Categorie archief: algebra

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (4)

WAAROM WORDT MIN KEER MIN PLUS?

vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen

Voor de vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen gaan we weer uit van de rekenpraktijk:

3 . 58 kan op twee manieren uitgerekend worden, of  3 .( 50 + 8)  of 3 . (60 – 2)

3 • 58 = 3 • (50 + 8) = 3 • 50 + 3 • 8 = 150 + 24 = 174
3 • 58 = 3 • (60 – 2) = 3 • 60 + 3 • (- 2) = 180 –  6 = 174

net zo:

8 • 37 = 8 . (30 + 7) = 8 • 30 + 8 • 7 = 240 + 56 = 296
8 . 37 = 8 • (40 – 3) = 8 • 40.+ 8 • (- 3) = 320 – 24 = 296

Deze manier van rekenen laat zien dat  3 • (- 2) = – 6 en 8 • (- 3) = – 24 tot de goede oplossing leiden. Inhoudelijk is het makkelijk te begrijpen dat  3 • (- 2) = – 6 moet zijn, want 3 • (- 2) betekent (- 2) + (- 2) + (- 2) = – 6

Wanneer we drie keer achter elkaar een schuld maken van € 2, dan hebben we een totale schuld van € 6 gemaakt.

Een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigd  leidt simpelweg tot het overeenkomstige negatieve veelvoud.

Daarentegen stelt de opgave  (- 4) • 9 = ? ons voor een echte vraag. Wat betekent eigenlijk:

een positief getal met een negatief vermenigvuldigen? Het volledige antwoord is helemaal niet zo gemakkelijk te vinden; dat geven we later.

Natuurlijk vermoeden we : (- 4) • 9 = – 36.

Op de de commutatieve wet  a . b = b . a mogen we echter niet zomaar een beroep doen; tot nog toe hebben we vastgesteld, dat die voor positieve getallen opgaat – negatieve getallen zouden zich anders kunnen gedragen.

In het eerste artikel hebben we opgemerkt dat er getallen zijn van een bepaald soort (Duits: hoher Art) waarvoor de commutatieve wet inderdaad niet geldt. Maar laten we ons met ons vermoeden weer op de rekenpraktijk richten:

26 • 9 = (20 + 6) • 9 = 20 • 9 + 6 • 9 = 180 + 54 = 234
26 • 9 = (30 – 4) • 9 = 30 • 9 + (- 4) • 9 = 270 – 36 = 234

De vergelijking van de beide berekeningen bevestigt de juistheid van ons vermoeden. Ons vermoeden twee keer toegepast:

28 • 23 = (30 – 2) (20 + 3) = 30 • 20 + 30 • 3 + (- 2) • 20 + (- 2) • 3 = 600 + 90 – 40 – 6 = 644

Dezelfde vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen:

28 • 23 = (20 + 8) (20 + 3) = 20 • 20 + 20 • 3 + 8 • 20 + 8 • 3 = 400 + 60 + 160 + 24 = 644

Opnieuw wordt ons vermoeden bevestigd!

Nu naar het moeilijkste geval: een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal:

(- 3) • (- 4) = ?

In de praktijk van het rekenen komt hij voor in bv.:

17 • 26 = (20 – 3) (30 – 4) = 20 • 30 + 20 • (- 4) + (- 3) • 30 + (- 3) • (- 4) = 600 – 80 – 90 + (- 3) • (- 4) = 430 + (- 3) • (- 4)

Wij zijn heel voorzichtig; we hebben alleen de resultaten gebruikt die in de vorige voorbeelden juist bleken te zijn.  Wat  (- 3) • (- 4) is, laten we nog open.

Nu rekenen we dezelfde vermenigvuldiging uit met alleen maar positieve getallen:

17 • 26 = (10 + 7) (20 + 6) = 10 • 20 + 10 • 6 + 7 * 20 + 7 • 6 = 200 + 60 + 140 + 42 = 442

Bij de eerste vermenigvuldiging krijgen we de goede uitkomst wanneer we   (- 3) • (- 4) als 12 denken: 430 + 12 = 442

Natuurlijk moet je met de klas meer van deze voorbeelden uitrekenen;

28 • 37 = (30 – 2) (40 – 3) = 30 • 40 + 30 • (- 3) + (- 2) • 40 + (- 2) • (- 3) = 1200 – 90 – 80 + (- 2) • (- 3) = 1030 + (- 2) • (- 3)

en vergelijken met:

28 • 37 = (20 + 8) (30 + 7) = 20 • 30 + 20 • 7 + 8 • 30 + 8 • 7 = 600 + 140 + 240 + 56 = 1036

Opnieuw zegt de vergelijking:  (- 2) • ( -3) = + 6 geeft in de eerste berekening het goede antwoord: 1030 + 6 = 1036.

Van dergelijke voorbeelden kunnen wij de voortekenregels voor het vermenigvuldigen aflezen:

+ • + = +

+ • –   = –

–  • + = –

–  • – = +

Het past bij zevende-klassers om deze regels eerst van concrete voorbeelden af te lezen en ze in de praktijk ijverig te oefenen. Langzamerhand beginnen in het innerlijk van de leerlingen zich vragen op  te dringen,  eerst latent, dan duidelijker, tot ze  tenslotte in de klas hoorbaar zijn: ‘waarom gaan die regels eigenlijk op?’  En vooral: ‘Waarom is min maal min plus? ‘ De leerlingen willen nu bewijzen horen.  Ze zijn nu in staat deze ook te begrijpen. Voor we ze geven zij nog op een oefengebied voor de vermenigvuldiging met positieve en negatieve getallen gewezen.

We hebben in het eerste artikel de haakjes weggewerkt, bv.

(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6.

Toen hebben we voor a  achtereenvolgens de natuurlijke getallen 1, 2, 3,….. genomen (artikel 1, tabel 2). Hier nog eens het begin van die tabel:

a   (a + 2) • (a + 3)                                                        a2 + 5a + 6

1       (1 + 2) • (1 + 3) = 3 • 4 = 12                            1 + 5 + 6 = 12

2       (2 + 2) • (2 + 3) = 4 • 5 = 20                           4 + 10 + 6 = 20

3       (3 + 2) – (3 + 3) = 5 • 6 = 30                            9 + 15 + 6 = 30

Kunnen we nu voor a ook negatieve getallen nemen? Bv. a = -9, dan a = -8, a = – 7 enz? In deze volgorde is ieder getal 1 groter dan het voorafgaande, want
— 9 + 1 = — 8, — 8 + 1 = —7  enz.

Bijzonder in ogenschouw te nemen is het kwadraat van een negatief getal:

(- 92= (- 9) • (- 9) = + 81

want min keer min is plus. Door deze regel is het kwadraat van ieder negatief getal positief.

Nu:

rekenen 7 8 deel 4 1

 We zien in: ook voor negatieve getallen geldt de formule

(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6

Hierbij sluit de tabel zich aan voor negatief a via a = 0 zonder een of andere onderbreking bij de tabel voor positief a. Pas nu overzien we dit getalorganisme helemaal;  uiteraard is er naar boven en naar beneden geen grens.

