Tagarchief: klas 4 rekenen

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-2)

.

DE METER

Een‘dom’ verhaaltje     Het ontstaan en vergaan van de meter

Toen ik nog heel klein was, wist ik al goed, dat de zondag het feestelijk begin was van de nieuwe week. Er gebeurden bij ons thuis op zondag dan ook allerlei feestelijke dingen. Het feest begon doordat ik in de vroege morgen bij mijn vader in bed mocht kruipen, die mij dan ‘een dom verhaaltje’ ging vertellen.
Mijn vader, filosoof, was daar erg goed in. Hij heeft me er een paar honderd verteld.

Ik zal hier drie voorbeelden van zo’n domme geschiedenis aanstippen.

Daar had je bijvoorbeeld het verhaaltje van de juffrouw, die haar met bloemcretonnen overtrokken canapé dagelijks begoot, menende, dat de bloemen dat nodig hadden en dan ook verder zouden groeien.

Dan het verhaaltje van de zuinige dagboekschrijver, die het verleden een afgedane zaak vond. Die schreef in zijn witte dagboek met witte inkt. Hij kwam dan niet in de verleiding om het geschrevene toch nog eens te gaan lezen. Bovendien kon je, als de laatste bladzijde bereikt was, weer op de eerste beginnen. Je hoefde nooit een nieuw dagboek te kopen. Dat was erg voordelig.

Daar had je de timmerman, die als hij een plank op een bepaalde lengte afgezaagd had, steeds weer ontdekte dat hij zich in de maat had vergist. Wat deed deze timmerman op een goeie dag? Hij maakte een duimstok van elastiek. Als hij daarmee mat, bleek zijn zaagwerk steeds in orde te zijn. ‘Dat ik daar niet eerder aan gedacht heb! verzuchtte hij toen blij.

Ik weet dit timmermansverhaaltje nog zo goed, omdat vader mij eraan herinnerde in een tijd, dat er al lang geen domme verhaaltjes meer verteld werden. Dat was op mijn tiende verjaardag, toen ik van mijn moeder en hem een echte timmerkist kreeg.
Daar zat een echte duimstok in met koperen scharnieren. Inches waren af te lezen op de ene kant, centimeters op de andere.
Ik vroeg vader wat inches waren:
‘Een inch is een duim, een Engelse duim, de breedte van een duim en dat is ruim twee en een halve centimeter.’ ‘En is een centimeter dan de breedte van een pink? ’ vroeg ik. Toen schoot mijn vader in de lach: ‘Nee hoor. Maar je weet al wel, dat 100 cm. een meter is hè? ‘Ja’. ‘Herinner je je, dat ik je vroeger in bed domme verhaaltjes vertelde? ’ ‘En of.
Toen kwam het verhaaltje van de timmerman, die een duimstok van elastiek maakte nog eens op de proppen. Daarop zei hij: ‘Er bestaat nog een veel en veel dommer verhaaltje. Een heel dom verhaaltje, dat een echt gebeurde geschiedenis is: De geschiedenis van de meter’.
‘Waarom hebt u me dat dan nooit verteld? ’
‘In de eerste plaats zou het te lang geweest zijn om zondags in bed te vertellen. In de tweede plaats is het zo dom, dat je het zelfs nu je tien jaar bent geworden, nog niet zou kunnen begrijpen! Daarvoor moet je eerst op de grote school zijn! ’ Toen kwam het echt gebeurde domme verhaaltje in het vergeetboek terecht.

Mijn vader had al jaren het ondermaanse land verlaten, toen ik het zelf op het spoor kwam. Het lag verspreid in een paar boeken en brochures. Ook verspreid over meer dan anderhalve eeuw.
Het begon in 1791 en eindigde in 1960.

de laatste meter

In dat jaar had de elfde in Parijs gehouden ‘Algemene Conferentie der Maten en Gewichten’ de meter aldus gedefinieerd:

‘De meter is de lengte gelijk aan 1650763,73 golflengten in vacuo van de straling tussen de toestanden 2p.l0 en 5d.5 van het atoom krypton 86.’

Iets minder cryptisch kunnen we schrijven: Eén meter is 1650763,73 golflengten van de oranje-rode spectraallijn, die door in het luchtledige tot gloeiing gebracht kryptongas wordt geproduceerd.

Krypton is een schaars voorkomend edelgas, dat pas in 1898 ontdekt werd. De meter moet dus daarvoor heel iets anders geweest zijn. Dat klopt.

het inititatief tot de eerste meter

Een van de laatste regeringsdaden van Lodewijk XVI, die in 1791 plaats vond, was het verlenen van wetskracht aan de te nemen besluiten ener door de ‘Académie des Sciences’ benoemde commissie van vijf geleerden, ter bepaling van een algemeen bruikbare vaste maateenheid, die meter zou heten, en die een einde zou maken aan de bonte verscheidenheid der oude maten en gewichten.

De initiatiefnemer tot dit plan was de toenmalige president van het eerste parlement der revolutie, de jonge ex-bisschop van Autun: Charles Maurice de Talleyrand-Périgord (1754-1838). Hij had toen net zijn revolutionair élan getoond door de secularisatie van alle Franse kerkelijke goederen door te drijven.

Paus Pius VI (1775-1799) had hem daarvoor beloond met de banvloek en daarmee begon zijn lumineuze carrière. Men weet het: Deze grote diplomaat met een onvervalst kameleontalent overleefde alle Franse regimes zijner jaren in prominente politieke posities.

Waardoor? Doordat het zijn overtuiging was, dat je nooit met een vaste maat moest meten, maar met een zeer snel verstelbare, die precies paste op de eisen van het moment. Dat was de vader van de meter.

het beraad

Nog in het zelfde jaar 1791 ging de vijfkoppige commissie op zoek naar een echte objectieve maat, die niet aan menselijke afmetingen ontleend was, zoals de duim, de palm, de voet de el en de vadem. Die waren alle te subjectief. Eerst wilde men de lengte van Christiaan Huygens’ secondenslinger kiezen.

Maar al spoedig rees het idee, dat het tienmiljoenste deel van een kwart van de equator een veel betere conceptie was voor een mundiale maateenheid. Maar hoe moest je de evenaar meten en waarmee?
Om praktische en nationale redenen koos men niet voor de equator, maar wel voor de aarde-omtrek over de polen en wel speciaal voor een kwart van de meridiaan, die van noord naar zuid over de sterrenwacht van Parijs gedacht kon worden te lopen. Hoe groot was dat kwadrant? Uiteraard 90 graden. Die waren niet te meten, maar wel de 9-gradenmeridiaan, die zich uitstrekte van (nabij) Duinkerken, over Parijs tot nabij Barcelona. Als men die afstand nu eens middels driehoekmeting opmat en het gevonden getal door miljoen deelde, dan was de uitkomst gelijk aan het tienmiljoenste deel van het meridiaankwadrant en het veertigmiljoenste deel van de aardeomtrek: de meter!

Maar waarmee nu te meten, want de meter was er nog niet. Men koos daarvoor de toise, een populaire maat van die dagen, die gelijk was aan zes (Parijse) voet.

het werk

De eervolle opdracht om de afstand Duinkerken—Barcelona te meten viel te beurt aan twee Franse landmeters en sterrenkundigen: Méchain (1744 -1805) en Délambre (1749 – 1822).

Het bleek een moeizaam karwei te zijn De twee landmeters waren er ruim zes jaar mee bezig (van juni 1972 – oktober 1798). Voetje voor voetje. Met de meetkettingen en met de driehoekmetingsapparatuur.

Ze hadden het niet gemakkelijk. Boeren wier land zij betraden vonden hun geleidebrief verdacht reactionair. Die immers was gesigneerd door een koning, die in 1792 onttroond en in 1793 onthoofd was. (Toen zij hun witte meetvlaggetjes door tricolores hadden vervangen ging het wat beter.) Dan was er de ellende met de meetkettingen, die in warme streken een uitzetting kregen, die ze in koude streken niet vertoonden. En dan de narigheid, dat je al je maten – ze moesten over de Pyreneeën — nauwkeurig moest herleiden tot zeespiegelhoogte-maten.

