VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – 7e en 8e klas (1)

.

Arnold Bernhard, Erziehungskunst nr. 53 01-1989)
.

ALGEBRA EN REKENEN IN DE 7e EN 8e KLAS

Voorwoord bij de artikelenreeks.

Steeds opnieuw vroegen klassenleerkrachten mij* – vooral die van de zevende klas – of ik aanwijzingen voor hen had voor het wiskunde-onderwijs.
In de loop van een kleine twee decennia heb ik veel collega’s in talloze losse gesprekken die tips kunnen geven. Meer dan eens was er gelegenheid om in de vakantie of ’s avonds voor een grotere kring wiskundige lesonderwerpen te behandelen. Zulke cursussen werkten als een kortstondige stimulans. Sommige cursusdeelnemers kwamen er echter pas na jaren toe de behandelde stof aan een klas te geven; intussen waren de aanwijzingen weggezakt of vergeten.

Twee-en-eenhalf jaar geleden deed ik het lerarencollege van de Rudolf Steinerschool in Basel het voorstel, regelmatig iedere week een uur met de zevende en een uur met de achtsteklasleerkrachten de stof van de wiskundeperioden en ook van de oefenuren systematisch door te werken. Opdat de uren ook werkelijk regelmatig zouden kunnen doorgaan, werden ze op het werkrooster van de deelnemende leerkrachten ingevuld; ze zijn officiële georganiseerd. De ervaringen zijn goed; alle klassenleerkrachten die tot nog toe de uren gevolgd hebben, bevestigen dat ze voor hen een grote hulp zijn geweest.
De klassenleerkrachten staan in de bovenbouwklassen – natuurlijk niet alleen bij het wiskunde-onderwijs – voor een zeer grote opgave. Ik geloof dat deze voor velen slechts te doen is, wanneer het met bepaalde vakken tot een regelmatige, systematische, in een collegiale sfeer georganiseerde samenwerking tussen klassenleerkrachten en vakleerkrachten van de bovenbouw komt.

Over deze samenwerking wordt in een aantal artikelen verslag gedaan. Mijn ervaringen met dit gemeenschappelijke overleg staan erin en natuurlijk gaat het over mijn eigen lessen, vooral aan negende klassen. Tijdens de lessen moest ik dikwijls bij mezelf zeggen: “Wat ik met de negendeklasser doe, is op z’n minst ook voor een deel zevende- en achtsteklasstof en dat zou toch eigenlijk in zeven en acht gegeven moeten worden.
Mijn collega’s, de klassenleerkrachten, hebben mijn voorstellen veelvuldig uitgeprobeerd en deze hebben zich in de praktijk bewezen. Ik bedoel daarmee niet te zeggen dat mijn voorstellen de enige juiste zijn; je kunt een wiskundeperiode op zeer verschillende manieren gestalte geven. Iedere opbouw heeft voor- en nadelen. Hoe je het ook doet, als de klas maar aan oefenen toekomt; praktisch oefenen en verdieping van inzicht kunnen wederzijds hand in hand gaan.
Een bepaalde leskern zou door alle leerlingen begrepen moeten kunnen worden. Daarbuiten moet iedere leerling gelegenheid krijgen zich verder te ontwikkelen, zover als voor hem persoonlijk mogelijk is en zin heeft. Wanneer deze beide doelen bereikt worden – de kernleerstof beheersen en individuele ontwikkelingsmogelijkheden – dan komen alle leerlingen aan hun trekken en ieder is tevreden.

Dus hoop ik dat deze artikelen voor vele collega’s in de zevende en achtste klas een stimulans zijn en een wegbereiding voor de wiskundeperioden.

(De schrijver zegt dan nog dat hij van plan is er een boek over te schrijven – dat is inmiddels gebeurd).

Hij besluit te zeggen hoe mooi het zou zijn als op veel scholen het idee van een samenwerking tussen vak- en klassenleerkracht opgepakt zou worden.

Van het rekenen met getallen naar algebraïsch rekenen- het wegwerken van haakjes

Uit een jarenlange praktijk is gebleken dat het aanknopen van de algebra aan het rekenen – zelfs bij het hoofdrekenen – vruchtbaar is. Een goede instap is het mondeling vermenigvuldigen van getallen met twee cijfers.
We rekenen uit:  7 x 23.
Uiteraard splitsen we 23 in 20 + 3 en we vermenigvuldigen de op te tellen getallen apart:
7 x 23 = 7 (20 + 3) = 7 x 20 + 7 x 3 = 140 + 21 = 161

Wanneer de vermenigvuldiger een getal is van één cijfer, mag het vermenigvuldigtal zelfs groter zijn dan uit 2 cijfers bestaand; de getallen worden dan niet te groot.

