Categorie archief: vrijeschool didactiek

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 311

.

ga 311

Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit

De kunst van het opvoeden vanuit het besef: wat is de mens

Blz. 77  vert. 77

Voordracht 4, Torquay 15 augustus 1924

Gewiß, es wird gegen diesen Epochenunterricht vielfach eingewendet, daß die Kinder die Dinge wieder vergessen. Allein das ist
ja eine Sache, die nur für einzelne Unterrichtsfächer, zum Beispiel für
das Rechnen in Betracht kommt, und da kann man durch kleine
Wiederholungen die Sache ausbessern. Für die meisten Unterrichtsfächer kann überhaupt dieses Vergessen keine große Rolle spielen,
jedenfalls nicht im Verhältnis zu dem, was gewonnen wird, an Ungeheurem gewonnen wird dadurch, daß das Kind konzentriert eine
gewisse Epoche hin bei einer Materie festgehalten wird.

Zeker, tegen dit periodeonderwijs wordt misschien ingebracht dat de kinderen dingen weer vergeten. Dat is alleen iets wat maar opgaat voor bepaalde vakken, bv. voor rekenen en dan kun je dat door kleine herhalingen weer verbeteren. Voor de meeste vakken kan het vergeten echt niet zo’n grote rol spelen, tenminste niet in verhouding tot hetgeen er aan winst is, ongelooflijke winst doordat het kind geconcentreerd door een zekere tijd een bepaalde materie vasthoudt.
GA 311/77
Op deze blog vertaald/77

Blz. 78/79   vert. 78/79

Voordracht 5, Torquay 16 augustus 1924

Tot en met blz 90 – de grotere alineaspatie (Hoe… enz.) gaat het over het aanvankelijk rekenen. Zie hier.
GA 311/78-90

Blz. 119  vert. 119

Voordracht 7, Torquay 19 augustus 1924

Ich kam einmal in eine Schulklasse, ich will jetzt nicht sagen wo, da wurde ein Rechenexempel aufgegeben. Es wurde aufgegeben aus dem Grunde, um an das Leben eine Addition anzuknüpfen. Man sollte nicht einfach 14 2/3 und 16 5/6 und 25 3/5 addieren, sondern man sollte etwas aus dem Leben haben. Nun, das Rechenexempel lautete ungefähr so: Ein Mensch ist geboren am 25. März 1895, ein zweiter am 27. August 1898, ein dritter am 3. Dezember 1899. Wie alt sind diese drei Menschen zusammen? So wurde gefragt. Und es wurde nun ernsthaft auf folgende Weise gerechnet: von 1895 bis zum Jahre 1924 sind 29 3/4. So alt ist der eine. Der andere ist bis 1924 ungefähr 261/2 Jahre, und der dritte, da er am 3. Dezember erst geboren ist, können wir sagen, ist 25 Jahre. Nun wurde gesagt, wenn man das zusammenrechnet, so kommt heraus, wie alt sie zusammen sind.
Nun möchte ich aber fragen, wie die das machen sollen, daß sie überhaupt zusammen in irgendeiner Summe alt werden können?

Ik kwam eens in een klas, ik zeg niet waar, daar werd een rekensom opgegeven. Die werd gegeven om met een optelling van het leven uit te gaan. Je moet niet zomaar 14 2/3  en 16 5/6    en 25 3/ optellen, je moet iets uit het leven hebben. De som ging ongeveer zo: een mens is geboren op 25 maart 1895, een tweede op 27 aug. 1898, een derde op 3 dec. 1899. Hoe oud zijn deze drie mensen samen. Dat werd gevraagd. En er werd serieus gerekend op de volgende manier: van 1895 tot het jaar 1924 is 29 3/4.  Zo oud is de ene. De andere is tot 1924 ongeveer 26½  en de derde die op 3 dec. geboren is, zeggen we, is 25 jaar. Toen werd er gezegd, als je dit optelt is de uitkomst hoe oud ze samen zijn.
Nu zou ik willen vragen, hoe ze dat moeten doen, hoe ze samen in een of andere som oud kunnen worden.

Wie stellt man das an? Nicht wahr, die Zahlen ergeben ganz gut eine Summe; aber wie stellt man das an, daß diese Summe irgendwo in der Wirklichkeit ist? Die leben ja alle zu gleicher Zeit. Also, sie können unmöglich das zusammen irgendwie erleben! Das ist gar nicht aus dem Leben, wenn man solch eine Rechnung aufstellt.
Man konnte mir zeigen, daß dies eine aus einem Schulbuch ent­nommene Rechnung war. Ich sah mir dann dieses Schulbuch an. Da standen mehrere solche geistreiche Dinge.
Ich habe in manchen Gegenden gefunden, daß das nun wiederum ins Leben zurückwirkt, und das ist das Wichtigste.
Also dasjenige, was wir in der Schule treiben, geht wiederum in das Leben zurück! Wenn wir in der Schule falsch lehren, wenn wir so unterrichten, daß wir irgend etwas, was gar keine Wirklichkeit ist, in eine Rechnung hineinbringen, dann wird diese Denkweise auf­genommen von den jungen Menschen und ins Leben hineingetragen.

Hoe moet je dat doen? De getallen, niet waar, die geven heel goed een som, maar hoe voer je uit dat deze som ergens in de realiteit bestaat? Zij leven tegelijkertijd. Dus zij kunnen dat, hoe dan ook, onmogelijk opgeteld beleven! Dat is helemaal niet uit het leven, wanneer je zo’n som maakt.
Men kon mij laten zien, dat dit een som was uit een schoolboek. Ik keek eens in dit boek en daar stonden meer van deze geestvolle dingen in.
Ik heb op vele terreinen gevonden dat dit weer terugslaat op het leven en dat is het belangrijkste.
Dus wat we op school doen, komt weer in het leven terug! Wanneer we op school verkeerd lesgeven, wanneer we zo onderwijzen dat we iets wat helemaal geen realiteit is, in een rekenopgave stoppen, dan wordt deze manier van denken door de jonge mens overgenomen en meegenomen in het leven.

Blz. 120     vert. 120

Ich weiß nicht, ob es in England auch so ist, aber in Mitteleuropa ist es überall so, daß wenn, sagen wir, mehrere Verbrecher zusammen angeklagt und verurteilt werden, man in den Zeitungen manchmal angegeben findet: alle fünf zusammen haben Gefängnisstrafen be­kommen von 751/2 Jahren. Der eine hat 10, der andere 20 Jahre be­kommen und so weiter, aber man rechnet das zusammen. Das können Sie in den Zeitungen immer wieder finden. Nun möchte ich wissen, was solch eine Summe in Wirklichkeit für eine Bedeutung hat. Für den einzelnen, der verurteilt ist, haben die 75 Jahre zusammen gewiß keine Bedentung; aber alle zusammen werden auch früher fertig. Also es hat keine Realität.
Sehen Sie, das ist das Wichtige, daß man überall auf die Realität losgeht. Sie vergiften geradezu ein Kind, dem Sie eine solche Addition aufgeben, die ganz und gar nicht möglich ist in der Wirklichkeit.
Sie müssen das Kind anleiten, nur solche Dinge zu denken, die auch im Leben vorhanden sind. Dann wird auch wieder vom Unter­richt aus die Wirklichkeit in das Leben hineingetragen. Wir leiden in unserer Zeit geradezu furchtbar unter dem unwirklichkeitsge­maßen Denken der Menschen. Der Lehrer hat nötig, das sich wirk­lich zu überlegen.

Ik weet niet of het in Engeland ook zo is, maar in Midden-Europa is het overal zo, dat wanneer, laten we zeggen, meerdere wetsovertreders samen aangeklaagd en veroordeeld worden, je dan in de kranten vindt: alle vijf hebben samen een gevangenisstraf van 75½ jaar. De ene heeft 10, de andere 20 jaar gekregen enz., maar men telt het bij elkaar op. Dat staat steeds weer in de krant. Nu zou ik willen weten wat zo’n som in werkelijkheid betekent. Voor de enkeling die veroordeeld is, heeft die 75 jaar zeker geen betekenis; maar alle vijf samen komen ze ook vroeger vrij. Dus dat is niet reëel.
Kijk, dat is het belangrijkste, dat je overal begint met de realiteit. Je vergiftigt het kind eigenlijk, wanneer je hem zo’n optelling geeft, die absoluut in de realiteit niet mogelijk is.
Je moet een kind stimuleren, alleen die dingen te denken die ook in het leven aanwezig zijn. Dan komt vanuit het onderwijs weer realiteit in het leven. We leiden in onze tijd juist vreselijk onder het werkelijkheidsvreemde denken van de mensen. Voor de leraar is het noodzakelijk dat zich ter harte te nemen.
GA 311/119-120
Op deze blog vertaald/119-120

Blz. 129  vert. 129

Vragenbeantwoording, Torquay 20 augustus 1924

Blz. 129 t/m 133 als één geheel.
Hier te vinden.
GA 311/129-133

.

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging‘.

.

2527

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

WAT VIND JE OP DEZE BLOG?

.

Via onderstaande rubrieken vind je de weg naar meer dan 2300 artikelen.

In het zoekblokje (op deze pagina rechtsboven) een trefwoord ingeven, leidt ook vaak tot artikelen waar het betreffende woord in voorkomt.
Wanneer er meerdere koppen van artikelen worden getoond, is het raadzaam ieder artikel open te maken en onder aan het artikel bij de tag-woorden te kijken of het gezochte woord daar staat.
Wanneer het artikel is geopend, kan je Ctr + F klikken. Er verschijnt dan een zoekvenstertje waarin je het gezochte woord kan intikken. Als dit woord in het artikel aanwezig is, kleurt het op.
.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com
.

RUDOLF STEINER
alle artikelen
wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

BORDTEKENEN zie TEKENEN

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KERSTSPELEN
Alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8;  klas 9: klas 10; klas 11  klas 12

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
Alle artikelen

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2

STERRENKUNDE
Alle artikelen

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7
Bordtekenen [1]
Bordtekenen [2]

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
alle artikelen

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijsalle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

Vanwaar de naam van onze schoolsoort
Maarten Zwakman
over: de naam vrijeschool; hoe geschreven; de naam Waldorf, ontstaan; enkele spellingskwesties toegevoegd

.
EN VERDER:

[1] Burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

[2] Met vreugde in het nu aanwezig zijn
Joop van Dam
over: ‘anti’- burn-out: aanwijzingen om naar jezelf te kijken en daar kracht uit te putten; de kracht van de ‘terugblik’; het belang van de gemeenschap; hoe wordt de gemeenschap sterker; hoe sta je als tijdgenoot in het heden

[3] Samen sterker
Lisette Thooft over: boek van Annejet Rümke ‘Als een feniks uit de as‘; analyse van burn-out op de vrijeschool; hoe komt dat, wat is er aan te doen; het individu in de sociale context; de grote verwachtingen door het ideaal;

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein
.

VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen, transparanten enz.
voor klas 1 t/m 7; jaarfeesten; jaartafels

Deze blog wordt/werd bekeken in:

Afghanistan; Albanië; Algerije; Amerikaans-Samoa; Andorra; Angola; Argentinië; Armenië; Aruba; Australië; Azerbeidzjan; Bahama’s; Bahrein; Bangladesh; Belarus; België; Benin; Bolivia; Bosnië en Herzegovina; Brazilië; Brunei; Bulgarije; Burkina Faso; Burundi; Cambodja; Canada; Caribisch Nederland; Chili; China, Congo Kinshasa; Costa Rica; Cuba; Curaçao; Cypres; Denemarken; Dominicaanse Republiek; Duitsland; Ecuador; Egypte; Estland; Ethiopië; Europese Unie; Finland; Filipijnen; Frankrijk; Frans-Guyana; Gambia; Georgië; Gibraltar; Griekenland; Ghana; Guadeloupe; Guatemala; Guyana; Haïti; Honduras; Hongarije; Hongkong; Ierland; IJsland; India: Indonesië; Isle of Man; Israel; Italië; Ivoorkust; Jamaica; Japan; Jemen; Jordanië; Kaapverdië; Kameroen; Kazachstan; Kenia; Kirgizië; Koeweit; Kroatië; Laos; Letland; Libanon; Liberia;  Libië; Liechtenstein; Litouen; Luxemburg; Macedonië; Madagaskar; Maldiven; Maleisië; Mali; Malta; Marokko; Martinique; Mauritius; Mexico; Moldavië; Monaco; Mongolië; Montenegro; Myanmar; Namibië; Nederland; Nepal; Nicaragua; Nieuw-Zeeland; Nigeria; Noorwegen; Oeganda; Oekraïne; Oman; Oostenrijk; Pakistan; Panama; Paraguay; Peru; Polen; Portugal; Puerto Rico; Quatar; Réunion; Roemenië; Rusland; Saoedi-Arabië; Senegal; Servië; Sierra Leone; Singapore; Sint-Maarten; Slovenië; Slowakije; Soedan; Somalië; Spanje; Sri Lanka; Suriname; Syrië; Taiwan; Tanzania; Thailand; Togo; Tsjechië; Trinidad en Tobago; Tunesië; Turkije; Uruguay; Vanuatu; Venezuela; Verenigde Arabische Emiraten; Verenigde Staten; Verenigd Koninkrijk; Vietnam; Zambia; Zuid-Afrika; Zuid-Korea; Zweden; Zwitserland’ (156)

..

VRIJESCHOOL – Kunstzinnig onderwijs

.

kunstzinnig onderwijs

In talloze pedagogische voordrachten stelt Rudolf Steiner de eis aan het onderwijs, dat het kunstzinnig moet zijn.

Nu hebben de meeste mensen wel een soort opvatting over ‘kunstzinnig’. 
Dat het met ‘kunst’ te maken heeft, bijv. 
En omdat schilderen, boetseren en muziek zich op kunstzinnige vlak afspelen en omdat er op de vrijeschool veel aandacht is voor deze vakken, wordt het vrijeschoolonderwijs vanuit deze invalshoek bestempeld als ‘kunstzinnig’. Je moet er dan ook de euritmie toe rekenen die als danskunst bekend is.

En het is zeker zo, dat dit aspect van het vrijeschoolonderwijs een kunstzinnig aspect genoemd mag worden.
En in die zin gebruikt Steiner ook het begrip ‘kunstzinnig’:

Daher ist der künstlerische Unterricht, sowohl in den bildenden Künsten wie in den musikalischen Künsten, von Anfang an in der Schule zu pflegen. Nicht das Abstrakte darf da herrschen, sondern es muß das Künstlerische herrschen, und aus dem Künstlerischen muß das Kind hineingeführt werden in das Begreifen der Welt.

We moeten het kunstzinnige on­derwijs – zowel in de beeldende als in de muzikale kunsten – van meet af aan in de school verzorgen. Het abstracte mag er niet heer en meester zijn, maar het kunstzinnige moet er heersen. En vanuit het kunstzinnige moet het kind gebracht worden tot het begrijpen van de wereld.
GA 310/72
Vertaald/75

Anderen leggen weer meer de nadruk op het feit dat er zoveel aandacht is voor de verzorging van de omgeving: duidelijk waarneembaar in de kleuterklassen, maar ook in de basisschool waar in iedere klas wel een jaartafel staat  of een mooie tekening op het bord
Dat er dus veel aandacht is voor het ‘esthetische’ en dat wordt ook wel gezien als ‘kunstzinnig’.

Wanneer je dus over kunstzinnig onderwijs spreekt, mogen deze twee kwaliteiten zeker genoemd worden.

Maar toch is dat niet wat Steiner onder kunstzinnig onderwijs verstond.

Hij maakte eens deze vergelijking:

Denn erziehen und unterrichten kann der Mensch ebenso nur dann, wenn er dasjenige, was er zu bilden hat, was er zu gestalten hat, versteht, wie der Maler nur malen kann, wenn er die Natur, das Wesen der Farbe kennt, der Bildhauer nur arbeiten kann, wenn er das Wesen seines Stoffes kennt, und so weiter. Was für die übrigen Künste gilt, die mit äußeren Stoffen arbeiten, wie sollte es nicht gelten für diejenige Kunst, die an dem edelsten Stoffe arbeitet, der überhaupt nur dem Menschen vorgelegt werden kann, an dem Menschenwesen, seinem Werden und seiner Entwicklung selbst?

Want opvoeden en onderwijzen kan de mens alleen maar, als hij wat hij moet vormen, moet vormgeven, net zo begrijpt als de schilder die slechts kan schilderen, wanneer hij de natuur, het wezen van de kleur kent; en de beeldhouwer alleen maar kan werken, als hij de aard van het materiaal kent enz. Wat voor de andere kunsten geldt die met zichtbare materialen werken: zou dat niet gelden voor de kunst die met het meest edele materiaal werkt dat de mens überhaupt maar in handen kan krijgen, met het wezen mens, zijn wording en zijn ontwikkeling?
GA 308/9
Vertaald/21

BENADERING VAN HET KIND

Het kunstzinnige zit dus vooral in: hoe benader je het kind; hoe zie je het kind. En omdat het ook om opvoeding gaat – niet slechts om aanleren – hoe benader je de ontwikkeling van het kind: wat doe je voor die ontwikkeling en net zo belangrijk: wat laat je na! En hoe doe je dat dan voor die ontwikkeling.

Dat betekent allereerst dat je die ontwikkeling moet kennen.

Dat is geen afwijkend standpunt, immers, wie de reguliere lerarenopleiding volgt, dient ook ontwikkelingspsychologie te bestuderen.
Voor Steiner is dit echter hét vertrekpunt. 

Dat komt in de titels van door hem gehouden pedagogische voordrachten* veelvuldig terug:

Allgemeine Menschenkunde als Grundlage der Pädagogik
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
Menschenkunde und Unterrichtsgestaltung
Menskunde en inrichting van het onderwijs
Erziehung und Unterricht aus Menschenerkenntnis
Opvoeding en onderwijs vanuit menskunde – een deel heet
Meditativ erarbeitete Menschenkunde
Meditatief verwerkte menskunde
Die gesunde Entwicklung des Leiblich-Physischen als Grundlage der freien Entfaltung des Seelisch-Geistigen
De gezonde ontwikkeling van het levend-fysieke als basis voor de vrije ontplooiing van ziel en geest
Der pädagogische Wert der Menschenerkenntnis und der Kulturwelt der Pädagogik
De pedagogische waarde van de menskunde en de cultuurwereld van de pedagogie
Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit
De kunst van het opvoeden vanuit het begrijpen van het wezen mens

En Steiners visie op de ontwikkeling van de mens gaat verder dan de huidige reguliere, omdat de laatste niet kan werken met begrippen als ziel en geest.

Vandaar:

Es genügt nicht, den Unterricht einzurichten nach dem gewöhnlichen Menschenverkehr, sondern man muß diesen Unterricht aus der Erfassung des inneren Menschen heraus gestalten.

Men kan er niet mee volstaan het onderwijs in te richten volgens de gewone menselijke omgang, maar men moet dit onderwijs vormgeven vanuit inzichten in de innerlijke mens.
GA 293/75
vertaald/75

Man muß im werdenden Menschen das Zusammenwirken von Leib und Seele und Geist beobachten können.

(  ) Men moet in de wordende mens de samenwerking van lichaam, ziel en geest kunnen waarnemen.
GA 293/177
vertaald/172

Die Men­schennatur selber muß uns lehren, was wir in jedem einzelnen Lebensjahr des Kindes mit dem Kinde erzieherisch und unterrich­tend zu vollbringen haben.

