Tagarchief: rekenen 1e klas

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen

 

Dit artikel is uit 1926, uit een van de eerste brochures van de Vrije School Den Haag.

Over deze brochure                    Hier te downloaden

Ondanks het bijna 100-jarig bestaan van het artikel, heeft het aan bepaalde gezichtspunten niets aan actualiteit ingeboet.

Ik heb het in de oorspronkelijke spelling laten staan.  

 

BEELD EN RYTHME IN HET REKENONDERWIJS

door E. VAN BEMMELEN—SMIT.

Het rekenonderwijs te brengen in die kunstzinnig beeldende vorm, die voor jongere kinderen een vereischte is, lijkt op het eerste gezicht misschien bezwaarlijk. De vier hoofdbewerkingen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, deelen zijn bewerkingen, die zoo volkomen wetmatig verloopen, dat het lijkt, dat daar voor de verbeeldingskracht geen plaats is. Toch, wanneer we ons richten op wat in de kinderen leeft, dan vinden we ook hier de weg om een vak als rekenen in kunstzinnige vorm te onderwijzen.

In het kunstzinnige onderwijs gaat het er om in beeld en rythme de stof uit te drukken.

Een beeld van de getallenwereld vinden we in de meetkundige figuren. In driehoek, vierhoek en vijfhoek hebben we een beeld van de drietHeid, vierheid en vijfheid. Het teekenen van de elementaire meetkundige figuren kunnen we dan ook al heel vroeg met kinderen doen. Ze vinden daarin behalve het beeld van de veelheid, ook al het verband tusschen enkele getallen, bijv. 2 en 6.

Aan fig. 1 in de zeshoek kunnen we o.a. duidelijk maken, hoe van 6, 2 driemaal afgetrokken kan worden en er dan geen rest blijft. In de vijfhoek kunnen we dit niet. De vijfpuntige ster en de gesloten driehoek drukken dit in beeld uit. Het rythmische rekenen sluit zich aan bij alles wat met tellen samenhangt. Het tellen kan op oneindig veel manieren rythmisch ingericht worden. Het is een genot de vreugde van vele kinderen te zien die door rythme gedragen opstijgen tot een duizelingwekkende hoogte van den getallenberg.

Het getal is een concreetheid voor de kinderen. Ze stijgen mee bij het hooger worden van het getal. De spanning om wat er komen zal en waar dat eindigen moet, is reëel, maar het einde komt niet. De oneindigheid beroert de kinderziel.

De geestdrift, die ontstaan kan door dit invoeren in de totaliteit van de getallenwereld is een noodzakelijkheid bij het onderwijs. Maar deze kan niet ontstaan, wanneer we ons moeten beperken tot een brokstuk, bijv. de getallen tusschen 1 en 10 of tusschen 1 en 100. Voor het leeren van de bewerkingen is deze beperking natuurlijk noodig, maar in het rythmische rekenen kan deze achterwege blijven. Welke weg moeten we nu gaan om de kinderen in het elementaire rekenen in te leiden?

Die weg, die het kind zelf geneigd is te gaan. We moeten bij de eenheid beginnen en dan tot handeling over gaan, handeling, die tot de veelheid voert, dus deelen, verdeelen. Dat is de weg, die bij de ontwikkelingsgang van het kind aansluit.

De deeling, de splitsing in gelijke en ongelijke deelen dus als eerste bewerking. Ook het getal kan als eenheid opgevat worden en dan verdeeld worden. Richten we ons op datgene, wat innerlijk gebeurt, wanneer we deelen, en vergelijken dat met hetgeen gebeurt, wanneer we optellen. Nemen we een concreet voorbeeld, b.v. we splitsen 12 in ongelijke deelen: 12 = 3 + 5 + 4 of 6 + 5 +1.

We hebben daar de vrijheid te kiezen tusschen zeer veel verschillende combinaties van verschillende getallen. Onze fantasie heeft daar (binnen zekere grenzen) vrij spel. Bij de omgekeerde bewerking, de optelling, zijn deze zelfde 3 getallen: 3 + 5 + 4 niet anders dan tot één bepaald getal te vereenigen. We hebben daar geen vrijheid, het antwoord is bepaald.

Dit ontplooien van de fantasiekrachten, dat is het juist, waar het op aan komt bij jonge kinderen. Wordt er in het onderwijs geen ruimte gelaten voor deze krachten, dan verdroogt en verdort het kind innerlijk. Te vroeg moeten dan de intellectueele krachten opgeroepen worden, die zich juist richten naar het bepaalde, het wetmatige, het logische. Het zich voegen naar de wetmatigheid past den volwassenen, het kind moet dit eerst langzamerhand, geleidelijk leeren.

In de praktijk van het onderwijs, dat deze fantasiekrachten van het kind tot zijn recht laat komen, komen we tot verrassende ervaringen. We vinden n.l. dat de individueele geaardheid van het kinid tot in het rekenonderwijs toe gelegeheid heeft zich te uiten.

Uit mijn praktijk kan ik het volgende voorbeeld opschrijven. Splitsingen van het getal 18, door twee verschillende kinderen gevonden.

Van beide rijen kon ik nog tweemaal zooveel neerschrijven, wanneer de plaatsruimte dat toeliet.

Wanneer we de gedachtengang volgen, die deze beide kinderen gegaan zijn bij het bedenken van deze getallen, dan wordt het ons duidelijk, hoe daar twee totaal verschillende karakters achter staan.

