Op verzoek van leerkrachten uit het vrijeschool onderwijs heb ik een werkboek geschreven, met vele oefeningen geordend per klas. Ik heb ze in samenhang gebracht met het leerplan voor de vrijeschool en gebaseerd op de antroposofische menskunde.
In deze tijd is boetseren is een steeds belangrijker wordende kunstvorm voor het opgroeiende kind.
Dit boek is bedoeld om de leerkracht op weg te helpen de unieke mogelijkheden van het plasticeren met klei in te zetten voor de ontwikkeling van het kind. De oefeningen zijn geordend per klas en sluiten aan bij de onderwerpen die in de klas aan de orde komen volgens het leerplan.
Een vak waar we met verwachting naar hebben uitgezien, begon in een week met zeer bewolkte nachten!
Dat componeren van de 7e-klasleerstof in de gang van het jaar, luistert in principe naar dezelfde regels als in voorgaande jaren. In de koude periode zijn er vakken aan de orde die ons niet zo mee naar luiten nemen als in de zomer.
Vakken als rekenen, wiskunde etc. vinden i.h.a. plaats in december of januari, terwijl het voorjaar zich natuurlijk goed leent voor b.v. aardrijkskunde.
Maar voor sterrenkunde in de 7e is er iets meer nodig dan de innerlijke behoefte om zich met de grootse bewegingen van de sterrenhemel bezig te houden.
Willen we de weg leren kennen tussen de duizenden flonkerende hemellichamen dan is een aandachtig beschouwen van de hemel nodig. In december gaat de zon onder rond 17.00 uur; daarnaast is de kans op een schone (vries)hemel groot.
Het vak sterrenkunde plaatst de 7e-klasser – veelal tot zijn of haar eigen verbazing – midden in de ruimte. Oriëntatie in de ruimte is de eerste stap binnen dit onderwerp. Hoe beleef ik de ruimte? Is de woonkamer, de klas of de gymzaal b.v. het uitgangspunt? Wat is dan de wereldruimte en hoe heb ik daar als mens deel aan?
Dit zijn intrigerende vragen, die in die eerste dagen aan de orde komen en ons zeer bezighouden.
We ontdekken dat we – voor het eerst – niet weer tegenóver het onderwerp van onze studie staan, zoals bij dierkunde en plantkunde wel het geval was. Maar nu staan we middenin het onderwerp; wij zelf zijn deel van het kosmische geheel en nemen vanaf onze planeet allerlei bewegingen waar van andere planeten en sterren. We oefenen ons in het bepalen van de richting; ergens aan de hemel ligt de grens tussen de noordelijke en de zuidelijke sterrenhemel. Ergens is dat mysterieuze vaste punt, waarin de Poolster staat.
Een volgende beschouwing brengt brengt ons tot de vergelijking van de jaargetijden en jaarfeesten in bijvoorbeeld Nederland en Australië
Wat een eigenaardige ontdekking: de kinderen op de vrijeschool in Sydney zien straks ook het Kerstspel, maar wel hij een hartje-zomer-temperatuur van 33′ C! Arme Gallus en Stiechel, die dan het gevecht om de “wollen wanten” moeten aangaan!
Dit vak vraagt een oriëntatie in ruimte, maar ook in de tijd van ons; iets dat zeker niet eenvoudig is.
Van een andere orde is het beseffen van de onzichtbare sterrenhemel; de eerste die straalt achter het blauwe van de daghemel, de tweede die zich ónder de horizon bevindt als het nacht is. (Dat het hier om hetzelfde gedeelte van de sterrenhemel gaat wordt later in de periode duidelijk.)
Zijn de dag en de nacht omkeerbaar? Is die tijd eigenlijk precies hetzelfde en is het enige verschil de aanwezigheid van het directe zonlicht? Of is er nog iets anders?
“De nacht brengt raad”, “Ik moet er nog eens een nachtje over slapen”, en andere uitdrukkingen brengen ons op het spoor van de mens zelf, die ’s nachts kennelijk anders is dan midden op de dag. Dat er sprake is van een ander bewustzijn wordt – hoewel anders verwoord – toch opgemerkt.
Een boeiend en veelomvattend vak, sterrenkunde.
Maar dan de stap naar de zichtbare sterrenhemel.
We hebben geleerd ons te oriënteren, weten dat de sterrenhemel draait, dat de sterren opgaan en ondergaan, volgens hun vaste banen. Wat zien we nu aan de hemel, gericht naar de Poolster? Als hulp zijn er de oude beeldrijke verhalen, zoals onze voorvaderen ze beleefd en uitgedrukt hebben:
De Grote Beer, waarvan wij hier in het lichte westen alleen maar het staartje zien (het steelpannetje) jaagt een Koningin achterna, die in haar doodsangst het water inloopt en daar met opgeheven armen staat, tot haar verlossing komt (Cassiopeia). Haar man, de Koning (Boötes) jaagt weer achter de Beer aan, vergezeld van zijn twee jachthonden. In zijn hand heeft hij reeds de zweep. Naast zich houdt hij de Kroon met 7 fonkelende edelstenen. Daar is het verhaal van de Draak, die uit nijd en afgunst sterren wilde roven, maar door een machtige engel bedwongen werd. Deze sterren zijn alle gegroepeerd rond de Poolster. Zo leren we de Wagen, de Voerman, enz.
Vervolgens draaien we ons 180* om en staan met ons gezicht naar het zuiden. Een totaal ander beleven! Voor ons staat (begin december) Orion, die in het oosten opkomt en hoe verder hij in de avond en nacht gaat, des te stralender beheerst hij de hemel in het zuiden. Een mooie sage vertelt hoe Orion koning aan de winterhemel geworden is en hoe hij deze plaats verdiend heeft:
Als herder was hij ongeschikt, ondanks zijn twee honden, als jager zocht een haas, door een vos achtervolgd, juist toevlucht hij hem, ten slotte wijst een duifje hem de weg naar een burcht waarin hij zwaard en helm vindt. Dan bevrijdt hij het land van een reus, die met zijn ijsadem de bron en de stroom verstoppen wil, zodat de wonderbare roos niet bloeien kon. In een gevecht van 100 nachten wint Orion met behulp van zijn honden die bijten; zijn haas, die de grond onder de voeten van de reus weggraaft; en zijn duif, die Orion met druppels water uit de bron bespat en verkwikt. Orion krijgt als dank een gouden gordel, met edelstenen bezet, met drie grote diamanten. Als eeuwig aandenken staat Orion nu aan de hemel. Om middernacht in de Heilige nacht staat hij het hoogst, precies in het zuiden, tegenover de Draak. Men ziet de drie diamanten, zijn zwaard. Aan zijn rechtervoet begint de bron en de stroom Eridanus. Aan zijn voeten hurkt de Haas; dicht bij de horizon zit de schuwe duif. De Grote en de Kleine Hond aan de linkerkant. De grote hond is zeer duidelijk, want de helderste en flonkerende ster van deze groep heet Sirius.
Tot slot van de periode spreken we over de planeten, die ieder hun eigen baan beschrijven, met eigen omlooptijd om de zon, die kan verschillen van enkele maanden tot tientallen jaren! (Mercurius: 3 mnd.; Venus: 7½ mnd.; Aarde: 1 jaar; Saturnus: 29½ jaar.)
Ik hoop een indruk te hebben gegeven van een intrigerende periode, waarna de kinderen, zelf onder de nachtelijke hemel staand, met verwondering omhoog zien en hun weg in de sterren kunnen vinden.
Er zijn heel veel kinderboeken. Ze zijn en worden door allerlei recensenten besproken. Die hebben allemaal een opvatting of een boek mooi, goed, enz. is.
Er staan vaak illustraties in. Ook die worden mooi, dan wel minder mooi of zelfs lelijk gevonden. Maar hoe geldig zijn deze criteria. Smaken verschillen en als ze opvoedkundig beoordeeld worden, spelen allerlei mensbeelden, bewust of onbewust, ook hun rol.
De kinderen zelf vormen de grootste maatstaf. Als een boek telkens voorgelezen en of bekeken moet worden; als het ‘met rode oortjes’ wordt gelezen, verslonden, zelfs, dan weet je dat de schrijver of illustrator een snaar heeft weten te raken die nog lang naklinkt. Ook de kinderen hebben een smaak en het ene zal dit, het andere dat boek fijner vinden.
In de artikelenreeks ‘Kinderboekbespreking’ op deze blog zal er een aantal de revue passeren.
Een bekroonkinderboek – zilveren griffel 1973 – over een het hondje Candy. Enerzijds een droevig verhaal over het hondje dat te vroeg bij zijn moeder wordt weggehaald en in een gezin komt waar de volwassenen niet goed weten hoe je met zo’n pup om moet gaan. De kinderen kunnen van het verhaal leren dat allerlei stress, angst en onzekerheid voor een jong hondje betekent dat het daar zijn verdere leven last van heeft; het daardoor minder gelukkig is. Candy maakt van alles mee, waarbij je telkens maar hoopt dat het goed afloopt. Voor de jonge lezertjes wel spannend. Na veel ellende en ontbering vindt Candy uiteindelijk toch een echt thuis.
De grote beer en een deel van hem dat we de Grote Wagen noemen of de Steelpan, is een van de oudste sterrenbeelden en ook een van de bekendste. Bij Homerus kunnen we al lezen dat Odysseus van de nimf Calypso de raad krijgt om zich op de thuisreis over zee op het sterrenbeeld van de beer te oriënteren. ‘Hij kreeg er geen genoeg van om ’s nachts op zijn vlot naar de Plejaden te kijken en naar de ondergaande Boötes en naar de Beer die de wagen wordt genoemd die op dezelfde plaats zich draaiend steeds naar Orion kijkt, maar die zich niet baadt in de Oceaan.’ Eigenlijk is het een berin, dat zeggen tenminste de verschillende legenden die over dit sterrenbeeld verhalen. De mooiste wordt misschien wel door Ovidius gemeld die verschillende motieven in dichtvorm samengevat heeft in zijn ‘Metamorfosen’.
Callisto, wat de mooiste betekent, was de dochter van koning Lykaon van Arcadië, een eenzaam land in het hooggebergte van Midden-Peloponnesos. Ze had haar ouders verlaten en leefde nu samen met de boom- en woudnimfen in het gevolg van de godin van de jacht Artemis, die door de Romeinen Diana wordt genoemd. Aan de godin had ze op haar boog gezworen net als zijzelf niet te trouwen. Artemis prees haar en sprak: ‘Houd je aan je belofte, dan zal je steeds de eerste zijn in mijn gevolg.’
Callisto nam zich voor op te passen voor stervelingen, maar toch werd haar schoonheid haar noodlot. Want Zeus, de machtigste god, was verliefd geworden op haar. Toen zij eens alleen in het woud aan het rusten was, bediende hij zich van een list en naderde haar in de gestalte van haar meesteres. Voor haar had het meisje geen angst en ze liet zich ook door haar kussen. Toen ze bemerkte dat er van een verwisseling sprake was, verweerde ze zich, maar tevergeefs. Zichzelf verwijten makend dwaalde Callisto door de wouden die ze nu haatte. Nu vond ze het moeilijk zich weer bij het gevolg van Artemis te voegen. Voortdurend leefde ze in angst dat deze haar geheim zou ontdekken.
Toen daarna de maansikkel voor de negende keer voller werd, kwamen ze verhit bij een bij een bron in het koele woud. ‘Er is niemand die ons kan zien, laten we elkaar over het naakte lichaam met het frisse water begieten.’ Terwijl de nimfen zich vlug uitkleedden, aarzelde Callisto uit schaamte. Toen ze zo talmde, deden de anderen haar kleren uit en nu kwam aan het licht wat ze tevergeefs probeerde te verbergen. ‘Verdwijn van hier, dochter die meineed pleegt en verontreinig de zuivere bron niet,’ riep Artemis. En zo werd Callisto die zich niet kon verdedigen, verstoten uit de groep nimfen en ze vluchtte angstig en onteerd in de duistere eenzaamheid van de wouden. Toen de maan voor de tiende keer vol werd, schonk zij het leven aan een wondermooie, sterke jongen. Ze noemde de godenzoon Arcas en van hem stamt het geslacht van de ruwe Arcadiërs af.
De jaloerse Hera, de echtgenote van Zeus, had echter alles gezien. Toen Arcas geboren was, kende haar woede geen grenzen. Ze veranderde Callisto in een wilde berin. Maar haar geest kon zij haar niet afnemen en nu dwaalde Callisto eenzaam door de wouden van Arcadië. Zij wilde zich niet bij de wilde dieren aansluiten, omdat ze bang voor hen was en de mensen vervolgden haar en hitsten de honden tegen haar op. Vijftien jaar ging voorbij en Arcas was tot een krachtige jongeman opgegroeid. Omdat hij bij pleegouders was opgevoed, wist hij niets van zijn afkomst en van het lot van zijn moeder. In het bos vond de eerste ontmoeting plaats. Callisto bleef staan en merkte door haar gevoelig moederhart, dat haar zoon voor haar stond. Hij echter sidderde voor de blik van de berin die tot in zijn hart doordrong. Toen zij daarna dichter naar hem toeliep, om te laten merken wie ze was, hief de jongeman die van niets wist, uit angst zijn speer om haar te doorboren. Maar de alwetende Zeus verijdelde het onvergeeflijk vergrijp. Hij plaatste beiden als sterren aan de hemel en zo werd Callisto de grote berin en Arcas tot de ster Arcturus die haar volgt. Sommigen zeggen zelfs dat hij Boötes is. Hera die dit niet kon voorkomen, voelde zich gekrenkt. Bevend van woede begaf ze zich in de diepte van de wereldzee naar Oceanos en Thetis die in oertijden haar voedster was geweest. Zij kreeg het bij hen in ieder geval gedaan dat de berin niet, zoals de andere sterren, iedere dag onder zou gaan in de wereldstroom die alles omgeeft, om zich te voeden en te verfrissen.
Het beeld van de Grote Wagen, de Steelpan, is voor de meesten wellicht nog vertrouwder, omdat je daarmee de Poolster kan vinden. De zeven heldere sterren van de Grote Beer kan je makkelijk als een wagen zien met een gebogen disselboom. De drie disselboomsterren hield men vroeger voor de drie trekpaarden die de wagen voorttrokken en op de middelste, op Mizar, zat de ruiter, de ster Alcor. Sinds onheuglijke tijden is dit een ster om je ogen op de proef te stellen, want alleen als je goede ogen hebt, zie je hem naast Mizar.
dec. 1. 22°° u jan. 1. 20°° u feb. 1. 18°° u 15. 21°° u 15. 19°° u 15. 17°°u
De Grote Beer vind je altijd aan de noordelijke hemel waar hij om de Poolster draait. Vanaf november-december komt hij in het noordoosten op.. De twee sterren Merak en Dubhe dienen sinds oude tijden om de Poolster Polaris te vinden. Als je de lijn die hen verbindt, de achterkant van de wagen, vijf keer langer denkt, kom je ongeveer precies bij de hemelpool en de Poolster uit.
De namen van de sterren betekenen: Alcor ruiter(tje) Alioth (Arabisch) dikke, vette staart Dubhe (Arabisch) rug Phekda (Arabisch) bovenbeen Megrez (Arabisch) stuit Merak (Arabisch) lende Mizar (Arabisch) midden
Dr. Jaap van der Wal, Jonas nadere gegevens onbekend
.
Hemel en Aarde
Polariteiten in de menselijke embryonale ontwikkeling
Conceptie: ontmoeting tussen hemel en aarde?
‘Ik ontdekte dat ik in de menselijke embryonale ontwikkeling niet moest zoeken naar een fase die ‘past’ bij het ontstaan van hemel en aarde, maar naar hét hemelse en hét aardse.’
Dit artikel wil een poging zijn, te laten zien hoe het omgaan met de ‘polariteitsidee’ behulpzaam kan zijn bij het verkrijgen van inzicht in de fenomenen, die spelen tijdens de embryonale ontwikkelingsfasen van de mens. Dat lijkt op het eerste gezicht een specialistisch deelgebied te zijn, maar het gaat om het voorbeeld. Een voorbeeld om in algemene zin duidelijk te maken hoe omgaan met polariteiten als onderzoekmethode kan werken. Dat ik daartoe slechts een enkel facet belicht van het immens complexe gebeuren dat de vorige ontwikkeling van de mens is, betekent dat hier en daar de gedachtegang bewust sterk op één punt gericht wordt en dat op – overigens zeer interessante – zijwegen niet wordt ingegaan. en tweede wat bemoeilijkende factor bij het opstellen van dit artikel was, dat ik omwille van de duidelijkheid een soort omgekeerde weg bewandelen moest. In plaats van, zoals hier beschreven, een zoeken naar een polariteit in een bepaald fenomeen, vergaat het mij meestal zo dat ik in een eerste intuïtief inzicht die polariteit vermoed en vervolgens de fenomenen nauwkeuriger ga beschouwen. Dan gaat daar vaak nog lange tijd van studie, proberen, op je in laten werken, et cetera overheen, voordat het vermoeden een stelligheid, een evidentiegevoel wordt. Er zijn vele manieren om uiteen te zetten wat het onderscheid tussen een polariteit en een dualiteit is; op zichzelf al stof voor een boeiend artikel. Een wezenlijk aspect van de polariteit is, wat ik altijd pleeg te noemen, de innerlijke omkeerbaarheid. Dat wil zeggen: de ene pool ‘spiegelt’ de andere, wat de een bijvoorbeeld uiterlijk vertoont, heeft de andere pool juist meer innerlijk opgenomen. Verderop in dit artikel wordt dit aan de hand van een voorbeeld toegelicht. Hier zij alvast opgemerkt dat dit ‘omkeerbaar zijn’ direct samenhangt met het meest wezenlijke van de polariteit, namelijk dat ze ‘ont-moetbaar’ zijn. Ontmoetbaar, juist omdat ze elkaars tegendeel én overeenkomst spiegelen. Zolang ook die overeenkomst met elkaar niet aan het licht wordt gebracht, zullen polariteiten polariseren, afstoten zoals dualiteiten dat kunnen doen en zal het ontmoetbare, het midden, niet worden gevonden. Het geheim van de polariteit zit in dat middengebied, zoals ik het geheim van de tafel van negen leerde van mijn zoon uit de derde klas. Bekijkt u de getallenreeks van de tafel van negen: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 dan kunt u daar veel in ontdekken, onder andere ook dat de eerste vijf getallen (09, 18, et cetera) een omkering, een spiegeling zijn van de laatste vijf getallen (54, 63, et cetera). Het omkeerpunt, het ontmoetingspunt tussen die twee omgekeerde getalreeksen zelf, is niet zichtbaar (dat wil zeggen is niet zelf een getal), maar duidelijk ‘te zien’. Het middenpunt waar 45 als het ware omkeert in 54 – de as van de polariteit – ontbreekt zelf als getal in de reeks, terwijl de hele reeks als het ware op dit ‘onzichtbare’ middenpunt, omslaggetal, attendeert! Dat geeft iets weer van het wezen van een polariteit: de polen wijzen op elkaar en daarmee op het ontmoetingspunt, op het midden. Tot zover dit eenvoudige beeld. Voor wie wil zoeken, zitten er in dit beeld van de tafel van negen nog meer geheimen.
Embryo binnenstebuiten
Afbeelding 1 is een schets van een microscopisch preparaat van een menselijke vrucht (embryo) van ongeveer zes à zeven dagen na de bevruchting.
Afb. 1 – Menselijke vrucht – blastula stadium, ± 6e dag na conceptie, 1a trofoblast, 2 blastulavocht, 3 embryoblast. 1b trofoblast (voorliggende deel)
Eerst dient men zich voor te stellen dat het hier om de doorsnede van een met vocht gevuld blaasje gaat, waarvan de wanden door cellen worden gevormd. Dit stadium van de menselijke ontwikkeling wordt blastule (blaasje) genoemd. Het is duidelijk dat de wanden van dit blaasje een asymmetrische verhouding vertonen: ‘boven’ zijn de cellen meer afgeplat en is de begrenzende cellaag enkelvoudig, meer naar ‘onderen’ zijn de cellen groter en onregelmatiger van vorm en gaat het om meerdere lagen cellen, die de wand van de vochtholte vormen. De begrippen ‘boven’ en ‘onder’ krijgen enige betekenis wanneer men bedenkt dat de menselijke vrucht zich in dit stadium in het baarmoederslijmvlies gaat innestelen en dit doet met het ‘onderste’ dikwandige deel van de blastula vóórop (zie afbeelding 2).
Afb.2 – Menselijke vrucht als bij afb. 1, tijdens innesteling in baarmoederslijmvlies. 1a trofoblast, 1b trofoblast, 2 blastulavocht, 3 embryoblast, 4a en 4b baarmoederslijmvlies.
Lijken er zo op het eerste gezicht qua bouw al twee polen in dit blastulastadium aanwezig, nog duidelijker wordt dit tijdens de innesteling. Het blijkt dan dat de cellen die aan de buitenkant – periferie – van de blastula liggen zich zeer intensief gaan ontwikkelen, in aantal sterk gaan toenemen, met enzymen sterk het baarmoederslijmvlies aanvreten en zo het innestelen bevorderen. Kortom: aan de periferie heerst activiteit, stofwisseling. Dit gedeelte van de blastula heet dan ook trofoblast, vertaald: dat wat de voedende organen gaat vormen (het Griekse woord tre-fein betekent voeding). Centraal blijft het veel ‘rustiger’: daar ligt een aantal cellen dat niet met dit uitbundige groeien lijkt mee te doen. Dit zijn de zogenaamde embryoblast-cellen (dat wat het embryo gaat vormen). Zo lijkt dit blastula-stadium een centrum en een periferie te vertonen en ook – omdat dat centrum niet met het geometrische midden samenvalt – een soort boven- en onderkant. We komen wat meer in de richting van de polariteit die hier speelt, als we ons richten op de ‘toekomst’ van dit centrum (embryo-blast) en deze periferie (trofoblast). Daartoe vergelijken we dit plus minus zevendaagse stadium met de situatie van een foetus van ongeveer drie maanden (zie afbeelding 3).
Afb. 3 – Dwarsdoorsnede door een zwangere baarmoeder, 3e maand. In een later stadium zal de vruchtwaterholte de gehele beschikbare ruimte tussen vliezen en placenta opvullen. 1 trofoblast, 2 chorionholte, 3 kiem-schijf, 4 baarmoederslijmvlies.
We kunnen die twee polen (trofoblast en embryoblast) gemetamorfoseerd terugvinden. Eigenlijk kent de mens tijdens de voorgeboortelijke ontwikkeling twee lichamen, of – zo kan men het ook uitdrukken – is onze fysieke behuizing in tweeën gedeeld. Eerst is daar het ‘eigenlijke’ lichaam (lijf), dat na de geboorte ons fysieke hulsel zal uitmaken, centraal in de vruchtwaterholte zwevend, het eigenlijk embryo/foetus. Ten tweede is daar een soort voorgeboortelijk buitenlijf, dat tijdens ons binnen-baarmoederlijk bestaan als een bemiddelende mantel ons eigenlijk lijf omhult. Ik doel hiermee op de vruchtvliezen en de placenta (moederkoek), die in de gangbare biologie bekend staan als ‘hulporganen’, bemiddelend tussen de embryo/foetus en het organisme van de moeder. Ik meen echter met goed recht deze ‘hulporganen’ te mogen beschouwen als een deel van ons/mijn voorgeboortelijk lijf en niet als een soort aanhangsel. Dat leert mij immers dat zevendaagse stadium, waar die toekomstige twee ‘lijfs-delen’ al aanwezig zijn als trofoblast (placenta en vruchtvliezen) en embryoblast (embryo/foetus). En die zijn weer terug te brengen tot die ene eicel die in het begin mijn ;‘fysieke’ lijf vormde en die door verdergaande (onderver-)delingen en vochtophoping uitgroeide tot het eerder beschreven blastula-stadium.
Wanneer we nu dit zevendaagse stadium en dit driemaanden-stadium vergelijken en de situatie na zeven, acht maanden in gedachte nemen ( de vruchtvliezen en placenten geheel vergroeid met de baarmoederwand, daarin een vruchtwaterholte waarin dan weer de foetus), wordt de volgende samenhang zichtbaar:
trofoblast periferie vliezen/placenta
embryoblast centrum foetus/embryo
blastulavocht ruimte vruchtwater
De volgende stap is van beeld naar gebaar. Rond dat moment van innesteling is de verhouding embryoblastcellen: trofoblastcellen ongeveer 1 : 12. Direct tijdens dat innestelen al begint deze verhouding drastisch te veranderen: in een hoog tempo neemt de trofoblast in omvang, dikte en activiteit toe. Het resultaat is onder meer dat de hele vrucht steeds verder het baarmoederslijmvlies invreet en al een week later contact maakt met moederlijke bloedvaten. Afbeelding 4 toont dit bij een vrucht van ongeveer drie weken; duidelijk is ook te zien dat de trofoblast zich in meerdere soorten cellen opgedeeld heeft.
Een beeld van wat hier gebeurt zou het volgende kunnen zijn. De trofoblast reikt naar buiten, naar de periferie, de Umwelt. Expansie, uitstralen, specialiseren, naar buiten reiken, activiteit, zijn sleutelwoorden. In scherp contrast daarmee, maar daardoor ook duidelijker accentuerend wat hier gebeurt, het ‘gedrag’ van de embryoblastcellen. Daar is, uiterlijk althans, weinig te merken van groei- of specialisatie-activiteit. Het is eerder of deze cellen zich ten opzichte van dat
trofoblast‘geweld’ terughouden. Een week later (afbeelding 4), is dat beeld nog steeds te herkennen. Hoewel er inmiddels wel meer gebeurd is, is de grondtoon zoals hierboven beschreven, nog steeds aanwezig. Centraal – in omvang nauwelijks nog iets beduidend – de kiemschijf, dat is de voortzetting van de embryoblast; perifeer een enorme trofoblast met grillige lagen en holten en een geweldig groot oppervlak. De embryoblast (het ‘eigenlijke’ embryo) als as van het wiel. En wat is er geheimzinniger aan een as dan het feit dat alles eromheen draait, maar de as zelf het punt is dat niet draait? Centrum en periferie, rust en activiteit, terughouden en specialiseren, et cetera. Een polariteit?
Hemel en aarde
Er zijn vele wegen om hierop het antwoord te vinden. Eerst kwam naar aanleiding van het beschreven blastula-stadium (afbeelding 1) bij mij het beeld op van een hemel en een aarde. Het is erg verleidelijk om in dit stadium een soort Ptolemeïsch plaatje te zien van een aarde, dobberende in een oerzee, met daarboven een uitspansel opgericht van ‘hemelwater’. In eerste instantie wil ik dat beeld nog even terzijde plaatsen. Het gaat immers bij de fenomenologische wijze van beschouwen om het gebaar, het proces; het gaat er als het ware om op de grens van het zintuigelijk waarneembare, het gebaar achter de zichtbare fenomenen te raken. Geen plaatjes maar beelden, en dan wel plastische beelden – proces-denken, dynamisch denken.
Daarom eerst voor de ‘begrippen’ hemel en aarde te rade gaan bij de eigen waarneming, de zelf beleefde realiteit. Hoe beleven wij hemel en aarde vanuit het menselijke, aardegebonden standpunt? Dat is dus niet het abstracte denken en waarnemen dat een andere ‘realiteit’ vertoont, namelijk de ‘hemel’ als eindeloos, uitdijend heelal, en de ‘aarde’ als een rondsuizend planetair stofje. Ik sta op de aarde, als mens, ik kijk op en zie de hemel. Alzijdig om mij heen, tot aan de horizon. Een koepel. Maar ook: wijdheid, openheid, ruimte, het van mij vandaan uitdijende, het naar mij toe stralende, het veranderlijke (licht, planeten), ruimte, periferie. En onder mij die aarde, tot zover het oog reikt: vast en zeker, ‘plat’ tot aan de horizon, rust, onveranderlijk. Maar ook het beeld van de gravitatie (zwaartekracht): naar de aarde toe trekken, concentreren, centrum. Zoals ‘hemelkrachten’ (levitatie) het tegenovergestelde doen: van de aarde weg reiken, de hemel in. Centrifugaal en centripetaal, concentratie en distractie, centrum en periferie, hemel en aarde? Een polariteit? En… zou deze zeven dagen oude menselijke vrucht daarvan een beeld, het beeld zijn?
In den beginne… schiep God Hemel en Aarde. Als kind heb ik die woorden menigmaal met grote zeggingskracht van de kansel horen komen. En ik vond dat ook wel ‘logisch’: eerst de hemel en de aarde, daar draaide immers alles om. De aarde was nu en hier, de hemel was daar en straks. Eerst hemel en aarde en daarna de rest. Er was – vind ik nu – veel niet ‘juist’ in die kinderlijke opvatting, maar één vooronderstelling wil ik hier uitlichten. In den beginne was voor mij vooral een tijdsfactor: hemel en aarde waren het eerste geschapen en vervolgens… Maar het is meer: om te beginnen als basis, als een alles wat daarna nog volgt doorklinkend oer-gebeuren waren en zijn daar hemel en aarde. Een oerakkoord, toen, hier en nu en in de toekomst. Het gaat er hier niet om of deze ‘uitleg’ van dit gedeelte van het scheppingsverhaal uit Genesis juist is. Het gaat erom te laten zien, dat ik op die manier ontdekte dat ik niet in de menselijke embryonale ontwikkeling, die een ‘herhaling’, een soort echo van aarde- en mensheidsontwikkeling is, naar een bepaalde embryonale fase die ‘past’ bij het ontstaan van de hemel en de aarde moet zoeken, maar naar hét hemelse en hét aardse. Niet naar een plaatje van een trofoblast/embryoblast, maar naar een gebaar achter de zichtbare fenomenen. Dóór-schouwen, daar gaat het om. En dat brengt mij bij het beeld van de conceptje.
Conceptie. Het begin?
Enige jaren geleden gaf ik eveneens in Jonas een uiteenzetting over de conceptie, de bevruchting bij de mens. Door de fenomenen rond die bevruchting ontstond niet alleen een beeld van een ‘horizontale’ conceptie (dat wil zeggen het bij elkaar komen van zaadcel en eicel), maar werd aan de ontmoeting tussen die polariteiten zaadcel en eicel ook iets zichtbaar van een soort ‘verticale’ conceptie. Geest verbindt zich met de materie, materie gaat open voor de geest: het bij elkaar komen van de materiële en spirituele polen van een mens. De ruimte ontbreekt hier om nog eens alle argumenten en gegevens op te sommen waarom die twee oercellen zo polair zijn. De ontmoeting tussen die twee immense polen is ook een zeer vruchtbare: twee in principe tot afsterven gedoemde cellen brengen elkaar tot leven, of liever, maken nieuw leven mogelijk. (Zie Jonas 17, april 1979).[niet op deze blog] In het kader van de hier te volgen gedachtegang zal ik er één aspect uitlichten. Maar eerst een voorbeeld van het begrip ‘Steigerung’ (Goethe) of wel: hoe een ontmoeting tussen de twee polen van een polariteit tot een hoger niveau kan brengen. Om dat uit te leggen gebruik ik vaak het beeld van de slinger van een klok (een wat archaïsch beeld in de tijd van het kwartshorloge). Daar pendelt de slinger. Heen en weer tussen links en rechts. Links en rechts als polen van een polariteit. Er is het grauwe compromis mogelijk tussen deze beide polen, dat de slinger stil komt te hangen in het midden. Noch links, noch rechts, maar ook geen beweging meer. De kracht is eruit, rechts en links zijn beide als het ware afwezig. Hoe anders wordt het beeld, wanneer de slinger juist steeds sterker naar links en rechts zwaait, tot 180° toe, ja zelfs door dat meest polaire vlak tussen links en rechts heen gaat en loodrecht omhoog blijft staan. Ook in het midden, maar hoe anders! In evenwicht. Rechts en links beide evenwichtig, beide maximaal aanwezig, maar ook maximaal terughoudend ten opzichte van elkaar. Het zindert in dit midden van de energie. Links en rechts komen als het ware vrij in een waarlijk ontmoeten. Daar kan iets ontstaan. Dit is het beeld van in een ontmoeting op hoger niveau komen: links en rechts opgelost, nee opgeofferd tot een nieuw niveau.
Conceptie: ontmoeting tussen Hemel en Aarde?
De zaadcel – een langwerpig, straalvormig organisme. Tijdens de rijping heeft de zaadcel alle overtollige materiaal afgestoten en zich zo klein mogelijk gemaakt. Het is een zelf-bewegende cel. Het is als de zaadcel nog maar één dimensie volgt: de straal, de rechte. Het beeld van tientallen zaadcellen die allen naar de eicel toebewegen in een naar één punt toestralen, een concentreren.
De eicel – bolvormig en relatief een zeer grote cel. Deze heeft zoveel mogelijk materie aangetrokken om als maar volumineuzer te worden. Zelf niet bewegend, maar wel (gelijk de kogel) gemakkelijk in beweging te brengen. Hier lijkt de (twee)dimensie van het (bolvormige) oppervlak te overheersen.
Deze (zeer summier weergegeven) gedachten lijken niet in de richting te gaan van de meest directe inval die men krijgen kan als men in het licht van het Hemelse en het Aardse de beide cellen beschouwt, namelijk: eicel is rond, is vrouwelijk, is aarde (Gaia, Moeder Aarde) en zaadcel is recht, is stralen, is manlijk, is hemel. Voorbijgaand aan het feit dat hier wel een zeer interessante zijweg opduikt (namelijk van het mannelijke en het vrouwelijke) is de les die we hieruit kunnen trekken, dat hier een soort paradox schuilgaat achter de zichtbare feiten. En dat is nu juist vanuit het oogpunt van fenomenologie en polariteit interessant.
We lijken nu wel erg ver afgedwaald van de zeven dagen oude menselijke vrucht. Maar zo ongeveer verging het mij ook tijdens een cursus boetseren: in eerste instantie niet denkend aan zaadcellen en eicellen et cetera, bezig met het boetseren van bollen en cilinders. En toen werd me het een en ander duidelijk. Maak een rechte, een straal van je lijf, voel dan het open staan, het stralende, het lichte, het naar buiten reikende. Rol in elkaar en voel hoe het ronde in zich afsluit, het duister tot zich neemt. De straal, licht, periferie, hemel, uitademing; de bol, duister, centrum, aarde, inademing. Het ging bij elkaar horen. Maar ook de omkering! Mijn arm bijvoorbeeld is een zichtbare straal. Onzichtbaar is de bol die daarbij hoort: als ik mijn arm beween. beschrijf ik daarmee een kegelmantel. Mijn hoofd daarentegen is rond in zijn uiterlijke fysieke vorm. Wat ernaartoe en vandaan straalt (waarnemingen, gedachten) is onzichtbaar. Het gaat bij hoofd en arm, bij bol en cilinder, bij cirkel en straal om een soort metamorfose. Wat de ene pool zichtbaar heeft (maakt), heeft (maakt) de ander onzichtbaar en omgekeerd. Zaad en eicel elkaars metamorfosen. Een polariteit. Zaadcellen stralen uit de omgeving terug wat de eicel daar onzichtbaar in uitstraalt en omgekeerd. In de zaadcelbeweging kunnen wij een tegenbeweging ten opzichte van het hemelse bewegen ontdekken. Het Hemelse is ‘het naar buiten strevende’ en vindt zijn (haar?) voltooiing in het ‘terugstralen’. En het principe van het aardse is niet zozeer het ‘van binnen, naar binnen toe levende’, maar vindt veeleer zijn (haar?) vervulling in ‘het naar buiten toe opengaan’. Dat is wat er bij conceptie gebeurt: beide polen vervullen elkaar.
Hemel en aarde zijn de oerprincipes van centrum en periferie, stralen en afsluiten, maar ook van opengaan en toestralen. Dat is hetgeen ik meen te kunnen herkennen als het gebaar achter de blastula van zeven dagen oud. Een aardelijf en een hemels lijf – zoals ook later deze twee lijven bestaan in het eigenlijke embryo en de vruchtvliezen met placenta. Niet dus een plaatje van de hemel en de aarde, nee, net als bij de conceptie is hier het grondakkoord van het Hemelse en het Aardse hoorbaar, zoals dat de hele symfonie van de menselijke ontwikkeling zal blijven doorklinken.
En het midden? Er is een boek te schrijven over waar en hoe zich overal in de embryonale ontwikkeling het Hemelse en het Aardse manifesteert. De trofoblast-embryoblast-polariteit is zo’n beeld. In het zich aan de Umwelt overgevende van de trofoblast vindt de embryoblast als het ware de weerstand waaraan deze de terughouding van het aardse kan betrachten, het juist niet specialiseren. En daarmee open blijven voor andere inwerkingen? De trofoblast immers kan niet meer worden tot ons eigenlijke menselijke lijf. Is dat niet wat Bolk ook als karakteristiek aan de menselijke gestalte meende te ontdekken? Terughouding en het niet in de periferie van de zintuigelijke wereld, de fysieke wereld der begeerten schieten? (L.F.C. Mees). De embryoblast als as van het wiel, aangrijppunt voor krachten van buitenaf, zoals de eicel zich openstelt voor hemelse werkingen? Is dat ‘te zien’?
Daartoe dienen we onze aandacht te richten op de processen die spelen in de derde week van de menselijke ontwikkeling. Afbeelding 4 laat het stoffelijke beeld daarvan zien. Een enorme ‘hemelmantel’ en een nietig ‘aardecentrum’. Maar zoals bij de conceptje de eicel open stond voor de geestelijke krachten en de materie in de eicel daardoor tot leven gebracht kon worden, zo is er de derde week van de menselijke ontwikkeling ook sprake van een soort conceptie. In het enorme naar buiten streven van het ‘buitenei’, de trofoblast, ontstaat ten opzichte van het terughoudende centrum een steeds groter spanningsveld. De slinger slaat steeds verder uit. En dat zijn, zoals uiteengezet, vruchtbare momenten. Het is alsof dan, als reactie op dat fysieke naar de periferie groeien, vanuit die periferie een onzichtbaar antwoord komt. In die week namelijk beginnen voor het eerst ook in de kiemschijf (embryoblast) ontwikkelingsprocessen en groeibewegingen zichtbaar te worden. En vanaf dat moment zal de embryonale ontwikkeling juist vanuit het centrum gaan verlopen. De eerste ‘symptomen’ daarvan zijn in de derde week de primitieve aanleg van hart en wervelkolom! Alsof in die derde week het middengebied tussen hemel en aarde tot leven komt, door die polariteit van hemel en aarde, en is juist niet het hart het echte midden daartussen waar de mens werkelijk ‘woont’? De ruimte ontbreekt om hier op dit incarnatieachtige moment van de derde week in te gaan.
Is de mens zelf in zijn/haar gestalte niet een metamorfose van hemel en aarde? Het ronde hoofd van de aarde af omhoog gedragen de hemel in, de stralende onderpool met de extremiteiten naar de aarde toegewend. Hét beeld van een zich omstulpende polariteit. En daartussen richt de mens zich op en leeft zijn Ik. De mens, wezen van het midden tussen hemel en aarde. Noch het één, noch het ander, of toch: zowel het één als het ander? Of liever: ‘steigerende’ ontmoeting tussen hemel en aarde, aan hemel en aarde, dankzij hemel een aarde. Dan schieten woorden tekort. Dat moet men zien. Niet met de ‘gewone’ ogen alleen. ‘On le sent plus qu’on voit’ (Pascal). Men voelt het meer dan met het ziet. Uitleggen, bewijzen is hier niet mogelijk. Voor wie het zien wil, is het geheim openbaar. Wetenschap een kunst?
Er zijn heel veel kinderboeken. Ze zijn en worden door allerlei recensenten besproken. Die hebben allemaal een opvatting of een boek mooi, goed, enz. is.
Er staan vaak illustraties in. Ook die worden mooi, dan wel minder mooi of zelfs lelijk gevonden. Maar hoe geldig zijn deze criteria. Smaken verschillen en als ze opvoedkundig beoordeeld worden, spelen allerlei mensbeelden, bewust of onbewust, ook hun rol.
De kinderen zelf vormen de grootste maatstaf. Als een boek telkens voorgelezen en of bekeken moet worden; als het ‘met rode oortjes’ wordt gelezen, verslonden, zelfs, dan weet je dat de schrijver of illustrator een snaar heeft weten te raken die nog lang naklinkt. Ook de kinderen hebben een smaak en het ene zal dit, het andere dat boek fijner vinden.
In de artikelenreeks ‘Kinderboekbespreking’ op deze blog zal er een aantal de revue passeren.
Over het wel en wee van twee jonge beertjes die van alles leren van hun moeder. Een leuk voorleesboek voor de kleintjes, maar ook fijn als je al wat lezen kan,. Met veel woorden die je woordenschat vergroten.
Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993.
.
ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.
luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].
De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat. Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen (GA 294) [2] en (GA 295) [3]
Op blz. 135/136 en verderop in de voordracht – zie daarvoor [9-5] zegt Steiner iets over de ontwikkelingsfasen van het kind.
Voor de derde levensfase van 14 – 21 jaar hechtte Steiner grote waarde aan het tijdstip waarop een kind kan gaan oordelen. Niet dat een kind niet op jongere leeftijd oordeelt, maar dan oordeelt het nog zeer van zich uit, dus sterk subjectief. Met het intreden van de puberteit ontstaat er ook een vermogen om veel objectiever te kunnen oordelen.
Rudolf Steiner over de ontwikkelingsfase 14 – 21: begrip(s)oordeel
GA 307
Voordracht 7, Illkley 11 augustus 1923
Blz. 133 vert. 170
Wir werden erst im vierzehnten, fünfzehnten Jahre reif zu einem persönlichen Urteil. Erst im vierzehnten, fünfzehnten Jahre kommt der Mensch so weit, daß der Lehrer auf ihn wirken kann, indem er an das Urteil appelliert. Dann kann er auch vom Denken aus die Gründe entwickeln für irgendeine Sache, Aber vorher schaden wir dem Menschen, halten seine ganze menschliche Entwickelung zurück, wenn wir mit Gründen an ihn herantreten.
We worden pas op het veertiende, vijftiende jaar rijp voor een persoonlijk oordeel. Pas in het veertiende, vijftiende jaar komt de mens ertoe dat de leraar op hem kan inwerken door aan zijn oordeel te appelleren. Dan kan hij ook vanuit het denken de redenen ontwikkelen voor een of andere zaak. Maar voor die tijd berokkenen we de mens schade, houden we zijn hele menselijke ontwikkeling tegen als we met redenen bij hem komen aanzetten. GA 307/133 Vertaald/170
Voordracht 13, Illkley 17 augustus 1923
Blz. 231/232 vert. 299/300
Wenn das Kind geschlechtsreif geworden ist, das fünfzehnte, sechzehnte Jahr erreicht hat, dann vollzieht sich ja in seinem Inneren jener Umschwung, durch den es von der Hinneigung zum Autoritativen zu seinem Freiheitsgefühl kommt und mit dem Freiheitsgefühl zu seiner Urteilsreife, zu seiner eigenen Einsicht. Da kommt etwas, was in der allerintensivsten Weise für Erziehung und Unterricht berücksichtigt werden muß. Wenn wir bis zur Geschlechtsreife Gefühle erweckt haben für das Gute und Böse, für das Göttliche und Nichtgöttliche, dann kommt das Kind nach der Geschlechtsreife dazu, aus seinem Inneren aufsteigend diese Gefühle zu haben. Sein Verstand, sein Intellekt, seine Einsicht, seine Urteilskraft sind nicht beeinflußt, sondern es kann jetzt frei aus sich heraus urteilen.
Wanneer het kind geslachtsrijp is geworden, het 15de, 16de jaar heeft bereikt, dan voltrekt zich immers in zijn innerlijk die ommezwaai waardoor het van de geneigdheid tot het autoritatieve tot zijn vrijheidsgevoel komt en met het vrijheidsgevoel tot zijn oordeelsrijpheid, tot zijn eigen inzicht. Daar komt iets waarmee op de allerintensiefste wijze bij opvoeding en onderwijs rekening moet worden gehouden. Hebben we tot aan de geslachtsrijpheid gevoelens gewekt voor het goed en het kwaad, voor het goddelijke en niet-goddelijke, na de geslachtsrijpheid komt het kind zover dat het deze gevoelens zo heeft dat ze opstijgen uit zijn innerlijk. Zijn verstand, zijn intellect, zijn inzicht, zijn oordeelskracht worden niet beïnvloed, nee, het kan nu vanuit zichzelf vrij oordelen.
Wir entlassen den Menschen mit dem vierzehnten, fünfzehnten Jahre ins Leben hinaus. Wir stellen ihn dann uns gleich. Er blickt dann zurück auf unsere Autorität, behalt uns lieb, wenn wir rechte Lehrer, Erzieher waren; aber er geht zu seinem eigenen Urteil über. Das haben wir nicht gefangen genommen, wenn wir bloß auf das Gefühl gewirkt haben. Und so geben wir dann das Seelisch-Geistige mit dem vierzehnten, fünfzehnten Jahre frei, rechnen damit auch in den sogenannten höheren Klassen, rechnen von da ab mit den Schülern und Schülerinnen so, daß wir an ihre eigene Urteilskraft und Einsicht appellieren. Dieses Entlassen in Freiheit in das Leben, das kann man niemals erreichen, wenn man dogmatisch, gebotsmäßig Moralisches und Religiöses beibringen will, sondern wenn man im entsprechenden Alter zwischen Zahnwechsel und Geschlechtsreife bloß auf Gefühl und Empfindung wirkt. Das ist das einzige, daß man den Menschen so in die Welt stellt, daß er dann auf seine Urteilskraft vertrauen kann.
We laten de mens op het 14de, 15de jaar van school gaan, het leven in. We stellen hem dan gelijk aan onszelf. Hij kijkt dan terug op onze autoriteit, blijft van ons houden als we goede leraren, opvoeders waren; maar hij gaat over tot zijn eigen oordeel. Dat hebben we niet gevangen genomen als we alleen maar op zijn gevoel hebben gewerkt. En zo laten we dan het ziele-geestelijke met het 14de, 15de jaar vrij, houden daarmee rekening ook in de zogenoemde hogere klassen, houden van dan af aan rekening met de leerlingen zo dat we appelleren aan hun eigen oordeelsvermogen en inzicht. Dit in vrijheid het leven in laten gaan, dat kun je nooit bereiken als je dogmatisch, gebodsmatig morele en religieuze dingen wilt bijbrengen, nee, alleen als je op de daarbij passende leeftijd tussen tandenwisseling en geslachtsrijpheid slechts op gevoel en beleven werkt. Dat is het enige: dat je de mens zo in de wereld zet dat hij dan op zijn oordeelskracht kan vertrouwen. GA 307/231 Vertaald/299
.
*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner
Het feest van Sint-Jan, de naamdag van Johannes de Doper, neemt in verschillende opzichten een bijzondere plaats in op de kalender van antroposofische feesten. Als we letterlijk naar de kalender kijken, lijkt het feest wat eenzaam aan het begin van de zomer. Het sluit niet direct aan bij het rijtje van voorjaarsfeesten welke elkaar opvolgen vanaf carnaval en het past al helemaal niet op een logische manier in het rijtje van de najaarsfeesten dat met Michaël begint. Als we dieper ingaan op de achtergronden van midzomer en Sint- Jan dan komen we er achter dat het schijnbare alleen staan van het feest niet zo zeer moet worden opgevat als eenzaamheid, maar meer als onafhankelijkheid. Zowel vanuit een voorchristelijk als een christelijk perspectief markeert het feest een moment van overgang en het kiezen voor een nieuwe individuele koers. Bij nadere bestudering blijkt er wel degelijk een verbinding te zijn met de feesten van het voorjaar en de herfst en dus met verleden en toekomst. Op de vrijeschool vindt de viering meestal kort voor het begin van de zomervakantie plaats en is daarom vaak eveneens een marker voor een transitie. De overgang komt in verschillende vormen, van schooltijd naar vakantie, van de ene klas naar de andere, van kleuterklas naar onderbouw of van de basisschool naar de middelbare school.
Johannes de Doper
De naam Sint-Jan komt van Sint-Johannes, en het Sint-Jansfeest markeert de naamdag van Johannes de Doper. De Bijbel verhaalt over de aartsengel Gabriël die de bejaarde priester Zacharias bezoekt en hem meedeelt dat zijn onvruchtbare vrouw, Elizabeth, toch een zoon zal baren. De zoon moet de naam Johannes dragen. Een dergelijk bezoek van een aartsengel en de aankondiging van een geboorte zullen de meesten van ons voornamelijk kennen uit het kerstverhaal. Zes maanden na de aankondiging van de zwangerschap aan Zacharias verschijnt de engel Gabriël voor Elizabeths jongere nicht Maria en vertelt haar dat zij moeder zal worden van een zoon genaamd Jezus. Na de geboorte van Johannes op 24 juni zou het exact zes maanden duren voor Jezus geboren werd op 24 december.
Johannes de Doper wordt vaak omschreven als een wegbereider, boeteprediker of ‘de laatste profeet van de Joden’. De aanduiding ‘wegbereider’ geeft aan dat Johannes voorbereidend werk doet. Hij maakt de mensheid klaar voor de komst van Jezus en voor de impuls die Hij zal brengen. Bij de aanduiding ‘boeteprediker’ moet niet direct gedacht worden aan straffen of boete doen, maar aan reflectie, erkenning van fouten, vergeving, goede voornemens en een nieuw begin. Door Johannes aan te duiden als de laatste profeet van de Joden wordt de suggestie gewekt dat er iets tot een einde komt en dat er iets anders en nieuws op stapel staat voor de toekomst. In al deze hoedanigheden staat Johannes dus voor de komst van een verandering of overgang. De kern van deze verandering is de overgang van een oude manier van geloven naar een nieuw manier van geloven en van collectiviteit naar individualiteit.
De oorsprong van het Sint-Jansfeest en de thematiek
De oorsprong van het Sint-Jansfeest moet gezocht worden in de vieringen rondom midzomer in de voorchristelijke periode. De langste dag en kortste nacht van het jaar vallen tegenwoordig op 21 juni en staan dus lijnrecht tegenover de kortste dag en de langste nacht op 21 december. De huidige data voor deze twee astronomische ijkpunten zijn door veranderingen aan de opzet van de kalender met de jaren wat verschoven. Deze verschuiving blijkt uit het feit dat de christelijke feesten welke verbonden zijn aan de langste en kortste dag iets later vallen, namelijk op 24 juni (Sint-Jan) en 24 december (kerstavond).
Naast het markeren van een jaarlijks terugkerend astronomisch ijkpunt had het midzomerfeest waarschijnlijk een belangrijke spirituele significantie. Net zoals evident wordt uit de thematiek rond het Sint-Jansfeest markeerde de midzomerviering in de voorchristelijke periode reeds een belangrijke verandering en overgang. Deze overgang was, net als bij Sint-Jan, verbonden aan het spirituele leven, maar stond in de voorchristelijke periode ook in nauwe verbinding met het aardse ritme van het agrarisch jaar en het welzijn van de gemeenschap.
Het doel van dit artikel is om een beter en meer diepgaand inzicht te krijgen in de thematiek rond het Sint-Jansfeest. Om de christelijke thema’s, die best complex zijn, goed te kunnen begrijpen is het belangrijk om bij het begin te beginnen, in de periode voordat monotheïstische godsdiensten de overhand kregen in Noordwest-Europa. Er wordt achtereenvolgens gekeken naar de verbinding tussen de voorchristelijk mens, de kosmos en de gemeenschap, de thematiek van het agrarisch jaar, de weerspiegeling van deze thematiek in de mens, de voorchristelijke elementen in de huidige Sint-Jansviering, de verbinding van Johannes met het oude geloven en de transitie naar individualiteit.
De verbinding tussen de voorchristelijke mens en de kosmos
Door het grotendeels ontbreken van geschreven bronnen is er zeer weinig bekend over de beleving van bijvoorbeeld spiritualiteit en het denken van mensen in de voorchristelijke periode. Door jarenlang archeologisch onderzoek is er wel meer bekend over het materiele leven en handelen van deze mensen, maar voor daadwerkelijke inleving ontbreekt dus een essentiële schakel.
Een aantal van de bekendste materiele overblijfselen uit de voorchristelijke periode zijn de monumenten van Stonehenge en Avebury in Engeland en Newgrange in Ierland. Deze drie bouwwerken weerspiegelen alle op hun eigen manier een relatie met de werking van zon en maan.
Dit leert ons dat men oog had voor maanstanden, toenemende en afnemende zonuren en de veranderende positie van hemellichamen aan het firmament. Gezien de levensomstandigheden in de voorchristelijke periode, met name voor aanvang van de Romeinse tijd, is dit ook logisch. Men was in eerste instantie afhankelijk van jagen en verzamelen en in de periode daarna van kleinschalige
landbouw. Overleving kon alleen verzekerd worden in geval van een goede oogst, welke op haar beurt weer afhing van kennis van landgebruik, neerslag, zonuren en de seizoen cyclus.
Wat we tegenwoordig niet goed meer begrijpen is de functie van veel van de genoemde prehistorische bouwwerken, maar een spirituele significantie is zeker niet ondenkbaar. Voor het overleven was men dusdanig sterk afhankelijk van de natuur, weersomstandigheden en de veranderende zonnestand dat
het verbinden hieraan van goddelijke krachten slechts een kleine stap moet zijn geweest.
Met onze huidige wetenschappelijke kennis kunnen we bijzondere
meteorologische of astronomische
verschijnselen vaak op een bevredigende
manier duiden. Het zonder deze voorkennis zien van een zonsverduistering kan echter heel beangstigend zijn geweest. Als de zon zou besluiten niet meer terug te komen dan zou immers de dood volgen. Een hevige hagelbui die de oogst verwoestte viel het ene jaar wel en het andere jaar niet. Waarom? Blijkbaar had je iets verkeerd gedaan, iemand kwaad gemaakt en was dit je verdiende loon.
In het kort komt het er dus op neer dat afhankelijkheid om te overleven nauw verbonden was met kosmische bewegingen en verschijnselen. Dit boezemde ontzag in en leidde tot het ontstaan en de verering van verschillende godsbeelden. Onverklaarbare natuurlijke fenomenen leidden tot twijfel aan de juistheid van het eigen handelen en boezemden angst in voor het temperament van goden en godinnen.
Zonder te weten hoe dit alles precies werd beleefd is ook bekend dat er naast goden en godinnen op een meer aards niveau rekening werd gehouden met bovennatuurlijke krachten en entiteiten. Niet alleen goden en godinnen konden zaken als vruchtbaarheid, oogst en persoonlijk welzijn beïnvloeden,
maar ook natuurwezens, voorouders en geesten. Ook dit heeft waarschijnlijk te maken met het willen verklaren van het ongrijpbare. Goden en godinnen zijn in een andere dimensie en blijven wat abstract.
De aanwezigheid van spirituele wezens die weliswaar onzichtbaar, maar toch om ons heen in onze eigen wereld zijn, spreekt meer tot de verbeelding en is daardoor tastbaarder.
Uiteraard wordt er hier een ietwat eenzijdig beeld gepresenteerd. De meningen over het al dan niet werkelijk bestaan van natuurwezens, geesten en dergelijke zijn verdeeld en mogelijk was men in die tijd in staat om ‘helderder’ te zien dan de meeste mensen nu doen. Omdat dit alles niet bekend of niet zeker is, kies ik er echter voor om te blijven bij de zaken die we weten of die binnen ons huidige
referentiekader goed voor te stellen zijn, zonder daarmee andere visies te willen diskwalificeren.
Wat er uit het bovenstaande duidelijk wordt is dat er onder de voorchristelijke mens een sterke spirituele band lijkt te hebben bestaan tussen hemel en aarde. Deze band werd heel letterlijk gereflecteerd in de verbinding tussen het agrarisch ritme en dat van de hemellichamen maar ook meer figuurlijk in de relatie tussen hemelse goden en godinnen enerzijds en aardse natuurwezens anderzijds.
Wanneer men leest over de achtergronden van het Sint-Jansfeest dan wordt deze verbinding vaak aangegeven en menselijk gemaakt met het beeld van de boom. Met de kruin in het kosmische nemen we licht (verlichting, kennis) tot ons en met de wortels in de aarde staan we sterk en nemen wij voedsel/brandstof tot ons. Deze elementen zijn beide nodig om door middel van het proces van leven
een spirituele groei door te maken. De driehoek tussen goden, aarde en de groepsgeest
Hoewel het beeld van de boom prachtig is, wordt er voorbijgegaan aan een essentieel element, namelijk de collectiviteit of groepsgeest. Niet alleen hebben wij mensen kennis en voeding nodig om spirituele groei door te maken, maar ook een stevige basis om op te bouwen. Deze veilige basis werd in de voorchristelijke periode gevormd door afkomst, collectiviteit en devotie. Hierbij moet worden gedacht aan het individu wat zichzelf identificeert aan de hand van een verbinding met de lokale omgeving, de stam, de familie, het volk of een andere groep. Via de geboorte werd bepaald bij welke groep je hoorde en automatisch werd je onderdeel van zowel een groepsidentiteit als van iets wat misschien het beste kan worden omschreven als een groepsindividualiteit of groepsgeest. De nadruk bij het denken, geloven en het maken van keuzes lag dus niet op individuele wensen, kansen en aspiraties van de mens, maar op de groepsgeest en het gezamenlijke welzijn. Een collectief bewustzijn in plaats van een individueel bewustzijn en een zogenaamde top-down structuur waarbij de groep voor sturing een beroep deed op een leider. Dit kon een stamhoofd zijn, een voorouder, maar ook een godheid.
Zoals eerder gezegd is er vanuit de preshistorie weinig bewijs voor spirituele zaken anders dan enkele archeologische aanknopingspunten. Vanuit de Romeinse tijd en de vroege middeleeuwen zijn er echter ook geschreven bronnen die dergelijke systemen en processen belichten. Misschien wel het bekendste geschrift waarin het belang van de voorouders en het collectief naar voren komt is de Bijbel, en dan met name het oude testament. Denk hierbij aan de afstammingslijn van Abraham die veelvuldig genoemd wordt of aan Jozef die voor de volkstelling van Nazareth in Galilea naar Bethlehem in Judea moest, omdat hij afstamde van het geslacht van David, wat oorspronkelijk uit deze stad kwam.
Als we het voorchristelijke geloof willen begrijpen, dan moeten we dus het beeld van de boom nemen en hieraan een essentiële zijtak toevoegen. Wat abstracter kun je uitgaan van een gelijkbenige driehoek die kosmos, aarde en afkomst verbindt. Het harmonieuze samenspel van deze drie elementen is in de huidige tijd soms lastig voor te stellen voor mensen die in noordwest Europa en al
dan niet met een monotheïstische godsdienst zijn opgegroeid. In andere delen van de wereld echter is het veel normaler en nog altijd heel relevant.
Het jaarritme in de natuur
Zoals spiritualiteit en godsbeelden nu verschillen per land of regio, zo verschilden zij vroeger ook. Het is dus niet mogelijk om in zijn algemeenheid over voorchristelijke tradities te spreken. Alleen al in Noordwest-Europa zien we een menging van Keltisch, Germaans en Noords. Deze drie stromingen brachten op regionaal en lokaal niveau ook weer variaties met eigen goden, natuurwezens,
voorouders, tradities en feesten. Omdat de voorchristelijke feesten overal zo verschillende zijn en er geen duidelijke namen bekend zijn uit de tijd is er voor gekozen om in deze tekst de neopaganistische namen te gebruiken welke aan de feesten werden gegeven in de jaren zestig van de twintigste eeuw.
Als we kijken naar het voorchristelijke jaar en de verbondenheid daarvan met het jaarritme van de natuur dan kunnen er in principe twee belangrijkste thema’s onderscheiden worden. Het eerste hoofdthema is vruchtbaarheid en groei, wat samenvalt met de maanden januari tot en met juni. Het tweede hoofdthema is oogst en verval, wat samenvalt met de maanden juli tot en met december. Als we iets gedetailleerder kijken dan zien we dat de twee hoofdthema’s op hun beurt opgedeeld kunnen worden in ieder twee sub thema’s, waardoor feitelijk een verdeling van het jaar ontstaat in vier fases, De vier fases zijn relevant voor de natuur gedurende het agrarisch jaar, maar weerspiegelen ook de stadia van het menszijn in onszelf. Ze kunnen als volgt omschreven worden: opgroeien, geslachtsrijpheid, rijping en aftakeling. Soms wordt een andere bewoording gebruikt, bijvoorbeeld geboorte, vruchtbaarheid, reproductie en sterven.
Vier verschillende fases in het jaar betekent ook vier verschillende overgangsmomenten. In de natuurlijke zin worden deze momenten gemarkeerd door de zonnestand en daardoor de daglengte.
De eerste fase loopt van midwinter tot de lente-evening, de tweede van de lente-evening tot midzomer. Fases drie en vier worden vervolgens gescheiden door de herfstevening. Deze vier belangrijke overgangspunten in het jaar werden in de voorchristelijke periode achtereenvolgens gemarkeerd door Yule, Ostara, Litha en Mabon. Deze feesten worden in de antroposofische kalender weerspiegeld door Kerstmis, Pasen, Sint-Jan en Michaël.
Op de viering van de kortste dag, (Yule –Kerstmis), wordt het licht wedergeboren en breekt de lichte helft van het jaar aan. Deze periode van zes maanden staat dus in het teken van vruchtbaarheid en groei en worden ook wel de periode van uitademing van de aarde energie genoemd. Het wedergeboren licht groeit gedurende zes maanden naar een hoogtepunt en bewerkstelligt daarbij verschillende dingen. In eerste instantie werkt het licht wekkend (Imbolc – Maria Lichtmis) en naarmate het aan kracht wint stimuleert het vroege groei en vruchtbaarheid (Ostara – Pasen).
Rond Beltane (Hemelvaart/Pinksteren) bereikt deze vruchtbaarheid een hoogtepunt en groeit de zonnekracht nog een klein beetje verder naar zijn maximale energieniveau. Wanneer dit niveau bereikt is (Midzomer – Litha – Sint-Jan), vindt een kentering plaats en begint het licht af te nemen. De dagen worden korter en de energiesterkte neemt af. Net als Yule/Kerstmis is Litha/Sint-Jan dus een belangrijk overgangsfeest. In dit geval switchen we van de lichte naar de donkere helft van het jaar en van uitademen naar inademen. Het thema vruchtbaarheid en groei wordt vervangen door oogst en afname.
Zoals bekend zijn de overgangen rond midwinter en midzomer niet abrupt. Kosmisch gezien worden zij omgeven door een korte periode van een aantal dagen waarbij er nauwelijks afname of toename van het licht plaatsvindt. Solstitium is een ander woord voor zonnewende en komt van de Latijnse woorden sol (zon) en sistere (stoppen of blijven staan). Vanuit een aards perspectief is de overgang gevoelsmatig zelfs nog veel geleidelijker dan in werkelijkheid. De eerste echte kenmerken van het toenemende licht en de groeiende levenskracht na Yule – Kerstmis merken we bijvoorbeeld pas rond Imbolc – Maria Lichtmis, ruim een maand later.
Hetzelfde geldt voor de kenmerken van het afnemende licht en de terugtrekkende levenskracht welke voor het eerst zichtbaar worden rond Lughnasadh op 1 augustus. Dit feest kondigt de eerste oogst aan en heeft geen directe tegenhanger in de antroposofische feestkalender. In de katholiek-christelijke kalender wordt het feest van Lughnasadh min of meer weerspiegeld door Maria-Hemelvaart op 15 augustus. Deze datum markeert het zes weken punt na Sint-Jan, is de afsluiter van de warmste periode van het jaar en vanaf dat moment beginnen veel vruchten en bessen te rijpen.
Deze rijping komt tot een hoogtepunt rond Mabon – Michaël, wanneer ook de eerste signalen van verval in de natuur zich beginnen af te tekenen. Het verval komt vervolgens tot een hoogtepunt in de dood, welke samenvalt met de laatste oogst tijdens Samhain – Sint-Maarten. Kort daarna begint de adventstijd welke ons in alle rust voorbereid op het begin van een nieuwe cyclus.
Het natuurlijk ritme in onszelf
De natuurlijke cyclus welke zich gedurende een jaar buiten voltrekt, wordt direct en op verschillende manieren gereflecteerd in de mens. Eerder werd er op een grote schaal al een verband gelegd tussen de onderverdeling van het jaar in vier fases en de relevantie daarvan gedurende de levensloop van de mens, namelijk opgroeien, geslachtsrijpheid, rijping en aftakeling. Op een heel kleine schaal zou je deze thema’s ook in een dag uit het mensenleven kunnen herkennen, namelijk opstaan, werken, relaxen/verwerken en gaan slapen.
Buiten de hele grote en de hele kleine cycli maakt de mens ook gedurende een jaar een vergelijkbare reis door de vier fases. De midwinterperiode is zowel in de natuur als in de mens een tijd van relatieve rust. Gedurende de eerste zes maanden van het jaar, de periode van uitademing, gaat de mens van binnen naar buiten. Na een lange donkere winter gaan we vaker de natuur in, zitten we steeds wat vaker in de tuin en wordt het buiten zijn aangenamer. Onze actieradius vergroot zich als het ware, op eenzelfde wijze als de aarde-energie gedurende deze periode uitzet.
Door het toenemende zonlicht wordt groeikracht in de natuur gestimuleerd en ook in ons mensen. We zijn actief in het voorjaar en geïnspireerd om onze plannen en wensen uit te voeren. Een andere manier om dit uit te drukken is door te zeggen ‘we krijgen de geest’. Dit proces van verwijding van onze energie wordt weerspiegeld door de antroposofische jaarfeesten tussen Kerstmis en Sint- Jan.
We volgen de groei van het menselijk bewustzijn in verschillende stappen, beginnende bij de geboorte van het lichtbewustzijn met Kerstmis. Vervolgens passeren we achtereenvolgens het wekken van het bewustzijn in ons mensen (Maria Lichtmis), de toepassing van het bewustzijn om onze levensmissie te verwezenlijken en de ontvangst van de kracht die daarvoor nodig is (Pasen), het
verbinden van onze daden met- en het aanschouwen van de uitwerking er van in een groter wereldverband (Hemelvaartsdag) en de ontvangst van het hogere bewustzijn om op onze daden te kunnen reflecteren (Pinksteren).
In de periode tussen Pinksteren en Sint-Jan groeit het bewustzijn naar zijn maximale omvang. Hierin spiegelt het de energie van de aarde welke nu zo ver is uitgezet dat je zou kunnen zeggen dat rond Sint-Jan hemel en aarde elkaar raken en samensmelten. Ook in planten en bomen is de energie nu op zijn hoogtepunt. Alles is groen, fris en nog niet ten prooi gevallen aan de verschroeiende hitte van de zomer. Onze actieradius is nu ook letterlijk op z’n grootst. De zomervakantie breekt aan en we reizen af naar mooie plekken elders in het land of zelfs daarbuiten.
