Tagarchief: 5e klas rekenen

VRIJESCHOOL – 5e klas – rekenen (7)

.

Staartdelingen: best lastig om ze onder de knie te krijgen. Als je ze echt snapt, weet je welke beredeneerfouten hier worden gemaakt:

DE GOOCHEMERDS

Er waren eens drie leerlingen bij wie rekenen niet hun sterkste kant was. Hoofdrekenen wilde al helemaal niet. Maar ze waren wel ijverig en wanneer ze bij elkaar waren, gaven ze elkaar sommen op om door oefening vooruit te gaan.

Op een dag hielden ze zich bezig met een som die beslist niet makkelijk was, namelijk: hoe vaak zit de 7 in de 28.

Hoofdrekenen lukte dus niet en dus begon er een met een staartdeling en wel zo:

 

 

Dat wilden de andere twee toch narekenen, want ze hadden een vaag gevoel, dat er iets niet klopte. Maar om dat nu meteen te zeggen….ze wilden zich liever niet blootgeven. Dus zeiden ze allebei dat ze eerst de proef op de som wilden nemen.

De ene rekende uit:

‘Is goed!’, riep hij.

De andere vertrouwde het toch mog niet helemaal, het was hem te geheimzinnig: hij wilde het echt voor zich zien. En dus schreef hij zeven keer het getal 13 onder elkaar  en rekende:

13
13
13
13
13
13
13
__

Eerst telde hij alle drieën op en kreeg, heel goed……….,21; nu waren er nog 7 enen: dus 7, die telde hij er bij op, en…..28! ‘Het klopt!’, riep ook hij.

En zo gingen ze opgewekt uit elkaar met het gevoel deze keer eens goed gerekend te hebben.

Of heeft iemand een andere mening?
.

A.Strakosch, Zur Pädagogik Rudolf Steiners jrg.7 nr.3 08-1933
.

5e klas rekenen: alle artikelen

5e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

1297

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – cijferen

 

 

Rekenen; een mooi vak!

Wanneer men nog eens een blik werpt in de Camera Obscura van Hildebrand, een boek dat in 1839 voor het eerst ver­scheen, dan treft het begin van het boek; met een be­roemd versje begint het:
Hoe zalig, als de jongenskiel
Nog om de schouders glijdt!

Maar al spoedig volgt een tweede hoofdstuk, getiteld Kinderrampen. Dan beschrijft Hildebrand zijn school en, o, ellende, het vak Rekenen. De sommen hebben werkelijk kop noch staart; hoeveel schepels rogge er uit een be­rekening valt te halen is nog tot daar aan toe, groter kwelling is het voor een kind, wiens knikker net is af­genomen, om dan het rekenboek te moeten openen, dat ‘…. u sart met de 13de som, waarin u, om u als !t ware te tantaliseren, met de grootste koelbloedigheid een mooie voorstelling gedaan wordt van vijf jongens, zegge vijf, die tezamen zouden knikkeren, en waarvan de een bij de aanvang van ft spel bezat 20, zegge 20, knikkers, de tweede 30, de derde 50, de vierde – neen, het is niet uit te houden! de tranen komen er u bij in de ogen; maar daar zit gij, voor nog een geheel uur, en dan nog wel te cijferen. – Waarlijk ik houd het er voor, dat de meeste rekenboekmakers afstammelingen van koning Herodes zijn!…”   einde citaat.

Tot zover Hildebrand, die hiermee een geladen beeld geeft van een geladen vak: immers, het kunnen rekenen werd en wordt vaak nog steeds als maatstaf gezien voor de status van ‘de goede leerling’.

Nog steeds komt het voor, dat men een school of een klas meent te kunnen beoordelen naar de snelheid van haar rekenaars. – “Het rekenniveau in klas 6 is te laag!” zegt dan iemand die geen onmiddellijk antwoord van een kind krijgt op de vraag hoeveel 6 x 13 is.
Wat men daarbij uit het oog verliest, is de complexe vaardigheid die de wereld der getallen oproept bij het individuele kind; die vaardigheid nl., die niet altijd op afroep beschikbaar of afvraagbaar is en die voor ieder kind dus anders is.

Tevens degradeert men de activiteit “rekenen” tot alleen maar het cijferen van Hildebrand.

Het rekenen in de lagere klassen is geen cijferen. Het vreugdevolle schuiven, delen en krijgen van kastanjes, linzen of noten is een gevoelsrijk leven en beleven in de wereld der hoeveelheden. Daar komt zelfs begeerte en hebzucht om de hoek kijken. De juf of mees gaat door de klas met een mand kastanjes en ieder kind mag met twee handen een fikse greep doen. Heerlijk! Het Dagobert Duck-gevoel! “Hoeveel kastanjes heb jij?” “38!” “En jij?” “Maar 20.”

Even later moeten ze kastanjes weggeven om een som te spelen. Ze leren delen en aftrekken, maar wel met mora­liteit op de achtergrond.