Hoe staat het met de toenames? In de kolom van a is de toename per regel steeds + 1. En in de kolom van de uitkomsten? Eerst neemt de uitkomst af, dat betekent de ‘groei’ is negatief:

42 + (— 12) = 30, 30 + (— 10) = 20, 20 + (- 8) = 12 enz

Maar de groei zelf wordt steeds 2 groter:

(- 12) + 2 = – 10 + 2 = – 8, (- 8) + 2 = – 6

De indruk van een wetmatige opbouw zonder gaten, wordt sterker: alleen wanneer positieve en negatieve getallen samen optreden, vormen zij het rijk van de hele getallen.

Hierbij kunnen nu voorbeelden van deze soort uitgerekend wirden:

(a + 5) • (a – 3) = a2 – 3a + 5a – 15 = a2 + 2a – 15
(a + 2) • (a – 5) = a2 – 5a + 2a – 10 = a2 – 3a – 10
(a + 3) • (a – 4) = a2 – 4a + 3a – 12 = a2 – la – 12

Voor ieder voorbeeld is aan het eind van dit artikel in de tabellen 2, 3 en 4 een waardetabel uitgerekend.

Bij tabel 2:

De kolom met uitkomsten is symmetrisch m.b.t. de regel a = -1, uitkomst – 16. Echter, let op, hoe de uitkomst – 15 daarboven en daaronder uit heel verschillende optellers ontstaan: erboven: -15 = 4 – 4 – 15; eronder: – 15 = 0 + 0 – 15; dat is ook zo bij de andere symmetrische uitkomsten.

Met ieder voorbeeld heb je eigenlijk heel wat berekeningen. Voor de zevende-klasser vormen deze oefenstof voor het rekenen. In de bovenbouw wordt dit thema in verschillende samenhang weer opgepakt: in de 10e klas wordt de opgave gesteld: hoe vind je de waarden a die bij een of andere vooraf gegeven uitkomst horen? Bv. bij welke a wordt a2 — 16a + 80 = 20 (a = 10 und a = 6).

Deze vraagstelling leidt tot de kwadratische vergelijkingen. In het
coördinatensysteem gevende getaltabellen het meetkundige beeld van de parabool, wat vanaf de 11e klas kan leiden tot de behandeling van de analytische curve.  In de 12e klas gaat de interesse uit naar de verhouding  van de groei in de uitkomstkolom t.o.v. die in de a-kolom.
Daardoor kom je terecht in de dynamiek van groeiprocessen.

De precisering van de stappen van regel naar regel leidt tot differentiaalrekenen.

Op deze manier wordt met de tabellen een kiem tot ontwikkeling geplant.

Voor Rudolf Steiner was het een basisaangelegenheid dat de te behandelen stof zich van klas tot klas organisch verder zou kunnen ontwikkelen.

Vóór we het  inhoudelijk bewijs geven van voortekenregels, moet nog opgemerkt worden, dat de voortekenregels voor de deling uit die voor de vermenigvuldiging volgen; de deling is in feite de omkering van de vermenigvuldiging (de andere is (die Messung) het resultaat van  meten.

a : b = c       is hetzelfde als   b • c = a.

15 : 3 =    5                 omdat                       3 • 5 =    15
(- 15) : 3 = – 5           omdat                       3 • (- 5) = – 15
15 : (- 3) = – 5           omdat                   (- 3) • (- 5) = + 15
(- 15) : (- 3) =  + 5   omdat                   (- 3) • (+ 5) = – 15

Dus luiden de voortekenregels voor deling:

+ : + = +
– :  + =  –
+ : – =  –
– : – =   +

Nu richten we ons op het echte bewijs van de voortekenregels. Die zijn niet zo gemakkelijk te geven. Alleen de meest verfijnde begripsonderscheiding leidt tot echt inzicht. Alleen al over de vermenigvuldiging moet beter worden nagedacht als over het algemeen gebeurt. Heel bijzonder is het verschil tussen actieve en passieve getallen, tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal: de vermenigvuldiger (Duits: Multiplikator) geeft aan, hoe vaak het vermenigvuldigtal (Duits: Multiplikand) opgeteld moet worden. Bij de gewone uitleg    3 . 5 = 5 + 5 + 5  vinden slechts twee  optellingen plaats. Kunnen we de vermenigvuldiging zo opvatten dat er daadwerkelijk  drie  optellingen plaatsvinden? De eerste 5 moet echt een opteller zijn (Duits Summand) niet simpelweg een getal waar je vanuit gaat. Opdat de eerste 5 al opteller moet kunnen zijn, al bij iets opgeteld kan worden, moeten we uitgaan van het getal  nul:

3  .  5 = 0 + 5 + 5 + 5

Nu zijn het echt drie optellingen.

De vermenigvuldiging  3 . ( – 5) moet op dezelfde manier verklaard worden:

3 • (- 5) = 0 + (- 5) + (- 5) + (- 5) = – 15

Hoe kunnen we nu (- 3) • (+ 5)  begrijpen? De vermenigvuldiger is opnieuw het actieve getal dat aangeeft, wat hoe vaak moet gebeuren. Maar iets kan niet min drie keer gebeuren, het kan slechts driemaal gebeuren. Het minteken moet hier betekenen dat er niet driemaal opgeteld moet worden, maar driemaal afgetrokken.  Dat is alleen mogelijk wanneer weer van de nul wordt uitgegaan:

(- 3) • (+ 5) = 0 – (+ 5) – (+ 5) – (+ 5) = – 15

We houden nogmaals vast: het minteken bij de vermenigvuldiger – 3 kan alleen maar betekenen: trek het vermenigvuldigtal  + 5 drie keer af, uitgaande van nul.

Nu kan ook het raadsel ( – 3 . ( – 5) echt worden begrepen: het vermenigvuldigtal ( – 5 ) moet driemaal van de nul uitgaand afgetrokken worden.

(- 3)  .  (- 5) = 0 – (- 5) – (- 5) – (- 5)

Het aftrekken van negatieve getallen hebben wij in het vierde artikel uitvoerig behandeld. De uitkomst moet + 15 zijn.

Eigenlijk is het goed te berijpen dat voor een echte verklaring van de voortekenregels het bijzondere getal nul mee moet doen, want de nul is de vereffening van positief en negatief. Nul is echter ook de bron van positief en negatief: uit nul kan op ieder ogenblik een positieve en een  evengrote negatieve hoeveelheid komen, bv.

0 = (+ 15) + (- 15

Op deze manier vatten we de nul in onze laatste berekening  op:

rekenen 7 8 deel 4 2Van – 15 kan nu ( – 5 ) daadwerkelijk driemaal afgehaald worden; + 15 blijft als antwoord over.

