Tagarchief: rekenen 4e klas

VRIJESCHOOL –– Het leerplan – Caroline von Heydebrand (4e klas)

.

Kort na het overlijden van Rudolf Steiner in maart 1925 verscheen voor de eerste keer een schriftelijke weergave van het leerplan van de vrijeschool.
Die werd samengesteld door Caroline von Heydebrand die vanaf het begin in 1919 aan de vrijeschool in Stuttgart was verbonden. Zij had ook de begincursus – GA 293294 en 295 – bijgewoond en de vele lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner (GA 300abc). 
In de jaren 1919 – 1925 tekenden zich de contouren van een leerplan af dat nadien in grote lijnen hetzelfde is gebleven.
Dat betekent echter niet dat het ‘achterhaald’ zou zijn. In velerlei opzichten zijn de ideeën nog altijd even verfrissend en laten ruimte voor ontwikkeling.

Caroline von Heydebrand, Mitteilungsblatt, okt. 1925

.

HET SCHOOLKIND VAN HET NEGENDE JAAR tot het elfde jaar

Het negende jaar betekent een belangrijke ingrijpende gebeurtenis in de ontwikkeling van de wordende mens en moet in opvoeding en onderwijs zorgvuldig waargenomen worden en serieus genomen. Het is de leeftijd waarop het kind zijn losmaken van de omgeving waarmee het zo vanzelfsprekend samenleefde, nu echt voltrekt. Zijn Ik-bewustzijn wordt merkbaar groter, zijn zielsleven wordt innerlijker. Alle bewustzijnskrachten gaan zich roeren. Het kind wil de wereld en de opvoeder van een nieuwe kant leren kennen, het wil bewust vereren wat het voordien op een kinderlijke wijze liefhad, maar het wil ook merken dat zijn verering terecht is. Deze leeftijdsfase doet een groot beroep op de wijsheid en tact van de leerkracht. Hij moet het kind voor teleurstellingen behoeden die het in deze tijd, juist wat betreft de volwassen mens, makkelijk kan overkomen.

De vierde klas

[De vakken zijn door mij in alfabetische volgorde gezet]

Aardrijkskunde  zie heemkunde

Biologie

In het negende levensjaar van het kind mag de leerkracht ertoe overgaan van de fantasievol-morele behandeling van de natuurrijken, naar een manier van kijken waarbij het kind meer objectief waarnemend en erover denkend de natuurfenomenen benadert.
De eigenlijke biologie begint wanneer het kind door zijn eigen wezen deze grotere objectiviteit ontwikkeld heeft.
Op kunstzinnige manier en met eerbied wordt vooraf op een elementaire manier een menskunde aan het kind meegegeven, daarna de dierenwereld met zijn bijzondere relatie tot de mens.
Er worden dieren besproken en hun wezen wordt vergeleken met dat van de mens. Zo leren de kinderen de veelvuldigheid van de dierenwereld ervaren die in de mens tot een vaste ordening en harmonie verenigd is.

Euritmie

Zoals in de Nederlandse en niet-Nederlandse taal de grammatica ervan vanuit het bewustzijn begrepen gaat worden, zo wordt ook in de euritmie begonnen de grammaticale elementen van de taal in ruimtelijke vormen zichtbaar te maken. De vormen voor de werkwoorden en zelfstandige naamwoorden worden door het kind ruimtelijk weergegeven. Een naar voren gelopen rechte lijn wordt door een kind anders beleefd dan een lijn die naar achteren gaat; een cirkelboog naar voren anders dan naar achter enz. Door dergelijke vormen die de uitdrukking zijn voor het wezenklijke in een woord, begrijpt het kind het grammaticale van de taal niet alleen met het hoofd, maar met zijn hele gevoels- en wilsleven.
Groepsoefeningen voor het sociale worden intensiever gedaan en er komen nieuwe bij: bv. ‘planetendans’, spiraaloefeningen voor ‘vraag en antwoord’, ‘energie- en vredesdans’ enz. Omdat in het hoofdonderwijs de Siegfriedsage wordt behandeld, kan er met deze tekst aan alliteratie-oefeningen gewerkt worden.

Tooneuritmie

In de tooneuritmie wordt overgegaan tot het leren van de eenvoudige kruis- en moltoonsoorten en tot het uitbeelden van melodieën daarin. Ook hier wordt er rekening mee gehouden dat het kind in zijn negende, tiende jaar met een ander bewustzijn dan dat nog toe in de wereld staat. Kruis en mol beginnen hier pas een zekere inhoud voor het kind te krijgen. Daarom kan in de tooneuritmie de intervalbeweging voor de grote en kleine terts aan het kind worden geleerd. Het mineur-achtige van de muziek wordt echter euritmisch nog niet uitgewerkt, omdat het wezen van de tienjarige nog niet toe is aan het begrijpend meebeleven van het zo diep naar binnen gaan van het muzikale in de aardse mens.
Het weergeven van de intervallen en tonen is een buitengewoon werkzaam middel voor de gehoorsvorming. Nu kan ook begonnen worden om het kind muzikaal-instrumentale ritmen te laten horen en door het lopen dat daarbij hoort, de lange en korte passen te laten uitbeelden.