Rudolf Steiner heeft erop .aangedrongen om het praktische denken te ontwikkelen naar aanleiding van de realiteit.  Een voorbeeld:

— Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z!n zak. Hij verloor er 12 onderweg. Hoeveel had hij er nog over? —
Een onjuiste en onlogische opgave, want is het waar­schijnlijk dat Hans wéét dat hij kastanjes verliest en ook nog het aantal in het oog houdt?

Het moet dan zo: “Hans vond 20 kastanjes. Hij deed ze in z’n zak. Toen hij thuiskwam, zaten er nog maar 8 in. Hoeveel had hij er dan wel verloren?”

Het kan nog erger in de vaak onzinnige en “bedachte” opgaven: “Een vader is 36 jaar oud, de moeder is 28 jaar en de kinderen zijn 5 en 3 en 1 jaar. Hoe oud zijn ze allemaal samen?” Een nutteloze vraag.

De vier hoofdbewerkingen worden aangeleerd op de meest verschillende manieren; praktisch, mondeling en schrif­telijk in de eerste drie klassen.

Hoe “ver” een klas hoort te zijn in een 1e of een 2e is natuurlijk niet te zeggen. Iedere klas is totaal ver­schillend; er zijn “jonge” klassen, drukke en beweeglijke klassen, jongens- of overwegend meisjesklassen enz. We laten dit over aan de discretie van de leraar(es) die deze klas en het leerproces jaar in jaar uit begeleidt.

Het cijferen onder elkaar.
Een reeks afspraken, die in voorafgaande jaren al zijn voorbereid, krijgen nu echt hun beslag, want rekenen “onder elkaar” moet nogal precies; waar schrijf je iets, wat onthoud je wel of juist niet, enz. Schriften worden op kleurige wijze afgewerkt; versierd, zeggen de kinderen. Maar een cijferschrift hoeft niet versierd. Hier is een andere schoonheid. Kaarsrecht staan “lossen” en “tienen” en honderdtallen onder elkaar. Hoe leer je de kinderen nu vermenigvuldigen onder elkaar? Een voorbeeld:

We beginnen met het oefenen van een tafel, b.v. van 4. We gaan nog even kort door de voorafgaande jaren:

het ritmische tellen: 4, 8, 12, 16, …
dan het melodieuze: 4=1 x 4; 8=2 x 4; 12=3 x 4; 16=4 x 4; …
tenslotte: 1 x 4=4; 2 x 4=8; 3 x 4=12; 4 x 4=16; …
en door elkaar: 7 x 4=28; 4 x4 =16; 6 x 4=24;

In het schrift: een notatie van wat we hebben opgezegd, we concentreren op ons  7 x 4,  4 x 4,  6 x 4,  5 x 4,  8 x 4. We kunnen dat nog korter opschrijven:

cijferen 1

Dit neemt veel ruimte in, dat vinden de kinderen ook. Kan het korter? Jawel, spring maar heen en weer op twee regels.

cijferen 2

Hoe werk je nu naar het “twee opschrijven en drie ont­houden”? Zo:

cijferen 3

Controle op een andere manier:

cijferen 4

Zo kan men zich voorstellen, dat de kinderen van de middenklassen het cijferen met de vier hoofdbewerkingen aanleren. En dan?

Moeten ze dan zómaar oefenen, met getallen die ook zómaar zijn opgeschreven in een boekje? Dat kan. Voor een tijdje is het best leuk om te merken, dat je willekeurige getal­len kunt optellen of aftrekken.

Het leven wordt echter een stuk spannender, als er on­vermoede verbanden blijken te zijn tussen de getallen!! Nemen wij

0 x 0 = 0
1 x 1 =  1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9

en trekken de antwoorden van elkaar af:

1 – 0 = 1
4 – 1 = 3
9 – 4 = 5

en deze ook weer van elkaar aftrekken:

3 – 1 = 2
5 -3 = 2

Het blijkt dan, dat het tweede verschil altijd 2 is!

cijferen 5

Met 3 cijfers wordt het:

0 x 0 x 0 = 0
1 x 1 x 1 =    1
2 x 2 x 2=  8
3 x 3 x 3 – = 27

Het eerste verschil:

1 – 0 = 1
8 – 1 = 7
27 – 88 = 19

het tweede verschil:

7 – 1 = 6
19 – 7 = 12

Het derde:

12 -6 = 6

Dan krijg je:

cijferen 6 . jpg

En zo kan men doorgaan met cijferen, waarbij de uitkomsten een uiterst interessant beeld geven.

Op deze manier wordt het eindeloze taak-rekenen vermeden in een enthousiastmakende periode.

Doen alle kinderen even hard mee? Neen, natuurlijk heb je verschillen in snelheid, maar dat kan bij deze aanpak.

