Tagarchief: breuken

VRIJESCHOOL – Rekenen (9)

.

methodiek bij de opbouw van het rekenonderwijs

Getallen gaan voor ons boven de directe uiterlijke waarneming uit, doen een beroep op onze innerlijke activiteit. Getallen nemen we nergens meteen waar, zoals rood of groen of een toon of een klank. Alleen door waarnemingen worden ze ons bewust.
Niet alle waarnemingen roepen in ons de behoefte aan getallen en rekenen op.
Wanneer ik een tak van een boom met de bladeren voor me heb, voel ik me niet geroepen, daarom de blaadjes te gaan tellen; en al zou ik het aantal weten, dan is dat toch nog geen kennis die ik per se moet hebben. Als ik een bloem zie, zal ik eerder het aantal bloemblaadjes zien; dat is voor die bloem wel karakteristiek en dat blijft me wel bij. De regelmatig gevormde bouw en het herhaaldelijk de bloeiwijze bekijken, stimuleert het tellen. Iets wat als een geheel alles omvat, is vaak de niet waarneembare impuls die verbonden is met tellen. Zo’n soort band die bij het tellen meedoet, is ook steeds weer bij her rekenen als een wezenlijk element aanwezig.
Aan iedere vergelijking van twee getallen ligt weer een ontstaan van een denkverbinding ten grondslag en bij het zoeken naar de verhoudingsgetallen vindt de exacte bewerking van deze vergelijking plaats.

Het leggen van een verbinding als een noodzakelijk element bij het rekenen, wordt ook duidelijk als je ziet dat je pas dan twee appels en drie peren kan optellen, wanneer je van te voren de verbinding onder het gemeenschappelijke gezichtspunt ‘vruchten’ hebt gelegd. Met het wekken van dit mentale bij elkaar brengen, hangt ook het eerste rekenen samen en dit kan nu of ruimtelijk overzichtelijk worden of in de tijd, door het als volgorde te nemen.

Bij het ruimtelijk vormgeven hoort een groep van inleidende oefeningen die eruit bestaan om een aanvankelijk onoverzichtelijke hoeveelheid dingen door een zinvolle ordening overzichtelijk te maken en daardoor ook makkelijker te tellen.

Als ik bijv. 9 appels heb die zomaar wat bij elkaar liggen en ik leg ze dan zo op deze 9 punten:

                                                          .         .         .
                                                          .         .         .
                                                          .         .         .

dan doen ze zich voor als  3  +  3  +  3 , meteen te overzien. Dergelijke oefeningen die direct de zin voor getallen aanspreken, brengen ons midden in de getallenwereld.
Uit de orde vind je niet alleen het getal 9, bestaand uit    3  +  3  +  3   kennen, maar ook een andere opbouw: als je het vierkant op een punt zet en dan de verschillende plaatsing van de punten volgt

dan krijg je de rij: 9 = 1  + 2  + 3  +  2  +  1
Daarmee ben je al bij een samenhang van getallen aangekomen die verder gaat dan dat ene voorbeeld en op een soortgelijke manier geldt dit ook voor de getallen 16, 25, enz, die ontstaan door het betreffende getal met zichzelf te vermenigvuldigen

Het noteren in de driehoeksvorm ondersteunt het overzicht en de wetmatige opbouw springt meteen in het oog. De verticale rijen zijn natuurlijke getalvolgorden die verschillende beginnen. Volg je de horizontale rijen en kijk je naar de ene en de volgende komt, dan zie je dat iedere volgende rij 2 cijfers meer heeft. In iedere rij komt er een cijfer bij, de rij wordt een cijfer langer; het getal dat in het midden staat, staat in de volgende rij symmetrisch naast het cijfer dat erbij is gekomen.
Daaruit volgt weer dat de optelsom van de rijen opvolgend per rij:

groter wordt, dus de rijen groeien met de oneven getallen; die zijn dan ook weer 

het verschil tussen de kwadraatgetallen.

De andere manier om een verbinding te leggen en een indeling te maken is het accent te leggen op de volgorde in de tijd, zowel bij het tellen, als ook bij de overgang naar het rekenen. Alleen al het feit dat het kind bij het tellen een woordvolgorde spreekt die vastligt, maakt diepe indruk.
In het tellen kan dan een ritmische indeling worden gebracht, wanneer je iedere tweede of derde de nadruk geeft, waarbij de rijen van de tafels van vermenigvuldiging opduiken. Het eruit laten springen van de getallen kan ook door deze luider te spreken en de andere heel zacht, tot fluisteren toe of helemaal niet te zeggen, maar ze in gedachten te volgen of door bepaalde getallen heel langzaam en duidelijk te spreken, de andere weer vlugger.
Met deze tafelrijen heb je een rijke stof om het geheugen te oefenen.

Rudolf Steiner noemde ‘beeldend’ en ‘ritmisch’ wezenlijke factoren voor het onderwijswerk in de hele basisschool. Daaraan voldoet op een natuurlijke manier ook voor rekenen in het prille begin met het principe van het ordenen en het ritmische tellen.

Vanuit het tellen ontstaat dan langzaamaan het rekenen.
Vanuit een fundamentele kentheorie neemt Rudolf Steiner bij het optellen de optelsom als vertrekpunt om vanuit het geheel naar de delen te gaan. Het is een tegenwicht voor het atomiserende denken waarmee het rekenonderwijs vol zit.
Te denken valt aan hoe dikwijls bij de behandeling van bepaalde rekenopgaven een manier van denken ontwikkeld wordt, die iedere lengte als de optelsom van zoveel losse kilometers neemt, ieder gewicht als een samennemen van zoveel kilo, enz. Dit hangt samen met het toenemen van een manier van voorstellen dat deel voor deel aan elkaar knoopt; het gezonde rekenonderwijs moet daar tegenoverstellen een manier van denken die uitgaat van ‘hoe vaak het erin zit’.

Een voorbeeld:

De vraag is om 10º Réaumur om te zetten in graden Celsius.

Dat wordt meestal zo gedaan:

80º Réaumur is 100º Celsius
dan is 1º Réaumur  100/80 º  Celsius
en  18º Réaumur is dan  100  x  18/80 º

Dan heb je de weg van 1 graad Réaumur genomen en van daaruit ga je dan van de ene schaal naar de andere.
Vergelijk nu de andere weg: neem je de beide schalen bij hun kookpunt, dan heb je de getallen 80 en 100 tegenover elkaar; hun verhouding is dan 100/80   4/5         en deze verhouding geeft voor 18º Réaumur   18 x 5/4=  22½º Celsius.
Hoewel ook de tweede gedachtegang naar de analoge getaloperatie leidt, werkt deze toch met een heel andere manier van denken. Hier wordt niet 1º Réaumur genomen, maar direct de overgang door het verhoudingsgetal. Wanneer je bij een thermometer denkt aan de kleine deelstreepjes van één graad, dan is daar juist de overgang het minst overzichtelijk; hier hoef ik niet te kijken, maar wel naar duidelijk overzichtelijke getalsverhoudingen die bij de tweede manier op de voorgrond staan, en die ernaar streeft een zo intensief mogelijke bewustzijnsverbinding met de voorwerpen te krijgen.
De belangrijke zin voor getalverhoudingen die in de praktijk zo belangrijk is, kan je op ieder niveau verzorgen.
Een belangrijke veld is dat van de breuken. Intensief oefenen in het vergelijken van breuken, bijv. dat een half 1½ derde is of een kwart 1½ zesde, levert pas bij breuken het juiste begrip op en wekt er de zin voor waarom je bij het optellen van breuken in vergelijking met het optellen van getallen zo’n gecompliceerde werkwijze moet gebruiken als die van het zoeken naar de noemers. Het optellen van verschillende breuken kun je wel vergelijken met bijv. het optellen van verschillende maten, zoals bijv. de decimeter, meter, centimeter, kilometer enz. Door geschikte oefeningen zal je het begrip voor de rekenregels onderbouwen.

I.p.v. de breukenrij  1/6  +  1/12 + 1/3  + 1/4

uit te werken door alles in twaalfden te denken 2 + 1 + 4 +3
                                                                                               12

10/12  5/6

kan je ook met zesden rekenen: een twaalfde is ½ keer zo groot als een zesde; een derde is tweemaal zo groot als een zesde;
een derde is ½ keer zo groot als een zesde, waarmee in zesden gerekend de som is:   1  +  ½  +  2  +3½  = 5.

Op dezelfde manier kan je ook met derden en vierden enz. rekenen. Als je dat hebt gedaan en je komt dan weer bij de twaalfden terug, dan zien de leerlingen zonder veel uitleg de voordelen van het gebruik van de hoofdnoemers. De regel wordt dan niet alleen maar mechanisch van buiten geleerd, maar er is meer begrip voor ontstaan.

Het grootst is de verleiding puur mechanisch te gaan rekenen bij de tiendelige breuken. Dat je een opgave met de getallen goed uitvoert, maar dan twijfelt waar de komma moet staan, dus of de waarde 10, 100 of zelfs 1000 keer zo groot is, is daarvan een duidelijk symptoom. Dat geeft wel aanleiding om van te voren te schatten wat het resultaat moet zijn en dat geeft een gezond tegenwicht waardoor het oordeel gevormd wordt of de uitkomst wel kan of niet. Een dergelijk proberen t.o.v. van alleen maar automatisch uitrekenen moet ook bij de toepassing van formules meegenomen worden. Hoe makkelijk gaan leerlingen ertoe over de formules automatisch te gebruiken en oefenen eigenlijk alleen maar het inzetten van formules.

