Tagarchief: rekenen 3e klas

VRIJESCHOOL –– Het leerplan – Caroline von Heydebrand (3e klas)

.

Kort na het overlijden van Rudolf Steiner in maart 1925 verscheen voor de eerste keer een schriftelijke weergave van het leerplan van de vrijeschool.
Die werd samengesteld door Caroline von Heydebrand die vanaf het begin in 1919 aan de vrijeschool in Stuttgart was verbonden. Zij had ook de begincursus – GA 293294 en 295 – bijgewoond en de vele lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner (GA 300abc). 
In de jaren 1919 – 1925 tekenden zich de contouren van een leerplan af dat nadien in grote lijnen hetzelfde is gebleven.
Dat betekent echter niet dat het ‘achterhaald’ zou zijn. In velerlei opzichten zijn de ideeën nog altijd even verfrissend en laten ruimte voor ontwikkeling.

Caroline von Heydebrand, Mitteilungsblatt, okt. 1925
.

HET SCHOOLKIND VAN DE EERSTE KLAS TOT AAN HET NEGENDE JAAR

Het kind dat [met zijn zesde/zevende jaar op school komt, wisselt zijn tanden. De activiteit van de plastisch-beeldende krachten die aan zijn organisme werken komt tot een afronding door de blijvende tanden te laten verschijnen. Die activiteit emancipeert zich van het lichamelijk-levende [1] en wordt nu zichtbaar in een veranderde vorm in het voorstellingsleven van het schoolkind. Het kleine kind heeft tot aan de tandenwisseling zijn gevoelsleven het sterkst tot uitdrukking gebracht door de bewegingen van zijn ledematen; na de tandenwisseling leeft het meer in het ritme van de ademhaling en de bloedsomloop. [2] Met alles wat in rijm, ritme en maat zijn vorm krijgt heeft het een instinctieve relatie.
Uit de tijd van voor de tandenwisseling werkt in het kind nog na de wil om zich in beweging en gebaar van de ledematen te uiten en alles na te doen en door nabootsing zich eigen te maken wat door de gebaren van de opvoeder als uitdrukking van zijn innerlijk leven naar buiten komt.
Niet alleen met zijn menselijke omgeving, maar ook met die van de natuurwereld is het kind nog innig verbonden, het is nog niet zichzelf, het is er door de wereld.
Ieder detail van het leerplan van de eerste drie schooljaren is het gevolg van het hier maar heel schetsmatig voorgestelde wezen van het kind van zes tot negen jaar.

De derde klas

[De vakken zijn door mij in alfabetische volgorde gezet]

Euritmie

Vanuit het weergeven van bepaalde klanken ga je over tot het weergeven van woorden, zinnen en korte lyrische gedichten. Ook hier krijgen naast ritme en maat de schoonheid van de taal en de stemming van het gedicht de aandacht. Je begint met alliteratie-oefeningen, gaat verder met de pedagogische oefeningen en breidt de oefeningen van de tooneuritmie uit tot het octaaf.

Gymnastiek

In de derde klas begint het gymnastiekonderwijs. Het is een voortzetting van het euritmische.
Euritmie is zichtbare spraak, dus een zichtbare weergave van het ademproces. Wat zich afspeelt wanneer de adem doorwerkt in het bloedsproces, is er in sterke mate in terug te vinden. Bij gymnastiek vinden we het proces dat zich afspeelt wanneer het bloed in het spierstelsel werkzaam is. Gymnastiek maakt de spieren sterk en elastisch door het opnemen van de bloedstroom.  Wie gymt bevindt zich in een statisch en dynamisch proces. Hij ervaart de ruimtekrachten, bv. de zwaartekracht. Bij gymnastiek uit de wil zich direct, terwijl we bij de euritmische bewegingen meer voor ons zien hoe het gevoel, het zielsleven door de wil wordt uitgedrukt. De fysiologische basis van de gymnastiek moet je vooral bij jongere kinderen in het bloed en de spieren zoeken. Pas na het twaalfde jaar gaat het meer om het organisme en het mechanische van de botten. Het karakter van de oefeningen voor de kleinere kinderen (derde, vierde, vijfde klas) vertoont een grote levendigheid. De kinderen moeten bij de oefeningen iets met hun fantasie kunnen beleven. Je laat de bewegingen van de menselijke arbeid (bv. dorsen, zaaien, timmeren enz.) niet natuurgetrouw, maar omgezet in ritmische beweging uitvoeren.

