VRIJESCHOOL – 4e klas -rekenen – breuken

Tobi en de meesterbakker

Een kennismaking met de breuken

Ik* zou graag een rekenverhaal vertellen; het kwam tot stand in de loop van 3 klassenrondes** en is een beeldende kennismaking met  de breuken in klas 4.
Voor de 4 klas plande ik 3 rekenperioden***. In de eerste werden de schriftelijke rekenprocessen die we in de 3e klas hadden geleerd nog eens geoefend en  geautomatiseerd. Aan het eind van deze periode is er een korte kennismaking met de schrijfwijze van de breuken. Met veel plezier hebben de kinderen mijn zelfgebakken, platte meetkundige figuren uit brooddeeg gesneden en opgegeten, waarbij de maag (stofwisseling!) kon ‘meedenken’ en kon leren dat de schrijfwijze 1 = 1/3  + 1/3  +  1/3   of  1 = 1/6  +  1/6  + 1/6   +  1/6 +  1/6 +   1/6  zinvol is.
Van de gebakken cirkels, driehoeken, rechthoeken, vierkanten werden in het schrift tekeningen gemaakt en de bovengenoemde vergelijkingen onder het desbetreffende ‘snijpatroon’ geschreven.
Belangrijk is in dit verband dat de leerlingen door het waarnemen een gevoel krijgen dat een 1/6 deel kleiner is dan 1/3  terwijl in het getalbegrip tot nog toe 6 groter is dan 3. De maag kent, zonder ooit met breuken te hebben leren rekenen, deze verhoudingen in grootte wel.

De meesterbakker
Aan het begin van de tweede periode volgt dan het verhaal:
In een stad woonden merkwaardige meesterbakkers die ieder voor zich  maar 1 taartensnijder wilden kopen (verschillende taartensnijders, voor 10, 12 of 16 stukken die de bakker voorzichtig in de taartbedekking drukt om daarna precies even grote stukken te kunnen snijden, hingen in de klas).
Opdat de kinderen meteen zouden weten welke stukken je bij de ene bakker kon kopen, schreven ze groot op hun etalageruit hoe ze heetten – hoe ze zich noemen – dat leidt later tot de naam NOEMER: Vierdebakker; Vijfdebakker; Achtstebakker enz. Wie dus voor 12 personen een taart wil bestellen of stukken van die grootte wil hebben, kan alleen bij Twaalfdebakker terecht. En door de associatie noemer = naam begrijpen de leerlingen meteen dat   3/5 +  3/5  niet 6/10 maar  6/5  moet zijn, 6 stukken van Vijfdebakker.
In het verhaal komt ook een slimme leerjongen voor die de bestelde lekkernijen te voet bij de klanten moet brengen in een grote mand die hij op zijn rug draagt. In mijn laatste rondje** heette deze jongen Tobi.
Tobi brengt, hij werkt nu bij Vierdebakker, de bestelde etenswaar weg. Bij grote feesten blijft hij tot het einde om daarna de overgebleven stukken weer op te halen. De meesterbakker is streng en wil de overgebleven stukken aan de varkens voeren. Maar de leerjongens hebben met de bazin afgesproken dat ze de goede kwartstukken aan de achterdeur goedkoper mogen verkopen en het geld zelf houden. De oude crèmelaag werd eraf gehaald en vervangen door een nieuwe en de versneden bodem kon je alleen zien als je de taart omhoog hield. Wanneer Tobi dus bijvoorbeeld 17 stukken mee terugneemt naar Vierdebakker en ze in de bakkerij legt, maken de bakkersknechten daar tot aan de morgen vier hele taarten uit; 1 stuk blijft over. 17/4 = 4 1/4
Op dit ogenblik in de periode heet 17/4  het Tobigetal ,
1/4 is het knechtengetal.
Later in het werkschrift, wanneer we talloze oefenvoorbeelden nog eens nader bekijken, worden het begrip ‘stambreuk’ gebruikt, wanneer de teller 1 is 1/7,
en ‘echte breuk’, wanneer de teller kleiner is dan de noemer 3/7, ‘onechte’breuk , wanneer de teller groter is dan de noemer (Tobigetallen, 9/7 en ‘gemengde’ breuk, wanneer hele en breukengetallen gemengd zijn (knechtengetallen 1/4).
Nu kun je veel manieren bedenken hoe je met andere noemers dezelfde rekenhandeling kunt oefenen, bv. dat
Tobi aan een ander bakkerskind het trucje uitlegt die vervolgens uit de hele stad ‘tweedehands’ taarten ophaalt of Tobi wordt door de knechten van een andere bakkerij uitgenodigd enz.

