Tagarchief: cijferen

VRIJESCHOOL – Rekenen – cijferen

 

 

Rekenen; een mooi vak!

Wanneer men nog eens een blik werpt in de Camera Obscura van Hildebrand, een boek dat in 1839 voor het eerst ver­scheen, dan treft het begin van het boek; met een be­roemd versje begint het:
Hoe zalig, als de jongenskiel
Nog om de schouders glijdt!

Maar al spoedig volgt een tweede hoofdstuk, getiteld Kinderrampen. Dan beschrijft Hildebrand zijn school en, o, ellende, het vak Rekenen. De sommen hebben werkelijk kop noch staart; hoeveel schepels rogge er uit een be­rekening valt te halen is nog tot daar aan toe, groter kwelling is het voor een kind, wiens knikker net is af­genomen, om dan het rekenboek te moeten openen, dat ‘…. u sart met de 13de som, waarin u, om u als !t ware te tantaliseren, met de grootste koelbloedigheid een mooie voorstelling gedaan wordt van vijf jongens, zegge vijf, die tezamen zouden knikkeren, en waarvan de een bij de aanvang van ft spel bezat 20, zegge 20, knikkers, de tweede 30, de derde 50, de vierde – neen, het is niet uit te houden! de tranen komen er u bij in de ogen; maar daar zit gij, voor nog een geheel uur, en dan nog wel te cijferen. – Waarlijk ik houd het er voor, dat de meeste rekenboekmakers afstammelingen van koning Herodes zijn!…”   einde citaat.

Tot zover Hildebrand, die hiermee een geladen beeld geeft van een geladen vak: immers, het kunnen rekenen werd en wordt vaak nog steeds als maatstaf gezien voor de status van ‘de goede leerling’.

Nog steeds komt het voor, dat men een school of een klas meent te kunnen beoordelen naar de snelheid van haar rekenaars. – “Het rekenniveau in klas 6 is te laag!” zegt dan iemand die geen onmiddellijk antwoord van een kind krijgt op de vraag hoeveel 6 x 13 is.
Wat men daarbij uit het oog verliest, is de complexe vaardigheid die de wereld der getallen oproept bij het individuele kind; die vaardigheid nl., die niet altijd op afroep beschikbaar of afvraagbaar is en die voor ieder kind dus anders is.

Tevens degradeert men de activiteit “rekenen” tot alleen maar het cijferen van Hildebrand.

Het rekenen in de lagere klassen is geen cijferen. Het vreugdevolle schuiven, delen en krijgen van kastanjes, linzen of noten is een gevoelsrijk leven en beleven in de wereld der hoeveelheden. Daar komt zelfs begeerte en hebzucht om de hoek kijken. De juf of mees gaat door de klas met een mand kastanjes en ieder kind mag met twee handen een fikse greep doen. Heerlijk! Het Dagobert Duck-gevoel! “Hoeveel kastanjes heb jij?” “38!” “En jij?” “Maar 20.”

Even later moeten ze kastanjes weggeven om een som te spelen. Ze leren delen en aftrekken, maar wel met mora­liteit op de achtergrond.

Rudolf Steiner heeft erop .aangedrongen om het praktische denken te ontwikkelen naar aanleiding van de realiteit.  Een voorbeeld:

— Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z!n zak. Hij verloor er 12 onderweg. Hoeveel had hij er nog over? —
Een onjuiste en onlogische opgave, want is het waar­schijnlijk dat Hans wéét dat hij kastanjes verliest en ook nog het aantal in het oog houdt?

Het moet dan zo: “Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z’n zak. Toen hij thuiskwam, zaten er nog maar 8 in. Hoeveel had hij er dan wel verloren?”

Het kan nog erger in de vaak onzinnige en “bedachte” opgaven: “Een vader is 36 jaar oud, de moeder is 28 jaar en de kinderen zijn 5 en 3 en 1 jaar. Hoe oud zijn ze allemaal samen?” Een nutteloze vraag.

De vier hoofdbewerkingen worden aangeleerd op de meest verschillende manieren; praktisch, mondeling en schrif­telijk in de eerste drie klassen.

