Tagarchief: vermenigvuldigen

VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – 7e en 8e klas (1)

.

Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr. 53 01-1989)
.

ALGEBRA EN REKENEN IN DE 7e EN 8e KLAS

Voorwoord bij de artikelenreeks.

Steeds opnieuw vroegen klassenleerkrachten mij* – vooral die van de zevende klas – of ik aanwijzingen voor hen had voor het wiskunde-onderwijs.
In de loop van een kleine twee decennia heb ik veel collega’s in talloze losse gesprekken die tips kunnen geven. Meer dan eens was er gelegenheid om in de vakantie of ’s avonds voor een grotere kring wiskundige lesonderwerpen te behandelen. Zulke cursussen werkten als een kortstondige stimulans. Sommige cursusdeelnemers kwamen er echter pas na jaren toe de behandelde stof aan een klas te geven; intussen waren de aanwijzingen weggezakt of vergeten.

Twee-en-eenhalf jaar geleden deed ik het lerarencollege van de Rudolf Steinerschool in Basel het voorstel, regelmatig iedere week een uur met de zevende en een uur met de achtsteklasleerkrachten de stof van de wiskundeperioden en ook van de oefenuren systematisch door te werken. Opdat de uren ook werkelijk regelmatig zouden kunnen doorgaan, werden ze op het werkrooster van de deelnemende leerkrachten ingevuld; ze zijn officiële georganiseerd. De ervaringen zijn goed; alle klassenleerkrachten die tot nog toe de uren gevolgd hebben, bevestigen dat ze voor hen een grote hulp zijn geweest.
De klassenleerkrachten staan in de bovenbouwklassen – natuurlijk niet alleen bij het wiskunde-onderwijs – voor een zeer grote opgave. Ik geloof dat deze voor velen slechts te doen is, wanneer het met bepaalde vakken tot een regelmatige, systematische, in een collegiale sfeer georganiseerde samenwerking tussen klassenleerkrachten en vakleerkrachten van de bovenbouw komt.

Over deze samenwerking wordt in een aantal artikelen verslag gedaan. Mijn ervaringen met dit gemeenschappelijke overleg staan erin en natuurlijk gaat het over mijn eigen lessen, vooral aan negende klassen. Tijdens de lessen moest ik dikwijls bij mezelf zeggen: “Wat ik met de negendeklasser doe, is op z’n minst ook voor een deel zevende- en achtsteklasstof en dat zou toch eigenlijk in zeven en acht gegeven moeten worden.
Mijn collega’s, de klassenleerkrachten, hebben mijn voorstellen veelvuldig uitgeprobeerd en deze hebben zich in de praktijk bewezen. Ik bedoel daarmee niet te zeggen dat mijn voorstellen de enige juiste zijn; je kunt een wiskundeperiode op zeer verschillende manieren gestalte geven. Iedere opbouw heeft voor- en nadelen. Hoe je het ook doet, als de klas maar aan oefenen toekomt; praktisch oefenen en verdieping van inzicht kunnen wederzijds hand in hand gaan.
Een bepaalde leskern zou door alle leerlingen begrepen moeten kunnen worden. Daarbuiten moet iedere leerling gelegenheid krijgen zich verder te ontwikkelen, zover als voor hem persoonlijk mogelijk is en zin heeft. Wanneer deze beide doelen bereikt worden – de kernleerstof beheersen en individuele ontwikkelingsmogelijkheden – dan komen alle leerlingen aan hun trekken en ieder is tevreden.

Dus hoop ik dat deze artikelen voor vele collega’s in de zevende en achtste klas een stimulans zijn en een wegbereiding voor de wiskundeperioden.

(De schrijver zegt dan nog dat hij van plan is er een boek over te schrijven – dat is inmiddels gebeurd).

Hij besluit te zeggen hoe mooi het zou zijn als op veel scholen het idee van een samenwerking tussen vak- en klassenleerkracht opgepakt zou worden.

