Tagarchief: rekenen 2e klas

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas (4)

.

REKENEN EN WISKUNDE


Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt(milieu-problematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar
In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen*, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

Klas 2

Leerstof:
—    Ritmische teloefeningen. Tellen tot 1000 of verder.
—    Tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 12. Opteltafels en aftrektafels t/m 20 of 24.
—    Het verdelen tot 100.
—    Hoofdrekenen: vier hoofdbewerkingen tot rond 100.
—    Schriftelijke opgaven.

Werkvormen:
—    Ritmische klap en stampoefeningen* worden nu mooi afgewerkt (zie voorbeeld). De tafels van vermenigvuldiging die in de eerste klas nog niet werden aangeleerd hoeven in de tweede klas niet per se even uitvoerig vanuit de beweging te ontstaan (zie voorbeeld).
—    Het verdelen tot ongeveer honderd kan aangeleerd worden via het globale hoofdrekenen. Daarna uit het hoofd en op papier (niet in cijfervorm).
—    Hoofdrekenen met vingers, klassikaal, de leerkracht maakt het spannend en grappig. Vanuit het klassikale rekenen in koor wordt geïndividualiseerd.
—    In de tweede hoeft niet veel schriftelijk werk gemaakt te worden. Het weinige echter wordt heel zorgvuldig gedaan. Het mag geen ‘lopende band’ werk zijn (zie voorbeelden).

Iets over de tweede klas

Een mooie oefening
De kinderen staan achter hun stoeltjes. De leerkracht vraagt hen één keer te stampen*. Tsja, dat moet nog eens over, want het was een rommeldestommel. Zij kijken je aan hoe je het nu vindt. Een keer, nu was het één reuze boems die wegsterft en dan stilte daarna. Ja, dat is de EEN. Dan twee stampen, duidelijk neergezet in de ruimte, in de tijd. Dan drie… Straks vier, roept er een. Straks honderd! De kinderen lachen. Maar die eerste EEN is onvergetelijk. Eén boems – twee boemzen, – drie. Maar 100? Nee, geen 100. Voor de kinderen dus liever terug naar de één:                                                 1    2    1

Dat is een afgerond geheel. Je verleidt de kinderen dan niet tot een overmoedige Hochstapelei. Dan

1   2   3   2  1

zeggen wij tot 5, dus 1 2 3 4 5 4 3 2 1 en tot slot klinkt weer die één, maar nu als afsluiting. Deze oefening is gemakkelijk te hanteren als men bij de één een stap naar voren maakt, bij de twéé twee stappen achterwaarts, de drie weer naar voren en zo verder. Men moet dan een kleine leefruimte voor en achter hebben. De hele ronde resulteert, als het goed is, in één stap voorwaarts. Men kan de oefening ook zuiver acoustisch doen.

Voor het schriftelijk werk kunnen wij diezelfde oefening gebruiken. Wij laten de kinderen de 1 opschrijven, de 1    2    1, de 1   2   3   2   1, mooi groot, met een flinke afstand tussen de cijfers. Er zal dan zoiets komen als:

 1

1   2    1

1   2   3   2   1

Nu moeten de kinderen leren dat als je zoiets opschrijft het mooi moet zijn, echt mooi. Zó, dat die ‘som’ een mooi gezicht heeft. Zoals het hierboven is aangegeven, heeft de som geen eigen gezicht. Neem de tijd: de kinderen komen wel op andere vormen. En wij kiezen:

1

1    2    1

1   2   3   2   1

1   2   3   4   3   2   1

1   2   3   4   5   4   3   2   1

Rudolf Steiner was er zeer op gesteld, dat de vorm, waarin het vraagstuk wordt opgeschreven, het oplossen van een vraagstuk, de gang van de bewerkingen weergeeft.

Hoeveel keer hebben we nu met elkaar gestampt? Hoeveel boemzen zijn dat nou? De totalen worden er niet tegenaan geplakt, maar komen achteraan netjes onder elkaar te staan.

In de tweede klas kennen de kinderen de eenvoudige kwadraten. Bij deze oefening zijn er leerlingen, die onder de uitkomsten rechts al de 36 schrijven en de 49. Schoonheid, vreugde in kleine ontdekkingen, en vooral de wilsinzet van de kinderen, het dòen. Doen wil hier zeggen: lopen, stampen, klappen, in koor reciteren.

Eén ding, dat stampen van die 1 2 3 4 5 4 3 2 1, dat klonk nog wat erg martiaal, het is eigenlijk puur maat. Het kan ritmischer, muzikaler, kunstzinniger. Wij beginnen weer met de grote één, onmiddellijk gevolgd door twee rustige slagen, direct aansluitend de vluggere drie, sneller de vier, de vijf als een tromgeroffel, terugnemend de vier, weer langzamer de drie, de twee slagen, en afsluitend de één… een accelerando-ralentando. Uit de één rolt met donderend geweld een machtige golf om zich aan het einde weer samen te ballen. In de EEN.’

Hoofdrekenen in de globale vorm (1e, 2e en 3e klas)

Laten zien ————— » zeven!

Natuurlijk ook in andere combinaties 3 + 4. Kan in koor, kan individueel, men zou het antwoord kunnen laten stampen. Na een tijdje kan men het zichtbare rekenen aanvullen: wij laten 8 vingers zien en vragen: hoeveel heb ik er nu verstopt? Dus het aanvullen tot 10.

Dit is globaal rekenen tot 100. Uitbreiding: 8 vingers = 80, aanvulling = 20. Als ik nu die 80 er nog eentje bij geef, dus niet 80 maar 81, dan gaat dan van die 20 af, 19.
Dit is een goede remedie tegen het veel voorkomende euvel 81 ——29, of 66 —— 44.

In 3 de globale 1000, zodat de kinderen daarbinnen zich vlot leren bewegen.

binnenstebuiten blz 73

De tafels van vermenigvuldiging

Zoals men niet alle letters kan behandelen van het beeld uit, maar een aantal letterbeelden exemplarisch behandelt en de overige letters op de autoriteit als leerkracht brengt, zo kan men ook niet aan alle tafels zo veel tijd besteden. Op een goede dag schrijft de leerkracht de tafel van 8 op het bord. Hoe? In ieder geval niet in de vorm:

1 x 8   =   8
2 x 8   =  16
Wij moeten werken van het geheel naar de delen. Dus de tafel in de elders ongebruikelijke vorm:

8   =     1 x 8
16   =   2   x   8

Nog consequenter is het van de hele tafel uit te gaan, dus van de 96:
96   =   12**   x   8
88   =   11   x   8

Introduceert men nu de tafel van 8 op het bord, dan schrijft men eenvoudigweg op:
96
88
80

Dan samen bekijken. Wat zou 96 zijn? Wie kan de 10 x 8 vinden. De 40? Ja, die 8 en die 16 die weten we wel. En de 88? Morgen gaan wij daarmee verder. En morgen pakken wij het wat steviger aan:

In koor:        96   –   88   –   80   –   …………………………

en terug:       8   –   16   –   24   –   ………………………….