De mensennatuur zelf moet ons leren wat we in ieder afzonderlijk levensjaar van het kind met het kind opvoedend en onderwijzend moeten volbrengen.
GA297/73
Op deze blog vertaald/73

Ook deze uitspraak raakt aan de kern van het ‘kunstzinnige’:

(  )  die Erziehung: was sie leisten soll: mit den Ent­wicklungskräften des Menschen zu wirken und nicht gegen sie zu wirken

(  ) Opvoeding: wat zij tot stand moet brengen is mét de ontwikkelingskrachten van de mens te werken en niet die tegen te werken.
GA 297/172
Op deze blog vertaald/172

Het gaat erom dat we – zie boven de uitspraak over de kunstenaar – zoeken naar hoe we die ontwikkelingskrachten kunnen dienen.

Er zijn nog veel uitspraken van Steiner die alle in de richting gaan die ik hierboven heb aangegeven. Rudolf Steiner: wegwijzers

Een paar voorbeelden om e.e.a. te verduidelijken:

De eersteklassers moeten leren schrijven. Houd ik geen rekening met hun ontwikkelingsniveau dan leer ik zo goed en zo kwaad als het gaat hen de letters aan in de sfeer van kennisoverdracht: de kinderen moeten leren!
Als ik hun ontwikkeling serieus neem, weet ik dat ze veel behoefte hebben aan beweging, aan fantasie. Ik neem ze mee, in verhaalvorm, naar een beeld dat een paar dagen centraal staat, bijv. de zes zwanen uit een sprookje van Grimm. Die zwanen worden getekend, geschilderd – ook dit hoort bij een van de kunstzinnige aspecten – zelf beelden ze de zwaan uit. Ze spreken spraakoefeningetjes met de letter z; het zwanenbeeld wordt langzaam ‘uitgekleed’ tot de letter Z(zzzz) – de zwanenletter. Ten slotte wordt de letter als Z(zzz) gekend en herkend. Als voorbereiding op het schrijven worden er veel vormtekenoefeningen gedaan: niet alleen op papier, maar ook in de zandbak. Dan wordt de letter geschreven zoals dat de rest van de schooltijd gebeurt.
Pas veel later – als ze al kunnen lezen – leren ze de letter als de abstracte ‘zet’.
De ontwikkeling van het kind geeft aan: behoefte aan beweging en fantasie. Het pedagogisch-didactische antwoord is: beweging en fantasie. 
Die weg, dat streven, noemt Steiner ‘kunstzinnig onderwijs’. 

Voor de zesdeklasser is beweging en fantasie niet meer de eerste ontwikkelingsbehoefte; veel meer het (over)denken, het beschouwen.
Voor het kennen hoort denken samen te gaan met waarnemen. Dus als het vak natuurkunde aan de beurt is, zal de leerkracht het kind gelegenheid geven natuurkundige processen waar te nemen, die worden door het kind beschreven, ze worden getekend, overdacht en dan pas worden conclusies getrokken.
Je ziet a.h.w. een metamorfose van de beweging naar ‘uit eigener (mentale) beweging; de fantasie wordt ‘exacte’ fantasie. Zelf tekenen, illustreren accentueert het andere kunstzinnige aspect.
Langzaam rijpt dan in het kind het oordeel dat later weer in de natuurkundige formule de te reproduceren kennis is.

Ontwikkeling verstoord, geremd enz.

De menskundige inzichten van Steiner bevatten ook een reeks aanwijzingen voor kinderen die in hun ontwikkeling met problemen hebben te maken.
Op deze blog is dit gedetailleerd uitgewerkt.

Rode draad

Als een rode draad loopt door het vrijeschoolonderwijs het wekken, het wakker maken van (ontwikkelings)krachten, deze verzorgen waarbij de leerstof ontwikkelingsstof is en pas in tweede instantie te reproduceren kennisstof. 

De oproep die Steiner zo’n 100 jaar geleden deed, is nog even actueel als toen en zal dat blijven zolang de leerkracht zich zelf ook als in ontwikkeling zijnde, ervaart.

Eine Pädagogik braucht eine richtige Menschenerkenntnis, die auch lebendig wird in dem ganzen Menschen, die in unser Empfinden, die aber auch in den Willen geht. Es ist nötig, dass wir eine solche Menschenerkenntnis ausbilden.

Een pedagogie heeft een echte menskunde nodig, die ook gaat leven in de héle mens, die tot in ons gevoel, maar ook tot in onze wil komt. Zó’n menskun­de moeten we ontwikkelen.
GA 302/113
Vertaald/113

*Ik heb de titels letterlijk vertaald. De in het Nederlands vertaalde voordrachten hebben vaak een andere vertaling. Zie: Rudolf Steiner over pedagogie(k)

Kunstzinnig onderwijs

Rudolf Steiner: Algemene menskunde’

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

.

2517

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 12 – alle artikelen

.

voordracht 12
de bladzijden verwijzen naar de vertaling van 1993

Een kleine uitleg over de indeling in paragrafen:
Het eerste cijfer verwijst altijd naar de voordrachtenvolgorde in de uitgave. [12-
Het tweede cijfer is het onderwerp van de beschouwing, aangegeven met het bladzijnummer en een korte inhoudsomschrijving. [12-1]
Het derde cijfer [12-1-1] geeft een uitbreiding aan van de inhoud van [12-1]
Wanneer je de gang door de voordracht wil volgen, hoef je de uitbreidingen niet per se te lezen. De volgorde door de voordracht is dus de reeks [12-1] [12-2] [12-3] enz.
Als kleur: rood.

[12-1Blz. 173-174
De mens in samenhang met de minerale, plantaardige en dierlijke wereld; wisselwerking tussen mens en fysiek omringende wereld; over het hoofd: evolutionair gezien, evenwicht t.o.v. dieren; impulsen vanuit het hoofd: plastische impulsen; 

 

Algemene menskundealle artikelen

Menskunde en pedagogiealle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen op deze blog

Vrijeschool in beeldalle beelden

.

2515

 

 

 

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 309

.

ga 309

 Anthroposophische Pädagogik und ihre Voraussetzungen

Uitgangspunten van de vrijeschool

Blz. 63  vert. 63

Voordracht 4, Bern 16 april 1924

Und so hat man nötig, überall darauf zu sehen, daß das Kind nicht in vereinseitigt gewordenen Intellekt hineingetrieben werde. Das tut man aber, wenn man die Vorgänge des Lebens so an das Kind heranbringt, daß sie eben durchintellektualisiert sind. Das, was ich eben jetzt sage, kann sich auf alles beziehen, was dem Kinde beigebracht werden soll zwischen dem Zahnwechsel und der Geschlechtsreife. Vor allen Dingen handelt es sich zum Beispiel darum, daß wir auch im Rechnen darauf ausgehen, nicht zu intellektualisieren, sondern daß wir auch im Rechnen ausgehen von dem, was eben zunächst die Wirklichkeit ist. Sehen Sie, wenn vor mir liegen 10 Bohnen: die liegen vor mir; die sind die Wirklichkeit, die ich daher in mir sichtbare Gruppen teilen kann.

En zo is het nodig er overal op te letten dat het kind niet in het eenzijdig geworden intellect gedrukt wordt. Dat doet men echter wel, wanneer men, hoe het leven zich ontwikkelt, zo aan het kind bijbrengt dat dit vol intellectualisme zit. Wat ik nu zeg, kan betrekking hebben op alles wat het kind bijgebracht moet worden tussen de tandenwisseling en de puberteit. Boven al gaat het erom dat we bijv. met rekenen [5] erop letten niet te intellectualiseren, maar dat we in het rekenen uitgaan van wat nu eenmaal  de realiteit is. Kijk, wanneer ik 10 bonen voor me heb liggen, liggen ze voor me; die liggen er echt; ik kan ze zichtbaar in groepjes verdelen.

GA 309 blz. 63

Wenn ich sage: 3 + 3 + 4 Bohnen sind 10 Bohnen, dann setze ich von vorneherein das Gedachte an die Stelle der Wirklichkeit. Gehe ich aber davon aus, daß ich sage: In Wirklichkeit liegen vor mir 10 Bohnen; die kann ich bei ihrer Lage so einteilen, daß ich hier 3 habe, hier wieder­um 3, daß ich dann 4 dazufügen muß – gehe ich aus von der Summe, die wirklich daliegt, und zu den einzelnen Addenden hin, dann stehe ich in der Wirklichkeit, dann gehe ich von dem aus, was in Wirklichkeit immer da ist, von dem Ganzen, und ich gehe zu den Teilen über. Bringe ich dein Kinde das Addieren so bei, daß ich von der Summe ausgehe und in der verschiedensten Weise die Summe einteile – ich kann auch anders verteilen; ich kann die Bohnen auseinanderwerfen und anders gruppieren, ich kann herausbekommen: 10 = 2 + 2 + 3 + 3-, so habe ich dasjenige, was als Wirklichkeit konstant bleibt, in der ver­schiedensten Weise zerteilt. Man sieht daraus, daß man es in der ver­schiedensten Weise zerteilen kann, daß das Realere die unveränderliche Summe ist. Sie sehen, daß auch das, was durch wirkliche Menschenerkenntnis einem klar wird: daß das Kind nicht eingehen will in die­sem Lebensalter auf ein Abstraktes – und die Addenden sind etwas Abstraktes – sondern auf das Konkrete, daß das bedingt, daß man das Rechnen umgekehrt lehrt, als es gewöhnlich gelehrt wird; daß man von der Summe ausgeht beim Addieren und davon dann zu den Addenden übergeht, und sogar bemerklich macht, wie eine Summe in verschiedener

Wanneer ik zeg: 3 + 3 + 4 bonen zijn 10 bonen, zet ik meteen een gedachte op de plaats van de werkelijkheid. Ga ik er echter vanuit te zeggen: in werkelijkheid liggen er 10 bonen voor mij; die kan ik zoals ze liggen, zo verdelen dat ik er hier 3 heb, hier weer drie, dat ik er dan 4 bij moet leggen – dan ga ik uit van het totaal dat er werkelijk ligt en dan vandaaruit naar de optelgetallen: dan bevind ik mij in de realiteit, dan ga ik daadwerkelijk uit van wat er in werkelijkheid steeds is: van het geheel en ik ga over tot de delen. Wanneer ik het kind het optellen zo aanleer dat ik van het geheel uitga en op de meest uiteenlopende manier dit geheel verdeel – ik kan het ook anders verdelen; ik kan de bonen uit elkaar leggen en anders groeperen, ik kan doen: 10 = 2 + 2 + 3 + 3 =, dan heb ik hetgeen in werkelijkheid constant blijft, op de meest verschillende manieren verdeeld. Daaraan zie je dat je op de meest verschillende manieren kan verdelen; wat reëler is, is de niet te veranderen totaliteit. Je ziet, wat door menskunde duidelijk wordt: dat het kind op deze leeftijd niet wil meegaan in iets abstracts – en de optelgetallen zijn iets abstracts – maar op iets concreets en dat brengt met zich mee dat je het rekenen op een tegenovergestelde manier aanleert als tegenwoordig; dat je uitgaat van de totaliteit bij het optellen en vandaar naar de optelgetallen en dan erop wijst hoe een totaliteit op de

Blz. 64  vert. 64

Art verteilt werden kann. Dadurch, daß man dies tut, be­kommt man eine viel mehr der Wirklichkeit angepaßte Anschauung des Kindes als bei der gewöhnlich üblichen Methode.
Und so ist es eigentlich auch bei den anderen Rechnungsarten. Es wird ungemein Regsameres in dem Kinde hervorgerufen, wenn man sagt: Wieviel mußt du von 5 wegnehmen, damit du noch 2 hast? – als wenn man ihm sagt: Nimm 3 von 5 weg. – Und dieses: Wieviel mußt du von 5 wegnehmen, damit du noch 2 hast? – paßt sich auch viel mehr dem Leben an. Im Leben wird man es gerade damit zu tun haben. Und so handelt es sich wirklich darum, daß man schon in der Didaktik für diese Lebensepoche Wirklichkeitssinn entfaltet.

meest verschillende manieren verdeeld kan worden. Door het zo te doen, ontwikkelt het kind een waarnemen dat veel meer aan de realiteit is aangepast dan bij de gangbare methoden.
En dat is ook het geval bij de andere rekenvormen. Je stimuleert het kind op een bijzondere manier, wanneer je zegt: hoeveel moet je er van de 5 afdoen om 2 over te houden – dan wanneer je zegt: haal 3 van de 5 af.- En dit: hoeveel moet je er van de 5 afhalen, zodat je 2 overhoudt? – past veel meer bij het leven. Daar krijg je in het leven mee te maken. [6]  En het gaat er echt om, dat je ook al in je didactische aanpak in deze leeftijdsfase zin voor de realiteit ontplooit.
GA 309/63-64
Op deze blog vertaald/63-64

[5] Rekenen: over het “uitgaan van het geheel’: in 1e klas – alle artikelen  met name ‘temperament en rekenen’

[6] hoe waar dit is, ervaart bijna iedereen, elke maand, wanneer je naar je inkomen kijkt en daarvan wat over wil houden. Wat kan/moet/mag ik van mijn inkomen uitgeven, wil ik dit (spaar)bedrag overhouden!
Waarop de bekende grap berust: ‘Aan het eind van mijn salaris heb ik altijd nog een stukje maand over.’

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2512

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 307

.

GA 307

Gegenwärtiges Geisteslebenund Erziehung

Opvoeding en moderne kultuur

Voordracht 10, Ilkley 14 augustus 1923

Blz. 175  vert. 225

Wenn wir nun dem Kinde zum Beispiel etwas beibringen aus Rechnen oder Geometrie oder aus denjenigen Gebieten, die ich gestern angeführt habe als zeichnendes Malen, malendes Zeichnen, als Übergangzum Schreiben, so wird durch diesen Unterricht der physische Leib und der Ätherleib beeinflußt. Und wenn wir dem Äther- oder Bildekräfteleib das beibringen, was ich gestern hier skizziert habe, wenn wir ihm etwas beibringen von Rechnen oder Geometrie, so behält er das auch während des Schlafes, so schwingt er auch während des Schlafes fort.

Wanneer we nu het kind bijvoorbeeld iets bijbrengen van rekenen of geometrie, of uit die gebieden die ik gisteren aangehaald heb als tekenend schilderen, schilderend tekenen, als overgang naar het schrijven, dan wordt door dit onderwijs het fysieke lichaam en etherlichaam beïnvloed. En als we het ether- of vormkrachtenlichaam datgene bijbrengen wat ik gisteren hier geschetst heb, als we het iets bijbrengen van rekenen of geometrie, dan houdt het kind dat vast ook tijdens de slaap, dan vibreert het ook tijdens de slaap verder.

Blz. 176   vert. 226

Diejenigen Dinge nun, die ich gestern angeführt habe als Pflanzen- kunde, als dasjenige, was zum Schreiben und Lesen führt, das spricht alles zum physischen Leib und zum Ätherleib. Wir werden noch über den geschichtlichen Unterricht uns zu verständigen haben. Wir haben schon über den tierkundlichen und menschenkundlichen Unterricht Richtlinien gegeben; der spricht zu dem, was aus physischem Leib und Ätherleib herausgeht während des Schlafes. Rechnen, Geometrie spricht zu beiden; das ist das Merkwürdige. Und daher ist wirklich in bezug auf den Unterricht und die Erziehung Rechnen sowohl wie Geometrie, man möchte sagen, wie ein Chamäleon; sie passen sich durch ihre eigene Wesenheit dem Gesamtmenschen an. Und während man bei Pflanzenkunde, Tierkunde, Rücksicht darauf nehmen muß, daß sie in einer gewissen Ausgestaltung, so wie ich das gestern charakterisiert habe, in ein ganz bestimmtes Lebensalter hineinfallen, hat man bei Rechnen und Geometrie darauf zu sehen, daß sie durch das ganze kindliche Lebensalter hindurch getrieben werden, aber entsprechend geändert werden, je nachdem das Lebensalter seine charakteristischen Eigenschaften verändert.
Insbesondere aber hat man darauf zu sehen, daß – ja, es muß das schon gesagt werden – der Äther- oder Bildekräfteleib etwas ist, was mit sich auch fertig wird, auch auskommt, wenn es allein gelassen wird von unserem Ich und unserem astralischen Leib. Der Äther- oder Bildekräfteleib hat durch seine eigene innere Schwingungskraft immer die Tendenz, das was wir ihm beibringen, von selbst zu vervollkommnen,

Die dingen nu, die ik gisteren aangevoerd heb als plantkunde, als dat wat tot schrijven en lezen voert, dat spreekt allemaal tot het fysieke lichaam en tot het etherlichaam. We zullen nog moeten komen te spreken over het geschiedenisonderwijs. We hebben al over het dier- en menskundeonderwijs richtlijnen gegeven; dat spreekt tot datgene wat uit het fysieke lichaam en etherlichaam gaat tijdens de slaap. Rekenen, geometrie spreekt tot beide; dat is het merkwaardige. En daarom is met betrekking tot het onderwijs en de opvoeding zowel rekenen als geometrie, je zou willen zeggen, net als een kameleon; ze passen zich door hun eigen wezen aan de totale mens aan. En terwijl je bij plantkunde, dierkunde er rekening mee moet houden dat die in een bepaalde gestalte, zoals ik dat gisteren heb gekarakteriseerd, in een zeer bepaalde leeftijd vallen, moet je bij rekenen en geometrie erop letten dat die gedurende de hele kindertijd heen worden beoefend, maar adequaat worden veranderd, al naar gelang de leeftijd zijn karakteristieke eigenschappen verandert. In het bijzonder echter moet je erop toezien dat – ja, dat moet wel gezegd worden — het ether- of vormkrachtenlichaam iets is wat met zichzelf ook klaarkomt, zich ook redt als het alleen gelaten wordt door ons Ik en ons astrale lichaam. Het ether- of vormkrachtenlichaam heeft door zijn eigen innerlijke vibratiekracht steeds de tendens om dat wat we hem bijbrengen, vanzelf te vervolmaken, verder te ontwikkelen.

Blz. 177  vert. 226-227

weiterzubilden. In bezug auf astralischen Leib und Ich sind wir dumm. Wir machen dasjenige, was wir in dieser Beziehung als Mensch beigebracht bekommen, unvollkommner. Und so ist es tatsächlich wahr, daß übersinnlich unser Bildekräfteleib vom Einschlafen bis zum Aufwachen dasjenige, was wir ihm als Rechnen beigebracht haben, fortrechnet. Wir sind gar nicht in unserem physischen und Ätherleib drinnen, wenn wir schlafen; aber die rechnen fort, die zeichnen über- sinnlich ihre Geometriefiguren fort, vervollkommnen sie. Und wenn wir das wissen und den ganzen Unterricht daraufhin anlegen, so bekommen wir durch einen richtig gearteten Unterricht eine ungeheure Lebendigkeit im ganzen Weben und Wesen des Menschen zustande. Wir müssen nur in entsprechender Weise diesem Äther- oder Bildekräfteleib Gelegenheit geben, die Dinge, die wir ihm beibringen, weiter zu vervollkommnen.
Dazu ist es nötig, daß wir zum Beispiel in der Geometrie nicht mit jenen Abstraktionen, mit jenen intellektualistischen Gestaltungen beginnen, mit denen man gewöhnlich sich denkt, daß die Geometrie an- fangen müsse; sondern es ist nötig, daß man mit einer nicht äußerlich gearteten, sondern innerlich gearteten Anschauung beginne, daß man in dem Kinde zum Beispiel einen starken Sinn für Symmetrie erwecke.

