Maandelijks archief: oktober 2016

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (40)

.

HET HEILIGE

leven-o-t-1931. Het Heilige was van het Heilige der Heiligen
afgescheiden door de Voorhang (F) die daar aan vier pilaren is opgehangen. De wanden rechts en links zijn opgetrokken uit houten berderen.* Aan de zuidzijde (Ex. 40 : 24) staat de Kandelaar (A) beter: luchter (Ex. 25 : 6; 35 : 8) want tot verlichting van het heiligdom diende „reine olie van olijven, gestoten tot de luchter” (Ex. 27 : 20). Het is een kunstwerk van louter goud. Op het voetstuk verheft zich de schacht (de recht opgaande stam): daaruit schieten drie paar rieten uit, die met hun top gelijk in hoogte staan met de top van de schacht. Op die top en op de zes rieten zijn „schaaltjes gelijk als amandelnoten”; daarin werden lampen met olie geplaatst. Onder het schaaltje ziet men een versiering van knopen en bloemen (Ex. 25 : 35). De lichten van de lampen in de amandelnoten op de rieten branden „aan zijn zijden” (Ex. 25 : 3, eigenlijk staat er: naar ‘de kant van zijn aangezicht”, dus aan het voorste deel). Bij de luchter behoorden nog kleinere gereedschappen „snuiters” en „blusvaten” (D links). — Vlak tegenover de gouden luchter stond aan de noordzijde (Exod. 40 : 22) de Tafel der Toonbrooden (bij C). De beschrijving is in Ex. 25 : 23—30 en 37 : 10—16. De tafel was van sittimhout** met goud overtrokken. Aan alle zijden was haar blad omgeven door een gouden krans (c); onder de krans was een lijst van een hand breed en onder die lijst weer een gouden krans; zij stond op vier pooten; verder waren er vier gouden ringen en daardoor werden de handbomen gestoken (bij H). Bij de tafel waren verschillende gereedschappen: schotels, rookschalen, [vermoedelijk kleinere schalen om daarin wierook te doen; die wierook maakte, naar Lev. 24 : 7, 8 het brood ten gedenkoffer] ; platelen (lage bekers) en kroezen (offerkannen). De broden waren twaalf in getal in twee rijen, zes bij zes, op de reine tafel (Lev. 24 : 6; daarbij was dan de wierook). — Het Reukaltaar (B) (Ex. 30 : 1—7; 37 : 25— 28) was van sittimhout overtrokken met louter goud; aan de hoeken zijn hoornen. — In Ex. 30 : 7, 8 wordt van Aaron gezegd, dat hij het gouden Reukaltaar zou aansteken; Aaron deed het bij de inwijding van de Tabernakel, bij de aanvaarding van zijn priesterdom, gelijk hij en de Hogepriesters na hem het deden op de Grote Verzoendag, op de Sabbath, op het feest der nieuwe maan en op de gezette hoge feesten. (Zo’n geval is hier voorgesteld op de tekening, waar de Hogepriester staat bij het Reukaltaar). Het reukwerk bestond uit vier bestanddelen (Ex. 30 : 34—36). – Het is dit reukwerk waarvan David bij vergelijking zegt: Mijn gebed worde gesteld als reukwerk voor Uw aangezicht (Ps. 141 : 2).

2. De koperen zee (koper is brons). De hoogte van de koperen zee (a), het bekken bedraagt ongeveer 2½ m„ de doorsnede aan de bovenrand ongeveer 4.90 m.; de dikte is één handbreed. Het bekken wordt gedragen door vier groepen van drie runderen (b) alle van brons vervaardigd (1 Kon. 7 : 23 v.v.; 2 Kron. 4 : 2v.v.).

3. Twee vormen, hoe men zich de zuilen Jachin en Boaz voorstelt. De kapitelen zijn omgeven door een bronzen vlechtwerk met twee rijen granaatappelen.

*oud woord voor plank, bord
**sittimhout

 

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas heemkunde

1131

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

.

Hier volgt een impressie van de 2e week van de periode meetkunde in klas 6.

Als voorbereiding is het raadzaam Meetkunde [1]   en [2] te bestuderen

De eerste week

Vakkenintegratie is belangrijk: de leerlingen kunnen ervaren hoe alles met elkaar samenhangt. En wat ze in het ene vak leren, zien ze in een ander vak, vanuit een ander standpunt, terug.

Een indeling in dagen is nu niet zo makkelijk te geven, want als je bijv. teruggaat naar de 5e klas – Egypte – en je laat na, na het vertellen over hoe de akkers werden gemeten, de ‘godin van de richting’ tekenen – of aan het eind van de 1e dag daar een begin mee maken, wordt de tijdsindeling anders.

De tweede week

Een eerste dag

In klas 5 kwam in de gechiedenisperioden ook Egypte aan de beurt.

In het hier al genoemde boek van Alexander Strakosch besteedt de schrijver ook aandacht aan Egypte:

Wanneer duidelijk is geworden dat je kennelijk ‘stukken grond’ met een stok en een touw kunt bepalen, moet dat ook worden bekeken:

meetkunde-32

En hierin is wel een rechthoekige akker te zien:

meetkunde-33

Dit is een zeer belangrijk ogenblik in de meetkundeperiode: voor het eerst wordt duidelijk dat een meetkundig figuur – hier de rechthoek – ontstaat vanuit de cirkel. We gaan natuurlijk vanaf nu na of dat voor elke andere figuur ook geldt.

We gaan terug naar de eerste week en nemen deze tekening:

meetkunde-23

Daarin tekenen we alle mogelijke lijnen, nadat we ons goed gerealiseerd hebben, dat de lijnen een verbinding vormen tussen punten, zoals bij de rechthoek ontdekt werd.

meetkunde-34

De kinderen zien in ieder geval driehoeken en ja, ook deze figuur ontstaat in de cirkel; en ‘dèze figuurr’, waarmee ze de ontstane ruit bedoelen.

Maar ‘deze figuur’ is niet echt handig als mogelijkheid om iets in een meetkundige tekening aan te duiden.
En daar hebben de mensen iets voor bedacht. Een afspraak die over de hele wereld geldt: punten geven we een letter uit het alfabet en we schrijven die met een hoofdletter.

meetkunde-35

Wanneer je naar die punten kijkt, blijken het hoekpunten te zijn, maar D bijv. is ook middelpunt van een cirkel.

Meestal gebruiken we voor het middelpunt de letter M, maar het is niet verplicht.

Het telkens moeten opschrijven: ‘teken een cirkel met een middelpunt M’ zijn wel veel woorden en daarom werken de mensen liever met symbolen en dat gaan wij ook voortaaan doen, dus zo:

ꙩ M

En nu we toch weer bij de cirkel stilstaan en aan het benoemen zijn, willen we ook weten hoe we de lijn noemen die de grootte van de cirkel bepaalt.

Wanneer de leerlingen ‘middellijn’ zeggen, is dit niet fout, maar hoe ontstaat dan die middellijn. Met een bepaald stukje lijn tussen de passer.

Dat bepaalde stukje lijn noemen de mensen een lijnstuk: van A naar B; of van D naar E. En omdat we het woord ‘naar’ niet echt nodig hebben, laten we dat weg: lijnstuk AB en/of DE enz.

In bovenstaande tekening kunnen we nu alle lijnstukken benoemen.

En we zien nu dat lijnstuk AD; DC; DB; DE; AB; BF even groot zijn, want het zijn dezelfde lijnstukken die we tussen de passer hadden toen we met de 1e cirkel begonnen.

Toen we in de 1e week deze tekening maakten:

meetkunde-10

was het woord ‘stralen’ al eens gevallen en ja, al deze lijnen zijn stralen.

Het Latijnse woord voor straal  = radius en de =r= staat symbool voor dit lijnstuk.

Dus als er dit staat:

Ꙩ M  r=5, dan weet je dat je een cirkel M moet tekenen met een straal van 5 cm.

Ook de middellijn kunnen nu nog anders benoemen: 2 x de straal of wel 2  x   r. Dus 2r.

Uiteraard is het goed om te kinderen zelf de omschrijvingen te laten vinden.! Zoals al eerder gezegd: ze zijn soms sprekender dan de officieel gangbare; maar de laatste leren we.

Een tweede dag
Voor je weer verder gaat met de lesstof, is het iedere dag belangrijk te herhalen wat er eerdeer werd geleerd. De ontstane begrippen, symbolen. Of in het algemeen: wat hebben we tot nog toe geleerd.

We gaan ook weer naar de ‘bloem’ kijken en tekenen Ꙩ M   r=5    r = MA

meetkunde-38

r blijft 5 en we tekenen nu vanuit A  Ꙩ A. De snijpunten waar deze cirkel de omtrek van Ꙩ M  raakt, noemen we B en C. Je ziet meteen dat AC een straal is van  Ꙩ A en AB eveneens.

meetkunde-39

We kunnen nu al de conclusie trekken dat MA=AB=AC

Met dezelfde passergrootte trekken we vanuit B    Ꙩ  B:
Het snijpunt op de omtrek van Ꙩ  M   noemen we D

meetkunde-40

En: BD = MA= AB (= AC, die ik hier niet teken om duidelijker te laten zien hoe de figuur verder groeit)

Weer verder met vanuit D: Ꙩ  D

meetkunde-41

We vinden op de omtrek van Ꙩ  M een nieuw snijpunt dat we E noemen.

