Categorie archief: rekenen

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1250 artikelen

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

REMEDIAL TEACHING
[1]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Met sprookjesbeelden, nog wel. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Door de dierkundeperiode in klas 4, o.a. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

Luc Cielen:
In tot nog toe 11 artikelen probeert Luc aan te tonen dat er teveel antroposofie zit in het leerplan van de vrijeschool.
In zijn artikel 1 gaat het over geschiedenis, dier- en plantkunde.
In geschiedenis toont Pieter Witvliet aan dat je daar nog heel anders naar kunt (en wat hem betreft móet) kijken; ook ‘Atlantis’ is niet per definitie ‘antroposofie’

In dierkunde toont Pieter Witvliet aan dat de indeling in hoofd, romp en ledematen niet iets ‘typisch van Steiner is’. Door te werken als Steiner aangeeft, kan er een met eerbied gevoelde relatie ontstaan tussen kind en wereld, wat geen antroposofie is.

In plantkunde toont Pieter Witvliet aan dat ook het plantkunde-onderwijs geen antroposofisch onderwijs genoemd kan worden, behalve het onderdeel plantenkarakter en zieleneigenschap. Dit wordt echter in vrijwel geen enkele school aan de orde gesteld.

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

spel

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

.

HET GROOTSTE GETAL VAN DE WERELD

LEREN REKENEN VANUIT MENSKUNDIG PERSPECTIEF

‘Moeder, moeder! Vandaag hebben we het allergrootste getal van de wereld geleerd….!
Met dit vanzelfsprekend hoogst opwindend nieuwtje stormt het kind na zijn eerste rekenles naar binnen om zijn moeder als eerste deze belangrijke boodschap vol vreugde mee te delen. Het kind zit op de vrijeschool.
Hopelijk zijn vader en moeder naar de laatste ouderavond geweest, toen de leerkracht over de op handen zijnde eerste (en belangrijkste) rekenperiode in het leven van de kinderen sprak. Anders zou de grote vreugde van het kind snel kunnen verdwijnen voor een reusachtige teleurstelling. Want wee de moeder die nu vermoedt dat het om het getal 1000 gaat, omdat ze – onwetend en niets vermoedend – aanneemt dat 1000 voor een eersteklassers op z’n minst een zeer groot, zo niet voor nu het allergrootste getal is. Of zouden de kinderen al iets van een miljoen geleerd hebben….? O jee! Er helemaal naast! De moeder die zoiets vermoedt, heeft zelf beslist niet op de vrijeschool gezeten, anders was het haar volkomen duidelijk geweest, dat het ‘grootste getal van de wereld’ natuurlijk alleen maar de  een(heid) kan zijn, zoals ze nu te horen krijgt van een trots kind.
Wanneer de kinderen op de vrijeschool met de getallen vertrouwd raken, leren ze eerst, net zo als bij het leren kennen van de letters, de kwaliteit en niet de kwantiteit van de getallen kennen.
En dus vertelt de leerkracht in het eerste uur rekenen de kinderen een verhaal dat over de eenheid  gaat. In deze eenheid, leren de kinderen, zit al het andere besloten. Er is maar een wereld (als eenheid), ook ieder mens is een eenheid op zich. De kleine Tobias heeft onmiddellijk door dat er van hemzelf maar één is. Hij is een eenheid, hij is uniek, net zoals zijn vader, zijn moeder, zoals ieder mens. Door de kinderen worden snel andere eenheden gevonden: godvader, de zon, de maan, de boom, de hond, de school, het lokaal, de broer, enz. Alles is – kwalitatief beschouwd – uniek, is elke keer een eenheid. En het getal (het cijfer) voor de eenheid is de 1! Omdat de eenheid alles omvat, is het cijfer dat er symbool voor staat 1 het ‘grootste’ getal van de wereld. Dat begrijpen de kinderen volkomen, omdat het waar is en daarom zijn zer zo opgetogen over.
Getallen (en letters) eerst leren kennen vanuit de wezenskenmerken, is helemaal niet wereldvreemd of ‘klinkende onzin’.  Want wanneer je de kwaliteit van een ding, een wezen niet begrijpt, begrijp je van de kwaliteit nog minder. Iedere praktisch ingestelde koopman handelt zo, uit de aard der zaak iedere huisvrouw ook, ieder mens die iets kopen wil. Eerst kijkt hij naar de kwaliteit van de koopwaar. voordat hij over de kwantiteit, hoeveel ervan, beslist. Want niemand koopt graag een kat in de zak.
Moeten kinderen dan – zoals tegenwoordig algemeen gangbaar is – getallen, letters puur intellectualistisch abstract leren, wordt dan niet van het getal en de letters het levende, het wezenlijke, de kwaliteit onthouden; meestal hebben ze ook problemen met het begrijpen waarom het eigenlijk gaat. Ze dreunen weliswaar zuiver automatisch na, bijv. 1 + 1 = 2; 2 + 2 = 4 enz., maar dat zijn dan volledig oppervlakkige activiteiten, bloedeloze rekenoperaties die door eenvoudig uit het hoofd leren in het brein van de leerlingen vast komen te liggen. En hoeveel leerlingen kampen juist in de 1e klas al met grote begripsproblemen bij het eerste schrijven, lezen en rekenen.
We moeten steeds uitgaan van wat een kind begrijp! Wat zou er voor een kind groter kunnen zijn dan die ene  wereld waarin het leeft? Die omvat al het andere. Dat begrijpen de kinderen en vandaar dat ze wat ze geleerd hebben trots mee naar huis nemen.
Op deze manier worden ook de andere getallen langzaam aan de orde gesteld. De volwassene kan weten dat uit de eenheid van het paradijs, waarin slechts die  ene  mens Adam leeft, uiteindelijk het dualisme, het wezen van de tweeheid (de 2), het tegenover elkaar staan, ontstond. Adam en Eva, het aardse leven en het hiernamaals, man en vrouw, licht en donkerte, warmte en koud. hard en zacht, hoog en laag, goed en slecht enz. Tegengestelden die als paar steeds bij elkaar horen. ‘Waar licht is, is ook schaduw’. Het dualisme is de tweeheid die uit de eenheid ontstond. Er heeft een delingsactiviteit plaatsgevonden, twee verschillende kwaliteiten staan voor de eerste keer als tegengestelden tegenover elkaar, iets is gedifferentieerd, afgezonderd. Dat is het begin van een ontwikkeling waarin een eerste proce waarin het bewustzijn zich ontwikkelt. Het ervaren van het tegenovergestelde veroorzaakt een mogelijkheid iets te weten over hier en daar, ik en jij, waarbij echter wat nu een gescheiden eenheid is, één oorsprong heeft en in wezen bij elkaar hoort.
Ook in de (goddelijke) natuur komen wij overal kwaliteit tegen. Door de celdeling ontstaan uit één cel, de eenheid, twee cellen. Uit deze twee ontstaan door een nieuwe deling opnieuw twee cellen. Uit een bevruchte kiem wordt door onophoudelijke celdeling een nieuw wezen gevormd. Uit de eenheid (van de kiem) volgt de differentiatie in de veelvoud, zonder het karakter van de eenheid te verliezen. Uit een eikel komt een eikenboom.
Ook de oude, overgeleverde sprookjes en fabels schilderen altijd het kwalitatieve, het wezenlijke. De sprookjesmotieven hebben symbool(beeld)karakter. Zo bestaan er veel sprookjes met de koning. Voor het kind is deze in alle sprookjes een en hetzelfde koninklijke wezen, de heerser. Het intellect zou spitsvondig erop kunnen wijzen dat ieder sprookje zijn eigen, dus een andere koning heeft en verder nog opmerken, dat het maar om ‘sprookjes’verhalen gaat, die je niet seriwus hoeft te nemen. En wat vertellen de fabels? Er is bijv. de vos die de kwaliteit, de representant is van het listige, geslepene; de wolf symboliseert de hebzucht enz.
Voor kinderen die getallen – zoals het nu gewoonlijk gaat – kwantitatief leren kennen, dus 1 + 2 + 4 + 3 = 10 uitrekenen, kan er geen grootste getal zijn. Want de zakelijke logica zegt dat bij ieder getal, al is het nog zo groot, steeds nieuwe getallen bijgevoegd kunnen worden, zonder einde. Om toch een einde te hebben, is de uitweg ‘onvoorstelbaar’, ‘oneindig groot’ gevormd. Hoe groot een dergelijk getal kan zijn, gaat het voorstellingsvermogen te boven, je kunt het niet bevatten, is niet meer denkbaar.
Is dat niet ook zo met veel andere denkmodellen, ‘theorieën’ genoemd? Theorie is volgens Duden: …een bedachte, werkelijkheisvreemde voorstelling’. En toch wordt onze wetenschap en daarmee ons leven, door vele theorieën beheerst en gesteund. Je hoeft maar aan de atoomtheorie te denken – en de concrete gevolgen voor de mensheid – aan de relativiteitstheorie, de quantentheorie en andere denkmodellen. Zo werden ook de economie, het sociale leven, de politiek als ook het onderwijs door denkmodellen, door theorieën beheerst. Veel is gebaseerd, ondanks hoogst wetenschappelijke formuleringen, op hypothesen, op aannames, op onzekerheden. Is het daarom verwonderlijk wanneer steeds meer mensen tegenwoordig in hun levensgevoel zich onzeker, bedreigd en willoos voelen, zonder precies de oorzaken te kennen?
Nog een voorbeeld kan het onderwerp waarom het hier gaat, nog duidelijker maken. In het mainstreamonderwijs leren de kinderen, zoals al gezegd, volgens de methode: 6 + 6 = 12. Rekenkundig is de uitkomst helemaal goed. Wanneer je je bewust wordt van de rekenweg die je volgt, de manier waarop het bij het optellen gaat, moet je vaststellen dat de uitkomst, de 12, volkomen vastligt.
Wat speelt zich in de ziel van het kind af die op deze manier leert rekenen en optellen: 2 + 2 = 4;  2 + 3 = 5;  7 + 8 = 15;  20 + 20 = 40 enz.?
Rudolf Steiner wijst de leerkrachten erop  dat degene die zo rekent, van te voren al denken (de uitkomst) op de plaats van de werkelijkheid zet. Dat leidt tot eenzijdigheid.
Veel meer vrijlatend, bonter en levendiger is de door Rudolf Steiner aanbevolen manier van het eerste, aanvankelijke rekenen. Je geeft het kind bijv. 12 kastanjes. Die vormen de eenheid die in het echt voor het kind ligt, de werkelijkheid. Deze kastanjes kan het kind nu op alle mogelijke manieren verdelen en daarbij levendig en vrijlatend rekenen. 12 is bijv. 11 + 1  of  10 + 2  of  9  +  3  of  8  +  4  of  7  +  5  of  14 – 2  of  22 –  10 enz. Je legt de kinderen als je zo met getallen en uitkomsten bezigbent niet vast. Ook hebben ze er zoveel meer plezier in en roept in hen een heel andere levendigheid en geestelijke beweeglijkheid op. Maar dat is maar een deel. Een ander, veel belangrijker gezichtspunt is de aandacht waard. Leert een kind rekenen met de gewone methode 6  +  6  =  12, dan betekent dit concreet, dat het rekenende kind al meteen iets heeft, namelijk 6 en wanneer het er nu nog 6 bijkrijgt, heeft het er 12 in zijn bezit. Rudolf Steiner wijst erop dat de mensen zich niet moeten verbazen , wanneer deze manier van optellen – ik bezit en er komt meer bij – in het gevoel begeerte, egoïsme enz, oproept. De manier waarop in de vrijeschool wordt gerekend, ias daarom anders, zoals al aangegeven.
De leerling gaat uit van de realiteit, zijn hoopje eikels of kastanjes, die daadwerkelijk in zijn hand liggen. Die verdeelt het, geeft ze weg, het kind  geeft, maar het haalt niet naar zich toe. 12 is bijv. 3  +  3  +  6 enz. En zo heeft de manier van rekenen de mogelijkheid in zich dat de leerling (onbewust) de zielenhouding van het (onzelfzuchtige) geven oefent en wellicht tot gewoonte maakt.
Zo zijn de beide manieren van leren rekenen niet alleen uiterlijk twee volledig verschillende wegen, ze zijn het ook kwalitatief zeer. Leren de kinderen in hun eerste levensjaren, daar horen ook de eerste jaren op school bij, de wereld die hun omringt weznelijk, d.w.z. in haar kwalitatieve vorm te kennen en te begrijpen, dan zijn dat voor hen absolute zekerheden en waarheden; ze bevinden zich op een absluut zekere basis (van vertrouwen). Daar kunnen ze op bouwen. En deze levenshouding geeft hun levenszekerheid!
Het rekenen, zoals het in de eerste klas van de vrijeschool begonnen wordt, was maar een voorbeeld van een fundamentele, levenspraktische methode die niet alleen naar het kind kijkt, maar naar de hele mens.
Wat voor een buitengewoon diepingrijpende uitwerkingen onderwijsmethoden kunnen hebben die voor de mens wezenlijk zijn, zoals bijv. de theoretisch uitgedachte rekenpraktijk voor volwassenen en hoe die op de opgroeiende zielen van invloed zijn, sprak Rudolf Steiner in alle duidelijkheid in een voordracht die hij in Oxford hield op 21-08-1922 [1]:
‘Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element.(….) Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
(….) Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
Het volgende zal u wellicht uiterst paradoxaal in de oren klinken, maar daar ik over de werkelijkheid spreek, en niet over hetgeen ons tijdperk zich verbeeldt, wil ik, daar de waarheid in onze tijd vaak paradoxaal lijkt, voor dergelijke paradoxen ook niet terugschrikken. Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen Bolsjewisme geweest in Oost-Europa.”
GA 305/110
vertaald