In de eerste rij vinden we een kind, dat van het gegevene is uitgegaan. Enkele hoofdgedachten heeft het gehad, die uit het getal 18 zelf voortkwamen.

18 = 10 + 8 was zijn eerste gedachte. Die gedachte uitgewerkt; toen kwam de volgende: 18 = 9 + 9. ook deze wordt uitgewerkt. Andere hoofdgedachten volgen nog, als 18 = 6 + 6 + 6 die hier niet verder opgeschreven zijn. Enkele speelsche fantasiën als 18 = 1 + 1 + 1 + 1 enz., zijn er ingevlochten, als trillers in een muziekstuk.

Bij het andere kind totaal het tegenovergestelde. Niet van het getal 18 is uitgegaan, maar van zijn eigen willekeur. In iedere vorm zet een nieuwe frissche impuls in. Niets van het oude mocht blijven, geen aanleunen aan wat er al is. Met een overmaat van scheppende fantasie is gewerkt.

De eerste rij kan doen denken aan een vloeiend melodieus spel, de tweede aan forsche accoorden. Hoe deze kinderen zichzelf konden zijn bij dit werk! Ze werkten met genot, want hun werkkracht kon zich vrij en onbelemmerd geven.

Van het deelen vindt men heel gemakkelijk een overgang naar het aftrekken. In tegengestelde richting teruggaande kan men dan met vrucht de optelling, daarna de vermenigvuldiging behandelen.

De kinderen moeten daarbij altijd een zeker gevoel krijgen voor het getal, zooals het in ons tientallig stelsel zijn plaats vindt. Door een symmetrieoefening als in fig. 4 is aangeduid, bereikt men veel. Men bedekt de eene helft en laat de kinderen de andere helft zelf vinden.

De vermenigvuldiging geeft zeer veel mogelijkheden tot rythmisch rekenen.

Tellend in rythmen van bijv. 3 en 4 vindt men direct de tafels van vermenigvuldiging van die getallen. Het is nu van het grootste gewicht, dat de tafels zonder meer uit het hoofd geleerd worden. Juist in deze eerste jaren van de lagere school, wanneer de krachten, die vroeger aan het lichamelijke van het kind gewerkt hebben, vrij komen als zielskrachten, als geheugenkrachten, moet aan deze krachten stof gegeven worden, waardoor ze in werking kunnen treden*).

De afleiding van de tafel kan, behalve op rythmische manier, ook op beeldende wijze behandeld worden. In fig. 2 is daarvan een eenvoudig voorbeeld gegeven. Natuurlijk is daar een oneindig aantal variaties mogelijk, die zoo gezocht kunnen worden, dat ze ingang vinden bij de verschillende typen van kinderen.

In hoofdzaak zijn de kinderen onder te brengen in vier typen, . naar de vier temperamenten. Alleen wil ik wijzen op enkele eigenaardigheden in verband met het rekenonderwijs.

Voor een sanguinisch kind zou b.v. een teekening als in fig 2 veel winnen in aantrekkelijkheid, wanneer die een beetje versierd of gekruld werd. Fig. 3 zou voor zoo’n kind interessanter, bevredigender zijn. Een melancholisch kind heeft graag een langgerekte, eenigszins magere vorm, de vorm, die ook zijn eigen gestalte heeft. Een cholerisch kind zal meer bevrediging vinden in sterk geaccentueerde, sprekende vormen. 

Het gelijkmatige, rythmisch verloopende van fig. 4 zal voor het phlegmatisohe kind nog het meest passende zijn.

Ieder temperament heeft zijn eigenaardigheden. Kan men in het onderwijs daarmee rekening houden, en dat is mogelijk in een onderwijs, zooals dat gegeven wordt aan de „Vrije School”, dan kan het kind zich ontwikkelen naar zijn eigen aard, het kan zich ook individueel vrij voelen in het klassicale onderwijs.

Een melancholisch kind, dat weinig begaafdheid voor rekenen had en er daardoor een groote tegenzin in had, had eens op een morgen met veel plezier gerekend. Wat was er voor soort werk gegeven? Die vorm van rekenen, waartoe het melancholische kind zich bijzonder aangetrokkén voelt, n.l. het aftrekken en wel in deze vorm: hoeveel moet ik van een zeker getal aftrekken om maar zóó weinig over te houden? Deze in mineur gestemde bewerking roept een lustgevoel bij de melaneholica op, wat dan zoo werken kan, dat een voor rekenen weinig begaafd kind daardoor toch plezier krijgt in dit vak.

De kinderen vinden wel een groote hulp door dit ingaan op hun temperament, maar toch moet voor weinig begaafde kinderen nog een andere weg worden gezocht.

In de anthroposophische litteratuur wordt herhaaldelijk gesproken over de drieledige indeeling van het menschelijk organisme**), een indeeling in hoofd-zenuw-mensch, borst- (of rythmische) mensch en stofwisselings- ledematen-mensch. Men vindt daar uiteengezet hoe denken, voelen en willen hun zetel vinden in deze drie systemen.

Bij een kind is het denken, voelen en willen nog veel enger verbonden met het lichamelijke dan bij een volwassene. Er treedt daar een sterke wisselwerking op tusschen het zieleleven en het lichamelijke.

In de paedagogie moet men daarmee rekening houden. Het wilselement, dat in een vak als rekenen een groote rol speelt, kan men versterken door het kind het ledematenstelsel te laten gebruiken, door het na te loopen. Bijvoorbeeld laat men het 7 stappen vooruit loopen en dan 3 achteruit en vraagt het dan hoeveel stappen het nu voorwaarts gekomen is.

