.
REKENEN IN BEWEGING
.
Hoofdstuk 9: Ontwikkelingsdoelen, kerndoelen, bakens en ijkpunten
9.1 Het leerplan van de Vrije Scholen
9.2 Het algemene perspectief
Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien
Leerstof-ontwikkelingsdoelen
Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs
Kerndoelen
9.3 Bakens en ijkpunten
9.1 Het leerplan van de vrijescholen
Het leerplan van de vrijescholen komt voort uit de antroposofische visie op de mens en op de kwaliteiten van de verschillende vakken en wordt uiteraard mede bepaald door de eisen des tijds. De tijd en wijze waarop bepaalde vakken aan de orde komen, hangen samen met het ontwikkelingsstadium van de kinderen.
De vrijeschoolpedagogie tracht van elk vak de, voor het kind specifieke ontwikkelingsmogelijkheden op te sporen, om het al lerende in zijn lichamelijke en psychische ontplooiing te ondersteunen. Zo geeft deze pedagogie aan de weg naar de leerdoelen een ontwikkelingskarakter. Voor de leerkracht is inzicht in de ontwikkelingsfasen van het kind dus even noodzakelijk als het inzicht in de getallenwereld.
Aan de leerdoelen worden in het leerplan hoge eisen gesteld. Zij moeten een reële, levensechte toegang vormen naar verdere ontplooiing en naar de maatschappij. Een fundamenteel uitgangspunt voor de vakken, die in het bijzonder de verstandelijke ontwikkeling bevorderen, vormt het periodeonderwijs. Het is van grote betekenis voor de leerlingen dat zij zich gedurende een aantal weken geheel met één bepaald gebied kunnen verbinden, kunnen opgaan in de kwaliteiten ervan, in ons geval in de wetmatigheid en schoonheid van de vormen- en getallenwereld. Daarbij biedt het reken-wiskundeonderwijs bij uitstek de mogelijkheid geordend en systematisch te leren werken, individueel, maar ook heel goed in onderlinge samenwerking, (zie ook Terzijde: Over werkvormen).
Verder moet worden opgemerkt dat de meetkunde als apart periodevak pas in de zesde klas optreedt, in het verlengde van het vormtekenen, dat vanaf de eerste schooldag door de jaren heen stelselmatig wordt geoefend.
In de onderbouwleeftijd zijn drie fasen te onderscheiden: van het zesde tot het negende jaar
van het negende tot het twaalfde jaar
van het twaalfde tot het veertiende jaar
De eerste fase kondigt zich aan met de tandenwisseling, het teken dat de aan het zenuw-zintuigstelsel gebonden krachten ‘vrij’ komen. Deze krachten manifeste
364
ren zich nu als het vermogen om indrukken vast te kunnen houden, als het ware innerlijk na te kunnen vormen. Dit reproductievermogen is de basis voor het leren.
In de eerste fase functioneren deze geheugenkrachten vooral in samenhang met
het ritmisch bewegen en het gestructureerde, aansprekende beeld. We kunnen
ook zeggen: het leren heeft nog een actief-emotioneel karakter. Het rekenen is
dan ook bij uitstek een vak, dat al ‘doende’ wordt beoefend en zo kan bijdragen
aan de verdere vorming van het geheugen.
Vooraf aan het doen gaat vaak het schatten: “Hoeveel knikkers denk je dat dit zijn?”; “Hoeveel stappen zouden het zijn tot de deur?” We verbinden daarmee het doen, het motorische, met het zien, het visuele. Of nog anders gezegd, we verbinden het onbewuste (de bewegingszin) met de meer bewuste gezichtszin en ondersteunen daarmee een belangrijke stap in de kinderlijke ontwikkeling.
In de eerste klas komen reeds alle vier de basisbewerkingen aan bod, eerst onder de twintig, later tot honderd. Juist door de duidelijker temperamentsdifferentiatie na het zevende jaar, ten gevolge van het vrijkomen der zielenkrachten, is het van belang de vier bewerkingen gelijkmatig te oefenen.
In de tweede klas, als de (snij)tandenwisseling ten einde loopt, kunnen het hoofdrekenen en het oefenen van de tafels een positieve bijdrage leveren aan rekengeheugen en -begrip.