Hans Harres, Erziehungskunst 50-7/8-1986

.

Rudolf Steiner over: van geheel naar de delen i.v.m. rekenen: GA 301 voordracht 10

Rekenen 1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenliedjes

.

Vanuit menskundige aspecten kan rekenen makkelijk worden verbonden met ‘ritme’ – in zekere zin dus: met muziek. In onderstaand artikel vind je interessante gedachten over de toepassing van muziek bij het rekenen. Door de kennis van het mensbeeld dat de basis vormt van de vrijeschoolpedagogie zul je wellicht hier en daar tot andere conclusies en aanpak komen, maar het is altijd goed te onderzoeken hoe waardevol de vindingen van anderen (kunnen) zijn.

Rekenliedje!

Hoe kun je elf paardebloemen eerlijk verdelen?

Pabo-docente Marjolein Kool heeft de teksten geschreven voor een cd met rekenliedjes voor groep drie. De liedjes zijn prima te gebruiken als aanvulling op een rekenmethode.

“Met de cd kun je bij rekenen en wiskunde meer doen dan alleen de methode volgen”, zegt Marjolein Kool. “Het maakt het rekenonderwijs gevarieerder.” Kool geeft* aan de pabo Domstad in Utrecht les in de didactiek van rekenen en wiskunde. En ze is hoofdredacteur van Willem Bartjens, een tijdschrift voor reken- en wiskundeonderwijs op de basisschool. Kool is ook nog dichteres. Samen met drs. P heeft ze het gedichtenboek Wis- en natuurlyriek geschreven. “Als aardigheidje tussendoor worden de gedichten nog wel eens gebruikt in de wiskundelessen in het voortgezet onderwijs.”

Rondje rekenliedjes heet de cd met liedjes over tellen van hoeveelheden, terugtellen van tien naar nul, splitsen, delen en passen en meten. Optellen en aftrekken en sommen bedenken ontbreken natuurlijk niet. Anneke Noteboom, die werkzaam is bij het instituut voor leerplanontwikkeling SLO heeft samen met Kool de onderwerpen voor de cd bedacht en een handleiding met lessuggesties geschreven. In de docentenhandleiding staat een schema op welk moment de liedjes bij de verschillende rekenmethoden kunnen worden gebruikt. Voor de leerlingen is er een speel-rekenboek met allerlei aanvullende opdrachten. “Hoewel de melodie soms wat moeilijk is, pakken de kinderen de liedjes zo op”, zegt Kool. Leuke bijkomstigheid voor de kinderen is dat Frank Groothof uit Sesamstraat de liedjes zingt.