Dergelijke oefeningen dragen er, bij herhaling toegepast, enorm toe bij, om de capaciteiten, die voor het rekenen noodig zijn te versterken. Het is zelfs heel goed mogelijk, dat men na eenige jaren die kinderen zoo ver brengen kan, dat men van onbegaafdheid voor rekenen niet meer spreken kan.

Ook in de eurhythmie en de gymnastiek zijn voor het rekenen groote hulpmiddelen te vinden. Men kan daar oefeningen geven, waarin het getal ingevloohten is, speciaal voor de onbegaafden in het rekenen.

Zoo geeft de Anthroposophische paedagogie, die gebouwd is op het wezen en de ontwikkelingsgang van het kind zelf, de mogelijkheid in alle vakken heilbrengend aan de kinderen te werken.

Het beeld, dat ik heb trachten te geven van het onderwijs in het rekenen, wil een bescheiden aanduiding zijn in die’richting. Ieder onderwijzer kan ze naar alle zijden uitbouwen. Beeld en rythme in het onderwijs versterken de phantasie en gevoelskrachten van het kind, maar geven ook ieder onderwijzer de vrijheid steeds nieuwe wegen te vinden, de kinderen vreugde te schenken in het leven. Dr. Rudolf Steiner mogen wij dankbaar zijn, die vrije velden van de kunst aan het onderwijs dienstbaar te hebben gemaakt.

*) Zie paedagogische cursus van 1921 van Albert Steffen,
[deze kreeg later het GA-nummer 301, vertaald op deze blog.]

**) o.a. in „Von Seelenrätseln” van Dr. R. Steiner en in de Paedagogische Cursus in 1921 door Albert Steffen. [zie 1]

rekenen met temperamenten: deel 1 van 4

1e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeldalle klassen

.

Antroposophische paedagogie

Het kunstonderwijs op de ‘Vrije School’

Over het chemie-onderwijs in de achtste klasse

Het taalonderwijs in de laagste klasse

Schoolfeesten
.

.
1757

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Advertenties

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (6)

 

REKENEN EN WISKUNDE

Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.

Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.

In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.

Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt (milieu-problematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.

In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getallenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.
Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.
In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apollo, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar

In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.

Als men een kind laat klappen, stampen*, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.

Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt* en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft ernaar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het akoestisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

Klasse I

Leerstof:

—    Ritmische teloefeningen. Tellen tot 100 of verder.
—    Tafels van vermenigvuldiging. Opteltafels en aftrektafels t/m 20 of 24.
—    Het verdelen, eerst tot ongeveer 40, later verder.
—    Rekenen met concrete voorbeelden onder 100.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen tot rond 100.
—    Cijfers. De Romeinse cijfers als introductie voor het noteren van getallen (deze hebben nog beeldkarakter). Direct aansluitend de gewone Arabische cijfers. Op de Romeinse cijfers kan men terugkomen als de klok behandeld wordt.

Werkvormen:

—    Klassikaal wordt er ritmisch klappend, huppelend en springend geteld.
—    Vanuit het tellen worden klappend en lopend de ritmische getallenreeksen van de eerste tafels van vermenigvuldiging ontwikkeld. Een begin wordt gemaakt met het ritmisch uit het hoofd leren van die tafels, evenals van de optel- en aftrektafels.
—    Het verdelen wordt door de leerkracht gedemonstreerd met papiersnippers of kastanjes. Daarna zijn vele werkvormen mogelijk. Een kind gaat met een mandje rond en deelt uit wat er in zit, terwijl de klas meeleeft. Ook kunnen kinderen ieder voor zich een eigen hoeveelheid kastanjes of bonen verdelen. Dit gebeurt, zowel volgens een opgave van de leerkracht als vrij.

—    Het rekenen met concrete voorbeelden onder 100 heeft als aangrijpingspunt de vier hoofdbewerkingen en hun samenhang met de vier temperamenten. Het geschiedt klassikaal, in temperamentsgroepen en individueel. In hoofdzaak is het een mondeling gebeuren.

—    Hoofdrekenen: het globale hoofdrekenen met vingers, sommen in vertelvorm. Een begin van het échte hoofdrekenen, zonder vingers, zonder voorbeelden, puur het van binnen vasthouden van de rode draad. Klassikaal in koor, langzaam naar het individuele toewerkend.

—    Cijfers. De Romeinse cijfers worden mooi opgeschreven met waskrijt**.

Wanneer men met de klas reeds over de getallen gesproken heeft:
‘Waarvan is er maar één op de hele wereld?’
‘Waarvan zijn er twéé, altijd twee, die bij elkaar horen maar niet hetzelfde zijn?, ‘Weten jullie waarvan er drie zijn?’ kan men de antwoorden naast de Romeinse cijfers laten tekenen. Naast de één bijvoorbeeld de zon. Zo’n klassengesprek kan men vaak herhalen. Het is niet de bedoeling de getallen snel af te werken. Dit thema blijkt een eerste klas bijzonder te boeien en te bevredigen. In het geheel van de ochtend is dit het apollinische slot van de dionysische les.

Aan het eind van het jaar kunnen tafels en eenvoudige sommen in Arabische cijfers worden geschreven.

In de eerste plaats willen we door middel van de leerstof het kind begeleiden in zijn ontwikkeling.