Een formule is een gecomprimeerde manier van schrijven, waarin de hele gang van het berekenen zit. Als een laatste samenvatting hoort ze meer aan het eind thuis dan aan het begin. Als je regelmatig op de gang van het rekenproces terugkomt, dan zal dit ook nog paraat zijn wanneer de leerling de formule gebruikt.

Herhaaldelijk komt het er in het rekenonderwijs op aan, op de details te letten die al gauw een bijzaak lijken, maar die voor het vermogen om te kunnen denken de grootste betekenis hebben.

Wanneer je bijv. bepaalde wiskundige kennis toepast en dan over uitzonderingen spreekt, wordt er iets wat je voor het denken van de leerling eerder hebt opgebouwd, doorbroken. Wat als uitzondering beschouwd wordt, is vaak een verdiepte bevestiging van de wet.

Heb je bijv. het feit doorgenomen dat je bij het oplossen van lineaire vergelijkingen twee onbekenden alleen maar uit twee vergelijkingen vindt, drie onbekenden uit drie vergelijkingen, vier onbekenden uit vier kan uitrekenen en je zegt dan dat een uitzondering daarop  een systeem van vergelijkingen maakt die niet van elkaar afhankelijk zijn, dan wordt zoiets anders opgenomen, dan wanneer je laat zien hoe je in geen geval om de genoemde mathematische voorwaarden heen kan, wat toch gebeurt wanneer er bijv. voor 4 onbekende drie vergelijkingen genoeg zouden zijn en de vierde zou kunnen afleiden door het samennemen van twee andere vergelijkingen. Wanneer je aan concrete voorbeelden laat zien hoe in zulke gevallen het proces van oplossen het af laat weten, dan vind je geen aanleiding om van een uitzondering, maar om van een bevestiging en aanvulling van de wet te spreken.

Bij het lesgeven op de vrijescholen is het belangrijk dat het in het periodeonderwijs gebeurt. Dat vraagt voor de methode een danige verandering. Niet een samenklontering van aparte korte lesuren die na elkaar komen is periodeonderwijs, maar in het schoolleven ook met een herkenbare andere opbouw. Het vereist een veel sterker samengaan en samennemen van gezichtspunten m.b.t. de vele lesuren. Een uitbreiding van hetzelfde principe is dan ook nog mogelijk doordat het werken aan een vak verschillende jaren lang in handen ligt van een en dezelfde leerkracht. Daardoor is het mogelijk dat wat later komt, van tevoren met het oog daarop voor te bereiden en hiervan zullen nog een paar voorbeelden worden gegeven.

Juist wat het rekenonderwijs betreft, is het zo dat bepaalde getalwetmatigheden die bij de stof van de hogere leerjaren horen, dikwijls in een andere samenhang, op een veel eenvoudigere manier in de onderbouw aangestipt kunnen worden.

De voor de gehele algebra en de combinatieleer zo belangrijke getalvolgorde van de zgn. driehoek van Pascal:

bevat bijv. dezelfde getallen die bij het herhalende vermenigvuldigen met 11 voorkomen.

Bij het oefenen van vermenigvuldigingen kan al, zonder de driehoek van Pascal te noemen, op deze symmetrische getalopbouw worden gewezen, ja wellicht ook getoond worden, hoe dit ook bij het verder gaan ermee bewaard blijft, zo gauw je tussen de verschillende plaatsen niet verder telt: 14641 x 11 = 1 eenheid, 5 tientallen,  10 honderdtallen, 10 duizendtallen, 5 tienduizendtallen en 1 honderdduizendtal, enz.

Ook raakvlakken bij de opbouw van regels die later in het onderwijs een grote rol spelen, zitten al in eenvoudigere processen. Vergelijk eens de rol van de even en oneven getallen bij het optellen van twee getallen en van de positieve en negatieve getallen bij het vermenigvuldigen van twee getallen:

E(ven) G(etal)      +   E(ven) G(etal)   =  E(ven) G(etal)
E G   +  O(oneven) G(etal)  =  O(oneven) G(etal)
O G + E G = O G
O G + O G = E G

P(ositief) G(etal)  x P(ositief) G(etal)  = P(ositief) G(etal)
P G  x   N(egatief) G(etal  =  N(egatief) G(etal
N G x P G  = N G
N G x N G = P G

Tussen beide wetmatigheden bestaat niet zomaar een toevallige overeenkomst, maar een innerlijke relatie, wanneer je bedenkt dat de even macht van negatieve getallen positief, van oneven getallen oneven is, dat verder een vermenigvuldiging van machten van gelijke basis overeenkomt met een optelling van de exponenten.

Ook begrippen die later aan de orde komen, kun je adequaat voorbereiden door geschikte rekenopdrachten.

Wanneer je bijv. het vermenigvuldigen van decimalen oefent en je geeft de som 3,1623  x  3,1623, waarbij je tien helen en ook in de decimalen nog drie nullen krijgt, dan heb je het begrip kwadraatwortel voorbereid.
Net zo komt er uit de nogal lange vermenigvuldiging 2,15444 x 2,15444 x
2,15444 opnieuw 10 met nog vier nullen uit en daarmee heb je ook de eigenschap van de derdemachtswortel. Op dezelfde manier kun je een groot aantal opgaven met verschillende wortels maken: √2 = 1,41421;  √3 = 1,73206,  √5 = 2,23607, waarbij je er alleen maar op hoeft te letten dat de laatste decimaal de meest precieze waarde aangeeft boven de wortel. Liet je simpelweg de decimalen vanaf een bepaalde plaats weg, dan wordt de wortelwaarde te klein en je krijgt dan uit een vermenigvuldiging niet bijv. 2, maar 1,999999…….

Zelfs feiten die je meestal pas bij het differentiaalrekenen bespreekt, vertonen zich aan de hand van eenvoudige berekeningen als getalwetmatigheden.
Het feit dat het   n-de  differentiaalquotiënt van xn  is gelijk n! volgt uit het verloop van differentiaalrijen van de machten.
Neem je bijv. de rij van de derde macht van de getallen en je schrijft ze onder elkaar, daarna het verschil zoekt van twee van hen, hiervan weer het verschil enz. Als laatste differentiaalrij krijg je dan 6 (6 = 3! = 3  x  2  x  1)

Op dezelfde manier krijg je uit de 4e macht in de laatste differentiaalrij 24 (24 = 4! = 4 x  3  x  2  x  1), bij de 5e macht 120 enz.
Door dergelijke oefeningen die niet meer tijd kosten dan willekeurig welke andere opdrachten, kan een innerlijke verbinding tussen het werk in de verschillende leeftijdsfasen worden bereikt en in de zin van een samenhangend samenwerken van de verschillende mathematische gebieden werkzaam zijn. De bijzondere indeling in de leerstofgebieden voor de leeftijd en de klassen zal dan later uitvoerig worden behandeld. [niet op deze blog].
.

Herman von Baravalle,  Erziehungskunst, 8e jrg. nr.2/3 juli/aug. 1934

.

Rekenen: alle artikelen

.

1659

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 4e klas -rekenen – breuken

Tobi en de meesterbakker

Een kennismaking met de breuken

Ik* zou graag een rekenverhaal vertellen; het kwam tot stand in de loop van 3 klassenrondes** en is een beeldende kennismaking met  de breuken in klas 4.
Voor de 4 klas plande ik 3 rekenperioden***. In de eerste werden de schriftelijke rekenprocessen die we in de 3e klas hadden geleerd nog eens geoefend en  geautomatiseerd. Aan het eind van deze periode is er een korte kennismaking met de schrijfwijze van de breuken. Met veel plezier hebben de kinderen mijn zelfgebakken, platte meetkundige figuren uit brooddeeg gesneden en opgegeten, waarbij de maag (stofwisseling!) kon ‘meedenken’ en kon leren dat de schrijfwijze 1 = 1/3  + 1/3  +  1/3   of  1 = 1/6  +  1/6  + 1/6   +  1/6 +  1/6 +   1/6  zinvol is.
Van de gebakken cirkels, driehoeken, rechthoeken, vierkanten werden in het schrift tekeningen gemaakt en de bovengenoemde vergelijkingen onder het desbetreffende ‘snijpatroon’ geschreven.
Belangrijk is in dit verband dat de leerlingen door het waarnemen een gevoel krijgen dat een 1/6 deel kleiner is dan 1/3  terwijl in het getalbegrip tot nog toe 6 groter is dan 3. De maag kent, zonder ooit met breuken te hebben leren rekenen, deze verhoudingen in grootte wel.

