Tagarchief: 3e klas rekenen

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e, 4e, 5e klas

In mijn verzameling artikelen trof ik onderstaande aan, een uit 1931.
Toen ik het doorlas, viel me op dat ‘1931’ niet te herkennen is uit de tekst, zij het dan dat de spelling niet die van nu is. En ook de ter sprake komende munten hebben we niet meer.

De ‘aanpak’ echter, is nog lang niet ‘achterhaald’. Je kunt je door deze manier van werken nog altijd laten inspireren.

(Opvalt dat de 10-delige breuken eerder aan bod komen dan de gewone)

OVER HET REKENEN IN DE 4DE EN 5DE KLAS.
In het vorige nummer van Ostara beschreef en verklaarde ik hoe het leeren van een vreemde taal (hier het Engelsch), in de klassen der lagere school, zich voornamelijk aanpast aan het Wils- of
Ledematensysteem (door middel van het bewegen, het doen) en het Rhythmisch systeem (d.w.z. het kunstzinnige: reciteeren, zingen, schilderen, enz.).

Het spreekt echter van zelf dat dit ook geldt voor het onderwijs in de vakken van het hoofdonderwijs, zooals rekenen, taal, enz..

Toch is het zeer begrijpelijk, dat bij velen de vraag opkomt: hoe is het mogelijk de kinderen het rekenen, het verdere rekenen, te leeren op een dergelijke wijze? Niet waar, juist bij het rekenen leeren, komt men zoo gauw in de verleiding te denken: dit moeten ze toch begrijpen en dat doen we met het intellect, het hoofd. Dus: allemaal rustig zitten, kijken naar het bord, en opletten! En nu wordt er uitgelegd.

Een dergelijke behandeling is juist voor kinderen van 10 en 11 jaar nog volkomen ernaast. Weten we niet allen veel te goed hoeveel moeite het de meeste kinderen kost de hun zoo „vóór-gedachte” gedachtengangen te volgen en dan later zelf weer na te denken, als ze de toepassingen moeten maken? Zelfs al zien ze de verschillende begrippen erbij op het bord ontstaan, dan is het gewoonlijk nog voor de kinderen te zwaar deze begrippen over te nemen en er zelf mee te werken. Alleen de begaafde kinderen kunnen het zoo aan­vaarden, maar ook voor hen is het een herseninspanning, die op hun leeftijd dikwijls zeer verkeerd en bovendien onnoodig is.

Even onnoodig als het voor een fietser is om te „begrijpen” welke spieren, en hoe hij die bij het fietsen gebruikt om vooruit te komen en zijn evenwicht te bewaren. Hij „begrijpt” immers uit het doen vanzelf hoe hij ze gebruiken moet, hij doet ‘t, éénvoudig!

Zoo kan het ook met het rekenen.

Het rekenen in de 4de klas brengt den kinderen een geheel nieuw onderwerp: de breuken.

Tot nu toe hebben ze met geheele getallen gewerkt, alle vier
hoofdbewerkingen zijn hun bekend en de tafels hebben de meesten
onder de knie.

Van oudere broertjes of zusjes hebben ze al gehoord over de breuken, maar niet zoo, dat ze er zich een goede voorstelling van kunnen maken. Nog heeft voor hen het woord een geheimzinnige klank: dit wekt bij hen op een verwachting van iets moois, dat hen dichter, nader zal brengen tot het begrijpen van de aarde. Die mooie, groote geheimzinnige aarde! En ook tot de „groote menschen”, die ze zoo bewonderen en daarom ook zoo graag willen begrijpen.

Is het niet te bewonderen, zooals moeder bij de kruidenier of in een andere winkel, snel de uitgaven berekent, vlugger of even vlug als de winkelier, om dan, als ze het bonnetje krijgt, met één blik te controleeren of het goed is: Ja, ƒ 1.75? Het kind wipt op zijn teenen om over moeders hand ook even het bonnetje in te zien en kijkt een beetje onthutst naar het getalletje 1.75, waarvan het de uitspraak nog niet zelf kent.