Op deze plaats moet wel gezegd worden, dat de uitgebreide schildering van dit verhaal alleen de eigen fantasie mag stimuleren en niet tot nadoen mag leiden. (In een uitwisseling met collega’s hebben we bv. aan activiteit in de containerhaven aan de Oostzee of aan de kaasmakerijen in Nederland gedacht.)

Het zijn de verrassende gebeurtenissen en de spannende voorvallen van een dergelijk verhaal die de fantasiekracht van de kinderen stimuleren.
De rekenkundige inhoud treedt wat meer op de achtergrond bij het plezier en de angst om Tobi, de spanning en de ontspanning.
Citaat uit het meer dan honderd jaar geleden verschenen boekje van Rudolf Steiner: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie:[1] ‘Wat het verstand over iets te zeggen heeft, behoort pas gezegd te worden, nadat alle andere zielenkrachten gesproken hebben. Voor die tijd mag het verstand alleen een bemiddelende rol spelen. ‘

Maar bij al dat fantasieplezier mag de inhoud van het vertellen in het begin, maar ook later niet, in tegenspraak zijn met de wiskundige wetten.

Opdrachten voor thuis worden graag gemaakt, wanneer Tobi, met wie de leerlingen zich op hun niveau met zijn slimheid identificeren, voor een op te lossen probleem geplaatst wordt.
Wanneer de leerlingen door deze oefeningen vertrouwd zijn geraakt met hoe je breuken schrijft en de onechte breuken in gemengde en omgekeerd, kunnen omrekenen, kan naar de volgende rekenhandeling worden overgestapt: vereenvoudigen en gelijknamig maken.

Deegschraper en zakmes
Tobi wordt op een van zijn boodschappentochten op een boerderij door een ongevaarlijke, maar wilde St.Bernhardhond omvergesprongen, zodat het mandje met de taartstukken valt en ze stuk gaan. De jongen zit bedroefd aan de kant van de weg als er een bakkerskind voorbijkomt met veel restjes. Ze vraagt aan de huilende jongen of ze hem kan helpen. ‘Helaas niet, jouw bakker heeft andere stukken dan de mijne’, maar Tobi heeft, wanneer de ander zegt dat die van Achtstebakker komt, een idee! Net zoals de knechten anders ook doen, neemt hij telkens 2 van de aangeboden achtste stukken en verwerkt ze tot kwarten. Het wordt nog heel spannend wanneer de boer wantrouwig naar de stukken kijkt, maar ze uiteindelijk toch accepteert.

Om op zulke situaties voorbereid te zijn, neemt Tobi voortaan een deegschraper mee om de crème te kunnen uitsmeren. Deze vondst wordt door de leerlingen opgepakt en al gauw heeft iedereen de deegschraper erbij en je moet slim zijn om meteen te herkennen, welke bakkerijen in aanmerking komen om met elkaar stukken te ruilen. Zo ontstaan er bijzondere vriendschappen tussen de leerlingen van bepaalde bakkerijen. Uit de mond van een leerling: ‘Die in dezelfde getallenrij zitten’. De deegschraper staat symbool voor het vereenvoudigen:
12/8  =  6/4; de stukken uit de ene bakkerij krijgen een nieuwe naam = noemer.

Wanneer Tobi op een dag zijn vriendinnetje Martha treurig op een bankje ziet zitten en waneer hij de gebroken draagriem van haar mandje ziet, vermoedt hij de bekende toestand en hij wil meteen met de deegschraper helpen. Maar Martha werkt bij Twaalfdebakker en ze merken al gauw dat de uitruil niet zomaar kan. Maar nu krijgt Martha een idee! Met een zakmes worden de kwartstukken van Tobi precies in 3 delen gesneden en Martha kan nu haar twaalfden ruilen. Het zakmes wordt het symbool van gelijknamig maken: 7/4 = 21/12.
Nu zou je kunnen tegenwerpen dat bij het vereenvoudigen toch de aparte getallen kleiner en bij gelijknamig maken teller en noemer groter worden en dat daarom mes en schraper juist andersom gebruikt zouden moeten worden. Op het abstracte niveau is dat juist, maar voor de realiteit van het beeld klopt de toepassing, omdat bij vereenvoudigen de stukken groter worden en bij het gelijknamig maken kleiner! Hierbij moet door de juiste opmerkingen of vragen duidelijk gemaakt worden dat door de gebruikte mes- of schrapermethode de hoeveelheid taart gelijk blijft en dat alleen de vorm ervan anders wordt.

(Notitiepunt: de waarde van een breuk blijft gelijk bij het vereenvoudigen of gelijknamig maken).