Deze gedachtegang is een strenge begripsscholing; vanzelfsprekend kun je er de lessen niet mee beginnen. Daarom hebben we de voortekenregels eerst empirisch aan voorbeelden uit de rekenpraktijk afgelezen en aan veel sommen vlijtig beoefend. Maar er ontstaat een ogenblik in het onderwijs waarop leerlingen naar echte bewijzen vragen. Hoe beter wij als leraren deze bewijzen van te voren doordacht hebben, des te beter zijn we op dit ogenblik voorbereid. En we moeten dit ogenblik ook afwachten, wij moeten wachten tot we merken: nu is de klas eraan toe, begrip te tonen voor zulke gedachtegangen. Hebben wij als leraren deze gedachtegangen tot ons eigen geestelijk bezit gemaakt en is onze klas door de inleidende activiteiten voor het hele terrein rijp geworden, dan gaan de inspanning van de leraar en de klas samen zoals een sleutel en een slot en het begrijpen wordt mogelijk. Groots moment in het onderwijs! Zo’n gemeenschappelijke denkinspanning van leraar en klas is een middel tegen slordigheid zoals dat tegenwoordig in het algemeen in het denken zit. De moeite wordt beloond!

tabel 1 zie terug in het artikel

tabel 2:

rekenen 7 8 deel 4 3

tabel 3:

rekenen 7 8 deel 4 4

 tabel 4:

rekenen 7 8 deel 4 5

(Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.4 1989)

artikel 1;     artikel 2;   artikel 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Advertenties

VRIJESCHOOL- Algebra en rekenen – 7e/8e klas (3)

MET REKENEN BIJ HET LEVEN AANSLUITEN

Eerste kennismaking met negatieve getallen

Het laten kennis maken met de negatieve getallen is een proces dat zich over een langere tijd kan uitstrekken; stap voor stap kan het begrip voor de tegenovergestelde kwaliteit van negatieve en positieve getallen verdiept worden en stapsgewijs kan er door het oefenen met de negatieve getallen zekerheid ontstaan in het rekenen ermee.

Op een ladder kom je naar boven door afwisselend vast te grijpen en te stappen, links, rechts. Ongeveer op deze manier kan je begrip voor de kwaliteit en zekerheid in de rekenpraktijk wederkerig toenemen.

Waar vinden we in het leven negatieve getallen? In het geldverkeer! Wanneer ik in een winkel iets koop van € 126,– en ik heb er maar 100 bij me. geeft de winkelier me misschien krediet, d.w.z. hij geeft mij het artikel mee en gelooft erin dat ik die € 26,– die ik hem schuldig ben, spoedig zal betalen.

Wanneer een echtpaar een huis wil laten bouwen voor het gein, maakt het een raming van de te verwachten bouwkosten. Hoeveel eigen kapitaal hebben we? Hoeveel geld moeten we lenen? Hoe hoog is de rente. Staat het in een dragelijke verhouding tot ons inkomen? –

Schulden maken kun je niet in het algemeen afwijzen; het komt eropaan, hoe je schulden maakt: overzichtelijk en met verantwoording of gedachteloos en lichtzinnig. Lichtzinnig schulden maken is natuurlijk verwerpelijk. Toch zijn er situaties in het leven waarbij we leengeld nodig hebben. Wanneer ik een tijd lang werknemer ben geweest in het bedrijfsleven en ik zou op een bepaald ogenblik in mijn leven zelf een zaak willen beginnen, dan moet ik kunnen overzien hoeveel geld het oprichten van een zaak kost; hoeveel spaargeld ik opzij heb kunnen leggen en op hoeveel krediet ik kan rekenen, want in het algemeen is het benodigde kapitaal groter dan de eigen ter beschikking staande middelen. En ik moet vooraf  kunnen overzien hoe lang het ongeveer gaat duren voor mijn zaak goed loopt, zodat de inkomsten voldoende meer zijn de uitgaven.

Zo moet in het introduceren van de negatieve getallen een soort levenskunde voorafgaan. Deze kan in de 6e klas heel natuurlijk aansluiten bij het berekenen van rente.

Rudolf Steiner wees erop dat de leerlingen op deze leeftijd een subtiel begrip hebben voor de wereld van de rente. Het is dus heel vanzelfsprekend om bij de renteberekeningen  uitvoerig op zulke vragen in te gaan.

Wanneer je bedenkt dat wij in onze lotsverhouding tot onze medemens ook altijd wel een levensschuld hebben, daarmee moeten zien te leven, er naar moeten streven deze weer in te lossen, dan krijgen we misschien pas het echte gevoel voor de juiste instelling t.o.v. financiële schulden.

Hoe slaan we een brug tussen het voorkomen van schulden in het leven en de negatieve getallen. Hier en daar wordt de uitdrukking ‘in de rode cijfers’ gebezigd. Rode cijfers – wat zijn dat? Ze worden gebruikt in de boekhouding; bv. in de boekhouding van een school: wanneer een school het ene jaar meer geld moet uitgeven dan er binnenkomt. Het geldverkeer loopt via een bank: alle inkomsten staat op een bankrekening; alle uitgaven worden van deze rekening betaald. De verantwoordelijken, zowel van de bank als van de school houden bij en af op de rekening goed in de gaten.
Bij het begin van een betalingsperiode, wanneer er opvallend veel ouderbijdragen zijn, stijgt het bedrag. Aan het eind van de periode neemt het gestaag af – en wordt het nul? (de beslissende drempel?) of lager! alvorens de betalingen voor de nieuwe periode binnenkomen. Zo ja, dan ontstaat de toestand, dat er op de rekening  minder dan niets  staat.  Èn de bank èn de controleurs op school weten natuurlijk dat de toestroom aan inkomsten weer zal plaatsvinden. Maar de eerste inkomsten zullen door de  negatieve, de rode cijfers van de rekening opgeslokt worden, tot de beslissende drempel – de nul -weer bereikt is; en pas vandaar af  groeit het geld weer aan – dat staat de school dan werkelijk weer ter beschikking: een proces dat door alle belanghebbenden gedragen zou moeten worden: het hele college en de oudergroep. Een scholing voor geestelijke en sociale wakkerheid en activiteit – een waardevolle scholing! Die helpt ons dat rustig verder leven overwinnen, waarin de verzorgingsstaat maar al te gemakkelijk wegzinkt. Eigenlijk zouden we de sociale wakkerheid over steeds grotere gebieden moeten kunnen uitbreiden: allereerst oefenen we deze in het gezin, dan in de familie, de schoolgemeenschap, in de woongemeenschap….en uiteindelijk moeten we ze voor de hele mensheid ontwikkelen.

Sommige lezers zullen zich afvragen: ‘Waarom is er tot nog toe nooit van positieve en negatie  temperaturen  gesproken?  Over  + 6’C of – 7Ç? Dat komt tot positief of negatief ook  voor in het leven! Ja, maar alleen in de naam. Niet als kwalitatieve tegenstellingen zoals bij tegoed en schuld! Positieve of negatieve temperatuur betekent slechts: warmer of minder warm dan een willekeurig gekozen nultemperatuur.  Toen er in de natuurkunde temperatuurschalen werden ingevoerd, had men al een nultemperatuur gekozen, waarbij in de natuur een markante verandering plaats heeft: de overgang van vloeibaar water in vast ijs.
Maar toch is deze keuze afspraak; er zijn ook temperatuurschalen met een dieper nulpunt. Daalt de temperatuur, dan is er eenvoudig minder warmte aanwezig; daalt de temperatuur onder het vriespunt dan gaat de vermindering aan warmte simpelweg verder, zonder dat de temperatuur in een werkelijke tegengestelde kwaliteit omslaat.
Het bekijken van de temperatuursveranderingen is weliswaar geschikt om het eenvoudigweg oefenen van op en af op een schaal. De temperatuurswaarneming is echte niet geschikt om met ‘positieve’ en ‘negatieve’ tegengestelde gevoelskwaliteiten te verbinden.