Tot en met de derde klas raakt het kind vertrouwd met de wereld van het gehele getal, zowel mondeling als schriftelijk. Wat niet wil zeggen dat er gecijferd wordt, want dat stellen we uit tot het eind van klas drie.
Het rekenen kan ook in de laagste klassen praktisch en levensecht zijn en daarbij zeer creatief! Het winkel- en marktspel gaan uit van echte maten en prijzen, waarmee de kinderen zelf rekenen en de aanleidingen voor rekenen zelf bedenken.
Omstreeks het negende jaar begint de middenfase van de onderbouw. Het kind gaat zich sterker als eigen persoonlijkheid beleven en handhaven; bij het canon-zingen bijvoorbeeld houdt het nu zijn eigen partij aan en gaat niet meer met de andere stemmen mee. Het kind is dus in staat om in de eenheid de veelheid te beleven en omgekeerd.
Bij het rekenen wordt de eenheid nu gebroken en kunnen de ‘brokken’ tot eenheid worden gemaakt. In de vierde en vijfde klas worden de breuken in praktische contexten aanschouwelijk onder de aandacht gebracht; eerst de gewone, daarna de tiendelige breuken (kommagetallen).
In deze ‘middenfase’ tonen de kinderen soms een verbazingwekkend gevoel en geheugen voor gedifferentieerde ritmen, zowel voor het muzikale als voor het gesproken woord. Nu kunnen bijvoorbeeld de tafels er echt goed ‘in’ komen.
Het cijferen wordt tot een zekere vaardigheid ontwikkeld, die de leerlingen in staat stelt allerlei praktische vraagstukken op te lossen, onder andere vraagstukken betreffende maten, schaalverdeling, gewichten en geld.
In de loop van het twaalfde jaar ontwikkelt zich de oordeelskracht.
Een negenjarig kind zal constateren, dat meester altijd dezelfde trui aan heeft; een twaalfjarige vraagt zich af, waarom meester altijd dezelfde trui aan heeft.
Misschien merkt het zelfs pijnlijk luid op, dat meneer wel eens om salarisverhoging mag vragen!
365
De twaalfjarige toont een oorzakelijk denken. In de handel hebben kleine oorzaken soms grote gevolgen; terecht begint dan ook in de zesde klas het handelsrekenen, in samenhang met het procentrekenen.
Langzaamaan maakt het kinderlijk denken zich los van de direct beleefbare voorstelling; het wordt abstracter en algemener. Het letterrekenen, geïntroduceerd met benoemde breukensommen of renteberekeningen, gaat over in de algebra.
Nu gaat een nieuwe rekenwereld voor de leerlingen open. Een wereld die tegelijkertijd voortreffelijke mogelijkheden biedt om de oude te bevestigen.
Uit het vormtekenen wordt nu de meetkunde ontwikkeld. Driehoeken en cirkels, vierhoeken en veelhoeken, tot dan toe uit de hand getekend, worden nu inzichtelijk en met uiterste precisie geconstrueerd; voor een twaalfjarige een waar feest!
In de zevende klas komen machtsverheffen en worteltrekken aan de orde. En ook dat wat de prepuber zo aanspreekt, het gebied der tegenstellingen: positieve en negatieve getallen. Naar aanleiding van praktische problemen leren de
zevendeklassers omgaan met algebraïsche vergelijkingen met één onbekende. De meetkunde wordt voortgezet tot en met het aanschouwelijk hanteren van de stelling van Pythagoras.
In de achtste klas worden rekenen en algebra veelzijdig geoefend aan de hand van praktische, levensechte vraagstukken. Op deze leeftijd ontwaakt het bewustzijn voor het ruimtelijke. Er kan nu bijvoorbeeld bewust met perspectief worden omgegaan. “Wat is mijn plaats, mijn standpunt?” dat zijn vragen die de puber bezighouden. Het gebied van de meetkundige plaatsen geeft gerede aanleiding om deze vragen ook ruimtelijk aan te lopen. Zo leren de leerlingen de ruimte ‘veroveren’, stereometrische figuren maken en oppervlakten en inhouden berekenen.