De inspirerende man achter deze rekenkundige en wiskun­dige ontdekkingen is Dr. Hermann von Baravalle (1898-1973). Hij kwam in aanraking met de antroposofie op zijn 19e jaar en ontmoette Rudolf Steiner persoonlijk. Zijn keuze was toen bepaald en hij studeerde af in Wenen, wis- en natuurkunde. Hij werd een der eerste leerkrachten aan de Waldorfschule te Stuttgart; dat was in 1920. Op aanraden van Rudolf Steiner werkte hij hard aan zijn Engels en gaf ook les daarin. Toen de school in Stuttgart door de Nazi’s gesloten werd, ging hij via Engeland naar de V.S..

In 1933 had hij daar al een lezingentournee gehouden. Hij werd leraar aan de (vrije) Edgewood en High Mowing School en na enige jaren professor in de wiskunde aan de Universiteit van New York. Ook werkte hij in Los Angeles en Sacramento en ten slotte aan de opleiding voor vrijeschoolleraren in Detroit.

Zijn laatste levensjaren bracht hij weer door in Midden-Europa.

Zijn publicaties op het gebied van wiskunde, meetkunde, natuurkunde en astronomie omvatten meer dan duizend titels.

In zijn boeken (Zur Padagogik der Physik und Mathematik, Geometrie in Bildern, Die Geometrie des Pentagramms, The teaching of Arithmetic, enz.) heeft hij veel pio­nierswerk verricht, waarvoor we in ons onderwijs dank­baar en enthousiast kunnen zijn.

(M.v.d. Made, nadere gegevens onbekend)

Rekenen: alle artikelen

787

 

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e, 4e, 5e klas

In mijn verzameling artikelen trof ik onderstaande aan, een uit 1931.
Toen ik het doorlas, viel me op dat ‘1931’ niet te herkennen is uit de tekst, zij het dan dat de spelling niet die van nu is. En ook de ter sprake komende munten hebben we niet meer.

De ‘aanpak’ echter, is nog lang niet ‘achterhaald’. Je kunt je door deze manier van werken nog altijd laten inspireren.

(Opvalt dat de 10-delige breuken eerder aan bod komen dan de gewone)

OVER HET REKENEN IN DE 4DE EN 5DE KLAS.
In het vorige nummer van Ostara beschreef en verklaarde ik hoe het leeren van een vreemde taal (hier het Engelsch), in de klassen der lagere school, zich voornamelijk aanpast aan het Wils- of
Ledematensysteem (door middel van het bewegen, het doen) en het Rhythmisch systeem (d.w.z. het kunstzinnige: reciteeren, zingen, schilderen, enz.).

Het spreekt echter van zelf dat dit ook geldt voor het onderwijs in de vakken van het hoofdonderwijs, zooals rekenen, taal, enz..

Toch is het zeer begrijpelijk, dat bij velen de vraag opkomt: hoe is het mogelijk de kinderen het rekenen, het verdere rekenen, te leeren op een dergelijke wijze? Niet waar, juist bij het rekenen leeren, komt men zoo gauw in de verleiding te denken: dit moeten ze toch begrijpen en dat doen we met het intellect, het hoofd. Dus: allemaal rustig zitten, kijken naar het bord, en opletten! En nu wordt er uitgelegd.

Een dergelijke behandeling is juist voor kinderen van 10 en 11 jaar nog volkomen ernaast. Weten we niet allen veel te goed hoeveel moeite het de meeste kinderen kost de hun zoo „vóór-gedachte” gedachtengangen te volgen en dan later zelf weer na te denken, als ze de toepassingen moeten maken? Zelfs al zien ze de verschillende begrippen erbij op het bord ontstaan, dan is het gewoonlijk nog voor de kinderen te zwaar deze begrippen over te nemen en er zelf mee te werken. Alleen de begaafde kinderen kunnen het zoo aan­vaarden, maar ook voor hen is het een herseninspanning, die op hun leeftijd dikwijls zeer verkeerd en bovendien onnoodig is.

Even onnoodig als het voor een fietser is om te „begrijpen” welke spieren, en hoe hij die bij het fietsen gebruikt om vooruit te komen en zijn evenwicht te bewaren. Hij „begrijpt” immers uit het doen vanzelf hoe hij ze gebruiken moet, hij doet ‘t, éénvoudig!

Zoo kan het ook met het rekenen.

Het rekenen in de 4de klas brengt den kinderen een geheel nieuw onderwerp: de breuken.

Tot nu toe hebben ze met geheele getallen gewerkt, alle vier
hoofdbewerkingen zijn hun bekend en de tafels hebben de meesten
onder de knie.

Van oudere broertjes of zusjes hebben ze al gehoord over de breuken, maar niet zoo, dat ze er zich een goede voorstelling van kunnen maken. Nog heeft voor hen het woord een geheimzinnige klank: dit wekt bij hen op een verwachting van iets moois, dat hen dichter, nader zal brengen tot het begrijpen van de aarde. Die mooie, groote geheimzinnige aarde! En ook tot de „groote menschen”, die ze zoo bewonderen en daarom ook zoo graag willen begrijpen.