Gymnastiek

Aan de apparaten zoals in klas 3. Voornamelijk gaat het om: wandrek, touwen, ringen, paard, bok, en om te springen. 

[Er staat nog bij ‘Reigen’, waarvoor een vertaling ‘rei- rondedansen’ is]

Handwerken

De kinderen leren exact naaien en de verschillende steeksoorten, bv. aan een kleine handwerktas. Daarbij kan het kunstzinnig vormgeven verder worden ervaren door de tas op een zinvolle manier te borduren zodat ook bij het borduren van de tas gekeken wordt naar hoe die als vorm is gemaakt. Het opsieren van een voorwerp moet zo worden gedaan dat het kind de zin ervan tot uitdrukkung kan brengen.

Heemkunde

De omgeving denkend benaderen wordt toegepast op de geschiedenis en aardrijkskunde van de omgeving van het kind. Wat er in het thuisgebied van het kind aanwezig is, wordt in zijn ontstaan geschiedkundig bekeken. Je vertelt bv. hoe fruitteelt en wijnbereiding in de omgeving kwamen, hoe de verschillende industrieën in de omgeving zijn ontstaan enz.

Muziek

Van het tiende tot het twaalfde jaar laat je het kind de grote en kleine terts beleven. Gebruikte je in de eerste schooljaren de muziek om het kind te leren luisteren en zingen, dan werk je nu zo dat het kind zich kan aanpassen aan wat de muzikale kunst vraagt.
Eenvoudige theoretische begrippen laat je aan ritmische, melodieuze, harmonische oefeningen ontstaan. Luisterend leert het kennen wat muzikaal waardevol is.

De 4e klas in het bijzonder:

Het lezen van noten wordt voortgezet. Er wordt tweestemmig gezongen; ook canons.

Niet-Nederlandse talen

Engels en Frans

In overeenstemming met de bewustzijnsfase van het kind wordt begonnen met de grammatica van de niet-Nederlandse talen en wordt tegelijkertijd de overgang sterker van de in de eerste drie jaren bijna uitsluitend gebruikte poëzie en prosa. Grammatica wordt alleen maar ontwikkeld en geoefend aan proza en wel inductief aan vrij gevonden voorbeelden. Maar niet de voorbeelden, doch de regels moeten uit het hoofd worden geleerd. Uit het taalkundig ontleden wordt met de werkwoorden begonnen.
Er wordt begonnen met het schrijven in de niet-Nederlandse taal en met een vorm van vertalen waarbij het niet gaat om het letterlijke vertalen, maar om wat er bedoeld wordt.

Rekenen

In het rekenen wordt de overgang gezocht naar het rekenen met breuken en tiendelige breuken

Schilderen en tekenen

Bootsten de kinderen in de eerste jaren meer na wat de leerkracht hun aangaf of voordeed, vanaf nu werken ze meer vanuit de kracht van hun eigen scheppende fantasie. 
Door het werken met de vloeiende kleuren is de kleurzin van de kinderen nu zover ontwikkeld, dat ze zelfstandiger de kleur ook als uitdrukkingsmiddel kunnen gebruiken voor wat ze in het onderwijs beleefd hebben.
Bij tekenen en boetseren hebben de kinderen geleerd naar de reine vorm te kijken en bezig zijnd te ervaren, hun gevoel voor ronde, scherpe, halfronde, ovale en rechte vormen enz. is gewekt; nu kan je ze verder brengen en deze vormen aan uiterlijke voorwerpen laten vinden, bv. bij de hoeken van een stoel. Ze mogen nu ook uiterlijke vormen natekenen omdat ze de vormen innerlijk al in eigen werkzaamheid ervaren hebben.

Taal

Alles wat het kind tot nog toe geleerd heeft aan schriftelijk navertellen en beschrijven, wordt nu toegepast op het maken van brieven van allerlei aard, ook kleine zakenbrieven. 
Zorgvuldig maak je een duidelijke voorstelling van de tijden, van alles wat door het veranderen van het werkwoord tot uitdrukking komt. Ook moet het kind gevoelsmatig instinctief de samenhang leren ervaren die er tussen een voorzetsel en het woord dat erbij hoort, bestaat. De taal plastisch en in onderdclen ervaren moet aan de moedertaal geoefend worden wanneer het kind tussen het negende en het tiende jaar is.

Tekenen   zie schilderen

Vertelstof

Vertel- en leesstof voor deze klas vormen o.a. de sagen van de Germaanse mythologie en heldentijd.

Meer artikelen over het leerplan

Vrijeschool in beeld alle beelden

.

1907

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – 4e klas – rekenen – breuken (8)

.