Superwonderbril
In ieder liedje zit een moeilijkheid of een conflict verwerkt waardoor kinderen aan het denken worden gezet. In het Verjaardagslied moeten twee jarige dieren elf paardebloemen met zijn tweeën verdelen. Kool: “Wij hadden bedacht dat de oplossing van de kinderen zou zijn een bloem teruggeven of een bloem doormidden breken. Maar waar komen ze op? We zetten ze bij elkaar in een vaas en dan kunnen de dieren er samen van genieten.” Bij de Superwonderbril wordt een aantal munten over twee handen verdeeld. De ene hand gaat open en daar liggen drie muntjes. Hoeveel zitten er in de hand die gesloten is? Kan ik dat zien met de superwonderbril? “Intussen zijn de leerlingen allerlei splitsingen van getallen aan het leren”, zegt Noteboom. “Bij kleine aantallen heb je grotere kans dat kinderen die minder rekenvaardig zijn ook mee kunnen komen. Wat je hierbij ziet is dat de kinderen aan elkaar gaan uitleggen hoe het zit.” Als je aan leerkrachten van groep drie vraagt waar ze in de reken- en wiskundeles met de kinderen mee bezig zijn, noemen ze meten en meetkunde meestal niet. “Dat onderdeel vinden leerkrachten moeilijk en dan heb ik het niet alleen over de leerkrachten van groep drie. Als ze even in tijdnood komen, slaan ze meetkunde over.” Bij Wat past er in mijn schoenendoos gaan de kinderen voorwerpen vergelijken op basis van lengte, breedte en hoogte. Bij het Schaduwlied worden de kinderen geconfronteerd met schaduw als meetkundig fenomeen. Kool: “Hoe zit het met je schaduw als je onder een lantaarnpaal door loopt, daar kun je het dan met ze over hebben.”

Bij de Stoelendans leren de kinderen ruimtelijke begrippen toe te passen. Aan de orde komen begrippen als eromheen, rechts, andersom, erop en omhoog. Bij Springen komen even en oneven getallen aan bod Kool: “Als ze het niet snappen geeft dat niet, want ze hoeven het niet direct te snappen: Bij deze twee liedjes moeten de kinderen ook in beweging komen.

De tafels
Op het tweede deel van de cd staat alleen de muziek van de liedjes en kunnen de kinderen met elkaar nieuwe sommen of telrijen bedenken. Op de basisschool waar de cd is uitgeprobeerd gebeurde dat vol overgave. Voor leerkrachten die zelf willen musiceren is de bladmuziek van de reken-cd te downloaden via http://www.zwijsen.nl. Van leerkrachten krijgen Kool en Noteboom de vraag om een cd over de tafels te maken. Er is al een cd op de markt waar met housemuziek op de achtergrond de tafels worden opgezegd. Kool: “Wij willen het op een andere manier aanpakken, bijvoorbeeld met vermenigvuldigstrategieën als uitgangspunt. Zoals verwissele als je 5 x 6 weet, weet je 6 x 5 ook. En een keer minder: als je 10 x 8 weet, kun je 9 x snel berekenen.” De tafel-cd, die meer onderwerpen dan vermenigvuldigen zal bevatten, wordt voor groep vier.

Meetlied
Ik wilde wel eens weten:
Hé, hoe lang is onze gang?
Ik heb hem opgemeten.
Hij was dertien stappen lang.

Dat wilde ik noteren,
maar toen zei de meester: ‘Wacht,
laat mij het eens proberen.’
En bij hem was het maar acht!

Schaduwlied

Ik sliep laatst als een roosje
in de schaduw van een boom.
Toen werd het na een poosje
alsmaar warmer in mijn droom.

Het zonnetje daarboven
scheen weer helemaal op mij.
De schaduw was verschoven.
Of deed jij de boom opzij?

Knikkerlied
Alle knikkers willen rollen.
Hoeveel zijn het er deze keer?
Ikke negen, Robin één en samen
is dat tien meneer.

Robin wint het eerste potje.
Robin krijgt er eentje meer.
Ikke acht en Robin twee en
samen is dat tien meneer.

 

Tineke Snel in Het Onderwijsblad *05-04-2003
(Overname met toestemming van de Aob)

 

Rekenen: alle artikelen

 

1226

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – over getallen

.

GETALLEN

Wie een getal onder de tien moet raden, bijvoorbeeld om het ene overgebleven taartje te mogen verschalken, kan het best drie of zeven zeggen. Want dat zijn de getallen die het meest genoemd worden als mensen naar hun lievelingsgetal wordt gevraagd.

Dat er met deze getallen wat aan de hand is, weet zelfs een kind. Want ze figureren veelvuldig in sprookjes en kinderrijmpjes: De drie kleine kleutertjes op een hek, de wolf die zeven geitjes oppeuzelt of de zeven kikkertjes in een boerensloot.

Psychologe drs M. Milikowski promoveert volgende week vrijdag* aan de
Universiteit van Amsterdam op een onderzoek naar de manier waarop mensen omgaan met de getallen één tot en met honderd. Niet alleen vroeg ze proefpersonen naar hun lievelingsgetal en naar de associatie die ze bij een getal hebben, ook onderzocht ze met welke getallen het gemakkelijk rekenen is en met welke moeilijker.

Als schoolkinderen wordt gevraagd hoe lang een trein over één rondje doet als hij er tien in 30 minuten aflegt, dan geven ze snel het juiste antwoord. Maakt de trein echter twaalf rondjes in 84 minuten, dan levert het antwoord heel wat meer hoofdbrekens op.

Milikowski vroeg zich af, of valt te voorspellen welke sommen het gemakkelijkst te maken zijn. Of er in de hersenen een soort opslagmechanisme is waardoor dicht bij elkaar liggende getallen ook veelvuldiger met elkaar worden geassocieerd.
Daarvoor deed ze associatie-experimenten, zoals ook in de taalkunde worden gedaan. Een proefpersoon zegt bijvoorbeeld in meer dan vijftig procent ‘zwart’ als hij ‘wit’ op een beeldscherm te lezen krijgt. Milikowski vroeg haar proefpersonen associaties bij getallen te maken. Hoog – maar nooit boven de 50 procent – scoorden bijvoorbeeld de paren 59-60, 70-7, 9-3, 25-5 en 100-10.

De associaties bleken overigens niet wederkerig. Het aantal mensen dat 3 zegt als het 9 ziet bijvoorbeeld, is bijna twee keer zo groot als zij die de associatie 9 krijgen als ze 3 zien. Ook wordt het cijfer twee onevenredig vaak als associatie genoemd, terwijl het aantal associaties dat men bij twee krijgt, niet boven het gemiddelde uitstijgt.

Milikowski constateert dat er grote verschillen zijn tussen verschillende categorieën van getallen, als ze kijkt naar de frequentie waarin ze in associatie-experimenten worden genoemd. De enkelvoudige getallen, de cijfers 0 tot en met 9, worden veruit het meest genoemd, gevolgd door de tientallen. Daarna komen de getallen die deel uitmaken van de tafels van vermenigvuldiging en tenslotte de getallen die geen deel uitmaken van deze tafels.

Ook bij het onthouden van getallenrijen scoren de eencijferige getallen en de tientallen het best. Verder blijken proefpersonen 59 en 41, gevraagd naar het gevoel dat ze erbij hebben, heel vervelende getallen te vinden en ze worden ook slecht onthouden. Maar de kroon spant 67. Dat moet wel het rotste getal op aarde zijn, want mensen blijken het niet alleen een ‘naar’ getal te vinden, ze weigeren ook het te onthouden als het in een rijtje voorkomt.

Het is misschien een beetje raar om mensen te vragen welk gevoel ze bij een getal krijgen, en Milikowski moest constateren dat een aantal proefpersonen dacht dat ze gek was, maar toch blijken mensen sympathie of antipathie voor bepaalde getallen te hebben. Denk alleen maar aan het getal dertien, waarvan velen menen dat het ongeluk brengt.

Op de schaal ‘goed-slecht’ scoren vooral de even getallen goed (met 10 en 100 als.absolute toppers) en de oneven getallen slecht (met 67 en 53 als slechtste). Verder worden 87 en 83 als ‘zware’ getallen beschouwd en 22 en 4 als ‘lichte’. En 13 en 19 vonden Milikowskis proefpersonen ‘opwindend’; 80 en 82 juist ‘kalm’.

Achteraf kwamen sommige proefpersonen met hele ontboezemingen over wat ze bij diverse getallen voelden. 7 is geen goed getal voor mij, vertelt één van hen. ‘Het is onvriendelijk, net als 11.’

