Categorie archief: algebra

VRIJESCHOOL – 7e klas – algebra (6)

Geplaatst op 23 april 2019| Een reactie plaatsen
.
Herman von Baravalle, Mitteilungen 4/5 juli 1924
.

ENIGE GEZICHTSPUNTEN VOOR DE EERSTE LESSEN IN ALGEBRA

.
De ervaringen die de meesten van ons zeker opdoen bij de eerste lessen in het letterrekenen, kan je zo samenvatten dat de kinderen enerzijds dikwijls veel plezier beleven bij het maken van bepaalde rekenbewerkingen, bv. sommen die tussen haakjes staan, oplossen enz., maar ook dat voor hen de theoretische achtergronden en het verankeren van deze discipline buitengewoon lastig is.
Maar, wanneer er iets blijft liggen wat niet begrepen wordt, dan is dat genoeg om te verhinderen dat het kind zich daarna op dit gebied vertrouwd voelt. 

Leg je bv. het algemene getal  a  uit op de manier dat je in de een of andere vorm de volgende gedachtegang uitvoert, dan zal je zelden op echt begrip stoten: het begrip van een getal, bv. 4, ontstaat als je van de dingen en hun kwaliteiten abstraheert en alleen naar hun aantal kijkt. Als je nu abstraheert van dit bepaalde losse getal, wanneer je, het maakt niet uit welke getallen, deze weer samenvat, dan kom je op een algemeen getal  a  waaronder je ieder willekeurig getal kan rekenen.
Bij deze gedachtegang ontstaat zondermeer bij de kinderen meer of minder bewust: ‘wat blijft er dan nog over?’ 
Hoe terecht deze vraag is, zal je inzien wanneer je naar het historisch verloop kijkt, want nooit zou zich het begrip van het algemene getal op de aangeduide manier werkelijk historisch hebben kunnen vormen. Heel anders wordt het, wanneer je de volgende weg bewandelt:

Je kiest twee getallen van veel cijfers en laat die met elkaar vermenigvuldigen; dan zet je het bovenste getal onder en het onderste boven en vermenigvuldigt weer. Je krijgt dezefde uitkomst. Dan doe je dat met tiendelige en gewone breuken, enz. Overal kan je deze wissel toepassen. Nu laat je deze regels in woorden opschrijven. Daar is een hele zin voor nodig die in het schrift minstens een, twee lijnen in beslag neemt. Nu zeg je dat je dit ook korter kan opschrijven en zonder nadere uitleg schrijf je op het bord: a  •  b  =  b • a.  Ieder kind begrijpt meteen wat daarmee bedoeld wordt: ieder kind begrijpt dat je deze regel met behulp van letters veel korter kan houden en een theoretische overdenking over abstractieprocessen is niet meer nodig. Vanuit deze richting heb je ook de mogelijkheid, lang voor je met algebra begint, hun begrip al een beetje op te bouwen, wanneer je al in lagere klassen bij het oefenen van het optellen, vermenigvuldigen enz. op het kunnen verwisselen wijst, wat ook bij het oefenen van de rekenoperaties veel levendigheid oplevert.

Een moeilijkheid is ook het begin van de negatieve getallen [1] 

Ook hier zal je met theoretische verklaringen weinig bereiken. Het is al veel beter aan te sluiten bij de begrippen van vermogen en schuld, maar ook hierbij zal in het kind vaag een protest meeklinken dat natuurlijk niet zo door het kind onder woorden wordt gebracht, n.l. dat het alleen maar aan de sociale omstandigheden ligt, dat je met een vermogen onder de nullijn kan gaan, maar het toch een onmogelijkheid is om van 5 euro er 6 weg te pakken.
Je kan wel meteen een weg bewandelen die op deze vraag in kan gaan: 
Ik leg eerst 5 papierpropjes op tafel, dan neem ik er een weg, dan weer een, enz., tot ik ze alle vijf in mijn hand heb. Nu vraag ik aan de kinderen of ik er nu nog meer kan pakken. Die zijn allemaal van de onmogelijkheid overtuigd. 
Nu leg ik vijf lucifers verspreid op tafel en doe hetzelfde. Dan leg ik ze op een rij en neem weer weg. Natuurlijk blijkt ook hier dat ik er van 5 nooit 6 wegpakken kan. Dan doe ik het weer, maar nu teken ik de lucifers als horizontale streepjes op het bord en waar ik wegneem, wis ik er een uit en ook als ik de lucifers zo lang als een stap met krijt op de grond teken en met de spons weer achter elkaar uitveeg, kan je nog steeds geen 6 van 5 wegnemen.
Nu zeg ik dat we de strepen niet daadwerkelijk met krijt gaan tekenen, maar omdat ze zo groot zijn als een stap, de stappen zelf zetten en ik liet een jongen vanaf een bepaald punt de vijf passen lopen. Nu kwamen de kinderen er zelf op dat je het wegnemen kan doen door achteruit te lopen. Wil je van 5 passen er 3 wegnemen, dan loop je eerst 5 schreden naar voren en dan 3 terug. Dan blijk er echter iets, n.l. dat je ook meer dan 5 passen terug kan zetten waardoor je aan de andere kant van het beginpunt komt, dat je onder deze omstandigheden de aftrekking voorbij de nul kan doen. 
Het was voor de kinderen meteen duidelijk dat de mogelijkheid van de invoering van negatieve getallen gebonden is aan het bestaan van de richting en de tegenrichting. Pas wanneer ik het aftrekken door achteruit te lopen (verdergaan in de tegenovergestelde richting) invoer, zijn negatieve getallen mogelijk.

Het moet voor de leerkracht altijd een streven zijn de dingen niet door verklaringen aan te bieden die alleen maar het intellect aanspreken, maar in het onderwijs wanneer het maar mogelijk is, de kinderen in hun wil aan te spreken. Het is dan vaak onuitwisbaar in één ogenblik helder, wat anders door lang oefenen en pijnigen bereikt moet worden.
Zo kan je de regel van het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom (het komt erop aan ieder lid van een polynoom met ieder lid van een ander polynoom te vermenigvuldigen) ongeveer zo formuleren:

Je vraagt vier kinderen en laat ze aan de ene kant van de klas staan. Dan vier andere en ook die gaan in een rij staan. Nu laat je het eerste kind van de ene groep naar ieder ander kind in de andere groep gaan en deze een hand geven, dan terug naar de plaats. Dan het tweede kind enz. Nu kun je ze een voor een vragen wie zij een hand hebben gegeven, waarbij blijkt dat ieder kind van de eerste groep bij ieder kind van de tweede groep is geweest. De kinderen hebben hier hetzelfde gedaan als wat bij een vermenigvuldiging gebeurt.

Het is zeer waardevol om bij alle rekenoperaties op het wezenlijke te wijzen van het proces dat uitgevoerd moet worden, wanneer je zoekt naar waar in het leven iets gebeurt wat erop lijkt.
Zo bv. in de bewerking van het samennemen van termen in de algebra waarbij je de gelijknamige delen op moet zoeken en optellen, niets anders dan het sorteren dat in het zaken- en bankwezen zo’n grote rol speelt. Noem je die dingen en ga je zo ver dat je de bewegingen maakt die erbij horen, dan breng je een levendige verbinding tot stand met de rekenbewerkingen. 
Dan voelen de kinderen dat zij zich met algebra niet met dingen bezighouden die in het praktische leven overbodig zijn en die wellicht ontstaan door het niet begrijpen van de basis, maar dat daardoor krachten worden gewekt die ver boven hun eigen begrenzing uitgaan en overal met het leven in contact staan en er een verbinding mee hebben. 

[1] zie de artikelen die dit ook behandelen, via:
.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 7e klas

.

1793

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Advertentie

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra

Getagged , ,

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (4)

Geplaatst op 26 mei 2014| Een reactie plaatsen

.

Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.4 1989
.

WAAROM WORDT MIN KEER MIN PLUS?
.

vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen

Voor de vermenigvuldiging en deling met positieve en negatieve getallen gaan we weer uit van de rekenpraktijk:

3 • 58 kan op twee manieren uitgerekend worden, of  3 • ( 50 + 8)  of 3 • (60 – 2)

3 • 58 = 3 • (50 + 8) = 3 • 50 + 3 • 8 = 150 + 24 = 174
3 • 58 = 3 • (60 – 2) = 3 • 60 + 3 • (- 2) = 180 –  6 = 174

net zo:

8 • 37 = 8 . (30 + 7) = 8 • 30 + 8 • 7 = 240 + 56 = 296
8 . 37 = 8 • (40 – 3) = 8 • 40.+ 8 • (- 3) = 320 – 24 = 296

Deze manier van rekenen laat zien dat  3 • (- 2) = – 6 en 8 • (- 3) = – 24 tot de goede oplossing leiden. Inhoudelijk is het makkelijk te begrijpen dat  3 • (- 2) = – 6 moet zijn, want 3 • (- 2) betekent (- 2) + (- 2) + (- 2) = – 6

Wanneer we drie keer achter elkaar een schuld maken van € 2, dan hebben we een totale schuld van € 6 gemaakt.

Een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigd  leidt simpelweg tot het overeenkomstige negatieve veelvoud.

Daarentegen stelt de opgave  (- 4) • 9 = ? ons voor een echte vraag. Wat betekent eigenlijk:

een positief getal met een negatief vermenigvuldigen? Het volledige antwoord is helemaal niet zo gemakkelijk te vinden; dat geven we later.

Natuurlijk vermoeden we : (- 4) • 9 = – 36.

Op de de commutatieve wet  a • b = b • a mogen we echter niet zomaar een beroep doen; tot nog toe hebben we vastgesteld, dat die voor positieve getallen opgaat – negatieve getallen zouden zich anders kunnen gedragen.

In het eerste artikel hebben we opgemerkt dat er getallen zijn van een bepaald soort (Duits: hoher Art) waarvoor de commutatieve wet inderdaad niet geldt. Maar laten we ons met ons vermoeden weer op de rekenpraktijk richten:

26 • 9 = (20 + 6) • 9 = 20 • 9 + 6 • 9 = 180 + 54 = 234
26 • 9 = (30 – 4) • 9 = 30 • 9 + (- 4) • 9 = 270 – 36 = 234

De vergelijking van de beide berekeningen bevestigt de juistheid van ons vermoeden. Ons vermoeden twee keer toegepast:

28 • 23 = (30 – 2) (20 + 3) = 30 • 20 + 30 • 3 + (- 2) • 20 + (- 2) • 3 = 600 + 90 – 40 – 6 = 644

Dezelfde vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen:

28 • 23 = (20 + 8) (20 + 3) = 20 • 20 + 20 • 3 + 8 • 20 + 8 • 3 = 400 + 60 + 160 + 24 = 644

Opnieuw wordt ons vermoeden bevestigd!

