Maandelijks archief: augustus 2021

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-6)

.

Enkele gedachten bij blz. 168/169 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

DE GEEST IN HET HOOFD WEKKEN – in de praktijk

Het ‘wekken van de geest die in het hoofd slapend aanwezig is’, heeft Steiner bestempeld als een belangrijke pedagogische opdracht.
Een taak die de opvoeder na verloop van tijd van ‘moeder natuur’ overneemt.

Maar daarmee staat ‘moeder natuur’ niet buiten spel. Je zou bijna willen zeggen: ze wil iets met de ontwikkeling van de mens – voor ons het (jonge) kind, wat zij zelf niet meer kan doen. Ze laat wel zien in welke richting dat moet gaan: als we het jonge kind zien trappelen met de beentjes en we zien in latere jaren hoeveel behoefte kinderen aan beweging hebben, dan is dat een onuitgesproken vraag van moeder natuur: laat ons bewegen. 
In GA 304 bv. formuleert Steiner dit zo:

Aus dieser tieferen Menschenerkenntms heraus, aus demjenigen was anthroposophische Geisteswissenschaft über den Menschen selbst erkennen lernt, aus dieser Menschenerkennt­nis heraus, die nicht bloß das Denken, sondern die den ganzen Menschen nach Fühlen und Wollen ergreift, aus dieser Geisteswissenschaft heraus soll nun nicht dasjenige werden für die Waldorfschule, was man nennen könnte eine angelernte Methodik, sondern es soll dasjenige werden, was aus Menschenerkenntnis in dem Lehrer den Willen erzeugt, dem wer­denden Kinde gegenüber alles das zu tun, was gewissermaßen die menschliche Organisation selber von dem Lehrer, von dem Erzieher, von dem Unterrichtenden fordert. Der größte Lehrer für die Waldorfschule ist nämlich, so paradox das klingen mag, das Kind selbst. 

Uit deze diepere menskunde, uit wat antroposofische geesteswetenschap je over de mens zelf leert, uit deze menskunde die niet alleen het denken, maar juist de hele mens met zijn voelen en willen raakt, uit deze geesteswetenschap moet voor de vrijeschool geen wat je zou kunnen noemen, aangeleerde methodiek ontstaan, maar er moet een menskunde ontstaan die in de leraar de wil ontwikkelt voor het wordende kind alles te doen wat de menselijke organisatie zelf van de leraar, van de opvoeder eist. De grootste leraar voor de vrijeschool is namelijk, hoe paradoxaal dat ook mag klinken, het kind zelf. 

De grootste leraar voor de vrijeschool is het kind zelf

Wat ik hier ‘moeder natuur’ noem, noemt Steiner hier ‘de menselijke organisatie’. En die eist iets.

Und indem der Waldorflehrer in seiner Brust die Überzeugung trägt: dasje­nige, was dir von Woche zu Woche, von Jahr zu Jahr in dem Kinde entgegentritt, das ist der Ausdruck einer göttlich-geistigen Wesenheit, die heruntersteigt aus einem rein geistig-seelischen Dasein, die sich so entwickelt, wie sich das Physisch-Leibliche hier zwischen Geburt und Tod entwickelt und die sich verbindet mit demjenigen, was durch die Vererbungsströmung von Eltern und Voreltern an den Menschen phy­sisch-ätherisch herankommt – diese ungeheure, tiefe Ehrfurcht, die man hat vor dem werdenden Menschen, der einem schon vom ersten Tage seines Daseins im physischen Leben zeigt, wie das Innerlich-Seelische hervortritt in den Offenbarungen der Physiognomie, in den ersten Bewegungen, im Lallen und in der werdenden Sprache, all dasjenige, was da durch wirkliche anthroposophische Menschenkenntnis hineinkommt an Ehrfurcht für dasjenige, was das Göttliche in die Welt heruntergesen­det hat, all das ist das Wesentlichste, mit dem der Waldorflehrer die Pforte seiner Klasse jeden Morgen neu betritt. Und er lernt von den täglichen Offenbarungen dieses geheimnisvollen geist-seelischen Wesens dasjenige, was er tun soll.
Daher kann man die Methodik der Waldorfschule nicht in abstrakte Lehrsätze fassen. 

En als de vrijeschoolleerkracht de overtuiging voelt: wat je week na week, jaar na jaar in het kind ziet, is de uitdrukking van een goddelijk-geestelijk wezen dat uit een pure wereld van geest en ziel naar de aarde komt, dat zich zo ontwikkelt zoals het fysiek-levende zich hier tussen geboorte en dood ontwikkelt en dat zich verbindt met wat het door de erfelijkheidsstroom door de ouders en voorouders fysiek- etherisch krijgt – deze ongelooflijk diepe eerbied die je krijgt voor de wordende mens, die al vanaf de eerste dag van zijn bestaan in het fysieke leven laat zien hoe het innerlijke zielenleven zichtbaar wordt in de uitingen van fysionomie, in de eerste bewegingen, in het brabbelen en het zich ontwikkelende spreken, alles wat er door echte antroposofische menskunde ontstaat aan eerbied voor wat het goddelijke naar de aarde stuurt, dat is het meest wezenlijke waarmee de vrijeschoolleraar iedere morgen nieuw de klas in gaat. En van dit mysterieuze geest-zielenwezen leert hij wat hij moet doen.
Daarom kan je de methodiek van de vrijeschool niet in abstracte onderwijsregels verpakken.
GA 304/96
Op deze blog vertaald/96

De vrijeschoolmethodiek

Dit ‘mysterieuze geest-zielenwezen’ leert ons ook dat ‘fantasie’ letterlijk wezen-lijk is. Alle kinderen op deze wereld – zelfs levend onder de meest barre omstandigheden – leven als fantasievolle wezens met behoefte aan beweging, aan scheppend bezig zijn. 
De natuur kan het niet alleen – wij moeten haar helpen. 
Nu neemt Steiner op blz. 168 het schrijven en lezen als vak tot voorbeeld.
Hij had ook andere vakken kunnen nemen, want bij ‘dit helpen’ hoort de totale methodiek van de vrijeschool. Ook al kan dit niet altijd en even ideëel tot uitdrukking worden gebracht: de vrijeschoolmethode is het zichtbare antwoord op wat de natuur voor het kind vraagt. En daarmee wordt ‘natuur’ cultuur; daarmee zet de mens de stap vanuit het ‘dier’niveau naar het mensenniveau.

GA 297:

Sie sehen, aus der Menschenerkenntnis der Lebensalter heraus entwickelt sich der wahre Lehrplan. Das Kind selbst sagt uns, wenn wir es wirklich beobachten können, was es in einem Lebens­alter lernen will.

( ) Uit de kennis van de menselijke levensfasen wordt het juiste leerplan ontwikkeld. Het kind zelf geeft ons aan, als we het werkelijk kunnen waarnemen, wat het op een bepaalde leeftijd wil leren.
GA297/53
Op deze blog vertaald/53

GA 308:

So kann man ablesen an der Menschenentwicklung aus wahrer Menschenerkenntnis heraus dasjenige, was man von Woche zu Woche, von Monat zu Monat, von Jahr zu Jahr mit dem Kinde erzieherisch und unterrichtend zu vollbringen hat. Der Lehrplan muß sein eine Kopie desjenigen, was man in der Menschenentwicklung lesen kann.

Zo kun je met een echte menskunde aan de ontwikkeling van de mens aflezen wat je van week tot week, van maand tot maand, van jaar tot jaar met het kind opvoedend en onderwijzend hebt te doen. Het leerplan moet een kopie zijn van wat je in de ontwikkeling van de mens kunt lezen.
GA 308/41
Vertaald/65

Blz. 174   vert. 168:

Damit sehen Sie aber auch, daß die Natur natürlich erzieht. Denn ihre Ernährung durch die Milch ist das erste Erziehungsmittel. Die Natur erzieht natürlich. Wir Menschen beginnen, indem wir durch die Sprache und durch unser Tun auf das Kind erzieherisch wirken, wir Menschen beginnen seelisch zu erziehen.

U ziet ook dat de natuur natuurlijk opvoedt. Want de voeding met melk is het eerste middel van de opvoeding. De natuur voedt natuurlijk op. Wij mensen maken een begin met de opvoeding van de ziel door te werken via de taal en via ons doen.

‘Via ons doen’: dat is eigenlijk ‘hoe gaan we om met het kind’ en een direct antwoord zou bv. kunnen zijn: we zingen en doen bewegingsspelletjes of de hier van andere achtergronden voorzien: de vingerspelletjes.
En we spreken tegen het kind en dat bootst na. En met het spreken worden ook antipathie en sympathie ontwikkeld, zoals in GA 294 – voordracht 2 – wordt uitgelegd.

En bij dit ‘seelisch erziehen’ – het opvoeden van de ziel – is dat de ziel als geheel van denken, voelen en willen.
Dus als het kind op school komt – dat was in Steiners tijd met 7 jaar – dan:

Blz. 174      blz. 168

Natürlich, wenn das Kind sieben Jahre alt geworden ist und zur Volksschule kommt – wir haben es ja nicht immer in dieWiege gelegt, sondern es hat etwas getan, es hat sich selbst durch Nachahmung der Alten fortgeholfen, es hat dafür gesorgt, daß sein Kopfgeist aufgewacht ist in einer gewissen Beziehung -, dann können wir das, was es sich selbst im Kopfgeist aufgeweckt hat, dazu benützen, um ihm Lesen und Schreiben ( ) zu lehren.

Nu heeft een kind al heel wat zelf gedaan als het op zijn zevende op de basisschool komt. We hebben het immers niet al die tijd in de wieg gelegd, het heeft zichzelf verder geholpen door de ouderen om hem heen na te bootsen. Het heeft ervoor gezorgd dat de geest in zijn hoofd in zekere zin wakker is geworden. Dan kunnen we gebruik maken van het geestelijke dat het zelf in zijn hoofd gewekt heeft, om het (  ) lezen en schrijven bij te brengen.

Nu zijn we lezen en schrijven al eerder tegengekomen in voordracht 1 [1-9] als het ‘meest-fysieke’. 
Het artikel dat dit aan de orde stelt, gaat ook over dit onderwerp uit de 11e voordracht en het is raadzaam dit eveneens nu te lezen.

Moeder natuur’ heeft van alles met het leven: voeding, slaap, ritme, voortplanting, ontwikkeling, nabootsing, lopen, spreken, denken, in de natuurwetten vinden we getallen, schepping en fantasie, maar geen schrijven en lezen. Een mens zou zijn leven zonder kunnen, vanuit de natuur geredeneerd. Taalgebruik met het spreken, met elkaar communiceren: eeuwen ging het zonder schrijven en lezen. 

Dat drukt Steiner iets anders uit:

Blz. 173      blz. 168/169

Wir Menschen beginnen, indem wir durch die Sprache und durch unser Tun auf das Kind erzieherisch wirken, wir Menschen beginnen seelisch zu erziehen. Daher ist es so wichtig, daß wir im Unterricht und in der Erziehung uns bewußt werden: wir können eigentlich als Erzieher und Unterrichter mit dem Kopf selbst nicht allzuviel anfangen. Der bringt uns das, was er werden soll in der Welt, schon durch die Geburt in diese Welt herein. Wir können wecken dasjenige, was in ihm ist, aber wir können es nicht durchaus in ihn hineinversetzen.
Da beginnt aber natürlich die Notwendigkeit, sich klarzuwerden darüber, daß nur ganz Bestimmtes durch die Geburt in das physische Erdendasein hereingebracht werden kann. Was nur im Laufe der Kulturentwickelung durch äußere Konvention entstanden ist, damit gibt sich die geistige Welt nicht ab. Das heißt, unsere konventionellen Mittel zum Lesen, unsere konventionellen Mittel zum Schreiben – ich habe das von an- deren Gesichtspunkten aus schon ausgeführt , die bringt na- türlich das Kind nicht mit. Die Geister schreiben nicht. Die Geister lesen auch nicht. In Büchern lesen sie nicht, und mit der Feder schreiben sie nicht. Das ist nur eine Erfindung der 5piritisten, daß die Geister eine menschliche Sprache führen und sogar schreiben. Dasjenige, was in der Sprache und im Schreiben enthalten ist, ist Kulturkonvention. Das lebt hier auf der Erde.

Wij mensen maken een begin met de opvoeding van de ziel door te werken via de taal en via ons doen. Daarom is het zo belangrijk dat we in ons onderwijs en onze opvoeding ons ervan bewust worden dat we met het hoofd zelf niet zoveel kunnen beginnen. Het hoofd brengt door de poort van de geboorte al met zich mee wat het moet worden in de wereld. Wij kunnen dat wat in het hoofd is wekken, maar we kunnen dat er geenszins zelf in leggen. Dan moeten we ons natuurlijk ook realiseren dat alleen heel specifieke dingen via de geboorte op het aardse plan gebracht kunnen worden. De geestelijke wereld houdt zich niet bezig met dingen die uitsluitend in de loop van de ontwikkeling van de cultuur door uiterlijke conventies zijn ontstaan. Dat wil zeggen: onze conventionele middelen voor het lezen en voor het schrijven — ik heb dat vanuit andere gezichtspunten ook al belicht [GA 294 vdr. 2 en 5] – brengt een kind natuurlijk niet met zich mee. Geestelijke wezens schrijven niet. Lezen doen ze ook niet. Ze lezen geen boeken en ze schrijven ook niet met een pen. Dat is een uitvinding van spiritisten dat geesten de menselijke spreektaal hanteren en zelfs schrijven. Spreken* en schrijven berusten op conventie. Dat leeft hier op aarde.

*Het Duits heeft ‘Sprache’, dat is ook ‘taal’. En wat en hoe we nu spreken, is ook door conventie tot vaste regels geworden. Steiner duidt hier dus niet op de ‘taalgeest’, zoals hij die gebruikt in het begin van de voordracht.

Maar het kind is wel op aarde gekomen en moet met zijn leven op aarde zo in het leven komen te staan dat het opgewassen is tegen wat dit leven nu van hem vraagt. Hij moet een waardig lid van deze cultuur kunnen zijn en dus moet hij leren lezen en schrijven.

Maar schrijf- en leesletters zijn conventionele dingen: ze zijn in de loop van de tijd geworden tot wat ze nu zijn: een eindproduct. Sintels: het vuur is gedoofd; stenen, van wat eens ‘brood’ was.

De conventionele manier is nog steeds: juf of meester toont een letter en noemt deze bij naam – als het goed is hoe deze letter klinkt – bv.  b(u); zeg maar na: b(u), b(u), b(u). En die schrijf je zo:  streepje van boven naar beneden, rondje eraan van rechts terug naar links. En dat maar veel oefenen.
Hier hebben we dus niet te maken met ‘scheppende voorstellingen’, maar met gereflecteerde voorstellingen die snel tot begrip moeten worden. Zo leer je lezen en schrijven in conventionele zin. Zie voordracht 4 [4-4]

Hier heeft ‘moeder natuur’ niet veel te doen: er is geen beleving die de ademhaling sneller of langzamer laat gaan, geen scheppende beweeglijkheid.
En dus ligt het voor de hand:

Und nur dann, wenn wir nicht bloß diese Kulturkonvention, dieses Lesen und Schreiben, dem Kinde beibringen durch den Kopf, sondern wenn wir dem Kinde dieses Lesen und Schreiben beibringen auch durch Brust und Gliedmaßen, dann tun wir ihm Gutes.

En we doen het kind alleen goed wanneer we het niet alleen via het hoofd het conventionele van het lezen en schrijven bijbrengen, maar het ook via borst en ledematen leren lezen en schrijven.

In [11-5] is uiteengezet dat ‘de geest in het hoofd’ zich laat wekken door de ledematen en het gevoel. Deze ‘geest in het hoofd’ wordt ook door Steiner ‘intellect’ genoemd:

Je weniger man den Intellekt dressiert, je mehr man darauf ausgeht, den ganzen Menschen zu behandeln so, daß aus den Gliederbewegungen, aus der Geschicklichkeit der Intellekt wird – und er wird -, desto besser ist es.

Hoe minder je het intellect dresseert, hoe meer je je toelegt om met de hele mens zo om te gaan dat vanuit de bewegingen van de ledematen, uit de handigheid, het intellect ontstaat – des te beter is het.
GA 301/80
Op deze blog vertaald/80

De conventionele methode is ‘dressuur van het intellect’;
vanuit de bewegingen van de ledematen: dat vraagt het kind van die leeftijd. Dat is de stem van moeder natuur die ons toeroept: ga zo met het kind om. Stem je methodiek en je didactiek daarop af.

Doen we dat niet:

dann beginnen wir, diesen Kopfgeist durch unseren Einfluß zu schädigen.

dan beginnen we door onze invloed deze geest ook schade te berokkenen.

Wat daarna op blz. 169 beschreven wordt, staat ook hier, met alle relevante uitspraken uit de verschillende pedagogische voordrachten.

Steiner in GA 294:


Schrijven en lezen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 1e klas letterbeelden

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2492

.

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 301

.

ga 301

Die Erneuerung der pädagogisch-didaktischen Kunst durch Geisteswissenschaft

Voordracht 9, Bazel 4. mei 1920 

Dialekt und Schriftsprache

Blz. 151  vert. 151

Denn von all den Dingen, welche dem Menschen so furchtbar schaden, ist dasjenige, was aus dem Rechenunterricht kommt, bei vielen Menschen das Allerschädlichste. Die Art, nach der wir rechnen lernen, ist in der Regel gegen die menschliche Natur. Denn alles dasjenige, was heute bei vielen Menschen als eine Neigung zum Materialismus auftritt, das ist im Grunde genommen nichts anderes als ein Ergebnis eines verfehlten Rechenunterrichts so gerade um das 9. Lebensjahr herum.

Dialect en schrijftaal

Want van alle zaken die voor de mens zo buitengewoon schadelijk zijn, is wat uit het rekenonderwijs komt, het meest schadelijk. De manier waarop we leren rekenen gaat als regel in tegen de menselijke natuur. Want alles wat tegenwoordig bij veel mensen als een hang naar het materialisme optreedt, is in de aard der zaak niets anders dan het gevolg van verkeerd rekenonderwijs rondom het 9e jaar.
GA 301/151
Op deze blog vertaald/151                        zie bv. [9-4]

Voordracht 10, Bazel 5 mei 1920

Blz. 152   vert. 152

Synthese und Analyse im Menschenwesen und in der Erziehung

Synthese en analyse in de mens en in de opvoeding

De blz. 152, 153 en begin 154 zijn zo’n geheel dat die gelezen kunnen worden in de vertaling.
Dat geldt ook voor de blz. 157 vanaf ‘Dat is vooral voor het rekenen van belang’ tot half in blz. 160
GA 301/152-160
Op deze blog vertaald/152-160

Voordracht 14, Bazel 11. mei 1920 

Weitere Gesichtspunkte und Fragenbeantwortungen

Verdere gezichtspunten en vragenbeantwoording:

Blz. 218

Be­denken Sie nur, wie nahe es liegt nach den Angaben, die ich gemacht habe, beim Rechnen neben der gewöhnlich bloß beobachteten synthe­tischen Methode aufzusuchen die analytische Methode, von der Summe und vom Produkt, nicht allein von den Addenden und von den Fak­toren auszugehen.
Ich will Sie darauf aufmerksam machen, daß ja in dem Augenblicke, wo wir vom Rechnen von ganzen Zahlen zum Rechnen mit Brüchen übergehen, wir ganz naturgemäß ins Analy­sieren hineinkommen, denn Zahlen bis zu Brüchen verfolgen, heißt eben analysieren; so daß es gerechtfertigt ist, beim Bruchrechnen ein anderes Element in die Unterrichtsmethode einzuführen als beim Rech­nen mit gewöhnlichen Zahlen.
Es ist ja gewiß von der einen Seite her nicht gerade anzufechten, wenn im Laufe des 19. Jahrhunderts die Rechenmaschine in der Schule eingeführt worden ist; aber diese Rechenmaschine sollte nicht zu einer zu starken materialistischen Überschätzung des Anschauungsprinzips führen. Wir sollten uns klar sein darüber: Anschaulichkeit ist schon recht, aber es handelt sich doch darum, daß durch den Unterricht menschliche Fähigkeiten entwickelt werden sollen.

Maar denk er eens aan hoe voor de hand het ligt om bij de aanwijzingen die ik heb gegeven bij het rekenen naast die methode van het synthetiseren die als de gebruikelijke wordt gezien, te zoeken naar de analytische methode die vanuit de som [het totaal van een optelling] en van het product uitgaat en niet van de optellers en de factoren. Hoe voor het grijpen ligt het niet om uitvoerig stil te staan om vanuit dit gezichtspunt het rekenen met breuken te behandelen en alles wat daarmee samenhangt. Ik wil over deze details slechts het volgende zeggen: ik wil u erop wijzen dat op het ogenblik waarop wij van het rekenen met hele getallen overgaan op het rekenen met breuken, we a.h.w. vanuit de aard van de zaak bij een analyse terecht komen, want van getallen naar breuken is nu eenmaal analyseren; zodat het gerechtvaardigd is bij het rekenen met breuken een ander element in de methodiek in te voeren dan bij het rekenen met gewone getallen. Van een bepaalde kant uit gezien is het zeker niet echt aanvechtbaar dat in de loop van de 19e eeuw de rekenmachine in de school gekomen is [het Duits heeft Rechenmaschine, maar dat kan niet het digitale rekenmachientje van nu zijn; het moet om een soort telraam of abacus gaan]; maar die zou niet tot een te sterke materialistische overschatting van het aanschouwelijkheidsprincipe moeten leiden. We moeten duidelijk zijn: aanschouwelijkheid is wel goed, maar het gaat er toch om dat door het onderwijs menselijke vaardigheden worden ontwikkeld.

Die Zeit vom Zahnwechsel bis zu der Geschlechtsreife ist vor allen Dingen dazu da, daß das Gedächtnis herangebildet werde. Unterschätzung des Gedächt­nisses auf Grundlage der Anschauung, auf Kosten der Anschauung, die Bevorzugung der Anschauung auf Kosten des Gedächtnisses, beides sollte man eigentlich vermeiden. Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.
Man sollte allerdings zunächst in ein­facher Weise – aber dazu genügen im Grunde für denjenigen, der lebendigen Unterricht zu erteilen in der Lage ist, die zehn Finger an der Hand -, man sollte innerhalb, sagen wir, der Zähl-Zahl 10 allerlei Gruppierungen vornehmen, welche die Rechnungsoperationen und das Verhältnis der Zahlen untereinander veranschaulichen. Aber dann müßte man sich klar darüber sein, daß man es mit dem Rechnen doch so halten sollte, wie es im Leben, im seelischen Leben der Menschheit überhaupt ist.

De tijd van tandenwisseling tot puberteit is er vooral om het geheugen te ontwikkelen. Onderschatten van het geheugen door aanschouwelijkheid, ten koste van de aanschouwelijkheid, het benadrukken van de aanschouwelijkheid ten koste van het geheugen, moet je allebei vermijden. Je zou wel eerst op een eenvoudige manier – maar in de aard van de zaak  heeft iemand die in staat is levendig onderwijs te geven aan de tien vingers van een hand genoeg – je zou, laten we zeggen, binnen het getal 10 allerlei groepjes kunnen hebben die de rekenoperaties en de verhouding van de getallen t.o.v. elkaar, verduidelijken. Maar dan moet je in de gaten hebben dat je het met rekenen toch zo moet doen als in het leven is, in ieder geval in het zielenleven van de mens.

Vanaf 219 t/m 222 is de inhoud voor rekenen essentieel.
GA 301/218-222
Op deze blog vertaald/218-222

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2491

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-5-1)

.

Enkele gedachten bij blz. 167/168 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

HERSENONTWIKKELING

In [11-5] merkte ik het volgende op: De hersenontwikkeling van het pasgeboren kind is al ver. Als het kind gaat nabootsen – en zo het spreken – het lopen leert, begint het ook te denken en dat alles heeft een werking op de vorming van nieuwe hersencellen.
Maar die hersencellen ontwikkelen zich in de eerste tijd van het mensenleven ook zonder spreken en lopen en doelgericht bewegen, en die ontwikkeling wordt mogelijk door de enige vorm van voedsel die het kind verdraagt: de melk.