Een ander over het getal 13: ‘Het is een ongeluksgetal. Ik geloof er niet zo in, maar… Het is ook een priemgetal en 13, geen goede leeftijd ook.’

Dat getallen worden geassocieerd met gevoelens uit het dagelijks leven en dat ze een rol spelen in de interpretatie daarvan is ouder dan de weg naar Rome. Bij de Babyloniërs was zeven het aantal delen waaruit alle volkomen dingen bestonden. Er waren zeven hemelen, zeven afdelingen van de onderwereld met zeven poorten.

OOK IN DE BIJBEL speelt zeven, als teken van volmaaktheid, veelvuldig een rol. De Schepping duurde niet voor niets zeven dagen en Joshua moest op de zevende dag, zeven keer om de stad Jericho trekken terwijl zeven priesters op zeven ramshoorns bliezen.

Dertien* geldt als ongeluksgetal: er is geen dertiende rij stoelen in vliegtuigen, vaak missen hotelkamers 13 en in flatgebouwen wil ook nog wel eens de dertiende etage ontbreken. En over het onheil dat ons op vrijdag (de dag waarop Jezus werd gekruisigd) de dertiende kan overkomen, kunnen we beter zwijgen.

Het bijgeloof in het getal 13 hangt in de Westerse wereld samen met het laatste avondmaal van Jezus waaraan dertien personen deelnamen. Judas verlaat als eerste de tafel en zal ook als eerste sterven nadat hij Jezus verraden heeft. Dertien wordt daarom ook wel het Judasgetal genoemd. In Nederland herinneren de gezegden ‘De dertiende man brengt de dood an’ en ‘Dertien aan tafel, morgen één dood’, nog aan die betekenis. In het Midden-Oosten is dertien ook een ongeluksgetal. Het is immers één meer dan twaalf, het getal dat aansluit bij de verdeling van het uitspansel ïn sterrenbeelden.

Tot in de Middeleeuwen was dertien onder Christenen in Europa echter juist een geluksgetal. Het was immers een combinatie van tien (de tien geboden) en drie (de heilige drieëenheid). In de kabbalistiek – waarin op grond van onder meer de getalswaarde van de (Hebreeuwse) letters inzicht wordt gekregen in God en zijn verhouding tot mens en wereld – is dertien ook een geluksgetal. En ook op andere plekken in Joodse geschriften komt dertien naar voren als een getal van verlossing.

De Christelijke leer heeft heel wat getallen een betekenis gegeven. De 1, ondeelbaar, werd het symbool van God, 3 de drieëenheid, 7 en 12 zijn heilige getallen omdat ze de drieëenheid combineren met de vier elementen (water, lucht, aarde, vuur): 3 + 4 en 3 x 4. Het getal 10 staat voor de Christelijke volmaaktheid, terwijl het getal 11 de onmatigheid en de zonde symboliseerde.

De Griekse filosoof Pythagoras (zesde eeuw voor Christus) en zijn volgelingen brachten de getallensymboliek bij uitstek in praktijk. Elke scholier kent de stelling van Pythagoras over de rechthoekige driehoek waarin de lengte van de schuine zijde de wortel is van het de som der kwadraten van de rechte zijden  (c2=a2+b2).

Net zoals deze stelling een belangrijke bouwsteen werd van de meetkunde, hebben andere ideeën van de meester en zijn discipelen religie en literatuur beïnvloed. Voor Pythagoras draaide alles om orde en regelmaat. Hij zou hebben ontdekt dat de intervallen op de muzikale toonschaal zich verhouden als 1:2, 2:3 of 3:4, waarmee de eerste vier gehele getallen uit de wiskunde worden vastgelegd.,

Hij en zijn volgelingen bouwden deze gedachte uit en concludeerden ten slotte dat alles in het universum te meten is met gewone gehele getallen. Zij waren buitengewoon gefascineerd door even en oneven getallen, waarmee ze de wereld indeelden. De oneven getallen behoren tot de rechter zijde en ze hangen samen met de beperking, het mannelijke, rust, eerlijkheid, licht en goedheid en – in meetkudige zin – het vierkant.

De even getallen behoren toe aan de linker zijde; het oneindige (want ze zijn oneindig deelbaar), het vrouwelijke, beweging, oneerlijkheid, donker en kwaad en de rechthoek. Dit contrast tussen even en oneven, tussen het ondeelbare (God) en het oneindige, heeft een belangrijke rol gekregen in het volksgeloof en in theologische speculaties.

Plato bijvoorbeeld, zag in alle even getallen slechte voortekens. In tegenstelling tot de hedendaagse proefpersonen van Milikowski die de even getallen juist als positief waarderen.

Pythagoras introduceerde ook het perfecte getal, waarvan de componenten bij elkaar opgeteld weer het betreffende getal leveren. Zes is het eerste perfecte getal (1+2+3=6) en 28 het volgende (1+2+7 + 14=28). Inmiddels zijn er 23 van zulke perfecte getallen ontdekt. Zes is zelfs een dubbel perfect getal want ook 1 x 2 x 3 levert 6 op.

‘In de structuur van de wiskunde zit iets bovenmenselijks’, verklaart emeritus-hoogleraar wiskunde prof.dr F. van der Blij, de vroege drang van de mens tot getallensymboliek. ‘Het is een manier om de onzekerheid van het leven een zekerheid te geven.’

Van der Blij meent dat veel wiskundigen denken dat de wiskunde een ontdekking is van ideeën. De aantrekkingskracht van wiskunde zit ook in de oneindigheid. Er is altijd een getal te bedenken dat groter of kleiner is. ‘Vroeger geloofde men in de eindigheid der dingen, maar de wiskunde heeft dat denken op z’n kop gezet.’

Over de bijzonderheid van bepaalde getallen, moet wiskundige Van der Blij een beetje lachen. Alle getallen zijn bijzonder, is zijn stelling. Want het eerste getal dat niet bijzonder is, is juist daardoor ook weer speciaal, waardoor het volgende getal het eerste niet-bijzondere getal wordt, enzovoort.

Van der Blij vergelijkt het tellen en het toekennen van getallen aan gebeurtenissen met de eerste grottekeningen van de primitieve mens. Door hun tekening – wellicht gebruikt voor de jacht of in de magie – kregen ze macht over wat ze waarnamen. ‘Ook als je het kunt tellen, heb je er macht over’, stelt Van der Blij.

In veel primitieve culturen – vooral onderzocht aan het eind van de vorige eeuw, begin van deze eeuw – is de bevolking gezegend met drie telwoorden: één, twee, veel. Andere maken bij het tellen combinaties. De Braziliaanse Bakaïri-indianen zeggen tokále als ze één bedoelen en aháge voor twee. Vijf is bij hen
aháge-aháge-tokále.

Het is niet verwonderlijk dat bij veel natuurvolken 5 vaak met ‘hand’, 10 met ‘beide handen’ en 20 met ‘mens’ (inclusief de tenen) wordt aangeduid. De Groenlandse Eskimo zou, volgens de in 1947 gehouden oratie van dr J. Popken tot hoogleraar aan de Univeriteit Utrecht, het getal 53 hebben uitgedrukt als ‘aan de derde man aan de eerste voet drie’, Wat betekent dat men eerst vingers en tenen van twee mannen moet aftellen daarna de vingers van een derde man en vervolgens drie tenen van diens voet.

In de moderne samenleving gebruiken we zonder aarzelen getallen, waarvoor handen en voeten absoluut te kort schieten. Van bijvoorbeeld de lezer van een krantenartikel wordt verwacht dat deze een miljoen, miljard of zelfs biljoen nog kan bevatten.

Onderzoekster Milikowski vraagt zich af of zulke getallen nog wel kunnen worden onthouden. Daarvoor gaat zij, inmiddels werkzaam bij de afdeling publieksstudies van de Universiteit van Amsterdam, onderzoeken hoe getallen het best kunnen worden gepresenteerd aan argeloze krantenlezers.

Heeft het bijvoorbeeld zin om te schrijven dat 1.123.000 Nederlanders de film Schindlers List hebben gezien? Denkt de lezer dan: ‘heel veel’ mensen hebben de film gezien, of rondt hij of zij het aantal kijkers automatisch af op ruim een miljoen? En hoe kunnen getallen het best gepresenteerd worden: cijfers of letters?

