jij!’**

(‘wir sind eins in Gottes Ruh –
Wir und du!’)

En wanneer de zon dan opging, bogen aan weerszijden van de weg waarover de koningszoon liep, de bloemen; de dieren kwamen op hem afgesprongen. Bronnetjes murmelden zachtjes naar hem:

‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(om het te laten rijmen heb ik er één bron van gemaakt:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

En de koningszoon hief zegenend zijn handen over dier, plant en steen en voelde zich een met hen en sprak: ‘Altijd zal ik van jullie houden enjullie zegenen en jullie broeder zijn!’
Op een dag riep de vader zijn zoon bij zich en sprak: ‘Nu ben je oud en sterk genoeg. Ga de wereld in en bevrijd de koningsdochter uit de macht van een boze draak.’ Toen sprak de zoon: ‘Ik wil graag daden verrichten, lieve vader, al lang hunker ik daarnaar. Maar ik heb geen zwaard!’- ‘Dit zwaard zul je zelf moeten smeden, ik kan het je niet schenken; maar de dwergen zullen je helpen, wanneer je moedig en sterk bent!’
En de konigszoon vertrok en zocht de koningsdochter, zo ver als de aarde groot was. Maar hij kon haar niet vinden. Toen kwam hij op een dag bij een donkere spelonk; hij ging er moedig in en daalde af in de donkere aarde. Toen zag hij voor zich een flakkerend vuur en daaromheen vele dwergen die aan het werk waren. Die vervaardigden uit goud, zilver en kristal de mooiste sieraden. Toen dacht de koningszoon: ‘Wat moet ik met sieraden, ringen en snuisterijen, ik wil een stevig zwaard smeden!’ Nauwelijks had hij dat gedacht of de dwergen brachten hem een hamer, een aambeeld en het harde ijzer. En de koningszoon smeedde daar in de diepte van de aarde een blinkend zwaard. Toen het klaar was, zwaaide hij het door de lucht en riep: ‘Nu wil ik daden verrichten!’ En hij trok verder, tot hij op een dag bij een hoge berg kwam; bovenop de berg stond een prachtig slot. De koningszoon beklom de berg en wilde door de poort naar binnengaan, toen een wilde draak hem tegemoet kwam. De draak blies vuur en vlammen uit zijn muil, maar de koningszoon zwaaide moedig met zijn zwaard en doodde de draak. Toen liep hij naar de deur van het slot en toen hij die wilde openen, sprong deze vanzelf open en een schone jonkvrouw schreed erdoor. Haar haar hing als een gouden stroom over haar schouder tot op de grond; haar ogen straalden als lichtende sterren. De jonkvrouw sprak: ‘Je hebt me bevrijd uit de macht van de draak! Welkom, jij held!’ En zij reikte hem haar hand en toen hoorden ze in het slot een meerstemmig gezang klinken:

‘Ga met haar aan je zijde,
Gij die de aarde (van hekserij) bevrijdde!’

(‘so schreitet zu zweit,
und grüsset die Erde,
vom Zauber befreit!’

Zo vond de koningszoon in de koningsdochter de heilige twee. En hij nam haar bij de hand en leidde haar het slot binnen en hij werd aan haar zijde koning over het hele land.”

Voorlopig vertelde ik tot hier het sprookje. De kinderen hadden het wezen van de twee eerste getallen in hun beleving opgenomen: de een als eenheid van de hele kosmos; de twee als ontmoeting van de koningszoon met de koningsdochter. Nu moest uit deze wezenlijke beleving het meetkundige beeld en ten slotte het cijfer worden gehaald. Want ik had me voorgenomen, de zuiver meetkundige vormen en de cijfers samen te nemen.

Het geometrische beeld van de eenheid is de cirkel. De cirkel is de grootste harmonie, de rust in god. De koningszoon staat in het midden. De kinderen beeldden dit beeld van de een uit. Eén kind stond in het midden als koningszoon, in de kring eromheen de andere kinderen als koor van sterren. Zij reciteerden:

Koningszoon:
Sterren bewegen zich in kringen
helder klinkt hun hemels zingen:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Sterne schwingen sich im Kreise,
hell erklingt des Weltalls Weise`:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Het koor van de sterren veranderde in een rij van bloemen en dieren, die vragend hun handen hieven:

Koningszoon:
Bloemen neigen zich ter aarde
En de deren: elk gebaarde:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Blumen neigen sich zur Erde,
Tiere flehn in Bittgebärde:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Gelijkertijd kwam er uit het beeld van de kijkende koningszoon in de kring de Romeinse I en uit het beeld van de zegenende koningszoon het Arabische cijfer 1:

rekenen-14

 

In de ontmoeting van de koningszoon en de koningsdochter  ontstaat de II. Ook deze ontmoeting werd gespeeld. Twee kinderen vormden de poort waaruit de koningsdochter de koningszoon tegemoet kwam. Daarbij werd gereciteerd:

Koningszoon:
Ik heb je verlost,
met het blinkende zwaard
de draak geveld!

Koningsdochter:
Welkom, jij held!’

(Ich hab dich erlöst,
met dem blitzendem Schwert
den Drachen gefällt!
Willkommen, du Held!’)

Ze geven elkaar de hand en spreken:

Hier  lopen wij bei(de)
en groeten je, aarde,
bevrijd van tovenarij!’

Wir schreiten zu zweit,
und grüssen dich, Erde,
vom Zauber befreit!’

rekenen-14-1

 De Arabische 2 ontbreekt in het artikel

 

Nu ligt het voor de hand, gezien het voorafgaande, dat ik de beleving van de drie aan de kinderen ook met het vervolg van dit sprookje zou brengen door het koningskind dat de beide ouders als geschenk kregen. Maar het leek me raadzamer ook nog van een andere kant het wezen van de drie de kinderen voor de geest te voeren. Je kunt de drie ook als een eenheid van denken, voelen en willen beschouwen en juist de eenheid van deze drie wilde ik de kinderen meegeven, dat leek me pedagogisch werkzaam te kunnen zijn. Ik vertelde daarom een verhaal, waarin ieder kind zichzelf zou kunnen herkennen.

‘Er was eens een bouwmeester die drie zonen had; maar wat waren deze drie verschillend! De eerste was altijd stil en in gedachten verzonken. Als hij eens ging wandelen, merkte hij bijna niets op van het moois van de bloemen of van de kracht van een storm; zijn blik en zijn hoofd waren naar beneden gericht – en hij dacht maar -. De tweede was heel anders. Die stormde bijna iedere dag naar buiten, de wei of de velden in; geen boom was hem te hoog, geen berg te steil, geen water te diep – hij wilde de wereld veroveren en daden verrichten. De derde zoon echter liep altijd vrolijk door de wereld en nam alles in zich op. Hij werd heel blij wanneer hij de vogels in de lucht hoorde, wanneer hij de bloemen op de wind zag wiegen, wanneer hij van de hoge berg in het dal keek. Wat was de wereld voor hem toch mooi!
Op een dag riep de vader zijn drie zonen bij zich en sprak: Jullie zijn nu wel oud genoeg en jullie hebben genoeg bij mij geleerd. Bouw nu maar eens een huis voor jezelf. We zullen eens kijken wie dat het beste voor elkaar krijgt!’
Toen ging de oudste zoon naar zijn kamertje, nam potlood en paier en begon te tekenen. En hij rekende en rekende en maakte een plan hoe hij zijn huis zou bouwen. Maar nauwelijks had hij zijn plan klaar of het beviel hem toch niet helemaal. Hij scheurde zijn tekening doormidden en begon opnieuw. En zo maakte hij vele plannen. Geen enkele beviel hem. De dagen gingen voorbij en hij was nog niet met het werk begonnen.
De tweede zoon echter spande de paarden voor de wagen en hij haalde stukken rots en stenen met een ongebreidelde werlust. Hij stapelde ze op elkaar en het ging hem niet snel genoeg. Wat gaf het dat de muren wat scheef stonden en de ramen niet recht en het dak te spits werd. Hoofdzaak was toch, dat het werk klaar kwam.
De derde zoon ging ook aan het werk. Zijn huis moest er mooi uitzien zoals een mooi volgroeide boom. Aan weerszijden van de poort stonden zuilen, er lag een grote tuin voor de ingang, de kamers werden met mooie kleuren opgeluisterd, de ramen moesten hoog en licht zijn. Wat kon het hem schelen of de muren vast en stevig stonden. De hoofdzaak was toch dat ze er prachtig uitzagen met vrolijke kleuren. Hij maakte zich geen zorgen dat zijn huis niet op een stevig fundament stond. Als het er maar mooi uit zag.
Na een jaar ging de vader eens kijken wat zijn zonen zoal gebouwd hadden. ‘Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de oudste. Die haalde zijn papieren en liet  hem zien wat hij getekend had. ‘Dat is zeker allemaal heel mooi’, sprak de vader, ‘maar wat heb ik aan een huis dat ik niet bewonen kan en waarin ik niet naar binnen kan? Dat alleen maar op papier staat?! –
Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de tweede. Die bracht hem naar het voltooide bouwwerk. De muren stonden weliswaar stevig, maar scheef, de deur was te smal, de ramen niet recht, het dak hing er zwaar boven. ‘Het was beter geweest’, sprak de vader, ‘als je langzamer te werk zou zijn gegaan en met meer overleg. Je bent te roekeloos met je kracht. – Nu wil ik jouw huis nog zien’, sprak de vader tot de derde.
En nu liepen ze naar het huis van de derde zoon: de muren glommen je in het zonlicht tegemoet; de ramen waren helder en hoog, de tuin mooi en groot en de kamers vrolijk geschilderd. Toen sprak de vader: ‘Je huis is mooi, maar wie verzekert mij dat een windstoot de zwakke muren niet omverblaast, de ramen breken en het dak instort? Wat heb je aan schoonheid, wanneer het de storm niet doorstaan kan!’
Alle drie de zonen zagen dat geen van hun huizen het oordeel van hun vader kon doorstaan en zij keken elkaar aan en zeiden tegen elkaar: ‘Wat zijn wij een dwazen! Ieder van ons apart kan zo’n werk niet aan. Kom op, laten we het samen bouwen!’
En samen gingen ze aan het werk en bouwden een huis. De oudste rekende en tekende, de tweede haalde de stenen en bouwde het sterke fundament en stevige muren volgens het plan van zijn oudste broer en de de derde zorgde ervoor dat het allemaal mooi werd. En toen ze het werk klaar hadden, straalde dat de kracht uit van een in drieën verdeelde eensgezindheid.’

Zo beleefden de kinderen de kwaliteiten van de drie zielenkrachten denken, voelen en willen en tegelijkertijd deze drie-eenheid in zichzelf. Toen pas konden ze de driehoek als geometrisch beeld voor deze drie-eenheid begrijpen.

rekenen-14-2

En dat laten ons de Romeinse en het Arabische cijfer zien.

Nu konden we ook zonder meer een spreuk van Dr.Rudolf Steiner leren:

In het hart weeft het voelen.
In het hoofd straalt het denken
In de leden werkt het willen.
Wevend in ’t stralen,
werkend in ’t weven,
stralend in ’t werken:
dat is de mens. [1]

In den Herzen webet Fühlen,
In dem Haupte Ieuchtet Denken
In den Gliedem kraftet Wollen.
Webendes Leuchten,
Kraftendes Weben,
Leucbtendes Kraften —
das ist der Mensch!

Met de vier komen we bij de vormgevende krachten, want door de vier ontstaat de zichtbare schepping. Alles wat op aarde vorm en gestalte heeft, wordt door de vier, de kracht van de vier elementen gevormd. In het vuur, in het water, in de lucht en op de aarde worden deze 4 etherische vormkrachten zichtbaar. In deze krachten doen zich de vier elementairrijken gelden, waarvan Goethe zegt, wanneer hij Faust Mefisto door de volgende spreuk laat zweren:

Eerst, ter bezwering dier dieren,
Gebruik ‘k de spreuk van vieren:
Salamander moet gloeien,
Undine zich winden,
Sylphe verzwinden,
Kobold moet broeien.
Wie geen bekende is
met de bende,
Hunne kracht
En toovermacht,
Hoede zich ’t meeste
Voor alle geesten.
Ga vlammend henen,
Salamander!
Vloei gij ruischend ineenen,
Undine!
Moogt ge in meteoorlicht dienen,
Sylphide!
Wil ’t huis hulpe bieden,
Incubus! Incubus!
Kom te voorschijn en sluit de lus.
Geen één van dezen
Steekt in het wezen.
Het ligt heel rustig
en grijnst mij aan,
Ik heb het nog geen pijn gedaan.
Ik zal u keeren,
Sterker bezweren. [2]

En pas voor het symbool van het kruis wordt het ware wezen van Mefisto duidelijk.

Faust:
Erst zu begegnen dem Tiere,
brauch ich den Spruch der Viere:
Salamander soll glühen,
Undene sich winden,
Sylphe verschwinden,
Kobold sich mühen.
Wer sie nicht kennte
Die Elemente,
Ihre Kraft
Und Eigenschaft,
Wäre kein Meister
Über die Geister.
      Verschwind in Flammen,
Salamander!
Rauschend fließe zusammen,
Undene!
Leucht in Meteoren –Schöne,
Sylphe!
Bring häusliche Hülfe,
Incubus! Incubus!
Tritt hervor und mache den Schluß!
Keines der Viere
Steckt in dem Tiere.
Es liegt ganz ruhig und grinst mich an;
Ich hab ihm noch nicht weh getan.
Du sollst mich hören
Stärker beschwören.

Hier noemt Goethe de vier elementairwezens met name:

Salamander      –    vuur
Undine              –    water
Silfe                   –    lucht
kobold              –    aarde

Ook voor mijn kinderen waren deze elementairwezens niet vreemd meer. Uit de sprookjes wisten ze, dat zich in het water de nimfen, in de lucht de elfen, onder de aarde de dwergen en in het vuur de reuzen actief zijn.

Het geometrische beeld van de vier is het vierkant dat ons de vier elementairwezens toont in een gemeenschappelijke activiteit. Dit vierkant is tegelijk een beeld voor de vier natuurrijken: steen, plant, dier en mens, voor zover het over de zichtbare schepping gaat. Het is echter ook het beeld van het lagere mensenwezen dat zichtbaar is als fysiek lichaam, ether- en astraallijf en Ik-wezen. We kunnen echter ook de vier jaargetijden en vooral de vier windstreken betrekken op de vier elementenrijken. Vanuit het noorden werkt het licht; vanuit het zuiden het vuur, vanuit het oosten de aarde en vanuit het westen het water.

rekenen-14-3

 

Maar ook het fysieke lichaam van de mens staat onder invloed van deze elementaire wereld. En bijzonder intensief werken deze krachten aan de vorming van het fysieke lichaam, wanneer de mens nog klein en zwak is, wanneer hij nog niet voor zichzelf kan zorgen, wanneer het nog in de wieg ligt en hogere wezens, engelen en elementairwezens beschermend voor hem zorgen.

Toen vertelde ik de kinderen een klein verhaal waarin na elkaar de vier elementen bij de wieg van het koningskind kwamen: uit het noorden kwam de gele engel van het licht, vanuit het zuiden de rode engel van het vuur, vanuit het westen de blauwe engel van het water en van het oosten de violette engel van de aarde en zij brengen voor het koningskind hun geschenken mee.
De kinderen schilderden dit beeld en boetseerden het en uit de opstelling van de 4 engelen ontstond het vierkant. Tegelijk leerden de kinderen een spreuk die de kenmerken van deze 4 wezens samenvat:

in het vuur laait op,
in het licht leeft,
in het water beweegt,
in de stenen werkt
de eeuwige scheppingskracht van de Vader

Im Feuer loht,
Im Lichte lebt,
Im Wasser webt,
Im Steine schafft
des Vaters ewige Schöpferkraft!

Ze vonden het heel leuk hoe dan het beeld van het Arabische cijfer 4 uit de 4 elementen tevoorschijn kwam:

rekenen-14-4

 

 

 

In de vijf komt het leven zelf tot uiting, hier wordt het rijk van het organische zichtbaar. Het getal 5 is de verbinding van de tegenstellingen, van 2 ‘even’  en 3 ‘oneven’, het vrouwelijke en mannelijke principe, waaruit alleen het leven ontstaat. Daarom vinden we dit getal waar het eigenlijke leven tot uitdrukking komt; we vinden het in de plantenwereld, zeer zeker in het rijk van het organische. Overal waar vanuit het irrationele  vorm verschijnt. Het geometrische symbool is het gelijkzijdige pentagram dat in zijn vorm vijfmaal de gulden snede belichaamt. De gulden snede is nauw verwant met het getal √5. Slechts met behulp van de gulden snede kan weer een regelmatige vijfhoek in een cirkel en het pentagram geconstrueerd worden. We zien hier dus de onmiddellijke rekenkundige samenhang tussen het geometrische symbool, het pentagram en het cijfer 5. Vanuit het irrationele uit de gulden snede – ontstaat het heilige pentagram.
We vinden dus, zoals al gezegd, de gulden snede en het pentagram overal waar vanuit het irrationele de organische vorm opbloeit. We vinden de gulden snede uitgedrukt in het menselijke lichaam zelf, in de verhoudingen van de ledematen t.o.v. elkaar, bijv. in de verhouding van de borst tot een gestrekte arm; de voet is door de bal van de voet in een kleiner en groter deel gescheiden. We vinden hem bij de bladverdeling van de plant en de stengel. We vinden hem ook in kunstwerken die ontsproten zijn aan de menselijke geest. De volmaakste kunstvormen van de klassieke oudheid – de tempelbouw en de beelden – zijn geheel doordrongen van de beleving van de gulden snede. De scheppende hand van de kunstenaar volgt hier de organisch aangeboren oerkracht van de Logos.
Het pentagram zelf echter beheerst de plantenwereld. Je hoeft maar naar de vele vijfbladige bloemkronen en het vruchtbeginsel van appel en peer te kijken om te zien hoe prachtig daarin het gelijkzijdige pentagram, het nieuwe leven omvattend, gebouwd is. Iedere roos, iedere appelboom leert ons hetzelfde. Ook zij vertonen in hun bloem het gevormde pentagram. Vandaar dat de roos voor de Rozenkruisers een zo heilig symbool was. Voor de niet-ingewijde verhult zij dit diepe scheppingsgeheim, en maakt het gelijktijdig zichtbaar aan de ingewijde. – Maar ook het menselijk lichaam vertoont het pentagram: wanneer de mens loodrecht op twee voeten staat en naar boven kijkt, de geest als het hoogste beschouwend, de materie onder zich, staat en kijkt hij goed, d.w.z. hij leeft in overeenstemming met de wetten van de kosmos. Wanneer de punt naar beneden staat, staat de mens op zijn kop en neemt hij de materie als het hoogste goed; dan kijkt hij verkeerd.