Door het vakantiegevoel vergeten we de dagelijkse beslommeringen die we door de komst van het hogere bewustzijn met Pinksteren juist vaak extra zwaar voelden rond eind mei en begin juni. Hoewel het natuurlijk heerlijk is om de beslommeringen even te vergeten schuilt hierin ook een gevaar. Het is namelijk goed mogelijk dat, wanneer de zomerse extase te lang duurt, we de rode draad van het hogere plan van ons leven vergeten. Mocht dit gebeuren, dan kan het resulteren in de beroemde ‘Midsummer madness’ welke door Shakespeare vereeuwigd werd in zijn komedie de Midzomernachtsdroom.
Vanaf Sint-Jan worden de dagen korter en begint het aardse proces van inademing. Langzaam wordt de energie teruggetrokken en dat is na een tijdje ook merkbaar in onszelf. Na de zomerse extase van eind juni en juli wordt het terugtrekkingsproces in augustus evident wanneer we langzaam uit de zomerse roes ontwaken en ons weer bewust worden van het levenspad dat we volgen. Het is gedurende de maanden augustus en september dat we deze rode draad door ons levens soms heel sterk voelen. Na aanvankelijk misschien de draad kwijt te zijn geraakt, lijkt het alsof het samensmelten van aardse en hemelse energie ervoor gezorgd heeft dat we weer even een inkijkje kregen in het plan dat achter ons leven schuil gaat en we herinnerd werden aan essentiële dingen die we gedurende de loop van het jaar vergeten waren. Dit moment van herinneren valt samen met de periode van de eerste oogst in de natuur en beide geven ons een prille beloning voor het werk in de eerste helft van het jaar. Het hernieuwde zicht op ons levenspad kan prettig zijn en sturend werken, maar kan ook confronterend zijn. Dit laatste is het geval als blijkt dat gestelde doelen niet gehaald zijn en grote wensen niet vervuld. De maand september wordt doorgaans gekenmerkt door reflectie en het maken van goede voornemens. Wat heb ik het afgelopen jaar goed en minder goed gedaan? Hoe ga ik dit het komende jaar anders en beter doen? De periode van reflectie komt tot een hoogtepunt rond Michaël en het resultaat ervan spiegelt de tweede en doorgaans rijkste oogst die de natuur ons rond dezelfde periode biedt. Hoe goed of slecht die oogst is, fysiek en spiritueel, hangt dus grotendeels af van ons handelen in de eerste helft van het jaar.
Naast het aanbreken van een periode van spirituele reflectie gedurende de vroege herfst begint ook langzaam het proces van naar binnen gaan. We keren terug van vakantie, gaan weer naar school of aan het werk, pakken de draad van sport en hobby weer op. De aarde-energie wordt teruggetrokken en dit wordt langzaamaan gereflecteerd in de vallende blaadjes in de periode tussen Michaël en Sint-Maarten. Ook wij mensen maken het binnen weer gezellig. De tuinstoelen en barbecues gaan de schuur in en worden verruild voor een dekentje op de bank en de openhaard.
Met Sint-Maarten brengen we het licht symbolisch naar binnen in de aarde door een kaarsje aan te steken in een biet of knol. Waar we met Michaël een begin hebben gemaakt met de reflectie op onze individualiteit en eigen keuzen zien we met Sint-Maarten hoe deze keuzes anderen beïnvloeden. We realiseren ons dat we voor een ander klaar moeten staan en als goed mens moeten leven om de
transitie naar groei en ontwikkeling te kunnen maken. Sint-Nicolaas verbeeldt eenzelfde soort thematiek, maar laat ook zien dat goed gedrag beloond zal worden wanneer het mensen-ik zo puur mogelijk is. Vervolmaking van de puurheid van onze intenties als individu vindt plaats gedurende advent. In deze afwachtingsperiode van de geboorte van het licht en het bewustzijn komen we het diepste tot onszelf. Klaar om aan een nieuw cyclus te beginnen. Lucifer en Sint-Jan
Wie zich enigszins in de antroposofie heeft ingelezen kent het principe van balans in het leven tussen de invloeden van Lucifer en Ahriman. Luciferische
invloeden zijn licht en brengen je als het ware buiten jezelf en in een staat van extase, dicht bij het spirituele. Ahrimanische invloeden zijn zwaar en gericht op zelfzucht en materialisme. Beide krachten zijn nodig om een balans te bereiken waarin wij mensen goed gedijen en spirituele vooruitgang kunnen boeken. Te veel van iedere kracht werkt negatief of zelfs destructief.
Bij het lezen van deze kenmerken van de Ahrimanische en Luciferische krachten wordt de link met de jaarcyclus misschien al duidelijk. Tijdens de periode van Sint-Jan zijn we als mens in de wolken. De lucht is dun, vluchtig en zindert in de zomerzon. We zijn buiten onszelf, in extase en kunnen soms vergeten waar het in ons leven om draait. Dit is de hoogtijperiode van Lucifer. Tijdens de periode rond Kerstmis is het omgekeerde aan de hand. We zijn diep in ons eigen binnenste gekropen en focussen op onze individualiteit. De reflecties van de herfst maken ons soms onzeker of boos en geven ons een zwaar gemoed. We zijn binnen en missen wat er om ons heen gebeurt. We focussen op onze ‘ik’ in een veilig afgebakende wereld. De winter is de tijd van Ahriman.
Wanneer deze negatieve en potentieel destructieve uitersten zo duidelijk zichtbaar zijn rond midzomer en midwinter dan betekent dat een staat van balans in het voorjaar en in de herfst, rond de feesten van Pasen en Michaël. Dit klopt ook wanneer men kijkt naar een van de thema’s rond Pasen, namelijk het bezit nemen van de kracht en het bewustzijn om onze levenstaak uit te voeren.
Met andere woorden, rond Pasen zijn de omstandigheden het gunstigst om het plan tot uitvoer te brengen waarmee we incarneerden en om te doen wat we als mens moeten doen ten einde spirituele vooruitgang te boeken. Voor Michaël geldt dit ook omdat rond die tijd een staat bereikt is waarin de voor- en nadelen van ons handelen afgewogen kunnen worden en er dus inzicht is in de beste manier om onze levenstaak voort te zetten.
Sporen van het voorchristelijke in de viering van midzomer en Sint-Jan
Zoals eerder aangegeven is er heel weinig bekend over de wijze waarop het
midzomerfeest gevierd werd door onze voorouders. Zoals het geval is bij de meeste voorchristelijke feesten zal het element vuur ongetwijfeld een rol gespeeld hebben. Uit landen zoals Ierland en Duitsland is bekend dat vreugdevuren vaak op hoge punten in het landschap werden ontstoken. Het is mogelijk dat de naam ‘Litha’ een oud Germaans woord voor berghelling is, hoewel er ook weleens wordt geduid op de mogelijke verwijzing van de naam naar het woord ‘licht’. Aan het maken van vuren op hoge plaatsen wordt soms de uitleg verbonden dat mensen op die manier dichter bij de goden zouden zijn. Het is echter twijfelachtig of dit waar is. De vieringen van zonnewendes en eveningen
waren hoogtijdagen waarbij verschillende groepen onderling contact maakten. Door het vuur op een hoog punt in het landschap te ontsteken is het in de wijde omtrek zichtbaar. Op deze manier wordt via de verschillende vreugdevuren een verbinding gecreëerd tussen naburige groepen in een bepaald gebied.
In nagenoeg alle landen waar er vandaag de dag nog aandacht wordt besteed aan de viering van midzomer speelt vuur een belangrijke rol. De meeste moderne vieringen worden gehouden op de avond van 21 juni, maar soms wordt ook 23 of 24 juni gekozen. De midzomertijd is daarmee een periode en niet per se een vast moment. In Ierland wordt midzomernacht ook wel bonfire night genoemd, of wel de nacht van de vreugdevuren. Er zijn vuren door het hele land, er is vuurwerk, eten, drinken en volop Keltische muziek. In Oostenrijk vindt jaarlijks een parade van schepen op de Donau plaats en wordt er vuurwerk afgestoken vanaf de bergtoppen. In Noorwegen worden grote vreugdevuren gebouwd en vinden schijnhuwelijken plaats. Deze symboliek van het huwelijk doet ons
antroposofen denken aan de Pinksterbruid- en bruidegom die geassocieerd worden met de vruchtbaarheidsfeesten van het voorjaar. In Denemarken is de viering van midzomer sterk beïnvloed door de Vikingen en zijn niet de heuvels maar juist de kustgebieden in trek. Je vindt de vreugdevuren vaak op stranden en langs meren. Een soortgelijke connectie tussen de midzomerviering en de zee
zien we in Spanje waar ook vreugdevuren en vuurwerkshows op de stranden plaatsvinden. Het is mogelijk dat dit in het veelal katholieke Spanje verband houdt met de feestdag van Johannes de Doper. Het vuur staat voor de zon en midzomer en het water staat voor de doop.
Op de vrijeschool is het Sint-Jansfeest vaak een uitbundige bijeenkomst vol muziek, zang en dans. De hoofden worden versierd met bloemenkransen en indien nog toegestaan wordt er een vreugdevuur aangelegd. Traditiegetrouw wordt het Sint-Jansvuur met fakkels aangestoken door de kinderen uit de hoogste klassen. Zij kunnen op deze lange avond de verantwoordelijkheid aan om voor het vuur te zorgen en de veiligheid te bewaken. Tegen het einde van de avond, wanneer de vlammen niet hoog meer zijn, kan er over het vuur gesprongen worden. Buiten de vrijeschooltraditie in Nederland en elders in Europa zien we dit gebruik ook nog terug bij de midzomervieringen in Letland en Estland.
De traditie van het springen over vuur gaat mogelijk terug naar de voorchristelijke periode. Er wordt aangenomen dat aan vuur een reinigende werking werd toegeschreven die negatieve energieën of kwade geesten verdreef. Tevens werkte het vuur beschermend. Kwade entiteiten die geassocieerd werden met de naderende donkere helft van het jaar werden door het vuurritueel op afstand gehouden. Om dezelfde reden werd ook vee in deze tijd van het jaar tussen twee vuren doorgeleid. Naast reiniging zou dit tevens de vruchtbaarheid voor het volgende jaar bevorderen.
Binnen de vrijeschooltraditie worden er ook verbindende krachten toegeschreven aan het Sint-Jansvuur. Door eroverheen te springen word je als het ware opgetild door de warm lucht en op die manier dichter bij het goddelijke gebracht. Samen springen met een geliefde of vriend zorgt dat de springers één worden. Dit versterkt de band die vervolgens beter bestand is tegen de turbulente herfstperiode.
Het springen over vuur kan tevens gezien worden als een rite de passage. Het
markeert een verandering, een nieuw begin. Dit is uiteraard letterlijk zo, want we springen de tweede helft van het zonnejaar in terwijl de zon zelf over zijn hoogtepunt springt, maar ook figuurlijk, een sprong van het ene schooljaar in het andere bijvoorbeeld.
Bij de midzomerviering in Finland, maar vooral in Zweden speelt de meiboom een belangrijke rol. Wij noemen de meiboom naar de maand mei omdat hij in Nederland en ook bijvoorbeeld in Groot-Brittannië verbonden is aan de vruchtbaarheidsfeesten van het voorjaar. In Zweden wordt de meiboom midsommarstång genoemd en vormt het epicentrum van de festiviteiten. De meiboom wordt liggend versierd met groen en linten waarna hij rechtop gezet wordt en het feest kan beginnen. Er volgt een avond en nacht vol eten en drinken, dans, bloemenkransen, gezellig samenzijn en het vinden van een geliefde.
Van de midzomernacht wordt wel gezegd dat er een magische energie vanuit gaat welke de natuur doordringt. Het is dus bij uitstek de nacht om kruiden en medicinale planten te plukken, waaronder het sintjanskruid. Het dragen van bloemenkransen en de traditie van het versieren van de meiboom met groen zijn hier mogelijk ten dele van afgeleid. In Denemarken was het eens gebruikelijk om tijdens midzomer (Sankt Hans) vlierbloesem te bakken in boter en aan kinderen te serveren. Door de magische krachten in de vlier rond deze tijd van het jaar zouden zij een jaar lang geen koorts krijgen.
Uit dit beknopte overzicht van de viering van het midzomerfeest op verschillende plaatsen in Europa blijkt dat er verscheidene thema’s centraal staan. In de eerste plaats is dit de overgang, onder andere gesymboliseerd door het springen over vuur. In de tweede plaats is er de viering van vruchtbaarheid, liefde en verbondenheid, onder andere weerspiegeld in de schijnhuwelijken in Noorwegen, de paringsdansen rond de meiboom in Zweden en Finland en de samensmelting die optreedt wanneer er samen met een geliefde over het vuur gesprongen wordt. Op vrijescholen in Nederland en een aantal omringende landen past dit thema meer bij Pinksteren, wat nogmaals benadrukt dat bepaalde tradities en gebruiken op nationale of regionale schaal verschillend kunnen zijn. Een derde thema is de maximale energie, gesymboliseerd door de zonnekracht en weerspiegeld in de vele vuren. De relevantie van de energie in de natuur zien we ook terug in het idee van de magische krachten die verborgen liggen in de midzomernacht en in de uitbundigheid waarmee het midzomerfeest vaak gevierd wordt. Tot slot is er het thema van de reiniging. Het vuur heeft een reinigend effect en zo gaan we compleet gezuiverd de nieuwe fase van het jaar in. In de christelijke traditie is deze purificatie terug te vinden in het ritueel van de doop en dus eveneens gelinkt aan midzomer en de feestdag van Johannes de Doper.
De Johannesindividualiteit en de oude manier van geloven
Zoals het geval is voor veel hoofdpersonen uit de Bijbel gaat de tekst over de persoon, in dit geval Johannes, maar staat deze persoon eigenlijk symbool voor iets groters. Dit ‘groters’ duidt vaak op een invloed of een kracht die doorwerkt in verschillende incarnaties en/of vanuit de kosmos. In het geval van Johannes de Doper spreken we van de Johannesindividualiteit. Rudolf Steiner stelt dat de Johannesindividualiteit slecht te herkennen is in specifieke incarnaties. Dit bijvoorbeeld in tegenstelling tot de individualiteit van de aardsengel Michaël welke we duidelijk zien in ridder Joris. Rudolf Steiner noemt de Johannesindividualiteit ook wel de oer-Adam, wat betekent dat hij aan de basis zou staan van de gehele mensheid en ieder persoon dus een klein beetje van de individualiteit in zich heeft. Volgens Steiner is de Johannesindividualiteit ook te zien in het geestelijke wezen Elia welke een leidende rol speelt voor het Joodse volk.
De verschillende stadia van de Johannesindividualiteit zijn belangrijk omdat ze verwijzen naar de oude manier van geloven. Wanneer we terugdenken aan de voorchristelijke mens en de driehoek tussen hemel, aarde en groepsgeest wordt duidelijk dat de Johannesindividualiteit symbool staat voor de collectiviteit en de top-down manier van geloven. De Johannesindividualiteit als oer-Adam staat aan de basis van de levenskracht van de gehele mensheid. Het wordt daardoor een ‘persoonlijkheid’ die op een voetstuk staat. De groep, in dit geval de mensheid, kijkt omhoog naar hem in afwachting van verlichting en leiderschap. In het geval van de Johannesindividualiteit als de Eliakracht geldt min of meer hetzelfde. Het Joodse volk kijkt collectief omhoog en ontvangt als groep sturing vanuit de geestelijke wereld.
De naam Johannes
De aankondiging van de geboorte van Johannes de Doper werd vergezeld van een aanwijzing over de te kiezen naam. Dit was niet voor niets en de naam Johannes heeft dan ook een symbolische betekenis, namelijk ‘de door God
begenadigde’. Johannes was dus door God uitverkoren voor een belangrijke taak. Een andere betekenis van de naam die soms genoemd wordt is Jo-(Jod)-Hannes, ofwel drager van het ‘ik’ of drager van de individualiteit. Hoewel het niet helemaal duidelijk is waar deze betekenis precies van afgeleid is kan wel worden gesteld dat hij zeer tekenend is voor de taak van Johannes de Doper. De betekenis ‘drager van het ik’ geeft een staat aan waarin je jezelf bewust bent geworden van je eigen individualiteit als mens. Dit staat dus in contrast met de collectiviteit of groepsidentiteit die we zien in de voorchristelijke periode. Namen die van Johannes of Johanna zijn afgeleid, zoals Hannes, Hans, Hanna en Anna missen het ‘Jo’ element en zijn dus als potentiële dragers nog op weg om de eigen individualiteit te vinden of te ontdekken. Dit is de reden waarom karakters met degelijke namen vaak opduiken in sprookjes en daarin zonder het te beseffen een reis ondernemen van het ene stadium van zijn naar het andere. Hierbij kan bijvoorbeeld worden gedacht aan Hans uit Hans en Grietje.
Jezus als brenger van het individuele bewustzijn
Wie mijn stuk over Hemelvaartsdag heeft gelezen weet dat het leven van Jezus er op gericht was om God weer dichter bij de mens te brengen en de verbinding tussen mens en kosmos te helen en tastbaarder te maken. De bewerkstelliging hiervan geschiedde in verschillende stappen die gedurende de eerste helft van het jaar op diverse momenten gevierd en herdacht worden. Met carnaval dragen we allemaal een vermomming en een masker. Dit symboliseert het feit dat wij onze eigen ‘ik’ of individualiteit niet kennen. We leven het aardse bestaan wat slechts een klein onderdeel is van wie wij werkelijk zijn. Ons wezen, in spirituele zin, is tijdens het aardse leven aan ons oog onttrokken.
Op Goede Vrijdag sterft Jezus aan het kruis. Dit is een fysieke dood. Het masker wordt afgezet en de
ware Jezus, de Christus, wordt zichtbaar wanneer hij vanuit het aardse niveau het spirituele niveau bereikt. Alvorens dit te kunnen doen wordt gezegd dat Jezus na de kruisiging afdaalt in de diepste en donkerste gelederen van de hel om daar het licht te brengen. Dit is een metafoor die wij als mens op onszelf kunnen betrekken. Ieder mens heeft goed en kwaad in zich. Vaak echter hebben we er moeite mee om het kwaad in onszelf te onderkennen terwijl we trots zijn op het goede en dat graag willen laten zien. Je ware aard ligt in het midden, op de balans van goed en kwaad. Als je deze ware ik wilt leren kennen zul je dus eerst, naast de goede kanten ook de kwade kanten van jezelf moeten onderzoeken en begrijpen. In andere woorden, om het goede te begrijpen moet je ook het kwade kennen. Door het exploreren van goed en kwaad in onszelf ontstaat ruimte tussen de twee polen waarin ons ware spirituele zelf zich kan manifesteren.
Eenzelfde beeld is toepasbaar op Jezus gedurende Goede Vrijdag en Pasen. Hij sterft zijn fysieke dood aan het kruis, daalt af in de hel en leert zijn ware aard kennen. Door deze gebeurtenis kan hij door de dood heen overgaan van een fysiek naar een spiritueel leven. Om deze ervaring met de mensheid te delen keert Jezus, nu Christus, terug op Paaszondag in een tijdelijk opstandingslichaam.
In de 40 dagen tussen Pasen en Hemelvaart is Christus op
aarde in zijn opstandingslichaam en onderwijst hij de apostelen. Op Hemelvaartsdag voegt Christus zich bij de hemelse vader in de kosmische laag en tijdens dit proces strekt zijn etherkracht zich dusdanig uit dat het alles en
iedereen op aarde omvat of binnendringt. Doordat wij tijdens Hemelvaart deze universele groeikracht hebben ontvangen kan de verbinding tussen de mensheid en God hersteld worden. Omdat de Christuskracht ons bewustzijn voor het goddelijke heeft heropend wordt het voor de mens mogelijk om met Pinksteren de heilige geest te ontvangen en hiervan doordrongen te raken. Deze goddelijke energie is een hoger bewustzijn en stelt ons in staat om de eigen individualiteit te ontdekken en weerspiegeld te zien in het goddelijke. In een voordracht uit 1908 beschrijft Rudolf Steiner dat we vanaf Pinksteren kunnen ervaren dat het eigen ik en de goddelijke vader één zijn.
Deze ervaring luidde een nieuw tijdperk in waarin we het goddelijke ook in onszelf konden zoeken en vinden in plaats van enkel in de kosmos. De mens moest niet langer naar boven kijken in afwachting van goddelijke sturing of begeleiding, maar deze hulp juist zoeken in het innerlijk weten van de eigen individualiteit. Het was als het ware de wekking van de intuïtie, van een innerlijke drijvende kracht waarop vertrouwd kon worden. Van top-down spiritualiteit ging men naar bottom-up spiritualiteit. In plaats van wachten op een teken van hogerhand kon vanuit het individu actief contact worden gezocht met het goddelijke in tijden van nood en verwarring door bijvoorbeeld gebed of meditatie.
Door het toegenomen belang van de individualiteit werd het collectief steeds minder belangrijk. Oude verbanden zoals de stammen en familielijnen waren door het individuele vertrouwen minder noodzakelijk en verdwenen op den duur grotendeels in de westerse wereld. Uiteraard was dit een lang proces wat in Noordwest-Europa tot in de middeleeuwen duurde.
De rol van Johannes de Doper
Voorafgaand aan de grote overgang van het oude naar het nieuwe geloven die Jezus zou bewerkstelligen was het noodzakelijk dat het volk op de nieuwe tijd werd voorbereid. Dit was de taak van Johannes en zijn middel om hiervoor zorg te dragen was de doop. Johannes doopte mensen in de rivier de Jordaan en dat ging er minder zachtzinnig aan toe dan het dopen wat we gewend zijn van de meeste hedendaagse kerkelijke stromingen.
De doop bestond uit volledige onderdompeling en er wordt wel gezegd dat de dopeling dusdanig lang onderwater gehouden werd dat er een bijna-doodervaring ontstond. Tijdens dit proces ontvouwde zich voor de dopeling een terugblik op het aardse leven en dus het verleden. Door het overgangsritueel van de doop werd er gewezen op de toekomst die anders zou zijn dan het leven uit de voorchristelijke periode. Uiteraard moet ook deze beschrijving van het doopsproces met enig voorbehoud benaderd worden omdat geen bewijs voor handen is. In ieder geval is het duidelijk dat de doop staat voor een overgang of transformatie. Naast een ‘rite de passage’ is de doop ook een reinigingsritueel. De dopeling wordt ontdaan van het oude en het ‘ik’ wordt gezuiverd voor de ontvangst van de christuskracht of Heilige Geest.
Midzomer en Sint Jan verbonden
Wanneer we de grote lijnen van de voorchristelijke midzomertradities naast de christelijke sintjanstradities leggen is het thema ‘overgang en verandering’ in beide evident. Aan de basis staat de letterlijke overgang van de lichte naar de donkere helft van het jaar, de zichtbare zonnewende die het natuurlijke ritme sterk beïnvloed. In het agrarisch jaar uit de voorchristelijke periode brengt de zomerzonnewende een overgang van de periode van vruchtbaarheid en groei naar de periode van oogst en afsterving. In ons mensen is dit de verandering van uitbundigheid naar inkeer, van groeien naar aftakelen, van actie naar reflectie. In relatie tot Sint-Jan zien we dit prachtig terug. De periode tot Sint-Jan staat garant voor levensenergie en groei als individu door het steeds sterker wordende licht van Jezus in onszelf. Op weg naar individualiteit volgen we als mensheid dit leidend licht. Na Sint-Jan is Jezus niet fysiek meer aanwezig om ons te leiden maar moeten we vertrouwen op onze eigen individualiteit en op het innerlijke licht wat ons met Pinksteren geschonken werd. We zien dit proces terug in de jaarfeesten. Voor Sint-Jan staan alle feesten in het teken van Jezus, licht en de spirituele ontwikkeling van de mensheid als een groep. Na Sint-Jan staan alle jaarfeesten in het teken van onszelf, het naderende donker en de ontwikkeling van het individu door reflectie en purificatie van onze intenties en levensstijl.
In de voorchristelijke traditie bracht het vuur ons de reiniging die nodig was om te reflecteren op het voorbije groeiseizoen en om op een pure manier met de goden en natuurwezens in contact te treden om zo voorspoed af te smeken voor het komende jaar. In de sintjanstraditie wordt de reiniging verzorgd door het ritueel van de doop. Door de purificatie zijn we in staat om het goddelijke in ons te ontvangen en te herkennen en hiermee vol goede moed de donkere helft van het jaar in te gaan. In pure eerlijkheid kunnen we zo reflecteren, onszelf verbeteren als mens en waardig worden om Jezus en het licht weer tegemoet te treden in de kerstnacht.
Het thema liefde, vruchtbaarheid en verbondenheid komt in de voorchristelijke periode in de eerste plaats naar voren door de saamhorigheid die past bij de viering van midzomer. Door het maken van vuren op hoge plaatsen wordt een verbinding gemaakt tussen verschillende groepen. Het dansen rond vuren en meibomen brengt mensen tot elkaar en in sommige gevallen wordt tijdens deze feestavond actief gezocht naar een levenspartner. Door over het vuur te springen met een geliefd persoon smeed je een nog sterkere verbondenheid die bestand is tegen een stootje. In de christelijke traditie van Sint-Jan uit de verbondenheid zich duidelijk in het begin van een vernieuwde en versterkte connectie tussen god en individu, tussen hemel en aarde. Johannes maakt het mogelijk dat de afstandelijke verbinding tussen een groep en een abstracte kosmische kracht overgaat in een persoonlijke relatie tussen het individu op aarde en Christus of God in zichzelf. Een kracht die liefdevol begeleidend zou moeten zijn in plaats van dwingend sturend.
Tot slot is er het thema van de maximale energie welke de wereld in een goudgele gloed hult wanneer de aardse energie zo ver is uitgezet dat aarde en kosmos samensmelten. In de voorchristelijke periode wordt de maximale energie herkent in alle bomen en planten die rond midzomer tot de hemel rijken. In de
midzomernacht worden aan planten magische krachten toegeschreven en in sommige tradities ook aan dieren, natuurwezens of entiteiten. De zonnewarmte en energie wordt inzichtelijk gemaakt door middel van de vele vuren en de extase waarin er feest wordt gevierd. De energetische lading kan eenvoudig midzomerzotheid veroorzaken en hierop moeten wij mensen ons bedacht zijn. In de Christelijke sintjanstraditie komen hemel en aarde ook samen op het moment dat de Heilige Geest over de mensheid wordt uitgestort. In de Bijbel wordt er
gesproken over vlammen die branden op de hoofden van de apostelen. Deze metafoor staat in verbinding met de vuursymboliek van midzomer en verbeeldt de sterke energie die past bij deze gebeurtenis. Het goddelijke wordt in de mens gewekt en dus worden aarde en hemel onlosmakelijk met elkaar verbonden. Hoewel dit dus al met Pinksteren gebeurt, is het enkel mogelijk door het werk
van Johannes en daarmee is hij, samen met de Christus, de verpersoonlijking van die verbindende energie. Doordat we nu op onze innerlijke intuïtie en godskracht kunnen vertrouwen zou het makkelijker moet worden om tijdens de midzomerextase de rode draad van ons leven niet te verliezen. Aan ons mensen de taak om deze sterke innerlijke energetische stroom gaande te houden op weg naar individuele groei en persoonlijke reflectie onder aanmoediging van de heiligen van de herfst.
Een warme en stralende Sint Jan en zonnewende gewenst!
Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken
5.1 Menskundige achtergronden 5.2 Didactisch spoor 5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas 5.4 De praktijk in klas 4 5.5 De praktijk in klas 5 5.6 De praktijk in klas 6 Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar
5.1 Menskundige achtergronden
Het kind krijgt omstreeks het negende levensjaar een andere verhouding tot de wereld. Er komt je een wakkere blik tegemoet, vragen naar het ‘waarom’ van alledaagse dingen, waaraan eerder achteloos voorbijgegaan werd, worden nu gesteld. Een versterkt ‘Ik-beleven’ van het kind houdt tevens in dat het meer afstand tot de wereld kan nemen en deze daardoor in zijn veelheid gaat beschouwen en begrijpen. Door het ‘breuk-rekenen’ zo aanschouwelijk mogelijk te introduceren, door uit te gaan van ‘breken’ en verdelen van gehelen, waarbij de natuurlijke behoefte tot analyseren wordt aangesproken, maakt men gebruik van de ontwikkelde vermogens van de kinderen, om zich voorstellend met de wereld te verbinden. Het nieuwe waarnemen van de omgeving in deze levensfase leidt vaak tot innerlijke onrust en twijfel. Kinderen merken de onderlinge verschillen nu duidelijker op; wie er mooi kan tekenen, goed kan rekenen enzovoort. Het eigen werk gaan ze meer in verhouding zien tot dat van anderen. De weg naar vertrouwen krijgen in eigen vermogens en eigen werk in vergelijking met dat van klasgenoten vraagt vanaf deze leeftijd meer individuele aandacht van de leerkracht. Voor hem wordt de klas meer en meer een geheel in (bijzondere) delen, wat in methodisch-didactische zin ook veranderingen met zich mee brengt.
Verbroken eenheid, dat is de zielenstemming van het negen- à tienjarige kind. Verbroken eenheid typeert ook het rekenveld van de breuken. Daar zal het kind nieuwe eenheden, nieuwe gehelen, van moeten maken. In dit gebied van schoonheid, veelheid, doorbroken wetmatigheid en verrassing kunnen de kinderen grote ontdekkingen doen en harde noten kraken. Ze kunnen hun bewegingsdrang en creativiteit op vele manieren inzetten om toegang te vinden tot de nieuwe rekenwereld. Zo ondersteunt de leerstof op betekenisvolle wijze de ontwikkeling van het kind.
176
5.2.Didactisch spoor
In de eerste ‘breukenperiode’ wordt vooral vanuit een menskundig aspect gewerkt. In de volgende perioden kan een didactisch spoor gevolgd worden, dat mede door de ervaringen bij het realistisch rekenen, verrijkt is. Daarbij krijgen de kinderen eerst ruim de gelegenheid thuis te raken in de nieuwe getallenwereld. Bekende situaties en vertrouwde contexten vormen het uitgangspunt voor het maken van breuken en het leren kennen van de bijbehorende symbolen. In de breukentaai worden aan (sommige) getalsymbolen nieuwe betekenissen, waaronder bijvoorbeeld tellers en noemers, toegekend. Met de breukentaai worden ook modellen van verdeel- en breeksituaties geïntroduceerd, verkend en gebruikt. Hierdoor wordt een brug geslagen tussen de informele werkwijzen en de formele vakstructuur. In de realistische didactiek gaat men uit van de natuurlijke aanpakken van kinderen, dan wordt er vervolgens ruim gelegenheid geboden tot interactie waardoor de eigen denkbeelden getoetst en aangescherpt worden. Het werken op basis van rekenregels (algoritmen) dient lang te worden uitgesteld tot het moment dat de kinderen in staat zijn een groot deel ervan op eigen kracht zelf te (re)construeren.
In de eerste drie leerjaren doen de kinderen in het rekenen veel ervaringen op. Ze kunnen daarbij ook breuken tegenkomen. De breuk wordt echter nog niet bewust gemaakt. In de vierde klas komt dit moment wel, dan is het kind er rijp voor. Om te kunnen bepalen of de klas eraan toe is, of tenminste een deel van de klas, is het allereerst zinvol om na te gaan of de leerstof van de eerste drie klassen in voldoende mate beheerst wordt. Anders gezegd: het begrip van de breuken kan aan een kind voorbij gaan als het zich niet thuis voelt in het omgaan met de natuurlijke getallen. Het is dus goed, om in de vierde klas aan het introduceren van de breuken nog een herhaling van de leerstof uit de voorgaande jaren vooraf te laten gaan. Er is dus zo gezien geen voorbereidend breukenonderwijs in de zin van een bewustmakingsproces; maar de kinderen doen in de vierde klas ervaringen op, die later het verwerven van inzicht op dit gebied kunnen ondersteunen. Belangrijk is dat vanaf de eerste kennismaking met de breuken, de breuken steeds verweven worden met ander rekenwerk. Zo kan de opgedane kennis rond ‘breken’, verdelen en benoemen, gebruikt worden in de rekenperiode waarbij ‘meten met maten’ centraal staat. In de vijfde klas wordt het formele rekenen voorbereid en pas in de zesde klas geheel binnen de reken-wiskundige context van rekengetallen en regels beoefend. Kinderen die op dat moment daar nog niet aan toe zijn, kunnen met de inmiddels verworven aanpak en het model van de dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel, toch de meeste rekenopgaven maken. Nu worden de breuken geïntegreerd aangeboden in andere onderwerpen, waarmee de leerlingen tijdens perioden en in rekenwerkuren bezig zijn. In de zevende klas worden de breuken en de negatieve getallen ingepast op de getallenlijn tot het geheel van de rationale getallen (natuurlijke getallen, nul, gebroken getallen, negatieve getallen). Nu kunnen de breuken ook binnen het systeem van de algebra, zoals dat vanuit het rekenen met getallen ontwikkeld wordt, verschijnen.
177
Globaal gezien volgt het periodeonderwijs (in de vierde, vijfde, zesde en zevende klas) wat betreft de gewone breuken de volgende gang:
• Het leren kennen van de breuk middels de benoemde (stam)breuk in allerlei verdeel- en breeksituaties.
• Het bewegen, het bewegen benoemen, het bewegen ver-‘beeld’-en, werken met de beelden (die modellen ‘van’ zijn), kiezen van beelden bij praktische opgaven, stilstaan bij de beelden als ‘modellen van’. Speciale aandacht voor het kiezen van bemiddelende grootheden bij breuken.
• Het werken met het ‘moedermodel’ voor het rekenen met breuken: de dubbele lege getallenlijn en later ook de verhoudingstabel.
• Technisch rekenen met formele breuken, zicht op de wiskundige structuur van de rationale getallen. Daarbij is de gang door het breukenonderwijs vergelijkbaar met die door de wereld van de natuurlijke getallen en de basisvaardigheden in de eerste drie klassen.
5.3. Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas
De vierde klas
In deze klas staat de ontmoeting met het fenomeen stambreuk (breuk met de teller 1) centraal. Verdeelsituaties met aantallen, grootheden en meetkundige figuren leiden tot het verwerven van de breukentaal met de eigen symbolen. Verdelingen als activiteit (uitdelen, verdelen, opdelen) en als uitkomst (groepjes, quotiënt, structuur) worden in de nieuwe taal beschreven. Zo ontstaan bijvoorbeeld reeksen die door halveringen uit de eenheid ontstaan 1/2 tot en met 1/16 . Daarna tevens een ‘gemengde’ reeks1/3 1/2 1/9 1/12 eventueel aangevuld met 1/5 en 1/10 . Eigen producties (zelf bedenken van opgaven, aanpakken, oplossingen, vormgevingen, uitleggen,…) maken creatieve vondsten van reken-meetkundige aard mogelijk. Indien gewenst kan alles zich afspelen in de wereld van de stambreuken. Zo gaan de kinderen op verkenningstocht in de nieuwe wereld van de breuken, op een manier waarop zij ook in de zaakvakken de wereld om hen heen verkennen. Aan de breukentaai wordt steeds bewuster aandacht geschonken, de kinderen leren ermee omgaan als een manier om breken, verdelen, vouwen, mengen en dergelijke, te beschrijven. Ook de resultaten van het breken, verdelen enzovoort, worden zo beschreven. Door verschillende delen met elkaar in verband te brengen, samen te nemen, het verschil of ‘wat er ontbreekt’ te bepalen, komen ook de hoofdbewerkingen in beeld. Maar steeds is eerst gedaan wat daarna opgeschreven wordt. Nooit is de som, in de vorm van kale rekengetallen, aanleiding tot een volgende stap in het leerproces! De opzet van dit werk is, de nadruk te leggen op de kennismaking met het fenomeen breuken en het opdoen van een zo breed mogelijk scala aan ervaringen.
Wie zijn periode gaat voorbereiden kan gebruik maken van het volgende spoor:
1. Kennismaken met natuurlijke breuken, uitgaande van stambreuken die ontstaan door breken en verdelen. 2. Praktisch verkennen van verdelen van meetkundige eenheden: cirkel (kring), rechthoek, driehoek, strook (rij), enzovoort.
178
3. Naamgeven aan de breukdelen van meetkundige eenheden. 4. Ontdekken van de breuk als operator. 5. Bewegen en tellen met breuken. Ontdekkingen in breukrijen ook voorbij de 1. 6. Terugblik op de eerste periode over breuken. Maken van de ‘breuken-envelop’ met cirkels en stroken. 7. Eigen producties met behulp van de breuken-envelop; de eerste sommen. 8. Schattend onderzoeken en vergelijken van breuken. 9. Sommen bedenken en maken.
Laat tenslotte de kinderen meedoen en meedenken in een ‘toetsles’, een periodeochtend waarbij je als leerkracht tijdens het werk kunt waarnemen welk breukenrepertoire ieder kind zich eigen heeft gemaakt.
De vijfde klas
Tussen het bewegend rekenen en het aanschouwelijk rekenen met breuken enerzijds en het formele rekenen anderzijds, kan nog een belangrijke tussenstap geplaatst worden: het rekenen met benoemde breuken in concrete situaties, steunend op de aanschouwelijkheid.
Het denken van de vierdeklasser was nog sterk gebonden aan hetgeen hij zag. In de vijfde klas wordt bij de kinderen het inzicht gewekt op basis van het aanschouwelijke (voorstellingen, modellen van), ieder voert er de rekenbewerkingen uit op het eigen niveau van abstractie.
Begonnen wordt het breukenwerk uit de vierde klas nog eens op te halen. Daarin komt nu ook een reflectief moment, waarin de breukenwereld en wat daarin gebeurd is, op zichzelf in beschouwing genomen wordt. Bij het terughalen en opfrissen treden verschuivingen in kwaliteit en aandacht op. De kinderen gaan op een hoger niveau werken in hun ontwikkeling: van nabootsend ‘dromend’ bewegen naar bewust ‘wakker’ denkend bewegen; van beschrijven naar bewerken; van breukentaal naar rekenen met breuken. Dat terugkijken introduceren we door nog eens naar de 1 te kijken. De kwaliteit van het getal 1 heeft al een hele geschiedenis doorlopen. In de eerste klas zagen we dat er maar één heelal was, die 1 was meteen het ‘grootste’ getal. Maar als je maar één steentje had om te tellen, was 1 het minste. Vorig jaar was er één pannenkoek, een 1, die weer met velen gedeeld moest worden en opnieuw heel groot bleek te zijn.
Het terughalen biedt de gelegenheid om het (mentale en materiële) materiaal te verzamelen en in te richten, om straks met het rekenwerk te beginnen. De in een context geplaatste som wordt nu het uitgangspunt om aan de slag te gaan. Daarbij zal het beeld, de gebeurtenis, of figuur ‘daarachter’ steeds weer bewust gemaakt moeten worden. Daardoor blijft het rekenen ook voor de minder vaardige rekenaars zoveel mogelijk toegankelijk. Eigen producties van kinderen kunnen zich richten op het maken van opgaven, op het uitleggen aan elkaar en op ‘materiaal maken’ voor de kinderen die bij de andere leraar, of bij een combinatie klas, in de vierde klas zitten. In de vijfde klas valt dus de periode waarin de kinderen het rekenen met breuken leren kennen. De dubbele lege getallenlijn wordt geïntroduceerd, eigenlijk meer bewust gemaakt, want in de vierde klas toen de breuken verbonden werden met bijvoorbeeld de eerder geleerde tafelrijen, werd in feite ook al met twee schalen gewerkt.
179
180
De keuze voor een ‘geschikte ondermaat’ zal uit de context van een vraag blijken; delen van zaken waarbij geld, maat of tijd een rol spelen zullen gemakkelijk door de kinderen met behulp van de bemiddelende grootheid gevonden worden. Op meer abstract niveau kan het werken met het breukenelastiek een hulpmiddel zijn, omdat je hiermee in stroken elke gewenste verdeling zichtbaar kunt maken. Dat stimuleert het zelf kiezen van een maatverdeling op de onderste getallenlijn en laat de gelijkwaardigheid van breuken, die verschillend geschreven zijn, zien.
Kinderen kunnen op de dubbele lege getallenlijn hun eigen keus maken: rekenen we met de (gehele) getallen onder de lijn, of kunnen we het al af met de breuken boven de lijn?
Ook het delen met eenvoudige natuurlijke breuken kan vanuit concrete contexten uitgewerkt worden. Daarbij wordt het delen opgevat als uitscheppen van een hoeveelheid met een (kleine) maat. Bijvoorbeeld: “Hoeveel glazen (van 1/8 liter) kan ik vol schenken uit een fles (van 3/4 liter)?”
Ten slotte gaan we ook al in op het vermenigvuldigen met breuken. We doen dat op de aan het eind van dit hoofdstuk – als lesvoorbeeld- besproken manier van ‘landje indelen’.
In een andere periode kan via het meten en het rekenen met geld een verband gelegd worden met de kommagetallen. De dubbele lege getallenlijn is ook hier een geschikt intermediair, tussen hele getallen en breuken, tussen hele getallen en kommagetallen en tussen gewone breuken en kommagetallen.
Wie materiaal wil ontwerpen kan in het volgende een aantal kernactiviteiten zien, in aansluiting van wat hiervoor bij de vierde klas vermeld is:
1. Reflecteren op het breukenrepertoire van de vierde klas, middels een hernieuwde kennismaking met de kwaliteit en kwantiteit van het getal 1.
2. Oefenen in het beschrijven van verdelen, breken, knippen, enzovoort met aandacht voor het ontstaan van en werken met modellen: De getallenlijn, als model van de breukenrijen en bijbehorende ritmiek, De cirkel, als model van klok, pannenkoek, pizza, sectordiagram,… Het vierkant, als model van vouwblaadje, gesneden (boter)koek, kan met mengsel van … De rechthoek, als prijs- of gewichtskaartje, dus als (algemeen) model van hoeveelheid, of aantal. De strook, als model van weg, lengte, hoogte, peilstok, …
3. Delen uitrekenen van gestructureerde hoeveelheden, gestructureerde (meetkundige) patronen, maar ook van hoeveelheden gegeven als kale getallen. In beeld brengen hiervan op de dubbele getallenlijn.
4. Met breuken werken als operator, ook met breuken groter dan 1, in relatie met benoemde breuken.
5. Gevarieerde opgaven maken, met zowel meetkundige als numerieke oplossingen en kunnen opschrijven als kale sommen. Creëren van eigen producties, waarbij ook sommen voorkomen die zuiver getalsmatig (mentaal) moeten worden opgelost.
6. Delen en vermenigvuldigen met eenvoudige natuurlijke breuken op concreet niveau leren uitvoeren met mogelijkheid tot het ontdekken van de rekenregels.
7. Resumeren van de basisbewerkingen met breuken.
181
Ook hier zou aan het eind van de periode een toetsles kunnen plaats vinden om nogmaals al werkend bij de leerlingen te kunnen waarnemen op welk niveau (concreet of mentaal) zij tot de oplossing van een probleem komen. Zijn er nog kinderen die het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken?; tekenen kinderen zelf modellen om een opgave te kunnen maken?; of stellen ze zich bij het zoeken naar een oplossing de modellen voor en weten zij het antwoord zo ‘mentaal’ te bedenken?
De zesde klas
In de zesde klas is er geen speciale breukenperiode meer, wel gaat het rekenen met breuken gewoon door. In een volgende fase wordt op al het voorgaande gereflecteerd. Er komen opgaven uit alle perioden naar voren, het rekenwerk met dubbele getallenlijn verplaatst zich voor zoveel mogelijk leerlingen naar ‘boven’, naar de breuken dus. De kinderen rekenen dan ook letterlijk op een hoger niveau. Onder andere de breukenrijen uit de periode in de vierde klas en vooral ook het rekenen in de vijfde klas met benoemde breuken komt nu in hetzelfde licht te staan. Wat eerst los van elkaar stond, blijkt nu onder één noemer te kunnen worden gebracht. Daarbij kan ook de verhoudingstabel een rol spelen. De schoonheid van de wiskunde, op het niveau van inzien en begrijpen, is hier element van beschouwing. Ondertussen wordt het rekenen met breuken geoefend, ook binnen concrete situaties. De kommagetallen, begonnen als beschrijvers van ‘meten’ en ‘geldrekenen’, kunnen nu ook formeler worden beschouwd. In feite is het positionele inzicht in komma getallen al in de vorige periode ontstaan. Nu wordt dit in het bewustzijn getild en ligt de weg open voor echte wiskundige opgaven, waarin getalsrelaties tussen echte breuken en kommagetallen worden gezocht. Ten slotte wordt er zuiver met breuken gerekend, in elk geval door de leerlingen die dat aankunnen. Deze leerlingen gaan nu (pas) op zoek naar achterliggende rekenregels. Niet alleen de regels, maar ook het waarom ervan. Het gaat er natuurlijk niet om die regels domweg te leren, dat hebben deze leerlingen trouwens niet meer nodig. Het gaat om het zoeken zelf, het vinden, het formuleren en de discussie over de interpretaties, om ‘hoe overtuig je elkaar met argumenten’ en dus om het wekken van het oordelende denken. Opgaven als: 21/6 : 15/8 = … kunnen volgens ons echter beter buiten zicht blijven. Ten slotte moet alles voor het kind te ‘verbeelden’ zijn en blijven. Ook de procenten worden in deze klas vanuit de praktijk geïntroduceerd. De kinderen kunnen veel zelf uitzoeken. De leraar legt verband tussen breuken, kommagetallen en procenten, onder andere door ze boven elkaar op te nemen in een verhoudingstabel. Het wiskundige domein van verhoudingen krijgt steeds meer structuur voor de kinderen. Het is nuttig om bepaalde activiteiten met breuken zo nu en dan in
rekenwerkuren te doen. Doe korte lesjes met de hele klas en ontwerp werkbladen voor individuele verwerking of voor werk in kleine groepen. Het is de bedoeling dat de kinderen de gelegenheid wordt geboden de stof bij te houden, om die straks op een hoger niveau van reflectie te kunnen doordenken en toe te passen. Voor de snelle leerlingen kan men materiaal ontwerpen waarin ingewikkelde vraagstukjes in hun toepassingen zijn opgenomen.
182
Voor de zwakkere rekenaars is het nuttig om het werk meer didactisch op te bouwen. Dit betekent onder meer dat er veel concreet ‘doe’-werk gevraagd wordt (kleuren, vouwen, knippen, aanleggen, afmeten,…). Zowel met meetkundige eenheden (cirkel, vierkant, rechthoek, strook, driehoek, zeshoek, wijzerplaat, windroos, …) als met numerieke eenheden (hoeveelheden, bedragen, gewichten, afstanden, oppervlakten en dergelijke in getallen gegeven). Maar het allerbelangrijkste van de activiteiten is het denkwerk dat het handelen begeleidt. Daarom is het steeds gewenst over het doe-werk van gedachten te wisselen en daarbij vooral hetgeen gedaan is te visualiseren. Het noteren van hetgeen gedaan is in de vorm van kale sommen, zal voor hen de allerlaatste stap op deze weg zijn. Niet iedereen hoeft die stap ook te zetten.
De zevende klas
Zie hiervoor hoofdstuk 7.
5.4. De praktijk in de vierde klas
Maandagmorgen, de eerste breukenperiode. Geen hoopvolle stille verwachting, maar een klas met druk pratende kinderen nog vol van alle weekendbelevenissen. We zingen samen een lied en worden in deze beweging weer ‘één’ stem. Dan zeggen we met elkaar de spreuk en als de kinderen daarna, toch stil geworden, zitten te wachten, haal ik triomfantelijk de theedoek van de schaal op het tafeltje midden voor de klas: één pannenkoek! “Jongens, deze pannenkoek gaan we nu opeten.” “Geef maar aan mij, want ik had toch geen tijd om te eten vanmorgen”, zegt Erik met een grote grijns. Nienke, altijd oog hebbend voor het geheel van de klas, verwijt me “U had er beter 24 kunnen bakken, zo is het toch niet eerlijk!” Nog vele opmerkingen volgden, snel wordt duidelijk dat er gedeeld moet worden. Henk, die altijd trek heeft, probeert nog even “Wie wil er niet?” “Henk, weet je wat, neem jij het mes, maar waarom vraag je dat eigenlijk?” “Als Erik en ik nou alleen wilden, dan hadden we ieder de helft!” Luid gejoel uit de klas maakt onmiddellijk duidelijk dat Henk op een andere manier moet verdelen. Een hele puzzel, maar ieder kind kon even later een sliertje pannenkoek in zijn mond stoppen. Na de eerste pannenkoek, verdelen we de kinderen in verschillende groepjes met in ieder groepje een ander aantal kinderen: twee, drie, vier, … Dan komt uit de kast de rest van de stapel pannenkoeken en krijgt ieder groepje er een met de opdracht een verdeling te maken. De kinderen vertellen hardop hoe en waarom ze verdeeld hebben. Waarbij een aantal kinderen de delen al met (stam)breuknamen blijkt te benoemen. Daarna maken we een mooie tekening in het periodeschrift van de eerste en tweede pannenkoek met hun verdeling.
Het is voor de kinderen een grote verrassing, soms haast een schok als ze bemerken dat binnen het geheel van het getal 1 een totaal nieuwe rekenwereld ligt. De eerste kennismaking met de breuken staat in het teken van ‘concrete’ zaken, zodat de kinderen in de wereld van de breuken thuis kunnen raken. We kunnen daarbij denken aan het volgende:
• Verdelen van allerlei wat de natuur ons te bieden heeft. Vaak is dat van zichzelf al verdeeld, zoals mandarijntjes, appels, noten.
• Verdelen van wat er vanuit de cultuur te verdelen valt, zoals bijvoorbeeld
183
mogelijk is met tijdsduur, waarvan we de weergave kunnen zien op de wijzerplaat van een klok.
• Verdelen van aantallen dingen die door de kinderen of de leerkracht meegenomen zijn.
Het praktisch verkennen van meetkundige eenheden geeft de gelegenheid de kinderen veel eigen producties te laten maken. Alleen of misschien juist in groepjes, gaan ze aan het werk om cirkel, rechthoek, driehoek of strook te verdelen! De kinderen kunnen zeer creatief zijn als ze de gelegenheid krijgen dit soort vormen te zoeken. Geef ook eens verdelingen in meetkundige eenheden en laat de kinderen de delen onderzoeken.
Dit kunnen we ook op het plein doen met elkaar. We vormen een grote kring, (een cirkel) of een rij, (een strook) en onderzoeken de natuurlijke breuken.
De klas bestaat uit 32 kinderen, een ideaal aantal om de breuken mee te behandelen. We gaan in een kring staan. Vervolgens wordt de kring in tweeën, vieren, achtsten, enzovoort gedeeld. Ten slotte zijn alle handen los en staat ieder op zich zelf. Bij alle achtereenvolgende delingen hebben we het gebeurde steeds onder woorden gebracht: Wij zijn de ene helft, jullie zijn de andere helft. Wij zijn een kwart, zij zijn een kwart, enzovoort. Op het laatst zegt ieder kind: “Ik ben een van de tweeëndertig, een tweeëndertigste van de hele klas.” Dit klinkt ronduit indrukwekkend; ook de aandacht waarmee ieder de anderen aanhoort is opvallend. Daarna hebben we de kring nog eens met gekleurde linten in gelijke sectoren verdeeld, waarbij we die stukken steeds kleiner maakten. De linten werden toen als een soort windroos op de grond gelegd. In ons schrift maakten we daar tekeningen van.
184
Van die kring heb ik later nog vaak gebruik gemaakt. “Draai 1/8 door.” “Loop 1/4 verder, enzovoort waren opdrachten die ze al vrij snel konden uitvoeren.
Langzamerhand is op natuurlijke wijze het naamgeven van de delen ontstaan. Nu gaan we die ‘namen’ ook opschrijven. Eerst nemen we gekleurde cirkels en stroken, en gaan vouwen en knippen.
185
Het vouwen vormt voor de kinderen een goede activiteit om al doende het ‘denken in het handelen’ te krijgen. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. We kunnen eerst de halveringsreeks maken (tot en met 1/16 ), daarna pas de gemengde reeks van 1/3 1/61/9 1/12 ). En later kunnen we nog 1/5 en 1/10 toevoegen. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Het vouwen heeft het voordeel dat het geheel blijft bestaan. Als de kinderen de stambreuk waar het om gaat eruit knippen, kunnen ze de vorm in hun schrift plakken en de naam erbij zetten. Het aardige aan stambreuken is dat je ze kunt tellen. Zo passen er bijvoorbeeld vier stukjes van 1/8 in één stukje van 1/2 . Elke nieuwe stambreuk vormt zo een nieuwe maat waarmee de eenheid, de ‘volle’ schijf, te bemeten is. Door aanvankelijk alleen met de halveringsreeks te werken, kan veel verwarring voorkomen worden. Dus niet steeds het hele zakje laten leegschudden. De vraag “Wat past er allemaal in een hele?” leidt alleen met de halveringsreeks al tot veel eigen producties, zoals 1 = ½+ 1/8 + 1/8+ ¼ ; in het handelen tenminste, niet als som. Met drie stukjes van 1/3 kun je één stukje van 1/9 vullen, maar twee stukjes van 1/9 zijn al meer dan één stukje van 1/6. Voor het probleem dat nu optreedt moeten de kinderen zelf een oplossing zoeken. De eenheid is weliswaar in steeds kleinere eenheden (stambreuken) opgedeeld, maar deze zijn onderling niet steeds weer delen van elkaar.
Laat een aantal leerlingen, of misschien wel allemaal, ook eens met wat ingewikkelder vouwtechnieken experimenteren. Welke breuken ontstaan er?
Ik besloot nog eens terug te kijken op het werk van de afgelopen dagen. De kinderen hadden vol enthousiasme gewerkt en de breuken klonken al door de klas alsof het heel gewoon was. Aan een concrete situatie wilde ik eens zien of het delen en het naamgeven al tot het eerste begrip breuk had geleid.
Maar toen ik de volgende dag een heerlijke ronde vlaai meegenomen had en aan onze bolle Martijn, toch niet een van de langzaamsten, vroeg: “Wat heb je liever, 1/3 of 1/3 0 ?”, bleek dat de kracht van de grote (natuurlijke) getallen nog niet gebroken was. Zoiets heeft echt zijn tijd nodig en vele (gevarieerde) oefeningen. Ook later in de periode viel me dat steeds weer op.
Tellen om straks aan de teller te komen
Aanvankelijk werken we vanuit het tellen: delen die kinderen kunnen tellen. We gebruiken in het begin nog geen samengevoegde delen. Anders gezegd: we tellen met stambreuken. Wel kunnen we het geheel geven, waaraan een stuk ter grootte van een stambreuk ontbreekt. Dan vraagje: “Welk deel ontbreekt?”
186
Toen we een strook verdeeld hadden in tien delen, schreven de kinderen trouw, nadat ze er 1/10 van mochten afknippen, dat ze nu 1/10 en 1/10 en 1/10 en…… en 1/10 over hadden.
Lisander houdt niet van schrijven, maar wel van rekenen en bood onmiddellijk aan maar puntjes te zetten of gewoon 9.
Wel een aardig idee vond de klas, maar dan kan je niet ‘zien’ waar het over ging. Zo werd besloten tot de notatie: 9/10
Teller en noemer
Zolang we werken met meetkundige eenheden die verdeeld moeten worden of zijn, is het voor de kinderen niet moeilijk om de breuk van teller en noemer te voorzien.
Om teller en noemer nog eens op een andere manier te onderscheiden werd de familie Best geïntroduceerd. Vader, moeder, Francien, Saskia, Bert en Karel zijn de zes leden van de familie Best. Bart en Karel zijn er twee van de familie Best. Schrijf maar 1/Best de noemer dus als familienaam. De teller geeft het aantal familieleden van de familie aan. Of …../Best om in te vullen. Even later wordt dat “Hoeveel van die ‘zesden’ moeten we hebben?”
Tot nu toe hebben we de natuurlijke breuken leren kennen als resultaat van een handeling, verdelen, vouwen of knippen van een eenheid. Nu gaan we ook hoeveelheden verdelen. “Verdeel eens twee pizza’s met z’n vijven. Hoeveel krijgt je elk?” De kinderen zullen bij zo’n eerste onderzoek naar zo’n verdeling zeker voor de eerste oplossing kiezen. In een later stadium zie je pas wat meer gevarieerde oplossingen omdat de kinderen steeds vertrouwder raken met de verschillende breuken en breukenrijen.
187
Het delen van etenswaren leidt bij vrijeschoolleerlingen, vertrouwd met de vijf-ster, meestal tot de bovenste oplossing. Wil je de andere verdelingen oproepen bij een maaltijd in restaurant ‘De Smulpan’ dan zul je, door niet alles tegelijk op te dienen, of er een vijfde man bij te laten komen, andere verdelingen kunnen oproepen. Het is leuk om zo’n eetsituatie ook eens echt te spelen. In een vijfde klas kunnen de pannenkoeken dan ook nog een prijskaartje krijgen, bijvoorbeeld € 6,—. Wat moet je nu per persoon betalen? In een zesde klas zijn het dan twee verschillende pizza’s van € 10,— en € 12,50.
Nog eens het symbool uitvinden
Hoewel we in eerste instantie de breukdelen een naam hebben gegeven, is het nu ook mogelijk op nog een andere wijze het symbool uit te vinden. De notatie van breuken kan op verschillende manieren gebeuren. Een aardige ontdekking van kinderen, die aan een vierkante tafel zaten en met z’n zevenen drie pannenkoeken moesten verdelen. De situatie aan tafel werd aldus in twee stappen gesymboliseerd:
Bijna de breuk zoals die formeel genoteerd wordt!
Ontdekken van de breuk als operator
Snelle breuken. In de zaal hebben de kinderen de ruimte en als we daar allemaal, lekker door elkaar staan, verdelen we ons in drie groepen. “Welk deel zijn jullie nu als groep?” 1/3 is niet moeilijk te beantwoorden, maar nu draaien we het om: 1/4 mag op de grond zitten!” Een aantal gaan heel snel zitten om ‘erbij’ te zijn, maar van blijkt 1/4geen sprake te zijn, dus een deel van de kinderen gaat weer staan na wat geharrewar. In twee groepen verdeeld gaan de kinderen zelf opdrachten met breuken aan hun groep geven. De kinderen staan daarbij in een kring of in een rij.
Windroos
“Wie weet waar hier het noorden ligt? Goed, ga maar allemaal met je neus naar het noorden staan. Dat is je windwijzer, en als die zo staat komt de wind uit het zuiden. Als de wind ‘ruimt’, beweegt hij met de zon mee. De wind ruimt naar het westen. Waar staat je neus nu naar toe, Joost? Hoever ben je dus gedraaid, Mariëlle? En als de wind krimpt, dan draait hij tegen de zon in. Begrepen? Goed, dan zullen we nu een windje laten. Ga allemaal met je neus naar het noorden staan. De zuiderwind ruimt naar het oosten. Ja Hugo, dat was dus 3/4 draai, van zuid naar west, naar noord, naar oost. Een lange draai dus. En nu krimpt hij tot er weer zuidenwind is. Marijke, we zijn weer terug hè? Ja, eerst 1/4 (draai) terug en dan nog ½ (draai) terug”. Op het bord staat een windroos getekend en nadat we een tijdje ‘gewaaid’ hebben wordt de laatste windbeweging ook op het bord met kleur aangegeven. Ruimend met rood, krimpend met blauw. De vragen kunnen nu ook luiden: “Gisteren was er zuiderwind, de wind is ¾ gekrompen. Wat is nu de windrichting? Had de wind ook kunnen ruimen om daarna uit deze hoek te waaien?”
188
189
Ook getekende rekenverhalen lenen zich voor het verkennen van de breuk als opdracht om te handelen.
Breuken en bewegen
We leren de kinderen de breuken heel concreet aan, door aanschouwelijke activiteiten. Toch kan een gepaste voortzetting van het bewegingselement enthousiasmerend werken. Het ritmische aspect van het bewegen biedt tevens de mogelijkheid tot een onopvallende herhaling van de tafels:
2/4 4/4 6/4 ………
3/8 6/8 9/8 …….
Brengen we daarbij de hele getallen in het geding:
4/6 12/6 2,…
dan gaan bewegen en inzicht al heel sterk samen en hebben we meer met een concentratie-oefening te maken. Zo’n oefening hoort thuis in de vijfde klas. Dit kan lopend in een cirkelvorm gebeuren, waarbij de kinderen zelf de grootte van die cirkel en hun passen moeten bepalen om de hele getallen op dezelfde plaats te krijgen. Het op dezelfde plek terugkomen geeft meer gevoel voor de betekenis van de helen in: 1/8 11/8 21/8 Als een vorm de mogelijkheid geeft de beweging ook terugwaarts te maken, verdient dat zeker aanbeveling. Leidt het achteruitlopen tot geduw en tenentrapperij, dan kunnen de kinderen veel beter omdraaien en ‘hun neus achterna’ lopen. De vorm die de kinderen hardop sprekend lopen of bewegen, wordt ook zwijgend uitgevoerd. Nu gaat het erom dat de leraar de vorm onderbreekt en zegt: “Stop! Waar ben je?” Dit soort bewustzijnsmomenten voorkomen dat de kinderen wegdromen in het ritme, of elkaar alleen maar imiteren. Ook worden bewustzijnsmomenten ingebouwd door ineens een andere beweging te doen. Bijvoorbeeld: “Op iedere achtste een stap, maar als de breuk een hele vormt, dan geef je een klap”: 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8 9/8 10/8 …
Hier kan men ook niveauverschillen zien optreden. Sommige kinderen halen er bijvoorbeeld meteen (spontaan) de helen uit. In de hogere klassen is voor sommigen de sterke motorische beweging met de ledematen een stoorzender voor het bewustzijn. Voor zulke kinderen is het goed ook oefeningen te geven, die zonder beweging gedaan worden, maar waar de accenten die anders door de beweging werden aangegeven, nu bijvoorbeeld door hard en zacht spreken gelegd worden. Ook kan men af en toe individuele opdrachten ertussen door weven, opdat het geen dreun wordt, die de kinderen klakkeloos mee zeggen.
190
Voorbeelden
In een kring De kinderen klappen de rij, bijvoorbeeld van 1/8 en zeggen: één achtste, twee achtsten, drie … Bij het zeggen van de teller wordt een klap gegeven, bij het zeggen van de noemer een stamp op de grond. De rij wordt, zonder te zeggen, in stilte bewogen. Wanneer iemand aangewezen wordt, moet deze zeggen waar ze ‘in de rij gekomen zijn’. Er worden muziekinstrumenten gebruikt. Wanneer de trommel te horen is, gaan we de rij vooruit lopen en wanneer de triangel klinkt, achteruit. Dat geeft extra plezier als deze vorm in stilte gedaan wordt: “Waar zijn we? Wie zou het weten?”
Halveren In kringvorm lopen de kinderen op het ritme van het lied “Grote klokken zeggen bim bam”. Voor de eerste regel worden lange passen genomen, dan wordt op de tel gelopen en ten slotte de kleine stapjes van het “tikke takke tikke takke tikke takke tak”. Ook is het mogelijk drie kinderen naast elkaar te laten lopen elk op een verschillend ritme, of met alle kinderen in drie grote kringen met voor ieder de opgave het eigen ritme goed vast te houden.
Verdubbelen Bij het lopen van de ritmen worden de hele stappen (lange passen) steeds gehalveerd. De breedte van het lokaal is zeven lange passen (eerst schatten). “Hoeveel halve passen maak je als je van de ene kant naar de andere kant loopt? Hoeveel kwart passen zitten er in diezelfde afstand?” Drie kinderen kunnen het naast elkaar lopend demonstreren: wanneer een van de kinderen één grote pas zet, maakt de ander twee kleine pasjes en de derde vier trippelpasjes. Er kan aanleiding zijn om ook de gelijkheidsrijen te lopen en te spreken. Voor veel kinderen is dat nog moeilijk, de eerste drie gaan wel maar dan… In de vijfde klas, wanneer we reflecteren op wat we ontdekten in de vierde klas -waar we de gelijkheidsrijen vooral gewoon ( 1/8 2/16 3/24 …..) voortzetten- kun je van verdubbelen veel duidelijker een activiteit maken (( 1/8 2/16 4/32 …).
Breukenelastiek
Met een wit elastiek met daarop een (lineaire) markering, kan elke gewenste breukverdeling op een strook aangebracht worden. Rek het elastiek zover op dat het begin- en eindpunt van de strook (kassarol) samenvallen met het begin en het einde van (bijvoorbeeld) het zevende stuk van het elastiek. Markeer nu de stukken van 1/7 op de strook. Zo kun je ook laten zien dat 2/3 = 4/6 = 10/15 en dergelijke. Eerst verdeel je namelijk de strook in drieën, dan in zessen of in vijftienen. In alle genoemde gevallen zal steeds eenzelfde deel van de hele strook aangegeven worden. Later kun je hierop terug komen, als de regels voor het gelijknamig maken bij optellen, aftrekken en delen ‘uitgevonden’ worden.
Je kunt zelf zo’n breukenelastiek maken door er aan de uiteinden knopen in te leggen (dan kun je het beter vasthouden). Daarna bevestig je het tijdelijk vijf keer uitgerekt op een tafel en zet nu, vanaf een gekozen beginpunt, om de 4,0 cm een streepje (noteer bij de streepjes 0, 10, 20, …). Zorg dat je elastiek tijdens het markeren niet verschuift (gebeurt dat wel, dan is het daarna waardeloos). Je hebt nu
191
een soort rekbare liniaal gemaakt met een variabele schaalverdeling erop. Daarmee kun je elke lengte ‘naar verhouding’ verdelen.
Spelvormen
Tot slot een aantal spelvormen om de eerste (en ook volgende) periode mee af te sluiten. Spelvormen zijn ook heel geschikt om ongemerkt de klas, of een speciaal kind, nog eens in ogenschouw te nemen. Je kan ze zo maken, dat alles wat ze deze periode gedaan hebben erin terugkomt. Het bewegend rekenen wordt in dat geval afgesloten met een spel, waarbij het ritme geen (belangrijke) rol speelt. Er wordt nu een bepaalde wakkerheid gevraagd om allert te kunnen reageren. Belangrijk is wel, dat de maat die de breuk heeft hierbij een rol speelt. Dat aspect kwam in de breukrijen niet zo naar voren. Daar werd immers steeds met even grote passen gelopen.
‘Er in‘
Er zijn verschillende opgedeelde cirkels op de grond getekend waarin breuken geschreven zijn. De kinderen krijgen nu de opdracht: “Ga in 3/4 staan “. De manier waarop ze dat doen, mogen ze zelf uitzoeken.