REKENEN MET BREUKEN OP DE VRIJESCHOOL

Toen Rudolf Steiner voor de oprichting van de allereerste vrijeschool de door hem gevraagde leerkrachten voorbereidde op hun nieuwe opdracht, wees hij er nadrukkelijk op dat het bij het werk dat nu op deze school begon,

‘u erop gericht bent niet zozeer kennis als zodanig over te dragen, maar die kennis te hanteren als een middel om menselijke capaciteiten te ontwikkelen’. [1]

Je werkt, wanneer je het kind lezen en schrijven bijbrengt, dat een puur op conventie berustende activiteit is, anders, dan wanneer je met hem rekent. Dan heb je te maken met onomstotelijke reëel-geestelijke wetmatigheden, die veel sterker de geest-zielenkrachten van het kind ontwikkelen. En nog meer omvattend bereik je met alle kunstzinnige activiteit een harmonisering van de innerlijke mens.
Daarom is het zo belangrijk dat heel het onderwijs doordrongen is van een kunstzinnig element, omdat dan pas de hele mens aangesproken wordt.

Nadat het kind vanuit het kunstzinnig oefenen van zuivere vormen tot het eerste schrijven van enkele letters is gekomen, zal enige tijd later het rekenen beginnen. Daarbij moeten twee basisprincipes in acht worden genomen:
de analytische weg die van het geheel naar de delen gaat (je rekent niet bijv. 3  +  2  =  5, maar 5  =  3  +  2),
de vier rekenbewerkingen worden tegelijkertijd aangeleerd.
Daarmee ga je enerzijds zo te werk dat het in overeenstemming is met de zielenactiviteit van de mens in het kennisproces [2] en anderzijds is door het tegelijkertijd beleven van de polariteiten optellen – aftrekken en vermenigvuldigen-delen een buitengewoon economisch werken mogelijk.
Door deze methode kun je zonder dwang bereiken dat de kinderen tegen het eind van de derde klas de vier rekenbewerkingen met zekerheid kunnen uitvoeren en dat ze de kleine en de grote tafels al enigszins precies beheersen.

Daarmee zijn de voorwaarden voor het begin van het rekenen met breuken aan het begin van de vierde klas gegeven. Het is belangrijk dat dit doel, eerder dan op de staatsscholen* gebruikelijk, bereikt wordt, omdat de kinderen nu een wezenlijke stap in hun zielenontwikkeling gaan zetten, waarvoor de breuken een bijzondere betekenis hebben.

Gedurende de eerste schooljaren voelt het kind zich nog geheel vanzelfsprekend hecht verbonden met de hem omringende wereld. Ik en wereld zijn voor hem nog een volledige eenheid. Alles wat het meemaakt, wat het om zich heen waarneemt, beleeft als werkelijk, net zo als wat het in zichzelf beleeft. Ouders en opvoeders worden als geliefde autoriteit geacht en geëerd. De harmonie van zijn fysieke constitutie vertoont zich ook in zijn zielengrondstemming.
Met het bereiken van het negende levensjaar voltrekt zich in het kind een belangrijke verandering in zijn innerlijk beleven t.o.v. de omringende wereld. Daartegen zet het zich veel meer af en wordt er onafhankelijker van. Nu gaat de jonge mens een onderscheid maken tussen Ik en wereld. Wat er om hem heen gebeurt, wordt niet meer, zoals tot nu toe, gepersonifieerd. Hij staat nu vooral veel kritischer tegenover alles. Ook met de ouders en de leerkrachten ontstaat er een nieuwe verhouding en hij ‘test’ op een bepaalde manier of de tot nog toe aanwezige verering nog op z’n plaats is. Het zelfbewustzijn wordt sterker en de innerlijke beleving wordt dieper en rijker. Wat als een harmonische samenhang tussen het kinderlijke zielenleven en zijn omgeving pendelen kon, wordt nu letterlijk verbroken: een breuk.
Aan deze verandering in het zielenleven komt het leerplan van de vrijeschool tegemoet, door de kinderen nu met de gebroken getallen te laten omgaan. Ze ervaren het als een weldaad wanneer hun nu als een soort spiegel wordt voorgehouden, wat ze vanbinnen beleven. Zo kunnen ze zich makkelijker in de nieuwe situatie gaan thuis voelen en ze krijgen hulp bij hun verdere gevoelsontwikkeling.