Bij de rekenlessen probeert de leerkracht een sfeer te scheppen waarin datgene leven kan dat volgens hem de essentiële betekenis van het rekenen voor de kinderen inhoudt.

Zijn stemming is vrolijk, feestelijk, vrijheidslievend, met toch iets van geheimzinnigheid. Bovenal tracht hij vol humor te zijn, beweeglijk en behulpzaam.

Hij is voorzichtig met de begrippen ‘fout’ en ‘goed’.

Wacht even: Heb jij dat getal gevonden? Laten wij samen eens kijken? Even rekenen… heb jij dat ook? Ja?… en dan dat getal? Nu komen we uit op het getal dat de anderen ook hebben. Je hebt het gevonden!

Hoe vrolijk het ook toegaat, als het goed is gebeurt dit wat de leerkracht betreft vanuit een soort filosofische vreugde.

Steiners kennistheorie geeft aan dat het omvattende begrip als eenheid primair in het bewustzijn aanwezig is. Bij een som als 5 + 7 = 12 is dus twaalf geen nieuw begrip doch het begrip dat reeds aanwezig was als omvattende eenheid van 5 + 7. De kinderen weten dat dit begrip hoeveelheid er is.

Zij moeten het alleen nog als 12 benoemen. In overeenstemming met deze filosofie wordt bij alle sommen aanvankelijk uitgegaan van het geheel. Bij het optellen vanuit de som, bij aftrekken vanuit het verschil, bij vermenigvuldigen en delen vanuit respectievelijk het product en het quotiënt.

Benadert men de vier hoofdbewerkingen vanuit deze overtuiging dan is men niet zozeer verbaasd als wel bijzonder dankbaar dat de kinderen bij deze wijze van rekenen de sommen zo gemakkelijk bevatten.

De vier hoofdbewerkingen worden vrijwel gelijktijdig aangeleerd, omdat zij evenzeer een totaliteit vormen als het viertal temperamenten. De leerkracht is erop bedacht het kind in zijn eigen aard tegemoet te komen door het aanvankelijk te laten rekenen in de rekenvorm die bij zijn temperament past.

Bij alle nieuwe leerstof is het begin gemeenschappelijk en een appèl aan het bewustzijn. De stof wordt dan enkele malen in pure vorm gebracht. Daarna introduceert de leerkracht het spelelement.

Bij het rekenen met concreta (hoopjes papiersnippers***, kastanjes e.d.) wordt veel van de aktiviteit van het verdelen uitgegaan. Het gevende gebaar werkt diep op de kinderen in en maakt ze later minder egoïstisch. Het nemende gebaar van het optellen komt niet op de eerste plaats.

Door zich te verdiepen in de wereld der getallen kan de leerkracht enthousiast worden voor het vak rekenen. Dit enthousiasme draagt ertoe bij dat ook de kinderen bijzondere vreugde ondervinden bij het lopen, klappen, stampen, in koor reciteren en bij het doen van kleine ontdekkingen tijdens het schriftelijk werk. Op deze stroom van vreugde wordt het praktisch rekenen (markt, openbaar vervoer) eenvoudigweg meegenomen.

Iets uit de eerste klas

Het verdelen wordt gedemonstreerd
De rekenlessen hebben een vrolijk en feestelijk karakter. Enerzijds heeft de leerkracht iets over zich waardoor de kinderen aanvoelen dat het gebied dat gezamenlijk betreden wordt vele geheimen in zich bergt, anderzijds spreekt de leerkracht er in de eerste les al over hoe belangrijk het rekenen is voor het werk van de volwassenen. Hij noemt eenvoudige voorbeelden, zoals het naaien van kleren en omvangrijke prestaties zoals het bouwen van bruggen. ‘Wij leren rekenen zodat jullie later net zoals de volwassenen en jullie ouders en andere mensen in de wereld kunnen werken.’

Nadat het feit dat de kinderen zullen leren rekenen ongeveer op bovengenoemde wijze in de volle aandacht is geplaatst, wordt direct met de zaak zelf begonnen.

Rekenen is een musisch vak dus men zou denken dat de kinderen meteen beginnen te klappen, huppelen enz. Dat zal in de toekomst zeer zeker gebeuren. Alleen de eerste lessen maken daarop een uitzondering.

Welk vak ook, het begin is altijd een appèl aan het bewustzijn van de kinderen. Iets belangrijks, iets dat in ’t gewone doen, ‘boven hun petje’ gaat wordt dan verteld.

De leerkracht neemt een stuk papier, laat het de kinderen zien en verdeelt het in 24 snippers.*** ‘Kijk, kinderen, dat noem ik nu 24 papiersnippers. Hier heb ik het opgeschreven.’ (hij heeft duidelijk 24 op het bord gezet). ‘Nu neem ik een aantal snippers weg en leg ze op een stapeltje, hier maak ik nog een stapeltje, hier een derde en daar een vierde. Van 24 papiersnippers heb ik vier stapeltjes gemaakt. Kijk: nu tel ik, dat kun jij nog niet, ik kan het, en dat, wat daar op het ene stapeltje ligt noem ik negen, wat op het tweede ligt noem ik vijf papiersnippers, wat op het derde ligt, noem ik zeven papiersnippers en wat op het vierde stapeltje ligt noem ik drie snippers. Zie je, eerst had ik één enkele stapel: 24 snippers, nu heb ik vier stapeltjes, 9, 5, 7 ,3 snippers. Dat is precies hetzelfde papier. De ene keer, wanneer ik het bij elkaar heb, noem ik het 24, nu heb ik het over 4 stapeltjes verdeeld en noem het de ene keer 9 ,dan 5, dan 7 en dan 3 papiersnippers.’ (Rudolf Steiner — Methodisch- Didaktisches, eerste hoofdstuk).[1]

De leerkracht zegt dan: ’24 papiersnippers zijn samen 9 en 5 en 7 en 3. Op deze óf overeenkomstige wijze — bijvoorbeeld met een hoopje bonen —- leren de kinderen optellen vanuit het geheel.
In de praktijk blijkt dat de kinderen hun oren spitsen als het zo toegaat en dat zij de zaak in principe duidelijk begrijpen.