Hoe “ver” een klas hoort te zijn in een 1e of een 2e is natuurlijk niet te zeggen. Iedere klas is totaal ver­schillend; er zijn “jonge” klassen, drukke en beweeglijke klassen, jongens- of overwegend meisjesklassen enz. We laten dit over aan de discretie van de leraar(es) die deze klas en het leerproces jaar in jaar uit begeleidt.

Het cijferen onder elkaar.
Een reeks afspraken, die in voorafgaande jaren al zijn voorbereid, krijgen nu echt hun beslag, want rekenen “onder elkaar” moet nogal precies; waar schrijf je iets, wat onthoud je wel of juist niet, enz. Schriften worden op kleurige wijze afgewerkt; versierd, zeggen de kinderen. Maar een cijferschrift hoeft niet versierd. Hier is een andere schoonheid. Kaarsrecht staan “lossen” en “tienen” en honderdtallen onder elkaar. Hoe leer je de kinderen nu vermenigvuldigen onder elkaar? Een voorbeeld:

We beginnen met het oefenen van een tafel, b.v. van 4. We gaan nog even kort door de voorafgaande jaren:

het ritmische tellen: 4, 8, 12, 16, …
dan het melodieuze: 4=1 x 4; 8=2 x 4; 12=3 x 4; 16=4 x 4; …
tenslotte: 1 x 4=4; 2 x 4=8; 3 x 4=12; 4 x 4=16; …
en door elkaar: 7 x 4=28; 4 x4 =16; 6 x 4=24;

In het schrift: een notatie van wat we hebben opgezegd, we concentreren op ons  7 x 4,  4 x 4,  6 x 4,  5 x 4,  8 x 4. We kunnen dat nog korter opschrijven:

cijferen 1

Dit neemt veel ruimte in, dat vinden de kinderen ook. Kan het korter? Jawel, spring maar heen en weer op twee regels.

cijferen 2

Hoe werk je nu naar het “twee opschrijven en drie ont­houden”? Zo:

cijferen 3

Controle op een andere manier:

cijferen 4

Zo kan men zich voorstellen, dat de kinderen van de middenklassen het cijferen met de vier hoofdbewerkingen aanleren. En dan?

Moeten ze dan zómaar oefenen, met getallen die ook zómaar zijn opgeschreven in een boekje? Dat kan. Voor een tijdje is het best leuk om te merken, dat je willekeurige getal­len kunt optellen of aftrekken.

Het leven wordt echter een stuk spannender, als er on­vermoede verbanden blijken te zijn tussen de getallen!! Nemen wij

0 x 0 = 0
1 x 1 =  1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9

en trekken de antwoorden van elkaar af:

1 – 0 = 1
4 – 1 = 3
9 – 4 = 5

en deze ook weer van elkaar aftrekken:

3 – 1 = 2
5 -3 = 2

Het blijkt dan, dat het tweede verschil altijd 2 is!

cijferen 5

Met 3 cijfers wordt het:

0 x 0 x 0 = 0
1 x 1 x 1 =    1
2 x 2 x 2=  8
3 x 3 x 3 – = 27

Het eerste verschil:

1 – 0 = 1
8 – 1 = 7
27 – 88 = 19

het tweede verschil:

7 – 1 = 6
19 – 7 = 12

Het derde:

12 -6 = 6

Dan krijg je:

cijferen 6 . jpg

En zo kan men doorgaan met cijferen, waarbij de uitkomsten een uiterst interessant beeld geven.

Op deze manier wordt het eindeloze taak-rekenen vermeden in een enthousiastmakende periode.

Doen alle kinderen even hard mee? Neen, natuurlijk heb je verschillen in snelheid, maar dat kan bij deze aanpak.

De inspirerende man achter deze rekenkundige en wiskun­dige ontdekkingen is Dr. Hermann von Baravalle (1898-1973). Hij kwam in aanraking met de antroposofie op zijn 19e jaar en ontmoette Rudolf Steiner persoonlijk. Zijn keuze was toen bepaald en hij studeerde af in Wenen, wis- en natuurkunde. Hij werd een der eerste leerkrachten aan de Waldorfschule te Stuttgart; dat was in 1920. Op aanraden van Rudolf Steiner werkte hij hard aan zijn Engels en gaf ook les daarin. Toen de school in Stuttgart door de Nazi’s gesloten werd, ging hij via Engeland naar de V.S..