De meesterbakker
Aan het begin van de tweede periode volgt dan het verhaal:
In een stad woonden merkwaardige meesterbakkers die ieder voor zich  maar 1 taartensnijder wilden kopen (verschillende taartensnijders, voor 10, 12 of 16 stukken die de bakker voorzichtig in de taartbedekking drukt om daarna precies even grote stukken te kunnen snijden, hingen in de klas).
Opdat de kinderen meteen zouden weten welke stukken je bij de ene bakker kon kopen, schreven ze groot op hun etalageruit hoe ze heetten – hoe ze zich noemen – dat leidt later tot de naam NOEMER: Vierdebakker; Vijfdebakker; Achtstebakker enz. Wie dus voor 12 personen een taart wil bestellen of stukken van die grootte wil hebben, kan alleen bij Twaalfdebakker terecht. En door de associatie noemer = naam begrijpen de leerlingen meteen dat   3/5 +  3/5  niet 6/10 maar  6/5  moet zijn, 6 stukken van Vijfdebakker.
In het verhaal komt ook een slimme leerjongen voor die de bestelde lekkernijen te voet bij de klanten moet brengen in een grote mand die hij op zijn rug draagt. In mijn laatste rondje** heette deze jongen Tobi.
Tobi brengt, hij werkt nu bij Vierdebakker, de bestelde etenswaar weg. Bij grote feesten blijft hij tot het einde om daarna de overgebleven stukken weer op te halen. De meesterbakker is streng en wil de overgebleven stukken aan de varkens voeren. Maar de leerjongens hebben met de bazin afgesproken dat ze de goede kwartstukken aan de achterdeur goedkoper mogen verkopen en het geld zelf houden. De oude crèmelaag werd eraf gehaald en vervangen door een nieuwe en de versneden bodem kon je alleen zien als je de taart omhoog hield. Wanneer Tobi dus bijvoorbeeld 17 stukken mee terugneemt naar Vierdebakker en ze in de bakkerij legt, maken de bakkersknechten daar tot aan de morgen vier hele taarten uit; 1 stuk blijft over. 17/4 = 4 1/4
Op dit ogenblik in de periode heet 17/4  het Tobigetal ,
1/4 is het knechtengetal.
Later in het werkschrift, wanneer we talloze oefenvoorbeelden nog eens nader bekijken, worden het begrip ‘stambreuk’ gebruikt, wanneer de teller 1 is 1/7,
en ‘echte breuk’, wanneer de teller kleiner is dan de noemer 3/7, ‘onechte’breuk , wanneer de teller groter is dan de noemer (Tobigetallen, 9/7 en ‘gemengde’ breuk, wanneer hele en breukengetallen gemengd zijn (knechtengetallen 1/4).
Nu kun je veel manieren bedenken hoe je met andere noemers dezelfde rekenhandeling kunt oefenen, bv. dat
Tobi aan een ander bakkerskind het trucje uitlegt die vervolgens uit de hele stad ‘tweedehands’ taarten ophaalt of Tobi wordt door de knechten van een andere bakkerij uitgenodigd enz.

Op deze plaats moet wel gezegd worden, dat de uitgebreide schildering van dit verhaal alleen de eigen fantasie mag stimuleren en niet tot nadoen mag leiden. (In een uitwisseling met collega’s hebben we bv. aan activiteit in de containerhaven aan de Oostzee of aan de kaasmakerijen in Nederland gedacht.)

Het zijn de verrassende gebeurtenissen en de spannende voorvallen van een dergelijk verhaal die de fantasiekracht van de kinderen stimuleren.
De rekenkundige inhoud treedt wat meer op de achtergrond bij het plezier en de angst om Tobi, de spanning en de ontspanning.
Citaat uit het meer dan honderd jaar geleden verschenen boekje van Rudolf Steiner: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie:[1] ‘Wat het verstand over iets te zeggen heeft, behoort pas gezegd te worden, nadat alle andere zielenkrachten gesproken hebben. Voor die tijd mag het verstand alleen een bemiddelende rol spelen. ‘

Maar bij al dat fantasieplezier mag de inhoud van het vertellen in het begin, maar ook later niet, in tegenspraak zijn met de wiskundige wetten.

Opdrachten voor thuis worden graag gemaakt, wanneer Tobi, met wie de leerlingen zich op hun niveau met zijn slimheid identificeren, voor een op te lossen probleem geplaatst wordt.
Wanneer de leerlingen door deze oefeningen vertrouwd zijn geraakt met hoe je breuken schrijft en de onechte breuken in gemengde en omgekeerd, kunnen omrekenen, kan naar de volgende rekenhandeling worden overgestapt: vereenvoudigen en gelijknamig maken.

Deegschraper en zakmes
Tobi wordt op een van zijn boodschappentochten op een boerderij door een ongevaarlijke, maar wilde St.Bernhardhond omvergesprongen, zodat het mandje met de taartstukken valt en ze stuk gaan. De jongen zit bedroefd aan de kant van de weg als er een bakkerskind voorbijkomt met veel restjes. Ze vraagt aan de huilende jongen of ze hem kan helpen. ‘Helaas niet, jouw bakker heeft andere stukken dan de mijne’, maar Tobi heeft, wanneer de ander zegt dat die van Achtstebakker komt, een idee! Net zoals de knechten anders ook doen, neemt hij telkens 2 van de aangeboden achtste stukken en verwerkt ze tot kwarten. Het wordt nog heel spannend wanneer de boer wantrouwig naar de stukken kijkt, maar ze uiteindelijk toch accepteert.

Om op zulke situaties voorbereid te zijn, neemt Tobi voortaan een deegschraper mee om de crème te kunnen uitsmeren. Deze vondst wordt door de leerlingen opgepakt en al gauw heeft iedereen de deegschraper erbij en je moet slim zijn om meteen te herkennen, welke bakkerijen in aanmerking komen om met elkaar stukken te ruilen. Zo ontstaan er bijzondere vriendschappen tussen de leerlingen van bepaalde bakkerijen. Uit de mond van een leerling: ‘Die in dezelfde getallenrij zitten’. De deegschraper staat symbool voor het vereenvoudigen:
12/8  =  6/4; de stukken uit de ene bakkerij krijgen een nieuwe naam = noemer.

Wanneer Tobi op een dag zijn vriendinnetje Martha treurig op een bankje ziet zitten en waneer hij de gebroken draagriem van haar mandje ziet, vermoedt hij de bekende toestand en hij wil meteen met de deegschraper helpen. Maar Martha werkt bij Twaalfdebakker en ze merken al gauw dat de uitruil niet zomaar kan. Maar nu krijgt Martha een idee! Met een zakmes worden de kwartstukken van Tobi precies in 3 delen gesneden en Martha kan nu haar twaalfden ruilen. Het zakmes wordt het symbool van gelijknamig maken: 7/4 = 21/12.
Nu zou je kunnen tegenwerpen dat bij het vereenvoudigen toch de aparte getallen kleiner en bij gelijknamig maken teller en noemer groter worden en dat daarom mes en schraper juist andersom gebruikt zouden moeten worden. Op het abstracte niveau is dat juist, maar voor de realiteit van het beeld klopt de toepassing, omdat bij vereenvoudigen de stukken groter worden en bij het gelijknamig maken kleiner! Hierbij moet door de juiste opmerkingen of vragen duidelijk gemaakt worden dat door de gebruikte mes- of schrapermethode de hoeveelheid taart gelijk blijft en dat alleen de vorm ervan anders wordt.

(Notitiepunt: de waarde van een breuk blijft gelijk bij het vereenvoudigen of gelijknamig maken).

Zodra de techniek van het vereenvoudigen en gelijknamig maken door opnieuw talloze oefeningen, begint te zitten, kun je overgaan tot het toepassen ervan – tot de vorming van een gemeenschappelijke noemer kan worden overgegaan: Tobi komt op weg naar huis zijn vriend Arnulf (Derdebakker) tegen, die ook al van een groot feest de reststukken meebrengt. Ze raken aan de praat en ze merken door het kletsen te laat dat ze Derde- en Vierdebakker al voorbij gelopen zijn. Ze willen echter niet teruggaan, maar elkaar liever nog een paar goede moppen vertellen en belanden zo aan de rand van de stad voor het huis van Twaalfdebakker. Opnieuw leiden slimheid en schalksheid tot een idee! Met het zakmes krijgen ze door precies te snijden, uit de vierden, twaalfden en uit de derden eveneens. Hoeveel twaalfden moet de klas vinden en de leerkracht moet het verhaal paraat hebben hoe de bakkersvrouw afgeleid wordt (bij ons was het een stukje knalvuurwerk uit de carnavalstijd dat in de keuken gegooid werd en dat de bakkersvrouw – onder luid gelach van de kinderen – zowat naar buiten deed tuimelen), om ongemerkt de twaalfde stukkern op de toonbank te leggen en -met de groeten van Max en Moritz – stiekem te kijken hoe de bakkersvrouw als ze weer terug is, zich niet kan herinneren dat er zoveel reststukken lagen.
Met dit geslaagde verhaal, in de hele stad met fijntjes lachen aangehoord, bieden zich voor de bakkerskinderen ongekende mogelijkheden. Ook voor de leerlingen in de klas is het leuk uit te vinden wie onder deze voorwaarden vanaf nu met wie kan uitwisselen, bij elkaar leggen enz.
In het aantekenboek komt later te staan dat je breuken pas bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken, wanneer ze een gemeenschappelijke noemer hebben.

Drie, vier of meer leerlingen kunnen hun taart bij elkaar leggen en (waar?) afleveren.

3/4  +   2/3  =  9/12  +  8/12  =  17/12  (Tobigetal)  = 1  5/12 (Knechtengetal)

2/3  +  1/4  +  5/8  =  16/24  +  6/24  +  15/24  =  37/24 (Tobigetal)  =  1 13/24 (Knechtengetal)

Geleide fantasie
Bij het doorlezen van dit artikel valt het me* op, hoe weinig getallen en hoeveel woorden er staan! Dat mag een voorbeeld zijn van een verhaal dat de fantasie stimuleert bij de erin voorkomende mathematische samenhangen.
Overigens spreekt Steiner in het aangehaalde boekje van ‘geleide fantasie’, zodat het niet om willekeurige, grappige verhaaltjes kan gaan, maar om verhalen die de gewenste rekenkundige samenhang ‘exact’ tot inhoud hebben.

