Categorie archief: rekenen

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 311

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ga 311

Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit

De kunst van het opvoeden vanuit het besef: wat is de mens

Blz. 77  vert. 77

Voordracht 4, Torquay 15 augustus 1924

Gewiß, es wird gegen diesen Epochenunterricht vielfach eingewendet, daß die Kinder die Dinge wieder vergessen. Allein das ist
ja eine Sache, die nur für einzelne Unterrichtsfächer, zum Beispiel für
das Rechnen in Betracht kommt, und da kann man durch kleine
Wiederholungen die Sache ausbessern. Für die meisten Unterrichtsfächer kann überhaupt dieses Vergessen keine große Rolle spielen,
jedenfalls nicht im Verhältnis zu dem, was gewonnen wird, an Ungeheurem gewonnen wird dadurch, daß das Kind konzentriert eine
gewisse Epoche hin bei einer Materie festgehalten wird.

Zeker, tegen dit periodeonderwijs wordt misschien ingebracht dat de kinderen dingen weer vergeten. Dat is alleen iets wat maar opgaat voor bepaalde vakken, bv. voor rekenen en dan kun je dat door kleine herhalingen weer verbeteren. Voor de meeste vakken kan het vergeten echt niet zo’n grote rol spelen, tenminste niet in verhouding tot hetgeen er aan winst is, ongelooflijke winst doordat het kind geconcentreerd door een zekere tijd een bepaalde materie vasthoudt.
GA 311/77
Op deze blog vertaald/77

Blz. 78/79   vert. 78/79

Voordracht 5, Torquay 16 augustus 1924

Tot en met blz 90 – de grotere alineaspatie (Hoe… enz.) gaat het over het aanvankelijk rekenen. Zie hier.
GA 311/78-90

Blz. 119  vert. 119

Voordracht 7, Torquay 19 augustus 1924

Ich kam einmal in eine Schulklasse, ich will jetzt nicht sagen wo, da wurde ein Rechenexempel aufgegeben. Es wurde aufgegeben aus dem Grunde, um an das Leben eine Addition anzuknüpfen. Man sollte nicht einfach 14 2/3 und 16 5/6 und 25 3/5 addieren, sondern man sollte etwas aus dem Leben haben. Nun, das Rechenexempel lautete ungefähr so: Ein Mensch ist geboren am 25. März 1895, ein zweiter am 27. August 1898, ein dritter am 3. Dezember 1899. Wie alt sind diese drei Menschen zusammen? So wurde gefragt. Und es wurde nun ernsthaft auf folgende Weise gerechnet: von 1895 bis zum Jahre 1924 sind 29 3/4. So alt ist der eine. Der andere ist bis 1924 ungefähr 261/2 Jahre, und der dritte, da er am 3. Dezember erst geboren ist, können wir sagen, ist 25 Jahre. Nun wurde gesagt, wenn man das zusammenrechnet, so kommt heraus, wie alt sie zusammen sind.
Nun möchte ich aber fragen, wie die das machen sollen, daß sie überhaupt zusammen in irgendeiner Summe alt werden können?

Ik kwam eens in een klas, ik zeg niet waar, daar werd een rekensom opgegeven. Die werd gegeven om met een optelling van het leven uit te gaan. Je moet niet zomaar 14 2/3  en 16 5/6    en 25 3/ optellen, je moet iets uit het leven hebben. De som ging ongeveer zo: een mens is geboren op 25 maart 1895, een tweede op 27 aug. 1898, een derde op 3 dec. 1899. Hoe oud zijn deze drie mensen samen. Dat werd gevraagd. En er werd serieus gerekend op de volgende manier: van 1895 tot het jaar 1924 is 29 3/4.  Zo oud is de ene. De andere is tot 1924 ongeveer 26½  en de derde die op 3 dec. geboren is, zeggen we, is 25 jaar. Toen werd er gezegd, als je dit optelt is de uitkomst hoe oud ze samen zijn.
Nu zou ik willen vragen, hoe ze dat moeten doen, hoe ze samen in een of andere som oud kunnen worden.

Wie stellt man das an? Nicht wahr, die Zahlen ergeben ganz gut eine Summe; aber wie stellt man das an, daß diese Summe irgendwo in der Wirklichkeit ist? Die leben ja alle zu gleicher Zeit. Also, sie können unmöglich das zusammen irgendwie erleben! Das ist gar nicht aus dem Leben, wenn man solch eine Rechnung aufstellt.
Man konnte mir zeigen, daß dies eine aus einem Schulbuch ent­nommene Rechnung war. Ich sah mir dann dieses Schulbuch an. Da standen mehrere solche geistreiche Dinge.
Ich habe in manchen Gegenden gefunden, daß das nun wiederum ins Leben zurückwirkt, und das ist das Wichtigste.
Also dasjenige, was wir in der Schule treiben, geht wiederum in das Leben zurück! Wenn wir in der Schule falsch lehren, wenn wir so unterrichten, daß wir irgend etwas, was gar keine Wirklichkeit ist, in eine Rechnung hineinbringen, dann wird diese Denkweise auf­genommen von den jungen Menschen und ins Leben hineingetragen.

Hoe moet je dat doen? De getallen, niet waar, die geven heel goed een som, maar hoe voer je uit dat deze som ergens in de realiteit bestaat? Zij leven tegelijkertijd. Dus zij kunnen dat, hoe dan ook, onmogelijk opgeteld beleven! Dat is helemaal niet uit het leven, wanneer je zo’n som maakt.
Men kon mij laten zien, dat dit een som was uit een schoolboek. Ik keek eens in dit boek en daar stonden meer van deze geestvolle dingen in.
Ik heb op vele terreinen gevonden dat dit weer terugslaat op het leven en dat is het belangrijkste.
Dus wat we op school doen, komt weer in het leven terug! Wanneer we op school verkeerd lesgeven, wanneer we zo onderwijzen dat we iets wat helemaal geen realiteit is, in een rekenopgave stoppen, dan wordt deze manier van denken door de jonge mens overgenomen en meegenomen in het leven.

Blz. 120     vert. 120

Ich weiß nicht, ob es in England auch so ist, aber in Mitteleuropa ist es überall so, daß wenn, sagen wir, mehrere Verbrecher zusammen angeklagt und verurteilt werden, man in den Zeitungen manchmal angegeben findet: alle fünf zusammen haben Gefängnisstrafen be­kommen von 751/2 Jahren. Der eine hat 10, der andere 20 Jahre be­kommen und so weiter, aber man rechnet das zusammen. Das können Sie in den Zeitungen immer wieder finden. Nun möchte ich wissen, was solch eine Summe in Wirklichkeit für eine Bedeutung hat. Für den einzelnen, der verurteilt ist, haben die 75 Jahre zusammen gewiß keine Bedentung; aber alle zusammen werden auch früher fertig. Also es hat keine Realität.
Sehen Sie, das ist das Wichtige, daß man überall auf die Realität losgeht. Sie vergiften geradezu ein Kind, dem Sie eine solche Addition aufgeben, die ganz und gar nicht möglich ist in der Wirklichkeit.
Sie müssen das Kind anleiten, nur solche Dinge zu denken, die auch im Leben vorhanden sind. Dann wird auch wieder vom Unter­richt aus die Wirklichkeit in das Leben hineingetragen. Wir leiden in unserer Zeit geradezu furchtbar unter dem unwirklichkeitsge­maßen Denken der Menschen. Der Lehrer hat nötig, das sich wirk­lich zu überlegen.

Ik weet niet of het in Engeland ook zo is, maar in Midden-Europa is het overal zo, dat wanneer, laten we zeggen, meerdere wetsovertreders samen aangeklaagd en veroordeeld worden, je dan in de kranten vindt: alle vijf hebben samen een gevangenisstraf van 75½ jaar. De ene heeft 10, de andere 20 jaar gekregen enz., maar men telt het bij elkaar op. Dat staat steeds weer in de krant. Nu zou ik willen weten wat zo’n som in werkelijkheid betekent. Voor de enkeling die veroordeeld is, heeft die 75 jaar zeker geen betekenis; maar alle vijf samen komen ze ook vroeger vrij. Dus dat is niet reëel.
Kijk, dat is het belangrijkste, dat je overal begint met de realiteit. Je vergiftigt het kind eigenlijk, wanneer je hem zo’n optelling geeft, die absoluut in de realiteit niet mogelijk is.
Je moet een kind stimuleren, alleen die dingen te denken die ook in het leven aanwezig zijn. Dan komt vanuit het onderwijs weer realiteit in het leven. We leiden in onze tijd juist vreselijk onder het werkelijkheidsvreemde denken van de mensen. Voor de leraar is het noodzakelijk dat zich ter harte te nemen.
GA 311/119-120
Op deze blog vertaald/119-120

Blz. 129  vert. 129

Vragenbeantwoording, Torquay 20 augustus 1924

Blz. 129 t/m 133 als één geheel.
Hier te vinden.
GA 311/129-133

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[1] Burnt out
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[2] Met vreugde in het nu aanwezig zijn
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over: ‘anti’- burn-out: aanwijzingen om naar jezelf te kijken en daar kracht uit te putten; de kracht van de ‘terugblik’; het belang van de gemeenschap; hoe wordt de gemeenschap sterker; hoe sta je als tijdgenoot in het heden

[3] Samen sterker
Lisette Thooft over: boek van Annejet Rümke ‘Als een feniks uit de as‘; analyse van burn-out op de vrijeschool; hoe komt dat, wat is er aan te doen; het individu in de sociale context; de grote verwachtingen door het ideaal;

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 310

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ga 310

Der pädagogische Wert der Menschenerkenntnis und der
Kulturwert der Pädagogik

Menskunde, pedagogie en kultuur

Blz. 151  vert. 158

Voordracht 8, Arnhem 24 juli 1924

Das Zusammenschauen des Körperlichen und des Geistig-Seelischen
durch die vollkommene Menschenerkenntnis

Het waarnemen van het lichamelijke en het psychisch-geestelijke als eenheid door inzicht in de totale mens.

So handelt es sich darum, daß man jedes Mittel ergreifen wird, um ins Bild, in die Anschauung zu kommen. Das ist auch notwendig, weil man dadurch lernt, in die Wirklichkeit hineinzukommen und dadurch wiederum lernt, alles wirklichkeitsgemäß zu gestalten. Denn es ist eigentlich eine Willkür, wenn ich vor dem Kinde 3 Bohnen hinlege, dann wiederum 3 Bohnen, nochmals 3 oder jetzt auch 4, und dann daran die Addition lehre: 3 + 3 +  = 10. Das ist ziemlich willkürlich. Aber eine ganz andere Sache ist es, wenn ich ein Häufchen Bohnen habe, von dem ich zunächst noch gar nicht weiß, wieviel es sind. So sind ja die Dinge in der Welt vorhanden. Jetzt teile ich das Häufchen. Das versteht das Kind sofort. Das eine Teil gebe ich dem einen Kinde,

Het gaat erom dat je ieder middel aangrijpt om in het beeld, in de aanschouwelijkheid te komen. Dat is nodig, want daardoor leer je de werkelijkheid kennen en alles naar de werkelijkheid vorm te geven. Het is immers heel willekeurig als ik voor het kind drie bonen neerleg, vervolgens weer drie bonen, nog eens drie, of nu vier bonen, en hem daarna de optelsom leer: 3 + 3 + 4 = 10. Dat is tamelijk willekeurig. Heel anders is het wanneer ik een hoopje bonen heb, waarvan ik eerst nog helemaal niet weet hoeveel het er zijn. Zo zijn immers de dingen in de wereld aanwezig. Nu deel ik het hoopje. Dat begrijpt het kind meteen. Het ene deel geef ik aan het ene kind,

Blz. 152 

das andere einem andern, das dritte einem dritten. Ich teile also den Haufen auf, bringe dem Kinde bei, wieviel der Haufen als solcher um­faßt, die Summe zuerst, dann die Teile hinterher. Zählen kann ich das Kind lassen, weil das hintereinander geschieht, 1, 2, 3 und so weiter bis 12. Jetzt habe ich also die Bohnen aufgeteilt in 4, weitere 4 und noch­mals 4; das wird leicht in das Kind eingehen, wenn die Summe zuerst da ist, die Addenden nachher. Das ist wirklichkeitsgemäß. Das andere ist abstrakt, da faßt man zusammen, da ist man intellektualistisch. -So steht man auch mehr in der Wirklichkeit drinnen, wenn man das Kind dazu bringt, daß es die Frage beantworten muß: Wenn ich 12 Äpfel habe, jemand nimmt sie, geht auf einen Weg, verliert eine Anzahl und bringt nur 7 zurück; wieviel hat er da verloren? 5. Man geht dabei vom Minuend durch den Rest zum Subtrahend; man zieht nicht ab, sondern geht von dem Rest, also von dem, was durch den wirklichen Vorgang bleibt, zu dem, was da abgezogen ist.
So strebt man überall nicht in die Abstraktheit, sondern in die Wirk­lichkeit hinein, knüpft an das Leben an, sucht an das Leben heranzu­kommen. Das ist das, was das Kind auch wiederum lebendig macht, während es zumeist gerade beim Rechenunterricht im ganzen tot bleibt. Die Kinder bleiben ziemlich tot, und das hat ja die Notwendigkeit der Rechenmaschine ergeben. Daß die Rechenmaschine entstanden ist, be­weist schon, daß der Rechenunterricht schwer anschaulich zu machen ist. Aber man muß ihn nicht nur anschaulich machen, sondern dem Leben ablesen.

het andere aan een ander, het derde aan een derde. Ik verdeel het hoopje dus, ik breng het kind bij, hoeveel het hoopje als zodanig omvat, eerst de som, dan achteraf de delen. Tellen kan ik het kind laten doen, want dat gebeurt achter elkaar, 1, 2, 3 enzovoort tot 12. Nu heb ik de bonen dus verdeeld in 4, nog eens 4 en nog eens 4; het zal gemakkelijk bij het kind binnenkomen wanneer eerst de som er is en daarna pas de delen. Dat is geheel naar de werkelijkheid. Het andere is abstrakt, dan pakt men dingen samen, dan is men intellektualistisch bezig.
Zo ben je ook meer met de werkelijkheid bezig wanneer je het kind antwoord laat geven op de vraag: ik heb twaalf appels, iemand neemt ze mee, verliest er onderweg een aantal en brengt er maar zeven mee terug; hoeveel heeft hij er dan verloren? Vijf. Daarbij ga je van het aftrekgetal via de rest naar de aftrekker; je trekt niet af, maar vanuit de rest, dus van wat door de werkelijke gebeurtenis overblijft, ga je naar wat er wordt afgetrokken.
Zo streven we steeds naar de werkelijkheid, niet naar abstraktie. We sluiten aan bij het leven, we proberen dichtbij het leven te komen. Dat maakt het kind ook wederom levendig, terwijl hij meestal juist bij het rekenonderwijs totaal levenloos blijft. De kinderen blijven tamelijk levenloos; dat heeft geresulteerd in het feit dat er rekenmachines moesten komen. Dat de rekenmachine is ontstaan, bewijst al dat het rekenonderwijs moeilijk aanschouwelijk te maken is. je moet het echter niet alleen aanschouwelijk maken, maar van het leven aflezen.
GA 310/151-151
Vertaald/157-158

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 309

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ga 309

 Anthroposophische Pädagogik und ihre Voraussetzungen

Uitgangspunten van de vrijeschool

Blz. 63  vert. 63

Voordracht 4, Bern 16 april 1924

Und so hat man nötig, überall darauf zu sehen, daß das Kind nicht in vereinseitigt gewordenen Intellekt hineingetrieben werde. Das tut man aber, wenn man die Vorgänge des Lebens so an das Kind heranbringt, daß sie eben durchintellektualisiert sind. Das, was ich eben jetzt sage, kann sich auf alles beziehen, was dem Kinde beigebracht werden soll zwischen dem Zahnwechsel und der Geschlechtsreife. Vor allen Dingen handelt es sich zum Beispiel darum, daß wir auch im Rechnen darauf ausgehen, nicht zu intellektualisieren, sondern daß wir auch im Rechnen ausgehen von dem, was eben zunächst die Wirklichkeit ist. Sehen Sie, wenn vor mir liegen 10 Bohnen: die liegen vor mir; die sind die Wirklichkeit, die ich daher in mir sichtbare Gruppen teilen kann.

En zo is het nodig er overal op te letten dat het kind niet in het eenzijdig geworden intellect gedrukt wordt. Dat doet men echter wel, wanneer men, hoe het leven zich ontwikkelt, zo aan het kind bijbrengt dat dit vol intellectualisme zit. Wat ik nu zeg, kan betrekking hebben op alles wat het kind bijgebracht moet worden tussen de tandenwisseling en de puberteit. Boven al gaat het erom dat we bijv. met rekenen [5] erop letten niet te intellectualiseren, maar dat we in het rekenen uitgaan van wat nu eenmaal  de realiteit is. Kijk, wanneer ik 10 bonen voor me heb liggen, liggen ze voor me; die liggen er echt; ik kan ze zichtbaar in groepjes verdelen.

