VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 1

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk I: Uitgangspunten voor ‘rekenen en wiskunde’ op de                                       vrijeschool

1.1 Vooraf
1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling
1.3 Het rekenen in de vrijeschool
1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig
1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool
1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool
1.7 Conclusie

1.1 Vooraf

Om tot een goede plaatsbepaling te komen van het rekenonderwijs op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs, begint dit eerste hoofdstuk met een historische beschrijving van de rekendidactiek. In aansluiting hierop zullen de visies van beide ‘rekenwegen’ worden beschreven alsook hun mogelijke raakpunten.

1.2 Rekendidactiek in ontwikkeling

Rekenen gaat over sommen maken. Hoe zit dat met de aftrekking 52 – 39? Valt daar nog iets anders over te zeggen dan dat er 13 uitkomt? Dat antwoord komt er nu uit, dat kwam er in de tijd van Willem Bartjens en van Ernst Bindel uit en het zal er de komende eeuwen nog wel uit blijven komen. Als we ergens zeker van zijn …

De eerste rekenaars zijn van heel lang geleden, de eerste tekenen van het rekenwerk zijn natuurlijk van later datum. Om dat tot stand te brengen was namelijk een symbolentaal en een schrijftechniek nodig. De papyrus Rhind, van ca 1850 v C, wordt wel eens het oudste rekenboek genoemd. Het toont onder meer hoe de Egyptenaren destijds reeds in staat waren met breuken te rekenen. Maar de papyrus was geen rekenboekje, zoals we dat later kennen, voor gebruik in de school. De papyrus was een rekenboek voor volwassenen, voor schrijvers die de kunst van het ‘boekhouden’ erbij wilden leren.

Rekenboekjes voor het onderwijs werden in ons land voor het eerst in de zestiende eeuw gemaakt. Een van de vele was het boek dat naar alle waarschijnlijkheid in 1567 is verschenen, Arithmetica, door Claes Pietersz. van Deventer, ook bekend als Nicolaus Petri Daventriensis. Dit boek krijgt een flink aantal herdrukken, zelfs tot in de zeventiende eeuw. Claes had zich eerder in Amsterdam gevestigd als schoolmeester en de kans is vrij groot dat de nog bekendere Willem Bartjens, een geboren Amsterdammer, uit de Arithmetica, of een herdruk daarvan, het rekenen heeft geleerd. Zijn Cijfferinge van 1604 vertoont namelijk sterke overeenkomsten met Petri’s leerboek. En ook het laatste was niet echt een origineel boek, het leek
11

daarvoor teveel op het allereerste Noordnederlandse rekenboek in de volkstaal, van Martinus Carolus Creszfelt (1557 te Deventer).
Maar natuurlijk was er ook weinig origineels te bedenken, de rekenboeken behandelen in die tijd de getallen, hun uitspraak, de technieken van het cijferen, dat alles ook in het gebrokene, de regel van drieën. Daarmee kon de rekenaar in de zeventiende en een groot deel van de achttiende eeuw de opgaven, waar de praktijk hem voor stelde, maken: Cassiersrekening, Interest op maanden, Rekening van Intrest of gewin, Tarra, Gezelschapsrekening, Interest op intrest, Menging. In het boek stond precies volgens welke rekenregels men de optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen diende te maken. Alle andere opgaven waren niet alleen van een ‘facit’, een antwoord, voorzien, maar ook van een oplossingswijze. Wie goed rekende in die eeuwen, deed dat ‘volgens Bartjens’. Een mechanische rekenaanpak, geleerd via een mechanistische didactiek. Men wist dat heel goed, en men had een argument: waarom zou je tijd verloren laten gaan met uitleggen? De domme klerken zouden dat niet eens zelf willen. De Cijfferinge van Willem Bartjens heeft vele herdrukken beleefd, tot ver in de achttiende eeuw. Steeds was er wel weer een schoolmeester die zich waagde aan een herziene druk. Waarbij de herziening dan bestond uit het verbeteren van fouten, die toch weer in de vorige druk waren geslopen.
Omstreeks 1820 komt de eerste fundamentele kritiek op het boek van Bartjens en wel uit wiskundige hoek. Het is de Leidse hoogleraar Jacob de Gelder die erop wijst dat veel van het rekenen rekenkundig gefundeerd, en daardoor beter begrepen kan worden. Maar het rekenonderwijs verandert niet echt in de achttiende eeuw. Er waren geen rekenboekjes, zoals we ze na 1875 zouden kennen. De onderwijzers gaven les zoals Willem Bartjens het had opgeschreven: sommen voormaken op het bord en vervolgens laten nadoen. Wat op het bord behandeld werd, was al eeuwenlang hetzelfde. Dit tijdperk zal later (door Kellinga, in zijn Beknopte Overzicht van de Geschiedenis van het Rekenonderwijs, ca 1930) aangeduid worden met de periode van het Mechanische Bordrekenen.
In 1875 verschijnt de eerste volledige rekenmethode voor de lagere school, geschreven door Jan Versluys. Nu is dus een duidelijke leerstofordening voor handen en er kan gewerkt worden aan inzicht én vaardigheid. Versluys’ methode luidt, zo stelt Kellinga achteraf vast, een nieuw tijdperk van het rekenonderwijs in: de periode van het Verstandelijk Rekenen. Het gaat niet alleen om het rekenen zelf, zoals voorheen, maar men wil ook door de manier waarop gerekend wordt, het verstand ontwikkelen en vormen.
Interessant is het werk van Van Pelt. In zijn De Nieuwe Rekencursus maakt hij veel werk van het verdubbelen en halveren. Bij de tafels van vermenigvuldiging wordt er gebruik van gemaakt en gaat hij zelfs nog verder: 10 x 7 is het dubbele van 5 x 7 en als je 10 x 7 hebt, kun je ook gemakkelijk 9 x 7 vinden. Kellinga, die veel kritiek heeft op de werkwijze in deze periode, ziet in Van Pelts aanpak slechts een poging om al het rekenwerk ‘rekenkundig te verantwoorden’. (Het is bijvoorbeeld niet moeilijk in te zien dat 9 x 7 = (10-l)x7 = 10 x 7- l x 7, met een verwijzing naar de distributieve wet uit de rekenkunde). Maar wat beoogd wordt met het rekenonderwijs, kennis, vaardigheid en inzicht, wordt niet bereikt. Het is allemaal veel te moeilijk, de op inzicht gebaseerde uitleg van de staartdeling, dat onderscheid tussen verdelings- en verhoudingsdeling, die rekenregels voor de breuken, dat gedoe met ggd en kgv, de kenmerken van deelbaarheid,…
De reactie laat niet op zich wachten, maar de eerste poging in 1910 al gedaan
12

