VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/3)

.

Hier volgt een impressie van de 3e week van de periode meetkunde in klas 6.

De eerste week         de tweede week

De derde week

Een eerste dag
Na een paar weken kan het zijn dat als je deze werkwijze volgt, toch in een heel andere tijdsindeling terechtkomt. Dat is uiteraard geen enkel punt: het gaat in jouw klas op jouw manier. Beschouw deze ‘weken’ en ‘dagen’ dus als een soort indicatie, maar bewandel je eigen weg.

Iedere dag weer herhalen wat er al geleerd is. Misschien huiswerkopdrachten om het geleerde toe te passen; gerichte opdrachten die ook over de stof van voorbije dagen kan gaan. Geef kinderen die gemotiveerd zijn extra opdrachten (mee), bijv. om ‘terug te herkennen’ hoe een vorm tot stand is gekomen; of vraag ze naar geheel eigen vormen (die als huiswerk niet per se  (in)gekleurd hoeven te zijn.
Voor de natuurkunde gaf Steiner een bepaalde ‘leerweg’ aan. ‘De drie stappen‘. Daar heb je ook wat aan voor de meetkundedagen. Je moet ze inpassen in hoe jij je lessen hebt opgebouwd.

We gaan weer willekeurige lijnen trekken die elkaar moeten snijden:

meetkunde-36

 

 

 

 

 

 

 

We bekijken verschillende snijpunten:

meetkunde-47-1

 

 

 

 

meetkunde-47-2

meetkunde-47-3

 

 

 

 

En wanneer we die accentueren zien we hoeken ontstaan.
Bij alle kinderen heel verschillende. Die worden op het bord getekend. Dan zou je kunnen vragen die hoeken in een volgorde te zetten, een volgorde van bijv. groot naar klein of omgekeerd.
Wanneer je de kinderen vraagt die hoeken met hun armen te maken, de ene hoek na de andere, en dan heel snel, zien we als vanzelf ‘de’ hoek een beweging worden, zoals we de lijn als beweging hadden in de eerste week en wanneer we dan plotseling onze armen stilhouden, hebben we ‘een’ hoek.
De idee hoek is een beweeglijke hoek die zich bevindt tussen onze zich bewegende armen. Verrassend is, dat dus op zeker ogenblik wanneer de armen bijna horizontaal zijn, er nog steeds sprake is van een hoek en als we ze horizontaal hebben en nog verder gaan, we nog steeds een hoek hebben.

Dat betekent dat ook de horizontale, dus anders gezegd de lijn of het lijnstuk, vanuit een bepaalde optiek óók een hoek is.

Dat is bijzonder. Gevraagd naar een andere heel bijzondere hoek vinden de kinderen de rechte hoek. Alle hoeken die kleiner of groter zijn, zijn er in een groot aantal: er is maar 1 rechte hoek (en 1 gestrekte)

Hoe heten dan de andere. Opnieuw is het interessant om de kinderen zelf de namen te laten vinden. Natuurlijk leren we dan de officiële namen:
meetkunde-48

1.scherpe hoek
2.rechte hoek
3.stompe hoek
4.gestrekte hoek
5.inspringende hoek

Uiteraard komt nu ook het sympool voor hoek: ∠  en voor de rechte hoek:

meetkunde-49

voor deze bestaan er verschillende

 

 

Als opdracht zou je nu weer de zesster en zeshoek in 1 tekening kunnen laten maken en daarin moeten dan de verschillende hoeken zichtbaar worden.

meetkunde-50

rood= scherpe hoek
groen=scherpe hoek
paars=stompe hoek
blauw= gestrekte hoek
groen + rood=rechte hoek

Een tweede dag
We gaan terug naar de tweede week, de derde dag en herhalen het ontstaan van de rechte lijn en bepaalde eigenschappen daarvan, zoals ‘de verzameling puntjes’.

Dan kun je teruggaan naar de geschiedenisperiode van de 5e klas, naar Babylonië en weer wijzen op de sterrenkunde, de kennis van wat zich aan de hemel vertoont.
Wellicht vertel je een eigen ervaring, bijv. dat je in Ierland was, in Newgrange en heb je – al dan niet kunstmatig – gezien hoe de zon op midwinterdag naar binnen straalt en een bepaalde ruimte precies verlicht.
Je kunt nu vooruitlopen op de sterrenkunde van klas 7 en samen met de Babylonische geleerden de zonneboog aan de hemel beschrijven met een lijn als verzameling van puntjes: die dag staat de zon op tijdstip x daar; de volgende dag op hetzelfde tijdstip x daar (ietsje verder opgeschoven).