Als ‘geestwezen van de natuur’ – als intelligentie van de natuur – maakt deze door de groei van de hersencellen te bevorderen, intelligentie in het slapende mensenwezen mogelijk. Ze maakt de ‘slapende hoofdgeest’ steeds wakkerder.
Uiteraard is dit niet los te zien van de ‘taalgenius’ want tijdens het voeden en op andere ogenblikken dat het kind wakker is, zal er veelvuldig tegen hem gesproken of voor hem gezongen worden.
En hier kan ook de vraag gesteld worden, zoals die bij de nabootsing gesteld wordt: wat je spreekt of zingt of wat het kind te horen krijgt in die zeer prille fase: is dat wat de ‘genius van de natuur’ helpt?

Het hoofd van de baby

Het lijkt of moeder natuur een gebaar wil maken: als het kind geboren gaat worden verschijnt eerst het hoofd. Het was in de baarmoeder al het grootste orgaan:

dierkunde embryo 1

Meer in [11-1]

Bij de geboorte neemt het hoofd een kwart van de lichaamslengte in:

Uit: Lievegoed ‘Ontwikkelingsfasen van het kind

Maar ook is bij de geboorte het gemiddelde brein van de baby ongeveer een kwart van de grootte van het gemiddelde volwassen brein.
Uiterlijk zichtbaar groeit het kind snel en verdubbelt het zijn lichaamsgewicht in vijf maanden; dat gebeurt het tweede jaar, dan nog rond het achtste en zestiende jaar nog een keer.
Het brein verdubbelt zijn grootte in het eerste jaar; op 3-jarige leeftijd maakt het al 80% van de volwassen grootte uit en op 6-jarige leeftijd is het qua volume al met 90% bijna volgroeid.

In de vele boeken en artikelen die over dit onderwerp verschenen en in deze tijd veelvuldig verschijnen, is er sprake van een cruciale eerste 5 jaar wat de ontwikkeling van het brein betreft. Meer dan ooit in het verdere leven.
In een artikel in NRC is er zelfs al sprake van de eerste 1000 dagen.

Wie vertrouwd is met het pedagogisch werk van Steiner weet dat hij ook over deze eerste 3 jaar spreekt als de meest wezenlijke jaren voor de ontwikkeling van het kind. 

Steiner:

Man kann in aller Folgezeit nicht wieder gutmachen, was man in der Zeit bis zum siebenten Jahre als Erzieher versäumt hat. Wie die Natur vor der Geburt die richtige Umgebung für den physischen Menschenleib herstellt, so hat der Erzieher nach der Geburt für die richtige physische Umgebung zu sorgen. Nur diese richtige physische Umgebung wirkt auf das Kind so, daß seine physischen Organe sich in die richtigen Formen prägen.

Wat men als opvoeder in de periode tot het zevende jaar verzuimd heeft, kan men in de daarop volgende tijd niet meer goed maken. Vóór de geboorte schept de natuur de juiste omgeving voor het fysieke mensenlichaam, na de geboorte behoort de opvoeder voor de juiste fysieke omgeving te zorgen. Alleen deze juiste fysieke omgeving werkt zo op het kind, dat zijn fysieke organen het goede vormmodel ontwikkelen.
GA 34/323
Vertaald: De opvoeding van het kind

Hij illustreert dit vaak met een uitspraak van Jean Paul (Richter) die opmerkte ‘We leren in de eerste drie jaar van ons leven meer dan in onze jaren op de universiteit’ (vrij weergegeven).

Het brein verdubbelt zijn grootte in het 1e jaar. Dat is het jaar waarin het kind voornamelijk slaapt en melk drinkt!
Steeds vaker en intenser gaat de omgeving in die tijd een indruk maken op het kind, met als gevolg een invloed daarvan op de hersenontwikkeling. Dat heeft hoe dan ook een blijvende invloed, dus ook voor later, d.w.z. hoe het kind in het leven komt te staan.
En hoe die blijvende invloed kan zijn die het gevolg is van onze omgang met het kind in die cruciale jaren, zie je bv. hier:

De orbitofrontale hersenen, achter het voorhoofd boven de ogen, zijn bij de geboorte  nog niet helemaal ontwikkeld. Die worden ontwikkeld doordat we onze hersens gebruiken, bijvoorbeeld door te reageren op de omgeving en opvoeders. Er is in Roemenië, ten tijde van Ceaucescu, een tragisch ‘real-life-experiment’ gedaan in de weeshuizen aldaar, dat aantoonde hoe belangrijk dit is. De kinderen lagen in ledikantjes met hoge schotten en kregen van de verzorgers alleen de fles maar verder geen enkele aandacht.
Wat je hier ziet is dat niet alleen de hersenen niet gegroeid zijn, maar dat ook de hersenkamers (ventrikels) vergroot zijn, evenals de groeven tussen de windingen. Aan de grootte van de schedel wordt tegelijkertijd duidelijk dat de groei van de hersenen de groei van de schedel bepaalt. De kinderen vertoonden allerlei stadia van retardatie.  Niet aangeboren dus, maar veroorzaakt door verwaarlozing. Omgekeerd levert veel stimulerend en liefdevol contact met opvoeders juist extra groei van zenuwcellen op.
(S.Gerhardt: Why love matters. How affection shapes a baby’s brain) in
Arie Bos:Mijn brein denkt niet, ik wel ‘

Instrument

In sommige literatuur – niet met antroposofische achtergrond – wordt gesproken over ‘een bouwplan’ voor de hersenen.
Wanneer we bv. aan het bouwplan van een vioolbouwer denken, moet daar een viool van komen die ook klinkt als een viool. Nu is het volkomen logisch te zeggen dat deze viool, wanneer die klaar is, gewoon viool blijft en niet tot klinken komt, als die niet bespeelt wordt, ter hand genomen.
Het materiaal ligt er, nu is de speler aan de beurt om de viool ‘zin’ te geven.

Het materiaal van de hersenen wordt gevormd door de genen, maar als er niets gebeurt, komen die niet veel verder in hun ontwikkeling. Ze gaan iets betekenen als er invloed op wordt uitgeoefend die van buitenaf komt. Zoals we hierboven zien aan de invloed van ‘aandacht’. De genen zelf hebben geen aandacht: ze krijgen het; daarom kunnen wij ook spreken van ‘aandacht schenken’.
In de literatuur spreekt men vaak van ‘ervaring’. Die ervaring zou bepalen hoe en wat en hoeveel er van die genen gebruikt gaan worden.
Nu is ‘ervaring’ geen materieel ding, geen stoffelijk, uiterlijk waarneembaar iets: het is een gevoel, je maakt het mee, je ervaart het.
Het is hier de speler op het instrument.
Walther Bühler noemde zijn boek over de drieledige mens: Het lichaam als instrument van de ziel’.

Het artikel waarin er over ‘de ervaring’ gesproken wordt, houdt het verder bij ‘ervaring’. Daar hoort m.i. bij dat ervaring op zich ook nog niets is: ervaring is wat iemand ervaart; om met Bos te spreken: ‘Mijn brein denkt niet, Ik denk’ – mijn ervaring ervaart niet: Ik ervaar.
En voor de baby is dat ‘zijn wezen’, uiteindelijk zijn Ik dat nog ‘om hem heen is’, maar toch al ‘aan het werk’ in het fysieke brein.

Dat heb ik in [11-2-1] al uitgebreider aan de orde gesteld.

De ervaringen roepen in de hersenen een activiteit op die daar voor circuits zorgen, eerst eenvoudige, later meer complexe structuren.

Developingchild.harvard.edu publiceerde dit filmpje.

Zie o.a. [2-7-1]

Leber:

Keineswegs läuft die Ausgestaltung des Gehirns nur erbgesteuert ab, vielmehr greift das erlebende Ich, je nachdem es bestimmte Eindrücke empfängt, in diesen Gestaltungsvorgang unmittelbar ein. Entsprechend der plotinischen Auffassung, dass das Auge am Licht für das Licht gebildet wird, gilt für den gesamten Leib, dass er in den von ihm zu erfüllenden Funktionen durch und für

Geenszins verloopt de structurering van de hersenen volgens een door de erfelijkheid gestuurd proces, veel meer grijpt het ervarende Ik, al naar gelang het bepaalde indrukken krijgt, direct in dit structureringsproces in. Overeenkomstig de opvatting van Plotinus dat het oog door het licht, voor het licht gevormd wordt – dat geldt voor het hele lichaam dat voor de functies die het moet verrichten door en voor het Ik gevormd wordt.
Leber  blz. 233

Steiner:

Wenn der Mensch durch eine neue Geburt wieder ins Dasein tritt, wird er  «in einer gewissen Weise, der Selbstaufbauer seiner Leiblichkeit, ja seines ganzen Geschickes in dem  nächsten Leben. Innerhalb gewisser Grenzen formt und baut der Mensch seinen Leib bis in die Windungen seines Gehirns sich auf mit den Kräften, die er sich aus den geistigen Welten mitzubringen hat, wenn er durch die Geburt neuerdings ins physische Dasein tritt. Und hier im physischen Dasein hängt ja unser ganzes Leben davon ab, dass wir solche Formen, solche Ausgestaltungen unseres physischen Leibes haben, durch die wir mit der äußeren physischen Welt in Beziehung treten können, durch die wir in dieser äußeren physischen Welt handeln, uns betätigen können, ja, durch die wir in dieser äußeren physischen Welt denken können. Denn wenn wir hier in der physischen Welt nicht das entsprechend zugeformte Gehirn haben … so bleiben wir ja unzulänglich für das Leben in der physischen Welt. Wir sind für dieses Leben in der physischen Welt nur dann zulänglich, wenn wir uns solche Kräfte aus der geistigen Welt mitbringen, durch die wir uns einen dieser physischen Welt mit allen ihren Forderungen gewachsenen Leib aufbauen können.»

Wanneer de mens door een nieuwe geboorte weer in het bestaan komt, wordt hij de ‘zelfbouwer’ van zijn eigen lichamelijkheid, zijn totale lot in het leven dat gaat komen. Binnen bepaalde grenzen vormt de mens zijn lichaam en bouwt het op tot in de windingen van de hersenen, met de krachten die hij vanuit de geestelijke wereld meebrengt wanneer hij door de geboorte weer in een fysiek bestaan komt. En hier in dit bestaan hangt ons hele leven ervan af of we die vormen, die structuren van ons fysieke lichaam hebben dat wij met de fysieke wereld een verbinding kunnen maken waardoor wij in deze uiterlijk fysieke wereld kunnen handelen, bezig kunnen zijn, waardoor we in deze uiterlijk fysieke wereld kunnen denken. Want wanneer we hier in deze fysieke wereld niet het adequaat daarvoor gevormede brein zouden hebben, blijven wij voor die wereld ongeschikt. Daar zijn we alleen geschikt voor, wanneer we uit de geestelijke wereld die kracht meebrengen waarmee wij een lichaam kunnen opbouwen dat opgewassen is tegen deze fysieke wereld. [eigen vertaling]
GA 141/154
Vertaald

Leber:

Het Ik is er van begin af aan bij, dus al vóór het kind zichzelf als Ik gaat benoemen. Het komt nu nog niet tot een reflectief bewustzijn van zichzelf. Het heeft nog een andere taak:
Leber  blz. 233

Steiner:

«Es ist der wichtigste spirituelle Faktor bei der Bildung der drei Hüllen des Kindes, des Astralleibes, Ätherleibes und physischen Leibes. Die  physische Hülle des Gehirns wird fortwährend umgebildet. Da haben wir fortwährend das Ich an der Arbeit. Es kann nicht bewusst werden, weil es eine ganz andere Aufgabe hat: Es muss erst das Werkzeug des Bewusstseins formen. Dasselbe, was uns später bewusst wird, arbeitet erst an unserem physischen Gehirn in den ersten Lebensjahren. Es ist sozusagen nur eine Änderung der Aufgabe des Ich.Erst arbeitet es an uns, dann in uns. Es ist wirklich ein Plastiker zuerst, dieses Ich, und es ist unsagbar, was dieses Ich an der Formung selbst dieses physischen Gehirns leistet. Ein gewaltiger Künstler ist dieses Ich. 

Het Ik is de belangrijkste spirituele factor bij de vormen van de drie ‘schalen’ om het kind: het astraallijf, het etherlijf en het fysieke lichaam. De fysieke schaal van de hersenen wordt voortdurend omgevormd. Daar zien we voortdurend het Ik aan het werk. Het kan zichzelf niet bewust worden, omdat het een heel andere taak heeft: het moet eerst het instrument voor het bewustzijn vormgeven. Hetzelfde wat ons later bewust wordt, werkt in de eerste jaren van ons leven eerst aan onze fysieke hersenen. Hier heeft het Ik een andere opgave. Het werkt eerst aan ons, dan in ons. Het Ik is een geweldige kunstenaar.
GA 127/62
Niet vertaald

Das Gehirn ist wie eine Dynamomaschine. Eine Dynamomaschine entwickelt den Magnetismus, und die ganze Bewegung der Fabrik wird  abhängig von dieser Dynamomaschine. Aber da muss erst der elektrische Strom durchgehen, sonst steht sie still. … Das Gehirn steht still, wenn nicht der Strom des seelischen Lebens durchgeht. Beim Kind geht viel mächtiger der Strom des seelischen Lebens durch, denn das Kind arbeitet bis zum Zahnwechsel hin das Gehirn aus, und am allermeisten in den allerersten Lebensjahren. … Gerade wenn wir bewusst geworden sind, ist uns dieses innere seelische Arbeiten verloren gegangen.

Het brein is net een dynamo. Een dynamo ontwikkelt magnetisme en alle bewegingen in een fabriek worden van deze dynamomachine afhankelijk. Maar eerst moet er elektrische stroom naar toe, anders staat die stil. De hersenen staan stil, wanneer daar de stroom van het gevoelsleven niet doorheen zou gaan. Bij het kind werkt deze gevoelsstroom veel sterker, want tot aan de tandenwisseling werkt het kind aan zijn hersenen, het meest in de allereerste levensjaren. En als we ons dan bewust gaan worden, gaat die activiteit van het gevoel verloren. [eigen vertaling]
GA 349/144
Vertaald/173

De ontwikkeling gaat verder

In de interactie tussen omgeving en kind enerzijds, en in het begin door de voeding – de melk – ontwikkelen de hersenen zich explosief.
Op zeker ogenblik zie je de eerste impulsen vanuit het kind komen om door nabootsing mee te gaan doen, wat de mensen om hem heen doen. 
Zo heb ik voor onze kinderen en kleinkinderen al vroeg in hun ontwikkeling het liedje 

Ozewiezewoze
Wieze walle kristalla
Kris oze wieze woze
Wieze wies wies wies wies

gezongen en ieder kindje probeerde als eerste de =o= te vormen. Het waren voor mij (ont)roerende ogenblikken om de inspanning te zien waarmee het kleine mondje die ronde vorm probeerde aan te nemen.

Op het feit dat ook muziek en taal een stimulerende invloed uitoefenen op het ontstaan van meer verbindingen in de hersenen, zal in een ander artikel worden ingegaan.

De grote kracht om mee te gaan doen aan het leven – hoe pril nog in het eerste begin – is de in het kind aanwezige behoefte aan nabootsing.
In vele voordrachten heeft Steiner de nabootsing genoemd als de drijfveer van verdere ontwikkeling.

Zijn uitspraken daarover zijn hier te vinden.

Door de nabootsing begint te lopen, te spreken en als gevolg daarvan komt het denken op gang.
Uiteraard heeft Steiner daarover ook gesproken.
Die uitspraken zijn hier te vinden.

En in deze eerste jaren is ook het spel een belangrijke ‘ontwikkelaar’.
We maakten al in de 2e voordracht kennis met de fantasie als ‘toekomst gericht denken’. [2-3-2]
Ook aan spel besteedde Steiner veel aandacht. Die uitspraken vind je hier.

Ritme

‘De natuur’ geeft niet alleen aan dat het kleine kind in het begin van zijn leventje alleen met melk groter kan worden, ze maakt ons ook duidelijk dat ritme – levensritmen – onontbeerlijk zijn. 
De betekenis van ritme(n) in allerlei aspecten vind je hier

Een kind beweegt ‘van nature’ zijn ledematen, aanvankelijk nog ongecontroleerd. 
Het gericht bewegen, met een doel, is van invloed op de structurering van het brein: ‘handen en intelligentie
Spreken en zingen/muziek zijn van invloed op de structurering van het brein:
hersenprofessor Scherder: Vanaf de groei van het embryo in de baarmoeder speelt muziek voor de ontwikkeling van het brein al een rol.’

Vingerspelletjes

Lang voordat dit allemaal met door onderzoek verkregen feiten kon worden verklaard, ontstonden er overal ter wereld vingerspelletjes.

Wat een geluk als je als peuter en kleuter deze ‘gemetamorfoseerde melk’ als (op)voeding dagelijks krijgt voorgeschoteld, zoals in de 

vrijepeuter- en kleuterklassen

Een waardevolle verzameling is de serie boeken van Hennie de Gans

Timpetuis, ben je thuis?Een werkboek over het zingen en opzeggen van versjes, met de nadruk op beweging. Vol slaap- en wiegenliedjes, kriebelspelletjes, schuitjevaren en paardjerijden. Hand-, en vingerspelletjes met beschreven beweging. Geschikt om te doen met kinderen van nul tot zeven jaar. Met tips over het belang van de spelletjes en hoe ze thuis of met een groep gedaan kunnen worden. De ruim vijftig liedjes én versjes staan zonder begeleiding op de CD.

Hoe de liedjes gezongen worden, maar ook hoe de intonatie bij de versjes is, staat op de bijhorende instructie-CD. Bedenk elke keer weer bij alles wat gedaan wordt: Niet het vele is goed, maar het goed doen  is veel! Het belangrijkste is het plezier wat samen met de kinderen wordt beleefd, dat geeft levensvreugde! Kortom zingen, spelen, en bewegen met kinderen is op alle fronten gezondmakend ook voor degene die het met hen doet.

Inhoud:

Timpetuis, inleiding
Wiegenliedjes
Kriebelliedjes
Paardje rijden
Schuitje varen
Spelen met de handen
Spel met de vingers
In de kring
Spel in de kring
Nisse Timpetem (Deens)

En vele prachtige voorbeelden vind je bij Margo van Schie:

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2490

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 300B

.

GA300B

Blz. 14

DIE PÄDAGOGISCHE GRUNDLAGE DER WALDORFSCHULE

GRONDSLAGEN VAN DE VRIJESCHOOLPEDAGOGIE

Zie GA 298

Konferenz 15 maart 1922

X.: Beim Rechnen wollte er schnell die Antwort haben.
Dr. Steiner: Wenn das Kind nicht schnell rechnen kann, ist der Leib
noch schwer.

Vergadering 15 maart 1922

X. Bij het rekenen wil hij snel het antwoord vinden

Dr.Steiner: Wanneer het kind niet snel kan rekenen, is het lichaam nog zwaar.
GA 300B/65
Niet vertaald  

Konferenz 28 april 1922

Es wird gefragt wegen eines Kindes in der 1. Klasse, das nicht rechnen kann.

Dr. Steiner: Man muß mit dem Kinde besondere Übungen vornehmen. Sie zeichnen ihm vor einen Kreis und dann einen Halbkreis, und fordern es auf, am Halbkreis zu ergänzen, was es am ganzen Kreis sieht. Sie zeichnen auf eine symmetrische Figur, aber nur die eine Seite, und lassen es ergänzen. Außerdem müssen Sie das Kind in die Hilfskiasse geben. Dieses Kind müssen Sie schon hintun.

Vergadering 28 april 1922

Er wordt een vraag gesteld over een kind in de 1e klas dat niet kan rekenen.

Dr.Steiner: Je moet met het kind speciale oefeningen doen. Je tekent een hele cirkel en een halve en dan vraag je het kind om de halve cirkel af te maken zoals het de hele cirkel ziet. Dan teken je een symmetrisch figuur, maar alleen de ene helft en laat die afmaken. Bovendien moet het kind naar de hulpklas. Daar moet dit kind wel naar toe.
GA 300B/81
Niet vertaald

Konferenz 21 juni 1922

Wir werden die Kinder im Rechnen nicht heftelange Hausarbeiten machen lassen, aber wir werden den Kindern zuhause, wobei wir
etwas individualisieren, auch auf dem Gebiete der Literaturgeschichte und Kunstgeschichte, Probleme zu lösen geben; diejenigen, die fleißig sind, anregen, daß sie gerne zuhause etwas üben, wobei wir uns überzeugen, daß wir nicht überlasten. Sie dürfen nichtdas Gefühl kriegen, daß sie an den Aufgaben ächzen. Sie müssen esgern machen, und da ist es wirklich von großem Einfluß, wie man dieAufgabe gibt. Da kommen solche Dinge in Betracht, daß eine Gleichung so aufgegeben wird: ,,Eine Dame wird gefragt . . .”, die Gleichungsaufgabe in Novellenform hineinbringen.

Vergadering 21 juni 1922

We moeten de kinderen bij het rekenen geen schriften vol met huiswerksommen laten maken, maar we moeten de kinderen thuis, waarbij we iets individualiseren, ook bij literatuur- en kunstgeschiedenis, problemen laten oplossen: wie graag thuis werk maakt stimuleren dat te doen, waarbij we ervan overtuigd moeten zijn dat we ze niet te zwaar belasten. Ze moeten niet het gevoel krijgen dat ze eronder gebukt gaan. Ze moeten het graag doen en dan is het ook erg belangrijk welke opdrachten je geeft. Bv. dingen waarin het om een vergelijking gaat: ‘Een dame wordt gevraagd…’ .een vergelijkingsopdracht in verhaalvorm.
GA 300B/108
Niet vertaald

Konferenz 15 oktober 1922

Es ist unmöglich, daß ich in eine Klasse hineinkomme, wo der Lehrer ein Buch in der Hand hat und aus einem Rechenbuch eine Aufgabe vorliest, wo ausgerechnet wird, was für eine Summe herauskommt, wenn jemand ein solches Alter hat, ein zweiter ein solches, ein dritter ein solches und so weiter; sieben Menschen hintereinander haben ein Alter, und man rechnet eine Summe aus, wieviel das ausmacht. In einer Bewegung, wo davon geredet wird, daß nur Wirklichkeitsgemäßes vorkommen soll, läßt man ausrechnen, wieviel die zusammen alt sind. Was soll herauskommen? Es ist keine Realität. Wenn solcher Schlendrian in der Schule eintreten kann, dann ist dasjenige, was ich als Seminarkurs gehalten habe, einfach für nichts gewesen.

Het is onbestaanbaar dat ik een klas binnenkom waar een leerkracht een boek in zijn hand heeft en uit een rekenboek een opgave voorleest, waarbij uitgerekend moet worden wat de totaalsom is wanneer iemand zus of zo oud is, een tweede persoon die leeftijd heeft en een derde weer een andere, enz. Zeven mensen op rij hebben dan een bepaalde leeftijd die je bij elkaar moet tellen. 
In een beweging waarin wordt gesproken dat het over de realiteit moet gaan, laat men uitrekenen hoe oud die samen zijn. Dat is geen realiteit. Wanneer er zoveel gemakzucht de school binnen kan komen, dan is alles wat ik in de werkbesprekingen aan de orde heb gesteld, voor niks geweest.
GA 300B/140
Niet vertaald

Konferenz 28 oktober 1922

Ja, nicht wahr, dann habe ich mir noch viel überlegt über den
Rechenunterricht in den verschiedenen Klassen. Für diesen Rechenunterricht würde ich Sie bitten, ihn so einzurichten, daß für die Fortsetzung, für das Nehmen von neuen Stoffen, der Epochenunterricht bleibt, daß aber für den Rechenunterricht in jeder Woche zwei halbstündige Wiederholungen im übrigen Hauptunterricht stattfinden. Das müßten wir ganz durchführen. In den oberen Klassen auch so.

Ik heb nog veel nagedacht over het rekenen in de verschillende klassen. Wat de rekenlessen betreft zou ik willen vragen die zo vorm te geven dat voor het verdergaan, nieuwe stof, het periodeonderwijs blijft, maar dat je iedere week twee keer een half uur aan herhaling zou moeten doen in het overige hoofdonderwijs. Dat moeten we in gang zetten. Ook in de hogere klassen. 

Op blz. 175 nog een bevestiging daarvan.
GA 300B/172
Niet vertaald

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2489

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/27)

.

MAAGD

Dit sterrenbeeld van de dierenriem is een van de geheimzinnigste. De Babyloniërs noemden het simpelweg ‘korenaren’ en zo heet de belangrijkste ster ervan tot op heden, Spica = korenaren. 
Bij de oude Grieken was het ook altijd een jonkvrouw. In de oudste tijd werd zij ‘Kore’ = het meisje, genoemd. Men zag in haar de hemelse Persephone, de dochter van de grote godin Demeter. Hoe Pluto, de god van de onderwereld, haar roofde en waardoor zij weer werd bevrijd, wordt hier in de oudste overlevering, die van Homerus, ‘Hymne aan Demeter’, verteld.