Derde klas in het bijzonder:

Oefeningen zonder toestellen, met mate strekken en buigen. Oefeningen met toestellen: hindernisbanen in iedere vorm. Springen en klimmen. Ringen, wandrekklimmen.

Handwerken

Jongens en meisjes haken en gaan verder met hun kleine werkjes die ze zelf op een kunstzinnige manier ontwerpen.

Heemkunde

Het heemkunde-onderwijs plaatst het kind bewust in zijn naaste omgeving. Je bespreekt o.a. hoe specie wordt aangemaakt en toegepast bij de huizenbouw, enz. Het kind leert hoe het land wordt klaargemaakt, het werk op het land, het bemesten en leert de graansoorten onderscheiden. Het ervaart hoe het dier voor zijn voedsel de plant nodig heeft en de plant het dier voor zijn mest, de mineralen als voedsel en voor een stevige bouw. Op die manier wekt de heemkunde een gevoel op voor het wonderbaarlijke samengaan van de dingen in de wereld en laat dankbaarheid ontstaan voor iets wat lager staat dan de mens. Maar steeds gaan we vanuit het moreel-invoelbare weer terug naar de praktische realiteit en bereid je door een adequaat heemkunde-onderwijs nu al voor wat in latere jaren de leerstof kan opleveren voor het schrijven van eenvoudige zakenbrieven en opstellen over het zakenleven. Het is zeer belangrijk dat de leerkracht weet dat alles wat later komt, eerder voorbereid moet worden.

lezen

Zie schrijven

Muziek

Je begint met het aanleren van het notenschrift (C-majeur). De zangoefeningen worden in een wat grotere omvang voortgezet.

Rekenen

Bij het rekenen behandel je de vier rekenbewerkingen met moeilijkere getallen en met toepassing van eenvoudige dingen uit het leven. 

Schrijven

In de derde klas ontwikkelen wij door een omvorming van de vormen van het Latijnse schrijfschrift het Duitse schrijfschrift. Ook het Duitse drukschrift wordt door het kind in eerste instantie getekend en dan gelezen. De vaardigheid van het kind om op te schrijven wat het heeft gezien en gelezen wordt verder ontwikkeld.

Spreken

Dit schooljaar verdient het spreken bijzondere aandacht: articulatie en woordbouw. Wat daarvóór meer instinctief ervaren werd aan lange en scherpe of korte klanken, wordt nu bewuster nagegaan. Al sprekend wordt geoefend en via luisteren en articuleren wordt de juiste schrijfwijze behandeld. Bij het aanleren van gedichten wordt naast ritme en melodie in het spreken ook gezocht naar een manier om de schoonheid van de gedichten te laten beleven, omdat het zielsleven van het acht-negenjarige kind zich verdiept en open begint te staan om dergelijke schoonheid te ervaren. 

Taal

Grammatica
Het kind moet een voorstelling krijgen van de woordsoorten, de zinsdelen, de zinsopbouw en leren om leestekens te gebruiken.

Vertellen

De stof voor het vertellen en navertellen bieden dit schooljaar de verhalen van het Oude Testament, het allereerste begin van de wereld- en cultuurgeschi9edenis voor het kind. 

.

[1] Zie over het etherlijfAlgemene menskunde

[2] Zie over bloed en ademhalingAlgemene menskunde

 

Meer artikelen over het leerplan

Vrijeschool in beeld alle beelden

.

1873

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE


Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt (milieuproblematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar

In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

klas 3

Leerstof
—    Herhaling van al het voorgaande.
—    Het verdelen van 1000.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen met gecompliceerde getallen (tot 1000).
—    Er wordt ook gerekend met geld. Markt, winkel, dingen uit het dagelijks leven.
—    Schriftelijke opgaven.
—    Schriften, kleurpotloden, zwart potlood (ballpoint).

Werkvormen

De werkvormen zijn dezelfde als in de tweede, de werkstijl is echter anders. De derde klas is een echte oefenklas. Alles wat in de eerste drie jaar wordt aangelegd moet aan het einde van de derde tot op zekere hoogte beheerst worden.