Is het niet te bewonderen, zooals moeder bij de kruidenier of in een andere winkel, snel de uitgaven berekent, vlugger of even vlug als de winkelier, om dan, als ze het bonnetje krijgt, met één blik te controleeren of het goed is: Ja, ƒ 1.75? Het kind wipt op zijn teenen om over moeders hand ook even het bonnetje in te zien en kijkt een beetje onthutst naar het getalletje 1.75, waarvan het de uitspraak nog niet zelf kent.

Op een goeden morgen komen de kinderen in school; ze weten: vandaag begint een nieuwe rekenperiode, ze gaan de breuken leeren! — en ziet, wel twee tafeltjes voor de klas en daarop uitgestald een weegschaal, een kom met noten en wilde kastanjes, die ze zelf gezocht hebben voor dit doel, maar dan nog het vreemdste van alles: een echt gouden tientje, 9 zilveren guldens, 9 dubbeltjes en 10 centen.

Voor dat ze het weten is de les begonnen. Alles wat los zit in de klas mag verkocht! Eén is winkelier, verschillende mogen inkoopen doen, telkens staat er één voor het bord om de uitgaven op te schrijven. Maar niets wordt opgeschreven zonder dat we ’t allen samen hebben gezegd. Bijv. 1 kilo noten kost ƒ 1.20. Al spoedig blijkt dat ook de schrijfwijze geen groot bezwaar is: de 2 staat op de plaats van de dubbeltjes, de o op die van de centen.

Nu hoeven we maar toe te tasten: overal liggen de
aanknoopingspunten voor het leeren van de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken.

Dat er 10 centen in een dubbeltje gaan en honderd in een gulden weten ze nu allen en we doen dan ook ongemerkt de stap 1 cent = 0,1 dubbeltje en 0,01 gulden.

Wanneer we hun nu vertellen, dat cent en honderd hetzelfde woord is, spreekt ’t dus voor hen vanzelf dat 1 centigram = 0,01 gram en 1 centimeter = 0,01 meter.

We hoeven dus niet lang bij het geld te blijven stil staan. Spoedig genoeg zal dit toch wel een rol gaan spelen in hun leven! Het was hier slechts een bruggetje om uit de praktijk van ’t leven, waar hun interesse op deze leeftijd wakker genoeg voor is, te komen tot het rekenen. De gewichten, die ze gebruikt hebben, voeren ons tot het leeren van de namen deci, deca, hecto, enz..

Onder de hand schreven we, op het schoone bord, alle dingen die we zoo samen „gevonden” hebben, netjes onder elkaar:

1 goudtientje = 10 gulden; 1 gulden = 0,1 goudtientje;
1 gulden = 10 dubbeltjes; 1 dubbeltje = 0,1 gulden, enz.;

en een nieuwe rij:

1 kilogram = 10 hectogram; 1 hg = 0,1 kg;
1 hectogram = 10 decagram; 1 dg = 0,1 hg, enz..

Deze twee rijen worden nu klassikaal gereciteerd, liefst in een vast rhythme.

De schrijfwijze geeft ook niet veel moeite, we sluiten gewoon aan bij de plaatsen van de „éénen” en de tientallen, enz. in de geheele getallen; naast het kleinste geheele getal komt de komma en dan de tienden, de honderdtallen enz.. Het komma-spelletje helpt de kin­deren er bij: voor de klas plaatsen we een heele rij kinderen, die achteréén volgens een aantal kilogrammen, hectogrammen, enz. mogen voorstellen. Een kleine vluggerd mag de „komma” zijn, hij krijgt hiervoor een duidelijk teeken, bijv. een roode muts op, en zit eerst op den grond, tusschen grammen en decigrammen. Élk kind noemt nu op de beurt zijn aantal en één schrijft  het op: 8744,572 gram. Nu willen we er hectogram van maken, weg moet dan de komma en naar zijn nieuwe plaatsje, want nu zijn de hectogrammen de kleinste „geheelen”. Nu decigrammen, dan weer kilogrammen, vlug wipt de komma heen en weer, als we de gewenschte naam uit­spreken moet hij al weg zijn van zijn plaats om de nieuwe te zoeken. Vlug genoeg kunnen ze het nu ook in hun schrift.

Een andere draad nemen we op: er staan nog op het eerste bord de uitgaven van het winkeltje-spelen. Als we eens uitrekenden hoe­veel we samen uitgegeven hebben? We vinden dat, even goed als we voor 10 tientallen een honderdtal mogen opschrijven, we nu ook voor 10 honderdsten 1 tiende kunnen rekenen. En binnen enkele minuten rekenen ze er lustig op los.

Wat is er nu eigenlijk in den loop van den ochtend gebeurd? Wat hebben we met de kinderen gedaan?