Je kunt de letters omkeren, wanneer je vanuit de andere richting benoemt, wat je zeker moet doen om te laten zien dat het niet per se op één manier hoeft:

ED = DB =B A = AM

Vanuit E doen we het nog eens: snijpunt F

meetkunde-42

MA = AB = BD = DE = EF

En nog eens vanuit F: het snijpunt C staat er al!

meetkunde-43

CF = FE = ED = DB = BA = AM

Wanneer we dan nog C als middelpunt van de Ꙩ  C nemen:

meetkunde-44

zijn we rond en kunnen we concluderen dat AB =BD=DE=EF=FC=CA=AM

Dat betekent dat al deze lijnstukken evengroot zijn. Dat we hier 6 even grote stralen hebben en als we naar cirkel M kijken, hebben op die cirkelboog 6 punten gekregen die evenver van elkaar moeten liggen, omdat de afstand die tussen deze punten ligt dezelfde lijn is: straal MA.

Daarmee hebben we bewezen dat de straal van een cirkel 6 x op de omtrek past, m.a.w. we kunnen nu een cirkelboog in 6 gelijke delen verdelen.

Ook zien we in, dat we niet steeds de volledige cirkel hoeven te tekenen, maar alleen de punten die we nodig hebben.

meetkunde-45

De kinderen moeten er goed van doordrongen zijn, dat we, telkens als we iets willen construeren en we deze kleine boogjes zetten, we eigenlijk cirkels tekenen die we niet echt nodig hebben, maar die,  als we ze wel volledig tekenen ons laten zien waarom het juist is wat we doen: het bewijs is er in te lezen!

Nu we de cirkel geometrisch juist in 6-en kunnen verdelen, levert dat weer nieuwe mogelijkheden op:

We zijn in staat een zeshoek én een zesster te construeren – het nieuwe woord dat we voortaan zullen gebruiken, mét het woord ‘constructie’.

En als we de cirkel(s) niet echt nodig hebben, tekenen we die uiterst dun, zodat we de overbodige lijnen later kunnen verwijderen:

meetkunde-46

Uiteraard levert dat weer vele schoonheidsvormen op:

6e-klas-meetkunde-2d

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder nummer 2

Na een best inspannende manier van voorstellen om tot bovenstaande bewijzen te komen, is het fijn als er in het kunstzinnige toepassen weer een andere kwaliteit wordt aangesproken dan het denken: de wil in de exacte uitvoering van bijv. de zesster  en het gevoel in het zoeken van mooie kleurcombinaties.
Daarmee wordt dan dag 2 afgesloten.

Een derde dag
Nu we een tijdlang aan de cirkel hebben gewerkt, is het misschien een mooi tegengesteld onderwerp: de rechte lijn.
Als voorbereiding zou je nu meetkunde 4-3 kunnen bestuderen.
Omdat het goed is er telkens aan te denken, hoe kun je met de leerlingen ‘levend’ denken, welke weg kun je gaan om van levende begrippen – en hoe minder subjectief die zijn, des te meer zijn het ‘ideeën’, geestelijke realiteiten, in een zekere verstarring te komen, dus bij het begrip dat weinig ruimte meer laat: de definitie.
Zo zou je hier – zie Strakosch – ook van een cirkel uit kunnen gaan en – in gedachten – de middellijn langer kunnen denken . Wat gebeurt er dan met de cirkelboog. Deze komt dus steeds lager te liggen, totdat hij samenvalt met de middellijn. Je kunt even een uitstapje maken naar ronde of bijna ronde voorwerpen in je omgeving en deze op soortgelijke manier veranderen. Hilariteit! Ook als je de omgekeerde weg bewandelt en een rechte lijn probeert ‘naar een halve boog te denken’. Hoe wonderlijk en vreemd zou de wereld eruit zien, als dit ook met de materie zou kunnen. (Het principe van de lachspiegel!)

Nu laten we deze oefening even rusten.
We nemen de passer en tekenen Ꙩ,  r=willekeurig (maar niet te groot). We trekken de straal. Iets verder naast het middelpunt zetten we de passerpunt op de straal en in het verlengde van de straal, met dezelfde straalgrootte, zetten we een klein boogje ( dat is dus weer een heel klein gedeelte van een cirkel. Dat herhalen we een aantal keren.

meetkunde-55
Nu kunnen we weer een voorstellingsoefening doen: Denk je eens in dat we de passerpunt op de straal bijna op het middelpunt hadden gezet en zoals boven, een cirkelboogje getrokken en dat vele keren achter elkaar. Wat zie je buiten de cirkel in het verlengde van de straal ontstaan: heel veel dicht bij elkaar liggende kleine boogjes. Als je die boogjes nog kleiner denkt, krijg je het kleinst denkbare boogje: een punt. En als je die punten heel dicht tegen elkaar aan denkt, heb je een……lijn.
En daarom wordt er van de lijn gezegd dat het een verzameling van punten is.

meetkunde-56

We hebben de lijn dus leren kennen als ‘een spoor van een beweging’, onzichtbaar totdat er concreet – op aarde, op papier enz. – een stukje ervan zichtbaar wordt; en nu als een verzameling punten.

meetkunde-57Dit is een lijn

meetkunde-58Het zichtbaar geworden stuk. Een lijnstuk. Een begrensd stuk, vandaar dat het afgebakend dient te worden:

meetkunde-59

strikt genomen kunnen we dus niet zomaar over ‘een lijn’ spreken als we die in de meetkunde nodig hebben. We moeten eigenlijk steeds ‘lijnstuk’ zeggen. Maar in het dagelijks spraakgebruik zeggen we toch meestal: een lijn van 5 cm bijv.

Wanneer je dit consequent verder denkt is een halve lijn dus dit:

meetkunde-60

Niet dat de leerlingen dat allemaal hoeven te weten (maar er zijn er altijd bij die deze wetenschap prachtig vinden, dus waarom niet), het is wèl goed dat ze kennis maken met een wereld waarin het om exact formuleren gaat, om goede afspraken die voor iedereen gelden.

Uiteraard komt de vraag: wat is dan de helft van een lijn, dus in het spraakgebruik: een halve lijn – meetkundig gezegd: een half, de helft van een lijnstuk.
En als je dit niet met liniaal mag meten – of kunt meten – dan moet deze geconstrueerd kunnen worden. Hoe?
Je raadt het al: terug naar de cirkel(s).

meetkunde-35

De driehoeken ABC en ADC zijn op precies gelijke manier getekend. Als je ABC omklapt met AGC als vouwlijn, vallen ze precies over elkaar: ze zijn dus gelijk. Dat geldt ook voor ABD en CBD. Als je die omvouwt met BGD als vouwlijn, vallen ze ook precies over elkaar. Dat geldt dan ook voor ABG en BGC.
Daaruit volgt dat AG = GC en BG=GD.

Omdat we ‘daaruit volgt’ nog vaak nodig hebben, leren we alvast het geometrische teken daarvoor: →

M.a.w. we hebben het lijnstuk AC precies in het midden gedeeld in G.

We trekken een lijnstuk AB van bijv. 5 cm. Deze nemen we als straal en maken vanuit A en B 2 cirkels met de snijpunten C en D. We trekken CD die AB snijdt in G. G is het midden van AB.

meetkunde-61

Nu gaan we de overtollige lijnen weglaten:

meetkunde-62

Alleen de kleine omcirkelboogjes zijn nodig en punt G.

Het is goed om dit zo te oefenen dat ieder kind het moeiteloos kan. En ook weet waarom het goed is.
Dat hoort dus bij het herhalen, de volgende morgen: wat hebben we gisteren geleerd.
Nu komt het zeker aan op juist en in volgorde van handelen te formuleren.
Natuurlijk worden ook alle begrippen en symbolen iedere keer herhaald.

Nu we een lijnstuk kunnen delen, nemen de mogelijkheden om dit kunstzinnig toe te passen enorm toe. Want de 6-ster en de 6-hoek kunnen nu 12-ster en 12-hoek worden, met al die variaties waarvan we hier maar een klein deel zien:
(voor meer achtergrond: meetkunde 4-5)

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde –  (onder nr. 4)

.
6e-klas-meetkunde-23

Een vierde dag
De geleerde constructie van gisteren wordt, nadat deze door de kinderen mondeling beschreven is, in het periodeschrift bij de constructies nauwkeurig schriftelijk beschreven. Dit kan bijv. ook een opdracht zijn voor thuis.

Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat je met het delen van een lijnstuk – zie boven – wanneer je G gevonden hebt – tegelijk eigenlijk een loodrechte lijn in G hebt opgericht. Loodrecht omdat G van driehoek ABG net zo groot is als hoek G van driehoek CBG, dus moet de lijn precies loodrecht staan.