Bij het schriftelijk werk staat alles nog in de hoofdrekenvorm:

308 + 213 + 96=

Niet dat de kinderen het optellen van eentjes, tientjes niet zouden kunnen begrijpen. Het gevaar van het cijferen is dat de kinderen lui worden met hoofdrekenen. En juist het hoofdrekenen is onmisbaar voor het zich nog vrij leren bewegen in de getallenwereld. Het cijferen is de dood voor een werkelijk getalbegrip zowel naar grootte (later het leren schatten) als naar onderlinge samenhangen. 16 x 25 zet men niet onder elkaar, 16 x 25 = 400 tout court.

Er zijn echter andere, bijzonder zinvolle vormen van schriftelijk werk voor de derde klas (zie voorbeeld). De opgaven zijn altijd zo dat de leerlingen zelf voortkunnen. Binnen de klassikale opgave is individuele differentiatie mogelijk. Het rekenen in verband met het dagelijks leven geschiedt eerst in concreto, later als ‘rekenverhaal’.

Tafels
Als we de tafels opzeggen, gebeurt dat altijd staande en we klappen en stampen* op bepaalde getallen om daar het accent op te leggen. We klappen de uitkomst, en stampen op ‘het aantal maal’. We gaan van het geheel uit en zeggen de tafel heen en terug, dus:

2                  =               1  x  2
(klap)                          (stamp)
4                  =               2 x  2
6                  =               3 x  2
tot en met
20               =             10 x  2

vervolgens weer terug

  1  x 2      =                            2
(stamp)                               (klap)
 2  x  2      =                           4
 3  x  2      =                           6
10 x  2      =                         20

Dan zijn er nog oefeningen, die we elke dag gedaan hebben, waarbij de vermenigvuldigingen niet worden genoemd, maar waar we de tafels opzeggen als getallenreeksen met weer klappen, stampen, hinken, springen, aantikken etc.

Enige oefeningen: bijvoorbeeld de tafel van 3**:

lopen       1, 2       stilstaan, klappen en roepen ‘3!’
lopen       4, 5      niets zeggen stilstaan, klappen en roepen ‘6!’

dezelfde oefening nu: hink, hink, sprong.

staand:
je tikt één voor één je schouders aan en telt daarbij in gedachten 1, 2 vervolgens klap je in de handen en roept ‘3!’ 4 (schouder) 5 (schouder), klappen en roepen ‘6!’ 

Hetzelfde kan natuurlijk met knieën, voeten, oren, billen etc. Voor de kinderen lijkt het steeds een nieuwe oefening en daar er eindeloos veel variaties zijn kun je iedere dag weer iets anders doen, zonder dat de kinderen in de gaten hebben dat je elke dag met die tafels bezig bent.

Een aantal andere ‘tafel’-oefeningen hebben we in de kring gedaan. In de klas zitten eenendertig kinderen, waarvan drie kringen van tien gemaakt werden.

Elke kring krijgt een bol wol en elk kind krijgt een getal van 0 t/m 9. De kinderen staan in die volgorde ook naast elkaar.
Ik ga nu maar weer uit van de tafel van drie. Nummer drie uit de kring krijgt het beginpunt van de bol wol en het noemt zijn getal, namelijk ‘drie’. (Als je bij 3 begint, en je bent bij de 0 = 30 gekomen, blijft het stuk van 0 naar 3 open. Je moet dus op de 0 beginnen!)
bb 77Voor twee van de drie kringen bleek geen kind te zijn dat de bol wol door kon geven. Deze kringen kregen een bal. De tafels gingen dan hetzelfde als de beschreven oefening van 3, alleen werd de bal nu overgegooid.

Met de bal kun je trouwens ook leuke spelletjes doen als de tafels er al goed ‘in zitten’.
Een vermenigvuldiging vragen en 
een naam noemen. Diegene geeft het antwoord en gooit de bal naar de volgende. Dus: 1 x 3 Nessa; Nessa: ‘3!’ 7 x 6
Michiel: Michiel: ’42!’ 3 x 9’Tanja; Tanja: ’27!’ 6x 5 Tijn, etc.

Dit spelletje is natuurlijk alleen maar leuk*** als er een beetje tempo in zit.

Als je bovenstaande oefeningen (figuren maken van de uitkomsten van de tafels) in de kring, hebt gedaan, kun je ze daarna in het schrift laten tekenen of op een kaart laten borduren met wol.

