VRIJESCHOOL – Rekenen in beweging- hoofdstuk 2

.

REKENEN IN BEWEGING
.

Hoofdstuk 2: Op weg naar rekenen

2.1 De eerste rekenlessen
2.2 Kwaliteiten
2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn
2.4 Temperamenten
2.5 De basisbewerkingen
2.6 Het schriftelijk werk
Terzijde: Over werkvormen

2.1 De eerste rekenlessen

Wie kinderen leert rekenen werkt ook vormend op hun persoonlijkheid. Wanneer je met kinderen rekent, moet je je dus afvragen wat je daarmee in hen wakker roept. Spreken we misschien krachten aan die van het kind een berekenend mens maken, een uitbuiter, een egoïst….? Of kunnen we door het rekenen andere, wellicht edeler krachten tot ontwikkeling brengen?

Voor de vrijeschoolleraar is leerstof niet alleen doel op zichzelf, maar vooral een middel dat vormend ingrijpt in de ontwikkeling van kinderen. Deze vorming richt zich op aspecten van lichaam, ziel en geest. Die drie gebieden vragen elk hun verzorging, hun voeding, hun opvoeding. Rudolf Steiner hechtte daarom veel belang aan de wijze waarop kinderen het eerste rekenen leren. Hij zag een direct verband tussen het materialistisch gerichte denken van zijn tijd en het gangbare rekenonderwijs.

In de ziel leeft van nature de neiging ervaringen steeds verder te differentiëren. We zeggen: de natuurlijke instelling van het kind is analytisch. Een opgave als 2 + 5 + 3 = … sluit daarbij niet aan. Zo’n opgave laat niets meer vrij, de rekenaar dient zich te schikken naar de wetmatigheid van de optelling.

Vanuit realistische hoek kun je hier de opmerking verwachten dat je kinderen wél vrijheid kunt geven bij de aanpak van een opgave als 2 + 5 + 3 =. De ene leerling bedenkt 2 + 3 = 5, en kent de dubbele 5 + 5 = 10. Een ander ziet 7 in 2 + 5, en rekent 7 + 3 = 10. Er is misschien ook wel een die achteraan begint en komt tot 8 + 2 = 10. Misschien zijn er leerlingen die in ‘getalbeelden’ denken, en met 2 + 5 + 3 in één klap een hele staaf op het rekenrek gevuld zien. Variatie genoeg, het is aan de leraar om daartoe ruimte te bieden. Of meer nog: om de kinderen aan te moedigen op zoek te gaan.

Ga je uit van de vraagstelling ‘tien’, wat kan dat allemaal zijn?’, dan stel je een vraag naar bijvoorbeeld optellingen die tien tot uitkomst hebben (10 =… + … + …), je kunt dan zo’n geheel in allerlei structuren, naar eigen keuze, verdelen. Bij deze analytische aanpak is er sprake van een vrije, innerlijke activiteit. Zo wordt aan de behoefte van het kind tot analyseren, tot het uit elkaar leggen van gehelen, op positieve wijze tegemoet gekomen.
31

Deze aanwijzing volgend gaan we dus van het geheel naar de delen. Waar het op aan komt bij optellen is de som, daarin zijn de delen in feite al besloten. Zo brengen we het kind ertoe eerst het geheel te zien, niet steeds de weg te volgen van minder naar meer. Dat is wat wezenlijk vormend werkt: in het kind worden nu geen behoeften gewekt waarin de begeerte naar méér overheerst. Integendeel, zo betoogt Steiner, het kind ontwikkelt in dit geval bezonnenheid en gematigdheid.

Door ook bij rekenen uit te gaan van een geheel, een totaliteit, sluiten we aan bij de wijze waarop het kind de realiteit beleeft. Daar ziet het immers vaak eerst gehelen (gestalten) en komt er vervolgens pas toe daarin delen te onderscheiden. Door nu het kind eerst op zijn natuurlijke behoefte tot analyse aan te spreken, wordt het etherlichaam zo in beweging gebracht, dat het ontluikende denken -immers een omvorming van etherkrachten- zich vrij kan ontwikkelen. Daar wordt dan in tweede instantie de vraag om samen te stellen wat gedifferentieerd werd, dus de vraag naar synthese, aan toegevoegd. Ook bij dit rekenen dienen we niet in eenzijdigheden te vervallen Deze overwegingen liggen ten grondslag aan de eerste rekenperiode in de eerste klas van de vrijeschool.

Op de eerste schooldag belooft de leraar zijn kinderen, dat hij ze zal leren rekenen, net zoals de grote mensen dat doen. Nu is het dan zo ver! Voor de kinderen is dat een groots ogenblik.

“Vandaag gaan we leren rekenen.”
“Dat kan ik al, hoor maar: een en een is twee; twee en twee is vier.” En zo ging het verder met acht, met tien, met 100, zelfs met 1000. Sommige kinderen gaan tellen vanaf I en kunnen, als je zo verder laat gaan, een heel eind komen, ook tot 100. Dan volgt vrijwel altijd: één honderd, twee honderd…
“Nee, zo zeggen grote mensen dat niet. Ik zal je nog leren hoe dat wel heet. Wie kent er grote getallen?”
“Duizend, drie duizend, honderd duizend. (Het valt op dat er eerst deze mooie, ronde getallen gezegd worden, zelden noemen de kinderen een getal als 893).
En dan de onvermijdelijke vraag: “Wie weet het grootste getal?” “Dertig miljard twintig?!” “Nee.”
Stilte na nog wat andere mogelijke en onmogelijke combinaties.
“Ontelbaar”.
“Wat is ontelbaar?”
“Net zo lang tellen als je leeft.”
“Dat is nog niet het grootst!”
“Ontelbaar keer ontelbaar!”
Je staat als leraar steeds weer verbaasd over de inventiviteit van kinderen op dit gebied. Maar nu zit je op een ander spoor en zegt: “Ook niet.”
“Ik zal jullie het laten zien.”

Moet je hier trouwens wel naar het ‘grootste’ getal vragen, of moet je juist meer uitgaan van de ondeelbaarheid van de eenheid? Je kunt het kind, naar een voorbeeld van Rudolf Steiner, heel goed laten beleven wat het verschil is tussen iets waarvan je er maar één hebt en een werkelijke éénheid. Een stuk hout kun je nog in stukken verdelen, maar de mens zelf is een eenheid die ondeelbaar is.
32

De vraag wordt ook vaak zo gesteld: “Waarvan is er maar één in de wereld”. Meestal volgen dan de grote ‘eenheden’: God, de zon, de maan, de oceaan, of zegt een kind: “Er is maar één Peter en dat ben ik”.
De leraar moet aan zijn klas aflezen hoeveel getallen hij zo’n eerste dag kan ‘behandelen’. In de eerste week kunnen wellicht de getallen van een tot zeven aan de beurt komen. Of je nog verder moet gaan dan zeven is maar de vraag.
De tekeningen die de kinderen maken aan de hand van deze getallen, kunnen het begin vormen van het eerste perioderekenschrift.

Het schrijven van de getallen tot 10

Ga je nu over tot het schrijven van de getallen, dan kun je met de kinderen afspreken voor de 1 een I te tekenen en de twee met II weer te geven. Op die manier kom je tot een notatie die het kind zelf had kunnen bedenken, omdat het in het gebaar van de II bijvoorbeeld het eigen paar armen of benen uitgedrukt ziet. En als het kind naar het hondje van de buurman kijkt, ontdekt het dat je’ de vier zo kunt schrijven: IIII. Zo kun je vanuit het dagelijkse leven de opbouw en de schrijfwijze van de getallen als Romeinse cijfers, aan de kinderen leren.

Tellen tot tien

Wil je de rij van de natuurlijke getallen aan de kinderen leren, dan kun je je afvragen wat nu je uitgangspunt is. Begin je met niets, waarbij zich dan iets voegt: de 1, die dan gevolgd wordt door een volgend iets: 2, 3, 4, 5… ? Of ga je uit van een grotere eenheid, bijvoorbeeld de tien vingers? Dan moet je voor lief nemen, dat je met terugtellen begint. Herhalingsversjes of liedjes liggen dan voor de hand.

De kinderen leren het volgende liedje:

33

De kinderen staan in de kring en laten bij de regels: ‘Stonden tien groene potjes in de glazenkast’, hun tien vingers zien. Een huppelpasje om hun as, maakt er nog meer een dansje van. En ja, dan moet er één potje aan geloven: ‘En als één groen potje nu eens gevallen was …’ Nu steken de kinderen die ene vinger op en maken een sprongetje, waardoor ze in de hurkhouding op één knie terechtkomen. Spektakel alom, maar dat gaat gauw over, want het gaat door met: ‘… stonden negen groene potjes in de glazenkast!’ Daarbij laten de kinderen nu negen vingers zien, waarmee ze langzaam opstaan, om daarna verder te gaan met de onvermijdelijke verwijdering van alle potjes uit de glazenkast.

Aan het eind van het lied zitten de kinderen op de grond, moe van het springen, nadat ze gezongen en getoond hebben: ‘… staan er geen groene potjes, in de glazenkast’. Even uitblazen is geboden en dan komen ze overeind met:
“Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast Maar er was er geen gevallen, uit de glazenkast En omdat er gelukkig niks gebroken was Staan er tien groene potjes in de glazenkast!”

Wanneer je nu gaat tellen, is het van belang je niet alleen te richten op de reeks getallen, maar je ook af te vragen, hoe je daarbij de vormkrachten van het kind kunt laten meedoen. Dat is mogelijk door vooral nadruk te leggen op het ritmische element van het tellen.

Rudolf Steiner wijst er op, dat je die kwaliteit (het ritmische dus) bij het kind aanspreekt, door de kinderen als bewegingsoefening te laten lopen: 1-2 1-2 1-2; met telkens een stamp op de 2. Zo natuurlijk ook met 1-2-3 of 1-2-3 -4. Daardoor ontwikkelen we eerst het ritme, om vanuit dit ritme het tellen voort te zetten en te ontwikkelen en het als een geheel te doen beleven.

Omdat tellen en rekenen door ons, volwassenen, beleefd wordt als iets dat typisch bij het denken hoort, zijn we geneigd de didaktiek ook door het abstracte denken te laten kleuren. Het kan geen kwaad je steeds af te vragen waar het rekenen verankerd is in de mens.
Rudolf Steiner stelt dat het tellen weliswaar ooit is ‘bedacht’ door de mens zelf, maar dat diezelfde mens bij het tellen eigenlijk -innerlijk- langs zijn vingers (tot tien ) en tenen (tot twintig) telt. Ook nu nog is het bij primitieve culturen gebruikelijk, dat zelfs grotere getallen worden aangeduid door bepaalde plekken op het lichaam aan te raken. Het hoofd is daarbij slechts de waarnemer van dit, innerlijke, concrete tellen.

Nadat het liedje ‘Tien groene potjes …’ verschillende keren gedaan was, werd er steeds meer tekst weggelaten: … toen waren er nog negen, nog acht enz. Maar het slotcouplet: … stonden tien groene potjes in de glazenkast, liet zich makkelijk aanpassen tot: … stonden I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 groene potjes in de glazenkast!

Alle mogelijke bewegingsvormen kunnen nu ontworpen worden om te leren ritmisch verder te tellen, zodat we kunnen zeggen dat de getallenrij ‘akoestisch’ verkend wordt. Daarop moet nog heel wat volgen om straks, voordat de hoofdbewerkingen aan de orde zijn, ‘resultatief te kunnen tellen …
34

Getalbegrip

Het getalbegrip moet ook ontwikkeld worden. Daarvoor kun je in de herfst, wanneer meestal met de eerste rekenperiode begonnen wordt, onder meer heel goed kastanjes en dergelijke gebruiken.
Je geeft de kinderen er elk tien en vraagt hen een mooie vorm te leggen. Voor sommigen betekent dat een bloem of een slinger. Anderen leggen twee rijen van vijf; vijf rijen van twee. Je zegt: “Kijk, tien is twee rijen van vijf en vijf rijen van twee.”
De bloem kan bijvoorbeeld bestaan uit 4 en 6. Terwijl ze de kastanjes in diverse figuren uiteenleggen, ontdekken de kinderen de vele splitsingen van 10, of van 8, of van 16, al naar gelang de begin hoeveelheid. Deze 10, 8,16 is telkens de eenheid die dan verdeeld wordt. Dergelijke concrete handelingen met kastanjes, geven legio mogelijkheden om de verdelingen ook in het schrift (na) te laten tekenen.

Op deze manier werkend, vanuit de principes die Rudolf Steiner formuleerde, kun je een geweldige rijkdom aan mogelijkheden en werkvormen vinden. Hierdoor kunnen de kinderen uitgaand van het geheel, de getallen ritmisch beleven, concreet verdelen, tekenen, zingen of zeggen. Daarna ga je door met het voorbereiden van de introductie van de hoofdbewerkingen.

2.2 Kwaliteiten

Bij het aanleren van de getallen in de eerste klas houden we rekening met kwalitatieve verschillen tussen getallen. Eerst brengen we het kind tot een beleven van de 1 als ondeelbaar geheel. De 1 als oerbeeld voor de totaliteit kan dan de bron zijn van waaruit structuren herkend worden. De andere getallen ontstaan nu als geleding in deze totaliteit. Elk getal kan er zijn eigen karakter, zijn eigen kwaliteit krijgen.

Dan komt dus de eerste rekenles waarin je aan de kinderen vraagt: “Waarvan is er in de wereld maar één?” Je hebt je daar wel op voorbereid. Maar thuis kur. je niet de keuze maken of de klas zich aangesproken zal voelen door de ene neus midden op je gezicht, of de zon aan de blauwe hemel.
Je stelt de vraag dus en de klas kiest voor het zonnespoor. Het blijkt de toon te zetten voor de hele week. Want na zon en maan en aarde -en hoofd, pop, tot “Ik heb een nieuwe fiets gehad”- komt zelfs God aan de orde, en één hemel, waarbij we en passant de woorden heelal en kosmos vinden.

