.
REKENEN IN BEWEGING
.
Hoofdstuk 7: Rekenen en wiskunde in klas 7 en 8
7.1 Menskundige achtergronden
7.2 Uitbreiding van de getallenwereld
7.3 Algebra
7.4 Meetkunde
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Terzijde: Peilingen
Menskundige achtergronden
In de zevende klas en daarna wordt steeds duidelijker dat leerlingen hun eigen weg willen bepalen. In de verte gloort het licht van de wijde wereld en leerlingen willen met al hun zintuigen verder ‘kijken’ dan de horizon die de school biedt. Ontdekking, uitvinding en revolutie zijn grote thema’s in het laatste deel van de tweede zevenjaarsperiode. Andere denkwijzen dienen zich aan, causaliteit en oordeelsvermogen worden gewekt en bereiden de ontplooiing van het zelfbewustzijn voor.
De zevende- en achtsteklassers bevinden zich in de fase van de prepuberteit, de ‘Sturm-und-Drang’-periode, soms ook ‘negatieve fase’ genoemd. Deze derde fase in de tweede zevenjaarsperiode wordt afgesloten rond het veertiende jaar, wanneer de klassenleraar uit de benedenbouw zijn klas overdraagt aan de mentor van de bovenbouw, die nu samen met vele vakleraren de leerlingen in hun puberteit zal begeleiden.
Net als omstreeks het tiende levensjaar vindt er ook rond het twaalfde jaar een markante ontwikkelingsovergang plaats. Het begrip voor oorzaak en gevolg, voor causaliteit, groeit in de kinderen. Nu zijn de leerlingen erop gericht de buitenwereld als geheel te veroveren. Ze zijn actief naar buiten gericht, maar tonen daarbij nog een labiele houding. Het zoeken naar een relatie tot de medemens in toeneiging of afwijzing, getuigt van onzekerheid en gaat soms met agressie gepaard. Het stemgeluid wil letterlijk en figuurlijk verder reiken dan tot nu toe, en van maat houden of zakelijke berekening is in allerlei omstandigheden geen sprake meer. Aan de fysieke gestalte zien we dat er een volgende strekkingsfase, vanuit handen en voeten naar de romp toe, intreedt. Langzamerhand begint de prepuber een verhouding te krijgen tot de nieuwe ‘zwaarte’ en afmetingen van zijn lichaam. In de uiteenzetting met deze ‘zwaartekracht’ is hij op weg ‘aarde-burger’ te worden.
In deze levensfase is het van het grootste belang dat de oefenweg die gegaan wordt, kan plaatsvinden binnen de veilige muren van de ‘eigen’ school. Wie de weg kwijt raakt, het verkeerde pad neemt, moet de zekerheid hebben zich geaccepteerd te weten, om het zelf zoeken keer op keer opnieuw te willen proberen.
Deze nieuwe levensfase betekent dat ook in het reken-wiskundeonderwijs van de zevende en achtste klas nieuwe werelden betreden worden: de getallenwereld van de negatieve getallen, de formele breuken, het letterrekenen, nieuwe bewerkingen zoals machtsverheffen en worteltrekken, het werken met formules, het
284
oplossen van vergelijkingen, de aanschouwelijke bewijzen van de stelling van Pythagoras, het begrip meetkundige plaats en de platonische ruimtelichamen.
Vanuit de beweging en aan de hand van praktische en levensechte vraagstukken die steeds om nieuwe zienswijzen vragen, worden denkbeelden ontwikkeld die leiden tot een exact maar ook flexibel denken.
In de aanwijzingen van Rudolf Steiner voor deze leerjaren herkennen we twee wegen. Enerzijds is er de ontwikkeling van het abstracte denken; vanuit het rekenen met getallen en het redenerend ontdekken van algemeenheden komt men tot wetmatigheden in bijvoorbeeld de algebra. Anderzijds zijn er de situaties uit het dagelijks leven, van waaruit onder andere het oplossen van vergelijkingen wordt opgebouwd, die de verbinding scheppen met de realiteit. Bovendien worden in de zevende klas de algebra en de meetkunde met elkaar in verband gebracht.
Denk daarbij aan: formules voor de oppervlakte van meetkundige figuren, figuren voor de onderbouwing van algebraïsche formules het ontwikkelen van de geometrische naast algebraïsche inzichten in de stelling van Pythagoras.
De zevendeklassers krijgen toegang tot een wereld die eerder onbekend was.
Net als Leonardo van Pisa, rond het jaar 1200, ervaren zij dat sommige vergelijkingen onoplosbaar zijn met de bestaande getallen en dat er negatieve getallen moeten worden ingevoerd. Middels deze leerstof komt een nieuwe fase in het bewustzijn van de kinderen tot stand. Vermogens worden aangesproken om louter op basis van causaliteit een nieuw mathematisch principe met de realiteit te verbinden en zelfstandig relaties te leggen tussen de rekennatuur en de rekencultuur (zie H 1).
Het leerplan van de zevende en achtste klas geeft ook de gelegenheid om allerlei geïntegreerde wiskundige activiteiten (g.w.a.) te ontplooien. De kinderen doen ook in andere dan de reken-wiskundelessen wiskundige ervaringen op. Indien we ons als leerkracht daarvan bewust zijn, kunnen de leerlingen daar optimaal van profiteren. In tekenlessen en tijdens de perioden sterrenkunde en natuurkunde liggen de g.w.a. als het ware voor het oprapen, maar ook in tal van andere situaties doen die gelegenheden zich voor (zie H7.5). Bijvoorbeeld in de geschiedenisperioden. De tijdspanne, die de geschiedenislessen van de zevende klas bestrijkt, is die van de Middeleeuwen en Renaissance tot aan de Nieuwe Tijd.
Kenmerken van die tijd worden ook zichtbaar in de biografie van de leerlingen.
Het leven en werk van Leonardo da Vinci is daarom een belangrijk thema. De kunstenaars van de Renaissance leverden immers een belangrijke bijdrage aan het wetenschappelijk denken. Zo geeft de studie van het perspectief, in die tijd begonnen, bijvoorbeeld zevendeklassers goede aangrijpingspunten voor meetkunde. Bij het bestuderen van Leonardo’s werk kan een bladzijde uit zijn Atlanticus een goede aanleiding zijn om een werkblad met meetkundige opdrachten te ontwerpen. Hierbij kan bijvoorbeeld op verschillende constructies van rechte hoeken, zoals de kinderen die in de zesde klas hebben leren kennen, gereflecteerd worden.
285
.
In de zevende en achtste klas krijgen ook de rekenwerkuren een wat ander karakter. De leerlingen gaan meer en meer zelfstandig werken (zie Terzijde: Van oefenuren naar zelfstandig werken). Leerstof uit voorafgaande jaren, zoals metriek stelsel, breuken, decimale getallen, procenten en verhoudingen worden bij het voortgezet rekenen in samenhang met elkaar verder ontwikkeld. In deze levensfase kunnen de kinderen ook door generalisatie tot oplossingsstrategieën komen. Vanuit realistische situaties kunnen nu formele rekenregels en formules ontwikkeld worden, bijvoorbeeld voor vermenigvuldigen en delen met breuken. Ook een verkenning op de zakrekenmachine (zie Terzijde: Een zakrekenmachine in de rekenles?) kan in de rekenwerkuren van deze schooljaren worden ingepast. Bij het werk, dat vanuit nieuwe perioden in de rekenwerkuren terecht zal komen, gaat het bij al deze lessen mede om de vorming van de wil, om het ontwikkelen van vaardigheid door volhardend oefenen, om middels uitdagende opdrachten de nieuw verworven inzichten te beproeven.
Kortom, vanuit menskundig standpunt bezien kenmerkt zich het reken-wiskunde onderwijs van de zevende en achtste klas op de volgende punten:
• onderzoekende uitdagende aanpak.
• grenzen verleggen en overschrijden.
• geïntegreerde wiskundige activiteiten in andere (periode)vakken.
De leerlingen worden daarbij uitgedaagd:
• reflecterend vermogen te ontwikkelen.
• wisselende standpunten in te nemen.
• causaal te redeneren.
• zelfstandig en volhardend te werken.
