Categorie archief: rekenen

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – alle artikelen

.

Artikel nog in opbouw.
.

RUDOLF STEINER OVER REKENEN

Een kleine inhoudsopgave bij de opmerkingen die Rudolf Steiner in de pedagogische voordrachten maakte over rekenen. 

GA 34

Blz.. 309  vert. 326: vermenigvuldigen kun je met je vingers leren.

.

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2474

 

 

 

 

 

 

 

.

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.

Via onderstaande rubrieken vind je de weg naar meer dan 2200 artikelen.

In het zoekblokje (op deze pagina rechtsboven) een trefwoord ingeven, leidt ook vaak tot artikelen waar het betreffende woord in voorkomt.
Wanneer er meerdere koppen van artikelen worden getoond, is het raadzaam ieder artikel open te maken en onder aan het artikel bij de tag-woorden te kijken of het gezochte woord daar staat.
Wanneer het artikel is geopend, kan je Ctr + F klikken. Er verschijnt dan een zoekvenstertje waarin je het gezochte woord kan intikken. Als dit woord in het artikel aanwezig is, kleurt het op.
.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com
.

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

BORDTEKENEN zie TEKENEN

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KERSTSPELEN
Alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8;  klas 9: klas 10; klas 11  klas 12

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
Alle artikelen

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
Alle artikelen

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7
Bordtekenen [1]
Bordtekenen [2]

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
alle artikelen

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

Vanwaar de naam van onze schoolsoort
Maarten Zwakman
over: de naam vrijeschool; hoe geschreven; de naam Waldorf, ontstaan; enkele spellingskwesties toegevoegd

.
EN VERDER:

[1] Burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

[2] Met vreugde in het nu aanwezig zijn
Joop van Dam
over: ‘anti’- burn-out: aanwijzingen om naar jezelf te kijken en daar kracht uit te putten; de kracht van de ‘terugblik’; het belang van de gemeenschap; hoe wordt de gemeenschap sterker; hoe sta je als tijdgenoot in het heden

[3] Samen sterker
Lisette Thooft over: boek van Annejet Rümke ‘Als een feniks uit de as‘; analyse van burn-out op de vrijeschool; hoe komt dat, wat is er aan te doen; het individu in de sociale context; de grote verwachtingen door het ideaal;

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein
.

VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

Deze blog wordt/werd bekeken in:

Afghanistan; Albanië; Algerije; Amerikaans-Samoa; Andorra; Angola; Argentinië; Armenië; Aruba; Australië; Azerbeidzjan; Bahama’s; Bahrein; Bangladesh; Belarus; België; Benin; Bolivia; Bosnië en Herzegovina; Brazilië; Brunei; Bulgarije; Burkina Faso; Burundi; Cambodja; Canada; Caribisch Nederland; Chili; China, Congo Kinshasa; Costa Rica; Cuba; Curaçao; Cypres; Denemarken; Dominicaanse Republiek; Duitsland; Ecuador; Egypte; Estland; Ethiopië; Europese Unie; Finland; Filipijnen; Frankrijk; Frans-Guyana; Gambia; Georgië; Gibraltar; Griekenland; Ghana; Guadeloupe; Guatemala; Guyana; Haïti; Honduras; Hongarije; Hongkong; Ierland; IJsland; India: Indonesië; Isle of Man; Israel; Italië; Ivoorkust; Jamaica; Japan; Jemen; Jordanië; Kaapverdië; Kameroen; Kazachstan; Kenia; Kirgizië; Koeweit; Kroatië; Laos; Letland; Libanon; Liberia;  Libië; Liechtenstein; Litouen; Luxemburg; Macedonië; Madagaskar; Maldiven; Maleisië; Mali; Malta; Marokko; Martinique; Mauritius; Mexico; Moldavië; Monaco; Mongolië; Montenegro; Myanmar; Namibië; Nederland; Nepal; Nicaragua; Nieuw-Zeeland; Nigeria; Noorwegen; Oeganda; Oekraïne; Oman; Oostenrijk; Pakistan; Panama; Paraguay; Peru; Polen; Portugal; Puerto Rico; Quatar; Réunion; Roemenië; Rusland; Saoedi-Arabië; Senegal; Servië; Sierra Leone; Singapore; Sint-Maarten; Slovenië; Slowakije; Soedan; Somalië; Spanje; Sri Lanka; Suriname; Syrië; Taiwan; Tanzania; Thailand; Togo; Tsjechië; Trinidad en Tobago; Tunesië; Turkije; Uruguay; Vanuatu; Venezuela; Verenigde Arabische Emiraten; Verenigde Staten; Verenigd Koninkrijk; Vietnam; Zambia; Zuid-Afrika; Zuid-Korea; Zweden; Zwitserland’ (156)

..

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – slot (1-4)

.

Bronnen

Werken van Rudolf Steiner

De pedagogische voordrachten zijn gebundeld in de Rudolf Steiner Gesamtausgabe 293 tot en met 311, speciaal over ‘rekenen’ is gesproken in voordrachten verzameld in de GA’s 294, 295, 301, 305, 307 en 311, Dornach: Rudolf Steiner Verlag.

Verzamelband met citaten: (1994) Rudolf Steiner zur Mathematik, Band I und II, Stuttgart: Pedagogische Forschungsstelle beim Bund der Freien Waldorfschulen.

R. Steiner (1981) Grenzen der Naturerkenntnis (GA 322), Dornach: Rudolf Steiner Verlag.  Vertaald

R. Steiner (1966) De opvoeding van het kind in het licht der Antroposofie, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.

R.Steiner (1981) Raadsels van het menselijk temperament, Zeist:
Uitgeverij Vrij Geestesleven.

R. Steiner (1979) Geisteswissenschaftliche Menschenkunde (GA 107), Dornach: Rudolf Steiner Verlag.

R. Steiner (1981) Sprachgestaltung und Dramatische Kunst (GA 282), Dornach: Rudolf Steiner Verlag.

R. Steiner (1983) Heilpedagogische cursus, Zeist: Uitgeverij Vrij Geestesleven.

Werken met betrekking tot reken-wiskundeonderwijs

P. Adam, A. Wyss (1984) Platonische und Archimedische Körper, ïhre Sternenformen und polaren Gebilde, Stutgart: Verlag Freies Geistesleben.

A. Bernard (1993) Geometrie, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.

A. Bernard (1993) Projective Geometrie, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.

H. von Baravalle (1984) Rechenunterricht und der Waldorfschul-Plan, Stuttgart: Mellinger Verlag.

H. von Baravalle (1959) Darstellende Geometrie, Stuttgart:
Verlag Freies Geistesleben.

H. von Baravalle (1957) Geometrie als Sprache der Vormen, Stuttgart:
Verlag Freies Geistesleben.

H. von Baravalle (1985) Die Geometrie des Pentagramms und der goldene Schnitt, Stuttgart: Mellinger Verlag.

E. Bindel (1982) Das Rechnen, Stuttgart: Mellinger Verlag.

E. Bindel (1967) Die Arithmetik, Stuttgart: Mellinger Verlag.

E. Bindel (1958) Die geistig-seelischen Grundlagen der Zahlen, Stuttgart:
Verlag Freies Geistesleben.

391

A. J.Bishop (1988) Mathematical Enculturation. A cultural perspective on mathematics education, Mathimatics Education Library, Dordrecht:
Kluwer Academie Publishers.

M. Blocksma (H. van Maanen) (1990) De schaal van Richter en andere getallen.

De ontcijfering van alledaagse nummers,cijfers, maten en gewichten, Amsterdam: Bert Bakker.

G. Bosteels (1958) Het leven der getallen, Antwerpen: De Sikkel N.V.

W. Bühler e.a. (1970) Lebendige Denken durch Geometrie, Bern: Arbeitskreis der freien padagogischen Verenigung.

R. Gersons (1991) Handelsrekenen, Driebergen: VPC.

C.Gibb-Smith (1978) De uitvindingen van Leonardo da Vinei, Haarlem: De Haan.

L. Gillesen en J. Klep (1980) De getallenlijn. Tellen, meten, rekenen en denken,
OBR 287, Tilburg: Zwijsen.

F.Goffree (1994) Wiskunde & didactiek voor aanstaande leraren basisonderwijs, deel 1, 2 en 3, Groningen: Wolters Noordhoff.

F. Groffree en K. Buys (red.) (1989) Tegengesteld. Wiskundedidactiek op de grens van basis- en voortgezet onderwijs, toegespitst op negatieve getallen, Baarn: Bekadidact.

F. Goffree (1979) Leren onderwijzen met wiskobas, Utrecht: lOWO.

K. Gravemeyer en J.M. Kraemer (1986) Met het oog op ruimte, OBR 306, Tilburg: Zwijsen.

W. van Haren en R. Kischnick (1992) Het grote spelenboek, Zeist: Christofoor.

H. ter Heege (1993) Handreiking bij de kerndoelen basisonderwijs, Rekenen en wiskunde, Enschede: SLO.

G. Ifrah (1988) De wereld van het getal. De geschiedenis van een grote uitvinding, Katwijk aan zee: Servire Uitgevers B.V.

R.A. de Jong (1986) Wiskobas in methoden, dissertatie, Utrecht: OW&OC.

C. Kellinga (z.j.) Kort overzicht van de methode ‘Noodig Rekenen op de lagere school’, Amsterdam: N.V.R.K. Boekcentrale.

E.M.Kranich e.a. (1992) Formenzeichnen, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.

B. Lagerwerf (1994) Wiskundeonderwijs in de basisvorming. Een didactische ruggesteun voor wiskundeleraren, Groningen: Wolters Noordhoff.

L. Locher-Ernst (1984) Mathematik als Vorschule zur Geisterkenntnis, Dornach: Philosophisch-Anthroposophischen Verlag.

J. Nelissen en B. van Oers (1990) Rekenen als realiteit. OBR 329, Tilburg: Zwijsen.

E. Schubert (1993) Der Anfangsunterricht in der Mathematik, Mannheim:

392

Intern Manuscript. 

E. Schubert (1971) Die Modernisierung des mathematischen Unterrichts, Stuttgart:  Verlag Freies Geistesleben. 

E.A.K. Stockmeyer (1976) Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen, Stuttgart:
Verlag Freies Geistesleben.

A. Strakosch (1962) Geometrie durch übende Anschauung, Stutgart:
Mellinger Verlag.

L. Streefland (1988) Realistisch breukenonderwijs, dissertatie, Utrecht: OW&OC.

A.Treffers,E. de Moor (1989) Proeve van een natinaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1: Overzicht einddoelen, Tilburg: Zwijsen.

A. Treffers,E. de Moor (1990) Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2: Basisvaardigheden en cijferen, Tilburg: Zwijsen.

B. Ulin (1987) Der Losung auf der Spur, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.

B.L. van der Waerden (1950) Ontwakende Wetenschap. Egyptische, Babylonische en Griekse wiskunde, Groningen: Noordhoff.

R. Wilkinson (1976) Teaching Mathematics, to age 14, Forrest Row,Sussex:
Roy Wilkinson.

J.M. Wijnstra (red.) (1988) Balans van het rekenonderwijs in de basisschool,
Uitkomsten van de eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs, Arnhem: Instituut voor toetsontwikkeling.

R. Ziegler (1993) Goethes Ideen zur Mathematik, Dornach:Philosophisch-Anthroposophschen Verlag.

Werken met betrekking tot extra zorg voor kinderen met rekenproblemen

A. Mc Allen (1982) Die Förderstunde, Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben.

R. Ballreich und U. von Grabowiecki (1992) Zirkus-Spielen. Ein Handbuch,
Stuttgart: S. Hirzel Verlag.

M. Boekaerts en P.R. Simons (1993) Leren en instructie. Psychologie van de leerling en het leerproces, Assen: Dekker & v.d. Vegt.

J.J. Dumont (1991) Leerstoornissen. Deel 1,2 en 3, Rotterdam: Lemniscaat.

N. Glas (1976) Gefahrdung und Heilung der Sinne, Stuttgart: Mellinger Verlag.

M. Glöckler e.a. (1992) Das Schulkind – Gemeinsame Aufgaben von Arzt und Lehrer,Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag.

393

W. Holtzapfel (1991) Kinderen met ontwikkelingsproblemen, Zeist:
Uitgeverij Vrij Geestesleven.

E. Lehrs (1982) Vom Geist der Sinne. Zur Diätetik des Wahrnehmens,
Frankfurt am Main: Vittorio Klostermann.

B. C.J. Lievegoed (1968) Ontwikkelingsfasen van het kind, Zeist:
Uitgeverij Vrij Geestesleven.

P. Mesker en J Hofhuizen (1981) Kunnen en niet kunnen, Nijmegen:
Dekker & v.d. Vegt.

A.J.J.M. Ruijssenaars (1992) Rekenproblemen. Theorie, diagnostiek, behandeling, Rotterdam: Lemniscaat.

R. Treichler (1981) Die Entwicklung der Seele im Lebenslauf, Stuttgart:
Verlag Freies Geistesleben.

L. Vogel (1979) Der dreigliedrige Mensch. Morphologische Grundlagen einer allgemeinen Menschenkunde, Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag.

C. Weinschenk (1970) Rechenstörungen, Bern: Verlag Hans Huber.

H. Müller-Wiedemann (1989) Mitte der Kindheit, Stuttgart:Verlag Freies geistesleben.

394

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1Reflectieve notitie
Slot (1-2Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen

Rekenenalle artikelen

.
2472

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – slot (1-3)

.

rekenen in beweging
.

Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen

1. Want van al die dingen die aan de mens zo ontzettend veel kwaad doen, is hetgeen uit het rekenonderwijs komt, voor veel mensen het allerschadelijkst. De manier waarop we leren rekenen, druist in de regel in tegen de menselijke natuur. Want alles, wat tegenwoordig bij veel mensen als een neiging tot materialisme optreedt, is eigenlijk niets anders dan een gevolg van een gemiste kans bij het rekenonderwijs rond het negende levensjaar.
GA 301 blz. 151  Op deze blog vertaald
Zie ook Algemene menskunde [9-4]

2. Aan alles wat we doen, ligt als zielenbeweging een analyserende activiteit ten grondslag. Deze analytische activiteit bewerkstelligt, dat we reeds in het zuivere voorstellingsleven vrijheid kunnen ontwikkelen. Als ik 2, 5 en 3 moet optellen, daarvan de som moet vinden, dan staat me niets meer vrij. We zijn dan onderworpen aan de wetmatigheid, die bepaalt hoeveel 2, 5 en 3 samen is. Ga ik echter van 10 uit, dan kan ik die tien uitdrukken in 9+1; 5 + 5; 3 + 5 + 2 of wat dan ook. In het analyseren heb ik te maken met een geheel vrije, innerlijke activiteit. Bij de synthese wordt ik door de omgeving gedwongen mijn zielen leven op een bepaalde manier werkzaam te laten zijn. Alles wat van de losse delen uitgaat, wat deel aan deel rijgt, doodt de menselijke organisatie. Wat van het geheel uitgaat, werkend naar de delen, wat allereerst de voorstelling van het geheel oproept, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Het puur toevoegend tellen, mag pas op als tweede aan de orde komen, want dat is eigenlijk een activiteit die alleen op het fysieke vlak van belang is, terwijl het verdelen van gehelen een innerlijke betekenis heeft, die verder doorwerkt tot in het etherlichaam….
GA 301 vanaf blz. 152  
Op deze blog vertaald 

3. Als men van het levendige geheel over gaat naar de delen, dan bereikt men dat, het vormkrachtenlichaam in beweging gebracht wordt. Dit vormkrachtenlichaam zoekt namelijk de prikkel om vormend te kunnen werken. De beweging die nu ontstaat, wordt vervolmaakt voortgezet, zonder dat we daarbij het ons storende astraallichaam en de IK-organisatie daarbij van node hebben.
GA 307 blz. 184  
Vertaald/235

4. Denkt u zich eens in, dat u tegen het kleinste kind, dat nog echt onhandig is, zegt:'[…] Ik neem een stuk hout en een mes en ik verdeel dat stuk hout in stukken. Kan ik dat met jou ook doen?’ Zo’n kind komt er zelf op, dat ik dat met hem niet doen kan. Nu kan ik tegen zo’n kind zeggen: ‘ Zie eens, als ik het hout in stukken snijden kan is dat hout niet zoals jij bent en jij bent niet als het hout. Het verschil is, dat jij een eenheid bent. Het hout is geen eenheid. [..] Wat jij bent, omdat ik jou niet in stukjes delen kan, dat noem ik een eenheid.
GA 311 blz. 78  
Op deze blog vertaald  blz.78

5. Nu zal men er langzamerhand toe over gaan, de kinderen een teken voor deze eenheid bij te brengen. Dan zet je een streep: 1. Men brengt het kind dus bij, dat je voor deze eenheid een streep kunt zetten. De twee kun je voor de kinderen dan zo schrijven: II. Op die manier kom je tot de getallen vanuit de mens zelf, want de mens is levend en niet abstract. (-) Dan kan men verder gaan en zeggen: ‘ Kijk eens, je hebt nog ergens iets wat ‘twee is”. Je vraagt zolang door tot het kind zijn beide benen of voeten gewaar wordt. Nu zeg je: ‘Maar heb je de hond van de buurman gezien? Heeft die ook maar twee voeten? Het kind zal nu ontdekken, dat de in de vier streepjes het staan van buur-mans hond te herkennen is. Zo zal het kind vanuit het dagelijkse leven langzamerhand

389

de opbouw van de getallen leren. We tellen tot tien, omdat we onze ledematen voelen, de geleding die in de handen ligt, omdat we de symmetrie van de handen beleven en de 10 vingers.
GA 311 vanaf blz. 80 
Op deze blog vertaald  blz.80

6. ‘Voor men het kind zegt: Zeg nu eens de getallen achter elkaar op: 1 – 2 – 3 – 4 enzovoort, moet men eerst van het ritme uitgaan. We beginnen met 1 en 2 en zeggen: 1 – 2 , 1 – 2, 1 – 2; we laten het kind een stamp geven op de 2. Dan gaan we naar de 3, die we ook vanuit het ritmische e laten beleven: 1 – 2 – 3,1 – 2 – 3. Op die manier leggen we het ritme in de getallenrij en ontwikkelen zo ook de mogelijkheid bij het kind de dingen samen te vatten. Zo komen we er toe, de kinderen op natuurlijke wijze, vanuit het wezen van het getal, de getallen bij te brengen.’
GA 311 vanaf blz. 81 
Op deze blog vertaald  blz 81

7. De mens gaat er vanuit, dat de getallen door hem uitgedacht zijn, door het ene aan het andere te rijgen. Dat is echter absoluut niet het geval: het hoofd telt helemaal niet. Men heeft er eigenlijk geen notie van, wat het hoofd voor een merkwaardig orgaan is voor dit aardeleven. (-) We tellen namelijk in werkelijkheid in het onderbewuste op onze vingers. In werkelijkheid tellen we van 1-10 onze vingers na en 10 -11 – 12 -13 -14 verder aan de tenen. Dat zie je wel niet, maar zo doen we dat tot de 20. Het hoofd bij dat alles alleen maar toe. Het hoofd heeft bij de mens werkelijk alleen maar een spiegelfunctie ten opzichte van datgene wat het lichaam doet. Het lichaam telt; het hoofd is alleen toeschouwer.’
GA 311 blz. 82 
Op deze blog vertaald  blz 82

390

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1Reflectieve notitie
Slot (1-2Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenenalle artikelen

.

2471

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – slot (1-2)

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen

Analyse en synthese

‘Uitgaan van het geheel’ is een van de pijlers van de didactiek in de onderbouw. In de analyse gaat het erom dat de kinderen vanuit een geheel steeds meer mogelijkheden of oplossingen leren herkennen. Het eenvoudigste voorbeeld van zo’n werkwijze spreekt uit de rekenopgave:

10 = .. + .. + ..

Deze opgave laat legio mogelijkheden open. Anders dan de richting die de synthese inslaat als ze bij de opgave

5 + 2 + 3 = ..

maar naar één mogelijkheid vraagt.

Het didactische uitgangspunt wordt niet bepaald door wat voor nuttigheidsoverweging dan ook, maar in de eerste plaats door het kind zelf, dat in de leeftijdsfasen tot het 14e jaar van nature geneigd is om vanuit deze zielenhouding de wereld te beleven. In vakken herkent men dit uitgangspunt: de letters worden aangeleerd vanuit een letterbeeld, de aardrijkskunde kijkt eerst naar de gehele aarde, de geschiedenis volgt de grote lijn van de mensheidsontwikkeling door de grote cultuurperioden.

Rudolf Steiner zegt hierover:

‘we kunnen daarin een duidelijke wetmatigheid vinden: in het analyseren worden we telkens wakker, in de synthese slapen we telkens in. Natuurlijk niet op een manier waarbij we denken aan wat we overdag en ’s nachts beleven. (-) Wanneer we echter bij het kind aan de neiging tot analyse ruimte geven, het kind ertoe brengen analyserend met de dingen om te gaan, dan ontwikkelen we in het kind de instelling om met een wakkere ziel de wereld in ogenschouw te nemen.

Dat betekent niet dat de synthese niet van belang is. Maar dat is een activiteit die van het kind zelf uit moet gaan, wanneer het uit de veelheid der delen wetmatigheden en verbanden gaat ontdekken. Synthese is dan niet ‘zo moet het nu eenmaal’, maar een vreugdevolle ontdekking dat de wereld in zinnige verbanden beleefd kan worden. Het is dan de taak van de leerkracht om op basis van deze ‘ontdekkingen’, systematiek aan te brengen in datgene wat het kind zich eigen maakt. In de lagere klassen overheerst het analyserende principe, in de hogere leerjaren krijgt het omgaan met de systematiek van leerstof en regels een steeds grotere plaats. 

Rudolf Steiner zegt daarover:

‘Hoe is het gekomen dat in onze tijd de mensen zich zo verliezen in een materialistische natuuropvatting? Dat komt omdat men tegenwoordig met de kinderen te weinig analyserende dingen doet, zoals het ontwikkelen van letters uit een letterbeeld. Zou men dat weer doen, dan zou het kind in de leeftijdsfase waarin het behoefte heeft aan het analyseren, deze behoefte ook bevredigen en bleef deze niet bestaan als latente drang naar het uitdenken van allerhande materialistische opvattingen. Juist het onbevredigd zijn van het vroege verlangen naar analyse, leidt tot materialistisch denken.’

378

Astraal lichaam
zie Wezensdelen

Wezensdelen

Het mensbeeld zoals dat door Rudolf Steiner beschreven is, geeft een blik op de mens vanuit een drieledig en een vierledig principe.
In de drieledigheid onderscheidt hij het: denken, voelen en willen als innerlijke activiteit van de mens. Deze drie zijn verbonden met drie functies die de menselijke organisatie kent:

denken is verbonden met het zenuw-zintuigstelsel
voelen is verbonden met het middengebied van hart en ademhaling
willen heeft zijn basis in stofwisseling en ledematen.

Willen – In de leeftijdsfase van 0-7 jaar leeft het kind allereerst in het wilsaspect, en ontwikkelt het zich vanuit het doen (nabootsing, ritme). In kleuterklas en lagere leerjaren van de onderbouw is dit doen nog een belangrijk didactisch gegeven.

Voelen – In de fase van 7-14 jaar ontwikkelt het kind het gevoelsleven. Nu is de ervaring, gevoed door het beeldkarakter van het onderwijs, het uitgangspunt voor het onderwijs.

Denken – Na het 14e jaar ontwikkelt het kind het logische denken. Nu is het appel aan de ontluikende persoonlijkheid, het enthousiasme voor wat er in de ideeën van mensen leeft, de basis van deze ontwikkeling.

Het vierledig mensbeeld geeft een blik op geleding van het mensenwezen. Als wezensdelen kan men onderscheiden:

Het fysiek lichaam,

waarin we de mens leren kennen als stoffelijk wezen, zoals het uit de dode, minerale materie is opgebouwd.

Het etherlichaam (vormkrachtenlichaam)

is het levenbrengende principe in de mens. Het vormt in de loop der tijd het fysieke lichaam van de mens tot zijn persoonlijke instrument. Het etherlichaam werkt naar binnen toe, vormend aan het lichaam. Naar buiten toe heeft het echter ook de mogelijkheid ervaringen en indrukken op te nemen en mee te laten werken aan de groei en de vorm van het menselijk lichaam. In het opslaan van ervaringen is het etherlichaam een belangrijk gegeven bij het ‘leren’ van de mens. De didaktiek speelt daar op in door zo te werken dat het etherlichaam datgene wat er in de school gedaan wordt ook op kan nemen. Omdat het etherlichaam zijn werkzaamheid alleen in het tijdsverloop kan ontplooien, zijn ‘tijdsaspecten’ als ritme en herhaling belangrijke elementen van het leerproces.

In de eerste zeven jaar van het mensenleven werkt het etherlichaam voornamelijk aan de opbouw van het lichaam en de organen daarin. Vanaf het 7e levensjaar – als de eerste opbouwfase afgesloten wordt – komt er in het etherlichaam ruimte om zich meer te

379

oriënteren op ervaringen van buiten af. Pas dan kan het kind gaan ‘leren’ en spreken we van schoolrijpheid. Als één der uiterlijke fenomenen van de afsluiting van de eerste opbouwfase wijst Rudolf Steiner op het begin van de tandenwisseling.

Het astrale lichaam

is de naam voor het complex van gevoelens en stemmingen die in de mens leven. Het is geen toevallige factor, maar een wezenlijk deel van de mens, waarin die kwaliteiten leven die – vanuit voorgeboortelijke motieven – het karakter en de persoonlijkheid van de mens bepalen. Rudolf Steiner geeft voor de werking van het astrale in de ziel van de mens het beeld van de wind, die van buiten af de woelingen in het water brengt. Zoals het water afgeschermd kan worden voor te grote windinvloeden, zo leert de ziel in de loop van de jaren zich af te schermen voor deze zielenstormen. Het is de taak van de opvoeding deze innerlijke stabiliteit te ontwikkelen in de mens. Vooral in de puberteit ziet men de woelingen van het astrale in sterke mate optreden in het zielenleven. Allengs leert de opgroeiende mens uit de veelheid van astrale roerselen datgene te herkennen wat als persoonlijk motief en karakter juist stroom en richting kan geven aan het mensenleven.

Het IK

van de mens, is datgene wat we ervaren als uitingen van onze hoogste wezenskern. Dit ‘hogere IK’ is de drijfveer van ieder mensenleven: de wens om geboren te worden, te leven en te sterven. Kon voor het astrale de wind een beeld zijn, voor het hogere IK kan de zon als beeld dienen. De zon werkt van een afstand op het aardse leven in. Het is de oorsprong van het leven, en maakt gebruik van de fysieke aspecten van de aarde om zijn activiteit te ontplooien. Het IK van de mens zoekt mogelijkheden om het voorgeboortelijk levensplan van de mens ook in de loop van het leven te verwezenlijken. Het Vrije Schoolonderwijs ziet als haar belangrijkste opgave, de voorwaarden te scheppen waardoor het IK zich in het mensenleven verwerkelijken kan. Het hoger IK manifesteert zich door de mens heen. De manier waarop het IK in onze organisatie door kan werken kan allerhande onvolkomenheden vertonen; het hoger ik zelf is echter onze eeuwige, en ongeschonden levenskern. Rudolf Steiner vraagt van de opvoeder in ieder kind, in iedere mens een drager van het hogere IK te zien, dat als geestelijk wezen naar mogelijkheden zoekt om zich hier op aarde te verwerkelijken.

Bewegingsonderwijs

Als bewegingsonderwijs wordt datgene bedoeld, waarin het kind in het wilsleven wordt aangesproken. Het is dus veel meer dan gymnastiek of euritmie, maar heeft te maken met alles dat als bewegingsoefening met de .kinderen gedaan wordt. Omdat het gebruikelijk is het hoofdonderwijs in de (lagere) klassen te beginnen met een bewegingsoefeningen, wordt dit deel van de les ook wel het ‘bewegingsonderwijs’ genoemd. In feite beperkt dat kader, het geheel van het bewegingsonderwijs te veel tot één lesactiviteit.

Etherlichaam
zie Wezensdelen

Fysiek lichaam
Zie Wezensdelen

380

Hoofdonderwijs

In de vrijeschool worden vakken als taal, rekenen, aardrijkskunde en geschiedenis enz. als hoofdvakken, in periodeblokken gegeven. Zo’n vak wordt drie of vier weken achtereen gegeven, telkens in ca. de twee eerste uren van de dag. Door deze manier van werken is het mogelijk aspecten van ritme en herhaling (zie etherlichaam), optimaal te benutten. Het hoofdonderwijs is dat dagdeel waarin het hoofdvak gegeven wordt.

Ik-organisatie
zie Wezensdelen

In- en uitademing in het lesgeven

De menselijke ziel heeft enerzijds de mogelijkheid zich in haar uitingen naar buiten te richten, anderzijds richt de ziel zich ook naar naar binnen, op het eigen wezen.
Spreken we van ‘ademend’ onderwijs, dan wordt bedoeld dat deze twee aspecten in evenwicht zijn in het onderwijs. In praktische zin zijn zielenuitingen al die dingen waarmee we iets buiten ons zetten: tekenen, schrijven, boetseren, een verhaal vertellen. Wordt dit uitademende aspect te veel aangesproken, dan wordt het kind onrustig, verliest het zich in de uitingsstroom. De inademende stroom heeft te maken met alles waarmee we dingen verinnerlijken. In het bewegingsonderwijs wordt dit aspect aangesproken in de lijfelijke ervaringen die het kind op doet, maar op een subtieler niveau gaat het ook om alles waarin de kinderen overzicht en relaties in de leerstof ervaren. In de terminologie van de vrijeschool wordt dit proces ook wel aangeduid met het excarnerende en incarnerende aspect van het lesgeven.

Lichaam, ziel, geest
zie Wezensdelen

Nachtproces

Zien we de mens voor ons als vierledig wezen, dan wordt duidelijk, dat de mens burger van twee werelden is: van de stoffelijke wereld waarin we leven met fysiek- en etherlichaam, en van de geestelijke wereld, waarin we leven met het astrale lichaam en ons hoger IK. In de stoffelijke wereld leven we met ons normale dagbewustzijn. De hogere werelden waarin we ook bestaan kunnen we met dit bewustzijn niet betreden.
Als we slapen en er voor aardse begrippen van bewusteloosheid sprake is, wordt het bewustzijn in de geestelijke wereld wakker. Een afschaduwing daarvan beleven we in de dromen. In dit nachtelijk bewustzijn zijn we opnieuw verbonden met datgene wat als levensplan in onze hogere wezensdelen is verankerd. In de slaap brengen we de dagelijkse ervaringen in relatie met het hogere aspect van onszelf. Van de mens in het algemeen kan gezegd worden dat hij op aarde wil zijn om daar ervaringen op te doen en te leren. Wat het kind zo ervaart en leert in de school, wordt meegenomen in het nachtbewustzijn. Daar wordt herkend welke elementen overeenstemmen met het eigen levensplan of worden de aardse belevenissen in een groter geheel van een geestelijke synthese gezien.

381

De vrijeschoolpedagogie maakt gebruik van dit alles, door in de didactiek de nacht mede te betrekken. De leraar draagt de ervaringen aan, die het kind zelf tot inzicht doet worden in het nachtproces. Pas als het kind er een ‘nacht over geslapen’ heeft, probeert hij de datgene bijeen te brengen wat de verschillende kinderen als verwerking uit dit nacht proces meenemen.
Ook de opzet om in het periodeonderwijs een vak langere tijd los te laten, is gebaseerd op dit principe, waarin de tijd en het nachtbeleven een wezenlijke rol spelen.

Temperamenten

Prof. Bernard Lievegoed schrijft over het temperament:

‘Het biologisch functioneren drukt zich in de ziel uit in de vier temperamenten. Deze eigenschappen zijn functioneel en betreffen nog niet de persoonlijkheid. […] Het temperament drukt zich uit in het gedrag en de wijze van ageren en reageren. […] Het menselijk temperament wordt veroorzaakt door de structuur van de etherkrachten.’ (3-82) Omdat het temperament verbonden is met het etherlichaam is het ook een functie die in de tijd verankerd is: het temperament kan je herkennen door naar de bewegende mens te kijken.

Lievegoed:

‘De bloeitijd van het temperament ligt tussen het 7e en 14e levensjaar. Voor het leerproces als onderdeel van de totale gedragswijze van het kind is het kennen van de mogelijkheden van de temperamentsaanleg van eminent belang.’

De temperamenten kunnen in het kort als volgt gekarakteriseerd worden:

Het cholerische kind

Dit kind toont zich door zijn daadkracht, zijn warm enthousiasme. De indrukken die het opdoet zijn en dus kortstondig en gaan tot diep in het zielenleven. In het aanbieden van lesstof gaat het erom zulke kinderen enthousiasmerende opdrachten te geven, een appel te doen op hun daadkracht. Rekening moet worden gehouden met een korte, maar heftige spanningsboog. Om cholerische kinderen naar meer rust en bezonnenheid te brengen is het van belang het kind ook zulke oefeningen te geven waarin het zijn dadendrang beteugelen moet door zich eerst te bezinnen op hoe hij iets gaat doen.

Het flegmatische kind

Deze kinderen tonen grote gelijkmatigheid, hebben een sterke neiging tot alles wat vorm en regelmaat heeft. Ze doen weinig indrukken op, die ook niet heel diep gaan. Rust typeert deze kinderen en hun werklust is gestaag, maar men zou eerder van een ‘activiteitsboog’ moeten spreken dan van een spanningsboog, bij deze kinderen. En deze activiteitsboog is groot! Zo kunnen deze kinderen langdurig de meest eentonige werkjes voortzetten. De leraar probeert aan te sluiten bij dit temperament door zelf grote rust uit te stralen en de kinderen opdracht te geven waarin ze zich kunnen ontplooien: logische, maar breedlopige opgaven. Rekening moet worden gehouden met een schijnbare traagheid. Men kan van deze kinderen een geheel verkeerd beeld opbouwen – ook van hun intellectuele mogelijkheden – wanneer men er van uit gaat dat deze kinderen snel zouden moeten kunnen reageren. Om de flegmaticus in beweging te brengen, zoekt men

382

naar oefeningen die een analyserend karakter hebben. Het geheel kent de flegmaticus wel, daarvoor kan hij niet meer echt enthousiast worden. Brengt men hem of haar ertoe interesse te tonen voor details, dan ontstaat er toch een innerlijk enthousiasme dat voor de flegmaticus van zoveel belang is.

Het melancholische kind

De melancholicus leeft sterk in zijn binnenwereld. De weinige indrukken die het daar toelaat gaan diep en houden het kind vaak lang en indringend bezig. Dit kind toont eerder schuchterheid en faalangst, dan daadkracht. Als leerkracht moet je proberen aan de beelden en verhalen zo’n kwaliteit te geven, dat ze het ook werkelijk waard zijn dat de melancholicus er lang op ‘kauwt’. Ook aan deze kinderen mag men geen hoge eisen stellen wat slagvaardigheid betreft. Gunt men het kind de tijd om de stap van binnenwereld naar buitenwereld te maken, dan krijgt men pas een goed beeld van zijn vaak rijke kwaliteiten.
In de oefeningen die men het kind geeft om de melancholie te leren hanteren moet geprobeerd worden om de fantasie in beweging te brengen, vanuit de sterke gevoelsindruk die zich bij deze kinderen vastgezet heeft: Je weet dat het zo en zo is, maar stel je nu eens voor dat….

Het sanguinische kind

Dit kind is de spring in het veld! Het heeft oog en oor voor alles wat er in zijn nabijheid gebeurt of beweegt. De indrukken die het kind opdoet zijn vele, maar ze blijven aan de oppervlakte van het zielenleven. Dit kind verlangt van de leerkracht een zeer gevarieerde en humorvolle, kleurrijke en levendige aanpak. Van deze kinderen vraagt men juist wel een snelle reactie en een direct antwoord. Het is goed bij deze kinderen het visuele sterk aan te spreken en te trachten de eerste oppervlakkige reactie op iets te verdiepen in verdere nuanceringen.

Als voorbeeld van de ‘therapeutische’ benadering van de temperamenten mogen de voorbeelden dienen in H2.4 ‘Temperamenten’ .

Zintuigen

Gewoonlijk onderscheidt men 5 zintuigen, wellicht nog een zesde zintuig, waaronder alles gevangen kan worden wat we niet direct een plaats bij de bekende vijf kunnen geven. We doen dat, omdat alles dat niet direct in relatie te brengen is met onze bewuste ervaringen, als ‘niet bestaand’ ter zijde wordt gelegd. Het is de tol de betaald moet worden, als het denken voorschrijft dat iedere ervaring ook verifieerbaar moet zijn.
Daarmee doen we echter te kort aan de rijkdom van indrukken die we als mens kunnen opdoen, en die verbonden zijn met de gebieden van willen, voelen en denken.

383

Rudolf Steiner onderscheidt op die manier een geheel van 12 zintuigen, dat als volgt geordend is:

III
Zintuigen die de relatie naar het geestelijk leven van de mens leggen

                                              12. IK-zin
                                              11. Gedachtenzin
DENKEN                            10. Woordzin
                                               9. Gehoor

II
Zintuigen die de verbinding leggen met de zichtbare wereld

                                              8. Warmtezin
                                              7. Gezicht
VOELEN                             6. Smaak
                                              5. Reuk

I
Zintuigen die ervaringen van het eigen lichaam beleefbaar maken

                                              4. Evenwichtszin
                                              3. Bewegingszin
WILLEN                             2. Levenszin
                                              1. Tastzin

In zekere zin kan men spreken van lagere en hogere zintuigen. In de nummering van beneden naar boven, is dit in dit schema uitgedrukt.

De tastzin

Dit is een van de bekende zintuigen. Toch gaan we aan een wezenlijk aspect van dit zintuig voorbij, als we alleen maar constateren dat je door de tastzin de wereld kan voelen. Want doordat we de dingen kunnen tasten, ervaren we tegelijkertijd de begrenzing van het eigen lichaam. Door de tastzin leert het kleine kind ervaren dat het afgezonderd is van de omringende wereld. Door te tasten wordt de grondslag gelegd voor de beleving van het eigen ik. Dan is het toch vanzelfsprekend dat alles waaraan het kind zichzelf tastend leert ervaren ook kwaliteit moet hebben, zoals met name voor de natuurlijke materialen geldt, die in de vrijeschool gebruikt worden.

384

De levenszin

Door dit zintuig wordt de mens gewaar hoe hij zich lichamelijk voelt: je ervaart behaaglijkheid , lichamelijk ongenoegen of pijn. Bij baby’s worden deze zintuigervaringen nog direct vertaald in lachen of huilen. De volwassen mens beleefd deze prikkels meestal nagenoeg onbewust. Maar we merken wel, dat een gevoel van onbehagen ons geweldig in de weg kan zitten als we aan het werk zijn. Ook bij kinderen is dat makkelijk het geval: ze zijn nog heel ontvankelijk in de beleving van de eigen constitutie.
In het onderwijs moet voorkomen worden dat de levenszin negatieve ervaringen overbrengt. Die kunnen bijvoorbeeld opgeroepen worden wanneer onvoldoende tegemoet gekomen wordt aan de natuurlijke behoeften van de kinderen wat betreft spelen en spelend verkennen. Juist in deze onbewuste wereld van de wils-zintuigen worden makkelijk blokkades gelegd die later danig in de weg kunnen liggen. Begint het kind te vroeg abstract te rekenen en voelt het zich daardoor uit zijn speelwereld verdreven, dan kunnen zo rekenproblemen aangelegd worden, die zich pas in een later stadium openbaren.

De bewegingszin

Dit zintuig neemt de eigen beweging waar. Niet alleen de bewegingen als lopen of grijpen, maar ook de minieme bewegingen die ten grondslag liggen aan het waarnemen van vormen. Voor het kind tot 7 jaar is dit een centraal zintuig, immers alles is beweging aan het kleine kind. De school spreekt in alle bewegingsoefeningen, maar ook in de beweging van tekenen en schrijven, met name dit zintuig aan.

De evenwichtszin

Ook dit wilszintuig speelt een belangrijke rol in de kinderlijke ontwikkeling. Het hele proces van het leren lopen heeft te maken met evenwichtservaringen. Door het evenwicht, dat we bewaren, ervaren we onszelf vrij in de ruimte.
Wanneer de evenwichtszin geweld wordt aangedaan, dan lijdt dat tot sterke lichamelijke reacties, zoals bij zeeziekte. Bij b.v. balletdansers of kunstrijders op de schaats blijkt dat e.e.a. sterk verbonden is met de oriëntatie in de ruimte. Heb je bij het draaien van een pirouette geen vast blikpunt, dan verlies je je gevoel voor evenwicht; daarom moet je daarvoor een bepaalde kijk-techniek aanleren.
Met andere woorden, de evenwichtszin heeft te maken met de oriëntering die je op je omgeving hebt. Natuurlijk wordt de evenwichtszin direct aangesproken bij bijvoorbeeld het lopen van een vorm [en is het af te raden om een klas wankelend van 100 – 0, achteruit lopend te laten tellen!], maar op subtielere wijze wordt dit zintuig ook betrokken in de oriëntatie die men het kind geeft op de wereld van het rekenen. Verricht het kind daar handelingen (moet het die soms zelfs lopend uitdrukken) waarbij het de oriëntatie op het ‘einddoel’ van de handeling mist, dan ontstaat onzekerheid en ‘onwel bevinden’.
In de rekendidaktiek is het dan ook van belang dat het kind een verbinding voelt met de rekensituatie. Wanneer het rekenen in een ‘realistisch’ kader geplaatst wordt, blijft het kind de verbinding met de horizon van zijn belevingswereld ervaren.

385

De reuk

De reuk is het eerste zintuig van de gevoelszintuigen. We hebben daar nog maar weinig greep op. We kunnen dit zintuig niet afsluiten, zoals we dat met onze ogen doen. Of we moeten werkelijk naar onze neus grijpen! De ervaringen die we krijgen, kunnen ons tot sterke ziele-uitingen voeren, van walging tot verrukking. Ons spraakgebruik zegt van zaken, dat ‘er een luchtje aan zit’, of spreekt over een ‘geur van heiligheid’; mensen kunnen ‘in een kwade reuk staan’. Door het ruiken krijgen we een verhouding tot kwaliteit, een ervaring waardoor in het zieleleven van de mens, moraliteit tot ontwikkeling kan komen.

De smaak

Proeven is nog persoonlijker dan ruiken. Het is een daad die we zelf moeten stellen. Zoals door de reuk de moraliteit gewekt kan worden, zo wordt in het proeven het gebied ontwikkeld, dat te maken heeft met de ‘goede smaak’ en met oordeelsvermogen. In onze taal kennen we het bijzondere woord ‘opvoeden’, waarin veel meer dan in het Duitse ‘Erziehen’, of het Engelse ‘to educate’ – de verbinding ligt met het gebied van de smaak, naar een genuanceerd leren beleven van de wereld.

De gezichtszin

Dit zintuig is het centrale zintuig voor de leeftijdsfase van 7 tot 14 jaar. In de eerder besproken zintuigen, beleefden we wereld nog in of aan onszelf. Door het oog echter, kunnen we uit onszelf naar buiten treden en – gebruik makend van de lagere zintuigen – ons vrij in de wereld voelen. Het ontdekken van de wereld, is het thema van de levenstijdsfase tussen 7 en 14 jaar. Niet voor niets begint de spreuk die de kinderen vanaf de vierde klas zeggen: Ik zie rond in de wereld.
De vrijeschool wil het onderwijs in deze jaren vooral beeldend laten zijn, waardoor in allerlei vormen de kwaliteit van het zien wordt aangesproken. Immers, ook in een verhaal dat verteld wordt, spreekt men bij het kind het beeldend vermogen aan.

De warmtezin

Dit zintuig doet ons warmte en koude beleven. Maar zoals bij de eerdere zintuigen ook bleek, is er ook hier een diepere laag die door dit zintuig wordt aangesproken. Bij de warmtezin betreft dat het gebied van de sympathie en de antipathie, waarin in de ziel gevoelens van warmte en verkilling beleefd worden. In alles wat men de kinderen laat beleven in de school, is de sympathie en de antipathie een grondgegeven.

De zintuigen van het denken: gehoor, woordzin, gedachtenzin en ik-zin

Deze zintuigen zijn geen pure lichamelijk functies, maar vermogens die zich allengs ontwikkelen. Natuurlijk kan een klein kind horen, maar om tot ‘persoonlijk’ horen te komen, is er een mate van innerlijke ontwikkeling nodig: een vijfjarige kan nog niet van een concert genieten, zoals een een volwassene dat wél doet. Niet voor niets zijn deze zintuigen verbonden met het denken. Ook dit vermogen ontwikkelt zich pas in de loop der jaren en kan gezien worden als een

386

metamorfose van wils- en gevoelsactiviteiten. Zo wijst Rudolf Steiner er bijvoorbeeld op, dat er een relatie bestaat tussen het ontwikkelen van de fijne motoriek voor het grijpen en de verfijning van het denken in het be-grijpen.
De methodiek van de vrijeschool maakt daarom in de leeftijdsfase van 0-7 jaar intensief gebruik van de mogelijkheden van de wils-zintuigen en in de leeftijdsfase van 7-14 jaar van de gevoelszintuigen, om de hogere zintuigen in het kind te laten opbloeien, die in de leeftijdsfase tussen 14 en 21 jaar worden aangesproken. Deze zintuigen hebben in hoge mate een sociaal karakter en verlenen ons toegang tot datgene wat het in het geestesleven van de ene mens naar de andere stroomt.

Het gehoor is daarbij de lichamelijke functie, die deze hogere zintuigfuncties mogelijk maakt.
Maar door het gehoor ervaren we ook nieuwe dimensies aan de materie: ijzer is meer dan een metaal: het kan opeens tot klinken komen.

De woordzin (taal- spraakzin) maakt het ons mogelijk aan klanken de betekenis te geven, die ze tot begrijpelijke woorden maakt. Dat we dit zintuig hebben, merk je pas, als door een ziekteproces deze mogelijkheid uitvalt. Afasie is o.a. zo’n verschijnsel, dat de mens de betekenis van de klanken kan onthouden. Het maakt de mens opeens sociaal geïsoleerd en hulpeloos.

De gedachtezin (voorstellingszin) maakt het ons mogelijk om het geheel van betekenissen die we door de woordzin krijgen, nu tot een logisch geheel samen te voegen. Door de gedachtezin ontmoeten we de ander als een gelijkwaardig wezen..

De ik-zin is eigenlijk de metamorfose van alle eerdere zintuigbelevenissen. Door dit zintuig zijn we nu in staat in de ander te ervaren, dat hij of zij een ik-wezen is, zoals we zelf zijn.
Dit zintuig laat ons in het sociale tastend ervaren, zoals we dat met de tastzin in de stoffelijke wereld doen: we beleven tegelijkertijd binnen- en buitenwereld.

De mens als zintuigwezen

Wat we met onze zintuigen ervaren, is niet zo maar een registratie van de buiten- of binnenwereld. Deze ervaringen vormen sterk aan de persoonlijkheid van het kind. In het onderwijs spelen de zintuigen dan ook een rol van grote betekenis. Echter, de zintuigen laten zich niet programmeren in een leerproces. Wat het kind zich eigen maakt door de zintuigen, zijn persoonlijke verworvenheden.
De leraar is slechts in staat om een veelheid van zintuigervaringen, overeenkomstig de ontwikkelingsfase van het kind, aan te bieden. Die ervaringen moeten zeker wél gestructureerd en methodisch opgebouwd te zijn. De verwerking ervan is een zielenproces dat het kind zelf tot stand brengt. De leraar kan slechts daarin sturen door het kind die genuanceerde belevingen te doen ervaren, die hij van belang acht voor de ontwikkeling van dat kind.

Onderzoek van leerstoornissen heeft aan het licht gebracht, dat deze kunnen voortkomen uit een verkeerde voeding van de lagere zintuigen. Therapieën voor

387

deze problemen worden dan ook vaak gevonden in het alsnog ontwikkelen van deze zintuiggebieden.

Daarin is o.a. een directe relatie te vinden tussen de lagere en de hoogste zintuigen:

tastzin – begrenzing van zichzelf
ik-zin – ontgrenzing van de ander
levenszin -beleving van opbouw en afbraak van de eigen constitutie. voorstellingszin – waarheid en onwaarheid in de ander.
bewegingszin – beleving van de eigen beweging in het lichaam.
taalzin – beweging van de taal, in het spreken van de ander.
evenwichtszin – oriëntering op de zwaartekracht.
gehoor – ontstijgen aan de materie.

Geraadpleegde literatuur:

1. Rudolf Steiner: Die Erneuerung der Paedagogisch-didaktischen Kunst (GA-301), Dornach 1977   Op deze blog vertaald.
2. Rudolf Steiner: Erziehung und Unterricht aus Menschenerkenntnis (GA-302a), Dornach 1972  Gedeeltelijk    vertaald
3. Bernard Lievegoed: Mens op de drempel, Zeist 1983
4. A. Soesman: De twaalf zintuigen, Zeist 1987

388

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1Reflectieve notitie
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenenalle artikelen

.

2470

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – slot (1-1)

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Reflectieve notitie

Het leerplan ligt er, uitgegroeid tot een volumineus boekwerk met algemene beschouwingen, persoonlijke meningen en ervaringen, ontwikkelingsleerstof en leerdoelen, voorzien van bakens en ijkpunten en geïllustreerd met tekeningen en verhalen.
Na ruim drie jaar van intensieve aandacht valt er een stilte die goed gebruikt kan worden om terug te zien op het ontwikkelproces, dat voor ons, de ontwerpers, zelf een ontwikkelingsproces was.
Er is niet alleen veel gemaakt, er is ook veel gebeurd!
Het begon met de aanvraag voor een leerplanproject bij het Instituut Leerplan Ontwikkeling door de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het Vrije Schoolonderwijs. De aanvrager gooide daarmee willens en wetens een knuppel in het hoenderhok! Dat bleek onmiddellijk nadat de aanvraag door de SLO bestuurders was gehonoreerd. Er viel toen het een en ander uit te leggen aan de achterban. Al spoedig werd een resonansgroep gevormd uit werkers in het veld en andere deskundigen, die kritisch-helpend over de schouders van de ontwerpers zou meekijken.
Acht (later tien) enthousiaste rekenaars en ervaren leraren besloten het gezamenlijk avontuur aan te gaan. We vertelden elkaar verhalen over het rekenonderwijs in de eigen klas en gingen op zoek naar menskundige achtergronden. Al spoedig ontdekten we, dat overeenkomstige opvattingen in de praktijk heel verschillend geïnterpreteerd worden, om over uiteenlopende opvattingen nog maar te zwijgen. We vonden ‘stops’ uit om aan die verschillende opvattingen ruimte te geven en om de toekomstige gebruikers aan het denken te zetten!
En om dit laatste ging het ons: we wilden illustratieve voorbeelden geven, geen letterlijk te kopiëren methode ontwerpen. De leraar als ontwerper van materiaal, gemaakt op basis van pedagogisch en didactisch inzicht – daarover waren we het allemaal geheid eens.
Na een periode van verkenning en discussies over achtergronden en praktijk hakten we de knoop door. Op voorstel van Fred begonnen we aan een thema, waar ‘realisten’ vrijeschoolmensen veel hebben te vertellen: de breuken. De praktisch-visuele aanpak van dit thema in het realistische rekenonderwijs, gericht op de kinderlijke belevingswereld, betekent een verfrissende vernieuwing in de Nederlandse rekendidactiek.
Ons werk resulteerde in een breukenpublicatie en een eerste rekenzaterdag met vrijeschoolcollega’s en studenten op de Vrije Pedagogische Academie. Het werkboekje kreeg een positief onthaal en op ons verzoek begon een aantal vierdeklasleerkrachten daarmee een experiment in hun eigen klas. We kregen enthousiaste reacties en werk van leraren en leerlingen, reden om met frisse moed aan de zwaarste klus te beginnen: het begin van ons boek! Immers, daarin moesten we fundamentele menskundige, methodisch-didactische en rekenkundige gezichtspunten uiteenzetten en daarbij de blik op verrijking gericht houden. Vooral dat laatste viel niet altijd mee; Freds geduld in deze mag hier niet ongenoemd blijven! Er werd gediscussieerd, geschreven en herschreven, geknipt en geplakt, geschrapt en toegevoegd en soms herkende de schrijver zijn eigen werk niet meer, maar de eerste hoofdstukken kwamen er. De eerste klas rekenzaterdag leverde naast kritiek veel positieve reacties op en gaf aan, dat er in een duidelijke behoefte voorzien zou gaan worden.

376

Verhelderend en verrijkend waren de gesprekken over rekenstructuren, het belang van het hoofdrekenen, de getallenlijn en het ‘handig rekenen’, waarover veel in het boek is terug te vinden.
Op onze rekenbijeenkomsten presenteerden we elkaar allerlei rekenpuzzels en grapjes: voor enkele enthousiastelingen aanleiding een rekenkrant samen te stellen voor leerlingen.
Twee driedaagse werkbijeenkomsten op Ameland leverden afrondingen op van begonnen hoofdstukken en het starten van nieuwe. De inbreng van Annemieke was daarbij van groot gewicht, omdat zij vanuit haar remediërende ervaringen en studie het hoofdstuk ‘Extra zorg voor bepaalde leerlingen’ voor haar rekening kon nemen. Medewerkers van de Universiteit van Groningen waren daarbij zo vriendelijk om tijdens hun vakantie op Ameland inleidingen te komen geven over leerlingendiagnostiek! Het moge duidelijk zijn, dat met dit hoofdstuk slechts een onvolledig begin is gemaakt van een uiterst belangrijk werk in de vrijeschoolbeweging.
De discussie over wat moet en mag, over koers, route en doel van de rekenwegen leverde nieuwe begrippen op: bakens, bedoeld om in ieder geval de koers op uit te zetten, ijkpunten ter vergelijking en controle van de gestelde doelen.
Intussen groeide het ‘boek’ volumineus aan. We moesten gaan denken aan een titel, een vormgever, een drukker, een illustratrice, aan iemand die de teksten zou redigeren en aan mogelijkheden tot sponsoring om daarmee het boek voor leraren betaalbaar te maken. Wat hadden we moeten beginnen zonder Annemieke, die ideeën en namen aandroeg, de contacten verzorgde met Kees en Edwin, Didi, Lydia, Hanneke en nog vele anderen?
Dankzij Kees Kuiphof, die zijn enorme bijdrage zelf ziet als de weerspiegeling van de betekenis van zijn ontmoeting met de antroposofie, kon het boek ‘op tijd’ verschijnen.
En nu is het zover. Gevoelens van dankbaarheid vervullen ons jegens allen die dit werk mogelijk hebben gemaakt door hun materiële en ideële hulpvaardigheid, door hun geduld en vooral door hun positiviteit ten aanzien van zo’n riskante onderneming als het schrijven van een boek op basis van samenwerking. Moge het een eerste van vele volgende zijn!

377

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-2Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 9

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 9: Ontwikkelingsdoelen, kerndoelen, bakens en ijkpunten

9.1 Het leerplan van de Vrije Scholen
9.2 Het algemene perspectief
Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien Leerstof-ontwikkelingsdoelen
Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs Kerndoelen
9.3 Bakens en ijkpunten

9.1 Het leerplan van de vrijescholen

Het leerplan van de vrijescholen komt voort uit de antroposofische visie op de mens en op de kwaliteiten van de verschillende vakken en wordt uiteraard mede bepaald door de eisen des tijds. De tijd en wijze waarop bepaalde vakken aan de orde komen, hangen samen met het ontwikkelingsstadium van de kinderen.

De vrijeschoolpedagogie tracht van elk vak de, voor het kind specifieke ontwikkelingsmogelijkheden op te sporen, om het al lerende in zijn lichamelijke en psychische ontplooiing te ondersteunen. Zo geeft deze pedagogie aan de weg naar de leerdoelen een ontwikkelingskarakter. Voor de leerkracht is inzicht in de ontwikkelingsfasen van het kind dus even noodzakelijk als het inzicht in de getallenwereld.
Aan de leerdoelen worden in het leerplan hoge eisen gesteld. Zij moeten een reële, levensechte toegang vormen naar verdere ontplooiing en naar de maatschappij. Een fundamenteel uitgangspunt voor de vakken, die in het bijzonder de verstandelijke ontwikkeling bevorderen, vormt het periodeonderwijs. Het is van grote betekenis voor de leerlingen dat zij zich gedurende een aantal weken geheel met één bepaald gebied kunnen verbinden, kunnen opgaan in de kwaliteiten ervan, in ons geval in de wetmatigheid en schoonheid van de vormen- en getallenwereld. Daarbij biedt het reken-wiskundeonderwijs bij uitstek de mogelijkheid geordend en systematisch te leren werken, individueel, maar ook heel goed in onderlinge samenwerking, (zie ook Terzijde: Over werkvormen).
Verder moet worden opgemerkt dat de meetkunde als apart periodevak pas in de zesde klas optreedt, in het verlengde van het vormtekenen, dat vanaf de eerste schooldag door de jaren heen stelselmatig wordt geoefend.

In de onderbouwleeftijd zijn drie fasen te onderscheiden: van het zesde tot het negende jaar
van het negende tot het twaalfde jaar
van het twaalfde tot het veertiende jaar

De eerste fase kondigt zich aan met de tandenwisseling, het teken dat de aan het zenuw-zintuigstelsel gebonden krachten ‘vrij’ komen. Deze krachten manifeste

364

ren zich nu als het vermogen om indrukken vast te kunnen houden, als het ware innerlijk na te kunnen vormen. Dit reproductievermogen is de basis voor het leren.
In de eerste fase functioneren deze geheugenkrachten vooral in samenhang met
het ritmisch bewegen en het gestructureerde, aansprekende beeld. We kunnen
ook zeggen: het leren heeft nog een actief-emotioneel karakter. Het rekenen is
dan ook bij uitstek een vak, dat al ‘doende’ wordt beoefend en zo kan bijdragen
aan de verdere vorming van het geheugen.
Vooraf aan het doen gaat vaak het schatten: “Hoeveel knikkers denk je dat dit zijn?”; “Hoeveel stappen zouden het zijn tot de deur?” We verbinden daarmee het doen, het motorische, met het zien, het visuele. Of nog anders gezegd, we verbinden het onbewuste (de bewegingszin) met de meer bewuste gezichtszin en ondersteunen daarmee een belangrijke stap in de kinderlijke ontwikkeling.