Ja, we hebben veel met hen gedaan, maar het meeste hebben ze zelf gedaan: ze hebben rond geloopen door de klas, ze hebben even in de gang elkaars mutsen opgezet of een jas binnenste-buiten aan­getrokken, om er als een gefingeerde „klant” uit te zien; ze hebben zich ingespannen om den „winkelier” ‘van de wijs te brengen, door hun wenschen zoo te kiezen, dat het bedrag zoo groot mogelijk werd, of zóó dat ze maar een centje armer de gefantaseerde winkeldeur achter zich dichttrokken; ze hebben.gelachen om den winkelier die zich vergiste, en hun verontwaardiging luidruchtig geuit om de heb­zuchtige klant, die de „heele klas” voor ƒ 20,— thuisgestuurd wilde hebben. Ze hebben ook gereciteerd en tot slot zelf met de nieuwe sommen gerekend. Hun geheele wezen heeft zich met dit rekenen kunnen verbinden: het willen in het doen, het voelen in het reciteeren en in het spelen, het voorstellen — want het denken is op dezen leeftijd nog voornamelijk voorstellen — in de fantasie, die zij bij alles ontwikkelden.

Van zelf spreekt het, dat dit alles nog maar een grondslag is, waarop in den verderen loop der periode het werken met de munten, maten en gewichten en de tiendeelige breuken moet worden opge­bouwd. Maar bij het leeren van elke nieuwe moeilijkheid gaan we weer op een zelfde wijze te werk.

Verder moeten de kinderen zelf het geleerde oefenen. Hieraan kan steeds meer tijd besteed worden. Ja, zelfs kunnen we dit oefe­nen, het gewone cijferen, door de andere perioden heen, elken dag even blijven doen, wanneer dit voor een klas gewenscht is. Doch ook bij dit gewone oefenen vergeten we niet steeds den kinderen een gelegenheid te geven hun eigen fantasie te gebruiken.

Ze mogen, moeten zelfs, zooveel mogelijk de opgaven zelf ver­zinnen. Dit laatste schept immers de mogelijkheid, dat alle kinderen eraan kunnen meedoen. Al zijn er in de klas kinderen die 4 of 5 opgaven als 87,94/78549,762/ uitrekenen, en anderen, die, in den­zelfden tijd, 2 opgaven als 1,25/62,5/; allen leeren en oefenen ze het werken met de tiendeelige breuken en ontwikkelen zich naar hun vermogen, zonder dat deze ontwikkeling door eenige pressie of rem zou worden geforceerd.

Alle kinderen uit de klas hebben aan een dusdanig onderwijs kunnen meedoen.

Over de gewone breuken, die op de tiendeelige volgen, een andere keer

(Ostara, vrijeschool Den Haag, 4/1. febr. 1931 H. JANSSEN VAN RAAY)

Rekenen 4e klas: alle artikelen

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 5e klas rekenen – alle artikelen

.

Let op: ‘mijnheer Van Dale wacht iets anders op antwoord’:

[1]
Rekenen en wiskunde
Het binnenste buiten over: achtergronden; leerstof; voorbeelden: meten, oppervlakte, breuken, gelijknamig maken; cijferen, hoofdrekenen, schatten.

(2) Schriftelijk rekenen met breuken met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende ‘ uitkomsten

(3) De 4 bewerkingen door de jaren heen

(4) Schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

(5winkeltje; geld; metriek stelsel

(6) Cijferen

(7) De goochemerds
Een vermenigvuldiging die langs wonderlijke weg als ‘goed’ wordt bewezen

.

5e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

Vrijeschool in beeld:

.

540-495

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 5e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

.

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar
In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

5e klas

Leerstof:
Voortzetting van het geleerde in klas IV. Meten, berekeningen met maten. Wegen, berekeningen met gewichten. Tiendelige breuken. Cijferen in de vier hoofdbewerkingen, ook met getallen achter de komma. Schatten.

Hoe gaat het toe

Menselijke maten
Een van de leukste perioden van deze klas is de periode ‘menselijke maten‘, als overgang tot het normale metrieke stelsel. De leerkracht vertelt de kinderen hoe er vroeger werd gemeten.

Hij introduceert de voet, de duim, de el, de vadem en vertelt waar ze (bij) gebruikt werden. Uiteraard is de inleiding kort, want het gaat erom dat de kinderen zélf gaan meten.

Ze waaieren uit naar de gangen van de school, om daar gedeelten met voeten af te passen. Terug in de klas wordt het resultaat snel genoteerd. Dan gaan ze opnieuw op pad. Als allen weer zitten, mogen de kinderen om de beurt voorlezen hoeveel voet volgens hen de gangen naast de klas lang en breed zijn. Met welk een interesse luisteren ze naar elkaar! Gejuich gaat op als iemand ontdekt dat een ander net zo veel voet heeft gemeten als hij!

