Maandelijks archief: oktober 2016

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (40)

.

HET HEILIGE

leven-o-t-1931. Het Heilige was van het Heilige der Heiligen
afgescheiden door de Voorhang (F) die daar aan vier pilaren is opgehangen. De wanden rechts en links zijn opgetrokken uit houten berderen.* Aan de zuidzijde (Ex. 40 : 24) staat de Kandelaar (A) beter: luchter (Ex. 25 : 6; 35 : 8) want tot verlichting van het heiligdom diende „reine olie van olijven, gestoten tot de luchter” (Ex. 27 : 20). Het is een kunstwerk van louter goud. Op het voetstuk verheft zich de schacht (de recht opgaande stam): daaruit schieten drie paar rieten uit, die met hun top gelijk in hoogte staan met de top van de schacht. Op die top en op de zes rieten zijn „schaaltjes gelijk als amandelnoten”; daarin werden lampen met olie geplaatst. Onder het schaaltje ziet men een versiering van knopen en bloemen (Ex. 25 : 35). De lichten van de lampen in de amandelnoten op de rieten branden „aan zijn zijden” (Ex. 25 : 3, eigenlijk staat er: naar ‘de kant van zijn aangezicht”, dus aan het voorste deel). Bij de luchter behoorden nog kleinere gereedschappen „snuiters” en „blusvaten” (D links). — Vlak tegenover de gouden luchter stond aan de noordzijde (Exod. 40 : 22) de Tafel der Toonbrooden (bij C). De beschrijving is in Ex. 25 : 23—30 en 37 : 10—16. De tafel was van sittimhout** met goud overtrokken. Aan alle zijden was haar blad omgeven door een gouden krans (c); onder de krans was een lijst van een hand breed en onder die lijst weer een gouden krans; zij stond op vier pooten; verder waren er vier gouden ringen en daardoor werden de handbomen gestoken (bij H). Bij de tafel waren verschillende gereedschappen: schotels, rookschalen, [vermoedelijk kleinere schalen om daarin wierook te doen; die wierook maakte, naar Lev. 24 : 7, 8 het brood ten gedenkoffer] ; platelen (lage bekers) en kroezen (offerkannen). De broden waren twaalf in getal in twee rijen, zes bij zes, op de reine tafel (Lev. 24 : 6; daarbij was dan de wierook). — Het Reukaltaar (B) (Ex. 30 : 1—7; 37 : 25— 28) was van sittimhout overtrokken met louter goud; aan de hoeken zijn hoornen. — In Ex. 30 : 7, 8 wordt van Aaron gezegd, dat hij het gouden Reukaltaar zou aansteken; Aaron deed het bij de inwijding van de Tabernakel, bij de aanvaarding van zijn priesterdom, gelijk hij en de Hogepriesters na hem het deden op de Grote Verzoendag, op de Sabbath, op het feest der nieuwe maan en op de gezette hoge feesten. (Zo’n geval is hier voorgesteld op de tekening, waar de Hogepriester staat bij het Reukaltaar). Het reukwerk bestond uit vier bestanddelen (Ex. 30 : 34—36). – Het is dit reukwerk waarvan David bij vergelijking zegt: Mijn gebed worde gesteld als reukwerk voor Uw aangezicht (Ps. 141 : 2).

2. De koperen zee (koper is brons). De hoogte van de koperen zee (a), het bekken bedraagt ongeveer 2½ m„ de doorsnede aan de bovenrand ongeveer 4.90 m.; de dikte is één handbreed. Het bekken wordt gedragen door vier groepen van drie runderen (b) alle van brons vervaardigd (1 Kon. 7 : 23 v.v.; 2 Kron. 4 : 2v.v.).

3. Twee vormen, hoe men zich de zuilen Jachin en Boaz voorstelt. De kapitelen zijn omgeven door een bronzen vlechtwerk met twee rijen granaatappelen.

*oud woord voor plank, bord
**sittimhout

 

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas heemkunde

1131

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

.

1e week    3e week   4e week

Hier volgt een impressie van de 2e week van de periode meetkunde in klas 6.

Als voorbereiding is het raadzaam Meetkunde [1]   en [2] te bestudere

Vakkenintegratie is belangrijk: de leerlingen kunnen ervaren hoe alles met elkaar samenhangt. En wat ze in het ene vak leren, zien ze in een ander vak, vanuit een ander standpunt, terug.

Een indeling in dagen is nu niet zo makkelijk te geven, want als je bijv. teruggaat naar de 5e klas – Egypte – en je laat na, na het vertellen over hoe de akkers werden gemeten, de ‘godin van de richting’te tekenen – of aan het eind van de 1e dag daar een begin mee maken, wordt de tijdsindeling anders.

De tweede week

Een eerste dag

In klas 5 kwam in de gechiedenisperioden ook Egypte aan de beurt.

In het hier al genoemde boek van Alexander Strakosch besteedt de schrijver ook aandacht aan Egypte:

Wanneer duidelijk is geworden dat je kennelijk ‘stukken grond’ met een stok en een touw kunt bepalen, moet dat ook worden bekeken:

meetkunde-32

En hierin is wel een rechthoekige akker te zien:

meetkunde-33

Dit is een zeer belangrijk ogenblik in de meetkundeperiode: voor het eerst wordt duidelijk dat een meetkundig figuur – hier de rechthoek – ontstaat vanuit de cirkel. We gaan natuurlijk vanaf nu na of dat voor elke andere figuur ook geldt.

We gaan terug naar de eerste week en nemen deze tekening:

meetkunde-23

Daarin tekenen we alle mogelijke lijnen, nadat we ons goed gerealiseerd hebben, dat de lijnen een verbinding vormen tussen punten, zoals bij de rechthoek ontdekt werd.

meetkunde-34

De kinderen zien in ieder geval driehoeken en ja, ook deze figuur ontstaat in de cirkel; en ‘déze figuur’, waarmee ze de ontstane ruit bedoelen.

Maar ‘deze figuur’ is niet echt handig als mogelijkheid om iets in een meetkundige tekening aan te duiden.
En daar hebben de mensen iets voor bedacht. Een afspraak die over de hele wereld geldt: punten geven we een letter uit het alfabet en we schrijven die met een hoofdletter.

meetkunde-35

Wanneer je naar die punten kijkt, blijken het hoekpunten te zijn, maar D bijv. is ook middelpunt van een cirkel.

Meestal gebruiken we voor het middelpunt de letter M, maar het is niet verplicht.

Het telkens moeten opschrijven: ‘teken een cirkel met een middelpunt M’ zijn wel veel woorden en daarom werken de mensen liever met symbolen en dat gaan wij ook voortaaan doen, dus zo:

ꙩ M

En nu we toch weer bij de cirkel stilstaan en aan het benoemen zijn, willen we ook weten hoe we de lijn noemen die de grootte van de cirkel bepaalt.

Wanneer de leerlingen ‘middellijn’ zeggen, is dit niet fout, maar hoe ontstaat dan die middellijn. Met een bepaald stukje lijn tussen de passer.

Dat bepaalde stukje lijn noemen de mensen een lijnstuk: van A naar B; of van D naar E. En omdat we het woord ‘naar’ niet echt nodig hebben, laten we dat weg: lijnstuk AB en/of DE enz.

In bovenstaande tekening kunnen we nu alle lijnstukken benoemen.

En we zien nu dat lijnstuk AD; DC; DB; DE; AB; BF even groot zijn, want het zijn dezelfde lijnstukken die we tussen de passer hadden toen we met de 1e cirkel begonnen.

Toen we in de 1e week deze tekening maakten:

meetkunde-10

was het woord ‘stralen’ al eens gevallen en ja, al deze lijnen zijn stralen.

Het Latijnse woord voor straal  = radius en de =r= staat symbool voor dit lijnstuk.

Dus als er dit staat:

Ꙩ M  r=5, dan weet je dat je een cirkel M – dit is het middelpunt – moet tekenen met een straal van 5 cm.

Ook de middellijn kunnen nu nog anders benoemen: 2 x de straal of wel 2  x   r. Dus 2r.

Uiteraard is het goed om te kinderen zelf de omschrijvingen te laten vinden! Zoals al eerder gezegd: ze zijn soms sprekender dan de officieel gangbare; maar de laatste leren we.

Een tweede dag
Voor je weer verder gaat met de lesstof, is het iedere dag belangrijk te herhalen wat er eerder werd geleerd. De ontstane begrippen, symbolen. Of in het algemeen: wat hebben we tot nog toe geleerd.

We gaan ook weer naar de ‘bloem’ kijken en tekenen Ꙩ M   r=5    r = MA

meetkunde-38

r blijft 5 en we tekenen nu vanuit A  Ꙩ A. De snijpunten waar deze cirkel de omtrek van Ꙩ M  raakt, noemen we B en C. Je ziet meteen dat AC een straal is van  Ꙩ A en AB eveneens.

meetkunde-39

We kunnen nu al de conclusie trekken dat MA=AB=AC

Met dezelfde passergrootte trekken we vanuit B    Ꙩ  B:
Het snijpunt op de omtrek van Ꙩ  M   noemen we D

meetkunde-40

En: BD = MA= AB (= AC, die ik hier niet teken om duidelijker te laten zien hoe de figuur verder groeit)

Weer verder met vanuit D: Ꙩ  D

meetkunde-41

We vinden op de omtrek van Ꙩ  M een nieuw snijpunt dat we E noemen.

Je kunt de letters omkeren, wanneer je vanuit de andere richting benoemt, wat je zeker moet doen om te laten zien dat het niet per se op één manier hoeft:

ED = DB =BA = AM

Vanuit E doen we het nog eens: snijpunt F

meetkunde-42

MA = AB = BD = DE = EF

En nog eens vanuit F: het snijpunt C staat er al!

meetkunde-43

CF = FE = ED = DB = BA = AM

Wanneer we dan nog C als middelpunt van de Ꙩ  C nemen:

meetkunde-44

zijn we rond en kunnen we concluderen dat AB =BD=DE=EF=FC=CA=AM

Dat betekent dat al deze lijnstukken evengroot zijn. Dat we hier 6 even grote stralen hebben en als we naar cirkel M kijken, hebben op die cirkelboog 6 punten gekregen die evenver van elkaar moeten liggen, omdat de afstand die tussen deze punten ligt dezelfde lijn is: straal MA.

Daarmee hebben we bewezen dat de straal van een cirkel 6 x op de omtrek past, m.a.w. we kunnen nu een cirkelboog in 6 gelijke delen verdelen.

Ook zien we in, dat we niet steeds de volledige cirkel hoeven te tekenen, maar alleen de punten die we nodig hebben.

meetkunde-45

De kinderen moeten er goed van doordrongen zijn, dat we, telkens als we iets willen construeren en we deze kleine boogjes zetten, we eigenlijk cirkels tekenen die we niet echt nodig hebben, maar die, als we ze wel volledig tekenen ons laten zien waarom het juist is wat we doen: het bewijs is er in te lezen!

Nu we de cirkel geometrisch juist in 6-en kunnen verdelen, levert dat weer nieuwe mogelijkheden op:

We zijn in staat een zeshoek én een zesster te construeren – het nieuwe woord dat we voortaan zullen gebruiken, mét het woord ‘constructie’.

En als we de cirkel(s) niet echt nodig hebben, tekenen we die uiterst dun, zodat we de overbodige lijnen later kunnen verwijderen:

meetkunde-46

Uiteraard levert dat weer vele schoonheidsvormen op:

6e-klas-meetkunde-2d

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder nummer 2

Na een best inspannende manier van voorstellen om tot bovenstaande bewijzen te komen, is het fijn als er in het kunstzinnige toepassen weer een andere kwaliteit wordt aangesproken dan het denken: de wil in de exacte uitvoering van bijv. de zesster  en het gevoel in het zoeken van mooie kleurcombinaties.
Daarmee wordt dan dag 2 afgesloten.

Een derde dag
Nu we een tijdlang aan de cirkel hebben gewerkt, is het misschien een mooi tegengesteld onderwerp: de rechte lijn.
Als voorbereiding zou je nu meetkunde 4-3 kunnen bestuderen.
Omdat het goed is er telkens aan te denken, hoe kun je met de leerlingen ‘levend’ denken, welke weg kun je gaan om van levende begrippen – en hoe minder subjectief die zijn, des te meer zijn het ‘ideeën’, geestelijke realiteiten, in een zekere verstarring te komen, dus bij het begrip dat weinig ruimte meer laat: de definitie.
Zo zou je hier – zie Strakosch – ook van een cirkel uit kunnen gaan en – in gedachten – de middellijn langer kunnen denken . Wat gebeurt er dan met de cirkelboog. Deze komt dus steeds lager te liggen, totdat hij samenvalt met de middellijn. Je kunt even een uitstapje maken naar ronde of bijna ronde voorwerpen in je omgeving en deze op soortgelijke manier veranderen. Hilariteit! Ook als je de omgekeerde weg bewandelt en een rechte lijn probeert ‘naar een halve boog te denken’. Hoe wonderlijk en vreemd zou de wereld eruit zien, als dit ook met de materie zou kunnen. (Het principe van de lachspiegel!)

Nu laten we deze oefening even rusten.
We nemen de passer en tekenen Ꙩ,  r=willekeurig (maar niet te groot). We trekken de straal. Iets verder naast het middelpunt zetten we de passerpunt op de straal en in het verlengde van de straal, met dezelfde straalgrootte, zetten we een klein boogje ( dat is dus weer een heel klein gedeelte van een cirkel. Dat herhalen we een aantal keren.

meetkunde-55
Nu kunnen we weer een voorstellingsoefening doen: Denk je eens in dat we de passerpunt op de straal bijna op het middelpunt hadden gezet en zoals boven, een cirkelboogje getrokken en dat vele keren achter elkaar. Wat zie je buiten de cirkel in het verlengde van de straal ontstaan: heel veel dicht bij elkaar liggende kleine boogjes. Als je die boogjes nog kleiner denkt, krijg je het kleinst denkbare boogje: een punt. En als je die punten heel dicht tegen elkaar aan denkt, heb je een……lijn.
En daarom wordt er van de lijn gezegd dat het een verzameling van punten is.

meetkunde-56

We hebben de lijn dus leren kennen als ‘een spoor van een beweging’, onzichtbaar totdat er concreet – op aarde, op papier enz. – een stukje ervan zichtbaar wordt; en nu als een verzameling punten.

meetkunde-57Dit is een lijn

meetkunde-58Het zichtbaar geworden stuk: een lijnstuk. Een begrensd stuk, vandaar dat het afgebakend dient te worden:

meetkunde-59

strikt genomen kunnen we dus niet zomaar over ‘een lijn’ spreken als we die in de meetkunde nodig hebben. We moeten eigenlijk steeds ‘lijnstuk’ zeggen. Maar in het dagelijks spraakgebruik zeggen we toch meestal: een lijn van 5 cm bijv.

Wanneer je dit consequent verder denkt is een halve lijn dus dit:

meetkunde-60

Niet dat de leerlingen dat allemaal hoeven te weten (maar er zijn er altijd bij die deze wetenschap prachtig vinden, dus waarom niet), het is wél goed dat ze kennis maken met een wereld waarin het om exact formuleren gaat, om goede afspraken die voor iedereen gelden.

Uiteraard komt de vraag: wat is dan de helft van een lijn, dus in het spraakgebruik: een halve lijn – meetkundig gezegd: een half, de helft van een lijnstuk.
En als je dit niet met liniaal mag meten – of kunt meten – dan moet deze geconstrueerd kunnen worden. Hoe?
Je raadt het al: terug naar de cirkel(s).

meetkunde-35

De driehoeken ABC en ADC zijn op precies gelijke manier getekend. Als je ABC omklapt met AGC als vouwlijn, vallen ze precies over elkaar: ze zijn dus gelijk. Dat geldt ook voor ABD en CBD. Als je die omvouwt met BGD als vouwlijn, vallen ze ook precies over elkaar. Dat geldt dan ook voor ABG en BGC.
Daaruit volgt dat AG = GC en BG=GD.

Omdat we ‘daaruit volgt’ nog vaak nodig hebben, leren we alvast het geometrische teken daarvoor: →

M.a.w. we hebben het lijnstuk AC precies in het midden gedeeld in G.

We trekken een lijnstuk AB van bijv. 5 cm. Deze nemen we als straal en maken vanuit A en B 2 cirkels met de snijpunten C en D. We trekken CD die AB snijdt in G. G is het midden van AB.

meetkunde-61

Nu gaan we de overtollige lijnen weglaten:

meetkunde-62

Alleen de kleine omcirkelboogjes zijn nodig en punt G.

Het is goed om dit zo (lang) te oefenen (tot)dat ieder kind het moeiteloos kan. En ook weet waarom het goed is.
Dat hoort dus bij het herhalen, de volgende morgen: wat hebben we gisteren geleerd.
Nu komt het zeker aan op juist en in volgorde van handelen te formuleren.
Natuurlijk worden ook alle begrippen en symbolen iedere keer herhaald.

Nu we een lijnstuk kunnen delen, nemen de mogelijkheden om dit kunstzinnig toe te passen enorm toe. Want de 6-ster en de 6-hoek kunnen nu 12-ster en 12-hoek worden, met al die variaties waarvan we hier maar een klein deel zien:
(voor meer achtergrond: meetkunde 4-5)

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde –  (onder nr. 4)

.
6e-klas-meetkunde-23

Een vierde dag
De geleerde constructie van gisteren wordt, nadat deze door de kinderen mondeling beschreven is, in het periodeschrift bij de constructies nauwkeurig schriftelijk beschreven. Dit kan bijv. ook een opdracht zijn voor thuis.

Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat je met het delen van een lijnstuk – zie boven – wanneer je G gevonden hebt – tegelijk eigenlijk een loodrechte lijn in G hebt opgericht. Loodrecht omdat G van driehoek ABG net zo groot is als hoek G van driehoek CBG, dus moet de lijn precies loodrecht staan.

Van hieruit proberen we nu een loodlijn op te richten op een willekeurig punt G op lijnstuk AB:

meetkunde-63

Gegeven: lijnstuk AB = 5cm
Punt G willekeurig
Gevraagd: loodlijn in G

Je zorgt ervoor dat G in het midden komt te liggen door GB als straal te nemen en deze af te zetten op GA, snijpunt C. Nu ben je bij het uitgangspunt van de constructie om een lijn doormidden te delen. Je neemt de opening tussen de passer iets groter en cirkelt boven G om vanuit C en B. Snijpunt D. Vanuit G naar D getrokken is de gevraagde lijn de loodlijn. Je kunt hem ook doortrekken naar E als je vanuit C en B omcirkeld hebt.

Een nieuw symbool: staat loodrecht op:   ⊥

Bij de constructie van een lijnstuk halveren, een loodlijn oprichten op een gegeven punt op een willekeurig(e) lijn(stuk, ‘hoort’ eigenlijk nog de construcite vanuit een gegeven punt boven (of onder) een willekeurig(e) lijn(stuk een loodlijn neerlaten, dan wel oprichten. ‘Hoort’ omdat ze bijna hetzelfde zijn.

Voor het lijnstuk onder de gegeven punt, nemen we nu eerst maar wat het meest natuurlijk lijkt: een horizontale.

Rond deze vorm kun je het nog over de heemkundeperiode in de 3e klas hebben, waarin de huizenbouw aan de orde kwam. Bij alle gereedschappen is zeker ook het schietlood behandeld en is het ‘lood’ in loodrecht weer wat duidelijker.

Gegeven:
willekeurig punt X en lijn a
Gevraagd: vanuit X een loodlijn op a

meetkunde-64

Neem een straal tussen de passer zo groot dat omcirkelen vanuit X op a twee snijpunten geeft: A  en   B.
Cirkel vanuit deze punten onder lijn a zo om dat de boogjes elkaar snijden: Y
Trek vanuit X met een liniaal het lijnstuk X tot op lijnstuk AB: C
XC is de gevraagde lijn.
Het is goed om zo precies te zijn, dat – hoewel XC en CX even groot zijn, tóch XC te zeggen, omdat de vraag is: vanuit punt X
C is dus ook het punt wanneer we vanuit Y een loodlijn op a construeren.