In de eerste klas komen reeds alle vier de basisbewerkingen aan bod, eerst onder de twintig, later tot honderd. Juist door de duidelijker temperamentsdifferentiatie na het zevende jaar, ten gevolge van het vrijkomen der zielenkrachten, is het van belang de vier bewerkingen gelijkmatig te oefenen.
In de tweede klas, als de (snij)tandenwisseling ten einde loopt, kunnen het hoofdrekenen en het oefenen van de tafels een positieve bijdrage leveren aan rekengeheugen en -begrip.
Tot en met de derde klas raakt het kind vertrouwd met de wereld van het gehele getal, zowel mondeling als schriftelijk. Wat niet wil zeggen dat er gecijferd wordt, want dat stellen we uit tot het eind van klas drie.
Het rekenen kan ook in de laagste klassen praktisch en levensecht zijn en daarbij zeer creatief! Het winkel- en marktspel gaan uit van echte maten en prijzen, waarmee de kinderen zelf rekenen en de aanleidingen voor rekenen zelf bedenken.

Omstreeks het negende jaar begint de middenfase van de onderbouw. Het kind gaat zich sterker als eigen persoonlijkheid beleven en handhaven; bij het canon-zingen bijvoorbeeld houdt het nu zijn eigen partij aan en gaat niet meer met de andere stemmen mee. Het kind is dus in staat om in de eenheid de veelheid te beleven en omgekeerd.
Bij het rekenen wordt de eenheid nu gebroken en kunnen de ‘brokken’ tot eenheid worden gemaakt. In de vierde en vijfde klas worden de breuken in praktische contexten aanschouwelijk onder de aandacht gebracht; eerst de gewone, daarna de tiendelige breuken (kommagetallen).
In deze ‘middenfase’ tonen de kinderen soms een verbazingwekkend gevoel en geheugen voor gedifferentieerde ritmen, zowel voor het muzikale als voor het gesproken woord. Nu kunnen bijvoorbeeld de tafels er echt goed ‘in’ komen.
Het cijferen wordt tot een zekere vaardigheid ontwikkeld, die de leerlingen in staat stelt allerlei praktische vraagstukken op te lossen, onder andere vraagstukken betreffende maten, schaalverdeling, gewichten en geld.

In de loop van het twaalfde jaar ontwikkelt zich de oordeelskracht.
Een negenjarig kind zal constateren, dat meester altijd dezelfde trui aan heeft; een twaalfjarige vraagt zich af, waarom meester altijd dezelfde trui aan heeft.
Misschien merkt het zelfs pijnlijk luid op, dat meneer wel eens om salarisverhoging mag vragen!

365

De twaalfjarige toont een oorzakelijk denken. In de handel hebben kleine oorzaken soms grote gevolgen; terecht begint dan ook in de zesde klas het handelsrekenen, in samenhang met het procentrekenen.
Langzaamaan maakt het kinderlijk denken zich los van de direct beleefbare voorstelling; het wordt abstracter en algemener. Het letterrekenen, geïntroduceerd met benoemde breukensommen of renteberekeningen, gaat over in de algebra.
Nu gaat een nieuwe rekenwereld voor de leerlingen open. Een wereld die tegelijkertijd voortreffelijke mogelijkheden biedt om de oude te bevestigen.
Uit het vormtekenen wordt nu de meetkunde ontwikkeld. Driehoeken en cirkels, vierhoeken en veelhoeken, tot dan toe uit de hand getekend, worden nu inzichtelijk en met uiterste precisie geconstrueerd; voor een twaalfjarige een waar feest!

In de zevende klas komen machtsverheffen en worteltrekken aan de orde. En ook dat wat de prepuber zo aanspreekt, het gebied der tegenstellingen: positieve en negatieve getallen. Naar aanleiding van praktische problemen leren de
zevendeklassers omgaan met algebraïsche vergelijkingen met één onbekende. De meetkunde wordt voortgezet tot en met het aanschouwelijk hanteren van de stelling van Pythagoras.

In de achtste klas worden rekenen en algebra veelzijdig geoefend aan de hand van praktische, levensechte vraagstukken. Op deze leeftijd ontwaakt het bewustzijn voor het ruimtelijke. Er kan nu bijvoorbeeld bewust met perspectief worden omgegaan. “Wat is mijn plaats, mijn standpunt?” dat zijn vragen die de puber bezighouden. Het gebied van de meetkundige plaatsen geeft gerede aanleiding om deze vragen ook ruimtelijk aan te lopen. Zo leren de leerlingen de ruimte ‘veroveren’, stereometrische figuren maken en oppervlakten en inhouden berekenen. 

9.2 Het algemene perspectief

9.2.1 Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien

• Leren rekenen bevordert de eigen ontwikkeling van het kind, in directe relatie met het dagelijks leven op aarde.
• Rekenen-wiskunde ontwikkelt de wil.
• Rekenen-wiskunde vormt het gewoonteleven van het kind.
• Rekenen-wiskunde bevordert het bewust worden van eigen vermogens en identiteit.
• Rekenen-wiskunde ontwikkelt het kwalitatieve en analyserende denken.
• Rekenen-wiskunde draagt bij aan de vorming van het verstand en het zelfbewustzijn.
• Rekenen-wiskunde geeft vorm aan de ontmoeting die het kind aangaat met de wereld en de medemens.
• Rekenen-wiskunde biedt structuur en ruimte voor de inhoud van de levenshouding en bepaalt mede de wijze waarop het kind als mens in de wereld zal staan.
• Rekenvaardigheid geeft zelfvertrouwen en bevordert overzicht in het dagelijks leven.

366

9.2.2 Leerstof-ontwikkelingsdoelen 

• Hoofdrekenen bevordert een vrij, beweeglijk denken, waarbij verschillende
persoonlijke strategieën in diverse situaties ter beschikking komen.
• Het leren van de tafels ondersteunt de ontwikkeling van het geheugen door ritme en beweging
• Schatten ontwikkelt moed en trefzekerheid en het roept reflecties op.
• Cijferen leert het kind standaardprocedures te hanteren en consequent te zijn op weg naar een oplossing van een probleem.
• Breukrekenen stimuleert het doorbreken van de eenheid van kind en wereld; het eerste bewuste reflecteren kan zich ontwikkelen.
• Breuken, procenten en verhoudingen maken het mogelijk vanuit een wisselend, beweeglijk standpunt tot een vergelijk te komen.
• Kapitaal- en renterekenen brengen baatzucht in het bewustzijn, zodat het boven de hebzucht uit kan stijgen en een wenskarakter krijgt.
• Algebra ontwikkelt een denken, waarbij opgaven los van de concrete werkelijkheid in hun essentie kunnen worden doorzien.
• Meten en meetkunde ontwikkelt de oriëntatie in de ruimte en legt een verbinding tussen schoonheid en exactheid.

9.2.3 Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs

Het onderwijs in rekenen en wiskunde is erop gericht dat de leerlingen
• Verbindingen kunnen leggen tussen het onderwijs in rekenen-wiskunde en hun dagelijkse leefwereld.
• Basisvaardigheden verwerven, eenvoudige wiskunde-taal begrijpen en toepassen in praktische situaties.
• Reflecteren op eigen wiskundige activiteiten en resultaten daarvan op juistheid controleren.
• Eenvoudige verbanden, regels, patronen en structuren opsporen.
• Onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken.
• Oog krijgen voor het schone van de wiskunde.
• Een positieve houding ontwikkelen ten opzichte van het vak wiskunde.

9.2.4 Kerndoelen

A. Vaardigheden
1 De leerlingen kunnen zelf met wisselende eenheden tellen en terugtellen.
2 De leerlingen kennen uit het hoofd optel- en vermenigvuldigtafels tot 10.
3 De leerlingen kunnen eenvoudige hoofdrekenopgaven vlot uitrekenen, waarbij ze verschillende bewerkingen inzichtelijk toepassen.
4 De leerlingen kunnen schattend rekenen, ook met breuken en decimale breuken, door de uitkomst globaal te bepalen.
5 De leerlingen hebben inzicht in de structuur van de gehele getallen en inzicht in het positiesysteem van de decimale getallen.
6 De leerlingen kunnen de rekenmachine met inzicht gebruiken.
7 De leerlingen kunnen een eenvoudige, niet in wiskundige taal aangeboden probleemstelling, zelf in wiskundige termen omzetten.

367

B. Cijferen
8 De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en deze in eenvoudige situaties toepassen.

C. Verhoudingen en procenten
9 De leerlingen kunnen verhoudingen vergelijken.
10 De leerlingen kunnen eenvoudige verhoudingsproblemen oplossen.
11 De leerlingen kennen het begrip ‘procent’ en kunnen in eenvoudige situaties praktische procentberekeningen uitvoeren.
12 De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale breuken.

D. Breuken en decimale breuken
13 De leerlingen weten dat aan een breuk en een decimale breuk op verschillende manieren betekenis kan worden gegeven.
14 De leerlingen kunnen breuken en decimale breuken op een getallenlijn plaatsen en breuken in decimale breuken omzetten, ook met een rekenmachine.
15 De leerlingen kunnen in eenvoudige toepassingssituaties, met gebruikmaking van modellen, eenvoudige breuken en decimale breuken vergelijken, optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen.

E. Meten
16 De leerlingen kunnen klok kijken en tijdsintervallen berekenen, ook met behulp van de kalender.
17 De leerlingen kunnen in alledaagse situaties met geld rekenen.
18 De leerlingen hebben inzicht in de relatie tussen de belangrijkste grootheden en de bijbehorende maateenheden.
19 De leerlingen kennen de gangbare maten van lengte, oppervlakte, inhoud, tijd, snelheid, gewicht en temperatuur en kunnen deze in eenvoudige toepassingssituaties hanteren.
20 De leerlingen kunnen eenvoudige tabellen en grafieken lezen en deze in eenvoudige situaties op grond van eigen metingen zelf samenstellen.

F. Meetkunde
21 De leerlingen beschikken over eenvoudige noties en begrippen, waarmee zij ruimte meetkundig kunnen ordenen en beschrijven.
22 De leerlingen kunnen ruimtelijk redeneren. Zij bedienen? zich daarbij van bouwsels, plattegronden, kaarten en foto’s, en gegevens over plaats.
23 De leerlingen kunnen schaduwbeelden verklaren, figuren samenstellen en bouwplaten van regelmatige objecten ontwerpen en herkennen.

368

9.3 Bakens en ijkpunten

(baken A – F)   ijkpunt

KLAS 1

Algemeen
Beweging, ritme, zintuigen, analyse, synthese, kwaliteit, kwantiteit, rekening houden met temperamenten.

Tellen en de basisbewerkingen
Tellen en bewegend tellen tot 24 (12¶), heen en terug, ook met sprongen.
Resultatief tellen. Rekenverhalen tot 20. Ordenen van getallen op concrete vormen van de getallenlijn. Verdubbelen en halveren; structureren van hoeveelheden; afbeelden van verdelingen en structuren; tot 20 (12¶). Schrijven en herkennen van cijfers (Arabisch¶) (tot 24¶). Lezen bewerkingstekens en pijlentaal.

Hoofdrekenen tot 100
De beleving van kwaliteiten. Tellen middels verschillende zintuigen. Structureren van hoeveelheden. Zo nodig extra aandacht voor de vijfstructuur. Op basis hiervan komen tot het memoriseren van alle bewerkingen tot 20 (12¶). Toepassen in rekenverhalen en herkenbare situaties.

Tafels
Ritmisch beleven en oefenen van rijen, afbeelden van tafelrijen (2 en 3¶) en eenvoudige structuren (tot 24¶).

Schattend rekenen
Concrete aantallen en groepjes schatten, raad mijn getal, raden wordt meer overwogen schatten, de plaats van een getal in de rij ongeveer aangeven.

Meten en meetkunde
Zie vormtekenen.

Verhoudingen
Concrete ervaringen opdoen, zie ook schatten.

PHAW:  Er is veel voor te zeggen tot 10 resp. 20 enz. te rekenen i.v.m. ons tientallig stelsel. 

369

klas 2

Algemeen
Groeiend tijdsbesef. Oefenen van ritmisch geheugen.

Tellen en de basisbewerkingen
Bewegend tellen met sprongen tot 100 (20¶). In samenhang hiermee het plaatsen van getallen op getallenlijn, in reeksen (onleesbaar). Getallen schrijven en herkennen tot 100. Notatie rekenhandelingen tot 100 (24¶). Aandacht voor rekenen in betekenisvolle contexten. Onderzoek  rekenvoorwaarden: tellen en basisbewerkingen.

A

Hoofdrekenen tot 100
Voortgaan met het automatiseren van de bewerkingen tot 20. Aandacht voor de verbanden tussen opgaven (buursommen). Handig rekenen; niet meer zoveel tellen. Aandacht voor rekenaanpakken. Rekenen op een rij en de kolommenmethode. Tienen en erover. Nog niet cijferen.

Tafels
Bewegend in ritmen en vormen oefenen tot 10X. Samenhang met basisbewerking en verkenning vermenigvuldigingsstructuren. Memoriseren tafels (2, 3, 5 en 10¶), ook middels vormen, patronen en getallenlijnen. Toepassen in situaties van alle dag. Reconstructiefase: handig rekenen met tafelproducten verdubbelen, halveren verwisselen, de nul en aandacht voor eigen producties.

Schattend rekenen
Zie 1e klas. De plaats van getallen tot ± 100 op de lege getallenlijn aangeven. Aantallen bij benadering benoemen. Rekenen met de tientallen¶. Vergelijkenderwijs schatten van grootten (weefdraden, karton).

Meten en meetkunde
Tijdsbesef en tijdbegrip. De tijd wordt gemeten. De circulaire klok, indeling van het jaar. Maateenheden inwisselen. Lopen van vormenfiguren. Idem in een gegeven aantal passen.

Verhoudingen
Zie vormtekenen. Symmetrieoefeningen. Concrete ervaring opdoen. Zie ook schatten.

370

klas 3

Algemeen
Oefenen van het ritmisch geheugen. Ervaren van tijd. Komen tot maat- en tijdbegrip. Oefening en consolidering.

Tellen en de basisbewerkingen
Uitbreiden tot 1000. In sprongen, nadruk op 10-structuur; tientallen, honderdtallen. Plaatswaarde. Geld als concrete steun. Getallen tot 1000 herkennen en schrijven¶. Rekenen net over de 100 (onder de 100) met steun van de lege getallenlijn. Rekenen op een rij en de kolommenmethode. Rekenverhalen en situaties.

Hoofdrekenen tot 100
Alle bewerkingen handig rekenend tot 100, al dan niet met gebruik van een kladblaadje* om tussenresultaten te noteren. Rekenen met kale getallen en in betekenisvolle contexten. Aandacht voor rekenaanpakken. Praktisch rekenen met geld.

*Steiner was tegen het gebruik van het woord ‘net’schrift. Dat suggereerde volgens hem dat er ook ‘knoei’schrift mag zijn. Maar alles wat je schrijft moet netjes. In het verlengde daarvan moeten er eigenlijk ook geen ‘klad’papiertjes zijn. We kladderen of kliederen niet. Het zijn in wezen ‘hulp’ papiertjes waarop ook netjes geschreven dient te worden. 

Tafels
Tafels (tot 10¶) memoriseren en automatiseren. Leerlingen weten (¶) wat ze zelf van de tafels kennen. Ritmisch op rij en rekentechnisch door elkaar oefenen. Aandacht voor rekenstrategieën. Tafelnetwerken. Voortzetting van toepassing in realistische situaties, in rekenverhalen en nu ook bij het cijferen.

Schattend rekenen
Schatten van uitkomsten voorafgaand aan berekeningen¶. Durven afronden op handige getallen om mee te rekenen. Benaderen totaalbedrag (boodschappen). Mooie, ronde getallen: tien- en hondervouden. Getallen in de omgeving. ‘Globaal’rekenen. Verband met hoofdrekenen. 

Cijferen
Nog steeds voorbereidende activiteiten; als het hoofdrekenen tekortschiet. Voortbouwen op splitsen en kolommenmethode. Ruimte voor de ‘natuurlijke’ aanpak. Tienstructuur en positionele schrijfwijze. Geld als denkmodel. De papieren abacus. Hoofdrekenen tot 100, het fundament is gelegd.
B

Meten en meetkunde
Kennismaken met maten en gewichten in de praktijk (winkel, huizenbouw). Bij vormtekenen, schetsen van cirkel, driehoek, vierkant, zeshoek, pentagram en pentagon.

Breuken
Informeel gebruik van natuurlijke breuken als half en kwart, o.a. bij de klok.

Decimale breuken
Geldnotatie; informeel.

Verhoudingen
Concrete ervaringen opdoen. Zie ook schatten.

371

KLAS 4

Algemeen
Versterkt Ik-beleven, verbreking van het één-zijn met de wereld. Breken en delen leidt tot het kennen van de breuken als getallen. Gaan denken op basis van voorstellingen.

De basisbewerkingen
Tellen met (stam)breuken, in toepassingen, gestructureerd, ritmisch en voorstellend, ook op getallenlijn. Tellen voorbij 1000 met grote sprongen. Bewerkingen toepassen in gebied tot 1000, daarbij handig rekenen.

Hoofdrekenen tot 100 en verder
Handig rekenen met geld, maten, gewichten, klok en kalender. Ook boven de 100. Waar nodig met steun van de lege getallenlijn. Aandacht voor oplossingsmethoden, juist van anderen. Gezamenlijke en persoonlijke referentiepunten in de getallenwereld¶. Leren kennen van de eigen grenzen op het gebied van hoofdrekenen, cijferen en schatten. Persoonlijke grenzen verleggen. 

Tafels
Verworven kennis uitbreiden, onderhouden en consolideren¶. Toepassen bij handig rekenen, cijferen en in de breukenrijen.
De tafels van vermenigvuldiging gememoriseerd. 

C

Schattend rekenen
Schattend bepalen van afstanden en gewichten. Persoonlijke referentiematen¶. Benaderen bij cijferopgaven ter controle achteraf schatten van delen van een geheel (visueel). Globaal (tekenend) de plaatsen van een breuk aangeven op getallenlijn. Aandacht voor nauwkeurigheid , de afwijking van het precieze antwoord; samenhang met breuken en kommagetallen.

Cijferen
De cijferprocedures voor vier basisbewerkingen verder ontwikkelen vanuit de natuurlijke aanpak. Zoveel mogelijk werken op individueel (verkortings)niveau. Zowel rekenen in toepassingssituaties van alledag als met ‘kale’ sommen, binnen de grenzen van de eigen mogelijkheden. 

Meten en meetkunde
Ruimtelijke oriëntatie. Meetopdrachten in eigen omgeving. Lengte, oppervlakte en gewicht¶. Van menselijke maat naar standaardmaten. Rekenen met meetgetallen. De eerste formules. In vormtekenen vlechtfiguren maken met ronde en rechte vormen. Meetkundige vormen.

Breuken
Door breken, verdelen, samenstellen en vergelijken kennis nemen van benoemde stambreuken. Handelingen verrichten waardoor breuken tot stand komen, verdelen van aantallen en figuren. Werken met grootheden om te verdelen. Modellen van breuken: breukcirkels, -stroken, rechthoek, dubbele getallenlijn. Met breuken en bewerkingstekens het handelen weergeven. Eenvoudige breukrijen kunnen voortzetten, ook voorbij ‘de hele’. Breukenenvelop ¶ en persoonlijke referentiebreuken in periodeschrift. 

Decimale breuken
Voortbouwen op ervaringen met kommagetallen. Reflectie op schrijfwijze. Nogmaals geldbedragen en maten, als denkmodel voor de decimale breuken¶. Cijferend optellen en aftrekken van kleine bedragen en maten. Nauwkeurigheid. 

Verhoudingen
Plattegronden en kaarten: kennismaken met schaalbegrip (heemkunde). Verhoudingstabel, breuken op de getallenlijn, deel van het geheel. Schatten.

klas 5

Algemeen
Gevoel voor regelmaat en vorm, toenemend begrip.

De basisbewerkingen
Zie klas 4¶. Bewerkingen worden in toenemende mate ook toegepast op breuken en kommagetallen. Situaties uit het dagelijks leven zijn de rekencontexten en geven betekenis en rekenwerk. De persoonlijke keuze voor hoofdrekenen, schatten of cijferen is onderwerp  van bewustmaking.

Hoofdrekenen tot 100 en verder
Rekenen met gehele getallen. Referentiepunten bij 10, 100, 25, 5, 50, 75, 125, 250, 500….Optellen en aftrekken met veel voorkomende breuken wordt zo mogelijk in samenhang bekeken. Handig rekenen, ook met decimale breuken. Aandacht voor strategieën en eigen vondsten van leerlingen. Onderhouden van elementaire vaardigheden tot 100¶.

Tafels
Bijhouden (door gebruik en oefening, als dat nodig blijkt) en toepassen (stelselmatig en creatief).

Schattend rekenen
Afronden, benaderingen via globale berekeningen, aandacht voor nauwkeurigheid, schatten voor ’t cijferen en breukberekeningen; controle. Referentiepunten in de wereld van de hele en gebroken getallen, zie hoofdrekenen. Cijfers achter de komma en ‘verwaarlozen’. Referentiematen voor het maken van schattingen bij het meten. Ook op het gebied van oppervlakte en inhoud en kommagetallen.

Cijferen
Bewerkingen volgens standaardprocedures (op eigen niveau) uitvoeren, ook met kommagetallen (beheersing van getallen met 3 cijfers¶). Stimulering van niveauverhoging. Analyse van nieuwe cijferprocedures. Reflecties op de procedure zelf.
Alle cijferbewerkingen op het individueel hoogst haalbare niveau.
D

Meten en meetkunde
Praktisch rekenen combineren met tijdrekenen, ook digitale tijdsweergave. Oppervlakte ¶. Afstand en tijd in samenhang; snelheid. Tabellen, grafische voorstellingen lezen en maken. Tijdmeting in de sport. Interessante meetkundige figuren schetsen en karakteriseren naar hun eigenschappen.

Breuken
Breuk als operator. Bewerkingen op concreet niveau. De dubbele lege getallenlijn als denkmodel, bemiddelde grootheden als rekentechnische ondersteuning. Mogelijk ontdekken van rekenregels. Breuken in verband met kommagetallen. Breuken die een verhouding weergeven.

Decimale breuken
Alle basisbewerkingen cijferend en veel in toepassingssituaties ¶. Kommagetallen als meetresultaat, afronden. Verband met gewone breuken in praktijk en theorie. Inzicht in het fenomeen kommagetal.

Verhoudingen
Rekenen met schaal ¶. Dubbele getallenlijn. Verhoudingstabel.

Procenten
Informele kennismaking via signalen van buiten de school.

373

klas 6

Algemeen
Inzicht in ‘handigheidjes’, samenhangen en oorzakelijkheid.
Meten en maten.

De basisbewerkingen
Vaste rekenprocedures worden vastgelegd in formulevorm. Woordformules. Dit bereidt voor op het gebruik van letters en variabelen in de algebra.

Hoofdrekenen tot 100 en verder
Inzichtelijk en handig oplossen van praktische problemen. Onderhouden van elementaire vaardigheden.

Tafels
Gebruiken.

Schattend rekenen
Afronden, globaal rekenen; ook met breuken, kommagetallen en percentages. De grootteorde van uitkomsten; rekenen met aantallen cijfers. De marges van het schatten, nauwkeurigheid in percentages; nauwkeurigheid in verband met de context. 

Cijferen
Alle basisbewerkingen ¶. Inzicht scheppen: getalgriezels. Op zoek naar verkortingen. Maatschappelijke toepassing (handel, sport, vervoer enz.) Andere cijfermethoden onder de loep. Cijferen bij concrete opdrachten. Staartdelen en kommagetallen. Staartdelen en procentberekening.

Meten en meetkunde
Meten in thema’s en projecties als voortzetting van de 5e-klasleerstof. Centrale rol voor de cirkel: met passer en liniaal worden steeds bekende geometrische vormen geconstrueerd . Driehoeken, vierhoeken, vijf- en zeshoeken. Onderzoek van hoeken en het meten en het meten ervan (in graden). De basisconstructies ¶.
Eind 6e klas: voorwaarden vervuld voor (eventuele) introductie van de zakrekenmachine. 

Breuken
Basisbewerkingen met breuken, zo gewenst met dubbele getallenlijn en bemiddelende grootheid ¶. Rekenregels voor breukrekenen mogelijk ontdekken en zeker doorzien en inzetten bij praktische problemen, waaronder procentrekenen.

Decimale breuken
Breuken omrekenen naar kommagetallen ¶. Afronden en afbreken. Nauwkeurigheid. Een enkel geval van ‘kommagetal naar breuk’. Relatie met breuken en procenten. 

Verhoudingen
Praktische omrekenproblemen (o.a. vreemde valuta) in bijv. verhoudingstabellen ¶. Verhoudingen en evenredigheden in de meetkundige context (o.a. de hoogte van de zon). Vergrotingsfactor. Verhoudingen in het dagelijks leven: dichtheid, snelheid, verdunning, legering…) het aflezen van meetinstrumenten (schalen).

Procenten
Procenten opgevat als op 100 genormeerde verhoudingen in het leven van alle dag. Visuele beelden van percentages. Rente, prijsstijging, kiesdeler; maattolerantie, steekproef,…Berekeningen op het gebied van handelsrekenen.¶

374

klas 7 en 8

Algemeen
Onderzoekende houding, volhardend systematisch werken. Groeiend reflecterend vermogen. Wiskundetaal verwerven als communicatiemiddel. Creatief samenwerken bij het oplossen van problemen. Verwondering en bewondering beleven aan wiskundige vondsten. Verdieping ruimtelijk inzicht.

Getallen
Verzamelen, ordenen en kwalitatief beschrijven van gegevens. Introductie van de negatieve getallen, verkenning op de getallenlijn (klas 7).

Hoofdrekenen
Kettingsommen als inleiding tot de vergelijkingen. Getallenreeksen, eigenschappen, tweede en derde machten van 2 (klas 7) Worteltrekken, ook in relatie tot meetkunde. Verbanden en ingeklede vergelijkingen (klas 8).

Schatten
Verdieping van gecijferdheid, o.a. in verkenning van de zakrekenmachine, globaal rekenen, benaderen en afronden in realistische contexten.

Voortgezet rekenen
Hanteren van kommagetallen en gangbare maten voor: lengte, oppervlak, inhoud, tijd, temperatuur, geld (toepassen in context ¶). Breuken (rekenregels ¶), procenten, verhoudingen, schaal (worden in samenhang verder ontwikkeld en geoefend (toepassen in context ¶) in rekenwerkuren. Kwadrateren en worteltrekken.

Algebra
N.a.v. concrete situaties wetmatigheden onder woorden brengen, in (woord)formules vastleggen en ermee werken. Mathematiseren van een probleem , waaronder het opstellen en oplossen van (lineaire) vergelijkingen, substitueren van getallen en rekenen met letters (klas 7).
Substitueren van verbanden op basis van (getal)reeksen, eigenschappen bij letterreeksen, relaties tussen verschillende variabelen (klas 8).

Meten en meetkunde
Waarnemend tekenen, schetsen van perspectief en schaduw, patroontekenen. Constructies op basis van inzicht, gebruikmakend van de grondconstructies en de begrippen: afstand, richting, hoek, loodrecht, evenwijdig, translatie, rotatie, spiegeling, puntsymmetrie, congruentie, stelling van Pythagoras. Verbanden met algebra (klas 7). Vermenigvuldigen van figuren, gelijkvormigheid, oppervlakten en inhouden berekenen. Meetkundige plaatsen. Platonische lichamen en hun uitslagen lezen en interpreteren. Coördinaten (klas 8).

Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Wiskunde wordt als probleemoplossend instrument bij onder meer handwerken, natuurkunde, handelskennis, aardrijkskunde en in rekenwerkuren verbonden met de concrete ervaring.

375

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

bewegingszin
ontwikkelingsfasen van het kind
oordeelskracht
periodeonderwijs
tandenwisseling
temperament

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [7] [8
Slot (1-1Reflectieve notitie
Slot (1-2Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenenalle artikelen

.

2467

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 7

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 7: Rekenen en wiskunde in klas 7 en 8

7.1 Menskundige achtergronden
7.2 Uitbreiding van de getallenwereld
7.3 Algebra
7.4 Meetkunde
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Terzijde: Peilingen

Menskundige achtergronden

In de zevende klas en daarna wordt steeds duidelijker dat leerlingen hun eigen weg willen bepalen. In de verte gloort het licht van de wijde wereld en leerlingen willen met al hun zintuigen verder ‘kijken’ dan de horizon die de school biedt. Ontdekking, uitvinding en revolutie zijn grote thema’s in het laatste deel van de tweede zevenjaarsperiode. Andere denkwijzen dienen zich aan, causaliteit en oordeelsvermogen worden gewekt en bereiden de ontplooiing van het zelfbewustzijn voor.
De zevende- en achtsteklassers bevinden zich in de fase van de prepuberteit, de ‘Sturm-und-Drang’-periode, soms ook ‘negatieve fase’ genoemd. Deze derde fase in de tweede zevenjaarsperiode wordt afgesloten rond het veertiende jaar, wanneer de klassenleraar uit de benedenbouw zijn klas overdraagt aan de mentor van de bovenbouw, die nu samen met vele vakleraren de leerlingen in hun puberteit zal begeleiden.
Net als omstreeks het tiende levensjaar vindt er ook rond het twaalfde jaar een markante ontwikkelingsovergang plaats. Het begrip voor oorzaak en gevolg, voor causaliteit, groeit in de kinderen. Nu zijn de leerlingen erop gericht de buitenwereld als geheel te veroveren. Ze zijn actief naar buiten gericht, maar tonen daarbij nog een labiele houding. Het zoeken naar een relatie tot de medemens in toeneiging of afwijzing, getuigt van onzekerheid en gaat soms met agressie gepaard. Het stemgeluid wil letterlijk en figuurlijk verder reiken dan tot nu toe, en van maat houden of zakelijke berekening is in allerlei omstandigheden geen sprake meer. Aan de fysieke gestalte zien we dat er een volgende strekkingsfase, vanuit handen en voeten naar de romp toe, intreedt. Langzamerhand begint de prepuber een verhouding te krijgen tot de nieuwe ‘zwaarte’ en afmetingen van zijn lichaam. In de uiteenzetting met deze ‘zwaartekracht’ is hij op weg ‘aarde-burger’ te worden.
In deze levensfase is het van het grootste belang dat de oefenweg die gegaan wordt, kan plaatsvinden binnen de veilige muren van de ‘eigen’ school. Wie de weg kwijt raakt, het verkeerde pad neemt, moet de zekerheid hebben zich geaccepteerd te weten, om het zelf zoeken keer op keer opnieuw te willen proberen.

Deze nieuwe levensfase betekent dat ook in het reken-wiskundeonderwijs van de zevende en achtste klas nieuwe werelden betreden worden: de getallenwereld van de negatieve getallen, de formele breuken, het letterrekenen, nieuwe bewerkingen zoals machtsverheffen en worteltrekken, het werken met formules, het

284

oplossen van vergelijkingen, de aanschouwelijke bewijzen van de stelling van Pythagoras, het begrip meetkundige plaats en de platonische ruimtelichamen.
Vanuit de beweging en aan de hand van praktische en levensechte vraagstukken die steeds om nieuwe zienswijzen vragen, worden denkbeelden ontwikkeld die leiden tot een exact maar ook flexibel denken.
In de aanwijzingen van Rudolf Steiner voor deze leerjaren herkennen we twee wegen. Enerzijds is er de ontwikkeling van het abstracte denken; vanuit het rekenen met getallen en het redenerend ontdekken van algemeenheden komt men tot wetmatigheden in bijvoorbeeld de algebra. Anderzijds zijn er de situaties uit het dagelijks leven, van waaruit onder andere het oplossen van vergelijkingen wordt opgebouwd, die de verbinding scheppen met de realiteit. Bovendien worden in de zevende klas de algebra en de meetkunde met elkaar in verband gebracht.
Denk daarbij aan: formules voor de oppervlakte van meetkundige figuren, figuren voor de onderbouwing van algebraïsche formules het ontwikkelen van de geometrische naast algebraïsche inzichten in de stelling van Pythagoras.
De zevendeklassers krijgen toegang tot een wereld die eerder onbekend was.
Net als Leonardo van Pisa, rond het jaar 1200, ervaren zij dat sommige vergelijkingen onoplosbaar zijn met de bestaande getallen en dat er negatieve getallen moeten worden ingevoerd. Middels deze leerstof komt een nieuwe fase in het bewustzijn van de kinderen tot stand. Vermogens worden aangesproken om louter op basis van causaliteit een nieuw mathematisch principe met de realiteit te verbinden en zelfstandig relaties te leggen tussen de rekennatuur en de rekencultuur (zie H 1).

Het leerplan van de zevende en achtste klas geeft ook de gelegenheid om allerlei geïntegreerde wiskundige activiteiten (g.w.a.) te ontplooien. De kinderen doen ook in andere dan de reken-wiskundelessen wiskundige ervaringen op. Indien we ons als leerkracht daarvan bewust zijn, kunnen de leerlingen daar optimaal van profiteren. In tekenlessen en tijdens de perioden sterrenkunde en natuurkunde liggen de g.w.a. als het ware voor het oprapen, maar ook in tal van andere situaties doen die gelegenheden zich voor (zie H7.5). Bijvoorbeeld in de geschiedenisperioden. De tijdspanne, die de geschiedenislessen van de zevende klas bestrijkt, is die van de Middeleeuwen en Renaissance tot aan de Nieuwe Tijd.
Kenmerken van die tijd worden ook zichtbaar in de biografie van de leerlingen.
Het leven en werk van Leonardo da Vinci is daarom een belangrijk thema. De kunstenaars van de Renaissance leverden immers een belangrijke bijdrage aan het wetenschappelijk denken. Zo geeft de studie van het perspectief, in die tijd begonnen, bijvoorbeeld zevendeklassers goede aangrijpingspunten voor meetkunde. Bij het bestuderen van Leonardo’s werk kan een bladzijde uit zijn Atlanticus een goede aanleiding zijn om een werkblad met meetkundige opdrachten te ontwerpen. Hierbij kan bijvoorbeeld op verschillende constructies van rechte hoeken, zoals de kinderen die in de zesde klas hebben leren kennen, gereflecteerd worden.

285


.
In de zevende en achtste klas krijgen ook de rekenwerkuren een wat ander karakter. De leerlingen gaan meer en meer zelfstandig werken (zie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken). Leerstof uit voorafgaande jaren, zoals metriek stelsel, breuken, decimale getallen, procenten en verhoudingen worden bij het voortgezet rekenen in samenhang met elkaar verder ontwikkeld. In deze levensfase kunnen de kinderen ook door generalisatie tot oplossingsstrategieën komen. Vanuit realistische situaties kunnen nu formele rekenregels en formules ontwikkeld worden, bijvoorbeeld voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Ook een verkenning op de zakrekenmachine (zie Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?) kan in de rekenwerkuren van deze schooljaren worden ingepast. Bij het werk, dat vanuit nieuwe perioden in de rekenwerkuren terecht zal komen, gaat het bij al deze lessen mede om de vorming van de wil, om het ontwikkelen van vaardigheid door volhardend oefenen, om middels uitdagende opdrachten de nieuw verworven inzichten te beproeven.

Kortom, vanuit menskundig standpunt bezien kenmerkt zich het reken-wiskunde onderwijs van de zevende en achtste klas op de volgende punten:

• onderzoekende uitdagende aanpak.
• grenzen verleggen en overschrijden.
• geïntegreerde wiskundige activiteiten in andere (periode)vakken.
De leerlingen worden daarbij uitgedaagd:
• reflecterend vermogen te ontwikkelen.
• wisselende standpunten in te nemen.
• causaal te redeneren.
• zelfstandig en volhardend te werken.

7.2. Uitbreiding van de getallen wereld

“Juf, vandaag heb ik het koud en gisteren was het in mijn shirtje nog te warm!” Ernst had gelijk, het was erg wisselvallig weer. Ter plekke besloot ik zijn opmerkzaamheid te benutten om de reken-wiskundeperiode van volgende week voor te bereiden. Dus stelde ik voor op een grote rol papier de verandering van de buitentemperatuur af te beelden. Eloy, onze cartoonist, liet ik vergroot de buitenthermometer, compleet met schaalverdeling, aan het begin van de rol tekenen. Elke morgen zouden we daarnaast de temperatuur aangeven, afgelezen op de echte thermometer die buiten hing.

.
286

Het werd een sport om als eerste op school te zijn en de waarnemingen bij te houden! De eerste dag tekenden we een lange horizontale lijn op de hoogte van de temperatuur van deze ochtend, dat zou ons uitgangspunt worden. Met pijlen gaven we de volgende ochtenden temperatuurstijgingen en -dalingen aan.

Zo’n temperatuuronderzoek is een goede inleiding op de periode ‘getallenleer’. Dan worden in de zevende klas de negatieve getallen ‘ontdekt’ en wordt de getallenwereld uitgebreid tot de verzameling van de rationale getallen. De getallen waarmee we tot nu toe werken, blijken in allerlei situaties ontoereikend. Vanuit de ervaring met de temperatuur kunnen kinderen zich gemakkelijk voorstellen, wat er gebeurd zou zijn als op de eerste dag de temperatuur 0” geweest was. Bij de herinnering aan winterse ijspret blijken kinderen als vanzelfsprekend negatieve getallen te hanteren. In de periode breekt dan het moment aan om deze informele kennis tot bewustzijn te brengen en langzaam maar zeker de rekenregels voor negatieve getallen, in combinatie met positieve getallen, uit te vinden.

De beweging van de vloeistof in de thermometer kun je met de kinderen, langs een denkbeeldige getallenlijn, ook lopen. Stijgt de temperatuur, dan loop je vooruit. Daalt hij, dan beweeg je achteruit, elke graad is een stap. Met krijt wordt de uitgangspositie met een kleine cirkel op de grond aangegeven. Later wordt dit de 0 op de getallenlijn. Elk kind weet: als je bij 0° begint en de temperatuur stijgt eerst 5” om vervolgens weer 8° te dalen, dat het daarna 3” vriest en het dan 3° ‘onder nul’ is.
Wat gelopen is, wordt vervolgens in het schrift getekend. Dat gebeurt met verschillende kleuren: ‘boven nul’ geven we de getallen bijvoorbeeld aan met warm geel en ‘onder nul’ met het koele blauw. Afgesproken wordt om de blauwe getallen negatieve getallen te noemen. Wie het verschil in kleur wil verlaten of dit niet wil gebruiken, kan 3° onder nul noteren als (-3) of (neg 3); 5° boven nul wordt dan (+5) of (pos 5).
Het aantal gelopen stappen komt tot uitdrukking in de lengte van de -in dezelfde kleur als de bewerkingstekens- getekende pijlen. Een temperatuurstijging waarbij vooruitgelopen is, met bijvoorbeeld rode pijlen; een temperatuurdaling waarbij dus achteruitgelopen is, met rode pijlen, die de andere kant op wijzen.

.
Schrijven we daarna wat gedaan en getekend is als ‘sommen’ op, dan zijn dezelfde kleuren te gebruiken: de getallen en tekens die de bewerking aangeven in rood en de anderen in hun eigen kleur.

Nu zie je:

0 + 5 (stappen) = (+ 5)
(+ 5) – 8 (stappen) = (- 3)
(- 3) + 2 (stappen) = (-1)

287

Zo is te ervaren dat de wereld van de positieve getallen gespiegeld wordt in het nulpunt en dat een uitbreiding van de getallen met de negatieve getallen, nodig is. Ook het verschil in getallen die met het bijbehorende teken een positie en getallen die met het teken een verplaatsing aangeven, komt zo tot uitdrukking. Het is belangrijk dat de leerlingen zich dit verschil goed bewust worden.
Dit verschil kwamen we in feite al bij het leren tellen in de eerste klas tegen: tellen we de posities (punten op de getallenlijn) of tellen we de stappen? (zie H 2.3). Bij het werken met negatieve getallen duikt dit als probleem weer op en kan bij het rekenen met negatieve getallen een struikelblok vormen. Het kan daarentegen ook beleefd worden als een uitdaging om ‘wat erachter steekt’ te doorzien. Stap je hierbij snel over op regeltjes, dan onthoud je aan de leerlingen een bewustzijns-moment en breng je hen ertoe wiskunde te beleven als iets wat je op gezag moet aannemen. In dat geval is er pedagogisch iets braak blijven liggen. Wiskunde is bij uitstek een vak waaraan (zelf)bewustzijn te ontwikkelen is. Wie in deze leeftijdsfase niet steeds opnieuw in de gelegenheid wordt gesteld op eigen kracht en op eigen niveau zijn gedachten te vormen, zal zich al snel innerlijk afwenden of erger nog, het gevoel overhouden dom te zijn.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

• optellen is vooruitlopen
• aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

• reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
• reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen:

(+5) – (+8) = (-3)
(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-3) – (+8) = (-11)
(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen)

(-11) + (+5) = (-6)
(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen)

(-6) – (-5) = (-1)
(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen)

(-1) – (-5) = (+4)
(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrekken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie.

288
.

.
289

In plaats van uit te gaan van de temperatuur zijn er ook andere concrete situaties en praktische problemen die aan de introductie van de negatieve getallen ten grondslag kunnen worden gelegd: geldlenen, hoogteverschillen ten opzichte van NAP, rekenen met tekorten, enzovoort. Ook in die gevallen is het een goede gewoonte de gebeurtenissen eerst op een getallenlijn af te beelden voordat je de opdracht als ‘som’ noteert.
Er is veel praktisch te oefenen en ook het werken met breuken kan in dit oefenwerk aan de orde komen. Rekenwerk met negatieve gebroken getallen vraagt om extra oplettendheid en het gebruik van de getallenlijn zal in het begin onontbeerlijk zijn; 3 – 51/3    =  -21/3    geeft meestal geen problemen, maar – 3¾ – – 6 = 2¼ (!) vormt een grotere uitdaging.

Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen

Opgaven als: 5 x (-2) = (-10) en (-10) : 2 = (-5) leveren in het algemeen geen problemen op, de leerlingen kunnen zich er nog iets bij voorstellen, zeker als de ‘actieve’ getallen eerst rood zijn. Lastiger wordt het als het gaat om (-2) x 5 =…, want wat kun je je voorstellen bij ‘(-2) keer’ ?
Wie evenwel bedenkt dat (-2) x 5 hetzelfde resultaat geeft als 5 x (-2), omzeilt dit probleem. Dan geldt dus: (-2) x 5 = (-10), het tegengestelde van (+10) en dus ook van 2 x (+5). Op analoge wijze geldt dan ook dat (-2) x (-5) hetzelfde is als het tegengestelde van 2 x (-5), ofwel het tegengestelde van (-10). Kortom (-2) x (-5) heeft als uitkomst het tegengestelde van het tegengestelde van (+10) en dat is dan weer (+10).
Een korte reflectie op het verschil tussen de bewerkingstekens en de

toestandstekens, zoals we die al bij het optellen en aftrekken tegenkwamen, is hier op zijn plaats. Daar ontdekten we bij het lopen dat aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat gaf als optellen van het tegengestelde van dat negatieve getal, ofwel: – (-5) geeft hetzelfde resultaat als +(+5). Bedenken we nu dat (+5) erbij doen hetzelfde betekent als 1 x (+5) erbij doen, dan is hier een brug naar het vermenigvuldigen te slaan, want – (-5) is dan op te vatten als (-1) x (-5) en dat is, zoals we eerder ontdekten: (+5).

Zo komen we tot de bekende rekenregels:

+ x + = +                                                                       – x – = +

+ x – = –                                                                          – x + = –

Vanuit dezelfde principes kunnen we ook de rekenregels voor het delen door een negatief getal onderzoeken en (uit)vinden.

De vraag: “Kunnen deze regels niet evengoed als axioma’s voor het rekenen met negatieve getallen gegeven worden?” is in feite met het voorgaande beantwoord. Het gaat in de wiskunde niet om het omzeilen van problemen, maar juist om het beleven van de uitdaging die het oplossen van problemen aan de zich ontwikkelende, denkende mens stelt. Belangrijk is of de leraar deze gezindheid bij zijn leerlingen weet te wekken. De ontwikkeling van de zevendeklasser is in het algemeen nu zover gevorderd dat deze formele stappen, die zich geheel in het den-

290

ken af spelen, nu gezet kunnen worden. Voor die leerlingen, die dit mentale niveau nog niet verworven hebben, kan een praktisch voorbeeld met temperatuursveranderingen toch de gelegenheid geven op eigen niveau de rekenregel te begrijpen.

Andere onderwerpen

Schept het rekenen met negatieve getallen de mogelijkheid om ook oud rekenwerk te herhalen, hetzelfde geldt voor de hierna genoemde bijzondere onderwerpen:

• priemgetallen
• deelbaarheidskenmerken
• vierkantsgetallen (kwadraten)
• driehoeksgetallen
• kubusgetallen (derde machten)
• machten van 2 (exponentiële schrijfwijze)
• rekenregels voor machten
• worteltrekken uit kwadraten
• een algoritme voor de worteltrekking
• andere vormen voor de vier standaardalgoritmen

Niet al deze onderwerpen zullen in de periode getallenleer aan bod komen. Het gaat daarbij vooral om het ontdekken en beleven van de schoonheid die in de wiskunde verborgen ligt en het toegankelijk maken van nieuwe gedachtewerelden.
.

.
291

7.3. Algebra

In de geschiedenislessen uit de zevende klas ervaren de kinderen hoe met de verbreiding van het Mohammedaanse Rijk de Arabische en Oosterse cultuur via Spanje in Europa gekomen is. Ons woord algebra, de latinisering van het
arabische ‘al-jabr’, getuigt daarvan. In de loop van de zevende en achtste klas ontvouwt zich in zulke perioden de ontwikkeling van de wetenschap en daarmee ook van de wiskunde.
De overgang van rekenen naar algebra geeft een nieuwe impuls aan de ontwikkeling van het mathematische denken. Voor sommige leerlingen is de niveauverhoging van het rekenen met cijfers naar het rekenen met letters geruime tijd ondoorzichtig, zelfs al voeren ze het ‘rekenwerk’ op zich goed uit. Als we in de algebra structuren, die in het rekenen nog verborgen blijven, bewust maken, spreken we krachten aan die nu in de prepuberteit vrijkomen voor het denken en stimuleren we de overgang van basis- naar voortgezet onderwijs.

In de zesde klas kan al een eerste stap naar de algebra gezet worden door het werken met benoemde getallen (zie ook blz. 216), met de kapitaalformule:

R = K x P x T
            100

als g w.a. in bijvoorbeeld het handelsrekenen, waar ‘het Netto gewicht is het Bruto gewicht verminderd met de Tarra’, wordt tot Netto = Bruto -Tarra en vervolgens N = B – T.
Hoe gaan we daarbij te werk? Eerst zijn vanuit een concrete context berekeningen uitgevoerd, dan worden de hieraan ten grondslag liggende gedachten verwoord, vervolgens worden ze bondig in begrippen samengevat en uiteindelijk schematisch met letters weergegeven. Waarna de letters, bij gebruik van de formule, weer te vervangen zijn door getallen die voortkomen uit nieuwe concrete opdrachten. Het gaat hierbij dus om het leren redenerend te denken, waarbij een goed georganiseerde handeling schematisch, met begrippen wordt vastgelegd en uiteindelijk als formule in een abstracte vorm wordt gegoten. Tenslotte kunnen de leerlingen in het concrete werken met de zelf uitgevonden formule ervaren dat het (reken)werk nu efficiënter is uit te voeren. Formules zijn dus geen instrumenten voor mysterieuze handelingen van niet te begrijpen geleerden of leraren, maar dienen om eenduidig, kort en bondig zelf gevonden interessante verbanden vast te leggen en zo efficiënt rekenen mogelijk te maken. Wie leert met dit wiskundig gereedschap om te gaan, zal dit van meet af aan zo moeten ervaren. Algebra kan behalve uit het vinden van formules ook voortkomen uit de wetmatigheden in rijen en reeksen, de meetkunde en uit het onderzoek naar vergelijkingen.

Formules

Een formule, zoals bijvoorbeeld de kapitaalformule, kan dus geen doel in zichzelf zijn, het gaat immers om het leren redeneren in verband met de realiteit, de formule is het residu van dit proces. Er zijn vele vormen voor formules waarmee dit mathematiseren beoefend kan worden. De meeste formules zijn nu nog van de vorm a =  b  x  c   of  c = a/. Maar ook formules van de vorm a = p + q,   a = p- q  of a = b  x  c + q kunnen door de leerlingen middels zo’n redeneerproces zelf uitgevonden worden.

292

Formules komen voor als beschrijver van steeds dezelfde berekening, als op zichzelf staand object waarmee gemanipuleerd kan worden en als ‘beschrijver’ van een verband tussen variabelen. Het mag duidelijk zijn dat in de zesde klas het accent nog ligt op het als eerste genoemde.

Een werkblad zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:
.

.
293

Er kunnen nog tal van opdrachten volgen, waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt om naast de afstand per trapronde, de hele afstand naar huis te schatten. Ook kan gevraagd worden een woordformule te bedenken waarmee je het aantal traprondes kunt uitrekenen, dat nodig is om die afstand te rijden. Huiswerk kan dan zijn om het aantal traprondes naar huis te tellen en daar op de kaart uit te zoeken of er goed geschat is. Of een opdracht als: Wie kan zelf een formule ontwerpen waarmee je meteen de afstand in kilometers vindt?, enzovoort.

Het werken met formules begint steeds met herkenbaar rekenwerk uit het dagelijks leven. Geleidelijk komen de kinderen tot generaliseren. Via afkortingen kunnen die verder geformaliseerd worden tot letters.
Doordat leerlingen de vrijheid hebben zelf namen en letters te kiezen voor variabelen, houden ze contact met de concrete betekenis ervan. Algebra is dan een vorm van redeneren, dat geleidelijk op steeds hoger niveau van abstractie komt.

Tot slot nog een aantal voorbeelden van situaties die tot het ontwerpen van formules aanleiding kunnen geven:

• Het verband tussen Engelse en Franse schoenmaten.
• Het verband tussen maten in het metriek stelsel.
• Omrekenen van geldbedragen in andere valuta.
• Rekenwerk rond een brommer, het benzineverbruik, de benzineprijs en het aantal kilometers.

• Het te betalen bedrag als de prijs per meter stof bekend is. (g.w.a. in de handwerklessen)
• Het verband tussen het schijnbare gewicht en de lengte van een hefboom (g.w.a in mechanikaperiode)
• Het verband tussen de temperatuurschalen van Celcius en Fahrenheit. (g.w.a. in natuurkunde periode)
• Soortelijk gewicht (massa) als verband tussen gewicht (massa) en volume.
(g.w.a. in natuurkunde periode)

Rijen en reeksen

Bij rekenen, dat voortkomt uit een concrete situatie, gaat het over dingen die van buiten op het kind afkomen. Er is in de voorgaande jaren ook in het kind zelf een basis gelegd voor de algebra. Bedoeld worden hier getalreeksen, sommige getallenspelletjes, rekenprocedures en voorschriften, die de kinderen al van vroeger kennen. Die algebra kan nu in het bewustzijn oplichten.
Voorbeeld 1:
Elke tafel bestaat uit twee getallenrijen, die je onder elkaar op stroken papier kunt plaatsen.
.

.
294

Bij zulke wetmatigheden kan nu naar de bewerkingen en hun inverse gezocht worden. Daarna vinden we de formule, die het voorschrift weergeeft waardoor de ene rij in de andere overgaat.

Voorbeeld 2:
Onderzoek bij kwadraten:
.

.
Voorbeeld 3:
De omgekeerde weg: het voorschrift is gegeven en er wordt gevraagd naar de te vormen reeks. Zo belanden we bij het substitueren. Bij het werken met benoemde breuken is dit in zekere zin al eerder gedaan.
Bij substitutieopdrachten wordt niet alleen het gewone rekenen herhaald, ook het rekenen met negatieve getallen, het letterrekenen en het omgaan met haakjes worden geoefend.

Meetkunde

Ook vanuit de meetkunde is algebra voort te brengen. Denk bijvoorbeeld aan het vinden van formules voor omtrek en oppervlakte van vierkant, rechthoek, parallellogram en driehoek.
Een heel ander voorbeeld: Teken een rechthoek. Meet de lengte en de breedte. Bereken het verschil. Reken vervolgens de omtrek en de oppervlakte uit.
Zet je rekenwerk in een schema en varieer daarna de maten van je rechthoek.
.

.
295

Zo kun je ook nog eens naar de rij van de kwadraten kijken, gebruik makend van de oppervlakteformules voor vierkant en rechthoek.
.
.
Een paar kinderen uit de klas helpen op zaterdag op de kinderboerderij en vanuit die praktische situatie is het volgende realistische probleem als vraagstuk ontstaan:
Op een kinderboerderij moet voor het hooi van de dieren een deel van het grasland omheind worden. Eerst is besloten een hectare af te zetten, daar wordt een tekening van gemaakt met de maten in de juiste verhouding. Maar later wordt bedacht dat het stuk groter moet zijn. Hoeveel meter omheining moet er bijgeplaatst worden als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter langer wordt?
De hectare grond is net ingezaaid met graszaad. Het gewicht van het graszaad, dat per vierkante meter nodig is, staat op de verpakking van het zaaigoed. Hoeveel graszaad is er extra nodig als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter verlengd wordt? (Dit antwoord blijkt afhankelijk van de breedte. Hoe zit dat?) Hoeveel gaat dat extra kosten als 1 kg graszaad …, enzovoort.

Vergelijkingen

Vergelijkingen zijn bijzondere gevallen van formules. Een basis voor vergelijkingen werd al gelegd bij het in de afgelopen jaren steeds moeilijker wordende spel ‘Raad mijn getal’.

Bij een groenteboer leende ik de oude balansweegschaal die daar geschiedenis maakte in de etalage van de winkel. Als de weegschalen in evenwicht waren, stond een naald precies loodrecht op twee evenwijdige ‘lijnen’.

Met een grote verzameling blokjes van hetzelfde gewicht mocht Eric de ‘raad mijn getal’som uitbeelden: “Ik heb een getal in gedachte, ik tel daar 5 bij op en het antwoord is 12. Wat was mijn getal?” Een wit, papieren zakje lag leeg op een van de schalen. Eric legde daar vijf blokken bij en vervolgens twaalf blokken op de andere schaal.

296

Geen probleem; de grote onbekende was natuurlijk 7!, want er moesten zeven blokken in de zak gedaan worden om de weegschaal in balans te krijgen.

Dat onbekende getal gaven we nu de naam x en schreven dat op de zak. Nu konden we ook noteren:  x + 5  =  12
x = 7

Later deden we een ander experiment met de weegschaal: Annemarie mocht de zak, met x er opgeschreven, met een alleen aan haar en mij bekend aantal blokken vullen en dicht maken. We smoesden even, waarna we de klas de volgende opgave stelden: x – 3 = 9. Annemarie zette de zak op de ene schaal en de negen blokken op de andere.
Wat nu, er was geen evenwicht! Er waren kinderen die wel wisten dat het antwoord 12 was, maar hoe zat het nu met het evenwicht? Na allerlei ideeën kwam Jort met de oplossing: “Aan beide kanten eerst drie blokken erbij !” “Goed, maar waarom en wat schrijven we nu op?”, was mijn antwoord. “Als je geen drie blokken kan weghalen, moet je er eerst aan beide kanten drie blokken bij leggen, je mag bij een weegschaal toch altijd aan beide kanten hetzelfde veranderen?! En daarna kan je bij de zak drie blokken wegnemen” Nu kan je opschrijven: x – 3 + 3 =  9 + 3
x = 12

Vanuit de ervaring dat je met de ‘vergelijking’ van alles kan doen, als je het maar aan twee kanten van de balans (het gelijkteken) doet, onderzoeken de kinderen de gevolgen van:

• Een getal erbij optellen aan twee kanten.
• Een getal ervan aftrekken aan twee kanten.
• Met een getal vermenigvuldigen aan twee kanten.
• Door een getal delen aan twee kanten.

De kinderen bedenken zelf opgaven om het experiment uit te voeren. Een klein groepje uit de klas krijgt de weegschaal erbij om proefondervindelijk tot conclusies te kunnen komen.

Dit alles sluit aan bij de aanwijzingen van Rudolf Steiner om ook de vergelijking juist vanuit het praktische leven te ontwikkelen. Uit het rekenverhaal destilleren de kinderen dan de onbekende x en de vergelijking.

Voorbeeld:

In de menskundeperiode hebben we gezien dat je ongeveer net zoveel weegt als je langer bent dan 1 meter. Anja en Ben wegen respectievelijk 63 en 78 kilo. Wat is hun lengte? Schrijf een vergelijking op, behorend bij deze opgave. (1 = 100 + g en anderen schreven g = 1 – 100, waaruit bleek dat sommige kinderen vanuit het gevraagde redeneren en de anderen vanuit het gegeven.)

Na flink wat oefening kan het volgende een echte uitdaging zijn.

Historisch voorbeeld:

Diophantus wordt wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij leefde tussen 200 en 400. Door toeval weten we hoe oud hij is geworden, omdat een van zijn bewonderaars een algebraïsch raadsel heeft gemaakt van zijn biografie: Diophantus jeugd duurde een zesde van zijn leven, een twaalfde van zijn leven later kreeg hij een baard, na nog een zevende van zijn leven trouwde Diophantus en vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon leefde precies half zo lang als zijn

297

vader en Diophantus stierf juist vier jaar na zijn zoon. Dit alles samen levert de levensduur van Diophantus op.
Probeer de biografie in een formule weer te geven. Wat is nu de vergelijking die bij dit verhaal hoort? Hoe oud werd Diophantus?

Laat de kinderen ook zelf eens zo’n levensverhaal als algebraïsch raadsel maken!

Het is een goede oefening om bij herhaling aan het begin van de dag ‘Raad mijn getal’-vergelijkingen te maken. Na het antwoord hoofdrekenend te hebben gevonden, schrijven de kinderen iedere dag zo’n opgave met zogenaamde ‘eierschalen’ op.
Voorbeeld: “Neem +9; haal daar -7 af; trek de wortel; verdubbel; doe daar +1 bij. Wat is de uitkomst?”

Laat de kinderen ook eens om de beurt thuis zo’n opgave bedenken om de volgende dag aan de klas op te geven.
Het is een goede oefening ook eens opgaven te laten bedenken, waarbij je van het gevonden antwoord uitgaat en bij het begingetal uitkomt. Dus: “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er …(enzovoort) en nu is de uitkomst 71”. En dan vanuit die 7 door middel van terug-redeneren het begingetal vinden.

298

Bij dergelijke opgaven wordt op de ‘heenweg’ de volgorde van de bewerkingen door steeds groter wordende ‘eierschalen’ aangegeven, die de kinderen daarna door haakjes leren vervangen. Bij het formuleren van de ‘terugweg’ worden de ‘eierschalen’ of haakjes er stuk voor stuk afgepeld. Iedere bewerking blijkt over te gaan in zijn inverse.
Door regelmatig oefenen kunnen de kinderen zowel vanuit het bekende als vanuit de onbekende vergelijkingen opschrijven en oplossen.