De kinderen kan je op verschillende manieren met de vijf vertrouwd maken.
Ik vertelde hun o.a. het volgend kleine verhaal, dat ik hier in grote trekken weer zou willen geven:

‘Toen het koningskind zeven jaar oud was, liep het op een zomerdag met zijn moeder door de bloeiende tuin. De moeder bracht hem bij een bloeiende roos en liet hem de kelk zien. Toen zag het kind dat de bloemblaadjes op een heel wonderbaarlijke manier geordend waren. Toen zei de moeder tot het koningskind: ‘Ga eens met je beide voeten op de grond staan en strek je handen eens uit. Dan reik je je hoofd naar de lichte zon, met je handen zou je, wanneer je ze heel lang denkt, de sterren kunnen grijpen, met je voeten sta je zo stevig op de grond en verder naar beneden, tot in de diepte van de aarde. En kijk nu eens hoe je nu staat, dat ziet er zo uit!’ De moeder nam een stok en tekende in het zand het beeld van de mens en sprak:
‘Dit is het heilige pentagram. Je vindt het in de bloem van de roos en in je eigen lijf. Kijk er met eerbied naar, dan zal het al zijn geheimen aan je openbaren!’

We schilderden het koningskind, zoals het in de tuin staat en dan het pentagram:

rekenen-14-5

 

 

Het geometrische beeld van de zes  is het hexagram, de beide driehoeken die zich tegengesteld aan elkaar doordringen. Het hexagram geldt sinds onheugelijke tijden als het symbool van de macrokosmos: de fysieke wereld wordt doordrongen vanuit de geestelijke, dalend en stijgend gaan de hemelse krachten, zoals Goethe in zijn Faust dit onder het teken van de macrokosmos brengt:

Hoe alles toch te zamen streeft,
Het een in ’t ander schept en leeft,
Hoe hemelkrachten op en neder strijken,
Elkaar de gouden emmers reiken!
En met zegenrijke vlerken
Vanuit den hemel de aard bewerken, ‘
t Heelal tot één akkoord versterken!  [3]

Wie alles sich zum Ganzen webt,
Eins in dem andern wirkt und lebt!
Wie Himmelskräfte auf und nieder steigen
Und sich die goldnen Eimer reichen!
Mit segenduftenden Schwingen
Vom Himmel durch die Erde dringen,
Harmonisch all das All durchklingen!

In vergelijking met het pentagram heeft de zesster iets onveranderlijk-regelmatigs, je kunt hem makkelijk construeren, wanneer je de straal van de cirkel zes maal op de omtrek afzet. Dus is het niet verwonderlijk, wanneer we het hexagram in de natuur terugvinden als sneeuwster: water verdampt, stijgt op en valt uit de hemel weer op de aarde als kristalvorm, als eerste aanzet tot verstard leven. De vorm van de sneeuwster kan ons duidelijk maken, dat hemel en aarde elkaar doordringen en in deze doordringing verstard zijn.

Ook de Ster van Bethlehem is het hexagram, ook hij leert ons, dat in de geboorte van Christus hemel en aarde elkaar doordringen.
Zo heb ik dan ook de kinderen tot beleving gebracht de winter, van de beleving van de uit eeuwige hoogten neerdwarrelende sneeuwsterren, tot de beleving van de Ster van Bethlehem.
En tegelijkertijd konden we beleven dat het Arabische cijfer 6 ons hetzelfde kan leren.
Je kan de zes als een spiraal aan de kinderen geven die zich naarbinnen draait: ‘Blik in je!’ en dan weer naar buiten: ‘Kijk om je heen!’ Het fysieke beeld is het slakkenhuis en graag kruipen ze met de slak in het huisje en komen met de slak weer naar buiten:

rekenen-14-6

 

 

Is de 6 het teken van de macrokosmos en laat ze in haar geometrische vorm zien hoe hemel en aarde elkaar doordringen, zo staat de 7 in een bijzondere verhouding tot de mens. Je hoeft er alleen maar aan te denken, dat met 7 maanden het menselijk embryo levensvatbaar is, dat met iedere cyclus van 7 jaar ongeveer een nieuwe fase van ontwikkeling van de mens begint.
Maar ook de regenboog heeft 7 kleuren als teken van het verbond tussen god en de mens; de week heeft 7 dagen, er zijn 7 planeten, 7 vocalen begeleiden de planetenreeks.
Wanneer je een kind op een simpele manier op deze samenhangen wijst, voelt het de ongelooflijke belangrijkheid van het getal 7 voor de menselijke ontwikkeling
Hij weet al uit de sprookjes dat daarin het getal 7 een belangrijke rol speelt. Met deze eerbied voor het getal 7 zal het kind ook het oeroude geometrische symbool van de 7 bijzonder vinden, zoals dit in het bijzonder in de pythagoreïsche school werd geleerd. Dit symbool is het vierkant met daarboven de driehoek!
De goddelijke hogere drie-eenheid daalt af in de fysieke vierledige mens. Het kind zal dan later, wanneer het de 7 vragen van het Onzevader hoort, de diepe samenhang van dit gebed met het volledige menszijn inzien.

rekenen-14-7

En zoals het heilig licht zich zevenvoudig weerspeigelt in de heldere kleuren, zo zal eens, wanneer de mensheidsontwikkeling afgesloten is, de mens voor ons staan, zoals Christian Morgenstern het ons openbaart:

(ik wacht nog op de vertaling van dit stukje uit ‘Wir fanden ein Pfad’ uitgegeven bij Christofoor – ik heb het zelf niet)

Die Sonne will sich sieben Male spiegeln
in allen unsern sieben Leibesgliedern,
dass sie ihr siebenmal ihr Bild erwidern –
die sonne will uns siebenmal entsiegeln!

.

Dr.Franz Brumberg, Erziehungskunst jrg.4 nr. 1/2-1930

.

[1] In Rudolf Steiner: ‘Gedichtem spreuken, meditaties’ uitg. Christofoor
[2] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 1270-1295)
[3] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 448-453)

*Als we in de klas zeggen dat één het grootste getal is, is dat voor veel kinderen verwarrend. Eenheid kent dat bezwaar niet.
**ik heb hier vrij vertaald om een indruk te geven

Wanneer je de getallen verbindt met meetkundige figuren, kun je de 1e-klaskinderen wijzen op de 6e klas. Geef je in de 6e klas meetkunde en je hebt in de 1e deze figuren gebruikt, kun je ernaar terugwijzen.

1e klas – rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld 1e klas: alle beelden

 

1125

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (9)

.
Onderstaand artikel is een van de eerste na Rudolf Steiners dood in 1925 dat een leerkracht aan de vrijeschool te Stuttgart schreef over het rekenonderwijs in de 1e klas.
Hoewel het dus een kleine 90 jaar! oud is, had het ook vandaag geschreven kunnen zijn, want aan inhoud heeft het nauwelijks iets ingeboet.

Voor de leesbaarheid heb ik hier en daar een kopje aangebracht en het voorzien van noten en een enkele persoonlijke opmerking.

het eerste rekenen

Voor Dr. Rudolf Steiner was het opvoedingsvraagstuk allereerst een leerkrachtenvraagstuk. Voorwaarde voor een adequate opvoeding van de leerlingen was voor hem de zelfopvoeding van de leraar wat betrreft het vermogen om fantasievol te zijn, waarachtig te zijn en moreel verantwoordelijk. In een onderwijs waarin deze geestelijke aspecten aanwezig zijn, zullen die krachten waarover de leraar dan beschikt ook aan de leerlingen worden doorgegeven wat betreft behoefte aan fantasie, waarheidszin en verantwoordelijkheidsgevoel.
Dat geldt voor het onderwijs in het algemeen als ook voor ieder vak.
Omdat de lesstof door de persoonlijkheid van de leraar in wie deze stemming leeft aan de kinderen wordt overgebracht, bereiken deze krachten onwillekeurig ook de ziel van de kinderen en wel door de bepaalde kleuring die de leerkracht eraan geeft, zoals het licht van de zon wanneer dat door een prisma schijnt.
En nog meer worden in de kinderen deze zielenkrachten versterkt, wanneer de leerkracht in ieder vak bewust bezig is deze te verzorgen. Zelfs in het rekenen, dat toch met de abstracte, nuchtere getallen van doen heeft, waar de kinderziel niet zo snel een verbinding mee heeft, krijgt de interesse een hoge morele betekenis wanneer de leerkracht zich van deze eisen rekenschap geeft. Voor het rekenonderwijs zal dit in het volgende stukje worden getoond.

In zijn boek ‘Het rekenen in het licht van de antroposofie’ [1] maakt Ernst Bindel, die hier op een zeer verdienstelijke manier de aanwijzingen en opdrachten van Rudolf Steiner op het gebied van rekenen en van de getallen verwerkt heeft, er op attent, dat, gekeken naar de pedagogische vorming van de aparte lesstof,  wat het rekenen betreft, zeer veel wordt overgelaten aan de initiatieven van de leerkracht en wat deze zoal aan fantasievolle vondsten doet. Hoe meer hij zijn fanatasie ontwikkeld heeft, des te beter zal hij erin slagen, de behoefte aan fantasie van de kinderen te bevredigen.

Bijna vanzelf kan een onderwijs dat daar rekening mee houdt, de kleintjes via omwegen bij het rekenen brengen. Je knoopt aan bij het beleven van het eigen lijf, wanneer je ze de tien laat beleven aan hun vingers, d.w.z. wanneer ze in het begin met behulp van hun tien vingers binnen deze kleine getalsruimte, mogen rekenen. Weldra kun je tot de twaalf overgaan, die nu eenmaal meer mogelijkheden kent dan de tien. En aangezien ook de twintig met behulp van de tenen – vooral wanneer in de zomer de kinderen blote voeten hebben – aan het eigen lichaam ervaren kan worden, is het heel vanzelfsprekend de eerste tijd tussen de 1 en de 20 te blijven, maar wel met alle rekenoperaties, tot de kinderen zich daarin vrij kunnen bewegen.

Steeds heb ik in het begin iets gezocht wat dicht bij de kinderen staat. Na de vingers ben ik al gauw overgegaan tot andere dingen, knikkers [2], hazelnoten enz., dingen die verdeeld kunnen worden. Op een keer – het was in de kersentijd [3] – kon ik meemaken hoe heerlijk ze het vonden met deze gewaardeerde vruchten te rekenen.

‘Voor ieder van jullie,’ zei ik, ‘heb ik vanmorgen een kers meegebracht. Laten we eerst maar eens kijken of er genoeg in dit mandje zitten, zodat ieder van jullie er een kan krijgen.’
Een kind mocht nu de kinderen tellen, een ander het aantal kersen. Ze telden allebei tot 36. Omdat door de opstelling in mijn klas er drie gelijke groepen van elk twaalf kinderen waren, was het voor hen heel aanschouweliljk dat die 36 te verdelen kersen, net zoals de 36 kinderen in drie maal twaalf konden. Hun tot zover duidelijke oplettendheid werd met een kers beloond. Nadat de kinderen door deze verdeling hadden begrepen, dat je van 36 kersen drie hoopjes van elk twaalf  kan maken, dat dus in de 36 het getal 12 precies driemaal zit, kon ik hen ook laten zien, dat er ook andere verdelingen mogelijk zijn. Daarvoor had ik geen kersen meer nodig. Ik kon ertoe overgaan kleurige sterretjes op het bord te tekenen, in rijen verdeeld en met kleur zodat door de kleur de gelijke groepjes zichtbaar werden.
Bij 36 sterretjes kwam er een rij van 18 witte en 18 rode; daaronder een tweede rij van 12 witte, 12 rode en 12 gele; daaronder 9 witte, 9 rode, 9 gele, 9 groene; daaronder 6 witte, 6 rode, 6 gele, 6 groene, 6 violette, 6 blauwe. De groepjes werden steeds kleiner. Bij 9  x  4  groepjes kregen we negen verschillende kleuren, bij de 18  x  2  groepjes eigenlijk 18 kleuren, maar we behielpen ons zo, dat we steeds 2 witte en 2 rode sterretjes afwisselden.

Om nog op een andere manier de fantasie aan te spreken, zette ik binnen een grote cirkel, rond een als zon gedacht middelpunt, 36 sterretjes, zodanig dat deze drie concentrische cirkels vormden, waarvan de kleinste er 8, de middelste er 12, en de grootste er 16 hadden en iedere cirkel een andere kleur. Zo konden de kinderen ervaren dat 16  +  12  +  8  eveneens 36 zijn. Door andere tekeningen bleek dan dat 36 ook uiteengelegd kan worden in 6  +  13  +  17 of  7  +  11  +  18  of in  6  +  8  +  10  +  12.
De kinderen tekenen ook dergelijke figuren met kleurpotloden op het papier. Ze vinden het heel plezierig dat ze niet alleen kunnen tekenen als het om het tekenen gaat, maar ook bij het rekenen. De kleurige beelden die daarbij ontstaan, bijv. door het kunstzinnig ordenen van sterretjes, bloempjes, kaarsjes enz. zijn een grote hulp om het begrip van kinderen voor het rekenen te ontwikkelen.

Om bijv. te laten zien, dat 20 = 2  x  10,  4  x  5,  5  x  4  of  10  x  2  is, tekende ik 20 kaarsjes, dus gele streepjes met een rood vlammetje, naast elkaar op het bord. Met andere kleuren markeerde ik de verdelingen die we noemden en tekende ik de daarbij horende verbindingsboogjes, dus 2 violette vanuit het midden, 4 blauwe, 5 rode, 10 groene. Zo ontstond er een vrolijk, bont gekleurd beeld. Op soortelijke manier kon ik in beeld laten zien, dat 30 =  2  x  15,  5  x  6  en  15  x 2. Je kunt de voorbeelden naar believen uitbreiden en tekenend variëren.

VANUIT HET GEHEEL NAAR DE DELEN
Als een belangrijk pedagogisch aspect leerde Rudolf Steiner ons, het optellen in het begin zo te oefenen dat daarbij van de som (de totaliteit) wordt uitgegaan die dan in verschillende gelijke of ongelijke delen wordt verdeeld. Dus niet van de optelgetallen gaan we uit, maar van de som als geheel; niet  5  +  5, dat altijd 10 blijft, maar 10 =  3  +  7;  4  +  6  enz. Dat is voor de fantasie van de kinderen stimulerender. Het blijft in zijn denken beweeglijker, omdat het een rijkdom aan mogelijkheden tot zijn beschikking heeft, waaruit het vrij kan kiezen.

moraliteit
Maar het heeft ook een morele betekenis, eerst het optellen op deze manier te leren. Het is niet zonder betekenis wanneer we het kind leren waarde op waarde te stapelen, waarbij het zich kan indenken: zoveel, ik zou nog meer willen hebben – of wanneer we het een totaliteit, een optelsom van dingen geven die het onder zijn vrienjes kan verdelen. In het eerste geval voed je op tot hebzucht, in het tweede tot vrijgevigheid. Wanneer de kinderen als ze op deze manier leren optellen, ook meteen een gevoel voor delen krijgen, is dat natuurlijk helemaal niet erg. Dr. Steiner wilde dat alle vier de rekenbewerkingen tegelijkertijd aan de orde zouden komen en bijna tegelijkertijd zouden worden geoefend. Dit is economischer dan wanneer je te lang bij de aparte rekenoperaties blijft hangen.

Een vertrouwde verhouding tot de getallen krijgen de kinderen, wanneer je ze vaak hardop laat tellen en daarbij ritmisch in de handen laat klappen of met de voeten laat stampen, bijv. 1,2;  1,2;   1,2,3;  1,2,3;  1,2,3,4; 1,2,3,4;  1,2,3,4,5 enz. of 1,2,3,4,5,6;7,8,enz. of in een ander ritme.

Het kind moet goed kunnen tellen voor het leert rekenen.