Veel leuke dingen om in het schrift te maken zijn:

lange rijen van antwoorden maken in je schrift en dan de wetmatigheden daarin proberen te ontdekken

bv. de tafel van 8. Die wetmatigheden kunnen ze dan bijvoorbeeld met verschillende kleurtjes aangeven.

00             88

08             96

16             104

24             112

32             120

40             128

48              136

56             144

64             152

72             160

80

Eenheden altijd: 8, 6, 4, 2, 0

Tientallen: 0,0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12

Een aantal kinderen sprak dergelijke oefeningen zo aan dat ze rijen maakten met antwoorden tot 1000 toe.

Tafelblad maken behoort nog steeds tot de favoriete bezigheden tijdens de rekenperiode. Ook al hebben we dat al vaker gedaan, steeds opnieuw ontdekken ze daar weer nieuwe dingen in die ze daarvóór niet gezien hadden.

bb 78

Een aantal kinderen gaat dit soort oefeningen thuis dan uitbreiden en komt dan met een heel groot vel papier op school om te laten zien hoe ver ze wel niet gegaan zijn. Hetzelfde gebeurde met de volgende oefening:

Tafelberg maken: (deze som wordt op een heel lang stuk papier gemaakt.

bb 78 2

 

 

 

Het schriftelijk werk

 bb 79

De oefening is hier al redelijk ver ingevuld. Op het bord schrijven we niet meer dan:
bb 78 3

We doen dit samen met de klas. Daarna gaan ze alleen verder.

Het leuke is dat er zoveel manieren zijn om deze som uit te rekenen.

Dergelijke ritmische oefeningen vervelen de kinderen nooit. Met het ontdekken van wetmatigheden krijgen ze tegelijk controle over het werk.

Natuurlijk ontdekt er ook wel eens iemand een regelmatigheid die helemaal niet bestaat en baseert daar zijn hele systeem op. Vrolijk zelfstandig voortwerkend produceert hij een blad vol cijfers. Na het grote ‘Aha-Erlebnis’ dat volgt als de som later klassikaal op het bord een stukje verder wordt uitgerekend, gaat het betreffende kind nu echt rekenen, zelf nog nagenietend van zijn naïviteit

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Dit kan ook goed in klas 2 – het gaat er altijd om: hoe ‘ver’ is je klas.

***voor het kind dat het antwoord niet weet, is het niet zo leuk! Ik sprak af dat wanneer je het niet weet, je een willekeurige som uit de tafel mag zeggen die je wél weet (en die is er altijd: 1 x …) Dan heeft ook dit kind het gevoel dat het meedoet.

.

3e klas rekenenalle artikelen

3e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas        tafelsterren

.

523-482

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (7)

.

REKENEN MOET PLEZIER GEVEN

rekenen moet plezier geven (2)

Aanwijzingen voor de klassenleerkracht bij het schriftelijk rekenen in de onderbouw

Wie geen bestaande opgaven gebruiken wil, maar er plezier in heeft, zelf sommen te ontwerpen die een mooie, grappige of interessante uitkomst hebben, heeft daarvoor veel tijd nodig.

Om de zaak wat te vereenvoudigen wil ik een paar aanwijzingen geven, hoe je in korte tijd opgaven maken kan, die een ‘mooi’ resultaat geven, een rond getal als 100 of 1000 of een regelmatige getallenrij als 111 of 1234 of het jaartal 1990 [het jaar waarin dit artikel werd geschreven].

Optellen en aftrekken
Klas 1 tot 2:
eerst oefenen we (mondeling en schriftelijk) het splitsen van een som:

som:  20 = 5 + 5 + 5 + 5
6 + 5 + 5 + 4
7 + 6 + 4 + 3       enz

Omdat er veel mogelijkheden zijn, worden de kinderen vindingrijk, voelen zich er vrij bij en kunnen verbazingwekkende regelmatigheden ontdekken!

Dan oefenen we het ‘schriftelijke hoofdrekenen’ en zeggen tegen de kinderen: ‘Begin bij 2 en tel er steeds 3 bij op. Wie geen fouten maakt, komt beslist bij 50!’ En de kinderen schrijven: 2, 5, 8, 11, 14, enz. tot 50
Later net zo bijv. met de 6 vanaf 4 tot 100 of met de 7 vanaf 2 tot 100: 2, 9, 16, 23 enz. tot 100.
Makkelijk vind je een geschikt begingetal zodat de opgave een mooie uitkomst heeft die loont.