Misschien wel het best als symbolen, zoals de Maya’s in Latijns Amerika deden of de Pythagoreeërs met hun geometrische figuren. Want het menselijk brein is nu eenmaal beter in staat om figuren en symbolen te onthouden dan cijfers. Een wereldbol zou kunnen staan voor vijf miljard, een voetbalstadion voor tienduizend. Maar wat moet je dan antwoorden op de vraag: ‘noem-es ’n symbool onder een voetbalstadion?’

Maarten Evenblij, Volkskrant *21-10-1995

.

*Accipicchia, o jee, vrijdag de 17′! Veel Italianen zullen die dag nog eens extra over hun malocchio-hangertje wrijven. Het getal 17 brengt in Italia namelijk ongeluk. Het is niet helemaal duidelijk waarom dit zo is. Een verklaring luidt dat het te maken heeft met de schrijfwijze in Romeinse cijfers. 17 wordt met deze cijfers namelijk als XVII geschreven. In de middeleeuwen, toen Italiaanse volkeren voornamelijk dialect spraken en er veel analfabetisme was, verwarden ze xvii en vixi. Het laatste betekent in het Latijn ‘ik heb geleefd’, en werd veel op graven van overledenen geschreven. Vandaar dus dat het getal 17 in Italia met de dood wordt geassocieerd, en dus vermeden moet worden.

Dat verklaart ook meteen waarom de Renault 17 in Italia R177 heet, en waarom de vliegtuigen van Alitalia geen stoelnummer 17 hebben. Het bijgeloof gaat soms zelfs zo ver dat in sommige straten huisnummer 17 wordt overgeslagen. Nummer 16 wordt dan gevolgd door 16a en daarna komt 18. Zo omzeil je het ongeluk!

(calendria italiana)

.

Milikowski over: discalculie

Rekenen: alle artikelen

 

1225

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Een schoolboekje

.

UIT DE KINDERJAREN VAN HET SCHOOLBOEKJE

In 1836 werd een boekje, het „Nommerkransje”, uitgegeven als een van de eerste pogingen het leren rekenen voor de kinderen aantrekkelijk te maken.

 

 

 

 

 

 

‘Nut en vreugde’ te bieden was het doel van het Nommerkransje, een van de eerste boekjes waaruit de Nederlandse kinderen leerden tellen en rekenen….

 

 

 

 

 

De inhoud van de boekjes uit het begin van de negentiende eeuw varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme: de beschrijving van de drie doodgeschoten haasjes doet óns haast wellusitg aan!

 


Een voorbeeld van het zoetsappig brave: stille Piet waagt zich niet ‘roekloos’op het ijs en de schrijver noemt dat maar een wijze daad!


Het Nommerkransje werd uitgegeven in 1836: in die tijd was het algemeen gebruik dat de kinderen tijdens de maaltijden aan tafel stonden – kijkt U maar ; tien en een is elf’.


Kennelijk was de verjaardag van de koning toen een even groot feest als koninginnedag nu: dankbaar maakte de schrijver gebruik van die feestelijkheden voor een van zijn sommetjes.

 

 

 

Tachtig leerlingen, twee onderwijzers: wat dit betreft is er niet zoveel veranderd in al die jaren…..

Mijn spelen is leren,
mijn leren is spelen,

En waarom zou mij dan
het leren vervelen ?

Het lezen en schrijven|
verschaft mij vermaak.

Mijn hoepel, mijn priktol
verruil ik voor boeken;

Ik wil in mijn prenten
mijn tijdverdrijf zoeken,

’t Is wijsheid, ’t zijn deugden,
naar welke ik haak.\

HET VROLIJK LEEREN.

De regels hierboven schreef Hieronymus van Alphen bijna twee eeuwen geleden in zijn kindergedichtje „Het vrolijk leren”, en daarmee luidde hij voor het Nederlandse kind een tijdperk in waarin het lezen en leren veel aantrekkelijker werden dan voordien het geval was. Van Alphens bundel Proeve van kleine Gedigten voor Kinderen, die in 1778 verscheen bij de weduwe Jan van Terveen te Utrecht, was het eerste Nederlandse kinderboek dat niet uitsluitend ten doel had de kinderen te stichten en iets te leren, maar bovendien enig vermaak en een prettige ontspanning beoogde. Als zodanig was de bundel het begin van de Nederlandse kinderliteratuur.

Bijna alles wat voor die tijd voor kinderen in druk was verschenen, was niet erg op de „lieve kleinen” afgestemd: leerboekjes over de godsdienst, de deugden, het rekenen, spellen en lezen. Hun inhoud was meestal dor, zakelijk en miste de kinderlijke toon. Onder Duitse invloed was Hieronymus van Alphen in ons land de eerste die wél de kinderlijke toon benaderde. Het succes van zijn in 1778 verschenen dichtbundeltje was enorm. In datzelfde jaar beleefde het vier herdrukken, binnen drie jaar elf, en doordat Van Alphens initiatief onmiddellijk navolging vond, ontketende hij daarmee een ware lawine van kinderboeken, waardoor hun aantal in een jaar of vijf van nul tot vele honderden steeg….

In het begin van de vorige eeuw had Nederland al zó’n omvangrijke productie van kinderboeken, dat deze, gerekend naar het aantal titels per jaar, waarschijnlijk weinig voor die van tegenwoordig onderdoet. Het waren in vele gevallen beeldige boekjes, formaat als van een pocketboek of kleiner, voortreffelijk gedrukt en prachtig geïllustreerd met kopergravures of houtsneden.

De inhoud ervan varieerde van zoetsappig braaf tot het meest verbazingwekkende realisme. Op het gebied van ziekten en en dood, sociale toestand en sex, had men nauwelijks geheimen voor kinderen. Vaak werd gewezen op de broosheid van het menselijk bestaan. Als een meisje haar broertje opwekt ook blij te zijn, te dansen, te zingen en springen, antwoordt Pietje:

Neen, al ben ik klein,
Licht kan mij op heden
Nog de dood vertreden.
Zou ik dan zo dartel zijn?

KOSTELIJKE LEER- EN LEESBOEKJES

Het leren lezen en spellen was honderden jaren lang een nogal saaie, moeizame aangelegenheid geweest. Pas tegen het einde de achttiende eeuw kwam daar verandering in toen pioniers Nieuwold en De Perponcher opmerkelijk frisse en aantrekkelijke lees- en leerboekjes publiceerden. Treffend is bijvoorbeeld een dialoog tussen een moeder en kind in Nieuwolds boekje met de veelzeggende titel: Wij zijn kinderen met elkanderen, ik ben er ook bij:

De Moeder. Maar wat doet gij wanneer gij slaapt ?
Het kind. Dan sluit ik mijne oogjes toe.
De Moeder. Hoe sluit gij uwe oogjes toe?
Het kind. Met de oogleden.
De Moeder. Die oogleden zijn evenals kleine gordijntje; dies kan men ophalen, en neder laten vallen.

In onze ogen minder kinderlijk is wat we lezen in Nieuwolds boekje voor de eerste klas van de lagere school:

„Frans-man! Wees hups,
heus en kuis; niet wulps!’

Zeer origineel en raak zijn de schoolboekjes van De Perponcher, waarvan wij hier een bladzijde verkleind weergeven.

Hierbij vergeleken is de bestseller van N. Anslijn, De brave Hendrik, eigenlijk een achteruitgang:

„Kent gij Hendrik niet, die altijd zo beleefd zijnen hoed af neemt als hij voorbijgaat? Vele mensen noemen hem de brave Hendrik, omdat hij zo gehoorzaam is, en omdat hij zich zo vriendelijk jegens ieder gedraagt. Hij doet nooit iemand kwaad. Er zijn wel kinderen die hem niet liefhebben. Ja, maar dat zijn dan ook ondeugende kinderen. Alle brave kinderen zijn gaarne bij Hendrik. Kinderen, die met Hendrik omgaan, worden nog braver, want zij leren van tem, hoe zij handelen moeten ”

Wat ons van die spreekwoordelijk geworden „Brave Hendrik” toch wel weer meevalt, is dat uit het vervolgdeeltje blijkt dat Hendrik ,ene vriendin” heeft: Maria.

Gij kent zeker deze Maria wel. Het is dat meisje, hetwelk altijd zo zindelijk in de kleren is.”