In 1933 had hij daar al een lezingentournee gehouden. Hij werd leraar aan de (vrije) Edgewood en High Mowing School en na enige jaren professor in de wiskunde aan de Universiteit van New York. Ook werkte hij in Los Angeles en Sacramento en ten slotte aan de opleiding voor vrijeschoolleraren in Detroit.

Zijn laatste levensjaren bracht hij weer door in Midden-Europa.

Zijn publicaties op het gebied van wiskunde, meetkunde, natuurkunde en astronomie omvatten meer dan duizend titels.

In zijn boeken (Zur Padagogik der Physik und Mathematik, Geometrie in Bildern, Die Geometrie des Pentagramms, The teaching of Arithmetic, enz.) heeft hij veel pio­nierswerk verricht, waarvoor we in ons onderwijs dank­baar en enthousiast kunnen zijn.

(M.v.d. Made, nadere gegevens onbekend)

Rekenen: alle artikelen

787

 

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 5e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

.

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar
In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

5e klas

Leerstof:
Voortzetting van het geleerde in klas IV. Meten, berekeningen met maten. Wegen, berekeningen met gewichten. Tiendelige breuken. Cijferen in de vier hoofdbewerkingen, ook met getallen achter de komma. Schatten.

Hoe gaat het toe

Menselijke maten
Een van de leukste perioden van deze klas is de periode ‘menselijke maten‘, als overgang tot het normale metrieke stelsel. De leerkracht vertelt de kinderen hoe er vroeger werd gemeten.

Hij introduceert de voet, de duim, de el, de vadem en vertelt waar ze (bij) gebruikt werden. Uiteraard is de inleiding kort, want het gaat erom dat de kinderen zélf gaan meten.

Ze waaieren uit naar de gangen van de school, om daar gedeelten met voeten af te passen. Terug in de klas wordt het resultaat snel genoteerd. Dan gaan ze opnieuw op pad. Als allen weer zitten, mogen de kinderen om de beurt voorlezen hoeveel voet volgens hen de gangen naast de klas lang en breed zijn. Met welk een interesse luisteren ze naar elkaar! Gejuich gaat op als iemand ontdekt dat een ander net zo veel voet heeft gemeten als hij!

Daarna vertelt de leerkracht dat men vroeger al die verschillende voetmaten lastig vond worden en daarom van één soort voet ging spreken: In Amsterdam van de Amsterdamse voet (28,5 cm); in Engeland van de Engelse voet (30,5 cm) en in het Rijnland van de Rijnlandse voet (31,5 cm).

Elk kind mag thuis de voeten van zijn ouders meten. Gelach de volgende dag als iemand een vader heeft met een voet nog groter dan de Rijnlandse! Maar sympathiek gelach en vol interesse. In een nieuw schrift wordt eerst de mens getekend met zijn maten. Daarna mag elk kind zich zelf tekenen met zijn eigen maten. Dan wordt in het schrift het resultaat neergelegd van het meten van de gangen en van al het andere dat intussen is gemeten. Wanneer er een dag of tien met de menselijke maat is gewerkt, gaan we over op de meter. Deze kan nu geen kwaad meer doen. Door het werken met de menselijke maat is de betrokkenheid van de kinderen op hun naaste omgeving en op elkaar zo toegenomen, dat het gevaar van kille ‘afgemetenheid’ geweken is. Op deze basis kunnen wij met een gerust geweten het metrieke stelsel introduceren.

Oppervlaktematen
De eerste dag van deze periode begint de leerkracht met een schoon en droog bord. Hij neemt een natte spons en laat een leerling keurige rijtjes afdrukken maken. Naast elkaar, netjes aaneengesloten.

Zo ziet men dat het hele bord door sponsafdrukjes bedekt kan worden. Deze afdrukjes worden geteld. Hetzelfde doet de leerkracht met de tafel.