Net zo kun je terug laten rekenen tot 1: ‘Begin bij 41 en trek er steeds 4 vanaf tot het niet meer gaat!”: 41, 37, 33, enz. tot 1
Ook door elkaar: ‘Begin bij 5, tel er 11 bij op en haal er 4 af, weer 11 erbij en 4 eraf, net zo lang tot je bij 100 bent!’ Dus: 5, 16, 12, 23, 19, 30 enz. tot 100.

Dit soort opdrachten maakt het voor de snelle rekenaar mogelijk verder dan het gestelde doel te gaan en het is ook geen ramp als de langzame rekenaar onderweg blijft steken.

Klas 2 tot 3
Nu iets moeilijker: de kinderen moeten oefenen er 39 bij op te tellen. Zelf vermenigvuldig je met 10: 390. Tot 1000 ontbreken er 610. Nu zeg je tegen de leerlingen: ‘Begin bij 610 en tel er steeds 39 bij op; wanneer je dit 10x gedaan hebt, moet je bij een mooi getal zijn gekomen. En de kinderen rekenen uit:

610     649     688                           961
+39     +39    +39     tot aan        +39
___     ___   ___                          ___
649    688    727                          1000

Dit principe kun je ook terug toepassen. Opnieuw 10 x 39 = 390 en tel er 1 bij op = 391. Nu luidt de opgave: ‘Trek van 391 zo lang 39 af, dat het niet meer gaat.’ Natuurlijk moet er 1 uitkomen. Je kunt er natuurlijk ook voor zorgen dat bv. het getal 5 overblijft, enz.

391          352          313                         40
-39           -39          -39     tot aan      -39
___       ___          ___                       ___
352          313         274                             1

Heel aardig is het met grotere getallen, wanneer het resultaat bv. 111 of 999 moet zijn of een andere mooie regelmatigheid. Je moet alleen maar het gewenste resultaat, bijv. 111 10 x bij het betreffende getal optellen, dus bv. met 398:  398 x 10 = 3890, dan 111 erbij = 4091

4091          3693                     509
-398            -398                    -398
3693         3295                      111

Wanneer je langere rijen wil samenstellen die als resultaat een mooi rond getal moeten hebben, moet je duo’s van 10-tallen maken:

56        of     26
34                 37
27                 54
63                 43
48                 78
72                 62
300           300

Hetzelfde geldt ook voor 100- en 1000-tallen.

‘Wanneer de leerkracht gelegenheid heeft deze 10-talpakketjes aan kleine, 10-jarige kinderen te laten zien, kan hij een wonder beleven: hoe ineens een zwakke rekenaar die er geen plezier in heeft, enthousiast wordt om ze te pakken te krijgen, hoe hij ze eruit pikt als rozijntjes, kortom hoe een kwelling een plezier wordt…..’, schrijft Karl Menninger in zijn boekje: ‘Rekenkneepjes’,[Duits].

Verder: we maken een berekening waarvan de uitkomst ‘mooi’ is: bv.

5678 – 1234 + 9876 – 5432 = 8888. Nu zeggen we tegen de kinderen: neem eens een getal van 4 cijfers, wat je maar wilt, tel er 5678 bij op, trek van het antwoord 1234 af, tel daarbij weer 9876 op  en trek nu het getal eraf dat jij had gekozen, dan komt er iets merkwaardigs uit.’
Iedereen heeft hetzelfde antwoord, 8888!

als huiswerk: ‘maak 3 tot 5 van deze opgaven met telkens een verschillend door jou gekozen getal!’

vermenigvuldigen
We nemen 2 of 3 getallen die samen 2000 zijn en het ’t liefst zo, dat er veel verschillende cijfers inzitten, bijv. 438 + 562 = 1000
Dan vermenigvuldigen de kinderen ieder getal met 2, tellen de uitkomsten op en krijgen als resultaat 2000.

438    keer 2 =   876                                                 438 keer 3 = 1314
 562    keer 2 = 1124                                                 562 keer 3 =  1686
1000 keer 2 = 2000                                             1000 keer 3 = 2000

Aardig is ook de som van de getallen – het kunnen er willekeurig veel zijn! zo te kiezen, dat ze samen 1111 zijn. Dan komt met het vermenigvuldigen met 2 het getal 2222, met 7  7777 als resultaat.