Van het rekenen met getallen naar algebraïsch rekenen- het wegwerken van haakjes

Uit een jarenlange praktijk is gebleken dat het aanknopen van de algebra aan het rekenen – zelfs bij het hoofdrekenen – vruchtbaar is. Een goede instap is het mondeling vermenigvuldigen van getallen met twee cijfers.
We rekenen uit:  7 x 23.
Uiteraard splitsen we 23 in 20 + 3 en we vermenigvuldigen de op te tellen getallen apart:
7 x 23 = 7 (20 + 3) = 7 x 20 + 7 x 3 = 140 + 21 = 161

Wanneer de vermenigvuldiger een getal is van één cijfer, mag het vermenigvuldigtal zelfs groter zijn dan uit 2 cijfers bestaand; de getallen worden dan niet te groot.

3 x 235 = 3 x (200 + 30 + 5) = 3 x 200 + 3 x 30 + 3 x 5 = 600 + 90 + 5 = 705.

Wanneer de beide factoren uit 2 cijfers bestaan, is het opdelen van beide in optellers nuttig:

15 x 27 = (10 + 5) x (20 + 7) = 10 x 20 + 10 x 7 + 5 x 20 + 5 x 7 =
200 + 70 + 100 + 35 = 405

Het kan ook stap voor stap:
15 x 27 = (10 + 5) x 27 = 10 x 27 + 5 x 27 = 270 + 5 x (20 + 7) = 270 + 100 + 35 = 405

Bij grotere getallen van 2 cijfers is het meteen uit elkaar leggen van allebei de getallen nuttiger:

32 x 43 =(30 + 2) x (40 + 3) = 30 x 40 + 30 x 3 + 2 x 40 + 2 x 3 ) = 1200 + 90 + 80 + 6 = 1376

Met een klas kunnen veel van deze voorbeelden opgelost worden:

34 x 52 = (30 + 4 ) x 50 + 2) = 30 x 50 + 30 x 2 + 4 x 50 + 4 x 2 = 1500 + 60 + 200 + 8 = 1768

Na enige oefening kunnen de deelresultaten meteen na de haakjes opgeschreven worden:

43 x 35 = (40 + 3) x (30 + 5) = 1200 + 200 + 90 + 15 = 1505

Vergelijk het met het schriftelijk vermenigvuldigen:

43 . 35
       105
 140
   1505

In de 105 zie je de 90 + 15 en in de 140 (eigenlijk 1400, want een plaats naar links verschoven) de som 1200 + 200.

Hier is het de vraag: moet je met het linker getal het rechter of met het rechter het linker vermenigvuldigen? Op de uitkomst heeft het geen invloed; voor de praktijk van het rekenen is het goed, wanneer de leerlingen beide vormen kunnen.

43 . 35
       215

129
  1505

215 is de som 200 + 15 en 1290 = 1200 + 90

Om gevoelsmatig begrip te krijgen voor het vermenigvuldigen is het echter beter met het linker getal het rechter te vermenigvuldigen, want het linker getal is duidelijk het actieve, het rechter passief. Want wat betekent dan 3 keer 5? De 3 geeft aan wat met de 5 moet gebeuren: die moet 3 keer opgeteld worden:

3 x 5 = 5 + 5 + 5

De 3 speelt de actieve rol, de 5 een passieve. De verschillende rollen komen in de naamgeving tot uitdrukking: de 3 is de vermenigvuldiger, de 5 het vermenigvuldigtal. De eindlettergreep -er- vinden we in veel woorden met een actieve betekenis (bakker, landbouwer: het Duits heeft – tor: motor, tractor).
Wanneer je de verschillende functies niet noemen wil, spreekt je over factoren.

Natuurlijk is het geen verplichting om de beide factoren te splitsen in tiental en eenheid; maar die splitsing past wel goed bij ons tientallig stelsel.

15 x 13 = (10 + 5) x (10 + 3) = 100 + 30 + 50 + 15 = 195

Maar: net zo goed kan er gerekend worden:

15 x 13 = ( 9 + 6) x ( 8 + 5) = 72 + 45 + 48 + 30

Omdat 2 en 8 samen 10 zijn, kun je de deelantwoorden het beste optellen in de volgorde: 72 + 48 + 30 + 45 = 195

of: 15 x 13 = (7 + 8) x (9 + 4) = 63 + 28 + 72 + 32 = 63 + 100 + 32 = 195

Hoeveel verdeelmogelijkheden zijn er bij dit voorbeeld eigenlijk? (In feite 42; 7 voor de eerste factor en 6 voor de tweede).  Er ontstaan steeds weer vier andere optellers, maar steeds is het resultaat 195.

