VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

.

1e week    3e week   4e week

Hier volgt een impressie van de 2e week van de periode meetkunde in klas 6.

Als voorbereiding is het raadzaam Meetkunde [1]   en [2] te bestudere

Vakkenintegratie is belangrijk: de leerlingen kunnen ervaren hoe alles met elkaar samenhangt. En wat ze in het ene vak leren, zien ze in een ander vak, vanuit een ander standpunt, terug.

Een indeling in dagen is nu niet zo makkelijk te geven, want als je bijv. teruggaat naar de 5e klas – Egypte – en je laat na, na het vertellen over hoe de akkers werden gemeten, de ‘godin van de richting’te tekenen – of aan het eind van de 1e dag daar een begin mee maken, wordt de tijdsindeling anders.

De tweede week

Een eerste dag

In klas 5 kwam in de gechiedenisperioden ook Egypte aan de beurt.

In het hier al genoemde boek van Alexander Strakosch besteedt de schrijver ook aandacht aan Egypte:

Wanneer duidelijk is geworden dat je kennelijk ‘stukken grond’ met een stok en een touw kunt bepalen, moet dat ook worden bekeken:

meetkunde-32

En hierin is wel een rechthoekige akker te zien:

meetkunde-33

Dit is een zeer belangrijk ogenblik in de meetkundeperiode: voor het eerst wordt duidelijk dat een meetkundig figuur – hier de rechthoek – ontstaat vanuit de cirkel. We gaan natuurlijk vanaf nu na of dat voor elke andere figuur ook geldt.

We gaan terug naar de eerste week en nemen deze tekening:

meetkunde-23

Daarin tekenen we alle mogelijke lijnen, nadat we ons goed gerealiseerd hebben, dat de lijnen een verbinding vormen tussen punten, zoals bij de rechthoek ontdekt werd.

meetkunde-34

De kinderen zien in ieder geval driehoeken en ja, ook deze figuur ontstaat in de cirkel; en ‘déze figuur’, waarmee ze de ontstane ruit bedoelen.

Maar ‘deze figuur’ is niet echt handig als mogelijkheid om iets in een meetkundige tekening aan te duiden.
En daar hebben de mensen iets voor bedacht. Een afspraak die over de hele wereld geldt: punten geven we een letter uit het alfabet en we schrijven die met een hoofdletter.

meetkunde-35

Wanneer je naar die punten kijkt, blijken het hoekpunten te zijn, maar D bijv. is ook middelpunt van een cirkel.

Meestal gebruiken we voor het middelpunt de letter M, maar het is niet verplicht.

Het telkens moeten opschrijven: ‘teken een cirkel met een middelpunt M’ zijn wel veel woorden en daarom werken de mensen liever met symbolen en dat gaan wij ook voortaaan doen, dus zo:

ꙩ M

En nu we toch weer bij de cirkel stilstaan en aan het benoemen zijn, willen we ook weten hoe we de lijn noemen die de grootte van de cirkel bepaalt.

Wanneer de leerlingen ‘middellijn’ zeggen, is dit niet fout, maar hoe ontstaat dan die middellijn. Met een bepaald stukje lijn tussen de passer.

Dat bepaalde stukje lijn noemen de mensen een lijnstuk: van A naar B; of van D naar E. En omdat we het woord ‘naar’ niet echt nodig hebben, laten we dat weg: lijnstuk AB en/of DE enz.

In bovenstaande tekening kunnen we nu alle lijnstukken benoemen.

En we zien nu dat lijnstuk AD; DC; DB; DE; AB; BF even groot zijn, want het zijn dezelfde lijnstukken die we tussen de passer hadden toen we met de 1e cirkel begonnen.

Toen we in de 1e week deze tekening maakten:

meetkunde-10

was het woord ‘stralen’ al eens gevallen en ja, al deze lijnen zijn stralen.

Het Latijnse woord voor straal  = radius en de =r= staat symbool voor dit lijnstuk.