Zo is in de zevende klas de vergelijking met een onbekende geïntroduceerd. Juist op deze leeftijd zoeken de kinderen innerlijk naar nieuwe evenwichten, daar sluit dit rekenen met vergelijkingen prachtig bij aan. Het principe wordt uitgebreid in de jaren erna. Naast het oplossen van lastige lineaire vergelijkingen met één onbekende, wordt in de achtste klas ook gewerkt aan het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Waar dit gebeurt is het zinvol dit voort te laten komen uit het (hoofd)rekenen. Daarbij zou de volgende weg bewandeld kunnen worden:
Voorbeeld: “Ik heb twee getallen in gedachte, samen zijn ze 12. Welke kunnen dat zijn?”
Al snel wordt ontdekt dat er hier oneindig veel mogelijkheden bestaan. We kunnen een aantal daarvan in een tabel noteren. Noemen we die getallen x en y dan ziet zo’n tabel er zo uit:

Om welke twee getallen het gaat is hier niet zonder meer duidelijk. Dat wordt anders wanneer nog een tweede kenmerk gegeven is. Bijvoorbeeld, dat het verschil van beide getallen 6 is. Dan kan ook van dit verband een tabel gemaakt worden:

299

300

Vergelijken we nu beide tabellen dan levert dat voor (x,y) het getallenpaar (9,3) op, dat aan beide voorwaarden voldoet. Op dezelfde wijze kunnen nu ook praktische problemen worden onderzocht, waarbij twee eigenschappen of voorwaarden aan de onbekenden zijn verbonden.
Voorbeeld: Roel is jarig en heeft de hele klas uitgenodigd voor zijn feest. De klasgenoten besluiten gezamenlijk een cadeau te geven; ze hebben € 60,- bij elkaar. Jesse kocht voor hem drie single-C.D.’s en drie fijnschrijvers. Een C.D. was drie keer zo duur als een fijnschrijver. Wat kosten de C.D.’s en de fijnschrijvers per stuk? Probeer de vraag in een vergelijking weer te geven.

Later, in de bovenbouw, kunnen hier de meer algoritmisch verlopende
oplossingswijzen bij aansluiten.

7.4 Meetkunde

“Juf, wanneer gaan we weer van die mooie tekeningen maken met passers en zo?” De leerstof had in de zesde klas duidelijk een snaar geraakt. De met passer en liniaal geconstrueerde en fraai gekleurde tekeningen sierden toen extra lang de gang boven de kapstokken. Maar net als bij andere vak- en vormings-gebieden moet er in de meetkundelessen van de zevende klas een volgende stap gezet worden.

In het jaar daarvoor sloten de meetkundige constructies nog zo prachtig aan bij de oefeningen die al uit het vormtekenen bekend waren. Daar werd ontluikende kennis nog geheel ingebed in schoonheid. ‘Schoonheid’, het motto van de belevingswereld van de kinderen in de onderbouw, wordt nu steeds vaker aangevuld met het motto uit de bovenbouw: ‘waarheid’. Daarin wordt het eigen denken steeds meer aangesproken.
In het reken-wiskundeonderwijs en dus ook in de meetkunde worden de kinderen nu tot ‘denken’ uitgedaagd. Denken en beleven groeien in de puberteit uit elkaar. Een worsteling speelt zich af in het overbruggen van schoonheid en waarheid, van hetgeen schijnbaar in kunst en wetenschap gescheiden leeft.

Aan het eind van de schooltijd, in de twaalfde klas, is het zoeken naar
‘wederverbinding’ (reliare) de leidraad. Voor wie zo de puberteit overwint, gelden de woorden van Goethe:

“Wer Kunst und Wissenschaft beide hat, der hat auch religion.
Doch wer nur einst der beiden hat, der habe Religion.”

Uitbreiding van constructies en kenmerken van figuren

De leerstof uit de geometrieperiode van de zesde klas zal weer gewekt moeten worden. Om het werken met passer en liniaal weer ‘in de vingers’ te krijgen, kan begonnen worden met een opdracht als:

• Construeer een cirkel met daarin een zeshoek en een gelijkbenige driehoek, die allebei de hoekpunten op de cirkelomtrek hebben. Maak je constructie duidelijk door het inkleuren. Verbind in nog zo’n figuur ook de hoekpunten van de figuren met elkaar. Welke andere meetkundige figuren zijn hier ontstaan?

301

Er zal met behulp van de vijf grondconstructies, die geleerd zijn in de zesde klas, op zoek gegaan worden naar de lijnen met bijzondere eigenschappen in de driehoek: middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen (of bissectrices) en hoogtelijnen.

Daarna gaan we met de kinderen ook op onderzoek uit naar de bijzondere eigenschappen van de snijpunten van deze lijnen: het zwaartepunt, het middelpunt van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.

“Op stevig karton gaan we een driehoek construeren met daarin de zwaartelijnen duidelijk aangegeven.” Op de vraag “Hoe groot moet de driehoek worden?”, wil ik geen antwoord geven en het gevolg is een scala van verschillende driehoeken, pietepeuterig klein en heel groot! Enkele fraaie exemplaren hing ik aan een punt op. “Loopt die zwaartelijn uit de punt nu echt verticaal? Of lijkt dat maar zo?”. Dat controleerden we door er een schietlood naast te houden. “Juf, als ik mijn passer onder het zwaartepunt zet blijft de driehoek balanceren. Net een weegschaal”.
De kinderen waren verrast toen dat bij tal van driehoeken ook zo bleek te zijn. Maar de driehoek van Peter viel steeds op de grond, ook als Marieke zijn driehoek op haar passer probeerde. Omdat de natuurkundeperiode, waarin we ook hefbomen onderzochten, al geweest was, begreep hij dat er iets niet klopte en samen met anderen ontdekte hij, dat hij geen zwaartelijnen maar hoogtelijnen getekend had. Dat euvel was snel verholpen!

302

Bij zulke constructieopdrachten kun je aan kinderen de vraag stellen: “Beschrijf in woorden, waarom je denkt dat met het snijpunt van de middelloodlijnen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gevonden”.

“Welke figuren hebben ook een omgeschreven cirkel?” In groepjes kunnen de kinderen zo’n opdracht uitvoeren, samen weet je immers meer dan alleen.

Nieuw in de zevende klas is de constructie van een rechte door een punt evenwijdig aan een bestaande rechte.
Bij alle opdrachten in de zevende klas is het goed om meteen een notatie in te voeren: hoofdletters voor punt (hoekpunten), kleine letters voor zijden en rechten (l, m, n, …) en tekens en aanduidingen voor gelijke lijnstukken, voor evenwijdigheid //, enzovoort.
Nieuwe opdrachten worden nu op de volgende wijze gegeven:

• Teken in je schrift een willekeurige rechte l en een punt A erbuiten.
• Trek nu een lijn m door A die l snijdt en noem het snijpunt van m en l: A1.
• Construeer een cirkel met middelpunt A en noem het snijpunt met l B’.
• Breng hoek x tussen m en l, met behulp van de cirkel met middelpunt A1, over naar punt A op m.
• Trek door het op de nieuwe cirkelboog ontstane punt B en A een lijn n.
• Nu geldt: n//l.

Op een werkblad kunnen we nu een aantal toepassingsvragen stellen, waarbij weer de bekende constructies gebruikt worden:

303

304

Congruentie

Twee figuren die elkaar precies kunnen bedekken noemen we congruent. In de zevende klas worden congruentiekenmerken van driehoeken onderzocht. In de zesde klas is al geoefend met het construeren van driehoeken, waarbij drie gegevens bekend waren. Nadat de congruentie kenmerken ZZZ, ZHZ en HZH, onderzocht en ontdekt zijn, kan er een opdracht gesteld worden zoals hierna in het doorkijkje beschreven is.

Vanmorgen gaf ik als opdracht: “Construeer een driehoek ABC met de volgende gegevensn: AB = 6, AC = 4 en hoek B = 30°
Even later bleekt dat niet iedereen dezelfde oplossing vond. “Wat nu, jongens?!”

Joris die niets liever doet dan zijn passer steeds weer rond te laten draaien, ontdekte, vol verbazing, twee mogelijkheden in dezelfde tekening! “Kan dat altijd?”, vroeg Iris. Dat besloten we te onderzoeken. Met elkaar kwamen we snel tot de conclusie dat je een scherpe en een stompe hoek A kon construeren.

De voldoening is groot als de kinderen na dit conflict zelf het kenmerk ZZR vinden.
Het is belangrijk regelmatig de gelegenheid te bieden op eigen kracht tot ontdekkingen te komen. Ook kunnen de kinderen voor elkaar opgaven bedenken in de vorm van allerlei figuren, waar congruente driehoeken in te vinden of te herkennen zijn:

305

De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden

“Vandaag gaan we een beroemde stelling onderzoeken! Construeer twee congruente driehoeken. Eén in het schrift en één op een los tekenvel.” Daarna wordt de laatste uitgeknipt en moeten de overeenkomstige hoeken in beide driehoeken gelijk gekleurd worden. Van de losse driehoek knippen we de gekleurde hoeken af en leggen die rondom een hoekpunt in het schrift (hoeken van dezelfde kleur komen op elkaar te liggen). Zo ontdekten we dat de som van de hoeken 180 graden is.

Bijzondere constructies

Zevendeklassers leren ook de constructie van de vijfhoek en de gulden snede uit te voeren. Kinderen raken onder de indruk wanneer ze, samen in een aantal kunst- en geschiedenisboeken kijkend, ontdekken hoe men al in de Oudheid en Renaissance in de bouwkunde en schilderkunst van deze bijzondere constructies gebruik maakte.

Naast het constructiewerk kunnen ook vormtekeningen gemaakt worden. Een goede oefening is: in een vijfhoek, in één doorgaande beweging, metamorfoses van de vijfster maken.

Ten slotte zal het volbrengen van de moeilijke tekening met vlechtwerk in de vijfhoek de kinderen een enorme voldoening kunnen geven.

Translatie, Spiegeling, Rotatie, vermenigvuldigen van figuren in klas 8

Wat er gebeurt bij translatie, spiegeling en rotatie kennen de kinderen al vanuit het vormtekenen in de lagere klassen. Nu leren ze deze wetmatigheden door constructie kennen. Daarbij verhoogt het aangeven in kleur van de beweging het bewustzijn ervan.

306

Translatie:

Spiegeling in een lijn of spiegelas en spiegeling in een punt

In de natuurkundeperiode is er veel geëxperimenteerd met spiegels. De proeven die daar gedaan zijn, kunnen nog eens in de herinnering worden geroepen. Want hoe zat het ook weer met de spiegeling van een voorwerp in twee onder een hoek van 90° staande spiegels? Kan je dat nu ook construeren?

Rotatie

Rotatie oefenen we met verschillende rotatie hoeken. Wat ontdekken de kinderen bij een rotatie van bijvoorbeeld 180°? en 360°? Wat gebeurt er als het rotatiepunt binnen de figuur ligt?
Er wordt ook gesproken over: ‘draaisymmetrie’. De kinderen kunnen zelf onderzoeken wat dat kan betekenen. Ook een werkblad met bijzondere figuren, waar rotaties en draaisymmetrie in te ontdekken zijn is een goede oefening voor het voorstellingsvermogen.
De relatie tussen rotatie en spiegeling kan door de kinderen gevonden worden door zich bij bepaalde opgaven af te vragen of bijvoorbeeld de rotatie ook door spiegelen bereikt kan worden.

307

Vermenigvuldigen van figuren

In de achtste klas breiden we de translaties uit met de vermenigvuldiging vanuit een punt. Het principe van de ‘gelijkvormigheid’ wordt daaruit ontwikkeld. Het rekenwerk met verhoudingen wordt meteen weer opgepakt. Bijvoorbeeld met vragen als: “Wat gebeurt er met de oppervlakte van een driehoek die vermenigvuldigd wordt met factor 3?”

Stelling van Pythagoras

In de vijfde klas, waar de leerlingen ontdekten hoe de Egyptenaren bij het landmeten met het twaalf-knopentouw rechte hoeken uitzetten, is er impliciet met de stelling kennis gemaakt. Er bestaan al eeuwenlang vele schitterende meetkundige bewijzen voor deze stelling.
Op verschillende manieren kunnen we met de kinderen tot praktische bewijsvoering (ontdekking) van de Stelling van Pythagoras komen.
Om te beginnen zou je vanuit de gelijkbenige rechthoekige driehoek kunnen beginnen. Na het tekenen van het principe kan met behulp van schaar en gekleurd papier, door passen en meten, aangetoond worden, dat de oppervlakte van het grote vierkant net zo groot is als de oppervlakte van de twee kleine vierkanten samen.

308

Een tweede voorbeeld: we kijken nog eens terug naar de periode, waarin we de kwadraten van de getallen hebben leren kennen in combinatie met de oppervlakte formule voor een vierkant.
Laat de kinderen dan een rechthoekige driehoek construeren met zijden van 5, 4 en 3 cm. Op iedere zijde construeren ze een vierkant en onderzoeken nu de oppervlakte van die vierkanten op de volgende manier:

De kinderen kunnen op zoek gaan naar andere rechthoekige driehoeken met zulke bijzondere drietallen als rechthoekszijden. (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8,15,17), enzovoort.

Ten slotte kunnen we ook voor een willekeurige rechthoekige driehoek de stelling bewijzen. Eén van de mogelijkheden is bijvoorbeeld het ‘molenwieken’-bewijs.

Wat gedaan, is wordt weer getekend (of geplakt). Wat we ontdekt hebben, wordt weer eerst in woorden, dan in begrippen en tenslotte in letters geformuleerd, zoals we dat ook bij ‘formules’ (zie H 7.3) tegen kwamen. Zo komen we ook tot de alom bekende vorm a2 + b2 = c2 voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. Juist een verscheidenheid aan bewijzen toont hier de speelse en creatieve kant van de wiskunde.
In het toepassen kunnen we de Stelling van Pythagoras ook in allerlei problemen uit het dagelijks leven tegenkomen. Een werkblad als voorbeeld:

309

310

Puntverzamelingen in het vlak

Op zoek naar figuren, bestaande uit punten die allen aan dezelfde eigenschap voldoen, gaan we met de achtsteklassers deze ochtend eerst naar de zaal.

Behalve bij Elise, fluisterde ik alle kinderen in het oor dat ze op een afstand van 3 meter van Elise moesten gaan staan. Na wat verwarring en allerlei beweging ontstaat er een cirkel met een straal van 3 meter en Elise als middelpunt. Samen vormen de kinderen een verzameling punten waarvan geldt dat de afstand tot Elise 3 meter bedraagt.
Pascal en Edu zijn nu twee vaste punten en mogen een plek in de zaal zoeken om te gaan staan. Nu vraag ik de anderen de verzameling punten te vormen met gelijke afstand tot Pascal en Edu. Een aantal kinderen vloog natuurlijk naar het punt tussen Pascal en Edu in, maar snel hadden andere kinderen in de gaten dat dat niet nodig was om aan de voorwaarde te voldoen. Zo ontstond de middelloodlijn (van kinderen) van het lijnstuk tussen P én E.
Eenmaal in de klas, gingen we opzoek naar een notatie, die zo kort mogelijk zou zijn in woorden en met eigen tekens. Bij de cirkel werd dat bijvoorbeeld: {P I PM=3}.

Uiteraard worden de constructies behorend bij deze opdrachten, ook in het schrift uitgevoerd. Daarna zoeken de kinderen nog door constructie naar de middenparallel van twee gegeven evenwijdige rechten en naar de bissectrice van twee gegeven elkaar snijdende rechten.
Ook maken ze tekeningen van doorsnijdingen van meer dan één verzameling.

In deze periode vinden we ook als puntverzameling de ellips, als de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is en de hyperbool, lemniscaat, cirkels van Apollonius. Deze worden gevonden door een

311

constant verschil, product en quotiënt. Het is voor de leerlingen altijd verrassend de invloed van de vier basisbewerkingen te ervaren in deze constructies.
Ten slotte besteden we aandacht aan de parabool, waarbij alle punten even ver van een vast punt en een rechte lijn liggen.

Voorafgaand aan deze wiskundeperiode hebben de kinderen in de afgelopen jaren allerlei ervaring opgedaan met het ‘bepalen van plaats’. Niet alleen in andere perioden, zoals bijvoorbeeld aardrijkskunde (sterrenkunde) en natuurkunde, maar ook in de euritmielessen en wellicht tijdens nachtelijke speurtochten in de werkweek van de zevende of achtste klas. Daarbij bleek, dat diegene, die zich ruimtelijk goed wist te oriënteren en wiens voorstellingsvermogen goed ontwikkeld was, in staat was zich ‘naar eigen inzicht’ vrij te bewegen op weg naar een vast punt (doel).
Nu de leerlingen in de achtste klas volop in de puberteit komen, zien we verstarring en onbeweeglijkheid samen gaan met het ontstaan van beweeglijkheid in het denken. Het bijzondere van de meetkundelessen in die leeftijdsfase is, dat de kinderen ervaren hoe beweging zich verbindt met een plaats op aarde en dan vastligt. Alleen in het denken komen de figuren weer in beweging.
In deze fase kan het noteren van plaatsbepalingen uitgebreid worden. Verbonden aan de getallenwereld en de getallenlijn zal de meetkundige plaats van een punt als coördinatenpaar in het platte vlak op natuurlijke wijze zijn intrede doen.

Platonische ruimtelichamen

Aan het einde van de achtste klas maken de kinderen van gekleurd karton de Platonische ruimtelichamen. Misschien worden ze eerst in klei geboetseerd, waarna ze zelf op onderzoek uitgaan naar hoe een uitslag in een bouwtekening eruit zal zien (waar zullen de plakstroken moeten komen?!). Daarna kunnen wetmatigheden in een schema worden weergegeven.

312

Een introductie ter voorbereiding op de ruimtemeetkunde van de negende klas, die de leerlingen nooit meer vergeten!

7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten

Reken-wiskundige activiteiten kunnen in allerlei perioden aan bod komen, door de hele schooltijd heen. Bijvoorbeeld in relatie tot een actualiteit, een uitstapje een jaarfeest, of een door een leerling gebroken ruit, waarvan het herstellen betaald moet worden. In die gevallen passen leerlingen hun reken-wiskundige bagage in levensechte situaties toe. We noemen dat: ‘Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (g.w.a)’. Ook rekenwerkuren kunnen door g.w.a.’s verlevendigd worden, er het saaie oefenwerk goeddeels vervangen en duidelijk maken dat je rekenen praktisch kunt gebruiken. Elke school zou op rekenkaarten en werkbladen een aantal g.w.a.’s kunnen verzamelen. Zoiets zou in geval van vervanging ook heel handig zijn. En het komt de gecijferdheid van leerlingen ten goede als zich in elke klas een bak met zulke kaarten, aangepast aan de leeftijd, zou bevinden.

313

Suggesties voor g.w.a’s

voorbeeld 1
Uit de sterrenkundeperiode in de zevende klas: ‘De zonnewijzer’.

voorbeeld 2
Uit de Romeinse geschiedenisperiode: ‘De Peuteringerkaart’.
De Peuteringerkaart is een kopie van een Romeinse kaart uit de 12e eeuw. De afstanden tussen de toenmalige Romeinse steden zijn genoteerd in Romeinse cijfers, die het aantal leuga’s weergeven. De leuga is een Gallische lengtemaat en komt overeen met ca 2220 meter.

314

Gezamenlijk is er gekeken naar de afstand tussen NOVIOMAGI (Nijmegen) en CEUCLIUM (Cuyk). Die is volgens de Peuteringerkaart III leuga’s. Omgerekend dus 3 x 2220 = 6660 meter. Bij benadering klopte dit aardig toen we het vergeleken met de ANWB kaart.

“Pak een grote passer en probeer nu zelf te ontdekken welke plaats bedoeld kan zijn met de naam BLARIACO. Deze ligt aan de Maas en is XXV leuga’s verwijderd van NOVIOMAGI. Krijg je zelf geen ‘brain wave’ gebruik dan een of meer van de onderstaande suggesties.”
(suggestie 1: Denk erover na wat je met een passer allemaal kunt DOEN.)
(suggestie 2: Gebruik een wegenkaart, het centrum van Nijmegen en een grote passer.)
(suggestie 3: Hou rekening met de schaal op de kaart en het verband tussen leuga’s en kilometers.)

voorbeeld 3

Na de weerkundeperiode: ‘Weer of geen weer’.

Lees elke morgen om 8.25 uur de buitentemperatuur af.
Noteer de uitkomst in een tabel, vergeet de datum niet.
Zet aan het eind van de maand je waarnemingen uit in een lijndiagram.
En beantwoord dan de volgende vragen:

• Wat deden we ook al weer op de warmste dag van deze maand?
• Tussen welke dagen was het temperatuursverschil het grootst? Herinner ‘
nog iets over het weer op die dagen? ]e
• … (bedenk zelf nog iets)

voorbeeld 4
Tijdens of na de mineralogieperiode: ‘Kristalvormen’.

315

Verschillende kristalvormen worden onderzocht en getekend, waarbij de specifieke meetkundige vormen tot ordening en herkenning leiden.

voorbeeld 5
Vanuit het waarnemend tekenen in de zevende klas: ‘Doordringingen’.

In het leerplan tekenen van de zevende klas wordt naast waarnemend tekenen speciaal ‘doordringingen’ genoemd. Naast het tekenen van ronde, rechte,
kubische, … gebruiksvoorwerpen, tekenen de kinderen juist stereometrische figuren met doordringingen en schaduwwerking.
Dergelijke tekeningen kunnen aanleiding zijn tot het volgende vraagstuk:
Je ziet hieronder twee doordringingen, een ronde piramide met een vlak erin en een cilinder met een balk erdoor.
Teken wat je zou zien als deze dingen over 90° gedraaid worden.
Kies zelf een voorwerp om te tekenen. Laat er zo mogelijk iets doorheen steken.

Zie Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, Uitverkocht.  (Scan via vspedagogie@gmail.com)

316

voorbeeld 6
G.w.a’s in het rekenwerkuur.
Hieronder volgen twee g.w.a’s uit een rekenwerkuur. Deze opdrachten zijn in groepsverband of individueel te maken.

‘Welke offerte?’
We hebben een glazenwasser nodig. Twee glazenwassers leverden een offerte in op school:

Offerte I.
Voor alle ramen geldt de prijs van € 1,70 per m2.

Offerte II.
Ramen lager dan drie meter kosten € 1,50 per m2 . Voor ramen boven de drie-metergrens geldt een prijs van € 2,10 per m2

Welke glazenwasser raden jullie aan? Waarom?

‘Schilderwerk’

Alle binnendeuren van onze school moeten twee keer geschilderd worden. Uit een pot verf van 0,75 liter kunnen tien vierkante meters beschilderd worden. Hoeveel liter verf moeten we inkopen? Hoeveel bussen verf zijn er dan nodig? Zoek dat voor ons uit.

Het voordeel van de g.w.a.’s in de rekenwerkuren is dat je als leerkracht wat meer tijd hebt om te zien hoe leerlingen met de opdracht omgaan en hoe ze tot hun antwoorden komen. Zie hier een voorbeeld hoe het een leerkracht daarbij verging.

Bij de opdracht zoals hierboven beschreven, liep ik langs de tafel van Niels en zag hoe hij met uiterste nauwgezetheid alle deuren die hij zich in de school kon voorstellen, naast elkaar getekend had. “Juf mag ik gaan kijken of er achter het kamertje ook nog een deur is?” Dat mocht en juist toen Niels terugkwam, liet Hanne zien dat ze het antwoord wist. Ik schrok van een onooglijk blaadje met wat verspreide getallen en in het midden het berekende antwoord triomfantelijk omcirkeld.
Op dat moment besloot ik om zowel voor Hanne als voor Niels een speciaal werkblad te maken voor volgende week. Voor Niels zal er een opdracht komen, waarbij zijn voorstellingsvermogen toereikend zou zijn om ook een aantal stappen mentaal te kunnen maken. Voor Hanne ga ik op zoek naar een context, waarbij de g.w.a. zodanig verborgen zit, dat zij een breder kader dan getallengoochelarij nodig heeft om tot een oplossing te komen. Zij bleek namelijk niet te kunnen terugvertellen hoe ze aan haar ‘verf-antwoord’ gekomen was.

317

Peilingen

Als we in de klas met het rekenen bezig zijn, krijgen we een eerste indruk van hoe de kinderen de leerstof in zich opnemen. Wanneer we hier naderhand op terugkijken, kan het duidelijk worden, hoe het programma voor de volgende dagen eruit zou moeten zien. Als we het schriftelijk werk van de kinderen bezien, is dit een aanvulling op ons beeld van hoe het ervoor staat. Zo ontstaat meer en meer het zicht op de vaardigheden van ieder kind. Als de afronding van een periode nadert maken we de balans op en bekijken we de vrucht van de tevoren uitgezette bakens. Door goed waar te nemen hoe de kinderen met het rekenen bezig zijn, kan het beeld van de zich ontwikkelende vermogens steeds duidelijker worden. Daarbij kunnen we ook het sociale proces betrekken; drijft het kind mee op de golven van het klasse-gebeuren of is er een eigen richtinggevende activiteit? Hoe het kind rekent, is minstens zo belangrijk als de vraag of het antwoord op de som wel of niet juist is. Is een optelling gemaakt door doortellen of verkort tellen?

Als we niet geheel zeker van de zaak zijn kunnen we een peiling houden als aanvulling op onze eigen waarnemingen. Zo’n peiling is bedoeld voor onszelf. In de hogere klassen is een peiling ook bedoeld voor de leerlingen zelf; het is belangrijk dat zij weten wat ze wel en niet kunnen. Dan groeit ook de verantwoordelijkheid voor het eigen werk.

Peilingen kunnen zowel mondeling als schriftelijk plaatsvinden. In een lagere klas zal een peiling een ander karakter hebben dan in een hogere klas. In een eerste klas laten we bijvoorbeeld steeds één kind enkele cijfers tekenen om te zien of de vorm en schrijfwijze goed verankerd zijn. Een dergelijke peiling vindt eigenlijk terloops plaats.
In de derde klas laten de kinderen de tafels individueel horen, ook een vorm van peiling. Ditzelfde geldt ook voor de vraag; vertel eens precies hoe jij 35 en 27 bij elkaar optelt, hoe je ontdekt hebt uit welke stambreuken ^ bestaat. Het laten verwoorden van rekenhandelingen brengt ons heel dicht bij het stadium waarin het kind zich op dat moment bevindt. Het elkaar laten horen van een oplossing geeft ons het nodige inzicht maar is tegelijkertijd zeer stimulerend voor anderen.
Mogelijkheden voor een peiling in een lagere klas:

• Getallendictee.
• Zoveel mogelijk sommen maken met het antwoord 12 in verschillende bewerkingen.
• Hoeveelheden schatten.
Deze opgaven komen niet uit de lucht vallen, ze zijn al eerder mondeling of schriftelijk beoefend.

In een hogere klas zal een periode vaak met een peiling worden afgesloten. De kinderen zijn hier dan al op voorbereid. De peiling zou kunnen bestaan uit verschillende soorten opgaven; open en gesloten opdrachten, een verhaal bedenken bij een opgave, zo mogelijk een kunstzinnige uitwerking, opgaven verschillend van niveau. Om een beeld te krijgen van de individuele prestaties van de leerlingen moet er zelfstandig aan deze peiling worden gewerkt.

In de beoordeling is het van belang dat van ieder kind duidelijk wordt waar nog aan gewerkt moet worden. We kunnen de nadruk leggen op hetgeen goed gemaakt is door aan te geven; zoveel goed van de zoveel. De ervaring leert dat kinderen dit voor zichzelf vertalen in voldoende of onvoldoende. Soms vragen ze er ook naar. Het is belangrijk dat ieder kind een reëel beeld heeft van de eigen prestatie. Elke illusie daaromtrent dient dus voorkomen te worden. Aan de andere kant zou een peiling het zelfvertrouwen moeten versterken in de zin van: dit heb ik geleerd, dit beheers ik nu, daar ga ik verder aan werken. Met een dergelijke vaststelling is de periode afgerond.

318

Hoe gaan we om met de resultaten van de peiling? Om te beginnen leggen we de te voren opgestelde bakens ernaast. Wat wilden we bereiken toen de periode een aanvang nam? Wat is daar nu van terecht gekomen? Welke kinderen hadden er weinig moeite mee en vroegen om meer? Welke kinderen hadden er voortdurend moeite mee? Zijn er kinderen die afhaakten? Konden ze daarna de draad weer oppakken? Welk soort hulp hadden ze daarbij nodig?

Vervolgens kunnen we de resultaten vergelijken met die van een vorige peiling. Dan kunnen we zien welke kinderen zich, met het verwerken van de leerstof, in een stijgende lijn bevinden, welke kinderen in toenemende mate moeite hebben met de leerstof en wellicht een andere aanpak behoeven. De resultaten zouden kunnen worden vergeleken met die van een andere klas. Daarvoor kunnen we te rade gaan bij een collega in een andere school die dezelfde klas heeft. Wellicht kunnen de leerkrachten in de eigen school hun ervaringen vergelijken. Ook kan men zich op de hoogte stellen van de resultaten van het PPON, een door het CITO uitgevoerde ‘periodieke peiling van het onderwijsniveau’. Alle leer- en vormingsgebieden van het basisonderwijs komen in dit onderzoek aan de orde. In de publicaties van het CITO kan men een beeld krijgen van het onderwijsniveau in Nederlandse scholen. Met opgaven en resultaten zou men in (met?) de eigen klas een peiling kunnen organiseren. En een PPON-publicatie geeft alle aanleiding om met de collega’s de vraag te bediscussiëren: Wat willen wij dat de kinderen leren?

Ook geeft een peiling ons inzicht in de werkzaamheid van onze eigen didactische werkwijze. Daarvoor hoeven we er geen schoolgemiddelde naast te leggen. Welke onderdelen van de leerstof zijn door vrijwel alle kinderen goed verwerkt en met welke onderdelen hadden veel kinderen nog moeite? Het is ook aardig een peiling af te sluiten met de vraag: “Wat heb je het meest van deze periode geleerd?” Dit kan interessante informatie opleveren. Het antwoord laat zien wat de kinderen er naar hun beleving aan hebben gehad.
Wie in de periode al goed heeft waargenomen, komt meestal niet meer voor verrassingen te staan. Of toch, er zijn kinderen die bij een gelegenheid als een peiling extra op scherp staan en er zijn kinderen die juist dan ietwat geblokkeerd zijn. Iets om op te letten. Alhoewel de resultaten in het getuigschrift verwerkt worden, moeten we er niet alles aan ophangen. Door de bril van de peiling heen kijken we weer naar het kind en tegelijk naar hetgeen in de periode is doorgemaakt.

319

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

7-jaarsfasen
7e klas ontdekkingsreizen
algebra en rekenen in 7e en 8e klas
causaliteit en oordeelsvermogen
CITO-toets
geschiedenis
Leonardo da Vinci
mineralogieperiode
natuurkunde klas 8
Platonische lichamen
Sterrenkunde 7e klas
zonnewijzer
weersperiode

VRIJESCHOOL in beeldmeetkundevormen
tekenen 7e klas

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [6] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.
Rekenenalle artikelen

.

2458

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 6

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 6: Reken-wiskundewerk vanaf klas 4

6.1 Decimale breuken
6.2 De wereld in verhoudingen
6.3 Procenten
6.4 Geometrie
Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken

Hier en daar is sprake van geld, dus van de gulden en de bijbehorende munten. Ik heb daar zoveel mogelijk euro’s van gemaakt. Waar het het voorbeeld onduidelijker zou maken, heb ik de gulden laten staan.

6. 1 Decimale breuken

ORIËNTATIE OP HET NIEUWE TERREIN

Wat zijn decimale breuken?

Decimale breuken worden ook wel eens aangeduid met ‘kommagetallen’. Daarmee is feitelijk het essentiële ervan aangegeven, zij het dat de bijbehorende positionele schrijfwijze als vanzelfsprekend wordt aangenomen. De uitvinding van de decimale breuken dateert van 1585, toen Simon Stevin zijn vondst publiceerde in het boekje De thiende. In feite was dat boekje een pleidooi voor het invoeren van de tientallige (positionele) schrijfwijze van de getallen. Met die getallen zou het rekenwerk (lees cijferwerk) namelijk heel wat gemakkelijker gaan dan met de gebruikelijke Romeinse cijfers en gewone breuken.
Met decimale breuken kun je dus gemakkelijker rekenen. Wie kan cijferen met gehele getallen, kan het eigenlijk ook met (decimale) breuken. Die gedragen zich in feite bij het cijferen net als gehele getallen. Slechts de rekenregel die het aantal cijfers achter de komma bepaalt, dient erbij in acht genomen te worden.
Vergelijk de berekening 23¾ x 5 ~ maar eens met 23,75 x 5,5. (Komt bijvoorbeeld voor in het geval je van een stukje multiplex van 23,75 cm x 5,5 cm de prijs wilt weten.)
Hoewel de kommagetallen eerst veel weerstand opriepen bij de gebruikers (kooplieden bijvoorbeeld, die ineens allerlei mogelijkheden voor vervalsingen zagen), zijn ze al lang niet meer uit ons dagelijks leven weg te denken. In het bijzonder waar gemeten wordt of met geldbedragen wordt omgegaan, treden kommagetallen op. Dit betekent onder andere dat decimale breuken als meetgetallen naar voren komen. Wie weet dat meten altijd neerkomt op een benadering en tevens inzicht heeft in de schrijfwijze van kommagetallen, kan aan de genoteerde meetgetallen iets aflezen over de nauwkeurigheid van de meting. Zo zegt bijvoorbeeld een afstandsmeting van 60,25 meter, dat er tot op de centimeter nauwkeurig gemeten is.
Het onderwerp decimale breuken staat niet op zichzelf. Het verband met ‘gewone’ breuken is natuurlijk duidelijk. Eigenlijk geldt dit ook voor de verwantschap met ‘procenten’ en ‘verhoudingen’. Goed beschouwd kan het laatstgenoemde leerstofgebied gezien worden als overkoepeling van breuken, kommagetallen en procenten.
Neem de breuk ¼. Als kommagetal genoteerd is het 0,25. En in procenten uitgedrukt: 25%. Wat betekent 25%? Van oudsher betekent 25% niet anders dan 25 per honderd, ofwel  25/100   = 0,25. We zijn rond.

225

Je kunt je afvragen waarom er na de uitvinding van de kommagetallen nog breuken bestaan. Er zijn ook in het (recentere) verleden stemmen van rekendidactici opgegaan, om het rekenonderwijs op de basisschool te beperken tot kommagetallen. Het is er niet van gekomen en wellicht gelukkig maar.
Behalve het feit dat kommagetallen de aandacht sterk op het cijferen richten, zijn er ook een paar beperkingen. Neem maar het geval dat je bij een verdeling tussen drie personen niet over  1/3     maar over zoiets als 0,333… beschikt. Er zijn maar weinig gewone breuken die zich zonder meer laten omzetten in kommagetallen. Bijvoorbeeld ½  ¼  3/5   7/25  en dergelijke. Het zijn de (niet meer te vereenvoudigen) breuken die louter factoren 2 en/of 5 in de noemer hebben. Voor alle andere gevallen moet men zich behelpen met een afronding 1/6    = 0,167 of afbreking 1/6    ~ 0,166. In het dagelijks gebruik van breuken zou dit trouwens weinig problemen veroorzaken. Overigens levert dit onderdeel, het omzetten van gewone breuken in kommagetallen, een interessant reken-wiskundig onderzoeksgebied voor leerlingen op.

Decimale breuken in de vijfde klas (en verder)

In de bovenstaande inleiding is het belang van het onderwerp aangegeven. De maatschappelijke relevantie en reken-wiskundige mogelijkheden zijn evident. Maar ook werden reeds de belangrijke aspecten van het leerstofgebied naar voren gebracht. We komen tot de volgenden aandachtspunten voor het onderwijs over decimale breuken in de vijfde klas:

Elementaire kennis en vaardigheden

Men kan daarbij onder meer denken aan:

• Een half = 1/2    = 5/10 = 0,5 = (50%)
• 0,25 = 25/100  = 25% = ¼ = een kwart.
• 0,125 = hondervijfentwintig duizendsten.
• De plaatswaarde van de cijfers in een kommagetal.
• Het idee van nauwkeurigheid in verband met het aantal cijfers achter de komma.

Cijfervaardigheid

Dit betreft de basiskennis en -vaardigheid die te maken heeft met de techniek van de rekenprocedures.

Daarbij valt te denken aan vragen als:

• Hoe reken ik uit 0,125 + 3,5?
• Hoe 2,25 x 3,75?
. Hoe 3,75: 5?
• Hoe 3,25 : 0,25?
• Tot hoever zet ik de staartdeling, achter de komma, in een bepaalde situatie voort?
• Zaag een plank van 2,25 m in 7 gelijke stukken. Hoe lang wordt elk stuk?
• Hoe zet ik eenvoudige breuken om in decimale breuken?
• Waarom is 10 x 12,25 =122,5? Waarom kan ik in dit geval beter zeggen dat het getal verschuift, en niet de komma?

226

227

Interessante reken- en wiskundige inzichten

Zoals bijvoorbeeld die van de wetmatigheden (eigenschappen, regelmaat, patronen), die bij het omzetten van gewone breuken naar kommagetallen, in zicht komen.

De toepassingsgebieden

Bijvoorbeeld op het gebied van geld. Omdat kinderen in het dagelijks leven veelvuldig met geld rekenen, biedt dit toepassingsgebied een goede mogelijkheid om het onderwerp decimale getallen te introduceren en het daarmee een concrete basis te geven op grond van eigen ervaring en beleving.
Bij het meten zijn decimale getallen essentieel. Een meetresultaat, uitgedrukt in een kommagetal (decimale breuk), geeft ook iets prijs van de nauwkeurigheid van de meting. Natuurlijk mogen daarbij de context van het meten en het metriek stelsel niet vergeten worden.
Er zijn op vele gebieden toepassingen te vinden van kommagetallen. Denk maar aan prijskaartjes, kassabonnen, reclamefolders, benzinepomptellers, sportrecords, afstandstabellen, windsnelheden, koerslijsten, wegwijzers, peilglazen, radiofrequenties, snelheidsmetingen, enzovoort. Het verdient sterke overweging om deze toepassingsgebieden van meet af aan te benutten, om het rekenen met kommagetallen voor de kinderen (een) ‘betekenis’ te geven.

Rudolf Steiner over decimale breuken

Rudolf Steiner geeft slechts aan dat je in de vierde klas al kan overgegaan op de decimale breuken. Verder is in de voordrachten niets te vinden wat direct met decimale breuken samenhangt.
In de vijfde klas wordt twaalf weken hoofdonderwijs ter beschikking gesteld. Er valt meer te doen dan alleen het meten en rekenen met kommagetallen. Ook de verbanden met gewone breuken en eenvoudige procenten (als aantal per honderd) worden, zo mogelijk ook in reële situaties, aan de orde gesteld.

WERKEN AAN ELEMENTAIRE INZICHTEN EN BASISVAARDIGHEDEN

Voorbeelden van onderwijsleersituaties met kommagetallen

Het onderwerp decimale breuken hoeft voor de leerlingen geen grote moeilijkheden op te leveren. Daartoe dient men de doelen die men zich stelt (zie H 9) gedifferentieerd op te vatten. De elementaire inzichten en basisvaardigheden op dit terrein, vertonen grote verwantschap met hetgeen eerder geleerd werd in het gebied van de gehele getallen. De bekendheid met geldbedragen en het rekenen ermee, kan goede steun bieden bij het verwerven van meer abstracte inzichten. Niet alle leerlingen hoeven alle leerdoelen op het hoogste niveau van abstractiete bereiken. Bij het ontwerpen van het eigen onderwijs kan men variëren (en dus differentiëren) op onder andere:

• Grootte van de getallen.
• Complexiteit van de berekeningen.
• Mate van concrete ondersteuning.
• Relatie met de toepassingen.
• Vereiste flexibiliteit.
• Keus tussen cijferen en (schattend) hoofdrekenen.

228

Ik ben begonnen met de vraag waar in het dagelijks leven decimale breuken te vinden zijn. De kinderen kwamen vrijwel direct met geld. Dit heb ik dan ook als ingang genomen voor deze periode: “Neem het bedrag f€ 125,45. Bedenk nu eens hoe we dit bedrag aan de kassa kunnen betalen.” Dan komen de kinderen met een antwoord als:

“Eén briefje van honderd, twee briefjes van tien, vijf 1-eurostukken, vier dubbeltjes en vijf cent.”
Er zijn er ook die wat anders hebben bedacht:

“Twee briefjes van vijftig en een briefje van twintig en een van vijf, en twee 20-cent stukken en 1 van 10 cent, dan krijg ik nog 5 cent terug.’.”

De mogelijkheden schrijven we in ons notitieblokje:

Op deze manier hebben we allerlei bedragen ‘ontleed’. Later kwamen we ertoe om een tabel te maken:

Op die manier kun je ook bedragen samenstellen. Dat geeft goed inzicht in de plaatswaarden. Voorafgaand aan de tabel deden we al oefeningen als:
“Schrijf in je notitieblok en reken steeds het volgende bedrag direct uit:

Eén gulden 1,00
Erbij drie dubbeltjes 1,30
Erbij een stuiver 1,35
Erbij een kwartje 1,60
Eraf tachtig cent 0,80
……..                       ……..

229

Daarna hebben we boodschappenlijstjes en optellingen gemaakt. Reclamefolders boden allerlei interessante mogelijkheden om ‘wens’boodschappenlijstjes samen te stellen. De kinderen mochten dat ook doen voor andere kinderen. Ik vroeg dan wel of ze het totale bedrag op de achterkant van het lijstje wilden noteren.
Interessant was ook de vraag om inkopen te doen voor een feestje: “Er komen zes vrienden en vriendinnen, dus zijn ze met zeven personen. Je hebt een bedrag van f 23,75 te besteden. Kijk maar op de folder wat het zal worden.”

Het viel me op dat de kinderen spontaan de komma’s onder elkaar schreven, dus hoefde ik daar nauwelijks bij stil te staan.

Móet je de komma’s onder elkaar opschrijven of is het alleen maar ‘handig’ om dat te doen? Dat laatste natuurlijk. Door in een optelling of aftrekking de komma’s onder elkaar te zetten, is het cijferwerk al voor een goed deel georganiseerd. Dat organiseren van rekenwerk verdient in het rekenonderwijs aparte aandacht. Als de kinderen gebruik hebben leren maken van positiestrepen, is ook voor dit geval met decimale breuken het organisatieschema al gegeven:

Uitgaande van het concrete zijn er meer mogelijkheden om een instap te maken in de wereld van de decimale breuken. Zojuist werd geldberekening genoemd. Het kan ook via het meten.
Neem bijvoorbeeld een sportdag waarop de kinderen een bepaalde afstand geworpen hebben of een zekere afstand hebben gelopen in een bepaalde tijd. Wanneer de uitslagen bekend zijn, kan aan de hand van deze ‘metingen’ gewerkt worden aan het begrip van decimale breuken.
Stel bijvoorbeeld dat er een afstand van 16,25 meter geworpen is. Men kan dan het volgende daarmee doen:
“Wat is er geworpen?” “16,25 meter.” “Schets de situatie op het bord.”
“Waar kwam de bal terecht?”
“Ergens tussen de 16 en de 17 meterlijn.”
“Op ruim 16 meter.”
“Preciezer: op 16 meter en een kwart.”

230

“Met de centimeter erlangs: 16 meter en 0,25 meter.
Of: 16 meter, 2 decimeter en 5 centimeter.
16,25 m is dus:16 meter + 2/10  m + 5/100  m.”

Er is een wezenlijk verschil tussen het gebruik van kommagetallen in de context van geldrekenen en meten. Meten is namelijk nooit precies; een meetresultaat is slechts een benadering. Daarom lenen decimale breuken zich zo goed voor het meten. Maar pas op! Hoe meer cijfers achter de komma, des te nauwkeuriger de meting lijkt. Inderdaad: lijkt! Neem bijvoorbeeld een plank van één meter, die moet je in drie gelijke delen zagen. Voordat je echt gaat zagen, kun je uitrekenen hoe lang elk van de drie plankjes wordt. Wat komt eruit? 100 (cm) gedeeld door 3 levert de volgende repeterende decimale breuk op: 33,333333 cm. Je kunt zover achter de komma doorgaan, als je (rekenkundig) wilt. Maar hoever ga je door? De eerste 3 achter de komma staat voor 0,3 cm, dat is 3 mm. Met een goede liniaal zijn die 3 mm nog wel te zien, al moet je bedenken dat de zaagsnede die 3 mm aardig kan benaderen. De tweede 3 achter de komma (0,3 mm) is al niet meer met onze huishoudcentimeter vast te stellen. In de gegeven meetcontext heeft een lengte van 33,333333 cm dus geen betekenis.

231

Een dergelijke overweging zou niet aan de kinderen van de vijfde klas voorbij mogen gaan. Een reflectie op de meetprocedure in samenhang met het gevonden meetresultaat, kan leiden tot een rijker begrip van decimale breuken. Zowel rekenkundig als toegepast.
In andere situaties waarin de decimale breuken gebruikt worden, kunnen dergelijke dingen natuurlijk ook gedaan worden. Zoek maar in de krant of denk aan het Guiness Book of Records. Ook de doe-‘t-zelfwinkel heeft rekenwerk met decimale breuken in petto. De folders van de Hubo, Houtland, Gamma enzovoort vormen een onuitputtelijke bron voor realistisch rekenwerk met kommagetallen. Ook op verpakkingen kan men niet om kommagetallen heen.
Bijvoorbeeld de tekst op een melkpak:

Het is goed denkbaar dat dit alles het sterkst werkt wanneer de kinderen direct betrokken zijn; een sportdag, sporttijden bijhouden, metingen doen, zelf boodschappen bedenken, …

We hebben allerlei getallen ontleed. Beginnend bij geldbedragen, kwamen we tot de essentie van de decimale getallen.
Neem het getal 2345: de 5 staat op de plaats van de eenheden, de 4 staat op de plaats van de tientallen, de 3 staat op de plaats van de honderdtallen en de 2 staat op de plaats van de duizendtallen, dus 2345 = 2000 +300 + 40+ 5.
Elke cijfer verder naar links heeft een (plaats)waarde die tien keer zo groot is als de plaatswaarde van het cijfer ernaast.

Eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, zo kunnen we verder gaan. Gaan we van links naar rechts (volgen we dus de leesrichting), dan is elke plaatswaarde verder dus nog maar van de vorige. We hebben gezien in de geldbedragen dat je dan niet bij de eenheden hoeft te stoppen. Je gaat dan ‘achter de komma’ verder, met de tienden en honderdsten. En, kun je je dan afvragen, waarom zouden we bij de honderdsten stoppen?

Duizenden, honderden, tienen, enen, tienden, honderdsten, duizendsten.
De komma staat dus op de grens tussen de hele getallen- en de breukenwereld. Dit alles wetende, hebben we vele getallen met bewegingen uitgebeeld; elke plaats van het cijfer in het getal had een bepaalde beweging.

232

Nu zijn we inmiddels toe aan het vermenigvuldigen van een getal met een tiental. We kunnen hierbij teruggrijpen naar wat in de jaren daarvoor bij de kinderen aangelegd is.
Bijvoorbeeld: 10 x 2 = 20. De 2 komt te staan op de plaats van de tientallen. Hoe deden we dat ‘vroeger’ ook weer? Weet je het nog, tien keer twee (schoenen) betekende natuurlijk dat we het aantal van tien paren (schoenen) moesten vinden. De positiestrepen waren toen pas in gebruik genomen. Het komt nu goed van pas daar nog eens op terug te zien.

Dit laatste is natuurlijk ook te lezen als 10 x ½. Gemakkelijker nog als ½ x 10; en zo komen we dus ook aan het antwoord 5. Nog anders; we kiezen namelijk verschillende inbeddingen van het inzicht: “Maak tien sprongetjes van 0,5 cm over de liniaal. Waar denk je dat je terecht komt?”

Zo hebben we dus drie sporen gevolgd:

1. Via het cijferen van vroeger.
2. Via de breuken uit de vierde klas.
3. Via meetgetallen op de liniaal (getallenlijn).

Deze activiteiten zijn bekend vanuit het verleden. De bedoeling is dat de kinderen bepaalde rekenregels ontdekken of zelf uitvinden. Bijvoorbeeld:
10 x 3,75 = 37,5 en 10 x 12,25 = 122,5. “Hé, wat gebeurt hier?”
Bedenk bij deze voorbeelden dat de kennis van geldbedragen goede steun kan bieden, als de rekenregels nog niet opgemerkt zijn:

10 x euro is 30 euro
10 x 75 cent is 7 euro 50 cent (10 x een dubbeltje is een euro, enzovoort).
Samen: 37 euro 50 cent, oftewel € 37,50.

In het geval van 100 x 0,5 = 50,00 wordt de aanpak van zojuist uitgebreid. Je kunt via 10 x (10 x 0,5) = 10 x 5 op 50 komen. Schrijf je de getallen tussen positiestrepen, dan ligt de rekenregel zichtbaar voor het oprapen: de 5 op de plaats van de tienden, gaat na vermenigvuldiging met 100 naar de plaats van de tientallen. Dat is twee plaatsen naar links. Dus een verschuiving van het getal en niet van de komma!

233

In een spel maken we nog eens duidelijk dat de komma bij het vermenigvuldigen met tien een grens is, die door de cijfers van rechts naar links overschreden wordt.
De kinderen waren de cijfers in een bepaald getal. De honderdtallen stonden op een tafel, de tientallen op een stoel, de eenheden op de grond. Dan stond er een kind met een grote komma; de grens! Daarnaast weer de tienden knielend, de honderdsten zittend. Aan de buitenste zijden was er nog een tafel met een stoel erop voor de duizendtallen en aan de andere kant een plaats om te liggen voor de duizendsten.
Om een bepaald getal uit te beelden, kregen ze elk een kaart met een cijfer. Dan klonk de opdracht: “Ik vermenigvuldig dit getal met tien.” (Later ook met honderd, enzovoort). Alle kinderen klommen dan een of meer plaatsen omhoog.

Bij delen was dat natuurlijk weer anders. De rekenwijze hebben we daarna in het schrift op allerlei manieren beoefend.
Zo kwam het idee van getalverschuiving spontaan naar voren. De uitdrukking kommaverschuiving heb ik nooit correct gevonden.

Natuurlijk is dit ook maar, hóe je het bekijkt. Als je het getal fixeert dan verschuift de komma na vermenigvuldiging. Je zult zien dat het gebruik van positiestrepen er toe leidt dat kinderen zeggen: het getal verschuift want de cijfers gaan (bij de vermenigvuldiging met 10), een plaats hogerop (naar links dus). Logisch, want zo is ons positionele decimale systeem ingericht.

OEFENINGEN

Getallendictees

Getallendictees maken dat de kinderen de getallen op een geschikte manier gaan uitspreken. Wat wordt hier bedoeld met ‘geschikt’? Wel, kommagetallen worden in velerlei situaties gebruikt. En elke situatie heeft een eigen, specifieke context. Op school hoor je nogal eens het getal 425,12 uitspreken als vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten. Dat is een manier om te laten zien, dat je

234

weet hebt van de waarde van de cijfers achter de komma. In een didactische context is het dus vierhonderdvijfentwintig komma twaalf honderdsten, of vierhonderdvijfentwintig twaalf honderdsten. Maar neem nu eens het bedrag € 425,12. Dat spreek je natuurlijk heel anders uit: 425 euro 12. Of 425 euro 12 cent. Of 425 12. Of 425 komma 12.

Decimale getallen ordenen

Zie de gewone breuk achter een decimale breuk:

• “Wat is groter 0,1 of 0,01?”
• “Welk getal ligt het dichtst bij 2,5; 2,45 of 2,449?” Hier kan een meetlat of een getallenlijn natuurlijk hulp bieden:

• “Tussen welke twee hele getallen ligt 2,3?”

Het omzetten van breuken in kommagetallen

Dit onderwerp brengt ons weer op het niveau van het abstracte rekenen. De vraag luidt: “hoe zet je een gewone breuk om in een decimale?” Begin bij ½ = 0,5. Dat wisten we al. Maar hoe doe je dat? Laat de kinderen aan het woord. Vaak komen ze zelf al met goede ideeën.

Bijvoorbeeld:

• Een halve euro is gelijk aan 50 cent. Heel concreet dus. Maar er moet wel ingezien worden dat  0,5 = 0,50. Is daar al aandacht aan besteed?
• Een half (½) betekent dat je 1 gedeeld hebt door 2. Dus ga die deling maar eens maken.
• Je kunt het ook zó zien: maak van ½ de ‘tiendelige’ breuk 5/10   of 5/100  .

Hoe vind je nu 3/8    = 0,375 ? Dat kan via 1/8   en dan 3x. Sommige kinderen weten 1/ al uit het hoofd, of kunnen het handig uitrekenen via de helft van ¼ (= 0,25 : 2, de helft van een kwartje, enzovoort). Zo niet, dan moet er gedeeld worden, of handig op een liniaal van 100 cm (= 1000 mm) gekeken worden. Deze opgaven zijn nuttig, want nu leren de kinderen onder meer uit het hoofd dat 1/ deel gelijk is aan 0,125 of 12,5%. En ze leren dat met een visueel beeld en met een concrete context op de achtergrond. Als je het goed beschouwt, komen hier diverse leerstoflijnen bij elkaar: staartdelen, handig rekenen, meten, breuken, en kommagetallen / procenten.

Wat doe je als leraar van een vrijeschool, wanneer de kinderen vragen waar je dat voorgaande voor nodig hebt; waarom je dat allemaal moet weten? Natuurlijk neem je die vraag uiterst serieus.

235

Wie geïnteresseerd is in getallen zal verrast worden bij het omzetten van 1/7          in een decimale breuk. Om een kader te scheppen waarbinnen de bijbehorende decimale breuk gecontroleerd kan worden, kun je beginnen met een schatting te maken: Er zijn zeven zesdeklassers die met oude kranten 100 gulden voor de school hebben verdiend. Hoeveel heeft elk van deze groep verdiend? Deel dan 100 gulden door 7. Dat kun je wel schatten: elk 14 gulden, want 7 x 14 = 98. Over 2 gulden, dat zijn 8 kwartjes. Verdeel die ook maar met z’n zevenen: ieder 0,25. Nog 25 cent over: deel door 7, er komt 3 cent. Over 4 cent, vergeet die maar. Dus 100 gedeeld door 7 is ongeveer 14,28.
Nu de staartdeling en vergeet niet gebruik te maken van wat we zojuist gedaan hebben.

Waarom enzovoort? kun je de kinderen vragen. En vervolgens: “hoe lang gaat het, denk je, duren met deze staartdeling? Ben je zeker van je antwoord? Kun je dat aan de anderen uiteggen?”
De essentie is natuurlijk dat er nooit de rest 0 komt. Je kunt dat op twee manieren ‘weten’.
In de eerste plaats kun je het inzien als op een zeker moment de rest 1 opduikt. Je bent dan weer op hetzelfde punt als waarmee de delingsprocedure begon: “1 als rest, haal een 0 aan, het wordt 10 gedeeld door 7. Dat gaat 1 keer enzovoort.”
Je kunt het ook anders inzien, wat abstracter. Om de breuk  1/7   om te zetten, zou je van de noemer 7 een macht van 10 moeten maken. En dat gaat niet, omdat machten van 10 slechts uit de factoren 2 en/of 5 bestaan. Basta. Overigens is deze redenering niet zo geschikt om aan de hele klas uit te leggen.

Het ambachtelijke werk van het omzetten veroorzaakte een waar enthousiasme in de klas. Ze vinden  1/7    maar een vreemd geval. We zochten met elkaar uit:

1/7    = 0,142857                                      4/= 2 x 0,285714 = 0,571428

 2/7   =  2 x 0,142857  = 0,285714         5/7 = 0,714285

3/= 3 x 0,142857  = 0,428571          6/7 = 0,857142

Als we de cijfers achter de komma van 1/7 in een cirkel opschrijven, dan zijn de andere breuken af te lezen. Je hoeft alleen maar een ander beginpunt te kiezen.

236

Kinderen kunnen zich afvragen hoe dat komt dat steeds hetzelfde patroon zich herhaalt;
1/7   = 0,142857 142857 142857 142857 142857 enzovoort.
Om de oorzaak daarvan te onderzoeken, moet je de staartdeling nog eens goed bekijken. Je ziet dan, net zoals daarstraks, dat na zes keer de eerste rest 1 weer terugkomt. Voordat het zover was, zijn er zes andere resten geweest: 1, 3, 2, 6, 4, en 5. Dat zijn precies de zes getallen kleiner dan 7.
Neem je nu bijvoorbeeld de breuk 3/, dan moet je eigenlijk de volgende staartdeling maken:

7 / 3,000000\ … De eerste deling, die je tegen komt, is dan 30 : 7. En dat was in het vorige geval precies de tweede deling. Wat daarna gebeurt, is in beide gevallen hetzelfde. En zo komen dan in het geval van 3/ de resten 3, 2, 6, 4, 5 en 1 achtereenvolgens tevoorschijn. In het quotiënt verschijnen dan ook in dezelfde volgorde de cijfers als bij 1/7   . Vandaar 3/= 0,4 285714 enzovoort.

We zetten natuurlijk slechts een bepaald aantal breuken om in decimale breuken. Dit doende wordt er ook geoefend met het delen; een goede rekenoefening dus.

237

Moeten de kinderen van de vijfde en zesde klas dit rijtje uit het hoofd weten? En zo ja, waarom dan wel? Moeten ze weten dat  1/3   tot een repeterende breuk voert? En als we op dat probleem in gaan, moeten ze dan leren dat er ook andere repeterende breuken bestaan, zoals we eerder bij 1/7   aantroffen? Wie in de bakens en concrete leerdoelen kijkt, vindt een antwoord. Dat kan persoonlijke elementen bevatten!
Laten we ook een breuk als  25/43  omzetten? Als we dat doen als een rekenoefening, dan moeten we de kans waarnemen om een schatting te laten maken.
Wat moeten de kinderen dan doen? Eerst inzien dat bijvoorbeeld  25/43  > 25/50
= ½ =  0,5.  Of preciezer: 25/43 > 25/45  = 5/9 = 0,555555.

Omzetten van komma getallen in breuken

Gaan we ook de weg terug? Dus zoeken we een oplossing voor de vraag van 0,55 een gewone breuk te maken? Wie de vraag beschouwt voor ‘niet’ repeterende decimale breuken is gauw klaar. Al het rekenwerk, dat nodig is om van 0,55 te komen tot  5/9  bestaat uit het vereenvoudigen van breuken. Dus technisch gezien uit het vinden van gemeenschappelijke delers, ontbinden in factoren en delen. Niet de moeite waard dus om gewichtig over te doen.