Om nog even bij de loodlijnen te blijven en ons te realiseren dat we de constructies eigenlijk maken met behulp van cirkels waarvan echter alleen maar kleine (om)cirkelboogjes worden gebruikt, is dit bijv. een mooie kunstzinnige verwerking:

Vanuit (het denkbeeldige) A en B is op XY steeds met een kleiner wordende straal omcirkeld. Zou je de straal bijv. steeds 1 cm kleiner willen maken, dan moet je die grootte vanaf een liniaal overnemen.

6e-klas-meetkunde-29

Een vijfde dag
Het herhalen neemt elke dag wel een bepaalde begintijd in.
Soms moet er ook gelegenheid zijn om dingen af te maken.
vooral de kunstzinnige tekeningen. Die kunnen ook wel als huiswerk thuis afgemaakt worden.

Inmiddels kunnen de leerlingen zessterren- en hoeken tekenen; daarin driehoeken; twaalfsterren- en hoeken met daarin ook weer driehoeken en vierkanten enz.
Omgekeerd is het ook een hele opgave om een kunstzinnige tekening zo te doorzien, dat je weet hoe die tot stand is gekomen.

Hoe is deze gemaakt?

6e-klas-meetkunde-31

Vanuit de waarneming de volgorde van handelen proberen te zien.
1)  de grote cirkel
2) zesmaal de straal afzetten op de cirkelboog
3) het midden bepalen van 1 zo’n boogje
4) vandaaruit weer zes keer afzetten op de cirkelboog: er zijn nu twaalf punten
5) De punten zo verbinden dat je er telkens twee overslaat
6) Het staande vierkant helemaal tekenen
7) Het vierkant daaronder: alleen de lijnen die zichtbaar zijn
8) Het onderste vierkant: alleen de lijnen die zichtbaar zijn.

Uiteraard maken de kinderen er zelf ook een, met andere kleuren; of halen bijv. als laatste de cirkel weg, waardoor er een puntiger karakter ontstaat.

Je kunt ervoor zorgen dat je een aantal van bovenstaande vormen – oplopend in moeilijkheidsgraad – klaar hebt liggen, die de leerlingen kunnen uitzoeken en meenemen naar hun plaats om de constructie ervan te vinden en uit te voeren.

cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden; straal; snijpunt; constructie, construeren; zesster; zeshoek (hexagram, hexagoon); cirkelboog; verzameling; lijn; lijnstuk; loodlijn;

symbolen:
Ꙩ             cirkel met middelpunt
cirkel met middelpunt M
r              radius = straal
2r           2x de radius = de middellijn
→           daaruit volgt
⊥            staat loodrecht op

suggesties voor de periode:

1e week
3e week
4e week

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1130

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-5)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 21 t/m 22

Over de bloem met de twaalf blaadjes

meetkunde-strakosch-4-2

Tussen twee kleine blaadjes* ontspringt een groot blad als direct vervolg van de bogen die de kleine blaadjes insluiten. De punten van de grote blaadjes liggen weer op een cirkel waarvan de straal even groot is als de lengte van het grote blad.**

Trek je door de grote alsmede door de kleine blaadjes een rechte lijn van punt naar punt, ontstaan er om het gemeenschappelijke middelpunt twaalf gelijke hoeken van ieder 360° : 12 = 30°  (tekening hierboven)

De punten als een rondje waar de cirkel de zes assen van de grote blaadjes snijdt, halveren ieder de boog tussen de punt van de kleine blaadjes. Wanneer je vanuit die punten met een gelijke straal cirkels trekt, ontstaan opnieuw zes blaadjes; in totaal krijg je dus een ‘bloem’ met twaalf blaadjes:

meetkunde-strakosch-4-6

Je kan echter niet een heel blad met ‘bloemen van twaalf blaadjes vullen; want bij ieder ring van cirkels die je rond de begincirkel tekent, verschuiven de middelpunten ieder met de breedte van een klein blad, zoals je kan ervaren bij het maken van deze tekening.

Daarvoor in de plaas biedt de bloem met de twaalf blaadjes de gelegenheid een nieuwe wetmatigheid in te zien. Terwijl zich bij de zes-bloem steeds gelijkzijdige driehoeken vormden of figuren die daaruit te vormen zijn (zeshoeken, ruiten) kan je hier ook vierkanten ontdekken. De volgende drie tekeningen laten een serie voorbeelden zien waarmee de hoeveelheid nog lang niet uitgeput is en de liefhebber rijkelijk gelegenheid biedt om ze zelf uit te werken. Daarbij moet je er echter op letten, dat de verlengde zijden van de vierkanten, ruiten of zeshoeken op de snijpunten van cirkels of in het midden van de driehoeken liggen. Je vindt steeds aanknopingspunten in de omgeving, je hebt een goede controle voor een precieze tekening en leert steeds meer de wetmatigheden kennen.

meetkunde-strakosch-4-3

 

meetkunde-strakosch-4-4

 

meetkunde-strakosch-4-5

 

*kijk naar de bovenste twee cirkels De twee kleine blaadjes met de stippellijn erdoorheen zijn ‘de kleine blaadjes’ en het ‘grote blad’ is het blad waarin deze twee kleinere liggen met ook nog een grotere ronde punt.
**Dat zie ik niet. Strakosch merkt over die lijn op: deze lengte, preciezer gezegd de lengte van zijn middellijn is √3, wanneer de lengte van het kleine blad als eenheid wordt genomen. √3 is echter ook de lengte van de ruimtediaognaal van een kubus met een lengte van 1. Zo zit in deze eenvoudigste constructie in het plattevlak een belangrijke wetmatigheid van de ruimte verborgen.

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1129

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Jaarfeesten – Sint-Maarten (23)

.

Sint-Maarten had ’n koe

Op 27 april 1948 kreeg Utrecht een nieuwe vlag. Of beter gezegd de oude stadsvlag werd in mooie ere hersteld. Uit oude documenten was namelijk gebleken, dat de oorspronkelijke vlag rechts-geschuind van rood en wit was en dat die witte helft de beeltenis van Sint-Maarten droeg. Om die Sint-Maarten gaat het, want de stad Utrecht staat onder zijn bescherming.
Te zijner ere werd vroeger een processie gehouden en de burgers droegen de erenaam Sint-Maartensdienst-mannen of welgeboren Sint-Maartensmannen. Was er – zoals dat vaak is voorgekomen – weer eens oorlog of ruzie tussen die van Holland en die van het Sticht en kwam het tot een treffen, dan klonk – volgens een overlevering – als antwoord op de strijdkreet

‘Holland! Holland!’

het ‘Sint-Martijn! Sint-Martijn!’ van de Stichtenaren.

Niet alleen in Utrecht, maar in heel Nederland is Sint-Maarten na Sint-Nicolaas de populairste volksheilige. De in de achtste eeuw gestichte Dom van Utrecht is een Sint-Maartenskerk en zo zijn er vele. Steden, dorpen, kerken, altaren, klokken, gilden, liefdadigheidsinstellingen stonden of staan onder bescherming van Sint-Maarten.

En vergeet nooit
‘die onder protectie van Sint-Maarten staat is veilig en wel bewaard.’

Wij kennen in Noord-Holland Sint-Maarten, op Tholen Sint-Maartensdijk, in Utrecht Maartensdijk en onder Schipluiden de buurtschap Sint-Maartensrecht; en daar staat dan maar één enkel Sint-Nicolaasga in Friesland tegenover.
Ook in gemeentewapens kreeg Maarten zijn plaats, zoals in Itteren en Eethen en natuurlijk in de wapens van de plaatsen met zijn naam.

Wie was deze populaire heilige? Hij was een eeuwgenoot van Sint-Nicolaas, een zoon van een Romeins tribuun uit Pavia. Nog een knaap trok hij als soldaat naar Gallië. Aan de stadspoort van Amiens, zo wil de legende, deelde hij op een winterdag zijn soldatenmantel met een bedelaar. In de daarop volgende nacht zag hij in een droom Christus, bekleed met het stuk mantel dat hij weggeschonken had en hoorde hij Christus tot de engelen zeggen: ‘Hiermede heeft Martinus, de geloofsleerling, mij bekleed.’

De jonge Romein zei de krijgsdienst vaarwel, liet zich dopen, werd kluizenaar en monnik, stichtte het eerste klooster in West-Europa en reisde stad en land af om het evangelie te prediken. Hij hielp de armen en genas de zieken. In 370 werd hij door het volk tot bisschop van Tours uitgeroepen. Niettegenstaande deze hoogwaardige plaats bleef hij een eenvoudig man, goed doende waar hij kon.

11 november werd zijn feestdag, de dag van Sint-Maarten die nog steeds wordt gevierd, zij het minder uitbundig dan het vroeger gebeurde.

In voorbije tijden kon het op Sint-Maarten wild toegaan; er werd duchtig gegeten en gedronken. De overheid moest paal en perk stellen aan baldadige uitwassen. Een Dordtse keur uit 1443 vertelt:
‘So die jonghe boefkens op Sint-Maartensavond lestleden veel onredelikheden bedreven mit groote vuren te bernen opter straten, daertoe der luden banken, doeren ende vengsteren ende houten, die zij afbraken ende krijgen konden, ende verbernden ze ende deden den luden schade.’
Dat kon natuurlijk niet en daarom werd iedereen aangeraden deze belhamels ’also te kastijen ende bedwingen, dat sij alsulcke hantieringe mit vuuren te bernen ende der luden houten ende banken oft vengsters te halen, niet meer en doen tot gheenre tijd.’

Sint-Maarten mag dan niet zo hoog genoteerd staan als Sint-Nicolaas, zijn naamdag wordt nog steeds gevierd en het is vooral een kinderfeest. Op 11 november trekken in vele plaatsen in het land kinderen door de straten met lampionnen of andere fraaie lichtjes. Er wordt gebedeld – als men dit bedelen mag noemen – om een appel of om een peer; het mogen ook koekjes, snoepjes of geld zijn. Om kenbaar te maken, dat ze er aan komen of al voor de deur staan, wordt er hard gezongen. Keuze genoeg uit een indrukwekkend en gevarieerd sintmaartensrepertoire.

Zo zingt men in de stad Groningen – met een Sint-Martinuskerk! – :

Sint-Martinus, Bisschop
Roem van alle landen.
Dat wij hier met lichtjes lopen
Is voor ons geen schande.
Hier woont een rijke man
Die ons wel wat geven kan.
Geef een appel of een peer
’k Kom van ’t hele jaar niet weer.
’t Hele jaar, dat duurt zo lang
Dat mijn lichtje branden kan.

Op Ameland was het volgende liedje in trek.

Sinte, Sinte Marten.
De koeien hebben starten,
Ossen horens,
Kerken torens,
Torens klokken,
Mooie meisjes rokken,
Schoenmakers elsen,
Oude wijven pelsen.

Een ander oud liedje weet te vertellen:

Sint Maarten had ’n koe,
die moest naar de slager toe;
was ie vet of was ie mager,
toch moest ie naar de slager.

Om de vrijgevigheid te stimuleren werd en wordt graag het nodige gedaan en beloofd. Door het hele land is daarom het volgende liedje bekend en populair geworden. Want iedereen wil wel graag voor een rijkaard worden uitgemaakt.

Hier woont ’n rijk man,
Die veel geven kan,
Veel wil ’ie geven,
Zalig zal ‘ie leven,
Zalig zal ’ie sterven,
Den hemel zal ’ie erven.
God zal hem loonen,
Met honderdduizend kroonen,
Met honderdduizend rokkies an:
Hier komt Sint her Martijn an!

Op vele plaatsen wordt ’s avonds het sintmaartensvuur ontstoken, waarbij alles wat maar branden wil, gebruikt wordt. Allerlei onderzoekers naar de diepere en de diepste betekenis van oude volksgebruiken, willen hierin een afweermiddel zien tegen de boze geesten en heksen die verdreven moeten worden. Sint- Maarten wordt door dat vuur natuurlijk aangetrokken en gaat er meteen voor zorgen dat allen die ongeluk zouden willen brengen de wijk nemen. Meteen!

Na al die drukte met lampions en vuur gaan wij even een stukje eten. Dat kan heel goed. Het feest van Sint-Maarten is namelijk steeds een eetfeest geweest; men brengt dit wel in verbinding met november als slachtmaand en met het feit dat deze Sint zo gul was voor de armen. Lang waren pannenkoeken een echt sintmaartensgerecht, maar ook schotels met mispels, een gerecht dat helemaal niet meer bestaat. Trouwens de vrucht mispel is nauwelijks bekend. De mispel komt van een appelachtige boom en wordt gegeten als zij overrijp is. Vandaar zo rot als een mispel. Een oud liedje vertelt over de mispel:

Heere, Sinte Maarten! heilig sant!
Goede platte mispelen wasschen in uw hand.

Het gerecht bij uitnemendheid was in enkele plaatsen de sintmaartensgans. Wie geen gans had gegeten, had geen feest gevierd. Aan het eten op Sint-Maarten herinnert ook de oude benaming – reeds in 1276 bekend – van schuddekorfsdag. Op deze dag werd een grote korf gevuld met allerlei versnaperingen zoals appels, peren, tamme kastanjes boven een vuur gehangen en af en toe rond geschud. Dan vloog een deel van de inhoud in het rond en de omstanders konden naar hartelust grabbelen. Voor weerkundigen en weervoorspellers is Sint Maarten een zeer belangrijke dag. Wie die dag goed in de gaten houdt, weet welk weer er te wachten staat.

Als op Sint-Maarten de ganzen op het ijs staan, moeten we met Kerstmis door het slijk gaan.
Is het donker lucht op Sint-Martijn, zo zal ’t een zachte winter zijn, maar is die dag het weder helder, de vorst dringt door in menig kelder.

Er is nog meer. Zo het loof niet valt voor Sint-Martijn, zal ’t een harde winter zijn, maar nevels in sintmaartensnacht, brengen winters kort en zacht.

En nu nog even snel naar een paar hoogtepunten van de viering zelf; daarvoor kan men naar Utrecht en Groningen of bepaalde delen van Drente, Twente, de Achterhoek, Noord-Brabant en Limburg gaan.

Shell Journaal van Nederlandse folklore

.

Sint-Maarten: alle artikelen

jaarfeesten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: St.-Maarten

St-Maartensliedjes

 

1128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (29)

.

opspattend grind

 

Onderwijs vindt wiel opnieuw uit

Het programma ‘Droomvogel’ van een aantal basisscholen in Zaandam wil het kind weer laten spelen (Trouw, 30 oktober). De aandacht voor de cognitieve ontwikkeling is te ver doorgeschoten ten koste van het leren door spelen of spelend leren.

Frappant is dat in het ‘Leer- en handboek der Paedagogiek’ van de Rotterdamse schoolmeester Van de Griendt uit 1887 al dezelfde klacht is te lezen.

Ook toen werd de bewaarschool hier en daar al te veel beschouwd als een voorbereiding op de lagere school. “Het is het algemeen gevoelen van bekende opvoedkundigen, dat zulk vroegtijdig onderwijs schadelijk is voor lichamelijke en geestelijke ontwikkeling. En wij zouden er willen bijvoegen, dat het vooral op het kinderlijk karakter ongunstig kan werken”, aldus Van de Griendt.

Een geschiedenisoverzicht van de nieuwe-schoolbeweging (1900-1935) zou voor leraren en onderwijsdeskundigen verplichte literatuur moeten zijn. Om te zien dat onderwijsvernieuwers uit die tijd al worstelden met punten waarmee inmiddels negentig jaar later nog steeds wordt geworsteld.

De pogingen om te komen tot beter onderwijs lijken daarom op een eindeloze herhaling van zetten. Zodat het niet de vraag is of de jonge leerlingen ooit harmonischer gevormd zullen worden, maar wel of het onderwijs zelf ooit wijzer is geworden.

Harry Raap, lezer te Veldhoven in Trouw,02-11-2013

.

zie ook: opspattend grind: 8, 16, 17, 18

Opspattend grind: alle artikelen

Peuters/kleuters: alle artikelen

 

1127

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (39)

.

HOGEPRIESTER OP DE GROTE  VERZOENDAG

leven-o-t-192

De Hogepriester op de Groten Verzoendag in het Heilige der Heiligen
(naar Ds L. Schouten Hzn). Het Heilige der Heiligen was de plaats van de (e) Ark (kist) des Verbonds (Num. 10 : 33) of Ark der Getuigenis (Ex. 25 : 22 de Ark van de Heer, de Heer van de ganse aarde, Joz. 3 : 13); de Ark des Verbonds van de Heer der heerscharen, die tussen de cherubim woont (1 Sam. 4 : 4_) de Ark van Gods sterkte (Ps. 132 : 8). De Ark was gemaakt van sittimhout (Ex. 25 : 2), en had een lengte van 2½ el, een breedte en hoogte van 1½ el.* Voorts was de Ark van binnen en van buiten met louter goud overtrokken. De Ark werd gedekt door het Verzoendeksel (Ex. 25 : 21); daaromheen was een gouden krans (ƒ) of kroonlijst. Aan de vier hoeken waren vier gouden ringen: door die ringen staken handbomen van sittimhout met goud overtrokken. Op het verzoendeksel stonden twee cherubs (g) hun vleugelen omhoog uitgebreid; hun aangezichten tegenover elkaar, terwijl tevens hun aangezichten naar het Verzoendeksel gericht waren. Tussen de beide cherubijnen en daarboven (h) ziet men de „Schêchina” het zichtbaar teken van Gods tegenwoordigheid onder Israël, boven de vleugels van de Cherubijnen van de Ark des Verbonds, de letterlijke vervulling, door middel van dat teken, van hetgeen God gezegd had, ‘toen Hij ’t bevel gaf tot de bouw van de Tabernakel: „zij zullen Mij een Heiligdom maken, dat Ik in het midden van hen wone” (Ex. 25 : 8).

In het Heilige der Heiligen trad de Hogepriester binnen op de Grote Verzoendag, op de tiende van de maand Tisri (Lev. 16 : 1—39; Lev. 23 : 26—32; Numeri 29 : 7—11). De Hogepriester trad het niet binnen in zijn gewoon hogepriesterlijk ambtsgewaad; hij droeg de heilige klederen (Ex. 39 : 41, de heilige linnen rok (a), de linnen gordel, de linnen hoed (b); Lev. 16 : 4. De Hogepriester was in witte linnen klederen gekleed; dit wit is symbolisch voor het verzoeningswerk (Hebr. 9 : 24; 7 : 26). De eerste maal, dat de Hogepriester binnentrad, wordt beschreven in Lev. 16 : 12, 13: „Hij zal een wierookvat (d) vol vurige kolen nemen van het Altaar, van voor het aangezicht van de Heer, en zijn beide handen vol reukwerk van welriekende specerijen, klein gestoten; en hij zal het binnen de Voorhang dragen. — Terwijl dan het Heilige der Heiligen geheel gevuld werd met de rook van het reukwerk, ging de Hogepriester naar buiten en nam daar van de Priester in de Voorhof, het gouden bekken (c) met het bloed van de var van de zondoffers, om nu met dat bloed het Heilige der Heiligen in te gaan en verzoening te doen voor zich en zijn huis. Hij steekt de wijsvinger van de rechterhand in het bloed van de var, en bespat met dat bloed het middelste gedeelte van het Verzoendeksel, tussen de gouden cherubijnen. — Daarna drukt hij nogmaals de wijsvinger in het zoenbloed, bespat nu de vloer vóór het Verzoendeksel en de Ark, en herhaalt dit tot zevenmalen toe. — Teruggekeerd naar de voorhof werd de éne bok van het offer van het volk geslacht, en met dat bloed ging de Hogepriester nu ten derden male het Allerheiligste binnen, om op gelijke wijze als de vorige maal het bloed te sprengen: nu tot verzoening voor het volk.