De tweede dag betreft de vraag de alom vertegenwoordiging van de 2. Nu de blik al omhoog gericht geweest is, ligt het dualistische karakter van zon en maan, dag en nacht voor het oprapen. Het levert prachtig materiaal om in het periodeschrift een bladzijde aan te wijden, terwijl er ook nog een bladzijde gevuld wordt met de tweeledigheid in de mens zelf: twee armen, twee benen; maar ook lachen en huilen. Stof te over om over te praten, want de tegenstellingen hoog-laag, mooi-lelijk dienen zich aan. Dan durf ik ook best het gesprek af te sluiten met ‘To be or not to be, that’s the question‘.
35

De derde dag treed ik wat zorgelijker tegemoet, want Vader, Zoon en Geest zie ik me nog zo maar niet introduceren, terwijl lepel, mes en vork na de afgelopen dagen wel wat erg platvloers zijn. Dan maar op de reacties uit de klas gewacht: “Wat is er drie in de wereld kinderen?” Zegt een jongetje: “Het stoplicht”. De klas beaamt het. Waardering alom, want daar had nou niemand aan gedacht. Ik zie het licht voor me verspringen van groen op oranje en opeens realiseer ik me ook, waarom dit antwoord zo treffend goed is. Het stoplicht heeft te maken met het overgaan van de ene situatie in de andere. Dat oranje is geen versiering, het is het draaipunt tussen stoppen en rijden. Nu kan ik de kinderen verder helpen. En we komen tot onderarm, elleboog, bovenarm; hetzelfde principe in het been; tot hoofd, romp en ledematen en tot ik, jij en hij.

Nu merk ik ook waarheen de weg voert die we zijn opgegaan. Eerst de grote eenheid van het kosmische, dan de tweeledigheid van donker en licht, hemel en aarde. Als derde komen we bij de mens zoals die, naar gods beeld geschapen, op aarde leeft.

Voor de vierde dag is het spoor nu duidelijk. Met de vier komen we op aarde aan. En de kinderen tekenen de benen van een paard, de poten van een tafel en de vier stevige muren van een huis.

De vijfde dag zien we de vijfster in de appel en ook de mens als vijfster met hoofd, voet, arm, arm en voet: nu staat de mens rechtop en kijkt de wereld in.

De zes brengt ons bij de honingraat, maar ik laat de kinderen ook een tekening maken van een zesster, want ik wil de doordringing van onder en boven, ook al zeg ik er niets over, toch in de schriften hebben.

Maar de zevende dag is weer duidelijker. De zeven brengt ons bij de dagen van de week. Dan ook maar verteld dat die dagen te maken hebben met zon en maan, met mars, en venus en de andere planeten, waarbij we een prachtige tekening maken van zeven concentrische cirkels. De acht en de volgende getallen heb ik maar laten rusten. Het was de klas ook eigenlijk genoeg, merkte ik.

Maar afgesloten heb ik met de twaalf, want de maanden van het jaar, de uren van de klok en de grote kring van dierenriemtekens aan de hemel, dienden zich wel aan als vanzelfsprekend eindpunt van onze getallenonderzoekingstocht. Zou er een periode geweest zijn, waarin de kinderen zo leergierig waren, zoveel geleerd hebben, als in hun eerste rekenperiode?

En de tien? Die heb ik dagelijks geoefend in het lopend tellen en het tellen op de vingers. Daarvoor heb ik geen beeld gezocht. Dat vond ik nou eens concreet.

Waar het om aantallen gaat, kan nog een ander onderscheid gemaakt worden. Strikt genomen is er met getallen die een kwaliteit uitdrukken niet te tellen. Dat wordt pas mogelijk wanneer we ze opvatten als hoeveelheden. Het is het verstand dat zich een maat, een eenheid, kiest om de hoeveelheid te bemeten. De stap van meer, van veel, naar hoeveel is een ontwikkelingsstap.
De aandacht voor kwaliteiten leidt ook tot het opmerken van structuur. Kinderen zijn daar gevoelig voor en kunnen mooie structuren waarderen. Maar er is meer.
36

Het herkennen van een structuur als de indeling in twaalf gelijke delen op een wijzerplaat, kan later tot steun zijn bij het optellen en vermenigvuldigen. Neem maar de indeling van het uur in vier kwartieren, een cirkel met vier kwarten; het is niet moeilijk dat beeld op te roepen om bijvoorbeeld 12 = 4 x 3 of 60 = 4 x 15, of 60 : 4 = 15, of 15 + 45 = 60 enzovoort, zonder ingwikkeld rekenwerk tot stand te brengen. Die getallen 12 en 60 hebben zo een eigen kwaliteit, de tijdrekening geeft er betekenis aan, de klok laat de structuren zien.

Kinderen kunnen ook zelf aangezet worden om door maatkeuze tot aantallen te komen. Een voorbeeld om duidelijk te maken wat hier bedoeld is:

We staan met de klas in een kring rond de tafeltjes. “En nu allemaal in twaalf stappen naar je plaats; twaalf niet meer en niet minder!” Even chaos, en dan zit iedereen op zijn stoel.

Zo is twaalf een uitgangspunt, een geheel, waarin de twaalf stappen als ‘maat’ passen. Maar ik had ook negen, tien of dertien stappen kunnen vragen.

Dat kinderen hun getalbegrip niet steeds aan aantallen leren blijkt uit de volgende observaties:

Wilma doet stenen in haar emmertje.
Wilma: “één, twee, drie.”
Ik: “Geef mij twee!”
Wilma: “Ik weet niet meer welke twee is.”
(Wilma vat de getallen hier op als namen).

In de gymzaal wordt een soort ganzenbord gespeeld.
Diana is afgeteld als nummer drie.
Als ze aan de beurt is gooit ze vier.
“Hè”, zegt ze. “Hoe kan dat, ik ben drie.”
“Nee”, zegt haar vriendinnetje, “je bent geen drie maar vijf.”
(Hier worden ‘telgetal’ en ‘maatgetal’ verwisseld).

Uit dergelijke waarnemingen kan men afleiden dat kinderen tijd gegund moet worden om tot een gedifferentieerd getalbegrip te komen. Een kwalitatieve benadering, waarin het kunnen tellen niet voorondersteld is, schept zo’n ruimte. Het in beschouwing nemen van kwaliteiten en het leren tellen dragen bij aan het verwerven van getalbegrippen: hoeveelheidsgetal, telgetal en maatgetal. Aan al deze ‘tallen’ zal de school dan pas in tweede instantie het rekengetal toevoegen.

Robbie, de ondeugende zeerob

De kinderen hebben een flinke handvol schelpen op hun bank gekregen. Ze zijn vandaag dolfijntjes, die voedsel verzameld hebben. Het is teveel om te gaan tellen, daarvoor heeft juf wel gezorgd. Robbie, de ondeugende zeerob waart door de klas. Op gezette tijden staat hij stil voor een van de dolfijntjes. Die moet dan de ogen toeknijpen, want hij mag niet zien hoeveel schelpen Robbie meeneemt. Maar als daarna geraden wordt hoeveel Robbie er precies heeft weggenomen, dan worden ze teruggegeven. Anders is de dolfijn ze echt kwijt.
37

Aanvankelijk maakt de ondeugende zeerob heel wat schelpen buit. Hij lacht zich een kriek als hij de beteuterde dolfijnen ziet. Maar dan opeens is er een dolfijn, die zijn schelpen in een mooi patroon op de bank legt. En als Robbie wat heeft weggenomen, kan de slimmerik precies zeggen hoeveel er ontbreken. Die handigheid wordt al ras door anderen overgenomen. Robbie blijft nergens meer…

Met deze didactische vondst heeft juf het structureren van de hoeveelheden uitgelokt. Geen mooie patronen leggen omdat de juf het vraagt, maar omdat je zelf de zin ervan ziet.

2.3 Tellen, getallen, getalrijen en getallenlijn

Marieke kreeg zeven mooie steentjes voor zich op tafel met de vraag of ze die eens wilde tellen.
Enthousiast begon ze met uiterste nauwgezetheid de steentjes eerst op een rij te leggen en vervolgens te tellen: “zes”. Om niet meteen te reageren op het foute antwoord, legde de leerkracht de steentjes nog eens willekeurig neer, nu ver uit elkaar, verspreid over de hele tafel en zij kreeg dezelfde vraag. Weer alle steentjes netjes op een rij, weer tellen: “zes”. Nu stelde de leerkracht voor ook eens te tellen en telde er ‘zichtbaar’ zeven. Met een gezicht van ‘Ja, zo tel je niet’, pakte ze resoluut een van de steentjes weg en zei: “Zes, want deze is niet mooi”

De leerkracht kan opgelucht ademhalen, want Marieke kan dus toch tellen. Duidelijk wordt op zo’n moment dat voor de jongste leerlingen op school het hele leven ‘kwaliteit’ is en dat kwantiteit nog niet leeft. Het in kwalitatieve zin leren kennen van de getallen, te beginnen met 1, zoals dat in de eerste rekenperiode in de eerste klas gebeurt, is iets dat alle kinderen direct aanvoelen en daardoor ook begrijpen. Het komt voort uit datgene dat als (reken)natuurlijke mogelijkheden in de mens en in het leven aanwezig is. Bij kinderen kunnen we tijdens het leerproces die verbondenheid met de oorsprong van de getallenwereld nog herkennen.
Dan beginnen we met het tellen. Vanuit de beweging gaan we met de kinderen ‘de weg naar de aarde’ bewandelen. Met iedere beweging zet de geestelijke, niet stoffelijke voet een stap in het aardse bestaan. Uiteindelijk leidt dat
bewegingsprincipe tot het zuiver kwantitatieve tellen.

Uit liedjes, rijmpjes en ritmische spraakoefeningen kennen de kinderen de getal-namen en de volgorde van de getallen. Dit eerste tellen, ook wel akoestisch tellen genoemd, is nog onafhankelijk van kwaliteit en kwantiteit van de getallen. In dit tellen zijn de kinderen niet wakker. Het is heerlijk om te doen, je kan zelfs overdag wegdromen op het ritme van de rij en bovendien kan je ’s nachts ‘wakker’ gemaakt worden om de getallenrij op te zeggen; ongetwijfeld rolt de hele rij er slapend uit!

Als we aan dit tellen beweging toevoegen, beter gezegd: als we aan bewegen dit tellen toevoegen, ontstaat er een andere activiteit van tellen. Tellen dat een kwantitatief aspect heeft. Denk daarbij aan spelletjes als ‘De bomen zwaaien en
38

zwiepen’, ‘de zevensprong’ en ook opdrachten als ‘hoeveel stappen is het tot de deur?’, die bij dit tellen horen.

Het oerprincipe van het bewegen is al het levende, al wat geheel in- en uit zichzelf beweegt. De beweging van de mens en dus het ‘bewegen’ van kinderen is het directe gevolg van dit oerprincipe dat in hen aanwezig is. Het gericht bewegen is ook de kracht waarmee het kind alles in zijn jonge leven op aarde wil doen.

Als kinderen tijdens spel of opdracht bewegen, veranderen zij geheel of gedeeltelijk van plaats in de ruimte. Iedere beweging kost ook tijd. Je kunt je voorstellen dat, wanneer er beweging is op aarde, de gevolgen gekoppeld zijn aan ruimte en tijd.

Omdat in de bewegingsimpuls ook het doel van de beweging een rol speelt, komt er aan die beweging in een spel of opdracht ook een eind. Het bewegende is dan een interval tussen begin- en (stilstaand) eindmoment. Als we nu de kinderen ‘het aantal stappen tot de muur’ laten tellen, tellen zij in feite de passen, de intervallen tussen het vertrek en neerkomen van de stap. Dit tellen is het toevoegen van de opeenvolgende getallen aan de beweging in de ruimte (en tijd). Als didacticus weet je dat we dan met (de toekomstige vijfde klas) meetgetallen te maken hebt.

Dit zelfde tellen hanteren we als we met tijd te maken hebben, als we de beweging van de schaduw van de zonnewijzer op het schoolplein of de beweging van de wijzers van de klok benoemen; als één keer de grote wijzer ronddraait, duurt dat 1 uur.

Toch kennen de kinderen nog een andere wijze van tellen, waarvoor we dezelfde getallen gebruiken: “Ik heb vijf vingers aan mijn hand, ik heb tien tenen aan mijn voet, ik heb twee ogen”, enzovoort.

We gaan met de klas naar buiten en verzamelen kastanjes, eikels of steentjes uit de natuur om ons heen, “Ik heb er wel duizend, Juf.” Weer terug in de klas krijgen de kinderen een aantal kastanjes op tafel, die ze kunnen verdelen in groepjes. Bij kleine groepjes kastanjes ‘herkennen’ ze meteen het getal: twee, drie, vier … (minstens tot en met het getal, dat hetzelfde is als het aantal waarmee ze in het dagelijks leven veel te maken hebben, zoals zes gezinsleden met zes borden, zes bekers op tafel, zes …).
39

40

Bij het tellen van grotere groepjes kastanjes komt de beweging tot stand door het een voor een aanwijzen. De beweging eindigt bij de kastanje die we als laatste meetellen! De elementen die we tellen, waaraan de getallen worden toegevoegd, zijn nu onafhankelijk van het bewegen in ruimte en tijd. Het is een ‘aardse’ wijze van tellen; er moet materie aanwezig zijn, zichtbaar, tastbaar, eventueel hoorbaar.
Dit tellen begint waar de beweging eindigt!
Ruimer bezien kun je stellen dat daar, waar bewegen eindigt (denk ook aan groeiprocessen), ontstaat vaste vorm, materie, waarmee onmiddellijk de telgetallen verbonden zijn.