Nu naar het moeilijkste geval: een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal:

(- 3) • (- 4) = ?

In de praktijk van het rekenen komt hij voor in bv.:

17 • 26 = (20 – 3) (30 – 4) = 20 • 30 + 20 • (- 4) + (- 3) • 30 + (- 3) • (- 4) = 600 – 80 – 90 + (- 3) • (- 4) = 430 + (- 3) • (- 4)

Wij zijn heel voorzichtig; we hebben alleen de resultaten gebruikt die in de vorige voorbeelden juist bleken te zijn.  Wat  (- 3) • (- 4) is, laten we nog open.

Nu rekenen we dezelfde vermenigvuldiging uit met alleen maar positieve getallen:

17 • 26 = (10 + 7) (20 + 6) = 10 • 20 + 10 • 6 + 7 * 20 + 7 • 6 = 200 + 60 + 140 + 42 = 442

Bij de eerste vermenigvuldiging krijgen we de goede uitkomst wanneer we   (- 3) • (- 4) als 12 denken: 430 + 12 = 442

Natuurlijk moet je met de klas meer van deze voorbeelden uitrekenen;

28 • 37 = (30 – 2) (40 – 3) = 30 • 40 + 30 • (- 3) + (- 2) • 40 + (- 2) • (- 3) = 1200 – 90 – 80 + (- 2) • (- 3) = 1030 + (- 2) • (- 3)

en vergelijken met:

28 • 37 = (20 + 8) (30 + 7) = 20 • 30 + 20 • 7 + 8 • 30 + 8 • 7 = 600 + 140 + 240 + 56 = 1036

Opnieuw zegt de vergelijking:  (- 2) • ( -3) = + 6 geeft in de eerste berekening het goede antwoord: 1030 + 6 = 1036.

Van dergelijke voorbeelden kunnen wij de voortekenregels voor het vermenigvuldigen aflezen:

+ • + = +

+ • –   = –

–  • + = –

–  • – = +

Het past bij zevende-klassers om deze regels eerst van concrete voorbeelden af te lezen en ze in de praktijk ijverig te oefenen. Langzamerhand beginnen in het innerlijk van de leerlingen zich vragen op  te dringen,  eerst latent, dan duidelijker, tot ze  tenslotte in de klas hoorbaar zijn: ‘waarom gaan die regels eigenlijk op?’  En vooral: ‘Waarom is min maal min plus? ‘ De leerlingen willen nu bewijzen horen.  Ze zijn nu in staat deze ook te begrijpen. Voor we ze geven zij nog op een oefengebied voor de vermenigvuldiging met positieve en negatieve getallen gewezen.

We hebben in het eerste artikel de haakjes weggewerkt, bv.

(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6.

Toen hebben we voor a  achtereenvolgens de natuurlijke getallen 1, 2, 3,….. genomen (artikel 1, tabel 2). Hier nog eens het begin van die tabel:

a   (a + 2) • (a + 3)                                                        a2 + 5a + 6

1       (1 + 2) • (1 + 3) = 3 • 4 = 12                            1 + 5 + 6 = 12

2       (2 + 2) • (2 + 3) = 4 • 5 = 20                           4 + 10 + 6 = 20

3       (3 + 2) – (3 + 3) = 5 • 6 = 30                            9 + 15 + 6 = 30

Kunnen we nu voor a ook negatieve getallen nemen? Bv. a = -9, dan a = -8, a = – 7 enz? In deze volgorde is ieder getal 1 groter dan het voorafgaande, want
— 9 + 1 = — 8, — 8 + 1 = —7  enz.

Bijzonder in ogenschouw te nemen is het kwadraat van een negatief getal:

(- 9) 2= (- 9) • (- 9) = + 81

want min keer min is plus. Door deze regel is het kwadraat van ieder negatief getal positief.

Nu:

rekenen 7 8 deel 4 1

 We zien in: ook voor negatieve getallen geldt de formule

(a + 2) • (a + 3) = a2 + 5a + 6

Hierbij sluit de tabel zich aan voor negatief a via a = 0 zonder een of andere onderbreking bij de tabel voor positief a. Pas nu overzien we dit getalorganisme helemaal;  uiteraard is er naar boven en naar beneden geen grens.

Hoe staat het met de toenames? In de kolom van a is de toename per regel steeds + 1. En in de kolom van de uitkomsten? Eerst neemt de uitkomst af, dat betekent de ‘groei’ is negatief:

42 + (— 12) = 30, 30 + (— 10) = 20, 20 + (- 8) = 12 enz

Maar de groei zelf wordt steeds 2 groter:

(- 12) + 2 = – 10 + 2 = – 8, (- 8) + 2 = – 6

De indruk van een wetmatige opbouw zonder gaten, wordt sterker: alleen wanneer positieve en negatieve getallen samen optreden, vormen zij het rijk van de hele getallen.

Hierbij kunnen nu voorbeelden van deze soort uitgerekend wirden:

(a + 5) • (a – 3) = a2 – 3a + 5a – 15 = a2 + 2a – 15
(a + 2) • (a – 5) = a2 – 5a + 2a – 10 = a2 – 3a – 10
(a + 3) • (a – 4) = a2 – 4a + 3a – 12 = a2 – la – 12

Voor ieder voorbeeld is aan het eind van dit artikel in de tabellen 2, 3 en 4 een waardetabel uitgerekend.

Bij tabel 2:

De kolom met uitkomsten is symmetrisch m.b.t. de regel a = -1, uitkomst – 16. Echter, let op, hoe de uitkomst – 15 daarboven en daaronder uit heel verschillende optellers ontstaan: erboven: -15 = 4 – 4 – 15; eronder: – 15 = 0 + 0 – 15; dat is ook zo bij de andere symmetrische uitkomsten.

Met ieder voorbeeld heb je eigenlijk heel wat berekeningen. Voor de zevende-klasser vormen deze oefenstof voor het rekenen. In de bovenbouw wordt dit thema in verschillende samenhang weer opgepakt: in de 10e klas wordt de opgave gesteld: hoe vind je de waarden a die bij een of andere vooraf gegeven uitkomst horen? Bv. bij welke a wordt a2 — 16a + 80 = 20 (a = 10 und a = 6).

Deze vraagstelling leidt tot de kwadratische vergelijkingen. In het
coördinatensysteem gevende getaltabellen het meetkundige beeld van de parabool, wat vanaf de 11e klas kan leiden tot de behandeling van de analytische curve.  In de 12e klas gaat de interesse uit naar de verhouding  van de groei in de uitkomstkolom t.o.v. die in de a-kolom.
Daardoor kom je terecht in de dynamiek van groeiprocessen.

De precisering van de stappen van regel naar regel leidt tot differentiaalrekenen.

Op deze manier wordt met de tabellen een kiem tot ontwikkeling geplant.

Voor Rudolf Steiner was het een basisaangelegenheid dat de te behandelen stof zich van klas tot klas organisch verder zou kunnen ontwikkelen.

Vóór we het  inhoudelijk bewijs geven van voortekenregels, moet nog opgemerkt worden, dat de voortekenregels voor de deling uit die voor de vermenigvuldiging volgen; de deling is in feite de omkering van de vermenigvuldiging (de andere is (die Messung) het resultaat van  meten.

a : b = c       is hetzelfde als   b • c = a.

15 : 3 =    5                 omdat                       3 • 5 =    15
(- 15) : 3 = – 5           omdat                       3 • (- 5) = – 15
15 : (- 3) = – 5           omdat                   (- 3) • (- 5) = + 15
(- 15) : (- 3) =  + 5   omdat                   (- 3) • (+ 5) = – 15

Dus luiden de voortekenregels voor deling:

+ : + = +
– :  + =  –
+ : – =  –
– : – =   +

Nu richten we ons op het echte bewijs van de voortekenregels. Die zijn niet zo gemakkelijk te geven. Alleen de meest verfijnde begripsonderscheiding leidt tot echt inzicht. Alleen al over de vermenigvuldiging moet beter worden nagedacht als over het algemeen gebeurt. Heel bijzonder is het verschil tussen actieve en passieve getallen, tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal: de vermenigvuldiger (Duits: Multiplikator) geeft aan, hoe vaak het vermenigvuldigtal (Duits: Multiplikand) opgeteld moet worden. Bij de gewone uitleg    3 • 5 = 5 + 5 + 5  vinden slechts twee  optellingen plaats. Kunnen we de vermenigvuldiging zo opvatten dat er daadwerkelijk  drie  optellingen plaatsvinden? De eerste 5 moet echt een opteller zijn (Duits Summand) niet simpelweg een getal waar je vanuit gaat. Opdat de eerste 5 al opteller moet kunnen zijn, al bij iets opgeteld kan worden, moeten we uitgaan van het getal  nul:

3  • 5 = 0 + 5 + 5 + 5

Nu zijn het echt drie optellingen.

De vermenigvuldiging  3 . ( – 5) moet op dezelfde manier verklaard worden:

3 • (- 5) = 0 + (- 5) + (- 5) + (- 5) = – 15

Hoe kunnen we nu (- 3) • (+ 5)  begrijpen? De vermenigvuldiger is opnieuw het actieve getal dat aangeeft, wat hoe vaak moet gebeuren. Maar iets kan niet min drie keer gebeuren, het kan slechts driemaal gebeuren. Het minteken moet hier betekenen dat er niet driemaal opgeteld moet worden, maar driemaal afgetrokken.  Dat is alleen mogelijk wanneer weer van de nul wordt uitgegaan:

(- 3) • (+ 5) = 0 – (+ 5) – (+ 5) – (+ 5) = – 15

We houden nogmaals vast: het minteken bij de vermenigvuldiger – 3 kan alleen maar betekenen: trek het vermenigvuldigtal  + 5 drie keer af, uitgaande van nul.

Nu kan ook het raadsel ( – 3 • ( – 5) echt worden begrepen: het vermenigvuldigtal ( – 5 ) moet driemaal van de nul uitgaand afgetrokken worden.

(- 3)  • (- 5) = 0 – (- 5) – (- 5) – (- 5)

Het aftrekken van negatieve getallen hebben wij in het vierde artikel uitvoerig behandeld. De uitkomst moet + 15 zijn.

Eigenlijk is het goed te berijpen dat voor een echte verklaring van de voortekenregels het bijzondere getal nul mee moet doen, want de nul is de vereffening van positief en negatief. Nul is echter ook de bron van positief en negatief: uit nul kan op ieder ogenblik een positieve en een  evengrote negatieve hoeveelheid komen, bv.

0 = (+ 15) + (- 15

Op deze manier vatten we de nul in onze laatste berekening  op:

rekenen 7 8 deel 4 2Van – 15 kan nu ( – 5 ) daadwerkelijk driemaal afgehaald worden; + 15 blijft als antwoord over.