GA 309 blz. 63

Wenn ich sage: 3 + 3 + 4 Bohnen sind 10 Bohnen, dann setze ich von vorneherein das Gedachte an die Stelle der Wirklichkeit. Gehe ich aber davon aus, daß ich sage: In Wirklichkeit liegen vor mir 10 Bohnen; die kann ich bei ihrer Lage so einteilen, daß ich hier 3 habe, hier wieder­um 3, daß ich dann 4 dazufügen muß – gehe ich aus von der Summe, die wirklich daliegt, und zu den einzelnen Addenden hin, dann stehe ich in der Wirklichkeit, dann gehe ich von dem aus, was in Wirklichkeit immer da ist, von dem Ganzen, und ich gehe zu den Teilen über. Bringe ich dein Kinde das Addieren so bei, daß ich von der Summe ausgehe und in der verschiedensten Weise die Summe einteile – ich kann auch anders verteilen; ich kann die Bohnen auseinanderwerfen und anders gruppieren, ich kann herausbekommen: 10 = 2 + 2 + 3 + 3-, so habe ich dasjenige, was als Wirklichkeit konstant bleibt, in der ver­schiedensten Weise zerteilt. Man sieht daraus, daß man es in der ver­schiedensten Weise zerteilen kann, daß das Realere die unveränderliche Summe ist. Sie sehen, daß auch das, was durch wirkliche Menschenerkenntnis einem klar wird: daß das Kind nicht eingehen will in die­sem Lebensalter auf ein Abstraktes – und die Addenden sind etwas Abstraktes – sondern auf das Konkrete, daß das bedingt, daß man das Rechnen umgekehrt lehrt, als es gewöhnlich gelehrt wird; daß man von der Summe ausgeht beim Addieren und davon dann zu den Addenden übergeht, und sogar bemerklich macht, wie eine Summe in verschiedener

Wanneer ik zeg: 3 + 3 + 4 bonen zijn 10 bonen, zet ik meteen een gedachte op de plaats van de werkelijkheid. Ga ik er echter vanuit te zeggen: in werkelijkheid liggen er 10 bonen voor mij; die kan ik zoals ze liggen, zo verdelen dat ik er hier 3 heb, hier weer drie, dat ik er dan 4 bij moet leggen – dan ga ik uit van het totaal dat er werkelijk ligt en dan vandaaruit naar de optelgetallen: dan bevind ik mij in de realiteit, dan ga ik daadwerkelijk uit van wat er in werkelijkheid steeds is: van het geheel en ik ga over tot de delen. Wanneer ik het kind het optellen zo aanleer dat ik van het geheel uitga en op de meest uiteenlopende manier dit geheel verdeel – ik kan het ook anders verdelen; ik kan de bonen uit elkaar leggen en anders groeperen, ik kan doen: 10 = 2 + 2 + 3 + 3 =, dan heb ik hetgeen in werkelijkheid constant blijft, op de meest verschillende manieren verdeeld. Daaraan zie je dat je op de meest verschillende manieren kan verdelen; wat reëler is, is de niet te veranderen totaliteit. Je ziet, wat door menskunde duidelijk wordt: dat het kind op deze leeftijd niet wil meegaan in iets abstracts – en de optelgetallen zijn iets abstracts – maar op iets concreets en dat brengt met zich mee dat je het rekenen op een tegenovergestelde manier aanleert als tegenwoordig; dat je uitgaat van de totaliteit bij het optellen en vandaar naar de optelgetallen en dan erop wijst hoe een totaliteit op de

Blz. 64  vert. 64

Art verteilt werden kann. Dadurch, daß man dies tut, be­kommt man eine viel mehr der Wirklichkeit angepaßte Anschauung des Kindes als bei der gewöhnlich üblichen Methode.
Und so ist es eigentlich auch bei den anderen Rechnungsarten. Es wird ungemein Regsameres in dem Kinde hervorgerufen, wenn man sagt: Wieviel mußt du von 5 wegnehmen, damit du noch 2 hast? – als wenn man ihm sagt: Nimm 3 von 5 weg. – Und dieses: Wieviel mußt du von 5 wegnehmen, damit du noch 2 hast? – paßt sich auch viel mehr dem Leben an. Im Leben wird man es gerade damit zu tun haben. Und so handelt es sich wirklich darum, daß man schon in der Didaktik für diese Lebensepoche Wirklichkeitssinn entfaltet.

meest verschillende manieren verdeeld kan worden. Door het zo te doen, ontwikkelt het kind een waarnemen dat veel meer aan de realiteit is aangepast dan bij de gangbare methoden.
En dat is ook het geval bij de andere rekenvormen. Je stimuleert het kind op een bijzondere manier, wanneer je zegt: hoeveel moet je er van de 5 afdoen om 2 over te houden – dan wanneer je zegt: haal 3 van de 5 af.- En dit: hoeveel moet je er van de 5 afhalen, zodat je 2 overhoudt? – past veel meer bij het leven. Daar krijg je in het leven mee te maken. [6]  En het gaat er echt om, dat je ook al in je didactische aanpak in deze leeftijdsfase zin voor de realiteit ontplooit.
GA 309/63-64
Op deze blog vertaald/63-64

[5] Rekenen: over het “uitgaan van het geheel’: in 1e klas – alle artikelen  met name ‘temperament en rekenen’

[6] hoe waar dit is, ervaart bijna iedereen, elke maand, wanneer je naar je inkomen kijkt en daarvan wat over wil houden. Wat kan/moet/mag ik van mijn inkomen uitgeven, wil ik dit (spaar)bedrag overhouden!
Waarop de bekende grap berust: ‘Aan het eind van mijn salaris heb ik altijd nog een stukje maand over.’

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 307

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GA 307

Gegenwärtiges Geisteslebenund Erziehung

Opvoeding en moderne kultuur

Voordracht 10, Ilkley 14 augustus 1923

Blz. 175  vert. 225

Wenn wir nun dem Kinde zum Beispiel etwas beibringen aus Rechnen oder Geometrie oder aus denjenigen Gebieten, die ich gestern angeführt habe als zeichnendes Malen, malendes Zeichnen, als Übergangzum Schreiben, so wird durch diesen Unterricht der physische Leib und der Ätherleib beeinflußt. Und wenn wir dem Äther- oder Bildekräfteleib das beibringen, was ich gestern hier skizziert habe, wenn wir ihm etwas beibringen von Rechnen oder Geometrie, so behält er das auch während des Schlafes, so schwingt er auch während des Schlafes fort.

Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en etherlichaam beïnvloed. En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder.

Blz. 176   vert. 226

Diejenigen Dinge nun, die ich gestern angeführt habe als Pflanzen- kunde, als dasjenige, was zum Schreiben und Lesen führt, das spricht alles zum physischen Leib und zum Ätherleib. Wir werden noch über den geschichtlichen Unterricht uns zu verständigen haben. Wir haben schon über den tierkundlichen und menschenkundlichen Unterricht Richtlinien gegeben; der spricht zu dem, was aus physischem Leib und Ätherleib herausgeht während des Schlafes. Rechnen, Geometrie spricht zu beiden; das ist das Merkwürdige. Und daher ist wirklich in bezug auf den Unterricht und die Erziehung Rechnen sowohl wie Geometrie, man möchte sagen, wie ein Chamäleon; sie passen sich durch ihre eigene Wesenheit dem Gesamtmenschen an. Und während man bei Pflanzenkunde, Tierkunde, Rücksicht darauf nehmen muß, daß sie in einer gewissen Ausgestaltung, so wie ich das gestern charakterisiert habe, in ein ganz bestimmtes Lebensalter hineinfallen, hat man bei Rechnen und Geometrie darauf zu sehen, daß sie durch das ganze kindliche Lebensalter hindurch getrieben werden, aber entsprechend geändert werden, je nachdem das Lebensalter seine charakteristischen Eigenschaften verändert.
Insbesondere aber hat man darauf zu sehen, daß – ja, es muß das schon gesagt werden – der Äther- oder Bildekräfteleib etwas ist, was mit sich auch fertig wird, auch auskommt, wenn es allein gelassen wird von unserem Ich und unserem astralischen Leib. Der Äther- oder Bildekräfteleib hat durch seine eigene innere Schwingungskraft immer die Tendenz, das was wir ihm beibringen, von selbst zu vervollkommnen,

Die dingen nu, die ik gisteren aangevoerd heb als plantkunde, als dat wat tot schrijven en lezen voert, dat spreekt allemaal tot het fysieke lichaam en tot het etherlichaam. We zullen nog moeten komen te spreken over het geschiedenisonderwijs. We hebben al over het dier- en menskundeonderwijs richtlijnen gegeven; dat spreekt tot datgene wat uit het fysieke lichaam en etherlichaam gaat tijdens de slaap. Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan. En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen verandert. In het bijzonder echter moet je erop toezien dat – ja, dat moet wel gezegd worden — het ether- of vormkrachtenlichaam iets is wat met zichzelf ook klaarkomt, zich ook redt als het alleen gelaten wordt door ons Ik en ons astrale lichaam. Het ether- of vormkrachtenlichaam heeft door zijn eigen innerlijke vibratiekracht steeds de tendens om dat wat we hem bijbrengen, vanzelf te vervolmaken, verder te ontwikkelen.

Blz. 177  vert. 226-227

weiterzubilden. In bezug auf astralischen Leib und Ich sind wir dumm. Wir machen dasjenige, was wir in dieser Beziehung als Mensch beigebracht bekommen, unvollkommner. Und so ist es tatsächlich wahr, daß übersinnlich unser Bildekräfteleib vom Einschlafen bis zum Aufwachen dasjenige, was wir ihm als Rechnen beigebracht haben, fortrechnet. Wir sind gar nicht in unserem physischen und Ätherleib drinnen, wenn wir schlafen; aber die rechnen fort, die zeichnen über- sinnlich ihre Geometriefiguren fort, vervollkommnen sie. Und wenn wir das wissen und den ganzen Unterricht daraufhin anlegen, so bekommen wir durch einen richtig gearteten Unterricht eine ungeheure Lebendigkeit im ganzen Weben und Wesen des Menschen zustande. Wir müssen nur in entsprechender Weise diesem Äther- oder Bildekräfteleib Gelegenheit geben, die Dinge, die wir ihm beibringen, weiter zu vervollkommnen.
Dazu ist es nötig, daß wir zum Beispiel in der Geometrie nicht mit jenen Abstraktionen, mit jenen intellektualistischen Gestaltungen beginnen, mit denen man gewöhnlich sich denkt, daß die Geometrie an- fangen müsse; sondern es ist nötig, daß man mit einer nicht äußerlich gearteten, sondern innerlich gearteten Anschauung beginne, daß man in dem Kinde zum Beispiel einen starken Sinn für Symmetrie erwecke.

Wat het astrale lichaam en het Ik betreft zijn we dom. We maken dat wat we in dit opzicht als mens bijgebracht krijgen onvolmaakter. En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen bijgebracht hebben, bovenzinnelijk doorgaat met rekenen. We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken. Daartoe is het nodig dat we bijvoorbeeld in de geometrie niet met die abstracties, met die intellectualistische vormgeving beginnen waarvan normaal gedacht wordt dat de geometrie daarmee moet beginnen; nee, het is nodig dat je met een niet uiterlijk geaarde, maar innerlijk geaarde zienswijze begint, dat je in het kind bijvoorbeeld een sterk gevoel voor symmetrie oproept.
GA 307/177
Vertaald/226

Blz. 181/182  vert. 231-232

Man muß dasjenige, was hier in bezug auf das Anschaulich-Räumliche gesagt worden ist, nun auch ausdehnen können auf das Rechnerische. Da handelt es sich namentlich darum, daß alles dasjenige, was in äußerlicher Weise das Rechnen und schon das Zählen an das Kind heranbringt, eigentlich die menschliche Organisation ertötet. Alles dasjenige, was vom Einzelnen ausgeht, Stück an Stück reiht, das ertötet die menschliche Organisation. Dasjenige, was vom Ganzen ausgeht zu den Gliedern, zuerst die Vorstellung des Ganzen hervorruft, dann die der Teile, das belebt die menschliche Organisation. Das ist etwas, was schon beim Zählenlernen in Betracht kommt. Wir lernen die Zahlen in der Regel dadurch, daß wir uns an das ganz Äußerliche, im physisch-sinnlichen Leben Vorsichgehende halten.
Wir lernen zählen, indem wir eins haben; das nennen wir die Einheit. Dann fügen wir dazu zwei, drei, vier, und so geht es fort, wir legen Erbse zu Erbse, und es ist gar keine Vorstellung, keine Idee da, warum das eine zum anderen gelegt wird, was daraus eigentlich wird. Man lernt zählen, indem an die Willkür des Nebeneinanderlegens appelliert wird. Ich weiß wohl, daß in vielfacher Weise diese Willkür variiert wird, allein dasjenige, um was es sich handelt, wird heute noch im allergeringsten Maße irgendwo berücksichtigt: daß von einem Ganzen ausgegangen wird und zu den Teilen, Gliedern, fortgeschritten werde. Die Einheit ist dasjenige, was zunächst vorgestellt werden soll auch vom Kinde als ein Ganzes. Irgend etwas, was es auch ist, ist eine Einheit. Nun, wenn man genötigt ist, die Sache durch Zeichnen zu vergegenwärtigen, muß man eine Linie hinzeichnen; man kann auch einen Apfel benützen, um dasselbe zu machen, was ich jetzt mit der Linie machen werde. Da ist eins, und nun geht man von dem Ganzen zu den Teilen, zu den Gliedern, und jetzt hat man aus eins eine Zwei gemacht.

Je moet dat wat hier met betrekking op het aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt. Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is iets wat al bij het leren tellen in aanmerking komt. We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende leven.
We leren tellen doordat we één hebben; die noemen we de eenheid. Dan voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt bij erwt, en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen wordt geappelleerd. Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijzen wordt gevarieerd, alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt. De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid. Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb je uit één een twee gemaakt.

Die Einheit ist geblieben. Die Einheit ist in zwei geteilt worden. Man hat die Einheit «entzwei» geteilt, dadurch ist die Zwei entstanden. Nun geht man weiter, es entsteht durch weitere Gliederung die Drei. Die Einheit bleibt immer als das Umfassende bestehen; und so schreitet man weiter durch die Vier, Fünf, und man kann zugleich durch andere Mittel eine Vorstellung hervorrufen, wie weit man die Dinge zusammenhalten kann, die auf die Zahlen sich beziehen. Man wird dabei die Entdeckung machen, daß eigentlich der Mensch in bezug auf das Anschauliche der Zahl beschränkt ist.

De eenheid is blijven bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld. Je hebt de eenheid in tweeën gedeeld, daardoor is de twee ontstaan. Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder door met vier, vijf, en je kunt tegelijk met andere middelen een voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal beperkt is.

Blz. 183  vert. 232-233

Bei gewissen Völkern der modernen Zivilisation umfaßt man eigentlich nur den überschaulichen Zahlbegriff bis zehn; hier in England, kann man im Geld bis zwölf rechnen. Das ist aber auch etwas, was schon das höchste in dem Überschaulichen darstellt. Dann fängt man ja eigentlich wieder an, dann zählt man eigentlich die Zahlen; man zählt zuerst die Dinge bis zehn, aber dann fängt man an, die Zehn zu zählen: zweimal zehn = zwanzig, dreimal zehn = dreißig. Man bezieht sich da schon gar nicht mehr auf die Dinge, sondern man geht dazu über, die Zahl selbst auf das Rechnen anzuwenden, weil durch den Elementarbegriff schon die Dinge selbst als ein Anschauliches verlangt werden. Und wenn gar das moderne Anschauen so stolz darauf ist, daß wir es in bezug auf das Zählen so weit gebracht haben, während die wilden Völker auf ihre zehn Finger angewiesen sind, so ist es mit dem Stolz gar nicht so weit her, sondern wir zählen bis zehn, weil wir die Glieder spüren, die Gliederung der Hände die darinnen liegt, daß wir symmetrisch die Hände empfinden, die zehn Finger. Dieses Empfinden ist demgemäß auch herausgeholt, ist erlebt, und man muß in dem Kinde den Übergang hervorrufen von dem Ganzen, der Einheit in die Teile als Zahl. Dann wird man leicht jenen anderen Übergang zum Zählen finden können, indem man eines an das andere legt.

Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien. Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de getallen; je telt eerste de dingen tot tien, maar dan begin je de tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je refereert daar al helemaal niet meer aan de dingen, maar je gaat ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks wil zien. En ook al is het moderne onderzoek zo trots erop dat we het met betrekking tot het tellen zo ver gebracht hebben, terwijl de onbeschaafde volkeren op hun tien vingers aangewezen zijn, toch heeft die trots helemaal niet zo veel te betekenen; integendeel, wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang te voorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als getal. Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt.

