Maandelijks archief: maart 2014

VRIJESCHOOL – Rekenen – 5e klas (1)

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar
In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

5e klas

Leerstof:
Voortzetting van het geleerde in klas IV. Meten, berekeningen met maten. Wegen, berekeningen met gewichten. Tiendelige breuken. Cijferen in de vier hoofd be we rk inge n, ook met getallen achter de komma. Schatten.

Hoe gaat het toe

Menselijke maten
Een van de leukste perioden van deze klas is de periode ‘menselijke maten’, als overgang tot het normale metrieke stelsel. De leerkracht vertelt de kinderen hoe er vroeger werd gemeten.

 

Hij introduceert de voet, de duim, de el, de vadem en vertelt waar ze (bij) gebruikt werden. Uiteraard is de inleiding kort, want het gaat er om dat de kinderen zélf gaan meten.

 

Ze waaieren uit naar de gangen van de school, om daar gedeelten met voeten af te passen. Terug in de klas wordt het resultaat snel genoteerd. Dan gaan ze opnieuw op pad. Als allen weer zitten mogen de kinderen om de beurt voorlezen hoeveel voet volgens hen de gangen naast de klas lang en breed zijn. Met welk een interesse luisteren ze naar elkaar! Gejuich gaat op als iemand ontdekt dat een ander net zo veel voet heeft gemeten als hij!

 

Daarna vertelt de leerkracht dat men vroeger al die verschillende voetmaten lastig vond worden en daarom van één soort voet ging spreken: In Amsterdam van de Amsterdamse voet (28,5 cm); in Engeland van de Engelse voet (30,5 cm) en in het Rijnland van de Rijnlandse voet (31,5 cm).

 

Elk kind mag thuis de voeten van zijn ouders meten. Gelach de volgende dag als iemand een vader heeft met een voet nog groter dan de Rijnlandse! Maar sympathiek gelach en vol interesse. In een nieuw schrift wordt eerst de mens getekend met zijn maten. Daarna mag elk kind zich zelf tekenen met zijn eigen maten. Dan wordt in het schrift het resultaat neergelegd van het meten van de gangen en van al het andere dat intussen is gemeten. Wanneer er een dag of tien met de menselijke maat is gewerkt, gaan we over op de meter. Deze kan nu geen kwaad meer doen. Door het werken met de menselijke maat is de betrokkenheid van de kinderen op hun naaste omgeving en op elkaar zo toegenomen, dat het gevaar van kille ‘afgemetenheid’ geweken is. Op deze basis kunnen wij met een gerust geweten het metrieke stelsel introduceren.

 

Oppervlakte maten
De eerste dag van deze periode begint de leerkracht met een schoon en droog bord. Hij neemt een natte spons en laat een leerling keurige rijtjes afdrukken maken. Naast elkaar, netjes aaneengesloten.

 

Zo ziet men dat het hele bord door sponsafdrukjes bedekt kan worden. Deze afdrukjes worden geteld. Hetzelfde doet de leerkracht met de tafel.

 

De bedoeling is duidelijk. Het begrip oppervlakte wordt zichtbaar gemaakt. Vervolgens gaan de kinderen aan de slag. De bank bedekken met blaadjes van de blocnote. De stoel. De vensterbank. De bank bedekken met natte afdrukjes van de palm van de hand, zonder de vingers, dan krijgt men praktisch een vierkantje. Dit met verf op een vel papier. Hetzelfde met duimafdrukken, enz.

 

De leerkracht geeft opdracht om alle mogelijke oppervlaktes te meten met iets van hun lichaam, dc voet mag dus ook. De mens is de maat van alle dingen. Er wordt een ‘opmeter’ aangewezen en iemand die het opschrijft. De volgende dag worden alle resultaten gerubriceerd, met vermelding van de persoonlijke maat.

 

De boekentafel is:

58 handpalmen van Boris en
62 handpalmen van Freek en
60 handpalmen van Marielle enz.

Zo komen we gezamenlijk tot het kiezen van een
standaard-eenheidsmaat. Bijvoorbeeld schriften.
‘Bedek de tafel met schriften.’ Ze ontdekken dat je stukjes overhoudt, er is behoefte aan halve schriftjes, aan een kleinere eenheid.

De volgende dag enkele aantekeningen en conclusies van ‘gisteren’ en dan naar de grote oppervlakken.

De gang.
De speelplaats.
De eenheden zijn hier de tegels.
Groepjes krijgen de opdracht om oppervlaktes te meten. Een leerling begint tegeltjes in de gang te tellen.

‘Nee, joh, dat moet je zo doen,’ zegt een ander en telt de tegels in de lengte en breedte. Zo groeit de klas vanzelf naar het begrip, dat nog in het verschiet ligt, namelijk lengte maal breedte.

Terug in de klas wordt alles getekend.
Het moet er weer netjes uitzien, er ontstaan mooie tegelveldjes.

bb 85

 

6 tegels
1e rij van 6 tegels
2e rij van 6 tegels
3e rij van 6 tegels
4e rij van 6 tegels
5e rij van 6 tegels

 

er zitten 6 tegels op een rij
er zijn 5 rijen van 6 tegels
dat is dus 5 x 6 = 30 tegels

Nu voert de leerkracht de algemeen bekende standaardmaten in. De wens naar een standaardmaat, die ze allen gehad hebben, wordt zo vervuld.

‘Deze maat geldt voor iedereen, voor alle mensen in Europa’

Veel voorbeelden, veel tekeningen, die later wel losgelaten kunnen worden, maar in het begin moeten ze er zeker bij.

Tenslotte moeten ze dezelfde soort sommen maken, maar nu met vierkanten van

1     cm
10   cm
100 cm
1     dm
10   dm
1     m

Eerst tekenen, tenslotte komt daaruit:
1 dm2 = 100 cm2 en…

En?
1 m2 = 10.000 cm2!

Dat laatste wekt enige verbazing. Zoveel? Laten we het dan maar na tekenen als je het niet gelooft. Vrij snel zijn ze er dan achter dat het echt klopt.

Het is zaak de voorbeelden en sommetjes leuk en tamelijk eenvoudig te houden.

Naast het perioderekenen is er vanaf de vierde klas een rekenoefenuurtje. Hier kan men dan, als een en ander de tijd heeft gekregen om te bezinken, te zijner tijd de zaak uitbreiden, tot alle oppervlaktematen gekend zijn. Dan kan ermee gerekend worden.

Breuken
Bij het rekenen met breuken in de vier hoofdbewerkingen komen ons de temperamenten te hulp.

Ter illustratie vier eenvoudige voorbeelden waarbij we onze vrienden, de breuken, terugvinden in de gewone orde der getallenrij

Optellen
3 1/4 + 2 1/5

+, dat zijn de sommen van het ordenen, netjes alles naast elkaar. Liefst nog alles van hetzelfde soort naast elkaar. Zoals Poeh zijn potjes honing neerzette. Als hij de kans kreeg zette hij lindehoning naast lindehoning en heidehoning naast heidehoning.

Helen kunnen rustig bij elkaar geteld worden. Dat weten we al. Maar 1/4 plus 1/5, dat bestaat niet! We moeten er echt dezelfde stukjes van maken. Door het reciteren van

1/4 = 2/3 = 5/20… en van

1/5 = 2/10 = 4/20

is gelijknamig maken geen probleem.

Alleen dat je gelijknamig moet maken is de moeilijke ‘leerstap’. Deze kan echter in de flegmatische sfeer worden genomen. Het is eigenlijk zo: Bij een bepaald gezicht dat de leerkracht zet bij een bepaalde, een bijna verdacht rustige presentatie moet er gelijknamig worden gemaakt, maar mogen de helen blijven staan.
De som is niet moeilijk, maar moet nog rustig worden afgewerkt.

Aftrekkenn
3 1/4 – 2 1/5

_ De som is methodisch hetzelfde, alleen mèt de kans op narigheid. Dit is didactisch een geluk want nu past de som in de melancholische sfeer!
Wanneer er meer stukken moeten worden afgetroken dan er zijn, dan moet er een hele worden aangesneden! Zonde van die mooie hele, maar ja, wat doe je eraan?
De afwerking van de som is niet moeilijk, als het principe maar begrepen is.
Wederom begrijpen de kinderen dit uit de mimiek en het gebaar van de leerkracht.

Vermenigvuldigen
9/14 x 2/3

Hoera! Nu geen ellende.
X Het maalteken is een blij teken. Geen gezeur. De cijfers onder en boven de breukstreep kijken elkaar vrolijk aan. Hebben ze misschien gemeenschappelijke familie?

Ja? Wie dan? Horen ze beide tot de familie van 3? Even uitzoeken…. ja? Dat is toevallig! Nu dan kan men daar kort over zijn, als men beide die drie kent — Laten we die drie eruit strepen. Etc.

Natuurlijk, dit zijn moeilijke leerstappen, maar in een bepaalde sfeer is het toch snel aangewend. Echt begrepen wordt het later. (Uiteraard legt men het principe wèl van te voren goed uit — het plechtige begin — dit wordt echter maar door weinigen individueel werkelijk begrepen.) Het enige wat een x-som kan bederven is als er helen staan. Die moeten dus snel worden weggewerkt.

Delen
3/17 : 9/34

:  Dat delen vermenigvuldigen is met het omgekeerde wordt een paar maal uitgelegd.* De volgende dagen klassikaal gereciteerd. Verder wordt het delen veel gedaan. Wordt er domweg veel gedeeld. Het radicaal op zijn kop zetten heeft iets cholerisch. Aan de houding van de leerkracht is te zien wat er met de som moet gebeuren.

Waarom dit alles? Waarom deze ‘trucs’?

De kinderen moeten in hun gevoelsverhouding tot de getallen niet geremd worden. Zij moeten integendeel zorgeloos met de getallen durven jongleren. Vooral uit ervaring weten ze dat het goed is wat ze doen.

Dit kunnen is de basis voor het verdere rekenen en ook voor de serieuze begripsvorming later.

Cijferen
Er zijn leerkrachten die het ‘onder elkaar’ al in de 4e introduceren. Dat kan, als het maar niet ten koste van het hoofdrekenen gaat.

Cijferen, dat is wel het summum van routinerekenen:

3,00861 x 97,725

Vooruit, onder elkaar

97,725
3,00861 x je begint met 1×5.

Wacht eens even, er staat

één honderd duizendste maal vijf duizendsten. Nou ja, dat zien we straks wel, dan tellen we de komma’s af, 3 + 5 = 8 plaatsen. Dan wordt dus 1 x 5, 1 x 2, 1 x 7, 1 x 7, we springen gewoon over die komma heen… Bij de tweede regel één inspringen

6×5 = 30, de 0 op de goede plaats.
Het is allemaal wel uit te leggen, dat als je het zó doet, alles op zijn pootjes terecht komt, maar het is levensvreemd, abstract.