Deze gedachtegang is een strenge begripsscholing; vanzelfsprekend kun je er de lessen niet mee beginnen. Daarom hebben we de voortekenregels eerst empirisch aan voorbeelden uit de rekenpraktijk afgelezen en aan veel sommen vlijtig beoefend. Maar er ontstaat een ogenblik in het onderwijs waarop leerlingen naar echte bewijzen vragen. Hoe beter wij als leraren deze bewijzen van te voren doordacht hebben, des te beter zijn we op dit ogenblik voorbereid. En we moeten dit ogenblik ook afwachten, wij moeten wachten tot we merken: nu is de klas eraan toe, begrip te tonen voor zulke gedachtegangen. Hebben wij als leraren deze gedachtegangen tot ons eigen geestelijk bezit gemaakt en is onze klas door de inleidende activiteiten voor het hele terrein rijp geworden, dan gaan de inspanning van de leraar en de klas samen zoals een sleutel en een slot en het begrijpen wordt mogelijk. Groots moment in het onderwijs! Zo’n gemeenschappelijke denkinspanning van leraar en klas is een middel tegen slordigheid zoals dat tegenwoordig in het algemeen in het denken zit. De moeite wordt beloond!

tabel 1 zie terug in het artikel

tabel 2:

rekenen 7 8 deel 4 3

tabel 3:

rekenen 7 8 deel 4 4

 tabel 4:

rekenen 7 8 deel 4 5

artikel 1;     artikel 2;   artikel 3

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

570-523

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra, rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL- Algebra en rekenen – 7e/8e klas (3)

Geplaatst op 15 mei 2014| Een reactie plaatsen
.
Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr.3 jrg.1989 
.

MET REKENEN BIJ HET LEVEN AANSLUITEN

Eerste kennismaking met negatieve getallen

Het laten kennismaken met de negatieve getallen is een proces dat zich over een langere tijd kan uitstrekken; stap voor stap kan het begrip voor de tegenovergestelde kwaliteit van negatieve en positieve getallen verdiept worden en stapsgewijs kan er door het oefenen met de negatieve getallen zekerheid ontstaan in het rekenen ermee.

Op een ladder kom je naar boven door afwisselend vast te grijpen en te stappen, links, rechts. Ongeveer op deze manier kan je begrip voor de kwaliteit en zekerheid in de rekenpraktijk wederkerig toenemen.

Waar vinden we in het leven negatieve getallen? In het geldverkeer! Wanneer ik in een winkel iets koop van € 126,– en ik heb er maar 100 bij me. geeft de winkelier me misschien krediet, d.w.z. hij geeft mij het artikel mee en gelooft erin dat ik die € 26,– die ik hem schuldig ben, spoedig zal betalen.

Wanneer een echtpaar een huis wil laten bouwen voor het gezin, maakt het een raming van de te verwachten bouwkosten. Hoeveel eigen kapitaal hebben we? Hoeveel geld moeten we lenen? Hoe hoog is de rente. Staat het in een dragelijke verhouding tot ons inkomen? –

Schulden maken kun je niet in het algemeen afwijzen; het komt erop aan, hoe je schulden maakt: overzichtelijk en met verantwoording of gedachteloos en lichtzinnig. Lichtzinnig schulden maken is natuurlijk verwerpelijk. Toch zijn er situaties in het leven waarbij we leengeld nodig hebben. Wanneer ik een tijd lang werknemer ben geweest in het bedrijfsleven en ik zou op een bepaald ogenblik in mijn leven zelf een zaak willen beginnen, dan moet ik kunnen overzien hoeveel geld het oprichten van een zaak kost; hoeveel spaargeld ik opzij heb kunnen leggen en op hoeveel krediet ik kan rekenen, want in het algemeen is het benodigde kapitaal groter dan de eigen ter beschikking staande middelen. En ik moet vooraf  kunnen overzien hoe lang het ongeveer gaat duren voor mijn zaak goed loopt, zodat de inkomsten voldoende meer zijn dan de uitgaven.

Zo moet in het introduceren van de negatieve getallen een soort levenskunde voorafgaan. Deze kan in de 6e klas heel natuurlijk aansluiten bij het berekenen van rente.

Rudolf Steiner wees erop dat de leerlingen op deze leeftijd een subtiel begrip hebben voor de wereld van de rente. Het is dus heel vanzelfsprekend om bij de renteberekeningen uitvoerig op zulke vragen in te gaan.

Wanneer je bedenkt dat wij in onze lotsverhouding tot onze medemens ook altijd wel een levensschuld hebben, daarmee moeten zien te leven, ernaar moeten streven deze weer in te lossen, dan krijgen we misschien pas het echte gevoel voor de juiste instelling t.o.v. financiële schulden.

Hoe slaan we een brug tussen het voorkomen van schulden in het leven en de negatieve getallen. Hier en daar wordt de uitdrukking ‘in de rode cijfers’ gebezigd. Rode cijfers – wat zijn dat? Ze worden gebruikt in de boekhouding; bv. in de boekhouding van een school: wanneer een school het ene jaar meer geld moet uitgeven dan er binnenkomt. Het geldverkeer loopt via een bank: alle inkomsten staat op een bankrekening; alle uitgaven worden van deze rekening betaald. De verantwoordelijken, zowel van de bank als van de school houden bij en af op de rekening goed in de gaten.
Bij het begin van een betalingsperiode, wanneer er opvallend veel ouderbijdragen zijn, stijgt het bedrag. Aan het eind van de periode neemt het gestaag af – en wordt het nul? (de beslissende drempel?) of lager! alvorens de betalingen voor de nieuwe periode binnenkomen. Zo ja, dan ontstaat de toestand, dat er op de rekening  minder dan niets staat.  Ën de bank én de controleurs op school weten natuurlijk dat de toestroom aan inkomsten weer zal plaatsvinden. Maar de eerste inkomsten zullen door de negatieve, de rode cijfers van de rekening opgeslokt worden, tot de beslissende drempel – de nul – weer bereikt is; en pas van daaraf groeit het geld weer aan – dat staat de school dan werkelijk weer ter beschikking: een proces dat door alle belanghebbenden gedragen zou moeten worden: het hele college en de oudergroep. Een scholing voor geestelijke en sociale wakkerheid en activiteit – een waardevolle scholing! Die helpt ons dat rustig verder leven overwinnen, waarin de verzorgingsstaat maar al te gemakkelijk wegzinkt. Eigenlijk zouden we de sociale wakkerheid over steeds grotere gebieden moeten kunnen uitbreiden: allereerst oefenen we deze in het gezin, dan in de familie, de schoolgemeenschap, in de woongemeenschap….en uiteindelijk moeten we ze voor de hele mensheid ontwikkelen.

Sommige lezers zullen zich afvragen: ‘Waarom is er tot nog toe nooit van positieve en negatie temperaturen  gesproken? Over  + 6ºC of – 7ºC? Dat komt tot positief of negatief ook voor in het leven! Ja, maar alleen in de naam. Niet als kwalitatieve tegenstellingen zoals bij tegoed en schuld! Positieve of negatieve temperatuur betekent slechts: warmer of minder warm dan een willekeurig gekozen nultemperatuur.
Toen er in de natuurkunde temperatuurschalen werden ingevoerd, had men al een nultemperatuur gekozen, waarbij in de natuur een markante verandering plaats heeft: de overgang van vloeibaar water in vast ijs.
Maar toch is deze keuze afspraak; er zijn ook temperatuurschalen met een dieper nulpunt. Daalt de temperatuur, dan is er eenvoudig minder warmte aanwezig; daalt de temperatuur onder het vriespunt dan gaat de vermindering aan warmte simpelweg verder, zonder dat de temperatuur in een werkelijke tegengestelde kwaliteit omslaat.
Het bekijken van de temperatuursveranderingen is weliswaar geschikt om het eenvoudigweg oefenen van op en af op een schaal. De temperatuurswaarneming is echte niet geschikt om met ‘positieve’ en ‘negatieve’ tegengestelde gevoelskwaliteiten te verbinden.

Natuurlijk kun je (en moet je) uiteindelijk het rekenen met positieve en negatieve getallen in abstracte formules uitdrukken – maar die zeggen iemand pas wat en die kun je pas met zekerheid toepassen, wanneer je met een intensievere innerlijke wakkerheid een gevoel voor de tegengestelde kwaliteit van deze beide getallensoorten ontwikkeld hebt.

optellen en aftrekken van negatieve getallen

Als eerste gebied waarop negatieve getallen optreden, kun je het bij en af van een rekeningstaat bekijken. Wanneer ik op een bankrekening € 1000 heb staan en ik geef de bank de opdracht een rekening te betalen van € 1200, dan is het saldo daarna – 200 . Het minteken is een soort standbeeld voor de gevolgde aftrekking  1000 – 1200 = – 200. Het eerste minteken is een bewerkingsteken, een opdracht:  trek af!  het tweede minteken is alleen maar een voorteken; het betekent de kwaliteit van het resultaat.
Wij kijken naar het rekeningsaldo in de morgen en de som van de bij- en afschrijvingen gedurende een dag en berekenen het saldo aan het eind van de dag; eerst kiezen we heel eenvoudige getallen.

saldo ’s morgens       120     75      -70    -90
bij                                   50     30     130     60
af                                   200    80       50     40
saldo ’s avonds           -30   +25     +10    -70

alleen als berekeningen:
120 + 50 – 200 = -30
50 + 30 –   80 =+ 25
-70 +130 –  50 = +10
-90 + 60 – 40   = -70

Bij deze voorbeelden moet je erop letten dat je alleen maar  positieve  getallen opgeteld en afgetrokken hebt; negatieve getallen zijn alleen als begin- of eindgetal opgetreden.

Zolang het  slechts  om dit bij en af gaat, kun je ook aan temperatuur denken:

temperatuur ’s morgens     15     4     -3     -4
stijging                                      7     1      8     14
daling                                      12     7       7      2
’s avonds                               +10  –  2      -2    +8

alleen als berekeningen:
15 +  7 -12 = +10
4 +   1 – 7 = – 2
-3  +   8 – 7 = – 2
-4 + 14 – 2 = + 8

Dit alleen maar bij en af kan ook op de getallenlijn* worden geoefend.

rekenen 7 8 deel 3 1

startpunt                           +7     +2       -3     -10
stappen naar rechts         5        3        8        5
stappen naar links           4        9        4       3
eindpunt                          +8       -4       +1     -8

De leerlingen moeten met zekerheid op dergelijke schalen heen en weer kunnen gaan; dit moet dus geoefend worden. Je moet je niet de illusie maken, dat je met deze stappen  met   negatieve getallen hebt gerekend; gerekend (opgeteld en afgetrokken) heb je uitsluitend met positieve getallen. Daaraan verandert niets wanneer je van negatieve getallen uitgegaan bent of bij deze uitgekomen. Echte berekeningen  met  negatieve getallen voer je pas uit, wanneer deze  opgeteld of  afgetrokken worden, bv.