Eens was de prille jonkvrouw Persephone met Athena, Aphrodite en andere hemelse jonkvrouwen op een weide aan het dansen, toen deze plotseling overtrokken werd met een toverachtige bloemenpracht. Vreugdevol over deze schoonheid liepen de meisjes hierheen, daarheen en plukten de mooiste bloemen. Alleen Persephone bleef staan. Voor haar was een wondermooie narcis uit de grond gegroeid en het leek wel of de toverbloem haar wilde aankijken. Haar tere, witte kroon glansde in het zonnelicht en vanuit het gouden hartje steeg een bedwelmende geur op waaraan Persephone zich overgaf. Ze plukte de wonderschone bloem en merkte helemaal niet hoe op dat ogenblik de aarde naast haar openbarstte. Uit de aardekloof kwam Pluto, heerser in het schaduwrijk, op een wagen, getrokken door zwarte paarden, omhoog gereden. Hij greep Persephone beet en trok de tegenstribbelende jonkvrouw bij hem in de wagen. Die daalde weer in de aarde af, de kloof sloot weer en vanuit de diepte klonk nog de roep van het geroofde meisje: ‘Help mij, moeder, moeder!!!’

Haar moeder Demeter had op de top van de Olympus de hulpkreet van haar dochter gehoord. Maar toen ze zich ter aarde stortte, kon zij geen spoor ontdekken van de haar zo beminde dochter die in de aardbodem verdwenen was. Met verlichte fakkels dwaalde ze tevergeefs over de wereld rond. Niemand kon of wilde haar de gruwelijke waarheid vertellen, tot zij Hekate ontmoette die met een fakkel zwaaide en zij leidde haar naar de zonnegod Helios. Van hem die alles weet, vernam Demeter nu dat Pluto haar dochter met goedvinden van de machtige Zeus geroofd had en dat ze nu als zijn gemalin de heerseres van het dodenrijk was.
Een wilde woede maakte zich meester van de vertwijfelde moeder. Ze ging niet terug naar de Olympos en ze meed de hemelse bewoners en ze ging in de gedaante van een arme, oude vrouw naar het huis van de heerser Keleos van Eleusis.
Daar nam ze de opvoeding op zich van de jonge Triptolemos, de zoon van de koning. Toen zij hem op een dag in het goddelijke vuur louteren wilde, zodat hij onsterfelijk zou worden, kwam de ontstelde moeder eraan en verstoorde het ritueel. 
Nu maakte Demeter zich bekend en sprak: ‘O, jullie verblinde mensen, jullie dwazen! Of jullie een goed lot of een slecht lot beschoren zijn, kunnen jullie niet weten.’
Toen gaf ze het bevel dat er op een overhangende rots boven een bron te harer ere een tempel zou worden gebouwd en dat gebeurde.
Voortaan woonde Demeter in die tempel en zij werd door de mensen zeer vereerd en zij koesterde wrok jegens de andere goden. Ze bekommerde zich niet meer om de groei en bloei van de gewassen die de aarde voortbracht. Mislukte oogsten, armoede en honger bedreigden de mensen en de goden ontvingen geen offers meer. 
Toen zond Zeus Iris met de gouden vleugels naar de om haar dochter treurende Demeter. Maar zij bleef onvermurwbaar en eiste eerst de vrijheid van haar kind..
En dus werd de godenboodschapper Hermes naar de Hades gestuurd om Persephone weer te halen. Pluto liet het toe, want omdat het meisje in zijn rijk van een granaatappel had geproefd, hoorde ze voor altijd bij hem. Zeus kon aan de treurende Demeter daardoor alleen verkondigen dat haar dochter voortaan een derde deel van het jaar in het schemerig duister van de aarde moest verblijven, maar tweederde deel mocht zij bij haar moeder zijn, samen met de andere goden.
Hermes bracht het godenkind vanuit de duisternis in het licht terug. Nu gaf Demeter gehoor aan de oproep van de godenvader en zij liet op aarde weer de bladeren ontluiken en de planten ontspruiten en de vruchten rijpen. 
Triptolemos echter, de zoon van de heerser van Eleusis die door Demeter was opgevoed, werd door de godin ingewijd in de geheimen van het verbouwen van granen. En nu vierden de mensen in Eleusis  ‘de opstanding van Kore’, meer dan duizend jaar lang.
In latere tijden zagen de Oude Grieken in het sterrenbeeld van de Maagd ook de goddelijke sterrenjonkvrouw Astrea, ‘de redelijkheid’ of ook wel Dike, ‘de gepersonifieerde ‘gerechtigheid’.
Volgens een oude legende  verbleef Dike vroeger onder de mensen. Dat was in de tijd toen het Gouden Geslacht op aarde woonde. Toen daarna het Zilveren Geslacht op aarde leefde, trok Dike zich in de bergen terug en verscheen alleen nog bij bijzondere gebeurtenissen om de mensen voor hen slechtheid te berispen. Toen hierna het IJzeren Geslacht op aarde leefde, vloog Dike uit teleurstelling over de heersende ongerechtigheid naar de hemel, waaraan ze sindsdien de mensen als het sterrenbeeld Maagd alleen ’s nachts nog verschijnt. 

ZO                                                               Z                                                   ZW
Mr.   1  2°°u                                        apr.  1    1°°u                             mei  1  23°°u*
15  1°°u                                                15  24°°u                                    15 22°°u*
*zomertijd

Het overzichtsbeeld laat het sterrenbeeld Maagd twee uur na het opgaan zien. Je kan het midden maart om 23°°u en midden april om 22°°u (zomertijd) zien tussen het oosten en het zuidoosten, dan komt het op.
Je kan het ook zo vinden: verbind je de drie staartsterren van de Grote Beer in gedachten door een lijn en volg je die verder, dan kom je eerst bij de ster Arcturus in Boötes en dan bij Spica, de hoofdster in het sterrenbeeld Maagd.

De namen van de sterren betekenen:

Spica (Latijn) = korenaren
Vindemiatrix (Latijn) = afgeleid van ‘vindemiator’= wijnboer

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2488

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-5)

.

Enkele gedachten bij blz. 167/168 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

MOEDERMELK

Steiner stelde vast dat het in de eerste tijd in het leven van de mens niet mogelijk is, dat de omgeving hem opvoedt.
Opvoeden is dan in dit geval specifiek: het wekken van de slapende geest, m.n. in het hoofd.
De enige – we moeten hier zeggen: het enige – is de moedermelk.

Blz. 171  vert. 166

Da braucht es einen anderen Vermitt1er noch. Da können wir als menschliche Erzieher in der ersten Zeit des Menschen nicht viele Mittel schaffen.
Da tritt etwas auf, was auch Genius ist, was auch Geist ist außerhalb unser. Die Sprache enthält ihren Genius, aber wir können in den allerersten Zeiten der kindlichen Entwickelung noch gar nicht an den Sprachgeist appellieren. Aber es enthält die Natur selber ihren Genius, ihren Geist. Hätte sie ihn nicht, müßten wir Menschen durch die Lücke, die in unserer Entwickelung geschaffen wird erzieherisch in den allerersten Kinderzeiten, wir müßten verkümmern. Da schafft der Genius der Natur etwas, was diese Brücke bilden kann. 

Maar in de allereerste tijd is die brug er niet. Er is geen doorstroming van de ledematen, waarin de wil wakker is, de geest wakker is, naar de slapende geest van het hoofd. Daar is een andere overbrugging voor nodig. In de eerste levensjaren kunnen we daar als mens niet veel aan doen. Dan is er iets wat ook geest is buiten ons. De taal heeft de taalgeest, maar wij kunnen daar in de allereerste tijd van de ontwikkeling van een kind nog niet aan appelleren. Maar de natuur zelf heeft een geestelijk wezen. Was dat niet het geval, dan zou het ons, door dat hiaat dat er in de eerste tijd in de opvoeding is, slecht vergaan. Het geesteswezen van de natuur schept iets wat de brug kan slaan.

Da schafft der Genius der Natur etwas, was diese Brücke bilden kann.

Het geesteswezen van de natuur schept iets wat de brug kan slaan.

Het ‘geestwezen’ – het is in ons huidige spraakgebruik geen gangbaar woord – blijkt in deze zin ‘iets’ te scheppen.
En wanneer je in de natuur naar ‘scheppingen’ zoekt, kun je bv. uitkomen bij een tak van wetenschap die zich bionica noemt. Die kwam hier al ter sprake.
En men ziet, in wat er in de natuur is verschenen: vernuft, m.a.w. intelligentie.

En deze substantie – deze brug – is de melk.
Het is geen water of een andere substantie, maar melk dat een stofwisselingsproduct is.
En stofwisseling is een deel van wat we bij de drieledige mens tegenkomen als stofwisselings-ledematenstelsel.
Daarom zegt Steiner ook:

Er läßt aus der Gliedmaßenentwickelung heraus, aus dem Gliedmaßenmenschen heraus eine Substanz entstehen, welche, weil sie auch mit dem Gliedmaßenmenschen in ihrer Entwickelung verbunden ist, etwas von diesem Gliedmaßenmenschen in sich hat – das ist die Milch.

Het laat uit de ledematen, uit de ledematenmens een substantie ontstaan die — omdat ze met die ledematenmens verbonden is — iets van die ledematenmens in zich heeft. Dat is de melk.

Ledematen: armen en benen

Steiner heeft in zijn aanwijzingen voor de dierkunde in klas 4 ook over het verschil gesproken tussen de armen en de benen.

GA 294/100    vert. 105

Und es ist dann weiterhin gut, wenn man das Kind sich darauf besinnen läßt, wie die Gliedmaßen des Menschen auf der einen Seite als Füße zum Gehen dienen, auf der andern Seite als Hände zum freien Bewegen und Arbeiten. Und es ist gut, wenn man dabei schon im Kinde das Ver­ständnisnis für den Unterschied erweckt zwischen dem Dienst, den die Füße dem Körper des Menschen leisten, indem sie ihn tragen und es ihm möglich machen, daß er an verschiedenen Punkten, wo er zu leben hat, arbeiten kann – und den Dienst, den im Gegensatz dazu die Arme und Hände leisten, mit denen der Mensch nicht seinen eigenen Körper tragen muß, sondern mit denen er frei arbeiten kann. Während die Füße auf dem Boden aufstehen, können die Hände zum Arbeiten in die Luft hinausgestreckt werden. Kurz, auf den wesentlichen Unterschied der menschlichen Beine und Füße und der menschlichen Arme und Hände soll das Kind frühzeitig hingewiesen werden. Der Unterschied zwischen dem Dienst, den die Füße und Beine leisten, indem sie den menschlichen Leib tragen, und dem Dienst, den die Hände und Arme leisten, indem sie nicht für den menschlichen Leib, sondern für die Welt arbeiten, dieser Unterschied zwischen dem egoistischen Dienst der Füße und dem selbstlosen Dienst der Hände im Arbeiten für die menschliche Außenwelt, sollte dem Kinde gefühlsmäßig früh beigebracht werden.

En verder is het goed om het kind zich te laten realiseren dat de ledematen van de mens enerzijds dienen om te lopen, de voeten, en anderzijds om zich vrij te bewegen en te werken, de handen. En het is goed als u bij de kinderen ook al een gevoel wekt voor het verschil tussen de rol die de voeten voor het lichaam van de mens vervullen, namelijk hem te dragen en ervoor te zorgen dat hij op de verschillende plekken waar zijn leven zich afspeelt kan werken – en de rol die in tegenstelling hiertoe de armen en handen vervullen, waarmee de mens niet zijn eigen lichaam hoeft te dragen, maar vrij kan werken. Terwijl de voeten op de aarde staan, kunnen de handen in de lucht worden uitgestrekt om dingen te doen, om te werken. Kortom, het kind moet al vroeg gewezen worden op het essentiële verschil tussen de benen en voeten enerzijds en de armen en handen anderzijds. Het verschil tussen de rol die de voeten en benen vervullen doordat ze het menselijk lichaam dragen, en de rol die de handen en armen vervullen doordat ze niet voor het menselijk lichaam maar voor de wereld werken, dit verschil tussen de zelfzuchtige dienst van de voeten en de onzelfzuchtige dienst van de handen, die werken voor de wereld om de mens heen, moet het kind gevoelsmatig al vroeg bijgebracht worden.
GA 294/100
Vertaald/105

GA 297/50   vert. 50

Und gehen wir beim Menschen über zum Gliedmaßenleben, dann müssen wir sagen: Sieh dir einmal das Gliedmaßenleben des Menschen an; das hat er, so wie es ausgestaltet ist, einzig und allein für sich. So wie der menschliche Arm und die Hände ausgestaltet sind als Anhäng­sel des Leibes, in denen sich das Geistig-Seelische frei bewegt, so ist ein Gliedmaßenpaar in der ganzen Tierwelt nicht vorhanden. Wenn man beim Affen von vier Händen spricht, so ist das nur eine un­eigentliche Ausdrucksweise, denn die dienen schon von der Natur aus zum Halten, zum Fortbewegen des Leibes. Aber beim Men­schen sehen wir in einer merkwürdigen Art differenziert Füße und Hände, Arme und Beine.

En wanneer we bij de mens overgaan tot de ledematen, dan moeten we zeggen: Kijk eens naar de ledematen van de mens; die heeft, zoals die zijn gevormd, alleen hij. Zoals de menselijke arm en de handen gevormd zijn, zoals die aan het lijf zitten, zoals geest en ziel zich daarin vrij kunnen bewegen, zo’n ledematenpaar is in heel de dierenwereld niet aanwezig. Wanneer men bij de apen over vier handen spreekt, dan is dat alleen maar een oneigenlijke manier van uitdrukken, want zij dienen slechts van de natuur uit om het lichaam in stand te houden, tot het bewegen van het lichaam. Maar bij de mensen zien we op een merkwaardige manier voeten en handen, armen en benen gedifferentieerd.
GA 297/50
Op deze blog vertaald/50

Embryonaal en anatomisch hangt de ontwikkeling van de borsten meer samen met de ‘bovenmens’, dan met de ‘ondermens’.
En de plaats waar de melk wordt gegeven – of dat nu borstvoeding is of niet – is het gebied van het hart, het gebied van de borst als zetel van het gevoel en duidt met dit gebaar ook meer op het midden, op de armen, meer dan op de benen.
De armen met de handen worden ook gezien als organen die kunnen schenken, kunnen zegenen, en meer in de sfeer van (grote) sympathie. In die sfeer kun je ook het ‘melk geven’ plaatsen.

De genius van de natuur: melk

De hersenontwikkeling van het pasgeboren kind is al ver. Als het kind gaat nabootsen – het spreken – het lopen, begint het ook te denken en dat alles heeft een werking op de vorming van nieuwe hersencellen.
Maar die hersencellen ontwikkelen zich in de eerste tijd van het mensenleven ook zonder spreken en lopen en doelgericht bewegen, en die ontwikkeling wordt mogelijk door de enige vorm van voedsel die het kind verdraagt: de melk.

Als ‘geestwezen van de natuur – als intelligentie van de natuur – maakt zij door de groei van de hersencellen te bevorderen, intelligentie in het slapende mensenwezen mogelijk. Ze maakt de slapende ‘hoofdgeest’ steeds wakkerder.
Uiteraard is dit niet los te zien van de ‘taalgenius’ want tijdens het voeden en op andere ogenblikken dat het kind wakker is, zal er veelvuldig tegen hem gesproken of voor hem gezongen worden.
En hier kan ook de vraag gesteld worden, zoals die bij de nabootsing gesteld wordt: wat je spreekt of zingt of wat het kind te horen krijgt in die zeer prille fase: is dat wat de ‘genius van de natuur’ helpt?

Die Milch entsteht ja im weiblichen Menschen zusammenhängend mit den oberen Gliedmaßen, mit den Armen. Die milcherzeugenden Organe sind gleichsam dasjenige, was sich nach innen von den Gliedmaßen aus fortsetzt. Die Milch ist im Tier- und Menschenreich die einzige Substanz, welche innere Verwandtschaft hat mit der Gliedmaßenwesenheit, welche gewissermaßen aus der Gliedmaßenwesenheit heraus geboren ist, welche daher auch die Kraft der Gliedmaßenwesenheit in sich noch enthält. Und indem wir dem Kinde die Milch geben, wirkt die Milch als die einzige Substanz, wenigstens im wesentlichen, weckend auf den schlafenden Geist.

De melk ontstaat in het vrouwelijk organisme in samenhang met de bovenste ledematen, de armen. De organen die melk produceren, zijn als het ware de voortzetting van de ledematen naar binnen. De melk bij dieren en mensen is de enige substantie die een innerlijke verwantschap heeft met het wezen van de ledematen, die als het ware uit dit wezen geboren is en daardoor ook de kracht daarvan nog in zich draagt. En krijgt een kind melk, dan is deze melk de enige substantie –althans in essentie de enige — die de slapende geest kan wekken.

Die Milch trägt ihren Geist in sich, und dieser Geist hat die Aufgabe, den schlafenden Kindesgeist zu wecken.

De melk bevat deze geest en deze heeft ten doel de slapende geest van het kind te wekken.

Es ist kein bloßes Bild, sondern es ist eine tiefbegründete naturwissenschaftliche Tatsache, daß der in der Natur sitzende Genius, der aus dem geheimnisvollen Untergrund der Natur heraus die Substanz Milch entstehen läßt, der Wecker des schlafenden Menschengeistes im Kinde ist. 

Dit is niet louter een beeld, maar een natuurwetenschappelijk feit dat diepliggende oorzaken heeft: het geestelijk wezen van de natuur laat uit de raadselachtige ondergrond van de natuur de substantie melk ontstaan, de wekker van de slapende geest van het kind.

Als de moedermelk samenhangt met de ledematen, hangt die ook samen met de wil, want het stofwisselings-ledematenstelsel is in het drieledig mensbeeld de stoffelijke kant van de niet-zintuiglijk waarneembare wil. 

( ) Die Materie, wie die Milch, indem sie erzeugt wird, hat das innigste Bedürfnis, den schlafenden Menschengeist zu wecken. Wie wir im Menschen und im Tiere von Bedürfnis reden können, das heißt von der Kraft, die dem Willen zugrunde liegt, so können wir auch bei der Materie im allgemeinen von «Bedürfnis» reden. Und wir schauen die Milch umfassend nur dann an, wenn wir sagen: Die Milch, indem sie erzeugt wird, begehrt der Auferwecker des kindlichen Menschengeistes zu sein. 

 Melk bijvoorbeeld — die ook een deel van de materie is — heeft, wanneer ze geproduceerd wordt, de innigste behoefte om de slapende geest van de mens te wekken. Zoals we bij mensen en dieren kunnen spreken van behoefte, dat wil zeggen van de kracht die aan de wil ten grondslag ligt, zo kunnen we ook bij materie in het algemeen spreken van ‘behoefte’. En we begrijpen pas alle facetten van de melk als we zeggen: zodra de melk geproduceerd wordt, begeert ze de wekker van de mensengeest van het kind te zijn.

In de 1e voordracht al zei Steiner dat we met de opvoeding het werk van de scheppende wereld overnemen. Dat we het voortzetten. Dat geldt vooral voor die dingen die de kinderen van ons beginnen na te bootsen

Blz. 21

Onze pedagogie zal pas de juiste stemming ademen, wanneer we ons van het volgende bewust worden: hier in dit mensenwezen dien je door jouw handelen voort te zetten, wat hogere wezens voor de geboorte hebben gedaan.’

Blz. 173  vert. 168

Sie sehen daraus, daß für die erste Zeit der menschlichen Entwicklung gesorgt ist durch den Genius der Natur selbst. Und wir nehmen, indem wir das Kind weiterentwickeln und erziehen, dem Genius der Natur in einer gewissen Weise seine Arbeit ab. Indem wir beginnen, durch die Sprache und durch unser Tun, welche das Kind nachmacht, auf das Kind durch den Willen zu wirken, setzen wir jene Tätigkeit fort, welche wir den Genius der Natur haben ausführen sehen, indem er das Kind mit der Milch nährt und den Menschen nur Mittel sein läßt, diese Ernährung auszuführen.

U ziet dus dat het geestelijk wezen van de natuur zelf zorg draagt voor de eerste tijd van de menselijke ontwikkeling. Wanneer wij het kind verder ontwikkelen, nemen we in zekere zin het geesteswezen van de natuur het werk uit handen. Door via de taal en via ons doen op de wil van het kind in te werken, dat dat alles nabootst, zetten we de activiteit van het geesteswezen van de natuur voort, die het kind met melk voedt – de mens is daarbij slechts het middel waardoor dit kan gebeuren.

De uitdrukking ‘moeder natuur’ wordt op die manier gezien een nog rijker begrip.

Damit sehen Sie aber auch, daß die Natur natürlich erzieht. Denn ihre Ernährung durch die Milch ist das erste Erziehungsmittel. Die Natur erzieht natürlich. Wir Menschen beginnen, indem wir durch die Sprache und durch unser Tun auf das Kind erzieherisch wirken, wir Menschen beginnen seelisch zu erziehen.

U ziet ook dat de natuur natuurlijk opvoedt. Want de voeding met melk is het eerste middel van de opvoeding. Wij mensen maken een begin met de opvoeding van de ziel door te werken via de taal en via ons doen.

Daher ist es so wichtig, daß wir im Unterricht und in der Erziehung uns bewußt werden: wir können eigentlich als Erzieher und Unterrichter mit dem Kopf selbst nicht allzuviel anfangen. Der bringt uns das, was er werden soll in der Welt, schon durch die Geburt in diese Welt herein. Wir können wecken dasjenige, was in ihm ist, aber wir können es nicht durchaus in ihn hineinversetzen.

Daarom is het zo belangrijk dat we in ons onderwijs en onze opvoeding ons ervan bewust worden dat we met het hoofd zelf niet zoveel kunnen beginnen. Het hoofd brengt door de poort van de geboorte al met zich mee wat het moet worden in de wereld. Wij kunnen dat wat in het hoofd is wekken, maar we kunnen dat er geenszins zelf in leggen.

Worden wie je bent

Vrijeschoolonderwijs wordt soms samengevat in de slogan: worden wie je bent.
Dat is vanuit deze optiek: het wekken van de slapende geest. Dat betekent ook het wekken van intelligentie door via gevoel en wil pedagogisch-didactisch te werken. 

Deze blog staat vol met voorbeelden hoe dat in zijn werk gaat in de praktijk.

In het vervolg van de voordracht neemt Steiner eerst het schrijven en het lezen.
Wat hij daarover in andere voordrachten heeft gezegd, vind je hier; de menskundige achtergronden m.n. in nr. 6.

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2487

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 298

.
GA 298

DIE PÄDAGOGISCHE GRUNDLAGE DER WALDORFSCHULE

GRONDSLAGEN VAN DE VRIJESCHOOLPEDAGOGIE

Wenn man aus einer materialistischen Gesinnung heraus den gewiß innerhalb gewisser Grenzen berechtigten Anschauungsunterricht auf alles mögliche ausdehnen will, so beachtet man nicht, daß in der mensch­lichen Wesenheit auch Kräfte entwickelt werden müssen, die nicht durch Anschauung allein vermittelt werden können. So steht das rein gedächt­nismäßige Aneignen gewisser Dinge in Zusammenhang mit den Entwic­klungskräften vom sechsten oder siebenten bis zum vierzehnten Lebensjahre. Und auf diese Eigenschaft der menschlichen Natur soll der Rechenunterricht aufgebaut sein. Er kann geradezu zur Pflege der Erinnerungskraft verwendet werden. Berücksichtigt man dieses nicht, so wird man vielleicht gerade im Rechenunterricht das anschauliche Ele­ment gegenüber dem gedächtnisbildenden unpädagogisch bevorzugen.

Wanneer je vanuit een materialistische opvatting het aanschouwelijk onderwijs, dat binnen bepaalde grenzen zeker op zijn plaats is, op al het mogelijke wil uitbreiden, dan schenkt je geen aandacht aan het feit, dat er in het menselijk wezen ook krachten sluimeren, die niet door aanschouwing alleen ontwikkeld kunnen worden. Zo staat het zuiver memoreren van zekere dingen in verband met de ontwikkelingskrachten van het zesde of zevende tot het veertiende levensjaar. En op deze eigenschap van de menselijke natuur moet het rekenonderwijs opgebouwd zijn. Dat kan juist gebruikt worden voor het oefenen van het geheugen. Houd je daar niet voldoende rekening mee, dan zal je misschien juist in het rekenonderwijs, onpedagogisch, het aanschouwelijke element de voorkeur geven boven het element, dat geheugenvormend werkt.