De zonnebaan wordt weergegeven met de cirkel en het verschuiven van het punt waar de zon opkomt met de punten, die eigenlijk heel dicht tegen elkaar aan horen te liggen, maar waarvan je er voor de duidelijkheid maar een paar tekent.

En, de Oude Babyloniërs stelden die zonnetijdstippen vast op een aantal van 360 per jaaromgang als product van 12 maanden en 30 dagen per maand.

meetkunde-29

 

 

 

 

 

 

 

Dat betekent dat we door de middellijn te tekenen 2 halve bogen krijgen, waarvan we er 1 tekenen:

meetkunde-31

 

 

 

 

Als de hele boog ‘volgens afspraak’ 360 punten heeft, dan de halve boog 180.
Stel dat deze punten naar de middellijn afdalen en ze nemen de kortste weg, dan moeten ze loodrecht naar beneden:

meetkunde-30

 

 

 

 

Dat betekent dat de middellijn uit 180 puntjes bestaat, hoe klein of groot deze ook is. Dat kunnen we voor iedere lijn zeggen: nee, lijnSTUK: het eerste en laatste puntje valt samen met het begin en einde van de cirkelboog.

Ik merkte altijd wel dat deze redeneringen voor sommige kinderen naar een abstractie gaan die nog moeilijk voor ze is. Maar meestal neem je ze wel mee in het begrijpen, als je het rustig opbouwt en er vooral weer op terugkomt en het juist door de kinderen die het nog moeilijk vinden laat uitleggen om te zien hoe ver ze zijn.

Omdat we het woord ‘punt’ al gebruiken voor een plaatsbepaling – op een lijn(stuk) of erbuiten, ligt het voor de hand dat de puntjes aan de hemelboog = halve cirkelboog – anders moeten heten. Die heten graden en hebben het symbool  º.  In hoeverre je nu al over ‘minuten en seconden’ moet spreken, hangt er misschien vanaf of je op de landkaart het plaatsbepalen al hebt behandeld.
Zo niet, dan zou ik wachten, want voor de meetkunde zijn ze in de 6e klas niet belangrijk.

Zo leren we nu dat de cirkel bestaat uit 360º  en de halve dus uit 180º. En deze is gelijk aan de gestrekte hoek, die dus ook 180º is.
We trekken de belangrijkste conclusie: dat een hoek ook graden heeft!

We strekken de armen weer horizontaal: de hoek is 180º. We maken de hoek kleiner. Hoeveel graden is die? Moeilijk te zeggen. Nog kleiner ( we hebben nog steeds een stompe hoek!). We weten het aantal graden niet. Wanneer weten we dat wel. Ah, ja: als we op de helft zijn. Dan hebben we 90º. Maar dat is de rechte hoek!
Hoewel we niet precies weten hoe groot een hoek is die kleiner is dan 90º, kunnen we nu wel de scherpe hoek nader definiëren:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: < 90º
stompe hoek: >  90º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º

Het kan nog iets nauwkeuriger – dat wil de meetkunde: precies, exact zijn.

Als we met de armen in de rechte hoek = 90º deze kleiner maken en dus terugtellen, komen we uiteindelijk met de armen in de gestrekte hoek en met het tellen bij 0 uit. Dat is op zich weer verrassend: die gestrekte is dus 180º, maar tegelijkertijd ook 0º.
Nu kunnen we aangeven:

rechte hoek: 90º
scherpe hoek: 0º of >0º < 90º  (groter dan 0 en kleiner dan 90 of tussen 0 en 90º)
stompe hoek: ,  >90º maar kleiner dan <180º :  >90º   <180º
gestrekte hoek: 180º
inspringende hoek > 180º  = ?

Het blijkt bij de inspringende hoek, wanneer we die met de armen groter maken dat we uiteindelijk de hele cirkelboog beschrijven, dus tot aan de 360º:

inspringende hoek > 180º  < 360º

De kinderen kunnen dat dus verwoorden als: de inspringende hoek heeft een grootte die ligt tussen de 180 en de 360 graden.