Toen Méchain en Délambre in 1798 uitgemeten waren hadden ze 513074 toises afgeteld. En zo werd de meter dat getal gedeeld door miljoen en kwam dus te staan op 0,513074 toise!

glorieuze resultaten

Het Directoire en de volksvergadering sanctioneerden hun grootse arbeid, die als een glorieuze mijlpaal (als men dat van een meter zeggen kan) in de geschiedenis der mensheid beschouwd werd, in 1799.

De meter werd met twee ragfijne graveerstreepjes uitgezet op een lat van platina, waar wat irridium aantoegevoegd was, om de meter hard en temperatuurbestendig te maken. De staaf werd plechtig gestationeerd in het ‘chateau de St. Cloud’. De naam St.-Cloud, die Heilige Spijker betekent, kreeg ineens een magisch aureool.

De vierkante meter en de kubieke meter konden nu eveneens worden bepaald. Ook de liter, die aan een kubieke decimeter gelijk zou zijn. Het kilogram verscheen daarna, want dat werd het gewicht van een liter gedistilleerd water van vier graden Celsius in het luchtledige. Vóór de komst van de 19e eeuw was de hele zaak in orde.

Mede dankzij het tot stand komen van deze maateenheden, nam de precisie-behoefte van alle meters, tellers en wegers, de natuurwetenschappers en de technici in de 19e eeuw, ziender ogen toe. Het gevolg daarvan was, dat de meterlat in St.-Cloud niet meer vertrouwd werd. Hij was nog iets te buigzaam, vond men.

In 1872 werd hij vervangen door een steviger staaf, die een x-vorm doorsnede vertoonde. Dat werd de grootste hoeveelheid platina (en wat irridium) ooit gesmolten. De grootste klomp platina ter wereld. Betrouwbaarheid is nu eenmaal een kostbaar goed!
Een dure, maar hechte stabilisatie van de standaardmaat, gevestigd op het veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek.

een ramp

Maar wat geschiedde? Enige duivels-precieze rekenaars vermochten vast te stellen, dat Méchain en Délambre in hun telwerk een paar lelijke vergissingen gemaakt hadden: De aarde-omtrek was negen kilometer groter, dan zij hadden aangegeven.
Te Parijs werd een wereldconferentie van meters en wegers saamgeroepen.
Dat werd de ‘Conférance Diplomatique du Mètre’ van 1875, waarop achttien landen zich lieten vertegenwoordigen.

Dat was een bijzonder spijtige zaak. Men moest de blijkbaar gemaakte vergissingen officieel toegeven.
Maar van het opbouwen van een nieuwe meter, die dan wél het
veertigmiljoenste deel van de aarde-omtrek was, zag men om zeer begrijpelijke praktische redenen af. Men besloot genoegen te nemen met de van het
meridiaankwadrant losgeslagen meter, de afstand dus tussen de ingegraveerde lijntjes op de platinastaaf, die vastlag in St.-Gloud.

Wat was de meter dan toch maar wél, als hij geen deel meer had aan de omtrek van de aarde? Dat, waaruit hij afgeleid was, dat aantal toises, of dat nu goed of niet goed gemeten was, waar hij een deel van was. Die zes voet, van waaruit men aan het meten en rekenen gegaan was.
En zo stond men weer precies aan het punt van uitgang, dat de datum 1791 droeg.

Als je de oppervlakte van een kamer grofweg wilt opmeten, kun je die met flinke passen doorschrijden. Elke pas is dan ongeveer een meter. Die afstand had men ook tot een preciesiemaat kunnen verfijnen. (Exacter zelfs, want een deel van een meridiaan — een cirkel – wordt, hoe kort ook gemeten, nog geen rechte lijn). Maar dan was de wereld een dom verhaaltje armer geweest! Hij zou ook iets rijker geweest zijn, namelijk aan het inzicht dat meten en wegen niets objectiefs tot stand brengt. Dat het geen ‘objectieve’ zaak kan zijn, maar alleen een tot kwantitatieve aspecten gereduceerde verhouding van de mens tot zijn omgeving.

een nieuwe angst

Na twee wereldoorlogen bekroop de meters en wegers een nieuwe angst.
Dat de meter van St.-Cloud maar een willekeurige afmeting was werd ‘uitermate’ betreurd. Onherstelbare rampspoed zou het zijn, als bijvoorbeeld in een volgende oorlog de hele platinastaaf teloor ging.

Hij zou opgemeten moeten worden. Waarmee?

Er werd gelukkig een slimme oplossing gevonden. Met lichtgolflengten. Het uitwerken van deze gedachte besloeg vele conferenties. De Amerikanen stelden voor de golflengte van een bepaald groenstralend kwiklicht, maar de Russen hadden een sterke voorkeur voor een andere kleur: De rode spectraallijn van gloeiend Cadmiumgas. Daar was men in de U.S.A. sterk tegen gekant.

Uiteindelijk werd het, op de elfde Parijse meet- en weegkonferentie van 1960, ‘oranje boven’ met de mundiaal aanvaarde kryptonlijn uit het begin van dit domme verhaaltje.

De staaf van St.-Goud ging hiermee niet de wereld uit, maar men wist nu dat hij 1650763,73 kryptongolflengten lang was geweest als hij eens de wereld uitging.

Als onze Charles Maurice, Duc de Talleyrand, Prince de Périgord, dat allemaal eens geweten had! Van een verre voorganger van de paus die hem in de ban deed, Paus Paulus IV, (1555-1559) stamt de zegswijze ‘Mundus vult decipi, ergo decipiatur’: De wereld wil bedrogen worden; wel, hij worde bedrogen. Geen dom verhaaltje.

.

J.M.Bierens de Haan, Jonas 23-05-1975

.

ook over de meter: [8-1/3]

4e klas rekenen: metriek stelsel

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1451

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Advertenties

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – meten (8-1/4)

.

Eenhedenstelsels

Eenheden, die van de meter zijn afgeleid

In het vorige artikel hebben wij het een en ander verteld over het invoeren van de meter als eenheid van lengte en over de voordelen, die de meter heeft boven de andere eenheden van lengte. In een aantal landen is het S.I. reeds wettig voorgeschreven, in vele landen gaat dit binnenkort* gebeuren en de eenheid van lengte in het S.I. is de meter.

Met behulp van de meter kunnen vele lengten door overzichtelijke getallen worden voorgesteld. Voor zeer grote en zeer kleine lengten heeft men uitgaande van de meter grotere en kleinere lengtematen ingevoerd, die onderling een factor duizend verschillen. (Hier wordt onder een factor een getal verstaan, waarmee men vermenigvuldigt.)

De meter wordt verkort voorgesteld door de letter m; ook de erbij gebruikte factoren worden door letters voorgesteld. Bekend is de aanduiding kilo, die duizend of 10betekent. Een km is dus duizend meter; 4 km is 4000 m. Hier betekent 4 k dus 4 maal 1000 of vierduizend.

Op de kilometer volgt de megameter; de toevoeging mega wordt afgekort door de hoofdletter M. Dus 1 Mm = 1000 km = 1.000.000 m. M is de factor 1 miljoen: M = 106. De volgende stap geeft de gigameter Gm: 1 Gm = 1000 Mm. G is de factor 1 miljard of 109

Men gaat op die wijze nog verder. Aan het einde van deze artikelen zullen wij u een kort overzicht van het S.I. geven en daarbij die factoren te zamen vermelden. In sommige zakagenda’s kunt u ze trouwens ook vinden.

Als men kleine eenheden nodig heeft, gebruikt men de millimeter mm: 1 mm = 1/1000 m of 10-3 m. Nog kleiner is de micrometer μm: 1 μm = 1/1000 mm = 10-6 m.

Er zijn drie factoren, die met de letter m beginnen, namelijk mega, milli en micro. De bij het afkorten optredende moeilijkheden heeft men ondervangen door gebruik te maken van de hoofdletter M, de kleine letter m en de griekse letter p (spreek uit mu).