Wonderbaarlijk! Natuurlijk kunnen dergelijke oefeningen al vóór de 7e klas gemaakt worden. Ze eisen beweeglijkheid in het rekenen en je gebruikt er in de praktijk van het rekenen precies datgene mee wat Rudolf Steiner in de eerste klas aan het begin van al het rekenonderwijs zei: het delen van het getal in optellers, bv. 12 = 5 + 7   12 = 4 + 8   12 = 3 + 9 enz.

Maar nu de overgang van het rekenen met getallen naar het algebraïsch rekenen.  We houden ons weer aan de splitsing van tientallen en eenheden, houden de eenheid vast en verhogen achtereenvolgens de tientallen; in beide groepen tussen haakjes moeten de tientallen overeenstemmen:

rekenen 7 8    1

Hier stoppen we een ogenblik en kijken even terug naar het voorafgaande: in de eerste kolom van de antwoorden staan kwadraatgetallen: 100, 400, 900,….in de tweede de rij van dertig: 30, 60, 90….in de derde kolom de rij van twintig: 20, 40, 60….in de vierde kolom echter staat steeds het getal 6. Nu gaan we verder:

rekenen 7 8    2

(tabel 1)

Al deze voorbeelden hebben iets gemeenschappelijks: kun je dat op een rekenmanier duidelijk maken? Alle voorbeelden in één berekening samenvatten?
Als eerste getal mag tussen de haakjes een of ander tiental staan; we schrijven geen specifiek tiental op, maar een symbool ( hiervoor nemen we de letter a), dat ieder mogelijk tiental kan betekenen.

Nog eens:  =a= is uiterlijk bezien een letter, maar betekent een tiental, een getalsymbool.

Kunnen we met dit symbool rekenen? We proberen het: de berekening die alle aparte voorbeelden samenvat, luidt:

( a + 2 )  x  (a + 3 ) =  a2  + 3a + 2a + 6

Als eerste deel van de oplossing verschijnt het kwadraat van a, dan een getal uit de rij van 30 (a is immers een tiental), dan een getal uit de rij van 20 en tenslotte de 6.
Kunnen we nu de aparte uitkomsten samenvatten in een eindresultaat? Niet zo definitief als bij de concrete voorbeelden! Maar 3a + 2a , is dat 5a? Zeker, want 3a + 2a betekent ( a + a + a + a + a) en dat is 5a. Dus (a + 2 ) x (a + 3 ) = a+ 5a + 6

Inderdaad vertonen in de getallenvoorbeelden de tweede en de derde uitkomst samen steeds een getal uit de rij van 50)

In de praktijk van het rekenen ligt het voor de hand, a als een tiental te beschouwen. Mag je voor a ook een ander getal kiezen? Blijft dan de algemene formule overeind? Nemen we voor a een willekeurig getal, bv. 7:

(a + 2) x (a + 3 ) wordt dan : (7 + 2 ) x (7 + 3 ) = 9 x 10 = 90

a+ 5a  + 6 wordt dan met a = 7 tot 49 + 35 + 6 = 90

Als we de  juistheid van de formule systematisch controleren en we nemen voor a de rij van de natuurlijke getallen 1,2,3  enz,:

rekenen 7 8    3

(tabel 2)

Door totaal verschillende berekeningen komen we steeds tot gelijke uitkomsten! Links vermenigvuldigen we 2 getallen, rechts tellen we 3 getallen op – en toch krijgen we steeds hetzelfde antwoord! We vermenigvuldigen  niet zo maar een of ander getal of tellen dit op, maar de getallen op een bepaalde manier opgebouwd. We vermenigvuldigen  steeds de getallen die zó opgebouwd zijn: (a + 2 ) x (a + 3 ); de uitkomst van deze vermenigvuldiging is altijd gelijk aan de som  a+ 5a + 6. Het wezenlijke van de algebraïsche formule ( a + 2 ) x (a + 3 ) = a+5a + 6 is gelegen in het feit dat er  een bepaalde relatie is tussen sommen die vermenigvuldigend zijn ontstaan met die optellend zijn ontstaan en die aan elkaar gelijk zijn. Uiteindelijk moet de algebra de identiteit van verschillende getalsrelaties duidelijk maken.

