.
REKENEN IN BEWEGING
.
Hoofdstuk 8: Extra zorg voor bepaalde leerlingen
8.1 Rekenproblemen: kenmerken en oorzaken
8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien
8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen
8.3.1 Een algemeen onderzoek
8.3.2 Een rekendiagnostisch gesprek
8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen
8.4 Hoogvliegers willen ook wel eens wat!
Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?
8.1 Rekenproblemen, kenmerken en oorzaken
De kinderen zijn er allemaal, ik doe de deur dicht en net als ik wil beginnen, merk ik dat Bas er niet is. Ik weet zeker dat ik hem nog een hand gaf bij het binnenkomen. De deur vliegt open “Even water drinken, juf!” en Bas ‘duikt’ op zijn stoel. Klein, blond, met felle bruine ogen is hij altijd in beweging, zit vol kwinkslagen, grappen en pesterijtjes en kan intens genieten van wat hij meemaakt.
Toch is er iets wonderlijk. Enerzijds beweegt hij zich op een manier die niet opvalt, anderzijds is hij zo dominant aanwezig, dat zijn bewegen zich constant aan je opdringt en daardoor ook storend werkt voor hemzelf en de klas. Zo gaat het ook in de breukenperiode: dagenlang is hij druk in de weer met het verdelen, hij stelt duizend vragen, gaat op onderzoek bij anderen, knipt, plakt, benoemt. Zijn werk zit vol met fouten! 1/6 deel ergens vanaf geknipt heeft de naam ½ ; aan elkaar gelegde delen ‘pannenkoek’ vormen geen hele pannenkoek, enzovoort, enzovoort. Heeft hij in deze periode niets geleerd?
De klas werkt verder en ze leren de eerste sommetjes maken. Op zo’n ochtend staat Bas plotseling bij mijn tafel met een rijtje kale sommen, allemaal goed! Tot mijn schande heb ik niet eens gemerkt dat hij aan het werk was. Wat heeft Bas voor rekenproblemen?
De tijd waarin het rekenvermogen als een talent werd beschouwd, door vlijt verder te ontwikkelen, en het reken-onvermogen als een tekort (aan vermogen of vlijt), is voorbij. Ook een talentvol rekenaar kan vastlopen en omgekeerd hoeft onbegaafdheid niet als hopeloos c.q. hulpeloos beschouwd te worden.
Op school begeleiden we kinderen bij het leren rekenen. We bouwen mee aan een persoonlijk geaarde verbinding tussen rekennatuur en rekencultuur.
‘Rekenen’ vangt daar aan waar deze twee werelden elkaar ontmoeten en een beweeglijke uitwisseling tot stand komt. (zie ook H 1). Echter niet voor ieder kind geldt dat rekenen vanzelf gaat, er kunnen zich rekenproblemen voordoen. Dit gebeurt op allerlei manieren, maar helaas is het geven van ‘verkeerde antwoorden’ vaak het enige signaal dat er problemen bestaan. Menig leerkracht wordt door kinderen als Bas op het verkeerde been gezet; hij of zij wordt immers verleid tot de gedachte dat kinderen pas rekenen als ze stil op hun stoel zitten.
Kijken we nog eens naar Bas, dan valt op dat signalen van rekenproblemen eerder gezocht moeten worden in de wijze waarop zich het rekenproces voltrekt, dan in het resultaat ervan. Wanneer hij een rijtje kale sommen moet maken, doet
320
hij een bepaalde rekenprocedure met succes na, maar dit succes zegt niet veel over zijn rekenvaardigheid.
De activiteit (beweging) zelf gaat een eigen leven leiden en Bas wordt zelfs hyperactief; hij geniet, maar rekent niet meer. Hij is niet in staat om met zijn (ik-)bewustzijn bij het rekenproces betrokken te blijven en raadt maar wat op het eind. Soms goed soms fout.
Rekenproblemen kunnen we het best waarnemen als de kinderen aan het rekenen zijn. Daar ziet men dat ieder kind uniek is, zowel bij het aanpakken en oplossen van opgaven als ook in de leerstoornissen die het kan vertonen. Om rekenproblemen te kunnen signaleren is een aanbod van rekenwerk nodig; een verzameling uitgekiende opgaven waarbij zowel innerlijke als uiterlijke rekenoperaties een rol spelen.
De kinderen moeten vanuit hun hele wezen actief doelgericht handelend kunnen optreden, om te kunnen laten zien hoe en wanneer rekenproblemen zich bij hen voordoen.
De symptomen die kinderen met rekenproblemen vertonen, kun je in drie categorieën verdelen. Symptomen waarbij kinderen:
1. Niet aan een gestelde opdracht kunnen beginnen.
2. Tijdens het rekenproces op een dwaalspoor komen.
3. Willekeurig tot goede of foute antwoorden komen, doordat ze onbegrepen regels volgen.
Bij 1 zie je kinderen rondlopen en eindeloos om hulp vragen.
Bij 2 zie je dat kinderen lang over het werk doen en het spoor bijster raken.
Bij 3 zie je kinderen cijferen op momenten dat handig rekenen veel meer voor de hand zou liggen. Ze gebruiken het liefst vaste oplossingsprocedures en stappen er niet vanaf.
Zowel bij 2 als bij 3 gaan kinderen snel over tot raden van het antwoord en lopen vervolgens na het werk rond om bij de andere leerlingen een bevestiging te vinden. Zij zijn moeilijk te bewegen andere rekenaanpakken te proberen.
Bepaalde symptomen van rekenproblemen zijn aan een bepaalde levensfase gebonden. Op de vingers rekenen bij het optellen en aftrekken, is in de eerste en tweede klas geen symptoom van een probleem te noemen, maar in de vierde klas wel degelijk!
Het tot stand brengen van de goede oplossing voltrekt zich verschillend en op verschillend niveau in de opeenvolgende levensfasen van het kind. Wie in de eerste klas een leerling, die best weet wat een halve boterham is, op mentaal niveau iets met breuken wil laten doen, komt onbegrip tegen en zal rekenproblemen constateren.
Een gechargeerd voorbeeld, maar het zal duidelijk zijn dat rekenwerk moet passen bij de ontwikkelingsfase van het kind, anders worden de verkeerde keuzen van leerkrachten zichtbaar als rekenproblemen van de leerling.
321
Oorzaken van dyscalculie
Bij oorzaken van dyscalculie kunnen we onderscheid maken in twee soorten; die van buitenaf een storende invloed hebben op het rekenvermogen en die van binnenuit, vanuit het kind zelf invloed hebben op het leren rekenen (onvermogens of belemmeringen).
Zelden is een rekenprobleem maar aan één oorzaak te wijten. Ook van buitenaf veroorzaakte stoornissen kunnen in tweede instantie tot een probleem in het kind zelf leiden en het leren rekenen verstoren.
Na het waarnemen van de rekenproblemen is het opsporen van de oorzaken van groot belang om extra zorg te kunnen bieden aan een kind met rekenzwakten. De leerkracht zal op grond daarvan maatregelen moeten kunnen nemen, zodat het kind geholpen wordt bij het creëren en versterken van eigen vaardigheden. Vaardigheden die toegang verschaffen tot de rekenwereld in hemzelf en om hem heen.
Marijn ging vele jaren achtereen naar school. De eerste jaren leek hij wel mee te komen, speelde graag en veel, maar na de vierde klas ontstonden er problemen. Vanaf die tijd leek onderwijs nauwelijks meer aan hem besteed. Breuken, procenten, algebra en meetkunde, nergens leek hij enige vaardigheid in verworven te hebben. Omdat het in de klas niet meer ging, werd Marijn getest; het resultaat was niet hoopgevend. Alleen zijn uitstekende sociale vaardigheid kwam duidelijk naar voren.
Terugkijkend naar zijn schooltijd werd het duidelijk dat de problemen van Marijn te maken hadden met het reken- en wiskundeonderwijs. De talen en vakken als handvaardigheid, waarbij de motoriek een rol speelt, verliepen normaal of goed. Belemmeringen ontstonden in de ontwikkeling van het denken en het toepassen van rekenen en wiskunde in de andere exacte vakken. Hoewel dit op zich niet problematisch verliep, omdat een groot deel van de gestelde problemen met technisch inzicht oplosbaar was.
Bij Marijn lag het niet aan een structureel algemeen tekort aan mentale mogelijkheden, maar aan een niet op tijd ontwaken van bepaalde vermogens op het gebied van rekenen. Uiteraard rijst nu onmiddellijk de vraag naar de oorzaak van zijn rekenproblemen op.
In Grondslagen van de rekendidactiek (Derde druk, J.B. Wolters, Groningen 1964) noemt Dr. L. van Gelder een aantal oorzaken van dyscalculie, die we ook weer kunnen onderscheiden in oorzaken die in de omgeving van het kind zijn ontstaan en oorzaken die in het kind zelf liggen.
Tot de eerste groep behoren:
• Tekorten in voorschoolse ervaringen.
• Te vroeg aanleren van systematisch rekenen.
• Onjuiste aansluitingen in het leerprogramma.
• Fouten in de didactiek.
In het tweede geval signaleert hij:
• Intellectuele tekorten.
• Emotionele barrières.
322
Dumont (Leerstoornissen, Rotterdam, 1976) voegt deze twee groepen samen onder de noemer ‘secundaire leermogelijkheden’ en voegt daar ook nog zintuiglijke handicaps en neuro-motorische stoornissen aan toe. Als ‘primaire leerstoornissen’ schetst hij problemen, die alleen in de cognitieve ontwikkeling plaatsvinden. Er ligt geen intern of extern tekort aan ten grondslag en het kan partieel ontstaan bij een verder in alle opzichten normale ontwikkeling.
Mogelijk zou in het geval van Marijn van deze situatie sprake kunnen zijn.
Hoewel de casus in eerste instantie de vraag oproept of er niet een foute didactiek aan de problemen ten grondslag ligt, is het interessant om in het licht van een constitutionele oorsprong naar dit probleem te kijken. Ondanks het feit dat het hier aanvankelijk op a-calculie leek, bleek later dat het rekenen als vermogen wel aanwezig was, maar dat de cognitieve ontwikkeling een ander tijdsbestek nodig had om tot ontplooiing te komen.
Juist bij een onderzoek naar leermoeilijkheden die een constitutionele oorsprong hebben, herbergen test- en toetssituaties een gevaar in zich. Wie de uitslag niet beschouwt als een momentopname van een situatie die steeds verandert (omdat een kind, al lerend, voortdurend in beweging is), loopt het gevaar te stigmatiseren en daarmee de ontwikkeling te belemmeren. Denk hierbij ook aan het grote gevaar van wettelijke regelingen binnen het onderwijs. Waardoor die leerlingen niet de tijd krijgen een eigen ontwikkelingstempo te hebben. Maar even gevaarlijk kan het zijn om dan maar geen onderzoek te doen en er op te vertrouwen ‘dat het wel goed komt’.
In het geval van Marijn was het intellectuele vermogen in de test absoluut (nog) niet zichtbaar. Zou hem niet, ondanks de testuitslag, geduld en tijd geschonken zijn, dan zou zijn loopbaan er wellicht heel anders uit hebben gezien.
Een omgekeerde situatie kan men aantreffen bij kinderen, waarbij bijvoorbeeld de rekenontwikkeling vanuit aanleg in een heel hoog tempo verloopt. Ten opzichte van andere ontwikkelingen verloopt de overgang van het concrete denken naar het mentale denken versneld. Deze kinderen verslinden rekenwerk, maar vinden er uiteindelijk geen enkele bevrediging in. Het wordt als voedsel zonder voedingswaarde; de kinderen verdorren en vervallen mogelijkerwijs in gedrags- en leerstoornissen.
Het vraagt om een bijzondere pedagogisch-didactische aanpak om deze hoogbegaafde kinderen die leerstof aan te bieden, die een bloeiende ontwikkeling van hun hele wezen tot gevolg heeft.
Het rekenvermogen kan een heel eigen karakter hebben in de menselijke levensloop en ook Curt Weinschenk wijst in zijn boek Rechenstöringen op het fenomeen van het grote rekenvermogen bij sommige zwakzinnigen en de volmaakte dyscalculie, a-calculie, bij normaal begaafden.
In een voordracht over rekenzwakten, gehouden tijdens de eerste conferentie voor artsen en leraren, vat Ernst Schubert de oorzaken van dyscalculie in een drietal hoofdpunten samen:
Didactisch veroorzaakte rekenzwakten.
Psychisch veroorzaakte rekenzwakten.
Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten.
323
Bij het laatste punt staat hij uitvoerig stil. Terecht, gezien de reeds meermalen in dit boek genoemde constitutionele grondslag van het rekenvermogen, door Schuberth gedefinieerd als ‘verinnerlijkte activiteit van de eigen bewegingszin’ en door Steiner omschreven als ‘de vrijkomende psychische vermogens van levens-, evenwichts- en bewegingszin’.
Bij de indeling van Schuberth staan we nog even stil. Deze indeling zal verder in dit hoofdstuk gebruikt worden.
Didactisch veroorzaakte rekenzwakten
Naast de eerder genoemde, door de omgeving veroorzaakte problemen, legt Schuberth de nadruk op het volgende didactische probleem: een te sterke fixatie op concreet materiaal en een te abrupte overgang naar het niet-aanschouwelijke rekenen. Dit leidt tot twee rekenwerelden, die geen relatie met elkaar hebben. Bovendien schetst hij nog een probleem dat specifiek door de vrijeschoolrekendidactiek wordt veroorzaakt. Het blijven hangen in het ritmisch rekenen, na de eerste schooljaren. Vragen als… “Hoeveel is 7 x 8?”, kan een kind in zo’n geval niet beantwoorden, zonder eerst de hele tafelrij op te zeggen. Met zelfs het gevaar dat hij ongemerkt voorbij 7 x 8 gaat!
Bewegingsoefeningen in het rekenen moeten rond het negende/tiende jaar overgaan in gerichte bewegingsoefeningen, die betekenisvol zijn met betrekking tot het rekenwerk. Dan ontstaat middels (reken)beweging van de ledematen een heldere wakkerheid in het hoofd en een goede rekenvaardigheid.
Het gevaar van de ‘kudde-dreun’ loert hier echter om de hoek. Het klassikaal meevaren op de stroom van de beweging doet geen appel aan het individuele bewustzijn en het kind doet geen eigen leerervaring op.
“Hoeveel is 4 x 7?”. Terwijl de laatste klanken van mijn vraag wegsterven, suist het zakje door de lucht en komt bij Marieke terecht. Ze klemt het tussen haar handen en kijkt me met grote vragende ogen aan. Wanhopig antwoordt ze “25?” Aan mijn vriendelijke, maar afwijzende blik ziet ze dat het fout is: “26?”
In dit voorbeeld zien we dat de didactiek de rekenstoornis bij Marieke veroorzaakt, doordat er angst, een emotionele barrière, is ontstaan.
Didactisch veroorzaakte problemen kunnen psychische gevolgen hebben, die echter door het erkennen van de didactische fout én een andere aanpak opgelost kunnen worden.
Psychisch veroorzaakte rekenzwakten
De oorsprong van deze rekenproblemen ligt in de sociale omgeving van het kind. Ze zijn niet altijd makkelijk te achterhalen. Sterke beklemtoning van gemaakte fouten, leer- en prestatieaandrang van de omgeving, maar ook foute didactische principes, kunnen bijvoorbeeld tot faalangst leiden.
Een didactiek waarbij de aandacht in eerste instantie gericht is op het rekenproces en niet op het antwoord, geeft onzekere kinderen meer kans.