Daarna vertelt de leerkracht dat men vroeger al die verschillende voetmaten lastig vond worden en daarom van één soort voet ging spreken: In Amsterdam van de Amsterdamse voet (28,5 cm); in Engeland van de Engelse voet (30,5 cm) en in het Rijnland van de Rijnlandse voet (31,5 cm).

Elk kind mag thuis de voeten van zijn ouders meten. Gelach de volgende dag als iemand een vader heeft met een voet nog groter dan de Rijnlandse! Maar sympathiek gelach en vol interesse. In een nieuw schrift wordt eerst de mens getekend met zijn maten. Daarna mag elk kind zich zelf tekenen met zijn eigen maten. Dan wordt in het schrift het resultaat neergelegd van het meten van de gangen en van al het andere dat intussen is gemeten. Wanneer er een dag of tien met de menselijke maat is gewerkt, gaan we over op de meter. Deze kan nu geen kwaad meer doen. Door het werken met de menselijke maat is de betrokkenheid van de kinderen op hun naaste omgeving en op elkaar zo toegenomen, dat het gevaar van kille ‘afgemetenheid’ geweken is. Op deze basis kunnen wij met een gerust geweten het metrieke stelsel introduceren.

Oppervlaktematen
De eerste dag van deze periode begint de leerkracht met een schoon en droog bord. Hij neemt een natte spons en laat een leerling keurige rijtjes afdrukken maken. Naast elkaar, netjes aaneengesloten.

Zo ziet men dat het hele bord door sponsafdrukjes bedekt kan worden. Deze afdrukjes worden geteld. Hetzelfde doet de leerkracht met de tafel.

De bedoeling is duidelijk. Het begrip oppervlakte wordt zichtbaar gemaakt. Vervolgens gaan de kinderen aan de slag. De bank bedekken met blaadjes van de blocnote. De stoel. De vensterbank. De bank bedekken met natte afdrukjes van de palm van de hand, zonder de vingers, dan krijgt men praktisch een vierkantje. Dit met verf op een vel papier. Hetzelfde met duimafdrukken, enz.

De leerkracht geeft opdracht om alle mogelijke oppervlaktes te meten met iets van hun lichaam, de voet mag dus ook. De mens is de maat van alle dingen. Er wordt een ‘opmeter’ aangewezen en iemand die het opschrijft. De volgende dag worden alle resultaten gerubriceerd, met vermelding van de persoonlijke maat.

De boekentafel is:

58 handpalmen van Boris en
62 handpalmen van Freek en
60 handpalmen van Marielle enz.

Zo komen we gezamenlijk tot het kiezen van een
standaard-eenheidsmaat. Bijvoorbeeld schriften.
‘Bedek de tafel met schriften.’ Ze ontdekken dat je stukjes overhoudt, er is behoefte aan halve schriftjes, aan een kleinere eenheid.

De volgende dag enkele aantekeningen en conclusies van ‘gisteren’ en dan naar de grote oppervlakken.

De gang.
De speelplaats.
De eenheden zijn hier de tegels.
Groepjes krijgen de opdracht om oppervlaktes te meten. Een leerling begint tegeltjes in de gang te tellen.

‘Nee, joh, dat moet je zo doen,’ zegt een ander en telt de tegels in de lengte en breedte. Zo groeit de klas vanzelf naar het begrip, dat nog in het verschiet ligt, namelijk lengte maal breedte.

Terug in de klas wordt alles getekend.
Het moet er weer netjes uitzien, er ontstaan mooie tegelveldjes.

bb 85

 

6 tegels
1e rij van 6 tegels
2e rij van 6 tegels
3e rij van 6 tegels
4e rij van 6 tegels
5e rij van 6 tegels

er zitten 6 tegels op een rij
er zijn 5 rijen van 6 tegels
dat is dus 5 x 6 = 30 tegels

Nu voert de leerkracht de algemeen bekende standaardmaten in. De wens naar een standaardmaat, die ze allen gehad hebben, wordt zo vervuld.

‘Deze maat geldt voor iedereen, voor alle mensen in Europa’

Veel voorbeelden, veel tekeningen, die later wel losgelaten kunnen worden, maar in het begin moeten ze er zeker bij.

Tenslotte moeten ze dezelfde soort sommen maken, maar nu met vierkanten van

1     cm
10   cm
100 cm
1     dm
10   dm
1     m

Eerst tekenen, tenslotte komt daaruit:
1 dm2 = 100 cm2 en…

En?
1 m2 = 10.000 cm2!

Dat laatste wekt enige verbazing. Zoveel? Laten we het dan maar natekenen als je het niet gelooft. Vrij snel zijn ze er dan achter dat het echt klopt.

Het is zaak de voorbeelden en sommetjes leuk en tamelijk eenvoudig te houden.