Op een goeden morgen komen de kinderen in school; ze weten: vandaag begint een nieuwe rekenperiode, ze gaan de breuken leeren! — en ziet, wel twee tafeltjes voor de klas en daarop uitgestald een weegschaal, een kom met noten en wilde kastanjes, die ze zelf gezocht hebben voor dit doel, maar dan nog het vreemdste van alles: een echt gouden tientje, 9 zilveren guldens, 9 dubbeltjes en 10 centen.

Voor dat ze het weten is de les begonnen. Alles wat los zit in de klas mag verkocht! Eén is winkelier, verschillende mogen inkoopen doen, telkens staat er één voor het bord om de uitgaven op te schrijven. Maar niets wordt opgeschreven zonder dat we ’t allen samen hebben gezegd. Bijv. 1 kilo noten kost ƒ 1.20. Al spoedig blijkt dat ook de schrijfwijze geen groot bezwaar is: de 2 staat op de plaats van de dubbeltjes, de o op die van de centen.

Nu hoeven we maar toe te tasten: overal liggen de
aanknoopingspunten voor het leeren van de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken.

Dat er 10 centen in een dubbeltje gaan en honderd in een gulden weten ze nu allen en we doen dan ook ongemerkt de stap 1 cent = 0,1 dubbeltje en 0,01 gulden.

Wanneer we hun nu vertellen, dat cent en honderd hetzelfde woord is, spreekt ’t dus voor hen vanzelf dat 1 centigram = 0,01 gram en 1 centimeter = 0,01 meter.

We hoeven dus niet lang bij het geld te blijven stil staan. Spoedig genoeg zal dit toch wel een rol gaan spelen in hun leven! Het was hier slechts een bruggetje om uit de praktijk van ’t leven, waar hun interesse op deze leeftijd wakker genoeg voor is, te komen tot het rekenen. De gewichten, die ze gebruikt hebben, voeren ons tot het leeren van de namen deci, deca, hecto, enz..

Onder de hand schreven we, op het schoone bord, alle dingen die we zoo samen „gevonden” hebben, netjes onder elkaar:

1 goudtientje = 10 gulden; 1 gulden = 0,1 goudtientje;
1 gulden = 10 dubbeltjes; 1 dubbeltje = 0,1 gulden, enz.;

en een nieuwe rij:

1 kilogram = 10 hectogram; 1 hg = 0,1 kg;
1 hectogram = 10 decagram; 1 dg = 0,1 hg, enz..

Deze twee rijen worden nu klassikaal gereciteerd, liefst in een vast rhythme.

De schrijfwijze geeft ook niet veel moeite, we sluiten gewoon aan bij de plaatsen van de „éénen” en de tientallen, enz. in de geheele getallen; naast het kleinste geheele getal komt de komma en dan de tienden, de honderdtallen enz.. Het komma-spelletje helpt de kin­deren er bij: voor de klas plaatsen we een heele rij kinderen, die achteréén volgens een aantal kilogrammen, hectogrammen, enz. mogen voorstellen. Een kleine vluggerd mag de „komma” zijn, hij krijgt hiervoor een duidelijk teeken, bijv. een roode muts op, en zit eerst op den grond, tusschen grammen en decigrammen. Élk kind noemt nu op de beurt zijn aantal en één schrijft  het op: 8744,572 gram. Nu willen we er hectogram van maken, weg moet dan de komma en naar zijn nieuwe plaatsje, want nu zijn de hectogrammen de kleinste „geheelen”. Nu decigrammen, dan weer kilogrammen, vlug wipt de komma heen en weer, als we de gewenschte naam uit­spreken moet hij al weg zijn van zijn plaats om de nieuwe te zoeken. Vlug genoeg kunnen ze het nu ook in hun schrift.

Een andere draad nemen we op: er staan nog op het eerste bord de uitgaven van het winkeltje-spelen. Als we eens uitrekenden hoe­veel we samen uitgegeven hebben? We vinden dat, even goed als we voor 10 tientallen een honderdtal mogen opschrijven, we nu ook voor 10 honderdsten 1 tiende kunnen rekenen. En binnen enkele minuten rekenen ze er lustig op los.

Wat is er nu eigenlijk in den loop van den ochtend gebeurd? Wat hebben we met de kinderen gedaan?