Als het rekenen uitsluitend opgebouwd wordt vanuit dit tellen, is het gevaar aanwezig dat je alleen met materieel vermeerderen bezig bent, wat in de ziel van het kind een materialistische houding zou kunnen oproepen.
Toch is het noodzakelijk dit tellen goed te oefenen, omdat het de kinderen helpt de wereld waarin zij leven als waarneembare realiteit te leren kennen en deze vast te leggen om er zo grip op te krijgen .
Dat te kunnen is net zo noodzakelijk voor een mens als de aanwezigheid van het bot in zijn bewegende ledematen. Spieren zijn bemiddelaars van het bewegen, maar zonder bot kan de mens niet op zijn benen gaan en staan.

Het is belangrijk dat de wereld van het tellen voor de kinderen één geheel blijft, het is niet zinvol de genoemde verschillen bij het tellen al in het bewustzijn van de kinderen te brengen.
Door het bewegingsonderwijs worden de kinderen de drie ‘tel-werelden’ (de tel-namen, de meetgetallen en de hoeveelheidsgetallen) gewaar in en aan lichaam en ziel en niet in het zelfstandige denken met het hoofd, dat zich als
bewustzijnsorgaan dan nog ontwikkelen moet.

Wel is het van het grootste belang voor de leerkracht, om bij het maken van lesmateriaal, de spelletjes en opdrachten, zich te realiseren wat hij de kinderen laat tellen. Het gaat erom vanuit een beeld(verhaal) via het gerichte bewegen, het tellen te creëren.

Een mooi voorbeeld hiervan is de manier waarop Rudolf Steiner dat aanpakte Hij zei, tijdens een bezoek aan een klas, tegen de kinderen: “Nu is het zomer en bloeien buiten de rozen. Wat zou het mooi zijn, als er nu iemand binnen kwam, die ons een mand met rozen bracht. Ieder van jullie zou er dan evenveel moeten krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie!” Dat zegt hij tegen een meisje met wegdromende ogen. “Maar jullie moeten wel handig zijn en ze echt vangen; dan zullen we tegelijk zien, hoeveel rozen er in de mand zaten.” Dan krijgt het tweede kind zijn drie rozen toegeworpen en het roept bij het ‘vangen’: zes. Daarna de derde: negen; waarna het steeds sneller gaat: 12,15,18, 21, 24, 27, tot bij 30 de mand leeg is. De klas juicht, maar er is ook protest, want de overige twintig willen ook hun rozen hebben. Dus wordt alles herhaald.
Zo werd de tafel van drie geoefend, waarbij het hele lichaam werd aangesproken; de handjes en voeten waren minstens zo beweeglijk als het hoofd. Mooi was ook het ritme dat in de beweging van het werpen en het vangen zat, en dat tegelijkertijd de band tussen leraar en leerling vormde.
41

Hier is de laatst genoemde vorm van tellen aan de orde, zelfs in verkorte vorm (met drie tegelijk), zonder dat er sprake is van een materialistisch element.

Anders is het bij de zevensprong, daar zijn de getallen het aantal stappen, dus de bewegende meetgetallen, die als de beweging stil staat een maat hebben bij ieder kind. Omdat aan ieder getal ook een gebaar wordt toegevoegd is hier ook het ‘kwalitatieve’ betrokken.

“Jongens, wie weet er nog wat we bij de zes moeten doen?”
“Zes stappen, meester.”
“Met de ellebogen op de grond, meester!”

Stappen tellen, muzikale spelletjes met ‘maat’-tellen behoren bij het met meetgetallen bewegende tellen. Bewegingen worden daarbij tot lengtemaat of tijdsduur. Oefeningen met ritmische rijen van getallen, kunnen ten dienste staan van verschillende telvormen. Zoals in het voorbeeld van ‘de boer met één klomp en één sok’. Hier gaat het om het tellen van het neerkomen van de stap: zacht-hard, zacht-hard wordt 1 – 2,1 – 2 of 1 – 2, 3 – 4, 5 – 6, …

Door het ritme van de rij te variëren leren kinderen de structuren ervaren die er in de getallenrijen te vinden zijn. Verkort tellen, zoals 2, 4, 6, 8, …, legt een basis voor de tafels van vermenigvuldiging. In het periodeschrift laten de kinderen dit zien met sprongen over de getallenlijn.

Door deze ritmische teloefeningen ook achterstevoren te doen, leren de kinderen niet alleen terugtellen om beter te weten dat de 4 voor de 5 komt. Het gaat hierbij direct om een pedagogische activiteit die een versterkende werking op het ether-lichaam van het kind heeft. Rudolf Steiner geeft dit aan omdat bij een zwak ether-lichaam er nerveuze spanningen kunnen ontstaan die de leerprocessen hinderen, het kind kan dan de ervaringen, waarvan het leert, niet goed verwerken.
De vraag is hierbij of het in omgekeerde volgorde tellen (denk ook aan het alfabet) wel een leerdoel moet zijn. Gaat het hier niet om een activiteiten-doel?

Tot slot nog: spelletjes, waarbij heen en terug geteld en ook heen en terug lopend, bewogen wordt, stemmen tot nadenken, of zouden dat moeten doen.

Meester zet alle kinderen op het schoolplein met de rug tegen de muur. Dan gaan ze lopend tellen tot tien. Daarna achterwaarts terug, te beginnen bij tien. De kinderen begrijpen er niets van (en de leerkracht?). Ze hebben toch goed geteld, maar komen niet meer bij de muur terug!?

Op de heenweg telden de kinderen vanuit het begin van de beweging:

42

Op de terugweg echter werden de momenten van staan(!) geteld:

Er moest toch begonnen worden waar op de heenweg geëindigd was?

Op de heenweg meetgetallen en in dezelfde opdracht op de terugweg telgetallen. Dat gaat niet samen!
Dit probleem ontloop je door te kiezen (intuïtief gebeurt dat ook vaak) voor de geschikte telvorm. Laat de kinderen een sprong maken op de plaats bij iedere stap en noem de telnaam op het moment van die sprong, dan doet het uitgangspunt gewoon mee!

3 tellen, maar 2 bewegingen!

of blijf het bewegen tellen:

3 tellen, tussen 4 plaatsen!

Overbodig is het om te waarschuwen dat bij tel-oefeningen (denk ook aan het leren van de tafels), waarbij het woord ‘thuis’ nodig is, de twee werelden van het tellen door elkaar en oneigenlijk gebruikt zijn. Wie ‘thuis’ wil komen moet zich bewegen en zijn bewegingen tellen!
In de getallenleerperiode van de zevende klas gaan de kinderen met de nul, door ‘thuis’ heen naar de negatieve getallen.
43

Tot slot een opmerking met een vooruitblik op het schriftelijk werk na het tellen. Getallen in kwalitatieve zin kunnen de kinderen met een tekening in beeld brengen. Ook kun je elementen – zoals kastanjes – tekenen nadat ze geteld zijn. Zakken met aantallen stenen uit een verhaal kun je in beeld brengen op papier. Ook stappen die je gezet hebt kun je op een lange rol krantenpapier afdrukken.
Opvallend is dat je het bewegen dat leidt tot de meetgetallen niet kunt vastleggen, omdat het zich helemaal in de beweging voltrekt. Eigenlijk kunnen we pas in de meetkundeperiode van de vierde klas dit tellen ook ‘schrijven’, wanneer de kinderen met lichaamsdelen, duim, voet, el …dagenlang beweging vastleggen waar deze tot de afstand wordt tussen een begin- en een eindpunt. Want pas na het beleven van deze eenheden kunnen we meetgetallen echt vastleggen (klok, liniaal).

Uit de wereld van de volwassenen kennen we de pijl als mogelijkheid om toch te tekenen wat we meten, maar bewegen doet hij niet op papier tussen 

En zo beweegt ook de wijzer van de klok en is het na één uur 1 uur.
Kwantitatief tellen heeft zo toch kwaliteit!

Drie vormen van een bekend didactisch probleem:

1. ‘De eerste januari 1900: Een nieuwe eeuw op bevel van de keizer.’

Onder de talloze bevelen en verordeningen die de Duitse keizer in het najaar van 1899 liet uitgaan, is er één die op zijn minst verwondering wekt.
De Keizerlijke Hoogheid bepaalde daarin eens en voorgoed dat de twintigste eeuw zou beginnen op 1 januari 1900.
Die oekaze was voor zijn onderdanen het beslissende woord in een discussie die in een groot deel van Europa al geruime tijd gaande was. Lang niet iedereen was er namelijk van overtuigd dat de nieuwe eeuw inderdaad op die dag zou aanvangen. Nog op 1 januari publiceerde een Nederlandse krant een ingezonden stuk van een lezer uit Den Haag waarin deze berekende dat de negentiende eeuw pas voorbij zou zijn op 31 december 1900 te middernacht. Eerst op dat moment immers, zouden er, sinds het begin van de jaartelling, 1900 volle jaren zijn verstreken: de twintigste eeuw zou derhalve pas op 1 januari 1901 ingaan…
(Uit: Documentaire 20e eeuw. Kroniek en aanzien van onze tijd. Waanders Uitgevers, Zwolle 1992).

2. Punten of appels ?

Werken met punten of ruitjes is abstracter dan het werken met voorwerpen, dat blijkt al dadelijk uit het feit dat de kinderen tobben met het begin en het eind. Nemen we bijvoorbeeld eens deze rij, waarin de punten de achtereenvolgende getallen vervangen:

Zo’n rij gebruikt men voor de kinderen als steun bij de sommetjes 14 + 3, 14 + 8, 24 – 2, 24 – 6 enzovoort.

Veronderstel, een kind weet niet heel zeker meer, hoeveel 14 + 8 is, en wil het op zo’n rij gaan uittellen. Nu moet het niet bij 14 beginnen, maar bij het eerstvolgen-
44

de punt. Wil het echter acht van 24 afdoen, dan moet het wel bij 24 en niet bij het eerstvolgende punt beginnen. Het getal, waarvan men uitgaat, telt dus bij het optellen niet mee, bij ’t aftrekken wel. Als de onderwijzer daar van te voren nu niet op bedacht is, krijgt hij er getob mee, en de leerlingen raken zóo in de war, dat het hulpmiddel een hindernis wordt.
Bij concrete dingen, bijvoorbeeld appels, bestaat de moeilijkheid niet, en zal geen kind het verkeerd doen. Daarom tekene men eerst appels of moppen om de punten en getallen heen. De kinderen mogen ze er in ’t begin ook nog omheen tekenen, later nog er omheen dénken, en weer later praat men er niet meer over.(Uit: C. Kellinga, Noodig Rekenen op de lagere school, Tilburg\A’dam, z.j.)

3. Wilfried.

Wilfried zit in klas 1 en behoort tot de zogenoemde ‘tellers’. Alle optellingen doet hij met doortellen: 7 + 5: begin bij 7 en tel 5 verder. Manda, zijn klasgenootje, doet dat nog primitiever. Zij begint steeds helemaal opnieuw te tellen: 7 + 5: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, en dan nog 5 verder.
De leerkracht zit met een brandende vraag: Hoe komt het nu dat Manda minder fouten in de sommetjes maakt dan Wilfried?

De getallenlijn

Nadat de kinderen met rekenen flink bewogen hebben, komen ze in de klas ook weer op hun stoel terecht. Daar maken ze tekeningen van wat gedaan is of oefenen nog het tellen met bijvoorbeeld kastanjes of steentjes.
In het voorbeeld van Marieke uit het begin van deze paragraaf, zagen we dat ze bij het tellen van voorwerpen, voor haar dus de steentjes, er behoefte aan had deze te rangschikken voor ze begon met tellen. Ze legde de steentjes daarom eerst keurig op een rij. Een ander kind telde juist voor de vuist weg allerlei ongestructureerde dingen door weg te schuiven wat ze gehad heeft.
Voor beide kinderen is het overigens een moeilijke oefening om de planten in de klas te tellen, die staan immers niet alleen op rij in de vensterbank maar ook her en der in de klas. Marieke kreeg ze niet op een rijtje en het andere kind kon ze niet wegschuiven, maar ontdekte wel dat het tellen van de planten in de vensterbank makkelijker was dan het tellen van de rest.

In periodeschriften zien we mooie tekeningen van een getallenlijn met grote gekleurde bogen die de beweging van het lopen aangeven. Het is een model van wat we gedaan hebben. Uit zichzelf weten kinderen dat ze de ritmische rijen, de telrijen, waarbij de nadruk bijvoorbeeld op de tweetallen lag, met grote bogen kunnen weergeven. Ook in de tweede klas zie je dat dit weergeven van de tafel-rijen de kinderen goed afgaat.
Bij het tekenen van wat we gelopen hadden, ontdekten kinderen zelf dat ze verschillende ideeën hadden over waar de 1 moest staan. Net als bij een hardloopwedstrijd vonden we met elkaar dat je bij de start nog niet gelopen had en dat 1 daar dan niet kon. “Hoe zullen we dat nu noemen, daar waar nog niets gebeurd is?” “Gewoon 0”, dat vonden een heleboel kinderen heel vanzelfsprekend, zij zagen daar geen enkel probleem. En zo ontstond de meetgetallenlijn in het periodeschrift.
45

Het probleem van het rijtje steentjes van Marieke blijft. Als zij die steentjes op een papier legt om de getallen erbij te schrijven begint ze natuurlijk met 1 en staan er vervolgens getallen op een lijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)

Zo’n rij getallen zie je in vele gedaanten voor de klas, in het rekenschrift, op het bord, bij huisnummers, maar ook in de natuur, in de wereld om ons heen. Waar mensen in de wereld een aantal dingen willen aanduiden door ze te nummeren, daarbij is dan zowel de opeenvolging als het aantal, meteen duidelijk .