In tabel 2 hebben we achtereen de getallen 1,2,3…. genomen en krijgen ook achtereenvolgens de uitkomsten 12, 20, 30, 42….; is deze uitkomstrij toevallig – of valt er iets te ontdekken? Een paar leerlingen merken het snel: van 12 naar 20 is een toename van 8; van 20 naar 30 is deze 10, dan 12….enz. We maken onze tabel 2 af wanneer we in een volgende kolom de groei van uitkomst naar uitkomst noteren:

a              uitkomst                  toename

rekenen 7 8    4

 

De groei neemt steeds met 2 toe. Zou je nu de volgende uitkomsten vooruit kunnen bepalen,  als de toename steeds  2 is, dus als je de laatste kolom verder uitwerkt?

toename

rekenen 7 8    5

Vul de binnenkolommen aan! Wakkere leerlingen komen er vanzelf op ook in tabel 1 de toename uit te rekenen!)

Tabel 2 kan als één grote getallensamenhang beleefd worden: geen enkel getal valt buiten de boot, elk past in het geheel. De beleving ‘het klopt’ roept in de leerling het gevoel van zekerheid op, het goed te hebben uitgerekend. Zo dikwijls mogelijk moeten we de leerling gelegenheid geven deze zelfbevestiging te kunnen beleven.

Wanneer  het al vermenigvuldigend laten verdwijnen van de haakjes omstandig ingeleid is, dan kun je veel algebraïsche voorbeelden uitrekenen:

rekenen 7 8    6

Voor een deel van de voorbeelden kan je ook waardetabellen (zoals in tabel 2) laten uitrekenen.

Hoe krijg je de haakjes weg wanneer er alleen maar verschillende getallen tussen de haakjes staan? Voorbeelden daarvan hebben we al uitgerekend:

32 x 63 = (30 + 2 ) x (60 + 3 ) = 1800 + 90 + 120 + 6 = 2016

Alle getallenvoorbeelden van deze soort kun je samenvatten in de algebraïsche berekening:

(a + b ) x (c + d) = ac + ad + bc + bd

Als regel geformuleerd: twee optelsommen tussen haakjes worden vermenigvuldigd en wel zo dat je iedere opteller tussen haakjes van de ene groep vermenigvuldigt met de optellers uit de andere groep ( en dan de deeluitkomsten optelt).

Wil je de regel nog wat korter hebben, dan kun je het deel ‘en dan de deeluitkomsten optellen’ weglaten, want dat is bijna vanzelfsprekend.

Zoals een plant zich in de zomer uitleeft in stengel-, blad- en bloemvorming, maar dan in de herfst zich toch weer moet terugtrekken in het zaad, kan je je in een dergelijke periode met het wegvermenigvuldigen van de haakjes uitleven om je dan te concentreren op een dergelijke formule-achtige regel.

Welke algemeenheden hebben we op onze oefenweg nog meer aangetroffen? Hoe je verschillende veelvouden van hetzelfde getal a kan optellen: 8a + 3a = 11a;     2a+ 7a =9a enz.

Algemeen: ba + ca +da + ……= ( b +c + d…..) . a

Regel: verschillende veelvouden van een getal a worden opgeteld wanneer je de vermenigvuldigers optelt (en dan a met deze uitkomst vermenigvuldigt).

De formule kan ook de andere op worden gelezen:

(b + c + d+…..) . a = ba +ca + da + …..

Bijpassende regel: een getal wordt met een som vermenigvuldigd zodanig dat je het getal met iedere opteller vermenigvuldigt.

Zulke regels zelf formuleren is voor de leerling bewustwording.

Ook kunnen we nu de basisrekenwetten voor optelling en vermenigvuldiging die we al sinds de eerste klas als vanzelf gebruikt hebben, algebraïsch formuleren (en daarmee duidelijk bewust maken):

1e basisregel: optellers mogen worden verwissel: a+ b = b + a
factoren mogen worden verwisseld: a . b= b . a

In vaktaal worden deze beide wetten: commutatieve wetten van optelling en vermenigvuldiging (wet van de verwisseling)  genoemd.