5 + (-7) = ?

Om deze berekening te begrijpen, moeten we aan tegenovergestelde kwaliteiten denken, niet alleen maar aan de betrekkelijke plaats van een nulpunt. We denken aan tegoed en aan schuld, dus wordt uit de inhoud dit begrip voor ons meteen helder:

5 tegoed + 7 schuld = 2 schuld

Om dicht bij deze begrippen te blijven, kunnen we in het begin de symbolen T (tegoed) en S (schuld) gebruiken:

5T + 7S = 2S

We hebben bijna altijd tegelijkertijd tegoed en schulden; iedere rekening die we om een of andere reden nog niet hebben betaald, moeten we als schuld beschouwen. Wanneer we ons op een bepaald ogenblik afvragen hoe we er financieel voorstaan, dan moeten we het bestaande tegoed en de schulden optellen; we kiezen eerst weer kleine eenvoudige getallen:

12T +  7T +  3S = 16T
9T +    8S +  6S =   5S
21T + 17S + 31T = 35T
18S + 16S + 22T = 12S

Met deze manier van schrijven hoef je niet zo lang bezig te blijven, al gauw kun je overgaan tot het noteren van positief en negatief.

(+12) + (+ 7) + (- 3) = +16
(+ 9) + (- 8) + (- 6) = – 5 
(+21) + (-17) + (+31) = +35
(-18) + (-16) + (+22) = -12

Tussen voorteken en bewerkingsteken moet een duidelijk onderscheid gemaakt worden; waar een verwisseling zou kunnen optreden, zetten we de positieve en de negatieve getallen tussen haakjes; de voortekens zijn nauw verbonden met de getallen. Wil je ook in het spreken een verschil maken, dan moet je het laatste voorbeeld zo lezen: negatief 18 plus negatief 16 plus positief 22 is negatief 12.
Voor de voortekens gebruik je dus de uitdrukking ‘positief’ en ‘negatief’ en alleen voor de rekentekens ‘plus’ en ‘min’. Zo precies in het uitdrukken moet je zijn op de ogenblikken waarop je dit verschil sterk in de beleving wil brengen of wanneer het erg belangrijk is. Altijd zo duidelijk willen zijn, is pedant. En bij alle voorlichting zou pedanterie toch vermeden moeten worden.

De  optelling  van positieve en negatieve getallen biedt voor het begrijpen geen problemen, wanneer je aan tegoed en schuld denkt. Samenvattend formuleren we:

Twee tegoeden opgeteld resulteert natuurlijk in de som van de beide aparte tegoeden:

(+7) + (+5) = +12

Net zo resulteert het optellen van twee schulden in de som van de beide aparte:

(-3) + (-6) = -9

Een tegoed en een schuld opgeteld geven een tegoed, wanneer het tegoed groter is dan de schuld en omgekeerd.

( + 7) + (-3) = +4
(+2)  +  (-9) =   -7

Wanneer we bij een tegoed een even grote schuld optellen, ontstaat een resultaat van bijzondere kwaliteit: namelijk het ‘niets’, getalsmatig de nul.

(+ 5)    + (- 5)   = 0
(+ 11)  + (- 11)  = 0
(+123) + (-123) = 0

Een tegoed en een even grote schuld opgeteld is altijd nul; door deze betrekking hangen positief en negatief uiteraard samen; in zoverre is het de belangrijkste optelling. Van de nul zelf kun je niet zegen dat deze positief of negatief is; hij vormt de grens die de beide kwaliteiten scheidt. Een tegoed is een hoeveelheid met de kwaliteit positief, een schuld is een hoeveelheid  met de kwaliteit negatief.

Bekijken we nu de aftrekking, die rekenbewerking die uiteraard tot negatieve getallen leidt. Weliswaar kan ik van ieder tegoed een kleiner wegnemen, toch blijft er steeds een tegoed over:

(+9) – (+2) = +7
(+9) – (+5) = +4
(+9) – (+8) = +1

Zou ik echter van een tegoed alles afhalen, dan bemerk je de kwaliteit ‘leeg’, van het niets; alleen wanneer ik met ‘nul’ deze kwaliteit verbind, beleef ik de nul juist.

(+9) – (+9) = 0

En totaal andere gevoelens ontstaan, wanneer ik van een tegoed meer afhalen moet, dan er is:

(+9) – (+12) = ?

Voor een leerling uit de lagere klassen is het een berekening die eenvoudigweg niet te maken is. Een zevende-klasser kan het  nieuwe begrip bevatten: 3 minder dan niets.

(+9) – (+12) = -3

Kan je ook van een negatief getal een positief getal aftrekken? Als we aan de bankrekening denken, is het meteen duidelijk dat we dieper in de schulden komen.

(-3) – (+5) = -8

En hoe is het dan, wanneer een negatief getal moet worden afgetrokken? Helpt hier het begrip schuld nog. Ja, in het bijzonder dan, wanneer van een schuld een kleinere afgetrokken moet worden. Er blijft dan wel een schuld over, maar minder groot.

9S – 5S=  4S

(-9) – (-5) = -4

Bijzonder belangrijk is het geval dat van een schuld de evengrote schuld afgetrokken moet worden:

9S – 9S = 0

Ben ik iemand iets schuldig en de de schuldeiser besluit de schuldbekentenis te verscheuren, dan heb ik weliswaar nog geen tegoed, maar ook geen schuld meer. De schuldeiser heeft dan een schenking gedaan en mij geholpen van minder dan niets tot niets. Rekenkundig:

(-9) – (-9) = 0

Is het duidelijk geworden dat de aftrekking, het wegnemen van een schuld, effectief een schenking betekent, dan begrijp je ook het geval dat van een schuld een grotere schuld kan worden afgetrokken; de bestaande schuld wordt dan niet alleen vereffend, maar er ontstaat een nieuw tegoed.

(-9) – (-10) = +1
(-9) – (-11) = +2
–
–
(-9) – (-15) = +6

Ook van een positief getal kan een negatief afgetrokken worden:

(+2) – (-3) = +5

Een schuld van 3 euro wegnemen, betekent 3 euro schenken, het tegoed wordt groter!

Kan de aftrekking van negatieve getallen uit het getalbegrip en uit het begrip aftrekken zelf begrepen worden, zonder de begrippen schuld en tegoed steeds maar te hulp te roepen?
Ja, dat is mogelijk en geeft m.i. een dieper inzicht. Je moet alleen de basisfeiten, de oergebaren van het aftrekken voor ogen houden, namelijk: aftrekken betekent wegnemen
en gelijk min gelijk is nul.

Bekijken we deze oergebaren bij het alledaagse aftrekken met positieve getallen:

(+9) – (+5) =

Nu schrijven we niet automatisch de uitkomst neer, die we natuurlijk meteen wisten, maar we overleggen, hoe komen we nu toch aan deze uitkomst?  Moeten we (+5) wegnemen, dan mogen we ons (+9) niet langer als eenheid voorstellen, maar moeten dit in twee delen delen; een deel moet  (+5) zijn; dit kan dan weggenomen worden. Het andere deel (+4) blijft. Rekenkundig voorgesteld:

(+9) – (+5) = [(+4) + (+5)] – (+5) = (4-4) + [(4-5) – (4-5)] = +4

Korter:

rekenen 7 8 deel 3 2

Het is niet alleen maar didactisch-pedagogisch gefundeerd  dat Rudolf Steiner aan het begin van het rekenonderwijs het optellen van getallen in delen, in optellers plaatst; het is ook wiskundig gefundeerd; dit opdelen is op veel plaatsen een sleutel zowel voor de praktijk van het rekenen als mede voor het principieel begrijpen.

Zo ook voor het aftrekken van negatieve getallen:

(-9) – (-5) = ?

Moeten wij (-5) van het geheel (-9) wegnemen, dan moeten wij (-9) eerst in delen verdelen; is (-5) een deel, dan kan dat weggenomen worden; het deel (-4) blijft over.

rekenen 7 8 deel 3 3

Ook voor negatieve getallen geldt het oerbeginsel: gelijk min gelijk is nul.
Het verdelen bewijst ook zijn nut voor het geval, dat van een kleinere schuld een grotere moet worden afgetrokken:

(-3) – (-5) = ?

Ook in dit geval moet (-5) als ‘deel’ in het geheel (3) gezocht worden.
Is dat mogelijk? Zeker niet, wanneer we slechts aan het begrip schuld denken. Ook aan het begrip tegoed moeten we denken; dan kunnen we het geheel (-3) opdelen in tegoed (+2) en schuld (-5):

(-3) = (+2) + (-5)

Het deel (-5) kunnen we nu wegnemen:

(-3) – (-5) = (2) + 5 (-5) – (-5) = +2

Het tegoed (+2) blijft over!

De eigenlijke vooruitgang van de zevende-klasser t.o.v. de eerste-klasser bestaat erin dat hij het proces ‘opdelen’ verder leert denken: niet alleen een positieve hoeveelheid in kleinere positieve hoeveelheden opdelen, of een negatieve hoeveelheid in kleinere negatieve hoeveelheden, maar een negatieve hoeveelheid in een grotere negatieve en een positieve.

Het zelfde principe bewijst zich ook wanneer van een positieve hoeveelheid een negatieve afgetrokken moet worden:

(+3) – (-5) = ?

Het getal (-5), dat weggenomen moet worden, moet als ‘deel’in het geheel (+3) gezien worden: (+3) moet ‘opgedeeld’worden in het grotere positieve (+8) en het negatieve (-5)

Herken je in het geheel dit deel (-5), dan kan dit ook weggenomen worden.

                        (+3) – (-5) – (+8) + (-5) – (-5) = +8

Het tegoed is groter geworden!

Zo leren we inzien dat bij het financiële twee realiteiten betrokken zijn; de realiteit van het tegoed en van de schuld. Wanneer we aan grote financiële zaken denken, aan de financiële huishouding van hele staten en bevolkingsgroepen, dan beleven we aan de schuldenlast van de een en het kapitaaloverschot van de ander deze twee werkelijkheden in het extreme (en in de spanningen) kennen.

Maar er is ook nog een ander fenomenengebied dat door het samenspel van twee tegenovergestelde realiteiten tot stand komt: heel de wereld van organismen, in het bijzonder van de planten. Slechts dankzij het samenspel van twee tegengestelde krachtkwaliteiten – de fysieke en de etherische levensbrengende en gestaltevormende krachten – kan de zichtbare plant voor ons oog verschijnen. Leerstof voor de hele bovenbouw, niet alleen voor de biologie, ook voor de wiskunde, de sterrenkunde, de chemie!