In Gezondheidslessen en -regelen voor de kinderlijke leeftijd,
uitgegeven door de Maatschappij tot Nut van ’t Algemeen, lezen we ter waarschuwing tegen koud drinken:

Een braaf en bevallig meisje, op ene danspartij wat al te veel bezweet geworden zijnde, had de onvoorzichtigheid om, ter lessing van hare dorst, de bierkan aan hare mond te stellen, en met volle teugen daaruit te drinken. Ogenblikkelijk ontwaarde zij daarvan de zo dodelijke uitwerking. Haar gezicht werd verduisterd, haar gelaat opgezet en blauw; ene duizeling greep haar aan, zij viel neder en was binnen enige ogenblikken een lijk!

Datzelfde boekje voor kinderen bevat een hoofdstuk onder de titel „Vlied den wellust” — dermate schokkend realistisch dat vele lezers zouden protesteren als we het in Margriet zouden afdrukken!

HET MOOIE ABC
D kennis van het ABC opent de toegang tot de wereldliteratuur. Wat begon met het ABC-bordje, bestaande uit een plankje of kartonnetje met handvat en daarop een perkament of papierblaadje, tegen slijtage en vuil beschermd door een doorzichtig hoornblaadje en een koperen lijstje, ontwikkelde zich tot ABC~boekjes, die soms openden met de afbeelding van een haan, bijvoorbeeld onder het motto:

’s Morgens de haan
zijn ijver bewijst.

Leert, jonge jeugd,
dat men u ook zo prijst.

Dergelijke „Haneboeken” werden lange tijd bij het onderwijs gebruikt. In de 26ste druk anno 1819 van zo’n haneboek lezen we:

Een kind, dat goed leert,
Niet vloekt en niet zweert,
Dat graag naar school gaat,
Dat niet te veel praat,
Dat tot Gods eer leeft,
Dat naar Zijn wet streeft,
Hem met zijn hart mint,
Dat is een braaf kind.

Betje Wolff noemde dergelijke versjes terecht „dweperachtige zotternijen”. Gelukkig kwamen er ABC-boekjes met pittiger versjes, waarvan het bekendste werd:

A is een aap-je,
dat eet uit zijn poot.

B is de bak-ker,
die bakt voor ons brood.-

Ook voor het leren van de cijfers en de getallen kwam men tot steeds aantrekkelijker boekjes, zoals Niets is nul, waarvan wij hier een aantal pagina’s reproduceren. Grappig is hierin Jans antwoord op Trijns vraag waar hij heen gaat: „’k ga, mijn lieve Trijn, waar vrouwen niet nieuwsgierig zijn”

Vele boekjes met kopergravures werden met de hand gekleurd — met waterverf in grote gezinnen, waarbij de kinderen meehielpen. Tot de fraaiste exemplaren op dit gebied behoort het Nommerkransje door J. F. L. Müller, dat in 1836 werd uitgegeven door Joh. Guykens te Amsterdam — op de bladzijden hiervoor volledig gereproduceerd — waarvan het volgend jaar bij de uitgeverij J. M. Meulenhoff een facsimile-herdruk verschijnt, naar ik hoop tot veler genoegen.

Leonard de Vries, in het weekblad Margriet, nadere gegevens onbekend

.

Schrijven: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Leerproblemen (3-1)

.

DYSCALCULIE

Het mysterie van de dyscalculie

Mensen met dyscalculie zijn interessant.
Neem Stanley, die de tafels niet kan leren. Hoeveel was 6 x 6 ook weer? Vorige week wist hij het nog, maar nu niet meer. 54? 32? 38? 50? Maar als ik hem vraag naar de maten van een klasgenoot – ook vorige week bepaald – weet hij ze nog precies: 55 kilo en 159 centimeter.

Of neem Omar. Als ik hem uitprobeer op het leren van de tafel van 12 geeft dat nuL resultaat: geen enkel product is goed. Maar als ik hem, op dezelfde manier, acht leeftijden van zes familieleden, hun huis en hun poes laat leren reproduceert hij die getallen feilloos, alle acht. Hoe oud was de poes ook weer? 19. En het huis? 104. En de moeder? 56. No problem.

Waarom vindt 2 x 12 niet zijn plek, maar de leeftijd van 23 wel? Dat is het raadsel van de dyscalculie. Althans: een van de raadsels.

Laten we eerst eens zien wat er gebeurt als kinderen leren rekenen. Ze moeten een nieuw systeem gaan leren.
Een, twee, drie, vier, vijf – elk aantal is verschillend, en heeft behalve een eigen naam en een eigen symbool ook zijn eigen karakteristieke betekenis. Dat gaat zo door tot tien, waarna patronen zich naar vorm en inhoud beginnen te herhalen. De bedoeling is dat je voor de betekenis achter die namen en symbolen een zekere waardevastheid ontwikkelt en de meest markante patronen soepel leert gebruiken. Mensen met dyscalculie missen, zo lijkt het, de ankers die getallen in het geheugen op hun plek moeten houden. Wat was dat ook weer, 9? Even tellen. O ja, daar is hij. De waardebepaling wil maar niet beklijven, zelfs niet in het gebied tot 10, waarin anderen inmiddels blindelings de weg weten. Dat biedt geen goed uitgangspunt voor het vastleggen van de regelmaat in het systeem.

Er is dus tussen dyslexie en dyscalculie een belangrijk verschil. Het leesprobleem van dyslectici is niet inhoudelijk. Als de tekst wordt voorgelezen, snappen ze hem prima. Hun probleem zit hem in de vertaling van letters in klanken – die is niet nauwkeurig genoeg.
Mensen met dyscalculie hebben wel een inhoudelijk probleem. Het is de betekenis van de getallen die zij niet goed op orde krijgen.

De langzaamste
Dyscalculie is een omstreden begrip, om een aantal redenen. De eerste is dat elke vaardigheid goede en slechte beoefenaars kent. Ik bijvoorbeeld kan niet zuiver zingen; het onthouden en reproduceren van een melodie kost me meer moeite dan menig ander. Maar ben ik daarom meteen een dys-? Laat een klas hardlopen en sommigen sukkelen steevast achteraan. Moet je dat nou een stoornis noemen?
Op elke taak heb je goeden, middelmatigen en slechten, dat is de consequentie van het vergelijken. Iemand moet nu eenmaal de langzaamste zijn. Dus waarom zou je iets normaals als zwakker kunnen rekenen dan anderen, een bijzondere naam moeten geven? Die redenering klopt, maar ze houdt geen rekening met de omstandigheden. Als ik niet zuiver hoor en zing, heeft dat weinig consequenties. Maar stel je eens voor dat ik verplicht elke ochtend een uur lang van blad zou moeten zingen, halve noten correct raken, tweede stemmen improviseren. Dan mocht ik toch willen dat iemand op het idee kwam om mij tot dys- te verklaren. Dan zouden ze moeten zeggen: doe met haar maar een simpele liedje. Of geef haar een piano, die weet tenminste hoe een bes klinkt.

Rekenen lijkt daarop. Het vereist een steeds beter gestemd intern klavier. En sommige mensen krijgen dat stemmen maar niet behoorlijk voor elkaar.

Opvallend gebrek
Het tweede bezwaar tegen de term dyscalculie is dat we niet weten waarop we precies moeten letten. Wat moet iemand nu eigenlijk niet kunnen om dyscalculisch te mogen heten? Dat is inderdaad verre van duidelijk. Elke onderzoeker lijkt weer iets anders op het oog te hebben.

Dat bleek onlangs nog bij een discussie in het rekenblad Volgens Bartjens. Sommige onderzoekers menen dat dyscalculie zich op wel vijf, zes of zeven manieren kan uiten. Het ene kind krijgt de tafels niet in zijn hoofd, het tweede snapt niets van meten, het derde draait de cijfers om en verwart 53 met 35.

Dat kan allemaal een uiting van dyscalculie zijn. Anderen zeggen: Onzin, zolang je geen gemeenschappelijke oorzaak kunt aanwijzen, mag je zulke verschillende problemen niet onder één noemer brengen.

