Maandelijks archief: september 2016

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/1)

.

Hier volgt een impressie van een periode meetkunde in de 6e klas.

De eerste week

Wie ‘meetkunde’ zegt, bedoelt meestal o.a.het tekenen van cirkels, driehoeken en andere meetkundige figuren; het leren van de eigenschappen daarvan om met deze eigenschappen te kunnen bewijzen.

Tekenen van vormen die in de meetkunde terug te vinden zijn, doen de kinderen al zo gauw ze in de 1e klas zitten, wanneer ze op hun eerste schooldag al bewuster kennis maken met de ‘rechte’ en de ‘ronde’.
Die worden dan in allerlei vormcombinaties geoefend en worden ook toegepast bij het schrijven in hoofdletters*.

Maar ook de kleuter gebruikt, soms letterlijk met verve, de rechte en de ronde wanneer hij z’n ‘oer’zon tekent: de cirkel en de stralen(!).

In de pedagogische voordrachten is er ook sprake van meetkunde tussen het 9e en het 11e, 12e jaar. Zie: Meetkunde(1)

Maar in de 6e klas gaat het nog om meer. Vanaf de geboorte al, natuurlijk, maakt het denken een ontwikkeling door. Voor de kleuter en de 1e-klasser bijv. is dit nog een (zeer) beeldend denken. De ‘onmogelijkheden’ in de sprookjes zijn met zijn manier van denken mogelijk. Dat verandert bij het ouder worden: de sprookjes worden ‘kinderachtig’, terwijl er een groot verlangen blijft de soms eveneens ‘fantastisch’ klinkende verhalen uit de mythologieën te horen.

Hand in hand met de ontwikkeling van het denken gaat o.a. ook het krijgen, hebben of houden van een eigen mening. De kinderen ‘vinden’ ergens iets van. Waarom? ‘Nou, gewoon, daarom!’ Echt verwoorden is nog heel moeilijk. Ze vinden het ‘leuk’ of  ‘stom’.
Je zou dit gerust een ‘subjectief standpunt’ mogen noemen.
En subjectieve standpunten houdt de mens zijn hele leven! Vandaar de vele meningsverschillen.
Maar er komt ook een ogenblik in het leven dat er naast dit subjectieve voelen en denken nog een ander vermogen ontstaat: je te verplaatsen in het standpunt van de ander, of het andere. Je eigen mening los te laten; tot andere inzichten te komen. Denken, dat losser komt te staan van je eigen beleving; dat in dat opzicht minder beleefbaar, minder concreet wordt, dus abstracter.

En dat vermogen krijgt de mens met de puberteit. Maar dan worden ook de gevoelens veel heftiger: ‘storm en drang’!

En dus is het goed om aan de vooravond van nog meer subjectiviteit ook de ontwikkeling van het van nature gegeven vermogen om te objectiveren ter hand te nemen.

Vanaf dit 11e,12e jaar laat Steiner al die vakken beginnen waarin deze objectiviteit gevraagd wordt; waar oorzaak en gevolg heersen, dat de kinderen door hun groeiende vermogen tot inzicht, nu ook gaan ‘snappen’.

Wij allemaal hebben over van alles en nog wat een mening; we doen dingen op een bepaalde manier. Waarom? Vaak weten we dat niet eens (meer).

Wie (’s avonds?) zichzelf nog eens in een soort ‘terugblik’ bekijkt en op de plaats van een kind  in zijn klas gaat zitten en vandaar naar de meester of juf die jij bent, kijkt, zal veel aan zichzelf leren opmerken. Veel heen en weer lopen voor de klas (waarom eigenlijk); half op je bureau gaan zitten (daar is een bureau niet voor) (waarom eigenlijk) zal zich veel meer bewust worden van hoe hij of zij voor de klas staat (of zit) – in veel meer dan letterlijke zin -.
Om tot de conclusie te kunnen komen dat je niet eens echt weet waarom je dingen wel of niet doet. Of dat je bij nader zoeken tot de conclusie komt, zoals ik, dat ik een aantal dingen deed, omdat ik die ooit van mijn meester zag, toen ik als kind bij hem in de klas zat!

Daarmee neem je een bepaalde plaats in. Je hebt een standpunt. Je staat ergens (voor). En meestal blijft het daarbij. De verharding van standpunten duidt daarop. Er wordt zelfs gesproken over ‘ingraven’.

Hoe vaak gebeurt het niet dat een ander ons voorhoudt hoe we, wat we deden, ‘beter zo kunnen doen’. Waarom? Omdat die ander dat vindt! De manier waarop jij het doet is minstens net zo goed, maar anders. En om zover te komen dat je dat andere als net zo waardevol kunt zien als jouw opvatting, kost heel veel moeite; meestal komt het er niet van – in dat ver-plaatsen – in de ander: dus een ander standpunt in te nemen.

Rudolf Steiner:
‘Wanneer een boom van verschillende kanten wordt gefotografeerd, is het nog steeds dezelfde boom, maar de foto’s zien er heel verschillend uit; zo kan ook ieder mens zijn eigen mening hebben -afhankelijk van het standpunt waarop hij zich plaatst.’ [1]

Toen ik een meetkundeperiode in de 6e klas moest geven, vond ik in bovenstaand citaat een inspiratie tot een bepaalde manier om de eerste les mee te beginnen.

De eerste dag van de periode
Ik vroeg twee kinderen, los van elkaar, naar buiten te gaan, de een naar de voorkant van de school, de ander naar de achterkant en gaf ze de opdracht mee zoveel mogelijk details te kunnen geven. Als ze weer terug waren in de klas, mochten ze wèl de details noemen, maar niet het woord ‘voor- of achterkant’ ‘van de school’ enz. gebruiken, niets wat direct naar het schoolgebwouw verwees. Eenmaal terug in de klas vertelde de een, toen de ander, wat ze hadden waargenomen. Prachtig stonden twee verschillende beschrijvingen – eigenlijk twee standpunten – tegenover elkaar. Het duurde enige tijd voordat een leerling en even later ook andere een vermoeden kregen dat hier sprake was van het schoogebouw. Uiteindelijk konden we de verschillen goed aanduiden, maar moesten ook tot de conclusie komen, dat het over een en hetzelfde gebouw ging!  En dat dus de ene opvatting niet meer of minder waard was, dan de andere.

Daarover kun je dan met een klas heel goed spreken en als dit onderwerp eenmaal bewuster door de leerlingen wordt doorzien, kunnen ze ook ‘zomaar’ eigen door- of meegemaakte ervaringen weergeven.

Met dit gegeven gingen we naar de gymzaal en daar vroeg ik de kinderen in een kring te gaan staan, maar wel een die precies rond was. Daar stonden de kinderen dan ‘op hun standpunt’; maar aangezien de kring geen cirkel vormde, moesten er nog wat verplaatsingen plaatsvinden. ‘Jij moet naar voren’; ‘nee, jij moet naar achter’; ‘ja, maar dan staat hij niet goed!’ Enz.

“Maar hoe weet je dat,’ bracht ik er tegenin, ‘wie bepaalt dat?’ ‘Wie zou ons kunnen helpen?……Of wat?      ‘  ‘Meten!’, riep een kind. ‘Ja, met een touw!’, een ander.
En inderdaad: het touw als objectief ding, bracht de oplossing. Iemand hield het vast op het middelpunt, een ander aan het uiteinde en waar dit verscheen moesten de leerlingen hun standpunt innemen: een prachtige cirkel – precies rond dus – was ontstaan. Zonder meningsverschil van ‘jij moet vooruit, nee jij achteruit!

