.
Thor Keller in Erziehungskunst jrg. 56, nr 8, 1992
.
MAGISCHE KWADRATEN
Een stimulans voor het rekenen in klas 3*
Hoe krijg ik het voor elkaar om het hoofdrekenen dat snel vervelend kan worden, in de 3e klas zo vorm te geven, dat het spannend is en leuk om zo oefenend te rekenen?
Een mogelijkheid biedt ons het construeren van een magisch vierkant
Hier volgen een paar voorbeelden hoe je deze vierkanten zelf kan maken.
Voor de 3e klas komen de kwadraten met 9 velden in aanmerking.
Wij noemden ze ‘tovervierkanten’.
1.Je kiest een willekeurig middengetal, stel 5
De som van de cijfers is altijd 3 x het middengetal, hier: 15
(wanneer je deze doet moeten de kinderen wel weten dat het om de getallen 1 t/m 9 gaat.)
2.De diagonaal van linksboven naar rechtsonder is opgebouwd uit de
cijfers -1 en +1 van het middengetal, hier 4 en 6
3.De middenvertikaal is opgebouwd uit de cijfers -2 en + 2 van het
middengetal, hier dus 3 en 7
4.De diagonaal van rechtsboven naar linksonder is opgebouwd uit de cijfers
(let op: + 3 en – 3 van het middengetal, hier 8 en 2)
5.De linker verticaal mist in het midden 15 – (4 + 2) = 9
6.De rechter verticaal mist in het midden 15 – (8 + 6) = 1
Gekozen als middengetal: 7
Volg dezelfde regels als boven.
===
Een getal bij het middengetal optellen:
We nemen het hier beschreven bovenste vierkant
Als we van de 5 uitgaan, kunnen we bij dit middengetal een getal optellen, bv. 4. Het middengetal wordt dan 9; de som 3 x 9 = 27
De diagonaal linksboven/rechtsonder heeft als regel: – 1 en + 1 van het middengetal. Dat geeft de getallen 8 en 10; zoals je ziet; de 4 en de 6 van het 1e vierkant zijn ook 4 groter geworden, net als het middengetal.
De rest van het vierkant kun je met de bovengenoemde werkwijze vinden.
Het middengetal vermenigvuldigen:
We gaan weer uit van het 1e vierkant met middengetal 5. Dit vermenigvuldigen we met 3 = 15.
De som van de rijen, kolommen en diagonalen moet dan 3 x 15 zijn = 45
De diagonaal linksboven/rechtsonder heeft de getallen -1 en +1 van het middengetal; dit is echter met 3 vermenigvuldigd. Nu worden ook de -1 en +1 met 3 vermenigvuldigd, -3 en +3. De getallen zijn dan 12 en 18.
Dat geldt natuurlijk ook voor de middenverticaal: -2 en + 2 worden – 6 en + 6 =9 en 21
De getallen van de diagonaal rechtsboven/linksbeneden worden van + 3 en -3 nu + 9 en – 9, dus 24 en 6 .
De ontbrekende getallen kunnen nu worden gevonden. De som moet 45 zijn.
Het kan nog moeilijker gemaakt worden door zowel op te tellen als te vermenigvuldigen:
We gaan weer uit van het 1e vierkant met middengetal 5. Hierbij tellen we 3 op, = 8 en vermenigvuldigen nu met 4 = 32.
De som bedraagt nu 3 x 32 = 96.
De diagonaal linksboven/ rechtsonder heeft in het vierkant het getal 4. Dit wordt nu + 3 =7 x 4 = 28 en 6 + 3 = 9 x 4 = 36.
In het 1e vierkant is de middenverticaal 3 en 7, nu: 3 +3 =6 x4 = 24 en 7 +3 = 10 x 4 = 40
En zo verder.
Je kunt bv. ook nog vermenigvuldigen en aftrekken
bv. x 6 – 5
Uitgaande van het 1e vierkant met middengetal 5: 5 x 6 = 30 – 5 = 25
De som is dus 3 x 75
De diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen 4 en 6; deze worden nu: 4 x6 = 24 -5 = 19; 6 x 6 = 36 -5 = 31
Enzovoort.
Nog moeilijker wordt het wanneer je een kwadraat geeft met maar 2 getallen:
. 4 .
. 6 .
. . .
Het centrale getal is hier 6; de som moet dus 3 x 6 zijn.
De diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen – 1 en + 1, dus 5 en 7;
de middenverticaal: -2 en + 2, dus 4 en 8; de rest is hetzelfde te vinden, maar je ziet dat er nu wel het getal 10 in moet komen.
Nu blijkt ook dat er getallen nodig zijn, groter dan 9.
Er kan nog meer:
Stel: je geeft deze opgave:
4 . . 4 . . 4 . . 4 . .
. 7 . 9 7 . 9 7 5 9 7 5
8 . . 8 . . 8 . . 8 . 10 enz
4 11 6
9 7 5
8 3 10
De som moet 3 x 7 zijn: 21
De 1e verticale kolom: 4 + 8 = 12, ontbreekt de 9.