Ook de tafels moet je voor de verzorging van het geheugen al snel aanleren en ritmisch in koor [4] laten spreken. Bij zulke oefeningen, net zoals bij het hoofdrekenen, moeten de kinderen levendig kunnen zijn; want de hele mens komt daardoor in een vreugdevolle activiteit.
Alleen moeten ze weten, wanneer het weer ‘mondje dicht’ is, wanneer je niets wordt gevraagd. Bij het doornemen van de tafels, liet ik de kinderen er telkens over nadenken, van welke dingen er in de wereld maar 1 is, van welke een 2-tal; waar je 3-tallen of 4-tallen ziet.
Daardoor krijgen de kinderen tot ieder getal een bepaalde verhouding, dat ze bijv. bij de 3, het eigen lijf kunnen ervaren aan hoofd, romp en ledematen; bij de 4 aan de 4 hemelsrichtingen en de jaargetijden, bij de 5 aan de vingers van de hand, aan de klinkers in onze taal, aan de bloemblaadjes van de roos; bij de 6 aan de poten van de insecten; bij de 7 aan de dagen van de week en aan de kleuren van de regenboog, om er maar een paar te noemen. Bovendien liet ik ze bij een paar tafels een kleurige tekening maken, in een bepaalde vorm die door het getal werd bepaald, waarin bijv. de 3, de 4, de 5 steeds terugkeerden, zoals bijv, in driehoeken, vierkanten of een vijfster, omrand door een vijfhoek of een cirkel, met verschillende kleuren. Bij één keer 7 tekende ik voor hen een 7-armige kandelaar op het bord, die ze mochten natekenen. Ook één maal 12 leerden ze nog in de 1e klas en tekenden daarbij een klok waarvan de grote wijzer, zoals bekend, 12 keer vaker en 12 keer zo snel gaat dan de kleine. Over het algemeen vermijden we dat de kinderen natekenen, we sporen ze aan hun fantasie voor eigen vormen te gebruiken.

Een prachtig voorbeeld van de manier waarop Dr.Steiner zelf een levendige rekenles wist te geven, heeft Bettina Mellinger voor ons opgetekend in het mooie verzamelwerk ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool’, uitgegeven door Caroline von Heydebrand. [5]
“Dr.Steiner ging eens bij een bezoek aan de virjeschool de eerste klas binnen, waar juist een tafel werd geoefend met allerlei sprookjesmotieven. Zoals dat in zijn aard lag, begon hij zelf les te geven en sprak tot de blij luisterende kinderen: ‘Denk er eens aan, we leven nu toch in de zomer en buiten bloeien de rozen; wat zou het heerlijk zijn, wanneer er nu iemand binnenkwam en ons een mand met rozen bracht. En dan moeten jullie er allemaal evenveel krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie.’ Daarbij ging hij naar een klein meisje met dromerige ogen. ‘Maar’, zo klonk het, ‘je moet echt wel handig zijn om ze op te vangen en dadelijk zullen we zien hoeveel rozen er in de mand zaten.’ Zo kreeg nummer twee zijn drie rozen en die riep ‘zes’, dan de derde die ‘negen’ riep – en het ging steeds sneller 12, 15, 18, 21, 24, 27 tot bij 30 [6] het mandje leeg was. Nu was er gejuich, maar ook protest, want de andere 20 wilden ook rozen krijgen en dus moest alles weer snel herhaald worden en toen iedereen zijn drie rozen had, was de tafel van drie op de meest levende manier vol frisheid geoefend. En het was door het hele lijf gegaan, want de kleine handjes en voetjes waren bij het opvangen van de rozen minstens net zo in beweging gekomen als het hoofd. Mooi daarbij was het ritme in de beweging bij het gooien en opvangen, die tegelijk een verbinding betekende tussen de onderwijzer en het kind.”

Zoals iedere leerkracht in het eerste rekenuur uitgaat van een getal dat hem goeddunkt, zullen ook de tekeningen die hij laat maken, de verhaaltjes waarmee hij dikwijls de opgaven inleidt, de voorbeelden die hij kiest, heel individueel door hem gevonden worden. Door alle levensgebieden kunnen we ons laten inspireren, bij alles kun je wel iets rekenachtigs aanknopen. Het getal beheerst ruimte en tijd. De sterren aan de hemel, de bloemen op de wei, de vruchtbomen in de tuin zijn voor de kinderen even welkom als rekenobject als de dagen van het jaar, van de maand, van de week en de uren en minuten van de dag.

optellen        geheel naar delen
Hoe je morele impulsen met het rekenen kan verbinden, werd al getoond, toen er werd gezegd waarom Dr.Steiner bij het aanleren van het optellen van de som uit liet gaan. Hij wilde dat het uitdelen, het weggeven van een hoeveelheid eerst aan de kinderen zou worden geleerd; de impuls van liefde moet daardoor sterker worden. Maar ook vanuit andere wel overwogen motieven wordt door Dr.Steiner deze weg van het geheel naar de delen gekozen. Niet de weg van de optellers naar de som, maar omgekeerd, doceerde hij, is in overeenstemming met de menselijke natuur als gegeven. In de organische stoffelijkheid is het geheel meteen al het primaire. Uit het geheel van de cel ontstaan de tweedeling, de vele delingen. En ook de mens, wanneer deze geleidelijk tot bewustzijn komt, of dat nu uit de slaperige tijd van de eerste kindertijd is of uit de slaap van de voorbije nacht, iedere morgen, eerst neemt hij het geheel waar, dat zich langzaam laat onderscheiden in de delen; niet stelt hij vanuit kleine deeltjes de totaliteit samen.
In de moderne tijd hebben de mensen het tot gewoonte gemaakt te denken dat het hele wereldal uit de kleinste deeltjes is samengesteld. Dr.Steiner wijst ons erop dat uit zo’n foute manier van denken de atomistische theorieën in de natuurkunde zijn ontstaan en dat dit denken berust op fouten in de opvoeding. Een van die fouten zullen we vermijden, wanneer we de kinderen het optellen leren, uitgaande van het geheel, vóór we ze op de gebruikelijke manier losse getallen bij elkaar laten optellen. Een waarneming die levensecht is laat zien, dat de weg van het geheel naar de delen de natuurlijke is.
Dr.Steiner geeft daarvoor in een in Engeland (Torquay) gehouden voordracht [7] op 16 augustus 1924 voor leraren de volgende voorbeelden: ‘Dat moet  in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz  appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel.

waarheid
Toen Dr.Steiner ons leerde in het rekenonderwijs van dit geheel uit te gaan, het in delen uit elkaar te leggen en dan te onderzoeken of de som van de losse delen weer het geheel vormt, stimuleerde hij ons de zin voor waarheid, het denken in overeenstemming met de realiteit bij de kinderen te ontwikkelen.
Hoe je met deze manier van rekenen volgens de opvatting van Dr.Steiner de Ik-ontwikkeling versterkt en vandaar bijzonder gunstig op de flegmatici werkt waarbij hun zwakkere Ik versterkt wordt, kan je nalezen in het genoemde boek van Ernst Bindel in het 7e hoofdstuk dat over de vier rekenbewerkingen en de vier temperamenten gaat.[8]

aftrekken
Ook bij het aftrekken kan deze methode dienovereenkomstig worden toegepast, als je niet, zoals gewoonlijk gebeurt, van het aftrektal en de aftrekker uitgaat, maar van de rest, het verschil. Je neemt van een hoopje papiersnippers* waarvan je tegen de kinderen zegt: ‘Het zijn er 18, een hoopje weg. Je ziet: het hoopje is kleiner geworden; er is een nieuw hoopje bij gekomen. Wat van het eerste hoopje over is gebleven, noemen we de rest, 11. Van dit feit, dus van de rest, 11 gaan we uit en onderzoeken nu met hoeveel het hoopje kleiner is geworden. We constateren: dat is 7, dus net als het nieuwe hoopje, kleiner geworden; want we hadden er 18 en heben er nu nog 11. Er wordt dus niet vastgesteld wat er over blijft, maar hoeveel er verdwenen zijn, bijv. wanneer het om munten zou gaan, hoeveel je er onderweg door omstandigheden bent kwijt geraakt of hebt uitgegeven. Zo is het toch ook in het dagelijks leven: Je weet wat je had en wat er over is en je stelt vast wat er weg is. De kinderen worden dus aangespoord vast te stellen hoeveel er van een aantal moet worden afgenomen om een bepaalde rest over te houden of hoeveel er van een bepaalde hoeveelheid verdwenen is, een proces waar de melancholicus graag lang bij stilstaat. Dr. Steiner wilde ook graag een moreel neveneffect sorteren door de kinderen vol vertrouwen van de leerkracht te laten horen: dit hoopje is 18, deze rest noem ik 11. Hij benadrukte dat daardoor tegelijkertijd het autoriteitsgevoel onwillekeurig verzorgd wordt, wat volgens zijn pedagogiek tussen de tandenwisseling en het veertiende jaar beslist nodig is, zonder dat kunstmatig een autoriteitsgevoel afgedwongen mag worden.
Wanneer je deze manier van optellen en aftrekken, dat van de realiteit uitgaat, een tijdje geoefend en daarmee de vormkrachten van de kinderen levensecht gestimuleerd hebt, dan geeft het niets wanneer ze daarna ook de meer abstracte manier van het gewone optellen en aftrekken leren kennen.

vermenigvuldigen
Bij het vermenigvuldigen moet je in het begin ook niet meteen van de beide factoren uitgaan, maar van het product en het vermenigvuldigtal. En je vraagt naar de vermenigvuldiger. Dus je vraagt niet: hoeveel zijn 5 x 6 appels, maar je zegt: ‘Ik heb in een mandje 30 appels. Hoe vaak kan ik er 6 tegelijk uit nemen?’ Of je gaat uit van het product en de vermenigvuldiger en zoekt dan het vermenigvuldigtal, – dan vraag je: ‘Wanneer ik uit een klas waarin 30 kinderen zitten, 5 keer het gelijke aantal wil roepen, hoeveel moet ik er dan elke keer roepen?’ Deze manier van vermenigvuldigen spreekt vooral het sanguinische temperament aan. Een ritmisch pulseren, een ritmisch springen van getallen is het gevolg, wanneer het steeds wordt geoefend, bijv. 2 =  1  x  2;  4 =  2  x  2; 6  =  3  x  2 enz.

delen
Ten slotte wordt ook bij het delen rekening gehouden met het reële leven. Je vraagt naar wat moet worden gedaan, wanneer bijv. 12 appels onder verschillende kinderen verdeeld moeten worden. De deler wordt gezocht – hij die iets doet. ‘Wat moet je doen om de 12 appels zo te verdelen, dat meerdere kinderen 4 appels krijgen? Het quotiënt is bekend, gezocht wordt de deler, d.w.z. in dit geval het aantal kinderen. Je kunt ook naar het deeltal vragen: ‘Van hoeveel appels kunnen 3 kinderen elk 4 appels krijgen?’ Dus de vraag naar het quotiënt wordt in het begin vermeden. De gedachtesprongen die bij deze vragen nodig zijn om van kind naar kind ieder zijn deel te geven, zijn in het bijzonder voor het cholerische temperament geschikt.
Het kan voorkomen dat het bezigzijn met de temperamenten van de afzonderlijke kinderen de leerkracht ertoe brengt bepaalde vragen in wezen aan bepaalde temperamenten te stellen, niet expres, maar vanuit een onwillekeurige aanpak op grond van een aan het leven geleerde en daarom zinvolle kennis. Op de antroposofische basale gezichtspunten de rekenoperaties in samenhang te zien met de temperamenten, zal hier niet nader worden ingegaan.Het boek van Ernst Bindel bericht daarover. Hier wordt alleen maar een oproep gedaan ook wanneer je rekent, je bezig te houden met het wezen van het kind.
Het komt er in ieder geval zeer op neer de eerste vragen in de rekenlessen zo te stellen, dat de kinderen de praktische waarde ervan duidelijk zien, dat ze met spanning en interesse meedoen en niet door abstracte vragen zich gaan vervelen en ze de zin in rekenen, die bij ieder kind in het begin zeker aanwezig is, snel verliezen. Hier houdt de methode die hier gebruikt wordt rekening mee. Hoe meer het kind zo aangespoord wordt langs de weg van het rekenen de waarheid te ontdekken van hoe getallen zich verhouden, precies na te gaan hoeveel er bijv. van een totaal mag worden uitgegeven, opdat er een bepaalde rest overblijft of over hoeveel kinderen je een hoeveelheid dingen kan verdelen wanneer ieder kind een bepaalde hoeveelheid dient te krijgen, des te meer zal ook de zin voor realiteit in het leven, waarheidszin in het kind wakker worden. In het bijzonder zal je er in het verdere verloop van het lesgeven op letten, dat er alleen maar levensechte voorbeelden gekozen worden die daadwerkelijk in het leven voorkomen. Daar hechtte Dr.Steiner grote waarde aan.

verantwoordelijkheid
Zoals nu de leerkracht door het rekenen de pedagogische basiseisen van fantasie kunnen hebben en van gevoel voor waarheid, eisen die hij zichzelf  moet stellen, op deze manier aan zijn leerlingen doorgeeft, zal hij ook de derde basiseis ‘morele verantwoordelijkheid’ door zijn lessen aan de kinderen overdragen.
Juist het rekenen, wanneer het niet in dienst staat van egoïsme, kan het verantwoordelijkheidsgevoel bij kinderen buitengewoon versterken. Aan de andere kant bestaat bij het rekenen wel het bijzondere gevaar dat kinderen egoïstisch worden. Er moet dus bewust aan gewerkt worden, dat onderwijs in rekenen kinderen niet ‘berekenend’ laat worden in de negatieve betekenis, maar dat veel eerder van begin af aan het nieuw verworven vermogen in dienst van het goede wordt gesteld.
Toen Dr.Steiner eens zei: ‘We moeten zielekrachten leren met het rekenen’, dan hoort daar in het bijzonder de morele verantwoordelijkheid bij. Karaktereigenschappen waarop je deze uitdrukking ‘morele verantwoordelijkheid’ terug kan voeren, zal niemand kunnen ontwikkelen die niet van goede wil is. Een pedagogische hoofdtaak van het rekenonderwijs zal dus zijn, de goede wil in de kinderen sterker te maken. Nu heeft Dr.Steiner laten zien, hoe de wil in het kind versterkt kan worden door een kunstzinnig gevormd onderwijs. En voor het rekenen gaf hij aan hoe dat samen met ritmische bewegingskunst, in het bijzonder met behulp van de euritmie, een sterker wordende wil ontwikkelt. Dus mag je de kinderlijke zin in bewegen niet buiten beschouwing laten, wanneer je met het rekenen een stimuleren van de wil nastreeft.
Je kunt in het rekenen zwakbegaafde kinderen helpen, wanneer je ritmisch uitgevoerd de ledematen krachtige bewegingen laat maken op de getallen, bijv. 7 passen naar voren, 4 terug, enz. Deze wilskrachten nu op het goede te richten, dat zal de leerkracht proberen met opdrachten met een inhoud die morele impulsen over kan brengen. Juist in het onderwijs in het eerste schooljaar zal het gemakkelijk zijn een sociaal element, de gedachte van de schenkende deugd, in de mondelinge en schriftelijke opdrachten te laten overheersen. Een rekenvoorbeeld zal niet aan waarde verliezen, maar juist winnen, wanneer het tegelijkertijd een voorbeeld van het goede is. Onze voorbeelden moeten wel uit het praktische leven komen. Wanneer daarin veelvuldig personen handelen – oude en jonge – laten die dan voorbeeldig handelen. Ook op dit terrein krijgt het fantasievermogen van de leerkracht de mooiste gelegenheden, actief te zijn.
Zou het niet op de jaloezie werken, wanneer de leerlingen de inhoud van een spaarpot, d.w.z. de waarde van de gespaarde munten, de 50-, 20-, 10-, 5-, 2-, en 1-centstukken moeten uitrekenen en daarbij horen dat dit geld door een jongen werd gespaard om met kerst kinderen iets te geven die anders niets hadden ontvangen? Wordt dat geen aanleiding om zelf zo te handelen, wanneer er verder wordt uitgerekend wat deze jongen wel niet allemaal had kunnen kopen van dit bedrag en hoeveel kinderen er nu blij van worden? Het is wel belangrijk dat de kinderen het gebruik van geld door het rekenen zo leren kennen, dat het gebruikt kan worden om te helpen.
Iedere rekenoperatie biedt de mogelijkheid er een gevoel voor te wekken dat je voor een goed gebruik van jouw geld verantwoordelijk bent en dat je ook voor het welzijn van de medemens verantwoordelijkheid draagt, wanneer het in je vermogen ligt dat te vergroten of te verkleinen.
Zo zou bijv. het rekenonderwijs in de kinderen het inzicht kunnen wekken dat je door ergens vanaf te zien, door een offer, de mogelijkheid kan scheppen tot iets goeds. Je kunt laten uitrekenen hoeveel geld er per week nodig is voor het dagelijks brood in een gezin. Je vergelijkt dat dagelijkse broodgeld met het bedrag dat moeder nodig heeft voor bijv. op zondag een lekkere taart en je laat dan uitrekenen hoe duur het zou zijn, wanneer je elke dag taart zou willen eten. Je zou een moeder kunnen laten vertellen dat ze het eten van taart op door-de-weekse dagen helemaal achterwege liet en het daarmee uitgespaarde geld schonk aan een collecte voor mensen in nood. Het bedrag dat per maand nodig is, kan door de kinderen uitgerekend worden. Van tijd tot tijd zal er ook wel een aanleiding vanuit de klas zijn de kinderen erop te wijzen dat zij voor de dingen die hun zijn toevertrouwd in de klas, de tafeltjes, de muurversiering, de ruiten verantwoordelijk zijn. Heeft een kind schade veroorzaakt, dan is het voor een klas interessant om bij zo’n gelegenheid uit te rekenen hoeveel tijd en geld het kost om de schade weer te herstellen.
Zoals bekend wilde Dr.Steiner dat de kinderen zelf – naar vermogen – de dingen die ze kapot hebben gemaakt, weer repareren, eventueel naar de vakman te kijken en deze te helpen. In een enkel geval zou kunnen worden uitgerekend hoeveel de klas samen moet opbrengen om de betreffende klasgenoot te helpen de aangerichte schade weer goed te maken.
Wanneer er in de rekenopgaven vaak over dergelijke verantwoordelijkheden als een vanzelfsprekenheid wordt gepraat, dan wordt het verantwoordelijkheidsgevoel bij de kinderen tot een tweede natuur.