Natuurlijk kun je (en moet je) uiteindelijk het rekenen met positieve en negatieve getallen in abstracte formules uitdrukken – maar die zeggen iemand pas wat en die kun je pas met zekerheid toepassen, wanneer je met een intensievere innerlijke wakkerheid een gevoel voor de tegengestelde kwaliteit van deze beide getallensoorten ontwikkeld hebt.

optellen en aftrekken van negatieve getallen

Als eerste gebied waarop negatieve getallen optreden, kun je het bij en af van een rekeningstaat bekijken. Wanneer ik op een bankrekening € 1000 heb staan en ik geef de bank de opdracht een rekening te betalen van € 1200, dan is het saldo daarna – 200 . Het minteken is een soort standbeeld voor de gevolgde aftrekking  1000 –  1200 = – 200. Het eerste minteken is een bewerkingsteken, een opdracht:  trek af!  het tweede minteken is alleen maar een voorteken; het betekent de kwaliteit van het resultaat.
Wij kijken naar het rekeningsaldo in de morgen en de som van de bij- en afschrijvingen gedurende een dag en berekenen het saldo aan het eind van de dag; eerst kiezen we heel eenvoudige getallen.

saldo ’s morgens       120     75      -70    -90
bij                                      50     30     130      60
af                                    200     80       50      40
saldo ’s avonds           -30  +25     +10    -70

alleen als berekeningen:
120 + 50 – 200 = -30
50 + 30 –   80 =+ 25
-70 +130 –  50 = +10
-90 + 60 – 40   = -70

Bij deze voorbeelden moet je erop letten dat je alleen maar  positieve  getallen opgeteld en afgetrokken hebt; negatieve getallen zijn alleen als begin- of eindgetal opgetreden.

Zolang het  slechts  om dit bij en af gaat, kun je ook aan temperatuur denken:

temperatuur ’s morgens     15     4     -3     -4
stijging                                         7      1      8     14
daling                                         12     7       7      2
’s avonds                                +10  -2      -2    +8

alleen als berekeningen:
15 +  7 -12 = +10
4 +   1 – 7 = – 2
-3  +   8 – 7 = – 2
-4 + 14 – 2 = + 8

Dit alleen maar bij en af kan ook op de getallenlijn* worden geoefend.

rekenen 7 8 deel 3 1

startpunt                           +7     +2       -3     -10
stappen naar rechts          5        3        8        5
stappen naar links             4        9        4       3
eindpunt                              +8     -4       +1     -8

De leerlingen moeten met zekerheid op dergelijke schalen heen en weer kunnen gaan; dit moet dus geoefend worden. Je moet je niet de illusie maken, dat je met deze stappen  met   negatieve getallen hebt gerekend; gerekend (opgeteld en afgetrokken) heb je uitsluitend met positieve getallen. Daaraan verandert niets wanneer je van negatieve getallen uitgegaan bent of bij deze uitgekomen. Echte berekeningen  met  negatieve getallen voer je pas uit, wanneer deze  opgeteld of  afgetrokken worden, bv.

5 + (-7) = ?

Om deze berekening te begrijpen,  moeten we aan tegenovergestelde kwaliteiten denken, niet alleen maar aan de betrekkelijke plaats van een nulpunt. We denken aan tegoed en aan schuld, dus wordt uit de inhoud dit begrip voor ons meteen helder:

5 tegoed + 7 schuld = 2 schuld

Om dicht bij deze begrippen te blijven, kunnen we in het begin de symbolen T (tegoed) en S (schuld) gebruiken:

5T + 7S = 2S

We hebben bijna altijd tegelijkertijd tegoed en schulden; iedere rekening die we om een of andere reden nog niet hebben betaald, moeten we als schuld beschouwen. Wanneer we ons op een bepaald ogenblik afvragen hoe we er financieel voorstaan, dan moeten we het bestaande tegoed en de schulden optellen; we kiezen eerst weer kleine eenvoudige getallen:

12T +  7T +  3S = 16T
9T +  8S +  6S =   5S
21T + 17S + 31T = 35T
18S + 16S + 22T = 12S

Met deze manier van schrijven hoef je niet zo lang bezig te blijven, al gauw kun je overgaan tot het noteren van positief en negatief.

(+12) + (+ 7) + (- 3) = +16
(+ 9) + (- 8) + (- 6) = – 5 
(+21) + (-17) + (+31) = +35
(-18) + (-16) + (+22) = -12

Tussen voorteken en bewerkingsteken moet een duidelijk onderscheid gemaakt worden; waar een verwisseling zou kunnen optreden, zetten we de positieve en de negatieve getallen tussen haakjes; de voortekens zijn nauw verbonden met de getallen. Wil je ook in het spreken een verschil maken, dan moet je het laatste voorbeeld zo lezen: negatief 18 plus negatief 16 plus positief 22 is negatief 12.
Voor de voortekens gebruik je dus de uitdrukking ‘positief’ en ‘negatief’ en alleen voor de rekentekens ‘plus’ en ‘min’. Zo precies in het uitdrukken moet je zijn op de ogenblikken waarop je dit verschil sterk in de beleving wil brengen of wanneer het erg belangrijk is. Altijd zo duidelijk willen zijn, is pedant. En bij alle voorlichting zou pedanterie toch vermeden moeten worden.

De  optelling  van positieve en negatieve getallen biedt voor het begrijpen geen problemen, wanneer je aan tegoed en schuld denkt. Samenvattend formuleren we:

Twee tegoeden opgeteld resulteert natuurlijk in de som van de beide aparte tegoeden:

(+7) + (+5) = +12

Net zo resulteert het optellen van twee schulden in de som van de beide aparte:

(-3) + (-6) = -9

Een tegoed en een schuld opgeteld geven een tegoed, wanneer het tegoed groter is dan de schuld en omgekeerd.

( + 7) + (-3) = +4
(+2)  +  (-9) =   -7

Wanneer we bij een tegoed een even grote schuld optellen, ontstaat een resultaat van bijzondere kwaliteit: namelijk het ‘niets’, getalsmatig de nul.

(+ 5)    + (- 5)   = 0
(+ 11)  + (- 11)  = 0
(+123) + (-123) = 0

Een tegoed en een even grote schuld opgeteld is altijd nul; door deze betrekking hangen positief en negatief uiteraard samen; in zoverre is het de belangrijkste optelling. Van de nul zelf kun je niet zegen dat deze positief of negatief is; hij vormt de grens die de beide kwaliteiten scheidt. Een tegoed is een hoeveelheid met de kwaliteit positief, een schuld is een hoeveelheid  met de kwaliteit negatief.

Bekijken we nu de aftrekking, die rekenbewerking die uiteraard tot negatieve getallen leidt. Weliswaar kan ik van ieder tegoed een kleiner wegnemen, toch blijft er steeds een tegoed over:

(+9) – (+2) = +7
(+9) – (+5) = +4
(+9) – (+8) = +1

Zou ik echter van een tegoed alles afhalen, dan bemerk je de kwaliteit ‘leeg’, van het niets; alleen wanneer ik met ‘nul’ deze kwaliteit verbind, beleef ik de nul juist.

(+9) – (+9) = 0

En totaal andere gevoelens ontstaan, wanneer ik van een tegoed meer afhalen moet, dan er is:

(+9) – (+12) = ?