9.2 Het algemene perspectief
9.2.1 Pedagogische doelen van het reken-wiskundeonderwijs, menskundig bezien
• Leren rekenen bevordert de eigen ontwikkeling van het kind, in directe relatie met het dagelijks leven op aarde.
• Rekenen-wiskunde ontwikkelt de wil.
• Rekenen-wiskunde vormt het gewoonteleven van het kind.
• Rekenen-wiskunde bevordert het bewust worden van eigen vermogens en identiteit.
• Rekenen-wiskunde ontwikkelt het kwalitatieve en analyserende denken.
• Rekenen-wiskunde draagt bij aan de vorming van het verstand en het zelfbewustzijn.
• Rekenen-wiskunde geeft vorm aan de ontmoeting die het kind aangaat met de wereld en de medemens.
• Rekenen-wiskunde biedt structuur en ruimte voor de inhoud van de levenshouding en bepaalt mede de wijze waarop het kind als mens in de wereld zal staan.
• Rekenvaardigheid geeft zelfvertrouwen en bevordert overzicht in het dagelijks leven.
366
9.2.2 Leerstof-ontwikkelingsdoelen
• Hoofdrekenen bevordert een vrij, beweeglijk denken, waarbij verschillende
persoonlijke strategieën in diverse situaties ter beschikking komen.
• Het leren van de tafels ondersteunt de ontwikkeling van het geheugen door ritme en beweging
• Schatten ontwikkelt moed en trefzekerheid en het roept reflecties op.
• Cijferen leert het kind standaardprocedures te hanteren en consequent te zijn op weg naar een oplossing van een probleem.
• Breukrekenen stimuleert het doorbreken van de eenheid van kind en wereld; het eerste bewuste reflecteren kan zich ontwikkelen.
• Breuken, procenten en verhoudingen maken het mogelijk vanuit een wisselend, beweeglijk standpunt tot een vergelijk te komen.
• Kapitaal- en renterekenen brengen baatzucht in het bewustzijn, zodat het boven de hebzucht uit kan stijgen en een wenskarakter krijgt.
• Algebra ontwikkelt een denken, waarbij opgaven los van de concrete werkelijkheid in hun essentie kunnen worden doorzien.
• Meten en meetkunde ontwikkelt de oriëntatie in de ruimte en legt een verbinding tussen schoonheid en exactheid.
9.2.3 Algemene doelen van het reken-wiskundeonderwijs
Het onderwijs in rekenen en wiskunde is erop gericht dat de leerlingen
• Verbindingen kunnen leggen tussen het onderwijs in rekenen-wiskunde en hun dagelijkse leefwereld.
• Basisvaardigheden verwerven, eenvoudige wiskunde-taal begrijpen en toepassen in praktische situaties.
• Reflecteren op eigen wiskundige activiteiten en resultaten daarvan op juistheid controleren.
• Eenvoudige verbanden, regels, patronen en structuren opsporen.
• Onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken.
• Oog krijgen voor het schone van de wiskunde.
• Een positieve houding ontwikkelen ten opzichte van het vak wiskunde.
9.2.4 Kerndoelen
A. Vaardigheden
1 De leerlingen kunnen zelf met wisselende eenheden tellen en terugtellen.
2 De leerlingen kennen uit het hoofd optel- en vermenigvuldigtafels tot 10.
3 De leerlingen kunnen eenvoudige hoofdrekenopgaven vlot uitrekenen, waarbij ze verschillende bewerkingen inzichtelijk toepassen.
4 De leerlingen kunnen schattend rekenen, ook met breuken en decimale breuken, door de uitkomst globaal te bepalen.
5 De leerlingen hebben inzicht in de structuur van de gehele getallen en inzicht in het positiesysteem van de decimale getallen.
6 De leerlingen kunnen de rekenmachine met inzicht gebruiken.
7 De leerlingen kunnen een eenvoudige, niet in wiskundige taal aangeboden probleemstelling, zelf in wiskundige termen omzetten.
367
B. Cijferen
8 De leerlingen kunnen de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens standaardprocedures of varianten daarvan uitvoeren en deze in eenvoudige situaties toepassen.
