VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging – hoofdstuk 5

.

REKENEN IN BEWEGING

Hoofdstuk 5: Een nieuw perspectief in klas 4: breuken

5.1 Menskundige achtergronden
5.2 Didactisch spoor
5.3 Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas
5.4 De praktijk in klas 4
5.5 De praktijk in klas 5
5.6 De praktijk in klas 6
Terzijde: Het repertoire van een vrijeschoolleraar

5.1 Menskundige achtergronden

Het kind krijgt omstreeks het negende levensjaar een andere verhouding tot de wereld. Er komt je een wakkere blik tegemoet, vragen naar het ‘waarom’ van alledaagse dingen, waaraan eerder achteloos voorbijgegaan werd, worden nu gesteld. Een versterkt ‘Ik-beleven’ van het kind houdt tevens in dat het meer afstand tot de wereld kan nemen en deze daardoor in zijn veelheid gaat beschouwen en begrijpen. Door het ‘breuk-rekenen’ zo aanschouwelijk mogelijk te introduceren, door uit te gaan van ‘breken’ en verdelen van gehelen, waarbij de natuurlijke behoefte tot analyseren wordt aangesproken, maakt men gebruik van de ontwikkelde vermogens van de kinderen, om zich voorstellend met de wereld te verbinden.
Het nieuwe waarnemen van de omgeving in deze levensfase leidt vaak tot innerlijke onrust en twijfel. Kinderen merken de onderlinge verschillen nu duidelijker op; wie er mooi kan tekenen, goed kan rekenen enzovoort. Het eigen werk gaan ze meer in verhouding zien tot dat van anderen. De weg naar vertrouwen krijgen in eigen vermogens en eigen werk in vergelijking met dat van klasgenoten vraagt vanaf deze leeftijd meer individuele aandacht van de leerkracht. Voor hem wordt de klas meer en meer een geheel in (bijzondere) delen, wat in methodisch-didactische zin ook veranderingen met zich mee brengt.

Verbroken eenheid, dat is de zielenstemming van het negen- à tienjarige kind. Verbroken eenheid typeert ook het rekenveld van de breuken. Daar zal het kind nieuwe eenheden, nieuwe gehelen, van moeten maken.
In dit gebied van schoonheid, veelheid, doorbroken wetmatigheid en verrassing kunnen de kinderen grote ontdekkingen doen en harde noten kraken. Ze kunnen hun bewegingsdrang en creativiteit op vele manieren inzetten om toegang te vinden tot de nieuwe rekenwereld. Zo ondersteunt de leerstof op betekenisvolle wijze de ontwikkeling van het kind.
176

5.2.Didactisch spoor

In de eerste ‘breukenperiode’ wordt vooral vanuit een menskundig aspect gewerkt. In de volgende perioden kan een didactisch spoor gevolgd worden, dat mede door de ervaringen bij het realistisch rekenen, verrijkt is. Daarbij krijgen de kinderen eerst ruim de gelegenheid thuis te raken in de nieuwe getallenwereld.
Bekende situaties en vertrouwde contexten vormen het uitgangspunt voor het maken van breuken en het leren kennen van de bijbehorende symbolen. In de breukentaai worden aan (sommige) getalsymbolen nieuwe betekenissen, waaronder bijvoorbeeld tellers en noemers, toegekend. Met de breukentaai worden ook modellen van verdeel- en breeksituaties geïntroduceerd, verkend en gebruikt.
Hierdoor wordt een brug geslagen tussen de informele werkwijzen en de formele vakstructuur. In de realistische didactiek gaat men uit van de natuurlijke aanpakken van kinderen, dan wordt er vervolgens ruim gelegenheid geboden tot interactie waardoor de eigen denkbeelden getoetst en aangescherpt worden. Het werken op basis van rekenregels (algoritmen) dient lang te worden uitgesteld tot het moment dat de kinderen in staat zijn een groot deel ervan op eigen kracht zelf te (re)construeren.

In de eerste drie leerjaren doen de kinderen in het rekenen veel ervaringen op. Ze kunnen daarbij ook breuken tegenkomen. De breuk wordt echter nog niet bewust gemaakt. In de vierde klas komt dit moment wel, dan is het kind er rijp voor. Om te kunnen bepalen of de klas eraan toe is, of tenminste een deel van de klas, is het allereerst zinvol om na te gaan of de leerstof van de eerste drie klassen in voldoende mate beheerst wordt. Anders gezegd: het begrip van de breuken kan aan een kind voorbij gaan als het zich niet thuis voelt in het omgaan met de natuurlijke getallen. Het is dus goed, om in de vierde klas aan het introduceren van de breuken nog een herhaling van de leerstof uit de voorgaande jaren vooraf te laten gaan. Er is dus zo gezien geen voorbereidend breukenonderwijs in de zin van een bewustmakingsproces; maar de kinderen doen in de vierde klas ervaringen op, die later het verwerven van inzicht op dit gebied kunnen ondersteunen. Belangrijk is dat vanaf de eerste kennismaking met de breuken, de breuken steeds verweven worden met ander rekenwerk. Zo kan de opgedane kennis rond ‘breken’, verdelen en benoemen, gebruikt worden in de rekenperiode waarbij ‘meten met maten’ centraal staat. In de vijfde klas wordt het formele rekenen voorbereid en pas in de zesde klas geheel binnen de reken-wiskundige context van rekengetallen en regels beoefend. Kinderen die op dat moment daar nog niet aan toe zijn, kunnen met de inmiddels verworven aanpak en het model van de dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel, toch de meeste rekenopgaven maken. Nu worden de breuken geïntegreerd aangeboden in andere onderwerpen, waarmee de leerlingen tijdens perioden en in rekenwerkuren bezig zijn. In de zevende klas worden de breuken en de negatieve getallen ingepast op de getallenlijn tot het geheel van de rationale getallen (natuurlijke getallen, nul, gebroken getallen, negatieve getallen). Nu kunnen de breuken ook binnen het systeem van de algebra, zoals dat vanuit het rekenen met getallen ontwikkeld wordt, verschijnen.
177

Globaal gezien volgt het periodeonderwijs (in de vierde, vijfde, zesde en zevende klas) wat betreft de gewone breuken de volgende gang:

• Het leren kennen van de breuk middels de benoemde (stam)breuk in allerlei verdeel- en breeksituaties.

• Het bewegen, het bewegen benoemen, het bewegen ver-‘beeld’-en, werken met de beelden (die modellen ‘van’ zijn), kiezen van beelden bij praktische opgaven, stilstaan bij de beelden als ‘modellen van’. Speciale aandacht voor het kiezen van bemiddelende grootheden bij breuken.

• Het werken met het ‘moedermodel’ voor het rekenen met breuken: de dubbele lege getallenlijn en later ook de verhoudingstabel.

• Technisch rekenen met formele breuken, zicht op de wiskundige structuur van de rationale getallen. Daarbij is de gang door het breukenonderwijs vergelijkbaar met die door de wereld van de natuurlijke getallen en de basisvaardigheden in de eerste drie klassen.

5.3. Globale leergang in de vierde tot en met de zevende klas

De vierde klas

In deze klas staat de ontmoeting met het fenomeen stambreuk (breuk met de teller 1) centraal. Verdeelsituaties met aantallen, grootheden en meetkundige figuren leiden tot het verwerven van de breukentaal met de eigen symbolen. Verdelingen als activiteit (uitdelen, verdelen, opdelen) en als uitkomst (groepjes, quotiënt, structuur) worden in de nieuwe taal beschreven. Zo ontstaan bijvoorbeeld reeksen die door halveringen uit de eenheid ontstaan 1/tot en met 1/16 .  Daarna tevens een ‘gemengde’ reeks     1/3     1/2   1/9     1/12  eventueel aangevuld met  1/5   en   1/10 . Eigen producties (zelf bedenken van opgaven, aanpakken, oplossingen, vormgevingen, uitleggen,…) maken creatieve vondsten van reken-meetkundige aard mogelijk. Indien gewenst kan alles zich afspelen in de wereld van de stambreuken.
Zo gaan de kinderen op verkenningstocht in de nieuwe wereld van de breuken, op een manier waarop zij ook in de zaakvakken de wereld om hen heen verkennen. Aan de breukentaai wordt steeds bewuster aandacht geschonken, de kinderen leren ermee omgaan als een manier om breken, verdelen, vouwen, mengen en dergelijke, te beschrijven. Ook de resultaten van het breken, verdelen enzovoort, worden zo beschreven. Door verschillende delen met elkaar in verband te brengen, samen te nemen, het verschil of ‘wat er ontbreekt’ te bepalen, komen ook de hoofdbewerkingen in beeld.
Maar steeds is eerst gedaan wat daarna opgeschreven wordt. Nooit is de som, in de vorm van kale rekengetallen, aanleiding tot een volgende stap in het leerproces!
De opzet van dit werk is, de nadruk te leggen op de kennismaking met het fenomeen breuken en het opdoen van een zo breed mogelijk scala aan ervaringen.

Wie zijn periode gaat voorbereiden kan gebruik maken van het volgende spoor:

1. Kennismaken met natuurlijke breuken, uitgaande van stambreuken die ontstaan door breken en verdelen.
2. Praktisch verkennen van verdelen van meetkundige eenheden: cirkel (kring), rechthoek, driehoek, strook (rij), enzovoort.
178

3. Naamgeven aan de breukdelen van meetkundige eenheden.
4. Ontdekken van de breuk als operator.
5. Bewegen en tellen met breuken. Ontdekkingen in breukrijen ook voorbij de 1.
6. Terugblik op de eerste periode over breuken. Maken van de ‘breuken-envelop’ met cirkels en stroken.
7. Eigen producties met behulp van de breuken-envelop; de eerste sommen.
8. Schattend onderzoeken en vergelijken van breuken.
9. Sommen bedenken en maken.

Laat tenslotte de kinderen meedoen en meedenken in een ‘toetsles’, een
periodeochtend waarbij je als leerkracht tijdens het werk kunt waarnemen welk breukenrepertoire ieder kind zich eigen heeft gemaakt.

De vijfde klas

Tussen het bewegend rekenen en het aanschouwelijk rekenen met breuken enerzijds en het formele rekenen anderzijds, kan nog een belangrijke tussenstap geplaatst worden: het rekenen met benoemde breuken in concrete situaties, steunend op de aanschouwelijkheid.
Het denken van de vierdeklasser was nog sterk gebonden aan hetgeen hij zag. In de vijfde klas wordt bij de kinderen het inzicht gewekt op basis van het aanschouwelijke (voorstellingen, modellen van), ieder voert er de rekenbewerkingen uit op het eigen niveau van abstractie.
Begonnen wordt het breukenwerk uit de vierde klas nog eens op te halen. Daarin komt nu ook een reflectief moment, waarin de breukenwereld en wat daarin gebeurd is, op zichzelf in beschouwing genomen wordt. Bij het terughalen en opfrissen treden verschuivingen in kwaliteit en aandacht op. De kinderen gaan op een hoger niveau werken in hun ontwikkeling: van nabootsend ‘dromend’ bewegen naar bewust ‘wakker’ denkend bewegen; van beschrijven naar bewerken; van breukentaal naar rekenen met breuken. Dat terugkijken introduceren we door nog eens naar de 1 te kijken. De kwaliteit van het getal 1 heeft al een hele geschiedenis doorlopen. In de eerste klas zagen we dat er maar één heelal was, die 1 was meteen het ‘grootste’ getal. Maar als je maar één steentje had om te tellen, was 1 het minste. Vorig jaar was er één pannenkoek, een 1, die weer met velen gedeeld moest worden en opnieuw heel groot bleek te zijn.

Het terughalen biedt de gelegenheid om het (mentale en materiële) materiaal te verzamelen en in te richten, om straks met het rekenwerk te beginnen.
De in een context geplaatste som wordt nu het uitgangspunt om aan de slag te gaan. Daarbij zal het beeld, de gebeurtenis, of figuur ‘daarachter’ steeds weer bewust gemaakt moeten worden. Daardoor blijft het rekenen ook voor de minder vaardige rekenaars zoveel mogelijk toegankelijk.
Eigen producties van kinderen kunnen zich richten op het maken van opgaven, op het uitleggen aan elkaar en op ‘materiaal maken’ voor de kinderen die bij de andere leraar, of bij een combinatie klas, in de vierde klas zitten.
In de vijfde klas valt dus de periode waarin de kinderen het rekenen met breuken leren kennen.
De dubbele lege getallenlijn wordt geïntroduceerd, eigenlijk meer bewust gemaakt, want in de vierde klas toen de breuken verbonden werden met bijvoorbeeld de eerder geleerde tafelrijen, werd in feite ook al met twee schalen gewerkt.
179

180

De keuze voor een ‘geschikte ondermaat’ zal uit de context van een vraag blijken; delen van zaken waarbij geld, maat of tijd een rol spelen zullen gemakkelijk door de kinderen met behulp van de bemiddelende grootheid gevonden worden. Op meer abstract niveau kan het werken met het breukenelastiek een hulpmiddel zijn, omdat je hiermee in stroken elke gewenste verdeling zichtbaar kunt maken. Dat stimuleert het zelf kiezen van een maatverdeling op de onderste getallenlijn en laat de gelijkwaardigheid van breuken, die verschillend geschreven zijn, zien.