Wat het astrale lichaam en het Ik betreft zijn we dom. We maken dat wat we in dit opzicht als mens bijgebracht krijgen onvolmaakter. En zo is het feitelijk waar dat ons vormkrachtenlichaam van het inslapen tot het wakker worden dat wat we hem als rekenen bijgebracht hebben, bovenzinnelijk doorgaat met rekenen. We zitten helemaal niet in ons fysieke en etherlichaam wanneer we slapen; maar die gaan door met rekenen, die tekenen bovenzinnelijk verder aan hun geometrische figuren, vervolmaken ze. En als we dat weten en het hele onderwijs daarop inrichten, dan krijgen we door een juist geaard onderwijs een geweldige levendigheid in het hele weven en leven van de mens. We moeten alleen op passende wijze dit ether- of vormkrachtenlichaam gelegenheid geven de dingen die we hem bijbrengen, verder te vervolmaken. Daartoe is het nodig dat we bijvoorbeeld in de geometrie niet met die abstracties, met die intellectualistische vormgeving beginnen waarvan normaal gedacht wordt dat de geometrie daarmee moet beginnen; nee, het is nodig dat je met een niet uiterlijk geaarde, maar innerlijk geaarde zienswijze begint, dat je in het kind bijvoorbeeld een sterk gevoel voor symmetrie oproept.
GA 307/177
Vertaald/226

Blz. 181/182  vert. 231-232

Man muß dasjenige, was hier in bezug auf das Anschaulich-Räumliche gesagt worden ist, nun auch ausdehnen können auf das Rechnerische. Da handelt es sich namentlich darum, daß alles dasjenige, was in äußerlicher Weise das Rechnen und schon das Zählen an das Kind heranbringt, eigentlich die menschliche Organisation ertötet. Alles dasjenige, was vom Einzelnen ausgeht, Stück an Stück reiht, das ertötet die menschliche Organisation. Dasjenige, was vom Ganzen ausgeht zu den Gliedern, zuerst die Vorstellung des Ganzen hervorruft, dann die der Teile, das belebt die menschliche Organisation. Das ist etwas, was schon beim Zählenlernen in Betracht kommt. Wir lernen die Zahlen in der Regel dadurch, daß wir uns an das ganz Äußerliche, im physisch-sinnlichen Leben Vorsichgehende halten.
Wir lernen zählen, indem wir eins haben; das nennen wir die Einheit. Dann fügen wir dazu zwei, drei, vier, und so geht es fort, wir legen Erbse zu Erbse, und es ist gar keine Vorstellung, keine Idee da, warum das eine zum anderen gelegt wird, was daraus eigentlich wird. Man lernt zählen, indem an die Willkür des Nebeneinanderlegens appelliert wird. Ich weiß wohl, daß in vielfacher Weise diese Willkür variiert wird, allein dasjenige, um was es sich handelt, wird heute noch im allergeringsten Maße irgendwo berücksichtigt: daß von einem Ganzen ausgegangen wird und zu den Teilen, Gliedern, fortgeschritten werde. Die Einheit ist dasjenige, was zunächst vorgestellt werden soll auch vom Kinde als ein Ganzes. Irgend etwas, was es auch ist, ist eine Einheit. Nun, wenn man genötigt ist, die Sache durch Zeichnen zu vergegenwärtigen, muß man eine Linie hinzeichnen; man kann auch einen Apfel benützen, um dasselbe zu machen, was ich jetzt mit der Linie machen werde. Da ist eins, und nun geht man von dem Ganzen zu den Teilen, zu den Gliedern, und jetzt hat man aus eins eine Zwei gemacht.

Je moet dat wat hier met betrekking op het aanschouwelijk-ruimtelijke is gezegd, nu ook kunnen uitbreiden naar het rekenkundige. Daar gaat het met name erom dat alles wat op uiterlijke wijze het kind vertrouwd maakt met het rekenen en ook het tellen, eigenlijk de menselijke organisatie doodt. Alles wat van eenheden uitgaat, stuk aan stuk rijgt, dat doodt de menselijke organisatie. Datgene wat van het geheel uitgaat naar de delen, eerst de voorstelling van het geheel oproept, vervolgens die van de delen, dat brengt leven in de menselijke organisatie. Dat is iets wat al bij het leren tellen in aanmerking komt. We leren de getallen doorgaans doordat we ons vasthouden aan het geheel uiterlijke, zich in het fysiek-zintuiglijke leven afspelende leven.
We leren tellen doordat we één hebben; die noemen we de eenheid. Dan voegen we daar twee, drie, vier enzovoort aan toe, we leggen erwt bij erwt, en er is helemaal geen voorstelling, geen idee waarom de ene bij de andere gelegd wordt, wat daar eigenlijk uit ontstaat. Je leert tellen doordat aan de willekeur van het naast elkaar leggen wordt geappelleerd. Ik weet wel dat deze willekeur op velerlei wijzen wordt gevarieerd, alleen met datgene waar het om gaat, wordt tegenwoordig nog maar in de allergeringste mate rekening gehouden: dat van een geheel uitgegaan wordt en naar de delen, onderdelen verdergegaan wordt. De eenheid is wat als eerste voorgesteld moet worden ook door het kind als een geheel. Alles wat er ook maar is, is een eenheid. Welnu, als je genoodzaakt bent om de zaak door te tekenen te laten zien, moet je een lijn uittekenen; je kunt ook een appel gebruiken om hetzelfde te doen wat ik nu met de lijn zal doen. Daar is één en nu ga je van het geheel naar de delen, en nu heb je uit één een twee gemaakt.

Die Einheit ist geblieben. Die Einheit ist in zwei geteilt worden. Man hat die Einheit «entzwei» geteilt, dadurch ist die Zwei entstanden. Nun geht man weiter, es entsteht durch weitere Gliederung die Drei. Die Einheit bleibt immer als das Umfassende bestehen; und so schreitet man weiter durch die Vier, Fünf, und man kann zugleich durch andere Mittel eine Vorstellung hervorrufen, wie weit man die Dinge zusammenhalten kann, die auf die Zahlen sich beziehen. Man wird dabei die Entdeckung machen, daß eigentlich der Mensch in bezug auf das Anschauliche der Zahl beschränkt ist.

De eenheid is blijven bestaan. De eenheid is in tweeën gedeeld. Je hebt de eenheid in tweeën gedeeld, daardoor is de twee ontstaan. Nu ga je verder, er ontstaat door verdere deling de drie. De eenheid blijft steeds als het allesomvattende bestaan; en zo ga je verder door met vier, vijf, en je kunt tegelijk met andere middelen een voorstelling oproepen hoe ver je de dingen bijeen kunt houden die op de getallen betrekking hebben. Je zult daarbij ontdekken dat de mens eigenlijk met betrekking tot het aanschouwelijke van het getal beperkt is.

Blz. 183  vert. 232-233

Bei gewissen Völkern der modernen Zivilisation umfaßt man eigentlich nur den überschaulichen Zahlbegriff bis zehn; hier in England, kann man im Geld bis zwölf rechnen. Das ist aber auch etwas, was schon das höchste in dem Überschaulichen darstellt. Dann fängt man ja eigentlich wieder an, dann zählt man eigentlich die Zahlen; man zählt zuerst die Dinge bis zehn, aber dann fängt man an, die Zehn zu zählen: zweimal zehn = zwanzig, dreimal zehn = dreißig. Man bezieht sich da schon gar nicht mehr auf die Dinge, sondern man geht dazu über, die Zahl selbst auf das Rechnen anzuwenden, weil durch den Elementarbegriff schon die Dinge selbst als ein Anschauliches verlangt werden. Und wenn gar das moderne Anschauen so stolz darauf ist, daß wir es in bezug auf das Zählen so weit gebracht haben, während die wilden Völker auf ihre zehn Finger angewiesen sind, so ist es mit dem Stolz gar nicht so weit her, sondern wir zählen bis zehn, weil wir die Glieder spüren, die Gliederung der Hände die darinnen liegt, daß wir symmetrisch die Hände empfinden, die zehn Finger. Dieses Empfinden ist demgemäß auch herausgeholt, ist erlebt, und man muß in dem Kinde den Übergang hervorrufen von dem Ganzen, der Einheit in die Teile als Zahl. Dann wird man leicht jenen anderen Übergang zum Zählen finden können, indem man eines an das andere legt.

Bij bepaalde volkeren van de moderne civilisatie wordt eigenlijk alleen het overzichtelijke getalsbegrip tot tien omvat; hier in Engeland kan men in het geld tot twaalf rekenen. Maar dat is ook iets wat wel het hoogste vertegenwoordigt dat je kunt overzien. Dan begin je toch eigenlijk weer opnieuw, dan tel je eigenlijk de getallen; je telt eerste de dingen tot tien, maar dan begin je de tien te tellen: tweemaal tien = twintig, driemaal tien = dertig. Je refereert daar al helemaal niet meer aan de dingen, maar je gaat ertoe over het getal zelf op het rekenen toe te passen, terwijl het elementaire begrijpen de dingen zelf wel als iets aanschouwelijks wil zien. En ook al is het moderne onderzoek zo trots erop dat we het met betrekking tot het tellen zo ver gebracht hebben, terwijl de onbeschaafde volkeren op hun tien vingers aangewezen zijn, toch heeft die trots helemaal niet zo veel te betekenen; integendeel, wij tellen tot tien omdat we de delen voelen, de geleding van de handen, die erin gelegen is dat we de handen, de tien vingers als symmetrisch ervaren. Deze ervaring is daarmee overeenkomend ook er uitgehaald, is beleefd, en je moet in het kind de overgang te voorschijn roepen van het geheel, de eenheid naar de delen als getal. Dan zul je gemakkelijk die andere overgang naar het tellen kunnen vinden doordat je het ene naast het andere legt.

Man kann ja dann übergehen zu eins, zwei, drei und so weiter. Also das rein additive Zählen, das ist dasjenige, was erst in zweiter Linie kommen darf; denn das ist eine Tätigkeit, die lediglich hier im physischen Raume eine Bedeutung hat, während das Gliedern der Einheit eine solche innere Bedeutung hat, daß es wiederum fortschwingt im ätherischen Leib, auch wenn der Mensch nicht dabei ist. Darauf kommt es an, daß man diese Dinge weiß.
Ebenso handelt es sich darum, daß, wenn wir das Zählen auf diese Weise überwunden haben, wir nun nicht leblos mechanisch zum Addieren übergehen, wo wir dann Addend zu Addend reihen. Das Lebendige kommt in die Sache hinein, wenn wir nicht von den Teilen der Addition ausgehen, sondern von der Summe; wenn wir also eine Anzahl von Dingen, sagen wir, eine Anzahl von Kugeln hinwerfen – nun, im Zählen sind wir so weit, daß wir sagen können, das sind vierzehn Kugeln. Jetzt gliedere ich dieses, indem ich den Begriff des Teiles

Je kunt vervolgens overgaan naar één, twee, drie enzovoort. Dus het zuiver additieve tellen, dat is iets wat pas in tweede instantie mag komen. Want dat is een activiteit die enkel en alleen hier in de fysieke ruimte betekenis heeft, terwijl het onderverdelen van de eenheid een zodanige innerlijke betekenis heeft dat die weer in het etherlichaam verder vibreert, ook wanneer de mens daar niet bij is. Het komt erop aan dat je deze dingen weet.
Net zo gaat het erom dat, wanneer we het tellen op deze wijze overwonnen hebben, we nu niet levenloos mechanisch tot adderen, tot optellen overgaan, waar we dan het op te tellen getal aan getal, addendum aan addendum rijgen. Het levendige komt in de zaak binnen als we niet van de delen van de optelling uitgaan, maar van de som. Als we dus een aantal dingen, laten we zeggen, een aantal bolletjes neergooien — welnu, in het tellen zijn we zo ver dat we kunnen zeggen dat het veertien bolletjes zijn. Nu verdeel ik dit onder, doordat ik het begrip van het gedeelte

Blz. 184  vert. 233-234

fortsetze. Ich habe hier fünf, hier vier, hier wiederum fünf; so daß ich die Summe auseinandergeworfen habe in fünf, vier, fünf. Ich gehe also über von der Summe zu den Addenden, von detn Ganzen zu den Teilen, und versuche beim Kinde so vorzugehen, daß ich immer die Summe gewissermaßen hinstelle und das Kind darauf kommen lasse, wie sich die Summe gliedern kann in die einzelnen Addenden.
Also ist es außerordentlich wichtig, daß man, wie man beim Fahren die Pferde nicht beim Schwanze aufzäumt, sondern beim Kopfe, ebenso seelisch mit dem Rechnen vorgehe; daß man tatsächlich von der Summe, die eigentlich in allem immer gegeben ist, von dem Ganzen ausgeht: das ist das Reale. Vierzehn Äpfel, die sind das Reale – nicht die Addenden sind das Reale; die verteilen sich nach den Lebensverhältnissen in der verschiedensten Weise. So daß man also ausgeht von dem, was immer das Ganze ist, und übergeht zu den Teilen. Dann wird man den Weg wiederum zurückfinden zu dem gewöhnlichen Addieren.Aber man hat eben, wenn man so vorgeht, wenn man vom ganz Lebendigen übergeht zum Teilen, erreicht, daß dasjenige, was zugrunde liegt dem Rechnen, der Bildekräfteleib, der eben lebendige Anregung haben will zum Bilden, in Schwingungen versetzt wird, die er dann vervollkommnend fortsetzt, ohne daß wir dann mit unserem störenden astralischen Leib und der Ich-Organisation dabei zu sein brauchen.
Ebenso wird der Unterricht in einer ganz besonderen Weise belebt, wenn man die anderen Rechnungsarten vom Kopf, wo sie heute vielfach stehen, wiederum auf die Beine stellt; wenn man zum Beispiel

voortzet. Ik heb hier vijf, hier vier, hier weer vijf; zodat ik het totaal uiteen gegooid heb in vijf, vier, vijf. Ik ga dus over van het totaal naar de addenda, van het geheel naar de delen. En ik probeer bij het kind zo te werk te gaan dat ik steeds het geheel, de som in zekere zin neerzet en het kind erop laten komen hoe de som zich kan delen in de afzonderlijke addenda.

Dus is het buitengewoon belangrijk dat je, zoals je de paarden bij het rijden niet bij de staart maar bij het hoofd optuigt, zielsmatig precies zo met het rekenen te werk gaat; dat je daadwerkelijk van de som, die eigenlijk in alles steeds is gegeven, van bet geheel uitgaat: dat is het reële. Veertien appels, dat is het reële – niet de addenda zijn het reële; die verdelen zich naar de levensomstandigheden op de meest uiteenlopende wijze. Je gaat dus uit van dat wat altijd het geheel is, en je gaat over naar de delen. Dan zul je de weg weer terugvinden naar het normale optellen. Maar je hebt, als je zo te werk gaat, als je van het heel levendige overgaat naar het delen, bereikt dat datgene wat ten grondslag ligt aan het rekenen, het vormkrachtenlichaam, dat nu eenmaal een levendige stimulering wil krijgen om te vormen, in vibraties wordt omgezet, die het vervolgens vervolmakend voortzet zonder dat we dan met ons storende astrale lichaam en Ik-organisatie daarbij hoeven te zijn.
Net zo wordt het onderwijs op een heel bijzondere manier beleefd wanneer je de andere rekensoorten van het hoofd, waar die tegenwoordig vaak staan, weer op de voeten zet. Als je bijvoorbeeld er

Blz. 185  vert. 235

darauf hinarbeitet, das Kind dazu zu bringen, daß es sagt: Wenn man sieben hat, wieviel muß man wegnehmen, damit man drei bekommt? – nicht: Was bekommt man, wenn man von sieben vier wegnimmt? -, sondern umgekehrt: Wenn man sieben hat – das ist das Reale – und was man bekommen will, ist wiederum das Reale. Wieviel muß man von sieben wegnehmen, damit man drei bekommt? – Mit dieser Form des Denkens steht man im Leben zunächst drinnen, während man mit der anderen Form in der Abstraktion drinnen steht. So daß man, wenn man in dieser Art verfährt, dann sehr leicht zu dem anderen zurückkehren kann.
In derselben Weise soll man beim Multiplizieren, beim Dividieren vorgehen, nicht fragen: Was entsteht, wenn man zehn in zwei teilt? -, sondern: Wie muß man zehn teilen, damit man fünf bekommt? – Man hat ja das Reale als Gegebenes, und im Leben soll dasjenige herauskommen, was dann eine Bedeutung hat. Zwei Kinder sind da, unter denen sollen zehn Äpfel geteilt werden, jedes soll fünf bekommen: das sind die Realitäten.

naartoe werkt het kind ertoe te brengen om te zeggen: als je zeven hebt, hoeveel moet ik dan weghalen om drie te krijgen? – niet: wat krijg je als je van de zeven vier weghaalt maar omgekeerd: als je zeven hebt -dat is het reële – en wat je wilt krijgen is weer het reële. Hoeveel moet je van zeven wegnemen opdat je drie krijgt? – Met deze vorm van denken sta je in eerste instantie in het leven, terwijl je met de andere vorm in de abstractie staat. Zodat je, als je op deze wijze te werk gaat, dan heel gemakkelijk naar het andere kunt terugkeren
Op dezelfde manier moet je bij het vermenigvuldigen, bij het delen te werk gaan, niet vragen: wat ontstaat er als je tien door twee deelt? —, maar: hoe moet je tien delen opdat je vijf krijgt? – Je hebt immers het reële als gegeven en in het leven moet datgene naar voren komen wat betekenis heeft. Er zijn twee kinderen onder wie tien appels verdeeld moeten worden, ieder zal er vijf krijgen: dat zijn de realiteiten.

Was man dazu tun muß, das ist das Abstrakte, das in die Mitte hineinkommt. So sind die Dinge immer unmittelbar dem Leben angepaßt. Gelingt einem dieses, dann ergibt sich, daß wir dasjenige, was wir heute in additiver Weise, in rein äußerlich nebeneinanderfügender Weise vielfach vornehmen und wodurch wir ertötend wirken, gerade im rechnenden Unterricht als Belebendes haben. Und darauf ist zu sehen gerade bei diesem Unterricht, daß wir wirklich auch das Unterbewußte des Menschen, das heißt dasjenige berücksichtigen, was in den Schlaf hineinwirkt und was auch sonst unterbewußt wirkt, wenn der Mensch wach ist. Denn der Mensch denkt ja nicht immer an alles, sondern er denkt an einen kleinen Teil desjenigen, was er seelisch erlebt hat; das andere arbeitet aber immer fort. Gönnen wir es dem Kinde, daß in gesunder Weise sein physischer und sein Ätherleib fortarbeiten. Das können wir aber nur, wenn wir wirklich Spannung, Interesse, Leben hineinbringen gerade in den Rechnungs- und Geometrieunterricht.

Wat je daarvoor moet doen, dat is het abstracte dat in het midden binnenkomt. Zo zijn de dingen steeds rechtstreeks aangepast aan het leven.
Lukt je dit, dan ontstaat er dat we datgene wat we tegenwoordig op additieve wijze, op zuiver uiterlijk naast elkaar schikkende wijze vaak aanpakken en waardoor wij dodend werkzaam zijn, juist in het rekenonderwijs als iets levengevends hebben. En we moeten juist bij dit onderwijs erop letten dat we werkelijk ook met het onderbewuste van de mens, dat wil zeggen met datgene rekening houden wat in de slaap naar binnen werkzaam is, en wat ook anders onderbewust werkt wanneer de mens wakker is. Want de mens denkt immers niet altijd aan alles, maar hij denkt aan een klein deel van wat hij zielsmatig heeft; dat andere werkt echter altijd door. We gunnen ’t het kind dat op een gezonde manier zijn fysieke en zijn etherlichaam verder werken. Dat kunnen we echter alleen als we echt spanning, interesse, leven binnenbrengen juist in het reken- en meetkundeonderwijs.