Geldt deze wet ook voor de aftrekking en de deling? Geenszins!

Overigens geldt deze voor de allerhoogste getalsoorten (bij de zgn.
(Duits: überimaginaire getallen) ook voor de vermenigvuldiging niet; op deze getallen wees Rudolf Steiner als belangrijk om ze te kennen.

2e basisregel: meer dan twee optellers of factoren mogen op willekeurige wijze samen genomen worden :

a + b + c= (a + b) + c                                3 + 5 + 9 = 8 + 9 = 17
a + b + c = a + (b + c)                               3 + 5 + 9 = 3 + 14 = 17

a x b x c = (a + b ) x c                                   2 x 3 x 5 = 6 x 5 = 30
a x b x c = a x (b x c )                                    2 x 3 x 5 = 2 x 15 = 30

In vaktaal: associatieve wet van optelling en vermenigvuldiging.
Beide rekenbewerkingen zijn door distributiviteit met elkaar verbonden:

a x (b + c ) =a x b+ a x c

Door algebraïsch te rekenen kunnen de rekenregels steeds duidelijker bewust worden. Wanneer we ze helemaal doorzien, voelen we ons bij het rekenen helemaal zeker. Dan beleven we ons eigen denken als een innerlijke aangelegenheid die ons met zekerheid zegt: ‘Ja, zo is het goed!’
Wanneer we de leerlingen mettertijd tot het beleven van deze innerlijke aangelegenheid kunnen leiden, dan kunnen zij zich beleven als denkende wezens.

* Arnold Bernhard
.

artikel   2     artikel 3      artikel 4

.

7e en 8e klas: rekenen alle artikelen

7e klas: alle artikelen

8e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

548-502

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (2) – temperament (2)

.
1e klas: rekenen: alle artikelen;  1e klas: alle artikelen

vermenigvuldigen
sanguinisch en melancholisch

 

PEDAGOGIEK
De pedagogiek is de wetenschap van de ontwikkeling van een kind tot aan zijn volwassenheid. Pedagogiek is afgeleid van het Griekse woord paidagoogia, wat letterlijk ‘kinderleiding’ betekent. De wetenschap bestudeert de opvoeding, de ontwikkelingsfasen, en ook de relatie tussen het kind en zijn omgeving: familieleden, school, vriendjes en vriendinnetjes, de gebouwde omgeving, media, etc. De nadruk ligt vooral op het handelen. Onder pedagogie wordt de praktijk van het opvoeden verstaan. Ook wordt de opvoeding van moeilijk opvoedbare kinderen onderzocht. Ze leven in een moeilijke situatie of het dreigt verkeerd te lopen.

TEMPERAMENT EN REKENEN
(Er wordt ook wel gesproken over “rekenen IN, of MET temperamenten”.)

Het gaat in ieder geval over de 4 rekenbewerkingen:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
en over “de” 4 temperamenten: het flegmatische, melancholische, sanguinische en het cholerische.

Ik ga hier voorbij aan de vraag of de kinderen van vandaag de dag zich nog net zo in hun temperament uiten als in Steiners tijd.

Ik ga er bij de volgende bespreking vanuit dat er in een klas voldoende te onderscheiden temperamentstypen zijn om ermee te rekenen op de manier waarop Steiner dat uiteenzette.

Het is met veel van Steiners pedagogische aanwijzingen zo, dat je ze wel kunt “leren” achter je bureau, maar dat ze in de praktijk van het lesgeven pas duidelijk worden.

HET SANGUINISCHE EN MELANCHOLISCHE TEMPERAMENT

VERMENIGVULDIGEN

Wie zich verdiept in de opmerkingen van Steiner, zoals die vanuit een stenogram zijn vastgelegd in GA 295, zoekend naar aanwijzingen over het rekenen, ziet ook verschillende vormtekeningen staan.

VORMTEKENINGEN
De bestudering van deze tekeningen biedt een onverwachte sleutel tot het begrijpen van de rekenopgaven zoals die aan de verschillende temperamenten worden gesteld.