Middelste rij 9 + 7 = 16, ontbreekt de 5
Diagonaal linksboven/rechtsonder: ontbreekt de 10
Onderste rij: ontbreekt de 3
Laatste verticale ontbreekt de 6
Middelste verticaal ontbreekt de 11
Opgelost!
Je kunt gevonden vierkanten ook d.m.v. draaien tot nieuwe opgaven maken.
Uitgaande van het beginvierkant:
I.p.v. de diagonaal linksboven/rechtsonder te berekenen met – 1 en + 1, kun je ook doen alsof deze diagonaal de rechtsboven/linksonder diagonaal is, dus + 3; -3
Enzovoort
8 3 4
1 5 9
6 7 2
Je kunt ook de bovenrij met de benedenrij wisselen. En uiteraard de linkerkolom met de rechter.
Als je deze opgave krijgt:
14 . .
. 13 .
16 . .
weet je al de som: 3 x 13 = 39
Toch weet je niet meteen hoe de ‘oer’volgorde is. Er kunnen hier rijen en/of kolommen verwisseld zijn.
Duidelijk is dat de diagonaal linksboven/rechtsonder het patroon + 1; – 1 vertoont, dan ook naar rechtsonder -1 = 12
Als de diagonaal rechtsboven/linksonder ook de “oer’volgorde is, moet rechtsboven -3 genomen worden (immers t.o. de linksboven -, staat de rechtsboven +; in deze opgave dus omgekeerd)
Rechtsboven zou dus een 10 moeten staan en linksbeneden 16. Die staat er. Dan klopt het: middenkolom links wordt dan 9 en rechts 17. Overal is de som 39
Stel dat de 10 nog extra gegeven was op linksonder; dan komt de 16 rechtsboven en dan wisselen ook de andere getallen. Nu is echter de ‘oervolgorde’ van -2 en +2 verwisseld van middenvertikaal naar middenhorizontaal.
kanttekening:
Wanneer je ermee begint, lijkt het mij belangrijk dat de kinderen op groot ruitjespapier het “hok” met potlood en liniaal duidelijk aangeven.
Wat later kunnen ze gewoon puntjes zetten, wel mooi gelijk verdeeld onder- en naast elkaar; tenslotte heb je niet eens lijntjespapier meer nodig….., dan.
Je kunt hiermee ook goed variëren; het ene kind kan in het begin al veel meer dan het andere en opdrachten kunnen heel individueel worden gegeven. Laat de vlotte rekenaars vooral ook zelf vierkanten bedenken!
Wanneer je individueel controleert, leer je ook weer veel over waar de kinderen qua rekenbewerkingen staan en kun je van daaruit weer extra oefeningen doen.
*Alle varianten gaan uiteraard nog niet in de 3e klas; dus vanaf 4 is er ook nog van alles mogelijk. Bv. in klas 5, want met de decimale breuken gaat het ook.
Bv. middengetal 5,5; som = 16,5; diagonaal linksboven/rechtsonder:
4,5 en 6,5; rechtsboven/linksonder: 8,5 en 2, 5; middenvertikaal: 3,5 en 7,5, dus middenhorizontaal=9,5 en 1,5 (het valt meteen op dat bij de getallen van het oervierkant simpelweg 0,5 is opgeteld!)
De opgaven met maar 1 cijfer dwingen tot een logisch doorgevoerde strategie.
Gegeven:
. . 9
. . .
. . .
Je moet nu een keus maken. Waarvan kan deze 9 het gevolg zijn:
mogelijkheid 1:
de bekende strategie: het middengetal + 3. Dan is het middengetal 6. De som is dan 18 en het getal linksbeneden 3.
. . 9
. 6 .
3 . .
diagonaal linksboven/rechtsbeneden: 5, 6, 7. Nu heb je hem eigenlijk al.
Mogelijkheid 2: de 9 is het resultaat van – 3. Centrale getal dan 12. Som 36
De diagonaal linksboven/rechtsbeneden is dan + 1 en – 1 = 13 en 11. Je hebt hem dan weer.
Je kunt als opdracht ook zeggen: de 9 is het resultaat van -2. Ga je gang.
Centrale getal is dan 11, het andere diagonale getal 13.
De som = 3 x 11= 33
In het oervierkant stond links van de – 2 en + 2, de -1 en +1, dat kan ik hier ook doen. Dat wordt dan de middelste verticaal: -1 en + 1 = 10 en 12.
Nu kan ik vanuit de som alles vinden.
Het verdient aanbeveling om in je voorbereiding goed in je op te nemen hoe de strategieën gaan.
Kinderen vinden het ook geweldig wanneer ze jou een opdracht mogen geven; ze moeten alles dan goed begrepen hebben; want als ze tegen jou zeggen: rechtsonder staat bv. 40, dan moet jij het kunnen maken en zij moeten het antwoord al klaar hebben. Komt het resultaat niet overeen, dan kan één van de twee een fout hebben gemaakt of een andere strategie gekozen. De 40 kan het resultaat zijn van zowel +1 en -1; van + 3 en – 3 en van + 2 en -2.
Succes!
Rekenen 3e klas: alle artikelen
3e klas: alle artikelen
Rekenen: alle artikelen
VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas
123-118
.
.
.
.
.
VRIJESCHOOL 