Een normaal mens zegt

3,00861 x 97,725,
dat is ongeveer 3 x 100 – 3 x 2 dus geschat 294.

Normaal is, dat men bij de grote brokken begint en dan de kleine stukjes zoveel mogelijk bij elkaar veegt. Vermenigvuldigen in cijfervorm begint bij de pieterpeutertjes. Dat is zo iets als: ‘Wat eten wij vandaag?’ ‘Nou, peper en zout – – enne – –

Bij het hoofdrekenen blijf je half rekenend, half schattend sterk verbonden met het betreffende vraagstuk, je bent verbonden met de orde van grootte waarin zich iets afspeelt. Cijferen trekt zich nergens iets van aan. In de 4e hoeft men nog niet te beginnen** met het cijferen, de machinale rekenvorm, maar in de 5e moet het wel. En wel zo, dat wij naast deze automatismen het hoofdrekenen blijven beoefenen, met name het schatten.

Begrijp me goed, dat in elkaar passen van al die deelproducten, dat ordelijk afwerken, zodat er niets vergeten wordt, dat is slim bedacht. Natuurlijk moeten de kinderen onze bewondering voor zo veel scherpzinnigheid delen. Men kan echter ook te slim zijn en dan loop je behoorlijk tegen de lamp. Eén klein komma’t je fout — en je zit er totaal naast. Men zou de leerlingen er toe kunnen brengen al hun werk eerst zelf na te kijken, alvorens het in te leveren. Maar meestal valt een kind zijn zelfgemaakte fout niet op. Beter werkt de remedie om de uitkomst van te voren te schatten. Gewoon opschrijven: geschat 294, en dat aan het eind vergelijken met het resultaat van het cijferen.

Voor een deling als

610628: 89 schatten 7 x, nee toch maar 6 x, :s een zekere mobiliteit nodig. Daar spelen door elkaar de (geschatte) 7 x 8 en de 7 x 9. Als de leerlingen eerst de 7 x gaan proberen en ze merken, dat dat te veel is, dat het 6 x moet zijn, dan leidt dat meestentijds tot veel geknoei — en natuurlijk ook tot tijdverlies.

Als afsluiting.
Wellicht vindt u de 3,00861 x 97,725

een wat extreem voorbeeld voor een vijfde klas. Het ging mij hier echter niet om de getallen maar om de wijze van omgaan met het cijferen. Daarom werd hier als tegenwicht het schatten ingevoerd. In tegenstelling tot het cijferen is schatten een zeer persoonlijke activiteit waarbij ook het gevoel ingeschakeld is. In het schatten ligt op subtiele wijze een zeker spelelement besloten. Heeft men iets goed geschat, dan geeft dat een veel prettiger gevoel dan wanneer met iets goed heeft uitgerekend. Cijferen is een zuiver intellectuele bezigheid waar men in de 5e wat voorzichtig mee moet omgaan.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Dit soort sommen zijn voor kinderen te abstract. Wat gebeurt er eigenlijk. Om een antwoord te vinden, kun je natuurlijk het ‘omgekeerd vemenigvuldigen’ toepassen, maar het begrip voor wat er gebeurt, ontstaat daardoor niet.

Wanneer je vraagt:hoe vaak zit de 2 in de 10, weten de kinderen: 5.
Wanneer dit overbekende wordt opgeschreven is dit de vorm:10 : 2 = 5
Hoe vaak zit er een halve in 2. Ook dat lukt wel: 4. Hoe schrijf je op: hoe vaak zit enz. Wel, bij 10: 2 = …Zo!|
Dus nu: 2 : 1/2 = 4 En later: hoe vaak zit er 1/6 in 1/3:
1/3  : 1/6 = 2
Wanneer de kinderen goed begrijpen dat “hoe vaak zit erin”  synoniem is voor “hoeveel KEER’ en dat weer synonimem voor”gedeeld door” is het begrip voor ‘delen met of door een breuk’ veel reëler.
Wanneer er een redelijke zekerheid is ontstaan voor dit proces, kun je eens vragen of ze in bv. 2 : 1/2 het antwoord 4, zien – ligt dat ergens ‘verborgen’ voor het oprapen. Een aantal kinderen ziet wel dat 2 x 2    4 is. Hoe zou je die som dan moeten opschrijven om tot het antwoord 4 te komen. Ja, omkeren: 2 x 2/1 = 4/1 = 4. Daaruit volgt dat 2 : 1/2 ook kan worden geschreven als 2 x 2!

**Ik ben van mening dat je in klas 3 al kan/moet beginnen, met bv. veel eenheden bij elkaar optellen die in een lange rij eerst naast elkaar, maar dan ook onder elkaar staan.:3 + 5 + 9 + 7 + 1 enz. Dit is ook hoofdrekenen. Tevens ontstaat zo de mogelijkheid om het ‘handig’ rekenen te ontwikkelen: 7 + 3 = 10; 9 +1 = 10 enz.

 

 

VRIJESCHOOL – Vertelstof – biografieën – Plato

.

Pleitbezorger voor de rede

Als men de Griekse wijsgeer Plato noemt, hebben toehoorders de neiging een vroom gezicht te zetten, alsof men plan was over een heilige te gaan praten. Maar Plato geen heilige. Hij was een atleet van topklasse, een dapper soldaat, dichter, kenner van renpaarden en liefhebber van gooi-en smijttoneelstukken. Hij bereikte de leeftijd van 81 jaar en stierf op een bruiloftsfeest — tot aan zijn laatste hartenklop vol animo voor gesprekken en voor het leven.
Dit alles is van belang, als men zijn leerstellingen wil schatten naar de waarde die zij in onze dagen hebben. Zijn wereld veel op de onze. Hij beleefde zijn grote tijd in het Athene van eerste helft van de vierde eeuw voor Christus, toen de mensen het oorlogvoeren moe waren, zich geen illusies meer maakten over revoluties, sceptisch stonden tegenover de oude vormen van geloof en op zoek waren naar de werkelijke waarden van het leven, ten einde een houvast te hebben. Plato stelde zich tot taak. dat houvast voor hen te vinden. Hij heeft dat even serieus gedaan als de Hebreeuwse profeten, ook al kon hij zijn conclusies niet staven door zich te beroepen op de goddelijke macht. De Griekse goden waren schoon en bekoorlijk, maar tamelijk zelfzuchtig. Het waren onrustzaaiers, en ze hadden er in de verste niet aan gedacht om zo iets als de Tien Geboden vast te leggen. Plato had zijn geloof in hen verloren en begon zelfs te praten over God als één wezen, al beschouwde hij dat wezen niet als gezaghebbend voor  het menselijk gedrag. Hij moest zowel gedragsnormen uitdenken als een reden om er in deze mensenwereld aan te houden.

Hierin zou hij nooit geslaagd zijn, als Socrates niet gekend had, de profeet van de logica, de baanbreker van de exacte be­toogtrant. Plato was 20 jaar oud en had al een reputatie als dichter toen hij Socrates ontmoette, maar die kruisvaarder voor het zuivere denken, die ondanks zijn kikkergezicht en zijn hinderlijke manieren zo sympathiek was, sleepte hem volkomen mee. Na een paar gesprekken met Socrates over het immense belang van doordenken en woorden gebruiken die voor geen andere uitleg vatbaar zijn, ging Plato naar huis en vernietigde zijn gedichten. Misschien was dat niet onverstandig, want de dichterlijke melodie van zijn proza is, zoals de Engelse dichter Shelley zei, “zo intens dat men het nauwelijks bevatten kan.”

Plato bleef Socrates als leerling en vriend toegedaan tot diens dood. Een gewone leerling was hij niet, want Socrates dacht er net zomin aan om geld te vragen voor het onderwijzen van de zuivere logica als Jezus dat gedaan zou hebben voor zijn leer van de liefde. Maar Plato was een van de jongemannen die vrijwel altijd verschenen  op  die  college-achtige  bijeenkomsten  met Socrates in een sportschool, in het voorportaal van een tempel of het huis van een vriend, om de betekenis van een of ander belangrijk denkbeeld te bespreken. Voor Plato betekende hun vriendschap zoveel, dat hij Socrates in gedachten met zich meegedragen heeft tijdens zijn hele verdere letterkundige leven, en vrijwel al zijn gedachten heeft neergeschreven in de vorm van gesprekken en dialogen, waarin de figuur van Socrates de hoofdrol speelde.

Socrates zelf had het probleem gesteld, wat “deugd” betekent.
Hij had zich afgevraagd waarom men goed behoort te zijn en was tot de slotsom gekomen dat goedheid niets anders is dan goed gefundeerd en zorgvuldig beredeneerd gedrag. Als men iemand voor een keuze stelt en hij is op de hoogte van alles wat dat inhoudt, dan zal hij de juiste gedragslijn kiezen. Het is niet nodig dat men dit gelooft om het belang ervan in te zien. Voor het eerst werd hier door de leer van Socrates het hoogste gezag over morele kwesties aan de individuele menselijke geest toegekend. Dat was een omwenteling die nergens in de geschiedenis haar gelijke heeft.

Plato ging hierop door. Niet alleen is de redelijke handeling de juiste, zei hij, maar de goede mens is de mens in wie de rede regeert. In zijn tijd bestond er nog geen psychologische wetenschap, dus ontwierp Plato er een. Het was nog een goede ook, die een paar duizend jaar heeft standgehouden. Ons bewuste leven, zei hij, wordt verdeeld in drieën: een zintuiglijk deel bestaande uit begeerten en hartstochten; een rusteloos deel, dat de wil of de “geest” genoemd kan worden; en een denkend deel, door hem de rede genoemd.

Aangezien het de rede is, die de mens van de hond of de baviaan onderscheidt, is deze kennelijk de belangrijkste van de drie en heeft een regerende functie. De “geest” heeft de plicht, de voorschriften van de rede te doen uitvoeren. De driften en hartstochten moeten gehoorzamen. Waar elk deel zijn natuurlijke functie vervult, daar is de deugd. Op deze eenvoudige manier herstelde Plato in een tijd van cynische teleurstelling het gezag van het juiste leven. Waar Plato het woord “rede” gebruikte, zeggen wij “intelligentie”, want wij beseffen dat kennis niet verworven word door abstract redeneren — men moet ook de feiten onderzoeken. Maar Plato’s grondidee, dat integratie naar richtlijnen van de geest het wezen van het morele karakter uitmaakt, zal nooit verouderen.