355   x 2 = 710                                                       355 x 7 = 2485
267   x 2 = 534                                                      267 x 7 = 1869
489    x 2 = 978                                                      489 x 7 = 3423
1111   x 2 = 2222                                                   1111 x 2 = 7777

Een zeer opmerkelijk voorbeeld staat in ‘Das Rechnen mit reinen Zahlen’ (Sauer/Bühler).
Vermenigvuldig de rij van 13 met 7, met 77, met 777 en tel de uitkomsten bij elkaar op.
In de kolommen, maar ook in de uitkomsten vind je wetmatigheden.

13          x 7          x 77          x 777
26         91          1001          10101
39        182        2002         20202
52        273       3003          30303
65       364       4004         40404
78       455       5005           50505
91       546       6006          60606
104     637       7007          70707
117      728       8008         80808
130     819       9009          90909
715    910      10010          101010
5005     55055      555555

Veel plezier geven ook de ‘negenspelletjes’: vermenigvuldig simpelweg de hele rij van 1 t/m 9 behalve de 8, met 9!

12 345 679    x 9   = 111 111 111
12 345 679   x 18 = 222 222 222
12 345 679   x 27 = 333 333 333  enz.

of omgekeerd:    111 111 111   : 9 = 12 345 679
222 222 222 : 9 = 12 345 679

of: 987 654 321  x  9  = 8 888 888 889 (de 9 komt achteraan)
987 654 321  x 9   = 17 777 777 778
987 654 321  x 9  =  26 666 666 667

hetzelfde ook omgekeerd (deling)

8 888 888 889 : 9 = 987 654 321

Opmerkelijke uitkomsten staan in ‘Mathematische Kurzweil'( Mittenzwey)

15 873  x   7  =   111 111                            95 679    x   8   =       765 432
823  x 15  =   12 345                         2 057 613 x   6   = 12 345 678
1929   x 64 = 123 456                       1 334 668 x 74  =  98 765 432

Hier horen ook de (bekendste) rekenhulpjes bij voor de rij van 5.
Omdat 5 de helft is van 10, rekenen we bv. 48 x 5  zo uit dat we 5 met 2 doen = 10 en 48 door 2 = 24, dus 240.      49 x 5 net zo, alleen 5 erbij = 245. Net zo met bv. 50 of 500.

15 = 10 + 5, dus rekenen we 48 x 15 zo uit dat we de helft van 48 nemen, 24, en dat bij 48 optellen, 72, en dat 10 x = 720. 49 x is dan 720 + 15 = 735!

25 is een kwart van 100. We rekenen 48 x 25 zo uit dat we een kwart van 48 nemen, 12, en dat x 100 = 1200. 49 x 25 = 1200 + 25 = 1225 en 51 x 25 = 1200 + 75 = 1275. Wanneer je dit onder de knie hebt, kun je ook met 125 vermenigvuldigen: je telt bijv. bij 48 een kwart, 12, op = 60 en dit 100x. Net zo simpel zijn vermenigvuldigingen met 250, 75 enz.

Dat je bij de rij van 11 de som van de beide getallen in het midden zet, is bekend:  25 x 11 [ik weet niet of dit zo bekend is, maar het gaat om 25 = 2 + 5 = 7; je ziet waarop het getal eindigt: 5, je hebt dus al  75 en nu is de vraag of je boven de 300 komt: nee, 10 x 25 = 250, dus 275
Bij bijv. 56 x 11 zijn 5 + 6 = 11, die 11 moet je niet meer optellen als 1 + 1, maar gewoon het laatste cijfer = 1 nemen, dat komt in het midden; het laatste cijfer is een 6; je komt wel boven de 600 uit: 616.