Dat laatste is eigenlijk waar. Om betrouwbaar te kunnen oordelen, heb je een algemeen aanvaard model nodig dat zegt: zo werkt het rekenen, bij dyscalculie werkt deze verbinding of component niet goed, en dat merk je door zwak presteren op taak X. Bij dyslexie heeft men dat aardig voor elkaar. Er is een verklarend model en er zijn taken die deze specifieke stoornis betrouwbaar aanboren. Maar bij dyscalculie zijn we zover nog niet. Toch loop je als rekenonderzoeker tegen verschijnselen aan die roepen om een kwalificatie. Een opvallend gebrek aan number sense, dat hebben sommige mensen echt. En dat heeft verregaande consequenties voor het rekenen. Zo werkte ik vorig jaar met een meisje van elf jaar dat behoorlijk kon leren, prima kon lezen (ze verslond de Harry Potters in hoog tempo), maar niet kon rekenen. Wat mankeerde er dan aan? Ik merkte al gauw dat ze getallen niet kon onthouden als ik ze noemde. ‘Wat zei je ook weer?’ 64. ‘O ja.’ Ze staarde ingespannen in de lucht. ‘Mag ik het opschrijven?’ Dat mocht. Maar waarom was dat nodig? ‘Als ik ga denken over een getal dan wordt het paars in mijn hoofd. Ik denk en ik denk en dan komt er een rookwolk en dan zie ik het niet meer.’ Daarom telt ze op haar vingers, of door kruisjes te zetten op papier.

Wat ze niet goed ‘ziet’ is de betekenis, de waarde, van een getal. Dat bleek toen ze me ging uitleggen wat ze allemaal niet kon. Bijvoorbeeld een som als 80 + 50 loste ze op door 8 en 5 op te tellen tot 13. ‘En dan zet ik er een 0 achter. Maar dat is natuurlijk fout.’ Toen ik zei dat het antwoord goed was, reageerde ze stomverbaasd. En wel hierom:

‘Ik geloofde nooit dat daar over de honderd uit kon komen.’ Als ze op haar intuïtie afging, werd de uitkomst namelijk veel kleiner. ‘Negenenzeventig of zo.’

Met sprongen vooruit
Je kunt op zo’n verschijnsel op twee manieren reageren. Je kunt zeggen: Dat vind ik toch wel dyscalculisch. Je kunt ook zeggen: Dat kind heeft het getallengebied tot 100 nooit op een goede manier leren kennen. Zulke kinderen moeten namelijk de waarden van getallen eerst veel grondiger beleven voor je ze aan de sommen zet.

Die twee reacties zijn allebei valide en sluiten elkaar ook niet uit. Rekenonderzoeker Julie Menne heeft mooie resultaten geboekt met een programma waarin kinderen verschillen in aantal en grootte heel lijfelijk leren snappen: sprongen voor de tientallen, hupjes voor eenheden. Zo springen ze elke dag een tijdje door het gebied tot 100. ‘Met sprongen vooruit’ heet het programma en bij veel kinderen heeft dat blijkens haar onderzoek inderdaad zo gewerkt.
Maar dat sluit niet uit dat er toch zoiets bestaat als dyscalculie. Ook dyslectici kunnen met adequate hulp uitgroeien tot voldoende vlotte lezers, wat niet wegneemt dat ze dyslectisch zijn of waren. Er zijn er ook die ondanks alle hulp en inspanning problemen blijven houden.

Heel lang is gedacht dat rekenen een kwestie was van algemene logische vermogens. Als je goed kon abstraheren, dan moest je wel goed rekenen. Dat was ook de overtuiging van de befaamde theoreticus Piaget: juist in het rekenen, zo meende hij, manifesteerde zich de intelligentie. Daarin kon je het ontluikende abstractievermogen in actie zien.
Die zienswijze is niet langer houdbaar. De cognitieve machinerie waarop onze rekenkunsten zijn gebouwd, blijkt in rudimenaire vorm ook bij andere diersoorten aanwezig zijn. Veel beesten beschikken over ‘number sense’ en menselijke baby’s reageren ook al vroeg op een verschil in aantal. Die ontdekking is geen kleinigheid, want juist dat abstracte getalbegrip leek zoveel intelligentie van de mens te vergen. Nu blijkt dat een geboortegeschenk te zijn dat aan veel soorten dieren wordt uitgedeeld. De logica van meer en minder, van erbij en eraf, is niet door ons verzonnen, maar ingebouwd door de natuur. Hoe zou dat natuurlijke mechaniek er uit kunnen zien? De mooiste uitleg komt van wiskundige en neuropsycholoog Stanislas Dehaene. Wat wij van nature hebben, schrijft hij in zijn boek Number Sense, is een ingebouwde waardemeter voor aantal. Die meter is behoorlijk onnauwkeurig. Hij kan 2 van 3 onderscheiden, en 20 van 30. Maar tussen 6 en 7 ziet hij weinig verschil, en 19 en 20 zijn voor dat instrument één pot nat. Zonder taal en jaren van fine tuning komt het precisiewerk niet van de grond. Maar toch: het beginsel is er. Nu rekenen zo’n specifieke basis blijkt te hebben is het idee van een specifieke rekenstoornis ook plausibeler geworden. Het past veel beter bij de nieuwe optiek dan bij de oude. En als het idee eenmaal bestaat, kun je daar bepaalde waarnemingen bij thuisbrengen. Heel wonderlijk is dat: vroeger zag niemand ooit dyscalculici, nu lijkt iedereen wel een geval te kennen. Je leest erover en je denkt: Aha. Je kunt iets benoemen wat voorheen een raadsel was.

Goede didactiek
Ook de meeste rekenspecialisten aanvaarden tegenwoordig dat dyscalculie bestaat. De discussie gaat over wat het is, hoe je het herkent en, ook niet onbelangrijk, hoe vaak het voorkomt. Sommigen menen dat drie tot zes procent van de kinderen eraan lijdt. Anderen houden het op hooguit enkele promillen. Een glibberig concept is het dus wel. Maar toch: erkend. En dat is een grote verandering.

In zijn in 1992 verschenen en veel gebruikte boekwerk Rekenproblemen hield de Leidse orthopedagoog Ruijssenaars de boot nog nadrukkelijk af. Een primaire rekenstoornis was in zijn toenmalige optiek moeilijk denkbaar, gegeven het abstracte karakter van de rekenkunst. In de nieuwe editie die Ruijssenaars samen met de rekenonderzoekers Van Lieshout en Van Luit vorig jaar heeft doen verschijnen, is dyscalculie zelfs naar de titel van het boek gepromoveerd. Eerst heette het ‘Rekenproblemen’, nu: ‘Rekenproblemen en dyscalculie’. De benadering waarvoor het drietal heeft gekozen komt hierop neer: als een voor het overige normaal functionerende leerling een hardnekkig rekenprobleem heeft, dat niet het gevolg is van een ander mankement (bijvoorbeeld een verstandelijke handicap) en evenmin de schuld is van gebrekkig onderwijs, dan zou je aan dyscalculie kunnen gaan denken.

Zulke mitsen en maren zijn natuurlijk wel nodig. De meeste zwakke rekenaars zijn immers niet dyscalculisch en een goede rekendidactiek haalt menig kind alsnog over de streep.

Marisca Milikowski, Onderwijsblad Aob, nr. 17  8 oktober 2005

 

Leerproblemen: alle artikelen
.

Rekenen: alle artikelen

.

1223

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (11)

.

UIT DE EERSTE REKENLESSEN

Door het laten ontstaan van de letters uit beelden [1] komt het schrijven dicht bij het gevoel van de kinderen.
Op soortgelijke manier moeten ook de getallen voor het kind vertrouwde dingen zijn voor hij gaat tellen en rekenen. Dat proces wordt bij elke rekenperiode [2] weer verdiept.
In de eerste klas kun je bijv. vragen: ‘Waarvan is er maar één in de wereld?” (Bijv. Barbara en Ulrich en ieder ander kind in de klas), of twee, of drie, vijf of zeven? Dan vinden de kinderen al gauw de zeven dagen van de week, de zeven kleuren van de regenboog en de zeven tonen en als belangrijkste de zeven raven [3] en de zeven dwergen. Ze kunnen niet ophouden met op te sommen wat er zo al in het dwergenhuis aanwezig is: 7 mesjes en 7 vorkjes, 7 bordjes, bekertjes, stoeltjes, 7 bedjes, kussens, 7 lantaarntjes, 7 hamertjes.