Ja, we hebben veel met hen gedaan, maar het meeste hebben ze zelf gedaan: ze hebben rond geloopen door de klas, ze hebben even in de gang elkaars mutsen opgezet of een jas binnenste-buiten aan­getrokken, om er als een gefingeerde „klant” uit te zien; ze hebben zich ingespannen om den „winkelier” ‘van de wijs te brengen, door hun wenschen zoo te kiezen, dat het bedrag zoo groot mogelijk werd, of zóó dat ze maar een centje armer de gefantaseerde winkeldeur achter zich dichttrokken; ze hebben.gelachen om den winkelier die zich vergiste, en hun verontwaardiging luidruchtig geuit om de heb­zuchtige klant, die de „heele klas” voor ƒ 20,— thuisgestuurd wilde hebben. Ze hebben ook gereciteerd en tot slot zelf met de nieuwe sommen gerekend. Hun geheele wezen heeft zich met dit rekenen kunnen verbinden: het willen in het doen, het voelen in het reciteeren en in het spelen, het voorstellen — want het denken is op dezen leeftijd nog voornamelijk voorstellen — in de fantasie, die zij bij alles ontwikkelden.

Van zelf spreekt het, dat dit alles nog maar een grondslag is, waarop in den verderen loop der periode het werken met de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken moet worden opge­bouwd. Maar bij het leeren van elke nieuwe moeilijkheid gaan we weer op een zelfde wijze te werk.

Verder moeten de kinderen zelf het geleerde oefenen. Hieraan kan steeds meer tijd besteed worden. Ja, zelfs kunnen we dit oefe­nen, het gewone cijferen, door de andere perioden heen, elken dag even blijven doen, wanneer dit voor een klas gewenscht is. Doch ook bij dit gewone oefenen vergeten we niet steeds den kinderen een gelegenheid te geven hun eigen fantasie te gebruiken.

Ze mogen, moeten zelfs, zooveel mogelijk de opgaven zelf ver­zinnen. Dit laatste schept immers de mogelijkheid, dat alle kinderen eraan kunnen meedoen. Al zijn er in de klas kinderen die 4 of 5 opgaven als 87,94/78549,762/ uitrekenen, en anderen, die, in den­zelfden tijd, 2 opgaven als 1,25/62,5/; allen leeren en oefenen ze het werken met de tiendeelige breuken en ontwikkelen zich naar hun vermogen, zonder dat deze ontwikkeling door eenige pressie of rem zou worden geforceerd.

Alle kinderen uit de klas hebben aan een dusdanig onderwijs kunnen meedoen.

Over de gewone breuken, die op de tiendeelige volgen, een andere keer

(Ostara, vrijeschool Den Haag, 4/1. febr. 1931 H. JANSSEN VAN RAAY)

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 3e klas – rekenen – alle artikelen

.

[1] Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten’ over: wat doe je als je rekent; begripsvorming, vrijheid; de jaren 6-9, beweging; klas 3 leerstof en werkvormen; hoofrdrekenen en cijferen; voorbeelden van tafels lopen en schrijven; schriftelijk werk;

(2)
Georg Hofmann over: de 4 bewerkingen door de jaren heen

(3)  Getallenrijen voor de lagere klassen (2 en 3)

(4) Martin Keller over: schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

.

3e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld3e klas

.

529-487

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE


Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt (milieuproblematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar

In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

klas 3

Leerstof
—    Herhaling van al het voorgaande.
—    Het verdelen van 1000.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen met gecompliceerde getallen (tot 1000).
—    Er wordt ook gerekend met geld. Markt, winkel, dingen uit het dagelijks leven.
—    Schriftelijke opgaven.
—    Schriften, kleurpotloden, zwart potlood (ballpoint).

Werkvormen

De werkvormen zijn dezelfde als in de tweede, de werkstijl is echter anders. De derde klas is een echte oefenklas. Alles wat in de eerste drie jaar wordt aangelegd moet aan het einde van de derde tot op zekere hoogte beheerst worden.

Bij het schriftelijk werk staat alles nog in de hoofdrekenvorm:

308 + 213 + 96=

Niet dat de kinderen het optellen van eentjes, tientjes niet zouden kunnen begrijpen. Het gevaar van het cijferen is dat de kinderen lui worden met hoofdrekenen. En juist het hoofdrekenen is onmisbaar voor het zich nog vrij leren bewegen in de getallenwereld. Het cijferen is de dood voor een werkelijk getalbegrip zowel naar grootte (later het leren schatten) als naar onderlinge samenhangen. 16 x 25 zet men niet onder elkaar, 16 x 25 = 400 tout court.