Van hieruit proberen we nu een loodlijn op te richten op een willekeurig punt G op lijnstuk AB:

meetkunde-63

Gegeven: lijnstuk AB = 5cm
Punt G willekeurig
Gevraagd: loodlijn in G

Je zorgt ervoor dat G in het midden komt te liggen door GB als straal te nemen en deze af te zetten op GA, snijpunt C. Nu ben je bij het uitgangspunt van de constructie om een lijn doormidden te delen. Je neemt de opening tussen de passer iets groter en cirkelt boven G om vanuit C en B. Snijpunt D. Vanuit G naar D getrokken is de gevraagde lijn de loodlijn. Je kunt hem ook doortrekken naar E als je vanuit C en B omcirkeld hebt.

Een nieuw symbool: staat loodrecht op:   ⊥

Bij de constructie van een lijnstuk halveren, een loodlijn oprichten op eeen gegeven punt op een willekeurig(e) lijn(stuk, ‘hoort’ eigenlijk nog de construcite vanuit een gegeven punt boven (of onder) een willekeurig(e) lijn(stuk een loodlijn neerlaten, dan wel oprichten. ‘Hoort’ omdat ze bijna hetzelfde zijn.

Voor het lijnstuk onder de gegeven punt, nemen we nu eerst maar wat het meest natuurlijk lijkt: een horizontale.

Rond deze vorm kun je het nog over de heemkundeperiode in de 3e klas hebben, waarin de huizenbouw aan de orde kwam. Bij alle gereedschappen is zeker ook het schietlood behandeld en is het ‘lood’ in loodrecht weer wat duidelijker.

Gegeven:
willekeurig punt X en lijn a
Gevraagd: vanuit X een loodlijn op a

meetkunde-64

Neem een straal tussen de passer zo groot dat omcirkelen vanuit X op a twee snijpunten geeft: A  en   B.
Cirkel vanuit deze punten onder lijn a zo om dat de boogjes elkaar snijden: Y
Trek vanuit X met een liniaal het lijnstuk X tot op lijnstuk AB: C
XC is de gevraagde lijn.
Het is goed om zo precies te zijn, dat – hoewel XC en CX even groot zijn, tóch XC te zeggen, omdat de vraag is: vanuit punt C
C is dus ook het punt wanneer we vanuit Y een loodlijn op a construeren.

Om nog even bij de loodlijnen te blijven en ons te realiseren dat we de constructies eigenlijk maken met behulp van cirkels waarvan echter alleen maar kleine (om)cirkelboogjes worden gebruikt, is dit bijv. een mooie kunstzinnige verwerking:

Vanuit (het denkbeeldige) A en B is op XY steeds met een kleiner wordende straal omcirkeld. Zou je de straal bijv. steeds 1 cm kleiner willen maken, dan moet je die grootte vanaf een liniaal overnemen.

6e-klas-meetkunde-29

Een vijfde dag
Het herhalen neemt elke dag wel een bepaalde begintijd in.
Soms moet er ook gelegenheid zijn om dingen af te maken.
vooral de kunstzinnige tekeningen. Die kunnen ook wel als huiswerk thuis afgemaakt worden.

Inmiddels kunnen de leerlingen zessterren- en hoeken tekenen; daarin driehoeken; twaalfsterren- en hoeken met daarin ook weer driehoeken en vierkanten enz.
Omgekeerd is het ook een hele opgave om een kunstzinnige tekening zo te doorzien, dat je weet hoe die tot stand is gekomen.

Hoe is deze gemaakt?

6e-klas-meetkunde-31

Vanuit de waarneming de volgorde van handelen proberen te zien.
1)  de grote cirkel
2) zesmaal de straal afzetten op de cirkelboog
3) het midden bepalen van 1 zo’n boogje
4) vandaaruit weer zes keer afzetten op de cirkelboog: er zijn nu twaalf punten
5) De punten zo verbinden dat je er telkens twee overslaat
6) Het staande vierkant helemaal tekenen
7) Het vierkant daaronder: alleen de lijnen die zichtbaar zijn
8) Het onderste vierkant: alleen de lijnen die zichtbaar zijn.

Uiteraard maken de kinderen er zelf ook een, met andere kleuren; of halen bijv. als laatste de cirkel weg, waardoor er een puntiger karakter ontstaat.

Je kunt ervoor zorgen dat je een aantal van bovenstaande vormen – oplopend in moeilijkheidsgraad – klaar hebt liggen, die de leerlingen kunnen uitzoeken en meenemen naar hun plaats om de constructie ervan te vinden en uit te voeren.

cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden; straal; snijpunt; constructie, construeren; zesster; zeshoek (hexagram, hexagoon); cirkelboog; verzameling; lijn; lijnstuk; loodlijn;

symbolen:
Ꙩ             cirkel met middelpunt
cirkel met middelpunt M
r              radius = straal
2r           2x de radius = de middellijn
→           daaruit volgt
⊥            staat loodrecht op

6e klas: 1e week van de periode

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1130

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-5)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 21 t/m 22

Over de bloem met de twaalf blaadjes

meetkunde-strakosch-4-2

Tussen twee kleine blaadjes* ontspringt een groot blad als direct vervolg van de bogen die de kleine blaadjes insluiten. De punten van de grote blaadjes liggen weer op een cirkel waarvan de straal even groot is als de lengte van het grote blad.**

Trek je door de grote alsmede door de kleine blaadjes een rechte lijn van punt naar punt, ontstaan er om het gemeenschappelijke middelpunt twaalf gelijke hoeken van ieder 360° : 12 = 30°  (tekening hierboven)

De punten als een rondje waar de cirkel de zes assen van de grote blaadjes snijdt, halveren ieder de boog tussen de punt van de kleine blaadjes. Wanneer je vanuit die punten met een gelijke straal cirkels trekt, ontstaan opnieuw zes blaadjes; in totaal krijg je dus een ‘bloem’ met twaalf blaadjes:

meetkunde-strakosch-4-6

Je kan echter niet een heel blad met ‘bloemen van twaalf blaadjes vullen; want bij ieder ring van cirkels die je rond de begincirkel tekent, verschuiven de middelpunten ieder met de breedte van een klein blad, zoals je kan ervaren bij het maken van deze tekening.

Daarvoor in de plaas biedt de bloem met de twaalf blaadjes de gelegenheid een nieuwe wetmatigheid in te zien. Terwijl zich bij de zes-bloem steeds gelijkzijdige driehoeken vormden of figuren die daaruit te vormen zijn (zeshoeken, ruiten) kan je hier ook vierkanten ontdekken. De volgende drie tekeningen laten een serie voorbeelden zien waarmee de hoeveelheid nog lang niet uitgeput is en de liefhebber rijkelijk gelegenheid biedt om ze zelf uit te werken. Daarbij moet je er echter op letten, dat de verlengde zijden van de vierkanten, ruiten of zeshoeken op de snijpunten van cirkels of in het midden van de driehoeken liggen. Je vindt steeds aanknopingspunten in de omgeving, je hebt een goede controle voor een precieze tekening en leert steeds meer de wetmatigheden kennen.

meetkunde-strakosch-4-3

 

meetkunde-strakosch-4-4

 

meetkunde-strakosch-4-5

 

*kijk naar de bovenste twee cirkels De twee kleine blaadjes met de stippellijn erdoorheen zijn ‘de kleine blaadjes’ en het ‘grote blad’ is het blad waarin deze twee kleinere liggen met ook nog een grotere ronde punt.
**Dat zie ik niet. Strakosch merkt over die lijn op: deze lengte, preciezer gezegd de lengte van zijn middellijn is √3, wanneer de lengte van het kleine blad als eenheid wordt genomen. √3 is echter ook de lengte van de ruimtediaognaal van een kubus met een lengte van 1. Zo zit in deze eenvoudigste constructie in het plattevlak een belangrijke wetmatigheid van de ruimte verborgen.

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1129

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Jaarfeesten – Sint-Maarten (23)

.

Sint-Maarten had ’n koe

Op 27 april 1948 kreeg Utrecht een nieuwe vlag. Of beter gezegd de oude stadsvlag werd in mooie ere hersteld. Uit oude documenten was namelijk gebleken, dat de oorspronkelijke vlag rechts-geschuind van rood en wit was en dat die witte helft de beeltenis van Sint-Maarten droeg. Om die Sint-Maarten gaat het, want de stad Utrecht staat onder zijn bescherming.
Te zijner ere werd vroeger een processie gehouden en de burgers droegen de erenaam Sint-Maartensdienst-mannen of welgeboren Sint-Maartensmannen. Was er – zoals dat vaak is voorgekomen – weer eens oorlog of ruzie tussen die van Holland en die van het Sticht en kwam het tot een treffen, dan klonk – volgens een overlevering – als antwoord op de strijdkreet

‘Holland! Holland!’

het ‘Sint-Martijn! Sint-Martijn!’ van de Stichtenaren.