Plato is zelfs zo weinig verouderd, dat men soms het gevoel heeft dat hij zo de kamer binnen kan stappen. Hij spreekt over wiskundige sterrenkunde en natuurkunde alsof die in zijn tijd al bestonden. Hij verklaart dromen en beschrijft bijna in de taal van Freud hoe, als de macht van de rede in de slaap verzwakt is, “het wilde dier in ons binnenste overeind komt en naakt rondloopt.
Hij doceert over arbeidsverdeling en haar oorzaken als een leraar in de moderne economie. Hij is de uitvinder of propagandist van het onderscheid tussen hoger en middelbaar onderwijs, van de noodzaak van specialisatie in de wetenschap en van de toepassing van wetenschappelijke methoden op maatschappelijke vraagstukken.

Voor zover bekend was hij de eerste die gesproken heeft over psychologie van de lach, akoestiek, inkomstenbeperking (geen gezin behoort meer dan viermaal zoveel te hebben als een ander. Hij bedacht het kleuterdagverblijf, de kleuterschoolmethode – de progressieve opvoeding: “Gedwongen lichamelijke oefening kan geen kwaad, maar kennis onder dwang verworven,  blijft niet hangen. Gebruik daarom geen dwang, maar laat de opleiding van het jonge kind een vorm van ontspanning zijn.”

Naast al deze indringende nuchterheid had Plato ook een mystieke drang in zich. Hij wilde ontkomen aan de steeds veranderende wereld, en niet steeds geconfronteerd worden met die voortdurend wisselende vraagstukken waarop hij zo vroeg reeds zulke wijze antwoorden had weten te geven. Hij wilde een godsdienst. Hij vond er geen die paste bij zijn tijd en volk, en daarom ontwierp hij er een. Het ligt voor de hand dat deze was gebaseerd op de logische samenhang der dingen, waarvoor Socrates destijds reeds zijn geestdrift had gewekt. Die denkbeelden, die wij zo boeiend vinden, zo verklaarde hij, zijn de ware werkelijkheid; de dingen die wij zien en aanraken, zijn slechts schaduwen.
Hij zei zelfs dat het begrip schoonheid meer bemind moet worden dan iemand met een bekoorlijk uiterlijk — en dat is de eigenlijke betekenis van “platonische liefde”. Wij moeten eraan toevoegen dat Plato zelf heel goed de uitersten waartoe zijn geloof in de hogere werkelijkheid hem soms leidde, kon afkeuren. “Zelfs zij die ideeën beminnen,” heeft hij met een glimlach opgemerkt, “lijden aan een soort waanzin.”
Dit dienen we voor ogen te houden wanneer we zijn beroemde, gewaagde bespiegeling, neergelegd in zijn grootste dialoog, De Republiek, benaderen, waarin hij de juiste wijze om een rijk te besturen aan de orde stelt. Zijn voorliefde voor de logica bracht hem op het denkbeeld dat, waar de goede mens strikt geleid wordt door intelligentie, de goede staat even strikt geleid moet worden door een intelligente minderheid.
Hij wilde de burgers naar aanleg en geaardheid in klassen verdelen, en zijn uitgelezen groepje rechtschapen mensen het gezag verlenen om ze, zo nodig met de sterke arm, daar te houden. Deze deugdzame en wijsgerige supermensen, die hij “opzieners” noemde, mochten geen persoonlijk eigendom en geen persoonlijke genegenheden hebben. Hun vrouwen en kinderen zowel als hun bezittingen zouden gemeenschappelijk eigendom worden. Ge­slachtelijke gemeenschap mochten ze alleen op vastgestelde tijdstippen hebben en alleen met het oog op rasverbetering, zoals bij het fokken van dieren. Alle kinderen uit een bepaalde paartijd zouden alle ouders van dat seizoen vader en moeder noemen, en alle andere kinderen broer en zuster, en aangezien ze naar een staatsschool zouden gaan zodra ze van de borst af waren, zou niemand weten wie van wie was. Intussen zou de hele aristocratie, de regerende klasse, zich lichamelijk in de allerbeste conditie houden door een streng dieet en lichaamsoefening, en geestelijk op het toppunt van scherpzinnigheid door voortdurend lessen in logica, wiskunde en metafysica te volgen.
Plato was geen voorstander van dit systeem voor de hele staat.

Het was een levenswijze voor de hoogste kaste om deze werkelijk op een hoger niveau te brengen. Wij zouden opmerken: “Als dat allemaal nodig is om een ware aristocratie voort te brengen, geef ons dan maar de democratie, hoeveel bezwaren die ook heeft.” Maar wij leven niet in de dageraad der logica. Ons ontbreekt de glimlach van het geloof, waarmee Plato de weg volgde die zijn betoog hem wees. Of zijn wij misschien blind voor de glimlach van de ironie waarmee hij zo ver kwam?

Zijn redenering bracht hem tot een van de beroemdste dwaze ondernemingen uit de geschiedenis. Hij was 60 jaar toen hij uit Athene wegging om op uitnodiging van de jonge Dionysius, de pas aan de macht gekomen tiran van Syracuse, hem te leren hoe hij de ideale republiek moest stichten. Plato begon zijn werk vol idealen, maar helaas ook met een prozaïsche grondigheid. Hij stelde vast dat de opleiding van de wijsgeer-koning moest beginnen met meetkunde. Meetkunde zou hem de kunst van streng logisch redeneren bijbrengen, zonder welke het geen zin had de ingewikkelde vraagstukken van de staatkundige hervorming aan te vatten. Zo begon het dan ook: niet alleen Dionysius, maar zijn hele hofhouding wierp zich op deze ongekende afleiding, totdat het hele paleis onder het stof zat van het tekenen van figuren in het zand op de marmeren vloeren.
Dionysius mocht Plato graag, en hij hield wel van een verzetje. Er was maar één moeilijkheid: hij hield niet van meetkunde. De anti-Platonisten scharrelden een andere wijsgeer op, die kon bewijzen dat de tirannie de beste regeringsvorm is, en dat zonder meetkunde. Ten slotte moest Plato ’s nachts in allerijl het paleis ontvluchten om per schip langs een omweg naar Athene terug te keren.

Plato hoefde niet stil te zitten na zijn thuiskomst, want hij had alweer een andere onderneming op touw gezet — hij had een school opgericht. Het was de beroemdste school uit de oudheid, eigenlijk uit de hele geschiedenis. De bijeenkomsten werden gegeven in een “gymnasium” ongeveer anderhalve kilometer ten noordwesten van Athene. De stad had drie van deze gymnasia -uitgestrekte complexen, half park, half gebouw. Ieder gymnasium omvatte overdekte zalen voor balspelen en worstelen, een massagezaal, stoombadkamer, hete en koude baden, kleedkamers en een sportveld voor atletiek. Bovendien was er een klein bos met paden voor opvoedende gesprekken en overwelfde galerijen met nissen waar banken stonden voor hen die hun opleiding liever zittend ontvingen.

Het gymnasium dat Plato had uitgekozen voor zijn school, heette de “Academia” — naar het Woud van Academus waar het zich bevond. De zittingen daar waren waarschijnlijk niet veel plechtiger dan de gesprekken met Socrates die het begin van Plato’s eigen hogere opleiding hadden gevormd. Men hoefde geen lesgeld te betalen, men had geen enkel verplicht vak en waarschijnlijk veel plezier; het valt zelfs te betwijfelen of er ooit iets minder “academisch” in de naam van de opvoeding bedreven is. Maar Plato’s school heeft bijna 1000 jaar bestaan, en alle Europese talen danken daaraan het woord academie.

Er ontbreekt echter één essentieel ding aan de leer van Plato: gevoel van de ene mens voor de ander, gevoel van ieder mens voor het gehele volk. Daaraan heeft Plato nooit gedacht; dat kwam pas onze westerse wereld binnen met Christus en de evangelisten, die leerden dat de goede mens niet wordt geleid door de rede, maar door een hartstochtelijk gevoel — de liefde tot de medemens.

Onnodig te zeggen hoe diep deze nieuwe leer de wereld heeft geraakt. Plato zou er wellicht evenzeer door getroffen zijn. Ik denk dat hij, na enige jaren van meditatie, gezegd zou hebben: “Ge hebt gelijk. Ik heb niet beseft dat het medegevoel, of wat gij liefde noemt, zo’n grote plaats inneemt in de levenswijze en in de persoonlijkheid van de goede mens. Maar ge hebt slechts aangetoond dat het intelligent is, gevoel aan te kweken. Ge kunt niet aantonen dat zelfopoffering geen ondeugd kan worden, dat medelijden niet, als elke andere hartstocht, binnen redelijke grenzen gehouden moet worden. Het is nog steeds de rede, de intelligentie, die regeert.”

Op deze wijze zou Plato zijn grote, blijvende plaats in onze westerse levensfilosofie misschien weer eens hebben bewezen.

alle biografieën

5e klasgeschiedenis

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over gezondmakend onderwijs (1)

Op een weblog van een maniakale criticaster is , zonder mijn toestemming – de integrale tekst van dit artikel overgenomen onder ‘Vrije School, pedagogisch-didactische achtergronden van Pieter Witvliet’.
Ik heb dus niets met die blog van doen en ook niet met de eventueel gemanipuleerde tekst.

.

De klein gedrukte tekst is het Duits van Steiner – de vertaling is van mij en volgt daar steeds op – in zwart. De tekst in blauw is van mij.

Rudolf Steiner heeft in verschillende pedagogische voordrachten gesproken over ‘gezondmakend’ onderwijs. Omdat er in het Duits sprake is van o.a. ‘heilen’ zijn er vertalingen gebruikt als ‘helend’ opvoeden en ‘genezend’ opvoeden. Wat bedoelde Steiner met dit ‘helende, genezende, gezondmakende’.

‘Vorerst möchte ich Sie aber darauf aufmerksam machen, daß ja unsere ganze Waldorfschul-Pädagogik einen therapeutischen Charak­ter trägt. Die ganze Unterrichts- und Erziehungsmethode selbst ist ja daraufhin orientiert, gesundend auf das Kind zu wirken. Das heißt, wenn man die pädagogische Kunst so einrichtet, daß in jeder Zeit der kindlichen Menschheitsentwicklung das Richtige getan wird, dann ist in der Erziehungskunst, in der pädagogischen Behandlung der Kinder etwas Gesundendes.’