Kommagetallen en procenten

Belangrijker is dat er ook verband gelegd wordt met procenten. We zagen hierboven al ½ = 0,50 ofwel 50%.
Dit verband, dat tussen kommagetallen, breuken en procenten bestaat, kan ten nutte gemaakt worden. Het volgende voorbeeld, van een lastige procentenopgave, laat daar iets van zien:
De vraag luidt: “Hoeveel procent is 8 van 27?”
In de zestiende eeuw had de vraag geluid: “Hoeveel ‘ten honderd’ is 8 van 27?” In deze formulering komt de essentie van de vraag goed naar voren. Het gaat er immers om te zien, welk getal zich ten opzichte van 100 verhoudt, als 8 dat doet ten opzichte van 27.
Bekijk dan de breuk (beter verhouding) 8/27 . Maak er een decimale breuk van, door de deling uit te voeren:

Het antwoord is: 8/27  = 0,296. Wie afrondt, leest dit als: = 0,30. En ziet dan dat
8/27  = 30% (30 ten honderd!).

Zo ook :”Hoeveel procent is 3 van de 8?” Noteer  3/8   = 3 x 0,125 = 0,375 en zeg 3/8   =37,5%.”
Procenten vormen een onuitputtelijke bron van fouten. Veel ervan zijn te voorkomen als men het verband met decimale breuken kent en met decimale breuken weet om te gaan.

238

239

Een gedachte-experiment: procenten en kommagetallen

“De prijzen zijn vorige trimester met vijf procent gestegen. Nu heeft men gelukkig weer met een 5% prijsdaling de zaak recht getrokken.
Is dat zo, zijn de prijzen weer op het oude peil teruggebracht?
Laten we even rekenen. Neem een prijs van 100 euro. Prijsstijging 5%, dat betekent dat het artikel nu 1,05 x 100 = 105 euro kost.
Zie je hoe die vermenigvuldiging met 1,05 werkt? Vermenigvuldigen met 1,05 betekent vermenigvuldigen met 1 + 0,05, of met 1 + 5/100   . Je krijgt dus het getal vermeerderd met 5 procent ervan.
Nu dan de prijsdaling met vijf procent. Het artikel kost daarna 0,95 x 105 euro . Dat is € 99,75. Zie je hoe dat gekomen is?
Wat gebeurt er als eerst de prijsdaling had plaatsgevonden, en dan de stijging? Het antwoord in één keer: 0,95 x 1,05 x 100 = 99,75. Verrast? Niet als je de berekeningen met de decimale getallen goed in het oog hebt gehouden.”

Deze werkwijze levert ook een goede toegang tot berekeningen met rente en samengestelde interest. Je hebt € 525,00 op de spaarrekening. De rente bedraagt 4%. Na 1 jaar heb je dan 1,04 x € 525,00 = € 546,00 op de bank.
En na twee jaar? Wel, dat is dan 1,04 x € 546,00 = 567,84. Wie een
zakrekenmachientje mag gebruiken, vindt hier een opening naar een relevant wiskundig leerstofgebied: groeifuncties, samengestelde interest.

IDEEEN VOOR EIGEN ONTWERPWERK

Er zijn ook heel wat situaties waarin kommagetallen niet gemist kunnen worden. Elke situatie kan aanleiding zijn voor een verkenning, een probleemstelling, een toepassing, een oefening, een doordenking, een berekening of een reflectie. Hier volgen er een paar:

• Kilometerteller met één cijfer achter de komma (dagteller met hectometers).
• Boodschappenlijstjes met bedragen: schatten. (“Heb ik genoeg geld bij me?”).
• Liniaal met millimeter-indeling. Ook regenmeter en dergelijke. Om af te lezen.
• Uit een berekening komt 0,8. Welke deling kan dat geweest zijn? En in welke situatie?
• Het boek van de Olympische Spelen 1992 met records. Ook Guiness Book of Records.
• Geef jurypunten (met één cijfer achter de komma) en bepaal eindstanden.
• Maak prijsvergelijkingen.
• Buitenlands geld: omrekenen van prijzen.
• Omtrek en oppervlakte van cirkels: π – 3,1415.
• Omrekenen van zeemijlen naar kilometers, van km/u naar m/sec en knopen.
• De zuinigste auto bepalen, gegeven aantal kilometers en aantal gebruikte liters.
• Handig (schattend) rekenen met 0,25 (kwartjes) en dergelijke.
• Gordijnen maken.

240

6.2.De wereld in verhoudingen

De wereld in verhoudingen

Achtergrond

De wereld is vol met datgene wat wij verhoudingen noemen. In de proporties van mens en dier, in de vormen en ritmen der plantenwereld en in de kristalstructuren van de mineralen vinden we herkenbare verhoudingen. Ook binnen de stof zelf heerst structuur. Avogadro ontdekte, dat de elementen zich in verbindingen verhouden als eenvoudige, gehele getallen. (Bijvoorbeeld H2O)
Een schitterend voorbeeld van verhoudingen vinden we in de muziek. Al kunnen we ten aanzien van een muziekstuk van mening verschillen over de tempi, de verhoudingen binnen de maat blijven gelijk en bepalen mede de herkenbaarheid van het stuk.
Van stond af aan is het kind dus omringd door een wereld vol verhoudingen, uiterlijke zowel als innerlijke, die vormend op hem werken, op een geheel natuurlijke en veelal onbewuste wijze.

“Zondags in de Hout, kregen wij ons traditionele La Venezia-ijsje: onze ouders een ijsje van vijf, wij van drie cent en het kwam niet in ons hoofd op om daartegen te protesteren. Het was immers volgens de natuurlijke verhoudingen geregeld, destijds in de jaren dertig. (Leuk hè, bijna volgens de Gulden Snede!)”

In de eerste schooljaren knopen we bij het natuurlijke gevoel voor verhoudingen aan. Vragen we een eersteklasser zijn twaalf kastanjes eens mooi over de bank te verdelen, dan liggen er in negen van de tien gevallen op elke hoek drie. Ook bij het vormtekenen gaat het allereerst om mooie verdelingen en verhoudingen, om gestructureerde, ritmische vormen.
Het schatten, graag en veel door kinderen beoefend, heeft alles met het verder ontwikkelen van hun gevoel voor verhoudingen te maken.
Zo omstreeks het negende jaar treedt het kind bewuster de buitenwereld tegemoet. Het gaat de wereld met andere ogen bezien en wat beleefd is, wordt nu ook beschouwd. De doorleefde ervaring wordt tot voorstelling, tot ‘denkbeeld’. Het vermogen zich tegenover de dingen te kunnen plaatsen, ontwikkelt zich vanaf nu in toenemende mate. Het oordeelsvermogen maakt zich los uit de directe ervaring.

“Onlangs kwamen twee vierdeklassertjes aan de deur met een intekenlijst. Ik tekende achteloos voor twee euro in: leuk toch, zulke actieve kinderen! Maar ik had beter moeten luisteren! Voor elk rondje, dat zij binnen een kwartier rondom het hertenkamp zouden rennen, moest ik twee euro betalen. “Dus als we bijvoorbeeld vier keer rondrennen, moet u acht euro betalen meneer.” En lachend verdwenen zij.”

Een tweedeklasser zou de situatie zeker niet zo goed hebben doorzien. Vanaf klas vier komen de verhoudingen bij diverse thema’s aan de orde, ook naar maat en getal.

“Een olifant eet 325 kg groen per dag, een rinoceros 50 kg. Hoeveel keer eet een olifant meer dan een rinoceros?” Dat zijn sprekende feiten, waar de vierdeklasser dol op is. Wat in de tweede en derde klas aan winkelbedrijf en heemkunde is

241

bedreven, kan nu bewuster rekenkundig worden benaderd en de nieuwe onderwerpen, zoals breuken, decimale maten en het op schaal tekenen, zijn uiteraard geheel uitdrukkingen van verhoudingen.

Omstreeks het twaalfde jaar kan het kind een volgende stap nemen. Aansluitend op bovengenoemd ‘groenetersprobleem’ zou een volgende vraag kunnen luiden: “Als Artis drie ton groen voor de twee dieren samen aanvoert, hoeveel krijgt de olifant daar dan van?” Hier moet dan een gecompliceerde berekening uitgevoerd worden, waarbij verscheidene bewerkingen op elkaar betrokken worden. Rekenkundig zit dat zo: de olifant en de rinoceros eten per dag samen 375 kg groen; zij verorberen 3000 kg in (3000 : 375 = 6000 : 750 = 12000 : 1500 = …) 8 dagen. De olifant heeft daarvan 8 x 325 kg = 2600 kg gegeten. Een
beredeneersom dus, die aan het verstandelijke vermogen van een zesdeklasser appelleert.

Omstreeks het veertiende jaar kan de leerling het vraagstuk in een algemene, abstracte vorm oplossen: O : R = 325 : 50 = 13 : 2. O eet  13/15   3000 kg = 2600 kg.
Met deze algebraïsche benadering kunnen we elke situatie van O en R oplossen, tot grote vreugde van de puber, die nu op zo’n slimme manier de werkelijkheid kan bemeesteren.

Kort samengevat: zie verhoudingen in de juiste verhouding tot leeftijd en de totaliteit van het leerplan. En vooral: zie ze niet over het hoofd!

Verhoudingen in het traditionele rekenonderwijs

Tot in de jaren zeventig werden de verhoudingen in het rekenonderwijs aan het eind van de vijfde klas, meestal pas in de zesde klas behandeld. De breuken, kommagetallen en de procenten waren dan inmiddels al aan de orde geweest. Dat mag op z’n minst merkwaardig heten, want het verschijnsel verhouding ligt ten grondslag aan elk van die onderwerpen.
Waarom dan toch pas zo achteraan in het rekenprogramma? Het antwoord op die vraag wordt duidelijk als we zien welke leerstof behandeld werd. Goed beschouwd werd het verschijnsel ‘verhouding’ nauwelijks in beschouwing genomen. Het ging hoofdzakelijk over evenredigheden (‘reden’ voor verhouding en ‘even’ voor gelijk, dus over de gelijkheid van verhoudingen) als a : b = 3 : 4. En bovendien werkte men louter getalsmatig en meetkundige situaties werden niet in beeld gebracht.

Het hoofdstuk verhoudingen bestond in principe uit vier paragrafen.
Eerst een introductie op het begrip en de notatiewijze: “De waarden van een stuiver en een dubbeltje verhouden zich als 5 en 10. Je mag ook zeggen dat ze zich verhouden als 5 staat tot 10, geschreven als 5 : 10. En dat is hetzelfde als 1 : 2. Dus stuiver : dubbeltje = 1 : 2.” (Een echte schoolmeester voegde daar aan toe: “het moet natuurlijk zijn, de waarde van een stuiver staat tot de waarde van een dubbeltje is als één staat tot twéé.”) Hier staat ook te lezen dat een dubbeltje twee keer zoveel waard is als een stuiver. Of dat een stuiver de helft is van een dubbeltje. Dan kwam er een paragraaf met opgaven als: “Twee kapitalen verhouden zich als 3 : 4. Het grootste kapitaal is f 200,-, hoe groot is het kleinste kapitaal?”
De oplossing verliep via een evenredigheid als K : 200 = 3:4. Soms pastte men de hoofdeigenschap van de evenredigheden toe: 4 x K = 3 x 200, dus K =  600/ = 150.

242

Wie inzag dat 200 = 50 x 4 en dus K = 50 x 3 moest zijn, was sneller klaar.
De volgende paragraaf behandelde opgaven als: “De aantallen knikkers van Jan en Wim verhouden zich als 3 : 5. Samen hebben ze er 40. Hoeveel heeft elk?”
De oplossing ging ongeveer aldus: ‘Jan’ : ‘Wim’ = 3 : 5. J + W = 40. Dan heeft Jan 3/8    x 40 = 15 en Wim  5/8   x 40 = 25 knikkers. Het getal 8 kreeg je door 3 en 5 op te tellen, en je wist dat omdat het aantal knikkers was gegeven, dat ze samen hadden.
In de laatste paragraaf was de verhouding en het verschil gegeven: “Twee stokken verhouden zich als 3 : 8, de ene stok is 40 cm langer dan de andere. Hoe lang zijn de beide stokken?”
Oplossing: Stok A =  3/5   x 40 cm = 24 cm. De andere is dus 64 cm. (Routineuze rekenaartjes vonden dit via  8/5 x 40 cm = 64 cm).

In de jaren vijftig werd de didactiek van de verhoudingen verrijkt met het zogeheten verhoudingsblok. Hiermee konden de drie genoemde typen vraagstukken in één klap en met inzicht worden opgelost.
De evenredigheid a : b = 3 : 6 werd in een schema geplaatst:

                  a                      b            of                    a                          3

                  3                      6                                   b                          6

Kijkend van a naar b zie je ook de stap van 3 naar 6. Dat is dus een vermenigvuldigingsfactor van 2. Je krijgt b door a met 2 te vermenigvuldigen.

Is nu bijvoorbeeld gegeven dat B – A = 40, zoals in het vraagstukje met de twee stokken, dan breid je in gedachten het schema uit:

A                     B                                 B – A = 40

3                      8                                8 – 3 = 5
(Vermenigvuldigingsfactor is: 8)

Je ziet dat de stap van de onderste rij verhoudingsgetallen naar de bovenste rij ‘werkelijke’ getallen een is van vermenigvuldigen met 8. Hieruit volgt direct a = 8  x  3  en  b = 8  x  8

Dit verhoudingsblok is nauw verwant met de ‘evenredigheidsmatrix’ die door de didacticus P.M. van Hiele werd geïntroduceerd. In dit boek zijn we het idee ook al tegenkomen in het hoofdstuk over breuken: de verhoudingstabel. Met deze constatering wordt ook duidelijk dat de verhoudingen in het rekenonderwijs al vóór de introductie van de breuken, vóór de vierde klas dus, aandacht verdienen.

Kinderen ontmoeten verhoudingen

Observatie: het haantje van de toren

Met een paar kleuters bij een toren. “Kan iemand vertellen hoe groot dat haantje op de toren is?” K: “Ik weet het.” “Zo groot ongeveer? Wat denk jij?” K: “Hij is nog veel groter.” “Ik zag laatst dat ze de haan naar beneden haalden. Hij was wat kaal geworden en ze wilden ‘m schilderen. Toen stond hij dus op de grond. Hier vlak bij. Wat denk je, hoe groot was het haantje toen hier?” K: “Zoiets. Een kip is toch niet zo lang!” “Nee, een echte kip niet. Maar is dit een echte kip?” K: “Nee.”

243

“Het is een haantje van ijzer. Hoe groot is een vliegtuig in de lucht? K: “Heel klein!” K: “Ik weet het, net zo groot als het schoolplein.”… “Denk nog eens aan de haan. Hoe groot was die op de toren? En hoe groot als die hier op de grond staat?” K: “Groter, nog veel groter.” “En als ik nu naar boven zou gaan op de toren, hoe groot zou ik dan worden?” K: “Zo’n klein mannetje.” “Nu neem ik het haantje mee als ik naar boven ga. En ik word kleiner en kleiner.” K: “Ik zie geen haan.” “Nu moet jij zeggen hoe groot ik ben als je me boven op de toren ziet.”… K: “Zo’n klein mannetje.” “En de haan naast me?” K: “Zó klein.” “Nu komen we allebei naar beneden. Ik heb de haan meegenomen. Hoe groot zou die haan zijn?” K: “Dan is de haan net zo groot als de schoolbank …”

(Uit Goffree,F.(1979). Leren onderwijzen met wiskobas, IOWO Utrecht.)

Of je zo’n vraag aan kleuters moet stellen? Misschien beter aan de leerlingen van de vierde klas, die op weg zijn naar de grote kerk om de toren te beklimmen en dan de stad in vogelvluchtperspectief willen zien.

Observatie: Bastiaan en de regenwolken

Bastiaan (7;6). Na een reeks zonnedagen ziet hij wolken en zegt: “Het gaat regenen.” “Neen”, zeg ik, “dit zijn heel hoge wolken, daar komt geen regen van; regenwolken zijn laag en donker .”Hij: “En hoe hoog zijn die wolken?” Ik: (overdrijvend) “Tienduizend meter.” Hij: “En hoe hoog zijn die regenwolken?” Ik: “Duizend meter.” Hij: “Dus (met de hand op de grond) als wij hier zijn en de regenwolk zó hoog (wijst ongeveer dertig centimeter boven de grond), dan zijn dat (wijst ongeveer één meter boven de grond), geen regenwolken.”

(Geciteerd in Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jrg.8 nr.2, blz.57)

Het blijkt dat het verschijnsel verhoudingen niet zonder meer aan kinderen voorbijgaat. Ze voelen soms de zaak intuïtief heel goed aan, kunnen zelfs aan hun intuïtieve noties uiting geven, in gebaar en woord. Maar ook kunnen ze door de omstandigheden misleid of door hun intuïtie in de steek gelaten worden. Hoe het ook zij, de wereld om hen heen en de kinderen zelf geven aanleiding om verhoudingen niet buiten beschouwing te laten.

Het verschijnsel verhoudingen

Onze wereld zit vol met verhoudingen, visueel en numeriek (meetkundig en getalsmatig), onopvallend en aandachttrekkend, om accenten te plaatsen en om verschillen te verhullen. Vul zelf maar in en aan, wie om zich heen ziet en een verhoudingenbril opzet, kan daar tegen deze bewering geen bezwaar hebben.
Wat overigens direct opvalt, zijn de zaken waarbij sprake is van
‘wan’verhouding. Neem bijvoorbeeld een karikatuur, waarin karakteristieke trekken buiten verhouding zijn weergegeven. Maar ook de plaat waarop het menselijk lichaam in bepaalde ontwikkelingsstadia is weergegeven, vraagt aandacht voor verhoudingen: Is het hoofdje van de baby niet veel groter dan dat van de volwassene verder op in de rij? Natuurlijk niet in absolute zin, maar wel ‘naar verhouding’. Wie let daar in het bijzonder op? De schilder, die een jong kind wil tekenen! Diezelfde schilder weet veel meer van verhoudingen met betrekking tot het menselijk lichaam. Een mooie geheugensteun werd eens getekend door Leonardo da Vinci:

244

Het zijn verhoudingen die opvallen als je je er niet aan houdt. Veel gewone verhoudingen vallen haast nooit op. Neem de vakantiefoto’s, waarop de mensen, dieren en dingen vele malen kleiner staan afgebeeld dan ze in werkelijkheid zijn. Niemand zal daar een aanmerking op maken, want alle objecten zijn naar verhouding evenveel verkleind. En geldt niet hetzelfde voor hetgeen juf of meester op het bord zet? Die vormtekening van een meter lijkt achter in de klas maar een decimeter en wordt vervolgens weer vergroot tot twintig centimeter, geen kind of leraar die daarover valt. En dan de dia’s of misschien wel de transparanten op de overheadprojector: vergrotingen van verkleiningen van de werkelijkheid. Wie de dia tegen het licht houdt, meent toch ‘hetzelfde te zien’ als hetgeen op de wand wordt geprojecteerd! Wij zijn eraan gewend en zolang niet aan de onderlinge verhoudingen wordt getornd, valt het verschijnsel ons niet meer op.

Wanneer maken we gebruik van verhoudingen? Daar is al sprake van op het moment dat kinderen zich in de fysieke ruimte gaan oriënteren. Als ze schattingen maken, bijvoorbeeld: “Wat is verder vanaf het tafeltje voor de klas, de deur in het lokaal of de kast achterin? Even afpassen met stappen.” Of als kinderen een legpuzzel maken. Eén achteloos gesteld vraagje kan de aandacht richten: “Hoe groot denk je dat de puzzel zal worden?” Het antwoord kan globaal, louter met gebaren worden gegeven. Net zoals Bastiaan dat deed met de regenwolken. Maar het kan ook heel precies, als kinderen het meten al onder de knie hebben.
Foto’s, waar de verhouding onopvallend aanwezig is, geven ook aanleiding tot het doen van schattingen en dus het gebruiken van het verschijnsel verhoudingen.

“Hoe hoog is die boom? Ik denk dat dat grootste kind ongeveer 1,55 m is. Dan is de boom, laten we zeggen …”

245

Wie schat, zoekt vergelijkingsmateriaal. We zeggen ook wel: referentiepunten. Ieder mens bouwt in de loop van de jaren een repertoire op van persoonlijke referentiematen. Ik ben 1.69 m lang en dus schat ik de hoogte van die keukenplank op ongeveer 1.85 m. Deze balk is ongeveer 2,5 cm dik, dat zie ik door mijn duim ertegen aan te houden. Een mok is ongeveer 2 dl, dus kan ik gemakkelijk een halve liter melk afpassen: 2½ mok. En in mijn kookboek vind ik dat één theelepeltje hetzelfde is als drie gram. Maar dan gaat het wel over …
Later komt de laatste overweging terug als het begrip dichtheid aan de orde is. Massadichtheid, wat vroeger soortelijk gewicht werd genoemd. Het is de verhouding van gewicht en volume; anders gezegd is het het gewicht van een bepaalde hoeveelheid van een stof. Hoeveel kg weegt 1 dm3 lood? Of, meer van deze tijd: wat is de massa van 1 m3 lood?
Ook bevolkingsdichtheid (verhouding van aantal bewoners en oppervlakte van het land waarop gewoond wordt).
Met deze verhoudingsproblematiek zijn we te snel door de wereld van de verhoudingen heen gesneld. We hebben het vergroten van foto’s en platen (kopieerapparaten doen dat momenteel procentsgewijs) niet genoemd. En het werken met landkaarten en stadsplattegronden, waarbij het begrip schaal essentieel is. Zowel getalsmatig (schaal 1 : 10 000 bijvoorbeeld) als meetkundig (dit lijnstuk is 1 km). Ook nebben we de modelbouw niet behandeld, met speelgoed op schaal of Madurodam op schaal 1 : 25. Ook de Mercatorprojectie niet, waarop Groenland naar verhouding veel te groot is afgebeeld.

En wat te zeggen van de verhoudingen die schaduwen met zich meebrengen? De schaduw van de vlaggenmast was om vijf uur langer dan om twaalf uur. Wat zegt die lengte, van de hoogte van de zon en dus van de tijd? Later, in klas 10, zie je dat het om een hoek, dus om een goniometrische verhouding gaat.
We zijn meetkundig bezig. Dat geldt ook voor het verschijnsel van de grijstinten op papier (of op een computerscherm). De indruk ‘grijs’ ontstaat door een mengsel van witte en zwarte puntjes. De verhouding ‘wit : zwart’ bepaalt de donkerheid van het grijs:

Mengsels worden ook bepaald door verhoudingen. Kinderen hebben ervaringen op dit terrein met limonadesiroop, waarschijnlijk niet zozeer getalsmatig, maar zeker intuïtief.
Pas echt moeilijk wordt het rekenwerk als we ons begeven op het terrein van scheikunde. Daar moeten verdunningen precies naar voorschrift gemaakt worden. De verhoudingen van het metriek stelsel (“Hoeveel cc gaan er ook weer in een ml?”) komen nu ook in beeld. En hoe zit dat ook weer met de verhouding tussen km/uur en m/sec of het Angelsaksische miles/hour (knoop)?
Omrekenen doe je ook op reis, bijvoorbeeld naar de V.S.. Euro’s  voor dollars, tegen een vastgestelde verhouding (wisselkoers). En wie in het buitenland prijsbewust is, loopt al winkelend verhoudingsrekenen te beoefenen.

246

Met voorgaande beschouwing is het verschijnsel nog lang niet uitputtend behandeld. Zo zijn voor de hand liggende zaken als prijs-kwaliteit verhouding, prijs per gewicht-lengte-aantal en dergelijke, inflatie en koopkracht, indexcijfer, kiesdeler, kijkdichtheid, … niet behandeld. Een leraar, die oog heeft voor het onderwerp, hoeft niet ver te zoeken. En als hij ook verder ziet dan de basisschool, komen onderwerpen als lineaire verbanden, formules en grafieken in zicht.

Verhoudingen in het leerplan

Het is niet mogelijk een volledig leerplan voor verhoudingen te geven. Dat moet met de bovenstaande verkenning van het gebied al duidelijk geworden zijn. Verhoudingen moeten in het kader van veel andere onderwerpen aan de orde worden gesteld. Dit houdt een gevaar in, namelijk dat het onderwerp in de vergeethoek geraakt. Er kan echter van een minutieus gefaseerde leergang, zoals in het geval van de tafels en de cijferalgoritmen, hier geen sprake zijn omdat elke vrijeschoolleraar de onderwerpen kiest, die in zijn klas geschikt zijn en hij ze vervolgens in de context van andere onderwerpen aan de orde stelt.
Globaal kan men het volgende als richtlijn beschouwen: Verhoudingen vormen in de eerste drie klassen geen leerstof die expliciet aan de orde komt. Toch is er een bedding voor te vormen middels het schatten en vormtekenen. In de vierde klas is door het denken in breuken een goede basis te leggen voor de verhoudingstabel, die handig is om verhoudingsvragen mee te bewerken. Zo ontstaat de verhouding als relatieve maat.
De laatste stap kan dan in de hogere klassen plaatsvinden, waar inzicht in de dubbele open getallenlijn en het gebruik van de verhoudingstabel worden geleerd. Met de laatste kunnen verhoudingssvragen ook algoritmisch worden opgelost. Bij een goed doordachte keuze kan in de loop van acht jaar het onderwerp verhoudingen doorgewerkt worden. Tot en met de toepassingen binnen en buiten de wiskunde, tot en met de lineaire functies en als een goede basis om het gebied van de hogere machts- en exponentiële functies te betreden.

Nu volgen suggesties om het onderwerp door alle lessen en perioden heen aan de orde te stellen.

1 vormtekenen

Wat op het bord voorgedaan is, wordt ‘in verhouding’ overgebracht op het eigen papier.

2 Het elementaire meten

Hier worden natuurlijke grootheden vergeleken, vaak met behulp van het eigen lichaam als maatstaf. Meetgetallen zijn verhoudingsgetallen.

3 Schatten met referentiematen

In het dagelijks leven, maar ook op foto’s en platen. Het is een waar feest wanneer de kinderen in de lagere klassen mogen schatten. Er verschijnen vele antwoorden op het bord. Ze zoeken nog houvast bij elkaar: “Zou ik er helemaal naast zitten of heeft Johan ‘het’ te ruim genomen?” Dan mag iemand het gaan nameten. Met ingehouden adem wacht de klas af, tot de ‘nameter’ met het juiste antwoord terug komt en een gejuich stijgt op, wanneer iemand dat antwoord ook geschat heeft.

247

De bakker had aan de school een oude balans uitgeleend met grote gewichten. We waren net begonnen met metselen in de huizenbouwperiode en een eerste zakje met cement stond in de hal klaar. Ik gaf een van de kinderen de opdracht het te halen en op de balans te plaatsen. Daarna gaf ik hem een gewicht in zijn handen en vroeg: “Hoeveel van die gewichten moet ik aan de andere kant op de weegschaal zetten?” Daarna deden we dat dan ook met grotere en kleinere gewichten.

Zo is tot in de hoogste klassen bij kinderen in het ‘schatten’ gevoel voor verhoudingen te stimuleren.

4 ruilhandel

Het begint voor de kinderen al in de knikkertijd op het schoolplein. Knikkers, bammen en supers staan in vaste verhouding tot elkaar. Omrekenen naar knikkers is het gemakkelijkst om ruilhandel te kunnen plegen. Maar op een zeker moment komen koerslijstjes in de klas …

5 Vergroten en verkleinen

Met roosters op papier en met een projector in werkelijkheid.
Bouwen van een voorbeeld, een plattegrondje van de klas maken, een tekening maken van de weg van huis naar school, met karakteristieke punten op de juiste plekken.
Op een overheadprojector liggen drie munten. Op de wand zijn drie zwarte
cirkelschijven te zien. Welke munten zijn dat? Het antwoord wordt gemakkelijker als een van de munten wordt geïdentificeerd als een dubbeltje. Hoe kunnen we zeker zijn?

6 Vervormen

Met behulp van roosters: van vierkantenrooster naar rechthoeken. Uitrekken in de lengte of in de breedte. De verhoudingen ‘kloppen niet meer’.

248

In de handwerklessen van de zevende klas maken de kinderen vergrotingen en verkleiningen met behulp van een raster. Wellicht hebben ze in de zesde klas al eens de kaart van het Romeinse Rijk vergroot, maar er komt meer bij kijken als het erom gaat een kledingstuk passend te krijgen.
In de voorgaande klassen maakten de kinderen patronen voor handschoenen, stoffen beesten of sloffen, door bijvoorbeeld de voet om te trekken en dan de stof iets groter te knippen. Nu, in de zevende klas, wordt er een blouse ontworpen. Om een blouse of bodywarmer op de juiste maat te krijgen bepalen de kinderen de verhouding tussen patroon en lichaam. Het meten aan lichaam en patroon levert dan de vergrotingsfactor, die vertelt hoe de ruitjes van het raster vergroot moeten worden.
Daarbij komt het vraagstuk of het kledingstuk misschien langer of wijder moet worden dan het patroon aangeeft. Dat vraagt om veranderingen (vervormingen), waarbij de verhoudingen niet in stand blijven. Hoe brengen we die vervormingen tot stand in het op ruitjespapier getekende patroon?

En vanuit een andere invalshoek komen er vragen als: “Wat is er aan de hand met die karikaturen?” “Is het hoofd van die getekende baby niet te klein?” “Hoe lang moet je de armen van een mens tekenen?”

249

7 Referenties voor schaal

Gegeven een foto van een bij. De afbeelding van het insect is veel groter dan het in werkelijkheid is. Dat kun je zien omdat er en liniaaltje naast ligt.

Je ziet dat het een vergroting is. Wie weet hoe groot die bij in werkelijkheid is? Op het fotokopieerapparaat kun je ook vergroten en verkleinen. Wat betekent een vergroting van 125%? Probeer het maar uit.

8 schaal

Maak een schets van je kamer op schaal. Wat is een geschikte schaal? Lukt het met 1 : 10? Of moet je naar 1 : 20? Welke schaal staat op stadsplattegrond? Wat betekent die visuele schaal: een lijntje van 1,5 cm staat voor 1 km? Wat betekent schaal 1 :100 000? Weet je een grotere schaal? Weet je wat een curvimeter is? Hoe werkt dat met schalen?

9 Schattend rekenen met aandacht voor de relatieve fout

Afronden gebeurt binnen bepaalde grenzen. Hoever ga je door met de staartdeling 3 / 100,0000\ … als het erom gaat een plank van 1 meter in drie gelijke plankjes te zagen? Welke benadering is nauwkeuriger: 7,8 = 8 of 97,8 « 100?

10 Opgaven ‘onderweg’

Die kaars heeft volgens de fabriek 10 branduren. Hoelang zou hij al gebrand hebben? Die wegwijzer moet ergens op de weg van Driebergen naar Arnhem gestaan hebben? Waar precies? Hoe kunnen we een ‘schaalmodel’ maken van de aarde, maan en zon? Kunnen we ook de grootten van de hemellichamen op die schaal maken? Leg eens uit waarom de zon en de maan even groot lijken als ze aan de hemel staan? Weet je een manier om de snelheidsmeter in de auto van je vader (of een ander) te controleren? Kun je uitrekenen hoeveel de afstand van 12 cm op een kaart met schaal 1 : 100 000, in werkelijkheid is?

11 Stok-schaduwmodel

Zet een stok van één meter verticaal op het schoolplein en meet met vaste tussenpozen de schaduwlengte op. Gebruik de verhouding stok-schaduw om de hoogte van een boom, schutting, hek, muur of iets dergelijks in de buurt te vinden. Let eens op de driehoeken, die hebben dezelfde vorm.

250

12 Dichtheid en mengverhouding

“Pap kom eens kijken, deze struik zit vol bosbessen, hij ziet helemaal blauw, de blaadjes zie je haast niet meer!” We kwamen allemaal aanrennen, misschien zaten er op die fantastische plek van Bride nog meer van die struiken. “Poeh, wat een klein struikje”, riep Jannes mijn andere spruit, “de mijne ziet wel niet zo blauw, je ziet meer blaadjes, maar er zitten veel meer bessen aan! Ik ga terug.” “Dat kan niet!” zei Bride, “ik heb nog nooit zo’n volle struik gezien.”
Wie heeft er gelijk? Als je rekening houdt met de grootte, verhoudingsgewijs dus, dan zitten er absoluut gezien misschien wel meer bessen aan de struik van Jannes, maar relatief gezien zijn het er minder.
Verhoudingsgewijs … in verhouding tot wat? Relatief … ten opzichte waarvan?
Als de struik van Jannes even groot was als die van Bride dan zaten er aan zijn struik minder bessen. Om Bride gelijk te geven moet je dus beide struiken even groot denken, terwijl je de blauwheid -dat is de verhouding tussen bessen en blaadjes- van elke struik gelijk laat en de afmetingen in gedachten verandert.

13 Verhoudingen in de breukenleergang

Zie hoofdstuk 5 en denk in het bijzonder aan de introductie van de dubbele getallenlijn. Ook het breukenelastiek is gebaseerd op inzicht in verhoudingen.

Enkele opgaven ertussendoor: Ze kunnen nu ook verhoudingsopgaven aan. Voorbeelden:

• Dit recept… is voor vier personen er komen negen gasten, …

• Mijn flat is keer  1½  zo hoog als die aan de overkant, die is 20 meter hoog Hoe hoog is mijn flat ?

• De vader van Brandaan ziet op zijn dashbord dat de benzinetank nog maar voor ongeveer  2/5    gevuld is. Er passen 70 liter in een volle tank. Maar er moeten nog heel wat kilometers gereden worden voor hij thuis is. Hoeveel liter ongeveer zit er nog in die tank?
Deze opgave is heel goed op te lossen met de dubbele open getallenlijn.

14 Introductie en verkenning van de verhoudingstabel

Het begint eigenlijk al bij de tafels van vermenigvuldiging, een rij als 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … hoort bij de rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Zet je beide rijen in één mooi schema:

dan heb je een verhoudingstabel, met vele eigenschappen om al te verkennen. Bijvoorbeeld in de bovenste rij 1 + 4 = 5, geeft in de onderste rij ook een juiste optelling: 3 + 12 = 15. Logisch, zeggen we later, alle getallen zijn naar verhouding vergroot (vermenigvuldigingsfactor 3).

251

In de lessen over breuken, in de vijfde klas, komt de verhoudingstabel uitvoerig in beeld. Daar ziet men dat een breuk ook steeds een verhouding weergeeft, waarbij een deel (teller) op een geheel (noemer) betrokken wordt.

Kinderen kunnen het ‘relatieve’ van de getallen in de context van verhoudingen ook (leren) ervaren, wanneer ze bezig zijn met gelijkwaardige breuken. Met het breukenelastiek (blz. 191) is dit ook mooi te demonstreren. We hoeven het hen daarbij nog niet in abstracte zin bewust te maken, maar ze werken er mee wanneer een gelijkrij wordt aangelegd:

De verhoudingstabel is op te vatten als notatieschema (om evenredigheden in op te slaan) en rekenschema (om te rekenen met verhoudingsgetallen) voor het oplossen van verhoudingsproblemen. Hiermee kunnen we nu verschillende opgaven te lijf:

• Hoeveel kwartjes in 13 gulden?

• Als 1 Franse franc ongeveer 32 cent is, hoeveel gulden krijg je dan ongeveer voor f 250,-?

De benadering scheelt dus ongeveer 0,12 francs, laat maar zitten.

• Als 0,25 % van een bedrag f 70,- is, hoe groot is dan het hele bedrag?

Procenten zijn dus op te vatten als op 100 genormeerde verhoudingen. (In plaats van 1 : 4 zegt men dan 25 : 100, ofwel 25%).

• We kopen in voor f 12.500,-; we willen 8 % winst maken. Wat is de nieuwe prijs?

In dit voorbeeld zien we dat uit verhoudingen (inkoop : winst) nieuwe verhoudingen (inkoop : verkoop) door optelling (en de andere basisbewerkingen) te vormen zijn. De verhoudingstabel maakt dat rekenwerk overzichtelijk.

252

15 Verhoudingen bij procenten

Procenten zijn verhoudingen met die bijzonderheid, dat de verhouding steeds ten opzichte van het getal 100 wordt beschouwd.( zie ook H 6.3) Dat maakt het vergelijken van twee of meer ongelijke verhoudingen gemakkelijker.
Welk grijs is donkerder: 17 witte puntjes op 19 zwarte, of grijs van 33 wit en 37 zwart? In het eerste geval zijn er 17 wit op een totaal van 36, in het tweede geval 33 wit op een totaal van 70. Hoeveel procent?
17 op 36 is
(17 : 36 = 0,4722222… = 0,472 =  472/1000   =) ongeveer 47,2%.
En 33 op 70 is
(33 : 70 = 0,4714285… » 0,471 = 471/1000   =) ongeveer 47,1%!

16 Rekenregels met letters in verhoudingen

Twee gelijkvormige driehoeken, de ene met zijden p = 5,0;   q = 5,5;   r = 7,5.
De andere met zijden a; b; c.
Als a = 10,0 bereken dan b en c. Een opdracht, die met behulp van een verhoudingstabel eenvoudig tot een oplossing leidt.

17 Op onderzoek naar het getal π

Het gaat om de onveranderlijke verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn (of straal). Laat de kinderen dit merkwaardige verschijnsel nameten aan allerlei cirkelvormige figuren: rijksdaalder, schoteltje, kopje, bord, lampenkap, … Verzamel de gegevens in een mooie tabel en laat de verhouding (= quotiënt, de uitkomst van een deling) uitrekenen tot achter de komma. Wie bedenkt vervolgens een formule voor de omtrek van alle cirkels?
Zou er ook een formule bestaan voor de oppervlakte van een cirkel?

18 Lineaire verbanden in formules
Verder in de zevende klas (H 7).

253

6.3 Procenten

Uit de Cijfferinge van Mr. Willem Bartjens, 1 February, 1763.

Geschiedenis

Bovenstaande opgave is overgenomen uit een van de vele herdrukken van het beroemdste rekenboek in de Nederlandse taal, de Cijfferinge van Willem Bartjens. Het woord ‘procent’ komt er niet in voor, maar het gaat wel over procenten, men wil namelijk van die 600 gulden 7 ten honderd rente per jaar ontvangen. Dat is van elke 100 gulden er dus 7 gulden op toe krijgen. Of anders gezegd: voor elke 100 gulden die je uitleent, krijg je er na één jaar 107 terug.
De eigenlijke vraag is in dit geval anders, en behoorlijk lastig: “Wat mag je verwachten te ontvangen als men je nu contant terugbetaalt?” Dan kun je dat bedrag zelf op rente zetten en dan groeit het successievelijk weer in drie jaar aan tot 600 gulden.
De antwoorden en de berekeningen zijn er in het boek bij gegeven. Voor het rekenen is gebruik gemaakt van de ‘Regel van Drieën’. Eigenlijk de ‘Verkeerde Regel van Drieën’, die in de regel 107____100____200 | 186  98/107      tot uitdrukking is gebracht: “zoals 100 groeit tot 107, zo groeit het getal dat ik zoek tot 200.” Wie de goede opstelling van de getallen heeft,107____ 100____ 200 , kan gaan rekenen, middelste getal maal het meest rechtse, gedeeld door het meest linkse getal:  100 x 200/107    = 186 98/107  

Wie denkt dat deze opgave in het rekenprogramma van de vrijeschool anno 2000 thuishoort, heeft het mis. De opgave kan hoogstens als uitdaging voor een rekenbolleboos achter de hand worden gehouden. Nee, deze opgave is bedoeld om te laten zien dat het rekenen met procenten niet van de laatste tijd is en dat het behoorlijk lastig kan zijn om een ogenschijnlijk eenvoudige opgave met de gegeven middelen op te lossen.

254

De geschiedenis van het procentrekenen gaat verder terug dan het begin van de zeventiende eeuw, toen de eerste druk van de Cijfferinge uitkwam. Reeds de Grieken konden al tegen betaling geld lenen bij de bank. De rente werd vastgesteld per 100 drachmen. In de Middeleeuwen en daarna kende men het verschijnsel, dat boeren een tiende deel van de opbrengst van hun land moesten afstaan aan de kerk. In Brabant vindt men nog steeds landerijen die in het verleden van een dergelijke belasting vrijgesteld waren .’Tiendvrij’ werden deze stukken land genoemd. Toen zich in de twaalfde eeuw de handel en dus ook het boekhoudkundig rekenen begonnen te ontwikkelen, behoorde daartoe ook het rekenen met procenten.
Simon Stevin (1548-1620) stelde Tafelen van Interest samen om het berekenen van rente gemakkelijker en sneller te maken. Soortgelijke ‘tafels van rente’, of beter ‘kortingstafels’, vinden we heden ten dage in grootwinkelbedrijven, als er weer uitverkoop is.
Het woord procent (percent) komt van ‘per honderd’, of ‘ten honderd’, zoals in de opgave uit het boek van 1763. Op een gegeven moment is ook het symbool % uitgevonden.
Zo te zien werden aanvankelijk de procenten alleen gebruikt in de context van rente, maar momenteel komen ze in allerlei andere contexten voor. Denk maar aan ‘geen alcohol in het verkeer’ met alcoholpromillage en -percentage. Of aan de samenstelling van vezels in kleding (50% wol). Andere contexten zijn bevolkingssamenstelling, werkeloosheid, ziekteverzuim, AOW, loonsverhoging, winst en verlies, belasting, prijsverlaging, inflatie, koopkracht, uitverkoop, BTW, de discount, stoffen oplossen in een vloeistof, legeringen, kijkdichtheid, hypotheek, …
Procenten zijn niets anders dan verhoudingen. Als je wilt weten welke verhouding groter uitvalt, 17 op de 35 of 19 op de 39, dan kun je beide verhoudingen herleiden tot ‘per honderd’; 17 : 35 = 49 : 100 en 19 : 39 = 49 : 100. Allebei dus ongeveer 49 procent. Reken je wat nauwkeuriger, dan blijkt de eerste ongeveer 48,6 en de tweede ongeveer 48,7 procent te zijn. (Je vindt dat bijvoorbeeld door de delingen 17 / 35 \… en 19 / 39 \… te maken, en af te lezen ‘hoeveel honderdsten’ er zijn. Hiermee is dan ook weer een verbinding gelegd met de decimale breuken).

Achtergronden

In de veertiende voordracht van Erziehungskunst, Methodisch-didactisches koppelt Rudolf Steiner de behandeling van de rente, de procenten en het disconto aan de leeftijd van twaalf jaar. Hij stelt dat rond deze leeftijd de laatste instincten van de ziel overwonnen moeten worden door het oordeelsvermogen. Duidend op de renteberekening voegt hij er de waarschuwing aan toe, dat we met de genoemde stof niet te laat moeten zijn. Op de leeftijd van twaalf jaar zijn in het kind de innerlijke egoïstische gevoelens nog niet ontwaakt. Het werken met procenten in de context van renteberekeningen, appelleert dan nog niet aan een mogelijk sluimerende hebzucht.
In de dertiende voordracht van Erziehungskunst, Seminarbesprechungen und Lehrplanvortrage ligt de nadruk op de
overgang van interestformule

R = K x P x T
                 100                 
naar de algebra. In die voordracht komen ook andere onderwerpen aan de orde, die destijds maatschappelijk relevant waren, zoals rabat, emballage en het rekenwerk met betrekking tot een wis-

255

sel. Handelsrekenen, zeggen we nu. De relevantie voor het reken-wiskundeonderwijs van nu heeft zich gewijzigd.

We kunnen ons afvragen of Rudolf Steiners aanwijzingen voor het leerplan gelden voor het hele gebied van de procenten. We menen van niet, de dominante context van weleer, de renteberekening, is vervangen door een scala van andersoortige contexten, waarvan vele een duidelijke maatschappelijke relevantie hebben zonder in direct verband te staan met het vermeerderen van eigen bezit of vermogen.

Bakens voor een rekenperiode over procenten zijn:

• Procenten worden visueel in beeld gebracht.
• Schattingen maken van percentages in concrete voorstellingen.
• Percentages van stroken; percentages bepalen met ‘breukenelastiek’ (met een indeling ‘in 100’); gebruik leren maken van de dubbele lege getallenlijn.
• Gebruik leren maken van de verhoudingstabel (zie blz. 251) om percentages te berekenen.
• Procenten als groei/krimpfactor.
• Toepassingen.

Procenten in de zesde en zevende klas

Vragen, waarvoor op dit terrein samen met de leerlingen een antwoord gezocht moet worden, zijn:

• Waar zijn we het % begrip (al) tegengekomen?
• Wat zijn procenten?
• Waarvoor gebruikt men procenten?
• Wat is de meerwaarde van procenten ten opzichte van gewone en decimale breuken?
• Hoe rekent men met procenten?
• Hoe kun je het reken- en denkwerk bij procenten ondersteunen?
• Wat zijn de knelpunten bij het procentrekenen?
• Welke toepassingen zijn er?
• Wat is het verband met decimale breuken?
• Wat is het verband met verhoudingen?

Gezien het veelvuldig gebruik van procenten en de vele contexten, waarin dit gebruik zinvol is, is het verstandig in de vijfde klas al te beginnen met een periode procenten. Het onderwerp procenten wordt eerst verkend, het gaat dan om een inventarisatie van hetgeen de kinderen al weten of denken te weten. Vervolgens wordt het onderwerp nader onderzocht met voorbeelden uit de eigen omgeving. Het gaat om de begripsvorming, het idee dat procenten bijzondere verhoudingen zijn (tegen de achtergrond van 100) of breuken, waarvan de eenheid niet 1 is maar 100 is geworden. Natuurlijk komen dan ook de visuele voorstellingen in beschouwing, ze zijn bij de breuken net aan de orde geweest.

256

En als bij de breuken de dubbele getallenlijn (zie blz. 218) in gebruik is genomen, kunnen de procenten ook op dat schematische niveau tot ontplooiing komen. De bemiddelende grootheid is nu 100.

Het werken met stroken kan hieraan voorafgaan, het breukenelastiek als procenten’meter’ voor ‘liefhebbers’, als toegift er achteraan.
Procenten worden gekoppeld aan het begrip verhouding, de begripsvorming bij de kinderen gaat vooraf aan het verwerven van rekentechniek; van de traditionele ‘1% didactiek’ is geen sprake.
Het verband met breuken kan als volgt duidelijk worden: ½ = 1/25       =0,25 is 25%

In de zesde klas kan een tweede periode aan (onder andere) de procenten gewijd worden. Nu kunnen de door Rudolf Steiner aangegeven ontwikkelingsdoelen verwezenlijkt worden. Ook kan de dubbele lege getallenlijn verder geëxploiteerd worden, de verhoudingstabel in gebruik worden genomen, veel toepassingen als uitgangspunt worden gekozen en, meer theoretisch van aard, het verband met de decimale breuken onderzocht worden.

Hoe maak je van   3/8   de decimale breuk 0,375? Bijvoorbeeld via 1/8         , waarvan je wist dat het 0,125 is. Misschien wist je dat indirect, omdat bij het hoofdrekenen het getal 1000 al meer dan een keer ontbonden was in 8 x 125, eventueel aanvankelijk door drie keer te halveren: 1000; 500, 250, 125. Of nog indirecter, omdat je de decimale breuk 12,5 goed kunt thuisbrengen, als het achtste deel van 100. Maar de herleiding hoeft natuurlijk niet te lopen langs 3 x 0,125; je kunt ook  3/8 ineens aanpakken, en de deling 8 / 3, 000 \… gaan maken
Wie bij deze opgave zijn zakrekenmachientje kan gebruiken, is er met vier welgekozen toetsen uit. Met de weg terug, om van 0,375 weer een gewone breuk te maken, kan een gewone zakrekenmachine geen hulp bieden. (Dat kan een bijzondere uitvoering van de zakrekenmachine wel. We denken hier aan de Galaxy 9x van Texas Instruments, waarop je met gewone breuken en decimale breuken kunt rekenen. Het is een zakrekenmachine die speciaal voor het onderwijs is ontworpen.)

Het rekenen met procenten moet na deze tweede rekenperiode natuurlijk niet in het vergeetboek raken. Welnu, het leven van alledag levert genoeg op om ze af en toe nog eens voor het voetlicht te halen. De fouten, die op dit gebied regelmatig gemaakt worden, vormen een rijke bron voor opgaven. Een voorbeeld:
‘Het ministerie van onderwijs heeft de oorspronkelijke vraagprijs van 1,2 miljoen gulden voor de lhno-school de Oesterschelp in Tholen met bijna 100% verlaagd tot 608.000 gulden. Voor die prijs kocht de gemeenteraad maandagmiddag het pand aan. De Eendrachtbode.’

257

Rekenen met procenten (I)

De opgave uit de Cijfferinge, waarmee deze paragraaf begon, werd destijds opgelost met de (Verkeerde) Regel van Drieën. Een ondoorzichtige rekenregel, die bij juist gebruik tot de goede uitkomst voert. Is men in staat goed in verhoudingen (evenredigheden) te denken, dan kan hetzelfde resultaat, via dezelfde berekening, bereikt worden.

Hoe was het ook weer? Het ging om 200 gulden, te betalen over één jaar. De vraag was wat er er nu contant betaald zou moeten worden (bij een rente van zeven procent per jaar), zodat dit bedrag over één jaar aangegroeid is tot de verschuldigde 200 gulden. Je denkt dan eerst aan een groei van 100 (procent) tot 107 (procent). Dit leidt tot de evenredigheid 107 : 100 = 200 : … Want de verschuldigde 200 gulden komt overeen met het aangegroeide bedrag van 107, en het gevraagde bedrag met 100. De hoofdeigenschap van evenredigheden levert 107 x … = 100 x 200, zodat je het gevraagde bedrag vindt via  100 x 200/107

In een bekende rekenmethode uit de jaren vijftig (Ik Reken, van P. Bosdijk) werden evenredigheden geschreven in de vorm van verhoudingsblokken. Een prachtige didactische vondst, die in één slag de bekende verhoudingssommen van die tijd tot een peulenschil maakten.

Ons instapprobleem zou met de verhoudingsblokken aldus opgelost zijn:

In die tijd, maar ook daarvoor en ver daarna, namelijk tot op de dag van vandaag, worden procentberekeningen veelal via ‘de 1%-methode’ gemaakt. Het verhoudingsidee is hier volledig verdwenen, men volgt in dat geval slaafs de regel: ‘neem eerst 1 procent’.

Ook in het geval dat bijvoorbeeld 10 procent van 15,45 moet worden berekend: 1% van 15,45 = 0,1545; 10% is 10 x 0,1545 = 1,545. Of, nog merkwaardiger, 75% van 64:1% van 64 = 0,64; 75% is 75 x 0,64 = … In plaats van| te nemen van 64, bijvoorbeeld als de helft (32) plus de helft van de helft (16) is 48.

Rudolf Steiner zegt in de dertiende werkbespreking, dat iemand die deze berekeningen beheerst (bedoeld worden renteberekening en rabatberekening), de werkwijze van het hele rekenen beheerst. Met deze uitspraak heeft Rudolf Steiner waarschijnlijk op het centrale belang van verhoudingen willen wijzen. Het hele rekenen is doortrokken van het verhoudingsbegrip. Dat geldt niet alleen de procenten, maar ook de gewone en decimale breuken, de meetkunde, het meten, begrippen als (bevolkings-, kijk-, massa-)dichtheid, kans, gehalte en ook de getallenlijn. Merkwaardig genoeg is ons slechts één plaats bekend waar Rudolf Steiner

258

de verhoudingen noemt. Dat is in het leerplan voor de gecombineerde klas 5/6, opgesteld op 25 mei 1919: “Verhoudingen zouden heel goed in samenhang met procenten behandeld kunnen worden.”
In het realistisch reken-wiskundeprogramma van nu wordt deze gedachte gerealiseerd, zij het dat het begrip verhouding het eerst onderwerp van studie is en het rekenen met procenten wordt gebaseerd op de notie van verhouding.

Rekenen met procenten (2)

Op dit gebied zijn niet zoveel opgaven te bedenken, die wezenlijk van elkaar verschillen.
Welke procentenopgaven kun je tegenkomen?
In de eerste plaats moet je een bepaald percentage van een gegeven bedrag kunnen berekenen. Al naar gelang de gegeven getallen kies je een geschikte rekenwijze. Soms is het voldoende een grove schatting te maken. In dat geval, maar niet alleen, is het bezitten van een visuele voorstelling een prettig hulpmiddel.
De omgekeerde opgave is lastiger, je moet bijvoorbeeld berekenen hoeveel procent 37,50 is van 245 (gulden). In het algemeen leerde men daar, op basis van de 1%-methode, een algoritme voor. Maar dat zouden we nu handiger kunnen doen met de zakrekenmachine, denkend aan verhoudingen en decimale breuken. Je toetst 37.5 : 245 = en leest af 0.1530612. Wetend dat een percentage de verhouding tot 100 aangeeft, neem je van het venstergetal alleen het deel wat je kunt gebruiken: 0,15. Dat is  15/100  , of wel 15 procent. Een goede rekenaar vraagt zich toch nog even af of hij geen (toets)fout gemaakt heeft, en maakt daarom nog een schatting. Hoeveel procent is 40 van de 250? O, dat is 160 van de 1000, dat is 16 van de 100, dat is 16 procent. Niet gek!

Een ander type opgaven gaat over groei of krimp, prijsstijging of prijsdaling, loonsverhoging of premieverlaging en dergelijke. In het algemeen werden dit soort opgaven in de vorige categorie geplaatst.
Bijvoorbeeld: op een bedrag van 65 euro wordt 15% korting gegeven. Hoeveel te betalen? Neem 1% van 65, … Momenteel, mede met het oog op komende wiskunde, pakken we de zaak anders aan: te betalen 0,85 x 65 = 55,25.
We zetten de rekenwijzen nog even op een rijtje aan de hand van het volgende sommetje

259

Rekenwijze 1: de visuele voorstelling
Hier is de situatie van het ‘bedrag + BTW’ op een strook afgebeeld. Het verdelen van de strook, in zes gelijke porties, vraagt inzicht in de betekenis van ‘20% erbij’. Is de voorstelling tot stand gekomen, dan is het rekenwerk uit het hoofd te doen: deel 204 door 6; dat is 102 : 3, dat is (bijvoorbeeld) 99 : 3 = 33 plus 3:3 = 1, samen 34. Nettoprijs, zie strook, 5 x 34 = 170.

Rekenwijze 2: de dubbele lege getallenlijn
Deze is eerst in het geval van de gewone breuken in de vijfde klas geïntroduceerd en wat daar geleerd is, kan nu zijn vruchten afwerpen. De bemiddelende grootheid is in het geval van de procenten altijd 100 (zo nodig 1000).
In dit geval is er sprake van een denkmodel. De lijn noodt uit om de gegeven getallen op een rijtje te zetten, hetgeen aanwijzingen geeft voor de uit te voeren berekening. Hoe kom ik van 204 naar …? Dat moet op dezelfde manier als van 120 naar 100. Een stap van 20 terug, dat is (‘verhoudingsdenken!) een zesde deel terug.
Hier wordt duidelijk dat bekendheid met het werken met verhoudingen op dit niveau heel noodzakelijk is.

Rekenwijze 3: verhoudingstabel
De verhoudingstabel is een bruikbaar notatieschema dat grote verwantschap vertoont met het eerder genoemde verhoudingsblok. Het schema is zo ingericht, dat de berekening er stap voor stap en meer in algoritmische zin gemaakt kan worden.
Hier staat de vraag in schemavorm geformuleerd: als 204 overeenkomt met 120 (procent), wat komt dan overeen met 100 (procent)? Rekentechnisch ligt het voor de hand om door 6 te delen:

260

Rekenwijze 4: de vermenigvuldigingsfactor
Deze aanpak is al eerder genoemd. Hij is meer verwant met het letterrekenen en de algebra. Nu kunnen we hem nader uitwerken. De vraag was hoe we 100 procent kunnen vinden als 204 euro gelijk is aan 120 procent.
Noem het gevraagde nettobedrag G. G staat dus voor een nog niet bekend getal, dat hier voor 100 procent doorgaat. Er komt 20 procent bij, dat is 0,20 x G. G groeit zo aan tot G + 0,20 G = 1,20 x G. Hier staat de essentie van deze rekenwijze: 120% van G is hetzelfde als 1,20 x G (of 1,2 x G). Anders gezegd:
Bij een groei van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 1,20. En natuurlijk bij een krimp van 20% is er een vermenigvuldigingsfactor van 0,80. En bij een prijsverlaging van 12% worden de prijzen met 0,88 vermenigvuldigd.
De boormachine kostte dus netto 204 :1,2 euro, dat is 170 euro.

Een verrassend probleem:
De boormachine kostte netto € 170,00. Maar er moest f 204,00 betaald worden. Dat scheelt € 34,00.Hoeveel procent is de nettoprijs lager dat hetgeen ervoor betaald moest worden? Hoeveel procent is 34 van 204? Dat is (schatting) krap 17%. Hoe zit dat nu met die 20% BTW?
Zie ook het krantenbericht (probleem) over de lhno-school in Tholen (blz. 257).

Een nog verrassender probleem:
Bij een discount wordt op een artikel van € 375,00 12% korting gegeven. Bij de kassa moet je nog 18% BTW betalen. Zou het niet goedkoper zijn als je eerst de BTW betaalde, en dan van dat hogere bedrag de korting nam?
Nee hoor, de volgorde doet er niet toe. Reken maar mee. Geval 1 leidt tot 0,88 x 1,18 x 375 en geval 2 tot 1,18 x 0,88 x 375. Je hoeft niet eens te rekenen, je doorziet het met deze rekenwijze direct.

Ideeën voor rekenwerk met procenten

Na de tekenles werden alle citroengele kleurpotloden verzameld. Toen ze naast elkaar gelegd werden, bleek dat sommige potloden veel vaker gebruikt werden dan andere. Hoe kun je iets (getalsmatigs) zeggen van dat gebruik? Met procenten! Hoeveel procent is van een gegeven potlood gebruikt?
Al snel besloten we om de lengte van een ongebruikt potlood op 100 procent te stellen. Dat potlood bleek 17 cm lang. We dachten meteen aan een strook van 17 cm, die op 100% moest worden gesteld. Een dubbele getallenlijn mag ook.
Iedereen kon aan het werk om de verbruikspercentages van de potloden te bepalen. Het breukenelastiek werd ook nog even erbij gehaald. Dat was om de verdeling van 17, in tien gelijke delen snel af te handelen.

Na het kleurpotlodenvraagstuk heb ik de ‘procentenmeter’ geïntroduceerd. Met dat ‘instrument’ kun je de kinderen mooi de relativiteit van procenten laten zien.

261

De overeenkomst met het breukenelastiek is treffend en de kinderen moeten dat zelf kunnen ontdekken. De uitrekking van het elastiek, waarbij de onderlinge verhoudingen in takt blijven, komt overeen met de meetkundige vermenigvuldiging, die op de percentagemeter tot stand wordt gebracht.