Het niet goed omgaan met emotionele turbulentie (die psychische toestand die ontstaat wanneer iets niet lukt) kan ook tot grote rekenproblemen leiden. Door het vertrouwen in het feit dat oefening kunst baart, kunnen ook leerlingen die minder goed zijn in rekenen blokkades overwinnen, die door emotionele turbu-
324
lentie ontstaan zijn.(Zie Boekaerts en Simons: Leren en instructie. Psychologie van de leerling in het leerproces, 1993 Dekker en v.d.Vegt, Assen.)
Als psychische oorzaak vraagt nog het aanwezig zijn van een negatief zelfbeeld speciale aandacht. Zo’n zelfbeeld heeft bijvoorbeeld grote gevolgen voor de manier waarop kinderen omgaan met oplossingsstrategieën. Al hebben ze namelijk een groot eigen rekenvermogen, ze beperken zich in het aanspreken ervan.
Vaak lopen verschillende oorzaken van rekenproblemen door elkaar. In het laatste voorbeeld kan het negatieve zelfbeeld een gevolg zijn van een te zwak incarnatieproces, maar ook zijn er aanwijzingen dat het kan ontstaan door stoornissen ten gevolge van de voeding. Hieruit blijkt dat psychische oorzaken soms beter tot de constitutionele gerekend kunnen worden.
Constitutioneel veroorzaakte rekenzwakten
De oorzaak van deze rekenproblemen ligt in de aangeboren lichamelijke gesteldheid van het kind. Het gaat hier niet alleen om het fysieke lichaam maar om de totale fysieke en geestelijke krachtenstructuur die in het kind werkt. Ook hier kunnen we niet volledig zijn, maar worden een aantal oorzaken genoemd. Het zal duidelijk zijn dat de eerder genoemde lichamelijke gebreken zoals ‘slecht-kunnen-zien’ een oorzaak kunnen zijn, naast andere die ontstaan bij organen die in aanleg wel goed functioneren. Een belangrijke rol spelen de rijping en individuele structuur van de zintuiglijke ontwikkeling. Soms hebben deze ontwikkelingen indirect invloed, bijvoorbeeld via taalstoornissen, op het rekenen.
De ontwikkeling van de motoriek is mede voor de vaardigheden op wiskundig gebied van bijzondere betekenis. Het gaat om het totale ‘bewegen’, waarvan de grove en fijne motoriek een onderdeel zijn. Ook de lateraliteit speelt een rol, net zoals de ruimtelijke oriëntatie en de lichaamsgeografie (het vermogen om het eigen lichaam ‘innerlijk af te tasten’).
Problemen met ruimte, tijd en beweging leiden tot problemen bij het concrete voorstellen van rekenoperaties.
Bij rekenproblemen kan een onvolkomen bewegingsorganisme een oorzaak zijn, maar het is natuurlijk niet zo dat het omgekeerde waar is: bij een zwakke motoriek is er een rekenzwakte.
Stoornissen in de geheugenfuncties en het voorstellingsvermogen vormen ook een oorzaak.
Saskia vraagt zich iedere keer opnieuw af: “Hoeveel is ook weer 5 x 3/5 ? Was het nu 15/5 of 15/25 ?” Of: ”Hoe reken ik oppervlakte ook al weer uit?” Nu zij in de zesde klas zit moet de leerkracht telkens voor haar de toegang tot het langetermijn geheugen verzorgen.
Veel aanwijzingen heeft zij niet nodig, maar steeds moet met hulp de benodigde strategie herinnerd of herontdekt worden.
In dit voorbeeld van Saskia is er sprake van geheugenstoornissen. Zij kan in de gestelde opgaven het rekenproces, dat zij al in haar geheugen heeft, niet zelfstandig herkennen.
Hoe en op wat voor manier het rekenen wordt aangeboden en verwerkt door de leerling, heeft een directe relatie met het herinneren. Een concrete situatie, die bij het kind en haar temperament past, wordt als model voor rekenwerk beter herinnerd.
325
Bij kinderen zoals Saskia, waarbij na een lange tijd blijkt dat een dergelijk probleem zich voordoet, kan men aan twee kanten het probleem aanpakken. Enerzijds door versterken van de herinneringskrachten zelf, anderzijds door oude rekeninhouden alsnog in een bij haar passende vorm te verinnerlijken. Vaak kan uit een onderzoek naar wat kinderen uit hun geheugen kunnen toveren, veel informatie te voorschijn komen. Het geeft een beeld van datgene, waarvan hun herinneren afhankelijk is.
Concentratiestoornissen komen zelden solitair bij één vakgebied voor en zijn zeker in het rekenonderwijs een grote handicap. Hoewel meestal van constitutionele oorsprong kunnen ze ook door factoren van buitenaf opgeroepen worden.
Tot slot nog kort aandacht voor intellectuele beperkingen, die ook rekenproblemen veroorzaken, zoals onvermogen tot het volgen van het rekenproces op mentaal niveau en het moeilijk verbanden kunnen leggen door middel van inzicht in de getallen, in praktische toepassingen, in rekenoperaties en in objectieve wetmatigheden.
Jorinde is welbeschouwd de hardste werkster in de klas. Heeft ideeën, organiseert en onderneemt altijd actie als zij vindt dat een kind in de klas zich ongelukkig voelt of gepest wordt. Als geen ander kan ze de vertelstof terugvertellen en tot in het kleinste detail kan ze alle belevenissen uit haar schooltijd levendig tevoorschijn toveren. In de eerste schooljaren schreef ze met een mooi rond handschrift, maar er stonden geen klinkers in de woorden. Ze is klein, net niet mager en heeft een lieve en felle uitstraling tegelijkertijd in een gezicht vol met -naar haar zeggen- ‘lelijke’ sproeten.
Vlak voor een vakantie heeft ze steeds een wit gezichtje met een blauw doorschijnende huid onder de ogen. Ze werkt nog harder aan haar rekensommen, maar alles gaat fout. Getallen ontbreken, er ontstaan omkeringen in de cijfers, ze deelt als ze moet optellen, weet niet meer wat 2/5 betekent, enzovoort … Juffie vraagt haar vanmiddag in het rekenwerkuur koekjes te bakken voor de ouderavond en vraagt haar schrift te leen, zodat Jorinde geen huiswerk kan maken!!
Gelukkig is het bijna vakantie. Jorinde moet voorlopig vooral niet rekenen, om juist na de vakantie het weer te kunnen. Bij Jorinde zou je kunnen spreken van hypocalculie. Haar vermogens zijn beperkt, maar met een enorme werkkracht heeft ze zich een aantal bruikbare strategieën eigen gemaakt, waarmee ze zich in een gezonde situatie uitstekend redt.
Terugkijkend naar Jorinde zie je dat adequate zorg van de leerkracht wonderen f doet in het rekenleerproces.
Hoewel geen gemakkelijke opgave, is het duidelijk dat juist de ‘geliefde’ leraar zelf het onderzoek naar de rekenproblemen zou moeten uitvoeren. Het vertrouwen dat hij heeft, in combinatie met het inzicht in het kind en haar omstandigheden, zou tot een goede analyse van de problemen en hun oorzaken kunnen leiden. Komt de leerkracht er niet uit, dan zou de hulp van een remedial teacher ingeroepen kunnen worden. Samen met de eigen bevindingen zou zijn objectieve beeld kunnen leiden tot een plan voor extra zorg.
Ten overvloede zij hier nog vermeld, dat zowel de psychische als constitutionele ontwikkeling bij jongens en meisjes zich niet altijd gelijk en in het zelfde tempo ontwikkelt. Ook voor rekenen-wiskunde heeft dat tot gevolg dat vermogens in verschillend tijdsbestek tot ontplooiing komen.
326
8.2 Voorwaarden voor rekenen, menskundig bezien
Rekenen is een menselijke activiteit. Een uitspraak die eerder in dit boek al geklonken heeft en die om een nader onderzoek vraagt, als het gaat om de begeleiding van kinderen met rekenproblemen.
In hoofdstuk 1 hebben we kunnen lezen hoe het rekenen gezien kan worden in de ontwikkeling van het kind. Rekenen is steeds te vinden tussen twee polen: tussen natuur en cultuur, tussen het boven-fysieke en het fysieke, tussen het beoefenen van het kunstzinnige en het leren van het conventionele. Rekenen slaat een brug tussen beide polen, maar wordt tevens vanuit beide polen geïnspireerd.
De leerkracht begeleidt het rekenen als bemiddelaar tussen deze twee polen. Hij zoekt daarbij naar een pedagogisch-didactisch spoor, waarbij tegelijkertijd de reken cultuurtoegankelijk wordt en het kind bovendien zijn eigen rekennatuur kan ontdekken en ontplooien.
De rekencultuur is direct verbonden met de sociale omgeving van het kind. In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe stoornissen vanuit de cultuur van het kind kunnen leiden tot rekenproblemen van didactische of psychische aard. Verstoringen of gebreken in de rekennatuur van het kind kunnen leiden tot problemen van constitutionele aard en vervolgens tot rekenproblemen.
Zowel in de uiterlijke als in de innerlijke rekenwereld moet aan een aantal voorwaarden voldaan worden om ‘het rekenen’ te laten ontstaan. Bij het voorbereiden op het geven van extra zorg aan kinderen met rekenproblemen moet men in drie gebieden diagnostisch te werk gaan:
• Het rekenen zelf (zie H 8.3.2).
• De didactische en sociale omgeving van het kind.
• Het kind zelf (constitutie, temperament en ontwikkeling gezien vanuit het antroposofisch mensbeeld).
In aansluiting op het beeld dat vanuit de diagnose tevoorschijn komt, kunnen dan rekenmateriaal, oefeningen en een didactisch repertoire ontwikkeld worden in combinatie met pedagogische maatregelen.
In deze paragraaf proberen we inzicht te krijgen in het oorspronkelijke rekenvermogen van het kind. Vanuit het antroposofisch mensbeeld zoeken we naar aangrijpingspunten voor het verlenen van hulp, waarbij het kind zelf door verschillende activiteiten het eigen rekenvermogen kan wekken en optimaal kan aanspreken.
Het gaat om een veelzijdige benadering van hulp, omdat de activiteiten die moeten leiden tot goed rekenwerk, niet allee uit rekenwerk zullen bestaan. Het is enigszins vergelijkbaar met het bekende beeld van de sporter, bijvoorbeeld een schaatser, die niet alleen schaatst ter voorbereiding op een wedstrijd, maar juist andere gebieden in zichzelf aanspreekt om zijn schaatsvermogen maximaal te gebruiken en mogelijk een topprestatie te leveren.
Vanuit dezelfde menskundige benadering is het ook mogelijk dat kinderen met andere leer- of ontwikkelingsstoornissen, juist extra zorg in de vorm van rekenen geboden wordt.
327
Leanne:
Leanne is bijna acht jaar als ze naar de eerste klas gaat. Ze heeft nauwelijks contact met de andere kinderen en kijkt zelden iemand aan. Ze vertelt voortdurend allerlei fantasieverhalen. ook als zij gericht wordt aangesproken. Soms lijken die op hele heldere gedachtespinsels, maar meestal hebben ze niets te maken met datgene waar ze op aangesproken wordt. De verhalen zijn doorspekt met eigengemaakte woorden en grote getallen. Ze wil niet tekenen en als het toch moet, zwerven er wat figuurtjes boven aan het papier, poppetjes zijn er nooit bij.
Als we in de klas een getallenrij tellend lopen, loopt ze sloffend, waarbij het lijkt of haar tenen achter willen blijven. Ze zegt lukraak verschillende getallen dwars door het akoestisch tellen van de klas heen.
Leanne lijkt zich in geen enkel opzicht met de dingen en gebeurtenissen in haar omgeving te verbinden. Het is niet zichtbaar of Leanne iets opneemt uit de lessen.
De leerkracht besloot niet te lang te wachten met extra aandacht voor Leanne. Hij maakte een speciaal plan voor haar vanuit het rekenen:
• Tellend lopen, klappen, stampen op euritmieschoentjes, met speciale aandacht voor het lopen in drieën.
• Het zoeken van kastanjes, eikels of steentjes buiten, om op het tafeltje van iedere klasgenoot drie of vier voorwerpen neer te leggen.
• Veel rekenopgaven met getallen niet groter dan 12, waarbij in kleine hoeveelheden verdeeld moet worden.
Ritmische vormtekeningen combineren met getallen en meetkundige vormen tekenen met getallen er in. Met eindeloos veel geduld werd Leanne gelokt zelf zulke vormen te creëren. Langzamerhand hield ze op met overal fantasieverhalen bij te vertellen en begon ze via het tellen oog te krijgen voor wat er in haar omgeving, de klas, te zien was. Steeds als de klas aan het tekenen was naar aanleiding van een verhaal, kreeg zij de opdracht een rekentekening te maken, want altijd waren er getallen in het verhaal verstopt.
Na verloop van tijd werd het duidelijk dat Leanne de gebeurtenissen in de klas ging waarnemen. Ze kon meedoen aan een spel en ook deelnemen aan de gezamenlijke lessen.
Een jaar lang maakte ze iedere morgen zodra ze in de klas kwam, eerst van het bolletje bijenwas dat op haar tafeltje klaar lag, een ‘rekenvrouwtje’. Gaandeweg werd dat meer dan alleen een hoofdje.
In dit voorbeeld zien we hoe rekenen een pedagogisch middel is om voorgaarden voor het leren bij Leanne te scheppen.
Op zoek naar de voorwaarden voor rekenen en naar het inzicht om de te bieden hulp aan het kind zelf af te lezen, stellen we ons de volgende vragen:
A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?
B Wat ontwikkelt zich in hét kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?
C Welke extra oefengebieden spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?
328
A Wat houdt leren rekenen in, waar zetelt het rekenvermogen in het kind en hoe manifesteert zich dit vermogen?
Leren rekenen is een activiteit die vormend werkt, met name op het fysieke lichaam en het etherlichaam. ’s Nachts gaan de rekenprocessen in het etherlichaam verder en de volgende dag kan aangesloten worden op datgene wat het kind in de nacht verworven heeft.
In de mens spiegelt zich een kosmische mathematiek. Al rekenend kan hij die mathematiek in het etherlichaam herkennen. Het is daarom belangrijk dat kinderen met plezier rekenen, omdat zo het vermogen aangesproken waarmee ze in staat zijn om dit ‘innerlijke rekenen’ te herkennen.
Rond het zevende jaar maakt het rekenvermogen zich vrij als psychisch vermogen van de lagere zintuigen, met name van de bewegingszin, ook wel eigen-bewegingszin of spierzin genoemd. De bewegingszin komt zo voort uit een innerlijke activiteit, waaraan de oorsprong van de wil ten grondslag ligt. Het is deze beweging, de stroming van het etherlichaam, waarin de kosmische innerlijke rekenwereld in beelden is weergegeven.
Na orgaan-vormend te hebben gewerkt in de eerste zevenjaarsperiode, kan het etherlichaam zich vrij bewegen in de zenuw-zintuigpool, dat zijn centrum heeft in het hoofd. De etherkrachten werken nu aan de ontwikkeling van de bewustzijnsfuncties. Tot het negende jaar rijpt de zenuw-zintuigpool nog door en daarna kan het kind zich bewust onderscheiden van zijn omgeving. Het rekenen ontwikkelt zich vanaf dat moment als bewustmakingsproces, in gang gezet door beweging en mogelijk gemaakt door het rekenvermogen.
Het bewust doen van bewegingsoefeningen is te beschouwen als een van de belangrijkste oefeningen voor kinderen met rekenproblemen. Hieraan wordt in het leerplan tijdens de euritmie en gymnastieklessen ook aandacht besteed. In de euritmie wordt de innerlijke beweging tot vorm gebracht, in de gymnastieklessen zijn de bewegingen gericht op een doel in de buitenwereld.