Een basiskracht van het fysieke is de zwaartekracht; een basiskracht van het etherische is het licht. De zevende-klasser kan deze in zwaarte en lichtheid beleven. De beide begrippen zijn ook zeer geschikt om met ‘positief’ en ‘negatief’ bij wat al sterk in het leven ervaren is, aan te knopen.
Daarover meer in het volgende artikel!
In het begin van deze uiteenzetting hebben we ons beziggehouden met de positieve en negatieve getallen op de getallenlijn: geven en nemen, links en rechts.
Voor de eerste kennismaking met deze getallen hebben we het meest ons best gedaan om het principiële begrip voor positief en negatief aan te leggen.
In het volgende artikel zal weer meer de rekenpraktijk op de voorgrond staan: het vermenigvuldigen en delen van positieve en negatieve getallen.

Artikel 1     artikel 2    artikel 4

*In het boek ‘Het binnenste buiten’ wordt deze getallenlijn daadwerkelijk met de kinderen gelopen. Hij is dan op de grond getekend en de leerlingen bewegen zich naar links en rechts.
Rekenen 7e klas

Duidelijker wordt het lopen uitgelegd in ‘Rekenen in beweging’:
Ook in het artikel van von Baravalle.

Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:

  • optellen is vooruitlopen
  • aftrekken is achteruitlopen

Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:

  • reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
  • reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting

Dan wordt er gelopen: (+5) – (+8) = (-3)

(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen) (-3) – (+8) = (-11)

(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen) (-11) + (+5) = (-6)

(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen) (-6) – (-5) = (-1)

(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen) (-1) – (-5) = (+4)

(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)

Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrek­ken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie. (blz.288)

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

563-516

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra, rekenen

Getagged , , , ,

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – alle artikelen

Geplaatst op 14 mei 2014| Een reactie plaatsen

.

Let op: ‘mijnheer Van Dale wacht iets anders op antwoord’:

[1] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (1)
Arnold Bernhard over: van rekenen naar algebra; wegwerken van haakjes; vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal; factor; commutatieve wet; associatieve wet; distributieve wet

[2] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (2)
Arnold Bernhard over: van sommen naar producten; van producten naar sommen; buiten haakjes zetten; biometrische wet (Newton)

[3] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (3)
Arnold Bernhard over: introductie negatieve getallen: tegoed en schuld als uitgangspunt (niet de temperatuur); optellen en aftrekken: lopen op de getallenlijn

[4] Algebra en rekenen in de 7e en 8e klas (4)
Arnold Bernhard over: waarom is min maal min plus. Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen; voortekenregels

[5] Rekenen en wiskunde 7e klas (1)
 ‘Het binnenste buiten‘ over: van rekenen naar algebra; negatieve getallen; machten; lesvoorbeelden daarvan;

[6] Enige gezichtspunten voor de eerste lessen in algebra
Hermann von Baravalle over: het begin van het rekenen met letters: doen i.p.v. therorie; wat kan je het beste doen; negatieve getallen lopen; 

.

562-515

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra, rekenen

Getagged , , ,

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (2)

Geplaatst op 10 mei 2014| Een reactie plaatsen

.

Arnold Bernhard in ‘Erziehungskunst, 53e jaargang nr 2-1989 
.

HET OMZETTEN VAN SOMMEN IN PRODUCTEN
.

In het 1e artikel  hebben wij ons bezig gehouden met het wegvermenigvuldigen van haakjes; tussen de haakjes stonden sommen van getallen. 

Als regel hebben we leren kennen:

sommen worden met elkaar vermenigvuldigd, wanneer je iedere opteller van de ene met die van de andere vermenigvuldigt (en dan de deelproducten optelt).

( a + b )  ·  ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

Links staat een product van sommen, rechts een som van producten.

In dit 2e artikel houden we ons bezig met de tegenovergestelde berekening: er is een som van producten gegeven; kun je die in een product van sommen omzetten.

Opnieuw is de praktijk ons uitgangspunt. Uitgerekend moet worden:

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9 = ?

Het valt op dat het vermenigvuldigtal in alle producten 9 is.  Wordt de berekening hierdoor makkelijker? Kun je simpelweg de vermenigvuldigers bij elkaar tellen en de som met 9 vermenigvuldigen?

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9 = ( 5 + 7 + 8 ) · 9 = 20 · 9 = 180

We controleren het resultaat door eerst de aparte producten uit te rekenen en op te tellen:

5 · 9 + 7 · 9 + 8 · 9  = 45 + 63 + 72 = 108 + 72 = 180

Inderdaad komt er hetzelfde uit; de eerste berekening is echter eenvoudiger uit te voeren dan de tweede.

Nog een voorbeeld:

2 · 15 + 3 · 15 + 5 · 15 = ( 2 + 3 + 5) · 15 = 10 · 15 = 150

Eenvoudiger uit te rekenen dan:

2 · 15 + 3 · 15 + 5 · 15= 30 + 45 + 75 = 150

Het is duidelijk dat je alleen maar op deze manier te werk kunt gaan, wanneer alle producten een gemeenschappelijke factor hebben. Wanneer er alleen maar verschillende getallen opgeteld moeten worden, kun je de gemeenschappelijke factor opzoeken:

14 +21 + 35 = ?

We zijn met deze getallen zo vertrouwd, dat we ze meteen als een veelvoud van 7 herkennen:

14 + 21 + 35 = 2 · 7 + 3 · 7 + 5 · 7 = 10 · 7 = 70

Nog meer voorbeelden:

9 + 15 + 21 + 24 = 3 · 3 + 5 · 3 + 7 · 3 + 8 · 3  = ( 3 + 5 + 7 + 8 ) · 3 = 23 · 3 = 69

11 + 33 + 44 = 1 · 11 + 3 · 11 + 4 · 11 = ( 1 + 3 + 4) · 11 = 8 · 11 = 88

Dit heet: buiten (de) haakjes brengen: de gemeenschappelijke factor wordt buiten  een haakje geschreven, erna of ervoor. In het laatste voorbeeld is de gemeenschappelijke factor één van optellers zelf. Dan mag je niet over het hoofd zien dat 11 = 1 . 11 en de vermenigvuldiger 1 als opteller binnen de haakjes moet komen.

Hoe is dat bij de som  4 + 15 + 49 = ?

Kun je hier buiten haakjes zetten? Nee, want er is geen getal dat in alle optellers als gemeenschappelijke factor voorkomt  (4 = 2 · 2;  15 = 3 · 5;  49 = 7 · 7)

Het buiten haakjes zetten is duidelijk een analytisch proces, het wegvermenigvuldigen van haakjes synthetisch. Beide afwisselend oefenen geven behendigheid in het rekenen.

Algebraïsche voorbeelden kunnen het buiten haakjes zetten bijzonder duidelijk maken:

ab + ac          = a (b + c)
a2 + ad          = a (a + d)
a + a2             = a (1 + a)
a + a2 + a3      = a (1 + a + a2)
a2 b + ab2       = ab ( a + b)
15 a + 3 a2      = 3 a (5 + a)
21 ab + 35 b2  = 7 b (3 a + 5 b)
33ab2 + 22a2b + 11 ab = 11 ab (3 b + 2 a + 1)

Zijn er ook voorbeelden voor het omrekenen van een som in een product tussen 2 x 2 haakjes? Dan moeten er tenminste vier optellers gegeven zijn; schrijf je zomaar willekeurig vier optellers neer, dan zal de omrekening in het algemeen niet mogelijk zijn, behalve wanneer je toevallig 4 optellers genomen hebt, die uit een vermenigvuldiging komen die tussen haakjes staat, bv.:

( 2a  +  3b)  ·  ( 5a  + 4) = 10a2  + 8a + 15ab + 12b

Hoe zou je in de som weer het product kunnen herkennen? Wanneer je naar de vier optellers kijkt, dan is er geen getal te vinden dat in allemaal als factor voorkomt. Maar uit de eerste en de tweede opteller kan je   2a   halen, uit de derde en vierde  3b:

10 a2 + 8a + 15 ab + 12b = 2a ·  ( 5a + 4) + 3b · ( 5a +4)

Tussen allebei de haakjes staat de gelijke som: dit is de gemeenschappelijke factor, die je weer buiten de haakjes kan brengen:

2a · ( 5a + 4) + 3b · ( 5a + 4) = ( 2a + 3b) = ( 5a + 4) · ( 2a + 3b)

Het had ook nog anders gekund: uit de eerste en de derde opteller 5a buiten haakjes zetten en uit de tweede en de derde het getal 4:

10a2 + 8a + 15ab + 12b = 5a · (2a + 3b) + 4 · (2a + 3b) = (5a + 4) · (2a + 3b)

De haakjes zijn eenvoudigweg verwisseld!

Wil je met een klas dergelijke voorbeelden uitrekenen, dan moet je van tevoren over geschikte sommen beschikken. Ook de klas kan ze maken: de leerlingen vermenigvuldigen op een dag de haakjes weg en rekenen de volgende dag weer terug. Er kunnen ook rekenraadsels worden opgegeven: door het tussen haakjes zetten heb ik gevonden:

14 a2 + 35a  + 6 ab +15b

welke haakjes zijn verdwenen? Het raadsel kan door de leerkracht of door de leerling opgegeven worden. Voorbeelden:

6 a2 + 15 a + 14 ab + 35 b = ?
33 a2 + 55 a + 6 ab + 10 b = ?
21 a2 + 49 a + 15 ab + 35 b = ?

In het 1e artikel rekenden we in het bijzonder veel van deze voorbeelden uit:

(a + 3) · (a + 7) = a2 + 7 a + 3 a + 21 = a2 + 10a + 21

Hoe zouden we, uitgaand van de som a2 + 10a + 21 terug naar het product de haakjes hebben gevonden?

a2 + 10a + 21 = (     ) · (      )?

Duidelijk is dat tussen de haakjes als eerste opteller het getal  a  moet staan:

a2 + 10a + 21 = (a +    ) · (a +   )

Hoe vinden we nu de tweede optellers. Laten we ze  p  en  q  noemen:

a2 + 10a + 21 = (a + p) · (a + q)

Als we de haakjes weer wegwerken, dan moet p  ·  q  21 zijn  en p  +  q   10.
Dus:  2 getallen zoeken, die vermenigvuldigd 21 zijn en opgeteld 10. Alleen 3 en 7 komen in aanmerking, dus:

a2 + 10 a + 21 = (a + 3) (a + 7)

Laten  we het met de som

a2  + 7a  + 10 proberen. Is er een product dat gelijk kan zijn aan deze som?
Zijn er twee getallen die vermenigvuldigd 10 en opgeteld 7 zijn? Natuurlijk: 2 en 5:

a2 + 7a + 10 = (a + 2) (a + 5)

Maar zo gemakkelijk als in dit voorbeeld zijn p en q beslist niet altijd te vinden.