Dan verder invullen:
die              96        dat was de                 12 x 8
de               80                                             10 x 8
wacht           8        juist!                             1 x 8
16                                              2 x 8
dan ook     24                                              3 x 8
80      was                              10 x 8
ha!              88                                            11 x 8    men pikt dus de bekende eruit.

Als alles op het bord ingevuld is, in koor het rijtje langs. Het is nu zaak, dat de kinderen die getallen herkennen:

is 40 er bij?                                                                                  ja
is 48 er bij?                                                                                  ja!
de… 80?                                                                                        ja!
de… 81?                                                                                        nee
O, dan 82?                                                                                   neee!
83?                                                                                                neeee!
acht-en-tachtig?                                                                         jaaa!

We bekijken samen die rij eens op een andere manier. Het is een wonderlijke familie. Wie ziet iets bijzonders? Het is merkwaardig zo veel als de kinderen dan opmerken, en merkwaardig welk kind wàt opmerkt. Een kleine bloemlezing: allemaal even,
de tafel van twee! (de eenheden: 72, 64 ,56………………………… )
de 6 van 96 en de 6 van 64, zo’n ‘vondst’ wordt door de klas naar de waarde geschat, de tientallen: 1,   2,   3,   4, – – 5 eigenlijk twee vieren – –

Men brengt er het gesprek op welke zij van deze getallen de mooiste vinden en de klas wil ook graag horen waarom: de 88 — twéé achten is ook wel erg mooi… de 80 — de 8 zelf — de 40 — een enkele kiest 64. Dat is een doordenkertje.

Er moet altijd wat te beleven zijn in de rekenles. Vreugde, spontaniteit, dat zijn de uitgangspunten. Op het bord staat nog de 96 tot 8. De kinderen reciteren eerst alleen maar de getallen. Een aantal van hen neemt dat snel op. En de rest… hangt er wat aan. Ze doen wel mee, maar er is geen sprake van dat ze de getallen nu kennen. Ze lezen ze nog van het bord op en zelfs dat gaat niet vlot.

De leerkracht zegt: ‘Vandaag kinderen wordt het menens. Wij doen de tafel van 8, maar nu uit het hoofd.’ De getallenrij staat levensgroot op het bord, maar hij gaat er vierkant vóór staan. Tijdens de recitatie loopt hij geheel verdiept in het maat-slaan 96 – 88 – 80 –naar voren, zodat de tafel weer zichtbaar wordt, hij merkt natuurlijk niet, dat er een paar kinderen gniffelen en begrijpt niet waarom de klas tenslotte juicht: – – 48 – 40 – 32 — Er wordt door de kinderen nog lang nagepraat of dat nu wel echt een vergissing was. Of was het misschien toch opzet. ‘En nu uit het hoofd.’ De leerkracht wist de tafel met een droge wisser uit maar zo dat die nog net zichtbaar blijft. Hilariteit, een ieder, ook de knappe, probeert het toch te lezen. En tuurt en tuurt naar de tafel van 8. Dan krijgen wij ook het door elkaar aanwijzen van getallen. Nemen wij de tafel van 6.

72                     Natuurlijk eerst de gemakkelijk, en zo nu en dan, met een
66                     gezicht van weten jullie dat werkelijk al, een moeilijke.
60                     Al gauw gaat dat o zo mooi. De klas zingezangt: zes en dertig
54                     is zes maal zes, enz. Probeer nu eens
48                     twee-en veertig is…..
42                    zes-en-vijftig is…….
36                    twee-en-veertig is……
30                    zes-en-vijftig is…….
24                     twee en ……
18                     dan blijkt de klas dat niet te merken. De groep deint voort.
12                     Zalig.
6                       Dan zie je een paar vluggen met pretoogjes — een grinneken — een zich verkneuteren —
De flegmatici merken, dat er iets aan de hand is, iets om te lachen, maar om wat? Dat intigreert een flegmatisch kind, het wordt klaar wakker. En wij als leraar worden ook wakker. Zo in de groep leren de meeste kinderen weinig of niets. Daarom, voorzichtig aan, differentiëren.

Differentiatie, enkele suggesties:

—   per rij, de andere twee rijen letten precies op of het wel klopt.
—   1e rij 60 is — 2e rij 54 is — de 3e rij 48 is —
1e rij 42 is, daar moet je wel goed met je hersens bij zijn.
—   een kind de getallen laten aanwijzen, klas antwoordt, of een kind wijst aan en telkens antwoordt een klasgenootje dat de beurt krijgt. Er zijn leerlingen die dat met grote zorg doen, de moeilijke getallen voor de knappe rekenaars, de gemakkelijke voor de langzame.
—   Als wij de getallen niet de rij af onder elkaar maar door elkaar op het bord schrijven, zijn er weer heel andere mogelijkheden, bijv. laten uitvegen in de goede volgorde. Alle kinderen zijn dan als de kippen erbij als het niet volgens het rijtje gaat.
—   Wij zijn in het algemeen niet voor wedstrijden, maar zo’n enkel keertje, twee rekengladiatoren, ieder op een eigen zwart bord de door elkaar-tafel in volgorde laten uitvegen is toch wel erg spannend (zeker voor een 3e). Hoei, als er dan ergens gesmokkeld wordt.
—   Rudolf Steiner geeft aan, als een flegmatisch kind iets uitveegt, dan blijft een sterk beeld in het kind achter.

Als wij een tafel opschrijven, dan ook midden op het blad, goed van verdelingen, precies. Wij moeten bedenken dat, ook al dansen en springen wij in de rekenles, de ondergrond van het rekenen heel streng is. Denk aan alle getalverhoudingen in de natuurkunde- en scheikundeformules, de ijzeren wetten van de mechanica. Als wij alleen maar de getallenrij van 96 tot 8 opschrijven, kan in een tweede best besproken worden, waar die 8 hoort te staan, onnadenkend onder de 1 van de 16, of al was het maar om die omgekeerde tafel van 2 te laten zien, onder de 6 van de 16. Schrijven wij de tafel voluit, dan moeten wij weer opletten

80   =   10   x   8
72   —     9   x   8,

en bij de tafel van 10, 11 of 12, daar wordt het helemaal uitkijken. Je zou kunnen zeggen een goede voorbereiding voor het cijferen. Maar daar is het hier eigenlijk niet om begonnen. Mooi en goed is op deze leeftijd hetzelfde.