De kleurpotlodendoos

Hoeveel procent is het potlood afgeslepen? Zie tekening hieronder. Schuif het hele potlood zover naar rechts, dat de punt precies tegen de schuine lijn, die naar 100% loopt, aan past. Trek dan een lijn door het startpunt links onder en de bovenkant van het afgesleten potlood. Die lijn snijdt de verticale ‘schaal’ rechts in een punt P. Als de schaal van 0 tot 100 netjes is aangegeven, kun je het percentage zo aflezen.

Het kledingstuk

Tijdens een gesprek over procenten kwam al snel naar voren dat in bijna ieder kledingstuk een etiket zit waarop de samenstelling van de vezels vermeld staat. Er waren kinderen die konden vertellen waarom de fabrikant dat deed. Voor de aardigheid hebben we een paar kledingstukken gewogen en vervolgens uitgerekend hoeveel gram wol (knotten van 50 en/of van 100 g) (katoen) ervoor gebruikt was.

Segment- en sectordiagrammen

We hebben eerst uit de vrije hand cirkels verdeeld in gegeven percentages. Ook hebben we grove schattingen gemaakt bij gegeven sectordiagrammen.

262

Het buurtcentrum

De wijk krijgt een nieuw buurtcentrum. Hoe zal de verdeling van de ruimten eruit komen te zien? In een enquête wordt naar de voorkeur van de buurtbewoners gevraagd. Men kan kiezen uit: Lezen/bibliotheek, (jazz)ballet, sport, koken, spel, techniek/hobby, muziek en toneel.
Nu wordt de klas in groepen verdeeld van zo’n acht à tien kinderen. Elke groep maakt zijn keuzen in een sectordiagram op een groot vel zichtbaar. Die vellen worden voor de klas gehangen.

Daarna zijn we in groepjes allerlei statistische gegevens van de klas gaan verwerken in segment- en sectordiagrammen. De groepen mochten zelf bepalen hoe en wat. Eerst dienden ze de gegevens te bepalen en vervolgens moesten ze de verwerkingsplannen even met mij bespreken. Als voorbeeld hebben we eerst samen een sectordiagram gemaakt van het aantal jongens en meisjes in de klas. Daarvan konden we percentages schatten en de schattingen hebben een paar kinderen toen met precieze berekeningen geverifieerd.
De volgende onderwerpen werden door de kinderen zelf gekozen: Bedtijden, met/zonder beugel, zakgeld, favoriete snoepgoed, sport.

Fouten opsporen

Er zijn inmiddels in de media al heel wat verhalen met fouten op het gebied van procenten, gepubliceerd. Hieraan is het heerlijk werken. De kinderen voelen zich uitgedaagd en willen zelf ook op zoek gaan. Hier een paar voorbeelden. Ze zijn niet allemaal even gemakkelijk, sommige horen pas in de zevende klas thuis.

Voorbeeld 1: Samen 27 procent

Uit onderzoek is gebleken dat 12% van de leerlingen die naar de mavo gaat, niet goed kan lezen en 15% niet goed kan schrijven. We kunnen er dus vanuit gaan dat meer dan een kwart van de aanstaande mavoleerlingen met onvoldoende taalvaardigheid beginnen •••!(?)

263

Voorbeeld 2: Zeventien procent van …
Een reclame campagne van Dirk van den Broek:

Moet dat eigenlijk niet ruim 14% zijn?

Voorbeeld 3: Verdubbeling

United verdubbelt de toegangsprijzen

MANCHESTER (Rtr) -Manchester United verhoogt volgend seizoen de prijs van de toegangsbewijzen met 50 procent …

Voorbeeld 4: Honderd procent per dag?

(…) Het inflatiespook, dat vrijwel heel Latijns Amerika tot zijn jachtgebied heeft gemaakt, is kind aan huis in Nicaragua. In 1988 gierde de geldontwaarding omhoog tot een percentage tussen de 32.500 en 36.000. “Ik zeg altijd maar: honderd procent per dag. Dat rekent lekker makkelijk”, grapt een westerse diplomaat in Midden-Amerika. (…)

Ten slotte

Hoe zou men de opgave van Willem Bartjens, waarmee deze paragraaf over procenten begint, nu – in de zevende klas – oplossen? Misschien wel met de vermenigvuldigingsfactor en een zakrekenmachine?

6.4 Geometrie

Voorbereidend periodeonderwijs meetkunde in de vijfde klas

De eersteklasser weet het al; als je later groot bent en bijna aan het eind van de gang zit (in de zesde klas) maak je van die mooie grote tekeningen met ‘rondjes door elkaar en allemaal kleuren!’ Een geliefd toekomstbeeld om naar uit te zien! De meetkunde, als wiskundig vak, vindt zijn aanvang in het onderwijs als het heldere denken begint te ontwaken. Het oordelend vermogen van de leerlingen wordt sterker en de zesdeklasser vindt zijn weg in het sociale leven en gaat op zoek naar ‘law and order’. De kinderen gaan, zogezegd in de voetsporen van Caesar, letterlijk en figuurlijk het dagelijks leven strijdlustig tegemoet. Dam- en schaakspel, door orde en wetmatigheid geleid, worden geliefde en zinvolle bezigheden in regenachtige pauzes.

We gaan ervan uit dat het denken van een kind zich in dezelfde fasen ontwikkelt (in één leven), als het denken van de gehele mensheid in de opeenvolgende
cultuurtijdperken.
In de vrijeschool zijn de meetkundelessen bedoeld als een bijzondere bijdrage aan de scholing van het denken. Het leerplan voor geometrie (en algebra) laat

264

zien, dat de kinderen de ontwikkeling van het denken in de geest der geschiedenis opnieuw kunnen meemaken. We doorlopen als het ware iedere fase uit de geschiedenis van de geometrie en geven de leerlingen de gelegenheid en ruimte om hun wiskundige talenten naar eigen vermogen te ontwikkelen. Door het herbeleven en zelfstandig beoefenen van de klassieke meetkunde ontstaat een vruchtbare bodem voor de leerstof in een volgende (ontwikkelings)fase. Meetkunde draagt zo bij aan de ontwikkeling van het denken en reflecteren (dat is denken over het eigen handelen, dus ook het mentale handelen, dus ook het denken zelf). De interactie van de mens met de hem omringende wereld stimuleert de ontwikkeling van vermogens die het abstracte denken mogelijk maken.

In de Oudindische en Perzische cultuur, de periode die onderdeel uitmaakt van het geschiedenisonderwijs in de vijfde klas, was de mens één geheel met het heelal. Omdat de mens nog niet beschikte over een eigen bewustzijn, werd hij geleid door de goden. In Egypte leidden de ingewijden (de priesters) het volk, als plaatsvervangers van de goden. Op oude Egyptische voorstellingen en inscripties zien we dat de priesters, die wiskundige handelingen voor het volk verrichtten, zoals bijvoorbeeld landmeten, als goden werden afgebeeld.

In de Griekse cultuur komt een verandering tot stand. De mens probeert bewust kennis te verkrijgen over de goddelijke wereld middels het beoefenen van de natuurwetenschappen en filosofie. De afstand tussen mens en goddelijke wereld wordt groter, de mens wordt zelfstandiger.
In de geschiedenislessen van de zevende klas zien we dat het tot ver in de Middeleeuwen duurt tot er verandering komt in het klassieke wereldbeeld. In de Nieuwe Tijd gaat Copernicus voorop. Hij ontdoet zijn waarnemingen van alle mythische elementen en maakt hemel en aarde tot een kwantitatief ruimtelijk geheel. Niet de aarde, maar de zon beschouwt hij als middelpunt van de wereld. De acceptatie van zo een afwijkend standpunt verloopt niet zonder strijd tegen de gevestigde orde. De kinderen maken in deze periode kennis met de levensloop van verschillende grote natuurwetenschappers, met Leonardo Da Vinei als centrale figuur. Het denken van deze geleerden staat model voor wat in de zevendeklasser ontwaakt.

In de vrijeschool staat, net als in de scholen van de Griekse wijsgeren, al het onderwijs en zeker de wiskunde in dienst van de vorming van de gehele mens. Kennisinhouden en denkvaardigheid, ingebed in het grote geheel, geven de mens de mogelijkheid het denkend handelen te toetsen aan Goedheid, Schoonheid en Waarheid. In het bijzonder in de meetkundelessen wordt dit zichtbaar.
Voor het leerplan wiskunde, dat in de laatste klassen van de onderbouw aanvangt, heeft de keuze van deze historische leerroute grote consequenties. De

265

meest recente ontwikkelingen in de wiskunde krijgen namelijk zo pas laat een plaats in het curriculum. Zeker met betrekking tot de nieuwe ontwikkelingen in deze eeuw is er nog veel te onderzoeken. De laatste ontwikkelingen, die onder meer voerden tot een algebraïsche meetkunde en/of een meetkundige algebra, hebben sinds de jaren ’50 hun weg in het Nederlandse onderwijs gevonden. Resultaten ervan zijn nu ook zichtbaar in de reken-wiskunde programma’s van de basisschool en de basisvorming.

Een gefundeerd onderzoek naar de kwalitatieve betekenis van de nieuwe wiskunde en de veranderende inzichten in het wezen van de wiskunde zal, voor het vrijeschoolonderwijs, nodig zijn om zicht (geesteswetenschappelijk inzicht) te krijgen op het waarom, hoe en wanneer van het invoeren van de grondprincipes uit deze nieuwe onderwijsinhouden.

In deze paragraaf beperken we ons tot het geven van ideeën voor periodelessen meetkunde, gegeven vanuit de visie dat het meetkundeonderwijs enerzijds een algemeen pedagogisch ontwikkelingsdoel dient, maar anderzijds ook een relatie heeft met de directe levenspraktijk van het kind.

Periode-opbouw in de vijfde, zesde en zevende klas

In aansluiting op de geschiedenis van de Egyptische, Babylonische en Griekse cultuur, waarvoor in de vijfde klas al een aanzet is gegeven, verkennen we de meetkunde uit die tijd. Dit neemt een korte periode van veel doe-werk in de vijfde klas in beslag en bereidt voor op het geometrie-onderwijs in de zesde klas. De werkzaamheden zullen vooral een ‘handvaardig’ karakter hebben.
In het woord ‘geometrie’ lezen we de herkomst: het opmeten van de aarde (bijvoorbeeld van stukken land). Het vak werd in aanzet ontwikkeld door de Egyptenaren, die daartoe door de omstandigheden werden genoodzaakt. Als de jaarlijkse overstroming van de Nijl de akkers met een dikke en vruchtbare
sliblaag had bedekt, deelden de priesters (wiskundigen), als bemiddelaar van de goden, het land opnieuw in. Ze gebruikten daarvoor twee stokken en een stuk touw met een vaste lengte.
Verschillende lengten werden vergeleken door de stokken in de grond te zetten, maar er werd ook met oppervlakte gewerkt. Eén stok vast in de grond en met de ander werd een cirkel in het zand getrokken. Door dit te herhalen met hetzelfde touw, en ondertussen de positie en rol van beide stokken te verwisselen, konden landstukken worden afgepast.
Er werden geen tekeningen gemaakt. Al het meetwerk werd ter plekke uitgevoerd (zie blz. 265).

Ook kenden zij het ‘twaalf-knopen touw’. Een touw met twaalf knopen op gelijke afstanden, waarbij de einden in een van de knopen aan elkaar zijn gebonden. Met behulp van zo’n touw kunnen rechte hoeken worden uitgezet.

266

De Egyptenaren gaven aan de bijbehorende driehoekszijden godennamen. Later in de zevende klas ontdekken de kinderen dat in dit ‘meetwonder’ de stelling van Pythagoras schuil gaat (32 + 42 = 52).

Gewapend met stukken touw en de zelfgemaakte knopentouwen (een van de kinderen wilde per se het tien-knopen-touw uitproberen) gaan we buiten ‘landverdelen’.
In de kleuterzandbak, of liever nog op een groter zanderig veldje in de buurt van de school, zetten we rechte stukken, cirkels en rechthoeken uit.

Wie weet gaan we op deze manier de schooltuinen nog eens indelen. Hoe zouden we dat aan moeten pakken?”

“Kun je ook andere driehoeken maken met het twaalf-knopentouw?” Of stel de vraag anders: “Hoe maak je driehoeken met het twaalf-knopentouw? Teken de knopen er in.”

Door de levendige handel van Italië met het Oosten is via overlevering bekend gebleven, dat ook de Babyloniërs de bijzondere eigenschappen van de rechthoekige driehoek kenden.
We weten bijvoorbeeld hoe een landmeter in die tijd de afstand van een schip tot de kust bepaalde.
De landmeter zag het schip vanaf de kust recht vooruit en markeerde de grond. Vervolgens zette hij een paal een eind verderop en markeerde dezelfde afstand langs de kust nog eens. Dan liep hij landinwaarts net zolang tot hij het schip precies ‘in-lijn’ had met de paal.
Hij ‘wist’ dat de laatste afstand die hij gelopen had gelijk was aan de afstand tot het schip.

267

Aan de klas wordt vervolgens de vraag gesteld hoe de landmeter er zeker van kon zijn dat zijn methode juist was. De verleiding is groot om ook eens te overdenken hoe ze in die tijd zouden kunnen uitrekenen, hoe laat het schip de haven zou bereiken. Misschien een leuk probleem voor de ‘rekenhardlopers’ in de klas. Het probleem ‘afstand schip-kust’ vraagt erom om in ‘werkelijkheid’ uitgevoerd te worden. Ga met de klas buiten op onderzoek. Kies een vast voorwerp in de verte (niet te ver!), een boom bijvoorbeeld, en probeer of je de afstand kunt bepalen, zoals de Babyloniërs dat deden. We moeten wel een ‘kustlijn’ afspreken, want we kunnen natuurlijk niet naar het schip, pardon de boom, toelopen.
De kinderen kunnen in groepjes aan de oplossing gaan werken. De leraar pendelt tussen de groepjes en houdt in de gaten of men op het goede spoor zit. Tevens moedigt hij de kinderen aan om de gang van zaken op papier te zetten. Dat maakt de verslaglegging, straks in de klas, gemakkelijker.

Als sluitstuk van de periode gaan we de ons bekende meetkundige figuren nog eens tekenen. Ze worden ook uitgeknipt, nadat ze op gekleurd karton zijn getekend. Dezelfde figuren wel even groot maken, tenminste een aantal van dezelfde grootte! Kinderen vinden het heerlijk om hiermee in groepjes mooie patronen te leggen of te plakken, ze ontdekken er van alles aan. Wat een verrassing als je zomaar eens drie ruiten aan elkaar legt op de volgende manier:

Voor wie het al ‘ziet’, is spelen met kleureffecten ook leuk. Er is altijd wel een kind dat ontdekt, dat “het lijkt of de zon erop schijnt!”
En misschien komt een van de kinderen de volgende dag met Tangram, het eeuwenoude Chinese spel, op school. Dat inspireert tot het zelf maken van Tangram en het verzinnen van vormopdrachten, die aan elkaar worden opgegeven. Een heerlijk spel (ook buiten op het gras) voor zo’n echte warme zomerdag aan het eind van het schooljaar, waardoor de kinderen al doende lekker aan het (meetkundewerk zijn.

268

Eindelijk de zesde klas 

Meetkunde, maandagmorgen: Op die ochtend geen druk besproken weekendbelevenissen, maar een serieuze klas ernstig in de weer om alle nieuwe bezittingen voor deze periode uit te stallen. Midden op tafel liggen een passer, liniaal, geodriehoek, zwart potlood (met schuurpapiertje voor het scherp houden), kleurdoos, gum (het zoveelste).

Na de spreuk zie ik alle ogen vol verwachting op mij gericht. Onmiddellijk laat ik mijn voornemen, om eerst de bekende meetkundige figuren te lopen en op allerlei manieren uit de hand te tekenen, vallen. “Jongens, behalve je periodeschrift krijgen jullie nu ook een tekenvel. Zoek heel precies het midden van je papier op!” “Mag je vouwen juf?” “leder mag het op zijn eigen manier doen”, antwoord ik diplomatiek. Maar ik laat duidelijk weten dat het papier glad moet blijven om goed op te kunnen ‘construeren’.
Nieuwe, voor hen ongebruikelijke, woorden doen wonderen en nadat we de passer eerst goed bestudeerd hebben, zetten we de passerpunt in het zo juist gevonden middelpunt, trekken de benen van de passer uit elkaar en maken onze eerste, echte cirkel.
“Mogen we er nog een maken?” “Natuurlijk. Ik weet nog iets leuks: probeer een vorm te vinden waarbij je gebruik maakt van allemaal cirkels met hetzelfde middelpunt.”

Het resultaat van het werk varieerde van bijna chaos tot zeer geordende regelmatige cirkels.

In de zesde klas is een aantal kinderen natuurlijk al bedreven in het gebruik van passer en liniaal, anderen hebben bij de start van de periode nog hulp nodig. Het vraagt enige motorische vaardigheid om de cirkel ook echt rond te laten worden en niet als de passer ‘er bijna is’ een zijspoor te laten ontstaan.
Het construeren zelf roept precisie op en is daarmee een extra oefening voor de fijne motoriek. De op motorisch gebied zwakke kinderen zwoegen hier met plezier en in de loop van de periode gaat ook hun werk er nauwkeuriger uitzien.
Na deze ‘opmaat’, al of niet voorafgegaan door het uit de hand tekenen van bekende figuren, gaan we meetkundige figuren construeren en proberen we deze figuren en hun karakteristieke eigenschappen te doorzien.

In de voetsporen van de Griekse wiskundigen, die de grondslag legden voor onze wiskunde, gaan we nu aan het werk.

269

Bij het voorbereiden van de lessen en het kiezen van de opdrachten moeten we ons van ‘meet’ af aan voornemen geen definities te geven. We gaan dus niet uit van een definitie, maar van beelden. We proberen de gegeven figuur vanuit zoveel mogelijk gezichtspunten te bekijken en trachten zo kenmerken en eigenschappen ervan te vinden.

Bij de opbouw van de lessen maken we gebruik van de aanwijzingen van Rudolf Steiner. Zo zegt hij bijvoorbeeld dat wat wij met de kinderen in de reken-wiskun-delessen doen, ’s nachts tijdens de slaap in het kind doorwerkt, (zie ook H 2.) We houden hier rekening mee door de ene dag de (nieuwe) eigenschappen alleen maar te karakteriseren. De volgende dag komen we er dan op terug, reflecteren vervolgens op het werk van de vorige dag en gaan van daaruit weer een stapje verder. Op deze manier kan er bij de kinderen inzicht ontstaan dat door henzelf tot stand is gebracht.
De door het ‘nachtproces’ versterkte beelden van de vorige dag voeren naar activiteiten die het wiskundig denken op gang brengen; een proces, dat niet alleen voor de meetkunde, maar voor alle reken-wiskundige activiteiten geldt.

Schematisch voorgesteld:
1e dag: • doen
              • karakteriseren
              • beschrijven

nacht (niet meer aan denken, bezinken)

2e dag: • actualiseren, reflecteren
              • beschouwen, oordelen, uitbreiden
              • inzicht

Bij het leren kennen van de regelmatige figuren, hadden op een dag de gelijkzijdige driehoek en de rechthoek de aandacht gehad. De volgende dag daarop terugkijkend, kregen de kinderen de opdracht: “Construeer een driehoek, waarvan de basis zes centimeter is en de opstaande zijden beide acht centimeter. Kun je van deze driehoek een rechthoek maken met dezelfde oppervlakte?”
Het was niet makkelijk. En we moesten nog even met elkaar in gesprek blijven tot een aantal kinderen durfde te beginnen.
De eerste, die een idee kreeg, vroeg: “Mag je de driehoek nog een keer maken en dan verknippen?” Dat mocht natuurlijk, maar als die vragen hardop en centraal in de klas gesteld worden, is het wel moeilijk de andere kinderen ervan te weerhouden om ook de schaar te pakken.
Een aantal probeerde eerst op een blaadje wat uit en durfde, vooral door mijn aanmoedigingen, verder te gaan. Zo kwamen de kinderen toch tot verschillende oplossingen.

270

Bij het voorbereiden van de lessen en het bedenken van opdrachten gaan we ook op een andere manier te rade bij de Griekse Klassieken. In navolging van Plato en Aristoteles uit de oude school der wijsbegeerte kunnen we in het meetkundeonderwijs twee wegen bewandelen.
De ene weg volgt de opvatting van Plato: de ontwikkeling van het verstand geschiedt via de voorstelling, los van de stoffelijk waarneembare werkelijkheid. De meetkunde wordt dan uit de figuren, de voorstelling, de idee ervan verder ontwikkeld.
De andere weg sluit aan op de opvatting van zijn leerling Aristoteles, die afstand
nam van zijn leermeester door te beweren dat de algemene principes juist gevormd worden door ervaringen in het dagelijks leven. Dat gebeurt dan via de zintuigen. Zo gezien leiden meetkundige activiteiten in ‘het dagelijks leven’ tot meetkundige begrippen en inzichten.

In de lespraktijk leiden de mooie constructietekeningen met cirkels tot versterking van het voorstellingsvermogen. Ook de volgende oefening zou je met de klas kunnen doen.

“Stellen jullie je eens voor: we hebben een cirkel. Nu laten we de cirkel steeds groter worden. Hoe groot kan de cirkel worden?
Stel je voor dat je een klein stukje uit de eerste cirkel hebt genomen. Dat is een klein gebogen lijntje. Wat is er nu met dat lijnstukje gebeurd?” Waarschijnlijk antwoorden sommige kinderen: “Het wordt steeds rechter en is uiteindelijk helemaal recht.” Er kan ook twijfel aan deze uitspraak ontstaan: “Misschien toch niet, want je kunt altijd een nog grotere cirkel denken!”
Maak er een tekening bij of laat de kinderen een tekening erbij maken.

We maken ook uitstapjes, op zoek naar rechte lijnen, naar horizontale en verticale lijnen en naar een loodrechte stand. “Hoe weet een timmerman eigenlijk hoe hij een plank horizontaal moet ophangen, hoe weet hij waar de haken aan de muur moeten komen? Waarom gebruikt hij wel waterpas, schietlood en zweihaak, maar geen duimstok om vanaf de vloer gelijke stukken af te passen?”
Door zo’n ‘onderzoekje’ naar het werk van de timmerman ervaren we recht en loodrecht, wat we weer in een tekening kunnen weergeven. Horizontaal langs de aarde en loodrecht daarop naar het middelpunt van de aarde.

We zien hier twee verschillende benaderingen van de ideeën recht, rechte en loodrecht. Ze kunnen een voorbereiding zijn op de lessen over de
grondconstructies.
Door meetkunde in de zesde klas ook dicht bij de praktijk en de toepassingen te verkennen, kunnen we proberen beide bovengenoemde wegen, die leiden tot wiskundig denken, te verbinden.

271

Meetkunde in de zesde klas is een ontmoeting met en een verkenning van:

• passer, liniaal en geodriehoek
• cirkels en bijzondere lijnstukken in de cirkel
• geometrische figuren in cirkelconstructies
• karakteristieke eigenschappen en het leren construeren van geometrische vormen zoals driehoeken, vierhoeken in verschillende gedaanten.
• cirkelverdelingen in graden en schattend meten van hoeken
• scherpe, stompe, rechte en gestrekt hoeken en hun constructie
• symmetrieën in figuren en het beschrijven ervan, zoals bekend uit het vormtekenen
• de vijf basisconstructies en het gebruik ervan in andere opdrachten
• ruimtelijk meetkundige figuren in de wereld van de kinderen

De opbouw van een periode

Na de eerste dag vervolgen we het construeren van figuren met behulp van de passer. Bij het inkleuren van de figuren laten we de kinderen zoeken naar ideeën om dit zo te doen, dat het karakter van de tekeningen nog sterker tot uiting komt.

We hadden al eerder een cirkel in zessen verdeeld. Vandaag volgde de constructie van de verdeling in twaalven. “Teken een cirkel en twaalf nieuwe cirkels, met de middelpunten op gelijke afstanden op de cirkelomtrek van de eerste cirkel”, was de opdracht. “Hoe groot mag de straal worden zodat het figuur de hele tekenbladzijde in je schrift vult?”
Nu gaan we op zoek naar (andere) regelmatige figuren in deze figuur. “Zien jullie een vierkant? Zoek de hoekpunten, ze liggen op de snijpunten van cirkels.”
Dat was geen gemakkelijke vraag. Eerst moesten we de uit de tekenlessen bekende figuren uit het geheugen opfrissen en toen vonden we met elkaar de eerste figuur (de ruit) op het bord. Vervolgens gingen de kinderen, vooral samen, het verder proberen. Het vinden, het zelf ‘zien’ van de andere figuren in de cirkels, was voor veel kinderen een moeilijke opgave. Met wat hulp kwamen ze er allemaal uit en dan was er grote vreugde over het prachtige resultaat.

272

Nu we ‘weten’ hoe een cirkelomtrek verdeeld kan worden, maken we ook regelmatige figuren in een cirkel zonder de hulpcirkels volledig te tekenen. Een klein hulplijntje is voldoende om een punt op de cirkelomtrek aan te geven.

De variaties zijn eindeloos en alle kinderen kunnen hierin hun eigen weg gaan, waarna ze de resultaten kunnen uitwisselen. Dat kan een sprankelende happening worden.

Vanuit de gelijkzijdige driehoek, die we leerden construeren op een zelf gekozen basis, gaan we nu ook figuren construeren. Hier geldt weer dat de kinderen enerzijds zelf mogen ontwerpen en dat er anderzijds ook een aantal verplichte vormen door iedereen gemaakt worden. Nu krijgen de kinderen de opdracht te beschrijven, hoe ze de constructie hebben uitgevoerd. Het blijkt niet makkelijk om dat zo kort en functioneel mogelijk te doen.

Het is de moeite waard om tekeningen van meetkundige figuren, bijvoorbeeld de ‘cirkel-bloemen’, nu ook in de schilderlessen te gebruiken. Laat de cirkels bijvoorbeeld inkleuren met een beetje verdunde verf op droog papier; daar waar de ‘sluiers’ over elkaar vallen ontstaan de mooiste ‘bloemen’. Dit kan weer op een andere manier bijdragen aan het ervaren van de schoonheid van regelmatige figuren.

De vijf basisconstructies

Vervolgens krijgen de vijf basisconstructies een plaats in de lessen. Deze periode is niet alleen een periode van ‘tekenen en inkleuren’, maar vooral een periode waarin we ook respect krijgen voor de exactheid van het vak.
Het leren kennen van de basisconstructies moet geen activiteit op zichzelf zijn. Zorg dat de kinderen de toepassing ervan ook echt ervaren.

273

Zoek samen met de kinderen naar een ‘taal’ waarmee de constructies beschreven kunnen worden en leer ze ook een aantal wiskundige benamingen en symbolen, zoals loodlijn en                                                                                                    enzovoort

Ter introductie gaf ik de opdracht een horizontaal lijnstuk AB te tekenen. De letters A en B komen bij de eindpunten van het lijnstuk te staan.
“Maak een cirkel met middelpunt A en met een straal gelijk aan de lengte van AB. Daarna doen we hetzelfde met B als middelpunt. Nu maken we de straal van de cirkels steeds kleiner, maar tekenen steeds vanuit A en B een cirkel met dezelfde straal.”
De kinderen ontdekken zelf het ontstaan van de verschillende driehoeken op dezelfde basis, die we ook ‘gelijkbenige’ driehoeken noemen.
De volgende dag roepen we de opdracht van gisteren nog even in herinnering en kiezen opnieuw een lijnstuk AB. “Vandaag construeren we uit ieder punt A en B maar twee keer twee cirkels met gelijke straal.”
We komen nu tot de duidelijke conclusie dat de twee cirkels met middelpunt A en middelpunt B twee snijpunten hebben. Als we deze snijpunten verbinden, ontstaat er een rechte lijn die het lijnstuk AB precies middendoor deelt.
In deze tekening kunnen de kinderen op zoek gaan naar gelijke driehoeken en die met een kleur aangeven.

274

Na een uitvoerige introductie van de eerste basisconstructie kunnen de andere gewoon door middel van een korte instructie gegeven worden.

275

De regelmatige figuren

Nu de kinderen lijnstukken en hoeken kunnen verdelen en loodlijnen kunnen oprichten en neerlaten, gaan we verder met het construeren van de regelmatige figuren. Belangrijk is daarbij, dat we ook de eigenschappen en de namen van de figuren leren kennen.
Na de regelmatigheden in verschillende driehoeken gevonden te hebben (weten we nog van het twaalf-knopentouw van de Egyptenaren?), gaan we verder met de vierhoeken. Uit het vierkant ontstaan steeds onregelmatigere figuren, die steeds minder gemeenschappelijk hebben en tenslotte enig in hun soort zijn; wiskundige ‘individuutjes’.

Dit overzicht kan ook op een later tijdstip gebruikt worden om met de kinderen terug te kijken naar het werk in de periode.

276

Omgekeerd kan uit dit bijzondere weer het algemene voortkomen; uit een willekeurige vierhoek ontstaat weer het vierkant. De constructietekening kan de kroon op het werk van deze dagen zijn!

Al doende leren de kinderen de eigenschappen kennen en hanteren, zodat bijvoorbeeld opgaven als hieronder, geen moeilijkheden meer op hoeven te leveren:

• Construeer een vierkant met een zijde van 7 cm.
• Construeer een gelijkbenige driehoek met een basis van 6 cm en benen (opstaande zijden) van 8 cm.
• Construeer een ruit met zijden van 6 cm.

Dergelijke opdrachten kunnen de kinderen ook aan elkaar geven. Ze hebben veel plezier bij het controleren van de opgave. Wie knipte het eerst een zelfgemaakte figuur uit, om die vervolgens op het werk van de buurman te leggen? Klopt het? Had de opdrachtgever dezelfde ruit in gedachten als de buurman heeft geconstrueerd? Dit levert een mooi moment om hoeken nader te bekijken!!

Hoeken

Nog even de breuken:
We gaan terug naar de cirkel! We proberen ons de breukenperiode te herinneren: allerlei verdelingen van de cirkel(schijf).

We vertellen dat de Babyloniërs hun jaar in 360 dagen verdeelden en dan vijf godendagen eraan toevoegden. We laten zien hoe die 360 dagen geleid hebben tot de verdeling van de cirkel in 360 graden. Nu weten ze ook waarom een rechte hoek 90 graden is, en niet 100 graden, wat meer voor de hand zou liggen als ‘rekenaars van nu’ het voor het zeggen hadden.
We construeren een cirkel en kiezen vanuit het middelpunt twee loodrecht op elkaar staande middellijnen. We onderzoeken de hoeken die zijn ontstaan en de grootte, die we nu in graden gaan aangeven.

We kiezen ook willekeurige middellijnen en vinden de scherpe hoek, de stompe hoek en de gestrekte hoek.

277

Ik sprak af dat de kinderen deze week iedere ochtend tenminste één keer op de klok moesten kijken. Achter in het schrift moest de klok schematisch met de wijzers worden weergegeven. “Hoe groot schat je de hoek tussen de wijzers in graden? Hoe heet de hoek?”
Een wilsoefening, want had ieder kind aan het eind van deze week wel iedere dag gekeken? En een goede oefening voor het schatten van hoeken.

We zien ook de halve gradenboog op de geodriehoek en leren daarmee hoeken in graden nauwkeurig aan te geven.
Met veel plezier voeren de kinderen opdrachten uit, zoals: “Construeer een ruit met een zijde van 6 cm en een hoek van 60 graden.”
“Heeft de buurman, die de opdracht ook uitvoert, nu weer een andere ruit?”
En is het een heel mooie dag, dan ‘doen’ we deze opdrachten ook weer eens in het groot met stoepkrijt op het plein. Juist bij dit samenwerken gaat menig kind, waarvoor het werk nog niet al zijn geheimen had prijsgegeven, een lichtje op!

Tot slot: veel bleef onbesproken. Hopelijk is duidelijk geworden dat meetkunde voor de kinderen een geweldige ervaring is, maar dat er stevig doorgewerkt moet worden. Want iedere leerkracht wil de kinderen juist deze laatste mooie constructies niet onthouden.

Er zijn tekeningen, die zich lenen om eens in het groot te worden uitgevoerd. En wat een verrassing, als er in de pauze op het grote speelplein zo’n mooie vorm in prachtige kleuren is ontstaan.
Een tentharing met een touw en een krijtje is een uitstekende passer! En je kunt er heel grote cirkels mee maken.

278

Van oefenuren naar zelfstandig werken

Over oefenen, bijhouden, inslijpen, toepassen, beoefenen en zelfstandig werken

De discussie over oefenuren

Spreken we in de vrijeschool over oefenuren voor rekenen, dan bedoelen we de tijd die tussen twee rekenperioden aan rekenen besteed wordt. Het woord oefenuren is ingeburgerd, maar de term werkuren (of zelfstandig werken) dekt de lading beter. Hoe het ook zij, oefenuren behoren eigenlijk niet bij onze visie op rekenonderwijs. In de rekenperioden zelf dient het karwei geklaard te worden; de introductie, de verkenning, de verdieping en de oefening. Deze fasen in het leerproces zouden elk op hun tijd voldoende aandacht moeten krijgen, wat een kwestie is van het economisch inrichten van de beschikbare tijd.
De erop volgende periode, waarin een ander vak in het hoofdonderwijs gegeven wordt, is van belang voor rekenen – hoewel er geen rekenlessen worden gegeven- omdat het geleerde dan kan bezinken. De kinderen moeten dan op het gebied van rekenen even tot rust komen; de zojuist verworven inzichten behoeven niet meteen parate kennis te zijn. Meestal lijkt het alsof veel van het geleerde vergeten wordt en dat het weer heel wat herhaling en onderwijs zal vergen om het belangrijkste ervan weer in het bewustzijn te brengen. Maar wie de ontwikkeling van kinderen observeert, ziet ook dat op onverwachte momenten van herinnering nieuwe inzichten -en daar gaat het nu net om- optreden. De stof is blijkbaar niet vergeten, heeft zelfs nog doorgewerkt en er is iets tot stand gekomen, dat er voordien nog niet was.
Zo is de filosofie van het periodeonderwijs in de vrijeschool. De praktijk van het onderwijs is evenwel weerbarstiger. Reeds in de tijd van Rudolf Steiner werden twee rekenwerkuren ingevoerd omdat het met het rekenen slecht gesteld was. Sindsdien zijn zulke wekelijkse uren op het lesrooster terechtgekomen.
Thor Keiler (zie Gedanken zu den Üb- und wiederholungsstunden uit Lehrerrundbrief nr.46, okt. ’92) heeft ze in zijn klas om principiële en praktische redenen weer afgeschaft. De praktijk wees uit dat de oefenuren niet goed voorbereid konden worden omdat het hoofdonderwijs alle voorbereidingstijd opeiste, dat de oefenuren voor rekenen (wiskunde) teveel van de tijd van het andere vak afsnoepten en dat het zelfs voorkwam dat de oefenuren (oneigenlijk) besteed werden aan bijvoorbeeld het schrijven in het periodeschrift. Het ergste was dat de zwakke leerlingen niet geholpen waren met de oefenstof en de andere leerlingen zich verschrikkelijk zaten te vervelen. In plaats van een krachtige impuls aan het reken-wiskundeonderwijs te geven, werkten de oefenuren verlammend.

De bovenstaande analyse van de situatie in de schoolklassen met betrekking tot het rekenonderwijs, is heel actueel. Het pedagogische principe is duidelijk, maar de praktijk vraagt om aanpassingen. Zwakke rekenaars hebben extra zorg nodig, een grote groep leerlingen moet leren zich te concentreren en zelfstandig te werken. Elke leerling en ook de leraar vindt het prettig als iedereen eens goed voor zichzelf bezig is. Automatiseren heeft oefentijd nodig. Leerlingen die ziek zijn geweest moeten weer bij kunnen komen zonder dat het om extra (t)huiswerk vraagt en zonder dat de anderen daar onder lijden. Het is daarnaast ook belangrijk dat kinderen leren in alle rust systematisch en ordelijk te werken.
Kijken we naar onze leerlingen dan constateren we dat ze het erg druk hebben met buitenschoolse activiteiten en media-verstrooiing. De concentratie neemt af en de conventionele leerstof beklijft moeilijker. Tegelijkertijd beschikken ze enerzijds over veel informele kennis en anderzijds over veel onverteerde informatie. Daarbij zijn ze meer dan wakker, rap en soms zeer vaardig met de tong.

279

Er komt bij, dat een toenemend aantal kinderen steeds meer moeite heeft de leerstof te onthouden. Ook al is er in de periode efficiënt geoefend, dan nog beklijft niet alles. Deze kinderen zullen veel hebben aan momenten dat er zelfstandig gewerkt wordt.
In de hogere klassen hebben we bovendien te maken met een veelheid aan onderwerpen, bijvoorbeeld in klas zes:

• Verder werken aan de breuken-bewerkingen
• Verhoudingen
• Schaal-begrip (kan ook eerder behandeld worden)
• Redactie vraagstukjes
• Procenten
• Renteberekening en rente-formule
• Bruto, netto, tarra
• De eerste algebra (zo men daar aan toekomt)
• Afronding van het cijferen, deelbaarheid.

Per periode moet er een keuze gemaakt worden uit de onderwerpen, globaal zullen er zo’n drie rekenperioden zijn. Het kan dus lang duren voor een onderwerp, in de periode althans, terugkomt.

Kortom, goed voorbereid, didactisch doordacht en creatief ontworpen materiaal voor rekenwerkuren voorziet in een behoefte.
Tegelijkertijd weten we dat de praktijk van de oefenuren er anders uitziet: geen voorbereidingstijd, weinig geschikt materiaal, kopieën uit rekenboekjes uit lang vervlogen tijden (Naar Zelfstandig Rekenen schijnt nog hoog te scoren …!?), instrumentele uitleg, met als resultaat het ontstaan van weerzin tegen het vak rekenen.

Conclusies:
• Richt in eerste instantie het hoofdonderwijs economisch in, dat wil zeggen verdeel de tijd evenwichtig over de genoemde fasen van het leerproces.
• Creëer, indien gewenst, tussen de rekenperioden een aantal uitgekiende rekenwerkuren met een duidelijke doelstelling en een creatieve invulling.
• Verzamel voortdurend materiaal dat gebruikt kan worden om dergelijke uren van een goede invulling te voorzien.

Economisch werken in het periode-onderwijs

Eigenlijk zou de ‘bekende stof in elke periode een vast onderdeel moeten zijn, bijvoorbeeld aan het begin. Hier zou een halfuur d drie kwartier voor uitgetrokken kunnen worden. Zo ontdekken de kinderen ook wat ze wel en niet beheersen. In de hogere klassen wordt dit steeds belangrijker, dit besef van wat ze wel en niet weten. Als we er niet toe komen de stof in de periode te oefenen, kan in de volgende rekenperiode het gevoel ontstaan dat we weer opnieuw kunnen beginnen. De leerstof is weggezakt en in de vergetelheid terecht gekomen. In het werken aan bekende stof kan vaak de nieuwe stof al voorbereid worden, zodat het nieuwe van meet af aan ingebed is in wat gekend wordt en niet ondersneeuwt in wat weggezakt is en daarom ‘even’ herhaald wordt. Dat vraagt om een programmatische en didactische doordenking vooraf. Is de nieuwe stof behandeld dan kan deze eveneens naar het begin van de dag ‘verhuizen’. Het is belangrijk dat gedurende een aantal dagen de stof geoefend wordt; dan pas kunnen we van inslijpen spreken. Dan ontstaat de vaardigheid om ook met die stof om te gaan.
Complete muzieklessen aan het begin van de dag moeten vermeden worden. Een kort dagbegin en vervolgens van start met rekenen, om de twee uur zo optimaal mogelijk te benutten. Aan het eind van de periode kunnen de kinderen zelf aangeven waar ze nog moeite mee hebben. Ze kiezen dan zelf uit waar ze nog aan zullen werken. Dit betreft dus de stof, die door de periode heen                                 steeds herhaald is.

280

Rekenwerkuren 

Tussen de rekenperioden zouden er wekelijks één of twee rekenwerkuren kunnen worden ingericht. Daarbij kunnen we denken aan werkbladen die eventueel ook thuis afgemaakt kunnen worden. Het voordeel hiervan is, dat het huiswerk gekoppeld is aan een vaste dag in de week.
De leerkracht zou tijdens de periode al werkbladen kunnen maken, die het behandelde herhalen. Hij zit dan goed in de stof en maakt zo ‘werk op maat’ voor zijn klas. Van ieder werkblad zijn er een paar exemplaren. Met sterretjes zou de moeilijkheidsgraad op het werkblad aan te geven zijn, zodat kinderen zelf hun niveau kunnen kiezen. De kinderen werken de vragen dan in hun schrift uit. Het voordeel is dat het niet voor iedereen gekopieerd hoeft te worden en dat niet iedereen aan hetzelfde werkt.
Het blijkt voor kinderen een stimulans te zijn om aan een opdracht te werken, die ook al door een ander gemaakt is.

De rekenwerkuren zijn bedoeld om:

• het vaardig rekenen van de hele klas op peil te houden
• parate kennis in te slijpen
• achterblijvers op maat te helpen
• vaardigheden en inzichten creatief toe te passen

Thematisch onderwijs

Een andere invulling voor de zelfstandig werkuren is het rekenen in het kader van een ander vak, dat op dat moment in het periode-onderwijs naar voren komt, zoals bijvoorbeeld in de geschiedenisperiode de indeling van een tijdbalk of de kalender. En in de aardrijkskundeperiode het uitwerken van de schaal of het verrichten van metingen rond het weer. Hierdoor worden de vakken geïntegreerd. Taal speelt in elke periode een grote rol.
Hoe zit het in dit verband met het rekenen? Rudolf Steiner heeft vaak gewezen op de samenhang tussen de verschillende vakken en de mogelijkheden om daar optimaal gebruik van te maken. Wat een plezier geeft het om bij Engels te ontdekken, dat men in het United Kingdom de getallen precies omgekeerd benoemt! De tafels opzeggen in het Duits is ook geen verspilde tijd!

Wanneer beginnen met de rekenwerkuren?

De praktijk wijst uit dat als men al in de derde of vierde klas begint met een uurtje rekenen, buiten het hoofdonderwijs, dit nog niet ‘werkt’. De kinderen zijn dan nog niet in staat zich te concentreren op een activiteit, die eigenlijk in het hoofdonderwijs thuishoort.
In de vijfde klas kan het wel werkzaam zijn.
Voor het individueel helpen van zwakke rekenaars kan en moet al eerder tijd worden vrijgemaakt.

Kort rekenen aan het begin van de dag

Een mogelijkheid om bepaalde onderdelen van het rekenen bij te houden is het dagelijks oefenen, buiten de rekenperiode. Dit hoeft zeker geen rekenles te worden en mag hooguit vijf d tien minuten duren. Hier kan gedacht worden aan hoofdrekenen of aan het oefenen van tafels. Hoofdrekenen kan zowel mondeling als (gedeeltelijk) schriftelijk gebeuren. We kunnen ook denken aan een staartdeling die ’s morgens al te wachten staat op het bord.
Ook kunnen kinderen die moeite hebben met bepaalde onderdelen van het rekenen, elke dag een eigen oefening krijgen. Deze kan ook liggen op het vlak van de lichaamsgeografie of de ruimtelijke oriëntatie.

281

Samenhang in de zelfstandig werkuren

Door de weken heen kunnen we wat lijn in de rekenwerkuren brengen door één thema bijvoorbeeld vier weken lang te herhalen. Achtereenvolgens kunnen zo verschillende aspecten aan bod komen. Het wordt ook pas echt oefenen als de stof die problemen oplevert, de week daarop in dezelfde of in een andere vorm terugkeert.

Rekenwerkuren ten tijde van de rekenperiode?

In eerste instantie gaat het om rekenwerkuren tussen de rekenperioden. Drie uur achter elkaar rekenen op één dag is teveel. Het rekenwerkuur kan dan beter een andere invulling krijgen.

Als het rekenwerkuur in de middaguren plaatsvindt en een heel ander onderwerp heeft dan in de rekenperiode behandeld wordt, kan het juist zinvol zijn dit niet te onderbreken. Het hangt er ook vanaf welke werkvormen daarbij gehanteerd worden. Als de invulling gericht is op zelfstandig werken aan een eigen opdracht, verdient het wellicht aanbeveling de leerlingen hier juist wel aan te laten werken.

 

Taakuren

Voor veel kinderen in de vijfde klas wordt het echt nodig om rekenwerkuren in te richten, omdat ze meer ervaring met het aangeboden onderwerp moeten opdoen dan er binnen de periode mogelijk is. In de zesde en zevende klas is het eveneens zinvol om een rekenwerkuur in het rooster te hebben, maar daarnaast zou er een taakuur kunnen worden ingericht om verschillende kinderen eens extra met het rekenwerk te helpen. De overige leerlingen krijgen dan andere opdrachten omdat voor hen het rekenwerk nooit problemen geeft en zij in het rekenuur al extra materiaal hebben verwerkt. In het taakuur zou de ‘kaartenbak’ heel goed gebruikt kunnen worden. Deze kaartenbak bevat allerlei opdrachten waarmee de leerlingen zelfstandig aan het werk kunnen. De kinderen kiezen zelf een kaart uit de bak en kijken het werk ook weer zelf na. De kaarten zouden ook betrekking kunnen hebben op het reilen en zeilen van de school. Kinderen kunnen zich zo ook nog eens bewust worden wat er zoal nodig is aan brandstof, elektriciteit, of welke consequenties een gebroken ruit heeft.

Uit de kaartenbak:

1 Het zand in de grote zandbak moet ververst worden.
a) Hoeveel kubieke meter oud zand moet er afgevoerd worden?
b) Hoeveel kubieke meter zand gaat in de bak wanneer ik hem tot aan de rand vul?
c) Het zand klinkt tien procent in, hoeveel centimeter staat het zand onder de rand van de zandbak?

2 Met één pot lakverf kun je tien vierkante meter schilderen. Hoeveel potten zijn nodig om alle binnendeuren van de gang twee keer te lakken?

3 De klas lager is nu bezig met het onderwerp … Maak een lijstje van punten die daar mee te maken ‘hadden’. Herinner je je nog hoe jij die dingen vorig jaar hebt geleerd en begrepen? Dat kun je dan goed gebruiken om iets voor die kinderen te maken. Kies er een leuk onderwerp uit en maak daarover zelf een werkblad. Vergeet niet er een antwoordenlijstje bij te maken.

Aan de keuzen die leerlingen maken, kan de leraar zien waartoe zijn leerlingen in staat zijn.

282

Herhaling van de leerstof

Het is een goede gewoonte de leerstof van een heel jaar in de laatste weken van het schooljaar te herhalen. Zo komt alles, de nieuwe leerstof inclusief de vaardigheden die hierin ontwikkeld zijn, nog weer eens terug in verkorte vorm.

Rekenen in praktijk situaties

Een zeer belangrijk onderdeel van het rekenen is het toepassen van de kennis en de verworven vaardigheden. De verhaalsommen, de vroegere redactiesommen, hebben hun plaats in het geheel. Het leren lezen van een vraagstuk en vervolgens zelf een oplossingsmethode zoeken, is een belangrijke oefening die juist in hogere klassen meer aandacht kan krijgen. Veel kinderen hebben moeite om de gegevens te verzamelen, die nodig zijn voor het beantwoorden van een vraag. Deze vraagstukjes, eigenlijk ook een vorm van begrijpend lezen, kunnen een vaste plaats hebben in het rekenwerkuur.
Daarnaast kunnen kinderen ook zelf opgaven maken, waarbij ze zelf gegevens, bijvoorbeeld uit de krant of een folder, verzamelen, gegevens schattenderwijs bedenken of berekeningen (uit de krant) controleren op hun werkelijkheidswaarde. Juist zulk rekenen is verwant aan het rekenen van alle dag, waarbij ook niet alle gegevens panklaar aanwezig zijn. Zulke opgaven kunnen weer een plaats krijgen in de kaartenbak.

.In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

Vormtekenen: alle artikelen
Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, uitverkocht. (Scan via vspedagogie@gmail.com)
Meetkunde: alle artikelen
Periodeonderwijs: alle artikelen

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [5] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

.

Rekenen klas 4: alle artikelen

Rekenen klas 5alle artikelen

Rekenen klas 6: alle artikelen

Meetkunde klas 6: begin van een periode

Rekenenalle artikelen op deze blog

 

2455

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 5

.

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken

5.1 Menskundige achtergronden
5.2 Didactisch spoor
5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas
5.4 De praktijk in klas 4
5.5 De praktijk in klas 5
5.6 De praktijk in klas 6
Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar

5.1 Menskundige achtergronden

Het kind krijgt omstreeks het negende levensjaar een andere verhouding tot de wereld. Er komt je een wakkere blik tegemoet, vragen naar het ‘waarom’ van alledaagse dingen, waaraan eerder achteloos voorbijgegaan werd, worden nu gesteld. Een versterkt ‘Ik-beleven’ van het kind houdt tevens in dat het meer afstand tot de wereld kan nemen en deze daardoor in zijn veelheid gaat beschouwen en begrijpen. Door het ‘breuk-rekenen’ zo aanschouwelijk mogelijk te introduceren, door uit te gaan van ‘breken’ en verdelen van gehelen, waarbij de natuurlijke behoefte tot analyseren wordt aangesproken, maakt men gebruik van de ontwikkelde vermogens van de kinderen, om zich voorstellend met de wereld te verbinden.
Het nieuwe waarnemen van de omgeving in deze levensfase leidt vaak tot innerlijke onrust en twijfel. Kinderen merken de onderlinge verschillen nu duidelijker op; wie er mooi kan tekenen, goed kan rekenen enzovoort. Het eigen werk gaan ze meer in verhouding zien tot dat van anderen. De weg naar vertrouwen krijgen in eigen vermogens en eigen werk in vergelijking met dat van klasgenoten vraagt vanaf deze leeftijd meer individuele aandacht van de leerkracht. Voor hem wordt de klas meer en meer een geheel in (bijzondere) delen, wat in methodisch-didactische zin ook veranderingen met zich mee brengt.

Verbroken eenheid, dat is de zielenstemming van het negen- à tienjarige kind. Verbroken eenheid typeert ook het rekenveld van de breuken. Daar zal het kind nieuwe eenheden, nieuwe gehelen, van moeten maken.
In dit gebied van schoonheid, veelheid, doorbroken wetmatigheid en verrassing kunnen de kinderen grote ontdekkingen doen en harde noten kraken. Ze kunnen hun bewegingsdrang en creativiteit op vele manieren inzetten om toegang te vinden tot de nieuwe rekenwereld. Zo ondersteunt de leerstof op betekenisvolle wijze de ontwikkeling van het kind.
176

5.2.Didactisch spoor

In de eerste ‘breukenperiode’ wordt vooral vanuit een menskundig aspect gewerkt. In de volgende perioden kan een didactisch spoor gevolgd worden, dat mede door de ervaringen bij het realistisch rekenen, verrijkt is. Daarbij krijgen de kinderen eerst ruim de gelegenheid thuis te raken in de nieuwe getallenwereld.
Bekende situaties en vertrouwde contexten vormen het uitgangspunt voor het maken van breuken en het leren kennen van de bijbehorende symbolen. In de breukentaai worden aan (sommige) getalsymbolen nieuwe betekenissen, waaronder bijvoorbeeld tellers en noemers, toegekend. Met de breukentaai worden ook modellen van verdeel- en breeksituaties geïntroduceerd, verkend en gebruikt.
Hierdoor wordt een brug geslagen tussen de informele werkwijzen en de formele vakstructuur. In de realistische didactiek gaat men uit van de natuurlijke aanpakken van kinderen, dan wordt er vervolgens ruim gelegenheid geboden tot interactie waardoor de eigen denkbeelden getoetst en aangescherpt worden. Het werken op basis van rekenregels (algoritmen) dient lang te worden uitgesteld tot het moment dat de kinderen in staat zijn een groot deel ervan op eigen kracht zelf te (re)construeren.

In de eerste drie leerjaren doen de kinderen in het rekenen veel ervaringen op. Ze kunnen daarbij ook breuken tegenkomen. De breuk wordt echter nog niet bewust gemaakt. In de vierde klas komt dit moment wel, dan is het kind er rijp voor. Om te kunnen bepalen of de klas eraan toe is, of tenminste een deel van de klas, is het allereerst zinvol om na te gaan of de leerstof van de eerste drie klassen in voldoende mate beheerst wordt. Anders gezegd: het begrip van de breuken kan aan een kind voorbij gaan als het zich niet thuis voelt in het omgaan met de natuurlijke getallen. Het is dus goed, om in de vierde klas aan het introduceren van de breuken nog een herhaling van de leerstof uit de voorgaande jaren vooraf te laten gaan. Er is dus zo gezien geen voorbereidend breukenonderwijs in de zin van een bewustmakingsproces; maar de kinderen doen in de vierde klas ervaringen op, die later het verwerven van inzicht op dit gebied kunnen ondersteunen. Belangrijk is dat vanaf de eerste kennismaking met de breuken, de breuken steeds verweven worden met ander rekenwerk. Zo kan de opgedane kennis rond ‘breken’, verdelen en benoemen, gebruikt worden in de rekenperiode waarbij ‘meten met maten’ centraal staat. In de vijfde klas wordt het formele rekenen voorbereid en pas in de zesde klas geheel binnen de reken-wiskundige context van rekengetallen en regels beoefend. Kinderen die op dat moment daar nog niet aan toe zijn, kunnen met de inmiddels verworven aanpak en het model van de dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel, toch de meeste rekenopgaven maken. Nu worden de breuken geïntegreerd aangeboden in andere onderwerpen, waarmee de leerlingen tijdens perioden en in rekenwerkuren bezig zijn. In de zevende klas worden de breuken en de negatieve getallen ingepast op de getallenlijn tot het geheel van de rationale getallen (natuurlijke getallen, nul, gebroken getallen, negatieve getallen). Nu kunnen de breuken ook binnen het systeem van de algebra, zoals dat vanuit het rekenen met getallen ontwikkeld wordt, verschijnen.
177

Globaal gezien volgt het periodeonderwijs (in de vierde, vijfde, zesde en zevende klas) wat betreft de gewone breuken de volgende gang:

• Het leren kennen van de breuk middels de benoemde (stam)breuk in allerlei verdeel- en breeksituaties.

• Het bewegen, het bewegen benoemen, het bewegen ver-‘beeld’-en, werken met de beelden (die modellen ‘van’ zijn), kiezen van beelden bij praktische opgaven, stilstaan bij de beelden als ‘modellen van’. Speciale aandacht voor het kiezen van bemiddelende grootheden bij breuken.

• Het werken met het ‘moedermodel’ voor het rekenen met breuken: de dubbele lege getallenlijn en later ook de verhoudingstabel.

• Technisch rekenen met formele breuken, zicht op de wiskundige structuur van de rationale getallen. Daarbij is de gang door het breukenonderwijs vergelijkbaar met die door de wereld van de natuurlijke getallen en de basisvaardigheden in de eerste drie klassen.

5.3. Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas

De vierde klas

In deze klas staat de ontmoeting met het fenomeen stambreuk (breuk met de teller 1) centraal. Verdeelsituaties met aantallen, grootheden en meetkundige figuren leiden tot het verwerven van de breukentaal met de eigen symbolen. Verdelingen als activiteit (uitdelen, verdelen, opdelen) en als uitkomst (groepjes, quotiënt, structuur) worden in de nieuwe taal beschreven. Zo ontstaan bijvoorbeeld reeksen die door halveringen uit de eenheid ontstaan 1/tot en met 1/16 .  Daarna tevens een ‘gemengde’ reeks     1/3     1/2   1/9     1/12  eventueel aangevuld met  1/5   en   1/10 . Eigen producties (zelf bedenken van opgaven, aanpakken, oplossingen, vormgevingen, uitleggen,…) maken creatieve vondsten van reken-meetkundige aard mogelijk. Indien gewenst kan alles zich afspelen in de wereld van de stambreuken.
Zo gaan de kinderen op verkenningstocht in de nieuwe wereld van de breuken, op een manier waarop zij ook in de zaakvakken de wereld om hen heen verkennen. Aan de breukentaai wordt steeds bewuster aandacht geschonken, de kinderen leren ermee omgaan als een manier om breken, verdelen, vouwen, mengen en dergelijke, te beschrijven. Ook de resultaten van het breken, verdelen enzovoort, worden zo beschreven. Door verschillende delen met elkaar in verband te brengen, samen te nemen, het verschil of ‘wat er ontbreekt’ te bepalen, komen ook de hoofdbewerkingen in beeld.
Maar steeds is eerst gedaan wat daarna opgeschreven wordt. Nooit is de som, in de vorm van kale rekengetallen, aanleiding tot een volgende stap in het leerproces!
De opzet van dit werk is, de nadruk te leggen op de kennismaking met het fenomeen breuken en het opdoen van een zo breed mogelijk scala aan ervaringen.

Wie zijn periode gaat voorbereiden kan gebruik maken van het volgende spoor:

1. Kennismaken met natuurlijke breuken, uitgaande van stambreuken die ontstaan door breken en verdelen.
2. Praktisch verkennen van verdelen van meetkundige eenheden: cirkel (kring), rechthoek, driehoek, strook (rij), enzovoort.
178

3. Naamgeven aan de breukdelen van meetkundige eenheden.
4. Ontdekken van de breuk als operator.
5. Bewegen en tellen met breuken. Ontdekkingen in breukrijen ook voorbij de 1.
6. Terugblik op de eerste periode over breuken. Maken van de ‘breuken-envelop’ met cirkels en stroken.
7. Eigen producties met behulp van de breuken-envelop; de eerste sommen.
8. Schattend onderzoeken en vergelijken van breuken.
9. Sommen bedenken en maken.

Laat tenslotte de kinderen meedoen en meedenken in een ‘toetsles’, een
periodeochtend waarbij je als leerkracht tijdens het werk kunt waarnemen welk breukenrepertoire ieder kind zich eigen heeft gemaakt.

De vijfde klas

Tussen het bewegend rekenen en het aanschouwelijk rekenen met breuken enerzijds en het formele rekenen anderzijds, kan nog een belangrijke tussenstap geplaatst worden: het rekenen met benoemde breuken in concrete situaties, steunend op de aanschouwelijkheid.
Het denken van de vierdeklasser was nog sterk gebonden aan hetgeen hij zag. In de vijfde klas wordt bij de kinderen het inzicht gewekt op basis van het aanschouwelijke (voorstellingen, modellen van), ieder voert er de rekenbewerkingen uit op het eigen niveau van abstractie.
Begonnen wordt het breukenwerk uit de vierde klas nog eens op te halen. Daarin komt nu ook een reflectief moment, waarin de breukenwereld en wat daarin gebeurd is, op zichzelf in beschouwing genomen wordt. Bij het terughalen en opfrissen treden verschuivingen in kwaliteit en aandacht op. De kinderen gaan op een hoger niveau werken in hun ontwikkeling: van nabootsend ‘dromend’ bewegen naar bewust ‘wakker’ denkend bewegen; van beschrijven naar bewerken; van breukentaal naar rekenen met breuken. Dat terugkijken introduceren we door nog eens naar de 1 te kijken. De kwaliteit van het getal 1 heeft al een hele geschiedenis doorlopen. In de eerste klas zagen we dat er maar één heelal was, die 1 was meteen het ‘grootste’ getal. Maar als je maar één steentje had om te tellen, was 1 het minste. Vorig jaar was er één pannenkoek, een 1, die weer met velen gedeeld moest worden en opnieuw heel groot bleek te zijn.