Kijk eens naar:

a2 + 10a + 24 = ?

Twee getallen gezocht die vermenigvuldigd 24 en opgeteld 10 zijn. Je moet alle mogelijkheden uitproberen, 24 als product van 2 getallen denken: 24 = 2 · 12       24 = 3 · 8      24 = 4 · 6. Zitten daar 2 getallen bij die opgeteld 10 zijn?  Ja,  4 + 6 = 10. Dus:

a2 + 10a + 24 = (a + 4) (a + 6)

Wanneer de derde opteller 24 is, dan zijn er voor de tweede nog 3 mogelijkheden:

a2 + 11a + 24 = (a + 3) (a + 8)
a2 + 14a + 24 = (a + 2) (a + 12)

Gemakkelijk vergeten we de derde mogelijkheid:

a2 + 25 a + 24 = (a + 1) (a + 24)

Voor 7e-klassers is het een erg stimulerende oefening, zulke getallen als p  en q  te zoeken; het zet het innerlijke verbinden van getallen in levendige beweging.

Voorbeelden:

a2 + 9a + 18 =                                       a2 + 12a + 27 =
a2 + 10a + 16 =                                     a2 +  5a +  4 =
a2 + 13a + 36 =                                     a2 +   8a +  7 =
a2 + 11a +  28=                                     a2 + 10a + 9 =

Bij de laatste 3 voorbeelden is  p  of  q   gelijk aan 1

Zoek alle mogelijkheden voor de 3e  opteller, wanneer de 2e gegeven is:

a2  + ….+ 18 =                                         a2  + ….+ 42 =
a2  + ….+30 =                                         a2  + ….+81 =
a2 + ….+ 36 =                                         a2  + ….+100=

Welke mogelijkheden zijn er voor de 3e optellers als de 2e gegeven is:

a2 + 7a + ….=                                         a2  + 9a + ….=

Opvallend zijn voorbeelden als deze:

a2  + 10a + 25 =                                    a2  + 18a + 81 =
a2  + 12a + 36 =                                     a2  + 20a + 100 =

De 3e opteller is een kwadraat en en de 2e opteller heeft de dubbele waarde van het kwadraatgetal.

a2 + 10a + 25 = a2 + 2 • 5 • a + 52
a2 + 12a + 36 = a2 + 2 • 6 • a + 62
a2 + 18a + 81 = a2 + 2 • 9 • a + 92
a2 + 20a + 100 = a2 + 2 • 10 • a + 102

In deze gevallen zijn  p  en  q even groot en gelijk aan het kwadraatgetal.

a2 +10 a + 25 = (a + 5) (a + 5) = (a +  5)2
a2 + 12 a + 36 = (a + 6) (a + 6) = (a + 6)2
a2 + 18 a  + 81 = (a + 9) (a + 9) = (a + 9)2
a2 + 20 a + 100 = (a + 10) (a + 10) = (a + 10)2

Dit soort voorbeelden is bijzonder belangrijk; ze komen bij het algebraïsch rekenen dikwijls voor. Ze zijn het eigenlijke probleem. Opdat de opbouw goed duidelijk wordt, noemen we de derde opteller
b2  de 2e opteller heet dan 2 ba, dus:

a2 + 2ba + b2 = (a + b) (a + b) = (a + b)2

We kunnen niet genoeg doen om de leerlingen de structuur van deze formule bewust te maken. Deze is voor de algebra net zo basaal als de tafels zijn voor het rekenen met getallen: 1e biometrische leerstelling – binomium van Newton

Natuurlijk kan deze ook in omgekeerde volgorde gelezen worden en in de 2e opteller kunnen a en b worden omgekeerd:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

Zo gelezen beschrijft  deze formule hoe het kwadraat van een som d.m.v. de optellers uitgerekend kan worden:

kwadraat van de 1 opteller, plus het dubbele product van de beide optellers, plus het kwadraat van de 2e opteller

De formule kan door veel concrete voorbeelden geoefend worden:

112 = (10 + 1)2 = 102 + 2 • 10 • 1 + 12 = 100 + 20 + 1 = 121
122 = (10 + 2)2 = 102  + 2 • 10 • 2 + 22 = 100 + 40  + 4 = 144
.
192 = (10 + 9)2 = 102 + 2 • 10 • 9 + 92 = 100 + 180 + 81 = 361

Wanneer er routine is ontstaan, kan de berekening korter worden opgeschreven.

182 = (10 + 8)2 = 100 + 160 + 64 = 324        groei
192 = (10 + 9)2 = 100 + 180 + 81 = 361        37
202 =                                                       = 400          39
212 = (20 + 1)2 = 400 + 40 + 1     = 441         41
222 = (20 + 2)2 = 400 + 80 + 4    = 484          43
232 = (2o +  3)2 = 400 + 120 +9    = 529         45
242 = (20 + 4)2 = 400 +160 +16   = 576         47
252 = (20 + 5)2  =400 +200 + 25  = 625         49
262 = (20 + 6)2 = 400 + 240 + 36 = 676         51
272 = (20 + 7)2 = 400 + 280 + 49 = 729         53
282 = (20 + 8)2 = 400 + 320 + 64 = 784         55
292 = (20 + 9)2 = 400 + 360 + 81 = 841         57
302 =                                               = 900         59
312 = (30 + 1)2 = 900 + 60 + 1     = 961          61
322 = (30 + 2)2 = 900 + 120 +4    = 1024       63

Zo zou je kunnen doorgaan tot 992.
De leerlingen ontdekken dat de regel 252 = 625 de rol speelt van een symmetrische as: er boven en eronder komen dezelfde eindgetallen: 76, 29, 84 ……voor. Heeft dit een oorzaak? Die ontdekken we wanneer we de groei van kwadraatgetal naar kwadraatgetal bekijken: van 324 naar 361 is de groei 37; van 361 naar 400  39 enz. Het zijn louter opeenvolgende oneven getallen. Bijzonder indrukwekkend beleven we deze opbouw, wanneer we de volgorde van de kwadraatgetallen vanaf het begin bekijken.

02 =   0
0
12 =   1
3
22 =   2
5
32 =   9
7
42 = 16
9
52 = 25
11
62 = 36

enz.

Wanneer we de toename voor en na 252 bekijken, dat zijn 49 en 51, dan zijn deze samen 100; de voorafgaande groei 47 en de eerstvolgende 53, ook samen 100 enz.
Dientengevolge moeten de kwadraatgetallen voor en na 252 = 625
100, 200, 300 …enz uit elkaar liggen en daardoor dezelfde eindcijfers hebben.

De toename van de opeenvolgende kwadraatgetallen kan ook zo beschreven worden:

Tel je de eerste  n   oneven getallen op, dan krijg je als som  n2

voorbeeld:  n  = 5
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25  = 52

De optelling van opeenvolgende oneven getallen kan ook in een tekening weergegeven worden. In de ‘hoeken’ staan 1, 3, 5, 7….

Het vierkant waar 1 in staat: kwadraat: 1
Het vierkant waar 3 in staat is het hoekpunt van een vierkant: 2 hokjes bij 2 hokjes. Samen 4 hokjes: het kwadraat van 2.
Waar 5 staat: 9 hokjes: kwadraat van 3 enz.

rekenen 7 8 deel 2 7

Ook de binomische leerstelling kan grafisch weergegeven worden. Naar zijn aard is het echter een rekenkundige, een getallensamenhang. Het is daarom beter hem eerst rekenkundig te behandelen en hem pas daarna geometrisch weer te geven.

rekenen 7 8 deel 2 8

In deze eerste 2 artikelen hebben we alleen maar opgeteld en vermenigvuldigd; de aftrekking hebben we tot dusver vermeden. Wanneer we nu uitsluitend steeds kleinere getallen van grotere hadden afgetrokken, dan hadden we de aftrekking zonder problemen mee kunnen nemen.

De beide volgende artikelen zullen er juist over gaan om grotere getallen van kleinere af te trekken en ons denken een nieuw begrip oppakt: dat van de negatieve getallen.
.
artikel 1     artikel 3      artikel 4

.

7e klas rekenen: alle artikelen

7e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

559-513

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra, rekenen

Getagged , , ,

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – 7e en 8e klas (1)

Geplaatst op 15 april 2014| Een reactie plaatsen

.

Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr. 53 01-1989)
.

ALGEBRA EN REKENEN IN DE 7e EN 8e KLAS

Voorwoord bij de artikelenreeks.

Steeds opnieuw vroegen klassenleerkrachten mij* – vooral die van de zevende klas – of ik aanwijzingen voor hen had voor het wiskunde-onderwijs.
In de loop van een kleine twee decennia heb ik veel collega’s in talloze losse gesprekken die tips kunnen geven. Meer dan eens was er gelegenheid om in de vakantie of ’s avonds voor een grotere kring wiskundige lesonderwerpen te behandelen. Zulke cursussen werkten als een kortstondige stimulans. Sommige cursusdeelnemers kwamen er echter pas na jaren toe de behandelde stof aan een klas te geven; intussen waren de aanwijzingen weggezakt of vergeten.

Twee-en-eenhalf jaar geleden deed ik het lerarencollege van de Rudolf Steinerschool in Basel het voorstel, regelmatig iedere week een uur met de zevende en een uur met de achtsteklasleerkrachten de stof van de wiskundeperioden en ook van de oefenuren systematisch door te werken. Opdat de uren ook werkelijk regelmatig zouden kunnen doorgaan, werden ze op het werkrooster van de deelnemende leerkrachten ingevuld; ze zijn officiële georganiseerd. De ervaringen zijn goed; alle klassenleerkrachten die tot nog toe de uren gevolgd hebben, bevestigen dat ze voor hen een grote hulp zijn geweest.
De klassenleerkrachten staan in de bovenbouwklassen – natuurlijk niet alleen bij het wiskunde-onderwijs – voor een zeer grote opgave. Ik geloof dat deze voor velen slechts te doen is, wanneer het met bepaalde vakken tot een regelmatige, systematische, in een collegiale sfeer georganiseerde samenwerking tussen klassenleerkrachten en vakleerkrachten van de bovenbouw komt.