C. Verhoudingen en procenten
9 De leerlingen kunnen verhoudingen vergelijken.
10 De leerlingen kunnen eenvoudige verhoudingsproblemen oplossen.
11 De leerlingen kennen het begrip ‘procent’ en kunnen in eenvoudige situaties praktische procentberekeningen uitvoeren.
12 De leerlingen begrijpen het verband tussen verhoudingen, breuken en decimale breuken.
D. Breuken en decimale breuken
13 De leerlingen weten dat aan een breuk en een decimale breuk op verschillende manieren betekenis kan worden gegeven.
14 De leerlingen kunnen breuken en decimale breuken op een getallenlijn plaatsen en breuken in decimale breuken omzetten, ook met een rekenmachine.
15 De leerlingen kunnen in eenvoudige toepassingssituaties, met gebruikmaking van modellen, eenvoudige breuken en decimale breuken vergelijken, optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen.
E. Meten
16 De leerlingen kunnen klok kijken en tijdsintervallen berekenen, ook met behulp van de kalender.
17 De leerlingen kunnen in alledaagse situaties met geld rekenen.
18 De leerlingen hebben inzicht in de relatie tussen de belangrijkste grootheden en de bijbehorende maateenheden.
19 De leerlingen kennen de gangbare maten van lengte, oppervlakte, inhoud, tijd, snelheid, gewicht en temperatuur en kunnen deze in eenvoudige toepassingssituaties hanteren.
20 De leerlingen kunnen eenvoudige tabellen en grafieken lezen en deze in eenvoudige situaties op grond van eigen metingen zelf samenstellen.
F. Meetkunde
21 De leerlingen beschikken over eenvoudige noties en begrippen, waarmee zij ruimte meetkundig kunnen ordenen en beschrijven.
22 De leerlingen kunnen ruimtelijk redeneren. Zij bedienen? zich daarbij van bouwsels, plattegronden, kaarten en foto’s, en gegevens over plaats.
23 De leerlingen kunnen schaduwbeelden verklaren, figuren samenstellen en bouwplaten van regelmatige objecten ontwerpen en herkennen.
368
9.3 Bakens en ijkpunten
(baken A – F) ijkpunt ¶
KLAS 1
Algemeen
Beweging, ritme, zintuigen, analyse, synthese, kwaliteit, kwantiteit, rekening houden met temperamenten.
Tellen en de basisbewerkingen
Tellen en bewegend tellen tot 24 (12¶), heen en terug, ook met sprongen.
Resultatief tellen. Rekenverhalen tot 20. Ordenen van getallen op concrete vormen van de getallenlijn. Verdubbelen en halveren; structureren van hoeveelheden; afbeelden van verdelingen en structuren; tot 20 (12¶). Schrijven en herkennen van cijfers (Arabisch¶) (tot 24¶). Lezen bewerkingstekens en pijlentaal.
Hoofdrekenen tot 100
De beleving van kwaliteiten. Tellen middels verschillende zintuigen. Structureren van hoeveelheden. Zo nodig extra aandacht voor de vijfstructuur. Op basis hiervan komen tot het memoriseren van alle bewerkingen tot 20 (12¶). Toepassen in rekenverhalen en herkenbare situaties.
Tafels
Ritmisch beleven en oefenen van rijen, afbeelden van tafelrijen (2 en 3¶) en eenvoudige structuren (tot 24¶).
Schattend rekenen
Concrete aantallen en groepjes schatten, raad mijn getal, raden wordt meer overwogen schatten, de plaats van een getal in de rij ongeveer aangeven.
Meten en meetkunde
Zie vormtekenen.
Verhoudingen
Concrete ervaringen opdoen, zie ook schatten.
PHAW: Er is veel voor te zeggen tot 10 resp. 20 enz. te rekenen i.v.m. ons tientallig stelsel.
369
klas 2
Algemeen
Groeiend tijdsbesef. Oefenen van ritmisch geheugen.