Jessica:
Jessica bezorgde de leerkracht al twee jaar bij het rekenen een onbestemd gevoel. Ze deed eigenlijk altijd goed mee, hoofdrekenopgaven en andere opgaven met eenvoudige getallen wist ze goed te beantwoorden. Bij opgaven met grote getallen goochelde ze ingewikkeld met getallen om aan het antwoord te komen. In de periode waarin met geld gerekend werd, ging het niet veel beter.
Op de dag van het Sint-Maartenfeest vroeg de leerkracht toevallig aan haar om voor alle kinderen een waxinelichtje te halen bij de kleuterjuffie, die de grote zak met lichtjes beheerde. Tot zijn verbazing kwam ze terug met een verkeerd aantal. Vanaf dat moment ontdekte hij aan allerlei kleine opdrachtjes dat Jessica niet resultatief kon tellen, zodra zij met dingen te maken kreeg die niet in een structuur te overzien waren. Gewone oefeningen in het tellen hadden weinig resultaat. Ook bij een ‘loop-tel’oefening hadden de getallen en de stappen niets met elkaar te maken. Ze werd zich de beweging niet bewust. Beelden bij eenvoudige getallen kon ze zich goed vormen en ze schreef met plezier kleine rekenverhalen. Kwalitatief en kwantitatief tellen leken bij haar niet verbonden. Samenwerking met de euritmiste leidde tot een plan om het ‘gemiste’ tellen alsnog, vanuit de innerlijke bewegingswereld, in het bewustzijn te brengen.
329
Tegelijk met het in beweging komen van het etherlichaam ontwikkelt zich vanaf het zevende jaar het astraallichaam, waardoor het kind de concrete reken-buiten-wereld kan gewaarworden. Rekenend vanuit de concrete voorbeelden van het dagelijks leven worden de kinderen zich bewust van de rekenprocessen die ze innerlijk bij zich dragen. De kinderen ontwikkelen daarmee beweeglijke denkbeelden en voorstellingen, die na het negende jaar ook uitgroeien tot modellen voor rekenactiviteiten.
Rekenopdrachten gegeven in een verhaal, een context, sluiten bij deze ontwikkeling aan en vragen om inlevingsvermogen van de leerkracht in de belevingswereld van de kinderen. Als een kind zich geen voorstelling kan maken van de situatie, komt het rekenen niet in beweging, het kind herkent de rekenopgave niet. Nog belangrijker wordt het kiezen van een context voor kinderen met rekenproblemen, die veroorzaakt worden door een zwak voorstellingsvermogen. De innerlijke bewegingskrachten leiden dan onvoldoende tot het vormen van beeldrijke voorstellingen. Normaal gesproken moet een kind deze na het negende jaar zelfstandig kunnen oproepen.
De leerkracht moet dan nog lang zelf het beeld, de context, aanbieden, waarin het kind zich -gericht door de opdrachten- een voorstelling kan maken. Met die context en door het ‘doen’ ondergaat het beeld een metamorfose en wordt dan model voor het rekenen.
Jasper:
Jasper zit in de vijfde klas en houdt absoluut niet van rekenen. Hij begrijpt eigenlijk zelden wat die getallen van hem willen! Hij is tijdens de rekenuren liever in de schooltuin, waar hij met een uiterste nauwgezetheid de zorg voor zaai- en pootgoed op zich neemt. Hij overziet precies wat er allemaal moet gebeuren in de tuintjes van de andere kinderen. Hij herinnert meester regelmatig aan de momenten dat er voorzorgsmaatregelen genomen moeten worden om bijvoorbeeld op tijd te kunnen zaaien of oogsten. In de tuin heeft Jasper een perfect gevoel voor ruimte en tijd en de daarbij behorende rekenwereld is zeer vanzelfsprekend voor hem.
De leerkracht besloot hem alleen ‘tuin’vragen te geven in de rekenlessen. De rekenkaarten die voor Jasper gemaakt werden vonden weldra bij alle kinderen gretig aftrek! Voor Jasper had het rekenen nu een doel en langzamerhand kreeg hij toch wat plezier in de rekenlessen.
330
331
€ 48,– heeft de boer nu voor het totale land betaald.
Jaspers rekenvermogen werd aangesproken door zijn activiteiten (beweging) in de tuin. In die tuin vond Jasper zijn leermotief dat doelgericht rekenen veroorzaakte.
B Wat ontwikkelt zich in het kind dat rekenen mogelijk maakt (rekenvoorwaarden) en in welke fase van de ontwikkeling vindt dat plaats?
B1 Rekenvoorwaarden die in de jaren tot de schoolrijpheid vervuld worden en daarna verder uitgroeien.
De ontwikkeling van het etherlichaam
Voorop staat de algemene gezonde ontwikkeling van het kind in de eerste zeven jaren, waarbij de ik-organisatie voorwaardenscheppend is voor de ontwikkeling van het fysieke lichaam en het etherlichaam. Alle beschikbare ontwikkelingskrachten zijn nodig voor ‘dit proces. Als men in de kleutertijd nadrukkelijk bewustzijnsprocessen aanspreekt in het kind, bijvoorbeeld op het gebied van rekenen, worden krachten aan een gebied onttrokken, dat zich juist in deze periode maximaal moet kunnen vormen. Met de rijping van het etherlichaam ontwikkelt zich de steeds doelmatiger (onbewuste) beweging van de ledematen. Men kan dat waarnemen als kleuters spelen.
332
Dat in het kind mathematiserende krachten werkzaam zijn, kun je ook zien in de
kleutertekeningen met kleurige meetkundige ordeningsstructuren (zie blz ooo). Die krachten werden in de kleuterklas al aangesproken, bijvoorbeeld tijdens het
bouwen, met bijenwas werken, knutselen, zingen, spelen en tekenen. Zo kunnen
deze activiteiten al een bijdrage leveren aan het reken-wiskunde onderwijs van
later.
Jelmer:
Jelmer was een dromer in de kleuterklas.
Iedere dag had hij in de kring zijn pop op schoot. Bij de arbeidsspelletjes bewoog hij zo’ n beetje mee op de melodie van het liedje. Rond Pasen speelden ze in de klas het spel van de wever. Ze zongen “Spinnen, spinnen garentje … enzovoort” en op de maat van de muziek moesten ze afwisselend armen en benen bewegen, Jelmer deinde op de muziek, maar armen en benen bewogen niet. Gestructureerde bewegingen liet hij niet vaak zien en de vraag rees of Jelmer wel schoolrijp was. Hij was al ruim zes jaar en had het postuur van een volgroeide kleuter.
Bij de voorbereidingen van het Pinksterfeest mocht Jelmer steeds voorop gaan bij het volksdansen in rijen. Plotseling kreeg hij een marstempo met de daarbij behorende stampende voeten. Vanaf die tijd wilde hij uit zichzelf graag tekenen; huizen met vele ramen, een trein met een hele rij wielen en zelfs een tekening van de meiboom met alle bloemen op een rij!
‘Spel’activiteiten kunnen tot de extra zorg behoren voor kinderen, bij wie geen vorm in de beweging ontstaat. De ik-krachten werken in zo’n geval onvoldoende op het etherlichaam en het bewegen is dan niet doelgericht. Er ontstaat hyperactiviteit of apathie in het spel. Is dat van blijvende aard, dan vormt het een belemmering voor het rekenen in de schooljaren daarna.
De optimale rijping van het etherlichaam is ook van belang, omdat het de drager van het geheugen is. Het geheugen is bij het intreden van de schoolrijpheidsfase gereed voor het verwerken van indrukken van buitenaf. Het herhalen en ritmisch oefenen van bijvoorbeeld de tafelrijen in de tweede klas werkt vormend op het etherlichaam! Met die oefeningen worden de tafels tegelijkertijd in het geheugen ingeprent, maar ze worden dan nog niet bewust als tafelproducten gekend. De ontwikkeling van het etherlichaam loopt gedurende de schooltijd door en vindt zijn voltooiing rond het eenentwintigste jaar.
De zintuigen
Voor de mens is de ontwikkeling van de zintuigen een voorwaarde voor het rekenen. Daarbij neemt de bewegingszin een speciale plaats in, maar dat werken we later nog uit.
Voor het rekenen is ook de intensieve samenwerking van de verschillende zintuigen belangrijk. De onderste zintuigen (tastzin, evenwichtszin, (eigen)bewegings-zin en levenszin) zijn voor rekenen essentieel als het gaat om oriëntatie in de ruimte, lichaamsgeografie, de ontwikkeling van de motoriek en het omgaan met emotionele turbulentie.
De middelste zintuigen, de ‘gevoels’zintuigen die in de tweede zevenjaarsperiode centraal staan, zijn ook al in het jonge kind werkzaam. Extra aandacht vraagt de gezichtszin, waarmee het kind de wereld in kan kijken. Het neemt indrukken uit de buitenwereld op en verbindt die onder andere met de beweging, zoals dat bij-
333
voorbeeld bij de oog-handcoördinatie plaatsvindt. Ook het kijken naar een rekentekening of som roept beweging, actief rekenen, op.
Ten slotte zijn er de zintuigen van het denken, die pas na de puberteit volledig tot bloei komen. Deze zintuigen hebben voor het rekenen in de schooltijd evenwel al een functie. De woordzin en gedachtenzin worden bijvoorbeeld geoefend wanneer we datgene wat ‘gerekend’ is, onder woorden laten brengen. De ‘denkzintuigen’ worden intensief gebruikt als kinderen zich mentaal een voorstelling moeten maken van kale rekengetallen. In dat geval werken verschillende zintuigen samen.
De bewegingszin
Aan het begin van deze paragraaf hebben we de betekenis van de bewegingszin voor het rekenvermogen gezien. Een nader onderzoek van de bewegingszin en het organisme dat ons doet bewegen is nodig om extra bewegingsoefeningen ten behoeve van het rekenen te kunnen bedenken.
Zoals ieder zintuig heeft ook de bewegingszin een orgaan en een impuls nodig. Dit is vergelijkbaar met bijvoorbeeld de gezichtszin: het oog is orgaan en het licht geeft de impuls. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt dit tot ‘kijken’.
Het orgaan voor de bewegingszin is de bewegingsgestalte. De zintuigimpuls is de oerbeweging van het etherlichaam. In samenwerking met het zenuwstelsel leidt het innerlijk waarnemen tot bewegen en wordt omgekeerd ook iedere positieverandering van de mens door de bewegingszin waargenomen.
Het gaat hier om bewegen, dat zich tegelijkertijd vanuit en ten opzichte van de mens voordoet. Iedere beweging roept een tegenbeweging op; wie naar een kind toeloopt ziet dat kind op zich af komen. Door gerichte beweging komt een doel naderbij. Zo wordt iedere beweging van een persoon gespiegeld door zijn omgeving.
Met het ontwakende bewustzijn, waarbij rond het negende jaar ook de scheiding tussen het ‘ik’ en de wereld ontstaat, ontwaakt ook het vermogen om mentaal een beweging te spiegelen. Dit leidt tot reflecteren van de opgebouwde voorstellingen. Dan wordt het ook mogelijk bij het rekenen de rekenbeweging te spiegelen en kan een kind gevraagd worden naar ‘wat het heeft gedaan en gedacht bij het rekenen’.
Voor de beweging is een goed functioneren van het bewegingsorgaan (de bewegingsgestalte) noodzakelijk.
De bewegingsgestalte van de mens is opgebouwd uit het skelet, de spieren en de huid. De spieren zijn het nauwst betrokken bij de beweging.’ Niet alleen de spieren in de schouders, armen, handen en benen zijn actief in de beweging. Het spierstelsel van het hoofd is ook actief en wordt bijvoorbeeld :zlc?htbaar in de mimiek, de beweging van de kaak en het spraakorgaan. Aan de romp beleven we dat het spierstelsel (mede) de oprichtende houding veroorzaakt en we kennen de relatie tussen de continue ritmiek van hart, bloedsomloop, ademhaling en de spieren.
Gerichte bewegingsoefeningen roepen de activiteit van het spierstelsel op en activeren zodoende de bewegingszin. Het is een motorische training die de bewegingszin activeert en daarmee de wil om het rekenvermogen aan te spreken, oproept.
Wouter
Wouter had feest op school en er kwam een echte clown! Grappen, goochelen, jongleren; de kinderen genoten. Wouter kon niet op zijn stoel blijven zitten, hij raakte zo enthousiast dat het leek of hij wel in de clown wilde kruipen.
334
Wouter is een wat (te) dik jongetje in de derde klas. Hij heeft vrolijke ogen, die beweeglijkheid verraden, maar verder is hij wat je noemt sloom en onhandig. Dagelijks struikelt hij over allerhande zaken, die toch altijd op dezelfde plaats in de klas staan. Rekenen en taal vindt hij niet fijn, maar aan het eind van de periode vertelt meester gelukkig altijd een mooi verhaal. Thuis kan hij alleen vertellen dat het verhaal heel mooi was, waar het over ging weet hij dan niet meer. Op maandag kan hij haast niet wachten tot het woensdag is, dan komt de handwerkjuffie en mag hij aan zijn muts breien. Iedere woensdagavond breit juffie de muts van Wouter opnieuw!
Extra hulp aan Wouter had in eerste instantie weinig effect. Hij werd zelf wel actiever, maar van bijvoorbeeld actiever rekenen kwam het niet. Tot na de dag van de clown. Samen met meester ging Wouter op weg om clown te worden. Oefenen, oefenen en oefenen, regelmatig hield Wouter een kleine voorstelling in de klas. Vooral bij het jongleren werd de wereld van aantallen, afstand, maat en vorm steeds belangrijker. Langzaam maar zeker kreeg Wouter toegang tot de wereld van het bewegen en tegelijk tot het beweeglijke rekenen.
In de huid van de clown werd hij binnen gevoerd in wat een clown is; een zuiver bewegingsmens. Daardoor raakte zijn eigen bewegingsorganisme in beroering. Bij het bedenken van grappen en door het expres veroorzaken van mislukkingen in zijn voorstellingen af en toe, werd zijn bewustzijn extra aangesproken.
In de beweging leeft de wilskracht. Voor het hele jonge kind is dat onbewust, het schoolkind beleeft het in het ritmische dromende bewustzijn en de puber kan bewust richting gaan geven aan de wilskracht.
Een gezonde kleuter is daardoor een en al beweeglijkheid, het schoolkind beweegt mee in de belevenissen waarvan het leert en de puber gaat bewegen in het denken.
De natuurlijke uiterlijke (spier)beweeglijkheid lijkt daarbij stil te vallen en te veranderen in ‘harkerigheid’.
Het aanspreken van de wilskracht loopt parallel aan het aanspreken van het rekenvermogen; eerst in het bewegen op zichzelf, dan in het beleven van de beweeglijke beelden en daarna in het beweeglijke denken. Het gehele organisme van de bewegingszin maakt dat mogelijk.
In onderstaand schema zien we de polariteit van het bewegen in de driegelede mens. Vanuit het zenuwstelsel werken de krachten, die vorm brengen in het lichaam. Vanuit het bewegingsstelsel werken de krachten van de wil in het lichaam.
In het middengebied worden beide krachtenvelden verenigd en ontstaat het ritme, waarin antipathie- en sympathiekrachten zich verenigen, wat leidt tot leren.
Het evenwicht tussen beide krachtenvelden is voorwaarde voor het leren rekenen, dat immers plaats vindt tussen de beweging en het bewustzijn, tussen natuur en cultuur.
335
Als bij een kind invloeden van ‘boven’ of ‘beneden’ het ritmische bewegen van het ‘midden’ uit balans brengen, doet de individualiteit zich gelden in het gevoelsleven.