De tafels worden met kleurpotlood geschreven. Enige versiering kan ook heel mooi zijn. De leerlingen moeten zich echter daar niet te veel in uitleven. De versiering mag de tafels of het andere werk niet overwoekeren.

Sterrendans

Nadat de tafel van drie in de eerste klas sterk bewegend is geoefend, kunnen de tweede klassers deze getallenreeks omvormen tot een ster! De voorbereiding is als volgt:

Alle kinderen gaan in een lange rij staan. Eén kind echter loopt langs de rij en blijft staan bij elk derde kind. Verschillende kinderen mogen dit oefenen.

Nu gaan er tien kinderen in een cirkel staan en de anderen vormen een halve maan erom heen.

De leerkracht heeft een grote zak met getallen en de kinderen in de kring krijgen ieder een getal uit de zak.

bb 76 1

Nummer 1, wat ben je nu? Ik? elf? We tellen door tot 100.

Daarna vraag ik wie er nu langs ‘de drietjes’ (de getallen van de tafel van 3′ wil lopen. Verschillende kinderen krijgen een beurt.

Het is moeilijk! De kinderen hebben geen ruimtelijke voorstelling omdat ze zich moeten concentreren op de getallenreeks. Ze lopen steeds tot 12 x 3 en dan weer terug.

Als eigenlijk alle kinderen dit goed kunnen, doen we hetzelfde met een koort van dikke rode wol. Het rondlopende kind zwijgt en geeft het koord telkens aan het kind op de derde plaats. Het kind dat het ontvangt pakt het stevig vast en zegt met duidelijke stem zijn getal. Bij de dertig is er een prachtige ster gevormd.***

bb 76 2

 Nu beginnen de ‘sterrenkinderen’ te zingen en te bewegen. Aldus:

De sterre gaat hoog
De sterre gaat laag
De sterre draait rond
De sterre staat hoog aan de hemel hoog
En draait dan weer terug naar de grond
Dan draait de ster!

Bij deze sterredans komt het op samenwerking aan. De ster mag tijdens het lied niet uit het verband getrokken worden. Het is een hele prestatie als dit in een tweede klas lukt.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985)
.

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**12 is een mooi, rijk getal. Maar wij leven in een tijd met een tientallig stelsel. De ’10’ is straks- met alle volgende nullen, een belangrijk getal. De tafel bij 10 eindigen is m.i. daarom logischer: je legt al doende de nadruk op dit kerngetal, wat je niet doet als je de 12 neemt. Dat wil niet zeggen dat je met een tafel niet verder kunt gaan dan 10, maar dan kan het ook 13, 14 enz. zijn.

***dankzij het 10-tallig stelsel!

.

2e klas rekenen: alle artikelen

2e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 2e klas        tafelsterren

.

521-481

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Advertenties

VRIJESCHOOL – Rekenen (3-1)

.

TAFELS VANAF KLAS 2 EN HOGER

Welk kind heeft niet al eens gefascineerd voor het lopende telwerk van een gasmeter gestaan? Wat liepen die lagere cijfers flink door, dat was mooi! De tweede rij liep wat houterig. En dan de hogere plaatsen. Daar leek de beweging wel bevroren; dat die af en toe versprongen leek wel op een vage herinnering.

Iets van het wezen van de getallen is het kind aan dit telwerk wel duidelijk geworden. Zo is het echt: op de hoge plaatsen lijken de cijfers te stollen en daar worden ze tot een aanzienlijke hoeveelheid; hier voel je je in je hoofd aangesproken. Bij de lagere plaatsen – en pas goed bij de eenheden zelf – is het cijfer heel beweeglijk en grijpt je in de wil.

Als het ons lukt de brug van het ene naar het andere te slaan en innerlijke wetmatigheden zichtbaar te maken, dan hebben we veel voor een levendig begrijpen gewonnen.

Het ligt in de aard der zaak zelf, dat we bij de ‘levendige getallen’, bij de eenheden beginnen en eerst achter hun beweging zien te komen.

Zo’n weg werd al eens beschreven.*
[de auteur, Joachim Hein, heeft hier de cirkel van bv. de tafel van 3, zo verdeeld:

rekenen 7

Zichtbaar worden zo ook meteen de relaties van de cijfers: bij 4 staat 12, 4 x 3 = 12 enz.]

Dus: als eenmaal de ster is ontstaan in de cirkel met de cijfers, bovenaan beginnend: 0, naar rechts, 1, 2, 3 enz. worden nu op de sterpunten de cijfers van de tafel van 3 gezet: bovenaan beginnend: 0, naar rechts: 3, 6, 9 enz.

Zo ontstond bv. bij 1 x 3 de ster uit de verbindingslijnen 21 – 12 – 3 – 24 – 15 – 6 – 27 – 18 – 9 -30 (- 21)

Hoe komen we nu aan de ‘andere kant’ [de linker kant van het gastelwerk] van de getallen, bij de hogere plaatsing. We moeten hier in de gaten houden hoe de bewegingen van de eenheden enerzijds, anderzijds die van de tientallen (en honderdtallen) in elkaar grijpen.

Laten we eens kijken naar de rij van de kleine tafel en schrijf in ‘torenvorm’ onder elkaar:

rekenen 8

Dan is het makkelijk te zien: daar waar het tiental erbij komt, moeten de eenheden wat weggeven van hun groei! Dit kunnen we verduidelijken door een pijltje. De pijltjes wijzen naar voren met het groter worden en terug bij het minder worden ( het offer) van de cijfers.

Het is goed dat het aan de kinderen zeer duidelijk wordt: het kleinere moet wat weggeven, opdat het grotere verder kan. Op deze manier kunnen ze iets moreels aan de wereld van de getallen ervaren.
[voor de moraliteit zou je eerder denken dat wie meer heeft ook meer kan weggeven**]

Maar ook voor de praktijk van het rekenen is er veel gewonnen. De moeilijkheden bij het rekenen met de grotere tafels duikt op, omdat de verdeling in eenheden en tientallen niet bewust gemaakt wordt: wanneer je die eenmaal  begrepen hebt, wordt de overgang van de kleine naar de grote tafel makkelijk gevonden.

Want dezelfde wetmatigheid die we zagen bij de simpele rij geldt ook voor de grote tafel.