Dus als er dit staat:

Ꙩ M  r=5, dan weet je dat je een cirkel M – dit is het middelpunt – moet tekenen met een straal van 5 cm.

Ook de middellijn kunnen nu nog anders benoemen: 2 x de straal of wel 2  x   r. Dus 2r.

Uiteraard is het goed om te kinderen zelf de omschrijvingen te laten vinden! Zoals al eerder gezegd: ze zijn soms sprekender dan de officieel gangbare; maar de laatste leren we.

Een tweede dag
Voor je weer verder gaat met de lesstof, is het iedere dag belangrijk te herhalen wat er eerder werd geleerd. De ontstane begrippen, symbolen. Of in het algemeen: wat hebben we tot nog toe geleerd.

We gaan ook weer naar de ‘bloem’ kijken en tekenen Ꙩ M   r=5    r = MA

meetkunde-38

r blijft 5 en we tekenen nu vanuit A  Ꙩ A. De snijpunten waar deze cirkel de omtrek van Ꙩ M  raakt, noemen we B en C. Je ziet meteen dat AC een straal is van  Ꙩ A en AB eveneens.

meetkunde-39

We kunnen nu al de conclusie trekken dat MA=AB=AC

Met dezelfde passergrootte trekken we vanuit B    Ꙩ  B:
Het snijpunt op de omtrek van Ꙩ  M   noemen we D

meetkunde-40

En: BD = MA= AB (= AC, die ik hier niet teken om duidelijker te laten zien hoe de figuur verder groeit)

Weer verder met vanuit D: Ꙩ  D

meetkunde-41

We vinden op de omtrek van Ꙩ  M een nieuw snijpunt dat we E noemen.

Je kunt de letters omkeren, wanneer je vanuit de andere richting benoemt, wat je zeker moet doen om te laten zien dat het niet per se op één manier hoeft:

ED = DB =BA = AM

Vanuit E doen we het nog eens: snijpunt F

meetkunde-42

MA = AB = BD = DE = EF

En nog eens vanuit F: het snijpunt C staat er al!

meetkunde-43

CF = FE = ED = DB = BA = AM

Wanneer we dan nog C als middelpunt van de Ꙩ  C nemen:

meetkunde-44

zijn we rond en kunnen we concluderen dat AB =BD=DE=EF=FC=CA=AM

Dat betekent dat al deze lijnstukken evengroot zijn. Dat we hier 6 even grote stralen hebben en als we naar cirkel M kijken, hebben op die cirkelboog 6 punten gekregen die evenver van elkaar moeten liggen, omdat de afstand die tussen deze punten ligt dezelfde lijn is: straal MA.

Daarmee hebben we bewezen dat de straal van een cirkel 6 x op de omtrek past, m.a.w. we kunnen nu een cirkelboog in 6 gelijke delen verdelen.

Ook zien we in, dat we niet steeds de volledige cirkel hoeven te tekenen, maar alleen de punten die we nodig hebben.

meetkunde-45

De kinderen moeten er goed van doordrongen zijn, dat we, telkens als we iets willen construeren en we deze kleine boogjes zetten, we eigenlijk cirkels tekenen die we niet echt nodig hebben, maar die, als we ze wel volledig tekenen ons laten zien waarom het juist is wat we doen: het bewijs is er in te lezen!

Nu we de cirkel geometrisch juist in 6-en kunnen verdelen, levert dat weer nieuwe mogelijkheden op:

We zijn in staat een zeshoek én een zesster te construeren – het nieuwe woord dat we voortaan zullen gebruiken, mét het woord ‘constructie’.

En als we de cirkel(s) niet echt nodig hebben, tekenen we die uiterst dun, zodat we de overbodige lijnen later kunnen verwijderen:

meetkunde-46

Uiteraard levert dat weer vele schoonheidsvormen op:

6e-klas-meetkunde-2d

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder nummer 2

Na een best inspannende manier van voorstellen om tot bovenstaande bewijzen te komen, is het fijn als er in het kunstzinnige toepassen weer een andere kwaliteit wordt aangesproken dan het denken: de wil in de exacte uitvoering van bijv. de zesster  en het gevoel in het zoeken van mooie kleurcombinaties.
Daarmee wordt dan dag 2 afgesloten.