Nu tekenen we een lijn en richten op 2 punten met enige afstand van elkaar 2 loodlijnen op. We nemen voor de loodlijn een grootte van 3 cm. We verbinden de gevonden punten met een streepjeslijn. Die lijnen lopen dus evenwijdig. Een nieuw begrip, met het woord dat er bij hoort: parallel.

We gummen de loodlijnen weg. De parallelle lijnen blijven staan en daarvan maken we deze tekening:

meetkunde-67

Omdat de lijnen parallel lopen, is het niet moeilijk in te zien dat hoek A het spiegelbeeld is van hoek C1. We leren nu meteen dat we de gelijkheid van de hoeken aangeven met een boogje in de betreffende hoeken. Zo ook: hoek B met hoek C2.
We weten hoe groot hoek C is: als gestrekte hoek: 180º. We kunnen nu ook zeggen: C1  +  C3  +  C2 zijn 180º.
Voor C1 en C2 kunnen we echter invullen: A  en B.
De hoeken A + C3  + B zijn daarmee dus ook 180º.
En daarmee hebben we aangetoond dat de 3 hoeken van een driehoek samen 180º zijn.

Nu trekken we een lijn en nemen tussen de passer een grootte van bijv. 3 cm. We nemen op de lijn een willekeurig punt A en passen de afstand af op de lijn, snijpunt B. Vanuit A zetten we ook nog ongeveer middenboven de lijn een boogje. Dan doen we dat laatste ook vanuit B en het snijpunt noemen we C. We hebben nu een driehoek geconstrueerd. Wat kunnen we van die driehoek zeggen.

meetkunde-68

Dat de 3 zijden gelijk zijn. Hij heet dan ook: gelijkzijdige driehoek

Wat weten we van de hoeken? Ze zijn daarom ook gelijk en als 3 gelijke hoeken samen 180º zijn, dan is elke hoek 60º

We nemen weer een lijn en passen lijnstuk AB af. Met een grotere afstand tussen de passer cirkelen we vanuit A en B om boven de lijn: snijpunt C en trekken AC en BC:

meetkunde-69

Zo wordt de gelijkbenige driehoek gevonden. We kunnen alleen weten dat hoek A gelijk is aan hoek B, over de grootte weten we niets.

Nu tekenen we een rechthoekige driehoek met de al geleerde constructie: richt op een lijn op een willekeurig punt A een loodlijn op; pas op deze loodlijn een willekeurige grootte af: snijpunt C; cirkel vanuit A met een andere willekeurige grootte op de basislijn een lijnstuk af: snijpunt B; verbindt B met C:

meetkunde-70

gevolgd door een rechthoekige driehoek waarbij AC en BC even groot zijn:

meetkunde-71

Dit is de gelijkbenige  rechthoekige driehoek.
Hoek A = 90º; bij een gelijkbenige driehoek zijn er altijd 2 hoeken even groot; dat zijn hier dus hoek B en C. Samen zijn de hoeken 180º; voor hoek B en C blijven er 90 over: ze zijn ieder 45º.

Met deze kennis gewapend tekenen we een cirkel met middelpunt M en nemen een willekeurig punt op de cirkelboog A; met dezelfde passeropening cirkelen we vanuit A om op de cirkelboog: B; we verbinden MA; AB; BM en hebben een gelijkzijdige driehoek gekregen: (we noemen die lijnen weer even en passant de stralen)

Opdracht: hoe groot zijn ∠ M, A, B?
Omdat MA = AB = BM hebben we te maken met een gelijkz. ∆;  ∠ M, A, B zijn dan alle drie 60º.

meetkunde-72

We verlengen AM (we vragen steeds aan de kinderen wat voor lijnen we krijgen: hier dus de middellijn (2x straal = 2r) en richten in M de loodlijn op: snijpunt met cirkelboog: C; we trekken CB. We zien nu dat ∠ M eigenlijk uit 2 ∠ ∠ bestaat. Dat moeten we dan ook aangeven:   M1   M2.  Dat geldt ook voor ∠ B.

Kun je nu zeggen hoe groot M2  en B2  zijn?

meetkunde-73

∠  M1   M2  zijn samen 90º. ∠  M1  als hoek van een gelijkzijdige driehoek is 60º; dan is M90 – 60= 30º
CM = BM, de driehoek MCB is gelijkbenig en dus zijn de hoeken C en B2  gelijk. Omdat hoek M2  30º is, blijven er 180 – 30 = 150º over voor 2 hoeken, d.w.z. iedere hoek is 75º.