7.2. Uitbreiding van de getallen wereld
“Juf, vandaag heb ik het koud en gisteren was het in mijn shirtje nog te warm!” Ernst had gelijk, het was erg wisselvallig weer. Ter plekke besloot ik zijn opmerkzaamheid te benutten om de reken-wiskundeperiode van volgende week voor te bereiden. Dus stelde ik voor op een grote rol papier de verandering van de buitentemperatuur af te beelden. Eloy, onze cartoonist, liet ik vergroot de buitenthermometer, compleet met schaalverdeling, aan het begin van de rol tekenen. Elke morgen zouden we daarnaast de temperatuur aangeven, afgelezen op de echte thermometer die buiten hing.
.
286
Het werd een sport om als eerste op school te zijn en de waarnemingen bij te houden! De eerste dag tekenden we een lange horizontale lijn op de hoogte van de temperatuur van deze ochtend, dat zou ons uitgangspunt worden. Met pijlen gaven we de volgende ochtenden temperatuurstijgingen en -dalingen aan.
Zo’n temperatuuronderzoek is een goede inleiding op de periode ‘getallenleer’. Dan worden in de zevende klas de negatieve getallen ‘ontdekt’ en wordt de getallenwereld uitgebreid tot de verzameling van de rationale getallen. De getallen waarmee we tot nu toe werken, blijken in allerlei situaties ontoereikend. Vanuit de ervaring met de temperatuur kunnen kinderen zich gemakkelijk voorstellen, wat er gebeurd zou zijn als op de eerste dag de temperatuur 0” geweest was. Bij de herinnering aan winterse ijspret blijken kinderen als vanzelfsprekend negatieve getallen te hanteren. In de periode breekt dan het moment aan om deze informele kennis tot bewustzijn te brengen en langzaam maar zeker de rekenregels voor negatieve getallen, in combinatie met positieve getallen, uit te vinden.
De beweging van de vloeistof in de thermometer kun je met de kinderen, langs een denkbeeldige getallenlijn, ook lopen. Stijgt de temperatuur, dan loop je vooruit. Daalt hij, dan beweeg je achteruit, elke graad is een stap. Met krijt wordt de uitgangspositie met een kleine cirkel op de grond aangegeven. Later wordt dit de 0 op de getallenlijn. Elk kind weet: als je bij 0° begint en de temperatuur stijgt eerst 5” om vervolgens weer 8° te dalen, dat het daarna 3” vriest en het dan 3° ‘onder nul’ is.
Wat gelopen is, wordt vervolgens in het schrift getekend. Dat gebeurt met verschillende kleuren: ‘boven nul’ geven we de getallen bijvoorbeeld aan met warm geel en ‘onder nul’ met het koele blauw. Afgesproken wordt om de blauwe getallen negatieve getallen te noemen. Wie het verschil in kleur wil verlaten of dit niet wil gebruiken, kan 3° onder nul noteren als (-3) of (neg 3); 5° boven nul wordt dan (+5) of (pos 5).
Het aantal gelopen stappen komt tot uitdrukking in de lengte van de -in dezelfde kleur als de bewerkingstekens- getekende pijlen. Een temperatuurstijging waarbij vooruitgelopen is, met bijvoorbeeld rode pijlen; een temperatuurdaling waarbij dus achteruitgelopen is, met rode pijlen, die de andere kant op wijzen.
.
Schrijven we daarna wat gedaan en getekend is als ‘sommen’ op, dan zijn dezelfde kleuren te gebruiken: de getallen en tekens die de bewerking aangeven in rood en de anderen in hun eigen kleur.
Nu zie je:
0 + 5 (stappen) = (+ 5)
(+ 5) – 8 (stappen) = (- 3)
(- 3) + 2 (stappen) = (-1)
287
Zo is te ervaren dat de wereld van de positieve getallen gespiegeld wordt in het nulpunt en dat een uitbreiding van de getallen met de negatieve getallen, nodig is. Ook het verschil in getallen die met het bijbehorende teken een positie en getallen die met het teken een verplaatsing aangeven, komt zo tot uitdrukking. Het is belangrijk dat de leerlingen zich dit verschil goed bewust worden.
Dit verschil kwamen we in feite al bij het leren tellen in de eerste klas tegen: tellen we de posities (punten op de getallenlijn) of tellen we de stappen? (zie H 2.3). Bij het werken met negatieve getallen duikt dit als probleem weer op en kan bij het rekenen met negatieve getallen een struikelblok vormen. Het kan daarentegen ook beleefd worden als een uitdaging om ‘wat erachter steekt’ te doorzien. Stap je hierbij snel over op regeltjes, dan onthoud je aan de leerlingen een bewustzijns-moment en breng je hen ertoe wiskunde te beleven als iets wat je op gezag moet aannemen. In dat geval is er pedagogisch iets braak blijven liggen. Wiskunde is bij uitstek een vak waaraan (zelf)bewustzijn te ontwikkelen is. Wie in deze leeftijdsfase niet steeds opnieuw in de gelegenheid wordt gesteld op eigen kracht en op eigen niveau zijn gedachten te vormen, zal zich al snel innerlijk afwenden of erger nog, het gevoel overhouden dom te zijn.
Vanuit het tellend lopen langs de getallenlijn, die inmiddels is uitgebreid met de negatieve getallen, gaan we nu rekenen met positieve en negatieve getallen. We weten inmiddels:
• optellen is vooruitlopen
• aftrekken is achteruitlopen
Dat wordt nu uitgebreid met de afspraken:
• reken je met een positief getal dan draai je je neus in de positieve richting
• reken je met een negatief getal dan draai je je neus naar de negatieve richting
Dan wordt er gelopen:
(+5) – (+8) = (-3)
(vanuit (+5) met de neus naar +, achteruit lopen)
(-3) – (+8) = (-11)
(vanuit (-3) met de neus naar +, achteruit lopen)
(-11) + (+5) = (-6)
(vanuit (-11) met de neus naar + vooruit lopen)
(-6) – (-5) = (-1)
(vanuit (-6) met de neus naar – achteruit lopen)
(-1) – (-5) = (+4)
(vanuit (-1) met de neus naar – achteruit lopen)
Na dit lopen moeten zulke opgaven vooral ook op papier worden geoefend door de verplaatsing (beweging) met pijlen aan te geven boven de getallenlijn. Hier kan het werken met verschillende kleuren weer vruchten afwerpen, wanneer er een verschil gemaakt is tussen het bewerkingsteken (rood voor optellen en aftrekken) en het toestandsteken. De pijlen boven de getallenlijn krijgen de kleuren van de bewerkingstekens; ze vertegenwoordigen immers de verplaatsingen. Geleidelijk zal men dit werken met kleuren loslaten en wordt overgegaan op de gebruikelijke notatie.
288
.
.
289
In plaats van uit te gaan van de temperatuur zijn er ook andere concrete situaties en praktische problemen die aan de introductie van de negatieve getallen ten grondslag kunnen worden gelegd: geldlenen, hoogteverschillen ten opzichte van NAP, rekenen met tekorten, enzovoort. Ook in die gevallen is het een goede gewoonte de gebeurtenissen eerst op een getallenlijn af te beelden voordat je de opdracht als ‘som’ noteert.
Er is veel praktisch te oefenen en ook het werken met breuken kan in dit oefenwerk aan de orde komen. Rekenwerk met negatieve gebroken getallen vraagt om extra oplettendheid en het gebruik van de getallenlijn zal in het begin onontbeerlijk zijn; 3 – 51/3 = -21/3 geeft meestal geen problemen, maar – 3¾ – – 6 = 2¼ (!) vormt een grotere uitdaging.
Vermenigvuldigen en delen met negatieve getallen
Opgaven als: 5 x (-2) = (-10) en (-10) : 2 = (-5) leveren in het algemeen geen problemen op, de leerlingen kunnen zich er nog iets bij voorstellen, zeker als de ‘actieve’ getallen eerst rood zijn. Lastiger wordt het als het gaat om (-2) x 5 =…, want wat kun je je voorstellen bij ‘(-2) keer’ ?