Om de mogelijke werking van het rekenen met breuken op de innerlijke ontwikkeling van de leerling te bereiken, is weliswaar een andere dan de tot nog toe geoefende methode, bij het invoeren van breuken noodzakelijk.
Hierover vind je echter in alle pedagogische cursussen en in de lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner, geen aanwijzingen.
De leerkrachten van de eerste school moesten het aanvankelijk alleen doen met een korte opmerking in de tweede leerplanvoordracht: ‘In de vierde klas gaat men door met wat er in de eerste klassen is behandeld. maar nu moeten we overgaan tot de breuken en met name de decimale breuken.'[3]

Het is de grote verdienste van de wiskundeleraar Ernst Bindel dat hij door zijn zeer gedegen studies een weg gebaand heeft die niet alleen het goede motief geeft, maar ook vanuit de ontwikkelingsgeschiedkundige kant de breuk beschrijft vanuit ‘de mens en de mensheid’. [4]

Zo merken we door zijn blikrichting dat het ontstaan van het eigenlijke rekenen met breuken in de bloeitijd van de Oud-Egyptiche cultuur, dus in de tijd van het derde, ook nog in het tweede millennium voor Christus ligt.
Als een oersymbool van het breukenrekenen staat het mythologische beeld van Isis en Osiris in het middelpunt van het religieuze leven van de Egyptenaar. Isis verliest haar echtgenoot door Typhon-Seth (Seth = Hebreews: Satan) die Osiris in het licht van de maan in veertien stukken deelt en Isis een treurende weduwe laat worden. (Duits Witwe, dat etymologisch van ‘delen’ afstamt). Ernst Bindel zegt: ‘De zon vertoont zich voor het oog als een volledige cirkel; de maan doorloopt in zijn veertien sikkelgestalten de fasen van nieuwe naar volle maan en omgekeerd….Zoals de maan alleen maar gespiegeld zonlicht naar de aarde zendt, kon (nu na het verlies van de goddelijke wijsheid van Osiris) het aan de hersenen gebonden verstand dat nu tot zijn recht kwam, alles wat zon is, slechts uit de tweede hand tot zich nemen. De aardse mens spiegelt, speculeert met de hersenen als de maan de oude wijsheid; vangt door zijn denken echter alleen nog maar het gedempte licht.'[5]
Zoals in Egypte in de loop van zijn cultuur in de samenhang met het bovenzintuiglijke een steeds grotere breuk komt, wat in het beeld van de Osiris-mythe tot uitdrukking komt, zo ook beleeft het kind volgens de biogenetische grondwet** waarin de individuele mens in bepaald opzicht de ontwikkelingsgeschiedenis van de gezamenlijke mensheid herhaalt, rond het negende jaar dit ‘verbreken’ van zijn eigen verbonden zijn met de omgeving. Dat is het ogenblik dat er in het rekenen bij de het delen de opgaven niet alleen meer precies hoeven uit te komen en is het tijd om met de gebroken getallen te beginnen. Daarbij kan het niet gaan om de Oud-Egyptische manier van met breuken rekenen uit te voeren, maar ‘vaag mag toch nog wel in het kind meeklinken wat er bij het eerste verschijnen van de breuken voor de mensheid eraan werd beleefd’. [6]
Het komt er in het begin minder op aan om meteen snel met de breuken te kunnen werken.
Het allerbelangrijkste is toch het kind het ontstaan van de breuk tot een diepe belevenis te laten zijn. Het uitgangspunt vind je in de manier waarop de Egyptenaren met de breuken omgingen. Ze streefden ernaar alle deelopgaven in een reeks zogenaamde stambreuken (aliqoutbreuken), d.w.z. ze de teller 1 hebben  (½, ¼  enz) om te zetten.[7] Neem je zo’n breuk goed in je op, dan zie je meteen het ogenblik van het breken, namelijk het ontstaan van de breuk uit de eenheid. Alle andere breuken hebben dit ogenblik al achter zich gelaten, zij zijn al weer een bij elkaar voegen van meerdere dergelijke breukstukken.

3/5 = 1/5 + 1/5  + 1/5

De kinderen houden van opdrachten als: ‘Beschrijf eens hoe een vijfde ontstaat!’ en zeggen graag: ‘Een vijfde ontstaat als je een geheel in vijf gelijke delen verdeeld en er een deel van wegneemt.” Daarbij valt de blik tegelijk op de verhouding van een deel tot het geheel en op de rest van vier vijfden.

Het is aan te raden bij het allereerste begin uitvoerig de manier van zeggen bewust te benadrukken en over een halve, half deel), een derde (deel), een vierde (deel), een vijfde (deel) ……te spreken en deze namen ook eens op te schrijven alvorens je tot schrijven van de getallen overgaat.
Ook dan zou je, zoals Ernst Bindel dat aanraadt, eerst de schuine breukstreep moeten gebruiken, waarbij de getallen niet onder elkaar, maar bijna naast elkaar staan en dan langzaam overgaan naar de horizontale streep met de getallen boven en onder elkaar. Dan ga je aanschouwelijker te werk en blijf je dichter voor het begrip van de kinderen bij de oorsprong van de breuk uit de stambreuk.