Naast het perioderekenen is er vanaf de vierde klas een rekenoefenuurtje. Hier kan men dan, als een en ander de tijd heeft gekregen om te bezinken, te zijner tijd de zaak uitbreiden, tot alle oppervlaktematen gekend zijn. Dan kan ermee gerekend worden.

Breuken
Bij het rekenen met breuken in de vier hoofdbewerkingen komen ons de temperamenten te hulp.

Ter illustratie vier eenvoudige voorbeelden waarbij we onze vrienden, de breuken, terugvinden in de gewone orde der getallenrij

Optellen
3 ¼ + 21/5

+, dat zijn de sommen van het ordenen, netjes alles naast elkaar. Liefst nog alles van hetzelfde soort naast elkaar. Zoals Poeh zijn potjes honing neerzette. Als hij de kans kreeg zette hij lindehoning naast lindehoning en heidehoning naast heidehoning.

Helen kunnen rustig bij elkaar geteld worden. Dat weten we al. Maar ¼ plus 1/5, dat bestaat niet! We moeten er echt dezelfde stukjes van maken. Door het reciteren van

1/42/3=  5/20… en van

1/52/10 = 4/20

is gelijknamig maken geen probleem.

Alleen dat je gelijknamig moet maken is de moeilijke ‘leerstap’. Deze kan echter in de flegmatische sfeer worden genomen. Het is eigenlijk zo: Bij een bepaald gezicht dat de leerkracht zet bij een bepaalde, een bijna verdacht rustige presentatie moet er gelijknamig worden gemaakt, maar mogen de helen blijven staan.
De som is niet moeilijk, maar moet nog rustig worden afgewerkt.

Aftrekkenn
3 1/4 – 2 1/5

_ De som is methodisch hetzelfde, alleen mét de kans op narigheid. Dit is didactisch een geluk want nu past de som in de melancholische sfeer!
Wanneer er meer stukken moeten worden afgetroken dan er zijn, dan moet er een hele worden aangesneden! Zonde van die mooie hele, maar ja, wat doe je eraan?
De afwerking van de som is niet moeilijk, als het principe maar begrepen is.
Wederom begrijpen de kinderen dit uit de mimiek en het gebaar van de leerkracht.

Vermenigvuldigen
9/14  x  2/3

Hoera! Nu geen ellende.
X Het maalteken is een blij teken. Geen gezeur. De cijfers onder en boven de breukstreep kijken elkaar vrolijk aan. Hebben ze misschien gemeenschappelijke familie?

Ja? Wie dan? Horen ze beide tot de familie van 3? Even uitzoeken…. ja? Dat is toevallig! Nu dan kan men daar kort over zijn, als men beide die drie kent — Laten we die drie eruit strepen. Etc.

Natuurlijk, dit zijn moeilijke leerstappen, maar in een bepaalde sfeer is het toch snel aangewend. Echt begrepen wordt het later. (Uiteraard legt men het principe wél van te voren goed uit — het plechtige begin — dit wordt echter maar door weinigen individueel werkelijk begrepen.) Het enige wat een x-som kan bederven is als er helen staan. Die moeten dus snel worden weggewerkt.

Delen
3/17 : 9/34

:  Dat delen vermenigvuldigen is met het omgekeerde wordt een paar maal uitgelegd.* De volgende dagen klassikaal gereciteerd. Verder wordt het delen veel gedaan. Wordt er domweg veel gedeeld. Het radicaal op zijn kop zetten heeft iets cholerisch. Aan de houding van de leerkracht is te zien wat er met de som moet gebeuren.

Waarom dit alles? Waarom deze ‘trucs’?

De kinderen moeten in hun gevoelsverhouding tot de getallen niet geremd worden. Zij moeten integendeel zorgeloos met de getallen durven jongleren. Vooral uit ervaring weten ze dat het goed is wat ze doen.

Dit kunnen is de basis voor het verdere rekenen en ook voor de serieuze begripsvorming later.

Cijferen
Er zijn leerkrachten die het ‘onder elkaar’ al in de 4e introduceren. Dat kan, als het maar niet ten koste van het hoofdrekenen gaat.

Cijferen, dat is wel het summum van routinerekenen:

3,00861 x 97,725

Vooruit, onder elkaar

97,725
3,00861 x je begint met 1 x 5.

Wacht eens even, er staat

één honderd duizendste maal vijf duizendsten. Nou ja, dat zien we straks wel, dan tellen we de komma’s af, 3 + 5 = 8 plaatsen. Dat wordt dus 1 x 5, 1 x 2, 1 x 7, 1 x 7, we springen gewoon over die komma heen… Bij de tweede regel één inspringen

6 x 5 = 30, de 0 op de goede plaats.
Het is allemaal wel uit te leggen, dat als je het zó doet, alles op zijn pootjes terecht komt, maar het is levensvreemd, abstract.

Een normaal mens zegt

3,00861 x 97,725,
dat is ongeveer 3 x 100 – 3 x 2 dus geschat 294.