door Langeraap, Eenvoudig Rekenen, slaat nog niet aan. De inmiddels opgebouwde traditie van leerstofordening en -verdeling over de leerjaren, wordt teveel geweld aangedaan. Wie durft er bijvoorbeeld met de staartdeling te wachten tot de zesde klas?
Maar er verschijnen meer boeken: Kleine Rekenschool, School en Leven, Praktische Rekenschool, Stap voor stap, Sommenboek voor de volksschool (Theo Thijssen!), Rekemverk voor de Lagere School, Eenvoudig Rekenboek én Noodig Rekenen (Kellinga). Als exponent van dit nieuwe tijdperk in het rekenonderwijs, typeert Kellinga dit voorzichtig met: de periode van het streven naar eenvoud. Wij weten nu dat de ‘verstandelijke’ methode van Bouman en Van Zelm (van omstreeks 1916) het lang heeft volgehouden, zelfs tot na de Tweede Wereldoorlog. Hoogstwaarschijnlijk was dit niet een gevolg van de speciale didactiek (volgens de auteurs gebaseerd op de filosofie van Bolland en bedoeld om het rekenen te zien als ‘toegepaste logica’), maar van de bruikbaarheid als opgavenboekjes.
Een reactie komt met de verschijning van Fundamenteel Rekenen, van P.A. Diels en J. Nauta. Geen onzinnige denkopgaven en vormsommen meer, al vraagt men er in het middelbaar onderwijs nog steeds om. Er komt nu meer aandacht voor de didactiek: inzicht aanbrengen, oefenen in een bepaald ritme, niet mechanisch rekenen met grote getallen, het rekenen praktisch houden, voldoende tijd aan hoofdrekenen besteden, de stof aanbieden in schemavorm, zelfwerkzaamheid stimuleren, … (Richtlijnen voor het rekenonderwijs op de Lagere School, Wolters 1939).
Helaas moet achteraf weer geconstateerd worden dat het rekenonderwijs ook in de jaren vijftig en zestig, niet tot tevredenheid stemt. Ondanks het verschijnen van vele methoden (Naar Zelfstandig Rekenen, Ik Reken, De Grondslag, Boeiend Rekenen, Naar Aanleg en Tempo, Functioneel Rekenen, Nieuw Rekenen, School Zonder Zitten Blijven en meer van dergelijke schone beloften), is het rekenonderwijs van mechanistische aard. Het voordoen-nadoen uit voorgaande eeuwen bepaalt de didactiek. Voortdurende klachten over de slechte resultaten leiden slechts tot besnoeiing van de leerstof: hete hangijzers als ‘delen door een breuk’ en ‘ggd en kgv’ worden uit het leerplan geschrapt. Wat er over blijft, schept blijkbaar weinig vreugde. Een inspecteur van het onderwijs karakteriseert rekenen anno 1961 als een dood vak.

Dat ziet er in de jaren zestig niet best uit. Je kunt je afvragen wat de oorzaken zijn van een dergelijk verval. En op die vraag doorgaand kom je ertoe te bedenken welke de invloeden zijn, die vorm en inhoud van een vak als rekenen bepalen. Die vraag stelde Kellinga zich ook reeds. En hij had een antwoord: Vorm en inhoud van het rekenonderwijs worden beïnvloed door: denkbeelden over hetgeen een kind later nodig heeft van het rekenen, inbreng van de vakwetenschap (wiskunde), wat er op de kweekschool geleerd wordt, de schoolmeesterij en de traditie. Blijkbaar waren algemene didactiek, vakdidactiek, ontwikkelings- en onderwijspsychologie nog niet in beeld. En een ‘filosofie van het wiskundeonderwijs’, in samenhang met een mensbeeld, was nog verder weg.

Maar 52 – 39 = 13, dat staat nog steeds als een paal boven water. Hoe kinderen het beste kunnen leren deze aftrekking te maken, is een vraag van de didactiek. Moet je gewoon 52 en 39 onder elkaar zetten en dan ‘volgens Bartjens’ aan het cijferen gaan? Of kun je de kinderen beter leren dit soort berekeningen uit het hoofd te
13

maken? En moet dat dan volgens vaste procedures (52 – 39; eerst 52 – 2 = 50, dan 50 – 30 = 20 en tenslotte 20 – 7 = 13), of leer je de kinderen handig te rekenen (bijvoorbeeld 52 – 39 = 53 – 40)? Wat te zeggen van de kritiek op die laatste handigheid, dat kinderen door dat soort trucjes alleen maar in de war gebracht worden? En wat te denken van het commentaar uit een totaal andere hoek, dat hier vergeten is dat kinderen zich bij getallen ook nog iets concreets kunnen (willen) voorstellen? Bijvoorbeeld zoals die leerling die bij deze som onmiddellijk ‘= 13, één kwartaal’ zei en bij navraag aan de kalender (52 weken, 4 kwartalen, 52 – 39 is vier kwartalen min drie kwartalen is …) bleek te hebben gedacht. Of heeft de veelzijdige rekendidacticus het kolomsgewijze rekenen met tekorten nog in petto: 50 min 30 is 20; 2 min 9 is 7 tekort, dus 20 min 7 is 13? Behoort wellicht de ondersteuning van het hoofdrekenen met een lege getallenlijn tot zijn didactisch repertoire? En laat hij de keuze van de aanpak voorlopig nog wat open om de leerling eerst een kans te geven zijn eigen gedachten te vormen?
Met het laatste commentaar zijn we gekomen bij ontwikkelingen, die in de jaren zeventig een nieuwe impuls gaven aan het vak rekenen. Voordat die ter sprake komen, noteren we enkele fundamentele uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool, die het geheel vanuit een nieuwe dimensie vormgeeft.

Opmerking: De korte beschrijving van de ontwikkelingsgeschiedenis van het rekenonderwijs hierboven, geeft enig zicht op de situatie, die de pioniers van de vrijeschoolbeweging in de eerste helft van deze eeuw in de ‘reguliere’ schoolklassen aan konden treffen. Hun kritiek op het onderwijs kan in dit licht begrepen worden.

1.3 Het rekenen in de vrijeschool

Rekennatuur en rekencultuur

Elke vorm van onderwijs bevindt zich grotendeels in het spanningsveld tussen individuele vermogens van leerlingen en eisen van de maatschappij. In de vrijeschool wordt getracht dit spanningsveld te verkleinen of zelfs op te heffen. Dat vereist inzicht in de leer- en ontwikkelingsmogelijkheden van kinderen en in het rekenen als zodanig, of anders gezegd: we moeten ons zowel verdiepen in de rekennatuur van het kind als in de cultuur van het rekenen zelf.

Het rekenende kind

Als we het rekenen mogen zien, als behorende tot het gebied van de wiskunde, kunnen we zeggen: het mathematische vereist in uiterste consequentie, een innerlijke activiteit, een hanteren van voorstellingen en begrippen los van de zichtbare, tastbare, kortom fysieke werkelijkheid. Het oplossen van een reken-wiskundig probleem kan een intens geluksgevoel geven, een soortgelijk gevoel als wat opstijgt in een kind, dat ontdekt dat het kan lezen. Het is als een wakker worden voor iets, dat weliswaar al bestond, maar nog niet werd waargenomen.
Rudolf Steiner beschrijft het mathematiseren als een ontwakend vermogen, als een vrij komen van bepaalde zielenkrachten, die eerst noodzakelijkerwijze in het lichamelijke werkzaam zijn geweest. In het kind tot ongeveer zeven jaar schuilt een innerlijke wiskunde, die niet zo abstract is als onze uiterlijke, maar die van kracht is vervuld; die niet alleen kan worden aanschouwd, maar levend werk-
14

zaam is. Tot op dat tijdstip bestaat in ons iets, een vermogen om te mathematiseren . Hij vergelijkt deze onbewust werkende kracht met latente warmte.
Vervolgens duidt Steiner op drie vormen van naar binnen gerichte waarneming, die ons in de eerste levensjaren nog onbewust blijven; drie zintuigachtige functies, die een activiteit uitoefenen, welke in de eerste jaren mathematiserend in ons werken. Hij noemt deze de levenszin, de bewegingszin en de evenwichtszin. Het is duidelijk, dat juist deze drie functies in de eerste levensjaren heel actief zijn, zij het onbewust. Het kleine kind reageert veel directer en openlijker op ziekte of welzijn, beleeft sterker de eigen bewegingen in de uiteenzetting met de omgeving, ervaart voortdurend zijn eigen evenwicht. Later, na de tandenwisseling, komen de voordien aan deze zintuigachtige functies gebonden krachten als denken zielenkrachten vrij.
Een kleuterklas, waarin het kind vrij mag spelen, klimmen, klauteren, glijden en wippen en zo z’n vitaliteit, bewegingsdrang en evenwichtskunsten kan uitleven, biedt onder andere een goede voorbereiding voor een latere ontplooiing van de wiskundige vermogens. Voor leerlingen, die (later) rekenproblemen hebben, geeft Steiner bewegingsoefeningen aan.
De bewegingen moeten (dan) heel bewust worden gemaakt, dus anders dan bij spelende kleuters. Bewustzijn van de beweging maakt het rekenvermogen vrij! Over het bewegen wordt in dit boek nog geschreven, met name in verband met de ontwikkeling van de wil. (zie H8).