En in het touw zagen de kinderen gemakkelijk de passer die voor de objectieve rondheid van de cirkel garant staat.

Terug in de klas begonnen we cirkels te tekenen. Nog niet met de passer, maar ‘uit de hand’. En zo rond mogelijk, natuurlijk.

Dat valt nog niet mee:

meetkunde-5

.
Heel vaak komen de kinderen met herinneringen aan ‘vroeger’, toen ze in de kleuterklas of later ‘een zon’ of iets anders rond, tekenden.

De passer moet er natuurlijk aan te pas komen.

Goed gereedschap is ook hier het halve werk. Mijn ervaring is dat je het beste zelf de passers kunt aanschaffen en deze door de kinderen laat gebruiken. Sommige scholen laten de ouders voor de passers betalen. Alles heeft z’n voor en tegen; als de passer kwalitatief maar goed is.
Uiteraard heb je passerpotloodstift bij de hand en ieder kind moet een klein stukje schuurpapier hebben (korrel 80 of 100) om steeds voor een scherpe punt te kunnen zorgen. Het afgeschuurde vlakje bevindt zich aan de buitenkant van het passerbeen.

meetkunde-16

 

 

 

 

In zijn boek ‘Geometrie durch übende Anschauung’ [4] zegt de auteur Alexander Strakosch over het gebruik van de passer:
‘Bij het tekenen van een cirkel, neem je de passer de kop, het deel boven het punt waar de benen samenkomen. De kop houd je zo loodrecht mogelijk, tussen duim en wijsvinger van de (rechter)hand. Dan zet je de punt op het papier en draai je eerst een rondje boven het papier – tegen de wijzer van de klok in. Dan op het papier en draai je in één beweging de hele cirkel. De potloodpunt moet deze vorm hebben (zie boven). Het schuinmaken gbeurt met schuurpapier. De niet-geschuurde kant wijst naar binnen. Daardoor wordt bereiekt dat bij het stomper worden van de punt de aan de binnenkant getekende lijn toch nog op dezelfde afstand blijft. Tijdens het tekenen moet de passer zo loodrecht mogelijk blijven. Moet de punt op een bepaalde plaats komen te staan, gebeurt dit met de linkerhand en de rechter houdt de passer vast.’

(Ik heb zelf een passer die je met vasthouden aan een klein staafje dar je eraf kunt schroeven. Als ik de cirkel naar links teken, gaat dat staafje los (omdat je het naar rechts vastdraait). Tegen de wijzers van de klok gaat dan dus niet.)

Als je de eerste dag niet meer aan de passer toekomt, kan het teleurstellend zijn voor de kinderen, wanneer ze zelf de passer – op de 1e dag van de meetkundeperiode – bij zich hebben; waneer je hem uitdeelt, heb je altijd de mogelijkheid om met de belofte ‘morgen de passer’,  iets in de kinderen op te roepen van ‘ha, morgen…’

Als dan de passer op tafel ligt, nadat er van alles over is verteld (benen, waar vast te houden, hoe te draaien, hoe lang de punt, waar afgeschuurd, enz), komen er echte cirkels.
Het kleuren gebeurt meer om alles ‘mooi’ af te werken. (Hier bijna letterlijk: af te ronden).

Ze kunnen eerst los van elkaar staan, later elkaar overlappen.

Hier is steeds sprake van ‘willekeurig’.
.

meetkunde-6

.
Je kunt natuurlijk je eigen methode ontwerpen – je eigen weg om er te komen.

Ik geef hier een bepaalde werkwijze aan, die zeker niet DE werkwijze is, maar ‘een’, dat is zo mooi aan het vrijeschoolonderwijs: dat je, je baserend op de uitgangspunten – de menskundige – langs je eigen weg kunt streven om het gegeven doel te bereiken.

Een tweede dag
Je zou nu verder kunnen gaan met de cirkel, maar je zou ook naar de tegenstelling, de rechte lijn kunnen gaan. Zodat je a.h.w. – 6 jaar later – nog eens met de rechte en de ronde bezig bent (wat kinderen zich meestal goed herinneren. Het gevoel kan ontstaan dat we in de 1e klas iets deden, wat nu in de 6e terugkomt – anders, want wij zijn anders geworden. Maar ook: de lesstof hangt op deze school met elkaar samen.)

Het is goed om iedere dag, vóór je weer verder gaat, te herhalen, wat er de vorige dag is gedaan. Je kunt de leerlingen dat bewust maken: een soort ‘huiswerk’ met de opdracht: morgen kunnen vertellen wat we gedaan en/of geleerd hebben. Je kunt ze dat zelfs in een schrift(je) laten opschrijven.
Wat je, aan welk kind, vraagt, kun je nog nader laten afhangen van hoe het kind is.
In GA 302 behandelt Rudolf Steiner verschillende typen kinderen. Hij geeft daarbij ook aan, hoe je deze, door het op een bepaalde manier gebruiken van leerstof, kunt helpen bij hun ontwikkeling.
(Het voert hier nu te ver om er dieper op in te gaan en op deze blog is daar nog geen aandacht aan besteed. In  ‘De menseljke ziel – en de twee stromen uit het tweede hoofdstuk van de ‘Allgemeine Menschenkunde’ heeft Kim Lapré dat gedaan. [2])

Willekeurige lijnen:

meetkunde-7

Vanaf een middelpunt:

meetkunde-8

Ook naar een middelpunt toe.
Dan is het zaak de ogen op dat middelpunt te laten rusten en naar dat punt te blijven kijken, terwijl je de lijn trekt. Vergelijkbaar met het boogschieten: naar de roos kijken; of op de evenwichtsbalk: niet naar de balk kijken, maar naar je eindpunt.

meetkunde-9

Vanuit een middelpunt: even lange lijnen en naar een middelpunt toe: Dat valt uit de hand niet mee: we hebben de passer nodig.

meetkunde-10

Deze tekening werd door de kinderen herkend als ‘wat we in de gymzaal deden’.

Naast de passer is ook de liniaal een onmisbaar gereedschap.
Hij maakt een rechte lijn, zoals de evenaar, de linie. (Zo onthoudt je ook dat het is linIaal en niet linEaal – dat heeft de afleiding lineair!)
Ook deze moet nog even opnieuw (die is tenslotte al behandeld in de 4e klas) in de aandacht komen, waar het gaat om: waar is het begin: meestal niet aan het fysieke begin, maar even verderop, bij de 0.

En niet alles hoeft met kleur:

meetkunde-11

Als de opdracht was: vanuit het middelpunt naar de rand, dan zijn sommige lijnen niet precies genoeg; bij de omgekeerde opdracht, trouwens, ook niet. Dat moet dus nog mooier = preciezer!

Het begrip ‘onwillekeurig’ – geen eigen willekeur – kan hier zijn intrede doen. Je bent niet vrij meer om ‘zomaar’ lijnen te trekken: vanaf of naar het middelpunt toe, ligt vast. Wáár je ze tekent: dat is nog willekeurig.