Niet alleen in Utrecht, maar in heel Nederland is Sint-Maarten na Sint-Nicolaas de populairste volksheilige. De in de achtste eeuw gestichte Dom van Utrecht is een Sint-Maartenskerk en zo zijn er vele. Steden, dorpen, kerken, altaren, klokken, gilden, liefdadigheidsinstellingen stonden of staan onder bescherming van Sint-Maarten.

En vergeet nooit
‘die onder protectie van Sint-Maarten staat is veilig en wel bewaard.’

Wij kennen in Noord-Holland Sint-Maarten, op Tholen Sint-Maartensdijk, in Utrecht Maartensdijk en onder Schipluiden de buurtschap Sint-Maartensrecht; en daar staat dan maar één enkel Sint-Nicolaasga in Friesland tegenover.
Ook in gemeentewapens kreeg Maarten zijn plaats, zoals in Itteren en Eethen en natuurlijk in de wapens van de plaatsen met zijn naam.

Wie was deze populaire heilige? Hij was een eeuwgenoot van Sint-Nicolaas, een zoon van een Romeins tribuun uit Pavia. Nog een knaap trok hij als soldaat naar Gallië. Aan de stadspoort van Amiens, zo wil de legende, deelde hij op een winterdag zijn soldatenmantel met een bedelaar. In de daarop volgende nacht zag hij in een droom Christus, bekleed met het stuk mantel dat hij weggeschonken had en hoorde hij Christus tot de engelen zeggen: ‘Hiermede heeft Martinus, de geloofsleerling, mij bekleed.’

De jonge Romein zei de krijgsdienst vaarwel, liet zich dopen, werd kluizenaar en monnik, stichtte het eerste klooster in West-Europa en reisde stad en land af om het evangelie te prediken. Hij hielp de armen en genas de zieken. In 370 werd hij door het volk tot bisschop van Tours uitgeroepen. Niettegenstaande deze hoogwaardige plaats bleef hij een eenvoudig man, goed doende waar hij kon.

11 november werd zijn feestdag, de dag van Sint-Maarten die nog steeds wordt gevierd, zij het minder uitbundig dan het vroeger gebeurde.

In voorbije tijden kon het op Sint-Maarten wild toegaan; er werd duchtig gegeten en gedronken. De overheid moest paal en perk stellen aan baldadige uitwassen. Een Dordtse keur uit 1443 vertelt:
‘So die jonghe boefkens op Sint-Maartensavond lestleden veel onredelikheden bedreven mit groote vuren te bernen opter straten, daertoe der luden banken, doeren ende vengsteren ende houten, die zij afbraken ende krijgen konden, ende verbernden ze ende deden den luden schade.’
Dat kon natuurlijk niet en daarom werd iedereen aangeraden deze belhamels ’also te kastijen ende bedwingen, dat sij alsulcke hantieringe mit vuuren te bernen ende der luden houten ende banken oft vengsters te halen, niet meer en doen tot gheenre tijd.’

Sint-Maarten mag dan niet zo hoog genoteerd staan als Sint-Nicolaas, zijn naamdag wordt nog steeds gevierd en het is vooral een kinderfeest. Op 11 november trekken in vele plaatsen in het land kinderen door de straten met lampionnen of andere fraaie lichtjes. Er wordt gebedeld – als men dit bedelen mag noemen – om een appel of om een peer; het mogen ook koekjes, snoepjes of geld zijn. Om kenbaar te maken, dat ze er aan komen of al voor de deur staan, wordt er hard gezongen. Keuze genoeg uit een indrukwekkend en gevarieerd sintmaartensrepertoire.

Zo zingt men in de stad Groningen – met een Sint-Martinuskerk! – :

Sint-Martinus, Bisschop
Roem van alle landen.
Dat wij hier met lichtjes lopen
Is voor ons geen schande.
Hier woont een rijke man
Die ons wel wat geven kan.
Geef een appel of een peer
’k Kom van ’t hele jaar niet weer.
’t Hele jaar, dat duurt zo lang
Dat mijn lichtje branden kan.

Op Ameland was het volgende liedje in trek.

Sinte, Sinte Marten.
De koeien hebben starten,
Ossen horens,
Kerken torens,
Torens klokken,
Mooie meisjes rokken,
Schoenmakers elsen,
Oude wijven pelsen.

Een ander oud liedje weet te vertellen:

Sint Maarten had ’n koe,
die moest naar de slager toe;
was ie vet of was ie mager,
toch moest ie naar de slager.

Om de vrijgevigheid te stimuleren werd en wordt graag het nodige gedaan en beloofd. Door het hele land is daarom het volgende liedje bekend en populair geworden. Want iedereen wil wel graag voor een rijkaard worden uitgemaakt.

Hier woont ’n rijk man,
Die veel geven kan,
Veel wil ’ie geven,
Zalig zal ‘ie leven,
Zalig zal ’ie sterven,
Den hemel zal ’ie erven.
God zal hem loonen,
Met honderdduizend kroonen,
Met honderdduizend rokkies an:
Hier komt Sint her Martijn an!

Op vele plaatsen wordt ’s avonds het sintmaartensvuur ontstoken, waarbij alles wat maar branden wil, gebruikt wordt. Allerlei onderzoekers naar de diepere en de diepste betekenis van oude volksgebruiken, willen hierin een afweermiddel zien tegen de boze geesten en heksen die verdreven moeten worden. Sint- Maarten wordt door dat vuur natuurlijk aangetrokken en gaat er meteen voor zorgen dat allen die ongeluk zouden willen brengen de wijk nemen. Meteen!

Na al die drukte met lampions en vuur gaan wij even een stukje eten. Dat kan heel goed. Het feest van Sint-Maarten is namelijk steeds een eetfeest geweest; men brengt dit wel in verbinding met november als slachtmaand en met het feit dat deze Sint zo gul was voor de armen. Lang waren pannenkoeken een echt sintmaartensgerecht, maar ook schotels met mispels, een gerecht dat helemaal niet meer bestaat. Trouwens de vrucht mispel is nauwelijks bekend. De mispel komt van een appelachtige boom en wordt gegeten als zij overrijp is. Vandaar zo rot als een mispel. Een oud liedje vertelt over de mispel:

Heere, Sinte Maarten! heilig sant!
Goede platte mispelen wasschen in uw hand.

Het gerecht bij uitnemendheid was in enkele plaatsen de sintmaartensgans. Wie geen gans had gegeten, had geen feest gevierd. Aan het eten op Sint-Maarten herinnert ook de oude benaming – reeds in 1276 bekend – van schuddekorfsdag. Op deze dag werd een grote korf gevuld met allerlei versnaperingen zoals appels, peren, tamme kastanjes boven een vuur gehangen en af en toe rond geschud. Dan vloog een deel van de inhoud in het rond en de omstanders konden naar hartelust grabbelen. Voor weerkundigen en weervoorspellers is Sint Maarten een zeer belangrijke dag. Wie die dag goed in de gaten houdt, weet welk weer er te wachten staat.

Als op Sint-Maarten de ganzen op het ijs staan, moeten we met Kerstmis door het slijk gaan.
Is het donker lucht op Sint-Martijn, zo zal ’t een zachte winter zijn, maar is die dag het weder helder, de vorst dringt door in menig kelder.

Er is nog meer. Zo het loof niet valt voor Sint-Martijn, zal ’t een harde winter zijn, maar nevels in sintmaartensnacht, brengen winters kort en zacht.

En nu nog even snel naar een paar hoogtepunten van de viering zelf; daarvoor kan men naar Utrecht en Groningen of bepaalde delen van Drente, Twente, de Achterhoek, Noord-Brabant en Limburg gaan.

Shell Journaal van Nederlandse folklore

.

Sint-Maarten: alle artikelen

jaarfeesten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: St.-Maarten

St-Maartensliedjes

 

1128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (29)

.

opspattend grind

 

Onderwijs vindt wiel opnieuw uit

Het programma ‘Droomvogel’ van een aantal basisscholen in Zaandam wil het kind weer laten spelen (Trouw, 30 oktober). De aandacht voor de cognitieve ontwikkeling is te ver doorgeschoten ten koste van het leren door spelen of spelend leren.

Frappant is dat in het ‘Leer- en handboek der Paedagogiek’ van de Rotterdamse schoolmeester Van de Griendt uit 1887 al dezelfde klacht is te lezen.

Ook toen werd de bewaarschool hier en daar al te veel beschouwd als een voorbereiding op de lagere school. “Het is het algemeen gevoelen van bekende opvoedkundigen, dat zulk vroegtijdig onderwijs schadelijk is voor lichamelijke en geestelijke ontwikkeling. En wij zouden er willen bijvoegen, dat het vooral op het kinderlijk karakter ongunstig kan werken”, aldus Van de Griendt.

Een geschiedenisoverzicht van de nieuwe-schoolbeweging (1900-1935) zou voor leraren en onderwijsdeskundigen verplichte literatuur moeten zijn. Om te zien dat onderwijsvernieuwers uit die tijd al worstelden met punten waarmee inmiddels negentig jaar later nog steeds wordt geworsteld.

De pogingen om te komen tot beter onderwijs lijken daarom op een eindeloze herhaling van zetten. Zodat het niet de vraag is of de jonge leerlingen ooit harmonischer gevormd zullen worden, maar wel of het onderwijs zelf ooit wijzer is geworden.