Tellen en de basisbewerkingen
Bewegend tellen met sprongen tot 100 (20¶). In samenhang hiermee het plaatsen van getallen op getallenlijn, in reeksen (onleesbaar). Getallen schrijven en herkennen tot 100. Notatie rekenhandelingen tot 100 (24¶). Aandacht voor rekenen in betekenisvolle contexten. Onderzoek rekenvoorwaarden: tellen en basisbewerkingen.
A
Hoofdrekenen tot 100
Voortgaan met het automatiseren van de bewerkingen tot 20. Aandacht voor de verbanden tussen opgaven (buursommen). Handig rekenen; niet meer zoveel tellen. Aandacht voor rekenaanpakken. Rekenen op een rij en de kolommenmethode. Tienen en erover. Nog niet cijferen.
Tafels
Bewegend in ritmen en vormen oefenen tot 10X. Samenhang met basisbewerking en verkenning vermenigvuldigingsstructuren. Memoriseren tafels (2, 3, 5 en 10¶), ook middels vormen, patronen en getallenlijnen. Toepassen in situaties van alle dag. Reconstructiefase: handig rekenen met tafelproducten verdubbelen, halveren verwisselen, de nul en aandacht voor eigen producties.
Schattend rekenen
Zie 1e klas. De plaats van getallen tot ± 100 op de lege getallenlijn aangeven. Aantallen bij benadering benoemen. Rekenen met de tientallen¶. Vergelijkenderwijs schatten van grootten (weefdraden, karton).
Meten en meetkunde
Tijdsbesef en tijdbegrip. De tijd wordt gemeten. De circulaire klok, indeling van het jaar. Maateenheden inwisselen. Lopen van vormenfiguren. Idem in een gegeven aantal passen.
Verhoudingen
Zie vormtekenen. Symmetrieoefeningen. Concrete ervaring opdoen. Zie ook schatten.
370
klas 3
Algemeen
Oefenen van het ritmisch geheugen. Ervaren van tijd. Komen tot maat- en tijdbegrip. Oefening en consolidering.
Tellen en de basisbewerkingen
Uitbreiden tot 1000. In sprongen, nadruk op 10-structuur; tientallen, honderdtallen. Plaatswaarde. Geld als concrete steun. Getallen tot 1000 herkennen en schrijven¶. Rekenen net over de 100 (onder de 100) met steun van de lege getallenlijn. Rekenen op een rij en de kolommenmethode. Rekenverhalen en situaties.
Hoofdrekenen tot 100
Alle bewerkingen handig rekenend tot 100, al dan niet met gebruik van een kladblaadje* om tussenresultaten te noteren. Rekenen met kale getallen en in betekenisvolle contexten. Aandacht voor rekenaanpakken. Praktisch rekenen met geld.
*Steiner was tegen het gebruik van het woord ‘net’schrift. Dat suggereerde volgens hem dat er ook ‘knoei’schrift mag zijn. Maar alles wat je schrijft moet netjes. In het verlengde daarvan moeten er eigenlijk ook geen ‘klad’papiertjes zijn. We kladderen of kliederen niet. Het zijn in wezen ‘hulp’ papiertjes waarop ook netjes geschreven dient te worden.
Tafels
Tafels (tot 10¶) memoriseren en automatiseren. Leerlingen weten (¶) wat ze zelf van de tafels kennen. Ritmisch op rij en rekentechnisch door elkaar oefenen. Aandacht voor rekenstrategieën. Tafelnetwerken. Voortzetting van toepassing in realistische situaties, in rekenverhalen en nu ook bij het cijferen.
Schattend rekenen
Schatten van uitkomsten voorafgaand aan berekeningen¶. Durven afronden op handige getallen om mee te rekenen. Benaderen totaalbedrag (boodschappen). Mooie, ronde getallen: tien- en hondervouden. Getallen in de omgeving. ‘Globaal’rekenen. Verband met hoofdrekenen.
Cijferen
Nog steeds voorbereidende activiteiten; als het hoofdrekenen tekortschiet. Voortbouwen op splitsen en kolommenmethode. Ruimte voor de ‘natuurlijke’ aanpak. Tienstructuur en positionele schrijfwijze. Geld als denkmodel. De papieren abacus. Hoofdrekenen tot 100, het fundament is gelegd.