Hoe zit dat nu eigenlijk met ‘de‘ getallenlijn? Is het een lijn met ‘punten’, of is het een lijn met ‘intervallen’? Een liniaal is ook een getallenlijn, maar als je er mee meet, gebruik je eerder de lijnstukjes tussen de punten, dan de punten zelf. De 1 hoort bij de eerste centimeter, het stukje op de liniaal dat van 0 tot 1 loopt. Waar begint men te meten? Bij 0 natuurlijk. Kinderen vergissen zich daar wel mee, en beginnen bij punt 1 te meten. Dat misverstand ontstaat doordat ze denken aan tellen. Waarmee begin je te tellen? Met 1 natuurlijk.
Toch kun je meten ook opvatten als tellen: hoeveel stukjes van een centimeter passen er langs de lange kant van je boek?
Bij het meten denk je dus aan een getallenlijn die opgebouwd is uit intervallen. Meetgetallen, dat klopt, zijn ook eigenlijk altijd ‘benaderingen’. Hoe lang ben jij? Ik ben 1 meter 75. Ongeveer, weet men dan.
In de vrijeschool proberen we de getallenlijn te gebruiken wanneer dat aansluit bij iets wat gedaan is. Het is geen model waaruit in het aanvankelijk rekenen de basisbewerkingen te ontwikkelen zijn. Hebben kinderen in de eerste leerjaren moeite met de opeenvolging van de getallen, dan laten we ze liever werken met door hen zelf op kaartjes geschreven getallen. Ze kunnen die op rij, als steunpunten op hun tafel leggen. Zo kunnen ze aan concrete zaken toegevoegd worden. Dat je er ook meetgetallen mee kunt tellen blijkt wanneer we op het plein zijn en een spel doen. Dan voegen we getallen toe aan een beweging, en kunnen we deze kaartjes neerleggen bij het resultaat van een (aantal) stap(pen) of van een andere beweging.

In de vierde klas krijgt het stuk van de getallenlijn tussen de 0 en de 1 voor de kinderen meer betekenis. Met de breuken raakt de getallenlijn steeds meer gevuld. In deze fase van de ontwikkeling van kinderen, dus na het negende jaar,
46

kunnen de kinderen de getallenlijn ook gaan hanteren als model voor de getallenwereld. Juist in het leerplan van de vierde klas krijgen de meetgetallen hun betekenis en waarde voor het meten zelf.
Eindelijk krijgen de meetgetallenlijn en de rij van de telgetallen nu dezelfde ‘lengte’! Voor hoeveelheidsgetallen en meetgetallen kunnen de kinderen nu wel dezelfde getallenlijn gebruiken als model.

Terug naar de problemen, zoals gesteld aan het begin van dit stuk over de getallenlijn. Het aangeven van hoeveelheden en maten met onbenoemde getallen op een getallenlijn, blijft ingewikkeld!
De getallenlijn van ‘Kellinga’ was blijkbaar zo bedoeld: een stelletje punten (voor appels) op een rijtje geplaatst. Als je die hardop telt, en de telnaam er dan bij zet, krijg je ‘een’ getallenlijn. Wat betekent dan het punt 5? Dat geeft aan dat je er tot dan toe al vijf geteld hebt. Erbij doen is dan ernaast plaatsen en doortellen. Eraf doen is dan wegstrepen en kijken wat je overhoudt.

Wat een soesa.

• Hoe zit dat als je in intervallen (concreet: meetgetallen) denkt?
• Hoe zit het nu met het stappen om het tellen te leren? Anders gezegd: welk beeld moeten de kinderen hebben om stappen nemen en tellen op elkaar af te kunnen stemmen
• Hoe zit dat met de een en twintigste eeuw? Begint die op 1 januari 2000 of op 31 december 2000, te middernacht?

• Waar zit ‘m de denkfout?
47

48

2.4 Temperamenten

Het temperamentenonderwijs is een van de belangrijkste pijlers van de vrijeschoolpedagogiek. In het temperament zoals we dat in onszelf beleven, ligt de ‘oer-vierheid’ besloten, die we overal in de wereld terug vinden: in de loop van de seizoenen, in de vier elementen, maar bijvoorbeeld ook in de vier basisbewerkingen van het rekenen. Door de relatie te leggen tussen temperament en basisbewerking werk je allereerst vormend aan de persoonlijkheid van het kind, maar tevens maak je ze zo vertrouwd met een rekenkundig principe. Om zelf een verhouding te krijgen tot hetgeen uit de temperamenten spreekt, is het een hulp om het ‘gebaar’ van de temperamenten te leren kennen.

De vormtekening voor het flegmatische temperament gaat van een gesloten, een hele cirkel, naar een doorbroken cirkel.

Optellen

Wanneer we naar dit ‘gebaar’ kijken en we denken aan rekenen, dan zien we dat de vorm gaat van het geheel naar de delen.

Ik laat een aantal kinderen (12) voor de klas komen. Ze gaan in een rij naast elkaar staan. Nu roep ik een flegmatisch kind. “Hoeveel kinderen staan hier?” Het kind telt: “12”. Ik: “Breng jij die twaalf kinderen nu eens in groepjes of een voor een op een andere plaats in de klas”. Nu gaat het kind aan de gang. Als het de kinderen een voor een wegbrengt is de kans zeer groot , dat je met een flegmatisch kind te doen hebt. Als het klaar is vraag ik: “Wie heb je het eerst weggebracht? Wie daarna en toen?” Enzovoort. Ik laat het kind z’n eigen handelingen beschouwen. Vaak weet het die niet meer. Dan moet het over. Daarna dringt er al iets meer door. “Hoeveel kinderen stonden hier voor de klas?” Kind: “twaalf’. “In welke groepjes heb je die weggebracht?” Kind: “Twee daar en drie daar en vier daar en drie daar.” Ik: “Ja, 12 is twee en drie en vier en drie. Zeg jij dat ook eens” en wijs op de groepjes. Kind: “12 is twee en drie en vier en drie”.

Hierna zal er een de cholerisch kind aan de beurt komen. Welk gebaar maakt de vormtekening die Rudolf Steiner voor de cholericus gegeven heeft? Het gaat om vormen met punten, ‘spitsen’, die veranderd moeten worden in gesloten vormen.
49

Wanneer we naar dit gebaar kijken en we denken aan rekenen, zien we dat de vorm gaat van de delen naar het geheel.

De groepjes die het flegmatische kind heeft neergezet, staan er nog. Ik roep nu een cholerisch kind: “Je hebt gezien, dat zij de kinderen die hier in de rij stonden, heeft weggebracht, daar en daar. Jij mag ze nu weer in de rij brengen.” Het is altijd weer verrassend om te zien hoe de cholericus weg wil stormen! Dat zal hij wel even klaren. En dan: de nog grotere verrassing wanneer hij hoort: “Stop! Kom eens terug. Je mag ze weer hier brengen, maar zo, dat die het laatst zijn weggebracht, nu het eerst worden teruggebracht enzovoort.” En dan, wat een cholericus zo slecht lukt: hij denkt, voor hij gaat doen. Ineens zegt hij dan letterlijk: “Dan moet ik nadenken.”

Een grandioos ogenblik. Hier voltrekt zich iets unieks! Hier worden de woorder van Gezelle waar: “Denkt aleer gij doende zijt …” En door de cholericus komer de groepjes één voor één weer voor de klas. Drie en vier en drie en twee. En hi zegt het:” Drie en vier en drie en twee.” De flegmaticus: vanuit het geheel -d< som- naar de delen. De cholericus: vanuit de delen naar het geheel, waarbij dar de omkering komt. Die omkering is mijns inziens het meest essentieel. Het lijkt
50

nauwelijks belangrijk, maar het is voor de cholericus ‘het’ ogenblik: hij moet nadenken. We kunnen zeggen dat door de wijze waarop het flegmatische en het cholerische kind de opdracht uitvoeren, de andere klasgenoten leren optellen; beide vormen komen vanaf het begin aan voor: 10 = … + … +…      … + … + … = 10

Nu doet zich de vraag voor: Maken alle kinderen de flegmatische vormtekening, bieden we deze klassikaal aan? Mijn antwoord is: Neen! Temperaments-vormtekeningen zijn therapeutische oefeningen. Ze zijn specifiek voor dit temperament. Wanneer ik de cholericus wil helpen zijn ongebreidelde drang om zich in de wereld te manifesteren, te beheersen, moet ik hem geen oefening geven die dit manifesteren juist ondersteunt: van het geheel naar de delen (vanuit jezelf de wereld in). En de flegmaticus die ik zojuist graag ‘in de wereld’ wil brengen, wil ik niet bevestigen in zijn zielehouding zich in zichzelf op te sluiten, door hem een oefening te geven van de delen naar het geheel. Dit houdt immers een nog sterkere verdichting, afsluiting voor de wereld in.

Geldt dit ook voor de rekenopgaven?

Zoals ik deze klassikaal uitvoerde in mijn voorbeelden, laat ik geen ander temperament aan de beurt komen dan het flegmatische en het cholerische. Zelfs wanneer ik klassikaal met kastanjes of iets dergelijks werk, spoor ik de flegmatische en cholerische kinderen aan ‘hun’ eigen beweging uit te voeren. Alle kinderen doen dus mee, maar ik accentueer per temperament de opdracht.

Het is hier al vaker uiteengezet: werk vanuit het geheel naar de delen. Voor het optellen betekent dit dus veel opdrachten in de trant van: wat is 10; 8; 11 enzovoort.

Wanneer de opdrachten zonder voorwerpen gemaakt kunnen worden, dus uit het hoofd, ga ik er van lieverlede toe over alle kinderen beide optelsommen te vragen. 9 = … + … + … en … + … + … = 9 (de cholericus kan hier nog steeds omgekeerd antwoorden); waarbij ik langzaam van de meer-dan-twee splitsingen overga naar … = … + …; om dat ten slotte te laten uitmonden in uit het hoofd leren, als tafel van optelling, bijvoorbeeld:

5=4 + 1
3 + 2
2 + 3
1 + 4

waarbij ik opnieuw het flegmatisch kind extra beurten geef en het cholerische, als een soort echo laat herhalen 4 + 1 = 5 of als het lukt: omgekeerd 1+4 = 5         2 + 3 = 5 enzovoort.

Tenslotte moeten alle kinderen leren optellen.

Vermenigvuldigen

Voor het vermenigvuldigen wordt de sanguinicus voor de klas gevraagd. Laten we eerst eens naar zijn vormtekening kijken. Hij krijgt een los motiefje op en datzelfde motiefje een aantal keren vast aan elkaar.
51

We weten dat een ritmische herhaling zich aan het bewustzijn onttrekt – deze krijgt gevoels(=droom) karakter. Herhalen bij vol bewustzijn cultiveert de eigenlijke wilsimpuls (Anthroposofische menskunde, vierde voordracht). Het stoppen en het weer beginnen, daar gaat het om wanneer we de sanguinicus een grotere concentratie willen geven.

Ik zet twaalf kinderen voor de klas. Ik roep een sanguinisch kind. Ik laat het tellen, “twaalf’. “Goed”. Nu wijs ik drie kinderen aan. “Zie je dit groepje van drie?” “Nu moet jij me eens zeggen, hoeveel keer zo’n groepje van drie in deze twaalf zit”.

Wat heb ik de kinderen meestal zien doen? Ze lopen langs de rij en maken een ope-ning. En dan nog eens; en opnieuw en opnieuw. Ze vinden: vier keer. Nu moet het melancholische kind komen. Laten we ook hier eerst de vormtekening voor de melancholici bekijken. Het moet deze vorm natekenen:

Daarna moet het de tegengestelde vorm tekenen. Rudolf Steiner: “Ik zal zo arceren wat de oorspronkelijke vorm is (a) en de tegenvorm (b) zo. Wat hier (a) gearceerd is, zou hier (b) leeg zijn. Stelt u zich het lege opgevuld voor, dan krijgt u deze vorm (a) weer. Daardoor is de buitenste vorm (b) tegengesteld aan de binnenste vorm (a). Hier heeft u het tegengestelde van tekeningen met herhalingen. Hier hebben we iets van een gedachte, gepaard met iets aanschouwelijks voor het melancholische kind”.

Het is niet meteen duidelijk of het kind ook moet arceren of kleuren. In zijn uitleg wendt hij zich tot de leraren, en niet, zoals wel vaker, tot de kinderen. Zonder het gearceerde kan ik de zin van de twee tekeningen echter niet vatten. Dan zijn ze gelijk en kom ik niet tot een tegenovergestelde vorm. Ik kan er dus niet omheen om, wanneer het kind figuur a -nog zonder arcering- heeft nagetekend, te zeggen: “Kijk, dat maak ik blauw (het gearceerde). Dit is wit”. Ik wijs op het binnenste. “Maak jij nu eens zo’n tekening, waarbij het witte deel blauw wordt en het blauwe wit”. Ik meen hiermee te voldoen aan de opdracht: “Bij een melancholisch kind zou het goed zijn om iets te nemen waarbij toch enigszins nagedacht moet worden”. Wat gebeurt er dan? Het kind kijkt, denkt na en tekent. Het binnenste wordt blauw gekleurd. En de melancholicus is klaar! Zien we hier niet bij uitstek het melancholische: het gericht zijn op het binnenste -de binnenwereld- het eigen wereldje? “Neen”, zeg ik, “het is nog niet klaar …” De blik van de melancholicus wordt weer naar het bord getrokken, naar buiten. Hij kijkt, denkt na en … Wat zo onbelangrijk lijkt, is van het grootste gewicht. Het gaat mijns inziens om het gearceerde, buiten de vorm.
52

Met het ‘binnen’ heeft de melancholicus geen moeite. Voor het ‘buiten’ moet hij gewekt worden. Wat een grandioze vondst van Rudolf Steiner! Het binnenste komt nu ook buiten. Een blikwisseling, het gericht zijn op het eigen zelf, wordt tot een gericht zijn op de buitenwereld. Dat is wat de melancholicus moet leren.