De bedoeling is duidelijk. Het begrip oppervlakte wordt zichtbaar gemaakt. Vervolgens gaan de kinderen aan de slag. De bank bedekken met blaadjes van de blocnote. De stoel. De vensterbank. De bank bedekken met natte afdrukjes van de palm van de hand, zonder de vingers, dan krijgt men praktisch een vierkantje. Dit met verf op een vel papier. Hetzelfde met duimafdrukken, enz.

De leerkracht geeft opdracht om alle mogelijke oppervlaktes te meten met iets van hun lichaam, de voet mag dus ook. De mens is de maat van alle dingen. Er wordt een ‘opmeter’ aangewezen en iemand die het opschrijft. De volgende dag worden alle resultaten gerubriceerd, met vermelding van de persoonlijke maat.

De boekentafel is:

58 handpalmen van Boris en
62 handpalmen van Freek en
60 handpalmen van Marielle enz.

Zo komen we gezamenlijk tot het kiezen van een
standaard-eenheidsmaat. Bijvoorbeeld schriften.
‘Bedek de tafel met schriften.’ Ze ontdekken dat je stukjes overhoudt, er is behoefte aan halve schriftjes, aan een kleinere eenheid.

De volgende dag enkele aantekeningen en conclusies van ‘gisteren’ en dan naar de grote oppervlakken.

De gang.
De speelplaats.
De eenheden zijn hier de tegels.
Groepjes krijgen de opdracht om oppervlaktes te meten. Een leerling begint tegeltjes in de gang te tellen.

‘Nee, joh, dat moet je zo doen,’ zegt een ander en telt de tegels in de lengte en breedte. Zo groeit de klas vanzelf naar het begrip, dat nog in het verschiet ligt, namelijk lengte maal breedte.

Terug in de klas wordt alles getekend.
Het moet er weer netjes uitzien, er ontstaan mooie tegelveldjes.

bb 85

 

6 tegels
1e rij van 6 tegels
2e rij van 6 tegels
3e rij van 6 tegels
4e rij van 6 tegels
5e rij van 6 tegels

er zitten 6 tegels op een rij
er zijn 5 rijen van 6 tegels
dat is dus 5 x 6 = 30 tegels

Nu voert de leerkracht de algemeen bekende standaardmaten in. De wens naar een standaardmaat, die ze allen gehad hebben, wordt zo vervuld.

‘Deze maat geldt voor iedereen, voor alle mensen in Europa’

Veel voorbeelden, veel tekeningen, die later wel losgelaten kunnen worden, maar in het begin moeten ze er zeker bij.

Tenslotte moeten ze dezelfde soort sommen maken, maar nu met vierkanten van

1     cm
10   cm
100 cm
1     dm
10   dm
1     m

Eerst tekenen, tenslotte komt daaruit:
1 dm2 = 100 cm2 en…

En?
1 m2 = 10.000 cm2!

Dat laatste wekt enige verbazing. Zoveel? Laten we het dan maar natekenen als je het niet gelooft. Vrij snel zijn ze er dan achter dat het echt klopt.

Het is zaak de voorbeelden en sommetjes leuk en tamelijk eenvoudig te houden.

Naast het perioderekenen is er vanaf de vierde klas een rekenoefenuurtje. Hier kan men dan, als een en ander de tijd heeft gekregen om te bezinken, te zijner tijd de zaak uitbreiden, tot alle oppervlaktematen gekend zijn. Dan kan ermee gerekend worden.

Breuken
Bij het rekenen met breuken in de vier hoofdbewerkingen komen ons de temperamenten te hulp.

Ter illustratie vier eenvoudige voorbeelden waarbij we onze vrienden, de breuken, terugvinden in de gewone orde der getallenrij

Optellen
3 ¼ + 21/5

+, dat zijn de sommen van het ordenen, netjes alles naast elkaar. Liefst nog alles van hetzelfde soort naast elkaar. Zoals Poeh zijn potjes honing neerzette. Als hij de kans kreeg zette hij lindehoning naast lindehoning en heidehoning naast heidehoning.

Helen kunnen rustig bij elkaar geteld worden. Dat weten we al. Maar ¼ plus 1/5, dat bestaat niet! We moeten er echt dezelfde stukjes van maken. Door het reciteren van

1/42/3=  5/20… en van

1/52/10 = 4/20

is gelijknamig maken geen probleem.