Probeer de grootte van de gekleurde ∠ ∠ te bepalen.

meetkunde-50

Met deze opdracht, die ook thuis afgemaakt mag/moet worden, is de derde dag voorbij.

Een vierde dag

Nadat we alles van gisteren herhaald hebben, bekijken we de opdracht. Hoe groot zijn de hoeken in bovenstaande tekening.
De rode hoeken bevinden zich alle in gelijkzijdige driehoeken, dus zijn die 60º.

De rode hoek van 60 ligt op een rechte lijn naast een paarse hoek. Samen zijn deze 180, dus de paarse hoek is 120. In de gelijkbenige driehoeken met de groene en paarse hoeken, blijven na aftrek van 180 – 120 = 60 over: Iedere groene hoek is 30º.

Gisteren stelden we vast dat de rode en de groene hoek samen een rechte hoek vormen = 90, dat hebben we hiermee dus bewezen.

We zijn nog niet klaar met onze ontdekkingsreis langs de hoeken. We nemen deze tekening weer:

meetkunde-72

We weten al een hele tijd dat AB een zesde deel van de cirkelboog is. Omdat de hele cirkelboog 360 is, is het stuk AB dus 60º.

Toen we voor het eerst kennis maakten met de graden, maakten we de tekening dat de puntjes van de cirkelboog loodrecht op de middellijn vallen.
Dat geldt ook voor de (denkbeeldige) puntjes op de cirkelboog AB. Dat betekent dat het lijnstuk AB ook 60º is.
Wanneer we de hoeklijnen van M volgen, komen we bij A en B uit. Hoek M, dat hadden we al gevonden, is ook  60º en nu zien we dat hoek M en het lijnstuk AB een soort eenheid vormen. Hoek M is dan ook eigenlijk hoek AMB. We ontdekken ook dat, wat de graden betreft hoek M = AB.

Hoe zouden we hoek M kunnen noemen. Het is de hoek van het middelpunt, dus ligt het voor de hand dat deze middelpuntshoek heet. Die is even groot als het lijnstuk waar hij bij hoort en bij de boog die daar weer bij hoort. Natuurlijk heeft die lijn ook een aparte naam: koorde: de lijn die twee punten op de cirkelboog verbindt.

Wat kun je nu ook van de middellijn zeggen? Het is de langste = grootste lijn die 2 punten op de cirkelboog verbindt, dus mag hij de grootste koorde worden genoemd.

De boog die bij de koorde hoort, zou natuurlijk koordeboog moeten heten, maar dat woord wordt zelden gebruikt.

De naam van het vlak tussen de boog en de koorde heet segment.

Nu kunnen we zeggen dat de middelpuntshoek even groot is als de koorde waar hij bij hoort en ook omgekeerdL weet je hoe groot de koorde is, dan weet je hoe groot de hoek is die erbij hoort.

We zien op de tekening hierboven dat er ook op de omtrek van de cirkel hoeken kunnen liggen. Vanzelfsprekend hebben die de naam  omtrekshoek. Wat kunnen we daarover te weten komen?

meetkunde-74

Dit is de tekening die we zojuist ook maakten: MA = AB. We weten al dat hoek A = 60. Hoek A is eigenlijk hoe CAB wat betekent dat de hoek bij de koorde(boog) CB hoort. Die is 180 – 60 = 120. Hoek A is als omtrekshoek even groot als de helft van de koorde die bij hem hoort.

Misschien heb je in klas 5 in de geschiedenisperiode waarin Griekenland aan bod kwam, iets verteld over Thales. Anders kun je dat nu doen.

Van hem stamt een stelling, je zou kunnen zeggen een wet waaraan niet te tornen valt: het is altijd zo!

Als de omtrekshoek de middellijn omsluit, is deze hoek 90º, waar deze zich ook bevindt:

meetkunde-75

Hoek C, D en E behoren als omtrekshoek bij de grootste koorde = AB = 180º en zijn daarvan de helft, dus 90º.

Dit gegeven is ook weer kunstzinnig te verwerken:

meetkunde-76

Ga uit van een middellijn; richt de loodlijn op; trek de loodlijn, ook naar de tegenovergestelde cirkelboog. Maak de omtrekshoeken. Deel de koordelijn doormidden; pas de helft af op de overige koordebogen en maak op de punten de omtrekshoeken; ga zo door.