Dat kan zich voordoen bij emotionele turbulentie, maar het kan ook het gevolg zijn van invloeden uit de sociale omgeving van het kind. Er kunnen dan emotionele barrières ontstaan, die onder andere het rekenen belemmeren.
Naast maatregelen die de omgeving van het kind beïnvloeden, kunnen bewegingsoefeningen -in samenhang met kunstzinnige opdrachten (schilderen, tekenen of boetseren met bijenwas)- helpen die barrières te overwinnen en het rekenvermogen weer vrij te maken.
B2 Rekenvoorwaarden die in de jaren na de schoolrijpheid vervuld worden en de ontwikkeling, die daaruit voortkomt.
Sophie is net naar de eerste klas gegaan. Ze heeft al bijna twee perioden achter de rug; eerst kreeg ze taal en nu is zij aan het rekenen. Ze geniet met volle teugen. Net voor haar zevende verjaardag zegt ze ’s avonds voor het inslapen heel ernstig: “Weet je, denken is eigenlijk hetzelfde als misschien”. Die dag had zij vol overgave en met behulp van armen en benen de Romeinse VII geleerd. En passant deelde ze nog even mee dat ook 6 was, want je moest er zes streepjes voor zetten! Zij vormde zich zo vele denkbeelden.
Vlak voor het inslapen werd bij Sophie, als in een droom, een tip van de sluier van het bewustzijn opgelicht. Deze diepzinnigheid wordt in de nacht ‘vergeten’ en de volgende morgen danst ze weer vrolijk de dag in.
De ontwikkeling van het astraallichaam
In bovenstaand doorkijkje toonde Sophie hoe een kind in deze levensfase zich de eigen bewustzijnskrachten gewaar kan worden. In de levensfase waarin het kind ‘leert’, is zijn ik-organisatie voorwaarde-scheppend aan het werk voor de rijping van het astraallichaam. Het astraallichaam kan echter pas na het intreden van de puberteit zelfstandig indrukken van buiten verwerken; het is dan vrij in het bewustzijn.
De verbinding die het astraallichaam in deze periode van de ontwikkeling aangaat met het fysieke- en etherlichaam, maakt het mogelijk dat indrukken in het geheugen actief opgeroepen worden. Het vermogen om te memoriseren ontwikkelt zich en nu kan rekenwerk ook ‘ont-houden’ worden. Het astraallichaam leest als het ware het rekenen in het etherlichaam.
In het astraallichaam leeft ook de wereld van de realiteit. Daarom kunnen kinderen vervolgens denkbeelden, voorstellingen en begrippen gaan ontwikkelen vanuit concrete realistische situaties.
Hier past een waarschuwing voor wie een leerling wil toetsen op rekenvaardigheid. Zeker voor het negende jaar is het kind zich dit proces van onthouden niet bewust. Het rekent uit het hoofd vanuit de beweging en de kwaliteiten van de getallen, maar het ‘leest’ nog niet bewust in het geheugen. Rekenwerk kan al wel ‘automatisch’ tevoorschijn komen, maar van ‘geautomatiseerd zijn’ (van kale sommen) hoeft nog geen sprake te zijn.
336
Juist omdat we de kinderen eerst ritmisch bewegend en in concrete contexten hebben laten rekenen, zijn kale sommen geen automatisme. Men moet er rekening mee houden dat de oplossing van kale sommen tijd vraagt of dat de oplossing helemaal niet gevonden wordt, omdat zo’n opgave niet in de kinderen leeft.
Menig kind heeft in zo’n situatie de ogen vragend naar de hemel gericht, in de hoop een antwoord te ontvangen.
Vanuit herhaaldelijk hoofdrekenen met de basisbewerkingen wordt het rekenen wel geautomatiseerd, maar dat vraagt een langere weg. Wel een weg waar de kinderen plezier in hebben, want wat is er leuker dan de dagelijkse rekenspelletjes als “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er … bij …?” Tot in de hoogste klassen wordt op die manier met plezier gewerkt aan het automatiseren.
De ontwikkeling van het astraallichaam is een proces, waaraan de ik-krachten niet bij ieder kind evenveel vorm geven. Dat kan mogelijk leiden tot leermoeilijkheden, zoals concentratiestoornissen. Een zeer storend probleem bij rekenen.
De ik-krachten verbinden zich met het astraallichaam in het ritmische lucht-bewegingssysteem, dat meer dan alleen de ademhaling is. Tussen middenrif- longen en de luchtwegen in het hoofd, komt op de luchtstroom in het strottenhoofd het spraakorgaan tot leven. Samen met de mondholte en de (gespierde) tong wordt de beweging tot klinkende spraak.
Vanuit de beweging wordt de wilskracht in het spraakorgaan aangesproken en door dit bewust op te roepen ontstaat er vorm in de beweging. Dit werkt weer vormend op de evenwichtige verbinding van de ik-krachten en het astraallichaam. Hieruit volgt dat spraakoefeningen, die bewegingsoefeningen zijn, richting en vorm geven aan hetgeen vanuit de herinnering verbonden is met het rekenen en dat is een voorwaarde is om geconcentreerd te kunnen rekenen.
De zintuigen
De spraak- of woordzin behoort tot de zintuigen van het denken en komt vanaf de puberteit volledig tot bloei. Maar al vanaf de geboorte wordt het spreken ontwikkeld door klanken te vormen en te beleven.
Niet alleen de spraakvorming, maar ook de spraakontwikkeling staat in directe relatie met rekenen-wiskunde. Vanaf de schoolrijpheidsfase oefenen we bij rekenen, het leren verwoorden van wat het kind rekenend ‘gedaan’ heeft. Het groeit uit tot het verwoorden van wat er mentaal gerekend is. Het zijn voorbereidingen voor het leren spreken ‘met verstand’ .
Voor de spraakzin is het spraakorgaan het instrument dat de menselijke geest (verstand) doet spreken in de wereld. En zelfs als de stem verstomt, hoeft de geest niet werkeloos te zijn en kan hij in gesprek komen met zichzelf. Zo draagt het leren verwoorden van rekenprocessen bij tot de vorming van een helder verstand.
Goethe vergeleek in diverse werken (Goethes Werke, Weimarer Sophien-ausgabe, Weimar 1887-1919) de dialectiek met de wiskunde: wat voor de spraak geldt, geldt in het bijzonder ook voor het rekenen. In 1814 zei hij tegen Riemer (Goethes Gesprache, Biedermann und Herwig, Stuttgart): “Getallen zijn net zoals onze woorden; slechts pogingen verschijnselen te bevatten en weer te geven, eeuwig ontoerijkende benaderingen”.
Zoals woorden worden tot poëzie, zo worden getallen tot wiskundige kwaliteiten, als ze in het kind tot leven gebracht worden.
337
Ook de andere zintuigen ontwikkelen zich in de tweede zevenjaarsperiode verder. De bewegingszin wordt een bewuster waarnemingsorgaan van de steeds verfijnder wordende beweging. Bij het jonge kind werkt de bewegingszin nog onbewust in de beweging van het stofwisselingsledematenstelsel, daarna halfbewust in het ritmische systeem (ademhaling, circulatie) en groeit ten slotte uit, bewust werkend in de zenuw-zintuigpool.
Parallel hieraan vindt het rekenen zijn weg in de verschillende bewustzijnsniveaus; vóór de schoolrijpheid onbewust associatief, vanaf de schoolrijpheid halfbewust in beeldende voorstellingen en na de puberteit volledig bewust in een creatief beweeglijk denken.
C Welke extra oefengebieden kunnen spreken we aan om het rekenvermogen in het kind te wekken en bij welke oefeningen doen we dat in directe samenhang met rekenen?
Hebben we te maken met een kind met rekenproblemen, dan kijken we allereerst naar het rekenen zelf. We doen een reken-diagnostisch onderzoek (zie H 8.3.2.) en vanuit die bevindingen kijken we naar de oorzaken van de stoornissen en de rekenvoorwaarden in het kind (zie H8.1).
Op basis van die twee onderzoeken ontwikkelen we een plan voor een aangepast didactisch aanbod in de rekenlessen en we kiezen van extra oefeningen in andere gebieden dan het rekenen zelf om rekenvoorwaarden te versterken. We denken daarbij aan:
Beweging
Oefeningen die de beweging aanspreken in de ledematen, de houding en de spraak:
1. Motorische training, grove en fijne motoriek.
2. Houdingsoefeningen in relatie tot de oriëntatie in de ruimte, het evenwicht en de lichaamsgeografie.
3. Ritme in de beweging brengen.
4. Maat, afstand en tijd vanuit beweging vorm geven.
5. Meetkundige vormen bewegen.
6. Spraakoefeningen vanuit beweging en gebaar.
Er zijn bepaalde onderdelen van het leerplan waar de beweging een bijzondere rol speelt. Daarvan kunnen we in de klas gebruik maken om zwakke (of juist pientere) rekenaars ongemerkt extra aandacht te geven:
• euritmie en gymnastiek noemden we al. Bij oefening in sport en spel mag zeker in de hogere klassen de spierkracht nadrukkelijk aangesproken worden.
• Handvaardigheidsvakken, zoals handwerken en handenarbeid en de kunstzinnige vakken. Tekenen, waarnemend tekenen, werken met bijenwas en boetseren nemen een speciale plaats in.
• Zingen en muziek. In maat, ritme en melodie heeft de beweging een steeds andere rol.
• Toneel wordt als laatste in de rij apart genoemd. Hoe ouder de kinderen worden des te meer geeft het ontwakende bewustzijn doelgericht vorm aan de beweging in mimiek, woord en gebaar. Tot in de kleinste finesses werkt de motoriek om de (gekozen) realiteit van een rol weer te kunnen geven.
338
Zintuigen
Oefeningen ter versterking van de zintuigen en de onderlinge samenhang van de zintuigen.
Waarneming
Oefeningen speciaal voor de waarneming met de tastzin, de gezichtszin en de spraakzin.
Verwoorden
Oefeningen in het verwoorden van activiteiten en associaties.
Geheugen
Oefeningen voor het geheugen en het herinneren. Onder andere door van achter naar voren in de tijd gebeurtenissen van de dag en van de vorige dag te benoemen.
Voorstellingsvermogen
Oefeningen voor het voorstellingsvermogen, door een tekening te laten maken van een verhaal en het daarna nogmaals heel vereenvoudigd te laten tekenen of uit te beelden.
Tijd
Oefeningen waarbij bepaalde opdrachten op een bepaald moment in de tijd moeten plaatsvinden.
Alle opdrachten kunnen vanuit een tekenverhaal gesteld worden, maar probeer juist bij de bewegingsoefeningen steeds kwalitatieve en kwantitatieve getallen een rol te laten spelen. Het gaat er immers om, dat het kind zich in de beweging bewust wordt van de rekenwereld!
Kinderen, bij wie men zich richt op de ontwikkeling van het astraallichaam, kunnen behalve met spraakoefeningen ook goed geholpen worden met het doen van allerlei ‘klusjes’, die de realiteit van het dagelijks leven in het bewustzijn brengen. Deze kunnen goed gecombineerd worden met tel- en rekenopdrachten.
8.3 Diagnostiseren en hulpverlenen
Op grond van de vorige paragrafen stelt de leerkracht zich een aantal vragen dat de basis vormt voor het onderzoek en de hulpverlening bij rekenproblemen.
Vraag 1: Hoe rekent het kind en welke rekenactiviteiten, uitgaande van het rekenleerplan en eventuele informele kennis, heeft het zich eigen gemaakt?
(zie H 8.3.2).
Vraag 2: In wat voor (didactische) omgeving, vanuit welke invalshoek en van wie, heeft het kind tot nu toe leerindrukken opgedaan? Denk daarbij ook aan oorzaken van emotionele barrières, intellectuele achtergrond, enzovoort.
Vraag 3: Hoe verloopt het leerproces in andere vakken? Let met name op euritmie, gymnastiek, spreken, schrijven en lezen, toneel, handvaardigheidsvakken en die vakken die de verbondenheid met het leven op aarde zichtbaar maken, zoals heemkunde en aardrijkskunde.
339
Vraag 4: Welke lichamelijke gesteldheid heeft het kind en wat is zijn temperament? Wat lezen we daaruit af met betrekking tot:
• zintuigfuncties
• bewegingsfuncties
• ruimtelijke-oriëntatie
• tijdsbeleven
• geheugenfuncties
• voorstellingsvermogen
• intellectuele vermogens
Vraag 5: Hoe is het dag-nachtritme van het kind en hoe voltrekt zich de overgang van dag in nacht en omgekeerd?
Een hulpplan
Als de leerkracht inzicht gekregen heeft in de rekenproblemen van een kind en zich een idee over de oorzaken heeft gevormd, zal hij een hulpplan ontwikkelen, waarmee het kind zich de rekenleerstof eigen kan maken.
Bij die hulpverlening wordt een totaalplan uitgedacht, waarbij naast een op dat kind gerichte didactische aanpak en speciaal rekenwerk, ook gezocht wordt naar extra oefeningen om voorwaarden te scheppen, op basis waarvan het zijn rekenvermogen maximaal kan aanspreken (zie ook H8.2).
Bij het maken van zo’n totaalplan zullen de volgende punten om aandacht vragen:
Punt 1. Het eigen maken van die ‘rekenbouwstenen’, die minimaal nodig zijn om toegang te krijgen tot de leerstof. De didactische aanpak en het rekenmateriaal vragen hierbij om extra zorg.
Punt 2. Activeren van de gebieden die een directe relatie hebben met de rekenvoorwaarden door:
• Het doen van gerichte bewegingsoefeningen, waarbij het doel inspireert.
• Bewegingsactiviteiten verbinden met rekenactiviteiten; denk aan aantallen, tellen, tafels, meetkundige figuren, verdelen en meten.
• Oefeningen voor het geheugen en de herinnering.
• Spraakoefeningen.
• Spreken en verwoorden van gebeurtenissen in heden en verleden in combinatie met het verwoorden van rekenactiviteiten (terugvragen en spiegelen).
• Speciale opdrachten in de andere lessen, met name bij de bewegingsvakken, handvaardigheidsvakken of bij de kunstzinnige vakken.
• Dramatische vorming; oefeningen in woord en gebaar. .. ;
• Opdrachten, die voor het inslapen of na het ontwaken gedaan moeten worden in combinatie met rekenopdrachten die tot de volgende dag onthouden moeten worden.
• Opdrachten waarbij betrokkenheid met het dagelijks leven wordt wakker geroepen, met aandacht voor ruimte, maat, vorm en tijd.
Uit de laatste acht oefengebieden bij punt 2 worden keuzen gedaan voor het totaalplan om het slagen van de aanpak bij punt 1 te verhogen.
Diagnosticeren en hulpverlenen zouden zo georganiseerd moeten worden dat
340
beide zo veel mogelijk door de eigen leerkracht uitgevoerd worden en in de eigen klas plaatsvinden.
Als de omstandigheden zodanig zijn dat de hulp ingeroepen moet worden van een ervaren collega of remedial teacher om rekenproblemen te diagnosticeren, dan zullen zijn of haar bevindingen samen met die van de (klasse)leerkracht leiden tot ideeën over de begeleiding bij het rekenen. Vanuit dat uiteindelijke beeld maakt de leerkracht een rekenwerkplan voor het kind.
In een enkel geval zal het kind of de klassensituatie er aanleiding toe geven, dat een leerkracht kiest voor de tijdelijke hulp van de remedial teacher.
Dan moeten de activiteiten die met het kind ondernomen worden, geïntegreerd worden in het onderwijs in de klas. Het mag niet zo zijn dat er twee
‘leerwerelden’ ontstaan. In de klas moet de leerkracht die opdrachten kunnen geven, die verder bouwen op de oefeningen buiten de klas.