Zo kun je willekeurige lijnen van rand naar rand tekenen:

meetkunde-12

‘Rand’ ja, het is de rand, maar in de meetkunde waar zoveel lijnen gebruikt worden, krijgen vele lijnen een eigennaam, zoals jullie om te onderscheiden wie wie is, of hier: wat wat is. Hoe zou je deze ‘rand’ kunnen noemen?’
Het is interessant om te zien welke antwoorden er kunnen komen. Soms zijn ze mooier dan de officiële naam. ‘Cirkellrand’, ‘cirkelgrens’, cirkelomlijsting’. Dan is de officiële naam soms wat ontnuchterend.
‘Neem een opening tussen de benen van je passer (ook zo’n uitdrukking vraagt soms enige aandacht…) en kijk – in gedachten – hoe groot die cirkel wordt. Dan teken je hem met de passer. Wat doe je eigenlijk?’ Dan valt het woord ‘omtrekken’, ‘omtrek’ en daar houden we het op. De omtrek van de cirkel. En omdat het ook een lijn is, dus ook: omtrekslijn.

We kunnen achter in het periodescchrift bijv.,  een woordenlijst aanleggen met de woorden die we leren.**

De lijnen mogen elkaar – weer een nieuw begrip – ook snijden:

meetkunde-13

Wat is de grootst mogelijke lijn in een cirkel?

“We doen wel ‘meetkunde’, maar we gaan de lijnen binnen de cirkel niet met de liniaal meten. Hoe weten we dan, welke de grootste is.’

meetkunde-14

Nu moet er ontdekt worden dat de grootste lijn binnen de cirkel over het middelpunt loopt. Hoe zou zo’n lijn genoemd worden? Dat ligt voor de hand: midden-; middellijn. En het punt waar deze doorheen gaat? Middenpunt; middelpunt.

Vanuit een soort ‘natuurgevoel’ trekken de meeste kinderen de middellijn horizontaal. En op de vraag hoe het nog meer zou kunnen, volgt de verticale. Dat ook diagonale lijnen kunnen, dat is verrassend. ‘Teken maar eens wat middellijnen.Wel exact door het middelpunt, he`!’
Dus: goede puntenslijper voor scherpe punten!

meetkunde-15

Nu zou een (huis)werkopdracht kunnen zijn: hoeveel middellijnen zitten er dan wel niet in een cirkel? Kijk naar je eigen tekening en denk, zie voor je, waar er nog meer passen. En dan ontdekken de kinderen dat er heeeeeeel veel in kunnen; je kunt ze niet tellen, eigenlijk. Dus ‘DE’ middellijn betaat niet. Er is ‘EEN’ (één of un, dat valt hier samen) middellijn. Hiermee is het begrip ‘middellijn’ beweeglijk geworden, zoals hier het begrip driehoek. Een middellijn, of de(ze) middellijn in deze cirkel, is de geconcretiseerde, ‘stilgezette’ middellijn uit al die ‘bewegende’ middellijnen.

Hier hebben we dus kunnen ‘karakteriseren’ i.p.v. ‘definiëren’.
De definitie komt er aan! Maar eerst het levende beeld: Rudolf Steiner – wegwijzer 15

Uiteraard kun je nog meer tekenvariates bedenken; je kunt ze eerst oefenen op oefenpapier en de kinderen dan de mogelijkheid geven de in hun ogen best geslaagde tekeningen in hun periodechrift te tekenen.

Een derde dag
Wat betreft de verdeling van de stof over de verschillende dagen, zij opgemerkt dat dit slechts zeer willekeurig is. De ene klas werkt harder dan de andere; valt je periode in de advent- en kersttijd is wellicht het hoofdonderwijs korter door andere activiteiten, enz.

Wanneer het gaat om ‘zich iets voorstellen’ kun je dit op verschillende manieren benaderen. In de tweede voordracht van de ‘Algemene menskunde’ [3] doet Steiner dit bijv. vanuit het standpunt ‘verleden en toekomst’. Het voorstellingsbeeld van het verleden is het bekende herinneringsbeeld (“Denkend aan Holland, zie ik….”) en het beeld van wat er concreet nog niet is: het fantasiebeeld, de imaginatie. Je voorstellen hoe iets gaat worden, eruit zal gaan zien, is toekomst en derhalve verbonden met de wil. Steiner heeft hierover veel gezegd, al karakteriserend vanuit verschillende standpunten. ‘De wil in het denken brengen’ betekent het denken verlevendigen, vitaliseren. Dat is bijv. wat er bij mediteren kan gebeuren.

Met het oog op dit ‘vooruit denken’ gaf ik de kinderen deze opdracht:

‘Stel je voor je hebt een schoteltje of een euro, in ieder geval iets wat rond is. Daar precies onder is nog zo’n schoteltje of euro, of wat je hebt. Deze onderste komt langzaam te voorschijn (of de bovenste schuift langzaam weg) Wat zie je dan. Teken dit uit de hand. Het schuift steeds verder: teken verschillende stafia van dit wegschuiven.

Ook dat is niet makkelijk.
Al die jaren dat we vormtekenden, mochten de kinderen in hun tekening die ze gemaakt hadden, verbeteringen in de vorm aanbrengen, a.h.w. vanuit hun eerste poging corrigerend werken. Dat kun je hieronder nog zien:
.

meetkunde-17

 

 

 

 

 

 

 

.

Interessant voor ‘de bewegende voorstelling’ is, dat er door de kinderen allerlei verschillende vormen worden gemaakt:

staand, maar ook liggend (er was bij de opdracht geen richting aangegeven):

meetkunde-18

 

 

 

 

 

.

meetkunde-19

.

 

 

 

 

 

 

 

Door ze met elkaar te vergelijken, zie je dat er ‘oneindig’ veel mogelijkheden zijn. Het is a.h.w. net als met de hoeveelheid middellijnen in een cirkel.

(Wanneer kinderen eens sneller klaar zijn met een opdracht, kun je ze altijd stimuleren bovenstaande tekeningen met de hand nóg preciezer uit te voeren).

Als dan duidelijk is geworden dat de schuivende cirkels in allerlei stadia getekend kunnen worden, is het weer tijd voor de passer.

 

 

meetkunde-20

 

 

 

 

 

 

 

.

Als je de eis gaat stellen dat de cirkels niet naar links of rechts mogen afwijken, klinkt al snel ‘in een rechte lijn’.

Waar komt die lijn dan?

Dat is niet zo moeilijk:

meetkunde-21

 

 

 

 

 

 

Uiteraard kan deze ook verticaal staan. Maar hoe nog meer?

Maar ook: diagonaal

meetkunde-22

 

 

 

 

 

 

 

Wanneer de kinderen de opdracht met de diagonaal krijgen, komen er natuurlijk weer net zoveel verschillende tekeningen als er leerlingen zijn. En als we de tekening opzoeken met alle middellijnen, wordt het duidelijk dat op al die middellijnen al die cirkels kunnen. Dat ‘beweeglijk’ denken is een mooie opgave; probeer het zelf eens: de middellijn die als een kompasnaald zich beweegt van noord over oost, zuid en west weer naar noord (of omgekeerd) en op de kompasnaald van boven naar beneden (of omgekeerd) al die zich verschuivende cirkels. Wat een beweging!!