Als we de vormtekeneningen bekijken die Steiner gaf voor de verschillende temperamenten, valt op dat de tekening die het flegmatische kind krijgt, in zekere zin een beeld is voor de rekenopgave die aan hem wordt gesteld: van het geheel naar de delen.

Het cholerische kind, in zijn gedrag het tegendeel van zijn flegmatische klasgenoot, krijgt daarmee in overeenstemming ook een heel andere vormtekening: van de delen naar het geheel.

Dit weerspiegelen ook de rekenopgaven voor de beide temperamenten.

Met deze 2 temperamenten in de hoofdrol wordt de bewerking “optellen” op tweeërlei manier aan alle kinderen geleerd.

Nu rijst de vraag of de vormtekeningen voor de andere temperamenten ook een aanwijzing zijn voor het rekenen met deze temperamenten.

Komen we iets dergelijks op het spoor voor bv.  het sanguinische tempera­ment?

de vormtekening voor het sanguinische temperament

Wat krijgt het sanguinische kind als opgave:

Steiner:
(  ) 
daß man beim sanguinischen Kinde sehr viel auf die Wiederholung hält, auf variierte Wiederholung. Man lasse viel­leicht das sanguinische Kind ein Motiv so zeichnen:
( )  het sanguinische kind zeer veel te laten herhalen, met variaties te laten herhalen. Men laat een san­guinisch kind bv.  een motief tekenen.’ 
GA 295/44
vertaald/44

tekening sanguinicus1

A

Dan krijgt het de opdracht dit motiefje 3x aan elkaar te tekenen.

tekening sanguinicus2

B

En daarna het losse motiefje, gevolgd door 3x aan elkaar.

tekening sanguinicus3

C

Waarom geeft Steiner hier een motiefje, 1x los en 3x aan elkaar?

Het was mij bij het tekenen van allerlei voorbereidende schrijfoefeningen opgevallen, dat bij de sanguinische kinderen, wanneer ze een motief moesten tekenen van links naar rechts, het begin nog goed is, maar dat tegen het einde de vorm ‘verwaterd’  is:

tekening sanguinicus4

Met name het sanguinische kind houdt deze vorm niet vol. Het droomt er a.h.w. voor weg,  om voor iets anders wakkerder te zijn; verliest zijn aan­dacht ervoor: kan er niet bijblijven.

Telkens en dat een regel vol,  is een herhaling, aan één stuk door, nergens onderbroken.

Je moet wel heel veel aandacht hebben en houden om een hele regel zo mooi vol te houden, zoals je begon.

Het is een ritmische beweging en ritme heeft de neiging zich aan het bewustzijn te onttrekken.

Steiner zegt in de ‘Algemene menskunde’ [3] over herhalingen, dat ze “gevoelskarakter” hebben en dat, wat het bewustzijn betreft, ze zich afspelen in de droomsfeer .

Steiner:
(  )Also mehr unbewußtes Wiederholen kultiviert das Gefühl;
( ) Dus meer onbewust herhalen cultiveert het gevoel.
GA 293/78
vertaald/77

Maar in de “sanguinische”tekening wordt niet onbewust herhaald. Want na A  wordt de voortgang onderbroken; opnieuw uitgevoerd-driemaal (B), maar vóór deze “droomkarakter” zou krijgen, vindt er een nieuwe onderbreking plaats.(C)

Steiner:
(  ) vollbewußtes Wiederholen kultiviert den eigentlichen Willensimpuls,(  )
herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls.
GA 293/78
vertaald/
 

Volgens mij gaat het er bij het sanguinische kind om, wanneer hij een vormtekening maakt, dat hij op tijd stopt en weer met een hernieuwde impuls begint: het moet er wakker bij zijn, aandacht hebben.

De rekenopgave voor het sanguinische temperament

Wanneer we naar de rekenopgave kijken, zegt Steiner:
Nun nehme ich mir ein Kind vor aus der Gruppe der Sanguiniker. Ich werfe wieder eine Anzahl Holunderkügelchen hin, ich sorge aber dafür, daß es in irgendeiner Weise paßt. Nicht wahr, ich muß das ja schon anordnen, sonst würde die Sache zu rasch ins Bruchrechnen hin­einführen. Also, nun lasse ich zählen: 56 Holunderkügelchen. – «Nun sieh einmal an, da habe ich 8 Holunderkügelchen. Nun mußt du mir sagen, wie oft die 8 Holunderkügelchen in den 56 drinnen sind.» Sie sehen, die Multiplikation führt zu einer Division. Es bekommt her­aus 7.