Alleen dat je gelijknamig moet maken is de moeilijke ‘leerstap’. Deze kan echter in de flegmatische sfeer worden genomen. Het is eigenlijk zo: Bij een bepaald gezicht dat de leerkracht zet bij een bepaalde, een bijna verdacht rustige presentatie moet er gelijknamig worden gemaakt, maar mogen de helen blijven staan.
De som is niet moeilijk, maar moet nog rustig worden afgewerkt.

Aftrekkenn
3 1/4 – 2 1/5

_ De som is methodisch hetzelfde, alleen mét de kans op narigheid. Dit is didactisch een geluk want nu past de som in de melancholische sfeer!
Wanneer er meer stukken moeten worden afgetroken dan er zijn, dan moet er een hele worden aangesneden! Zonde van die mooie hele, maar ja, wat doe je eraan?
De afwerking van de som is niet moeilijk, als het principe maar begrepen is.
Wederom begrijpen de kinderen dit uit de mimiek en het gebaar van de leerkracht.

Vermenigvuldigen
9/14  x  2/3

Hoera! Nu geen ellende.
X Het maalteken is een blij teken. Geen gezeur. De cijfers onder en boven de breukstreep kijken elkaar vrolijk aan. Hebben ze misschien gemeenschappelijke familie?

Ja? Wie dan? Horen ze beide tot de familie van 3? Even uitzoeken…. ja? Dat is toevallig! Nu dan kan men daar kort over zijn, als men beide die drie kent — Laten we die drie eruit strepen. Etc.

Natuurlijk, dit zijn moeilijke leerstappen, maar in een bepaalde sfeer is het toch snel aangewend. Echt begrepen wordt het later. (Uiteraard legt men het principe wél van te voren goed uit — het plechtige begin — dit wordt echter maar door weinigen individueel werkelijk begrepen.) Het enige wat een x-som kan bederven is als er helen staan. Die moeten dus snel worden weggewerkt.

Delen
3/17 : 9/34

:  Dat delen vermenigvuldigen is met het omgekeerde wordt een paar maal uitgelegd.* De volgende dagen klassikaal gereciteerd. Verder wordt het delen veel gedaan. Wordt er domweg veel gedeeld. Het radicaal op zijn kop zetten heeft iets cholerisch. Aan de houding van de leerkracht is te zien wat er met de som moet gebeuren.

Waarom dit alles? Waarom deze ‘trucs’?

De kinderen moeten in hun gevoelsverhouding tot de getallen niet geremd worden. Zij moeten integendeel zorgeloos met de getallen durven jongleren. Vooral uit ervaring weten ze dat het goed is wat ze doen.

Dit kunnen is de basis voor het verdere rekenen en ook voor de serieuze begripsvorming later.

Cijferen
Er zijn leerkrachten die het ‘onder elkaar’ al in de 4e introduceren. Dat kan, als het maar niet ten koste van het hoofdrekenen gaat.

Cijferen, dat is wel het summum van routinerekenen:

3,00861 x 97,725

Vooruit, onder elkaar

97,725
3,00861 x je begint met 1 x 5.

Wacht eens even, er staat

één honderd duizendste maal vijf duizendsten. Nou ja, dat zien we straks wel, dan tellen we de komma’s af, 3 + 5 = 8 plaatsen. Dat wordt dus 1 x 5, 1 x 2, 1 x 7, 1 x 7, we springen gewoon over die komma heen… Bij de tweede regel één inspringen

6 x 5 = 30, de 0 op de goede plaats.
Het is allemaal wel uit te leggen, dat als je het zó doet, alles op zijn pootjes terecht komt, maar het is levensvreemd, abstract.

Een normaal mens zegt

3,00861 x 97,725,
dat is ongeveer 3 x 100 – 3 x 2 dus geschat 294.