Maar, we gaan de beweging ook weer bevriezen. En heel eenvoudig maken. We nemen maar 2 cirkels die van elkaar verschuiven, zoals we waren begonnen. Nu moeten ze echter in een positie komen die ‘evenwichtig’ is – we kunnen herinneringen ophalen aan de 2e klas toen we voor het eerst symmetrietekeningen oefenden:

vormtekenen-2

 

 

 

 

 

 

 

vormtekenen-1

 

 

 

 

 

 

 

[3]

meetkunde-23

 

 

 

 

 

 

 

Kleur wat ze geneenschappelijk hebben. Het is belangrijk dat de kinderen leren zien dat er ‘iets’ is wat behoort bij zowel de ene als de andere cirkel:

meetkunde-24

 

 

 

 

 

.

Een vierde dag
Uiteraard kun je ook 3 schoteltjes of euro’s op elkaar leggen en deze laten verschuiven. De 3e kan t.o.v. de andere 2 weer allerlei verschillende plaatsen innemen. De voorstellingsoefening kan worden uitgebreid. Laat de kinderen zelf eens beschrijven hoe zij de beweging van al deze cirkels voor zich zien. 

Je kunt nu de werkwijze van ‘met twee cirkels’ ook gaan uitvoeren met 3:

eerst uit de hand:

meetkunde-25

 

 

 

 

 

 

 

Meerdere cirkels erbij:

meetkunde-26

 

 

 

 

 

 

 

En dan weer met de passer. We hebben al geleerd dat het, om het precies te doen, nodig is, lijnen te trekken. En omdat we in de meetkunde alles precies willen doen, gaan we nu, kijkend naar de tekening die je gemaakt hebt uit de hand – die hierboven staat dus – de lijnen denkbeeldig trekken: vóór ons zien.

Die lopen zo:

meetkunde-27

 

 

 

 

 

 

 

 

Nu gaan we deze tekening niet nog eens maken en dan met de passer; we gaan meteen naar een symmetrie: hoe ziet die eruit?

Kun je je dat weer voorstellen. Waar stopt – in die hele kluwen van bewegende cirkels – die ene vorm. Als je denkt hem te hebben, kun je hem even schetsen en daarna uitvoeren met de passer: meetkunde-28

 

 

 

 

 

 

Er staat in deze tekening iets wat je niet echt nodig hebt. Zie je dat?

Dat blijken de lijnen te zijn. Hoe kun je dan toch de symmetrie krijgen?

Door het passerpuntje (in het papier) van de ene cirkel te gebruiken voor de andere. Hier ontdekken de kinderen iets wat later aan de orde komt, nl. de cirkels hebben gemeenschappelijke middelpunten (door de even grote straal))

Tekenen en de gemeenschappelijke vlakken  kleuren. Dat roept natuurlijk ook het kleuren van de andere vlakken op.

meetkunde-29

 

 

 

 

 

 

 

Ieder kind neemt natuurlijk zijn eigen kleuren, zodat er binnen het vaste gegeven een grote verscheidenheid aan uitvoering uitstaat.

Nu dit eenmaal is gedaan en door de kinderen voor zover ze daartoe in staat zijn, dit hebben kunnen ‘denken’, gaan we verder met 4 cirkels.
Meestal verliet ik hier de procedure die ik vanaf het werken met de 2 cirkels had gevolgd. Je nog meer ‘beweeglijk’ voorstellen, gaat met 4 cirkels bijna niet meer en als het je als leerkracht is gelukt om het met de middellijnen en 2 of 3 verschuivende cirkel swat nog volgen kan (driehoeken), gedaan hebt, heb je m.i. de kinderen voor het eerst kennis laten maken met ‘beweeglijke begrippen’.

meetkunde-30

 

 

 

 

 

 

 

Er ontstaat een ‘centrale’ cirkel, waarop de andere worden getekend.
Zo bouw je verder met de 5e  en de laatste, de 6e . De figuur heeft dan 7 cirkels.

Een optimale symmetrie is bereikt:

meetkunde-31

 

 

 

 

 

 

 

 

Die nu naar eigen fantasie (en schoonheidszin) te mogen kleuren, is voor de meeste kinderen een feest.
Er waren altijd wel kinderen die ze (samen) op het bord wilden maken – met de bordpasser – of deze gebruiken om op de grond op grote vellen papier om met bordkrijt de kleuren aan te brengen. Zelfs op het schoolplein met stoepkrijt.

Hier staan er verschillende afgebeeld onder nummer 1

Een vijfde dag
Het zou mooi zijn wanneer je bovenstaande lesstof in 1 week zou kunnen behandelen. Wanneer dat niet lukt: geen nood. Je kunt het beter langzamer doen en goed, dan dat je te snel gaat en geen tijd om alles goed  te laten aankomen.

Zo’n laatste dag leent zich ook om alles mooi af te werken, af te maken. De ‘bloemen’, zoals de kinderen vaak de tekening met de 7 cirkels noemen, vragen echte aandacht en zorgvuldigheid.

Toen we in de lagere klassen de vormtekeningen ‘in’kleurden, had dat eigenlijk met vormtekenen niet eens zoveel te maken. Voor het maken van de vorm als ‘spoor van een beweging’ had je het inkleuren of ‘versieren’ ook weg kunnen laten.

Bij de zojuist ontstane cirkelvormen is dat niet het geval. De strenge wetmatigheden komen pas echt tot hun recht als ze zichtbaar worden door de kleur. Door hun grotere gecompliceerdheid dan de vormtekeningen, kan het geven van verschillende kleuren ook zichtbaarder maken, waar je naar op zoek bent, of wat je wilt vinden.

Maar door hun strenge symmetrie zichtbaar te maken d.m.v. kleur breng je ook een nieuw element in: dat van het kunstzinnige. De alom geprezen schoonheid van de vormen, wordt nog eens versterkt door -genuanceerd – aangebrachte kleur.

6e-klas-meetkunde-1b

 

 

 

 

 

 

 

 
Dat zou je op de 5e dag, of later, of telkens aan het eind van het hoofdonderwijs kunnen doen:

met wat tot nu toe geleerd is, nieuwe vormen scheppen en kunstzinnig afronden.

De kinderen zullen gemakkelijk snijpunten ontdekken die nog geen middelpunt zijn van een nieuwe cirkel en met dit gegeven kunnen ze ‘eindeloos’ verder.

Is het altijd nodig om de cirkel in z’n geheel te trekken. Wat als je maar een deel doet?

Zie hier, onder 2.

Rudolf Steiner wijst met regelmaat op het feit dat het goed is wanneer kinderen ervaren dat de verschillende lesstof met elkaar te maken kan hebben. Omdat die samenhang er in de wereld – in het ‘echt’ is, haal je deze werkelijkheid de klas in en gaan de kinderen voelen dat er samenhang in de wereld is.

Zo zou je terug kunnen gaan naar de 5e klasperiode geschiedenis en wel naar Egypte. Je zal waarschijnlijk verteld hebben over de piramiden; over de bouw er van. Wie de grote wiskundigen waren die zo’n kolossaal bouwwerk wisten te ontwerpen.
In het boek van Strakosch vind je in de ‘Inleiding’ verwijzingen naar Egypte.

Deze inleiding is hier vertaald.

.

*Of ze ook gebruikt moeten worden voor het schrijven van de kleine drukletter (in het blokschrift). wordt hier besproken.