Om dit te laten zien schrijven we de twee rijen naast elkaar:

rekenen 9

Nu zie je de dubbele sprong van het tiental ook als enkele sprong bij de kleine tafel.
Wanneer je oefent om de beweging van de eenheid en van het tiental innerlijk van elkaar gescheiden te houden, in zekere zin ‘met twee handen  te spelen’ dan kan de anders wel eens zo verwarde grote tafel tot plezier worden.

Een groep van onze vierde klas raakte bij zo’n oefening met 1 x 6 en 1 x 16 zo enthousiast, dat die ook nog 1 x 26 wilde opzeggen en het kwam er zonder fouten in koor uit. Toen vroegen de kinderen nog met glinsterogen om 1 x 36 en dat ging ook. Toen vroegen ze de leerkracht om 1 x 46 – ook die adembenemende hindernis werd in keer genomen – tot ze het bij 1 x 66 wel genoeg was.

Het zijn wel de meest bevredigende uren, wanneer zo het enthousiasme voor de wereld van de getallen ontwaakt.

Ik wijs er nog op dat deze manier van met de tafels werken, de leerstof makkelijker kan maken. Wanneer de cijferrij van 1 x 3 en 1 x 4 goed in het geheugen verankerd zijn, dan heb je eigenlijk alles al, want de rij van 2 is in ieder geval gemeengoed en de rijen van 1 x 7 en 1 x 6 zijn simpelweg de omkeringen van 1 x 3 en 1 x 4.

rekenen 10

De rijen van de grote tafels sluiten zich hierbij aan, zoals boven getoond.

Onze oefenmethode deed ook een beroep op optellen en aftrekken:

Deze rekenbewerkingen moeten elkaar over en weer ondersteunen!

Vanzelfsprekend moet je ook van de ene rij naar de andere overstappen, eens kijken hoe de rij van 2 in die van 6 zit enz.

Het is ook goed om afsluitend de veelheid van de rijen in één beeld te kunnen overzien. Heel stimulerend kan het zijn om met een getallenvierkant te werken: het staat hier symmetrisch op een punt om tegemoet te komen aan het in het rekenen werkzame evenwichtszintuig, dat ook aangesproken wordt bij de vrij te vormen symmetrie-oefeningen (vormtekenen).

rekenen 11

Wanneer de tafelrijen er eenmaal samen staan, verlenen ze veel mooie inzichten. Zo, bv. de rij vertikaal in het midden, de getallen zijn het snijpunt van alle paarsgewijs lopende diagonale rijen: het zijn de kwadraten.

De middelste horizontale rij is gespiegeld. Vertikaal spiegelen de rijen zich ook. Vanuit de middenvertikaal spiegelen zich de getallen zich ook horizontaal.

Ga je uit van de midden-25 dan kun je eromheen getallenvierkanten vinden.

Die 4 hoekgetallen daarvan zijn opgeteld 100, evenals 4 x 25.

Nu komt het eropaan zakelijk verder te gaan om door het hele vierkant niet in de war te raken.

Met de klok mee zoeken we de getallen in het steeds groter wordende vierkant. De getallen ervan zijn samen steeds 100.

Het is aan te raden de getallen in het vierkant met een bepaalde kleur te kleuren en deze kleur ook te gebruiken voor het opschrijven van de getallen. Dan wordt alles ook nog helderder.

Nu kunnen de kinderen iets van de orakelspreuk ervaren: ‘Niets is binnen, niets is buiten. Want alles wat binnen is, is ook buiten’ en met eerbied en betrokkenheid opkijken.naar de wereld van de getallen.

Aanvulling:
Hieronder een paar voorbeelden van ‘in kleur’. Het kan heel mooi worden.

Je kunt hem ook op het bord tekenen en iedere dag een of meer vierkanten  ( de vier getallen die samen 100 zijn)  door een kind laten kleuren.

rekenen 12

rekenen 13

[de figuur met de lijnen  staat niet in het artikel van Hein;
die draagt het gevaar in zich te ‘rommelig’ te worden.

Wanneer je dit vierkant op een groot vel papier zou (laten) tekenen, is het minder chaotisch om aan te zien en voor de kinderen een hele uitdaging om het mooi te krijgen.]

Joachim Hein in ‘Erziehungskunst’ 19e jrg. nr.10 1955
*J.Hein: Aus dem Rechenunterricht der 2.Klasse. ‘Erziehungskunst’, nr 8. 1953.
.

[** Op de vrijeschool Den Haag werkte destijds toen ik er begon, Oscar Klinkenberg. Hij coachte jongere leerkrachten en wij discussieerden er eens over of het  ‘lenen bij het aftrekken’ wel een juiste benaming was.
Oscars mening was dat de kern van lenen is, dat je ook teruggeeft en bij het aftrekken is daarvan geen sprake.
In de som 35 – 8:  8 van de 5 gaat niet; eens vragen bij de buurman ( dus bij de 30), of die er geen wil missen. Jawel, die geeft er 1 (=10). Nu is 5 gegroeid tot 15 en nu kan de 8 er wèl af; de 30 is 20 geworden).
Ik heb het woord ‘lenen’ bij het aftrekken na verloop van tijd uit mijn ‘rekenwoordenboek’ geschrapt.]

tussen [ ] : opmerkingen van mij

2e klas: tafels

2e klas rekenen: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 2e klas

.

171-162

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas (7)

.

REKENEN MOET PLEZIER GEVEN

rekenen moet plezier geven (2)

Aanwijzingen voor de klassenleerkracht bij het schriftelijk rekenen in de onderbouw

Wie geen bestaande opgaven gebruiken wil, maar er plezier in heeft, zelf sommen te ontwerpen die een mooie, grappige of interessante uitkomst hebben, heeft daarvoor veel tijd nodig.

Om de zaak wat te vereenvoudigen wil ik een paar aanwijzingen geven, hoe je in korte tijd opgaven maken kan, die een ‘mooi’ resultaat geven, een rond getal als 100 of 1000 of een regelmatige getallenrij als 111 of 1234 of het jaartal 1990 [het jaar waarin dit artikel werd geschreven].

Optellen en aftrekken
Klas 1 tot 2:
eerst oefenen we (mondeling en schriftelijk) het splitsen van een som:

som:  20 = 5 + 5 + 5 + 5
6 + 5 + 5 + 4
7 + 6 + 4 + 3       enz

Omdat er veel mogelijkheden zijn, worden de kinderen vindingrijk, voelen zich er vrij bij en kunnen verbazingwekkende regelmatigheden ontdekken!