Over deze samenwerking wordt in een aantal artikelen verslag gedaan. Mijn ervaringen met dit gemeenschappelijke overleg staan erin en natuurlijk gaat het over mijn eigen lessen, vooral aan negende klassen. Tijdens de lessen moest ik dikwijls bij mezelf zeggen: “Wat ik met de negendeklasser doe, is op z’n minst ook voor een deel zevende- en achtsteklasstof en dat zou toch eigenlijk in zeven en acht gegeven moeten worden.
Mijn collega’s, de klassenleerkrachten, hebben mijn voorstellen veelvuldig uitgeprobeerd en deze hebben zich in de praktijk bewezen. Ik bedoel daarmee niet te zeggen dat mijn voorstellen de enige juiste zijn; je kunt een wiskundeperiode op zeer verschillende manieren gestalte geven. Iedere opbouw heeft voor- en nadelen. Hoe je het ook doet, als de klas maar aan oefenen toekomt; praktisch oefenen en verdieping van inzicht kunnen wederzijds hand in hand gaan.
Een bepaalde leskern zou door alle leerlingen begrepen moeten kunnen worden. Daarbuiten moet iedere leerling gelegenheid krijgen zich verder te ontwikkelen, zover als voor hem persoonlijk mogelijk is en zin heeft. Wanneer deze beide doelen bereikt worden – de kernleerstof beheersen en individuele ontwikkelingsmogelijkheden – dan komen alle leerlingen aan hun trekken en ieder is tevreden.

Dus hoop ik dat deze artikelen voor vele collega’s in de zevende en achtste klas een stimulans zijn en een wegbereiding voor de wiskundeperioden.

(De schrijver zegt dan nog dat hij van plan is er een boek over te schrijven – dat is inmiddels gebeurd).

Hij besluit te zeggen hoe mooi het zou zijn als op veel scholen het idee van een samenwerking tussen vak- en klassenleerkracht opgepakt zou worden.

Van het rekenen met getallen naar algebraïsch rekenen- het wegwerken van haakjes

Uit een jarenlange praktijk is gebleken dat het aanknopen van de algebra aan het rekenen – zelfs bij het hoofdrekenen – vruchtbaar is. Een goede instap is het mondeling vermenigvuldigen van getallen met twee cijfers.
We rekenen uit:  7 x 23.
Uiteraard splitsen we 23 in 20 + 3 en we vermenigvuldigen de op te tellen getallen apart:
7 x 23 = 7 (20 + 3) = 7 x 20 + 7 x 3 = 140 + 21 = 161

Wanneer de vermenigvuldiger een getal is van één cijfer, mag het vermenigvuldigtal zelfs groter zijn dan uit 2 cijfers bestaand; de getallen worden dan niet te groot.

3 x 235 = 3 x (200 + 30 + 5) = 3 x 200 + 3 x 30 + 3 x 5 = 600 + 90 + 5 = 705.

Wanneer de beide factoren uit 2 cijfers bestaan, is het opdelen van beide in optellers nuttig:

15 x 27 = (10 + 5) x (20 + 7) = 10 x 20 + 10 x 7 + 5 x 20 + 5 x 7 =
200 + 70 + 100 + 35 = 405

Het kan ook stap voor stap:
15 x 27 = (10 + 5) x 27 = 10 x 27 + 5 x 27 = 270 + 5 x (20 + 7) = 270 + 100 + 35 = 405

Bij grotere getallen van 2 cijfers is het meteen uit elkaar leggen van allebei de getallen nuttiger:

32 x 43 =(30 + 2) x (40 + 3) = 30 x 40 + 30 x 3 + 2 x 40 + 2 x 3 ) = 1200 + 90 + 80 + 6 = 1376

Met een klas kunnen veel van deze voorbeelden opgelost worden:

34 x 52 = (30 + 4 ) x 50 + 2) = 30 x 50 + 30 x 2 + 4 x 50 + 4 x 2 = 1500 + 60 + 200 + 8 = 1768

Na enige oefening kunnen de deelresultaten meteen na de haakjes opgeschreven worden:

43 x 35 = (40 + 3) x (30 + 5) = 1200 + 200 + 90 + 15 = 1505

Vergelijk het met het schriftelijk vermenigvuldigen:

43 . 35
       105
 140
   1505

In de 105 zie je de 90 + 15 en in de 140 (eigenlijk 1400, want een plaats naar links verschoven) de som 1200 + 200.

Hier is het de vraag: moet je met het linker getal het rechter of met het rechter het linker vermenigvuldigen? Op de uitkomst heeft het geen invloed; voor de praktijk van het rekenen is het goed, wanneer de leerlingen beide vormen kunnen.

43 . 35
       215
129
  1505

215 is de som 200 + 15 en 1290 = 1200 + 90

Om gevoelsmatig begrip te krijgen voor het vermenigvuldigen is het echter beter met het linker getal het rechter te vermenigvuldigen, want het linker getal is duidelijk het actieve, het rechter passief. Want wat betekent dan 3 keer 5? De 3 geeft aan wat met de 5 moet gebeuren: die moet 3 keer opgeteld worden:

3 x 5 = 5 + 5 + 5

De 3 speelt de actieve rol, de 5 een passieve. De verschillende rollen komen in de naamgeving tot uitdrukking: de 3 is de vermenigvuldiger, de 5 het vermenigvuldigtal. De eindlettergreep -er- vinden we in veel woorden met een actieve betekenis (bakker, landbouwer: het Duits heeft – tor: motor, tractor).
Wanneer je de verschillende functies niet noemen wil, spreekt je over factoren.

Natuurlijk is het geen verplichting om de beide factoren te splitsen in tiental en eenheid; maar die splitsing past wel goed bij ons tientallig stelsel.

15 x 13 = (10 + 5) x (10 + 3) = 100 + 30 + 50 + 15 = 195

Maar: net zo goed kan er gerekend worden:

15 x 13 = ( 9 + 6) x ( 8 + 5) = 72 + 45 + 48 + 30

Omdat 2 en 8 samen 10 zijn, kun je de deelantwoorden het beste optellen in de volgorde: 72 + 48 + 30 + 45 = 195

of: 15 x 13 = (7 + 8) x (9 + 4) = 63 + 28 + 72 + 32 = 63 + 100 + 32 = 195

Hoeveel verdeelmogelijkheden zijn er bij dit voorbeeld eigenlijk? (In feite 42; 7 voor de eerste factor en 6 voor de tweede).  Er ontstaan steeds weer vier andere optellers, maar steeds is het resultaat 195.

Wonderbaarlijk! Natuurlijk kunnen dergelijke oefeningen al vóór de 7e klas gemaakt worden. Ze eisen beweeglijkheid in het rekenen en je gebruikt er in de praktijk van het rekenen precies datgene mee wat Rudolf Steiner in de eerste klas aan het begin van al het rekenonderwijs zei: het delen van het getal in optellers, bv. 12 = 5 + 7   12 = 4 + 8   12 = 3 + 9 enz.

Maar nu de overgang van het rekenen met getallen naar het algebraïsch rekenen.  We houden ons weer aan de splitsing van tientallen en eenheden, houden de eenheid vast en verhogen achtereenvolgens de tientallen; in beide groepen tussen haakjes moeten de tientallen overeenstemmen:

rekenen 7 8 1

Hier stoppen we een ogenblik en kijken even terug naar het voorafgaande: in de eerste kolom van de antwoorden staan kwadraatgetallen: 100, 400, 900,….in de tweede de rij van dertig: 30, 60, 90….in de derde kolom de rij van twintig: 20, 40, 60….in de vierde kolom echter staat steeds het getal 6. Nu gaan we verder:

rekenen 7 8 2

(tabel 1)

Al deze voorbeelden hebben iets gemeenschappelijks: kun je dat op een rekenmanier duidelijk maken? Alle voorbeelden in één berekening samenvatten?
Als eerste getal mag tussen de haakjes een of ander tiental staan; we schrijven geen specifiek tiental op, maar een symbool ( hiervoor nemen we de letter a), dat ieder mogelijk tiental kan betekenen.

Nog eens:  =a= is uiterlijk bezien een letter, maar betekent een tiental, een getalsymbool.

Kunnen we met dit symbool rekenen? We proberen het: de berekening die alle aparte voorbeelden samenvat, luidt:

( a + 2 )  x  (a + 3 ) =  a2  + 3a + 2a + 6

Als eerste deel van de oplossing verschijnt het kwadraat van a, dan een getal uit de rij van 30 (a is immers een tiental), dan een getal uit de rij van 20 en tenslotte de 6.
Kunnen we nu de aparte uitkomsten samenvatten in een eindresultaat? Niet zo definitief als bij de concrete voorbeelden! Maar 3a + 2a , is dat 5a? Zeker, want 3a + 2a betekent ( a + a + a + a + a) en dat is 5a. Dus (a + 2 ) x (a + 3 ) = a2 + 5a + 6

Inderdaad vertonen in de getallenvoorbeelden de tweede en de derde uitkomst samen steeds een getal uit de rij van 50)

In de praktijk van het rekenen ligt het voor de hand, a als een tiental te beschouwen. Mag je voor a ook een ander getal kiezen? Blijft dan de algemene formule overeind? Nemen we voor a een willekeurig getal, bv. 7:

(a + 2) x (a + 3 ) wordt dan : (7 + 2 ) x (7 + 3 ) = 9 x 10 = 90

a2 + 5a  + 6 wordt dan met a = 7 tot 49 + 35 + 6 = 90

Als we de  juistheid van de formule systematisch controleren en we nemen voor a de rij van de natuurlijke getallen 1,2,3  enz,:

rekenen 7 8 3

(tabel 2)

Door totaal verschillende berekeningen komen we steeds tot gelijke uitkomsten! Links vermenigvuldigen we 2 getallen, rechts tellen we 3 getallen op – en toch krijgen we steeds hetzelfde antwoord! We vermenigvuldigen  niet zo maar een of ander getal of tellen dit op, maar de getallen op een bepaalde manier opgebouwd. We vermenigvuldigen  steeds de getallen die zó opgebouwd zijn: (a + 2 ) x (a + 3 ); de uitkomst van deze vermenigvuldiging is altijd gelijk aan de som  a2 + 5a + 6. Het wezenlijke van de algebraïsche formule ( a + 2 ) x (a + 3 ) = a2 +5a + 6 is gelegen in het feit dat er  een bepaalde relatie is tussen sommen die vermenigvuldigend zijn ontstaan met die optellend zijn ontstaan en die aan elkaar gelijk zijn. Uiteindelijk moet de algebra de identiteit van verschillende getalsrelaties duidelijk maken.

In tabel 2 hebben we achtereen de getallen 1,2,3…. genomen en krijgen ook achtereenvolgens de uitkomsten 12, 20, 30, 42….; is deze uitkomstrij toevallig – of valt er iets te ontdekken? Een paar leerlingen merken het snel: van 12 naar 20 is een toename van 8; van 20 naar 30 is deze 10, dan 12….enz. We maken onze tabel 2 af wanneer we in een volgende kolom de groei van uitkomst naar uitkomst noteren:

a              uitkomst                  toename

rekenen 7 8 4

 

De groei neemt steeds met 2 toe. Zou je nu de volgende uitkomsten vooruit kunnen bepalen,  als de toename steeds  2 is, dus als je de laatste kolom verder uitwerkt?

toename

rekenen 7 8 5

Vul de binnenkolommen aan! Wakkere leerlingen komen er vanzelf op ook in tabel 1 de toename uit te rekenen!)