Man kann ja dann übergehen zu eins, zwei, drei und so weiter. Also das rein additive Zählen, das ist dasjenige, was erst in zweiter Linie kommen darf; denn das ist eine Tätigkeit, die lediglich hier im physischen Raume eine Bedeutung hat, während das Gliedern der Einheit eine solche innere Bedeutung hat, daß es wiederum fortschwingt im ätherischen Leib, auch wenn der Mensch nicht dabei ist. Darauf kommt es an, daß man diese Dinge weiß.
Ebenso handelt es sich darum, daß, wenn wir das Zählen auf diese Weise überwunden haben, wir nun nicht leblos mechanisch zum Addieren übergehen, wo wir dann Addend zu Addend reihen. Das Lebendige kommt in die Sache hinein, wenn wir nicht von den Teilen der Addition ausgehen, sondern von der Summe; wenn wir also eine Anzahl von Dingen, sagen wir, eine Anzahl von Kugeln hinwerfen – nun, im Zählen sind wir so weit, daß wir sagen können, das sind vierzehn Kugeln. Jetzt gliedere ich dieses, indem ich den Begriff des Teiles

Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort. Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet.
Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot adderen, tot optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal aan getal, addendum aan addendum rijgen. Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de optelling uitgaan, maar van de som. Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes neergooien — welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder, doordat ik het begrip van het gedeelte

Blz. 184  vert. 233-234

fortsetze. Ich habe hier fünf, hier vier, hier wiederum fünf; so daß ich die Summe auseinandergeworfen habe in fünf, vier, fünf. Ich gehe also über von der Summe zu den Addenden, von detn Ganzen zu den Teilen, und versuche beim Kinde so vorzugehen, daß ich immer die Summe gewissermaßen hinstelle und das Kind darauf kommen lasse, wie sich die Summe gliedern kann in die einzelnen Addenden.
Also ist es außerordentlich wichtig, daß man, wie man beim Fahren die Pferde nicht beim Schwanze aufzäumt, sondern beim Kopfe, ebenso seelisch mit dem Rechnen vorgehe; daß man tatsächlich von der Summe, die eigentlich in allem immer gegeben ist, von dem Ganzen ausgeht: das ist das Reale. Vierzehn Äpfel, die sind das Reale – nicht die Addenden sind das Reale; die verteilen sich nach den Lebensverhältnissen in der verschiedensten Weise. So daß man also ausgeht von dem, was immer das Ganze ist, und übergeht zu den Teilen. Dann wird man den Weg wiederum zurückfinden zu dem gewöhnlichen Addieren.Aber man hat eben, wenn man so vorgeht, wenn man vom ganz Lebendigen übergeht zum Teilen, erreicht, daß dasjenige, was zugrunde liegt dem Rechnen, der Bildekräfteleib, der eben lebendige Anregung haben will zum Bilden, in Schwingungen versetzt wird, die er dann vervollkommnend fortsetzt, ohne daß wir dann mit unserem störenden astralischen Leib und der Ich-Organisation dabei zu sein brauchen.
Ebenso wird der Unterricht in einer ganz besonderen Weise belebt, wenn man die anderen Rechnungsarten vom Kopf, wo sie heute vielfach stehen, wiederum auf die Beine stellt; wenn man zum Beispiel

voortzet. Ik heb hier vijf, hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van het geheel naar de delen. En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laten komen hoe de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda.

Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van bet geheel uitgaat: dat is het reële. Veertien appels, dat is het reële – niet de addenda zijn het reële; die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer terugvinden naar het normale optellen. Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties wordt omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te zijn.
Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet. Als je bijvoorbeeld er

Blz. 185  vert. 235

darauf hinarbeitet, das Kind dazu zu bringen, daß es sagt: Wenn man sieben hat, wieviel muß man wegnehmen, damit man drei bekommt? – nicht: Was bekommt man, wenn man von sieben vier wegnimmt? -, sondern umgekehrt: Wenn man sieben hat – das ist das Reale – und was man bekommen will, ist wiederum das Reale. Wieviel muß man von sieben wegnehmen, damit man drei bekommt? – Mit dieser Form des Denkens steht man im Leben zunächst drinnen, während man mit der anderen Form in der Abstraktion drinnen steht. So daß man, wenn man in dieser Art verfährt, dann sehr leicht zu dem anderen zurückkehren kann.
In derselben Weise soll man beim Multiplizieren, beim Dividieren vorgehen, nicht fragen: Was entsteht, wenn man zehn in zwei teilt? -, sondern: Wie muß man zehn teilen, damit man fünf bekommt? – Man hat ja das Reale als Gegebenes, und im Leben soll dasjenige herauskommen, was dann eine Bedeutung hat. Zwei Kinder sind da, unter denen sollen zehn Äpfel geteilt werden, jedes soll fünf bekommen: das sind die Realitäten.

naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te krijgen? – niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt maar omgekeerd: als je zeven hebt -dat is het reële – en wat je wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen opdat je drie krijgt? – Met deze vorm van denken sta je in eerste instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren
Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee deelt? —, maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? – Je hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar voren komen wat betekenis heeft. Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden, ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten.

Was man dazu tun muß, das ist das Abstrakte, das in die Mitte hineinkommt. So sind die Dinge immer unmittelbar dem Leben angepaßt. Gelingt einem dieses, dann ergibt sich, daß wir dasjenige, was wir heute in additiver Weise, in rein äußerlich nebeneinanderfügender Weise vielfach vornehmen und wodurch wir ertötend wirken, gerade im rechnenden Unterricht als Belebendes haben. Und darauf ist zu sehen gerade bei diesem Unterricht, daß wir wirklich auch das Unterbewußte des Menschen, das heißt dasjenige berücksichtigen, was in den Schlaf hineinwirkt und was auch sonst unterbewußt wirkt, wenn der Mensch wach ist. Denn der Mensch denkt ja nicht immer an alles, sondern er denkt an einen kleinen Teil desjenigen, was er seelisch erlebt hat; das andere arbeitet aber immer fort. Gönnen wir es dem Kinde, daß in gesunder Weise sein physischer und sein Ätherleib fortarbeiten. Das können wir aber nur, wenn wir wirklich Spannung, Interesse, Leben hineinbringen gerade in den Rechnungs- und Geometrieunterricht.

Wat je daarvoor moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven.
Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het rekenonderwijs als iets levengevends hebben. En we moeten juist bij dit onderwijs erop letten dat we werkelijk ook met het onderbewuste van de mens, dat wil zeggen met datgene rekening houden wat in de slaap naar binnen werkzaam is, en wat ook anders onderbewust werkt wanneer de mens wakker is. Want de mens denkt immers niet altijd aan alles, maar hij denkt aan een klein deel van wat hij zielsmatig heeft; dat andere werkt echter altijd door. We gunnen ’t het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs.

Blz. 187  vert. 238

Zu dem ganzen Menschen gehört eben nicht bloß das Bewußte, sondern auch das jeweilig Unbewußte. Und in bezug auf alle diese Dinge muß eben gesagt werden: Der Unterricht und die Erziehung haben nicht nur an den ganzen Menschen zu appellieren, sondern auch an die Teile, an die Glieder des Menschen. – Aber dann ist es auch notwendig, vom Ganzen auszugehen, das Ganze zunächst zu ergreifen und dann die Teile, während man sich sonst um den ganzen Menschen gar nicht kümmert, wenn man im Zählen eins zum anderen legt, wenn man im Zählen Addend zu Addend gibt. An den ganzen Menschen richtet man sich, wenn man die Einheit ins Auge faßt und von da zu den Zahlen übergeht, wenn man die Summe, den Minuenden ins Auge faßt, den Quotienten, das Produkt, und von da zu den Gliedern übergeht.

Bij de hele mens hoort nu eenmaal niet alleen het bewuste, maar ook het huidige onbewuste. En in verband met al deze dingen moet nu juist gezegd worden: het onderwijs en de opvoeding moeten niet alleen aan de gehele mens appelleren, maar ook aan de delen, aan de geledingen van de mens. — Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen overgaat.
GA 307/181-187
Vertaald/231-238

Blz. 212  vert. 272  

Voordracht 12, Ilkley 16 augustus 1923

Auch der rechnerische Unterricht ist durchaus zur Ausbildung des Gedächtnisses zu benützen. Es ist das so, daß wir immer beginnen sollen im Rechnen mit dem künstlerischen Verstehen der Dinge, wie es in diesen Tagen gezeigt worden ist.
Aber wenn wir wirklich dafür gesorgt haben, daß das Einfachere, sagen wir, die Zahlen bis zehn oder meinetwillen bis zwanzig in ihrer Handhabung bei den Rechnungsoperationen durchschaut worden sind,
dann brauchen wir nicht davor zurückzuschrecken, das übrige gedächtnismäßig an das Kind herankommen zu lassen.

Ook het rekenonderwijs is zeker te gebruiken om het geheugen te vormen.
Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is aangegeven.
Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere, laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig, in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig op het kind af te laten komen. En we moeten het kind net zo weinig met geheugenmateriaal als met te ver doorgedreven aanschouwelijk materiaal overbelasten. Want begrippen die te ver in het gecompliceerde worden gedreven, die belasten het geheugen. We moeten dus juist wat de ontwikkeling van het geheugen betreft zorgvuldig kijken naar hoe je dat bij het individuele kind doet.
GA 307/212
Vertaald
/272

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 306

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GA 306

Die pädagogische Praxis vom Gesichtspunkte geisteswissenschaftlicher Menschenerkenntnis

DE PRAKTIJK VAN DE PEDAGOGIE BEZIEN VANUIT GEESTESWETENSCHAPPELIJKE MENSKUNDE

Blz. 66  vert. 66

Voordracht 3, Dornach 17 april 1923

Bringen Sie dagegen (→Schreiben) das Rechnen in einer menschenmöglichen Form an das Kind heran, so werden Sie sehen, daß das Kind sich da hineinfindet; auch in geome­trische einfache Formen findet es sich hinein. Schon im ersten Vortrage habe ich darauf hingedeutet, daß die Formen seelisch frei wer­den, und auch die Zahlen werden seelisch frei, indem wir mit dem Zahnwechsel überhaupt unser inneres System erhärten – und da­durch setzt sich seelisch ab, was dann im Rechnen und Zeichnen usw. zum Ausdruck kommt.

Leer je het kind daarentegen [t.o. het schrijven] menselijkerwijs rekenen, dan zal je zien dat het kind daarin meegaat; ook in meetkundige, eenvoudige vormen vindt het zich wel. In de eerste voordracht heb ik er al op gewezen dat de vormenwereld voor de ziel vrij wordt en ook de getallen worden dat, wanneer we met de tandenwisseling ons innerlijke systeem vaster wordt – en daardoor zet het gevoelsleven zich af, wat dan zichtbaar wordt bij rekenen en tekenen enz.
GA 306/66
Op deze blog vertaald/66

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 305

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GA 305

Die geistig-seelischen Grundkräfte der Erziehungskunst

Opvoeding en onderwijs

Blz. 109  vert. 95

Voordracht 5, Oxford 21 augustus 1922

Früh ist das Kind bereits veranlagt für die ersten Elemente der Rechenkunst. Aber gerade bei der Rechenkunst kann man beobachten, wie nur allzuleicht ein intellektualistisches Element zu früh in das Kind hineinkommt. Rechnen als solches ist ja keinem Menschen in keinem Lebensalter ganz fremd. Es entwickelt sich aus der menschlichen Natur heraus, und es kann nicht eine solche Fremdheit zwischen den mensch­lichen Fähigkeiten und den Rechenoperationen eintreten wie zwischen diesen Fähigkeiten und den Buchstaben in einer folgenden Kultur. Aber dennoch, gerade darauf kommt ungeheuer viel an, daß der Rechenunterricht in richtiger Weise an das Kind herangebracht wird. Das kann im Grunde genommen nur derjenige beurteilen, der aus einer gewissen spirituellen Grundlage heraus das gesamte menschliche Leben beob­achten kann.
Zwei Dinge liegen logisch scheinbar einander recht fern: Rechenunterricht und moralische Prinzipien. Man rückt gewöhnlich gar nicht den Rechenunterricht an die moralischen Prinzipien heran, weil man keinen logischen Zusammenhang zunächst findet. Aber für den, der nun nicht bloß logisch, sondern lebensvoll betrachtet, für den stellt sich die Sache so, daß das eine Kind, das in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist, ein ganz anderes moralisches Ver­antwortungsgefühl im späteren Alter hat, als dasjenige Kind, das nicht 

Het kind is al vroeg ontvankelijk voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg een intellectualistisch element wordt opgedrongen. Het rekenen als zodanig is geen mens, op wat voor leeftijd dan ook, volkomen vreemd. Het ontwikkelt zich vanuit de menselijke natuur, en de rekenkundige operaties kunnen nooit zo ver af komen te staan van de menselijke vermogens als dat het geval is met de letters in een volgende cultuur. Maar toch is het juist van ongelooflijk belang dat het kind het rekenonderwijs op de juiste manier krijgt aangeboden. Dat kan in principe alleen worden beoordeeld door wie op basis van een zekere spirituele grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
Er zijn twee dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken lijken te hebben: rekenonderwijs en morele principes. Het rekenonderwijs brengt men normaal gesproken helemaal niet met morele principes in verband, omdat daar in eerste instantie ook geen logische samenhang tussen te ontdekken valt. Voor wie niet alleen de logica laat gelden maar vanuit de volheid van het leven naar de dingen kijkt, ligt de zaak evenwel anders. Een kind dat op de juiste manier heeft leren rekenen, zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten dan een kind dat het

Blz. 110  vert. 96/97

in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist. Und, es wird Ihnen vielleicht außerordentlich paradox erscheinen, aber da ich über Wirklichkeiten spreche, und nicht über dasjenige, was sich unser Zeitalter einbildet, so möchte ich, da die Wahrheit unserem Zeit­alter oftmals paradox erscheint, auch nicht zurückschrecken vor sol­chen Paradoxien. Wenn wir nämlich verstanden hätten als Menschen, in den verflossenen Jahrzehnten die menschliche Seele in der richtigen Weise in den Rechenunterricht tauchen zu lassen, hätten wir heute keinen Bolschewismus im Osten von Europa. Das ist dasjenige, was sich ergibt, was man innerlich sieht: mit welchen Kräften diejenige Fähig­keit, die im Rechnen sich auslebt, sich verbindet mit dem, was auch das Moralische im Menschen ergreift.
Nun werden Sie vielleicht mich noch besser verstehen, wenn ich ein klein wenig das Prinzip des Rechenunterrichts Ihnen darlege. Heute geht doch vielfach das Rechnen davon aus, daß wir zunächst damit beginnen, daß wir eins zum anderen hinzufügen. Allein bedenken Sie, welche fremde Betätigung das für die menschliche Seele ist, daß man eine Erbse zu den anderen hinzufügt, und immer wenn etwas hinzu­gefügt ist, man wieder einen neuen Namen gibt.

rekenen niet op de juiste manier is bijgebracht. Het volgende zal u misschien volkomen paradoxaal in de oren klinken, maar ik heb het over de werkelijkheid en niet over wat ons tijdperk zich verbeeldt. Daarom wil ik, al lijkt waarheid in onze tijd vaak paradoxaal, voor zulke paradoxen ook niet terugschrikken. Als wij namelijk als mens in de afgelopen decennia de kunst hadden verstaan om de menselijke ziel op de juiste manier in het rekenonderwijs onder te dompelen, dan was er nu geen bolsjewisme in Oost-Europa. Dat is wat de innerlijke blik ons toont: hoe sterk het vermogen dat zich in het rekenen manifesteert samenhangt met wat ook het morele in de mens beheerst.
Nu zult u mij misschien nog beter begrijpen, als ik u een klein beetje vertel over het principe van het rekenonderwijs. U weet, tegenwoordig is het uitgangspunt van het rekenen meestal dat we beginnen met het optellen van het een bij het ander. Maar bedenkt u nu eens wat een eigenaardige bezigheid dat is voor de menselijke ziel, om het ene erwtje bij het andere te leggen en dan steeds als er iets bij gekomen is daar weer een nieuwe naam aan te geven.