Wanneer we op deze manier proberen de grote pedagogische basiseisen die Dr.Steiner voorstond ook in het rekenonderwijs tot zijn recht te laten komen, dan zal het onderwijs niet alleen voor de kinderen stimulerend zijn en morele vruchten afwerpen, het zal ons ook op een heel andere manier tevreden stellen, dan wanneer we ons zouden moeten beperken tot het ontwikkelen van de louter intellectuele, geautomatiseerde activiteit bij de kinderen.
Een leerkracht die zich elke dag weer opnieuw inzet om alles wat aan de kinderen als leerstof geboden wordt, te voeden vanuit zijn ziel en geest, zal erin slagen ook uit de nuchtere materie van de getallen en berekeningen de esprit tevoorschijn te toveren en daardoor waarachtig opvoedend en vormend in dit onderwijs te werken.
.

Johannes Geyer, Zur Pädagogik Rudolf Steiners, 1e jrg. 5/6/ nr.4 1928
.

[1] Nu uitgegeven met de titel ‘Das Rechnen, Mellinger Verlag
[2] Rudolf Steiner heeft het in GA 295 over vlierbessen, maar ik zou erg oppassen met dingen die van de bank kunnen rollen of met ‘bes of kers’ die stuk kunnen gaan, met alle gevolgen van dien. Papiersnippers waaien bij de geringste beweging van het tafeltje.
[3] Het nieuwe schooljaar begon toen nog na Pasen – een paar maanden later zijn de kersen rijp.
[4] Over het spreken in koor
[
5] Bij Mellinger Verlag verscheen in 1926/27 een van de eerste uitgaven onder de titel ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool‘ 2 toespraken
Van die uitgave heb ik niets teruggevonden.
Wel verscheen in de GA onder nr. 298 . ‘Rudolf Steiner in der Waldorfschule’, maar daarin staat de bedoelde rekenles (volgens mij) niet.
[6] interessant voor het kleine vraagstuk of je de tafel tot 10 x moet aanleren, of tot 12 x…….
[7] GA 311/78
Vertaald
[
8] Op deze blog staan de rekenoperaties in samenhang met de vier temperamenten uitvoerig beschreven.

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

1122

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – een som voor klas 1 t/m 7

 

OEFENEN MET DE BASISBEWERKINGEN

Voor kinderen is het niet verkeerd om in de les eens te horen over iets wat ze pas later, in hogere klassen, zullen leren of wanneer ze iets leren dat later in een andere vorm weer terugkomt.

Een kleine oefening die met de kinderen door verschillende jaren mee kan gaan, ontstond tijdens het werken met de kinderen en deze werd daarna vaak toegepast.

Je zou deze bijna een basisoefening kunnen noemen.

Ieder kind kan met een zelf gekozen getal beginnen; de vier basisbewerkingen worden toegepast en de uitkomst is voor iedereen dezelfde.

Het gaat op voor de hele getallen (mondeling of schriftelijk), voor breuken (gewone en decimale), voor negatieve getallen en wanneer je wil ook voor procenten, worteltrekken en logaritmen.

De oefening is zo opgebouwd:

Laten we 5 nemen:

 

Het verrassende is, dat de uitkomst steeds 1 is:

cijferen 7 . jpg

 

De kinderen van de 3 klas hebben op deze manier een mooie controle over wat ze in het schriftelijk rekenen kunnen.

cijferen 8 . jpg - 0004

In de 4e klas gaat het met breuken zo:

cijferen 9 . jpg - 0001

Bij de 10-delige breuken in klas 5 zo:

cijferen 10. jpg - 0001

 

 

De leerlingen van klas 7 kunnen alle regels van het rekenen met negatieve getallen toepassen:

cijferen 11

 

 

Bij de toepassing in het algemeen zie je dat het begingetal niet terugkomt in de uitkomst.

cijferen 12

Veel plezier ermee!

Georg Hofmann, Erziehungskunst nr.5 1965

 

rekenen: alle artikelen

 

963

 

VRIJESCHOOL – 4e klas -rekenen – breuken

Tobi en de meesterbakker

Een kennismaking met de breuken

Ik* zou graag een rekenverhaal vertellen; het kwam tot stand in de loop van 3 klassenrondes** en is een beeldende kennismaking met  de breuken in klas 4.
Voor de 4 klas plande ik 3 rekenperioden***. In de eerste werden de schriftelijke rekenprocessen die we in de 3e klas hadden geleerd nog eens geoefend en  geautomatiseerd. Aan het eind van deze periode is er een korte kennismaking met de schrijfwijze van de breuken. Met veel plezier hebben de kinderen mijn zelfgebakken, platte meetkundige figuren uit brooddeeg gesneden en opgegeten, waarbij de maag (stofwisseling!) kon ‘meedenken’ en kon leren dat de schrijfwijze 1 = 1/3  + 1/3  +  1/3   of  1 = 1/6  +  1/6  + 1/6   +  1/6 +  1/6 +   1/6  zinvol is.
Van de gebakken cirkels, driehoeken, rechthoeken, vierkanten werden in het schrift tekeningen gemaakt en de bovengenoemde vergelijkingen onder het desbetreffende ‘snijpatroon’ geschreven.
Belangrijk is in dit verband dat de leerlingen door het waarnemen een gevoel krijgen dat een 1/6 deel kleiner is dan 1/3  terwijl in het getalbegrip tot nog toe 6 groter is dan 3. De maag kent, zonder ooit met breuken te hebben leren rekenen, deze verhoudingen in grootte wel.

De meesterbakker
Aan het begin van de tweede periode volgt dan het verhaal:
In een stad woonden merkwaardige meesterbakkers die ieder voor zich  maar 1 taartensnijder wilden kopen (verschillende taartensnijders, voor 10, 12 of 16 stukken die de bakker voorzichtig in de taartbedekking drukt om daarna precies even grote stukken te kunnen snijden, hingen in de klas).
Opdat de kinderen meteen zouden weten welke stukken je bij de ene bakker kon kopen, schreven ze groot op hun etalageruit hoe ze heetten – hoe ze zich noemen – dat leidt later tot de naam NOEMER: Vierdebakker; Vijfdebakker; Achtstebakker enz. Wie dus voor 12 personen een taart wil bestellen of stukken van die grootte wil hebben, kan alleen bij Twaalfdebakker terecht. En door de associatie noemer = naam begrijpen de leerlingen meteen dat   3/5 +  3/5  niet 6/10 maar  6/5  moet zijn, 6 stukken van Vijfdebakker.
In het verhaal komt ook een slimme leerjongen voor die de bestelde lekkernijen te voet bij de klanten moet brengen in een grote mand die hij op zijn rug draagt. In mijn laatste rondje** heette deze jongen Tobi.
Tobi brengt, hij werkt nu bij Vierdebakker, de bestelde etenswaar weg. Bij grote feesten blijft hij tot het einde om daarna de overgebleven stukken weer op te halen. De meesterbakker is streng en wil de overgebleven stukken aan de varkens voeren. Maar de leerjongens hebben met de bazin afgesproken dat ze de goede kwartstukken aan de achterdeur goedkoper mogen verkopen en het geld zelf houden. De oude crèmelaag werd eraf gehaald en vervangen door een nieuwe en de versneden bodem kon je alleen zien als je de taart omhoog hield. Wanneer Tobi dus bijvoorbeeld 17 stukken mee terugneemt naar Vierdebakker en ze in de bakkerij legt, maken de bakkersknechten daar tot aan de morgen vier hele taarten uit; 1 stuk blijft over. 17/4 = 4 1/4
Op dit ogenblik in de periode heet 17/4  het Tobigetal ,
1/4 is het knechtengetal.
Later in het werkschrift, wanneer we talloze oefenvoorbeelden nog eens nader bekijken, worden het begrip ‘stambreuk’ gebruikt, wanneer de teller 1 is 1/7,
en ‘echte breuk’, wanneer de teller kleiner is dan de noemer 3/7, ‘onechte’breuk , wanneer de teller groter is dan de noemer (Tobigetallen, 9/7 en ‘gemengde’ breuk, wanneer hele en breukengetallen gemengd zijn (knechtengetallen 1/4).
Nu kun je veel manieren bedenken hoe je met andere noemers dezelfde rekenhandeling kunt oefenen, bv. dat
Tobi aan een ander bakkerskind het trucje uitlegt die vervolgens uit de hele stad ‘tweedehands’ taarten ophaalt of Tobi wordt door de knechten van een andere bakkerij uitgenodigd enz.

Op deze plaats moet wel gezegd worden, dat de uitgebreide schildering van dit verhaal alleen de eigen fantasie mag stimuleren en niet tot nadoen mag leiden. (In een uitwisseling met collega’s hebben we bv. aan activiteit in de containerhaven aan de Oostzee of aan de kaasmakerijen in Nederland gedacht.)

Het zijn de verrassende gebeurtenissen en de spannende voorvallen van een dergelijk verhaal die de fantasiekracht van de kinderen stimuleren.
De rekenkundige inhoud treedt wat meer op de achtergrond bij het plezier en de angst om Tobi, de spanning en de ontspanning.
Citaat uit het meer dan honderd jaar geleden verschenen boekje van Rudolf Steiner: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie:[1] ‘Wat het verstand over iets te zeggen heeft, behoort pas gezegd te worden, nadat alle andere zielenkrachten gesproken hebben. Voor die tijd mag het verstand alleen een bemiddelende rol spelen. ‘

Maar bij al dat fantasieplezier mag de inhoud van het vertellen in het begin, maar ook later niet, in tegenspraak zijn met de wiskundige wetten.

Opdrachten voor thuis worden graag gemaakt, wanneer Tobi, met wie de leerlingen zich op hun niveau met zijn slimheid identificeren, voor een op te lossen probleem geplaatst wordt.
Wanneer de leerlingen door deze oefeningen vertrouwd zijn geraakt met hoe je breuken schrijft en de onechte breuken in gemengde en omgekeerd, kunnen omrekenen, kan naar de volgende rekenhandeling worden overgestapt: vereenvoudigen en gelijknamig maken.

Deegschraper en zakmes
Tobi wordt op een van zijn boodschappentochten op een boerderij door een ongevaarlijke, maar wilde St.Bernhardhond omvergesprongen, zodat het mandje met de taartstukken valt en ze stuk gaan. De jongen zit bedroefd aan de kant van de weg als er een bakkerskind voorbijkomt met veel restjes. Ze vraagt aan de huilende jongen of ze hem kan helpen. ‘Helaas niet, jouw bakker heeft andere stukken dan de mijne’, maar Tobi heeft, wanneer de ander zegt dat die van Achtstebakker komt, een idee! Net zoals de knechten anders ook doen, neemt hij telkens 2 van de aangeboden achtste stukken en verwerkt ze tot kwarten. Het wordt nog heel spannend wanneer de boer wantrouwig naar de stukken kijkt, maar ze uiteindelijk toch accepteert.

Om op zulke situaties voorbereid te zijn, neemt Tobi voortaan een deegschraper mee om de crème te kunnen uitsmeren. Deze vondst wordt door de leerlingen opgepakt en al gauw heeft iedereen de deegschraper erbij en je moet slim zijn om meteen te herkennen, welke bakkerijen in aanmerking komen om met elkaar stukken te ruilen. Zo ontstaan er bijzondere vriendschappen tussen de leerlingen van bepaalde bakkerijen. Uit de mond van een leerling: ‘Die in dezelfde getallenrij zitten’. De deegschraper staat symbool voor het vereenvoudigen:
12/8  =  6/4; de stukken uit de ene bakkerij krijgen een nieuwe naam = noemer.

Wanneer Tobi op een dag zijn vriendinnetje Martha treurig op een bankje ziet zitten en waneer hij de gebroken draagriem van haar mandje ziet, vermoedt hij de bekende toestand en hij wil meteen met de deegschraper helpen. Maar Martha werkt bij Twaalfdebakker en ze merken al gauw dat de uitruil niet zomaar kan. Maar nu krijgt Martha een idee! Met een zakmes worden de kwartstukken van Tobi precies in 3 delen gesneden en Martha kan nu haar twaalfden ruilen. Het zakmes wordt het symbool van gelijknamig maken: 7/4 = 21/12.
Nu zou je kunnen tegenwerpen dat bij het vereenvoudigen toch de aparte getallen kleiner en bij gelijknamig maken teller en noemer groter worden en dat daarom mes en schraper juist andersom gebruikt zouden moeten worden. Op het abstracte niveau is dat juist, maar voor de realiteit van het beeld klopt de toepassing, omdat bij vereenvoudigen de stukken groter worden en bij het gelijknamig maken kleiner! Hierbij moet door de juiste opmerkingen of vragen duidelijk gemaakt worden dat door de gebruikte mes- of schrapermethode de hoeveelheid taart gelijk blijft en dat alleen de vorm ervan anders wordt.

(Notitiepunt: de waarde van een breuk blijft gelijk bij het vereenvoudigen of gelijknamig maken).

Zodra de techniek van het vereenvoudigen en gelijknamig maken door opnieuw talloze oefeningen, begint te zitten, kun je overgaan tot het toepassen ervan – tot de vorming van een gemeenschappelijke noemer kan worden overgegaan: Tobi komt op weg naar huis zijn vriend Arnulf (Derdebakker) tegen, die ook al van een groot feest de reststukken meebrengt. Ze raken aan de praat en ze merken door het kletsen te laat dat ze Derde- en Vierdebakker al voorbij gelopen zijn. Ze willen echter niet teruggaan, maar elkaar liever nog een paar goede moppen vertellen en belanden zo aan de rand van de stad voor het huis van Twaalfdebakker. Opnieuw leiden slimheid en schalksheid tot een idee! Met het zakmes krijgen ze door precies te snijden, uit de vierden, twaalfden en uit de derden eveneens. Hoeveel twaalfden moet de klas vinden en de leerkracht moet het verhaal paraat hebben hoe de bakkersvrouw afgeleid wordt (bij ons was het een stukje knalvuurwerk uit de carnavalstijd dat in de keuken gegooid werd en dat de bakkersvrouw – onder luid gelach van de kinderen – zowat naar buiten deed tuimelen), om ongemerkt de twaalfde stukkern op de toonbank te leggen en -met de groeten van Max en Moritz – stiekem te kijken hoe de bakkersvrouw als ze weer terug is, zich niet kan herinneren dat er zoveel reststukken lagen.
Met dit geslaagde verhaal, in de hele stad met fijntjes lachen aangehoord, bieden zich voor de bakkerskinderen ongekende mogelijkheden. Ook voor de leerlingen in de klas is het leuk uit te vinden wie onder deze voorwaarden vanaf nu met wie kan uitwisselen, bij elkaar leggen enz.
In het aantekenboek komt later te staan dat je breuken pas bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken, wanneer ze een gemeenschappelijke noemer hebben.

Drie, vier of meer leerlingen kunnen hun taart bij elkaar leggen en (waar?) afleveren.

3/4  +   2/3  =  9/12  +  8/12  =  17/12  (Tobigetal)  = 1  5/12 (Knechtengetal)

2/3  +  1/4  +  5/8  =  16/24  +  6/24  +  15/24  =  37/24 (Tobigetal)  =  1 13/24 (Knechtengetal)

Geleide fantasie
Bij het doorlezen van dit artikel valt het me* op, hoe weinig getallen en hoeveel woorden er staan! Dat mag een voorbeeld zijn van een verhaal dat de fantasie stimuleert bij de erin voorkomende mathematische samenhangen.
Overigens spreekt Steiner in het aangehaalde boekje van ‘geleide fantasie’, zodat het niet om willekeurige, grappige verhaaltjes kan gaan, maar om verhalen die de gewenste rekenkundige samenhang ‘exact’ tot inhoud hebben.

Ik heb de ervaring opgedaan dat de verhaaltjes niet alleen een inleiding vormen in het gebied van de wiskunde, als een ‘schoentrekker’ voor de ziel, maar dat ze tot in de bovenbouw, wanneer de leerlingen zich de uit die verhaaltjes komende beelden herinneren, elkaar kunnen helpen  over en weer dingen uit te leggen. Ik zou ook voorbeelden van verhalen kunnen geven die ik niet tot het einde toe helemaal goed doordacht heb en die tijdens het lesgeven met moeite veranderd moesten worden en zo aan inhoud en kracht inboetten.
Het Tobiverhaal is door vele uitgesproken vragen (ook onuitgesproken) van de kinderen in proporties gebracht en met succes verteld.
Wat betekent ‘succes”? Wanneer je merkt dat alle leerlingen met en binnen de geschetste beelden kunnen rekenen met wat anders droge en weinig motiverende opgaven zouden zijn en dit graag doen!
Jaren geleden zaten tijdens een menskundeperiode 2 hospitanten van de universiteit van Stuttgart in mijn les, omdat ze zich interesseerden voor de vrijeschoolpedagogiek. Op de laatste dag van de periode kondigde ik de kinderen de volgende periode aan: rekenen.
Sprakeloos staarden de beide jonge collega’s naar de opspringende, onstuimig dansende kinderen en ‘To-bi!  To-bi!  To-bi’ scanderende vierdeklassers. Ze konden nauwelijks geloven dat dit een reactie was op de aankondiging van rekenen.
Dat was het ook niet; het was de vreugde over het vervolg van het verhaal!