Zie voor de 4 hoofdbewerkingen: temperament en rekenen

Sommen in vertelvorm
De vier hoofdbewerkingen worden niet in de volgorde + – x : behandeld. Zij worden al direct in de begintijd alle vier gezamenlijk behandeld.
Immers elke hoofdbewerking biedt de mogelijkheid om een kind met een bepaald temperament een toegang tot het rekenen te verschaffen.

Als het principe begrepen is volgen er sommen met fantasie.

Voor de flegmatische groep bij voorbeeld over Winnie de Pooh en zijn voorraad honingpotjes. Hij heeft er twaalf en zet ze nu eens anders neer op de twee plankjes in de kast. Het regent toch buiten! Op het ene plankje staan er 6, op het andere? Dat gaat hij nu veranderen. 2 op het ene en op het andere? Enz.

Nu is het avond. De ezel lejoor loopt naar buiten in de donkere nacht. Hij heft zijn kop op en ziet zeven sterren! ‘Zeven,’ herhaalt hij bedachtzaam. Nogmaals kijkt hij omhoog. Hij ziet nog maar twee sterren stralen! Een wolk heeft de andere bedekt. Hoeveel sterren zijn achter de wolk? Het is wel belangrijk dat te weten. Piekeren… ja! 5 zijn er weg! Deze en dergelijke opgaven zijn in de eerste plaats gericht tot de melancholische groep.

Janneman Robinson schildert paaseieren. Hij heeft er 24. Hoeveel mandjes met 3 eieren kan hij maken? Een sanguinische opgave.

Janneman Robinson geeft een feest voor al zijn dieren: Poeh, Knorretje, lejoor, Kanga en Roe, Konijn en Uil. Ieder wil hij drie roze gebakjes met suiker voorzetten. Als hij voor zes dieren drie gebakjes nodig heeft, hoeveel moet hij er dan hebben om uit te delen? Dit vraag ik het eerst aan de cholerische groep.

De sommen worden mondeling klassikaal behandeld. Ik zorg er echter voor dat ik me ‘opzettelijk’ eerst tot een bepaalde groep wend. Zowel hierdoor als door de aard van de opgave gaan deze kinderen direct rekenen.

Als we een halfuurtje zo samen gerekend hebben mag de klas tenslotte in een tekenschrift een paar ‘sommen’ tekenen. (Zonder cijfers dus, alleen met tekeningetjes.)

Twee tafels
De tafel van 3: fluisterend 1, 2, luid 3, bijna onhoorbaar 4, 5, luid 6. Deze tafel van drie leent zich eigenlijk beter voor dit procédé dan de tafel van 2. Een anapest lopen is een veel harmonischer beweging dan de jambe met de stamp altijd op hetzelfde been. De leerkracht begint met de muzikale tafel van 3:

1       –      2      –      3

4      –      5      –      6

7-8-9

Dit is geen driekwartsmaat. In dat geval zou de klemtoon op de 1, 4 en 7 vallen. Het wordt op een natuurlijke wijze een vierkwartsmaat. Een fluit er bij, de leraar speelt een wijsje dat zich daartoe leent, en de volgende dag neuriën de kinderen mee:

een                    twee                  drie

vier                   vijf                    zes

zeven                acht                   ne-                    gen

tien                   elf                     twaalf,                                        gelopen als anapest.

En nu de tafel van 2. Die tafel is veel eenzijdiger. Ze heeft iets eigenzinnigs:

1,2            3,4       5,6         7,8        9,10
11,12     13,14   15,16     17,18      19,20

Altijd weer die 2, 4, 6, 8, 0. Net zo eigenwijs als een straatmus: 2, 4, 6, 8, 10. De leerkracht hipt een eindje door de klas, even wachten, rondkijken: 12, 14, 16, 18, 20. Een paar kinderen mogen meehippen, 22, 24, 26, 28, 30. Kijk, één kind hipt een heel andere kant uit, zoals het in zijn eigenwijze mussenkop opkomt. Voordat je het weet hippen ze de honderd af.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985)

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Het waskrijtblokje is m.i. niet om mee te schrijven. Het is te klein voor de fijne motoriek van het schrijven; het is ook bedoeld om te tekenen en moet eigenlijk op een speciale manier worden vastgehouden – zoals je je vingers op de gaatjes van een blokfluit hebt. Bovendien en dat geldt bijna nog meer voor het waskrijtstiftje, ‘stroopt’ dat over het papier en remt de schrijfbeweging. Ik weet het uit ervaring, want ik heb een keer met beide bij het schrijven gewerkt. Later ben ik overgestapt op het dikke kleurpotlood. Je hebt hiermee ook meteen gelegenheid vanaf het prilste begin het op de juiste wijze vasthouden van het potlood aan te leren.