Fundamenteel voor een benadering van het rekenen als vak, is de plaats die Rudolf Steiner het rekenen in het leerplan toekent. Hij plaatst het daar tussen twee uitersten: tussen het leren van het conventionele en het beoefenen van het kunstzinnige. Onder het conventionele verstaat hij datgene wat een mens moet kennen aan algemeen geldende afspraken, wat men ook wel eens publieke kennis noemt. Dus dat wat in zogenoemde kerndoelen globaal wordt aangeduid en dus onafhankelijk is van individuele verschillen. Het kunnen onthouden en reproduceren van conventionele kennis wordt sterk bepaald door het lichamelijke, met name door de status van de hersenen.

Bovenfysiek en half-bovenfysiek

Het kunstzinnige berust juist wel op kwaliteiten van de individuele mens. We bedrijven het met onze volle persoonlijkheid, met dat wat Steiner noemt: het ‘bovenfysieke’. Rekenen, tussen deze twee uitersten geplaatst, noemt hij daarom ‘half-bovenfysiek’. Daarmee krijgt het rekenen ruimte om zich te bewegen tussen het gebied van de algemeen geldende (onpersoonlijke) afspraken en dat van de individuele vermogens en wegen.
Geen wonder, dat er op het gebied van rekendidactiek zoveel verschillende opvattingen kunnen zijn! Aan de conventionele kant kiest men voor eensporig-heid, de oplossingsweg laat geen twijfel bestaan, want die is voor ieder gelijk: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10+ 5 = 15. We spreken af, dat we het voortaan altijd zo en niet anders doen. Dat geeft houvast. Hier is het rekenen aan de fysieke kant geplaatst: volg de regels die door anderen ooit eens zijn vastgesteld.
De aanpak in het realistische rekenen is anders. Men kiest veelsporigheid en houdt rekening met eigen inzichten en ontwikkelingsniveaus: 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15 of 8 + 7 = 7 + 7 + l = 14 + l = 15 of 8 + 6 = 14 dus: 8 + 7 is er eentje meer, is dus
15

gelijk aan 15. En vervolgens is er ook nog de blikwisseling om te komen tot 15 = 8 + 7 en ‘alle’ varianten, die op een andere wijze ruimte schept voor creativiteit, het kunstzinnige.
De vrijeschooldidactiek begint zelfs aan de andere kant en laat van meet af aan veel verschillende mogelijkheden onderzoeken: 15 = 8 +7, 15 = 6 + 3 + 6 (ook mooi!) 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Ziehier drie opvattingen over rekenonderwijs, elk met vérstrekkende gevolgen voor de rekenpraktijk. Achter elke opvatting zit een visie op het vak, een kijk op de mens en een ontwikkelingstheorie (leertheorie).

Temperamenten

In de eerste voordrachten van de Praktijk van het lesgeven gaat Steiner uitvoerig in op de temperamenten, in samenhang met het rekenen. Hij demonstreert de temperamentenleer daar niet als een didactisch hulpmiddel, om bijvoorbeeld de aandacht van de kinderen te trekken, maar laat zien, dat rekenen en temperamenten met elkaar te maken hebben, ja, zelfs verwant zijn aan elkaar. Want het menselijk temperament is zelf ook half-bovenfysiek! “Tussen dat wat we uit ons vroegere aardeleven meebrengen en dat wat zich in ons uitdrukt als culturele erfenis, staat een bemiddelaar; iets dat tegelijkertijd meer algemene eigenschappen heeft en toch in staat is om geïndividualiseerd te worden. Datgene, wat zich midden tussen de erfelijkheidslijn en de lijn van onze eigen individualiteit stelt, drukt zich uit in het woord temperament”. Met zijn temperament bevindt het kind zich tussen het algemene en het individuele, tussen het fysiek bepaalde en het boven-fysieke. Het verkeert met andere woorden in hetzelfde gebied als waarin het rekenen zich manifesteert. Met name voor het rekenen kan de temperamenten-psychologie tot een uiterst vruchtbare didactiek leiden.
Samenvattend zou je kunnen stellen: in zijn opmerkingen over de zintuigen en de beweging geeft Steiner zijn visie op wat je zou kunnen noemen de rekenvoorwaarden. In de temperamentenbenadering van het rekenen ontwikkelt hij een rekeneigen didactiek, die de brug slaat van rekennatuur naar rekencultuur.

Rekenen en cultuur

Twee klassen gaan op schoolreis. Van tijd tot tijd trachten de leraren de schare te overzien. “Even controleren of we compleet zijn”, roept de ene leraar. Hij begint te tellen: “O nee, ik tel er maar 24; we missen er twee! Wie weet welke kinderen er weg zijn?” De ander overziet zijn klas en constateert: “Jongens we missen Peter en Marianne. Wie heeft ze gezien?” De eerste leraar kan ongetwijfeld goed rekenen, de tweede heeft een goed beeld van zijn klas. Uiteraard dien je als leraar tot op zekere hoogte over beide vermogens te beschikken, al zal ieder, wanneer hij zich de kinderen van de klas voor de geest haalt, wel eens moeten afturven of hij of zij ze wel allemaal ‘gehad’ heeft.
Het kwalitatieve voorstellen, het hebben van innerlijke beelden, is een vermogen, dat in onze tijd niet meer als een cultuurfactor wordt beoefend, maar als een natuurlijk talent wordt ervaren, een kinderlijk vermogen, dat in de loop der jaren verloren kan gaan. Een wat oudere architect vertelde, hoe het voor zijn jongere collega’s, die niet meer thuis waren in de beschrijvende meetkunde, maar wel in de analytische geometrie, moeilijk was een juist en volledig beeld te hebben van hun eigen scheppingen; van de plaats van ramen en deuren in het geheel.
16

Omgekeerd zal in een samenleving, die nog in ruime mate over dit innerlijke voorstellingsvermogen beschikt, de kwantitatieve wiskunde niet zo’n overheersende rol spelen. Pas voor een maatschappij die de natuur cultiveert en tot nieuwe, zichtbare scheppingen komt, is de beheersing van de getallenwereld van belang.
Wiskunde (rekenen) is ook door die behoefte tot stand gekomen waarbij de natuur een brongebied vormde waaraan wiskunde werd afgelezen. Zo is wiskunde door mensen ontwikkeld die daar in bepaalde omstandigheden behoefte aan hadden. Vervolgens hebben anderen de draad opgepakt om hetgeen er was te verbeteren, verder te ontwikkelen en uiteindelijk in theoretische kaders te organiseren. Eerst in het beleven van de werkelijkheid door de mens kreeg deze wiskunde vorm en karakter, vervolgens werd hij op die werkelijkheid toegepast en tenslotte werd de wiskundige kennis zelf met wiskundige middelen georganiseerd. Het is niet moeilijk om zo de herkomst van verschillende takken van de wiskunde te traceren: de rekenkunde vindt zijn wortels in het tellen, de meetkunde in het meten en ruimtelijk oriënteren, de logica in het uitleggen, verklaren en redeneren.
Wie de lijn van het scheppen van de wiskunde (uitvinden, ontdekken) als richtlijn neemt voor de programmering van zijn reken-wiskundeonderwijs, kan de leerlingen dit proces in verkorte vorm opnieuw laten beleven (geleide
her-uitvinding), en af en toe het ‘geluksgevoel’ van een wiskundige schepping laten ervaren. Maar er is meer te zeggen voor deze historisch-genetische didactiek.