Dan oefenen we het ‘schriftelijke hoofdrekenen’ en zeggen tegen de kinderen: ‘Begin bij 2 en tel er steeds 3 bij op. Wie geen fouten maakt, komt beslist bij 50!’ En de kinderen schrijven: 2, 5, 8, 11, 14, enz. tot 50
Later net zo bijv. met de 6 vanaf 4 tot 100 of met de 7 vanaf 2 tot 100: 2, 9, 16, 23 enz. tot 100.
Makkelijk vind je een geschikt begingetal zodat de opgave een mooie uitkomst heeft die loont.

Net zo kun je terug laten rekenen tot 1: ‘Begin bij 41 en trek er steeds 4 vanaf tot het niet meer gaat!”: 41, 37, 33, enz. tot 1
Ook door elkaar: ‘Begin bij 5, tel er 11 bij op en haal er 4 af, weer 11 erbij en 4 eraf, net zo lang tot je bij 100 bent!’ Dus: 5, 16, 12, 23, 19, 30 enz. tot 100.

Dit soort opdrachten maakt het voor de snelle rekenaar mogelijk verder dan het gestelde doel te gaan en het is ook geen ramp als de langzame rekenaar onderweg blijft steken.

Klas 2 tot 3
Nu iets moeilijker: de kinderen moeten oefenen er 39 bij op te tellen. Zelf vermenigvuldig je met 10: 390. Tot 1000 ontbreken er 610. Nu zeg je tegen de leerlingen: ‘Begin bij 610 en tel er steeds 39 bij op; wanneer je dit 10x gedaan hebt, moet je bij een mooi getal zijn gekomen. En de kinderen rekenen uit:

610     649     688                           961
+39     +39    +39     tot aan        +39
___     ___   ___                          ___
649    688    727                          1000

Dit principe kun je ook terug toepassen. Opnieuw 10 x 39 = 390 en tel er 1 bij op = 391. Nu luidt de opgave: ‘Trek van 391 zo lang 39 af, dat het niet meer gaat.’ Natuurlijk moet er 1 uitkomen. Je kunt er natuurlijk ook voor zorgen dat bv. het getal 5 overblijft, enz.

391          352          313                         40
-39           -39          -39     tot aan      -39
___       ___          ___                       ___
352          313         274                             1

Heel aardig is het met grotere getallen, wanneer het resultaat bv. 111 of 999 moet zijn of een andere mooie regelmatigheid. Je moet alleen maar het gewenste resultaat, bijv. 111 10 x bij het betreffende getal optellen, dus bv. met 398:  398 x 10 = 3890, dan 111 erbij = 4091

4091          3693                     509
-398            -398                    -398
3693         3295                      111

Wanneer je langere rijen wil samenstellen die als resultaat een mooi rond getal moeten hebben, moet je duo’s van 10-tallen maken:

56        of     26
34                 37
27                 54
63                 43
48                 78
72                 62
300           300

Hetzelfde geldt ook voor 100- en 1000-tallen.

‘Wanneer de leerkracht gelegenheid heeft deze 10-talpakketjes aan kleine, 10-jarige kinderen te laten zien, kan hij een wonder beleven: hoe ineens een zwakke rekenaar die er geen plezier in heeft, enthousiast wordt om ze te pakken te krijgen, hoe hij ze eruit pikt als rozijntjes, kortom hoe een kwelling een plezier wordt…..’, schrijft Karl Menninger in zijn boekje: ‘Rekenkneepjes’,[Duits].

Verder: we maken een berekening waarvan de uitkomst ‘mooi’ is: bv.

5678 – 1234 + 9876 – 5432 = 8888. Nu zeggen we tegen de kinderen: neem eens een getal van 4 cijfers, wat je maar wilt, tel er 5678 bij op, trek van het antwoord 1234 af, tel daarbij weer 9876 op  en trek nu het getal eraf dat jij had gekozen, dan komt er iets merkwaardigs uit.’
Iedereen heeft hetzelfde antwoord, 8888!

als huiswerk: ‘maak 3 tot 5 van deze opgaven met telkens een verschillend door jou gekozen getal!’

vermenigvuldigen
We nemen 2 of 3 getallen die samen 2000 zijn en het ’t liefst zo, dat er veel verschillende cijfers inzitten, bijv. 438 + 562 = 1000
Dan vermenigvuldigen de kinderen ieder getal met 2, tellen de uitkomsten op en krijgen als resultaat 2000.

438    keer 2 =   876                                                 438 keer 3 = 1314
 562    keer 2 = 1124                                                 562 keer 3 =  1686
1000 keer 2 = 2000                                             1000 keer 3 = 2000

Aardig is ook de som van de getallen – het kunnen er willekeurig veel zijn! zo te kiezen, dat ze samen 1111 zijn. Dan komt met het vermenigvuldigen met 2 het getal 2222, met 7  7777 als resultaat.

355   x 2 = 710                                                       355 x 7 = 2485
267   x 2 = 534                                                      267 x 7 = 1869
489    x 2 = 978                                                      489 x 7 = 3423
1111   x 2 = 2222                                                   1111 x 2 = 7777

Een zeer opmerkelijk voorbeeld staat in ‘Das Rechnen mit reinen Zahlen’ (Sauer/Bühler).
Vermenigvuldig de rij van 13 met 7, met 77, met 777 en tel de uitkomsten bij elkaar op.
In de kolommen, maar ook in de uitkomsten vind je wetmatigheden.

13          x 7          x 77          x 777
26         91          1001          10101
39        182        2002         20202
52        273       3003          30303
65       364       4004         40404
78       455       5005           50505
91       546       6006          60606
104     637       7007          70707
117      728       8008         80808
130     819       9009          90909
715    910      10010          101010
5005     55055      555555

Veel plezier geven ook de ‘negenspelletjes’: vermenigvuldig simpelweg de hele rij van 1 t/m 9 behalve de 8, met 9!

12 345 679    x 9   = 111 111 111
12 345 679   x 18 = 222 222 222
12 345 679   x 27 = 333 333 333  enz.

of omgekeerd:    111 111 111   : 9 = 12 345 679
222 222 222 : 9 = 12 345 679

of: 987 654 321  x  9  = 8 888 888 889 (de 9 komt achteraan)
987 654 321  x 9   = 17 777 777 778
987 654 321  x 9  =  26 666 666 667

hetzelfde ook omgekeerd (deling)

8 888 888 889 : 9 = 987 654 321

Opmerkelijke uitkomsten staan in ‘Mathematische Kurzweil'( Mittenzwey)

15 873  x   7  =   111 111                            95 679    x   8   =       765 432
823  x 15  =   12 345                         2 057 613 x   6   = 12 345 678
1929   x 64 = 123 456                       1 334 668 x 74  =  98 765 432

Hier horen ook de (bekendste) rekenhulpjes bij voor de rij van 5.
Omdat 5 de helft is van 10, rekenen we bv. 48 x 5  zo uit dat we 5 met 2 doen = 10 en 48 door 2 = 24, dus 240.      49 x 5 net zo, alleen 5 erbij = 245. Net zo met bv. 50 of 500.