Blz. 187  vert. 238

Zu dem ganzen Menschen gehört eben nicht bloß das Bewußte, sondern auch das jeweilig Unbewußte. Und in bezug auf alle diese Dinge muß eben gesagt werden: Der Unterricht und die Erziehung haben nicht nur an den ganzen Menschen zu appellieren, sondern auch an die Teile, an die Glieder des Menschen. – Aber dann ist es auch notwendig, vom Ganzen auszugehen, das Ganze zunächst zu ergreifen und dann die Teile, während man sich sonst um den ganzen Menschen gar nicht kümmert, wenn man im Zählen eins zum anderen legt, wenn man im Zählen Addend zu Addend gibt. An den ganzen Menschen richtet man sich, wenn man die Einheit ins Auge faßt und von da zu den Zahlen übergeht, wenn man die Summe, den Minuenden ins Auge faßt, den Quotienten, das Produkt, und von da zu den Gliedern übergeht.

Bij de hele mens hoort nu eenmaal niet alleen het bewuste, maar ook het huidige onbewuste. En in verband met al deze dingen moet nu juist gezegd worden: het onderwijs en de opvoeding moeten niet alleen aan de gehele mens appelleren, maar ook aan de delen, aan de geledingen van de mens. — Dan is het echter ook nodig om van het geheel uit te gaan, het geheel eerst aan te vatten en dan de delen, terwijl je je anders helemaal niet bekommert om de totale mens als je bij het tellen het ene bij het andere legt, als je bij het tellen addendum bij addendum geeft. Op de totale mens richt je je als je de eenheid bekijkt en vandaar naar de getallen overgaat, als je de som, het aftrektal bekijkt, het quotiënt, het product, en vandaar naar de delen overgaat.
GA 307/181-187
Vertaald/231-238

Blz. 212  vert. 272  

Voordracht 12, Ilkley 16 augustus 1923

Auch der rechnerische Unterricht ist durchaus zur Ausbildung des Gedächtnisses zu benützen. Es ist das so, daß wir immer beginnen sollen im Rechnen mit dem künstlerischen Verstehen der Dinge, wie es in diesen Tagen gezeigt worden ist.
Aber wenn wir wirklich dafür gesorgt haben, daß das Einfachere, sagen wir, die Zahlen bis zehn oder meinetwillen bis zwanzig in ihrer Handhabung bei den Rechnungsoperationen durchschaut worden sind,
dann brauchen wir nicht davor zurückzuschrecken, das übrige gedächtnismäßig an das Kind herankommen zu lassen.

Ook het rekenonderwijs is zeker te gebruiken om het geheugen te vormen.
Het is zo dat we bij het rekenen altijd moeten beginnen met het kunstzinnig begrijpen van de dingen, zoals het deze dagen is aangegeven.
Maar als we er werkelijk voor hebben gezorgd dat het eenvoudigere, laten we zeggen de getallen tot tien, of voor mijn part tot twintig, in hun gebruik bij de rekenoperaties worden doorzien, dan hoeven we er niet voor terug te schrikken het overige materiaal geheugenmatig op het kind af te laten komen. En we moeten het kind net zo weinig met geheugenmateriaal als met te ver doorgedreven aanschouwelijk materiaal overbelasten. Want begrippen die te ver in het gecompliceerde worden gedreven, die belasten het geheugen. We moeten dus juist wat de ontwikkeling van het geheugen betreft zorgvuldig kijken naar hoe je dat bij het individuele kind doet.
GA 307/212
Vertaald
/272

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2510

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 305

.

GA 305

Die geistig-seelischen Grundkräfte der Erziehungskunst

Opvoeding en onderwijs

Blz. 109  vert. 95

Voordracht 5, Oxford 21 augustus 1922

Früh ist das Kind bereits veranlagt für die ersten Elemente der Rechenkunst. Aber gerade bei der Rechenkunst kann man beobachten, wie nur allzuleicht ein intellektualistisches Element zu früh in das Kind hineinkommt. Rechnen als solches ist ja keinem Menschen in keinem Lebensalter ganz fremd. Es entwickelt sich aus der menschlichen Natur heraus, und es kann nicht eine solche Fremdheit zwischen den mensch­lichen Fähigkeiten und den Rechenoperationen eintreten wie zwischen diesen Fähigkeiten und den Buchstaben in einer folgenden Kultur. Aber dennoch, gerade darauf kommt ungeheuer viel an, daß der Rechenunterricht in richtiger Weise an das Kind herangebracht wird. Das kann im Grunde genommen nur derjenige beurteilen, der aus einer gewissen spirituellen Grundlage heraus das gesamte menschliche Leben beob­achten kann.
Zwei Dinge liegen logisch scheinbar einander recht fern: Rechenunterricht und moralische Prinzipien. Man rückt gewöhnlich gar nicht den Rechenunterricht an die moralischen Prinzipien heran, weil man keinen logischen Zusammenhang zunächst findet. Aber für den, der nun nicht bloß logisch, sondern lebensvoll betrachtet, für den stellt sich die Sache so, daß das eine Kind, das in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist, ein ganz anderes moralisches Ver­antwortungsgefühl im späteren Alter hat, als dasjenige Kind, das nicht 

Het kind is al vroeg ontvankelijk voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg een intellectualistisch element wordt opgedrongen. Het rekenen als zodanig is geen mens, op wat voor leeftijd dan ook, volkomen vreemd. Het ontwikkelt zich vanuit de menselijke natuur, en de rekenkundige operaties kunnen nooit zo ver af komen te staan van de menselijke vermogens als dat het geval is met de letters in een volgende cultuur. Maar toch is het juist van ongelooflijk belang dat het kind het rekenonderwijs op de juiste manier krijgt aangeboden. Dat kan in principe alleen worden beoordeeld door wie op basis van een zekere spirituele grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
Er zijn twee dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken lijken te hebben: rekenonderwijs en morele principes. Het rekenonderwijs brengt men normaal gesproken helemaal niet met morele principes in verband, omdat daar in eerste instantie ook geen logische samenhang tussen te ontdekken valt. Voor wie niet alleen de logica laat gelden maar vanuit de volheid van het leven naar de dingen kijkt, ligt de zaak evenwel anders. Een kind dat op de juiste manier heeft leren rekenen, zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten dan een kind dat het

Blz. 110  vert. 96/97

in der richtigen Weise an das Rechnen herangebracht worden ist. Und, es wird Ihnen vielleicht außerordentlich paradox erscheinen, aber da ich über Wirklichkeiten spreche, und nicht über dasjenige, was sich unser Zeitalter einbildet, so möchte ich, da die Wahrheit unserem Zeit­alter oftmals paradox erscheint, auch nicht zurückschrecken vor sol­chen Paradoxien. Wenn wir nämlich verstanden hätten als Menschen, in den verflossenen Jahrzehnten die menschliche Seele in der richtigen Weise in den Rechenunterricht tauchen zu lassen, hätten wir heute keinen Bolschewismus im Osten von Europa. Das ist dasjenige, was sich ergibt, was man innerlich sieht: mit welchen Kräften diejenige Fähig­keit, die im Rechnen sich auslebt, sich verbindet mit dem, was auch das Moralische im Menschen ergreift.
Nun werden Sie vielleicht mich noch besser verstehen, wenn ich ein klein wenig das Prinzip des Rechenunterrichts Ihnen darlege. Heute geht doch vielfach das Rechnen davon aus, daß wir zunächst damit beginnen, daß wir eins zum anderen hinzufügen. Allein bedenken Sie, welche fremde Betätigung das für die menschliche Seele ist, daß man eine Erbse zu den anderen hinzufügt, und immer wenn etwas hinzu­gefügt ist, man wieder einen neuen Namen gibt.

rekenen niet op de juiste manier is bijgebracht. Het volgende zal u misschien volkomen paradoxaal in de oren klinken, maar ik heb het over de werkelijkheid en niet over wat ons tijdperk zich verbeeldt. Daarom wil ik, al lijkt waarheid in onze tijd vaak paradoxaal, voor zulke paradoxen ook niet terugschrikken. Als wij namelijk als mens in de afgelopen decennia de kunst hadden verstaan om de menselijke ziel op de juiste manier in het rekenonderwijs onder te dompelen, dan was er nu geen bolsjewisme in Oost-Europa. Dat is wat de innerlijke blik ons toont: hoe sterk het vermogen dat zich in het rekenen manifesteert samenhangt met wat ook het morele in de mens beheerst.
Nu zult u mij misschien nog beter begrijpen, als ik u een klein beetje vertel over het principe van het rekenonderwijs. U weet, tegenwoordig is het uitgangspunt van het rekenen meestal dat we beginnen met het optellen van het een bij het ander. Maar bedenkt u nu eens wat een eigenaardige bezigheid dat is voor de menselijke ziel, om het ene erwtje bij het andere te leggen en dan steeds als er iets bij gekomen is daar weer een nieuwe naam aan te geven.

Der Übergang von eins zu zwei, dann wiederum zu drei, dieses Zählen ist ja etwas, was ganz wie willkürlich im Menschen als Tätigkeit sich vollzieht. Aber es gibt eine andere Möglichkeit, zu zählen. Wir finden diese Möglich­keit, wenn wir etwas in der menschlichen Kulturgeschichte zurück­gehen. Denn ursprünglich wurde gar nicht so gezählt, daß man eine Erbse zu der anderen legte, Einheit zu Einheit hinzulegte, und dadurch etwas Neues entstand, was wenigstens zunächst für das Seelenleben außerordentlich wenig mit dem Vorhergehenden zu tun hat. Aber man zählte etwa in der folgenden Weise. Man sagte sich: Was man im Leben hat, ist immer ein Ganzes, das man als Ganzes aufzufassen hat, und es kann das Verschiedenste eben eine Einheit sein. Wenn ich einen Volkshaufen vor mir habe, so ist er zunächst eine Einheit. Wenn ich einen einzelnen Menschen vor mir habe, ist er auch eine Einheit. Die Einheit ist im Grunde genommen etwas ganz Relatives. Das berücksichtige ich, wenn ich nicht zähle 1, 2, 3, 4 und so fort, sondern wenn ich in der folgenden Weise zähle:

Het overgaan van één naar twee en dan weer naar drie, het tellen is toch iets wat zich als een volkomen willekeurige activiteit in de mens afspeelt. Het is ook mogelijk om op een andere manier te tellen. Die mogelijkheid ontdekken we als we een stukje teruggaan in de menselijke cultuurgeschiedenis. Want oorspronkelijk werd er helemaal niet geteld door de ene erwt naast de andere te leggen. Men voegde niet eenheid bij eenheid, waardoor iets nieuws ontstond, dat, althans voor het zieleleven, bijzonder weinig te maken had met wat er eerst was geweest. Men telde daarentegen ongeveer op de volgende manier. Men zei: alles in het leven vormt altijd een geheel, dat men ook als geheel moet opvatten. Zelfs het meest heterogene kan een eenheid vormen. Als ik een mensenmenigte voor mij heb, is die toch in de eerste plaats een eenheid. En als ik een enkele mens voor mij heb is dat ook een eenheid. De eenheid is in de grond van de zaak iets heel betrekkelijks. Daar hou ik rekening mee als ik niet tel van een, twee, drie, vier enzovoort, maar als ik op de volgende manier tel:

Blz. 111  vert. 97

und so weiter, wenn ich das Ganze gliedere, weil ich also von der Ein­heit ausgehe, und in der Einheit als Mannigfaltigkeit die Teile suche. Das ist auch die ursprüngliche Anschauung vom Zählen. Die Einheit war immer das Ganze, und in der Einheit suchte man erst die Zahlen. Man dachte sich nicht die Zahlen entstehend als 1 zu 1 hinzugefügt, sondern man dachte sich die Zahlen alle als in einer Einheit darinnen, aus der Einheit organisch hervorgehend.
Das, angewendet auf den ganzen Rechenunterricht, gibt das Fol­gende: Sie werfen, statt daß Sie Erbse zu Erbse hinzulegen, einen Erb­senhaufen dem Kinde hin. (Es wird gezeichnet.) Der Erbsenhaufe ist das Ganze. Von dem geht man aus. Und jetzt bringt man etwa dem Kinde bei: Ich habe den Erbsenhaufen, oder, sagen wir, damit es für das Kind empfindlich anschaulich wird, einen Haufen von Äpfeln und 3 Kinder, vielleicht 3 Kinder von verschiedenem Alter, die verschieden stark zu essen haben, und wir wollen etwas tun, was mit dem Leben zusammenhängt. Was können wir da tun? Nun, wir können das tun, daß wir den Äpfelhaufen in einer gewissen Weise teilen, und daß wir dann den ganzen Haufen als Summe betrachten gleich den einzelnen Teilen, in die wir ihn aufgeteilt haben. Wir haben den Äpfelhaufen dort, und wir sagen: Wir haben 3 Teile, und bringen so dem Kinde bei, daß die Summe gleich ist den 3 Teilen. Summe =3 Teile. Das heißt, wir gehen bei der Addition nicht von den einzelnen Teilen aus und haben nachher die Summe, sondern wir nehmen zuerst die Summe und gehen zu den Teilen über. So gehen wir von dem Ganzen aus, und gehen zu den 

enzovoort, als ik het geheel onderverdeel, als ik dus uitga van de eenheid en daarin als in een menigvuldigheid de delen zoek. Dat is ook de oorspronkelijke opvatting van het tellen. De eenheid was altijd het totaal, en in die eenheid zocht men pas de getallen. Men stelde zich de getallen niet voor als ontstaan uit één, waar één werd bijgevoegd, maar men stelde zich de getallen allemaal voor als in een eenheid besloten, en vanuit die eenheid dan op een organische manier ontstaan.
Als we dat toepassen op het hele rekenonderwijs, levert dat het volgende op: u geeft het kind, in plaats van erwt na erwt neer te leggen, een handjevol erwten tegelijk:

Dat handjevol erwten is het geheel. Dat is waar we van uitgaan. En dan zegt u ongeveer het volgende tegen het kind: hier heb ik een handjevol erwten, of laten we zeggen, dat is wat aanschouwelijker, daar kan het kind beter in meegaan: ik heb hier een berg appels en drie kinderen, drie kinderen misschien van verschillende leeftijd, die niet allemaal evenveel eten. En nu willen we iets doen dat alles te maken heeft met het leven. Wat kunnen we dan doen? Welnu, we kunnen die berg appels op een bepaalde manier verdelen, waarbij we dan de hele berg zien als de som, die gelijk is aan de afzonderlijke delen waarin we die hebben opgedeeld. We hebben daar die berg appels en we zeggen: dat zijn drie delen, en brengen op die manier het kind bij dat de som gelijk is aan de drie delen. De som = drie delen. Dat wil zeggen, dat wij bij het optellen niet uitgaan van de afzonderlijke delen, om vervolgens tot de som te komen, maar dat wij eerst de som nemen, en van daar uit tot de delen komen. We gaan dus uit van het geheel en komen dan

Blz. 112 vert. 98/99

Addenden, zu den Teilen über, um auf diese Weise ein lebendiges Erfas­sen der Addition zu haben. Denn dasjenige, worauf es in der Addition ankommt, das ist immer die Summe, und die Teile, die Glieder sind das­jenige, was in der Summe in einer gewissen Weise drinnen sein muß.
So ist man in der Lage, das Kind heranzubringen an das Leben in der Art, daß es sich hineinfügt, Ganzheiten zu erfassen, nicht immer von dem Wenigen zu dem Mehr überzugehen. Und das übt einen außer­ordentlich starken Einfluß auf das ganze Seelenleben des Kindes. Wenn das Kind daran gewöhnt wird, hinzuzufügen, dann entsteht eben jene moralische Anlage, die vorzugsweise ausbildet das nach dem Begehr­lichen Hingehen. Wenn von dem Ganzen zu den Teilen übergegangen wird, und wenn entsprechend so auch die Multiplikation ausgebildet wird, so bekommt das Kind die Neigung, nicht das Begehrliche so stark zu entwickeln, sondern es entwickelt dasjenige, was im Sinne der pla­tonischen Weltanschauung genannt werden kann die Besonnenheit, die Mäßigkeit im edelsten Sinne des Wortes.

tot de getallen die bij elkaar worden opgeteld, tot de delen, om op die manier een levendig begrip te krijgen van de optelling. Want waar het bij de optelling op aankomt is altijd de som, en de delen, de samenstellende getallen, zijn wat in de som altijd op een bepaalde manier aanwezig moet zijn.
Op die manier kan men het kind zo met het leven vertrouwd maken dat het vanzelfsprekend gehelen zal weten te vatten, en niet altijd van minder naar meer zal gaan. En dat is van buitengewoon grote invloed op het hele zieleleven van het kind. Als het kind de gewoonte wordt bijgebracht om steeds bij te tellen, ontstaat er een morele aanleg waarbij zich gemakkelijk de neiging zal ontwikkelen om te streven naar wat begeerlijk is. Als van het geheel naar de delen wordt overgegaan, en op een soortgelijke manier ook het vermenigvuldigen wordt aangeleerd, raakt het kind minder sterk geneigd de begeerte te ontwikkelen, maar ontwikkelt dat wat in de zin van de platonische wereldbeschouwing de bezonnenheid genoemd kan worden, de gematigdheid in de meest edele zin van het woord.