Zo boven, zo beneden

Een goed voorbeeld biedt de Egyptische cultuur met zijn ongeëvenaarde bouwwerken en voortreffelijke landbouw. De Egyptenaren kenden het tientallig stelsel, breuken en getallensymbolen tot 1.000.000! Ze maakten de cultuur-historische stap van de kwalitatieve naar de kwantitatieve benadering van de wereld. Haar oorsprong schreven zij toe aan Thot (Griekse cultuur: Hermes Trismegistos). Uit de Thot-mysteriën stamt de uitdrukking: Zo boven, zo beneden. Zo werd Thot de inspirator van het inzicht dat in Egypte ontstond, dat de fysieke wereld een afspiegeling van de goddelijke wereld is; een soort godenschrift. Het lezen van dit godenschrift vormde de basis voor de Egyptische wetenschappen.
Tot in de Middeleeuwen leefde deze idee over de herkomst van de wetenschappen nog voort als de leer van de zeven vrije kunsten, voorgesteld als vrouwengestalten. Leerzaam in verband met ons rekenthema is de volgorde waarin deze kunsten werden beoefend. Allereerst ging het om de beheersing van het ‘trivium’: grammatica (de beheersing van het juiste woord), dialectica (het vermogen om gedachten onder woorden te brengen) en de rhetorica (het middel om invloed uit te oefenen op anderen). Deze vermogens waren noodzakelijk om in de geheimen van het ‘quadrivium’ door te dringen: de geometria, de aritmetica, de musica en de astronomia. Het quadrivium vinden we bijvoorbeeld terug in het werk van Pythagoras, in de door hem gevonden wetmatigheden in de meetkunde en de muziek.
Ook in de individuele ontwikkeling gaat het taalvermogen vooraf aan het rekenvermogen. Of moeten we zeggen: het rekenen zit dieper, in het gebied van de onderste zintuigen? Spreken leer je door nabootsing. Bij het rekenen ligt dat anders.
17

18

Je zou kleuters door lopen en zingen best de tafels kunnen aanleren, maar we ervaren dit als weinig zinvol. Er moet immers een inzicht (wat is vermenigvuldigen?) aan vooraf gaan en juist dit inzicht kan een jong kind in het algemeen nog niet bevatten. Pas als de nabootsingskrachten afnemen, zo omstreeks de tandenwisseling, kan het kind de stap van spiegeling naar bespiegeling zetten. Wat het eerst deed zonder bewustmaking, kan nu reflectief beleefd en doorschouwd worden. Dat geldt zowel hetgeen tot de parate kennis moet gaan behoren (5 x 7 = 35) als de handige oplossingsaanpakken (5 x 7 is de helft van 10 x 7). Bij het rekenen worden dus twee vermogens aangesproken: het reflecteren -het bewustmaken van een eerdere rekenhandeling- en het vrijkomende wiskundige vermogen, dat aanvankelijk onbewust was en zich op fysiek vlak manifesteerde in ritme en beweging.

Middel en doel

Kinderen komen doorgaans naar school met een geweldige leergierigheid: ze willen groot worden, dat wil zeggen dat ze een weg willen vinden in de cultuur van de volwassenen. In onze tijd behelst deze weg een lang traject. Terecht wordt daarom een flink deel van de schooltijd besteed aan het verwerven van de basiskennis van onze cultuur: taal en rekenen. Dat gebeurt voor een groot deel in doorgaans witgekalkte gemeenschapsruimten, klaslokalen, waar onderwezen wordt.
In enkele andere culturen waren deze instituties niet nodig. Men had andere ‘opvoedingspakketten’ beschikbaar, als rituele dansen, reciteren en het zingen van heldenliederen of, om iets heel anders te noemen, het beoefenen van de vijfkamp. De opvoedingsdoelen van die samenlevingen pasten bij de wijze, waarop het leven ingericht was en stonden daardoor dicht bij de natuurlijke vermogens van het kind, met zijn bewegingsdrang, z’n behoefte aan ritme en beeld en zijn natuurlijke behoefte aan religiositeit.
In onze westerse samenleving van de jaren negentig (multicultureel, technologisch, emancipatorisch) moeten we de kinderen binnen leiden in een cultuur, die een hoge mate van abstraherend vermogen verlangt. Vanuit rekendidactisch standpunt moet daaraan worden toegevoegd dat het gaat om abstrahering met behoud van inzicht en abstracties die in nauwe relatie staan met concrete situaties. Abstrahering wordt, van dat standpunt gezien, tot stand gebracht door reflectie. Wiskunde moet men dan ook zien als het denken over het eigen handelen. Dat kan handelen op materiëel niveau zijn, maar evengoed is hier mentaal handelen bedoeld.
We willen het verantwoord doen en het onderwijs onder andere ook maken tot een middel om het geheugen te trainen en de wil te sterken. Terecht! De grote kunst zal daarbij zijn om het evenwicht tussen middel en doel te bewaren en niet het een met het ander te verwarren. Als middel tot doel wordt, zouden we wellicht betere middelen kunnen bedenken dan scholen! Het doel kan alleen zijn, de kinderen aansluiting te laten vinden aan hun cultuur: kundig maar ook kritisch. De middelen reikt het kind ons aan: de drang tot bewegen, het gevoel voor ritme cn de mogelijkheid van creativiteit. En we maken gebruik van het groeiende reflectieve vermogen dat tot uiting komt in verstand en geheugen. Maar het vereist veel kennis en inzet om deze vermogens goed vorm en richting te geven.
Hier past tenslotte een variatie op een reclamekreet: meesterschap is vakmanschap!
19

In de volgende paragraaf pakken we de draad van de rekencultuur, die in 1.2 in de buurt van het jaar 1970 werd afgebroken, weer op en komen tot een nadere beschrijving van het realistisch reken-wiskundeonderwijs.

1.4 Ontwikkeling en onderzoek in de jaren zeventig en tachtig

Al tegen het eind van de jaren vijftig komt een beweging op gang, die het reken-wiskundeonderwijs in vele landen, wereldwijd, grondig zal veranderen: de New Math Movement. Globaal gezegd wordt nu de mechanistische didactiek vervangen door een structuralistische, waarin wiskundige structuren als uitgangspunt worden gekozen. Dat kan gebeuren omdat tevens de leerstof ingrijpend wordt herzien. Het bekendst is de poging om de leer der verzamelingen, een centraal onderwerp in het gebied van het wiskundige grondslagenonderzoek, in het leerplan van de basisschool op te nemen. Hoewel in Nederland alleen al door het bestaan van de New Math nieuwe mogelijkheden worden gecreëerd om het wiskundeonderwijs nieuwe impulsen te geven, komen de -voornamelijk-Amerikaanse schoolboeken niet of nauwelijks in onze schoolklassen. Onder leiding van Professor Hans Freudenthal gaat in het kader van het IOWO (Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs, 1971-1981) een team aan het werk om aan de nieuwe ideeën een eigen kleur te geven. Het project Wiskobas komt tot stand en de resultaten ervan zijn in de reken-wiskundeboekjes van de jaren negentig te zien.
Over de opbrengsten van het Wiskobasproject gaat deze paragraaf. We kiezen opbrengsten op het niveau van uitgangspunten. In de andere hoofdstukken van dit boek worden concrete uitwerkingen naar voren gebracht, voor zover de uitgangspunten stroken met die van de Vrije School.
De sleutelbegrippen die in het ontwikkelwerk van Wiskobas successievelijk naar voren komen en ingevuld worden, laten zien waarmee men zich vooral bezig houdt. We noemen er een paar.