Kinderen kunnen op de dubbele lege getallenlijn hun eigen keus maken: rekenen we met de (gehele) getallen onder de lijn, of kunnen we het al af met de breuken boven de lijn?
Ook het delen met eenvoudige natuurlijke breuken kan vanuit concrete contexten uitgewerkt worden. Daarbij wordt het delen opgevat als uitscheppen van een hoeveelheid met een (kleine) maat. Bijvoorbeeld: “Hoeveel glazen (van
1/liter) kan ik vol schenken uit een fles (van  3/liter)?”

Ten slotte gaan we ook al in op het vermenigvuldigen met breuken. We doen dat op de aan het eind van dit hoofdstuk – als lesvoorbeeld- besproken manier van ‘landje indelen’.
In een andere periode kan via het meten en het rekenen met geld een verband gelegd worden met de kommagetallen. De dubbele lege getallenlijn is ook hier een geschikt intermediair, tussen hele getallen en breuken, tussen hele getallen en kommagetallen en tussen gewone breuken en kommagetallen.
Wie materiaal wil ontwerpen kan in het volgende een aantal kernactiviteiten zien, in aansluiting van wat hiervoor bij de vierde klas vermeld is:

1. Reflecteren op het breukenrepertoire van de vierde klas, middels een hernieuwde kennismaking met de kwaliteit en kwantiteit van het getal 1.
2. Oefenen in het beschrijven van verdelen, breken, knippen, enzovoort met aandacht voor het ontstaan van en werken met modellen: De getallenlijn, als model van de breukenrijen en bijbehorende ritmiek, De cirkel, als model van klok, pannenkoek, pizza, sectordiagram,… Het vierkant, als model van vouwblaadje, gesneden (boter)koek, kan met mengsel van … De rechthoek, als prijs- of gewichtskaartje, dus als (algemeen) model van hoeveelheid, of aantal. De strook, als model van weg, lengte, hoogte, peilstok, …
3. Delen uitrekenen van gestructureerde hoeveelheden, gestructureerde (meetkundige) patronen, maar ook van hoeveelheden gegeven als kale getallen. In beeld brengen hiervan op de dubbele getallenlijn.
4. Met breuken werken als operator, ook met breuken groter dan 1, in relatie met benoemde breuken.
5. Gevarieerde opgaven maken, met zowel meetkundige als numerieke oplossingen en kunnen opschrijven als kale sommen. Creëren van eigen producties, waarbij ook sommen voorkomen die zuiver getalsmatig (mentaal) moeten worden opgelost.
6. Delen en vermenigvuldigen met eenvoudige natuurlijke breuken op concreet niveau leren uitvoeren met mogelijkheid tot het ontdekken van de rekenregels.
7. Resumeren van de basisbewerkingen met breuken.
181

Ook hier zou aan het eind van de periode een toetsles kunnen plaats vinden om nogmaals al werkend bij de leerlingen te kunnen waarnemen op welk niveau (concreet of mentaal) zij tot de oplossing van een probleem komen. Zijn er nog kinderen die het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken?; tekenen kinderen zelf modellen om een opgave te kunnen maken?; of stellen ze zich bij het zoeken naar een oplossing de modellen voor en weten zij het antwoord zo ‘mentaal’ te bedenken?

De zesde klas

In de zesde klas is er geen speciale breukenperiode meer, wel gaat het rekenen met breuken gewoon door.
In een volgende fase wordt op al het voorgaande gereflecteerd. Er komen opgaven uit alle perioden naar voren, het rekenwerk met dubbele getallenlijn verplaatst zich voor zoveel mogelijk leerlingen naar ‘boven’, naar de breuken dus. De kinderen rekenen dan ook letterlijk op een hoger niveau. Onder andere de breukenrijen uit de periode in de vierde klas en vooral ook het rekenen in de vijfde klas met benoemde breuken komt nu in hetzelfde licht te staan. Wat eerst los van elkaar stond, blijkt nu onder één noemer te kunnen worden gebracht. Daarbij kan ook de verhoudingstabel een rol spelen. De schoonheid van de wiskunde, op het niveau van inzien en begrijpen, is hier element van beschouwing. Ondertussen wordt het rekenen met breuken geoefend, ook binnen concrete situaties. De kommagetallen, begonnen als beschrijvers van ‘meten’ en ‘geldrekenen’, kunnen nu ook formeler worden beschouwd. In feite is het positionele inzicht in komma getallen al in de vorige periode ontstaan. Nu wordt dit in het bewustzijn getild en ligt de weg open voor echte wiskundige opgaven, waarin getalsrelaties tussen echte breuken en kommagetallen worden gezocht.
Ten slotte wordt er zuiver met breuken gerekend, in elk geval door de leerlingen die dat aankunnen. Deze leerlingen gaan nu (pas) op zoek naar achterliggende rekenregels. Niet alleen de regels, maar ook het waarom ervan. Het gaat er natuurlijk niet om die regels domweg te leren, dat hebben deze leerlingen trouwens niet meer nodig. Het gaat om het zoeken zelf, het vinden, het formuleren en de discussie over de interpretaties, om ‘hoe overtuig je elkaar met argumenten’ en dus om het wekken van het oordelende denken. Opgaven als: 21/: 15/8   = …   kunnen volgens ons echter beter buiten zicht blijven. Ten slotte moet alles voor het kind te ‘verbeelden’ zijn en blijven.
Ook de procenten worden in deze klas vanuit de praktijk geïntroduceerd. De kinderen kunnen veel zelf uitzoeken. De leraar legt verband tussen breuken, kommagetallen en procenten, onder andere door ze boven elkaar op te nemen in een verhoudingstabel. Het wiskundige domein van verhoudingen krijgt steeds meer structuur voor de kinderen.
Het is nuttig om bepaalde activiteiten met breuken zo nu en dan in
rekenwerkuren te doen. Doe korte lesjes met de hele klas en ontwerp werkbladen voor individuele verwerking of voor werk in kleine groepen. Het is de bedoeling dat de kinderen de gelegenheid wordt geboden de stof bij te houden, om die straks op een hoger niveau van reflectie te kunnen doordenken en toe te passen. Voor de snelle leerlingen kan men materiaal ontwerpen waarin ingewikkelde vraagstukjes in hun toepassingen zijn opgenomen.
182

Voor de zwakkere rekenaars is het nuttig om het werk meer didactisch op te bouwen. Dit betekent onder meer dat er veel concreet ‘doe’-werk gevraagd wordt  (kleuren, vouwen, knippen, aanleggen, afmeten,…). Zowel met meetkundige eenheden (cirkel, vierkant, rechthoek, strook, driehoek, zeshoek, wijzerplaat, windroos, …) als met numerieke eenheden (hoeveelheden, bedragen, gewichten, afstanden, oppervlakten en dergelijke in getallen gegeven). Maar het allerbelangrijkste van de activiteiten is het denkwerk dat het handelen begeleidt. Daarom is het steeds gewenst over het doe-werk van gedachten te wisselen en daarbij vooral hetgeen gedaan is te visualiseren. Het noteren van hetgeen gedaan is in de vorm van kale sommen, zal voor hen de allerlaatste stap op deze weg zijn. Niet iedereen hoeft die stap ook te zetten.

De zevende klas

Zie hiervoor hoofdstuk 7.

5.4. De praktijk in de vierde klas

Maandagmorgen, de eerste breukenperiode. Geen hoopvolle stille verwachting, maar een klas met druk pratende kinderen nog vol van alle weekendbelevenissen. We zingen samen een lied en worden in deze beweging weer ‘één’ stem. Dan zeggen we met elkaar de spreuk en als de kinderen daarna, toch stil geworden, zitten te wachten, haal ik triomfantelijk de theedoek van de schaal op het tafeltje midden voor de klas: één pannenkoek! “Jongens, deze pannenkoek gaan we nu opeten.” “Geef maar aan mij, want ik had toch geen tijd om te eten vanmorgen”, zegt Erik met een grote grijns. Nienke, altijd oog hebbend voor het geheel van de klas, verwijt me “U had er beter 24 kunnen bakken, zo is het toch niet eerlijk!” Nog vele opmerkingen volgden, snel wordt duidelijk dat er gedeeld moet worden. Henk, die altijd trek heeft, probeert nog even “Wie wil er niet?” “Henk, weet je wat, neem jij het mes, maar waarom vraag je dat eigenlijk?” “Als Erik en ik nou alleen wilden, dan hadden we ieder de helft!” Luid gejoel uit de klas maakt onmiddellijk duidelijk dat Henk op een andere manier moet verdelen. Een hele puzzel, maar ieder kind kon even later een sliertje pannenkoek in zijn mond stoppen.
Na de eerste pannenkoek, verdelen we de kinderen in verschillende groepjes met in ieder groepje een ander aantal kinderen: twee, drie, vier, … Dan komt uit de kast de rest van de stapel pannenkoeken en krijgt ieder groepje er een met de opdracht een verdeling te maken. De kinderen vertellen hardop hoe en waarom ze verdeeld hebben. Waarbij een aantal kinderen de delen al met (stam)breuknamen blijkt te benoemen. Daarna maken we een mooie tekening in het periodeschrift van de eerste en tweede pannenkoek met hun verdeling.

Het is voor de kinderen een grote verrassing, soms haast een schok als ze bemerken dat binnen het geheel van het getal 1 een totaal nieuwe rekenwereld ligt. De eerste kennismaking met de breuken staat in het teken van ‘concrete’ zaken, zodat de kinderen in de wereld van de breuken thuis kunnen raken. We kunnen daarbij denken aan het volgende:

• Verdelen van allerlei wat de natuur ons te bieden heeft. Vaak is dat van zichzelf al verdeeld, zoals mandarijntjes, appels, noten.
• Verdelen van wat er vanuit de cultuur te verdelen valt, zoals bijvoorbeeld
183

mogelijk is met tijdsduur, waarvan we de weergave kunnen zien op de wijzerplaat van een klok.

• Verdelen van aantallen dingen die door de kinderen of de leerkracht meegenomen zijn.

Het praktisch verkennen van meetkundige eenheden geeft de gelegenheid de kinderen veel eigen producties te laten maken. Alleen of misschien juist in groepjes, gaan ze aan het werk om cirkel, rechthoek, driehoek of strook te verdelen!
De kinderen kunnen zeer creatief zijn als ze de gelegenheid krijgen dit soort vormen te zoeken.
Geef ook eens verdelingen in meetkundige eenheden en laat de kinderen de delen onderzoeken.

Dit kunnen we ook op het plein doen met elkaar. We vormen een grote kring, (een cirkel) of een rij, (een strook) en onderzoeken de natuurlijke breuken.

De klas bestaat uit 32 kinderen, een ideaal aantal om de breuken mee te behandelen. We gaan in een kring staan. Vervolgens wordt de kring in tweeën, vieren, achtsten, enzovoort gedeeld.
Ten slotte zijn alle handen los en staat ieder op zich zelf. Bij alle achtereenvolgende delingen hebben we het gebeurde steeds onder woorden gebracht: Wij zijn de ene helft, jullie zijn de andere helft. Wij zijn een kwart, zij zijn een kwart, enzovoort. Op het laatst zegt ieder kind: “Ik ben een van de tweeëndertig, een tweeëndertigste van de hele klas.” Dit klinkt ronduit indrukwekkend; ook de aandacht waarmee ieder de anderen aanhoort is opvallend.
Daarna hebben we de kring nog eens met gekleurde linten in gelijke sectoren verdeeld, waarbij we die stukken steeds kleiner maakten. De linten werden toen als een soort windroos op de grond gelegd. In ons schrift maakten we daar tekeningen van.

184

Van die kring heb ik later nog vaak gebruik gemaakt. “Draai 1/door.” “Loop 1/4   verder, enzovoort waren opdrachten die ze al vrij snel konden uitvoeren.