Normaal is, dat men bij de grote brokken begint en dan de kleine stukjes zoveel mogelijk bij elkaar veegt. Vermenigvuldigen in cijfervorm begint bij de pietepeutertjes. Dat is zo iets als: ‘Wat eten wij vandaag?’ ‘Nou, peper en zout – – enne – –

Bij het hoofdrekenen blijf je half rekenend, half schattend sterk verbonden met het betreffende vraagstuk, je bent verbonden met de orde van grootte waarin zich iets afspeelt. Cijferen trekt zich nergens iets van aan. In de 4e hoeft men nog niet te beginnen** met het cijferen, de machinale rekenvorm, maar in de 5e moet het wel. En wel zo, dat wij naast deze automatismen het hoofdrekenen blijven beoefenen, met name het schatten.

Begrijp me goed, dat in elkaar passen van al die deelproducten, dat ordelijk afwerken, zodat er niets vergeten wordt, dat is slim bedacht. Natuurlijk moeten de kinderen onze bewondering voor zo veel scherpzinnigheid delen. Men kan echter ook te slim zijn en dan loop je behoorlijk tegen de lamp. Eén klein kommaatje fout — en je zit er totaal naast. Men zou de leerlingen ertoe kunnen brengen al hun werk eerst zelf na te kijken, alvorens het in te leveren. Maar meestal valt een kind zijn zelfgemaakte fout niet op. Beter werkt de remedie om de uitkomst van te voren te schatten. Gewoon opschrijven: geschat 294, en dat aan het eind vergelijken met het resultaat van het cijferen.

Voor een deling als

610628 : 89 schatten: 7 x, nee toch maar 6 x, is een zekere mobiliteit nodig. Daar spelen door elkaar de (geschatte) 7 x 8 en de 7 x 9. Als de leerlingen eerst de 7 x gaan proberen en ze merken, dat dat te veel is, dat het 6 x moet zijn, dan leidt dat meestentijds tot veel geknoei — en natuurlijk ook tot tijdverlies.

Als afsluiting.
Wellicht vindt u de 3,00861 x 97,725

een wat extreem voorbeeld voor een vijfde klas. Het ging mij hier echter niet om de getallen maar om de wijze van omgaan met het cijferen. Daarom werd hier als tegenwicht het schatten ingevoerd. In tegenstelling tot het cijferen is schatten een zeer persoonlijke activiteit waarbij ook het gevoel ingeschakeld is. In het schatten ligt op subtiele wijze een zeker spelelement besloten. Heeft men iets goed geschat, dan geeft dat een veel prettiger gevoel dan wanneer met iets goed heeft uitgerekend. Cijferen is een zuiver intellectuele bezigheid waar men in de 5e wat voorzichtig mee moet omgaan.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Dit soort sommen zijn voor kinderen te abstract. Wat gebeurt er eigenlijk. Om een antwoord te vinden, kun je natuurlijk het ‘omgekeerd vemenigvuldigen’ toepassen, maar het begrip voor wat er gebeurt, ontstaat daardoor niet.

Wanneer je vraagt: hoe vaak zit de 2 in de 10, weten de kinderen: 5.
Wanneer dit overbekende wordt opgeschreven, is dit de vorm:10 : 2 = 5.
Hoe vaak zit er een halve in 2. Ook dat lukt wel: 4. Hoe schrijf je dat op: hoe vaak zit enz. Wel, bij 10: 2 = …Zo!|
Dus nu: 2 : 1/= 4 En later: hoe vaak zit er 1/in 1/:
1/1/= 2
Wanneer de kinderen goed begrijpen dat “hoe vaak zit erin”  synoniem is voor “hoeveel KEER’ en dat weer synoniem voor “gedeeld door”, is het begrip voor ‘delen met of door een breuk’ veel reëler.
Wanneer er een redelijke zekerheid is ontstaan voor dit proces, kun je eens vragen of ze in bv. 2 : 1/2 het antwoord 4, zien – ligt dat ergens ‘verborgen’ voor het oprapen. Een aantal kinderen ziet wel dat 2 x 2    4 is. Hoe zou je die som dan moeten opschrijven om tot het antwoord 4 te komen. Ja, omkeren: 2 x 2/14/= 4. Daaruit volgt dat 2 : 1/2 ook kan worden geschreven als 2 x 2!