Dit artikel werd door Steiner in 1919 geschreven voor de schoolkrant  «Waldorf-Berichten», Stuttgart, Oktober 1919, nr 19.
In de GA op 3 plaatsen te vinden: GA 24,/83, GA 298/9 en GA 300B/14
Het werd in 1926 al vertaald; de vertaling in de spelling van die tijd vind je hier

.

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2486

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 297A

.

GA 297A

ERZIEHUNG ZUM LEBEN

OPVOEDEN VOOR HET LEVEN

Voordracht 2, Amsterdam 28 februari 1921

                   Erziebungs-, Unterrichts- und praktische Lebensfragen
              vom Gesichtspunkte anthroposophischer Geisteswissenschaft

               Opvoedings- onderwijs- en praktische levensvragen vanuit het
gezichtspunt van de antroposofische geesteswetenschap

Blz. 58  vert. 58

Man gibt im heutigen materialistischen Zeitalter außerordentlich viel auf den sogenannten Anschauungsunterricht. Demjenigen, der die wahre Natur des Kindes versteht, ist es etwas Schreckliches, wenn er die abstrakten Rechenmaschinen und alles das, womit das Kind heute oftmals traktiert wird, sieht. Man ver­langt heute von dem Kinde, daß es alles gleich verstehe. Man will den Unterricht so einrichten, daß nichts über das gewöhnliche acht­- oder neunjährige Verständnis hinausgeht. Es scheint außerordent­lich wissenschaftlich zu sein. –

In deze huidige materialistische tijd is men buitengewoon gecharmeerd van het aanschouwelijkheidsonderwijs. Voor iemand die de echte natuur van het kind begrijpt, is het iets verschrikkelijks wanneer hij de abstracte rekenmachine en alles wat erbij komt, ziet, waarop het kind vandaag de dag dikwijls getrakteerd wordt. Men vraagt nu van het kind dat het alles meteen begrijpt. Men wil het onderwijs zo inrichten dat niets boven de pet gaat van acht- of negenjarigen.
GA 297A/58
Op deze blog vertaald/58

Voordracht 5, Den Haag 4 november 1922

Die religiöse und sittliche Erziehung im Lichte der Anthroposophie

Het morele en religieuze in de opvoeding

Blz. 148

So beginnen wir mit dem Künstlerischen und entwickeln daraus das Schreiben und dann erst das Lesen. Und so soll überhaupt ein Künstlerisches über den ganzen Unterricht ausgegossen werden.
Das kann bis in das Rechnenlernen hinein geschehen, wenn die
Lehrkräfte dazu da sind, jene Lehrkräfte, die aus einer wirklichen Vertiefung ihrer eigenen Seelenschätze dadurch Kenner geworden
sind, daß sie die Richtkräfte einer wirklichen anthroposophischen
Geisteswissenschaft in ihr Gemüt, in ihre Erkenntnis, in ihr Empfinden, in ihr Wollen aufgenommen haben

Dus beginnen we met het kunstzinnige en daaruit ontwikkelen we het schrijven en pas dan het lezen. En zo met natuurlijk het kunstzinnige over het hele onderwijs gedrapeerd worden.
Dat kan tot aan het rekenen aan toe, wanneer de leerkrachten daartoe in staat zijn – die leerkrachten die vanuit een echte verdieping van hun eigen gevoelswaarden tot kenners geworden zijn door de aanwijzingen van een echte antroposofische geesteswetenschap in hun ziel, in hun kennis, in hun beleving, in hun wil op te hebben genomen.
GA 297A/148
Vertaald     hier een eigen vertaling gebruikt

Er is sprake van een ‘rekenmachine’. Zie:Rekenen in beweging 8-4′

Rekenwerkboek ‘Rekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2485

./

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-4)

.

Enkele gedachten bij blz. 166 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

IN HET KIND DE GEEST WEKKEN

Op blz. 165 heeft Steiner al een en ander opgemerkt over het wekken van de ‘geest in het hoofd’ [11-2] En dat dit vooral gebeurt door beweging. [11-2-1] zoals de wetenschap nu onderschrijft.
Niet alleen dat, maar ook door de taalgeest [11-3]

BIJ HET ALLERKLEINSTE KIND

In voordracht 10 gaat Steiner uitgebreid in op de fysieke verschijningsvorm van de mens in hoofd – borst en ledematen en hun relatie tot lichaam – ziel en geest. Hij stelt dan vast dat het hoofd het meest lichaam is, de borst lichaam en ziel en de ledematen lichaam – ziel en geest.

Als we deze tekening wat ‘letterlijk’ nemen, zien we dat hoofd en borst niet verstoken zijn van geest en-of ziel, maar dat m.n. de geest nog buiten het hoofd verblijft. En in het hoofd: [11-2]:

‘De geest is bij de geboorte in het hoofd al zeer ver ontwikkeld, maar slaapt. De ziel is in het hoofd zeer ver ontwikkeld, maar droomt. Zij moeten geleidelijk aan wakker worden. Als ledematenmens is de mens bij de geboorte weliswaar volledig wakker, maar nog niet gevormd, nog onontwikkeld.’

‘Zij moeten geleidelijk aan wakker worden.’

En de opvoeding moet daarbij helpen. 
Dat kan echter bij het kleinste kind niet – al eerder heb ik opgemerkt dat er vóór het Ik-zeggen eigenlijk van opvoeding geen sprake kan zijn, maar meer van ‘omgang’. Hoe ga je met het kind om. Wat doe je, en vooral ook: wat laat je!

Blz. 170 vert. 166

Bedenken wir das, was wir uns eben angeeignet haben: daß der Mensch eintritt in die Welt mit schlafendem Geiste, mit träumender Seele in bezug auf den Kopf daß wir also eigentlich nötig haben, schon von ganz früh ab, von der Geburt ab, den Menschen durch den Willen zu erziehen, weil wir, wenn wir nicht durch den Willen auf ihn wirken könnten, wir an seinen schlafenden Kopfgeist gar nicht herankommen könnten. Wir würden aber eine große Lücke in der menschlichen Entwickelung schaffen, wenn wir nicht an seinen Kopfgeist irgendwie herankommen könnten. Der Mensch würde geboren werden, sein Kopfgeist wäre schlafend. Wir können noch nicht das Kind mit den zappelnden Beinen veranlassen, etwa zu turnen oder Eurythmie zu treiben. Das geht nicht. Wir können ihm auch noch nicht gut, wenn es erst mit den Beinen zappelt und höchstens mit dem Munde etwas brüllt, eine musikalische Erziehung angedeihen lassen. Mit der Kunst können wir auch noch nicht heran. Wir finden noch nicht eine deutlich ausgesprochene Brücke von dem Willen zu dem schlafenden Geiste des Kindes hin.

Denkt u nog eens aan hetgeen we zojuist gehoord hebben: dat de mens, wat betreft het hoofd, geboren wordt met een slapende geest en een dromende ziel; en dat we de mens dus eigenlijk van jongs af aan, vanaf de geboorte, via de wil moeten opvoeden. Doen we dat namelijk niet, dan zouden we de slapende geest in het hoofd helemaal niet kunnen bereiken. Maar dat zou weer betekenen dat we een groot hiaat in zijn ontwikkeling zouden creëren. De mens zou geboren worden en de geest in zijn hoofd zou slapen. We kunnen een baby met trappelende beentjes geen gymnastiek laten doen of euritmie. Dat gaat niet. Een muzikale opleiding zal bij een baby die alleen nog maar met zijn beentjes trappelt en alleen nog maar wat kreten slaakt ook nog geen vruchten afwerpen. Met kunst kunnen we ook nog niet bij hem aankomen. We vinden nog geen duidelijke brug van de wil naar de slapende geest van het kind.

Inderdaad: de brug van de ledematen is er nog niet:

Blz. 171  vert. 166

Aber in der allerersten Zeit haben wir gar keine rechte Brücke zunächst. Es geht nicht ein Strom hinüber von den Gliedmaßen, in denen der Wille wach ist, der Geist wach ist, zum schlafenden 0eist des Kopfes.

Maar in de allereerste tijd is die brug er niet. Er is geen doorstroming van de ledematen, waarin de wil wakker is, de geest wakker is, naar de slapende geest van het hoofd.

Wat er vrijwel altijd gebeurt, is dat de mensen om het pasgeboren kind heen, er tegen beginnen te spreken en ze zingen. En vaak wordt het kind al wiegend in slaap gebracht.
Het ritme dat de basis vormt van alle leven, wordt hier mede de opvoeder.
De schommelwieg – het is gek dat ik dat schrijven moet: als een wieg niet wiegen = schommelen – kan is het eigenlijk geen wieg, maar een klein bed – en de wiegenliedjes zijn van grote waarde tegen deze achtergrond.
Want:

wenn wir nur ihm die ersten Worte vorsprechen können, denn da ist schon ein Angriff auf den Willen da. Dann setzt sich dasjenige, was wir durch die ersten Worte in den Stimmorganen loslösen, schon als Willensbetätigung in den schlafenden Kopfgeist hinein fort und beginnt ihn aufzuwecken.

Als we de eerste woorden voorspreken, werken we al in op de wil. We brengen dan een proces op gang in de spraakorganen, een wilsproces dat zich uitstrekt tot in de slapende geest en deze begint te wekken.

Met dank aan Joep Eikenboom:

In GA 347 spreekt Steiner over de taalontwikkeling van het zeer jonge kind:

Hieronder een gedeelte uit een van de zogenaamde Arbeidersvoordrachten, waarin Steiner spreekt over de vorming van het spraakcentrum door het spreken.
Voor mij beschrijft hij hier met een voorbeeld de wering van een stroom, die via het bewegen van de ledenmaten (de stembanden en de rest van de spraakorganen zijn ook bewegingsorganen) het hoofd gevormd en daarmee ook gewekt wordt. Het onderwijs heeft de taak om dat wat er in de eerste levensjaren is ontwikkeld voort te zetten. Het is de kunst om daarbij het principe en de wetmatigheden van de menselijke ontwikkeling te volgen.
“Als het kind leert praten beweegt het zijn lichaam. Het beweegt zijn lichaam in de spraakorganen. Vóór die tijd als het nog niet praten kan en alleen nog maar spartelt, huilt het hoogstens. Zolang het kind alleen maar huilt of schreeuwt zijn de windingen in de hersenen nog brijachtig. Hoe meer het kind nu leert niet alleen maar te schreeuwen en te huilen maar dat het huilen overgaat in het vormen van klanken, des te meer krijgen de hersenwindingen vorm.
[…]
Wanneer een kind huilt dan lijkt dat meestal op klinkers: ‘a’ en ‘e’. Wanneer het kind alleen maar huilt heeft het geen gevormde hersenwindingen nodig. […] Als men goed oplet hoort men dat het kind eerst huilt met een soort a-klank. Later komen daar oe- en i-klanken bij.
Nog later leert het kind ook medeklinkers. […] dan leert het de ‘m’ erbij, ‘ma’ of ‘wa’.”
(Dit is ongeveer vanaf de 5e à 6e maand. Na het brabbelen met 9 maanden ontwikkelt het kindje vanaf de 10e maand de echolalie d.w.z. herhalen van lettergrepen: ‘ma-ma-ma-ma’ of ‘ba-ba-ba’, ‘mum-mum-mum’ enz. Na 12 maanden komt het eerste vast woord. – J.E.)
“Dus vanuit het huilen vormt het kind langzamerhand woorden doordat het naast de klinkers ook de medeklinkers tot zijn beschikking krijgt.
En waardoor ontstaan de medeklinkers? U hoeft er alleen maar op te letten hoe u een ‘m’ zegt. Daarvoor moet u uw lippen bewegen. Dat moet het kind door nabootsing leren. Als u een ‘l’ wilt zeggen moet u uw tong bewegen. Zo moet u voor elke letter iets bewegen.
Vanuit het willekeurige spartelen als klein kind moet u tot regelmatiger bewegingen komen, tot bewegingen die uw spraakorganen door nabootsen uitvoeren. En naarmate het kind leert aan de klinkers die alleen maar geschreeuw zijn de medeklinkers als l, m, n, r, toe te voegen, worden de hersenwindingen (van het spraakcentrum in de hersenen) gevormd.
Zo, nu kunnen wij ons afvragen; waardoor leert het kind praten? Alleen door nabootsing. Het leert praten, zijn lippen bewegen doordat het uit zijn gevoel nabootst hoe andere mensen hun lippen bewegen. Alles is nabootsing. Dat wil zeggen: het kind merkt, ziet, neemt waar wat er zich in zijn omgeving afspeelt. En door dit waarnemen, dus door deze geestelijke arbeid van het waarnemen worden de hersenen gevormd. Precies zoals de beeldhouwer zijn hout, marmer of brons vorm geeft, zo worden de hersenen gebeeldhouwd doordat het kind zich beweegt.”
uit Rudolf Steiner: Inzicht in het Wezen van de Mens (GA 347) 1e voordracht – Dornach 2 augustus 1922
Steiner gaat zelfs nog verder en legt uit dat de hele driegelede organisatie van de mens actief is bij de vorming van de hersenen (in dit geval het spraakcentrum):
“Als wij spreken halen we daarbij ook voortdurend adem. Wij ademen immers zonder onderbreking. En als wij ademen gaat dat wat zich uit het ademhalen vormt – ik heb dat de ademstoot genoemd – eerst in het menselijk lichaam naar binnen, dan door het ruggenmergkanaal naar boven en dan naar binnen in de hersenen.”
(De ritmische bewegingen van de ademhaling – waaraan o.a. het middenrif en de ribbenkast deelneemt – ribben zijn verbonden met de ruggenwervels enz. – worden via de cerebrospinale vloeistof, ook wel hersenvocht of hersenruggenmergvocht genoemd, binnengevoerd in het hoofd. J.E.)
“Dus terwijl het kind huilt, nog geen medeklinkers kan zeggen, maar huilt en ademhaalt gaat deze ademhaling, deze ademstoot naar boven; hij stijgt omhoog en gaat overal in de hersenen naar binnen.
Nu vragen wij: wát gaat daar eigenlijk in de hersenen naar binnen? Wel, in de hersenen komt het bloed binnen; dat stroomt overal naar binnen, zoals ik u de laatste dagen heb uitgelegd. Door de ademhaling wordt dus eigenlijk het bloed onophoudelijk naar en in de hersenen gestuwd. […]
Het kind begint te praten als niet alleen bloed naar binnen wordt gestuwd, maar als – laten we zeggen het kind via het oog, het oor of een ander zintuigorgaan maar met name via het oor – iets opmerkt, als het iets waarneemt. Als dus het kind een beweging bij een ander mens opmerkt, bootst het die beweging in zichzelf na; dan stroomt niet alleen op die plek het bloed naar boven, maar dan gaat er, bijvoorbeeld van het oor, voortdurend nog een andere stroom naar binnen. Dat is de zenuwstroom.
Dus: de windingen in de hersenen bij de linkerslaap in het zogenaamde spraakcentrum, komen – zoals overal elders in het menselijk lichaam – bloedvaten en zenuwbanen samen. Op de zenuwbanen werkt alles wat men opmerkt, wat men waarneemt. De bewegingen die het kind maakt als het medeklinkers zegt, planten zich dus voort door de zenuwen tot in het spraakcentrum in de linker hersenhelft bij de slaap. De hersenwindingen worden zeer goed gevormd, doordat de ademstoot en het bloed samenwerken met wat via het oor of via het oog wordt doorgegeven. In het samenspel van bloed en zenuwen brengt dit alles een wondermooie geleding in de brijachtige hersenmassa tot stand.”
uit Rudolf Steiner: Inzicht in het Wezen van de Mens (GA 347) 1e voordracht – Dornach 2 augustus 1922  (vertaald, momenteel – aug. 2021 – uitverkocht
Wat ik begrijp naar aanleiding van wat Steiner hierboven uitlegt is, dat de vormkrachten vanuit het hoofd (de krachten van de antipathie, die elders ook wel plastisch-architectonische krachten worden genoemd) samen met de bewegingsimpulsen vanuit de ledematen en het bloed (de zielenkrachten van de sympathie in het bloed, ook wel muzikale-spraak krachten) werkzaam zijn bij het structureren van de hersenen. Met andere woorden: het hoofd wordt zo klaar voorbereid en gewekt.
Het derde onmisbare element wordt gevormd door het ritmisch pulserende element van de ademhaling.
In de eerste zeven levensjaren speelt dit alles zich af op een lichamelijk niveau. De tweede zevenjaren moet een gezonde pedagogische aanpak dezelfde kosmische wetmatigheden volgen.
(Einde GA 347)Steiner:

‘Maar in de allereerste tijd is die brug er niet. Er is geen doorstroming van de ledematen, waarin de wil wakker is, de geest wakker is, naar de slapende geest van het hoofd.’

Blz. 171  vert. 166

Da braucht es einen anderen Vermitt1er noch. Da können wir als menschliche Erzieher in der ersten Zeit des Menschen nicht viele Mittel schaffen.
Da tritt etwas auf, was auch Genius ist, was auch Geist ist außerhalb unser. Die Sprache enthält ihren Genius, aber wir können in den allerersten Zeiten der kindlichen Entwickelung noch gar nicht an den Sprachgeist appellieren. Aber es enthält die Natur selber ihren Genius, ihren Geist. Hätte sie ihn nicht, müßten wir Menschen durch die Lücke, die in unserer Entwickelung geschaffen wird erzieherisch in den allerersten Kinderzeiten, wir müßten verkümmern. Da schafft der Genius der Natur etwas, was diese Brücke bilden kann. 

Maar in de allereerste tijd is die brug er niet. Er is geen doorstroming van de ledematen, waarin de wil wakker is, de geest wakker is, naar de slapende geest van het hoofd. Daar is een andere overbrugging voor nodig. In de eerste levensjaren kunnen we daar als mens niet veel aan doen. Dan is er iets wat ook geest is buiten ons. De taal heeft de taalgeest, maar wij kunnen daar in de allereerste tijd van de ontwikkeling van een kind nog niet aan appelleren. Maar de natuur zelf heeft een geestelijk wezen. Was dat niet het geval, dan zou het ons, door dat hiaat dat er in de eerste tijd in de opvoeding is, slecht vergaan. Het geesteswezen van de natuur schept iets wat de brug kan slaan.

Dat is – verrassenderwijs wellicht – de moedermelk..

Liedjes voor het jongste kind

Ontwikkelingsfasen: het allerkleinste kind

Steiner over ontwikkelingsfase 0 – 7 jr

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2484

VRIJESCHOOL – 7e klas – sterrenkunde (1-1/8)

.

AREND, ADELAAR

De legende van de adelaar en de pijl brengt ons bij de Titanenzoon Prometheus, die volgens een Griekse sage het mensengelacht zou hebben geschapen.
Prometheus stamde van het oude godengeslacht af dat door Zeus van de troon werd gestoten.
Toen waren hemel en aarde al geschapen.
Op aarde waren stenen, planten en dieren, maar er ontbrak nog een schepsel waarvan het lichaam zo gevormd was, dat dit een woning voor de geest kon worden om de aarde aan zich te onderwerpen. 
Toen verscheen Prometheus op aarde, de zoon van de Titaan Japetos en de broer van Atlas die de aarde droeg. 
Prometheus wist dat in de aardbodem het zaad van de hemel sluimerde en dus nam hij een grote homp klei, maakte deze vochtig met het water van de rivier, kneedde hem en vormde hem naar het evenbeeld van de goden, heersers over de wereld. .
De mens moest rechtop over de aarde gaan en als enig aards wezen zijn blik naar de hemel richten, want de dieren wenden hun blik naar de aarde. Ook moest aan de mens de spraak worden gegeven die als een weerspiegeling van het wereldscheppende woord het zichtbaar worden van de geest is die aldus de ontwikkeling verder brengt.

Om de homp aarde levend te maken, nam Prometheus van de zielen der dieren al goede en slechte eigenschappen en sloot deze op in de borst van de mens. Als bekroning van zijn werk steeg hij op naar de zonnewagen en daar ontstak hij een fakkel en blies de mens de gloed daarvan in en zo gaf hij deze goddelijk leven en warmte.
Zo schiep volgens deze sage Prometheus de eerste mens gaf daarmee het mensengeslacht zijn plaats op aarde. 
Lange tijd wisten de mensen niet hoe de goddelijke vonk in hen zou kunnen werken.
Toen begon Prometheus voor zijn schepselen te zorgen en leerde hun naar de opkomende en ondergaande sterren te kijken, ook de kunst van het schrijven en tellen. Hij leerde hun de dieren te temmen, dienstbaar aan elkaar te zijn, kruiden tegen zoeken te ziekte en veel meer.
Zo werd Prometheus ook de eerste leraar van de mensheid.

Zeus, die de heerschappij over de wereld van zijn vader Kronos overgenomen had, zag het mensengeslacht aan en verlangde daarvan verering zodat het door de goden beschermd zou worden. Prometheus wierp zich op als verdediger van de mensen en hij probeerde de vader der goden, Zeus, om de tuin te leiden. Voor bij een samenkomst met de goden slachtte Prometheus een stier, pakte het vlees en de beenderen apart in en liet Zeus kiezen. Maar deze doorzag de list, maar koos met opzet het mindere deel om op Prometheus en zijn mensengeslacht wegens het schijnbare bedrog, zijn woede af te kunnen reageren. Zeus ontzegde daarom de mens het vuur dat hij zo dringend nodig had.
Prometheus echter, wist ook hier raad op. Hij nam een lange stengel van de reuzenvenkel, ging daarmee naar de zonnewagen en stak de stengel in brand en bracht het vuur naar de mensen die het behoedden en doorgaven.
Zo hielp Prometheus de mens tegen de wil van de nieuwe goden, wel beseffend dat hij daarvoor zou moeten boeten.
Dat gebeurde dan ook toen Zeus zijn wraak op hem richtte. Hephaistos, de god van het vuur en de smid moest Prometheus met een onverwoestbare ketting aan een rotswand in de Kaukasus vastklinken. Daar hing hij recht overeind boven een angstaanjagende afgrond, zonder te kunnen slapen en met grote pijn, maar zijn geest brak niet. Ook niet toen Zeus zijn adelaar op hem afstuurde die elke dag van de lever van Prometheus pikken mocht en elke dag weer aangroeide. Deze kwelling zou zo lang duren tot een onsterfelijk wezen bereid zou zijn voor Prometheus zijn leven te offeren. 
Iedere dag, dertig jaar lang, kwam de adelaar van Zeus, totdat Herakles onderweg naar de Hesperiden voorbij de Kaukasus trok , waar hij de gekwelde Titanenzoon zag lijden. Hij greep zijn boog en doodde de adelaar. toen bevrijdde hij Prometheus van zijn ketting en daarna van zijn straf, omdat de kentaur Chiron aanbood af te zien van zijn onsterfelijkheid en voor Prometheus te sterven. 
Opdat Zeus zich er vanaf dat ogenblik op zou kunnen beroemen dat zijn vijand toch nog aan de rotsen van de Kaukasus vastzat, droeg Prometheus voortaan een ijzeren ring met een steentje van die rots.
De adelaar van Zeus en de pijl van Herakles werden door de goden aan de sterrenhemel geplaatst om de herinnering aan het lijden van Prometheus en aan zijn bevrijding levend te houden.

NO                                                                     O                                                    ZO
juni   1  °°u*                                            juli   1  23°° u*                           aug. 1  21°°u*
15  24°°u*                                              15  22°°u*                                   15 20°°u*
*zomertijd

De sterrenbeelden adelaar en pijl vinden we in juni precies in het oosten, niet ver boven de horizon, in juli tussen oost en zuidoost (zie beeld hierboven) en in augustus verder naar het zuiden opstijgend, dan aan de avondhemel om 22°°u in de zomertijd.

De namen van de sterren betekenen:

Altair (Arabisch) = de vliegende adelaar.

Meer feiten

Sterrenkundealle artikelen

7e klasalle artikelen

.

2483

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 297

.