Het terughalen biedt de gelegenheid om het (mentale en materiële) materiaal te verzamelen en in te richten, om straks met het rekenwerk te beginnen.
De in een context geplaatste som wordt nu het uitgangspunt om aan de slag te gaan. Daarbij zal het beeld, de gebeurtenis, of figuur ‘daarachter’ steeds weer bewust gemaakt moeten worden. Daardoor blijft het rekenen ook voor de minder vaardige rekenaars zoveel mogelijk toegankelijk.
Eigen producties van kinderen kunnen zich richten op het maken van opgaven, op het uitleggen aan elkaar en op ‘materiaal maken’ voor de kinderen die bij de andere leraar, of bij een combinatie klas, in de vierde klas zitten.
In de vijfde klas valt dus de periode waarin de kinderen het rekenen met breuken leren kennen.
De dubbele lege getallenlijn wordt geïntroduceerd, eigenlijk meer bewust gemaakt, want in de vierde klas toen de breuken verbonden werden met bijvoorbeeld de eerder geleerde tafelrijen, werd in feite ook al met twee schalen gewerkt.
179

180

De keuze voor een ‘geschikte ondermaat’ zal uit de context van een vraag blijken; delen van zaken waarbij geld, maat of tijd een rol spelen zullen gemakkelijk door de kinderen met behulp van de bemiddelende grootheid gevonden worden. Op meer abstract niveau kan het werken met het breukenelastiek een hulpmiddel zijn, omdat je hiermee in stroken elke gewenste verdeling zichtbaar kunt maken. Dat stimuleert het zelf kiezen van een maatverdeling op de onderste getallenlijn en laat de gelijkwaardigheid van breuken, die verschillend geschreven zijn, zien.

Kinderen kunnen op de dubbele lege getallenlijn hun eigen keus maken: rekenen we met de (gehele) getallen onder de lijn, of kunnen we het al af met de breuken boven de lijn?
Ook het delen met eenvoudige natuurlijke breuken kan vanuit concrete contexten uitgewerkt worden. Daarbij wordt het delen opgevat als uitscheppen van een hoeveelheid met een (kleine) maat. Bijvoorbeeld: “Hoeveel glazen (van
1/liter) kan ik vol schenken uit een fles (van  3/liter)?”

Ten slotte gaan we ook al in op het vermenigvuldigen met breuken. We doen dat op de aan het eind van dit hoofdstuk – als lesvoorbeeld- besproken manier van ‘landje indelen’.
In een andere periode kan via het meten en het rekenen met geld een verband gelegd worden met de kommagetallen. De dubbele lege getallenlijn is ook hier een geschikt intermediair, tussen hele getallen en breuken, tussen hele getallen en kommagetallen en tussen gewone breuken en kommagetallen.
Wie materiaal wil ontwerpen kan in het volgende een aantal kernactiviteiten zien, in aansluiting van wat hiervoor bij de vierde klas vermeld is:

1. Reflecteren op het breukenrepertoire van de vierde klas, middels een hernieuwde kennismaking met de kwaliteit en kwantiteit van het getal 1.
2. Oefenen in het beschrijven van verdelen, breken, knippen, enzovoort met aandacht voor het ontstaan van en werken met modellen: De getallenlijn, als model van de breukenrijen en bijbehorende ritmiek, De cirkel, als model van klok, pannenkoek, pizza, sectordiagram,… Het vierkant, als model van vouwblaadje, gesneden (boter)koek, kan met mengsel van … De rechthoek, als prijs- of gewichtskaartje, dus als (algemeen) model van hoeveelheid, of aantal. De strook, als model van weg, lengte, hoogte, peilstok, …
3. Delen uitrekenen van gestructureerde hoeveelheden, gestructureerde (meetkundige) patronen, maar ook van hoeveelheden gegeven als kale getallen. In beeld brengen hiervan op de dubbele getallenlijn.
4. Met breuken werken als operator, ook met breuken groter dan 1, in relatie met benoemde breuken.
5. Gevarieerde opgaven maken, met zowel meetkundige als numerieke oplossingen en kunnen opschrijven als kale sommen. Creëren van eigen producties, waarbij ook sommen voorkomen die zuiver getalsmatig (mentaal) moeten worden opgelost.
6. Delen en vermenigvuldigen met eenvoudige natuurlijke breuken op concreet niveau leren uitvoeren met mogelijkheid tot het ontdekken van de rekenregels.
7. Resumeren van de basisbewerkingen met breuken.
181

Ook hier zou aan het eind van de periode een toetsles kunnen plaats vinden om nogmaals al werkend bij de leerlingen te kunnen waarnemen op welk niveau (concreet of mentaal) zij tot de oplossing van een probleem komen. Zijn er nog kinderen die het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken?; tekenen kinderen zelf modellen om een opgave te kunnen maken?; of stellen ze zich bij het zoeken naar een oplossing de modellen voor en weten zij het antwoord zo ‘mentaal’ te bedenken?

De zesde klas

In de zesde klas is er geen speciale breukenperiode meer, wel gaat het rekenen met breuken gewoon door.
In een volgende fase wordt op al het voorgaande gereflecteerd. Er komen opgaven uit alle perioden naar voren, het rekenwerk met dubbele getallenlijn verplaatst zich voor zoveel mogelijk leerlingen naar ‘boven’, naar de breuken dus. De kinderen rekenen dan ook letterlijk op een hoger niveau. Onder andere de breukenrijen uit de periode in de vierde klas en vooral ook het rekenen in de vijfde klas met benoemde breuken komt nu in hetzelfde licht te staan. Wat eerst los van elkaar stond, blijkt nu onder één noemer te kunnen worden gebracht. Daarbij kan ook de verhoudingstabel een rol spelen. De schoonheid van de wiskunde, op het niveau van inzien en begrijpen, is hier element van beschouwing. Ondertussen wordt het rekenen met breuken geoefend, ook binnen concrete situaties. De kommagetallen, begonnen als beschrijvers van ‘meten’ en ‘geldrekenen’, kunnen nu ook formeler worden beschouwd. In feite is het positionele inzicht in komma getallen al in de vorige periode ontstaan. Nu wordt dit in het bewustzijn getild en ligt de weg open voor echte wiskundige opgaven, waarin getalsrelaties tussen echte breuken en kommagetallen worden gezocht.
Ten slotte wordt er zuiver met breuken gerekend, in elk geval door de leerlingen die dat aankunnen. Deze leerlingen gaan nu (pas) op zoek naar achterliggende rekenregels. Niet alleen de regels, maar ook het waarom ervan. Het gaat er natuurlijk niet om die regels domweg te leren, dat hebben deze leerlingen trouwens niet meer nodig. Het gaat om het zoeken zelf, het vinden, het formuleren en de discussie over de interpretaties, om ‘hoe overtuig je elkaar met argumenten’ en dus om het wekken van het oordelende denken. Opgaven als: 21/: 15/8   = …   kunnen volgens ons echter beter buiten zicht blijven. Ten slotte moet alles voor het kind te ‘verbeelden’ zijn en blijven.
Ook de procenten worden in deze klas vanuit de praktijk geïntroduceerd. De kinderen kunnen veel zelf uitzoeken. De leraar legt verband tussen breuken, kommagetallen en procenten, onder andere door ze boven elkaar op te nemen in een verhoudingstabel. Het wiskundige domein van verhoudingen krijgt steeds meer structuur voor de kinderen.
Het is nuttig om bepaalde activiteiten met breuken zo nu en dan in
rekenwerkuren te doen. Doe korte lesjes met de hele klas en ontwerp werkbladen voor individuele verwerking of voor werk in kleine groepen. Het is de bedoeling dat de kinderen de gelegenheid wordt geboden de stof bij te houden, om die straks op een hoger niveau van reflectie te kunnen doordenken en toe te passen. Voor de snelle leerlingen kan men materiaal ontwerpen waarin ingewikkelde vraagstukjes in hun toepassingen zijn opgenomen.
182

Voor de zwakkere rekenaars is het nuttig om het werk meer didactisch op te bouwen. Dit betekent onder meer dat er veel concreet ‘doe’-werk gevraagd wordt  (kleuren, vouwen, knippen, aanleggen, afmeten,…). Zowel met meetkundige eenheden (cirkel, vierkant, rechthoek, strook, driehoek, zeshoek, wijzerplaat, windroos, …) als met numerieke eenheden (hoeveelheden, bedragen, gewichten, afstanden, oppervlakten en dergelijke in getallen gegeven). Maar het allerbelangrijkste van de activiteiten is het denkwerk dat het handelen begeleidt. Daarom is het steeds gewenst over het doe-werk van gedachten te wisselen en daarbij vooral hetgeen gedaan is te visualiseren. Het noteren van hetgeen gedaan is in de vorm van kale sommen, zal voor hen de allerlaatste stap op deze weg zijn. Niet iedereen hoeft die stap ook te zetten.

De zevende klas

Zie hiervoor hoofdstuk 7.

5.4. De praktijk in de vierde klas

Maandagmorgen, de eerste breukenperiode. Geen hoopvolle stille verwachting, maar een klas met druk pratende kinderen nog vol van alle weekendbelevenissen. We zingen samen een lied en worden in deze beweging weer ‘één’ stem. Dan zeggen we met elkaar de spreuk en als de kinderen daarna, toch stil geworden, zitten te wachten, haal ik triomfantelijk de theedoek van de schaal op het tafeltje midden voor de klas: één pannenkoek! “Jongens, deze pannenkoek gaan we nu opeten.” “Geef maar aan mij, want ik had toch geen tijd om te eten vanmorgen”, zegt Erik met een grote grijns. Nienke, altijd oog hebbend voor het geheel van de klas, verwijt me “U had er beter 24 kunnen bakken, zo is het toch niet eerlijk!” Nog vele opmerkingen volgden, snel wordt duidelijk dat er gedeeld moet worden. Henk, die altijd trek heeft, probeert nog even “Wie wil er niet?” “Henk, weet je wat, neem jij het mes, maar waarom vraag je dat eigenlijk?” “Als Erik en ik nou alleen wilden, dan hadden we ieder de helft!” Luid gejoel uit de klas maakt onmiddellijk duidelijk dat Henk op een andere manier moet verdelen. Een hele puzzel, maar ieder kind kon even later een sliertje pannenkoek in zijn mond stoppen.
Na de eerste pannenkoek, verdelen we de kinderen in verschillende groepjes met in ieder groepje een ander aantal kinderen: twee, drie, vier, … Dan komt uit de kast de rest van de stapel pannenkoeken en krijgt ieder groepje er een met de opdracht een verdeling te maken. De kinderen vertellen hardop hoe en waarom ze verdeeld hebben. Waarbij een aantal kinderen de delen al met (stam)breuknamen blijkt te benoemen. Daarna maken we een mooie tekening in het periodeschrift van de eerste en tweede pannenkoek met hun verdeling.

Het is voor de kinderen een grote verrassing, soms haast een schok als ze bemerken dat binnen het geheel van het getal 1 een totaal nieuwe rekenwereld ligt. De eerste kennismaking met de breuken staat in het teken van ‘concrete’ zaken, zodat de kinderen in de wereld van de breuken thuis kunnen raken. We kunnen daarbij denken aan het volgende:

• Verdelen van allerlei wat de natuur ons te bieden heeft. Vaak is dat van zichzelf al verdeeld, zoals mandarijntjes, appels, noten.
• Verdelen van wat er vanuit de cultuur te verdelen valt, zoals bijvoorbeeld
183

mogelijk is met tijdsduur, waarvan we de weergave kunnen zien op de wijzerplaat van een klok.

• Verdelen van aantallen dingen die door de kinderen of de leerkracht meegenomen zijn.

Het praktisch verkennen van meetkundige eenheden geeft de gelegenheid de kinderen veel eigen producties te laten maken. Alleen of misschien juist in groepjes, gaan ze aan het werk om cirkel, rechthoek, driehoek of strook te verdelen!
De kinderen kunnen zeer creatief zijn als ze de gelegenheid krijgen dit soort vormen te zoeken.
Geef ook eens verdelingen in meetkundige eenheden en laat de kinderen de delen onderzoeken.

Dit kunnen we ook op het plein doen met elkaar. We vormen een grote kring, (een cirkel) of een rij, (een strook) en onderzoeken de natuurlijke breuken.

De klas bestaat uit 32 kinderen, een ideaal aantal om de breuken mee te behandelen. We gaan in een kring staan. Vervolgens wordt de kring in tweeën, vieren, achtsten, enzovoort gedeeld.
Ten slotte zijn alle handen los en staat ieder op zich zelf. Bij alle achtereenvolgende delingen hebben we het gebeurde steeds onder woorden gebracht: Wij zijn de ene helft, jullie zijn de andere helft. Wij zijn een kwart, zij zijn een kwart, enzovoort. Op het laatst zegt ieder kind: “Ik ben een van de tweeëndertig, een tweeëndertigste van de hele klas.” Dit klinkt ronduit indrukwekkend; ook de aandacht waarmee ieder de anderen aanhoort is opvallend.
Daarna hebben we de kring nog eens met gekleurde linten in gelijke sectoren verdeeld, waarbij we die stukken steeds kleiner maakten. De linten werden toen als een soort windroos op de grond gelegd. In ons schrift maakten we daar tekeningen van.

184

Van die kring heb ik later nog vaak gebruik gemaakt. “Draai 1/door.” “Loop 1/4   verder, enzovoort waren opdrachten die ze al vrij snel konden uitvoeren.

Langzamerhand is op natuurlijke wijze het naamgeven van de delen ontstaan. Nu gaan we die ‘namen’ ook opschrijven. Eerst nemen we gekleurde cirkels en stroken, en gaan vouwen en knippen.

185

Het vouwen vormt voor de kinderen een goede activiteit om al doende het ‘denken in het handelen’ te krijgen. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. We kunnen eerst de halveringsreeks maken (tot en met  1/16 ), daarna pas de gemengde reeks van  1/3   1/6   1/9     1/12  ). En later kunnen we nog  1/en 1/10   toevoegen. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur.
Het vouwen heeft het voordeel dat het geheel blijft bestaan. Als de kinderen de stambreuk waar het om gaat eruit knippen, kunnen ze de vorm in hun schrift plakken en de naam erbij zetten.
Het aardige aan stambreuken is dat je ze kunt tellen. Zo passen er bijvoorbeeld vier stukjes van 1/8   in één stukje van  1/. Elke nieuwe stambreuk vormt zo een nieuwe maat waarmee de eenheid, de ‘volle’ schijf, te bemeten is. Door aanvankelijk alleen met de halveringsreeks te werken, kan veel verwarring voorkomen worden. Dus niet steeds het hele zakje laten leegschudden. De vraag “Wat past er allemaal in een hele?” leidt alleen met de halveringsreeks al tot veel eigen producties, zoals 1 = ½   + 1/8  + 1/8+ ¼ ; in het handelen tenminste, niet als som. Met drie stukjes van 1/kun je één stukje van 1/9 vullen, maar twee stukjes van  1/zijn al meer dan één stukje van 1/6. Voor het probleem dat nu optreedt moeten de kinderen zelf een oplossing zoeken. De eenheid is weliswaar in steeds kleinere eenheden (stambreuken) opgedeeld, maar deze zijn onderling niet steeds weer delen van elkaar.
Laat een aantal leerlingen, of misschien wel allemaal, ook eens met wat ingewikkelder vouwtechnieken experimenteren. Welke breuken ontstaan er?

Ik besloot nog eens terug te kijken op het werk van de afgelopen dagen. De kinderen hadden vol enthousiasme gewerkt en de breuken klonken al door de klas alsof het heel gewoon was. Aan een concrete situatie wilde ik eens zien of het delen en het naamgeven al tot het eerste begrip breuk had geleid.
Maar toen ik de volgende dag een heerlijke ronde vlaai meegenomen had en aan onze bolle Martijn, toch niet een van de langzaamsten, vroeg: “Wat heb je liever, 1/ of 1/3 0 ?”, bleek dat de kracht van de grote (natuurlijke) getallen nog niet gebroken was. Zoiets heeft echt zijn tijd nodig en vele (gevarieerde) oefeningen. Ook later in de periode viel me dat steeds weer op.

Tellen om straks aan de teller te komen

Aanvankelijk werken we vanuit het tellen: delen die kinderen kunnen tellen. We gebruiken in het begin nog geen samengevoegde delen. Anders gezegd: we tellen met stambreuken. Wel kunnen we het geheel geven, waaraan een stuk ter grootte van een stambreuk ontbreekt. Dan vraagje: “Welk deel ontbreekt?”

186

Toen we een strook verdeeld hadden in tien delen, schreven de kinderen trouw, nadat ze er  1/10  van mochten afknippen, dat ze nu 1/10  en 1/10  en 1/10  en…… en 1/10  over hadden.
Lisander houdt niet van schrijven, maar wel van rekenen en bood onmiddellijk aan maar puntjes te zetten of gewoon 9.
Wel een aardig idee vond de klas, maar dan kan je niet ‘zien’ waar het over ging. Zo werd besloten tot de notatie: 9/10 

Teller en noemer

Zolang we werken met meetkundige eenheden die verdeeld moeten worden of zijn, is het voor de kinderen niet moeilijk om de breuk van teller en noemer te voorzien.

Om teller en noemer nog eens op een andere manier te onderscheiden werd de familie Best geïntroduceerd.
Vader, moeder, Francien, Saskia, Bert en Karel zijn de zes leden van de familie Best. Bart en Karel zijn er twee van de familie Best.
Schrijf maar 1/Best    de noemer dus als familienaam. De teller geeft het aantal familieleden van de familie aan. Of  …../Best   om in te vullen. Even later wordt dat “Hoeveel van die ‘zesden’ moeten we hebben?”

Tot nu toe hebben we de natuurlijke breuken leren kennen als resultaat van een handeling, verdelen, vouwen of knippen van een eenheid.
Nu gaan we ook hoeveelheden verdelen. “Verdeel eens twee pizza’s met z’n vijven. Hoeveel krijgt je elk?” De kinderen zullen bij zo’n eerste onderzoek naar zo’n verdeling zeker voor de eerste oplossing kiezen. In een later stadium zie je pas wat meer gevarieerde oplossingen omdat de kinderen steeds vertrouwder raken met de verschillende breuken en breukenrijen.

187

Het delen van etenswaren leidt bij vrijeschoolleerlingen, vertrouwd met de vijf-ster, meestal tot de bovenste oplossing. Wil je de andere verdelingen oproepen bij een maaltijd in restaurant ‘De Smulpan’ dan zul je, door niet alles tegelijk op te dienen, of er een vijfde man bij te laten komen, andere verdelingen kunnen oproepen. Het is leuk om zo’n eetsituatie ook eens echt te spelen. In een vijfde klas kunnen de pannenkoeken dan ook nog een prijskaartje krijgen, bijvoorbeeld  € 6,—. Wat moet je nu per persoon betalen? In een zesde klas zijn het dan twee verschillende pizza’s van € 10,— en € 12,50.

Nog eens het symbool uitvinden

Hoewel we in eerste instantie de breukdelen een naam hebben gegeven, is het nu ook mogelijk op nog een andere wijze het symbool uit te vinden.
De notatie van breuken kan op verschillende manieren gebeuren. Een aardige ontdekking van kinderen, die aan een vierkante tafel zaten en met z’n zevenen drie pannenkoeken moesten verdelen. De situatie aan tafel werd aldus in twee stappen gesymboliseerd:

Bijna de breuk zoals die formeel genoteerd wordt!

Ontdekken van de breuk als operator

Snelle breuken.
In de zaal hebben de kinderen de ruimte en als we daar allemaal, lekker door elkaar staan, verdelen we ons in drie groepen. “Welk deel zijn jullie nu als groep?”  1/3  is niet moeilijk te beantwoorden, maar nu draaien we het om: 1/4 mag op de grond zitten!” Een aantal gaan heel snel zitten om ‘erbij’ te zijn, maar van blijkt  1/4  geen sprake te zijn, dus een deel van de kinderen gaat weer staan na wat geharrewar.
In twee groepen verdeeld gaan de kinderen zelf opdrachten met breuken aan hun groep geven. De kinderen staan daarbij in een kring of in een rij.

Windroos

“Wie weet waar hier het noorden ligt? Goed, ga maar allemaal met je neus naar het noorden staan. Dat is je windwijzer, en als die zo staat komt de wind uit het zuiden. Als de wind ‘ruimt’, beweegt hij met de zon mee. De wind ruimt naar het westen. Waar staat je neus nu naar toe, Joost? Hoever ben je dus gedraaid, Mariëlle? En als de wind krimpt, dan draait hij tegen de zon in. Begrepen? Goed, dan zullen we nu een windje laten. Ga allemaal met je neus naar het noorden staan. De zuiderwind ruimt naar het oosten. Ja Hugo, dat was dus 3/4 draai, van zuid naar west, naar noord, naar oost. Een lange draai dus. En nu krimpt hij tot er weer zuidenwind is. Marijke, we zijn weer terug hè? Ja, eerst 1/4 (draai) terug en dan nog ½ (draai) terug”.
Op het bord staat een windroos getekend en nadat we een tijdje ‘gewaaid’ hebben wordt de laatste windbeweging ook op het bord met kleur aangegeven. Ruimend met rood, krimpend met blauw. De vragen kunnen nu ook luiden: “Gisteren was er zuiderwind, de wind is ¾ gekrompen. Wat is nu de windrichting? Had de wind ook kunnen ruimen om daarna uit deze hoek te waaien?”

188

189

Ook getekende rekenverhalen lenen zich voor het verkennen van de breuk als opdracht om te handelen.

Breuken en bewegen

We leren de kinderen de breuken heel concreet aan, door aanschouwelijke activiteiten. Toch kan een gepaste voortzetting van het bewegingselement enthousiasmerend werken. Het ritmische aspect van het bewegen biedt tevens de mogelijkheid tot een onopvallende herhaling van de tafels:

2/4     4/4    6/4   ………

3/8   6/8   9/8    …….

Brengen we daarbij de hele getallen in het geding:

4/  12/6   2,…

dan gaan bewegen en inzicht al heel sterk samen en hebben we meer met een concentratie-oefening te maken. Zo’n oefening hoort thuis in de vijfde klas.
Dit kan lopend in een cirkelvorm gebeuren, waarbij de kinderen zelf de grootte van die cirkel en hun passen moeten bepalen om de hele getallen op dezelfde plaats te krijgen. Het op dezelfde plek terugkomen geeft meer gevoel voor de betekenis van de helen in: 1/8    11/8    21/Als een vorm de mogelijkheid geeft de
beweging ook terugwaarts te maken, verdient dat zeker aanbeveling. Leidt het achteruitlopen tot geduw en tenentrapperij, dan kunnen de kinderen veel beter omdraaien en ‘hun neus achterna’ lopen.
De vorm die de kinderen hardop sprekend lopen of bewegen, wordt ook zwijgend uitgevoerd. Nu gaat het erom dat de leraar de vorm onderbreekt en zegt: “Stop! Waar ben je?” Dit soort bewustzijnsmomenten voorkomen dat de kinderen wegdromen in het ritme, of elkaar alleen maar imiteren.
Ook worden bewustzijnsmomenten ingebouwd door ineens een andere beweging te doen. Bijvoorbeeld: “Op iedere achtste een stap, maar als de breuk een hele vormt, dan geef je een klap”: 1/8   2/3/4/5/6/7/8/9/10/8  

Hier kan men ook niveauverschillen zien optreden. Sommige kinderen halen er bijvoorbeeld meteen (spontaan) de helen uit.
In de hogere klassen is voor sommigen de sterke motorische beweging met de ledematen een stoorzender voor het bewustzijn. Voor zulke kinderen is het goed ook oefeningen te geven, die zonder beweging gedaan worden, maar waar de accenten die anders door de beweging werden aangegeven, nu bijvoorbeeld door hard en zacht spreken gelegd worden.
Ook kan men af en toe individuele opdrachten ertussen door weven, opdat het geen dreun wordt, die de kinderen klakkeloos mee zeggen.

190

Voorbeelden 

In een kring
De kinderen klappen de rij, bijvoorbeeld van  1/8 en zeggen: één achtste, twee achtsten, drie … Bij het zeggen van de teller wordt een klap gegeven, bij het zeggen van de noemer een stamp op de grond.
De rij wordt, zonder te zeggen, in stilte bewogen. Wanneer iemand aangewezen wordt, moet deze zeggen waar ze ‘in de rij gekomen zijn’.
Er worden muziekinstrumenten gebruikt. Wanneer de trommel te horen is, gaan we de rij vooruit lopen en wanneer de triangel klinkt, achteruit. Dat geeft extra plezier als deze vorm in stilte gedaan wordt: “Waar zijn we? Wie zou het weten?”

Halveren
In kringvorm lopen de kinderen op het ritme van het lied “Grote klokken zeggen bim bam”. Voor de eerste regel worden lange passen genomen, dan wordt op de tel gelopen en ten slotte de kleine stapjes van het “tikke takke tikke takke tikke takke tak”. Ook is het mogelijk drie kinderen naast elkaar te laten lopen elk op een verschillend ritme, of met alle kinderen in drie grote kringen met voor ieder de opgave het eigen ritme goed vast te houden.

Verdubbelen
Bij het lopen van de ritmen worden de hele stappen (lange passen) steeds gehalveerd. De breedte van het lokaal is zeven lange passen (eerst schatten). “Hoeveel halve passen maak je als je van de ene kant naar de andere kant loopt? Hoeveel kwart passen zitten er in diezelfde afstand?” Drie kinderen kunnen het naast elkaar lopend demonstreren: wanneer een van de kinderen één grote pas zet, maakt de ander twee kleine pasjes en de derde vier trippelpasjes.
Er kan aanleiding zijn om ook de gelijkheidsrijen te lopen en te spreken. Voor veel kinderen is dat nog moeilijk, de eerste drie gaan wel maar dan… In de vijfde klas, wanneer we reflecteren op wat we ontdekten in de vierde klas -waar we de gelijkheidsrijen vooral gewoon ( 1/8     2/16    3/24  …..) voortzetten- kun je van verdubbelen veel duidelijker een activiteit maken (( 1/8     2/16     4/32  …).

Breukenelastiek

Met een wit elastiek met daarop een (lineaire) markering, kan elke gewenste breukverdeling op een strook aangebracht worden.
Rek het elastiek zover op dat het begin- en eindpunt van de strook (kassarol) samenvallen met het begin en het einde van (bijvoorbeeld) het zevende stuk van het elastiek. Markeer nu de stukken van  1/op de strook.
Zo kun je ook laten zien dat  2/4/10/15  en dergelijke. Eerst verdeel je namelijk de strook in drieën, dan in zessen of in vijftienen. In alle genoemde gevallen zal steeds eenzelfde deel van de hele strook aangegeven worden. Later kun je hierop terug komen, als de regels voor het gelijknamig maken bij optellen, aftrekken en delen ‘uitgevonden’ worden.

Je kunt zelf zo’n breukenelastiek maken door er aan de uiteinden knopen in te leggen (dan kun je het beter vasthouden). Daarna bevestig je het tijdelijk vijf keer uitgerekt op een tafel en zet nu, vanaf een gekozen beginpunt, om de 4,0 cm een streepje (noteer bij de streepjes 0, 10, 20, …). Zorg dat je elastiek tijdens het markeren niet verschuift (gebeurt dat wel, dan is het daarna waardeloos). Je hebt nu

191

een soort rekbare liniaal gemaakt met een variabele schaalverdeling erop. Daarmee kun je elke lengte ‘naar verhouding’ verdelen.

Spelvormen

Tot slot een aantal spelvormen om de eerste (en ook volgende) periode mee af te sluiten. Spelvormen zijn ook heel geschikt om ongemerkt de klas, of een speciaal kind, nog eens in ogenschouw te nemen. Je kan ze zo maken, dat alles wat ze deze periode gedaan hebben erin terugkomt.
Het bewegend rekenen wordt in dat geval afgesloten met een spel, waarbij het ritme geen (belangrijke) rol speelt. Er wordt nu een bepaalde wakkerheid gevraagd om allert te kunnen reageren. Belangrijk is wel, dat de maat die de breuk heeft hierbij een rol speelt. Dat aspect kwam in de breukrijen niet zo naar voren. Daar werd immers steeds met even grote passen gelopen.

Er in

Er zijn verschillende opgedeelde cirkels op de grond getekend waarin breuken geschreven zijn. De kinderen krijgen nu de opdracht: “Ga in  3/4 staan  “. De manier waarop ze dat doen, mogen ze zelf uitzoeken.

Breukentwist

Een cirkel op de grond is eerst in twee helften verdeeld, daarna in vierden, achtsten, of iets dergelijks. Een andere cirkel in derden, zesden, negenden, enzovoort. De kinderen moeten opdrachten met deze cirkels uitvoeren. “Wie kan in een halve cirkel gaan staan?” “Ga eens staan in 11/8

Breukpunt

Teken op de grond een grote cirkel en verdeel deze in enkel
stambreuksegmenten. Wijs een tikker aan. Deze stelt zich op in het midden van de cirkel. De andere kinderen staan rond de cirkel.
Noem een te vormen breuk en tel vervolgens (bijvoorbeeld) met stappen van een achtste tot één hele. Tijdens het tellen moeten de kinderen met hun voeten in de te vormen breuk gaan staan. Wie dat binnen de tijd niet voor elkaar krijgt, kan getikt worden. Wie getikt is, moet een pand inleveren.
Variatie: noem een som. De kinderen moeten in de uitkomst gaan staan.
Variatie: in plaats van een cirkel, een driehoek of vierkant gebruiken.

192

Een tweede periode 

Stond de eerste breukenperiode duidelijk in het teken van ‘leren kennen’ door verkennen en onderzoeken, nu gaan we ermee leren werken, op concreet niveau 
gaan we ook de eerste natuurlijke breuken toepassen. Wat we ‘doen’, leren de kinderen ook als sommetje op te schrijven.

Breuken verzamelen

Deze ochtend ligt op alle tafels een glanzend stuk goudkarton! “Wat gaan we maken, wat hebben we voor feest?” “Rekenen”, antwoord ik triomfantelijk. Verbaasd kijken de kinderen mij aan. Even wennen voor vrijeschoolkinderen dat gewone dingen ook een feest zijn? Sommige kinderen zie je even voelen aan het goudlaagje, in ieder geval hebben ze zin in deze dag gekregen. En ik ook, want straks hebben ze allemaal een glanzende ‘breuken-envelop’!
De eerste dagen van de nieuwe breukenperiode werden gebruikt om het ‘oude’ tevoorschijn te halen. We deelden weer op allerlei manieren en ook knipten en vouwden we weer meetkundige eenheden tot breuken.
Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. Daarbij werd eerst de halveringsreeks gemaakt (tot en me 1/16  ). En daarna pas de gemengde reeks van  1/3     1/2   1/9     1/12 
Later werd daar nog  1/5   en   1/10  aan toegevoegd maar echt nodig was dat niet. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Al deze breuken werden ook uitgeknipt zodat er van ieder tenminste ‘een hele’ in de gemaakte, gouden envelop gedaan kon worden. Dat was voortaan onze breukenenvelop. Met de breuken uit de envelop kunnen we nu allerlei opgaven ‘leggen’. We zorgen dat er verschillende schijven met dezelfde stambreuken gemaakt worden, zodat er ook doorgewerkt kan worden boven de 1. In de envelop komen ook stroken met allerlei verdelingen. Hier zijn de breuken niet losgeknipt, maar de vouwlijn is duidelijk aangegeven. Met deze zelfgemaakte modellen gaan we aan het werk. Niet alleen worden er oplossingen mee gevonden bij concrete opdrachten, maar de kinderen worden vooral gestimuleerd eigen producties te maken.
Bij iedere ‘uitvinding’ gaan we nu ook de uitwerking als som opschrijven. Met deze eerste sommen zijn de kinderen zeer geanimeerd bezig.

Kies ook nog eens een verdeelvraag met pannenkoeken. De breukenenvelop kan goede diensten bewijzen en we kunnen er nu sommen bijschrijven.

Verdeel vijftien pannenkoeken gelijk over vijf groepjes (tafels)”. Dan moeten ze maar aan het werk. Welke oplossingen komen er zo al uit de bus?
Eén groep zal bijvoorbeeld alle pannenkoeken door de helft gedeeld hebben. Dan heeft ieder kind ½ pannenkoek en er blijft nog ½ over. Die is makkelijk in vijf gelijke stukken te verdelen. De oplossing die nu uit de bus komt is dan:

193

“Verdeel drie pannenkoeken in gelijke stukken met z’n vijven” Elk krijgt eerst ½. Daarna nog 1/5 van ½, dat is  1/10  of:

Dat kan verrassingen geven:
“Verdeel één pannenkoek ‘eerlijk’ over drie personen”, wordt als opdracht gegeven. De kinderen gaan aan het werk. Eerst wordt de pannenkoek in vieren verdeeld, daarna wordt het laatste vierde deel op de volgende manier in drieën verdeeld. Op de opmerking van de leerkracht dat dit toch geen eerlijke verdeling is, antwoordt een van de kinderen: “Jawel hoor, want hij heeft gewoon meer trek”.

Zo’n moment kan juist leiden tot een verdieping van het breukbegrip. De uitdrukking gelijk op delen (verdelen in even grote stukken) zou hier beter op zijn plaats zijn. Kinderen kunnen op dit gebied zeer inventief zijn. Het is dan ook niet verstandig snel af te stevenen op de rekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen.
Wel kan de kinderen opgedragen worden, na afloop precies te tekenen hoe er tijdens de maaltijd opgedeeld en verdeeld is. Daar kunnen dan sommetjes bij geschreven worden.
194

Overigens is het didactisch gezien van groot belang, dat de kinderen zich niet beperken tot één model voor de breuken. Zowel cirkels als vierkanten als rechthoeken als stroken dienen de ontwikkeling.
Bedenk veel opdrachten waarbij het gebruik van stroken mogelijk is. Op een andere manier krijgen de kinderen nu ook gevoel voor de maat van een breuk.

Met de stroken zijn de kinderen dicht bij het beeld van de getallenlijn gekomen. Een getallenlijn die in dit geval opgebouwd is uit intervallen en niet bestaat uit punten. De breuken wijzen hier dus delen van de getallenlijn aan, net als de getallen op de liniaal. Dit beeld van de breuken ligt dicht bij activiteiten als ‘het springen over de getallenlijn’ (zie H 2 ).

Blijven bewegen

Opnieuw komen we met de kinderen in beweging. Nu gaan we breuken ook schattend onderzoeken. En we vergelijken. “Wijs eens aan, hoe groot is  ½  ?” Alle halven tussen de handen zijn verschillend. “Hoe groot was jouw hele?” Voor de leerkracht een aardige gelegenheid om naar het temperament in combinatie met het gebaar te kijken.
Buiten kunnen we op het plein weer opdrachten lopen. Eerst de 1 (eenheid) kiezen, dan elkaar opdrachten geven: “Ga staan op  1/of 3/8 , enzovoort.”
In de klas kun je er ook spelletjes mee doen. Twee kinderen die allebei ook een onverdeelde ‘1-strook’ uit de envelop pakken, geven elkaar opdrachten en schrijven de som erbij op. Of: “Ik heb een getal in gedachten!” Met vragen moeten de anderen erachter komen: “Is het groter dan 1/?” “Is het kleiner dan ½  ?” … Spreek wel af welke breuken ‘mee mogen doen’.

Breukentikkertje

Geef elk kind een (eenvoudige) breuk die groot op een papier geschreven wordt. Elk kind krijgt deze breuk op zijn rug gespeld. Stel de kinderen op achter de basislijn in de gymzaal. Wijs één tikker aan. Je roept nu een breuk, die samenge-
195

steld kan worden uit de eenvoudige (rug)breuken van de kinderen. Kinderen die gezamenlijk zo’n breuk kunnen vormen mogen vrij oversteken. Wie geen groepje kan vormen mag alleen oversteken, maar kan dan getikt worden en moet in dat geval een pand afgeven. (Zijn er te veel kinderen die alleen oversteken, dan mogen eerst de breukgroepen oversteken). De breukgroepen moeten zich als groep aan de overkant (ter controle) opstellen.

Lege cirkels

Er liggen twee ‘lege’ cirkels op de grond. “Wie kan een heel rondje lopen? Wie kan een halve draai om het middelpunt (as) maken? Wie loopt 3/4 rondje? Wie 1 1/4 rondje? Wie draait 21/8 keer om zijn as?”

Sommen bedenken en maken

Langzamerhand vinden de kinderen het fijn om ook echt te werken. Maar de ‘sommen’ zijn nog steeds geen kale sommen. Let wel, het gaat nog niet om het rekenen maar om het werken met de breuken. De breuken beschrijven verdelingen of geven de opdracht te gaan verdelen. Als ergens 1/2 + 1/3 voorkomt, dan hoort daar zoiets bij als:

Dus ½ pannenkoek en 1/ pannenkoek ( ½ p  +  1/3 p) naast de helft van 24 bloemen plus 1/3 van 24 bloemen (½ x 24 +  1/3 x 24).
Gestructureerde meetkundige ‘sommen’ zijn fijn om te kunnen ontdekken:

196

De antwoorden van de kinderen in bovenstaande voorbeelden laten zich raden. In het geval van de rechthoek kwamen er bijvoorbeeld:

 1/8   1/8  +   1/8  +   1/8   =  4/8 ,  maar ook: 4 x 1/8 =  1/8

Dat de vier delen van  1/8  rechthoek samen½ rechthoek konden vormen, werd door wat knip-en verschuifwerk al gauw overtuigend aangetoond.

Van gekleurd papier knipten de kinderen eerst allerlei vierkanten van dezelfde maat. Daarna werden ze doorgeknipt op de eerst gevouwen diagonalen. In twee groepen gingen de kinderen er nu een grote meetkundige figuur van samenstellen en plakten dat op een groot tekenvel. Met behulp van de vorm en de kleuren zochten ze naar structuren en bedachten er breukopgaven bij. De sommen worden onder de mooie vorm geschreven. Sommige kinderen ontdekten dat je opgaven kon bedenken, waarbij je de breukensommen in overeenkomstige kleuren (uit de vorm) kon opschrijven.

Hoe ver zijn we gekomen?

Zorg er voor dat er tegen het eind van dit breukenwerk in de vierde klas weer een toetsles is; een ochtend waarbij je de opdrachten zo inricht dat je kan waarnemen welk ‘breukenrepertoir’ de kinderen op dit moment tot hun beschikking hebben. Het is ook belangrijk om waar te nemen hoe de kinderen het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken. Let ook eens op het samenwerken in groepjes; wie neemt het voortouw en wat voor initiatieven nemen de kinderen om gezamenlijk tot een oplossing te komen?!
Voor de kinderen hoeft zo’n dag er niet anders uit te zien dan andere dagen, maar voor de leerkracht is het belangrijk momenten te creëren waarin hij de individuele verschillen in ogenschouw neemt. Bij het maken van lesmateriaal zullen deze verschillen in de komende jaren steeds meer bepalend zijn.

5.5 De praktijk in de vijfde klas

De 1, een groot geheel en een kleine hoeveelheid

Op allerlei manieren onderzoeken we de 1 en zien wat één betekende in de afgelopen schooljaren. Dat je de 1 kon breken in oneindig veel delen was voor de klas een duidelijke herinnering, maar terugkijkend naar de breuken in de vierde klas, leek het wel of alles helemaal weg was bij de kinderen.
Eenmaal aan het werk komt de verstevigde herinnering bij de kinderen weer boven. Sommige kinderen hebben de behoefte de breukenenvelop weer tevoorschijn te halen en dan zijn we er weer helemaal in!
Ook ‘vanuit de beweging’ kijken we nog eens op de breuken terug.
In de vijfde klas wordt bij de beweging een grotere bewustmaking gestimuleerd. De rijen die al in de vierde klas gedaan zijn, kunnen weer gedaan worden, maar nu met een extra accent. Om een idee van de activiteiten in de klas te krijgen, volgen hier een paar voorbeelden ter inspiratie.
De rijen kunnen weer gezegd worden, nu niet beginnend bij de 0 maar bijvoorbeeld bij 2/7. De rij van 3/ beginnend op 2/7 wordt: 3/   5/7     8/7    11/7 …, enzovoort.
De rij beginnend op 2/7  maar dan eerst 3/ erbij tellen en daarna elke keer 1/7 meer erbij tellend:  2/7     5/7      9/7     14/7  20/7   ,…
Gelijkheidsrijen (rijen van gelijkwaardige breuken, zoals 1/8    2/16    3/24 •••) kunnen in de vierde klas al geoefend worden. In de vijfde klas kan dat moeilijker worden

197

gemaakt, door bijvoorbeeld elke keer een groep een stap later te laten beginnen. Zodoende ontstaan de gelijkwaardige breuken niet alleen binnen de oefening maar ook binnen de groepen.

Bijvoorbeeld:

De rijen kunnen vanuit een bepaald symmetriepunt opgezegd worden. Elke keer gaan we dan bij dat punt de grens over maar in steeds wisselende richting. Dit kun je bij elke rij doen. Bijvoorbeeld bij de gelijkrij van  5/7    :

Voor alle bovengenoemde activiteiten geldt dat er na een korte tijd van intellectuele inspanning door de kinderen een regelmatigheid wordt gevonden. Hierna komt de ritmiek, de beweging weer op de voorgrond. Dit is dan het moment, dat er een andere opdracht gevonden moet worden om het denken weer in te schakelen.
Ook op papier kunnen we de rijen in beeld brengen.

Het maken van sterfiguren is een activiteit waarbij de breukenrij, (bijvoorbeeld die van 3/8) gekend moet worden, om tot iets anders te komen. De mooie vorm die ontstaat is hier het gevolg van het gebruik van breukenkennis en leidt dus niet tot begrip van de rij. Het is leuk om te zien dat kinderen daarna andere breukenrijen (van achtsten) willen uitproberen, om te zien wat dat voor gevolgen heeft voor de figuur.

198

Ziehier de ster:

Dit is overigens ook de ster voor 5/8, alleen doorloop je deze dan in de andere richting. Zou dat wellicht iets te maken hebben met het feit dat 3/8 + 5/8 = 1?
De rij van 1/8 (en die van 7/8) levert op de cirkel geen echte sterfiguur op, het wordt gewoon de regelmatige achthoek. De rij van 2/8 (dat is natuurlijk ook de rij van  1/4 ), geeft een vierkant. Dan vraag je de kinderen hoe het met de rij van ¾ zit?

Heel aardig is om de sterfiguren met draden op spijkerbordjes te maken. Men moet zich er evenwel bewust van zijn, dat het inzicht in de breuken daarbij behoorlijk uit zicht kan geraken.

Neem nu eens de rij van 3/8, op een rechte lijn uitgezet. Deze kan oneindig lang worden voortgezet. Na een paar stappen passeer je de eenheid, even later kom je over 2 heen … 3/8    6/8   11/8   14/8    17/8      22/8…..
Nu is de vraag: “Hoe zien de sprongen van de sterfiguur bij 3/8 eruit?” Of: “Welk  beeld behoort er bij de rij van 3/8   op de getallenlijn?” 

Zet je de stappen evenwel langs een cirkelomtrek, dan kun je het aantal gepasseerde ‘helen’ uit het oog verliezen.

Regelmaat en wetmatigheid

Heel interessant wordt het als de breukenrijen systematisch in tabelvorm worden opgeschreven en we daarin allerlei wetmatigheden kunnen ontdekken. We laten twee voorbeelden zien, een van een opteltabel en een van een vermenigvuldigtabel. We beperken ons daarbij tot ‘achtsten’.

199

Vermenigvuldigtabel van ‘geheel getal x … achtsten’. “Wat valt er allemaal te ontdekken?”

Opteltabel van de rij van ‘achtsten’, om zelf verder in te vullen en regelmatigheden op te sporen.

Oefening baart kunst 

In allerlei opdrachten wordt nu geoefend in het beschrijven van verdelen en breken. De contexten worden zo gekozen dat getallenlijn, cirkel, vierkant, strook, enzovoort (zie ook didactisch spoor H5.2 ) gebruikt kunnen worden als model voor het oplossen.

Van cirkel naar getallenlijn

Het verschil tussen cirkel en getallenlijn is, dat je bij oneindig veel rondes langs de cirkelomtrek niet uit zicht geraakt, terwijl je op de getallenlijn met een breukenrij steeds verder ‘van huis’ komt.
Dit wordt mooi in beeld gebracht als we de cirkel langs de getallenlijn afrollen.
Stel je maar voor dat de breuken als stempeltjes op de cirkel zijn aangebracht:

Als de cirkel zover doorgerold is dat de 0 weer onderaan is gekomen, dan moet er bij alle breuken 1 worden opgeteld: 1  11/8   12/ enzovoort, tot we weer rond zijn en bij 2 komen. Op die manier komen we steeds verder van huis (= 0).
 Je kunt zoiets mooi demonstreren met een ‘klikwiel’, waar afstanden mee te bepalen zijn.
Wie een klas met handige vingers heeft, kan zich wagen aan het leggen van een dikke draad om een mooie gekleurde verdeelde cirkel in het schrift. De verdelingen worden overgebracht op het touwtje en vervolgens rollen we het touwtje af en plakken het erbij als getallenlijn! Geen kind dat meer vergeet wat een getallenlijn met breuken erop is.

Referentiematen voor bemiddelende grootheden

De klok gaf ons het beeld van het hele uur, een half uur, een kwartier, drie kwartier, later voegden we daar vijf minuten als deel, tien minuten als  1/12   deel aan toe, tien minuten als  1/6   deel aan toe.

201

De cirkel staat model voor de wijzerplaat van een (nog niet digitale) klok. In dat geval is er dus een soort natuurlijke onderverdeling van de omtrek, waarbij die van vijf minuten, na de kwarten voor de kwartieren het meest in het oog springt. Twaalf gelijke delen dus, elk aan te geven met  1/12    tezamen een rij vormend van bijvoorbeeld  1/12  . Je loopt dan, met de wijzers van de klok mee, langs de cirkel via de rij  1/12    2/1211/12    12/12    (=1)  13/12 …..
Denk je ‘in minuten’, dan luidt die rij: 5, 10, 15,…. 55, 60 (= 1 uur), 65,…
(Weg zijn de breuken en de tafel van 5 is tevoorschijn gekomen!)

Als je in het middelpunt van de cirkel de bewegingen langs de rand volgt, kun je spreken in termen van ‘ronde’. Een hele ronde voor de kinderen die een heel rondje langs de cirkelomtrek hebben gelopen. Of, even anders bekeken: een hele ronde voor één heel uur. Dat zou de grote wijzer ook gezegd kunnen hebben. Halve ronde en kwart ronde komen zo op een natuurlijke manier in beeld. De breuken uit de rij van 1/12  zijn ook te zien als beschrijvers van zo’n ronde.

De kinderen hebben dat mooi in kaart gebracht, (zie ook leerlingenwerk in kleur) Je kunt in klas 6 nog een stapje verder gaan. Een hele ronde heet in de meetkunde immers 360°! Een kwart ronde is dan 90°, en een achtste ronde 45°. Hoe zit dat nu met onze rij van  1/12 ?
30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210° … Breuken weg, de tafel van 30, of gewoon de tafel van 3.

Straks gaan de kinderen op zoek naar meer van dit soort referentie-maten als bemiddelende grootheden, vervangers van de eenheid die daarvoor gebroken of verdeeld was.

Van de klok naar een getallenlijn op de grond

We zijn begonnen met het uitwerken van de klok. Elke vijf minuten werden van een deelbreuk voorzien. Daarna heb ik de klok uiteen laten vallen met behulp van een vormtekening.

De kinderen kregen een beeld van een lijn als een klein deel van een cirkel, en niet als een eindig gegeven. De cirkel kan oneindig lang afrollen tot een oneindig lange lijn. We beperkten ons eerst tot één keer afrollen en verdeelden toen dat lijnstukje in 12 gelijke delen: de wijzerplaat was lineair geworden. Waar komt de 12? Is er wel een 0 op de klok? Hoe krijg je twaalf precies gelijke stukjes? Er werden stroken gevouwen en het in drieën delen gaf een extra moeilijkheid. Anderen namen hun liniaal erbij, maar moesten toen een lastige deling maken. Eén leerling deed het met het breukenelastiek.

202

De beweging zichtbaar gemaakt 

Je kunt hierbij denken aan ‘bewegingsgolven’ en deze ook zichtbaar maken op 
een breukengetallenlijn. In het beeld dat je zo schept, is de beweging verstild. Je ziet ook de wiskunde erin:

Cirkel, strook, lijn

Wat in het bewegingsdeel en bij de vormen gedaan is, kan op bijvoorbeeld de volgende manier ‘in het rekenen stollen’:
• De voortgezette halvering van de cirkel zoals bij de rijen is aangezet, in cirkels op de grond:

• Een voortgezette halvering van stroken en de verschillende breuken op een rijtje (grafiek) gezet:

203

• De voorgezette halvering in grafiek gebracht, met delen van de getallenlijn:

Daarna gingen we buiten op de stoeprand staan. Twee leerlingen moesten de punten 0 en 1 markeren. Nu volgden er opdrachten als:
• Ga staan op  ½    1/3      1/ enzovoort.
• Ik sta op  ½  en wil nu ¾ verder gaan.
• Ik ga eerst staan op   6/12  en wil op  1/3 daarvan komen.
De kinderen moesten al lopend en sprekend laten zien wat ze deden.
We zijn ook eens als een klok in een kring gaan staan. In dat geval waren de breuken  even uit zicht,   4/12   werd gewoon 20 (minuten), en de helft van 20 (min) is 10 (minuten), hetgeen weer hetzelfde is als  2/12.  Of  “Ik sta op 15 minuten en wil daarvan  1/3   deel hebben. * Dat was dus 5 minuten, ofwel   1/12      .  Joachim zag ineens dat  1/ deel van  1/4   (van een uur) gelijk is aan  1/12 (uur). Sommigen werd dit pas duidelijk toen we het daarna nog eens tekenden.

Na het bewegende deel kunnen de kinderen in hun periodeschrift een lijn tekenen en daarbij allerlei ‘sommen’ maken en zelf bedenken.

Er zijn twee soorten getallenlijnen, daar moesten we even over nadenken. Daarom hing ik in de klas een getallen(was)lijn, waaraan ik de leerlingen breuken, op A-4tjes geschreven, met wasknijpers liet ophangen. Nu kenden we dus twee soorten getallenlijnen, die met stroken (intervallen) en die met punten. We pasten die kennis nog eens toe door het breukenelastiek te gebruiken.

204

Laat eens zien dat  3/8  groter is dan  1/4   . Kun je ook zien hoeveel het precies groter is?
Het was slim bekeken:  1/4   kon op de verdeling in achten ineens afgelezen worden. Het ging immers bij  1/ om vier gelijke delen! Het verschil zie je nu ook in één oogopslag:  ½  .

In de loop van de vijfde klas maken we voor de kinderen steeds meer gevarieerde opgaven, waarbij we ons door de dagelijkse realiteit laten inspireren. Alleen of in groepjes werken de kinderen hieraan.

Een banketbakker maakte omstreeks 5 december reclame voor zijn heerlijke banketstaven. Het uitgerolde en daarna opgevouwen (blader)deeg, stelde hij, bestond uit wel 4096 laagjes. Ik had de advertentie uitgeknipt en ging met de kinderen na, hoe vaak de bakker het platgerolde deeg heeft moeten ‘vouwen’. Dat werd dus ‘verdubbelen’ als je in gedachten het kant en klare bladerdeeg weer ‘ontvouwt’, dan kun je gaan halveren. We waren verbaasd over de grootte van de lap deeg van de bakker. Sommigen probeerden het na te doen met een opengevouwen krant. Het kleinst gevouwen stukje leverde meteen een nieuwe som op.
Een andere keer stelde ik weer een ‘eet-dag’ in. Dit keer geen pannenkoeken, maar chocoladerepen. Omdat de reep verdeeld is in partjes, rekenden ook de kinderen, die zich steeds minder konden voorstellen bij het breukenwerk, weer enthousiast mee.
Met behulp van de repen chocolade maakten de kinderen allerlei sommen voor elkaar, die ze onderling uitwisselden.

205

Optellen en aftrekken zowel concreet als in kale sommen begint de kinderen nu aardig af te gaan. Vermenigvuldigen en delen doen we nog alleen met gehele getallen, dus nog niet met breuken.
Sommen bedenken en uitbeelden op de getallenlijn (of strook) blijkt een plezierige bezigheid voor de klas.

Deelnemen aan vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen en delen met breuken wordt in de vijfde klas alleen op concreet niveau onderzocht. Gebruik uitsluitend eenvoudige natuurlijke breuken om het principe te onderzoeken. In een lesvoorbeeld laten we hierna zien, hoe je kan komen tot het ontdekken van een rekenregel.
Van het abstracte rekenwerk met breuken is hierbij echter nog geen sprake.

VERMENIGVULDIGEN VAN EN MET BREUKEN; LESVOORBEELD

De voorbereiding

Plantkunde speelt in de vijfde klas een belangrijke rol. Eén korte periode heeft de klas al gehad, we maken er gebruik van voor het breukenonderwijs.
Onder het raam van de klas is een smalle strook tuin, waar we zaaigoed kunnen kweken voor in de klas. Daarbij hoort de volgende voorbereiding:
• Alle kinderen brengen een schoenendoos en een plastic pedaalemmerzak mee op de dag vóór dat in de periode het vermenigvuldigen met breuken wordt geïntroduceerd.
• Zorg voor een flinke zak potaarde en zaaigoed (bij voorbeeld afrikanen en viooltjes, want die kunnen vroeg in het jaar uitgeplant worden!)
• Ten slotte heb je nog strookjes papier nodig voor het markeren van de zaaibedjes in de doos.

Aan de slag

Laat de kinderen kiezen welk deel ze van hun schoenendoostuin met bijvoorbeeld afrikaantjes gaan inzaaien. Stel ze voor twee aan twee, of misschien zelfs met z’n vieren te overleggen, zodat ze niet allemaal hetzelfde deel inzaaien! Bijvoorbeeld: ½    1/3      1/6    3/8    of   2/9   deel.

Markeer het gezaaide deel met stroken papier en steek er een vlaggetje in met de naam van het zaaigoed.

206

Als alle ‘tuintjes-zaaibedden’ op tafel staan (bewaar de deksels), kun je de kinderen om de beurt, laten vertellen wat ze gedaan hebben. Bijvoorbeeld: 
“één derde deel van het zaaibed is ingezaaid”.
“tweederde deel van het zaaibed is niet ingezaaid”.

Groepjes van twee kinderen vullen elk ook nog een deksel met aarde als zaaibed (het andere deksel blijft nog leeg).

Daarna bedenken ze een ‘tuintje’ van twee zaaibedden en schrijven vervolgens op welk deel van een zaaibed is ingezaaid en welk deel niet.

Allerlei tuintjes en combinaties van zaaibedden zijn mogelijk!
Na veel ontdekkingen gaan we werken in het schrift.
Eerst tekenen we een aantal tuinen van één zaaibed. Daarna tuinen van twee zaaibedden waarvan één niet ingezaaid bed.
We gaan erbij schrijven -in breukentaai- wat we weten!

207

Bijvoorbeeld:

Laat de leerlingen ook voor hun buurman opdrachten (van dezelfde strekking) maken! Ze controleren zelf de antwoorden en vragen aan elkaar hoe ze eraan komen.

Soms moet er hulp geboden worden bij het noteren van de breuken.

208

Veel oefenen (samen)!
Uiteindelijk ontdekken de kinderen dat de tellers en noemers worden vermenigvuldigd, omdat ze dat steeds weer zien gebeuren. Niet alle kinderen zien dat zonder meer, zij moeten een beetje geholpen worden met goede vragen. En het is leuk om in zo’n geval de antwoorden in een rechthoek te plaatsen.
Een volgende dag nemen we het ‘tuintje’ weer op tafel. De tuintjes zijn inmiddels ook getekend!
Dan wordt er een niet direct te beantwoorden vraag gesteld: “Als we nu eens de helft van het niet-ingezaaide deel willen inzaaien met viooltjes, hoeveelste deel van het zaaibed zouden we dan kunnen beplanten?”
“Wie durft te schatten? Is het wel de helft? Niet? Wat denk je dan, is het minder of meer dan de helft?”
“Maak een tekening van je ‘doostuintje’ en kleur het deel dat je wilt inzaaien. Hoe groot is dit deel?”
(Let hier goed op! Kijk hoe de kinderen verdelen, of het goed is en of ze handig verdelen!)

209

Maak een werkblad of zet de opgaven op het bord.

Hiermee gaan de kinderen aan het werk. Ze bepalen eerst snel het ingezaaide en niet-ingezaaide deel.
Dan gaan ze verder met vragen zoals hierboven. Later bijvoorbeeld ook  ¾   deel van het niet-ingezaaide deel van de tuin, ook  1/3  deel. Mogelijkheden te over.
Altijd eerst schatten voordat je aan het tekenen en uitrekenen gaat!

Nieuwe vragen dienen zich aan. Stof om over te discussiëren en voor het grootste aantal kinderen om zich het voorgaande teken- en rekenwerk bewust te maken. “Wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met gehele getallen? (3 x 6; ook 3 x  ¾ ). Wordt het antwoord dan groter of kleiner dan waarmee je begon?”

210

“En wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met getallen kleiner dan 1, de echte breuken dus?” (Bijvoorbeeld ½ x 18; maar ook 2/x 1 ½).
Opmerking.
De kinderen ontdekten zelf bij het zaaien, door telkens weer delen van delen te nemen, dat het om vermenigvuldigen ging. “Juf, het zijn steeds weer gewone keersommen.”
Vermenigvuldigen van breuken is nu hetzelfde als het nemen van een deel van iets.
“Wanneer wordt het antwoord groter en wanneer kleiner?”
‘De helft van A’ is in breukentaai ½ x A. In dit geval kan A staan voor het aantal 18, of voor het zaaibed zelf, of voor het deel  2¾  van enkele zaaibedden’, of gewoon voor het getal 2¾.

Zaai tenslotte het ‘doostuintje’ vol met zaaigoed. Maak er een tekening van in je schrift. Schrijf dan in elk deel van een getekend zaaibed de breuk in getallen erbij. Zet het in de vensterbank. Na ontkiemen en uitpoten (in de vensterbank) ben je weer weken verder en kun je gaan uitplanten in de tuin (tijdens de volgende plantkundeperiode?)