[1] De grote Rudolf Steiner citatensite

[2] K.Lapré: ‘De menselijke ziel’ -eigen uitgave -te bestellen via: kimlapre@gmail.com

[3] Over ‘spiegelen

[4] A.Strakosch ‘Geometrie durch übendes Anschauen‘, Mellinger Verlag, Stuttgart

In ‘De filosofie van de vrijheid’ heeft Steiner zeer waar-devolle gezichtspunten gegeven over standpunt, waarnemen en denken.
GA 4
vertaald

**cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden;

.

De tweede week van de periode;

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

1113

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (28)

.\

opspattend grind

OEI-IK-GROEI

Trouw-columniste Marjolijn van Heemstra schreef over de ‘Oei-ik-groei!-app die ze van haar telefoontje verwijderde, omdat ze ruimte nodig had.

De app was haar dierbaar, want:

‘Ze schrijven over baby’s als mensen die voortdurend aan het worden zijn.’

Dat vond zij een openbaring: ‘uitgaan van wat iemand wordt, in plaats van is.’

‘Ik realiseerde me hoe vaak ik mensen veroordeel omdat ze dingen doen die niet bij hen passen, of: niet passen bij wie ze in mijn ogen zijn, zonder me te vragen wie ze aan het worden zijn.’

Ze vond nog meer zinnigs bij Oei-ik-groei:

‘Elke crisis moet je in eerste instantie met liefde en aandacht tegemoet treden.

Ziekte draagt de potentie van verandering in zich.

Panta Rhei.

We zijn niet constant, in de basis al niet. We vechten ons met behulp van crisissen door leven. En het is in de crisis dat we nieuwe vaardigheden opdoen.’

Mevrouw van Heemskerk schrijft nog iets over de gedragingen van haar zoontje, die niet zo voorspelbaar zijn, maar:

‘Er is maar één ding waar ik werkelijk van op aan kan: na elk stevig ziekbed kan hij iets nieuws.’

Zij besluit:

‘Ik begrijp dat er voor volwassen geen soortgelijke app bestaat. Onze fases zijn grilliger en bovendien is een basisvoorwaarde voor vredig samenleven dat we ons aanpassen en onz crisissen en ‘sprongen’ met bijbehorende stemmingswisselingen in toom houden. Maar wat zou het een bevrijding zijn te kunnen zeggen:

Ik ben niet moeilijk, ik zit in een fasesprong. En als ik ’s nachts door het huis spook en driftig doe en gefrustreerd mijn eten uitspuug en hier en daar een bord kapotgooi, is dat alleen maar omdat ik iets aan het worden ben.’

Bron: Trouw – Tijd, 09-01-2016
.

Rudolf Steiner:
U moet er in de allereerste plaats van uitgaan, dat de mens een wezen is dat voortdurend in wording is. En dat is iets wat we in ons bewustzijn als opvoeder ons steeds eigen moeten maken, dat de mens voortdurend in wording is, dat hij in de loop van zijn leven metamorfosen ondergaat. 

Je kunt de mens niet leren kennen, zonder hem als wordend te leren kennen.

Uitgaan van het hele kind kun je slechts tot een gewoonte maken wanneer je een goed, realistisch streven hebt het kind in  zijn verschillende verschijningsvormen te leren kennen. Ieder kind is interessant.

Rudolf Steiner wegwijzers

Opspattend grind: alle artikelen

Oei-ik-groei

 

1115

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 5e klas – geschiedenis (2-1/1)

.

SCHEPPINGSVERHAAL

Uit het Mahabaratha, Hindoe-epos

Een eeuwigheid lang had Brahma, als een Niets, dat zich voorbereidt op Alles, gerust op de rug van de oerslang Sesha.

Toen schiep zijn denken de tien Scheppers!

Die werden de vaders van goden en demonen, de voorvaderen der mensen en met hen bouwden zij werelden uit het Al.

Kashyapa, een van de scheppers, nam de dochters van de Schepper Daksha tot vrouw: Aditi schonk hem de Aditia of Goden; Diti de Daitia en Danoe de D’anawa, twee demonengeslachten, die de goden vijandig gezind zijn.

De zoon van de zon echter was Manoe, de eerste mens.

In de loop der tijden werd het aantal schepsels vrijwel oneindig groot, aangezien er geen einde voor het leven was vastgesteld.

Brahma verzonk in diep nadenken:
hij wilde het woekerende leven tot staan brengen, maar hij kon geen middel vinden om de stroom van vruchtbaarheid in te dammen.
Zijn scheppingswil had die stroom voortgebracht en die was dus voor eeuwigdurende tijden onveranderlijk.

Toen schoten, uit toorn om zijn hulpeloosheid, laaiende vlammen uit de ogen van de onmachtige Almachtige en dreigden de wereld te vernietigen!

De god Shiwa echter gevoelde innig meelij met alle leven en hij vroeg de Verhevene om zijn toorn te matigen, opdat het vuur het heerlijke heelal niet zou verteren. Toen doofden de vlammen voor deze adem van meegevoel.

Een droppel viel van Brahma’u voorhoofd en werd tot een ernstige, zwartogige vrouw in een purperkleurig gewaad . Zij wendde zich naar het zuiden om heen te gaan, toen Brahma haar aanriep en sprak: “Jij, vrucht van mijn denken over vernietiging van het leven, zult Dood heten. Ga heen en tref de wijzen en de dwazen, de goeden en de kwaden, en alles wat leeft, opdat het niet meer opsta, want de wereld verzinkt bijna in het water door de last van het levende!”
Luid wenende wierp de lotosomkranste zich op de knieën voor de Almachtige en verborg haar gelaat in diens handen.
“Genade, Heer der Wereld!”, snikte zij. “Moet ik kinderen en grijsaards, sterken en zwakken, zondaars en boetelingen met dezelfde maat meten?
Wat zal men mij haten, wanneer vader of moeder, echtgenoot, vriend of zuigeling sterven! In alle eeuwigheid zullen de tranen van de ongelukkigen mij branden!
Genade! Gij goede Vader aller wezens!”

“Mijn woord is onveranderlijk en eeuwig!” sprak Brahma; “Dood zal het eind des levens zijn! Maar jij zult voor alle schepsels zonder schuld zijn. Jij houdt van ze en jij zult hen bevrijden! Boosheid, haat en nijd zullen verdwijnen, voordat zij in jouw armen rust vinden. De tranen, die je in mijn hand hebt gehuild, zal ik als ziekten over de aarde strooien, zodat de stervenden je als een verlossing zullen eren. Laten de zondaars door hun zonden vergaan, jij bent de verzoenende gerechtigheid, die hen zonder haat of liefde opneemt! En Yama, die heer van het Recht is, zal ook heer over jou zijn, Dood!”

Zo was Dood in de wereld gekomen, opdat die zich eeuwig mag vernieuwen.

.

5e klas – geschiedenis: alle artikelen

5e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: geschiedenis alle beelden

 

1114

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde – alle artikelen

.

[1] Meetkunde
E.A.Karl Stockmeyers bijeen gezochte uitspraken van Rudolf Steiner over meetkunde.