 GA 297

                         IDEE UND PRAXIS DER WALDORFSCHULE

BASISGEDACHTEN EN PRAKTIJK VAN DE VRIJESCHOOL

Voordracht 8, Dornach 8 september 1920

Pädagogisch-didaktische Kunst und die Waldorf schule

Pedagogisch-didactische kunst en de vrijeschool

Blz. 209/210    vert. 209/210

Das Kind wird ja eigentlich in eine ihm ganz fremde Welt eingeführt, wenn es Lesen und Schreiben lernen soll. Mit dem Rechnen ist es nicht so, denn das liegt mehr im Menschen. Zählen ist etwas viel mehr dem Ursprünglich-Elementaren der Menschenseeie Naheliegendes als gerade Lesen und Schreiben. Die Schrift hat sich weiterentwickelt, und aus den Bildern sind Zeichen geworden, durch die man wie in eine fremde Welt hineinkommt.

Het kind wordt eigenlijk in een hem totaal vreemde wereld binnengeleid, wanneer het moet leren lezen en schrijven. Met rekenen is dat niet zo, want dat ligt meer in de mens zelf. Tellen hoort veel meer bij het oorspronkelijk-elementaire wat dichter bij de ziel van de mens staat dan lezen en schrijven. Het schrift is verder tot ontwikkeling gekomen en uit de beelden zijn tekens ontstaan waardoor je in een vreemde wereld binnengaat.
GA 297/209-210
Op deze blog vertaald/209-210

.

RekenwerkboekRekenen in beweging

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2482

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 295

.

GA 295

Werkbespreking 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 16-17  vert. 17

Wir werden uns genau überlegen, welcher Lehrstoff einer gewissen Altersstufe des Kindes entspricht, und dann werden wir diesen Lehr­stoff, das Lesen zum Beispiel, durch eine gewisse Zeit hindurch verfol­gen. Das heißt, das Kind wird seinen Vormittagsunterricht im Lesen wäh­rend sechs bis acht Wochen haben, dann wird Schreiben an seine Stelle treten, dann Rechnen, so daß das Kind sich die gesamte Zeit hindurch jeweilig konzentriert auf einen Unterrichtsstoff. So daß etwa, wenn ich es schematisch andeuten wollte, unser Unterricht darin bestehen würde, daß wir möglichst am Morgen beginnen – das heißt aber nur möglichst, denn es werden alle möglichen Modifikationen eintreten – mit Lesen, so daß wir einige Wochen lesen, dann schreiben, dann rechnen.

We zullen zorgvuldig onderzoeken welke leerstof in een bepaalde leeftijdsfase thuishoort en dan zullen we deze leerstof — lezen bijvoorbeeld — gedurende een bepaalde tijd blijven behandelen. Dat wil zeggen, het kind zal ’s ochtends gedurende zes tot acht weken les krijgen in lezen, dan in schrijven, dan in rekenen, zodat het kind zich de gehele tijd steeds op één onderwerp concentreert. In een schema aangeduid zou dat er zo uitzien: de lessen beginnen ’s ochtends als het kan met lezen, als het kan tenminste, want er zullen allerlei aanpassingen nodig zijn; we lezen dus enkele weken, dan schrijven we, dan rekenen we.
GA 295/16
Vertaald/17

Werkbespreking 4, Stuttgart 25 augustus 1919

Blz. 41  vert. 41

Steiner neemt hier vlierbesjes. Ik weet niet of dat zo’n goed idee is. De rollen makkelijk op de grond – blauwe vlekken!- enz. Beter iets groters: kastanjes, steentjes (ook geen papiersnippers GA 294).

Gehen wir einmal von der Addition aus, und zwar so, wie wir die Addition auffassen. Nehmen wir an, ich habe Bohnen oder ein Häuf­chen Holunderkügelchen. Nun will ich für den heutigen Fall anneh­men, daß die Kinder schon zählen können, was sie ja auch erst lernen müssen. Das Kind zählt, es hat 27. – «27», sage ich, «das ist die Sum­me.» Wir gehen aus von der Summe, nicht von den Addenden! Die psychologische Bedeutung davon können Sie in meiner Erkenntnis­theorie verfolgen. Diese Summe teilen wir jetzt ab in Addenden, in Teile oder in Häufchen. Ein Häufchen Holunderkügelchen, sagen wir 12; weiter ein Häufchen, sagen wir 7; weiter eines, sagen wir 3; weiter eines, sagen wir 5. Dann werden wir die Holunderkügelchen erschöpft haben: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. Wir machen ja den Rechnungsvorgang von der Summe 27. Solch einen Vorgang lasse ich nun eine AnzaM von Kindern machen, welche ausgesprochen phlegmatisches Temperament haben. Man wird sich allmählich bewußt werden, daß diese Art des Addierens besonders geeignet ist für Phlegmatiker. – Dann werde ich mir, weil ja der Vorgang zurückverfolgt werden kann, cholerische Kin­der aufrufen und werde die Holunderkügelchen wieder zusammen­werfen lassen, aber so, daß es geordnet ist gleich 5 und 3 und 7 und 12 sind 27. Also das cholerische Kind macht den umgekehrten Vorgang.

Laten we eens van de optelling uitgaan, van de optelling zoals wij die benaderen. Laten we eens aannemen dat ik bonen heb of vlierbesjes. Voor vandaag ga ik ervan uit dat de kinderen al kunnen tellen. Dat moeten ze immers ook eerst leren. Het kind telt. Het heeft er 27. ‘Zevenentwintig,’ zeg ik, ‘dat is de som.’ We gaan uit van de som, niet van de delen! De psychologische betekenis daarvan kunt u in mijn kentheorie vinden.[9] Deze som verdelen we nu in delen, in hoopjes die bij elkaar opgeteld moeten worden. Een hoopje vlierbesjes van laten we zeggen 12; nog een hoopje van 7 bijvoorbeeld; nog een van laten we zeggen 3 en een van 5. Dan hebben we alle besjes gebruikt: 27 = 12 + 7 + 3 + 5. We gaan bij de berekening immers uit van de som: 27. Zoiets laat ik nu door een aantal kinderen doen die een uitgesproken flegmatisch temperament hebben. Men zal zich er langzamerhand van bewust worden dat deze manier van optellen bijzonder geschikt is voor flegmatici. En omdat dit procedé immers omgedraaid kan worden, zal ik cholerische kinderen een beurt geven en ik zal de vlierbesjes weer op een hoop laten gooien, maar wel zo dat het geordend verloopt: 5 en 3 en 7 en 12 is 27. Het cholerische kind doet dus het omgekeerde.

Blz. 42  vert. 41

Das Addieren ist ganz besonders die Rechnungsart der phlegmatischen Kinder.
Nun nehme ich jemand heraus aus den melancholischen Kindern. Ich sage: «Hier ist ein Häufchen Holunderbeerchen; zähle sie mal ab!» Es kriegt heraus, sagen wir einmal 8. «Siehst du, ich will nicht haben 8, ich will nur haben 3. Wieviel muß weggelegt werden von den Ho­lunderkügeichen, damit ich nur 3 bekomme?» Dann wird es darauf ankommen, daß 5 weggenommen werden müssen. Das Subtrahieren in dieser Form ist vor allem die Rechnungsart der melancholischen Kinder. – Nun rufe ich ein sanguinisches Kind auf und lasse die Rech­nung zurück machen. Nun sage ich: «Was ist weggenommen worden?» Und ich lasse mir sagen: Wenn ich 5 von 8 wegnehme, so bleiben mir 3 übrig. – Das sanguinische Kind lasse ich wieder die umgekehrte Rech­nungsart ausführen. Ich will nur sagen, daß «vorzugsweise» die Sub­traktion – aber so ausgeführt, wie wir es tun – für die melancholischen Kinder ist.
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. 

Optellen is bij uitstek de rekenbewerking voor flegmatische kinderen.
Nu neem ik iemand van de melancholische kinderen. Ik zeg: ‘Hier is een hoopje vlierbesjes. Tel eens hoeveel het er zijn!’ Hij telt er bijvoorbeeld 8. ‘Ja, maar nu wil ik er niet 8 hebben, ik wil er maar 3. Hoeveel moet je er wegleggen zodat ik er maar 3 krijg?’ Het gaat er
dan om dat er 5 weggehaald moeten worden. Aftrekken in deze vorm is in de eerste plaats de rekenbewerking van de melancholische kinderen. Nu geef ik een sanguinisch kind een beurt en laat het terugrekenen. Dan zeg ik: ‘Wat is er weggenomen?’ En ik laat het kind zeggen: als ik 5 van 8 wegneem, dan blijven er 3 over. Het sanguinische kind laat ik weer de omgekeerde rekenbewerking uitvoeren. Ik wil maar zeggen dat het aftrekken ‘bij voorkeur’ de rekenbewerking is voor melancholische kinderen, althans zoals wij het doen.
Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen: 56 besjes.

«Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7. Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dem Choleriker lege ich vor zunächst die Division, vom Kleinen zum Größten, indem ich sage: «Siehe, da hast du das Häufchen von 8. Ich will von dir nun wissen, in welcher Zahl die 8 siebenmal drinnen-steckt.» Und er muß herauskriegen: in 56; in einem Häufchen von 56. -Dann lasse ich das Umgekehrte, die gewöhnliche Division, von dem phlegmatischen Kinde machen. Für das cholerische Kind wende ich in

‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten.’ U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit. Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg: ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in de 56 zit, maar hoe vaak de 7 in de 56 zit. Hoe vaak komt de 7 erin voor?’ Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.
De cholericus leg ik eerst de deling voor, van het kleinste naar het grootste, en zeg: ‘Kijk, daar is het hoopje van 8. Ik wil nu van jou weten in welk getal zeven keer een 8 zit.’ En hij moet er 56 uitkrijgen, een hoopje van 56. Dan laat ik het omgekeerde doen door een flegmatisch kind: een gewone deling.

Blz. 43   vert. 42

dieser Form die Division an. Denn in dieser Form ist sie insbesondere die Rechnungsart der cholerischen Kinder.
Auf diese Weise, indem ich es fortwährend so durchführe, bekomme ich gerade für die vier Rechnungsarten die Möglichkeit, sie zu gebrau­chen für die Heranziehung der vier Temperamente: das Additive ist verwandt dem Phlegmatischen, das Subtrahieren dem Melancholischen, das Multiplizieren dem Sanguinischen, das Dividieren, mit dem Zu­rückgehen zu dem Dividenden, dem Cholerischen. – Das ist es, was ich Sie bitte, im Anschluß zu dem von Herrn N. Gesagten zu beachten.
Es ist von besonderer Wichtigkeit, daß man nicht langweilig fort-arbeitet: ein halbes Jahr bloß addiert, dann subtrahiert und so weiter, sondern wir werden diese vier Rechnungsarten womöglich nicht allzu langsam nacheinander durchnehmen, und dann alle vier üben! Zuerst nur bis 40 etwa. So werden wir Rechnen lehren nicht nach dem gewöhn­lichen Stundenplan, sondern so, daß durch das Üben diese vier Arten fast gleichzeitig angeeignet werden. Sie werden finden, daß es auf diese Weise sehr ökonomisch geht, und daß man die Kinder die Dinge inein­anderarbeiten lassen kann. – Es ist ja die Division verwandt mit der Subtraktion, und die Multiplikation ist eigentlich nur eine wiederholte Addition. So daß man also auch umwechseln und zum Beispiel das cholerische Kind an die Subtraktion heranbringen kann.

Voor het cholerische kind gebruik ik deze vorm van deling. Want in deze vorm is het met name de rekenbewerking voor het cholerische kind.
Op deze manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de vier temperamenten. Optellen is verwant met het flegmatische, aftrekken is verwant met het melancholische, vermenigvuldigen met het sanguinische en delen, het teruggaan tot het deeltal, met het cholerische. – Wilt u dit nog onthouden, aansluitend bij wat de heer N. heeft gezegd.
Het is van groot belang dat het niet saai wordt: dat men een half jaar alleen maar optelt, dan aftrekt enzovoort. Nee, we zullen de vier rekenbewerkingen als het kan niet al te langzaam na elkaar behandelen en dan alle vier oefenen! Eerst tot 40 bijvoorbeeld. Zo zullen we niet volgens het geijkte lesrooster leren rekenen, maar zo dat door het oefenen alle vier bewerkingen bijna gelijktijdig worden aangeleerd.
U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken.
GA295/41-43
Vertaald/41-42

Werkbespreking 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 93   vert. 86

T. spricht über die für das Rechnen unbegabten Kinder.
Rudolf Steiner: Wenn Sie besonders schwache Begabungen zum
Rechnen entdecken, so tun Sie gut, folgendes zu machen: die anderen
Kinder werden in der Regel in der Woche zwei Turnstunden, das heißt
eine Eurythmiestunde und eine Turnstunde haben. Diese Kinder, die
nicht gut rechnen, spannen Sie zusammen, und lassen Sie ihnen eine
Eurythmie- oder Turnstunde oder eine halbe Stunde anknüpfen. Sie
brauchen sich dadurch nicht mehr zu belasten; nehmen Sie sie mit anderen zusammen, wo gerade solche Übungen gemacht werden. Man muß
sorgen, daß solche Kinder gerade durch das Turnen und die Eurythmie
in ihren Fähigkeiten gehoben werden.
Sie lassen solche Kinder zunächst Stabübungen machen. Den Stab in
der Hand: nach vorne 1, 2, 3; nach hinten 1, 2, 3, 4. Also das Kind
muß immer den Stab nach vorne und nach rückwärts nehmen. Es muß
sich anstrengen, den Stab auf irgendeine Weise bei 3 nach rückwärt

T. bespreekt kinderen die zwak zijn in rekenen.

Als u kinderen ontdekt met bijzonder weinig aanleg voor rekenen, dan doet u er goed aan om het volgende te doen. De andere kinderen zullen in de regel twee uur gymnastiek in de week hebben, dat wil zeggen een uur euritmie en een uur gymnastiek. Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. U hoeft uzelf daardoor niet meer te belasten: u neemt ze samen met anderen die net op dat moment die lessen hebben. Men moet ervoor zorgen dat zulke kinderen juist door gymnastiek en euritmie hun vermogens ontwikkelen. U laat die kinderen in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3

Blz. 94  vert. 87

zu kriegen. – Dann muß auch Laufen darankommen: 3 Schritte vor, 5 Schritte zurück; 3 Schritte vor, 4 Schritte zurück; 5 Schritte vor, 3 Schritte zurück und so weiter. – Versuchen Sie, turnend und auch vielleicht eurythmisch in die Bewegungen des Kindes die Zahl hinein­zumischen, so daß es genötigt ist, sich selbst bewegend, zu zählen. Sie werden sehen, daß das einen Erfolg hat. Ich habe das bei Schülern wie­derholt gemacht.
Und ich frage Sie nun: Warum hat das einen Erfolg? Nach dem, was Sie schon gelernt haben, können Sie sich darüber Vorstellungen bilden.

T. Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geo­metrieunterricht.

Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willent­liches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.

naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.

En nu vraag ik u: waarom heeft dat succes? Met datgene wat u al geleerd heeft kunt u zich daarover voorstellingen vormen.

T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
GA 295/93-94
Vertaald/86-87

Werkbespreking 12, Stuttgart 4 september 1919

De vorige werkbespreking eindigde met een vraag:

Blz. 135  vert. 125

Denken Sie bis morgen nach, wie Sie den Kindern Aufgaben stellen würden, wo sie das Rechnen, ohne Zahlen zu schreiben,ausführen könnten, was man sonst immer Kopfrechnen genannt hat.
Denken Sie einmal, Sie würden dem Kinde die Aufgabe stellen: Von irgendwo geht ein Bote ab, der macht so und so viele Meilen, und weit hinterher geht ein anderer Bote ab, der geht nicht, sondern der fährt mit dem Fahrrad, der macht so und so viele Meilen. Wann hat der Bote mit dem Fahrrad den gehenden Boten eingeholt? Dieses ist so zu behandeln, daß die Kinder eine gewisse Geistesgegenwart entwickeln im Ergreifen von Situationen und im Überblicken von Situationen.

denkt u er voor morgen over na, hoe u de kinderen opgaven kunt geven waarbij ze kunnen rekenen zonder getallen op te schrijven, wat men gewoonlijk altijd hoofdrekenen noemt.
U kunt bijvoorbeeld zeggen: ergens vertrekt een bode, die legt zo en zo veel mijl af, en ver achter hem vertrekt een andere bode, die loopt niet, maar gaat met de fiets, die legt zo en zo veel mijl af. Wanneer heeft de bode met de fiets de lopende bode ingehaald? Dat moet men zo aanpakken dat de kinderen een zekere tegenwoordigheid van geest ontwikkelen in het ‘pakken’ van situaties en het overzien van situaties.

Ook was er bij meetkunde even sprake de oppervlakteberekening van vlakken.
Oppervlakte is zeker ook een rekenonderwerp.

Werkbespreking 13, Stuttgart 4 september 1919

Blz. 136  vert.  127

T.    versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestal­ten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschnei­den lassen, Schahlonieren.)

Rudolf Steiner: Es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadrat­meter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus sol­chen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotz­dem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervor­zurufen.
Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebens-alter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekom­men, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? – Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fal­len zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchge­nommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrech­nung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben

T. probeert het begrip oppervlakte aanschouwelijk te maken voor negenjarige kinderen. ( Vierkanten laten uitknippen om andere, grotere vierkanten te meten, sjablonen.)

Steiner: Het is goed uit te leggen dat als men een vierkantszijde heeft van 3 meter lang, het oppervlak dan 9 m2 is. Maar daarmee blijven we nog steeds in een sfeer waarin uit zulke aanschouwelijke stukken iets wordt samengesteld, en het zal desondanks heel moeilijk zijn om een juiste voorstelling op te roepen van oppervlakte.

  Wat ik bedoelde is: hoe gaat men op de juiste wijze te werk, en in welke leeftijdsfase kan men dat doen, om er werkelijk uit te krijgen dat oppervlakte oppervlakte is en oppervlakte wordt wanneer men de lengte met de breedte vermenigvuldigt? Hoe komt men zover dat men dit begrip van oppervlakte in een kind wakker roept? Het hangt ervan af waar men die lessen over oppervlakte een plaats geeft. En dan moet men zeggen: het is niet goed om de lessen over oppervlakte te geven op een moment dat men het rekenen met letters nog niet heeft behandeld. Rationeel kunnen we de oppervlakte pas behandelen wanneer we het rekenen met letters al behandeld hebben. Het antwoord is dus: we wachten met de behandeling van oppervlakte tot we het letterrekenen hebben behandeld.

Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen:
Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

Dan nu de vraag: hoe pakt u de overgang aan van het gewone rekenen met cijfers naar het rekenen met letters? Ik zal u een eind op weg helpen en dan werkt u het verder uit. Voordat u tot letterrekenen overgaat moet u de renteberekening toch al behandeld hebben. Rente is gelijk aan kapitaal maal procent maal tijd, gedeeld door 100.

Blz. 138  vert. 127

                              Kapital • Prozent • Zeit
Zinsen =                     ________________
                                            100
Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

                                                   K-P-T
                                                     100
T = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für
Zeit.
Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.
Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.
K ist = Kapital; P ist = Prozent; T ist = Zeit (Tempus); 2 ist =
Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als
Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

                                      rente =kapitaal x procent x tijd
100

Kort men de woorden af tot de beginletters, dan kan men schrijven

                                                       r =k x p x t
                                                               100

De t is afkomstig van tempus = tijd in het Latijn. Wanneer u naar deze formule toewerkt gaat u van gewone getallen uit, en het kind begrijpt vrij gemakkelijk wat kapitaal is, wat procenten zijn, tijd enzovoort. Dit proces zult u de kinderen dus proberen duidelijk te maken en u verzekert zich ervan dat de meerderheid het heeft begrepen. En van daaruit komt u tot bovenstaande vorm en laat u een regel ontstaan.
k = kapitaal, p = procent, t = tijd, r = rente. Dan is bovenstaande een formule die ik mij enkel als basisformule inprent. Daarmee heb ik al de eerste stap gedaan in de overgang naar het rekenen met letters. Wanneer het kind nu deze formule heeft, hoeft het alleen maar de getallen in te vullen in de formule en dan moet steeds het juiste antwoord er uitkomen. Dan de afgeleide formule:

                                   K= (Z * 100) / (T * P)

so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchsta­ben K, P, T beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:
        
                                 T = (Z * 100) / (K * P)    P= (Z * 100) / (K * T)
        
Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: «Wir haben gelernt, eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7

                                                      k = r x 100
                                                               t x p

en nu kunt u stomweg onthouden dat u de drie letters k, p en t willekeurig met elkaar kunt verwisselen, zodat ook nog de volgende mogelijkheden ontstaan:

t = r x 100                                                   p =r x 100
k x p                                                             k x t

Op deze manier hebben we het kind kapitaalrekening bijgebracht en nu kunnen we overgaan naar het rekenen met letters. U kunt rustig zeggen: ‘We hebben geleerd, een som 25 was gelijk aan 8 plus 7

Blz. 139 vert. 128

mehr 5 mehr 5, 25 = 8 + 7 + 5 + 5.» Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt ha­ben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde Zahl. Also stünde da zum Beispiel: 5, eine Summe. Und da stünde: a + b + c + c. Aber, wenn da c stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»
Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten 9.9 können Sie entwickeln a . a. Oder Sie können aus a 2 entwickeln a . b und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenbe­rechnung, a . a = a2.

plus 5 plus 5, dus: 25 = 8 + 7 + 5 + 5.’Niet waar, dat hebben de kinderen ooit geleerd. En nu, nadat u dat hebt uitgelegd, kunt u zeggen: ‘Daar (in plaats van 25) kan ook een andere som staan, en daar (in plaats van 8, 7, 5, 5) kunnen andere getallen staan, zodat we ook kunnen zeggen: daar staat “een of ander” getal. Er staat daar bijvoorbeeld S: een som. En daar staat: a + b + c + c. Let wel, als daar een c staat voor de eerste 5, dan moet er ook een c staan voor de tweede 5. Net zoals ik een k zet voor een of ander “kapitaal”, zet ik hier een c.’ Nadat u aan de hand van een concreet geval de overgang hebt laten zien van het getal naar de letter, kunt u nu ook het begrip van de vermenigvuldiging verder voeren, en uit deze concrete 9 x 9 kunt u afleiden a x a. Of u kunt uit a x 2 afleiden a x b, enzovoort. Dat zou dus de weg zijn om te komen van het rekenen met getallen tot het rekenen met letters. En vandaar tot de oppervlakteberekening, a x a =  a2.

Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend
entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. – Dann
von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie
man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie
man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das
gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das
ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man
kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn
jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen
Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.
Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multi­plizieren und von da in die Flächenberechnung.

Opdracht voor morgen: renteberekening, geestrijk en helder uiteengezet voor kinderen van tien, elf jaar, met wat daarbij hoort, het omgekeerde: het berekenen van procent, tijd en kapitaal. En dan van daaruit afleiden hoe men discontorekening belicht. Dan hoe men de kinderen rabat en emballage leert berekenen en hoe men hun het begrip en de berekening van een wissel bijbrengt. Dat hoort thuis in het twaalfde en dertiende levensjaar, dan beklijft het voor het hele leven. Anders vergeet men het later altijd weer. Men kan het eenvoudig houden, maar het hoort daar wel thuis. Als iemand dit behoorlijk beheerst, dan beheerst hij de methodiek van het hele rekenen. Berekening van samengestelde interest hoort niet in deze jaren thuis.
Dus organisch overgaan naar de letterrekening tot aan de vermenigvuldiging en van daaruit naar de oppervlakteberekening.

G. schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufistandes vor mit Früchten, Ge­müse, Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, Geld herausgeben, überhaupt selbständig alles berechnen müssen.   

G. stelt voor om een klein kraampje op te zetten waar vruchten, groente, aardappels en dergelijke verkocht worden en waarbij de kinderen zelfstandig inkopen, verkopen, betalen, geld wisselen en alles helemaal zelfstandig moeten berekenen.

Blz. 140  vert. 129

Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man kei­nen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhal­ten!

Dat koopmansprincipe is heel goed voor de tweede klas. En het is goed dat degene die iets moet uitrekenen het ook echt zelf doet en dat niemand hem mag helpen. Steeds de interesse van allemaal wakker houden!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben

Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteil­hafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4, 5… 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99, 98, 97, 96… 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden unter­einanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch – weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts – halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

Er wordt gesproken over het hoofdrekenen; over het rekenen zonder te schrijven. Rudolf Steiner vertelt over Gauß die als zesjarige een keer tot een bijzondere oplossing was gekomen. Samengevat: De opgave was om alle getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Gauß bedacht dat het slimmer en gemakkelijker was om dezelfde getallen nog een keer te nemen, maar ze zich in de omgekeerde volgorde voor te stellen. De eerste rij verloopt dan van links naar rechts: 1, 2, 3, 4, 5… 100 en de rij daaronder omgekeerd: 100, 99, 98, 97, 96… 1. Dan staat de 100 onder de 1, de 99 onder de 2, de 98 onder de 3. De som is telkens 101. Je moet de som dan honderd keer nemen, dat is 10100 en dit moet weer gehalveerd worden – omdat je immers twee keer de getallen van 1 tot 100 hebt opgeteld — en dat geeft 5050.
Zo loste Gauß indertijd die vraag uit zijn hoofd op, tot niet geringe verbazing van zijn onderwijzer.