De twaalf kinderen die de sanguinicus heeft verdeeld in vier groepjes van drie, staan daar nog. Ik roep het melancholische kind en zeg: “Jij moet goed kijken. Er staan vier groepjes van drie. Van jou wil ik weten hoeveel groepjes van vier je hiervan kunt maken?” Het duurt meestal even, maar dan klinkt: “drie”. Wat betreft het verdere oefenen in de klas: Zoals ik doe bij het optellen, ga ik ook hier te werk. Het sanguinische kind legt met de acht kastanjes vier groepjes van twee; de melancholicus vraag ik naar twee groepjes van …? Alle andere kinderen doen dat op hun bank mee, maar krijgen niet voor de klas de beurt. Wanneer ik later mondeling deze soort vragen voortzet, probeer ik tenslotte ieder kind het goede antwoord te laten geven.

Delen

Dat moet het cholerische kind doen. De vormtekening (zie blz.52) laat ons het gebaar zien van de delen naar het geheel. Deze vorm is als het ware het gebaar van de cholericus: zich naar alle richtingen doen gelden. Je kunt er de ellebogen, de armen, desnoods de benen in zien, waarmee hij zich in de wereld manifesteert. Als je het even verder voert, zeg je: “Hij is daar! En daar! En daar!” ofwel:

Dit nu moet in een geheel geplaatst worden of moet een geheel worden, de scherpe kantjes moeten eraf. Invoegen in het geheel. Deel zijn van een totaliteit; een constructief lid van een gemeenschap, als we van de vormtekening naar de karaktervorming kijken.

Ik vraag een cholerisch kind voor de klas. “Breng jij eens een groepje van drie kinderen hier.” Hij haalt ze uit de klas en daar staan ze voor het bord. “Nu wil ik hier geen groepje van drie, maar een groep zo groot, dat dit groepje van drie daar vier keer in past.” (Zou je na “zo groot..” niets meer zeggen, dan zou de cholericus erop losstromen en zijn gang gaan). Nee, hier weer de beperking: “dat er vier keer in past”. Natuurlijk werden de kinderen nog uit allerlei ‘hoeken en gaten’ gehaald, met tumult ook, maar begrensd, in een geheel geplaatst: er kwamen er netjes twaalf te staan.

je kunt natuurlijk weer zeggen dat dit een vermenigvuldiging is, maar als je naar het gebaar kijkt, zeg je dit niet meer. Van het deel naar het geheel, net zoals de vormtekening voor het cholerische temperament. Rudolf Steiner: “Op deze
53

manier, door dit steeds weer zo te doen, krijg ik juist bij de vier rekenbewerkingen de mogelijkheid om ze te gebruiken voor de opvoeding van de temperamenten”. Wie nogmaals de vormtekening voor de flegmaticus bekijkt, ziet het gebaar: van het geheel naar de delen. Voor het rekenen is het verder heel simpel. Van het, door de cholericus gevonden geheel, moeten weer groepjes worden gemaakt, het moet worden verdeeld.

Ik zei dan: “Kijk, hier staan er twaalf, en liet het voor de klas geroepen flegmatische kind nogmaals tellen als die het niet meer of nog niet wist “twaalf”. “Verdeel jij die eens in groepjes van drie en breng die weer op een plaats in de klas.” Het flegmatische kind doet dit en moet daarna weten hoeveel groepjes het heeft weggebracht. (Weet het die nog te staan …?)
Het zegt dus: “daar een groepje, dat is een en daar is twee en daar is drie en daar vier, in vier groepjes. Eigenlijk zegt het dus: 12 = 3 + 3 + 3 + 3. Je ziet de vormtekening weer voor je. Later kan natuurlijk ook gevraagd worden hoeveel groepjes van vier er gemaakt kunnen worden.

Rudolf Steiner: “U zult ontdekken dat het op deze manier heel economisch gaat en dat men de kinderen de dingen ook door elkaar kan laten doen. Het delen is immers verwant met het aftrekken en de vermenigvuldiging is eigenlijk alleen maar een herhaalde optelling. Zo kan men ook alles omdraaien en bijvoorbeeld het cholerische kind laten aftrekken”.
Aan bovenstaande kan je zien hoe levendig Rudolf Steiner de omgang met het rekenen voor ogen stond. Na het eerste aanbieden volgens het beschreven vaste patroon, volgt het aanbieden door elkaar.

Aftrekken

De aftrekking moeten wij allereerst met het melancholische kind doen. Elders wordt uiteengezet waarom we de rest als het geheel moeten beschouwen.

Rudolf Steiner geeft daar een rekenvoorbeeld van als hij beschrijft hoe moeder Marietje erop uitgestuurd heeft om appels te gaan kopen. Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen, want dat heeft de koopvrouw op een papiertje geschreven. Marietje komt thuis en heeft maar tien appels bij zich. Dat komt voor in het leven: Marietje heeft vijfentwintig appels gekregen en ze brengt er maar tien thuis. Marietje is een eerlijk Marietje, ze heeft er onderweg echt geen enkele opgegeten. Nu komt er iemand achterop gelopen die ook eerlijk is. Die brengt alle appels terug die Marietje onderweg verloren is. Nu rijst de vraag: hoeveel heeft diegene er bij zich? Je ziet hem uit de verte aankomen, maar wilt alvast weten hoeveel hij er mee brengt. Nu, Marietje is aangekomen met tien appels; zij heeft er vijfentwintig ontvangen, dat kun je nog op het blaadje van de koopvrouw lezen. Marietje heeft dus vijftien appels verloren.

Het is verhelderend eens te zien hoe Steiner te werk gaat. Een eenvoudig beeld, een voorbeeld slechts -maar uit het leven!- als opstapje naar een rekenprobleem. Dat Marietje een melancholische meisje is, is begrijpelijk. Het is zielig om iets te verliezen. De aandacht wordt echter naar de buitenwereld getrokken: waar zijn die appels gebleven? Het sanguinische temperament moet de omgekeerde bewerking maken. Dit kind vindt het heerlijk al die verloren appels op te rapen, ze op te zoeken. Aan het melancholische kind vraag je: “Jij hebt tien appels over. Je had
54

er vijfentwintig. Hoeveel zijn er verloren?” De nadruk ligt in het begin op de rest, de tien appels die over zijn.
Daarentegen wend je je tot het sanguinische kind met: “Kijk, als ik vijftien appels van de vijfentwintig afhaal, hoeveel blijven er dan over?” De vormtekening voor het melancholische kind vertoont iets van het binnen en buiten. Het is moeilijk om precies de relatie met het rekenen aan te geven. Daarvoor geldt, zoals ook voor het rekenaspect van de andere temperamenten, dat er geen pasklare
didaktiek gegeven kan worden: die ontstaat slechts door verdere studie en ervaringen in de praktijk!

2. 5 De basisbewerkingen

Er is hiervoor beschreven hoe het leren tellen vanuit de beweging en het leren kennen van de getallen vooraf gaat aan het ontstaan van de vier basisbewerkingen. Uitgaande van de vier temperamenten als ‘oergebaren’ om handelend mee in de wereld te staan, werd het optellen, het vermenigvuldigen, delen en aftrekken uit dit handelen van kinderen ontwikkeld. Hoewel het door cultuur invloeden steeds moeilijker is de temperamenten in het gedrag van kinderen waar te nemen, werden de kinderen in het, door hun temperament gekleurde, handelen aangesproken om die bewerkingen te creëren. Elke bewerking werd daarbij zowel vanuit de analyse als vanuit de synthese ontwikkeld. Deze twee polaire rekengebaren werden daarbij door polaire temperamenten tot uitdrukking gebracht. Als daarna alle kinderen deze bewerkingshandelingen in rekenoefeningen gaan doen, beleven ze de vier bewerkingen dus vanuit de vier temperamenten.

De bewerkingstekens

Het is een (goede) gewoonte om in het aanvankelijk rekenen aandacht te besteden aan de introductie van de rekentekens. Dat zijn immers symbolen die voor de kinderen in eerste instantie geen enkele betekenis hebben. In het begin kennen de kinderen de bewerkingstekens niet en spreken we bijvoorbeeld nog over ‘erbij doen’, over ‘verder of door gaan’, over hoeveel meer of minder, over ‘eraf of weg halen’, over ‘hoeveel keren’ of over ‘verdelen onder’ danwel ‘in’, enzovoorts. De gespeelde situatie of voorgestelde context staat daarbij voor het ‘gebaar’ van de bewerking. Waar geoefend wordt met voorwerpen, kastanjes, steentjes, bonen, pepernoten enz. leren de kinderen de bij de bewerkingen passende handelingen goed kennen.
Dit rekenen ligt nog dicht bij het tellen. Von Baravalle laat zien hoe je vanuit het tellen de hoofdbewerking optellen zichtbaar kunt maken. Dat gaat aldus. Onderstreep onder de getallenrij wat er geteld wordt:

55

Een ‘lopen’ met de hand, waarna dit bewegen langs de te tellen getalsymbolen, onderbroken wordt door een verticaal gebaar – het doorsnijdingsteken – om vervolgens weer vervolgd te worden tot het eindgetal; dan weer een gebaar, namelijk het onderstrepen van dit geheel. Merk op dat hiermee ook het plusteken tot stand gebracht is. In het bewegen zien we de voorloper van wat later de getallenlijn wordt. De plaats van de getallen op de getallenlijn en schattingen van uitkomsten krijgen zo een speciale (je zou kunnen zeggen motorische) dimensie.

Vóór in de klas heb ik de getallen aan een waslijn gehangen, zodat we ze heen en weer kunnen schuiven.

Op het bord laten we het nog een keer (anders) zien:

Hoe de verschillende bewerkingen onderling samenhangen wordt in dit ‘doen’ als vanzelf zichtbaar Bijvoorbeeld wanneer 7 = 9 – 2 en 9 = 7 + 2 met kastanjes gelegd is; of wanneer er 3 x 2 = 2 + 2 + 2 met eikels in drie keer neergelegd werd en de gelijkheid zichtbaar geworden is. Ook binnen één bewerking zijn eigenschappen zo te ontdekken, bijvoorbeeld de commutatieve eigenschap,
2 + 3 = 3 + 2  of  2 x 3 = 3 x 2, wanneer die in het geheel van een uitgevoerde handeling ingebed blijven en bij voorbeeld in een patroon zichtbaar worden. Kinderen werken er als vanzelfsprekend mee. Vanuit een onbewust weten passen ze deze eigenschappen gewoon toe als het zo uitkomt. Instructie is hier in de meeste gevallen niet nodig, het wordt allemaal nog niet benadrukt.
56

De rekenbewerkingen, die met symbolen worden aangegeven, hebben eerst ‘van binnen uit’ voor de kinderen betekenis gekregen, hoofdzakelijk door middel van het bewegen. Het ligt dan ook voor de hand om de rekensymbolen daarmee te verbinden. In navolging van Von Baravalle gebeurde dit hierboven bij het optellen. Het kan ook anders, namelijk vanuit het temperamentenrekenen. Het gebaar, het bewegen, van de bewerking wordt in dat geval door een verhaal met beelden verbonden. Daaruit komen vier tekeningen te voorschijn, die de bewerking uitbeelden.

De leraar vertelt: “Kinderen, je moest eens weten wat er allemaal in het bos te vinden is aan eikels, beukenootjes, zaadjes en alles wat de dieren graag eten. Maar er is veel dat onder bladeren en stenen, tussen het gras blijft liggen. Weet je, ik heb wel eens gehoord dat er kabouters zijn die zorgen, dat alles wat er zo verborgen is, toch bij de dieren komt. Er zijn speciale kabouters die alles bij elkaar zoeken. Ze hebben manden bij zich, die ze vol laden met wat ze vinden voor de dieren (…)”.
“Kom eens even in de kring staan. Laten we eens doen of wij de kabouters zijn. Hier ligt wat en daar ook nog wat. Pak het maar en doe het in je mand”.
De kinderen lopen in de kring en ‘rapen’ steeds iets op dat ze dan in hun ‘mand’ doen. “Heb je gemerkt, hoe die kabouters lopen?”
In een gesprekje met de kinderen komt er uit, dat deze kabouters goed moeten kijken, dat ze rustig stappen en dat hun mand steeds voller wordt, zodat ze niet eens snel kunnen lopen. En met het volgende gedichtje lopen de kinderen vervolgens weer rond, terwijl ze om de beurt links en rechts rapend hun denkbeeldige manden vullen.’

Zoeken, zoeken, links en rechts,
Hier wat pakken, daar wat rapen.
Dieren blijf maar rustig slapen,
Want kabouters zijn we slechts,
Die in manden vol en zwaar,
‘t Een na ‘t ander, alle dagen,
Rustig werkend samendragen,
Wat we vinden hier en daar.

De volgende dag maken de kinderen een tekening van de dikbuikige kabouters, die met hun manden door het bos lopen.

Op die manier is het karakter van het optellen heel goed uit te beelden. Het wekt bij de kinderen het gevoel voor het wezen van het optellen, voor het flegmatische karakter van het verzamelen. Ook in het gedichtje kan dat onderstreept worden.
In dit omgaan met de hoofdbewerkingen zijn juist de verschillen tussen de kabouters, die daar in het bos bezig zijn, van wezenlijk belang.
De verzamelaar met zijn blozende bolle wangen, die alles bijeen raapt wat in de zomer gegroeid en in de herfst gerijpt is.
De magere kabouter, die alles uitdeelt wat door de verzamelaar vergaard is, totdat hij niets meer over heeft en hij melancholisch kan zeggen: “Nu heb ik niets meer.” De springer, die door het bos danst en overal zorgt dat de bloesems aan de bomen komen en dat de planten in veelvoud zaad kunnen dragen uit één luttel zaadje.
En ten slotte de stevige kabouter, die alles wat te groot en te hoog is, verdeelt zodat ieder het zijne krijgt.
57

De abstracte rekentekens zijn in bovenstaand doorkijkje aan de kabouters toegevoegd; die brengen de tekens bij wijze van spreken mee. Ze kunnen vervolgens gebruikt worden om wat gedaan is te tekenen of later met symbolen als ‘sommen’ mee te beschrijven.