*de precieze grootte van deze el is niet bekend, maar wordt geschat tussen 42 en 52 cm.

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas heemkunde

 

1126

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (10)

.

Opnieuw een artikel van lang geleden.
Met een mooie kunstzinngie aanpak worden de kinderen vertrouwd gemaakt met de getallen.

Of je de hier meer gekozen ‘hemelse’ ( en (te?) ‘heilige’) kant kiest, of de meer ‘aardse’ is aan jou.
Er zijn een paar ‘gevaren’: Hiërarchische wezens (engelen) en elementairwezens in je onderwijs laten optreden, kan maar zo leiden tot een soort inflatie van deze aspecten van het leven. Bovendien zou het voor jou een beleefbare waarheid moeten zijn om er op een bepaalde manier over te kunnen spreken, anders wordt het een (vrijeschool)maniertje! en dan komt al gauw het tweede gevaar: het wordt antroposofie. En dat hoort als inhoud niet thuis op de vrijeschool. Daarover is Steiner heel duidelijk.
Ik geeft het artikel toch weer omdat het ook mooie voorbeelden geeft om kinderen met de getallenwereld op beeldende manier te laten kennis maken.


Hier en daar heb ik het wat vrijer vertaald.

GETAL EN CIJFER IN HET ONDERWIJS VAN DE 1E KLAS

Getal, maat en gewicht zijn de belangrijkste hulpmiddelen van de huidige natuurwetenschap. Met deze hulpmiddelen zijn de grootste uitvindingen en ontdekkingen van onze tijd gedaan.
Een natuurproces lijkt verklaard, wanneer ik het met het rekenende, metende en wegende verstand toegankelijk kan maken.
Maar het leven verstart, wanneer je het in getal, maat en gewicht alleen wil vangen. Bekijk ik bijv. een lichtstraal of een toon slechts als een golfbeweging van een meetbare lengte, dan heb ik het leven gedood en slechts het lijk voor me. Want alleen de dode dingen kun je tellen, wegen en meten; tegenover het leven schiet de verstarde vorm tekort.
We hebben een vloeistof voor ons en erin opgelost een of ander zout. We kijken naar de oplossing. We ontdekken er niets in van geometrische vorm en gestalte. Nu koelt de vloeistof steeds meer af. Plotseling komen er kristallen tevoorschijn; wonderbaarlijke vormen van een meetkundige, kristalheldere schoonheid. Krachten schieten in de vorm en verstarren tot geometrische beelden. Maar als ze de vorm hebben gekregen, is het leven erin gestorven. Geometrische vorm is verstard leven. Hier zien we duidelijk hoe uit het levende het dode ontstaat.

In de tegenovergestelde richting moeten we gaan, wanneer we kinderen voor ons hebben in een eerste klas. Nu moeten we van het leven uitgaan; van de geestelijke wereld afdalen in de fysieke. Want het kind is met de geestelijke wezens en hun vormkracht nog veel sterker verbonden dan de volwassene; het maakt in zijn ontwikkeling het afdalen van het levende naar het verstarrende pas langzaam door. Vóór de tandenwisseling werkten de vormkrachten aan de vorming van het fysieke lichaam, nu komen ze omgevormd tevoorschijn in de voorstellingsbeelden. Maar deze voorstellingsbeelden zijn doortrokken van beeldende kracht, ze zijn niet af of afgesloten, maar doortrokken van kosmisch leven; ze metamorfoseren voortdurend, de scheppende fantasie leeft zich erin uit, nooit zijn deze beelden dode begrippen, maar ze lichten op in alle kleuren van de ziel – het kind beleeft niet zozeer het gewordene, maar het worden, het groeiende, vomende, daar gaat het helemeaal in op.

Zo kunnen we ons wel voorstellen hoe abstract en doods het is, wanneer we het kind de kant-en-klare getallen en cijfers, de geometrische vormen die af zijn en van het voorstellingsleven van de volwassene komen, voor de geest voeren.
De scheppende kracht van het getal, de zinvolle levendige betekenis, de vormgevende krachten moet het beleven, wil het niet voortijdig ouwelijk worden. We moeten de weg bewandelen van het levendige naar het verstarde, willen we het wezen van het kind recht doen.
En deze weg proberen we in het volgende te gaan; ik zou aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien, hoe ik gepoogd heb uit het leven het gestorvene, uit het wezen van het getal het cijfer te halen.

Vanuit de eenheid is de wereld ontstaan. In de ene God rustte verborgen de schepping voor deze zichtbaar werd. In de schoot van God-Vader ligt de hele kosmos besloten. Zo kun je van de één* uitgaan als de oerbasis van al wat geworden is.
Deze een bevat echter ook de tengenpolen: licht en donker. Goed en kwaad liggen er ook in verborgen. Ze worden zichtbaar wanneer de wereld vanuit de rust in het worden komt. Zo kun je de twee als de polaire tendens aan de kinderen uitleggen. Wanneer de wereld moet ontstaan, dan moet de godheid naast het goede principe ook het kwade zetten, moeten licht en duisternis elkaar tegenwerken, moet de deling in mannelijk en vrouwelijk ontstaan – Maar iedere schepping zou weer verloren gaan wanneer er geen hogere eenheid in de drie zou worden gevonden. Door de drie worden licht en donker samengenomen. Man en vrouw vinden de nieuwe drie-eenheid in het kind. Zo kun je de weg bewandelen van de eenheid als de oergrond van de schepping, door de zondeval in de twee en tot de verlossing door de drie.

Daarom vertelde ik de kinderen in de vorm van een sprookje in grote lijnen het volgende:
‘Er was eens een koning die een zoon had. Boven alles had hij deze zoon lief. Wat van zijn vader was, was van zijn zoon. Hij sliep in een bed van zijde, dronk uit een gouden beker, at van een zilveren bord, speelde met een gouden bal, plukte gouden appels; iedere dag was hij omgeven door muziek en werd er gedanst. Heel erg mooi was de tuin van zijn vader: wonderlijke bloemen bloeiden er, Vanaf de bergen bruisten klaterende stroompjes naar het dal, een milde wind ruiste door de twijgen van de bomen. En wanneer ’s avonds de sterren en de zilveren maan aan de hemel hoger kwamen en het zilveren licht van boven neerdaalde, dan hoorde en verstond de koningszoon het gezang van de sterren die zich in een kring aan de hoge hemel bewogen. Dan zongen de sterren hem toe:

‘Wij samen in het licht
van godes aangezicht,
wij
en jij!’**

(‘wir sind eins in Gottes Ruh –
Wir und du!’)

En wanneer de zon dan opging, bogen aan weerszijden van de weg waarover de koningszoon liep, de bloemen; de dieren kwamen op hem afgesprongen. Bronnetjes murmelden zachtjes naar hem:

‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(om het te laten rijmen heb ik er één bron van gemaakt:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

En de koningszoon hief zegenend zijn handen over dier, plant en steen en voelde zich een met hen en sprak: ‘Altijd zal ik van jullie houden enjullie zegenen en jullie broeder zijn!’
Op een dag riep de vader zijn zoon bij zich en sprak: ‘Nu ben je oud en sterk genoeg. Ga de wereld in en bevrijd de koningsdochter uit de macht van een boze draak.’ Toen sprak de zoon: ‘Ik wil graag daden verrichten, lieve vader, al lang hunker ik daarnaar. Maar ik heb geen zwaard!’- ‘Dit zwaard zul je zelf moeten smeden, ik kan het je niet schenken; maar de dwergen zullen je helpen, wanneer je moedig en sterk bent!’
En de konigszoon vertrok en zocht de koningsdochter, zo ver als de aarde groot was. Maar hij kon haar niet vinden. Toen kwam hij op een dag bij een donkere spelonk; hij ging er moedig in en daalde af in de donkere aarde. Toen zag hij voor zich een flakkerend vuur en daaromheen vele dwergen die aan het werk waren. Die vervaardigden uit goud, zilver en kristal de mooiste sieraden. Toen dacht de koningszoon: ‘Wat moet ik met sieraden, ringen en snuisterijen, ik wil een stevig zwaard smeden!’ Nauwelijks had hij dat gedacht of de dwergen brachten hem een hamer, een aambeeld en het harde ijzer. En de koningszoon smeedde daar in de diepte van de aarde een blinkend zwaard. Toen het klaar was, zwaaide hij het door de lucht en riep: ‘Nu wil ik daden verrichten!’ En hij trok verder, tot hij op een dag bij een hoge berg kwam; bovenop de berg stond een prachtig slot. De koningszoon beklom de berg en wilde door de poort naar binnengaan, toen een wilde draak hem tegemoet kwam. De draak blies vuur en vlammen uit zijn muil, maar de koningszoon zwaaide moedig met zijn zwaard en doodde de draak. Toen liep hij naar de deur van het slot en toen hij die wilde openen, sprong deze vanzelf open en een schone jonkvrouw schreed erdoor. Haar haar hing als een gouden stroom over haar schouder tot op de grond; haar ogen straalden als lichtende sterren. De jonkvrouw sprak: ‘Je hebt me bevrijd uit de macht van de draak! Welkom, jij held!’ En zij reikte hem haar hand en toen hoorden ze in het slot een meerstemmig gezang klinken:

‘Ga met haar aan je zijde,
Gij die de aarde (van hekserij) bevrijdde!’

(‘so schreitet zu zweit,
und grüsset die Erde,
vom Zauber befreit!’

Zo vond de koningszoon in de koningsdochter de heilige twee. En hij nam haar bij de hand en leidde haar het slot binnen en hij werd aan haar zijde koning over het hele land.”

Voorlopig vertelde ik tot hier het sprookje. De kinderen hadden het wezen van de twee eerste getallen in hun beleving opgenomen: de een als eenheid van de hele kosmos; de twee als ontmoeting van de koningszoon met de koningsdochter. Nu moest uit deze wezenlijke beleving het meetkundige beeld en ten slotte het cijfer worden gehaald. Want ik had me voorgenomen, de zuiver meetkundige vormen en de cijfers samen te nemen.

Het geometrische beeld van de eenheid is de cirkel. De cirkel is de grootste harmonie, de rust in god. De koningszoon staat in het midden. De kinderen beeldden dit beeld van de een uit. Eén kind stond in het midden als koningszoon, in de kring eromheen de andere kinderen als koor van sterren. Zij reciteerden:

Koningszoon:
Sterren bewegen zich in kringen
helder klinkt hun hemels zingen:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Sterne schwingen sich im Kreise,
hell erklingt des Weltalls Weise`:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Het koor van de sterren veranderde in een rij van bloemen en dieren, die vragend hun handen hieven:

Koningszoon:
Bloemen neigen zich ter aarde
En de deren: elk gebaarde:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Blumen neigen sich zur Erde,
Tiere flehn in Bittgebärde:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Gelijkertijd kwam er uit het beeld van de kijkende koningszoon in de kring de Romeinse I en uit het beeld van de zegenende koningszoon het Arabische cijfer 1:

rekenen-14

 

In de ontmoeting van de koningszoon en de koningsdochter  ontstaat de II. Ook deze ontmoeting werd gespeeld. Twee kinderen vormden de poort waaruit de koningsdochter de koningszoon tegemoet kwam. Daarbij werd gereciteerd:

Koningszoon:
Ik heb je verlost,
met het blinkende zwaard
de draak geveld!

Koningsdochter:
Welkom, jij held!’

(Ich hab dich erlöst,
met dem blitzendem Schwert
den Drachen gefällt!
Willkommen, du Held!’)

Ze geven elkaar de hand en spreken:

Hier  lopen wij bei(de)
en groeten je, aarde,
bevrijd van tovenarij!’

Wir schreiten zu zweit,
und grüssen dich, Erde,
vom Zauber befreit!’

rekenen-14-1

 De Arabische 2 ontbreekt in het artikel

 

Nu ligt het voor de hand, gezien het voorafgaande, dat ik de beleving van de drie aan de kinderen ook met het vervolg van dit sprookje zou brengen door het koningskind dat de beide ouders als geschenk kregen. Maar het leek me raadzamer ook nog van een andere kant het wezen van de drie de kinderen voor de geest te voeren. Je kunt de drie ook als een eenheid van denken, voelen en willen beschouwen en juist de eenheid van deze drie wilde ik de kinderen meegeven, dat leek me pedagogisch werkzaam te kunnen zijn. Ik vertelde daarom een verhaal, waarin ieder kind zichzelf zou kunnen herkennen.

‘Er was eens een bouwmeester die drie zonen had; maar wat waren deze drie verschillend! De eerste was altijd stil en in gedachten verzonken. Als hij eens ging wandelen, merkte hij bijna niets op van het moois van de bloemen of van de kracht van een storm; zijn blik en zijn hoofd waren naar beneden gericht – en hij dacht maar -. De tweede was heel anders. Die stormde bijna iedere dag naar buiten, de wei of de velden in; geen boom was hem te hoog, geen berg te steil, geen water te diep – hij wilde de wereld veroveren en daden verrichten. De derde zoon echter liep altijd vrolijk door de wereld en nam alles in zich op. Hij werd heel blij wanneer hij de vogels in de lucht hoorde, wanneer hij de bloemen op de wind zag wiegen, wanneer hij van de hoge berg in het dal keek. Wat was de wereld voor hem toch mooi!
Op een dag riep de vader zijn drie zonen bij zich en sprak: Jullie zijn nu wel oud genoeg en jullie hebben genoeg bij mij geleerd. Bouw nu maar eens een huis voor jezelf. We zullen eens kijken wie dat het beste voor elkaar krijgt!’
Toen ging de oudste zoon naar zijn kamertje, nam potlood en paier en begon te tekenen. En hij rekende en rekende en maakte een plan hoe hij zijn huis zou bouwen. Maar nauwelijks had hij zijn plan klaar of het beviel hem toch niet helemaal. Hij scheurde zijn tekening doormidden en begon opnieuw. En zo maakte hij vele plannen. Geen enkele beviel hem. De dagen gingen voorbij en hij was nog niet met het werk begonnen.
De tweede zoon echter spande de paarden voor de wagen en hij haalde stukken rots en stenen met een ongebreidelde werlust. Hij stapelde ze op elkaar en het ging hem niet snel genoeg. Wat gaf het dat de muren wat scheef stonden en de ramen niet recht en het dak te spits werd. Hoofdzaak was toch, dat het werk klaar kwam.
De derde zoon ging ook aan het werk. Zijn huis moest er mooi uitzien zoals een mooi volgroeide boom. Aan weerszijden van de poort stonden zuilen, er lag een grote tuin voor de ingang, de kamers werden met mooie kleuren opgeluisterd, de ramen moesten hoog en licht zijn. Wat kon het hem schelen of de muren vast en stevig stonden. De hoofdzaak was toch dat ze er prachtig uitzagen met vrolijke kleuren. Hij maakte zich geen zorgen dat zijn huis niet op een stevig fundament stond. Als het er maar mooi uit zag.
Na een jaar ging de vader eens kijken wat zijn zonen zoal gebouwd hadden. ‘Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de oudste. Die haalde zijn papieren en liet  hem zien wat hij getekend had. ‘Dat is zeker allemaal heel mooi’, sprak de vader, ‘maar wat heb ik aan een huis dat ik niet bewonen kan en waarin ik niet naar binnen kan? Dat alleen maar op papier staat?! –
Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de tweede. Die bracht hem naar het voltooide bouwwerk. De muren stonden weliswaar stevig, maar scheef, de deur was te smal, de ramen niet recht, het dak hing er zwaar boven. ‘Het was beter geweest’, sprak de vader, ‘als je langzamer te werk zou zijn gegaan en met meer overleg. Je bent te roekeloos met je kracht. – Nu wil ik jouw huis nog zien’, sprak de vader tot de derde.
En nu liepen ze naar het huis van de derde zoon: de muren glommen je in het zonlicht tegemoet; de ramen waren helder en hoog, de tuin mooi en groot en de kamers vrolijk geschilderd. Toen sprak de vader: ‘Je huis is mooi, maar wie verzekert mij dat een windstoot de zwakke muren niet omverblaast, de ramen breken en het dak instort? Wat heb je aan schoonheid, wanneer het de storm niet doorstaan kan!’
Alle drie de zonen zagen dat geen van hun huizen het oordeel van hun vader kon doorstaan en zij keken elkaar aan en zeiden tegen elkaar: ‘Wat zijn wij een dwazen! Ieder van ons apart kan zo’n werk niet aan. Kom op, laten we het samen bouwen!’
En samen gingen ze aan het werk en bouwden een huis. De oudste rekende en tekende, de tweede haalde de stenen en bouwde het sterke fundament en stevige muren volgens het plan van zijn oudste broer en de de derde zorgde ervoor dat het allemaal mooi werd. En toen ze het werk klaar hadden, straalde dat de kracht uit van een in drieën verdeelde eensgezindheid.’

Zo beleefden de kinderen de kwaliteiten van de drie zielenkrachten denken, voelen en willen en tegelijkertijd deze drie-eenheid in zichzelf. Toen pas konden ze de driehoek als geometrisch beeld voor deze drie-eenheid begrijpen.

rekenen-14-2

En dat laten ons de Romeinse en het Arabische cijfer zien.

Nu konden we ook zonder meer een spreuk van Dr.Rudolf Steiner leren:

In het hart weeft het voelen.
In het hoofd straalt het denken
In de leden werkt het willen.
Wevend in ’t stralen,
werkend in ’t weven,
stralend in ’t werken:
dat is de mens. [1]

In den Herzen webet Fühlen,
In dem Haupte Ieuchtet Denken
In den Gliedem kraftet Wollen.
Webendes Leuchten,
Kraftendes Weben,
Leucbtendes Kraften —
das ist der Mensch!

Met de vier komen we bij de vormgevende krachten, want door de vier ontstaat de zichtbare schepping. Alles wat op aarde vorm en gestalte heeft, wordt door de vier, de kracht van de vier elementen gevormd. In het vuur, in het water, in de lucht en op de aarde worden deze 4 etherische vormkrachten zichtbaar. In deze krachten doen zich de vier elementairrijken gelden, waarvan Goethe zegt, wanneer hij Faust Mefisto door de volgende spreuk laat zweren:

Eerst, ter bezwering dier dieren,
Gebruik ‘k de spreuk van vieren:
Salamander moet gloeien,
Undine zich winden,
Sylphe verzwinden,
Kobold moet broeien.
Wie geen bekende is
met de bende,
Hunne kracht
En toovermacht,
Hoede zich ’t meeste
Voor alle geesten.
Ga vlammend henen,
Salamander!
Vloei gij ruischend ineenen,
Undine!
Moogt ge in meteoorlicht dienen,
Sylphide!
Wil ’t huis hulpe bieden,
Incubus! Incubus!
Kom te voorschijn en sluit de lus.
Geen één van dezen
Steekt in het wezen.
Het ligt heel rustig
en grijnst mij aan,
Ik heb het nog geen pijn gedaan.
Ik zal u keeren,
Sterker bezweren. [2]

En pas voor het symbool van het kruis wordt het ware wezen van Mefisto duidelijk.

Faust:
Erst zu begegnen dem Tiere,
brauch ich den Spruch der Viere:
Salamander soll glühen,
Undene sich winden,
Sylphe verschwinden,
Kobold sich mühen.
Wer sie nicht kennte
Die Elemente,
Ihre Kraft
Und Eigenschaft,
Wäre kein Meister
Über die Geister.
      Verschwind in Flammen,
Salamander!
Rauschend fließe zusammen,
Undene!
Leucht in Meteoren –Schöne,
Sylphe!
Bring häusliche Hülfe,
Incubus! Incubus!
Tritt hervor und mache den Schluß!
Keines der Viere
Steckt in dem Tiere.
Es liegt ganz ruhig und grinst mich an;
Ich hab ihm noch nicht weh getan.
Du sollst mich hören
Stärker beschwören.