Er zijn echter andere, bijzonder zinvolle vormen van schriftelijk werk voor de derde klas (zie voorbeeld). De opgaven zijn altijd zo dat de leerlingen zelf voortkunnen. Binnen de klassikale opgave is individuele differentiatie mogelijk. Het rekenen in verband met het dagelijks leven geschiedt eerst in concreto, later als ‘rekenverhaal’.

Tafels
Als we de tafels opzeggen, gebeurt dat altijd staande en we klappen en stampen* op bepaalde getallen om daar het accent op te leggen. We klappen de uitkomst, en stampen op ‘het aantal maal’. We gaan van het geheel uit en zeggen de tafel heen en terug, dus:

2                  =               1  x  2
(klap)                          (stamp)
4                  =               2 x  2
6                  =               3 x  2
tot en met
20               =             10 x  2

vervolgens weer terug

  1  x 2      =                            2
(stamp)                               (klap)
 2  x  2      =                           4
 3  x  2      =                           6
10 x  2      =                         20

Dan zijn er nog oefeningen, die we elke dag gedaan hebben, waarbij de vermenigvuldigingen niet worden genoemd, maar waar we de tafels opzeggen als getallenreeksen met weer klappen, stampen, hinken, springen, aantikken etc.

Enige oefeningen: bijvoorbeeld de tafel van 3**:

lopen       1, 2       stilstaan, klappen en roepen ‘3!’
lopen       4, 5      niets zeggen stilstaan, klappen en roepen ‘6!’

dezelfde oefening nu: hink, hink, sprong.

staand:
je tikt één voor één je schouders aan en telt daarbij in gedachten 1, 2 vervolgens klap je in de handen en roept ‘3!’ 4 (schouder) 5 (schouder), klappen en roepen ‘6!’ 

Hetzelfde kan natuurlijk met knieën, voeten, oren, billen etc. Voor de kinderen lijkt het steeds een nieuwe oefening en daar er eindeloos veel variaties zijn kun je iedere dag weer iets anders doen, zonder dat de kinderen in de gaten hebben dat je elke dag met die tafels bezig bent.

Een aantal andere ‘tafel’-oefeningen hebben we in de kring gedaan. In de klas zitten eenendertig kinderen, waarvan drie kringen van tien gemaakt werden.

Elke kring krijgt een bol wol en elk kind krijgt een getal van 0 t/m 9. De kinderen staan in die volgorde ook naast elkaar.
Ik ga nu maar weer uit van de tafel van drie. Nummer drie uit de kring krijgt het beginpunt van de bol wol en het noemt zijn getal, namelijk ‘drie’. (Als je bij 3 begint, en je bent bij de 0 = 30 gekomen, blijft het stuk van 0 naar 3 open. Je moet dus op de 0 beginnen!)
bb 77Voor twee van de drie kringen bleek geen kind te zijn dat de bol wol door kon geven. Deze kringen kregen een bal. De tafels gingen dan hetzelfde als de beschreven oefening van 3, alleen werd de bal nu overgegooid.

Met de bal kun je trouwens ook leuke spelletjes doen als de tafels er al goed ‘in zitten’.
Een vermenigvuldiging vragen en 
een naam noemen. Diegene geeft het antwoord en gooit de bal naar de volgende. Dus: 1 x 3 Nessa; Nessa: ‘3!’ 7 x 6
Michiel: Michiel: ’42!’ 3 x 9’Tanja; Tanja: ’27!’ 6x 5 Tijn, etc.

Dit spelletje is natuurlijk alleen maar leuk*** als er een beetje tempo in zit.

Als je bovenstaande oefeningen (figuren maken van de uitkomsten van de tafels) in de kring, hebt gedaan, kun je ze daarna in het schrift laten tekenen of op een kaart laten borduren met wol.