Breukentwist
Een cirkel op de grond is eerst in twee helften verdeeld, daarna in vierden, achtsten, of iets dergelijks. Een andere cirkel in derden, zesden, negenden, enzovoort. De kinderen moeten opdrachten met deze cirkels uitvoeren. “Wie kan in een halve cirkel gaan staan?” “Ga eens staan in 11/8“
Breukpunt
Teken op de grond een grote cirkel en verdeel deze in enkel
stambreuksegmenten. Wijs een tikker aan. Deze stelt zich op in het midden van de cirkel. De andere kinderen staan rond de cirkel.
Noem een te vormen breuk en tel vervolgens (bijvoorbeeld) met stappen van een achtste tot één hele. Tijdens het tellen moeten de kinderen met hun voeten in de te vormen breuk gaan staan. Wie dat binnen de tijd niet voor elkaar krijgt, kan getikt worden. Wie getikt is, moet een pand inleveren.
Variatie: noem een som. De kinderen moeten in de uitkomst gaan staan.
Variatie: in plaats van een cirkel, een driehoek of vierkant gebruiken.
192
Een tweede periode
Stond de eerste breukenperiode duidelijk in het teken van ‘leren kennen’ door verkennen en onderzoeken, nu gaan we ermee leren werken, op concreet niveau gaan we ook de eerste natuurlijke breuken toepassen. Wat we ‘doen’, leren de kinderen ook als sommetje op te schrijven.
Breuken verzamelen
Deze ochtend ligt op alle tafels een glanzend stuk goudkarton! “Wat gaan we maken, wat hebben we voor feest?” “Rekenen”, antwoord ik triomfantelijk. Verbaasd kijken de kinderen mij aan. Even wennen voor vrijeschoolkinderen dat gewone dingen ook een feest zijn? Sommige kinderen zie je even voelen aan het goudlaagje, in ieder geval hebben ze zin in deze dag gekregen. En ik ook, want straks hebben ze allemaal een glanzende ‘breuken-envelop’! De eerste dagen van de nieuwe breukenperiode werden gebruikt om het ‘oude’ tevoorschijn te halen. We deelden weer op allerlei manieren en ook knipten en vouwden we weer meetkundige eenheden tot breuken. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. Daarbij werd eerst de halveringsreeks gemaakt (tot en me 1/16 ). En daarna pas de gemengde reeks van 1/3 1/2 1/9 1/12 Later werd daar nog 1/5 en 1/10 aan toegevoegd maar echt nodig was dat niet. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Al deze breuken werden ook uitgeknipt zodat er van ieder tenminste ‘een hele’ in de gemaakte, gouden envelop gedaan kon worden. Dat was voortaan onze breukenenvelop. Met de breuken uit de envelop kunnen we nu allerlei opgaven ‘leggen’. We zorgen dat er verschillende schijven met dezelfde stambreuken gemaakt worden, zodat er ook doorgewerkt kan worden boven de 1. In de envelop komen ook stroken met allerlei verdelingen. Hier zijn de breuken niet losgeknipt, maar de vouwlijn is duidelijk aangegeven. Met deze zelfgemaakte modellen gaan we aan het werk. Niet alleen worden er oplossingen mee gevonden bij concrete opdrachten, maar de kinderen worden vooral gestimuleerd eigen producties te maken. Bij iedere ‘uitvinding’ gaan we nu ook de uitwerking als som opschrijven. Met deze eerste sommen zijn de kinderen zeer geanimeerd bezig.
Kies ook nog eens een verdeelvraag met pannenkoeken. De breukenenvelop kan goede diensten bewijzen en we kunnen er nu sommen bijschrijven.
“Verdeel vijftien pannenkoeken gelijk over vijf groepjes (tafels)”. Dan moeten ze maar aan het werk. Welke oplossingen komen er zo al uit de bus? Eén groep zal bijvoorbeeld alle pannenkoeken door de helft gedeeld hebben. Dan heeft ieder kind ½ pannenkoek en er blijft nog ½ over. Die is makkelijk in vijf gelijke stukken te verdelen. De oplossing die nu uit de bus komt is dan:
193
“Verdeel drie pannenkoeken in gelijke stukken met z’n vijven” Elk krijgt eerst ½. Daarna nog 1/5 van ½, dat is 1/10 of:
Dat kan verrassingen geven: “Verdeel één pannenkoek ‘eerlijk’ over drie personen”, wordt als opdracht gegeven. De kinderen gaan aan het werk. Eerst wordt de pannenkoek in vieren verdeeld, daarna wordt het laatste vierde deel op de volgende manier in drieën verdeeld. Op de opmerking van de leerkracht dat dit toch geen eerlijke verdeling is, antwoordt een van de kinderen: “Jawel hoor, want hij heeft gewoon meer trek”.
Zo’n moment kan juist leiden tot een verdieping van het breukbegrip. De uitdrukking gelijk op delen (verdelen in even grote stukken) zou hier beter op zijn plaats zijn. Kinderen kunnen op dit gebied zeer inventief zijn. Het is dan ook niet verstandig snel af te stevenen op de rekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Wel kan de kinderen opgedragen worden, na afloop precies te tekenen hoe er tijdens de maaltijd opgedeeld en verdeeld is. Daar kunnen dan sommetjes bij geschreven worden. 194
Overigens is het didactisch gezien van groot belang, dat de kinderen zich niet beperken tot één model voor de breuken. Zowel cirkels als vierkanten als rechthoeken als stroken dienen de ontwikkeling. Bedenk veel opdrachten waarbij het gebruik van stroken mogelijk is. Op een andere manier krijgen de kinderen nu ook gevoel voor de maat van een breuk.
Met de stroken zijn de kinderen dicht bij het beeld van de getallenlijn gekomen. Een getallenlijn die in dit geval opgebouwd is uit intervallen en niet bestaat uit punten. De breuken wijzen hier dus delen van de getallenlijn aan, net als de getallen op de liniaal. Dit beeld van de breuken ligt dicht bij activiteiten als ‘het springen over de getallenlijn’ (zie H 2 ).
Blijven bewegen
Opnieuw komen we met de kinderen in beweging. Nu gaan we breuken ook schattend onderzoeken. En we vergelijken. “Wijs eens aan, hoe groot is ½ ?” Alle halven tussen de handen zijn verschillend. “Hoe groot was jouw hele?” Voor de leerkracht een aardige gelegenheid om naar het temperament in combinatie met het gebaar te kijken. Buiten kunnen we op het plein weer opdrachten lopen. Eerst de 1 (eenheid) kiezen, dan elkaar opdrachten geven: “Ga staan op 1/3 of 3/8 , enzovoort.” In de klas kun je er ook spelletjes mee doen. Twee kinderen die allebei ook een onverdeelde ‘1-strook’ uit de envelop pakken, geven elkaar opdrachten en schrijven de som erbij op. Of: “Ik heb een getal in gedachten!” Met vragen moeten de anderen erachter komen: “Is het groter dan 1/8 ?” “Is het kleiner dan ½ ?” … Spreek wel af welke breuken ‘mee mogen doen’.
Breukentikkertje
Geef elk kind een (eenvoudige) breuk die groot op een papier geschreven wordt. Elk kind krijgt deze breuk op zijn rug gespeld. Stel de kinderen op achter de basislijn in de gymzaal. Wijs één tikker aan. Je roept nu een breuk, die samenge-
195
steld kan worden uit de eenvoudige (rug)breuken van de kinderen. Kinderen die gezamenlijk zo’n breuk kunnen vormen mogen vrij oversteken. Wie geen groepje kan vormen mag alleen oversteken, maar kan dan getikt worden en moet in dat geval een pand afgeven. (Zijn er te veel kinderen die alleen oversteken, dan mogen eerst de breukgroepen oversteken). De breukgroepen moeten zich als groep aan de overkant (ter controle) opstellen.
Lege cirkels
Er liggen twee ‘lege’ cirkels op de grond. “Wie kan een heel rondje lopen? Wie kan een halve draai om het middelpunt (as) maken? Wie loopt 3/4 rondje? Wie 1 1/4 rondje? Wie draait 21/8 keer om zijn as?”
Sommen bedenken en maken
Langzamerhand vinden de kinderen het fijn om ook echt te werken. Maar de ‘sommen’ zijn nog steeds geen kale sommen. Let wel, het gaat nog niet om het rekenen maar om het werken met de breuken. De breuken beschrijven verdelingen of geven de opdracht te gaan verdelen. Als ergens 1/2 + 1/3 voorkomt, dan hoort daar zoiets bij als:
Dus ½ pannenkoek en 1/3 pannenkoek ( ½ p + 1/3 p) naast de helft van 24 bloemen plus 1/3 van 24 bloemen (½ x 24 + 1/3 x 24). Gestructureerde meetkundige ‘sommen’ zijn fijn om te kunnen ontdekken:
196
De antwoorden van de kinderen in bovenstaande voorbeelden laten zich raden. In het geval van de rechthoek kwamen er bijvoorbeeld:
1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 , maar ook: 4 x 1/8 = 1/8
Dat de vier delen van 1/8 rechthoek samen½ rechthoek konden vormen, werd door wat knip-en verschuifwerk al gauw overtuigend aangetoond.
Van gekleurd papier knipten de kinderen eerst allerlei vierkanten van dezelfde maat. Daarna werden ze doorgeknipt op de eerst gevouwen diagonalen. In twee groepen gingen de kinderen er nu een grote meetkundige figuur van samenstellen en plakten dat op een groot tekenvel. Met behulp van de vorm en de kleuren zochten ze naar structuren en bedachten er breukopgaven bij. De sommen worden onder de mooie vorm geschreven. Sommige kinderen ontdekten dat je opgaven kon bedenken, waarbij je de breukensommen in overeenkomstige kleuren (uit de vorm) kon opschrijven.
Hoe ver zijn we gekomen?
Zorg er voor dat er tegen het eind van dit breukenwerk in de vierde klas weer een toetsles is; een ochtend waarbij je de opdrachten zo inricht dat je kan waarnemen welk ‘breukenrepertoir’ de kinderen op dit moment tot hun beschikking hebben. Het is ook belangrijk om waar te nemen hoe de kinderen het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken. Let ook eens op het samenwerken in groepjes; wie neemt het voortouw en wat voor initiatieven nemen de kinderen om gezamenlijk tot een oplossing te komen?! Voor de kinderen hoeft zo’n dag er niet anders uit te zien dan andere dagen,maar voor de leerkracht is het belangrijk momenten te creëren waarin hij de individuele verschillen in ogenschouw neemt. Bij het maken van lesmateriaal zullen deze verschillen in de komende jaren steeds meer bepalend zijn.
5.5 De praktijk in de vijfde klas
De 1, een groot geheel en een kleine hoeveelheid
Op allerlei manieren onderzoeken we de 1 en zien wat één betekende in de afgelopen schooljaren. Dat je de 1 kon breken in oneindig veel delen was voor de klas een duidelijke herinnering, maar terugkijkend naar de breuken in de vierde klas, leek het wel of alles helemaal weg was bij de kinderen. Eenmaal aan het werk komt de verstevigde herinnering bij de kinderen weer boven. Sommige kinderen hebben de behoefte de breukenenvelop weer tevoorschijn te halen en dan zijn we er weer helemaal in!
Ook ‘vanuit de beweging’ kijken we nog eens op de breuken terug. In de vijfde klas wordt bij de beweging een grotere bewustmaking gestimuleerd. De rijen die al in de vierde klas gedaan zijn, kunnen weer gedaan worden, maar nu met een extra accent. Om een idee van de activiteiten in de klas te krijgen, volgen hier een paar voorbeelden ter inspiratie. De rijen kunnen weer gezegd worden, nu niet beginnend bij de 0 maar bijvoorbeeld bij 2/7. De rij van 3/7 beginnend op 2/7 wordt: 3/7 5/7 8/7 11/7 …, enzovoort.
De rij beginnend op 2/7 maar dan eerst 3/7 erbij tellen en daarna elke keer 1/7 meer erbij tellend: 2/7 5/7 9/7 14/7 20/7 ,… Gelijkheidsrijen (rijen van gelijkwaardige breuken, zoals 1/8 2/16 3/24 •••) kunnen in de vierde klas al geoefend worden. In de vijfde klas kan dat moeilijker worden
197
gemaakt, door bijvoorbeeld elke keer een groep een stap later te laten beginnen. Zodoende ontstaan de gelijkwaardige breuken niet alleen binnen de oefening maar ook binnen de groepen.
Bijvoorbeeld:
De rijen kunnen vanuit een bepaald symmetriepunt opgezegd worden. Elke keer gaan we dan bij dat punt de grens over maar in steeds wisselende richting. Dit kun je bij elke rij doen. Bijvoorbeeld bij de gelijkrij van 5/7 :
Voor alle bovengenoemde activiteiten geldt dat er na een korte tijd van intellectuele inspanning door de kinderen een regelmatigheid wordt gevonden. Hierna komt de ritmiek, de beweging weer op de voorgrond. Dit is dan het moment, dat er een andere opdracht gevonden moet worden om het denken weer in te schakelen. Ook op papier kunnen we de rijen in beeld brengen.
Het maken van sterfiguren is een activiteit waarbij de breukenrij, (bijvoorbeeld die van 3/8) gekend moet worden, om tot iets anders te komen. De mooie vorm die ontstaat is hier het gevolg van het gebruik van breukenkennis en leidt dus niet tot begrip van de rij. Het is leuk om te zien dat kinderen daarna andere breukenrijen (van achtsten) willen uitproberen, om te zien wat dat voor gevolgen heeft voor de figuur.
198
Ziehier de ster:
Dit is overigens ook de ster voor 5/8, alleen doorloop je deze dan in de andere richting. Zou dat wellicht iets te maken hebben met het feit dat 3/8 + 5/8 = 1? De rij van 1/8 (en die van 7/8) levert op de cirkel geen echte sterfiguur op, het wordt gewoon de regelmatige achthoek. De rij van 2/8 (dat is natuurlijk ook de rij van 1/4 ), geeft een vierkant. Dan vraag je de kinderen hoe het met de rij van ¾ zit?
Heel aardig is om de sterfiguren met draden op spijkerbordjes te maken. Men moet zich er evenwel bewust van zijn, dat het inzicht in de breuken daarbij behoorlijk uit zicht kan geraken.
Neem nu eens de rij van 3/8, op een rechte lijn uitgezet. Deze kan oneindig lang worden voortgezet. Na een paar stappen passeer je de eenheid, even later kom je over 2 heen … 3/8 6/8 11/8 14/8 17/8 22/8….. Nu is de vraag: “Hoe zien de sprongen van de sterfiguur bij 3/8 eruit?” Of: “Welk beeld behoort er bij de rij van 3/8 op de getallenlijn?”
Zet je de stappen evenwel langs een cirkelomtrek, dan kun je het aantal gepasseerde ‘helen’ uit het oog verliezen.
Regelmaat en wetmatigheid
Heel interessant wordt het als de breukenrijen systematisch in tabelvorm worden opgeschreven en we daarin allerlei wetmatigheden kunnen ontdekken. We laten twee voorbeelden zien, een van een opteltabel en een van een vermenigvuldigtabel. We beperken ons daarbij tot ‘achtsten’.
199
Vermenigvuldigtabel van ‘geheel getal x … achtsten’. “Wat valt er allemaal te ontdekken?”
Opteltabel van de rij van ‘achtsten’, om zelf verder in te vullen en regelmatigheden op te sporen.
Oefening baart kunst
In allerlei opdrachten wordt nu geoefend in het beschrijven van verdelen en breken. De contexten worden zo gekozen dat getallenlijn, cirkel, vierkant, strook, enzovoort (zie ook didactisch spoor H5.2 ) gebruikt kunnen worden als model voor het oplossen.
Van cirkel naar getallenlijn
Het verschil tussen cirkel en getallenlijn is, dat je bij oneindig veel rondes langs de cirkelomtrek niet uit zicht geraakt, terwijl je op de getallenlijn met een breukenrij steeds verder ‘van huis’ komt. Dit wordt mooi in beeld gebracht als we de cirkel langs de getallenlijn afrollen. Stel je maar voor dat de breuken als stempeltjes op de cirkel zijn aangebracht:
Als de cirkel zover doorgerold is dat de 0 weer onderaan is gekomen, dan moet er bij alle breuken 1 worden opgeteld: 1 11/8 12/8 enzovoort, tot we weer rond zijn en bij 2 komen. Op die manier komen we steeds verder van huis (= 0). Je kunt zoiets mooi demonstreren met een ‘klikwiel’, waar afstanden mee te bepalen zijn. Wie een klas met handige vingers heeft, kan zich wagen aan het leggen van een dikke draad om een mooie gekleurde verdeelde cirkel in het schrift. De verdelingen worden overgebracht op het touwtje en vervolgens rollen we het touwtje af en plakken het erbij als getallenlijn! Geen kind dat meer vergeet wat een getallenlijn met breuken erop is.
Referentiematen voor bemiddelende grootheden
De klok gaf ons het beeld van het hele uur, een half uur, een kwartier, drie kwartier, later voegden we daar vijf minuten als deel, tien minuten als 1/12 deel aan toe, tien minuten als 1/6 deel aan toe.
201
De cirkel staat model voor de wijzerplaat van een (nog niet digitale) klok. In dat geval is er dus een soort natuurlijke onderverdeling van de omtrek, waarbij die van vijf minuten, na de kwarten voor de kwartieren het meest in het oog springt. Twaalf gelijke delen dus, elk aan te geven met 1/12 tezamen een rij vormend van bijvoorbeeld 1/12 . Je loopt dan, met de wijzers van de klok mee, langs de cirkel via de rij 1/12 2/12…11/12 12/12 (=1) 13/12 ….. Denk je ‘in minuten’, dan luidt die rij: 5, 10, 15,…. 55, 60 (= 1 uur), 65,… (Weg zijn de breuken en de tafel van 5 is tevoorschijn gekomen!)
Als je in het middelpunt van de cirkel de bewegingen langs de rand volgt, kun je spreken in termen van ‘ronde’. Een hele ronde voor de kinderen die een heel rondje langs de cirkelomtrek hebben gelopen. Of, even anders bekeken: een hele ronde voor één heel uur. Dat zou de grote wijzer ook gezegd kunnen hebben. Halve ronde en kwart ronde komen zo op een natuurlijke manier in beeld. De breuken uit de rij van 1/12 zijn ook te zien als beschrijvers van zo’n ronde.
De kinderen hebben dat mooi in kaart gebracht, (zie ook leerlingenwerk in kleur) Je kunt in klas 6 nog een stapje verder gaan. Een hele ronde heet in de meetkunde immers 360°! Een kwart ronde is dan 90°, en een achtste ronde 45°. Hoe zit dat nu met onze rij van 1/12 ? 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210° … Breuken weg, de tafel van 30, of gewoon de tafel van 3.
Straks gaan de kinderen op zoek naar meer van dit soort referentie-maten als bemiddelende grootheden, vervangers van de eenheid die daarvoor gebroken of verdeeld was.
Van de klok naar een getallenlijn op de grond
We zijn begonnen met het uitwerken van de klok. Elke vijf minuten werden van een deelbreuk voorzien. Daarna heb ik de klok uiteen laten vallen met behulp van een vormtekening.
De kinderen kregen een beeld van een lijn als een klein deel van een cirkel, en niet als een eindig gegeven. De cirkel kan oneindig lang afrollen tot een oneindig lange lijn. We beperkten ons eerst tot één keer afrollen en verdeelden toen dat lijnstukje in 12 gelijke delen: de wijzerplaat was lineair geworden. Waar komt de 12? Is er wel een 0 op de klok? Hoe krijg je twaalf precies gelijke stukjes? Er werden stroken gevouwen en het in drieën delen gaf een extra moeilijkheid. Anderen namen hun liniaal erbij, maar moesten toen een lastige deling maken. Eén leerling deed het met het breukenelastiek.
202
De beweging zichtbaar gemaakt
Je kunt hierbij denken aan ‘bewegingsgolven’ en deze ook zichtbaar maken op een breukengetallenlijn. In het beeld dat je zo schept, is de beweging verstild. Je ziet ook de wiskunde erin:
Cirkel, strook, lijn
Wat in het bewegingsdeel en bij de vormen gedaan is, kan op bijvoorbeeld de volgende manier ‘in het rekenen stollen’: • De voortgezette halvering van de cirkel zoals bij de rijen is aangezet, in cirkels op de grond:
• Een voortgezette halvering van stroken en de verschillende breuken op een rijtje (grafiek) gezet:
203
• De voorgezette halvering in grafiek gebracht, met delen van de getallenlijn:
Daarna gingen we buiten op de stoeprand staan. Twee leerlingen moesten de punten 0 en 1 markeren. Nu volgden er opdrachten als: • Ga staan op ½ 1/3 1/9 enzovoort. • Ik sta op ½ en wil nu ¾ verder gaan. • Ik ga eerst staan op 6/12 en wil op 1/3 daarvan komen. De kinderen moesten al lopend en sprekend laten zien wat ze deden. We zijn ook eens als een klok in een kring gaan staan. In dat geval waren de breuken even uit zicht, 4/12 werd gewoon 20 (minuten), en de helft van 20 (min) is 10 (minuten), hetgeen weer hetzelfde is als 2/12. Of “Ik sta op 15 minuten en wil daarvan 1/3 deel hebben. * Dat was dus 5 minuten, ofwel 1/12 . Joachim zag ineens dat 1/3 deel van 1/4 (van een uur) gelijk is aan 1/12 (uur). Sommigen werd dit pas duidelijk toen we het daarna nog eens tekenden.
Na het bewegende deel kunnen de kinderen in hun periodeschrift een lijn tekenen en daarbij allerlei ‘sommen’ maken en zelf bedenken.
Er zijn twee soorten getallenlijnen, daar moesten we even over nadenken. Daarom hing ik in de klas een getallen(was)lijn, waaraan ik de leerlingen breuken, op A-4tjes geschreven, met wasknijpers liet ophangen. Nu kenden we dus twee soorten getallenlijnen, die met stroken (intervallen) en die met punten. We pasten die kennis nog eens toe door het breukenelastiek te gebruiken.
204
Laat eens zien dat 3/8 groter is dan 1/4 . Kun je ook zien hoeveel het precies groter is? Het was slim bekeken: 1/4 kon op de verdeling in achten ineens afgelezen worden. Het ging immers bij 1/4 om vier gelijke delen! Het verschil zie je nu ook in één oogopslag: ½ .
In de loop van de vijfde klas maken we voor de kinderen steeds meer gevarieerde opgaven, waarbij we ons door de dagelijkse realiteit laten inspireren. Alleen of in groepjes werken de kinderen hieraan.
Een banketbakker maakte omstreeks 5 december reclame voor zijn heerlijke banketstaven. Het uitgerolde en daarna opgevouwen (blader)deeg, stelde hij, bestond uit wel 4096 laagjes. Ik had de advertentie uitgeknipt en ging met de kinderen na, hoe vaak de bakker het platgerolde deeg heeft moeten ‘vouwen’. Dat werd dus ‘verdubbelen’ als je in gedachten het kant en klare bladerdeeg weer ‘ontvouwt’, dan kun je gaan halveren. We waren verbaasd over de grootte van de lap deeg van de bakker. Sommigen probeerden het na te doen met een opengevouwen krant. Het kleinst gevouwen stukje leverde meteen een nieuwe som op. Een andere keer stelde ik weer een ‘eet-dag’ in. Dit keer geen pannenkoeken, maar chocoladerepen. Omdat de reep verdeeld is in partjes, rekenden ook de kinderen, die zich steeds minder konden voorstellen bij het breukenwerk, weer enthousiast mee.
Met behulp van de repen chocolade maakten de kinderen allerlei sommen voor elkaar, die ze onderling uitwisselden.
205
Optellen en aftrekken zowel concreet als in kale sommen begint de kinderen nu aardig af te gaan. Vermenigvuldigen en delen doen we nog alleen met gehele getallen, dus nog niet met breuken. Sommen bedenken en uitbeelden op de getallenlijn (of strook) blijkt een plezierige bezigheid voor de klas.
Deelnemen aan vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen en delen met breuken wordt in de vijfde klas alleen op concreet niveau onderzocht. Gebruik uitsluitend eenvoudige natuurlijke breuken om het principe te onderzoeken. In een lesvoorbeeld laten we hierna zien, hoe je kan komen tot het ontdekken van een rekenregel.
Van het abstracte rekenwerk met breuken is hierbij echter nog geen sprake.
VERMENIGVULDIGEN VAN EN MET BREUKEN; LESVOORBEELD
De voorbereiding
Plantkunde speelt in de vijfde klas een belangrijke rol. Eén korte periode heeft de klas al gehad, we maken er gebruik van voor het breukenonderwijs. Onder het raam van de klas is een smalle strook tuin, waar we zaaigoed kunnen kweken voor in de klas. Daarbij hoort de volgende voorbereiding: • Alle kinderen brengen een schoenendoos en een plastic pedaalemmerzak mee op de dag vóór dat in de periode het vermenigvuldigen met breuken wordt geïntroduceerd. • Zorg voor een flinke zak potaarde en zaaigoed (bij voorbeeld afrikanen en viooltjes, want die kunnen vroeg in het jaar uitgeplant worden!) • Ten slotte heb je nog strookjes papier nodig voor het markeren van de zaaibedjes in de doos.
Aan de slag
Laat de kinderen kiezen welk deel ze van hun schoenendoostuin met bijvoorbeeld afrikaantjes gaan inzaaien. Stel ze voor twee aan twee, of misschien zelfs met z’n vieren te overleggen, zodat ze niet allemaal hetzelfde deel inzaaien! Bijvoorbeeld: ½ 1/3 1/6 3/8 of 2/9 deel.
Markeer het gezaaide deel met stroken papier en steek er een vlaggetje in met de naam van het zaaigoed.
206
Als alle ‘tuintjes-zaaibedden’ op tafel staan (bewaar de deksels), kun je de kinderen om de beurt, laten vertellen wat ze gedaan hebben. Bijvoorbeeld: “één derde deel van het zaaibed is ingezaaid”. “tweederde deel van het zaaibed is niet ingezaaid”.
Groepjes van twee kinderen vullen elk ook nog een deksel met aarde als zaaibed (het andere deksel blijft nog leeg).
Daarna bedenken ze een ‘tuintje’ van twee zaaibedden en schrijven vervolgens op welk deel van een zaaibed is ingezaaid en welk deel niet.
Allerlei tuintjes en combinaties van zaaibedden zijn mogelijk! Na veel ontdekkingen gaan we werken in het schrift. Eerst tekenen we een aantal tuinen van één zaaibed. Daarna tuinen van twee zaaibedden waarvan één niet ingezaaid bed. We gaan erbij schrijven -in breukentaai- wat we weten!
207
Bijvoorbeeld:
Laat de leerlingen ook voor hun buurman opdrachten (van dezelfde strekking) maken! Ze controleren zelf de antwoorden en vragen aan elkaar hoe ze eraan komen.
Soms moet er hulp geboden worden bij het noteren van de breuken.
208
Veel oefenen (samen)! Uiteindelijk ontdekken de kinderen dat de tellers en noemers worden vermenigvuldigd, omdat ze dat steeds weer zien gebeuren. Niet alle kinderen zien dat zonder meer, zij moeten een beetje geholpen worden met goede vragen. En het is leuk om in zo’n geval de antwoorden in een rechthoek te plaatsen. Een volgende dag nemen we het ‘tuintje’ weer op tafel. De tuintjes zijn inmiddels ook getekend! Dan wordt er een niet direct te beantwoorden vraag gesteld: “Als we nu eens de helft van het niet-ingezaaide deel willen inzaaien met viooltjes, hoeveelste deel van het zaaibed zouden we dan kunnen beplanten?” “Wie durft te schatten? Is het wel de helft? Niet? Wat denk je dan, is het minder of meer dan de helft?” “Maak een tekening van je ‘doostuintje’ en kleur het deel dat je wilt inzaaien. Hoe groot is dit deel?” (Let hier goed op! Kijk hoe de kinderen verdelen, of het goed is en of ze handig verdelen!)
209
Maak een werkblad of zet de opgaven op het bord.
Hiermee gaan de kinderen aan het werk. Ze bepalen eerst snel het ingezaaide en niet-ingezaaide deel. Dan gaan ze verder met vragen zoals hierboven. Later bijvoorbeeld ook ¾ deel van het niet-ingezaaide deel van de tuin, ook 1/3 deel. Mogelijkheden te over. Altijd eerst schatten voordat je aan het tekenen en uitrekenen gaat!
Nieuwe vragen dienen zich aan. Stof om over te discussiëren en voor het grootste aantal kinderen om zich het voorgaande teken- en rekenwerk bewust te maken. “Wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met gehele getallen? (3 x 6; ook 3 x ¾ ). Wordt het antwoord dan groter of kleiner dan waarmee je begon?”
210
“En wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met getallen kleiner dan 1, de echte breuken dus?” (Bijvoorbeeld ½ x 18; maar ook 2/3 x 1 ½). Opmerking. De kinderen ontdekten zelf bij het zaaien, door telkens weer delen van delen te nemen, dat het om vermenigvuldigen ging. “Juf, het zijn steeds weer gewone keersommen.” Vermenigvuldigen van breuken is nu hetzelfde als het nemen van een deel van iets. “Wanneer wordt het antwoord groter en wanneer kleiner?” ‘De helft van A’ is in breukentaai ½ x A. In dit geval kan A staan voor het aantal 18, of voor het zaaibed zelf, of voor het deel 2¾ van enkele zaaibedden’, ofgewoon voor het getal 2¾.
Zaai tenslotte het ‘doostuintje’ vol met zaaigoed. Maak er een tekening van in je schrift. Schrijf dan in elk deel van een getekend zaaibed de breuk in getallen erbij. Zet het in de vensterbank. Na ontkiemen en uitpoten (in de vensterbank) ben je weer weken verder en kun je gaan uitplanten in de tuin (tijdens de volgende plantkundeperiode?)
Opgaven (oefenstof) kun je in vele varianten bedenken, laat dat vooral ook door de kinderen zelf doen. Hieronder een paar voorbeelden in de vorm van zelfgemaakte werkbladen. Het voordeel van werkbladen kan zijn, dat je door differentiatie alle kinderen op hun wenken kunt bedienen. Maar laat niet de klassikale momenten, met onderlinge uitleggen en discussies, overgaan.
211
“Probeer nu eens zelf rekenopgaven met breuken te bedenken”. Twee ideeën voor een werkblad:
212
De meeste kinderen lossen opgaven zoals die op het werkblad op, door alle delen van tuintjes die ze in de tekening zien in de voorgeschreven stukjes te delen, in dit geval te halveren. Na het herkennen van de nieuwe breuk worden ze geteld. Kinderen zien dan 1 ½ + 5/16 ! In een later stadium zie je de handige rekenaars (waarnemers?) verdelingen maken waarbij ze deze ‘alles verdelen’ stap overslaan.
Maak een mooie afronding van deze activiteit op het gebied vanvermenigvuldigen. Bijvoorbeeld door nog eens met elkaar een grote in partjes voorgestructureerde chocoladetablet te verdelen.
Een didactische tip
Bedenk voor het geval er leerlingen achter zijn gebleven, dat je de breuken tijdelijk kunt elimineren door bij de zaaibedjes aantallen zaden of prijzen te bedenken. Bijvoorbeeld zoals bij de eerder genoemde ‘tuintjes’, waarbij de kinderen moesten uitzoeken hoeveel ¾ van 12/3 is. Wat is een mooie prijs voor zaaigoed, in het licht van die ‘derden’ en ‘vierden’? Wel laten we eens 60 euro (12 euro is natuurlijk ook al goed, maar niet noodzakelijk) nemen, voor het inzaaien van een bedje.
Er is 1/3 van een bedje ingezaaid, dat kostte 20 euro. Over nog 40 euro voor het eerste bed plus 60 euro voor het tweede. Daarvan moeten we ¾ inzaaien, dat kost dus ¾ x 100 euro, ofwel 75euro. We begonnen met 60 euro. We hebben nu dus 75/60 deel en dat is 15/12 deel.
Wie durft, die kan hier ook de dubbele getallenlijn gebruiken. De zaaibedjes worden dan geabstraheerd tot rechte lijnstukjes, de kinderen werken in dat geval op een meer schematisch niveau:
Toen hielden we nog een groepsdiscussie over de vraag wat er nu precies gebeurt bij het vermenigvuldigen van breuken. Als het allemaal goed is gegaan hebben de kinderen nu op eigen kracht en inzichtelijk een rekenregel geleerd. En dat niet alleen, ze hebben ook weer eens gezien dat ‘rekenen en wiskunde’ een vak is waarbij je niet alleen op de leraar hoeft te leunen, maar waarbij je ook je eigen gezonde verstand kunt laten spreken.
OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN EN DELEN
In de loop van de vierde en de vijfde klas hebben de kinderen op allerlei manieren met de breuken en de basisbewerkingen met breuken kennis gemaakt.
Een breuk wordt nu gekend als: • Een deel van een geheel ( 2/3 taart). • Een meetgetal (2 ¾ meter stof). • Een operator (½ van 3 liter verf is op). • Het resultaat van een eerlijke verdeling (2 pizza’s met 5 personen). • Uitdrukking van een verhouding (¾ van de meisjes heeft lang haar).
213
Een aantal kinderen gebruikt in de vijfde klas bij het rekenen met breuken nog het hulpmateriaal uit de breuken-envelop (de cirkeldelen, de strook, de te verdelen rechthoek). Anderen hebben aan de herinnering genoeg om de betekenis van de breuken in verschillende verbale en visuele opgaven te herkennen. De kinderen hebben gewerkt met opgaven in een gekozen context (nog altijd een rekenverhaal!), waarin de breuken steeds benoemde breuken waren. Bovendien is er beweeglijk gewerkt met breukenrijen en opgaven met breuken als meetgetal. Die zijn geoefend en toegepast in meetkundige figuren. ‘Kale’ breukensommen hebben de kinderen als beschrijving van bovengenoemde activiteiten leren kennen. Optellen en aftrekken is beoefend, met als vanzelfsprekend gevolg hierop vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator (eigenlijk herhaald optellen en ‘eerlijk’ delen). Dit ontstaat als vanzelf wanneer kinderen daarbij de bekende modellen van cirkel, strook en rechthoek kunnen gebruiken. Bij het optellen en aftrekken van breuken was de dubbele getallenlijn een hulpmiddel om het gelijknamig maken te doorzien en toe te passen. Bij wat minder vanzelfsprekende opgaven is het voor de kinderen in deze leeftijd een hele opgave om zelf middels gelijkwaardige breuken de oplossing tot een goed einde te brengen. Ook het zelf kiezen van een bemiddelende grootheid is niet altijd makkelijk. Het kiezen van een handige referentiemaat voor de benoemde breuken, die kan leiden tot de juiste verdeling ( 1/5 euro 20 cent, ¾ van de afstand van 60 km…) van de ondermaat van de dubbele getallenlijn, is nog niet voor een ieder vanzelfsprekend. In de zesde klas zal het bezig zijn met deze opgaven in de rekenwerkuren moeten leiden naar een geheel zelfstandig kiezen van de ondermaten.
Vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator leverden zoals gezegd geen problemen op. Maar aan het eind van de vijfde klas laten we de kinderen ook kennismaken met het vermenigvuldigen en delen met breuken. Wat betreft het vermenigvuldigen is hiervoor (zie blz. 206) een voorbeeld gegeven van een lesopbouw. Ter introductie van het principe van het vermenigvuldigen met breuken, is niet voor niets het voorbeeld van landindelen gekozen. Het niet verdeelde land kan als lege rechthoek, een model worden voor andere opgaven. Doordat ieder zijn eigen keuzen maakt bij het inzaaien, ondervinden de kinderen meteen, dat er vele mogelijkheden zijn om te verdelen. Zo leren ze iets handig in te delen, afhankelijk van de omstandigheden waaronder de breuken-vraag gesteld is. En zo blijkt het mogelijk toch te komen tot het ontdekken van een formele regel voor het rekenen met kale breuken.
Moeilijker is het met delen, waar generaties lang slaafs gewerkt is met de onbegrepen regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Het zal duidelijk zijn dat we deze traditie hier niet willen voortzetten. Het gaat hier zowel om een verhoudingsdeling als om een verdeeldeling. De verhoudings-deling is goed in concrete voorbeelden te vinden, maar voor de verdelingsdeling geldt dat je alleen makkelijk tot een concreet voorbeeld komt als er gedeeld wordt door een geheel getal.
1 ½ reep chocola delen met z’n zessen, leverde al eerder geen problemen meer op. Bovendien begrijpen de kinderen dat het deel dat je ontvangt kleiner is dan de
214
oorspronkelijke hoeveelheid! Dat door een (ver)deling met een breuk het antwoord mogelijk groter wordt, is op deze leeftijd in ieder geval als begrip nog ver buiten bereik van de meeste kinderen. Dat begrip wordt daarom nog niet nagestreefd.
Met de verhoudingsdeling kunnen we wel praktisch uit de voeten als ontmoeting met dit delen.
Het is een warme dag en we willen ijs maken. Het recept dat we vinden is voor zes personen en in de klas zijn we met 24 leerlingen. Het recept wordt aangepast en we maken een boodschappenlijst. We hebben onder andere één liter slagroom nodig. “Dat is niet te koop”, wist onmiddellijk een van de ‘lekkerbekken’ van de klas. Het onderzoek was snel gestart: “Wat voor verpakkingen zijn er dan wel?” “ 1/8 ¼ en ½ ?!” De kinderen wisten onmiddellijk dat je dan twee halve liters moest kopen en als de melkboer alleen potjes van 1/8 liter verkocht, waren er acht nodig. (Alle kinderen kwamen tot goede antwoorden, maar dat het iets te maken had met delen door een breuk hadden ze natuurlijk niet in de gaten).
Nadat afgesproken was in het laatste rekenwerkuur het ijs ook echt te gaan maken, rekende de klas verder en ging op onderzoek uit naar delen met breuken. Vragen als “hoe vaak gaat 1/8 liter in 1½ liter”, is vragen naar de verhouding tussen beide, dus naar 1½ : 1/8. Hoe kunnen we dit nog eens aanschouwelijk maken? Ik liet de kinderen literflessen meebrengen en daarop markeringen aanbrengen in breuken met behulp van het uitschenken van water met een litermaat (eerst moesten ze de inhoudsmaten nog omzetten in breuken!). Nu konden de kinderen (twee) flessen vullen met 1½ liter water en vervolgens de flessen uitschenken in flessen die maar tot het streepje van 1/8 gevuld mogen zijn. Al ras bleek dat 1½ liter, twaalf flessen oplevert die tot 1/8 liter gevuld zijn. In het nagesprek zijn we het erover eens dat we dit als sommetje kunnen noteren als: 1½ : 1/8 = 12.
Een van de kinderen vond dat je beter kon vragen “Hoeveel keer gaat 1/8 in 1½ . Dan lijkt het op de tuintjes.”
Zo’n opmerking laat nog eens zien hoe verwarrend ons spraakgebruik kan zijn waar het om breuken gaat. Hier slaat ‘keer’ dus op delen, terwijl we bij vermenigvuldigen juist ‘van’ gebruiken, wat weer de associatie met ‘delen van’ oproept. Het is alsof de begrippen delen en vermenigvuldigen, sprekend over breuken kleiner dan 1, elkaars plaats ingenomen hebben. Wat niet verwonderlijk is omdat men bij vermenigvuldigen gewend is dat iets groter wordt, terwijl het door deling juist in omvang afneemt.
215
In deze fase van het delen met breuken kan het alleen nog maar gaan om het opdoen van ervaringen in het oplossen van deze verhaalvragen, waarbij een aantal kinderen zal ontdekken dat het antwoord wonder boven wonder groter wordt.
Door kinderen te vragen de manier waarop ze het antwoord gevonden hebben te beschrijven, worden ze zich de eigen weg bewust. Ook het luisteren naar en bespreken van elkaars oplossingswegen stimuleert het vertrouwen krijgen in algemene en eigen strategieën, wat juist in de toepassingsvragen zo belangrijk is. Dit versterkt dan weer het vertrouwen in eigen denken en oordelen, wat juist gaande de zesde klas steeds meer gewekt wordt.
5.6 De praktijk in de zesde klas
In de zesde klas is er geen aparte breukenperiode. Het breuken rekenwerk zet zich voort in allerlei rekengebieden. Ook in de rekenwerkuren wordt er tijd aan besteed. Na het invoeren van de kommagetallen (decimale breuken, tiendelige breuken) en het rekenen met procenten komt ook de kennismaking met de eerste algebra in de zesde klas aan de orde. Het is een zinvolle overweging om het introduceren van de eerste algebra in een periode vooraf te laten gaan door het rekenen met benoemde breuken. Het gaat hier immers om het leren kennen van het letterrekenen. Zo kunnen daarbij oude vertrouwde (?) opgaven een betekenisvol uitgangspunt zijn.
In de zesde klas wordt verder gegaan met het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken. Het kan ook technisch uitgevoerd worden met behulp van de dubbele lege getallenlijn en benoemde breuken. Voor dit onderdeel is het van belang, dat men rustig de tijd neemt en de kinderen ruimte geeft om zelf verkortingen aan te brengen en op hun eigen tempo over te stappen van benoemde breuken op de getallenlijn naar het formele rekenen met ‘kale’ breuken.
Je hebt nu ook de gelegenheid om al het voorgaande van de vierde en de vijfde klas kort de revue te laten passeren, waarbij niet alle opgaven leiden tot het gebruik van de dubbele lege getallenlijn. Veel kinderen die bij een traditionele didactiek van het breukenrekenen de aansluiting met de rest van de klas verloren, kunnen nu nog eens op een andere manier, op het concrete niveau van de benoemde breuken en de dubbele getallenlijn, de opgaven tot een goed einde brengen.
Letterrekenen met benoemde breuken
Het is in een zesde klas, waar ook de overgang vanuit het werken met getallen naar het werken met letters in de algebra gemaakt wordt, een overweging waard om bij de beschrijving de breuken vergezeld te doen gaan van een letter: 4 x 1/5R = 4/5R, waarbij de R hier staat voor Reep. Voor het geval ½ x ¼R = 1/8R wordt het nut van de letter al duidelijker. De eerste breuk (½ )geeft de bewerking aan, de tweede breuk (¼) geeft het deel van de Reep aan, hetgeen in deze schrijfwijze ¼R) direct zichtbaar wordt gemaakt: In het geval van de drie Pizza’s komt er heel natuurlijk: ¼P + ¾P + ½P = 1½ P.
216
Dit antwoord is in de figuur te zien, je kunt de ¼ pizza gemakkelijk aan de ¾ pizza toevoegen om een gehele pizza te vormen. Je kunt ook direct voor P de prijs bijvoorbeeld 8 euro bedenken: ¼ x 8 + ¾ x 8 + ½ x 8 = 2 + 6 + 4 = 12 euro. Hoeveelste deel is dat van 8 euro? Delen levert op 12 : 8 =1½
Het idee van de bemiddelende grootheid is hier nog eens naar voren gekomen en al eerder was het genoemd bij de cirkel, toen over ‘draai’, ‘uur’ en ‘graden’ werd gesproken (zie H5.5).
We begonnen op een dag in plaats van een tekening met een sommetje 1½ p + 5/8 p = … ? Dit was niet zo maar een som, had ik ze verteld. Het was een fantasiesom. “Bedenk maar zoveel mogelijk dingen die je voor p kunt invullen en die je het rekenen gemakkelijk maken. Tekenen mag trouwens ook”. P staat voor ‘pannenkoek’:
p staat voor ‘uur’, maar dat werkt niet prettig vanwege de5/8 , dan maar: p staat voor een jaar van 360 dagen: 1½ x 360 + 5/8 x 360 = 360 + 180 + 5 x 45 = 765 dagen. Nu nog even delen: 765 : 360 = 2 jaar en 45 dagen, of 21/8 jaar.
p staat voor 16 euro p staat voor 1 euro p staat voor een baantje zwemmen van 40 meter p staat voor een reep chocolade p staat voor een strook Al deze p’s zijn ook met tekeningen en figuren te representeren.
Het kan tevens heel nuttig zijn om niet alleen bemiddelende grootheden te bedenken, maar ook de situaties waarin ze kunnen optreden. De vraag die dan gesteld kan worden luidt: “Bedenk een verhaaltje bij die som”. Bijvoorbeeld bij de som 1/16 + ¾ =…..
217
Verhaaltje 1: Het nieuwe terrein voor volkstuinen is verdeeld in 48 precies gelijke tuinen .Van de week is de inschrijving begonnen. Het eerste uur was nog maar het 1/16 deel uitgegeven, maar de rest van die dag werd er ¾ van de tuinen verhuurd. Welk deel van het totale park was er toen verhuurd?” 1/16 T + ¾ T = 1/16 x 48 + ¾ x 48 = 3 + 36 = 39. Dat is dan 39/48 = 13/16 deel. Wie wil kan ook een aanschouwelijke oplossing vinden.
Verhaaltje 2: Er is een weg van 80 km. Als je nu eerst 1/16 deel aflegt, en dan nog eens ¾, hoeveelste deel heb je dan al afgelegd?”
Op het plaatje moet nog wat geschoven worden. Zonder plaatje, met de getallen, gaat het ook. Eerst 5 km, dan nog 60 km. Samen 65 : 80 = 13/16
Verhaaltje 3: 3 : 1/16 d + |¾ d = …; d staat voor doos, met een inhoud van 160 kaarsen. Eerst 1/16 deel met witte kaarsen, toen nog ¾ deel van de rode kaarsen…
De dubbele getallenlijn
Tijdens het werken met benoemde breuken werd weer toegewerkt naar het eerder besproken model van de dubbele lege getallenlijn. Nu is het moment aangebroken om alleen daar mee verder te gaan. Het breukenelastiek kan eventueel op de achtergrond, als concrete voorstelling van zaken ook nog goede diensten bewijzen. Op de dubbele lege getallenlijn wordt steeds de eenheid vrij gekozen (zie blz 84: de lege open getallenlijn) Vervolgens wordt naar aanleiding van de gegeven breuken een handig getal aan die eenheid toegevoegd. Zo ontstaan er 2 schalen:
Het zou beter geweest zijn de opgave 3/4 – 2/3 = … met benoemde breuken aan te bieden: 3/4u – 2/3 u = … In de oplossing boven was dan gekozen voor u = 60 (één uur, of 60 kilometer, of…) ¾ u is dan ¾ x 60 = 45.
Natuurlijk, het had met 12 als eenheid in de bovenstaande berekening ook zuiniger gekund. Maar op basis van de dubbele getallenlijn is het niet nodig steeds aan de zuinigste oplossing voorrang te geven. Voor trage rekenaars levert het zoeken daarnaar een extra handicap op. Allen kunnen de tijd krijgen om hun eigen uitvindingen te doen.
218
De dubbele lege getallenlijn is geen totaal nieuw verschijnsel in de rekenwiskundeles. In heel wat situaties voorheen was er aanleiding om in twee ‘schalen’ te denken: • De auto rijdt 1 op 16 (afstand en benzineverbruik). • Aardappels kosten € 3,25 per zakje van 2,5 kilo (gewicht en prijs). • We gebruiken ’s winters gemiddeld 20 m3 gas per dag (inhoud en tijd). • Hij maakte voortdurend rondjes van 38 seconden (afstand en tijd). • Met een vaartje van 100 km/u reden we naar het noorden (afstand en tijd). • Voor een kopje koffie moet je 2 theelepels koffie in het apparaat doen (massa en inhoud). • Die lens heeft een vergrotingsfactor van 3 (oorspronkelijke lengte en waargenomen lengte). • De bevolkingsdichtheid is 350 (aantal personen en oppervlakte).
Daarbij begeven we ons evenwel op het gebied van de verhoudingen. Die komen in hoofdstuk 6 uitvoerig aan bod. Daar wordt ook ingegaan op de verhoudingstabel. Deze ligt in het verlengde van de dubbele lege getallenlijn, maar laat zich niet zo makkelijk ‘verbeelden’. Het is meer een dicht bij algoritmen staand rekenmiddel.
219
Het repertoire van een vrijeschoolleraar
Een vrijeschoolleraar ontwerpt dagelijks zijn onderwijs. Zodoende bouwt iedere leraar een persoonlijk gekleurd didactisch repertoire op. Velen houden een logboek bij om goede ideeën en succesvolle gebeurtenissen te bewaren en ze zo mogelijk, op een later tijdstip nog eens te benutten. Dat deed ook Gerard Reijngoud. Hieronder een willekeurige selectie uit zijn aantekeningen.
In mijn rekenlessen liet ik mij door de volgende gezichtspunten leiden: • Streven naar een maximale zelfstandigheid van de leerling in het omgaan met het materiaal • Vinden van opdrachten met een vitaal karakter en een scherpe, korte instructie • Onontkoombaar stevig oefenen van vaste procedures (Het laatstgenoemde lijkt in tegenspraak met de zelfstandig opererende leerling, doch dat is het niet. Slechts de violist die zijn etudes heeft geoefend, beweegt zich vrij in de toonwereld.) • De leerling leren formuleren waar een som problemen oplevert. (Ik heb geprobeerd een leerling pas te helpen als hij mij een indicatie kon geven met welk probleem hij zat. Dit om te voorkomen dat een leerling uitsluitend blijft steken bij het ‘gevoel’ dat een som niet gemaakt kan worden en dat hij daardoor de feiten niet in het bewustzijn kan krijgen.
Met betrekking tot het vitale van de opdrachten het volgende: Allereerst heb ik me laten leiden door de vier soorten van vitaliteit in de temperamentenpedagogiek: voor sanguinici opdrachten met een associërend, groeiend karakter; voor melancholici opdrachten die samenhang en verbindingen weten te vinden, die overzicht en inzicht vragen. Voor cholerici opdrachten met een grof structureel karakter, benaderen en schatten; voor flegmatici opdrachten waar hiaten worden opgevuld en waar ‘tredmolenbewegingen’ worden door-of onderbroken. De waarheid gebiedt mij te zeggen, dat ik regelmatig opdrachten voor bijvoorbeeld cholerici, op de hele klas losliet. Maar het was echter niet zo, dat mijn rekenlessen een afspiegeling waren van mijn eigen temperament. Ieder kwam aan zijn trekken. Voorts heb ik opdrachten gehaald uit de wereld van het vitale zelf, zonder aan de specifieke temperamenten te denken. Zo heb ik ritmische aspecten uitgebuit en de herhaling aangewend, als was het een tekst uit een Ster-reclameblok. Ik heb geprobeerd de kinderen op het spoor te zetten van de metamorfose van getallen en bewerkingen, van de processen in het rekenen en het spiegelen van bewerkingen en getallenreeksen. Het geheugen van de leerlingen heb ik extra belast en niet alleen bij rekenen. Het ontwikkelen van vaste gewoonten geeft het kind een gevoel van veiligheid. Van daaruit kan het de wereld explorerend tegemoet treden. Voor het rekenen betekent dit het beheersen van de automatismen zoals de tafels van vermenigvuldiging, de vier hoofdbewerkingen, enkele eenvoudige formules rond oppervlakte, omtrek en inhoud en het metrieke stelsel. Een belangrijk vermogen van het kind uit zich in de drang om iets dat niet compleet is, te vervolmaken. Een goed woord heb ik er niet voor, vaak noem ik het: ‘concept gevoel’ of ‘heelheid gevoel’.
Opdrachten, activiteiten en oefeningen
• Getallendictees, in diverse snelheden. • Getallendictees met de opdracht van ieder getal globaal de helft te noteren. • Getallendictees waarbij vervolgens het eerste getal wordt vermeerderd met 1, het volgende met 2, het derde verminderd met 1. En dan opnieuw +1, +2, -1, enzovoort.
220
• Een getallendictee waarbij het eerst genoemde getal pas genoteerd mag worden, als het tweede getal gezegd is. Het tweede getal wordt genoteerd als het derde genoemd is. Enzovoort. • De kinderen staan in een kring, een leerling staat in het midden. Deze leerling werpt een bal naar een andere leerling en noemt een getal. De leerling die nu de bal vangt moet de bal teruggooien en het getal met twee vermeerderen. De volgende leerling die de bal toegeworpen krijgt en daarbij ook een nieuw getal hoort, moet van het nieuwe getal drie aftrekken. Dan weer twee erbij en vervolgens drie eraf, enzovoort. • Kinderen staan in een carré en zeggen een tafel van vermenigvuldiging op. Ze zeggen alleen de antwoorden en zetten tevens per antwoord een stap; bijvoorbeeld 6, 12,18, 24 … Eén leerling staat frontaal voor de groep en geeft na ieder getal van de groep een ander antwoord, ook vergezeld van een stap en -speciaal voor deze leerling- het woordje ‘nee’. Deze activiteit gaat als volgt:
Aan de getallen die de enkele leerling roept, kunnen allerlei eisen worden gesteld. Bijvoorbeeld: Tel bij ieder getal van de groep er 5 bij op. (Anna). Roep na het eerste getal van de groep het volgende getal dat de groep moet zeggen. En bij het tweede getal van de groep herhaal je hun eerste getal. (Ernst).
• Kinderen gaan rond in de kring, bij iedere stap een ander getal. Bijvoorbeeld de tafel van 3. Dus er klinkt 3 6 9 12 … Dan de opdracht om dit zwijgend te doen. Stop na vier stappen, nu twee stappen terug; stop. Nu zes stappen vooruit: stop. (3 6 (twee terug) 9 12 (stop 1) 15 18 21 2 4 (zes verder) 27 30). Vervolgens geef je de klas de opdracht deze drie stop-getallen te onthouden, tot men weer op zijn plaats zit in de klas. Terug in de klas vraagt men de kinderen om in het midden van een ongelinieerd blad het grootste getal te schrijven. Daarboven tien maal het kleinste getal en onderaan het overgebleven getal drie keer. Er staat nu:
De kolommen naast de drie genoteerde getallen kunnen allerlei bewerkingen krijgen, zoals bijvoorbeeld in de onderste rij is aangegeven. Als het blad vol is, kun je nog de volgende opdrachten geven: Teken een rondje om alle getallen boven de 40. Teken een driehoekje om alle getallen uit de tafel van 6. Enzovoort.
221
• Spel voor twee personen (A en B) We gaan samen optellen tot 100. Er mag per keer echter niet meer dan tien worden bij opgeteld. Wie het eerst bij 100 is heeft gewonnen:
Bijvoorbeeld:
Ontwerp een reeks voor de andere leerlingen .
Opdrachten voor een rekenkaart of werkblad:
222
Het dagboek
• In de klas hanteert iedere leerling een dagboek, waarin bijvoorbeeld een goed uitgewerkte staartdeling staat. Het is de bedoeling dat de leerling gedurende een week elke dag diezelfde som één keer maakt om zich met de procedure vertrouwd te gaan voelen. Dit gaat vergezeld van een soortgelijke eenvoudiger som. Aan het eind van de week wordt de staartdeling ‘overhoord’ in combinatie met een onbekende opgave.
Oefeningen voor het korte-termijn-geheugen
• Geef de leerlingen voor de pauze een getal te onthouden en vraag het na de pauze terug. De oefening kan op talloze wijzen worden gevarieerd. Opvallend is dat op een school, waar men de leerlingen zo nu en dan met een eenvoudige opdracht de pauze instuurt, het wilde gedrag van de leerlingen tijdens de pauze afneemt. Leuk is ook om bijvoorbeeld leerlingen van een tweede klas in de pauze aan leerlingen uit de zesde te laten vragen, wat bijvoorbeeld 4 x 12½ is.
Oefeningen voor het lange termijn geheugen
• Hierbij probeer je een leerstofinhoud door de nacht heen te krijgen. Dat helpt bij het beklijven van de leerstof. Als jullie morgen in de klas komen en klaar staan voor de spreuk, zeg je zonder dat iemand je eraan hoeft te herinneren de tafel van 6 op.
• Andere oefeningen om de werking van de nacht in te schakelen, door een opdracht te geven als: Tel eens hoeveel stopcontacten jullie thuis hebben? Wat is het telefoonnummer van jullie buren?
Ik dacht dat de werking van de nacht onbewust was. Dus een kind vergeet, maar neemt het toch mee de nacht in. Als je kinderen zulke opdrachten meegeeft, dan liggen ze ’s avonds in hun bed nog te oefenen en nemen ze het wel mee in hun slaap. Maar dat is niet wat (volgens mij) de vrijeschoolpedagogiek bedoelt.
Andere goede oefeningen zijn opdrachten met bijvoorbeeld twee ordeningssystemen tegelijkertijd. Bijvoorbeeld:
• Per dag twee l melk, dat is … liter melk vanaf 3 augustus tot en met 1 september.
• € 0,20 per half uur. Begin ’s ochtends 10.00 uur. ’s Middags heb ik € 2,00. Hoe laat is het nu?
223
• Als jij denkt dat alle dubbeltjes stuivers waard waren en alle stuivers dubbeltjes ‘en je zou gewoon betalen betaal je dan te veel of te weinig als je 30 cent moet betalen ?
• In de eerste klas zitten zeven jongens en zeven meisjes In de tweede klas zitten tien jongens en negen meisjes In de derde klas zitten acht jongens en tien meisjes. In de vierde klas zitten tien jongens en vijf meisjes. Welke vragen kan je nu stellen? Schrijf die maar eens op.
• In de eerste klas gaan wij van het geheel uit. Dat kan later in de volgende klassen uitgebouwd worden. Bijvoorbeeld: 8 = 5 + 3 = 2 x 2½ +V9 = V4 x 10 ¼ + V9= …. enzovoort. Op deze wijze leert het kind zelf de wetmatigheid die schuilt in de regel van meneer Van Dalen. Of voor iemand uit Leiden zoals ik: Meneer Vroom en Dreesman was op de Aalmarkt.
• En opgaven als:
De opdrachten die je in de klas aan de kinderen geeft, behelzen veel meer dan alleen de sommetjes die hierboven zijn genoemd. Er zijn bijvoorbeeld ook de rekengesprekjes die je met leerlingen voert over hoe zij bijvoorbeeld de oppervlakte van het schoolplein hebben berekend of hoe ze het aantal broden berekenen dat nodig is voor het schoolreisje naar Schiermonnikoog. Daar komt vindingrijkheid, maar ook inlevingsgevoel bij kijken.
Wanneer een klas al weer iets verder is met de niet-Nederlandse taal, vinden de kinderen het vaak ‘ernstig fijn’ om eens iets voor een lagere klas op te voeren. Zo zou een hogere klas een sprookje kunnen instuderen voor een eerste. Deze bewerking is een gezongen versie!
Er zijn allerlei mogelijkheden: een of meerdere kinderen zingen, maken de muziek, beelden het uit, zelf of met handpoppen. Je zou er zelfs een schimmenspel van kunnen maken.
Marchen nach Grimm
Text, Lieder und Musik
1945
Sonnenhof, Arlesheim, Schweiz
DAS ESELEIN
Es war einmal vor Zeiten, da hat sich etwas zugetragen. Wo es war, ist nicht genau zu sagen, aber es sollte hier und dort und überall gewesen sein. Da lebte ein König und eine Königin, die waren reich und hatten alles, was sie wünschten, nur kein Kind. Darüber klagte die Königin Tag und Nacht und sprach: “Ich bin wie ein Acker, auf dem nichts wächst, — ach hätten wir doch nur ein Kind“. Endlich erfüllte Gott ihren Wunsch und schenkte ihnen ein Kind. Aber als dies zur Welt kam, sah es nicht aus wie sonst ein Menschenkind, sondern war ein junges Eselein. Wie die Mutter das erblickte, fing ihr Geschrei und Jammer erst recht an: Sie hätten lieber gar kein Kind gehabt als einen Esel, und man sollte ihn nur gleich ins Wasser werfen, damit die Fische ihn fräßen. Der König aber sprach: “Nein, Gott hat ihn uns gegeben, und darum soll er auch mein Sohn und Erbe sein und nach meinem Tode auf dem königlichen Throne sitzen und die königliche Krone tragen“. Also ward das Eselein wie ein Prinz erzogen und nahm zu, und die Ohren wuchsen ihm fein hoch und gerade hinauf. Es war aber sonst fröhlicher Art, sprang herum und spielte, und besonders hatte es seine Lust an der Musik.
Als es nun in die Jahre gekommen war, sagte eines Tages der Vater König zu ihm: “Mein Söhnlein, du bist nun in dem Alter, in dem man etwas lernen muß; wenn man später was können will, muß man es schon zeitig in der Jugend lernen.” Das Eselein wollte durchaus ein Musikant werden und sagte: “Bringt mich zum Meister Spielmann in die Stadt, daß er mich lehren kann die Laute schlagen“. Der König dachte: “Du liebe Zeit, wie soll das zugehen.” Aber das Eselein ließ nicht locker und bettelte so lauge, bis der König endlich einwilligte: “Nun, weil du mein Sohn bist und ein rechter Prinz, so wollen wir’s probieren“.
So gingen sie zu dem berühmten Spielmann in die Stadt. Der hatte sein Stübchen unter dem Dach. Der Meister wunderte sich nicht schlecht, was da die Stiege heraufgetrappelt kam, und traute seinen Augen nicht, als er sah, es war ein Eselein. Der König trug ihm das Anliegen vor. Der Meister meinte: “Ach liebes Herrlein, das sollt Euch schwer fallen, Eure Finger sind nicht allerdings dazu gemacht und gar zu groß; ich sorge, die Saiten halten es nicht aus.“ Aber es half keine Ausrede. Das Eselein wollte und mußte die Laute schlagen. Und so nahm es der Spielmann schließlich als seinen Schüler an. Das Eselein war fleißig und beharrlich und übte von früh bis spät, und siehe da, am Ende konnte es die Laute gerade so gut spielen wie sein Meister. Als das junge Herrlein ausgelernt hatte, ging es eines Tages im Walde nachdenksam spazieren und kam zu einem Brunnen. Je, was war denn das! Da schaute es hinein und gewahrte im spiegelklaren Wasser seine eigene Eselsgestalt. Darüber ward es so betrübt, daß es in die weite Welt ging. Es wollte ganz alleine sein und weder Vater, Mutter, Meister noch irgend jemand Wiedersehen. Es zog auf und ab, wanderte durch manches Land und kam zuletzt in ein Reich, wo ein alter König herrschte, der nur eine einzige aber wunderschöne Tochter hatte. Da stand ein gar schönes Schloß mit hohen Mauern und einem stolzen steilen Turm. Das Eselein dachte: Hier will ich weilen, klopfte ans Tor und rief: “Es ist ein Gast heraußen, macht auf, damit er eingehen kann“. Als aber das Tor nicht aufgetan ward, setzte er sich hin, nahm seine Laute und schlug sie mit seinen Vorderfüßen auf das lieblichste. Da schaute der Türhüter zum Fenster heraus und sperrte die Augen gewaltig auf, lief zum König und sprach: “Da draußen sitzt ein junges Eselein vor dem Tore, das schlägt die Laute so gut wie ein gelernter Meister“. —- “So laßt mir den Musikanten hereinkommen!“ befahl der König. Wie aber ein Eselein in den Saal hereintrat, fing alles an, über den Lautenschläger zu lachen. Nun sollte das Eselein unten zu den Knechten gesetzt werden und dort spielen. Es ward aber unwillig und sprach: “Ich bin kein gemeines Stalleselein, ich bin ein vornehmes“. Da sagten sie: “Wenn du das bist, so setze dich bei dem Kriegsvolk“. — “Nein, das auch nicht, ich will beim König sitzen“. — Der König lachte und sprach in gutem Mut: “Ja es soll so sein, wie du verlangst, Eselein komm her zu mir“! Danach fragte er es: “Eselein, wie gefällt dir meine Tochter?“ Das Eselein drehte den Kopf nach ihr, schaute sie an, nickte und sprach: “Aus der Massen wohl, sie ist so schön, wie ich noch keine gesehen habe“. — “Nun so sollst du auch neben ihr sitzen“, sagte der König. “Das ist mir eben recht“, sprach das Eselein, setzte sich an ihre Seite, aß und trank und wußte sich fein säuberlich zu betragen. Und als die Tafel abgetragen war, spielte es allen zur Lust auf der Laute. Als nun das edle Tier eine gute Zeit an des Königs Hofe geblieben war, dachte es, was hilft das alles, du mußt wieder heim. Ließ den Kopf traurig hängen, trat vor den König und verlangte seinen Abschied. Der König aber hatte es lieb gewonnen und sprach: “Eselein, was ist mit dir! Du schaust ja sauer wie ein Essigkrug, bleib bei mir, ich will dir geben, was du verlangst. Willst du Gold!“ — “Nein“, sagte das Eselein und schüttelte mit dem Kopf. — “Willst du Kostbarkeiten oder Schmuck!“ — “Nein, nein“. — “Willst du mein halbes Reich!“ — “Ach nein, ach nein“. — Da sprach der König: “Wenn ich nur wüßte, was dich vergnügt machen könnte: Willst du meine schöne Tochter zur Frau!“ — “Ach ja“, sagte das Eselein, “die möchte ich wohl haben“, und war auf einmal ganz lustig und guter Dinge. Denn das wars gerade, was er sich gewünscht hatte. Also war eine große und prächtige Hochzeit gehalten. Abends, wie nun Braut und Bräutigam in ihr Schlafkämmerlein geführt wurden, wollte der König wissen, ob sich das Eselein auch fein artig und manierlich betrüge, und hieß einen Diener, sich dort zu verstecken. Wie sie nun beide drinnen waren, schob der Bräutigam den Riegel vor die Türe, blickte sich um und, wie er glaubte, daß er ganz alleine wäre, da warf er auf einmal seine Eselshaut ab und stand da als ein schöner königlicher Jüngling. “Nun siehst du“ sprach er “wer ich bin, und siehst auch, daß ich deiner nicht unwürdig war“. Da war die Braut froh, küßte ihn und hatte ihn von Herzen lieb. Als aber der Morgen herankam, sprang er auf, zog seine Tierhaut wieder über, und hätte kein Mensch gedacht, was da für einer dahinter steckt. Bald kam der alte König angegangen. “Ei”, rief er, “ist unser Eselein schon munter! Und du mein liebes Kind”, sagte er zu seiner Tochter, “bist wohl recht traurig, daß du keinen ordentlichen Menschen zum Manne bekommen hast!“ — “Ach nein, lieber Vater, ich habe ihn so lieb, als wenn er der Allerschönste wäre, und will ihn mein Lebtag behalten“. Der König verwunderte sich darüber, aber der Diener, der des Nachts versteckt gewesen war, kam und offenbarte ihm alles, was er gesehen hatte: wie der Eselsbräutigam in der Nacht seine Haut abgestreift hätte und wie ein schöner königlicher Jüngling hervorgekommen sei. “Das ist nimmermehr wahr“, sprach der König. — “So wacht selber die nächste Nacht, Herr König, ihr werdet’s mit eigenen Augen sehen, und wißt ihr was, nehmt ihm die Haut weg und werft sie ins Feuer, so muß er sich wohl in seiner rechten Gestalt zeigen“. “Dein Rat ist gut, sprach der König, und so will ich tun!“ Am andern Abend ging alles wieder wie am Tage zuvor. Und als sie schliefen, schlich der König sich hinein und wie er zu dem Bett kam, sah er im Mondenschein einen stolzen Jüngling da ruhen und die Eselshaut lag abgestreift auf der Erde. Da nahm er sie bei zwei Fingern, schlich hinaus und ließ draußen ein gewaltiges Feuer machen, warf die Haut hinein und blieb selber dabei, bis sie ganz und gar zu Asche verbrannt war. Weil er aber sehen wollte, wie sich der schöne Jüngling ohne Eselshaut anstellen würde, blieb er wach und lauschte bis zum Morgen. Als der Jüngling ausgeschlafen hatte, beim ersten Morgenschein, stand er auf und wollte seine Eselshaut anziehen. Aber sie war nicht zu finden. Da erschrak er: Wie sollte er denn leben ohne seine Eselshaut im hellen Tageslicht…? Voll Angst und Trauer sprach er: “Nun muß ich sehen, daß ich entfliehe“. Wie er aber hinaustrat, stand der König da: “Mein lieber Sohn, wohin so eilig? Bleib nur hier, du bist ein schöner Mann und sollst nicht von mir. Ich gebe dir mein Reich, zur Hälfte schon jetzt, und nach meinem Tode bekommst du es ganz und sollst dann König sein.“ — “So wünsche ich, daß der gute Anfang auch ein gutes Ende nehme”, sprach der Jüngling, “und ich bleibe bei euch“. Da gab der Alte ihm das halbe Reich und, als er nach einem Jahre starb, hatte der Junge das ganze. Und nach seines eigenen Vaters Tode erbte er noch ein Königreich dazu. Da war ihm dann die Wehmut nach der Eselshaut vergangen, und er lebte in aller Herrlichkeit. Und wenn die Herrlichkeit inzwischen nicht entschwunden ist, geht es wohl heute noch so.