15 = 10 + 5, dus rekenen we 48 x 15 zo uit dat we de helft van 48 nemen, 24, en dat bij 48 optellen, 72, en dat 10 x = 720. 49 x is dan 720 + 15 = 735!

25 is een kwart van 100. We rekenen 48 x 25 zo uit dat we een kwart van 48 nemen, 12, en dat x 100 = 1200. 49 x 25 = 1200 + 25 = 1225 en 51 x 25 = 1200 + 75 = 1275. Wanneer je dit onder de knie hebt, kun je ook met 125 vermenigvuldigen: je telt bijv. bij 48 een kwart, 12, op = 60 en dit 100x. Net zo simpel zijn vermenigvuldigingen met 250, 75 enz.

Dat je bij de rij van 11 de som van de beide getallen in het midden zet, is bekend:  25 x 11 [ik weet niet of dit zo bekend is, maar het gaat om 25 = 2 + 5 = 7; je ziet waarop het getal eindigt: 5, je hebt dus al  75 en nu is de vraag of je boven de 300 komt: nee, 10 x 25 = 250, dus 275
Bij bijv. 56 x 11 zijn 5 + 6 = 11, die 11 moet je niet meer optellen als 1 + 1, maar gewoon het laatste cijfer = 1 nemen, dat komt in het midden; het laatste cijfer is een 6; je komt wel boven de 600 uit: 616.

De vaardigheid in het vermenigvuldigen kun je nog opvoeren: je zoekt 2 getallenparen die samen 100 zijn; dus; a + b = 100  en c + d = 100.
Dan is (a + b)  x (c + d ) 100  x 100 = 10 000
(a + b)  x (c +d ) = ac + ad + bc + bd = 10 000
bv. a = 37; b = 63; c = 48; d =52.
Dan:    37 x 48 = 1776
48 x 63 = 3024
63 x 52 = 3276
52 x 37 = 1924
10 000

Neem je getallen met 3 cijfers dan komt er 1 000 000 uit!
628 + 372 = 1000                           628 x 438 =   275 064
438 + 562 = 1000                          438 x 372 =   162 936
372 x 562 =    209 064
562 x 628 =    352 936
                                                                    1000 000

delen
Voor je met de staartdeling begint, moet je het delen terdege oefenen, met opklimmende moeilijkheid: 24:2;  86: 2;  96: 3;  84: 4;  648:2.  Dan 36:2;  54:2; enz. 48:3;  87:3;  132:3  enz.
Deze techniek blijkt waardevol tot wel de rij van 12! Zoek ‘tovergetallen’ die door veel getallen deelbaar zijn, bv. 4 x 7 x 9 = 252 (deelbaar door 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12) of 5 x 7 x 8 x 9 x 11 = 27 720, is deelbaar door alle getallen van 2 t/m 12, net zoals het dubbele of het drievoudige ervan.
Mooie getallen krijg je door bv. 2 of 3 te potentiëren: 2 (tot de 12e) x 3 (kwadraat) = 36 864, deelbaar door alle getallen die samengesteld kunnen worden  uit 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2…………x 3 x 3. (dus: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32 enz.)
Als de staartdeling ingevoerd is, is het voor de zwakke rekenaar goed en tot grote steun, wanneer deze de vermenigvuldiging door deling terug maakt, omdat de uitkomst zichtbaar is en ook de rest weer verschijnt:

31  x 213                                                                 6603 : 31 =213
62                                                                        62 
31                                                                         40
93                                                                       31
       6603                                                                     93
93
0

Het beste is om eerst getallen te nemen met een lage eenheid, bv. 41, 52, 81 enz. Zo gauw de staartdelingtechniek beheerst wordt, is de deling hèt oefenterrein voor de 4 hoofdbewerkingen en wanneer je de delers met 2 cijfers kent, kun je snel naar 3 en 4 cijfers, waarbij je ‘tovergetallen’ kan maken: 123 x 234 x 345 = 9929790. dit getal kan door elk van de 3 getallen worden gedeeld en de uitkomst kan ook weer worden gedeeld, bv.

9 929 790 : 123 = 80 730;             80 730 : 234 = 345
9 929 790 : 234 = 42 435             42 435 : 345 = 123   enz.

Het ‘mooie’resultaat bestaat erin dat de deling uitkomt en dezelfde getallen steeds weer tevoorschijn komen! Een bijzonder iets dat de moeite loont, is de deling van grotere kwadraatgetallen, omdat de uitkomst hetzelfde getal vertoont als de deler!

654 x 654 = 427 716;         427 716 : 654 = 654

gemengde opdrachten
Om alle 4 de rekenbewerkingen bij elkaar te krijgen, heeft  Georg Hofmann (Erziehungskunst 1965 – 5/136) een mooie formule opgesteld die voor hele getallen, breuken en decimaalbreuken en negatieve getallen heel goed werkt: ( a  x a + a) : a -a = 1

Dus bv. 27 x 27 = 729 + 27 = 756; 756 : 27 = 28 – 27 = 1, waarbij de laatste stap bij hele getallen niet zo interessant is; alleen als controle; dat is bij de breuken anders.

Een mooi rekenvoorbeeld deelt Menninger mee (zie terug) : ‘tenslotte willen we nog de ‘Zaunkönig’ vangen. [ Een “Zaunkönig” is een winterkoninkje. Ik weet niet goed hoe dit verder te vertalen]

Hoe doen we dit. Alleen of nog mooier, met anderen, wie het eerst klaar is, op jacht: een rij getallen wordt genoemd die iedereen opschrijft: 17, 38, 4 , 3 25, 9. Die moeten door de 4 rekenbewerkingen met elkaar worden verbonden en wie daarbij het kleinste hele getal overhoudt, heeft het winterkoninkje gevangen. – De getallen mogen van plaats worden verwisseld; er mogen geen breuken in voorkomen, net zo min als het cijfer 0, behalve op het eind, natuurlijk; ook geen negatieve getallen. Ons geluk eens beproeven:

38 + 17 = 55; – 25 = 30; + 9 = 39; : 3 = 13; -4 = 9                     of

38 – 25 = 13; + 17 = 30; – 9 = 21:3 = 7; – 4 = 3
Is 3 het winterkoninkje?