Veel leuke dingen om in het schrift te maken zijn:

lange rijen van antwoorden maken in je schrift en dan de wetmatigheden daarin proberen te ontdekken

bv. de tafel van 8. Die wetmatigheden kunnen ze dan bijvoorbeeld met verschillende kleurtjes aangeven.

00             88

08             96

16             104

24             112

32             120

40             128

48              136

56             144

64             152

72             160

80

Eenheden altijd: 8, 6, 4, 2, 0

Tientallen: 0,0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12

Een aantal kinderen sprak dergelijke oefeningen zo aan dat ze rijen maakten met antwoorden tot 1000 toe.

Tafelblad maken behoort nog steeds tot de favoriete bezigheden tijdens de rekenperiode. Ook al hebben we dat al vaker gedaan, steeds opnieuw ontdekken ze daar weer nieuwe dingen in die ze daarvóór niet gezien hadden.

bb 78

Een aantal kinderen gaat dit soort oefeningen thuis dan uitbreiden en komt dan met een heel groot vel papier op school om te laten zien hoe ver ze wel niet gegaan zijn. Hetzelfde gebeurde met de volgende oefening:

Tafelberg maken: (deze som wordt op een heel lang stuk papier gemaakt.

bb 78 2

 

 

 

Het schriftelijk werk

 bb 79

De oefening is hier al redelijk ver ingevuld. Op het bord schrijven we niet meer dan:
bb 78 3

We doen dit samen met de klas. Daarna gaan ze alleen verder.

Het leuke is dat er zoveel manieren zijn om deze som uit te rekenen.

Dergelijke ritmische oefeningen vervelen de kinderen nooit. Met het ontdekken van wetmatigheden krijgen ze tegelijk controle over het werk.

Natuurlijk ontdekt er ook wel eens iemand een regelmatigheid die helemaal niet bestaat en baseert daar zijn hele systeem op. Vrolijk zelfstandig voortwerkend produceert hij een blad vol cijfers. Na het grote ‘Aha-Erlebnis’ dat volgt als de som later klassikaal op het bord een stukje verder wordt uitgerekend, gaat het betreffende kind nu echt rekenen, zelf nog nagenietend van zijn naïviteit

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Dit kan ook goed in klas 2 – het gaat er altijd om: hoe ‘ver’ is je klas.

***voor het kind dat het antwoord niet weet, is het niet zo leuk! Ik sprak af dat wanneer je het niet weet, je een willekeurige som uit de tafel mag zeggen die je wél weet (en die is er altijd: 1 x …) Dan heeft ook dit kind het gevoel dat het meedoet.

.

3e klas rekenenalle artikelen

3e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas        tafelsterren

.

523-482

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen (2)

.

MAGISCHE KWADRATEN

Een stimulans voor het rekenen in klas 3*

Hoe krijg ik het voor elkaar om het hoofdrekenen dat snel vervelend kan worden, in de 3e klas zo vorm te geven, dat het spannend is en leuk om zo oefenend te rekenen?

Een mogelijkheid biedt ons het construeren van een magisch vierkant

Hier volgen een paar voorbeelden hoe je deze vierkanten zelf kan maken.

Voor de 3e klas komen de kwadraten met 9 velden in aanmerking.

Wij noemden ze ‘tovervierkanten’.

rekenen 1

1.Je kiest een willekeurig middengetal, stel 5
De som van de cijfers is altijd 3 x het middengetal, hier: 15
(wanneer je deze doet moeten de kinderen wel weten dat het om de getallen 1 t/m 9 gaat.)

2.De diagonaal van linksboven naar rechtsonder is opgebouwd uit de
cijfers -1 en +1 van het middengetal, hier 4 en 6

3.De middenvertikaal is opgebouwd uit de cijfers -2 en + 2 van het
middengetal, hier dus 3 en 7

4.De diagonaal van rechtsboven naar linksonder is opgebouwd uit de cijfers
(let op: + 3 en – 3 van het middengetal, hier 8 en 2)

5.De linker vertikaal mist in het midden 15 – (4 + 2) = 9

6.De rechter vertikaal mist in het midden 15 – (8 + 6) = 1

rekenen 2

Gekozen als middengetal: 7

rekenen 3

Een getal bij het middengetal optellen:
Als we van het oerkwadraat uitgaan, kunnen we bij het middengetal een getal optellen, bv. 4. Het middengetal wordt dan 9; de som 3 x 9 = 27

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft als regel: – 1 en + 1 van het middengetal. Dat geeft de getallen 8 en 10; zoals je ziet, de 4 en de 6 van het oervierkant zijn ook 4 groter geworden, net als het middengetal.