Ik zou u er allereerst op willen wijzen dat al onze vrijeschoolpedagogie een therapeutisch karakter draagt. Heel de onderwijs- en opvoedingsmethode zelf is er op gericht dat deze een gezondmakende (gesundend) invloed op het kind heeft. Dat betekent wanneer je de pedagogische kunst zo vormgeeft dat op ieder ogenblik in de ontwikkeling van de menswording van het kind het juiste wordt gedaan, dat dan  in de opvoedkunst, in het pedagogisch omgaan met de kinderen iets gezondmakends zit. [1]

Steiner zegt hier ‘al het onderwijs’. Dat houdt in dat dit voor alle kinderen geldt. Kinderen leven o.a. in beweging, ritme, fantasie enz. Deze aspecten in je onderwijs verwerken, geeft iets levends, iets stimulerends in de levenskrachten van de opgroeiende kinderen. Tegelijkertijd gaat het Steiner ook om het individuele kind – hoe gedijt dat. Daarover zegt hij:

Dazu ist es notwendig, daß man eine Möglichkeit sich aneignet, aufmerksam zu sein, wie die Kinder sich äußern, so daß die Äußerung dann für einen gewissermaßen die Offenbarung wird, was man mit dem Kinde zu tun hat, um es völlig harmonisch gesund zu bekommen.

Daarvoor is het noodzakelijk dat je mogelijkheden vindt, erop te letten hoe de kinderen zich uiten, zodat dit uiten dan een soort uitdrukking wordt voor wat je met het kind moet doen om het helemaal harmonisch gezond te maken.’[1]

Hier gebruikt Steiner het woord ‘harmonisch’, later ook ‘evenwicht’ ;zonder deze begrippen mis je de essentie van het ‘helen’ en ‘genezen’. Zonder deze sleutelwoorden ligt een volledig verkeerd interpreteren van ‘helen’ en ‘genezen’ op de loer en komen sommigen tot de meest belachelijke conclusies, dat de vrijeschool de kinderen  ‘ziek’ vindt – ze moeten immers worden ‘genezen’.

Normaal, ziek, gezond
Wanneer de term ‘normaal’ wordt gebruikt, gaat het om ‘evenwicht’. Bij gezond- of ziekzijn eveneens. Wat het precies is, is niet zo eenvoudig te omschrijven. Er is een bepaalde ‘bandbreedte’ – die ook nog eens sterk van de persoonlijkheid en de persoonlijke omstandigheden afhangt. Wanneer de ene mens zich ‘niet lekker’ voelt, spreekt de ander van  ‘voel me ziek’. Aan de andere kant kun je je heel lekker in je vel voelen zitten. Zo kun je ingetogen leven en zeer uitbundig. Wanneer je over deze aspecten langer nadenkt, zul je steeds vinden, dat ‘normaal’ iets is dat begrensd wordt naar 2 kanten – ga je die grens over, dan komt ‘abnormaal’ dichterbij – ook gezondheid heeft een grens; ga je die over, dan ben je ‘minder gezond’ – totdat je bij ‘echt ziek’ terechtkomt.
Ieder mens, waar verder ‘niets mis’ mee is, balanceert tussen de uitersten van het ‘normale’; tussen de uitersten van  het ‘gezonde’. En iedere dag opnieuw. Wij bevinden ons steeds in een ‘wankelbaar evenwicht’. In een ‘kwetsbare harmonie’, zou een andere uitdrukking kunnen zijn.

Man betrachtet ja heute Gesundheit und Krankheit eigentlich als zwei Gegensätze. Der Mensch ist entweder gesund oder krank. Aber so ist überhaupt die Sache gar nicht, ihrer Realität, ihrer Wirklichkeit nach gedacht. So ist es gar nicht. Gesundheit und Krankheit stehen nicht etwa einander polar entgegen, sondern das Gegenteil der Krankheit ist etwas ganz anderes als die Gesundheit

Tegenwoordig beschouwt men gezondheid en ziekte eigenlijk als tegenovergesteld. De mens is òf gezond, òf hij is ziek. Maar dat is geen gedachte die overeenstemt met de realiteit. Zo is het helemaal niet. Gezondheid en ziekte staan niet polair tegenover elkaar; het tegendeel echter van ziekte is iets heel anders dan gezondheid. [2]

Nehmen Sie die Sache selbst sprachlich. Wenn Sie das Verbum bilden von krank, so haben Sie kränken; kränken: Schmerz bereiten. Nehmen Sie ein Zeitwort, das das polarische Gegenteil bedeuten würde, so hätten Sie:Lust bereiten. Und zwischen diesen zwei Extremen, zwischen dem Kranksein und Lustvollsein, muß der Mensch das Gleichgewicht halten. Das ist die Gesundheit. Der Mensch hat nicht die polarischen Gegen­sätze Krankheit und Gesundheit, sondern Krankheit und einen ganz anderen polarischen Gegensatz, und die Gesundheit ist der Gleichge­wichtszustand, den wir uns fortwährend organisch bemühen müssen zu erhalten. Wir pendeln gewissermaßen hin und her zwischen Kranksein und innerlich Lustvollsein, organisch lustvoll sein. Das Gesundsein ist der Gleichgewichtszustand zwischen den beiden Polaritäten. Das ist die Realität.

Bekijk de zaak eens vanuit de taal. Wanneer je een werkwoord maakt van (Duits) krank’, dan krijg je kränken; (‘pijn berokkenen. Dit zit in ons woord ‘krenken’.)  Neem een werkwoord dat daar polair aan is, dan krijg je lust (zoals in ‘het is mijn lust en mijn leven!) En tussen deze twee extremen, tussen dit ‘kranksein’ en het ‘lustvolle’ moet de mens het evenwicht bewaren. Dat is gezondheid. De mens heeft niet de tegenstelling ziekte en gezondheid, maar ziekte en een heel andere polariteit, en gezondheid is het evenwicht waarvoor wij steeds moeite moeten doen om dit organisch* te bewaren. In zekere zin pendelen we heen en weer tussen ziekzijn en innerlijk ‘organisch* lustvoll (goed in je vel.) Gezondheid is het evenwicht tussen beide polariteiten. Dat is de realiteit.[3]

*Organisch heb ik hier gewoon overgenomen. Vanuit de grotere context blijkt dat dit letterlijk genomen moet worden – vanuit een orgaan.

Die Krankheit hat eine Polarität, die eigentlich darinnen liegt, daß das einzelne Organ gewissermaßen aufgesogen wird vom Gesamtorga­nismus und zu seiner besonderen Wollust, zu seiner besonderen inneren Befriedigung beiträgt. Ein, ich möchte sagen, Überlust-Erlebnis ist eigentlich der polarische Gegensatz der Krankheit,

De ziekte heeft een polariteit die er eigenlijk uit bestaat, dat het orgaan op zich in zekere zin door het totale organisme wordt opgezogen en tot een bijzonder lustgevoel, tot een bijzondere innerlijke tevredenheid bijdraagt. Een, ik zou willen zeggen – bovenmatige lustbeleving is de eigenlijke tegenstelling van ziekte. [3]

Ik vind dit een interessant gezichtspunt. Ik denk dat ik niet de enige ben die gezondheid beleeft als een ‘midden’ met aan de randen naar de ene kant dat het slechter tot slecht met je gaat – lichamelijk, maar ook in je stemmingen – en heel goed tot opperbest. Je mankeert niets, je voelt je gezond, je hebt overal zin in; of je bent een dag niet vooruit te branden; en zou ‘hemelhoog juichend tot dodelijk bedroefd’ niet ook die randen aangeven? Een bijkomstig interessant detail is nog dat ‘ziekte’ etymologisch teruggaat naar ‘zuigen’ (Middelnederlands sûken, Oudengels sûcan)

Gezondheidstoestand van het kind

‘Es ist für den Lehrer und Erzieher eben in hohem Grade wichtig, daß er den Gesundheitszustand des Kindes in einem gewissen Sinne voraussieht und prophylaktisch wirken kann.

Het is voor de leerkracht en opvoeder nu juist in hoge mate belangrijk dat hij de gezondheidstoestand van het kind in zekere zin in een vooruitziende blik heeft en profylactisch kan werken. [4]

Wanneer we gezondheid dan opvatten als een evenwichtstoestand, dan is de vraag wat je als pedagoog voor dit evenwicht kunt doen en als we bv. het vierledige mensbeeld als uitgangspunt nemen, spitst die vraag zich toe: wat kun je voor het lichamelijk evenwicht doen, voor de levenskrachten, voor de ziel en voor het Ik.

[1] GA 300b blz. 257
[2] GA 304 blz. 75
[3] GA 304 blz.76
[4] GA 300b blz 261  .

deel 2

VRIJESCHOOL – Rekenen – 4e klas (1)

Rekenen tussen het negende en twaalfde jaar
In de gevoelsmatige periode van de gevoelsfase, die ongeveer samenvalt met de vierde en vijfde klas, zijn de fantasie en de persoonlijke inzet van de kinderen bij het rekenonderwijs van essentieel belang. Bij het thema breuken kunnen deze elementen bijzonder goed tot hun recht komen.

De vierde klasser is in het midden van de tweede levensfase. De tijd dat hij zich vanzelfsprekend één kon voelen met de wereld rondom, is voorbij. Het gevoel van zelfstandigheid is tevens een gevoel van ‘apartheid’. Het blijkt de vierde klasser diep te kunnen bevredigen wanneer hij de kans krijgt zich in te leven in de wereld van de breuken. Het kind krijgt daartoe alle gelegenheid. Pas als de breuken ten volle doorleefd zijn beginnen wij te werken met abstracte formuleringen van breuken.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen IV en V
Kwalitatief en kwantitatief inzicht in de wereld van de gehele getallen, de gewone en tiendelige breuken. De vier hoofdbewerkingen binnen dat gebied.
De vaardigheid zich binnen deze getallen rekenend vrij te bewegen.

4e klas

Leerstof
Hoofdrekenen, ook met getallen boven de duizend.
Cijferen wordt aangeleerd (eventueel).*
De breuken met hun vier hoofdbewerkingen.
Schatten.

Werkvormen
Na een ceremoniële start oefent de klas het rekenen in breuken door beweging en doen.

De klas vormt een kring die in tweeën of drieën wordt gesplitst. De kring valt telkens uiteen in een stambreuk en het overblijvende deel, om zich daarna weer te sluiten.

De kinderen maken ook ronde schijven en knippen er een stuk uit. De delen zijn gemakkelijk weer samen te voegen. Altijd gaat de leerkracht met de leerlingen van het geheel naar de breuk en van de breuk terug naar het geheel. 

Het schriftelijk werk is zodanig dat het voor de kinderen binnen dezelfde opgave mogelijk is op veilig terrein te blijven of door te dringen tot een moeilijker gebied.