Nu neem ik een kind uit de sanguinische groep. Ik leg weer wat vlierbesjes neer, maar zorg er wel voor dat het past. Ik moet dat immers wel voorbereiden, anders zouden we te snel bij de breuken terecht komen. Goed, dan laat ik tellen. 56 besjes. ‘Kijk eens, hier heb ik 8 besjes. Nu moet jij me eens zeggen hoeveel keer die 8 besjes in de 56 zitten’. U ziet, een vermenigvuldiging leidt tot een deling. Het krijgt er 7 uit.
GA 295/42
vertaald/42

 

Als je dit zo leest, is dat best lastig te doorgronden.We hebben, uit ons eigen onderwijs, (vaak onbewust) als een soort norm, meegenomen, wat men zelf voor een deling of vermenigvuldiging houdt –dus, wat je daarvan “vroeger” hebt geleerd.

Maar vanuit de praktijk in de klas is het allemaal een stuk eenvoudiger.

Ik laat een groepje van 12 kinderen voor de klas komen.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dan roep ik een sanguinisch kind. Die telt de kinderen voor de klas. “12”, zegt het. Ik zeg dan: “Kijk eens. Ik wijs deze kinderen aan. Dat zijn er…”, “3”, zegt het kind.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ik: “zeg mij nu eens, hoeveel keer zo’n groepje van 3 in deze 12 zit.”

Wat doet het kind? Het loopt langs de rij en maakt een opening.

0 0 0 / en opnieuw 0 0 0 / en opnieuw 0 0 0 / en nog eens 0 0 0

“Hoeveel van die groepjes heb je nu?” Kind: “4”.

Het vormteken”gebaar” is het reken”gebaar”.

Omdat het sanguinische en het melancholische temperament elkaars tegenpolen zijn, ligt het voor de hand, dat nu het melancholische kind aan de beurt is.

De vormtekening voor het melancholische temperament

We kijken eerst weer naar de vormtekening die Steiner voor het melancholische kind gaf.

Steiner:
Beim melancholischen Kinde würde es gut sein, dasjenige zu beach­ten, wohinein doch etwas das Nachdenken spielt. Nehmen wir an, das melancholische Kind sollte zunächst eine solche Form (Zeichnung a) ausbilden
Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden. Laten we eens aannemen dat het melancholische kind eerst zo’n vorm moet tekenen (tekening a)


tekening melancholicus1

a

und dann die Gegenform (Zeichnung b), so daß es sich er­gänzt.
en dan de tegenovergestelde vorm. (tekening b).Die twee vullen elkaar aan.

tekening melancholicus2

b

Dadurch kommt die Phantasie in Regsamkeit. Ich will dasjenige schraffieren, was die ursprüngliche Form (a) ist, und die Gegenform (b) so. Dasjenige, was hier (a) schraffiert ist, würde hier (b) leer sein. Wenn Sie sich das Leere ausgefüllt denken, würden Sie diese Form (a) wieder herausbekommen. Dadurch sind die äußeren (b) entgegengesetzte For­men von den inneren (a). – Sie haben also hier das Entgegengesetzte von solchen Zeichnungen, wo Wiederholung auftritt. Hier etwas, was gedanklich ist, mit der Anschauung vereinigt für das melancholische Kind. Und wo Wiederholung auftritt, Ranken und so weiter, das ist für das sanguinische Kind.
Daardoor komt de fantsie in beweging. Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor zijn de buitenste vormen (b) tegengesteld aan de binnenste vormen (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind.
GA 295/45
vertaald/45

 

Dat klinkt wel ingewikkeld!

Toch is het minder ondoorzichtig, dan het lijkt.(Vooral wanneer je het in de praktijk “gewoon” doet)

Wanneer het melancholische kind met een leeg velletje papier voor zich naar de leerkracht kijkt die op bord tekent:

tekening melancholicus3

krijgt het de opdracht dit na te tekenen.