Een derde dag
Nu we een tijdlang aan de cirkel hebben gewerkt, is het misschien een mooi tegengesteld onderwerp: de rechte lijn.
Als voorbereiding zou je nu meetkunde 4-3 kunnen bestuderen.
Omdat het goed is er telkens aan te denken, hoe kun je met de leerlingen ‘levend’ denken, welke weg kun je gaan om van levende begrippen – en hoe minder subjectief die zijn, des te meer zijn het ‘ideeën’, geestelijke realiteiten, in een zekere verstarring te komen, dus bij het begrip dat weinig ruimte meer laat: de definitie.
Zo zou je hier – zie Strakosch – ook van een cirkel uit kunnen gaan en – in gedachten – de middellijn langer kunnen denken . Wat gebeurt er dan met de cirkelboog. Deze komt dus steeds lager te liggen, totdat hij samenvalt met de middellijn. Je kunt even een uitstapje maken naar ronde of bijna ronde voorwerpen in je omgeving en deze op soortgelijke manier veranderen. Hilariteit! Ook als je de omgekeerde weg bewandelt en een rechte lijn probeert ‘naar een halve boog te denken’. Hoe wonderlijk en vreemd zou de wereld eruit zien, als dit ook met de materie zou kunnen. (Het principe van de lachspiegel!)

Nu laten we deze oefening even rusten.
We nemen de passer en tekenen Ꙩ,  r=willekeurig (maar niet te groot). We trekken de straal. Iets verder naast het middelpunt zetten we de passerpunt op de straal en in het verlengde van de straal, met dezelfde straalgrootte, zetten we een klein boogje ( dat is dus weer een heel klein gedeelte van een cirkel. Dat herhalen we een aantal keren.

meetkunde-55
Nu kunnen we weer een voorstellingsoefening doen: Denk je eens in dat we de passerpunt op de straal bijna op het middelpunt hadden gezet en zoals boven, een cirkelboogje getrokken en dat vele keren achter elkaar. Wat zie je buiten de cirkel in het verlengde van de straal ontstaan: heel veel dicht bij elkaar liggende kleine boogjes. Als je die boogjes nog kleiner denkt, krijg je het kleinst denkbare boogje: een punt. En als je die punten heel dicht tegen elkaar aan denkt, heb je een……lijn.
En daarom wordt er van de lijn gezegd dat het een verzameling van punten is.

meetkunde-56

We hebben de lijn dus leren kennen als ‘een spoor van een beweging’, onzichtbaar totdat er concreet – op aarde, op papier enz. – een stukje ervan zichtbaar wordt; en nu als een verzameling punten.

meetkunde-57Dit is een lijn

meetkunde-58Het zichtbaar geworden stuk: een lijnstuk. Een begrensd stuk, vandaar dat het afgebakend dient te worden:

meetkunde-59

strikt genomen kunnen we dus niet zomaar over ‘een lijn’ spreken als we die in de meetkunde nodig hebben. We moeten eigenlijk steeds ‘lijnstuk’ zeggen. Maar in het dagelijks spraakgebruik zeggen we toch meestal: een lijn van 5 cm bijv.

Wanneer je dit consequent verder denkt is een halve lijn dus dit:

meetkunde-60

Niet dat de leerlingen dat allemaal hoeven te weten (maar er zijn er altijd bij die deze wetenschap prachtig vinden, dus waarom niet), het is wél goed dat ze kennis maken met een wereld waarin het om exact formuleren gaat, om goede afspraken die voor iedereen gelden.