Langzamerhand is op natuurlijke wijze het naamgeven van de delen ontstaan. Nu gaan we die ‘namen’ ook opschrijven. Eerst nemen we gekleurde cirkels en stroken, en gaan vouwen en knippen.

185

Het vouwen vormt voor de kinderen een goede activiteit om al doende het ‘denken in het handelen’ te krijgen. Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. We kunnen eerst de halveringsreeks maken (tot en met  1/16 ), daarna pas de gemengde reeks van  1/3   1/6   1/9     1/12  ). En later kunnen we nog  1/en 1/10   toevoegen. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur.
Het vouwen heeft het voordeel dat het geheel blijft bestaan. Als de kinderen de stambreuk waar het om gaat eruit knippen, kunnen ze de vorm in hun schrift plakken en de naam erbij zetten.
Het aardige aan stambreuken is dat je ze kunt tellen. Zo passen er bijvoorbeeld vier stukjes van 1/8   in één stukje van  1/. Elke nieuwe stambreuk vormt zo een nieuwe maat waarmee de eenheid, de ‘volle’ schijf, te bemeten is. Door aanvankelijk alleen met de halveringsreeks te werken, kan veel verwarring voorkomen worden. Dus niet steeds het hele zakje laten leegschudden. De vraag “Wat past er allemaal in een hele?” leidt alleen met de halveringsreeks al tot veel eigen producties, zoals 1 = ½   + 1/8  + 1/8+ ¼ ; in het handelen tenminste, niet als som. Met drie stukjes van 1/kun je één stukje van 1/9 vullen, maar twee stukjes van  1/zijn al meer dan één stukje van 1/6. Voor het probleem dat nu optreedt moeten de kinderen zelf een oplossing zoeken. De eenheid is weliswaar in steeds kleinere eenheden (stambreuken) opgedeeld, maar deze zijn onderling niet steeds weer delen van elkaar.
Laat een aantal leerlingen, of misschien wel allemaal, ook eens met wat ingewikkelder vouwtechnieken experimenteren. Welke breuken ontstaan er?

Ik besloot nog eens terug te kijken op het werk van de afgelopen dagen. De kinderen hadden vol enthousiasme gewerkt en de breuken klonken al door de klas alsof het heel gewoon was. Aan een concrete situatie wilde ik eens zien of het delen en het naamgeven al tot het eerste begrip breuk had geleid.
Maar toen ik de volgende dag een heerlijke ronde vlaai meegenomen had en aan onze bolle Martijn, toch niet een van de langzaamsten, vroeg: “Wat heb je liever, 1/ of 1/3 0 ?”, bleek dat de kracht van de grote (natuurlijke) getallen nog niet gebroken was. Zoiets heeft echt zijn tijd nodig en vele (gevarieerde) oefeningen. Ook later in de periode viel me dat steeds weer op.

Tellen om straks aan de teller te komen

Aanvankelijk werken we vanuit het tellen: delen die kinderen kunnen tellen. We gebruiken in het begin nog geen samengevoegde delen. Anders gezegd: we tellen met stambreuken. Wel kunnen we het geheel geven, waaraan een stuk ter grootte van een stambreuk ontbreekt. Dan vraagje: “Welk deel ontbreekt?”

186

Toen we een strook verdeeld hadden in tien delen, schreven de kinderen trouw, nadat ze er  1/10  van mochten afknippen, dat ze nu 1/10  en 1/10  en 1/10  en…… en 1/10  over hadden.
Lisander houdt niet van schrijven, maar wel van rekenen en bood onmiddellijk aan maar puntjes te zetten of gewoon 9.
Wel een aardig idee vond de klas, maar dan kan je niet ‘zien’ waar het over ging. Zo werd besloten tot de notatie: 9/10 

Teller en noemer

Zolang we werken met meetkundige eenheden die verdeeld moeten worden of zijn, is het voor de kinderen niet moeilijk om de breuk van teller en noemer te voorzien.

Om teller en noemer nog eens op een andere manier te onderscheiden werd de familie Best geïntroduceerd.
Vader, moeder, Francien, Saskia, Bert en Karel zijn de zes leden van de familie Best. Bart en Karel zijn er twee van de familie Best.
Schrijf maar 1/Best    de noemer dus als familienaam. De teller geeft het aantal familieleden van de familie aan. Of  …../Best   om in te vullen. Even later wordt dat “Hoeveel van die ‘zesden’ moeten we hebben?”

Tot nu toe hebben we de natuurlijke breuken leren kennen als resultaat van een handeling, verdelen, vouwen of knippen van een eenheid.
Nu gaan we ook hoeveelheden verdelen. “Verdeel eens twee pizza’s met z’n vijven. Hoeveel krijgt je elk?” De kinderen zullen bij zo’n eerste onderzoek naar zo’n verdeling zeker voor de eerste oplossing kiezen. In een later stadium zie je pas wat meer gevarieerde oplossingen omdat de kinderen steeds vertrouwder raken met de verschillende breuken en breukenrijen.

187

Het delen van etenswaren leidt bij vrijeschoolleerlingen, vertrouwd met de vijf-ster, meestal tot de bovenste oplossing. Wil je de andere verdelingen oproepen bij een maaltijd in restaurant ‘De Smulpan’ dan zul je, door niet alles tegelijk op te dienen, of er een vijfde man bij te laten komen, andere verdelingen kunnen oproepen. Het is leuk om zo’n eetsituatie ook eens echt te spelen. In een vijfde klas kunnen de pannenkoeken dan ook nog een prijskaartje krijgen, bijvoorbeeld  € 6,—. Wat moet je nu per persoon betalen? In een zesde klas zijn het dan twee verschillende pizza’s van € 10,— en € 12,50.

Nog eens het symbool uitvinden

Hoewel we in eerste instantie de breukdelen een naam hebben gegeven, is het nu ook mogelijk op nog een andere wijze het symbool uit te vinden.
De notatie van breuken kan op verschillende manieren gebeuren. Een aardige ontdekking van kinderen, die aan een vierkante tafel zaten en met z’n zevenen drie pannenkoeken moesten verdelen. De situatie aan tafel werd aldus in twee stappen gesymboliseerd:

Bijna de breuk zoals die formeel genoteerd wordt!

Ontdekken van de breuk als operator

Snelle breuken.
In de zaal hebben de kinderen de ruimte en als we daar allemaal, lekker door elkaar staan, verdelen we ons in drie groepen. “Welk deel zijn jullie nu als groep?”  1/3  is niet moeilijk te beantwoorden, maar nu draaien we het om: 1/4 mag op de grond zitten!” Een aantal gaan heel snel zitten om ‘erbij’ te zijn, maar van blijkt  1/4  geen sprake te zijn, dus een deel van de kinderen gaat weer staan na wat geharrewar.
In twee groepen verdeeld gaan de kinderen zelf opdrachten met breuken aan hun groep geven. De kinderen staan daarbij in een kring of in een rij.

Windroos

“Wie weet waar hier het noorden ligt? Goed, ga maar allemaal met je neus naar het noorden staan. Dat is je windwijzer, en als die zo staat komt de wind uit het zuiden. Als de wind ‘ruimt’, beweegt hij met de zon mee. De wind ruimt naar het westen. Waar staat je neus nu naar toe, Joost? Hoever ben je dus gedraaid, Mariëlle? En als de wind krimpt, dan draait hij tegen de zon in. Begrepen? Goed, dan zullen we nu een windje laten. Ga allemaal met je neus naar het noorden staan. De zuiderwind ruimt naar het oosten. Ja Hugo, dat was dus 3/4 draai, van zuid naar west, naar noord, naar oost. Een lange draai dus. En nu krimpt hij tot er weer zuidenwind is. Marijke, we zijn weer terug hè? Ja, eerst 1/4 (draai) terug en dan nog ½ (draai) terug”.
Op het bord staat een windroos getekend en nadat we een tijdje ‘gewaaid’ hebben wordt de laatste windbeweging ook op het bord met kleur aangegeven. Ruimend met rood, krimpend met blauw. De vragen kunnen nu ook luiden: “Gisteren was er zuiderwind, de wind is ¾ gekrompen. Wat is nu de windrichting? Had de wind ook kunnen ruimen om daarna uit deze hoek te waaien?”

188

189

Ook getekende rekenverhalen lenen zich voor het verkennen van de breuk als opdracht om te handelen.

Breuken en bewegen

We leren de kinderen de breuken heel concreet aan, door aanschouwelijke activiteiten. Toch kan een gepaste voortzetting van het bewegingselement enthousiasmerend werken. Het ritmische aspect van het bewegen biedt tevens de mogelijkheid tot een onopvallende herhaling van de tafels:

2/4     4/4    6/4   ………

3/8   6/8   9/8    …….

Brengen we daarbij de hele getallen in het geding:

4/  12/6   2,…

dan gaan bewegen en inzicht al heel sterk samen en hebben we meer met een concentratie-oefening te maken. Zo’n oefening hoort thuis in de vijfde klas.
Dit kan lopend in een cirkelvorm gebeuren, waarbij de kinderen zelf de grootte van die cirkel en hun passen moeten bepalen om de hele getallen op dezelfde plaats te krijgen. Het op dezelfde plek terugkomen geeft meer gevoel voor de betekenis van de helen in: 1/8    11/8    21/Als een vorm de mogelijkheid geeft de
beweging ook terugwaarts te maken, verdient dat zeker aanbeveling. Leidt het achteruitlopen tot geduw en tenentrapperij, dan kunnen de kinderen veel beter omdraaien en ‘hun neus achterna’ lopen.
De vorm die de kinderen hardop sprekend lopen of bewegen, wordt ook zwijgend uitgevoerd. Nu gaat het erom dat de leraar de vorm onderbreekt en zegt: “Stop! Waar ben je?” Dit soort bewustzijnsmomenten voorkomen dat de kinderen wegdromen in het ritme, of elkaar alleen maar imiteren.
Ook worden bewustzijnsmomenten ingebouwd door ineens een andere beweging te doen. Bijvoorbeeld: “Op iedere achtste een stap, maar als de breuk een hele vormt, dan geef je een klap”: 1/8   2/3/4/5/6/7/8/9/10/8  

Hier kan men ook niveauverschillen zien optreden. Sommige kinderen halen er bijvoorbeeld meteen (spontaan) de helen uit.
In de hogere klassen is voor sommigen de sterke motorische beweging met de ledematen een stoorzender voor het bewustzijn. Voor zulke kinderen is het goed ook oefeningen te geven, die zonder beweging gedaan worden, maar waar de accenten die anders door de beweging werden aangegeven, nu bijvoorbeeld door hard en zacht spreken gelegd worden.
Ook kan men af en toe individuele opdrachten ertussen door weven, opdat het geen dreun wordt, die de kinderen klakkeloos mee zeggen.

190

Voorbeelden 

In een kring
De kinderen klappen de rij, bijvoorbeeld van  1/8 en zeggen: één achtste, twee achtsten, drie … Bij het zeggen van de teller wordt een klap gegeven, bij het zeggen van de noemer een stamp op de grond.
De rij wordt, zonder te zeggen, in stilte bewogen. Wanneer iemand aangewezen wordt, moet deze zeggen waar ze ‘in de rij gekomen zijn’.
Er worden muziekinstrumenten gebruikt. Wanneer de trommel te horen is, gaan we de rij vooruit lopen en wanneer de triangel klinkt, achteruit. Dat geeft extra plezier als deze vorm in stilte gedaan wordt: “Waar zijn we? Wie zou het weten?”

Halveren
In kringvorm lopen de kinderen op het ritme van het lied “Grote klokken zeggen bim bam”. Voor de eerste regel worden lange passen genomen, dan wordt op de tel gelopen en ten slotte de kleine stapjes van het “tikke takke tikke takke tikke takke tak”. Ook is het mogelijk drie kinderen naast elkaar te laten lopen elk op een verschillend ritme, of met alle kinderen in drie grote kringen met voor ieder de opgave het eigen ritme goed vast te houden.

Verdubbelen
Bij het lopen van de ritmen worden de hele stappen (lange passen) steeds gehalveerd. De breedte van het lokaal is zeven lange passen (eerst schatten). “Hoeveel halve passen maak je als je van de ene kant naar de andere kant loopt? Hoeveel kwart passen zitten er in diezelfde afstand?” Drie kinderen kunnen het naast elkaar lopend demonstreren: wanneer een van de kinderen één grote pas zet, maakt de ander twee kleine pasjes en de derde vier trippelpasjes.
Er kan aanleiding zijn om ook de gelijkheidsrijen te lopen en te spreken. Voor veel kinderen is dat nog moeilijk, de eerste drie gaan wel maar dan… In de vijfde klas, wanneer we reflecteren op wat we ontdekten in de vierde klas -waar we de gelijkheidsrijen vooral gewoon ( 1/8     2/16    3/24  …..) voortzetten- kun je van verdubbelen veel duidelijker een activiteit maken (( 1/8     2/16     4/32  …).