Dan, “kleur(arceer) nu eens de buitenste “ring”.

Het kind kleurt:

tekening melancholicus4

“Wil je dit figuur  nog eens tekenen? Maar zonder kleur”.

Je hebt net de witte rand geel gekleurd. Wil je nu, wat geel is, wit laten en wat wit is, geel maken?”

Het kind kijkt even naar de tekening en kleurt:

tekening melancholicus5

Klaar!

“Nee, het is nog niet klaar! Je zou, wat geel is, wit laten en wat wit is, geel maken”.

Het kind kijkt weer naar zijn tekening. Hij kijkt – denkt na en …wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste belang. Het gaat om het gearceerde buiten de vorm.

tekening melancholicus6

Met het  ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het  ‘buiten’ moet hij gewekt worden.

Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Wat binnen zit, komt buiten. Een wisseling. De blik op het eigen zelf, nu gericht op de buitenwereld.  De melancholicus met de neiging zich  (te) veel op zichzelf te richten, moet leren de blik op de buitenwereld te richten.

TEMPERAMENTSVORMTEKENINGEN ZIJN ‘THERAPEUTISCHE’ OEFENINGEN
Hier ging ik in op de vraag of alle temperamenten ook elkaars opgave maken.
Woorden van gelijke strekking gelden m.i. ook voor het sanguinische en melancholische temperament.

De rekenopgave voor het melancholische temperament

Steiner:
Nun lasse ich die Rechnung zurückmachen von dem melancho­lischen Kinde und sage: «Nun will ich aber nicht untersuchen, wie oft die 8 enthalten sind in den 56, sondern wie oft ist die 7 enthalten in 56? Wie oft kommt die 7 heraus?» Ich lasse die umgekehrte Rechnung immer von dem entgegengesetzten Temperament ausführen.
Dan laat ik de berekening omgekeerd maken door het melancholische kind en zeg:  ‘Maar nu wil ik niet weten hoe vaak de 8 in  56 zit, maar hoe vaak de  7 in  56. Hoe vaak komt die  7 er in voor? Ik laat de omgekeerde bewerking altijd door het tegenovergestelde temperament uitvoeren.

In mijn voorbeeld: de 12 kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in 4 groepjes van 3 staan daar nog:

000     000    000     000

Nu zeg ik tegen het melancholische kind: “Je klasgenoot heeft gevonden: deze 12 bevatten 4 groepjes van 3, nu wil ik van jou weten hoeveel groepjes van 4 erin zitten.

Meestal meteen antwoordt het kind: “3”.

Het melancholische kind moet de opgave kijkend en denkend vinden. Het moet kijken en denken. Het wil liever niet voor de klas komen en kinderen verplaatsen.

Steiner:
Den melancholischen Kindern etwas zeigen, worüber sie urteilen können;
Laat de melancho­lische kinderen iets zien, waarover ze een oordeel kunnen vormen.
GA 295/12
vertaald/13

 

Ik meen dat we dat hier toepassen.  Ze kijken en op grond van het gegeven 4 groepen van 3, vellen ze het oordeel:  3 groepen van 4.
3 groepen van 4. Die zaten er in – wat binnen is, komt buiten. Het ene (sanguinische) antwoord roept het andere (melancholische) antwoord op: maar aanschouwend, nadenkend:
(zie boven:) Een opgave voor de melancholicus, waarbij toch enigszins nagedacht moet worden.
 

Hoewel de sanguinische en melancholische tekenopgave niet zo gemakkelijk de richting wijzen naar het rekenen als de flegmatische en cholerische teke­ning, kunnen ze een grote steun zijn bij het doorgronden waarom we nu juist de rekenopgave zo stellen.

Ook deze vorm wordt weer klassikaal geoefend met de steentjes, damschijven enz. maar geen (vlier)bessen!
Natuurlijk krijgen nu de sanguinische en melancholische kinderen “hun” opgave met extra beurten.

Bij het neerleggen en “de mooiste in het schrift” waren er weer prachtige vondsten te bewonderen.

tekening melancholicus7

 

 

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

Menskunde: Over temperamenten   nr.15

 

62-60