Und es hängt innig zusammen dasjenige, was einem im Moralischen gefällt und mißfällt, mit der Art und Weise, wie man mit den Zahlen umzugehen gelernt hat. Zwischen dem Umgehen mit den Zahlen und den moralischen Ideen, Impulsen, scheint ja zunächst kein logischer Zusammenhang, so wenig, daß der­jenige, der nur intellektualistisch denken will, darüber höhnen kann, wenn man davon spricht. Es kann ihm lächerlich vorkommen. Man begreift es auch ganz gut, wenn jemand lachen kann darüber, daß man beim Addieren von der Summe ausgehen soll, und nicht von dem Addenden. Aber wenn man die wirklichen Zusammenhänge im Leben ins Auge faßt, dann weiß man, daß die logisch entferntesten Dinge im wirklichen Dasein einander oftmals sehr nahe stehen.
So ist dasjenige, was sich herausarbeitet in der kindlichen Seele durch die Behandlung mit den Zahlen, von ungeheurer Wichtigkeit für die Art und Weise, wie das Kind uns dann entgegenkommt, wenn wir ihm moralische Beispiele vor die Seele führen wollen, an denen es Gefallen oder Mißfallen, Antipathie oder Sympathie mit dem Guten oder Bösen entwickeln soll. Wir werden ein Kind vorfinden, das empfänglichen Sinn hat für das Gute, wenn wir das Kind in der entsprechenden Weise behandelt haben, mit den Zahlen umzugehen

Wat iemand moreel gezien bevalt en niet bevalt hangt nauw samen met de manier waarop hij met de getallen heeft leren omgaan. Er lijkt tussen de omgang met de getallen en morele ideeën en beweegredenen op het eerste gezicht geen logische samenhang te bestaan. Dat lijkt zelfs zo weinig het geval, dat wie zich tot het intellectualistische denken wil beperken, honend kan reageren als men het daarover heeft. Het kan hem belachelijk voorkomen. Het is ook heel goed te begrijpen als iemand het belachelijk vindt om bij het optellen van de som uit te gaan en niet van de getallen die bij elkaar worden opgeteld. Maar als men kijkt naar de werkelijke verbanden in het leven, dan weet men dat dingen die logisch gezien niets met elkaar te maken hebben, in het werkelijke bestaan vaak zeer dicht bijeen liggen.
Zo is dat wat zich losmaakt in de ziel van het kind als gevolg van hoe we met de getallen omgaan van ontzettend groot belang voor de manier waarop het kind vervolgens reageert als wij zijn ziel morele voorbeelden willen geven, waaraan het positieve of negatieve gevoelens moet ontwikkelen, antipathie of sympathie tegenover het goede dan wel het kwade. Wij zullen een kind ontmoeten dat openstaat voor het goede als wij het kind op de aangewezen manier hebben geleerd met getallen om te gaan.
GA 305/109-112 
Vertaald/95-99

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2504

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 304

.

ga 304

Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

OPVOED- EN ONDERWIJSMETHODEN VANUIT DE ANTROPOSOFIE

Blz. 73/74  vert. 73/74

Voordracht 3, Dornach 26 september 1921

Die pädagogische Bedeutung der Erkenntnis vom gesunden und kranken Menschen

Wenn das Kind uns übergeben wird im Volksschulalter, sollen wir es erziehen, wir sollen es unterrichten. Indem wir mit dem einen oder mit dem anderen. mit Schreiben, mit Lesen mit Rechnen herankommen, führen wir ja eigentlich lauter Attacken auf das Kind aus. Wir unterrichten, sagen wir Leseunterricht – es ist eine Einseitigkeit. Der volle Mensch wird durchaus nicht eigentlich in Anspruch genommen beim gewöhnlichen Lese­unterricht. Wir fördern im Grunde genommen eine Mißbildung. wir fördern sogar eine Krankheitsneigung; und wiederum, wenn wir den Schreibunterricht erteilen, fördern wir nach einer anderen Richtung eine Krankheitsneigung. Wir führen eigentlich fortwährend Attacken aus gegen die Gesundheit des Kindes, wenn das auch nicht immer ersichtlich wird, da es sich eben nur, im Status nascendi möchte ich sagen, im Entstehungszustande sich äußert. Aber wir müssen fortwährende Attak­ken im Grunde genommen auf das Kind ausführen. Nun können wir im Zivilisationszeitalter nicht anders, als diese Attacken ausführen; aber wir müssen dasjenige, was wir da fortwährend unternehmen, gegen die Gesundheit des Kindes – man kann es schon so sagen -, das müssen wir immer wieder und wiederum gutzumachen verstehen. Wir müssen uns klar sein: Rechnen = eine Mißbildung; Schreiben = zweite Mißbildung; Lesen = dritte Mißbildung, und nun erst Geschichte, Geogra­phie! Da hört es ja gar nicht mehr auf, da geht es schon ins Schrecklichste hinein. Und demgegenüber müssen wir fortwährend dasjenige stellen, was wiederum zurücknimmt in den ganzen Menschen harmonisierend dasjenige, was auseinander will. Das ist so außerordentlich wichtig, daß wir uns dessen bewußt sind, daß wir eigentlich immer auf der einen Seite dem Kinde etwas beizubringen haben und auf der anderen Seite dafür zu sorgen haben, daß es ihm nichts schadet.

De pedagogische betekenis van de kennis van de gezonde en zieke mens

Wanneer we het kind naar de basisschool laten gaan, moeten we het opvoeden, we moeten het lesgeven.
Wanneer we met het een of ander aankomen, met schrijven, met lezen, met rekenen, plegen we eigenlijk een pure aanslag op het kind. We geven leesles – dat is een eenzijdigheid. De volledige mens wordt eigenlijk niet aangesproken bij het gangbare leesonderwijs. In de grond van de zaak bevorderen we iets verkeerds, we bevorderen zelfs een neiging naar ziekte en ook, wanneer we schrijfonderwijs geven, bevorderen we naar de een of andere kant een neiging tot ziekte. Ook al is het niet altijd duidelijk omdat het zich in een status nascendi uit, in de toestand waarin het ontstaat, we bestoken de gezondheid van het kind. Maar we moeten dat voortdurend doen. We kunnen in deze tijd van onze beschaving niets anders doen dat dit bestoken; maar wel moeten we, wat we daar voortdurend doen tegen de gezondheid van het kind – je kan het zo zeggen – ook steeds weer goed kunnen maken. Het moet duidelijk zijn: rekenen – een foutieve vorming; schrijven – een tweede foutieve vorming; lezen – een derde foutieve vorming en om nog maar te zwijgen van geschiedenis en aardrijkskunde! Daar houdt het al helemaal niet meer op, het gaat daar op een verschrikkelijke manier door. En daar moeten wij dan voortdurend tegenoverstellen wat harmoniserend in de hele mens terugbrengt, wat tot disharmonie leidt. Het is buitengewoon belangrijk dat wij er ons bewust van zijn dat wij eigenlijk aan de ene kant het kind steeds iets moeten bijbrengen en dat we aan de andere ervoor moeten zorgen dat dat hem geen schade berokkent.
GA 304/73-74
Op deze blog vertaald/73-74

Blz. 153

Voordracht 5, Oslo 23 november 1921

Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

Indem man vom Schreiben zum Lesen übergeht, merkt man ganz genau: Da geht es nun vom Wollen zum Fühlen. Und das Denken bildet sich am Rechnen aus.

Opvoed- en onderwijsmethoden vanuit de antroposofie

Als je van het schrijven naar het lezen overgaat, merk je heel precies: daar ga je van de wil naar het gevoel. En het denken vorm je door te rekenen.
GA 304/153
Niet vertaald (vertaling in voorbereiding)

Blz. 173

Voordracht 6, Oslo 24 november 1921

Erziehungs- und Unterrichtsmethoden auf anthroposophischer Grundlage

Das Mineralische, das Physikalisch-Chemische, alles das sollte eigentlich erst in diesem Lebensalter an das Kind herangebracht werden. Von
den eigentlichen Verstandesdingen ist nur das Rechnen im früheren
Lebensalter nicht schädlich. Das kann deshalb früher geübt werden, weil es mit der inneren Disziplinierung zusammenhängt, und weil es sich
eigentlich sowohl der Willenskultur wie auch der Gemütskultur gegenüber neutral verhält; weil es ganz und gar davon abhängt, daß wir in der
richtigen Weise von der Geometrie, von der Arithmetik das Kind von
außen her zu beleben wissen während des Zeitalters, in dem das Kind
vorzugsweise auf Autorität eingestellt ist.

Opvoed- en onderwijsmethoden vanuit de antroposofie

Mineralogie, natuur- en scheikunde, dat allemaal moet je eigenlijk pas in deze levensfase [11-12jr] aan het kind geven. Van de eigenlijke verstandszaken is alleen het rekenen op een eerdere leeftijd niet schadelijk. Het kan eerder worden geoefend, omdat het met de innerlijke orde samenhangt en omdat het zowel met de wilscultuur als met de gevoelscultuur in een neutrale verhouding staat; omdat het er ook helemaal van afhangt of wij op de juiste manier vanuit de meetkunde, vanuit het rekenen het kind van buitenaf weten te inspireren gedurende de tijd dat het kind voornamelijk zich richt naar autoriteit.
GA304/173
Vertaling in voorbereiding

Blz. 198

Voordracht 7, Stratford-on-Avon, 19. April 1922 

Das Drama mit Bezug auf die Erziehung

7.-14. Jahr: Der Mensch bildet sich von seinem Atmungs- und Circulationssystem aus; er ist ganz Zuhörer und Musiker. Schreiben-lernen – nicht zu früh – danach Lesen. – Rechnen – als Analyse.

Het drama met het oog op de opvoeding

7 – 14 jaar: de mens vormt zich vanuit zijn ademhalings- en circulatiesysteem; hij is helemaal toehoorder en musicus. Niet te vroeg leren schrijven, daarna lezen.
Rekenen: analyse

GA 304/198
Vertaling in voorbereiding

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2500

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 302

.

ga 302

MENSCHENERKENNTNIS UND UNTERRICHTSGESTALTUNG

Blz. 57   vert. 58

Voordracht 4, Stuttgart 15 juni 1921

Wenn wir nun dasjenige treiben, was wir den Kindern auf den verschiedensten Gebieten beibringen müssen, also ich will sagen, was wir ihnen beibringen, während wir mit ihnen lesen oder ihnen das vermitteln, was zum Lesen führt, was wir ihnen beibringen als das Gedankliche im Rechnen, was wir ihnen beibringen auch in der Naturgeschichte oder Naturlehre – durch all das, was in Gedanken sich ausspricht, bringen wir eben Vorstellungen an sie heran. Und Vorstellungen an die Kinder heranbringen, das ist im Grunde eine ganz andere Betätigung gegenüber dem kindlichen Organismus, als diejenige ist, die sich ja allerdings in die anderen zum Teil hineinmischt, aber zum Teil selbständig getrieben wird. Nicht wahr, ganz selbständig wird das Körperlich-Leibliche getrieben bei Eurythmie, beim Musik unterricht, beim Turnunterricht, in einer gewissen Weise beim Instrumentalunterricht, nicht mehr aber beim Gesangunterricht. Natürlich ist alles nur relativ. Aber es ist durchaus polarisch verschieden, was wir in diesen Fächern an die Kinder heranbringen, auch was das Kind beim Lesen, beim Schreiben lernt, wo wir stark an die körperliche Tätigkeit appellieren, von den Fächern, wo dies viel weniger der Fall ist, etwa beim Rechnen, wo die körperliche Tätigkeit eine untergeordnete Rolle spielt; während gerade beim Schreiben die körperliche Betätigung eine sehr große Rolle spielt.

MENSKUNDE EN OPVOEDING

Nu leren we de kinderen dingen op de meest uiteenlopende gebieden; als we met ze lezen, of ze leren lezen, als we ze leren rekenen, ook als we ze dingen leren in de plant- en dierkundeles, dingen over de natuur,- door alles wat in gedachtevorm wordt uitgedrukt, benaderen we ze met voorstellingen. En de kinderen benaderen met voorstellingen is een fundamenteel andere activiteit ten opzichte van het kinderlijke organisme dan dat wat deels zelfstandig bedreven wordt, maar wat zich hier wel ten dele mee vermengt. Geheel zelfstandig wordt het fysieke lichaam aangesproken bij euritmie, bij muziek, bij gymnastiek, en tot op zekere hoogte bij het instrumentale muziekonderwijs; maar niet meer bij het zingen. Natuurlijk is alles slechts relatief. Maar het is volstrekt tegenovergesteld: wat we in déze vakken met de kinderen doen, ook wat de kinderen leren bij het lezen en schrijven, waarbij we sterk appelleren aan de lichamelijke activiteit, staat in tegenstelling tot de vakken waarbij dat veel minder het geval is, bijvoorbeeld bij het rekenen, waarbij de lichamelijke activiteit een ondergeschikte rol speelt; terwijl bij het schrijven de lichamelijke activiteit juist een zeer grote rol speelt.

Blz. 59    vert. 60 

Beim Rechnen kommt ja die eigentliche Schreibtätigkeit nicht in Betracht, weil der Mensch zu sehr in Anspruch genommen ist durch die Gedankenarbeit; da tritt die Schreibarbeit mehr oder weniger zurück.

Bij het rekenen valt de schrijfactiviteit als zodanig niet op omdat de mens daarbij teveel in beslag genomen wordt door het denkwerk; dan treedt het schrijven min of meer op de achtergrond.
GA 302/57-59
Vertaald/58-60  

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2494

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-6)

.

Enkele gedachten bij blz. 168/169 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

DE GEEST IN HET HOOFD WEKKEN – in de praktijk

Het ‘wekken van de geest die in het hoofd slapend aanwezig is’, heeft Steiner bestempeld als een belangrijke pedagogische opdracht.
Een taak die de opvoeder na verloop van tijd van ‘moeder natuur’ overneemt.

Maar daarmee staat ‘moeder natuur’ niet buiten spel. Je zou bijna willen zeggen: ze wil iets met de ontwikkeling van de mens – voor ons het (jonge) kind, wat zij zelf niet meer kan doen. Ze laat wel zien in welke richting dat moet gaan: als we het jonge kind zien trappelen met de beentjes en we zien in latere jaren hoeveel behoefte kinderen aan beweging hebben, dan is dat een onuitgesproken vraag van moeder natuur: laat ons bewegen. 
In GA 304 bv. formuleert Steiner dit zo:

Aus dieser tieferen Menschenerkenntms heraus, aus demjenigen was anthroposophische Geisteswissenschaft über den Menschen selbst erkennen lernt, aus dieser Menschenerkennt­nis heraus, die nicht bloß das Denken, sondern die den ganzen Menschen nach Fühlen und Wollen ergreift, aus dieser Geisteswissenschaft heraus soll nun nicht dasjenige werden für die Waldorfschule, was man nennen könnte eine angelernte Methodik, sondern es soll dasjenige werden, was aus Menschenerkenntnis in dem Lehrer den Willen erzeugt, dem wer­denden Kinde gegenüber alles das zu tun, was gewissermaßen die menschliche Organisation selber von dem Lehrer, von dem Erzieher, von dem Unterrichtenden fordert. Der größte Lehrer für die Waldorfschule ist nämlich, so paradox das klingen mag, das Kind selbst. 

Uit deze diepere menskunde, uit wat antroposofische geesteswetenschap je over de mens zelf leert, uit deze menskunde die niet alleen het denken, maar juist de hele mens met zijn voelen en willen raakt, uit deze geesteswetenschap moet voor de vrijeschool geen wat je zou kunnen noemen, aangeleerde methodiek ontstaan, maar er moet een menskunde ontstaan die in de leraar de wil ontwikkelt voor het wordende kind alles te doen wat de menselijke organisatie zelf van de leraar, van de opvoeder eist. De grootste leraar voor de vrijeschool is namelijk, hoe paradoxaal dat ook mag klinken, het kind zelf. 

De grootste leraar voor de vrijeschool is het kind zelf

Wat ik hier ‘moeder natuur’ noem, noemt Steiner hier ‘de menselijke organisatie’. En die eist iets.

Und indem der Waldorflehrer in seiner Brust die Überzeugung trägt: dasje­nige, was dir von Woche zu Woche, von Jahr zu Jahr in dem Kinde entgegentritt, das ist der Ausdruck einer göttlich-geistigen Wesenheit, die heruntersteigt aus einem rein geistig-seelischen Dasein, die sich so entwickelt, wie sich das Physisch-Leibliche hier zwischen Geburt und Tod entwickelt und die sich verbindet mit demjenigen, was durch die Vererbungsströmung von Eltern und Voreltern an den Menschen phy­sisch-ätherisch herankommt – diese ungeheure, tiefe Ehrfurcht, die man hat vor dem werdenden Menschen, der einem schon vom ersten Tage seines Daseins im physischen Leben zeigt, wie das Innerlich-Seelische hervortritt in den Offenbarungen der Physiognomie, in den ersten Bewegungen, im Lallen und in der werdenden Sprache, all dasjenige, was da durch wirkliche anthroposophische Menschenkenntnis hineinkommt an Ehrfurcht für dasjenige, was das Göttliche in die Welt heruntergesen­det hat, all das ist das Wesentlichste, mit dem der Waldorflehrer die Pforte seiner Klasse jeden Morgen neu betritt. Und er lernt von den täglichen Offenbarungen dieses geheimnisvollen geist-seelischen Wesens dasjenige, was er tun soll.
Daher kann man die Methodik der Waldorfschule nicht in abstrakte Lehrsätze fassen. 

En als de vrijeschoolleerkracht de overtuiging voelt: wat je week na week, jaar na jaar in het kind ziet, is de uitdrukking van een goddelijk-geestelijk wezen dat uit een pure wereld van geest en ziel naar de aarde komt, dat zich zo ontwikkelt zoals het fysiek-levende zich hier tussen geboorte en dood ontwikkelt en dat zich verbindt met wat het door de erfelijkheidsstroom door de ouders en voorouders fysiek- etherisch krijgt – deze ongelooflijk diepe eerbied die je krijgt voor de wordende mens, die al vanaf de eerste dag van zijn bestaan in het fysieke leven laat zien hoe het innerlijke zielenleven zichtbaar wordt in de uitingen van fysionomie, in de eerste bewegingen, in het brabbelen en het zich ontwikkelende spreken, alles wat er door echte antroposofische menskunde ontstaat aan eerbied voor wat het goddelijke naar de aarde stuurt, dat is het meest wezenlijke waarmee de vrijeschoolleraar iedere morgen nieuw de klas in gaat. En van dit mysterieuze geest-zielenwezen leert hij wat hij moet doen.
Daarom kan je de methodiek van de vrijeschool niet in abstracte onderwijsregels verpakken.
GA 304/96
Op deze blog vertaald/96

De vrijeschoolmethodiek

Dit ‘mysterieuze geest-zielenwezen’ leert ons ook dat ‘fantasie’ letterlijk wezen-lijk is. Alle kinderen op deze wereld – zelfs levend onder de meest barre omstandigheden – leven als fantasievolle wezens met behoefte aan beweging, aan scheppend bezig zijn. 
De natuur kan het niet alleen – wij moeten haar helpen. 
Nu neemt Steiner op blz. 168 het schrijven en lezen als vak tot voorbeeld.
Hij had ook andere vakken kunnen nemen, want bij ‘dit helpen’ hoort de totale methodiek van de vrijeschool. Ook al kan dit niet altijd en even ideëel tot uitdrukking worden gebracht: de vrijeschoolmethode is het zichtbare antwoord op wat de natuur voor het kind vraagt. En daarmee wordt ‘natuur’ cultuur; daarmee zet de mens de stap vanuit het ‘dier’niveau naar het mensenniveau.

GA 297:

Sie sehen, aus der Menschenerkenntnis der Lebensalter heraus entwickelt sich der wahre Lehrplan. Das Kind selbst sagt uns, wenn wir es wirklich beobachten können, was es in einem Lebens­alter lernen will.

( ) Uit de kennis van de menselijke levensfasen wordt het juiste leerplan ontwikkeld. Het kind zelf geeft ons aan, als we het werkelijk kunnen waarnemen, wat het op een bepaalde leeftijd wil leren.
GA297/53
Op deze blog vertaald/53

GA 308:

So kann man ablesen an der Menschenentwicklung aus wahrer Menschenerkenntnis heraus dasjenige, was man von Woche zu Woche, von Monat zu Monat, von Jahr zu Jahr mit dem Kinde erzieherisch und unterrichtend zu vollbringen hat. Der Lehrplan muß sein eine Kopie desjenigen, was man in der Menschenentwicklung lesen kann.

Zo kun je met een echte menskunde aan de ontwikkeling van de mens aflezen wat je van week tot week, van maand tot maand, van jaar tot jaar met het kind opvoedend en onderwijzend hebt te doen. Het leerplan moet een kopie zijn van wat je in de ontwikkeling van de mens kunt lezen.
GA 308/41
Vertaald/65

Blz. 174   vert. 168:

Damit sehen Sie aber auch, daß die Natur natürlich erzieht. Denn ihre Ernährung durch die Milch ist das erste Erziehungsmittel. Die Natur erzieht natürlich. Wir Menschen beginnen, indem wir durch die Sprache und durch unser Tun auf das Kind erzieherisch wirken, wir Menschen beginnen seelisch zu erziehen.