Breukenelastiek

Met een wit elastiek met daarop een (lineaire) markering, kan elke gewenste breukverdeling op een strook aangebracht worden.
Rek het elastiek zover op dat het begin- en eindpunt van de strook (kassarol) samenvallen met het begin en het einde van (bijvoorbeeld) het zevende stuk van het elastiek. Markeer nu de stukken van  1/op de strook.
Zo kun je ook laten zien dat  2/4/10/15  en dergelijke. Eerst verdeel je namelijk de strook in drieën, dan in zessen of in vijftienen. In alle genoemde gevallen zal steeds eenzelfde deel van de hele strook aangegeven worden. Later kun je hierop terug komen, als de regels voor het gelijknamig maken bij optellen, aftrekken en delen ‘uitgevonden’ worden.

Je kunt zelf zo’n breukenelastiek maken door er aan de uiteinden knopen in te leggen (dan kun je het beter vasthouden). Daarna bevestig je het tijdelijk vijf keer uitgerekt op een tafel en zet nu, vanaf een gekozen beginpunt, om de 4,0 cm een streepje (noteer bij de streepjes 0, 10, 20, …). Zorg dat je elastiek tijdens het markeren niet verschuift (gebeurt dat wel, dan is het daarna waardeloos). Je hebt nu

191

een soort rekbare liniaal gemaakt met een variabele schaalverdeling erop. Daarmee kun je elke lengte ‘naar verhouding’ verdelen.

Spelvormen

Tot slot een aantal spelvormen om de eerste (en ook volgende) periode mee af te sluiten. Spelvormen zijn ook heel geschikt om ongemerkt de klas, of een speciaal kind, nog eens in ogenschouw te nemen. Je kan ze zo maken, dat alles wat ze deze periode gedaan hebben erin terugkomt.
Het bewegend rekenen wordt in dat geval afgesloten met een spel, waarbij het ritme geen (belangrijke) rol speelt. Er wordt nu een bepaalde wakkerheid gevraagd om allert te kunnen reageren. Belangrijk is wel, dat de maat die de breuk heeft hierbij een rol speelt. Dat aspect kwam in de breukrijen niet zo naar voren. Daar werd immers steeds met even grote passen gelopen.

Er in

Er zijn verschillende opgedeelde cirkels op de grond getekend waarin breuken geschreven zijn. De kinderen krijgen nu de opdracht: “Ga in  3/4 staan  “. De manier waarop ze dat doen, mogen ze zelf uitzoeken.

Breukentwist

Een cirkel op de grond is eerst in twee helften verdeeld, daarna in vierden, achtsten, of iets dergelijks. Een andere cirkel in derden, zesden, negenden, enzovoort. De kinderen moeten opdrachten met deze cirkels uitvoeren. “Wie kan in een halve cirkel gaan staan?” “Ga eens staan in 11/8

Breukpunt

Teken op de grond een grote cirkel en verdeel deze in enkel
stambreuksegmenten. Wijs een tikker aan. Deze stelt zich op in het midden van de cirkel. De andere kinderen staan rond de cirkel.
Noem een te vormen breuk en tel vervolgens (bijvoorbeeld) met stappen van een achtste tot één hele. Tijdens het tellen moeten de kinderen met hun voeten in de te vormen breuk gaan staan. Wie dat binnen de tijd niet voor elkaar krijgt, kan getikt worden. Wie getikt is, moet een pand inleveren.
Variatie: noem een som. De kinderen moeten in de uitkomst gaan staan.
Variatie: in plaats van een cirkel, een driehoek of vierkant gebruiken.

192

Een tweede periode 

Stond de eerste breukenperiode duidelijk in het teken van ‘leren kennen’ door verkennen en onderzoeken, nu gaan we ermee leren werken, op concreet niveau 
gaan we ook de eerste natuurlijke breuken toepassen. Wat we ‘doen’, leren de kinderen ook als sommetje op te schrijven.

Breuken verzamelen

Deze ochtend ligt op alle tafels een glanzend stuk goudkarton! “Wat gaan we maken, wat hebben we voor feest?” “Rekenen”, antwoord ik triomfantelijk. Verbaasd kijken de kinderen mij aan. Even wennen voor vrijeschoolkinderen dat gewone dingen ook een feest zijn? Sommige kinderen zie je even voelen aan het goudlaagje, in ieder geval hebben ze zin in deze dag gekregen. En ik ook, want straks hebben ze allemaal een glanzende ‘breuken-envelop’!
De eerste dagen van de nieuwe breukenperiode werden gebruikt om het ‘oude’ tevoorschijn te halen. We deelden weer op allerlei manieren en ook knipten en vouwden we weer meetkundige eenheden tot breuken.
Dit werd ook met gekleurde breukschijven gedaan. Daarbij werd eerst de halveringsreeks gemaakt (tot en me 1/16  ). En daarna pas de gemengde reeks van  1/3     1/2   1/9     1/12 
Later werd daar nog  1/5   en   1/10  aan toegevoegd maar echt nodig was dat niet. Wel kreeg elke stambreuk een eigen kleur. Al deze breuken werden ook uitgeknipt zodat er van ieder tenminste ‘een hele’ in de gemaakte, gouden envelop gedaan kon worden. Dat was voortaan onze breukenenvelop. Met de breuken uit de envelop kunnen we nu allerlei opgaven ‘leggen’. We zorgen dat er verschillende schijven met dezelfde stambreuken gemaakt worden, zodat er ook doorgewerkt kan worden boven de 1. In de envelop komen ook stroken met allerlei verdelingen. Hier zijn de breuken niet losgeknipt, maar de vouwlijn is duidelijk aangegeven. Met deze zelfgemaakte modellen gaan we aan het werk. Niet alleen worden er oplossingen mee gevonden bij concrete opdrachten, maar de kinderen worden vooral gestimuleerd eigen producties te maken.
Bij iedere ‘uitvinding’ gaan we nu ook de uitwerking als som opschrijven. Met deze eerste sommen zijn de kinderen zeer geanimeerd bezig.

Kies ook nog eens een verdeelvraag met pannenkoeken. De breukenenvelop kan goede diensten bewijzen en we kunnen er nu sommen bijschrijven.

Verdeel vijftien pannenkoeken gelijk over vijf groepjes (tafels)”. Dan moeten ze maar aan het werk. Welke oplossingen komen er zo al uit de bus?
Eén groep zal bijvoorbeeld alle pannenkoeken door de helft gedeeld hebben. Dan heeft ieder kind ½ pannenkoek en er blijft nog ½ over. Die is makkelijk in vijf gelijke stukken te verdelen. De oplossing die nu uit de bus komt is dan:

193

“Verdeel drie pannenkoeken in gelijke stukken met z’n vijven” Elk krijgt eerst ½. Daarna nog 1/5 van ½, dat is  1/10  of:

Dat kan verrassingen geven:
“Verdeel één pannenkoek ‘eerlijk’ over drie personen”, wordt als opdracht gegeven. De kinderen gaan aan het werk. Eerst wordt de pannenkoek in vieren verdeeld, daarna wordt het laatste vierde deel op de volgende manier in drieën verdeeld. Op de opmerking van de leerkracht dat dit toch geen eerlijke verdeling is, antwoordt een van de kinderen: “Jawel hoor, want hij heeft gewoon meer trek”.

Zo’n moment kan juist leiden tot een verdieping van het breukbegrip. De uitdrukking gelijk op delen (verdelen in even grote stukken) zou hier beter op zijn plaats zijn. Kinderen kunnen op dit gebied zeer inventief zijn. Het is dan ook niet verstandig snel af te stevenen op de rekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen.
Wel kan de kinderen opgedragen worden, na afloop precies te tekenen hoe er tijdens de maaltijd opgedeeld en verdeeld is. Daar kunnen dan sommetjes bij geschreven worden.
194

Overigens is het didactisch gezien van groot belang, dat de kinderen zich niet beperken tot één model voor de breuken. Zowel cirkels als vierkanten als rechthoeken als stroken dienen de ontwikkeling.
Bedenk veel opdrachten waarbij het gebruik van stroken mogelijk is. Op een andere manier krijgen de kinderen nu ook gevoel voor de maat van een breuk.

Met de stroken zijn de kinderen dicht bij het beeld van de getallenlijn gekomen. Een getallenlijn die in dit geval opgebouwd is uit intervallen en niet bestaat uit punten. De breuken wijzen hier dus delen van de getallenlijn aan, net als de getallen op de liniaal. Dit beeld van de breuken ligt dicht bij activiteiten als ‘het springen over de getallenlijn’ (zie H 2 ).

Blijven bewegen

Opnieuw komen we met de kinderen in beweging. Nu gaan we breuken ook schattend onderzoeken. En we vergelijken. “Wijs eens aan, hoe groot is  ½  ?” Alle halven tussen de handen zijn verschillend. “Hoe groot was jouw hele?” Voor de leerkracht een aardige gelegenheid om naar het temperament in combinatie met het gebaar te kijken.
Buiten kunnen we op het plein weer opdrachten lopen. Eerst de 1 (eenheid) kiezen, dan elkaar opdrachten geven: “Ga staan op  1/of 3/8 , enzovoort.”
In de klas kun je er ook spelletjes mee doen. Twee kinderen die allebei ook een onverdeelde ‘1-strook’ uit de envelop pakken, geven elkaar opdrachten en schrijven de som erbij op. Of: “Ik heb een getal in gedachten!” Met vragen moeten de anderen erachter komen: “Is het groter dan 1/?” “Is het kleiner dan ½  ?” … Spreek wel af welke breuken ‘mee mogen doen’.

Breukentikkertje

Geef elk kind een (eenvoudige) breuk die groot op een papier geschreven wordt. Elk kind krijgt deze breuk op zijn rug gespeld. Stel de kinderen op achter de basislijn in de gymzaal. Wijs één tikker aan. Je roept nu een breuk, die samenge-
195

steld kan worden uit de eenvoudige (rug)breuken van de kinderen. Kinderen die gezamenlijk zo’n breuk kunnen vormen mogen vrij oversteken. Wie geen groepje kan vormen mag alleen oversteken, maar kan dan getikt worden en moet in dat geval een pand afgeven. (Zijn er te veel kinderen die alleen oversteken, dan mogen eerst de breukgroepen oversteken). De breukgroepen moeten zich als groep aan de overkant (ter controle) opstellen.

Lege cirkels

Er liggen twee ‘lege’ cirkels op de grond. “Wie kan een heel rondje lopen? Wie kan een halve draai om het middelpunt (as) maken? Wie loopt 3/4 rondje? Wie 1 1/4 rondje? Wie draait 21/8 keer om zijn as?”

Sommen bedenken en maken

Langzamerhand vinden de kinderen het fijn om ook echt te werken. Maar de ‘sommen’ zijn nog steeds geen kale sommen. Let wel, het gaat nog niet om het rekenen maar om het werken met de breuken. De breuken beschrijven verdelingen of geven de opdracht te gaan verdelen. Als ergens 1/2 + 1/3 voorkomt, dan hoort daar zoiets bij als:

Dus ½ pannenkoek en 1/ pannenkoek ( ½ p  +  1/3 p) naast de helft van 24 bloemen plus 1/3 van 24 bloemen (½ x 24 +  1/3 x 24).
Gestructureerde meetkundige ‘sommen’ zijn fijn om te kunnen ontdekken:

196

De antwoorden van de kinderen in bovenstaande voorbeelden laten zich raden. In het geval van de rechthoek kwamen er bijvoorbeeld:

 1/8   1/8  +   1/8  +   1/8   =  4/8 ,  maar ook: 4 x 1/8 =  1/8

Dat de vier delen van  1/8  rechthoek samen½ rechthoek konden vormen, werd door wat knip-en verschuifwerk al gauw overtuigend aangetoond.

Van gekleurd papier knipten de kinderen eerst allerlei vierkanten van dezelfde maat. Daarna werden ze doorgeknipt op de eerst gevouwen diagonalen. In twee groepen gingen de kinderen er nu een grote meetkundige figuur van samenstellen en plakten dat op een groot tekenvel. Met behulp van de vorm en de kleuren zochten ze naar structuren en bedachten er breukopgaven bij. De sommen worden onder de mooie vorm geschreven. Sommige kinderen ontdekten dat je opgaven kon bedenken, waarbij je de breukensommen in overeenkomstige kleuren (uit de vorm) kon opschrijven.