Wie evenwel bedenkt dat (-2) x 5 hetzelfde resultaat geeft als 5 x (-2), omzeilt dit probleem. Dan geldt dus: (-2) x 5 = (-10), het tegengestelde van (+10) en dus ook van 2 x (+5). Op analoge wijze geldt dan ook dat (-2) x (-5) hetzelfde is als het tegengestelde van 2 x (-5), ofwel het tegengestelde van (-10). Kortom (-2) x (-5) heeft als uitkomst het tegengestelde van het tegengestelde van (+10) en dat is dan weer (+10).
Een korte reflectie op het verschil tussen de bewerkingstekens en de
toestandstekens, zoals we die al bij het optellen en aftrekken tegenkwamen, is hier op zijn plaats. Daar ontdekten we bij het lopen dat aftrekken met een negatief getal hetzelfde resultaat gaf als optellen van het tegengestelde van dat negatieve getal, ofwel: – (-5) geeft hetzelfde resultaat als +(+5). Bedenken we nu dat (+5) erbij doen hetzelfde betekent als 1 x (+5) erbij doen, dan is hier een brug naar het vermenigvuldigen te slaan, want – (-5) is dan op te vatten als (-1) x (-5) en dat is, zoals we eerder ontdekten: (+5).
Zo komen we tot de bekende rekenregels:
+ x + = + – x – = +
+ x – = – – x + = –
Vanuit dezelfde principes kunnen we ook de rekenregels voor het delen door een negatief getal onderzoeken en (uit)vinden.
De vraag: “Kunnen deze regels niet evengoed als axioma’s voor het rekenen met negatieve getallen gegeven worden?” is in feite met het voorgaande beantwoord. Het gaat in de wiskunde niet om het omzeilen van problemen, maar juist om het beleven van de uitdaging die het oplossen van problemen aan de zich ontwikkelende, denkende mens stelt. Belangrijk is of de leraar deze gezindheid bij zijn leerlingen weet te wekken. De ontwikkeling van de zevendeklasser is in het algemeen nu zover gevorderd dat deze formele stappen, die zich geheel in het den-
290
ken af spelen, nu gezet kunnen worden. Voor die leerlingen, die dit mentale niveau nog niet verworven hebben, kan een praktisch voorbeeld met temperatuursveranderingen toch de gelegenheid geven op eigen niveau de rekenregel te begrijpen.
Andere onderwerpen
Schept het rekenen met negatieve getallen de mogelijkheid om ook oud rekenwerk te herhalen, hetzelfde geldt voor de hierna genoemde bijzondere onderwerpen:
• priemgetallen
• deelbaarheidskenmerken
• vierkantsgetallen (kwadraten)
• driehoeksgetallen
• kubusgetallen (derde machten)
• machten van 2 (exponentiële schrijfwijze)
• rekenregels voor machten
• worteltrekken uit kwadraten
• een algoritme voor de worteltrekking
• andere vormen voor de vier standaardalgoritmen
Niet al deze onderwerpen zullen in de periode getallenleer aan bod komen. Het gaat daarbij vooral om het ontdekken en beleven van de schoonheid die in de wiskunde verborgen ligt en het toegankelijk maken van nieuwe gedachtewerelden.
.
.
291
7.3. Algebra
In de geschiedenislessen uit de zevende klas ervaren de kinderen hoe met de verbreiding van het Mohammedaanse Rijk de Arabische en Oosterse cultuur via Spanje in Europa gekomen is. Ons woord algebra, de latinisering van het
arabische ‘al-jabr’, getuigt daarvan. In de loop van de zevende en achtste klas ontvouwt zich in zulke perioden de ontwikkeling van de wetenschap en daarmee ook van de wiskunde.
De overgang van rekenen naar algebra geeft een nieuwe impuls aan de ontwikkeling van het mathematische denken. Voor sommige leerlingen is de niveauverhoging van het rekenen met cijfers naar het rekenen met letters geruime tijd ondoorzichtig, zelfs al voeren ze het ‘rekenwerk’ op zich goed uit. Als we in de algebra structuren, die in het rekenen nog verborgen blijven, bewust maken, spreken we krachten aan die nu in de prepuberteit vrijkomen voor het denken en stimuleren we de overgang van basis- naar voortgezet onderwijs.
In de zesde klas kan al een eerste stap naar de algebra gezet worden door het werken met benoemde getallen (zie ook blz. 216), met de kapitaalformule:
R = K x P x T
100
als g w.a. in bijvoorbeeld het handelsrekenen, waar ‘het Netto gewicht is het Bruto gewicht verminderd met de Tarra’, wordt tot Netto = Bruto -Tarra en vervolgens N = B – T.
Hoe gaan we daarbij te werk? Eerst zijn vanuit een concrete context berekeningen uitgevoerd, dan worden de hieraan ten grondslag liggende gedachten verwoord, vervolgens worden ze bondig in begrippen samengevat en uiteindelijk schematisch met letters weergegeven. Waarna de letters, bij gebruik van de formule, weer te vervangen zijn door getallen die voortkomen uit nieuwe concrete opdrachten. Het gaat hierbij dus om het leren redenerend te denken, waarbij een goed georganiseerde handeling schematisch, met begrippen wordt vastgelegd en uiteindelijk als formule in een abstracte vorm wordt gegoten. Tenslotte kunnen de leerlingen in het concrete werken met de zelf uitgevonden formule ervaren dat het (reken)werk nu efficiënter is uit te voeren. Formules zijn dus geen instrumenten voor mysterieuze handelingen van niet te begrijpen geleerden of leraren, maar dienen om eenduidig, kort en bondig zelf gevonden interessante verbanden vast te leggen en zo efficiënt rekenen mogelijk te maken. Wie leert met dit wiskundig gereedschap om te gaan, zal dit van meet af aan zo moeten ervaren. Algebra kan behalve uit het vinden van formules ook voortkomen uit de wetmatigheden in rijen en reeksen, de meetkunde en uit het onderzoek naar vergelijkingen.
Formules
Een formule, zoals bijvoorbeeld de kapitaalformule, kan dus geen doel in zichzelf zijn, het gaat immers om het leren redeneren in verband met de realiteit, de formule is het residu van dit proces. Er zijn vele vormen voor formules waarmee dit mathematiseren beoefend kan worden. De meeste formules zijn nu nog van de vorm a = b x c of c = a/b . Maar ook formules van de vorm a = p + q, a = p- q of a = b x c + q kunnen door de leerlingen middels zo’n redeneerproces zelf uitgevonden worden.
292
Formules komen voor als beschrijver van steeds dezelfde berekening, als op zichzelf staand object waarmee gemanipuleerd kan worden en als ‘beschrijver’ van een verband tussen variabelen. Het mag duidelijk zijn dat in de zesde klas het accent nog ligt op het als eerste genoemde.
Een werkblad zou er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien:
.
.
293
Er kunnen nog tal van opdrachten volgen, waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt om naast de afstand per trapronde, de hele afstand naar huis te schatten. Ook kan gevraagd worden een woordformule te bedenken waarmee je het aantal traprondes kunt uitrekenen, dat nodig is om die afstand te rijden. Huiswerk kan dan zijn om het aantal traprondes naar huis te tellen en daar op de kaart uit te zoeken of er goed geschat is. Of een opdracht als: Wie kan zelf een formule ontwerpen waarmee je meteen de afstand in kilometers vindt?, enzovoort.
Het werken met formules begint steeds met herkenbaar rekenwerk uit het dagelijks leven. Geleidelijk komen de kinderen tot generaliseren. Via afkortingen kunnen die verder geformaliseerd worden tot letters.
Doordat leerlingen de vrijheid hebben zelf namen en letters te kiezen voor variabelen, houden ze contact met de concrete betekenis ervan. Algebra is dan een vorm van redeneren, dat geleidelijk op steeds hoger niveau van abstractie komt.
Tot slot nog een aantal voorbeelden van situaties die tot het ontwerpen van formules aanleiding kunnen geven:
• Het verband tussen Engelse en Franse schoenmaten.
• Het verband tussen maten in het metriek stelsel.
• Omrekenen van geldbedragen in andere valuta.
• Rekenwerk rond een brommer, het benzineverbruik, de benzineprijs en het aantal kilometers.
• Het te betalen bedrag als de prijs per meter stof bekend is. (g.w.a. in de handwerklessen)
• Het verband tussen het schijnbare gewicht en de lengte van een hefboom (g.w.a in mechanikaperiode)
• Het verband tussen de temperatuurschalen van Celcius en Fahrenheit. (g.w.a. in natuurkunde periode)
• Soortelijk gewicht (massa) als verband tussen gewicht (massa) en volume.