Mathematiseren en rijke context:

Wiskunde voor het onderwijs is niet de in boeken opgeslagen kennis, die via didactische methoden ‘overgedragen’ moet worden. Wiskunde is een menselijke activiteit, die onder bepaalde voorwaarden in bepaalde omstandigheden tot ontwikkeling komt. Problemen, voortkomend uit de wereld rondom, zetten aan tot onderzoek. De eigen ervaring en kennis worden zo goed en zo kwaad als het kan, ingezet. Men probeert de problematiek binnen het gebied van de inmiddels bekende wiskunde te brengen en het daar met alle beschikbare middelen op te lossen. Het is goed als men vervolgens ook de tijd neemt voor reflectie op het oplossings (denk-)proces. Dan léért men van de activiteit en heeft men het repertoire aan wiskundige kennis uitgebreid. Hoe rijker de context waarin dit gebeurt, des te meer valt er te leren.

Progressieve schematisering en denkmodellen:

Bij het leren van de rekenwijzen (algoritmen) van het cijferen, volgde men voorheen een didactiek die gekenmerkt kan worden met de term ‘progressieve com-
20

plicering’. Men begon met eenvoudige getallen (bijvoorbeeld 2 / 12 \ om het staartdelen te beginnen) en liet daaraan zien hoe de rekenwijze stapsgewijs tot het goede antwoord voert. In elke volgende fase van de leergang werden de getallen groter en soms werd het rekenen gecompliceerder (bijvoorbeeld 2 / 102 \ of 12 / 144 \, ga maar na).
Bij progressieve schematisering wordt gestart met een probleemsituatie, die onderzoek vereist en waarbij het rekenwerk eerst nog georganiseerd moet worden. Het organiseren van rekenwerk (denk bijvoorbeeld aan de opgave om uit te zoeken hoe vaak een minibus voor 12 personen zou moeten rijden om 196 personen van het hotel naar de steiger te brengen) wordt op zichzelf ook deel van het onderzoek. Men gaat systematisch werken, ziet een handig te gebruiken (notatie-) schema en gebruikt dat, misschien in verbeterde vorm, om een volgend probleem op te lossen. Zo ontwikkelen de kinderen in deze leergang ‘hun eigen’ rekenwijze, gezamenlijk met de anderen en zoveel mogelijk een werkwijze volgend, die door het gezonde verstand wordt ingegeven.
Een groot voordeel van deze aanpak is, dat er verschillende niveaus van handelen (rekenen) blijken te zijn, waarop de leerlingen al naar hun begaafdheid en gevorderdheid de aangeboden problemen kunnen aanpakken en oplossen. (Bijvoorbeeld in het geval van de minibus kunnen kinderen eruit komen door van 196 steeds 12 af te trekken; meer gevorderden zullen misschien direct beginnen met er 120 af te trekken, en dan van de overgebleven 76 in een keer (6 x 12 =) 72. Dat deze werkwijze ondersteund kan worden door een handig schema, kan op blz.135 nagelezen worden.)
Schema’s, die tijdens de leergang in ontwikkeling zijn (het wordt eerst uitgevonden, dan beter vormgegeven, dan worden verkortingen aangebracht), krijgen soms de kracht van een denkmodel (denken aan het schema helpt het rekenwerk te organiseren en geeft er richting aan). Bekende denkmodellen in het Wiskobaswerk zijn onder meer getallenlijn, abacus, rechthoek-model en verhoudingstabel.

Veelzijdige benadering en blikwisseling:

De gedachte dat rekenproblemen steeds precies één antwoord hebben en dat er ook precies één weg is die daar naar toe voert, heeft een mechanistische achtergrond. Dat is niet moeilijk te begrijpen, want wie kinderen precies wil voorzeggen wat er in bepaalde gevallen gedaan moet worden om ‘het’ goede antwoord te krijgen, komt in de moeilijkheden als het gegeven probleem niet één antwoord heeft en meer dan één aanpak toelaat. Wiskobas neemt een ander standpunt in: Laat kinderen ervaren dat je problemen op verschillende manieren tot een goede oplossing kunt brengen. Soms loop je in de eerst gekozen richting vast. Wees dan zo flexibel, dat je de problematiek van een andere kant gaat bekijken. Het is voor het oplossen van problemen van groot belang dat men kan ‘blik-wisselen’. De kinderen ontwikkelen in het reken-wiskundeonderwijs een, wat je kunt noemen, wiskundige houding. Blikwisselen is een aspect daarvan; andere aspecten zijn onder meer ‘reflecteren’, ‘zoeken naar regelmaat’, ‘durven te beginnen zonder de eindoplossing in zicht te hebben’, ‘een plan maken om het probleem aan te pakken’ en ‘systematisch gaan werken’.
21

Meervoudige inbedding en eigen constructies

Wiskundige begrippen als ‘getal’, ‘optellen’, ‘oppervlakte’, ‘maat’ en dergelijke hebben in de wereld velerlei toepassingen. Hoe abstracter het begrip is, des te groter het toepassingsbereik. Het begrip getal is een mooi voorbeeld van deze uitspraak. Om nu het toepassingsbereik van de op school behandelde wiskundige begrippen groot te laten zijn, moeten van meet af aan de toepassingsgebieden als leeromgevingen naar voren worden gebracht.
Neem de natuurlijke getallen. Wie ze alleen maar heeft ontmoet in de telrij, heeft veel gemist. Bijvoorbeeld het getal 6 als een mooi patroon van stippen, zoals dat op elke dobbelsteen te zien is. Getallen komen ook voor als klanken en soms is daar ook een (ritmisch) patroon in te herkennen. Ze kunnen worden voorgesteld door symbolen. Een heel handige systematiek is de positionele schrijfwijze, waarin gebruik wordt gemaakt van de tientallige structuur. Maar getallen staan ook op meetinstrumenten, op een liniaal bijvoorbeeld. Daarmee doe je weer andere dingen.
Sommige getallen hebben een bijzondere achtergrond, zoals 7 bij de kalender hoort en 12 bij de klok. En 0611[nu [112] is het nationaal alarmnummer, dat niets met tellen, patronen, decimale systematiek of kalender te maken heeft. Het is niet meer dan een naam die je goed moet onthouden. Wie reken-wiskundeonderwijs geeft, beperkt zich niet tot ‘één inbedding’ van het begrip getal, maar kiest er meer dan een. Kinderen geven overigens het voorbeeld. Observaties van jonge kinderen laten zien wat ze zelf van getallen ‘maken’, al dan niet geholpen door anderen. Wiskobas neemt veel waar in deze periode en spreekt van ‘eigen constructies’ van kinderen. Geef daar ruimte voor en speel er op in, is het devies.
In de jaren tachtig wordt het werk van Wiskobas op verschillende locaties in Nederland voortgezet. De opbrengsten van het ontwikkel- en onderzoekswerk worden zichtbaar in de nieuwe reken-wiskundemethoden, die zich langzamerhand een belangrijke plaats veroveren op de Nederlandse basisscholen. Tegelijkertijd verschijnen delen van de Proeve van een Nationaal Programma voor het Reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. (A. Treffers, E. de Moor en E. Feys, Zwijsen 1989, 1991,1994). De richting en basisfilosofie van het nieuwe reken-wiskundeonderwijs wordt steeds duidelijker door de helder geformuleerde en geïllustreerde algemene einddoelen en concrete leerdoelen. Men spreekt nu van ‘realistisch’ en onderscheidt dat van ‘mechanistisch’, ‘structuralistisch’ en ‘empiristisch’ reken-wiskundeonderwijs. Het ‘mechanistische’ wordt afgewezen op grond van gegevens en inzichten van de huidige onderwijs- en leerpsychologie. De toepassing van deze psychologische kennis op het gebied van het reken-wiskundeonderwijs leidt bovendien tot de keuze van hetgeen beide andere opvattingen aan goeds te bieden hebben: het zicht op wezenlijke wiskundige structuren bij het samenstellen van leergangen, zonder die tot uitgangspunt van het leerproces te nemen. En de verkenning van de ‘empirie’, de wereld rondom, om (in rijke contexten) te kunnen komen tot een goede begripsvorming (met ruimte voor eigen constructies), zonder te vervallen in een onsamenhangend geëxperimenteer, waarin leerkrachten en leerlingen de grote lijn niet meer herkennen.
22