Michiel:
Michiel zit in de vijfde klas en rekenen is een probleem. Zijn vader heeft een winkel, waarin hij graag helpt en hoofdrekenen met geld gaat hem redelijk goed af. Bij het cijferen heeft hij echter geen idee waar hij moet beginnen en wat er nu wel of niet onder elkaar moet staan.
Michiel is onrustig in de klas, kan zich slecht concentreren en verstoort vaak de stille momenten. Hij maakt over het algemeen veel geluid, maar spreekt ongevormd. Hij kan niet verwoorden wat hij de vorige dag gedaan heeft, laat staan dat hij kan verwoorden of opschrijven wat hij daarbij gedacht heeft.
Besloten werd vanaf Pasen een aantal keren apart met Michiel te werken aan het rekenen. Gedurende zeven weken kreeg hij twee keer per week een extra rekenles van twintig minuten.
Michiel houdt erg van paardrijden en is dol op zijn pony. Bovendien kent hij de boeken van ‘Het kleine huis’, waar ook in de klas uit voorgelezen is. Gekozen werd om al het rekenwerk voor Michiel in een dergelijk verhaal te plaatsen. Het verhaal van een man die rondreisde met paard en wagen en van alles kocht en verkocht. Tegelijk was hij ‘verhalenverteller’, want in ieder dorp waar hij kwam, wilden de dorpelingen alles weten en kunnen wat er in de vorige dorpen gedaan werd.
De inhoud van de hulplessen berustte op drie pijlers:
• Soorten cijfersommen per dorp (+ -, x, :), die vanuit de handel ontstonden en vervolgens vanuit hoofdrekenen en geldrekenen geleid werden naar cijferen, naar aanleiding van ingewikkelde vragen die de dorpelingen stelden. In het ‘dorpsboek’ werd alles vastgelegd en verantwoord.
In een van de dorpen verdeelde de dorpsgemeenschap alle producten, zodat daar het breukrekenen de revue moest passeren.
• Verhalen vertellen in ieder volgend dorp, dus verwoorden, uitleggen en herhalen wat er in het vorige dorp ‘gerekend’ was.
• Bewegings- en spraakoefeningen, waarmee de dag van de wagenmenner begon om ‘wakker’ te worden. Oefeningen waarbij nadrukkelijk het begin en de richting belangrijk zijn. Bijvoorbeeld:
*Houdingsoefeningen (vanuit I-A-O oefening).
*Werpoefeningen met allerlei ballen in een emmer.
*Spraakoefening aan de hand van een samen gemaakt gedichtje over de vroege morgen.
*Evenwichtsoefeningen op de balk met in iedere hand een koperen bal, die aan de hand van opdrachten met tafelproducten van hand moet worden gewisseld.
341
In de klas zorgt de leerkracht dat dezelfde bewegingsoefeningen ook een onderdeel vormen van het programma en de spraakoefeningen krijgen daarin eveneens een plaats. Bij het kiezen van teksten voor de spraakoefeningen is nauw overleg met de klassenleerkracht gewenst, zodat het ook in de opbouw van zijn lessen past. Bij het rekenen in de rekenwerkuren en in de periode, waar de komma-getallen juist hun intrede deden, werden voor Michiel de opdrachten in dezelfde context geplaatst als bij de extra lessen.
Michiel gebruikte het ‘dorpsboek’ als steunmateriaal in de klas. Voorlopig keek hij daarin nog veel naar de door hemzelf opgebouwde modellen voor bepaalde opgaven. Het was natuurlijk wel de bedoeling dat hij het ‘dorpsboek’ op zijn tafel steeds minder open zou doen, als teken dat hij in zijn geheugen kon lezen!
Normaal gesproken had dezelfde hulp aan Michiel ook in de klas kunnen plaatsvinden, maar door het gedrag dat hij zich langzamerhand in de rekenuren had aangemeten, was het niet meer mogelijk om hem rustig aan een eigen opdracht te laten werken. In dit geval werd door de hulp buiten de klas het gedrag doorbroken en werd het werken aan rekenopdrachten niet meer door Michiel zelf belemmerd.
Het spreekt voor zich, dat bij een speciale aanpak voor rekenen altijd de ouders betrokken worden. Van hen kunnen we immers veel informatie over het kind krijgen, te meer daar de ouders signaleren hoe het kind op schoolsituaties reageert. De ruggensteun, de aandacht en de eventuele hulp bij het uitvoeren van kleine opdrachten thuis, vormen een extra bijdrage aan het rekenleerproces.
Wanneer er sprake is van rekenproblemen met een psychische of constitutionele oorsprong, kan het zinvol zijn om het probleem ook aan de schoolarts voor te leggen. Samen met de schoolarts kan de leerkracht proberen meer inzicht in het wezen van het kind te krijgen.
Na overleg tussen de schoolarts en de ouders kan door de ouders voor extra therapeutische begeleiding gekozen worden (heileuritmie, fysiotherapie, kunstzinnige therapie, voedingsadviezen, medicamenten, enzovoort). Deze adviezen vallen buiten de verantwoordelijkheid van de leerkracht. Hij kan een dergelijk contact met de schoolarts voorstellen, maar houdt zich verder uitsluitend bezig met het pedagogische en didactische aanbod bij rekenhulp binnen de school.
8.3.1 Een algemeen onderzoek
Vanaf het moment dat de kinderen echt schoolrijp zijn, moet het leerproces inzetten. Het is daarom noodzakelijk om een grondig inzicht te krijgen in de kenmerken van de schoolrijpheid en in de ontwikkelingsmogelijkheden van het jonge schoolkind. Het verwerven van dit inzicht behoort tot de fundamentele opgaven van een lerarengroep.
Sinds 1986 kan daarbij gebruik gemaakt worden van het
‘tweede-klasonderzoek’, ontwikkeld door medewerkers van de Landelijke Schoolbegeleidingsdienst voor het vrijeshoolonderwijs in samenwerking met remedial teachers. Elke school kan van dit programma gebruik maken, met of zonder begeleiding van de Dienst. Omdat de kinderen in de loop van de eerste klas pas goed schoolrijp c.q. leerrijp worden, is gekozen voor een onderzoek in de tweede klas, want dan moet aan
342
bepaalde leervermogens geappelleerd kunnen worden. Door dit onderzoek, dat zich als het ware spelenderwijs en over langere tijd kan voltrekken, kan de leraar (latente) leerproblemen opsporen en tijdig maatregelen nemen.
Hier past de opmerking dat in het ‘tweedeklas-onderzoek’ geen specifiek onderzoek gedaan wordt naar voorwaarden voor rekenen. De tot op dat moment opgebouwde vaardigheden voor rekenen-wiskunde komen niet expliciet aan bod.
Wie in de tweede helft van de tweede klas bij een kind duidelijk rekenproblemen vermoedt, doet er goed aan dat leergebied nog eens te onderzoeken.
Inge en Annebeth
Inge en Annebeth zitten in de tweede klas en de leerkracht ervaart bij beiden, dat er stoornissen zijn bij het rekenen. In de klassensituatie is er niet makkelijk achter te komen waar de problemen liggen, bovendien zijn de resultaten van het werk erg wisselend. Besloten wordt om buiten de klassensituatie eens naar deze twee meisjes te kijken.
Inge is een gezonde, tengere, blondharige tweedeklasser met een lichte huid, die de indruk wekt het leven open tegemoet te treden. Zij vertelt met plezier over wat ze fijn vindt op school en thuis, en over wat ze al allemaal weet. Als ze uit haar tekendoos iets mag uitzoeken om mee te schrijven, kiest ze een extra dik kleurpotlood. Het is bijna een stompje en ze vertelt onmiddellijk dat dat haar fijnste potlood is en dat je er heel mooi mee kan tekenen. Als ze getallen gaat opschrijven, wordt ze helemaal een met haar potlood.
Bij de bewegingsoefeningen in een grote ruimte vertoonde ze nog weinig bewustzijn in de beweging. Tellen en lopen of klappen hadden nog niets met elkaar te maken. De motoriek bij vangen en werpen was slecht ontwikkeld en lemniscaatvormen bleven in het midden steken. Haar vingers bewegen nog niet onafhankelijk van elkaar.
Annebeth is een lang en heel tenger meisje, ook met blond haar. Ze ziet er wat vaal en doorschijnend uit en maakt een teruggetrokken indruk, vooral wanneer kennisvragen aan haar worden gesteld. Worden de vragen in een verhaalvorm aan haar voorgelegd dan wordt Annebeth levendiger en verschijnt er een lachje op haar gezicht. Als we wat op gaan schrijven, kiest ze een scherp grijs potlood uit haar doos en hanteert het potlood op een afstandelijke manier; hoog en met weinig daadkracht in de beweging.
Motorisch is Annebeth zeer goed ontwikkeld en zij kan met grote precisie het tellen en de getallenwereld met de beweging verbinden. Haar bewegingen zijn daarbij functioneel en nauwgezet en ook als de bal er aan te pas komt, verraadt zij uiterlijk weinig levendigheid.
Bij het onderzoek naar rekenvaardigheid passeerden daarna de volgende onderwerpen de revue:
• Tellen en tellen met sprongen uit het hoofd en op papier.
• Structureren van getallen met steentjes.
• De betekenis van de getallen, zowel kwalitatief als kwantitatief, onder andere met behulp van rekentekeningen en een spelletje met getallenkaartjes.
• Rekenoperaties vanuit de analyse van de getallen, uit het hoofd en op papier in tekeningetjes en kale sommen.
• De betekenis van de rekentekens +, -, x, : .
• Het handig rekenen; verdubbelen, vijfstructuur, ‘over de 10’ rekenen en tientallen inwisselen.
343
• Schatten van maat en aantal met betrekking tot bewegen in de ruimte en het zien en voelen van voorwerpen.
• Terugvragen van bekende rekenstrategieën en het verwoorden daarvan.
Vergeet niet bij het onderzoek een goede volgorde te kiezen. Natuurlijk moet begonnen worden met dingen, waarbij het kind zelfvertrouwen krijgt. Maar wie bijvoorbeeld begint met het te vragen om eens de rij van de getallen op te zeggen en deze vervolgens laat opschrijven, heeft aan het begin van het onderzoek steunmateriaal gecreëerd. Daarvan kan het kind steeds gebruik maken bij iedere volgende vraag en dat zou het onderzoek naar de niveaus waarop het kind werkt wel eens kunnen beïnvloeden.
Als we dingen tegenkomen waarbij het kind vastloopt, dan kunnen we daarentegen wél proberen meteen uit te zoeken met welk steunmateriaal (getallenkaartjes, getallenstrook, steentjes, rekenrek, enzovoort) het kind verder kan werken.
Het is belangrijk om bij een dergelijk onderzoek naar rekenvaardigheden ook naar taalvaardigheid te kijken. Het gaat niet alleen om de motoriek bij het schrijven, maar ook om het kunnen schrijven van de letters, zonder omkeringen (bijvoorbeeld de p wordt een q), en kleine woordjes. Heeft het kind al enig woordbeeld en kan het al lezen? Bij het spreken onderzoeken we hoe de motoriek is bij de spraakvorming en of de woorden in de spraak betekenisvol worden weergegeven.
Dit beperkte onderzoek naar de taalontwikkeling kunnen we verstoppen in een tekenverhaal met opdrachten, zodat we ook kunnen waarnemen of het kind in staat is een rekenhandeling te verwoorden. We moeten dan in de gaten houden of het nog nieuwe ontdekkingen doet in het kort daarvoor gemaakte werk en of het dan eventueel gemaakte fouten ziet en corrigeert.
Inge en Annebeth gaven bij het rekenwerk een heel verschillend, bijna tegengesteld beeld. Inge structureerde de boontjes handig, naar gelang de opgave en heeft een duidelijk begrip van de verschillende rekenbewerkingen. Ook verdubbelen is geen probleem. Tellen doet ze zo min mogelijk, want dan raakt ze in de war. De getallen zelf hebben geen betekenis als telgetal. Als zij een rekentekening mag maken, tekent ze een mannetje van een 8 met twee 5-en als voeten. Als je dan vraagt: “Wat is de helft van 8?”, tekent ze stralend een omgekeerde …, “Oh nee, hij moet zo!: 3”.
Annebeth daarentegen blijft steeds tellen bij elke opgave, ook als het hoofdrekensommetjes zijn. Wanneer zij het getal 61 mag leggen met steentjes (die 10 waard zijn) en boontjes (die 1 waard zijn), begint ze onvermoeibaar, hoewel wat schichtig, boontjes uit te tellen. Ook na een opgave waarbij ze 8 boontjes had neergelegd en gevraagd werd “Hoeveel is het nu met nog 8 erbij?”, komt Annebeth er niet uit. Samen met haar zoeken naar structuren van groepjes van 4 of 2 boontjes, lijkt het vinden van het antwoord zeker niet te vergemakkelijken. De rekentekens hebben geen betekenis, bij het opschrijven van de vorige som schrijft ze:4 + 4 + 4 + 4 + .
In haar rekentekening staan wel bloemen met vijf blaadjes en zeven sterren.
Op tafel liggen blind ronde kartonnen kaartjes met de getallen 1 tot en met 45 er op. Annebeth mag er vijf pakken en ze zo voor zich neer leggen, als zij dat goed vindt.
344
De leerkracht pakt tegelijk vijf kaartjes en legt een kring van getallen. Annebeth kan de getallen goed uitspreken. Als haar gevraagd wordt ze nu op volgorde in een rij te leggen legt ze: 2 8 27 37 38.
Dan worden alle getallenkaartjes op tafel omgedraaid en mag zij een getal uitzoeken dat in het rijtje past. Na enig denken pakt ze de 17 en legt die voor de 27. Een opmerkelijke keuze, waaruit blijkt dat zij de getallen mogelijk als telgetallen beleefd en ze op een getallenlijn positioneert. Daarna vult ze het ‘gat’ gestructureerd op!
Tot slot blijkt in het gesprekje, waarin de leerkracht de meisjes laat vertellen wat ze gaan doen als ze uit school komen tot het moment waarop ze de volgende dag weer naar school moeten, dat Inge het zo beleeft dat ze wakker wordt en dan meteen weer op school is. Annebeth geeft aan veel televisie te kijken, en ’s avonds als ze niet kan slapen doet ze graag een computerspelletje om in slaap te komen.
Uit het onderzoek kwam naar voren dat Inge de ontwikkeling van het bewustzijn voor de beweging en de telgetallen gemist leek te hebben in de fase van de schoolrijpheid. Dat was juist de periode dat ze in een ander land had gewoond met een voor haar onbekende taal.
Annebeth leek terughoudend op al het nieuwe in haar rekenleven te reageren, terwijl het eerste aanvankelijke tellen en bewegen goed ontwikkeld was. Mogelijk hadden de dramatische gebeurtenissen, die in het gezin hadden plaats gevonden, haar rekenontwikkeling voor deze tijd belemmerd.
De leerkracht maakte vervolgens een programma voor het rekenen, waarbij ze de twee meisjes samen de gang door het rekenwerk nog eens liet doormaken. Een periode lang kregen zij eigen rekenwerk te doen, wat afgeleid was van de gezamenlijke bewegende opmaat van iedere dag. Vanuit de tafelrijen die geoefend werden, kregen zij andere opdrachten. Zij zouden elkaar daarbij uitstekend kunnen aanvullen en helpen, wat mogelijk aan beiden extra zelfvertrouwen zou geven.
345
Voor de hele klas ontwierp de leerkracht steeds rekenspelletjes met getallenkaartjes, rekensteentjes of tekenopdrachten, waarbij Inge en Annebeth geleidelijk weer in het rekenspoor van de klas mee konden doen.