U ziet ook dat de natuur natuurlijk opvoedt. Want de voeding met melk is het eerste middel van de opvoeding. De natuur voedt natuurlijk op. Wij mensen maken een begin met de opvoeding van de ziel door te werken via de taal en via ons doen.

‘Via ons doen’: dat is eigenlijk ‘hoe gaan we om met het kind’ en een direct antwoord zou bv. kunnen zijn: we zingen en doen bewegingsspelletjes of de hier van andere achtergronden voorzien: de vingerspelletjes.
En we spreken tegen het kind en dat bootst na. En met het spreken worden ook antipathie en sympathie ontwikkeld, zoals in GA 294 – voordracht 2 – wordt uitgelegd.

En bij dit ‘seelisch erziehen’ – het opvoeden van de ziel – is dat de ziel als geheel van denken, voelen en willen.
Dus als het kind op school komt – dat was in Steiners tijd met 7 jaar – dan:

Blz. 174      blz. 168

Natürlich, wenn das Kind sieben Jahre alt geworden ist und zur Volksschule kommt – wir haben es ja nicht immer in dieWiege gelegt, sondern es hat etwas getan, es hat sich selbst durch Nachahmung der Alten fortgeholfen, es hat dafür gesorgt, daß sein Kopfgeist aufgewacht ist in einer gewissen Beziehung -, dann können wir das, was es sich selbst im Kopfgeist aufgeweckt hat, dazu benützen, um ihm Lesen und Schreiben ( ) zu lehren.

Nu heeft een kind al heel wat zelf gedaan als het op zijn zevende op de basisschool komt. We hebben het immers niet al die tijd in de wieg gelegd, het heeft zichzelf verder geholpen door de ouderen om hem heen na te bootsen. Het heeft ervoor gezorgd dat de geest in zijn hoofd in zekere zin wakker is geworden. Dan kunnen we gebruik maken van het geestelijke dat het zelf in zijn hoofd gewekt heeft, om het (  ) lezen en schrijven bij te brengen.

Nu zijn we lezen en schrijven al eerder tegengekomen in voordracht 1 [1-9] als het ‘meest-fysieke’. 
Het artikel dat dit aan de orde stelt, gaat ook over dit onderwerp uit de 11e voordracht en het is raadzaam dit eveneens nu te lezen.

Moeder natuur’ heeft van alles met het leven: voeding, slaap, ritme, voortplanting, ontwikkeling, nabootsing, lopen, spreken, denken, in de natuurwetten vinden we getallen, schepping en fantasie, maar geen schrijven en lezen. Een mens zou zijn leven zonder kunnen, vanuit de natuur geredeneerd. Taalgebruik met het spreken, met elkaar communiceren: eeuwen ging het zonder schrijven en lezen. 

Dat drukt Steiner iets anders uit:

Blz. 173      blz. 168/169

Wir Menschen beginnen, indem wir durch die Sprache und durch unser Tun auf das Kind erzieherisch wirken, wir Menschen beginnen seelisch zu erziehen. Daher ist es so wichtig, daß wir im Unterricht und in der Erziehung uns bewußt werden: wir können eigentlich als Erzieher und Unterrichter mit dem Kopf selbst nicht allzuviel anfangen. Der bringt uns das, was er werden soll in der Welt, schon durch die Geburt in diese Welt herein. Wir können wecken dasjenige, was in ihm ist, aber wir können es nicht durchaus in ihn hineinversetzen.
Da beginnt aber natürlich die Notwendigkeit, sich klarzuwerden darüber, daß nur ganz Bestimmtes durch die Geburt in das physische Erdendasein hereingebracht werden kann. Was nur im Laufe der Kulturentwickelung durch äußere Konvention entstanden ist, damit gibt sich die geistige Welt nicht ab. Das heißt, unsere konventionellen Mittel zum Lesen, unsere konventionellen Mittel zum Schreiben – ich habe das von an- deren Gesichtspunkten aus schon ausgeführt , die bringt na- türlich das Kind nicht mit. Die Geister schreiben nicht. Die Geister lesen auch nicht. In Büchern lesen sie nicht, und mit der Feder schreiben sie nicht. Das ist nur eine Erfindung der 5piritisten, daß die Geister eine menschliche Sprache führen und sogar schreiben. Dasjenige, was in der Sprache und im Schreiben enthalten ist, ist Kulturkonvention. Das lebt hier auf der Erde.

Wij mensen maken een begin met de opvoeding van de ziel door te werken via de taal en via ons doen. Daarom is het zo belangrijk dat we in ons onderwijs en onze opvoeding ons ervan bewust worden dat we met het hoofd zelf niet zoveel kunnen beginnen. Het hoofd brengt door de poort van de geboorte al met zich mee wat het moet worden in de wereld. Wij kunnen dat wat in het hoofd is wekken, maar we kunnen dat er geenszins zelf in leggen. Dan moeten we ons natuurlijk ook realiseren dat alleen heel specifieke dingen via de geboorte op het aardse plan gebracht kunnen worden. De geestelijke wereld houdt zich niet bezig met dingen die uitsluitend in de loop van de ontwikkeling van de cultuur door uiterlijke conventies zijn ontstaan. Dat wil zeggen: onze conventionele middelen voor het lezen en voor het schrijven — ik heb dat vanuit andere gezichtspunten ook al belicht [GA 294 vdr. 2 en 5] – brengt een kind natuurlijk niet met zich mee. Geestelijke wezens schrijven niet. Lezen doen ze ook niet. Ze lezen geen boeken en ze schrijven ook niet met een pen. Dat is een uitvinding van spiritisten dat geesten de menselijke spreektaal hanteren en zelfs schrijven. Spreken* en schrijven berusten op conventie. Dat leeft hier op aarde.

*Het Duits heeft ‘Sprache’, dat is ook ‘taal’. En wat en hoe we nu spreken, is ook door conventie tot vaste regels geworden. Steiner duidt hier dus niet op de ‘taalgeest’, zoals hij die gebruikt in het begin van de voordracht.

Maar het kind is wel op aarde gekomen en moet met zijn leven op aarde zo in het leven komen te staan dat het opgewassen is tegen wat dit leven nu van hem vraagt. Hij moet een waardig lid van deze cultuur kunnen zijn en dus moet hij leren lezen en schrijven.

Maar schrijf- en leesletters zijn conventionele dingen: ze zijn in de loop van de tijd geworden tot wat ze nu zijn: een eindproduct. Sintels: het vuur is gedoofd; stenen, van wat eens ‘brood’ was.

De conventionele manier is nog steeds: juf of meester toont een letter en noemt deze bij naam – als het goed is hoe deze letter klinkt – bv.  b(u); zeg maar na: b(u), b(u), b(u). En die schrijf je zo:  streepje van boven naar beneden, rondje eraan van rechts terug naar links. En dat maar veel oefenen.
Hier hebben we dus niet te maken met ‘scheppende voorstellingen’, maar met gereflecteerde voorstellingen die snel tot begrip moeten worden. Zo leer je lezen en schrijven in conventionele zin. Zie voordracht 4 [4-4]

Hier heeft ‘moeder natuur’ niet veel te doen: er is geen beleving die de ademhaling sneller of langzamer laat gaan, geen scheppende beweeglijkheid.
En dus ligt het voor de hand:

Und nur dann, wenn wir nicht bloß diese Kulturkonvention, dieses Lesen und Schreiben, dem Kinde beibringen durch den Kopf, sondern wenn wir dem Kinde dieses Lesen und Schreiben beibringen auch durch Brust und Gliedmaßen, dann tun wir ihm Gutes.

En we doen het kind alleen goed wanneer we het niet alleen via het hoofd het conventionele van het lezen en schrijven bijbrengen, maar het ook via borst en ledematen leren lezen en schrijven.

In [11-5] is uiteengezet dat ‘de geest in het hoofd’ zich laat wekken door de ledematen en het gevoel. Deze ‘geest in het hoofd’ wordt ook door Steiner ‘intellect’ genoemd:

Je weniger man den Intellekt dressiert, je mehr man darauf ausgeht, den ganzen Menschen zu behandeln so, daß aus den Gliederbewegungen, aus der Geschicklichkeit der Intellekt wird – und er wird -, desto besser ist es.

Hoe minder je het intellect dresseert, hoe meer je je toelegt om met de hele mens zo om te gaan dat vanuit de bewegingen van de ledematen, uit de handigheid, het intellect ontstaat – des te beter is het.
GA 301/80
Op deze blog vertaald/80

De conventionele methode is ‘dressuur van het intellect’;
vanuit de bewegingen van de ledematen: dat vraagt het kind van die leeftijd. Dat is de stem van moeder natuur die ons toeroept: ga zo met het kind om. Stem je methodiek en je didactiek daarop af.

Doen we dat niet:

dann beginnen wir, diesen Kopfgeist durch unseren Einfluß zu schädigen.

dan beginnen we door onze invloed deze geest ook schade te berokkenen.

Wat daarna op blz. 169 beschreven wordt, staat ook hier, met alle relevante uitspraken uit de verschillende pedagogische voordrachten.

Steiner in GA 294:


Schrijven en lezen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 1e klas letterbeelden

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2492

.

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 301

.

ga 301

Die Erneuerung der pädagogisch-didaktischen Kunst durch Geisteswissenschaft

Voordracht 9, Bazel 4. mei 1920 

Dialekt und Schriftsprache

Blz. 151  vert. 151

Denn von all den Dingen, welche dem Menschen so furchtbar schaden, ist dasjenige, was aus dem Rechenunterricht kommt, bei vielen Menschen das Allerschädlichste. Die Art, nach der wir rechnen lernen, ist in der Regel gegen die menschliche Natur. Denn alles dasjenige, was heute bei vielen Menschen als eine Neigung zum Materialismus auftritt, das ist im Grunde genommen nichts anderes als ein Ergebnis eines verfehlten Rechenunterrichts so gerade um das 9. Lebensjahr herum.

Dialect en schrijftaal

Want van alle zaken die voor de mens zo buitengewoon schadelijk zijn, is wat uit het rekenonderwijs komt, het meest schadelijk. De manier waarop we leren rekenen gaat als regel in tegen de menselijke natuur. Want alles wat tegenwoordig bij veel mensen als een hang naar het materialisme optreedt, is in de aard der zaak niets anders dan het gevolg van verkeerd rekenonderwijs rondom het 9e jaar.
GA 301/151
Op deze blog vertaald/151                        zie bv. [9-4]

Voordracht 10, Bazel 5 mei 1920

Blz. 152   vert. 152

Synthese und Analyse im Menschenwesen und in der Erziehung

Synthese en analyse in de mens en in de opvoeding

De blz. 152, 153 en begin 154 zijn zo’n geheel dat die gelezen kunnen worden in de vertaling.
Dat geldt ook voor de blz. 157 vanaf ‘Dat is vooral voor het rekenen van belang’ tot half in blz. 160
GA 301/152-160
Op deze blog vertaald/152-160

Voordracht 14, Bazel 11. mei 1920 

Weitere Gesichtspunkte und Fragenbeantwortungen

Verdere gezichtspunten en vragenbeantwoording:

Blz. 218

Be­denken Sie nur, wie nahe es liegt nach den Angaben, die ich gemacht habe, beim Rechnen neben der gewöhnlich bloß beobachteten synthe­tischen Methode aufzusuchen die analytische Methode, von der Summe und vom Produkt, nicht allein von den Addenden und von den Fak­toren auszugehen.
Ich will Sie darauf aufmerksam machen, daß ja in dem Augenblicke, wo wir vom Rechnen von ganzen Zahlen zum Rechnen mit Brüchen übergehen, wir ganz naturgemäß ins Analy­sieren hineinkommen, denn Zahlen bis zu Brüchen verfolgen, heißt eben analysieren; so daß es gerechtfertigt ist, beim Bruchrechnen ein anderes Element in die Unterrichtsmethode einzuführen als beim Rech­nen mit gewöhnlichen Zahlen.
Es ist ja gewiß von der einen Seite her nicht gerade anzufechten, wenn im Laufe des 19. Jahrhunderts die Rechenmaschine in der Schule eingeführt worden ist; aber diese Rechenmaschine sollte nicht zu einer zu starken materialistischen Überschätzung des Anschauungsprinzips führen. Wir sollten uns klar sein darüber: Anschaulichkeit ist schon recht, aber es handelt sich doch darum, daß durch den Unterricht menschliche Fähigkeiten entwickelt werden sollen.

Maar denk er eens aan hoe voor de hand het ligt om bij de aanwijzingen die ik heb gegeven bij het rekenen naast die methode van het synthetiseren die als de gebruikelijke wordt gezien, te zoeken naar de analytische methode die vanuit de som [het totaal van een optelling] en van het product uitgaat en niet van de optellers en de factoren. Hoe voor het grijpen ligt het niet om uitvoerig stil te staan om vanuit dit gezichtspunt het rekenen met breuken te behandelen en alles wat daarmee samenhangt. Ik wil over deze details slechts het volgende zeggen: ik wil u erop wijzen dat op het ogenblik waarop wij van het rekenen met hele getallen overgaan op het rekenen met breuken, we a.h.w. vanuit de aard van de zaak bij een analyse terecht komen, want van getallen naar breuken is nu eenmaal analyseren; zodat het gerechtvaardigd is bij het rekenen met breuken een ander element in de methodiek in te voeren dan bij het rekenen met gewone getallen. Van een bepaalde kant uit gezien is het zeker niet echt aanvechtbaar dat in de loop van de 19e eeuw de rekenmachine in de school gekomen is [het Duits heeft Rechenmaschine, maar dat kan niet het digitale rekenmachientje van nu zijn; het moet om een soort telraam of abacus gaan]; maar die zou niet tot een te sterke materialistische overschatting van het aanschouwelijkheidsprincipe moeten leiden. We moeten duidelijk zijn: aanschouwelijkheid is wel goed, maar het gaat er toch om dat door het onderwijs menselijke vaardigheden worden ontwikkeld.

Die Zeit vom Zahnwechsel bis zu der Geschlechtsreife ist vor allen Dingen dazu da, daß das Gedächtnis herangebildet werde. Unterschätzung des Gedächt­nisses auf Grundlage der Anschauung, auf Kosten der Anschauung, die Bevorzugung der Anschauung auf Kosten des Gedächtnisses, beides sollte man eigentlich vermeiden. Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.
Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.

De tijd van tandenwisseling tot puberteit is er vooral om het geheugen te ontwikkelen. Onderschatten van het geheugen door aanschouwelijkheid, ten koste van de aanschouwelijkheid, het benadrukken van de aanschouwelijkheid ten koste van het geheugen, moet je allebei vermijden. Je zou wel eerst op een eenvoudige manier – maar in de aard van de zaak  heeft iemand die in staat is levendig onderwijs te geven aan de tien vingers van een hand genoeg – je zou, laten we zeggen, binnen het getal 10 allerlei groepjes kunnen hebben die de rekenoperaties en de verhouding van de getallen t.o.v. elkaar, verduidelijken. Maar dan moet je in de gaten hebben dat je het met rekenen toch zo moet doen als in het leven is, in ieder geval in het zielenleven van de mens.

Vanaf 219 t/m 222 is de inhoud voor rekenen essentieel.
GA 301/218-222
Op deze blog vertaald/218-222

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2491

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 298

.
GA 298

DIE PÄDAGOGISCHE GRUNDLAGE DER WALDORFSCHULE

GRONDSLAGEN VAN DE VRIJESCHOOLPEDAGOGIE

Wenn man aus einer materialistischen Gesinnung heraus den gewiß innerhalb gewisser Grenzen berechtigten Anschauungsunterricht auf alles mögliche ausdehnen will, so beachtet man nicht, daß in der mensch­lichen Wesenheit auch Kräfte entwickelt werden müssen, die nicht durch Anschauung allein vermittelt werden können. So steht das rein gedächt­nismäßige Aneignen gewisser Dinge in Zusammenhang mit den Entwic­klungskräften vom sechsten oder siebenten bis zum vierzehnten Lebensjahre. Und auf diese Eigenschaft der menschlichen Natur soll der Rechenunterricht aufgebaut sein. Er kann geradezu zur Pflege der Erinnerungskraft verwendet werden. Berücksichtigt man dieses nicht, so wird man vielleicht gerade im Rechenunterricht das anschauliche Ele­ment gegenüber dem gedächtnisbildenden unpädagogisch bevorzugen.

Wanneer je vanuit een materialistische opvatting het aanschouwelijk onderwijs, dat binnen bepaalde grenzen zeker op zijn plaats is, op al het mogelijke wil uitbreiden, dan schenkt je geen aandacht aan het feit, dat er in het menselijk wezen ook krachten sluimeren, die niet door aanschouwing alleen ontwikkeld kunnen worden. Zo staat het zuiver memoreren van zekere dingen in verband met de ontwikkelingskrachten van het zesde of zevende tot het veertiende levensjaar. En op deze eigenschap van de menselijke natuur moet het rekenonderwijs opgebouwd zijn. Dat kan juist gebruikt worden voor het oefenen van het geheugen. Houd je daar niet voldoende rekening mee, dan zal je misschien juist in het rekenonderwijs, onpedagogisch, het aanschouwelijke element de voorkeur geven boven het element, dat geheugenvormend werkt.

Dit artikel werd door Steiner in 1919 geschreven voor de schoolkrant  «Waldorf-Berichten», Stuttgart, Oktober 1919, nr 19.
In de GA op 3 plaatsen te vinden: GA 24,/83, GA 298/9 en GA 300B/14
Het werd in 1926 al vertaald; de vertaling in de spelling van die tijd vind je hier

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2486

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 295

.

GA 295

Werkbespreking 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 16-17  vert. 17

Wir werden uns genau überlegen, welcher Lehrstoff einer gewissen Altersstufe des Kindes entspricht, und dann werden wir diesen Lehr­stoff, das Lesen zum Beispiel, durch eine gewisse Zeit hindurch verfol­gen. Das heißt, das Kind wird seinen Vormittagsunterricht im Lesen wäh­rend sechs bis acht Wochen haben, dann wird Schreiben an seine Stelle treten, dann Rechnen, so daß das Kind sich die gesamte Zeit hindurch jeweilig konzentriert auf einen Unterrichtsstoff. So daß etwa, wenn ich es schematisch andeuten wollte, unser Unterricht darin bestehen würde, daß wir möglichst am Morgen beginnen – das heißt aber nur möglichst, denn es werden alle möglichen Modifikationen eintreten – mit Lesen, so daß wir einige Wochen lesen, dann schreiben, dann rechnen.

We zullen zorgvuldig onderzoeken welke leerstof in een bepaalde leeftijdsfase thuishoort en dan zullen we deze leerstof — lezen bijvoorbeeld — gedurende een bepaalde tijd blijven behandelen. Dat wil zeggen, het kind zal ’s ochtends gedurende zes tot acht weken les krijgen in lezen, dan in schrijven, dan in rekenen, zodat het kind zich de gehele tijd steeds op één onderwerp concentreert. In een schema aangeduid zou dat er zo uitzien: de lessen beginnen ’s ochtends als het kan met lezen, als het kan tenminste, want er zullen allerlei aanpassingen nodig zijn; we lezen dus enkele weken, dan schrijven we, dan rekenen we.
GA 295/16
Vertaald/17

Werkbespreking 4, Stuttgart 25 augustus 1919

Blz. 41  vert. 41

Steiner neemt hier vlierbesjes. Ik weet niet of dat zo’n goed idee is. De rollen makkelijk op de grond – blauwe vlekken!- enz. Beter iets groters: kastanjes, steentjes (ook geen papiersnippers GA 294).