Ik heb de ervaring opgedaan dat de verhaaltjes niet alleen een inleiding vormen in het gebied van de wiskunde, als een ‘schoentrekker’ voor de ziel, maar dat ze tot in de bovenbouw, wanneer de leerlingen zich de uit die verhaaltjes komende beelden herinneren, elkaar kunnen helpen  over en weer dingen uit te leggen. Ik zou ook voorbeelden van verhalen kunnen geven die ik niet tot het einde toe helemaal goed doordacht heb en die tijdens het lesgeven met moeite veranderd moesten worden en zo aan inhoud en kracht inboetten.
Het Tobiverhaal is door vele uitgesproken vragen (ook onuitgesproken) van de kinderen in proporties gebracht en met succes verteld.
Wat betekent ‘succes”? Wanneer je merkt dat alle leerlingen met en binnen de geschetste beelden kunnen rekenen met wat anders droge en weinig motiverende opgaven zouden zijn en dit graag doen!
Jaren geleden zaten tijdens een menskundeperiode 2 hospitanten van de universiteit van Stuttgart in mijn les, omdat ze zich interesseerden voor de vrijeschoolpedagogiek. Op de laatste dag van de periode kondigde ik de kinderen de volgende periode aan: rekenen.
Sprakeloos staarden de beide jonge collega’s naar de opspringende, onstuimig dansende kinderen en ‘To-bi!  To-bi!  To-bi’ scanderende vierdeklassers. Ze konden nauwelijks geloven dat dit een reactie was op de aankondiging van rekenen.
Dat was het ook niet; het was de vreugde over het vervolg van het verhaal!

*Norbert Dolderer, Erziehungskunst jrg.71, 12-2007

**het meegaan met de groep kinderen van klas 1 t/m 6 , (7 of 8 in Duitsland)
***periodenonderwijs: gedurende 3 à 4 weken de lessen in de 1e 2 uren van de dag, gewijd aan 1 vak.

[1] Rudolf Steiner: ‘Die Erziehungs des Kindes im Lichte der Geisteswissenschaft’ GA 34/309
Citaat: blz. 343

Vertaald: ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie’

4e klas rekenen: alle artikelen

868

VRIJESCHOOL – Rekenen (7-1)

 

IETS OVER GETALLEN EN GROOTTE

(Ge)tal komt van tellen en betekent het resultaat van het tellen. Deze zin verklaart eigenlijk veel over rekenvraagstukken.

Tellen is het bezig zijn met dingen, waarbij je je niet bezighoudt met de aard van die dingen. Wat ik tel, beschouw ik als gelijk aan elkaar; en omdat ik dat doe, kan ik tellen. Appels en peren die voor mij liggen, kan ik niet in één getal samennemen, zo lang ik ze als verschillend aanmerk. Wanneer ik daarvan afzie, kan ik ze wel als vruchten tellen. Dan kan ik ook de meest verschillende dingen tellen, omdat ik ze op de een of andere manier rangschik onder een begrip dat boven de afzonderlijke begrippen uitgaat. Wanneer ik niet meer kijk naar de afzonderlijke voorwerpen en gewoon tel wat er ligt, ben ik bezig te abstraheren – ik verlaat het specifieke. Dan kom je tot het aan-tal: het genoemde getal.

Abstraheren gaat bij het tellen nog verder. We kunnen afzien van het laatste restje concreetheid dat wij bij het vaststellen van het aantal binnen een bepaalde groep van dingen nog voor ogen hadden en dat loslaten. Bv. wanneer we de 7 kleuren van de regenboog tellen, maar ook de 7 dagen van de week en dan gewoon tot ‘7’ komen. Het getal is het tweede niveau van abstractie, het aantal het eerste.

De abstractie is dus het reine getal, het middel van ons rekenen en de rekenkunde.

Je kan ook een andere gedachteweg volgen om bij het getal te komen. Deze leidt – wanneer u mij toestaat deze manier van uitdrukken te gebruiken – juist in tegenovergestelde richting tot het gelijke doel, maar laat daarom ook een andere kant van het doel – het getal – zien.

Je kunt ook zo redeneren: tellen kun je alleen wanneer en omdat je al een begrip van het getal hebt. Wanneer ik van een groep mensen zeg : ‘Dat zijn er drie’, dan beschik ik over het begrip  ‘drie’ en voeg dit vanuit mijn denken vrij bij mijn beleving  ‘een groepje mensen’.

Ik zou met de woorden ‘drie mensen’ nooit enige zin kunnen verbinden, wanneer ik niet in mijn denkvermogen het begrip ‘drie’ zou hebben.

Dr.Rudolf Steiner heeft in de voordrachten die hij afgelopen zomer [1] in Engeland heeft gehouden bij het oprichten van een vrijeschool, op voorbeeldige manier laten zien, hoe je aan kinderen die je als leerkracht het rekenen bij wil brengen, een elementair begrijpen van het wezen van de eerste getallen kan overbrengen.

Bij kinderen kun je nog niet appelleren aan een ontwikkeld begripsvermogen, maar je kunt wel zeggen: ‘Kijk eens naar dit stuk hout, dat kun je versnijden, dan heb je twee kleinere stukken hout, maar wanneer je naar de mens kijkt, dan kun je die niet versnijden, want anders was het geen mens meer. Kijk, dat is een eenheid (ein Eins). Jij bent ook een mens, jij bent een eenheid. Wanneer je nu in de kamer binnengaat aan de ene kant en van de andere kant komt vader binnen en jullie komen elkaar midden in de kamer tegen, dan ben je met z’n tweeën – dat zijn er 2. Voor een ontmoeting zijn er altijd twee nodig. En wanneer nu juist op dat ogenblik waar jij van de ene kant in de kamer komt en van de andere kant vader, ook moeder erbij komt, dan is dat wel een bijzondere ontmoeting, want dan ben je met zijn drieën.’

Dit werd mij mondeling meegedeeld uit de genoemde voordracht van Steiner en ik weet niet wat daar letterlijk is gezegd.(Dat weten dus nu wel)
Het is wel een manier om kinderen de eerste drie getallen te laten ervaren, zodat het daarbij iets beleeft wat hem dan later wanneer het verstand ontwaakt en de vorming van begrippen begint, de mogelijkheid geeft de getallen als oorspronkelijk, als niet uit andere begrippen af te leiden, op te vatten.

Twee wegen dus die bewandeld kunnen worden, ze leiden beide tot het getal; de weg van de abstractie die in zekere zin van het levendige beleven van concrete dingen door verdergaande abstractie tot het telresultaat leidt en de andere weg die van een levendig beleven van concrete dingen als het ware teruggaat naar het intuïtieve begrip van het oorspronkelijke getal. De wegen zijn verschillend, lopen in zekere zin in tegengestelde richting, de ene door abstractie voorwaarts, de andere door een terugblik op het denkproces, maar ze leiden hier tot hetzelfde doel, het begrip van het getal, waarvan ze echter twee verschillende kanten tonen.

Door deze beschouwing kun je begrip krijgen voor wat een getal is. Allereerst kun je zien dat het geen zin heeft om iets anders dan de
‘hele, positieve getallen’ als getal op te vatten.

Het inzicht van dit feit leidt tot de meest belangrijke conclusies voor het rekenen met getallen en het rekenen met letters, zelfs voor een onweerlegbaar bewijs van de rekenkunde.
Dat zou ik aan de hand van een paar voorbeelden  willen laten zien. Daarbij zie ik af van allerlei verwijzingen van het onderwerp in de vakliteratuur.

Ik begin met de vermenigvuldiging. De vermenigvuldiger is altijd een rein getal. Je hebt steeds het ‘hoeveel keer’. Het vermenigvuldigtal is daarentegen heel willekeurig. Dit kan van alles zijn wat meerdere keren gedacht kan worden. Je vindt hier weer terug wat over het tellen van dingen is gezegd: de enige beperking waaraan het vermenigvuldigtal onderworpen is, is dat dit niet slechts als 1 x voorkomend of maar 1 x te denken is. Deze beperking geldt natuurlijk eveneens voor de voorwerpen die geteld worden.

Daarom onderscheidt het vermenigvuldigen zich pas van het gewone tellen wanneer je geen concrete dingen, maar resultaten van het tellen, aantallen en reine getallen ‘telt’. Juist daarbij ontstaat het product. Het product is dus een veelvoud van een gelijk aantal of een gelijk getal. En dat betekent dat in elk product een rein getal als vermenigvuldiger en een aantal (benoemd getal) of rein getal als vermenigvuldigtal voorkomt.

Dit moet je vasthouden wanneer je je in de rekenkunde buiten dit oorspronkelijk werkgebied begeeft. De ‘negatieve getallen’ of ‘negatieve grootten’ beter gezegd, kun je zo lang  volgens bovengenoemd principe vermenigvuldigen als je dat doet met een positieve vermenigvuldiger.

Getal zoals hierboven gedefinieerd is slechts het  ‘positieve’ en ‘hele’ getal. Het ‘negatieve’ getal of het ‘gebroken’ getal kunnen nooit het resultaat van het tellen zijn, ze zijn door het abstraherende denken niet te vinden waar je de reine getallen in de hier bedoelde zin vindt.