Opgaven (oefenstof) kun je in vele varianten bedenken, laat dat vooral ook door de kinderen zelf doen. Hieronder een paar voorbeelden in de vorm van zelfgemaakte werkbladen. Het voordeel van werkbladen kan zijn, dat je door differentiatie alle kinderen op hun wenken kunt bedienen. Maar laat niet de klassikale momenten, met onderlinge uitleggen en discussies, overgaan.

211

“Probeer nu eens zelf rekenopgaven met breuken te bedenken”. Twee ideeën voor een werkblad:

212

De meeste kinderen lossen opgaven zoals die op het werkblad op, door alle delen van tuintjes die ze in de tekening zien in de voorgeschreven stukjes te delen, in dit geval te halveren. Na het herkennen van de nieuwe breuk worden ze geteld.
Kinderen zien dan 1 ½ + 5/16   ! In een later stadium zie je de handige rekenaars (waarnemers?) verdelingen maken waarbij ze deze ‘alles verdelen’ stap overslaan.

Maak een mooie afronding van deze activiteit op het gebied van vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld door nog eens met elkaar een grote in partjes voorgestructureerde chocoladetablet te verdelen.

Een didactische tip

Bedenk voor het geval er leerlingen achter zijn gebleven, dat je de breuken tijdelijk kunt elimineren door bij de zaaibedjes aantallen zaden of prijzen te bedenken.
Bijvoorbeeld zoals bij de eerder genoemde ‘tuintjes’, waarbij de kinderen moesten uitzoeken hoeveel ¾ van 12/3  is. Wat is een mooie prijs voor zaaigoed, in het licht van die ‘derden’ en ‘vierden’? Wel laten we eens 60 euro (12 euro is natuurlijk ook al goed, maar niet noodzakelijk) nemen, voor het inzaaien van een bedje.

Er is  1/3 van een bedje ingezaaid, dat kostte 20 euro. Over nog 40 euro voor het eerste bed plus 60 euro voor het tweede. Daarvan moeten we ¾ inzaaien, dat kost dus ¾  x 100 euro, ofwel 75euro. We begonnen met 60 euro. We hebben nu dus  75/60  deel en dat is 15/12  deel.

Wie durft, die kan hier ook de dubbele getallenlijn gebruiken. De zaaibedjes worden dan geabstraheerd tot rechte lijnstukjes, de kinderen werken in dat geval op een meer schematisch niveau:

Toen hielden we nog een groepsdiscussie over de vraag wat er nu precies gebeurt bij het vermenigvuldigen van breuken. Als het allemaal goed is gegaan hebben de kinderen nu op eigen kracht en inzichtelijk een rekenregel geleerd. En dat niet alleen, ze hebben ook weer eens gezien dat ‘rekenen en wiskunde’ een vak is waarbij je niet alleen op de leraar hoeft te leunen, maar waarbij je ook je eigen gezonde verstand kunt laten spreken.

OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN EN DELEN

In de loop van de vierde en de vijfde klas hebben de kinderen op allerlei manieren met de breuken en de basisbewerkingen met breuken kennis gemaakt.

Een breuk wordt nu gekend als:
• Een deel van een geheel ( 2/taart).
• Een meetgetal (2 ¾ meter stof).
• Een operator (½ van 3 liter verf is op).
• Het resultaat van een eerlijke verdeling (2 pizza’s met 5 personen).
• Uitdrukking van een verhouding (¾ van de meisjes heeft lang haar).

213

Een aantal kinderen gebruikt in de vijfde klas bij het rekenen met breuken nog het hulpmateriaal uit de breuken-envelop (de cirkeldelen, de strook, de te verdelen rechthoek). Anderen hebben aan de herinnering genoeg om de betekenis van de breuken in verschillende verbale en visuele opgaven te herkennen.
De kinderen hebben gewerkt met opgaven in een gekozen context (nog altijd een rekenverhaal!), waarin de breuken steeds benoemde breuken waren. Bovendien is er beweeglijk gewerkt met breukenrijen en opgaven met breuken als meetgetal. Die zijn geoefend en toegepast in meetkundige figuren.
‘Kale’ breukensommen hebben de kinderen als beschrijving van bovengenoemde activiteiten leren kennen. Optellen en aftrekken is beoefend, met als vanzelfsprekend gevolg hierop vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator (eigenlijk herhaald optellen en ‘eerlijk’ delen). Dit ontstaat als vanzelf wanneer kinderen daarbij de bekende modellen van cirkel, strook en rechthoek kunnen gebruiken.
Bij het optellen en aftrekken van breuken was de dubbele getallenlijn een hulpmiddel om het gelijknamig maken te doorzien en toe te passen.
Bij wat minder vanzelfsprekende opgaven is het voor de kinderen in deze leeftijd een hele opgave om zelf middels gelijkwaardige breuken de oplossing tot een goed einde te brengen.
Ook het zelf kiezen van een bemiddelende grootheid is niet altijd makkelijk. Het kiezen van een handige referentiemaat voor de benoemde breuken, die kan leiden tot de juiste verdeling ( 1/5 euro 20 cent, ¾ van de afstand van 60 km…) van de ondermaat van de dubbele getallenlijn, is nog niet voor een ieder vanzelfsprekend.
In de zesde klas zal het bezig zijn met deze opgaven in de rekenwerkuren moeten leiden naar een geheel zelfstandig kiezen van de ondermaten.

Vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator leverden zoals gezegd geen problemen op. Maar aan het eind van de vijfde klas laten we de kinderen ook kennismaken met het vermenigvuldigen en delen met breuken.
Wat betreft het vermenigvuldigen is hiervoor (zie blz. 206) een voorbeeld gegeven van een lesopbouw. Ter introductie van het principe van het vermenigvuldigen met breuken, is niet voor niets het voorbeeld van landindelen gekozen. Het niet verdeelde land kan als lege rechthoek, een model worden voor andere opgaven. Doordat ieder zijn eigen keuzen maakt bij het inzaaien, ondervinden de kinderen meteen, dat er vele mogelijkheden zijn om te verdelen. Zo leren ze iets handig in te delen, afhankelijk van de omstandigheden waaronder de breuken-vraag gesteld is. En zo blijkt het mogelijk toch te komen tot het ontdekken van een formele regel voor het rekenen met kale breuken.

Moeilijker is het met delen, waar generaties lang slaafs gewerkt is met de onbegrepen regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Het zal duidelijk zijn dat we deze traditie hier niet willen voortzetten. Het gaat hier zowel om een verhoudingsdeling als om een verdeeldeling. De verhoudings-deling is goed in concrete voorbeelden te vinden, maar voor de verdelingsdeling geldt dat je alleen makkelijk tot een concreet voorbeeld komt als er gedeeld wordt door een geheel getal.

1 ½ reep chocola delen met z’n zessen, leverde al eerder geen problemen meer op. Bovendien begrijpen de kinderen dat het deel dat je ontvangt kleiner is dan de

214

oorspronkelijke hoeveelheid! Dat door een (ver)deling met een breuk het antwoord mogelijk groter wordt, is op deze leeftijd in ieder geval als begrip nog ver buiten bereik van de meeste kinderen. Dat begrip wordt daarom nog niet nagestreefd.

Met de verhoudingsdeling kunnen we wel praktisch uit de voeten als ontmoeting met dit delen.

Het is een warme dag en we willen ijs maken. Het recept dat we vinden is voor zes personen en in de klas zijn we met 24 leerlingen. Het recept wordt aangepast en we maken een boodschappenlijst. We hebben onder andere één liter slagroom nodig. “Dat is niet te koop”, wist onmiddellijk een van de ‘lekkerbekken’ van de klas. Het onderzoek was snel gestart: “Wat voor verpakkingen zijn er dan wel?” “ 1/8    ¼ en ½  ?!” De kinderen wisten onmiddellijk dat je dan twee halve liters moest kopen en als de melkboer alleen potjes van  1/8   liter verkocht, waren er acht nodig. (Alle kinderen kwamen tot goede antwoorden, maar dat het iets te maken had met delen door een breuk hadden ze natuurlijk niet in de gaten).

Nadat afgesproken was in het laatste rekenwerkuur het ijs ook echt te gaan maken, rekende de klas verder en ging op onderzoek uit naar delen met breuken.
Vragen als “hoe vaak gaat  1/8   liter in  1½  liter”, is vragen naar de verhouding tussen beide, dus naar 1½ : 1/8. Hoe kunnen we dit nog eens aanschouwelijk maken?
Ik liet de kinderen literflessen meebrengen en daarop markeringen aanbrengen in breuken met behulp van het uitschenken van water met een litermaat (eerst moesten ze de inhoudsmaten nog omzetten in breuken!).
Nu konden de kinderen (twee) flessen vullen met 1½ liter water en vervolgens de flessen uitschenken in flessen die maar tot het streepje van  1/8  gevuld mogen zijn. Al ras bleek dat  1½  liter, twaalf flessen oplevert die tot  1/ liter gevuld zijn. In het nagesprek zijn we het erover eens dat we dit als sommetje kunnen noteren als:  1½  :  1/8 = 12.

Een van de kinderen vond dat je beter kon vragen “Hoeveel keer gaat 1/ in  1½ . Dan lijkt het op de tuintjes.”

Zo’n opmerking laat nog eens zien hoe verwarrend ons spraakgebruik kan zijn waar het om breuken gaat. Hier slaat ‘keer’ dus op delen, terwijl we bij vermenigvuldigen juist ‘van’ gebruiken, wat weer de associatie met ‘delen van’ oproept. Het is alsof de begrippen delen en vermenigvuldigen, sprekend over breuken kleiner dan 1, elkaars plaats ingenomen hebben. Wat niet verwonderlijk is omdat men bij vermenigvuldigen gewend is dat iets groter wordt, terwijl het door deling juist in omvang afneemt.

215

In deze fase van het delen met breuken kan het alleen nog maar gaan om het opdoen van ervaringen in het oplossen van deze verhaalvragen, waarbij een aantal kinderen zal ontdekken dat het antwoord wonder boven wonder groter wordt.

Door kinderen te vragen de manier waarop ze het antwoord gevonden hebben te beschrijven, worden ze zich de eigen weg bewust. Ook het luisteren naar en bespreken van elkaars oplossingswegen stimuleert het vertrouwen krijgen in algemene en eigen strategieën, wat juist in de toepassingsvragen zo belangrijk is. Dit versterkt dan weer het vertrouwen in eigen denken en oordelen, wat juist gaande de zesde klas steeds meer gewekt wordt.

5.6 De praktijk in de zesde klas

In de zesde klas is er geen aparte breukenperiode. Het breuken rekenwerk zet zich voort in allerlei rekengebieden. Ook in de rekenwerkuren wordt er tijd aan besteed. Na het invoeren van de kommagetallen (decimale breuken, tiendelige breuken) en het rekenen met procenten komt ook de kennismaking met de eerste algebra in de zesde klas aan de orde. Het is een zinvolle overweging om het introduceren van de eerste algebra in een periode vooraf te laten gaan door het rekenen met benoemde breuken. Het gaat hier immers om het leren kennen van het letterrekenen. Zo kunnen daarbij oude vertrouwde (?) opgaven een betekenisvol uitgangspunt zijn.

In de zesde klas wordt verder gegaan met het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken. Het kan ook technisch uitgevoerd worden met behulp van de dubbele lege getallenlijn en benoemde breuken. Voor dit onderdeel is het van belang, dat men rustig de tijd neemt en de kinderen ruimte geeft om zelf verkortingen aan te brengen en op hun eigen tempo over te stappen van benoemde breuken op de getallenlijn naar het formele rekenen met ‘kale’ breuken.
Je hebt nu ook de gelegenheid om al het voorgaande van de vierde en de vijfde klas kort de revue te laten passeren, waarbij niet alle opgaven leiden tot het gebruik van de dubbele lege getallenlijn.

Veel kinderen die bij een traditionele didactiek van het breukenrekenen de aansluiting met de rest van de klas verloren, kunnen nu nog eens op een andere manier, op het concrete niveau van de benoemde breuken en de dubbele getallenlijn, de opgaven tot een goed einde brengen.

Letterrekenen met benoemde breuken

Het is in een zesde klas, waar ook de overgang vanuit het werken met getallen naar het werken met letters in de algebra gemaakt wordt, een overweging waard om bij de beschrijving de breuken vergezeld te doen gaan van een letter: 4 x 1/5R = 4/5R, waarbij de R hier staat voor Reep.
Voor het geval  ½  x ¼R = 1/8R wordt het nut van de letter al duidelijker. De eerste breuk (½ )geeft de bewerking aan, de tweede breuk (¼) geeft het deel van de Reep aan, hetgeen in deze schrijfwijze ¼R) direct zichtbaar wordt gemaakt:
In het geval van de drie Pizza’s komt er heel natuurlijk: ¼P + ¾P + ½P = 1½ P.

216

Dit antwoord is in de figuur te zien, je kunt de ¼ pizza gemakkelijk aan de ¾ pizza toevoegen om een gehele pizza te vormen.
Je kunt ook direct voor P de prijs bijvoorbeeld 8 euro bedenken: ¼ x 8 + ¾ x 8 + ½ x 8 = 2 + 6 + 4 = 12 euro. Hoeveelste deel is dat van 8 euro? Delen levert op 12 : 8 =1½

Het idee van de bemiddelende grootheid is hier nog eens naar voren gekomen en al eerder was het genoemd bij de cirkel, toen over ‘draai’, ‘uur’ en ‘graden’ werd gesproken (zie H5.5).

We begonnen op een dag in plaats van een tekening met een sommetje  1½ p + 5/8 p =  … ? Dit was niet zo maar een som, had ik ze verteld. Het was een fantasiesom. “Bedenk maar zoveel mogelijk dingen die je voor p kunt invullen en die je het rekenen gemakkelijk maken. Tekenen mag trouwens ook”. P staat voor ‘pannenkoek’:

p staat voor ‘uur’, maar dat werkt niet prettig vanwege de  5/, dan maar: p staat voor een jaar van 360 dagen:
1½ x 360 + 5/ x 360 = 360 + 180 + 5 x 45 = 765 dagen.
Nu nog even delen: 765 : 360 = 2 jaar en 45 dagen, of 21/8 jaar.

p staat voor 16 euro
p staat voor 1 euro
p staat voor een baantje zwemmen van 40 meter
p staat voor een reep chocolade
p staat voor een strook
Al deze p’s zijn ook met tekeningen en figuren te representeren.

Het kan tevens heel nuttig zijn om niet alleen bemiddelende grootheden te bedenken, maar ook de situaties waarin ze kunnen optreden. De vraag die dan gesteld kan worden luidt: “Bedenk een verhaaltje bij die som”. Bijvoorbeeld bij de som  1/16   + ¾   =…..

217

Verhaaltje 1: Het nieuwe terrein voor volkstuinen is verdeeld in 48 precies gelijke tuinen .Van de week is de inschrijving begonnen. Het eerste uur was nog maar het  1/16  deel uitgegeven, maar de rest van die dag werd er ¾ van de tuinen verhuurd. Welk deel van het totale park was er toen verhuurd?”
1/16   T  + ¾ T = 1/16  x 48 + ¾ x 48 = 3 + 36 = 39. Dat is dan  39/48   =  13/16   deel. Wie wil kan ook een aanschouwelijke oplossing vinden.

Verhaaltje 2: Er is een weg van 80 km. Als je nu eerst 1/16  deel aflegt, en dan nog eens ¾, hoeveelste deel heb je dan al afgelegd?”

Op het plaatje moet nog wat geschoven worden. Zonder plaatje, met de getallen, gaat het ook. Eerst 5 km, dan nog 60 km. Samen 65 : 80 =  13/16

Verhaaltje 3:   3 : 1/16 d + |¾ d = …;    d staat voor doos, met een inhoud van 160 kaarsen. Eerst 1/16  deel met witte kaarsen, toen nog ¾ deel van de rode kaarsen…

De dubbele getallenlijn

Tijdens het werken met benoemde breuken werd weer toegewerkt naar het eerder besproken model van de dubbele lege getallenlijn. Nu is het moment aangebroken om alleen daar mee verder te gaan. Het breukenelastiek kan eventueel op de achtergrond, als concrete voorstelling van zaken ook nog goede diensten bewijzen.
Op de dubbele lege getallenlijn wordt steeds de eenheid vrij gekozen (zie blz 84: de lege open getallenlijn) Vervolgens wordt naar aanleiding van de gegeven breuken een handig getal aan die eenheid toegevoegd. Zo ontstaan er 2 schalen:

Het zou beter geweest zijn de opgave 3/4 2/= … met benoemde breuken aan te bieden: 3/4u – 2/3 u = …  In de oplossing boven was dan gekozen voor u = 60 (één uur, of 60 kilometer, of…)  ¾  u is dan ¾ x 60 = 45.

Natuurlijk, het had met 12 als eenheid in de bovenstaande berekening ook zuiniger gekund. Maar op basis van de dubbele getallenlijn is het niet nodig steeds aan de zuinigste oplossing voorrang te geven. Voor trage rekenaars levert het zoeken daarnaar een extra handicap op. Allen kunnen de tijd krijgen om hun eigen uitvindingen te doen.

218

De dubbele lege getallenlijn is geen totaal nieuw verschijnsel in de rekenwiskundeles. In heel wat situaties voorheen was er aanleiding om in twee ‘schalen’ te denken:
• De auto rijdt 1 op 16 (afstand en benzineverbruik).
• Aardappels kosten € 3,25 per zakje van 2,5 kilo (gewicht en prijs).
• We gebruiken ’s winters gemiddeld 20 m3 gas per dag (inhoud en tijd).
• Hij maakte voortdurend rondjes van 38 seconden (afstand en tijd).
• Met een vaartje van 100 km/u reden we naar het noorden (afstand en tijd).
• Voor een kopje koffie moet je 2 theelepels koffie in het apparaat doen (massa en inhoud).
• Die lens heeft een vergrotingsfactor van 3 (oorspronkelijke lengte en waargenomen lengte).
• De bevolkingsdichtheid is 350 (aantal personen en oppervlakte).

Daarbij begeven we ons evenwel op het gebied van de verhoudingen. Die komen in hoofdstuk 6 uitvoerig aan bod. Daar wordt ook ingegaan op de verhoudingstabel. Deze ligt in het verlengde van de dubbele lege getallenlijn, maar laat zich niet zo makkelijk ‘verbeelden’. Het is meer een dicht bij algoritmen staand rekenmiddel.

219

Het repertoire van een vrijeschoolleraar

Een vrijeschoolleraar ontwerpt dagelijks zijn onderwijs. Zodoende bouwt iedere leraar een persoonlijk gekleurd didactisch repertoire op. Velen houden een logboek bij om goede ideeën en succesvolle gebeurtenissen te bewaren en ze zo mogelijk, op een later tijdstip nog eens te benutten. Dat deed ook Gerard Reijngoud. Hieronder een willekeurige selectie uit zijn aantekeningen.

In mijn rekenlessen liet ik mij door de volgende gezichtspunten leiden:
• Streven naar een maximale zelfstandigheid van de leerling in het omgaan met het materiaal
• Vinden van opdrachten met een vitaal karakter en een scherpe, korte instructie
• Onontkoombaar stevig oefenen van vaste procedures (Het laatstgenoemde lijkt in tegenspraak met de zelfstandig opererende leerling, doch dat is het niet. Slechts de violist die zijn etudes heeft geoefend, beweegt zich vrij in de toonwereld.)
• De leerling leren formuleren waar een som problemen oplevert. (Ik heb geprobeerd een leerling pas te helpen als hij mij een indicatie kon geven met welk probleem hij zat.
Dit om te voorkomen dat een leerling uitsluitend blijft steken bij het ‘gevoel’ dat een som niet gemaakt kan worden en dat hij daardoor de feiten niet in het bewustzijn kan krijgen.

Met betrekking tot het vitale van de opdrachten het volgende: Allereerst heb ik me laten leiden door de vier soorten van vitaliteit in de temperamentenpedagogiek: voor sanguinici opdrachten met een associërend, groeiend karakter; voor melancholici opdrachten die samenhang en verbindingen weten te vinden, die overzicht en inzicht vragen. Voor cholerici opdrachten met een grof structureel karakter, benaderen en schatten; voor flegmatici opdrachten waar hiaten worden opgevuld en waar ‘tredmolenbewegingen’ worden door-of onderbroken.
De waarheid gebiedt mij te zeggen, dat ik regelmatig opdrachten voor bijvoorbeeld cholerici, op de hele klas losliet. Maar het was echter niet zo, dat mijn rekenlessen een afspiegeling waren van mijn eigen temperament. Ieder kwam aan zijn trekken.
Voorts heb ik opdrachten gehaald uit de wereld van het vitale zelf, zonder aan de specifieke temperamenten te denken. Zo heb ik ritmische aspecten uitgebuit en de herhaling aangewend, als was het een tekst uit een Ster-reclameblok.
Ik heb geprobeerd de kinderen op het spoor te zetten van de metamorfose van getallen en bewerkingen, van de processen in het rekenen en het spiegelen van bewerkingen en getallenreeksen.
Het geheugen van de leerlingen heb ik extra belast en niet alleen bij rekenen. Het ontwikkelen van vaste gewoonten geeft het kind een gevoel van veiligheid. Van daaruit kan het de wereld explorerend tegemoet treden. Voor het rekenen betekent dit het beheersen van de automatismen zoals de tafels van vermenigvuldiging, de vier hoofdbewerkingen, enkele eenvoudige formules rond oppervlakte, omtrek en inhoud en het metrieke stelsel.
Een belangrijk vermogen van het kind uit zich in de drang om iets dat niet compleet is, te vervolmaken. Een goed woord heb ik er niet voor, vaak noem ik het: ‘concept gevoel’ of ‘heelheid gevoel’.

Opdrachten, activiteiten en oefeningen

• Getallendictees, in diverse snelheden.
• Getallendictees met de opdracht van ieder getal globaal de helft te noteren.
• Getallendictees waarbij vervolgens het eerste getal wordt vermeerderd met 1, het volgende met 2, het derde verminderd met 1. En dan opnieuw +1, +2, -1, enzovoort.

220

• Een getallendictee waarbij het eerst genoemde getal pas genoteerd mag worden, als het tweede getal gezegd is. Het tweede getal wordt genoteerd als het derde genoemd is. Enzovoort.
• De kinderen staan in een kring, een leerling staat in het midden. Deze leerling werpt een bal naar een andere leerling en noemt een getal. De leerling die nu de bal vangt moet de bal teruggooien en het getal met twee vermeerderen. De volgende leerling die de bal toegeworpen krijgt en daarbij ook een nieuw getal hoort, moet van het nieuwe getal drie aftrekken. Dan weer twee erbij en vervolgens drie eraf, enzovoort.
• Kinderen staan in een carré en zeggen een tafel van vermenigvuldiging op. Ze zeggen alleen de antwoorden en zetten tevens per antwoord een stap; bijvoorbeeld 6, 12,18, 24 … Eén leerling staat frontaal voor de groep en geeft na ieder getal van de groep een ander antwoord, ook vergezeld van een stap en -speciaal voor deze leerling- het woordje ‘nee’.
Deze activiteit gaat als volgt:

Aan de getallen die de enkele leerling roept, kunnen allerlei eisen worden gesteld. Bijvoorbeeld:
Tel bij ieder getal van de groep er 5 bij op. (Anna).
Roep na het eerste getal van de groep het volgende getal dat de groep moet zeggen. En bij het tweede getal van de groep herhaal je hun eerste getal. (Ernst).

• Kinderen gaan rond in de kring, bij iedere stap een ander getal. Bijvoorbeeld de tafel van 3. Dus er klinkt 3   6   9   12 … Dan de opdracht om dit zwijgend te doen.
Stop na vier stappen, nu twee stappen terug; stop. Nu zes stappen vooruit: stop. (3  6 (twee terug) 9  12 (stop 1) 15  18  21 2 4 (zes verder) 27  30).
Vervolgens geef je de klas de opdracht deze drie stop-getallen te onthouden, tot men weer op zijn plaats zit in de klas.
Terug in de klas vraagt men de kinderen om in het midden van een ongelinieerd blad het grootste getal te schrijven. Daarboven tien maal het kleinste getal en onderaan het overgebleven getal drie keer. Er staat nu:

De kolommen naast de drie genoteerde getallen kunnen allerlei bewerkingen krijgen, zoals bijvoorbeeld in de onderste rij is aangegeven.
Als het blad vol is, kun je nog de volgende opdrachten geven: Teken een rondje om alle getallen boven de 40. Teken een driehoekje om alle getallen uit de tafel van 6. Enzovoort.

221

• Spel voor twee personen (A en B)
We gaan samen optellen tot 100. Er mag per keer echter niet meer dan tien worden bij opgeteld. Wie het eerst bij 100 is heeft gewonnen:

Bijvoorbeeld:

Ontwerp een reeks voor de andere leerlingen .

Opdrachten voor een rekenkaart of werkblad:

222

Het dagboek

In de klas hanteert iedere leerling een dagboek, waarin bijvoorbeeld een goed uitgewerkte staartdeling staat. Het is de bedoeling dat de leerling gedurende een week elke dag diezelfde som één keer maakt om zich met de procedure vertrouwd te gaan voelen. Dit gaat vergezeld van een soortgelijke eenvoudiger som. Aan het eind van de week wordt de staartdeling ‘overhoord’ in combinatie met een onbekende opgave.

Oefeningen voor het korte-termijn-geheugen

Geef de leerlingen voor de pauze een getal te onthouden en vraag het na de pauze terug. De oefening kan op talloze wijzen worden gevarieerd. Opvallend is dat op een school, waar men de leerlingen zo nu en dan met een eenvoudige opdracht de pauze instuurt, het wilde gedrag van de leerlingen tijdens de pauze afneemt.
Leuk is ook om bijvoorbeeld leerlingen van een tweede klas in de pauze aan leerlingen uit de zesde te laten vragen, wat bijvoorbeeld 4 x 12½  is.

Oefeningen voor het lange termijn geheugen

Hierbij probeer je een leerstofinhoud door de nacht heen te krijgen. Dat helpt bij het beklijven van de leerstof. Als jullie morgen in de klas komen en klaar staan voor de spreuk, zeg je zonder dat iemand je eraan hoeft te herinneren de tafel van 6 op.

• Andere oefeningen om de werking van de nacht in te schakelen, door een opdracht te geven als:
Tel eens hoeveel stopcontacten jullie thuis hebben?
Wat is het telefoonnummer van jullie buren?

Ik dacht dat de werking van de nacht onbewust was. Dus een kind vergeet, maar neemt het toch mee de nacht in. Als je kinderen zulke opdrachten meegeeft, dan liggen ze ’s avonds in hun bed nog te oefenen en nemen ze het wel mee in hun slaap. Maar dat is niet wat (volgens mij) de vrijeschoolpedagogiek bedoelt.

Andere goede oefeningen zijn opdrachten met bijvoorbeeld twee ordeningssystemen tegelijkertijd. Bijvoorbeeld:

• Per dag twee l melk, dat is … liter melk vanaf 3 augustus tot en met 1 september.

•  € 0,20 per half uur. Begin ’s ochtends 10.00 uur. ’s Middags heb ik  € 2,00. Hoe laat is het nu?

223

• Als jij denkt dat alle dubbeltjes stuivers waard waren en alle stuivers dubbeltjes ‘en je zou gewoon betalen betaal je dan te veel of te weinig als je 30 cent moet betalen ?

• In de eerste klas zitten zeven jongens en zeven meisjes In de tweede klas zitten tien jongens en negen meisjes In de derde klas zitten acht jongens en tien meisjes. In de vierde klas zitten tien jongens en vijf meisjes. Welke vragen kan je nu stellen? Schrijf die maar eens op.

In de eerste klas gaan wij van het geheel uit. Dat kan later in de volgende klassen uitgebouwd worden. Bijvoorbeeld: 8 = 5 + 3 = 2 x 2½ +V9 = V4  x 10  ¼ + V9= …. enzovoort. Op deze wijze leert het kind zelf de wetmatigheid die schuilt in de regel van meneer Van Dalen. Of voor iemand uit Leiden zoals ik: Meneer Vroom en Dreesman was op de Aalmarkt.

En opgaven als:

De opdrachten die je in de klas aan de kinderen geeft,  behelzen veel meer dan alleen de sommetjes die hierboven zijn genoemd. Er zijn bijvoorbeeld ook de rekengesprekjes die je met leerlingen voert over hoe zij bijvoorbeeld de oppervlakte van het schoolplein hebben berekend of hoe ze het aantal broden berekenen dat nodig is voor het schoolreisje naar Schiermonnikoog. Daar komt vindingrijkheid, maar ook inlevingsgevoel bij kijken.

224

In dit hoofdstuk is sprake van

algebra 
op veel scholen wordt dit pas in klas 7 gedaan
Mijnheer van Dale

plantkunde: alle artikelen
spijkerbordjes
temperamenten

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [6] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2444

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 4

.

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 4: Rekenen in de wereld

4.1 Maat en vorm
4.2 Klok en kalender
4.3 Rekenen met geld
Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen

4.1 Maat en vorm

Interview met Sint:
“En Sint, hoe was uw bezoek aan de kleuterklas?”
“Ach, ik was daar heel gelukkig mee. Ontroerend, met welk een vreugde en eerbied de kleintjes je daar tegemoet komen! Maar daarom begrijp ik deze tekening ook helemaal niet.”
“Hoezo, u staat er toch prima op, met mijter en al. Dat kind heeft goed gekeken.” “Goed gekeken? Zie je, Piet is bijna twee keer zo groot als ik en dat terwijl in werkelijkheid mijn mijter wel een kop boven hem uitsteekt!”
“Zo heeft dat kind het beleefd, Sint.”
“Wat beleefd, ik vind het onbeleefd. Eerst word je als een heilige toegezongen, niemand ziet meer Hazewinkel, de buurman in mij, en vervolgens leveren ze zo’n ontluisterende tekening bij mij in. Dat vind ik niet reëel.”
“Nu, dat is toch juist het bewijs van hun realisme. Voor hen bent u een heilige, geen schijnheilige. Alleen, u stond er ingetogen en eerbiedig bij, terwijl Piet potsierlijk in het rond sprong. In die tekening drukt dat kind uw ingetogenheid en Piets uitbundigheid uit. Dat is heel reëel. Ik zou het magisch realisme willen noemen.”
“Maar toch, als ik dat jochie op de gang tegenkom, vraag ik hem of hij Sint nou werkelijk twee keer zo klein vond als Piet!”
“Misselijke vent, gun dat kind zijn werkelijkheid of speel anders niet meer voor de Sint!”

Gelukkig is bovenstaand interview ‘bedacht’ door een oud-leerkracht, die voor Sint speelde en die juist zo genoot van de geschonken tekening, die liet zien in welke mate(n) de kleuter de ontmoeting met Sinterklaas en Zwarte Piet beleefde. De dingen (en mensen) in de wereld hebben voor de kleuters nog geen objectieve maat. De mate waarin zij door de hen omringende wereld beroerd worden, bepaalt de grootte van die wereld. In tekeningen van kleuters en jonge kinderen is te zien hoe de eigen innerlijke maat de verhoudingen bepaalt van de ‘voorwerpen’ om hen heen. “Was er niet ook een tekening bij, Sint, met een hele grote Sinterklaas en een nog grotere rode mantel, naast een heel klein huis?!”

Het jonge kind leert door nadoen, met het accent op doen, op bewegen. Het neemt geen afstand tot zijn beweging, het zit er helemaal in: de ander beweegt in hem.
Een kleutert pleegt zijn bewegings- en evenwichtsvermogen te beleven door het verrichten van halsbrekende toeren. Zo wandelde een peuter eens doodgemoedereerd door de dakgoot, vergenoegd lachend naar zijn ontzette vader die machte-
148

149

loos toekeek vanuit het zolderraam. Alleen een slaapwandelaar zou het hem nadoen. En dat typeert precies het bewustzijn waarmee een kleuter in zijn zintuigen leeft.
In het spel van de kleuter zien we dat hij mede door nabootsen en eigen beweging ook met zijn zintuigen de wereld wat bewuster begint te verkennen. In het vrije spel spelen ervaringen met grootheden (lengte, dikte, gewicht …) en het ‘zien’ van de juiste maat al een rol. Hoe zorgvuldig bouwen de kinderen niet hun huizen met planken en blokken. Nauwkeurig worden er boomstammen bij elkaar gezocht, want anders ‘wordt het dak scheef’. Je ziet dat grote lappen op elkaar worden gelegd om de grootte te vergelijken, of om ze in gelijke stapels te kunnen vouwen. De situaties waarin ‘gemeten’ wordt, zijn legio: een brug bouwen voor een houten treinbaan, zodat de trein niet scheef hangt, of al spelend ontdekken hoe de schuinte (hellingshoek) moet zijn van de brug, zodat de trein wel een lekker vaartje neemt, maar niet uit de rails vliegt (of juist een keer expres wel!).
Ook buiten zie je kleuters al uitzoeken waar de boomstam onder de plank moet liggen om samen lekker te kunnen ‘wip-wappen’. In de zandbak ontaardde het spel zelfs eens in een fikse ruzie, omdat het deurtje ‘niet groot genoeg’ was voor de koning van het kasteel!
Bij het doen van kringspelletjes en arbeidsspelen bewegen de kinderen in allerlei geometrische vormen van verschillend formaat. Al deze activiteiten scheppen gelegenheden om ervaringen op te doen met meten en maten. Hierdoor ontwikkelt de kleuter, voor wie maat alleen nog in de zin van ‘verhouding tot’ leeft, zich in een (school)wereld waarin voor meten en meetkunde een speciale plaats is ingeruimd.

Op het moment dat het kind echt bewust anderen nabootst, is het geen kleuter meer! Dat is ook het moment, waarop je als leraar in de eerste klas kunt zeggen: “Kijk goed kinderen, wat ik hier teken, dat noemen we een rechte lijn.” En de kinderen kijken, naar alle rechte lijnen, die hun klasgenootjes op het bord tekenen: krachtige, evenwichtige lijnen, wiebelende, onzekere lijnen, rechte en scheve, dikke en dunne lijnen. De kinderen bewegen innerlijk mee en zien de resultaten. Bewegingszin en evenwichtszin komen samen met de gezichtszin in het oordeel: deze lijn is mooi recht en die kan je nog wat mooier recht maken. Oordelen ontstaan door afstand te nemen, door niet helemaal in de beleving op (of onder) te gaan, door combinatie van zintuigindrukken.
Naast de rechte lijn komt vervolgens de kromme lijn op het bord te staan en alle kinderen tekenen kromme lijnen. Zo begint ieder kind zijn eerste schooldag met twee geometrische oervormen!

Vanaf de eerste dag wordt het vormtekenen beoefend en geoefend en net als bij de euritmie zien we hoe hiervoor langzamerhand gevoel ontstaat en vaardigheden tot stand komen, die een voorwaarde zijn voor het leren en werken in de meetkunde in de hogere klassen. Dat neemt niet weg dat het vormtekenen ook een belangrijke bijdrage levert aan de motorische ontwikkeling, en ondersteuning biedt bij de lateralisatie en de oog-handcoördinatie.(Lateralisatie is het proces, waarbij een kind leert gecompliceerde handelingen te verrichten met twee handen tegelijk, zo dat één van beide handen de nauwkeurige bewegingen maakt en de andere hand een ondersteunende functie heeft. Het hele proces voltrekt zich tussen het zevende en twaalfde levensjaar.)
150

Het basisschoolkind moet niet alleen doen, maar ook zien wat het doet en er over leren nadenken, opdat het tenslotte tot inzicht komt. Omdat het oog bij uitstek een gevoelszintuig is, is het oordeel dat ontstaat door het zien een esthetisch oordeel. Door het vormtekenen ontwikkelen de kinderen ook een gevoel voor schoonheid, schoonheid die zich laat zien in de gestolde beweging. We zullen in dit hoofdstuk het vormtekenen alleen beschouwen in het kader van voorbereidingen op de meetkunde.

In de eerste klas worden rechte en kromme lijnen in regelmatige ritmische vormen getekend ter voorbereiding op het schrijven. Rudolf Steiner adviseert om ook in de tweede klas spiegelsymmetrische oefeningen te doen waarin de meetkundige grondvormen als cirkel, driehoek, vierhoek en ellips voorkomen. Voor het daaropvolgende jaar staan gecompliceerdere symmetrische figuren op het programma. Nu ook met meer dan één spiegelas. Zelfs draaisymmetrische vormen en symmetrie ten opzichte van een cirkel behoren tot uitdagende opgaven. Het kunstzinnig werken en het beleven van de vormen staan bij alles wat genoemd is voorop!

In de vierde klas voltrekt zich een, hier al eerder genoemde, verandering. Het ‘ik beleven’ wordt versterkt en het kind wordt zich bewust van de afstand die het heeft tot de wereld die hem omringt. Dit afstand nemen maakt het mogelijk om een voorzichtig begin te maken met een vooruitblik op de vlakke en beschrijvende meetkunde. De kinderen leren nu om de ‘wereld rondom’ ook te bezien vanuit een meetkundig standpunt; er komen kaarten en plattegronden aan te pas.

Bij het vormtekenen zien we in de vierde klas dat meetkundige figuren uit de hand getekend worden. De eigenschappen van de getekende vormen kunnen nu opgemerkt worden. Het bekijken, bestuderen van zijden, hoeken, eventuele
symmetrie-eigenschappen heeft hier nog uitsluitend een aanschouwend karakter.
151

Een levendige karakterisering schept ruimte voor begrippen die steeds meer inhoud krijgen en zo een leven lang meegroeien. Vandaar de waarschuwing kinderen geen definities, ‘dode’ begrippen, bij te brengen. Eerst driehoeken in het vormtekenen en ook driehoekige vormen in de natuur en de cultuur. Later pas een driehoek van lijnstukken, met zijden en hoeken. Dat wordt een figuur met eigenschappen (som van de hoeken 180°, a + b > c, enzovoort).

Op een mooie dag stappen we voor de vormtekenlessen nog eens naar buiten. Daar gaan we met elkaar allerlei meetkundige vormen zichtbaar maken. “Maak met z’n allen een zo klein mogelijk vierkant.” Dicht tegen elkaar aan staan ze daar! “En een zo groot mogelijke driehoek.” Iedereen probeert een positie te vinden om te gaan staan , tot één van de jongens zegt: ”Past niet op het plein, heb je wel de hele wereld nodig!” “Zou dat lukken?”, vraag ik voorzichtig. “Nee”, zegt Jessica vastberaden, “dan wordt het rond.” We gaan verder en vormen nog meer figuren met z’n allen of in groepjes. De kinderen zijn er zo vol van, dat er zelfs bomen, hekjes en muren mee mogen doen.

In deze leeftijdsfase, waarin het wakend bewustzijn zich langzaam vanuit de ledematen, de bewegingsorganen terugtrekt om zich via het ritmische systeem een plaats te verwerven in het denken, moeten we het ruimtelijk voorstellingsvermogen bij de kinderen ook nog via de beweging blijven ontwikkelen.
Al bewegend vormt het kind, maar ook ieder volwassen mens, geometrische vormen in de ruimte en is daarmee een onderdeel van de kosmos. Dit voltrekt zich onbewust, maar in de geometrische figuren, die de kinderen tekenen, is de beweging vastgelegd.
Het kind beleeft zichzelf nog niet in de ruimte, in de stroom van de tijd, maar veeleer in een tijdloze situatie, die ook afbeeldingen in het twee-dimensionale vlak kenmerken. In het ruimtelijk beleven kan je onderscheid maken tussen het beleven met de tastzin en met de gezichtszin. Je zou dat kunnen vergelijken met een kind dat zich ‘in’ een ruimtelichaam, bijvoorbeeld in een kubus bevindt en tastend het grondvlak, het voor- en zijvlak verkent. Het is echter niet in staat om van buitenaf de kubus te bezien. Het kan nog geen afstand tot de
drie-dimensionale ruimte nemen
In het teken- en schilderwerk van de kinderen is de ontwikkeling van het waarnemingsvermogen af te lezen. Vierde en vijfdeklassers zie je nog prachtige tekeningen maken van landschappen met grote driehoekige ‘platte’ bergen. Zij ‘weten’ dat de bergen ruimte innemen, maar verstandelijk kunnen ze dat nog niet bevatten.

Pas in de zesde of voor sommigen zelfs in de zevende klas, ontwaakt het vermogen ook in perspectief te zien en weer te geven. Dan worden tijdens de tekenlessen vele oefeningen gedaan in waarnemend tekenen van ruimtelijke objecten, vazen, theepotten, tekendozen of de eigen schoen. De schaduw van het voorwerp vormt een belangrijk hulpmiddel voor de tekenaar.

Rudolf Steiner dringt er op aan, om het ruimtelijk voorstellingsvermogen al vanaf het negende jaar te ontwikkelen door samen met de kinderen naar schaduwvormen te kijken. Je onderzoekt dan letterlijk het ruimtelijke ten opzichte van het platte vlak. Een bol in de zon geeft een schaduw op de tafel, waaraan de kinderen onmiddellijk de elliptische vorm herkennen. Ook van andere voorwerpen kan de
152

schaduw onderzocht worden. We tekenen deze waarnemingen niet, maar praktisch onderzoekend kun je het op allerlei manieren uitbreiden. Hoe is het met de lengte van de schaduw in verhouding tot het voorwerp zelf?
Een mooie aanleiding om in het kader van de meetkunde ook aan ‘verhoudingen’ te werken. Op zeker ogenblik is bijvoorbeeld de verhouding stok : schaduw overal in de omgeving even groot. Je kunt dat verhoudingsgetal gemakkelijk bepalen door wat meet- en rekenwerk. Heb je dat verhoudingsgetal eenmaal, dan kun je allerlei onbereikbare afstanden en hoogtes ‘meten’. Gebruik in dat geval de verhoudingstabel. (Zie blz. 251.) Wie weet maken de kinderen nog eens een kleine tafelzonnewijzer en ongetwijfeld komen ze op school met verhalen over experimenten thuis met het bedlampje of de zaklantaren!

Meetkunde komt zo op natuurlijke wijze tot stand. Wat kinderen eerst aan vormen hebben beleefd, gelopen, getekend en gemaakt, wordt later steeds preciezer geconstrueerd en er worden steeds meer wetmatigheden herkend.

Meten met maten

In vele situaties, vak- en vormingsgebieden en door de hele schooltijd heen, speelt meten een rol. Hoe belangrijk zijn niet de streepjes op de strook papier langs de deurpost van de eerste klas, waar de kinderen een jaar lang steeds weer even naast gaan staan. “Juffie ik ben groter dan Eric, Hoe kan dat nou, hij is groter dan ik?”
Voortdurend doen kinderen nieuwe ervaringen op. Soms dienen zich conflictsituaties aan die tot nadenken stemmen. Wat is groter worden? Nu eens is dat langer worden, dan weer gaat het om leeftijd: groter is hetzelfde als ouder. Er zijn dus soorten groter en kleiner.
En dan een feest, de eerste feestmutsen die zelf gemaakt worden zijn meestal lange versierde stroken papier, die op maat om het hoofd geplakt worden. “Hoe groot moet de strook voor jouw feestmuts worden, Anneke?” Als de kinderen klaar zijn gaan ze naar buiten, waar ze elkaar moeten opzoeken voor het vormen van groepjes die elkaars muts passen! Ongemerkt hebben we zo een oefening in het schatten georganiseerd en op weg naar buiten zie je dat de kinderen elkaars mutsen echt even gaan passen.
Later in het jaar is het leuk het vraagstuk van de puntmuts eens aan de orde te stellen. Laat de kinderen zelf uitvinden hoe groot het stuk moet zijn, dat uit het ronde stuk karton moet worden gevouwen of geknipt, zodat de muts op het hoofd past. “Kun je eigenlijk meer mutsen uit zo’n stuk karton halen?”
153

Het hoeft hier verder geen betoog dat handvaardigheidslessen uitnodigen om op allerlei manieren het meten in praktijk te brengen. Alle werkstukken, uiteenlopend van kleine doosjes van papier in de laagste klassen tot houten weeframen, gemaakt door de zevendeklassers voor de jongste kinderen, vragen om meetactiviteiten die in meer of mindere mate zelf uitgedacht zijn. Bij het meten als zodanig gaat het beleven doorgaans vooraf aan het weten.
Op het gebied van meten en maten wordt in onderwijsland veel abstractie bedreven, tot groot onbegrip van de kinderen. Via trap- en kommatrucs tracht men het leed te verzachten; het begrip wordt er zeker niet groter op. Als er één gebied is waar men zich zou moeten bezinnen over het wat, het wanneer en het hoe, dan is het wel de meterrij. En hoe simpel is het niet in de praktijk van het leven!
Hoe de mens de maat aller dingen weerspiegelt, werd duidelijk in de jeugdherinnering die een leerkracht eens aan zijn klas vertelde:
“Mijn moeder placht af en toe op de stofjesmarkt inkopen te doen. Daar was een blozende, forse koopvrouw haar favoriet. Onvergetelijk deze marktkoopvrouw. In rap tempo mat ze de ellen katoen, van haar hand tot de elleboog, waarbij haar onderarm als een pompzwengel heen en weer bewoog. Het was een goedhartige dame, ze mat met ruime hand, waarbij wij innerlijk de beweging mee deden en daarbij telden.”
Deze herinnering houdt een didactische aanbeveling in: meten is een menselijke activiteit. Stel kinderen dan ook in de gelegenheid via activiteiten kennis en inzicht te verwerven.

In de derde klas, als de kinderen zo’n jaar of negen zijn, geeft onderwijs in de zaakvakken spontaan aanleiding tot allerlei meet- en weegactiviteiten. De kinderen meten steeds enthousiaster met duimen, palmen, spannen, voeten, ellen en vademen en begrijpen al gauw dat een tweeduimsnagel (spijker) van smid Hein, dezelfde lengte moet hebben als de betreffende nagel van smid Hans, anders zou de timmerman voor zonderlinge problemen komen te staan. De stap naar de duimstok en ellemaat is dan ook snel genomen en behoeft geen historische fundering, al bezwijken we graag voor de verleiding om de ark van Noach op het schoolplein uit te zetten.
Tenslotte kunnen we, bijvoorbeeld op een stuk kassarol, allemaal een echte meter maken, zoals die misschien al voor het bord ligt, wellicht met een gekleurde tien-deling. Daarmee kunnen we van alles in en om de school gaan opmeten.
154

Van een klas gingen de kinderen altijd graag in de pauze naar een veldje in de buurt van de school. Ze wilden wel eens weten hoe ver dat dan was. Na wat heen en weer gepraat had één van de kinderen bedacht: “Als we nu allemaal één meter vingerhaken en we binden dat aan elkaar, kunnen we er heen lopen en dan weten we het”. Een van de jongens zei meteen dat 24 meter niet genoeg was. Voor een aantal kinderen ging dat wel snel, maar dat ze veel nodig hadden, dat hadden ze ook wel bedacht. Met restjes katoen, bij elkaar gebedeld bij de handwerkjuffie en thuis, waren ze dagenlang iedere pauze in de weer. Kinderen uit andere klassen gingen meehelpen en uiteindelijk wisten ze niet alleen de afstand tot het speelveld, maar ook dat het station bijna twee km ver was.

Als een klas zo enthousiast is wil je de activiteit niet stoppen. Ze vergeten niet gauw hoe lang 1 km is als je die een keer rennend hebt afgelegd. Maar een klasse-gesprek over andere mogelijkheden van meten zou je graag wat sneller laten verlopen. Hoe een en ander ook met een klikwiel (fietswiel met knijper gaat ook goed) nog beter had gekund, moet in zo’n geval dan ineens op het woord van de leerkracht aangenomen worden. Of kan die zich er niet zo gemakkelijk van af maken?
Tijdens de bouwperiode in de derde klas gaat het metselen van een bank op het schoolplein, een huisje voor de kleuters of een plantenbak gepaard met allerhande metingen. De rolmaat en het meetlint, de centimeter, bewijzen goede diensten terwijl ‘en passant’ kennis gemaakt wordt met haak, zwei, waterpas en schietlood. De centimeter heeft dan voor de kinderen geen geheimen meer en we kunnen onze jaarlijkse lengtemetingen in de klas gerust in ‘grote mensen taal’ vaststellen. Vorig jaar was Eelco 1 meter 30 en nu 1 meter 35. Kinderen hebben hun eigen referentiematen en breiden hun repertoire steeds uit. Een mooi idee is het aanleggen van een persoonlijk matenboekje, dat de komende jaren steeds verder aangevuld kan worden.
Aan veel meetwerk gaat schatten vooraf; hoe hoog denk je dat de klas is, hoe breed is de gang, hoe diep is het zwembad? Dit schatten geeft ook realiteitszin aan het meten, het is immers niet echt van belang of het zwembad 1 meter 60 of 62 diep is. Maar als je moet behangen is het wel van belang of de hoogte van de kamer 2 meter 50 of 80 is. De context waarin de meetopgaven staan, bepaalt de zin van de nauwkeurigheid van het antwoord. Dat feit verdient ook aandacht in de les, het is alleszins een reflectief moment waard.
Het motorische kind zal bij het schatten innerlijk meebewegen, ook in gedachten passen doen. Zulke kinderen zullen al snel de behoefte tonen om de meter aan 1 grote stap gelijk te stellen. Het visuele kind beleeft meer de onderliggende verhoudingen. Een combinatie van zien en doen, dus zien wat je doet, zal de klas wellicht het meest aanspreken en tot een goed gevoel voor maat leiden. En daar gaat het om.
In hoeverre wordt in de lagere klassen al kennis gemaakt met de begrippen oppervlakte en inhoud? We moeten vooral in de ‘doe sfeer’ blijven. Verrassend blijkt bijvoorbeeld het (grote) aantal bakstenen te zijn, dat we nodig hebben voor het metselen van onze plantenbak. Menig derde klas bouwsel is halverwege blijven steken door onderschatting.
155

156

In de bouwperiode besteden we ook tijd aan rekenwerk, waarbij we gebruik maakten van eenvoudige meetkundige structuren. De kinderen hebben immers verschillende steenverbanden leren kennen!
Ik liet de kinderen nu b.v. drie verschillende muurtjes ontwerpen als scheiding tussen de tuinen van mevrouw Jansen en mijnheer De Boer. Ze maakten er een duidelijke tekening van, met verband en al. Natuurlijk was er toen de vraag hoeveel stenen er voor ieder van de muurtjes nodig zouden zijn. Het aantal stenen per pallet is bekend, dus er kan ook uitgerekend worden hoeveel pallets er besteld zouden moeten worden. Maar niet alle tekeningen waren gelijk. Wat nu? De ene muur was wel twee keer zo lang, de andere wel twee keer zo hoog. Hoe zit het nu met het aantal stenen, en wat te doen als de muur twee keer zo lang en twee keer zo hoog is? Dat werd ook onderzocht. Het was leuk om te zien hoe de kinderen aan hun antwoorden kwamen. Sommigen maakten getekende oplossingen, anderen waren met getallen in de weer. Ik liet de kinderen ook aan elkaar vertellen waarom en hoe ze aan hun antwoorden kwamen. Twee kinderen die het heel verschillend deden liet ik een volgende keer eens samen werken.
Het feit dat er nu vier keer zoveel stenen nodig waren was ons natuurlijk wel opgevallen. Hoe zit dat bij een muur waar de maten drie keer zo groot zijn, was een vraag voor onderzoekers.

Voor weer een nieuwe fase in het meten met maten gaan we onderdak zoeken bij de aardrijkskundeperiode in de vierde klas. De verandering bij de kinderen in de oriëntatie naar ruimte en tijd vraagt om ordening van de ruimte om hen heen. “Waar sta ik, wat is voor mij wat is achter mij, links van mij, rechts van mij? Wat is binnen en wat buiten? Waar gaat de zon op als ik wakker, word waar staat de zon als we tussen de middag op het plein zijn?” “Woon ik in het noorden, oosten, zuiden of westen?”
Vanuit de eigen positie wordt de omgeving verkend. Kinderen tekenen de weg van school naar huis, met alles er op en er aan, de dikke boom waar je rechts af moet, de kerk tegenover de winkel en de kapotte steen in de stoep als je bijna bij school bent; belangrijke mijlpalen waar je langs komt. We beklimmen de kerktoren en kijken uit over het oude dorp. Weer op school tekenen wij onze eigen kaarten in vogelvlucht perspectief, plattegronden van het eigen dorp. Een fietstocht in de omgeving op zoek naar streeknamen, oude gebouwen en namen die bepaalde functies of eigenschappen laten zien, Bergweg, Zuiderschans, enzovoort. Een heleboel aanknopingspunten om als leerkracht bij stil te staan, reken-meetkundige opdrachten te maken en vooral onderzoekjes te laten doen door de kinderen.

Plattegronden van huizen, kamers, tuinen, boerenbedrijven kunnen begrippen als vierkante meter en hectare verduidelijken. Zoek referentiepunten op bekend terrein voor de kinderen, zoals voor Maurice, die zo dol is op voetballen: één voetbalveld is ongeveer een halve hectare.
157

leder kind heeft thuis zijn eigen kamer opgemeten en daar maken we een mooie plattegrond van compleet met bed, stoel, kast, treinbaan, enzovoort. We maken de kamer ook op schaal, bedenken met de klas wat een goede verhouding zou zijn. “Iedere meter 5 cm lang maken op tekenpapier?”, stelt Peter voor. Maar Justin zegt dat hij een hele grote kamer heeft en dat hij wel 10 cm nodig heeft. We komen er toch uit en besluiten tot 4 cm.
Van gekleurd papier hebben we nu een heleboel vierkante meters nodig in onze nieuwe ‘meter-maat’. En dan gaan we passen en meten, op zoek naar de oppervlakte van de eigen kamer. De schaar moet er bij veel kinderen ook aan te pas komen. Door verschillende kleuren te gebruiken is goed te zien waar de uiteengeknipte vierkanten (nu niet meer ‘vierkante meter’) zijn gebleven.

In een volgende rekenperiode gaan we op zoek naar andere grootheden dan lengte (afstand) en naar andere maten. Concrete inhouden levert de melkboer met zijn liter en halve liter pakken. Hoeveel glazen gaan er in een liter? Hoeveel liter hebben we nodig voor de hele klas? Hoeveel liters gaan er in een emmer, enzovoort. De meer wiskundige benadering van oppervlakten en inhouden, met de afleiding van de betreffende formules, is een zaak voor de oudere kinderen. Formules als 1 x b voor de oppervlakte van een rechthoek, krijgen hun betekenis in de zesde klas waar het letterrekenen, de eerste algebra, wordt geïntroduceerd. Deze overstap kunnen ze dan vanzelf nemen na alle ervaringen in verschillende perioden en rekenwerkuren op school en thuis.
Het wegen brengt ons onherroepelijk bij het winkeltjesspel terug. Er worden ponden suiker en kilo’s meel verkocht alsof het niets is! Op de balans is het ook niets, of praktisch niets; het gaat niet om het gewicht maar om het evenwicht, de vergelijking. Jonge kinderen beleven de ‘zwaarte’ nog niet zo als een volwassene dat doet.
Dus ook nu weer schatten. Wat zal zwaarder zijn, deze zak suiker of dat pakje koffie? Neem ze maar in de hand! Alle mogelijke varianten op het oude ‘kilo veren of kilo lood probleem’ vormen een uitermate belangrijke zintuigoefening! Het conflict dat er in verscholen zit, leidt tot voorstellingsactiviteiten, de kinderen worden aan het denken gezet. Tot in de hoogste klas zijn de leerlingen verbaasd over het gewicht van een flesje kwik; dat hadden ze niet gedacht! Schijn bedriegt en het oog is niet altijd te vertrouwen. Wie heeft tegenwoordig nog betrouwbare referentiematen?

Enige tijd stond nu de ouderwetse weegschaal in de klas en dagelijks wordt er van alles gewogen, afgewogen en ‘verkocht’. Daarnaast maken we ook kennis met veerunster, brievenweger, de bascule en de personenweegschaal, waarop ieder zijn gewicht nog eens wil controleren, niet in de laatste plaats om ook een ‘vergelijkend onderzoek’ te doen.

In de natuurkunde van de achtste klas ontmoeten wegen en meten elkaar op een heel bijzondere wijze, namelijk bij het berekenen van de soortelijke massa.
Maak aan het eind van de vierde klas wat tijd vrij, bijvoorbeeld een laatste rekenperiodeweek, om de inmiddels in dat jaar vergaarde kennis omtrent meten met maten eens op een rij te zetten. Ga ook nog eens kort aan het werk met wat opdrachten. Denkbeeldige situaties mondeling geschetst of in beeld gebracht op een werkblad, samen met leuke opdrachten en vragen, worden met enthousiasme begroet.
158

Terugkijken op en terughalen wat we geleerd hebben levert een bijdrage aan het (op tijd) verdiepen van het inzicht. Niet voor niets geeft de vrijeschool haar lessen in perioden van enkele weken; daarna laten we het geleerde rusten, vergeten, maar dient er aan het eind van het schooljaar op wat gedaan is nog eens teruggekeken te worden. Het bewustzijn van de mens kan onmogelijk alles wat het tegenkomt ook paraat houden. ‘Ritme’ versterkt dat vermogen. Zorg ervoor dat het kind ook leert ontdekken wat zijn ‘instrument’ is om de opgedane inzichten en kennis weer in het bewustzijn terug te halen. Het geeft het kind een waardevol vertrouwen in zichzelf als hij weet, dat wat even niet te voorschijn komt, toch herinnerd kan worden. Maar oefening hierin kan zeker voor wat betreft de ‘rekenkunst’, voor veel kinderen een welkome hulp zijn.

Ideeën voor het maken van opgaven in het kader van meten. Denk daarbij aan lengte, gewicht, tijd, oppervlakte, inhoud; ook richting (denk aan: 10 meter of stappen naar het oosten) kan een onderdeel zijn.
• Koekjes bakken. Het recept is voor 12 tot 15 koekjes, maar we bakken voor de ouderavond. Wat nu?
• Limonade maken voor de hele klas, hoeveel siroop, hoeveel water?
Hoeveel drinkt ieder? Is een volle emmer genoeg?
• Een nieuw pak tekenpapier van 200 vel. Hoe dik is het pak en hoe dik is dan een vel tekenpapier?
• Maak een vierkante meter van (kranten)papier.
• Ruilverkavelen in de polder. Van de biologisch dynamische boeren moet het erf naast elkaar komen te liggen.
• De buurman heeft een vijver gegraven. Kan hij daarvan nu nog de oppervlakte te weten komen? Hoe rekent hij uit hoeveel water er in de vijver moet komen? Zou je ook kunnen bedenken hoe lang de kraan van de tuinslang dan open moet staan om de vijver vol te laten lopen?
• Er komt een nieuwbouwwijk. Hoe zou je de fietspaden aan willen leggen?
Op hoeveel manieren kan je in jouw plan van een huis naar de winkel fietsen? Wat is de kortste weg?
• De landkaarten uit het magazijn uitgerold in de zaal. Waar is het noorden en waar het noorden op de kaart? In welke richting ligt Delft? Of Moskou?
• Bij dit voorbeeld van een oude plaat: Hoe zien de 12 bouwwerken er van voren uit? Kun je dat tekenen? En van opzij?