Op deze blog staan verschillende artikelen van Mr. A.C. Henny, die destijds in het blad Jonas verschenen. Henny had een ruime blik op ‘wat zich zo in de wereld afspeelde en wat er tijdens zijn leven gaande was’. Aan het eind van dit blogartikel staat meer informatie.
Deze brochure – geschreven in 1948! – bevat nog zoveel actueels: je hoeft maar een enkele naam aan te passen en je bent in het heden – dat deze in de reeks artikelen over de sociale driegeleding op deze blog een waardevolle bijdrage levert. Gepubliceerd met toestemming van Mevr. C. Mees, waarvoor dank.
Natuurwetenschap en sociale moraal
Men spreekt de laatste tijd veel over de “koude oorlog”. Het is een begrip, dat onlangs door een van de grote Amerikaanse journalisten, Walter Lippmann, in de wereld werd geplaatst, en waaronder wij hebben te verstaan een “zenuwenoorlog” met de meest moderne middelen. Twee wereldmachten — Rusland en Amerika — liggen als reusachtige boa constrictors aan weerszijden van de Atlantische Oceaan en trachten hun prooi — een armzalig hoopje mensen, die zich Europeanen noemen — door de verlammende kracht van hun blik in een toestand van geestelijke verdoving te brengen. Op het eerste gezicht een vrij onschuldig offensief met zwarte drukkersinkt. — Nu en dan verschijnen er op een niet opvallende plaats in de couranten kleine berichtjes:” in USA is een memorandum verschenen over de psittacosis of de muggenkoorts.” Een duizendste deel van een liter, een hoeveelheid minder dan 20 druppels van deze psittacosisvirus is in staat 20 miljoen mensen te besmetten en om te brengen.”…. Wij zullen niet in verdere details treden over de verschrikkingen die ons op dit gebied nog van de andere zijde — Rusland — te wachten staan. Waar het om gaat is, dat er langs allerlei wegen oorlog gevoerd wordt met geestelijke middelen, die alle energie, alle moed te bouwen aan een nieuwe wereld, die niet direct past in de ideologie van de twee grote tegenstanders, verlamt. Nog steeds ligt er over een groot deel van Europa, als een trage mist, een gevoel van verlamming, van geestelijke machteloosheid, van resignatie ten opzichte van een samenleving, die door zulke kolossale mechanische en technische machten beheerst wordt, dat de mens zich daarin niet anders voelt dan een nietig radertje van een machine.
Dit gevoel van geestelijke machteloosheid ten opzichte van het wereldgebeuren is een typisch naoorlogs verschijnsel. Toch is het niets nieuws. Het was reeds meer dan een eeuw lang latent, en is misschien het duidelijkst geformuleerd aan het begin van de vorige eeuw door Napoleon in zijn gesprek met Goethe. “De rol die het noodlot vervulde in de Griekse tragedie, vervult thans de politiek. Politiek is “Schicksal” geworden, d.w.z. de politiek in de vorm van de blinde Fortuna, heeft in de laatste honderdvijftig jaar het verschrikkelijk aanzien gekregen van een natuurmacht, waaraan de mens even willoos is onderworpen, als aan de overstroming van een rivier of de uitbarsting van een vulkaan.
En toch — merkwaardige paradox — wordt de politiek door mensen gemaakt, en is, sinds de ideologie van de Franse Revolutie, de burger in de Staat de schepper geworden van zijn eigen historische ontwikkeling.
Wij vieren dit jaar het eeuwfeest van de Grondwetsherziening van 1848. Niet alleen in ons land, ook haast in alle landen van Europa, is het jaar 1848 een jaar geweest van hoop, van optimisme. Door een beroep op de rede, op het gezond verstand van de burgers, zouden langs de weg van een parlementaire hervorming, door medezeggenschap van het volk aan de regering, voortaan de goede elementen in de Staat het overwicht hebben over de kwade. Was niet de mens “van nature goed” en kon niet, langs de weg van een redelijke ontwikkeling, ieder mens worden opgevoed tot sociale verantwoordelijkheid, tot medezeggenschap in het Staatsbestel?
3
Merkwaardigerwijze is dit zelfde jaar 1848 ook het geboorteuur van een pessimistische sociale levensbeschouwing, die sindsdien steeds meer onze samenleving is gaan beïnvloeden. Met het Communistisch manifest — januari 1848 — treedt voor het eerst Karl Marx op in de geschiedenis. Hij is niet alleen de grondlegger geworden van het communisme, zijn historisch materialisme oefent nog steeds een zeer grote invloed uit, niet alleen in Rusland, maar in het bijzonder, op de Amerikaanse universiteiten, juist daar, waar de grote kruistocht tegen Rusland, in naam van de beschaving en de democratie, gepredikt wordt.
Marx’ visie op de geschiedenis beïnvloedt tegenwoordig de grootste geleerden op het gebied van sociologisch en historisch denken. Wij zien dit in Engeland o.a. bij Arnold Toynbee in zijn “Study on history”, misschien wel het meest omvattende en universele werk dat ooit op historisch gebied is verschenen. Ook bij iemand als Carr — the Soviet impact on the Western world — en het meest consequent bij Burnham, die thans in Amerika met zijn „Revolution of managers”, zijn “Struggle for the world” merkwaardigerwijze juist de woordvoerder is geworden van het anti-Marxisme.
Wat speciaal deze laatste twee schrijvers als een soort geestelijke nalatenschap van Karl Marx op hun leerlingen overdragen, is een uiterst pessimistische beschouwing over de geschiedenis.
Men vindt bij hen nergens meer het idealisme van een Carlyle of Macauly, het geloof in de geschiedenis als een ontwikkelingsweg van de mensheid, dat nog aan het begin van de vorige eeuw, bij Herder, Lessing en von Humboldt aanwezig was. Goethes woorden over de opgave van de geschiedenis, “dat zij enthousiasme dient op te wekken” worden thans door deze moderne geleerden met een meewarige glimlach in het museum der Romantiek netjes opgeborgen. Zij zelf weten wel beter. De rol van de historicus, van de socioloog, verschilt langzamerhand niet veel meer met de rol van een chemicus of een ingenieur. Het gaat in de eerste plaats om de bestudering van de natuurwetten. Door welke wetten wordt de menselijke samenleving, wordt de ontwikkeling van de mensheid beheerst? De historicus van de 20e eeuw, heeft zijn romantisch maskeradepak voor goed opgeborgen. Mannen als Carlyle, als Macauly waren nog min of meer acteurs op het wereldtoneel. Wanneer zij de grote figuren uit het verleden opriepen, was het, of zij zelf in de huid kropen van Robespierre, van Napoleon, van Jacobus II. Hun geschiedschrijving had nog iets van een spel in het bonte pakje, waarmee eens hun helden zich in het leven bewogen. De moderne historicus verschijnt voor ons in een witte jas. Zijn terrein van onderzoek is een reusachtig laboratorium, en hij staat tegenover het wereldgebeuren als een chemicus tegenover zijn retort. Zijn methode van onderzoek is, door een lange en moeizame ontwikkeling, zuiver natuurwetenschappelijk geschoold. In zover is voor elk van deze deze geleerden van toepassing wat Friedrich Engels heeft uitgesproken aan het graf van Karl Marx in 1883: “Wie Darwin das Gesetz der Entwicklung der organischen Natur, so entdeckte Marx das Entwicklungsgesetz der menschlichen Geschichte ”
Dit “historisch darwinisme” leidt tot een uiterst pessimistische en cynische visie op de geschiedenis. Deze visie komt ongeveer op het volgende neer: Alle ontwikkeling wordt
4
beheerst door vaste onveranderlijke natuurwetten. Zij vormen een dynamisch proces, een reusachtig mechanisme, waarin de mens niet veel meer is dan een afvalproduct. In grote fabriekssteden vindt men hier en daar hoge bergen gesteenten, slakken enz. die aan een complex van fabrieksgebouwen het aspect geven van een onwezenlijk maanlandschap. Welnu, dit zelfde aspect hebben vanuit deze moderne historische visie, alle massabewegingen, waar ergens ter wereld een menigte mensen gegrepen is door een godsdienstige of sociale ideologie. Op het eerste gezicht wordt men meegesleept door het enthousiasme, door de offerkracht, die door dergelijke bewegingen tot uiting worden gebracht. Bij scherper, meer kritisch onderzoek blijkt al deze ideologie niets meer dan een “mythe”, waardoor een bepaalde klasse haar elitepositie in de strijd om het bestaan, de “struggle for life”, weet te handhaven. Deze strijd om het bestaan is de enige realiteit, die aan de historicus vaste grond onder zijn voeten geeft. Al het andere is leugen, is misleiding, waarmee in de strijd om het bestaan de overheersende klasse haar eigenlijke bedoelingen weet te camoufleren. Steeds heeft een minderheid, een sociale elite, een mythe nodig, om een meerderheid in bedwang te kunnen houden. Ziedaar het geheim van alle historische ontwikkeling. Deze “mythe” heeft nu eens een autocratisch, dan weer een democratisch karakter. Alle rechtsopvattingen zijn volgens deze voorstelling niets anders dan een bepaalde strategische tactiek, waarmee de heersende klassen de aan haar ondergeschikte klassen onderwerpen, zonder gebruik te hoeven maken van fysiek geweld. En aangezien deze strijd om het bestaan permanent is, en steeds een nieuwe elite in de plaats komt van een oude elite, zijn ook de rechtsopvattingen aan verandering onderhevig, richten zij zich steeds naar het belang van de sterkste. Wat voor het recht geldt, geldt voor alle moraal. Goed en kwaad zijn volkomen relatieve begrippen. Er bestaat geen enkele absolute norm van het “goede” of van het “boze”. Hij voor wie de fortuin gunstig is, heeft altijd het recht aan zijn zijde . . .
Deze nieuwe vormen van politiek darwinisme beginnen in de Verenigde Staten school te maken. Men vindt ze het zuiverst geformuleerd in het boek van Burnham “The Macchiavellians, defenders of freedom”. Zij zijn als symptoom misschien nog onrustbarender dan alle berichten in het Bulletin of Atomic Scientists over de productie van atoombommen met een vernietigingskracht 1000 maal sterker dan die van Bikini.
De laatste oorlog heeft iedere schooljongen tot bewustzijn gebracht welke vernietigingsmogelijkheden natuurwetenschap en techniek bezitten. De invloed van de natuurwetenschap op de sociale moraal, is nog steeds een vraagstuk, dat geheel buiten het bewustzijn van de grote massa leeft. Hier en daar is een vermoeden van dit vraagstuk ontstaan, tijdens de verschillende verhoren van de nationaal-socialistische machthebbers in het proces van Neurenberg.
Ook daar vindt men staaltjes van “politiek darwinisme in de praktijk gebracht, waarvan men het bestaan tot dusver slechts mogelijk achtte in de wereld van Russische romans.
Deze zelfde sociale moraal hoort men thans openlijk verkondigen op de Amerikaanse universiteiten. Het historisch materialisme is als een sluipend vergif geworden, dat onmerkbaar onze samenleving infiltreert. Het is het wapen geworden, waarmee men in het Westen — Amerika —de strijd tegen
5
het communisme in het Oosten – Rusland — wil gaan voeren. Het einde van deze gigantische worsteling is thans reeds te voorzien. Ook al zal Amerika een derde wereldoorlog – welke volgens Burnham reeds begonnen is — winnen, deze overwinning zal op geestelijk gebied een pyrrusoverwinning zijn; de geest van het historisch materialisme, die in Rusland sinds 1917 het bolsjewisme in het leven riep en daarmee de dictatuur, zal onherroepelijk ook in het Westen voeren tot een of ander vorm van dictatuur. Amerika’s historische missie, — tot save the world for democracy — zal daarmee hebben afgedaan.
Zoals gezegd: het historisch materialisme van Marx is in zekere zin een voortzetting van de evolutieleer van Darwin. De “struggle for life”, de strijd om het bestaan, wordt hierin gezien als de motorische kracht van alle ontwikkeling. Marx leidde uit deze strijd om het bestaan zijn idee van de klassenstrijd af. Deze idee leidde na de vorige wereldoorlog in Rusland tot de revolutie: zij werd tot de ideologie van een proletarische beweging. Pas thans, na een tweede wereldoorlog, zien wij hoe dit historisch materialisme vooral in academische kringen school begint te maken in Amerika en Engeland. Maar nooit zijn in Engeland de consequenties van de 19e eeuwse natuurwetenschappelijke denkbeelden op het sociale leven, ten volle getrokken. Pas voor de Russische marxisten, Lenin, Plechanov, is de harde natuurwet van de “struggle for life”, een stuk sociale moraal geworden.
Met een niets ontziende consequentie is in het Oosten in praktijk gebracht, wat in het Westen slechts als een stuk natuurwetenschap bleef voortleven. Denkt U eens in: het politiek darwinisme van het bolsjewisme, opgelegd als een nieuwe sociale moraal aan het Engelse volk, met zijn tradities van self-government, van sociaal verantwoordelijkheidsbesef, met zijn religieuze banden aan de High Church als het morele fundament van de rechtsorde. Het bolsjewistische experiment in het Oosten is nog geen dertig jaar oud. Als experiment doet het thans zijn terugslag op het Westen gelden. Niet zozeer op economisch gebied als wel op ideologisch gebied. Rusland lijkt op een spiegel, waarin de Westerse democratieën hun eigen ideeën gespiegeld zien. Weliswaar misvormd, tot onmogelijke proporties uitgegroeid. Maar niettemin fascinerend, door de gedaantewisseling, waarin zij door het Russische volk in praktijk zijn gebracht. Als sociaal experiment werkt het als een enorme suggestie op de universiteiten in het Westen, oefent daar zijn invloed uit als een nieuwe sociale ideologie, weliswaar aangepast aan Westerse normen, maar niettemin verleidelijk en uiterst fascinerend op een jonge generatie. Het is een uiterst merkwaardige ontwikkeling die men vooral kan nagaan in het reeds genoemde boek van Carr “The Soviet impact on the Western world”. Wij in Europa, levend min of meer nog buiten de Angelsaksische invloedssfeer, zullen met deze nieuwe gedaante van het historisch materialisme rekening moeten houden als een nieuwe realiteit.
Wij zullen er iets tegenover moeten stellen, willen wij niet van twee kanten uit, van links en van rechts, er door worden vermorzeld. Dit nieuwe zal in de eerste plaats moeten zijn een organische visie op de historie, tegenover de mechanische opvattingen van de permanente “struggle for life” als de motor van alle ontwikkeling.
6
Drieërlei vorm van sociaal organisme
Uit het bovenstaande zal duidelijk zijn, dat het van groot sociaal belang is, in welke richting zich de visie op de geschiedenis ontwikkelt.
In deze beschouwing vestigen wij allereerst de aandacht op de geheel nieuwe inzichten die ons hier door Rudolf Steiner zijn gegeven.
In tegenstelling tot de moderne sociologie, die, staande op empirisch standpunt, de beschavingsgeschiedenis van de Oudheid voornamelijk bestudeert naar analogie van de verschillende, nog thans bestaande natuurvolkeren, gaat Rudolf Steiners visie op de beschavingsgeschiedenis uit van een voortdurende metamorfose van het menselijk bewustzijn in de loop der verschillende
cultuurtijdperken.
Het maakt een groot verschil uit of men, enerzijds, het beeld heeft van een of andere Tarzan-geweldenaar als de schepper van de oudste vorm van het ‘recht van dn sterke’ of dat men anderzijds, uitgaat van de beschaving van de oude Indiërs, 6000 jaar voor Christus, wier samenleving nog geheel sacraal, d.w.z. door de priesters geleid is geworden. Men kan daarbij wijzen op het ontstaan van de vier kasten uit het lichaam van de god Brahman: uit het hoofd van de god kwamen de wijsgeren, de Brahmanen voort, uit de schouders de krijgers of Ksatrya’s, uit de lendenen en voeten de Vaysa’s en Sudra’s, de handwerkslieden en landbouwers.
Wij hebben hier nog een voorbeeld — zij het in de meest primitieve vorm — van een zuiver organische samenleving, waarin het leven bepaald was volgens de stand, waarin men was geboren. Het sacrale karakter van deze oude standenstaat vindt men later terug bij de opvattingen van Plato in de Politeia en vandaar heeft zij via Augustinus haar invloed uitgeoefend op de middeleeuwse standenstaat. Immers, ook de drie middeleeuwse standen, geestelijkheid, adel en burgerij — Lehrstand, Wehrstand en Nahrstand — zijn uitvloeisel van een geheel organische opvatting van het sociale leven. In zijn drieledigheid was ook de structuur van deze samenleving nog bepaald volgens een hiërarchische opbouw van de kosmos — het Griekse woord, dat oorspronkelijk orde betekent!
In alle antieke, voorchristelijkc culturen, ging de leiding van de Staat uit van een bevoorrechte priesterkaste. Men kan zich op zuiver empirisch standpunt stellen en deze bevoorrechting verklaren als het natuurrecht van een elite van Tarzans, die, ten einde een meerderheid te beheersen, hun macht ontlenen aan een “mythe” waarin zij zelf niet meer geloven. Deze voorstelling is zelfs geenszins in strijd met wat tegenwoordig in onze maatschappij als machtsverhouding optreedt. Maar mag men bepaalde machtsverhoudingen uit onze tijd projecteren op het verleden? Is dat niet in strijd met iedere ontwikkelingswetmatigheid?
Rudolf Steiner wijst er steeds op dat men als historicus in zich het vermogen moet ontwikkelen, de geschiedenis symptomatologisch te bezien. Hij stelt Goethe als voorbeeld. Men gaat uit van de verschijnselen als symptoom van een onzichtbare werkelijkheid, als letters van een schrift, dat wij moeten leren lezen in een organische samenhang.
7
Men zou de visie op de historie, die men langs deze oefeningsweg langzamerhand leert ontwikkelen, een organische geschiedbeschouwing kunnen noemen, tegenover de mechanische geschiedbeschouwing van het historisch materialisme. Wij hebben gezien welke consequenties de laatste visie op het gebied van de sociale moraal heeft gekregen.
Voor het historisch materialisme is de oude Indische kastenstaat, evenals de middeleeuwse standenstaat, niets anders dan één bepaald aspect van een steeds zich herhalende klassenstrijd, een struggle for life, waarbij één bepaalde elite de macht heeft een meerderheid te onderdrukken en te beheersen. De strijd om het bestaan vormt het uitgangspunt van deze opvatting.
Tegenover deze opvatting staat het meer organische beeld van de maatschappij, afgelezen aan de wetmatigheden van een goddelijk-geestelijke wereld of, meer mythologisch uitgedrukt, voortgekomen uit het lichaam van de godheid zelf. Mensenbeeld en maatschappij zijn hier nog in de nauwste samenhang met elkaar verbonden. Evenals de verschillende organen van het lichaam een dienende functie uitoefenen in het geheel, evenals ook de drie stelsels — zenuw-zintuigstelsel, ritmische stelsel, en stofwisselingsstelsel — nooit op zichzelf een eigen bestaan kunnen leiden, maar alleen functioneren in samenhang van het gehele organisme, zo vormen ook de verschillende kasten of standen in het antieke gemeenschapsbestel, een dienende functie waarbij het saamhorigheidsbesef tot een hogere goddelijk-geestelijke wereld, het verbindende element vormt van het sociale organisme.
Dit sacrale karakter is het kenmerk van alle antieke beschavingen. In de loop van de mensheidsontwikkeling is het langzaam afgestorven, in onze tijd leeft het nog slechts als mythe, als machtsmiddel, waarmee een bepaalde elite haar historische rechten tracht te rechtvaardigen. Zoals gezegd: De moderne sociologie projecteert deze machtsverhoudingen op het verleden, en kan daardoor nooit tot een organisch beeld van de maatschappij komen, als oerbron van alle maatschappelijke verhoudingen. Het gevaar hierbij is, dat bepaalde decadentieverschijnselen, die in onze tijd zich voordoen, voor permanent worden aangezien.
Wij behoeven ons dan niet te verbazen over de uitwerking, die deze opvattingen hebben op de sociale moraal: onverschilligheid, cynisme.
Met het oog op de vorming van sociaal verantwoordelijkheidsbesef is het van het grootste belang, welk beeld men op school meekrijgt van de oorsprong van de oude beschavingen. Menig leraar staat hier tegenwoordig voor een ernstig gewetensconflict. Waar ligt de oorsprong van de mens? Stamt hij af van de apen of van de goddelijke wereld? Wat is de geestelijke oorsprong van de antieke hiërarchische standenstaat? Aanpassingsvermogen in de “strijd om het bestaan ’, of verbondenheid met de goddelijke wereld, waarvan de mens deel uitmaakt als van een levend organisme?
In drieërlei vorm leeft in onze tijd het sacraal-organisch karakter van de antieke wereld na.
1e. In de katholieke maatschappijleer. Voor zover nog erfenis van middeleeuws organische opvattingen is haar hiërarchische structuur nog geheel gebaseerd op de eenheid van wereldbeschouwing — het katholon, voor allen geldig — met als hoogste autoriteit het morele gezag van de Kerk.
8
Organisch is deze maatschappijleer, waar zij rekening houdt met een organische ontwikkeling van de verschillende levensgebieden van de maatschappij in beroepsstanden, buiten invloed van de Staat om. 1) De Staat heeft slechts een subsidiair karakter. Haar taak is ordening, maar slechts daar, waar de lagere organen in hun functie tekort schieten. De verbindende kracht van deze sociale structuur ligt voornamelijk op geestelijk gebied: de autoriteit van de Kerk als Corpus Christi, het Lichaam van Christus.
2e. De historisch gegroeide structuur van het British Empire. Ook dit is te bezien als een groot organisme, waar het als Commonwealth, Gemenebest, het belang van de delen primair stelt boven het belang van het centrum. Het is een levensgemeenschap, waar het door economische banden de meest verschillende territoria in de wereld als „welvaartssfeer’ met elkaar verbindt. Zijn structuur is zodanig, dat afscheiding van een van de delen van het geheel steeds het gevaar van economische uitputting met zich meebrengt. De verbindende kracht van de Commonwealth ligt dan ook niet zozeer op politiek als wel op economisch gebied. Sacraal, is het Engelse koningshuis de verbindingsschakel die het Rijk tezamen houdt. De Kroon is in het Engelse staatsbestel niet alleen maar “ornament” . Zij vertegenwoordigt een historische traditie, nauw verbonden met het geestelijk moreel gezag van de Anglicaanse Kerk.
3. De Fascistische Staat van Mussolini. Ook hier treft men een zeer speciale organische opbouw aan, in zijn totalitair karakter geheel ondergeschikt aan de Leider — Duce — als de personificatie van de Staatsmacht. De organische opbouw is hier geheel “verwereldlijkt”, geseculariseerd. Zij staat organisatorisch, los van iedere band met de Kerk. Niettemin is zij hiërarchisch. Dit komt sterk tot uiting in het dienend karakter van alle organen van het maatschappelijk leven in dienst van de “mythe van de grootheid van Italië . Deze organen zijn belichaamd in de verschillende corporaties, wier invloedssfeer het totale maatschappelijke leven — cultuur, rechtsleven en economisch leven — bestrijkt. Vandaar de naam. Corporatieve Staat. De Staat zelf als drager van het rechtsleven is hier het alverbindend element. Haar symbool, de fasces, is hiervan de uitdrukking. Het fascisme is door Mussolini een „religieuze conceptie’ genoemd. Zijn ideologie is de herleving van het Imperium — machtsgebied — van Augustus. Daardoor werkt het autoritair, als een moderne cultus, in dienst van een antieke aan het Romeinse Rijk ontleende rechtsorde.
Op het gevaar af in bepaalde schematische voorstellingen te vervallen, hebben wij een voorbeeld gegeven van drie verschillende vormen van sociaal organisme, die ieder als archetype nog min of meer samenhangen met de oude antieke maatschappijvorm. Weliswaar is het oude sacrale karakter verloren gegaan en is steeds meer, in de plaats van een door de priesters behoede mysteriewijsheid, een „mythe” als bindend element gekomen. Het oude sacrale karakter is het duidelijkst in de structuur van de Kerk, die zelf als hiërarchie, nog geheel afspiegeling is van een „hemelse hiërarchie”, drieledig van indeling. Zodra dit verband verloren is gegaan, berust het gezag van de Kerk in de samenleving uitsluitend op het feit, dat
1) Zie de Encycliek van Paus Pins XI, Quadragesimo Anno. 9
„haar door God de schat der waarheid is toevertrouwd ’, en op de daaruit voortvloeiende strenge plicht, de zedenwet in volle omvang te verkondigen. Krachtens dit feit vallen niet alleen kwesties van sociale, maar zelfs van economische aard onder haar bevoegdheid en heeft zij hierin in hoogste instantie uitspraak te doen.1)
In de structuur van het British Empire is deze sacrale band tussen Kerk en organische samenleving reeds bijna geheel verloren gegaan. Toch hangt de ontwikkeling van deze structuur ten nauwste samen met de ideologie van de Tories, de partij die altijd het nauwst verbonden is geweest met oude katholieke tradities. De grondslag van het Empire is gelegd door de Stuarts in de 17e eeuw. In de vorige eeuw hebben mannen als Seeley, Kipling en Rhodes haar ideologie verder uitgewerkt en wij vinden haar thans het scherpst geformuleerd in het werk van Lionel Curtis, Civitas Dei, The Commonwealth of God.
Ten slotte de Fascistische Staat van Mussolini.
Hoewel het fascisme — zoals Mussolini het zelf heeft uitgedrukt — de godsdienst en speciaal het Katholicisme zeer hoog acht, toch erkent het niet langer de Kerk als gezagdragende en ordenende macht in het sociale leven. De Staat zelf, de “ethische Staat’ is de “ware werkelijkheid van het individu” geworden. De mens leeft dus pas overeenkomstig zijn bestemming, als hij zich onderwerpt aan de wil van de staat, d.w.z. van de drager van de nationale gedachte”. 2)
Hiermee is niet gezegd dat met deze drie vormen van sociaal organisme alle andere vormen zijn uitgeput. Integendeel er doen zich nog alle mogelijke andere variaties en tussenvormen voor. De drie hier beschreven vormen vertegenwoordigen het scherpst ieder één bepaalde ideologie. In elk van deze structuren neemt één bepaalde elite een overheersende positie in, als drager van, hetzij de geestelijke belangen, hetzij de economische belangen, hetzij de rechtsbelangen.
In de katholieke staatsgedachte is dit de clerus, als drager van het geestelijk leven. In de Britse Commonwealth zijn het de industriëlen en landadel — men denke aan de rol van de oude Gentry in het Engelse parlement — als dragers van het economisch leven. In de fascistische totalitaire staat zijn het de kringen van ambtenaren en leger, die als bureaucratie de dragers zijn geworden van het rechtsleven en opkomen voor de verwezenlijking van sociale rechtvaardigheid.
Ieder van deze drie bevoorrechte klassen vertegenwoordigt een bepaalde ideologie, waaraan zij tegenwoordig haar macht ontleent. Men zou de oude Indische kastenstaat als wedergeboren kunnen zien in de Europese volkerengemeenschap. Brahmanen, krijgers en handwerkslieden, als de dragers van het geestelijk
1) Zie de Encycliek van Paus Pius XI, „Quadragesima Anno” 41.
2) Art. 1 van het Charter van de Arbeid luidt: De Italiaanse Natie is een organisme, dat een hoger leven, hogere doeleinden en middelen van handelen bezit dan de afzonderlijke nog in groepen levende individuen, die haar samenstellen. Zij is een morele, politieke economische eenheid, die zich volledig in de Fascistischen Staat verwerkelijkt.
10
leven, het rechtsleven en het economisch leven, vindt men min of meer terug in de elites van de drie hier geschetste sociale organismen.
Het verschil tussen de moderne en de antieke structuur is echter zeer groot.
De oude kastenmaatschappij was een organisme. De verschillende kasten, door een sacrale band met de goddelijk-geestelijke wereld bijeengehouden, verhielden zich tot elkander, gelijk de drie functies — het zenuw-zintuigstelsel, het ritmische stelsel en het stofwisselingsstelsel — van het menselijk lichaam zich tot elkaar verhouden. Vergelijkt men hiermee de levensbelangen van de drie hier geschetste sociale organismen, dan verrijst voor ons het beeld van drie kolossale machten, die niet de minste belangengemeenschap meer met elkander hebben, integendeel, die elkaar op leven en dood bestrijden.
Deze strijd is verklaarbaar.
Want weliswaar zijn zij, wat hun vorm betreft, organisch opgebouwd, maar de ideologie waarmee zij deze oude vorm moeten handhaven, past niet meer in de tijd, zij is tot “mythe” geworden. De oude kastenmaatschappij was daarom organisch, omdat zij nog afspiegeling was van een kosmische orde. De priesters genoten een nog vanzelf sprekende autoriteit, omdat zij de bemiddelaars waren tussen mens en goddelijke wereld. Het was een autoriteit, die nog geheel berustte op de eerbied voor de goddelijk-geestelijke wereld. Deze eerbied is langzamerhand verloren gegaan. Daarmee is ook de autoritaire macht van de priesters in het sociale leven verzwakt. Dit afstervingsproces is zeer geleidelijk gegaan. Nog lange tijd is de structuur van het sociale leven in haar organische opbouw overgenomen van de structuur van de oude voorchristelijke beschavingen. Waanneer echter in deze structuur de uiterlijke vorm niet langer meer beantwoordt aan de geestelijke inhoud, treedt een verschijnsel op, dat men imperialisme kan noemen. Hoe meer de sacrale banden met een goddelijk-geestelijke wereld afstierven, des te sterker werd ideologie “machtsmiddel” — imperium betekent macht— bestemd om een historisch gegroeide structuur van het sociale leven in stand te houden. Daardoor zijn langzamerhand in Europa drie grote wereldmachten ontstaan als drieërlei vorm van imperialisme: de Kerk, het Britse Rijk, de Corporatieve Staat. Zij behartigen elk afzonderlijk, totaal aan elkander tegenstrijdige belangen. Daardoor leidt hun bestaan tot allerlei onoplosbare conflicten, zowel in de buitenlandse als in de binnenlandse politiek van de verschillende volkeren van Europa. De vraag naar een weg tot oplossing van deze conflicten kan nauwelijks meer gesteld worden, zolang niet eerst een andere vraag is gesteld: hoe kan voorkomen worden, dat in de structuur van het sociale leven, de drie gebieden van religie, welvaart en rechtvaardigheid, niet langer meer als machtstegenstellingen werken, maar organisch in de volkerengemeenschap worden behartigd?
Dit vraagstuk van de drieledigheid van het sociale organisme is in wezen een vraagstuk van christelijke samenleving. 11
Christelijke rechtsorde
Sinds het ontstaan van het christendom laat de vraag of een “Christelijk Rijk” op aarde bestaanbaar is, ons niet met rust. “Christelijk Rijk” is dat geen paradox? Is niet iedere rijksgedachte verbonden met macht, met uiterlijk geweld in de wereld? Wijst Christus niet het gebruikmaken van geweld af, zegt Hij niet zelf: “Mijn Rijk is niet van deze wereld?” Verkondigt Hij niet: “Het Koninkrijk Gods is binnen U?” Maar wat betekent het christendom nog zonder aardse macht? Hoe kan ooit een
“christelijke” oplossing gevonden worden van het sociale vraagstuk, wanneer niet uiteindelijk wereldlijke macht autoritair ingrijpt, een “Christelijk Rijk” op aarde manifesteert met aardse middelen, met aards gezag? Aan de andere kant: hoe kan ooit door middel van geweld, door dwang, aan de mens autoritair een christelijke samenleving worden opgelegd, wanneer niet de mens sterk genoeg is om door innerlijke vrijheid Christus in zijn eigen leven als voorbeeld te stellen?
Twee vragen, die de historie hebben gevormd, die steeds weer opnieuw aanleiding zijn geworden tot een afglijden in twee gevaarlijke eenzijdigheden van het leven.
De eerste vraag is de vraag die Augustinus stelde in zijn „Civitas Dei”, die ook Dante stelde in zijn „Monarchie en Divina Commedia. De macht van het Imperium was eens gegrondvest door de Romeinen, zo zeiden zij. opdat in de heilsgeschiedenis, de Kerk, het “tweede Rome”, deze macht zou kunnen overnemen tot de verwezenlijking van de Staat Gods op aarde…… Deze oplossing voerde onherroepelijk in de praktijk tot een eenzijdigheid: verwereldlijking van de Kerk — ecclesia — als gemeenschap van “uitverkorenen”. Tegenover deze eerste eenzijdigheid staat een tweede eenzijdigheid. Deze treedt op waar, gedreven door een heilsverwachting, men zich van de wereld afwendt, zich opsluit in kloosters, sekten vormt, om in afzondering zich voor te bereiden op de nadering van een heilstaat op aarde, die zich eens. los van ’s mensen toedoen, krachtens de vervulling van een profetie, zal verwerkelijken.
Zowel van katholieke als van protestantse zijde is deze verzoeking ontelbare malen opgetreden. Steeds weer streelt zij onze ijdelheid door de waan: te behoren tot een elite van uitverkorenen, gepredestineerd ver verheven boven de massa te staan. In de middeleeuwen noemde men deze “reine” geesten, naar een Grieks woord, katharoi. In onze tijd heeft het woord ketter — de verbasterde vorm van dit Griekse woord — een ietwat andere klank gekregen. Iedere sektevorming op protestants terrein — men denke aan de Wederdopers in de 16e eeuw — iedere ketterij op katholiek terrein, draagt het gevaar van deze tweede verzoeking in zich. Afkeer van alle geweld op aarde, lijdelijk verzet plegen tot in de meest absolute consequenties; men vindt dit als een modern Messianisme bij de Mennonieten, de Hernhutters, de Tolstoianen. 12
Het is van belang deze twee eenzijdigheden, die als verzoekingen kunnen optreden van te ver doorgevoerde macht enerzijds en te ver doorgevoerde vrijheid anderzijds, goed onder ogen te zien, alvorens ons bezig te houden met de vraag: is een “christelijke rechtsorde” op aarde bestaanbaar? Historisch bezien, kunnen wij nauwelijks nog van een dergelijke “probleemstelling” spreken, zolang één bepaalde Kerk, als drager van het religieuze leven, het staatsleven autoritair aan zich ondergeschikt maakt. Dit is gedurende de gehele middeleeuwen nog min of meer het geval. De middeleeuwse standenstaat was “sacraal” geordend. Zij was een organisme, nog min of meer afgelezen van een bovenzinnelijke hiërarchische wereld. In de structuur van de Kerk zelf, voor zover betreft de organisatie van de clerus, vindt men eveneens een verticaal geordende indeling, welke ten nauwste verband houdt met de hiërarchische orde van de geestelijke wereld en die gebaseerd is op een traditie, die teruggaat op Dionysius de Areopagiet.1) Kan men deze middeleeuwse standenstaat, met zijn sterke verticale hiërarchische structuur “christelijk” noemen?
Dat is de grote vraag, die opkomt omstreeks 1500 en waarover niet alleen met woorden is gediscussieerd, maar waarover vele eeuwen lang een strijd is gevoerd met bloed en wapenen. Immers, sinds de Hervorming breekt met de godsdienstoorlogen een nieuwe orde der dingen door, een nieuwe staatsvorm wordt geboren, niet meer gebaseerd op een verticale indeling volgens standen, maar op een horizontale indeling, gegrondvest op de idee van geestelijke verdraagzaamheid. De overheid verliest haar geestelijk absoluut karakter. In de strijd tussen wereldbeschouwingen neemt zij een meer neutraal standpunt in. Men zou het ook zo kunnen uitdrukken: voor de nieuwe rechtsorde, die met de Hervorming ontstaat, zijn alle burgers van de staat gelijkgerechtigd, opdat op religieus gebied het beginsel van vrijheid kan heersen.
Voor deze gedachte offerde Willem van Oranje zijn leven, werd in Frankrijk een Hendrik IV vermoord en in Duitsland…… Wallenstein. Het offer, dat zij in de historie hebben gebracht, is een christelijk offer geweest. Zoals het bloed der martelaren eens het zaad der Kerk is geweest, zo is hun bloed het zaad, waaruit een nieuwe „christelijke rechtsorde” gegroeid is. Waarom “christelijke rechtsorde”?
Het antwoord op deze vraag staat o.a. in het Plakkaat van Verlatinge waarmee de Staten-Generaal van onze jonge Republiek in 1581 de gehoorzaamheid opzegden aan de koning.
“De onderdanen niet en zijn van Godt gheschapen tot behoef van den Prince, om hem in alles wat hy beveelt weder het goddelic oft ongoddelick recht oft onrecht is, onderdanich te wesen; maer den Prince om d’ondersaten wille”.
Dit beginsel schept een nieuw recht in een nieuwe staatsorde: het recht van
1) Over ‘de „kerkelijke hiërarchie” als afspiegeling van de „hemelse hiërarchie” zie: Dionysius Areopagita „Over de kerkelijke Hiërarchie”.
Men vindt hierover een uittreksel in „Anmerkungen” van Dr. Roman Boos op de in 1920 door Rudolf Steiner gehouden voordracht over „De geschichtliche Entwicklung des Imperialismus.” (Europa Verlag Ziivich/New York 1946.
13
de mens op gewetensvrijheid. De Overheid respectere deze vrijheid. Dat is haar nieuwe christelijke taak.
Op religieus gebied is voortaan het mensen-lk alleen aan God verantwoording schuldig. De vorst als drager van het rechtsleven, is niet langer meer opgenomen in de hiërarchische ordening van de middeleeuwse standenstaat. Er is een breuk ontstaan in het organisme van de samenleving. In de staat is het terrein vrijgemaakt voor een individuele ontwikkelingsweg.
Met het offer, in dienst van deze nieuwe rechtsorde, breekt als het ware een nieuw Pasen door in de rechtsgeschiedenis van Europa. Want de ontwikkeling van het christendom houdt ten nauwste verband met de ontwikkeling van de diepste krachten van het mensen-lk. Ieder, die het vertrouwen in de ontwikkelingsmogelijkheden van dit mensen-lk, als drager van de
Christuskracht niet verloren heeft, zal deze nieuwe rechtsorde als een winst kunnen zien. als een opstandingsproces. van waaruit de diepste krachten van de menselijke vrijheid ontstaan zijn. In dit opzicht kan onze Republiek worden gezien als een eerste schrede op een lange weg, voerend naar de verwezenlijking van een christelijke samenleving.
Dit emancipatieproces van het rechtsleven uit de organische samenhang van de middeleeuwse standenstaat is echter, behalve een winst tevens een verlies. Zoals reeds gezegd: er is een breuk ontstaan in het organisme van de samenleving.
Met de Hervorming sterft een oude organische samenhang van het rechtsleven met de goddelijke wereld af. Het duidelijkst blijkt dit uit de veranderde opvattingen van het z.g. natuurrecht. Vergelijken wij het natuurrecht, zoals dit in 1625 door Hugo de Groot geformuleerd wordt, met de oude Griekse voorstellingen van het natuurrecht — het phusei dikaion — dan blijkt duidelijk het verschil.
Bij de Grieken. — in het bijzonder bij Plato — nog een sterk organische gedachtewereld. Het rechtsleven is een harmoniserend, men kan wel zeggen. genezend element in de samenleving. Waar ergens een sociaal ziekteproces optreedt door een verbreking van het evenwicht tussen geestelijke en materiële belangen, werkt het rechtsleven bemiddelend en daardoor tevens therapeutisch. Zo ligt in de natuur der dingen besloten.
Wat Hugo de Groot onder natuurecht verstaat is reeds iets geheel anders. Zijn opvatting is veel rationeler, grijpt terug, niet zozeer op Griekse voorstellingen als wel op de Romeinse interpretatie daarvan. De Stoa, bron van zoveel Romeins-rechtelijke opvattingen, is zijn voornaamste leerschool geweest. Natuurrecht is bij hem identiek met volkenrecht, ius gentium.
Voor de Groot betekent natuurrecht datgene wat in iedere mensenziel verborgen ligt als bron van rechtsbewustzijn.
Door het natuurrecht is er ergens een gebied in de samenleving waar wij als mens gelijk zijn aan elkaar, onafhankelijk of wij Chinees zijn of Maleier, Spanjaard of Nederlander, onafhankelijk ook. of wij katholiek, protestant of zelfs heidens zijn opgevoed.
Het natuurrecht ligt in de natuur der dingen, d.w.z. het is ieder mens aangeboren. Daardoor is het natuurrecht voor de Groot ook de basis geworden
14
van het volkenrecht, van een nieuwe internationale rechtsorde, welke thans nog steeds de ideologie vormt van de Verenigde Naties. 1)
Het natuurrecht bij Plato was nog verticaal gericht. Het ging uit van een organische samenhang tussen mens en kosmos, en was daardoor nog geheel ontleend aan antieke theocratische vormen van menselijke samenleving.2)
Het natuurrecht van de Groot is horizontaal gericht. Het is de basis van een nieuw kosmopolitisme, een nieuw wereldburgerschap.
Het past in een samenleving, die afstand heeft gedaan van een hiërarchische ordening van het geestelijk leven.
Deze nieuwe formulering van het natuurrecht heeft gemaakt, dat het rechtsbewustzijn zijn laatste samenhang niet een hiërarchisch geordende geestelijke wereld verloren heeft.
Toch kan men deze opvatting een christelijke opvatting noemen. Zij past geheel in de structuur van een samenleving, voor de verwezenlijking ervan zojuist Oranje zijn leven had geofferd. Wij zien dan ook, dat later deze conceptie van het natuurrecht geheel in dienst wordt gesteld van het tolerantiebeginsel op godsdienstig gebied en dat juist dit beginsel aan iemand als Willem III de kracht heeft gegeven grote Europese politiek te voeren vanuit Engeland.
Het is interessant na te gaan, hoe daarna juist in Engeland, dit natuurrecht langzamerhand zijn christelijk karakter gaat verliezen onder invloed van natuurwetenschappelijke denkbeelden.
Het wordt dan steeds meer aangewend in dienst van tweeërlei vorm van macht: de Staat als drager van de collectieve wil van het volk enerzijds. Anderzijds, de Staat in dienst van de individuele vrijheden van de mens. Deze twee totaal verschillende ontwikkelingswegen van het natuurrecht gaan uit van twee Engelse denkers. Thomas Hobbes en John Locke. Men zou hen zelfs kunnen zien als de twee geestelijke vaders van de twee verschillende ideologieën van democratie, die thans vanuit Amerika en Rusland de geesten zozeer in verwarring brengen.
Het uitgangspunt bij Hobbes is de strijd van allen tegen allen, de bellum omnium contra omnes, als de natuurlijke vorm van de samenleving. De mens is een met rede begiftigd dier. De strijd om het bestaan, de ,”struggle for life” zal steeds als een schrikbeeld van massale verwildering de samenleving bedreigen. Om zich te beveiligen tegen de driften van zijn medemensen, beschikt de mens over de rede. Deze rede dwingt hem er toe zijn vrijheid prijste geven. Dit offer is niets anders dan een natuurlijke zucht tot zelfbehoud Uit deze natuurlijke drift is het bestaan te verklaren van de lex naturalis. de natuurwet, die de band is, die alle mensen tot een Staat verbindt.
Deze Staat is drager van de collectieve wil, waardoor de enkeling zijn vrijheid prijsgeeft ten einde daarvoor in de plaats veiligheid te verwerven.
De Staat wordt hier door Hobbes voorgesteld als een monster, het beeld van
1) Onder de „doeleinden” van artikel 1 van het Handvest vinden wij: “internationale samenwerking bij het bevorderen en aanmoedigen van eerbied voor de rechten van de mens en voor de grondvrijheden voor allen, zonder onderscheid naar ras, geslacht, taal of godsdienst”. 2) Over de Politeia van Plato in samenhang met de oud-Indische kastenstaat leze men Urwick The Message of Plato. Aangehaald o.a. door Dr. H. Groot in zijn boek over Plato, Amsterdam 1947.
15
de Leviathan uit het boek Job. Op het titelblad van de eerste uitgave van het werk — 1645 — staat een Vorst afgebeeld met een staf en een zwaard — symbool van totalitair gezag over Kerk en Staat. Zijn maliënkolder bestaat, in plaats van uit talloze ringetjes, uit evenveel mensen. Deze voorstelling van de Staat is geheel ontleend aan de dierenwereld. De mens is een met rede begiftigd dier. Het is een uiterst pessimistische voorstelling, in wezen echter dynamisch. Immers, zij leidt er toe, dat de rechtsopvattingen geheel in dienst komen te staan van de strijd om het bestaan. Zij verliezen hierdoor hun autonoom karakter, en zullen zich steeds moeten aanpassen aan een evolutieproces, dat zich als een “natuurlijke orde der dingen” onafhankelijk van de wil van de mens buiten hem zich voltrekt. Hier is dan ook de geestelijke basis gelegd van het historisch materialisme en wij zullen zien hoe twee eeuwen later Karl Marx in Engeland zal voortbouwen op deze geheel empirische materialistische gedachtegang.
De opvatting van John Locke over het natuurrecht is geheel tegengesteld aan die van Hobbes. Hobbes gaat uit van de strijd van allen tegen allen als de natuurlijke vorm der samenleving. Locke gaat uit van de harmonie der individuele belangen. Hobbes zoekt zijn voorbeeld in de natuur bij de dierenwereld. Voor Locke ligt in de natuur der dingen geen strijd maar harmonie. Is ook de sterrenwereld niet doortrokken van harmonie? In de samenleving is ieder mens onderworpen aan natuurlijke verlangens; deze vormen de basis van natuurlijke rechten: recht om te leven, recht op vrijheid, recht op eigendom. Wanneer ieder mens deze belangen als rechtmatig in zijn medemens respecteert, ontstaat hierdoor een natuurlijke harmonie van samenleving. Deze natuurtoestand betekent allerminst oorlog. Integendeel: oorlog ontstaat wanneer door geweld de natuur der dingen wordt doorbroken. Als waarborg hiertegen dient de Staat. Zij is slechts een noodzakelijke beperking van de vrijheid van het individu. Haar rechtsbasis berust op de erkenning van deze vrijheid. Speciaal op drieërlei gebied: leven, vrijheid en eigendom. Uit deze optimistische voorstelling van de natuurlijke harmonie van de samenleving is bij Locke de beroemde contractsidee gegroeid, waardoor hij het gezag dat de overheid uitoefent, afleidt uit de overeenkomst van de burgers. Waarborg tegen gewelddadig ingrijpen in de harmonie van de belangen van de zijde der overheid, ligt in het recht, dat de onderdanen bezitten ten allen tijde dit contract te herroepen. Met andere woorden: de soeverein kan bij misbruik van macht de gehoorzaamheid worden opgezegd.
Wij zien hier dus tweeërlei rechtsopvatting, gebaseerd op het door Hugo de Groot gelegde fundament van het moderne natuurrecht. Die van Hobbes is dynamisch en pessimistisch. Uitgangspunt is de “struggle for life” als de natuurlijke orde der dingen.
Die van Locke is statisch en optimistisch. Uitgangspunt is de harmonie der belangen, als de natuurlijke orde der dingen. Zij gaat uit van het bestaan van eeuwige onveranderlijke rechten, verankerd in de ziel van ieder mens, als de natuurlijke basis van de samenleving. Beide opvattingen zijn beïnvloed door natuurwetenschappelijke denkbeelden, die juist in deze tijd in Engeland opgeld maken. 16
Merkwaardigerwijze beroepen zowel Hobbes als Locke er zich op dat zij de Indiaanse samenleving als voorbeeld hebben genomen voor het door hen ontworpen beeld van de samenleving! Het is duidelijk, dat elk van deze opvattingen ontaarden kan in een gevaarlijke eenzijdigheid en dat met deze nieuwe conceptie van het natuurrecht krachten kunnen worden opgeroepen, die in strijd zijn met iedere organische structuur van de maatschappij. Zowel Hobbes als Locke hebben niet alleen leerlingen gehad, die deze natuurrechtelijke opvattingen van de samenleving verder hebben uitgewerkt, maar ook “Zauberlehrlinge”…….
Sociale ideeën kunnen als natuurkrachten werken, die door de mens worden opgeroepen, maar die op een gegeven ogenblik niet meer door hem kunnen worden beheerst, omdat hij de “toverspreuk” van zijn leermeester vergeten is. Sociale ideeën worden natuurkrachten, wanneer hun organische samenhang met een goddelijk-geestelijke wereld verloren gaat. Zij werken dan niet meer verbindend van mens tot mens, maar destructief, daar zij zijn afgesneden van de bron van alle morele scheppende vermogens in de mens. Wij kunnen dit emancipatieproces vervolgen vanaf het ogenblik, dat de twee zoëven geschetste natuurrechtelijke opvattingen van de samenleving hun geboortegrond — Engeland — verlaten.
In Engeland bestond omstreeks de tweede helft van de 17e eeuw nog een vorm van samenleving, die in vele opzichten organisch kon worden genoemd. De High Church, het Koningshuis, als min of meer sacrale banden met het verleden, oefenden in de samenleving nog een sterk moreel gezag uit. Via het familieleven, door de macht der bloedsbanden, bestond nog een zekere hiërarchische structuur, gedragen door een, vanuit de kringen van handel en nijverheid zich verjongende adel. Daardoor was de samenleving nog immuun voor de destructieve uitwerking van de nieuwe, aan de op empirie gebaseerde natuurwetenschap ontleende sociale denkbeelden. De destructieve uitwerking van deze denkbeelden wordt pas zichtbaar, wanneer zij geëxporteerd uit het moederland, binnendringen in de Nieuwe Wereld enerzijds, in Rusland anderzijds. Daar, in het Westen en in het Oosten, oefenen zij een revolutionair geweld uit. Men kan, in dit opzicht, de jaren 1776 en 1917 in samenhang met elkander bezien! In 1776 maken de Verenigde Staten zich los van het moederland. De geestelijke basis van deze Republiek is later door president Wilson zeer treffend gekarakteriseerd: “De grondwet van de Verenigde Staten is ontworpen onder de heerschappij van de theorie van Newton. De ontwerpers van de constitutie van onze Statenbond, construeerden een regering, zoals men een planetarium zou hebben gebouwd ” …….1)
1) Ook bij Jefferson, de grondlegger van de Amerikaanse Constitutie, vindt men de voorstelling van “a beautiful equilibrium, on which our Constitution is founded, and which I believe it will exhibit to the world in a degree of perfection, unexampled but in the planetary system itself.” (Letter to P. Firzbugh, 1798). 17
Hier ziet men de consequenties van de door Locke ontworpen voorstellingen van de harmonie van de individuele belangen. Ingeschakeld in het krachtenspel van de “balance of power” leiden zij langzamerhand tot een volkomen mechanisch beeld van de samenleving. Zij werken destructief, zodra zij in dienst worden gesteld van het met reuzenschreden zich ontwikkelend industrialisatieproces. Het rechtsleven verliest daarmee zijn autonoom karakter, d.w.z. de rechten,”van het individu op leven, vrijheid en eigendom”, komen meer en meer in dienst van eenzijdige economische belangen. Het is interessant deze ontwikkeling in zijn laatste consequenties te vervolgen. Iedere schooljongen is tegenwoordig op de hoogte van het massale roofbouwproces dat in de Verenigde Staten plaatsvindt op de natuur door de op grote schaal plaats vindende ontbossing en uitmergeling van de grond door chemische stoffen. Tegenover dit in het economisch leven plaatsvindende roofbouwproces, dat de techniek uitoefent op de natuur, staat het Congres, als behartiger van de vrije rechten van de mens op leven, vrijheid en eigendom, machteloos. Daar wreekt zich op de natuur zelf, een natuurrechtelijke voorstelling van het sociale leven in haar laatste consequentie.1) De andere consequentie van het natuurrecht — via de door Hobbes beïnvloede ontwikkeling — voltrekt zich thans in het Oosten, in Rusland. Wij zien hier de laatste consequenties van het historisch-materialisme, geëxperimenteerd op de menselijke samenleving. De geestelijke basis van dit historisch materialisme is — zoals wij hebben gezien — door Hobbes in Engeland gelegd. Het natuurrecht, aangepast aan de “struggle for life ”, schiep de Staat als drager van de “collectieve wil” van het volk.
Wij kunnen deze gedachte vervolgen, wanneer zij in Frankrijk, overgenomen door Rousseau, leidt tot de Franse revolutie, en daarna, via het positivisme van Auguste Comte en aangevuld door de evolutieleer van Darwin, Karl Marx beïnvloedt. Door Lenin wordt zij naar Rusland gebracht en in 1917 verwezenlijkt tot het grootste sociale experiment dat ooit in de geschiedenis heeft plaats gevonden. Ook hier zien wij hoe. evenals in Amerika, de opvattingen van het natuurrecht beïnvloed worden door bepaalde natuurwetenschappelijke voorstellingen en de aanleiding worden tot een ander soort roofbouwproces. Het rechtsleven is hier geheel ondergeschikt geworden aan een ideologie, de opvatting van de klassenstrijd als een dynamisch proces. Recht en moraal zijn daardoor volledig relatieve begrippen geworden, ondergeschikt aan het evolutieproces van de klassenstrijd. Salus revolutiae suprema lex. De hoogste wet is het belang van de revolutie. Deze formule van de Russische Marxist Plechanov is de rechtvaardiging van alles, wat in een andere vorm van samenleving dan die van het Marxistisch socialisme als onrecht geldt. Tegenover de onverbiddelijkheid
1) Chancellor Robert M. Hutchins of the University of Chicago recently sunmit up the sombre facts: „About one-quarter of the arable land in this country is now ruined or severely impoverished and the damage is continuing; Soil losses in the United States total more than five billion tons annually. There has been a greater loss of productive soil in the world in the last two decades than the accumulated loss in all previous time. Another century like the last, and civilizatïon is through.” (John Fisher: „The lost Liberals” in Harpers. Mei 1947). 18
van deze “natuurwet” is het van absoluut ondergeschikt belang, of 20 miljoen mensen — het getal is ontleend aan Kravchenko — worden opgeofferd in dienst van de verwezenlijking van de klassenstrijd.
Zo zien wij, hoe buiten Europa, naar Amerika enerzijds, naar Azië anderzijds, de natuurrechtelijke voorstellingen, geëmancipeerd van de oude sacrale organische samenhang — zoals wij deze nog bij Plato aantreffen — steeds radicaler uitgroeien tot massale belangentegenstellingen, waarbij het rechtsleven zelf zijn autonome macht volledig verloren heeft. De grote crisis van deze samenleving is niet alleen een geestelijke crisis, niet alleen een economische crisis, zij is ook een crisis van het rechtsleven.
Naarmate in Europa steeds meer de oude organische samenhangen met het verleden — via de Kerk. via de familiebanden, via de historie als lotsverbindend element — verloren gaan, is ook de rechtsorde van onze samenleving verbroken.
Wij staan thans voor de grote vraag: welke taak heeft het rechtsleven te vervullen in een organische samenleving, die niet meer berust op de krachten van het verleden, m a a r d i e r e k e n i n g h o u d t m e t d e t o e k o m s t? In een dergelijke samenleving zal het rechtsleven een verbindend element moeten vormen tussen de aan elkaar tegenstrijdige belangen van het uit de organische samenhangen zich ontwikkeld hebbende economisch leven en het geestelijk leven.
Daarvoor moet het rechtsleven volkomen autonoom zijn.
In Amerika en Rusland zien wij de fatale gevolgen, wanneer dit niet het geval is. In een werkelijk organische samenleving kan het rechtsleven niet ondergeschikt zijn aan de belangen van ongeveer tweehonderd sleutelindustrieën, die op het ogenblik in de Verenigde Staten, in naam van de verhoging van de maatschappelijke welvaart, in naam van de „progress” een economische dictatuur uitoefenen. 1) Anderzijds: het rechtsleven kan niet langer meer het afvalproduct zijn van een historisch dynamisch proces, het kan niet langer meer ondergeschikt zijn aan een politiek Messianisme, dat in naam van de verwezenlijking van de broederschap op aarde miljoenen mensen tot slavenarbeid veroordeelt. Wij hebben niet langer te kiezen tussen twee werelden: óf Amerika óf Rusland. Wij kunnen alleen nog maar tussen deze twee werelden een nieuwe wereld bouwen: een nieuwe organische samenleving, waarin het rechtsleven autonoom is.
Vooral voor ons land wordt dit vraagstuk urgent. Het grote vacuüm, dat na de oorlog in Midden-Europa ontstaan is, heeft de tegenstelling van ideologieën tussen Amerika enerzijds. Rusland anderzijds, een fataal karakter gegeven. In de komende jaren zal het erom gaan tegenover deze „koude oorlog” van ideologieën, de weg vrij te maken voor een christelijke rechtsorde.
1) Zie: Beile en Means: The Modern Corporation and Private Property. De schrijvers tonen hierin aan dat het economisch leven van de Verenigde Staten beheerst wordt door de tweehonderd grootste niet-financiële maatschappijen, d.w.z. de verhouding waarin deze tot de banken stonden bespraken ze niet.
19
Bijna alle opvattingen over recht en moraal zijn tegenwoordig beïnvloed door de materialistische opvattingen van de natuurwetenschap. Dit te belichten was het doel van deze artikelen. Voor de verwezenlijking van een christelijke rechtsorde is in de eerste plaats nodig, een nieuw organisch inzicht in de maatschappelijke problemen van deze tijd te ontwikkelen. Pas wanneer er bewustzijn ontstaan is, hoezeer het materialisme de denkbeelden beïnvloed heeft waarmee wij dagelijks onbewust omgaan in de huidige democratische samenleving, wordt de weg vrij voor een nieuwe structuur van onze maatschappij als -sociaal organisme.
In zijn “Kernpunkte der sozialen Frage” 1) heeft Rudolf Steiner zijn gezichtspunten ontwikkeld over een nieuwe drieledige structuur van de maatschappij. Dat betekent allerminst een herstel van oude voorchristelijke theocratische vormen van samenleving. Het betekent evenmin een beginselprogramma voor een nieuwe politieke partij.
Het komt er in de eerste plaats op aan “denkbeelden te ontwikkelen, die ontleend zijn aan de waarneming van het werkelijke leven”.
In ons land kunnen wij hierbij aanknopen aan zeer bepaalde tradities. Steeds hebben de grote figuren van ons volk gezocht naar een christelijke weg om het midden te vinden tussen twee eenzijdigheden. Voorbeelden hiervan zijn Geert Groote in de 14e eeuw, Willem van Oranje in de 16e eeuw en Thorbecke in de 19e eeuw.
In de toekomst zal het erom gaan. bij deze figuren aan te knopen, opdat tegenover de grote eenzijdigheden van het Westen en het Oosten de middenweg wordt gevonden voor een werkelijk christelijke rechtsorde
Met het wegvallen van Midden-Europa ligt hier in West-Europa een grote taak.
=Geld tussen zekerheid en risico, Uitgeverij Christofoor, Zeist 1986.
=Naar de bronnen van driestromenland; Politieke stromingen: van gemeenschap naar individuele verantwoordelijkheid, Uitgevrij Christofoor, Zeist 1989.
=Wereld in wording (drie delen voor middelbare schoolgebruik door 9 schrijvers
samengesteld) Novem, Uitgeverij van Goor Zonen, Den Haag.
=Honderden artikelen in het tijdschrift Vrije Opvoedkunst van 1933 tot 1990. Zie
uitgebreid digitaal archief van de Vereniging voor Vrije Opvoedkunst Driebergen
i.s.m. Antrovista: http://www.vrijeopvoedkunst.nl en vok.antrovista.com
Toneel:
=Non Nobis (over de Tempeliers)
=Voor God en Vrijheid (historisch spel prins Willem van Oranje)
=Turandot
=Vadertje Langbeen Proteus-uitgave
Gedichtenbundels:
Wilde zwanen boven zee
Licht en schaduw in Hollands tuin
Sprookje:
‘De Pioenen’. Een klein boekje met een liefdevol beschreven sprookje van een oude Chinese wijsgeer, zijn geliefde bloemen en een fee.
Brochures:
Metamorfosen van het rechtsleven
Natuurwetenschap en sociale moraal
Vrijheid, gelijkheid en broederschap
Onderwijs tussen toekomst en verleden
Constantijn de Grote en Julianus Apostata
Voor God en Vrijheid. Historisch spel in negen taferelen. (Proteus uitgave No.4, 1950)
Volken van Europa (Proteus uitgave No.6, 1950)
4.1 Maat en vorm 4.2 Klok en kalender 4.3 Rekenen met geld Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen
4.1 Maat en vorm
Interview met Sint: “En Sint, hoe was uw bezoek aan de kleuterklas?” “Ach, ik was daar heel gelukkig mee. Ontroerend, met welk een vreugde en eerbied de kleintjes je daar tegemoet komen! Maar daarom begrijp ik deze tekening ook helemaal niet.” “Hoezo, u staat er toch prima op, met mijter en al. Dat kind heeft goed gekeken.” “Goed gekeken? Zie je, Piet is bijna twee keer zo groot als ik en dat terwijl in werkelijkheid mijn mijter wel een kop boven hem uitsteekt!” “Zo heeft dat kind het beleefd, Sint.” “Wat beleefd, ik vind het onbeleefd. Eerst word je als een heilige toegezongen, niemand ziet meer Hazewinkel, de buurman in mij, en vervolgens leveren ze zo’n ontluisterende tekening bij mij in. Dat vind ik niet reëel.” “Nu, dat is toch juist het bewijs van hun realisme. Voor hen bent u een heilige, geen schijnheilige. Alleen, u stond er ingetogen en eerbiedig bij, terwijl Piet potsierlijk in het rond sprong. In die tekening drukt dat kind uw ingetogenheid en Piets uitbundigheid uit. Dat is heel reëel. Ik zou het magisch realisme willen noemen.” “Maar toch, als ik dat jochie op de gang tegenkom, vraag ik hem of hij Sint nou werkelijk twee keer zo klein vond als Piet!” “Misselijke vent, gun dat kind zijn werkelijkheid of speel anders niet meer voor de Sint!”
Gelukkig is bovenstaand interview ‘bedacht’ door een oud-leerkracht, die voor Sint speelde en die juist zo genoot van de geschonken tekening, die liet zien in welke mate(n) de kleuter de ontmoeting met Sinterklaas en Zwarte Piet beleefde. De dingen (en mensen) in de wereld hebben voor de kleuters nog geen objectieve maat. De mate waarin zij door de hen omringende wereld beroerd worden, bepaalt de grootte van die wereld. In tekeningen van kleuters en jonge kinderen is te zien hoe de eigen innerlijke maat de verhoudingen bepaalt van de ‘voorwerpen’ om hen heen. “Was er niet ook een tekening bij, Sint, met een hele grote Sinterklaas en een nog grotere rode mantel, naast een heel klein huis?!”
Het jonge kind leert door nadoen, met het accent op doen, op bewegen. Het neemt geen afstand tot zijn beweging, het zit er helemaal in: de ander beweegt in hem. Een kleutert pleegt zijn bewegings- en evenwichtsvermogen te beleven door het verrichten van halsbrekende toeren. Zo wandelde een peuter eens doodgemoedereerd door de dakgoot, vergenoegd lachend naar zijn ontzette vader die machte- 148
149
loos toekeek vanuit het zolderraam. Alleen een slaapwandelaar zou het hem nadoen. En dat typeert precies het bewustzijn waarmee een kleuter in zijn zintuigen leeft. In het spel van de kleuter zien we dat hij mede door nabootsen en eigen beweging ook met zijn zintuigen de wereld wat bewuster begint te verkennen. In het vrije spel spelen ervaringen met grootheden (lengte, dikte, gewicht …) en het ‘zien’ van de juiste maat al een rol. Hoe zorgvuldig bouwen de kinderen niet hun huizen met planken en blokken. Nauwkeurig worden er boomstammen bij elkaar gezocht, want anders ‘wordt het dak scheef’. Je ziet dat grote lappen op elkaar worden gelegd om de grootte te vergelijken, of om ze in gelijke stapels te kunnen vouwen. De situaties waarin ‘gemeten’ wordt, zijn legio: een brug bouwen voor een houten treinbaan, zodat de trein niet scheef hangt, of al spelend ontdekken hoe de schuinte (hellingshoek) moet zijn van de brug, zodat de trein wel een lekker vaartje neemt, maar niet uit de rails vliegt (of juist een keer expres wel!). Ook buiten zie je kleuters al uitzoeken waar de boomstam onder de plank moet liggen om samen lekker te kunnen ‘wip-wappen’. In de zandbak ontaardde het spel zelfs eens in een fikse ruzie, omdat het deurtje ‘niet groot genoeg’ was voor de koning van het kasteel! Bij het doen van kringspelletjes en arbeidsspelen bewegen de kinderen in allerlei geometrische vormen van verschillend formaat. Al deze activiteiten scheppen gelegenheden om ervaringen op te doen met meten en maten. Hierdoor ontwikkelt de kleuter, voor wie maat alleen nog in de zin van ‘verhouding tot’ leeft, zich in een (school)wereld waarin voor meten en meetkunde een speciale plaats is ingeruimd.