Hoe gaat het toe?
Op de vrijeschool gaan we bij het rekenen met breuken uit van de stambreuk. We proberen ook in dit vak de mensheidsgeschiedenis te volgen. De Egyptenaren gebruikten vele eeuwen om het rekenen met breuken te ontwikkelen. In de tijdspanne van 3400 v. Chr. tot 1800 v. Chr. gebruikten de Egyptenaren uitsluitend stambreuken en het overblijvende deel:

één derde                                   en de ‘twee delen’ (2/3)
één vierde                                  en de ‘drie delen’ (3/4)
één vijfde                                   en de ‘vier delen’ (4/5)

Voor de Egyptenaar had elke breuk op zichzelf zo sterk een eigen kwaliteitskarakter, dat het voor hem een horreur was om over 2/5 of 3/5 te spreken. Bij hun berekeningen stuitten de rekenkundigen wel op zulke grootheden, maar deze werden onmiddellijk geëlimineerd door ze te herleiden tot stam breuken. Zo bevat de papyrysrol Rhind, 19e eeuw vóór Chr. uitvoerige tabellen voor het herleiden van 2/5, 2/7, 2/9 tot stambreuken. Voorbeelden:

2/5———- ► 1/3 + 1/15

2/7———- ►     1/4 + 1/28

2/9———- ► 1/8 + 1/52 + 1/104

Voor ons is dat vreemd. Wij moderne mensen fronsen onze wenkbrauwen bij die 1/8, 1/52, 1/104 en het verschaft ons een bevredigend gevoel als wij met behulp van gelijknamig maken deze som kunnen herleiden tot de voor ons zo veel gemakkelijker grijpbare breuk 2/13. Dus we gaan precies de andere kant op.

Maar voor een Egyptenaar heeft ééndertiende een kwaliteit, voor hem spreekt zich in die 13 een wezenlijk iets uit. De getallen worden grootheden waar men het diepste respect voor had.

Het kan nooit de bedoeling zijn de papyrusrol Rhind als uitgangspunt voor een rekenmethode te nemen. Wij willen niet terug. Maar het maakt wel verschil of de onderwijzer en de onderwijzeres met eerbied tegenover de breuken staan. De breuk is een culturele verworvenheid van de mensheid. Een lange weg van wijsheid naar uiterlijke kennis. Al onze kinderen zijn in de wieg gelegd om deel te hebben aan onze abstract-intellectuele wereld. De vraag is echter, hoe leidt men een kind op weg naar het begripsmatige omgaan met getallen en bewerkingen zonder dat zij van hun werkelijkheid vervreemden.

De eerste breukenperiode
Het is januari, de school is net begonnen na de kerstvakantie.
Als iedereen binnen is, is de spanning al aanwezig. Ze weten: nu krijgen we breuken!

(N.B. Een rekenperiode gaat het best in de koude tijd van het jaar, als alle krachten wat verinnerlijkt zijn. Daarnaast vormt de ‘breuk’ een typisch heilzaam vierdeklasonderwerp, samen met o.a. de canon, het ‘gebroken’ lied, en de kruising van lijnen bij het vormtekenen, het zgn. vlechtwerk.)

Met een plechtstatige ernst haalt de leerkracht uit zijn tas een zijden shawl — een mes — een appel. Met omstandig ritueel wordt de appel gepoetst tot hij glimt. Dan neemt de leerkracht het mes en voor de ogen van de kinderen snijdt hij de appel langzaam middendoor.

Dit zonder één woord te zeggen.

Het mes wordt neergelegd en in iedere hand neemt de meester een helft. Dan de twee helften in één hand, goed laten zien, de shawl eroverheen en onder de shawl de helften tegen elkaar gedrukt. Als het goed lukt, plakken de helften weer samen en de appel is weer heel. Onthul de appel dan weer.

Hetzelfde ritueel nu nog eens.
Nu krijgen we vier partjes. Ook deze worden te zamen geplakt. Nog steeds wordt er geen woord gesproken. Men moet dit mooi uitspelen, en tevoren thuis oefenen, want vier partjes in één hand vereist enige vaardigheid.

En tenslotte het moeilijkst. Acht partjes!
Dit lukt niet met één hand maar met twee handen laat men, als een geopende bloem de partjes zien en plakt ze weer te zamen.

Dit ritueel maakt een diepe indruk op alle leerlingen.

Vervolgens wordt er gesproken over een helft, een halve, een hele, over kwarten, enz. Men tekent op het bord; twee halve appels = één hele.

In het nieuwe schrift worden mooie tekeningen gemaakt. Die eerste week staat voornamelijk in het teken van het doen.

Men laat de kinderen zelf appels meenemen en een mes. Zelf snijden, ‘sommetjes’ opgeven, die ze moeten doen. ‘Pak eens een halve appel, hoeveel kwarten zijn dit, hoeveel achtsten zijn dit,

neem een kwart, hoeveel moet eraf om een achtste te krijgen, enz. (de opgaven weer volgens de temperamenten).’

Men vraagt een paar moeders om pannenkoeken te bakken en die om negen uur te brengen. Dan wordt er gesneden en verdeeld, weer bij elkaar gelegd enz. Samen rekenen: ‘Geef je buurman 3/8 pannenkoek. Je krijgt 3/4 terug.’

(Geroep dat dit oneerlijk is; heel goed, want iedereen weet nu dat 3/8 minder is dan 3/4.) En aan het eind:

‘Stop 2/8 pannekoek in je mond;
stop 2/4 pannekoek in je mond;
stop nu 4/4 pannekoek in je mond!’
Rekenen kan erg leuk zijn.

In de kersttijd hebben veel groentewinkels wel een zak met walnoten staan. De meeste walnoten zijn in tweeën verdeeld door een ribbel. Na enig zoeken vindt men echter ook walnoten die in drieën gedeeld zijn. Dat krijgen ze als huiswerk op; ga naar de groenteman en zoek zo’n walnoot. Spannend, en tegelijk een goede wilsoefening.

bb 82  1

(Enkele leerlingen uit mijn klas, nu de zevende, hebben hem nog steeds.)

Als iedereen zo n noot heeft, kunnen we de derden in gaan voeren. Eerst noten tekenen, en tenslotte wordt het wat schematischer.

bb 82 2
Ook zijn er in deze tijd van het jaar veel mandarijnen te koop. Mee laten nemen en op school openen. Vaak zitten er negen partjes in.

Leuk huiswerk: Vraag thuis of jullie soep eten. Hoeveel happen soep moet je nemen voor je bord leeg is?

In de tweede week de schrijfwijze. Nu wordt ingevoerd: 1/2, 1/3 enz.

Kleine sommetjes, steeds verwijzen naar het concrete, dat ze zo vaak, en met zoveel plezier geoefend hebben. Altijd eerst tekenen, zodat ze het zien. De kinderen geven zelf wel aan, wanneer ze het tekenen los willen laten.

Tenslotte toewerken naar het abstracte. Een hele sprong voor sommigen, voor anderen minder. Ook zijn er leerlingen, waarvan je het gevoel hebt, dat ze er nog niet helemaal aan toe zijn. Toch hebben ze bij het concrete werk goed meegedaan. Men kan dan met dat abstraheren nog best even wachten, tot een en ander bezonken is. Ook het feit, dat men als leerkracht met de klas meegaat werkt hier zeer in het voordeel van deze leerlingen, want men kan eventueel in de vijfde klas deze stof in deze overgang nog eens aanbieden.

De stambreuk
bb 82 3

Bedenk zoveel sommen als je wilt.

Deze opgave is bijzonder geschikt om het kwalitatieve beleven van de breuken te versterken. De oefening zoals hierboven aangegeven staat in de melancholische vorm.

bb 83

De laatste dag van de rekenperiode was het ‘breukenfeest’. We hadden ons er steeds op verheugd. Moeders hadden panneköeken gebakken en zelfs enkele taarten. We zaten aan lange tafels. Het ging er vrolijk toe. Maar het snijden — er was zoveel dat ieder minstens eenmaal een hele pannenkoek kon verdelen— ging uiterst nauwkeurig. Na een uurtje waren er nog een paar losse stukken pannenkoek over op één schaal.

‘Wat wil jij nog, Piet?’
‘Wat heb je daar?’
‘Een kwart en een twaalfde’
‘Geef me dan die twaalfde maar. Hij is niet gróter maar wel mooier dan de kwart!’

Reciteren
Ook in de vierde klas is rekenen nog het vak van spanning en ontspanning, van doen, van ritmen klappen en lopen, het acoustisch vak met spreekkoren, vraag- en antwoordgroepen, het rekcnland dat wij nu eens met verbazing betreden, dan weer samen stormerhand veroveren. Vooruit:

1/2 x 1/5 = 1/10
1/3 x 1/5 = 1/15
1/4 x 1/5 = 1/20

En terug:
1/12 x 1/5 = 1/60
1/11 x 1/5 = 1/55

etc, alles in koor

Het is zaak terug te komen op de elementaire vaardigheden. Breuken rekenen en de tafels niet kennen, dat moet spaak lopen. Maar wel de vorm variëren, anders laten de leerlingen, die ze wèl kunnen, het al gauw afweten. Schakel een bolleboos in, zet hem voor de klas en hij zegt:

1/45 is:                      de klas: 1/9   x   1/5
1/25 is:                      de klas: 1/5   x   1/5

Om goed ritmisch te vragen en te laten antwoorden, leuk af te wisselen, dat is ook voorde beste rekenaar een hele kunst. Wij leraren kunnen ons uitstapjes permitteren:

1/60 is:               de klas: 1/12   x   1/5

1/65 iiss:            de klas: 1/13   x   1/5

1/500 iiisss:      bedenktijd voor de langzamen en spanning voor de vluggen om het precies op tijd te mogen uit kraaien. Klas: één-hon-derd-ste-maal-één –
vi jf-de!

Gelach, gepraat. De leraar schrijft op het bord: 1/2 x 1/3 x 1/4 x 1/5 — neen, daar wordt nu niet over gesproken — dus mond dicht. Dat bedenkt ieder voor zichzelf. Morgen zullen we het daar samen over hebben.

Dan het vereenvoudigen van breuken. Dat kan men uitleggen, nog eens uitleggen, weer een voorbeeld geven. En als de laatsten het gesnapt hebben is het al lang een moeizame zaak geworden. Maar als wij vele kleine deeltjes samenvoegen tot een groot geheel, dan is dat niet een ontdekkingsreis naar onbekende verten. Het begrip van dat aaneengesmede stuk is er al, het moet alleen nader gespecificeerd worden. Wij gaan dus van de eenvoudigste breuk uit:

1/2 is:                    de klas: 2/4
1/2 is:                    de klas: 3/6
1/2 is:                    de klas: 4/8,             goed gescandeerd.