Der Übergang von eins zu zwei, dann wiederum zu drei, dieses Zählen ist ja etwas, was ganz wie willkürlich im Menschen als Tätigkeit sich vollzieht. Aber es gibt eine andere Möglichkeit, zu zählen. Wir finden diese Möglich­keit, wenn wir etwas in der menschlichen Kulturgeschichte zurück­gehen. Denn ursprünglich wurde gar nicht so gezählt, daß man eine Erbse zu der anderen legte, Einheit zu Einheit hinzulegte, und dadurch etwas Neues entstand, was wenigstens zunächst für das Seelenleben außerordentlich wenig mit dem Vorhergehenden zu tun hat. Aber man zählte etwa in der folgenden Weise. Man sagte sich: Was man im Leben hat, ist immer ein Ganzes, das man als Ganzes aufzufassen hat, und es kann das Verschiedenste eben eine Einheit sein. Wenn ich einen Volkshaufen vor mir habe, so ist er zunächst eine Einheit. Wenn ich einen einzelnen Menschen vor mir habe, ist er auch eine Einheit. Die Einheit ist im Grunde genommen etwas ganz Relatives. Das berücksichtige ich, wenn ich nicht zähle 1, 2, 3, 4 und so fort, sondern wenn ich in der folgenden Weise zähle:

Het overgaan van één naar twee en dan weer naar drie, het tellen is toch iets wat zich als een volkomen willekeurige activiteit in de mens afspeelt. Het is ook mogelijk om op een andere manier te tellen. Die mogelijkheid ontdekken we als we een stukje teruggaan in de menselijke cultuurgeschiedenis. Want oorspronkelijk werd er helemaal niet geteld door de ene erwt naast de andere te leggen. Men voegde niet eenheid bij eenheid, waardoor iets nieuws ontstond, dat, althans voor het zieleleven, bijzonder weinig te maken had met wat er eerst was geweest. Men telde daarentegen ongeveer op de volgende manier. Men zei: alles in het leven vormt altijd een geheel, dat men ook als geheel moet opvatten. Zelfs het meest heterogene kan een eenheid vormen. Als ik een mensenmenigte voor mij heb, is die toch in de eerste plaats een eenheid. En als ik een enkele mens voor mij heb is dat ook een eenheid. De eenheid is in de grond van de zaak iets heel betrekkelijks. Daar hou ik rekening mee als ik niet tel van een, twee, drie, vier enzovoort, maar als ik op de volgende manier tel:

Blz. 111  vert. 97

und so weiter, wenn ich das Ganze gliedere, weil ich also von der Ein­heit ausgehe, und in der Einheit als Mannigfaltigkeit die Teile suche. Das ist auch die ursprüngliche Anschauung vom Zählen. Die Einheit war immer das Ganze, und in der Einheit suchte man erst die Zahlen. Man dachte sich nicht die Zahlen entstehend als 1 zu 1 hinzugefügt, sondern man dachte sich die Zahlen alle als in einer Einheit darinnen, aus der Einheit organisch hervorgehend.
Das, angewendet auf den ganzen Rechenunterricht, gibt das Fol­gende: Sie werfen, statt daß Sie Erbse zu Erbse hinzulegen, einen Erb­senhaufen dem Kinde hin. (Es wird gezeichnet.) Der Erbsenhaufe ist das Ganze. Von dem geht man aus. Und jetzt bringt man etwa dem Kinde bei: Ich habe den Erbsenhaufen, oder, sagen wir, damit es für das Kind empfindlich anschaulich wird, einen Haufen von Äpfeln und 3 Kinder, vielleicht 3 Kinder von verschiedenem Alter, die verschieden stark zu essen haben, und wir wollen etwas tun, was mit dem Leben zusammenhängt. Was können wir da tun? Nun, wir können das tun, daß wir den Äpfelhaufen in einer gewissen Weise teilen, und daß wir dann den ganzen Haufen als Summe betrachten gleich den einzelnen Teilen, in die wir ihn aufgeteilt haben. Wir haben den Äpfelhaufen dort, und wir sagen: Wir haben 3 Teile, und bringen so dem Kinde bei, daß die Summe gleich ist den 3 Teilen. Summe =3 Teile. Das heißt, wir gehen bei der Addition nicht von den einzelnen Teilen aus und haben nachher die Summe, sondern wir nehmen zuerst die Summe und gehen zu den Teilen über. So gehen wir von dem Ganzen aus, und gehen zu den 

enzovoort, als ik het geheel onderverdeel, als ik dus uitga van de eenheid en daarin als in een menigvuldigheid de delen zoek. Dat is ook de oorspronkelijke opvatting van het tellen. De eenheid was altijd het totaal, en in die eenheid zocht men pas de getallen. Men stelde zich de getallen niet voor als ontstaan uit één, waar één werd bijgevoegd, maar men stelde zich de getallen allemaal voor als in een eenheid besloten, en vanuit die eenheid dan op een organische manier ontstaan.
Als we dat toepassen op het hele rekenonderwijs, levert dat het volgende op: u geeft het kind, in plaats van erwt na erwt neer te leggen, een handjevol erwten tegelijk:

Dat handjevol erwten is het geheel. Dat is waar we van uitgaan. En dan zegt u ongeveer het volgende tegen het kind: hier heb ik een handjevol erwten, of laten we zeggen, dat is wat aanschouwelijker, daar kan het kind beter in meegaan: ik heb hier een berg appels en drie kinderen, drie kinderen misschien van verschillende leeftijd, die niet allemaal evenveel eten. En nu willen we iets doen dat alles te maken heeft met het leven. Wat kunnen we dan doen? Welnu, we kunnen die berg appels op een bepaalde manier verdelen, waarbij we dan de hele berg zien als de som, die gelijk is aan de afzonderlijke delen waarin we die hebben opgedeeld. We hebben daar die berg appels en we zeggen: dat zijn drie delen, en brengen op die manier het kind bij dat de som gelijk is aan de drie delen. De som = drie delen. Dat wil zeggen, dat wij bij het optellen niet uitgaan van de afzonderlijke delen, om vervolgens tot de som te komen, maar dat wij eerst de som nemen, en van daar uit tot de delen komen. We gaan dus uit van het geheel en komen dan

Blz. 112 vert. 98/99

Addenden, zu den Teilen über, um auf diese Weise ein lebendiges Erfas­sen der Addition zu haben. Denn dasjenige, worauf es in der Addition ankommt, das ist immer die Summe, und die Teile, die Glieder sind das­jenige, was in der Summe in einer gewissen Weise drinnen sein muß.
So ist man in der Lage, das Kind heranzubringen an das Leben in der Art, daß es sich hineinfügt, Ganzheiten zu erfassen, nicht immer von dem Wenigen zu dem Mehr überzugehen. Und das übt einen außer­ordentlich starken Einfluß auf das ganze Seelenleben des Kindes. Wenn das Kind daran gewöhnt wird, hinzuzufügen, dann entsteht eben jene moralische Anlage, die vorzugsweise ausbildet das nach dem Begehr­lichen Hingehen. Wenn von dem Ganzen zu den Teilen übergegangen wird, und wenn entsprechend so auch die Multiplikation ausgebildet wird, so bekommt das Kind die Neigung, nicht das Begehrliche so stark zu entwickeln, sondern es entwickelt dasjenige, was im Sinne der pla­tonischen Weltanschauung genannt werden kann die Besonnenheit, die Mäßigkeit im edelsten Sinne des Wortes.

tot de getallen die bij elkaar worden opgeteld, tot de delen, om op die manier een levendig begrip te krijgen van de optelling. Want waar het bij de optelling op aankomt is altijd de som, en de delen, de samenstellende getallen, zijn wat in de som altijd op een bepaalde manier aanwezig moet zijn.
Op die manier kan men het kind zo met het leven vertrouwd maken dat het vanzelfsprekend gehelen zal weten te vatten, en niet altijd van minder naar meer zal gaan. En dat is van buitengewoon grote invloed op het hele zieleleven van het kind. Als het kind de gewoonte wordt bijgebracht om steeds bij te tellen, ontstaat er een morele aanleg waarbij zich gemakkelijk de neiging zal ontwikkelen om te streven naar wat begeerlijk is. Als van het geheel naar de delen wordt overgegaan, en op een soortgelijke manier ook het vermenigvuldigen wordt aangeleerd, raakt het kind minder sterk geneigd de begeerte te ontwikkelen, maar ontwikkelt dat wat in de zin van de platonische wereldbeschouwing de bezonnenheid genoemd kan worden, de gematigdheid in de meest edele zin van het woord.

Und es hängt innig zusammen dasjenige, was einem im Moralischen gefällt und mißfällt, mit der Art und Weise, wie man mit den Zahlen umzugehen gelernt hat. Zwischen dem Umgehen mit den Zahlen und den moralischen Ideen, Impulsen, scheint ja zunächst kein logischer Zusammenhang, so wenig, daß der­jenige, der nur intellektualistisch denken will, darüber höhnen kann, wenn man davon spricht. Es kann ihm lächerlich vorkommen. Man begreift es auch ganz gut, wenn jemand lachen kann darüber, daß man beim Addieren von der Summe ausgehen soll, und nicht von dem Addenden. Aber wenn man die wirklichen Zusammenhänge im Leben ins Auge faßt, dann weiß man, daß die logisch entferntesten Dinge im wirklichen Dasein einander oftmals sehr nahe stehen.
So ist dasjenige, was sich herausarbeitet in der kindlichen Seele durch die Behandlung mit den Zahlen, von ungeheurer Wichtigkeit für die Art und Weise, wie das Kind uns dann entgegenkommt, wenn wir ihm moralische Beispiele vor die Seele führen wollen, an denen es Gefallen oder Mißfallen, Antipathie oder Sympathie mit dem Guten oder Bösen entwickeln soll. Wir werden ein Kind vorfinden, das empfänglichen Sinn hat für das Gute, wenn wir das Kind in der entsprechenden Weise behandelt haben, mit den Zahlen umzugehen

Wat iemand moreel gezien bevalt en niet bevalt hangt nauw samen met de manier waarop hij met de getallen heeft leren omgaan. Er lijkt tussen de omgang met de getallen en morele ideeën en beweegredenen op het eerste gezicht geen logische samenhang te bestaan. Dat lijkt zelfs zo weinig het geval, dat wie zich tot het intellectualistische denken wil beperken, honend kan reageren als men het daarover heeft. Het kan hem belachelijk voorkomen. Het is ook heel goed te begrijpen als iemand het belachelijk vindt om bij het optellen van de som uit te gaan en niet van de getallen die bij elkaar worden opgeteld. Maar als men kijkt naar de werkelijke verbanden in het leven, dan weet men dat dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken hebben, in het werkelijke bestaan vaak zeer dicht bijeen liggen.
Zo is dat wat zich losmaakt in de ziel van het kind als gevolg van hoe we met de getallen omgaan van ontzettend groot belang voor de manier waarop het kind vervolgens reageert als wij zijn ziel morele voorbeelden willen geven, waaraan het positieve of negatieve gevoelens moet ontwikkelen, antipathie of sympathie tegenover het goede dan wel het kwade. Wij zullen een kind ontmoeten dat openstaat voor het goede als wij het kind op de aangewezen manier hebben geleerd met getallen om te gaan.
GA 305/109-112 
Vertaald/95-99

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Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

OPVOED- EN ONDERWIJSMETHODEN VANUIT DE ANTROPOSOFIE

Blz. 73/74  vert. 73/74

Voordracht 3, Dornach 26 september 1921

Die pädagogische Bedeutung der Erkenntnis vom gesunden und kranken Menschen

Wenn das Kind uns übergeben wird im Volksschulalter, sollen wir es erziehen, wir sollen es unterrichten. Indem wir mit dem einen oder mit dem anderen. mit Schreiben, mit Lesen mit Rechnen herankommen, führen wir ja eigentlich lauter Attacken auf das Kind aus. Wir unterrichten, sagen wir Leseunterricht – es ist eine Einseitigkeit. Der volle Mensch wird durchaus nicht eigentlich in Anspruch genommen beim gewöhnlichen Lese­unterricht. Wir fördern im Grunde genommen eine Mißbildung. wir fördern sogar eine Krankheitsneigung; und wiederum, wenn wir den Schreibunterricht erteilen, fördern wir nach einer anderen Richtung eine Krankheitsneigung. Wir führen eigentlich fortwährend Attacken aus gegen die Gesundheit des Kindes, wenn das auch nicht immer ersichtlich wird, da es sich eben nur, im Status nascendi möchte ich sagen, im Entstehungszustande sich äußert. Aber wir müssen fortwährende Attak­ken im Grunde genommen auf das Kind ausführen. Nun können wir im Zivilisationszeitalter nicht anders, als diese Attacken ausführen; aber wir müssen dasjenige, was wir da fortwährend unternehmen, gegen die Gesundheit des Kindes – man kann es schon so sagen -, das müssen wir immer wieder und wiederum gutzumachen verstehen. Wir müssen uns klar sein: Rechnen = eine Mißbildung; Schreiben = zweite Mißbildung; Lesen = dritte Mißbildung, und nun erst Geschichte, Geogra­phie! Da hört es ja gar nicht mehr auf, da geht es schon ins Schrecklichste hinein. Und demgegenüber müssen wir fortwährend dasjenige stellen, was wiederum zurücknimmt in den ganzen Menschen harmonisierend dasjenige, was auseinander will. Das ist so außerordentlich wichtig, daß wir uns dessen bewußt sind, daß wir eigentlich immer auf der einen Seite dem Kinde etwas beizubringen haben und auf der anderen Seite dafür zu sorgen haben, daß es ihm nichts schadet.

De pedagogische betekenis van de kennis van de gezonde en zieke mens

Wanneer we het kind naar de basisschool laten gaan, moeten we het opvoeden, we moeten het lesgeven.
Wanneer we met het een of ander aankomen, met schrijven, met lezen, met rekenen, plegen we eigenlijk een pure aanslag op het kind. We geven leesles – dat is een eenzijdigheid. De volledige mens wordt eigenlijk niet aangesproken bij het gangbare leesonderwijs. In de grond van de zaak bevorderen we iets verkeerds, we bevorderen zelfs een neiging naar ziekte en ook, wanneer we schrijfonderwijs geven, bevorderen we naar de een of andere kant een neiging tot ziekte. Ook al is het niet altijd duidelijk omdat het zich in een status nascendi uit, in de toestand waarin het ontstaat, we bestoken de gezondheid van het kind. Maar we moeten dat voortdurend doen. We kunnen in deze tijd van onze beschaving niets anders doen dat dit bestoken; maar wel moeten we, wat we daar voortdurend doen tegen de gezondheid van het kind – je kan het zo zeggen – ook steeds weer goed kunnen maken. Het moet duidelijk zijn: rekenen – een foutieve vorming; schrijven – een tweede foutieve vorming; lezen – een derde foutieve vorming en om nog maar te zwijgen van geschiedenis en aardrijkskunde! Daar houdt het al helemaal niet meer op, het gaat daar op een verschrikkelijke manier door. En daar moeten wij dan voortdurend tegenoverstellen wat harmoniserend in de hele mens terugbrengt, wat tot disharmonie leidt. Het is buitengewoon belangrijk dat wij er ons bewust van zijn dat wij eigenlijk aan de ene kant het kind steeds iets moeten bijbrengen en dat we aan de andere ervoor moeten zorgen dat dat hem geen schade berokkent.
GA 304/73-74
Op deze blog vertaald/73-74

Blz. 153

Voordracht 5, Oslo 23 november 1921

Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

Indem man vom Schreiben zum Lesen übergeht, merkt man ganz genau: Da geht es nun vom Wollen zum Fühlen. Und das Denken bildet sich am Rechnen aus.

Opvoed- en onderwijsmethoden vanuit de antroposofie

Als je van het schrijven naar het lezen overgaat, merk je heel precies: daar ga je van de wil naar het gevoel. En het denken vorm je door te rekenen.
GA 304/153
Niet vertaald (vertaling in voorbereiding)

Blz. 173

Voordracht 6, Oslo 24 november 1921

Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

Das Mineralische, das Physikalisch-Chemische, alles das sollte eigentlich erst in diesem Lebensalter an das Kind herangebracht werden. Von
den eigentlichen Verstandesdingen ist nur das Rechnen im früheren
Lebensalter nicht schädlich. Das kann deshalb früher geübt werden, weil es mit der inneren Disziplinierung zusammenhängt, und weil es sich
eigentlich sowohl der Willenskultur wie auch der Gemütskultur gegenüber neutral verhält; weil es ganz und gar davon abhängt, daß wir in der
richtigen Weise von der Geometrie, von der Arithmetik das Kind von
außen her zu beleben wissen während des Zeitalters, in dem das Kind
vorzugsweise auf Autorität eingestellt ist.

Opvoed- en onderwijsmethoden vanuit de antroposofie

Mineralogie, natuur- en scheikunde, dat allemaal moet je eigenlijk pas in deze levensfase [11-12jr] aan het kind geven. Van de eigenlijke verstandszaken is alleen het rekenen op een eerdere leeftijd niet schadelijk. Het kan eerder worden geoefend, omdat het met de innerlijke orde samenhangt en omdat het zowel met de wilscultuur als met de gevoelscultuur in een neutrale verhouding staat; omdat het er ook helemaal van afhangt of wij op de juiste manier vanuit de meetkunde, vanuit het rekenen het kind van buitenaf weten te inspireren gedurende de tijd dat het kind voornamelijk zich richt naar autoriteit.
GA304/173
Vertaling in voorbereiding

Blz. 198

Voordracht 7, Stratford-on-Avon, 19. April 1922 

Das Drama mit Bezug auf die Erziehung

7.-14. Jahr: Der Mensch bildet sich von seinem Atmungs- und Circulationssystem aus; er ist ganz Zuhörer und Musiker. Schreiben-lernen – nicht zu früh – danach Lesen. – Rechnen – als Analyse.