T  führt unter anderen zwei Arten von Aufgaben an: 1. Zeit- und Strecken-berechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Radumfang gegeben sind; 2. Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Aus flußröhre.

Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Be-wegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit ei­nem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

Bij het verzinnen van rekenopgaven kan men zijn fantasie gebruiken. Men kan tegenwoordigheid van geest oproepen door bewegingsopdrachten. Met het voorbeeld van gisteren kunt u in de praktijk werken. U zegt dan: ‘Ik heb een ijlbode weggestuurd met een brief. De inhoud van de brief is echter achterhaald. Ik moet een andere bode sturen. Hoe snel moet die vooruitkomen om nog op tijd aan te komen, voordat de brief onheil heeft aangericht?’ Het kind moet dat in ieder geval bij benadering kunnen berekenen, dat is heel goed.

Blz. 141  vert. 130

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird ein­mal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skiz­zieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astro­nom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu die­sem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.
Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu prak­tischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Prak­tische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.
In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslau­fen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern – in was würden Sie das auslaufen lassen?
Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

Een van de deelnemers wijst op foutenrekeningen.

Zulke foutenrekeningen zijn zeer gebruikelijk. Het is gebruikelijk dat men de fouten bij voorbaat incalculeert. Welnu, op een bepaald punt wordt tegenwoordig zo’n foutenrekening gemaakt die eens gecorrigeerd zal moeten worden. Toen Copernicus zijn ‘copernicaanse systeem’ had opgesteld, postuleerde hij drie stellingen. Zou men alle drie benutten om de weg van de aarde door te ruimte te beschrijven, dan zou men een heel andere beweging krijgen dan nu door de astronomen wordt aangenomen en op onze scholen gedoceerd wordt. Deze elliptische beweging wordt alleen mogelijk doordat men de derde stelling buiten beschouwing laat. Als de astronoom aan zijn telescoop gaat zitten, dan kloppen de dingen niet. Daarom berekent men de fouten ook mee. Door de Besselse correcties worden er ieder jaar fouten berekend voor dat wat in de werkelijkheid niet klopt. De correcties van Bessel – daarin zit de derde stelling van Copernicus.
 Methodisch moet men zo te werk gaan dat men het kind niet alleen bezighoudt met verzonnen voorbeelden, maar dat men ook bij praktische voorbeelden uit het leven van alledag uitkomt. Alles moet uitmonden in de praktijk. Daarbij kan men door iets wat volgt altijd het voorgaande laten bevruchten en omgekeerd.
Al die berekeningen van bewegingen, het weg laten lopen van vloeistoffen, door kleine gaten langzaam en door grote snel, die vragen over draaiende bewegingen bij machines met verschillend grote raderen – waarin zou u dat laten uitmonden?
Het beste zou zijn als u de kinderen de klok uitlegt in zijn verschillende vormen: het slingeruurwerk, het zakhorloge enzovoort.
GA 295/135-141
Vertaald/125-130

Werkbespreking 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 141  vert. 132

T.    gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn E = Endkapital, A = Anfangskapital, Z = Zins, P = Prozentsatz, T = Zeit
        
ist, so ist E -A + Z. Da ferner Z=(A * P * T) / 100     so wird E = A + (A * P* T) / 100

Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Reaiitätswert, wenn T gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gege­ben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man T weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kin­dern die Realität zu geben.
Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

T. geeft een voortzetting van de renteberekening als overgang naar het rekenen met letters. Als e = eindkapitaal, b = beginkapitaal, r = rente, p = percentage en t = tijd, dan is e — b + r. Omdat verder

r = b x p x t               wordt e = b +b x p x t
100                                          100

In deze vorm kan men natuurlijk tegenwoordig nooit een kapitaal beleggen. Deze vorm is alleen reëel, wanneer t gelijk is aan of kleiner is dan een jaar. Want in de realiteit bestaan er twee gevallen. Ofwel men roomt de rente jaarlijks af, dan blijft het beginkapitaal gelijk, ofwel men laat de rente bij het kapitaal en dan heeft men de berekening van het samengesteld interest nodig. Laat men t weg, dat wil zeggen, rekent men voor één jaar, dan is het reëel. Het is nodig om de kinderen de realiteit te geven.

Blz. 143-144   vert. 133

Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zu­nächst eine Summe von Zahlen hin, in wehcher die Addenden alle un­gleich sind:
20 = 7 + 5 + 6 + 2
Es können auch einzelne Addenden gleich sein:
25 = 5 + 5 + 9 + 6Und es können alle Addenden gleich sein:
18 = 6 + 6 + 6

Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe S1 = a + a + a, das sind drei a, dreimal a = 3. a;
dann S2 = a + a + a + a + a, fünfmal a = 5. a;
dann S3= a + a + a + a + a + a + a, siebenmal a = 7. a und so weiter.
Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es m-mal:
Sm = a + a + a + a + … . m-mal = m . a.
So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimm­ten Zahlen zu algebraischen Größen, zu a . a = a2, a . a . a = a3.
Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten.
Wenn wir b wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekom­men wir den Rest r..
 r1 = a – b
Nehmen wir nochmals b weg, so erhalten wir den Rest
r2 = a – b – b = a – 2b

Ein drittes Mal b weggenommen, ergibt
r3 = a – b – b – b = a-3b  und so weiter.
Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl a kein Rest mehr übrig bleibt, können es n- mal machen:

rn = a – b – b – b – … . n-mal = a – nb.

Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich 0 ist, so ist
0    = a – nb

Rudolf Steiner licht dan toe hoe men de overgang van getallen- naar letterrekening kan maken. Hij gebruikt het volgende voorbeeld.

Men schrijft een som op waarbij alleen verschillende getallen bij elkaar worden opgeteld:
                                                        20=7 + 5 + 6 + 2

Een paar getallen kunnen ook gelijk zijn:

                                                       25 = 5 + 5 + 9 + 6

En alle getallen kunnen gelijk zijn:

                                                          18 = 6 + 6 + 6

Gaat men er nu toe over, zoals gisteren werd aangegeven, om de getallen te vervangen door letters, dan heb ik bijvoorbeeld de som .
S1 = a + a + a, dat is drie keer een a, drie keer a = 3 x a.
Dan S2
 = a + a + a + a + a, vijf keer a = 5 x a.
Dan S3
 = a + a + a + a + a + a + a, zeven keer a = 7 x a, enzovoort.
Ik doe dat steeds op die manier, ik kan het negen keer, eenentwintig keer, vijfentwintig keer doen. Ik doe het m keer:
Sm = a + a + a + a + a. ..m keer = m x a.
Zo krijg ik uit het onbepaalde aantal getallen dat opgeteld moet worden de ene factor, terwijl het getal zelf de andere factor is. Op die manier kan men gemakkelijk de vermenigvuldiging uit de optelling afleiden en begrijpen. Zo maakt men de overgang van bepaalde getallen naar algebraïsche grootheden, naar a x a = a2,    a x a x a = a3.
 Op dezelfde wijze kan men ook het delen afleiden uit het aftrekken. Wanneer we b wegnemen van een heel groot getal a, dan krijgen we de rest r1

                                                          r1 = a — b
Nemen we nog een keer b weg, dan houden we de rest 

                                                        r2 = a – b – b = a – 2b 

Voor de derde keer b weggenomen geeft

                                                  r3  = a – b – b – b = a – 3b enzovoort.

We kunnen dit net zo lang doen tot er van a geen rest meer over is. 

We kunnen het n keer doen:

                                      rn = a – b – b – b – b… n keer = a – nb.

Als er dan geen rest meer is, dat wil zeggen, als de laatste rest gelijk 0 is, dan is

                                                          0 = a – nb.

Blz. 145   vert. 134

Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, a = nb. Ich habe n-mal das b weggenommen, habe das a in lauter b aufgeteilt,  a/b=n
da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das n-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.
Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, bezie­hungsweise wegnimmt.

Dan is a helemaal opgedeeld, omdat er immers geen rest is, a = nb. Ik heb n keer b weggenomen, ik heb a in enkel b opgedeeld: a = n.    (a gedeeld door b = n)
b
a is helemaal verdwenen. Ik heb gevonden dat ik dat n keer kan doen en daarmee ben ik overgegaan van het aftrekken naar het delen.
Men kan dus zeggen: de vermenigvuldiging is een bijzonder geval van optelling en het delen is een bijzonder geval van aftrekken, in die zin dat men niet slechts één keer, maar meerdere keren toevoegt respectievelijk wegneemt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. – Eugen Düh-ring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.
Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Di­vidieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.
    addieren    subtrahieren
    multiplizieren    dividieren
    potenzieren    radizieren

Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.
In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Net­to-, Tara-, Emballagerechnung.

Het gesprek komt op negatieve en imaginaire getallen.

Een negatief getal is een aftrekker waarvoor geen aftrektal meer is. Het is een aansporing om een operatie uit te voeren waar geen materiaal voor is, die niet uitgevoerd kan worden. Eugen Dühring wees de imaginaire getallen als onzin af. Hij zei over de definitie van Gauß van het imaginaire, dat dat een stommiteit was, geen realiteit maar een hersenspinsel.
Men leidt dus altijd de vermenigvuldiging af uit de optelling en dan het machtsverheffen uit de vermenigvuldiging. Verder het delen uit het aftrekken, het worteltrekken uit het delen.

optellen                           aftrekken
vermenigvuldigen         delen
machtsverheffen           worteltrekken

Pas nadat men begonnen is met het letterrekenen, na het elfde, twaalfde jaar, gaat men over naar het machtsverheffen en worteltrekken, omdat bij het worteltrekken het machtsverheffen van een veelterm een rol speelt.
In dit verband moet men verder behandelen de berekening van bruto, netto, tarra en emballage.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang

Blz. 146  vert. 135

machen wollen – wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.
Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen. was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

Z = (K * P * T) / 100

das T größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Gan­zen dabei bekommt.
Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Steile sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Divi­dieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.
Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Po­tenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

Er wordt een vraag gesteld over het gebruik van formules.

Nu gaat het erom of u heel vaak liever niet de formule gebruikt maar steeds weer de gedachtegang wilt maken – waarbij u zeer zeker taalcultuur kunt bedrijven, dat is juist – of dat u misschien toch een formule wilt gaan gebruiken. Als u dat met beleid doet, zodat de formule goed begrepen wordt, is dat ook heel nuttig om tot op zekere hoogte daarmee taalcultuur te beoefenen. Maar vanaf een bepaald moment is het ook goed om de formule voor de kinderen tot iets voelbaars te maken, om de formule tot iets te maken wat levend is. Bijvoorbeeld, wanneer de t groter wordt bij

                                                         r = k x p x t
                                                                  100

dat de kinderen dan een gevoel krijgen dat het geheel groeit.
Hiermee is wel gezegd wat ik op deze plaats wilde zeggen, dat men de concrete getallen moet gebruiken bij gelegenheid van de rente- of procentberekening, om de overgang te vinden naar het letterrekenen en om daaruit het vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken af te leiden. Dat zijn toch dingen die men zeer zeker al moet doen met de kinderen.

Nu zou ik de vraag willen stellen: lijkt het u goed om het machtsverheffen en worteltrekken al te behandelen voordat u letterrekenen hebt gedaan, of zou u het daarna doen?

T.:    Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Poten­zieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökono­misch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

T.: Machtsverheffen ervoor, worteltrekken erna.

Dan gaat u er toch van uit, en dat zult u in de toekomst ook moeten doen, dat u zo snel mogelijk na het elfde, twaalfde jaar begint met de letterrekening en dan pas gaat machtsverheffen en worteltrekken. Want na het letterrekenen kan men op zeer eenvoudige wijze met de kinderen kwadrateren, kuberen, machtsverheffen en worteltrekken, terwijl men er tevoren verschrikkelijk veel tijd voor nodig heeft. U zult gemakkelijk en economisch te werk gaan wanneer u eerst de letterrekening hebt behandeld.
GA 295/141-146
Vertaald/132-135

2e leerplanvoordracht, Stuttgart 6 september 1919                       

Blz. 167  vert. 154

Nun wird es uns obliegen, auch alles, was sich auf Rechnen, Mathe­matik, Geometrie bezieht, zu verteilen auf die acht Schulstufen.
Sie wissen ja, die äußere Methodik schreibt vor, im ersten Schuljahr vorzugsweise die Zahlen im Zahlenraum bis 100 zu behandeln. Man kann sich an das auch halten, denn es ist ziemlich gleichgültig, wenn man bei den einfacheren Zahlen bleibt, wie weit man den Zahlenraum im ersten Schuljahr treibt. Die Hauptsache ist, daß sie, insofern Sie den Zahlenraum gebrauchen, die Rechnungsarten darin so betreiben, daß Sie eben dem Rechnung tragen, was ich gesagt habe: die Addition zuerst aus der Summe heraus, die Subtraktion aus dem Rest heraus, die Multiplikation aus dem Produkt heraus und die Division aus dem Quotienten heraus entwickelt. Also gerade das Umgekehrte von dem, was gewöhnlich gemacht wird. Und erst nachdem man gezeigt hat, 5 ist 3 plus 2, zeigt man das Umgekehrte: durch Addition von 2 und 3 entsteht 5. Denn man muß starke Vorstellungen im Kinde hervor­rufen, daß 5 gleich 3 plus 2 ist, daß 5 aber auch 4 plus list und so wei­ter. Also die Addition erst als zweites nach der Auseinanderteilung der Summe; und die Subtraktion, nachdem man gefragt hat: Was muß ich von einem Minuenden abziehen, damit ein bestimmter Rest bleibt und

Nu moeten we ook alles wat met rekenen, wiskunde en geometrie te maken heeft verdelen over de acht klassen.
U weet dat de gewone methodiek voorschrijft om in de eerste klas bij voorkeur de getallen tot 100 te behandelen. Daar kan men zich ook aan houden, want het doet er niet toe hoe ver men gaat, wanneer men maar bij de eenvoudiger getallen blijft. De hoofdzaak is dat u binnen dat getallengebied de rekenbewerkingen zo hanteert dat u rekening houdt met wat ik heb gezegd. U leidt de optelling af uit de som, het aftrekken uit de rest, de vermenigvuldiging uit het product en de deling uit het quotiënt. Het omgekeerde dus van hetgeen gewoonlijk wordt gedaan. En pas nadat men heeft laten zien dat 5 gelijk is aan 3 plus 2, pas dan laat men ook het omgekeerde zien: door 2 en 3 op te tellen ontstaat 5. Men moet sterke voorstellingen in het kind oproepen, dat 5 = 3 + 2, maar ook 4 + 1 enzovoort. De optelling volgt dus altijd pas na het opdelen van de som; en de aftrekking pas nadat men heeft gevraagd: wat moet ik van dit of dat getal aftrekken om een bepaalde rest over te houden

Blz. 168  vert. 154

so weiter. Wie gesagt, daß man das dann mit den einfacheren Zahlen im ersten Schuljahr macht, ist selbstverständlich. Ob man nun gerade den Zahlenraum bis 100 oder bis 105 oder bis 95 benützt, das ist im Grunde nebensächlich.
Dann aber beginne man, wenn das Kind mit dem Zahnwechsel fer-tig ist, ja gleich damit, es das Einmaleins lernen zu lassen, und meinet-willen sogar das Einspluseins; wenigstens, sagen wir, bis zur Zahl 6 oder 7. Also das Kind möglichst früh das Einmaleins und Einspluseins einfach gedächtnismäßig lernen zu lassen, nachdem man ihm nur prin­zipiell erklärt hat, was das eigentlich ist, es prinzipiell an der ein­fachen Multiplikation erklärt hat, die man so in Angriff nimmt, wie wir das gesagt haben. Also kaum daß man imstande ist, dem Kinde den Begriff des Multiplizierens beizubringen, übertrage man ihm auch schon die Pflicht, das Einmaleins gedächtnismäßig zu lernen.
Dann führe man im zweiten Schuljahr für einen größeren Zahlen-raum die Rechnungsarten weiter. Man versuche, einfache Aufgaben auch ohne Schriftliches, eben im Kopfe, mündlich mit dem Schüler zu erledigen.

enzovoort. Zoals gezegd: het spreekt vanzelf dat men dat in het eerste schooljaar met de meer eenvoudige getallen doet. Of men nu gaat tot 100 of 105 of 95, dat is in feite maar bijzaak.
Als het kind de tandwisseling achter de rug heeft, dan begint men onmiddellijk met de tafels van vermenigvuldiging, het een-maal-een, en wat mij betreft zelfs het een-plus-een; in ieder geval tot de 6 of 7. Het kind dus zo vroeg mogelijk het een-maal-een en een-plus-een simpelweg uit het hoofd laten leren, nadat men niet veel meer dan het principe heeft uitgelegd, aan de hand van de eenvoudige vermenigvuldiging, die men zo aanpakt als we hebben gezegd. Dus zodra men het kind het begrip van de vermenigvuldiging kan bijbrengen, draagt men het ook op om de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te leren. In de tweede klas breidt men de rekenbewerkingen uit tot een groter getallengebied. Men probeert eenvoudige sommen ook te behandelen zonder ze op te schrijven, uit het hoofd, mondeling.

Man versuche, unbenannte Zahlen womöglich zuerst zu ent­wickeln an Dingen – ich habe Ihnen ja gesagt, wie Sie an Bohnen oder was auch, die unbenannten Zahlen entwickeln können. Aber man sollte doch auch das Rechnen im Zusammenhang mit benannten Zahlen nicht aus dem Auge verlieren.
Im dritten Schuljahr wird alles für kompliziertere Zahlen fort­gesetzt, und es werden schon die vier Rechnungsarten, wie sie im zwei­ten Schuljahr gepflogen worden sind, in Anwendung gebracht auf ge­wisse einfache Dinge des praktischen Lebens.
Im vierten Schuljahr wird das fortgesetzt, was in den ersten Schul­jahren gepfiogen worden ist. Aber jetzt müssen wir übergehen zur Bruchlehre und namentlich zur Dezimalbruchlehre.
Wir wollen dann im fünften Schuljahr mit der Bruchlehre und mit der Dezimaibruchlehre fortsetzen und alles dasjenige an das Kind her­anbringen, was ihm die Fähigkeit beibringt, sich innerhalb ganzer, ge­brochener, durch Dezimaibrüche ausgedrückter Zahlen frei rechnend zu bewegen.
Dann gehe man im sechsten Schuljahr über zur Zins- und Prozentrechnung,
zur Diskontrechnung, zur einfachen Wechseirechnung und begründe damit die Buchstabenrechnung, wie wir es gezeigt haben.

Men probeert het rekenen met onbenoemde getallen zo mogelijk eerst te ontwikkelen aan dingen – ik heb u immers gezegd hoe u aan de hand van bonen of wat dan ook de onbenoemde getallen kunt ontwikkelen. Maar men moet toch ook het rekenen met benoemde getallen niet uit het oog verliezen.
 In de derde klas wordt alles voortgezet met ingewikkelder getallen, en de vier rekenbewerkingen zoals die in de tweede klas behandeld werden worden nu toegepast op bepaalde eenvoudige dingen uit het praktische leven.
In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. Maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.
In de vijfde klas gaan we door met breuken en decimale breuken. Het kind leert nu alles waardoor het in staat is vrij te rekenen met hele getallen, breuken en decimalen.
In de zesde klas behandelt men dan het berekenen van rente en procenten, van disconto en eenvoudige wissels en legt men daarmee de basis voor het letterrekenen, zoals we hebben laten zien.

Blz. 169-170   vert. 155-156

Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchsta­benrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das herein-zubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des prak­tischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann.
Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammenhängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann, und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben.

In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
GA 295/167-170
Vertaald/154-156
.
In werkbespreking 4 staan de aanwijzingen voor het rekenen met de verschillende temperamenten.
Ter verduidelijking heb ik e.e.a. uitgewerkt waarbij ik de vormtekeningen voor de temperamenten als basis gebruikt.
Rekenen in temperamenten (onder 1, 2, 3, 4)

In het rekenwerkboekRekenen in bewegingworden de aanwijzingen die hierboven staan, verder uitgewerkt.

Rudolf Steiner over rekenenalle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.
2481

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-3)

.

Enkele gedachten bij blz. 166 in de vertaling van 1993.
.

ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.

luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].

De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat.
Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen  (GA 294) [2] en (GA 295) [3]

GEEST IN DE TAAL

Van taal wordt wel gezegd dat deze ‘geestrijk’ kan zijn.
Het woordenboek zegt daarover: ‘vol van oorspronkelijke, rijke, vernuftige gedachten’ en nog een aantal kwaliteiten.

Op blz.170  vert. 164 zegt Steiner over de taal:

Ich habe Ihnen in diesen Vorträgen angedeutet, daß in der Sprache ein gewisser Genius lebt. Der Genius der Sprache ist, sagte ich, genial; er ist gescheiter als wir selbst. Wir können viel lernen von der Art, wie die Sprache gefügt ist, wie die Sprache ihren Geist enthält.

Ik heb u in deze voordrachten* aangeduid dat er in de taal een zeker geestelijk wezen leeft. De geest van de taal is geniaal, zoals ik zei, intelligenter dan wijzelf. We kunnen veel leren van de wijze waarop de taal in elkaar zit, de manier waarop de geest in de taal leeft.

Hier wordt door Steiner ook het woord ‘Genius’ gebruikt.
Wanneer je dat opzoekt, vind je omschrijvingen als: ‘Mensch mit höchster schöpferischer Geisteskraft’ – een mens met de grootste scheppende geestkracht.
Het komt ook voor als ‘beschermengel’, dus iets wat hoger staat dan de mens.

In GA 208 verwoordt hij dit zo:

Die Sprache hat eine Geistigkeit in sich, und ich habe Sie ja schon zu wiederholten Malen an den verschiedensten Beispielen darauf aufmerksam gemacht, wie die Sprache durchaus einen innerlichen Genius hat. Es lebt also für den heutigen Menschen wenig, aber in den anderen Zeitaltern, wo der Mensch noch für die Laute das richtige innere Erleben hatte, da lebte, mehr bewußt als für die Sinneswahrnehmung und das Denken, die Gedankenwelt, da lebte mehr in der Sprache dasjenige, was man schon fühlen kann als ein geistiges Weben und Leben.

De spraak heeft iets geestelijks in zich en ik heb er met heel veel voorbeelden op gewezen dat de spraak een innerlijke genius bezit. Voor de mens van nu betekent het weinig, maar in andere tijden toen de mens nog een gezond innerlijk beleven had voor klanken, leefde bewuster dan voor de zintuigwaarneming en het denken, de wereld van de gedachten, toen leefde in de spraak wat je kan ervaren als een geestelijk verborgen levende werkzaamheid.

Aber das, was in der Sprache eigentlich lebt, das wird doch von dem gewöhnlichen Bewußtsein außerordentlich wenig erfaßt. Es nimmt der Mensch von dem, was im Laute lebt, heute in dem intellektualistischen Zeitalter kaum mehr wahr als etwas Zeichenartiges, als etwas, was ihm etwas anderes bezeichnet. Das innere Leben des Lautes ist ja etwas, was für die gegenwärtige Menschheit sehr hinter das Bewußtsein zurückgetreten ist. Man kann für den heutigen Menschen nur noch hinweisen darauf, wie er sich besinnen kann, wie im Laute, im Tönen der Laute etwas liegt, was man als ein eigenes Lebenselement erfassen kann.

Maar van wat er eigenlijk aan leven in de taal zit, wordt door ons alledaagse bewustzijn maar bar weinig begrepen. De mens neemt van wat er in een klank leeft, in de huidige intellectualistische tijd, nauwelijks iets meer waar dan iets van een symboolteken, als iets wat iets anders betekent. Voor het bewustzijn van de mens van nu, is wat er aan diepere betekenis in de klank leeft, verbleekt. Je kan de mens van nu alleen nog maar wijzen op het feit dat hij er diep over na kan denken hoe in de klanken, hoe ze klinken iets aanwezig is van wat je als een eigen levend element kan opvatten.