Voor nog kleinere lengtematen verwijzen wij u naar het slot van de reeks artikelen en naar de zakboekjes. Dankzij deze wijze van werken heeft men bruikbare lengte-eenheden gekregen enerzijds voor de afmetingen van het heelal, anderzijds voor de atomen en hun bestanddelen.

De grootste voorgestelde lengte-eenheid is 1018 m. Op het eerste gezicht lijkt dit niet extreem veel. Toch is dit het geval. Het licht legt per seconde ongeveer 300.000 km af, dus 3 . 105  km = 3. 10m. In een jaar legt het licht een afstand af van 365.24.3600.3 . 10meter. Dit is iets minder dan 1016 meter. De grootste lengte-eenheid is ongeveer zo lang als de weg, die het licht in 100 jaar aflegt. In de astronomie is een „lichtjaar” een bruikbare lengtemaat. U ziet hieruit, dat aan de bovenkant van de schaal de zaak in orde is.

Op weg naar steeds kleinere eenheden is men gekomen tot 10-18 meter. Deze lengte is ongeveer een honderdduizendste deel van de middellijn van een waterstofatoom, het kleinste atoom, dat er is. Ook daar is men ver genoeg gegaan.

Uit praktische overwegingen blijven de centimeter cm en de decimeter dm in gebruik, daar zij in het dagelijks leven goede diensten bewijzen. In het vorige artikel is dit reeds verteld.

Tot nu toe hebben wij ons met lengten beziggehouden en met eenheden van lengte. Met lengten hangen oppervlakken en inhouden samen: voor oppervlakken en inhouden heeft men derhalve eenheden gekozen, die van de meter zijn afgeleid.

Wij beschouwen het oppervlak van een vierkant, waarvan de zijden 1 meter lang zijn. De oppervlakte van dit vierkant is per definitie de vierkante meter: 1 m2.

Van een vierkant met zijden van 2 meter berekent men het oppervlak door de zijden in twee gelijke delen te verdelen en de overstaande middens door rechte lijnen te verbinden. Hierdoor ontstaan er vier vierkanten van 1 m2. Het oppervlak van een vierkant met zijden van 2 m is 4 m2.

Algemeen geldt: het oppervlak van een vierkant uitgedrukt in vierkante meter vindt men door de lengte van een zijde uitgedrukt in meter te kwadrateren. Een dergelijke eenvoudige regel geldt alleen bij gebruik van overeenkomstige maten. Het oppervlak van een vierkant met een zijde van 2 cm is 4 cm2. Bij de mm hoort de mm2, bij de km de km2.
Hieraan denkend kan men gemakkelijk verschillende eenheden in elkaar omrekenen. Bijvoorbeeld: 1 km2 = (1000 m)2 = 1.000.000 m2; van km wordt ook de k gekwadrateerd. Verder is 1 mm2 = (0,001 m)2 = 0,000.001 m2; hier wordt ook de eerste m gekwadrateerd.

De volgende stap is het berekenen van oppervlakken van rechthoeken. De hoeken van een rechthoek zijn recht en de overstaande zijden zijn even lang, terwijl aangrenzende zijden in lengte verschillen. Lengte is een algemeen begrip. Bij een rechthoek onderscheidt men lengte en breedte; de breedte is echter ook een lengte en wel die van de kleinste zijde. Zonder nader bewijs vertellen wij, dat het oppervlak van een rechthoek in m2 gevonden wordt door lengte en breedte, beide uitgedrukt in m, met elkaar te vermenigvuldigen.

Bij inhouden gaat men op een soortgelijke manier te werk. De inhoud van een kubus met ribben van 1 m is per definitie de kubieke meter of 1 m3. De inhoud van een kubus met ribben van 2 m is 8 m3. De inhoud van een rechthoekig blok met zijden van 2 m, 3 m en 4 m is gelijk aan 2.3.4 = 24 m3.

De inhoud van een blok in m3 is gelijk aan het produkt van lengte, breedte en hoogte, mits men deze drie lengten in m uitdrukt.

Van het omrekenen naar kleinere of grotere eenheden volgen twee voorbeelden: 1 m3 = (1000 mm)3 = 109 mm3;
1 km3 = (103 m)3= 109 m3.

Voor het dagelijks leven zijn de kubieke decimeter dm3 en de kubieke centimeter cm3 zeer nuttige eenheden, evenals de vierkante decimeter dm2 en de vierkante centimeter cm2.
Daarbij is 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 en 1 m3 = 1000 dm3 = 1.000.000 cm3.

Algemeen in gebruik als inhoudsmaat is de liter I. Vroeger werd de liter gedefiniëerd als het volume bij 4 °C van een hoeveelheid water met een massa van 1 kilogram. Volgens waarnemingen is dit volume 1.000.028 dm3.

Bij het gewone rekenen wordt het volume van 1 cm3 gelijkgesteld aan dat van 20 druppels. Het volume van een druppel is dan 0,05 cm3 of 0,000.05 dm3. Het verschil tussen de liter en de dm3 zou dus gelijk zijn aan een halve druppel. Voor de praktijk van het dagelijks leven is dit verschil totaal onbelangrijk. Denkt u maar aan de melkfles van 1 I. Het is de vraag of men een dergelijke fles met de nauwkeurigheid van één druppel met melk vult. U mag tevreden zijn, als het melkvolume niet meer dan 1 cm3 van een liter verschilt. In verband daarmee heeft men de vermelde definitie van de liter laten vallen en de liter precies gelijkgesteld met 1 dm3. Het maatsysteem is daarmee vereenvoudigd.

Voor nauwkeurig werk, bijvoorbeeld bij analyses in het laboratorium, kan men nu de liter en de milliliter ml weer gebruiken. Bij het spreken, schrijven en drukken is de ml iets eenvoudiger dan de cm3.

U moet eens letten op het volgende eenvoudige verband bij gebruik van de goede eenheden.
Een oplossing, die bijvoorbeeld 1 gram keukenzout per liter bevat is even geconcentreerd als een oplossing van 1 kg zout per m3 en een oplossing van 1 mg zout per ml. Dus 1 kg/m3 komt overeen met 1 g/l en met 1 mg/ml.

Wanneer wij hier voor m3 schrijven kiloliter kl, ziet u met één oogopslag de regel, die hier achter zit: teller en noemer mogen beide met een factor 1000 worden vermenigvuldigd of door een factor duizend worden gedeeld.

De kg/m3 is een voorbeeld van een combinatie van eenheden. Een ander voorbeeld is de snelheid, die men vindt door de lengte van een afgelegde weg te delen door de daarvoor benodigde tijd. Bij verplaatsingen met particulier of openbaar vervoer is hiervoor de kilometer per uur ingeburgerd. Deze eenheid behoort niet tot het S.I.; immers de eenheid van tijd is de seconde s. (Volgens de normalisatievoorschriften wordt seconde niet meer afgekort tot sec, maar tot s.) Van de seconde zijn afgeleid de milliseconde ms, de kiloseconde ks enzovoorts. Op deze wijze komen wij niet tot kwartieren, uren of dagen.

Het omrekenen is eenvoudig, als wij bedenken, dat een snelheid van 1 m/s overeenkomt met een snelheid van 3600 m/uur (m/h). Immers een uur bevat 3600 seconden. Dus ook 1 m/s = 3,6 km/h (de h is de afkorting van het latijnse woord voor uur hora). Hieruit vinden wij 5 m/s = 18 km/h en 10 m/s = 36 km/h. Met deze kennis komt u een heel eind. Een auto met een snelheid van 72 km/h legt per seconde 20 m af en zijn snelheid is 20 m/s. Een snelheid van 90 km/h komt overeen met 25 m/s, een snelheid van 108 km/h met 30 m/s. Een vliegtuig met een snelheid van 900 km/h heeft een snelheid van 250 m/s; in een tijd van 4 seconde legt dit vliegtuig bijgevolg een weg van 1 km af.

Wanneer wij de tijd uitdrukken in uren, is het gemakkelijk om te werken met km/h. Wanneer wij echter een begrip van de snelheid willen krijgen, zijn de waarden in m/s meer geschikt. Een hardloper, die 10 s nodig heeft voor de 100 m heeft een snelheid van 10 m/s.
Aan het laatste voorbeeld kunt u zien, dat wij de aanduidingen in km/h best kunnen missen. Voorwaarde is, dat wij van jongsaf aan met de m/s vertrouwd moeten raken.