Het drama met het oog op de opvoeding

7 – 14 jaar: de mens vormt zich vanuit zijn ademhalings- en circulatiesysteem; hij is helemaal toehoorder en musicus. Niet te vroeg leren schrijven, daarna lezen.
Rekenen: analyse

GA 304/198
Vertaling in voorbereiding

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DIE GESUNDE ENTWICKLUNG DES MENSCHENWESENS

GEZONDMAKEND ONDERWIJS

Blz. 170/171     vert. 185/186

Voordracht 9, Dornach 31 december 1921

Das Kind vom siebenten bis zehnten Jahre: Pädagogik und Didaktik

Für das Rechnen ist in der Tat das Kind ohne weiteres geeignet, wenn es das schulpflichtige Alter betritt. Nur handelt es sich darum, daß man auch mit dem Rechnen auf die inneren Bedürfnisse der kindlichen Organisation eingehen muß. Das Kind ist nach dieser Richtung auf  Rhythmus, Takt, auf das empfindende Ergreifen eines Harmonisie­renden veranlagt. Dem entspricht nicht, wenn man, wie ich es nennen möchte, die additive Art an das Kind heranträgt und es zum zählen­den Rechnen bringt.
Natürlich muß das Kind zählen lernen, aber das zunächst additive zählende Rechnen, das ist nichts, was sich vereinigen kann mit den inneren Organisationskräften des Kindes. Wir sind ja im Verlaufe der Zivilisation allmählich dazu gekommen, das Arbeiten mit Zahlen in einer gewissen synthetischen Weise zu behandeln. Wir haben eine Ein­heit, eine zweite Einheit, eine dritte Einheit, und wir bemühen uns, im Abzählen, im additiven Elemente das eine zu dem anderen hinzuzu­fügen, so daß dann das eine neben dem anderen liegt, indem wir zählen. Dafür bringt uns, wie man sich wird überzeugen können, das Kind nicht ein äußerliches Wiederholen der Einheit, sondern sie lag in der wiederum nicht das elementar Menschliche zum Zählen hin entwickelt. Das Zählen ging allerdings aus von der Einheit; die Zwei war aber nicht ein äußerliches Widerholen der Einheit, sondern sie lag in der Einheit darinnen. Die Eins gibt die Zwei, und die Zwei sind in der Eins drinnen.

Het kind van het zevende tot het tiende jaar: pedagogie en didactiek

Voor het rekenen is het kind inderdaad zonder meer geschikt als het de leerplichtige leeftijd [toen zeven jaar;—vert.] bereikt. Nu gaat het erom dat je ook met het rekenen op de innerlijke behoeften van het kinderlijke organisme moet ingaan. Het kind heeft in deze richting een aanleg voor ritme, maat, voor het voelend opnemen van het harmoniserende element. Hier past dan niet in dat we, zoals ik het zou willen noemen, het kind de additieve manier aanleren en het laten optellen.
Natuurlijk moet het kind leren tellen, maar het in eerste instantie additieve, optellende rekenen, is niet iets wat zich kan verenigen met de innerlijke organisatiekrachten van het kind. Wij zijn er in de loop van de beschaving immers geleidelijk toe gekomen het werken met getallen op een bepaalde synthetische manier te behandelen. We hebben een eenheid, een tweede eenheid, een derde eenheid en we spannen ons in, bij het aftrekken, bij het additieve element het ene aan het andere toe te voegen, zodat dan het ene naast het andere ligt, doordat we tellen. Daarvoor toont het kind geen innerlijk begrip; je zult je daarvan kunnen overtuigen. Weer heeft zich niet het elementair menselijke op deze manier tot het tellen ontwikkeld. Het tellen ging natuurlijk wel uit van de eenheid, de twee was echter niet een uiterlijk herhalen van de eenheid, maar die zat in de eenheid. De een geeft: de twee, en de twee zitten in de een.

Die Eins geteilt, gibt die Drei, und die Drei sind in der Eins darinnen. Fing man an zu schreiben ins Moderne umgesetzt: eins, so kam man aus der Einheit nicht heraus, indem man zur Zwei kam. Es war ein innerlich organisches Bilden, indem man zur Zwei kam, und die Zwei war in der Einheit drinnen; ebenso die Drei und so weiter. Die Einheit umfaßte alles, und die Zahlen waren organische Gliederungen der Einheit.
Das so zu empfinden, hat auch das Musikalisch-Rhythmische in der kindlichen Anlage den Trieb, und man wird daher, statt in pedan­tischer Weise mit einer Art Addieren zu beginnen, lieber die Sache so anfangen, daß man sich ein Kind herausruft. Man gibt nicht da drei Äpfel und vier Äpfel und zwei Äpfel und veranlaßt das Kind, das Zusammenzählen zu lernen, sondern man gibt einen Haufen Äpfel – es kann ja natürlich, wenn man Äpfel nicht hat, auch etwas anderes sein -, man gibt einen Haufen Äpfel. Da ist dasjenige, was das Kind zunächst einmal hat. Nun ruft man zwei andere Kinder zu dem einen heraus, sagt dem Kinde: da hast du einen Haufen Äpfel, du sollst etwas

De een gedeeld geeft de drie en de drie zitten in de een. Begon men te schrijven, in het moderne omgezet: een, toen viel men niet uit de eenheid wanneer men tot de twee kwam. Het was een innerlijk organisch vormen wanneer men tot de twee kwam, en de twee zat in de eenheid; en precies zo met de drie enzovoort. De eenheid omvatte alles en de getallen waren organische geledingen van de eenheid. Het muzikaal-ritmische in de aanleg van het kind heeft de neiging dat zo te voelen en we willen daarom, in plaats van op een pedante manier met een soort van optellen te beginnen, liever de zaak op de volgende manier aanvangen: je laat een kind bij je komen, je geeft het dan niet drie of vier appels en twee appels, om die vervolgens te laten optellen; maar je geeft het een aantal appels — als je geen appels hebt kan het natuurlijk ook iets anders zijn —, je geeft het kind een aantal appels. Het kind heeft nu om te beginnen een aantal appels. Nu roep je twee andere kinderen erbij en zegt tegen het kind: daar heb je een aantal appels, daarvan moet je

Blz. 172  vert. 186

davon dem ersten Kind geben, dem zweiten Kind und dann für dich selbst behalten, und es soll jeder so viel haben wie der andere. Man bringt das Kind zum Auffassen dieser Prozedur, und dadurch bringt man es allmählich dahin, in das Drittel dieses Haufens Äpfel hineinzukommen. Man geht von einem Ganzen aus und geht zu dem divisio­nalen Prinzip; man beginnt nicht mit dem Additiven. Dadurch kommt man wirklich an das Verständnis des Kindes heran. Wir behandeln in der Waldorfschule aus Menschenerkenntnis heraus nicht zuerst die Addition, sondern zuerst die Division oder die Subtraktion und ge­hen dann erst zu der Addition oder Multiplikation über, indem wir den naturgemäßen Prozeß, den wir beim Divisiblen oder beim Sub­traktiven durchmachten, wieder zurücklaufen; so wie das frühere Di­visionelle, das Zahlenmäßige, auch nicht ein Synthetisches, sondern ein Analytisches war, ein Vordringen vom Ganzen zu dem Einen.

een deel aan het eerste kind geven, daarna een deel aan het tweede kind, en dan ook iets voor jezelf houden zodanig dat alle kinderen er evenveel hebben. Je zorgt ervoor dat het kind deze gang van zaken begrijpt en daardoor maak je geleidelijk inzichtelijk wat een derde deel van dit hoopje appels is. Je gaat van een geheel uit en gaat vervolgens naar het principe van het delen; je begint niet met optellen. Dit strookt echt met wat het kind begrijpt.
In de vrijeschool beginnen we vanuit menskundig inzicht niet eerst met optellen, maar met delen of aftrekken, en pas dan gaan we over tot optellen en vermenigvuldigen doordat we het proces dat we bij het delen en aftrekken hebben doorgemaakt, weer omgekeerd doorlopen. Net zoals het vroegere delen, het getalsmatige, ook niet iets synthetisch, maar iets analytisch was, een voortgaan van het geheel naar het ene.
GA 303/170-172 
Vertaald/185-186 

Blz. 194/195  vert. 219/220

Voordracht 10, Dornach 1 januari 1922

Das Kind im zehnten Lebensjahre: Pädagogik und Didaktik

Sehen wir zum Beispiel wie uns gewisse Dinge dazu die Handhabe geben. Wir können mit dem Kinde die ersten Zahlenverhältnisse in der im letzten Vortrag geschilderten Weise durchnehmen; wir können es so in die Beziehungen, in die subtraktiven, divisiven, additiven, multipli­kativen Verhältnisse der Zahlen einführen, daß ihm die Sache durch­sichtig ist, daß es also ein gewisses Verständnis dafür hat, in der Art, wie das gestern geschildert worden ist. Aber wir haben ja noch immer Gelegenheit, auch gedächtnismäßig das Kind das Einmaleins lernen 303/195 zu lassen. Für die späteren komplizierten Zahlenzusammenhänge gibt es noch immer die Möglichkeit des Memorierens des Einmaleins, wenn man es nur richtig zu den Zahlenverhältnissen in Beziehung bringt.
In dieser Beziehung kann man wirklich durch sogenannten Anschau­ungsunterricht viel sündigen. Man hat die Rechenmaschine eingeführt. Ich will nicht fanatisch sein nach irgendeiner Richtung, sie mag auch ihr Gutes haben; schließlich hat ja alles im Leben von einem gewissen Punkte seine Berechtigung. Aber vieles von dem, was man durch aus­gedachte Rechenmaschinen erreichen kann, kann man ebensogut auch an den zehn Fingern erreichen und an der Zahl der Schüler, die in der Klasse sind, ohne daß man zu den komplizierten Rechenmaschinen übergeht. Nehmen Sie es mir nicht übel, wenn ich in eine Schule hin­einkomme und die Rechenmaschine sehe, dann komme ich mir gegen­über dem Geistig-Seelischen doch so vor wie in einer Folterkammer des Mittelalters gegenüber dem Leiblich-Physischen! Es handelt sich wirklich darum, daß wir diese Dinge nicht ins Äußerlich-Mechanische überführen, um von dem scheinbar innerlich Mechanischen des Memo­rierens abzukommen.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken hoe bepaalde dingen ons daartoe de mogelijkheid geven. We kunnen met het kind de eerste getalsverhoudingen op de in de laatste voordracht beschreven wijze doornemen. We kunnen het in de relaties, in het aftrekken, delen, optellen en vermenigvuldigen, zodanig in de getallen invoeren dat de zaak voor het kind doorzichtig is, dat het dus een zeker begrip ervan heeft op de wijze waarop het gisteren beschreven is. Maar we hebben nog steeds gelegenheid het kind de tafels van vermenigvuldiging 195 ook als geheugentraining aan te leren. Voor de latere ingewikkelde getalsverhoudingen bestaat nog altijd de mogelijkheid de tafels van vermenigvuldiging uit ’t hoofd te leren, als we het maar op de juiste manier op de getalsverhoudingen betrekken.
In dit opzicht kunnen we werkelijk door zogenaamd aanschouwend onderwijs veel zondigen. Men heeft de rekenmachine ingevoerd. Ik wil niet fanatiek zijn in een of andere richting, de rekenmachine kan ook iets goeds hebben; tenslotte heeft alles in het leven vanuit een bepaald standpunt zijn rechtvaardiging. Maar veel van wat j e door uitgedachte rekenmachines kunt bereiken, kun je net zo goed bereiken met je tien vingers en met het aantal leerlingen die in de klas zitten, zonder dat je tot de gecompliceerde rekenmachine je toevlucht neemt. Neemt u mij niet kwalijk, maar als ik een school binnenkom en de rekenmachine zie, dan ervaar ik dat ten opzichte van het geestelijk-psychische net zo als een middeleeuwse folterkamer ten opzichte van het fysiek-lichamelijke! Het gaat er echt om dat we deze dingen niet in het uiterlijk-mechanische overbrengen om van het schijnbaar innerlijk mechanische van het uit ’t hoofd leren af te komen.
GA303/194-195
Vertaald/219-220   

Blz. 227/228  vert. 256/257

Voordracht 12, Dornach 3 januari 1922

Das Kind vom zehnten bis vierzehnten Lebensjahre: Pädagogik und Didaktik II

Das Mathematische, das Heranbringen von Rechnerischem und Geometrischem an das Kind, das ist etwas, was ganz besondere Schwierigkeiten für den Unterricht und die Erziehung bedeutet. Denn es ist wirklich so, daß die mathema­tischen Dinge, die man in ihrer einfacheren Art vor dem neunten Le­bensjahre – denn das Kind kann in dieser Beziehung, wenn man richtig vorgeht, sehr viel begreifen -, dann in immer weiterer Art weiter kom­pliziert, das ganze schulmäßige Alter hindurch beibringt, daß man diese zunächst nun auch ganz künstlerisch machen muß, daß man durch alle möglichen Hantierungen das Rechnerische, das Geometrische künst­lerisch zunächst an das Kind heranbringt, daß man auch da zwischen dem neunten und zehnten Lebensjahre zum Beschreiben der Gebiete übergeht.
Das Kind soll durchaus in der beschreibenden Art Winkel, Drei­ecke, Vierecke und so weiter betrachten lernen; und zum Beweisen soll man überhaupt erst gegen das zwölfte Jahr übergehen.

Het wiskundige, het kind rekenen en meetkunde aanleren, dat is iets wat speciale moeilijkheden met zich meebrengt voor onderwijs en opvoeding. Want het is echt zo dat de wiskundige dingen die je het kind eerst op een eenvoudigere manier bijbrengt — want het kind kan in dit opzicht, als we het goed doen, heel veel begrijpen —, vervolgens geleidelijk aan steeds gecompliceerder maakt, gedurende de hele schoolleeftijd, dat je dit om te beginnen ook heel kunstzinnig moet doen, dat je het kind door alle mogelijke manieren van werken het rekenen, de meetkunde op een kunstzinnige manier aanleert, dat je ook dan tussen het negende en tiende jaar tot het beschrijven van de gebieden overgaat. Het kind moet absoluut op de beschrijvende manier hoeken, driehoeken, vierhoeken enzovoort leren bekijken. En tot het bewijzen moeten we überhaupt pas tegen het twaalfde jaar overgaan.
GA303/227-228
Vertaald/256-257 

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MENSCHENERKENNTNIS UND UNTERRICHTSGESTALTUNG

Blz. 57   vert. 58

Voordracht 4, Stuttgart 15 juni 1921

Wenn wir nun dasjenige treiben, was wir den Kindern auf den verschiedensten Gebieten beibringen müssen, also ich will sagen, was wir ihnen beibringen, während wir mit ihnen lesen oder ihnen das vermitteln, was zum Lesen führt, was wir ihnen beibringen als das Gedankliche im Rechnen, was wir ihnen beibringen auch in der Naturgeschichte oder Naturlehre – durch all das, was in Gedanken sich ausspricht, bringen wir eben Vorstellungen an sie heran. Und Vorstellungen an die Kinder heranbringen, das ist im Grunde eine ganz andere Betätigung gegenüber dem kindlichen Organismus, als diejenige ist, die sich ja allerdings in die anderen zum Teil hineinmischt, aber zum Teil selbständig getrieben wird. Nicht wahr, ganz selbständig wird das Körperlich-Leibliche getrieben bei Eurythmie, beim Musik unterricht, beim Turnunterricht, in einer gewissen Weise beim Instrumentalunterricht, nicht mehr aber beim Gesangunterricht. Natürlich ist alles nur relativ. Aber es ist durchaus polarisch verschieden, was wir in diesen Fächern an die Kinder heranbringen, auch was das Kind beim Lesen, beim Schreiben lernt, wo wir stark an die körperliche Tätigkeit appellieren, von den Fächern, wo dies viel weniger der Fall ist, etwa beim Rechnen, wo die körperliche Tätigkeit eine untergeordnete Rolle spielt; während gerade beim Schreiben die körperliche Betätigung eine sehr große Rolle spielt.

MENSKUNDE EN OPVOEDING

Nu leren we de kinderen dingen op de meest uiteenlopende gebieden; als we met ze lezen, of ze leren lezen, als we ze leren rekenen, ook als we ze dingen leren in de plant- en dierkundeles, dingen over de natuur,- door alles wat in gedachtevorm wordt uitgedrukt, benaderen we ze met voorstellingen. En de kinderen benaderen met voorstellingen is een fundamenteel andere activiteit ten opzichte van het kinderlijke organisme dan dat wat deels zelfstandig bedreven wordt, maar wat zich hier wel ten dele mee vermengt. Geheel zelfstandig wordt het fysieke lichaam aangesproken bij euritmie, bij muziek, bij gymnastiek, en tot op zekere hoogte bij het instrumentale muziekonderwijs; maar niet meer bij het zingen. Natuurlijk is alles slechts relatief. Maar het is volstrekt tegenovergesteld: wat we in déze vakken met de kinderen doen, ook wat de kinderen leren bij het lezen en schrijven, waarbij we sterk appelleren aan de lichamelijke activiteit, staat in tegenstelling tot de vakken waarbij dat veel minder het geval is, bijvoorbeeld bij het rekenen, waarbij de lichamelijke activiteit een ondergeschikte rol speelt; terwijl bij het schrijven de lichamelijke activiteit juist een zeer grote rol speelt.

Blz. 59    vert. 60 

Beim Rechnen kommt ja die eigentliche Schreibtätigkeit nicht in Betracht, weil der Mensch zu sehr in Anspruch genommen ist durch die Gedankenarbeit; da tritt die Schreibarbeit mehr oder weniger zurück.