Normaal is, dat men bij de grote brokken begint en dan de kleine stukjes zoveel mogelijk bij elkaar veegt. Vermenigvuldigen in cijfervorm begint bij de pietepeutertjes. Dat is zo iets als: ‘Wat eten wij vandaag?’ ‘Nou, peper en zout – – enne – –

Bij het hoofdrekenen blijf je half rekenend, half schattend sterk verbonden met het betreffende vraagstuk, je bent verbonden met de orde van grootte waarin zich iets afspeelt. Cijferen trekt zich nergens iets van aan. In de 4e hoeft men nog niet te beginnen** met het cijferen, de machinale rekenvorm, maar in de 5e moet het wel. En wel zo, dat wij naast deze automatismen het hoofdrekenen blijven beoefenen, met name het schatten.

Begrijp me goed, dat in elkaar passen van al die deelproducten, dat ordelijk afwerken, zodat er niets vergeten wordt, dat is slim bedacht. Natuurlijk moeten de kinderen onze bewondering voor zo veel scherpzinnigheid delen. Men kan echter ook te slim zijn en dan loop je behoorlijk tegen de lamp. Eén klein kommaatje fout — en je zit er totaal naast. Men zou de leerlingen ertoe kunnen brengen al hun werk eerst zelf na te kijken, alvorens het in te leveren. Maar meestal valt een kind zijn zelfgemaakte fout niet op. Beter werkt de remedie om de uitkomst van te voren te schatten. Gewoon opschrijven: geschat 294, en dat aan het eind vergelijken met het resultaat van het cijferen.

Voor een deling als

610628 : 89 schatten: 7 x, nee toch maar 6 x, is een zekere mobiliteit nodig. Daar spelen door elkaar de (geschatte) 7 x 8 en de 7 x 9. Als de leerlingen eerst de 7 x gaan proberen en ze merken, dat dat te veel is, dat het 6 x moet zijn, dan leidt dat meestentijds tot veel geknoei — en natuurlijk ook tot tijdverlies.

Als afsluiting.
Wellicht vindt u de 3,00861 x 97,725

een wat extreem voorbeeld voor een vijfde klas. Het ging mij hier echter niet om de getallen maar om de wijze van omgaan met het cijferen. Daarom werd hier als tegenwicht het schatten ingevoerd. In tegenstelling tot het cijferen is schatten een zeer persoonlijke activiteit waarbij ook het gevoel ingeschakeld is. In het schatten ligt op subtiele wijze een zeker spelelement besloten. Heeft men iets goed geschat, dan geeft dat een veel prettiger gevoel dan wanneer met iets goed heeft uitgerekend. Cijferen is een zuiver intellectuele bezigheid waar men in de 5e wat voorzichtig mee moet omgaan.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Dit soort sommen zijn voor kinderen te abstract. Wat gebeurt er eigenlijk. Om een antwoord te vinden, kun je natuurlijk het ‘omgekeerd vemenigvuldigen’ toepassen, maar het begrip voor wat er gebeurt, ontstaat daardoor niet.

Wanneer je vraagt: hoe vaak zit de 2 in de 10, weten de kinderen: 5.
Wanneer dit overbekende wordt opgeschreven, is dit de vorm:10 : 2 = 5.
Hoe vaak zit er een halve in 2. Ook dat lukt wel: 4. Hoe schrijf je dat op: hoe vaak zit enz. Wel, bij 10: 2 = …Zo!|
Dus nu: 2 : 1/= 4 En later: hoe vaak zit er 1/in 1/:
1/1/= 2
Wanneer de kinderen goed begrijpen dat “hoe vaak zit erin”  synoniem is voor “hoeveel KEER’ en dat weer synoniem voor “gedeeld door”, is het begrip voor ‘delen met of door een breuk’ veel reëler.
Wanneer er een redelijke zekerheid is ontstaan voor dit proces, kun je eens vragen of ze in bv. 2 : 1/2 het antwoord 4, zien – ligt dat ergens ‘verborgen’ voor het oprapen. Een aantal kinderen ziet wel dat 2 x 2    4 is. Hoe zou je die som dan moeten opschrijven om tot het antwoord 4 te komen. Ja, omkeren: 2 x 2/14/= 4. Daaruit volgt dat 2 : 1/2 ook kan worden geschreven als 2 x 2!

**Ik ben van mening dat je in klas 3 al kan/moet beginnen, met bv. veel eenheden bij elkaar optellen die in een lange rij eerst naast elkaar, maar dan ook onder elkaar staan: 3 + 5 + 9 + 7 + 1 enz. Dit is ook hoofdrekenen. Tevens ontstaat zo de mogelijkheid om het ‘handig’ rekenen te ontwikkelen: 7 + 3 = 10; 9 +1 = 10 enz.

.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

.

5e klas rekenenalle artikelen

5e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 5e klas

.

527-486

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.