Gehen wir einmal von der Addition aus, und zwar so, wie wir die Addition auffassen. Nehmen wir an, ich habe Bohnen oder ein Häuf­chen Holunderkügelchen. Nun will ich für den heutigen Fall anneh­men, daß die Kinder schon zählen können, was sie ja auch erst lernen müssen. Das Kind zählt, es hat 27. – «27», sage ich, «das ist die Sum­me.» Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! Die psychologische Bedeutung davon können Sie in meiner Erkenntnis­theorie verfolgen. Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen. Ein Häufchen Holunderkügelchen, sagen wir 12; weiter ein Häufchen, sagen wir 7; weiter eines, sagen wir 3; weiter eines, sagen wir 5. Dann werden wir die Holunderkügelchen erschöpft haben: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. Wir machen ja den Rechnungsvorgang von der Summe 27. Solch einen Vorgang lasse ich nun eine AnzaM von Kindern machen, welche ausgesprochen phlegmatisches Temperament haben. Man wird sich allmählich bewußt werden, daß diese Art des Addierens besonders geeignet ist für Phlegmatiker. – Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kin­der aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammen­werfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang.

Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. ‘Zevenentwintig,’ zeg ik, ‘dat is de som.’ We gaan uit van de som, niet van de delen! De psychologische betekenis daarvan kunt u in mijn kentheorie vinden.[9] Deze som verdelen we nu in delen, in hoopjes die bij elkaar opgeteld moeten worden. Een hoopje vlierbesjes van laten we zeggen 12; nog een hoopje van 7 bijvoorbeeld; nog een van laten we zeggen 3 en een van 5. Dan hebben we alle besjes gebruikt: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. We gaan bij de berekening immers uit van de som: 27. Zoiets laat ik nu door een aantal kinderen doen die een uitgesproken flegmatisch temperament hebben. Men zal zich er langzamerhand van bewust worden dat deze manier van optellen bijzonder geschikt is voor flegmatici. En omdat dit procedé immers omgedraaid kan worden, zal ik cholerische kinderen een beurt geven en ik zal de vlierbesjes weer op een hoop laten gooien, maar wel zo dat het geordend verloopt: 5 en 3 en 7 en 12 is 27. Het cholerische kind doet dus het omgekeerde.

Blz. 42  vert. 41

Das Addieren ist ganz besonders die Rechnungsart der phlegmatischen Kinder.
Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Ho­lunderkügeichen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. – Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rech­nung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. – Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rech­nungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Sub­traktion – aber so ausgeführt, wie wir es tun – für die melancholischen Kinder ist.
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. 

Optellen is bij uitstek de rekenbewerking voor flegmatische kinderen.
Nu neem ik iemand van de melancholische kinderen. Ik zeg: ‘Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!’ Hij telt er bijvoorbeeld 8. ‘Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?’ Het gaat er
dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Aftrekken in deze vorm is in de eerste plaats de rekenbewerking van de melancholische kinderen. Nu geef ik een sanguinisch kind een beurt en laat het terugrekenen. Dan zeg ik: ‘Wat is er weggenomen?’ En ik laat het kind zeggen: als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over. Het sanguinische kind laat ik weer de omgekeerde rekenbewerking uitvoeren. Ik wil maar zeggen dat het aftrekken ‘bij voorkeur’ de rekenbewerking is voor melancholische kinderen, althans zoals wij het doen.
Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes.

«Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7. Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnen-steckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56. -Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. Für das cholerische Kind wende ich in

‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.’ U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg: ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor?’ Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.
De cholericus leg ik eerst de deling voor, van het kleinste naar het grootste, en zeg: ‘Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer een 8 zit.’ En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56. Dan laat ik het omgekeerde doen door een flegmatisch kind: een gewone deling.

Blz. 43   vert. 42

dieser Form die Division an. Denn in dieser Form ist sie insbesondere die Rechnungsart der cholerischen Kinder.
Auf diese Weise, indem ich es fortwährend so durchführe, bekomme ich gerade für die vier Rechnungsarten die Möglichkeit, sie zu gebrau­chen für die Heranziehung der vier Temperamente: das Additive ist verwandt dem Phlegmatischen, das Subtrahieren dem Melancholischen, das Multiplizieren dem Sanguinischen, das Dividieren, mit dem Zu­rückgehen zu dem Dividenden, dem Cholerischen. – Das ist es, was ich Sie bitte, im Anschluß zu dem von Herrn N. Gesagten zu beachten.
Es ist von besonderer Wichtigkeit, daß man nicht langweilig fort-arbeitet: ein halbes Jahr bloß addiert, dann subtrahiert und so weiter, sondern wir werden diese vier Rechnungsarten womöglich nicht allzu langsam nacheinander durchnehmen, und dann alle vier üben! Zuerst nur bis 40 etwa. So werden wir Rechnen lehren nicht nach dem gewöhn­lichen Stundenplan, sondern so, daß durch das Üben diese vier Arten fast gleichzeitig angeeignet werden. Sie werden finden, daß es auf diese Weise sehr ökonomisch geht, und daß man die Kinder die Dinge inein­anderarbeiten lassen kann. – Es ist ja die Division verwandt mit der Subtraktion, und die Multiplikation ist eigentlich nur eine wiederholte Addition. So daß man also auch umwechseln und zum Beispiel das cholerische Kind an die Subtraktion heranbringen kann.

Voor het cholerische kind gebruik ik deze vorm van deling. Want in deze vorm is het met name de rekenbewerking voor het cholerische kind.
Op deze manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de vier temperamenten. Optellen is verwant met het flegmatische, aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische. – Wilt u dit nog onthouden, aansluitend bij wat de heer N. heeft gezegd.
Het is van groot belang dat het niet saai wordt: dat men een half jaar alleen maar optelt, dan aftrekt enzovoort. Nee, we zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd.
U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken.
GA295/41-43
Vertaald/41-42

Werkbespreking 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 93   vert. 86

T. spricht über die für das Rechnen unbegabten Kinder.
Rudolf Steiner: Wenn Sie besonders schwache Begabungen zum
Rechnen entdecken, so tun Sie gut, folgendes zu machen: die anderen
Kinder werden in der Regel in der Woche zwei Turnstunden, das heißt
eine Eurythmiestunde und eine Turnstunde haben. Diese Kinder, die
nicht gut rechnen, spannen Sie zusammen, und lassen Sie ihnen eine
Eurythmie- oder Turnstunde oder eine halbe Stunde anknüpfen. Sie
brauchen sich dadurch nicht mehr zu belasten; nehmen Sie sie mit anderen zusammen, wo gerade solche Übungen gemacht werden. Man muß
sorgen, daß solche Kinder gerade durch das Turnen und die Eurythmie
in ihren Fähigkeiten gehoben werden.
Sie lassen solche Kinder zunächst Stabübungen machen. Den Stab in
der Hand: nach vorne 1, 2, 3; nach hinten 1, 2, 3, 4. Also das Kind
muß immer den Stab nach vorne und nach rückwärts nehmen. Es muß
sich anstrengen, den Stab auf irgendeine Weise bei 3 nach rückwärt

T. bespreekt kinderen die zwak zijn in rekenen.

Als u kinderen ontdekt met bijzonder weinig aanleg voor rekenen, dan doet u er goed aan om het volgende te doen. De andere kinderen zullen in de regel twee uur gymnastiek in de week hebben, dat wil zeggen een uur euritmie en een uur gymnastiek. Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. U hoeft uzelf daardoor niet meer te belasten: u neemt ze samen met anderen die net op dat moment die lessen hebben. Men moet ervoor zorgen dat zulke kinderen juist door gymnastiek en euritmie hun vermogens ontwikkelen. U laat die kinderen in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3

Blz. 94  vert. 87

zu kriegen. – Dann muß auch Laufen darankommen: 3 Schritte vor, 5 Schritte zurück; 3 Schritte vor, 4 Schritte zurück; 5 Schritte vor, 3 Schritte zurück und so weiter. – Versuchen Sie, turnend und auch vielleicht eurythmisch in die Bewegungen des Kindes die Zahl hinein­zumischen, so daß es genötigt ist, sich selbst bewegend, zu zählen. Sie werden sehen, daß das einen Erfolg hat. Ich habe das bei Schülern wie­derholt gemacht.
Und ich frage Sie nun: Warum hat das einen Erfolg? Nach dem, was Sie schon gelernt haben, können Sie sich darüber Vorstellungen bilden.

T. Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geo­metrieunterricht.

Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willent­liches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.

naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.

En nu vraag ik u: waarom heeft dat succes? Met datgene wat u al geleerd heeft kunt u zich daarover voorstellingen vormen.

T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
GA 295/93-94
Vertaald/86-87

Werkbespreking 12, Stuttgart 4 september 1919

De vorige werkbespreking eindigde met een vraag:

Blz. 135  vert. 125

Denken Sie bis morgen nach, wie Sie den Kindern Aufgaben stellen würden, wo sie das Rechnen, ohne Zahlen zu schreiben,ausführen könnten, was man sonst immer Kopfrechnen genannt hat.
Denken Sie einmal, Sie würden dem Kinde die Aufgabe stellen: Von irgendwo geht ein Bote ab, der macht so und so viele Meilen, und weit hinterher geht ein anderer Bote ab, der geht nicht, sondern der fährt mit dem Fahrrad, der macht so und so viele Meilen. Wann hat der Bote mit dem Fahrrad den gehenden Boten eingeholt? Dieses ist so zu behandeln, daß die Kinder eine gewisse Geistesgegenwart entwickeln im Ergreifen von Situationen und im Überblicken von Situationen.

denkt u er voor morgen over na, hoe u de kinderen opgaven kunt geven waarbij ze kunnen rekenen zonder getallen op te schrijven, wat men gewoonlijk altijd hoofdrekenen noemt.
U kunt bijvoorbeeld zeggen: ergens vertrekt een bode, die legt zo en zo veel mijl af, en ver achter hem vertrekt een andere bode, die loopt niet, maar gaat met de fiets, die legt zo en zo veel mijl af. Wanneer heeft de bode met de fiets de lopende bode ingehaald? Dat moet men zo aanpakken dat de kinderen een zekere tegenwoordigheid van geest ontwikkelen in het ‘pakken’ van situaties en het overzien van situaties.

Ook was er bij meetkunde even sprake de oppervlakteberekening van vlakken.
Oppervlakte is zeker ook een rekenonderwerp.

Werkbespreking 13, Stuttgart 4 september 1919

Blz. 136  vert.  127

T.    versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestal­ten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschnei­den lassen, Schahlonieren.)

Rudolf Steiner: Es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadrat­meter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus sol­chen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotz­dem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervor­zurufen.
Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebens-alter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekom­men, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? – Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fal­len zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchge­nommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrech­nung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben

T. probeert het begrip oppervlakte aanschouwelijk te maken voor negenjarige kinderen. ( Vierkanten laten uitknippen om andere, grotere vierkanten te meten, sjablonen.)

Steiner: Het is goed uit te leggen dat als men een vierkantszijde heeft van 3 meter lang, het oppervlak dan 9 m2 is. Maar daarmee blijven we nog steeds in een sfeer waarin uit zulke aanschouwelijke stukken iets wordt samengesteld, en het zal desondanks heel moeilijk zijn om een juiste voorstelling op te roepen van oppervlakte.

  Wat ik bedoelde is: hoe gaat men op de juiste wijze te werk, en in welke leeftijdsfase kan men dat doen, om er werkelijk uit te krijgen dat oppervlakte oppervlakte is en oppervlakte wordt wanneer men de lengte met de breedte vermenigvuldigt? Hoe komt men zover dat men dit begrip van oppervlakte in een kind wakker roept? Het hangt ervan af waar men die lessen over oppervlakte een plaats geeft. En dan moet men zeggen: het is niet goed om de lessen over oppervlakte te geven op een moment dat men het rekenen met letters nog niet heeft behandeld. Rationeel kunnen we de oppervlakte pas behandelen wanneer we het rekenen met letters al behandeld hebben. Het antwoord is dus: we wachten met de behandeling van oppervlakte tot we het letterrekenen hebben behandeld.

Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen:
Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

Dan nu de vraag: hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? Ik zal u een eind op weg helpen en dan werkt u het verder uit. Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100.

Blz. 138  vert. 127

                              Kapital • Prozent • Zeit
Zinsen =                     ________________
                                            100
Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

                                                   K-P-T
                                                     100
T = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für
Zeit.
Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.
Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.
K ist = Kapital; P ist = Prozent; T ist = Zeit (Tempus); 2 ist =
Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als
Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

                                      rente =kapitaal x procent x tijd
100

Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven

                                                       r =k x p x t
                                                               100

De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit, en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen. En van daaruit komt u tot bovenstaande vorm en laat u een regel ontstaan.
k = kapitaal, p = procent, t = tijd, r = rente. Dan is bovenstaande een formule die ik mij enkel als basisformule inprent. Daarmee heb ik al de eerste stap gedaan in de overgang naar het rekenen met letters. Wanneer het kind nu deze formule heeft, hoeft het alleen maar de getallen in te vullen in de formule en dan moet steeds het juiste antwoord er uitkomen. Dan de afgeleide formule:

                                   K= (Z * 100) / (T * P)

so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchsta­ben K, P, T beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:
        
                                 T = (Z * 100) / (K * P)    P= (Z * 100) / (K * T)
        
Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: «Wir haben gelernt, eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7

                                                      k = r x 100
                                                               t x p

en nu kunt u stomweg onthouden dat u de drie letters k, p en t willekeurig met elkaar kunt verwisselen, zodat ook nog de volgende mogelijkheden ontstaan:

t = r x 100                                                   p =r x 100
k x p                                                             k x t

Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: ‘We hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7

Blz. 139 vert. 128

mehr 5 mehr 5, 25 = 8 + 7 + 5 + 5.» Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt ha­ben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde Zahl. Also stünde da zum Beispiel: 5, eine Summe. Und da stünde: a + b + c + c. Aber, wenn da c stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»
Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten 9.9 können Sie entwickeln a . a. Oder Sie können aus a 2 entwickeln a . b und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenbe­rechnung, a . a = a2.

plus 5 plus 5, dus: 25 = 8 + 7 + 5 + 5.’Niet waar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: ‘Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat “een of ander” getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat: a + b + c + c. Let wel, als daar een c staat voor de eerste 5, dan moet er ook een c staan voor de tweede 5. Net zoals ik een k zet voor een of ander “kapitaal”, zet ik hier een c.’ Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren, en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a =  a2.

Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend
entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. – Dann
von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie
man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie
man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das
gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das
ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man
kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn
jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen
Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.
Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multi­plizieren und von da in die Flächenberechnung.

Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal. En dan van daaruit afleiden hoe men discontorekening belicht. Dan hoe men de kinderen rabat en emballage leert berekenen en hoe men hun het begrip en de berekening van een wissel bijbrengt. Dat hoort thuis in het twaalfde en dertiende levensjaar, dan beklijft het voor het hele leven. Anders vergeet men het later altijd weer. Men kan het eenvoudig houden, maar het hoort daar wel thuis. Als iemand dit behoorlijk beheerst, dan beheerst hij de methodiek van het hele rekenen. Berekening van samengestelde interest hoort niet in deze jaren thuis.
Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.

G. schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufistandes vor mit Früchten, Ge­müse, Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, Geld herausgeben, überhaupt selbständig alles berechnen müssen.   

G. stelt voor om een klein kraampje op te zetten waar vruchten, groente, aardappels en dergelijke verkocht worden en waarbij de kinderen zelfstandig inkopen, verkopen, betalen, geld wisselen en alles helemaal zelfstandig moeten berekenen.

Blz. 140  vert. 129

Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man kei­nen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhal­ten!

Dat koopmansprincipe is heel goed voor de tweede klas. En het is goed dat degene die iets moet uitrekenen het ook echt zelf doet en dat niemand hem mag helpen. Steeds de interesse van allemaal wakker houden!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben

Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteil­hafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4, 5… 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99, 98, 97, 96… 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden unter­einanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch – weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts – halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

Er wordt gesproken over het hoofdrekenen; over het rekenen zonder te schrijven. Rudolf Steiner vertelt over Gauß die als zesjarige een keer tot een bijzondere oplossing was gekomen. Samengevat: De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauß bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1, 2, 3, 4, 5… 100 en de rij daaronder omgekeerd: 100, 99, 98, 97, 96… 1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10100 en dit moet weer gehalveerd worden – omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld — en dat geeft 5050.
Zo loste Gauß indertijd die vraag uit zijn hoofd op, tot niet geringe verbazing van zijn onderwijzer.

T  führt unter anderen zwei Arten von Aufgaben an: 1. Zeit- und Strecken-berechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Radumfang gegeben sind; 2. Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Aus flußröhre.

Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Be-wegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit ei­nem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. Met het voorbeeld van gisteren kunt u in de praktijk werken. U zegt dan: ‘Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?’ Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed.

Blz. 141  vert. 130

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird ein­mal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skiz­zieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astro­nom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu die­sem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.
Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu prak­tischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Prak­tische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.
In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslau­fen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern – in was würden Sie das auslaufen lassen?
Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

Een van de deelnemers wijst op foutenrekeningen.

Zulke foutenrekeningen zijn zeer gebruikelijk. Het is gebruikelijk dat men de fouten bij voorbaat incalculeert. Welnu, op een bepaald punt wordt tegenwoordig zo’n foutenrekening gemaakt die eens gecorrigeerd zal moeten worden. Toen Copernicus zijn ‘copernicaanse systeem’ had opgesteld, postuleerde hij drie stellingen. Zou men alle drie benutten om de weg van de aarde door te ruimte te beschrijven, dan zou men een heel andere beweging krijgen dan nu door de astronomen wordt aangenomen en op onze scholen gedoceerd wordt. Deze elliptische beweging wordt alleen mogelijk doordat men de derde stelling buiten beschouwing laat. Als de astronoom aan zijn telescoop gaat zitten, dan kloppen de dingen niet. Daarom berekent men de fouten ook mee. Door de Besselse correcties worden er ieder jaar fouten berekend voor dat wat in de werkelijkheid niet klopt. De correcties van Bessel – daarin zit de derde stelling van Copernicus.
 Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag uitkomt. Alles moet uitmonden in de praktijk. Daarbij kan men door iets wat volgt altijd het voorgaande laten bevruchten en omgekeerd.
Al die berekeningen van bewegingen, het weg laten lopen van vloeistoffen, door kleine gaten langzaam en door grote snel, die vragen over draaiende bewegingen bij machines met verschillend grote raderen – waarin zou u dat laten uitmonden?
Het beste zou zijn als u de kinderen de klok uitlegt in zijn verschillende vormen: het slingeruurwerk, het zakhorloge enzovoort.
GA 295/135-141
Vertaald/125-130

Werkbespreking 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 141  vert. 132

T.    gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn E = Endkapital, A = Anfangskapital, Z = Zins, P = Prozentsatz, T = Zeit
        
ist, so ist E -A + Z. Da ferner Z=(A * P * T) / 100     so wird E = A + (A * P* T) / 100

Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Reaiitätswert, wenn T gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gege­ben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man T weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kin­dern die Realität zu geben.
Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

T. geeft een voortzetting van de renteberekening als overgang naar het rekenen met letters. Als e = eindkapitaal, b = beginkapitaal, r = rente, p = percentage en t = tijd, dan is e — b + r. Omdat verder

r = b x p x t               wordt e = b +b x p x t
100                                          100

In deze vorm kan men natuurlijk tegenwoordig nooit een kapitaal beleggen. Deze vorm is alleen reëel, wanneer t gelijk is aan of kleiner is dan een jaar. Want in de realiteit bestaan er twee gevallen. Ofwel men roomt de rente jaarlijks af, dan blijft het beginkapitaal gelijk, ofwel men laat de rente bij het kapitaal en dan heeft men de berekening van het samengesteld interest nodig. Laat men t weg, dat wil zeggen, rekent men voor één jaar, dan is het reëel. Het is nodig om de kinderen de realiteit te geven.