***Wanneer Steiner iets uitlegt over het rekenen gebruikt hij ook wel papiersnippers en vlierbesjes. Beide lijken mij niet echt handig. Papiersnippers waaien overal heen en vlierbesjesrollen weg en worden op de grond vertrapt. Kastanjes zijn heel geschikt (wél verzamelen in de herfst als je er later in het jaar nog mee wil rekenen en niet te lang laten liggen – of goed droog opbergen – want ze gaan schimmelen). Grotere knopen, grindjes enz.
Als bijkomstigheid: Steiner wees er ooit eens op dat je voor de klas niet zo maar ‘nuttige’ voorwerpen ‘kapot’ moet maken. In concreto ging het om een krijtje dat je niet zou moeten breken (wat je vaak doet als het zo akelig krast).
Ik deed dat eens, waarop een meisje ‘geschokt’ uitriep: ‘O, meester breekt een krijtje!’ De ‘stukjes’ kun je natuurlijk ook knippen – dat is toch een ander gebaar.

[1] vertaald: 

.

!e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beweging: 1e klas

.

519-480

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (7)

.

REKENEN MOET PLEZIER GEVEN

rekenen moet plezier geven (2)

Aanwijzingen voor de klassenleerkracht bij het schriftelijk rekenen in de onderbouw

Wie geen bestaande opgaven gebruiken wil, maar er plezier in heeft, zelf sommen te ontwerpen die een mooie, grappige of interessante uitkomst hebben, heeft daarvoor veel tijd nodig.

Om de zaak wat te vereenvoudigen wil ik een paar aanwijzingen geven, hoe je in korte tijd opgaven maken kan, die een ‘mooi’ resultaat geven, een rond getal als 100 of 1000 of een regelmatige getallenrij als 111 of 1234 of het jaartal 1990 [het jaar waarin dit artikel werd geschreven].

Optellen en aftrekken
Klas 1 tot 2:
eerst oefenen we (mondeling en schriftelijk) het splitsen van een som:

som:  20 = 5 + 5 + 5 + 5
6 + 5 + 5 + 4
7 + 6 + 4 + 3       enz

Omdat er veel mogelijkheden zijn, worden de kinderen vindingrijk, voelen zich er vrij bij en kunnen verbazingwekkende regelmatigheden ontdekken!

Dan oefenen we het ‘schriftelijke hoofdrekenen’ en zeggen tegen de kinderen: ‘Begin bij 2 en tel er steeds 3 bij op. Wie geen fouten maakt, komt beslist bij 50!’ En de kinderen schrijven: 2, 5, 8, 11, 14, enz. tot 50
Later net zo bijv. met de 6 vanaf 4 tot 100 of met de 7 vanaf 2 tot 100: 2, 9, 16, 23 enz. tot 100.
Makkelijk vind je een geschikt begingetal zodat de opgave een mooie uitkomst heeft die loont.

Net zo kun je terug laten rekenen tot 1: ‘Begin bij 41 en trek er steeds 4 vanaf tot het niet meer gaat!”: 41, 37, 33, enz. tot 1
Ook door elkaar: ‘Begin bij 5, tel er 11 bij op en haal er 4 af, weer 11 erbij en 4 eraf, net zo lang tot je bij 100 bent!’ Dus: 5, 16, 12, 23, 19, 30 enz. tot 100.

Dit soort opdrachten maakt het voor de snelle rekenaar mogelijk verder dan het gestelde doel te gaan en het is ook geen ramp als de langzame rekenaar onderweg blijft steken.

Klas 2 tot 3
Nu iets moeilijker: de kinderen moeten oefenen er 39 bij op te tellen. Zelf vermenigvuldig je met 10: 390. Tot 1000 ontbreken er 610. Nu zeg je tegen de leerlingen: ‘Begin bij 610 en tel er steeds 39 bij op; wanneer je dit 10x gedaan hebt, moet je bij een mooi getal zijn gekomen. En de kinderen rekenen uit:

610     649     688                           961
+39     +39    +39     tot aan        +39
___     ___   ___                          ___
649    688    727                          1000

Dit principe kun je ook terug toepassen. Opnieuw 10 x 39 = 390 en tel er 1 bij op = 391. Nu luidt de opgave: ‘Trek van 391 zo lang 39 af, dat het niet meer gaat.’ Natuurlijk moet er 1 uitkomen. Je kunt er natuurlijk ook voor zorgen dat bv. het getal 5 overblijft, enz.

391          352          313                         40
-39           -39          -39     tot aan      -39
___       ___          ___                       ___
352          313         274                             1

Heel aardig is het met grotere getallen, wanneer het resultaat bv. 111 of 999 moet zijn of een andere mooie regelmatigheid. Je moet alleen maar het gewenste resultaat, bijv. 111 10 x bij het betreffende getal optellen, dus bv. met 398:  398 x 10 = 3890, dan 111 erbij = 4091

4091          3693                     509
-398            -398                    -398
3693         3295                      111

Wanneer je langere rijen wil samenstellen die als resultaat een mooi rond getal moeten hebben, moet je duo’s van 10-tallen maken:

56        of     26
34                 37
27                 54
63                 43
48                 78
72                 62
300           300

Hetzelfde geldt ook voor 100- en 1000-tallen.