(g.w.a. in natuurkunde periode)
Rijen en reeksen
Bij rekenen, dat voortkomt uit een concrete situatie, gaat het over dingen die van buiten op het kind afkomen. Er is in de voorgaande jaren ook in het kind zelf een basis gelegd voor de algebra. Bedoeld worden hier getalreeksen, sommige getallenspelletjes, rekenprocedures en voorschriften, die de kinderen al van vroeger kennen. Die algebra kan nu in het bewustzijn oplichten.
Voorbeeld 1:
Elke tafel bestaat uit twee getallenrijen, die je onder elkaar op stroken papier kunt plaatsen.
.
.
294
Bij zulke wetmatigheden kan nu naar de bewerkingen en hun inverse gezocht worden. Daarna vinden we de formule, die het voorschrift weergeeft waardoor de ene rij in de andere overgaat.
Voorbeeld 2:
Onderzoek bij kwadraten:
.
.
Voorbeeld 3:
De omgekeerde weg: het voorschrift is gegeven en er wordt gevraagd naar de te vormen reeks. Zo belanden we bij het substitueren. Bij het werken met benoemde breuken is dit in zekere zin al eerder gedaan.
Bij substitutieopdrachten wordt niet alleen het gewone rekenen herhaald, ook het rekenen met negatieve getallen, het letterrekenen en het omgaan met haakjes worden geoefend.
Meetkunde
Ook vanuit de meetkunde is algebra voort te brengen. Denk bijvoorbeeld aan het vinden van formules voor omtrek en oppervlakte van vierkant, rechthoek, parallellogram en driehoek.
Een heel ander voorbeeld: Teken een rechthoek. Meet de lengte en de breedte. Bereken het verschil. Reken vervolgens de omtrek en de oppervlakte uit.
Zet je rekenwerk in een schema en varieer daarna de maten van je rechthoek.
.
.
295
Zo kun je ook nog eens naar de rij van de kwadraten kijken, gebruik makend van de oppervlakteformules voor vierkant en rechthoek.
.
.
Een paar kinderen uit de klas helpen op zaterdag op de kinderboerderij en vanuit die praktische situatie is het volgende realistische probleem als vraagstuk ontstaan:
Op een kinderboerderij moet voor het hooi van de dieren een deel van het grasland omheind worden. Eerst is besloten een hectare af te zetten, daar wordt een tekening van gemaakt met de maten in de juiste verhouding. Maar later wordt bedacht dat het stuk groter moet zijn. Hoeveel meter omheining moet er bijgeplaatst worden als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter langer wordt?
De hectare grond is net ingezaaid met graszaad. Het gewicht van het graszaad, dat per vierkante meter nodig is, staat op de verpakking van het zaaigoed. Hoeveel graszaad is er extra nodig als het perceel respectievelijk 10, 30 of x meter verlengd wordt? (Dit antwoord blijkt afhankelijk van de breedte. Hoe zit dat?) Hoeveel gaat dat extra kosten als 1 kg graszaad …, enzovoort.
Vergelijkingen
Vergelijkingen zijn bijzondere gevallen van formules. Een basis voor vergelijkingen werd al gelegd bij het in de afgelopen jaren steeds moeilijker wordende spel ‘Raad mijn getal’.
Bij een groenteboer leende ik de oude balansweegschaal die daar geschiedenis maakte in de etalage van de winkel. Als de weegschalen in evenwicht waren, stond een naald precies loodrecht op twee evenwijdige ‘lijnen’.
Met een grote verzameling blokjes van hetzelfde gewicht mocht Eric de ‘raad mijn getal’som uitbeelden: “Ik heb een getal in gedachte, ik tel daar 5 bij op en het antwoord is 12. Wat was mijn getal?” Een wit, papieren zakje lag leeg op een van de schalen. Eric legde daar vijf blokken bij en vervolgens twaalf blokken op de andere schaal.
296
Geen probleem; de grote onbekende was natuurlijk 7!, want er moesten zeven blokken in de zak gedaan worden om de weegschaal in balans te krijgen.
Dat onbekende getal gaven we nu de naam x en schreven dat op de zak. Nu konden we ook noteren: x + 5 = 12
x = 7
Later deden we een ander experiment met de weegschaal: Annemarie mocht de zak, met x er opgeschreven, met een alleen aan haar en mij bekend aantal blokken vullen en dicht maken. We smoesden even, waarna we de klas de volgende opgave stelden: x – 3 = 9. Annemarie zette de zak op de ene schaal en de negen blokken op de andere.
Wat nu, er was geen evenwicht! Er waren kinderen die wel wisten dat het antwoord 12 was, maar hoe zat het nu met het evenwicht? Na allerlei ideeën kwam Jort met de oplossing: “Aan beide kanten eerst drie blokken erbij !” “Goed, maar waarom en wat schrijven we nu op?”, was mijn antwoord. “Als je geen drie blokken kan weghalen, moet je er eerst aan beide kanten drie blokken bij leggen, je mag bij een weegschaal toch altijd aan beide kanten hetzelfde veranderen?! En daarna kan je bij de zak drie blokken wegnemen” Nu kan je opschrijven: x – 3 + 3 = 9 + 3
x = 12
Vanuit de ervaring dat je met de ‘vergelijking’ van alles kan doen, als je het maar aan twee kanten van de balans (het gelijkteken) doet, onderzoeken de kinderen de gevolgen van:
• Een getal erbij optellen aan twee kanten.
• Een getal ervan aftrekken aan twee kanten.
• Met een getal vermenigvuldigen aan twee kanten.
• Door een getal delen aan twee kanten.
De kinderen bedenken zelf opgaven om het experiment uit te voeren. Een klein groepje uit de klas krijgt de weegschaal erbij om proefondervindelijk tot conclusies te kunnen komen.
Dit alles sluit aan bij de aanwijzingen van Rudolf Steiner om ook de vergelijking juist vanuit het praktische leven te ontwikkelen. Uit het rekenverhaal destilleren de kinderen dan de onbekende x en de vergelijking.
Voorbeeld:
In de menskundeperiode hebben we gezien dat je ongeveer net zoveel weegt als je langer bent dan 1 meter. Anja en Ben wegen respectievelijk 63 en 78 kilo. Wat is hun lengte? Schrijf een vergelijking op, behorend bij deze opgave. (1 = 100 + g en anderen schreven g = 1 – 100, waaruit bleek dat sommige kinderen vanuit het gevraagde redeneren en de anderen vanuit het gegeven.)
Na flink wat oefening kan het volgende een echte uitdaging zijn.
Historisch voorbeeld:
Diophantus wordt wel de ‘vader van de algebra’ genoemd. Hij leefde tussen 200 en 400. Door toeval weten we hoe oud hij is geworden, omdat een van zijn bewonderaars een algebraïsch raadsel heeft gemaakt van zijn biografie: Diophantus jeugd duurde een zesde van zijn leven, een twaalfde van zijn leven later kreeg hij een baard, na nog een zevende van zijn leven trouwde Diophantus en vijf jaar later kreeg hij een zoon. De zoon leefde precies half zo lang als zijn
297
vader en Diophantus stierf juist vier jaar na zijn zoon. Dit alles samen levert de levensduur van Diophantus op.
Probeer de biografie in een formule weer te geven. Wat is nu de vergelijking die bij dit verhaal hoort? Hoe oud werd Diophantus?
Laat de kinderen ook zelf eens zo’n levensverhaal als algebraïsch raadsel maken!
Het is een goede oefening om bij herhaling aan het begin van de dag ‘Raad mijn getal’-vergelijkingen te maken. Na het antwoord hoofdrekenend te hebben gevonden, schrijven de kinderen iedere dag zo’n opgave met zogenaamde ‘eierschalen’ op.
Voorbeeld: “Neem +9; haal daar -7 af; trek de wortel; verdubbel; doe daar +1 bij. Wat is de uitkomst?”
Laat de kinderen ook eens om de beurt thuis zo’n opgave bedenken om de volgende dag aan de klas op te geven.