[het valt op dat er geen vermenigvuldiging in voorkomt en in het eerste vb. geen deling; volgens mij moet je dit heel goed afspreken met de kinderen ]

Wordt vervolgd met een bijdrage over de breuken.

[de schrijver van het artikel noemt alleen klas 1/2 en 2/3. Naar mijn ervaring staan hier opgaven in die voor een 3e klas nog te moeilijk zijn; je bent natuurlijk vrij om te kijken wat voor jouw klas geschikt is]

Martin keller in Erziehungskunst 54e jrg. nr. 11 1990

rekenen moet plezier geven (2)

1e klas: rekenen: alle artikelen  

1e klas: alle artikelen

 

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas

 

143-137

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas (5)

.

TAFELSTERREN IN KLAS 2

Wanneer de kinderen in klas 1 goed hebben leren tellen, komt ook het ogenblik dat ze de tafels van vermenigvuldiging gaan leren.

Dat hoeft niet per se in klas 1 al te zijn, dat kan ook aan het begin van klas 2.

Het principe van het vermenigvuldigen kan, als herhaalde optelling, aan de kinderen duidelijk worden gemaakt door te tekenen, te schrijven wat ze gehoord hebben in een verhaal.

Daarvoor kun je zelf een verhaal maken of situaties bedenken.

Ik herinner mij nog een verhaal waarin de bewoners van een land dat bedreigd werd door een draak elke dag 2 schapen moesten offeren om aan de vraatzucht van het monster te voldoen; anders zou hij met zijn vurige vlammenbek overal brand stichten. (Hij wordt later verslagen, natuurlijk)

De (arme) schaapjes worden, steeds 2 bij elkaar, getekend, tot er een reeks verschijnt. Die kun je in het begin net zo lang maken als de kinderen het kunnen, of een enkeling, waarbij je toch langzaam maar zeker, in de dagen die daarop volgen, naar tot 20 streeft.

Ik ben altijd voorstander geweest van het aanleren van een tafel tot 10; niet tot 12.

12 is een prachtig getal, maar we hebben nu eenmaal een 10-tallig stelsel en in hogere klassen blijken de 10 en de veelvouden ervan, een prominente rol te vervullen in het doorgronden van de getallenstructuur.

Er is niets op tegen om de tafel nog verder te doen dan tot 10, maar waarom dan niet tot 13, 14, enz. M.a.w. ik maak de 10 liever de belangrijkste, dan de 12.

Het (bijna letterlijk) onder de knie krijgen van de getallenrij 2-4-6 enz. wordt ondersteund door de rij op alle mogelijke manieren ook te bewegen.

Bijv. Lopen: rechtervoet vooruit, zeg tegelijkertijd (zacht) 1; trek linkervoet bij, zeg hard 2 enz.

Op den duur ook achteruit! Er kan tegelijkertijd zacht en hard worden geklapt.

Je kunt op veel varianten komen.

Uiteindelijk kent de klas de rij van 2 van voor naar achter, van achter naar voor. Individueel controleren: er dreigt ‘gevaar’.

Het is ook goed om de kinderen met voorwerpjes met 2 tegelijk te laten tellen; het blijkt toch altijd weer even ‘lastig’ te zijn om er 2 tegelijk te pakken en ‘2’ te zeggen; er weer 2 tegelijk bij te voegen en ‘4’ te zeggen enz. En natuurlijk met 20 op een hoopje, 2 tegelijk eraf: ‘18’ enz.

Voor de tafel: 1 x 2 = 2 enz. uiteindelijk systematisch aangeleerd gaat worden: veel opzeggen – klassikaal –individueel (controle!) – kun je het principe ‘van ’t geheel naar de delen’ wel toepassen:

2 schapen  1 dag
4 schapen 2 dagen
6 schapen 3 dagen

waaruit dan de opzegrij 2 = 1 x 2;   4 = 2 x 2    enz. kan ontstaan.

Wanneer Rudolf Steiner op het belang wijst om voor de fantasie, dat is waarmee de mens o.a. ‘schepper’ is, waarmee hij (onbewust) beleeft dat hij ‘vrij’ is, vanuit het geheel naar de delen te gaan, moge het duidelijk zijn dat dit voor het optellen veel meer geldt, dan voor deze manier van vermenigvuldigen –al raadt hij het voor het vermenigvuldigen wel aan (GA 301, 10e vd).

10 = 1 + 3 + 2 + 4 heeft nog vele mogelijkheden; 10 = 5 x 2 eigenlijk niet.
(Maar het zou wel appelleren aan de aangeboren behoefte tot analyseren – zie genoemde voordracht)

Later, wanneer de kinderen meer tafels kennen, kan er weer veel meer, vooral bij de ‘rijke’ getallen: 36 = 4 x 9; 6 x 6 enz.

Een prachtig hulpmiddel voor de tafelrijgetallen zijn de vormen die ontstaan wanneer we deze in een cirkel ( 10-tallig !!) tekenen.

Vóór dat je dit met een klas doet, is het ook  ‘in het groot’ te doen, met de kinderen in een cirkel staande.

Er staan 10 kinderen, ieder met een kaart in de hand waarop 1 cijfer staat: 1, volgende 2, volgende 3 enz.
Een kind met de 1 staat ergens op de cirkelboog; het kind met de 2 er een beetje verder vandaan; de verdeling wordt zo: zie tekening.

Het verrassende is dat alle kinderen 2 kaarten krijgen: de 2 ook de 12. Enz.
(later hoeft dat niet meer; de kinderen gaan zien, dat de 2 eigenlijk ook de 12, de 22 is. De eenheid blijft dezelfde; er komt een tiental! bij.)

Die kaarten kunnen ze bijv. voor hun buik houden, zichtbaar. Een kind gaat dan vanaf 10, dat is ook de 0! de weg lopen: van 0 naar 2, naar 4 enz. (De rode lijn in de tekening)

Later wordt deze weg ingetekend in de cirkel van papier.

De weg kan ook zichtbaar worden gemaakt door bijv. het lopende kind een bol sterke wol te geven. De ‘kaartenkinderen’ moeten de draad stevig vasthouden.

Dit moet je dus pas in het stadium doen dat er geen kaarten meer nodg zijn.

Door de draad wordt een mooie ster zichtbaar.

Wanneer je geen kaarten meer gebruikt, moeten de kinderen die ze anders vast zouden houden, wel weten welke getallen ze zijn. Het lopende kind komt voor het ‘kaartenkind zonder kaart’ te staan en zegt het getal waarvan hij denkt dat het goed is; bijv. 8. Het kind dat verondersteld wordt de 8 te hebben, zegt ‘goed’ of ‘dat moet beter’, wanneer het loopkind het fout heeft. Deze moet dan terug naar de plaats waar het voor het laatst ‘goed’ hoorde.