In het verdere verloop zal het erop aankomen het kind wat het pas heeft geleerd, op velerlei manieren duidelijk aanschouwelijk in beeld te brengen. Dat is bijv. door het delen van een cirkel vanuit het middelpunt mogelijk. Heel ijverig worden er dan stambreukdelen van allerlei grootte met verschillende kleuren in getekend of gevouwen en uitgeknipt en dan kun je op een veelzijdige manier met deze delen rekenen.
Om de tegenstelling van het hele getal en de erbij horende stambreuken aanschouwelijk te maken, stelt Ernst Bindel het beeld van een boom voor, waarbij eerst uit de stam twee nieuwe takken komen en hij wijst erop dat het woord (het Duits heeft hier Zweig, in het Nederlands twijg) wijsheidsvol het getal ‘zwei’- twee – in zich heeft. Zo ontstaan uit de hele boomstam die zich dan steeds weer vertakt, halven, vierden, achtsten enz. Dan kun je ook bomen tekenen die zich volgens andere getallen vertakken.
Een derde mogelijkheid om de stambreuken (en later ook de overige breuken) aanschouwelijk te maken, ligt, volgens een aanwijzing van Erich Schwebsch, in de muziek.
Het notenschrift is gezien vanuit het tijdsaspect,  niets anders dan een verborgen rekenen met breuken. Het is niet moeilijk passende voorbeelden te vinden, van een eenvoudig lied tot aan gecompliceerde toonreeksen.

Zo zijn er dus rijkelijk veel mogelijkheden gegeven de kinderen eerst op een levendige manier met het wezen van de breuk en in het bijzonder met de stambreuk, vertrouwd te maken. Dit werk kan zeker het grootste deel van de eerste rekenperiode in de vierde klas beslaan, voor je er dan toe over gaat de breuken op een manier die bij het kind past, uit te breiden. Alles wat je verder eerst gaat doen met de vier hoofdbewerkingen, moet – zie boven – via de analytische weg gaan.
Voor de overgang naar de tiendelige breuken staat als aanvulling de rekentijd van de vijfde klas ter beschikking, die het kind uiteindelijk tot het hoge doel, ‘zich nu op het gebied van alle hele en gebroken getallen vrij rekenend zich te kunnen bewegen'[8] moet brengen.

In deze korte uiteenzetting kon er maar een zeer beknopt overzicht worden gegeven over de pedagogische bedoeling van het eerste rekenen met breuken. Daarbij werd hier meer een van de vele mogelijke wegen getoond. Zo beschrijft bijv. Hermann von Baravalle een heel andere aanpak die naar hetzelfde doel leidt [9]
Ondertussen mag wel voldoende onderbouwd zijn waarom deze activiteit, wat voor veel ouders aanvankelijk een verrassing was, al in de vierde klas plaatsvindt. Naast de eerste mens- en dierkunde en de aardrijkskunde vormt dit werk een derde belangrijk zwaartepunt in de reeks nieuwe perioden in de vierde klas. Maar je moet niet meteen een perfecte rekenvaardigheid verwachten, maar met begripsvol meeleven volgen, hoe het kind in een nieuwe levendige begrippenwereld zijn weg vindt, waar hij vol van is en die hem tot steun kan zijn bij het ontwikkelen van zijn gevoelsleven om de noodzakelijke capaciteiten te ontwikkelen om het leven aan te kunnen.

.
Benedikt Picht, Erziehungskunst jrg. 48, 02-1984

.

[1] Rudolf Steiner GA 294/7
vertaald/19
[2] GA 301 -voordracht 10
Vertaald
[3] GA 295/168
vertaald/155
[4] Ernst Bindel: Das Rechnen. Hfdst. 10
[5] hierin blz. 67ff.
[6] hierin blz. 69ff.
[7] Wanneer bijv. de som ‘deel 2 door 5’ uitgerekend moest worden, zei de Egyptenaar: ‘Laat 2 zich in 5 uitspreken’ en hij schreef dan als antwoord 1/3  +  1/15  (zie blz.66). Het belangrijke hierbij is dat willekeurige breuken zoveel mogelijk vermeden werden en alle waarden zoveel mogelijk in stambreuken uitgedrukt werden.
[8] Caroline von Heydebrand: Vom Lehrplan
[9] Hermann von Baravalle: Rechenunterricht und der Waldorfschulplan
Methodische Gesichtspunkte für den Aufbau des Rechenunterrichts, blz.14

* in Duitsland (1984)
**Steiner over Haeckels biogenetische wet:
‘Men heeft geprobeerd deze wet ook op de geestelijke- en  gevoelsontwikkeling van de mens toe te passen, op de individuele mens in verhouding tot de hele mensheid. Daardoor is men in een verkeerd vaarwater terechtgekomen.

‘De ontwikkeling van een kind is een herhaling van de ontwikkeling van het mensengeslacht’ kan men als fantasiebouwwerk opzetten, maar het is niet in overeenstemming met de werkelijkheid. 
Wanneer je het menselijk embryo volgt van de eerste, tweede, derde week – zo goed als men dit nu kan – tot aan de volgroeiing – dan zie je daar de opeenvolgende, steeds volmaakter wordende vormen, visgestalte enz. Wanneer je daarentegen het kind waarneemt in de eerste ontwikkelingsjaren, dan zie je niets van een herhaling of in een verdere ontwikkeling van volgende fasen van de mensheidsontwikkeling.’