‘Wanneer de leerkracht gelegenheid heeft deze 10-talpakketjes aan kleine, 10-jarige kinderen te laten zien, kan hij een wonder beleven: hoe ineens een zwakke rekenaar die er geen plezier in heeft, enthousiast wordt om ze te pakken te krijgen, hoe hij ze eruit pikt als rozijntjes, kortom hoe een kwelling een plezier wordt…..’, schrijft Karl Menninger in zijn boekje: ‘Rekenkneepjes’,[Duits].

Verder: we maken een berekening waarvan de uitkomst ‘mooi’ is: bv.

5678 – 1234 + 9876 – 5432 = 8888. Nu zeggen we tegen de kinderen: neem eens een getal van 4 cijfers, wat je maar wilt, tel er 5678 bij op, trek van het antwoord 1234 af, tel daarbij weer 9876 op  en trek nu het getal eraf dat jij had gekozen, dan komt er iets merkwaardigs uit.’
Iedereen heeft hetzelfde antwoord, 8888!

als huiswerk: ‘maak 3 tot 5 van deze opgaven met telkens een verschillend door jou gekozen getal!’

vermenigvuldigen
We nemen 2 of 3 getallen die samen 2000 zijn en het ’t liefst zo, dat er veel verschillende cijfers inzitten, bijv. 438 + 562 = 1000
Dan vermenigvuldigen de kinderen ieder getal met 2, tellen de uitkomsten op en krijgen als resultaat 2000.

438    keer 2 =   876                                                 438 keer 3 = 1314
 562    keer 2 = 1124                                                 562 keer 3 =  1686
1000 keer 2 = 2000                                             1000 keer 3 = 2000

Aardig is ook de som van de getallen – het kunnen er willekeurig veel zijn! zo te kiezen, dat ze samen 1111 zijn. Dan komt met het vermenigvuldigen met 2 het getal 2222, met 7  7777 als resultaat.

355   x 2 = 710                                                       355 x 7 = 2485
267   x 2 = 534                                                      267 x 7 = 1869
489    x 2 = 978                                                      489 x 7 = 3423
1111   x 2 = 2222                                                   1111 x 2 = 7777

Een zeer opmerkelijk voorbeeld staat in ‘Das Rechnen mit reinen Zahlen’ (Sauer/Bühler).
Vermenigvuldig de rij van 13 met 7, met 77, met 777 en tel de uitkomsten bij elkaar op.
In de kolommen, maar ook in de uitkomsten vind je wetmatigheden.

13          x 7          x 77          x 777
26         91          1001          10101
39        182        2002         20202
52        273       3003          30303
65       364       4004         40404
78       455       5005           50505
91       546       6006          60606
104     637       7007          70707
117      728       8008         80808
130     819       9009          90909
715    910      10010          101010
5005     55055      555555

Veel plezier geven ook de ‘negenspelletjes’: vermenigvuldig simpelweg de hele rij van 1 t/m 9 behalve de 8, met 9!

12 345 679    x 9   = 111 111 111
12 345 679   x 18 = 222 222 222
12 345 679   x 27 = 333 333 333  enz.

of omgekeerd:    111 111 111   : 9 = 12 345 679
222 222 222 : 9 = 12 345 679

of: 987 654 321  x  9  = 8 888 888 889 (de 9 komt achteraan)
987 654 321  x 9   = 17 777 777 778
987 654 321  x 9  =  26 666 666 667

hetzelfde ook omgekeerd (deling)

8 888 888 889 : 9 = 987 654 321

Opmerkelijke uitkomsten staan in ‘Mathematische Kurzweil'( Mittenzwey)

15 873  x   7  =   111 111                            95 679    x   8   =       765 432
823  x 15  =   12 345                         2 057 613 x   6   = 12 345 678
1929   x 64 = 123 456                       1 334 668 x 74  =  98 765 432

Hier horen ook de (bekendste) rekenhulpjes bij voor de rij van 5.
Omdat 5 de helft is van 10, rekenen we bv. 48 x 5  zo uit dat we 5 met 2 doen = 10 en 48 door 2 = 24, dus 240.      49 x 5 net zo, alleen 5 erbij = 245. Net zo met bv. 50 of 500.

15 = 10 + 5, dus rekenen we 48 x 15 zo uit dat we de helft van 48 nemen, 24, en dat bij 48 optellen, 72, en dat 10 x = 720. 49 x is dan 720 + 15 = 735!

25 is een kwart van 100. We rekenen 48 x 25 zo uit dat we een kwart van 48 nemen, 12, en dat x 100 = 1200. 49 x 25 = 1200 + 25 = 1225 en 51 x 25 = 1200 + 75 = 1275. Wanneer je dit onder de knie hebt, kun je ook met 125 vermenigvuldigen: je telt bijv. bij 48 een kwart, 12, op = 60 en dit 100x. Net zo simpel zijn vermenigvuldigingen met 250, 75 enz.

Dat je bij de rij van 11 de som van de beide getallen in het midden zet, is bekend:  25 x 11 [ik weet niet of dit zo bekend is, maar het gaat om 25 = 2 + 5 = 7; je ziet waarop het getal eindigt: 5, je hebt dus al  75 en nu is de vraag of je boven de 300 komt: nee, 10 x 25 = 250, dus 275
Bij bijv. 56 x 11 zijn 5 + 6 = 11, die 11 moet je niet meer optellen als 1 + 1, maar gewoon het laatste cijfer = 1 nemen, dat komt in het midden; het laatste cijfer is een 6; je komt wel boven de 600 uit: 616.