Zo wordt het herleiden ook een acoustische waarheid. De lezer moge zelf proberen in een vlot tempo:

‘ 8/9 is 16/18 is 24/27 is 96/108 Als de rij goed in het gehoor ligt, kan men het tempo opvoeren, een accellerando. Daarin vermijdt men een opjagen tot spanningen, die in de lucht blijven hangen, zich niet kunnen ontladen. Tegen het einde houdt men in naar een rustig, krachtig slot.

Schriftelijk werk
De gereciteerde breukentafels lenen zich bijzonder goed tot opschrijven.

Zij behoeven weinig instructie om goed uitgevoerd te worden. Door de herhaling verbinden de kinderen zich met de stof.

1/2   x   1/5   =
1/3   x   1/5   =
1/4   x   1/5   =
1/2   x   1/6   =
1/3   x   1/6   =
1/2   x   1/7   =

1/2   =   2/4   =   3/6   =
4/9   =   8/18   =   12/27   =

Het is een heel werkstuk zoiets mooi op papier te krijgen. De breukstreep öp het lijntje, de streepjes van het is-gelijk-teken net even boven en er net even onder. We laten met kleur werken. Lukt de notatie, dan hebben zulke tafels en reeksen een feestelijk aanzien!

Berekeningen met breuken binnen de één
Telkens komen we terug op sommen binnen de één, vanwege de schoonheid van de stam!) breuk.
Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen.Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Von Baravalle geeft de raad de kinderen opgaen te geven met een ritmisch verloop in teller en noemer. Zie bovenstaande opgaven.

bb 84

Men komt dan tot kleine en grote ontdekkingen. Ritmische opgaven zijn een weg om in de geheimen der getallenwereld door te dringen.

Thuis zelf als voorbereiding tot de les zulke sommen maken geeft dat plezier dat de volgende dag onder het rekenen de kinderen gaat bezielen.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Met cijferen kun je m.i. beginnen, wanneer een opgave met hoofdrekenen niet meer gevonden kan worden. Als je bv 5 getallen – 346 + 789 enz moet optellen, lukt het alleen een rekenwonder zonder cijferen, d.i. onder elkaar zetten en optellen.  Het cijferen is voor een deel ook weer hoofdrekenen.

Rekenen 4e klas: alle artikelen

VRIJESCHOOL – Rekenen – 3e klas (1)

Rekenen en Wiskunde
Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt(milieu-problematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar
In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

klas 3

Leerstof
—    Herhaling van al het voorgaande.
—    Het verdelen van 1000.
—    Hoofdrekenen: alle vier hoofdbewerkingen met gecompliceerde getallen (tot 1000).
—    Er wordt ook gerekend met geld. Markt, winkel, dingen uit het dagelijks leven.
—    Schriftelijke opgaven.
—    Schriften, kleurpotloden, zwart potlood (ballpoint).

Werkvormen

De werkvormen zijn dezelfde als in de tweede, de werkstijl is echter anders. De derde klas is een echte oefenklas. Alles wat in de eerste drie jaar wordt aangelegd moet aan het einde van de derde tot op zekere hoogte beheerst worden.

Bij het schriftelijk werk staat alles nog in de hoofdrekenvorm:

308 + 213 + 96=

Niet dat de kinderen het optellen van eentjes, tientjes niet zouden kunnen begrijpen. Het gevaar van het cijferen is dat de kinderen lui worden met hoofdrekenen. En juist het hoofdrekenen is onmisbaar voor het zich nog vrij leren bewegen in de getallenwereld. Het cijferen is de dood voor een werkelijk getalbegrip zowel naar grootte (later het leren schatten) als naar onderlinge samenhangen. 16 x 25 zet men niet onder elkaar, 16 x 25 = 400 tout court.

Er zijn echter andere, bijzonder zinvolle vormen van schriftelijk werk voor de derde klas (zie voorbeeld). De opgaven zijn altijd zo dat de leerlingen zelf voortkunnen. Binnen de klassikale opgave is individuele differentiatie mogelijk. Het rekenen in verband met het dagelijks leven geschiedt eerst in concreto, later als ‘rekenverhaal’.

Tafels
Als we de tafels opzeggen, gebeurt dat altijd staande en we klappen en stampen* op bepaalde getallen om daar het accent op te leggen. We klappen de uitkomst, en stampen op ‘het aantal maal’. We gaan van het geheel uit en zeggen de tafel heen en terug, dus:

2                  =               1  x  2
(klap)                          (stamp)
4                  =               2 x  2
6                  =               3 x  2
tot en met
20               =             10 x  2

vervolgens weer terug

  1  x 2      =                            2
(stamp)                               (klap)
 2  x  2      =                           4
 3  x  2      =                           6
10 x  2      =                         20

Dan zijn er nog oefeningen, die we elke dag gedaan hebben, waarbij de vermenigvuldigingen niet worden genoemd, maar waar we de tafels opzeggen als getallenreeksen met weer klappen, stampen, hinken, springen, aantikken etc.

Enige oefeningen: bijvoorbeeld de tafel van 3**:

lopen       1, 2       stilstaan, klappen en roepen ‘3!’
lopen       4, 5      niets zeggen stilstaan, klappen en roepen ‘6!’

dezelfde oefening nu: hink, hink, sprong.

staand:
je tikt één voor één je schouders aan en telt daarbij in gedachten 1, 2 vervolgens klap je in de handen en roept ‘3!’ 4 (schouder) 5 (schouder), klappen en roepen ‘6!’ 

Hetzelfde kan natuurlijk met knieën, voeten, oren, billen etc. Voor de kinderen lijkt het steeds een nieuwe oefening en daar er eindeloos veel variaties zijn kun je iedere dag weer iets anders doen, zonder dat de kinderen in de gaten hebben dat je elke dag met die tafels bezig bent.

Een aantal andere ‘tafel’-oefeningen hebben we in de kring gedaan. In de klas zitten eenendertig kinderen, waarvan drie kringen van tien gemaakt werden.

Elke kring krijgt een bol wol en elk kind krijgt een getal van 0 t/m 9. De kinderen staan in die volgorde ook naast elkaar.
Ik ga nu maar weer uit van de tafel van drie. Nummer drie uit de kring krijgt het beginpunt van de bol wol en het noemt zijn getal, namelijk ‘dbb 77
Voor twee van de drie kringen bleek geen kind te zijn dat de bol wol door kon geven. Deze kringen kregen een bal. De tafels gingen dan hetzelfde als de beschreven oefening van 3, alleen werd de bal nu overgegooid.

Met de bal kun je trouwens ook leuke spelletjes doen als de tafels er al goed ‘inzitten’.
Een vermenigvuldiging vragen en 
een naam noemen. Diegene geeft het antwoord en gooit de bal naar de volgende. Dus: 1 x 3 Nessa; Nessa: ‘3!’ 7 x 6
Michiel: Michiel: ’42!’ 3 x 9’Tanja; Tanja: ’27!’ 6^x 5 Tijn, etc.

Dit spelletje is natuurlijk alleen maar leuk*** als er een beetje tempo in zit.

Als je bovenstaande oefeningen (figuren maken van de uitkomsten van de tafels) in de kring, hebt gedaan, kun je ze daarna in het schrift laten tekenen of op een kaart laten borduren met wol.

Veel leuke dingen om in het schrift te maken zijn:

lange rijen van antwoorden maken in je schrift en dan de wetmatigheden daarin proberen te ontdekken

bv. de tafel van 8. Die wetmatigheden kunnen ze dan bijvoorbeeld met verschillende kleurtjes aangeven.

00             88

08             96

16             104

24             112

32             120

40             128

48              136

56             144

64             152

72             160

80

Eenheden altijd: 8, 6, 4, 2, 0

Tientallen: 0,0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12

Een aantal kinderen sprak dergelijke oefeningen zo aan dat ze rijen maakten met antwoorden tot 1000 toe.

Tafelblad maken behoort nog steeds tot de favoriete bezigheden tijdens de rekenperiode. Ook al hebben we dat al vaker gedaan, steeds opnieuw ontdekken ze daar weer nieuwe dingen in die ze daarvóór niet gezien hadden.

bb 78

Een aantal kinderen gaat dit soort oefeningen thuis dan uitbreiden en komt dan met een heel groot vel papier op school om te laten zien hoe ver ze wel niet gegaan zijn. Hetzelfde gebeurde met de volgende oefening:

Tafelberg maken: (deze som wordt op een heel lang stuk papier gemaakt.

bb 78 2

 

 

 

Het schriftelijk werk

 bb 79

De oefening is hier al redelijk ver ingevuld. Op het bord schrijven we niet meer dan:
bb 78 3

We doen dit samen met de klas. Daarna gaan ze alleen verder.

Het leuke is dat er zoveel manieren zijn om deze som uit te rekenen.

Dergelijke ritmische oefeningen vervelen de kinderen nooit. Met het ontdekken van wetmatigheden krijgen ze tegelijk controle over het werk.

Natuurlijk ontdekt er ook wel eens iemand een regelmatigheid die helemaal niet bestaat en baseert daar zijn hele systeem op. Vrolijk zelfstandig voortwerkend produceert hij een blad vol cijfers. Na het grote ‘Aha-Erlebnis’ dat volgt als de som later klassikaal op het bord een stukje verder wordt uitgerekend, gaat het betreffende kind nu echt rekenen, zelf nog nagenietend van zijn naïveteit

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985).

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**Dit kan ook goed in klas 2 – het gaat er altijd om: hoe ‘ver’ is je klas.

***voor het kind dat het antwoord niet weet, is het niet zo leuk! Ik sprak af dat wanneer je het niet weet, je een willekeurige som uit de tafel mag zeggen die je wèl weet (en die is er altijd: 1 x …) Dan heeft ook dit kind het gevoel dat het meedoet.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas – alle artikelen

(1)    De 4 bewerkingen door de jaren heen)
Georg Hofmann over: de 4 bewerkingen in sommen voor de verschillende klassen:
voor kleine getallen, grotere, gewone breuken, decimaalbreuken, negatieve getallen en algebra

(2)   Schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

TAFELS

[3-1]
Joachim Hein over: een levendige uitbeelding van de getallenrijen

[3-2]  
Pieter Witvliet over: getallenrijen voor de lagere klassen (2 en 3) waarop de delers van de tafelrijen zichtbaar worden als steun voor het leren van de tafels

(4)  Achtergronden , voorbeelden uit het rapport ‘het binnenste buiten’

(5)  Pieter Witvliet over: ‘tafelsterren’ – een hulpje bij het aanleren van de tafels

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

.