*Norbert Dolderer, Erziehungskunst jrg.71, 12-2007

**het meegaan met de groep kinderen van klas 1 t/m 6 , (7 of 8 in Duitsland)
***periodenonderwijs: gedurende 3 à 4 weken de lessen in de 1e 2 uren van de dag, gewijd aan 1 vak.

[1] Rudolf Steiner: ‘Die Erziehungs des Kindes im Lichte der Geisteswissenschaft’ GA 34/309
Citaat: blz. 343

Vertaald: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie’

4e klas rekenen: alle artikelen

868

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over pedagogie(k) – GA 311 – voordracht 5

Hier volgt een eigen vertaling. Bij het vertalen heb ik ernaar gestreefd Steiners woorden zo veel mogelijk in gangbaar Nederlands weer te geven. Met wat moeilijkere passages heb ik geprobeerd de bedoeling over te brengen, soms met behulp van wat er in andere voordrachten werd gezegd. Ik ben geen tolk en heb geen akten Duits. Er kunnen dus fouten zijn gemaakt, waarvoor excuses. De Duitse tekst gaat steeds vooraf aan de vertaling. Verbeteringen of andere vertaalsuggesties e.d. zijn meer dan welkom): pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

alle pedagogische voordrachten

GA 311: vertaling
inhoudsopgave
voordracht  [
1]  [2]   [3]   [4]   [6]   [7]  vragenbeantwoording         vertaling

RUDOLF STEINER

DE KUNST VAN HET OPVOEDEN VANUIT HET BESEF: WAT IS DE MENS

1) 7 voordrachten gehouden in Torquay van 12 tot 20 augustus 1924, met beantwoording van vragen. Dornach 1979

Inhoudsopgave 5e voordracht 16 augustus 1924:
Over rekenen.
Beeldende ontwikkeling van het getallenbegrip.
Ritmisch tellen.
Tellen, een wilsaangelegenheid; het hoofd als toeschouwer.
De vier rekenbewerkingen.
Het materialisme als gevolg van opvoeding.
Humor in het onderwijs.
Meetkunde.
Aanschouwelijke bewijzen voor de stelling van Pythagoras.

inhoudsopgave GA 311

5e VOORDRACHT, Torquay, 16 augustus 1924

blz.78:

Wenn man einem Kinde etwas beibringen will, muß man schon et­was von dem eigentlichen Wesen der Sache verstehen, um nicht sich im Unterrichte und in der Erziehung in Dingen zu bewegen, die dem Leben fernliegen. Alles, was dem Leben naheliegt, kann man ver­stehen. Man könnte auch sagen: was man in Wirklichkeit versteht, muß dem Leben naheliegen. Die Abstraktionen liegen dem Leben nicht nahe.
Nun ist es heute so, daß der Lehrende, der Erziehende, von ge­wissen Dingen von vornherein nur Abstraktionen hat, daß er mit ge­wissen Dingen dem Leben nicht nahesteht. Das macht für die Er­ziehung und den Unterricht die allergrößten Schwierigkeiten. Be­denken Sie nur das folgende: Sie wollen einmal darüber nachdenken, wie Sie dazu gekommen sind, Dinge zu zählen; was eigentlich damit getan ist, daß Sie zählen. Sie werden wahrscheinlich finden, daß der Faden Ihrer Untersuchungen irgendwo abreißt, daß Sie wohl Zählen gelernt haben, aber nicht recht eigentlich wissen, was Sie tun mit dem Zählen.

Wanneer je een kind iets leren wil, moet je natuurlijk ook zelf iets van de essentie van de zaak begrijpen om je bij de opvoeding en het onderwijs niet in dingen te begeven die ver van het leven af staan. Alles wat bij het leven hoort, kun je begrijpen. Je zou ook kunnen zeggen: wat je in werkelijkheid doet, moet aansluiten bij het leven. Abstracties sluiten niet aan bij het leven.
Nu is het tegenwoordig zo, dat de onderwijsgevende, de opvoeder van bepaalde dingen a priori alleen maar abstracties heeft, dat hij met bepaalde dingen niet dicht bij het leven staat. Dat betekent voor de opvoeding en het onderwijs de allergrootste moeilijkheden. Denk eens aan het volgende: je wil er eens over nadenken hoe je ertoe gekomen bent, dingen te tellen; wat je eigenlijk doet, wanneer je telt. Je zal waarschijnlijk merken dat je onderzoeksdraad ergens afbreekt, dat je wel hebt leren tellen, maar dat je eigenlijk niet goed meer weet, wat je doet als je telt.

Nun werden allerlei Theorien für die Pädagogik ersonnen, wie man den Begriff der Zahl, wie man das Zählen einem Kinde beibrin-gen soll, und gewöhnlich richtet man sich dann auch nach solchen Theorien. Wenn man damit auch äußerlich Erfolge erzielen kann, an den ganzen Menschen kommt man mit diesem Zählen oder mit solchen Dingen, die dem Leben fernliegen, nicht heran. Die neuere Zeit hat ja gerade dadurch bewiesen, wie sie in Abstraktionen lebt, daß sie solche Dinge wie die Rechenmaschine für den Unterricht er­funden hat. Im kaufmännischen Büro mögen die Leute Rechenma­schinen benützen, wie sie wollen, das geht uns jetzt nichts an, aber im Unterricht verhindert die Rechenmaschine, die sich ausschließlich an den Kopf wendet, von vorneherein, daß man in einer wesensge­mäßen Weise mit der Zahl an das Kind herankommt.
Es handelt sich darum, daß man das Zählen wirklich aus dem Leben

Nu worden er allerlei theorieën voor de pedagogiek bedacht, hoe men het getalbegrip, hoe men het tellen aan een kind moet aanleren en meestal houdt men zich dan aan zo’n theorie. Wanneer men daarmee ook uiterlijk succes kan hebben, de hele mens wordt met dit tellen of met andere dingen die ver van het leven afstaan, niet bereikt. De modernere tijd heeft juist bewezen hoe ze in abstracties leeft, met dingen als een rekenmachine* voor het onderwijs uit te vinden. Op het handelskantoor mogen de mensen dan rekenmachines gebruiken zoveel ze willen, daar hebben wij niets mee te maken, maar in het onderwijs is het telraam dat hoofdzakelijk voor het hoofd bedoeld is, van meet af aan een obstakel om op een wezenlijke manier het kind aan te spreken met  het getal.
Het gaat erom, dat je het tellen daadwerkelijk uit het leven

blz.79:

heraus gewinnt. Dabei wird vor allen Dingen wichtig sein, daß man von vornherein weiß: es kann sich gar nicht darum handeln, daß das Kind restlos alles versteht, was man ihm beibringt. Das Kind muß vieles auf Autorität aufnehmen, aber es muß es naturgemäß, sachgemäß aufnehmen.
Daher können Sie finden, daß das, was ich Ihnen nun über das Bei­bringen des Zählens sagen werde, vielleicht noch schwierig ist für das Kind. Aber das schadet nichts. Es ist außerordentlich bedeutsam, daß im Leben des Menschen solche Momente eintreten, wo man sich im 30., 40. Jahre sagt: Jetzt verstehe ich etwas, was ich damals im 8. oder 9. Jahre oder sogar noch früher in mich auf Autorität hin aufgenommen habe. – Das belebt. Wer dagegen all die Dinge be­trachtet, die man heute als Anschauungsunterricht in den Unterricht einführen will, der kann tatsächlich ins Verzweifeln geraten, wie trivial die Dinge gemacht werden, um sie, wie man sagt, dem Ver­ständnis des Kindes näherzubringen.

haalt.

Daarbij is vooral van belang dat je vanaf het begin weet: het gaat er helemaal niet om dat het kind meteen alles helemaal begrijpt wat je het aanleert. Het kind moet veel op gezag aannemen, maar op een natuurlijke, zakelijke manier.
Vandaar dat je van mening kan zijn dat wat ik u nu zeg over het aanleren van getallen, nog moeilijk is voor een kind. Maar dat geeft niets. Het is buitengewoon belangrijk dat er in het leven van de mens ogenblikken voorkomen waarvan je op je 30e, 40e jaar zegt: nu begrijp ik pas, wat ik toen op mijn 8e of 9e of zelfs nog eerder op gezag aangenomen heb. – Dat stimuleert. Wie daarentegen alles bekijkt wat men tegenwoordig als aanschouwelijkheidsonderwijs bij het leren in wil voeren, die kan zich inderdaad wanhopig beginnen te voelen over de trivialiteit waarmee de dingen gedaan worden om die, zoals men zegt, de kinderen aan het verstand te peuteren.

Denken Sie einmal, Sie nehmen selbst das kleinste Kind, das sich noch recht ungeschickt dabei benimmt, und Sie sagen ihm: Sieh ein­mal, du stehst jetzt da. Hier nehme ich ein Stück Holz. Da habe ich ein Messer. Ich zerschneide nun dieses Stück Holz. Kann ich das auch mit dir machen? Da wird das Kind doch selber darauf kommen, daß ich das mit ihm nicht machen kann. Und nun kann ich dem Kinde sagen: Sieh einmal, wenn ich das Holz zerschneiden kann, dann ist das Holz also nicht so wie du, und du nicht so wie das Holz, denn dich kann ich nicht zerschneiden. Es ist also ein Unterschied zwischen dir und dem Holz. Der Unterschied besteht darinnen, daß du eine Einheit bist. Das Holz ist keine Einheit. Du bist eine Einheit. Dich kann ich nicht zerschneiden. Dasjenige, was du bist, deshalb, weil ich dich nicht zerschneiden kann, das nenne ich eine Einheit.
Nun, man wird jetzt allmählich dazu übergehen, dem Kinde ein Zeichen für diese Einheit beizubringen. Man macht einen Strich: I. Man bringt also dem Kinde bei, daß es eine Einheit ist, und man macht dafür diesen Strich.
Nun kann man abgehen von dem Holz und dem Vergleiche mit dem Kinde, und kann jetzt zu dem Kind sagen: Sieh einmal, da hast

Denk eens in, je kunt zelfs het kleinste kind nemen, dat zich daarbij best wel onbeholpen kan gedragen en je zegt tegen hem: kijk eens, daar sta jij. Hier heb ik een stuk hout. Hier heb ik een mes. Ik snijd dit stuk hout nu doormidden. Kan ik dat met jou ook doen?’  Daar zal het kind zelf wel op komen dat ik dat met hem niet doen kan. En dan kan ik zeggen:’Kijk eens, wanneer ik het hout doormidden kan snijden, dan is het hout niet zoals jij bent en jij bent niet als het hout, want jou kan ik niet doormidden snijden. Er dus een verschil tussen jou en het hout. Het verschil is dat jij een eenheid** bent. Het hout is geen eenheid. Jij bent een eenheid. Jou kan ik niet doormidden snijden. Wat jij bent, omdat ik je niet kan doorsnijden, dat noem ik een eenheid.’
Welnu, dan ga je er langzamerhand toe over het kind een teken voor deze eenheid te leren. Je maakt een streep: l.
Je leert het kind dat dit een eenheid is en daarvoor maak je de streep.
Nu kun je de vergelijking kind – hout loslaten en zeggen: ‘Kijk eens, daar is je

blz.80:

du deine rechte Hand, da hast du auch deine linke Hand. Und man wird dem Kinde beibringen können: Wenn du nur diese eine Hand hättest, dann könnte sich diese eine Hand überall hin bewegen, wie du selber. Aber wenn du so weitergehst, dann kannst du dir nicht begegnen, du kannst dich nicht angreifen. Wenn sich aber diese Hand und diese Hand bewegen, dann können sie sich angreifen, dann können sie zusammenkommen. Das ist etwas anderes, als wenn du bloß allein gehst. Weil du allein gehst, bist du eine Einheit. Aber die eine Hand kann der anderen Hand begegnen. Das ist nicht mehr eine Einheit, das ist eine Zweiheit. Siehst du, du bist einer, aber du hast zwei Hände. Das bezeichnest du dann so: II.
Auf diese Weise bringen Sie den Begriff der Einheit und der Zwei­heit aus dem Kinde selbst heraus zustande.
Nun gehen Sie weiter, rufen ein zweites Kind heraus und sagen:
Wenn ihr aber geht, könnt ihr euch auch begegnen, könnt ihr euch auch berühren. Ihr seid eine Zweiheit. Es kann aber noch einer dazu­kommen. Das kann bei den Händen nicht der Fall sein. So kann man übergehen beim Kinde zur Dreiheit: III.

rechterhand; daar is ook je linkerhand.’ En dan zul je het kind kunnen leren: ‘Wanneer je nu alleen deze ene hand zou hebben, dan zou die hand overal naar toe kunnen bewegen, zoals jij zelf. Maar wanneer jij zo doorloopt, dan kun je jezelf niet ontmoeten; je kunt jezelf niet beetpakken. Maar wanneer deze hand en die hand zich bewegen, dan kunnen die elkaar pakken, dan kunnen die bij elkaar komen. Dat is wat anders dan wanneer je in je eentje bent. Omdat jij alleen gaat, ben je eenheid. Maar de ene hand kan de andere hand ontmoeten. Dat is geen eenheid meer, dat is een tweeheid. Zie jij, jij bent één; maar je hebt twee handen.’ Dat geef je dan zo aan: l l.
Op deze manier breng je het begrip eenheid en tweeheid vanuit het kind zelf, tot stand.
Nu ga je verder, roept er nog een tweede kind bij en zegt: ‘Wanneer jullie op pad gaan, kun je elkaar ontmoeten, je kunt elkaar ook aanraken. Jullie zijn een tweeheid. Maar er kan er nog een bij komen. Dat kan bij de handen niet het geval zijn.’ Zo kun je met het kind overgaan naar de drieheid: l l l .

Auf diese Weise kann man aus dem, was der Mensch selber ist, die Zahl ableiten; Man kommt vom Menschen zu der Zahl. Der Mensch ist etwas Lebendiges, nichts Abstraktes.
Und man kann übergehen und sagen: Sieh einmal, du hast noch irgendwo eine Zweiheit. Man treibt das so lange, bis das Kind zu seinen beiden Beinen und Füßen kommt. Jetzt sagt man: Aber du hast schon des Nachbars Hund gesehen, ist der auch nur auf zwei Füßen? Dann wird das Kind dazu kommen,in den vier Strichen II II das sich Aufstützen von des Nachbars Hund kennenzulernen, und es wird so aus dem Leben heraus allmählich die Zahl aufbauen lernen.
Da ist es nun gut, wenn der Lehrer wieder überall offene Augen hat und alles mit Verständnis anschaut. So könnte ganz gut, weil man zuerst, wie es ja auch natürlich ist, diese sogenannten römischen Zah­len anfängt zu schreiben – denn das ist dasjenige, was das Kind selbstverständlich gleich auffaßt – nun der Übergang gefunden wer den von der Vier mit Hilfe der Hand zu der Fünf: V. Da wird man dem Kinde sagen: Das ist so, wenn du das (den Daumen) zurückhältst,

Op deze manier kun je uit wat de mens zelf is, het getal afleiden: je komt vanuit de mens bij het getal. De mens is iets levends, geen abstractie.
En je kunt verdergaan en zeggen: ‘Kijk eens, jij beschikt nog ergens over een tweeheid.’ Je gaat net zo lang door tot het kind op zijn beide benen en voeten komt. Je zegt: ‘Maar je hebt de hond van je buurman toch weleens gezien, staat die ook alleen maar op twee voeten?’ Dan komt het kind op de vier strepen l l l l die het leert kennen omdat buurmans hond daarop staat en zo zal het vanuit het leven langzamerhand de getallen gaan opbouwen.
En dan is het weer goed dat de leerkracht opnieuw voor alles zijn ogen open heeft en naar alles met begrip kijkt. Zo kun je heel goed, omdat je in het begin, dat is ook het natuurlijke, de zgn. Romeinse cijfers bent gaan schrijven – want dat begrijpt het kind vanzelfsprekend meteen – nu de overgang vinden vanuit de vier met behulp van de hand naar de vijf: V. Dan kun je tegen het kind zeggen: ‘Nu is het zo, wanneer je deze (de duim) weghoudt,

blz.81:

so kannst du diese vier so benützen wie der Hund: I I I I . Dann aber kommt noch der Daumen dazu, jetzt sind es fünf: V.
Ich stand einmal einem Lehrer gegenüber, der in der Erklärung der römischen Zahlen bis zu vier gekommen war, aber nicht darauf kommen konnte, warum es den Römern eingefallen ist, nun nicht fünf Striche nebeneinander zu machen, sondern dieses Zeichen V zu machen für die Fünf. Bis zu I I I I konnte er es ganz gut bringen. Da sagte ich: Nun, machen wir es einmal so, legen wir die fünf Finger so auseinander, daß sie zwei Reihen bilden, und dann haben wir es:
da haben wir in der römischen Fünf die Hand drinnen. Das ist auch die Entstehung der römischen Fünf. Die Hand ist da drinnen.
In einem so kurzen Kurs kann man natürlich nur das Prinzip er­klären. Aber auf diese Weise bekommt man die Möglichkeit, die Zahl selber unmittelbar aus dem Leben abzulesen. Und dann erst, wenn man in dieser Weise unmittelbar aus dem Leben die Zahl her-ausgewirkt hat, versucht man, das Zählen durch Anführen der Zah­len nacheinander durchzunehmen. Aber man versuche dieses so durchzunehmen, daß es den Kindern nicht gleichgültig bleibt. Ehe man ihm sagt: Jetzt sage mir einmal die Zahlen hintereinander auf:

dan kun je deze zo gebruiken als de hond: l l l l. Dan komt de duim er ook bij, nu zijn het er vijf: V.
Ik stond eens tegenover een leraar die met de uitleg van de Romeinse cijfers tot vier was gekomen, maar er niet op kon komen waarom de Romeinen de inval hadden gekregen nu geen vijf strepen naast elkaar te maken, maar dit teken V te maken voor de vijf. Tot l l l l kon hij het heel goed volgen. Toen zei ik: ‘Wel laten we het eens zo doen dat we de vijf vingers zo uit elkaar leggen dat ze twee rijen vormen en dan hebben we het al: we hebben de Romeinse vijf in onze hand.’  Zo is de Romeinse vijf ook ontstaan. Daarin zit de hand.
In zo’n korte cursus kun je natuurlijk alleen maar het principe aangeven. Maar op deze manier krijg je de mogelijkheid het getal zelf direct aan het leven af te lezen. En pas dan, wanneer je op deze manier direct uit het leven het getal hebt laten ontstaan, probeer je het tellen door te nemen, door de getallen na elkaar op te voeren. Maar dat probeer je zo door te nemen dat het voor de kinderen niet lood om oud ijzer is. Voor je hem zegt: ‘Noem de getallen eens na elkaar op:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 usw., gehe man zunächst vom Rhythmus aus. Sagen wir, wir gehen von 1 zu 2 = 1 2, 1 2, 1 2; wir lassen das Kind stärker auftreten bei dem 2, gehen zu 3 auch so ins Rhythmische hin­über = 1 2 3, 1 2 3. Auf diese Weise legen wir den Rhythmus in die Zahlenreihe hinein und bilden so auch die Fähigkeit beim Kinde, die Dinge zusammenzufassen. Wir gelangen so wirklich in einer natur­gemäßen Weise dazu, dem Kinde aus dem Wesen der Zahl heraus die Zahlen beizubringen.
Der Mensch glaubt gewöhnlich, er habe die Zahlen ausgedacht, indem er immer eins zum andern hinzugefügt hat. Das ist aber gar nicht wahr, der Kopf zählt überhaupt nicht. Man glaubt im gewöhn­lichen Leben gar nicht, welch ein merkwürdiges, unnützes Organ für das Erdenleben dieser menschliche Kopf eigentlich ist. Er ist zur Schönheit da, gewiß, weil das Antlitz den anderen gefällt. Er hat noch mancherlei andere Tugenden, aber zu den geistigen Tätigkei­ten ist er eigentlich gar nicht so stark da, denn dasjenige, was er geistig