Bij het rekenen valt de schrijfactiviteit als zodanig niet op omdat de mens daarbij teveel in beslag genomen wordt door het denkwerk; dan treedt het schrijven min of meer op de achtergrond.
GA 302/57-59
Vertaald/58-60  

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2494

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 301

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ga 301

Die Erneuerung der pädagogisch-didaktischen Kunst durch Geisteswissenschaft

Voordracht 9, Bazel 4. mei 1920 

Dialekt und Schriftsprache

Blz. 151  vert. 151

Denn von all den Dingen, welche dem Menschen so furchtbar schaden, ist dasjenige, was aus dem Rechenunterricht kommt, bei vielen Menschen das Allerschädlichste. Die Art, nach der wir rechnen lernen, ist in der Regel gegen die menschliche Natur. Denn alles dasjenige, was heute bei vielen Menschen als eine Neigung zum Materialismus auftritt, das ist im Grunde genommen nichts anderes als ein Ergebnis eines verfehlten Rechenunterrichts so gerade um das 9. Lebensjahr herum.

Dialect en schrijftaal

Want van alle zaken die voor de mens zo buitengewoon schadelijk zijn, is wat uit het rekenonderwijs komt, het meest schadelijk. De manier waarop we leren rekenen gaat als regel in tegen de menselijke natuur. Want alles wat tegenwoordig bij veel mensen als een hang naar het materialisme optreedt, is in de aard der zaak niets anders dan het gevolg van verkeerd rekenonderwijs rondom het 9e jaar.
GA 301/151
Op deze blog vertaald/151                        zie bv. [9-4]

Voordracht 10, Bazel 5 mei 1920

Blz. 152   vert. 152

Synthese und Analyse im Menschenwesen und in der Erziehung

Synthese en analyse in de mens en in de opvoeding

De blz. 152, 153 en begin 154 zijn zo’n geheel dat die gelezen kunnen worden in de vertaling.
Dat geldt ook voor de blz. 157 vanaf ‘Dat is vooral voor het rekenen van belang’ tot half in blz. 160
GA 301/152-160
Op deze blog vertaald/152-160

Voordracht 14, Bazel 11. mei 1920 

Weitere Gesichtspunkte und Fragenbeantwortungen

Verdere gezichtspunten en vragenbeantwoording:

Blz. 218

Be­denken Sie nur, wie nahe es liegt nach den Angaben, die ich gemacht habe, beim Rechnen neben der gewöhnlich bloß beobachteten synthe­tischen Methode aufzusuchen die analytische Methode, von der Summe und vom Produkt, nicht allein von den Addenden und von den Fak­toren auszugehen.
Ich will Sie darauf aufmerksam machen, daß ja in dem Augenblicke, wo wir vom Rechnen von ganzen Zahlen zum Rechnen mit Brüchen übergehen, wir ganz naturgemäß ins Analy­sieren hineinkommen, denn Zahlen bis zu Brüchen verfolgen, heißt eben analysieren; so daß es gerechtfertigt ist, beim Bruchrechnen ein anderes Element in die Unterrichtsmethode einzuführen als beim Rech­nen mit gewöhnlichen Zahlen.
Es ist ja gewiß von der einen Seite her nicht gerade anzufechten, wenn im Laufe des 19. Jahrhunderts die Rechenmaschine in der Schule eingeführt worden ist; aber diese Rechenmaschine sollte nicht zu einer zu starken materialistischen Überschätzung des Anschauungsprinzips führen. Wir sollten uns klar sein darüber: Anschaulichkeit ist schon recht, aber es handelt sich doch darum, daß durch den Unterricht menschliche Fähigkeiten entwickelt werden sollen.

Maar denk er eens aan hoe voor de hand het ligt om bij de aanwijzingen die ik heb gegeven bij het rekenen naast die methode van het synthetiseren die als de gebruikelijke wordt gezien, te zoeken naar de analytische methode die vanuit de som [het totaal van een optelling] en van het product uitgaat en niet van de optellers en de factoren. Hoe voor het grijpen ligt het niet om uitvoerig stil te staan om vanuit dit gezichtspunt het rekenen met breuken te behandelen en alles wat daarmee samenhangt. Ik wil over deze details slechts het volgende zeggen: ik wil u erop wijzen dat op het ogenblik waarop wij van het rekenen met hele getallen overgaan op het rekenen met breuken, we a.h.w. vanuit de aard van de zaak bij een analyse terecht komen, want van getallen naar breuken is nu eenmaal analyseren; zodat het gerechtvaardigd is bij het rekenen met breuken een ander element in de methodiek in te voeren dan bij het rekenen met gewone getallen. Van een bepaalde kant uit gezien is het zeker niet echt aanvechtbaar dat in de loop van de 19e eeuw de rekenmachine in de school gekomen is [het Duits heeft Rechenmaschine, maar dat kan niet het digitale rekenmachientje van nu zijn; het moet om een soort telraam of abacus gaan]; maar die zou niet tot een te sterke materialistische overschatting van het aanschouwelijkheidsprincipe moeten leiden. We moeten duidelijk zijn: aanschouwelijkheid is wel goed, maar het gaat er toch om dat door het onderwijs menselijke vaardigheden worden ontwikkeld.

Die Zeit vom Zahnwechsel bis zu der Geschlechtsreife ist vor allen Dingen dazu da, daß das Gedächtnis herangebildet werde. Unterschätzung des Gedächt­nisses auf Grundlage der Anschauung, auf Kosten der Anschauung, die Bevorzugung der Anschauung auf Kosten des Gedächtnisses, beides sollte man eigentlich vermeiden. Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.
Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.

De tijd van tandenwisseling tot puberteit is er vooral om het geheugen te ontwikkelen. Onderschatten van het geheugen door aanschouwelijkheid, ten koste van de aanschouwelijkheid, het benadrukken van de aanschouwelijkheid ten koste van het geheugen, moet je allebei vermijden. Je zou wel eerst op een eenvoudige manier – maar in de aard van de zaak  heeft iemand die in staat is levendig onderwijs te geven aan de tien vingers van een hand genoeg – je zou, laten we zeggen, binnen het getal 10 allerlei groepjes kunnen hebben die de rekenoperaties en de verhouding van de getallen t.o.v. elkaar, verduidelijken. Maar dan moet je in de gaten hebben dat je het met rekenen toch zo moet doen als in het leven is, in ieder geval in het zielenleven van de mens.

Vanaf 219 t/m 222 is de inhoud voor rekenen essentieel.
GA 301/218-222
Op deze blog vertaald/218-222

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 300B

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GA300B

Blz. 14

DIE PÄDAGOGISCHE GRUNDLAGE DER WALDORFSCHULE

GRONDSLAGEN VAN DE VRIJESCHOOLPEDAGOGIE

Zie GA 298

Konferenz 15 maart 1922

X.: Beim Rechnen wollte er schnell die Antwort haben.
Dr. Steiner: Wenn das Kind nicht schnell rechnen kann, ist der Leib
noch schwer.

Vergadering 15 maart 1922

X. Bij het rekenen wil hij snel het antwoord vinden

Dr.Steiner: Wanneer het kind niet snel kan rekenen, is het lichaam nog zwaar.
GA 300B/65
Niet vertaald  

Konferenz 28 april 1922

Es wird gefragt wegen eines Kindes in der 1. Klasse, das nicht rechnen kann.

Dr. Steiner: Man muß mit dem Kinde besondere Übungen vornehmen. Sie zeichnen ihm vor einen Kreis und dann einen Halbkreis, und fordern es auf, am Halbkreis zu ergänzen, was es am ganzen Kreis sieht. Sie zeichnen auf eine symmetrische Figur, aber nur die eine Seite, und lassen es ergänzen. Außerdem müssen Sie das Kind in die Hilfskiasse geben. Dieses Kind müssen Sie schon hintun.

Vergadering 28 april 1922

Er wordt een vraag gesteld over een kind in de 1e klas dat niet kan rekenen.

Dr.Steiner: Je moet met het kind speciale oefeningen doen. Je tekent een hele cirkel en een halve en dan vraag je het kind om de halve cirkel af te maken zoals het de hele cirkel ziet. Dan teken je een symmetrisch figuur, maar alleen de ene helft en laat die afmaken. Bovendien moet het kind naar de hulpklas. Daar moet dit kind wel naar toe.
GA 300B/81
Niet vertaald

Konferenz 21 juni 1922

Wir werden die Kinder im Rechnen nicht heftelange Hausarbeiten machen lassen, aber wir werden den Kindern zuhause, wobei wir
etwas individualisieren, auch auf dem Gebiete der Literaturgeschichte und Kunstgeschichte, Probleme zu lösen geben; diejenigen, die fleißig sind, anregen, daß sie gerne zuhause etwas üben, wobei wir uns überzeugen, daß wir nicht überlasten. Sie dürfen nichtdas Gefühl kriegen, daß sie an den Aufgaben ächzen. Sie müssen esgern machen, und da ist es wirklich von großem Einfluß, wie man dieAufgabe gibt. Da kommen solche Dinge in Betracht, daß eine Gleichung so aufgegeben wird: ,,Eine Dame wird gefragt . . .”, die Gleichungsaufgabe in Novellenform hineinbringen.

Vergadering 21 juni 1922

We moeten de kinderen bij het rekenen geen schriften vol met huiswerksommen laten maken, maar we moeten de kinderen thuis, waarbij we iets individualiseren, ook bij literatuur- en kunstgeschiedenis, problemen laten oplossen: wie graag thuis werk maakt stimuleren dat te doen, waarbij we ervan overtuigd moeten zijn dat we ze niet te zwaar belasten. Ze moeten niet het gevoel krijgen dat ze eronder gebukt gaan. Ze moeten het graag doen en dan is het ook erg belangrijk welke opdrachten je geeft. Bv. dingen waarin het om een vergelijking gaat: ‘Een dame wordt gevraagd…’ .een vergelijkingsopdracht in verhaalvorm.
GA 300B/108
Niet vertaald

Konferenz 15 oktober 1922

Es ist unmöglich, daß ich in eine Klasse hineinkomme, wo der Lehrer ein Buch in der Hand hat und aus einem Rechenbuch eine Aufgabe vorliest, wo ausgerechnet wird, was für eine Summe herauskommt, wenn jemand ein solches Alter hat, ein zweiter ein solches, ein dritter ein solches und so weiter; sieben Menschen hintereinander haben ein Alter, und man rechnet eine Summe aus, wieviel das ausmacht. In einer Bewegung, wo davon geredet wird, daß nur Wirklichkeitsgemäßes vorkommen soll, läßt man ausrechnen, wieviel die zusammen alt sind. Was soll herauskommen? Es ist keine Realität. Wenn solcher Schlendrian in der Schule eintreten kann, dann ist dasjenige, was ich als Seminarkurs gehalten habe, einfach für nichts gewesen.

Het is onbestaanbaar dat ik een klas binnenkom waar een leerkracht een boek in zijn hand heeft en uit een rekenboek een opgave voorleest, waarbij uitgerekend moet worden wat de totaalsom is wanneer iemand zus of zo oud is, een tweede persoon die leeftijd heeft en een derde weer een andere, enz. Zeven mensen op rij hebben dan een bepaalde leeftijd die je bij elkaar moet tellen. 
In een beweging waarin wordt gesproken dat het over de realiteit moet gaan, laat men uitrekenen hoe oud die samen zijn. Dat is geen realiteit. Wanneer er zoveel gemakzucht de school binnen kan komen, dan is alles wat ik in de werkbesprekingen aan de orde heb gesteld, voor niks geweest.
GA 300B/140
Niet vertaald

Konferenz 28 oktober 1922

Ja, nicht wahr, dann habe ich mir noch viel überlegt über den
Rechenunterricht in den verschiedenen Klassen. Für diesen Rechenunterricht würde ich Sie bitten, ihn so einzurichten, daß für die Fortsetzung, für das Nehmen von neuen Stoffen, der Epochenunterricht bleibt, daß aber für den Rechenunterricht in jeder Woche zwei halbstündige Wiederholungen im übrigen Hauptunterricht stattfinden. Das müßten wir ganz durchführen. In den oberen Klassen auch so.

Ik heb nog veel nagedacht over het rekenen in de verschillende klassen. Wat de rekenlessen betreft zou ik willen vragen die zo vorm te geven dat voor het verdergaan, nieuwe stof, het periodeonderwijs blijft, maar dat je iedere week twee keer een half uur aan herhaling zou moeten doen in het overige hoofdonderwijs. Dat moeten we in gang zetten. Ook in de hogere klassen. 

Op blz. 175 nog een bevestiging daarvan.
GA 300B/172
Niet vertaald

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 297A

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GA 297A

ERZIEHUNG ZUM LEBEN

OPVOEDEN VOOR HET LEVEN

Voordracht 2, Amsterdam 28 februari 1921

                   Erziebungs-, Unterrichts- und praktische Lebensfragen
              vom Gesichtspunkte anthroposophischer Geisteswissenschaft

               Opvoedings- onderwijs- en praktische levensvragen vanuit het
gezichtspunt van de antroposofische geesteswetenschap

Blz. 58  vert. 58

Man gibt im heutigen materialistischen Zeitalter außerordentlich viel auf den sogenannten Anschauungsunterricht. Demjenigen, der die wahre Natur des Kindes versteht, ist es etwas Schreckliches, wenn er die abstrakten Rechenmaschinen und alles das, womit das Kind heute oftmals traktiert wird, sieht. Man ver­langt heute von dem Kinde, daß es alles gleich verstehe. Man will den Unterricht so einrichten, daß nichts über das gewöhnliche acht­- oder neunjährige Verständnis hinausgeht. Es scheint außerordent­lich wissenschaftlich zu sein. –

In deze huidige materialistische tijd is men buitengewoon gecharmeerd van het aanschouwelijkheidsonderwijs. Voor iemand die de echte natuur van het kind begrijpt, is het iets verschrikkelijks wanneer hij de abstracte rekenmachine en alles wat erbij komt, ziet, waarop het kind vandaag de dag dikwijls getrakteerd wordt. Men vraagt nu van het kind dat het alles meteen begrijpt. Men wil het onderwijs zo inrichten dat niets boven de pet gaat van acht- of negenjarigen.
GA 297A/58
Op deze blog vertaald/58

Voordracht 5, Den Haag 4 november 1922

Die religiöse und sittliche Erziehung im Lichte der Anthroposophie

Het morele en religieuze in de opvoeding

Blz. 148

So beginnen wir mit dem Künstlerischen und entwickeln daraus das Schreiben und dann erst das Lesen. Und so soll überhaupt ein Künstlerisches über den ganzen Unterricht ausgegossen werden.
Das kann bis in das Rechnenlernen hinein geschehen, wenn die
Lehrkräfte dazu da sind, jene Lehrkräfte, die aus einer wirklichen Vertiefung ihrer eigenen Seelenschätze dadurch Kenner geworden
sind, daß sie die Richtkräfte einer wirklichen anthroposophischen
Geisteswissenschaft in ihr Gemüt, in ihre Erkenntnis, in ihr Empfinden, in ihr Wollen aufgenommen haben

Dus beginnen we met het kunstzinnige en daaruit ontwikkelen we het schrijven en pas dan het lezen. En zo met natuurlijk het kunstzinnige over het hele onderwijs gedrapeerd worden.
Dat kan tot aan het rekenen aan toe, wanneer de leerkrachten daartoe in staat zijn – die leerkrachten die vanuit een echte verdieping van hun eigen gevoelswaarden tot kenners geworden zijn door de aanwijzingen van een echte antroposofische geesteswetenschap in hun ziel, in hun kennis, in hun beleving, in hun wil op te hebben genomen.
GA 297A/148
Vertaald     hier een eigen vertaling gebruikt

Er is sprake van een ‘rekenmachine’. Zie:Rekenen in beweging 8-4′

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 297

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 GA 297

                         IDEE UND PRAXIS DER WALDORFSCHULE

BASISGEDACHTEN EN PRAKTIJK VAN DE VRIJESCHOOL

Voordracht 8, Dornach 8 september 1920

Pädagogisch-didaktische Kunst und die Waldorf schule

Pedagogisch-didactische kunst en de vrijeschool

Blz. 209/210    vert. 209/210

Das Kind wird ja eigentlich in eine ihm ganz fremde Welt eingeführt, wenn es Lesen und Schreiben lernen soll. Mit dem Rechnen ist es nicht so, denn das liegt mehr im Menschen. Zählen ist etwas viel mehr dem Ursprünglich-Elementaren der Menschenseeie Naheliegendes als gerade Lesen und Schreiben. Die Schrift hat sich weiterentwickelt, und aus den Bildern sind Zeichen geworden, durch die man wie in eine fremde Welt hineinkommt.