B
Meten en meetkunde
Kennismaken met maten en gewichten in de praktijk (winkel, huizenbouw). Bij vormtekenen, schetsen van cirkel, driehoek, vierkant, zeshoek, pentagram en pentagon.
Breuken
Informeel gebruik van natuurlijke breuken als half en kwart, o.a. bij de klok.
Decimale breuken
Geldnotatie; informeel.
Verhoudingen
Concrete ervaringen opdoen. Zie ook schatten.
371
KLAS 4
Algemeen
Versterkt Ik-beleven, verbreking van het één-zijn met de wereld. Breken en delen leidt tot het kennen van de breuken als getallen. Gaan denken op basis van voorstellingen.
De basisbewerkingen
Tellen met (stam)breuken, in toepassingen, gestructureerd, ritmisch en voorstellend, ook op getallenlijn. Tellen voorbij 1000 met grote sprongen. Bewerkingen toepassen in gebied tot 1000, daarbij handig rekenen.
Hoofdrekenen tot 100 en verder
Handig rekenen met geld, maten, gewichten, klok en kalender. Ook boven de 100. Waar nodig met steun van de lege getallenlijn. Aandacht voor oplossingsmethoden, juist van anderen. Gezamenlijke en persoonlijke referentiepunten in de getallenwereld¶. Leren kennen van de eigen grenzen op het gebied van hoofdrekenen, cijferen en schatten. Persoonlijke grenzen verleggen.
Tafels
Verworven kennis uitbreiden, onderhouden en consolideren¶. Toepassen bij handig rekenen, cijferen en in de breukenrijen.
De tafels van vermenigvuldiging gememoriseerd.
C
Schattend rekenen
Schattend bepalen van afstanden en gewichten. Persoonlijke referentiematen¶. Benaderen bij cijferopgaven ter controle achteraf schatten van delen van een geheel (visueel). Globaal (tekenend) de plaatsen van een breuk aangeven op getallenlijn. Aandacht voor nauwkeurigheid , de afwijking van het precieze antwoord; samenhang met breuken en kommagetallen.
Cijferen
De cijferprocedures voor vier basisbewerkingen verder ontwikkelen vanuit de natuurlijke aanpak. Zoveel mogelijk werken op individueel (verkortings)niveau. Zowel rekenen in toepassingssituaties van alledag als met ‘kale’ sommen, binnen de grenzen van de eigen mogelijkheden.
Meten en meetkunde
Ruimtelijke oriëntatie. Meetopdrachten in eigen omgeving. Lengte, oppervlakte en gewicht¶. Van menselijke maat naar standaardmaten. Rekenen met meetgetallen. De eerste formules. In vormtekenen vlechtfiguren maken met ronde en rechte vormen. Meetkundige vormen.
Breuken
Door breken, verdelen, samenstellen en vergelijken kennis nemen van benoemde stambreuken. Handelingen verrichten waardoor breuken tot stand komen, verdelen van aantallen en figuren. Werken met grootheden om te verdelen. Modellen van breuken: breukcirkels, -stroken, rechthoek, dubbele getallenlijn. Met breuken en bewerkingstekens het handelen weergeven. Eenvoudige breukrijen kunnen voortzetten, ook voorbij ‘de hele’. Breukenenvelop ¶ en persoonlijke referentiebreuken in periodeschrift.
Decimale breuken
Voortbouwen op ervaringen met kommagetallen. Reflectie op schrijfwijze. Nogmaals geldbedragen en maten, als denkmodel voor de decimale breuken¶. Cijferend optellen en aftrekken van kleine bedragen en maten. Nauwkeurigheid.
Verhoudingen
Plattegronden en kaarten: kennismaken met schaalbegrip (heemkunde). Verhoudingstabel, breuken op de getallenlijn, deel van het geheel. Schatten.
klas 5
Algemeen
Gevoel voor regelmaat en vorm, toenemend begrip.
De basisbewerkingen
Zie klas 4¶. Bewerkingen worden in toenemende mate ook toegepast op breuken en kommagetallen. Situaties uit het dagelijks leven zijn de rekencontexten en geven betekenis en rekenwerk. De persoonlijke keuze voor hoofdrekenen, schatten of cijferen is onderwerp van bewustmaking.