Een tijd lang mocht Inge iedere morgen eerst vertellen wat ze precies gedaan had, voordat ze naar school ging. Thuis zou ze ook iedere ochtend ongemerkt een kleine (tel)opdracht krijgen.
Annebeth zou een tijd lang iedere avond in bed vertellen wat het allerfijnste was geweest van deze dag en vast bedenken waar ze de volgende dag echt zin in zou hebben! Bovendien werden er voor haar een aantal extra schilderoefeningen bedacht in overleg met de kunstzinnig therapeute.
Net zoals in de schoolrijpheidsfase kan het ook in andere fasen van de ontwikkeling belangrijk zijn om zeker te weten dat de kinderen die fase ook echt doormaken. Voor kinderen in de hogere klassen geldt steeds meer dat de voorafgaande lesstof verwerkt en eigen gemaakt moet zijn om ook zelfstandig verder te kunnen met de nieuwe onderwerpen.
Voor rekenen zal het daarom zeker belangrijk zijn om vanaf de vierde klas, aan het eind of tijdens de periode, een toetsles in te bouwen (zie ook Terzijde: Peilingen). Een lesmorgen die voor de kinderen niet te onderscheiden is van iedere andere periodeochtend, maar waar de leerkracht zijn onderzoek specifiek richt op die rekenbouwstenen, die op dat moment verworven moeten zijn om verder te kunnen ‘bouwen’ . Daarbij kan hij de opdrachten zo inrichten, dat hij ook aan het werk van de kinderen kan zien op welk niveau er gerekend wordt.
8.3.2 Het rekendiagnostisch gesprek
Wender zit in de derde klas en heeft eigenlijk nog niet eerder echt problemen gehad met rekenen. Maar nu staan er allemaal fouten in het schrift. Vooral als het gaat om opgaven als 64 – 37. De leerkracht heeft daarom besloten om eens samen met Wender na te gaan waar het in zit. Dat zal gewoon in de klas gebeuren, liefst een beetje ongemerkt, dus bijvoorbeeld op een moment dat de andere kinderen zelfstandig aan het werk zijn en het even zonder hulp kunnen stellen.
Het rekenen tot honderd neemt in deze periode voor een groot deel het
hoofdonderwijs in beslag. Voordat Wender nader aan de tand gevoeld wordt, laat de leerkracht de belangrijke problemen en oplossingsaanpakken uit dit gebied nog eens aan zich voorbijgaan. Dat moet hem het materiaal leveren om met Wender in gesprek te komen: opgaven, vragen, tips, hulp, concreet materiaal, contexten, modellen …
Het rekenen tot honderd i§ tot nu toe louter hoofdrekenen.
Hoe kun je 64 – 37 oplossen? De leerkracht noteert voor zichzelf:
346
67 – 37 = 30; 30 – 3 = 27 (variant, handig)
64 – 60 – 50 – 40 – 37 – (terugtellen); korter 64 – 60 – 30 terug + 7 (37)
Bij nader inzien heeft hij ook nog een aanpak vergeten. Een aanpak waarvan hij weet dat hij juist door langzame rekenaars nogal eens gekozen wordt:
64 – 37 = ; 64 = 50 + 14; 14 – 7 = 7; 50 – 30 = 20; 20 + 7 = 27.
Wat moeten de kinderen ‘gehad’ hebben om deze som te kunnen maken? Dat is in de eerste plaats het optellen en aftrekken tot 20. De tafels zijn, als het goed is, geautomatiseerd. Wie nog moet rekenen bij 14 – 7 = 7, heeft het moeilijk bij het hoofdrekenen tot 100. Wie nog op het niveau van tellen werkt (14 – 7; 13, 12, 11,
10, 9, 8, 7) staat dan voor een onmogelijke opgave.
Verder dient de tientallige splitsing gebruikt te kunnen worden: 64 = 60 + 4. En ook opgaven als 32 + 24 = 56. Zelfs 35 + 18 = 53, en zo mogelijk ‘handig’. Maar de kolommenmethode moet in ieder geval begrepen worden: 30 + 10 = 40; 5 + 8 = 13; 40 + 13 = 53.
Zo laat deze leerkracht nog eens de stof van de voorgaande lessen voorbijtrekken.
Tegelijkertijd ziet hij een bepaalde opbouw van vaardigheden en daarin diverse niveaus van handelen.
Nu is het moment gekomen om wat concreter te gaan denken over materiaal voor het diagnostisch gesprek. De leerkracht weet precies wat hij wil. Hij wil weten waar bij Wender het schip gestrand is; hij wil ook aanwijzingen vinden voor het bieden van hulp. En, dat is duidelijk, hij neemt zich voor zijn vaak te spontane neiging om tijdens het gesprek al hulp te bieden, te onderdrukken.
De eerste opgaven leveren Wender geen problemen op. Dat weet zijn leerkracht zeker. Maar interessant is het te weten welke aanpak Wender kiest. De leerkracht meent daarover wel een voorspelling te kunnen doen: de kolommenmethode zal wel domineren. Pas in het laatste rijtje, bij 24 – 17 enzovoort, zullen de fouten komen. Overigens is het niet duidelijk of de leerkracht inziet dat de opbouw van de opgaven die aanpak volgens kolommen sterk stimuleert.
De werkwijze volgens Kwantiwijzer
In het geval van Wender heeft de leerkracht laten zien hoe een diagnostisch gesprek met een leerling diepgaand en breedvoerig doordacht kan worden. En hoewel in de gevalsbeschrijving nog niet duidelijk is geworden welke didactische hulpmiddelen de leraar achter de hand heeft gehouden, gaan we nu in op de werkwijze, die in het diagnostisch gesprek zal worden gevolgd.
We kiezen daarbij voor een bepaalde systematiek, die door de projectgroep Kwantiwijzer de afgelopen twintig jaar is ontwikkeld en onderzocht. De achterliggende visie op het diagnosticeren en remediëren van rekenproblemen bij kinderen, is bij deze manier met twee woorden te kenschetsen: handeling (hande-
347
lingspsychologie) en realiteit (realistisch reken-wiskunde onderwijs). Wiskunde is een menselijke activiteit en hoe mensen wiskunde gebruiken (doen), kun je zien aan hun handelen (ook inbegrepen is het mentale handelen, het denken bij het oplossen van rekenopgaven bijvoorbeeld).
Eenvoudig gesteld geeft de Kwantiwijzer-aanpak een mogelijkheid om het handelen van kinderen op het gebied van rekenen te bestuderen en te analyseren. Wie wat van rekenonderwijs weet, kan dan op basis daarvan een diagnose stellen en mogelijk al een remedie bedenken. Diagnose en hulp (op maat) zijn nauw met elkaar betrokken. Ons inziens dient elk diagnostisch gesprek in een didactisch perspectief te staan.
Nadat de leerkracht het gebied rond de problematiek van die bepaalde leerling nog eens goed doordacht heeft, en een opgave heeft bedacht in een uitgekiende volgorde, volgt het gesprek. Het werk in de klas wordt zo georganiseerd dat er ruimte is voor een individueel gesprek.
Hieronder de achtereenvolgende stappen:
1 Introspectie
De leerling maakt de opgaven. De leerkracht stelt vragen om hardop denken te bevorderen. Het gaat om introspectie. Er zijn vaak ook andere signalen dan het hardop denken. Let bijvoorbeeld op de vingers. Kinderen, die met behulp van vingers optellen en aftrekken, bewegen hun vingers, kijken er naar of tikken op tafel. Soms maken de kinderen gebruik van patronen op de muur of het plafond om het tellen visueel te ondersteunen. Er zijn ook kinderen die aan de cijfers tel-patronen toekennen. Bijvoorbeeld:
Maar het komt ook voor dat een kind geen enkel signaal geeft. Dan is in eerste instantie alleen de tijd die het nodig heeft om aan een antwoord te komen, een indicatie voor de wijze van (mentaal) handelen. .
In het geval van Wender was het ook mogelijk geweest een soort toetsles te geven aan de hele klas, met speciale aandacht voor de inbreng van Wender. (zie ook Terzijde: Peilingen)
2 Retrospectie
Als nog niet duidelijk is geworden hoe het kind gerekend heeft, probeert de leerkracht het kind nog even terug te laten kijken. “Hoe heb je dat gedaan? Wat heb je gedacht?” Vanzelfsprekend moeten dit soort vragen omkleed zijn met een warme belangstelling voor het kind.
348
Natuurlijk kun je het ook wel een beetje helpen, bijvoorbeeld door op te schrijven wat het zegt gedaan te hebben. Bedenk daarbij wel dat sommige kinderen heel goed aanvoelen hoe ze de vragensteller zo kunnen ‘manipuleren’, dat hij ook de antwoorden geeft. Het gaat er natuurlijk om dat de leerkracht een juist beeld krijgt van de rekenhandelingen van zijn leerling. De laatste moet daarom in staat gesteld worden (en gemotiveerd) om zijn reken(denk) proces te reconstrueren.
3 Doorvragen
De eerste observaties en de retrospectie kunnen nog wel vragen open laten over de werkelijke aanpak en de aanwezige inzichten. Op basis van de eerdere verkenning van het rekenterrein, gaat de leerkracht dan in op bepaalde details. In dat geval kan men er ook achter komen welke rekenfeiten al geautomatiseerd zijn en welke nog uitgerekend moeten worden. En hoe en op welk niveau (tellen, structureren, verkort, handig, …) dat gebeurt.
Het kan van groot belang zijn dat de leerkracht steeds vanuit een oprechte belangstelling opereert. Het klimaat van een diagnostisch gesprek is niet dat van een laboratorium, maar eerder dat van de vertrouwde periodeochtend. Laat het kind merken dat je samen op zoek bent naar de meest geschikte oefenstof.
4 Reflectie
In vervolg op het voorgaande kan de vraag naar voren komen of de leraar nu goed begrepen heeft hoe de leerling de opgaven maakt. Is er een juiste reconstructie van het denkwerk tot stand gekomen? Die vraag levert een nieuwe mogelijkheid om het kind over zijn eigen rekenwerk te laten nadenken.
In het geval van Wender was duidelijk geworden dat de kolom-methode bij het aftrekken tot grote moeilijkheden leidde. Het gemak bij optellen (56 + 27; 50 + 20 = 70; 6 + 7 = 13; 70 + 13 = 83) was aanleiding om deze procedure bij 64 – 37 voort te zetten. En zo liep Wender met open ogen in de fuik van de tekorten. ( 60 – 30 = 30; 4 -7 gaat niet;…). De leerkracht wilde Wender hierover laten reflecteren:
“Deed jij eerst 60 – 30 ?”
“Ja, dat is 30.”
“Wat ging je toen doen?”
“Eh, … 4 – 7…””Dat gaat niet, hè, wat dacht je toen?”
“Ik had laatst een kind die deed het heel anders. Die zei: “Ik heb er 3 tekort.” Snap jij dat?”
Het reflecteren kan een essentiële functie hebben in het diagnostisch gesprek. De leerkracht kan daarin aanwijzingen vinden voor een didactisch vervolg. In het geval van Wender lag het rekenen met tekorten erg voor de hand. De leerkracht weet evenwel welke mogelijkheden hij laat liggen. Hij had bijvoorbeeld het gesprek een andere wending kunnen geven, wanneer hij de mogelijkheden van de rijgmethode had willen aftasten.
349
“We hadden 64 – 37, weet je nog wel? Denk nu eens dat je een boek van 64 bladzijden hebt en op blz. 37 bent gekomen. Hoeveel bladzijden heb je dan nog te lezen? Nu ben je dus op blz. 37.”
“Dan ga ik naar 40. Dan naar …”
“Mooi, schrijf die getallen eens langs dit lijntje.”
“40, 60, 64.”
“Hoeveel bladzijden zijn dat?”
“3 + 20 + 4 = 27.”
“Prima. Wat vind je gemakkelijker?”
Reflecteren geschiedt pas wanneer het gesprek een eind gevorderd is en de leerkracht al enig idee heeft van de werkwijze van de leerling. Op dat moment is het niet verkeerd om een zekere mate van hulp te bieden. Bedenk evenwel dat er dan niet meer een zuiver beeld van het reken- en denkwerk van de leerling ontstaat.
5. Variëren van de opgaven en de hulp
Bij het reflecteren, en soms al eerder, ontstaat bij de leerkracht al een idee in welke richting het rekenprobleem gezocht moet worden en hoe straks de hulp-op-maat eruit kan zien. Dit idee kan nader afgetast worden door samen met de leerling nog enige verwante opgaven te maken en na te gaan welke steun de beste kansen biedt.
In deze fase van het onderzoek kan het ook goed zijn om het hulpmateriaal, zoals getalkaartjes tot 100, het rekenrek, de getallenstrook, het (lege) honderdveld, enzovoort, ook in het rekendiagnostisch-gesprek te betrekken.
Ook bij oudere leerlingen kan je daarmee meer inzicht verkrijgen over welk rekenwerk zich wel of niet op mentaal niveau voltrekt.
Bij de opbouw van diagnose en hulpverlening middels het reken-diagnostisch-gesprek kun je de volgende vragen als leidraad nemen:
Waarop let de leerkracht? (diagnostisch repertoir)
Waarop richt zich eventuele hulp?
Welke vorm kan de hulp aannemen? (didactisch repertoir)
350
Zowel bij het diagnostisch repertoir als het didactisch repertoir worden de volgende deelgebieden in het rekenen afgetast:
• De organisatie van het rekenen (opbouw)
• Het niveau van beheersing van deelhandelingen (materiaal/mentaal?)
• Het gebruik van verbanden van structuur (wendbaarheid)
• Het perspectief van de gekozen aanpak (gewenstheid)
• De mate van bewustheid (reflectie)
8.3.3 Maatwerk voor individuele leerlingen
De voorafgaande hoofdstukken van dit boek kunnen dienen als inspiratiebron voor het maken van speciale opdrachten voor zwakke rekenaars en voor kinderen met partiele of tijdelijke rekenproblemen.
Het geldt natuurlijk voor ieder kind, maar met name de zwakke rekenaar is gebaat bij een liefdevolle, warme belangstelling voor zijn rekenwerk. Toch zal het niet gemakkelijk zijn om in een klas met een groot aantal kinderen met verschillende vermogens, ieder kind voldoende aandacht te geven en voldoende tot zijn recht te laten komen. Bij de organisatie van de rekenperioden zal rekening gehouden moeten worden met de noodzakelijke individuele verwerking van de aangeboden leerstof (zie ook Terzijde: Werkvormen). In de hogere klassen bieden de rekenwerkuren en taakuren de leerkracht extra mogelijkheden om leerlingen individueel te helpen (zie ook Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken)
Een map met werkbladen, die het mogelijk maken zelfstandig leerstof te herhalen en hiaten in kennis op te vullen, is zowel voor de leerkracht als voor de leerlingen een uitkomst die veel voldoening geeft.
351
352
353
De rekendoos
Vanaf de eerste klas kunnen we met de kinderen de inhoud voor een eigen ‘rekendoos’ maken. In die doos verzamelen we in de loop der jaren een aantal rekenmaterialen, die we bij het rekenen hebben gebruikt.
Eerst dient dit zelfgemaakte rekenmateriaal om nieuwe rekenhandelingen of processen mee te oefenen, later kan het model van en model voor rekenwerk worden. De kinderen met rekenproblemen kunnen zodoende de inhoud van de rekendoos nog langere tijd als steunmateriaal blijven gebruiken. Bij hen zal het immers langer duren voordat bepaalde rekenprocessen zich op mentaal niveau afspelen.
De rekendoos kan bijvoorbeeld de volgende dingen bevatten:
• 20 kaartjes, aan twee zijden verschillend van kleur voor het tellen en rekenen met een vijf- of tien-structuur.