Op het moment dat het kind echt bewust anderen nabootst, is het geen kleuter meer! Dat is ook het moment, waarop je als leraar in de eerste klas kunt zeggen: “Kijk goed kinderen, wat ik hier teken, dat noemen we een rechte lijn.” En de kinderen kijken, naar alle rechte lijnen, die hun klasgenootjes op het bord tekenen: krachtige, evenwichtige lijnen, wiebelende, onzekere lijnen, rechte en scheve, dikke en dunne lijnen. De kinderen bewegen innerlijk mee en zien de resultaten. Bewegingszin en evenwichtszin komen samen met de gezichtszin in het oordeel: deze lijn is mooi recht en die kan je nog wat mooier recht maken. Oordelen ontstaan door afstand te nemen, door niet helemaal in de beleving op (of onder) te gaan, door combinatie van zintuigindrukken. Naast de rechte lijn komt vervolgens de kromme lijn op het bord te staan en alle kinderen tekenen kromme lijnen. Zo begint ieder kind zijn eerste schooldag met twee geometrische oervormen! Vanaf de eerste dag wordt het vormtekenen beoefend en geoefend en net als bij de euritmie zien we hoe hiervoor langzamerhand gevoel ontstaat en vaardigheden tot stand komen, die een voorwaarde zijn voor het leren en werken in de meetkunde in de hogere klassen. Dat neemt niet weg dat het vormtekenen ook een belangrijke bijdrage levert aan de motorische ontwikkeling, en ondersteuning biedt bij de lateralisatie en de oog-handcoördinatie.(Lateralisatie is het proces, waarbij een kind leert gecompliceerde handelingen te verrichten met twee handen tegelijk, zo dat één van beide handen de nauwkeurige bewegingen maakt en de andere hand een ondersteunende functie heeft. Het hele proces voltrekt zich tussen het zevende en twaalfde levensjaar.) 150
Het basisschoolkind moet niet alleen doen, maar ook zien wat het doet en er over leren nadenken, opdat het tenslotte tot inzicht komt. Omdat het oog bij uitstek een gevoelszintuig is, is het oordeel dat ontstaat door het zien een esthetisch oordeel. Door het vormtekenen ontwikkelen de kinderen ook een gevoel voor schoonheid, schoonheid die zich laat zien in de gestolde beweging. We zullen in dit hoofdstuk het vormtekenen alleen beschouwen in het kader van voorbereidingen op de meetkunde.
Rechte en kromme lijnen
In de eerste klas worden rechte en kromme lijnen in regelmatige ritmische vormen getekend ter voorbereiding op het schrijven. Rudolf Steiner adviseert om ook in de tweede klas spiegelsymmetrische oefeningen te doen waarin de meetkundige grondvormen als cirkel, driehoek, vierhoek en ellips voorkomen. Voor het daaropvolgende jaar staan gecompliceerdere symmetrische figuren op het programma. Nu ook met meer dan één spiegelas. Zelfs draaisymmetrische vormen en symmetrie ten opzichte van een cirkel behoren tot uitdagende opgaven. Het kunstzinnig werken en het beleven van de vormen staan bij alles wat genoemd is voorop!
In de vierde klas voltrekt zich een, hier al eerder genoemde, verandering. Het ‘ik beleven’ wordt versterkt en het kind wordt zich bewust van de afstand die het heeft tot de wereld die hem omringt. Dit afstand nemen maakt het mogelijk om een voorzichtig begin te maken met een vooruitblik op de vlakke en beschrijvende meetkunde. De kinderen leren nu om de ‘wereld rondom’ ook te bezien vanuit een meetkundig standpunt; er komen kaarten en plattegronden aan te pas.
Bij het vormtekenen zien we in de vierde klas dat meetkundige figuren uit de hand getekend worden. De eigenschappen van de getekende vormen kunnen nu opgemerkt worden. Het bekijken, bestuderen van zijden, hoeken, eventuele symmetrie-eigenschappen heeft hier nog uitsluitend een aanschouwend karakter. 151
Een levendige karakterisering schept ruimte voor begrippen die steeds meer inhoud krijgen en zo een leven lang meegroeien. Vandaar de waarschuwing kinderen geen definities, ‘dode’ begrippen, bij te brengen. Eerst driehoeken in het vormtekenen en ook driehoekige vormen in de natuur en de cultuur. Later pas een driehoek van lijnstukken, met zijden en hoeken. Dat wordt een figuur met eigenschappen (som van de hoeken 180°, a + b > c, enzovoort).
Op een mooie dag stappen we voor de vormtekenlessen nog eens naar buiten. Daar gaan we met elkaar allerlei meetkundige vormen zichtbaar maken. “Maak met z’n allen een zo klein mogelijk vierkant.” Dicht tegen elkaar aan staan ze daar! “En een zo groot mogelijke driehoek.” Iedereen probeert een positie te vinden om te gaan staan , tot één van de jongens zegt: ”Past niet op het plein, heb je wel de hele wereld nodig!” “Zou dat lukken?”, vraag ik voorzichtig. “Nee”, zegt Jessica vastberaden, “dan wordt het rond.” We gaan verder en vormen nog meer figuren met z’n allen of in groepjes. De kinderen zijn er zo vol van, dat er zelfs bomen, hekjes en muren mee mogen doen.
In deze leeftijdsfase, waarin het wakend bewustzijn zich langzaam vanuit de ledematen, de bewegingsorganen terugtrekt om zich via het ritmische systeem een plaats te verwerven in het denken, moeten we het ruimtelijk voorstellingsvermogen bij de kinderen ook nog via de beweging blijven ontwikkelen. Al bewegend vormt het kind, maar ook ieder volwassen mens, geometrische vormen in de ruimte en is daarmee een onderdeel van de kosmos. Dit voltrekt zich onbewust, maar in de geometrische figuren, die de kinderen tekenen, is de beweging vastgelegd. Het kind beleeft zichzelf nog niet in de ruimte, in de stroom van de tijd, maar veeleer in een tijdloze situatie, die ook afbeeldingen in het twee-dimensionale vlak kenmerken. In het ruimtelijk beleven kan je onderscheid maken tussen het beleven met de tastzin en met de gezichtszin. Je zou dat kunnen vergelijken met een kind dat zich ‘in’ een ruimtelichaam, bijvoorbeeld in een kubus bevindt en tastend het grondvlak, het voor- en zijvlak verkent. Het is echter niet in staat om van buitenaf de kubus te bezien. Het kan nog geen afstand tot de drie-dimensionale ruimte nemen In het teken- en schilderwerk van de kinderen is de ontwikkeling van het waarnemingsvermogen af te lezen. Vierde en vijfdeklassers zie je nog prachtige tekeningen maken van landschappen met grote driehoekige ‘platte’ bergen. Zij ‘weten’ dat de bergen ruimte innemen, maar verstandelijk kunnen ze dat nog niet bevatten.
Pas in de zesde of voor sommigen zelfs in de zevende klas, ontwaakt het vermogen ook in perspectief te zien en weer te geven. Dan worden tijdens de tekenlessen vele oefeningen gedaan in waarnemend tekenen van ruimtelijke objecten, vazen, theepotten, tekendozen of de eigen schoen. De schaduw van het voorwerp vormt een belangrijk hulpmiddel voor de tekenaar.
Rudolf Steiner dringt er op aan, om het ruimtelijk voorstellingsvermogen al vanaf het negende jaar te ontwikkelen door samen met de kinderen naar schaduwvormen te kijken. Je onderzoekt dan letterlijk het ruimtelijke ten opzichte van het platte vlak. Een bol in de zon geeft een schaduw op de tafel, waaraan de kinderen onmiddellijk de elliptische vorm herkennen. Ook van andere voorwerpen kan de 152
schaduw onderzocht worden. We tekenen deze waarnemingen niet, maar praktisch onderzoekend kun je het op allerlei manieren uitbreiden. Hoe is het met de lengte van de schaduw in verhouding tot het voorwerp zelf? Een mooie aanleiding om in het kader van de meetkunde ook aan ‘verhoudingen’ te werken. Op zeker ogenblik is bijvoorbeeld de verhouding stok : schaduw overal in de omgeving even groot. Je kunt dat verhoudingsgetal gemakkelijk bepalen door wat meet- en rekenwerk. Heb je dat verhoudingsgetal eenmaal, dan kun je allerlei onbereikbare afstanden en hoogtes ‘meten’. Gebruik in dat geval de verhoudingstabel. (Zie blz. 251.) Wie weet maken de kinderen nog eens een kleine tafelzonnewijzer en ongetwijfeld komen ze op school met verhalen over experimenten thuis met het bedlampje of de zaklantaren!
Meetkunde komt zo op natuurlijke wijze tot stand. Wat kinderen eerst aan vormen hebben beleefd, gelopen, getekend en gemaakt, wordt later steeds preciezer geconstrueerd en er worden steeds meer wetmatigheden herkend.
Meten met maten
In vele situaties, vak- en vormingsgebieden en door de hele schooltijd heen, speelt meten een rol. Hoe belangrijk zijn niet de streepjes op de strook papier langs de deurpost van de eerste klas, waar de kinderen een jaar lang steeds weer even naast gaan staan. “Juffie ik ben groter dan Eric, Hoe kan dat nou, hij is groter dan ik?” Voortdurend doen kinderen nieuwe ervaringen op. Soms dienen zich conflictsituaties aan die tot nadenken stemmen. Wat is groter worden? Nu eens is dat langer worden, dan weer gaat het om leeftijd: groter is hetzelfde als ouder. Er zijn dus soorten groter en kleiner. En dan een feest, de eerste feestmutsen die zelf gemaakt worden zijn meestal lange versierde stroken papier, die op maat om het hoofd geplakt worden. “Hoe groot moet de strook voor jouw feestmuts worden, Anneke?” Als de kinderen klaar zijn gaan ze naar buiten, waar ze elkaar moeten opzoeken voor het vormen van groepjes die elkaars muts passen! Ongemerkt hebben we zo een oefening in het schatten georganiseerd en op weg naar buiten zie je dat de kinderen elkaars mutsen echt even gaan passen. Later in het jaar is het leuk het vraagstuk van de puntmuts eens aan de orde te stellen. Laat de kinderen zelf uitvinden hoe groot het stuk moet zijn, dat uit het ronde stuk karton moet worden gevouwen of geknipt, zodat de muts op het hoofd past. “Kun je eigenlijk meer mutsen uit zo’n stuk karton halen?” 153
Het hoeft hier verder geen betoog dat handvaardigheidslessen uitnodigen om op allerlei manieren het meten in praktijk te brengen. Alle werkstukken, uiteenlopend van kleine doosjes van papier in de laagste klassen tot houten weeframen, gemaakt door de zevendeklassers voor de jongste kinderen, vragen om meetactiviteiten die in meer of mindere mate zelf uitgedacht zijn. Bij het meten als zodanig gaat het beleven doorgaans vooraf aan het weten. Op het gebied van meten en maten wordt in onderwijsland veel abstractie bedreven, tot groot onbegrip van de kinderen. Via trap- en kommatrucs tracht men het leed te verzachten; het begrip wordt er zeker niet groter op. Als er één gebied is waar men zich zou moeten bezinnen over het wat, het wanneer en het hoe, dan is het wel de meterrij. En hoe simpel is het niet in de praktijk van het leven! Hoe de mens de maat aller dingen weerspiegelt, werd duidelijk in de jeugdherinnering die een leerkracht eens aan zijn klas vertelde: “Mijn moeder placht af en toe op de stofjesmarkt inkopen te doen. Daar was een blozende, forse koopvrouw haar favoriet. Onvergetelijk deze marktkoopvrouw. In rap tempo mat ze de ellen katoen, van haar hand tot de elleboog, waarbij haar onderarm als een pompzwengel heen en weer bewoog. Het was een goedhartige dame, ze mat met ruime hand, waarbij wij innerlijk de beweging mee deden en daarbij telden.” Deze herinnering houdt een didactische aanbeveling in: meten is een menselijke activiteit. Stel kinderen dan ook in de gelegenheid via activiteiten kennis en inzicht te verwerven.
In de derde klas, als de kinderen zo’n jaar of negen zijn, geeft onderwijs in de zaakvakken spontaan aanleiding tot allerlei meet- en weegactiviteiten. De kinderen meten steeds enthousiaster met duimen, palmen, spannen, voeten, ellen en vademen en begrijpen al gauw dat een tweeduimsnagel (spijker) van smid Hein, dezelfde lengte moet hebben als de betreffende nagel van smid Hans, anders zou de timmerman voor zonderlinge problemen komen te staan. De stap naar de duimstok en ellemaat is dan ook snel genomen en behoeft geen historische fundering, al bezwijken we graag voor de verleiding om de ark van Noach op het schoolplein uit te zetten. Tenslotte kunnen we, bijvoorbeeld op een stuk kassarol, allemaal een echte meter maken, zoals die misschien al voor het bord ligt, wellicht met een gekleurde tien-deling. Daarmee kunnen we van alles in en om de school gaan opmeten. 154
Van een klas gingen de kinderen altijd graag in de pauze naar een veldje in de buurt van de school. Ze wilden wel eens weten hoe ver dat dan was. Na wat heen en weer gepraat had één van de kinderen bedacht: “Als we nu allemaal één meter vingerhaken en we binden dat aan elkaar, kunnen we er heen lopen en dan weten we het”. Een van de jongens zei meteen dat 24 meter niet genoeg was. Voor een aantal kinderen ging dat wel snel, maar dat ze veel nodig hadden, dat hadden ze ook wel bedacht. Met restjes katoen, bij elkaar gebedeld bij de handwerkjuffie en thuis, waren ze dagenlang iedere pauze in de weer. Kinderen uit andere klassen gingen meehelpen en uiteindelijk wisten ze niet alleen de afstand tot het speelveld, maar ook dat het station bijna twee km ver was.
Als een klas zo enthousiast is wil je de activiteit niet stoppen. Ze vergeten niet gauw hoe lang 1 km is als je die een keer rennend hebt afgelegd. Maar een klasse-gesprek over andere mogelijkheden van meten zou je graag wat sneller laten verlopen. Hoe een en ander ook met een klikwiel (fietswiel met knijper gaat ook goed) nog beter had gekund, moet in zo’n geval dan ineens op het woord van de leerkracht aangenomen worden. Of kan die zich er niet zo gemakkelijk van af maken? Tijdens de bouwperiode in de derde klas gaat het metselen van een bank op het schoolplein, een huisje voor de kleuters of een plantenbak gepaard met allerhande metingen. De rolmaat en het meetlint, de centimeter, bewijzen goede diensten terwijl ‘en passant’ kennis gemaakt wordt met haak, zwei, waterpas en schietlood. De centimeter heeft dan voor de kinderen geen geheimen meer en we kunnen onze jaarlijkse lengtemetingen in de klas gerust in ‘grote mensen taal’ vaststellen. Vorig jaar was Eelco 1 meter 30 en nu 1 meter 35. Kinderen hebben hun eigen referentiematen en breiden hun repertoire steeds uit. Een mooi idee is het aanleggen van een persoonlijk matenboekje, dat de komende jaren steeds verder aangevuld kan worden. Aan veel meetwerk gaat schatten vooraf; hoe hoog denk je dat de klas is, hoe breed is de gang, hoe diep is het zwembad? Dit schatten geeft ook realiteitszin aan het meten, het is immers niet echt van belang of het zwembad 1 meter 60 of 62 diep is. Maar als je moet behangen is het wel van belang of de hoogte van de kamer 2 meter 50 of 80 is. De context waarin de meetopgaven staan, bepaalt de zin van de nauwkeurigheid van het antwoord. Dat feit verdient ook aandacht in de les, het is alleszins een reflectief moment waard. Het motorische kind zal bij het schatten innerlijk meebewegen, ook in gedachten passen doen. Zulke kinderen zullen al snel de behoefte tonen om de meter aan 1 grote stap gelijk te stellen. Het visuele kind beleeft meer de onderliggende verhoudingen. Een combinatie van zien en doen, dus zien wat je doet, zal de klas wellicht het meest aanspreken en tot een goed gevoel voor maat leiden. En daar gaat het om. In hoeverre wordt in de lagere klassen al kennis gemaakt met de begrippen oppervlakte en inhoud? We moeten vooral in de ‘doe sfeer’ blijven. Verrassend blijkt bijvoorbeeld het (grote) aantal bakstenen te zijn, dat we nodig hebben voor het metselen van onze plantenbak. Menig derde klas bouwsel is halverwege blijven steken door onderschatting. 155
156
In de bouwperiode besteden we ook tijd aan rekenwerk, waarbij we gebruik maakten van eenvoudige meetkundige structuren. De kinderen hebben immers verschillende steenverbanden leren kennen! Ik liet de kinderen nu b.v. drie verschillende muurtjes ontwerpen als scheiding tussen de tuinen van mevrouw Jansen en mijnheer De Boer. Ze maakten er een duidelijke tekening van, met verband en al. Natuurlijk was er toen de vraag hoeveel stenen er voor ieder van de muurtjes nodig zouden zijn. Het aantal stenen per pallet is bekend, dus er kan ook uitgerekend worden hoeveel pallets er besteld zouden moeten worden. Maar niet alle tekeningen waren gelijk. Wat nu? De ene muur was wel twee keer zo lang, de andere wel twee keer zo hoog. Hoe zit het nu met het aantal stenen, en wat te doen als de muur twee keer zo lang en twee keer zo hoog is? Dat werd ook onderzocht. Het was leuk om te zien hoe de kinderen aan hun antwoorden kwamen. Sommigen maakten getekende oplossingen, anderen waren met getallen in de weer. Ik liet de kinderen ook aan elkaar vertellen waarom en hoe ze aan hun antwoorden kwamen. Twee kinderen die het heel verschillend deden liet ik een volgende keer eens samen werken. Het feit dat er nu vier keer zoveel stenen nodig waren was ons natuurlijk wel opgevallen. Hoe zit dat bij een muur waar de maten drie keer zo groot zijn, was een vraag voor onderzoekers.
Voor weer een nieuwe fase in het meten met maten gaan we onderdak zoeken bij de aardrijkskundeperiode in de vierde klas. De verandering bij de kinderen in de oriëntatie naar ruimte en tijd vraagt om ordening van de ruimte om hen heen. “Waar sta ik, wat is voor mij wat is achter mij, links van mij, rechts van mij? Wat is binnen en wat buiten? Waar gaat de zon op als ik wakker, word waar staat de zon als we tussen de middag op het plein zijn?” “Woon ik in het noorden, oosten, zuiden of westen?” Vanuit de eigen positie wordt de omgeving verkend. Kinderen tekenen de weg van school naar huis, met alles er op en er aan, de dikke boom waar je rechts af moet, de kerk tegenover de winkel en de kapotte steen in de stoep als je bijna bij school bent; belangrijke mijlpalen waar je langs komt. We beklimmen de kerktoren en kijken uit over het oude dorp. Weer op school tekenen wij onze eigen kaarten in vogelvlucht perspectief, plattegronden van het eigen dorp. Een fietstocht in de omgeving op zoek naar streeknamen, oude gebouwen en namen die bepaalde functies of eigenschappen laten zien, Bergweg, Zuiderschans, enzovoort. Een heleboel aanknopingspunten om als leerkracht bij stil te staan, reken-meetkundige opdrachten te maken en vooral onderzoekjes te laten doen door de kinderen.
Plattegronden van huizen, kamers, tuinen, boerenbedrijven kunnen begrippen als vierkante meter en hectare verduidelijken. Zoek referentiepunten op bekend terrein voor de kinderen, zoals voor Maurice, die zo dol is op voetballen: één voetbalveld is ongeveer een halve hectare. 157
leder kind heeft thuis zijn eigen kamer opgemeten en daar maken we een mooie plattegrond van compleet met bed, stoel, kast, treinbaan, enzovoort. We maken de kamer ook op schaal, bedenken met de klas wat een goede verhouding zou zijn. “Iedere meter 5 cm lang maken op tekenpapier?”, stelt Peter voor. Maar Justin zegt dat hij een hele grote kamer heeft en dat hij wel 10 cm nodig heeft. We komen er toch uit en besluiten tot 4 cm. Van gekleurd papier hebben we nu een heleboel vierkante meters nodig in onze nieuwe ‘meter-maat’. En dan gaan we passen en meten, op zoek naar de oppervlakte van de eigen kamer. De schaar moet er bij veel kinderen ook aan te pas komen. Door verschillende kleuren te gebruiken is goed te zien waar de uiteengeknipte vierkanten (nu niet meer ‘vierkante meter’) zijn gebleven.
In een volgende rekenperiode gaan we op zoek naar andere grootheden dan lengte (afstand) en naar andere maten. Concrete inhouden levert de melkboer met zijn liter en halve liter pakken. Hoeveel glazen gaan er in een liter? Hoeveel liter hebben we nodig voor de hele klas? Hoeveel liters gaan er in een emmer, enzovoort. De meer wiskundige benadering van oppervlakten en inhouden, met de afleiding van de betreffende formules, is een zaak voor de oudere kinderen. Formules als 1 x b voor de oppervlakte van een rechthoek, krijgen hun betekenis in de zesde klas waar het letterrekenen, de eerste algebra, wordt geïntroduceerd. Deze overstap kunnen ze dan vanzelf nemen na alle ervaringen in verschillende perioden en rekenwerkuren op school en thuis. Het wegen brengt ons onherroepelijk bij het winkeltjesspel terug. Er worden ponden suiker en kilo’s meel verkocht alsof het niets is! Op de balans is het ook niets, of praktisch niets; het gaat niet om het gewicht maar om het evenwicht, de vergelijking. Jonge kinderen beleven de ‘zwaarte’ nog niet zo als een volwassene dat doet. Dus ook nu weer schatten. Wat zal zwaarder zijn, deze zak suiker of dat pakje koffie? Neem ze maar in de hand! Alle mogelijke varianten op het oude ‘kilo veren of kilo lood probleem’ vormen een uitermate belangrijke zintuigoefening! Het conflict dat er in verscholen zit, leidt tot voorstellingsactiviteiten, de kinderen worden aan het denken gezet. Tot in de hoogste klas zijn de leerlingen verbaasd over het gewicht van een flesje kwik; dat hadden ze niet gedacht! Schijn bedriegt en het oog is niet altijd te vertrouwen. Wie heeft tegenwoordig nog betrouwbare referentiematen?
Enige tijd stond nu de ouderwetse weegschaal in de klas en dagelijks wordt er van alles gewogen, afgewogen en ‘verkocht’. Daarnaast maken we ook kennis met veerunster, brievenweger, de bascule en de personenweegschaal, waarop ieder zijn gewicht nog eens wil controleren, niet in de laatste plaats om ook een ‘vergelijkend onderzoek’ te doen.
In de natuurkunde van de achtste klas ontmoeten wegen en meten elkaar op een heel bijzondere wijze, namelijk bij het berekenen van de soortelijke massa. Maak aan het eind van de vierde klas wat tijd vrij, bijvoorbeeld een laatste rekenperiodeweek, om de inmiddels in dat jaar vergaarde kennis omtrent meten met maten eens op een rij te zetten. Ga ook nog eens kort aan het werk met wat opdrachten. Denkbeeldige situaties mondeling geschetst of in beeld gebracht op een werkblad, samen met leuke opdrachten en vragen, worden met enthousiasme begroet. 158
Terugkijken op en terughalen wat we geleerd hebben levert een bijdrage aan het (op tijd) verdiepen van het inzicht. Niet voor niets geeft de vrijeschool haar lessen in perioden van enkele weken; daarna laten we het geleerde rusten, vergeten, maar dient er aan het eind van het schooljaar op wat gedaan is nog eens teruggekeken te worden. Het bewustzijn van de mens kan onmogelijk alles wat het tegenkomt ook paraat houden. ‘Ritme’ versterkt dat vermogen. Zorg ervoor dat het kind ook leert ontdekken wat zijn ‘instrument’ is om de opgedane inzichten en kennis weer in het bewustzijn terug te halen. Het geeft het kind een waardevol vertrouwen in zichzelf als hij weet, dat wat even niet te voorschijn komt, toch herinnerd kan worden. Maar oefening hierin kan zeker voor wat betreft de ‘rekenkunst’, voor veel kinderen een welkome hulp zijn.
Ideeën voor het maken van opgaven in het kader van meten. Denk daarbij aan lengte, gewicht, tijd, oppervlakte, inhoud; ook richting (denk aan: 10 meter of stappen naar het oosten) kan een onderdeel zijn. • Koekjes bakken. Het recept is voor 12 tot 15 koekjes, maar we bakken voor de ouderavond. Wat nu? • Limonade maken voor de hele klas, hoeveel siroop, hoeveel water? Hoeveel drinkt ieder? Is een volle emmer genoeg? • Een nieuw pak tekenpapier van 200 vel. Hoe dik is het pak en hoe dik is dan een vel tekenpapier? • Maak een vierkante meter van (kranten)papier. • Ruilverkavelen in de polder. Van de biologisch dynamische boeren moet het erf naast elkaar komen te liggen. • De buurman heeft een vijver gegraven. Kan hij daarvan nu nog de oppervlakte te weten komen? Hoe rekent hij uit hoeveel water er in de vijver moet komen? Zou je ook kunnen bedenken hoe lang de kraan van de tuinslang dan open moet staan om de vijver vol te laten lopen? • Er komt een nieuwbouwwijk. Hoe zou je de fietspaden aan willen leggen? Op hoeveel manieren kan je in jouw plan van een huis naar de winkel fietsen? Wat is de kortste weg? • De landkaarten uit het magazijn uitgerold in de zaal. Waar is het noorden en waar het noorden op de kaart? In welke richting ligt Delft? Of Moskou? • Bij dit voorbeeld van een oude plaat: Hoe zien de 12 bouwwerken er van voren uit? Kun je dat tekenen? En van opzij?
159
• Een grote boom in de buurt. Tekeningen maken vanuit alle windrichtingen. En omgekeerd, kijk een foto van het schoolfeest op het plein. Waar stond de fotograaf? • Hoe hoog is die lantaarnpaal? • Hoe komt het dat een vliegtuig, hoog in de lucht, zo langzaam vliegt? • Wat is de gemiddelde snelheid van een fietser? … een wandelaar? … een atleet die de marathon van New York wint? Een schaatser op de 10 kilometer? • Maak ook eens een werkblad waarbij de ingrediënten om het antwoord te vinden al in beeld zijn gebracht.
De kinderen hadden allerlei voorwerpen meegebracht waar water in kon. Ik hield een mooie met water geheel gevulde vaas omhoog. Eerst bedachten we samen wat voor het meten hiervan een geschikte maat was. Mireille liet ik alvast het daarbij passende maatglas pakken. Toen werd de inhoud -in de geschikte maat- geschat. Er kwamen ook getallen met cijfers achter de komma. De grootste en de kleinste waarde kwamen -met de eenheid erachter- op het bord. En passant rekenden we hiervan het gemiddelde uit. Toen goten we het water in het maatglas. Er ging iets meer dan 2 liter in. Ja toen moest ook de maatcilinder van 100 cm3 er nog bij gepakt worden, het antwoord kwam op het bord in liters. Wie had er meer dan twee cijfers achter de komma? Op mijn suggestie dat Frits dan ook de in de vaas achtergebleven druppels mocht komen tellen wilde hij niet ingaan.
4.2 Klok en kalender
“Juf, dit is de fijnste tijd van mijn leven!” Veel te vroeg op school hebben kinderen kans gezien de nog dichte schooldeur te passeren en stormen als stralend zonlicht met windkracht zeven de klas binnen: “We gaan alvast in de zaal werken, anders zijn we niet op tijd klaar voor de generale!” Weg zijn ze. Ik blijf beduusd, maar aangestoken door hun ‘zin in deze dag’ achter. Morgen zullen ze hun ‘eind’toneelstuk spelen en ik bedenk met een beetje weemoed, dat de tijd is omgevlogen.
Klok en kalender zijn maar een klein onderdeel van het leren kennen van- en leren leven met de tijd. Tijd is beweging en het kan een mensenleven duren om er grip op te krijgen. Ook in de schooltijd zijn er dwars door het leerplan heen allerlei momenten, waarbij we de kinderen helpen steeds meer bewustzijn te ontwikkelen voor alles wat met tijd te maken heeft. Als volwassene kunnen we aan tijd drie gebieden onderscheiden die onlosmakelijk verbonden zijn: • De kosmische tijd, waarvan we de beweging beleven in de kringloop van het jaar, de seizoenen, de maanden, de weken, het ritme van dag en nacht en de veranderingen aan de hemel als we naar zon, maan en sterren kijken. • De eigen tijd, de biologische tijd in de mens zelf, waarin ook de kosmische tijd zich uitdrukt. Dag-nacht, waken-slapen, ook maancyclus en vruchtbaarheid, zijn voorbeelden daarvan. Tot in de organen van de mens zien we lineaire en cyclische bewegingen. Te denken valt daarbij aan bijvoorbeeld het hart-ritme, de beweging van de longen, de cyclus in de leverwerking, de stroming en vernieuwing van het bloed, enzovoort. En niet in de laatste plaats zien we de 160
eigen tijdsstroom tot uitdrukking komen in de ontwikkelingsfasen binnen de levensloop van de mens. Rudolf Steiner spreekt ook over de verschillende ritmen van de vier wezens-delen (Geisteswissenschaftliche Menschenkunde, GA 107). Hij beschrijft daarin de vernieuwende impulsen die door middel van of dankzij zo’n ritme plaatsvinden. Het fysieke lichaam kent ongeveer een jaarritme, letterlijk spreekt hij bij vrouwen over een ritme van 10 x 7 x 4 dagen en bij mannen van 12 x 7 x 4 dagen (!), het etherlichaam heeft een ritme van 4×7 dagen, het astraallichaam een weekritme en het Ik-organisme een dag-nacht ritme. •De levenstijd beleeft de mens, door het heden tussen verleden en toekomst te ervaren. (De geschiedenis van aarde en mensheid speelt hierin een grote rol). Het wordt wel als een lineaire tijd gezien, maar in wezen maakt de levenstijd van de mens deel uit van de grote cyclische beweging langs geboorte, dood en wedergeboorte.
Het tijdsbeleven van het kind , van de mens, speelt een rol in alle drie de bovengenoemde tijdsaspecten, maar voor een kind heel anders dan voor de volwassene en nog weer anders dan voor de oudere mens. Kleine kinderen leven in het moment van de gebeurtenis zelf, daarbij meebewegend in de tijdsstroom. Kleuters zitten toch nooit stil? Hollend kwamen ze de keukendeur binnen “Gaan we eten?” “Nee, over een half uur.” Vijf minuten later stonden ze er weer. “Zijn we op tijd? Waarom zijn er geen borden?” De dag was toch om, ze hadden trek en wat had dat met halve uren te maken?! De jongen uit de aanhef van deze paragraaf, die als eerste de klas binnenstormde genoot van alle lessen dit schooljaar. Zijn enorme betrokkenheid liet hem geen tijd zich te vervelen. Bovendien stond hij dankzij zijn temperament onbevangen in het heden, waardoor hij zijn vreugde van dat moment aan een tijdperk verbond, ongeacht de belevenissen van gisteren of van morgen. Het mag duidelijk zijn dat zowel levens- en ontwikkelingsfase als individuele geaardheid een grote rol spelen bij het beleven, het tot leven wekken, van de tijd.
Leven primitieve volken, kinderen en menige vakantieganger, nog intuïtief vanuit de kosmische en biologische klok, in onze en andere culturen probeert de mens steeds om meer greep te krijgen op het ordenen van de tijdsstroom. Door de getallenwereld aan de beweging van de tijd toe te voegen werd met steeds grotere nauwkeurigheid de duur van de tijd in een maat uitgedrukt en vast gelegd. De klok en de kalender zijn daar een uitdrukking van, toch is ook de meest geavanceerde atoomklok niet in staat om iets anders aan te geven dan een tijdsinterval. Zo houdt ook in de cultuur de mens niet op te zoeken naar de wonderlijke wereld van de natuurlijke bewegingen en ritmen.
Op school maken we gebruik van de tijdsprincipes, enerzijds om het onderwijs te structureren, anderzijds om kinderen te leren met tijd om te gaan en zijn gevolgen voor ons bestaan te leren kennen.
In didactische principes van het vrijeschool onderwijs herkennen we de indeling naar de ritmen van de wezensdelen. ‘Gebruikmaken van de nacht’ bij de verzorging en toediening van de leerstof en het indelen van het hoofdonderwijs in 161
periodes van vier weken zijn daar voorbeelden van. In de kleuterklas begint het omgaan met en het leren kennen van tijd door het herkennen van vaste gewoontes in de dag en de week. De mooi verzorgde jaartafel, centraal in de klas, geeft de kleuters -zij het niet volbewust – steun bij het beleven van veranderingen over grotere tijdsspannen.
“Juffie, ik wil geen vakantie!” zei een van de grote kleuters bij de feestelijke afsluiting van de palmpaastijd. De kleuterleidster nam het kind op schoot en vertelde over allerlei fijne momenten die de vakantie zou brengen. Daarna zouden we elkaar weer allemaal terugzien in de klas. Helaas het hielp niet en zo mogelijk nog droeviger zei het jongetje: “Maar dan weet ik niet wanneer het ‘broodbak’dag is?!” Dit kind zocht houvast voor een ontwakend tijdsbewustzijn; het wist wat er aan tijd gebonden was.
Vanaf de eerste klas spelen de natuurlijke ritmen in de kosmische en de menselijke tijd een rol bij het leren kennen van de getallenwereld. Bij het ritmisch tellen, uit telrijen ontstaan, sluiten we aan bij de natuurlijke herhalingen en de bewegingen in de kosmische en de menselijke tijd. Denk daarbij aan ordeningen die ontstaan in 12, of in 60 naast de ordening in tientallen. Het tiental is ook op het fysieke vlak bij de mens terug te vinden; het kind kan immers ‘van nature’ op en dus ook met zijn vingers rekenen: In de cultuur is daar een 10-tallig stelsel uit ontstaan. Telrijen en later de tafels, tot 12 en terug zijn daarom een ondersteuning van natuurlijke ritmen, rijen, en tafels tot 10 zijn een basis voor onze rekencultuur. Beiden moeten in ons rekenonderwijs een belangrijke plaats innemen, onder andere op weg naar tijdsmeting, metriekstelsel en handel.
Kalender en klok
In de tweede klas gaan we in een rekenperiode op zoek naar de tijd op de klok. Veel in ons onderwijs draait in die dagen om de grote klok, die met gejuich ontvangen wordt. Helemaal wanneer het een koekoeksklok blijkt te zijn, die elk uur luid zijn roep doet horen. De kinderen leren klokkijken en we proberen inzicht te geven in het verstrijken van tijd , in tijdsduur en het vastleggen daarvan. Alsook in de opeenvolging van de dagen van de week en de maanden van het jaar, die samen de kalender vormen. Naast de beweging van de tijd gaat het ook om kwaliteiten van de tijdsduur. In gedichtjes en liedjes spreken die kwaliteiten tot de kinderen:
Januari, sneeuw en ijs, schaatsen aan en dan op reis.
Februari in het woud, wie het koud heeft sprokkelt hout.
Alle vogeltjes in mei leggen in een nest hun ei.
162
De eerste ochtend kwam ik in gesprek met de kinderen over de tijd van het jaar. We wisten er met z’n allen veel over te vertellen, daarna wist een van de kinderen welke maand het was, compleet met datum, “Want morgen ben ik jarig!” en zo kwamen we op de dag van de week. “Het is nu dus maandag” zei ik, “maar hoe laat is het eigenlijk?” En zo begon die maandagmorgen het moment van de klokkentijd in het groter geheel van ‘tijd’. Na het leren lezen van de klok zou de klokkentijd langzaam uitgebreid worden met de tijd van de week, de maand, het jaar. En aan het eind van de periode zouden we allemaal een eigen week en een verjaardagskalender gemaakt hebben, had ik me voorgenomen. In het gesprekje over de klok vroeg ik de kinderen hoeveel uren een dag had. Ze wisten allemaal dat er 24 uren in een dag zaten. Maar dat grote mensen dat een etmaal noemden, vanwege de dag en de nacht, dat leerden ze van mij. Een snugger ventje deelde meteen eigenwijs mee dat de klok dus 2 keer rond gaat voordat zo’n dag, eh etmaal, voorbij gaat en het weer ochtend is. “Gaat de klok rond? Ik denk dat de kleine wijzer 2 keer rond gaat, maar hoe zit dat nu met de grote wijzer van de klok?” Er werd gekeken en gerekend, het juiste antwoord kwam al snel: 24. De kleine wijzer gaat dus I keer rond in de dag en I keer rond in de nacht en de grote wijzer draait 12 keer mee in de dag en net zoveel keer in de nacht.
Vanuit de vraag “Wat doen jullie in de uren van de dag?” kun je met de leerlingen een ‘eigen uren klok’ gaan maken; in het schrift is een grote ronde klok getekend, een cirkel die, met hulp, van 12 stralen is voorzien. Net als op de klok in de klas zijn er de uren bij geschreven. De kinderen wisten al veel over de tijd, ook al had klokkijken er niet veel mee te maken gehad. “Hoe laat sta je op?” Er zijn heel verschillende antwoorden, dus werd dat moment ook op verschillende plekken in de klok getekend. “Wanneer begint de school?” “Hoe laat eet je?”. Zulke vragen en andere stelden de kinderen zelf en zo raakte de hele dagklok gevuld. Een snelle werker ontdekte dat het niet past. “Ik ga naar bed als ik al wakker ben!” Er zat niets anders op, er was nog een nachtklok nodig. Bij veel kinderen werd die geheel gevuld met sterren. Later, om de klok nog beter te leren kennen, werden de bewegingen van de wijzers nauwkeuriger bekeken. 163
Op het plein tekenden we een aantal klokken, twee aan twee liepen de kinderen rond. De ene was ‘kleine wijzer’ de andere ‘ging voor de grote’. We zongen het lied van Henry Zagwijn over de tijd en reciteerden een klein gedichtje over de wijzers.
“Een keer rond gaat die grote heer, haalt de kleine in telkens weer. Een keer groot snel rond gegaan mag die kleine 1 stapje verder gaan”.
Sommige kinderen gingen steeds sneller lopen om toch vooral de hele dag te volbrengen! Lastig om daarbij de tel niet kwijt te raken.
Kinderen brengen in deze periode vaak allerlei klokken mee en ontdekken van alles aan de verschillende wijzerplaten! Zij maken ook, al of niet in hun schrift, zelf een klok met twee losse wijzers, beweeglijk met een splitpen vastgezet. Als tussenvorm kan het ook goed zijn eerst nog een minutenklok te maken met alleen de grote wijzer. De minutenklok met zijn indeling in intervallen van 5 minuten is wat overzichtelijker en er kan rustig geoefend worden met begrippen als: ‘half;’ ‘kwart voor’; ‘kwart over’, ‘vijf voor’, enzovoort… Daarna schuif je deze twee klokken als het ware in elkaar tot een klok met twee wijzers en twee schalen.
Het geeft gevoel voor tijd als ook met andere klokken, zelfgemaakte zandlopers, water- of kaarsklokken, het verstrijken van tijd gemeten wordt. “Hoe lang duurt het om heen en weer het plein over te rennen? Een of twee zandlopers?” enzovoort.
Op een regendag mochten de kinderen, na een frisse neus gehaald te hebben, in de pauze weer naar binnen. Daar ontstond spontaan een torenbouw-wedstrijd, geklokt met de zandloper. De kinderen raakten zo in de ban van de bouwsnelheid dat er blokken bij geleend moesten worden in de kleuterklas.
Via gesprekken over zaken die kinderen meemaken, die langer duren, kom je verder in de opbouw van de week, de maanden en het jaar. Laat de kinderen hun kalender vooral op basis van eigen belevingen indelen in mooie opeenvolgende tekeningen. Het is leuk om met een kind dat eens speciale aandacht verdient, 164
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskundeperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden. Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’, ‘een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst. In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakker worden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn. In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen. In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste 165
voor schooltijd op het rechter schoolbord samen een tekening te maken die de kwaliteit van die dag van de week tot uitdrukking brengt, en zet er de naam van de dag en de datum bij. De datum is voor de meeste leerlingen nog geen gevuld begrip. Het is goed zoiets -voorlopig vrijblijvend- al mee te nemen voor later. Kinderen groeien daar naar toe. De datum kan van nu af aan dagelijks, zonder nadruk, in een hoek van het bord geschreven worden.
Tot slot nog een opmerking over digitale klokken, ze dragen niet bij aan het beleven van tijd omdat er niets beweegt. Er verandert, verspringt, alleen maar iets. Zulke klokken en andere, zoals de stopwatch, gaan in hogere klassen pas een rol spelen in rekenonderwijs: Bijvoorbeeld bij het cijferen, waar het verspringen (inwisselen) met een gedemonteerde snelheidsmeter gedemonstreerd kan worden. Het ‘inwisselen’ bij de klok gaat dan ‘per 60’ voor seconden en minuten.
Bij de periode ‘meten’ kan de tijd gebruikt worden om gevoel te krijgen voor afstand. “Hoever kun je in een minuut lopen?” Daar is een stopwatch voor nodig. Hoe lang doe je over 10 km? Dat kan een fietstocht naar het zwembad -met kilometer teller- worden. Tijdens het verkennen van ‘eigen land’ in een aardrijkskun-deperiode kan het spoorboekje zicht geven op afstanden via reistijden.
Zo wordt de tijd tot ruimte en kunnen verschillende gebieden in de beleving met elkaar verbonden raken. Dit kan weer leiden tot een bredere toepasbaarheid van het rekenen (onder andere met komma getallen als die nodig zijn na verfijning van de gebruikte maat).
Tijd in de hogere klassen
In het verloop van de schooltijd krijgen klok en kalender er steeds nieuwe betekenissen bij, niet allemaal prettig overigens: ‘op tijd komen’, ‘de tijd nemen (onder andere voor huiswerk)’; ‘vooruit kunnen denken in de tijd, om afspraken te kunnen maken en te kunnen nakomen’/een agenda kunnen bijhouden’. De Tijd blijkt een grote rol te spelen in onze cultuur.
Vanaf de vierde klas krijgt de ‘levenstijd’ een speciale plaats in ons onderwijs. In de taalperiode werken de kinderen aan werkwoordsvormen in heden, verleden en toekomst.
In cultuurperiodes wordt mythologie tot geschiedenis, wordt tijd tot tijdsbeeld, tot een historische ‘ruimte’ waar je je in gedachten door kunt bewegen. Aandacht kan besteed worden aan de ontwikkeling van kalender en klok bij andere volken. Zo stond bijvoorbeeld bij de romeinse klok ‘het uur van wakkerworden’ en niet de 12 bovenaan. De geschiedenis periode in de zevende klas kan met de opdracht beginnen om ‘de oudste mens die je kent’ te interviewen, of om ‘met de (gemiddelde) duur van een mensenleven als maat, terug te gaan in de tijd’. Kinderen raken geboeid door de grote verschillen die er in zo’n ‘kort’ tijdsbestek kunnen zijn.
In de menskundeperiode kunnen we beginnen met het terugkijken op het eerste levensjaar, om gevoel voor groei en ontwikkeling te krijgen. We kunnen het verband tussen lengte en leeftijd onderzoeken, kinderen uit andere klassen opmeten. Ook andere verhoudingen in de menselijke groei kunnen we vergelijken met de fasen in de levensloop en daarna in beeld brengen.
In de kosmografieperiode in de zevende klas wordt door waarnemingen aan de hemel de beweging van de zon, de maan, de wandelsterren (planeten) en de vaste 165
sterren onderzocht. De bewegingen worden in kaart gebracht om inzicht te verwerven in dag-nacht verschijnselen, in maanden, seizoenen, zonne- en sterrentijd, in schrikkeljaren en hun consequenties voor de kalender, in tijdzones en wat dies meer zij. Kinderen krijgen zo, naast gevoel voor tijd, ook verstand van tijd. Dat allemaal heeft ook met rekenen te maken. Niet alleen omdat daarbij heel levensecht te rekenen valt, maar vooral omdat zo duidelijk wordt dat rekenen-wiskunde een menselijke activiteit is, waarmee de wereld verkend en ontsloten kan worden.
4.3 Rekenen met geld
(In vorige hoofdstukken heb ik het guldenteken vervangen voor het euroteken. Hieronder heb ik dat niet gedaan: het spreekt voor zich dat er voor gulden euro moet worden gelezen)
“Dan was ik de bankmeneer en jij kocht geld bij mij!” “Nietes, ik trok het uit de muur!” Ook kleuters ‘rekenen’ al met geld. Soms wordt daarbij (nog?!) met blokken, schelpen of ander voorradig materiaal ‘betaald’. Nu het tijdperk van loonzakjes is vervangen door dat van pin- en andere codes waarmee geld ‘uit de muur’ gehaald kan worden, brengt dat met zich mee dat kleuters in het vrije spel ook dat uit de wereld van de volwassenen nabootsen. Is dit een reden om kinderen zich de elementaire beginselen van ruilhandel of de waarde van geld(stukken) bewust te laten worden? Of dienen we de omgang met ‘het slijk der aarde’ ver te houden van het kind?
Wanneer we in dit hoofdstuk aandacht schenken aan rekenen en geld beogen we daarmee noch de ene noch de andere vraag positief te beantwoorden. Het rekenen met geld leren de meeste kinderen ook wel buiten de school. Daar ligt een reden om dit thema hier op te nemen. Rekenen met geld kan namelijk het rekenen (in en buiten school) ondersteunen. Daarnaast kan het bijdragen om rekenen en wereldoriëntatie te integreren. Toen Rudolf Steiner zich eens in Engeland positief uitliet over de mogelijkheden die het – daar nog niet op het decimale stelsel georiënteerde – geldstelsel voor het rekenen bood, liet hij merken dat geld volgens hem ook tot de concrete materialen behoort, waarmee kinderen kunnen leren rekenen. Daarbij gaat het om de (gevarieerde) structuren die in een muntstelsel besloten liggen en vooralsnog niet om inzicht in het stelsel zelf. Het is van belang om concrete zaken uit de omgeving het kind te gebruiken, zoals munten, bankbiljetten en postzegels, maar ook ‘bammen’ en ‘eentellers’.in de knikkertijd. Het zijn even zovele ‘eenheden’ die in zichzelf geleed zijn. Door zijn interne structuur vormt geld een denkmodel en wordt zo voor mensen tot een bron voor referentiegetallen, waarmee het rekenen makkelijker is uit te voeren. Veel volwassenen betrappen zich erop dat ze bij sommen met breuken of kommagetallen doen alsof het geld is. Een voorbeeld: 2¼ : 4½ =… Denk aan guldens en ‘vertaal’ in kwartjes, dan zijn dit 9 en 18 kwartjes, ofwel 9 : 18 = ½. De veelvuldige omgang met geld in het dagelijks leven, draagt ertoe bij, dat oefening kunst baart op dit concrete niveau.
Een elfjarig meisje dat steeds vastliep bij rekenopgaves als 3 x 1,75, gaf op de vraag: “Hoeveel is drie keer f 1,75” meteen het goede antwoord, met een gezicht alsof dit wel het stomste was wat je kon vragen. Het valt op dat zwak rekenende 166
kinderen niet zelf deze relatie met het ‘geldrekenen’ leggen, hoewel ze binnen het geldstelsel wel tot goede oplossingen weten te komen. Het is efficiënt om regelmatig, tijdens en nadat het rekenen met geld in de aandacht gestaan heeft, aan geld als model te refereren voor ‘lastig’ rekenwerk. Zo ontstaat een repertoire voor mogelijke aanpakken, die bij ‘moeilijke’ sommen maar ook bij schatten gehanteerd kunnen worden. De vijfstructuur kan veel extra steun bij rekenwerk geven, denk daarbij aan stuivers, kwartjes, rijksdaalders, enzovoort, maar ook aan dubbeltjes als twee stuivers enzovoort. De context ‘winkelen’ biedt vele mogelijkheden om het rekenen met geld als ruilmiddel te ontwikkelen. Wie zo gelijktijdig geld als denkmodel voor rekenwerk wil introduceren, kan daarbij het ‘geldwisselspoor’ hanteren.
In de voorafgaande dagen hadden we allerlei munten en papiergeld ‘nagemaakt’. Op dik papier, met een munt eronder, waren door wrijven met een potlood ‘echte’ munten gekopieerd. Dat kostte meer tijd dan ik verwachtte, maar nu beschikte iedereen over een papieren beurs met daarin heel wat -zij het niet klinkende- munten. Gezamenlijk kozen we nu een munt of ‘briefje’ en legden dit bovenaan op de bank. Daarna werd hetzelfde bedrag in andere munten eronder gelegd; steeds werd er verder gesplitst in andere, kleinere, munteenheden. We ontdekten uitgaande van eenzelfde bedrag, verschillende mogelijkheden. Zo ontstond het ‘geldwisselspoor’; kinderen konden (zelfstandig of voor elkaar) opdrachten verzinnen, uitgaande van goed gekozen startbedragen.
de illustratie is niet meer van deze tijd:
167
Feitelijk werken we bij deze procedure dus weer vanuit het geheel naar de delen. Dat blijft een zinvolle oefening. Goede rekenaars beleven er veel plezier aan om zelf te zoeken naar getallen, waarmee je een ‘lang’ geldwisselspoor kunt maken. Zo breiden ze hun repertoire uit van referentie getallen, waarmee handig te rekenen valt. In een latere fase is het geldrekenen ook te gebruiken om het breukenonderwijs te ondersteunen. Op basis van geld kun je een ‘breukenbord’ maken. Daartoe wordt een blad papier met lijnen in gelijke evenwijdige stroken verdeeld. Op de bovenste strook wordt dan bijvoorbeeld f 5,- genoteerd. De strook daaronder wordt nu in vijf gelijke stukken verdeeld, elk stuk staat nu voor f 1,-. Daaronder volgt een strook voor kwartjes enzovoort. Je kunt zoiets ook al in een derde klas doen en er later, in het kader van de breuken, op terug komen. Het is belangrijk dat kinderen ervaringen opdoen, waarbij ze geld als model voor breuken kiezen en bemerken dat het rekenwerk daarmee gemakkelijker verloopt. Juist voor rekenaars die moeite hebben zich (breuk)getallen voor te stellen en ermee op mentaal niveau te manipuleren, kan het ‘denken in geld’ houvast bieden. Vaak blijken zulke kinderen heel gewiekst in het rekenen met geld, omdat ze dat vanuit allerlei praktische levenssituaties gewend zijn. Ook daaraan werken we wanneer we in de derde klas weer eens winkeltje spelen.
We waren al een paar dagen bezig spullen te verzamelen voor een soort rommelmarkt, die we met elkaar gingen houden, leder had van thuis spulletjes mee genomen waar hij afstand van wilde doen. Het was een bonte verzameling geworden. We hadden al met het geldwisselspoor gewerkt. Bij het hoofdrekenen kon ik al eenvoudige sommetjes geven: “Één kwartje, hoeveel stuivers krijg je daarvoor? Hoeveel dubbeltjes zijn samen even veel waard als twee kwartjes?” Ook hadden we al enkele dagen verschillende bedragen met munten gelegd en daarbij ontdekt, dat er vaak meer dan één mogelijkheid bestaat zo’n bedrag te vormen. En vanmorgen was het zover. Natuurlijk, onderhands was al menige koop gesloten, dat wist ik wel. Daarom besloot ik dat iedereen eerst de ronde ging doen langs de meegebrachte spullen om daarna op de eigen plaats een wenslijstje te maken met daarop de drie meest begeerde artikelen. Bovendien moest daarachter het bedrag staan wat ze ervoor wilden uitgeven. Toen liet ik een kind voor de klas komen en vroeg hem om zijn lijstje, las op wat bij de nummer één stond en nodigde de eigenaar uit met het artikel naar voren te komen. Daar had ik mijn eigen tafel als een soort marktkraampje voor ingericht. En toen begon de handel, loven en bieden. De afspraak was: Je mocht niet meer betalen dan er op het lijstje stond. Maar hoeveel het was, dat wist alleen de koper en ikzelf. Zo hoopte ik de woekerprijzen een beetje in de hand te houden, want ook de koopman wist dat hij bij een te hoge vraagprijs met zijn spullen zou blijven zitten. Toen er zo een aantal koopjes gesloten was, waarbij dan ook echt betaald, en soms zelfs gewisseld moest worden, verdeelde ik de klas in twee helften, een groep kopers en een groep verkopers. Er was tien minuten tijd om te handelen en daarna zouden de rollen omgedraaid worden. Natuurlijk toen werd het echt wel een beetje een rommeltje, maar de kinderen genoten. En daar is een rommelmarkt toch voor! In de dagen die daarop volgden, werd er zo nu en dan nog flink gehandeld. Maar er werd ook flink op papier gerekend: “Ik heb de volgende geldstukken in mijn portemon- 168
nee, een … Hoe kan ik nu … (f 3,55 bijvoorbeeld) gepast betalen? Wat krijg ik terug als ik een muntstuk van vijf gulden geef? Sommen had ik nu bij de vleet. Ze maakten ze voor elkaar. Bij onenigheid rekenden we met de hele klas de som na en bespraken de verschillende oplossingswijzen. Daarna moest er dan weer met ons namaakgeld betaald worden. Een paar kinderen hadden zelf thuis extra bankbiljetten gemaakt en brachten die ook in roulatie. Toen moest ik wel even ingrijpen, want zoiets geeft meteen een enorme prijsinflatie. Ja in tijden had mijn klas er niet zoveel bij geleerd als in deze paar dagen.
Dat het daarbij niet gaat om vaardigheden die ‘even aan te leren zijn’, kan iedereen beamen die in het buitenland onverwachts met een ander muntstelsel geconfronteerd werd. Toch verloopt het leren omgaan met geld voor de meeste kinderen haast ongemerkt, hoewel niet altijd zonder hobbels. Dat merk je bijvoorbeeld wanneer een kind moeite heeft met het feit dat een rooie rug maar één briefje is (en bovendien groen is!) en toch staat voor duizend guldens.
Geld kan ook een denkmodel vormen achter het cijferen:
• Kassabonnen om na te rekenen. • “Ik wil… kopen af… per … Heb ik genoeg bij me als er f … in mijn portemonnee zit?” • “Voor … stuks … heb ik f … betaald.Wat is de prijs per stuk?”
Het rekenen met geld plaatst rekenen ‘in de wereld’; het vestigt namelijk de aandacht op wat er zoal in die wereld omgaat en te koop is. Zoiets maakt kinderen wereldwijs. Het kan ook morele vragen oproepen en hartstochten losmaken. Voor de leraar is het dus steeds de vraag: “Wat wil ik bij mijn kinderen wekken en hoe sluit dit aan bij de levensfase waarin ze verkeren?”
Enkele opdrachten die rond het thema geld in hogere klassen gegeven kunnen worden, volgen hier ter illustratie. Het is vaak inspirerend om aantrekkelijke werkbladen te ontwerpen. (Zie Terzijde: Het ontwerpen van werkbladen) Kinderen kunnen dat zelf ook met behulp van foldermateriaal. Ze komen in dat geval niet zelden tot prachtige ‘eigen producties’. Het is ook een goed idee om de ontwerpers oplossingen van de zelf bedachte opgaven te laten maken en voor het gebruik van anderen te laten opschrijven. Ze kunnen daarnaast elkaars werk corrigeren, dat geeft een goede aanleiding om de zaak nog eens na te rekenen.
Ideeën voor het maken van opgaven: • Een folder met artikelen en prijzen. Maak een wenslijst. Wat zal dit alles kosten? Hoe lang moet je daarvoor sparen als je per week f … zakgeld krijgt? 169
• Maak een prent (werkblad) van een etalage met prijzen bij de artikelen, of geef een reclamefolder. Je vriend(in) heeft f … voor zijn/haar verjaardag gekregen. Wat gaan jullie daarvoor in deze winkel kopen?
Het berekenen van uitgaven op basis van tabellen en dergelijke: • De tarieven voor de dierentuin, schouwburg, … zijn … We gaan met het hele gezin, we zijn dus met z’n … Wat moeten we betalen? • We gaan met… man op reis naar … Hier is het tarieven boekje van de N.S. Wat gaat dat kosten? • Ontwerp een advertentie voor … Zoek in de krant op wat het plaatsen van een advertentie per kolom per millimeter kost. Wat zal de krant jou voor deze advertentie in rekening brengen?
Het verzamelen en ordenen van gegevens. • Je wilt een cake bakken. Wat heb je daar voor nodig? Wat zal het kosten? Zoek dat voor morgen uit. • Een begroting maken voor het verjaardagsfeest dat je wilt geven, op basis van een gegeven totaal bedrag. • Ontwerp een boekenkast. Wat heb je aan hout nodig? Hier is een folder van de ‘Doe-het-zelf’zaak. Wat gaat het kosten? • We gaan op schoolreis zelf koken. Stel een menu samen. Hoeveel heb je van alles nodig? Overleg dat thuis en zoek in winkels uit wat dat zou kosten. • Bijhouden van inkomsten en uitgaven per dag (of per …). Maak een kasboek. • Bereken de jaaruitgaven voor elektriciteit, de telefoon, de …, op basis van deze rekeningen.
Het omrekenen naar … (bijvoorbeeld met gebruikmaking van de verhoudingstabel, zie blz. 251):
• Recepten gemaakt voor … personen omrekenen naar … personen. Bereken daarbij de nieuwe prijzen op basis van de oude. • Vreemde valuta. Prijzen (inkomsten …) omrekenen op basis van de wisselkoers. • Gegeven de kosten per eenheid, wat kost het dan om …?
Rente berekeningen (zie ook H 6).
Handelsrekenen 170
Het ontwerpen van werkbladen
Zelfstandig, actueel en op maat
Waarom zou je werkbladen maken voor de kinderen? Het antwoord is eenvoudig en heeft drie kanten: In de eerste plaats geeft het je de gelegenheid de kinderen gedurende een bepaalde tijd zelfstandig aan een welgekozen taak te laten werken. Zelfstandig hoeft niet te betekenen ‘individueel’, men kan ook in kleine groepjes zonder directe begeleiding van de leerkracht aan de slag gaan. In de tweede plaats kun je met eigen ontwerpen goed inspelen op datgene wat actueel is in het periodeonderwijs en je kunt ingaan op de dingen die de kinderen op een zeker moment bezig houden. Juist in de hoogste klassen geeft dat de gelegenheid school en wereld op een gezonde manier te verbinden. Ten slotte kun je met zelfgemaakte werkbladen maatwerk leveren voor kinderen, die die extra aandacht of zorg nodig hebben. In de laagste klassen kan een doos met mooie, getekende rekenkaarten gemaakt worden. Het formaat is kleiner, en daardoor overzichtelijker voor de kinderen. Hieronder een aardig voorbeeld van zo’n werkkaart.
Werkbladen kun je ontwerpen voor gebruik in het hoofdonderwijs. Maar meer nog hebben ze een functie in de rekenwerkuren, waarin we dat wat we in de periode geleerd hebben, beoefenen en verwerken.
De leraar treedt terug
Ontwerpen is heel wat anders dan kopiëren, hoewel bij het maken van werkbladen het kopieerapparaat een goede steun kan zijn. Aanleidingen om tot creatieve ontwerpen te komen, kunnen gevonden worden ‘op de rand van de krant’, in reclamefolders, in inspirerende reken-wiskundeboeken, bij gezelschapsspelen en andere spelletjes, na een diagnostisch gesprek met een leerling enzovoort.
171
Vooral de krant levert ongekend veel mogelijkheden voor het ontwerpen van goede ‘probleemgeoriënteerde’ werkbladen. Er wordt informatie gegeven die tot narekenen noodt (een olievlek van 50 vierkante kilometer komt overeen met 100 000 ton olie?); een bepaalde berekening nodigt uit tot reconstructie (795 inwoners, dat is 12% van het totaal, …) en hetzelfde geldt als je meent een fout te zien (de prijs van de superbenzine ging van f 1,50 naar f 2,00. Dat is een stijging van 25 procent). De krant geeft ook rechtstreekse rekenproblemen, denk maar aan advertenties en abonnementen. De leraar, die materiaal zoekt voor zijn werkbladen, rekent zelf eerst wat ‘op de rand van de krant’, en ervaart zo de mogelijkheden en moeilijkheden. Op dezelfde manier zou hij met de andere bronnen om kunnen gaan: eerst zelf problemen oplossen en vervolgens reflecteren op het eigen denk- en rekenwerk. Een licht gevaar doet zich hier voor. De leraar die nadenkt over zijn eigen rekenaanpak, is gemakkelijk geneigd om in termen van een stapsgewijze uitleg (met veel voorzeggen) te denken. Hoe loste ik dat probleem van de olievlek ook weer op? Eerst 100 000 ton olie, hoeveel liter is dat? Ik weet dat 1 ton = 1000 kilo, zeg 1000 liter. Dus 100 000 ton is 100 miljoen liter. Nu 50 vierkante kilometer. Eén vierkante kilometer is 1000 x 1000 vierkante meter, dus 1 miljoen vierkante meter. Eén vierkante meter is 10 x 10 vierkante decimeter, dus 100 dm2. Terug naar 50 km2, dat is dus 50 x 100 x miljoen = 5 miljard dm2. Smeer die 100 miljoen liter uit over 5 miljard dm2, dat geeft dan een laagje van: 100 : 5000 dm = 1/50 dm = 2 mm. Een (te?) dikke laag! Het werkblad zou nu, op basis van de voorgaande oplossingsaanpak, gemakkelijk het karakter kunnen krijgen van een invulformulier:
172
In dat geval blijft er weinig initiatief en denkwerk voor de leerlingen over. Het verdient evenwel aanbeveling om ook de leerlingen een kans te geven, het probleem bij het begin op te pakken en op de eigen manier op te lossen. Als de vraagstelling open is, kan het nuttig zijn er (gefaseerde) hulp bij te leveren, in de vorm van tips die al dan niet (gesloten envelop erbij doen) gevolgd mogen worden.
Ten slotte wat tips voor het ontwerpen van probleemgeoriënteerde werkbladen Vooraf: Bedenk dat de keuze van het onderwerp ook een pedagogische dimensie heeft.
1. Formuleer eerst de opgave helder en los die zelf op. 2. Reflecteer op de eigen oplossing en neem de essentiële momenten in beschouwing. 3. Denk aan je leerlingen en schat de moeilijkheidsgraad in. 4. Zoek illustratief, en zoveel mogelijk authentiek materiaal (krantenknipsel, fotokopie van stukje uit boek, …). 5. Bedenk titel van het werkblad en deel het globaal in; met kernvragen, ruimte voor het rekenwerk van de kinderen, het geven van tips, enzovoort. 6. Bedenk iets waardoor de kinderen ‘gedwongen’ worden om te reflecteren. 7. Maak zelf de eerste versie van het werkblad, alsof je een leerling was. 8. Probeer het prototype-werkblad uit met één (of meer) leerling(en) en verwerk de ervaringen. 9. Maak eventueel meer dan één versie van het werkblad; in het algemeen zijn er diverse niveaus mogelijk. 10. Noteer ergens de eigen (reflectieve) oplossing, voor het geval de kinderen willen weten ‘of ze het goed gedaan hebben’. (In een reflectieve oplossing wordt ook het denkproces beschreven. Zie bijvoorbeeld Goffree,F., Faes, W. en W. Oonk, (1992) Reken Vaardig, Groningen: Wolters Noordhoff).
Enkele gedachten bij blz. 135/136 in de vertaling van 1993. .
ALGEMENE MENSKUNDE ALS BASIS VOOR DE PEDAGOGIE
.
luidt de titel van de vertaling van GA* 293 [1].
De voordrachten die Steiner hield hadden tot doel uiteen te zetten wat vrijeschoolpedagogie omvat. Van 21 augustus tot en met 6 september 1919 volgden de leerkrachten voor de te beginnen school deze cursus die, naast de in de morgen gehouden voordrachten GA 293, ook nog bestond uit de over de rest van de dag verdeelde cursussen (GA 294) [2] en (GA 295) [3]
Op blz. 135/136 en verderop in de voordracht – zie daarvoor [9-5] zegt Steiner iets over de ontwikkelingsfasen van het kind.
Voor de derde levensfase van 14 – 21 jaar hechtte Steiner grote waarde aan het tijdstip waarop een kind kan gaan oordelen. Niet dat een kind niet op jongere leeftijd oordeelt, maar dan oordeelt het nog zeer van zich uit, dus sterk subjectief. Met het intreden van de puberteit ontstaat er ook een vermogen om veel objectiever te kunnen oordelen.