Haeckel en het leerplan: nr. 12 in Menskunde en pedagogie

4e klas rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 4e klas

 

1290

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar

In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

De vierde klasser is in het midden van de tweede levensfase. De tijd dat hij zich vanzelfsprekend één kon voelen met de wereld rondom, is voorbij. Het gevoel van zelfstandigheid is tevens een gevoel van ‘apartheid’. Het blijkt de vierde klasser diep te kunnen bevredigen wanneer hij de kans krijgt zich in te leven in de wereld van de breuken. Het kind krijgt daartoe alle gelegenheid. Pas als de breuken ten volle doorleefd zijn, beginnen wij te werken met abstracte formuleringen van breuken.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen IV en V

Kwalitatief en kwantitatief inzicht in de wereld van de gehele getallen, de gewone en tiendelige breuken. De vier hoofdbewerkingen binnen dat gebied.
De vaardigheid zich binnen deze getallen rekenend vrij te bewegen.

4e klas

Leerstof
Hoofdrekenen, ook met getallen boven de duizend.
Cijferen wordt aangeleerd (eventueel).*
De breuken met hun vier hoofdbewerkingen.
Schatten.

Werkvormen
Na een ceremoniële start oefent de klas het rekenen in breuken door beweging en doen.

De klas vormt een kring die in tweeën of drieën wordt gesplitst. De kring valt telkens uiteen in een stambreuk en het overblijvende deel, om zich daarna weer te sluiten.

De kinderen maken ook ronde schijven en knippen er een stuk uit. De delen zijn gemakkelijk weer samen te voegen. Altijd gaat de leerkracht met de leerlingen van het geheel naar de breuk en van de breuk terug naar het geheel. 

Het schriftelijk werk is zodanig dat het voor de kinderen binnen dezelfde opgave mogelijk is op veilig terrein te blijven of door te dringen tot een moeilijker gebied.

Hoe gaat het toe?

Op de vrijeschool gaan we bij het rekenen met breuken uit van de stambreuk. We proberen ook in dit vak de mensheidsgeschiedenis te volgen. De Egyptenaren gebruikten vele eeuwen om het rekenen met breuken te ontwikkelen. In de tijdspanne van 3400 v. Chr. tot 1800 v. Chr. gebruikten de Egyptenaren uitsluitend stambreuken en het overblijvende deel:

één derde                                   en de ‘twee delen’ (2/3)
één vierde                                  en de ‘drie delen’ (3/4)
één vijfde                                   en de ‘vier delen’ (4/5)

Voor de Egyptenaar had elke breuk op zichzelf zo sterk een eigen kwaliteitskarakter, dat het voor hem een horreur was om over 2/5 of 3/5 te spreken. Bij hun berekeningen stuitten de rekenkundigen wel op zulke grootheden, maar deze werden onmiddellijk geëlimineerd door ze te herleiden tot stambreuken. Zo bevat de papyrysrol Rhind, 19e eeuw vóór Chr. uitvoerige tabellen voor het herleiden van 2/5, 2/7, 2/9 tot stambreuken. Voorbeelden:

2/5———- ► 1/3 + 1/15

2/7———- ►     1/4 + 1/28

2/9———- ► 1/8 + 1/52 + 1/104

Voor ons is dat vreemd. Wij moderne mensen fronsen onze wenkbrauwen bij die 1/8, 1/52, 1/104 en het verschaft ons een bevredigend gevoel als wij met behulp van gelijknamig maken deze som kunnen herleiden tot de voor ons zo veel gemakkelijker grijpbare breuk 2/13. Dus we gaan precies de andere kant op.

Maar voor een Egyptenaar heeft ééndertiende een kwaliteit, voor hem spreekt zich in die 13 een wezenlijk iets uit. De getallen worden grootheden waar men het diepste respect voor had.

Het kan nooit de bedoeling zijn de papyrusrol Rhind als uitgangspunt voor een rekenmethode te nemen. Wij willen niet terug. Maar het maakt wel verschil of de onderwijzer en de onderwijzeres met eerbied tegenover de breuken staan. De breuk is een culturele verworvenheid van de mensheid. Een lange weg van wijsheid naar uiterlijke kennis. Al onze kinderen zijn in de wieg gelegd om deel te hebben aan onze abstract-intellectuele wereld. De vraag is echter, hoe leidt men een kind op weg naar het begripsmatige omgaan met getallen en bewerkingen zonder dat zij van hun werkelijkheid vervreemden.

De eerste breukenperiode
Het is januari, de school is net begonnen na de kerstvakantie.
Als iedereen binnen is, is de spanning al aanwezig. Ze weten: nu krijgen we breuken!

(N.B. Een rekenperiode gaat het best in de koude tijd van het jaar, als alle krachten wat verinnerlijkt zijn. Daarnaast vormt de ‘breuk’ een typisch heilzaam vierdeklasonderwerp, samen met o.a. de canon, het ‘gebroken’ lied, en de kruising van lijnen bij het vormtekenen, het zgn. vlechtwerk.)