Hier noemt Goethe de vier elementairwezens met name:

Salamander      –    vuur
Undine              –    water
Silfe                   –    lucht
kobold              –    aarde

Ook voor mijn kinderen waren deze elementairwezens niet vreemd meer. Uit de sprookjes wisten ze, dat zich in het water de nimfen, in de lucht de elfen, onder de aarde de dwergen en in het vuur de reuzen actief zijn.

Het geometrische beeld van de vier is het vierkant dat ons de vier elementairwezens toont in een gemeenschappelijke activiteit. Dit vierkant is tegelijk een beeld voor de vier natuurrijken: steen, plant, dier en mens, voor zover het over de zichtbare schepping gaat. Het is echter ook het beeld van het lagere mensenwezen dat zichtbaar is als fysiek lichaam, ether- en astraallijf en Ik-wezen. We kunnen echter ook de vier jaargetijden en vooral de vier windstreken betrekken op de vier elementenrijken. Vanuit het noorden werkt het licht; vanuit het zuiden het vuur, vanuit het oosten de aarde en vanuit het westen het water.

rekenen-14-3

 

Maar ook het fysieke lichaam van de mens staat onder invloed van deze elementaire wereld. En bijzonder intensief werken deze krachten aan de vorming van het fysieke lichaam, wanneer de mens nog klein en zwak is, wanneer hij nog niet voor zichzelf kan zorgen, wanneer het nog in de wieg ligt en hogere wezens, engelen en elementairwezens beschermend voor hem zorgen.

Toen vertelde ik de kinderen een klein verhaal waarin na elkaar de vier elementen bij de wieg van het koningskind kwamen: uit het noorden kwam de gele engel van het licht, vanuit het zuiden de rode engel van het vuur, vanuit het westen de blauwe engel van het water en van het oosten de violette engel van de aarde en zij brengen voor het koningskind hun geschenken mee.
De kinderen schilderden dit beeld en boetseerden het en uit de opstelling van de 4 engelen ontstond het vierkant. Tegelijk leerden de kinderen een spreuk die de kenmerken van deze 4 wezens samenvat:

in het vuur laait op,
in het licht leeft,
in het water beweegt,
in de stenen werkt
de eeuwige scheppingskracht van de Vader

Im Feuer loht,
Im Lichte lebt,
Im Wasser webt,
Im Steine schafft
des Vaters ewige Schöpferkraft!

Ze vonden het heel leuk hoe dan het beeld van het Arabische cijfer 4 uit de 4 elementen tevoorschijn kwam:

rekenen-14-4

 

 

 

In de vijf komt het leven zelf tot uiting, hier wordt het rijk van het organische zichtbaar. Het getal 5 is de verbinding van de tegenstellingen, van 2 ‘even’  en 3 ‘oneven’, het vrouwelijke en mannelijke principe, waaruit alleen het leven ontstaat. Daarom vinden we dit getal waar het eigenlijke leven tot uitdrukking komt; we vinden het in de plantenwereld, zeer zeker in het rijk van het organische. Overal waar vanuit het irrationele  vorm verschijnt. Het geometrische symbool is het gelijkzijdige pentagram dat in zijn vorm vijfmaal de gulden snede belichaamt. De gulden snede is nauw verwant met het getal √5. Slechts met behulp van de gulden snede kan weer een regelmatige vijfhoek in een cirkel en het pentagram geconstrueerd worden. We zien hier dus de onmiddellijke rekenkundige samenhang tussen het geometrische symbool, het pentagram en het cijfer 5. Vanuit het irrationele uit de gulden snede – ontstaat het heilige pentagram.
We vinden dus, zoals al gezegd, de gulden snede en het pentagram overal waar vanuit het irrationele de organische vorm opbloeit. We vinden de gulden snede uitgedrukt in het menselijke lichaam zelf, in de verhoudingen van de ledematen t.o.v. elkaar, bijv. in de verhouding van de borst tot een gestrekte arm; de voet is door de bal van de voet in een kleiner en groter deel gescheiden. We vinden hem bij de bladverdeling van de plant en de stengel. We vinden hem ook in kunstwerken die ontsproten zijn aan de menselijke geest. De volmaakste kunstvormen van de klassieke oudheid – de tempelbouw en de beelden – zijn geheel doordrongen van de beleving van de gulden snede. De scheppende hand van de kunstenaar volgt hier de organisch aangeboren oerkracht van de Logos.
Het pentagram zelf echter beheerst de plantenwereld. Je hoeft maar naar de vele vijfbladige bloemkronen en het vruchtbeginsel van appel en peer te kijken om te zien hoe prachtig daarin het gelijkzijdige pentagram, het nieuwe leven omvattend, gebouwd is. Iedere roos, iedere appelboom leert ons hetzelfde. Ook zij vertonen in hun bloem het gevormde pentagram. Vandaar dat de roos voor de Rozenkruisers een zo heilig symbool was. Voor de niet-ingewijde verhult zij dit diepe scheppingsgeheim, en maakt het gelijktijdig zichtbaar aan de ingewijde. – Maar ook het menselijk lichaam vertoont het pentagram: wanneer de mens loodrecht op twee voeten staat en naar boven kijkt, de geest als het hoogste beschouwend, de materie onder zich, staat en kijkt hij goed, d.w.z. hij leeft in overeenstemming met de wetten van de kosmos. Wanneer de punt naar beneden staat, staat de mens op zijn kop en neemt hij de materie als het hoogste goed; dan kijkt hij verkeerd.

De kinderen kan je op verschillende manieren met de vijf vertrouwd maken.
Ik vertelde hun o.a. het volgend kleine verhaal, dat ik hier in grote trekken weer zou willen geven:

‘Toen het koningskind zeven jaar oud was, liep het op een zomerdag met zijn moeder door de bloeiende tuin. De moeder bracht hem bij een bloeiende roos en liet hem de kelk zien. Toen zag het kind dat de bloemblaadjes op een heel wonderbaarlijke manier geordend waren. Toen zei de moeder tot het koningskind: ‘Ga eens met je beide voeten op de grond staan en strek je handen eens uit. Dan reik je je hoofd naar de lichte zon, met je handen zou je, wanneer je ze heel lang denkt, de sterren kunnen grijpen, met je voeten sta je zo stevig op de grond en verder naar beneden, tot in de diepte van de aarde. En kijk nu eens hoe je nu staat, dat ziet er zo uit!’ De moeder nam een stok en tekende in het zand het beeld van de mens en sprak:
‘Dit is het heilige pentagram. Je vindt het in de bloem van de roos en in je eigen lijf. Kijk er met eerbied naar, dan zal het al zijn geheimen aan je openbaren!’

We schilderden het koningskind, zoals het in de tuin staat en dan het pentagram:

rekenen-14-5

 

 

Het geometrische beeld van de zes  is het hexagram, de beide driehoeken die zich tegengesteld aan elkaar doordringen. Het hexagram geldt sinds onheugelijke tijden als het symbool van de macrokosmos: de fysieke wereld wordt doordrongen vanuit de geestelijke, dalend en stijgend gaan de hemelse krachten, zoals Goethe in zijn Faust dit onder het teken van de macrokosmos brengt:

Hoe alles toch te zamen streeft,
Het een in ’t ander schept en leeft,
Hoe hemelkrachten op en neder strijken,
Elkaar de gouden emmers reiken!
En met zegenrijke vlerken
Vanuit den hemel de aard bewerken, ‘
t Heelal tot één akkoord versterken!  [3]

Wie alles sich zum Ganzen webt,
Eins in dem andern wirkt und lebt!
Wie Himmelskräfte auf und nieder steigen
Und sich die goldnen Eimer reichen!
Mit segenduftenden Schwingen
Vom Himmel durch die Erde dringen,
Harmonisch all das All durchklingen!

In vergelijking met het pentagram heeft de zesster iets onveranderlijk-regelmatigs, je kunt hem makkelijk construeren, wanneer je de straal van de cirkel zes maal op de omtrek afzet. Dus is het niet verwonderlijk, wanneer we het hexagram in de natuur terugvinden als sneeuwster: water verdampt, stijgt op en valt uit de hemel weer op de aarde als kristalvorm, als eerste aanzet tot verstard leven. De vorm van de sneeuwster kan ons duidelijk maken, dat hemel en aarde elkaar doordringen en in deze doordringing verstard zijn.

Ook de Ster van Bethlehem is het hexagram, ook hij leert ons, dat in de geboorte van Christus hemel en aarde elkaar doordringen.
Zo heb ik dan ook de kinderen tot beleving gebracht de winter, van de beleving van de uit eeuwige hoogten neerdwarrelende sneeuwsterren, tot de beleving van de Ster van Bethlehem.
En tegelijkertijd konden we beleven dat het Arabische cijfer 6 ons hetzelfde kan leren.
Je kan de zes als een spiraal aan de kinderen geven die zich naarbinnen draait: ‘Blik in je!’ en dan weer naar buiten: ‘Kijk om je heen!’ Het fysieke beeld is het slakkenhuis en graag kruipen ze met de slak in het huisje en komen met de slak weer naar buiten:

rekenen-14-6

 

 

Is de 6 het teken van de macrokosmos en laat ze in haar geometrische vorm zien hoe hemel en aarde elkaar doordringen, zo staat de 7 in een bijzondere verhouding tot de mens. Je hoeft er alleen maar aan te denken, dat met 7 maanden het menselijk embryo levensvatbaar is, dat met iedere cyclus van 7 jaar ongeveer een nieuwe fase van ontwikkeling van de mens begint.
Maar ook de regenboog heeft 7 kleuren als teken van het verbond tussen god en de mens; de week heeft 7 dagen, er zijn 7 planeten, 7 vocalen begeleiden de planetenreeks.
Wanneer je een kind op een simpele manier op deze samenhangen wijst, voelt het de ongelooflijke belangrijkheid van het getal 7 voor de menselijke ontwikkeling
Hij weet al uit de sprookjes dat daarin het getal 7 een belangrijke rol speelt. Met deze eerbied voor het getal 7 zal het kind ook het oeroude geometrische symbool van de 7 bijzonder vinden, zoals dit in het bijzonder in de pythagoreïsche school werd geleerd. Dit symbool is het vierkant met daarboven de driehoek!
De goddelijke hogere drie-eenheid daalt af in de fysieke vierledige mens. Het kind zal dan later, wanneer het de 7 vragen van het Onzevader hoort, de diepe samenhang van dit gebed met het volledige menszijn inzien.

rekenen-14-7

En zoals het heilig licht zich zevenvoudig weerspeigelt in de heldere kleuren, zo zal eens, wanneer de mensheidsontwikkeling afgesloten is, de mens voor ons staan, zoals Christian Morgenstern het ons openbaart:

(ik wacht nog op de vertaling van dit stukje uit ‘Wir fanden ein Pfad’ uitgegeven bij Christofoor – ik heb het zelf niet)

Die Sonne will sich sieben Male spiegeln
in allen unsern sieben Leibesgliedern,
dass sie ihr siebenmal ihr Bild erwidern –
die sonne will uns siebenmal entsiegeln!

.

Dr.Franz Brumberg, Erziehungskunst jrg.4 nr. 1/2-1930

.

[1] In Rudolf Steiner: ‘Gedichtem spreuken, meditaties’ uitg. Christofoor
[2] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 1270-1295)
[3] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 448-453)

*Als we in de klas zeggen dat één het grootste getal is, is dat voor veel kinderen verwarrend. Eenheid kent dat bezwaar niet.
**ik heb hier vrij vertaald om een indruk te geven

Wanneer je de getallen verbindt met meetkundige figuren, kun je de 1e-klaskinderen wijzen op de 6e klas. Geef je in de 6e klas meetkunde en je hebt in de 1e deze figuren gebruikt, kun je ernaar terugwijzen.

1e klas – rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld 1e klas: alle beelden

 

1125

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Zwarte Piet krijgt de zwartepiet (30-3/2)

.

Toen ik nog een basisschoolleerling was – een lagereschoolkind zoals je toen heette – hadden wij een meisje in de klas dat stonk, dat zeiden wij.
Ze stonk naar vis. Zo simpel beleefden we dat.
Zij was de dochter van een vishandelaar die uiteraard vis verkocht en ook bakte.
Vis- en baklucht trekken – nog steeds – in je kleren en je haar. En in vergelijking met nu, waren er niet veel middelen om dat tegen te gaan. Ook de bouw van winkel en woonhuis waren zo, dat de visgeur overal steeds aanwezig was. Dus ook om en aan het dochtertje.
En ja, ze werd ermee gepest. Heel erg is dat natuurlijk. Ik weet niet of ik het ook deed, maar als het zo is: mijn welgemeende excuses!

Tegenstanders van Zwarte Piet brachten vorig jaar bij Pauw in dat hun kinderen – met donkerder huidskleur – gepest werden met Zwarte Piet. En dat hij dus diende te verdwijnen.

De kinderombudsvrouw had daar een aantal weken geleden ook wel oren naar: omdat er kinderen mee gepest worden, dient de aanleiding voor de pesterij te verdwijnen.

De aanleiding voor de pesterij was voor het dochtertje van de vishandelaar het beroep van haar vader en vooral de viswinkel. Zouden die er niet zijn geweest: ze was er niet mee gepest.

Zou de ombudsvrouw – na haar klachten te hebben aangehoord – nu ook van mening zijn dat haar vader maar een ander beroep moet kiezen annex de viswinkel opdoeken?

Wat een vreemde gedachtegang, terwijl het toch zo simpel is: de pester moet worden aangepakt!
In vrijwel alle gevallen wordt bij pesten ook daadwerkelijk de pester aangesproken, maar bij Zwarte Piet….????

Zoals vrijwel iedereen in de zwartepietendiscussie: ook de ombudsvrouw laat zich inpakken door het ‘racisme- en discriminatiespook’.

In deel 1 van ‘Zwarte Piet als zwartepiet’ wordt duidelijk gemaakt dat ‘Zwarte Piet = racisme’ historisch gezien niet opgaat.

Wanneer je de verschillende opvattingen, gezichtspunten, verwachtingen van allerlei (willekeurige) mensen bekijkt, is het opmerkelijk hoe als vaststaand feit o.a.’racisme’ en ‘slavernij’ onlosmakelijk met Zwarte Piet worden verbonden.

“Bij ons krijgen alle Pieten een ander kleurtje dan zwart”, zegt Miriam Heijster, directeur van de Kleine Reus, een witte school in Amsterdam. “We hebben het er hier op school over gehad, en de leerlingen uit groepen 7 en 8 maakten zelf al een koppeling tussen Zwarte Piet en de slavernij. Dat vond ik knap voor kinderen van twaalf jaar oud. En de conclusie was dat we ande­re mensen kwetsen met Zwarte Piet, dus waarom zouden we daarmee door­gaan?

De juf vindt het knap, maar ze lijkt niet erg op de hoogte van de slavernij die in verband wordt gebracht met Zwarte Piet. Ze trekt een conclusie op basis van een zwak, zo niet verkeerd uitgangspunt.

Het is ook niet zo eenvoudig en je zou – alvorens tot conclusies te komen die grote gevolgen kunnen hebben, je eerst eens grondig moeten verdiepen in hoe het dan in werkelijkheid is of was.

In Trouw van 20-96-2013 schreef historicus Piet Emmer een artikel n.a.v. de afschaffing van de slavernij – 150 jaar geleden.

SLAVERNIJ IS GEEN EXCUUS

Wie ‘slavernij’ wil aanvoeren als motief tegen Zwarte Piet, kan dat op feitelijke gronden – volgens dit artikel niet.

Op grond van die feiten zegt historicus Emmer:

Het herdenken van de afschaffing van de slavernij zien sommige Caribische Nederlanders niet alleen als een stap naar een rechtvaardiger samenleving, maar vooral als een gelegenheid om de rest van Nederland erop te wijzen dat de gevolgen van de slavernij nog steeds niet voorbij zijn. Wat er maar fout kan gaan, wordt aan dat slavernijverleden toegeschreven: racisme, discriminatie, tienerzwangerschappen, gebroken gezinnen, echtelijke ontrouw, criminaliteit, slechte schoolprestaties, hoge bloeddruk en nog veel meer. 

Hij toont aan dat er voor dergelijke argumentaties historisch gezien feitelijk geen basis is.
En dat het geen ‘mededogen meer zal opleveren, laat staan maatschappelijke of financiële credits.’

Dat laatste klopt niet, wanneer je naar de rpaktijk van alle dag kijkt. Er is heel veel mededogen – en dat is m.i. niet verkeerd. En er zijn – juist waar het om Zwarte Piet gaat – steeds meer ‘maatschappelijke credits’.
Het sinterklaasjournaal, gemeenten waar Sint zijn intocht houdt, supermarkten en vooral scholen waar traditiegetrouw Sinterklaas het meest aanwezig is: mededogen en credits veranderen het aanzien van Zwarte Piet, omdat slavernij en discriminatie steeds meer onlosmakelijk verbonden worden gedacht met Zwarte Piet: de zwartepietenlobby!

“Het moet een feest van iedere Nederlander kunnen zijn’, zei minister Asscher, erop doelend dat kenmerken van slavernij en discriminaite niet kunnen.

De discussie is er over het algemeen een van hoogoplopende gevoelens; gevoelens die er op grond van de historische feiten niet zouden moeten zijn. Maar dat is nu juist het kenmerk van gevoel: dat het zich in eerste instantie onttrekt aan de ratio en dat je met rationele gedachten geen contact krijgt met mensen die sterk in hun gevoelens leven, ook wat Zwarte Piet betreft.
Ook de voorstanders reageren vaak vanuit hun gevoel. En dus is er de patstelling.
En daaromheen worden oplossingen bedacht: jij houdt niet van geel? Ik niet van blauw! Dan doen we ze toch bij elkaar: allebei tevreden met groen!

Mijn Zwarte Piet heeft niets te maken met het verleden: slavernij en discriminatie. Mijn Zwarte Piet is niet alleen zwart omdat hij door de schoorsteen kruipt, maar juist omdat hij de ‘yang’ is; de tegenpool van ‘yin’. Samen een eenheid, een hogere werkelijkheid – een beeld daarvan. Sint is niet wit omdat hij een blanke is. Sint is de lichtkant, hij is de heilige. Piet is niet zwart omdat hij een neger is en dus dom. Hij is niet de heilige – zoals weinigen van ons – hij is vrolijk en guitig tegenover de ernst en waardigheid van de Sint – daarmee is Piet niet onwaardig. Ze vormen een eenheid, zoals het etmaal van dag en nacht.
Mijn Piet is geen regenboogpiet of oranje, omdat ons koningshuis dat is en de shirtjes van het Nederlands elftal; mijn Piet is niet rood of welke kleur dan ook, behalve gitzwart. Mijn Piet is geen ‘leut’, maar een te achten figuur in de twee-eenheid die hij met Sint vormt.
Mijn Piet is een symbolisch figuur. Die symboliek kun je niet vinden zonder een bepaalde spiritualiteit.
Bij supermarkten, gemeenten en journaals hoef je die in deze tijd niet te verwachten.
Op de scholen zie je die ook niet, wanneer je de verschillende opvattingen van de juffen en meesters leest.

Ja, dan blijven de vrijescholen over: die zouden nog een spirituele basis kunnen geven aan Zwarte Piet.

Maar of dat ervan komt? 