Rudolf Steiner over de ontwikkelingsfase 14 – 21: begrip(s)oordeel
GA 306
Voordracht 5, Dornach 19 april 1923
Blz. 106 vert. 106
Wenn wir also beim Bildhaften, Gestaltenhaften bleiben bis gegen das 12. Jahr hin, so werden wir auch nicht versucht sein, dem Kinde scharf umrissene, gewissermaßen starre Begriffsfiguren vorzuführen. Denn da ist es, wie wenn wir dem kleinen Kind ein Händchen in einen Eisenhandschuh zwängen, daß es nicht mehr wachsen kann. Und das, was ich als Unterricht skizziert habe, das gibt gar nicht Veranlassung dazu, in scharfe Begriffsformen die Dinge einzuspannen, sondern zu gestalten mit Worten, mit der Hand, auf die Tafel oder was es sonst ist, mit dem Pinsel in der Farbe anschaulich zu malen, zu zeichnen und so weiter. Aber immer ist das Bewußtsein da: das ist in sich beweglich, und es muß beweglich bleiben; denn man muß wissen, daß sich etwas erst gegen das 12, Jahr, und zwar sehr nahe am 12. Jahr, in dem Kinde entwickelt, und das ist der Sinn für den Kausalitätsbegriff Den Kausalitätsbegriff hat das Kind bis gegen das 12. Jahr hin überhaupt nicht. Es sieht dasjenige, was beweglich ist, was bewegliche Vorstellungen sind. Was als Bildhaftes, Musikalisches da ist, das schaut es, nimmt es wahr, aber es hat für den Kausalbegriff bis gegen das 12. Jahr hin keinen Sinn. Daher müssen wir dasjenige, was wir dem Kinde beibringen bis gegen das 12. Jahr hin, rein sein lassen vom Kausalitätsbegriff. Da erst können wir darauf rechnen, daß das
Wanneer we dus bij het beeldende, het vormende blijven tot tegen het 12e jaar, komen we ook niet in de verleiding het kind scherp omlijnde, in zekere zin starre begrippen aan te reiken. Want dat is alsof we het handje van het kleine kind in een ijzeren handschoen dwingen zodat het niet meer kan groeien. En wat ik als onderwijs heb geschetst, geeft helemaal geen aanleiding om de dingen in scherpe begripsvormen in te kaderen, maar vorm te geven met woorden, met de hand, op het bord of zoiets, met de penseel in de verf aanschouwelijk te maken, te tekenen enz. Maar steeds met het bewustzijn: het is als zodanig in beweging en het moet in beweging blijven; want je moet wel weten dat zich iets pas tegen het 12 jaar, eigenlijk dicht tegen het 12e jaar in het kind ontwikkelt en dat is het gevoel voor causaliteit. Het causaliteitsbegrip heeft het kind tot tegen het 12e jaar echt niet. Het ziet wat beweeglijk is, wat beweeglijke voorstellingen zijn. Wat beeldend, muzikaal is, dat ziet het, neemt het waar, maar voor de causaliteit heeft het tot tegen het 12e jaar geen gevoel. Daarom moeten we wat we kind bijbrengen tot tegen het 12e jaar, vrij laten van het causaliteitsbegrip. Dan pas kunnen we ermee rekenen, dat het kind
Blz. 107 vert. 107
Kind die gemeiniglichen Zusammenhänge zwischen Ursachen und Wirkungen ins Auge fassen kann. Von da an fängt das Kind eigentlich erst an, sich Gedanken zu machen; bis dahin hat es Bildvorstellungen. Da leuchtet nämlich schon voran dasjenige, was dann mit der Geschlechtsreife vollständig auftritt: das gedankliche, das urteilende Leben, das an das Denken im engeren Sinne geknüpft ist – während das Leben zwischen dem Zahnwechsel und der Geschlechtsreife an das Fühlen geknüpft ist und das Leben vor dem Zahnwechsel an den innerlich sich entfaltenden Willen, der für dieses Lebensalter nicht unter Gedanken steht, sondern unter Nachahmung des dem Kinde körperhaft Entgegentretenden. Aber mit dem körperhaft dem Kinde Entgegentretenden setzt sich auch das Moralische, das Geistige beim Kinde fest im Körperhaften. Daher ist es auch unmöglich, im 10. bis 11. Lebensjahr, meistens sogar noch im 11. bis 12. Lebensjahr, dem Kinde etwas beizubringen, wo man auf Kausalität sehen muß. Man sollte daher anfangen mit dem Beibringen der mineralischen Welt erst gegen das 12. Jahr. Und physikalische Begriffe sollten auch erst gegen dieses Lebensjahrhin auftreten, nachdem sie vorher im Grunde genommen nur vorbereitet sind. Da wird das Kind erst reif für das Aufnehmen solcher Begriffe. Alles, was sich auf das Unorganische bezieht, kann das Kind im Sinne eines Kausalbegriffes erst gegen das 12. Jahr hin begreifen.
de gangbare samenhang tussen oorzaak en gevolg kan snappen. Vanaf dat ogenblik begint het kind eigenlijk pas zich gedachten te vormen; tot dan toe zijn er de beeldvoorstellingen. Nu licht namelijk al iets op van wat met de puberteit volledig optreedt: het gedachteleven, het oordelende leven dat aan het denken in engere zin is gebonden – terwijl het leven tussen de tandenwisseling en de geslachtsrijpheid met het voelen verbonden is en het leven vóór de tandenwisseling aan de innerlijk zich ontplooiende wil, die in deze leeftijd nog niet onder de invloed staat van de gedachten, maar onder die van de nabootsing van wat het kind lichamelijk tegenkomt. Maar hiermee wordt ook het morele, het geestelijke bij het kind een lichamelijk iets. Daarom is het ook onmogelijk om op het 10e, 11e jaar, meestal zelfs nog op het 11e tot het 12e jaar het kind iets bij te brengen waarbij je moet kijken naar causaliteit. Daarom moet je pas tegen het 12e jaar beginnen met het bijbrengen van de minerale wereld. En natuurkundige begrippen zouden ook pas tegen deze levensjaren aan de orde moeten komen, nadat ze voordien basaal genomen alleen maar voorbereid zijn. Nu wordt het kind pas rijp voor het opnemen van dergelijke begrippen. Alles wat betrekking heeft op de anorganische wereld kan het kind wat de causaliteitsbegrippen betreft, pas begrijpen zo tegen het 12e jaar.
Es muß natürlich alles vorher vorbereitet sein, aber nicht durch Kausalbegriffe; sondern was später durch diese Kausalbegriffe erfaßt wird, das muß vorbereitet werden in Bildern ohne den Kausalitätsbegriff. Das Kind muß gewissermaßen einen Stoff haben, an dem es diese Kausalitätsbegriffe anwendet. Das auf der einen Seite. Auf der anderen Seite können Sie den Kindern vor diesem Lebensalter gegen das 12. Jahr hin nicht Zusammenhänge in der Geschichte begreiflich machen. Da sollen Sie vor die Kinder hinstellen einzelne Menschenbilder, die entweder das Gefallen erwecken durch ihre Güte, ihre Wahrhaffigkeit oder dergleichen, oder das Mißfallen erwecken durch das Gegenteil. Auf Gefallen und Mißfallen, auf das Gefühls-und Gemütsleben muß auch die Geschichte gestellt werden: geschlossene Bilder von Vorgängen und von Persönlichkeiten, aber Bilder, die in dem Sinne wieder beweglich gehalten werden, wie ich es angedeutet
Alles moet natuurlijk van te voren voorbereid zijn, maar niet door causaliteitsbegrippen; wat later met deze begrippen begrepen wordt, moet worden voorbereid in beelden, zonder causaliteit. Het kind moet in zekere zin stof krijgen waarop het deze begrippen kan toepassen. Dat enerzijds. Anderzijds kun je kinderen vóór deze leeftijd tegen het 12e jaar geen samenhangen in de geschiedenis laten begrijpen. Je moet dan individuele mensen voor de kinderen neerzetten, die of sympathie wekken door hun goedheid, hun waarachtigheid o.i.d., of de antipathie door het tegendeel. Op sympathie en antipathie, op het gevoels- en gewaarwordingsleven moet je geschiedenis laten berusten: afgeronde beelden van gebeurtenissen en persoonlijkheden, maar beelden die in dit opzicht weer beweeglijk worden gehouden, zoals ik aangegeven
Blz. 108 vert. 108
habe. Dagegen kausale Zusammenhänge zwischen dem Früheren und dem Späteren, die können Sie dem Kinde erst beibringen, wenn in ihm voranleuchtet dieses Rückläufige des Astralleibes, das dann stärker auftritt nach dem 14. Jahr. So gegen das 12.Jahr hin kommt das Kind in dieses Rückläufige hinein, und man kann dann anfangen, an den Kausalitätsbegriff zu appellieren auch in der Geschichte. Vorher bereitet man dem Kinde im Grunde genommen etwas recht Schlimmes für das Leben zu, wenn man auf den Kausalitätsbegriff und das damit verknüpfte Verstandesurteil sieht. Denn sehen Sie: da ist ja erst der Ätherleib da. Gegen das 12. Jahr hin fängt langsam der Astralleib an, geboren zu werden; er wird dann voll geboren mit der Geschlechtsreife – aber vorher ist ja nur der Ätherleib da. Wenn Sie da dem Kinde Urteile von Ja und Nein einprägen oder es sich Begriffe einprägen lassen, so gehen ja die Dinge statt in den Astralleib in den Ätherleib hinein. Aber von was ist denn der Astralleib noch der Träger? Bedenken Sie, Sie werden aus dem Faktum der Geschlechtsreife es entnehmen können: der Astralleib ist der Träger der menschlichen Liebe. Er arbeitet natürlich schon vorher im Kinde, aber er ist nicht selbständig geboren.
heb. Causale samenhangen tussen wat er eerder was en wat er later kwam, kun je het kind pas bijbrengen wanneer in hem het teruggaan van het astraallijf het eerste licht daarop kan laten schijnen, wat dan sterker optreedt na het 14e jaar. Zo tegen het 12e jaar komt het kind in dat proces van teruggaan en dan kun je beginnen te appelleren aan het causaliteitsbegrip, ook in de geschiedenis. Als je dat eerder doet, bereid je in het kind in wezen voor zijn leven iets heel verkeerds voor, wanneer je kijkt naar het causaliteitsbegrip en het verstandsoordeel dat daarmee verbonden is. Want zie je: eerst is er het etherlijf. Tegen het 12e jaar begint het astraallijf langzaam geboren te worden; dat wordt dan volledig geboren met de geslachtsrijpheid – maar daarvoor is alleen het etherlijf er. Wanneer je dan het kind oordelen inprent van ja en nee, of je laat het begrippen eigen maken, dan gaan die dingen i.p.v. in het astraallijf in het etherlijf zitten. Maar waarvan is het astraallijf ook de drager? Bedenk dat je dit uit het verschijnsel van de geslachtsrijpheid kan aflezen: het astraallijf is de drager van de menselijke liefde. Die is natuurlijk eerder al actief in het kind, maar nog niet zelfstandig geboren.
Dadurch pflanzen Sie dann das Ja und Nein, das Kritikurteil, statt in den Astralleib in den Ätherleib hinein. Wenn Sie es in den Astralleib zur richtigen Zeit hinempflanzen, dann fügen Sie dem Urteil, auch der Kritik, die Kraft der Liebe bei, die Kraft des Wohlwollens. Fügen Sie dem Kinde die Untat zu, es zu früh kritisieren zu machen, es zu früh auf Ja und Nein abzustimmen, dann stopfen Sie dieses Ja und Nein, diese Kritik, in den Ätherleib hinein. Der ist nicht wohlwollend: der ist aufsaugend, der ist übelwollend eigentlich, der wirkt zerstörend. Das tun Sie dem Kinde an, wenn Sie zu früh das Ja- oder Nein-Urteil – und ein Ja- und Nein-Urteil ist auch immer in der Kausalitätsvorstellung gelegen – dem Kinde beibringen.
Daardoor plant je dan het ja en en nee, het kritiekoordeel, i.p.v. in het astraallijf, in het etherlijf. Als je dat op de juiste tijd in het astraallijf doet, dan voeg je aan het oordeel, ook aan de kritiek, de kracht van de liefde toe, de kracht van iets welwillends. Geef je het kind het onmenselijke mee dat je het te vroeg laat bekritiseren, het te vroeg laat afstemmen op ja en nee, dan stop je dit ja en nee, deze kritiek in het etherlijf. Dat is niet welwillend: dat is opzuigend, eigenlijk is dat onwelwillend, dat werkt verstorend. Dat doe je het kind aan, wanneer je te vroeg het ja-nee-oordeel – en een ja-nee-oordeel ligt nog altijd in de causaliteitsvoorstelling – aan het kind geeft.
Blz. 109
heraus, was eigentlich ein Sichsträuben ist gegen das, was einem als Urteil in der Welt entgegentritt. Man nimmt die Urteile der anderen nicht mit Liebe auf, sondern mit einer in einem liegenden zerstörerischen Kraft, wenn man die Urteilskraft zu früh entwickelt. Aus solchen Dingen kann man wirklich sehen, wie sehr es darauf ankommt, zur richtigen Zeit das Richtige im schulpflichtigen Alter zu tun.
wat eigenlijk een zich verzetten is tegen wat iemand als oordeel in de wereld tegenkomt. Men neemt de oordelen van de anderen niet met liefde aan, maar met een ontwrichtende kracht die iemand heeft, wanneer je de oordeelskracht te vroeg ontwikkelt. Aan dit soort dingen kan je werkelijk zien hoe zeer het erop aankomt in de basisschoolleeftijd op de juiste tijd het juiste te doen . GA 306/106-109
Op deze blog vertaald/106-109
Vragenbeantwoording, Dornach 18 april 1923
Blz. 176 vert. 176
Worauf müssen wir in diesem Lebensalter vom 7. bis zum 14. Jahr vorzugsweise wirken? In der ersten Lebensepoche bis zum Zahnwechsel wirken wir als erzieherische Umgebung eigentlich auf das Leibliche. Nach der Geschlechtsreife wirken wir im Grunde genommen auf das Urteil, auf die Vorstellung. In der Zwischenperiode wirken wir nun gerade auf das Gemüt, das Gefühl.
Als eerste vraag: waarop moeten we in de leeftijdsfase van 7 tot 14 jaar voornamelijk werken? In de eerste levensfase tot aan de tandenwisseling werken we als opvoedkundige omgeving eigenlijk in op het lichamelijke. Na de puberteit in hoofdzaak op het oordeel, op de voorstelling. In de tussenperiode werken we nu juist op de ziel, op het gevoel. GA 306/176
Op deze blog vertaald/176
Voor wat er in de vragenbeantwoording staat over het religieuze oordeel dat na het 12e jaar moet ontstaan, verwijs ik naar de vertaling van deze vragenbeantwoording
Vragenbeantwoording. Dornacht 19 april 1923
Blz. 181 vert. 181
Das Wesentliche ist ja doch das, was Herr Baumann hingestellt hat: daß gerade mit der Geschlechtsreife und dann in den folgenden Jahren sich ergibt, daß ein gewisses musikalisches Urteil an die Stelle eines früheren musikalischen Empfindens und musikalischen Erlebens tritt. Das musikalische Urteil tritt dann auf. Das ist natürlich darin sehr deutlich zu bemerken, daß die Erscheinungen auftreten, die Herr Baumann charakterisiert hat: es tritt eine gewisse Selbstbeobachtung ein bei den Kindern, eine Selbstbeobachtung ihres Singens und dadurch wiederum die Möglichkeit, bewußter die Stimme zu behandeln und dergleichen. Das muß nun auch methodisch kultiviert werden.
Het wezenlijke is toch wat de heer Baumann* uiteengezet heeft: dat m.n. met de geslachtsrijpheid en in de volgende jaren, blijkt dat een bepaald muzikaal oordeel in de plaats komt van een muzikaal meevoelen en beleven. Het muzikale oordeel ontstaat. Dat is natuurlijk zeer duidelijk te merken aan wat de heer Baumann heeft gekarakteriseerd: bij de kinderen ontstaat een bepaald zelfbeeld, een zelfbeeld van hoe ze zingen en daardoor weer de mogelijkheid om de stem bewuster te gebruiken e.d. Dat moet ook met een methode verzorgd worden.
*Baumann Paul, 1887-1964, muziekleraar aan de vrijeschool Stuttgart
Blz. 183 vert. 183
Natürlich kommt dabei in Betracht, daß man ja bis zur Geschlechtsreife unbedingt als Autorität neben den Kindern steht. Da hat man noch nicht Gelegenheit, auf diese Dinge zu sehen beim Kinde. Nachher steht man schon nicht mehr als Autorität neben dem Kinde, sondern durch das Gewicht, das man dem eigenen Urteil für das Kind geben kann. Bis zur Geschlechtsreife ist dasjenige richtig, was der Lehrer für richtig hält, falsch, was der Lehrer für falsch hält, weil es der Lehrer für richtig oder falsch hält. Nach der Geschlechtsreife muß man begründen, auch musikalisch begründen. Deshalb ist es sehr wichtig, daß gerade dann, wenn eben die Veranlassung vorliegt, den musikalischen Unterricht in diese Zeit hinein besonders fortzusetzen, wirklich stramm in das Motivieren der Urteile, die man heranzieht, eingegangen wird.
Natuurlijk moet je daarbij in ogenschouw nemen dat je tot de geslachtsrijpheid onvoorwaardelijk als autoriteit naast het kind staat. Dan heb je bij het kind nog niet de gelegenheid naar deze dingen te kijken. Daarna sta je niet meer zo als autoriteit naast het kind, maar door het belang dat je aan je eigen oordeel voor het kind kan hechten. Tot aan de puberteit is juist, wat de leraar voor juist houdt, verkeerd wat hij verkeerd vindt. Na de puberteit moet je bestendigen, ook muzikaal bestendigen. Daarom is het zeer belangrijk dat je juist dan, wanneer er ook maar een aanleiding bestaat het muziekonderwijs in deze tijd in het bijzonder voort te zetten, werkelijk streng wordt ingegaan op het motiveren van de oordelen die je erbij betrekt. GA 306/181-183
Op deze blog vertaald/181-183
.
*GA= Gesamt Ausgabe, de boeken en voordrachten van Steiner
In deze tijd waarin ‘het onderwijs’ vooral afgerekend wordt op ‘leeropbrengst’, gaat het ook bij het aanleren van een niet-Nederlandse taal in de eerste plaats om: kennis.
=Ik spreek niet van ‘vreemde’ taal, omdat een taal niet ‘vreemd’ kan zijn: het is de moedertaal van velen en van wie het niet de moedertaal is, is het een taal die anders klinkt, vandaar mijn voorkeur voor ‘niet-Nederlands’=
Kennis is bij het niet-Nederlands vooral: grammatica en idioom, de woordjes, zeg maar.
Dat Rudolf Steiner in het leerplan van de 1e vrijeschool niet-Duitse talen opnam vanaf klas 1, was voor die tijd volstrekt nieuw. En dat is het heel lang gebleven. Op zeker ogenblik werd er in de reguliere basisscholen in Nederland wél Engels gegeven, maar pas vanaf klas 6. Ook daarin is hier en daar wat veranderd.
Ook een volstrekt nieuw gezichtspunt bij Steiner was, dat hij vooral wilde bereiken dat de kinderen de ‘ziel van de andere taal’ zouden ervaren, m.a.w. dat hun gevoel zou worden aangesproken. Dit gezichtspunt heeft het geven van niet-Nederlandse talen in het Nederlandse onderwijs niet gehaald: wanneer er onderzoek wordt gedaan, gaat het altijd om de opbrengst aan kennis. Om het intellect dus.
In de drie laagste klassen van de vrijeschool gaat het voornamelijk om het ‘leren’ vanuit het doen, vanuit het beleven, vanuit het plezier. Iedere taalles zouden de kinderen ondergedompeld moeten worden in een taalbad van de betreffende taal. Dat stelt aan de leerkracht een hoge eis: die zou de taal perfect moeten kunnen spreken wat de uitspraak betreft.
Het gevoel van de taal, het wezenlijke dus, ligt in de klanken. Dat betekent dat er veel gesproken (en geluisterd) zou moeten worden.
En daarvoor moet gezocht worden in de rijmpjes, versjes, gedichtjes en spraakoefeningen.
Al begint in klas 4 ook het leren van de grammatica, het spreken, reciteren, zou – tot in de hoogste klassen van de bovenbouw – steeds een belangrijke plaats moeten blijven innemen.
Hier volgt voor allerlei klassen prachtig bruikbaar materiaal. Ik heb er met een cijfer bijgezet voor welke klas, maar heel scherp is die grens niet te trekken. Bepaal zelf wat voor jouw klas iets is.
YAWNING PAUL 1
To see Paul yawning Is a sight. He yawns and yawns With all his might. He yawns all night And day and all. That’s why we call him Yawning Paul.
PECKHAM RYE 3
“ Who’ll buy our Rye ? Who’ll buy ? who’ll buy ? ”— The pretty girls of Peckham cry. “ The ears are full as they can hold And heavy as a purse of gold. Sweeter corn you will not find For the London mills to grind— Come buy, come buy Our Peckham Rye ! ”
COUNTRY PROVERB 6
He that would thrive Must rise at five. He that hath thriven May lie till seven. And he that by the plough would thrive Himself must either hold or drive.
AS I WALKED BY MYSELF 7
As I walked by myself, And talked to myself, Myself said unto me, “ Look to thyself, Take care of thyself, For nobody cares for thee.” I answered myself, And said to myself, In the self-same repartee, “ Look to thyself, Or not look to thyself, The self-same thing will be.”
YOU CAN TAKE A TUB 8
You can take a tub with a rub and a scrub In a two-foot tank of tin, Or stand and look at the whirling brook And think about jumping in ; You can chatter and shake by the cold, black lake— But the kind of bath for me Is to take a dip from the side of a ship In the trough of the rolling sea.
You may lie and dream in the bed of a stream When an August day is dawning. Or believe it’s nice to break the ice On your tub of a winter’s morning;
You may sit and shiver beside the river— But the kind of bath for me Is to take a dip from the side of a ship In the trough of the rolling sea.
CLOCKS AND WATCHES 1
Our great
Steeple clock
Goes TICK— TOCK,
TICK— TOCK;
Our small
Mantel clock
Goes TICK-TACK, TICK-TACK,
TICK-TACK, TICK-TACK;
Our little
Pocket watch
Goes Tick-a-tacker, tick-a-tacker,
Tick-a-tacker, tick.
GAFFER GILPIN 3
Gaffer Gilpin got a goose and gander. Did Gaffer Gilpin get a goose and gander? If Gaffer Gilpin got a goose and gander, Where are the goose and gander hat Gaffer Gilpin got ?
THE BAND IN THE PARK 2
Hark, hark, hark! Hark, hark, hark! Listen to the band in the park ! With its “hum hum hum,” And its “ rumpty tumpty tum,” The cymbals going “ clang ” And the drums going “ bang,” As they play, play, play, play, play, play, play,” As they play, play, play, in the middle of the day, As they play, play, play in the park.
Hark, hark, hark! Hark, hark, hark! Listen to the band in the park ! With its “ one, two, three,” And its “ come along with me ! ” Oh, its really rather grand To listen to the band As they play, play, play, play, play, play, play, As they play, play, play, n the middle of the day, As they play, play, play in the park.
THE WIND 4
When the wind is in the East, It’s neither good for man nor beast; When the wind is in the North, The skilful fisher goes not forth; When the wind is in the South, It blows the bait in the fishes’ mouth; When the wind is in the West, Then it’s at the very best.
THE LAZY LIZARD 2
I’m a lazy old lizard Who lives at the Zoo, And catches the flies, And swallows them too.
ROBIN THE BOBBIN 3
Robin the Bobbin, whose surname was Ben, Ate more meat than fourscore men. He ate a cow, he ate a calf, He ate a butcher and a half, He ate a church, he ate the steeple, He ate the priest and all the people. Robin the Bobbin, whose surname was Ben, Ate them all up, and then started again!
CHRISTMAS PUDDING* 3
Take milk, eggs, and raisins. Take milk, eggs, and raisins; suet and sugar and flour. Take milk, eggs, and raisins; suet and sugar and flour; candied-peel and breadcrumbs. Take milk, eggs, and raisins; suet and sugar and flour; candied-peel and breadcrumbs— and boil for eight hours.
THE SHOP BELL 2
The bell-spring swings
And the small bell rings
With a tingaling, tingaling,
Tingalinga ling.
“ Here’s someone who is willing
To spend a silver shilling,
So come along,
Dingadong!
Tingalinga ling! ”
WHAT’S THE WEATHER? 4
Whether the weather be fine, Or whether the weather be not, Whether the weather be cold, Or whether the weather be hot— We’ll weather the weather, Whatever the weather, Whether we like it or not.
THE SEVEN YOUNG PARROTS 6
The seven young parrots had not gone far, when they saw a tree with a single cherry on it, which the oldest parrot picked instantly. But the other six, being extremely hungry, tried to get it also—on which all the seven began to fight.
And they scuffled and huflled and ruffled and shuffled and puffled and muffled and buffled and duffled and fluffled and guffled and bruffled
and screamed and shrieked and squealed and squeaked, and clawed and snapped and bit, and bumped and thumped, and dumped and flumped each other—till they were all torn into little bits. And at last there was nothing left to record this painful incident, except the cherry and seven small green feathers.
And that was the vicious and voluble end of the seven young parrots.
BUTTERFLIES 2
All day long in the garden Are butterflies flitting by, White, pale yellow, and orange bright, And some like the blue of the sky.
CLUNTON AND CLUNBURY 4
Clunton and Glunbury, Clungunford and Glun, Are the quietest places Under the sun.
THE ROUNDABOUT 5
Round and round the roundabout, Down the “ slippery stair ”— I’m always to be found about When circus men are there. The music of the roundabout, The voices in the air, The horses as they pound about, The boys who shout and stare— There’s such a lovely sound about A circus or a fair.
THE DREAM OF A GIRL AT SEVENOAKS 5
Seven sweet singing birds up in a tree;
Seven swift sailing-ships white upon the sea;
Seven bright weather-cocks shining in the sun;
Seven slim race-horses ready for the run;
Seven gold butterflies flitting overhead;
Seven red roses in a garden bed;
Seven white lilies with honey-bees inside them;
And seven round rainbows with clouds to divide them. . . .
Seven nights running I dreamed it all plain—
With bread and jam for supper I could dream it all again.
WINDY NIGHTS 3
Rumbling in the chimneys, Rattling at the doors, Round the roofs and round the roads The rude wind roars ; Raging through the darkness, Raving through the trees, Racing off again across The great grey seas.
PIMLICO 3
Pimlico, pamlico, pumpkins and peas! Pepper them properly, else you will sneeze. Pop in a pipkin and leave them till one, Pimlico, pamlico, then they’ll be done!
A CATCH RHYME 5
Round and round the rugged rock The ragged rascal ran. Say how many R’s in that And you’re a clever man.
A BUNCH OF TONGUE-TWISTERS 5
My grandmother sent me a new-fashioned three-cornered cambric country-cut handkerchief. Not an old-fashioned three-cornered cambric country-cut handkerchief, but a new-fashioned three-cornered country-cut handkerchief.
Peter Piper picked a peck of pickled pepper; 4 A peck of pickled pepper Peter Piper picked. If Peter Piper picked a peck of pickled pepper, Where’s the peck of pickled pepper Peter Piper picked ?
Swan swam over the sea- 2 Swim, swan, swim ! Swan swam back again— Well swum, swan !
TWO FELLOWS 4
Once a fellow met a fellow In a field of beans. Said a fellow to a fellow, “ If a fellow asks a fellow, Can a fellow tell a fellow What a fellow means ? ”
BETTY S BUTTER
Betty bought a bit of butter, 5 Said : “ My bit of butter’s bitter. If I put it in my batter, — It will make my batter bitter. Better buy some fresher butter.” Betty’s mother said she’d let her, So she bought some better butter, And it made her batter better.
THE FLY AND THE FLEA
A fly and a flea in a flue 4 Were wondering what they should do. Said the fly, “ Let us flee ! ” Said the flea “ Let us fly ! ” So they flew through a flaw in the flue!
QUESTIONS 6
Which and where and why and when Are words I keep saying again and again. Over and over without any hitch— When and where and why and which. Whatever the answer, I always declare Which and why and when and where. Whatever the answer, I always reply, Where ? and when ? and which ? and why ?
MARCHING 1
Left, right, left, right, Hear the tramping feet; A regiment has come to town, Marching down the street.
3.1 Hoofdrekenen tot honderd 3.2 De tafels 3.3 Cijferen 3.4 Schattend rekenen Terzijde: Rekenspelen
3.1 Hoofdrekenen tot honderd
Het ligt voor de hand, ervan uit te gaan, dat al het rekenen dat niet op papier gebeurt hoofdrekenen is. Maar, als je een kind vraagt hoeveel 6 x 6 is en het zegt onmiddellijk 36, dan wordt er niet gerekend en weet het kind dat eenvoudigweg omdat die kennis geautomatiseerd is. Maar ook bij de mondeling gegeven opgave, waarbij een kind op zijn vingers het antwoord uitrekent, is er geen sprake van hoofdrekenen, maar van tellen. Daarmee hebben we twee gebieden, die -vooral in de eerste en de tweede klas worden geoefend en als voorwaarde gelden om tot het eigenlijke rekenen uit het hoofd te komen. Daarbij gaat het vooral om het leren kennen van de kwaliteiten van de getallen, het zien van structuren en de ervaring hoe je met het rekenen betekenis kunt geven aan de dingen om je heen. Nu sta je als leraar op een cruciaal punt. In het oorspronkelijke leerplan voor de tweede en derde klas lezen we: ‘De vier hoofdbewerkingen worden voortgezet tot 100 en daarboven. Er wordt veel uit het hoofd gerekend (de tweede klas). De vier hoofdbewerkingen worden geoefend met grote getallen in relatie tot het leven van alle dag.’
Als we onoordeelkundig te werk gaan, kan rekenen voor het kind tot een vak worden waarbij op mysterieuze wijze gegoocheld wordt met getallen, waarbij steeds nieuwe problemen opduiken op het ogenblik dat het dacht het net een beetje te snappen. Zo kan een kind zelden genieten van wat hij ‘geleerd’ heeft en raakt de interesse voor het rekenen steeds meer verloren. In het gunstigste geval ontwikkelt een goede rekenaar zich dan tot een handige cijferaar, die alle rekenhandelingen correct op een standaardmanier uitvoert, maar bij wie de innerlijke betrokkenheid ontbreekt. Misschien dat zo’n rekenaar vroeger nog wel enig emplooi had voor zijn vaardigheid, maar in het huidige informatietijdperk kan een kind daar nog maar weinig mee.
Wat moeten de kinderen beheersen?
De basisvaardigheden onder de twintig moeten geautomatiseerd zijn en de tafels gekend worden. Dit immers zijn onmisbare elementen van het hoofdrekenen tot honderd. Daaraan moet zeker in de eerste drie klassen veelvuldig gewerkt worden. Wat de kinderen al geautomatiseerd hebben en wat nog niet, zal de leraar dienen te weten. Daaraan kan gewerkt worden met korte op memoriseren gerichte mondelinge oefeningen, maar bijvoorbeeld ook door spelen als ‘Ladder op en af’, en ‘Samen’ (zie Terzijde: Rekenspelen). 77
Het optellen en aftrekken tot twintig vraagt van de leerkracht een systematisch didactische aanpak. Wordt maar aangenomen dat de kinderen alle optellingen en aftrekkingen onder de twintig uit het hoofd kennen, waarbij sommige kinderen toch maar liever op de vingers blijven tellen? Of wordt uitgegaan van de vaardigheden waarover de kinderen al beschikken? Vanuit de principes van de reconstructiedidactiek kunnen de kinderen op die vaardigheden verder bouwen en deze uitbreiden. Het geeft ze een handreiking om handiger te rekenen dan door ‘alleen maar’ tellen. Mogelijkheden, die ook elders in dit boek besproken worden, zijn: -Het verdubbelen als een rekenvorm die de kinderen al ‘wisten’:
Maar ook door het werken met de vijfstructuur van het rekenrek leren de kinderen de structuur kennen van de getallen onder de twintig.
Rekenen in het leven van alle dag
Overal komen ons tegenwoordig getallen tegemoet: pincodes, telefoonnummers, sofinummers of ledennummers. En ook moderne apparaten laten ons voortdurend cijfers zien: de (wekker)radio, de videorecorder, de magnetron of de televisie. In de krant staan dagelijks tabellen en schema’s waarin bepaalde verhoudingen uitgedrukt worden. In het spraakgebruik zijn begrippen als procenten of decimale breuken al gemeengoed voordat de kinderen daar in de school mee geconfronteerd zijn.
Een praktijksituatie:
Kareltje kan zijn ouders niet meer vinden tussen al die mensen op het strand. “Hoe heet je, waar woon je, wat is je telefoonnummer of dat van de buren of weet je soms de postcode?” vraagt een vriendelijke strandwacht. Kareltje kijkt op zijn digitale horloge alsof dat uitkomst kan bieden. Daar verspringen steeds getallen, zou hij de structuren doorzien en weten waarom de voorste getallen na 24 en de achterste bij 60 opnieuw beginnen? “Zoek je al lang?” probeert de strandwacht nog een keer … Ja, als kind moet je tegenwoordig al vroeg thuis zijn in de wereld van getallen. Maar je moet ze ook naar je hand kunnen zetten. Thea heeft van opa voor haar verjaardag vijfentwintig euro gekregen. “Wat kan ze daar allemaal voor kopen”, vraagt ze zich af? Gelukkig, boodschappen doen en betalen heeft ze vaker gedaan. Van prijzen weet ze iets af, daardoor heeft ze enkele getallen in haar hoofd waaraan ze zich kan oriënteren. Ze schat een paar bedragen, maakt daar in gedachten een kaal sommetje mee, rondt daartoe 78
getallen handig af en overziet dat alles bij benadering binnen de grens van € 25,-blijtt. Thea boft dat ze niet in Italië woont, met die kleine lires rekenen kinderen daar met enorme bedragen. [het boek verscheen vóór de euro zin intrede deed]
Het leren van zulke vaardigheden behoort zeker tot het rekenonderwijs dat tegenwoordig nodig is. Het leidt tot een vorm van gecijferdheid, die verbonden is met het rekenen van alle dag, ontdaan van geheimzinnigheid, maar daarom nog niet van schoonheid of van het plezier erin. Er zijn legio voorbeelden te vinden van alledaagse rekensituaties. Het was al een aanwijzing van Steiner om het rekenen van jonge kinderen aan te laten sluiten bij het praktische leven. Bij dit alledaagse rekenen hoort, dat rekenopgaven zich zelden mondeling of op schrift aandienen. Wanneer er bijvoorbeeld hoeveelheden geteld worden door de kinderen, zoals knikkers of kwartjes in een spaarpot, doet zich het rekenprobleem concreet aan de kinderen voor. Zo kunnen, vanaf de eerste klas in kleine schetsjes op het bord, rekenopgaven gegeven worden:
79
Later kan ook op het bord geschreven worden:
De vraag aan de kinderen is nu: “Je mag nog vijf minuten spelen voor je aan tafel moet. Wat voor cijfers geeft de klok dan aan?”
Of: “Vader zegt: “Om kwart over gaan we weg.” Wat staat er dan op de klok?” Een kind weet dat wel:
“En hoeveel tijd heb je nu nog om naar de wc te gaan en je schoenen te zoeken?”
Zo zijn er overal voorbeelden te vinden, die aansluiten bij situaties die de kinderen kennen. Wie opgaven in zo’n context naar voren brengt, maakt werkelijk waar: ‘uitgaan van het leven van alle dag’.
Natuurlijk is er goed te putten uit hetgeen bijvoorbeeld in de heemkunde- of bouwperiode aan de orde kwam. En waarom ook niet de kinderen zelf dingen laten ‘berekenen’ voor een uitstapje, of een klassikale activiteit?
Het actief verkennen van de getallenwereld
Wie zich wil oriënteren in de getallenwereld, zal zich ook moeten kunnen bewegen in de getallenwereld. Het bewegingsonderwijs kan die ervaring aandragen:
• De kinderen schatten het aantal stappen naar de overkant van het plein. Daarna wordt de afstand ook gelopen. Bij iedere tien stappen legt een kind een ‘tiental-merkteken’ neer. Langs deze route kunnen de kinderen zich nu gaan bewegen; van 30 naar 40; of ze doen: 60 en 30 erbij! Opdrachten kunnen in velerlei vorm, door de leraar of door een kind, gegeven worden. Zelfs binnen de ruimte van het tiental kan bewogen worden: 30 – 2 of 25 + 5. Opdrachten als 2 x 15 zijn in dit verband ook belangrijk. Later wordt het stappen met tientallen op het bord getekend en proberen de kinderen de opdrachten ook uit het hoofd te doen. 80
• Nu kan ook de 100-ketting gebruikt worden, gemaakt van twee verschillende kleuren kralen (uit een kralenzitting voor een autostoel) telkens om en om een kleur voor een tiental. Met een wasknijper kunnen de posities op de ketting aangegeven worden. Voor minder snelle rekenaars is zo’n hulpmiddel een goede houvast, terwijl er toch een verband bestaat met de bewegingen die de kinderen zelf uitgevoerd hebben.
• Allerhande rekenverhalen, bijvoorbeeld naar aanleiding van de heemkunde kunnen aanleiding zijn om ook met getallen tot 100 te gaan rekenen. Hoeveel beukennootjes verzamelt een eekhoorn op een dag? En als hij een week lang verzamelt? Nu komt er een luie eekhoorn die uit de voorraad stiekem wat weghaalt; wat is er dan over, hoeveel moet… enzovoort.
Het verhaaltje mag niet belangrijker worden dan de rekenopgave. Want dan lopen dromerige kinderen de kans om zo in de situatie op te gaan, dat ze niet aan het rekenen toe komen. Rekenen, dat voor hen nu juist zo goed is. Voor zulke dromers kan een ‘gedachtenstrook’ goede diensten bewijzen. Op zo’n strook – die de kinderen zelf kunnen maken – staan de getallen tot 100, in een mooie tientalkleur. Nu kunnen de kinderen bijvoorbeeld een steentje leggen bij het getal waar het rekenverhaal is.
• Op de tegels van het schoolplein wordt een ganzenbordspel getekend. In de hokjes staan opdrachten in sommetjesvorm, die aangeven hoe de kinderen langs het parcours moeten gaan. De klas wordt bijvoorbeeld in drie of vier groepen verdeeld, die elk mogen gooien, een kind als pion in het spel mogen brengen en de opgaven moeten uitrekenen om naar ‘het antwoord’ te lopen. Zoiets kan later ook in een klassikale versie worden gespeeld.
Reconstructie didactiek – de lege getallenlijn
In al deze situaties kunnen de notoire tellers ook meedoen. Het zal ze juist stimuleren om ook eens een grotere sprong te maken, dan sprongen van één. Een spel is dan ook geen extraatje, maar een wijze van rekenen die alledaagse activiteit verbindt met het rekenen. Een spel dat alleen gespeeld mag worden door kinderen die hun werk al af hebben, stigmatiseert een zwakke rekenaar: voor die leerling is rekenen alleen maar ploeteren. Het probleem van zwakke rekenaars ligt vaak op het gebied van de concentratie, het onthouden en het memoriseren. Als voor hen het rekenen alleen bestaat uit het toepassen van regeltjes, wat ze telkens toch niet lukt, dan ontgaat ze de mogelijkheid om het rekenen te oefenen aan situaties van alle dag.
In het realistisch rekenen is het begrip ‘reconstructiedidaktiek’ geïntroduceerd. Hierbij wordt steeds verder gebouwd op de kennis die al bij de kinderen aanwezig is. Deze kennis wordt aangepast, uitgebreid en verdiept. De aanpak wordt als volgt omschreven:
‘Zorg voor zoveel mogelijk parate betekenisvolle basiskennis, want die levert de kapstok waaraan gevorderd rekenwerk kan worden opgehangen. Maar … wat je vergeten bent, kun je zelf opnieuw maken. Laat je dan leiden door je gezond verstand en volg de aanwijzingen die in de aard van het probleem besloten liggen. 81
Organiseer en orden, wees steeds attent op regelmaat en structuur. Zoek interne en externe structuren van de gegeven getallen, vind hulp bij eenvoudige visuele modellen en weet dat er niet slechts één mogelijke (moeilijke) methode is, maar dat er diverse eenvoudige wegen naar de oplossing leiden.’
Een voorbeeld van zo’n eenvoudig visueel model is de lege getallenlijn. Voor het rekenen tot honderd is als voorbereiding de 100-kralenketting (zie blz. 81) heel geschikt. Een wasknijper, bij wijze van ruitertje, tussen de 26e en 27e kraal geeft aan dat er 26 kralen voor zitten. Verschillende wasknijpers kunnen vervolgens in verband gebracht worden met streepjes op de lege getallenlijn, die in plaats van de kralenketting getekend wordt.
Zo krijgt zelfs het streepje bij de nul betekenis: daarvóór zitten er geen kralen meer. Deze streepjesbenadering -vergelijk de hectometerpaaltjes langs de snelweg- blijkt de meest zinvolle invulling van de getallenlijn te zijn. Het is simpel en biedt mogelijkheden voor het globaal schatten van de hoeveelheid waar het om gaat. Het zelf vullen van de getallenlijn is onderdeel van het leerproces. Dat moet geoefend worden, zoals dat ook gebeurde met concrete stappen op het plein of in de klas. De opdracht: “Ga eens van 27 naar 45 in sprongen”, sluit aan bij het vragen naar de ‘actieve’, naar de handeling in: “Wat moet ik bij 27 optellen om 45 te krijgen?” Aan de getallenlijn kunnen de kinderen zo het optellen en aftrekken oefenen. Daarbij wordt de lijn een soort kladblaadje, waarop men even aantekent wat men niet wil vergeten. Vooral de zwakke rekenaar is bij zulke geheugensteuntjes gebaat. Veel meer, dan bij het steeds maar tellen op de vingers. Allengs zullen de sprongen groter worden en wordt er meer uit het hoofd gerekend.
De opgave in de klas luidt: “We maken een fietstocht van 47 km, maar na 25 km zijn we al aardig moe en we rusten even. Hoeveel kilometer moeten we nog?” Nu kan de getallenlijn als een stuk weg getekend worden. Bij de rustplek komt een streepje met 25 te staan; ook het eindpunt wordt zo gemarkeerd. Dan kan er gekeken worden naar de sprongen die zijn gemaakt, om de overgebleven kilometers te berekenen.
82
83
Wat voor sprongen worden er gemaakt door de kinderen? • Kees springt eerst met een sprong van vijf naar 30, dan met sprongen van tien naar 50 en vervolgens met een sprongetje van drie terug naar 47. Hij telt eerst de sprongen bij elkaar: 25; dan nog 3 eraf, dat is 22. • Job doet meteen 2 sprongen van tien tot hij bij 45 is en dan nog twee erbij; hij weet direct: ”22.” • Annemieke springt in één keer naar 45, en weet dan het antwoord al direct. • Peter maakt eerst sprongetjes van één, maar dat duurt wel erg lang en het past ook niet op de getallenlijn. Daarom maakt hij bij 37 opeens een hoge sprong naar 47. Hoe nu het antwoord te vinden met al die kleine boogjes? Hoeveel waren het er ook weer? De methode van Job lijkt hem wel. Iets om te onthouden voor de volgende keer!
De rij(g)methode
Hierbij is aan het eerste getal, dat heel gelaten wordt, het andere getal in stukken toegevoegd. Deze methode sluit aan bij de natuurlijke wijze van doortellen. Door verkorting op basis van de structuur van de getallen, komen de kinderen op een hoger rekenniveau. In bovenstaande voorbeelden werd dat duidelijk. Deze methode vormt een goed tegenwicht tegen cijfermatige oplossingen, volgens de traditionele manier met splitsen in tientallen en eenheden. Een voorbeeld van een fout die bij de splitsmethode vaak gemaakt wordt: 47 – 26 = … Eerst de tientallen: 4 – 2 = 2, dan de eenheden: 7 – 6 = 1. Dan is het antwoord 12 …? Oh nee, 21! Dat lijkt heel simpel, maar nu hetzelfde met 43 – 27 = … Bij de tientallen lukt 4 – 2 nog, maar doe dat eens met 3 – 7? Dan maar de kleinste van de grootste: 7 – 3 = 4; antwoord: 24.
De getallenlijn is geen foefje, dat de kinderen zo maar eventjes aangeleerd wordt. De getallenlijn ondersteunt een rekenaanpak, die zorgvuldig moet worden aangelegd. Daarbij moet de getallenlijn systematisch van een structuur worden voorzien. Stappen daarin kunnen zijn: • Tekenen van bewegingen die langs de getallenlijn zijn gemaakt bij het bewegingsonderwijs. • Tekenen van kralenkettingen, met telkens bijvoorbeeld vijf (of tien) kralen in één kleur.
84
Ook bij aftreksommen is de lege getallenlijn goed bruikbaar, mits de voorbereidingen -net als bij het optellen- maar bewegend geoefend worden. Als je dat op het bord weergeeft -je kunt zelfs de getallenlijn suggestief laten hellen- kun je gaan bekijken hoeveel je teruggesprongen bent. Dat kan verwarrend zijn, omdat bij het aftrekken nu opgeteld moet worden. Maar als de aftrekking zijn oorsprong vindt in een opgave als: “Een boek heeft 47 bladzijden en ik ben gekomen tot bladzijde 23, hoeveel bladzijden kan ik nu nog lezen?”, dan is het bijtellen (doorbladeren in het boek) een vanzelfsprekende zaak. Ook nu blijkt weer het nut van de lege getallenlijn als kladblaadje, waarop je steeds ziet wat je doet. De vraagstelling moet eerst zijn: “Wat moet je van 47 afhalen om 24 over te houden”, waarbij naar de ‘actieve’ gevraagd wordt. Daarna pas de vraag: “Wat houd ik over als ik van 47 (kralen) er 23 (kralen) afhaal?” Mogelijke sprongvariaties:
Kolommethode
Een mooie vorm is het kolom-rekenen . Dat is géén hoofdcijfermanier, maar een methode om eenheden en tientallen apart bij elkaar te tellen. Op papier ziet dat er zo uit:
85
Bij al deze situaties wordt duidelijk: hoofdrekenen is uit het hoofd uitrekenen van opgaven, maar ook de instelling ten opzichte van het rekenen waarbij steeds gezocht wordt naar manieren om met een rekenprobleem om te gaan. De kinderen een kunstje leren dat ook door een zakrekenmachine kan worden gedaan, is makkelijk genoeg. Het doorzien van structuren, het jezelf kunnen terugvinden in de opgave, is zinvolle vrijeschooldidactiek. Kees Boeke (‘De werkplaats’ in Bilthoven) zei eens tegen een jonge onderwijzer die een rekenles gaf: “Meneer, u gaat aan de kant van de som staan, maar gaat u nu eens aan de kant van de kinderen staan, en kijk samen hoe u zo’n opgave zou aanpakken”. Veel voorbeelden in dit boek kunnen met die blik bekeken worden.
Raden en schatten
Als het rekenen dicht bij het kind moet komen, is het raden en schatten een wezenlijke activiteit. “Ik heb een getal in gedachten, dat groter dan 40 en kleiner dan 100 is”. Om beurten mogen de kinderen een getal zeggen. Al snel wordt duidelijk wie zicht heeft op de structuur van de getallenrij. Vooral in lagere klassen wil raden nog wel eens betekenen dat de kinderen maar iets roepen om de ander te overtroeven. Als de leraar daar serieus op in gaat, ontstaat er juist geen inzicht bij de kinderen. In plaats van raden, zou je bij dit spel dan ook beter kunnen spreken van ‘benaderen’.
Een goede visuele ondersteuning van het benaderen kan zijn, als de tijdens het spelletje genoemde getallen op een lege getallenlijn worden aangegeven. Voor een kind is het een prachtige oefening, de ruimte om het bedachte getal heen kleiner en kleiner te zien worden. Natuurlijk mogen de kinderen ook wel eens een getal in gedachten nemen en natuurlijk mag de leerkracht ook wel eens laten zien hoe slim hij kan benaderen.
Schattend rekenen in de praktijk kan goed van pas komen. “Pauline, haal eens vijf broden. Hier heb je een tientje, een brood kost € 1,95 … eh … heb je dan genoeg?” Als je hebt leren schatten zeg je: “Van € 1,95 maak ik even € 2,—; dat is dan 5 x 2 (2 x 5 euro), dat is ongeveer een tientje … iets meer of iets minder … we hadden naar boven afgerond, dus het getal is iets te groot: ja, het kan!” 86
Zo werkend komen vaardigheden aan bod als: herformuleren, vertalen en compenseren, die nodig zijn voor het schatten en daarbij verder ontwikkeld worden.
Voor het schatten moet je vaak terug kunnen vallen op hoeveelheden die een makkelijke referentie bieden. Voor veel mensen is dat de opbouw van ons geldstelsel. 20 x 5 eurocent in een euro; 10 x 10 eurocent in een euro; 5 van 20 eurocent. Enz. Bijvoorbeeld bij de opgave:
37 x € 0,05 = 20 x 5 + 20 x 5 = 1 euro + 1 euro = 2 euro – 3 x 5 = 15: € 1,85
Ook maten zijn belangrijke referentiegetallen: drie keer zo groot als de kamer, dat kost zes weken zakgeld, wel drie voetbalvelden groot, ongeveer zo ver als van het station naar school.
Niet te vlug gaan cijferen
Onder de honderd – en iets daarboven- hoeft er niet gecijferd te worden. Je moet dat ook niet doen. Het maakt de kinderen afhankelijk van het ‘kunstje’, en verlegt de aandacht naar de afzonderlijke cijfers in het getal, waardoor de getallen niet meer in hun werkelijke waarde worden beleefd.
Het gebruik van een blaadje, als geheugensteuntje, is een belangrijke ondersteuning om het hoofdrekenen onder de knie te krijgen.
Als een kind een eigen, handige manier heeft, en bijvoorbeeld de opgave 83 – 37 uitrekent door te doen: 83 – 40 + 3 = 46, hoeft die methode geen plaats te maken voor de klassenmanier. Maar voor de kinderen die te weinig houvast hebben, geeft de ‘veilige’ manier juist zekerheid.
Af en toe een paar snelle hoofdrekensommetjes
Het voorgaande gaat er vanuit dat de kinderen in alle situaties – onder de honderd – uit het hoofd rekenen. Dat is een uitgangspunt, dat ten grondslag ligt aan een bewuste rekendidaktiek, die veel meer inhoudt dan af en toe wat hoofdrekenopgaven aan de kinderen voorleggen. Anderszins vinden de kinderen het meestal spannend, als ze hun kennis nu ook eens mogen laten blijken. Af en toe een kort moment hoofdrekenen heeft daarom zijn waarde.
Elke ochtend beginnen met een aantal korte hoofdrekenopgaven is zeker goed, om de kinderen wakker aan het rekenen te laten beginnen. Het is niet voldoende om het ‘rekenen uit het hoofd’ te oefenen. Dat moet een onderdeel van de dagelijkse rekenpraktijk zijn. Soms blijkt ook dat zo’n vast hoofdrekenmoment, iedere dag in hetzelfde deel van de les terugkomend, op den duur toch tegenzin bij de kinderen oproept.
Elke leraar zal opgaven kunnen bedenken die bruikbaar zijn. Als zulke hoofdrekenopgaven gegeven worden, dan moeten de kinderen horen of ze de opgaven goed gemaakt hebben. Voor de hand ligt het, om de kinderen op een blaadje de antwoorden te laten opschrijven en daarna de goede antwoorden te geven. Een bezwaar is echter, dat -zelfs als de som nog eens herhaald wordt- de kinderen al veel te ver verwijderd zijn van het rekenmoment: de antwoorden blijven lege getallen. Veel beter kan -vooral in de lagere klassen- bij iedere opgave ook de rekenmanier(en) en het antwoord besproken worden. 87
In de tweede klas geeft meester soms een ‘kettingsom’ op. Dat is een doorlopende reeks opgaven, waarbij de kinderen de tussenantwoorden niet mogen zeggen: 4 + 4 = tel daar 2 bij op: vermenigvuldig dat getal met 5, dat is…: doe dat getal door de helft trek daar 7 af als je door 3 deelt, krijg je … De leraar loopt snel door de klas en laat zich de antwoorden in het oor fluisteren. Al naar gelang het antwoord goed of fout is, geeft hij de kinderen een tikje op het hoofd of trekt hij aan hun neus. “Wanneer heb je het nu goed? Als je getikt wordt, of bij de neus genomen bent?” Dat weten de kinderen als meester zegt: “Alle kinderen die getikt zijn roepen het antwoord!” Dan klinkt pas: “zes!” Maar daarmee is het nog niet gedaan, want aan een flegmatisch kind dat het antwoord verkeerd had, wordt nu gevraagd: “Wat was de opgave eigenlijk?” Voor een flegmaticus is het niet moeilijk dat te onthouden. Dat weet hij beter dan de snelle, sanguinische rekenaar, die de hele opgave al weer vergeten is. Als de opgave nog eens klinkt, roepen ook een paar langzame rekenaars van harte: “Oh, ja, nu heb ik het ook!” En aan het melancholische kind wordt gevraagd: “Waar ging het nu fout?” Dat blijkt bij het delen door 3 te zijn. “Dat gebeurde mij vroeger ook altijd”, zegt meester eerlijk en voor het melancholische kind zegt hij nog even: “Je moet gewoon denken aan 3 x 6 = 18, want dat weet je allang.” “Oh”, zegt het kind, “dan kan ik het ook!” Maar een paar andere kinderen roepen al: “Meester, nog een som, nog een som!”
3.2 De tafels
“Het vermenigvuldigen is nog maar net geïntroduceerd, of men brengt het kind er al toe zich de tafels als geheugenstof eigen te maken”, aldus Rudolf Steiner.
Inleiding
De tafels van vermenigvuldiging nemen in het rekenen op de vrijeschool een bijzondere plaats in. Het gaat namelijk niet alleen om rekenen, maar ook om geheugenvorming. Door het getallenritme dat aan tafels ten grondslag ligt, werkt het ritmisch oefenen ervan direct versterkend op het etherlichaam en draagt daarmee bij aan de grondslag van het geheugen. In de eerste drie klassen wordt het wakkere (tijds)bewustzijn geleidelijk meer aangesproken. Het kinderlijke bewustzijn is er nog ingebed in het middengebied, het ritmische systeem, het is daarmee nog een ‘dromend’ bewustzijn. Dit bewustzijn stimuleren we door de tafels aanvankelijk geheel in te bedden in het ritmische bewegen. Daaruit wordt dan de ‘tafelleerstof’ gewekt en opgenomen in het meer op het wakkere denken stoelende (tijds)bewustzijn dat we vanaf de overgang naar het negende en tiende jaar steeds directer gaan aanspreken. Voortkomend uit het tellen en de basisbewerkingen ontwikkelt zich de leerstof rond vermenigvuldigen deels parallel aan de tafels van vermenigvuldiging en deels uit het ritmisch oefenen ervan. Van de relaties die zo ontstaan zal de leraar zich bewust moeten zijn. De tafels van vermenigvuldiging hebben in het rekenen binnen drie gebieden een plaats. Allereerst moet de relatie, die bestaat tussen de regelmaat van de tafelrijen en de ritmiek van het bewegen, genoemd worden. Bewegen en tafels zijn onlosmakelijk verbonden. 88
In de tweede plaats zijn de vermenigvuldigingsstructuren, die in het tafelrekenen frequent gebruikt worden, nauw verwant met kwaliteiten, zoals die in het rekenen van de eerste klas een belangrijke plaats hebben gekregen, (zie blz. 35) En ten slotte biedt de studie van de tafels, onder andere door het ontdekken van structuren en ‘regelmatigheden’, de mogelijkheid iets van de schoonheid van de wiskunde te tonen. Kijk bijvoorbeeld op blz. 112, waar een tafelster is afgebeeld. En op blz. 93, waar de ritmiek van een bewegingsspel door leerlingen in beeld is gebracht.
Het vermenigvuldigen
Voor we hier het ‘tafelwerk’ in de klassen beschrijven, kijken we eerst naar de ontwikkeling die de bewerking vermenigvuldigen doormaakt. We beginnen met te bedenken wat vermenigvuldigen is. Met de wiskundige definitie ‘vermenigvuldigen is herhaald optellen’ wordt wel de kern geraakt, maar is men er didactisch nog niet uit. Waarschijnlijk kunnen we een vingerwijzing vinden bij rekenaars uit het verre verleden. In het oude Egypte werd bijvoorbeeld de deling 45 : 5 geformuleerd met de vraag: tel met 5 tot 45. Antwoord: 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Hoeveel stappen? Negen, dus 9 x 5 = 45 en 45 : 5 = 9. Ziehier hoe tellen, verkort tellen, vermenigvuldigen en delen op een natuurlijke wijze samenhangen. Wie goed kijkt ziet ook nog de tafel(rij) van 5 in het voorgaande. Wat is vermenigvuldigen nu precies, was de vraag. Welnu, vermenigvuldigen is een bewerking die te beschouwen is als een verkorte telling. Maar er is meer. Bepaalde vormen om ons heen nodigen uit tot handige, verkorte tellingen. Neem bijvoorbeeld het rechthoekige stippenpatroon hieronder (vraag: hoeveel stippen?)
Of het tegelplateau voor de school, of de raampjes in het venster, of de snijpunten van het rooster, of de eieren in een doos, of … Het zijn in feite allemaal vermenigvuldigstructuren. Tellen van de aantallen (stippen, tegels, raampjes, enzovoort) voert tot vermenigvuldigen.
De genoemde voorbeelden zijn allemaal van eenzelfde structuur, in feite gaat het om de (oppervlakte van een) rechthoek. Er zijn ook andere vermenigvuldigstructuren. Neem bijvoorbeeld het boomdiagram, dat tot stand komt bij een telprobleem als het volgende: Er zijn speelgoed bouwstenen in de aanbieding: witte, rode en gele stenen van twee formaten: grote en kleine. Uit hoeveel verschillende soorten kun je kiezen?
89
Hoe tel je? Of je nu de stenen erbij hebt, of niet, het tellen moet op basis van een goede organisatie gebeuren. Bijvoorbeeld: neem een wit blok, dan heb je twee mogelijkheden, wit-groot en wit-klein. Dat geldt ook voor rode blokken en gele. Dus drie keer twee. Of, iets simpeler: 2 + 2 + 2. En je kunt natuurlijk ook nog één voor één tellen: wit-groot, wit-klein, rood-groot, rood-klein, enzovoort. Dat laatste doe je eerder als je de echte blokken erbij hebt. Dit is een didactische aanwijzing; wie de leerlingen van tellen tot vermenigvuldigen wil brengen en met concreet materiaal werkt, moet hen de stap laten maken van het tellen van elk ding afzonderlijk tot het tellen van groepjes. Bijvoorbeeld hoe vaak je een groepje van twee hebt. Daarbij worden ook de taalbegrippen één keer, twee maal, enzovoort gevormd. Wordt zonder concreet materiaal, dus meer voorstellend gewerkt, dan roept een structuur de bewerking ‘vermenigvuldigen’ op.
Een bijna zelfde structuur past bij het ‘muis-en-kaas probleem’: een muis kan naar de kaas toe op verschillende manieren. Op het eerste stuk van de route kan hij uit drie poortjes kiezen, op het tweede deel uit twee poortjes. Op hoeveel manieren kan de muis bij de kaas komen?
Van een ander karakter is de vermenigvuldigstructuur die met sprongen op de getallenlijn is uit te beelden:
Wie hier bij telt, zegt zoiets als een, twee, drie, vier, vijf, zes, … Of, in een ander ritme: twee, vier, zes, acht. Dit zelfde telwerk kun je verrichten bij het per twee tellen van de kralen aan het volgende snoer:
90
Deze structuur past bij bewegingen, die door regelmatige patronen en ritmiek worden begeleid. Hier doen de kinderen in de vrijeschool ongemerkt de eerste ervaringen op met de tafels. De bovenstaande vermenigvuldigstructuren zijn niet voor niets gevisualiseerd. De kinderen doen dat ook, als ze hun ervaringen met tellen of bewegen volgens de ritmische tafelrijen op schrift mogen zetten. Bij die gevisualiseerde structuren kan later steun gezocht worden. Bijvoorbeeld om een rekenstrategie te zien of een eigenschap te onthouden.
Zie je hier niet gemakkelijk dat 4 x 8 hetzelfde is als 4 x 5 + 4 x 3? En gebruik je die eigenschap niet als je het aantal raampjes snel wilt tellen: 20 plus 12, dat is 32. Oh ja, het zijn er 8 x 4!
Vermenigvuldigen volgt, zo opgevat, dus (rechtstreeks) uit het tellen. Als je dat standpunt inneemt, wordt het voorbereidend werk voor de tafels spannend en interessant. Bewegen en tellen! De weg via de herhaalde optelling, waarlangs de tafels stapje voor stapje worden opgebouwd en gememoriseerd, steekt daar saai bij af.
Er is nog meer van te zeggen. De aandacht voor vermenigvuldigstructuren is vergelijkbaar met de aandacht die in de eerste klas werd besteed aan ‘kwaliteiten’ (zie blz. 35). Toen was er de overtuiging dat getallen meer zijn dan (kale) representanten van (abstracte) hoeveelheden. Ze vertegenwoordigen bijvoorbeeld ook fraaie vormen in de natuur en vertellen een geschiedenis van het denken. Voor vermenigvuldigen geldt iets dergelijks. Het is niet alleen een rekenkundige bewerking met (kale) getallen, die precies één uitkomst heeft. Vermenigvuldigen vertegenwoordigt onder meer ritmische bewegingen, mooie patronen en structuren en is het gevolg van denkwerk bij lastige telproblemen.
Het gebied van het vermenigvuldigen is veel uitgestrekter dan dat van de tafels. Tafels ‘gaan’ van 1 x 1 tot 10 x 10 (of 12 x 12, daarover komen we nog te spreken). Eigenlijk is dit niet waar, tafels kun je zo lang laten doorlopen als je zelf wilt:
In het tweede boekje is een fout geslopen. Wie ziet de fout? Wie kan bedenken hoe die fout erin gekomen is?
91
Maar het deel van de tafels, dat we uit het hoofd moeten kennen, is begrensd. Waarom moeten kinderen zo’n 100 tafelproducten uit het hoofd leren? Het antwoord op die vraag is eenvoudig: de tafels zijn onmisbaar bij het hoofdrekenen, schattend rekenen en cijferen. Dit geldt overigens ook voor de optel- en aftrektafels tot twintig. De bedoelde tafelkennis is gemakkelijk in kaart te brengen. Alle producten, die geleerd moeten worden, zijn in een 10 x 10 tabel onder te brengen:
In de loop van de derde klas, als de kinderen zich langzamerhand deze tafelkennis bewust, ‘wakker’ verworven hebben, kunnen ze de tabel gebruiken om hun eigen vorderingen bij te houden. Het was in de tweede klas al opgevallen dat dezelfde producten twee keer voorkomen. Eigenlijk hoef je maar de helft te weten, immers 5 x 9 = 45, en ook 9 x 5 = 45. Iets minder voor de hand liggend: 3 x 8 = 24, en ook 6 x 4 = 24 (verdubbel en halveer). En kijk eens naar de laatste kolom, de tafel van 10. Daar valt niet veel aan te ‘leren’. Hoe zit dat met de voorlaatste kolom, de tafel van 9? Hoe kom je bijvoorbeeld aan 7×9, dat lastig te onthouden product? Dan kijk je in de tafel van 7, naar 10 x 7 = 70. Je ziet dat 9 x 7, één stapje van 7 minder is dan 70: dus 63.
Met de laatste beschouwingen is veel meer naar voren gekomen dan kale tafelproducten. De relaties tussen de tafels werden er zichtbaar. Ook die relaties dienen deel uit te maken van de tafelkennis. Dat betekent dat bovenstaande tabel eigenlijk niet een juist beeld geeft. Tafelkennis moet meer gezien worden als een netwerk (zie blz. 96) van vermenigvuldigingen, dat op allerlei manieren samenhangt.
In de tweede klas, de tafelklas van oudsher, wordt vooral gewerkt aan het inbedden van de tafels in het ritmische geheugen. Later in het jaar zal de tafelkennis hieruit steeds vaker gewekt worden. Dat betekent dat we de kinderen ook producten laten reconstrueren. Daarmee bedoelen we dat ze nog niet gememoriseerde tafelproducten (handig) uitrekenen op basis van tafelproducten, die ze wel al kennen. 92
Kinderen in de derde klas kunnen hun eigen tafelnetwerken maken, soms in kleine groepjes, als eigen producties. Het geeft een goede mogelijkheid om de kennis nog eens op te halen en aandacht te besteden aan de verschillende manieren, waarop de relaties tussen de producten (vermenigvuldigingen) tot stand kunnen worden gebracht. Door onderzoek is gebleken dat kinderen, die op de oude manier de tafels leerden, spontaan dit soort rekenstrategieën uitvonden. Helaas werd er meestal geen aandacht aan besteed, en ging de meerwaarde voor hoofd- en schattend rekenen weer verloren. Dit werken aan rekenstrategieën doen we onder andere door de kinderen daartoe uit te dagen, via geschikt gekozen opgaven (wat voor het ene kind reeds parate kennis is, levert voor het andere kind nog geschikte rekenstof op!), en ze vervolgens aan het woord te laten over hun oplossingsmethode. Natuurlijk met de opdracht aan de anderen om goed te luisteren en zo mogelijk de eigen oplossing er naast te zetten of aan te prijzen. Zoiets wordt ook mooi op schrift gezet, met gebruikmaking van de vermenigvuldigstructuren, die hierboven genoemd zijn. Het sluit aan bij het gewone rekenwerk. Daar komen ook af en toe de toepassingen onder de aandacht (zie H 2.5).
Van beweging naar voorstelling
Na de tel- en de strategie-ingang tot het vermenigvuldigen en de tafels, komt nu het bewegen aan bod. We kunnen in het leren van de tafels vijf fasen onderscheiden. Eerst brengen we de kinderen in de beweging tot de beleving van de telrij, de tafelrij en de tafelproductrij. Hoe gaat dat in zijn werk? De volwassene kan zich van te voren een handeling die hij gaat verrichten voorstellen. Het kind gaat de omgekeerde weg. Het zal de rij eerst levendig moeten ervaren voordat het zich deze beleving als voorstelling bewust kan maken.
Een paar dagen geleden, na die heftige herfststorm, hadden we in de laan achter de school eikels geraapt. Ik had ze ook al gebruikt tijdens de rekenles. Ze zijn een beetje groter dan bonen en je hebt er al snel heel wat bij elkaar. Ik had verteld over kabouters die zo wijs waren dat ze ook goed konden rekenen. En ik had dat gedemonstreerd met Jacobus, onze lappenkabouter, die altijd alles wist wat er in de klas gebeurde. Hij bleek samen met mij verrassend goed te kunnen rekenen. Vandaag vertelde ik over kabouters die in het bos eikels verzamelden om ze aan de dieren, in de winter, te kunnen uitdelen. Hele manden vol verzamelden ze en deelden die dan later weer uit.
93
94
Dat speelden we na. In een lange slinger liepen we door de klas. Steeds deed ieder een greep in de denkbeeldige tas die hij droeg en deelde vervolgens drie denkbeeldige eikeltjes in het rond. Daarbij werd steeds gezegd: ei – kel – tje, ei – kel – tje, ei – kel- tje. Waarbij na ‘tje’ weer een nieuw greep in de tas gedaan werd. Zo ontstond als vanzelf in een gebaar het ritme van twee korte, gevolgd door één lange. Maar dan ga je ook tellen hoeveel eikeltjes de kabouter uitdeelt en met dezelfde gebaren tel je:1I 2 3 4 5 6 7 8 9 … Dat kun je ook lopen met telkens drie stapjes: kort, kort, lang; kort, kort, lang, enzovoort.
Zo zorgde ik ervoor dat de kinderen zich betrokken konden voelen bij de oefening van de ‘telrij van 3’. In de volgende dagen legde ik tijdens de activiteit steeds meer de nadruk op de concentratie. De kinderen ervoeren dat er met de oefening een appel op hen gedaan werd: “Maaike, misschien vind jij tellen niet zo moeilijk, maar vinden je voeten dat ook? Houd ze in de gaten, die stappers, want voor je het weet tellen ze verkeerd!”. Nu komt het er op aan dat er precies gelijk begonnen wordt, met dezelfde voet, dat er in het juiste ritme gelopen wordt en dat we precies gelijk eindigen, met de goede voet!