Duidelijk zal zijn dat dit een geheel andere weg is om de rekentekens in de wereld van het kind te brengen, dan die hiervoor bij het tellen werd aangegeven. Beide wegen, die van het bewegend tellen en die vanuit de ‘verbeelde’ rekenkabouters, hoeven elkaar niet in de weg te staan, want het is goed denkbaar dat de rekenkabouters aan het werk gaan met de getallen (was)lijn!

Het is jammer dat de rekentekens zelf niet goed de bewerking (het x-teken bijvoorbeeld, de vermenigvuldiging) verbeelden. Bij vermenigvuldigen denk ik eerder aan een bepaald aantal gelijke groepjes, of aan een rechthoekig tegel-plein dan aan een kabouter die van de ene hoeveelheid naar de andere springt. Misschien dat er nog eens een creatieve rekenaar in de vrijeschool opstaat, die een betekenisvollere introductie van de rekentekens bedenkt.
58

Pijlentaal

Dit kan een goed moment zijn om, als overgang naar de notatie van ‘echte’ sommen, het pijlentaaltje te introduceren (beter: samen met de kinderen uit te vinden). Ook hier kan aanvankelijk uitgegaan worden van het tekenen van wat er gedaan is: In Wims spaarpot zitten twee guldens, als opa en oma geweest zijn zitten er zes guldens is. Dat kan zo getekend worden:

Daarna kan de notatie ook meer schematisch worden, of kan op het spaarpottenthema gevarieerd worden met gelijksoortige opgaven:

Als de kinderen kunnen verwoorden wat er gebeurd is, bijvoorbeeld: “Eerst waren we met zijn tweeën. Later met zijn zessen. Er waren er vier bijgekomen.” Of: “We stonden met z’n tweeën te praten, vier kwamen erbij. Toen waren we …”, kan ook tot de meer schematische notatie overgegaan worden:

Met het pijlentaaltje zet je enerzijds een stap in de richting van het abstracte, anderzijds is er nog iets te zien van de dynamiek van de rekenhandeling. Dit ‘taaltje’ staat dichter bij de werkelijkheid, dan wat met rekensymbolen beschreven wordt. In het tweede geval verschijnt de ‘actieve’ boven de pijl. In een volgende stap kan daaraan het bewerkingsteken worden toegevoegd.

Zo wordt de overgang naar de formele rekentaai met rekentekens, waarin vaak voor de kinderen de reken handelingen niet meer herkenbaar zijn, geleidelijk gemaakt.
59

Hoe verder …

In de loop van de eerste klas krijgen de kinderen steeds meer zicht op de gebeurtenissen in de kleine wereld om hen heen. Met het rekenen maken we daarvan gebruik en vertellen in de klas een verhaal over zo’n concrete gebeurtenis uit het dagelijks leven. De kinderen herkennen onmiddellijk in de handelingen de ‘rekengebeurtenissen’. Nu komen de vier basisbewerkingen vanuit de wereld op de kinderen af en zij herkennen die vanuit hun eigen dynamiek.

In zo’n rekenverhaal zijn er elementen die een actieve of een passieve rol spelen bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Voorbeelden:

1. Esther kreeg zeven appels mee voor oma. Onderweg struikelde ze, en met een flinke schaafwond op haar knie kwam ze bij oma aan. Daar aangekomen ontdekte ze dat er in de zak met appels een scheur zat. Er zaten nog vier appels in voor oma.
Hoeveel appels heeft Esther verloren? Zij denkt: Ik kom bij oma met 4. Ik ging op stap met 7. Dan …4 = 7-…?

2. Jan is jarig en hij heeft voor tien vriendjes een mooie uitnodiging getekend voor zijn feestje. Met hulp van zijn zusje zijn de kaarten geadresseerd en nu wil hij ze op de post doen. Zijn moeder geeft hem vier postzegels, dan loopt hij naar zijn vader om nog meer postzegels te vragen.

Hoeveel postzegels moet vader hem erbij geven om alle kaarten te versturen. Hij denkt: Ik heb 10 nodig. Ik heb er al 4, dus … 10 = 4 + …?

Bij deze eerste verhaalsommen is het belangrijk situaties te kiezen waarbij van het geheel kan worden uitgegaan. Dan kan het kind zoeken naar de gebeurtenis die tot de betreffende bewerking leidt en is de opgave in het verhaal op te lossen. Het kind vindt dan het getal dat een actieve rol speelde. 4 = 7 – 3, ik heb 3 appels verloren. 10 = 4 + 6, ik moet nog 6 postzegels erbij zien te krijgen.
Merk op dat kinderen vaak zo in het verhaal opgaan dat ze het rekenen erbij vergeten. Steeds weer een nieuw verhaal, versterkt dat. Daarom is het goed om in hetzelfde verhaal de getallen te variëren en een vraag te stellen als: “Hoe zou het zijn als Esther met 10 appels van huis zou zijn gegaan?” of ” … als Jan 12 vriendjes wilde uitnodigen?”

60

In andere opgaven zijn steeds twee getallen gegeven. Het kind moet actief, zich in de handeling inlevend, zoeken naar het derde getal, hier de ‘actieve ‘ genoemd, dat de gebeurtenis in de bewerking weergeeft.
Dit kan op verschillende niveaus gedaan worden:
met concrete objecten (drie appels, het moeten er vijf worden …), met representaties van concrete objecten (ik denk aan appels en pak drie blokjes of teken drie stippen …), schematisch (bijvoorbeeld stippen of getallen in een dubbeldekker of op een getallenlijn), symbolisch, puur met getallen en misschien uiteindelijk geautomatiseerd, zonder te rekenen of zelfs maar erbij na te denken komt er 3 + 2 = 5.
Bij het maken van de opgaven moet steeds weer de vraagstelling en de situatie in het verhaal getoetst worden aan de levensfase en de relatie van het kind met de omringende wereld. Concrete situaties moeten ‘levensecht’ en niet onwaarachtig zijn. Het kind moet zich erin kunnen verplaatsen. Dat laatste is wat didactici bedoelen met ‘realistisch rekenen’.

Ook vragen de verschillende zintuigen als waarnemingsorgaan hier de aandacht. In de rekenopgaven zijn kinderen ook aan het ‘waarnemen’ van rekensituaties. Als we rekenen met voorwerpen ligt het voor de hand dat we wat zien of horen en dat we iets kunnen voelen. Bedenk nu ook eens opgaven waarbij we alleen maar luisteren, alleen maar kijken, of zoals in de voorbeelden hieronder: alleen maar voelen.

Voorbeelden:

1. Alle kinderen hebben de ogen dicht of mogen een blinddoek voor. Op hun tafeltje krijgen ze een aantal steentjes (of iets dergelijks) waarvan er een aantal glad en een aantal ruw zijn. Dan een lap erover en de kinderen mogen eerst voelend tellen hoeveel steentjes er liggen. Vervolgens mag de doek eraf en voelen ze de optelsom! Dan mogen de kinderen ‘op de tast’ van plaats ruilen en de som van een ander ‘voelend maken’.

2. Alle kinderen gaan in de klas op zoek naar voorwerpen waaraan een getal te ontdekken is. Ze nemen deze mee en leggen ze onder een doek op hun tafel: de pot met verfkwasten, de stapel broodplankjes, … Vervolgens gaan alle kinderen twee aan twee naar de verstopte rekenvoorwerpen toe en om de beurt moeten ze het getal van het verstopte voorwerp van de ander zeggen. Samen vormen ze daarna een optelsom. Of misschien ook andere sommen.

61

3. De hele klas heeft de ogen dicht. Eén kind wordt aangetikt en mag met open ogen de doek over iets in de klas heen leggen, dat je verdelen kunt! bijvoorbeeld tien kaartjes van het memory spel. Een tweede kind mag nu meekomen en krijgt de opdracht: Voel eens wat er onder de doek ligt. Kun je er een verdeling van maken? Doe dat maar! (10 = 5 + 5; 10 = 2 x 5; 10 = 3 x 3 + 1). Nu doet iedereen de ogen open. Alle kinderen mogen naar de geheimzinnige som toegaan en met de ogen weer dicht gaan ze er voelend naar op zoek.
Ze fluisteren juffie de som die ze gevonden hebben, in het oor. Niet verder vertellen, hoor!

Het is interessant om te zien, als alle kinderen geweest zijn, wie er aan één keer tellen genoeg heeft om de som te maken en wie er moet blijven tellen om een optelsom te vinden.
Hoe kun je de langzame rekenaars een beetje steun bieden? Denk aan de mogelijkheden om de onzichtbare hoeveelheid te representeren. (‘Kijk eens, aan de muur zie je ook 10 …) en daarin structuur aan te brengen (denk eens aan je 2 handen, 10 vingers, dat zijn er ook …).

Van het woord verhaalsommen kan ten onrechte de suggestie uitgegaan zijn dat dit rekenen alleen verbaal wordt aangeboden via een vertelling of een mondelinge situatieschets. Het is evenwel belangrijk om hier ook aandacht aan de visuele waarneming te schenken. Een rekenverhaal kan juist ook heel goed in een mooie tekening (foto?!) worden weergegeven, ook als het om een hele gewone dagelijkse situatie gaat. Bekend zijn in dit verband de praatplaten, die bij de kinderen persoonlijke ervaringen oproepen of de fantasie aan de gang brengen. Er zijn altijd aanleidingen om te gaan rekenen en het rekenwerk met elkaar te bespreken.

Hoeveel eieren heeft mijn zusje gebruikt bij het bakken van de cake?

Van tellen naar rekenen

Omdat we de kinderen zo vertrouwd willen maken met het rekenen met getallen, dat het tellen op den duur niet meer nodig is, moeten we door middel van opdrachten helpen het tellen te verlaten. Dit is vooral voor de zwakke rekenaars nodig. Iedere leraar kent ze wel, de kinderen die voortdurend terugvallen op het tellen en er niet toe komen de opteltafels toe te passen en te memoriseren.

62

Een gevorderd stadium in het telproces is het verkorte tellen. Hoeveelheden worden dan geteld via groepjes of zelf aangebrachte structuren. Wie zover is om bij het tellen handigheidjes toe te passen (bijvoorbeeld schoenen tellen met twee tegelijk of vingers met sprongen van vijf), is op de goede weg. Goede hulp op dit gebied van het ‘tellen afleren’ sluit dan ook hierop aan. Turfjes maken of tellen met sprongen krijgen zodoende extra didactische betekenis. Je kunt structuren ook geven in een verhaal; de vier poten van de tafels in de klas of een tegelpatroon op het schoolplein als dat er is, (anders kun je misschien zelf een plateautje maken in de klas, van kartonnen tegels of van een partijtje tapijttegels). Er zijn kinderen die ertoe neigen steeds te blijven tellen, steeds de losse elementen apart te blijven zien. Zorg ervoor dat in het getekende verhaal bijvoorbeeld ook dichte eierdozen (tien stuks) voorkomen, dat stimuleert de overgang naar het vermenigvuldigen zonder eerst nog te gaan optellen, of zelfs te gaan tellen.
Hetzelfde principe, tellen van onzichtbare hoeveelheden, kun je al eerder, bij het optellen, toepassen. Bijvoorbeeld:

Of bij vermenigvuldigen:

Langzamerhand zijn we met dit rekenen al in de tweede of mischien wel derde klas beland. De kinderen gaan steeds meer zelf de bewerkingen herkennen in di verse opdrachten, maar ze gaan ook de mogelijkheden van de vier basisbewerkingen binnen één opgave uitproberen en onderzoeken. Zij kunnen na verloop van tijd ook andere dan de vier hoofdvragen beantwoorden Er zijn ook dagelijks-leven-situaties waarbij juist de ‘actieve‘ gegeven is en naar het resultaat van de bewerking gevraagd wordt.
Margriet ging met 7 appels op pad en heeft er onderweg met haar vriendinnen 4 opgegeten. Met hoeveel appels …? 7 – 4 = …
63

We kijken nu nog eens naar verschillende situaties binnen de opgaven met de vier basisbewerkingen. Kinderen kunnen vaak de sommen als vanzelfsprekend oplossen. Als leerkracht moet je steeds attent blijven op wat je vraagt om verkeerd gekozen oplossingswegen van de kinderen te kunnen herkennen.

Allereerst bij het aftrekken:

a) Kinderen kunnen het verschil vaststellen. Denk daarbij aan het voorbeeld van de appels voor oma.
b) Kinderen kunnen ook uitrekenen wat je overhoudt, als je iets weggeeft.
Jan komt op school met 10 knikkers. Zijn vriend Bas is zijn knikkers vergeten. Jan geeft er 4 aan Bas om toch mee te kunnen doen. Hoeveel heeft Jan over om mee te knikkeren? 10 – 4 = …, een echte ‘min’-som.
c) Kinderen kunnen een verschil bepalen ook als een optelling gesuggereerd wordt:
Rien heeft 5 appels en Reinie heeft er 9. Hoeveel heeft Reinie er meer dan Rien?

Dan bij het optellen.

a) Kinderen kunnen aanvullen tot een gegeven aantal.
Floris had 5 euro in zijn spaarpot, hoeveel moet hij nog sparen om een zakmes van 12 euro te kunnen kopen? 5 + … = 12
b)Kinderen kunnen optellen door ‘aan te rijgen’.
Jan ging van huis met 10 knikkers. Hij wint er die dag 22 bij. Met hoeveel knikkers kwam hij thuis? 10 + 22 = 10 + 20 + 2 =

N.B. In de context zijn de getallen 10 en 22 even actief, maar op het moment dat je gaat rekenen kiest het kind toch eerst een getal om mee te beginnen, wat daarmee passief wordt.