Met een plechtstatige ernst haalt de leerkracht uit zijn tas een zijden shawl — een mes — een appel. Met omstandig ritueel wordt de appel gepoetst tot hij glimt. Dan neemt de leerkracht het mes en voor de ogen van de kinderen snijdt hij de appel langzaam middendoor.

Dit zonder één woord te zeggen.

Het mes wordt neergelegd en in iedere hand neemt de meester een helft. Dan de twee helften in één hand, goed laten zien, de shawl eroverheen en onder de shawl de helften tegen elkaar gedrukt. Als het goed lukt, plakken de helften weer samen en de appel is weer heel. Onthul de appel dan weer.

Hetzelfde ritueel nu nog eens.
Nu krijgen we vier partjes. Ook deze worden te zamen geplakt. Nog steeds wordt er geen woord gesproken. Men moet dit mooi uitspelen, en tevoren thuis oefenen, want vier partjes in één hand vereist enige vaardigheid.

En ten slotte het moeilijkst. Acht partjes!
Dit lukt niet met één hand maar met twee handen laat men, als een geopende bloem de partjes zien en plakt ze weer te zamen.

Dit ritueel maakt een diepe indruk op alle leerlingen.

Vervolgens wordt er gesproken over een helft, een halve, een hele, over kwarten, enz. Men tekent op het bord; twee halve appels = één hele.

In het nieuwe schrift worden mooie tekeningen gemaakt. Die eerste week staat voornamelijk in het teken van het doen.

Men laat de kinderen zelf appels meenemen en een mes. Zelf snijden, ‘sommetjes’ opgeven, die ze moeten doen. ‘Pak eens een halve appel, hoeveel kwarten zijn dit, hoeveel achtsten zijn dit,

neem een kwart, hoeveel moet eraf om een achtste te krijgen, enz. (de opgaven weer volgens de temperamenten).’

Men vraagt een paar moeders om pannenkoeken te bakken en die om negen uur te brengen. Dan wordt er gesneden en verdeeld, weer bij elkaar gelegd enz. Samen rekenen: ‘Geef je buurman 3/8 pannenkoek. Je krijgt 3/4 terug.’

(Geroep dat dit oneerlijk is; heel goed, want iedereen weet nu dat 3/8 minder is dan 3/4.) En aan het eind:

‘Stop 2/8 pannenkoek in je mond;
stop 2/4 pannenkoek in je mond;
stop nu 4/4 pannenkoek in je mond!’
Rekenen kan erg leuk zijn.

In de kersttijd hebben veel groentewinkels wel een zak met walnoten staan. De meeste walnoten zijn in tweeën verdeeld door een ribbel. Na enig zoeken vindt men echter ook walnoten die in drieën gedeeld zijn. Dat krijgen ze als huiswerk op; ga naar de groenteman en zoek zo’n walnoot. Spannend, en tegelijk een goede wilsoefening.

bb 82  1

(Enkele leerlingen uit mijn klas, nu de zevende, hebben hem nog steeds.)

Als iedereen zo’n noot heeft, kunnen we de derden in gaan voeren. Eerst noten tekenen, en tenslotte wordt het wat schematischer.

bb 82 2
Ook zijn er in deze tijd van het jaar veel mandarijnen te koop. Mee laten nemen en op school openen. Vaak zitten er negen partjes in.

Leuk huiswerk: Vraag thuis of jullie soep eten. Hoeveel happen soep moet je nemen voor je bord leeg is?

In de tweede week de schrijfwijze. Nu wordt ingevoerd: ½ 1/3 enz.

Kleine sommetjes, steeds verwijzen naar het concrete, dat ze zo vaak, en met zoveel plezier geoefend hebben. Altijd eerst tekenen, zodat ze het zien. De kinderen geven zelf wel aan, wanneer ze het tekenen los willen laten.

Tenslotte toewerken naar het abstracte. Een hele sprong voor sommigen, voor anderen minder. Ook zijn er leerlingen, waarvan je het gevoel hebt, dat ze er nog niet helemaal aan toe zijn. Toch hebben ze bij het concrete werk goed meegedaan. Men kan dan met dat abstraheren nog best even wachten, tot een en ander bezonken is. Ook het feit, dat men als leerkracht met de klas meegaat werkt hier zeer in het voordeel van deze leerlingen, want men kan eventueel in de vijfde klas deze stof in deze overgang nog eens aanbieden.

De stambreuk
bb 82 3

Bedenk zoveel sommen als je wilt.

Deze opgave is bijzonder geschikt om het kwalitatieve beleven van de breuken te versterken. De oefening zoals hierboven aangegeven staat in de melancholische vorm.

bb 83

De laatste dag van de rekenperiode was het ‘breukenfeest’. We hadden ons er steeds op verheugd. Moeders hadden pannenkoeken gebakken en zelfs enkele taarten. We zaten aan lange tafels. Het ging er vrolijk toe. Maar het snijden — er was zoveel dat ieder minstens eenmaal een hele pannenkoek kon verdelen— ging uiterst nauwkeurig. Na een uurtje waren er nog een paar losse stukken pannenkoek over op één schaal.