Hoe ver zijn we gekomen?

Zorg er voor dat er tegen het eind van dit breukenwerk in de vierde klas weer een toetsles is; een ochtend waarbij je de opdrachten zo inricht dat je kan waarnemen welk ‘breukenrepertoir’ de kinderen op dit moment tot hun beschikking hebben. Het is ook belangrijk om waar te nemen hoe de kinderen het materiaal uit de breukenenvelop gebruiken. Let ook eens op het samenwerken in groepjes; wie neemt het voortouw en wat voor initiatieven nemen de kinderen om gezamenlijk tot een oplossing te komen?!
Voor de kinderen hoeft zo’n dag er niet anders uit te zien dan andere dagen, maar voor de leerkracht is het belangrijk momenten te creëren waarin hij de individuele verschillen in ogenschouw neemt. Bij het maken van lesmateriaal zullen deze verschillen in de komende jaren steeds meer bepalend zijn.

5.5 De praktijk in de vijfde klas

De 1, een groot geheel en een kleine hoeveelheid

Op allerlei manieren onderzoeken we de 1 en zien wat één betekende in de afgelopen schooljaren. Dat je de 1 kon breken in oneindig veel delen was voor de klas een duidelijke herinnering, maar terugkijkend naar de breuken in de vierde klas, leek het wel of alles helemaal weg was bij de kinderen.
Eenmaal aan het werk komt de verstevigde herinnering bij de kinderen weer boven. Sommige kinderen hebben de behoefte de breukenenvelop weer tevoorschijn te halen en dan zijn we er weer helemaal in!
Ook ‘vanuit de beweging’ kijken we nog eens op de breuken terug.
In de vijfde klas wordt bij de beweging een grotere bewustmaking gestimuleerd. De rijen die al in de vierde klas gedaan zijn, kunnen weer gedaan worden, maar nu met een extra accent. Om een idee van de activiteiten in de klas te krijgen, volgen hier een paar voorbeelden ter inspiratie.
De rijen kunnen weer gezegd worden, nu niet beginnend bij de 0 maar bijvoorbeeld bij 2/7. De rij van 3/ beginnend op 2/7 wordt: 3/   5/7     8/7    11/7 …, enzovoort.
De rij beginnend op 2/7  maar dan eerst 3/ erbij tellen en daarna elke keer 1/7 meer erbij tellend:  2/7     5/7      9/7     14/7  20/7   ,…
Gelijkheidsrijen (rijen van gelijkwaardige breuken, zoals 1/8    2/16    3/24 •••) kunnen in de vierde klas al geoefend worden. In de vijfde klas kan dat moeilijker worden

197

gemaakt, door bijvoorbeeld elke keer een groep een stap later te laten beginnen. Zodoende ontstaan de gelijkwaardige breuken niet alleen binnen de oefening maar ook binnen de groepen.

Bijvoorbeeld:

De rijen kunnen vanuit een bepaald symmetriepunt opgezegd worden. Elke keer gaan we dan bij dat punt de grens over maar in steeds wisselende richting. Dit kun je bij elke rij doen. Bijvoorbeeld bij de gelijkrij van  5/7    :

Voor alle bovengenoemde activiteiten geldt dat er na een korte tijd van intellectuele inspanning door de kinderen een regelmatigheid wordt gevonden. Hierna komt de ritmiek, de beweging weer op de voorgrond. Dit is dan het moment, dat er een andere opdracht gevonden moet worden om het denken weer in te schakelen.
Ook op papier kunnen we de rijen in beeld brengen.

Het maken van sterfiguren is een activiteit waarbij de breukenrij, (bijvoorbeeld die van 3/8) gekend moet worden, om tot iets anders te komen. De mooie vorm die ontstaat is hier het gevolg van het gebruik van breukenkennis en leidt dus niet tot begrip van de rij. Het is leuk om te zien dat kinderen daarna andere breukenrijen (van achtsten) willen uitproberen, om te zien wat dat voor gevolgen heeft voor de figuur.

198

Ziehier de ster:

Dit is overigens ook de ster voor 5/8, alleen doorloop je deze dan in de andere richting. Zou dat wellicht iets te maken hebben met het feit dat 3/8 + 5/8 = 1?
De rij van 1/8 (en die van 7/8) levert op de cirkel geen echte sterfiguur op, het wordt gewoon de regelmatige achthoek. De rij van 2/8 (dat is natuurlijk ook de rij van  1/4 ), geeft een vierkant. Dan vraag je de kinderen hoe het met de rij van ¾ zit?

Heel aardig is om de sterfiguren met draden op spijkerbordjes te maken. Men moet zich er evenwel bewust van zijn, dat het inzicht in de breuken daarbij behoorlijk uit zicht kan geraken.

Neem nu eens de rij van 3/8, op een rechte lijn uitgezet. Deze kan oneindig lang worden voortgezet. Na een paar stappen passeer je de eenheid, even later kom je over 2 heen … 3/8    6/8   11/8   14/8    17/8      22/8…..
Nu is de vraag: “Hoe zien de sprongen van de sterfiguur bij 3/8 eruit?” Of: “Welk  beeld behoort er bij de rij van 3/8   op de getallenlijn?” 

Zet je de stappen evenwel langs een cirkelomtrek, dan kun je het aantal gepasseerde ‘helen’ uit het oog verliezen.

Regelmaat en wetmatigheid

Heel interessant wordt het als de breukenrijen systematisch in tabelvorm worden opgeschreven en we daarin allerlei wetmatigheden kunnen ontdekken. We laten twee voorbeelden zien, een van een opteltabel en een van een vermenigvuldigtabel. We beperken ons daarbij tot ‘achtsten’.

199

Vermenigvuldigtabel van ‘geheel getal x … achtsten’. “Wat valt er allemaal te ontdekken?”

Opteltabel van de rij van ‘achtsten’, om zelf verder in te vullen en regelmatigheden op te sporen.

Oefening baart kunst 

In allerlei opdrachten wordt nu geoefend in het beschrijven van verdelen en breken. De contexten worden zo gekozen dat getallenlijn, cirkel, vierkant, strook, enzovoort (zie ook didactisch spoor H5.2 ) gebruikt kunnen worden als model voor het oplossen.

Van cirkel naar getallenlijn

Het verschil tussen cirkel en getallenlijn is, dat je bij oneindig veel rondes langs de cirkelomtrek niet uit zicht geraakt, terwijl je op de getallenlijn met een breukenrij steeds verder ‘van huis’ komt.
Dit wordt mooi in beeld gebracht als we de cirkel langs de getallenlijn afrollen.
Stel je maar voor dat de breuken als stempeltjes op de cirkel zijn aangebracht:

Als de cirkel zover doorgerold is dat de 0 weer onderaan is gekomen, dan moet er bij alle breuken 1 worden opgeteld: 1  11/8   12/ enzovoort, tot we weer rond zijn en bij 2 komen. Op die manier komen we steeds verder van huis (= 0).
 Je kunt zoiets mooi demonstreren met een ‘klikwiel’, waar afstanden mee te bepalen zijn.
Wie een klas met handige vingers heeft, kan zich wagen aan het leggen van een dikke draad om een mooie gekleurde verdeelde cirkel in het schrift. De verdelingen worden overgebracht op het touwtje en vervolgens rollen we het touwtje af en plakken het erbij als getallenlijn! Geen kind dat meer vergeet wat een getallenlijn met breuken erop is.

Referentiematen voor bemiddelende grootheden

De klok gaf ons het beeld van het hele uur, een half uur, een kwartier, drie kwartier, later voegden we daar vijf minuten als deel, tien minuten als  1/12   deel aan toe, tien minuten als  1/6   deel aan toe.

201

De cirkel staat model voor de wijzerplaat van een (nog niet digitale) klok. In dat geval is er dus een soort natuurlijke onderverdeling van de omtrek, waarbij die van vijf minuten, na de kwarten voor de kwartieren het meest in het oog springt. Twaalf gelijke delen dus, elk aan te geven met  1/12    tezamen een rij vormend van bijvoorbeeld  1/12  . Je loopt dan, met de wijzers van de klok mee, langs de cirkel via de rij  1/12    2/1211/12    12/12    (=1)  13/12 …..
Denk je ‘in minuten’, dan luidt die rij: 5, 10, 15,…. 55, 60 (= 1 uur), 65,…
(Weg zijn de breuken en de tafel van 5 is tevoorschijn gekomen!)

Als je in het middelpunt van de cirkel de bewegingen langs de rand volgt, kun je spreken in termen van ‘ronde’. Een hele ronde voor de kinderen die een heel rondje langs de cirkelomtrek hebben gelopen. Of, even anders bekeken: een hele ronde voor één heel uur. Dat zou de grote wijzer ook gezegd kunnen hebben. Halve ronde en kwart ronde komen zo op een natuurlijke manier in beeld. De breuken uit de rij van 1/12  zijn ook te zien als beschrijvers van zo’n ronde.

De kinderen hebben dat mooi in kaart gebracht, (zie ook leerlingenwerk in kleur) Je kunt in klas 6 nog een stapje verder gaan. Een hele ronde heet in de meetkunde immers 360°! Een kwart ronde is dan 90°, en een achtste ronde 45°. Hoe zit dat nu met onze rij van  1/12 ?
30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210° … Breuken weg, de tafel van 30, of gewoon de tafel van 3.

Straks gaan de kinderen op zoek naar meer van dit soort referentie-maten als bemiddelende grootheden, vervangers van de eenheid die daarvoor gebroken of verdeeld was.

Van de klok naar een getallenlijn op de grond

We zijn begonnen met het uitwerken van de klok. Elke vijf minuten werden van een deelbreuk voorzien. Daarna heb ik de klok uiteen laten vallen met behulp van een vormtekening.

De kinderen kregen een beeld van een lijn als een klein deel van een cirkel, en niet als een eindig gegeven. De cirkel kan oneindig lang afrollen tot een oneindig lange lijn. We beperkten ons eerst tot één keer afrollen en verdeelden toen dat lijnstukje in 12 gelijke delen: de wijzerplaat was lineair geworden. Waar komt de 12? Is er wel een 0 op de klok? Hoe krijg je twaalf precies gelijke stukjes? Er werden stroken gevouwen en het in drieën delen gaf een extra moeilijkheid. Anderen namen hun liniaal erbij, maar moesten toen een lastige deling maken. Eén leerling deed het met het breukenelastiek.

202

De beweging zichtbaar gemaakt 

Je kunt hierbij denken aan ‘bewegingsgolven’ en deze ook zichtbaar maken op 
een breukengetallenlijn. In het beeld dat je zo schept, is de beweging verstild. Je ziet ook de wiskunde erin:

Cirkel, strook, lijn

Wat in het bewegingsdeel en bij de vormen gedaan is, kan op bijvoorbeeld de volgende manier ‘in het rekenen stollen’:
• De voortgezette halvering van de cirkel zoals bij de rijen is aangezet, in cirkels op de grond:

• Een voortgezette halvering van stroken en de verschillende breuken op een rijtje (grafiek) gezet:

203

• De voorgezette halvering in grafiek gebracht, met delen van de getallenlijn:

Daarna gingen we buiten op de stoeprand staan. Twee leerlingen moesten de punten 0 en 1 markeren. Nu volgden er opdrachten als:
• Ga staan op  ½    1/3      1/ enzovoort.
• Ik sta op  ½  en wil nu ¾ verder gaan.
• Ik ga eerst staan op   6/12  en wil op  1/3 daarvan komen.
De kinderen moesten al lopend en sprekend laten zien wat ze deden.
We zijn ook eens als een klok in een kring gaan staan. In dat geval waren de breuken  even uit zicht,   4/12   werd gewoon 20 (minuten), en de helft van 20 (min) is 10 (minuten), hetgeen weer hetzelfde is als  2/12.  Of  “Ik sta op 15 minuten en wil daarvan  1/3   deel hebben. * Dat was dus 5 minuten, ofwel   1/12      .  Joachim zag ineens dat  1/ deel van  1/4   (van een uur) gelijk is aan  1/12 (uur). Sommigen werd dit pas duidelijk toen we het daarna nog eens tekenden.

Na het bewegende deel kunnen de kinderen in hun periodeschrift een lijn tekenen en daarbij allerlei ‘sommen’ maken en zelf bedenken.

Er zijn twee soorten getallenlijnen, daar moesten we even over nadenken. Daarom hing ik in de klas een getallen(was)lijn, waaraan ik de leerlingen breuken, op A-4tjes geschreven, met wasknijpers liet ophangen. Nu kenden we dus twee soorten getallenlijnen, die met stroken (intervallen) en die met punten. We pasten die kennis nog eens toe door het breukenelastiek te gebruiken.