**Ik ben van mening dat je in klas 3 al kan/moet beginnen, met bv. veel eenheden bij elkaar optellen die in een lange rij eerst naast elkaar, maar dan ook onder elkaar staan: 3 + 5 + 9 + 7 + 1 enz. Dit is ook hoofdrekenen. Tevens ontstaat zo de mogelijkheid om het ‘handig’ rekenen te ontwikkelen: 7 + 3 = 10; 9 +1 = 10 enz.

.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

.

5e klas rekenenalle artikelen

5e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

527-486

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE


Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt (milieuproblematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar

In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

klas 3

Leerstof
—    Herhaling van al het voorgaande.
—    Het verdelen van 1000.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen met gecompliceerde getallen (tot 1000).
—    Er wordt ook gerekend met geld. Markt, winkel, dingen uit het dagelijks leven.
—    Schriftelijke opgaven.
—    Schriften, kleurpotloden, zwart potlood (ballpoint).

Werkvormen

De werkvormen zijn dezelfde als in de tweede, de werkstijl is echter anders. De derde klas is een echte oefenklas. Alles wat in de eerste drie jaar wordt aangelegd moet aan het einde van de derde tot op zekere hoogte beheerst worden.

Bij het schriftelijk werk staat alles nog in de hoofdrekenvorm:

308 + 213 + 96=

Niet dat de kinderen het optellen van eentjes, tientjes niet zouden kunnen begrijpen. Het gevaar van het cijferen is dat de kinderen lui worden met hoofdrekenen. En juist het hoofdrekenen is onmisbaar voor het zich nog vrij leren bewegen in de getallenwereld. Het cijferen is de dood voor een werkelijk getalbegrip zowel naar grootte (later het leren schatten) als naar onderlinge samenhangen. 16 x 25 zet men niet onder elkaar, 16 x 25 = 400 tout court.

Er zijn echter andere, bijzonder zinvolle vormen van schriftelijk werk voor de derde klas (zie voorbeeld). De opgaven zijn altijd zo dat de leerlingen zelf voortkunnen. Binnen de klassikale opgave is individuele differentiatie mogelijk. Het rekenen in verband met het dagelijks leven geschiedt eerst in concreto, later als ‘rekenverhaal’.

Tafels
Als we de tafels opzeggen, gebeurt dat altijd staande en we klappen en stampen* op bepaalde getallen om daar het accent op te leggen. We klappen de uitkomst, en stampen op ‘het aantal maal’. We gaan van het geheel uit en zeggen de tafel heen en terug, dus:

2                  =               1  x  2
(klap)                          (stamp)
4                  =               2 x  2
6                  =               3 x  2
tot en met
20               =             10 x  2

vervolgens weer terug

  1  x 2      =                            2
(stamp)                               (klap)
 2  x  2      =                           4
 3  x  2      =                           6
10 x  2      =                         20

Dan zijn er nog oefeningen, die we elke dag gedaan hebben, waarbij de vermenigvuldigingen niet worden genoemd, maar waar we de tafels opzeggen als getallenreeksen met weer klappen, stampen, hinken, springen, aantikken etc.

Enige oefeningen: bijvoorbeeld de tafel van 3**:

lopen       1, 2       stilstaan, klappen en roepen ‘3!’
lopen       4, 5      niets zeggen stilstaan, klappen en roepen ‘6!’

dezelfde oefening nu: hink, hink, sprong.

staand:
je tikt één voor één je schouders aan en telt daarbij in gedachten 1, 2 vervolgens klap je in de handen en roept ‘3!’ 4 (schouder) 5 (schouder), klappen en roepen ‘6!’ 

Hetzelfde kan natuurlijk met knieën, voeten, oren, billen etc. Voor de kinderen lijkt het steeds een nieuwe oefening en daar er eindeloos veel variaties zijn kun je iedere dag weer iets anders doen, zonder dat de kinderen in de gaten hebben dat je elke dag met die tafels bezig bent.

Een aantal andere ‘tafel’-oefeningen hebben we in de kring gedaan. In de klas zitten eenendertig kinderen, waarvan drie kringen van tien gemaakt werden.