Blz. 143-144   vert. 133

Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zu­nächst eine Summe von Zahlen hin, in wehcher die Addenden alle un­gleich sind:
20 = 7 + 5 + 6 + 2
Es können auch einzelne Addenden gleich sein:
25 = 5 + 5 + 9 + 6Und es können alle Addenden gleich sein:
18 = 6 + 6 + 6

Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe S1 = a + a + a, das sind drei a, dreimal a = 3. a;
dann S2 = a + a + a + a + a, fünfmal a = 5. a;
dann S3= a + a + a + a + a + a + a, siebenmal a = 7. a und so weiter.
Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es m-mal:
Sm = a + a + a + a + … . m-mal = m . a.
So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimm­ten Zahlen zu algebraischen Größen, zu a . a = a2, a . a . a = a3.
Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten.
Wenn wir b wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekom­men wir den Rest r..
 r1 = a – b
Nehmen wir nochmals b weg, so erhalten wir den Rest
r2 = a – b – b = a – 2b

Ein drittes Mal b weggenommen, ergibt
r3 = a – b – b – b = a-3b  und so weiter.
Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl a kein Rest mehr übrig bleibt, können es n- mal machen:

rn = a – b – b – b – … . n-mal = a – nb.

Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich 0 ist, so ist
0    = a – nb

Rudolf Steiner licht dan toe hoe men de overgang van getallen- naar letterrekening kan maken. Hij gebruikt het volgende voorbeeld.

Men schrijft een som op waarbij alleen verschillende getallen bij elkaar worden opgeteld:
                                                        20=7 + 5 + 6 + 2

Een paar getallen kunnen ook gelijk zijn:

                                                       25 = 5 + 5 + 9 + 6

En alle getallen kunnen gelijk zijn:

                                                          18 = 6 + 6 + 6

Gaat men er nu toe over, zoals gisteren werd aangegeven, om de getallen te vervangen door letters, dan heb ik bijvoorbeeld de som .
S1 = a + a + a, dat is drie keer een a, drie keer a = 3 x a.
Dan S2
 = a + a + a + a + a, vijf keer a = 5 x a.
Dan S3
 = a + a + a + a + a + a + a, zeven keer a = 7 x a, enzovoort.
Ik doe dat steeds op die manier, ik kan het negen keer, eenentwintig keer, vijfentwintig keer doen. Ik doe het m keer:
Sm = a + a + a + a + a. ..m keer = m x a.
Zo krijg ik uit het onbepaalde aantal getallen dat opgeteld moet worden de ene factor, terwijl het getal zelf de andere factor is. Op die manier kan men gemakkelijk de vermenigvuldiging uit de optelling afleiden en begrijpen. Zo maakt men de overgang van bepaalde getallen naar algebraïsche grootheden, naar a x a = a2,    a x a x a = a3.
 Op dezelfde wijze kan men ook het delen afleiden uit het aftrekken. Wanneer we b wegnemen van een heel groot getal a, dan krijgen we de rest r1

                                                          r1 = a — b
Nemen we nog een keer b weg, dan houden we de rest 

                                                        r2 = a – b – b = a – 2b 

Voor de derde keer b weggenomen geeft

                                                  r3  = a – b – b – b = a – 3b enzovoort.

We kunnen dit net zo lang doen tot er van a geen rest meer over is. 

We kunnen het n keer doen:

                                      rn = a – b – b – b – b… n keer = a – nb.

Als er dan geen rest meer is, dat wil zeggen, als de laatste rest gelijk 0 is, dan is

                                                          0 = a – nb.

Blz. 145   vert. 134

Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, a = nb. Ich habe n-mal das b weggenommen, habe das a in lauter b aufgeteilt,  a/b=n
da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das n-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.
Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, bezie­hungsweise wegnimmt.

Dan is a helemaal opgedeeld, omdat er immers geen rest is, a = nb. Ik heb n keer b weggenomen, ik heb a in enkel b opgedeeld: a = n.    (a gedeeld door b = n)
b
a is helemaal verdwenen. Ik heb gevonden dat ik dat n keer kan doen en daarmee ben ik overgegaan van het aftrekken naar het delen.
Men kan dus zeggen: de vermenigvuldiging is een bijzonder geval van optelling en het delen is een bijzonder geval van aftrekken, in die zin dat men niet slechts één keer, maar meerdere keren toevoegt respectievelijk wegneemt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. – Eugen Düh-ring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.
Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Di­vidieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.
    addieren    subtrahieren
    multiplizieren    dividieren
    potenzieren    radizieren

Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.
In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Net­to-, Tara-, Emballagerechnung.

Het gesprek komt op negatieve en imaginaire getallen.

Een negatief getal is een aftrekker waarvoor geen aftrektal meer is. Het is een aansporing om een operatie uit te voeren waar geen materiaal voor is, die niet uitgevoerd kan worden. Eugen Dühring wees de imaginaire getallen als onzin af. Hij zei over de definitie van Gauß van het imaginaire, dat dat een stommiteit was, geen realiteit maar een hersenspinsel.
Men leidt dus altijd de vermenigvuldiging af uit de optelling en dan het machtsverheffen uit de vermenigvuldiging. Verder het delen uit het aftrekken, het worteltrekken uit het delen.

optellen                           aftrekken
vermenigvuldigen         delen
machtsverheffen           worteltrekken

Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt.
In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang

Blz. 146  vert. 135

machen wollen – wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.
Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen. was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

Z = (K * P * T) / 100

das T größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Gan­zen dabei bekommt.
Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Steile sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Divi­dieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.
Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Po­tenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

Er wordt een vraag gesteld over het gebruik van formules.

Nu gaat het erom of u heel vaak liever niet de formule gebruikt maar steeds weer de gedachtegang wilt maken – waarbij u zeer zeker taalcultuur kunt bedrijven, dat is juist – of dat u misschien toch een formule wilt gaan gebruiken. Als u dat met beleid doet, zodat de formule goed begrepen wordt, is dat ook heel nuttig om tot op zekere hoogte daarmee taalcultuur te beoefenen. Maar vanaf een bepaald moment is het ook goed om de formule voor de kinderen tot iets voelbaars te maken, om de formule tot iets te maken wat levend is. Bijvoorbeeld, wanneer de t groter wordt bij

                                                         r = k x p x t
                                                                  100

dat de kinderen dan een gevoel krijgen dat het geheel groeit.
Hiermee is wel gezegd wat ik op deze plaats wilde zeggen, dat men de concrete getallen moet gebruiken bij gelegenheid van de rente- of procentberekening, om de overgang te vinden naar het letterrekenen en om daaruit het vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken af te leiden. Dat zijn toch dingen die men zeer zeker al moet doen met de kinderen.

Nu zou ik de vraag willen stellen: lijkt het u goed om het machtsverheffen en worteltrekken al te behandelen voordat u letterrekenen hebt gedaan, of zou u het daarna doen?

T.:    Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Poten­zieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökono­misch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

T.: Machtsverheffen ervoor, worteltrekken erna.

Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met de letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld.
GA 295/141-146
Vertaald/132-135

2e leerplanvoordracht, Stuttgart 6 september 1919                       

Blz. 167  vert. 154

Nun wird es uns obliegen, auch alles, was sich auf Rechnen, Mathe­matik, Geometrie bezieht, zu verteilen auf die acht Schulstufen.
Sie wissen ja, die äußere Methodik schreibt vor, im ersten Schuljahr vorzugsweise die Zahlen im Zahlenraum bis 100 zu behandeln. Man kann sich an das auch halten, denn es ist ziemlich gleichgültig, wenn man bei den einfacheren Zahlen bleibt, wie weit man den Zahlenraum im ersten Schuljahr treibt. Die Hauptsache ist, daß sie, insofern Sie den Zahlenraum gebrauchen, die Rechnungsarten darin so betreiben, daß Sie eben dem Rechnung tragen, was ich gesagt habe: die Addition zuerst aus der Summe heraus, die Subtraktion aus dem Rest heraus, die Multiplikation aus dem Produkt heraus und die Division aus dem Quotienten heraus entwickelt. Also gerade das Umgekehrte von dem, was gewöhnlich gemacht wird. Und erst nachdem man gezeigt hat, 5 ist 3 plus 2, zeigt man das Umgekehrte: durch Addition von 2 und 3 entsteht 5. Denn man muß starke Vorstellungen im Kinde hervor­rufen, daß 5 gleich 3 plus 2 ist, daß 5 aber auch 4 plus list und so wei­ter. Also die Addition erst als zweites nach der Auseinanderteilung der Summe; und die Subtraktion, nachdem man gefragt hat: Was muß ich von einem Minuenden abziehen, damit ein bestimmter Rest bleibt und

Nu moeten we ook alles wat met rekenen, wiskunde en geometrie te maken heeft verdelen over de acht klassen.
U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5 = 3 + 2, maar ook 4 + 1 enzovoort. De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden

Blz. 168  vert. 154

so weiter. Wie gesagt, daß man das dann mit den einfacheren Zahlen im ersten Schuljahr macht, ist selbstverständlich. Ob man nun gerade den Zahlenraum bis 100 oder bis 105 oder bis 95 benützt, das ist im Grunde nebensächlich.
Dann aber beginne man, wenn das Kind mit dem Zahnwechsel fer-tig ist, ja gleich damit, es das Einmaleins lernen zu lassen, und meinet-willen sogar das Einspluseins; wenigstens, sagen wir, bis zur Zahl 6 oder 7. Also das Kind möglichst früh das Einmaleins und Einspluseins einfach gedächtnismäßig lernen zu lassen, nachdem man ihm nur prin­zipiell erklärt hat, was das eigentlich ist, es prinzipiell an der ein­fachen Multiplikation erklärt hat, die man so in Angriff nimmt, wie wir das gesagt haben. Also kaum daß man imstande ist, dem Kinde den Begriff des Multiplizierens beizubringen, übertrage man ihm auch schon die Pflicht, das Einmaleins gedächtnismäßig zu lernen.
Dann führe man im zweiten Schuljahr für einen größeren Zahlen-raum die Rechnungsarten weiter. Man versuche, einfache Aufgaben auch ohne Schriftliches, eben im Kopfe, mündlich mit dem Schüler zu erledigen.

enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak.
Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen, draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren. In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling.

Man versuche, unbenannte Zahlen womöglich zuerst zu ent­wickeln an Dingen – ich habe Ihnen ja gesagt, wie Sie an Bohnen oder was auch, die unbenannten Zahlen entwickeln können. Aber man sollte doch auch das Rechnen im Zusammenhang mit benannten Zahlen nicht aus dem Auge verlieren.
Im dritten Schuljahr wird alles für kompliziertere Zahlen fort­gesetzt, und es werden schon die vier Rechnungsarten, wie sie im zwei­ten Schuljahr gepflogen worden sind, in Anwendung gebracht auf ge­wisse einfache Dinge des praktischen Lebens.
Im vierten Schuljahr wird das fortgesetzt, was in den ersten Schul­jahren gepfiogen worden ist. Aber jetzt müssen wir übergehen zur Bruchlehre und namentlich zur Dezimalbruchlehre.
Wir wollen dann im fünften Schuljahr mit der Bruchlehre und mit der Dezimaibruchlehre fortsetzen und alles dasjenige an das Kind her­anbringen, was ihm die Fähigkeit beibringt, sich innerhalb ganzer, ge­brochener, durch Dezimaibrüche ausgedrückter Zahlen frei rechnend zu bewegen.
Dann gehe man im sechsten Schuljahr über zur Zins- und Prozentrechnung,
zur Diskontrechnung, zur einfachen Wechseirechnung und begründe damit die Buchstabenrechnung, wie wir es gezeigt haben.

Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen – ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen.
 In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven.
In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.
In de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen.
In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente en procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.

Blz. 169-170   vert. 155-156

Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchsta­benrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das herein-zubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des prak­tischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann.
Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammenhängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann, und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben.

In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
GA 295/167-170
Vertaald/154-156
.
In werkbespreking 4 staan de aanwijzingen voor het rekenen met de verschillende temperamenten.
Ter verduidelijking heb ik e.e.a. uitgewerkt waarbij ik de vormtekeningen voor de temperamenten als basis gebruikt.
Rekenen in temperamenten (onder 1, 2, 3, 4)

In het rekenwerkboekRekenen in bewegingworden de aanwijzingen die hierboven staan, verder uitgewerkt.

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.
2481

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over pedagogie(k) – GA 304 – inhoudsopgave

.
RUDOLF STEINER

GA 304

ERZIEHUNGS- UND UNTERRICHTSMETHODEN AUF ANTHROPOSOPHISCHER
GRUNDLAGE

9 openbare voordrachten gehouden tussen 23 februari 1921 en 16 september 1922 in verschillende steden. (Dornach 1979)

OPVOED- EN ONDERWIJSMETHODEN VANUIT DE ANTROPOSOFIE

.

Voordracht 1 – elders uitgegeven
Voordracht 2 – elders uitgegeven

Voordracht 3, Dornach 26 september 1921

Blz.65: pedagogie moet veel meer op de hele mens betrokken worden; tussen opvoeder en kind mag niet het specialisme komen te staan; 
Blz.66: het belang van de band tussen opvoeder en kind; 
Blz. 67 e.v.: geest/ziel en het lichamelijk/levende doordringen elkaar wederzijds;dat moeten we als opvoeder goed weten; 
Blz. 69 e.v.: hoe verhouden zich gezondheid en ziekte; metamorfoseleer van Goethe; 
Blz. 70 e.v.: afwijkingen, misvormingen bij de plant; het doorschieten van de idee; 
Blz. 72: eenzijdigheden harmoniseren; 
Blz. 74: bij lesgeven geven we vaak eenzijdigheden; hoe kunnen we dat goedmaken; pedagoog moet vragen: hoe maak ik het kind gezond’
Blz. 75 e.v.: wat is gezondheid en wat ziekte: gezondheid als evenwicht tussen twee uitersten;
Blz. 76 e.v.: tandenwisseling; vrijkomen van krachten te gebruiken als bijv. geheugenkracht;
Blz. 78: noodzaak kunstzinnig onderwijs;
Blz. 79: bij de puberteit een soort omgekeerd proces als bij tandenwisseling; in het 9e, 10e jaar beginnen deze krachten voor het eerst te botsen;
Blz. 80: puberteit: interesse voor de buitenwereld; tegenwicht voor opgaan in zichzelf, voor egoïsme;
Blz. 81: het belang van antroposofie;

Voordracht 4, Aarau 11 november 1921

Blz.92: oprichting vrijeschool in Stuttgart; Emil Molt;
Blz.93: antroposofie wil bevruchtend werken op andere wetenschappen;
Blz. 94: vrijeschool geen wereldbeschouwelijke school; geen sekteschool; vrijeschool door antroposofie een methodeschool;
Blz.95: er moet geen leer de school binnengebracht worden; antroposofie moet menskunde verdiepen om voor wordende mens te doen wat deze vanuit zijn mens-zijn eist;
Blz. 96: kind is eigenlijk grootste leraar; eerbied voor het goddelijke dat naar de aarde komt; methodiek wordt afgelezen aan ontwikkeling kind; methodiek niet in abstracte onderwijsregels;
Blz. 97: experimenten kunnen nuttig zijn, maar leiden niet tot een verdiepte pedagogiek;
Blz. 98: het gaat om het innerlijk;
Blz. 99: geest-zielenwezen verbindt zich met fysieke mensenkiem; deze opvatting breng je niet de school binnen, maar verdiept je waarneming van het kind, bv. bij het leren spreken;
Blz. 101: kind op nabootsing aangewezen; wetenschap kan niets met geest en ziel, kan daarom ook mens niet kennen;
Blz. 102: tandenwisseling; vrijkomen van krachten die ook geheugenkrachten zijn;
Blz. 104: klein kind steelt niet, bootst na; tussen 7 en 14 autoriteit;
Blz. 105: aanschouwelijkheid; autoriteit en later sociaal leven;
Blz. 106: het kind die dingen geven die mee kunnen ontwikkelen;
groeikrachten van de natuur volgen; het gaat niet om het ‘wat’, maar om het ‘hoe’;
Blz. 107; het gaat niet om regels, maar om hoe je ze tot leven brengt;
Blz. 108: de grondslag is de liefde voor het kind; wat de ene leerkracht vertelt of de andere – het imponderabele;
Blz. 109: rekenende paarden;
Blz. 110: waarnemen van het kind heel belangrijk; het gaat om het Hoe;
Blz. 111: lezen is voor kind een vreemd ding; schrijftekens sluiten niet meer aan bij wat direct beleefbaar is; de letter wordt ontwikkeld uit het kunstzinnig tekenen, schilderen; kind vraagt van binnenuit wat er met hem moet worden gedaan; vanuit de wil naar het intellect;
Blz. 112: tot aan 9e jr geen onderscheid tussen hem en wereld; rond 9e jaar grote verandering die leerkracht moet waarnemen;
Blz. 113: na die verandering plant- en dierkunde mogelijk; nog weer later 11e, 12e vakken als natuur- en scheikunde; geslachtsrijpheid een metamorfose in ontwikkeling;
Blz. 114: mogelijkheid tot oordelen ontstaat; ontwikkeling tot sociaal wezen;
Blz. 115: te vroeg oordelen is schadelijk; leren is niet alleen leuk, maar wij moeten het aantrekkelijk maken;
Blz. 116: Goethe en Schiller; brieven over esthetische opvoeding; speldrift;

.

GA 304 (Duits)

Steineralle pedagogische voordrachten

Rudolf Steineralle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

.

2430

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over pedagogie(k) – GA 304 – voordracht 2

.

RUDOLF STEINER

GA 304

Inhoudsopgave; voordracht [1]  [3]  [4]
vragenbeantwoording

ERZIEHUNGS- UND UNTERRICHTSMETHODEN AUF ANTHROPOSOFISCHER GRUNDLAGE

9 openbare voordrachten gehouden tussen 23 februari 1921 en 16 september 1922 in verschillende steden.

OPVOED- EN ONDERWIJSMETHODEN VANUIT DE ANTROPOSOFIE

Voordracht 2, Den Haag 27 februari 1921

Erziehungs-, Unterrichts- und praktische Lebensfragen vom Gesichtspunkte anthroposophischer Geisteswissenschaft

Een antroposofische kijk op opvoeding, onderwijs en het praktische leven 

Deze voordracht is vertaald:

Wat is de betekenis van de antroposofie? Dat zij de mens de weg tot inzicht in hogere werelden wijzen kan? Zeker. Maar daar kan het niet bij blijven.
De antroposofie biedt ook inzicht in de vraagstukken van het dagelijkse, praktische leven. Want dáár wil de antroposofie tot bloei komen: in de grote vragen waarvoor de moderne mens zich gesteld ziet. Niet voor niets richtte Rudolf Steiner zich ook op thema’s als onderwijs, landbouw, geneeskunde, economie.
In de twee voordrachten in deze bundel laat hij zien hoe en waarom de antroposofie opgenomen kan en wil worden in de werkelijkheid van het leven.
Ze werden in 1921 in Den Haag gehouden.

Vertaling: Bernard Asselbergs, John Hogervorst en Michiel Scager.
Uitgeverij Nearchus

.

Steineralle pedagogische voordrachten

Steineralle artikelen op deze blog

.

2427

.