Dat is bij de tafel van 2 relatief eenvoudig; bij die van 3 bijv. veel ingewikkelder.

Je kunt hier ook nog met de temperamenten werken: voor een flegmatisch kind is het wekkend om een geheel: de cirkel, zo te verdelen als het moet; de cholericus kan de omgekeerde weg gaan die de flegmaticus heeft afgelegd. Een sanguinicus moet zich erg concentreren, vooral wanneer hij met een draad loopt (het vasthouden alleen al!)

En misschien moet het melancholische kind gewoon op zijn plaats blijven staan en al waarnemend aangeven waar het naar toe zou gaan (als het liep).

Zie de artikelen over rekenen en temperamenten.

De ouders maakten voor hun kind een tafelcirkel van hout.(doorsnee ca 15 cm). Daarmee konden de kinderen met een draadje om de spijkertjes gewikkeld die op de getallen getimmerd waren, hun eigen tafelster maken. En daarmee de getallen van de tafelrij (beter) inprenten.
Je kunt ze ook zo maken dat er geen cijfers meer op staan, dan moet het kind ze dus zeggen.

Bij de vele ontdekkingen die gedaan kunnen worden, hoort vooral dat de tafelgang van 2, ook die van 8 blijkt te zijn, maar dan de omgekeerde weg. Al gauw wordt gezien dat 3,  7 naast zich heeft. Ach ja, ze zijn samen 10 (!).

Dan is het wel duidelijk waarom 5 maar saai is. De 1 doet het rustig aan; maar 9 ook!

Het is voor het schoonheidsbeleven wel belangrijk dat je als leerkracht de papieren cirkels zelf maakt met een mooie verdeling voor de getallen.

Uiteraard mogen de kinderen ook zelf proberen of ze dit ‘uit de hand’ kunnen.

Later gaf ik wel eens grote vellen, waarop dan de ‘looplijnen’ langs de bordliniaal getrokken, konden worden getrokken. Naar hartelust konden de kinderen de cirkels met de ontstane vormen inkleuren.

Dit laatste heeft natuurlijk niets meer met rekenen te maken. Maar wel met het gevoel dat in het rekenen veel schoonheid verborgen zit.

Bij het streven de kinderen de tafelrijgetallenreeksen aan te leren, vond ik dit een waardevolle methode.

rekenen 3

Hier staan de tafel van 2 (rood), 3 (groen) en 5 (oranje) in één tekening.
Vanzelfsprekend begin je met de tafels apart. Dat is heel bijzonder en laat duidelijk zien dat de getallen kwalitatief van elkaar verschillen: 2 vertoont als ster een heel ander beeld dan 3.
Later kunnen ze wel gecombineerd worden. Voor sommige kinderen een uitdaging om ze allemaal (=1 t/m 5) heel precies in 1 cirkel te krijgen.

een video: hoe maak je een ster

 

rekenen-3-1

.
Pieter HA Witvliet

 

2e klas rekenen: alle artikelen

2e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 2e klas 

140-135

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas (3-2)

.

EEN BIJDRAGE AAN EEN LEVENDIGE UITBEELDING VAN DE GETALLENRIJEN

Wanneer je met de leerlingen van de lagere klassen de getallenrijen oefent, heb je hier een fijne manier om het geheugen van de kinderen te oefenen, want we weten uit de antroposofische menskunde dat een kind te kort komt, dat niet in de juiste mate zijn automatisch geheugen oefent.

Dan zul je ook een steeds sterker gevoel ontwikkelen voor het eigene van de getallen zoals die in hun veelvouden veranderd, verschijnen. Het zal er wezenlijk toe bijdragen dat het gevoel van de kinderen gewekt wordt, wanneer je ze aanspoort bijv. in alle getallen die op 5 of 0 eindigen, de 5 te ontdekken; de 6, die weliswaar in 36 zit, maar niet in 26 of 46, wel weer in 24 of 48 op te zoeken, enz.

Je kunt op mooie herhaalvragen komen, wanneer je bijv. vraagt: “Zit er in 18, 42, 54 een 7?” De kinderen antwoorden met ‘ja’ of ‘nee’.
Dan zul je bij een hele getallenrij vinden dat er bepaalde basisgetallen in zitten, bijv. in 24: 3, 4, 6 en 8; 5 en 7 in 35 enz.

Alle getallen in deze voorstelling, behalve die waaromheen een cirkeltje staat, zijn kruispunten van 2 lijnen, bevatten dus 2 basisgetallen tussen 1 en 10 als hun product.  Zitten er nog andere basisgetallen in, dan zul je die op een andere plaats terugvinden.

De omcirkelde getallen zijn het product van een getal met zichzelf vermenigvuldigd: kwadraat.

In deze ster laat je de kinderen de getallen opzoeken, 14 bv. als kruisgetal van 2 en 7  (2 x 7  en 7 x 2); 24 komt op 2 plaatsen voor, als 4 x 6 en 6 x 4 en als 3 x 8 en 8 x 3. 36 is èn een kwadraat van 6 en het product van 4 x 9 en 9 x 4.

Maar ook een dergelijk beeld is voor de kinderen slechts een voorlopig hulpmiddel, geschikt als stimulans bij het inslijpen van de getallen.

Dit is op een mooie manier weer te geven:

rekenen 1

Robert Killian in ‘Mitteilungen’ nr.7 1925

Opmerking:
Naar mijn ervaring leent deze tekening zich heel goed voor op bord.
Je kunt iedere keer iets aanvullen; dat vinden kinderen fijn: het groeit; je verwacht wat – eigenlijk net zoals ze zelf zijn -.
Wat er al is komen staan, kun je hier of daar eens uitvegen. De kinderen moeten het dan weer in orde maken.
Of je zet met opzet ergens een niet kloppend getal. Zien ze dat?
Kortom: een uitnodigend geheel.

Het is voor de kinderen een stuk eenvoudiger om de rijen op groot ruitjespapier in een vierkant te maken.

rekenen 2

Op een kartonnetje geplakt en geplastificeerd is deze kaart een hulpje, als een tafel nog niet helemaal uit het hoofd gekend wordt.

Daarbij moet je dan weer opletten of het kind er niet te afhankelijk van wordt; tenslotte gaat het om ‘uit het hoofd’.

.

Pieter HA Witvliet

.

2e klas – rekenen – : alle artikelen

2e klas: alle artikelen

3e klas- rekenen – : alle artikelen

3e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld: 2e klas

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas

130-125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.