[2-1] 6e klas
Uit ‘Het binnenste buiten’. Meetkunde in klas 6. Hoe en waarom

[2-2] 6e klas
Pieter HA Witvliet over: wat is een driehoek. Karakterisering van een ‘levend’ begrip; vanuit dit levende begrip=de karakterisering, naar de definitie

[2-3/1] 6e klas
Impressie van een 1e week van de periode meetkunde

[2-3/2] 6e klas
Impressie van een 2e week van de periode meetkunde

[3-1] 7e klas
Uit ‘Het binnenste buiten’ Meetkunde in klas 7. Hoe en waarom

Geometrie door oefenend waarnemen

[4-1]
Inleiding uit het boek “Geometrie durch übende Anschauung’ van Alexander Strakosch, blz. 11 t/m 16
[4-2]
Over het regelmatige cirkelveld, blz 16 t/m 19
[4-3]
Over het ontstaan van de rechte lijn, blz. 19 t/m 20
[4-4]
Over het ontstaan van de gelijkzijdige driehoek, blz. 21
[4-5]
Over de bloem met twaalf blaadjes, blz. 21 t/m 22
[4-6]
Over de meetkundige basisfiguren. blz. 22 t/m 26
[4-7]
Over de cirkel en de rechte lijnen blz. 26 t/m 30
[4-8]
Over de driehoek blz.30 t/m 33

Kringspelen en meetkunde

6e klas: alle artikelen

7e klas: alle artikelen
.

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas: alle beelden

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas: alle beelden

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

.

VRIJESCHOOL – Kringspelen en meetkunde

.

KRINGSPELEN EN MEETKUNDE

Deze titel mag enigszins vreemd lijken – wat hebben kringspelen nu met meetkunde te maken – vanuit een bepaalde optiek is er wel degelijk een relatie.

Rudolf Steiner:
Bij ons in de vrijeschool mogen de leerkrachten niet tevreden zijn, wanneer de kinderen een cirkel kunnen tekenen, maar onze kinderen moeten de cirkel, de driehoek, het vierkant leren voelen. Ze moeten de cirkel zo tekenen, dat ze het ronde ervaren. Ze moeten de driehoek zo leren tekenen, dat ze de drie hoeken gewaarworden, dat ze al, wanneer ze met de eerste hoek beginnen het gevoel hebben: hier komen drie hoeken. Net zo tekenen ze het vierkant, dat ze voelen hoe die rechthoekig wordt; dat het gevoel van hoe de lijnen lopen meteen vanaf het begin tot hen doordringt. Een kind bij ons moet leren wat een boog is, wat een horizontale lijn is, een verticakel, maar niet alleen maar door te kijken, maar door deze innerlijk te volgen met de arm, met de hand. Dat moet er worden gedaan, ook als basis voor het schrijven. Bij ons zou er geen kind moeten zijn dat een P leert schrijven, zonder dat het eerst een verticale lijn of een boog heeft ervaren; niet alleen maar dat een kind een abstracte waarneming naar buiten toe van een verticale lijn of een boog, maar een gevoelsmatige waarneming moet er zijn, een gevoelsmatig beleven van de dingen.
GA 301/193

In deze opmerkingen staat geen directe verwijzing naar kringspelen, maar wanneer je kinderen een kringspel ziet spelen, of in ruimer verband ze ziet bewegen in de ruimte doordat ze een of ander spel spelen, worden onbewust al die bewegingen waarover Steiner het heeft, ervaren, beleefd.

Wel is hier de relatie vormtekenen/schrijven en meetkunde aangeduid!

In dezelfde voordrachtenreeks gaat hij op een andere plaats opnieuw in op het ‘gevoel voor de ruimte, op de ruimtebeleving’. Hij doet dat aan de hand van wat je op kindertekeningen ziet. En noemt dan voor de ontwikkeling van het ruimtegevoel – nodig om een meetkundig inzicht te krijgen – met name de bewegingsspelen:

Laten we eens naar deze tekeningen van het kind kijken. Wat je een echt ruimtegevoel zou kunnen noemen, hebben kinderen vóór het 7e, 8e, zelfs nog vóór het 9e levensjaar juist nog niet. Dat ontstaat pas later, wanneer zich langzamerhand de andere kracht in de ontwikkeling van een kind manifesteert. [1]
Tot aan het 7e jaar werkt aan het kinderlijk organisme hetgeen later voorstelling wordt. [2] Tot aan de puberteit werkt de wil aan het kinderlijk organisme, die dan zoals ik U gezegd hebt, zich samenbalt en de stemverandering bij de jongens laat zien hoe deze dan doorschiet in het lichaam.
Deze wil is in staat een gevoel voor de ruimte te ontwikkelen, zodat je door alles wat ik nu gezegd heb, door het ontwikkelen van een gevoel voor de ruimte door de bewegingsspelen, door het waarnemen van wat er gebeurt wanneer er schaduw ontstaat bij voorwerpen, vooral door wat in de beweging ontstaat en wordt vastgehouden; als door dit alles de wil ontwikkeld wordt, zal de mens een veel betere verhouding tot de dingen krijgen dan door alleen maar het verstand.
GA 301/215
niet vertaald

Wanneer je met de helicopterview naar kringspelen zou kijken, zie je allerlei meetkundige figuren bewegen: de kring – de cirkel – halve bogen; lemniscaten; spiralen, kettingvormen (die we bij het vormtekenen vlechtvormen noemen) bijv. 

Dat is bewegen in de ruimte.

Steiner over deze ruimte:

Men heeft tegenwoordig in onze abstracte intellectualisitsche tijd de voorstelling van de drie ruimterichtingen die dan zo ergens in de lucht zweven. Het zijn dus drie loodrecht op elkaar staande lijnen die tot in het oneindige verder gedacht kunnen worden. Dat kan je natuurlijk zo van lieverlee abstract in je opnemen, maar ervaren is het niet. Maar deze drie dimensies willen ook ervaren worden en ze worden ook ervaren, meer onbewust, wanneer een kind leert vanuit een nog onhandig kruipende toestand waarbij het overal nog het evenwicht verliest, te gaan staan en met de wereld in een evenwichtsverhouding te komen. Dan zijn de drie dimensies concreet aanwezig. Daarbij kunnen we niet drie lijnen in de ruimte tekenen, maar er is een lijn die samenvalt met de as van het rechtopstaande lichaam die we [3] wanneer we slapen en liggen en die houding niet aannemen; die we ook als belangrijkste kenmerk hebben van waarin we van het dier verschillen dat nu juist zijn ruggengraatslijn evenwijdig aan de aarde heeft, terwijl wij een rechtopstaande ruggengraat hebben.
De tweede ruimterichting is die welke we krijgen als we de armen uitstrekken.
De derde gaat van voren naar achteren en omgekeerd….De mens beleeft zelf wat hij met de meetkundige figuren laat zien, maar alleen op die leeftijd waarin nog veel onbewust leeft, half dromend. Dat komt later tevoorschijn en vertoont zich abstract.
GA 306/25-26
niet vertaald

Wanneer Steiner dan concreet op meetkundige aspecten ingaat, waarbij het hier gaat om het beweeglijk houden van meetkundige voorstellingen, bijv. de driehoek, voordat het abstracte begrip verder zijn intrede doet, hebben onderstaande woorden dus betrekking op de meetkunde; maar wanneer je ze leest alsof ze betrekking hebben op het (kring)spel, lees je a.h.w. hetzelfde:

Dit zouden we dan ook zeer goed kunnen gebruiken ter ondersteuning wanneer we in het kind een goed gevoel voor ruimte willen ontwikkelen; een concreet, echt ruimtegevoel. Wanneer we op deze manier het begrip van beweging voor de figuur in het platte vlak (hier wordt de driehoek bedoeld) hebben laten zien, dan krijgt\ de hele geestelijke vorming van het kind zo’n beweeglijkheid, zodat ik dan makkelijk kan beginnen met perspectief: een lichaam gaat aan de voorkant van een ander lichaam voorbij of aan de achterkant. Dit passeren van voren en van achteren kan het eerste element zijn bij het oproepen van een dienovereenkomstige ruimtebeleving.
GA 301/213

Met name bij de spelletjes zoals ‘ketting breien’ gaat het om ‘voor- en achterpasseren’.