De ombudsvrouw wil graag reacties van de kinderen.
Deze vond ik op straat voor een basisschool:

Sint Nicolaas

 

 

30-1.Zwarte Pietdiscussie
Zwarte Piet is symbool; geen maatschappelijke realiteit

30-2 Zwarte Piet verbleekt

30-3/1 Zwarte Piet krijgt de zwartepiet

 

Sint-Nicolaas (en Zwarte Piet): alle artikelen

 

1124

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-3)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 19 t/m 20

Over het ontstaan van de rechte lijn

Na wat over de cirkel als oervorm is gezegd, zou het als een soort inbreuk beschouwd kunnen worden, wanneer je rechte lijnen in het cirkelveld zou willen tekenen.
Daarom zal er aan een paar oefeningen getoond worden, hoe er in een cirkelveld lijnen kunnen ontstaan en wel zo, als zogenaamde grensgevallen van cirkels. Hiervoor moet je het feit helder hebben dat een cirkelboog, d.w.z. een deelstuk van de cirkelomtrrek des te vlakker wordt, naarmate de doorsnede van de betreffende cirkel langer wordt. Stel je dan voor dat het middelpunt steeds verder in de verte verdwijnt. De doorsnede kan uiteindelijk zo lang worden dat voor het oog en zelfs bij meting het boogstuk geen duidelijke afwijking meer vertoont t.o.v. een rechte lijn.  Zolang echter de doorsnede – ook al is deze nog zo groot – een meetbare grootte heeft, dus mathematisch gesproken: meetbaar _ eindig, zolang is een boog van zo’n cirkel, mathematisch gezien, nog geen rechte lijn. Dat wordt deze pas op het ogenblik dat het middelpunt in het ‘oneindige’ verdwijnt en de doorsnede dus geen begrensde lengte meer heeft, maar een die boven al het meten en voorstellen uitgaat, dus ‘oneindig’. Je kunt een rechte lijn dus opvatten als een boogstuk van een cirkel, waarvan het middelpunt in het oneidige licht.

Maar een rechte lijn kan ook ontstaan als een rij punten die bij een bepaalde plaats horen, de zgn. ‘geometrische plaats’:

meetkunde-52

 

Om twee willekeurige punten als middelpunt trek je cirkels en wel met zo dat iedere twee dezelfde straal hebben. Iedere twee van die even grote cirkels snijden elkaar in twee snijpunten en al deze snijpunten liggen op een rechte lijn.

meetkunde-53

Hier zijn twee willekeurige punten genomen als middelpunt waaromheen twee cirkels zijn getrokken. Door hun snijpunten is – zoals hierboven – een rechte ontstaan (met puntjes getekend) Door de middelpunten die we net genomen hebben, kun je cirkelbundels trekken; de middelpunten van de cirkels liggen op de rechte met de puntjes. Hoe verder die middelpunten in beide richtingen uit elkaar gaan, des te vlakker worden de boogstukken tussen de beide punten. Wanneer de middelpunten aan beide kanten in het oneindige verdwijnen, dan worden de boogstukken tussen de beide punten rechte lijnen, die op elkaar liggen, een dubbele rechte vormen; want door beide punten kun je nu maar een rechte lijn trekken. (Dit behoort tot de grondbeginselen, de zgn. axioma’s van de geometrie, die ogenschijnlijk hun geldigheid vertonen en geen bewijs nodig hebben).

In de tekening is zo gewerkt dat van de ‘bloem’ de middencirkel en de drie onderste getekend zijn. (De eerste is wat benadrukt). Zo ontstaat een groot blad, waardoorheen de rechte met de punten vastgelegd is en een kleine waarbij de dubbele rechte door hun toppunten loopt*. (De bedoeling van dit boek is dat de vriend van de meetkunde zich niet tevreden stelt alleen naar de tekeningen te kijken, maar deze vaak en vanuit verschillende standpunten zelf uitvoert)

Wanneer je de bladeren met als vouwlijn de lijn met de puntjes omgevouwen denkt, dan zullen alle lijnen boven precies op dezelfde lijnen onder komen te liggen. Zo’n rechte lijn heet een symmetrie-as. Wanneer je goed kijkt zul je moeten bevestigen dat ook de dikke lijn door de twee punten een symmetrie-as is. Uit deze dubbele symmetrie wordt duidelijk dat alle vier hoeken die rond het snijpunt van deze beide rechte lijnen liggen, even groot moeten zijn; dan moeten het rechte hoeken zijn. Je komt weer bij het feit dat een klein blad loodrecht op daarbij behorende grote blad zal staan.

* van de onderste cirkels is dit toppunt beneden

.

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1123

 

 

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (9)

.
Onderstaand artikel is een van de eerste na Rudolf Steiners dood in 1925 dat een leerkracht aan de vrijeschool te Stuttgart schreef over het rekenonderwijs in de 1e klas.
Hoewel het dus een kleine 90 jaar! oud is, had het ook vandaag geschreven kunnen zijn, want aan inhoud heeft het nauwelijks iets ingeboet.

Voor de leesbaarheid heb ik hier en daar een kopje aangebracht en het voorzien van noten en een enkele persoonlijke opmerking.

het eerste rekenen

Voor Dr. Rudolf Steiner was het opvoedingsvraagstuk allereerst een leerkrachtenvraagstuk. Voorwaarde voor een adequate opvoeding van de leerlingen was voor hem de zelfopvoeding van de leraar wat betrreft het vermogen om fantasievol te zijn, waarachtig te zijn en moreel verantwoordelijk. In een onderwijs waarin deze geestelijke aspecten aanwezig zijn, zullen die krachten waarover de leraar dan beschikt ook aan de leerlingen worden doorgegeven wat betreft behoefte aan fantasie, waarheidszin en verantwoordelijkheidsgevoel.
Dat geldt voor het onderwijs in het algemeen als ook voor ieder vak.
Omdat de lesstof door de persoonlijkheid van de leraar in wie deze stemming leeft aan de kinderen wordt overgebracht, bereiken deze krachten onwillekeurig ook de ziel van de kinderen en wel door de bepaalde kleuring die de leerkracht eraan geeft, zoals het licht van de zon wanneer dat door een prisma schijnt.
En nog meer worden in de kinderen deze zielenkrachten versterkt, wanneer de leerkracht in ieder vak bewust bezig is deze te verzorgen. Zelfs in het rekenen, dat toch met de abstracte, nuchtere getallen van doen heeft, waar de kinderziel niet zo snel een verbinding mee heeft, krijgt de interesse een hoge morele betekenis wanneer de leerkracht zich van deze eisen rekenschap geeft. Voor het rekenonderwijs zal dit in het volgende stukje worden getoond.

In zijn boek ‘Het rekenen in het licht van de antroposofie’ [1] maakt Ernst Bindel, die hier op een zeer verdienstelijke manier de aanwijzingen en opdrachten van Rudolf Steiner op het gebied van rekenen en van de getallen verwerkt heeft, er op attent, dat, gekeken naar de pedagogische vorming van de aparte lesstof,  wat het rekenen betreft, zeer veel wordt overgelaten aan de initiatieven van de leerkracht en wat deze zoal aan fantasievolle vondsten doet. Hoe meer hij zijn fanatasie ontwikkeld heeft, des te beter zal hij erin slagen, de behoefte aan fantasie van de kinderen te bevredigen.

Bijna vanzelf kan een onderwijs dat daar rekening mee houdt, de kleintjes via omwegen bij het rekenen brengen. Je knoopt aan bij het beleven van het eigen lijf, wanneer je ze de tien laat beleven aan hun vingers, d.w.z. wanneer ze in het begin met behulp van hun tien vingers binnen deze kleine getalsruimte, mogen rekenen. Weldra kun je tot de twaalf overgaan, die nu eenmaal meer mogelijkheden kent dan de tien. En aangezien ook de twintig met behulp van de tenen – vooral wanneer in de zomer de kinderen blote voeten hebben – aan het eigen lichaam ervaren kan worden, is het heel vanzelfsprekend de eerste tijd tussen de 1 en de 20 te blijven, maar wel met alle rekenoperaties, tot de kinderen zich daarin vrij kunnen bewegen.

Steeds heb ik in het begin iets gezocht wat dicht bij de kinderen staat. Na de vingers ben ik al gauw overgegaan tot andere dingen, knikkers [2], hazelnoten enz., dingen die verdeeld kunnen worden. Op een keer – het was in de kersentijd [3] – kon ik meemaken hoe heerlijk ze het vonden met deze gewaardeerde vruchten te rekenen.

‘Voor ieder van jullie,’ zei ik, ‘heb ik vanmorgen een kers meegebracht. Laten we eerst maar eens kijken of er genoeg in dit mandje zitten, zodat ieder van jullie er een kan krijgen.’
Een kind mocht nu de kinderen tellen, een ander het aantal kersen. Ze telden allebei tot 36. Omdat door de opstelling in mijn klas er drie gelijke groepen van elk twaalf kinderen waren, was het voor hen heel aanschouweliljk dat die 36 te verdelen kersen, net zoals de 36 kinderen in drie maal twaalf konden. Hun tot zover duidelijke oplettendheid werd met een kers beloond. Nadat de kinderen door deze verdeling hadden begrepen, dat je van 36 kersen drie hoopjes van elk twaalf  kan maken, dat dus in de 36 het getal 12 precies driemaal zit, kon ik hen ook laten zien, dat er ook andere verdelingen mogelijk zijn. Daarvoor had ik geen kersen meer nodig. Ik kon ertoe overgaan kleurige sterretjes op het bord te tekenen, in rijen verdeeld en met kleur zodat door de kleur de gelijke groepjes zichtbaar werden.
Bij 36 sterretjes kwam er een rij van 18 witte en 18 rode; daaronder een tweede rij van 12 witte, 12 rode en 12 gele; daaronder 9 witte, 9 rode, 9 gele, 9 groene; daaronder 6 witte, 6 rode, 6 gele, 6 groene, 6 violette, 6 blauwe. De groepjes werden steeds kleiner. Bij 9  x  4  groepjes kregen we negen verschillende kleuren, bij de 18  x  2  groepjes eigenlijk 18 kleuren, maar we behielpen ons zo, dat we steeds 2 witte en 2 rode sterretjes afwisselden.

Om nog op een andere manier de fantasie aan te spreken, zette ik binnen een grote cirkel, rond een als zon gedacht middelpunt, 36 sterretjes, zodanig dat deze drie concentrische cirkels vormden, waarvan de kleinste er 8, de middelste er 12, en de grootste er 16 hadden en iedere cirkel een andere kleur. Zo konden de kinderen ervaren dat 16  +  12  +  8  eveneens 36 zijn. Door andere tekeningen bleek dan dat 36 ook uiteengelegd kan worden in 6  +  13  +  17 of  7  +  11  +  18  of in  6  +  8  +  10  +  12.
De kinderen tekenen ook dergelijke figuren met kleurpotloden op het papier. Ze vinden het heel plezierig dat ze niet alleen kunnen tekenen als het om het tekenen gaat, maar ook bij het rekenen. De kleurige beelden die daarbij ontstaan, bijv. door het kunstzinnig ordenen van sterretjes, bloempjes, kaarsjes enz. zijn een grote hulp om het begrip van kinderen voor het rekenen te ontwikkelen.

Om bijv. te laten zien, dat 20 = 2  x  10,  4  x  5,  5  x  4  of  10  x  2  is, tekende ik 20 kaarsjes, dus gele streepjes met een rood vlammetje, naast elkaar op het bord. Met andere kleuren markeerde ik de verdelingen die we noemden en tekende ik de daarbij horende verbindingsboogjes, dus 2 violette vanuit het midden, 4 blauwe, 5 rode, 10 groene. Zo ontstond er een vrolijk, bont gekleurd beeld. Op soortelijke manier kon ik in beeld laten zien, dat 30 =  2  x  15,  5  x  6  en  15  x 2. Je kunt de voorbeelden naar believen uitbreiden en tekenend variëren.

VANUIT HET GEHEEL NAAR DE DELEN
Als een belangrijk pedagogisch aspect leerde Rudolf Steiner ons, het optellen in het begin zo te oefenen dat daarbij van de som (de totaliteit) wordt uitgegaan die dan in verschillende gelijke of ongelijke delen wordt verdeeld. Dus niet van de optelgetallen gaan we uit, maar van de som als geheel; niet  5  +  5, dat altijd 10 blijft, maar 10 =  3  +  7;  4  +  6  enz. Dat is voor de fantasie van de kinderen stimulerender. Het blijft in zijn denken beweeglijker, omdat het een rijkdom aan mogelijkheden tot zijn beschikking heeft, waaruit het vrij kan kiezen.

moraliteit
Maar het heeft ook een morele betekenis, eerst het optellen op deze manier te leren. Het is niet zonder betekenis wanneer we het kind leren waarde op waarde te stapelen, waarbij het zich kan indenken: zoveel, ik zou nog meer willen hebben – of wanneer we het een totaliteit, een optelsom van dingen geven die het onder zijn vrienjes kan verdelen. In het eerste geval voed je op tot hebzucht, in het tweede tot vrijgevigheid. Wanneer de kinderen als ze op deze manier leren optellen, ook meteen een gevoel voor delen krijgen, is dat natuurlijk helemaal niet erg. Dr. Steiner wilde dat alle vier de rekenbewerkingen tegelijkertijd aan de orde zouden komen en bijna tegelijkertijd zouden worden geoefend. Dit is economischer dan wanneer je te lang bij de aparte rekenoperaties blijft hangen.

Een vertrouwde verhouding tot de getallen krijgen de kinderen, wanneer je ze vaak hardop laat tellen en daarbij ritmisch in de handen laat klappen of met de voeten laat stampen, bijv. 1,2;  1,2;   1,2,3;  1,2,3;  1,2,3,4; 1,2,3,4;  1,2,3,4,5 enz. of 1,2,3,4,5,6;7,8,enz. of in een ander ritme.

Het kind moet goed kunnen tellen voor het leert rekenen.

Ook de tafels moet je voor de verzorging van het geheugen al snel aanleren en ritmisch in koor [4] laten spreken. Bij zulke oefeningen, net zoals bij het hoofdrekenen, moeten de kinderen levendig kunnen zijn; want de hele mens komt daardoor in een vreugdevolle activiteit.
Alleen moeten ze weten, wanneer het weer ‘mondje dicht’ is, wanneer je niets wordt gevraagd. Bij het doornemen van de tafels, liet ik de kinderen er telkens over nadenken, van welke dingen er in de wereld maar 1 is, van welke een 2-tal; waar je 3-tallen of 4-tallen ziet.
Daardoor krijgen de kinderen tot ieder getal een bepaalde verhouding, dat ze bijv. bij de 3, het eigen lijf kunnen ervaren aan hoofd, romp en ledematen; bij de 4 aan de 4 hemelsrichtingen en de jaargetijden, bij de 5 aan de vingers van de hand, aan de klinkers in onze taal, aan de bloemblaadjes van de roos; bij de 6 aan de poten van de insecten; bij de 7 aan de dagen van de week en aan de kleuren van de regenboog, om er maar een paar te noemen. Bovendien liet ik ze bij een paar tafels een kleurige tekening maken, in een bepaalde vorm die door het getal werd bepaald, waarin bijv. de 3, de 4, de 5 steeds terugkeerden, zoals bijv, in driehoeken, vierkanten of een vijfster, omrand door een vijfhoek of een cirkel, met verschillende kleuren. Bij één keer 7 tekende ik voor hen een 7-armige kandelaar op het bord, die ze mochten natekenen. Ook één maal 12 leerden ze nog in de 1e klas en tekenden daarbij een klok waarvan de grote wijzer, zoals bekend, 12 keer vaker en 12 keer zo snel gaat dan de kleine. Over het algemeen vermijden we dat de kinderen natekenen, we sporen ze aan hun fantasie voor eigen vormen te gebruiken.

Een prachtig voorbeeld van de manier waarop Dr.Steiner zelf een levendige rekenles wist te geven, heeft Bettina Mellinger voor ons opgetekend in het mooie verzamelwerk ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool’, uitgegeven door Caroline von Heydebrand. [5]
“Dr.Steiner ging eens bij een bezoek aan de virjeschool de eerste klas binnen, waar juist een tafel werd geoefend met allerlei sprookjesmotieven. Zoals dat in zijn aard lag, begon hij zelf les te geven en sprak tot de blij luisterende kinderen: ‘Denk er eens aan, we leven nu toch in de zomer en buiten bloeien de rozen; wat zou het heerlijk zijn, wanneer er nu iemand binnenkwam en ons een mand met rozen bracht. En dan moeten jullie er allemaal evenveel krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie.’ Daarbij ging hij naar een klein meisje met dromerige ogen. ‘Maar’, zo klonk het, ‘je moet echt wel handig zijn om ze op te vangen en dadelijk zullen we zien hoeveel rozen er in de mand zaten.’ Zo kreeg nummer twee zijn drie rozen en die riep ‘zes’, dan de derde die ‘negen’ riep – en het ging steeds sneller 12, 15, 18, 21, 24, 27 tot bij 30 [6] het mandje leeg was. Nu was er gejuich, maar ook protest, want de andere 20 wilden ook rozen krijgen en dus moest alles weer snel herhaald worden en toen iedereen zijn drie rozen had, was de tafel van drie op de meest levende manier vol frisheid geoefend. En het was door het hele lijf gegaan, want de kleine handjes en voetjes waren bij het opvangen van de rozen minstens net zo in beweging gekomen als het hoofd. Mooi daarbij was het ritme in de beweging bij het gooien en opvangen, die tegelijk een verbinding betekende tussen de onderwijzer en het kind.”