Harry Raap, lezer te Veldhoven in Trouw,02-11-2013

.

zie ook: opspattend grind: 8, 16, 17, 18

Opspattend grind: alle artikelen

Peuters/kleuters: alle artikelen

 

1127

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (39)

.

HOGEPRIESTER OP DE GROTE  VERZOENDAG

leven-o-t-192

De Hogepriester op de Groten Verzoendag in het Heilige der Heiligen
(naar Ds L. Schouten Hzn). Het Heilige der Heiligen was de plaats van de (e) Ark (kist) des Verbonds (Num. 10 : 33) of Ark der Getuigenis (Ex. 25 : 22 de Ark van de Heer, de Heer van de ganse aarde, Joz. 3 : 13); de Ark des Verbonds van de Heer der heerscharen, die tussen de cherubim woont (1 Sam. 4 : 4_) de Ark van Gods sterkte (Ps. 132 : 8). De Ark was gemaakt van sittimhout (Ex. 25 : 2), en had een lengte van 2½ el, een breedte en hoogte van 1½ el.* Voorts was de Ark van binnen en van buiten met louter goud overtrokken. De Ark werd gedekt door het Verzoendeksel (Ex. 25 : 21); daaromheen was een gouden krans (ƒ) of kroonlijst. Aan de vier hoeken waren vier gouden ringen: door die ringen staken handbomen van sittimhout met goud overtrokken. Op het verzoendeksel stonden twee cherubs (g) hun vleugelen omhoog uitgebreid; hun aangezichten tegenover elkaar, terwijl tevens hun aangezichten naar het Verzoendeksel gericht waren. Tussen de beide cherubijnen en daarboven (h) ziet men de „Schêchina” het zichtbaar teken van Gods tegenwoordigheid onder Israël, boven de vleugels van de Cherubijnen van de Ark des Verbonds, de letterlijke vervulling, door middel van dat teken, van hetgeen God gezegd had, ‘toen Hij ’t bevel gaf tot de bouw van de Tabernakel: „zij zullen Mij een Heiligdom maken, dat Ik in het midden van hen wone” (Ex. 25 : 8).

In het Heilige der Heiligen trad de Hogepriester binnen op de Grote Verzoendag, op de tiende van de maand Tisri (Lev. 16 : 1—39; Lev. 23 : 26—32; Numeri 29 : 7—11). De Hogepriester trad het niet binnen in zijn gewoon hogepriesterlijk ambtsgewaad; hij droeg de heilige klederen (Ex. 39 : 41, de heilige linnen rok (a), de linnen gordel, de linnen hoed (b); Lev. 16 : 4. De Hogepriester was in witte linnen klederen gekleed; dit wit is symbolisch voor het verzoeningswerk (Hebr. 9 : 24; 7 : 26). De eerste maal, dat de Hogepriester binnentrad, wordt beschreven in Lev. 16 : 12, 13: „Hij zal een wierookvat (d) vol vurige kolen nemen van het Altaar, van voor het aangezicht van de Heer, en zijn beide handen vol reukwerk van welriekende specerijen, klein gestoten; en hij zal het binnen de Voorhang dragen. — Terwijl dan het Heilige der Heiligen geheel gevuld werd met de rook van het reukwerk, ging de Hogepriester naar buiten en nam daar van de Priester in de Voorhof, het gouden bekken (c) met het bloed van de var van de zondoffers, om nu met dat bloed het Heilige der Heiligen in te gaan en verzoening te doen voor zich en zijn huis. Hij steekt de wijsvinger van de rechterhand in het bloed van de var, en bespat met dat bloed het middelste gedeelte van het Verzoendeksel, tussen de gouden cherubijnen. — Daarna drukt hij nogmaals de wijsvinger in het zoenbloed, bespat nu de vloer vóór het Verzoendeksel en de Ark, en herhaalt dit tot zevenmalen toe. — Teruggekeerd naar de voorhof werd de éne bok van het offer van het volk geslacht, en met dat bloed ging de Hogepriester nu ten derden male het Allerheiligste binnen, om op gelijke wijze als de vorige maal het bloed te sprengen: nu tot verzoening voor het volk.

*de precieze grootte van deze el is niet bekend, maar wordt geschat tussen 42 en 52 cm.

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas heemkunde

 

1126

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (10)

.

Opnieuw een artikel van lang geleden.
Met een mooie kunstzinngie aanpak worden de kinderen vertrouwd gemaakt met de getallen.

Of je de hier meer gekozen ‘hemelse’ ( en (te?) ‘heilige’) kant kiest, of de meer ‘aardse’ is aan jou.
Er zijn een paar ‘gevaren’: Hiërarchische wezens (engelen) en elementairwezens in je onderwijs laten optreden, kan maar zo leiden tot een soort inflatie van deze aspecten van het leven. Bovendien zou het voor jou een beleefbare waarheid moeten zijn om er op een bepaalde manier over te kunnen spreken, anders wordt het een (vrijeschool)maniertje! en dan komt al gauw het tweede gevaar: het wordt antroposofie. En dat hoort als inhoud niet thuis op de vrijeschool. Daarover is Steiner heel duidelijk.
Ik geeft het artikel toch weer omdat het ook mooie voorbeelden geeft om kinderen met de getallenwereld op beeldende manier te laten kennis maken.


Hier en daar heb ik het wat vrijer vertaald.

GETAL EN CIJFER IN HET ONDERWIJS VAN DE 1E KLAS

Getal, maat en gewicht zijn de belangrijkste hulpmiddelen van de huidige natuurwetenschap. Met deze hulpmiddelen zijn de grootste uitvindingen en ontdekkingen van onze tijd gedaan.
Een natuurproces lijkt verklaard, wanneer ik het met het rekenende, metende en wegende verstand toegankelijk kan maken.
Maar het leven verstart, wanneer je het in getal, maat en gewicht alleen wil vangen. Bekijk ik bijv. een lichtstraal of een toon slechts als een golfbeweging van een meetbare lengte, dan heb ik het leven gedood en slechts het lijk voor me. Want alleen de dode dingen kun je tellen, wegen en meten; tegenover het leven schiet de verstarde vorm tekort.
We hebben een vloeistof voor ons en erin opgelost een of ander zout. We kijken naar de oplossing. We ontdekken er niets in van geometrische vorm en gestalte. Nu koelt de vloeistof steeds meer af. Plotseling komen er kristallen tevoorschijn; wonderbaarlijke vormen van een meetkundige, kristalheldere schoonheid. Krachten schieten in de vorm en verstarren tot geometrische beelden. Maar als ze de vorm hebben gekregen, is het leven erin gestorven. Geometrische vorm is verstard leven. Hier zien we duidelijk hoe uit het levende het dode ontstaat.

In de tegenovergestelde richting moeten we gaan, wanneer we kinderen voor ons hebben in een eerste klas. Nu moeten we van het leven uitgaan; van de geestelijke wereld afdalen in de fysieke. Want het kind is met de geestelijke wezens en hun vormkracht nog veel sterker verbonden dan de volwassene; het maakt in zijn ontwikkeling het afdalen van het levende naar het verstarrende pas langzaam door. Vóór de tandenwisseling werkten de vormkrachten aan de vorming van het fysieke lichaam, nu komen ze omgevormd tevoorschijn in de voorstellingsbeelden. Maar deze voorstellingsbeelden zijn doortrokken van beeldende kracht, ze zijn niet af of afgesloten, maar doortrokken van kosmisch leven; ze metamorfoseren voortdurend, de scheppende fantasie leeft zich erin uit, nooit zijn deze beelden dode begrippen, maar ze lichten op in alle kleuren van de ziel – het kind beleeft niet zozeer het gewordene, maar het worden, het groeiende, vomende, daar gaat het helemeaal in op.

Zo kunnen we ons wel voorstellen hoe abstract en doods het is, wanneer we het kind de kant-en-klare getallen en cijfers, de geometrische vormen die af zijn en van het voorstellingsleven van de volwassene komen, voor de geest voeren.
De scheppende kracht van het getal, de zinvolle levendige betekenis, de vormgevende krachten moet het beleven, wil het niet voortijdig ouwelijk worden. We moeten de weg bewandelen van het levendige naar het verstarde, willen we het wezen van het kind recht doen.
En deze weg proberen we in het volgende te gaan; ik zou aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien, hoe ik gepoogd heb uit het leven het gestorvene, uit het wezen van het getal het cijfer te halen.