3 x 235 = 3 x (200 + 30 + 5) = 3 x 200 + 3 x 30 + 3 x 5 = 600 + 90 + 5 = 705.

Wanneer de beide factoren uit 2 cijfers bestaan, is het opdelen van beide in optellers nuttig:

15 x 27 = (10 + 5) x (20 + 7) = 10 x 20 + 10 x 7 + 5 x 20 + 5 x 7 =
200 + 70 + 100 + 35 = 405

Het kan ook stap voor stap:
15 x 27 = (10 + 5) x 27 = 10 x 27 + 5 x 27 = 270 + 5 x (20 + 7) = 270 + 100 + 35 = 405

Bij grotere getallen van 2 cijfers is het meteen uit elkaar leggen van allebei de getallen nuttiger:

32 x 43 =(30 + 2) x (40 + 3) = 30 x 40 + 30 x 3 + 2 x 40 + 2 x 3 ) = 1200 + 90 + 80 + 6 = 1376

Met een klas kunnen veel van deze voorbeelden opgelost worden:

34 x 52 = (30 + 4 ) x 50 + 2) = 30 x 50 + 30 x 2 + 4 x 50 + 4 x 2 = 1500 + 60 + 200 + 8 = 1768

Na enige oefening kunnen de deelresultaten meteen na de haakjes opgeschreven worden:

43 x 35 = (40 + 3) x (30 + 5) = 1200 + 200 + 90 + 15 = 1505

Vergelijk het met het schriftelijk vermenigvuldigen:

43 . 35
       105
 140
   1505

In de 105 zie je de 90 + 15 en in de 140 (eigenlijk 1400, want een plaats naar links verschoven) de som 1200 + 200.

Hier is het de vraag: moet je met het linker getal het rechter of met het rechter het linker vermenigvuldigen? Op de uitkomst heeft het geen invloed; voor de praktijk van het rekenen is het goed, wanneer de leerlingen beide vormen kunnen.

43 . 35
       215

129
  1505

215 is de som 200 + 15 en 1290 = 1200 + 90

Om gevoelsmatig begrip te krijgen voor het vermenigvuldigen is het echter beter met het linker getal het rechter te vermenigvuldigen, want het linker getal is duidelijk het actieve, het rechter passief. Want wat betekent dan 3 keer 5? De 3 geeft aan wat met de 5 moet gebeuren: die moet 3 keer opgeteld worden:

3 x 5 = 5 + 5 + 5

De 3 speelt de actieve rol, de 5 een passieve. De verschillende rollen komen in de naamgeving tot uitdrukking: de 3 is de vermenigvuldiger, de 5 het vermenigvuldigtal. De eindlettergreep -er- vinden we in veel woorden met een actieve betekenis (bakker, landbouwer: het Duits heeft – tor: motor, tractor).
Wanneer je de verschillende functies niet noemen wil, spreekt je over factoren.

Natuurlijk is het geen verplichting om de beide factoren te splitsen in tiental en eenheid; maar die splitsing past wel goed bij ons tientallig stelsel.

15 x 13 = (10 + 5) x (10 + 3) = 100 + 30 + 50 + 15 = 195

Maar: net zo goed kan er gerekend worden:

15 x 13 = ( 9 + 6) x ( 8 + 5) = 72 + 45 + 48 + 30

Omdat 2 en 8 samen 10 zijn, kun je de deelantwoorden het beste optellen in de volgorde: 72 + 48 + 30 + 45 = 195

of: 15 x 13 = (7 + 8) x (9 + 4) = 63 + 28 + 72 + 32 = 63 + 100 + 32 = 195

Hoeveel verdeelmogelijkheden zijn er bij dit voorbeeld eigenlijk? (In feite 42; 7 voor de eerste factor en 6 voor de tweede).  Er ontstaan steeds weer vier andere optellers, maar steeds is het resultaat 195.

Wonderbaarlijk! Natuurlijk kunnen dergelijke oefeningen al vóór de 7e klas gemaakt worden. Ze eisen beweeglijkheid in het rekenen en je gebruikt er in de praktijk van het rekenen precies datgene mee wat Rudolf Steiner in de eerste klas aan het begin van al het rekenonderwijs zei: het delen van het getal in optellers, bv. 12 = 5 + 7   12 = 4 + 8   12 = 3 + 9 enz.

Maar nu de overgang van het rekenen met getallen naar het algebraïsch rekenen.  We houden ons weer aan de splitsing van tientallen en eenheden, houden de eenheid vast en verhogen achtereenvolgens de tientallen; in beide groepen tussen haakjes moeten de tientallen overeenstemmen:

rekenen 7 8    1

Hier stoppen we een ogenblik en kijken even terug naar het voorafgaande: in de eerste kolom van de antwoorden staan kwadraatgetallen: 100, 400, 900,….in de tweede de rij van dertig: 30, 60, 90….in de derde kolom de rij van twintig: 20, 40, 60….in de vierde kolom echter staat steeds het getal 6. Nu gaan we verder:

rekenen 7 8    2

(tabel 1)

Al deze voorbeelden hebben iets gemeenschappelijks: kun je dat op een rekenmanier duidelijk maken? Alle voorbeelden in één berekening samenvatten?
Als eerste getal mag tussen de haakjes een of ander tiental staan; we schrijven geen specifiek tiental op, maar een symbool ( hiervoor nemen we de letter a), dat ieder mogelijk tiental kan betekenen.