.

Drs. E.J. Harmsen, Vacature, naderr gegevens onbekend
*waarschijnlijk jaren’70-’80

.

alle artikelen van bovenstaande serie: rekenen rekenen: alle artikelen onder nr. onder nr.8

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1432

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – meten (8-1/3)

.

Eenhedenstelsels

De meter als standaard van lengte

In de vorige artikelen* hebben wij laten zien, dat er in de loop der tijden allerlei soorten lengtematen zijn ingevoerd, die ieder in een bepaald gebied worden gebruikt, Een maat voor de gehele wereld was er niet bij. Daar er lang geleden alleen geproduceerd werd voor de behoefte van een bepaalde streek, was er geen behoefte aan een overal geldige lengtemaat.

Met de uitbreiding van handel en nijverheid over steeds grotere gebieden is dit veranderd. Na de kruistochten is de handel over de Middellandse Zee opgebloeid; na de ontdekking van onder andere Amerika, de Indonesische archipel en Australië, om enkele gebieden te noemen, is de gehele aardbol in het ruilverkeer van goederen betrokken. Toen bovendien de industrie zich op een aantal plaatsen sterk ging uitbreiden, was het invoeren van maten en gewichten voor algemeen gebruik een eerste vereiste geworden. Hoewel op vele plaatsen de noodzaak hiervan werd gevoeld, had men landelijk te maken met de sterk ingewortelde oude gebruiken. Nadat in Frankrijk de Revolutie van 1789 had gezegevierd, kon men beginnen met schoon schip te maken. Er werd zoveel vernieuwd, dat men zich niet liet weerhouden om tijdens de tweede vergadering van de nieuwe Nationale Conventie reeds een commissie te vormen, belast met het invoeren van nieuwe eenheden voor lengte en massa. De commissie heeft in een korte tijd heel veel werk verricht.

Als een geschikte maat voor de lengte-eenheid is een tienmiljoenste deel van een aardkwadrant gekozen. Wanneer men de omtrek van de aarde langs de equator in vier gelijke stukken verdeelt, krijgt men een aardkwadrant. Een tienmiljoenste deel ervan is wat langer dan een yard en bijgevolg een voor de praktijk geschikte maat.

De verdeling van een aardkwadrant is uitgevoerd door middel van een nieuwe triangulatie (driehoeksmeting) over Frankrijk en de direct aangrenzende gebieden. Twee legertjes van landmeters zijn aan het meten geslagen, in het Noorden de ene groep, in het Zuiden de andere. Na enige jaren was men klaar met het meten en ook met het rekenen. De lengte, die als resultaat van dit alles gevonden werd, is vastgelegd door twee krasjes te zetten op een platina staaf bij een temperatuur van smeltend ijs, dus bij 0°C. Volgens een in 1801 aangenomen wet is deze afstand de „meter”. De gemaakte krasjes zijn zo dun, dat men ze met het blote oog niet kan zien; men moet met behulp van kijkers deze standaardmeter gebruiken. De nauwkeurigheid, waarmee deze meter is gemaakt, is veel groter dan die van oudere maten. En dat was ook de bedoeling.

Later heeft men dit werk overgedaan en de krasjes aangebracht op een staaf van een legering van platina en iridium. Dit materiaal is beter bestand tegen her-kristallisatie, waardoor de meter beter constant blijft. Metalen bestaan uit kleine kristalletjes, waarvan een deel kan aangroeien ten koste van andere; bij deze herkristallisatie verandert de vorm min of meer. Ook heeft die nieuwe meter een eigenaardige doorsnede om het doorbuigen bij ligging op steunpunten zo klein mogelijk te maken.

Van deze standaardmeter heeft men vele kopieën vervaardigd en over de gehele wereld verdeeld. In Nederland is een kopie in Delft aanwezig. Bij het maken van deze kopieën liggen de standaardmeter en de te maken kopie in de kelder van een laboratorium te Sèvres bij Parijs en van een hogere verdieping wordt ernaar gekeken met kijkers via gaten in de vloer. Want wanneer een persoon de staven in de kelder nadert, veranderen zij merkbaar van lengte door de uitgestraalde lichaamswarmte. Dit alles is wel een bewijs van de grote nauwkeurigheid, waarmee men te werk gaat. Later heeft men gemerkt, dat voor sommig precisiewerk de standaardmeter het laat afweten. Men heeft de lengte-eenheid honderdmaal zo nauwkeurig weten te maken door deze uit te drukken in een aantal golflengten van een zeer constante spectraallijn. De meter is hierdoor vastgelegd met een nauwkeurigheid van 1 op 1 miljard.

Met behulp van de gemaakte kopieën heeft men allerlei schaalverdelingen gemaakt, bijvoorbeeld die van linialen en duimstokken, maar ook die op allerlei werktuigmachines te vinden zijn. Niets staat een algemeen gebruik van deze lengte-eenheid in de weg.

Later is gebleken, dat de lengte van een aardkwadrant niet precies tien miljoen meter is. De lengte van de meter heeft men daardoor niet veranderd. Terecht, want in de toekomst kunnen nog meer verfijnde metingen worden uitgevoerd. De hoofdzaak is, dat men een constante, zeer scherp gedefinieerde en goed reproduceerbare lengtemaat heeft.

Nu zou men kunnen zeggen, dat de methode om de meter te vinden, wel erg omslachtig is geweest. Had men niet regelrecht de fijne krasjes ergens op de staaf kunnen plaatsen op een geschikte afstand? Inderdaad, dat was mogelijk geweest. Maar daarna zou men toch de driehoeksmeting moeten uitvoeren om alle afstanden op aarde op een nauwkeurige wijze in meter en kilometer uit te drukken.

Het metersysteem is het eerst in Frankrijk ingevoerd en later met de veroveringen van Napoleon over een groot deel van Europa verspreid. De latere val van deze veldheer heeft het inmiddels ingeburgerde systeem onberoerd gelaten.

Engeland heeft zich met succes geweerd tegen de aanvallen van Napoleon en zijn scharen. Helaas is de meter daarvan het slachtoffer geworden. In Engeland was er een „standaard yard”, een maat die in 1834 verloren ging bij een brand in het „House of Parliament”. Daarna was dat land 22 jaar verstoken van een wettige eenheid van lengte. Een goede gelegenheid om zich toen aan te sluiten aan het in de rest van Europa geldende metersysteem heeft men voorbij laten gaan. In de jaren 1844 en 1845 zijn vijf nieuwe standaardyards gemaakt. Het meest betrouwbare exemplaar ervan is in 1856 als wettige lengte-eenheid ingevoerd; in 1878 is deze maat bij de wet „Imperial Standard Yard” genoemd.

Men heeft kunnen vaststellen, dat die nieuw gemaakte yards in de loop der jaren wat gekrompen zijn; in de eerste jaren was de krimp het grootst, daarna is in de loop der tientallen jaren de krimp vrijwel verdwenen. Een gevolg van deze krimp is, dat de eenheid van oppervlak, de vierkante yard, ook kleiner geworden is en dat men voor het maken van het een of ander ding meer nodig heeft. In de textielindustrie moet men meer inslaan, in de auto-industrie moet men meer plaatstaal kopen uitgedrukt in vierkante yard. Hiermee is gepaard gegaan een prijsstijging van 0,0006 %. Dit bedrag is te klein om de inflatie, die er in Engeland heeft plaats gehad, te verklaren.

Met grote nauwkeurigheid is de verhouding van de yard en de meter vastgesteld, maar de meter is beter vastgelegd dan de yard. In alle opzichten is het te betreuren, dat het Engelse systeem nog in gebruik is. Want nu moeten alle machine-onderdelen, alle bouten, alle schroeven en gaat u maar door, in twee systemen worden gemaakt, vervoerd en opgeslagen.