Uiteraard komt de vraag: wat is dan de helft van een lijn, dus in het spraakgebruik: een halve lijn – meetkundig gezegd: een half, de helft van een lijnstuk.
En als je dit niet met liniaal mag meten – of kunt meten – dan moet deze geconstrueerd kunnen worden. Hoe?
Je raadt het al: terug naar de cirkel(s).

meetkunde-35

De driehoeken ABC en ADC zijn op precies gelijke manier getekend. Als je ABC omklapt met AGC als vouwlijn, vallen ze precies over elkaar: ze zijn dus gelijk. Dat geldt ook voor ABD en CBD. Als je die omvouwt met BGD als vouwlijn, vallen ze ook precies over elkaar. Dat geldt dan ook voor ABG en BGC.
Daaruit volgt dat AG = GC en BG=GD.

Omdat we ‘daaruit volgt’ nog vaak nodig hebben, leren we alvast het geometrische teken daarvoor: →

M.a.w. we hebben het lijnstuk AC precies in het midden gedeeld in G.

We trekken een lijnstuk AB van bijv. 5 cm. Deze nemen we als straal en maken vanuit A en B 2 cirkels met de snijpunten C en D. We trekken CD die AB snijdt in G. G is het midden van AB.

meetkunde-61

Nu gaan we de overtollige lijnen weglaten:

meetkunde-62

Alleen de kleine omcirkelboogjes zijn nodig en punt G.

Het is goed om dit zo (lang) te oefenen (tot)dat ieder kind het moeiteloos kan. En ook weet waarom het goed is.
Dat hoort dus bij het herhalen, de volgende morgen: wat hebben we gisteren geleerd.
Nu komt het zeker aan op juist en in volgorde van handelen te formuleren.
Natuurlijk worden ook alle begrippen en symbolen iedere keer herhaald.

Nu we een lijnstuk kunnen delen, nemen de mogelijkheden om dit kunstzinnig toe te passen enorm toe. Want de 6-ster en de 6-hoek kunnen nu 12-ster en 12-hoek worden, met al die variaties waarvan we hier maar een klein deel zien:
(voor meer achtergrond: meetkunde 4-5)

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde –  (onder nr. 4)

.
6e-klas-meetkunde-23

Een vierde dag
De geleerde constructie van gisteren wordt, nadat deze door de kinderen mondeling beschreven is, in het periodeschrift bij de constructies nauwkeurig schriftelijk beschreven. Dit kan bijv. ook een opdracht zijn voor thuis.

Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat je met het delen van een lijnstuk – zie boven – wanneer je G gevonden hebt – tegelijk eigenlijk een loodrechte lijn in G hebt opgericht. Loodrecht omdat G van driehoek ABG net zo groot is als hoek G van driehoek CBG, dus moet de lijn precies loodrecht staan.

Van hieruit proberen we nu een loodlijn op te richten op een willekeurig punt G op lijnstuk AB:

meetkunde-63

Gegeven: lijnstuk AB = 5cm
Punt G willekeurig
Gevraagd: loodlijn in G

Je zorgt ervoor dat G in het midden komt te liggen door GB als straal te nemen en deze af te zetten op GA, snijpunt C. Nu ben je bij het uitgangspunt van de constructie om een lijn doormidden te delen. Je neemt de opening tussen de passer iets groter en cirkelt boven G om vanuit C en B. Snijpunt D. Vanuit G naar D getrokken is de gevraagde lijn de loodlijn. Je kunt hem ook doortrekken naar E als je vanuit C en B omcirkeld hebt.

Een nieuw symbool: staat loodrecht op:   ⊥

Bij de constructie van een lijnstuk halveren, een loodlijn oprichten op een gegeven punt op een willekeurig(e) lijn(stuk, ‘hoort’ eigenlijk nog de construcite vanuit een gegeven punt boven (of onder) een willekeurig(e) lijn(stuk een loodlijn neerlaten, dan wel oprichten. ‘Hoort’ omdat ze bijna hetzelfde zijn.

Voor het lijnstuk onder de gegeven punt, nemen we nu eerst maar wat het meest natuurlijk lijkt: een horizontale.