Volgens mij is de gedachte gerechtvaardigd dat de kringspelen en ook de andere spelletjes ‘in de ruimte’ een bepaalde voorbereiding zijn op het ruimtelijk kunnen denken dat een mens nodig heeft o.a. bij meetkunde.

DE ZEVENSPRONG
De zevensprong heeft als kringspel deze elementen: cirkel; armen strekken; naar voren en achter bewegen, knielen en weer strekken.

Bij vele van deze oude spelen kun je je afvragen hoe ze zijn ontstaan en of ze iets meer betekenen dan alleen een spel.
Melly Uyldert gaf van vele kringspelen verklaringen. Hoe kwam zij aan haar kennis? Is het waar wat ze zegt?
In ieder geval wel interessant om met haar blik eens naar zo’n spel te kijken:
.

Heb je wel gehoord van de zeven, de zeven,
Heb je wel gehoord van de zevensprong?
Ze zeggen dat ik niet dansen kan,
ik kan dansen als een edelman

dat is een
dat is twee
dat is drie
dat is vier
dat is vijf
dat is zes
dat is ze-e-ven.

Alle kinderen vormen een kring met de handen vast en huppelen al zingend linksom, tot: Dat is één! –
Bij die woorden plaatsen zij, even stilstaand en met het front naar het midden van de kring gekeerd, de rechter voet een pas naar voren.

Daarna huppelt men weer in de kring, nu rechtsom, eerste hup op linkervoet. Bij: Dat is één! Dat is twee! – worden een pasje rechts en een aansluitend pasje links naar voren gemaakt. Daarna weer linksom huppelen.

Zo worden steeds het lied en de figuren herhaald, waarna het nieuwe figuur wordt bijgevoegd.

Bij: Dat is drie! – wordt de rechterknie aan de grond gebracht. Bij: Dat is vier! – wordt de linkerknie óók aan de grond gebracht, en liggen allen dus even geknield met de handen vast.

Men moet opletten, dat men even tijd neemt voor het opstaan daarna. Bij: Dat is vijf! – wordt de rechterhand even losgelaten en de rechter elleboog op de grond gezet. Bij: Dat is zes! -wordt ook de linker elleboog op de grond gezet. Bij: Dat is zeven! – wordt met het voorhoofd de grond aangeraakt, terwijl men de handen op het hoofd houdt. In deze houding (van een nog ongeboren kind) blijft men nu liggen, terwijl allen het laatste couplet zingen, waarbij nu, te beginnen met: Dat is één! – eerst het hoofd wordt opgeheven, dan de linker elleboog opgetild, en zo voort, alle houdingen in volgorde terugnemend, die men eerst had aangenomen.

Variatie: bij de regels: Ze zeggen dat ik niet dansen kan, ik kan dansen als een edelman! – blijft ieder op z’n plaats, de jongens met de armen voor de borst gekruist, de meisjes met de handen op de heupen, en dansen de wiegelpas. Of de meisjes gaan daarbij tegenover de jongen aan haar linkerkant staan. Deze snelle overgangen tussen de figuren zijn echter te moeilijk voor jonge kinderen.

Verklaring
Deze dans beeldt uit, in het zich beurtelings inrollen en ontrollen, de eeuwige afwisseling van involutie en evolutie, incarnatie en excarnatie, concretie en abstractie, verstoffelijking en vergeestelijking, het middelpuntvliedende en het middelpuntzoekende stadium, of hoe men het maar in analogieën wil aanduiden. Het is de grote pulserende beweging van het Al, van schepping en verlossing, leven en sterven, waarin wij allen opgenomen zijn en medewerken. Als zinnebeeld een van de mooiste heilige dansen, die ons uit de oudheid zijn overgeleverd!
.

[1] Steiner bedoelt hier de geboorte van het astraallijf rond het 14e jaar, die zich al eerder aankondigt.
[2] Hier wordt het etherlijf bedoeld.
[3] er staat ‘prüfen’ = testen, controleren e.d. Maar wat Steiner hier precies wil zeggen, ontgaat me (nog).
.
Kringspelende boom die wordt.….

6e klas: meetkunde

Over het etherlijf;       op  ‘antroposofie, een inspiratie’

schrijven: menskundige achtergronden (relatie vorm en beweging)

 

1112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 5e klas – uit het leerplan

.

De kopjes zijn door mij aangebracht.

LEERPLAN VAN DE VIJFDE KLAS

De 5e-klasser
Een grootse adem gaat door het leerplan van de vijfde klas.
De belangstelling voor de buitenwereld wordt mondiaal in de aardrijkskunde en geschiedenis. Maar ook wordt denkend een poging tot benadering van het innerlijk gedaan.
De eerste interesse. voor ontwikkeling, samenhang van binnen- en buitenwereld, begrip voor oorzaak en gevolg, en verschijnselen van het menselijke zieleleven, vragen van leven en dood en andere diepgaande problemen, gaat ontstaan.

Na de psychologische crisis van de vierde klas, samenhangend met het beleven van “Ik en Wereld”, in hun tegengesteldheid, wordt door de vijfdeklasser meestal een zeker evenwicht hervonden. Het kind wordt harmonischer, het voelt een nieuwe zekerheid komen door de begripsmatige benadering van de wereld, die langzaamaan binnen zijn bereik gaat komen. Deze zekerheid geeft innerlijke kracht, zodat het kind weer wat van zichzelf losraakt en het vermogen kan ontwikkelen om waar te nemen, oog te hebben voor “de ander” en “het andere”. Dit wordt dan beleefd als een positieve factor in de eigen ontwikkeling.

Nu, het leerplan biedt veel kansen om oog voor de wereld te hebben.

aardrijkskunde
Ruimtelijk in de aardrijkskunde, die van het economische moet uitgaan. Hoeveel mensen werken voor je om je thee, koffie, brood, boter en suiker op de ontbijttafel. te krijgen?
Landbouwers, veetelers, vervoerders, groot- en kleinhandelaren, het is een kringloop van belangen, die te denken geeft.

Of men wil of niet, men werkt voor elkaarI Het kind, dat zegt “we betalen er toch voor?”, wordt dadelijk gecorrigeerd; als het dan niet door de andere kinderen is, dan toch door het Griekse verhaal van Midas, die moest verhongeren omdat hij de gave had gekregen alles in goud te veranderen, wat hij aanraakte. Deze koning Midas kreeg dan ook ezelsoren!