Bij het vermenigvuldigen:

a) Kinderen kunnen de operator vinden als het product gegeven is.
Een boswachter wil 12 bomen planten. Hij kan er 3 tegelijk vervoeren op een kar. Hoe vaak moet hij rijden? (… x 3 = 12).
b) Kinderen kunnen ook vermenigvuldigen als de operator bekend is en ze weten wat er gaat gebeuren.
Een boswachter kan 3 bomen vervoeren. Hij rijdt 4 keer met zijn kar.
Hoeveel bomen heeft hij weggebracht?
4 x 3 = …

Tot slot over het delen:
a) Kinderen kunnen delen als er een hoeveelheid verdeeld moet worden.
Jullie zijn met z’n vijven. Ik heb hier 10 snoepjes, verdeel die eerlijk onder elkaar. Wat krijgt ieder?
10 : 5 = … Het antwoord is hier 2 snoepjes, het aantal als benoemd getal, dat ieder krijgt…
b) Kinderen kunnen delen vanuit een aantal dat als benoemde maat gegeven is Verdeel 10 snoepjes in porties van 2 snoepjes. Hoeveel porties van 2 snoepjes kun je daarmee maken?
10 : 2 = …? Of is 10 : …= 2 beter. Het antwoord is hier 5 als aantal zonder toevoeging.
64

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

In die twee benaderingen van delen herken ik een aloude didactische discussie over het onderscheid tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling. De laatste voor het geval dat je, zoals in het voorbeeld hierboven, wilt weten hoe-vaak je twee snoepjes kunt halen uit een voorraad van tien snoepjes. Een verhouding dus, die van 10 (snoepjes) : 2 (snoepjes). In het eerste geval is er geen sprake van een verhouding, je wilt echt tien snoepjes verdelen onder vijf kinderen, een verdelingsdeling dus. Echt nuttig is dat onderscheid voor de kinderen overigens nooit gebleken.

Inmiddels zijn we weer verder in de tijd, zitten de kinderen echt in de 3e klas en hebben enkelen hun negende verjaardag al gevierd.
De kinderen kunnen nu met allerlei opgaven, ook in toepassingssituaties rekenend -niet ‘uit’ het hoofd maar met het lichaam- uit de voeten! Belangrijk was dat er door de kinderen eerst gerekend werd vanuit henzelf, door het bewegen en het aanspreken van het temperament. Daarna kwam het rekenen steeds meer terecht in de wereld, mede omdat de opgaven concrete situaties weergaven, naar voorbeelden uit de wereld van het kind.

De natuurlijke instelling van het kind is analytisch, we laten het dan ook analyserend werken door structuur te brengen in hoeveelheden, structuur te herkennen in een rij getallen en tussen de cijfers in de getallen zelf. Door in de basisbewerkingen vanuit het geheel naar de delen te gaan en door te vragen naar het ‘actieve’ getal in de opgave, appelleren we aan de wil tot analyseren. Vanuit de wereld, de cultuur, komt ook de synthese op de kinderen af. In dat geval ontstaat vanuit onderdelen een nieuw geheel. Bijvoorbeeld: “Eén etui pennen kost € 4,- Wat kost een doos met vijfentwintig van zulke etuis ?”
Het is zinvol om dit soort vragen pas in het laatste stadium van het leren kennen van alle structuren binnen de vier basisbewerkingen aan de orde te laten komen, bijvoorbeeld tijdens het winkeltje spelen in de derde klas.

We zijn nu aan het punt gekomen, dat Rudolf Steiner aangaf als het moment waar het rekenen meer abstract wordt. In de tweede helft van de derde klas, als de kinderen op een leeftijd zijn gekomen tussen het negende en tiende jaar. Nu we met het kind de weg van binnen naar buiten hebben bewandeld in het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, kunnen zij de getallen zelf in de opgaven als concrete gegevens zien. Door verschillen in ontwikkeling en rekenvermogens is wat voor het ene kind abstract blijft, voor het andere nu juist concreet.
Om de overgang naar dit abstracte rekenen met kale getallen te bewerkstelligen kunnen we gebruik maken van benoemde getallen! Denk daarbij aan geldreke-nen. Niet alleen 2 x 10 = 20, maar twee stukjes van 10 eurocent = 2 x 10 cent = 20 cent.
Of aan het boodschappen doen: drie dozijn jampotten in een doos uit de voorraadschuur van de kruidenier. Drie dozijn potten = 3 x 12 potten = 36 potten.
Of nog anders, twee paar schoenen = vier schoenen.
Ook tijdsvragen lenen zich hiertoe: Hoeveel dagen is drie weken? Hoeveel kwar-lieren zitten er in vijf uur? De klok en de kalender leveren prachtige
rekenstructuren, straks -in klas vier en vijf- ook nog goed te gebruiken als concrete basis voor het rekenen met benoemde breuken. (Hoeveel kwarten in vijf helen? Zie H5).
65

Als we op deze wijze gerekend hebben, is het voor de kinderen niet meer moeilijk om in een opgave als 3 x 20 = 60, het getal 20 als een concreet gegeven te zien ook al is daarbij 20 ‘kaal’ met 3 vermenigvuldigd. Achter de ‘kale som’ kan weer het benoemde getal, bijvoorbeeld ’20 druppels’ van de medicijn, beleefd worden.
Ze moeten dat afzien daarvan ook leren, want al is 3 x 2 pillen niet hetzelfde als 2 x 3 pillen, in de rekenkunde geldt wel dat 3 x 2 = 2 x 3. Een eigenschap die in het algemeen geldt, dus ook voor grote getallen. Dat kan nuttig zijn: 99 x 2 is vlugger te berekenen wanneer het als 2 x 99 = 200 – 2 gelezen is. Veel kinderen ontdekken dat zelf, sommigen moeten er eerst op gewezen worden.
Je kunt als leraar op vele manieren ruggensteuntjes geven. Bijvoorbeeld door opgaven te maken waarbij de kinderen zelf de eigenschappen tijdens het rekenen met kale sommen, kunnen vinden.
Bijvoorbeeld: 2 + 7 + 8 + 4 + 6 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) = 3 x 10 = 30.

Het gaat hier nadrukkelijk niet om rekenregels, die kinderen uit het hoofd moeten kennen. Maar om eigen ontdekkingen die hun rekenwerk kunnen vereenvoudigen of verkorten. Wie aan het doen van zulke vondsten aandacht besteedt, ontwikkelt bij kinderen een wiskundige attitude, stimuleert hen op zoek te gaan naar regelmaat, wetmatigheid en getalstructuur, geeft hen oog voor de schoonheid van de wiskunde. In elke klas heb je wel kinderen die bijna van nature zo’n wiskundige attitude hebben meegekregen.

Hier een paar voorbeelden van wetmatigheden op het niveau van het derde klas rekenen:

• De wisseleigenschap: 5 + 12 = 12 + 5 en 3 x 8 = 8 x 3.
• De schakeleigenschap: (8 + 5) + 2 = (8 + 2) + 5.
• Het afhalen en aanvullen: 17 + 9 = 16 + 10.
• Halveren en verdubbelen: 16 x 5 = 8 x 10.
• Vergroten of verkleinen: 68 : 4 = 34 : 2 en 115 : 5 = 230 : 10.
• De verdeeleigenschap: 6 x 14 = 6 x 10 + 6 x 4

Kinderen kunnen nu ook oprecht genieten van alle soorten kale abstracte sommen. Voor sommigen kunnen die niet moeilijk genoeg gemaakt worden. ‘Bedenk een verhaaltje bij zo’n som’, is een opdracht waarbij ze de concrete situaties zelf mogen invullen Kinderen die met plezier rekenen vinden het leuk om zelf problemen te bedenken en op te lossen. De vele wegen die zij met de basisbewerkingen hebben leren kennen, zullen hen de vrijheid en het vertrouwen geven hun eigen weg te gaan en hun eigen rekenstrategieën te ontwerpen. Want handig rekenen is toch handig handelen, handig bewegen, binnen de getallenwereld.

Rest ons de vraag of aan de keuze van de rekenstrategieën bij het oplossen van sommen, het temperament, de geaardheid van het kind als basis ten grondslag ligt? Doorziet hij zijn ‘eigen-weg’ het beste? Welke waarde moeten we nu toekennen aan het klassengesprek, waarin de diverse rekenstrategieën door de uitvinders zelf naar voren worden gebracht om door de anderen nader te worden doorschouwd? Interactief rekenonderwijs staat ook in dienst van het leren verwoorden van gevonden regelmatigheden, en dus van bewustwording en draagt zo bij aan de vorming van de eigenheid van het kind.
66

2.6 Het schriftelijk werk

Wat er in de rekenles wordt gedaan als bewegingsvorm, of als concrete rekenactiviteit, kan een neerslag krijgen op papier. In de eerste twee perioden worden nog geen sommen op papier gemaakt. Toch kan hier voorbereidend werk gedaan worden. Activiteiten rond de vier hoofdbewerkingen verwerken de kinderen naderhand in ‘rekentekeningen’. Later zetten ze er de getallen bij.
Op basis van dit werk kunnen dan aan het eind van de eerste klas de eerste ‘echte’ sommen ontstaan. Met ‘echte’ sommen wordt gedoeld op de notatie, zoals 10 = 2+3+5. In feite is het maken van die verdeling, bijvoorbeeld uitgaande van 10 kastanjes, ook een volwaardige rekenopgave. Deze sommen hebben in dat geval hun oorsprong in iets dat gedaan en beleefd is, in het spel, in de beweging.

• Zo kunnen op papier de dwergen verschijnen, die hun zakken met stenen dragen. Dertig stenen hebben ze nodig, in elke zak kunnen er 5. In de tekening zie je in elke zak 5 stenen.
• In het paleis van de koning zijn twaalf kamers, die allemaal een raam hebben. Teken de voorkant van het paleis maar eens. Hoeveel kamers zou je kunnen zien!
• Tekeningen over een natuuronderwerp: een tuin met telkens 6 bloemen die bij elkaar horen, of stapeltjes boomstammen in het bos. Of ook de tulp en de lelie, met elk 6 bloemblaadjes, of de roos met een 5-structuur. Hoeveel bloemblaadjes zien we in een struik van de Chinese roos met 6 bloemen?
• De ‘hoeveelheden tekening’: maak een tekening waarin je zelf de hoeveelheden 3, 4 en 5 verstopt hebt.

In een tekening horen eigenlijk geen woorden of cijfers. Maar in een rekentekening is dat wel mogelijk. In elk geval stoort het daar niet.
67

Het voorbeeld van de dertig stenen kan later tot een som leiden.
Bijvoorbeeld 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Nu kunnen als voorbereiding daarop al enkele getallen bij de hoeveelheden geschreven worden.

Wat is er nog meer aan schriftelijk werk in de eerste klas? Heel wat, als de leraar inventief genoeg is. Het vormtekenen kan een belangrijke aanleiding en ondersteuning zijn. Als de kinderen bezig zijn met getal en kwaliteit kunnen de getallen, elk apart groot op papier verschijnen. In het (vorm)tekenen gaat het kind vele malen bewegend over de vorm heen zodat die goed in het lichaam verankerd wordt. Dat kunnen ook cijfervormen zijn.

Daarnaast kan iets van getal en kwaliteit in het (kleur)tekenen zichtbaar gemaakt worden: de 3 koningen, de 6-hoekige honingraat, de 7 kleuren van de regenboog.

De tekeningen, die in het kader van het thema getal en kwaliteit zijn gemaakt, krijgen in de eerste rekenperiode hun beslag.

Verder kunnen allerlei verdelingen op papier uitgewerkt worden die tevoren met kastanjes, snippers, enzovoorts concreet handelend tot stand zijn gebracht. Zo kunnen de kinderen laten zien op hoeveel manier het getal 7 kan worden verdeeld, 1 en 6; 2 en 5; 3 en 4; 4 en 3 (dat wezenlijk iets anders is dan het voorgaande), 5 en 2; 6 en 1. Dit zelfde kan gebeuren met de verdeling in drie groepjes. Interessant is hier de voorstelling van een dubbeldekker, en bekende Londense stadsbus. Er komen 7 passagiers binnen. Op welke verschillende manieren kunnen die (boven, beneden) in de bus plaatsnemen? Belangrijke vraag: “Heb je alle manieren gevonden? Hoeveel verschillende verdelingen zijn er in het geval van zeven passagiers? Hoe kun je dat zeker weten?”
68

Een opgave: De kinderen hebben 24 snippers neergelegd in drie stapeltjes. Hoe kan deze verdeling eruit zien? De oplossing kan vervolgens op papier uitgewerkt worden. De uitkomsten kunnen zeer verschillend zijn. Uiteraard laten de kinderen aan elkaar zien, hoe zij hun verdeling gemaakt hebben. Dat nodigt ook uit om van hieruit steeds nieuwe verdelingen te maken.

69

Het splitsen van een getal kunnen we ook zichtbaar laten maken met een ‘trapje’ De twee getallen, die tegenover elkaar staan, vormen samen het geheel. Dit kan bij meer getallen gebeuren ook met variaties.

Als de kinderen in de eerste klas beginnen met het tellen, vervolgens gaan tellen met accenten, lopend, hinkelend, enzovoorts, kunnen de bijbehorende rijen bij vormtekenen worden uitgewerkt. Ook dit is een goede voorbereiding op het komende rekenen op papier. Wat beleefd is, wordt nu namelijk zichtbaar gemaakt. Regelmatigheden van het bewegen worden mooie visuele patronen op papier. Hier wordt ook een fundament gelegd voor een van de belangrijkste wiskundige denkmodellen: de getallenlijn. De verschillende structuren, die met het aangeven van de accenten en regelmatigheden in het gebied van de getallen zichtbaar worden, kunnen later weer van pas komen. Denk maar aan de tafels van vermenigvuldiging.
In het midden van het blad komt de ononderbroken rij, de getallenlijn met de ongenuanceerde rij getallen, boven en onder de bogen die de accenten aangeven. Naarmate de kinderen meer van deze rijen bewegen en ‘in kaart brengen’, kunnen deze vormen uitgebreid worden.
Het is een ook goed idee gebleken om jonge kinderen de ritmiek van de rijen in een kralenketting te laten rijgen. Deze activiteit bereid de getallenlijn, die abstracter is, goed voor. Er zijn collega’s die een goedkope versie van de kralen-rugbekleding (autostoel) ervoor hebben ontmanteld.