Hoewel er al een geweldige rationalisatie heeft plaats gehad, waarbij veel overbodige typen zijn uitgebannen, heeft men de laatste stap daartoe nog steeds niet gedaan. Wel zijn er al lang plannen in die richting. Men heeft de kostenberekeningen gemaakt voor de vervanging van het Engelse systeem. Die kosten zijn zeer, zeer hoog. Maar op de duur worden deze meer dan goed gemaakt door de besparing op onderdelen, opslag, voorraad enzovoorts.

De meter is een handzame maat voor het geven van lengte, breedte en hoogte van gebouwen. Ook voor kleine afstanden is de meter uitermate geschikt. Echter voor grote afstanden neemt men een maat, die van de meter is afgeleid. Bij dat afleiden gebruikt men factoren duizend bij voorkeur. Een grotere maat is dus de kilometer km: 1 km – 1000 m. Een kleinere maat is de millimeter mm: mm = 0,001 m. Nog grotere en nog kleinere eenheden komen later aan de beurt. In het dagelijks leven speelt de centimeter cm een grote rol: 1 cm = 0,01 m. Ook de decimeter dm is toegestaan: 1 dm = 0,1 m..

Drs. E. J. Harmsen in Vacature, nadere gegevens onbekend

.

*rekenen: alle artikelen onder nr.8

.

4e klas rekenenalle artikelen

rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

1431

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – eenhedenstelsels (8-1/2)

.
METEN IN KLAS 4

Meestal wordt er in de 4e klas begonnen met het metriek stelsel. 
Het ligt voor de hand om dan met meten en wel met de liniaal te beginnen: klein en overzichtelijk.
Maar het goede principe ‘van het geheel naar de delen’ kan ook hier worden toegepast – we kunnen ook zeggen van groot (groter) naar klein (kleiner).
En het goede principe ‘uitgaan van de mens’ kan ook hier gehanteerd worden.

In onderstaand artikel gaat het om meten met de menselijke maat.

In het artikel 4e klas – metriek stelsel vind je een paar aanwijzingen voor in of met de klas. 
Daar staan ook verwijzingen in naar het menselijke lichaam.
Onderstaande en daarbij behorende artikelen zijn voor de leerkracht om ‘boven de stof te kunnen staan’.

Het menselijk lichaam als bron van lengte-eenheden

Een kinderboek uit het begin van de 20e eeuw begint met de wandeling van twee naast elkaar wonende nieuwbakken vaders naar het stadhuis om de
borelingetjes aan te geven. Stap – stap – stap loopt de ene met grote passen, stap.stap.stap dribbelt de andere met kleine pasjes. Desondanks bereiken beiden de plaats van bestemming; de kinderen en dus ook het boek worden met de namen Klaas en Kee begiftigd, echt ouderwets.

Ondanks de ongelijkheid van de stappen is de ‘stap‘ of ‘pas‘ een zeer oude lengtemaat.
Van land tot land en van streek tot streek heeft men voor deze maat een gemiddelde lengte van de pas vastgesteld. Daar de verschillende volkeren nogal in lengte verschillen, zijn er bij die verschillende ‘passen’ duidelijke verschillen. Aanvankelijk was dat geen groot bezwaar; men had nog geen industrie, waarbij alle volkeren samenwerkten voor het maken van schepen, vliegtuigen en wat dies meer zij.

Wil men een lengte opgeven, waarvan men zich een goede voorstelling kan maken, dan moet het gebruikte getal niet te groot of te klein zijn. Getallen boven de twintig zeggen weinig, getallen boven de honderd vrijwel niets. Op een heldere nacht kan men op het noordelijk halfrond omstreeks 3000 sterren aan de hemel zien staan en men heeft de indruk, dat dit aantal ontelbaar is. Het is dus zinloos om met duizendtallen te werken. Vandaar dat men bij grote afstanden vroeger een nieuwe maat heeft aangenomen, die duizend maal zo groot is.

Die grote eenheid is de mijl. In het Engels is het de „mille”. Deze woorden zijn afgeleid van het latijnse woord voor duizend, milia, ook millia geschreven. Een mijl is duizend stappen. Een Romeinse mijl is 1472 meter, een Engelse mijl 1609 meter. Uit deze waarden blijkt duidelijk de ongelijkheid van de stap. Maar er is nog iets merkwaardigs: men nam vroeger heus geen stappen van 1,5 tot 1,6 meter! De vastgestelde stap was een „dubbele” stap of wel „links -rechts”.

Het is met de stappen net zo iets als met de slingeringen van een slinger. Bij een volledige slingering, gaat de slinger, bijvoorbeeld van een klok, beginnende in een uiterste stand naar de andere uiterste stand en weer terug. In strijd hiermee is de afspraak van wat een secondeslinger is: de lengte van een slinger, die er een seconde over doet om van de ene uiterste stand naar de andere te gaan. De slingertijd van de secondeslinger is dus twee seconden.

Bij al deze dingen moet men er goed op letten, hoe men de maten heeft vastgesteld. Oorspronkelijk was men genoodzaakt ‘op zijn eigen houtje’ te werken. In latere tijden is hier veel verwarring door ontstaan, maar dat kan men degenen, die verantwoordelijk voor al die maten zijn, niet kwalijk nemen.

Voor wij verder gaan, eerst een woord over de in Frankrijk gebruikte mijl. In het oud-Frans werd de „mille” gebruikt met de lengte van de Engelse mijl. Later is dit woord in onbruik geraakt.
Van de oude Galliërs is een wat grotere lengtemaat afkomstig, de „lieue”; de lengte hiervan varieert van streek tot streek. Het woord lieue is Keltisch, het betekent „uur gaans“. Geen wonder de verschillen: in bergachtig terrein loopt men minder snel dan in vlak terrein, op mulle grond minder snel dan op vaste grond. De lengte van een lieue wordt vaak als 4,5 kilometer gegeven. Ter verbetering neemt men een afstand van 4 kilometer „lieue kilomètrique”; deze eenheid wordt gelukkig weinig gebruikt.

Zowel de lengte van de stap als de afstand van een uur gaans hebben met het menselijk lichaam te maken.
Er zijn ook maten, die regelrecht van dat lichaam zijn afgeleid, bijvoorbeeld de ‘el’.
Tot 1940 was de el in gebruik op markten en in winkels waar „stoffen” werden verkocht voor het maken van kleren. De el is de lengte van de arm aan de buitenkant gemeten van de schouder via de elleboog tot de hand. Individueel is ook hier verschil. Men heeft later na het tot stand komen van het metersysteem de el gelijk gesteld aan 68,8 cm; bij de handel werd een stok gebruikt, waarop deze lengte was aangegeven. Vroeger werd de kledij voornamelijk thuis vervaardigd. De nodige maten waren in ellen bij de vrouwen bekend en in deze maten werd de kennis overgedragen. Voor het maken van een hemd had men 6 ellen stof nodig. Daar men in het dagelijks leven geen grote nauwkeurigheid verlangt kan men die 6 ellen vervangen door 4 meter, een waarde die ook gemakkelijk kan worden onthouden. Maar het zijn deze ingeburgerde zaken, die de mensen vast doen houden aan de oude maten, zolang zij hun streek of land niet verlaten.

Een zeer oude lengtemaat is vastgesteld door de lengte van de ellepijp, het bot in de voorarm van elleboog tot pols. In ons land is dit de voorarmslengte, in het Engels de „cubit”, in het latijn en in het Frans „cubitus”, wat bij ons ellepijp betekent. Men meet van de elleboog tot het puntje van de middenvinger.

In het oude Egypte was deze lengte gestandaardiseerd met een nauwkeurigheid van 1 : 200 of 0,5 %. Voor het bouwen van piramides kwamen de benodigde stenen en andere materialen van verschillende gebieden en was een redelijke nauwkeurigheid een vereiste. Op de weg van Memphis naar Faium was een grotere eenheid afgezet met een lengte van 12000 van deze lengten.

In Mesopotamië, het land van Tigris en Euphraat, kende men vrijwel dezelfde lengtematen met een overeenkomstige nauwkeurigheid. Deze lengte is ongeveer 0,46 meter; de grote eenheid is dus omstreeks 5,5 kilometer. Men heeft voor deze afstand een uur tijd nodig; de grote eenheid is dus een uur gaans.

