VRIJESCHOOL – Rekenen (2)

.

MAGISCHE KWADRATEN

Een stimulans voor het rekenen in klas 3*

Hoe krijg ik het voor elkaar om het hoofdrekenen dat snel vervelend kan worden, in de 3e klas zo vorm te geven, dat het spannend is en leuk om zo oefenend te rekenen?

Een mogelijkheid biedt ons het construeren van een magisch vierkant

Hier volgen een paar voorbeelden hoe je deze vierkanten zelf kan maken.

Voor de 3e klas komen de kwadraten met 9 velden in aanmerking.

Wij noemden ze ‘tovervierkanten’.

rekenen 1

1.Je kiest een willekeurig middengetal, stel 5
De som van de cijfers is altijd 3 x het middengetal, hier: 15
(wanneer je deze doet moeten de kinderen wel weten dat het om de getallen 1 t/m 9 gaat.)

2.De diagonaal van linksboven naar rechtsonder is opgebouwd uit de
cijfers -1 en +1 van het middengetal, hier 4 en 6

3.De middenvertikaal is opgebouwd uit de cijfers -2 en + 2 van het
middengetal, hier dus 3 en 7

4.De diagonaal van rechtsboven naar linksonder is opgebouwd uit de cijfers
(let op: + 3 en – 3 van het middengetal, hier 8 en 2)

5.De linker vertikaal mist in het midden 15 – (4 + 2) = 9

6.De rechter vertikaal mist in het midden 15 – (8 + 6) = 1

rekenen 2

Gekozen als middengetal: 7

rekenen 3

Een getal bij het middengetal optellen:
Als we van het oerkwadraat uitgaan, kunnen we bij het middengetal een getal optellen, bv. 4. Het middengetal wordt dan 9; de som 3 x 9 = 27

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft als regel: – 1 en + 1 van het middengetal. Dat geeft de getallen 8 en 10; zoals je ziet, de 4 en de 6 van het oervierkant zijn ook 4 groter geworden, net als het middengetal.

De rest van het vierkant kun je met de bovengenoemde werkwijze vinden.

rekenen 4

Het middengetal vermenigvuldigen:
We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Dit vermenigvuldigen we met 3 = 15.
De som van de rijen, kolommen en diagonalen moet dan 3 x 15 zijn = 45

De diagonaal  linksboven/rechtsonder heeft de getallen -1 en +1 van het middengetal; dit is echter met 3 vermenigvuldigd. Nu worden ook de -1 en +1 met 3 vermenigvuldigd, -3 en +3. De getallen zijn dan 12 en 18.

Dat geldt natuurlijk ook voor de middenvertikaal: -2 en + 2 worden – 6 en + 6 =9 en 21

De getallen van de diagonaal rechtsboven/linksbeneden worden van + 3 en -3 nu + 9 en – 9, dus 24 en 6 .

De ontbrekende getallen kunnen nu worden gevonden. De som moet 45 zijn.

rekenen 5

Het kan nog moeilijker gemaakt worden door zowel op te tellen als te vermenigvuldigen:

We gaan weer uit van het oerkwadraat met middengetal 5. Hierbij tellen we 3 op, = 8 en vermenigvuldigen nu met 4 = 32.

De som bedraagt nu 3 x 32 = 96.

De diagonaal linksboven/ rechtsonder heeft in het oerkwadraat het getal 4. Dit wordt nu + 3 =7 x 4 = 28  en 6 + 3 = 9 x 4 = 36.

In het oerkwadraat is de middenvertikaal 3 en 7, nu: 3 +3 =6 x4 = 24 en 7 +3 = 10 x 4 = 40

En zo verder.

rekenen 6

Je kunt bv. ook nog vermenigvuldigen en aftrekken 

bv. x 6   – 5

uitgaande van het oerkwadraat met middengetal 5:   5 x 6 = 30 – 5 = 25
De som is dus 3 x 75
De diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen 4 en 6; deze worden nu: 4 x6 = 24 -5 = 19; 6 x 6 = 36 -5 = 31

Enzovoort.

Nog moeilijker wordt het wanneer je een kwadraat geeft met maar 2 getallen:

.             4            .

.             6            .

.              .            .

Het centrale getal is hier 6; de som moet dus 3 x 6 zijn.
De  diagonaal linksboven rechtsonder heeft de getallen – 1 en + 1, dus 5 en 7;
de middenvertikaal: -2 en + 2, dus 4 en 8; de rest is hetzelfde te vinden, maar je ziet dat er nu wel het getal 10 in moet komen.
(de kinderen moet dit wel worden gezegd)

Er kan nog meer:

Stel: je geeft deze opgave:

4       .       .               4     .     .          4     .     .          4      .      .

7      .               9     7     .         9     7     5         9     7     5

8     .        .               8     .     .          8     .     .            8     .     10      enz

De som moet 3 x 7 zijn: 21
De 1e vertikale kolom: 4 + 8 = 12, ontbreekt de 9.
Middelste rij 9 + 7 = 16, ontbreekt de 5
Diagonaal linksboven/rechtsonder: ontbreekt de 10
Onderste rij: ontbreekt de 3
Laatste vertikale ontbreekt de 6
Middelste vertikaal ontbreekt de 3
Opgelost!

Je kunt gevonden vierkanten ook d.m.v. draaien tot nieuwe opgaven maken.