Met de geometrische vormen die in de eerste klas centraal staan, kan ook schriftelijk gewerkt worden. Het is voor de kinderen een uitdaging om het geheel mooi op papier te krijgen. Ook hier wordt steeds iets eraan toegevoegd, de vorm groeit. De kinderen kunnen er in de dagen er na veel aan ontdekken. Welke getallen zien we bij elke punt verschijnen?
70

Op het eind van de eerste, en ook nog in de tweede klas kan gewerkt worden met andere getalpatronen. Hier zijn weer vele mogelijkheden tot het vinden van eigen variaties. De figuren die als stramien dienst doen, kunnen de vorm hebben van een cirkel, driehoek of vierkant.

Het vergt concentratie en doorzettingsvermogen om een getallenrij precies weer te geven. Aan de andere kant wordt hierin ook de schoonheid van de getallenwereld beleefd.
Het is tegelijkertijd ook een goede oefening om de getallen goed te leren plaatsen. Het recht onder elkaar zetten vraagt zeker om enige oefening.
In het begin moet zo’n getallenrij niet uit te veel cijfers bestaan. Veel aandacht moet er besteed worden aan de wijze waarop elk cijfer getekend wordt: hoe begin je, welke richting draai je rond? En je kunt best een paar maal over hetzelfde cijfer heen gaan met je krijtje, tot de cijfers er stevig op staan!
Later kunnen de rijen meer getallen bevatten, zodat de kinderen mettertijd in staat zijn een geordend blad vol cijfers te produceren, waaraan dan ook weer het nodige waar te nemen valt vanuit allerhande ordeningsprincipes. Want ook daar staat de vraag centraal: wat kunnen de kinderen er aan beleven?
Daarom gaat het in de eerste plaats. Ook in het schriftelijk werk wordt het gevoelsleven van het kind aangesproken.
71

Goede ideeën uit de hoek van het realistische reken-wiskundeonderwijs, kunnen in het bovenstaande kader wellicht ook worden meegenomen. We sommen er enkele op:
• De kinderen maken een telboekje, met een tekeningetje maken ze daarin zichtbaar wat ze aan het ernaast geschreven getal beleven (Individueel of met elkaar).

• In de klas wordt met tafels en stoelen een dubbeldekker gebouwd. De passagierverdelingen mogen later getekend worden.
• Kegelspel: met pijlentaal uitgetekend.

• Op werkbladen staan twee grote hoeveelheden (bloemen, sterren, …). Waarvan zijn er meer? Ze kunnen niet geteld worden, er moeten dus verschillende aanpakken bedacht worden.

• Er worden zelf op grote vellen ‘posters’ gemaakt waarop telproblemen getekend zijn. Tellen wordt lastiger, als je de te tellen objecten niet kunt aanraken, of als ze bewegen, of als je ze niet allemaal tegelijk ziet.
• Er staan bouwsels van blokken in de klas. Wie kan van zijn plaats af tellen hoeveel blokken er in één bouwwerkje gebruikt zijn? Kun je ook een tekening maken om het tellen te ondersteunen?
72

• Met het rekenrek worden getalbeelden, vanuit ‘gehelen’, tot stand gebracht.
Die kunnen ook getekend worden. Met ‘flitskaarten’ worden ze nog eens extra geoefend. Nadere informatie hierover in Willem Bartjens, jrg. 10, nr 3.
Daar staan twee alternatieve leergangen voor het rekenrek. Beide leergangen zijn realistisch van architectuur.
• De leraar kan bordspelen als ganzenbord ontwerpen en laten spelen.
De aantallen worden nu in verband gebracht met ‘ogen’ op een dobbelsteen en de cijfers op het bord.

Ten overvloede: Bij het werken in het -eventueel uit losse bladen samen te stellen eerste rekenschrift geldt: Goede gewoonten moeten geleerd en voorgeleefd worden, ze ontstaan nooit vanzelf. Besteed zorg aan het werk. Wees geconcentreerd bezig. Gebruik de kleuren als het kan betekenisvol. Neem de tijd ervoor om ook te laten begrijpen wat je aan het doen bent. Probeer je steeds te herinneren waar zulk rekenwerk al eerder ‘gedaan’ werd.

En bedenk ook: de leraar laat die goede gewoonten onder meer zien als het bord gebruikt wordt: wat op het bord komt is ‘mooi’. Het bord is voorbeeld voor een bladzij in het schrift, op het bord komt zeker niet alleen oefenstof. Het midden-bord is werkbord, de mooie tekeningen komen op de flappen (wat je op het bord zet, heeft een goede voorbereiding nodig). Samen met de klas wordt het bordwerk afgemaakt, daarbij kan de leraar het goede voorbeeld tonen. Op het bord kunnen beelden verschijnen, die het onthouden gemakkelijk maken. Het bord hoeft er niet alleen te zijn om vanaf de zitplaats bekeken te worden, kinderen kunnen er naar toe lopen en ook een bijdrage leveren. Op het bord verschijnt ‘de wereld’ nog eens op een andere manier. Zet op het bord eens een geschikte situatie uit de werkelijkheid, op basis waarvan rekenproblemen bedacht en opgelost kunnen worden.

73

Over werkvormen

Rekenen is een beweeglijk vak, zoals in dit boek op vele plaatsen mag blijken. In de paragraaf over klok en kalender (zie H4.2) hebben we kunnen lezen waarom het rekenen in periodeonderwijs wordt gegeven en in de hogere klassen wordt aangevuld met de wekelijkse rekenwerkuren.
Een rekenperiode van drie à vier weken biedt heel wat mogelijkheden om de rekenleerstof te verwerken via verschillende werkvormen. Daaraan vooraf gaat nog dat, om het rekenen in de loop der jaren goed ‘op de grond’ te krijgen, het verstandig is dit ritmische vak in een zekere regelmaat te laten terugkeren, waarbij de zomervakantie niet voor een al te groot gat mag zorgen.
Bovendien beveelt Rudolf Steiner de laatste maand van het schooljaar aan als herhalingstijd. Verschillende vakken worden dan wat losser naast en door elkaar behandeld, een belangrijke aanvulling op het initiërende element van het periodesysteem. Voor rekenen is dat met name van belang in de lagere klassen, omdat er daar nog geen sprake is van een regelmatig terugkerend rekenwerkuur, om onder andere lesstof in te herhalen.

Werkvormen in het rekenonderwijs

De verschillende rekenactiviteiten vragen deels om een klassikale vorm, deels om een individuele vorm of om werken in groepjes.
Niet alleen de onderlinge verhouding in het gebruik van verschillende werkvormen zal voor de kinderen uit de laagste klassen sterk verschillen van het gebruik voor de grotere kinderen, maar ook per dag zal het karakter van de dagen van de week, de keuze voor verschillende werkvormen beïnvloeden.
In een periodeochtend hebben we in principe de beschikking over twee uren. Daar moeten we economisch mee om leren gaan.
Na een korte dagopening, de morgenspreuk, wellicht een enkel lied en wat bewust gekozen spreek(spraak)-oefeningen kan het rekenen beginnen.

Hoofdrekenen

Korte hoofdrekenlesjes zijn voor de kinderen iedere keer weer een uitdaging, geestdriftig worden er, afwisselend door de leerkracht en de kinderen, sommen opgegeven. Het gaat er niet om moeilijke opgaven te geven, maar juist opgaven te bedenken die de getallenbeweeglijkheid stimuleert en doet ervaren. Dit onderdeel van de morgen hoeft niet alleen in een rekenperiode plaats te vinden, juist ook in andere perioden kan tien minuten hoofdrekenen heel goed deel uitmaken van de opmaat.

Reflecteren

In een klassengesprek, na deze klassikale opmaat, proberen we gezamenlijk aan te knopen bij het rekenen van de vorige dag. We reflecteren en ontdekken de verworvenheden van die dag met de kinderen. Rekenen is immers bij uitstek een activiteit, die in de nacht onbewust doorgaat. We kunnen de kinderen mogelijk ook nog een paar opgaven, gelijkend op die van de vorige dag, laten maken. Voor de luisterende leerkracht geeft het een schat aan gegevens over de kinderen om zowel in pedagogische als in didactische zin op voort te bouwen.

Het bewegende deel

Het actieve bewegende rekenen, het bewegingsdeel, kan in de lagere klassen terecht flink uitlopen, zeker als de leerkracht rekening houdt met de temperamenten van de kinderen en de aard van de behandelde leerstof. Het kan hier gaan om herhaling en om (bewegend) leren kennen van nieuw rekenwerk.
74

In een tweede of derde klas is een half uur gevarieerd tafels lopen, klappen, stampen en springen in vele figuren en vormen, ‘tempi’ en ‘forte’ voor de fantasievolle leraar en de enthousiaste leerlingen geen enkele moeite. Tussendoor zal de leraar momenten van rust inlassen en de kinderen door vragen te stellen trachten bewust te maken van wat hen bewoog.
Naast deze dagelijkse herhaling van wat ritmisch moet worden geoefend, bedenken de kinderen ook zelf ‘bewegings-sommen’ om met elkaar en in groepjes uit te voeren.

Nieuwe stof

Luisteren en kijken, waarbij actieve interacties vanuit het temperament van de kinderen gevraagd worden, zijn de voornaamste activiteiten bij de introductie van nieuwe leerstof of de uitbreiding van het oude. Klassikaal gaat dit rustige lesmoment vooraf aan de individuele verwerking.
Bij de individuele verwerking worden door de kinderen individueel en in groepjes opdrachten gemaakt, die ruimte laten voor eigen ontdekkingen. Bij het maken van de opdrachten houdt de leerkracht niet alleen rekening met de temperamenten van de kinderen, maar ook met het gebruiken van de verschillende zintuigen. Visuele opdrachten zullen in dit onderdeel van de morgen een belangrijke plaats innemen. Het gaat dan uiteraard niet alleen om rijen sommetjes op het bord, maar vooral ook om mooie getekende rekenverhalen.

Rekenkaarten

In de hogere klassen neemt dit onderdeel van de morgen een steeds grotere plaats in, Naarmate de leerlingen ouder zijn, zijn ze steeds beter in staat om langer zelfstandig en geconcentreerd te werken. In de laagste klassen zal samen doen en zelf doen sneller afgewisseld moeten worden en misschien worden er zelfs korte momenten van bewegen, bij voorbeeld touwtje springen, tussen gevoegd.
Het is voor de kinderen niet altijd makkelijk om alle opdrachten steeds van het schoolbord te moeten halen. Een speciale doos met rekenkaarten (kaarten met mooie getekende rekenopgaven) om uit te delen, is een welkome aanvulling om de kinderen in alle rust aan hun eigen tafeltje te laten werken.
Rekenkaarten, of werkbladen in de hogere klassen, kunnen ook gebruikt worden voor andere opdrachten, die juist samen of in een klein groepje gemaakt kunnen worden. De interacties die ontstaan bij het samenwerken, dragen bij aan het ontstaan van begrip en het opbouwen van het eigen repertoire van rekenstrategieën.
Het spreekt voor zich dat er ruim tijd genomen moet worden voor de kunstzinnige verwerking van het geleerde in het periodeschrift.

In een kort moment van gezamenlijk terugblikken, overzien we wat we die morgen gedaan hebben. De enerverende rekenmorgen sluiten we tenslotte af met een verhaal uit de vertelstof.

Het weekritme

Alle hiervoor beschreven onderdelen van de ochtend, en daarmee ook de verschillende werkvormen, dragen in het verloop van de periodeweek bij aan het leerproces, want het accent komt daardoor iedere dag op een andere activiteit te liggen.
De maandag vraagt aandacht voor het spiegelen van de leerstof uit de vorige periode of de vorige week.
Dinsdag is bij uitstek een dag om individueel flink door te werken aan de nieuwe leerstof. Op woensdag gaan we daar mee verder, maar kan de nadruk veel meer liggen op interactieve activiteiten van de kinderen. We moeten deze dagen twee klippen omzeilen. Gaan we
75

in ons enthousiasme te snel, dan beklijft de leerstof niet; een onderwerp moet toch wel een dag of drie in de aandacht staan. Gaan we in onze degelijkheid te ver en verwijlen we eindeloos bij hetzelfde, dan zien we bijvoorbeeld klassen met veel opteltalenten en weinig deelvermogen. Kinderen houden van Mozart, dus geef thema’s met speelse variaties. Donderdag krijgt het inzicht en daarmee het overzicht over het geleerde de aandacht. Vrijdag kunnen we extra zorg besteden aan het mooie periodeschrift. Bovendien maken we extra ruimte voor wat reflectieve momenten en komt er misschien een kleine vooruitblik op de komende week. In de hoogste klassen is het ook prettig om dan een toetsmoment in te bouwen, waarmee de kinderen zelf ook zicht krijgen op hun eigen vorderingen en vermogens.
Mogelijk zal de leerkracht op de laatste dag ook een toetsles inbouwen. Voor de kinderen niet te onderscheiden van iedere andere dag, maar voor de leerkracht een gelegenheid om diagnostisch te werk te gaan bij het waarnemen van de kinderen en hun rekenwerk. Aan het begin van een nieuwe rekenperiode kunnen we zo zicht krijgen op de verwerking, die zich juist heeft voltrokken in de periode dat we niet aan het rekenen waren.
76

In dit hoofdstuk wordt gesproken over:

.

Over het boek
Inhoudsopgave
Voorwoord en inleiding
Hoofdstuk    [1] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Slot (1-1) Reflectieve notitie
Slot (1-2) Korte toelichting bij enkele gebruikte begrippen
Slot (1-3) Citaten van Rudolf Steiner met betrekking tot                                    aanvankelijk rekenen
Slot (1-4) Literatuuropgave.
.

Rekenen: alle artikelen op deze blog

2436

.