• Getallenkaartjes tot 100.
• Getallenstrook tot 20, later ook tot 100, met fiches of knijpertjes om structuren of getallen te markeren.
• Versierde (lucifer)doosjes met steentjes of boontjes om te rekenen met eenheden, tientallen en honderdtallen en om het inwisselen te oefenen.
• Kralensnoer met vijfstructuur en kralen met snoer als model van de getallen op rij.
• Rekenrekje.
• Honderdveld, leeg en gevuld.
• Tafeltrainer.(H 3.2)
• Geld van het winkelspel.(H 4.3)
• Breukenenvelop.(H 5)
• Breukenelastiek.(H 5.4)
• Kaartje met tekeningen van maten en het meetstelsel.
• Sommige kinderen zullen er kaartjes in willen bewaren met modelsommen voor het cijferen.
• Rekenlogboekje (van de zwakke leerling in de hoogste klassen).
In de loop der jaren zullen een aantal attributen uit de rekendoos verdwijnen en voor veel kinderen hoeft de doos op den duur niet meer open. Anderen zullen er blijvend gebruik van maken; door conditionering zal het gebruikte materiaal ook voor hen op den duur evolueren tot mentaal model.
In de loop van de zesde klas, maar meestal in de zevende klas, kan er door de veranderingen in het bewustzijn van de leerlingen aanleiding zijn om de zwakke rekenaar nog eens extra te helpen. Bij sommige kinderen ontstaat dan vanzelf de wil om te kunnen rekenen, anderen kun je nu aansporen die wil tot rekenen te mobiliseren.
Niels zat in de zevende klas en kwam dagelijks met veel plezier op school, wel het meest omdat hij zo’n zin had in iedere pauze of de gymnastiekles. Bij de voorbereidingen van de jaarfeesten vond hij het heerlijk om bij de kleuters of in de laagste klassen te helpen. Verbaal kon hij zich uitstekend redden, maar leren was aan hem niet besteed. Die mening was hij tenminste zelf toegedaan.
Tijdens de scheikundeperiode, waarbij onderzoek en waarneming hand in hand gingen, voltrok zich een verandering in Niels. Op een heel andere manier raakte hij betrokken bij de les en vanaf dat moment leek hij ook aanspreekbaar op het cognitieve vlak.
354
Ik besloot deze ontwikkeling aan te grijpen om het rekenen nog eens een nieuwe impuls te geven. Gelukkig had hij in de vorige rekenperiode, waarin hij de negatieve getallen had leren kennen, geen aversie tegen dit onderwerp gekregen. Dat was in de afgelopen jaren vaak wel het geval geweest.
Niels kreeg een ‘rekenlogboekje’, dat voor hem ‘de zichtbare wil om te leren rekenen’ zou worden. Iedere drie weken bedachten we samen een rekentaak en schreven dat in het rekenlogboek. In de rekenwerkuren en thuis (als huiswerk) begon Niels aan een nieuw rekenleven. De opgaven stonden op werkbladen en waren voorzien van een nummer, dat op een groen stickertje stond. In het logboek hield hij zelf bij op welke problemen hij was gestoten. Als hij op vrijdag zijn rekenschrift met het logboek inleverde, kreeg hij zijn werk terug met in het rekenlogboek de reactie op zijn werk. In de klas kreeg hij extra hulp en uitleg bij wat hij niet kon en vervolgens kwam een voor-beeldsom van het probleem in zijn rekenlogboek. Niet alleen dat zijn werk door het aftekenen van de voltooide taken werd beloond, maar het logboek stond ook model voor wat hij nu wél kon en werd bovendien hulpmiddel voor het geval hij ‘die stomme sommen van vroeger’ toch weer vergeten was.
Het blijkt telkens weer hoe belangrijk het is om de zwakke rekenaar te helpen met hulpmateriaal, naast opgaven-op-maat, waarmee hij voor een groot deel zelfstandig om kan gaan. Het altijd weer moeten vragen om (en wachten op) hulp, demotiveert een kind.
Zo kan het zorgvuldig samenstellen van de inhoud van de rekendoos ook psychische oorzaken van rekenproblemen, zoals bijvoorbeeld emotionele turbulentie, voor een deel voorkomen.
8.4.Hoogvliegers willen ook wel eens wat!
Niet alleen de zwakke rekenaars hebben onze aandacht nodig, dit geldt evenzeer voor de hoogbegaafde leerlingen. Voor hen kan het oefenen en herhalen van de basisvaardigheden een activiteit zijn waarbij ze zich verschrikkelijk vervelen. Zeker als zich dit afspeelt in een voornamelijk klassikaal leerproces.
Een bekend verschijnsel is dat de hoogbegaafde leerling sterk onder zijn niveau gaat presteren als de eigenlijke vermogens niet worden aangesproken. Zelfs aan de eenvoudige opgaven kan niet worden voldaan. Erger wordt het, als ze zich dommer gaan voordoen louter om erbij te horen. In veel gevallen zien we naast de grote intellectuele vermogens een tekort aan sociale- en motorische vaardigheden. Men zou geneigd kunnen zijn juist aan deze aspecten aandacht te besteden en het denken wat minder aan te spreken. Echter, het intellect vraagt om inhoud, informatie en feiten.
We zien bij deze kinderen altijd een sterke voorkeur voor atlassen, encyclopedieën en woordenboeken. Bezien we hun manier van aantekeningen maken dan valt op dat het er mechanisch uitziet, vaak schematisch met pijlen en lijnen. Deze kinderen leven in een geordende wereld, althans zij hebben een voortdurende behoefte overal ordening in aan te brengen.
Als deze kinderen jong zijn, springen ze er echt uit. Als kleuter zijn ze goed te herkennen in hun specifieke begaafdheid. Wat opvalt is het vermogen gegevens te combineren en daar de juiste keuze in te maken. Ook zijn ze in staat een herin-
355
nering te verbinden met een gebeurtenis in het heden. Informatie wordt op uiteenlopende manieren verkregen en ingebracht.
Als dit vroegtijdig herkend wordt kan er rekening mee worden gehouden. Op latere leeftijd, zo in de vierde- of vijfde klas is de hoogbegaafde leerling vaak moeilijker te herkennen. Het komt minder sterk naar voren, maar dit hangt ook samen met de mate waarin er aan dit kind tegemoet wordt gekomen.
Een aanvulling op het programma voor deze leerlingen is zeer op zijn plaats. En dan niet zozeer meer van hetzelfde, maar opdrachten van een geheel ander niveau. Een extra rijtje sommen voegt niet iets toe, het vormt geen uitdaging. Een intrigerend vraagstukje of een opgave uit de krant, het puzzelen met driehoeken en vierkanten, daar is meer inspanning voor nodig alsmede inventiviteit.
In de vrijeschool zijn de kunstzinnige activiteiten zoals tekenen, schilderen, boetseren en toneel waardevolle aanvullingen. Het probleem is echter dat dit voor deze kinderen in veel gevallen een zeer grote opgave vormt. Dit zal dan ook zorgvuldig begeleid moeten worden. Het ‘gewoon meedoen want dit is goed voor je’ gaat voorbij aan het eigenlijke probleem.
Rekenen en wiskunde
Het lijkt erop dat het vak rekenen-wiskunde een geliefd vak voor de hoogbegaafde is. Hier ligt de mogelijkheid om de hoogbegaafde te leren zijn inzichten met de werkelijkheid te verbinden. Het intellect immers draagt het in zich om een eigen leven te gaan leiden, los van de werkelijkheid. Het rekenen kan altijd weer in verband worden gebracht met de praktijk, de bestaande werkelijkheid. Daarnaast zijn er in het rekenen vele verrijkingsmogelijkheden, waardoor het vermeden kan worden dat het alleen maar een kwestie van meer van hetzelfde wordt. Het streven zou erop gericht moeten zijn verrijkingsmogelijkheden te vinden, die niet losstaan van het gebeuren in de groep. Een volledig eigen programma werkt versterkend op het solitaire gedrag.
Alleen anderen laten helpen, voegt niets toe aan de behoefte om vanuit de eigen vermogens te werken. Overigens zijn deze leerlingen als geen ander in staat om de leerstof aan een ander over te dragen. Ze zeggen het antwoord niet voor, maar laten zien hoe je tot het antwoord komt.
Voorbeelden van verrijking
Bij het zich eigen maken van de basisvaardigheden zou veelvuldig ruimte moeten worden geschapen voor het maken van eigen producties, eigen opgaven. Waar de kinderen bezig zijn met de verschillende bewerkingen, en sommen zoeken die bijvoorbeeld allemaal als antwoord 12 hebben, zou de hoogbegaafde met verschillende bewerkingen de veelvouden van 12 als uitkomst kunnen vinden. Bij de som van 8 = 5 + 3 kan er op vele manieren iets aan worden toegevoegd:
We kunnen ook denken aan het afmaken van reeksen getallen;
356
Bij het leren van de tafels van vermenigvuldiging kan op diverse manieren gevarieerd worden:
De tafels kunnen zichtbaar gemaakt worden in het honderdveld en in het tafel-veld. Aan de ene kant is het mogelijk de kunstzinnige kant hiermee aan te spreken, aan de andere kant vraagt een dergelijk schema om nauwgezet werk, dat nog niet altijd zo eenvoudig is. Het ordenen van getallen in een zinvol geheel is juist wel weer iets dat aanspreekt.
Aan de hand van de tafels kunnen deeltabellen opgezet worden, waaraan op verschillende niveaus gewerkt kan worden:
Bij het onderdeel cijferen kunnen we denken aan opgaven als:
Je hebt de getallen 1, 3, 4, 5, 6 en 8.
Hiermee probeer je een optelling te maken met een zo groot mogelijke uitkomst en één met een zo klein mogelijke uitkomst.
De hoogbegaafde leerling kan de opdracht krijgen zelf ‘stipsommen’ te maken waarbij hij zich moet afvragen hoeveel getallen hij weg kan laten om de som op te kunnen lossen.
Daarvoor zal hij zich moeten verplaatsen in wat voor anderen mogelijk of onmogelijk is.
Het tovervierkant is ook een middel om creatief met getallen om te gaan. Het kan zowel met hele getallen als met decimale breuken worden uitgewerkt. In eerste instantie vragen we het kind om bij enkele gegeven getallen de overige te zoeken. Later kan de opdracht om zijn zelf een tovervierkant te ontwerpen.
357
Het tovervierkant werkt zo dat hoe je de drie getallen ook optelt (horizontaal, verticaal of diagonaal), er altijd hetzelfde antwoord uitkomt.
Al werkend met de hoogbegaafde leerling kan de wens ontstaan om naast de extra opgaven, ook eens per periode een opdracht te geven. Iets waar het kind elke dag wat aan kan doen, zelf zijn werk indelend en tegelijkertijd het klasse-gebeuren volgend.
We kunnen hierbij denken aan het opzetten en organiseren van een tentoonstelling, die aan het eind van de periode een beeld geeft waaraan gewerkt is. Bijvoorbeeld een tentoonstelling over handel en geld in de zesde klas, als het om rekenen gaat. Uiteraard kunnen hier meer kinderen bij betrokken worden. Een andere mogelijkheid is het maken van een ‘breukenboekje’ voor een lagere klas. Ook hierbij is het zich verplaatsen in een ander niveau van belang. Het boekje bevat opgaven, tekeningen en stukjes tekst.
Een vaste taak kan ook zijn om kinderen die ziek zijn geweest, een indruk te geven wat er intussen in de klas gebeurd is. Hier gaat het om het bijhouden van het programma en de absentie in de klas. Met opdrachten van deze aard wordt het sociale element ondersteund. Door de dagen heen kan ook aan een onderzoeksopdracht gewerkt worden. Bijvoorbeeld: Waar komen de 5, de 6 en de 7 in de plantenwereld voor? Hier kunnen tekeningen bij worden gemaakt. Bovendien kunnen ze het resultaat laten zien aan hun klasgenoten.
In een periode rondom het metrieke stelsel zou een onderzoeksopdracht kunnen bestaan uit een verhaalsom over een verhuizing. Hierbij kan aan vele onderwerpen worden gedacht; het leggen van tapijt, de hoeveelheid benodigde verf, de aanschaf van de gordijnen, eventueel nieuw meubilair en de verlichting. De leerling die deze opdracht krijgt, werkt vanuit een gegeven budget alles zelfstandig uit. De prijzen van tapijt, verf en stof kan hij zelf te weten komen. De maten en indeling van het nieuwe huis behoren tot de gegevens in de redactiesom. Hierbij gaat het niet alleen om het berekenen. Er kunnen plattegronden bij worden gemaakt, zelfs een maquette kan uiteindelijk, wellicht met enige hulp, worden gerealiseerd. Daarbij is het de bedoeling dat de leerling zelf initiatief neemt, zelf anderen erbij betrekt. Tussendoor, maar vooral aan het eind van de periode, laat hij aan de klasgenoten zien hoe hij alles heeft berekend en getekend. In de praktijk zal blijken dat bij een dergelijke onderzoeksopdracht meer kinderen betrokken zullen worden. Dit is voor het samenwerken alleen maar positief te noemen. Hoe deze betrokkenheid gestalte krijgt naast de activiteiten van de periode, zal in de praktijk duidelijk moeten worden. Over het algemeen heeft het een stimulerend effect. Naarmate een activiteit als deze vaker terugkeert zal het zijn plaats in het geheel krijgen.
358
Als er in een rekenperiode dagelijks ruimte wordt gemaakt voor het hoofdrekenen, kan de opdracht worden gegeven om hier een ‘kettingsom’ voor te maken; het antwoord van de ene opgave komt terug in de volgende:
De volgende dag zou je met deze reeks verder kunnen gaan.
De kettingsom geeft vaak veel plezier, het nadeel is echter dat als je een fout maakt de rest ook niet meer klopt. Eventueel kan er ergens tussenin ook een antwoord worden gegeven om te weten of je nog goed zit. Het zelf maken van zo’n reeks is ook zeer stimulerend. Wanneer je aan de slag gaat met het bedenken van verrijkingsmogelijkheden voor de hoogbegaafden, vind je ook materiaal voor andere kinderen. De differentiatie krijgt zo steeds meer gestalte. Andere kinderen worden ook gestimuleerd om zelf inhoud te geven aan de opdrachten. Het zal dan nooit zo zijn dat de hoogbegaafde leerling de enige is met aparte of extra opdrachten. Dit laatste zou als het enigszins kan, vermeden moeten worden.
In een goed functionerende klas gaan de kinderen op natuurlijke wijze om met elkaars vermogens en onvermogens. Extra hulp op welk gebied dan ook is iets dat er vanzelfsprekend bijhoort. Als de leerkracht een dergelijke houding aanneemt en ook naar buiten toe uitstraalt, heeft dit een werkzaamheid. De kinderen gaan er dan ook als zodanig mee om.
Schaken
Het schaakspel is een zeer geliefde sport voor de hoogbegaafde leerling. Hier zien we dat het ‘vooruit denken’ al tot de vermogens behoort. Overigens kunnen in de manier van spelen de verschillende vormen van (hoog)begaafdheid tot uitdrukking komen. Zo kan de oplossing voor het eindspel liggen in het naspelen van een bekende situatie, of het denkend doorzien van de stand op het bord.
In het eerste geval is het meer een nadoen vanuit het geheugen, in het andere geval kan er iets wezenlijk nieuws ontstaan. In ieder geval kunnen we de hoogbegaafde leerling warm maken voor een opgave, door op zoek te gaan naar wat hem interesseert. Het schaken kan een ingang zijn.