Zodra de techniek van het vereenvoudigen en gelijknamig maken door opnieuw talloze oefeningen, begint te zitten, kun je overgaan tot het toepassen ervan – tot de vorming van een gemeenschappelijke noemer kan worden overgegaan: Tobi komt op weg naar huis zijn vriend Arnulf (Derdebakker) tegen, die ook al van een groot feest de reststukken meebrengt. Ze raken aan de praat en ze merken door het kletsen te laat dat ze Derde- en Vierdebakker al voorbij gelopen zijn. Ze willen echter niet teruggaan, maar elkaar liever nog een paar goede moppen vertellen en belanden zo aan de rand van de stad voor het huis van Twaalfdebakker. Opnieuw leiden slimheid en schalksheid tot een idee! Met het zakmes krijgen ze door precies te snijden, uit de vierden, twaalfden en uit de derden eveneens. Hoeveel twaalfden moet de klas vinden en de leerkracht moet het verhaal paraat hebben hoe de bakkersvrouw afgeleid wordt (bij ons was het een stukje knalvuurwerk uit de carnavalstijd dat in de keuken gegooid werd en dat de bakkersvrouw – onder luid gelach van de kinderen – zowat naar buiten deed tuimelen), om ongemerkt de twaalfde stukkern op de toonbank te leggen en -met de groeten van Max en Moritz – stiekem te kijken hoe de bakkersvrouw als ze weer terug is, zich niet kan herinneren dat er zoveel reststukken lagen.
Met dit geslaagde verhaal, in de hele stad met fijntjes lachen aangehoord, bieden zich voor de bakkerskinderen ongekende mogelijkheden. Ook voor de leerlingen in de klas is het leuk uit te vinden wie onder deze voorwaarden vanaf nu met wie kan uitwisselen, bij elkaar leggen enz.
In het aantekenboek komt later te staan dat je breuken pas bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken, wanneer ze een gemeenschappelijke noemer hebben.

Drie, vier of meer leerlingen kunnen hun taart bij elkaar leggen en (waar?) afleveren.

3/4  +   2/3  =  9/12  +  8/12  =  17/12  (Tobigetal)  = 1  5/12 (Knechtengetal)

2/3  +  1/4  +  5/8  =  16/24  +  6/24  +  15/24  =  37/24 (Tobigetal)  =  1 13/24 (Knechtengetal)

Geleide fantasie
Bij het doorlezen van dit artikel valt het me* op, hoe weinig getallen en hoeveel woorden er staan! Dat mag een voorbeeld zijn van een verhaal dat de fantasie stimuleert bij de erin voorkomende mathematische samenhangen.
Overigens spreekt Steiner in het aangehaalde boekje van ‘geleide fantasie’, zodat het niet om willekeurige, grappige verhaaltjes kan gaan, maar om verhalen die de gewenste rekenkundige samenhang ‘exact’ tot inhoud hebben.

Ik heb de ervaring opgedaan dat de verhaaltjes niet alleen een inleiding vormen in het gebied van de wiskunde, als een ‘schoentrekker’ voor de ziel, maar dat ze tot in de bovenbouw, wanneer de leerlingen zich de uit die verhaaltjes komende beelden herinneren, elkaar kunnen helpen  over en weer dingen uit te leggen. Ik zou ook voorbeelden van verhalen kunnen geven die ik niet tot het einde toe helemaal goed doordacht heb en die tijdens het lesgeven met moeite veranderd moesten worden en zo aan inhoud en kracht inboetten.
Het Tobiverhaal is door vele uitgesproken vragen (ook onuitgesproken) van de kinderen in proporties gebracht en met succes verteld.
Wat betekent ‘succes”? Wanneer je merkt dat alle leerlingen met en binnen de geschetste beelden kunnen rekenen met wat anders droge en weinig motiverende opgaven zouden zijn en dit graag doen!
Jaren geleden zaten tijdens een menskundeperiode 2 hospitanten van de universiteit van Stuttgart in mijn les, omdat ze zich interesseerden voor de vrijeschoolpedagogiek. Op de laatste dag van de periode kondigde ik de kinderen de volgende periode aan: rekenen.
Sprakeloos staarden de beide jonge collega’s naar de opspringende, onstuimig dansende kinderen en ‘To-bi!  To-bi!  To-bi’ scanderende vierdeklassers. Ze konden nauwelijks geloven dat dit een reactie was op de aankondiging van rekenen.
Dat was het ook niet; het was de vreugde over het vervolg van het verhaal!

*Norbert Dolderer, Erziehungskunst jrg.71, 12-2007

**het meegaan met de groep kinderen van klas 1 t/m 6 , (7 of 8 in Duitsland)
***periodenonderwijs: gedurende 3 à 4 weken de lessen in de 1e 2 uren van de dag, gewijd aan 1 vak.

[1] Rudolf Steiner: ‘Die Erziehungs des Kindes im Lichte der Geisteswissenschaft’ GA 34/309
Citaat: blz. 343

Vertaald: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie’

4e klas rekenen: alle artikelen

868
Advertenties

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s