Het is een goede oefening ook eens opgaven te laten bedenken, waarbij je van het gevonden antwoord uitgaat en bij het begingetal uitkomt. Dus: “Ik heb een getal in gedachten, ik doe er …(enzovoort) en nu is de uitkomst 71”. En dan vanuit die 7 door middel van terug-redeneren het begingetal vinden.
298
Bij dergelijke opgaven wordt op de ‘heenweg’ de volgorde van de bewerkingen door steeds groter wordende ‘eierschalen’ aangegeven, die de kinderen daarna door haakjes leren vervangen. Bij het formuleren van de ‘terugweg’ worden de ‘eierschalen’ of haakjes er stuk voor stuk afgepeld. Iedere bewerking blijkt over te gaan in zijn inverse.
Door regelmatig oefenen kunnen de kinderen zowel vanuit het bekende als vanuit de onbekende vergelijkingen opschrijven en oplossen.
Zo is in de zevende klas de vergelijking met een onbekende geïntroduceerd. Juist op deze leeftijd zoeken de kinderen innerlijk naar nieuwe evenwichten, daar sluit dit rekenen met vergelijkingen prachtig bij aan. Het principe wordt uitgebreid in de jaren erna. Naast het oplossen van lastige lineaire vergelijkingen met één onbekende, wordt in de achtste klas ook gewerkt aan het oplossen van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Waar dit gebeurt is het zinvol dit voort te laten komen uit het (hoofd)rekenen. Daarbij zou de volgende weg bewandeld kunnen worden:
Voorbeeld: “Ik heb twee getallen in gedachte, samen zijn ze 12. Welke kunnen dat zijn?”
Al snel wordt ontdekt dat er hier oneindig veel mogelijkheden bestaan. We kunnen een aantal daarvan in een tabel noteren. Noemen we die getallen x en y dan ziet zo’n tabel er zo uit:
Om welke twee getallen het gaat is hier niet zonder meer duidelijk. Dat wordt anders wanneer nog een tweede kenmerk gegeven is. Bijvoorbeeld, dat het verschil van beide getallen 6 is. Dan kan ook van dit verband een tabel gemaakt worden:
299
300
Vergelijken we nu beide tabellen dan levert dat voor (x,y) het getallenpaar (9,3) op, dat aan beide voorwaarden voldoet. Op dezelfde wijze kunnen nu ook praktische problemen worden onderzocht, waarbij twee eigenschappen of voorwaarden aan de onbekenden zijn verbonden.
Voorbeeld: Roel is jarig en heeft de hele klas uitgenodigd voor zijn feest. De klasgenoten besluiten gezamenlijk een cadeau te geven; ze hebben € 60,- bij elkaar. Jesse kocht voor hem drie single-C.D.’s en drie fijnschrijvers. Een C.D. was drie keer zo duur als een fijnschrijver. Wat kosten de C.D.’s en de fijnschrijvers per stuk? Probeer de vraag in een vergelijking weer te geven.
Later, in de bovenbouw, kunnen hier de meer algoritmisch verlopende
oplossingswijzen bij aansluiten.
7.4 Meetkunde
“Juf, wanneer gaan we weer van die mooie tekeningen maken met passers en zo?” De leerstof had in de zesde klas duidelijk een snaar geraakt. De met passer en liniaal geconstrueerde en fraai gekleurde tekeningen sierden toen extra lang de gang boven de kapstokken. Maar net als bij andere vak- en vormings-gebieden moet er in de meetkundelessen van de zevende klas een volgende stap gezet worden.
In het jaar daarvoor sloten de meetkundige constructies nog zo prachtig aan bij de oefeningen die al uit het vormtekenen bekend waren. Daar werd ontluikende kennis nog geheel ingebed in schoonheid. ‘Schoonheid’, het motto van de belevingswereld van de kinderen in de onderbouw, wordt nu steeds vaker aangevuld met het motto uit de bovenbouw: ‘waarheid’. Daarin wordt het eigen denken steeds meer aangesproken.
In het reken-wiskundeonderwijs en dus ook in de meetkunde worden de kinderen nu tot ‘denken’ uitgedaagd. Denken en beleven groeien in de puberteit uit elkaar. Een worsteling speelt zich af in het overbruggen van schoonheid en waarheid, van hetgeen schijnbaar in kunst en wetenschap gescheiden leeft.
Aan het eind van de schooltijd, in de twaalfde klas, is het zoeken naar
‘wederverbinding’ (reliare) de leidraad. Voor wie zo de puberteit overwint, gelden de woorden van Goethe:
“Wer Kunst und Wissenschaft beide hat, der hat auch religion.
Doch wer nur einst der beiden hat, der habe Religion.”
Uitbreiding van constructies en kenmerken van figuren
De leerstof uit de geometrieperiode van de zesde klas zal weer gewekt moeten worden. Om het werken met passer en liniaal weer ‘in de vingers’ te krijgen, kan begonnen worden met een opdracht als:
• Construeer een cirkel met daarin een zeshoek en een gelijkbenige driehoek, die allebei de hoekpunten op de cirkelomtrek hebben. Maak je constructie duidelijk door het inkleuren. Verbind in nog zo’n figuur ook de hoekpunten van de figuren met elkaar. Welke andere meetkundige figuren zijn hier ontstaan?
301
Er zal met behulp van de vijf grondconstructies, die geleerd zijn in de zesde klas, op zoek gegaan worden naar de lijnen met bijzondere eigenschappen in de driehoek: middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen (of bissectrices) en hoogtelijnen.
Daarna gaan we met de kinderen ook op onderzoek uit naar de bijzondere eigenschappen van de snijpunten van deze lijnen: het zwaartepunt, het middelpunt van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.
“Op stevig karton gaan we een driehoek construeren met daarin de zwaartelijnen duidelijk aangegeven.” Op de vraag “Hoe groot moet de driehoek worden?”, wil ik geen antwoord geven en het gevolg is een scala van verschillende driehoeken, pietepeuterig klein en heel groot! Enkele fraaie exemplaren hing ik aan een punt op. “Loopt die zwaartelijn uit de punt nu echt verticaal? Of lijkt dat maar zo?”. Dat controleerden we door er een schietlood naast te houden. “Juf, als ik mijn passer onder het zwaartepunt zet blijft de driehoek balanceren. Net een weegschaal”.
De kinderen waren verrast toen dat bij tal van driehoeken ook zo bleek te zijn. Maar de driehoek van Peter viel steeds op de grond, ook als Marieke zijn driehoek op haar passer probeerde. Omdat de natuurkundeperiode, waarin we ook hefbomen onderzochten, al geweest was, begreep hij dat er iets niet klopte en samen met anderen ontdekte hij, dat hij geen zwaartelijnen maar hoogtelijnen getekend had. Dat euvel was snel verholpen!
302
Bij zulke constructieopdrachten kun je aan kinderen de vraag stellen: “Beschrijf in woorden, waarom je denkt dat met het snijpunt van de middelloodlijnen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel is gevonden”.
“Welke figuren hebben ook een omgeschreven cirkel?” In groepjes kunnen de kinderen zo’n opdracht uitvoeren, samen weet je immers meer dan alleen.
Nieuw in de zevende klas is de constructie van een rechte door een punt evenwijdig aan een bestaande rechte.
Bij alle opdrachten in de zevende klas is het goed om meteen een notatie in te voeren: hoofdletters voor punt (hoekpunten), kleine letters voor zijden en rechten (l, m, n, …) en tekens en aanduidingen voor gelijke lijnstukken, voor evenwijdigheid //, enzovoort.
Nieuwe opdrachten worden nu op de volgende wijze gegeven:
• Teken in je schrift een willekeurige rechte l en een punt A erbuiten.
• Trek nu een lijn m door A die l snijdt en noem het snijpunt van m en l: A1.
• Construeer een cirkel met middelpunt A en noem het snijpunt met l B’.
• Breng hoek x tussen m en l, met behulp van de cirkel met middelpunt A1, over naar punt A op m.
• Trek door het op de nieuwe cirkelboog ontstane punt B en A een lijn n.
• Nu geldt: n//l.