In het Duits is ‘Sprache’ enerzijds het spreken, de spraak, anderzijds de neerslag daarvan in wat wij dan ‘taal’ noemen.
Met spreken hangt bv. ook samen ‘spreuk, sprookje, gesprek, kortom alles waarbij gesproken wordt. Zie etymologie.
De uitdrukkingswijzen, de neerslag van het spreken is dan ‘taal’ worden. Het spreken daarvan is nog bewaard gebleven in vertelling, bv. Zie etymologie.

Hoewel de etymologie ons een eind terugbrengt in het ontstaan van woorden, is dit niet wat hier eigenlijk bedoeld wordt met de scheppende taalgeest. De werkzaamheid daarvan gaat vooraf aan wat er dan aan woorden ontstaat, in woorden hoorbaar, zichtbaar tot uitdrukking wordt gebracht. 

Vooral van kleine kinderen die de dingen gaan benoemen, krijg je soms prachtige woorden waar je dikwijls iets ‘oorspronkelijkers’ in hoort dan de gangbare woorden. Alsof deze kinderen geïnspireerd worden door iets wat veel hoger staat dan het intellect.

In ‘De opvoeding van het kind’ haalt Steiner Jean Paul Richter aan die over zijn eigen opvoeding schrift. Deze, meestal Jean Paul genoemd, zegt: ‘Zoals men aan kinderen door middel van de taal wat leert, kan men ook van kinderen taal leren: gewaagde en toch juiste woordvormingen heb ik bijvoorbeeld van drie- en vierjarige kinderen gehoord: de biertonner, snaarder, flesser (de maker van biertonnen, snaren en flessen) – de luchtmuis (stellig beter dan ons woord vleermuis) – de muziek vioolt, – de kaars uit-scharen (snuiten met een schaar), – dorsvlegelen (dorsen), – ik ben de doorkijkman (achter een verrekijker staande), – ik zou wel pepernoteneter willen worden, – op het laatst word ik nog te knapper, – hij heeft mij van mijn stoel afgegrapt, – kijk eens, hoe één het al is (op de klok) – enzovoort’.

Ook in klanknabootsingen, de onomatopeeën, vinden we een levende vertaling van wat in de geluiden leeft. Onze dochter [3jr] had ooit een blik vol knopen en terwijl ze die driftig schudde, riep ze stralend: ‘Hij zegt: kukkérrukukkét, kukkérrukukkét, kukkérrukukkét (u=stomme e). Heel krachtig sprak ze de k’s uit en je hoorde daarin a.h.w. de knopen tegen het metaal tikken.
Ook het woord ‘tikken’ is een klanknabootsing en ‘klik’geluid vinden we in ‘klikken’; het krachtig stoten, slaan in ‘knokken’, met de ‘knokkels’. De lijst met dergelijke woorden is verbluffend groot. → Wikipedia

GA 208 verder:

Nehmen wir zum Beispiel ein Wort; wo Sie zwei E darinnen haben: gehen. 

Neem nu eens een woord waarin we 2x een E hebben: 

Bij de vertaling van dit stukje – zie verder – krijg je te maken met het taalverschil tussen – hier het Duits en het Nederlands. Als Steiner ons woord ‘gaan’ ‘gehen’ gebruikt, kan hij over 2x een E spreken; wij over 2 A’s, hoewel in het verleden ons woord ‘gaan’ ook een E had, ‘gaen’. (In mijn dialect sprak ik dit woord uit met een a die richting e ging).
*’In deze voordrachten’: bedoeld is o.a. GA 294, neemt Steiner een voorbeeld van een Germaans woord en datzelfde woord in het Romaans, waarbij duidelijk wordt dat ook de volksverschillen een grote rol spelen bij hoe een woord tot stand komt, m.a.w. hoe daar de spraakgenius verschillend werkt.
Dat maakt het vertalen moeilijker en dat is wellicht een reden dat de ‘Geesteswetenschappelijke spraak/taalbeschouwingen’ GA 299 nog niet vertaald is. De voordrachten werden gehouden voor de leerkrachten van de 1e vrijeschool in Stuttgart!

Diese zwei E in «gehen», in denen kann man, wenn man dafür ein Gefühl hat, gut das ruhige Hinwandeln, das einen nicht aufregt, das ruhige Gehen fühlen. Es ist durchaus in den zwei E dieses ruhige Hinwandeln vorhanden. Wenn Sie an der Stelle des E zum Beispiel ein A haben wie in «laufen», so fühlen Sie in dem Laute A das, was Sie erleben beim nicht gemächlichen Gehen, sondern bei demjenigen, das an Ihr Atmen größere Anforderungen stellt. Sie können fühlen, was Sie im schnelleren Atmen erleben, dadurch, daß Sie das in dem Au zum Ausdrucke bringen. Sie könnten nicht besser erleben das gemächliche Gehen als durch die beiden nun auch gemächlich zu erlebenden E-Laute, und das Laufen in dem Au, das da drinnen ist.

Gehen: in de 2 E’s kun je, wanneer je daar gevoel voor hebt, heel goed het rustige wandelen voelen, waar je niet moe van wordt. In deze twee E’s zit ten enenmale het rustig verder wandelen. Maar wanneer je nu op de plaats van de E, een A zou hebben zoals in ‘laufen’, bij ons dus ‘lopen’, dan beleef je in de klank A wat je voelt als je niet rustig loopt, maar wat meer van je ademhaling vraagt. Wat je bij een snellere ademhaling beleeft, breng je tot uitdrukking in de AU (Duits!) Het op je gemak lopen, kan je niet beter beleven dan door de twee als rustig te beleven E’s en het lopen door de AU die daarin zit.
GA 208/38
Niet vertaald

Hier is sprake van ‘beleven’ en dat is iets van de ziel, het gevoel.

GA 294/25     vert. 36

Es ist die Sprache in dieser Weise in dem menschlichen Gefühl begründet. Sie stehen zur ganzen Welt in Gefühlsbeziehung und geben der ganzen Welt solche Laute, welche die Gefühlsbeziehung in irgend­einer Weise zum Ausdruck bringen.

U hebt een gevoelsrelatie tot de hele wereld en u geeft alles in de wereld een naam met klanken die die gevoelsrelatie op een of andere manier tot uitdrukking brengen.

Als er sprake is van onomatopeeën, klanknabootsingen, is het niet zo dat geluiden alleen maar worden nagebootst: ze worden beleefd! (Zoals ik aan ons dochtertje – zie boven – beleefde. Iets in je klinkt mee. Er is een verbinding tussen jou en ‘daar buiten’.
Zo was ik eens met mijn bijna 3-jarig neefje in Middelburg toen het carillon begon te spelen. In een bijna heilige aandacht keek hij omhoog naar de toren. Toen het liedje uit was, stond hij daar nog steeds zo te kijken en zei: ‘Toren, meer’.

In de tijd van Steiner bestonden er een paar theorieën die hij in deze voordracht in GA 294 bespreekt:

Diese Dinge hat man eben gewöhnlich sehr äußerlich genommen.

Nu heeft men deze dingen gewoonlijk heel oppervlakkig bekeken.

Man glaubte, man ahmt in der Sprache nach, wie das Tier bellt oder brummt. Danach hat man eine Theorie ausgebildet, die berühmte lin­guistische «Wauwau-Theorie», nach der alles nachgeahmt wird. Diese Theorien haben das Gefährliche, daß sie Viertelswahrheiten sind. In­dem ich den Hund nachahme und Wauwau sage – darin liegt die Nuance, die im «au» zum Ausdruck kommt -, versetze ich mich damit in seinen Seelenzustand. Nicht im Sinne dieser Theorie, sondern auf dem Umwege durch die Versetzung in den Seelenzustand des Hundes wird der Laut gebildet. – Eine andere Theorie ist die, welche glaubt, daß jeder Gegenstand in der Welt einen Ton in sich hat, so wie zum Beispiel die Glocke ihren Ton in sich hat. Auf Grund dieser Auffassung hat sich dann die sogenannte «Bimbam-Theorie» herausgebildet. Diese beiden Theorien, die Wauwau-Theorie und die Bimbam-Theorie gibt es. Den Menschen verstehen kann man aber nur, wenn man sich darauf einläßt, daß die Sprache der Ausdruck für die Gefühlswelt, für die Ge­fühlsbeziehungen ist, die wir zu den Dingen entwickeln.

Men dacht dat wij in de taal nabootsen hoe een dier blaft of bromt. Aan de hand daarvan heeft men een theorie ontwikkeld, de beroemde linguïstische ‘waf-waf-theorie’, volgens welke alles nagebootst wordt. Het gevaar van deze theorieën is dat ze voor een kwart waar zijn. Als ik een hond nadoe en waf-waf zeg – daarbij gaat het om de nuance die in de klinker tot uitdrukking komt* – dan verplaats ik mij in zijn zielstoestand. Niet in de zin van deze theorie maar via een omweg, door me te verplaatsen in de zielstoestand van de hond, wordt de klank gevormd. Een andere theorie is dat ieder object in de wereld een toon in zich draagt, zoals bijvoorbeeld een klok een toon heeft. Op basis van deze opvatting is dan de ‘bimbam-theorie’ gevormd.* Deze twee theorieën, de waf-waftheorie en de bimbam-theorie, bestaan echt. Maar we kunnen de mens pas begrijpen wanneer we de overtuiging zijn toegedaan, dat de taal uitdrukking geeft aan de gevoelswereld, aan de gevoelsrelaties die wij tot de dingen hebben.
GA 294/25-26 
Vertaald/36-37

Meer van Steiner over deze theorieën:
GA 301 voordracht 5/79
GA 306 voordracht 4/86
Rudolf Steiner over schrijven en lezen [7]

In 2004 vinden we in dagblad Trouw een vorm van Steiners opmerking uit 1919:
– Het gevaar van deze theorieën is dat ze voor een kwart waar zijn -:

‘Nog afgezien hiervan dat overtuigend bewijs ontbreekt, kleeft aan deze theorieën het bezwaar dat elk maar een deel van ons taalgebruik poogt te verklaren.’
Trouw

Als spreken een directe relatie heeft tot gevoel, kan het niet anders dan dat we in het spreken te maken krijgen met wat gevoel eigenlijk is: de voortdurende pendel tussen sympathie en antipathie. → [11-3-1] Nog niet oproepbaar

Een studie over de taalontwikkeling van het kind bevat prachtige uitspraken van kinderen.

.

*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner

[1] GA 293
Algemene menskunde als basis voor de pedagogie
[2] 
GA 294
Opvoedkunst. Methodisch-didactische aanwijzingen
[
3] GA 295
Praktijk van het lesgeven

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskunde: alle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2480

.

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner – Algemene menskunde – voordracht 11 (11-2-1)

.
BEWEGEN EN HERSENEN

In [11-2] beschrijft Steiner a.h.w. ‘een stroom’ die vanuit of door de ledematen heen op de borstsfeer en de hoofdsfeer werkt – ‘naar boven gaat’. 
En die de ‘hoofd-geest’ wekt, wakker maakt.

In de 1e voordracht heeft hij dat zo gezegd:

Blz. 23/24   ver. 23

Betrachten Sie das Kind, das hereingewachsen ist in die Welt, mit der genügenden Unbefangenheit, so werden Sie richtig wahrnehmen: Hier in dem Kind ist noch unverbunden Seelengeist oder Geistseele mit Leibeskörper oder Körperleib. Die Aufgabe der Erziehung, im geistigen Sinn erfaßt, bedeutet das In-Einklang-Versetzen des Seelengeistes mit dem Körperleib oder dem Leibeskörper. Die müssen miteinander in Harmonie kommen, müssen aufeinander gestimmt werden, denn die passen gewissermaßen, indem das Kind hereingeboren wird in die physische Welt, noch nicht zusammen. Die Aufgabe des Erziehers und auch des Unterrichters ist das Zusammenstimmen dieser zwei Glieder.

Kijkt u onbevangen genoeg naar een kind dat op de wereld is gekomen, dan zult u duidelijk waarnemen dat in het kind de zielengeest of geestziel en het organisch lichaam of lichamelijk organisme nog niet met elkaar verbonden zijn. De taak van de opvoeding in geestelijke zin is nu om de zielengeest en het lichamelijk organisme of organisch lichaam met elkaar in overeenstemming te brengen. Die moeten met elkaar in harmonie komen, moeten op elkaar afgestemd worden, want die passen in zekere zin nog niet bij elkaar wanneer het kind geboren wordt. De taak van de opvoeder en ook van de leraar is om deze twee delen op elkaar af te stemmen.

In de 11e voordracht:

Blz. 170   vert. 165

Das ist überhaupt das Geheimnis des Menschen: sein Kopfgeist ist, wenn er geboren wird, sehr, sehr ausgebildet schon, aber er schläft. Seine Kopfseele ist, wenn er geboren wird, sehr ausgebildet, aber sie träumt nur. Sie müssen erst nach und nach erwachen. Als Gliedmaßenmensch ist der Mensch, indem er geboren wird, zwar ganz wach, aber noch unausgebildet, unentwickelt.

Dat is ook het raadsel van de mens. De geest is bij de geboorte in het hoofd al zeer ver ontwikkeld, maar slaapt. De ziel is in het hoofd zeer ver ontwikkeld, maar droomt. Zij moeten geleidelijk aan wakker worden. Als ledematenmens is de mens bij de geboorte weliswaar volledig wakker, maar nog niet gevormd, nog onontwikkeld.

Eigentlich brauchen wir nur den Giiedmaßenmenschen auszubilden und einen Teil des Brustmenschen. Denn der Gliedmaßenmensch und der Brustmensch, die haben dann die Aufgabe, den Kopfmenschen aufzuwecken, so daß Sie also hier eigentlich erst die wirkliche Charakteristik des Erziehens und Unterrichtens bekommen.

Eigenlijk hoeven we alleen de ledematenmens en een deel van de borstmens te ontwikkelen. Want de ledematenmens en de borstmens hebben dan de taak om de hoofdmens wakker te maken. Hierin ligt de werkelijke essentie van opvoeding en onderwijs.

In de 10e voordracht wordt opgemerkt dat de ledematen het meest geestelijk zijn, ook ziel en lichaam. In de 13e voordracht wordt het geest-zielenaspect gekarakteriseerd als een stroom:

Blz. 184  vert. 186

Das Geistig-Seelische ist eine Strömung, geht als Strömung durch den Menschen durch.

Want geest en ziel zijn een stroom. Het geestelijke, verbonden met de ziel, gaat eigenlijk als een stroom door de mens.
GA 293/184

Op het bord tekent Steiner:

Hier zie je m.i. schematisch hoe de ledematenactiviteit een weerslag heeft op de hersenen. 
In GA 301 omschrijft Steiner het uitgebreider en tevens concreter aan de hand van het vak handwerken, waarbij hij – het is 1920! – al afrekent met het feit dat breien alleen iets voor meisjes zou zijn:

Wenn man, ganz abgesehen von dem, daß zuletzt das Schreiben daraus werden soll, das Kind diesen künstlerisch geleiteten Zeichenunterricht genießen läßt, so merkt man, wie dadurch, daß ja das Kind genötigt ist, seine Finger, seinen ganzen Arm in einer gewissen Weise zu bewegen, nicht etwa bloß vom Denken
auszugehen, sondern von der Geschicklichkeit auszugehen, daß dadurch das Ich dazukommt, den Intellekt als etwas, was wie eine Konsequenz erscheint des ganzen Menschen, in sich entwickeln zu lassen. Je weniger man den Intellekt dressiert, je mehr man darauf ausgeht, den ganzen Menschen zu behandeln so, daß aus den Gliederbewegungen, aus der Geschicklichkeit der Intellekt wird – und er wird -, desto besser ist es. Man wird wahrscheinlich zunächst etwas paradox berührt sein, wenn man bei uns in der Waldorfschule in Stuttgart in den Handfertigkeitsunterricht kommt und da sieht, wie Knaben und Mädchen durcheinandersitzend stricken und häkeln und alle, nicht nur »weibliche« Handarbeiten machen, denn da sind es auch »männliche« Handarbeiten. Und
warum dieses? Der Erfolg zeigt sich ja daran, daß die Knaben, wenn sie nicht künstlich davon abgehalten werden, ganz dieselbe Freude haben an diesen Arbeiten wie die Mädchen. Aber warum dieses? Wenn man weiß, daß unser Intellekt nicht dadurch gebildet wird, daß wir direkt losgehen auf die intellektuelle Bildung, wenn man weiß, daß jemand, der ungeschickt die Finger bewegt, einen ungeschickten Intellekt hat, wenig biegsame Ideen und Gedanken hat, während derjenige, der seine Finger ordentlich zu bewegen weiß, auch biegsame Gedanken und Ideen hat, hineingehen kann in die Wesenheit der Dinge, dann wird man nicht unterschätzen, was es heißt, den äußeren Menschen mit dem Ziel zu entwickeln, daß aus der ganzen Handhabung des äußeren Menschen der Intellekt als ein Stück hervorgeht.

Wanneer je, geheel afgezien van het feit dat ten slotte daaruit het schrijven moet worden ontwikkeld, het kind laat genieten van dit kunstzinnig geleide tekenonderwijs, dan merk je hoe het kind niet anders kan dan zijn vingers, zijn hele arm op een bepaalde manier te bewegen, niet alleen maar van het denken uit te gaan, maar van de vaardigheid uit te gaan en dat daardoor het Ik erbij komt om het intellect als iets wat als een logisch vervolg van de hele mens verschijnt, in zich te laten ontwikkelen. Hoe minder je het intellect dresseert, hoe meer je je toelegt om met de hele mens zo om te gaan dat vanuit de bewegingen van de ledematen, uit de handigheid het intellect ontstaat – en dat doet het – des te beter is het. Het zal waarschijnlijk eerst paradoxaal op u overkomen, dat wanneer men bij ons op de vrijeschool in Stuttgart in de handwerkles komt en ziet hoe daar jongens en meisjes door elkaar zitten en breien en haken en allemaal, niet alleen maar ‘vrouwelijk’ handwerk maken, want daar is dat ook ‘mannelijk’ handwerken. En waarom dat zo? Het gevolg zie je dat de jongens, wanneer ze er niet expres vanaf gehouden worden, net zoveel plezier beleven aan die activiteit als de meisjes. En waarom dat dan? Wanneer je weet dat ons intellect niet alleen maar gevormd wordt door direct met intellectuele vorming te beginnen, wanneer je weet dat iemand met onhandige vingers, niet zo’n goed intellect heeft, weinig beweeglijke ideeën en gedachten, terwijl degene die zijn vingers handig kan bewegen, in kan gaan op het wezenlijke van de dingen, dan zal je niet onderschatten wat het betekent de uiterlijke mens te ontwikkelen met het doel dat door met de uiterlijke mens dingen te doen, het intellect als gevolg zich ontplooit.
GA 301/80
Op deze blog vertaald/80

In 1921 formuleert hij zo:

Aber man muß wissen, wie eng ein ordentliches Denken nicht bloß mit dem Gehirn und dem Kopf des Menschen zusammenhängt, sondern mit dem ganzen Menschen. Es hängt von der Art und Weise, wie jemand denken gelernt hat, ab, welche Geschicklichkeit er in den Fingern hat. Denn der Mensch denkt ja in Wirklichkeit mit dem ganzen Leibe.

De manier waarop een mens heeft leren denken, hangt af van wat voor handigheid hij in zijn vingers heeft. Want de mens denk in werkelijkheid met zijn hele lijf. Alleen nu gelooft men dat hij met zijn zenuwsysteem denkt, in waarheid denkt hij met zijn hele organisme.
GA 297A/77
Op deze blog vertaald/77

Er zijn nog meer plaatsen waar Steiner over dit onderwerp spreekt. Die zullen worden weergegeven bij ‘Rudolf Steiner over handenarbeid en handwerken’ (nog niet oproepbaar)

In die jaren 1920 was er niet veel aandacht voor ‘bewegen en hersenen’. In de jaren 1940 werd er al wel over gepubliceerd en nu – 100 jaar later – is het, vooral door het werk van prof. dr. Erik Scherder – een bijna niet meer weg te denken item, o.a. op tv. 

Als ‘bewezen’ geldt nu dat bewegen van invloed is op je hersenen:

Als je ‘bewegen en hersenontwikkeling’ googelt vind je als eerste:

Wanneer je voldoende beweegt, raken je hersenen goed doorbloed en krijgen ze de voeding en zuurstof die ze nodig hebben. Ook zorgt het voor de aanmaak van nieuwe hersencellen én de verbindingen tussen de hersencellen worden sterker.  

Bovenstaand citaat is van de Hersenstichting, waar we ook lezen:

Beweging is goed voor je denkvermogen. Hiermee bedoelen we dingen als je geheugen, aandacht, begrijpen en leren. Je prefrontale cortex en hippocampus spelen een belangrijke rol bij je denkvermogen. Deze hersengebieden zijn extra gevoelig voor de positieve effecten van bewegen en zorgen zo voor een beter denkvermogen. 

EOS wetenschap:

Regelmatig b­ewegen het geheugen. Als je tenminste ook voldoende rust neemt en goed slaapt. Als je beweegt, komen er neurotransmitters en hormonen in de hersenen vrij, waaronder het ‘gelukshormoon’ dopamine. Dopamine zorgt dat er eiwitten vrijkomen die nodig zijn om herinneringen te ‘bewaren’. Om een herinnering op te slaan in het langetermijngeheugen zijn er meer synapsen nodig. Dat zijn contactpunten tussen hersencellen, waardoor cellen boodschappen aan elkaar kunnen doorgeven. Dopamine stimuleert de aanmaak van synapsen. Bron

Er is op dit gebied al heel veel te melden.
Betrekkelijk weinig aandacht wordt er besteed aan het bewegen zoals op dat veelal op de vrijeschool gebeurt: bv. het lopen met verschillend geaccentueerde ritmen om de tafels te leren; het lopen met accentuering van de alliteratie, of op hexameters. Of wat doen de gecompliceerde bewegingen in de euritmieles waarbij je met je benen de maat van een muziekstuk loopt, met je armen het verloop van de tonen meebeweegt en daarbij nog met de armen de toonhoogten aangeeft en dat alles met de anderen in bv. een vierhoeksverschuiving.

Regelmatig zullen hier gezichtspunten worden toegevoegd.

.

Algemene menskunde: voordracht 11 – alle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Rudolf Seineralle artikelen op deze blog

Menskunde en pedagogiealle artikelen

.

2479

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over rekenen – GA 294

.

Om iets duidelijk(er) te maken, zet Steiner graag het een tegenover het ander. In de 1e voordracht van GA 294 neemt hij het schrijven en lezen als een tegenstelling tot wat rekenen is:
.

GA 294

Voordracht 1, Stuttgart 21 augustus 1919

Blz. 8  vert. 19:

Betrachten Sie nur äußerlich, wenn Sie heute dem Kinde Lesen und Schreiben beibringen, wie dieses Lesen und Schreiben eigentlich in der allgemeinen Kultur drinnensteht. Wir lesen, aber die Kunst des Lesens hat sich ja im Laufe der Kulturentwickelung herausgebildet. Die Buch­stabenformen, die entstanden sind, die Verbindung der Buchstaben-formen untereinander, das alles ist eine auf Konvention beruhende Sache. Indem wir dem Kinde das Lesen in der heutigen Form bei­bringen, bringen wir ihm etwas bei, was, sobald wir absehen von dem Aufenthalt des Menschen innerhalb einer ganz bestimmten Kultur, für die Menschenwesenheit doch gar keine Bedeutung hat.

Gaat u maar eens heel feitelijk na, als u een kind tegenwoordig leert lezen en schrijven, welke plaats dat lezen en schrijven eigenlijk inneemt in de cultuur in het algemeen. Wij lezen, maar de kunst van het lezen is zoals u weet pas geleidelijk in de ontwikkeling van de cultuur ontstaan. De vormen van de letters die zijn ontstaan, de verbinding van de lettervormen onderling, dat alles berust op conventie. Wanneer we een kind het lezen in de huidige vorm bijbrengen, leren we het iets wat – als we afzien van het feit dat een mens nu eenmaal binnen een heel bepaalde cultuur leeft – voor het wezen van de mens toch geen enkele betekenis heeft.

Etwas ganz anderes ist es, wenn Sie dem Kinde Rechnen beibringen. Sie werden fühlen, daß da die Hauptsache nicht liegt in den Ziffer-formen, sondern in dem, was in den Zifferformen von Wirklichkeit lebt. Und dieses Leben hat schon mehr Bedeutung für die geistige Welt, als was im Lesen und Schreiben lebt.