Nog eens:  =a= is uiterlijk bezien een letter, maar betekent een tiental, een getalsymbool.

Kunnen we met dit symbool rekenen? We proberen het: de berekening die alle aparte voorbeelden samenvat, luidt:

( a + 2 )  x  (a + 3 ) =  a2  + 3a + 2a + 6

Als eerste deel van de oplossing verschijnt het kwadraat van a, dan een getal uit de rij van 30 (a is immers een tiental), dan een getal uit de rij van 20 en tenslotte de 6.
Kunnen we nu de aparte uitkomsten samenvatten in een eindresultaat? Niet zo definitief als bij de concrete voorbeelden! Maar 3a + 2a , is dat 5a? Zeker, want 3a + 2a betekent ( a + a + a + a + a) en dat is 5a. Dus (a + 2 ) x (a + 3 ) = a+ 5a + 6

Inderdaad vertonen in de getallenvoorbeelden de tweede en de derde uitkomst samen steeds een getal uit de rij van 50)

In de praktijk van het rekenen ligt het voor de hand, a als een tiental te beschouwen. Mag je voor a ook een ander getal kiezen? Blijft dan de algemene formule overeind? Nemen we voor a een willekeurig getal, bv. 7:

(a + 2) x (a + 3 ) wordt dan : (7 + 2 ) x (7 + 3 ) = 9 x 10 = 90

a+ 5a  + 6 wordt dan met a = 7 tot 49 + 35 + 6 = 90

Als we de  juistheid van de formule systematisch controleren en we nemen voor a de rij van de natuurlijke getallen 1,2,3  enz,:

rekenen 7 8    3

(tabel 2)

Door totaal verschillende berekeningen komen we steeds tot gelijke uitkomsten! Links vermenigvuldigen we 2 getallen, rechts tellen we 3 getallen op – en toch krijgen we steeds hetzelfde antwoord! We vermenigvuldigen  niet zo maar een of ander getal of tellen dit op, maar de getallen op een bepaalde manier opgebouwd. We vermenigvuldigen  steeds de getallen die zó opgebouwd zijn: (a + 2 ) x (a + 3 ); de uitkomst van deze vermenigvuldiging is altijd gelijk aan de som  a+ 5a + 6. Het wezenlijke van de algebraïsche formule ( a + 2 ) x (a + 3 ) = a+5a + 6 is gelegen in het feit dat er  een bepaalde relatie is tussen sommen die vermenigvuldigend zijn ontstaan met die optellend zijn ontstaan en die aan elkaar gelijk zijn. Uiteindelijk moet de algebra de identiteit van verschillende getalsrelaties duidelijk maken.

In tabel 2 hebben we achtereen de getallen 1,2,3…. genomen en krijgen ook achtereenvolgens de uitkomsten 12, 20, 30, 42….; is deze uitkomstrij toevallig – of valt er iets te ontdekken? Een paar leerlingen merken het snel: van 12 naar 20 is een toename van 8; van 20 naar 30 is deze 10, dan 12….enz. We maken onze tabel 2 af wanneer we in een volgende kolom de groei van uitkomst naar uitkomst noteren:

a              uitkomst                  toename

rekenen 7 8    4

 

De groei neemt steeds met 2 toe. Zou je nu de volgende uitkomsten vooruit kunnen bepalen,  als de toename steeds  2 is, dus als je de laatste kolom verder uitwerkt?

toename

rekenen 7 8    5

Vul de binnenkolommen aan! Wakkere leerlingen komen er vanzelf op ook in tabel 1 de toename uit te rekenen!)

Tabel 2 kan als één grote getallensamenhang beleefd worden: geen enkel getal valt buiten de boot, elk past in het geheel. De beleving ‘het klopt’ roept in de leerling het gevoel van zekerheid op, het goed te hebben uitgerekend. Zo dikwijls mogelijk moeten we de leerling gelegenheid geven deze zelfbevestiging te kunnen beleven.

Wanneer  het al vermenigvuldigend laten verdwijnen van de haakjes omstandig ingeleid is, dan kun je veel algebraïsche voorbeelden uitrekenen:

rekenen 7 8    6

Voor een deel van de voorbeelden kan je ook waardetabellen (zoals in tabel 2) laten uitrekenen.