204

Laat eens zien dat  3/8  groter is dan  1/4   . Kun je ook zien hoeveel het precies groter is?
Het was slim bekeken:  1/4   kon op de verdeling in achten ineens afgelezen worden. Het ging immers bij  1/ om vier gelijke delen! Het verschil zie je nu ook in één oogopslag:  ½  .

In de loop van de vijfde klas maken we voor de kinderen steeds meer gevarieerde opgaven, waarbij we ons door de dagelijkse realiteit laten inspireren. Alleen of in groepjes werken de kinderen hieraan.

Een banketbakker maakte omstreeks 5 december reclame voor zijn heerlijke banketstaven. Het uitgerolde en daarna opgevouwen (blader)deeg, stelde hij, bestond uit wel 4096 laagjes. Ik had de advertentie uitgeknipt en ging met de kinderen na, hoe vaak de bakker het platgerolde deeg heeft moeten ‘vouwen’. Dat werd dus ‘verdubbelen’ als je in gedachten het kant en klare bladerdeeg weer ‘ontvouwt’, dan kun je gaan halveren. We waren verbaasd over de grootte van de lap deeg van de bakker. Sommigen probeerden het na te doen met een opengevouwen krant. Het kleinst gevouwen stukje leverde meteen een nieuwe som op.
Een andere keer stelde ik weer een ‘eet-dag’ in. Dit keer geen pannenkoeken, maar chocoladerepen. Omdat de reep verdeeld is in partjes, rekenden ook de kinderen, die zich steeds minder konden voorstellen bij het breukenwerk, weer enthousiast mee.
Met behulp van de repen chocolade maakten de kinderen allerlei sommen voor elkaar, die ze onderling uitwisselden.

205

Optellen en aftrekken zowel concreet als in kale sommen begint de kinderen nu aardig af te gaan. Vermenigvuldigen en delen doen we nog alleen met gehele getallen, dus nog niet met breuken.
Sommen bedenken en uitbeelden op de getallenlijn (of strook) blijkt een plezierige bezigheid voor de klas.

Deelnemen aan vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen en delen met breuken wordt in de vijfde klas alleen op concreet niveau onderzocht. Gebruik uitsluitend eenvoudige natuurlijke breuken om het principe te onderzoeken. In een lesvoorbeeld laten we hierna zien, hoe je kan komen tot het ontdekken van een rekenregel.
Van het abstracte rekenwerk met breuken is hierbij echter nog geen sprake.

VERMENIGVULDIGEN VAN EN MET BREUKEN; LESVOORBEELD

De voorbereiding

Plantkunde speelt in de vijfde klas een belangrijke rol. Eén korte periode heeft de klas al gehad, we maken er gebruik van voor het breukenonderwijs.
Onder het raam van de klas is een smalle strook tuin, waar we zaaigoed kunnen kweken voor in de klas. Daarbij hoort de volgende voorbereiding:
• Alle kinderen brengen een schoenendoos en een plastic pedaalemmerzak mee op de dag vóór dat in de periode het vermenigvuldigen met breuken wordt geïntroduceerd.
• Zorg voor een flinke zak potaarde en zaaigoed (bij voorbeeld afrikanen en viooltjes, want die kunnen vroeg in het jaar uitgeplant worden!)
• Ten slotte heb je nog strookjes papier nodig voor het markeren van de zaaibedjes in de doos.

Aan de slag

Laat de kinderen kiezen welk deel ze van hun schoenendoostuin met bijvoorbeeld afrikaantjes gaan inzaaien. Stel ze voor twee aan twee, of misschien zelfs met z’n vieren te overleggen, zodat ze niet allemaal hetzelfde deel inzaaien! Bijvoorbeeld: ½    1/3      1/6    3/8    of   2/9   deel.

Markeer het gezaaide deel met stroken papier en steek er een vlaggetje in met de naam van het zaaigoed.

206

Als alle ‘tuintjes-zaaibedden’ op tafel staan (bewaar de deksels), kun je de kinderen om de beurt, laten vertellen wat ze gedaan hebben. Bijvoorbeeld: 
“één derde deel van het zaaibed is ingezaaid”.
“tweederde deel van het zaaibed is niet ingezaaid”.

Groepjes van twee kinderen vullen elk ook nog een deksel met aarde als zaaibed (het andere deksel blijft nog leeg).

Daarna bedenken ze een ‘tuintje’ van twee zaaibedden en schrijven vervolgens op welk deel van een zaaibed is ingezaaid en welk deel niet.

Allerlei tuintjes en combinaties van zaaibedden zijn mogelijk!
Na veel ontdekkingen gaan we werken in het schrift.
Eerst tekenen we een aantal tuinen van één zaaibed. Daarna tuinen van twee zaaibedden waarvan één niet ingezaaid bed.
We gaan erbij schrijven -in breukentaai- wat we weten!

207

Bijvoorbeeld:

Laat de leerlingen ook voor hun buurman opdrachten (van dezelfde strekking) maken! Ze controleren zelf de antwoorden en vragen aan elkaar hoe ze eraan komen.

Soms moet er hulp geboden worden bij het noteren van de breuken.

208

Veel oefenen (samen)!
Uiteindelijk ontdekken de kinderen dat de tellers en noemers worden vermenigvuldigd, omdat ze dat steeds weer zien gebeuren. Niet alle kinderen zien dat zonder meer, zij moeten een beetje geholpen worden met goede vragen. En het is leuk om in zo’n geval de antwoorden in een rechthoek te plaatsen.
Een volgende dag nemen we het ‘tuintje’ weer op tafel. De tuintjes zijn inmiddels ook getekend!
Dan wordt er een niet direct te beantwoorden vraag gesteld: “Als we nu eens de helft van het niet-ingezaaide deel willen inzaaien met viooltjes, hoeveelste deel van het zaaibed zouden we dan kunnen beplanten?”
“Wie durft te schatten? Is het wel de helft? Niet? Wat denk je dan, is het minder of meer dan de helft?”
“Maak een tekening van je ‘doostuintje’ en kleur het deel dat je wilt inzaaien. Hoe groot is dit deel?”
(Let hier goed op! Kijk hoe de kinderen verdelen, of het goed is en of ze handig verdelen!)

209

Maak een werkblad of zet de opgaven op het bord.

Hiermee gaan de kinderen aan het werk. Ze bepalen eerst snel het ingezaaide en niet-ingezaaide deel.
Dan gaan ze verder met vragen zoals hierboven. Later bijvoorbeeld ook  ¾   deel van het niet-ingezaaide deel van de tuin, ook  1/3  deel. Mogelijkheden te over.
Altijd eerst schatten voordat je aan het tekenen en uitrekenen gaat!

Nieuwe vragen dienen zich aan. Stof om over te discussiëren en voor het grootste aantal kinderen om zich het voorgaande teken- en rekenwerk bewust te maken. “Wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met gehele getallen? (3 x 6; ook 3 x  ¾ ). Wordt het antwoord dan groter of kleiner dan waarmee je begon?”

210

“En wat gebeurt er bij het vermenigvuldigen met getallen kleiner dan 1, de echte breuken dus?” (Bijvoorbeeld ½ x 18; maar ook 2/x 1 ½).
Opmerking.
De kinderen ontdekten zelf bij het zaaien, door telkens weer delen van delen te nemen, dat het om vermenigvuldigen ging. “Juf, het zijn steeds weer gewone keersommen.”
Vermenigvuldigen van breuken is nu hetzelfde als het nemen van een deel van iets.
“Wanneer wordt het antwoord groter en wanneer kleiner?”
‘De helft van A’ is in breukentaai ½ x A. In dit geval kan A staan voor het aantal 18, of voor het zaaibed zelf, of voor het deel  2¾  van enkele zaaibedden’, of gewoon voor het getal 2¾.

Zaai tenslotte het ‘doostuintje’ vol met zaaigoed. Maak er een tekening van in je schrift. Schrijf dan in elk deel van een getekend zaaibed de breuk in getallen erbij. Zet het in de vensterbank. Na ontkiemen en uitpoten (in de vensterbank) ben je weer weken verder en kun je gaan uitplanten in de tuin (tijdens de volgende plantkundeperiode?)

Opgaven (oefenstof) kun je in vele varianten bedenken, laat dat vooral ook door de kinderen zelf doen. Hieronder een paar voorbeelden in de vorm van zelfgemaakte werkbladen. Het voordeel van werkbladen kan zijn, dat je door differentiatie alle kinderen op hun wenken kunt bedienen. Maar laat niet de klassikale momenten, met onderlinge uitleggen en discussies, overgaan.

211

“Probeer nu eens zelf rekenopgaven met breuken te bedenken”. Twee ideeën voor een werkblad:

212

De meeste kinderen lossen opgaven zoals die op het werkblad op, door alle delen van tuintjes die ze in de tekening zien in de voorgeschreven stukjes te delen, in dit geval te halveren. Na het herkennen van de nieuwe breuk worden ze geteld.
Kinderen zien dan 1 ½ + 5/16   ! In een later stadium zie je de handige rekenaars (waarnemers?) verdelingen maken waarbij ze deze ‘alles verdelen’ stap overslaan.

Maak een mooie afronding van deze activiteit op het gebied van vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld door nog eens met elkaar een grote in partjes voorgestructureerde chocoladetablet te verdelen.

Een didactische tip

Bedenk voor het geval er leerlingen achter zijn gebleven, dat je de breuken tijdelijk kunt elimineren door bij de zaaibedjes aantallen zaden of prijzen te bedenken.
Bijvoorbeeld zoals bij de eerder genoemde ‘tuintjes’, waarbij de kinderen moesten uitzoeken hoeveel ¾ van 12/3  is. Wat is een mooie prijs voor zaaigoed, in het licht van die ‘derden’ en ‘vierden’? Wel laten we eens 60 euro (12 euro is natuurlijk ook al goed, maar niet noodzakelijk) nemen, voor het inzaaien van een bedje.

Er is  1/3 van een bedje ingezaaid, dat kostte 20 euro. Over nog 40 euro voor het eerste bed plus 60 euro voor het tweede. Daarvan moeten we ¾ inzaaien, dat kost dus ¾  x 100 euro, ofwel 75euro. We begonnen met 60 euro. We hebben nu dus  75/60  deel en dat is 15/12  deel.

Wie durft, die kan hier ook de dubbele getallenlijn gebruiken. De zaaibedjes worden dan geabstraheerd tot rechte lijnstukjes, de kinderen werken in dat geval op een meer schematisch niveau:

Toen hielden we nog een groepsdiscussie over de vraag wat er nu precies gebeurt bij het vermenigvuldigen van breuken. Als het allemaal goed is gegaan hebben de kinderen nu op eigen kracht en inzichtelijk een rekenregel geleerd. En dat niet alleen, ze hebben ook weer eens gezien dat ‘rekenen en wiskunde’ een vak is waarbij je niet alleen op de leraar hoeft te leunen, maar waarbij je ook je eigen gezonde verstand kunt laten spreken.

OPTELLEN, AFTREKKEN, VERMENIGVULDIGEN EN DELEN

In de loop van de vierde en de vijfde klas hebben de kinderen op allerlei manieren met de breuken en de basisbewerkingen met breuken kennis gemaakt.

Een breuk wordt nu gekend als:
• Een deel van een geheel ( 2/taart).
• Een meetgetal (2 ¾ meter stof).
• Een operator (½ van 3 liter verf is op).
• Het resultaat van een eerlijke verdeling (2 pizza’s met 5 personen).
• Uitdrukking van een verhouding (¾ van de meisjes heeft lang haar).