Op een werkblad kunnen we nu een aantal toepassingsvragen stellen, waarbij weer de bekende constructies gebruikt worden:
303
304
Congruentie
Twee figuren die elkaar precies kunnen bedekken noemen we congruent. In de zevende klas worden congruentiekenmerken van driehoeken onderzocht. In de zesde klas is al geoefend met het construeren van driehoeken, waarbij drie gegevens bekend waren. Nadat de congruentie kenmerken ZZZ, ZHZ en HZH, onderzocht en ontdekt zijn, kan er een opdracht gesteld worden zoals hierna in het doorkijkje beschreven is.
Vanmorgen gaf ik als opdracht: “Construeer een driehoek ABC met de volgende gegevensn: AB = 6, AC = 4 en hoek B = 30°
Even later bleekt dat niet iedereen dezelfde oplossing vond. “Wat nu, jongens?!”
Joris die niets liever doet dan zijn passer steeds weer rond te laten draaien, ontdekte, vol verbazing, twee mogelijkheden in dezelfde tekening! “Kan dat altijd?”, vroeg Iris. Dat besloten we te onderzoeken. Met elkaar kwamen we snel tot de conclusie dat je een scherpe en een stompe hoek A kon construeren.
De voldoening is groot als de kinderen na dit conflict zelf het kenmerk ZZR vinden.
Het is belangrijk regelmatig de gelegenheid te bieden op eigen kracht tot ontdekkingen te komen. Ook kunnen de kinderen voor elkaar opgaven bedenken in de vorm van allerlei figuren, waar congruente driehoeken in te vinden of te herkennen zijn:
305
De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden
“Vandaag gaan we een beroemde stelling onderzoeken! Construeer twee congruente driehoeken. Eén in het schrift en één op een los tekenvel.” Daarna wordt de laatste uitgeknipt en moeten de overeenkomstige hoeken in beide driehoeken gelijk gekleurd worden. Van de losse driehoek knippen we de gekleurde hoeken af en leggen die rondom een hoekpunt in het schrift (hoeken van dezelfde kleur komen op elkaar te liggen). Zo ontdekten we dat de som van de hoeken 180 graden is.
Bijzondere constructies
Zevendeklassers leren ook de constructie van de vijfhoek en de gulden snede uit te voeren. Kinderen raken onder de indruk wanneer ze, samen in een aantal kunst- en geschiedenisboeken kijkend, ontdekken hoe men al in de Oudheid en Renaissance in de bouwkunde en schilderkunst van deze bijzondere constructies gebruik maakte.
Naast het constructiewerk kunnen ook vormtekeningen gemaakt worden. Een goede oefening is: in een vijfhoek, in één doorgaande beweging, metamorfoses van de vijfster maken.
Ten slotte zal het volbrengen van de moeilijke tekening met vlechtwerk in de vijfhoek de kinderen een enorme voldoening kunnen geven.
Translatie, Spiegeling, Rotatie, vermenigvuldigen van figuren in klas 8
Wat er gebeurt bij translatie, spiegeling en rotatie kennen de kinderen al vanuit het vormtekenen in de lagere klassen. Nu leren ze deze wetmatigheden door constructie kennen. Daarbij verhoogt het aangeven in kleur van de beweging het bewustzijn ervan.
306
Translatie:
Spiegeling in een lijn of spiegelas en spiegeling in een punt
In de natuurkundeperiode is er veel geëxperimenteerd met spiegels. De proeven die daar gedaan zijn, kunnen nog eens in de herinnering worden geroepen. Want hoe zat het ook weer met de spiegeling van een voorwerp in twee onder een hoek van 90° staande spiegels? Kan je dat nu ook construeren?
Rotatie
Rotatie oefenen we met verschillende rotatie hoeken. Wat ontdekken de kinderen bij een rotatie van bijvoorbeeld 180°? en 360°? Wat gebeurt er als het rotatiepunt binnen de figuur ligt?
Er wordt ook gesproken over: ‘draaisymmetrie’. De kinderen kunnen zelf onderzoeken wat dat kan betekenen. Ook een werkblad met bijzondere figuren, waar rotaties en draaisymmetrie in te ontdekken zijn is een goede oefening voor het voorstellingsvermogen.
De relatie tussen rotatie en spiegeling kan door de kinderen gevonden worden door zich bij bepaalde opgaven af te vragen of bijvoorbeeld de rotatie ook door spiegelen bereikt kan worden.
307
Vermenigvuldigen van figuren
In de achtste klas breiden we de translaties uit met de vermenigvuldiging vanuit een punt. Het principe van de ‘gelijkvormigheid’ wordt daaruit ontwikkeld. Het rekenwerk met verhoudingen wordt meteen weer opgepakt. Bijvoorbeeld met vragen als: “Wat gebeurt er met de oppervlakte van een driehoek die vermenigvuldigd wordt met factor 3?”
Stelling van Pythagoras
In de vijfde klas, waar de leerlingen ontdekten hoe de Egyptenaren bij het landmeten met het twaalf-knopentouw rechte hoeken uitzetten, is er impliciet met de stelling kennis gemaakt. Er bestaan al eeuwenlang vele schitterende meetkundige bewijzen voor deze stelling.
Op verschillende manieren kunnen we met de kinderen tot praktische bewijsvoering (ontdekking) van de Stelling van Pythagoras komen.
Om te beginnen zou je vanuit de gelijkbenige rechthoekige driehoek kunnen beginnen. Na het tekenen van het principe kan met behulp van schaar en gekleurd papier, door passen en meten, aangetoond worden, dat de oppervlakte van het grote vierkant net zo groot is als de oppervlakte van de twee kleine vierkanten samen.
308
Een tweede voorbeeld: we kijken nog eens terug naar de periode, waarin we de kwadraten van de getallen hebben leren kennen in combinatie met de oppervlakte formule voor een vierkant.
Laat de kinderen dan een rechthoekige driehoek construeren met zijden van 5, 4 en 3 cm. Op iedere zijde construeren ze een vierkant en onderzoeken nu de oppervlakte van die vierkanten op de volgende manier:
De kinderen kunnen op zoek gaan naar andere rechthoekige driehoeken met zulke bijzondere drietallen als rechthoekszijden. (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8,15,17), enzovoort.
Ten slotte kunnen we ook voor een willekeurige rechthoekige driehoek de stelling bewijzen. Eén van de mogelijkheden is bijvoorbeeld het ‘molenwieken’-bewijs.
Wat gedaan, is wordt weer getekend (of geplakt). Wat we ontdekt hebben, wordt weer eerst in woorden, dan in begrippen en tenslotte in letters geformuleerd, zoals we dat ook bij ‘formules’ (zie H 7.3) tegen kwamen. Zo komen we ook tot de alom bekende vorm a2 + b2 = c2 voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. Juist een verscheidenheid aan bewijzen toont hier de speelse en creatieve kant van de wiskunde.
In het toepassen kunnen we de Stelling van Pythagoras ook in allerlei problemen uit het dagelijks leven tegenkomen. Een werkblad als voorbeeld:
309
310
Puntverzamelingen in het vlak
Op zoek naar figuren, bestaande uit punten die allen aan dezelfde eigenschap voldoen, gaan we met de achtsteklassers deze ochtend eerst naar de zaal.
Behalve bij Elise, fluisterde ik alle kinderen in het oor dat ze op een afstand van 3 meter van Elise moesten gaan staan. Na wat verwarring en allerlei beweging ontstaat er een cirkel met een straal van 3 meter en Elise als middelpunt. Samen vormen de kinderen een verzameling punten waarvan geldt dat de afstand tot Elise 3 meter bedraagt.
Pascal en Edu zijn nu twee vaste punten en mogen een plek in de zaal zoeken om te gaan staan. Nu vraag ik de anderen de verzameling punten te vormen met gelijke afstand tot Pascal en Edu. Een aantal kinderen vloog natuurlijk naar het punt tussen Pascal en Edu in, maar snel hadden andere kinderen in de gaten dat dat niet nodig was om aan de voorwaarde te voldoen. Zo ontstond de middelloodlijn (van kinderen) van het lijnstuk tussen P én E.
Eenmaal in de klas, gingen we opzoek naar een notatie, die zo kort mogelijk zou zijn in woorden en met eigen tekens. Bij de cirkel werd dat bijvoorbeeld: {P I PM=3}.
Uiteraard worden de constructies behorend bij deze opdrachten, ook in het schrift uitgevoerd. Daarna zoeken de kinderen nog door constructie naar de middenparallel van twee gegeven evenwijdige rechten en naar de bissectrice van twee gegeven elkaar snijdende rechten.