De vaardigheid in het vermenigvuldigen kun je nog opvoeren: je zoekt 2 getallenparen die samen 100 zijn; dus; a + b = 100  en c + d = 100.
Dan is (a + b)  x (c + d ) 100  x 100 = 10 000
(a + b)  x (c +d ) = ac + ad + bc + bd = 10 000
bv. a = 37; b = 63; c = 48; d =52.
Dan:    37 x 48 = 1776
48 x 63 = 3024
63 x 52 = 3276
52 x 37 = 1924
10 000

Neem je getallen met 3 cijfers dan komt er 1 000 000 uit!
628 + 372 = 1000                           628 x 438 =   275 064
438 + 562 = 1000                          438 x 372 =   162 936
372 x 562 =    209 064
562 x 628 =    352 936
                                                                    1000 000

delen
Voor je met de staartdeling begint, moet je het delen terdege oefenen, met opklimmende moeilijkheid: 24:2;  86: 2;  96: 3;  84: 4;  648:2.  Dan 36:2;  54:2; enz. 48:3;  87:3;  132:3  enz.
Deze techniek blijkt waardevol tot wel de rij van 12! Zoek ‘tovergetallen’ die door veel getallen deelbaar zijn, bv. 4 x 7 x 9 = 252 (deelbaar door 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12) of 5 x 7 x 8 x 9 x 11 = 27 720, is deelbaar door alle getallen van 2 t/m 12, net zoals het dubbele of het drievoudige ervan.
Mooie getallen krijg je door bv. 2 of 3 te potentiëren: 2 (tot de 12e) x 3 (kwadraat) = 36 864, deelbaar door alle getallen die samengesteld kunnen worden  uit 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2…………x 3 x 3. (dus: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32 enz.)
Als de staartdeling ingevoerd is, is het voor de zwakke rekenaar goed en tot grote steun, wanneer deze de vermenigvuldiging door deling terug maakt, omdat de uitkomst zichtbaar is en ook de rest weer verschijnt:

31  x 213                                                                 6603 : 31 =213
62                                                                        62 
31                                                                         40
93                                                                       31
       6603                                                                     93
93
0

Het beste is om eerst getallen te nemen met een lage eenheid, bv. 41, 52, 81 enz. Zo gauw de staartdelingtechniek beheerst wordt, is de deling hèt oefenterrein voor de 4 hoofdbewerkingen en wanneer je de delers met 2 cijfers kent, kun je snel naar 3 en 4 cijfers, waarbij je ‘tovergetallen’ kan maken: 123 x 234 x 345 = 9929790. dit getal kan door elk van de 3 getallen worden gedeeld en de uitkomst kan ook weer worden gedeeld, bv.

9 929 790 : 123 = 80 730;             80 730 : 234 = 345
9 929 790 : 234 = 42 435             42 435 : 345 = 123   enz.

Het ‘mooie’resultaat bestaat erin dat de deling uitkomt en dezelfde getallen steeds weer tevoorschijn komen! Een bijzonder iets dat de moeite loont, is de deling van grotere kwadraatgetallen, omdat de uitkomst hetzelfde getal vertoont als de deler!

654 x 654 = 427 716;         427 716 : 654 = 654

gemengde opdrachten
Om alle 4 de rekenbewerkingen bij elkaar te krijgen, heeft  Georg Hofmann (Erziehungskunst 1965 – 5/136) een mooie formule opgesteld die voor hele getallen, breuken en decimaalbreuken en negatieve getallen heel goed werkt: ( a  x a + a) : a -a = 1

Dus bv. 27 x 27 = 729 + 27 = 756; 756 : 27 = 28 – 27 = 1, waarbij de laatste stap bij hele getallen niet zo interessant is; alleen als controle; dat is bij de breuken anders.

Een mooi rekenvoorbeeld deelt Menninger mee (zie terug) : ‘tenslotte willen we nog de ‘Zaunkönig’ vangen. [ Een “Zaunkönig” is een winterkoninkje. Ik weet niet goed hoe dit verder te vertalen]

Hoe doen we dit. Alleen of nog mooier, met anderen, wie het eerst klaar is, op jacht: een rij getallen wordt genoemd die iedereen opschrijft: 17, 38, 4 , 3 25, 9. Die moeten door de 4 rekenbewerkingen met elkaar worden verbonden en wie daarbij het kleinste hele getal overhoudt, heeft het winterkoninkje gevangen. – De getallen mogen van plaats worden verwisseld; er mogen geen breuken in voorkomen, net zo min als het cijfer 0, behalve op het eind, natuurlijk; ook geen negatieve getallen. Ons geluk eens beproeven:

38 + 17 = 55; – 25 = 30; + 9 = 39; : 3 = 13; -4 = 9                     of

38 – 25 = 13; + 17 = 30; – 9 = 21:3 = 7; – 4 = 3
Is 3 het winterkoninkje?