Rond deze vorm kun je het nog over de heemkundeperiode in de 3e klas hebben, waarin de huizenbouw aan de orde kwam. Bij alle gereedschappen is zeker ook het schietlood behandeld en is het ‘lood’ in loodrecht weer wat duidelijker.

Gegeven:
willekeurig punt X en lijn a
Gevraagd: vanuit X een loodlijn op a

meetkunde-64

Neem een straal tussen de passer zo groot dat omcirkelen vanuit X op a twee snijpunten geeft: A  en   B.
Cirkel vanuit deze punten onder lijn a zo om dat de boogjes elkaar snijden: Y
Trek vanuit X met een liniaal het lijnstuk X tot op lijnstuk AB: C
XC is de gevraagde lijn.
Het is goed om zo precies te zijn, dat – hoewel XC en CX even groot zijn, tóch XC te zeggen, omdat de vraag is: vanuit punt X
C is dus ook het punt wanneer we vanuit Y een loodlijn op a construeren.

Om nog even bij de loodlijnen te blijven en ons te realiseren dat we de constructies eigenlijk maken met behulp van cirkels waarvan echter alleen maar kleine (om)cirkelboogjes worden gebruikt, is dit bijv. een mooie kunstzinnige verwerking:

Vanuit (het denkbeeldige) A en B is op XY steeds met een kleiner wordende straal omcirkeld. Zou je de straal bijv. steeds 1 cm kleiner willen maken, dan moet je die grootte vanaf een liniaal overnemen.

6e-klas-meetkunde-29

Een vijfde dag
Het herhalen neemt elke dag wel een bepaalde begintijd in.
Soms moet er ook gelegenheid zijn om dingen af te maken.
vooral de kunstzinnige tekeningen. Die kunnen ook wel als huiswerk thuis afgemaakt worden.

Inmiddels kunnen de leerlingen zessterren- en hoeken tekenen; daarin driehoeken; twaalfsterren- en hoeken met daarin ook weer driehoeken en vierkanten enz.
Omgekeerd is het ook een hele opgave om een kunstzinnige tekening zo te doorzien, dat je weet hoe die tot stand is gekomen.

Hoe is deze gemaakt?

6e-klas-meetkunde-31

Vanuit de waarneming de volgorde van handelen proberen te zien.
1)  de grote cirkel
2) zesmaal de straal afzetten op de cirkelboog
3) het midden bepalen van 1 zo’n boogje
4) vandaaruit weer zes keer afzetten op de cirkelboog: er zijn nu twaalf punten
5) De punten zo verbinden dat je er telkens twee overslaat
6) Het staande vierkant helemaal tekenen
7) Het vierkant daaronder: alleen de lijnen die zichtbaar zijn
8) Het onderste vierkant: alleen de lijnen die zichtbaar zijn.

Uiteraard maken de kinderen er zelf ook een, met andere kleuren; of halen bijv. als laatste de cirkel weg, waardoor er een puntiger karakter ontstaat.

Je kunt ervoor zorgen dat je een aantal van bovenstaande vormen – oplopend in moeilijkheidsgraad – klaar hebt liggen, die de leerlingen kunnen uitzoeken en meenemen naar hun plaats om de constructie ervan te vinden en uit te voeren.

cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden; straal; snijpunt; constructie, construeren; zesster; zeshoek (hexagram, hexagoon); cirkelboog; verzameling; lijn; lijnstuk; loodlijn;

symbolen:
Ꙩ             cirkel met middelpunt
cirkel met middelpunt M
r              radius = straal
2r           2x de radius = de middellijn
→           daaruit volgt
⊥            staat loodrecht op

suggesties voor de periode:

1e week
3e week
4e week

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1130

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Advertenties

3 Reacties op “VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/1) | VRIJESCHOOL

  2. Pingback: VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/3) | VRIJESCHOOL

  3. Pingback: VRIJESCHOOL – Meetkunde – alle artikelen | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

w

Verbinden met %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.