159

• Een grote boom in de buurt. Tekeningen maken vanuit alle windrichtingen.
En omgekeerd, kijk een foto van het schoolfeest op het plein.
Waar stond de fotograaf?
• Hoe hoog is die lantaarnpaal?
• Hoe komt het dat een vliegtuig, hoog in de lucht, zo langzaam vliegt?
• Wat is de gemiddelde snelheid van een fietser? … een wandelaar? … een atleet die de marathon van New York wint? Een schaatser op de 10 kilometer?
• Maak ook eens een werkblad waarbij de ingrediënten om het antwoord te vinden al in beeld zijn gebracht.

De kinderen hadden allerlei voorwerpen meegebracht waar water in kon. Ik hield een mooie met water geheel gevulde vaas omhoog. Eerst bedachten we samen wat voor het meten hiervan een geschikte maat was. Mireille liet ik alvast het daarbij passende maatglas pakken. Toen werd de inhoud -in de geschikte maat- geschat. Er kwamen ook getallen met cijfers achter de komma. De grootste en de kleinste waarde kwamen -met de eenheid erachter- op het bord. En passant rekenden we hiervan het gemiddelde uit. Toen goten we het water in het maatglas. Er ging iets meer dan 2 liter in. Ja toen moest ook de maatcilinder van 100 cm3 er nog bij gepakt worden, het antwoord kwam op het bord in liters. Wie had er meer dan twee cijfers achter de komma? Op mijn suggestie dat Frits dan ook de in de vaas achtergebleven druppels mocht komen tellen wilde hij niet ingaan.

4.2 Klok en kalender

“Juf, dit is de fijnste tijd van mijn leven!”
Veel te vroeg op school hebben kinderen kans gezien de nog dichte schooldeur te passeren en stormen als stralend zonlicht met windkracht zeven de klas binnen: “We gaan alvast in de zaal werken, anders zijn we niet op tijd klaar voor de generale!” Weg zijn ze. Ik blijf beduusd, maar aangestoken door hun ‘zin in deze dag’ achter. Morgen zullen ze hun ‘eind’toneelstuk spelen en ik bedenk met een beetje weemoed, dat de tijd is omgevlogen.

Klok en kalender zijn maar een klein onderdeel van het leren kennen van- en leren leven met de tijd. Tijd is beweging en het kan een mensenleven duren om er grip op te krijgen. Ook in de schooltijd zijn er dwars door het leerplan heen allerlei momenten, waarbij we de kinderen helpen steeds meer bewustzijn te ontwikkelen voor alles wat met tijd te maken heeft.
Als volwassene kunnen we aan tijd drie gebieden onderscheiden die onlosmakelijk verbonden zijn:
• De kosmische tijd, waarvan we de beweging beleven in de kringloop van het jaar, de seizoenen, de maanden, de weken, het ritme van dag en nacht en de veranderingen aan de hemel als we naar zon, maan en sterren kijken.
• De eigen tijd, de biologische tijd in de mens zelf, waarin ook de kosmische tijd zich uitdrukt. Dag-nacht, waken-slapen, ook maancyclus en vruchtbaarheid, zijn voorbeelden daarvan. Tot in de organen van de mens zien we lineaire en cyclische bewegingen. Te denken valt daarbij aan bijvoorbeeld het hart-ritme, de beweging van de longen, de cyclus in de leverwerking, de stroming en vernieuwing van het bloed, enzovoort. En niet in de laatste plaats zien we de
160

eigen tijdsstroom tot uitdrukking komen in de ontwikkelingsfasen binnen de levensloop van de mens.
Rudolf Steiner spreekt ook over de verschillende ritmen van de vier wezens-delen (Geisteswissenschaftliche Menschenkunde, GA 107). Hij beschrijft daarin de vernieuwende impulsen die door middel van of dankzij zo’n ritme plaatsvinden. Het fysieke lichaam kent ongeveer een jaarritme, letterlijk spreekt hij bij vrouwen over een ritme van 10 x 7 x 4 dagen en bij mannen van 12 x 7 x 4 dagen (!), het etherlichaam heeft een ritme van 4×7 dagen, het astraallichaam een weekritme en het Ik-organisme een dag-nacht ritme.
•De levenstijd beleeft de mens, door het heden tussen verleden en toekomst te ervaren. (De geschiedenis van aarde en mensheid speelt hierin een grote rol). Het wordt wel als een lineaire tijd gezien, maar in wezen maakt de levenstijd van de mens deel uit van de grote cyclische beweging langs geboorte, dood en wedergeboorte.

Het tijdsbeleven van het kind , van de mens, speelt een rol in alle drie de bovengenoemde tijdsaspecten, maar voor een kind heel anders dan voor de volwassene en nog weer anders dan voor de oudere mens. Kleine kinderen leven in het moment van de gebeurtenis zelf, daarbij meebewegend in de tijdsstroom. Kleuters zitten toch nooit stil? Hollend kwamen ze de keukendeur binnen “Gaan we eten?” “Nee, over een half uur.” Vijf minuten later stonden ze er weer. “Zijn we op tijd? Waarom zijn er geen borden?” De dag was toch om, ze hadden trek en wat had dat met halve uren te maken?!
De jongen uit de aanhef van deze paragraaf, die als eerste de klas binnenstormde genoot van alle lessen dit schooljaar. Zijn enorme betrokkenheid liet hem geen tijd zich te vervelen. Bovendien stond hij dankzij zijn temperament onbevangen in het heden, waardoor hij zijn vreugde van dat moment aan een tijdperk verbond, ongeacht de belevenissen van gisteren of van morgen.
Het mag duidelijk zijn dat zowel levens- en ontwikkelingsfase als individuele geaardheid een grote rol spelen bij het beleven, het tot leven wekken, van de tijd.

Leven primitieve volken, kinderen en menige vakantieganger, nog intuïtief vanuit de kosmische en biologische klok, in onze en andere culturen probeert de mens steeds om meer greep te krijgen op het ordenen van de tijdsstroom. Door de getallenwereld aan de beweging van de tijd toe te voegen werd met steeds grotere nauwkeurigheid de duur van de tijd in een maat uitgedrukt en vast gelegd.
De klok en de kalender zijn daar een uitdrukking van, toch is ook de meest geavanceerde atoomklok niet in staat om iets anders aan te geven dan een tijdsinterval.
Zo houdt ook in de cultuur de mens niet op te zoeken naar de wonderlijke wereld van de natuurlijke bewegingen en ritmen.

Op school maken we gebruik van de tijdsprincipes, enerzijds om het onderwijs te structureren, anderzijds om kinderen te leren met tijd om te gaan en zijn gevolgen voor ons bestaan te leren kennen.

In didactische principes van het vrijeschool onderwijs herkennen we de indeling naar de ritmen van de wezensdelen. ‘Gebruikmaken van de nacht’ bij de verzorging en toediening van de leerstof en het indelen van het hoofdonderwijs in
161

periodes van vier weken zijn daar voorbeelden van.
In de kleuterklas begint het omgaan met en het leren kennen van tijd door het herkennen van vaste gewoontes in de dag en de week. De mooi verzorgde
jaartafel, centraal in de klas, geeft de kleuters -zij het niet volbewust – steun bij het beleven van veranderingen over grotere tijdsspannen.

“Juffie, ik wil geen vakantie!” zei een van de grote kleuters bij de feestelijke afsluiting van de palmpaastijd. De kleuterleidster nam het kind op schoot en vertelde over allerlei fijne momenten die de vakantie zou brengen. Daarna zouden we elkaar weer allemaal terugzien in de klas. Helaas het hielp niet en zo mogelijk nog droeviger zei het jongetje: “Maar dan weet ik niet wanneer het ‘broodbak’dag is?!” Dit kind zocht houvast voor een ontwakend tijdsbewustzijn; het wist wat er aan tijd gebonden was.

Vanaf de eerste klas spelen de natuurlijke ritmen in de kosmische en de menselijke tijd een rol bij het leren kennen van de getallenwereld. Bij het ritmisch tellen, uit telrijen ontstaan, sluiten we aan bij de natuurlijke herhalingen en de bewegingen in de kosmische en de menselijke tijd.
Denk daarbij aan ordeningen die ontstaan in 12, of in 60 naast de ordening in tientallen. Het tiental is ook op het fysieke vlak bij de mens terug te vinden; het kind kan immers ‘van nature’ op en dus ook met zijn vingers rekenen: In de cultuur is daar een 10-tallig stelsel uit ontstaan. Telrijen en later de tafels, tot 12 en terug zijn daarom een ondersteuning van natuurlijke ritmen, rijen, en tafels tot 10 zijn een basis voor onze rekencultuur. Beiden moeten in ons rekenonderwijs een belangrijke plaats innemen, onder andere op weg naar tijdsmeting, metriekstelsel en handel.

Kalender en klok

In de tweede klas gaan we in een rekenperiode op zoek naar de tijd op de klok. Veel in ons onderwijs draait in die dagen om de grote klok, die met gejuich ontvangen wordt. Helemaal wanneer het een koekoeksklok blijkt te zijn, die elk uur luid zijn roep doet horen. De kinderen leren klokkijken en we proberen inzicht te geven in het verstrijken van tijd , in tijdsduur en het vastleggen daarvan. Alsook in de opeenvolging van de dagen van de week en de maanden van het jaar, die samen de kalender vormen. Naast de beweging van de tijd gaat het ook om kwaliteiten van de tijdsduur. In gedichtjes en liedjes spreken die kwaliteiten tot de kinderen:

Januari, sneeuw en ijs,
schaatsen aan en dan op reis.

Februari in het woud,
wie het koud heeft sprokkelt hout.

Alle vogeltjes in mei
leggen in een nest hun ei.

162

De eerste ochtend kwam ik in gesprek met de kinderen over de tijd van het jaar. We wisten er met z’n allen veel over te vertellen, daarna wist een van de kinderen welke maand het was, compleet met datum, “Want morgen ben ik jarig!” en zo kwamen we op de dag van de week. “Het is nu dus maandag” zei ik, “maar hoe laat is het eigenlijk?”
En zo begon die maandagmorgen het moment van de klokkentijd in het groter geheel van ‘tijd’. Na het leren lezen van de klok zou de klokkentijd langzaam uitgebreid worden met de tijd van de week, de maand, het jaar. En aan het eind van de periode zouden we allemaal een eigen week en een verjaardagskalender gemaakt hebben, had ik me voorgenomen.
In het gesprekje over de klok vroeg ik de kinderen hoeveel uren een dag had. Ze wisten allemaal dat er 24 uren in een dag zaten. Maar dat grote mensen dat een etmaal noemden, vanwege de dag en de nacht, dat leerden ze van mij. Een snugger ventje deelde meteen eigenwijs mee dat de klok dus 2 keer rond gaat voordat zo’n dag, eh etmaal, voorbij gaat en het weer ochtend is.
“Gaat de klok rond? Ik denk dat de kleine wijzer 2 keer rond gaat, maar hoe zit dat nu met de grote wijzer van de klok?” Er werd gekeken en gerekend, het juiste antwoord kwam al snel: 24. De kleine wijzer gaat dus I keer rond in de dag en I keer rond in de nacht en de grote wijzer draait 12 keer mee in de dag en net zoveel keer in de nacht.

Vanuit de vraag “Wat doen jullie in de uren van de dag?” kun je met de leerlingen een ‘eigen uren klok’ gaan maken; in het schrift is een grote ronde klok getekend, een cirkel die, met hulp, van 12 stralen is voorzien. Net als op de klok in de klas zijn er de uren bij geschreven. De kinderen wisten al veel over de tijd, ook al had klokkijken er niet veel mee te maken gehad. “Hoe laat sta je op?” Er zijn heel verschillende antwoorden, dus werd dat moment ook op verschillende plekken in de klok getekend. “Wanneer begint de school?” “Hoe laat eet je?”. Zulke vragen en andere stelden de kinderen zelf en zo raakte de hele dagklok gevuld. Een snelle werker ontdekte dat het niet past. “Ik ga naar bed als ik al wakker ben!” Er zat niets anders op, er was nog een nachtklok nodig. Bij veel kinderen werd die geheel gevuld met sterren.
Later, om de klok nog beter te leren kennen, werden de bewegingen van de wijzers nauwkeuriger bekeken.
163

Op het plein tekenden we een aantal klokken, twee aan twee liepen de kinderen rond. De ene was ‘kleine wijzer’ de andere ‘ging voor de grote’. We zongen het lied van Henry Zagwijn over de tijd en reciteerden een klein gedichtje over de wijzers.

“Een keer rond gaat die grote heer,
haalt de kleine in telkens weer.
Een keer groot snel rond gegaan
mag die kleine 1 stapje verder gaan”.

Sommige kinderen gingen steeds sneller lopen om toch vooral de hele dag te volbrengen! Lastig om daarbij de tel niet kwijt te raken.

Kinderen brengen in deze periode vaak allerlei klokken mee en ontdekken van alles aan de verschillende wijzerplaten!
Zij maken ook, al of niet in hun schrift, zelf een klok met twee losse wijzers, beweeglijk met een splitpen vastgezet.
Als tussenvorm kan het ook goed zijn eerst nog een minutenklok te maken met alleen de grote wijzer. De minutenklok met zijn indeling in intervallen van 5 minuten is wat overzichtelijker en er kan rustig geoefend worden met begrippen als: ‘half;’ ‘kwart voor’; ‘kwart over’, ‘vijf voor’, enzovoort…
Daarna schuif je deze twee klokken als het ware in elkaar tot een klok met twee wijzers en twee schalen.

Het geeft gevoel voor tijd als ook met andere klokken, zelfgemaakte zandlopers, water- of kaarsklokken, het verstrijken van tijd gemeten wordt. “Hoe lang duurt het om heen en weer het plein over te rennen? Een of twee zandlopers?” enzovoort.

Op een regendag mochten de kinderen, na een frisse neus gehaald te hebben, in de pauze weer naar binnen. Daar ontstond spontaan een torenbouw-wedstrijd, geklokt met de zandloper. De kinderen raakten zo in de ban van de bouwsnelheid dat er blokken bij geleend moesten worden in de kleuterklas.

Via gesprekken over zaken die kinderen meemaken, die langer duren, kom je verder in de opbouw van de week, de maanden en het jaar. Laat de kinderen hun kalender vooral op basis van eigen belevingen indelen in mooie opeenvolgende tekeningen. Het is leuk om met een kind dat eens speciale aandacht verdient,
164

voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.

Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.

Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskundeperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).

Tijd in de hogere klassen

In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’, ‘een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.

Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakker worden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.

In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165

voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.

Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.

Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskun-deperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.

Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).

Tijd in de hogere klassen

In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’/een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.

Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.

In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakkerworden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.

In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.

In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste
165

sterren onderzocht. De bewegingen worden in kaart gebracht om inzicht te verwerven in dag-nacht verschijnselen, in maanden, seizoenen, zonne- en sterrentijd, in schrikkeljaren en hun consequenties voor de kalender, in tijdzones en wat dies meer zij. Kinderen krijgen zo, naast gevoel voor tijd, ook verstand van tijd.
Dat allemaal heeft ook met rekenen te maken. Niet alleen omdat daarbij heel levensecht te rekenen valt, maar vooral omdat zo duidelijk wordt dat rekenen-wiskunde een menselijke activiteit is, waarmee de wereld verkend en ontsloten kan worden.

4.3 Rekenen met geld

(In vorige hoofdstukken heb ik het guldenteken vervangen voor het euroteken. Hieronder heb ik dat niet gedaan: het spreekt voor zich dat er voor gulden euro moet worden gelezen)

“Dan was ik de bankmeneer en jij kocht geld bij mij!” “Nietes, ik trok het uit de muur!”
Ook kleuters ‘rekenen’ al met geld. Soms wordt daarbij (nog?!) met blokken, schelpen of ander voorradig materiaal ‘betaald’. Nu het tijdperk van loonzakjes is vervangen door dat van pin- en andere codes waarmee geld ‘uit de muur’ gehaald kan worden, brengt dat met zich mee dat kleuters in het vrije spel ook dat uit de wereld van de volwassenen nabootsen. Is dit een reden om kinderen zich de elementaire beginselen van ruilhandel of de waarde van geld(stukken) bewust te laten worden? Of dienen we de omgang met ‘het slijk der aarde’ ver te houden van het kind?

Wanneer we in dit hoofdstuk aandacht schenken aan rekenen en geld beogen we daarmee noch de ene noch de andere vraag positief te beantwoorden. Het rekenen met geld leren de meeste kinderen ook wel buiten de school. Daar ligt een reden om dit thema hier op te nemen. Rekenen met geld kan namelijk het rekenen (in en buiten school) ondersteunen. Daarnaast kan het bijdragen om rekenen en wereldoriëntatie te integreren.
Toen Rudolf Steiner zich eens in Engeland positief uitliet over de mogelijkheden die het – daar nog niet op het decimale stelsel georiënteerde – geldstelsel voor het rekenen bood, liet hij merken dat geld volgens hem ook tot de concrete materialen behoort, waarmee kinderen kunnen leren rekenen. Daarbij gaat het om de (gevarieerde) structuren die in een muntstelsel besloten liggen en vooralsnog niet om inzicht in het stelsel zelf. Het is van belang om concrete zaken uit de omgeving het kind te gebruiken, zoals munten, bankbiljetten en postzegels, maar ook ‘bammen’ en ‘eentellers’.in de knikkertijd. Het zijn even zovele ‘eenheden’ die in zichzelf geleed zijn.
Door zijn interne structuur vormt geld een denkmodel en wordt zo voor mensen tot een bron voor referentiegetallen, waarmee het rekenen makkelijker is uit te voeren. Veel volwassenen betrappen zich erop dat ze bij sommen met breuken of kommagetallen doen alsof het geld is. Een voorbeeld:  2¼ : 4½ =… Denk aan guldens en ‘vertaal’ in kwartjes, dan zijn dit 9 en 18 kwartjes, ofwel 9 : 18 = ½. De veelvuldige omgang met geld in het dagelijks leven, draagt ertoe bij, dat oefening kunst baart op dit concrete niveau.

Een elfjarig meisje dat steeds vastliep bij rekenopgaves als 3 x 1,75, gaf op de vraag: “Hoeveel is drie keer f 1,75” meteen het goede antwoord, met een gezicht alsof dit wel het stomste was wat je kon vragen. Het valt op dat zwak rekenende
166

kinderen niet zelf deze relatie met het ‘geldrekenen’ leggen, hoewel ze binnen het geldstelsel wel tot goede oplossingen weten te komen.
Het is efficiënt om regelmatig, tijdens en nadat het rekenen met geld in de aandacht gestaan heeft, aan geld als model te refereren voor ‘lastig’ rekenwerk. Zo ontstaat een repertoire voor mogelijke aanpakken, die bij ‘moeilijke’ sommen maar ook bij schatten gehanteerd kunnen worden. De vijfstructuur kan veel extra steun bij rekenwerk geven, denk daarbij aan stuivers, kwartjes, rijksdaalders, enzovoort, maar ook aan dubbeltjes als twee stuivers enzovoort.
De context ‘winkelen’ biedt vele mogelijkheden om het rekenen met geld als ruilmiddel te ontwikkelen. Wie zo gelijktijdig geld als denkmodel voor rekenwerk wil introduceren, kan daarbij het ‘geldwisselspoor’ hanteren.

In de voorafgaande dagen hadden we allerlei munten en papiergeld ‘nagemaakt’. Op dik papier, met een munt eronder, waren door wrijven met een potlood ‘echte’ munten gekopieerd. Dat kostte meer tijd dan ik verwachtte, maar nu beschikte iedereen over een papieren beurs met daarin heel wat -zij het niet klinkende- munten. Gezamenlijk kozen we nu een munt of ‘briefje’ en legden dit bovenaan op de bank. Daarna werd hetzelfde bedrag in andere munten eronder gelegd; steeds werd er verder gesplitst in andere, kleinere, munteenheden. We ontdekten uitgaande van eenzelfde bedrag, verschillende mogelijkheden. Zo ontstond het ‘geldwisselspoor’; kinderen konden (zelfstandig of voor elkaar) opdrachten verzinnen, uitgaande van goed gekozen startbedragen.

de illustratie is niet meer  van deze tijd:

167

Feitelijk werken we bij deze procedure dus weer vanuit het geheel naar de delen. Dat blijft een zinvolle oefening. Goede rekenaars beleven er veel plezier aan om zelf te zoeken naar getallen, waarmee je een ‘lang’ geldwisselspoor kunt maken. Zo breiden ze hun repertoire uit van referentie getallen, waarmee handig te rekenen valt.
In een latere fase is het geldrekenen ook te gebruiken om het breukenonderwijs te ondersteunen. Op basis van geld kun je een ‘breukenbord’ maken. Daartoe wordt een blad papier met lijnen in gelijke evenwijdige stroken verdeeld. Op de bovenste strook wordt dan bijvoorbeeld f 5,- genoteerd. De strook daaronder wordt nu in vijf gelijke stukken verdeeld, elk stuk staat nu voor f 1,-. Daaronder volgt een strook voor kwartjes enzovoort. Je kunt zoiets ook al in een derde klas doen en er later, in het kader van de breuken, op terug komen.
Het is belangrijk dat kinderen ervaringen opdoen, waarbij ze geld als model voor breuken kiezen en bemerken dat het rekenwerk daarmee gemakkelijker verloopt. Juist voor rekenaars die moeite hebben zich (breuk)getallen voor te stellen en ermee op mentaal niveau te manipuleren, kan het ‘denken in geld’ houvast bieden. Vaak blijken zulke kinderen heel gewiekst in het rekenen met geld, omdat ze dat vanuit allerlei praktische levenssituaties gewend zijn.
Ook daaraan werken we wanneer we in de derde klas weer eens winkeltje spelen.

We waren al een paar dagen bezig spullen te verzamelen voor een soort rommelmarkt, die we met elkaar gingen houden, leder had van thuis spulletjes mee genomen waar hij afstand van wilde doen. Het was een bonte verzameling geworden.
We hadden al met het geldwisselspoor gewerkt. Bij het hoofdrekenen kon ik al eenvoudige sommetjes geven: “Één kwartje, hoeveel stuivers krijg je daarvoor? Hoeveel dubbeltjes zijn samen even veel waard als twee kwartjes?” Ook hadden we al enkele dagen verschillende bedragen met munten gelegd en daarbij ontdekt, dat er vaak meer dan één mogelijkheid bestaat zo’n bedrag te vormen.
En vanmorgen was het zover. Natuurlijk, onderhands was al menige koop gesloten, dat wist ik wel. Daarom besloot ik dat iedereen eerst de ronde ging doen langs de meegebrachte spullen om daarna op de eigen plaats een wenslijstje te maken met daarop de drie meest begeerde artikelen. Bovendien moest daarachter het bedrag staan wat ze ervoor wilden uitgeven.
Toen liet ik een kind voor de klas komen en vroeg hem om zijn lijstje, las op wat bij de nummer één stond en nodigde de eigenaar uit met het artikel naar voren te komen. Daar had ik mijn eigen tafel als een soort marktkraampje voor ingericht. En toen begon de handel, loven en bieden.
De afspraak was: Je mocht niet meer betalen dan er op het lijstje stond. Maar hoeveel het was, dat wist alleen de koper en ikzelf. Zo hoopte ik de woekerprijzen een beetje in de hand te houden, want ook de koopman wist dat hij bij een te hoge vraagprijs met zijn spullen zou blijven zitten. Toen er zo een aantal koopjes gesloten was, waarbij dan ook echt betaald, en soms zelfs gewisseld moest worden, verdeelde ik de klas in twee helften, een groep kopers en een groep verkopers. Er was tien minuten tijd om te handelen en daarna zouden de rollen omgedraaid worden. Natuurlijk toen werd het echt wel een beetje een rommeltje, maar de kinderen genoten. En daar is een rommelmarkt toch voor!
In de dagen die daarop volgden, werd er zo nu en dan nog flink gehandeld. Maar er werd ook flink op papier gerekend: “Ik heb de volgende geldstukken in mijn portemon-
168

nee, een … Hoe kan ik nu … (f 3,55 bijvoorbeeld) gepast betalen? Wat krijg ik terug als ik een muntstuk van vijf gulden geef?
Sommen had ik nu bij de vleet. Ze maakten ze voor elkaar. Bij onenigheid rekenden we met de hele klas de som na en bespraken de verschillende oplossingswijzen. Daarna moest er dan weer met ons namaakgeld betaald worden. Een paar kinderen hadden zelf thuis extra bankbiljetten gemaakt en brachten die ook in roulatie. Toen moest ik wel even ingrijpen, want zoiets geeft meteen een enorme prijsinflatie.
Ja in tijden had mijn klas er niet zoveel bij geleerd als in deze paar dagen.

Dat het daarbij niet gaat om vaardigheden die ‘even aan te leren zijn’, kan iedereen beamen die in het buitenland onverwachts met een ander muntstelsel geconfronteerd werd. Toch verloopt het leren omgaan met geld voor de meeste kinderen haast ongemerkt, hoewel niet altijd zonder hobbels. Dat merk je bijvoorbeeld wanneer een kind moeite heeft met het feit dat een rooie rug maar één briefje is (en bovendien groen is!) en toch staat voor duizend guldens.

Geld kan ook een denkmodel vormen achter het cijferen:

• Kassabonnen om na te rekenen.
• “Ik wil… kopen af… per … Heb ik genoeg bij me als er f … in mijn portemonnee zit?”
• “Voor … stuks … heb ik f … betaald.Wat is de prijs per stuk?”

Het rekenen met geld plaatst rekenen ‘in de wereld’; het vestigt namelijk de aandacht op wat er zoal in die wereld omgaat en te koop is. Zoiets maakt kinderen wereldwijs. Het kan ook morele vragen oproepen en hartstochten losmaken. Voor de leraar is het dus steeds de vraag: “Wat wil ik bij mijn kinderen wekken en hoe sluit dit aan bij de levensfase waarin ze verkeren?”

Enkele opdrachten die rond het thema geld in hogere klassen gegeven kunnen worden, volgen hier ter illustratie. Het is vaak inspirerend om aantrekkelijke werkbladen te ontwerpen. (Zie Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen) Kinderen kunnen dat zelf ook met behulp van foldermateriaal. Ze komen in dat geval niet zelden tot prachtige ‘eigen producties’. Het is ook een goed idee om de ontwerpers oplossingen van de zelf bedachte opgaven te laten maken en voor het gebruik van anderen te laten opschrijven. Ze kunnen daarnaast elkaars werk corrigeren, dat geeft een goede aanleiding om de zaak nog eens na te rekenen.

Ideeën voor het maken van opgaven:
• Een folder met artikelen en prijzen. Maak een wenslijst. Wat zal dit alles kosten? Hoe lang moet je daarvoor sparen als je per week f … zakgeld krijgt?
169

• Maak een prent (werkblad) van een etalage met prijzen bij de artikelen, of geef een reclamefolder. Je vriend(in) heeft f … voor zijn/haar verjaardag gekregen. Wat gaan jullie daarvoor in deze winkel kopen?

Het berekenen van uitgaven op basis van tabellen en dergelijke:
• De tarieven voor de dierentuin, schouwburg, … zijn … We gaan met het hele gezin, we zijn dus met z’n … Wat moeten we betalen?
• We gaan met… man op reis naar … Hier is het tarieven boekje van de N.S.
Wat gaat dat kosten?
• Ontwerp een advertentie voor … Zoek in de krant op wat het plaatsen van een advertentie per kolom per millimeter kost. Wat zal de krant jou voor deze advertentie in rekening brengen?

Het verzamelen en ordenen van gegevens.
• Je wilt een cake bakken. Wat heb je daar voor nodig? Wat zal het kosten?
Zoek dat voor morgen uit.
• Een begroting maken voor het verjaardagsfeest dat je wilt geven, op basis van een gegeven totaal bedrag.
• Ontwerp een boekenkast. Wat heb je aan hout nodig? Hier is een folder van de ‘Doe-het-zelf’zaak. Wat gaat het kosten?
• We gaan op schoolreis zelf koken. Stel een menu samen. Hoeveel heb je van alles nodig? Overleg dat thuis en zoek in winkels uit wat dat zou kosten.
• Bijhouden van inkomsten en uitgaven per dag (of per …). Maak een kasboek.
• Bereken de jaaruitgaven voor elektriciteit, de telefoon, de …, op basis van deze rekeningen.

Het omrekenen naar … (bijvoorbeeld met gebruikmaking van de verhoudingstabel, zie blz. 251):

• Recepten gemaakt voor … personen omrekenen naar … personen.
Bereken daarbij de nieuwe prijzen op basis van de oude.
• Vreemde valuta. Prijzen (inkomsten …) omrekenen op basis van de wisselkoers.
• Gegeven de kosten per eenheid, wat kost het dan om …?

Rente berekeningen (zie ook H 6).

Handelsrekenen
170

Het ontwerpen van werkbladen

Zelfstandig, actueel en op maat

Waarom zou je werkbladen maken voor de kinderen? Het antwoord is eenvoudig en heeft drie kanten: In de eerste plaats geeft het je de gelegenheid de kinderen gedurende een bepaalde tijd zelfstandig aan een welgekozen taak te laten werken. Zelfstandig hoeft niet te betekenen ‘individueel’, men kan ook in kleine groepjes zonder directe begeleiding van de leerkracht aan de slag gaan.
In de tweede plaats kun je met eigen ontwerpen goed inspelen op datgene wat actueel is in het periodeonderwijs en je kunt ingaan op de dingen die de kinderen op een zeker moment bezig houden. Juist in de hoogste klassen geeft dat de gelegenheid school en wereld op een gezonde manier te verbinden.
Ten slotte kun je met zelfgemaakte werkbladen maatwerk leveren voor kinderen, die die extra aandacht of zorg nodig hebben.
In de laagste klassen kan een doos met mooie, getekende rekenkaarten gemaakt worden. Het formaat is kleiner, en daardoor overzichtelijker voor de kinderen. Hieronder een aardig voorbeeld van zo’n werkkaart.

Werkbladen kun je ontwerpen voor gebruik in het hoofdonderwijs. Maar meer nog hebben ze een functie in de rekenwerkuren, waarin we dat wat we in de periode geleerd hebben, beoefenen en verwerken.

De leraar treedt terug

Ontwerpen is heel wat anders dan kopiëren, hoewel bij het maken van werkbladen het kopieerapparaat een goede steun kan zijn. Aanleidingen om tot creatieve ontwerpen te komen, kunnen gevonden worden ‘op de rand van de krant’, in reclamefolders, in inspirerende reken-wiskundeboeken, bij gezelschapsspelen en andere spelletjes, na een diagnostisch gesprek met een leerling enzovoort.

171

Vooral de krant levert ongekend veel mogelijkheden voor het ontwerpen van goede ‘probleemgeoriënteerde’ werkbladen. Er wordt informatie gegeven die tot narekenen noodt (een olievlek van 50 vierkante kilometer komt overeen met
100 000 ton olie?); een bepaalde berekening nodigt uit tot reconstructie (795 inwoners, dat is 12% van het totaal, …) en hetzelfde geldt als je meent een fout te zien (de prijs van de superbenzine ging van f 1,50 naar f 2,00. Dat is een stijging van 25 procent).

De krant geeft ook rechtstreekse rekenproblemen, denk maar aan advertenties en abonnementen.
De leraar, die materiaal zoekt voor zijn werkbladen, rekent zelf eerst wat ‘op de rand van de krant’, en ervaart zo de mogelijkheden en moeilijkheden. Op dezelfde manier zou hij met de andere bronnen om kunnen gaan: eerst zelf problemen oplossen en vervolgens reflecteren op het eigen denk- en rekenwerk.
Een licht gevaar doet zich hier voor. De leraar die nadenkt over zijn eigen rekenaanpak, is gemakkelijk geneigd om in termen van een stapsgewijze uitleg (met veel voorzeggen) te denken.
Hoe loste ik dat probleem van de olievlek ook weer op? Eerst 100 000 ton olie, hoeveel liter is dat? Ik weet dat 1 ton = 1000 kilo, zeg 1000 liter. Dus 100 000 ton is 100 miljoen liter. Nu 50 vierkante kilometer. Eén vierkante kilometer is 1000 x 1000 vierkante meter, dus 1 miljoen vierkante meter. Eén vierkante meter is 10 x 10 vierkante decimeter, dus 100 dm2. Terug naar 50  km2, dat is dus 50 x 100 x miljoen = 5 miljard dm2. Smeer die 100 miljoen liter uit over 5 miljard dm2, dat geeft dan een laagje van: 100 : 5000 dm = 1/50  dm = 2 mm. Een (te?) dikke laag!
Het werkblad zou nu, op basis van de voorgaande oplossingsaanpak, gemakkelijk het karakter kunnen krijgen van een invulformulier:

172

In dat geval blijft er weinig initiatief en denkwerk voor de leerlingen over. Het verdient evenwel aanbeveling om ook de leerlingen een kans te geven, het probleem bij het begin op te pakken en op de eigen manier op te lossen. Als de vraagstelling open is, kan het nuttig zijn er (gefaseerde) hulp bij te leveren, in de vorm van tips die al dan niet (gesloten envelop erbij doen) gevolgd mogen worden.

Ten slotte wat tips voor het ontwerpen van probleemgeoriënteerde werkbladen Vooraf: Bedenk dat de keuze van het onderwerp ook een pedagogische dimensie heeft.

1. Formuleer eerst de opgave helder en los die zelf op.
2. Reflecteer op de eigen oplossing en neem de essentiële momenten in beschouwing.
3. Denk aan je leerlingen en schat de moeilijkheidsgraad in.
4. Zoek illustratief, en zoveel mogelijk authentiek materiaal (krantenknipsel, fotokopie van stukje uit boek, …).
5. Bedenk titel van het werkblad en deel het globaal in; met kernvragen, ruimte voor het rekenwerk van de kinderen, het geven van tips, enzovoort.
6. Bedenk iets waardoor de kinderen ‘gedwongen’ worden om te reflecteren.
7. Maak zelf de eerste versie van het werkblad, alsof je een leerling was.
8. Probeer het prototype-werkblad uit met één (of meer) leerling(en) en verwerk de ervaringen.
9. Maak eventueel meer dan één versie van het werkblad; in het algemeen zijn er diverse niveaus mogelijk.
10. Noteer ergens de eigen (reflectieve) oplossing, voor het geval de kinderen willen weten ‘of ze het goed gedaan hebben’. (In een reflectieve oplossing wordt ook het denkproces beschreven. Zie bijvoorbeeld Goffree,F., Faes, W. en W. Oonk, (1992) Reken Vaardig, Groningen: Wolters Noordhoff).

173

174

175

In dit hoofdstuk is sprake van

bouwperiode
cultuurperioden
kindertekeningen
kleuter
kringspel
meetkunde (driehoek)
meten
rechte-ronde
ritme
schaduwtekenen 7e kl
spel 
 sterrenkunde 7e
 tijden in 4e klas
vormtekenen

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3]  [5] [6] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2441

.

VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging- hoofdstuk 3

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 3: Rekenwerk vanaf klas 2 

3.1 Hoofdrekenen tot honderd
3.2 De tafels
3.3 Cijferen
3.4 Schattend rekenen Terzijde: Rekenspelen

3.1 Hoofdrekenen tot honderd

Het ligt voor de hand, ervan uit te gaan, dat al het rekenen dat niet op papier gebeurt hoofdrekenen is. Maar, als je een kind vraagt hoeveel 6 x 6 is en het zegt onmiddellijk 36, dan wordt er niet gerekend en weet het kind dat eenvoudigweg omdat die kennis geautomatiseerd is. Maar ook bij de mondeling gegeven opgave, waarbij een kind op zijn vingers het antwoord uitrekent, is er geen sprake van hoofdrekenen, maar van tellen.
Daarmee hebben we twee gebieden, die -vooral in de eerste en de tweede klas worden geoefend en als voorwaarde gelden om tot het eigenlijke rekenen uit het hoofd te komen. Daarbij gaat het vooral om het leren kennen van de kwaliteiten van de getallen, het zien van structuren en de ervaring hoe je met het rekenen betekenis kunt geven aan de dingen om je heen.
Nu sta je als leraar op een cruciaal punt. In het oorspronkelijke leerplan voor de tweede en derde klas lezen we:
‘De vier hoofdbewerkingen worden voortgezet tot 100 en daarboven. Er wordt veel uit het hoofd gerekend (de tweede klas). De vier hoofdbewerkingen worden geoefend met grote getallen in relatie tot het leven van alle dag.’

Als we onoordeelkundig te werk gaan, kan rekenen voor het kind tot een vak worden waarbij op mysterieuze wijze gegoocheld wordt met getallen, waarbij steeds nieuwe problemen opduiken op het ogenblik dat het dacht het net een beetje te snappen. Zo kan een kind zelden genieten van wat hij ‘geleerd’ heeft en raakt de interesse voor het rekenen steeds meer verloren. In het gunstigste geval ontwikkelt een goede rekenaar zich dan tot een handige cijferaar, die alle rekenhandelingen correct op een standaardmanier uitvoert, maar bij wie de innerlijke betrokkenheid ontbreekt. Misschien dat zo’n rekenaar vroeger nog wel enig emplooi had voor zijn vaardigheid, maar in het huidige informatietijdperk kan een kind daar nog maar weinig mee.

Wat moeten de kinderen beheersen?

De basisvaardigheden onder de twintig moeten geautomatiseerd zijn en de tafels gekend worden. Dit immers zijn onmisbare elementen van het hoofdrekenen tot honderd. Daaraan moet zeker in de eerste drie klassen veelvuldig gewerkt worden. Wat de kinderen al geautomatiseerd hebben en wat nog niet, zal de leraar dienen te weten. Daaraan kan gewerkt worden met korte op memoriseren gerichte mondelinge oefeningen, maar bijvoorbeeld ook door spelen als ‘Ladder op en af’, en ‘Samen’ (zie Terzijde: Rekenspelen).
77

Het optellen en aftrekken tot twintig vraagt van de leerkracht een systematisch didactische aanpak. Wordt maar aangenomen dat de kinderen alle optellingen en aftrekkingen onder de twintig uit het hoofd kennen, waarbij sommige kinderen toch maar liever op de vingers blijven tellen? Of wordt uitgegaan van de vaardigheden waarover de kinderen al beschikken? Vanuit de principes van de reconstructiedidactiek kunnen de kinderen op die vaardigheden verder bouwen en deze uitbreiden. Het geeft ze een handreiking om handiger te rekenen dan door ‘alleen maar’ tellen.
Mogelijkheden, die ook elders in dit boek besproken worden, zijn:
-Het verdubbelen als een rekenvorm die de kinderen al ‘wisten’:

2 + 2 = 4
3 + 3 = 6
4 + 4 = 8

Daarop kan worden voortgebouwd met:

4 + 5 = 4 + 4 + 1 = 8 + 1 =9 
6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13

Maar ook door het werken met de vijfstructuur van het rekenrek leren de kinderen de structuur kennen van de getallen onder de twintig.

Rekenen in het leven van alle dag

Overal komen ons tegenwoordig getallen tegemoet: pincodes, telefoonnummers, sofinummers of ledennummers. En ook moderne apparaten laten ons voortdurend cijfers zien: de (wekker)radio, de videorecorder, de magnetron of de televisie. In de krant staan dagelijks tabellen en schema’s waarin bepaalde verhoudingen uitgedrukt worden. In het spraakgebruik zijn begrippen als procenten of decimale breuken al gemeengoed voordat de kinderen daar in de school mee geconfronteerd zijn.

Een praktijksituatie:

Kareltje kan zijn ouders niet meer vinden tussen al die mensen op het strand. “Hoe heet je, waar woon je, wat is je telefoonnummer of dat van de buren of weet je soms de postcode?” vraagt een vriendelijke strandwacht. Kareltje kijkt op zijn digitale horloge alsof dat uitkomst kan bieden. Daar verspringen steeds getallen, zou hij de structuren doorzien en weten waarom de voorste getallen na 24 en de achterste bij 60 opnieuw beginnen? “Zoek je al lang?” probeert de strandwacht nog een keer …
Ja, als kind moet je tegenwoordig al vroeg thuis zijn in de wereld van getallen. Maar je moet ze ook naar je hand kunnen zetten.
Thea heeft van opa voor haar verjaardag vijfentwintig euro gekregen. “Wat kan ze daar allemaal voor kopen”, vraagt ze zich af? Gelukkig, boodschappen doen en betalen heeft ze vaker gedaan. Van prijzen weet ze iets af, daardoor heeft ze enkele getallen in haar hoofd waaraan ze zich kan oriënteren. Ze schat een paar bedragen, maakt daar in gedachten een kaal sommetje mee, rondt daartoe
78

getallen handig af en overziet dat alles bij benadering binnen de grens van € 25,-blijtt. Thea boft dat ze niet in Italië woont, met die kleine lires rekenen kinderen daar met enorme bedragen. [het boek verscheen vóór de euro zin intrede deed]

Het leren van zulke vaardigheden behoort zeker tot het rekenonderwijs dat tegenwoordig nodig is. Het leidt tot een vorm van gecijferdheid, die verbonden is met het rekenen van alle dag, ontdaan van geheimzinnigheid, maar daarom nog niet van schoonheid of van het plezier erin.
Er zijn legio voorbeelden te vinden van alledaagse rekensituaties. Het was al een aanwijzing van Steiner om het rekenen van jonge kinderen aan te laten sluiten bij het praktische leven. Bij dit alledaagse rekenen hoort, dat rekenopgaven zich zelden mondeling of op schrift aandienen. Wanneer er bijvoorbeeld hoeveelheden geteld worden door de kinderen, zoals knikkers of kwartjes in een spaarpot, doet zich het rekenprobleem concreet aan de kinderen voor.
Zo kunnen, vanaf de eerste klas in kleine schetsjes op het bord, rekenopgaven gegeven worden:

79

Later kan ook op het bord geschreven worden:

De vraag aan de kinderen is nu: “Je mag nog vijf minuten spelen voor je aan tafel moet. Wat voor cijfers geeft de klok dan aan?”

Of: “Vader zegt: “Om kwart over gaan we weg.” Wat staat er dan op de klok?” Een kind weet dat wel:

“En hoeveel tijd heb je nu nog om naar de wc te gaan en je schoenen te zoeken?”

Zo zijn er overal voorbeelden te vinden, die aansluiten bij situaties die de kinderen kennen. Wie opgaven in zo’n context naar voren brengt, maakt werkelijk waar: ‘uitgaan van het leven van alle dag’.

Natuurlijk is er goed te putten uit hetgeen bijvoorbeeld in de heemkunde- of bouwperiode aan de orde kwam. En waarom ook niet de kinderen zelf dingen laten ‘berekenen’ voor een uitstapje, of een klassikale activiteit?

Het actief verkennen van de getallenwereld

Wie zich wil oriënteren in de getallenwereld, zal zich ook moeten kunnen bewegen in de getallenwereld. Het bewegingsonderwijs kan die ervaring aandragen:

De kinderen schatten het aantal stappen naar de overkant van het plein. Daarna wordt de afstand ook gelopen. Bij iedere tien stappen legt een kind een ‘tiental-merkteken’ neer. Langs deze route kunnen de kinderen zich nu gaan bewegen; van 30 naar 40; of ze doen: 60 en 30 erbij! Opdrachten kunnen in velerlei vorm, door de leraar of door een kind, gegeven worden. Zelfs binnen de ruimte van het tiental kan bewogen worden: 30 – 2 of 25 + 5. Opdrachten als 2 x 15 zijn in dit verband ook belangrijk.
Later wordt het stappen met tientallen op het bord getekend en proberen de kinderen de opdrachten ook uit het hoofd te doen.
80

• Nu kan ook de 100-ketting gebruikt worden, gemaakt van twee verschillende
kleuren kralen (uit een kralenzitting voor een autostoel) telkens om en om een
kleur voor een tiental. Met een wasknijper kunnen de posities op de ketting aangegeven worden. Voor minder snelle rekenaars is zo’n hulpmiddel een goede houvast, terwijl er toch een verband bestaat met de bewegingen die de kinderen zelf uitgevoerd hebben.

• Allerhande rekenverhalen, bijvoorbeeld naar aanleiding van de heemkunde kunnen aanleiding zijn om ook met getallen tot 100 te gaan rekenen. Hoeveel beukennootjes verzamelt een eekhoorn op een dag? En als hij een week lang verzamelt? Nu komt er een luie eekhoorn die uit de voorraad stiekem wat weghaalt; wat is er dan over, hoeveel moet… enzovoort.

Het verhaaltje mag niet belangrijker worden dan de rekenopgave. Want dan lopen dromerige kinderen de kans om zo in de situatie op te gaan, dat ze niet aan het rekenen toe komen. Rekenen, dat voor hen nu juist zo goed is.
Voor zulke dromers kan een ‘gedachtenstrook’ goede diensten bewijzen. Op zo’n strook – die de kinderen zelf kunnen maken – staan de getallen tot 100, in een mooie tientalkleur. Nu kunnen de kinderen bijvoorbeeld een steentje leggen bij het getal waar het rekenverhaal is.

• Op de tegels van het schoolplein wordt een ganzenbordspel getekend. In de hokjes staan opdrachten in sommetjesvorm, die aangeven hoe de kinderen langs het parcours moeten gaan. De klas wordt bijvoorbeeld in drie of vier groepen verdeeld, die elk mogen gooien, een kind als pion in het spel mogen brengen en de opgaven moeten uitrekenen om naar ‘het antwoord’ te lopen. Zoiets kan later ook in een klassikale versie worden gespeeld.

Reconstructie didactiek – de lege getallenlijn

In al deze situaties kunnen de notoire tellers ook meedoen. Het zal ze juist stimuleren om ook eens een grotere sprong te maken, dan sprongen van één. Een spel is dan ook geen extraatje, maar een wijze van rekenen die alledaagse activiteit verbindt met het rekenen. Een spel dat alleen gespeeld mag worden door kinderen die hun werk al af hebben, stigmatiseert een zwakke rekenaar: voor die leerling is rekenen alleen maar ploeteren.
Het probleem van zwakke rekenaars ligt vaak op het gebied van de concentratie, het onthouden en het memoriseren. Als voor hen het rekenen alleen bestaat uit het toepassen van regeltjes, wat ze telkens toch niet lukt, dan ontgaat ze de mogelijkheid om het rekenen te oefenen aan situaties van alle dag.

In het realistisch rekenen is het begrip ‘reconstructiedidaktiek’ geïntroduceerd.
Hierbij wordt steeds verder gebouwd op de kennis die al bij de kinderen aanwezig is. Deze kennis wordt aangepast, uitgebreid en verdiept. De aanpak wordt als volgt omschreven:

‘Zorg voor zoveel mogelijk parate betekenisvolle basiskennis, want die levert de kapstok waaraan gevorderd rekenwerk kan worden opgehangen. Maar … wat je vergeten bent, kun je zelf opnieuw maken. Laat je dan leiden door je gezond verstand en volg de aanwijzingen die in de aard van het probleem besloten liggen.
81

Organiseer en orden, wees steeds attent op regelmaat en structuur. Zoek interne en externe structuren van de gegeven getallen, vind hulp bij eenvoudige visuele modellen en weet dat er niet slechts één mogelijke (moeilijke) methode is, maar dat er diverse eenvoudige wegen naar de oplossing leiden.’

Een voorbeeld van zo’n eenvoudig visueel model is de lege getallenlijn. Voor het rekenen tot honderd is als voorbereiding de 100-kralenketting (zie blz. 81) heel geschikt. Een wasknijper, bij wijze van ruitertje, tussen de 26e en 27e kraal geeft aan dat er 26 kralen voor zitten. Verschillende wasknijpers kunnen vervolgens in verband gebracht worden met streepjes op de lege getallenlijn, die in plaats van de kralenketting getekend wordt.

Zo krijgt zelfs het streepje bij de nul betekenis: daarvóór zitten er geen kralen meer. Deze streepjesbenadering -vergelijk de hectometerpaaltjes langs de snelweg- blijkt de meest zinvolle invulling van de getallenlijn te zijn. Het is simpel en biedt mogelijkheden voor het globaal schatten van de hoeveelheid waar het om gaat. Het zelf vullen van de getallenlijn is onderdeel van het leerproces. Dat moet geoefend worden, zoals dat ook gebeurde met concrete stappen op het plein of in de klas.
De opdracht: “Ga eens van 27 naar 45 in sprongen”, sluit aan bij het vragen naar de ‘actieve’, naar de handeling in: “Wat moet ik bij 27 optellen om 45 te krijgen?” Aan de getallenlijn kunnen de kinderen zo het optellen en aftrekken oefenen. Daarbij wordt de lijn een soort kladblaadje, waarop men even aantekent wat men niet wil vergeten. Vooral de zwakke rekenaar is bij zulke geheugensteuntjes gebaat. Veel meer, dan bij het steeds maar tellen op de vingers. Allengs zullen de sprongen groter worden en wordt er meer uit het hoofd gerekend.

De opgave in de klas luidt: “We maken een fietstocht van 47 km, maar na 25 km zijn we al aardig moe en we rusten even. Hoeveel kilometer moeten we nog?”
Nu kan de getallenlijn als een stuk weg getekend worden. Bij de rustplek komt een streepje met 25 te staan; ook het eindpunt wordt zo gemarkeerd. Dan kan er gekeken worden naar de sprongen die zijn gemaakt, om de overgebleven kilometers te berekenen.

82

83

Wat voor sprongen worden er gemaakt door de kinderen?
• Kees springt eerst met een sprong van vijf naar 30, dan met sprongen van tien naar 50 en vervolgens met een sprongetje van drie terug naar 47. Hij telt eerst de sprongen bij elkaar: 25; dan nog 3 eraf, dat is 22.
• Job doet meteen 2 sprongen van tien tot hij bij 45 is en dan nog twee erbij; hij weet direct: ”22.”
• Annemieke springt in één keer naar 45, en weet dan het antwoord al direct.
• Peter maakt eerst sprongetjes van één, maar dat duurt wel erg lang en het past ook niet op de getallenlijn. Daarom maakt hij bij 37 opeens een hoge sprong naar 47. Hoe nu het antwoord te vinden met al die kleine boogjes? Hoeveel waren het er ook weer? De methode van Job lijkt hem wel. Iets om te onthouden voor de volgende keer!

De rij(g)methode

Hierbij is aan het eerste getal, dat heel gelaten wordt, het andere getal in stukken toegevoegd. Deze methode sluit aan bij de natuurlijke wijze van doortellen. Door verkorting op basis van de structuur van de getallen, komen de kinderen op een hoger rekenniveau. In bovenstaande voorbeelden werd dat duidelijk. Deze methode vormt een goed tegenwicht tegen cijfermatige oplossingen, volgens de traditionele manier met splitsen in tientallen en eenheden.
Een voorbeeld van een fout die bij de splitsmethode vaak gemaakt wordt:

47 – 26 = … Eerst de tientallen: 4 – 2 = 2, dan de eenheden: 7 – 6 = 1. Dan is het antwoord 12 …? Oh nee, 21!
Dat lijkt heel simpel, maar nu hetzelfde met 43 – 27 = … Bij de tientallen lukt 4 – 2 nog, maar doe dat eens met 3 – 7? Dan maar de kleinste van de grootste: 7 – 3 = 4; antwoord: 24.

De getallenlijn is geen foefje, dat de kinderen zo maar eventjes aangeleerd wordt. De getallenlijn ondersteunt een rekenaanpak, die zorgvuldig moet worden aangelegd. Daarbij moet de getallenlijn systematisch van een structuur worden voorzien. Stappen daarin kunnen zijn:
• Tekenen van bewegingen die langs de getallenlijn zijn gemaakt bij het bewegingsonderwijs.
• Tekenen van kralenkettingen, met telkens bijvoorbeeld vijf (of tien) kralen in één kleur.

84

Ook bij aftreksommen is de lege getallenlijn goed bruikbaar, mits de voorbereidingen -net als bij het optellen- maar bewegend geoefend worden. Als je dat op het bord weergeeft -je kunt zelfs de getallenlijn suggestief laten hellen- kun je gaan bekijken hoeveel je teruggesprongen bent. Dat kan verwarrend zijn, omdat bij het aftrekken nu opgeteld moet worden. Maar als de aftrekking zijn oorsprong vindt in een opgave als: “Een boek heeft 47 bladzijden en ik ben gekomen tot bladzijde 23, hoeveel bladzijden kan ik nu nog lezen?”, dan is het bijtellen (doorbladeren in het boek) een vanzelfsprekende zaak.
Ook nu blijkt weer het nut van de lege getallenlijn als kladblaadje, waarop je steeds ziet wat je doet. De vraagstelling moet eerst zijn: “Wat moet je van 47 afhalen om 24 over te houden”, waarbij naar de ‘actieve’ gevraagd wordt. Daarna pas de vraag: “Wat houd ik over als ik van 47 (kralen) er 23 (kralen) afhaal?” Mogelijke sprongvariaties:

Kolommethode

Een mooie vorm is het kolom-rekenen . Dat is géén hoofdcijfermanier, maar een methode om eenheden en tientallen apart bij elkaar te tellen. Op papier ziet dat er zo uit:

85

Bij al deze situaties wordt duidelijk: hoofdrekenen is uit het hoofd uitrekenen van opgaven, maar ook de instelling ten opzichte van het rekenen waarbij steeds gezocht wordt naar manieren om met een rekenprobleem om te gaan. De kinderen een kunstje leren dat ook door een zakrekenmachine kan worden gedaan, is makkelijk genoeg. Het doorzien van structuren, het jezelf kunnen terugvinden in de opgave, is zinvolle vrijeschooldidactiek.
Kees Boeke (‘De werkplaats’ in Bilthoven) zei eens tegen een jonge onderwijzer die een rekenles gaf: “Meneer, u gaat aan de kant van de som staan, maar gaat u nu eens aan de kant van de kinderen staan, en kijk samen hoe u zo’n opgave zou aanpakken”. Veel voorbeelden in dit boek kunnen met die blik bekeken worden.

Raden en schatten

Als het rekenen dicht bij het kind moet komen, is het raden en schatten een wezenlijke activiteit.
“Ik heb een getal in gedachten, dat groter dan 40 en kleiner dan 100 is”. Om beurten mogen de kinderen een getal zeggen.
Al snel wordt duidelijk wie zicht heeft op de structuur van de getallenrij. Vooral in lagere klassen wil raden nog wel eens betekenen dat de kinderen maar iets roepen om de ander te overtroeven. Als de leraar daar serieus op in gaat, ontstaat er juist geen inzicht bij de kinderen. In plaats van raden, zou je bij dit spel dan ook beter kunnen spreken van ‘benaderen’.

Een goede visuele ondersteuning van het benaderen kan zijn, als de tijdens het spelletje genoemde getallen op een lege getallenlijn worden aangegeven. Voor een kind is het een prachtige oefening, de ruimte om het bedachte getal heen kleiner en kleiner te zien worden. Natuurlijk mogen de kinderen ook wel eens een getal in gedachten nemen en natuurlijk mag de leerkracht ook wel eens laten zien hoe slim hij kan benaderen.

Schattend rekenen in de praktijk kan goed van pas komen.
“Pauline, haal eens vijf broden. Hier heb je een tientje, een brood kost € 1,95 … eh … heb je dan genoeg?” Als je hebt leren schatten zeg je: “Van € 1,95 maak ik even € 2,—; dat is dan 5 x 2 (2 x 5 euro), dat is ongeveer een tientje … iets meer of iets minder … we hadden naar boven afgerond, dus het getal is iets te groot: ja, het kan!”
86

Zo werkend komen vaardigheden aan bod als: herformuleren, vertalen en compenseren, die nodig zijn voor het schatten en daarbij verder ontwikkeld worden.

Voor het schatten moet je vaak terug kunnen vallen op hoeveelheden die een makkelijke referentie bieden. Voor veel mensen is dat de opbouw van ons geldstelsel. 20  x 5 eurocent in een euro; 10 x 10 eurocent in een euro; 5 van 20 eurocent. Enz.  Bijvoorbeeld bij de opgave:

37 x € 0,05    = 20 x 5  + 20 x 5 = 1 euro + 1 euro = 2 euro – 3 x 5 = 15: € 1,85

Ook maten zijn belangrijke referentiegetallen: drie keer zo groot als de kamer, dat kost zes weken zakgeld, wel drie voetbalvelden groot, ongeveer zo ver als van het station naar school.

Niet te vlug gaan cijferen

Onder de honderd – en iets daarboven- hoeft er niet gecijferd te worden. Je moet dat ook niet doen. Het maakt de kinderen afhankelijk van het ‘kunstje’, en verlegt de aandacht naar de afzonderlijke cijfers in het getal, waardoor de getallen niet meer in hun werkelijke waarde worden beleefd.

Het gebruik van een blaadje, als geheugensteuntje, is een belangrijke ondersteuning om het hoofdrekenen onder de knie te krijgen.

Als een kind een eigen, handige manier heeft, en bijvoorbeeld de opgave 83 – 37 uitrekent door te doen: 83 – 40 + 3 = 46, hoeft die methode geen plaats te maken voor de klassenmanier. Maar voor de kinderen die te weinig houvast hebben, geeft de ‘veilige’ manier juist zekerheid.

Af en toe een paar snelle hoofdrekensommetjes

Het voorgaande gaat er vanuit dat de kinderen in alle situaties – onder de honderd – uit het hoofd rekenen. Dat is een uitgangspunt, dat ten grondslag ligt aan een bewuste rekendidaktiek, die veel meer inhoudt dan af en toe wat hoofdrekenopgaven aan de kinderen voorleggen. Anderszins vinden de kinderen het meestal spannend, als ze hun kennis nu ook eens mogen laten blijken. Af en toe een kort moment hoofdrekenen heeft daarom zijn waarde.

Elke ochtend beginnen met een aantal korte hoofdrekenopgaven is zeker goed, om de kinderen wakker aan het rekenen te laten beginnen. Het is niet voldoende om het ‘rekenen uit het hoofd’ te oefenen. Dat moet een onderdeel van de dagelijkse rekenpraktijk zijn. Soms blijkt ook dat zo’n vast hoofdrekenmoment, iedere dag in hetzelfde deel van de les terugkomend, op den duur toch tegenzin bij de kinderen oproept.

Elke leraar zal opgaven kunnen bedenken die bruikbaar zijn. Als zulke hoofdrekenopgaven gegeven worden, dan moeten de kinderen horen of ze de opgaven goed gemaakt hebben. Voor de hand ligt het, om de kinderen op een blaadje de antwoorden te laten opschrijven en daarna de goede antwoorden te geven. Een bezwaar is echter, dat -zelfs als de som nog eens herhaald wordt- de kinderen al veel te ver verwijderd zijn van het rekenmoment: de antwoorden blijven lege getallen.
Veel beter kan -vooral in de lagere kl