Tabel 2 kan als één grote getallensamenhang beleefd worden: geen enkel getal valt buiten de boot, elk past in het geheel. De beleving ‘het klopt’ roept in de leerling het gevoel van zekerheid op, het goed te hebben uitgerekend. Zo dikwijls mogelijk moeten we de leerling gelegenheid geven deze zelfbevestiging te kunnen beleven.

Wanneer  het al vermenigvuldigend laten verdwijnen van de haakjes omstandig ingeleid is, dan kun je veel algebraïsche voorbeelden uitrekenen:

rekenen 7 8 6

Voor een deel van de voorbeelden kan je ook waardetabellen (zoals in tabel 2) laten uitrekenen.

Hoe krijg je de haakjes weg wanneer er alleen maar verschillende getallen tussen de haakjes staan? Voorbeelden daarvan hebben we al uitgerekend:

32 x 63 = (30 + 2 ) x (60 + 3 ) = 1800 + 90 + 120 + 6 = 2016

Alle getallenvoorbeelden van deze soort kun je samenvatten in de algebraïsche berekening:

(a + b ) x (c + d) = ac + ad + bc + bd

Als regel geformuleerd: twee optelsommen tussen haakjes worden vermenigvuldigd en wel zo dat je iedere opteller tussen haakjes van de ene groep vermenigvuldigt met de optellers uit de andere groep ( en dan de deeluitkomsten optelt).

Wil je de regel nog wat korter hebben, dan kun je het deel ‘en dan de deeluitkomsten optellen’ weglaten, want dat is bijna vanzelfsprekend.

Zoals een plant zich in de zomer uitleeft in stengel-, blad- en bloemvorming, maar dan in de herfst zich toch weer moet terugtrekken in het zaad, kan je je in een dergelijke periode met het wegvermenigvuldigen van de haakjes uitleven om je dan te concentreren op een dergelijke formule-achtige regel.

Welke algemeenheden hebben we op onze oefenweg nog meer aangetroffen? Hoe je verschillende veelvouden van hetzelfde getal a kan optellen: 8a + 3a = 11a;     2a+ 7a =9a enz.

Algemeen: ba + ca +da + ……= ( b +c + d…..) . a

Regel: verschillende veelvouden van een getal a worden opgeteld wanneer je de vermenigvuldigers optelt (en dan a met deze uitkomst vermenigvuldigt).

De formule kan ook de andere op worden gelezen:

(b + c + d+…..) . a = ba +ca + da + …..

Bijpassende regel: een getal wordt met een som vermenigvuldigd zodanig dat je het getal met iedere opteller vermenigvuldigt.

Zulke regels zelf formuleren is voor de leerling bewustwording.

Ook kunnen we nu de basisrekenwetten voor optelling en vermenigvuldiging die we al sinds de eerste klas als vanzelf gebruikt hebben, algebraïsch formuleren (en daarmee duidelijk bewust maken):

1e basisregel: optellers mogen worden verwissel: a+ b = b + a
factoren mogen worden verwisseld: a . b= b . a

In vaktaal worden deze beide wetten: commutatieve wetten van optelling en vermenigvuldiging (wet van de verwisseling)  genoemd.

Geldt deze wet ook voor de aftrekking en de deling? Geenszins!

Overigens geldt deze voor de allerhoogste getalsoorten (bij de zgn.
(Duits: überimaginaire getallen) ook voor de vermenigvuldiging niet; op deze getallen wees Rudolf Steiner als belangrijk om ze te kennen.

2e basisregel: meer dan twee optellers of factoren mogen op willekeurige wijze samen genomen worden :

a + b + c= (a + b) + c                                3 + 5 + 9 = 8 + 9 = 17
a + b + c = a + (b + c)                               3 + 5 + 9 = 3 + 14 = 17

a x b x c = (a + b ) x c                                   2 x 3 x 5 = 6 x 5 = 30
a x b x c = a x (b x c )                                    2 x 3 x 5 = 2 x 15 = 30

In vaktaal: associatieve wet van optelling en vermenigvuldiging.
Beide rekenbewerkingen zijn door distributiviteit met elkaar verbonden:

a x (b + c ) =a x b+ a x c

Door algebraïsch te rekenen kunnen de rekenregels steeds duidelijker bewust worden. Wanneer we ze helemaal doorzien, voelen we ons bij het rekenen helemaal zeker. Dan beleven we ons eigen denken als een innerlijke aangelegenheid die ons met zekerheid zegt: ‘Ja, zo is het goed!’
Wanneer we de leerlingen mettertijd tot het beleven van deze innerlijke aangelegenheid kunnen leiden, dan kunnen zij zich beleven als denkende wezens.

* Arnold Bernhard
.

artikel   2     artikel 3      artikel 4

.

7e en 8e klas: rekenen alle artikelen

7e klas: alle artikelen

8e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

548-502

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Een reactie plaatsen

Geplaatst in algebra, rekenen

Getagged , , , , , , , , , ,

VRIJESCHOOL – Vrijeschoolpedagogie.com

Geplaatst op 8 januari 2014| 19 reacties

.

DÉ SITE MET DE MEESTE ACHTERGRONDINFORMATIE OVER HET VRIJESCHOOLONDERWIJS

.

U vindt via onderstaande rubrieken de weg naar meer dan 2400 artikelen.
.

In het zoekblokje (op deze pagina rechtsboven) een trefwoord ingeven, leidt ook vaak tot artikelen waar het betreffende woord in voorkomt.
Wanneer er meerdere koppen van artikelen worden getoond, is het raadzaam ieder artikel open te maken en onder aan het artikel bij de tag-woorden te kijken of het gezochte woord daar staat.
Wanneer het artikel is geopend, kan je Ctr + F klikken. Er verschijnt dan een zoekvenstertje waarin je het gezochte woord kan intikken. Als dit woord in het artikel aanwezig is, kleurt het op.
.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com
.

RUDOLF STEINER
alle artikelen
–wat zegt hij over——
waar vind je Steiner over pedagogie(k) en vrijeschool–
een verkenning van zijn ‘Algemene menskunde’


AARDRIJKSKUNDE
alle artikelen

BESPREKING VAN KINDERBOEKEN
alle auteurs
alle boeken

DIERKUNDE
alle artikelen

GESCHIEDENIS
alle artikelen

GETUIGSCHRIFT
alle artikelen

GODSDIENST zie RELIGIE

GYMNASTIEK
vijfkamp(1)
vijfkamp (2)

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen;

HANDENARBEID
alle artikelen

HEEMKUNDE
alle artikelen

JAARFEESTEN
alle artikelen

KINDERBESPREKING
alle artikelen

KLASSEN alle artikelen:
peuters/kleuters; klas 1;  klas 2; klas 3; klas 4; klas 5; klas 6; klas 7;  klas 8         (rest volgt – via zoekbalk vind je ook de andere klassen: 9 t/m 11)   klas 11

KERSTSPELEN
Alle artikelen

LEERPROBLEMEN
alle artikelen

LEZEN-SCHRIJVEN
alle artikelen

LINKS
Naar andere websites en blogs met vrijeschoolachtergronden; vakken; lesvoorbeelden enz

MEETKUNDE
alle artikelen

MENSKUNDE EN PEDAGOGIE
Alle artikelen

MINERALOGIE
alle artikelen

MUZIEK
mens en muziek
blokfluit spelen
over het aanleren van het notenschrift

NATUURKUNDE
alle artikelen

NEDERLANDSE TAAL
alle artikelen

NIET-NEDERLANDSE TALEN
alle artikelen

ONTWIKKELINGSFASEN
alle artikelen

OPSPATTEND GRIND
alle artikelen

OPVOEDINGSVRAGEN
alle artikelen

PLANTKUNDE
alle artikelen

REKENEN
alle artikelen

RELIGIE
Religieus onderwijs
vensteruur

REMEDIAL TEACHING
[1]  [2]

SCHEIKUNDE
klas 7

SCHRIJVEN – LEZEN
alle artikelen

SOCIALE DRIEGELEDING
alle artikelen
hierbij ook: vrijeschool en vrijheid van onderwijs

SPEL
alle artikelen

SPRAAK
spraakoefeningen
spraak/spreektherapie [1]    [2]

STERRENKUNDE
klas 7

TEKENEN
zwart/wit [2-1]
over arceren
[2-2]
over arceren met kleur; verschil met zwart/wit
voorbeelden
In klas 6
In klas 7

VERTELSTOF
alle artikelen

VOEDINGSLEER
7e klas: alle artikelen

VORMTEKENEN
Alle artikelen


VRIJESCHOOL
uitgangspunten

de ochtendspreuk [1]      [2]     [3]

bewegen in de klas
In de vrijeschool Den Haag wordt op een bijzondere manier bewogen.

bewegen in de klas
L.L.. Oosterom over: beweging tussen persoon en wereld; kind leert bewegend de wereld kennen; sport

Vrijeschool en vrijheid van onderwijs: alle artikelen
zie ook: sociale driegeleding

vrijeschool en antroposofie – is de vrijeschool een antroposofische school?
alle artikelen

de vrijeschool: breinvriendelijk onderwijs

Vrijeschool in beeld: illustraties van het vrijeschoolonderwijs

EN VERDER:
burnt out
Aart van der Stel over: waarom raakt iemand ‘burnt out’; je eigen rol en hoe gaan de anderen met je om; binnen-buiten; gezond-ziek

met vreugde in het nu aanwezig zijn
‘anti’- burn-out

geschiedenis van het Nederlandse onderwijs, een kleine schets


karakteriseren i.p.v. definiëren

lichaamsoriëntatie

(school)gebouw
organische bouw [1]     [2-1]    [2-2]

In de trein
onderwijzer Wilkeshuis over een paar ‘vrijeschoolkinderen’ in de trein

.

Ondanks regelmatige controle komt het voor dat bepaalde links niet werken. Waarschuw me s.v.p.     vspedagogie voeg toe apenstaartje gmail punt com

.

434-404

.

19 reacties

Geplaatst in aardrijkskunde, algebra, dierkunde, geschiedenis, gymnastiek, handenarbeid, heemkunde, jaarfeesten, kerstspelen, klassen, meetkunde, menskunde en pedagogie, mineralogie, muziek, nederlandse taal, niet-nederlandse talen, nieuws, opspattend grind, plantkunde, rekenen, Rudolf Steiner, scheikunde, schrijven/lezen, sterrenkunde, talen, vertelstof, vrijeschool didactiek, vrijeschool pedagogie