Ook maken ze tekeningen van doorsnijdingen van meer dan één verzameling.
In deze periode vinden we ook als puntverzameling de ellips, als de verzameling punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten constant is en de hyperbool, lemniscaat, cirkels van Apollonius. Deze worden gevonden door een
311
constant verschil, product en quotiënt. Het is voor de leerlingen altijd verrassend de invloed van de vier basisbewerkingen te ervaren in deze constructies.
Ten slotte besteden we aandacht aan de parabool, waarbij alle punten even ver van een vast punt en een rechte lijn liggen.
Voorafgaand aan deze wiskundeperiode hebben de kinderen in de afgelopen jaren allerlei ervaring opgedaan met het ‘bepalen van plaats’. Niet alleen in andere perioden, zoals bijvoorbeeld aardrijkskunde (sterrenkunde) en natuurkunde, maar ook in de euritmielessen en wellicht tijdens nachtelijke speurtochten in de werkweek van de zevende of achtste klas. Daarbij bleek, dat diegene, die zich ruimtelijk goed wist te oriënteren en wiens voorstellingsvermogen goed ontwikkeld was, in staat was zich ‘naar eigen inzicht’ vrij te bewegen op weg naar een vast punt (doel).
Nu de leerlingen in de achtste klas volop in de puberteit komen, zien we verstarring en onbeweeglijkheid samen gaan met het ontstaan van beweeglijkheid in het denken. Het bijzondere van de meetkundelessen in die leeftijdsfase is, dat de kinderen ervaren hoe beweging zich verbindt met een plaats op aarde en dan vastligt. Alleen in het denken komen de figuren weer in beweging.
In deze fase kan het noteren van plaatsbepalingen uitgebreid worden. Verbonden aan de getallenwereld en de getallenlijn zal de meetkundige plaats van een punt als coördinatenpaar in het platte vlak op natuurlijke wijze zijn intrede doen.
Platonische ruimtelichamen
Aan het einde van de achtste klas maken de kinderen van gekleurd karton de Platonische ruimtelichamen. Misschien worden ze eerst in klei geboetseerd, waarna ze zelf op onderzoek uitgaan naar hoe een uitslag in een bouwtekening eruit zal zien (waar zullen de plakstroken moeten komen?!). Daarna kunnen wetmatigheden in een schema worden weergegeven.
312
Een introductie ter voorbereiding op de ruimtemeetkunde van de negende klas, die de leerlingen nooit meer vergeten!
7.5 Geïntegreerde wiskundige activiteiten
Reken-wiskundige activiteiten kunnen in allerlei perioden aan bod komen, door de hele schooltijd heen. Bijvoorbeeld in relatie tot een actualiteit, een uitstapje een jaarfeest, of een door een leerling gebroken ruit, waarvan het herstellen betaald moet worden. In die gevallen passen leerlingen hun reken-wiskundige bagage in levensechte situaties toe. We noemen dat: ‘Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (g.w.a)’. Ook rekenwerkuren kunnen door g.w.a.’s verlevendigd worden, er het saaie oefenwerk goeddeels vervangen en duidelijk maken dat je rekenen praktisch kunt gebruiken. Elke school zou op rekenkaarten en werkbladen een aantal g.w.a.’s kunnen verzamelen. Zoiets zou in geval van vervanging ook heel handig zijn. En het komt de gecijferdheid van leerlingen ten goede als zich in elke klas een bak met zulke kaarten, aangepast aan de leeftijd, zou bevinden.
313
Suggesties voor g.w.a’s
voorbeeld 1
Uit de sterrenkundeperiode in de zevende klas: ‘De zonnewijzer’.
voorbeeld 2
Uit de Romeinse geschiedenisperiode: ‘De Peuteringerkaart’.
De Peuteringerkaart is een kopie van een Romeinse kaart uit de 12e eeuw. De afstanden tussen de toenmalige Romeinse steden zijn genoteerd in Romeinse cijfers, die het aantal leuga’s weergeven. De leuga is een Gallische lengtemaat en komt overeen met ca 2220 meter.
314
Gezamenlijk is er gekeken naar de afstand tussen NOVIOMAGI (Nijmegen) en CEUCLIUM (Cuyk). Die is volgens de Peuteringerkaart III leuga’s. Omgerekend dus 3 x 2220 = 6660 meter. Bij benadering klopte dit aardig toen we het vergeleken met de ANWB kaart.
“Pak een grote passer en probeer nu zelf te ontdekken welke plaats bedoeld kan zijn met de naam BLARIACO. Deze ligt aan de Maas en is XXV leuga’s verwijderd van NOVIOMAGI. Krijg je zelf geen ‘brain wave’ gebruik dan een of meer van de onderstaande suggesties.”
(suggestie 1: Denk erover na wat je met een passer allemaal kunt DOEN.)
(suggestie 2: Gebruik een wegenkaart, het centrum van Nijmegen en een grote passer.)
(suggestie 3: Hou rekening met de schaal op de kaart en het verband tussen leuga’s en kilometers.)
voorbeeld 3
Na de weerkundeperiode: ‘Weer of geen weer’.
Lees elke morgen om 8.25 uur de buitentemperatuur af.
Noteer de uitkomst in een tabel, vergeet de datum niet.
Zet aan het eind van de maand je waarnemingen uit in een lijndiagram.
En beantwoord dan de volgende vragen:
• Wat deden we ook al weer op de warmste dag van deze maand?
• Tussen welke dagen was het temperatuursverschil het grootst? Herinner ‘
nog iets over het weer op die dagen? ]e
• … (bedenk zelf nog iets)
voorbeeld 4
Tijdens of na de mineralogieperiode: ‘Kristalvormen’.
315
Verschillende kristalvormen worden onderzocht en getekend, waarbij de specifieke meetkundige vormen tot ordening en herkenning leiden.
voorbeeld 5
Vanuit het waarnemend tekenen in de zevende klas: ‘Doordringingen’.
In het leerplan tekenen van de zevende klas wordt naast waarnemend tekenen speciaal ‘doordringingen’ genoemd. Naast het tekenen van ronde, rechte,
kubische, … gebruiksvoorwerpen, tekenen de kinderen juist stereometrische figuren met doordringingen en schaduwwerking.
Dergelijke tekeningen kunnen aanleiding zijn tot het volgende vraagstuk:
Je ziet hieronder twee doordringingen, een ronde piramide met een vlak erin en een cilinder met een balk erdoor.
Teken wat je zou zien als deze dingen over 90° gedraaid worden.
Kies zelf een voorwerp om te tekenen. Laat er zo mogelijk iets doorheen steken.
Zie Steiner: werkbesprekingen in GA 295, vertaald: Praktijk van het lesgeven, Uitverkocht. (Scan via vspedagogie@gmail.com)
316
voorbeeld 6
G.w.a’s in het rekenwerkuur.
Hieronder volgen twee g.w.a’s uit een rekenwerkuur. Deze opdrachten zijn in groepsverband of individueel te maken.
‘Welke offerte?’
We hebben een glazenwasser nodig. Twee glazenwassers leverden een offerte in op school:
Offerte I.
Voor alle ramen geldt de prijs van € 1,70 per m2.
Offerte II.
Ramen lager dan drie meter kosten € 1,50 per m2 . Voor ramen boven de drie-metergrens geldt een prijs van € 2,10 per m2
Welke glazenwasser raden jullie aan? Waarom?
‘Schilderwerk’
Alle binnendeuren van onze school moeten twee keer geschilderd worden. Uit een pot verf van 0,75 liter kunnen tien vierkante meters beschilderd worden. Hoeveel liter verf moeten we inkopen? Hoeveel bussen verf zijn er dan nodig? Zoek dat voor ons uit.
Het voordeel van de g.w.a.’s in de rekenwerkuren is dat je als leerkracht wat meer tijd hebt om te zien hoe leerlingen met de opdracht omgaan en hoe ze tot hun antwoorden komen. Zie hier een voorbeeld hoe het een leerkracht daarbij verging.