Voor een leerling uit de lagere klassen is het een berekening die eenvoudigweg niet te maken is. Een zevende-klasser kan het  nieuwe begrip bevatten: 3 minder dan niets.

(+9) – (+12) = -3

Kan je ook van een negatief getal een positief getal aftrekken? Als we aan de bankrekening denken, is het meteen duidelijk dat we dieper in de schulden komen.

(-3) – (+5) = -8

En hoe is het dan, wanneer een negatief getal moet worden afgetrokken? Helpt hier het begrip schuld nog. Ja, in het bijzonder dan, wanneer van een schuld een kleinere afgetrokken moet worden. Er blijft dan wel een schuld over, maar minder groot.

9S – 5S=  4S

(-9) – (-5) = -4

Bijzonder belangrijk is het geval dat van een schuld de evengrote schuld afgetrokken moet worden:

9S – 9S = 0

Ben ik iemand iets schuldig en de de schuldeiser besluit de schuldbekentenis te verscheuren, dan heb ik weliswaar nog geen tegoed, maar ook geen schuld meer. De schuldeiser heeft dan een schenking gedaan en mij geholpen van minder dan niets tot niets. Rekenkundig:

(-9) – (-9) = 0

Is het duidelijk geworden dat de aftrekking, het wegnemen van een schuld, effectief een schenking betekent, dan begrijp je ook het geval dat van een schuld een grotere schuld kan worden afgetrokken; de bestaande schuld wordt dan niet alleen vereffend, maar er ontstaat een nieuw tegoed.

(-9) – (-10) = +1
(-9) – (-11) = +2


(-9) – (-15) = +6

Ook van een positief getal kan een negatief afgetrokken worden:

(+2) – (-3) = +5

Een schuld van 3 euro wegnemen, betekent 3 euro schenken, het tegoed wordt groter!

Kan de aftrekking van negatieve getallen uit het getalbegrip en uit het begrip aftrekken zelf begrepen worden, zonder de begrippen schuld en tegoed steeds maar te hulp te roepen?
Ja, dat is mogelijk en geeft m.i. een dieper inzicht. Je moet alleen de basisfeiten, de oergebaren van het aftrekken voor ogen houden, namelijk: aftrekken betekent wegnemen
egelijk min gelijk is nul.

Bekijken we deze oergebaren bij het alledaagse aftrekken met positieve getallen:

(+9) – (+5) =

Nu schrijven we niet automatisch de uitkomst neer, die we natuurlijk meteen wisten, maar we overleggen, hoe komen we nu toch aan deze uitkomst?  Moeten we (+5) wegnemen, dan mogen we ons (+9) niet langer als eenheid voorstellen, maar moeten dit in twee delen delen; een deel moet  (+5) zijn; dit kan dan weggenomen worden. Het andere deel (+4) blijft. Rekenkundig voorgesteld:

(+9) – (+5) = [(+4) + (+5)] – (+5) = (4-4) + [(4-5) – (4-5)] = +4

Korter:

rekenen 7 8 deel 3 2

Het is niet alleen maar didactisch-pedagogisch gefundeerd  dat Rudolf Steiner aan het begin van het rekenonderwijs het optellen van getallen in delen, in optellers plaatst; het is ook wiskundig gefundeerd; dit opdelen is op veel plaatsen een sleutel zowel voor de praktijk van het rekenen als mede voor het principieel begrijpen.

Zo ook voor het aftrekken van negatieve getallen:

(-9) – (-5) = ?

Moeten wij (-5) van het geheel (-9) wegnemen, dan moeten wij (-9) eerst in delen verdelen; is (-5) een deel, dan kan dat weggenomen worden; het deel (-4) blijft over.

rekenen 7 8 deel 3 3

Ook voor negatieve getallen geldt het oerbeginsel: gelijk min gelijk is nul.
Het verdelen bewijst ook zijn nut voor het geval, dat van een kleinere schuld een grotere moet worden afgetrokken:

(-3) – (-5) = ?

Ook in dit geval moet (-5) als ‘deel’ in het geheel (3) gezocht worden.
Is dat mogelijk? Zeker niet, wanneer we slechts aan het begrip schuld denken. Ook aan het begrip tegoed moeten we denken; dan kunnen we het geheel (-3) opdelen in tegoed (+2) en schuld (-5):

(-3) = (+2) (-5)

Het deel (-5) kunnen we nu wegnemen:

(-3) – (-5) = (2) + 5 (-5) – (-5) = +2

Het tegoed (+2) blijft over!

De eigenlijke vooruitgang van de zevende-klasser t.o.v. de eerste-klasser bestaat erin dat hij het proces ‘opdelen’ verder leert denken: niet alleen een positieve hoeveelheid in kleinere positieve hoeveelheden opdelen, of een negatieve hoeveelheid in kleinere negatieve hoeveelheden, maar een negatieve hoeveelheid in een grotere negatieve en een positieve.

Het zelfde principe bewijst zich ook wanneer van een positieve hoeveelheid een negatieve afgetrokken moet worden:

(+3) – (-5) = ?

Het getal (-5), dat weggenomen moet worden, moet als ‘deel’in het geheel (+3) gezien worden: (+3) moet ‘opgedeeld’worden in het grotere positieve (+8) en het negatieve (-5)

Herken je in het geheel dit deel (-5), dan kan dit ook weggenomen worden.

                        (+3) – (-5) – (+8) + (-5) – (-5) = +8

Het tegoed is groter geworden!

Zo leren we inzien dat bij het financiële twee realiteiten betrokken zijn; de realiteit van het tegoed en van de schuld. Wanneer we aan grote financiële zaken denken, aan de financiële huishouding van hele staten en bevolkingsgroepen, dan beleven we aan de schuldenlast van de een en het kapitaaloverschot van de ander deze twee werkelijkheden in het extreme (en in de spanningen) kennen.

Maar er is ook nog een ander fenomenengebied dat door het samenspel van twee tegenovergestelde realiteiten tot stand komt: heel de wereld van organismen, in het bijzonder van de planten. Slechts dankzij het samenspel van twee tegengestelde krachtkwaliteiten – de fysieke en de etherische levensbrengende en gestaltevormende krachten – kan de zichtbare plant voor ons oog verschijnen. Leerstof voor de hele bovenbouw, niet alleen voor de biologie, ook voor de wiskunde, de sterrenkunde, de chemie!

Een basiskracht van het fysieke is de zwaartekracht; een basiskracht van het etherische is het licht. De zevende-klasser kan deze in zwaarte en lichtheid beleven. De beide begrippen zijn ook zeer geschikt om met ‘positief’ en ‘negatief’ bij wat al sterk in het leven ervaren is, aan te knopen.
Daarover meer in het volgende artikel!
In het begin van deze uiteenzetting hebben we ons beziggehouden met de positieve en negatieve getallen op de getallenlijn: geven en nemen, links en rechts.
Voor de eerste kennismaking met deze getallen hebben we het meest ons best gedaan om het principiële begrip voor positief en negatief aan te leggen.
In het volgende artikel zal weer meer de rekenpraktijk op de voorgrond staan: het vermenigvuldigen en delen van positieve en negatieve getallen.

Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.3 jrg.1989 

Artikel 1     artikel 2    artikel 4

*In het boek ‘Het binnenste buiten’ wordt deze getallenlijn daadwerkelijk met de kinderen gelopen. Hij is dan op de grond getekend en de leerlingen bewegen zich naar links en rechts.
Rekenen 7e klas

Duidelijker wordt het lopen uitgelegd in ‘Rekenen in beweging’:

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

  • optellen is vooruitlopen
  • aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

  • reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
  • reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen: (+5) – (+8) = (-3)

(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen) (-3) – (+8) = (-11)

(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen) (-11) + (+5) = (-6)

(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen) (-6) – (-5) = (-1)

(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen) (-1) – (-5) = (+4)

(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrek­ken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie. (blz.288)

 

 

 

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – alle artikelen

[1] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas  (1)
van rekenen naar algebra; wegwerken van haakjes; vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal; factor; commutatieve wet; associatieve wet; distributieve wet

[2] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (2)
van sommen naar producten; van producten naar sommen; buiten haakjes zetten; biometrische wet (Newton)

[3] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (3)
introductie negatieve getallen: tegoed en schuld als uitgangspunt (niet de temperatuur); optellen en aftrekken: lopen op de getallenlijn

[4] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (4)
Waarom is min maal min plus. Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen; voortekenregels

[5] Rekenen 7e klas (1)
Uit het boek : ‘het binnenste buiten’: van rekenen naar algebra; negatieve getallen; machten

 

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – 7e/8e klas (1)

ALGEBRA  EN REKENEN  IN DE 7e  EN 8e KLAS

Voorwoord bij de artikelenreeks.

Steeds opnieuw vroegen klassenleerkrachten mij* – vooral die van de zevende klas – of ik aanwijzingen voor hen had voor het wiskunde-onderwijs.
In de loop van een kleine twee decennia heb ik veel collega’s in talloze losse gesprekken die tips kunnen geven. Meer dan eens was er gelegenheid om in de vakantie of’s avonds wiskundige lesonderwerpen voor een grotere kring te behandelen. Zulke cursussen werkten als een kortstondige stimulans. Sommige cursusdeelnemers kwamen er echter pas na jaren toe de behandelde stof aan een klas te geven; intussen waren de aanwijzingen weggezakt of vergeten.

Twee-en-eenhalf jaar geleden deed ik het lerarencollege van de Rudolf Steinerschool in Basel het voorstel, regelmatig iedere week een uur met de zevende en een uur met de achtsteklasleerkrachten de stof van de wiskundeperioden en ook van de oefenuren systematisch door te werken. Opdat de uren ook werkelijk regelmatig zouden kunnen doorgaan, werden ze op het werkrooster van de deelnemende leerkrachten ingevuld; ze zijn officiële georganiseerd.De ervaringen zijn goed; alle klassenleerkrachten die tot nog toe de uren gevolgd hebben, bevestigen dat ze voor hen een grote hulp zijn geweest.
De klassenleerkrachten staan in de bovenbouwklassen – natuurlijk niet alleen bij het wiskunde-onderwijs – voor een zeer grote opgave. Ik geloof dat deze voor velen slechts te doen is, wanneer het met bepaalde vakken tot een regelmatige, systematische, in een collegiale sfeer georganiseerde samenwerking tussen klassenleerkrachten en vakleerkrachten van de bovenbouw komt.

Over deze samenwerking wordt in een aantal artikelen verslag gedaan. Mijn ervaringen met dit gemeenschappelijke overleg staan erin en natuurlijk gaat het over mijn eigen lessen, vooral aan negende klassen. Tijdens de lessen moest ik dikwijls bij mezelf zeggen: “Wat ik met de negendeklasser doe, is op z’n minst ook voor een deel zevende- en achtsteklasstof en dat zou toch eigenlijk in zeven en acht gegeven moeten worden.
Mijn collega’s, de klassenleerkrachten, hebben mijn voorstellen veelvuldig uitgeprobeerd en deze hebben zich in de praktijk bewezen. Ik bedoel daarmee niet te zeggen dat mijn voorstellen de enige juiste zijn; je kunt een wiskundeperiode op zeer verschillende manieren gestalte geven. Iedere opbouw heeft voor- en nadelen. Hoe je het ook doet, als de klas maar aan oefenen toekomt; praktisch oefenen en verdieping van inzicht kunnen wederzijds hand in hand gaan.
Een bepaalde leskern zou door alle leerlingen begrepen moeten kunnen worden. Daarbuiten moet iedere leerling gelegenheid krijgen zich verder te ontwikkelen, zover als voor hem persoonlijk mogelijk is en zin heeft. Wanneer deze beide doelen bereikt worden – de kernleerstof beheersen en individuele ontwikkelingsmogelijkheden – dan komen alle leerlingen aan hun trekken en ieder is tevreden.

Dus hoop ik dat deze artikelen voor vele collega’s in de zevende en achtste klas een stimulans zijn en een wegbereiding voor de wiskundeperioden .

(De schrijver zegt dan nog dat hij van plan is er een boek over te schrijven – dat is inmiddels gebeurd).

Hij besluit te zeggen hoe mooi et zou zijn als op veel scholen het idee van een samenwerking tussen vak- en klassenleerkracht opgepakt zou worden.

Van het rekenen met getallen naar algebraïsch rekenen- het wegwerken van haakjes

Uit een jarenlange praktijk  is gebleken dat het aanknopen van de algebra aan het rekenen – zelfs bij het hoofdrekenen – vruchtbaar is. Een goede instap is het mondeling vermenigvuldigen van getallen met twee cijfers.
We rekenen uit:  7 x 23.
Uiteraard splitsen we 23 in 20 + 3 en we vermenigvuldigen de op te tellen getallen apart:
7 . 23 = 7 (20 + 3) = 7 . 20 + 7 . 3 = 140 + 21 = 161

Wanneer de vermenigvuldiger een getal is van één cijfer, mag het vermenigvuldigtal zelfs groter zijn dan uit 2 cijfers bestaand; de getallen worden dan niet te groot.

3 . 235 = 3 .(200 + 30 + 5) = 3 . 200 + 3 . 30 + 3 . 5 = 600 + 90 + 5 = 705.

Wanneer de beide factoren uit 2 cijfers bestaan, is het opdelen van beide in optellers nuttig:

15 .27 = (10 + 5) . (20 + 7) = 10 . 20 + 10 . 7 + 5 . 20 + 5. 7 =
200 + 70 + 100 + 35 = 405

Het kan ook stap voor stap:
15 . 27 = (10 + 5) . 27 = 10 . 27 + 5.27 = 270 + 5 . (20 + 7) = 270 + 100 + 35 = 405

Bij grotere getallen van 2 cijfers is het meteen uit elkaar leggen van allebei de getallen nuttiger:

32 .43 =(30 + 2) . (40 + 3) = 30 . 40 + 30 . 3 + 2 40 + 2 . 3 ) = 1200 + 90 + 80 + 6 = 1376

Met een klas kunnen veel van deze voorbeelden opgelost worden:

34.52 = (30 + 4 ) . 50 + 2) = 30 . 50 + 30 .2 + 4 . 50 + 4 . 2 = 1500 + 60 + 200 + 8 = 1768

Na enige oefening kunnen de deelresultaten meteen na de haakjes opgeschreven worden:

43 . 35 = (40+ 3) . (30 + 5) = 1200 + 200 + 90 + 15 = 1505

Vergelijk het met het schriftelijk vermenigvuldigen:

43 . 35
       105
 140
   1505

In de 105 zie je de 90 + 15 en in de 140 (eigenlijk 1400, want een plaats naar links verschoven) de som 1200 + 200.