De vaardigheid in het vermenigvuldigen kun je nog opvoeren: je zoekt 2 getallenparen die samen 100 zijn; dus; a + b = 100  en c + d = 100.
Dan is (a + b)  x (c + d ) 100  x 100 = 10 000
(a + b)  x (c +d ) = ac + ad + bc + bd = 10 000
bv. a = 37; b = 63; c = 48; d =52.
Dan:    37 x 48 = 1776
48 x 63 = 3024
63 x 52 = 3276
52 x 37 = 1924
10 000

Neem je getallen met 3 cijfers dan komt er 1 000 000 uit!
628 + 372 = 1000                           628 x 438 =   275 064
438 + 562 = 1000                          438 x 372 =   162 936
372 x 562 =    209 064
562 x 628 =    352 936
                                                                    1000 000

delen
Voor je met de staartdeling begint, moet je het delen terdege oefenen, met opklimmende moeilijkheid: 24:2;  86: 2;  96: 3;  84: 4;  648:2.  Dan 36:2;  54:2; enz. 48:3;  87:3;  132:3  enz.
Deze techniek blijkt waardevol tot wel de rij van 12! Zoek ‘tovergetallen’ die door veel getallen deelbaar zijn, bv. 4 x 7 x 9 = 252 (deelbaar door 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12) of 5 x 7 x 8 x 9 x 11 = 27 720, is deelbaar door alle getallen van 2 t/m 12, net zoals het dubbele of het drievoudige ervan.
Mooie getallen krijg je door bv. 2 of 3 te potentiëren: 2 (tot de 12e) x 3 (kwadraat) = 36 864, deelbaar door alle getallen die samengesteld kunnen worden  uit 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2…………x 3 x 3. (dus: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32 enz.)
Als de staartdeling ingevoerd is, is het voor de zwakke rekenaar goed en tot grote steun, wanneer deze de vermenigvuldiging door deling terug maakt, omdat de uitkomst zichtbaar is en ook de rest weer verschijnt:

31  x 213                                                                 6603 : 31 =213
62                                                                        62 
31                                                                         40
93                                                                       31
       6603                                                                     93
93
0

Het beste is om eerst getallen te nemen met een lage eenheid, bv. 41, 52, 81 enz. Zo gauw de staartdelingtechniek beheerst wordt, is de deling hèt oefenterrein voor de 4 hoofdbewerkingen en wanneer je de delers met 2 cijfers kent, kun je snel naar 3 en 4 cijfers, waarbij je ‘tovergetallen’ kan maken: 123 x 234 x 345 = 9929790. dit getal kan door elk van de 3 getallen worden gedeeld en de uitkomst kan ook weer worden gedeeld, bv.

9 929 790 : 123 = 80 730;             80 730 : 234 = 345
9 929 790 : 234 = 42 435             42 435 : 345 = 123   enz.

Het ‘mooie’resultaat bestaat erin dat de deling uitkomt en dezelfde getallen steeds weer tevoorschijn komen! Een bijzonder iets dat de moeite loont, is de deling van grotere kwadraatgetallen, omdat de uitkomst hetzelfde getal vertoont als de deler!

654 x 654 = 427 716;         427 716 : 654 = 654

gemengde opdrachten
Om alle 4 de rekenbewerkingen bij elkaar te krijgen, heeft  Georg Hofmann (Erziehungskunst 1965 – 5/136) een mooie formule opgesteld die voor hele getallen, breuken en decimaalbreuken en negatieve getallen heel goed werkt: ( a  x a + a) : a -a = 1

Dus bv. 27 x 27 = 729 + 27 = 756; 756 : 27 = 28 – 27 = 1, waarbij de laatste stap bij hele getallen niet zo interessant is; alleen als controle; dat is bij de breuken anders.

Een mooi rekenvoorbeeld deelt Menninger mee (zie terug) : ‘tenslotte willen we nog de ‘Zaunkönig’ vangen. [ Een “Zaunkönig” is een winterkoninkje. Ik weet niet goed hoe dit verder te vertalen]

Hoe doen we dit. Alleen of nog mooier, met anderen, wie het eerst klaar is, op jacht: een rij getallen wordt genoemd die iedereen opschrijft: 17, 38, 4 , 3 25, 9. Die moeten door de 4 rekenbewerkingen met elkaar worden verbonden en wie daarbij het kleinste hele getal overhoudt, heeft het winterkoninkje gevangen. – De getallen mogen van plaats worden verwisseld; er mogen geen breuken in voorkomen, net zo min als het cijfer 0, behalve op het eind, natuurlijk; ook geen negatieve getallen. Ons geluk eens beproeven:

38 + 17 = 55; – 25 = 30; + 9 = 39; : 3 = 13; -4 = 9                     of

38 – 25 = 13; + 17 = 30; – 9 = 21:3 = 7; – 4 = 3
Is 3 het winterkoninkje?

[het valt op dat er geen vermenigvuldiging in voorkomt en in het eerste vb. geen deling; volgens mij moet je dit heel goed afspreken met de kinderen ]

Wordt vervolgd met een bijdrage over de breuken.

[de schrijver van het artikel noemt alleen klas 1/2 en 2/3. Naar mijn ervaring staan hier opgaven in die voor een 3e klas nog te moeilijk zijn; je bent natuurlijk vrij om te kijken wat voor jouw klas geschikt is]

Martin keller in Erziehungskunst 54e jrg. nr. 11 1990

rekenen moet plezier geven (2)

1e klas: rekenen: alle artikelen  

1e klas: alle artikelen

 

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas

 

143-137

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.