Maar je kunt ze ook niet vinden door het intuïtieve denken, als een soort basis van een gelijksoortige activiteit als de activiteit van het tellen. Je kunt ze alleen vinden met behulp van de unieke, de hele en positieve als tweede component. Dat wordt hieronder getoond.

Zolang je met een positieve vermenigvuldiger rekent, hoef je je om de andere factor helemaal niet druk meer te maken; hij wordt geteld en blijft daarbij gewoon wat hij is. Het product is steeds van gelijke kwaliteit als het vermenigvuldigtal. Wanneer dit een ‘negatief’ getal is, dan zal ook het product ‘negatief’ zijn.

Zo ontstaat concreet de formule:

. (-b) = – ab

Voordat het wezen van het negatieve niet verklaard is, kun je van hieruit niet verder komen.

Het negatieve wordt alleen dan goed begrepen, wanneer je dit in zijn oorspronkelijke optreden in het rekenende bewustzijn bekijkt. Het doet zich voor bij aftrekken, wanneer het niet mogelijk is om de gevraagde aftrekking uit te voeren, wanneer je dus 5 moet aftrekken, terwijl je maar 3 hebt.  Hier voegt zich iets in het rekenen wat je bij tellen en vermenigvuldigen niet hebt: de eis iets af te trekken van iets, maar er meer vanaf te trekken dan er is; dan kan alleen waar mensen met elkaar in contact komen, waarbij er sprake is van ‘geven en nemen’.  Tellen en vermenigvuldigen kan iemand op zich alleen, maar aftrekken en dan juist  ‘niet kunnen aftrekken wat je eigenlijk zou moeten’, daartoe moet er een ander aanwezig zijn.

Het negatieve dat tenslotte niet afgetrokken kan worden, wat dus zo bekeken niet reëel is, moet eerst gemaakt worden; het kan natuurlijk ook met getallen uitgedrukt worden, geteld worden. Je ziet echter dat het min-teken eigenlijk niet bij het getal – 3 hoort, maar de plaats inneemt van ‘wat benoemd wordt’. Het negatieve getal is eigenlijk een benoemd getal.

Min 3 betekent eigenlijk: er ontbreken drie dingen van wat dan ook. Ik heb er alleen vanaf afgezien wat dat voor dingen zijn en bekijk alleen maar dat drievoudige ontbreken.

Zolang je aan het oorspronkelijke getal vasthoudt, kan het minteken, wanneer het geen bewerkingsteken is, dus slechts de opdracht tot aftrekken geeft, niets anders zijn dan een bijzondere vorm van benoemen: ‘ -3  ‘  betekent ‘er ontbreken er 3’.

Op grond van deze conclusie kun je wat hier boven beschreven is, ook zo schrijven:

Wanneer  b   a-keer ontbreekt, dan ontbreekt a .  b.

Dat is de echte zin van de formule: a . (-b) = – ab.

Echter, ook nu vind je geen gangbare weg om twee ‘negatieve getallen’ met elkaar te vermenigvuldigen. Die vind je pas, wanneer je van het getal naar de ‘grootte’ overstapt en een ‘grootte’ is heel wat anders.

De grootte is ook een abstractie en je vindt deze wanneer je van dingen die je als gelijkwaardige opvat, een maat wil hebben. Dus eerst heb je een ding dat ik als een hoeveelheid van een homogene stof beschouw. Daar zit al een abstractie in. Maar ik zie af van wat er aan zo’n ding nog allemaal voor interessants is op te merken en beschouw het als volkomen hetzelfde en vraag naar ‘de hoeveelheid’ (die Menge). Bij tellen bekijk je iets ‘dis-continuerends’, bij meten om iets ‘continuerends’: de grootte.

Om een hoeveelheid te meten heb je een willekeurige meeteenheid nodig en kom je tot een ‘meetgetal’, wanneer je tellend bepaalt hoeveel keer die willekeurige meeteenheid die steeds van dezelfde aard moet zijn als wat je wilt meten, daar in zit.

Op eenzelfde hoeveelheid kun je op verschillende manieren het (af)tellen toepassen. Een pak meel kan opgevat worden als 1 (kilo) of als 10 (ons).

Hier kun je wel tegenwerpen dat er toch dingen zijn die je kan opvatten als de door mij bedoelde substantie, maar die in een heel bepaalde relatie staan tot hun meeteenheden, namelijk bij hoeken. Hun grootte wordt bepaald door de verhouding van hun boog tot de straal van die boog. Dat is juist, maar bij een hoek is het begrip hoeveelheid niet echt op zijn plaats.

Iedere hoeveelheid kan ik willekeurig in verschillende grootten denken; een hoek alleen tot hij de hele cirkel omvat; dan kom ik tot de natuurlijke eenheid van een cirkel en die kan niet vérder gedacht worden. Dat is de reden dat je de hoek niet zo kan behandelen als een echte hoeveelheid.

Getal en hoeveelheid staan aanvankelijk vreemd tegenover elkaar en vinden elkaar pas in de maat  die ons de grootte van de hoeveelheid aangeeft: bv. 7 ons.

Maar dan kan ook de breuk gevormd worden, bv. ½ meter. Die ontstaat simpelweg door de deling van een als eenheid genomen hoeveelheid. Je hebt dus als basis een willekeurig genomen hoeveelheid en die noem je 1. Dat is de eenheid, als onderscheid tot het getal 1.

De eenheid kun je meerdere keren hebben, maar kan ook onderverdeeld worden en iedere breuk moet als een deel van die eenheid, niet als deel van 1 opgevat worden.

En de veelvouden van de eenheid en de delen zijn ook grootten, geen getallen.

De grootte ontstaat dus als een resultaat van het meten en wordt ook zo benoemd. Abstraheer je van die benoeming, dan krijg je de grootte zondermeer, de reine grootte en deze kan heel of gebroken zijn.

Hier moet je de oorsprong van de breuk zoeken. En daaruit valt te concluderen dat een breuk nooit als getallen zoals bovenbedoeld opgevat kunnen worden, maar altijd als grootten beschouwd moeten worden. Eén als getal, dat betekent als resultaat van het tellen, is niet deelbaar, wel echter is de eenheid als grootte deelbaar en ½ betekent simpelweg de helft van de als maat toegepaste hoeveelheid, wanneer je afgezien hebt van hoe groot en waarvan de eenheidsmaat is, 2/3 betekent 2 hoeveelheden waarvan er 1 uit de eenheidshoeveelheid door driedeling ontstaat, enz.

Bij het rekenen met grootten komt er natuurlijk veel aan op welke grootte je gebruikt. Want de rekenwetten zijn anders al naar gelang de aard van de grootte waarmee je rekent: onze rekenkunde heeft haar karakter gekregen door het kiezen van een typische grootte: de lengte en wel de naar de ene kant gaande en dienovereenkomstig naar de tegenovergestelde kant. Dat zou weleens in de menselijke natuur kunnen liggen;  de rekenkunde zou er beslist anders uitzien als niet stilzwijgend deze vergelijking werd aangenomen:

Rekenkundige grootte = geometrische lengte.

Met deze vaststelling krijg je de mogelijkheid voor het ‘negatieve getal’ een symbool te vinden zo dat het zeer abstracte  ‘ontbreken van wat je af moet trekken’ wordt vervangen door iets concreets. Het ‘negatieve’ getal is nu eenvoudigweg de lijn in de negatieve richting. Je vormt een ‘getallenlijn’ en je zet vanaf een ‘nulpunt’ uit naar beide kanten een lijn waarvan de eindpunten de positieve de negatieve getallen vormen.

getallen en grootte 1

Deze manier van verbeelden van het getal op een rechte lijn werkt ongelooflijk overtuigend en vormt nu het uitgangspunt voor een grootse ontwikkeling, want het is nu nog maar een kleine stap van de ‘getallenlijn naar de theorie van Gauss

Maar je moet wel goed weten dat je bij dit alles niet meer met getallen, maar met grootten en juist grootten van een speciale soort te maken hebt.

Getallen zijn van elkaar losstaande dingen die niet doorlopend in elkaar overgebrachrt kunnen worden; op de getallenlijn worden dingen neergezet die weliswaar door getallen gesymboliseerd worden maar die zich wel van getallen onderscheiden doordat zij wel voortdurend in elkaar overgaan: het zijn grootten.

Op deze grootten van de getallenlijn kun je de regels van het vermenigvuldigen goed toepassen, wanneer je aan de regel ten grondslag legt:

Het product ontstaat uit de ene factor, zoals de andere uit de eenheid. Daarbij treedt het onderscheid van de beide factoren in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal helemaal niet meer op,  je kunt ze verwisselen.

Hoe deze regel bedoeld wordt, zal met een paar voorbeelden verklaard worden: 2 . 3 = 6

Hier ontstaat 6 uit 3 net zoals 2 uit de eenheid. 2 ontstaat namelijk uit de eenheid door verdubbeling in dezelfde richting. Net zo moet je nu de 3 in dezelfde richting die de 3 al heeft, verdubbelen en dan komt 6.

zoals 2 uit 1

getallen en grootte 2

zo 6 uit 3

Een 2e voorbeeld laat het vermenigvuldigen van negatieve grootten zien.     2 . (-3) = – 6

zoals 2 uit 1

getallen en grootte 3

zo – 6 uit – 2

Ook hier ontstaat – 6  uit – 3 door verdubbeling in dezelfde richting, net zoals 2 uit 1 door verdubbeling in dezelfde richting.