Bij de opdracht zoals hierboven beschreven, liep ik langs de tafel van Niels en zag hoe hij met uiterste nauwgezetheid alle deuren die hij zich in de school kon voorstellen, naast elkaar getekend had. “Juf mag ik gaan kijken of er achter het kamertje ook nog een deur is?” Dat mocht en juist toen Niels terugkwam, liet Hanne zien dat ze het antwoord wist. Ik schrok van een onooglijk blaadje met wat verspreide getallen en in het midden het berekende antwoord triomfantelijk omcirkeld.
Op dat moment besloot ik om zowel voor Hanne als voor Niels een speciaal werkblad te maken voor volgende week. Voor Niels zal er een opdracht komen, waarbij zijn voorstellingsvermogen toereikend zou zijn om ook een aantal stappen mentaal te kunnen maken. Voor Hanne ga ik op zoek naar een context, waarbij de g.w.a. zodanig verborgen zit, dat zij een breder kader dan getallengoochelarij nodig heeft om tot een oplossing te komen. Zij bleek namelijk niet te kunnen terugvertellen hoe ze aan haar ‘verf-antwoord’ gekomen was.
317
Peilingen
Als we in de klas met het rekenen bezig zijn, krijgen we een eerste indruk van hoe de kinderen de leerstof in zich opnemen. Wanneer we hier naderhand op terugkijken, kan het duidelijk worden, hoe het programma voor de volgende dagen eruit zou moeten zien. Als we het schriftelijk werk van de kinderen bezien, is dit een aanvulling op ons beeld van hoe het ervoor staat. Zo ontstaat meer en meer het zicht op de vaardigheden van ieder kind. Als de afronding van een periode nadert maken we de balans op en bekijken we de vrucht van de tevoren uitgezette bakens. Door goed waar te nemen hoe de kinderen met het rekenen bezig zijn, kan het beeld van de zich ontwikkelende vermogens steeds duidelijker worden. Daarbij kunnen we ook het sociale proces betrekken; drijft het kind mee op de golven van het klasse-gebeuren of is er een eigen richtinggevende activiteit? Hoe het kind rekent, is minstens zo belangrijk als de vraag of het antwoord op de som wel of niet juist is. Is een optelling gemaakt door doortellen of verkort tellen?
Als we niet geheel zeker van de zaak zijn kunnen we een peiling houden als aanvulling op onze eigen waarnemingen. Zo’n peiling is bedoeld voor onszelf. In de hogere klassen is een peiling ook bedoeld voor de leerlingen zelf; het is belangrijk dat zij weten wat ze wel en niet kunnen. Dan groeit ook de verantwoordelijkheid voor het eigen werk.
Peilingen kunnen zowel mondeling als schriftelijk plaatsvinden. In een lagere klas zal een peiling een ander karakter hebben dan in een hogere klas. In een eerste klas laten we bijvoorbeeld steeds één kind enkele cijfers tekenen om te zien of de vorm en schrijfwijze goed verankerd zijn. Een dergelijke peiling vindt eigenlijk terloops plaats.
In de derde klas laten de kinderen de tafels individueel horen, ook een vorm van peiling. Ditzelfde geldt ook voor de vraag; vertel eens precies hoe jij 35 en 27 bij elkaar optelt, hoe je ontdekt hebt uit welke stambreuken ^ bestaat. Het laten verwoorden van rekenhandelingen brengt ons heel dicht bij het stadium waarin het kind zich op dat moment bevindt. Het elkaar laten horen van een oplossing geeft ons het nodige inzicht maar is tegelijkertijd zeer stimulerend voor anderen.
Mogelijkheden voor een peiling in een lagere klas:
• Getallendictee.
• Zoveel mogelijk sommen maken met het antwoord 12 in verschillende bewerkingen.
• Hoeveelheden schatten.
Deze opgaven komen niet uit de lucht vallen, ze zijn al eerder mondeling of schriftelijk beoefend.
In een hogere klas zal een periode vaak met een peiling worden afgesloten. De kinderen zijn hier dan al op voorbereid. De peiling zou kunnen bestaan uit verschillende soorten opgaven; open en gesloten opdrachten, een verhaal bedenken bij een opgave, zo mogelijk een kunstzinnige uitwerking, opgaven verschillend van niveau. Om een beeld te krijgen van de individuele prestaties van de leerlingen moet er zelfstandig aan deze peiling worden gewerkt.
In de beoordeling is het van belang dat van ieder kind duidelijk wordt waar nog aan gewerkt moet worden. We kunnen de nadruk leggen op hetgeen goed gemaakt is door aan te geven; zoveel goed van de zoveel. De ervaring leert dat kinderen dit voor zichzelf vertalen in voldoende of onvoldoende. Soms vragen ze er ook naar. Het is belangrijk dat ieder kind een reëel beeld heeft van de eigen prestatie. Elke illusie daaromtrent dient dus voorkomen te worden. Aan de andere kant zou een peiling het zelfvertrouwen moeten versterken in de zin van: dit heb ik geleerd, dit beheers ik nu, daar ga ik verder aan werken. Met een dergelijke vaststelling is de periode afgerond.
318
Hoe gaan we om met de resultaten van de peiling? Om te beginnen leggen we de te voren opgestelde bakens ernaast. Wat wilden we bereiken toen de periode een aanvang nam? Wat is daar nu van terecht gekomen? Welke kinderen hadden er weinig moeite mee en vroegen om meer? Welke kinderen hadden er voortdurend moeite mee? Zijn er kinderen die afhaakten? Konden ze daarna de draad weer oppakken? Welk soort hulp hadden ze daarbij nodig?
Vervolgens kunnen we de resultaten vergelijken met die van een vorige peiling. Dan kunnen we zien welke kinderen zich, met het verwerken van de leerstof, in een stijgende lijn bevinden, welke kinderen in toenemende mate moeite hebben met de leerstof en wellicht een andere aanpak behoeven. De resultaten zouden kunnen worden vergeleken met die van een andere klas. Daarvoor kunnen we te rade gaan bij een collega in een andere school die dezelfde klas heeft. Wellicht kunnen de leerkrachten in de eigen school hun ervaringen vergelijken. Ook kan men zich op de hoogte stellen van de resultaten van het PPON, een door het CITO uitgevoerde ‘periodieke peiling van het onderwijsniveau’. Alle leer- en vormingsgebieden van het basisonderwijs komen in dit onderzoek aan de orde. In de publicaties van het CITO kan men een beeld krijgen van het onderwijsniveau in Nederlandse scholen. Met opgaven en resultaten zou men in (met?) de eigen klas een peiling kunnen organiseren. En een PPON-publicatie geeft alle aanleiding om met de collega’s de vraag te bediscussiëren: Wat willen wij dat de kinderen leren?
Ook geeft een peiling ons inzicht in de werkzaamheid van onze eigen didactische werkwijze. Daarvoor hoeven we er geen schoolgemiddelde naast te leggen. Welke onderdelen van de leerstof zijn door vrijwel alle kinderen goed verwerkt en met welke onderdelen hadden veel kinderen nog moeite? Het is ook aardig een peiling af te sluiten met de vraag: “Wat heb je het meest van deze periode geleerd?” Dit kan interessante informatie opleveren. Het antwoord laat zien wat de kinderen er naar hun beleving aan hebben gehad.
Wie in de periode al goed heeft waargenomen, komt meestal niet meer voor verrassingen te staan. Of toch, er zijn kinderen die bij een gelegenheid als een peiling extra op scherp staan en er zijn kinderen die juist dan ietwat geblokkeerd zijn. Iets om op te letten. Alhoewel de resultaten in het getuigschrift verwerkt worden, moeten we er niet alles aan ophangen. Door de bril van de peiling heen kijken we weer naar het kind en tegelijk naar hetgeen in de periode is doorgemaakt.
319
In dit hoofdstuk wordt gesproken over:
7-jaarsfasen
7e klas ontdekkingsreizen
algebra en rekenen in 7e en 8e klas
causaliteit en oordeelsvermogen
CITO-toets
geschiedenis
Leonardo da Vinci
mineralogieperiode
natuurkunde klas 8
Platonische lichamen
Sterrenkunde 7e klas
zonnewijzer
weersperiode
VRIJESCHOOL in beeld: meetkundevormen
tekenen 7e klas
.
Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk [1] [2] [3] [4] [5] [6] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave
.
Rekenen: alle artikelen
.
2458
.
VRIJESCHOOL 