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,’ enz. ga je eerst van het ritme uit. Laten ze zeggen, dat we uitgaan van 1 naar 2 = 1  2, 1  2, 1  2; we laten het kind de 2 sterker benadrukken en dat doen we ook ritmisch met de 3 = 1 2 3, 1 2 3. Op deze manier brengen we het ritme in de getallenrij en zo vormen we in het kind ook de vaardigheid de dingen bij elkaar te kunnen nemen. Zo lukt het ons daadwerkelijk op een natuurlijke manier om aan het kind uit het wezen van het getal de getallen aan te leren.
Gewoonlijk gelooft de mens dat hij de getallen uitgevonden heeft door aan het ene telkens een andere toe te voegen. Dat is echter helemaal niet waar, het hoofd telt echt niet. Men gelooft in het dagelijks leven helemaal niet wat een merkwaardig, nutteloos orgaan dit menselijke hoofd eigenlijk is voor het aardse leven. Voor het mooie is hij er zeker wel, omdat de ander een gezicht aardig kan vinden. Het hoofd heeft nog allerlei andere deugden, maar voor de geestelijke activiteit is het eigenlijk helemaal niet zo sterk aanwezig, want hetgeen het geestelijk

blz.82:

in sich hat, führt immer zurück in das frühere Erdenleben; er ist das umgestaltete frühere Erdenleben. Und einen richtigen Sinn hat es eigentlich nur dann für den Menschen, einen Kopf zu haben, wenn er etwas weiß von seinen früheren Erdenl eben. Alles andere kommt gar nicht aus dem Kopf. Wir zählen nämlich in Wirklichkeit im Unter­bewußten nach den Fingern. In Wirklichkeit zählen wir 1-10 an den Fingern und 11, 12, 13, 14 an den Zehen weiter. Das sieht man zwar nicht, aber man macht das so bis 20. Und dasjenige, was man im Körper auf diese Weise tut, das spiegelt sich im Kopfe nur ab. Der Kopf schaut nur bei allem zu. Der Kopf im Menschen ist wirk­lich nur ein Spiegelungsapparat von dem, was der Körper macht. Der Körper denkt, zählt; der Kopf ist nur ein Zuschauer.
Dieser Kopf hat eine merkwürdige Ahnlichkeit mit etwas ande­rem. Wenn Sie hier ein Auto haben (es wird gezeichnet) und Sie sitzen bequem darinnen, so tun Sie gar nichts, der Chauffeur da vorne muß sich plagen. Sie sitzen drinnen und werden durch die Welt gefahren. So ist es auch mit dem Kopf; der plagt sich nicht, der ist einfach auf Ihrem Körper, läßt sich ruhig durch die Welt tragen und schaut allem zu. Dasjenige, was getan wird im geistigen Leben, das wird alles vom Körper aus gemacht. Mathematisiert wird vom Körper aus, gedacht wird auch vom Körper aus, gefühlt wird auch vom Körper aus.

in zich draagt, gaat steeds terug op vorige aardelevens; het is het omgevormde vroegere aardeleven. En echt zin voor de mens om een hoofd te hebben, heeft het eigenlijk alleen maar, wanneer hij iets weet van zijn vroegere aardelevens. Al het andere komt helemaal niet uit het hoofd. We tellen namelijk in werkelijkheid onderbewust met de vingers. In werkelijkheid tellen we 1 – 10 met de vingers en 11, 12, 13, 14 met de tenen verder. Dat zie je weliswaar niet, maar dat doe je zo tot 20. En wat je op deze manier in je lijf doet, wordt in het hoofd alleen maar gespiegeld. Het hoofd kijkt bij alles alleen maar toe. Het hoofd van de mens is in werkelijkheid alleen maar een spiegelapparaat van wat het lichaam doet. Het lichaam denkt, telt; het hoofd is slechts toeschouwer.
Dit hoofd vertoont een merkwaardige overeenkomst met wat anders. Wanneer je hier een auto hebt ( het wordt getekend – in het boek ontbreekt de tekening!) en u zit daar comfortabel in, dan doe je helemaal niets, de chauffeur op de voorstoel moet het moeilijke werk doen. U zit erin en wordt door de wereld rondgereden. Zo is het ook met het hoofd; dat doet geen moeite, dat zit alleen maar op je lijf, laat zich rustig door de wereld dragen en kijkt alles aan. Wat aan geestelijk leven wordt verricht komt allemaal vanuit het lichaam. Wiskunde komt vanuit het lichaam, ook denk je vanuit het lichaam en ook voel je er vanuit.

Die Rechenmaschine entspringt eben dem Irrtum, als ob der Mensch mit dem Kopf rechnete. Man bringt dann dem Kinde mit der Rechenmaschine die Rechnungen bei, das heißt, man strengt seinen Kopf an, und der Kopf strengt dann damit den Körper an, denn rechnen muß doch der Körper. Man berücksichtigt nicht, daß der Körper rechnen muß. Das ist wichtig. Deshalb ist es richtig, daß man das Kind mit den Fingern und auch mit den Zehen zählen läßt, wie es überhaupt ganz gut wäre, wenn man möglichste Ge­schicklichkeit bei den Kindern herausfordern würde. Es ist zum Bei­spiel nichts besser im Leben, als wenn man den Menschen im ganzen geschickt macht! Das kann man nicht durch Sport; der macht nicht eigentlich geschickt. Aber geschickt macht es zum Beispiel, wenn man den Menschen einen Griffel zwischen der großen und der nächsten Zehe halten läßt und ihn schreiben lernen läßt mit dem

De rekenmachine vindt zijn oorsprong in de vergissing dat de mens met zijn hoofd rekent. Je leert het kind rekenen met de rekenmachine, dat betekent, je maakt zijn hoofd moe en het hoofd maakt daarmee het lichaam moe, want rekenen moet uiteindeliljk het lichaam. Men heeft niet in de gaten dat het lichaam moet rekenen. Dat is belangrijk. Daarom is het goed dat je het kind met zijn vingers en ook met zijn tenen laat tellen, zoals het ook heel goed is, wanneer je het kind zoveel mogelijk uitdaagt in behendigheid. Er bestaat niets beters in het leven dan wanneer je de mens handig maakt. Dat kun je niet door sport; die maakt eigenlijk niet handig. Maar handig maakt het de mens bv. wanneer je een potlood tussen zijn grote en de teen ernaast laat houden en hem dan laat  schrijven met zijn

blz.83:

Fuß, Ziffern schreiben läßt mit dem Fuß. Das ist etwas, was durchaus Bedeutung haben kann, weil in Wahrheit der Mensch mit seinem ganzen Körper seelendurchdrungen, geistdurchdrungen ist. Der Kopf ist der sich anlehnende und nichtstuende Fahrende, während-dem der Körper überall der Chauf feur ist; der muß alles tun.
Und so muß man von den verschiedensten Seiten her versuchen, dasjenige, was das Kind als Zählen lernen soll, aufzubauen. So ist es wichtig, daß man, wenn man eine Zeitlang so gearbeitet hat, auch dazu kommt, das Zählen nicht bloß durch Zulegen von einem zum anderen – das ist sogar das allerwenigst wichtigste Zählen – hervor­ruft, sondern man bringt dem Kinde bei: das ist die Einheit. Jetzt teilt man das ab (siehe Zeichnung): 

voet, cijfers laat schrijven met zijn voet. Dat kan beslist van betekenis zijn, omdat de mens in waarheid met zijn hele lichaam doordrongen is van ziel en geest. Het hoofd is de reiziger die het zich laat aanleunen, die niets doet, terwijl het lichaam overal de chauffeur is; die alles moet doen.
En dus moet je vanuit de meest verschillende kanten proberen op te bouwen wat het kind bij het tellen moet leren. En daarom is het belangrijk dat je, wanneer je een tijdlang zo gewerkt hebt, er ook toe komt het tellen niet alleen door het ene bij het andere te leggen – dat is zelfs het allerminst belangrijke tellen – maar dat je het kind leert: dit is de eenheid. Nu verdeel je dat (zie tekening):

das ist die Zweiheit. Es ist da nicht eine Einheit neben die andere gelegt zur Zweiheit, sondern da ist die Zwei­heit aus der Einheit hervorgegangen. Das ist die Einheit (siehe oben), das ist nun die Dreiheit. Auf diese Weise kann man die Vorstellung hervorrufen, daß die Einheit eigentlich das Umfas­sende ist, dasjenige, was die Zweiheit, die Dreiheit, die Vierheit zu­sammenfaßt. Wenn man auf diese Weise zählen lernt (siehe Schema) i, 2, 3,4, usw., werden dieBegriffe desKindes lebendig. Dadurch ent­steht in dem Kinde ein innerliches Durchdringen des Zahlenmäßigen.
In gewissen Zeiten des Altertums hat man überhaupt unsere Be­griffe des Zählens, wo immer nur eine Bohne neben die andere ge­legt oder eine Kugel an der Rechenmaschine neben die andere ge­setzt wird, gar nicht so gekannt, sondern man hat eben gesagt: Die Einheit ist das größte; jedes zwei ist nur die Hälfte davon und so weiter. Auf diese Weise kommen Sie in das Wesen des Zählens hin­ein, anschaulich, am Außending. Man soll das Denken des Kindes immer nur am Außending, am Anschaulichen entwickeln, die Ab­straktion möglichst fernhalten.
Das Kind bekommt dann nach und nach die Möglichkeit, die Zah­lenreihe zu haben bis zu einem gewissen Grade, meinetwillen zuerst

dat is de tweeheid. Niet de ene eenheid naast de andere gelegd, is de tweeheid, maar de tweeheid is uit de eenheid ontstaan. Dit is de eenheid – boven – dit is de drieheid.

GA 311 blz. 83

Op deze manier kun je de voorstelling oproepen, dat de eenheid eigenlijk het meest omvattende is, die de tweeheid, drieheid en de vierheid  omvat. Wanneer je op deze manier leert tellen (zie schema) 1, 2, 3, 4, enz. worden de begrippen van het kind levend. Daardoor raakt het kind innerlijk doordringen van wat getallen zijn.
Op bepaalde tijden in de oudheid kende men helemaal niet ons begrip van tellen, waarbij steeds slechts één boon naast de andere gelegd wordt of één bolletje op het telraam naast het andere geplaatst wordt, maar men zou gezegd hebben: de eenheid is het grootst; iedere 2 is daarvan maar de helft enz. Op deze manier kom je in het wezen van het tellen, aanschouwelijk, aan het uiterlijke ding. Je moet het denken van het kind altijd alleen maar aan het uiterlijke ding, aan het aanschouwelijke ontwikkelen, abstracties zoveel mogelijk verre houden.
Het kind krijgt dan langzamerhand de mogelijkheid de getallenrij te kennen tot een bepaalde hoogte, voor mijn part eerst

blz.84:

bis 20, dann 100 usw. Aber man gehe auf diese Weise vor, um dem Kinde das Zählen lebendig beizubringen. Ein Kind kann dann zäh­len. Wirklich zählen soll das Kind zuerst lernen – ich sage das aus­drücklich -, nicht gleich rechnen, sondern zählen. Das Kind soll zählen können bevor man ans Rechnen geht.
Wenn man nun dem Kinde das Zählen nahegebracht hat, so wird es sich darum handeln, ans Rechnen heranzudringen. Auch das Rechnen muß aus dem Lebendigen herausgeholt werden. Das Lebendige ist immer ein Ganzes und als Ganzes zuerst gegeben. Man verübt Schlechtes an dem Menschen, wenn man ihn dazu veranlaßt, immer aus den Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen, wenn man ihn nicht dazu erzieht, auf ein Ganzes hinzuschauen und dieses Ganze dann in Teile zu gliedern. Dadurch, daß man das Kind veranlaßt, auf ein Ganzes hinzuschauen, es zu gliedern und zu teilen, dadurch führt man das Kind an das Lebendige heran.
Man bemerkt ja vieles nicht, was die materialistische Zeit eigent­lich mit Bezug auf die Menschheitskultur getrieben hat. Heute wird man gar keinen besonderen Anstoß daran nehmen, sondern es als etwas Selbstverständliches betrachten, Kinder mit dem Baukasten spielen zu lassen, einzelne Steinchen zu haben und aus denen so ein Gebäude zusammenzusetzen.

tot 20, dan 100 enz. Maar zo moet je het doen om de kinderen op een levendige manier het tellen aan te leren. Een kind kan dan tellen. Echt tellen moet een kind allereerst leren – ik zeg dat met nadruk – niet meteen leren rekenen, maar tellen. Het kind moet kunnen tellen vóór het gaat rekenen.

Wanneer je nu het kind vertrouwd hebt gemaakt met het tellen, dan komt het rekenen aan de beurt. Ook het rekenen moet tevoorschijn komen uit het leven. Het leven is altijd een geheel en als geheel het eerst gegeven. Je doet iets slechts voor de mens, wanneer je hem ertoe brengt steeds uit de delen een geheel te vormen, wanneer je hem er niet toe opvoedt, eerst naar het geheel te kijken en dit geheel dan te verdelen. Door het kind aan te sporen naar het geheel te kijken, naar de delen te kijken en dan te verdelen, breng je het kind bij het leven.
Je merkt veel niet van wat de materialistische tijd eigenlijk met betrekking tot de cultuur van de mensheid gedaan heeft. Tegenwoordig zegt men er niets van,  men vindt het vanzelfsprekend, dat kinderen met een blokkendoos spelen, een paar steentjes te hebben en daarmee een gebouw te maken.