De rest van het vierkant kun je met de bovengenoemde werkwijze vinden.

rekenen 4

Het middengetal vermenigvuldigen:
We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Dit vermenigvuldigen we met 3 = 15.
De som van de rijen, kolommen en diagonalen moet dan 3 x 15 zijn = 45

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft de getallen -1 en +1 van het middengetal; dit is echter met 3 vermenigvuldigd. Nu worden ook de -1 en +1 met 3 vermenigvuldigd, -3 en +3. De getallen zijn dan 12 en 18.

Dat geldt natuurlijk ook voor de middenvertikaal: -2 en + 2 worden – 6 en + 6 =9 en 21

De getallen van de diagonaal rechtsboven/linksbeneden worden van + 3 en -3 nu + 9 en – 9, dus 24 en 6 .

De ontbrekende getallen kunnen nu worden gevonden. De som moet 45 zijn.

rekenen 5

Het kan nog moeilijker gemaakt worden door zowel op te tellen als te vermenigvuldigen:

We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Hierbij tellen we 3 op, = 8 en vermenigvuldigen nu met 4 = 32.

De som bedraagt nu 3 x 32 = 96.

De diagonaal linksboven/ rechtsonder heeft in het oerkwadraat het getal 4. Dit wordt nu + 3 =7 x 4 = 28  en 6 + 3 = 9 x 4 = 36.

In het oerkwadraat is de middenvertikaal 3 en 7, nu: 3 +3 =6 x4 = 24 en 7 +3 = 10 x 4 = 40

En zo verder.

rekenen 6

Je kunt bv. ook nog vermenigvuldigen en aftrekken 

bv. x 6   – 5

uitgaande van het oerkwadraat met middengetal 5:   5 x 6 = 30 – 5 = 25
De som is dus 3 x 75
De diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen 4 en 6; deze worden nu: 4 x6 = 24 -5 = 19; 6 x 6 = 36 -5 = 31

Enzovoort.

Nog moeilijker wordt het wanneer je een kwadraat geeft met maar 2 getallen:

.             4            .

.             6            .

.              .            .

Het centrale getal is hier 6; de som moet dus 3 x 6 zijn.
De  diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen – 1 en + 1, dus 5 en 7;
de middenvertikaal: -2 en + 2, dus 4 en 8; de rest is hetzelfde te vinden, maar je ziet dat er nu wel het getal 10 in moet komen.
(de kinderen moet dit wel worden gezegd)

Er kan nog meer:

Stel: je geeft deze opgave:

4       .       .               4     .     .          4     .     .          4      .      .

7      .               9     7     .         9     7     5         9     7     5

8     .        .               8     .     .          8     .     .            8     .     10      enz

De som moet 3 x 7 zijn: 21
De 1e vertikale kolom: 4 + 8 = 12, ontbreekt de 9.
Middelste rij 9 + 7 = 16, ontbreekt de 5
Diagonaal linksboven/rechtsonder: ontbreekt de 10
Onderste rij: ontbreekt de 3
Laatste vertikale ontbreekt de 6
Middelste vertikaal ontbreekt de 3
Opgelost!

Je kunt gevonden vierkanten ook d.m.v. draaien tot nieuwe opgaven maken.

Uitgaande van het oervierkant:
I.p.v. de diagonaal linksboven/rechtsonder te berekenen met – 1 en + 1, kun je ook doen alsof deze diagonaal de rechtsboven/linksonder diagonaal is, dus + 3; -3
Enzovoort

8     3     4

1     5     9

6     7     2

Je kunt ook de bovenrij met de benedenrij wisselen. En uiteraard de linkerkolom met de rechter.

Als je deze opgave krijgt:

14      .      .

.       13     .