Kleur kan, maar hoeft niet; ook zwart-wit is mooi:

meetkunde-77

Als afronding van ‘de hoeken’ zou je nog de volgende kunnen aanleren:

meetkunde-78

Lijn a en b lopen parallel; ze worden gesneden door lijn c die met lijn a de hoek A en met lijn b de hoek B vormt. Hoek A en B bestaan beide uit 4 hoeken.

Wanneer we uit A op a naar links omcirkelen met de afstand AB (op c) ontstaat de gelijkzijdige driehoek ABC en wanneer we dit vanuit B op lijn b doen naar rechts de gelijkz. driehoek ABD. De driehoeken zijn gelijk, de hoeken ook. Dat betekent dat hoek A3 even groot is als hoek B2. Deze hoeken kun je a.h.w. verwisselen. Omdat ze binnen de parallelle lijnen liggen heten ze:
verwisselende binnenhoeken – zijn even groot.

Voor hoek A2 en hoek B3 kunnen we hetzelfde verhaal houden: ze zijn even groot, maar liggen nu buiten de parallelle lijnen en daarom heten deze hoeken:
verwisselende buitenhoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en B1 (de hele hoek – de lijn CB is niet van invloed) zijn precies dezelfde hoeken, die heten:
overeenkomstige hoeken – zijn even groot.

De hoeken A1 en A2 liggen naast elkaar en heten:
nevenhoeken – zoals we al geleerd hebben:  zijn samen 180º

De hoeken A1 en A4 staan tegenover elkaar en heten:
overstaande hoeken – ze zijn evengroot

Met de opdracht om nog een fraaie tekening met de stelling van Thales te maken en alle hoeken van de hoekentekening te benoemen – ze kunnen dubbele namen hebben, is deze dag ten einde.

vijfde dag

De herhaling van dag 4 is belangrijk om al de nieuwe stof te laten beklijven. Wanneer je te snel verder gaat en de leerlingen maken zich de stof niet eigen die je behandeld hebt, is het net of het toch niet zo belangrijk is. als je het zelf niet belangrijk genoeg vindt, kan je het beter achterwege laten. Doe je het wel, dan moet je zorgen dat het bezit wordt van de leerlingen.
Dat betekent ook: oefenen met opdrachten.

Bijv.:
=Teken door een punt S drie lijnen. Geef de zes hoeken, die er ontstaan, met cijfertjes aan. Noem nu van elke hoek de beide nevenhoeken. Noem ook van elke hoek de overstaande hoek. Hoe groot is de som van alle zes de hoeken? Doet het er wat toe hoe groot de hoeken afzonderlijk zijn?

 

meetkunde 79

=Hier is /_ A3 = 20°. Hoe groot is /_ A1 en /_ A2?

=Een hoek is even groot als zijn nevenhoek. Hoe groot is die hoek?

=Twee overstaande hoeken zijn eikaars complement. Hoe groot is elk?

De begrippen complement en supplement zijn nog niet genoemd. Dat kan nu:
complement: twee hoeken waarvan de som 90º is heten elkaars complement

suppplement: twee hoeken waarvan de som 180º is heten elkaars supplement

=Een hoek is 2 x zo groot als zijn nevenhoek. Hoe groot is die hoek?

=Het verschil van twee nevenhoeken is 40°. Bereken ze allebei.

Je kan er zelf ook bedenken, maar de leerlingen snappen het pas echt als ze zelf opgaven – met het antwoord – kunnen maken en aan elkaar voorleggen. (Bijv. in groepjes van 2)

Omdat het volgende week de 4e en laatste week is van de periode, is het goed dat er niet te veel werk onafgemaakt blijft. Daarvoor zou je de resterende tijd van deze vijfde dag kunnen gebruiken.
Voor wie klaar is, bestaat weer de mogelijkheid om met alles wat tot nog toe geleerd is, een kunstzinnige tekening te maken.

 

meetkunde 80

Veel behandelde hoeken zichtbaar, evenals de koorden en segmenten; gelijkzijdige en gelijkbenig, ook rechthoekige. Een mooie vondst!
(Toch kan de leerling, na het compliment (geen complement) worden gevraagd de tekening nog eens te maken met dunnere potloodpunten, dunner aangegeven verdeelpunten en dunnere verbindingslijnen, exact getrokken – dit is te slordig).

.

6e klas: 1e week van de periode     2e week van de periode

6e klasalle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkundealle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

 

Advertenties

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s