Hier is het de vraag: moet je met het linker getal het rechter of met het rechter het linker vermenigvuldigen? Op de uitkomst heeft het geen invloed; voor de praktijk van het rekenen is het goed, wanneer de leerlingen beide vormen kunnen.

43 . 35
 215
129
1505

215 is de som 200 + 15 en 1290 = 1200 + 90

Om gevoelsmatig begrip te krijgen voor het vermenigvuldigen is het echter beter met het linker getal het rechter te vermenigvuldigen, want het linker getal is duidelijk het actieve, het rechter passief. Want wat betekent dan 3 keer 5? De 3 geeft aan wat met de 5 moet gebeuren: die moet 3 keer opgeteld worden:

3. 5=5 + 5 + 5

De 3 speelt de actieve rol, de 5 een passieve. De verschillende rollen komen in de naamgeving tot uitdrukking: de 3 is de vermenigvuldiger, de 5 het vermenigvuldigtal. De eindlettergreep -er- vinden we in veel woorden met een actieve betekenis (bakker, landbouwer: het Duits heeft – tor: motor, tractor).
Wanneer je de verschillende functies niet noemen wil, spreekt je over factoren.

Natuurlijk is het geen verplichting om de beide factoren te splitsen in tiental en eenheid; maar die splitsing past wel goed bij ons tientallig stelsel.

15. 13 = (10 + 5) . (10 + 3) = 100 + 30 + 50 + 15 = 195

Maar: net zo goed kan er gerekend worden:

15 . 13 =( 9 + 6) . ( 8 + 5) = 72 + 45 + 48 + 30

Omdat 2 en 8 samen 10 zijn, kun je de deelantwoorden het beste optellen in de volgorde: 72 + 48 + 30 + 45 = 195

of: 15 . 13 = (7 + 8) . (9 + 4) = 63 + 28 + 72 + 32 = 63 + 100 + 32 = 195

Hoeveel verdeelmogelijkheden zijn er bij dit voorbeeld eigenlijk? (In feite 42; 7 voor de eerste factor en 6 voor de tweede).  Er ontstaan steeds weer vier andere optellers, maar steeds is het resultaat 195.

Wonderbaarlijk! Natuurlijk kunnen dergelijke oefeningen al vóór de 7e klas gemaakt worden. Ze eisen beweeglijkheid in het rekenen en je gebruikt er in de praktijk van het rekenen precies datgene mee wat Rudolf Steiner in de eerste klas aan het begin van al het rekenonderwijs zet: het delen van het getal in optellers,bv. 12 = 5 + 7   12 = 4 + 8   12 = 3 + 9 enz.

Maar nu de overgang van het rekenen met getallen naar het algebraïsch rekenen.  We houden ons weer aan de splitsing van tientallen en eenheden, houden de eenheid vast en verhogen achtereenvolgens de tientallen; in beide groepen tussen haakjes moeten de tientallen overeenstemmen:

rekenen 7 8    1

Hier stoppen we een ogenblik en kijken even terug naar het voorafgaande: in de eerste kolom van de antwoorden staan kwadraatgetallen: 100, 400, 900,….in de tweede de rij van dertig: 30, 60, 90….in de derde kolom de rij van twintig: 20, 40, 60….in de vierde kolom echter staat steeds het getal 6. Nu gaan we verder:

rekenen 7 8    2

(tabel 1)

Al deze voorbeelden hebben iets gemeenschappelijks: kun je dat op een rekenmanier duidelijk maken? Alle voorbeelden in één berekening samenvatten?
Als eerste getal mag tussen de haakjes een of ander tiental staan; we schrijven geen specifiek tiental op, maar een symbool ( hiervoor nemen we de letter a), dat ieder mogelijk tiental kan betekenen.

Nog eens:  =a= is uiterlijk bezien een letter, maar betekent een tiental, een getalsymbool.

Kunnen we met dit symbool rekenen? We proberen het: de berekening die alle aparte voorbeelden samenvat, luidt:

( a + 2 )  .  (a + 3 ) =  a2  + 3a + 2a + 6

Als eerste deel van de oplossing verschijnt het kwadraat van a, dan een getal uit de rij van 30 (a is immers een tiental), dan een getal uit de rij van 20 en tenslotte de 6.
Kunnen we nu de aparte uitkomsten samenvatten in een eindresultaat? Niet zo definitief als bij de concrete voorbeelden! Maar 3a + 2a , is dat 5a? Zeker, want 3a + 2a betekent ( a + a + a + a + a) en dat is 5a. Dus (a + 2 ) . (a + 3 ) = a+ 5a + 6

Inderdaad vertonen in de getallenvoorbeelden de tweede en de derde uitkomst samen steeds een getal uit de rij van 50)

In de praktijk van het rekenen ligt het voor de hand, a als een tiental te beschouwen. Mag je voor a ook een ander getal kiezen? Blijft dan de algemene formule overeind? Nemen we voor a een willekeurig getal, bv. 7:

9a + 2) . (a + 3 ) wordt dan : (7 + 2 ) . (7 + 3 ) = 9 . 10 = 90

a+ 5a  + 6 wordt dan met a = 7 tot 49 + 35 + 6 = 90

Als we de  juistheid van de formule systematisch controleren en we nemen voor a de rij van de natuurlijke getallen 1,2,3  enz,:

rekenen 7 8    3

(tabel 2)

Door totaal verschillende berekeningen komen we steeds tot gelijke uitkomsten! Links vermenigvuldigen we 2 getallen, rechts tellen we 3 getallen op – en toch krijgen we steeds hetzelfde antwoord! We vermenigvuldigen  niet zo maar een of ander getal of tellen dit op, maar de getallen op een bepaalde manier opgebouwd. We vermenigvuldigen  steeds de getallen die zó opgebouwd zijn: (a + 2 ) . (a + 3 ); de uitkomst van deze vermenigvuldiging is altijd gelijk aan de som  a+ 5a + 6. Het wezenlijke van de algebraïsche formule ( a + 2 ) . (a + 3 ) = a+5a + 6 is gelegen in het feit dat er  een bepaalde relatie is tussen sommen die vermenigvuldigend zijn ontstaan met die optellend zijn ontstaan en die aan elkaar gelijk zijn. Uiteindelijk moet de algebra de identiteit van verschillende getalsrelaties duidelijk maken.

In tabel 2 hebben we achtereen de getallen 1,2,3…. genomen en krijgen ook achtereenvolgens de uitkomsten 12, 20, 30, 42….; is deze uitkomstrij toevallig – of valt er iets te ontdekken? Een paar leerlingen merken het snel: van 12 naar 20 is een toename van 8; van 20 naar 30 is deze 10, dan 12….enz. We maken onze tabel 2 af wanneer we in een volgende kolom de groei van uitkomst naar uitkomst noteren:

a              uitkomst                  toename

rekenen 7 8    4

 

De groei neemt steeds met 2 toe. Zou je nu de volgende uitkomsten vooruit kunnen bepalen,  als de toename steeds  2 is, dus als je de laatste kolom verder uitwerkt?

toename

rekenen 7 8    5

Vul de binnenkolommen aan! Wakkere leerlingen komen er vanzelf op ook in tabel 1 de toename uit te rekenen!)