213

Een aantal kinderen gebruikt in de vijfde klas bij het rekenen met breuken nog het hulpmateriaal uit de breuken-envelop (de cirkeldelen, de strook, de te verdelen rechthoek). Anderen hebben aan de herinnering genoeg om de betekenis van de breuken in verschillende verbale en visuele opgaven te herkennen.
De kinderen hebben gewerkt met opgaven in een gekozen context (nog altijd een rekenverhaal!), waarin de breuken steeds benoemde breuken waren. Bovendien is er beweeglijk gewerkt met breukenrijen en opgaven met breuken als meetgetal. Die zijn geoefend en toegepast in meetkundige figuren.
‘Kale’ breukensommen hebben de kinderen als beschrijving van bovengenoemde activiteiten leren kennen. Optellen en aftrekken is beoefend, met als vanzelfsprekend gevolg hierop vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator (eigenlijk herhaald optellen en ‘eerlijk’ delen). Dit ontstaat als vanzelf wanneer kinderen daarbij de bekende modellen van cirkel, strook en rechthoek kunnen gebruiken.
Bij het optellen en aftrekken van breuken was de dubbele getallenlijn een hulpmiddel om het gelijknamig maken te doorzien en toe te passen.
Bij wat minder vanzelfsprekende opgaven is het voor de kinderen in deze leeftijd een hele opgave om zelf middels gelijkwaardige breuken de oplossing tot een goed einde te brengen.
Ook het zelf kiezen van een bemiddelende grootheid is niet altijd makkelijk. Het kiezen van een handige referentiemaat voor de benoemde breuken, die kan leiden tot de juiste verdeling ( 1/5 euro 20 cent, ¾ van de afstand van 60 km…) van de ondermaat van de dubbele getallenlijn, is nog niet voor een ieder vanzelfsprekend.
In de zesde klas zal het bezig zijn met deze opgaven in de rekenwerkuren moeten leiden naar een geheel zelfstandig kiezen van de ondermaten.

Vermenigvuldigen en delen met gehele getallen als operator leverden zoals gezegd geen problemen op. Maar aan het eind van de vijfde klas laten we de kinderen ook kennismaken met het vermenigvuldigen en delen met breuken.
Wat betreft het vermenigvuldigen is hiervoor (zie blz. 206) een voorbeeld gegeven van een lesopbouw. Ter introductie van het principe van het vermenigvuldigen met breuken, is niet voor niets het voorbeeld van landindelen gekozen. Het niet verdeelde land kan als lege rechthoek, een model worden voor andere opgaven. Doordat ieder zijn eigen keuzen maakt bij het inzaaien, ondervinden de kinderen meteen, dat er vele mogelijkheden zijn om te verdelen. Zo leren ze iets handig in te delen, afhankelijk van de omstandigheden waaronder de breuken-vraag gesteld is. En zo blijkt het mogelijk toch te komen tot het ontdekken van een formele regel voor het rekenen met kale breuken.

Moeilijker is het met delen, waar generaties lang slaafs gewerkt is met de onbegrepen regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Het zal duidelijk zijn dat we deze traditie hier niet willen voortzetten. Het gaat hier zowel om een verhoudingsdeling als om een verdeeldeling. De verhoudings-deling is goed in concrete voorbeelden te vinden, maar voor de verdelingsdeling geldt dat je alleen makkelijk tot een concreet voorbeeld komt als er gedeeld wordt door een geheel getal.

1 ½ reep chocola delen met z’n zessen, leverde al eerder geen problemen meer op. Bovendien begrijpen de kinderen dat het deel dat je ontvangt kleiner is dan de

214

oorspronkelijke hoeveelheid! Dat door een (ver)deling met een breuk het antwoord mogelijk groter wordt, is op deze leeftijd in ieder geval als begrip nog ver buiten bereik van de meeste kinderen. Dat begrip wordt daarom nog niet nagestreefd.

Met de verhoudingsdeling kunnen we wel praktisch uit de voeten als ontmoeting met dit delen.

Het is een warme dag en we willen ijs maken. Het recept dat we vinden is voor zes personen en in de klas zijn we met 24 leerlingen. Het recept wordt aangepast en we maken een boodschappenlijst. We hebben onder andere één liter slagroom nodig. “Dat is niet te koop”, wist onmiddellijk een van de ‘lekkerbekken’ van de klas. Het onderzoek was snel gestart: “Wat voor verpakkingen zijn er dan wel?” “ 1/8    ¼ en ½  ?!” De kinderen wisten onmiddellijk dat je dan twee halve liters moest kopen en als de melkboer alleen potjes van  1/8   liter verkocht, waren er acht nodig. (Alle kinderen kwamen tot goede antwoorden, maar dat het iets te maken had met delen door een breuk hadden ze natuurlijk niet in de gaten).

Nadat afgesproken was in het laatste rekenwerkuur het ijs ook echt te gaan maken, rekende de klas verder en ging op onderzoek uit naar delen met breuken.
Vragen als “hoe vaak gaat  1/8   liter in  1½  liter”, is vragen naar de verhouding tussen beide, dus naar 1½ : 1/8. Hoe kunnen we dit nog eens aanschouwelijk maken?
Ik liet de kinderen literflessen meebrengen en daarop markeringen aanbrengen in breuken met behulp van het uitschenken van water met een litermaat (eerst moesten ze de inhoudsmaten nog omzetten in breuken!).
Nu konden de kinderen (twee) flessen vullen met 1½ liter water en vervolgens de flessen uitschenken in flessen die maar tot het streepje van  1/8  gevuld mogen zijn. Al ras bleek dat  1½  liter, twaalf flessen oplevert die tot  1/ liter gevuld zijn. In het nagesprek zijn we het erover eens dat we dit als sommetje kunnen noteren als:  1½  :  1/8 = 12.

Een van de kinderen vond dat je beter kon vragen “Hoeveel keer gaat 1/ in  1½ . Dan lijkt het op de tuintjes.”

Zo’n opmerking laat nog eens zien hoe verwarrend ons spraakgebruik kan zijn waar het om breuken gaat. Hier slaat ‘keer’ dus op delen, terwijl we bij vermenigvuldigen juist ‘van’ gebruiken, wat weer de associatie met ‘delen van’ oproept. Het is alsof de begrippen delen en vermenigvuldigen, sprekend over breuken kleiner dan 1, elkaars plaats ingenomen hebben. Wat niet verwonderlijk is omdat men bij vermenigvuldigen gewend is dat iets groter wordt, terwijl het door deling juist in omvang afneemt.

215

In deze fase van het delen met breuken kan het alleen nog maar gaan om het opdoen van ervaringen in het oplossen van deze verhaalvragen, waarbij een aantal kinderen zal ontdekken dat het antwoord wonder boven wonder groter wordt.

Door kinderen te vragen de manier waarop ze het antwoord gevonden hebben te beschrijven, worden ze zich de eigen weg bewust. Ook het luisteren naar en bespreken van elkaars oplossingswegen stimuleert het vertrouwen krijgen in algemene en eigen strategieën, wat juist in de toepassingsvragen zo belangrijk is. Dit versterkt dan weer het vertrouwen in eigen denken en oordelen, wat juist gaande de zesde klas steeds meer gewekt wordt.

5.6 De praktijk in de zesde klas

In de zesde klas is er geen aparte breukenperiode. Het breuken rekenwerk zet zich voort in allerlei rekengebieden. Ook in de rekenwerkuren wordt er tijd aan besteed. Na het invoeren van de kommagetallen (decimale breuken, tiendelige breuken) en het rekenen met procenten komt ook de kennismaking met de eerste algebra in de zesde klas aan de orde. Het is een zinvolle overweging om het introduceren van de eerste algebra in een periode vooraf te laten gaan door het rekenen met benoemde breuken. Het gaat hier immers om het leren kennen van het letterrekenen. Zo kunnen daarbij oude vertrouwde (?) opgaven een betekenisvol uitgangspunt zijn.

In de zesde klas wordt verder gegaan met het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met breuken. Het kan ook technisch uitgevoerd worden met behulp van de dubbele lege getallenlijn en benoemde breuken. Voor dit onderdeel is het van belang, dat men rustig de tijd neemt en de kinderen ruimte geeft om zelf verkortingen aan te brengen en op hun eigen tempo over te stappen van benoemde breuken op de getallenlijn naar het formele rekenen met ‘kale’ breuken.
Je hebt nu ook de gelegenheid om al het voorgaande van de vierde en de vijfde klas kort de revue te laten passeren, waarbij niet alle opgaven leiden tot het gebruik van de dubbele lege getallenlijn.

Veel kinderen die bij een traditionele didactiek van het breukenrekenen de aansluiting met de rest van de klas verloren, kunnen nu nog eens op een andere manier, op het concrete niveau van de benoemde breuken en de dubbele getallenlijn, de opgaven tot een goed einde brengen.

Letterrekenen met benoemde breuken

Het is in een zesde klas, waar ook de overgang vanuit het werken met getallen naar het werken met letters in de algebra gemaakt wordt, een overweging waard om bij de beschrijving de breuken vergezeld te doen gaan van een letter: 4 x 1/5R = 4/5R, waarbij de R hier staat voor Reep.
Voor het geval  ½  x ¼R = 1/8R wordt het nut van de letter al duidelijker. De eerste breuk (½ )geeft de bewerking aan, de tweede breuk (¼) geeft het deel van de Reep aan, hetgeen in deze schrijfwijze ¼R) direct zichtbaar wordt gemaakt:
In het geval van de drie Pizza’s komt er heel natuurlijk: ¼P + ¾P + ½P = 1½ P.

216

Dit antwoord is in de figuur te zien, je kunt de ¼ pizza gemakkelijk aan de ¾ pizza toevoegen om een gehele pizza te vormen.
Je kunt ook direct voor P de prijs bijvoorbeeld 8 euro bedenken: ¼ x 8 + ¾ x 8 + ½ x 8 = 2 + 6 + 4 = 12 euro. Hoeveelste deel is dat van 8 euro? Delen levert op 12 : 8 =1½

Het idee van de bemiddelende grootheid is hier nog eens naar voren gekomen en al eerder was het genoemd bij de cirkel, toen over ‘draai’, ‘uur’ en ‘graden’ werd gesproken (zie H5.5).

We begonnen op een dag in plaats van een tekening met een sommetje  1½ p + 5/8 p =  … ? Dit was niet zo maar een som, had ik ze verteld. Het was een fantasiesom. “Bedenk maar zoveel mogelijk dingen die je voor p kunt invullen en die je het rekenen gemakkelijk maken. Tekenen mag trouwens ook”. P staat voor ‘pannenkoek’:

p staat voor ‘uur’, maar dat werkt niet prettig vanwege de  5/, dan maar: p staat voor een jaar van 360 dagen:
1½ x 360 + 5/ x 360 = 360 + 180 + 5 x 45 = 765 dagen.
Nu nog even delen: 765 : 360 = 2 jaar en 45 dagen, of 21/8 jaar.

p staat voor 16 euro
p staat voor 1 euro
p staat voor een baantje zwemmen van 40 meter
p staat voor een reep chocolade
p staat voor een strook
Al deze p’s zijn ook met tekeningen en figuren te representeren.

Het kan tevens heel nuttig zijn om niet alleen bemiddelende grootheden te bedenken, maar ook de situaties waarin ze kunnen optreden. De vraag die dan gesteld kan worden luidt: “Bedenk een verhaaltje bij die som”. Bijvoorbeeld bij de som  1/16   + ¾   =…..

217

Verhaaltje 1: Het nieuwe terrein voor volkstuinen is verdeeld in 48 precies gelijke tuinen .Van de week is de inschrijving begonnen. Het eerste uur was nog maar het  1/16  deel uitgegeven, maar de rest van die dag werd er ¾ van de tuinen verhuurd. Welk deel van het totale park was er toen verhuurd?”
1/16   T  + ¾ T = 1/16  x 48 + ¾ x 48 = 3 + 36 = 39. Dat is dan  39/48   =  13/16   deel. Wie wil kan ook een aanschouwelijke oplossing vinden.

Verhaaltje 2: Er is een weg van 80 km. Als je nu eerst 1/16  deel aflegt, en dan nog eens ¾, hoeveelste deel heb je dan al afgelegd?”

Op het plaatje moet nog wat geschoven worden. Zonder plaatje, met de getallen, gaat het ook. Eerst 5 km, dan nog 60 km. Samen 65 : 80 =  13/16

Verhaaltje 3:   3 : 1/16 d + |¾ d = …;    d staat voor doos, met een inhoud van 160 kaarsen. Eerst 1/16  deel met witte kaarsen, toen nog ¾ deel van de rode kaarsen…

De dubbele getallenlijn

Tijdens het werken met benoemde breuken werd weer toegewerkt naar het eerder besproken model van de dubbele lege getallenlijn. Nu is het moment aangebroken om alleen daar mee verder te gaan. Het breukenelastiek kan eventueel op de achtergrond, als concrete voorstelling van zaken ook nog goede diensten bewijzen.
Op de dubbele lege getallenlijn wordt steeds de eenheid vrij gekozen (zie blz 84: de lege open getallenlijn) Vervolgens wordt naar aanleiding van de gegeven breuken een handig getal aan die eenheid toegevoegd. Zo ontstaan er 2 schalen:

Het zou beter geweest zijn de opgave 3/4 2/= … met benoemde breuken aan te bieden: 3/4u – 2/3 u = …  In de oplossing boven was dan gekozen voor u = 60 (één uur, of 60 kilometer, of…)  ¾  u is dan ¾ x 60 = 45.