Het kind wordt eigenlijk in een hem totaal vreemde wereld binnengeleid, wanneer het moet leren lezen en schrijven. Met rekenen is dat niet zo, want dat ligt meer in de mens zelf. Tellen hoort veel meer bij het oorspronkelijk-elementaire wat dichter bij de ziel van de mens staat dan lezen en schrijven. Het schrift is verder tot ontwikkeling gekomen en uit de beelden zijn tekens ontstaan waardoor je in een vreemde wereld binnengaat.
GA 297/209-210
Op deze blog vertaald/209-210

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VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 295

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GA 295

Werkbespreking 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 16-17  vert. 17

Wir werden uns genau überlegen, welcher Lehrstoff einer gewissen Altersstufe des Kindes entspricht, und dann werden wir diesen Lehr­stoff, das Lesen zum Beispiel, durch eine gewisse Zeit hindurch verfol­gen. Das heißt, das Kind wird seinen Vormittagsunterricht im Lesen wäh­rend sechs bis acht Wochen haben, dann wird Schreiben an seine Stelle treten, dann Rechnen, so daß das Kind sich die gesamte Zeit hindurch jeweilig konzentriert auf einen Unterrichtsstoff. So daß etwa, wenn ich es schematisch andeuten wollte, unser Unterricht darin bestehen würde, daß wir möglichst am Morgen beginnen – das heißt aber nur möglichst, denn es werden alle möglichen Modifikationen eintreten – mit Lesen, so daß wir einige Wochen lesen, dann schreiben, dann rechnen.

We zullen zorgvuldig onderzoeken welke leerstof in een bepaalde leeftijdsfase thuishoort en dan zullen we deze leerstof — lezen bijvoorbeeld — gedurende een bepaalde tijd blijven behandelen. Dat wil zeggen, het kind zal ’s ochtends gedurende zes tot acht weken les krijgen in lezen, dan in schrijven, dan in rekenen, zodat het kind zich de gehele tijd steeds op één onderwerp concentreert. In een schema aangeduid zou dat er zo uitzien: de lessen beginnen ’s ochtends als het kan met lezen, als het kan tenminste, want er zullen allerlei aanpassingen nodig zijn; we lezen dus enkele weken, dan schrijven we, dan rekenen we.
GA 295/16
Vertaald/17

Werkbespreking 4, Stuttgart 25 augustus 1919

Blz. 41  vert. 41

Steiner neemt hier vlierbesjes. Ik weet niet of dat zo’n goed idee is. De rollen makkelijk op de grond – blauwe vlekken!- enz. Beter iets groters: kastanjes, steentjes (ook geen papiersnippers GA 294).

Gehen wir einmal von der Addition aus, und zwar so, wie wir die Addition auffassen. Nehmen wir an, ich habe Bohnen oder ein Häuf­chen Holunderkügelchen. Nun will ich für den heutigen Fall anneh­men, daß die Kinder schon zählen können, was sie ja auch erst lernen müssen. Das Kind zählt, es hat 27. – «27», sage ich, «das ist die Sum­me.» Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! Die psychologische Bedeutung davon können Sie in meiner Erkenntnis­theorie verfolgen. Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen. Ein Häufchen Holunderkügelchen, sagen wir 12; weiter ein Häufchen, sagen wir 7; weiter eines, sagen wir 3; weiter eines, sagen wir 5. Dann werden wir die Holunderkügelchen erschöpft haben: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. Wir machen ja den Rechnungsvorgang von der Summe 27. Solch einen Vorgang lasse ich nun eine AnzaM von Kindern machen, welche ausgesprochen phlegmatisches Temperament haben. Man wird sich allmählich bewußt werden, daß diese Art des Addierens besonders geeignet ist für Phlegmatiker. – Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kin­der aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammen­werfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang.

Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. ‘Zevenentwintig,’ zeg ik, ‘dat is de som.’ We gaan uit van de som, niet van de delen! De psychologische betekenis daarvan kunt u in mijn kentheorie vinden.[9] Deze som verdelen we nu in delen, in hoopjes die bij elkaar opgeteld moeten worden. Een hoopje vlierbesjes van laten we zeggen 12; nog een hoopje van 7 bijvoorbeeld; nog een van laten we zeggen 3 en een van 5. Dan hebben we alle besjes gebruikt: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. We gaan bij de berekening immers uit van de som: 27. Zoiets laat ik nu door een aantal kinderen doen die een uitgesproken flegmatisch temperament hebben. Men zal zich er langzamerhand van bewust worden dat deze manier van optellen bijzonder geschikt is voor flegmatici. En omdat dit procedé immers omgedraaid kan worden, zal ik cholerische kinderen een beurt geven en ik zal de vlierbesjes weer op een hoop laten gooien, maar wel zo dat het geordend verloopt: 5 en 3 en 7 en 12 is 27. Het cholerische kind doet dus het omgekeerde.

Blz. 42  vert. 41

Das Addieren ist ganz besonders die Rechnungsart der phlegmatischen Kinder.
Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Ho­lunderkügeichen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. – Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rech­nung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. – Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rech­nungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Sub­traktion – aber so ausgeführt, wie wir es tun – für die melancholischen Kinder ist.
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. 

Optellen is bij uitstek de rekenbewerking voor flegmatische kinderen.
Nu neem ik iemand van de melancholische kinderen. Ik zeg: ‘Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!’ Hij telt er bijvoorbeeld 8. ‘Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?’ Het gaat er
dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Aftrekken in deze vorm is in de eerste plaats de rekenbewerking van de melancholische kinderen. Nu geef ik een sanguinisch kind een beurt en laat het terugrekenen. Dan zeg ik: ‘Wat is er weggenomen?’ En ik laat het kind zeggen: als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over. Het sanguinische kind laat ik weer de omgekeerde rekenbewerking uitvoeren. Ik wil maar zeggen dat het aftrekken ‘bij voorkeur’ de rekenbewerking is voor melancholische kinderen, althans zoals wij het doen.
Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes.

«Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7. Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnen-steckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56. -Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. Für das cholerische Kind wende ich in

‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.’ U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg: ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor?’ Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.
De cholericus leg ik eerst de deling voor, van het kleinste naar het grootste, en zeg: ‘Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer een 8 zit.’ En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56. Dan laat ik het omgekeerde doen door een flegmatisch kind: een gewone deling.

Blz. 43   vert. 42

dieser Form die Division an. Denn in dieser Form ist sie insbesondere die Rechnungsart der cholerischen Kinder.
Auf diese Weise, indem ich es fortwährend so durchführe, bekomme ich gerade für die vier Rechnungsarten die Möglichkeit, sie zu gebrau­chen für die Heranziehung der vier Temperamente: das Additive ist verwandt dem Phlegmatischen, das Subtrahieren dem Melancholischen, das Multiplizieren dem Sanguinischen, das Dividieren, mit dem Zu­rückgehen zu dem Dividenden, dem Cholerischen. – Das ist es, was ich Sie bitte, im Anschluß zu dem von Herrn N. Gesagten zu beachten.
Es ist von besonderer Wichtigkeit, daß man nicht langweilig fort-arbeitet: ein halbes Jahr bloß addiert, dann subtrahiert und so weiter, sondern wir werden diese vier Rechnungsarten womöglich nicht allzu langsam nacheinander durchnehmen, und dann alle vier üben! Zuerst nur bis 40 etwa. So werden wir Rechnen lehren nicht nach dem gewöhn­lichen Stundenplan, sondern so, daß durch das Üben diese vier Arten fast gleichzeitig angeeignet werden. Sie werden finden, daß es auf diese Weise sehr ökonomisch geht, und daß man die Kinder die Dinge inein­anderarbeiten lassen kann. – Es ist ja die Division verwandt mit der Subtraktion, und die Multiplikation ist eigentlich nur eine wiederholte Addition. So daß man also auch umwechseln und zum Beispiel das cholerische Kind an die Subtraktion heranbringen kann.

Voor het cholerische kind gebruik ik deze vorm van deling. Want in deze vorm is het met name de rekenbewerking voor het cholerische kind.
Op deze manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de vier temperamenten. Optellen is verwant met het flegmatische, aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische. – Wilt u dit nog onthouden, aansluitend bij wat de heer N. heeft gezegd.
Het is van groot belang dat het niet saai wordt: dat men een half jaar alleen maar optelt, dan aftrekt enzovoort. Nee, we zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd.
U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken.
GA295/41-43
Vertaald/41-42

Werkbespreking 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 93   vert. 86

T. spricht über die für das Rechnen unbegabten Kinder.
Rudolf Steiner: Wenn Sie besonders schwache Begabungen zum
Rechnen entdecken, so tun Sie gut, folgendes zu machen: die anderen
Kinder werden in der Regel in der Woche zwei Turnstunden, das heißt
eine Eurythmiestunde und eine Turnstunde haben. Diese Kinder, die
nicht gut rechnen, spannen Sie zusammen, und lassen Sie ihnen eine
Eurythmie- oder Turnstunde oder eine halbe Stunde anknüpfen. Sie
brauchen sich dadurch nicht mehr zu belasten; nehmen Sie sie mit anderen zusammen, wo gerade solche Übungen gemacht werden. Man muß
sorgen, daß solche Kinder gerade durch das Turnen und die Eurythmie
in ihren Fähigkeiten gehoben werden.
Sie lassen solche Kinder zunächst Stabübungen machen. Den Stab in
der Hand: nach vorne 1, 2, 3; nach hinten 1, 2, 3, 4. Also das Kind
muß immer den Stab nach vorne und nach rückwärts nehmen. Es muß
sich anstrengen, den Stab auf irgendeine Weise bei 3 nach rückwärt

T. bespreekt kinderen die zwak zijn in rekenen.

Als u kinderen ontdekt met bijzonder weinig aanleg voor rekenen, dan doet u er goed aan om het volgende te doen. De andere kinderen zullen in de regel twee uur gymnastiek in de week hebben, dat wil zeggen een uur euritmie en een uur gymnastiek. Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. U hoeft uzelf daardoor niet meer te belasten: u neemt ze samen met anderen die net op dat moment die lessen hebben. Men moet ervoor zorgen dat zulke kinderen juist door gymnastiek en euritmie hun vermogens ontwikkelen. U laat die kinderen in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3

Blz. 94  vert. 87

zu kriegen. – Dann muß auch Laufen darankommen: 3 Schritte vor, 5 Schritte zurück; 3 Schritte vor, 4 Schritte zurück; 5 Schritte vor, 3 Schritte zurück und so weiter. – Versuchen Sie, turnend und auch vielleicht eurythmisch in die Bewegungen des Kindes die Zahl hinein­zumischen, so daß es genötigt ist, sich selbst bewegend, zu zählen. Sie werden sehen, daß das einen Erfolg hat. Ich habe das bei Schülern wie­derholt gemacht.
Und ich frage Sie nun: Warum hat das einen Erfolg? Nach dem, was Sie schon gelernt haben, können Sie sich darüber Vorstellungen bilden.

T. Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geo­metrieunterricht.

Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willent­liches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.

naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.

En nu vraag ik u: waarom heeft dat succes? Met datgene wat u al geleerd heeft kunt u zich daarover voorstellingen vormen.

T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
GA 295/93-94
Vertaald/86-87

Werkbespreking 12, Stuttgart 4 september 1919

De vorige werkbespreking eindigde met een vraag:

Blz. 135  vert. 125

Denken Sie bis morgen nach, wie Sie den Kindern Aufgaben stellen würden, wo sie das Rechnen, ohne Zahlen zu schreiben,ausführen könnten, was man sonst immer Kopfrechnen genannt hat.
Denken Sie einmal, Sie würden dem Kinde die Aufgabe stellen: Von irgendwo geht ein Bote ab, der macht so und so viele Meilen, und weit hinterher geht ein anderer Bote ab, der geht nicht, sondern der fährt mit dem Fahrrad, der macht so und so viele Meilen. Wann hat der Bote mit dem Fahrrad den gehenden Boten eingeholt? Dieses ist so zu behandeln, daß die Kinder eine gewisse Geistesgegenwart entwickeln im Ergreifen von Situationen und im Überblicken von Situationen.

denkt u er voor morgen over na, hoe u de kinderen opgaven kunt geven waarbij ze kunnen rekenen zonder getallen op te schrijven, wat men gewoonlijk altijd hoofdrekenen noemt.
U kunt bijvoorbeeld zeggen: ergens vertrekt een bode, die legt zo en zo veel mijl af, en ver achter hem vertrekt een andere bode, die loopt niet, maar gaat met de fiets, die legt zo en zo veel mijl af. Wanneer heeft de bode met de fiets de lopende bode ingehaald? Dat moet men zo aanpakken dat de kinderen een zekere tegenwoordigheid van geest ontwikkelen in het ‘pakken’ van situaties en het overzien van situaties.

Ook was er bij meetkunde even sprake de oppervlakteberekening van vlakken.
Oppervlakte is zeker ook een rekenonderwerp.

Werkbespreking 13, Stuttgart 4 september 1919

Blz. 136  vert.  127

T.    versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestal­ten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschnei­den lassen, Schahlonieren.)

Rudolf Steiner: Es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadrat­meter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus sol­chen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotz­dem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervor­zurufen.
Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebens-alter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekom­men, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? – Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fal­len zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchge­nommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrech­nung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben

T. probeert het begrip oppervlakte aanschouwelijk te maken voor negenjarige kinderen. ( Vierkanten laten uitknippen om andere, grotere vierkanten te meten, sjablonen.)

Steiner: Het is goed uit te leggen dat als men een vierkantszijde heeft van 3 meter lang, het oppervlak dan 9 m2 is. Maar daarmee blijven we nog steeds in een sfeer waarin uit zulke aanschouwelijke stukken iets wordt samengesteld, en het zal desondanks heel moeilijk zijn om een juiste voorstelling op te roepen van oppervlakte.

  Wat ik bedoelde is: hoe gaat men op de juiste wijze te werk, en in welke leeftijdsfase kan men dat doen, om er werkelijk uit te krijgen dat oppervlakte oppervlakte is en oppervlakte wordt wanneer men de lengte met de breedte vermenigvuldigt? Hoe komt men zover dat men dit begrip van oppervlakte in een kind wakker roept? Het hangt ervan af waar men die lessen over oppervlakte een plaats geeft. En dan moet men zeggen: het is niet goed om de lessen over oppervlakte te geven op een moment dat men het rekenen met letters nog niet heeft behandeld. Rationeel kunnen we de oppervlakte pas behandelen wanneer we het rekenen met letters al behandeld hebben. Het antwoord is dus: we wachten met de behandeling van oppervlakte tot we het letterrekenen hebben behandeld.

Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen:
Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

Dan nu de vraag: hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? Ik zal u een eind op weg helpen en dan werkt u het verder uit. Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100.

Blz. 138  vert. 127

                              Kapital • Prozent • Zeit
Zinsen =                     ________________
                                            100
Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

                                                   K-P-T
                                                     100
T = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für
Zeit.
Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.
Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.
K ist = Kapital; P ist = Prozent; T ist = Zeit (Tempus); 2 ist =
Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als
Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

                                      rente =kapitaal x procent x tijd
100

Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven

                                                       r =k x p x t
                                                               100

De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit, en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen. En van daaruit komt u tot bovenstaande vorm en laat u een regel ontstaan.
k = kapitaal, p = procent, t = tijd, r = rente. Dan is bovenstaande een formule die ik mij enkel als basisformule inprent. Daarmee heb ik al de eerste stap gedaan in de overgang naar het rekenen met letters. Wanneer het kind nu deze formule heeft, hoeft het alleen maar de getallen in te vullen in de formule en dan moet steeds het juiste antwoord er uitkomen. Dan de afgeleide formule:

                                   K= (Z * 100) / (T * P)

so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchsta­ben K, P, T beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:
        
                                 T = (Z * 100) / (K * P)    P= (Z * 100) / (K * T)
        
Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: «Wir haben gelernt, eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7

                                                      k = r x 100
                                                               t x p

en nu kunt u stomweg onthouden dat u de drie letters k, p en t willekeurig met elkaar kunt verwisselen, zodat ook nog de volgende mogelijkheden ontstaan:

t = r x 100                                                   p =r x 100
k x p                                                             k x t

Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: ‘We hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7

Blz. 139 vert. 128

mehr 5 mehr 5, 25 = 8 + 7 + 5 + 5.» Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt ha­ben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde Zahl. Also stünde da zum Beispiel: 5, eine Summe. Und da stünde: a + b + c + c. Aber, wenn da c stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»
Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten 9.9 können Sie entwickeln a . a. Oder Sie können aus a 2 entwickeln a . b und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenbe­rechnung, a . a = a2.

plus 5 plus 5, dus: 25 = 8 + 7 + 5 + 5.’Niet waar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: ‘Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat “een of ander” getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat: a + b + c + c. Let wel, als daar een c staat voor de eerste 5, dan moet er ook een c staan voor de tweede 5. Net zoals ik een k zet voor een of ander “kapitaal”, zet ik hier een c.’ Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren, en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a =  a2.

Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend
entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. – Dann
von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie
man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie
man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das
gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das
ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man
kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn
jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen
Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.
Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multi­plizieren und von da in die Flächenberechnung.

Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal. En dan van daaruit afleiden hoe men discontorekening belicht. Dan hoe men de kinderen rabat en emballage leert berekenen en hoe men hun het begrip en de berekening van een wissel bijbrengt. Dat hoort thuis in het twaalfde en dertiende levensjaar, dan beklijft het voor het hele leven. Anders vergeet men het later altijd weer. Men kan het eenvoudig houden, maar het hoort daar wel thuis. Als iemand dit behoorlijk beheerst, dan beheerst hij de methodiek van het hele rekenen. Berekening van samengestelde interest hoort niet in deze jaren thuis.
Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.

G. schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufistandes vor mit Früchten, Ge­müse, Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, Geld herausgeben, überhaupt selbständig alles berechnen müssen.   

G. stelt voor om een klein kraampje op te zetten waar vruchten, groente, aardappels en dergelijke verkocht worden en waarbij de kinderen zelfstandig inkopen, verkopen, betalen, geld wisselen en alles helemaal zelfstandig moeten berekenen.

Blz. 140  vert. 129

Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man kei­nen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhal­ten!

Dat koopmansprincipe is heel goed voor de tweede klas. En het is goed dat degene die iets moet uitrekenen het ook echt zelf doet en dat niemand hem mag helpen. Steeds de interesse van allemaal wakker houden!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben

Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteil­hafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4, 5… 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99, 98, 97, 96… 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden unter­einanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch – weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts – halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

Er wordt gesproken over het hoofdrekenen; over het rekenen zonder te schrijven. Rudolf Steiner vertelt over Gauß die als zesjarige een keer tot een bijzondere oplossing was gekomen. Samengevat: De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauß bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1, 2, 3, 4, 5… 100 en de rij daaronder omgekeerd: 100, 99, 98, 97, 96… 1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10100 en dit moet weer gehalveerd worden – omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld — en dat geeft 5050.
Zo loste Gauß indertijd die vraag uit zijn hoofd op, tot niet geringe verbazing van zijn onderwijzer.

T  führt unter anderen zwei Arten von Aufgaben an: 1. Zeit- und Strecken-berechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Radumfang gegeben sind; 2. Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Aus flußröhre.

Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Be-wegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit ei­nem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. Met het voorbeeld van gisteren kunt u in de praktijk werken. U zegt dan: ‘Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?’ Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed.

Blz. 141  vert. 130

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird ein­mal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skiz­zieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astro­nom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu die­sem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.
Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu prak­tischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Prak­tische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.
In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslau­fen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern – in was würden Sie das auslaufen lassen?
Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

Een van de deelnemers wijst op foutenrekeningen.

Zulke foutenrekeningen zijn zeer gebruikelijk. Het is gebruikelijk dat men de fouten bij voorbaat incalculeert. Welnu, op een bepaald punt wordt tegenwoordig zo’n foutenrekening gemaakt die eens gecorrigeerd zal moeten worden. Toen Copernicus zijn ‘copernicaanse systeem’ had opgesteld, postuleerde hij drie stellingen. Zou men alle drie benutten om de weg van de aarde door te ruimte te beschrijven, dan zou men een heel andere beweging krijgen dan nu door de astronomen wordt aangenomen en op onze scholen gedoceerd wordt. Deze elliptische beweging wordt alleen mogelijk doordat men de derde stelling buiten beschouwing laat. Als de astronoom aan zijn telescoop gaat zitten, dan kloppen de dingen niet. Daarom berekent men de fouten ook mee. Door de Besselse correcties worden er ieder jaar fouten berekend voor dat wat in de werkelijkheid niet klopt. De correcties van Bessel – daarin zit de derde stelling van Copernicus.
 Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag uitkomt. Alles moet uitmonden in de praktijk. Daarbij kan men door iets wat volgt altijd het voorgaande laten bevruchten en omgekeerd.
Al die berekeningen van bewegingen, het weg laten lopen van vloeistoffen, door kleine gaten langzaam en door grote snel, die vragen over draaiende bewegingen bij machines met verschillend grote raderen – waarin zou u dat laten uitmonden?
Het beste zou zijn als u de kinderen de klok uitlegt in zijn verschillende vormen: het slingeruurwerk, het zakhorloge enzovoort.
GA 295/135-141
Vertaald/125-130

Werkbespreking 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 141  vert. 132

T.    gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn E = Endkapital, A = Anfangskapital, Z = Zins, P = Prozentsatz, T = Zeit
        
ist, so ist E -A + Z. Da ferner Z=(A * P * T) / 100     so wird E = A + (A * P* T) / 100

Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Reaiitätswert, wenn T gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gege­ben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man T weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kin­dern die Realität zu geben.
Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

T. geeft een voortzetting van de renteberekening als overgang naar het rekenen met letters. Als e = eindkapitaal, b = beginkapitaal, r = rente, p = percentage en t = tijd, dan is e — b + r. Omdat verder

r = b x p x t               wordt e = b +b x p x t
100                                          100

In deze vorm kan men natuurlijk tegenwoordig nooit een kapitaal beleggen. Deze vorm is alleen reëel, wanneer t gelijk is aan of kleiner is dan een jaar. Want in de realiteit bestaan er twee gevallen. Ofwel men roomt de rente jaarlijks af, dan blijft het beginkapitaal gelijk, ofwel men laat de rente bij het kapitaal en dan heeft men de berekening van het samengesteld interest nodig. Laat men t weg, dat wil zeggen, rekent men voor één jaar, dan is het reëel. Het is nodig om de kinderen de realiteit te geven.

Blz. 143-144   vert. 133

Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zu­nächst eine Summe von Zahlen hin, in wehcher die Addenden alle un­gleich sind:
20 = 7 + 5 + 6 + 2
Es können auch einzelne Addenden gleich sein:
25 = 5 + 5 + 9 + 6Und es können alle Addenden gleich sein:
18 = 6 + 6 + 6

Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe S1 = a + a + a, das sind drei a, dreimal a = 3. a;
dann S2 = a + a + a + a + a, fünfmal a = 5. a;
dann S3= a + a + a + a + a + a + a, siebenmal a = 7. a und so weiter.
Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es m-mal:
Sm = a + a + a + a + … . m-mal = m . a.
So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimm­ten Zahlen zu algebraischen Größen, zu a . a = a2, a . a . a = a3.
Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten.
Wenn wir b wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekom­men wir den Rest r..
 r1 = a – b
Nehmen wir nochmals b weg, so erhalten wir den Rest
r2 = a – b – b = a – 2b

Ein drittes Mal b weggenommen, ergibt
r3 = a – b – b – b = a-3b  und so weiter.
Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl a kein Rest mehr übrig bleibt, können es n- mal machen:

rn = a – b – b – b – … . n-mal = a – nb.

Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich 0 ist, so ist
0    = a – nb

Rudolf Steiner licht dan toe hoe men de overgang van getallen- naar letterrekening kan maken. Hij gebruikt het volgende voorbeeld.

Men schrijft een som op waarbij alleen verschillende getallen bij elkaar worden opgeteld:
                                                        20=7 + 5 + 6 + 2

Een paar getallen kunnen ook gelijk zijn:

                                                       25 = 5 + 5 + 9 + 6

En alle getallen kunnen gelijk zijn:

                                                          18 = 6 + 6 + 6

Gaat men er nu toe over, zoals gisteren werd aangegeven, om de getallen te vervangen door letters, dan heb ik bijvoorbeeld de som .
S1 = a + a + a, dat is drie keer een a, drie keer a = 3 x a.
Dan S2
 = a + a + a + a + a, vijf keer a = 5 x a.
Dan S3
 = a + a + a + a + a + a + a, zeven keer a = 7 x a, enzovoort.
Ik doe dat steeds op die manier, ik kan het negen keer, eenentwintig keer, vijfentwintig keer doen. Ik doe het m keer:
Sm = a + a + a + a + a. ..m keer = m x a.
Zo krijg ik uit het onbepaalde aantal getallen dat opgeteld moet worden de ene factor, terwijl het getal zelf de andere factor is. Op die manier kan men gemakkelijk de vermenigvuldiging uit de optelling afleiden en begrijpen. Zo maakt men de overgang van bepaalde getallen naar algebraïsche grootheden, naar a x a = a2,    a x a x a = a3.
 Op dezelfde wijze kan men ook het delen afleiden uit het aftrekken. Wanneer we b wegnemen van een heel groot getal a, dan krijgen we de rest r1

                                                          r1 = a — b
Nemen we nog een keer b weg, dan houden we de rest 

                                                        r2 = a – b – b = a – 2b 

Voor de derde keer b weggenomen geeft

                                                  r3  = a – b – b – b = a – 3b enzovoort.

We kunnen dit net zo lang doen tot er van a geen rest meer over is. 

We kunnen het n keer doen:

                                      rn = a – b – b – b – b… n keer = a – nb.

Als er dan geen rest meer is, dat wil zeggen, als de laatste rest gelijk 0 is, dan is

                                                          0 = a – nb.

Blz. 145   vert. 134

Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, a = nb. Ich habe n-mal das b weggenommen, habe das a in lauter b aufgeteilt,  a/b=n
da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das n-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.
Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, bezie­hungsweise wegnimmt.

Dan is a helemaal opgedeeld, omdat er immers geen rest is, a = nb. Ik heb n keer b weggenomen, ik heb a in enkel b opgedeeld: a = n.    (a gedeeld door b = n)
b
a is helemaal verdwenen. Ik heb gevonden dat ik dat n keer kan doen en daarmee ben ik overgegaan van het aftrekken naar het delen.
Men kan dus zeggen: de vermenigvuldiging is een bijzonder geval van optelling en het delen is een bijzonder geval van aftrekken, in die zin dat men niet slechts één keer, maar meerdere keren toevoegt respectievelijk wegneemt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. – Eugen Düh-ring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.
Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Di­vidieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.
    addieren    subtrahieren
    multiplizieren    dividieren
    potenzieren    radizieren

Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.
In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Net­to-, Tara-, Emballagerechnung.

Het gesprek komt op negatieve en imaginaire getallen.

Een negatief getal is een aftrekker waarvoor geen aftrektal meer is. Het is een aansporing om een operatie uit te voeren waar geen materiaal voor is, die niet uitgevoerd kan worden. Eugen Dühring wees de imaginaire getallen als onzin af. Hij zei over de definitie van Gauß van het imaginaire, dat dat een stommiteit was, geen realiteit maar een hersenspinsel.
Men leidt dus altijd de vermenigvuldiging af uit de optelling en dan het machtsverheffen uit de vermenigvuldiging. Verder het delen uit het aftrekken, het worteltrekken uit het delen.

optellen                           aftrekken
vermenigvuldigen         delen
machtsverheffen           worteltrekken

Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt.
In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang

Blz. 146  vert. 135

machen wollen – wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.
Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen. was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

Z = (K * P * T) / 100

das T größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Gan­zen dabei bekommt.
Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Steile sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Divi­dieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.
Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Po­tenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

Er wordt een vraag gesteld over het gebruik van formules.

Nu gaat het erom of u heel vaak liever niet de formule gebruikt maar steeds weer de gedachtegang wilt maken – waarbij u zeer zeker taalcultuur kunt bedrijven, dat is juist – of dat u misschien toch een formule wilt gaan gebruiken. Als u dat met beleid doet, zodat de formule goed begrepen wordt, is dat ook heel nuttig om tot op zekere hoogte daarmee taalcultuur te beoefenen. Maar vanaf een bepaald moment is het ook goed om de formule voor de kinderen tot iets voelbaars te maken, om de formule tot iets te maken wat levend is. Bijvoorbeeld, wanneer de t groter wordt bij

                                                         r = k x p x t
                                                                  100

dat de kinderen dan een gevoel krijgen dat het geheel groeit.
Hiermee is wel gezegd wat ik op deze plaats wilde zeggen, dat men de concrete getallen moet gebruiken bij gelegenheid van de rente- of procentberekening, om de overgang te vinden naar het letterrekenen en om daaruit het vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken af te leiden. Dat zijn toch dingen die men zeer zeker al moet doen met de kinderen.

Nu zou ik de vraag willen stellen: lijkt het u goed om het machtsverheffen en worteltrekken al te behandelen voordat u letterrekenen hebt gedaan, of zou u het daarna doen?

T.:    Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Poten­zieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökono­misch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

T.: Machtsverheffen ervoor, worteltrekken erna.

Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met de letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld.
GA 295/141-146
Vertaald/132-135

2e leerplanvoordracht, Stuttgart 6 september 1919                       

Blz. 167  vert. 154

Nun wird es uns obliegen, auch alles, was sich auf Rechnen, Mathe­matik, Geometrie bezieht, zu verteilen auf die acht Schulstufen.
Sie wissen ja, die äußere Methodik schreibt vor, im ersten Schuljahr vorzugsweise die Zahlen im Zahlenraum bis 100 zu behandeln. Man kann sich an das auch halten, denn es ist ziemlich gleichgültig, wenn man bei den einfacheren Zahlen bleibt, wie weit man den Zahlenraum im ersten Schuljahr treibt. Die Hauptsache ist, daß sie, insofern Sie den Zahlenraum gebrauchen, die Rechnungsarten darin so betreiben, daß Sie eben dem Rechnung tragen, was ich gesagt habe: die Addition zuerst aus der Summe heraus, die Subtraktion aus dem Rest heraus, die Multiplikation aus dem Produkt heraus und die Division aus dem Quotienten heraus entwickelt. Also gerade das Umgekehrte von dem, was gewöhnlich gemacht wird. Und erst nachdem man gezeigt hat, 5 ist 3 plus 2, zeigt man das Umgekehrte: durch Addition von 2 und 3 entsteht 5. Denn man muß starke Vorstellungen im Kinde hervor­rufen, daß 5 gleich 3 plus 2 ist, daß 5 aber auch 4 plus list und so wei­ter. Also die Addition erst als zweites nach der Auseinanderteilung der Summe; und die Subtraktion, nachdem man gefragt hat: Was muß ich von einem Minuenden abziehen, damit ein bestimmter Rest bleibt und

Nu moeten we ook alles wat met rekenen, wiskunde en geometrie te maken heeft verdelen over de acht klassen.
U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5 = 3 + 2, maar ook 4 + 1 enzovoort. De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden

Blz. 168  vert. 154

so weiter. Wie gesagt, daß man das dann mit den einfacheren Zahlen im ersten Schuljahr macht, ist selbstverständlich. Ob man nun gerade den Zahlenraum bis 100 oder bis 105 oder bis 95 benützt, das ist im Grunde nebensächlich.
Dann aber beginne man, wenn das Kind mit dem Zahnwechsel fer-tig ist, ja gleich damit, es das Einmaleins lernen zu lassen, und meinet-willen sogar das Einspluseins; wenigstens, sagen wir, bis zur Zahl 6 oder 7. Also das Kind möglichst früh das Einmaleins und Einspluseins einfach gedächtnismäßig lernen zu lassen, nachdem man ihm nur prin­zipiell erklärt hat, was das eigentlich ist, es prinzipiell an der ein­fachen Multiplikation erklärt hat, die man so in Angriff nimmt, wie wir das gesagt haben. Also kaum daß man imstande ist, dem Kinde den Begriff des Multiplizierens beizubringen, übertrage man ihm auch schon die Pflicht, das Einmaleins gedächtnismäßig zu lernen.
Dann führe man im zweiten Schuljahr für einen größeren Zahlen-raum die Rechnungsarten weiter. Man versuche, einfache Aufgaben auch ohne Schriftliches, eben im Kopfe, mündlich mit dem Schüler zu erledigen.

enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak.
Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen, draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren. In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling.

Man versuche, unbenannte Zahlen womöglich zuerst zu ent­wickeln an Dingen – ich habe Ihnen ja gesagt, wie Sie an Bohnen oder was auch, die unbenannten Zahlen entwickeln können. Aber man sollte doch auch das Rechnen im Zusammenhang mit benannten Zahlen nicht aus dem Auge verlieren.
Im dritten Schuljahr wird alles für kompliziertere Zahlen fort­gesetzt, und es werden schon die vier Rechnungsarten, wie sie im zwei­ten Schuljahr gepflogen worden sind, in Anwendung gebracht auf ge­wisse einfache Dinge des praktischen Lebens.
Im vierten Schuljahr wird das fortgesetzt, was in den ersten Schul­jahren gepfiogen worden ist. Aber jetzt müssen wir übergehen zur Bruchlehre und namentlich zur Dezimalbruchlehre.
Wir wollen dann im fünften Schuljahr mit der Bruchlehre und mit der Dezimaibruchlehre fortsetzen und alles dasjenige an das Kind her­anbringen, was ihm die Fähigkeit beibringt, sich innerhalb ganzer, ge­brochener, durch Dezimaibrüche ausgedrückter Zahlen frei rechnend zu bewegen.
Dann gehe man im sechsten Schuljahr über zur Zins- und Prozentrechnung,
zur Diskontrechnung, zur einfachen Wechseirechnung und begründe damit die Buchstabenrechnung, wie wir es gezeigt haben.

Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen – ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen.
 In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven.
In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.
In de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen.
In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente en procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.

Blz. 169-170   vert. 155-156

Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchsta­benrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das herein-zubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des prak­tischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann.
Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammenhängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann, und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben.

In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
GA 295/167-170
Vertaald/154-156
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In werkbespreking 4 staan de aanwijzingen voor het rekenen met de verschillende temperamenten.
Ter verduidelijking heb ik e.e.a. uitgewerkt waarbij ik de vormtekeningen voor de temperamenten als basis gebruikt.
Rekenen in temperamenten (onder 1, 2, 3, 4)

In het rekenwerkboekRekenen in bewegingworden de aanwijzingen die hierboven staan, verder uitgewerkt.

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