Uitgaande van het oervierkant:
I.p.v. de diagonaal linksboven/rechtsonder te berekenen met – 1 en + 1, kun je ook doen alsof deze diagonaal de rechtsboven/linksonder diagonaal is, dus + 3; -3
Enzovoort

8     3     4

1     5     9

6     7     2

Je kunt ook de bovenrij met de benedenrij wisselen. En uiteraard de linkerkolom met de rechter.

Als je deze opgave krijgt:

14      .      .

.       13     .

16     .       .

weet je al  de som : 3 x 13 = 39
Toch weet je niet meteen hoe de ‘oer’volgorde is. Er kunnen hier rijen en/of kolommen verwisseld zijn.
Duidelijk is dat de diagonaal linksboven/rechtsonder het patroon + 1;  – 1 vertoont, dan ook naar rechtsonder -1 = 12

Als de diagonaal rechtsboven/linksonder ook de “oer’volgorde is, moet rechtsboven -3 genomen worden (immers t.o. de linksboven -, staat de rechtsboven +; in deze opgave dus omgekeerd)
Rechtsboven zou dus een 10 moeten staan en linksbeneden 16. Die staat er. Dan klopt het: middenkolom links wordt dan 9 en rechts 17. Overal is de som 39

Stel dat de 10 nog extra gegeven was op linksonder; dan komt de 16 rechtsboven en dan wisselen ook de andere getallen. Nu is echter de ‘oervolgorde’van -2 en +2 verwisseld van middenvertikaal naar middenhorizontaal.

bron: Thor Keller in Erziehungskunst jrg. 56, nr 8, 1992

kanttekening:
Wanneer je ermee begint, lijkt het mij belangrijk dat de kinderen op groot ruitjespapier het “hok” met potlood en liniaal duidelijk aangeven.
Wat later kunnen ze gewoon puntjes zetten, wel mooi gelijk verdeeld onder- en naast elkaar; tenslotte heb je niet eens lijntjespapier meer nodig….., dan.
Je kunt hiermee ook goed variëren; het ene kind kan in het begin al veel meer dan het andere en opdrachten kunnen heel individueel worden gegeven. Laat de vlotte rekenaars vooral ook zelf vierkanten bedenken!
Wanneer je individueel controleert, leer je ook weer veel over waar de kinderen qua rekenbewerkingen staan en kun je van daaruit weer extra oefeningen doen.
*Alle varianten gaan uiteraard nog niet in de 3e klas; dus vanaf 4 is er ook nog van alles mogelijk. Bv. in klas 5, want met de decimale breuken gaat het ook.

Bv. middengetal 5,5; som = 16,5; diagonaal linksboven/rechtsonder:
4,5  en 6,5;  rechtsboven/linksonder: 8,5 en 2, 5; middenvertikaal: 3,5 en 7,5, dus middenhorizontaal=9,5 en 1,5 (het valt meteen op dat bij de getallen van het oervierkant simpelweg 0,5 is opgeteld!)

De opgaven met maar 1 cijfer dwingen tot een logisch doorgevoerde strategie.

Gegeven:

.          .          9

.         .           .

.        .           .

Je moet nu een keus maken. Waarvan kan deze 9 het gevolg zijn:
mogelijkheid 1:
de bekende strategie: het middengetal + 3. Dan is het middengetal 6. De som is dan 18  en het getal linksbeneden 3.

.          .         9

.        6          .

3        .         .

diagonaal linksboven/rechtsbeneden: 5, 6, 7. Nu heb je hem eigenlijk al.

Mogelijkheid 2: de 9 is het resultaat van – 3. Centrale getal dan 12. Som 36
De diagonaal linksboven/rechtsbeneden is dan + 1  en  – 1 = 13 en 11. Je hebt hem dan weer.
Je kunt als opdracht ook zeggen: de 9 is het resultaat van -2. Ga je gang.
Centrale getal is dan 11, het andere diagonale getal 13.
De som = 3 x 11= 33
In het oervierkant stond links van de – 2 en + 2,  de -1 en +1, dat kan ik hier ook doen. Dat wordt dan de middelste vertikaal: -1 en + 1 =  10 en 12.
Nu kan ik vanuit de som alles vinden.

Het verdient aanbeveling om in je voorbereiding goed in je op te nemen hoe de strategiëen gaan.

Kinderen vinden het ook geweldig wanneer ze jou een opdracht mogen geven; ze moeten alles dan goed begrepen hebben; want als ze tegen jou zeggen: rechtsonder staat bv. 40, dan moet jij het kunnen maken en zij moeten het antwoord al klaar hebben. Komt het resultaat niet overeen, dan kan één van de twee een fout hebben gemaakt of een andere strategie gekozen. De 40 kan het resultaat zijn van zowel +1 en -1; van + 3 en – 3 en van + 2 en -2.

Succes!

 

Rekenen 3e klas: alle artikelen

3e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas

 

123-118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Advertenties

4 Reacties op “VRIJESCHOOL – Rekenen (2)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – REKENEN – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  2. Pingback: VRIJESCHOOL – REKENEN – alle artikelen | VRIJESCHOOL

  3. Pingback: WAT STAAT OP DEZE BLOG | VRIJESCHOOL

  4. Pingback: WAT STAAT OP DEZE BLOG | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s