Zoals iedere leerkracht in het eerste rekenuur uitgaat van een getal dat hem goeddunkt, zullen ook de tekeningen die hij laat maken, de verhaaltjes waarmee hij dikwijls de opgaven inleidt, de voorbeelden die hij kiest, heel individueel door hem gevonden worden. Door alle levensgebieden kunnen we ons laten inspireren, bij alles kun je wel iets rekenachtigs aanknopen. Het getal beheerst ruimte en tijd. De sterren aan de hemel, de bloemen op de wei, de vruchtbomen in de tuin zijn voor de kinderen even welkom als rekenobject als de dagen van het jaar, van de maand, van de week en de uren en minuten van de dag.

optellen        geheel naar delen
Hoe je morele impulsen met het rekenen kan verbinden, werd al getoond, toen er werd gezegd waarom Dr.Steiner bij het aanleren van het optellen van de som uit liet gaan. Hij wilde dat het uitdelen, het weggeven van een hoeveelheid eerst aan de kinderen zou worden geleerd; de impuls van liefde moet daardoor sterker worden. Maar ook vanuit andere wel overwogen motieven wordt door Dr.Steiner deze weg van het geheel naar de delen gekozen. Niet de weg van de optellers naar de som, maar omgekeerd, doceerde hij, is in overeenstemming met de menselijke natuur als gegeven. In de organische stoffelijkheid is het geheel meteen al het primaire. Uit het geheel van de cel ontstaan de tweedeling, de vele delingen. En ook de mens, wanneer deze geleidelijk tot bewustzijn komt, of dat nu uit de slaperige tijd van de eerste kindertijd is of uit de slaap van de voorbije nacht, iedere morgen, eerst neemt hij het geheel waar, dat zich langzaam laat onderscheiden in de delen; niet stelt hij vanuit kleine deeltjes de totaliteit samen.
In de moderne tijd hebben de mensen het tot gewoonte gemaakt te denken dat het hele wereldal uit de kleinste deeltjes is samengesteld. Dr.Steiner wijst ons erop dat uit zo’n foute manier van denken de atomistische theorieën in de natuurkunde zijn ontstaan en dat dit denken berust op fouten in de opvoeding. Een van die fouten zullen we vermijden, wanneer we de kinderen het optellen leren, uitgaande van het geheel, vóór we ze op de gebruikelijke manier losse getallen bij elkaar laten optellen. Een waarneming die levensecht is laat zien, dat de weg van het geheel naar de delen de natuurlijke is.
Dr.Steiner geeft daarvoor in een in Engeland (Torquay) gehouden voordracht [7] op 16 augustus 1924 voor leraren de volgende voorbeelden: ‘Dat moet  in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz  appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel.

waarheid
Toen Dr.Steiner ons leerde in het rekenonderwijs van dit geheel uit te gaan, het in delen uit elkaar te leggen en dan te onderzoeken of de som van de losse delen weer het geheel vormt, stimuleerde hij ons de zin voor waarheid, het denken in overeenstemming met de realiteit bij de kinderen te ontwikkelen.
Hoe je met deze manier van rekenen volgens de opvatting van Dr.Steiner de Ik-ontwikkeling versterkt en vandaar bijzonder gunstig op de flegmatici werkt waarbij hun zwakkere Ik versterkt wordt, kan je nalezen in het genoemde boek van Ernst Bindel in het 7e hoofdstuk dat over de vier rekenbewerkingen en de vier temperamenten gaat.[8]

aftrekken
Ook bij het aftrekken kan deze methode dienovereenkomstig worden toegepast, als je niet, zoals gewoonlijk gebeurt, van het aftrektal en de aftrekker uitgaat, maar van de rest, het verschil. Je neemt van een hoopje papiersnippers* waarvan je tegen de kinderen zegt: ‘Het zijn er 18, een hoopje weg. Je ziet: het hoopje is kleiner geworden; er is een nieuw hoopje bij gekomen. Wat van het eerste hoopje over is gebleven, noemen we de rest, 11. Van dit feit, dus van de rest, 11 gaan we uit en onderzoeken nu met hoeveel het hoopje kleiner is geworden. We constateren: dat is 7, dus net als het nieuwe hoopje, kleiner geworden; want we hadden er 18 en heben er nu nog 11. Er wordt dus niet vastgesteld wat er over blijft, maar hoeveel er verdwenen zijn, bijv. wanneer het om munten zou gaan, hoeveel je er onderweg door omstandigheden bent kwijt geraakt of hebt uitgegeven. Zo is het toch ook in het dagelijks leven: Je weet wat je had en wat er over is en je stelt vast wat er weg is. De kinderen worden dus aangespoord vast te stellen hoeveel er van een aantal moet worden afgenomen om een bepaalde rest over te houden of hoeveel er van een bepaalde hoeveelheid verdwenen is, een proces waar de melancholicus graag lang bij stilstaat. Dr. Steiner wilde ook graag een moreel neveneffect sorteren door de kinderen vol vertrouwen van de leerkracht te laten horen: dit hoopje is 18, deze rest noem ik 11. Hij benadrukte dat daardoor tegelijkertijd het autoriteitsgevoel onwillekeurig verzorgd wordt, wat volgens zijn pedagogiek tussen de tandenwisseling en het veertiende jaar beslist nodig is, zonder dat kunstmatig een autoriteitsgevoel afgedwongen mag worden.
Wanneer je deze manier van optellen en aftrekken, dat van de realiteit uitgaat, een tijdje geoefend en daarmee de vormkrachten van de kinderen levensecht gestimuleerd hebt, dan geeft het niets wanneer ze daarna ook de meer abstracte manier van het gewone optellen en aftrekken leren kennen.

vermenigvuldigen
Bij het vermenigvuldigen moet je in het begin ook niet meteen van de beide factoren uitgaan, maar van het product en het vermenigvuldigtal. En je vraagt naar de vermenigvuldiger. Dus je vraagt niet: hoeveel zijn 5 x 6 appels, maar je zegt: ‘Ik heb in een mandje 30 appels. Hoe vaak kan ik er 6 tegelijk uit nemen?’ Of je gaat uit van het product en de vermenigvuldiger en zoekt dan het vermenigvuldigtal, – dan vraag je: ‘Wanneer ik uit een klas waarin 30 kinderen zitten, 5 keer het gelijke aantal wil roepen, hoeveel moet ik er dan elke keer roepen?’ Deze manier van vermenigvuldigen spreekt vooral het sanguinische temperament aan. Een ritmisch pulseren, een ritmisch springen van getallen is het gevolg, wanneer het steeds wordt geoefend, bijv. 2 =  1  x  2;  4 =  2  x  2; 6  =  3  x  2 enz.

delen
Ten slotte wordt ook bij het delen rekening gehouden met het reële leven. Je vraagt naar wat moet worden gedaan, wanneer bijv. 12 appels onder verschillende kinderen verdeeld moeten worden. De deler wordt gezocht – hij die iets doet. ‘Wat moet je doen om de 12 appels zo te verdelen, dat meerdere kinderen 4 appels krijgen? Het quotiënt is bekend, gezocht wordt de deler, d.w.z. in dit geval het aantal kinderen. Je kunt ook naar het deeltal vragen: ‘Van hoeveel appels kunnen 3 kinderen elk 4 appels krijgen?’ Dus de vraag naar het quotiënt wordt in het begin vermeden. De gedachtesprongen die bij deze vragen nodig zijn om van kind naar kind ieder zijn deel te geven, zijn in het bijzonder voor het cholerische temperament geschikt.
Het kan voorkomen dat het bezigzijn met de temperamenten van de afzonderlijke kinderen de leerkracht ertoe brengt bepaalde vragen in wezen aan bepaalde temperamenten te stellen, niet expres, maar vanuit een onwillekeurige aanpak op grond van een aan het leven geleerde en daarom zinvolle kennis. Op de antroposofische basale gezichtspunten de rekenoperaties in samenhang te zien met de temperamenten, zal hier niet nader worden ingegaan.Het boek van Ernst Bindel bericht daarover. Hier wordt alleen maar een oproep gedaan ook wanneer je rekent, je bezig te houden met het wezen van het kind.
Het komt er in ieder geval zeer op neer de eerste vragen in de rekenlessen zo te stellen, dat de kinderen de praktische waarde ervan duidelijk zien, dat ze met spanning en interesse meedoen en niet door abstracte vragen zich gaan vervelen en ze de zin in rekenen, die bij ieder kind in het begin zeker aanwezig is, snel verliezen. Hier houdt de methode die hier gebruikt wordt rekening mee. Hoe meer het kind zo aangespoord wordt langs de weg van het rekenen de waarheid te ontdekken van hoe getallen zich verhouden, precies na te gaan hoeveel er bijv. van een totaal mag worden uitgegeven, opdat er een bepaalde rest overblijft of over hoeveel kinderen je een hoeveelheid dingen kan verdelen wanneer ieder kind een bepaalde hoeveelheid dient te krijgen, des te meer zal ook de zin voor realiteit in het leven, waarheidszin in het kind wakker worden. In het bijzonder zal je er in het verdere verloop van het lesgeven op letten, dat er alleen maar levensechte voorbeelden gekozen worden die daadwerkelijk in het leven voorkomen. Daar hechtte Dr.Steiner grote waarde aan.

verantwoordelijkheid
Zoals nu de leerkracht door het rekenen de pedagogische basiseisen van fantasie kunnen hebben en van gevoel voor waarheid, eisen die hij zichzelf  moet stellen, op deze manier aan zijn leerlingen doorgeeft, zal hij ook de derde basiseis ‘morele verantwoordelijkheid’ door zijn lessen aan de kinderen overdragen.
Juist het rekenen, wanneer het niet in dienst staat van egoïsme, kan het verantwoordelijkheidsgevoel bij kinderen buitengewoon versterken. Aan de andere kant bestaat bij het rekenen wel het bijzondere gevaar dat kinderen egoïstisch worden. Er moet dus bewust aan gewerkt worden, dat onderwijs in rekenen kinderen niet ‘berekenend’ laat worden in de negatieve betekenis, maar dat veel eerder van begin af aan het nieuw verworven vermogen in dienst van het goede wordt gesteld.
Toen Dr.Steiner eens zei: ‘We moeten zielekrachten leren met het rekenen’, dan hoort daar in het bijzonder de morele verantwoordelijkheid bij. Karaktereigenschappen waarop je deze uitdrukking ‘morele verantwoordelijkheid’ terug kan voeren, zal niemand kunnen ontwikkelen die niet van goede wil is. Een pedagogische hoofdtaak van het rekenonderwijs zal dus zijn, de goede wil in de kinderen sterker te maken. Nu heeft Dr.Steiner laten zien, hoe de wil in het kind versterkt kan worden door een kunstzinnig gevormd onderwijs. En voor het rekenen gaf hij aan hoe dat samen met ritmische bewegingskunst, in het bijzonder met behulp van de euritmie, een sterker wordende wil ontwikkelt. Dus mag je de kinderlijke zin in bewegen niet buiten beschouwing laten, wanneer je met het rekenen een stimuleren van de wil nastreeft.
Je kunt in het rekenen zwakbegaafde kinderen helpen, wanneer je ritmisch uitgevoerd de ledematen krachtige bewegingen laat maken op de getallen, bijv. 7 passen naar voren, 4 terug, enz. Deze wilskrachten nu op het goede te richten, dat zal de leerkracht proberen met opdrachten met een inhoud die morele impulsen over kan brengen. Juist in het onderwijs in het eerste schooljaar zal het gemakkelijk zijn een sociaal element, de gedachte van de schenkende deugd, in de mondelinge en schriftelijke opdrachten te laten overheersen. Een rekenvoorbeeld zal niet aan waarde verliezen, maar juist winnen, wanneer het tegelijkertijd een voorbeeld van het goede is. Onze voorbeelden moeten wel uit het praktische leven komen. Wanneer daarin veelvuldig personen handelen – oude en jonge – laten die dan voorbeeldig handelen. Ook op dit terrein krijgt het fantasievermogen van de leerkracht de mooiste gelegenheden, actief te zijn.
Zou het niet op de jaloezie werken, wanneer de leerlingen de inhoud van een spaarpot, d.w.z. de waarde van de gespaarde munten, de 50-, 20-, 10-, 5-, 2-, en 1-centstukken moeten uitrekenen en daarbij horen dat dit geld door een jongen werd gespaard om met kerst kinderen iets te geven die anders niets hadden ontvangen? Wordt dat geen aanleiding om zelf zo te handelen, wanneer er verder wordt uitgerekend wat deze jongen wel niet allemaal had kunnen kopen van dit bedrag en hoeveel kinderen er nu blij van worden? Het is wel belangrijk dat de kinderen het gebruik van geld door het rekenen zo leren kennen, dat het gebruikt kan worden om te helpen.
Iedere rekenoperatie biedt de mogelijkheid er een gevoel voor te wekken dat je voor een goed gebruik van jouw geld verantwoordelijk bent en dat je ook voor het welzijn van de medemens verantwoordelijkheid draagt, wanneer het in je vermogen ligt dat te vergroten of te verkleinen.
Zo zou bijv. het rekenonderwijs in de kinderen het inzicht kunnen wekken dat je door ergens vanaf te zien, door een offer, de mogelijkheid kan scheppen tot iets goeds. Je kunt laten uitrekenen hoeveel geld er per week nodig is voor het dagelijks brood in een gezin. Je vergelijkt dat dagelijkse broodgeld met het bedrag dat moeder nodig heeft voor bijv. op zondag een lekkere taart en je laat dan uitrekenen hoe duur het zou zijn, wanneer je elke dag taart zou willen eten. Je zou een moeder kunnen laten vertellen dat ze het eten van taart op door-de-weekse dagen helemaal achterwege liet en het daarmee uitgespaarde geld schonk aan een collecte voor mensen in nood. Het bedrag dat per maand nodig is, kan door de kinderen uitgerekend worden. Van tijd tot tijd zal er ook wel een aanleiding vanuit de klas zijn de kinderen erop te wijzen dat zij voor de dingen die hun zijn toevertrouwd in de klas, de tafeltjes, de muurversiering, de ruiten verantwoordelijk zijn. Heeft een kind schade veroorzaakt, dan is het voor een klas interessant om bij zo’n gelegenheid uit te rekenen hoeveel tijd en geld het kost om de schade weer te herstellen.
Zoals bekend wilde Dr.Steiner dat de kinderen zelf – naar vermogen – de dingen die ze kapot hebben gemaakt, weer repareren, eventueel naar de vakman te kijken en deze te helpen. In een enkel geval zou kunnen worden uitgerekend hoeveel de klas samen moet opbrengen om de betreffende klasgenoot te helpen de aangerichte schade weer goed te maken.
Wanneer er in de rekenopgaven vaak over dergelijke verantwoordelijkheden als een vanzelfsprekenheid wordt gepraat, dan wordt het verantwoordelijkheidsgevoel bij de kinderen tot een tweede natuur.

Wanneer we op deze manier proberen de grote pedagogische basiseisen die Dr.Steiner voorstond ook in het rekenonderwijs tot zijn recht te laten komen, dan zal het onderwijs niet alleen voor de kinderen stimulerend zijn en morele vruchten afwerpen, het zal ons ook op een heel andere manier tevreden stellen, dan wanneer we ons zouden moeten beperken tot het ontwikkelen van de louter intellectuele, geautomatiseerde activiteit bij de kinderen.
Een leerkracht die zich elke dag weer opnieuw inzet om alles wat aan de kinderen als leerstof geboden wordt, te voeden vanuit zijn ziel en geest, zal erin slagen ook uit de nuchtere materie van de getallen en berekeningen de esprit tevoorschijn te toveren en daardoor waarachtig opvoedend en vormend in dit onderwijs te werken.
.

Johannes Geyer, Zur Pädagogik Rudolf Steiners, 1e jrg. 5/6/ nr.4 1928
.

[1] Nu uitgegeven met de titel ‘Das Rechnen, Mellinger Verlag
[2] Rudolf Steiner heeft het in GA 295 over vlierbessen, maar ik zou erg oppassen met dingen die van de bank kunnen rollen of met ‘bes of kers’ die stuk kunnen gaan, met alle gevolgen van dien. Papiersnippers waaien bij de geringste beweging van het tafeltje.
[3] Het nieuwe schooljaar begon toen nog na Pasen – een paar maanden later zijn de kersen rijp.
[4] Over het spreken in koor
[
5] Bij Mellinger Verlag verscheen in 1926/27 een van de eerste uitgaven onder de titel ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool‘ 2 toespraken
Van die uitgave heb ik niets teruggevonden.
Wel verscheen in de GA onder nr. 298 . ‘Rudolf Steiner in der Waldorfschule’, maar daarin staat de bedoelde rekenles (volgens mij) niet.
[6] interessant voor het kleine vraagstuk of je de tafel tot 10 x moet aanleren, of tot 12 x…….
[7] GA 311/78
Vertaald
[
8] Op deze blog staan de rekenoperaties in samenhang met de vier temperamenten uitvoerig beschreven.

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

1122

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (38)

.

leven-o-t-191

De Tabernakel en de Voorhof (naar Ds L. Schouten Hzn).
De Voorhof (Exodus 27 : 9—18; Exodus 38 : 9—20) bestond uit een niet overdekte langwerpig vierkante ruimte. Hij was honderd ellen lang en vijftig ellen breed (dus ongeveer 54 bij 27 m.). De afsluiting werd gevormd door „behangselen van fijn linnen” opgehangen tussen pilaren. Er waren twintig pilaren aan de zuidzijde, evenzoveel aan de noordzijde, tien aan de west- en tien aan de oostkant. Aan elk der vier hoeken stonden twee pilaren (zie bij E). Aan de oost- of voorzijde hing in het midden een voorhangsel „deksel” aan vier pilaren (Ex. 27 : 16). De „behangselen” waren van fijn getweernd linnen, van een helder witte kleur. Zij hingen aan zilveren haken, die in zilveren banden, onder de zilveren hoofden of kapitolen van de pilaren, waren aangebracht, en hadden de hoogte van vijf ellen (Ex. 27 : 18). In het midden aan de oostzijde van de omheining van de voorhof hing een voorhangsel, dat de naam „deksel” draagt (Ex. 27 : 16): dat „deksel” was zoveel als de deur of poort door welke men in de Voorhof kwam en werd gedurende de dienst of opgebonden of ter zijde geschoven.
In de voorhof ziet men allereerst het Brandofferaltaar (B) waarvan de beschrijving gegeven wordt in Ex. 27 : 1—8; 38 : 1—7.
’t Bestond uit een grote vierkante bak of kast van sittimhout, zonder deksel en zonder bodem, van vijf ellen in de lengte, vijf ellen in de breedte en drie ellen in de hoogte. Van binnen en buiten was die bak beslagen met dikke koperen platen. Het altaar had voorts aan de bovenkant, in ’t vierkant, een platte, naar buiten uitstekende lijst of rand, de „omgang”. Uit die lijst kwamen op de vier hoeken, de „hoornen” te voorschijn. Onder de „omgang was een rooster of netwerk; daaraan hingen ringen ; die ringen dienden om daardoor de „handbomen” te steken. „Wij zijn van meening (aldus Ds L. Schouten Hzn) dat de holligheid of ’t inwendige van het altaar gevuld werd met aarde [in overeenstemming met Ex. 20 : 24], Naar Ex. 40 : 6 moest het altaar gezet worden „voor de deur van de Tabernakel” terwijl het Wasvat gezet moest worden „tussen de Tent der samenkomst en tussen het altaar.” Bij het binnentreden zag men dus eerst het Brandofferaltaar (B) dan het Koperen wasvat (C). Symboliek heeft men daarin gezien: eerst’t Altaar, en dan het Wasvat; eerst Christus tot rechtvaardiging, dan Christus tot heiligmaking. Over de vorm van het Wasvat wordt niets in de Bijbel vermeld: slechts dat Bezaleël maakte „het koperen wasvat, met zijn koperen voet (Ex. 38 : 8). — De Tabernakel (D) stond 50 el af van de oostzijde. De Tent bestond uit 48 staande „berderen” of planken van sittimhout. Daaroverheen waren vier soorten van „dekkleden” of tapijten. Het eerste kleed bestond uit „fijn getweernd linnen”; de grondkleur was wit; maar daarin was op een „allerkunstigste” wijze geweven: hemelsblauw, purper en scharlaken. Het tweede kleed was van geitenhaar. Daarover een kleed van „vellen van rammen, die rood geverfd zijn.” Het vierde of buitenste dekkleed, was naar de Statenvertaling van „dassenvellen”; vermoedelijk moeten wij verstaan „vellen van zeehonden of zeekoeien”. Dat werd aan drie kanten, door middel van koorden, en koperen pinnen, welke aan die drie kanten in de grond werden geslagen, vastgemaakt en stevig aangetrokken. — De Tent bevatte twee vertrekken: het Heilige en het Heilige der Heilige.

 

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas heemkunde

 

1121

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Zwarte Piet krijgt de zwartepiet (30-3/1)

.

Een paar roetvegen onder een blond kapsel doen de geschiedenis geen recht, betogen Berber Paarlberg en Gert Nieveld in een opiniestuk in Het Parool.

De zomer was nog niet voorbij of de discussie over Zwarte Piet laaide weer op. Hoe moet hij eruitzien? Een paar roetvegen onder een blond kapsel? Het kan, maar doet de geschiedenis geen recht.

Sint Nicolaas werd rond 280 na Christus geboren in Patara in Zuid-Turkije. Zijn ouders waren welgesteld en zeer gelovig. Als klein kind zou hij al wonderen hebben verricht. Om priester te worden, verhuisde Nicolaas naar het stadje Myra. Al snel werd hij benoemd tot bisschop.

Na het overlijden van zijn ouders besloot hij zijn erfenis weg te geven aan mensen die het nodig hadden. Zo redde hij drie meisjes van de slavernij (prostitutie) door anoniem voor ieder een zak goud door het raam te gooien. Daarmee had hun arme vader voor elke dochter een bruidsschat, waardoor ze eerzaam konden trouwen. Met intensief bidden zou bisschop Nicolaas drie door een herbergier vermoorde kinderen uit de dood hebben teruggehaald. Hij redde zeelieden van de verdrinkingsdood, Myra van de hongerdood en zorgde voor verlaging van de Romeinse belastingen.

Verdrukten
Nicolaas werd de beschermheilige van ongehuwde meisjes, prostituees, kinderen, slaven, zeelieden, armen en andere verdrukten. Rond de bisschop vormde zich een groepje volgelingen die hun leven aan hem te danken hadden en hem vergezelden op zijn reizen.