Het volgende voorbeeld laat zien dat deze regel ook geschikt is om het vermenigvuldigen van 2 negatieve factoren te laten zien.

(-2) . (-3) = + 6

zoals – 2 uit 1

getallen en grootte 4

 

zo + 6 uit – 3

Hier ontstaat -2 uit + 1 door verdubbeling in de omgekeerde richting en net zo ontstaat + 6 uit – 3 door verdubbeling in de omgekeerde richting.

 

Hier werden slechts een paar voorbeelden gegeven van een werkelijkheidsgetrouwe en begripsmatig streng omschreven behandeling van rekenen.
Het kan hier niet uitgewerkt worden tot een rekenleer. Het allerbelangrijkste bij het opnieuw formuleren van mathematische wetenschap hebben wij te danken aan Herman von Baravalle’s boek: ‘Zur Pädagogik der Physik und Mathematik, dat niet genoeg aanbevolen kan worden. Door levendige begripsvorming in de wiskundige wetenschappen zou het niet vermoede kwaliteiten kunnen hebben om een werkelijke, d.w.z. vanuit de geest geformuleerde wereldbeschouwing te ontwikkelen.

*de zomer van 1924. Steiner was toen in Engeland, in Torquay.
GA 311/78

Hermann von Baravalle

rekenen met negatieve getallen

rekenen: alle artikelen

(E.A. Karl Stockmeyer, Mitteilungen 6 1924)

 

728

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (7)

IIn mijn verzameling artikelen trof ik onderstaande aan, een uit 1931.

Toen ik het doorlas, viel me op dat ‘1931’ niet te herkennen is uit de tekst, zij het dan dat de spelling niet die van nu is. En ook de ter sprake komende munten hebben we niet meer.

De ‘aanpak’ echter, is nog lang niet ‘achterhaald’. Je kunt je door deze manier van werken nog altijd laten inspireren.

IETS OVER HET REKENEN II.

In aansluiting aan mijn artikel in het vorige nummer van dit blad, zal ik nu wat vertellen over de gewone breuken en hare be­handeling.

Een nieuwe rekenperiode brengt den kinderen de gewone breu­ken. Ze kennen nu reeds de begrippen: 0,1, 0,01 enz. en ze weten dat ’t geheel 10 tienden is, 100 honderdsten, enz. Wanneer we dus zonder iets te becijferen op het bord, de kinderen uit het hoofd de bewerkingen laten uitvoeren met eenvoudige getallen, zooals bijv. 0,1 : 10 dat is 0,1 X 0,1 of 0,01, of 0,84 — 0,5 = 0,34, dan kunnen ze dit uit de vorige rekenperiode.

Hierin hebben ze alle vier bewerkingen geoefend, zoowel uit het hoofd als in ’t cijferen, en behoeven ze deze nu slechts uit het vergeten op te halen.

We hebben hierin dus een basis, waarop we verder kunnen op­bouwen.

Een tweede is: hoe zullen we dit opbouwen uitvoeren?

De weg, dien we kiezen, moet ons voeren naar een begrijpen met het ontwakend intellect en naar een zelf omgaan met de breuken in de 4 bewerkingen.

Deze weg zal weer moeten gaan door het doen over het kunst­zinnige. Door het willen, over het voelen, naar het denken.

Dit brengt ons vanzelf op de gedachte het nieuwe aan te brengen door 3 dagen heen. We beginnen bijv. den eersten dag het kind te brengen in het bewegen, zoodat het met zijn geheele wezen in de leerstof leeft. Den tweeden dag voeren we het in het kunstzinnige — bijv. door schilderen, teekenen, reciteeren, enz. —•; waarop het, den derden dag, de begrippen leert vormen, ze in cijfers weergeven en ermee werken.

Door deze 3 dagen en 2 nachten heen heeft het kind zich geheel met de nieuwe stof kunnen verbinden: den eersten dag werd zij opgenomen in het wilssysteem en in den nacht, als het lichaam in den slaap zich herstelt en verfrischt, met de groeikrachten ver­bonden. Den tweeden dag werd zij bovendien verbonden door den kunstzinnigen arbeid, met het rhythmisch-systeem.

Nu wordt zij nog eens door den nacht heen gedragen en vormt nu een goeden grond in het hoofd, dat zich den derden dag er van meester maakt. Dit beteekent dat we de leerstof verbonden hebben met den stroom van opbouwende groeikrachten, die in het kinderwezen, in den tijd tusschen het 7de en het 14de jaar, scheppend, vormend werkzaam zijn aan lichaam en ziel. Een voorbeeld hiervan zij gegeven:

De kinderen moeten nu ook de begrippen: 1/3   1/4    1/5  enz. en hun onderlinge verhoudingen leeren kennen.

We nemen de heele klas mee naar de Eurhythmie-zaal. Hier vinden we op den grond geteekend een grooten cirkel, in donker paars, die verdeeld is in 20 gelijke deelen in blauw kleurkrijt. Hier­van zijn er twee weer telkens onderling verbonden door een roode koorde-lijn, en 4 worden telkens samengebonden door een groene boog.

Het spel is nu als volgt: eerst de roode koorden tellen: dat zijn er 10, dus een roode streep geeft aan één tiende van het geheel. Nu loopen ze allen hard om den cirkel heen, dan wordt er geteld: één, twee, drie en bij drie mag er op elke roode streep één kind staan; die er het eerst is mag de anderen van zijn streep afhouden.

Er staan er dus 10 in den cirkel en de anderen er omheen. In koor zegt nu de klas: één geheel is 10 tienden, waarop de kinderen in den cirkel apart mogen zeggen: ,,ik sta op één tiende”.

Weer gaan we allen om den cirkel heen loopen en bij „drie” mogen er op elke koorde 2 kinderen staan. Ze zien allereerst, dat er 2 X zooveel kinderen een plaats in den cirkel vinden, verder dat, als ze de roode koorde „eerlijk” deelen, ze nu elk een eigen blauw vakje hebben, en ze komen er vanzelf op dat ze samen op één tiende, doch elk op één twintigste staan.

Dan de derde keer rondhollen; nu moeten ze met elken voet op een andere roode koorde staan en op 2 strepen mag maar één kind. De strijd wordt heviger, maar 5 kinderen krijgen een plaats in den cirkel, alle anderen blijven er buiten gesloten. De vijf uitverkorenen kunnen nu constateeren, dat ze elk in één groen vak (segment) staan, op twee roode koorden en vier blauwe punten. De klas
reci­teert: één geheel is tien tienden, 20 twintigsten, 5 vijfden. Waarop het antwoord van de vijf in den cirkel komt: 1/10  is  2/20; 1/5  is  2/10  is  4/20. En terug: 4/20  is 2/10  is 1/5

Daarop krijgen ze een serie korte, vragende bevelen, waarop ze in koor of apart moeten antwoorden.

  • Ga eens vlug met je allen op 2/s deel van den cirkel staan! Op hoeveel tienden sta je nu? En op hoeveel tienden sta je nu? En op hoeveel twintigsten?

Vul samen 5 tiende deel, kun je dit ook anders zeggen? Ja ’t is de helft. Hoeveel twintigsten. — Tien
Hoeveel vijfden? — Dat gaat niet. —

Vele variaties van dergelijke spelletjes zijn natuurlijk te vinden. Zoo leggen we in ’t spelen en hollen en schuiven den grondslag voor het vereenvoudigen en herleiden van de breuken.

Na een half uurtje gaan we naar de klas terug en brengen de rest van het hoofdonderwijs door met het herhalen van ’t vroeger geleerde.

Doch den volgenden dag grijpen we op het spel in de Eurhythmie-zaal terug: allen krijgen een velletje wit teekenpapier en, in mooie kleuren, teekenen we een cirkel en verdeelen dien in 20 gelijke deelen. Nu mogen ze uitknippen de breuk 2/5 en daarin aangeven dat dit hetzelfde is als hoeveel tienden? hoeveel twintigsten?

Eén schrijft er op het bord:

2/5 = 4/1o = 8/2o- wat daarna weer in koor gereciteerd wordt.

Het spreekt van zelf, dat we op deze basis ook een andere com­binatie kunnen vinden zooals derden en zesden en twaalfden. Dit laten we ook al gauw aan de kinderen zelf over; ze bedenken zelf wat ze willen uitknippen, zoodat ze ook zelf ontdekken welke her­leidingen opgaan en welke niet.

Maar alles wat er ontstaat moet op het bord geschreven. En na het teekenen en knippen, bergt de klas alle instrumenten weg, en worden de rijtjes zelf gevonden waarheden op verschllende wijze gereciteerd. Heen en weer, luid en zacht, vlug of langzaam, staccato of verbonden, al naar de onderwijzer op dat oogenblik voor de klas geschikt acht.

Den derden dag maken we nu gewoon op het bord alle mogelijke herleidingen en geen kind heeft er moeite mee. Het is volkomen begrepen.

Alleen blijft ons nog over de grondwet voor de breukbewerkin­gen eruit te lichten voor het bewustzijn der kinderen: teller en noemer van een breuk mogen altijd door hetzelfde getal gedeeld of met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden.

Nu kunnen de kinderen zelf aan ’t werk tijgen, zooveel herlei­dingen en vereenvoudigingen maken als ze zelf willen en hun eigen moeilijkheden kiezen.

Op een dergelijke wijze, door drie dagen heen, kunnen ook de verschillende bewerkingen geleerd worden.