Realistische leergangen zijn aldus te typeren:

• Het begint met een verkenning van toekomstige toepassingsgebieden.
• De kinderen beginnen met het aanpakken van een probleem, dat in eerste instantie wat onoverzichtelijk is.
• Het reken-wiskundige werk heeft eerst het karakter van trial-and-error (gissen en missen) en geschiedt op basis van gezond verstand en beschikbare ervaring
• Er is veel ruimte voor eigen inbreng en interactie.
• Op een zeker moment komt er meer aandacht voor een handige, bruikbare organisatie van het werk.
• Zo mogelijk wordt er een notatie (schema) bedacht en gebruikt.
• Bij nieuwe opgaven wordt de opbrengst van voorgaande activiteiten gebruikt en verbeterd.
• Men besteedt tijd aan reflectieve momenten, waarin de leerlingen de opbrengst in hun repertoire gaan opnemen.
• Er treden op bepaalde momenten niveauverhogingen in het leerproces van verschillende leerlingen op; het zijn vaak zelfbepaalde verkortingen en verbeteringen in de aanpak, aangebracht op basis van een nieuw inzicht of uitvinding.
• De leraar presenteert op cruciale punten in de leergang situaties, problemen, concretiseringen, visualiseringen, uitleg, kernvragen, nieuwe probleemstellingen, notatieschema’s, denkmodellen, cognitieve conflicten, toetsjes en oefenstof.
• Niet alle leerlingen sluiten de leergang op hetzelfde niveau af; (bijna) alle leerlingen kunnen aan het eind van de leergang, de aangeboden problematiek op een bepaald niveau de baas.

Het realistisch reken-wiskundeonderwijs besteedt veel aandacht aan basisvaardigheden, hoofdrekenen en schattend rekenen. Meetkunde en meten zijn belangrijke werkgebieden, de verhoudingen zijn fundamenteel en vormen een paraplu voor breuken, kommagetallen en procenten. Op goede momenten wordt leerlingen geleerd met een rekenmachine aan de slag te gaan.

Leergangen, die in grote trekken een realistisch reken-wiskundeprogramma bepalen, zijn:

• Tellen
• Getalbegrip in ontwikkeling
• Opteltafels en aftrektafels tot 20 uit het hoofd
• Hoofdrekenen tot honderd
• De tafels van vermenigvuldiging en verwante deeltafels
• Cijferend optellen
• Cijferend aftrekken
• Cijferend vermenigvuldigen
• Cijferend delen
• Hoofdrekenen *
• Schattend rekenen *
• Meten *
• Meetkunde *
• Breuken
• Kommagetallen
• Verhoudingen *
• Procenten

*door de leerjaren heen
23

Opmerking: plaats deze leergangen in het licht van de bovengenoemde typering, dan worden in de eerste plaats de toepassingen en toepassingsgebieden eraan toegevoegd, in de tweede plaats moet het dan duidelijk worden dat de leergangen niet los van elkaar kunnen worden gezien. Verstrengeling van de leerstoflijnen is, als een van de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, hier rechtstreeks mee verbonden.

Met het ontwikkelde materiaal en de achterliggende visie op reken-wiskundeonderwijs, is het werk van de leraar basisonderwijs er niet eenvoudiger op geworden. Auteurs van methoden zijn zich dat heel goed bewust, er verschijnen bij elke reken-wiskundemethode dan ook dikke handleidingen. Wie de handleidingen goed bekijkt, kan zich een beeld vormen van het werk van een leraar. Om zo’n beeld te scheppen zijn de boekjes van Pluspunt (Malmberg) voor groep 3 nauwkeurig bekeken. Het reken-wiskundeonderwijs is in die klas gesitueerd rond twaalf thema’s: Het dorp, de bakker, de post, de bus, de markt, in de boekwinkel, winter, op weg, zwemmen, de tuin, de kinderboerderij, op de fiets. Hier volgt een impressie:

De leraar introduceert de thema’s, probeert de kinderen er warm voor te krijgen, wijdt een kringgesprek aan een praatplaat, bedenkt een nieuwe context, zorgt ervoor dat de kinderen er hun eigen wereld in herkennen, geeft ruimte voor reacties van leerlingen, speelt in op wat kinderen uit eigen ervaring en herinnering naar voren brengen, probeert te bedenken wat de kinderen al moeten kennen en kunnen om aan de te stellen problemen te kunnen beginnen, bespreekt met de groep een plan van aanpak, geeft hier en daar een uitleg en laat kinderen uitleggen, biedt een schema aan of laat de kinderen dit zelf bedenken, geeft een situatieschetsje of laat de kinderen er zelf een maken, brengt een interessante gedachte van een leerling onder de aandacht van de anderen, plaatst accenten op belangrijke leerstofonderdelen, houdt zich van de domme, vertoont een toverkunst om het gemak van getalbeelden te laten ervaren, stelt een vraag, geeft een opdracht voor een vervolgactiviteit, helpt een achterblijver, bedenkt een cognitief conflict en brengt een paar kinderen opzettelijk in verwarring, neemt de tijd voor een reflectief moment, geeft enkele oefeningen, registreert wat bepaalde leerlingen ervan terecht brengen, bedenkt toetsvragen, geeft een toetsles, doet een stap terug in de leergang op basis van de gebeurtenissen in de toetsles, speelt het spel ‘raad mijn getal’ om de lege getallenlijn te laten gebruiken, zoekt in de handleiding op wat er morgen staat te doen, ontwerpt verrijkingsstof voor snelle leerlingen, ontwerpt maatwerk voor een enkele achterblijver, accentueert nog eens de vijfstructuur, neemt een echte pendule mee naar school, zet nonchalant een wek-ker-radio op tafel, vertelt een anekdote van een kleuter die verkeerd telde, vertelt een verhaal met allerlei rekenfouten-onzin, laat de leerlingen met een zelfontworpen werkblad aan de gang gaan, werkt gedurende tien minuten met rekenrek en flitskaarten, laat een paar kinderen voor de klas kegelen en geeft de anderen de opdracht om het verloop van het spel in pijlentaal op te schrijven, gaat na of de aftrekking 14-5 beter met terugtellen of met doortellen kan geschieden, schat in hoe de leerlingen de volgende opgave zullen aanpakken, speelt met de kinderen het spel: ‘breng de post rond’, krijgt in de gaten dat alle kinderen uit de groep de stadsplattegrond vlak bij school, niet kunnen lezen, neemt een wegwijzer mee naar school en vraagt waar die (hoe) zou moeten staan, heeft een kralenketting
24

omgehangen en vraagt hoeveel kralen er aan geregen zijn, heeft een zak vol knopen bij zich en vraagt een groep kinderen die te sorteren, signaleert dat er kinderen zijn die nog a-synchroon tellen, bedenkt teloefeningen voor deze kinderen, ziet dat een bepaalde leerling de 2 spiegelbeeldig schrijft, …

Tot zover een impressie op basis van een gedachtenexperiment naar aanleiding van een handleiding.