Hoofdrekenen tot 100 en verder
Rekenen met gehele getallen. Referentiepunten bij 10, 100, 25, 5, 50, 75, 125, 250, 500….Optellen en aftrekken met veel voorkomende breuken wordt zo mogelijk in samenhang bekeken. Handig rekenen, ook met decimale breuken. Aandacht voor strategieën en eigen vondsten van leerlingen. Onderhouden van elementaire vaardigheden tot 100¶.
Tafels
Bijhouden (door gebruik en oefening, als dat nodig blijkt) en toepassen (stelselmatig en creatief).
Schattend rekenen
Afronden, benaderingen via globale berekeningen, aandacht voor nauwkeurigheid, schatten voor ’t cijferen en breukberekeningen; controle. Referentiepunten in de wereld van de hele en gebroken getallen, zie hoofdrekenen. Cijfers achter de komma en ‘verwaarlozen’. Referentiematen voor het maken van schattingen bij het meten. Ook op het gebied van oppervlakte en inhoud en kommagetallen.
Cijferen
Bewerkingen volgens standaardprocedures (op eigen niveau) uitvoeren, ook met kommagetallen (beheersing van getallen met 3 cijfers¶). Stimulering van niveauverhoging. Analyse van nieuwe cijferprocedures. Reflecties op de procedure zelf.
Alle cijferbewerkingen op het individueel hoogst haalbare niveau.
D
Meten en meetkunde
Praktisch rekenen combineren met tijdrekenen, ook digitale tijdsweergave. Oppervlakte ¶. Afstand en tijd in samenhang; snelheid. Tabellen, grafische voorstellingen lezen en maken. Tijdmeting in de sport. Interessante meetkundige figuren schetsen en karakteriseren naar hun eigenschappen.
Breuken
Breuk als operator. Bewerkingen op concreet niveau. De dubbele lege getallenlijn als denkmodel, bemiddelde grootheden als rekentechnische ondersteuning. Mogelijk ontdekken van rekenregels. Breuken in verband met kommagetallen. Breuken die een verhouding weergeven.
Decimale breuken
Alle basisbewerkingen cijferend en veel in toepassingssituaties ¶. Kommagetallen als meetresultaat, afronden. Verband met gewone breuken in praktijk en theorie. Inzicht in het fenomeen kommagetal.
Verhoudingen
Rekenen met schaal ¶. Dubbele getallenlijn. Verhoudingstabel.
Procenten
Informele kennismaking via signalen van buiten de school.
373
klas 6
Algemeen
Inzicht in ‘handigheidjes’, samenhangen en oorzakelijkheid.
Meten en maten.
De basisbewerkingen
Vaste rekenprocedures worden vastgelegd in formulevorm. Woordformules. Dit bereidt voor op het gebruik van letters en variabelen in de algebra.
Hoofdrekenen tot 100 en verder
Inzichtelijk en handig oplossen van praktische problemen. Onderhouden van elementaire vaardigheden.
Tafels
Gebruiken.
Schattend rekenen
Afronden, globaal rekenen; ook met breuken, kommagetallen en percentages. De grootteorde van uitkomsten; rekenen met aantallen cijfers. De marges van het schatten, nauwkeurigheid in percentages; nauwkeurigheid in verband met de context.
Cijferen
Alle basisbewerkingen ¶. Inzicht scheppen: getalgriezels. Op zoek naar verkortingen. Maatschappelijke toepassing (handel, sport, vervoer enz.) Andere cijfermethoden onder de loep. Cijferen bij concrete opdrachten. Staartdelen en kommagetallen. Staartdelen en procentberekening.
Meten en meetkunde
Meten in thema’s en projecties als voortzetting van de 5e-klasleerstof. Centrale rol voor de cirkel: met passer en liniaal worden steeds bekende geometrische vormen geconstrueerd . Driehoeken, vierhoeken, vijf- en zeshoeken. Onderzoek van hoeken en het meten en het meten ervan (in graden). De basisconstructies ¶.