Vanuit de eenheid is de wereld ontstaan. In de ene God rustte verborgen de schepping voor deze zichtbaar werd. In de schoot van God-Vader ligt de hele kosmos besloten. Zo kun je van de één* uitgaan als de oerbasis van al wat geworden is.
Deze een bevat echter ook de tengenpolen: licht en donker. Goed en kwaad liggen er ook in verborgen. Ze worden zichtbaar wanneer de wereld vanuit de rust in het worden komt. Zo kun je de twee als de polaire tendens aan de kinderen uitleggen. Wanneer de wereld moet ontstaan, dan moet de godheid naast het goede principe ook het kwade zetten, moeten licht en duisternis elkaar tegenwerken, moet de deling in mannelijk en vrouwelijk ontstaan – Maar iedere schepping zou weer verloren gaan wanneer er geen hogere eenheid in de drie zou worden gevonden. Door de drie worden licht en donker samengenomen. Man en vrouw vinden de nieuwe drie-eenheid in het kind. Zo kun je de weg bewandelen van de eenheid als de oergrond van de schepping, door de zondeval in de twee en tot de verlossing door de drie.

Daarom vertelde ik de kinderen in de vorm van een sprookje in grote lijnen het volgende:
‘Er was eens een koning die een zoon had. Boven alles had hij deze zoon lief. Wat van zijn vader was, was van zijn zoon. Hij sliep in een bed van zijde, dronk uit een gouden beker, at van een zilveren bord, speelde met een gouden bal, plukte gouden appels; iedere dag was hij omgeven door muziek en werd er gedanst. Heel erg mooi was de tuin van zijn vader: wonderlijke bloemen bloeiden er, Vanaf de bergen bruisten klaterende stroompjes naar het dal, een milde wind ruiste door de twijgen van de bomen. En wanneer ’s avonds de sterren en de zilveren maan aan de hemel hoger kwamen en het zilveren licht van boven neerdaalde, dan hoorde en verstond de koningszoon het gezang van de sterren die zich in een kring aan de hoge hemel bewogen. Dan zongen de sterren hem toe:

‘Wij samen in het licht
van godes aangezicht,
wij
en jij!’**

(‘wir sind eins in Gottes Ruh –
Wir und du!’)

En wanneer de zon dan opging, bogen aan weerszijden van de weg waarover de koningszoon liep, de bloemen; de dieren kwamen op hem afgesprongen. Bronnetjes murmelden zachtjes naar hem:

‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(om het te laten rijmen heb ik er één bron van gemaakt:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

En de koningszoon hief zegenend zijn handen over dier, plant en steen en voelde zich een met hen en sprak: ‘Altijd zal ik van jullie houden enjullie zegenen en jullie broeder zijn!’
Op een dag riep de vader zijn zoon bij zich en sprak: ‘Nu ben je oud en sterk genoeg. Ga de wereld in en bevrijd de koningsdochter uit de macht van een boze draak.’ Toen sprak de zoon: ‘Ik wil graag daden verrichten, lieve vader, al lang hunker ik daarnaar. Maar ik heb geen zwaard!’- ‘Dit zwaard zul je zelf moeten smeden, ik kan het je niet schenken; maar de dwergen zullen je helpen, wanneer je moedig en sterk bent!’
En de konigszoon vertrok en zocht de koningsdochter, zo ver als de aarde groot was. Maar hij kon haar niet vinden. Toen kwam hij op een dag bij een donkere spelonk; hij ging er moedig in en daalde af in de donkere aarde. Toen zag hij voor zich een flakkerend vuur en daaromheen vele dwergen die aan het werk waren. Die vervaardigden uit goud, zilver en kristal de mooiste sieraden. Toen dacht de koningszoon: ‘Wat moet ik met sieraden, ringen en snuisterijen, ik wil een stevig zwaard smeden!’ Nauwelijks had hij dat gedacht of de dwergen brachten hem een hamer, een aambeeld en het harde ijzer. En de koningszoon smeedde daar in de diepte van de aarde een blinkend zwaard. Toen het klaar was, zwaaide hij het door de lucht en riep: ‘Nu wil ik daden verrichten!’ En hij trok verder, tot hij op een dag bij een hoge berg kwam; bovenop de berg stond een prachtig slot. De koningszoon beklom de berg en wilde door de poort naar binnengaan, toen een wilde draak hem tegemoet kwam. De draak blies vuur en vlammen uit zijn muil, maar de koningszoon zwaaide moedig met zijn zwaard en doodde de draak. Toen liep hij naar de deur van het slot en toen hij die wilde openen, sprong deze vanzelf open en een schone jonkvrouw schreed erdoor. Haar haar hing als een gouden stroom over haar schouder tot op de grond; haar ogen straalden als lichtende sterren. De jonkvrouw sprak: ‘Je hebt me bevrijd uit de macht van de draak! Welkom, jij held!’ En zij reikte hem haar hand en toen hoorden ze in het slot een meerstemmig gezang klinken:

‘Ga met haar aan je zijde,
Gij die de aarde (van hekserij) bevrijdde!’

(‘so schreitet zu zweit,
und grüsset die Erde,
vom Zauber befreit!’

Zo vond de koningszoon in de koningsdochter de heilige twee. En hij nam haar bij de hand en leidde haar het slot binnen en hij werd aan haar zijde koning over het hele land.”

Voorlopig vertelde ik tot hier het sprookje. De kinderen hadden het wezen van de twee eerste getallen in hun beleving opgenomen: de een als eenheid van de hele kosmos; de twee als ontmoeting van de koningszoon met de koningsdochter. Nu moest uit deze wezenlijke beleving het meetkundige beeld en ten slotte het cijfer worden gehaald. Want ik had me voorgenomen, de zuiver meetkundige vormen en de cijfers samen te nemen.

Het geometrische beeld van de eenheid is de cirkel. De cirkel is de grootste harmonie, de rust in god. De koningszoon staat in het midden. De kinderen beeldden dit beeld van de een uit. Eén kind stond in het midden als koningszoon, in de kring eromheen de andere kinderen als koor van sterren. Zij reciteerden:

Koningszoon:
Sterren bewegen zich in kringen
helder klinkt hun hemels zingen:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Sterne schwingen sich im Kreise,
hell erklingt des Weltalls Weise`:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Het koor van de sterren veranderde in een rij van bloemen en dieren, die vragend hun handen hieven:

Koningszoon:
Bloemen neigen zich ter aarde
En de deren: elk gebaarde:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Blumen neigen sich zur Erde,
Tiere flehn in Bittgebärde:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Gelijkertijd kwam er uit het beeld van de kijkende koningszoon in de kring de Romeinse I en uit het beeld van de zegenende koningszoon het Arabische cijfer 1:

rekenen-14

 

In de ontmoeting van de koningszoon en de koningsdochter  ontstaat de II. Ook deze ontmoeting werd gespeeld. Twee kinderen vormden de poort waaruit de koningsdochter de koningszoon tegemoet kwam. Daarbij werd gereciteerd:

Koningszoon:
Ik heb je verlost,
met het blinkende zwaard
de draak geveld!

Koningsdochter:
Welkom, jij held!’

(Ich hab dich erlöst,
met dem blitzendem Schwert
den Drachen gefällt!
Willkommen, du Held!’)

Ze geven elkaar de hand en spreken:

Hier  lopen wij bei(de)
en groeten je, aarde,
bevrijd van tovenarij!’

Wir schreiten zu zweit,
und grüssen dich, Erde,
vom Zauber befreit!’

rekenen-14-1

 De Arabische 2 ontbreekt in het artikel

 

Nu ligt het voor de hand, gezien het voorafgaande, dat ik de beleving van de drie aan de kinderen ook met het vervolg van dit sprookje zou brengen door het koningskind dat de beide ouders als geschenk kregen. Maar het leek me raadzamer ook nog van een andere kant het wezen van de drie de kinderen voor de geest te voeren. Je kunt de drie ook als een eenheid van denken, voelen en willen beschouwen en juist de eenheid van deze drie wilde ik de kinderen meegeven, dat leek me pedagogisch werkzaam te kunnen zijn. Ik vertelde daarom een verhaal, waarin ieder kind zichzelf zou kunnen herkennen.