16     .       .

weet je al  de som : 3 x 13 = 39
Toch weet je niet meteen hoe de ‘oer’volgorde is. Er kunnen hier rijen en/of kolommen verwisseld zijn.
Duidelijk is dat de diagonaal linksboven/rechtsonder het patroon + 1;  – 1 vertoont, dan ook naar rechtsonder -1 = 12

Als de diagonaal rechtsboven/linksonder ook de “oer’volgorde is, moet rechtsboven -3 genomen worden (immers t.o. de linksboven -, staat de rechtsboven +; in deze opgave dus omgekeerd)
Rechtsboven zou dus een 10 moeten staan en linksbeneden 16. Die staat er. Dan klopt het: middenkolom links wordt dan 9 en rechts 17. Overal is de som 39

Stel dat de 10 nog extra gegeven was op linksonder; dan komt de 16 rechtsboven en dan wisselen ook de andere getallen. Nu is echter de ‘oervolgorde’van -2 en +2 verwisseld van middenvertikaal naar middenhorizontaal.

bron: Thor Keller in Erziehungskunst jrg. 56, nr 8, 1992

kanttekening:
Wanneer je ermee begint, lijkt het mij belangrijk dat de kinderen op groot ruitjespapier het “hok” met potlood en liniaal duidelijk aangeven.
Wat later kunnen ze gewoon puntjes zetten, wel mooi gelijk verdeeld onder- en naast elkaar; tenslotte heb je niet eens lijntjespapier meer nodig….., dan.
Je kunt hiermee ook goed variëren; het ene kind kan in het begin al veel meer dan het andere en opdrachten kunnen heel individueel worden gegeven. Laat de vlotte rekenaars vooral ook zelf vierkanten bedenken!
Wanneer je individueel controleert, leer je ook weer veel over waar de kinderen qua rekenbewerkingen staan en kun je van daaruit weer extra oefeningen doen.
*Alle varianten gaan uiteraard nog niet in de 3e klas; dus vanaf 4 is er ook nog van alles mogelijk. Bv. in klas 5, want met de decimale breuken gaat het ook.

Bv. middengetal 5,5; som = 16,5; diagonaal linksboven/rechtsonder:
4,5  en 6,5;  rechtsboven/linksonder: 8,5 en 2, 5; middenvertikaal: 3,5 en 7,5, dus middenhorizontaal=9,5 en 1,5 (het valt meteen op dat bij de getallen van het oervierkant simpelweg 0,5 is opgeteld!)

De opgaven met maar 1 cijfer dwingen tot een logisch doorgevoerde strategie.

Gegeven:

.          .          9

.         .           .

.        .           .

Je moet nu een keus maken. Waarvan kan deze 9 het gevolg zijn:
mogelijkheid 1:
de bekende strategie: het middengetal + 3. Dan is het middengetal 6. De som is dan 18  en het getal linksbeneden 3.

.          .         9

.        6          .

3        .         .

diagonaal linksboven/rechtsbeneden: 5, 6, 7. Nu heb je hem eigenlijk al.

Mogelijkheid 2: de 9 is het resultaat van – 3. Centrale getal dan 12. Som 36
De diagonaal linksboven/rechtsbeneden is dan + 1  en  – 1 = 13 en 11. Je hebt hem dan weer.
Je kunt als opdracht ook zeggen: de 9 is het resultaat van -2. Ga je gang.
Centrale getal is dan 11, het andere diagonale getal 13.
De som = 3 x 11= 33
In het oervierkant stond links van de – 2 en + 2,  de -1 en +1, dat kan ik hier ook doen. Dat wordt dan de middelste vertikaal: -1 en + 1 =  10 en 12.
Nu kan ik vanuit de som alles vinden.

Het verdient aanbeveling om in je voorbereiding goed in je op te nemen hoe de strategiëen gaan.

Kinderen vinden het ook geweldig wanneer ze jou een opdracht mogen geven; ze moeten alles dan goed begrepen hebben; want als ze tegen jou zeggen: rechtsonder staat bv. 40, dan moet jij het kunnen maken en zij moeten het antwoord al klaar hebben. Komt het resultaat niet overeen, dan kan één van de twee een fout hebben gemaakt of een andere strategie gekozen. De 40 kan het resultaat zijn van zowel +1 en -1; van + 3 en – 3 en van + 2 en -2.

Succes!

 

Rekenen 3e klas: alle artikelen

3e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas

 

123-118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.