Eind 6e klas: voorwaarden vervuld voor (eventuele) introductie van de zakrekenmachine.
Breuken
Basisbewerkingen met breuken, zo gewenst met dubbele getallenlijn en bemiddelende grootheid ¶. Rekenregels voor breukrekenen mogelijk ontdekken en zeker doorzien en inzetten bij praktische problemen, waaronder procentrekenen.
Decimale breuken
Breuken omrekenen naar kommagetallen ¶. Afronden en afbreken. Nauwkeurigheid. Een enkel geval van ‘kommagetal naar breuk’. Relatie met breuken en procenten.
Verhoudingen
Praktische omrekenproblemen (o.a. vreemde valuta) in bijv. verhoudingstabellen ¶. Verhoudingen en evenredigheden in de meetkundige context (o.a. de hoogte van de zon). Vergrotingsfactor. Verhoudingen in het dagelijks leven: dichtheid, snelheid, verdunning, legering…) het aflezen van meetinstrumenten (schalen).
Procenten
Procenten opgevat als op 100 genormeerde verhoudingen in het leven van alle dag. Visuele beelden van percentages. Rente, prijsstijging, kiesdeler; maattolerantie, steekproef,…Berekeningen op het gebied van handelsrekenen.¶
374
klas 7 en 8
Algemeen
Onderzoekende houding, volhardend systematisch werken. Groeiend reflecterend vermogen. Wiskundetaal verwerven als communicatiemiddel. Creatief samenwerken bij het oplossen van problemen. Verwondering en bewondering beleven aan wiskundige vondsten. Verdieping ruimtelijk inzicht.
Getallen
Verzamelen, ordenen en kwalitatief beschrijven van gegevens. Introductie van de negatieve getallen, verkenning op de getallenlijn (klas 7).
Hoofdrekenen
Kettingsommen als inleiding tot de vergelijkingen. Getallenreeksen, eigenschappen, tweede en derde machten van 2 (klas 7) Worteltrekken, ook in relatie tot meetkunde. Verbanden en ingeklede vergelijkingen (klas 8).
Schatten
Verdieping van gecijferdheid, o.a. in verkenning van de zakrekenmachine, globaal rekenen, benaderen en afronden in realistische contexten.
Voortgezet rekenen
Hanteren van kommagetallen en gangbare maten voor: lengte, oppervlak, inhoud, tijd, temperatuur, geld (toepassen in context ¶). Breuken (rekenregels ¶), procenten, verhoudingen, schaal (worden in samenhang verder ontwikkeld en geoefend (toepassen in context ¶) in rekenwerkuren. Kwadrateren en worteltrekken.
Algebra
N.a.v. concrete situaties wetmatigheden onder woorden brengen, in (woord)formules vastleggen en ermee werken. Mathematiseren van een probleem , waaronder het opstellen en oplossen van (lineaire) vergelijkingen, substitueren van getallen en rekenen met letters (klas 7).
Substitueren van verbanden op basis van (getal)reeksen, eigenschappen bij letterreeksen, relaties tussen verschillende variabelen (klas 8).
Meten en meetkunde
Waarnemend tekenen, schetsen van perspectief en schaduw, patroontekenen. Constructies op basis van inzicht, gebruikmakend van de grondconstructies en de begrippen: afstand, richting, hoek, loodrecht, evenwijdig, translatie, rotatie, spiegeling, puntsymmetrie, congruentie, stelling van Pythagoras. Verbanden met algebra (klas 7). Vermenigvuldigen van figuren, gelijkvormigheid, oppervlakten en inhouden berekenen. Meetkundige plaatsen. Platonische lichamen en hun uitslagen lezen en interpreteren. Coördinaten (klas 8).
Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Wiskunde wordt als probleemoplossend instrument bij onder meer handwerken, natuurkunde, handelskennis, aardrijkskunde en in rekenwerkuren verbonden met de concrete ervaring.
375
In dit hoofdstuk wordt gesproken over:
bewegingszin
ontwikkelingsfasen van het kind
oordeelskracht
periodeonderwijs
tandenwisseling
temperament
.
Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.
Rekenen: alle artikelen
.
VRIJESCHOOL 