‘Er was eens een bouwmeester die drie zonen had; maar wat waren deze drie verschillend! De eerste was altijd stil en in gedachten verzonken. Als hij eens ging wandelen, merkte hij bijna niets op van het moois van de bloemen of van de kracht van een storm; zijn blik en zijn hoofd waren naar beneden gericht – en hij dacht maar -. De tweede was heel anders. Die stormde bijna iedere dag naar buiten, de wei of de velden in; geen boom was hem te hoog, geen berg te steil, geen water te diep – hij wilde de wereld veroveren en daden verrichten. De derde zoon echter liep altijd vrolijk door de wereld en nam alles in zich op. Hij werd heel blij wanneer hij de vogels in de lucht hoorde, wanneer hij de bloemen op de wind zag wiegen, wanneer hij van de hoge berg in het dal keek. Wat was de wereld voor hem toch mooi!
Op een dag riep de vader zijn drie zonen bij zich en sprak: Jullie zijn nu wel oud genoeg en jullie hebben genoeg bij mij geleerd. Bouw nu maar eens een huis voor jezelf. We zullen eens kijken wie dat het beste voor elkaar krijgt!’
Toen ging de oudste zoon naar zijn kamertje, nam potlood en paier en begon te tekenen. En hij rekende en rekende en maakte een plan hoe hij zijn huis zou bouwen. Maar nauwelijks had hij zijn plan klaar of het beviel hem toch niet helemaal. Hij scheurde zijn tekening doormidden en begon opnieuw. En zo maakte hij vele plannen. Geen enkele beviel hem. De dagen gingen voorbij en hij was nog niet met het werk begonnen.
De tweede zoon echter spande de paarden voor de wagen en hij haalde stukken rots en stenen met een ongebreidelde werlust. Hij stapelde ze op elkaar en het ging hem niet snel genoeg. Wat gaf het dat de muren wat scheef stonden en de ramen niet recht en het dak te spits werd. Hoofdzaak was toch, dat het werk klaar kwam.
De derde zoon ging ook aan het werk. Zijn huis moest er mooi uitzien zoals een mooi volgroeide boom. Aan weerszijden van de poort stonden zuilen, er lag een grote tuin voor de ingang, de kamers werden met mooie kleuren opgeluisterd, de ramen moesten hoog en licht zijn. Wat kon het hem schelen of de muren vast en stevig stonden. De hoofdzaak was toch dat ze er prachtig uitzagen met vrolijke kleuren. Hij maakte zich geen zorgen dat zijn huis niet op een stevig fundament stond. Als het er maar mooi uit zag.
Na een jaar ging de vader eens kijken wat zijn zonen zoal gebouwd hadden. ‘Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de oudste. Die haalde zijn papieren en liet  hem zien wat hij getekend had. ‘Dat is zeker allemaal heel mooi’, sprak de vader, ‘maar wat heb ik aan een huis dat ik niet bewonen kan en waarin ik niet naar binnen kan? Dat alleen maar op papier staat?! –
Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de tweede. Die bracht hem naar het voltooide bouwwerk. De muren stonden weliswaar stevig, maar scheef, de deur was te smal, de ramen niet recht, het dak hing er zwaar boven. ‘Het was beter geweest’, sprak de vader, ‘als je langzamer te werk zou zijn gegaan en met meer overleg. Je bent te roekeloos met je kracht. – Nu wil ik jouw huis nog zien’, sprak de vader tot de derde.
En nu liepen ze naar het huis van de derde zoon: de muren glommen je in het zonlicht tegemoet; de ramen waren helder en hoog, de tuin mooi en groot en de kamers vrolijk geschilderd. Toen sprak de vader: ‘Je huis is mooi, maar wie verzekert mij dat een windstoot de zwakke muren niet omverblaast, de ramen breken en het dak instort? Wat heb je aan schoonheid, wanneer het de storm niet doorstaan kan!’
Alle drie de zonen zagen dat geen van hun huizen het oordeel van hun vader kon doorstaan en zij keken elkaar aan en zeiden tegen elkaar: ‘Wat zijn wij een dwazen! Ieder van ons apart kan zo’n werk niet aan. Kom op, laten we het samen bouwen!’
En samen gingen ze aan het werk en bouwden een huis. De oudste rekende en tekende, de tweede haalde de stenen en bouwde het sterke fundament en stevige muren volgens het plan van zijn oudste broer en de de derde zorgde ervoor dat het allemaal mooi werd. En toen ze het werk klaar hadden, straalde dat de kracht uit van een in drieën verdeelde eensgezindheid.’

Zo beleefden de kinderen de kwaliteiten van de drie zielenkrachten denken, voelen en willen en tegelijkertijd deze drie-eenheid in zichzelf. Toen pas konden ze de driehoek als geometrisch beeld voor deze drie-eenheid begrijpen.

rekenen-14-2

En dat laten ons de Romeinse en het Arabische cijfer zien.

Nu konden we ook zonder meer een spreuk van Dr.Rudolf Steiner leren:

In het hart weeft het voelen.
In het hoofd straalt het denken
In de leden werkt het willen.
Wevend in ’t stralen,
werkend in ’t weven,
stralend in ’t werken:
dat is de mens. [1]

In den Herzen webet Fühlen,
In dem Haupte Ieuchtet Denken
In den Gliedem kraftet Wollen.
Webendes Leuchten,
Kraftendes Weben,
Leucbtendes Kraften —
das ist der Mensch!

Met de vier komen we bij de vormgevende krachten, want door de vier ontstaat de zichtbare schepping. Alles wat op aarde vorm en gestalte heeft, wordt door de vier, de kracht van de vier elementen gevormd. In het vuur, in het water, in de lucht en op de aarde worden deze 4 etherische vormkrachten zichtbaar. In deze krachten doen zich de vier elementairrijken gelden, waarvan Goethe zegt, wanneer hij Faust Mefisto door de volgende spreuk laat zweren:

Eerst, ter bezwering dier dieren,
Gebruik ‘k de spreuk van vieren:
Salamander moet gloeien,
Undine zich winden,
Sylphe verzwinden,
Kobold moet broeien.
Wie geen bekende is
met de bende,
Hunne kracht
En toovermacht,
Hoede zich ’t meeste
Voor alle geesten.
Ga vlammend henen,
Salamander!
Vloei gij ruischend ineenen,
Undine!
Moogt ge in meteoorlicht dienen,
Sylphide!
Wil ’t huis hulpe bieden,
Incubus! Incubus!
Kom te voorschijn en sluit de lus.
Geen één van dezen
Steekt in het wezen.
Het ligt heel rustig
en grijnst mij aan,
Ik heb het nog geen pijn gedaan.
Ik zal u keeren,
Sterker bezweren. [2]

En pas voor het symbool van het kruis wordt het ware wezen van Mefisto duidelijk.

Faust:
Erst zu begegnen dem Tiere,
brauch ich den Spruch der Viere:
Salamander soll glühen,
Undene sich winden,
Sylphe verschwinden,
Kobold sich mühen.
Wer sie nicht kennte
Die Elemente,
Ihre Kraft
Und Eigenschaft,
Wäre kein Meister
Über die Geister.
      Verschwind in Flammen,
Salamander!
Rauschend fließe zusammen,
Undene!
Leucht in Meteoren –Schöne,
Sylphe!
Bring häusliche Hülfe,
Incubus! Incubus!
Tritt hervor und mache den Schluß!
Keines der Viere
Steckt in dem Tiere.
Es liegt ganz ruhig und grinst mich an;
Ich hab ihm noch nicht weh getan.
Du sollst mich hören
Stärker beschwören.

Hier noemt Goethe de vier elementairwezens met name:

Salamander      –    vuur
Undine              –    water
Silfe                   –    lucht
kobold              –    aarde

Ook voor mijn kinderen waren deze elementairwezens niet vreemd meer. Uit de sprookjes wisten ze, dat zich in het water de nimfen, in de lucht de elfen, onder de aarde de dwergen en in het vuur de reuzen actief zijn.

Het geometrische beeld van de vier is het vierkant dat ons de vier elementairwezens toont in een gemeenschappelijke activiteit. Dit vierkant is tegelijk een beeld voor de vier natuurrijken: steen, plant, dier en mens, voor zover het over de zichtbare schepping gaat. Het is echter ook het beeld van het lagere mensenwezen dat zichtbaar is als fysiek lichaam, ether- en astraallijf en Ik-wezen. We kunnen echter ook de vier jaargetijden en vooral de vier windstreken betrekken op de vier elementenrijken. Vanuit het noorden werkt het licht; vanuit het zuiden het vuur, vanuit het oosten de aarde en vanuit het westen het water.

rekenen-14-3

 

Maar ook het fysieke lichaam van de mens staat onder invloed van deze elementaire wereld. En bijzonder intensief werken deze krachten aan de vorming van het fysieke lichaam, wanneer de mens nog klein en zwak is, wanneer hij nog niet voor zichzelf kan zorgen, wanneer het nog in de wieg ligt en hogere wezens, engelen en elementairwezens beschermend voor hem zorgen.

Toen vertelde ik de kinderen een klein verhaal waarin na elkaar de vier elementen bij de wieg van het koningskind kwamen: uit het noorden kwam de gele engel van het licht, vanuit het zuiden de rode engel van het vuur, vanuit het westen de blauwe engel van het water en van het oosten de violette engel van de aarde en zij brengen voor het koningskind hun geschenken mee.
De kinderen schilderden dit beeld en boetseerden het en uit de opstelling van de 4 engelen ontstond het vierkant. Tegelijk leerden de kinderen een spreuk die de kenmerken van deze 4 wezens samenvat:

in het vuur laait op,
in het licht leeft,
in het water beweegt,
in de stenen werkt
de eeuwige scheppingskracht van de Vader

Im Feuer loht,
Im Lichte lebt,
Im Wasser webt,
Im Steine schafft
des Vaters ewige Schöpferkraft!