Je zoekt bij dit ritmische tellen naar passende bewegingsvormen, waarin nog iets van kwaliteit van de getallen beleefbaar is. Maar je zorgt er ook voor dat de beweging exact is, zodat het kind greep krijgt op de krachten die je met het bewegen wilt vrijmaken. Al weet je dat dit proces in de eerste klas nog grotendeels ‘dromend’ verloopt, binnen het met de natuurlijke beweging en de spraak verbonden ritmische bewustzijn. Dat geldt ook nog bij het aanleggen van de tafelrij zelf: 3, 6, 9, … die uit de telrij voortkomt wanneer de overige getallen, eerst alleen in gedachten en vervolgens helemaal niet meer, gezegd worden. De tafelrij nu hardop zeggen, ook in omgekeerde volgorde en met een sprongetje erbij, brengt het wakkere bewustzijn al iets nader. Voor dit bewustzijn geldt: Je beheerst iets pas echt wanneer je het ‘heen en terug’ kunt doen. Omstreeks de tweede klas oefenen we de tafelproductrij. Dat is een rij waarbij ook het aantal ‘keren’ genoemd wordt. Dat is al veel abstracter. Het is de x-tafel in zijn traditionele vorm: 3 = 1 x 3 en 1 x 3 = 3 enzovoort. De bewegingen die daarbij als steun dienen, hebben vaak het volgende karakter:
3 klap = armen in = houding 1 handen op de schouders x onderarmen kruisen 3 klap 95
Toch draagt al dit klappen, stampen, lopen en springen het gevaar in zich, dat niet meer bereikt wordt dan een begriploos kennen van een liedje. In de volgende (tweede) fase gaat het juist om het bewustmaken van dat, wat door middel van het bewegen beleefd kan worden. Dat kan op verschillende manieren. Bijvoorbeeld door in de beweging deze te doorbreken.
“Kinderen, we springen nu met de ‘rij van drie’ over de beek, van de ene steen op de andere Toen we voorbij 18 waren riep ik ineens: “Stil, een vis. Nu vier heel voorzichtige passen tot de overkant, anders zwemt hij weg. Ik wil ook niets horen. Pas als we daar met de vierde pas aankomen spreken we luid verder. Ik ben benieuwd wie dan het juiste getal nog weet.” En toen gingen we, in vier grote passen. Daar klonk ook al luid en duidelijk: 30! Niet alleen in de onderbreking van de beweging, ook in allerlei toepassingen kan aan het gewone bewustzijn geappelleerd worden. “Merian, Gerben, Indra en Elja, steken jullie eens ieder één hand in de lucht.”… “Wie nu weet hoeveel vingers er in de lucht gestoken zijn, gaat staan! Corrie, jij mag het zeggen. (… 20 …). En jij Peter wat dacht jij? (… 20 …). En jij …? Goed zo, want 4 keer 5 is 20. Nu nog eens allemaal zodat we het niet vergeten: 4 keer …” Zo, in het vlugge staan had ik meteen gezien wie dit nu door hadden.
In de hierop volgende (derde) fase gaat het om te beschouwen wat bewustgemaakt is. Vermenigvuldigen wordt nader verkend in concrete situaties. Er wordt bijvoorbeeld kat en muis gespeeld. Er worden daarbij ook vermenigvuldigstructuren afgelezen aan de realiteit en op meer schematisch niveau onderzocht.
Ik liet mijn kinderen in de derde klas hun eigen tafelnetwerken maken als eigen producties. Soms deden ze dat in kleine groepjes. “6 x 7. Wie weet dat ? … Het zit maar één stap van 5 x 7. Dat is de helft van ? …(10 x 7), dus van …(70), dat is …(35). Nu vind ik 6 x 7 door 35 + …(7) dus …(42).” Samen stelden we het netwerk op …
Een uitvoerig tafelnetwerk kwam er dan bijvoorbeeld zo uit te zien:
96
De kinderen leren ook welke situaties aanleiding geven tot vermenigvuldigen.
De bewustmaking vindt natuurlijk ook plaats in het schriftelijk werk. Een individuele leerling kan niet iets doen als hij niet weet wat er gebeuren moet. Dat kan in een groep wel, als een ander van de groep het weet. Bij dit alles wordt tafelkennis opgebouwd. De toepassingssituaties worden in het hoofdrekenen niet weggelaten en vermenigvuldigstructuren kunnen een modelfunctie krijgen. Ook nieuwe tafel(product)rijen worden, vaak op basis van oude tafelrijen, geleerd. Er worden al verschillende tafelproducten in de loop van de tweede klas gememoriseerd.
De nu volgende (vierde) fase is te karakteriseren als: Memoriseren en automatiserenvan hetgeen bewust gemaakt is. Nu gaat het om gericht oefenen. Er mag bij het memoriseren van tafelproducten ook gerekend worden; daarbij valt te denken aan het voorbeeld dat hiervoor met 6 x 7 is getoond. Er wordt nu gericht geoefend, met bewustzijn voor wat nog niet gekend wordt. Daarbij kunnen leerlingen elkaar ook individueel helpen; samen moeten ze het door oefenen zover brengen. Daarmee wordt het rekenen ook een sociale aangelegenheid.
Ik werkte nu met tennisballen; bij het vangen is daar meer bewustzijn voor nodig dan met pittenzakjes. Ik gaf een rekenopdracht, wachtte even en wierp vervolgens de bal naar een van de leerlingen, die hem direct, onder het uitspreken van het juiste antwoord, terug moest gooien. Daarbij lette ik erop mijn vragen zo te stellen dat de betreffende leerling het juiste antwoord ook geven kon. Als je zoiets niet al weet uit je kennis over die leerling, kun je het vaak aflezen aan de oogopslag. Door dat zo te doen voorkom je dat de andere leerlingen zich bij dit ‘zakjes- of balrekenen’ verkeerde (maar gehoorde) antwoorden inprenten. Door de handeling van het terugwerpen samen te laten gaan met het uitspreken van het antwoord, wordt het automatiseren ai subtiel voorbereid. Ik stelde daarbij mijn vragen vaak zo, dat er impliciet rekenstrategieën aan ten grondslag lagen (zie blz. 66). Ik werkte ook met de ‘Keersom van de week’. Dat is een lastige tafelsom, bijvoorbeeld 56 = 7 x 8, die al voor het begin van de les groot en mooi op een van de borden stond. Nadat we het bewegende deel van de les afgesloten hadden en de som door het inmiddels opengeklapte bord al lang niet meer zichtbaar was, vroeg ik: “Wie heeft gezien welke som hier opgeschreven was? … Het is een lastige som uit de tafel van 8 … En ook een lastige uit de tafel van 7… Wat kan het zijn?” Hadden ze hem gevonden, of wist iemand het nog, dan werd het bord teruggedraaid. 97
Er werd vervolgens, met enige bombarie, een (deel van) tafelnetwerk toegevoegd. Het bord bleef nog een tijdje open staan, zodat iedereen er goed naar kon kijken. Aan het eind van de les spraken we er nog een keer over. De volgende morgen stond het er nog steeds. Weer praatten we erover en plechtig veegde ik de som uit. “Ik ben benieuwd wie straks nog weet wat daar stond!” Later worden de plekken van de verschillende keersommen van de week nog eens aangewezen. ”Wie weet wat er hier achter op het bord staat?… En hier?… En in deze hoek hadden we hem uitgeveegd, wat stond daar?… En op deze plaats?… Met welke som waren we begonnen?…” Tenslotte klapte ik het bord weer open en we verheugden ons over de goed gegeven antwoorden. Zo’n ceremonie werd dagelijks opgevoerd. Hoe specialer ik het wist te maken, des te beter zoiets bleef hangen. Na elke dag stond er minder op het bord. Na een paar dagen stond er zelfs helemaal niets meer. Toch werd de ceremonie nog gehouden. “Wie weet wat hier stond?… En daar?” Ik deed dit in de derde klas om het geheugen aan te spreken.
Memoriseren onderscheidt zich van automatiseren, waar het uiteindelijk om gaat, doordat bij memoriseren nog gerekend kan worden, terwijl het bij automatiseren, naast het inprenten van feiten, vooral gaat om greep te krijgen op wat reeds in het ritmische geheugen verankerd is. Daaraan draagt het leren van de tafels bij door de vorming van het tijdsgeheugen. Het kind zal tenslotte vrij kunnen beschikken over een relatienetwerk van rekenfeiten. Het kan dit naar eigen willekeur ‘oproepen’ en bij rekenproblemen praktisch, in gedachten handelend, gebruiken. Daarmee openbaart zich dan de wil in het denken. Deze ontwikkeling is nodig. Het kind zal later beter in staat zijn bewust (vanuit zijn Ik) richting te geven aan zijn voorstellingen en handelingen. Je leert het als het ware uit te groeien boven gevoelens van sympathie en antipathie, die vooral vanuit de ziel associërend het voorstellingsleven sturen.
Op het bord had ik drie keer, kris kras door elkaar, de getallen uit de tafelrij van 6 opgeschreven. Welke groep, die bij het raam, die aan de deurkant of die uit de middelste rij, zou als eerste in de goede volgorde zijn tafel op het bord uitgeveegd hebben? Je mag pas naar voren komen als degene voor jou het juiste getal gewist heeft. Steiner geeft deze oefening speciaal voor flegmatici. Een cholericus wordt in de volgende oefening aangesproken: De klas was in een rij opgesteld. Kay stond er met zijn korte gedrongen gestalte voor. De leerlingen waren bezig een tafelproductrij te zeggen. Steeds als een tafelgetal klonk deed de klas een stap vooruit en Kay twee stappen achteruit. Maar na elk tafelproduct noemde Kay een verkeerd getal als afleider van het volgende product en deed daarbij zelf een stap vooruit. De anderen moesten nu eerst dit getal herhalen voor ze het volgende tafelproduct uitspraken. Maakte ook maar één kind een vergissing dan moest de hele klas een stap terug doen.
Ik werkte ook met flitskaarten. Dat zijn kaarten op briefkaartformaat, met aan de ene kant de opgave en aan de andere kant het antwoord. Ik stak zo’n kaart even in de lucht. Zo kort dat er niet gerekend kon worden. Daarna moest meteen het antwoord paraat zijn en opgeschreven worden. 98
Zwakke rekenaars gaf ik zo’n stapeltje kaarten op hun bank. Terwijl ik tijdens het schriftelijke werk in de klas rondliep, oefende ik met een van die kinderen even individueel. Nu eens begon ik met het antwoord, dan weer met de opgave. Ik zorgde ervoor dat het stapeltje dun was en haalde de kaarten weg zodra het kind de antwoorden kende. Zo merkte het dat oefenen resultaat oplevert.
Ten slotte is er de (vijfde) fase van consolideren en beschikbaar houden. Rekenen is een vak dat middels het bewegingsorganisme van de mens gewekt en ontwikkeld wordt. Evenals voor het bewegingssysteem van de mens geldt: ‘wat niet geoefend wordt, gaat weer verloren’. Daarom duurt deze fase tot het eind van de schooltijd. De vastgelegde kennis moet onderhouden (ook de bronnen van inzicht, die van de tafelkennis een infrastructuur maken, mogen niet opdrogen!) en regelmatig aangesproken worden. Dit laatste vooral ook in toepassingssituaties, die van rekenkundige en ook van realistische aard kunnen zijn.
Het is duidelijk dat voornoemde vijf fasen wel te onderscheiden zijn, maar tijdens het onderwijs niet gescheiden worden. Het komt zelfs veelvuldig voor dat tijdens eenzelfde lesonderdeel de ene leerling zich in een andere fase bevindt dan zijn buurman of buurvrouw.
Het is belangrijk dat we ons realiseren welke mogelijkheden we hebben om de kinderen met de tafels in aanraking te brengen. We lopen daarom het tafelrekenen nog eens na zoals het zich in de verschillende klassen manifesteert.
De praktijk in de eerste klas
Het rekenen in de eerste klas staat nog in het teken van het beleven van de ‘kwaliteiten’ van getallen, structuren en reeksen. Daarbij komen natuurlijk ook aspecten van het tafelrekenen aan de orde, omdat deze nu eenmaal binnen dit geheel hun plaats hebben. Ze worden echter nog niet als een afzonderlijk onderdeel van het rekenen behandeld. Nog neemt het structureren, het leren kennen van reeksen (waaronder tafelrijen) en het rekenen tot 20 (24), de belangrijkste plaats in.
HET BELEVEN VAN DE TAFELS (RIJEN)
Lopen van ritmes
Het accentueren van twee- en drieritmes in de getallenrij behoort tot de ‘grondoefeningen’ in de eerste klas. Toch is het eigenlijk niet zo vanzelfsprekend voor kinderen om een getallenrij te lopen in het ritme 1 2 3 4 5 6 … Men moet dit klappen of lopen op een ritme eerst voorbereiden. Laat de kinderen eerst lopen in het herhaalde ritme van 1 2 1 2 1 2… en 1 2 3 1 2 3 1 2 3… alvorens je de hele rij gaat lopen. Al eerder, ook buiten het rekenen, kunnen de kinderen een ritme oefenen door lopen of klappen. Daartoe zijn gedichtjes en versjes in een vast ritme zeer geschikt. In de eerste rekenperiode kan men dus vruchten plukken van de ritmische oefeningen uit de (meestal) voorafgaande taalperiode. 99
Hoe geef je het lopen van een ritme zo vorm dat de kinderen het bewegen niet beleven als versiering, en ze zich erbij betrokken voelen? Allereerst door uit te gaan van een beeld, zoals dat bijvoorbeeld beschreven is in hoofdstuk 2 over het rekenen in de eerste klas. Een boertje loopt op een slof en een klomp 1 2 1 2 1 2 … en later gaat hij lopen 1 2 3 4 5 6 …
Het lopen van karakteristieke vormen
Bij het bewegen op de getallenrij is het van belang dat de oefeningen ook ruimtelijk worden uitgevoerd. Daarmee ondersteun je de ervaring dat de getallenrij een voortgaande reeks is. Het handigste is wanneer er een zaal ter beschikking staat. De rijen kun je heen en terug lopen. Dat hoeft niet altijd achterwaarts te gebeuren; wanneer de kinderen in een rij lopen, is het veel praktischer om ze ook terug gewoon vooruit te laten lopen; dat voorkomt veel onrust en gebots. Wanneer een oefening zo gedaan wordt dat de kinderen vrije ruimte achter zich hebben zoals bij oefeningen in een kring, waarbij naar het middelpunt toe bewogen wordt, of bij het lopen in een frontale rij, is het voor- en achteruit lopen juist wél zinnig. Het werkt namelijk incarnerend.
Nu enkele voorbeelden van zulke ruimtelijke vormen:
Met de 1-2-rij: de kinderen staan in de kring en zijn om en om kabouter en elf. De kabouters blijven eerst staan en tellen, de elven lopen daarbij in twee stappen in een boogje naar voren om een elfje heen. Terugtellend bewegen de kabouters en tellen de elfen.
Met de 1-2-3-rij:de kinderen gaan in de vorm van driehoeken staan (ook de kring-vorm is mogelijk) en zijn genummerd 1, 2 en 3. Nu loopt -al tellend- 1 naar 2, 2 naar 3 en 3 naar de lege plaats. Deze vorm is ook te doen in één beweging, waarbij alle kinderen tegelijk gaan lopen. Zo zijn er voor andere rijen ook legio vormen te bedenken. Maar pas op voor al te gekunstelde opdrachten bij de bewegingsvormen. Even bij de leerkracht euritmie te rade gaan, kan heel zinvol zijn, vooral als in de euritmieles de vormprincipes al voorbereid kunnen worden. 100
TELACTIVITEITEN
Pittenzakjes
Met pittenzakjes op het 1-2-ritme, het zakje van de ene in de andere hand pakken. Ook door het zakje van de ene in de andere hand te laten vallen, of het overpakken voor en achter het lichaam te doen. Met het 1-2-3-ritme het zakje voor het lichaam op 1 en 2 van de ene hand in de andere doorgeven en op 3 achter doorgeven. Zo ook vormen met 4 en 5.
Tennisballen
Tellen met een tennisbal door hem, individueel of in tweetallen, op de grond te stuiteren.
Klautervormen
(vanaf de drie-rij) bijvoorbeeld:
• 1: één been op de stoel • 2: twee benen op de stoel • 3: sprong op de grond.
Tellen met sprongen
Zoals onder andere gebeurt bij het tellen van kralen aan een ketting. Als het patroon daartoe aanleiding geeft, helpt deze handeling het één voor één tellen los te laten. Vooral als de ketting klaar is -met knoopjes aan de uiteinden- en de kinderen de hoeveelheden schuivend kunnen tellen. Er zijn verschillende mogelijkheden: Het rijgen van slingers met echte kralen, bijvoorbeeld om en om drie rode en drie gele. Het rijgen van gelegenheidskettingen met bijvoorbeeld rozijnen en stukjes gedroogde appel enzovoort, bij feesten als Palmpasen. Het ‘rijgen’ zonder draad: de kinderen leggen bijvoorbeeld om en om vier witte bonen en vier bruine bonen neer. In deze losse vorm moeten de kinderen nog bewuster de aparte groepjes verschuiven; het tendeert naar grote hoeveelheden tellen via groepjes.
OP WEG NAAR BEWUSTMAKING VAN DE ERVARING
Allereerst is het belangrijk dat, waar mogelijk, de bewegingsvormen ook hun neerslag op papier krijgen. Uiteraard is daarbij de volgorde: eerst doen, dan pas tekenen. Een bewegingsactiviteit wordt eerst enkele dagen gedaan, alvorens er wat op papier komt. Het gaat er dan om dat de kinderen op een of andere manier de beweging tekenen. Dat kan heel concreet doordat ze tekenen wat ze geteld of gedaan hebben. Het wordt wat schematischer als bijvoorbeeld de getallen langs een getekende ketting, een snoer of een weg worden gezet. Door op die manier verbanden tussen verschillende lesonderdelen te leggen, leren de kinderen de bewegingsoefeningen ook als betekenisvol ervaren. Voorbeelden:
Het representeren (= tekenen) van ritmes langs de getallenlijn
Eerst, met name als de kinderen nog geen Arabische cijfers schrijven, meer door gewoon te tekenen wat ervaren is, dan door de cijfers erbij te zetten. 101
102
Kralensnoer
Het representeren van kralenrijgen (tekenen, na ze eerst gelegd of geregen te hebben, later ook zonder concrete vooroefening) in het schrift. De opdracht zou kunnen zijn: Teken een ketting met telkens rood, wit, groen, geel. Schrijf steeds onder de volgende rode kraal hoeveel kralen je tot dan toe geregen hebt. Of: Teken een kralenketting van telkens zes gelijke kralen en gebruik 48 kralen. Bij alles wat de kinderen zo in kaart brengen, is het van belang dat de regelmaat ook verwoord wordt, bijvoorbeeld: “Aan mijn ketting zitten 3-6-9-12-15-18 kralen”. Daarbij zijn de kinderen zich al tekenend steeds bewust van: “Wat ik nu teken, hebben we ook gedaan.”
Hier past weer een opmerking over de getallenlijn, die een schematisch beeld geeft van de getallenrij. Het is als het ware een representatie van de getallen, geordend naar grootte. Daarmee wordt het mogelijk ook bepaalde ritmes te representeren, omdat ritmes gebaseerd zijn op regelmatige patronen in de rij. In de loop van de eerste klas kan de getallenlijn (tot 10, 20 en later tot 100) heel goed geïntroduceerd worden als tekening, van wat in de beweging gedaan is.
Zo’n getallenlijn kan een tijdlang achterin de klas als waslijn aanwezig zijn. De getallen zijn op A-4’tjes getekend en die zijn met wasknijpers opgehangen. Kinderen mogen hun mooiste getal ophangen. Als je dat mag doen, heb je je getal natuurlijk erg mooi ‘getekend’. Zoiets kun je leuk doen wanneer je van de Romeinse cijfers overstapt op de Arabische. Daarmee wordt de getallenlijn een vertrouwd gegeven, waarvan ook gebruik kan worden gemaakt bij het optellen en aftrekken (zie blz. 55).
Tot nu toe hebben we de kinderen telrijstructuren laten beleven, door ze expliciet aan te bieden: loop eens zo, teken eens zus, enzovoort. Nu gaan we de kinderen actiever betrekken bij het waarnemen en hen leren om zelf structuur aan te brengen.
“Kinderen, teken op je papier eens de blaadjes die van een boom dwarrelen. Ga maar door, tot ik ‘stop’ zeg.” De kinderen tekenen. Als ieder kind er tenminste een dertigtal heeft, moeten ze ophouden. “Kinderen, weet je wat je nu hebt? De foto die de boswachter maakte in het bos. Maar in plaats van bomen ziet hij alleen maar blaadjes. En hij denkt, hoeveel zouden dat er zijn? Hij pakt zijn potloodje en neemt er telkens …?” Enkele kinderen roepen getallen. “Voor deze keer nemen we: ‘zes bij elkaar’; en let op, als je ze bij elkaar zoekt, moet je de groepjes mooi laten aansluiten, …” Dan ontstaat de tekening, die door een van de kinderen ook als voorbeeld op het bord gemaakt mag worden. 103
“Nu tellen we hoeveel je er hebt. Tel je groepjes maar.” Al tellend vinden de kinderen hoeveel groepjes van zes ze hebben en klassikaal wordt geteld: 6, 12, 18, 24, …Kinderen onthoud welk getal bij jouw tekening hoort!’
Kastanjes
De zelf gevonden kastanjes of eikels geven mogelijkheden om te werken met gehelen (gestructureerde aantallen) en delen daarvan: “Leg eens tien eikels in twee gelijke groepen:”
Bedenk dat zo’n opdracht anders wordt, als er een bepaalde zin aan wordt gegeven. Dus je ordent de eikels niet alleen omdat de leraar dat zegt, maar bijvoorbeeld ook omdat je dan handig kunt tellen. “Leg die eikels zo neer, dat je buurman in één oogopslag kan zeggen hoeveel het er zijn”, luidt dan de opdracht. Het inbouwen van een conflictje leidt tot een reflectief moment, omdat de kinderen dan even stilstaan bij het nieuwe probleem. Bijvoorbeeld: “Leg die tien eikels in drie gelijke groepen.”
De klas ombouwen
Het verdelen van kinderen, bijvoorbeeld over een aantal groepjes, hoeft niet op een werkblad uitgetekend te worden. Af en toe zijn er prima gelegenheden om dat eens te oefenen, als bijvoorbeeld de klas moet worden omgebouwd voor een feest. “Kinderen kom met je stoeltje voor de klas staan.” Dan worden de tafels in feestopstelling gezet. Een kind mag nu de kinderen met stoeltjes over de tafels verdelen. “Aan elke tafel drie kinderen.” De volgende dag kun je tekenen, wat er de dag tevoren verdeeld is. In plaats van stoelen, kun je wellicht beter kinderen laten tekenen, want dat spreekt natuurlijk veel meer aan. 104
Zonnepitten in pootpotjes
Geef de kinderen een vel waarop 6 x 8 hokjes getekend staan (of laat ze het zelf tekenen). Eventueel op het bord uit te voeren. Nu krijgt ieder kind 34 boontjes. “Een bloemist stopt zonnebloempitten in een broeikasje, waarin 48 (6 x 8) pootpotjes zitten. Jouw boontjes zijn de zonnepitten. Ga maar verdelen, maar wel aaneengesloten leggen.” Vragen: • “Hoeveel boontjes heb je uitgelegd?” • “Hoeveel moet je er nog bijhalen om het broeikasje vol te maken?” • “Hoe is jouw ‘telsom’?”
Tellen van grote hoeveelheden
Je geeft de kinderen een flinke, willekeurige hoeveelheid boontjes en laat ze die bijvoorbeeld makkelijk tellen in tweetallen of drietallen, door ze in groepjes te verplaatsen. De gevonden verdeling natekenen in het schrift, en wie dat kan mag (op een later moment in de eerste klas) er ‘telsommen’ bij schrijven, bijvoorbeeld: 40 = 10 x 4 of 40 = 20 x 2 of 40 = 4 x 10 of iets dergelijks.
Hopelijk heeft iedereen tot nu toe voldoende inspiratie en inzicht gekregen bij het kennisnemen van de bovenstaande voorstellen en voorbeelden. Hier volgt nog een drietal opmerkingen:
Eigen producties van kinderen
“Bedenk zelf zulke sommetjes en teken ze” nodigt uit tot denkwerk en een reflectie op het eigen leerproces. De eigen bedenksels kunnen op tekenvellen gemaakt worden. Daarna houden we een ‘tentoonstelling’. De klas mag nu zeggen welk sommetje bij welke tekening hoort. Zulke vormen van ‘hoofdrekenen’ maakt het oefenen met gekopieerde werkbladen overbodig.
Differentiatie
De niveaus van de kinderen kunnen al direct behoorlijk uit elkaar liggen. Kinderen komen met verschillende bagage de eerste klas binnen, daarnaast pakken sommigen nu eenmaal de dingen sneller op dan anderen. Wordt het rekenen in de eerste klas alleen klassikaal en frontaal gegeven, dan gaan de vlugge leerlingen zich snel vervelen. Hun inzicht wordt mondjesmaat gehonoreerd, steeds moeten ze weer terug naar het niveau dat ze al overstegen zijn. Bij eigen producties kun je de snelle leerlingen ook iets moeilijkers te doen geven: laat ze eerst de klassikale opgave maken en zeg dan bijvoorbeeld: “Je hebt in jouw tekening nu 24 bloemen in bosjes van 4 verdeeld, kun je het nu ook met 28 bloemen? Kun je dat ook als een ‘sommetje’ opschrijven?” Voor kinderen, die de structuren in één keer overzien, kan het ontmoedigend zijn, steeds weer bloemetjes te moeten tekenen. Zij tekenen bijvoorbeeld liever:
105
Zwakke leerlingen zijn ermee gebaat, zolang het nodig is, het verdelen met boontjes of ander concreet telmateriaal uit te voeren. Stimuleer ze dit ‘makkelijke tellen’ in twee- of drietallen te oefenen. Het rekenen op de vingers helpt hen niet, integendeel zij zullen er aan blijven vastzitten en niet tot hogere niveaus van rekenen doorgroeien.
Het principe van vermenigvuldigen
In de inleiding werden Rudolf Steiners woorden geparafraseerd. Hij formuleerde het zo: ‘Maakt u de kinderen zo snel mogelijk bekend met het principe van het vermenigvuldigen en oefen dan de tafels met ze.” In dit leerplan wordt veel tijd geclaimd voor het bekend maken met de principes van het vermenigvuldigen. Dit is gedaan omdat in de praktijk gebleken is dat de sprong naar het vermenigvuldigen voor veel kinderen erg abstract kan uitvallen. Het ‘bekend maken met het vermenigvuldigen’ houdt namelijk niet in, dat de kinderen een definitie te horen krijgen, maar dat ze de principes al doende en reflecterend ervaren. Dat zou zo moeten gebeuren, dat ze het vermenigvuldigen niet als een extra moeilijkheid ervaren, maar juist als een vereenvoudiging.
De praktijk in de tweede klas
De tweede klas wordt wel de tafelklas genoemd. Alle tafels komen hier aan bod, hoewel dat niet wil zeggen dat alle leerlingen die ook aan het eind van de tweede klas uit het hoofd moeten kennen. Gestreefd wordt naar zoveel mogelijk parate kennis op dit gebied, verworven bij het oefenen van de tafelrijen vanuit de beweging en opgedaan tijdens het reconstrueren van tafelproducten op basis van ankerpunten (bekende tafels) en rekenstrategieën. De eerstgenoemde kennis is opgeslagen in de vorm van rijtjes (gehele tafels), in het tweede geval moet meer gedacht worden aan netwerken van producten uit verschillende tafels. De tafelkennis zelf, de wijze waarop die tot stand komt, de manier om het te onthouden en de aanpak om het kennisbezit uit te breiden, verschillen in beide gevallen. In de tweede klas kunnen beide kanten van het tafelwerk als aanvullend beschouwd worden. Elke leraar moet aanvoelen waarop in een bepaalde periode het accent moet worden gelegd. Maatgevend is wat de kinderen laten zien, richtinggevend de derde klas, waar de tafelkennis als netwerk beschikbaar is.
Tot hoever ga je met de tafels?
In de tweede klas worden de tafels gememoriseerd, dat wil zeggen dat de kinderen de vermenigvuldigingen tot 100 (of 144) uit het hoofd leren. Wat is het nu, tot 100 of tot 144? Tot tien keer, of tot twaalf keer? Wat wordt het grondgetal, 10 of 12? Er is veel over het twaalfritme te zeggen. Enerzijds sluit het immers aan bij het kosmische aspect in de (astrale) constitutie van het kind. De oude Babyloniërs beleefden nog de verbinding tussen de meer geestelijke (Ik-astrale) en de meer aardse (fysiek-etherische) kant van de mens. Zij brachten dit ‘half-bovenfysieke’ aspect van de getallenwereld tot uitdrukking in een sexagesimaal stelsel waarin geteld werd op basis van de getallen 6 en 10. Van deze verbinding tussen het geestelijke en het aardse vinden we nog een flauwe afspiegeling terug in de tijdrekening van 12 maanden in een jaar, twee maal twaalf uren in een dag en 60 ofwel 12 x 5 minuten in een uur. Een jaar van 360 dagen en nog vijf aardse 106
(feest)dagen, kennen wij al lang niet meer. Die kosmische beleving in een twaalfritme staat nog dicht bij de kinderen. Daarnaast is er echter de nuchtere realiteit van de 10, uitgedrukt in de tien vingers van de handen, waarop het tientallig stelsel gebaseerd is. Het tientallig systeem is daarmee veel ‘aardser’ dan dat van de ‘twaalfheid’. Waar kies je nu voor? Wil je al dat de kinderen zo ‘aards’ worden, dat ze zich nu in deze wereld terecht kunnen vinden? Dan kun je niet aan de ‘aardse’ tienheid voorbij gaan. Aan de andere kant, leidt het oefenen van de tafels tot 10 keer ertoe, dat de kinderen denken dat ‘een tafel’ hetzelfde is als een rijtje getallen met tien vermenigvuldigingen, terwijl de tafel in feite een oneindige rij vormt. Juist het doorgaan tot 12 keer, doorbreekt die gedachte. Een goede oplossing zou kunnen zijn dat we de tafels wél tot 12 keer oefenen, maar tijdens het memoriseren tot tien keer een apart accent geven. Daarmee bieden we de kinderen een ‘steunpunt’ dat in het rekenen nu eenmaal van onmisbaar belang is. Voor het twee- en drieritme in de telrij en de tafelrij kan het praktisch zijn deze aanvankelijk ook eens veel verder dan twaalf keer te doen. Het ligt dan al een beetje in het gehoor wanneer je een ‘hogere’ tafel uit zo’n rij tevoorschijn wilt laten komen. Er is nog een praktisch argument om de tafels tot 12 keer te oefenen. Bij het rekenen tot 20 (24) is 12 een getal dat op veel meer verschillende manieren te structureren is dan 10. Klinkt ’12 keer’ bekend, dan zullen kinderen ook vaker naar deze mogelijkheid grijpen. Maar automatiseren, dat doe je vooral wanneer je rekent tot tien keer.
Het ervaren van de tafels vanuit de beweging
De tafelproductrijen kunnen in de tweede klas in ruimtelijke vormen geoefend worden. In de eerste klas is daar al een voorzichtig begin mee gemaakt. De nieuwe vormen voegen aan het ritmische element een inzichtelijk en een concentratie-moment toe: weet wat je doen moet. Bijvoorbeeld bij de tafel van 5 ligt het voor de hand om uit te gaan van de vijfster.
Eerst staan we in een kring. “Kinderen doe maar mee”. We beginnen te tellen. Op de tafel van 5 geef ik daarbij een klap. Sommige kinderen die dat doorkrijgen, gaan dat mee doen. “Wie is er bij het klappen nog meer iets opgevallen? … Kinderen nu gaan we dat lopen, maar bij de getallen uit de tafel van 5 geven we dus een klap (later: blijven we staan).” De volgende dag: “Wie weet nog wat we gisteren deden met de tafel van 5?” … We lopen het nog een keer in de kring. “Kinderen we gaan het nu anders doen. Mariska terwijl wij tellen, loop jij in vijf passen naar Michiel … Goed zo. Nu loopt Michiel in de volgende vijf tellen naar Anja … (enzovoort)”. Er ontstaat zo binnen de kring een gelopen vijfster. “Wie heeft er gezien welke vorm er nu gelopen is?” … Ik laat de vijf kinderen een stap naar binnen doen en met hun armen de richting aangeven waarin gelopen is. Daarna doen we dat nog eens met een andere groep. De dag daarop, nadat we ons eerst de voorgaande dag herinnerd hebben en het lopen nog eens herhalen, mogen vijf kinderen de vorm tijdens ons tellen gezamenlijk lopen. In het midden heerst even verwarring, daarna verbazing dat het kan zonder elkaar daarbij aan te (hoeven) raken. Ik vormde vervolgens verschillende groepjes van vijf kinderen. 107
Bij elke weg die de kinderen lopen, zeggen ze een product uit de tafel van 5.
Een oefening van geheel andere aard is de volgende: Zet de kinderen in twee rijen tegenover elkaar. Met de tekst van de tafel lopen de kinderen op elkaar toe, haken de armen in, draaien (naar believen een halve of een hele draai) om elkaar heen en gaan weer in de rij staan.
Is het niet voldoende de tafels alleen in de ‘traditionele’ vorm: 3×6= 18 te oefenen? Wat kan de zin ervan zijn om gelijktijdig ook te werken met: 18 = 3×6? Vanuit het memoriseren gezien betekent het namelijk even zoveel rekenfeiten die gekend moeten worden; de helft daarvan vormt voor de zwakke rekenaar al een hele opgave. Dat de laatste vorm meer aansluit bij het ‘analyserend uitgaan van het geheel’, kan hier nauwelijks een argument zijn. Er wordt hier immers ritmiserend en niet analyserend gewerkt. Een argument pro zou kunnen zijn dat de laatste vorm aansluit bij het vermenigvuldigen, zoals dat bij de temperamenten aangegeven is: “12, hoeveel keer past daar een groepje van 3 in?”(zie blz. 52) Er wordt zo bovendien een basis gelegd voor het delen. Bij hoofdrekenen (hoeveel is 18 : 6? en even later 186 : 6?) en nog meer bij schattend rekenen. “Schat hoe vaak 3 in 62 zit.” “Wel 20 keer, want 60 = 20 x 3.” Delen is zo een vorm van ‘op-vermenigvuldigen’. 108
Bewustmaking van de ervaring
Stilte oefening
Bovenstaande bewegingsoefeningen krijgen een extra bewustmakend accent als ze ‘stil’ gedaan worden. De opdracht kan bijvoorbeeld zijn: • “Doe de vorm en zeg in jezelf de tafel mee; als ik mijn hand opsteek, spreek jehardop verder”, • “Als ik (stop) roep, onthoud je waar we gebleven waren”, • “Ik wil alleen de oneven tafelproducten horen”. Zulke stille varianten van bewegingsvormen, vergroten de concentratie en ze helpen de kennis te verinnerlijken.
Er kan nu ook een verbinding gelegd worden tussen het leren van de tafelrijen en dat van de tafelnetwerken. Het werken met de eerder genoemde strategieën, zoals ‘één keer meer of minder’, ‘verdubbelen’ of ‘verwisselen’, verhoogt ook het bewustzijnsmoment in de beweging.
De ‘één keer meer of minder’ strategie, geoefend in een kring
In de kring wordt de tafel van bijvoorbeeld 6 gelopen. In het midden staat een kind dat roept: 1 x 6 = …, 2 x 6 = …, enzovoort. De kinderen maken met ieder antwoord telkens een stap in de looprichting van de kring. Bij een bepaald aantal keren zeg je:
• “Stop, waar ben je?” • “Eén stap terug.” • “Waar was je?” • “Twee stappen vooruit.” • “Waar ben je nu?” Bij zulke bewegingsvormen wordt van het kind telkens even wakkerheid gevraagd.
Verdubbelen
De kinderen staan op een rij. Het eerste kind stapt naar voren en zegt: “één”, heft daarna beide handen en zegt “twee”. Handen weer omlaag. Een volgend kind erbij, samen klinkt: “twee”, ze heffen beide de handen en zeggen: “vier”. Daarna volgen de combinaties: vier kinderen – acht armen, enzovoort. Het spreekt voor zichzelf dat oefeningen die in de eerste klas gedaan zijn, ook hier opgenomen kunnen worden. Het bewustzijnsmoment zal geleidelijk steeds meer op de voorgrond treden, waarbij de collectiviteit binnen de grote(re) groep de minder zekere leerling nog steun kan bieden.
Bewustwording door schriftelijk werk
Alle voorgaande oefeningen kunnen weer aanleiding zijn voor even zovele tekeningen. Daarnaast is de tweede klas bij uitstek de klas om de schoonheid en het ritme van de tafels van vermenigvuldiging te leren kennen. De vormen die in beweging geoefend werden, kunnen ook mooi getekend worden, zoals bijvoorbeeld bij de tafel van 4. 109
De kinderen wisten uit het bewegingsonderwijs al, dat ze drie vierkanten gelopen hadden. Die tekenen ze nu en zetten de getallen erbij. Daarna geven ze met bogen de ‘tafelstappen’ aan; eventueel schrijven ze de tafelsom in de vierkanten:
Geheimen van de tafels
Wanneer de tafels getekend en geschreven zijn, kan er ook gevraagd worden naar de ‘geheimen’ van een tafel. Zo eindigen (bijvoorbeeld) alle getallen uit de tafel van 5 op een 0 of op een 5.
Later bij het in kaart brengen van de persoonlijke tafelkennis in de 10 x 10 of 12 x 12 tabel, kunnen dergelijke onderzoekjes ook nog een nuttig effect hebben op die tafelkennis. Het ontdekken van een geheim kan ineens een uitbreiding van de kennis tot gevolg hebben. De verwisseleigenschap is het sterkste voorbeeld.
Oefeningen
• Tafels op het bord; wie de tafel al kent draait zich om en zegt de tafel op met de rug naar het bord. Soms zullen we kinderen die de tafels nog niet kennen, er op deze manier te veel ‘uitlichten’. Geef dan ieder kind een eigen hulpblaadje, waarop wat ze al kennen door henzelf is gekleurd. Aan zo’n blaadje kun je direct aflezen wat ze al weten. • Ook kun je wat ze kennen als steunpunten laten staan en de moeilijke producten weg laten, om zo de steunpuntstrategie uit te lokken. Een voorbeeld:
1 x 3 = 3 (vanzelfsprekend) 2 x 3 = 6 (makkelijk) 3 x 3 = 9 (uit het liedje) 4 x 3 = 12 (verdubbelen uit 2×3) 5 x 3 = 15 (helft van 10 x 3) 6 x 3 = 18 (één keer meer) 7 x 3 = 21 (leren) 8 x 3 = 24 (dubbele van 4×3) 9 x 3 = 27 (eentje minder dan 10 x 3 10 x 3 = 30 (3 met een 0 erachter)
Zo voor een overzicht geplaatst, zijn kinderen bij het zien ervan vaak verbaasd wat ze al ‘weten’. 110
• Tafelnetwerken laten maken, individueel of in kleine groepjes. Geef de kinderen een groot vel papier en laat ze de volgende dag ermee verder gaan. Dan kunnen ze thuis ook nog het een en ander bedenken. • Er kan met het ‘product van de week’ gewerkt worden. • De kinderen kunnen een tafel helemaal uit het hoofd opzeggen. Ook daarbij kunnen variaties weer extra levendigheid brengen: • Tafels voor- en achteruit opzeggen. • Het tegelijkertijd opzeggen van 2 tafels.
Het tegelijkertijd opzeggen van meer dan één tafel vraagt van de kinderen een ik-bewustzijn, dat eigenlijk pas in de vierde klas aangesproken kan worden. Bovenstaande vorm kan gezien worden als een systeem van tafelsommetjes, waarbij het door elkaar gaan van de tafels nog niet zo’n rol speelt. Bij vormen waarbij bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3 een klap, en die van de tafel van 4 een stamp krijgen, moet je afwegen of dat niet teveel van de kinderen vraagt en of er niet beter tot in een hogere klas gewacht kan worden.
Toepassen van tafelkennis
• Hoofdrekenvragen met tafelelementen: “Op vakantie in Frankrijk koopt vader vier ijsjes van twee euro per stuk. Hoeveel euro kosten de ijsjes samen?” • In de ‘omgekeerde vorm’: “Moeder koopt meloenen, ze heeft € 15,— bij zich. Een meloen kost € 3,—. Hoeveel kan ze er kopen?” • Allerlei verbijzonderingen van vermenigvuldigstructuren; ramen in flatgebouwen, tegels in een terras, bloembolletjes in een bloembak, glazen in een doos, kransen van bladeren aan een stengel enzovoort. Deze situaties lenen zich goed, om ze snel op het bord te schetsen. • Het maken van ‘keer’sommen in een geheel van opgaven met de vier hoofdbe-werkingen. • Concretiseren van rekensituaties in bijvoorbeeld het uitdelen van dingen in de klas. Bijvoorbeeld: “Ieder drie blaadjes; hoeveel heb je er nodig in je rij?” “Elk kind zes zonnepitten; Hoeveel zijn er nodig per rij?” Als je gespitst bent op zulke situaties, zijn er legio mogelijkheden om de tafels als vanzelfsprekend toe te passen.
De praktijk in de derde klas
Nu gaat het om individueel greep te krijgen op de tafelsommen. Er vindt een omslag plaats in het ritmisch bewegend rekenen. Niet langer wordt uitgegaan van de dominantie van de lichamelijkheid, zoals in de eerste zevenjaarsfase. Toen was het zo, dat de fysieke indrukken omgevormd werden tot vaardigheden als lopen, spreken en denken. Deze onbewuste manier van leren gaf het kind een vanzelfsprekende, naïeve, kennis. De kennis die we nu op school willen aanbrengen, kan daar echter niet op steunen. Het kind verwerft eerst kennis, waar niet vrij over beschikt kan worden. Voor de tafels houdt dat in, dat er steeds gebruik gemaakt moet worden van het ritmische element, waarin het kind zich deze tafelkennis eigen gemaakt heeft. Het moet dus de hele tafelrij opzeggen voor het dat ene produkt te pakken heeft. Daarom is er ook het werken met tafelnetwerken aan toegevoegd. Dit geeft de beschikking over flexibele tafelkennis, bestaande uit feiten en procedures. Deze zijn nu beide in te zetten bij hoofdrekenen en schattend rekenen boven 100, alsook in toepassingssituaties. 111
In de derde klas kan het werk van de tweede klas voortgezet worden. Het bewegende deel krijgt een andere invulling en het memoriseren en automatiseren van tafels wordt nu gericht geoefend. In de derde klas is het, naast het leren van nog niet geoefende tafels, de bedoeling dat het reconstrueren afneemt en het reproduceren en actualiseren de overhand krijgen. Reproduceren gewoon als putten uit het geheugen, zonder meer. Actualiseren in het geval van opgaven uit het dagelijkse leven, waarbij eerst de bewerking met bijbehorende getallen gevonden moet worden en daarna pas aan het reproduceren gedacht kan worden. We besluiten dit deel over tafels met enige ideeën voor de praktijk.
De ‘tafelster’
De kinderen staan in een kring van tien kinderen. Bij de tafel van 6, begint het kind dat in de 0-positie staat; het loopt naar plaats 6 (positie 1). Het kind dat daar stond, loopt door naar plaats 12 (positie 2). Men kan de stappen laten nemen met alléén de getallen, maar ook met de tekst: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, enzovoort.
Een aardige manier om de vorm zichtbaar te maken is om een draad katoen mee te nemen, die tussen de kinderen gespannen wordt. Dat kan gebeuren door het ‘lopende’ kind, maar ook door een kind dat in het midden van de kring staat.
Met een afleider
Vormen waarbij het bewustzijn middels een afleider actief wordt aangesproken. De kinderen staan bij elkaar en zeggen gezamenlijk een tafelrij op. Eén kind staat er voor en mag de groep in de war brengen (zie Terzijde Rekenspelen).
Het tafelfront
Wanneer de kinderen de tafels al redelijk kennen, kan het ‘tafelfront’ gelopen worden; een vorm die het best op het schoolplein of in de gymzaal gedaan kan worden. Hierbij staan er zoveel kinderen op een rij, als er tafels gebruikt worden. Gaan we bijvoorbeeld uit van de tafels van 1 tot 12, dan staan er twaalf kinderen naast elkaar. De andere kinderen zijn de tellers, ze tellen in een rustig tempo van 1 tot bijvoorbeeld 50. Het kind dat de tafel van 1 loopt, doet bij elk getal een stap, de 112
kinderen met de andere tafels doen dat alleen als er een getal van hun tafel gezegd wordt. Ze moeten dan echter zo’n sprong of spurt nemen, dat ze op de positie van het front aankomen, die aangegeven wordt door het kind dat de tafel van 1 loopt. Een variant: aan beide kanten van het tafelfront staat een kind. Ze spannen een touw tussen zich, dat het tafelfront zichtbaar maakt en doen bij elk getal een stap naar voren. De getallenrij kan ook achterwaarts gezegd worden, dan beginnen bijvoorbeeld alle kinderen vanuit de positie 100 (Laat ze niet achteruit lopen, ze zien dan niet hoe groot de sprong moet zijn).
Het herkennen van de tafelproducten
Dit is van belang om snel bewerkingen als vermenigvuldigen en delen te kunnen uitvoeren. Een vorm daarvoor is: In de klas worden drie groepen aangewezen die bijvoorbeeld de getallen van de tafel van 3, 5 of 7 laten zien. Als de getallen van 1 tot en met… klinken, maken de kinderen, die één van de drie tafels toegewezen kregen, een gebaar als hun tafel-product genoemd wordt. Meestal wordt gekozen voor een klap of een stamp. Vaak geeft dat teveel hilariteit en is een stille beweging zinvoller; een knikje met het hoofd, even door de knieën buigen, of alleen met de vingers het aantal keren aangeven. De oefeningen kunnen ook als stille ‘spookoefening’ gedaan worden, waarbij ze alleen de tafelproducten uitspreken, of helemaal in stilte werken. Ook is het mogelijk om af te wisselen tussen stilte en spreken, op een teken van de leraar.
Het mag duidelijk zijn dat het maken van een onderscheid tussen de beleving en de bewustmaking daarvan in een derde klas niet langer zinvol is, al hoeft dat niet voor alle kinderen te gelden.
Vormen waarbij meer individueel gewerkt wordt
Veel van hetgeen in de beweging gedaan is, laat zich ook tekenen; daarop hoeft hier niet niet meer ingegaan te worden. Alleen de stervormen vragen nog om enige toelichting. Vormen die bijvoorbeeld met een draad katoen uitgebeeld werden, kunnen ook getekend worden of op een bordje met tien spijkers ‘geweven’ worden. Daarbij zijn de hogere tafels nog moeilijk voor de kinderen. Het gaat er nu om dat ze eerst in hun hoofd het product vinden en de juiste positie in de cirkel niet eenvoudigweg via doortellen zoeken. Je kunt ze nu laten ontdekken, dat iedere tafel een tegenhanger heeft: de tafels van 2 en 8, 3 en 7, enzovoort, vormen telkens een paar. In plaats van in de tiencirkel, kunnen de tafels ook in de twaalfcirkel getekend worden. Ook daar zijn weer paren in te ontdekken.
Tafelcirkels van Schulz
Hierbij is iedere cirkel een tafelrij en ontstaan op de stralen opnieuw de tafels . Mogelijkheden:
• Iedere dag een cirkel erbij laten tekenen door de kinderen. • In het geheel van de cirkels nu nummers op de stralen zetten en de tafel van getal tot getal met een lijn volgen, zodat een bloemmotief ontstaat. 113
Het tafelvierkant
Een zelfde principe wordt gevolgd in het tafelvierkant, dat de kinderen allengs kunnen invullen. Dergelijke vierkanten kunnen in een 10 x 10-veld getekend worden, maar ook heel goed in een 12 x 12-veld. Bijzonderheid is, dat op de diagonaal de kwadraten afgelezen kunnen worden.
Willemijn, die haar kennis van de tafels op een zeker moment zelf aldus zag:
Een ‘vraag op maat’ voor Willemijn was geweest: “Je weet wel wat 9 x 2, maar niet wat 2 x 9 is. Welke producten ken je nu nog meer?” Dat was dan een kwestie van bewustmaken (verwisselen, symmetrie en spiegelen) en invullen. Maar ik vroeg: “Reken 8 x 6 uit. Kun je gebruik maken van wat je al weet?” Wat was het mooi dat ze toen de verdubbelingsstrategie (uit)vond: (2), 4, 8, 16 en (3), 6, 12, 24 en (4), 8, 16, 32 en dan springend van kolom tot kolom: (6), 12, 24, 48. Zo’n ontdekking moest Willemijn toen wel aan de hele klas laten zien! 114
Met zulke ‘tafelkennisvierkanten’ als hierboven getekend, kunnen kinderen ook opgaven voor elkaar bedenken. Het gaat om ‘weten’ of ‘rekenen’. Je kunt het ook spelen met flitskaarten. Twee leerlingen krijgen een stapeltje van die kaarten, waarvan ze de antwoorden nog niet geautomatiseerd hebben, op de bank. De ene leerling zegt het antwoord (of de opgave) bij de kaart die boven ligt. Bij een goed gegeven antwoord mag hij de kaart houden. Is het antwoord fout of moet er ‘gerekend’ worden, dan wisselt de beurt.
De tafeltrainer
Veel kinderen zullen baat hebben bij een visueel steuntje. Een tafeltekening krijgt meerwaarde, als hij gebruikt wordt om er, bij het opzeggen, de tafelproducten aan af te lezen. Een hulpmiddel, dat ook individueel kan worden ingezet, is de tafeltrainer, een ontwerp van F. Moerlands:
Links is de voorkant van de tafeltrainer. De dikke lijnen stellen elastiekjes voor die vanaf links boven, 6 x 7 hokjes afbakenen. Rechts is de achterkant, daar zie je hetzelfde patroon. Daar zijn alle hokjes ingevuld met de bijbehorende produkten. Op de achterkant staat dus bij het snijpunt van de elastiekjes het getal 42. Bij het zelf maken van de tafeltrainer levert het invullen van de achterkant voor veel kinderen toch nog ‘verrassing’ op!
Context opgaven
Allerlei contexten, in verhaal- of tekenvorm, waarin herhaalde hoeveelheden voorkomen: tegelpatronen, kratjes met flessen, telkens vijf foto’s op een bladzijde van een fotoalbum, cd’s in een rekje, kopjes koffie uit koffiekannen, kinderen verdeeld over tafels of tenten enzovoort. Met telopdrachten in dergelijke situaties kan het gebruik van strategieën gestimuleerd worden.
Grote getallen
Ook producten van grotere getallen kunnen vanuit de tafelkennis via de kolom-methode of op een andere manier uitgerekend worden. Het verdient aanbeveling dit niet alleen aan de goede rekenaars over te laten, maar het specifiek te oefenen met de hele klas, al dan niet met gebruikmaking van de lege getallenlijn om bepaalde getallen even vast te houden: 115
Deze vormen zijn vooral goed, omdat de kinderen dan leren om meer dan één stap te onthouden. Nadrukkelijk zij er hier op gewezen, dat het nog niet gaat om cijferen.
Springen langs de lege getallenlijn
Ook sprongen die gemaakt worden langs de lege getallenlijn nodigen soms uit tot het inzetten van tafelkennis (zie blz. 90).
116
Cijferen
Niet eerder dan dat het hoofdrekenen tot 100 en de tafels tot 10 x min of meer zitten, wordt met het cijferen begonnen. Dit moment ligt meestal niet voor het einde van de derde klas. Het cijferen wordt aanvankelijk vooral in dienst gesteld van het automatiseren van de tafels. Dat wil zeggen dat opgaven zo gekozen worden dat de kinderen puur gebruik kunnen maken van beschikbare kennis. Zo wordt er bijvoorbeeld nog niet vermenigvuldigd of gedeeld door 13, want dat is geen tafelgetal.
De praktijk in de vierde klas en de hogere klassen
Het werken met de tafels is aan het eind van de derde klas helemaal ingebed in het hoofdrekenen tot 100 en verder (bijvoorbeeld de tafel van 600 en de ‘lastigere’ tafel van 60). Het ritmisch oefenen heeft zijn werk in de ontwikkeling van het ‘middengebied’ gedaan en ondersteunt nu het wakker en bewust werken met producten en vermenigvuldigingsstructuren. Heel wat vormen die in hogere klassen gedaan worden, zijn uitwerkingen van de hiervoor besproken principes. We laten die uitbreidingen en variaties aan de vindingrijkheid van de leraar over.
3.3 Cijferen
Cijferen: wat leert de geschiedenis?
Het is met cijferen eigenlijk vreemd gesteld. Wie het optellen en aftrekken in kolommen en vermenigvuldigen ‘onder elkaar’ alsook de staartdeling op school gehad heeft, meent vaak dat hij standaardprocedures heeft geleerd, die van alle tijden zijn en nimmer aan verandering onderhevig waren. Leraren die er zo over denken trekken hieruit vaak de didactische consequentie dat ook het cijferonderwijs volgens aloude principes dient te geschieden: stap voor stap, recht toe recht aan in de richting van de meest efficiënte rekenwijze. Wie evenwel de geschiedenis van de wiskunde bekijkt of zijn oor te luisteren legt bij kinderen en volwassenen die hun rekenwerk durven tonen, weet wel beter.
Eerst een paar voorbeelden uit de geschiedenis van de wiskunde.
Gaan we ver terug, tot in de tijd van de oude Egyptenaren, dan treffen we rekenwijzen die geen enkele overeenkomst vertonen met ons cijferen. Dat is niet zo moeilijk te begrijpen, want de schrijfwijze van de getallen was niet positioneel (zoals in ons tientallige stelsel, waarbij elk cijfer een plaatswaarde heeft), maar additief (zoals we nog kennen van de Romeinse cijfers, waarbij je alles bij elkaar moet optellen om tot het getal te komen). Eén principe van ons tientallige stelsel vindt men echter wel bij de Romeinse en Egyptische talstelsels: de bundeling van tientallen. Heel natuurlijk voor mensen met tien vingers!
117
Bij het rekenen speelde evenwel de tien geen grote rol. Men schreef tien ook niet als 10 (positioneel!) en kon niet, zoals wij bij het vermenigvuldigen, het voordeel van de 0 benutten (10 x 34 = 340). Het vermenigvuldigen in de oud-Egyptische rekenkunde gebeurde op basis van het verdubbelen (en het delen op basis van halveren). In sommige gevallen leidt het verdubbelen rechtstreeks en feilloos tot resultaat. Wij zouden het anno 2000 ook nog zo kunnen doen: 8 x 17? verdubbel 17, dat wordt 34. Nog een keer verdubbelen: 68, en nog een keer: 136. Maar in het geval van bijvoorbeeld 9 keer 17 moest je bij die 8 keer van zojuist er nog een keer 17 bij optellen. Welnu, die werkwijze had men tot standaardprocedure gemaakt. We spreken nu van de Egyptische vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld 11 x 17 (maar met andere symbolen voor elf en zeventien):
Vergelijk dit maar eens met ons cijferwerk ten behoeve van 11 x 17. (Eigenlijk zullen er weinigen zijn die dit product niet uit het hoofd berekenen: 170 + 17 = 187). Heel merkwaardig is het feit dat de Romeinse rekenaars gebruik maakten van een ‘abacus’. Dit was een soort schema van gleuven in het zand, waarin de aantallen (rekengetallen) door middel van kleine steentjes (calculi genaamd) werden aangegeven. Wat is nu zo merkwaardig? Het feit dat de abacus eigenlijk geheel positioneel was ingericht. Er was een gleuf voor de eenheden, een voor de tientallen, enzovoort. In sommige gevallen was er ook plaats voor vijftallen, vijftigtallen, enzovoort. Wie de Romeinse cijfers kent, begrijpt de achtergrond hiervan.
Optellen op zo’n abacus ging eigenlijk niet veel anders dan bij ons het optellen onder elkaar: tientallen bundelen en inwisselen. Alleen de additieve schrijfwijze verhinderde dat het met de getallen zelf kon gebeuren (‘driehonderd’ werd in het genoteerde getal drie ‘honderdjes’: CCC) en verhinderde ook dat het vermenigvuldigen onder elkaar kon worden uitgevonden. Want daarvoor heb je echt ons talstelsel met de plaatswaarden nodig. En je hebt ook het getal nul nodig, dat later door Indische wiskundigen werd uitgevonden. 118
Het ‘geworstel’ met de Romeinse cijfers (waarmee je dus niet kon cijferen op de manier die wij nu kennen) heeft ook in onze streken lang geduurd. Pas toen de Arabische cijfers via Spanje (Moren) bij ons hun intrede deden, kwam er een kentering. Dat ging, zoals alle veranderingen van zaken die diepe wortels in het verleden hebben, niet van een leien dakje. Reeds in het jaar 1202 verscheen er een voortreffelijk rekenboek in Italië: het Liber Abaci van Leonardo van Pisa. Deze had de Arabische cijfers en het positionele stelsel (met de nul!) van zijn Moorse leermeester geleerd. De Romeinse cijfers, het additieve systeem en de abacus (die inmiddels met lijnen op papier werd getekend en door middel van schijfjes met cijfers erop werd ingevuld) kwamen er niet best van af. Maar, zoals gezegd, de vernieuwing kwam er niet zomaar door. Hoewel handelaren en boekhouders zich de voordelen van de nieuwe schrijfwijze van meet af aan ten nutte maakten, kwamen er bezwaren van anderen: het zou nu gemakkelijker zijn om rekeningen en dergelijke te vervalsen. Tot in de zestiende eeuw bleef men beide systemen naast elkaar gebruiken. Omstreeks 1504 kwam er een rekenboekje uit waarin de strijd tussen de twee partijen, aangeduid met ‘abacisten’ en ‘algoritmici’, aardig in beeld was gebracht.
In de zestiende eeuwse rekenboekjes was het pleit beslecht, het positionele stelsel had het gewonnen. Maar wie de Cijfferinge van meester Willem Bartjens napluist (eerste uitgave omstreeks 1604, de laatste bewerkingen ervan waren nog in de negentiende eeuw in gebruik!) vindt een mechanistische didactiek. De leerlingen wordt verteld hoe het cijferen gedaan moet worden. Waarom die geheimzinnige handelingen tot een goed antwoord leiden dient op gezag van de leraar aangenomen te worden. Deze benaderingswijze kon zelfs tot voor kort nog in Nederlandse basisschoolklassen aangetroffen worden.
Toch blijken kinderen en volwassenen soms zelf uitvindingen te doen om op school geleerde algoritmen naar eigen hand te zetten. Bij het leren van de tafels hebben we hiervan al het een en ander gezien en ook de ijzeren wet, die bij het optellen over de tien heen in sommige klassen geldt (eerst splitsen en dan aanvullen tot 10), blijkt minder hard te zijn, zoals we bijvoorbeeld zien als kinderen gebruik maken van reeds geleerde doubletten (6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1). 119
De les die we uit het voorgaande voor onze didactiek kunnen trekken is niet mis. In de eerste plaats blijkt het (leren) cijferen een interessante historie te hebben. Wie iets van die geschiedenis in zijn onderwijs meeneemt, biedt de leerlingen een goede mogelijkheid de wereld van het getal op een andere manier te kunnen bekijken, en meer oog te krijgen voor de schoonheid van het systeem en de inspanningen die de mens heeft verricht om het zover te krijgen. Tevens is het dan bijna onvermijdelijk om leerlingen iets van de ontwikkeling te laten meebeleven en ook ruimte te bieden om zelf kleine uitvindingen te doen. Voor de zwakke rekenaars kan vanuit dat standpunt gezocht worden naar hulpmiddelen (als de abacus), die bepaalde rekenfuncties ontlasten, of naar rekenwijzen die op concreter niveau uitgevoerd worden. Verder leert de geschiedenis van het cijferen ons dat de activiteit van het tientallig bundelen en het daarmee gepaard gaande inwisselen, essentieel is voor het vaardig rekenen in ons decimale stelsel.
Cijferen en hoofdrekenen
Cijferen valt niet weg te denken uit ons reken-wiskundeonderwijs. Het is een deel van ons cultuurbezit dat qua rekenactiviteit en leeropbrengst de moeite waard is om goed onderwezen te worden. Zelfs nu, in een tijd dat electronische hulpmiddelen de maatschappelijke relevantie van cijfervaardigheid opnieuw ter overweging geven, heeft cijferen een meerwaarde. Voor het reken-wiskundeonderwijs op de vrijeschool heeft cijferen nog een extra dimensie. Je kunt dat als volgt bekijken: Als we zover zijn dat er bewegingsvrijheid is ontstaan in het gebruiken van de vier basisbewerkingen voor getallen tot honderd, en soms daarboven, dan is het moment aangekomen dat we ook in allerlei situaties willen rekenen, waarin de getallen te groot of te ingewikkeld zijn om ze in het hoofd vast te houden en te bewerken. Bedenk daarbij dat er in de ambachtenperiode, bouwperiode en dergelijke, een heleboel Tekenverhaal’ is voorgekomen, waarbij het zinvol is een extern hulpmiddel te hanteren. Het leren cijferen is dan, vanuit dit oogpunt, ook op zijn plaats. Door zijn aard is het cijferen een onderdeel van de gereedschapskist, dat van buitenaf aangeleerd wordt, maar wat een kind (op basis van het voorafgaande rekenen) kan begrijpen c.q. uitvoeren van binnen uit. De keuzen voor het aanleren van de rekenwijzen (algoritmen) moeten dan bepaald worden door de herkenbaarheid van de basisbewerkingen en de toepassing van de eerder geleerde rekenkennis en -vaardigheid. Wat er gebeurt in, of ingezet wordt vanuit het hoofd, moet op het papier te zien zijn. Vervolgens moet de weg, al werkend op papier en met inzet van reeds verworven kennis, zo kort mogelijk worden. Zo opgevat is cijferen in het eind van de derde klas en in de vierde klas een zinvolle aangelegenheid, zowel pedagogisch als rekendidactisch. Het gaat namelijk over het organiseren van rekenwerk, het overzichtelijk noteren van berekeningen, het zoeken naar systematiek, het gebruik maken van de positionele structuur van getallen en het streven naar een efficiënte rekenwijze, die mogelijk persoonlijke elementen bevat.
Nog twee opmerkingen:
In de eerste plaats zal de (reken)leerstof er nooit toe mogen dienen, dat de leerkracht er zijn autoriteit aan gaat ontlenen. Al lerend moet het kind op den duur 120
zijn eigen autoriteit worden, dat wil zeggen gaan vertrouwen op eigen kunnen. Ten tweede zal cijferen niet onbegrepen in de ‘rugzak’ mogen komen om er later, op rijpere leeftijd, uit te voorschijn gehaald te worden met de bedoeling het dan alsnog te doorzien. Ieder kind kan zich op eigen niveau toegang verschaffen tot het cijferen: laat in de levensrugzak liever heel veel ruimte over voor alles, wat we vanuit de lessen aan kwaliteiten aan de kinderen willen meegeven. Dingen die ze later hard nodig hebben!
Het hoofdrekenen, dat in het rekenen van de vrijeschool altijd een belangrijke plaats heeft ingenomen, dient dus bijzondere aandacht te krijgen. Hiermee wordt de leraar in de derde klas voor een dilemma geplaatst. Wanneer kan veilig met cijferen begonnen worden, is de vraag. Iedere leraar weet namelijk dat de routine van het cijferen gemakkelijk de mentale inspanningen van het hoofdrekenen kan overschaduwen. Het schijnt zelfs wel eens voorgekomen te zijn dat leraren cijferen beschouwen als laatste redmiddel voor zwakke rekenaars, die in het gebied tot honderd geen vaardigheid en inzicht konden verwerven. “Nu kan het dan toch nog leren rekenen”, werd dan gezegd. Op dit punt willen we in dit vrijeschoolleerplan geen misverstand laten bestaan. Het fundament voor al het verdere reken-wiskundeonderwijs wordt gelegd bij het leren rekenen tot honderd. En dat is hoofdrekenen en schattend rekenen. Daar leren de kinderen de getallen kennen zoals ze zijn. Niet 75 als een 5 op de plaats van de eenheden en een 7 op de plaats van de tientallen, maar onder meer 75 als 70 + 5, ook als 80 – 5 of zelfs 100 -25. Een getal dat op de getallenlijn tot honderd ergens ‘daar’ ligt, tussen 50 en 100, of preciezer tussen 70 en 80, of tussen 74 en 76. Soms zie je 75 als 50 + 25, en als het je uitkomt ook als 2 x 40 – 5 … Ga zo maar door. Het is een kijk op getallen die bij het cijferen niet meer van pas komt en, als de leraar niet oppast, gemakkelijk verloren gaat. Want bij cijferen wordt niet meer gewerkt (gerekend) met hele getallen en hun interne en externe structuren, maar met losse cijfers.
Cijferen dient dus pas te beginnen als het ‘fundament tot honderd’ gelegd is. Maar ook dan nog moet het hoofdrekenen en schattend rekenen in de aandacht blijven. Het is wellicht een vruchtbare gedachte om hier het begrip ‘gecijferdheid’ te introduceren. Het woord gecijferdheid is een vrije vertaling van het Engelse ‘numeracy’ (numeral = cijfer). Dit werd uitgevonden naar aanleiding van het begrip ‘literacy’ (naast ‘illiteracy’, dat staat voor analfabetisme). Naast ‘geletterdheid’ dus ‘gecijferdheid’, moet de gedachte geweest zijn. Elke volwassene dient een zekere mate van gecijferdheid te bezitten om zich in de samenleving te kunnen bewegen en handhaven. Via de media komt heel wat getalsmatige informatie op ons af, wie de krant leest moet tenminste in staat zijn een en ander naar waarde te schatten. Welnu, iemand die gecijferd is, maakt dan gepast gebruik van hoofdrekenen, van schattend rekenen, van cijferen en soms van een rekenmachientje. Het is de combinatie van die kennis en vaardigheden, die zijn gecijferdheid bepalen. Van groot belang is hierbij de zelfkennis (en het zelfvertrouwen) om in de verschillende situaties, waarin een beroep gedaan wordt op de gecijferdheid, de meest geschikte werkwijze te kiezen. Meestal komt men tot een combinatie van hoofdrekenen, schatten, cijferen en/of gebruik van een rekenmachientje. 121
Op de vrijeschool zou men de culturele kant van het reken-wiskundeonderwijs door de maatschappelijk relevantie van gecijferd zijn, moeten laten beheersen. Zoals bovenal bleek, gaat het daarbij niet alleen om vaardigheid en inzicht, maar ook om houding, opvatting en zelfvertrouwen.