Tabel 2 kan als één grote getallensamenhang beleefd worden: geen enkel getal valt buiten de boot, elk past in het geheel. De beleving ‘het klopt’ roept in de leerling het gevoel van zekerheid op,het goed te hebben uitgerekend. Zo dikwijls mogelijk moeten we de leerling gelegenheid geven deze zelfbevestiging te kunnen beleven.

Wanneer  het al vermenigvuldigend laten verdwijnen van de haakjes omstandig ingeleid is, dan kun je veel algebraïsche voorbeelden uitrekenen:

rekenen 7 8    6

Voor een deel van de voorbeelden kan je ook waardetabellen (zoals in tabel 2) laten uitrekenen.

Hoe krijg je de haakjes weg wanneer er alleen maar verschillende getallen tussen de haakjes staan? Voorbeelden daarvan hebben we al uitgerekend:

32 . 63 = (30 + 2 ) . (60 + 3 ) = 1800 + 90 + 120 + 6 = 2016

Alle getallenvoorbeelden van deze soort kun je samenvatten in de algebraïsche berekening:

(a + b ) . (c + d) = ac + ad + bc + bd

Als regel geformuleerd: twee optelsommen tussen haakjes worden vermenigvuldigd en wel zo dat je iedere opteller tussen haakjes van de ene groep vermenigvuldigt met de optellers uit de andere groep ( en dan de deeluitkomsten optelt).

Wil je de regel nog wat korter hebben, dan kun je het deel ‘en dan de deeluitkomsten optellen’ weglaten, want dat is bijna vanzelfsprekend.

Zoals een plant zich in de zomer uitleeft in stengel-, blad- en bloemvorming, maar dan in de herfst zich toch weer moet terugtrekken in het zaad, kan je je in een dergelijke periode met het wegvermenigvuldigen van de haakjes uitleven om je dan te concentreren op een dergelijke formule-achtige regel.

Welke algemeenheden hebben we op onze oefenweg nog meer aangetroffen? Hoe je verschillende veelvouden van hetzelfde getal a kan optellen: 8a + 3a = 11a;     2a+ 7a =9a enz.

Algemeen: ba + ca +da + ……= ( b +c + d…..) . a

Regel: verschillende veelvouden van een getal a worden opgeteld wanneer je de vermenigvuldigers optelt (en dan a met deze uitkomst vermenigvuldigt).

De formule kan ook de andere op worden gelezen:

(b + c + d+…..) . a = ba +ca + da + …..

Bijpassende regel: een getal wordt met een som vermenigvuldigt zodanig dat je het getal met iedere opteller vermenigvuldigt.

Zulke regels zelf formuleren is voor de leerling bewustwording.

Ook kunnen we nu de basisrekenwetten voor optelling en vermenigvuldiging die we al sinds de eerste klas als vanzelf gebruikt hebben, algebraïsch formuleren (en daarmee duidelijk bewust maken):

1e basisregel: optellers mogen worden verwissel: a+ b = b + a
factoren mogen worden verwisseld: a . b= b . a

In vaktaal worden deze beide wetten: commutatieve wetten  van optelling en vermenigvuldiging (wet van de verwisseling)  genoemd.

Geldt deze wet ook voor de aftrekking en de deling? Geenszins!

Overigens geldt deze voor de allerhoogste getalsoorten (bij de zgn.
(Duits: überimaginaire getallen) ook voor de vermenigvuldiging niet; op deze getallen wees Rudolf Steiner als belangrijk om ze te kennen.

2e basisregel: meer dan twee optellers of factoren mogen op willekeurige wijze samen genomen worden :

a + b + c= (a + b) + c                                3 + 5 + 9 = 8 + 9 = 17
a + b + c = a + (b + c)                               3 + 5 + 9 = 3 + 14 = 17

a . b . c = (a + b ) . c                                   2 . 3 . 5 = 6 . 5 = 30
a . b . c = a . (b . c )                                    2 . 3 . 5 = 2 . 15 = 30

In vaktaal: associatieve wet van optelling en vermenigvuldiging.
Beide rekenbewerkingen zijn door distributiviteit met elkaar verbonden:

a. (b + c ) =a . b+ a . c

Door algebraïsch te rekenen kunnen de rekenregels steeds duidelijker bewust worden. Wanneer we ze helemaal doorzien, voelen we ons bij het rekenen helemaal zeker. Dan beleven we ons eigen denken als een innerlijke aangelegenheid die ons met zekerheid zegt: ‘Ja, zo is het goed!’
Wanneer we de leerlingen mettertijd tot het beleven van deze innerlijke aangelegenheid kunnen leiden, dan kunnen zij zich beleven als denkende wezens.

* Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr. 53 01-1989)

artikel   2     artikel 3      artikel 4

 

WAT STAAT OP DEZE BLOG

.
Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

.
VRIJESCHOOL in beeld: bordtekeningen; schilderingen, tekeningen enz.
voor klas 1 t/m/ 7

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 1325 artikelen

.

RUDOLF STEINER
alle artikelen:
–wat zegt hij over——
–waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–

 

AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KLASSEN
alle artikelen: peuters/kleutersklas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7klas 8  (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2]

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
via de blog van Madelief Weideveld

VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Met sprookjesbeelden, nog wel. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)
Ex-antroposoof en ex-vrijeschoolleraar, de Fransman Perry, beweert dat de vrijeschool indoctrineert. Door de dierkundeperiode in klas 4, o.a. Volgens Pieter Witvliet kan hij zijn beschuldigingen niet onderbouwen.

Luc Cielen:
In tot nog toe 11 artikelen probeert Luc aan te tonen dat er teveel antroposofie zit in het leerplan van de vrijeschool.
In zijn artikel 1 gaat het over geschiedenis, dier- en plantkunde.
In geschiedenis toont Pieter Witvliet aan dat je daar nog heel anders naar kunt (en wat hem betreft móet) kijken; ook ‘Atlantis’ is niet per definitie ‘antroposofie’

In dierkunde toont Pieter Witvliet aan dat de indeling in hoofd, romp en ledematen niet iets ‘typisch van Steiner is’. Door te werken als Steiner aangeeft, kan er een met eerbied gevoelde relatie ontstaan tussen kind en wereld, wat geen antroposofie is.

In plantkunde toont Pieter Witvliet aan dat ook het plantkunde-onderwijs geen antroposofisch onderwijs genoemd kan worden, behalve het onderdeel plantenkarakter en zieleneigenschap. Dit wordt echter in vrijwel geen enkele school aan de orde gesteld.

In morgenspreuk 1 toont Pieter Witvliet aan dat de spreuk weinig heeft van een ‘geloofsbelijdenis’, maar juist iets ‘algemeen menselijks’ benoemt. Om kinderen innerlijk vertrouwen te geven. Dat staat ver van ‘indoctrinatie’.

Dat geldt ook voor morgenspreuk 2

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

EN VERDER:
burnt out

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets

antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs?
antroposofische indoctrinatie in het vrijeschoolonderwijs? (2)

karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

spel

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

.