Ze vonden het heel leuk hoe dan het beeld van het Arabische cijfer 4 uit de 4 elementen tevoorschijn kwam:

rekenen-14-4

 

 

 

In de vijf komt het leven zelf tot uiting, hier wordt het rijk van het organische zichtbaar. Het getal 5 is de verbinding van de tegenstellingen, van 2 ‘even’  en 3 ‘oneven’, het vrouwelijke en mannelijke principe, waaruit alleen het leven ontstaat. Daarom vinden we dit getal waar het eigenlijke leven tot uitdrukking komt; we vinden het in de plantenwereld, zeer zeker in het rijk van het organische. Overal waar vanuit het irrationele  vorm verschijnt. Het geometrische symbool is het gelijkzijdige pentagram dat in zijn vorm vijfmaal de gulden snede belichaamt. De gulden snede is nauw verwant met het getal √5. Slechts met behulp van de gulden snede kan weer een regelmatige vijfhoek in een cirkel en het pentagram geconstrueerd worden. We zien hier dus de onmiddellijke rekenkundige samenhang tussen het geometrische symbool, het pentagram en het cijfer 5. Vanuit het irrationele uit de gulden snede – ontstaat het heilige pentagram.
We vinden dus, zoals al gezegd, de gulden snede en het pentagram overal waar vanuit het irrationele de organische vorm opbloeit. We vinden de gulden snede uitgedrukt in het menselijke lichaam zelf, in de verhoudingen van de ledematen t.o.v. elkaar, bijv. in de verhouding van de borst tot een gestrekte arm; de voet is door de bal van de voet in een kleiner en groter deel gescheiden. We vinden hem bij de bladverdeling van de plant en de stengel. We vinden hem ook in kunstwerken die ontsproten zijn aan de menselijke geest. De volmaakste kunstvormen van de klassieke oudheid – de tempelbouw en de beelden – zijn geheel doordrongen van de beleving van de gulden snede. De scheppende hand van de kunstenaar volgt hier de organisch aangeboren oerkracht van de Logos.
Het pentagram zelf echter beheerst de plantenwereld. Je hoeft maar naar de vele vijfbladige bloemkronen en het vruchtbeginsel van appel en peer te kijken om te zien hoe prachtig daarin het gelijkzijdige pentagram, het nieuwe leven omvattend, gebouwd is. Iedere roos, iedere appelboom leert ons hetzelfde. Ook zij vertonen in hun bloem het gevormde pentagram. Vandaar dat de roos voor de Rozenkruisers een zo heilig symbool was. Voor de niet-ingewijde verhult zij dit diepe scheppingsgeheim, en maakt het gelijktijdig zichtbaar aan de ingewijde. – Maar ook het menselijk lichaam vertoont het pentagram: wanneer de mens loodrecht op twee voeten staat en naar boven kijkt, de geest als het hoogste beschouwend, de materie onder zich, staat en kijkt hij goed, d.w.z. hij leeft in overeenstemming met de wetten van de kosmos. Wanneer de punt naar beneden staat, staat de mens op zijn kop en neemt hij de materie als het hoogste goed; dan kijkt hij verkeerd.

De kinderen kan je op verschillende manieren met de vijf vertrouwd maken.
Ik vertelde hun o.a. het volgend kleine verhaal, dat ik hier in grote trekken weer zou willen geven:

‘Toen het koningskind zeven jaar oud was, liep het op een zomerdag met zijn moeder door de bloeiende tuin. De moeder bracht hem bij een bloeiende roos en liet hem de kelk zien. Toen zag het kind dat de bloemblaadjes op een heel wonderbaarlijke manier geordend waren. Toen zei de moeder tot het koningskind: ‘Ga eens met je beide voeten op de grond staan en strek je handen eens uit. Dan reik je je hoofd naar de lichte zon, met je handen zou je, wanneer je ze heel lang denkt, de sterren kunnen grijpen, met je voeten sta je zo stevig op de grond en verder naar beneden, tot in de diepte van de aarde. En kijk nu eens hoe je nu staat, dat ziet er zo uit!’ De moeder nam een stok en tekende in het zand het beeld van de mens en sprak:
‘Dit is het heilige pentagram. Je vindt het in de bloem van de roos en in je eigen lijf. Kijk er met eerbied naar, dan zal het al zijn geheimen aan je openbaren!’

We schilderden het koningskind, zoals het in de tuin staat en dan het pentagram:

rekenen-14-5

 

 

Het geometrische beeld van de zes  is het hexagram, de beide driehoeken die zich tegengesteld aan elkaar doordringen. Het hexagram geldt sinds onheugelijke tijden als het symbool van de macrokosmos: de fysieke wereld wordt doordrongen vanuit de geestelijke, dalend en stijgend gaan de hemelse krachten, zoals Goethe in zijn Faust dit onder het teken van de macrokosmos brengt:

Hoe alles toch te zamen streeft,
Het een in ’t ander schept en leeft,
Hoe hemelkrachten op en neder strijken,
Elkaar de gouden emmers reiken!
En met zegenrijke vlerken
Vanuit den hemel de aard bewerken, ‘
t Heelal tot één akkoord versterken!  [3]

Wie alles sich zum Ganzen webt,
Eins in dem andern wirkt und lebt!
Wie Himmelskräfte auf und nieder steigen
Und sich die goldnen Eimer reichen!
Mit segenduftenden Schwingen
Vom Himmel durch die Erde dringen,
Harmonisch all das All durchklingen!

In vergelijking met het pentagram heeft de zesster iets onveranderlijk-regelmatigs, je kunt hem makkelijk construeren, wanneer je de straal van de cirkel zes maal op de omtrek afzet. Dus is het niet verwonderlijk, wanneer we het hexagram in de natuur terugvinden als sneeuwster: water verdampt, stijgt op en valt uit de hemel weer op de aarde als kristalvorm, als eerste aanzet tot verstard leven. De vorm van de sneeuwster kan ons duidelijk maken, dat hemel en aarde elkaar doordringen en in deze doordringing verstard zijn.

Ook de Ster van Bethlehem is het hexagram, ook hij leert ons, dat in de geboorte van Christus hemel en aarde elkaar doordringen.
Zo heb ik dan ook de kinderen tot beleving gebracht de winter, van de beleving van de uit eeuwige hoogten neerdwarrelende sneeuwsterren, tot de beleving van de Ster van Bethlehem.
En tegelijkertijd konden we beleven dat het Arabische cijfer 6 ons hetzelfde kan leren.
Je kan de zes als een spiraal aan de kinderen geven die zich naarbinnen draait: ‘Blik in je!’ en dan weer naar buiten: ‘Kijk om je heen!’ Het fysieke beeld is het slakkenhuis en graag kruipen ze met de slak in het huisje en komen met de slak weer naar buiten:

rekenen-14-6

 

 

Is de 6 het teken van de macrokosmos en laat ze in haar geometrische vorm zien hoe hemel en aarde elkaar doordringen, zo staat de 7 in een bijzondere verhouding tot de mens. Je hoeft er alleen maar aan te denken, dat met 7 maanden het menselijk embryo levensvatbaar is, dat met iedere cyclus van 7 jaar ongeveer een nieuwe fase van ontwikkeling van de mens begint.
Maar ook de regenboog heeft 7 kleuren als teken van het verbond tussen god en de mens; de week heeft 7 dagen, er zijn 7 planeten, 7 vocalen begeleiden de planetenreeks.
Wanneer je een kind op een simpele manier op deze samenhangen wijst, voelt het de ongelooflijke belangrijkheid van het getal 7 voor de menselijke ontwikkeling
Hij weet al uit de sprookjes dat daarin het getal 7 een belangrijke rol speelt. Met deze eerbied voor het getal 7 zal het kind ook het oeroude geometrische symbool van de 7 bijzonder vinden, zoals dit in het bijzonder in de pythagoreïsche school werd geleerd. Dit symbool is het vierkant met daarboven de driehoek!
De goddelijke hogere drie-eenheid daalt af in de fysieke vierledige mens. Het kind zal dan later, wanneer het de 7 vragen van het Onzevader hoort, de diepe samenhang van dit gebed met het volledige menszijn inzien.

rekenen-14-7

En zoals het heilig licht zich zevenvoudig weerspeigelt in de heldere kleuren, zo zal eens, wanneer de mensheidsontwikkeling afgesloten is, de mens voor ons staan, zoals Christian Morgenstern het ons openbaart:

(ik wacht nog op de vertaling van dit stukje uit ‘Wir fanden ein Pfad’ uitgegeven bij Christofoor – ik heb het zelf niet)

Die Sonne will sich sieben Male spiegeln
in allen unsern sieben Leibesgliedern,
dass sie ihr siebenmal ihr Bild erwidern –
die sonne will uns siebenmal entsiegeln!

.

Dr.Franz Brumberg, Erziehungskunst jrg.4 nr. 1/2-1930

.

[1] In Rudolf Steiner: ‘Gedichtem spreuken, meditaties’ uitg. Christofoor
[2] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 1270-1295)
[3] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 448-453)

*Als we in de klas zeggen dat één het grootste getal is, is dat voor veel kinderen verwarrend. Eenheid kent dat bezwaar niet.
**ik heb hier vrij vertaald om een indruk te geven

Wanneer je de getallen verbindt met meetkundige figuren, kun je de 1e-klaskinderen wijzen op de 6e klas. Geef je in de 6e klas meetkunde en je hebt in de 1e deze figuren gebruikt, kun je ernaar terugwijzen.

1e klas – rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld 1e klas: alle beelden

 

1125

 

 

 

 

 

 

 

 

.