Andere lichaamsdelen, die model hebben gestaan voor lengte-eenheden. zijn de duim, de voet en de vadem.
Met de duim wordt de breedte van onze duim bedoeld; bij de houtbewerking is deze maat levend gebleven. Terwijl er vroeger verschillende ‘duimen’ waren, is nu de duim de vertaling voor de Engelse inch.

De voet is de voetlengte, ongeveer 30 centimeter. In ons land waren er Amsterdamse voeten en Rijnlandse voeten. De Amsterdamse voet was 28,3 cm en zes van die voeten werden gelijkgesteld met de vadem van 1,698 meter.
De vadem is van oorsprong de spanwijdte van de uitgestrekte armen en deze lengte wijkt weinig af van de lichaamslengte. Ook hier zijn de aangenomen waarden gemiddelden.

Interessant is een beschouwing van de engelse maten. De Engelse voet is de ‘foot‘, lang 30,48 cm. Het twaalfde deel ervan is de ‘inch‘, die dus 2,54 cm lang is.
Het woord inch is afkomstig van het Latijnse woord uncia, twaalfde deel, waarvan ook ons woord ‘ons’ is afgeleid en waarvoor in het eerste artikel* van deze serie al uitvoerig is gesproken. Een grotere eenheid is de ‘yard’, die een lengte heeft van 3 voet en 91,44 cm lang is.

De yard is niet van het menselijk lichaam afgeleid, wat uit het onderzoek van dit woord blijkt.
In het oud-Engels is het ‘gyrd’ (stok), in het Nederlands ‘gard’ (twijg), in het latijn ‘hasta’ (speer) volgens de Concise Oxford Dictionary. De lengte van een yard is uitermate praktisch voor een land, dat de ‘el’ niet kent.
Lengten, die uitgedrukt in voeten een onhandig groot getal behoeven, kan men beter in yards geven. Ook de dubbele lengte, de ‘fathom’ van 1,829 meter is daarvoor geschikt. Dit woord is verwant met een werkwoordstam van het oude Grieks, dat spreiden betekent; het is dus hetzelfde woord als ons vadem.

De spreiding of spanwijdte komt ook te voorschijn in de oud-franse maat, de „toise” (Latijn tensa, spanning). Een toise is vrijwel 2 meter; hierdoor heeft men de oude „lieue” verdeeld in 2000 toise.

De oude maten zijn niet alleen onpraktisch, zij zijn ook niet goed gedefiniëerd. De toise bijvoorbeeld was de afstand tussen twee uitstekende stenen van een groot gebouw. De stenen slijten; het gebouw vervalt of wordt gerestaureerd. Dat wij van die maten een goede voorstelling hebben, komt doordat zij vertaald zijn in het nieuwe metersysteem. Daardoor hebben zij hun zelfstandigheid verloren, men kan zelfs zeggen, dat zij daardoor zijn opgehouden te bestaan.
.

Drs. E. J. Harmsen, Vacature, nadere gegevens onbekend

alle artikelen van bovenstaande serie: rekenen rekenen: alle artikelen onder nr. onder nr.8

4e klas rekenen: metriek stelsel

4e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

1430

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 4e klas -rekenen – breuken

Tobi en de meesterbakker

Een kennismaking met de breuken

Ik* zou graag een rekenverhaal vertellen; het kwam tot stand in de loop van 3 klassenrondes** en is een beeldende kennismaking met  de breuken in klas 4.
Voor de 4 klas plande ik 3 rekenperioden***. In de eerste werden de schriftelijke rekenprocessen die we in de 3e klas hadden geleerd nog eens geoefend en  geautomatiseerd. Aan het eind van deze periode is er een korte kennismaking met de schrijfwijze van de breuken. Met veel plezier hebben de kinderen mijn zelfgebakken, platte meetkundige figuren uit brooddeeg gesneden en opgegeten, waarbij de maag (stofwisseling!) kon ‘meedenken’ en kon leren dat de schrijfwijze 1 = 1/3  + 1/3  +  1/3   of  1 = 1/6  +  1/6  + 1/6   +  1/6 +  1/6 +   1/6  zinvol is.
Van de gebakken cirkels, driehoeken, rechthoeken, vierkanten werden in het schrift tekeningen gemaakt en de bovengenoemde vergelijkingen onder het desbetreffende ‘snijpatroon’ geschreven.
Belangrijk is in dit verband dat de leerlingen door het waarnemen een gevoel krijgen dat een 1/6 deel kleiner is dan 1/3  terwijl in het getalbegrip tot nog toe 6 groter is dan 3. De maag kent, zonder ooit met breuken te hebben leren rekenen, deze verhoudingen in grootte wel.

De meesterbakker
Aan het begin van de tweede periode volgt dan het verhaal:
In een stad woonden merkwaardige meesterbakkers die ieder voor zich  maar 1 taartensnijder wilden kopen (verschillende taartensnijders, voor 10, 12 of 16 stukken die de bakker voorzichtig in de taartbedekking drukt om daarna precies even grote stukken te kunnen snijden, hingen in de klas).
Opdat de kinderen meteen zouden weten welke stukken je bij de ene bakker kon kopen, schreven ze groot op hun etalageruit hoe ze heetten – hoe ze zich noemen – dat leidt later tot de naam NOEMER: Vierdebakker; Vijfdebakker; Achtstebakker enz. Wie dus voor 12 personen een taart wil bestellen of stukken van die grootte wil hebben, kan alleen bij Twaalfdebakker terecht. En door de associatie noemer = naam begrijpen de leerlingen meteen dat   3/5 +  3/5  niet 6/10 maar  6/5  moet zijn, 6 stukken van Vijfdebakker.
In het verhaal komt ook een slimme leerjongen voor die de bestelde lekkernijen te voet bij de klanten moet brengen in een grote mand die hij op zijn rug draagt. In mijn laatste rondje** heette deze jongen Tobi.
Tobi brengt, hij werkt nu bij Vierdebakker, de bestelde etenswaar weg. Bij grote feesten blijft hij tot het einde om daarna de overgebleven stukken weer op te halen. De meesterbakker is streng en wil de overgebleven stukken aan de varkens voeren. Maar de leerjongens hebben met de bazin afgesproken dat ze de goede kwartstukken aan de achterdeur goedkoper mogen verkopen en het geld zelf houden. De oude crèmelaag werd eraf gehaald en vervangen door een nieuwe en de versneden bodem kon je alleen zien als je de taart omhoog hield. Wanneer Tobi dus bijvoorbeeld 17 stukken mee terugneemt naar Vierdebakker en ze in de bakkerij legt, maken de bakkersknechten daar tot aan de morgen vier hele taarten uit; 1 stuk blijft over. 17/4 = 4 1/4
Op dit ogenblik in de periode heet 17/4  het Tobigetal ,
1/4 is het knechtengetal.
Later in het werkschrift, wanneer we talloze oefenvoorbeelden nog eens nader bekijken, worden het begrip ‘stambreuk’ gebruikt, wanneer de teller 1 is 1/7,
en ‘echte breuk’, wanneer de teller kleiner is dan de noemer 3/7, ‘onechte’breuk , wanneer de teller groter is dan de noemer (Tobigetallen, 9/7 en ‘gemengde’ breuk, wanneer hele en breukengetallen gemengd zijn (knechtengetallen 1/4).
Nu kun je veel manieren bedenken hoe je met andere noemers dezelfde rekenhandeling kunt oefenen, bv. dat
Tobi aan een ander bakkerskind het trucje uitlegt die vervolgens uit de hele stad ‘tweedehands’ taarten ophaalt of Tobi wordt door de knechten van een andere bakkerij uitgenodigd enz.

Op deze plaats moet wel gezegd worden, dat de uitgebreide schildering van dit verhaal alleen de eigen fantasie mag stimuleren en niet tot nadoen mag leiden. (In een uitwisseling met collega’s hebben we bv. aan activiteit in de containerhaven aan de Oostzee of aan de kaasmakerijen in Nederland gedacht.)