VRIJESCHOOL – Rekenen – 2e klas (4)

Rekenen en Wiskunde
Op de lagere school is rekenen een heel belangrijk vak. De tijd dat een kind ‘bleef zitten’ omdat het een onvoldoende voor rekenen had, ligt nog niet lang achter ons. Deze hoge waardering dankt het rekenen aan het feit dat rekenen en wiskunde de belangrijkste hulpvakken zijn van de natuurwetenschappen en ook in de menswetenschappen een voorname plaats innemen.

Elke beoordeling van de resultaten van het rekenonderwijs is onlosmakelijk verbonden met rekenprestaties.
Dit betekent voor een aantal kinderen dat er tijdens het rekenonderwijs een druk op hen ligt.
In het algemeen kunnen wij stellen dat rekenen en wiskunde vakken zijn, die toch echt bij het kind horen.
Wanneer we rekenen vergelijken met aardrijkskunde, welk vak erop gericht is het kind de wereld te doen kennen; waarbij in de lagere school het uitbeelden van de schoonheid van het geschapene en gewordene grote aandacht krijgt(milieu-problematiek wordt pas later behandeld) wordt dit heel duidelijk.
In tegenstelling tot zulk een vak waarbij men afbeeldt, staan de vakken waarbij men produceert. Tijdens het musiceren bijvoorbeeld leeft de muziek in degene zelf die deze maakt, of hij nu schrijft, vertolkt of improviseert.

Ook rekenen is een vak waarbij men produceert. Er komt niet iets op de mens af, maar alles gebeurt binnen in hem. Het ligt geheel aan mijn eigen activiteit, of ik tot het begrip van het aantal kom als ik een aantal voorwerpen zie. Tellen is op zich reeds produceren van begrippen. De vaste volgorde van de getallenreeks geeft het kind een gevoel van innerlijke zekerheid.
Binnen de getalenrij kan ook een andere ordening worden aangebracht. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij het aanleren van de tafels.

Besef van vrijheid in het denken ontstaat door het aanbrengen van een eigen ordening binnen de gegeven orde.

Voor het oproepen van begrippen is innerlijke activiteit vereist. Dit betekent dat het rekenen afhankelijk is van de wil. Aardrijkskunde noemen we een beschouwelijk, beeldend vak; rekenen een wilsvak.

In de aardrijkskunde geeft men zich alle moeite om de lessen levendig te maken. Selma Lagerlöf werd beroemd toen haar dit voor de Zweedse jeugd is gelukt door ‘Niels Holgersson’s wonderbare reis’.

Wanneer men de kinderen laat rekenen, merkt men dat ze enthousiast en bewegelijk worden. Het begint in hen te borrelen. Innerlijke activiteit uit zich. Als vanzelf komen zij overeind van hun stoelen. Rekenen noemen we een dionysisch vak. Dionysos, de wijngod, broer van de hemelse Apolio, brengt de mensen op aarde leven, beweging en vreugde.

Rekenen tussen de tandwisseling en het negende jaar
In de eerste drie klassen verkeert het kind in de wilsmatige periode van de gevoelsfase. Het rekenen geschiedt via het doen, vanuit het bewegingselement.
Als men een kind laat klappen, stampen, reciteren, ontwikkelt men dit bewegingselement, hiervoor het dionysische element genoemd. Er wordt niets door het individuele kind opgeschreven dat niet eerst gezamenlijk vele malen is gedaan.
Langzaam maar zeker tracht men het kind enig bewustzijn te geven van hetgeen het bewegend in de ‘dionysische roes’ heeft meegedaan. Schrijft het kind de tafel van 3 op, nadat het deze heeft geklapt, gestampt en gereciteerd, dan ontdekt het daarin met plezier de grote harmonische ritmen in de loop der getallen. Op de juiste wijze opgeschreven blijft het element van schoonheid bewaard. Het gezamenlijke stampen wekt de vreugde voor het rekenen. Dit is het uitgangspunt. Het persoonlijke leren vindt plaats in de stilte van het opschrijven en het zelf ontdekken van de samenhangen.

Leer- en ontwikkelingsdoelen voor de klassen I, II en III
Evenals in de eerste drie jaren van de lagere school elk kind de tijd krijgt zijn taalgebruik te verbeteren, om uiteindelijk te leren op de juiste wijze te spreken, zo ook krijgt het kind de gelegenheid om de wereld der getallen goed te leren kennen.

Er is grote vrijheid van indeling doch men streeft er naar dat het kind de tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 1 t/m 12, alsmede de ‘opteltafels’ en de ‘aftrektafels’ ‘uit het hoofd kent’. Het gaat hierbij vooral om het acoustisch geheugen. Men streeft naar kwalitatief en kwantitatief inzicht in de getallen binnen de duizend. Het kind wordt geacht zich binnen de duizend vrij te kunnen bewegen door middel van de vier hoofdbewerkingen.

Klas 2

Leerstof:
—    Ritmische teloefeningen. Tellen tot 1000 of verder.
—    Tafels van vermenigvuldiging van 1 t/m 10 of 12. Opteltafels en aftrektafels t/m 20 of 24.
—    Het verdelen tot 100.
—    Hoofdrekenen: vier hoofdbewerkingen tot rond 100.
—    Schriftelijke opgaven.

Werkvormen:
—    Ritmische klap en stampoefeningen* worden nu mooi afgewerkt (zie voorbeeld). De tafels van vermenigvuldiging die in de eerste klas nog niet werden aangeleerd hoeven in de tweede klas niet per se even uitvoerig vanuit de beweging te ontstaan (zie voorbeeld).
—    Het verdelen tot ongeveer honderd kan aangeleerd worden via het globale hoofdrekenen. Daarna uit het hoofd en op papier (niet in cijfervorm).
—    Hoofdrekenen met vingers, klassikaal, de leerkracht maakt het spannend en grappig. Vanuit het klassikale rekenen in koor wordt geïndividualiseerd.
—    In de tweede hoeft niet veel schriftelijk werk gemaakt te worden. Het weinige echter wordt heel zorgvuldig gedaan. Het mag geen ‘lopende band’ werk zijn (zie voorbeelden).

Iets over de tweede klas

Een mooie oefening
De kinderen staan achter hun stoeltjes. De leerkracht vraagt hen één keer te stampen*. Tsja, dat moet nog eens over, want het was een rommeldestommel. Zij kijken je aan hoe je het nu vindt. Een keer, nu was het één reuze boems die wegsterft en dan stilte daarna. Ja, dat is de EEN. Dan twee stampen, duidelijk neergezet in de ruimte, in de tijd. Dan drie… Straks vier, roept er een. Straks honderd! De kinderen lachen. Maar die eerste EEN is onvergetelijk. Eén boems – twee boemzen, – drie. Maar 100? Nee, geen 100. Voor de kinderen dus liever terug naar de één:                                                 1    2    1

Dat is een afgerond geheel. Je verleidt de kinderen dan niet tot een overmoedige Hochstapelei. Dan

1   2   3   2  1

zeggen wij tot 5, dus 1 2 3 4 5 4 3 2 1 en tot slot klinkt weer die één, maar nu als afsluiting. Deze oefening is gemakkelijk te hanteren als men bij de één een stap naar voren maakt, bij de twéé twee stappen achterwaarts, de drie weer naar voren en zo verder. Men moet dan een kleine leefruimte voor en achter hebben. De hele ronde resulteert, als het goed is, in één stap voorwaarts. Men kan de oefening ook zuiver acoustisch doen.

Voor het schriftelijk werk kunnen wij diezelfde oefening gebruiken. Wij laten de kinderen de 1 opschrijven, de 1    2    1, de 1   2   3   2   1, mooi groot, met een flinke afstand tussen de cijfers. Er zal dan zoiets komen als:

1

1   2    1

1   2   3   2   1

Nu moeten de kinderen leren dat als je zoiets opschrijft het mooi moet zijn, echt mooi. Zó, dat die ‘som’ een mooi gezicht heeft. Zoals het hierboven is aangegeven, heeft de som geen eigen gezicht. Neem de tijd: de kinderen komen wel op andere vormen. En wij kiezen:

1

1    2    1

1   2   3   2   1

1   2   3   4   3   2   1

1   2   3   4   5   4   3   2   1

Rudolf Steiner was er zeer op gesteld, dat de vorm, waarin het vraagstuk wordt opgeschreven, het oplossen van een vraagstuk, de gang van de bewerkingen weergeeft.

Hoeveel keer hebben we nu met elkaar gestampt? Hoeveel boemzen zijn dat nou? De totalen worden er niet tegenaan geplakt, maar komen achteraan netjes onder elkaar te staan.

In de tweede klas kennen de kinderen de eenvoudige kwadraten. Bij deze oefening zijn er leerlingen, die onder de uitkomsten rechts al de 36 schrijven en de 49. Schoonheid, vreugde in kleine ontdekkingen, en vooral de wilsinzet van de kinderen, het dòen. Doen wil hier zeggen: lopen, stampen, klappen, in koor reciteren.

Eén ding, dat stampen van die 1 2 3 4 5 4 3 2 1, dat klonk nog wat erg martiaal, het is eigenlijk puur maat. Het kan ritmischer, muzikaler, kunstzinniger. Wij beginnen weer met de grote één, onmiddellijk gevolgd door twee rustige slagen, direct aansluitend de vluggere drie, sneller de vier, de vijf als een tromgeroffel, terugnemend de vier, weer langzamer de drie, de twee slagen, en afsluitend de één… een accelerando-ralentando. Uit de één rolt met donderend geweld een machtige golf om zich aan het einde weer samen te ballen. In de EEN.’

Hoofdrekenen in de globale vorm (1e, 2e en 3e klas)

Laten zien ————— » zeven!

Natuurlijk ook in andere combinaties 3 + 4. Kan in koor, kan individueel, men zou het antwoord kunnen laten stampen. Na een tijdje kan men het zichtbare rekenen aanvullen: wij laten 8 vingers zien en vragen: hoeveel heb ik er nu verstopt? Dus het aanvullen tot 10.

Dit is globaal rekenen tot 100. Uitbreiding: 8 vingers = 80, aanvulling = 20. Als ik nu die 80 er nog eentje bij geef, dus niet 80 maar 81, dan gaat dan van die 20 af, 19.
Dit is een goede remedie tegen het veel voorkomende euvel 81 ——29, of 66 —— 44.