Na zijn dood (omstreeks 342) erkende de katholieke kerk de goede daden van Nicolaas als wonder en werd hij heilig verklaard. Wereldwijd kreeg hij zo’n sterrenstatus dat hij in de vroege middeleeuwen als belangrijkste heilige na Jezus Christus en de maagd Maria werd vereerd. Jaarlijks werd Sint-Nicolaas herdacht, op of aan de vooravond van zijn sterfdag, 6 december.

Zijn graf in Myra werd een bedevaartsoord. Uit angst voor plunderingen van Noord-Afrikaanse piraten kaapten zeelieden in de elfde eeuw, in opdracht van Italiaanse priesters, het merendeel van Sint-Nicolaas’ botten uit zijn graf. Ze stelden ze veilig in de Basilica di San Nicola in het Italiaanse Bari, dat bovendien wel wat pelgrimtoerisme kon gebruiken. Het eerste dat opvalt als je de Sint- Nicolaaskerk in Bari binnenstapt, is een levensgroot beeld van een man met een donkergetinte huidskleur: Sint-Nicolaas. Wat blijkt: op alle eeuwenoude kerkelijke afbeeldingen tot de vijftiende eeuw is Sint-Nicolaas donkergetint. Pas later wordt zijn beeltenis aangepast aan het blanke westerse perspectief.

Pakjesavond
Het huidige beeld van Sinterklaas ontstond pas toen de Amsterdamse calvinistische onderwijzer Jan Schenkman in 1850 het boek Sint Nikolaas en zijn knecht publiceerde. Met de aankomst per stoomboot (hypermodern in die tijd) uit Spanje (dat in de zestiende eeuw kort over Bari heerste), de intocht en pakjesavond.

In Schenkmans prentenboek was voor het eerst een donkere assistent te zien, uitgedost in zestiende-eeuwse Spaanse traditionele kledij. Deze had hij niet ontleend aan de discipelen van Sint Nicolaas, maar aan duivelse helpers van heidense goden die zondig gedrag bestraften. Piet had in eerste instantie een Indisch uiterlijk. In latere tekeningen werd hij Moors en kreeg hij een harembroek. Dit paste in het tijdsbeeld: in het toonaangevende Parijs was een exotische bediende – een Moor of Indiaan – populair.

Een vrolijk volksfeest kan en mag niet de bedoeling hebben dat mensen zich gediscrimineerd voelen. Maar om Zwarte Piet als slaaf af te schilderen, is historisch onjuist.

Lucratieve handel
Net zoals het misplaatst is om via Zwarte Piet excuses te willen afdwingen voor vroegere slavernij. Dan hebben bovendien Afrikanen en Arabieren ook wat uit te leggen. Zij namen van ver voor onze jaartelling tot in de negentiende eeuw talloze mensen gevangen, in eigen land, op razzia’s rond de Middellandse Zee en de Noordzee tot aan IJsland toe, om hen op slavenmarkten te verkopen. Blank, bruin, zwart, joods, protestants, moslim, katholiek, orthodox – het maakte hen niet uit. Hebzucht was hun enige drijfveer. Vanaf de zeventiende eeuw gingen Europeanen meedoen aan deze lucratieve handel.

Slavernij is niet iets om trots op te zijn. Maar zo ongeveer iedere bevolkingsgroep, ongeacht ras of kleur, heeft ooit slaven gehad of verhandeld.

Wellicht is een wereldwijd excuus van alle bevolkingsgroepen aan alle andere bevolkingsgroepen gepast. Waarna iedereen zijn energie in positievere zaken kan steken. Goede daden voor de huidige verdrukten, bijvoorbeeld.

Sinterklaas is geëvolueerd
De cultuur maakt het feest. Zoals de Amerikanen Sint-Nicolaas hebben getransformeerd tot een obese blanke kerstman, gaf ook Nederland er z’n draai aan. Ons sinterklaasfeest is meer het feest zoals in 1850 verzonnen door Jan Schenkman dan het gedenkfeest van de heilige Nicolaas uit Turkije met zijn volgelingen. Sinterklaas is geëvolueerd tot goeiige kindervriend, met een schare pieten die van onnozele boemannen zijn verworden tot slimme assistenten met managerskwaliteiten.

De veranderingen zijn een cultureel proces, die eerder antropologisch interessant zijn dan dat ze tot conflicten en veranderwerkgroepen moeten leiden. Wie moeite heeft met de verschijning van Zwarte Piet, kan teruggrijpen naar de basis. Waar Sinterklaas niet lelieblank is, maar chocoladebruin. En waar zijn helpers geen slaven waren, maar volgelingen die hij had geholpen. Met, net als Sint Nicolaas, een chocoladekleurige huid. We hebben een hoop te danken aan mensen uit die contreien.

Parool, 14-11-2015
Sint-Nicolaas: alle artikelen

 

 

1120

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-2)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 16 t/m 19

Over het regelmatige cirkelveld
De bol kunnen we als een soort oervorm in de hele natuur vinden; van de planeten tot in de cellen waaruit alle levende wezens bestaan. Alle vruchten en zaden neigen min of meer tot een ronde vorm en in het mineralenrijk neemt ieder deeltje kwik een bolle vorm aan. Doe je bijv. een druppel olie in een daarbij passend mengsel van water en alcohol, dan zweeft deze daarin als een bol, net zoals iedere in evenwicht zich bevindende druppel. Zelfs een wond in onze huid wordt naarmate deze weer geneest ronder van vorm, ook als deze aanvankelijk nog lang was door een snee of een schram.

Wanneer een lichaam in trilling wordt gebracht, begint deze bij een bepaald trillingsgetal te klinken en van hem uit gaan geluidsgolven. Deze gaan gelijkmatig naar alle kanten en vormen een zgn. bolvormige golf. Dat staat los van de vorm van het lichaam dat tot klinken is gebracht, wanneer we een punt bekijken dat ver genoeg van de geluidsbron vandaan is. Een ronddraaiende staaf, een bel waarop is geslagen worden het middelpunt van een bolvormige golf.
Een ander voorbeeld is nog de zeepbel. Dat allemaal wijst op een onstoffelijk element dat overal de neiging heeft bollen te creëren.
In de mathematica hebben we alleen met de vorm van de bol te maken. Wanneer je probeert een heel precieze beschrijving te geven die ieder ander lichaam wat zijn vorm betreft, uitsluit – een zgn. definitie – dan kun je er niet omheen op een belangrijk punt te wijzen dat niet op de oppervlakte van de bol ligt, maar erbinnen. Dit punt ligt zodanig dat het van alle punten op het oppervlak van de bol even ver af ligt.
Dus wanneer je in een willeleurige richting een rechte lijn door het middelpunt lopend denkt, dan zijn de beide delen tot aan de punten die samenvallen met de oppervlakte van de kogel, dus tot de zgn. snijpunten, in alle gevallen, even groot. Het totaal van alle door een middelpunt gaande stralen ( rechte lijnen zonder einde) noemt men een stralenbundel. Wanneer je alle door een middelpunt gaande stralen bekijkt, kun je zeggen: de kogelvorm snijdt van alle door het middelpunt van een kogel gaande stralenbundel precies even grote stukken ( rechte lijnen van een bepaalde grootte) af. –

Het stuk tussen het middelpunt en de twee snijpunten van een en dezelfde straal heet doorsnede.

Het stuk tussen het middelpunt en één van de snijpunten (je kunt ook zeggen: een willekeurig punt op het oppervlak) heet ‘halfdoorsnede’ (omdat deze half zo lang is) of met een dikwijls gebruikt Latijns woord ‘radius’ – de straal.

Je kan de kogel echter ook door een geheel vlak doorsneden denken en wel zo dat de snede steeds door het middelpunt gaat. Er zijn oneindig veel van deze vlakken die door het middelpunt gaan, een zgn. vlakkenwaaier/bundel. Iedere doorsnijding door het middelpunt snijdt de kogel in twee gelijke halve kogels. Daarbij zal ieder snijvlak iedere keer een cirkel zijn en uit wat hierboven is gezegd, zal makkelijk in te zien zijn,  dat al die cirkels even groot zijn. Dan begrijp je de zin, de definitie, van de grote Oud-Griekse mathematicus Archmedes: “Wanneer alle doorsneden van een lichaam door het middelpunt cirkels zijn, dan is het lichaam een kogel.

We tekenen met de passer ergens op het papier een cirkel. Dan zetten we de punt van de passer op een willekeurig punt van de omtrek en tekenen een nieuwe cirkel, zonder de opening van de passer te veranderen. De nieuwe cirkel zal de eerste op twee punten snijden, die evenver van het middelpunt liggen. In een van de twee punten zetten we weer een cirkel – met dezelfde passeropening -. Daardoor ontstaat weer een nieuw snijpunt en we stellen vast dat dit andere snijpunt samenvalt met het middelpunt van de vorige cirkel. Als we verder gaan, komen wij weer bij het eerste cirkelmiddelpunt uit, waarbij in totaal zes cirkels getrokken zijn, waarvan het middelpunt op de oorspronkelijke cirkel ligt.
Nu stellen we vast:

1.Met dezelfde passeropening kun je op de omtrek van een cirkel zes andere zo neerzetten dat een zevende weer precies op de eerste zou vallen:

meetkunde-31

 

 

tek 2

.
2. De omtrek van de cirkel wordt door de zes middelpunten in zes gelijke delen verdeeld. (Dat deel van de cirkelomtrek noemt men een boog). Dit basisfeit is zo gewoon geworden, dat bijna niemand de diepe betekenis ervan nauwelijks nog bewust is.
Maar stel je eens voor dat de straal niet precies zes maal op de omtrek afgezet kan worden, of niet zou passen; dat er dus een stuk over zou blijven, dat zelfs geen bepaald deel ervan zou zijn – of zelfs dat hij vijf of zeven keer erop zou passen. Dan zou de gehele meetkunde, de hele wereld een andere ordening hebben. Daaraan moet je ook eens denken, zodat je niet vergeet je te verbazen, dat volgens Goethe toch ‘het betere deel van de mensheid’ is. –

Sinds oude tijden moet de cirkelomtrek in 360 delen verdeeeld worden, die men graden noemt. Een boog van een zesde deel van de omtrek meet dus 60° (graden).
Deze indeling werd in de oudste tijden afgeleid van de jaaromloop van de zon. De gradenmaat was oorspronkelijk nog ruimtelijk in de tijd, in de meetkunde is deze alleen nog ruimtelijk.

We hebben dus door de zojuist uitgevoerde constructie een deling in zes delen gekregen. Een andere die in het praktische leven bijzonder belangrijk is, is die in vier gelijke delen van ieder 90°; zo’n hoek heet een rechte hoek en wordt in de meetkunde aangeduid met R.

3.De zes cirkels waarvan het middelpunten gelijkmatig verdeeld op de omtrek van de cirkel liggen, gaan alle door hetzelfde middelpunt. (zie tek. 2)

4.De cirkels snijden elkaar over en weer en er ontstaat een zesbladige vorm = ongeveer zoals die boven het hoofd van de ‘godin van de richting hangt'[1] – de bruine blaadjes:

6e-klas-meetkunde-1a

 

 

 

 

tek. 3

5.Elke twee van de zes cirkels snijden elkaar zo, dat de een door het middelpunt van de ander gaat. Op deze manier ontstaan zes grote bladeren, velden, eveneens om het middelpunt van de eerste cirkel gegroepeerd. De grootste breedte van elk is gelijk aan de straal die alle cirkels gemeenschappelijk hebben (velden in oranje, groen en violet in tekening boven).

6.Laat je van de zes cirkels twee die tegenover elkaar staan weg, dan zie je dat steeds een groot veld met een klein een rechte hoek vormt. Trek je door de punten van de velden rechte lijnen, dan zullen deze loodrecht op elkaar staan:

meetkunde-47

 

 

 

tek. 6

 

7a) Teken je drie cirkels zo, dat ieder door het middelpunt van de ander gaat , dan ontstaan drie grote velden:

meetkunde-29

 

 

 

 

tek 5

7b) Laat je iedere tweede cirkel weg, dan ontstaan maar drie kleine velden, waarvan de drie toppen de cirkel in drie gelijke bogen verdelen van ieder 120°:

meetkunde-30

 

 

 

 

tek 4

Om meer te weten te komen van onze ‘bloem’- de kinderen gaven hem zelfs de naam ‘wonderbloem’- nemen we de kleur als hulp, waarbij we drie basiskleuren nemen: geel (kadmium), rood (karmijn) en blauw (Pruisisch).*

Een blik op de tekeningen hierboven leert, hoe daarbij door het over elkaar kleuren (van te voren goed laten drogen!) de mengkleuren: groen, oranje en violet ontstaan en in het midden een mengkleur uit alle drie. (Om echt zuivere kleuren te krijgen, beginnen we steeds met dat deel van de cirkel te kleuren, dat wit is en dan gaan we – met niet te veel verf op de penseel – over de vlkakken die al eerder gekleurd werden.

Al deze tekeningen laten zien dat je door steeds weer andere kleurpatronen tot een bijna grenzenloze hoeveelheid vormen komt. We vergissen ons als we zouden menen dat een uitvoerig bezig zijn op deze manier als een beetje spelen wordt gezien of als tijdverdrijf. Dat is in tweeërlei opzicht niet het geval. We ontwikkelen een grotere vaardigheid in het nauwkeurig tekenen en in het kleurgebruik, vooral het eerste is onmisbaar  voor ieder die serieus met meetkunde bezig wil zijn. Maar we ontdekken ook steeds weer nieuwe mogelijkheden tot vormgeving; we halen er steeds meer uit als we ons in vrijheid op het trerrein van de wetmatigheid begeven. Dat heeft een diepe betekenis voor het leven; hier wordt het een innerlijke aangelegenheid en zoals je wellicht spoedig merkt, een kracht die harmonisch is, omdat de bron schoonheid is.
Dat geldt nog in hogere mate voor deze oefeningen:

meetkunde-48
tek 7

meetkunde-49

 

 

 

 

 

tek 8

meetkunde-50

 

 

 

 

 

 

 

tek 9

meetkunde-51

 

 

 

 

 

 

 

tek 10

 

Dit versterkt ook het voorstellingsvermogen  en later zullen we in staat zijn ons voorstellend – dus zonder te tekenen – bezig te houden met geometrische waarnemingen en opgaven; bij het tekenend werken zullen we zogezegd meer zien dan dat er op papier staat.

.
meetkunde-30

 

 

 

In tekening 4 worden de drie cirkels waarvan het middelpunt op de in het midden liggende cirkel ligt, in de basiskleuren geel, blauw en rood gekleurd; daarbij ontstaan drie kleine velden in de mengvormen: groen, violet en oranje.

Kleur je in tekening 5 elke cirkel met de primaire kleur, dan ontstaat naast de drie mengkleuren in het midden, waar alle drie de kleuren elkaar overlappen, bruin.

Het is een goede voorbereiding tek. 8 meerdere keren te doen (met zelfgekozen kleuren) en iedere keer de kleuren zo te ordenen dat de rechts en links van het grote veld in het midden liggende helften m.b.t. het grote veld symmetrisch zijn.

Tek. 8, 9 en 10 zijn voorbeelden die een aansporing willen zijn voor de eigen activiteit.
De beoefenaar wordt aangeraden veel meer kleurcombinaties voor het cirkelveld te vinden.

In tek. 9 verschijnen in de mengkleuren aaneengesloten grote en kleine velden die een soort trap vormen. De cirkels in de primaire kleuren zijn louter in parallelle rijen aangelegd.

Net zo in tek. 10, alleen zijn hier de rijen meer over elkaar geschoven en er verschijnen in bruin parallelle rijen kleine velden.

In tek. 8 staan de cirkels in de primaire kleuren in een driehoekopstelling!

Ook in dit opzicht zijn er nog vele nieuwe mogelijkheden.

Het is stimulerend en voor kinderen aan te bevelen, i.p.v. de cirkels helemaal met kleur te vullen, alleen de kleine velden op verschillende manieren te kleuren.** Daarbij ontstaan driehoeken, zeshoeken en zessterren. De laatste ontstaan uit ieder twee zich doordringende gelijkzijdige driehoeken, waarvan de zijden elkaar over en weer in drie gelijke stukken delen.

[1] godin van de richting (Meetkunde 4-1, door Strakosch als tek.1 genummerd)

 

*Strakosch schildert hier klaarblijkelijk. Dat is met de kleinere cirkels die je in het periodenschrift gebruikt, bijna niet te doen. Je moet bijv. over heel fijne penseeltjes beschikken; maar echt precies wordt het nooit en dat is toch de charme van de gekleurde figuren: dat het er exact uitziet.
Dus bleef ik bij het kleurpotlood.

**Kinderen kunnen veel als je het langzaam opbouwt.
Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1119

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Heemkunde (1-2)

.

Heemkunde klas 1, 2, 3 algemene gezichtspunten

Het derde vak
Tot de kennisgebieden, die de nieuwe onderwijswet [ingevoerd 1985] aangeeft, zou men een gebied kunnen aanwijzen, dat eensdeels opvalt door zijn universaliteit, anderdeels onmisbaar lijkt door de sociale vorming die het in zich draagt.

Het kleine kind kijkt eerder dan het grijpt, loopt, spreekt of denkt.

Van alles wat de zintuigen opnemen, is het meest naaste: de omgeving.

Van alle kennisgebieden is het meest naaste: het onderwijs over de omgeving. Omgevingsonderwijs dus. ‘Omgeving’ kan heel veel omvatten. In feite behoort het heelal evenzeer tot de omgeving van het kind als de planeet Aarde; en de aarde in het stadstuintje, of de aarde in het bloembakje op de zesde verdieping van de galerijflat.

Alles wordt door het oog opgenomen in eerste instantie. Hoe kan het oog zien? Doordat er licht is. Dat licht is in de eerste plaats zonlicht. Zei niet Goethe — we herdenken zijn 150 jaar geleden sterfdag*— dat het oog een orgaan was door het licht aan het organisme gevormd voor het licht, d.w.z. om het licht zelf te kunnen waarnemen? Het gelijke kan eigenlijk pas het gelijke kennen. Hoe zou het oog de zon kunnen zien, wanneer het zelf geen zonnekarakter bezat?
Daarmee is eigenlijk uitgesproken het Apollinische karakter van het omgevingsonderwijs: een geschenk van de zon! Het geschenk van het licht op zichzelf maakt het geschenk van het omgevingsonderwijs aan het kind mogelijk. Weliswaar ziet het kind de omgeving vanzelf, maar steeds zal men de vraag moeten stellen: Wat ziet het? Wat zegt het hem? Wat begint hij ermee?

Het kind ziet veel, maar er moet hem gezegd worden, wat het ziet, het moet hem zó gezegd worden, dat het hem iets zegt en tenslotte zal hem geleerd moeten worden, hoe hij met dit alles om kan gaan. Het kind zal een sociaal wezen moeten worden. Het zal moeten omgaan met mensen, met dieren en planten, met de aarde.

Kennis is nuttig, maar duidelijk secundair bij deze sociale opgave. Primair is de vorming van het gemoedsleven in deze periode, vooral na de culminatie van het gevoel in de ik-beleving. Welke verhouding bouwt het kind daarna op tot de omgeving, tot dorp, land, werelddeel, aarde, kosmos? Tot alles, wat in de ruimte op hetzelfde ogenblik aanwezig is? De basis voor het opbouwen van deze verhouding is gelegd door het woord van de leerkracht. Sympathie, eerbied, zijn er ingebouwd als voeding voor de levenskrachten, die hen laten groeien en ontwikkelen tot liefde, plicht, sociaal gevoel. Voor de jongere kinderen is daar de wereld van de eerbied, de geschapen wereld, de wereld van God-Vader uit het Oude Testament.