[het valt op dat er geen vermenigvuldiging in voorkomt en in het eerste vb. geen deling; volgens mij moet je dit heel goed afspreken met de kinderen ]

Wordt vervolgd met een bijdrage over de breuken.

[de schrijver van het artikel noemt alleen klas 1/2 en 2/3. Naar mijn ervaring staan hier opgaven in die voor een 3e klas nog te moeilijk zijn; je bent natuurlijk vrij om te kijken wat voor jouw klas geschikt is]

Martin keller in Erziehungskunst 54e jrg. nr. 11 1990

rekenen moet plezier geven (2)

1e klas: rekenen: alle artikelen  

1e klas: alle artikelen

 

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas

 

143-137

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas (3-2)

.

EEN BIJDRAGE AAN EEN LEVENDIGE UITBEELDING VAN DE GETALLENRIJEN

Wanneer je met de leerlingen van de lagere klassen de getallenrijen oefent, heb je hier een fijne manier om het geheugen van de kinderen te oefenen, want we weten uit de antroposofische menskunde dat een kind te kort komt, dat niet in de juiste mate zijn automatisch geheugen oefent.

Dan zul je ook een steeds sterker gevoel ontwikkelen voor het eigene van de getallen zoals die in hun veelvouden veranderd, verschijnen. Het zal er wezenlijk toe bijdragen dat het gevoel van de kinderen gewekt wordt, wanneer je ze aanspoort bijv. in alle getallen die op 5 of 0 eindigen, de 5 te ontdekken; de 6, die weliswaar in 36 zit, maar niet in 26 of 46, wel weer in 24 of 48 op te zoeken, enz.

Je kunt op mooie herhaalvragen komen, wanneer je bijv. vraagt: “Zit er in 18, 42, 54 een 7?” De kinderen antwoorden met ‘ja’ of ‘nee’.
Dan zul je bij een hele getallenrij vinden dat er bepaalde basisgetallen in zitten, bijv. in 24: 3, 4, 6 en 8; 5 en 7 in 35 enz.

Alle getallen in deze voorstelling, behalve die waaromheen een cirkeltje staat, zijn kruispunten van 2 lijnen, bevatten dus 2 basisgetallen tussen 1 en 10 als hun product.  Zitten er nog andere basisgetallen in, dan zul je die op een andere plaats terugvinden.

De omcirkelde getallen zijn het product van een getal met zichzelf vermenigvuldigd: kwadraat.

In deze ster laat je de kinderen de getallen opzoeken, 14 bv. als kruisgetal van 2 en 7  (2 x 7  en 7 x 2); 24 komt op 2 plaatsen voor, als 4 x 6 en 6 x 4 en als 3 x 8 en 8 x 3. 36 is èn een kwadraat van 6 en het product van 4 x 9 en 9 x 4.

Maar ook een dergelijk beeld is voor de kinderen slechts een voorlopig hulpmiddel, geschikt als stimulans bij het inslijpen van de getallen.

Dit is op een mooie manier weer te geven:

rekenen 1

Robert Killian in ‘Mitteilungen’ nr.7 1925

Opmerking:
Naar mijn ervaring leent deze tekening zich heel goed voor op bord.
Je kunt iedere keer iets aanvullen; dat vinden kinderen fijn: het groeit; je verwacht wat – eigenlijk net zoals ze zelf zijn -.
Wat er al is komen staan, kun je hier of daar eens uitvegen. De kinderen moeten het dan weer in orde maken.
Of je zet met opzet ergens een niet kloppend getal. Zien ze dat?
Kortom: een uitnodigend geheel.

Het is voor de kinderen een stuk eenvoudiger om de rijen op groot ruitjespapier in een vierkant te maken.

rekenen 2

Op een kartonnetje geplakt en geplastificeerd is deze kaart een hulpje, als een tafel nog niet helemaal uit het hoofd gekend wordt.

Daarbij moet je dan weer opletten of het kind er niet te afhankelijk van wordt; tenslotte gaat het om ‘uit het hoofd’.

.

Pieter HA Witvliet

.

2e klas – rekenen – : alle artikelen

2e klas: alle artikelen

3e klas- rekenen – : alle artikelen

3e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld: 2e klas

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas

130-125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.