In 3 de globale 1000, zodat de kinderen daarbinnen zich vlot leren bewegen.

binnenstebuiten blz 73

De tafels van vermenigvuldiging.
Zoals men niet alle letters kan behandelen van het beeld uit, maar een aantal letterbeelden exemplarisch behandelt en de overige letters op de autoriteit als leerkracht brengt, zo kan men ook niet aan alle tafels zo veel tijd besteden. Op een goede dag schrijft de leerkracht de tafel van 8 op het bord. Hoe? In ieder geval niet in de vorm:

1 x 8   =   8
2 x 8   =  16
Wij moeten werken van het geheel naar de delen. Dus de tafel in de elders ongebruikelijke vorm:

8   =     1 x 8
16   =   2   x   8

Nog consequenter is het van de hele tafel uit te gaan, dus van de 96:
96   =   12**   x   8
88   =   11   x   8

Introduceert men nu de tafel van 8 op het bord, dan schrijft men eenvoudigweg op:
96
88
80

Dan samen bekijken. Wat zou 96 zijn? Wie kan de 10×8 vinden. De 40? Ja, die 8 en die 16 die weten we wel. En de 88? Morgen gaan wij daarmee verder. En morgen pakken wij het wat steviger aan:

In koor:        96   –   88   –   80   –   …………………………

en terug:       8   –   16   –   24   –   ………………………….

Dan verder invullen:
die              96        dat was de                 12 x 8
de               80                                            10 x 8
wacht           8        juist!                             1 x 8
16                                              2 x 8
dan ook     24                                              3 x 8
80      was                              10 x 8
ha!              88                                           11  x 8    men pikt dus de bekende eruit.

Als alles op het bord ingevuld is, in koor het rijtje langs. Het is nu zaak, dat de kinderen die getallen herkennen:

is 40 er bij?                                                                                  ja
is 48 er bij?                                                                                  ja!
de… 80?                                                                                       ja!
de… 81?                                                                                        nee
O, dan 82?                                                                                   neee!
83?                                                                                                neeee!
acht-en-tachtig?                                                                         jaaa!

We bekijken samen die rij eens op een andere manier. Het is een wonderlijke familie. Wie ziet iets bijzonders? Het is merkwaardig zo veel als de kinderen dan opmerken, en merkwaardig welk kind wàt opmerkt. Een kleine bloemlezing: allemaal even,
de tafel van twee! (de eenheden: 72, 64 ,56………………………… )
de 6 van 96 en de 6 van 64, zo’n ‘vondst’ wordt door de klas naar de waarde geschat, de tientallen: 1,   2,   3,   4, – – 5 eigenlijk twee vieren – –

Men brengt er het gesprek op welke zij van deze getallen de mooiste vinden en de klas wil ook graag horen waarom: de 88 — twéé achten is ook wel erg mooi… de 80 — de 8 zelf — de 40 — een enkele kiest 64. Dat is een doordenkertje.

Er moet altijd wat te beleven zijn in de rekenles. Vreugde, spontaniteit, dat zijn de uitgangspunten. Op het bord staat nog de 96 tot 8. De kinderen reciteren eerst alleen maar de getallen. Een aantal van hen neemt dat snel op. En de rest… hangt er wat aan. Ze doen wel mee, maar er is geen sprake van dat ze de getallen nu kennen. Ze lezen ze nog van het bord op en zelfs dat gaat niet vlot.

De leerkracht zegt: ‘Vandaag kinderen wordt het menens. Wij doen de tafel van 8, maar nu uit het hoofd.’ De getallenrij staat levensgroot op het bord, maar hij gaat er vierkant vóór staan. Tijdens de recitatie loopt hij geheel verdiept in het maat-slaan 96 – 88 – 80 –naar voren, zodat de tafel weer zichtbaar wordt, hij merkt natuurlijk niet, dat er een paar kinderen gniffelen en begrijpt niet waarom de klas tenslotte juicht: – – 48 – 40 – 32 –Er wordt door de kinderen nog lang nagepraat of dat nu wel echt een vergissing was. Of was het misschien toch opzet. ‘En nu uit het hoofd.’ De leerkracht wist de tafel met een droge wisser uit maar zo dat die nog net zichtbaar blijft. Hilariteit, een ieder, ook de knappe, probeert het toch te lezen. En tuurt en tuurt naar de tafel van 8. Dan krijgen wij ook het door elkaar aanwijzen van getallen. Nemen wij de tafel van 6.

72                     Natuurlijk eerst de gemakkelijk, en zo nu en dan, met een
66                     gezicht van weten jullie dat werkelijk al, een moeilijke.
60                     Al gauw gaat dat o zo mooi. De klas zingezangt: zes en dertig
54                      is zes maal zes, enz. Probeer nu eens
48                     twee-en veertig is…..
42                    zes-en-vijftig is…….
36                    twee-en-veertig is……
30                    zes-en-vijftig is…….
24                     twee en ……
18                     dan blijkt de klas dat niet te merken. De groep deint voort.
12                     Zalig.
6                       Dan zie je een paar vluggen met pretoogjes — een grinneken — een zich verkneuteren —
De flegmatici merken, dat er iets aan de hand is, iets om te lachen, maar om wat? Dat intigreert een flegmatisch kind, het wordt klaar wakker. En wij als leraar worden ook wakker. Zo in de groep leren de meeste kinderen weinig of niets. Daarom, voorzichtig aan, differentiëren.

Differentiatie, enkele suggesties:
—   per rij, de andere twee rijen letten precies op of het wel klopt.
—   1e rij 60 is — 2e rij 54 is — de 3e rij 48 is —
1e rij 42 is, daar moetje wel goed met je hersens bij zijn.
—   een kind de getallen laten aanwijzen, klas antwoordt, of een kind wijst aan en telkens antwoordt een klasgenootje dat de beurt krijgt. Er zijn leerlingen die dat met grote zorg doen, de moeilijke getallen voor de knappe rekenaars, de gemakkelijke voor de langzame.
—   Als wij de getallen niet de rij af onder elkaar maar door elkaar op het bord schrijven, zijn er weer heel andere mogelijkheden, bijv. laten uitvegen in de goede volgorde. Alle kinderen zijn dan als de kippen erbij als het niet volgens het rijtje gaat.
—   Wij zijn in het algemeen niet voor wedstrijden, maar zo’n enkel keertje, twee rekengladiatoren, ieder op een eigen zwart bord de door elkaar-tafel in volgorde laten uitvegen is toch wel erg spannend (zeker voor een 3e). Hoei, als er dan ergens gesmokkeld wordt.
—   Rudolf Steiner geeft aan, als een flegmatisch kind iets uitveegt, dan blijft een sterk beeld in het kind achter.

Als wij een tafel opschrijven, dan ook midden op het blad, goed van verdelingen, precies. Wij moeten bedenken dat, ook al dansen en springen wij in de rekenles, de ondergrond van het rekenen heel streng is. Denk aan alle getalverhoudingen in de natuurkunde- en scheikundeformules, de ijzeren wetten van de mechanica. Als wij alleen maar de getallenrij van 96 tot 8 opschrijven, kan in een tweede best besproken worden, waar die 8 hoort te staan, onnadenkend onder de 1 van de 16, of al was het maar om die omgekeerde tafel van 2 te laten zien, onder de 6 van de 16. Schrijven wij de tafel vol uit, dan moeten wij weer opletten

80   =   10   x   8
72   —     9   x   8,

en bij de tafel van 10, 11 of 12, daar wordt het helemaal uitkijken. Je zou kunnen zeggen een goede voorbereiding voor het cijferen. Maar daar is het hier eigenlijk niet om begonnen. Mooi en goed is op deze leeftijd hetzelfde.

De tafels worden met kleurpotlood geschreven. Enige versiering kan ook heel mooi zijn. De leerlingen moeten zich echter daar niet te veel in uitleven. De versiering mag de tafels of het andere werk niet overwoekeren.

Sterrendans
Nadat de tafel van drie in de eerste klas sterk bewegend is geoefend, kunnen de tweede klassers deze getallenreeks omvormen tot een ster! De voorbereiding is als volgt:

Alle kinderen gaan in een lange rij staan. Eén kind echter loopt langs de rij en blijft staan bij elk derde kind. Verschillende kinderen mogen dit oefenen.

Nu gaan er tien kinderen in een cirkel staan en de anderen vormen een halve maan erom heen.

De leerkracht heeft een grote zak met getallen en de kinderen in de kring krijgen ieder een getal uit de zak.

bb 76 1

Nummer 1, wat ben je nu? Ik? elf? We tellen door tot 100.

Daarna vraag ik wie er nu langs ‘de drietjes’ (de getallen van de tafel van 3′ wil lopen. Verschillende kinderen krijgen een beurt.

Het is moeilijk! De kinderen hebben geen ruimtelijke voorstelling omdat ze zich moeten concentreren op de getallenreeks. Ze lopen steeds tot 12 x 3 en dan weer terug.

Als eigenlijk alle kinderen dit goed kunnen, doen we hetzelfde met een koort van dikke rode wol. Het rondlopende kind zwijgt en geeft het koord telkens aan het kind op de derde plaats. Het kind dat het ontvangt pakt het stevig vast en zegt met duidelijke stem zijn getal. Bij de dertig is er een prachtige ster gevormd.***

bb 76 2

 Nu beginnen de ‘sterrenkinderen’ te zingen en te bewegen. Aldus:

De sterre gaat hoog
De sterre gaat laag
De sterre draait rond
De sterre staat hoog aan de hemel hoog
En draait dan weer terug naar de grond
Dan draait de ster!

Bij deze sterredans komt het op samenwerking aan. De ster mag tijdens het lied niet uit het verband getrokken worden. Het is een hele prestatie als dit in een tweede klas lukt.

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. 1985)

 

 

 

*Je leest soms wel eens:  ‘hard’ stampen. ‘Hard’ moet volgens mij opgevat worden als: ‘intensief, we zijn flink aan het werk’; wat het geluid betreft: er moet ook zachtjes worden geklapt of slechts met de vingers in de handpalm e.d. Wat het stampen betreft: vooral niet ruw (dat dringt zelfs te veel door tot in de maag). Ook hier uiteraard afwisseling in steviger en minder stevig. Wat bij klappen en stampen de basis moet vormen is een zekere elegantie: mooie gebaren die ritme en maat tot zijn recht laten komen.

**12 is een mooi, rijk getal. Maar wij leven in een tijd met een tientallig stelsel. De ’10’ is straks- met alle volgende nullen, een belangrijk getal. De tafel bij 10 eindigen is m.i. daarom logischer: je legt al doende de nadruk op dit kerngetal, wat je niet doet als je de 12 neemt. Dat wil niet zeggen dat je met een tafel niet verder kunt gaan dan 10, maar dan kan het ook 13, 14 enz. zijn.

***dankzij het 10-tallig stelsel!