Met het bovenstaande is de opbrengst van het onderzoeks- en ontwikkelwerk globaal weergegeven. Twee interessante aanvullingen mogen evenwel ook niet ongenoemd blijven. In de eerste plaats wijzen we op, wat men noemt, de recon-structie-didactiek. Het is de realistische invulling van het onderwijs in de basisvaardigheden en staat haaks op de mechanistische reproductie-didactiek. In het laatste geval worden basisvaardigheden als 14 – 6 = 8 en 8 x 7 = 56 aangeleerd volgens de methode voordoen-nazeggen-inslijpen-opzeggen-toepassen. In de realistische leergangen is, zo werd eerder getoond, de gang van zaken anders. Men begint met verkenning en begripsvorming, geeft leerlingen ruimte voor eigen constructies (in dit geval reconstrueren de leerlingen 14 – 6 op basis van kennis, die ze al bezitten en het handig gebruik maken daarvan, bijvoorbeeld ’14 = 7 + 7, dus 14 – 6 = 7 + 1 = 8′, of ‘4 – 6 is 2 tekort, dus 14 – 6 = 10 – 2 = 8’.

En 8 x 7 bijvoorbeeld zo: ‘8 x 7 = 7 x 8; 5 x 8 = 40, 2 x 8 = 16, dus … 56.’ Men ruimt tijd in voor reflectieve momenten, waarbij niet alleen de uitkomsten, maar ook de handige rekenwijzen beschouwd worden. En de kinderen leren de eigen kennis te onderzoeken: wat weet je wel, wat weet je nog niet echt goed en welke dingen vergeet je steeds weer? Dan volgt er een fase van gerichte oefening en reproductie. Tenslotte moet hetgeen verworven is, ook ‘onderhouden’ worden: consolidatie.

De reconstructie-didactiek is in ’t kort vast te leggen in vijf onderwijs-leerprincipes. In het voorgaande moet men ze kunnen herkennen. Hiermee is een geschikt reflectief moment voor de aandachtige lezer aangebroken:

Principe 1: Construeren en concretiseren

Principe 2: Niveaus en modellen

Principe 3: Reflectie en eigen productie

Principe 4: Sociale context en interactie

Principe 5: Structureren en verstrengelen

De tweede aanvulling komt uit een andere bron. De onderzoeker Alan Bishop publiceert in 1988 het resultaat van zijn werk onder de titel ‘Mathematics Enculturation. A cultural perspective on mathematics education’. (Kluwer Academie Publishers). Hij ziet wiskunde als ‘een manier van kennen’ en vat het leren van rekenen en wiskunde dan ook op als een socialisatieproces. Met die manier van kennen verwerf je je een plaats in de samenleving. Wiskunde is in vroegere samenlevingen tot stand gebracht, al naar gelang de behoefte en al naar gelang de mogelijkheden die geboden werden. Kinderen, zo stelt hij, zouden de wiskunde
25

26

net zo moeten kunnen verwerven als ze in vorige samenlevingen tot stand is gekomen. Een gedachte die al eerder door Hans Freudenthal is verwoord (zie blz.000). Leerplannen voor wiskunde zouden dan ook de herkomst van de wiskunde dienen te weerspiegelen. Dat is niet zo moeilijk, want er zijn duidelijk zes gebieden aan te wijzen, waar de wiskunde in ontwikkeling is gekomen:

1. Tellen, als start van het rekenen en als brongebied van de rekenkunde en de algebra.
2. Meten, onderdeel van de meetkunde en brug naar vele toepassingen.
3. Oriëntatie in de ruimte en de tijd, als brongebied van de meetkunde.
4. Technisch construeren als brongebied van de geometrie, waarin ook de meetkunde zelf als wiskundig studieobject wordt beschouwd.
5. Spel, als oefenterrein van het creatieve en strategische denken en als brongebied van het formaliseren en het werken met wiskundige modellen.
6. Verklaringen zoeken, redeneren en uitleggen, als oefenterrein voor de wiskundige attitude en als brongebied van de logica.

1.5 Verrijking van het rekenprogramma op de vrijeschool

De bovenstaande uitgangspunten van het rekenen op de vrijeschool en het realistisch reken-wiskundeonderwijs zijn – in samenhang- naar voren gebracht om te tonen dat er een zekere verwantschap is te zien. Het bestaan van verwantschap is een noodzakelijke voorwaarde voor het verrijken van het vrijeschoolprogramma. In deze paragraaf gaan we kort op het begrip verrijking in.

Confrontatie

Wie het eigen vertrouwde rekenonderwijs wil vergelijken met een totaal ander programma, kan verschillende dingen doen. In de vrijeschool is het niet ongebruikelijk dat men eerst een confronterend en vervolgens een afwijzend standpunt inneemt. Van een discussie met die ‘anderen’ komt het meestal niet en is dat incidenteel wel het geval, dan wordt het al gauw een partijtje aanvallen en verdedigen, met de nadruk op het laatste aan de kant van de vrijeschool. Dit standpunt is hier niet gekozen. Het feit dat dit boek inmiddels op tafel ligt, bewijst dat de rekenwerkgroep verder gegaan is.

Adoptie-integratie-verrijking

Innovaties in het onderwijs vragen meestal om ingrijpende veranderingen van inzichten, werkmethoden en materialen. Gaat het om een geheel leerplan, dat vernieuwd is, dan moet er heel wat gebeuren voordat er in de klas ook het een en ander verandert. Men denkt dan in termen van adaptatie: leraren moeten het niet alleen eens zijn met de veranderingen, ze moeten ook weten hoe de veranderingen te implementeren. Ze moeten ‘het nieuwe’ tot hun persoonlijk en geestelijk eigendom hebben gemaakt. Zoals de vrijeschoolleraar zijn rekenprogramma op eigen kracht, met hulp van anderen en door ervaring wijs geworden, heeft verworven en ‘bezit’, zo zou een leraar van de toekomst het nieuwe rekenprogramma moeten ‘bezitten’. Dat is adoptie, zover hoeven we hier niet te gaan.

Iets minder ingrijpend, maar toch niet mis te verstaan van innovatief standpunt gezien, is integratie. Bestaande kennis en inzichten en de persoonlijke opvattin-
27

gen over rekenen leren en onderwijzen, worden geïntegreerd met de nieuwe denkbeelden, die stroken met hetgeen er is. Dit vereist een lange periode van experimenteren met nieuwe materialen en discussies met anderen, collega’s uit hetzelfde ‘kamp’ en de ontwikkelaars van het nieuwe leerplan. Dit proces heeft de rekenontwikkelgroep in zekere zin en op onderdelen doorgemaakt. Rekenen in Beweging laat zien wat de opbrengst is. Het zal duidelijk zijn dat lezers en gebruikers van dit boek de integratie-doelstelling eventueel op lange termijn kunnen verwezenlijken. Maar op korte termijn moet men zich daardoor niet laten ontmoedigen, of laten verleiden het confrontatie-standpunt maar in te nemen. ‘Verrijking’ van het eigen methodisch-didactische programma is het hoogst haalbare in de huidige situatie. Met ideeën uit dit boek kan een ieder het eigen reken-wiskundeonderwijs een nieuwe invulling geven op punten, waar hij dat mogelijk acht.
In de werkgroep werd naar aanleiding van dit punt een discussie gevoerd over ‘verrijking’. Het volgende voorbeeld, daar naar voren gebracht, kan misschien ook hier iets verduidelijken.