Elke kring krijgt een bol wol en elk kind krijgt een getal van 0 t/m 9. De kinderen staan in die volgorde ook naast elkaar.
Ik ga nu maar weer uit van de tafel van drie. Nummer drie uit de kring krijgt het beginpunt van de bol wol en het noemt zijn getal, namelijk ‘drie’. (Als je bij 3 begint, en je bent bij de 0 = 30 gekomen, blijft het stuk van 0 naar 3 open. Je moet dus op de 0 beginnen!)
bb 77Voor twee van de drie kringen bleek geen kind te zijn dat de bol wol door kon geven. Deze kringen kregen een bal. De tafels gingen dan hetzelfde als de beschreven oefening van 3, alleen werd de bal nu overgegooid.

Met de bal kun je trouwens ook leuke spelletjes doen als de tafels er al goed ‘in zitten’.
Een vermenigvuldiging vragen en 
een naam noemen. Diegene geeft het antwoord en gooit de bal naar de volgende. Dus: 1 x 3 Nessa; Nessa: ‘3!’ 7 x 6
Michiel: Michiel: ’42!’ 3 x 9’Tanja; Tanja: ’27!’ 6x 5 Tijn, etc.

Dit spelletje is natuurlijk alleen maar leuk*** als er een beetje tempo in zit.

Als je bovenstaande oefeningen (figuren maken van de uitkomsten van de tafels) in de kring, hebt gedaan, kun je ze daarna in het schrift laten tekenen of op een kaart laten borduren met wol.

Veel leuke dingen om in het schrift te maken zijn:

lange rijen van antwoorden maken in je schrift en dan de wetmatigheden daarin proberen te ontdekken

bv. de tafel van 8. Die wetmatigheden kunnen ze dan bijvoorbeeld met verschillende kleurtjes aangeven.

00             88

08             96

16             104

24             112

32             120

40             128

48              136

56             144

64             152

72             160

80

Eenheden altijd: 8, 6, 4, 2, 0

Tientallen: 0,0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12

Een aantal kinderen sprak dergelijke oefeningen zo aan dat ze rijen maakten met antwoorden tot 1000 toe.

Tafelblad maken behoort nog steeds tot de favoriete bezigheden tijdens de rekenperiode. Ook al hebben we dat al vaker gedaan, steeds opnieuw ontdekken ze daar weer nieuwe dingen in die ze daarvóór niet gezien hadden.

bb 78

Een aantal kinderen gaat dit soort oefeningen thuis dan uitbreiden en komt dan met een heel groot vel papier op school om te laten zien hoe ver ze wel niet gegaan zijn. Hetzelfde gebeurde met de volgende oefening:

Tafelberg maken: (deze som wordt op een heel lang stuk papier gemaakt.

bb 78 2

 

 

 

Het schriftelijk werk

 bb 79

De oefening is hier al redelijk ver ingevuld. Op het bord schrijven we niet meer dan:
bb 78 3

We doen dit samen met de klas. Daarna gaan ze alleen verder.

Het leuke is dat er zoveel manieren zijn om deze som uit te rekenen.

Dergelijke ritmische oefeningen vervelen de kinderen nooit. Met het ontdekken van wetmatigheden krijgen ze tegelijk controle over het werk.

Natuurlijk ontdekt er ook wel eens iemand een regelmatigheid die helemaal niet bestaat en baseert daar zijn hele systeem op. Vrolijk zelfstandig voortwerkend produceert hij een blad vol cijfers. Na het grote ‘Aha-Erlebnis’ dat volgt als de som later klassikaal op het bord een stukje verder wordt uitgerekend, gaat het betreffende kind nu echt rekenen, zelf nog nagenietend van zijn naïviteit

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Dit kan ook goed in klas 2 – het gaat er altijd om: hoe ‘ver’ is je klas.

***voor het kind dat het antwoord niet weet, is het niet zo leuk! Ik sprak af dat wanneer je het niet weet, je een willekeurige som uit de tafel mag zeggen die je wél weet (en die is er altijd: 1 x …) Dan heeft ook dit kind het gevoel dat het meedoet.

.

3e klas rekenenalle artikelen

3e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas        tafelsterren

.

523-482

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.