Iets heel anders is het als u het kind leert rekenen. U zult voelen dat de hoofdzaak van het rekenen niet ligt in de vormen van de cijfers, maar in de realiteit die in deze vormen leeft. En deze realiteit heeft al meer betekenis voor de geestelijke wereld dan die van het lezen en schrijven.

Blz. 9  vert. 20

Wir unterrichten im Gebiete des Allerphy­sischesten, indem wir den Kindern Lesen und Schreiben beibringen; wir unterrichten schon weniger physisch, wenn wir Rechnen unter­richten, und wir unterrichten eigentlich den Seelengeist oder die Geist-seele, indem wir Musikalisches, Zeichnerisches und dergleichen dem Kinde beibringen.

We bewegen ons op het gebied van het meest fysieke wanneer we kinderen leren lezen en schrijven; we bewegen ons al op een minder fysiek gebied bij het rekenen; en wanneer we een kind iets bijbrengen op het gebied van bijvoorbeeld muziek of tekenen, dan onderwijzen we eigenlijk de zielegeest of de geest-ziel.

Blz. 10  vert. 22

( ) wir müssen Seelisches lehren im Rechnen ( )

( ) we moeten zielekwaliteiten overbrengen met het rekenen ( )

Wanner Steiner overgaat naar het rekenen, neemt hij als voorbeeld stukjes papier, of bonen. In de praktijk betekent dat heel vaak dat deze stukjes papier wegwaaien, als er bv. een kind (snel) langs een tafeltje loopt; bij bonen loop je de kans dat die op de grond terechtkomen en dat geldt ook voor de vlierbesjes die Steiner in een ander voorbeeld gebruikt. Steentjes of kastanjes zijn in dit opzicht geschikter.

Blz. 13  vert 24

Dieses Von-dem-Ganzen-ins-Einzelne-Gehen setzen wir überhaupt durch den ganzen Unterricht fort. Wir machen es so, daß wir vielleicht zu einer andern Zeit ein Stück Papier in eine Anzahl von kleinen Papierschnitzeln zerspalten. Wir zählen dann diese Papierschnitzel; sagen wir, es sind 24. Wir sagen dann dem Kinde: Sieh einmal, diese Papierschnitzel bezeichne ich mit dem, was ich da aufgeschrieben habe und nenne es: 24 Papierschnitzel. – Es könnten natürlich auch Bohnen sein. – Jetzt wirst du dir das merken. Nun nehme ich eine Anzahl Papierschnitzel weg, die gebe ich auf ein Häufchen, dort mache ich ein anderes Häufchen, dort ein drittes und hier ein viertes; jetzt habe ich aus den 24 Papierschnitzeln vier Häufchen gemacht. Nun sieh: jetzt zähle ich, das kannst du noch nicht, ich kann es, und das, was da auf dem einen Häufchen liegt, nenne ich 9, was auf dem zweiten liegt, nenne ich 5 Papierschnitzel, was auf dem dritten liegt, nenne ich 7 Papierschnitzel, und was auf dem vierten Häufchen liegt, nenne ich 3 Papierschnitzel. Siehst du, früher hatte ich einen einzigen Haufen: 24 Papierschnitzel; jetzt habe ich vier Häufchen: 9, 5, 7, 3 Papier­schnitzel. Das ist ganz dasselbe Papier. Das eine Mal, wenn ich es zu­sammen habe, nenne ich es 24; jetzt habe ich es in vier Häufchen ab-geteilt und nenne es das eine Mal 9, dann 5, dann 7 und dann 3 Papier­schnitzel. – Jetzt sage ich: 24 Papierschnitzel sind zusammen 9 und 5 und 7 und 3. – Jetzt habe ich dem Kinde das Addieren gelehrt. Das heißt, ich bin nicht ausgegangen von den einzelnen Addenden und habe dann die Summe herausgebildet; das ist niemals der ursprünglichen

Deze weg van het geheel naar de delen zetten we in feite door het hele onderwijs voort. We doen dat zo, dat we een andere keer bijvoorbeeld een stuk papier opdelen in een aantal kleine stukjes. We tellen de stukjes. Het zijn er bijvoorbeeld 24. Dan zeggen we: ‘Kijk, deze stukjes papier zijn er zoveel als ik daar heb opgeschreven: 24 stukjes papier.’ Het kunnen natuurlijk ook bonen zijn. ‘Let nu goed op. Nu neem ik wat stukjes weg, die leg ik op een hoopje, en daar maak ik een ander hoopje, en daar nog een derde en een vierde. Nu heb ik van die 24 stukjes papier vier hoopjes gemaakt. En nu ga ik tellen. Jij kunt het nog niet, ik wel, en wat er op het ene hoopje ligt noem ik 9, wat op het tweede ligt 5 stukjes papier, op het derde 7 stukjes en op het vierde 3. Kijk, eerst had ik één grote hoop: 24 stukjes papier. Nu heb ik vier hoopjes: 9, 5, 7 en 3 stukjes papier. Maar dat is precies evenveel papier. Eerst noem ik het 24, als alles bij elkaar is. Nu heb ik vier hoopjes, het ene van 9, het tweede van 5, het derde van 7 en het vierde van 3. Nu zeg ik: 24 stukjes papier zijn samen 9 en 5 en 7 en 3.’ Daarmee heb ik het kind leren optellen.
Dat wil zeggen, ik ben niet uitgegaan van de afzonderlijke delen en heb dan de som gevonden. Dat is ook strijdig met de oorspronkelijke

Blz. 13  vert. 24-25

Menschennatur entsprechend – ich verweise dabei auf meine «Erkennt­nistheorie der Goetheschen Weltanschauung» -, sondern das Umgekehrte entspricht der Menschennatur: die Summe ist zuerst ins Auge zu fassen, und die ist dann zu spalten in die einzelnen Addenden. So daß wir das Addieren dem Kinde umgekehrt beibringen müssen, als es gewöhnlich gemacht wird: von der Summe ausgehend, zu den Addenden über-gehend. Dann wird das Kind den Begriff des «Zusammens» besser be­greifen, als wenn wir in der bisherigen Weise das einzelne zusammen-klauben. Dadurch werden wir unseren Unterricht von dem bisherigen unterscheiden müssen, daß wir gewissermaßen umgekehrt dem Kinde das beibringen müssen, was Summe ist im Gegensatz zu den Addenden. Dann können wir darauf rechnen, daß ein ganz anderes Verständnis uns entgegengebracht wird, als wenn wir umgekehrt vorgehen. Das Wichtigste daran werden Sie eigentlich erst durch die Praxis durch­schauen. Denn Sie werden ein ganz anderes Eingehen in die Sache, eine ganz andere Aufnahmefähigkeit des Kindes bemerken, wenn Sie den gekennzeichneten Weg einschlagen.
Den umgekehrten Weg können Sie dann im weiteren Rechnen durchführen. Sie können sagen: Jetzt werfe ich diese Papierschnitzel alle wieder zusammen; nun nehme ich eine Anzahl davon wieder weg, mache zwei Häufchen, und ich nenne das Häufchen, das mir da ab­gesondert geblieben ist, 3. Wodurch habe ich diese 3 erhalten?

menselijke natuur – ik verwijs daarbij naar mijn Erkenntnistheorie der Goetheschen Weltanschauung.* Eigen aan de menselijke natuur is juist het omgekeerde: eerst kijken we naar de som en dan delen we die op in afzonderlijke aantallen. We moeten het kind dus leren optellen op een manier die omgekeerd is aan de gebruikelijke: uitgaan van de som, dan de stap naar de afzonderlijke delen. Dan zal het kind het begrip ‘samen’ beter begrijpen dan wanneer we, zoals tot nu toe, de afzonderlijke delen aan elkaar plakken. We zullen in ons onderwijs dus daarin verschillen van het gangbare onderwijs, dat we een kind in zekere zin omgekeerd leren wat de som is in tegenstelling tot de samenstellende delen. Dan kunnen we erop rekenen dat we heel anders begrepen worden dan wanneer we het omgekeerde doen. Het belangrijkste daarbij zult u eigenlijk pas door de praktijk gaan inzien. Want u zult merken dat de kinderen heel anders op het onderwerp ingaan en het heel anders in zich opnemen, wanneer u de zojuist geschetste weg inslaat.
Op deze omgekeerde weg kunt u dan doorgaan bij de volgende  rekenoefeningen. U kunt bijvoorbeeld zeggen: ‘Nu leg ik alle stukjes papier weer bij elkaar. Nu pak ik er weer wat weg, ik maak dus twee hoopjes en ik noem het hoopje dat ik weggelegd heb 3. Hoe ben ik aan die 3 gekomen?

Vert. 26

Da­durch, daß ich sie von dem andern weggenommen habe. Wie es noch zusammen war, nannte ich es 24; jetzt habe ich 3 weggenommen und nenne nun das, was da zurückgeblieben ist, 21. – Auf diese Weise gehen Sie über zu dem Begriff des Subtrahierens. Das heißt, Sie gehen wieder nicht aus von Minuend und Subtrahend, sondern von dem Rest, der geblieben ist, und gehen von diesem über zu dem, woraus der Rest entstanden ist. Sie machen auch da den umgekehrten Weg. Und so können Sie es – wie wir in der speziellen Methodik noch sehen werden -über die ganze Kunst des Rechnens ausdehnen, daß sie immer aus dem Ganzen ins Einzelne gehen. In dieser Beziehung werden wir uns schon angewöhnen müssen, einen ganz andern Lehrgang einzuhalten, als wir gewohnt sind. Wir gehen da so vor, daß wir mit der Anschauung – die wir durchaus nicht vernachlässigen dürfen, die aber heute einseitig her-ausgehoben

Doordat ik ze van de andere heb weggehaald. Toen alles nog bij elkaar was noemde ik het 24. Nu heb ik er 3 weggehaald en noem ik wat over is 21.’ Zo komt u tot het aftrekken. Dat wil zeggen, u gaat weer niet uit van de termen, van aftrektal en aftrekker, maar van de rest die over is. Vanuit de rest komt u tot de andere delen. Ook hier bewandelt u de omgekeerde weg. En zo kunt u – zoals u in de specifieke methodische aanwijzingen nog zult zien* – in de hele rekenkunst van het geheel naar de delen gaan.
In dit opzicht zullen we ons moeten aanwennen het onderwijs heel anders op te bouwen dan we gewend zijn. We doen het zo dat we mét het inzicht – dat beslist niet verwaarloosd mag worden, maar dat tegenwoordig eenzijdig benadrukt

Blz. 15  vert. 26

wird – zugleich das Autoritätsgefühl pflegen. Denn wir sagen ja fortwährend: Das nenne ich 24, das nenne ich 9. – Indem ich in den anthroposophischen Vorträgen hervorhebe: zwischen dem 7. und dem 14. Jahre solle das Autoritätsgefühl gepflegt werden, soll man nicht denken an ein Abrichten zum Autoritätsgefühl’ sondern was nötig ist, kann schon hineinfließen in die Methodik des Unterrichtes. Das waltet da wie ein Unterton. Das Kind hört: Aha’ das nennt er 9, das nennnt er 24 und so weiter. – Es gehorcht von selbst. Durch dieses Hinhören auf den, der diese Methode handhabt, infiltriert sich das Kind mit dem, was dann als das Autoritätsgefühl herauskommen soll. Das ist das Geheimnis. Jedes künstliche Abrichten zum Autoritäts­gefühl soll durch das Methodische selbst ausgeschlossen werden.

wordt – tegelijk ook het autoriteitsgevoel aanspreken. Want we zeggen immers voortdurend: ‘Dat noem ik 24, dat noem ik 9.’ Wanneer ik in antroposofische voordrachten benadruk dat tussen het zevende en veertiende jaar het autoriteitsgevoel ontwikkeld moet worden,* dan moet niet gedacht worden aan een soort africhten. Nee, wat nodig is kan eenvoudigweg opgenomen worden in de methodiek van het onderwijs. Het is daar als een ondertoon aanwezig. Het kind hoort: aha, dat noemt hij 9, dat noemt hij 24, enzovoort. Het gaat daar vanzelf in mee. Door te luisteren naar degene die deze methode hanteert, doordringt het kind zich met alles wat vervolgens als autoriteitsgevoel tevoorschijn moet komen. Dat is het geheim. Iedere vorm van kunstmatig africhten moet door de methode zelf worden uitgesloten.
GA 294/
8-15
Vertaald/19-26

Voordracht 3, 23 Stuttgart augustus 1919

Vooraf aan deze woorden gaat een uitleg over hoe je aan een kind iets kan meegeven zonder dat het dat meteen begrijpt:

Dieses Aufmerksammachen des Kindes auf etwas, was es noch nicht versteht, was erst ausreifen muß, das ist außerordentlich wichtig. Und falsch ist nur der Grundsatz, der heute so stark in den Vordergrund gerückt wird: Man solle dem Kinde nur das beibringen, was es schon versteht – ein Grundsatz, der alle Erziehung unlebendig macht. Denn lebendig wird eine Erziehung erst, wenn man das Aufgenommene eine Zeitlang im Untergrunde getragen hat und es dann nach
einiger Zeit wieder heraufholt. Das ist für die Erziehung vom 7. bis 15. Jahre sehr wichtig; dann kann man sehr vieles in die Kinderseele hineinträufeln, was erst später verstanden werden kann. Daran bitte ich Sie, sich nicht zu stoßen, daß Sie über die Reife des Kindes hinausgehen und an etwas appellieren, was das Kind erst später verstehen kann.
Der entgegengesetzte Grundsatz hat ein Ertötendes in unsere Pädagogik hineingebracht. Aber das Kind muß eben wissen, daß es warten muß. Dieses Gefühl kann man auch in ihm hervorrufen, daß es warten muß mit dem Verständnisse dessen, was es schon jetzt aufnimmt. Daher war es gar nicht so schlimm in älteren Zeiten, daß da die Kinder einfach lernen mußten lx l = 1, 2×2 = 4, 3×3= 9 und so weiter, statt daß sie es, wie heute, an der Rechenmaschine lernen. Dieser Grundsatz, das Verständnis des Kindes zurückzuschrauben, müßte durchbrochen werden. Es kann natürlich nur wieder mit dem nötigen Takt geschehen, denn man darf sich nicht zu weit von dem entfernen, was das Kind lieben kann; aber es kann sich mit recht vielem durchdringen, rein auf die Autorität des Unterrichtenden hin, wofür sein Verständnis erst später kommt.

Het is heel belangrijk om de aandacht van kinderen op iets te vestigen wat ze nog niet begrijpen, wat nog moet rijpen. Tegenwoordig doet het verkeerde principe opgeld, dat je een kind alleen mag leren wat het al kan begrijpen – een principe dat alle opvoeding dood maakt. Levend wordt de opvoeding pas wanneer een kind iets wat het heeft opgenomen een tijdlang in een diepere laag van zijn ziel met zich meedraagt en het dan na enige tijd weer naar boven haalt. Dat is heel belangrijk voor de opvoeding van het zevende tot het vijftiende jaar. Dan kunnen we heel veel in de kinderziel zaaien wat pas later begrepen kan worden.
Daarom vraag ik u zich er niet aan te storen dat u verder gaat dan de rijpheid van een kind toelaat en aan iets appelleert wat het eind pas later kan begrijpen. Het omgekeerde principe heeft een doods element in onze pedagogie gebracht. Een kind moet juist zien dat het moet wachten. Dat gevoel kunnen we ook bij het kind oproepen: dat het moet wachten om te kunnen begrijpen wat het nu in zich opneemt. Daarom was het helemaal niet zo erg dat kinderen vroeger rijtjes uit hun hoofd moesten leren, 1×1 = 1, 2X2=4,3×3 = 9 enzovoort, in plaats van dat ze het zoals nu met de rekenmachine leren. Dat principe, waarbij het begripsvermogen van een kind beperkt wordt, moet doorbroken worden. Dat kan natuurlijk alleen maar met de nodige tact gebeuren, want we mogen ons niet te ver verwijderen van wat een kind kan liefhebben. Maar het kan heel veel in zich opnemen, puur op gezag van de leraar, waarvoor zijn begrip pas later komt.
GA 294/43-44
Vertaald/53-54

Voordracht 5, Stuttgart 26 augustus 1919

Blz. 72  vert. 80

Sie sehen, worauf es uns, die wir einen lebendigen Unterricht – im Gegensatz zu einem toten – erzielen wollen, ankommt: daß wir immer von dem Ganzen ausgehen. Wie wir im Rechnen von der Summe ausgehen, nicht von den Addenden, und die Summe zergliedern, so gehen wir auch hier von dem Ganzen ins Einzelne. Das hat den großen Vorteil für die Erziehung und den Unterricht, daß wir es erreichen, das Kind wirklich auch lebendig in die Welt hineinzustellen; denn die Welt ist ein Ganzes, und das Kind bleibt in fortwährender Verbindung mit dem lebendigen Ganzen, wenn wir so vorgehen, wie ich es angedeutet habe.

U ziet waar het voor ons op aankomt, als we levend en geen dood onderwijs willen: dat we steeds van het geheel uitgaan. Zoals we bij het rekenen uitgaan van de som en niet van de samenstellende delen, en we de som in stukken delen, zo gaan we ook hier van het geheel naar de delen. Dat heeft het grote voordeel voor de opvoeding en het onderwijs dat we het kind daardoor werkelijk in een levende relatie tot de wereld brengen. Want de wereld is een geheel, en het kind blijft voortdurend in verbinding met dat levende geheel wanneer we zo te werk gaan als ik heb aangegeven.
GA 294/72
Vertaald/80

Voordracht 8, Stuttgart 29 augustus 1919

Blz. 112  Vert. 118

Wenn Sie so etwas beobachten, deutlich merken, daß Ihnen das Kind vom 12. Jahre ab, wenn Sie es richtig machen, Verständnis entgegenbringt, so werden Sie sich sagen: Ich werde also bis zum 9. Jahre hauptsächlich mich auf das beschränken, was wir schon angedeutet haben als das Künstlerische, und daraus Schreiben und Lesen herausbringen und später dann auch zum Rechnen übergehen; zum Naturgeschichtlichen werde ich aber erst nach dem gestern charakterisierten Zeitpunkt übergehen, und zum Geschichtlichen, insofern es nicht bloß Geschichten sind, werde ich überhaupt erst übergehen nach dem Erreichen des 12.
Lebensjahres.

Wanneer u zoiets merkt, wanneer u duidelijk kunt zien dat u bij kinderen vanaf twaalf jaar – als u het goed doet – begrip ontmoet, dan zult u kunnen zeggen: ik zal me dus tot het negende jaar voornamelijk beperken tot het kunstzinnige, zoals we dat hebben aangeduid, daaruit het schrijven en lezen ontwikkelen en daarna ook tot rekenen overgaan. Maar biologie zal ik pas na het gisteren aangegeven tijdstip geven, en met geschiedenis – voor zover het geen verhalen zijn – zal ik zeker pas beginnen na het twaalfde jaar. Dan begint het kind zich innerlijk te interesseren voor de grote historische verbanden.
GA 294/113
Vertaald/118

Voordracht 10, Stuttgart 1 september 1919

Blz. 138  vert. 141

Dann sollte man etwas später mit dem Rechnen beginnen. Das kann man – weil ein ganz exakter Punkt in der Lebensentwicklung des Menschen nicht gegeben ist – nach andern Dingen einrichten, die man notwendig berücksichtigen muß. Man sollte also etwas später beginnen
mit dem Rechnen. Was dazu gehört, wollen wir dann später dem Plane einfügen und mit dem Rechnen so beginnen, wie ich es Ihnen gezeigt habe.

Iets later moeten we dan beginnen met rekenen. Een heel exact punt in de ontwikkeling is daarvoor niet aan te geven, en daarom kunnen we het rekenen inrichten naar andere gezichtspunten, die ook een rol spelen. We moeten dus iets later beginnen met rekenen. Wat daar allemaal bij komt kijken zullen we later in het leerplan opnemen. In ieder geval beginnen we met rekenen op de manier die ik u heb laten zien.
GA 294/138
Vertaald/141

Blz. 149  vert. 151

I. bis zum 9. Jahre
Musikalisches – Malerisch-ZeichnerischesSchreiben – Lesen
Fremde Sprachen. Etwas später Rechnen.

I Tot het negende jaar
Muziek – Schilderen en tekenen
Schrijven-Lezen
Vreemde talen. Iets later rekenen
GA 294/149
Vertaald/151

Voordracht 14, Stuttgart 5 september 1919

Blz. 191   vert. 191/192

Und dasjenige, was eigentlich Urteilskraft ist, wobei wir auf das verstandesmäßige, intellektuelle Verstehen des Menschen rechnen können, das gehört in die letzte Volksschulzeit. Deshalb benützen wir gerade das 12. Jahr, wo es nach dem urteilenden Verstehen hingeht, um dieses zusammenfließen zu lassen mit demjenigen, wozu noch ein gewisser Instinkt notwendig ist, der aber schon sehr stark überdeckt wird von der Urteilskraft. Da sind gewissermaßen die Abenddämmerungsinstinkte der Seele, die wir mit der Urteilskraft überwinden müssen. In dieser Zeit ist zu berücksichtigen, daß der Mensch einen Instinkt hat für Zinsbezug, für dasjenige, was einzuheimsen ist, was im Diskont liegt und so weiter. Das appelliert an die Instinkte; aber wir müssen das schon sehr stark mit Urteilskraft übertönen, daher müssen wir die Beziehungen, die zwischen dem Rechnerischen und zwischen der Warenzirkulation und den Vermögens Verhältnissen bestehen, also Prozentrechnung, Zinsrechnung und so weiter, Diskontrechnung und ähnliches schon in diese Zeit versetzen.

En het eigenlijke oordeelsvermogen, waarbij we kunnen rekenen op verstandelijk, intellectueel begrip van de mens, dat hoort thuis in de derde fase van het leerplan. Daarom gebruiken we met name het twaalfde jaar, wanneer het al in de richting van een oordelend begrijpen gaat, om dit oordelend begrijpen te laten samen vloeien met dingen waar nog een zeker instinct voor nodig is – dal dan echter al heel sterk overvleugeld wordt door het oordeelsvermogen. Dan schemeren zogezegd de laatste instincten van de ziel nog na, die we moeten overwinnen met het oordeelsvermogen.
In die tijd kunnen we ervan uitgaan dat de mens een instinct heeft voor rente, voor wat profijtelijk is, voor disconto en dat soort dingen. Dat appelleert aan de instincten. Maar we moeten dat al heel duidelijk door het oordeelsvermogen laten overstemmen. Daarom moeten we de relaties tussen het rekenkundige enerzijds en de warencirculatie en de vermogensverhoudingen anderzijds dus procentrekening, renterekening enzovoort, discontorekening en dat soort dingen – zeker in deze tijd behandelen.

Das ist von großer Wichtigkeit, daß wir diese Begriffe dem Kinde nicht zu spät beibringen. Ihm diese Begriffe zu spät beibringen heißt eigentlich, beim Beibringen nur auf seinen Egoismus rechnen. Wir rechnen noch nicht auf den Egoismus, wenn wir so zum 12. Jahr hin dem
Menschen etwas vom Begreifen des Wechsels und dergleichen, von den Begriffen der kaufmännischen Rechnung und so weiter beibringen. Das eigentliche Buchführen können wir dann später machen; da ist schon mehr Verstand drinnen. Aber diese Begriffe beizubringen, das
ist von großer Bedeutung für diese Zeit. Denn es regen sich noch nicht die inneren selbstischen Gefühle für Zinsen, Wechselausstellung und dergleichen, wenn das Kind noch so jung ist. In der Handelsschule wird das dann schon bedenklicher, wenn der Mensch älter ist.

Het is heel belangrijk dat we de leerlingen deze begrippen niet te laat bijbrengen. Doen we dat wel, dan appelleren we eigenlijk alleen aan het egoïsme. We appelleren nog niet aan dat egoïsme wanneer we kinderen zo tegen het twaalfde jaar enig begrip bij brengen van wissels en dergelijke, van het handelsrekenen en der gelijke. Het eigenlijke boekhouden kunnen we dan later doen; dat is al verstandelijker. Maar die begrippen aan te leren is van groot belang in deze periode. Want de innerlijke egoïstische gevoelens ten aanzien van rente, het trekken van een wissel en dergelijke roeren zich nog niet wanneer kinderen nog zo jong zijn. In de handelsschool, wanneer ze ouder zijn. wordt dat dan al bedenkelijker.
GA 294/191
Vertaald/191-192

.

Rudolf Steiner over rekenen: alle artikelen

Rudolf Steineralle artikelen

Rekenenalle artikelen

.

2478

.