Het neemt wel is waar wat meer tijd in het begin, dan een vlotte methodische behandeling op het bord, maar het overtuigend belang­rijke ervan is dat alle kinderen, tenzij ze werkelijk abnormaal zijn, de leerstof machtig worden en vreugde voor het werken kunnen voelen, want ze hebben een nieuw gebied voor hun fantasie en zelfwerkzaamheid veroverd.

Dit is een goed en bovendien een geheel nieuw resultaat: dat alle kinderen met vreugde rekenen, niet alleen de meer intellectueel be­gaafden. Want natuurlijk moeten de kinderen leeren werken, maar productief voor de toekomst wordt de arbeid pas als zij met liefde volbracht is.

(H.JANSSEN VAN RAAY, Ostara, vrijeschool Den  Haag 4/2-1931)

 

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e, 4e, 5e klas

In mijn verzameling artikelen trof ik onderstaande aan, een uit 1931.
Toen ik het doorlas, viel me op dat ‘1931’ niet te herkennen is uit de tekst, zij het dan dat de spelling niet die van nu is. En ook de ter sprake komende munten hebben we niet meer.

De ‘aanpak’ echter, is nog lang niet ‘achterhaald’. Je kunt je door deze manier van werken nog altijd laten inspireren.

(Opvalt dat de 10-delige breuken eerder aan bod komen dan de gewone)

OVER HET REKENEN IN DE 4DE EN 5DE KLAS.
In het vorige nummer van Ostara beschreef en verklaarde ik hoe het leeren van een vreemde taal (hier het Engelsch), in de klassen der lagere school, zich voornamelijk aanpast aan het Wils- of
Ledematensysteem (door middel van het bewegen, het doen) en het Rhythmisch systeem (d.w.z. het kunstzinnige: reciteeren, zingen, schilderen, enz.).

Het spreekt echter van zelf dat dit ook geldt voor het onderwijs in de vakken van het hoofdonderwijs, zooals rekenen, taal, enz..

Toch is het zeer begrijpelijk, dat bij velen de vraag opkomt: hoe is het mogelijk de kinderen het rekenen, het verdere rekenen, te leeren op een dergelijke wijze? Niet waar, juist bij het rekenen leeren, komt men zoo gauw in de verleiding te denken: dit moeten ze toch begrijpen en dat doen we met het intellect, het hoofd. Dus: allemaal rustig zitten, kijken naar het bord, en opletten! En nu wordt er uitgelegd.

Een dergelijke behandeling is juist voor kinderen van 10 en 11 jaar nog volkomen ernaast. Weten we niet allen veel te goed hoeveel moeite het de meeste kinderen kost de hun zoo „vóór-gedachte” gedachtengangen te volgen en dan later zelf weer na te denken, als ze de toepassingen moeten maken? Zelfs al zien ze de verschillende begrippen erbij op het bord ontstaan, dan is het gewoonlijk nog voor de kinderen te zwaar deze begrippen over te nemen en er zelf mee te werken. Alleen de begaafde kinderen kunnen het zoo aan­vaarden, maar ook voor hen is het een herseninspanning, die op hun leeftijd dikwijls zeer verkeerd en bovendien onnoodig is.

Even onnoodig als het voor een fietser is om te „begrijpen” welke spieren, en hoe hij die bij het fietsen gebruikt om vooruit te komen en zijn evenwicht te bewaren. Hij „begrijpt” immers uit het doen vanzelf hoe hij ze gebruiken moet, hij doet ‘t, éénvoudig!

Zoo kan het ook met het rekenen.

Het rekenen in de 4de klas brengt den kinderen een geheel nieuw onderwerp: de breuken.

Tot nu toe hebben ze met geheele getallen gewerkt, alle vier
hoofdbewerkingen zijn hun bekend en de tafels hebben de meesten
onder de knie.

Van oudere broertjes of zusjes hebben ze al gehoord over de breuken, maar niet zoo, dat ze er zich een goede voorstelling van kunnen maken. Nog heeft voor hen het woord een geheimzinnige klank: dit wekt bij hen op een verwachting van iets moois, dat hen dichter, nader zal brengen tot het begrijpen van de aarde. Die mooie, groote geheimzinnige aarde! En ook tot de „groote menschen”, die ze zoo bewonderen en daarom ook zoo graag willen begrijpen.

Is het niet te bewonderen, zooals moeder bij de kruidenier of in een andere winkel, snel de uitgaven berekent, vlugger of even vlug als de winkelier, om dan, als ze het bonnetje krijgt, met één blik te controleeren of het goed is: Ja, ƒ 1.75? Het kind wipt op zijn teenen om over moeders hand ook even het bonnetje in te zien en kijkt een beetje onthutst naar het getalletje 1.75, waarvan het de uitspraak nog niet zelf kent.

Op een goeden morgen komen de kinderen in school; ze weten: vandaag begint een nieuwe rekenperiode, ze gaan de breuken leeren! — en ziet, wel twee tafeltjes voor de klas en daarop uitgestald een weegschaal, een kom met noten en wilde kastanjes, die ze zelf gezocht hebben voor dit doel, maar dan nog het vreemdste van alles: een echt gouden tientje, 9 zilveren guldens, 9 dubbeltjes en 10 centen.

Voor dat ze het weten is de les begonnen. Alles wat los zit in de klas mag verkocht! Eén is winkelier, verschillende mogen inkoopen doen, telkens staat er één voor het bord om de uitgaven op te schrijven. Maar niets wordt opgeschreven zonder dat we ’t allen samen hebben gezegd. Bijv. 1 kilo noten kost ƒ 1.20. Al spoedig blijkt dat ook de schrijfwijze geen groot bezwaar is: de 2 staat op de plaats van de dubbeltjes, de o op die van de centen.

Nu hoeven we maar toe te tasten: overal liggen de
aanknoopingspunten voor het leeren van de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken.

Dat er 10 centen in een dubbeltje gaan en honderd in een gulden weten ze nu allen en we doen dan ook ongemerkt de stap 1 cent = 0,1 dubbeltje en 0,01 gulden.

Wanneer we hun nu vertellen, dat cent en honderd hetzelfde woord is, spreekt ’t dus voor hen vanzelf dat 1 centigram = 0,01 gram en 1 centimeter = 0,01 meter.

We hoeven dus niet lang bij het geld te blijven stil staan. Spoedig genoeg zal dit toch wel een rol gaan spelen in hun leven! Het was hier slechts een bruggetje om uit de praktijk van ’t leven, waar hun interesse op deze leeftijd wakker genoeg voor is, te komen tot het rekenen. De gewichten, die ze gebruikt hebben, voeren ons tot het leeren van de namen deci, deca, hecto, enz..

Onder de hand schreven we, op het schoone bord, alle dingen die we zoo samen „gevonden” hebben, netjes onder elkaar:

1 goudtientje = 10 gulden; 1 gulden = 0,1 goudtientje;
1 gulden = 10 dubbeltjes; 1 dubbeltje = 0,1 gulden, enz.;

en een nieuwe rij:

1 kilogram = 10 hectogram; 1 hg = 0,1 kg;
1 hectogram = 10 decagram; 1 dg = 0,1 hg, enz..

Deze twee rijen worden nu klassikaal gereciteerd, liefst in een vast rhythme.

De schrijfwijze geeft ook niet veel moeite, we sluiten gewoon aan bij de plaatsen van de „éénen” en de tientallen, enz. in de geheele getallen; naast het kleinste geheele getal komt de komma en dan de tienden, de honderdtallen enz.. Het komma-spelletje helpt de kin­deren er bij: voor de klas plaatsen we een heele rij kinderen, die achteréén volgens een aantal kilogrammen, hectogrammen, enz. mogen voorstellen. Een kleine vluggerd mag de „komma” zijn, hij krijgt hiervoor een duidelijk teeken, bijv. een roode muts op, en zit eerst op den grond, tusschen grammen en decigrammen. Élk kind noemt nu op de beurt zijn aantal en één schrijft  het op: 8744,572 gram. Nu willen we er hectogram van maken, weg moet dan de komma en naar zijn nieuwe plaatsje, want nu zijn de hectogrammen de kleinste „geheelen”. Nu decigrammen, dan weer kilogrammen, vlug wipt de komma heen en weer, als we de gewenschte naam uit­spreken moet hij al weg zijn van zijn plaats om de nieuwe te zoeken. Vlug genoeg kunnen ze het nu ook in hun schrift.

Een andere draad nemen we op: er staan nog op het eerste bord de uitgaven van het winkeltje-spelen. Als we eens uitrekenden hoe­veel we samen uitgegeven hebben? We vinden dat, even goed als we voor 10 tientallen een honderdtal mogen opschrijven, we nu ook voor 10 honderdsten 1 tiende kunnen rekenen. En binnen enkele minuten rekenen ze er lustig op los.

Wat is er nu eigenlijk in den loop van den ochtend gebeurd? Wat hebben we met de kinderen gedaan?