Dit vak, geschonken door licht en ruimte, willen we toch maar in zijn algehele aspecten aardrijkskunde noemen, al smaakt het te wetenschappelijk voor kleine kinderen. Dan heet het heemkunde (heem = erf) en in zijn praktische uitoefening: zaakonderwijs.
Dit in de klassen I, II en III.
In de hogere klassen omvat de aardrijkskunde eigenlijk ook biologie (mens-, dier- en plantkunde), mineralogie en geologie, economie en historie, staatsinrichting, astronomie. Voor dit geschrift zal een keuze worden gemaakt. Uiteraard bestaat ook de aardrijkskunde in engere zin!

Ontwikkeling van het kind (klassen I, II en III)

In de voorgaande hoofdstukken is reeds de hoofdzaak van deze ontwikkeling aangegeven. Ook voor de aardrijkskunde houden wij de indeling: wilsperiode van de grote gevoelsperiode (6-9 jaar), kleine gevoelsperiode van de grote gevoelsperiode (9-12 jaar) en denkperiode van de grote gevoelsperiode (12-14 jaar) aan. Nadere precisering geeft de herinnering aan het feit, dat de wil van deze kinderen tussen zes en negen jaar zich nog deels in het lichamelijke en wel het zintuigengebied bevindt. De wilskrachten werken in hoofdzaak in het ledematen- en stofwisselingsysteem.

Alles, wat gebracht wordt, zal een totaal karakter moeten dragen in die zin, dat het gehele kind motorisch, emotioneel en sensorisch wordt aangesproken; dus het woord, fantasievol en niet gespeend van moraliteit, zal in beelden over de omgeving tot het kind moeten spreken, zodat alles beleefbaar wordt ‘tot in de tenen’, ook de dingen, die het door de gezichts- en andere waarnemingen bij name ‘kent’.

Zo is het hoofddoel van het aardrijkskunde (heemkunde) onderricht in deze kleine wilsfase:

Het dromende kind langzamerhand wakker te maken voor zijn omgeving, zodat het zich bewuster met zijn omgeving leert verbinden.

Leer- en ontwikkelingsdoelen
— een belangstellende houding ten opzichte van de natuur voorbereiden en bevorderen.
— het wekken van eerbied ten opzichte van het leven in het algemeen.
— het bekend maken met plant, dier en gesteente uit de omgeving.
— het wekken van belangstelling ten opzichte van de mens.
— het voorbereiden van zorgvuldige omgang met materiaal.
— het wekken van bewustzijn voor de elementen: aarde, water, lucht en warmte.
— het wekken van bewustzijn voor de mens als scheppend en werkend wezen.

Leerstof, Middelen en Werkvormen Voor klas I en II
Het kind in de laagste klassen voelt zich nog één met de natuur. Zonen maan, plant en dier, alles heeft voor het kind een bepaald gebaar. Gebaren laten zich in taal omzetten.

Voor het kind is het derhalve natuurlijk, dat alle dingen een taal spreken. En ook een taal met elkaar spreken. Bewustwording van de omgeving krijgt het kind door verhalen over de kracht van de eik, de schuchterheid van het viooltje, de milde warmte van de zon.

De taal van deze dingen moet niet fantastisch zijn, maar wel fantasievol. Uit exacte fantasie moet door de leerkracht geput worden. Alles moet iets wezenlijks uitspreken.

Het kind leert zijn affektie en sympathie verbinden met bepaalde beelden en voorstellingen.

Leerplan voor klas I: verhalen over de natuur in sprookjessfeer.

voorbeelden:
[1] jaargetijden; ‘gesprekken’
[2] steen, plant, dier en mens
[3] een paasverhaal over het ontstaan van het koren

Leerplan voor klas II: verhalen over natuur en mens in de sfeer van fabel en legende.

voorbeelden:
herfstspelletje
herfstspelletje
[ 1 ] lessuggesties voor een onderwerp en werkwijze
2 [ over de ‘sinnige Geschichte’; vertellingen uit/over de natuur

Leerstof, Middelen en Werkvormen Voor klas lll

 aardrijkskunde als zaakonderwijs.
Leerplan: Samenvattend beeld geven, hoe mens, dier, plant elkaar nodig hebben. Iets over verzorging, bemesting in het algemeen: plant heeft dierlijke of minerale bemesting nodig; het dier heeft de plant nodig als voedsel.

De aandacht van het kind wordt nu van het mythologische van de natuur verder geleid naar het praktische leven. Men bespreekt de bereiding van metselspecie en het gebruik ervan in de huizenbouw.

Het kind leert de graansoorten onderscheiden. Het leert de bewerking van de grond kennen: ploegen, eggen, bemesten, zaaien, besproeien, in de ruimste zin: verzorging.

Het kind leert een aantal oude ambachten kennen.

Door het zaak-onderwijs bereidt men de latere stof voor, die nodig is voor het schrijven van zakenbrieven.

Met nadruk: niet wordt het kind aan boord gekomen met het zogenaamde ‘werkelijke leven’ in de zin van lucht-, wateren grondvervuiling, vraagstukken van industrie en kernenergie.

Het onkinderlijke van al deze onderwerpen mag genoegzaam blijken uit de leeftijdsfase, waarin het inzicht, kritisch denken, oordeelsvermogen ontwaken: de puberteit. Het ontwaken op vroegere leeftijd is schijnbaar, het werkt dan als negatieve eerbied- en cultuurvernietigende kracht. Men hoede zich voor deze schijnbare eerlijkheid, het maakt de kinderen vroeg-oud, bang, on-enthousiast en ongemotiveerd. Het behandelen in welke vorm ook van de genoemde vraagstukken is onpedagogisch. Men moet eerst van de natuur leren houden om haar te kunnen verdedigen.

 

voorbeelden:
3e klas heemkunde: alle artikelen

 

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. *1985)
.

heemkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 3e klas heemkunde: alle beelden

 

.

1118

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (4-1)

.

In zijn ‘Geometrie durch übende Anschauung‘ [1] vertelt Alexander Strakosch over het begin van de meetkunde in de cultuur.

Hij gaat daarvoor terug naar het Oude Egypte. Omdat je daarover met de kinderen in de 5e klas hebt gesproken in de geschiedenisperiode***, kun je daar nu op terugkomen.
Omgekeerd kun je in die periode aankondigen, dat je in de 6e klas meer over Egypte zal vertellen tijdens de meetkundeperiode.

Strakosch:
Het begin van het bezigzijn met geometrie vindt plaats in de Oud-Egyptische cultuur (ca 3000 – 800 v.C.)  Over het algemeen hadden de mensen toen nog helemaal niet de denkcapaciteit van tegenwoordig verworven; die begon pas met de cultuurfase die op de Egyptische volgde: het Grieks-Romeinse cultuurtijdperk.
In het Oude Egypte verstonden alleen de priesters door hun speciale opvoeding de kunst zich met mathematica bezig te houden. Terwijl in de vrijwel tegelijk bloeiende Babylonische, Assyrische en Chaldeïsche rijken meer de rekenkunst, de zgn. arithmetica beoefend werd, ontwikkelde zich met name in Egypte de geometrie, maar niet zozeer in de zin van een theorie als wel veel meer als praktische activiteit. Je zou kunnen zeggen: meetkunde werd bedreven.

Deze activiteit vond op twee terreinen plaats: bij de bouw en aanleg van tempels en andere cultische gebouwen, bijv. de piramiden en ook bij het uitmeten van akkers.

De Egyptenaren waren een volk van landbouwers en als zodanig waren zij in de gelukkige omstandigheid dat ze zich geen zorgen hoefden te maken over de bemesting, De geweldige rivier de Nijl,*** die helemaal van zuid naar noord door het land stroomde, trad met de allergrootste regelmaat ieder jaar buiten haar oevers, wanneer het groenachtige sterrenbeeld de hond, Sirius, ’s avonds weer in het oosten opkwam. Wekenlang bedekte de troebele vloed van de Nijl het hele land; wanneer hij zich dan weer in zijn normale loop terugtrok, was alles met een laag van de vruchtbaarste klei bedekt en de bemesting op de meest intensieve en te vertrouwen manier gedaan. Je kunt begrijpen dat de Egyptenaren hun land ‘een geschenk van de Nijl’ noemden – maar de rivier zelf was in hun ogen een geschenk van de goden.

Het grondbezit was in die tijd zo verdeeld, dat een bepaald deel van de koning was, een ander gedeelte van de priesters, een derde en laatste deel voor de soldaten. Het zgn. lagere volk moest het veldwerk verrichten; dat gebeurde ook veelvuldig door slaven uit de volkeren die overwonnen waren.

Wanneer de overstroming echter ten einde was, kon je geen begrenzing van de akkers meer zien – het slib had al het akkerland gelijkmatig bedekt. Zodra het opgedroogd was, moesten de akkers weer opnieuw uitgemeten worden. Dat gebeurde door de priesters die in de tempelscholen waren opgeleid; zij alleen beheersten de kunst van het landmeten.

Waar hadden ze die kennis vandaan? Hoe meer deze oude tijd wordt bestudeerd, met des te grotere verbazing staat men voor de diepe en omvattende wijsheid die de toenmalige priester-wijzen zich op de meest verschillende gebieden eigen hadden gemaakt: niet alleen sterren- en meetkunde, maar ook geneeskunst en scheikunde. Maar het was geen bedachte wetenschap. Men verdiepte zich bijv. met grote aandacht en eerbied in de loop van de sterren en hierbij was het de geschoolden van die tijd mogelijk door een innerlijk ervaren van dergelijke waarnemingen de wetten van de hemel te onderzoeken en het leven daarnaar in te richten.
De verbinding met de scheppende hemelsmachten werd in de tempel verzorgd en men wist – zoals men het toen tot uidrukking bracht – in welk gesternte deze of gene godheid woonde. Opdat deze nu zijn krachten in de voor hen opgerichte tempel het beste zou kunnen zenden en daar ook in zou kunnen verblijven, moest de tempel in de richting van die bepaalde ster staan, zodat op het jaarfeest van de betreffende god de ster bij het opgaan precies in de tempelas stond en het altaar bescheen.

Het is makkelijk in te zien, dat hier al een grondige kennis van de loop der sterren en van de meetkunde noodzakelijk waren – Wanneer er dus een tempel gebouwd moest worden, kwamen uit het heiligdom van de ‘godin van de richting” , die de mensen de richting leerde, de zgn ‘touwspanners”; de naam komt van hun activiteit als landmeter, als veldmeter. Tekenbord, papier uit het merg van de papyrusstruik, de passer in zijn huidige vorm waren onbekend. De dunne bladzijden van papyrus, vervaardigd uit het merg van de papyrus werden gebruikt om te schrijven, niet voor meetkundige tekeningen. Als tekenvlak diende de geëgaliseerde bouwplaats of de eveneens vlakke akkers; alle meetkundige activiteit werd direct op het veld uitgevoerd. Als werktuigen gebruikte men stokken en touw, dit zonder knopen en ook met knopen op regelmatige afstanden van elkaar om lengten te meten, maar ook om hoeken uit te zetten.

De basisvorm van de hele meetkunde is de cirkel, de ronde, bij zichzelf terugkerende lijn waarop alle punten van zijn omtrek, dus de eigenlijke lijn vanuit het middelpunt precies dezelfde afstand hebben. Tegenwoordig zou je misschien bedenken dat dus een steen, aan een touw vastgebonden en in beweging gebracht, een cirkelvormige lijn zou beschrijven. De Oude Egyptenaar zag dat anders. Hij zag in het bewegen van de sterren aan de hemel de uidrukking van de hoogste goddelijke wijsheid en harmonie en wanneer hij op aarde een cirkel moest tekenen, kon hij zich deze activiteit niet anders voorstellen dan met hulp van de ‘godin van de richting’.
Een voorstelling uit die tijd laat ons een dergelijk iets zien:

meetkunde-36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nog een afbeelding: zie onder

We zien twee figuren: een mannelijk figuur met de kenmerken van de priester en koning – en de vrouwelijke gestalte van de godin. Boven haar hoofd zien we een geometrisch figuur, een soort bloem. Beiden gestalten houden in de ene hand een rechtop staande staf en in de andere hand een stok die gebruikt wordt om de staf  met een paar slagen in de grond te slaan. Omdat het gaat om een gewijde handeling, moeten de slagen in een bepaalde, voorgeschreven maat uitgevoerd worden. Rondom de beide staven is een touw zonder einde; de staven worden zo gehouden dat het touw steeds strak gespannen staat.
Bij het uitzetten van de tempelas en van het grondplan werd de godin door een van haar priesters vertegenwoordigd, m.n. de touwspanner. Wanneer de cirkel getrokken moest worden, werd de ene staf in de aarde geslagen en in loodrechte stand vastgehouden. Wie de andere staf vasthield, deed dat ook en liep om de staande staf heen, zo dat het touw steeds gelijkmatig en gespannen bleef en de onderkant een cirkel op de grond trok.

(wat nu volgt is voor de periode meetkunde niet van direct belang, maar geeft wel motieven waarom meetkunde zoals in de 6e klas op de door mij beschreven manier wordt gegeven)

In onze tijd is onderzocht dat de Oud-Egyptische tempels zulke grondoppervlakten hadden en ook verticale projecties, waarbij alle belangrijke punten door het maken van cirkels en het trekken van lijnen door bepaalde snijpunten ontstaan. Het gereedschap dat afgebeeld is, was dus voldoende om de schetsen te tekenen. De lengtes werden van tevoren niet berekend, maar waren het gevolg van vaste punten en snijpunten van de uitgevoerde constructie – zoals de Ouden over het algemeen tekenden en niet berekenden.

Het begin van vlakkenberekening is al wel in het Oude Egypte te vinden.
Een geometrie die meet en rekent hebben de Grieken ontwikkeld op basis van het ondertussen verworven vermogen om zelfstandig te kunnen denken. Hier vinden we ook voor het eerst ‘het bewijs’, namelijk een gedachtegang die laat zien dat een duidelijke formule altijd en onvoorwaardelijk juist moet zijn.

Wanneer we tegenwoordig een cirkel tekenen, denken we er niet aan om een godin aan te roepen die buiten ons om manifest is of haar plaatsvervanger te hulp te roepen. De passer in zijn huidige vorm maakt het ons mogelijk, het met een hand zelf te doen. Dat kan gebeuren doordat de beide staven – dienovereenkomstig aangepast – in een verbinding bij elkaar komen -. We zoeken ook niet meer in de sterren naar de richting voor ons doen  – zoals Schiller zegt -: ‘In je borst zijn de sterren van je lot’.*
De geometrie zelf ontvangen we niet meer als een openbaring van buitenaf; we maken haar ons veel meer eigen met de heldere hedendaagse bewustzijnskrachten en de activiteit die door deze schrijfregels opgeroepen wordt, dient ook dit doel.

De mathematica in het algemeen wordt als een zuivere denkwetenschap gezien, maar in het deelgebied van de geometrie wordt toch ook nog de voorstellingskracht aangesproken en door dit oefenen sterker gemaakt. Dat is voor onze tijd belangrijk. Uit de geschiedenis weten we dat in de bloeitijd van de Griekse cultuur met name de mathematica de basis van de vorming was. Toen wilde men zich een denken verwerven dat in overeenstemming was met universele wetten. In de meetkunde die door de Egyptische priesters a.h.w. uit de hemel was gehaald, zag men een symbool van die wetten. Grote geesten als Pythagoras en Plato*** hebben zich jaren van hun leven aan de studie van de Egyptische geometrie en de rekenkunde uit Babylon en Chaldea gewijd.

De mensheid heeft door de voorbije eeuwen sinds die tijd in de hoogste mate het denken ontwikkeld, maar ze is daarbij wel in een zekere starheid terecht gekomen. De mensen hebben hun gedachten, maar ze vragen zich helaas te weinig af, waar deze vandaan komen, of ze werkelijk wel van hen zijn. Maar ze denken zelf helemaal niet eens zoveel, het denken is onbeweeglijk geworden en dat denken dringt niet op een levende manier tot het wereldse door. De mens stelt zich a.h.w. afzijdig van de wereld op en vormt gedachten die in hun te grote vaststaande vorm en starheid niet goed in overeenstemming zijn met de steeds doorgaande ontwikkelingen in het leven. Daarom komen we van de ene crisis in de andere.

We kunnen echter in de meetkunde weer een fundamenteel vormingselement vinden, wanneer we deze a.h.w. juist tegenovergesteld bekijken dan de Ouden. De mathematica heeft namelijk in het bijzonder sinds de 18e en 19e eeuw grote stappen voorwaarts gezet; in de geometrie is men tot geheel nieuwe gezichtspunten gekomen, waarvan men in de Griekse tijd niets wist. Toen had men in de eerste plaats een metende geometrie; men berekende lengtes, vlakken en lichamen. De moderne meetkunde echter gaat uit van algemene voor de gehele ruimte geldende wetmatigheden die zich openbaren in de wederzijdse positie van de eenvoudige elementen, zoals cirkel en rechte lijn.

Tot nog toe heeft men op de keeper beschouwd de leerlingen op onze scholen kennis laten maken met de geometrie naar de Oud-Griekse methode; zo wordt bijv. in Engeland tegenwoordig** nog vaak volgens een precieze vertaling van de Oud-Griekse leerboeken van Euklides lesgegeven.

Hier zal de methode van Euklides niet vervangen worden door de projectieve meetkunde, maar je kunt tot een andere manier van behandelen komen, wanneer de laatste min of meer door de elementaire geometrie heen klinkt.

Hier volgend willen we het wagen wat in de geometrie verschijnt eerst eens te leren kennen, wanneer we het stap voor stap laten ontstaan door wat we oefenend doen. We komen daarbij tot wetmatigheden waarvan de algemene geldigheid langs de gewone manier bewezen kan worden. – Door de projectieve meetkunde telt het element van de waarneming in de geometrie weer mee en wij willen dat benutten en het daarmee verzorgen. Op deze manier komen deze mathematische dingen weer in beweging en daarmee ons denken. Dit beperkt zich dan niet meer tot het trekken van logische conclusies, wat altijd volgens strenge, maar daardoor ook starre wetten moet gebeuren. In de huidige geometrie komen we echter tot wetmatigheden die net zo streng zijn, bovendien echter nog doortrokken zijn van beweging. We leren ons in een gebied van verheven wetmatigheden vrij te bewegen. Dat is mogelijk doordat we het denken dat in ons star is geworden weer beweeglijk en levendig beginnen te maken en het met de wil te doordringen wanneer we het op deze manier gebruiken. Zo’n denken kan ons ook een juiste plaats in het leven geven, waar we moeten leren wetmatige gegevens te respecteren en ons daarbij toch vrij te ontwikkelen. –

Zo beoefend kan mathematica weer, maar nu voor deze tijd, een element worden dat als basis van een algemene vorming gezien mag worden.

*’In deiner Brust sind deines Schicksals Sterne’

meetkunde-37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De godin Sesjat met griffel en schrijfpalet.
Bij de bouw vqn de tempel bepaalt zij of een van haar priestres met een meetstrik het grondoppervlak; hierdoor is ze ook ‘godin van de bouwlieden’. Haar belangrijkste taak is het aantal jaren dat de koning als regeringsjaren toebedeeld krijgt op te wchrijven en de jubilea. Haar niet nader te verklaren hoofdversiering lijkt op een zevenstralige ster met een beugel (of een maansikkel) daarboven, dikwijls bekroond met valkenveren. In haar hand houdt zij meestal een bladnerf van een palm; over haar kleed draagt zij vaak een pantervel.
(Lexicon der Götter und Symbole der alten Ägypter – Manfred Lurker)

[1] Geometrie durch übende Anschauung, A.Strakosch – Mellinger Verlag Stuttgart 1962l
(Niet vertaald: Geometrie door het waarnemend te beoefenen)

**Dit boek werd in 1962 uitgegeven

***links door mij aangegeven

Meetkunde: alle artikelen

 

1117