Das ist von vornherein ein Wegführen des Kindes vom Lebendigen. Das Kind hat aus seiner Wesenheit her­aus gar nicht das Bedürfnis, aus Teilen ein Ganzes zusammenzu­setzen. Das Kind hat viele andere, allerdings unbequemere Bedürf­nisse. Das Kind hat, wenn es nur einmal darauf kommt, gleich das Bedürfnis, wenn man ihm eine Uhr gibt, sie gleich zu zerteilen, das Ganze in die Teile zu zerlegen, und das entspricht viel mehr der Wesenheit des Menschen, nachzusehen, wie sich ein Ganzes in die Teile gliedert.
Das ist dasjenige, was nun auch beim Rechenunterricht berück­sichtigt werden muß. Daß das auf die ganze Kultur einen Einfluß hat, mögen Sie aus folgendem Beispiel ersehen.
So bis ins dreizehnte, vierzehnte Jahrhundert herein legte man gar keinen so großen Wert darauf, im menschlichen Denken ein Ganzes

Dat is meteen een wegvoeren van het leven. Het kind heeft van binnenuit helemaal de behoefte niet om uit delen een geheel te maken. Het kind veel andere, zeker minder gemakkelijkere behoeften. Het kind heeft, wanneer hij het eenmaal door heeft, meteen de behoefte, wanneer je hem een horloge geeft, het uit elkaar te halen, het geheel in delen te splitsen en dat is veel meer in overeenstemming met het wezen van de mens, kijken hoe een geheel zich in delen laat verdelen. En dit moet ook bij het rekenonderwijs in aanmerking worden genomen. Dat dit op de hele cultuur van invloed is, moge uit het volgende voorbeeld blijken.
Zo tot in de dertiende, veertiende eeuw hechtte de mens er helemaal niet zo’n grote waarde aan om denkend een geheel

blz.85:

aus seinen Teilen zusammenzusetzen. Das kam erst später auf. Der Baumeister baute viel mehr aus der Idee des Ganzen heraus, und gliederte in die Teile, als daß er aus Teilen ein Gebäude zusammen­gesetzt hätte. Das Zusammensetzen aus Teilen kam eigentlich erst später in die Menschheitszivilisation hinein. Und das hat dann dazu geführt, daß die Menschen überhaupt angefangen haben, alles aus kleinsten Teilen sich zusammengesetzt zu denken. Daraus kam die atomistische Theorie in der Physik. Die kommt nur aus der Erzie­hung. Unsere hohen Gelehrten würden gar nicht so sprechen von diesen winzigen kleinen Karikaturen von Dämonen – denn es sind Karikaturen von Dämonen -, von den Atomen, wenn man sich nicht in der Erziehung daran gewöhnt hätte, aus Teilen alles zusammen-zusetzen. So ist der Atomismus gekommen. Wir kritisieren heute den Atomismus; aber eigentlich sind die Kritiken ziemlich überflüssig, weil die Menschen nicht loskommen von dem, was sie sich seit vier bis fünf Jahrhunderten angewöhnt haben verkehrt zu denken: statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken:

uit de delen samen te stellen. Dat kwam pas later. De bouwmeester bouwde veel meer uit de idee van het geheel, de delen onderscheidend, dan dat hij uit de delen een gebouw samenstelde. Het samenstellen uit delen kwam eigenlijk pas later in de mensheidsbeschaving. En dat heeft er dan toe geleid dat de mensen pas toen begonnen zijn om alles uit de kleinste deeltjes samengesteld te denken. Vandaaruit kwam de atomistische theorie in de natuurkunde. Die komt enkel en alleen uit de opvoeding. Onze grote geleerden zouden helemaal niet zo over deze nietige, kleine karikaturen van demonen spreken – het zijn karikaturen van demonen -, over de atomen, wanneer ze er via de opvoeding niet gewend aan waren geraakt, alles uit delen in elkaar te zetten. Zo is het atomisme ontstaan. We hebben tegenwoordig kritiek op het atomisme, maar eigenlijk is die kritiek tamelijk overbodig. omdat de mensen niet los komen van waaraan zij al vier of vijf eeuwen gewend zijn er verkeerd over te denken:

statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken.
Das ist etwas, was man sich besonders beim Rechenunterricht sagen sollte. Wenn Sie von ferne auf einen Wald zugehen, haben Sie doch zuerst den Wald, und dann erst, wenn Sie nahekommen, glie­dern Sie den Wald in die einzelnen Bäume. So müssen Sie auch beim Rechnen vorgehen. Sie haben ja niemals in Ihrer Börse, sagen wir, i, 2, 3, 4, 5, sondern Sie haben einen Haufen Geldstücke. Sie haben die 5 zusammen. Das ist ein Ganzes. Das haben Sie zuerst. Sie haben auch gar nicht, wenn Sie sich eine Erbsensuppe kochen, i, 2, 3, 4, 5 bis 30, 40 Erbsen, sondern Sie haben einen Haufen. Sie haben auch nicht, wenn Sie ein Körbchen Äpfel haben, i, 2, 3, 4, 5, 6, 7 usw. Äpfel, sondern einen Haufen Äpfel in Ihrem Körbchen. Sie haben ein Ganzes. Was geht es uns zunächst an, wieviel wir haben, wir haben einen Haufen Äpfel (es wird gezeichnet). Jetzt kommen wir mit diesem Haufen Äpfel nach Hause. Drei Kinder sind da. Wir wollen zunächst gar nicht darauf ausgehen, die Teilung gleich so vorzunehmen, daß jedes das gleiche bekommt. Vielleicht ist das eine Kind klein, das andere groß. Wir greifen hinein, geben dem größeren

in plaats van te denken vanuit het geheel naar de delen, denken ze vanuit de delen naar het geheel.
Dat moet  in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz  appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel. Wat interesseert het ons aanvankelijk hoeveel we er hebben, wij hebben er een aantal (het wordt getekend) Nu komen we met deze appels thuis. Er zijn drie kinderen. We willen nu nog helemaal niet zo werken de deling meteen zo te maken dat ieder evenveel krijgt. Misschien is het ene kind klein, het andere groot. Wij regelen het, geven het grotere

blz.86

Kind einen größeren Haufen, dem kleineren Kind einen kleineren Haufen; wir gliedern den Haufen Äpfel, den wir haben, in drei Teile.
#Bild s. 86
Beim Teilen ist es ohnehin so eine merkwürdige Geschichte! Da hatte einmal eine Mutter ein großes Stück Brot und sagte zu dem einen Kind, das Heinrich hieß: Du mußt jetzt teilen, aber christlich teilen. Da fragte der Heinrich: Was heißt denn das, christlich teilen? Nun ja, sagte die Mutter, du mußt das Brot in ein kleineres und ein größeres Stück schneiden, das größere gibst du deiner Schwester Anna, du behältst das kleinere. Darauf sagte Heinrich: Nein, dann soll nur die Anna christlich teilen!
Da muß man noch andere Begriffe zu Hilfe nehmen. Wir machen das so, daß wir zum Beispiel dem einen Kind das geben (siehe Ab­grenzung bei der Zeichnung), dem zweiten Kind diesen Haufen, und dem dritten Kind diesen Haufen. Damit wir es ordentlich über­schauen können, zählen wir zunächst den ganzen Haufen, denn zäh­len kann das Kind schon.

kind een grotere hoop, het kleinere kind een kleiner hoopje; we verdelen de hoop appels die we hebben in drie delen:

GA 311 blz. 86

Bij delen heb ik hier zondermeer een merkwaardig verhaal! Er was eens een moeder die een groot stuk brood had; ze zei tegen haar ene kind die Henk heette: ‘Jij moet nu delen, maar christelijk delen.’ Toen vroeg Henk: ‘Wat is dat dan, christelijk delen?”  ‘Nu’, zei de moeder, ‘jij moet het brood in een klein en een groot stuk snijden, het grotere geef je aan je zusje Anna, jij houdt het kleinere.’ Toen zei Henk: ‘Nee, dan moet Anna maar christelijk delen!’
Dan moet je nog andere begrippen te hulp nemen. Nu doen we het zo, dat wij bv. het ene kind dit geven (zie de begrenzing in de tekening), het tweede kind dit hoopje en het derde kind dit hoopje. Om het goed te kunnen overzien tellen we eerst de hele hoop, want tellen kan het kind al.

Es sind 18 Äpfel. Jetzt habe ich es zu zäh­len. Wieviel hat das erste Kind? 5. Wieviel hat das zweite Kind? 5. Wieviel hat das dritte Kind? 8.
Somit bin ich vom Ganzen ausgegangen, vom ganzen Haufen Äpfel, und habe ihn in drei Teile aufgeteilt.
Sehr häufig macht man es im Unterricht so, daß man sagt: Du hast 5 und noch einmal 5 und 8; die zählst du zusammen, dann gibt das 18.    Da gehen Sie vom Einzelnen aus und kommen zum Ganzen. Aber das gibt dem Kind tote Begriffe, keine lebendigen Begriffe. Gehen

Er zijn 18 appels. Nu moet ik tellen. Hoeveel heeft het eerste kind? 5. Hoeveel het tweede kind? 5. Hoeveel het derde kind? 8
Dus zo ben ik van het geheel uitgegaan, van de hele hoop appels en dieheb ik in drie delen opgesplitst.
Heel vaak doet men het in het onderwijs zo, dat men zegt: ‘Je hebt er 5 en nog een keer 5 en 8; die telt men dan op, dat zijn er 18. Hierbij ga je van de losse uit en kom je bij het geheel. Maar dat levert het kind dode begrippen op, geen levende. Ga

blz.87:

Sie vom Ganzen aus, von den 18, und teilen Sie es auf in die Summanden, so bekommen Sie die Addition.
Unterrichten Sie also nicht so, daß Sie ausgehen von dem einzelnen Addenden oder Summanden, sondern gehen Sie von der Summe aus
– die ist das Ganze – und gliedern Sie sie in die einzelnen Addenden. Dann können Sie dazu kommen, nun zu sagen: Aber ich kann jetzt auch anders aufteilen. Ich kann so teilen -ii ich habe nun andere Ad­denden, das Ganze bleibt immer gleich. Dadurch, daß Sie die Addi­tion nicht so nehmen, wie man sie sehr häufig nimmt, indem man zuerst die Addenden hat und dann die Summe, sondern zuerst die Summe gibt und dann die Addenden, kommen Sie zu ganz lebendi­gen, beweglichen Begriffen. Sie kommen auch darauf, daß da, wo es nur auf die Zahl ankommt, das Ganze eben etwas Gleichbleibendes ist; die einzelnen Summanden, Addenden, können sich ändern. Dieses Ei­gentümliche der Zahl, daß man sich die Addenden in verschiedener Art gruppiert denken kann, das kommt dabei sehr schön heraus.

je van het geheel uit, van de 18 en verdeel je die in optellers, dan krijg je een optelling.
Leer het niet zo aan dat je uitgaat van het losse getallen***, maar ga uit van de som – dat is het geheel – en verdeel dan in de losse getallen. Dan kun je erop komen te zeggen: ‘Maar ik kan nu ook anders delen. Ik kan ook zo verdelen….ik heb nu andere getallen, het geheel blijft steeds hetzelfde. Omdat je de getallen niet zo neemt, zoals ze ze vaak worden genomen wanneer men eerst de getallen heeft en dan de som, maar eerst de som geeft en dan de getallen, dan kom je tot heel levendige, beweeglijke begrippen. Je komt erop dat daar waar het slechts aankomt op het getal, het geheel iets is wat gelijk blijft; de losse, de optellers en de opteltallen kunnen steeds anders zijn. Het karakteristieke van het getal dat je de losse getallen op een verschillende manier gegroepeerd kan denken, komt daarbij heel mooi naar voren.

Dann können Sie übergehen und sagen: Wenn aber etwas nicht nur Zahl ist, sondern die Zahl in sich hat, wie der Mensch, dann kann man nicht in verschiedener Weise teilen. So zum Beispiel wenn Sie den menschlichen Rumpf nehmen und dasjenige, was daran hängt, Kopf, Arme und Füße – da können Sie nicht in beliebiger Weise das Ganze aufteilen, da können Sie nicht sagen: ich schneide den einen Fuß so heraus, die Hand so heraus und so weiter, sondern das ist in bestimmter Weise schon von der Natur aus gegliedert.
Wo es bloß auE das Zählen ankommt, da ist nicht von der Natur aus gegliedert, da kann ich in verschiedener Weise aufteilen.
Das ist dasjenige, wodurch Sie überhaupt die Möglichkeit bekom­men, Leben und lebendiges Fließen in den Unterricht hineinzubrin­gen. Alle Pedanterie fällt heraus aus dem Unterricht, und Sie wer­den sehen, es kommt etwas in den Unterricht hinein, was das Kind außerordentlich gut braucht: es kommt in gesundem Sinne, nicht in kindischem Sinne, Humor in den Unterricht hinein. Und Humor muß in den Unterricht hineinkommen.
Übersetzen Sie das Wort «Humor» gut; das wird immer im Unter­richt mißverstanden!

Dan kun je verder gaan en zeggen: wanneer iets niet alleen een getal is, maar het getal in zich draagt, zoals de mens, dan kun je niet op een verschillende manier delen. Als je bv. de menselijke romp neemt en dat wat eraan hangt, hoofd, armen en voeten – daar kun je niet op een willekeurige manier het geheel opdelen, daar kun je niet zeggen: ik snij de ene voet zo weg, de hand zo enz, maar dat is op een bepaalde manier al door de natuur verdeeld.
Waar het alleen op tellen aankomt, is het niet vanuit de natuur verdeeld, daar kan ik op verschillende manieren delen.
Hierdoor krijg je bovendien de mogelijkheid leven en een levendige stroom in het onderwijs  te brengen. Alle pedanterie valt uit het onderwijs weg en je zult zien dat er iets in het onderwijs komt, dat het kind buitengewoon goed gebruiken kan: er ontstaat op een gezonde manier, niet op een kinderachtige manier, humor in het onderwijs. En bij het lesgeven hoort humor.
Vertaal het woord ‘humor’ goed; dat wordt in het onderwijs steeds verkeerd begrepen.

blz.88:

So müssen Sie überhaupt im Unterricht vorgehen: überall von dem Ganzen ausgehen. Nehmen Sie einmal an, Sie wollen, ganz aus dem Leben heraus, folgendes machen. Die Mutter hat das Mariechen geschickt, Äpfel zu holen. Das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen. Das hat die Kaufmannsfrau auf einen Zettel aufgeschrieben. Das Mariechen kommt nach Hause und bringt nur 10 Äpfel. Die Tat­sache liegt vor, die ist aus dem Leben: das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen und hat nur 10 nach Hause gebracht. Das Mariechen ist ein ehrliches Mariechen, hat wirklich keinen einzigen Apfel auf dem Wege aufgegessen, hat aber doch nur 10 Äpfel nach Hause gebracht. Jetzt kommt jemand nachgelaufen, der auch ehrlich ist, und bringt alle die Äpfel nach, die das Mariechen auf dem Weg verloren hat. Jetzt wird die Frage entstehen: Wieviel bringt der nach? Man sieht ihn erst von ferne kommen. Jetzt will man vorher wissen, wieviele er nachbringt. Nun, das Mariechen ist angekommen, 10 Äpfel hat es gebracht, 25 hatte es bekommen, das sieht man auf dem Zettel, auf dem die Frau es aufgeschrieben hat. Es hat also 15 Äpfel verloren.

Dat moet je in het onderwijs zeer zeker doen: overal van het geheel uitgaan. Neem eens aan dat je echt vanuit het leven het volgende wil doen. Moeder heeft Marie eropuit gestuurd om appels te halen. Marie heeft 25 appels gekregen. Dat heeft de verkoopster op een briefje geschreven. Marie komt thuis en heeft maar 10 appels. Zo ligt het, het is uit het leven: Marie heeft 25 appels gekregen en heeft er maar 10 thuisgebracht. Marie is een eerlijke Marie, ze heeft echt geen enkele appel opgegeten en toch heeft ze er maar 10 thuisgebracht. Nu komt er iemand achter haar aan gelopen die ook eerlijk is en die brengt alle appels mee die Marie onderweg verloren is. Nu zal de vraag rijzen: hoeveel worden er gebracht? Je ziet hem alleen maar van verre aankomen. Je wil wel van te voren weten met hoeveel hij er aankomt. Marie is thuisgekomen en heeft 10 appels meegebracht, ze heeft er 25 gekregen, dat staat op het papiertje dat de dame heeft geschreven. Ze is dus 15 appels verloren.

Sehen Sie, jetzt haben Sie die Rechnung gemacht. Gewöhnlich macht man es so: etwas ist gegeben, man soll etwas abziehen, und dann bleibt etwas übrig. Aber im Leben – Sie werden sich davon überzeugen – kommt es viel häufiger vor, daß man dasjenige, was man ursprünglich bekommen hat, und dasjenige, was übriggeblieben ist, weiß, und man muß dasjenige, was verlorengegangen ist, auf­suchen. Man soll also die Subtraktion, damit man die Sache lebendig treibt, so machen, daß man vom Minuend und vom Rest ausgeht, und den Subtrahend sucht; nicht vom Minuend und Subtrahend aus­gehen und den Rest suchen. Das ist tot. Lebendig ist es, vom Minuend und vom Rest auszugehen und den Subtrahen den zu suchen. Dadurch bekommen Sie Leben in den Unterricht hinein.
Sie werden das schon sehen, wenn Sie die Sache von der Mutter und dem Mariechen ins Auge fassen und den, der den Subtrahenden bringt. Das Mariechen hat vom Minuend den Subtrahend verloren, und das will man so rechtfertigen, daß man von dem, der da nach­kommt, den man herankommen sieht, wissen will, wieviel er bringen muß. Da kommt in die ganze Subtraktion Leben, wirkliches Leben

Kijk, zie je, nu heb je de berekening gemaakt. Gewoonlijk doet men het zo :iets is gegeven, je moet er iets van aftrekken en dan blijft er wat over. Maar in het leven – daar kun je je van overtuigen – komt het veel vaker voor, dat je, wat je oorspronkelijk gekregen hebt weet en wat over is weet je en wat er verloren is gegaan, moet je opzoeken. Je moet de aftrekking dus, om de zaak levendig te behandelen, zo maken, dat je van het aftrektal en van de rest uitgaat en de aftrekker zoekt; niet van het aftrektal en de aftrekker uitgaan en de rest zoeken. Dat is doods. Levend is, uitgaan van het aftrektal en de rest en de aftrekker
opzoeken. Daardoor krijg je leven in het lesgeven.
Je zult het al wel zien, wanneer je kijkt naar het geval van de moeder en Marietje en van degene die de aftrekker thuisbrengt. Marie is van het aftrektal de aftrekker verloren en dat wil je zo vereffenen dat je van degene die er achteraan komt wil weten hoeveel hij er mee moet brengen. Dan komt er leven in de hele aftrekking, echt leven

blz.89

hinein. Wenn man nur danach fragt: wieviel bleibt übrig – bringt das nur Totes in die Seele des Kindes hinein. Sie müssen immer darauf bedacht sein, überall das Lebendige, nicht das Tote in das Kind hin­einzubringen.
Und so können Sie dann weitergehen. Sie können die Multipli­kation so treiben, daß Sie sagen: Das Ganze, das Produkt ist vor­handen; wie kann man finden, wievielmal irgend etwas in diesem Produkt drinnensteckt? Sehen Sie, da kommen Sie auf Lebendiges. Denken Sie einmal, wie tot es ist, wenn Sie sagen: Ich teile mir diese ganze Gruppe von Menschen ab, da sind drei, da sind noch einmal drei usw., und ich frage jetzt: wievielmal drei sind da? Das ist tot, da ist kein Leben drinnen.
Wenn ich umgekehrt vorgehe und das Ganze nehme und frage, wie oft irgendeine Gruppe drinnen stecke, dann kann ich Leben hin­einbringen. Ich kann zum Beispiel zu den Kindern so sagen: Seht, ihr seid hier in der Klasse eine gewisse Zahl. Zählen wir es ab. Ihr seid 45. Jetzt suche ich mir 5 heraus, i, 2, 3, 4, 5, die stelle ich daher. Nun lasse ich abzählen, wievielmal sind diese 5 da drinnen in diesen 45? Sehen Sie, da gehe ich wieder aufs Ganze, nicht in den Teil.