Ja, we hebben veel met hen gedaan, maar het meeste hebben ze zelf gedaan: ze hebben rond geloopen door de klas, ze hebben even in de gang elkaars mutsen opgezet of een jas binnenste-buiten aan­getrokken, om er als een gefingeerde „klant” uit te zien; ze hebben zich ingespannen om den „winkelier” ‘van de wijs te brengen, door hun wenschen zoo te kiezen, dat het bedrag zoo groot mogelijk werd, of zóó dat ze maar een centje armer de gefantaseerde winkeldeur achter zich dichttrokken; ze hebben.gelachen om den winkelier die zich vergiste, en hun verontwaardiging luidruchtig geuit om de heb­zuchtige klant, die de „heele klas” voor ƒ 20,— thuisgestuurd wilde hebben. Ze hebben ook gereciteerd en tot slot zelf met de nieuwe sommen gerekend. Hun geheele wezen heeft zich met dit rekenen kunnen verbinden: het willen in het doen, het voelen in het reciteeren en in het spelen, het voorstellen — want het denken is op dezen leeftijd nog voornamelijk voorstellen — in de fantasie, die zij bij alles ontwikkelden.

Van zelf spreekt het, dat dit alles nog maar een grondslag is, waarop in den verderen loop der periode het werken met de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken moet worden opge­bouwd. Maar bij het leeren van elke nieuwe moeilijkheid gaan we weer op een zelfde wijze te werk.

Verder moeten de kinderen zelf het geleerde oefenen. Hieraan kan steeds meer tijd besteed worden. Ja, zelfs kunnen we dit oefe­nen, het gewone cijferen, door de andere perioden heen, elken dag even blijven doen, wanneer dit voor een klas gewenscht is. Doch ook bij dit gewone oefenen vergeten we niet steeds den kinderen een gelegenheid te geven hun eigen fantasie te gebruiken.

Ze mogen, moeten zelfs, zooveel mogelijk de opgaven zelf ver­zinnen. Dit laatste schept immers de mogelijkheid, dat alle kinderen eraan kunnen meedoen. Al zijn er in de klas kinderen die 4 of 5 opgaven als 87,94/78549,762/ uitrekenen, en anderen, die, in den­zelfden tijd, 2 opgaven als 1,25/62,5/; allen leeren en oefenen ze het werken met de tiendeelige breuken en ontwikkelen zich naar hun vermogen, zonder dat deze ontwikkeling door eenige pressie of rem zou worden geforceerd.

Alle kinderen uit de klas hebben aan een dusdanig onderwijs kunnen meedoen.

Over de gewone breuken, die op de tiendeelige volgen, een andere keer

(Ostara, vrijeschool Den Haag, 4/1. febr. 1931 H. JANSSEN VAN RAAY)

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (5)

.

(F.H. van den Hoek, nadere gegevens ontbreken)
.

BREUKEN IN DE 4E KLAS

Wie kent ze niet, die rode “koppies” boven dat schrift met al die moeilijke breuksommen. De wanhopige blik van ‘wat betekenen die getalletjes nou eigenlijk? Ik begrijp er NIETS meer van’. Het is natuurlijk een illusie te denken dat dit bekende tafereel op de vrijeschool niet plaats kan vinden, te meer daar ‘de breuk’ tot het moeilijkste rekenonderdeel van de lagere school gerekend kan worden.

Van vroeger herinneren we ons nog vaak genoeg, dat we iets pas veel later “door kregen”, nadat we al heel lang het “trucje” hadden toegepast. Op de
vrijeschool proberen we dan ook dit rekenonderdeel niet alleen op een intellectuele manier te benaderen, maar eveneens te zoeken naar kunstzinnige, sociale en wilsversterkende aspectenImmers, het betreft hier niet slechts lesstof, maar het is tevens ontwikkelingsstof voor het kind in de vierde klas.
De breuken vinden een geheel eigen plaats in het leven van het tienjarig kind. De gouden periode van de 1e  t/m de 3e klas loopt geleidelijk aan ten einde, de – éénheid – van het ouderlijk gezag en dat van zijn opvoeders op school kan zo hier en daar een aardige knauw krijgen.
Een grote steun voor het kind in deze fase is de vertelstof, de Noors-Germaanse mythologie. De onzekerheid van het kind, dat zich veel meer dan voorheen als een “IK” beleeft, wordt in hoge mate gesteund door deze verhalen, die steeds weer over moed gaan. De Noorse held overwint zelden, hij gaat zelfs ten onder, maar zijn moed blijft in prachtige verzen bewaard als lichtend voorbeeld. Na die ondergang ontstaat er toch een nieuwe wereld. Mede gezien in dit licht vormt de “breuk” een typisch heilzaam vierdeklasonderwerp, omdat de tot dusver vertrouwde – éénheid -door’broken’ wordt. Ook daarom zingen we vanaf de vierde klas met vreugde vele canons (“gebroken” liederen), terwijl de kruising van lijnen bij het vormtekenen, het z.gvlechtwerk, heel bewust, beleefd wordt, evenals de kruissteek bij het handwerken.

De eerste breukenperiode in de vierde klas, met name de eerste tijd, staat voornamelijk in het teken van het DOEN. Nadat de leerkracht op de eerste dag onder doodse stilte een appel doormidden sneed, de beide helften aan zijn publiek toonde en ze plechtig benoemde “Dit is een halve appel en dit is een halve appel”, betekende dit het begin van een hele serie handelingen, waarbij behalve hijzelf ook de kinderen heel wat te snijden en te verdelen kregen.

Heel wat opdrachten in de trant van “Hoeveel partjes van een kwart zitten er in die halve appel?”

Aanschouwelijke grapjes: “Als je die appel lekker vindt, wat heb je dan het liefst:  3/4  appel of  3/8  appel?”

Zo werd er in deze eerste periode heel wat getekend, geknipt en geplakt om tot het begrip ‘breuk’ te komen. Via dit werk kwamen we tot de ontdekking dat ‘één hele’, 2/2 ,  3/3,   4/4  maar ook 20/20 kan zijn en een oneindig aantal voorbeelden meer.

Naast dit begrijpen komt ook het kunstzinnig element ter sprake.”Hoe kunnen we dit mooi opschrijven?”
In kleur en netjes naast elkaar ontstaat een prachtige rij:

breuken 1

Geleidelijk aan komen we meer tot de abstractie. Toch blijft het visuele, het speelse de kinderen steeds weer boeien, vooral als iets na een tijdje weer dreigt weg te zakken.
Tijdens de laatste breukenperiode, toen we al heel wat sommetjes hadden opgeschreven en gemaakt, was het toch weer heerlijk om “tekensommetjes” te maken, zoals   2 – 3/4= ?

Wij tekenden heel kleurig:

breuken 2

Het antwoord werd duidelijk zichtbaar: 1 1/4      

In een korte samenvatting als deze is het natuurlijk ondoenlijk om heel uitgebreid op alles in te gaan. Het blijft “aanstippen” van enkele hoogtepunten. Een van die hoogtepunten is het slim verwerken van de tafels van vermenigvuldiging. Het wordt in de vierde klas allengs duidelijker, dat je niets met breuken begint zonder een goede kennis van de tafels.
Om nu niet niet steeds weer op dezelfde wijze de tafels te herhalen, is er in de breukenperiode een fijne manier om zowel de “snelle” als “langzame” kinderen te activeren, natuurlijk ieder op hun eigen niveau:

bijv. een half is  ………..2/4       
een half is  ……….. 3/
een half is  ………..4/8  enz., maar ook dit kan natuurlijk:

5/8   =……….10/16
5/8   =……….15/24
5/8   =……….20/32 enz. 

waarbij we zelfs twee tafels combineren, een uitermate sterke wilsoefening.

Naarmate de tijd verstrijkt, zal de wonderwereld van de breuken zijn glans van het nieuwe, de nieuw te ontdekken wereld, onherroepelijk gaan verliezen. Dan zal het een verworven iets, een kunnen moeten zijn, waarbij echter de herinnering aan een fijne periode hen verder helpt om nieuwe gebieden in het rekenen te ontdekken. Dan is de tijd echt afgesloten, dat er drie kinderen in een kringetje staan, elkaars hand vasthouden en uitroepen: “Wij zijn één hele!”, gevolgd door de komst van de “breukenmaker”, mét het grote zwaard, die de handen (voorzichtig) vaneen doet gaan, waarna het drietal in koor laat horen: “Wij zijn drie derden”, gevolgd door drie soli van “Ik ben één derde.”

Ja, wat kan een breukenperiode ook leuk zijn!
.

Rekenen 4e klas: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld4e klas

.

547-501

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas – alle artikelen

.

Let op: ‘mijnheer Van Dale wacht iets anders op antwoord’:
.

[1Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten’ over: kind tussen 9e en 12e jaar; klas 4 en 5: leerstof: m.n breuken en tiendelige breuken; praktijkvoorbeelden; stambreuk belangrijk; breuken bij de Egyptenaren;

(2)  De 4 bewerkingen door de jaren heen

(3)  Schriftelijk rekenen met breuken met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende ‘ uitkomsten
(4)  Schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

[5Breuken in de vierde klas
F.H. van den Hoek over: de verandering die de 4e-klasser ondergaat; de leerstof als steun, als ontwikkelingsstof; de typische 4e klasvakken; hoe gaat het toe in de klas; 
(6winkeltje; geld; metriek stelsel
(7) breuken
(8) breuken

[9] metriek stelsel
Pieter HA Witlviet over: hoe je met het metriek stelsel zou kunnen beginnen; hoe de mens vroeger van maten uitging die met zijn eigen beleving te maken hadden: duim, voet, vadem en veel meer.
Als uitbreiding voor de leerkracht een serie artikelen over ‘eenhedenstelsels’:
rekenen: alle artikelen onder nr. 8

.

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

532-489

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.