De “ontbijttafel” leidt al naar Brazilië, Cuba, China, India.
Waar en onder welke omstandigheden groeien koffie, thee, suikerriet, pindanoten? Waarvandaan komt ons graan?

Enfin, machtig interessante dingen! De intelligentie van de vijfdeklasser ontwaakt voor uiterlijke dingen. Wat is geld waard? Wat menselijke arbeid? Wat producten of productiemiddelen? Het kind kan erover denken. Maar nog op
onegoïste wijze.

Nederlandse taal
In de taallessen is het belangrijk te oefenen in spreken en schrijven, hoe je uitdrukt, dat jijzelf iets denkt of zegt, of een ander! Ook is het heel belangrijk mee te leven in de uitdrukkingswijzen van “doen” en “ondergaan”. Het is een heel verschil om mee te leven met de slager of met de koe. Het oefenen van actieve en passieve vormen, van directe en indirecte rede is bijzonder vruchtbaar voor een steeds genuanceerder taalgebruik.

geschiedenis
Ook de geschiedenis begint in de vijfde klas. Evenals de aardrijkskunde is deze geschiedenis mondiaal.
Wereldgeschiedenis dus.
Tienduizend jaar terug gaan in de tijd is niet gering. De IJstijdcatastrofe leidde tot een nieuwe reeks cultuurperioden, waarin ook wij onze plaats hebben. Er worden beelden geschetst van deze culturen: India, Perzië, Egypte en Babylon, Israël, Griekenland en Rome.

Hoe waren die volken? Waar liggen hun landen? Wat heeft hun cultuur bijgedragen tot de ontwikkeling van de mensheid? Welke zijlijnen kunnen getrokken worden naar onze eigen tijd?
Het thema van de ontwikkelingsgedachte, reeds aangeslagen in de derde klas, bij de verhalen uit het Oude Testament, komt nu met zijn causale aspecten onder de aandacht. Geschiedenis heeft een ontwikkelingsrichting.

In de vijfde klas komt in hoofdzaak de mythologie van de Grieken aan de orde.

Maar ook de verhalen van de Hindoes staan ia de belangstelling. Beide mythologiën zijn filosofisch getint.

biologie
In de biologie wordt van dierkunde de overgang gezocht naar plantkunde. De plant heeft een dubbele wetmatigheid; die van een grond-idee, die in de materie gerealiseerd wordt en zich handhaaft, en die van een variabel karakter, dat geheel wordt bepaald door de krachten van de omgeving. De plant in zijn wetmatigheden, zijn metamorfosen en vormveranderingen, is voor het denkende bewustzijn een boeiend wezen, dat ook de mogelijkheid geeft de problemen van onsterfelijkheid, van idee en verschijning, van leven en dood te bespreken. De plant is een levende causaliteit. Het leerplan voor de vijfde klas is een bijzonder aantrekkelijk leerplan, zowel voor de kinderen als voor de leerkracht.

P.C. Veltman, vrijeschool Leiden, nadere gegevens ontbreken

.

5e klas: alle artikelen

.

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas – alle beelden

1111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (1)

.

In zijn ‘Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen’ [1] heeft E.A. Karl Stockmeyer een samenvatting gegeven van het hoe en waarom van de elementaire meetkunde.

Doelen voor het meetkundeonderwijs:

1e klas:
tekenen voor het leren schrijven

2e en 3e klas:
tekenen van makkelijkere en moeilijkere vormen, puur om de vorm en zonder de relatie tot concrete dingen en voorwerpen, om het bewustzijn voor de ruimte te ontwikkelen als ‘vormingsgebied’. (symmetrie e.d.)

4e en 5e klas:
Meetkundige figuren in het tekenen leren kennen, in het ‘beschrijven’ van hun onderlinge verhoudingen leren begrijpen, dus driehoek, vierkant, cirkel, ellips enz. tot aan de stelling van Pythagoras, op zijn minst wat de gelijkbenige rechthoekige driehoek betreft.

Bij de 4e klas:
Meetkunde: een poging tot formulering:
Nadat in de eerste drie schooljaren eerst getekend is om te leren schrijven; ook geboetseerd puur terwille van de vorm, zonder voorwerpen als voorbeeld, begint op z’n laatst in de 4e klas het tekenen van elementaire meetkundige vormen; de verhoudingen moeten slechts waarnemend gevonden worden.

Bij de 5e klas:
Het waarnemend beschrijven van geometrische vormen wordt voortgezet em geïntensiveerd.

6e t/m 8e klas:
Wat tot nog toe tekenend en beschrijven behandeld werd, moet nu meetkundig ‘bewezen’ begrepen worden. (Tegelijkertijd komt er in het aparte tekenonderwijs de eenvoudige projectie- en schaduwleer)

Bij de 6e klas:
In de meetkunde moet – in overeenstemming met wat voor de 4e klas werd gezegd – een begin worden gemaakt met het bewijzen, ongeveer tot het begrijpen van congruentie van driehoeken en toepassingen ermee. Daarbij zijn de begrippen die in de jaren daarvoor el duidelijk zijn geworden toe te gebruiken, te verhelderen en uit te breiden; in het bijzonder moet de geometrische plaats erbij komen.

Bij de 7e klas:
Voorgesteld wordt in de meetkunde verder te gaan met het kunnen bewijzen, bijv. door de cirkel, het vierkant en de veelhoeken te behandelen. Het begrip ‘meetkundige plaats’moet verder behandeld worden, omdat deze ervoor geschikt is om meetkundige figuren uit het starheid te verlossen en beweeglijk te maken.

Bij de 8e klas:
Naast berekenen van vlakken moeten ook behandeld worden eenvoudige geometrische lichamen te berekenen; de meetkundige plaats nu toepassen op de curven van ellips, hyperbool, casinoïde en de cirkel van Apollonius

Daarnaast maakt Karl Stockmeyer nog een andere indeling:

Er zijn eigenlijk – afgezien van het tekenen om te leren schrijven – drie leerwegen die ieder op zich staan:

1e leerweg:
Vóór het 9e levensjaar wordt het vrije kunstzinnige vormgeven (symmetrie, vormverandering, toenemend in moeilijkheidsgraad, afmaken van een gegeven vorm enz) zonder uiterlijke dingen als voorbeeld te nemen, tekenend, schilderend, boetseren beoefend.

2e leerweg:
Op z’n laatst rond het 9e levensjaar wordt met een eerste meetkundeweg begonnen, die de gebruikelijke meetkundige vormen omvat en hun verhoudingen, maar die moeten nog geheel een innerlijk waarnemen blijven. Het doel is de stelling van Pythagoras.

3e leerweg:
Die begint pas op het 11e- 12e jaar en moet tot een exacte omgang met mathematische kennis leiden en moet daarom wat er tot dan toe geleerd werd door de waarneming, opnieuw vanuit het elementaire doorgenomen worden.

Sinds lang is het zo dat wie het over de meetkundeperiode(n) heeft, de perioden vanaf de 6e klas bedoelt. Waar het gaat om het bewijzen.

Alles ervoor wordt nu toch veel meer gezien als vormtekenen.

 

[1] E.A.Karl Stockmeyer: Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen

Nu:  Angaben Rudolf Steiners für den Waldorfschulunterricht

6e klas: meetkunde

7e klas: meetkunde

kringspelen en meetkunde

 

Het artikel zal verder uitgewerkt worden.

 

1110