Bijvoorbeeld de tafels

In de vrijeschool staat nu leren van de tafels in dienst van de geheugentraining en concentratie-oefening. Maar ook is iedereen ervan overtuigd dat de kinderen op een bepaald moment (liefst voor het begin van klas 4) de tafels uit het hoofd moeten kennen. Zo mogelijk ‘door elkaar’. Dat is onder meer noodzakelijk voor het cijferen en hoofdrekenen. Met deze beide uitgangspunten
(geheugenontwikkeling en praktisch nut) is onder invloed van didactische opvattingen uit de jaren ’20 tot ’70 een soort ‘tafeldidactiek’ ontstaan, die op het volgende neerkomt:

• Eerste ervaringen met tafels in de beweging, begeleid door ritmisch tellen.
• Gemeenschappelijk en ritmisch zeggen (opdreunen) van de tafels.
• Inprenten van de tafels op een rij.
• Oefenen van de tafels, door elkaar en als losstaande basis-vermenigvuldigingen. Het resultaat kan als volgt omschreven worden:
• De goede rekenaars kunnen de tafels wendbaar en vaardig toepassen in vermenigvuldigingssituaties, bij cijferen en het hoofdrekenen.
• De modale rekenaars kennen de tafels-op-rij; hun kennis is niet wendbaar en het toepassingskarakter is gering.
• De zwakke rekenaars hebben het gevoel dat ze de tafels niet kennen en steeds weer bekende producten vergeten. Bij het cijferen leidt dit tot grote blokkeringen en in toepassingssituaties gaat men nogal eens over tot optellen of zelfs tellen.

Wat heeft de verrijking in dit geval te bieden?

• Breng de bewegingen en ritmiek in beeld en geef de kinderen gelegenheid zich de regelmatigheid en structuur bewust te maken, (getallenlijn?)
• Laat ervaren dat dezelfde regelmatigheden en structuur te vinden zijn in andere (numerieke en meetkundige) situaties.
• Geef de kinderen veel gelegenheid in allerlei situaties de
vermenigvuldigstructuur te verkennen. Laat schema’s maken die tot modellen (rechthoek-, rooster-, sprongen-op-de-getallenlijn-, boomdiagram-, wegenmodel) leiden, die op hun beurt verkend kunnen worden.
28

• Ga met de kinderen op zoek naar de strategietjes die ze zelf (hopelijk) bedacht hebben om nog niet parate tafelproducten uit te rekenen.
• Geef kinderen gelegenheid om op de eigen aanpak te reflecteren.
• Laat kinderen de eigen kennis (weet- en procedurele kennis) bewust bijhouden, bijvoorbeeld op een 12 x 12 rooster.
• Houd diagnostische gesprekken met zwakke (tafel)rekenaars en ontwerp een leergang-op-maat.

En tenslotte: zeg nu niet dat die dingen al lang in alle vrijeschoolklassen gebeuren!

1.6 Raakpunten tussen realistisch rekenonderwijs en rekenen op de vrijeschool

Dit hoofdstuk behandelt uitgangspunten van reken-wiskundeonderwijs. Twee programma’s zijn naast elkaar geplaatst om te zien of het rekenonderwijs op de vrijeschool verrijkt kan worden met de opbrengsten van het realistisch reken-wiskundeonderwijs. We zagen lijnen in beide programma’s, sommige liepen uiteen, andere liepen evenwijdig en er waren lijnen die naar elkaar toeliepen. We zijn op zoek naar mogelijke raakpunten, ontmoetingspunten van de programma’s. Dergelijke raakpunten kunnen referentiepunten zijn voor het verrijken. Op die raakpunten zal het referentiekader van de vrijeschoolleraar, die open staat voor het verrijken van zijn rekenonderwijs, gebaseerd kunnen worden. We noemen er enkele, met de bedoeling om het zoeken op gang te brengen, want elke Vrije Schoolleraar wil natuurlijk zijn eigen referentiekader tot stand brengen. Bovendien is dat pas echt goed mogelijk als de volgende hoofdstukken tenminste doorgenomen en hopelijk al gedeeltelijk uitgeprobeerd zijn.

Als raakpunten komen onder meer in aanmerking:

• De aandacht voor kwaliteiten tijdens de ontwikkeling van getalbegrip.
Getallen zijn meer dan hun cijfermatige voorkomen en ook meer dan ze als hoeveelheidsgetal voorstellen of als telgetal aangeven.
• Het idee van mathematiseren als ontwakend vermogen past goed bij de observaties van jonge kinderen, bezig met de verkenning van hun (getallen)wereld en bij de opvatting dat wiskunde een menselijke activiteit is.
• De analytische benadering van het eerste optellen, waarbij de kinderen als het ware een eigen productie kunnen gaan maken: 7 =… + …
• Het grote belang dat wordt toegekend aan hoofdrekenen.
• De opvatting dat rekenen een ambachtelijke (volg de algemene afspraken) en een creatieve kant (schep je persoonlijke strategieën en kennis van de getallenwereld) heeft.
• De programmering van het onderwijs langs de lijnen van de wordingsgeschiedenis kan heel goed stroken met de ideeën van de genetisch-historische didactiek en de geleide heruitvinding.
• Het feit dat het periode-onderwijs het mogelijk maakt exemplarisch te werken en grote leergangen intensief aan de orde te stellen.
• Het in verband brengen van de ritmiek van het bewegen met patronen op de getallenlijn.
29

1.7 Conclusie

Wie een innovatie plant moet zich goed realiseren hoe de implementatie van de nieuwe ideeën en materialen tot stand moet worden gebracht. Centraal in het gebeuren staat de leerkracht, die zich volledig achter de nieuwe plannen moet willen opstellen. In eerste instantie ligt een confrontatie van het oude gedachtengoed (rekenonderwijs) met het nieuwe voor de hand. Beter is het om goed kennis te nemen van beider uitgangspunten en zo mogelijk van de wijze waarop ze tot stand zijn gekomen. Dan gaat men op zoek naar gemeenschappelijke uitgangspunten of raakpunten, die het mogelijk maken samen op weg te gaan.
Als die beslissing is genomen, dan ligt het voor de hand aan de slag te gaan. Aan de slag vanuit geaccepteerde uitgangspunten en eigen inzichten, nieuwe ideeën, inspirerende voorbeelden, met de eigen leerlingen en zo mogelijk in discussie met collega’s. Daarvoor heb je iets nodig, iets dat meer is dan een verzameling losse ideeën. Een schets van een programma, met een begrijpelijke structuur en illustratieve voorbeelden. Een programma waarvan de uitgangspunten en achterliggende filosofie ook beschreven zijn. Een programma waarin ook je eigen onderwijs van voorgaande jaren herkenbaar is.

De volgende hoofdstukken pretenderen dat te bieden.
30
.

In het boek is sprake van temperamenten.
Artikelen daarover in ‘Menskunde en pedagogie‘ onder nr. 15
Het genoemde werk van Steiner: ‘Praktijk van het lesgeven‘ is uitverkocht. Via vspedagogie@gmail.com kan ik nadere informatie geven. 

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk  [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

2433

..