in. Wanneer je slechts vraagt: hoeveel blijft er over – beng je alleen iets doods in de ziel van een kind. Je moet er altijd op bedacht zijn overal het levende, niet het dode aan het kind te brengen.
En zo kun je dan verder gaan. Je kunt de vermenigvuldiging zo doen, dat je zegt: het geheel is het product, dat is aanwezig; hoe kun je vinden hoeveel keer iets in dit product zit? Kijk, dan kom je op iets levends. Denk eens hoe doods dat is, wanneer je zegt: deze hele groep mensen verdeel ik, hier zijn er drie, daar nog eens drie enz. en nu vraag ik: hoeveel keer drie zijn er? Dat is dood, daar zit geen leven in.
Wanneer ik het omgekeerd doe en het geheel neem en vraag, hoe vaak een of ander groepje daarin zit, dan kan ik er leven in brengen. Ik kan het bv. zo tegen de kinderen zeggen: ‘Kijk, jullie zijn hier in de klas met een bepaald aantal. We tellen ze. Jullie zijn met 45. Nu zoek ik er 5 uit, 1, 2, 3, 4, 5, die laat ik daar staan. Nu laat ik tellen, hoe vaak deze 5 in deze 45 zitten. Zie je, dan ga ik weer naar het geheel, niet naar het deel. Hoeveel van zulke groepjes van 5 kan ik nog maken. En dan kom ik erachter dat er nog acht groepjes van vijf in zitten. Dus ik doe het omgekeerd, ga van het geheel uit, van het product en zoek op hoe vaak een factor daar in zit. Daardoor maak ik de rekenvormen levend en ga ik bovenal van het aanschouwelijke uit. En het komt erop aan dat wij het denken nooit, nooit, nooit losmaken van het aanschouwelijke, anders komt het kind te vroeg in het intellectualisme, de abstractie en dan bederven we het hele kind. We maken het dor en bovendien stimuleren we in hem – we zullen nog spreken over de opvoeding van geest, ziel en lichaam -, we stimuleren in hem het uitdrogen, ook van het fysieke lichaam, de sclerose.
Opnieuw hangt er veel vanaf dat we zo het rekenen aanleren zoals het hier bekeken is opdat de mens nog op hoge leeftijd beweeglijk blijft, nog mee kan komen. Wanneer je aan het menselijke lichaam, zoals ik het beschreven heb, leert tellen, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

blz.90:

10 und dann weiter mit den Zehen – ja es wäre schon ganz gut, wenn man die Kinder gewöhnen würde, bis 20 wirklich mit Fingern und Zehen zu zählen, nicht mit der Rechenmaschine -, wenn Sie das die Kinder lehren, dann werden Sie sehen, durch dieses kindliche Medi-tieren – denn wenn man an den Fingern zählt, wenn man mit den Zehen zählt, so muß man auch an die Finger und Zehen denken, das ist ein Meditieren über den eigenen Körper, und zwar ein gesundes Meditieren -, da bringt man Leben hinein in den Körper. Man ist dann im Alter mit den Gliedern noch geschickt; sie behaupten sich, weil sie am ganzen Organismus das Zählen gelernt haben. Wenn man nur mit dem Kopfe denkt, nicht mit den Gliedern und dem übrigen Organismus denkt, dann können sie sich später auch nicht behaupten, und man kriegt die Gicht.
Wie man aus dem Anschaulichen heraus, nicht aus dem, was man heute oftmals «Anschauungsunterricht» nennt, alles in Erziehung und Unterricht besorgen muß, das möchte ich Ihnen nun an einem bestimmten Fall zeigen, der ja tatsächlich im Unterricht eine ganz besondere Rolle spielen kann.  

10 en dan verder met de tenen – ja het zou al heel goed zijn, wanneer je de kinderen eraan zou wennen, tot 20 werkelijk met vingers en tenen te tellen, niet met het telraam -, wanneer je dat de kinderen aanleert, dan zul je zien, dat door deze kinderlijke manier van bezinning – want wanneer je met de vingers telt, wanneer je met je tenen telt, dan moet je aan je vingers en tenen denken, dat is een bezinning over je eigen lijf en wel een gezonde bezinning – daarmee breng je leven in het lijf. Dan ben je in de ouderdom met je ledematen nog behendig; je kunt er nog wat mee, omdat ze het tellen hebben geleerd aan het hele organisme. Wanneer je alleen maar met het hoofd denkt, niet met de ledematen en de rest van het organisme denkt, dan kun je er later niet veel meer mee en je krijgt jicht.

Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen.

Es ist der Fall des pythagoreischen Lehrsatzes, den Sie ja wohl alle kennen, wenn Sie unterrichten wer­den, den Sie vielleicht schon in einer ähnlichen Weise durchschaut haben, aber wir wollen ihn heute doch noch besprechen. Sehen Sie, der pythagoreische Lehrsatz bedeutet etwas, was man sich tatsäch­lich im Unterrichte so als ein Ziel hinstellen kann für die Geometrie. Man kann schon die Geometrie so aufbauen, daß man sagt: man will alles so gestalten, daß sie gipfelt in dem pythagoreischen Lehrsatz, daß das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Es ist etwas ganz Grandioses, wenn man das so recht ins Auge faßt.
Ich habe einmal einer Dame, die dazumal schon älter war, weil sie das so liebte, Geometrie beibringen sollen. Ich weiß nicht, ob sie alles vergessen hatte – aber vermutlich hatte sie nicht viel gelernt gehabt in den Mädchenerziehungsinstituten, in denen man so als Mädchen erzogen wird -, jedenfalls wußte sie nichts von Geometrie. Ich fing nun an und gipfelte das Ganze bis zum pythagoreischen

Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is  iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt.
Ik moest eens een dame die toen al ouder was, omdat ze er zo van hield, meetkunde leren. Ik weet niet of ze alles vergeten was – maar vermoedelijk had ze op het meisjesinternaat waar je als meisje opgevoed werd niet veel geleerd – in ieder geval wist ze niets van meetkunde. Ik begon en liet alles uitmonden in de stelling van

blz.91:

Lehrsatz hin. Nun hatte der pythagoreische Lehrsatz für die Dame in der Tat etwas außerordentlich Frappieren des. Man ist nur gewöhnt an dieses Frappierende. Aber nicht wahr, man soll einfach das ver­stehen, daß, wenn ich hier ein rechtwinkliges Dreieck habe (es wird gezeichnet), die Fläche, die als Quadrat über der Hypotenuse er­richtet wird, gleich ist der Summe dieser beiden Quadratflächen über den Katheten (Fig. I). Daß, wenn ich also Kartoffeln pflanze,

Pythagoras. Nu had deze stelling voor die dame inderdaad iets buitengewoon frapperends. Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)

fig.lGA 311 blz. 91

Dat, wanner ik aardappelen poot en die  overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien.
En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw

blz.92:

daran glauben, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.
Nun kann man ja allerlei Beweise finden, und der Beweis sollte eigentlich ganz anschaulich geliefert werden. Er ist leicht zu liefern, solange das Dreieck gleichschenklig ist. Wenn Sie hier ein gleich­schenklig-rechtwinkliges Dreieck haben (es wird gezeichnet, Fig. II),

geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.
Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)

GA 311 blz. 93 1

so ist dieses hier die eine Kathete, dies ist die andere Kathete, das ist die Hypotenuse. Das, was ich jetzt orange zeichne (1, 2, 3, 4), ist das Quadrat über der Hypotenuse. Das, was ich blau zeichne, sind die Quadrate über den beiden Katheten (2, 5; 4, 6).
Nun ist es wiederum so, wenn ich in der richtigen Weise hier über diesen beiden blauen Feldern (2, 5; 4, 6), Kartoffeln anpflanze, be­komme ich gleichviel, wie wenn ich in dem orangen Feld (1, 2, 3, 4) Kartoffeln anpflanze. Das orange Feld ist das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden blauen Felder (2, 5; 4, 6) sind die Quadrate über den beiden Katheten.
Nun können Sie ja den Beweis einfach machen, indem Sie sagen:
Die zwei Stücke (2, 4) von den beiden blauen Quadraten, die fallen da (ins Hypotenusenquadrat) herein, die sind schon drinnen. Das da (5) können Sie hier heraufsetzen (auf 3). Wenn Sie sich das Ganze ausschneiden, können Sie das Stück (6) hier darauflegen (auf i), und Sie haben es gleich. Also, da ist die Sache ganz durchsichtig, wenn man ein sogenanntes rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat. Aber hat man nicht ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, sondern eines von verschiedenen Seiten (wie Fig. I), da kann man das folgende machen: Zeichnen Sie sich dieses Dreieck noch einmal

dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer

blz.93:

heraus (Fig. III: ABC). Zeichnen Sie jetzt das Quadrat über der Hy­potenuse ABDE. Nun können Sie in folgender Weise zeichnen: Sie
#Bild s. 93
können das Dreieck ABC, das Sie hier haben, hier daran zeichnen:
BDF. Dann können Sie dieses Dreieck ABC, respektive dieses BDF, was dasselbe ist, noch einmal hierher zeichnen: AEG. Dadurch, daß Sie dieses Dreieck hier noch einmal haben, können Sie sich das Qua­drat über dieser einen Kathete so herzeichnen (rot) CAGH. Jetzt ist das, was ich rot gezeichnet habe, das Quadrat über der einen Kathete (CAGH).
Ich kann nun auch, wie Sie sehen, das Dreieck hierher zeichnen:
DEI. Hier habe ich es auch. Dann habe ich in dem, was ich hier jetzt grün zeichne, das Quadrat über der anderen Kathete: DIHF; dann habe ich da zwei, das Quadrat über der einen Kathete, das Quadrat über der anderen Kathete. Ich benutze nur bei dem einen diese Kathete AG, bei dem anderen diese Kathete DI. Die Dreiecke sind da (AEG) und da (DEI); aber gleich (d.h. kongruent). Wo habe ich das Quadrat über der Hypotenuse? Das will ich nun violett hin-einzeichnen, damit wir es gut unterscheiden können: ABDE. Das Quadrat über der Hypotenuse habe ich hier. Jetzt soll ich an der Figur selber zeigen, daß rot (1, 2) und grün (3, 4, 5) zusammen violett (2, 4, 6, 7) gibt.
Nun werden Sie ja leicht einsehen können: ich nehme dieses rote Quadrat (1, 2) hier zuerst; dasjenige, was die beiden Quadrate gemeinschaftlich

(fig.lll: ABC)

GA 311 blz. 93 2

Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH).
Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert.
Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijk

blz.94:

haben (2), das fällt ja übereinander. Nun kommt da noch das Stück vom grünen Quadrat (4) herein. So habe ich also diese Figur (2, 4), die Sie da gezeichnet sehen, und die nichts an­deres ist als ein Stück von dem violetten Quadrat ABDE, richtig ein Stück von dem violetten Quadrat. Dieses Stück von dem violetten Quadrat DE enthält dieses Stück von dem roten Quadrat (2); bleibt davon nur noch der Zipfel hier übrig (1); den enthält es noch nicht. Aber außerdem enthält diese Figur diesen Zipfel von dem grünen Quadrat (4). Jetzt muß ich nur noch darauf kommen, das unter­zubringen, was mir da übriggeblieben ist (1, 3, 5).
Nun müssen Sie einmal sehen: da ist Ihnen ein Stückchen vom roten Quadrat übriggeblieben (1), da ein Stückchen vom grünen Quadrat (3), und da ist Ihnen dieses ganze Dreieck (5) übriggeblie­ben, das auch zum grünen Quadrat DIHF gehört. Jetzt nehmen Sie das, was Sie hier haben, was Ihnen da noch übriggeblieben ist, und setzen es da an: dasjenige, was Ihnen hier noch übriggeblieben ist (5), nehmen Sie und setzen es da an (6). Jetzt haben Sie auch noch die Zipfel da (1, 3). Wenn Sie das ausschneiden, kommen Sie richtig darauf, daß diese beiden Flächen (1, 3) in diese Flächen (7) hinein-gefallen sind.

hebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5).
Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen.

Es kann natürlich noch deutlicher gezeichnet werden, aber ich denke, Sie werden die Sache durchschauen. Es handelt sich jetzt nur noch darum, daß es sich durch die Sprache noch näher mit­teilt. Auf diese Weise haben Sie einfach durch das Flächen-überein­anderlegen gezeigt, daß der pythagoreische Lehrsatz richtig ist. Wenn Sie gerade diese Art des Übereinanderlegens nehmen, so wer­den Sie etwas finden. Sie werden zwar sehen, wenn Sie die Sache aus­schneiden, statt daß Sie es aufzeichnen, daß sie sehr leicht überschau­bar ist; trotzdem, wenn Sie später darüber nachdenken, wird es Ihnen wieder entfallen. Sie müssen es immer wieder von neuem suchen. Sie können es sich nicht ganz gut im Gedächtnis merken, daher muß man es immer wieder aufs neue suchen. Und das ist gut. Das ist näm­lich ganz gut. Das entspricht dem pythagoreischen Lehrsatz. Man soll immer wieder von neuem darauf kommen. Daß man ihn ein­sieht, soll man immer wieder vergessen. Das entspricht dem Frap­pierenden, was der pythagoreische Lehrsatz hat. Dadurch bekommen

Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is.
Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg je

Sie das Lebendige in dieSache hinein. Sie werden schon sehen, wenn Sie dieses von den Schülern wieder und wieder machen lassen, die müssen es herausdrucksen. Sie kommen nicht gleich wieder darauf, sie müssen jedesmal nachdenken. Das entspricht aber dem Innerlich-Lebendigen des pythagoreischen Lehrsatzes. Es ist gar nicht gut, wenn man den pythagoreischen Lehrsatz so beweist, daß er platt philiströs einzusehen ist; es ist viel besser, daß man ihn immer wie­der vergißt und immer wieder von neuem suchen muß. Das entspricht dem Frappierenden, daß es doch etwas Sonderbares ist, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Katheten­quadrate.
Nun können Sie ganz gut mit elf- oder zwölfjährigen Kindern die Geometrie so weit bringen, daß Sie den pythagoreischen Lehrsatz in einem solchen Flächenvergleich erklären; die Kinder werden eine ungeheure Freude haben, wenn sie das eingesehen haben, und sie be­kommen Eifer. Das hat sie gefreut. Jetzt wollen sie es immer wieder machen, besonders, wenn man sie es ausschneiden läßt. Es wird nur ein paar intellektualistische Taugenichtse geben, die sich das ganz gut merken, die es immer wieder zustandebringen. Die meisten, ver nünftigeren Kinder, werden immer wieder sich verschneiden und daran herumdrucksen, bis sie herausbekommen, wie es sein muß. Das entspricht aber dem Wunderbaren des pythagoreischen Lehr-satzes, und man soll nicht aus diesem Wunderbaren herauskommen, sondern drinnen stehen bleiben.

blz.95:

leven in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw  moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden.
Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden.

*Rechenmaschine: rekenmachine – zie Pascal; wat de school betreft: zijn er op de scholen al rekenmachines of wordt hier het telraam, de abacus, bedoeld, zoals je zou kunnen concluderen op blz.83?

**Ik heb ‘eenheid’ hier bewust gekozen, – geheel of totaliteit – kan ook worden gebruikt, omdat het een voorbode is op weg naar het getal één, als eenheid, als nog ongedeeld. In de eerste rekenles in klas 1 wordt vaak gezegd dat één het grootste getal is; dat kun je later wel zeggen, maar daarvoor moet het kind wel ervaren hebben wat ‘eenheid’ is.

***Steiner maakt hier een onderscheid tussen het opteltal en de opteller van een optelling bv. 8 + 5 =  wordt 8 het optel(ge)tal (Addend) genoemd: het is een gegeven. 5 komt er bij, daar zit de activiteit, uitgedrukt in de uitgang -er: opteller.(Summand) ‘Het antwoord heet ‘som’. In het woordenboek ‘Duden’ wordt nauwelijks onderscheid gemaakt tussen Addend en Summand. Ik heb ze hier even vermeden en maar gewoon ‘getallen’ gebruikt. Som: In het Nederlands wat verwarrend, want de opgave wordt ook som genoemd. Het antwoord ‘de som’ is hier ‘het geheel’.

1) Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit (GA 311) De uitgave op de site is van 1965 – ik heb die van 1979 gebruikt.

GA 311 (Duits)

GA 311 voordracht [1]  [2]  [3]  [4]  [6]   [7vragenbeantwoording        vertaling

Steiner: alle pedagogische voordrachten

Steiner: alle artikelen op deze blog

Rekenen: alle artikelen

843