‘Wat wil jij nog, Piet?’
‘Wat heb je daar?’
‘Een kwart en een twaalfde’
‘Geef me dan die twaalfde maar. Hij is niet gróter maar wel mooier dan de kwart!’

Reciteren
Ook in de vierde klas is rekenen nog het vak van spanning en ontspanning, van doen, van ritmen klappen en lopen, het akoestisch vak met spreekkoren, vraag- en antwoordgroepen, het rekenland dat wij nu eens met verbazing betreden, dan weer samen stormenderhand veroveren. Vooruit:

1/2 x 1/5 = 1/10
1/3 x 1/5 = 1/15
1/4 x 1/5 = 1/20

En terug:
1/12 x 1/5 = 1/60
1/11 x 1/5 = 1/55

etc, alles in koor

Het is zaak terug te komen op de elementaire vaardigheden. Breuken rekenen en de tafels niet kennen, dat moet spaak lopen. Maar wel de vorm variëren, anders laten de leerlingen, die ze wél kennen, het al gauw afweten. Schakel een bolleboos in, zet hem voor de klas en hij zegt:

1/45 is:                      de klas: 1/9   x   1/5
1/25 is:                      de klas: 1/5   x   1/5

Om goed ritmisch te vragen en te laten antwoorden, leuk af te wisselen, dat is ook voor de beste rekenaar een hele kunst. Wij leraren kunnen ons uitstapjes permitteren:

1/60 is:               de klas: 1/12   x   1/5

1/65 iiss:            de klas: 1/13   x   1/5

1/500 iiisss:      bedenktijd voor de langzamen en spanning voor de vluggen om het precies op tijd te mogen uit kraaien. Klas: één-hon-derd-ste-maal-één – vi jf-de!

Gelach, gepraat. De leraar schrijft op het bord: 1/2 x 1/3 x 1/4 x 1/5 — neen, daar wordt nu niet over gesproken — dus mond dicht. Dat bedenkt ieder voor zichzelf. Morgen zullen we het daar samen over hebben.

Dan het vereenvoudigen van breuken. Dat kan men uitleggen, nog eens uitleggen, weer een voorbeeld geven. En als de laatsten het gesnapt hebben is het al lang een moeizame zaak geworden. Maar als wij vele kleine deeltjes samenvoegen tot een groot geheel, dan is dat niet een ontdekkingsreis naar onbekende verten. Het begrip van dat aaneengesmede stuk is er al, het moet alleen nader gespecificeerd worden. Wij gaan dus van de eenvoudigste breuk uit:

1/2 is:                    de klas: 2/4
1/2 is:                    de klas: 3/6
1/2 is:                    de klas: 4/8,             goed gescandeerd.

Zo wordt het herleiden ook een akoestische waarheid. De lezer moge zelf proberen in een vlot tempo:

‘ 8/9 is 16/18 is 24/27 is 96/108 Als de rij goed in het gehoor ligt, kan men het tempo opvoeren, een accellerando. Daarin vermijdt men een opjagen tot spanningen, die in de lucht blijven hangen, zich niet kunnen ontladen. Tegen het einde houdt men in naar een rustig, krachtig slot.

Schriftelijk werk

De gereciteerde breukentafels lenen zich bijzonder goed tot opschrijven.

Zij behoeven weinig instructie om goed uitgevoerd te worden. Door de herhaling verbinden de kinderen zich met de stof.

1/2   x   1/5   =
1/3   x   1/5   =
1/4   x   1/5   =
1/2   x   1/6   =
1/3   x   1/6   =
1/2   x   1/7   =

1/2   =   2/4   =   3/6   =
4/9   =   8/18   =   12/27   =

Het is een heel werkstuk zoiets mooi op papier te krijgen. De breukstreep öp het lijntje, de streepjes van het is-gelijk-teken net even boven en er net even onder. We laten met kleur werken. Lukt de notatie, dan hebben zulke tafels en reeksen een feestelijk aanzien!

Berekeningen met breuken binnen de één

Telkens komen we terug op sommen binnen de één, vanwege de schoonheid van de stam!- breuk.
Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken, geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen. Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Von Baravalle geeft de raad de kinderen opgaven te geven met een ritmisch verloop in teller en noemer. Zie bovenstaande opgaven.

bb 84

Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Met cijferen kun je m.i. beginnen, wanneer een opgave met hoofdrekenen niet meer gevonden kan worden. Als je bijv. 5 getallen – 346 + 789 enz moet optellen, lukt het alleen een rekenwonder zonder cijferen, d.i. onder elkaar zetten en optellen.  Het cijferen is voor een deel ook weer hoofdrekenen.
.

4e klas rekenen: alle artikelen

4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 4e klas

.

524-483

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.