De plaatswaarde van cijfers in een getal
Aan het eigenlijke cijferen gaat een bewustwording van de plaatswaarde van de cijfers vooraf. Door hier zorg aan te besteden kan voorkomen worden dat het prille getalbegrip (weer) ondersneeuwt in het manipuleren met ‘tallen’. Er wordt zo een basis gelegd voor het inwisselen, zoals dat in de eindfase van de verschillende algoritmen gebeurt wanneer er ‘onthouden’ of ‘geleend’ (!?) wordt.
Dat woord ‘lenen’ zou bij het rekenen verboden moeten worden. In de eerste plaats is er geen sprake van lenen, er wordt immers nooit iets teruggeven! En in de tweede plaats beïnvloeden we met dit merkwaardige lenen de moraliteit op een negatieve wijze. Niet doen dus! Houd het bij inwisselen.
Bij een aantal groter dan tien dat als getal genoteerd wordt, is in principe al ingewisseld. Zo’n handeling is eerst concreet, later op papier en ten slotte mentaal uitgevoerd. Met ‘concreet, op papier en mentaal’ is de leerweg die we met de kinderen willen gaan, gekarakteriseerd. Wanneer begin je met het ordenen van aantallen in groepjes van tien? De een doet dit eerder en de ander later, maar het is zeker niet iets dat van meet af aan gebeurt. Wel dragen de 2 x 5 structuur van de handen en de tienstructuur van het geschreven getal dit gegeven altijd in zich. Bij de introductie van de getallen is dit evenwel nog niet geaccentueerd. Kinderen beleven het als een vanzelfsprekendheid zonder zich bewust te zijn van de cultureel bepaalde conventie erachter. Maar op een dag maak je hier geleidelijk of abrupt een leermoment van.
Tien penselen in een pot, tien potten op een plank en de volgende tien op een andere plank. Schilderstukken steeds in rijen van tien op de grond bij het nabespreken in de klas; of in rijen van tien opgehangen aan de muur. “Nu in tien passen allemaal naar je plaats.” “Ik tel tot tien en dan is het stil.” Of gewoon: “10, 20, …, 110; wie niet weg is, is gezien.” Daarna kijken we nog eens terug op al dat gedoe met tien. Waarvoor al die aandacht voor tienen? Een doordenkertje!
Sommigen maken zo van de 10 in de tweede klas al een bijzonder aantal. Worden aan eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort speciale kleuren gegeven dan kan dit, in de hier bedoelde zin, het cijferen voorbereiden. Hiermee stijgt het kleuren uit boven louter verfraaiing van het periodeschrift. Het kan zelfs meer zijn dan alleen een oefening om zorgvuldig getallen op (ongelinieerd) papier te noteren. Een meerwaarde dus, in het perspectief van het cijferen straks.
Maar er komt een dag waarop we de tienstructuur in het geschreven getal nog eens extra laten beleven. Dat moet een happening worden, een gebeurtenis die daarna ook model kan staan voor de inwisselhandeling en zo tot model kan wor- 122
den voor deze rekenactiviteit. Een goed gekozen en met de kinderen doorleefde gebeurtenis kan later een mentaal houvast bieden, waar ze naar kunnen grijpen wanneer het begrip van de meer abstracte cijfers zo’n houvast niet kan bieden.
Op een dag schafte ik het rekenen met losse bonen resoluut en met veel bombarie af. Alle bruine bonen, in de hele klas waren dat er in alle potjes nog een paar honderd, werden verzameld. Vervolgens verpakten we ze in luciferdoosjes in aantallen van 10. Met fraai papier werden die beplakt en zo verzegeld. Lossen, die gebruikten we niet meer, je mocht ze alleen nog horen rammelen. Er bleef maar één doosje open en dat kreeg een heel bijzondere plek in de klas. Niet lang daarna maakten we van mooi karton bakjes. In een zo’n bakje pasten precies 10 luciferdoosjes. En voor 10 van die bakjes had ik kistjes op mijn tafel staan. Ik had er ook nog een mooi verhaal bij bedacht. Later toen we het inwisselen op papier en met positiestrepen oefenden, konden ze zich dat nog herinneren. Wie daarbij nog met ‘losse’ wilden werken, moest ze gaan halen en vervolgens op de speciale plaats terug zetten.
Een getal kan op verschillende manieren in cijfers uitgebeeld worden:
• Met geld, wanneer ze bij het winkeltje spelen met centen, dubbeltjes en guldens betaald hebben. • Door kinderen die door middel van hun waardigheid (prinsen 10, koningen 100, enzovoort) een bepaald ‘tal’ representeren. • Met klankstaven, waarbij elk getal onder de duizend als drieklank hoorbaar te maken is. • Met gebaren of bewegingen die een bepaald aantal keren herhaald worden. • Met MAB materiaal, waarin het tientallige bundelen en het inwisselen als het ware gematerialiseerd zijn. • Met een lusabacus, die lijkt op de abacus van de Romeinen, maar op basis van didactische overwegingen twintig kralen op één staaf bezit
Pas op, in de bovenstaande opsomming is groen en rijp, kunstmatig en natuurlijk door elkaar naar voren gekomen. Ik vind dat met die koningen en prinsen echt nonsens. Hoe kun je nu in alle redelijkheid beweren dat je tien prinsen voor één koning kunt inruilen?! Geld is eigenlijk de enige natuurlijke materialisering van het positionele systeem. Enigszins dichtbij komt de kilometerteller, die niet genoemd wordt. Daarop is heel mooi te zien hoe dat inwisselen gaat. Met een lusabacus kun je dat idee naspelen, noem het maar een kilometerteller uit het stenen tijdperk.
Door twee getallen na elkaar of gelijktijdig uit te beelden, kan ook naar hun som of hun verschil of naar de aanvulling tot bijvoorbeeld 1000 gevraagd worden. Zo wordt het cijferen op papier voorbereid. Daarbij geldt dan weer de gouden regel: Wat gedaan en zelf ervaren is, daarvan kun je op papier verslag doen. Steeds gaat het bij al deze activiteiten om het leren denken in ‘tallen’, met daarbij op de achtergrond het bundelen en inwisselen.
Ik liet de kinderen heel eventjes, zodat er niet geteld kon worden, in een gedeeltelijk met eieren gevulde doos (van tien stuks) kijken. Ze raadden hoeveel er in zaten, of hoeveel er ontbraken. We schatten vervolgens hoeveel dozen we nodig hadden in een week, als de kippen elke dag (gemiddeld) 28 eieren legden. Dat rekenen kan alle kan- 123
ten opgaan: 7 x 2 volle dozen en 7 dozen waar er 2 ontbreken. Dat is 140 eieren en nog 70 – 14. Samen 140 + 56. Of 7 x 3 volle dozen, min 14, dat is 210 – 14. Hopelijk komt daar hetzelfde uit, mompelde ik. “Dat kun je toch zo zien!”, werd ik op m’n nummer gezet. Daarna tekenden we wat we bedacht hadden. De een meer en de ander minder schematisch, wel geleidelijk steeds meer met gebruikmaking van getallen.
Met dobbelstenen kunnen spelen verzonnen worden, waarbij de plaatswaarde van de cijfers in een getal extra aandacht krijgt: • Op de zijvlakken van een dobbelsteen staan verschillende getallen (bijvoorbeeld 3; 6; 8; 11; 32; 40). Op de bank liggen lucifers. Gebroken stokjes zonder kop tellen voor 1; die met kop voor 10 en de hele lucifers voor 100. En nu maar dobbelen. Wie heeft als eerste 1000 bij elkaar? Luciferstukjes kunnen daarbij voor grotere gehelen ingewisseld worden. • Elke speler zet naast elkaar drie stippen op zijn papier. Om beurten wordt er gedobbeld. Het cijfer dat je gooit, vul je in op één van de stippen. Je mag kiezen welke stip je wilt nemen, je gooit om de beurt. Wie heeft, nadat er zes keer geworpen is, het grootste getal?
Als we wat verder zijn met het cijferen, kunnen ook verwondering en bewondering een piek krijgen: • Schrijf een getal op van drie cijfers, draai het om en trek de getallen van elkaar af. Het middelste cijfer is nu steeds een 9, de buitenste cijfers zijn samen negen. • Draai in het vorige geval het laatste cijfer weer om en tel het voorgaande op. Er komt altijd 1089 uit. Kan iemand dat verklaren? • Neem een getal van drie cijfers. Schrijf het getal er achterstevoren onder. Tel op. Draai nu het verkregen getal weer om, zet het eronder en tel op. Ga zolang door tot je een getal krijgt dat door omkering niet meer verandert (dit lukt meestal na enkele keren, maar niet altijd). Dat bij deze opgaven het cijferend optellen en aftrekken al bekend is, zal duidelijk zijn. We laten ermee zien dat het nadenken over de plaats van de cijfers in een getal steeds weer vanuit nieuwe invalshoeken mogelijk is.
Optellen onder elkaar (cijferend optellen)
Ook het leren optellen onder elkaar vergt een langer lopend leerproces. Tussen het ‘uit het hoofd’ weten, het uitrekenen of schatten hoeveel twee getallen samen zijn en het cijferend optellen van twee getallen, zijn andere vormen voor rekenen op papier mogelijk. Denk bijvoorbeeld aan het optellen via sprongen op de lege getallenlijn, of aan het kolomsgewijze optellen: 47 + 35 = …
‘Rijgen’:
124
Zulke manieren houden het getalbeeld langer intact en bereiden toch het rekenen met grotere getallen op papier voor. Het anticipeert ook op het kolomsgewijs rekenen, met meer dan twee getallen, zoals je dat op kassarollen wel doet.
Hoe introduceer je nu zo’n ‘nieuwe’ werkwijze? Tussen de twee uitersten “Kijk kinderen, de grote mensen doen het zo” en “Dit boek heeft 124 bladzijden, we zijn nu op bladzijde 88, hoeveel bladzijden zijn er nog te lezen? Hoe zou je dat uitzoeken ?”, ligt een pedagogische beslissing over wat je bij je leerlingen wilt wekken. Alsook de keuze voor een onderwijsstijl waar je achter kunt staan en die bij Teerlingen van nu’ past. Bij beide uitgangspunten is het mogelijk om van een zelf ervaren situatie uit te gaan, om rekenen iets anders te laten zijn dan manipuleren met kale cijfers. Meer iets dat je gebruikt in situaties waar mensen samenwerken en proberen elkaar te begrijpen. Die gedachte zou van meet af aan het rekenonderwijs kunnen doordringen en niet pas achteraf in toepassingssituaties moeten blijken.
Pas op. Het eerstgenoemde uitgangspunt (“Kijk kinderen, de grote mensen doen dat zó”) roept gemakkelijk een misverstand op. Men kan namelijk geneigd zijn te denken, dat hier voorgedaan wordt hoe ‘het moet’, waarna de kinderen die werkwijze van volwassenen gaan nabootsen. Een dergelijk mechanistische aanpak is hier evenwel niet bedoeld. Wat dan wel?
125
Op een morgen kwam ik de klas binnen met wat cijferwerk, dat volwassenen (in een bepaalde situatie) op hun blaadje hadden genoteerd. Wie kan dit ‘geheimschrift’doorgronden? Een ander aardig moment ontstond in de klas toen we al wat verder waren met cijferend optellen en aftrekken, en het volgende blaadje moest worden ‘ontcijferd’.
Na heel wat discussie kwamen we er achter dat daar met ‘tekorten’ werd gerekend. Er was een nieuwe rekenwijze uitgevonden! Zo voelden de kinderen dat ook aan.
Ik kwam toen ook op het idee de kinderen volwassenen in hun eigen omgeving (thuis) te laten interviewen over de manier waarop ze cijferen (hebben geleerd). Je moet ze dan vragen de blaadjes, waarop dat uitgelegd is, mee naar school te nemen.
Wanneer er lang genoeg is stilgestaan bij de plaatswaarde van de cijfers in een getal en vervolgens het cijferen onder elkaar geïntroduceerd wordt, kan er ‘per tal’ in kolommen gewerkt worden. Het is dan praktisch die kolommen aanvankelijk te benoemen naar hun plaatswaarde: eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort. Zo ontstaat dan een papieren abacus, aangegeven met positiestrepen.
126
‘Onthouden’ hoeft daarbij niet van meet af aan gepraktiseerd te worden. Eerst wordt er verticaal in de kolommen opgeteld. Daarna, als alle kolommen zo behandeld zijn, wordt er ingewisseld en hergroepeerd. Zonodig begint het inwisselen opnieuw. We werken daarbij van rechts naar links, anders dan bij het hoofdrekenen, waar natuurlijk eerst de grote delen worden samengenomen.
Een voorbeeld:
Voor veel kinderen is het aanvankelijk lastig om meer dan twee getallen (onder de tien) ‘uit het hoofd’ op te tellen, vooral wanneer je daarbij boven de twintig komt. Dat leidt dan tot nog eens overdoen, om zeker te zijn. Zijn de uitkomsten ongelijk, dan is een derde berekening nodig om uitkomst te bieden. De ervaren rekenaar hanteert hierbij allerhande persoonlijke handigheidjes om deze onhandige procedure te bekorten.
127
Zo’n handigheidje is ook hierna in het voorbeeld ‘optellen met onthouden’ gebruikt. De zwakke rekenaar kan er steun aan hebben omdat ‘rekenen boven de twintig’ nu niet nodig is en juist het rekenen onder de twintig, dat bij zulke leerlingen vaak onvoldoende geautomatiseerd is, nog eens extra geoefend wordt.
Naast elkaar staan hier nog eens drie vormen voor het cijferend optellen onder elkaar. Bij de linker vorm is er gewerkt met kolommen en inwisselen zoals hiervoor beschreven werd. Bij de middelste vorm wordt het onthouden ingeleid, het cijfer dat ingewisseld wordt is al klein geschreven. Bij de laatste vorm is onthouden wat ingewisseld moet worden. Dit is de meest verkorte werkwijze, die nu ook voor een groot deel uit een mentale handeling (in het hoofd dus) bestaat. Noodzakelijk voor het vinden van het antwoord is dat laatste niet. Het hoeft niet zo kort en er kan meer op papier komen. Kinderen zijn erbij gebaat de fase van het ‘onthouden’ in eigen tempo te bereiken. Een zwakke rekenaar, die problemen heeft met het tegelijkertijd onthouden en rekenen, hoeft dat niveau niet te bereiken. Dat geldt straks ook voor de andere bewerkingen. Het aanvankelijk hardop verwoorden van hetgeen gedaan wordt tijdens het uitrekenen ondersteunt het leerproces. Globaal gezien kan dit leerproces dan via de volgende fasen verlopen: eerst concrete handelingen (bijvoorbeeld met geschikt materiaal), dan het beschrijven van die handelingen op papier (ondersteund door de papieren abacus), vervolgens worden de handelingen hardop verwoord en tenslotte gebeurt dit alles ‘in het hoofd’. Het mentale niveau is bereikt. Onderweg kunnen verkortingen (handigheidjes) worden aangebracht, zodat de uiteindelijke mentale handeling zo efficiënt mogelijk is voor die bepaalde rekenaar.
Hiervoor was sprake van een handigheidje. Sommige leraren en leerlingen spreken in dergelijke gevallen over foefjes. Dat zou ik niet doen, want het woord foefje roept een verkeerd beeld van het rekenen op. Het woord ‘handigheid’ klinkt positiever, kan iets persoonlijks hebben en bij rekenen dient er altijd een redenering aan het werk ten grondslag te liggen.
Wie later het optelalgoritme nog eens bewust wil maken kan uit de voeten met ‘getalgriezels’. Eén keer op dit spoor gezet vinden kinderen het leuk om dergelijke opgaven voor elkaar te bedenken. Vraag dan wel of ze zelf het antwoord ergens willen bewaren!
Een klein voorbeeld:
128
Cijferend vermenigvuldigen
Ziet men het vermenigvuldigen als een herhaalde optelling, dan ligt het voor de hand om cijferend vermenigvuldigen in nauwe aansluiting op het cijferend optellen te ontwikkelen. En wel op twee sporen, die pas bij het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers in elkaars verlengde komen te liggen. Het ene spoor volgt het schattend vermenigvuldigen, nu ook met getallen groter dan 100. Het andere spoor staat aanvankelijk geheel in dienst van het door elkaar oefenen van tafelproducten van één tafel per opgave.
Daartussen loopt nog een derde spoor. Dit is het spoor van de ‘natuurlijke’ aanpak. Het begint met een probleem, waarvoor de kinderen nog niet direct een oplossing bij de hand hebben. Bijvoorbeeld: “Er staat in de gang een groot aantal pakken met schriften. Hoeveel zouden dat er zijn?” Na telling blijken er 17 pakken te staan, van elk 25 schriften. “Hoe kunnen we dat aantal uitrekenen?” Het idee wordt dan geopperd om dat met de (papieren) abacus te doen. Dat is er één met behoorlijk lange kolommen (staven).
Het schema (de positiestrepen van de papieren abacus) noodt tot structureren, eerst naar tientallen en eenheden, vervolgens naar groepen van tien. Want 10 x 25 = 250. Wie die rekenregel niet door heeft, kan hem op de abacus ook nog eens zien ontstaan. Want de 0 ‘erachter plaatsen’ is uiteindelijk niets anders dan ‘een plaatsje opschuiven’, hier tien vijven inwisselen voor vijf tientallen, net als in de tafel van 5 al, onopgemerkt, gebeurde: 10 x 5 = 50. Nu, na de afsplitsing van 10 x 25, is er nog 7 x 25 te berekenen. Langzamerhand ontwikkelt men zo, samen met de kinderen, een rekenwijze voor het cijferend vermenigvuldigen, die uitmondt in een vaardige toepassing van de bekende standaardprocedure op mentaal niveau. Zwakke rekenaars krijgen de vrijheid om op een minder hoog niveau toch cijferend te vermenigvuldigen, ook met grote getallen.
129
En nu de beide andere sporen. Eerst het schatten verbonden met het handig rekenen, waarbij aanvankelijk de getallen in de buurt van de 100-tallen gekozen werden.
“Is 5 x 201 groter of kleiner dan 1000?” Bij zulke vragen plukte ik de vruchten van het al vaak gespeelde spel: Ik heb een getal in gedachten, het is groter dan 200 en kleiner dan 300; of de variant daarop: “Het zit in de tafel van 2 en is groter dan 4 x 2 en kleiner dan 8 x 2, enzovoort.” Nadat de tafel van 200 een paar keer gezegd was, leverde het uit het hoofd vermenigvuldigen van 100-tallen weinig problemen op. Datzelfde gold voor het vervangen van 201 door 200.
Dan het andere spoor, waarmee de tafels nog eens extra geoefend kunnen worden.
130
Op een morgen had ik de tafel van 6 nog eens goed ‘bewogen’. Bij het ‘door elkaar’ vragen waren daarbij een paar lastige tafelproducten op het bord geschreven. Bijvoorbeeld 6 x 458. Dat deden we nog eens netjes en in kleur over. En zo ontstond (a): 6×8 (enen) = 48 ‘eenheden’. En 6 x 5 (tienen) = 30 ‘tientallen’, vervolgens 6×4 (honderden) = 24 ‘honderdtallen’. Niet lang daarna gebruikte ik de meer compacte schrijfwijze (b1): 2400 en 48 passen toevallig op een regel als 2448; 30, eigenlijk 300, moet dan nog apart vermeld worden. Nog weer later (b2): de cijfers van de tientallen op één regel, en ook die van de eenheden. Zo dus: 6 x 8 = 48, noteer 4 als tiental en 8 als eenheid. Dan 6 x 5, met de wetenschap dat het antwoord nu één plaats naar links komt te staan, omdat 5 staat voor 5 tientallen. Dus 6 x 5 = 30, noteer de 3 als tiental (maar op de plaats van de honderdtallen) en de 0 als eenheid (maar op de plaats van de tientallen). Nu 6 x 4 = 24, de 2 op de plaats van de tientallen (hier duizendtallen) en de 4 op de plek van de eenheden (hier honderdtallen). Met (c) werkte ik het ‘onthouden’ in de hand. Bijvoorbeeld bij 6 x 8 = 48 eerst de 8 op de goede plaats te noteren, en dan de 4 in de rij erboven, een plaats naar links. Wie dat ging doen kwam ui‘ bij (d), waar in één keer het antwoord wordt genoteerd: 6×8 = 48; schrijf op de 8 en onthoud 4 (tienen); 6 x 5 = 30 (tienen), plus 4 (tienen), is 34 (tienen). Noteer 4 en onthoud 3 (honderdtallen). Enzovoort. Zoiets doe je natuurlijk niet in een paar dagen.
Worden vervolgens ook opdrachten gegeven om grote aantallen te bepalen, bijvoorbeeld totalen uit een aantal dozen met nietjes, met elastieken, met lucifers, enzovoort, dan kan dat wat rekenkundig ontdekt is, ook praktisch toegepast worden.
Bij de eerder genoemde ‘natuurlijke aanpak’ van het cijferen op school, is het praktische toepassingsgebied van het cijferen van meet af aan in beeld. De gang van zaken is daar, didactisch gezien, precies andersom. De rekenkundige bewerking wordt geconstrueerd op basis van praktische problemen; hier wordt de rekenkundige bewerking ‘theoretisch’ behandeld, en later praktisch toegepast. Welk spoor men ook kiest, het mag niet gebeuren dat men aan het toepassen niet toekomt!
Er kan op verschillende manieren gewerkt worden: schattend, tellend, optellend, vermenigvuldigend. Wat handig is, wordt zo al doende ervaren. Het rekenen wordt daarbij aangezet vanuit echte situaties, die bij kinderen het vermenigvuldigen oproepen. Wie kinderen wijst op bepaalde vermenigvuldigstructuren laat het mes aan twee kanten snijden: men ziet de toepassingen en ondervindt steun bij het cijferen. 131
Een van de opgaven van een rekenkaart of werkblad (zie ook Terzijde: Over werkvormen) is: Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72e verjaardag? Probeer dat zelf uit te zoeken!
Vragen en situaties als op zo’n werkblad kunnen het vermenigvuldigen met grote(re) getallen uitlokken. Het ‘zoek dat zelf uit’ houdt weer zowel een pedagogische als een didactische keuze in. Eerder zijn bouwstenen aangereikt. Wil je de leerlingen zelf, onder begeleiding en met ruimte voor eigen inbreng, een algoritme laten opbouwen of kies je voor een gestuurd leerproces dat sterk bepaald is door de standaardprocedures van het cijferen? Valt je keuze op het zelf ontdekken, dan bewandelt niet ieder kind een zelfde weg naar het eindalgoritme. En er wordt niet gemeenschappelijk op eenzelfde niveau gewerkt. De leerlingen construeren via zelf ontdekte verkortingen de uiteindelijke vorm waarin zij het algoritme gaan uitvoeren. De leraar die hiervoor kiest, moet stevig in zijn schoenen staan. Behalve een diep inzicht in verschillende varianten van cijferprocedures, moet hij zijn leerlingen ook goed kennen naar rekenvaardigheid en inzicht. Bovendien is kennis van de verschillende niveaus, waarop gecijferd kan worden, noodzakelijk. Hieronder een schets van de mogelijke niveaus waarop de vraag “Hoeveel dagen telt je opa op zijn 72ste verjaardag?” met cijferwerk aangepakt kan worden. Vergeten we even de schrikkeljaren tijdens de 72 jaar van opa (het zijn er misschien 18, of 19?), dan gaat het om de vermenigvuldiging 72 x 365. Op het meest primitieve niveau worden (in gedachten, of echt op papier) 72 keer 365 onder elkaar gezet. Dat wordt een fikse optelling, misschien dat de kinderen door de nood gedwongen toch kleine verkortingen (tafels toepassen of 10 x zien) aan gaan brengen. Op een iets hoger niveau brengen de kinderen direct al structuur aan in de lange optelrij onder elkaar. Ze maken 7 ‘brokken’ van 10 x 365 en moeten daar dan nog 2 x 365 aan toevoegen. Op een nog hoger niveau is het vermenigvuldigen al in zicht. Men ziet in één klap 70 x 365, later te vermeerderen met 2 x 365. Die eerste vermenigvuldiging kan nog met de steun van de papieren abacus gedaan worden:
Op de volgende niveaus worden de handelingen van het inwisselen steeds meer mentaal uitgevoerd. De meest gevorderden maken gebruik van de standaardprocedure, zoals die algemeen bekend is. 132
De bovenstaande niveaus geven een onderwijsroute aan, die voor een individuele leerling anders kan verlopen; of doordat deze nog andere notatievormen gebruikt, of omdat niet alle stappen nodig waren voor het verwerven van de vaardigheid en het daarbij gewenste inzicht.
Aftrekken onder elkaar
“Dat was dan € 8,80, voor u nog twee dubbeltjes en één euro terug.” Zo wordt er aan een kassa teruggegeven na betaling met een tientje. Men kan op die manier het aftrekken middels aanvullend optellen omzeilen. Dat is in deze situatie een vrij natuurlijke aanpak, die in de didactiek met ‘op-een-rij’ of ‘rijgmethode’ wordt aangeduid. Het is een handige manier van hoofdrekenen, het materiaal (hier de twee dubbeltjes en de gulden) geeft concrete steun. Later kan een dergelijke steun, op schematischer niveau, door de lege getallenlijn geboden worden. Het aanvullen gebeurt dan in principe op dezelfde wijze:
(lees voor gulden: euro)
Maar we zouden het over cijferend aftrekken hebben, en daar gaat het weer anders toe.
Ook dan dient de leraar een eigen keus te maken. En ook in dit geval van aftrekken heeft die keus een pedagogische en didactische dimensie. Laten we eens zien wat er didactisch mogelijk is. In de eerste plaats kan men uitleggen, hoe de rekenwijze van het aftrekken onder elkaar werkt en waarom die werkwijze tot een goed antwoord leidt. Een veelgebruikt hulpmiddel is het MAB-unifixmateriaal, met eenheden (kubusjes van ca 1 x 1 x 1 cm), staafjes (van 10 eenheden), plakken (van 10 x 10 eenheden) en een kubus (van 10 plakken). De eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen zijn duidelijk gestructureerd en laten over het inwisselen geen enkel misverstand bestaan. De didactiek, die hiervan gebruik maakt, wordt wel eens gekarakteriseerd als een structuralistische didactiek. De structuur van de standaardprocedure is uitgangspunt. Deze werkwijze sluit ook aan bij het inpakken van de ‘tallen’ in steeds grotere eenheden, zoals dat gebeurde in een doorkijkje.
133
Evengoed kan hier met geld gewerkt worden, al zijn er leraren, die het ontbreken van echte centen in het geldverkeer van nu als een didactische beperking zien. Een andere mogelijkheid is om de kinderen zelf te laten uitzoeken hoe de standaardprocedure, door volwassenen gebruikt, eigenlijk werkt. De leraar moet dan wel proberen de kinderen ook te laten uitdenken, waarom die rekenwijze goed werkt. Dus niet louter instrumentele kennis ontwikkelen, maar ook inzichtelijke.
In de loop der tijd hebben leraren geprobeerd de rekenwijze van allerlei ‘franje’ te voorzien, met het doel het voor de kinderen gemakkelijker te maken. Men kan er nu niet meer omheen te constateren dat sommige ‘versieringen’ mechanistische trekken vertonen. De didactische inzichten zijn inmiddels zover gevorderd, dat elke leraar nu zijn eigen keus kan maken en precies weet waarvoor hij kiest.
Ten slotte noemen we de aanpak, die dicht staat bij de leergang zoals die geschetst is bij het optellen onder elkaar: • Eerst op de lus-abacus met concrete handelingen voor het wegnemen en inwisselen. • Dan noteren in het schema van de positiestrepen op papier. • In toenemende mate verwoorden en zo mogelijk verkorten. • En tenslotte mentaal, als de rekenhandelingen uit/in het hoofd gebeuren. Hier spreekt men van de reconstructiedidactiek: de kinderen (re-)construeren zelf de rekenwijze. Een didactiek die zich onderscheidt van de reproductiedidactiek, waarmee de leerlingen alleen leren het voorgezegde na te doen, te reproduceren.
Voor de aardigheid laten we hier nog drie verschillende rekenwijzen (op het hoogste niveau van de standaardprocedure) volgen. De eerste is ‘oer-Hollands’, de tweede hebben we op bladzijde 85 al ontmoet en gaat via het rekenen met tekorten. Tenslotte is er de rekenwijze die bekend staat als ‘de Oostenrijkse aftrekking’. Je kunt ook zeggen: de methode van het voorschieten.
134
Ziet u wat er allemaal gebeurd is? Hier kan men even denken aan het inwisselen van tien amethiststeentjes voor een tijgeroog. 8 van 6 gaat niet, bedenk 16 (dus denk er een tijgeroog bij) en noteer die even op de goede plaats (in de kolom onder de 4) om niet te vergeten. Nu staan er dus 5 (= 4 +1) tijgerogen om eraf te halen! Nu 5 van 0 gaat niet, bedenk 10, enzovoort. De rekenwijze oorspronkelijk gebruikt, volgt een andere redenering, die natuurlijk uiteindelijk op hetzelfde neerkomt. Er wordt dan niet gedacht aan aftrekken (6 – 8) maar in termen van optellen: 8 + … = 6. Je ziet dan dat het alleen maar 8 + 8 = 16 kan zijn en schrijft dan de 8 op, en ook de 1 (10 dus) van 16. Dan gaat men verder: 5 + 5 = 10; noteer de 5 en de 1 (eigenlijk 100), enzovoort.
De staartdeling
Geldt ook voor cijferend delen, net als bij temperamentsrekenen, dat het gelijktijdig met de andere cijferbewerkingen ingevoerd moet worden? Het antwoord hierop is “Nee”. Het gaat immers om het leren van een cultureel bepaalde werkwijze en niet om het creëren van een bewerking. Bovendien vooronderstelt hier de ene werkwijze vaardigheid in de andere. Wie cijferend delen volgens de reconstructiedidactiek wil onderwijzen, kan dit ontwikkelen in nauwe aansluiting met cijferend aftrekken. “Maaikes moeder kocht voor de verjaarstractatie snoepjes. Maaike telde ze, het waren er 68. Ze verwacht drie vriendinnetjes, zodat ze met z’n vieren zullen zijn.” Met een dergelijk probleem kan de leergang begonnen worden. Het is een opgave waarvan de kinderen in klas 4 (5) niet direct op basis van hun tafelkennis de oplossing zien. Bovendien is het een probleem waarmee ze concreet aan de gang kunnen. Als de snoepjes (of representanten ervan) in concreto aanwezig zijn, worden er natuurlijk even vier bakjes bij gezocht. En eerlijk verdelen kan iedereen. Wat is precies de vraag? “Hoeveel snoepjes krijgt elk in het zakje, als ze eerlijk verdeeld worden?” De klas gaat als geheel of in kleine groepjes aan het verdelen. Onderwijl, of naderhand, kan de gang van zaken schematisch weergegeven worden op het bord. Het is een rechthoekschema, met de vier zakjes (of namen van de kinderen) bovenaan en de aantallen snoepjes, zoals die stap voor stap werden verdeeld, eronder
135
Was dit verjaardagsprobleem voorafgegaan door een ander, dat op bovenstaande manier is behandeld, dan kan deze verdeling nog schematischer worden aangepakt. In het geval dat er 68 snoepjes zijn voor vijf kinderen zie je dan:
Deze werkwijze wordt door de kinderen in de klas ontwikkeld. De leraar levert, zo mogelijk tijdens het werk, het notatieschema. Hij zorgt er voor dat dit notatie-schema nauw aansluit bij de werkwijze van het verdelen. De kinderen zien hun werkwijze weerspiegeld op het bord. Er volgen meer van deze problemen, de deeltallen worden groter en langzaam aan ook de delers. We sturen in deze fase ook aan op het plezier in eigen ontdekkingen die op basis van inzicht in de concrete handeling (verdelen, uitdelen, inpakken, …) tot stand kunnen worden gebracht.
• “Als moeder nu eens 112 snoepjes gekocht had, zouden er dan genoeg traktaties zijn voor alle 28 kinderen uit de klas?” • “Wim vond op zolder een doos vol 413 buttons met bekende voetballers erop. Hij mag ze eerlijk verdelen met zijn vriendjes van het voetbalteam. Samen twaalf. Hoeveel buttons krijgt elk?”
Op een gevorderd niveau van verkorting (de sliert met ‘happen van tien’) ziet de oplossing van het laatste probleem er als volgt uit:
De werkwijze is nu bekend, er zijn al heel wat opgaven gemaakt, nu gaat het erom vlugger en met grotere getallen te werken. Daarbij komt het handig rekenen, verdubbelen en halveren, samennemen van ‘tussen antwoorden’, rekenen met nullen, maar ook globaal schattend rekenen als vanzelf onder de aandacht. De kinderen kunnen van elkaars vondsten leren. Door ze uit te dagen het steeds korter te doen, kan ieder op eigen niveau -en dus gedifferentieerd- aan dezelfde opgaven werken. 136
De ‘grootste mooie hap’ markeert nu het moment, dat de fase van het eindalgoritme bereikt wordt. Dat kan er bijvoorbeeld als volgt uit zien:
Het werken met resten hoeft nu geen probleem te zijn. Door van meet af aan en op elk moment in de staart af te trekken met complete getallen, wordt een rest ook beleefd als datgene wat overblijft. Niet alle leerlingen zullen al snel tot deze eindvorm overgaan. Dat is ook niet nodig om tot het juiste antwoord te komen. Wel kan het voor de wat langzamere leerling een steun zijn, zeker als de delers groter worden, om het berekenen van de happen niet langer binnen het bewerkingsschema, maar veeleer er naast in een afzonderlijke tabel uit te schrijven. Bij de bovenstaande opgave komt dat neer op:
Ook het happenschema kan steeds meer verkort worden. Zo komt het accent nu haast ongemerkt op het handig rekenen binnen het happenschema te liggen.
Welke notatie willen we dat onze leerlingen (uiteindelijk) hanteren? Er zijn in Nederland verschillende in gebruik: 24 /5621 \ … is wel de van oudsher meest bekende. De kinderen zien niet direct dat het om een deling gaat, die schreven ze immers als 5621 : 24, waarin deeltal en deler een andere volgorde hebben. Hetzelfde geldt eigenlijk ook voor de hiervoor gehanteerde notatievorm. Plaatsen we de deler achter het deeltal, dan is dit verband wel direct te zien. In principe verandert er dan rekenkundig niets en didactisch maar weinig, en wie inventief is kan bovendien aan die notatiewijze ook een bruikbare betekenis geven.
137
Het staartdelen volgens het bekende model 24/ 5641 \ … is problematisch omdat er van links naar rechts moet worden gedacht. Bij al het andere cijferwerk begonnen we aan de kant van de kleinste positie, bij de eenheden. Nu moeten we met delen ineens aan de andere kant beginnen! Wie kan vertellen waarom eigenlijk? Is het trouwens echt nodig? Heel nuttig is ook het feit dat bij de hier gekozen notatie het achterliggende verhaal zichtbaar gemaakt kan worden. Stel dat 5621 staat voor negerzoenen, die in bussen van 24 worden verpakt:
138
Met dergelijke vragen zijn we op een reflectief niveau terecht gekomen: de rekenwijze (algoritme) wordt niet ‘geleerd’, maar ‘aan een kritische beschouwing’ onderworpen. Dit idee werd hier ook al eerder naar voren gebracht (zie blz 126). Men kan zelfs de kinderen van de vijfde of zesde klas in dit kader laten reflecteren op hun eigen leerproces. Je vraagt dan om hun advies: “Welke methode vinden jullie het meest geschikt voor de kinderen die volgend jaar staartdelen gaan leren? Kun je ook zeggen waarom?” Rekendidactici spreken bij dergelijke opdrachten over ‘eigen producties’. Bij het beantwoorden van de vraag worden de kinderen genoodzaakt om na te denken over de wijze waarop zij de staartdeling geleerd en begrepen hebben. Het is eigenlijk een ‘didactische’ opdracht, niet zo vreemd dat er goede resultaten mee behaald zijn, want leraren weten uit ervaring dat bepaalde zaken pas echt duidelijk worden als ze moeten worden onderwezen.
3.4 Schattend rekenen
Naast het gewone rekenen en later het cijferen, is het belangrijk ook bewust aandacht te besteden aan het schatten. Immers, het kleine kind leert bij het ontdekken van zijn wereld het schatten kennen als een natuurlijk appel van de buitenwereld aan zijn wil. We mogen misschien wel stellen, dat deze activiteit van het schatten, in de zin van iets wel of niet kunnen, het wel of niet wagen, één van de motivaties is voor zijn bewegingszin. En afhankelijk van de aard van de activiteit is het ook bevorderlijk voor de evenwichtszin, wellicht zelfs voor de levenszin, omdat schatten erg veel te maken heeft met vertrouwen in, en leren kennen en hanteren van, allerlei levenssituaties.
Het is duidelijk, dat we met schatten niet bedoelen: raden (hoeveel vingers houd ik op mijn rug?), of gokken of gissen; dat is gebaseerd op puur (on)geluk. Het schatten staat tegenover het precieze berekenen en meten: het exact willen vaststellen van een uitkomst of meetresultaat. Het laatste is een denkactiviteit, die pas eindigt, wanneer, na goed opgezet rekenwerk, het precieze antwoord is gevonden. Dit antwoord en de rekenwijze kunnen gecontroleerd worden met een objectieve methode.
De eersteklas leerkracht weet heel goed dat je om bepaalde afstanden, hoogten, oppervlakten, enzovoort te kunnen schatten, enige referentiematen tot je beschikking moet hebben. Nu is ‘meten’ in eerste instantie niets anders dan vergelijken. En als de kinderen rechtstreeks kunnen vergelijken hoeft er natuurlijk niet geschat te worden. Daarom heeft de leerkracht dit keer een paar stapeltjes boeken op zijn tafeltje gezet. De kinderen hebben er al eens vreemd naar gekeken. Die boeken stonden er voorheen toch niet! Op een zeker moment komt de aap uit de mouw. Hen wordt gevraagd of ze denken dat die stapeltjes op de één na bovenste plank in de kast passen …
We weten het niet zo goed. Wordt er door de kinderen in de eerste klas ook binnen de wereld van het getal geschat? Je zou in dat geval van ‘schattend rekenen’ kunnen praten. Zoiets als in een hogere klas: “Wat denk je, is die berekening van Herman goed? Hij kreeg uit 45 x 237 het getal 40 665? Even proberen: 50 x 200 = 10 000. En 50 x 230 is 1500 meer, dus 11 500. Het is vast te groot!”
139
We stelden al eerder, dat rekenen geleerd wordt vanuit de bewegingszin en steeds meer tot denkactiviteit wordt. Het is zelfs zo, dat het wiskundewerk in een later stadium alleen nog door de bijzondere kracht van het denken kan worden volbracht, namelijk als het geheel abstract is geworden. Schatten is dan de bron geworden voor ‘globaal rekenen’. De maatschappelijke relevantie hiervan is, nu het pietluttig cijferen steeds vaker aan de zakrekenmachine (zie blz. 361) overgelaten kan worden, bijzonder groot. Een toets wordt al snel verkeerd ingedrukt, wie zo’n ‘machien’ gebruikt moet het antwoord dat in het venster verschijnt, dus globaal rekenend kunnen controleren. Wat komt er bij dit schatten zoal kijken?
“Karin wil jij even vijf broden van € 1,95 halen, hier heb je een tientje. Heeft Karin hieraan genoeg?” Dat is even ons probleem. Kinderen die niet hebben leren schatten gaan zoiets precies uitrekenen. Hoe kun je dat voorkomen? En welke vaardigheden wil je daarvoor bij hen ontwikkelen? Maar eerst: Hoe schat je nu zo’n antwoord? Wel: € 1,95 dat is natuurlijk (ongeveer) 2 euro. Dat het euro’s zijn, daar zien we nu eerst van af. Dan kunnen we er in plaats van 5 x 2 ook wel 2 x 5 (en dat is 10) van maken. Oh ja, het ging over euro’s, dus dat is ongeveer een tientje. Hebben we nu genoeg? Want ‘ongeveer’ dat kan ook wel ‘iets meer’ zijn. Ja, gelukkig het is iets minder, we hadden toch naar boven afgerond, het antwoord is dus iets te groot! Nog genoeg voor een toverbal? Die dingen kosten een 25 eurocent. Even zien …
Wat is er nu ‘gedaan’? Eerst hebben we door afronden het probleem opnieuw geformuleerd, € 1,95 werd f €2,-. Daarna hebben we het vertaald, € 2,- werd kortweg 2 en toen rekenden we met 5 x 2 of met 2 x 5. Het resultaat werd weer terugvertaald in geld. Ten slotte zijn we even nagegaan of we nu het antwoord hadden; de procedure werd onder de loep genomen, moet er voor dit globale rekenen nog ergens gecompenseerd worden? Het antwoord was “nee” en leverde meteen een nieuwe vraagstelling op. Zo gaat dat vaak bij schatten.
Herformuleren, vertalen en compenseren zijn termen voor vaardigheden, die voor schatten ontwikkeld moeten worden. Zulke vaardigheden kun je pas leren wanneer je durft te schatten. Voor veel kinderen is dat inderdaad een zaak van courage. En het schatten blijft, ook daarna, een zeer praktische wilsaktiviteit, die met beide benen op de grond moet worden verricht. Nu eens ter controle van de zojuist bedoelde abstracte berekeningen, ook vooraf aan dergelijk mechanisch rekenwerk, dan weer in de context van eigen uitgaven. Schatten kan ook inhouden, dat je genoegen moet nemen met een grofschalige en gevoelsmatige benadering, hetgeen voor precies-alles-beredenerende mensen en kinderen wel eens moeilijk te accepteren is. De wilsactiviteit van het schatten is vooral gelegen in het vergelijken, in het leggen van verbanden. Het is vooral het zien van een relatie tussen enkele grootheden of getallen. Je moet een verband leggen en vervolgens gevoelsmatig afwegen.
Enkele voorbeelden, waarbij het schatten als natuurlijke kwaliteit wordt benaderd: • Een kind schat of het ‘ergens overheen kan springen’; het tast gevoelsmatig af of de relatie tussen die hoge heg en zijn wilskracht van dien aard is, dat zijn sprong hoog genoeg zal zijn. We ervaren, dat hier geen sprake is van enige 140
objectiviteit; er speelt immers het persoonlijke element van zelfkennis en moed mee, dat zelfs per keer bij het zelfde kind nog kan verschillen. • Een kind schat of het ‘kan oversteken’. Essentieel is hier de individueel geaarde tegenwoordigheid van geest, wil, moed, voorzichtigheid, angst. • Het gooien van een voorwerp met de bedoeling iets te raken, berust op schatten. Je ‘mikt’ zo goed mogelijk. Je legt verband tussen diverse realiteiten: afstand, zwaarte van het voorwerp, eigen kracht, later ook windrichting. • Bij dit alles hoort ook het leren van ervaringen, het herhaaldelijk doen en het desgewenst bijstellen om een zo fijn mogelijk inschattingsvermogen te krijgen. Op dit punt komt ook het idee van ‘persoonlijke referentiemaat’ weer om de hoek kijken. Ook die verwerft men door de ervaring. Maar op school kan de leraar een geschikte omgeving ervoor creëren.
Zo uitgedrukt is het een talent dat in diepste wezen te maken heeft met zelfkennis: het al dan niet juist inschatten (taxeren) van situaties en daarbij het eventueel onderschatten en overschatten van jezelf of van anderen. Dan ligt ook hier een direct verband tussen de ‘bewegingszin’ en de ‘ik-zin’.
Practische toepassingen van schatten:
• De hoogte van een boom schatten; ongeveer 4 x de lengte van mijn vader. Waar valt de kruin als hij zou worden omgehakt? • Het aantal opgestoken vingers tellen in een volle zaal. Even snel een groep van tien tellen en dat vermenigvuldigen met groepen van naar schatting tien mensen. • Hoe hoog is de deuropening? Ik ben 1.60 m. Kan dat paneel erdoor? • Hoeveel velletjes papier liggen er op die grote stapel? • Een praktisch controlerende functie in: 3,7 x 15,8 = 5846. Waar staat de komma? 3 x 15 = 45… • Hoeveel stappen is het naar je plaats? • Hoe lang zal het gaan duren? (nootjes uittellen voor 25 kinderen uit de klas). • Hoeveel schat je?
141
Tenslotte nog wat ‘creatieve oefenstof’:
• Kan dat: 18 000 baby’s geboren in één jaar in Nederland? • Iemand is 1 miljoen seconden oud. Hoeveel jaar is dat ongeveer? • Een olietanker verloor 1 miljoen liter ruwe olie. Hoe groot is de olievlek die daardoor de kust bedreigt? • Hoe groot is de gemiddelde snelheid van een wandelaar? • Hoeveel aardappelen denk je dat er gemiddeld in een kilo (kuub, mud,…) gaan? • Hoeveel auto’s denk je dat er in die file van 4 kilometer voor de Coentunnel staan? • Wat denk je dat het kost als die lamp van 100 Watt de hele vakantie, dag en nacht heeft gebrand? • Hoeveel zouden wij met elkaar ongeveer wegen? • Hoe rond je 135,776 af? • Wat weet je als bekend is dat het getal 3700 afgerond is op honderdtallen? • Hoe groot is de fout die gemaakt wordt bij de benadering 74 x 28 = 2100′? • Maak een benadering van 74 x 28 met een afwijking die niet groter is dan tien procent. • Bij de Primafoonwinkel kun je een ‘homevox’ kopen voor € 289,- of huren voor € 13,- per maand. Wat zou voordeliger zijn?
142
Rekenspelen
Inleiding
Wie de kleuter waarneemt in het vrije spel en het plezier, de ernst en overgave ziet waarmee het de wereld om zich heen ordent en structureert, ervaart dat spelen meer is dan spelletjes doen. De drang tot nabootsen wordt gevormd door de krachten van de fantasie, die daardoor zelf tot ontwikkeling komen. Wanneer met de schoolrijpheid de krachten, die zich eerst hoofdzakelijk hadden ingezet voor het vormen van het lichaam, meer en meer beschikbaar komen voor het leren, kan het kind deze met fantasie inzetten. Dat gebeurt als inhouden, die via leren verworven zijn, verwerkt worden in spelsituaties. Vanuit deze achtergrond bezien voegen rekenspelletjes aan het (reken)onderwijs iets toe, dat in het gewone klassikale leren of in het oefenen niet zonder meer gegeven is. Zulke spelen zijn hier dus niet bedoeld als een extraatje, als iets wat je doet wanneer er tijd over is of als beloning wanneer kinderen met hun werk klaar zijn, doch als werkvorm om leerstof op te nemen ofte verwerken. Dat betrokkenheid, die aan het spelen van kinderen eigen is, ook het leerproces positief ondersteunt vormt dus niet de aanleiding tot het doen van rekenspelletjes. Het gaat om de meerwaarde die het spelen voor de ontwikkeling van het kind heeft. Karakteristiek voor het spelen is dat de activiteit doel in zichzelf is en niet primair een ander doel dient zoals dat bij leren het geval is. Daarbij verlopen spelletjes volgens spelregels die aan de bezigheid betekenis geven en deze in ruimte en tijd structureren.
Een extra dimensie krijgen de rekenspelletjes als we ze met de kinderen samen maken of als we ze zelf door de kinderen laten ontwerpen.
De werklust bij het rekenen in de klas was niet te stuiten. We hadden de Arabische cijfers geleerd en de kinderen deden niets liever dan vellen vol tekenen met getallen. Dat inspireerde tot het gaan maken van een rekenspel. Ik liet de kinderen op kartonnen kaartjes de getallen 1 tot en met 9 schrijven. En wel zo dat de kinderen twee aan twee konden gaan werken. Het ene kind kreeg de opdracht de getallen 1 tot en met 5, het andere kind 5 tot en met 9 op te schrijven. Sommige kinderen vonden het maar vreemd. Jantine en Esther kregen bijna ruzie: “Waarom allebei 5? Ik heb toch al de 5 gedaan?” “Waar is de 10, juf?” Voorlopig liet ik de vragen onbeantwoord en bleef het voor de kinderen allemaal een groot geheim. Toen het schrijfwerk gedaan was, mochten de kinderen de kaartjes in een stapel van 30 stuks met een elastiekje bij elkaar binden, Jantine, altijd even gewiekst, organiseerde onmiddellijk nog vier vriendjes om samen te doen! “Rekenen zal ik haar niet hoeven leren”, ging er even door mij heen. In de loop van de volgende dag gingen we ons spel spelen. De kinderen zaten in groepjes van zes rond een tafel en kregen ieder een stapel kaartjes om omgekeerd op tafel te leggen. De spanning steeg en toen kwam de spelregel: om de beurt mag ieder kind twee kaartjes omdraaien, als de som tien is mag je de kaartjes open naast elkaar aan de rand van de tafel leggen. Is het geen tien samen, dan moet je de kaartjes weer omdraaien en terugleggen en is het volgende kind aan de beurt. Tijdens het spelen deden de kinderen zelf allerlei rekenontdekkingen. “Nu weet ik waarom we allebei een 5 moesten maken!” en het grote geheim van de ontbrekende 10 werd een verrassende vanzelfsprekendheid. Nog lang werden de spelkaarten op allerlei manieren gebruikt omdat de kinderen er steeds meer spelletjes mee wisten te bedenken.
143
Juist door het zelf maken en het naderhand spelen kunnen de kinderen rekenwerk, dat in het spel verborgen zit en waarvan ze zich bij het maken niet bewust waren, ook zelf uitvinden. Voor de hogere klassen kan het maken van een spel eveneens een bijdrage zijn aan de begripsvorming. Het gaat dan niet alleen om sport en spel buiten, waarin bijvoorbeeld met een stopwatch de kommagetallen (decimale breuken) onder de aandacht worden gebracht. Het kan ook anders. In de zesde klas bijvoorbeeld kunnen de kinderen een pro-centen-ganzenbord maken. Tijdens het vertellen is in de kinderen een ware Romeinse koopmanslust ontwaakt. In kleine groepjes kunnen de kinderen nu de levensloop van een koopman uitbeelden. Voor elk beeld een procentensom. In de loop van zijn leven doen zich allerlei gebeurtenissen voor, zoals inkopen en verkopen, winst maken en verlies lijden, loonsverhogingen voor de werknemers vaststellen, de huur van het huis verhogen of verlagen, een huis bouwen en naar verhouding inrichten voor het eigen gezin en ook voor het inwonende gezin van een broer, … Zijn de bordspelen gemaakt, dan gaan de verschillende groepen elkaars spel spelen en wie weet is het spel wel zo mooi, dat het als werkblad in de rekenmap terecht komt.
Veelal kenmerken spelletjes zich door het plezier dat ze geven, maar ook doordat ze de kinderen leren omgaan met vreugde en teleurstelling bij winnen of verliezen, door concentratie op te roepen, door herhaling mogelijk te maken en door samenwerking met anderen te stimuleren. Zo worden in het spel naast de ontplooiing van de fantasiekrachten ook andere vermogens en gevoelens ontwikkeld. Het kunnen uitvoeren van rekenspelletjes vooronderstelt enige vaardigheid in het kunnen tellen en het kunnen herkennen van aantallen en structuren, (onder andere bij het gebruik van dobbelstenen). In lagere klassen zullen ze meer aansluiten bij bewegingsactiviteiten in kring en tikspelen. In hogere klassen wordt in strategiespelen meer geappelleerd aan het handelen met inzicht. Daarnaast zijn er de gezelschapsspelen met kaarten of een speelbord; deze spelactiviteit staat gelijk aan het oefenen van (reken)vaardigheden. Veel spelen uit het gebied van de lichamelijke opvoeding laten zich met enige fantasie ombouwen tot rekenspelen (Zie Wil van Haren en Rudolf Kischnick, Het grote spelenboek, Christofoor). Voorbeelden van rekenspelletjes zijn op diverse plaatsen in dit boek te vinden. Hier volgen nog enkele voorbeelden ter inspiratie om zelf andere te bedenken.
I Memoriseren van de tafels
Op de stoel
De leerlingen staan op hun stoel. De spelleider zegt een getal bijvoorbeeld uit de tafel van 6 of van 7. Zit het getal in beide tafels (bijvoorbeeld 42), dan ga je voor je stoel staan. Bij een getal uit de tafel van 7 (bijvoorbeeld 21) sta je links ervan, bij een getal uit de tafel van 6 (bijvoorbeeld 54) rechts er van. En is het een getal uit geen van beide tafels (bijvoorbeeld 32) dan blijf je gewoon staan.
Variatie 1
Gebruik slechts één tafel (bijvoorbeeld die van 3). Is het ‘keergetal’ even (bijvoorbeeld 18), dan ga je rechts van de stoel staan; is het oneven dan sta je er links van.
Variatie 2
Is het keergetal een viervoud (bijvoorbeeld 12) sta je rechts; bij de andere tweevouden sta je links en bij de overige veelvouden sta je er voor. 144
Ratten en raven
In een open ruimte staan de leerlingen in twee rijen op ongeveer twee meter afstand tegenover elkaar. Rij A tikt rij B bij een getal uit bijvoorbeeld de tafel van 3; het omgekeerde gebeurt bij een getal uit de tafel van 7 Wie getikt wordt is af of geeft een pand (zie pandverbeuren), of iets dergelijks. Om niet getikt te worden, moeten de leerlingen tot achter twee vooraf afgesproken lijnen rennen.
Pose
Kies twee (of meer ) tafels. Spreek voor elke tafel een eigen gebaar of pose af. Wordt een getal uit de betreffende tafel genoemd dan nemen de leerlingen de betreffende pose aan. Wie zich vergist kan bijvoorbeeld getikt worden door een tikker.
Variatie
Kies een tafel. Bij even keergetallen (bijvoorbeeld 6 keer), wordt een andere pose aangenomen dan bij oneven keergetallen.
Oversteken
Er is een tikker. De overige leerlingen staan achter een lijn Elke leerling draagt (bijvoorbeeld op een A-4 tje) een van de getallen 1 tot en met 12. De tikker noemt een getal uit één van de vooraf afgesproken taf els.De leerling met het corresponderende keergetal moet oversteken, maar kan getikt worden tot hij de overkant bereikt heeft.
Tik me.
De leerlingen staan in een ruime kring. Diametraal tegenover elkaar staan buiten de kring een renner en een tikker. Een getal uit de tafel wordt genoemd door de renner. Hij loopt evenveel leerlingen verder als het keergetal aangeeft en wisselt met de daar aanwezige leerling die een nieuw getal uit de tafel roept, enzovoort. Wordt er getikt dan wisselen de leerlingen van rol, gaan weer diametraal tegenover elkaar staan, waarna het spel opnieuw begint.
Molen
Alle leerlingen vormen met elkaar de vier wieken van een molen. Elke wiek is een andere tafel. Er is een renner die een getal uit een van de vier tafels roept. De betreffende wiek rent nu in zijn geheel een rondje om de molen. De renner gaat op de plek van de lege wiek staan. De leerling die als laatste terug is, wordt de nieuwe renner en noemt een nieuw getal.
Kat en muis
De leerlingen staan in een aantal rijen en kolommen opgesteld. Leerlingen in eenzelfde rij houden elkaar vast. Er is een kat die een muis probeert te vangen. Ze mogen niet door een rij heen breken, maar de muis kan van een kolom een rij maken (en vice versa) door uit een vooraf afgesproken tafel een (on)even keergetal te roepen. De leraar tikt daarbij op een tamboerijn. Zodra een met het tafelgetal corresponderend aantal ‘keer-tikken’ geklonken heeft, veranderen de kolommen weer in de oorspronkelijke rijen. De kat en de muis bewegen zich bij dit spel op vier poten voort.
II Bordspelen voor basisvaardigheden
Ladder op en af
Teken een ladder met 20 sporten. Zet boven de eerste sport een 1, boven de tweede een 2 enzovoort tot en met 20. Plaats één pion op de 10. Bij toerbeurt werpen leerling A en leerling B met één dobbelsteen. Daarbij gaat A zijn geworpen aantal ogen omhoog en B zijn aantal ogen omlaag. Wie is als eerste van de ladder af?
Bij gebruik van een dobbelsteen met twaalf vlakken (pentagon dodecaëder) kan een ladder met 100 sporten genomen worden en beginnen ze met de pion op 50. (Het spel duurt dan vrij lang).
Samen tien
Er worden (ten minste) tien kartonnen kaartjes gemaakt met daarop de cijfers 1 tot en met 9. Op het overgebleven kaartje komt nog een 5. De kaartjes worden omgekeerd op tafel gelegd. Om beurten mogen de spelers twee kaarten omdraaien. Wie samen tien heeft, mag de kaartjes open naast zich op tafel leggen. Wie de meeste kaartjes heeft, is winnaar.
Samen zeven
De getallen 1 tot en met 6 worden op kaartjes gezet en die worden open op tafel gelegd. Er wordt met één dobbelsteen gespeeld. Na elke worp mag het kaartje genomen worden dat het aantal ogen aanvult tot 7. Wie zich vergist moet zijn kaartje laten liggen. (Het goede antwoord staat onder op de dobbelsteen).
Men kan een groter ‘combinatiegetal’ maken door met een groter getal op de kaartjes te beginnen.
Vijftien op een rij
Speler A heeft vijf witte platte ‘stenen’ met daarop de oneven getallen tot en met 9. Speler B heeft vier groene platte stenen met daarop de even getallen tot 9. Het speelveld is een vierkant met daarin een kruis en twee diagonalen. Speler A begint en legt een steen op een snijpunt van lijnen, daarna speler B. Het doel is drie stenen op een rij (horizontaal, verticaal of diagonaal) te krijgen die samen vijftien zijn. Je mag de tegenspeler natuurlijk hinderen.
Door alle getallen met eenzelfde bedrag te vermeerderen, te vermenigvuldigen of te delen (breuken), kan naar een andere ‘rijsom’gevraagd worden.
‘De slechte één’
Eén speler schrijft. Er wordt met een dobbelsteen geworpen zolang men wil, maar nooit langer dan dat er een 1 geworpen wordt. Zodra men gestopt is komt de volgende speler aan de beurt. Ieder houdt zijn eigen score bij door zijn geworpen ogen met luide stem op te tellen. Wordt de beurt met een 1 afgesloten, dan tellen de ogen van die hele beurt niet. Wie heeft als eerste 111?
III Hoofdrekenspelen
Spelen waarbij zelfstandig uit het hoofd gerekend wordt.
Vind mijn getal
Eerst leg je een gebied vast waarbinnen het te raden getal zich bevindt. Daarna geef je hints waarmee het getal te vinden is. Wie het getal gevonden heeft, zegt het niet maar geeft ook hints. Een voorbeeld:
“Het is een getal tussen de 48 en de 101.” 146
“Het verschilt één met een vierkantsgetal (kwadraat).” “Het is een getal uit de tafel van 5.” “Doe je er vijf bij dan is het een getal uit de tafel van 7.” “Het getal is oneven.”
Eigen getal in gedachten
Alle spelers kiezen een ‘eigen’ getal. De spelleider geeft rekenopdrachten, die ieder met zijn eigen getal uitvoert. Tenslotte noemt hij één uitkomst, die dan voor iedereen, onafhankelijk van het gekozen startgetal, blijkt te kloppen.
Welk getal heb ik in gedachten?
“Ik heb een getal in gedachten, ik doe daar ……., … dan is het antwoord nu 10! Wat was mijn oorspronkelijke getal?”
De kinderen krijgen nu even de tijd om zich alle stappen te herinneren en de bewerkingen in omgekeerde volgorde en op de tegengestelde wijze uit te voeren. Zo vinden ze een antwoord. Dit wordt nog niet gezegd. Daarna worden alle vragen nog eens in de oorspronkelijke volgorde gezegd. De kinderen rekenen nu op basis van hun antwoord mee en kunnen zo zichzelf controleren. In een lagere klas laat bijvoorbeeld de leraar zich nu de gevonden antwoorden in het oor fluisteren, trekt sommige kinderen nu aan hun oor en strijkt anderen over hun bol. Daarna zegt hij: “Wie over zijn bol geaaid is, zegt nu het antwoord!” In een zevende klas worden de bewerkingen bij het ‘voor de tweede keer vragen’ in de heengaande volgorde op het bord geschreven. Vervangen we het vraagteken nu door een x, dan verschijnt er zo een vergelijking met één onbekende. Daarna worden ook de diverse bewerkingen in de omgekeerde volgorde op het bord geschreven. Dan wordt de ‘vergelijking opgelost’. (Zie H 7).
IV Solitaire spelen
Spelen die door een leerling alleen gespeeld kunnen worden.
Aftrek vierkant
Teken op een blad papier een zo groot mogelijk vierkant. Zet op de hoekpunten vier willekeurige getallen onder de 100. Laat nu alle verschillen bepalen van twee getallen op dezelfde zijden. Laat deze vier getallen in het midden van die zijden opschrijven. Teken binnen het oude een nieuw (dus kleiner) vierkant met de nieuwe getallen op de hoekpunten. 147
naam Johannes dragen. Een dergelijk bezoek van een 
rondom midzomer in de voorchristelijke periode. De langste dag en kortste nacht van het jaar vallen tegenwoordig op 21 juni en staan dus lijnrecht tegenover de kortste dag en de langste nacht op 21 december. De huidige data voor deze twee astronomische ijkpunten zijn door veranderingen aan de opzet van de kalender met de jaren wat verschoven. Deze verschuiving blijkt uit het feit dat de christelijke feesten welke verbonden zijn aan de langste en kortste dag iets later vallen, namelijk op 24 juni (Sint-Jan) en 24 december (kerstavond).
Zoals eerder gezegd is er vanuit de preshistorie weinig bewijs voor spirituele zaken anders dan enkele archeologische aanknopingspunten. Vanuit de 
Op de viering van de kortste dag, (Yule –Kerstmis), wordt het licht wedergeboren en breekt de lichte helft van het jaar aan. Deze periode van zes 
en op verschillende manieren gereflecteerd in de mens. Eerder werd er op een grote schaal al een verband gelegd tussen de onderverdeling van het jaar in vier fases en de relevantie daarvan gedurende de levensloop van de mens, namelijk 
In de periode tussen Pinksteren en Sint-Jan groeit het bewustzijn naar zijn maximale omvang. Hierin spiegelt het de energie van de aarde welke nu zo ver is uitgezet dat je zou kunnen zeggen dat rond Sint-Jan hemel en aarde elkaar raken en samensmelten. Ook in planten en bomen is de energie nu op zijn hoogtepunt. Alles is groen, fris en nog niet ten prooi gevallen aan de verschroeiende hitte van de zomer. Onze actieradius is nu ook letterlijk op z’n grootst. De zomervakantie breekt aan en we reizen af naar mooie plekken elders in het land of zelfs daarbuiten.
balans in het leven tussen de invloeden van Lucifer en Ahriman. Luciferische
Zoals eerder aangegeven is er heel weinig bekend over de wijze waarop het
muziek, zang en dans. De hoofden worden versierd met bloemenkransen en indien nog toegestaan wordt er een vreugdevuur aangelegd. Traditiegetrouw wordt het Sint-Jansvuur met fakkels aangestoken door de kinderen uit de hoogste klassen. Zij kunnen op deze lange avond de verantwoordelijkheid aan om voor het vuur te zorgen en de veiligheid te bewaken. Tegen het einde van de avond, wanneer de vlammen niet hoog meer zijn, kan er over het vuur gesprongen worden. Buiten de vrijeschooltraditie in Nederland en elders in Europa zien we dit gebruik ook nog terug bij de midzomervieringen in Letland en Estland.
Binnen de vrijeschooltraditie worden er ook verbindende krachten toegeschreven aan het Sint-Jansvuur. Door eroverheen te springen word je als het ware opgetild door de warm lucht en op die manier dichter bij het goddelijke gebracht. Samen springen met een geliefde of vriend zorgt dat de springers één worden. Dit versterkt de band die vervolgens beter bestand is tegen de turbulente herfstperiode.
Van de midzomernacht wordt wel gezegd dat er een magische energie vanuit gaat welke de natuur doordringt. Het is dus bij uitstek de nacht om kruiden en medicinale planten te plukken, waaronder het sintjanskruid. Het dragen van bloemenkransen en de traditie van het versieren van de meiboom met groen zijn hier mogelijk ten dele van afgeleid. In Denemarken was het eens gebruikelijk om tijdens midzomer (Sankt Hans) vlierbloesem te bakken in boter en aan kinderen te serveren. Door de magische krachten in de vlier rond deze tijd van het jaar zouden zij een jaar lang geen koorts krijgen.
Zoals het geval is voor veel hoofdpersonen uit de Bijbel gaat de tekst over de persoon, in dit geval Johannes, maar staat deze persoon eigenlijk symbool voor iets groters. Dit ‘groters’ duidt vaak op een invloed of een kracht die doorwerkt in 
een aanwijzing over de te kiezen naam. Dit was niet voor niets en de naam Johannes heeft dan ook een symbolische betekenis, namelijk ‘de door God
Wie 
Deze ervaring luidde een nieuw tijdperk in waarin we het goddelijke ook in onszelf konden zoeken en vinden in plaats van enkel in de kosmos. De mens moest niet langer naar boven kijken in afwachting van goddelijke sturing of begeleiding, maar deze hulp juist zoeken in het innerlijk weten van de eigen individualiteit. Het was als het ware de wekking van de intuïtie, van een innerlijke drijvende kracht waarop vertrouwd kon worden. Van top-down spiritualiteit ging men naar bottom-up spiritualiteit. In plaats van wachten op een teken van hogerhand kon vanuit het individu actief contact worden gezocht met het goddelijke in tijden van nood en verwarring door bijvoorbeeld gebed of meditatie.
christelijke sintjanstradities leggen is het thema ‘overgang en verandering’ in beide evident. Aan de basis staat de letterlijke overgang van de lichte naar de donkere helft van het jaar, de zichtbare zonnewende die het natuurlijke ritme sterk beïnvloed. In het agrarisch jaar uit de voorchristelijke periode brengt de 
goudgele gloed hult wanneer de aardse energie zo ver is uitgezet dat aarde en kosmos samensmelten. In de voorchristelijke periode wordt de maximale energie herkent in alle bomen en planten die rond midzomer tot de hemel rijken. In de
196
Een vrijeschoolleraar ontwerpt dagelijks zijn onderwijs. Zodoende bouwt iedere leraar een persoonlijk gekleurd didactisch repertoire op. Velen houden een logboek bij om goede ideeën en succesvolle gebeurtenissen te bewaren en ze zo mogelijk, op een later tijdstip nog eens te benutten. Dat deed ook Gerard Reijngoud. Hieronder een willekeurige selectie uit zijn aantekeningen.
Ik dacht dat de werking van de nacht onbewust was. Dus een kind vergeet, maar neemt het toch mee de nacht in. Als je kinderen zulke opdrachten meegeeft, dan liggen ze ’s avonds in hun bed nog te oefenen en nemen ze het wel mee in hun slaap. Maar dat is niet wat (volgens mij) de vrijeschoolpedagogiek bedoelt.