Hoe krijg je de haakjes weg wanneer er alleen maar verschillende getallen tussen de haakjes staan? Voorbeelden daarvan hebben we al uitgerekend:

32 x 63 = (30 + 2 ) x (60 + 3 ) = 1800 + 90 + 120 + 6 = 2016

Alle getallenvoorbeelden van deze soort kun je samenvatten in de algebraïsche berekening:

(a + b ) x (c + d) = ac + ad + bc + bd

Als regel geformuleerd: twee optelsommen tussen haakjes worden vermenigvuldigd en wel zo dat je iedere opteller tussen haakjes van de ene groep vermenigvuldigt met de optellers uit de andere groep ( en dan de deeluitkomsten optelt).

Wil je de regel nog wat korter hebben, dan kun je het deel ‘en dan de deeluitkomsten optellen’ weglaten, want dat is bijna vanzelfsprekend.

Zoals een plant zich in de zomer uitleeft in stengel-, blad- en bloemvorming, maar dan in de herfst zich toch weer moet terugtrekken in het zaad, kan je je in een dergelijke periode met het wegvermenigvuldigen van de haakjes uitleven om je dan te concentreren op een dergelijke formule-achtige regel.

Welke algemeenheden hebben we op onze oefenweg nog meer aangetroffen? Hoe je verschillende veelvouden van hetzelfde getal a kan optellen: 8a + 3a = 11a;     2a+ 7a =9a enz.

Algemeen: ba + ca +da + ……= ( b +c + d…..) . a

Regel: verschillende veelvouden van een getal a worden opgeteld wanneer je de vermenigvuldigers optelt (en dan a met deze uitkomst vermenigvuldigt).

De formule kan ook de andere op worden gelezen:

(b + c + d+…..) . a = ba +ca + da + …..

Bijpassende regel: een getal wordt met een som vermenigvuldigd zodanig dat je het getal met iedere opteller vermenigvuldigt.

Zulke regels zelf formuleren is voor de leerling bewustwording.

Ook kunnen we nu de basisrekenwetten voor optelling en vermenigvuldiging die we al sinds de eerste klas als vanzelf gebruikt hebben, algebraïsch formuleren (en daarmee duidelijk bewust maken):

1e basisregel: optellers mogen worden verwissel: a+ b = b + a
factoren mogen worden verwisseld: a . b= b . a

In vaktaal worden deze beide wetten: commutatieve wetten van optelling en vermenigvuldiging (wet van de verwisseling)  genoemd.

Geldt deze wet ook voor de aftrekking en de deling? Geenszins!

Overigens geldt deze voor de allerhoogste getalsoorten (bij de zgn.
(Duits: überimaginaire getallen) ook voor de vermenigvuldiging niet; op deze getallen wees Rudolf Steiner als belangrijk om ze te kennen.

2e basisregel: meer dan twee optellers of factoren mogen op willekeurige wijze samen genomen worden :

a + b + c= (a + b) + c                                3 + 5 + 9 = 8 + 9 = 17
a + b + c = a + (b + c)                               3 + 5 + 9 = 3 + 14 = 17

a x b x c = (a + b ) x c                                   2 x 3 x 5 = 6 x 5 = 30
a x b x c = a x (b x c )                                    2 x 3 x 5 = 2 x 15 = 30

In vaktaal: associatieve wet van optelling en vermenigvuldiging.
Beide rekenbewerkingen zijn door distributiviteit met elkaar verbonden:

a x (b + c ) =a x b+ a x c

Door algebraïsch te rekenen kunnen de rekenregels steeds duidelijker bewust worden. Wanneer we ze helemaal doorzien, voelen we ons bij het rekenen helemaal zeker. Dan beleven we ons eigen denken als een innerlijke aangelegenheid die ons met zekerheid zegt: ‘Ja, zo is het goed!’
Wanneer we de leerlingen mettertijd tot het beleven van deze innerlijke aangelegenheid kunnen leiden, dan kunnen zij zich beleven als denkende wezens.

* Arnold Bernhard
.

artikel   2     artikel 3      artikel 4

.

7e en 8e klas: rekenen alle artikelen

7e klas: alle artikelen

8e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 7e klas

.

548-502

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Advertenties

6 Reacties op “VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – 7e en 8e klas (1)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – Ontwikkelingsfasen van het kind | VRIJESCHOOL

  2. Pingback: VRIJESCHOOL – 7e klas – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  3. Pingback: VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen 7e/8e klas (4) | VRIJESCHOOL

  4. Pingback: VRIJESCHOOL- Algebra en rekenen – 7e/8e klas (3) | VRIJESCHOOL

  5. Pingback: VRIJESCHOOL – Algebra en rekenen – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  6. Pingback: VRIJESCHOOL – Rekenen en algebra 7e/8e klas (2) | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.