Het zijn de verrassende gebeurtenissen en de spannende voorvallen van een dergelijk verhaal die de fantasiekracht van de kinderen stimuleren.
De rekenkundige inhoud treedt wat meer op de achtergrond bij het plezier en de angst om Tobi, de spanning en de ontspanning.
Citaat uit het meer dan honderd jaar geleden verschenen boekje van Rudolf Steiner: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie:[1] ‘Wat het verstand over iets te zeggen heeft, behoort pas gezegd te worden, nadat alle andere zielenkrachten gesproken hebben. Voor die tijd mag het verstand alleen een bemiddelende rol spelen. ‘

Maar bij al dat fantasieplezier mag de inhoud van het vertellen in het begin, maar ook later niet, in tegenspraak zijn met de wiskundige wetten.

Opdrachten voor thuis worden graag gemaakt, wanneer Tobi, met wie de leerlingen zich op hun niveau met zijn slimheid identificeren, voor een op te lossen probleem geplaatst wordt.
Wanneer de leerlingen door deze oefeningen vertrouwd zijn geraakt met hoe je breuken schrijft en de onechte breuken in gemengde en omgekeerd, kunnen omrekenen, kan naar de volgende rekenhandeling worden overgestapt: vereenvoudigen en gelijknamig maken.

Deegschraper en zakmes
Tobi wordt op een van zijn boodschappentochten op een boerderij door een ongevaarlijke, maar wilde St.Bernhardhond omvergesprongen, zodat het mandje met de taartstukken valt en ze stuk gaan. De jongen zit bedroefd aan de kant van de weg als er een bakkerskind voorbijkomt met veel restjes. Ze vraagt aan de huilende jongen of ze hem kan helpen. ‘Helaas niet, jouw bakker heeft andere stukken dan de mijne’, maar Tobi heeft, wanneer de ander zegt dat die van Achtstebakker komt, een idee! Net zoals de knechten anders ook doen, neemt hij telkens 2 van de aangeboden achtste stukken en verwerkt ze tot kwarten. Het wordt nog heel spannend wanneer de boer wantrouwig naar de stukken kijkt, maar ze uiteindelijk toch accepteert.

Om op zulke situaties voorbereid te zijn, neemt Tobi voortaan een deegschraper mee om de crème te kunnen uitsmeren. Deze vondst wordt door de leerlingen opgepakt en al gauw heeft iedereen de deegschraper erbij en je moet slim zijn om meteen te herkennen, welke bakkerijen in aanmerking komen om met elkaar stukken te ruilen. Zo ontstaan er bijzondere vriendschappen tussen de leerlingen van bepaalde bakkerijen. Uit de mond van een leerling: ‘Die in dezelfde getallenrij zitten’. De deegschraper staat symbool voor het vereenvoudigen:
12/8  =  6/4; de stukken uit de ene bakkerij krijgen een nieuwe naam = noemer.

Wanneer Tobi op een dag zijn vriendinnetje Martha treurig op een bankje ziet zitten en waneer hij de gebroken draagriem van haar mandje ziet, vermoedt hij de bekende toestand en hij wil meteen met de deegschraper helpen. Maar Martha werkt bij Twaalfdebakker en ze merken al gauw dat de uitruil niet zomaar kan. Maar nu krijgt Martha een idee! Met een zakmes worden de kwartstukken van Tobi precies in 3 delen gesneden en Martha kan nu haar twaalfden ruilen. Het zakmes wordt het symbool van gelijknamig maken: 7/4 = 21/12.
Nu zou je kunnen tegenwerpen dat bij het vereenvoudigen toch de aparte getallen kleiner en bij gelijknamig maken teller en noemer groter worden en dat daarom mes en schraper juist andersom gebruikt zouden moeten worden. Op het abstracte niveau is dat juist, maar voor de realiteit van het beeld klopt de toepassing, omdat bij vereenvoudigen de stukken groter worden en bij het gelijknamig maken kleiner! Hierbij moet door de juiste opmerkingen of vragen duidelijk gemaakt worden dat door de gebruikte mes- of schrapermethode de hoeveelheid taart gelijk blijft en dat alleen de vorm ervan anders wordt.

(Notitiepunt: de waarde van een breuk blijft gelijk bij het vereenvoudigen of gelijknamig maken).

Zodra de techniek van het vereenvoudigen en gelijknamig maken door opnieuw talloze oefeningen, begint te zitten, kun je overgaan tot het toepassen ervan – tot de vorming van een gemeenschappelijke noemer kan worden overgegaan: Tobi komt op weg naar huis zijn vriend Arnulf (Derdebakker) tegen, die ook al van een groot feest de reststukken meebrengt. Ze raken aan de praat en ze merken door het kletsen te laat dat ze Derde- en Vierdebakker al voorbij gelopen zijn. Ze willen echter niet teruggaan, maar elkaar liever nog een paar goede moppen vertellen en belanden zo aan de rand van de stad voor het huis van Twaalfdebakker. Opnieuw leiden slimheid en schalksheid tot een idee! Met het zakmes krijgen ze door precies te snijden, uit de vierden, twaalfden en uit de derden eveneens. Hoeveel twaalfden moet de klas vinden en de leerkracht moet het verhaal paraat hebben hoe de bakkersvrouw afgeleid wordt (bij ons was het een stukje knalvuurwerk uit de carnavalstijd dat in de keuken gegooid werd en dat de bakkersvrouw – onder luid gelach van de kinderen – zowat naar buiten deed tuimelen), om ongemerkt de twaalfde stukkern op de toonbank te leggen en -met de groeten van Max en Moritz – stiekem te kijken hoe de bakkersvrouw als ze weer terug is, zich niet kan herinneren dat er zoveel reststukken lagen.
Met dit geslaagde verhaal, in de hele stad met fijntjes lachen aangehoord, bieden zich voor de bakkerskinderen ongekende mogelijkheden. Ook voor de leerlingen in de klas is het leuk uit te vinden wie onder deze voorwaarden vanaf nu met wie kan uitwisselen, bij elkaar leggen enz.
In het aantekenboek komt later te staan dat je breuken pas bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken, wanneer ze een gemeenschappelijke noemer hebben.

Drie, vier of meer leerlingen kunnen hun taart bij elkaar leggen en (waar?) afleveren.

3/4  +   2/3  =  9/12  +  8/12  =  17/12  (Tobigetal)  = 1  5/12 (Knechtengetal)

2/3  +  1/4  +  5/8  =  16/24  +  6/24  +  15/24  =  37/24 (Tobigetal)  =  1 13/24 (Knechtengetal)

Geleide fantasie
Bij het doorlezen van dit artikel valt het me* op, hoe weinig getallen en hoeveel woorden er staan! Dat mag een voorbeeld zijn van een verhaal dat de fantasie stimuleert bij de erin voorkomende mathematische samenhangen.
Overigens spreekt Steiner in het aangehaalde boekje van ‘geleide fantasie’, zodat het niet om willekeurige, grappige verhaaltjes kan gaan, maar om verhalen die de gewenste rekenkundige samenhang ‘exact’ tot inhoud hebben.

Ik heb de ervaring opgedaan dat de verhaaltjes niet alleen een inleiding vormen in het gebied van de wiskunde, als een ‘schoentrekker’ voor de ziel, maar dat ze tot in de bovenbouw, wanneer de leerlingen zich de uit die verhaaltjes komende beelden herinneren, elkaar kunnen helpen  over en weer dingen uit te leggen. Ik zou ook voorbeelden van verhalen kunnen geven die ik niet tot het einde toe helemaal goed doordacht heb en die tijdens het lesgeven met moeite veranderd moesten worden en zo aan inhoud en kracht inboetten.
Het Tobiverhaal is door vele uitgesproken vragen (ook onuitgesproken) van de kinderen in proporties gebracht en met succes verteld.
Wat betekent ‘succes”? Wanneer je merkt dat alle leerlingen met en binnen de geschetste beelden kunnen rekenen met wat anders droge en weinig motiverende opgaven zouden zijn en dit graag doen!
Jaren geleden zaten tijdens een menskundeperiode 2 hospitanten van de universiteit van Stuttgart in mijn les, omdat ze zich interesseerden voor de vrijeschoolpedagogiek. Op de laatste dag van de periode kondigde ik de kinderen de volgende periode aan: rekenen.
Sprakeloos staarden de beide jonge collega’s naar de opspringende, onstuimig dansende kinderen en ‘To-bi!  To-bi!  To-bi’ scanderende vierdeklassers. Ze konden nauwelijks geloven dat dit een reactie was op de aankondiging van rekenen.
Dat was het ook niet; het was de vreugde over het vervolg van het verhaal!