Tot slot de opmerking: ook voor de begaafde leerling geldt dat eenzijdige ‘overmaat schaadt’. Biedt juist hen een breed pakket aan, waarbij het denken niet tot méér denken, maar tot creatief denken wordt gedwongen.
359
Een zakrekenmachine in de rekenles?
Vooraf
Kinderen van deze tijd komen thuis en op andere plaatsen nogal eens een zrm (zakrekenmachine) tegen. Het is niet onmogelijk dat ze ook af en toe eens op de toetsen drukken en het gemak ervan bewonderen. Als ze er volwassenen mee aan de gang zien, dan is dat altijd in het kader van echte praktijkproblemen, niemand haalt het in zijn hoofd schoolse (cijfer)sommen thuis met een rekenmachine nog eens te gaan overdoen.
Op school ligt dat anders. Een zrm in de klas betekent dat hij een rol krijgt toegedacht in de rekenles, dat hij een functie heeft bij het leren rekenen, dat hij tot didactisch hulpmiddel is verheven. Buiten de Vrije School is inmiddels heel wat over een dergelijk gebruik van de zrm geschreven. Zoveel, dat we er ook al de afkorting zrm aan over hebben gehouden hebben. Maar er is natuurlijk meer informatie beschikbaar gekomen. Onder meer een typering van de mogelijke functies van een zrm in het rekenonderwijs. Men kan de zrm opvatten als een soort prothese, een hulpstuk voor zwakke rekenaars. Maar ook als een rekenmaatje voor handige rekenaars, die hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen op een eigen wijze afwisselen met het gebruik van een zrm.
Een totaal andere functie krijgt de zrm in het geval dat hij beschouwd wordt als toegangsbewijs voor een nog onbekende rekenwereld, die door een geïnteresseerde rekenaar verkend kan worden. Met de zrm kunnen dan ontdekkingen gedaan worden die eerder, onder meer vanwege het omvangrijke rekenwerk dat er voor nodig is, nauwelijks bereikbaar waren. En tenslotte kan men het apparaat zelf als object van onderzoek beschouwen. In dat geval wordt bijvoorbeeld de werking van de procenttoets of de geheugenfunctie onderzocht.
Het ontwikkelwerk rond de zrm heeft zich tot nu toe vooral toegespitst op ‘rekenmaatje’ en ‘object van onderzoek’. In enkele publicaties zijn rekenspelletjes met de zrm en mogelijke ontdekkingen naar voren gebracht. Vooralsnog is men er niet toe gekomen om de zrm een fundamentele plaats in het rekenonderwijs toe te kennen. Waarschijnlijk zou het onderzoeks- en ontwikkelwerk dat daarvoor nodig is, een te grote (maatschappelijke en wetenschappelijke) investering vereisen.
Standpunt
In de rekenontwikkelgroep is het standpunt ingenomen dat de zrm geen plaats zou moeten krijgen in het reken-wiskundeonderwijs van de onderbouw. Geen prothese dus voor zwakke rekenaars, maar ook geen rekenmaatje voor de andere leerlingen, die nog bezig zijn met zichzelf te ontwikkelen op het terrein van hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen.
De overwegingen die tot dit standpunt hebben geleid, zijn van tweeërlei aard: In de eerste plaats bieden de menskundige achtergronden van ons reken-wiskundeonderwijs geen ruimte voor het inzetten van de rekenmachine. En in de tweede plaats worden er vele didactische problemen bij een eventuele invoering gesignaleerd. Hieronder gaan we nader op deze twee overwegingen in.
De zrm in het kader van de menskundige achtergronden
De ontwikkelingsfasen die het kind vanaf zijn geboorte tot aan de volwassenheid doormaakt, vragen om een specifieke selectie en inzet van de leerstof als ontwikkelingsstof. Tot het zevende jaar staat de ontwikkeling van het fysieke lichaam centraal. In de periode van de basisschool (zeven – dertien jaar) worden de kinderen in de gelegenheid gesteld om zichzelf te ontwikkelen door veel leerstof (ambachtelijk) te verwerken. Ze komen wel in aanraking met allerlei ‘mechanieken’ (denk maar aan de passer om precieze cirkels te maken nadat ze eerder met de hand zijn getrokken, en de spirograaf die pas aan de beurt
360
komt, als eerst met de hand vele mooie vormtekeningen zijn gemaakt), maar ze vinden zelf uit hoe de werking ervan is en op welke wijze er gepast gebruik van kan worden gemaakt.
Hier volgen we in zekere zin ook de ontwikkelingsgeschiedenis van de mensheid, waarin pas in een gevorderd stadium de industriële revolutie kon plaatsvinden. Eerst in de natuurlijke omstandigheden leren overleven, dan pogen de natuur naar je hand te zetten door het uitvinden en gebruiken van gereedschappen en instrumenten. Wie de geschiedenis (verkort) nabeleeft, begrijpt en waardeert de situatie van nu beter en is daar als het ware zelf bij betrokken.
In zekere zin geldt dit ook voor de wiskunde, die door mensen gemaakt is. Vaak als antwoord op problemen die de omgeving aan hen voorlegde; meten, meetkunde en rekenen laten daarover geen twijfel bestaan. De ontworpen gereedschappen en werktuigen zijn deels van materiële aard (passer, liniaal, zonnewijzer, waterpas, schietlood, geodriehoek, …), deels mentaal (staartdeling, formule voor de oppervlakte van een cirkel,…) en soms is er sprake van een combinatie van beide (het Chinese telraam: suan-pan bijvoorbeeld). De zrm behoort tot de laatste categorie, want wie niets van rekenen afweet, kan met zo’n calculator weinig beginnen. Wie een klein beetje weet van aanvankelijk rekenen (bijvoorbeeld wat 7 + 5 = … betekent), kan met een zrm zijn onkunde compenseren.
Wij stellen ons op het standpunt dat dit werktuigje pas geschikt begrepen en gebruikt kan worden als de kinderen eerst zelf de getallenwereld intensief en op eigen vermogen hebben kunnen verkennen. Net als in de mensheidsgeschiedenis, ontwaken ook in ieder kinderleven vermogens, waarvan we bij het leren gebruik maken. Een te vroege invoering van de zrm zou deze ontwikkeling wel eens sterk kunnen belemmeren. Juist het te vroeg gebruiken van de zrm ontneemt de leerling de ontwikkeling van de wil middels het rekenen. De vergelijking met het leren begrijpen van hefwerktuigen in de zesde en zevende klas, dringt zich hier op.
Didactische overwegingen
Beschouwen we het reken-wiskundeonderwijs in de vrijeschool van de ‘cultuurkant’ (zie H1), dan zijn er diverse argumenten tegen invoering van de zrm (in de onderbouw) aan te voeren. Hoewel de bovengenoemde menskundige overwegingen eigenlijk al voldoende zijn, noemen we de didactische hier toch. En omdat in deze overwegingen een beeld van reken-wiskundeonderwijs naar voren komt, dat we niet onopgemerkt willen laten.
• Bij invoering van de zrm in de onderbouw zou (voor een deel van de leerlingen) het cijferen afgeschaft kunnen worden. In dat geval missen ze een goede gelegenheid om ordelijk en systematisch te (leren) werken.
• Een zrm staat het hoofdrekenen in de weg. De kinderen zouden al te gemakkelijk de inspanningen van het hoofdrekenen (en de daarbij optredende inzichten in getalstruc-turen en bewerkingseigenschappen) omzeilen.
• Het plezier dat kinderen beleven aan een eindeloze rekenpartij, zouden ze moeten missen. Wie rekent nog papieren vol als het antwoord met enkele drukken op toetsen gevonden kan worden?
• Juist bij het verrichten van geconcentreerd en omvangrijk rekenwerk voelen de kinderen de macht, die ze over de materie hebben verworven. Dat sterkt hun zelfvertrouwen. Die ervaring zou hen met de zrm ontnomen worden.
• Te vroeg gebruik van een zrm zou het verwerven van inzichten in getallen (bijvoorbeeld de positionele waarde van cijfers) verhinderen.
• Hoe een zrm precies werkt, is niet te begrijpen voor kinderen van de onderbouw. Wie ermee rekent, is aan het werktuig overgeleverd.
• Het werken met een zrm blijkt af te stompen. Op den duur neemt de gebruiker zijn apparaatje steeds sneller ter hand, en verliest alle rekenvaardigheid.
Bij dit alles komt het feit dat de verleidingen van de techniek, ook wat betreft de zrm,
361
groot zijn. Het apparaatje vertoont kunsten, die een gewoon mens niet zomaar tot stand kan brengen. Als een volwassene moet kiezen tussen een flink partijtje rekenen of een snelle consultatie van de zrm, valt de keus vaak aan de gemakkelijke kant uit. In andere gevallen laat diezelfde volwassene zijn zrm in de zak, en maakt een schatting of rekent precies uit het hoofd. Soms is een krabbeltje al genoeg. Kinderen van de onderbouw hebben zeker nog niet die mate van zelfstandigheid verworven, die het mogelijk maakt om een verstandige keus te doen. Temeer daar de keus ook de eigen ontwikkeling en het leren rekenen betreft, elementen die bij volwassenen in dezelfde omstandigheden geen rol meer spelen.
Een zrm-avontuur
Toch zou je je vanuit de zevende klas een ontmoeting met de zrm kunnen voorstellen. De leerlingen hebben een bijzondere belangstelling voor alles wat er in de wereld te ontdekken valt. De zakrekenmachine is zeker een van de dingen die een grote aantrekkingskracht hebben. Het is tenslotte een instrument, dat al het rekenwerk dat je zelf lastig vindt, in een handomdraai oplost. Je hoeft alleen maar op een paar knopjes te drukken. Dat rekendoosje heeft misschien al eerder een uitdaging gevormd, was misschien al in je schooltas verstopt en je hebt er misschien al stiekem op gerekend.
Op grond van een dergelijke gezonde belangstelling is er misschien iets voor te zeggen om met de zevendeklassers een ontdekkingsreis naar de mogelijkheden van de zrm te organiseren. Je zou dat kunnen zien als een idee voor een serie vaklessen tussen Pasen en de zomer. Algemeen pedagogische principes kun je daarin misschien niet terugvinden, maar didactische zeker wel.
Beschouw het als ‘we gaan op onderzoek’-lessen. Dat zijn lessen waar je iets anders leert dan doorgaans. Je kunt de situatie vergelijken met de aardrijkskundelessen in de periode waarin het heelal wordt besproken. Alchemisten, astrologen, astronomen hebben kennis geleverd die is nageleefd, en de leerlingen zijn enthousiaste waarnemers geworden van de hemel.
Ook dan komen de kinderen met de vraag naar die snel voorbij trekkende ‘sterren’, die geen vliegtuigen zijn. De kunstmaan is ook een hemellichaam geworden en dezelfde nieuwsgierigheid doet zijn werk. Wie het precies wil weten, stapt naar de bibliotheek, die meestal uitkomst brengt. De kinderen genieten echt van hun onderzoeksuitstapje naar de moderne wetenschap, die eigenlijk nog heel ver weg in het onderwijs-verschiet ligt.
Kies je voor dergelijke zrm-ontdekkingslessen, dan schep je enerzijds de gelegenheid om het soms afwijkende gedrag van de zrm te leren kennen. Eenvoudige rekenmachientjes geven bijvoorbeeld in het geval van 5 + 3×6= … het antwoord 48 en 3 x 6 + 5 = 23; en nog vreemder wordt het bij gebruik van de procententoets: 100 + 10% = 111.11111). Anderzijds maak je het mogelijk om al het voorgaande rekenonderwijs nog eens vanuit een ander standpunt te beschouwen. (“Wie kan de tafel van 7 door de zrm laten voortbrengen?” Of: “Weet je nog die stipsom: 25 + … = 67? Hoe kun je de zrm die laten uitrekenen?”). ‘
Naast de reflectie over het eigen rekenproces en het ontmaskeren van vreemde rekenwijzen, zijn er tenminste nog drie terreinen te verkennen op de ontdekkingstocht. In elk ervan vormt de zrm slechts een deel van het instrumentarium. De eigen denkkracht en het inzicht in getallen en bewerkingen dienen ook ingezet te worden.
362
In de eerste plaats zijn er dan de getallenmirakels, die zonder zrm moeilijk toegankelijk zijn. Neem bijvoorbeeld:
11×11=
111×111=
1111 x 1111 =
“Wie ziet er iets bijzonders? Wie kan de volgende stap voorspellen (11111 x 11111 = …)?
Wie kan uitleggen hoe dat zit?”
Vervolgens kun je ook de beperkingen van de zrm ontdekken. Het machientje blijkt niet ‘alles’ te kunnen, de kinderen moeten die gedachte bijstellen. Bijvoorbeeld in het geval dat ze aan het rekenen slaan om de leeftijd van hun oma in seconden uit te rekenen. Het venster biedt maar plaats aan getallen van acht cijfers, het getal een miljard past niet.
Natuurlijk is daar wel weer iets op te vinden, zelfs als in het venster een E (van Error) verschijnt, geeft de machien iets prijs van het aantal cijfers dat het venster te kort schiet.
En vergeet kinderen vooral niet te vragen, wat het grootste getal is dat er in het venster past. En: als Adam 6 000 jaar geleden één cent op de bank had gezet, tegen een rente van 5%, hoeveel zou er dan nu op de bankrekening staan? Samengesteld interest, vroeger wiskundig een heet hangijzer, is nu een fluitje van een cent. Maar probeer dan wel een eenvoudige zrm te krijgen, die de mogelijkheid van een constante factor bezit, (bijvoorbeeld Casio HS-8G)
Ten slotte bestaan er speelse onderzoekingen met de zrm. Neem bijvoorbeeld het spelletje ‘schieten op 100’. Hierin leren de kinderen spelenderwijs de kommagetallen beter kennen.
Het gaat zo.
Zorg voor een zrm met constante factor. Toets (bijvoorbeeld) het volgende in:
75 x x 0 =
In het venster verschijnt dan een 0, in het inwendige is de factor 75 vastgelegd (door twee keer een x te toetsen). Geef de zrm in deze toestand aan een leerling en vraag of hij/zij 100 in het venster kan ‘schieten’. Toets een getal in, gevolgd door =, en kijk of het 100 is.
Het onderzoek van de leerling kan dan bijvoorbeeld als volgt verlopen:
poging 1, bijvoorbeeld 50 =; in het venster verschijnt 3750.
poging 2: die 50 was dus veel te veel. Ik probeer maar eens wat minder, bijvoorbeeld 8 = …
Er verschijnt 600 in het venster. Nog veel te veel.
poging 3; 0,8 = …60. Aha, het moet groter dan 0,8. Ik probeer
poging 4: 0,9 = 67,5
poging 5:1,1 = 82,5
poging 6: 2 = 150
poging 7: 1,5 = 112,5
poging 8:1,3 = 97,5
poging 9:1,35 = 101,25
poging 10:1,34 = 100,5. Het gevraagde getal zit dus tussen 1,33 en 1,34 in. Laatste poging 11:1,335 = 100,125.
Merk op dat het noteren van de zoekweg de mogelijkheid schept, om bepaalde stappen nog eens te doordenken zodat je de volgende keer handiger te werk kunt gaan.
En wie de grap kent (en dus via bijvoorbeeld 1 = het getal 75 eruit haalt en 100 : 75 = 1,3333333 vindt), blijkt toch genoegen te scheppen in het opbouwend schieten op 100.
363
.
In dit hoofdstuk wordt gesproken over:
astraallichaam
driegelede mens
etherlichaam
lichaamsgeografie
kleutertekeningen
motorische ontwikkeling
schoolrijpheid
spraakoefeningen
tovervierkant
zintuigen
.
Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
Rekenen: alle artikelen
.
2463
.
VRIJESCHOOL 