Moeilijker is het wel om te ontdekken dat er ook in hen zelf een zeven zit: op hun 7e kwamen ze allemaal op school.
Zeven jaar was ook Sneeuwwitje toen ze bij de dwergen kwam.
En van klein Hansje, dat alleen het bos introk wordt gezegd: ‘Zeven jaar, klip en klaar, was Hansje in den vreemde (daar).’

En wat verbaasd zijn de kinderen, wanneer ze horen dat ook de maan met de zeven kan rekenen. Iedere zeven dagen verschijnt deze weer in een nieuwe fase. Wij maken nog weleens een rekenfout, de maan verrekent zich nooit! Ook de zon kan rekenen. De zon, hè??? De hele wereld kan rekenen!
De blaadjes van de narcis worden geteld, de zaden van de vruchten. Veel dieren hebben vier poten, koeien zelfs vier magen,( alleen geen vier staarten!)

De hele wereld rekent en wij rekenen ook; dat is de stemming die het rekenonderwijs doortrekt en levend maakt.

Iedere vorm van onderwijs heeft op het kind een andere uitwerking. Het rekenonderwijs kan de kinderen op een gezonde manier aards maken, vooral wanneer het rekenen met de vingers wordt geoefend.. Eerst moeten alle kinderen eens proberen hun vingers te spreiden en ervaren dat in die tien vingers heel het rekenen zit. Hoe onbezield de vingers van veel kinderen nog zijn, vooral bij kinderen die vaak wat buiten zichzelf zijn en het nodig hebben dat zij met hun zielenkrachten dieper in hun lichaam komen. Dan kan het wel moeilijk zijn – maar ook heilzaam – de vingers van iedere hand door een opening tussen twee en drie vingers te verdelen. Er zijn veel oefeningen waaraan de kinderen plezier beleven:
Ze vouwen de handen; dan staan eerst de twee pinken op en zeggen: ‘1 en 1 is 2’; daarbij komen dan de ringvingers: ‘2 en 2 is 4’; dan de middelvingers, enz. De kinderen kunnen, zonder hun vingers krampachtig te spannen, allerlei van zulke symmetrische figuren vormen. In het midden staan de duimen en de wijsvingers, rechts en links de drie andere: 10 = 4 en 3  en 3.

Wanneer ze zo een tijdje zichzelf met hun vingers wat geplaagd hebben en daarbij goed in zichzelf zijn gekomen, zorgt het ritmische tellen en rekenen voor de noodzakelijke afwisseling en ontspanning in de klas.

Kleine ritmische gedichten hadden ze al eerder geleerd, bijv. de eenvoudige jambe: ‘Te paard, te paard, door weer en wind!’ [4]
Wat een verrassing en een plezier als ze nu ontdekken dat in het gedicht de tafel van twee zit. Het rijmpje: ‘Komt een reus, groot en dom'[4] werd ‘een, twee, drie – vier, vijf  zes, enz. Dat wordt met handen en voeten na elkaar geoefend, want de voeten wachten er al een tijdje op ook mee te mogen doen. Maar, wanneer uiteindelijk handen en voeten samen op de mooie drietelsmaat moeten bewegen: oei! Handen en voeten apart ging nog wel, met de handen makkelijker dan met de voeten; maar samen, dan lijkt het erop of sommige kinderen uit twee vreemde delen bestaan.

Wat belangrijk om te weten dat je juist aan het vermogen of onvermogen een beeld voor je hebt van het spel der krachten in de kinderen en ook een  gezondmakend middel de boven- en ondermens harmonisch met elkaar te verbinden.

Zo wordt het rekenen met de ledematen geoefend. Natuurlijk worden de getallen ook sprekend geoefend. Maar hoe anders zijn de kinderen daarmee bezig, wanneer ze daadwerkelijk honderd stappen in de klas gezet hebben. En wanneer de passen dan uit louter ijver steeds luider worden en de kinderen het meteen nog eens willen doen, moeten we snel muisjes zijn en honderd pasjes heel zachtjes zetten. Je kunt ook 50 keer in je handen klappen en eraan ontdekken hoe warm en rood ze worden. Wat zit er een plezier in de ledematen van de kinderen!

Zo bezig zijn neemt de kinderen ongetwijfeld meer mee, dan het telraam of de rekenmachine die doods en af voor het kind staat of ligt en alleen maar de activiteit van het verstand en de ogen vraagt. Het populaire aanschouwelijkheidsonderwijs op alle gebied, het zien en ‘inzien’ behoort enkel tot het hoofd. Daarmee wordt iets intellectualistisch in het kind aangelegd.

Wanneer bij ons met carnaval honderd lampions beschilderd worden, in rijen van tien opgehangen, ontstaat weliswaar hetzelfde beeld als de bolletjes op een telraam, maar het kind heeft ieder gekleurd bolletje wel eerst zelf geschilderd.

Het grootste deel van de rekenlessen bestaat uit oefenen. Bijzonder belangrijk is elke stap die weer naar iets nieuws leidt. Al het nieuwe moet langzaam zo opgebouwd worden dat het kind met heel zijn ziel mee kan doen.

Je hebt bijv. de vier tekens voor de vier rekenoperaties – ze hebben een diepe betekenis en oorsprong.
Gelukkige Hans [5] heeft eerst een klomp goud, toen hij op weg ging; het werd een paard, na een poosje een koe, een varken, een gans, een molensteen en tenslotte had hij niets meer. Het stuk weg werd met een streep getekend, dat is het teken voor het aftrekken: 12  –  4  –  3  –  2  –  2  –  1  =  0.
Vergeet niet te zeggen dat hij gelukkig was, toen hij niets meer had.

Over het deelteken werd aan de kinderen verteld:
Een koningin had 12 dienaren en zij wilde dat er altijd drie samen hetzelfde werk zouden doen. In de zaal stonden twee zuilen, daar moesten zij zo doorheen lopen dat er vier groepen van drie dienaren zouden zijn. Daar werd een beeld bij getekend. En nu zjn de twee zuilen tot twee punten geworden.

Bij het vermenigvuldigen mocht er altijd iemand Nicolaas zijn. Er was een heel diepe zak en het kind moest zich vier maal diep bukken en viermaal drie noten pakken om die aan vier kinderen te geven. Bij het vermenigvuldigen hoort het dat het aan de activiteit ontwikkeld wordt. Je moet vier keer iets doen.

Heel verschillend is de invloed van de aparte rekenbewerkingen op de klas.
Bij het vermenigvuldigen ontstaat er een drukke, plezierige stemming die echter door schatten en vergelijken weer rustiger wordt; nadenkend worden de kinderen bij delen en aftrekken; ietwat saai is het optellen; vrolijk en vindingrijk zijn ze wanneer ze uit een totaalsom verschillende getallen kunnen halen.
Voor het aftrekken en optellen is het aan te bevelen niet al te snel de tien als grensgetal in te voeren. Het rekenen boven de tien geeft meer problemen wanneer je het te vroeg op de voorstelling 10-keer-10 vastpint. Wanneer dat niet is gebeurd, dan rekenen de kinderen zorgeloos boven die grens.

Aan het eind van de eerste klas kan er ‘gekocht en verkocht’ gespeeld worden. Wat een opmerkingen wanneer de winkelier de klant teveel geld teruggeeft of wanneer deze niet merkt dat hij te weinig terugkrijgt. Maar hoe tot tevredenheid stemt het niet, wanneer het rekenen het liefst geleerd wordt door weg te geven.

Er waren in de klas veel paashazen die de eieren vrolijk mochten beschilderen voor hun families met 3 of 4 of 5 kinderen. 12 of 15 eieren hadden ze daarvoor. Daar kwamen nog eens berekeningen uit!

Veel van wat belangrijk is voor de vorming van de mens gebeurt in het rekenonderwijs.

En toch is het precies te merken wanneer het rekenen weer beëindigd moet worden en de kinderen zich weer met veel plezier op het schrijven willen toeleggen en op de eerste heemkunde.

Elisabeth Klein. Erziehungskunst 16e jrg.7 1952

[1] 1e klas schrijven: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas – letterbeelden

[2] Periode-onderwijs

[3] Spelletje De Zeven Raven
Grimm Sprookjes nr. 25

[4] Waarschijnlijk uit Hermien IJzerman (welk?) Bim Bam Belletje

[5] Grimm Sprookjes nr. 83

1e klasrekenen – alle artikelen

1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

1135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.