Natuurlijk, het had met 12 als eenheid in de bovenstaande berekening ook zuiniger gekund. Maar op basis van de dubbele getallenlijn is het niet nodig steeds aan de zuinigste oplossing voorrang te geven. Voor trage rekenaars levert het zoeken daarnaar een extra handicap op. Allen kunnen de tijd krijgen om hun eigen uitvindingen te doen.

218

De dubbele lege getallenlijn is geen totaal nieuw verschijnsel in de rekenwiskundeles. In heel wat situaties voorheen was er aanleiding om in twee ‘schalen’ te denken:
• De auto rijdt 1 op 16 (afstand en benzineverbruik).
• Aardappels kosten € 3,25 per zakje van 2,5 kilo (gewicht en prijs).
• We gebruiken ’s winters gemiddeld 20 m3 gas per dag (inhoud en tijd).
• Hij maakte voortdurend rondjes van 38 seconden (afstand en tijd).
• Met een vaartje van 100 km/u reden we naar het noorden (afstand en tijd).
• Voor een kopje koffie moet je 2 theelepels koffie in het apparaat doen (massa en inhoud).
• Die lens heeft een vergrotingsfactor van 3 (oorspronkelijke lengte en waargenomen lengte).
• De bevolkingsdichtheid is 350 (aantal personen en oppervlakte).

Daarbij begeven we ons evenwel op het gebied van de verhoudingen. Die komen in hoofdstuk 6 uitvoerig aan bod. Daar wordt ook ingegaan op de verhoudingstabel. Deze ligt in het verlengde van de dubbele lege getallenlijn, maar laat zich niet zo makkelijk ‘verbeelden’. Het is meer een dicht bij algoritmen staand rekenmiddel.

219

Het repertoire van een vrijeschoolleraar

Een vrijeschoolleraar ontwerpt dagelijks zijn onderwijs. Zodoende bouwt iedere leraar een persoonlijk gekleurd didactisch repertoire op. Velen houden een logboek bij om goede ideeën en succesvolle gebeurtenissen te bewaren en ze zo mogelijk, op een later tijdstip nog eens te benutten. Dat deed ook Gerard Reijngoud. Hieronder een willekeurige selectie uit zijn aantekeningen.

In mijn rekenlessen liet ik mij door de volgende gezichtspunten leiden:
• Streven naar een maximale zelfstandigheid van de leerling in het omgaan met het materiaal
• Vinden van opdrachten met een vitaal karakter en een scherpe, korte instructie
• Onontkoombaar stevig oefenen van vaste procedures (Het laatstgenoemde lijkt in tegenspraak met de zelfstandig opererende leerling, doch dat is het niet. Slechts de violist die zijn etudes heeft geoefend, beweegt zich vrij in de toonwereld.)
• De leerling leren formuleren waar een som problemen oplevert. (Ik heb geprobeerd een leerling pas te helpen als hij mij een indicatie kon geven met welk probleem hij zat.
Dit om te voorkomen dat een leerling uitsluitend blijft steken bij het ‘gevoel’ dat een som niet gemaakt kan worden en dat hij daardoor de feiten niet in het bewustzijn kan krijgen.

Met betrekking tot het vitale van de opdrachten het volgende: Allereerst heb ik me laten leiden door de vier soorten van vitaliteit in de temperamentenpedagogiek: voor sanguinici opdrachten met een associërend, groeiend karakter; voor melancholici opdrachten die samenhang en verbindingen weten te vinden, die overzicht en inzicht vragen. Voor cholerici opdrachten met een grof structureel karakter, benaderen en schatten; voor flegmatici opdrachten waar hiaten worden opgevuld en waar ‘tredmolenbewegingen’ worden door-of onderbroken.
De waarheid gebiedt mij te zeggen, dat ik regelmatig opdrachten voor bijvoorbeeld cholerici, op de hele klas losliet. Maar het was echter niet zo, dat mijn rekenlessen een afspiegeling waren van mijn eigen temperament. Ieder kwam aan zijn trekken.
Voorts heb ik opdrachten gehaald uit de wereld van het vitale zelf, zonder aan de specifieke temperamenten te denken. Zo heb ik ritmische aspecten uitgebuit en de herhaling aangewend, als was het een tekst uit een Ster-reclameblok.
Ik heb geprobeerd de kinderen op het spoor te zetten van de metamorfose van getallen en bewerkingen, van de processen in het rekenen en het spiegelen van bewerkingen en getallenreeksen.
Het geheugen van de leerlingen heb ik extra belast en niet alleen bij rekenen. Het ontwikkelen van vaste gewoonten geeft het kind een gevoel van veiligheid. Van daaruit kan het de wereld explorerend tegemoet treden. Voor het rekenen betekent dit het beheersen van de automatismen zoals de tafels van vermenigvuldiging, de vier hoofdbewerkingen, enkele eenvoudige formules rond oppervlakte, omtrek en inhoud en het metrieke stelsel.
Een belangrijk vermogen van het kind uit zich in de drang om iets dat niet compleet is, te vervolmaken. Een goed woord heb ik er niet voor, vaak noem ik het: ‘concept gevoel’ of ‘heelheid gevoel’.

Opdrachten, activiteiten en oefeningen

• Getallendictees, in diverse snelheden.
• Getallendictees met de opdracht van ieder getal globaal de helft te noteren.
• Getallendictees waarbij vervolgens het eerste getal wordt vermeerderd met 1, het volgende met 2, het derde verminderd met 1. En dan opnieuw +1, +2, -1, enzovoort.

220

• Een getallendictee waarbij het eerst genoemde getal pas genoteerd mag worden, als het tweede getal gezegd is. Het tweede getal wordt genoteerd als het derde genoemd is. Enzovoort.
• De kinderen staan in een kring, een leerling staat in het midden. Deze leerling werpt een bal naar een andere leerling en noemt een getal. De leerling die nu de bal vangt moet de bal teruggooien en het getal met twee vermeerderen. De volgende leerling die de bal toegeworpen krijgt en daarbij ook een nieuw getal hoort, moet van het nieuwe getal drie aftrekken. Dan weer twee erbij en vervolgens drie eraf, enzovoort.
• Kinderen staan in een carré en zeggen een tafel van vermenigvuldiging op. Ze zeggen alleen de antwoorden en zetten tevens per antwoord een stap; bijvoorbeeld 6, 12,18, 24 … Eén leerling staat frontaal voor de groep en geeft na ieder getal van de groep een ander antwoord, ook vergezeld van een stap en -speciaal voor deze leerling- het woordje ‘nee’.
Deze activiteit gaat als volgt:

Aan de getallen die de enkele leerling roept, kunnen allerlei eisen worden gesteld. Bijvoorbeeld:
Tel bij ieder getal van de groep er 5 bij op. (Anna).
Roep na het eerste getal van de groep het volgende getal dat de groep moet zeggen. En bij het tweede getal van de groep herhaal je hun eerste getal. (Ernst).

• Kinderen gaan rond in de kring, bij iedere stap een ander getal. Bijvoorbeeld de tafel van 3. Dus er klinkt 3   6   9   12 … Dan de opdracht om dit zwijgend te doen.
Stop na vier stappen, nu twee stappen terug; stop. Nu zes stappen vooruit: stop. (3  6 (twee terug) 9  12 (stop 1) 15  18  21 2 4 (zes verder) 27  30).
Vervolgens geef je de klas de opdracht deze drie stop-getallen te onthouden, tot men weer op zijn plaats zit in de klas.
Terug in de klas vraagt men de kinderen om in het midden van een ongelinieerd blad het grootste getal te schrijven. Daarboven tien maal het kleinste getal en onderaan het overgebleven getal drie keer. Er staat nu:

De kolommen naast de drie genoteerde getallen kunnen allerlei bewerkingen krijgen, zoals bijvoorbeeld in de onderste rij is aangegeven.
Als het blad vol is, kun je nog de volgende opdrachten geven: Teken een rondje om alle getallen boven de 40. Teken een driehoekje om alle getallen uit de tafel van 6. Enzovoort.

221

• Spel voor twee personen (A en B)
We gaan samen optellen tot 100. Er mag per keer echter niet meer dan tien worden bij opgeteld. Wie het eerst bij 100 is heeft gewonnen:

Bijvoorbeeld:

Ontwerp een reeks voor de andere leerlingen .

Opdrachten voor een rekenkaart of werkblad:

222

Het dagboek

In de klas hanteert iedere leerling een dagboek, waarin bijvoorbeeld een goed uitgewerkte staartdeling staat. Het is de bedoeling dat de leerling gedurende een week elke dag diezelfde som één keer maakt om zich met de procedure vertrouwd te gaan voelen. Dit gaat vergezeld van een soortgelijke eenvoudiger som. Aan het eind van de week wordt de staartdeling ‘overhoord’ in combinatie met een onbekende opgave.

Oefeningen voor het korte-termijn-geheugen

Geef de leerlingen voor de pauze een getal te onthouden en vraag het na de pauze terug. De oefening kan op talloze wijzen worden gevarieerd. Opvallend is dat op een school, waar men de leerlingen zo nu en dan met een eenvoudige opdracht de pauze instuurt, het wilde gedrag van de leerlingen tijdens de pauze afneemt.
Leuk is ook om bijvoorbeeld leerlingen van een tweede klas in de pauze aan leerlingen uit de zesde te laten vragen, wat bijvoorbeeld 4 x 12½  is.

Oefeningen voor het lange termijn geheugen

Hierbij probeer je een leerstofinhoud door de nacht heen te krijgen. Dat helpt bij het beklijven van de leerstof. Als jullie morgen in de klas komen en klaar staan voor de spreuk, zeg je zonder dat iemand je eraan hoeft te herinneren de tafel van 6 op.

• Andere oefeningen om de werking van de nacht in te schakelen, door een opdracht te geven als:
Tel eens hoeveel stopcontacten jullie thuis hebben?
Wat is het telefoonnummer van jullie buren?

Ik dacht dat de werking van de nacht onbewust was. Dus een kind vergeet, maar neemt het toch mee de nacht in. Als je kinderen zulke opdrachten meegeeft, dan liggen ze ’s avonds in hun bed nog te oefenen en nemen ze het wel mee in hun slaap. Maar dat is niet wat (volgens mij) de vrijeschoolpedagogiek bedoelt.

Andere goede oefeningen zijn opdrachten met bijvoorbeeld twee ordeningssystemen tegelijkertijd. Bijvoorbeeld:

• Per dag twee l melk, dat is … liter melk vanaf 3 augustus tot en met 1 september.

•  € 0,20 per half uur. Begin ’s ochtends 10.00 uur. ’s Middags heb ik  € 2,00. Hoe laat is het nu?

223

• Als jij denkt dat alle dubbeltjes stuivers waard waren en alle stuivers dubbeltjes ‘en je zou gewoon betalen betaal je dan te veel of te weinig als je 30 cent moet betalen ?

• In de eerste klas zitten zeven jongens en zeven meisjes In de tweede klas zitten tien jongens en negen meisjes In de derde klas zitten acht jongens en tien meisjes. In de vierde klas zitten tien jongens en vijf meisjes. Welke vragen kan je nu stellen? Schrijf die maar eens op.

In de eerste klas gaan wij van het geheel uit. Dat kan later in de volgende klassen uitgebouwd worden. Bijvoorbeeld: 8 = 5 + 3 = 2 x 2½ +V9 = V4  x 10  ¼ + V9= …. enzovoort. Op deze wijze leert het kind zelf de wetmatigheid die schuilt in de regel van meneer Van Dalen. Of voor iemand uit Leiden zoals ik: Meneer Vroom en Dreesman was op de Aalmarkt.

En opgaven als:

De opdrachten die je in de klas aan de kinderen geeft,  behelzen veel meer dan alleen de sommetjes die hierboven zijn genoemd. Er zijn bijvoorbeeld ook de rekengesprekjes die je met leerlingen voert over hoe zij bijvoorbeeld de oppervlakte van het schoolplein hebben berekend of hoe ze het aantal broden berekenen dat nodig is voor het schoolreisje naar Schiermonnikoog. Daar komt vindingrijkheid, maar ook inlevingsgevoel bij kijken.

224

In dit hoofdstuk is sprake van

algebra 
op veel scholen wordt dit pas in klas 7 gedaan
Mijnheer van Dale

plantkunde: alle artikelen
spijkerbordjes
temperamenten

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [
1] [2] [3[4] [6] [7] [8[9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.

Rekenenalle artikelen op deze blog

.

2444

.

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.