*Norbert Dolderer, Erziehungskunst jrg.71, 12-2007

**het meegaan met de groep kinderen van klas 1 t/m 6 , (7 of 8 in Duitsland)
***periodenonderwijs: gedurende 3 à 4 weken de lessen in de 1e 2 uren van de dag, gewijd aan 1 vak.

[1] Rudolf Steiner: ‘Die Erziehungs des Kindes im Lichte der Geisteswissenschaft’ GA 34/309
Citaat: blz. 343

Vertaald: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie’

4e klas rekenen: alle artikelen

868

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (5)

.

(F.H. van den Hoek, nadere gegevens ontbreken)
.

BREUKEN IN DE 4E KLAS

Wie kent ze niet, die rode “koppies” boven dat schrift met al die moeilijke breuksommen. De wanhopige blik van ‘wat betekenen die getalletjes nou eigenlijk? Ik begrijp er NIETS meer van’. Het is natuurlijk een illusie te denken dat dit bekende tafereel op de vrijeschool niet plaats kan vinden, te meer daar ‘de breuk’ tot het moeilijkste rekenonderdeel van de lagere school gerekend kan worden.

Van vroeger herinneren we ons nog vaak genoeg, dat we iets pas veel later “door kregen”, nadat we al heel lang het “trucje” hadden toegepast. Op de
vrijeschool proberen we dan ook dit rekenonderdeel niet alleen op een intellectuele manier te benaderen, maar eveneens te zoeken naar kunstzinnige, sociale en wilsversterkende aspectenImmers, het betreft hier niet slechts lesstof, maar het is tevens ontwikkelingsstof voor het kind in de vierde klas.
De breuken vinden een geheel eigen plaats in het leven van het tienjarig kind. De gouden periode van de 1e  t/m de 3e klas loopt geleidelijk aan ten einde, de – éénheid – van het ouderlijk gezag en dat van zijn opvoeders op school kan zo hier en daar een aardige knauw krijgen.
Een grote steun voor het kind in deze fase is de vertelstof, de Noors-Germaanse mythologie. De onzekerheid van het kind, dat zich veel meer dan voorheen als een “IK” beleeft, wordt in hoge mate gesteund door deze verhalen, die steeds weer over moed gaan. De Noorse held overwint zelden, hij gaat zelfs ten onder, maar zijn moed blijft in prachtige verzen bewaard als lichtend voorbeeld. Na die ondergang ontstaat er toch een nieuwe wereld. Mede gezien in dit licht vormt de “breuk” een typisch heilzaam vierdeklasonderwerp, omdat de tot dusver vertrouwde – éénheid -door’broken’ wordt. Ook daarom zingen we vanaf de vierde klas met vreugde vele canons (“gebroken” liederen), terwijl de kruising van lijnen bij het vormtekenen, het z.gvlechtwerk, heel bewust, beleefd wordt, evenals de kruissteek bij het handwerken.

De eerste breukenperiode in de vierde klas, met name de eerste tijd, staat voornamelijk in het teken van het DOEN. Nadat de leerkracht op de eerste dag onder doodse stilte een appel doormidden sneed, de beide helften aan zijn publiek toonde en ze plechtig benoemde “Dit is een halve appel en dit is een halve appel”, betekende dit het begin van een hele serie handelingen, waarbij behalve hijzelf ook de kinderen heel wat te snijden en te verdelen kregen.

Heel wat opdrachten in de trant van “Hoeveel partjes van een kwart zitten er in die halve appel?”

Aanschouwelijke grapjes: “Als je die appel lekker vindt, wat heb je dan het liefst:  3/4  appel of  3/8  appel?”

Zo werd er in deze eerste periode heel wat getekend, geknipt en geplakt om tot het begrip ‘breuk’ te komen. Via dit werk kwamen we tot de ontdekking dat ‘één hele’, 2/2 ,  3/3,   4/4  maar ook 20/20 kan zijn en een oneindig aantal voorbeelden meer.

Naast dit begrijpen komt ook het kunstzinnig element ter sprake.”Hoe kunnen we dit mooi opschrijven?”
In kleur en netjes naast elkaar ontstaat een prachtige rij:

breuken 1

Geleidelijk aan komen we meer tot de abstractie. Toch blijft het visuele, het speelse de kinderen steeds weer boeien, vooral als iets na een tijdje weer dreigt weg te zakken.
Tijdens de laatste breukenperiode, toen we al heel wat sommetjes hadden opgeschreven en gemaakt, was het toch weer heerlijk om “tekensommetjes” te maken, zoals   2 – 3/4= ?

Wij tekenden heel kleurig:

breuken 2

Het antwoord werd duidelijk zichtbaar: 1 1/4      

In een korte samenvatting als deze is het natuurlijk ondoenlijk om heel uitgebreid op alles in te gaan. Het blijft “aanstippen” van enkele hoogtepunten. Een van die hoogtepunten is het slim verwerken van de tafels van vermenigvuldiging. Het wordt in de vierde klas allengs duidelijker, dat je niets met breuken begint zonder een goede kennis van de tafels.
Om nu niet niet steeds weer op dezelfde wijze de tafels te herhalen, is er in de breukenperiode een fijne manier om zowel de “snelle” als “langzame” kinderen te activeren, natuurlijk ieder op hun eigen niveau:

bijv. een half is  ………..2/4       
een half is  ……….. 3/
een half is  ………..4/8  enz., maar ook dit kan natuurlijk:

5/8   =……….10/16
5/8   =……….15/24
5/8   =……….20/32 enz. 

waarbij we zelfs twee tafels combineren, een uitermate sterke wilsoefening.

Naarmate de tijd verstrijkt, zal de wonderwereld van de breuken zijn glans van het nieuwe, de nieuw te ontdekken wereld, onherroepelijk gaan verliezen. Dan zal het een verworven iets, een kunnen moeten zijn, waarbij echter de herinnering aan een fijne periode hen verder helpt om nieuwe gebieden in het rekenen te ontdekken. Dan is de tijd echt afgesloten, dat er drie kinderen in een kringetje staan, elkaars hand vasthouden en uitroepen: “Wij zijn één hele!”, gevolgd door de komst van de “breukenmaker”, mét het grote zwaard, die de handen (voorzichtig) vaneen doet gaan, waarna het drietal in koor laat horen: “Wij zijn drie derden”, gevolgd door drie soli van “Ik ben één derde.”

Ja, wat kan een breukenperiode ook leuk zijn!
.

Rekenen 4e klas: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

547-501

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas – alle artikelen

.

Let op: ‘mijnheer Van Dale wacht iets anders op antwoord’:
.

[1Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten’ over: kind tussen 9e en 12e jaar; klas 4 en 5: leerstof: m.n breuken en tiendelige breuken; praktijkvoorbeelden; stambreuk belangrijk; breuken bij de Egyptenaren;

(2)  De 4 bewerkingen door de jaren heen

(3)  Schriftelijk rekenen met breuken met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende ‘ uitkomsten
(4)  Schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

[5Breuken in de vierde klas
F.H. van den Hoek over: de verandering die de 4e-klasser ondergaat; de leerstof als steun, als ontwikkelingsstof; de typische 4e klasvakken; hoe gaat het toe in de klas; 
(6winkeltje; geld; metriek stelsel
(7) breuken
(8) breuken

[9] metriek stelsel
Pieter HA Witlviet over: hoe je met het metriek stelsel zou kunnen beginnen; hoe de mens vroeger van maten uitging die met zijn eigen beleving te maken hadden: duim, voet, vadem en veel meer.
Als uitbreiding voor de leerkracht een serie artikelen over ‘eenhedenstelsels’:
rekenen: alle artikelen onder nr. 8

.

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

532-489

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.