Tagarchief: klas 1 rekenen

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (13)

.

HET GROOTSTE GETAL VAN DE WERELD

LEREN REKENEN VANUIT MENSKUNDIG PERSPECTIEF

‘Moeder, moeder! Vandaag hebben we het allergrootste getal van de wereld geleerd….!
Met dit vanzelfsprekend hoogst opwindend nieuwtje stormt het kind na zijn eerste rekenles naar binnen om zijn moeder als eerste deze belangrijke boodschap vol vreugde mee te delen. Het kind zit op de vrijeschool.
Hopelijk zijn vader en moeder naar de laatste ouderavond geweest, toen de leerkracht over de op handen zijnde eerste (en belangrijkste) rekenperiode in het leven van de kinderen sprak. Anders zou de grote vreugde van het kind snel kunnen verdwijnen voor een reusachtige teleurstelling. Want wee de moeder die nu vermoedt dat het om het getal 1000 gaat, omdat ze – onwetend en niets vermoedend – aanneemt dat 1000 voor een eersteklassers op z’n minst een zeer groot, zo niet voor nu het allergrootste getal is. Of zouden de kinderen al iets van een miljoen geleerd hebben….? O jee! Er helemaal naast! De moeder die zoiets vermoedt, heeft zelf beslist niet op de vrijeschool gezeten, anders was het haar volkomen duidelijk geweest, dat het ‘grootste getal van de wereld’ natuurlijk alleen maar de  een(heid) kan zijn, zoals ze nu te horen krijgt van een trots kind.
Wanneer de kinderen op de vrijeschool met de getallen vertrouwd raken, leren ze eerst, net zo als bij het leren kennen van de letters, de kwaliteit en niet de kwantiteit van de getallen kennen.
En dus vertelt de leerkracht in het eerste uur rekenen de kinderen een verhaal dat over de eenheid  gaat. In deze eenheid, leren de kinderen, zit al het andere besloten. Er is maar een wereld (als eenheid), ook ieder mens is een eenheid op zich. De kleine Tobias heeft onmiddellijk door dat er van hemzelf maar één is. Hij is een eenheid, hij is uniek, net zoals zijn vader, zijn moeder, zoals ieder mens. Door de kinderen worden snel andere eenheden gevonden: godvader, de zon, de maan, de boom, de hond, de school, het lokaal, de broer, enz. Alles is – kwalitatief beschouwd – uniek, is elke keer een eenheid. En het getal (het cijfer) voor de eenheid is de 1! Omdat de eenheid alles omvat, is het cijfer dat er symbool voor staat 1 het ‘grootste’ getal van de wereld. Dat begrijpen de kinderen volkomen, omdat het waar is en daarom zijn zer zo opgetogen over.
Getallen (en letters) eerst leren kennen vanuit de wezenskenmerken, is helemaal niet wereldvreemd of ‘klinkende onzin’.  Want wanneer je de kwaliteit van een ding, een wezen niet begrijpt, begrijp je van de kwaliteit nog minder. Iedere praktisch ingestelde koopman handelt zo, uit de aard der zaak iedere huisvrouw ook, ieder mens die iets kopen wil. Eerst kijkt hij naar de kwaliteit van de koopwaar. voordat hij over de kwantiteit, hoeveel ervan, beslist. Want niemand koopt graag een kat in de zak.
Moeten kinderen dan – zoals tegenwoordig algemeen gangbaar is – getallen, letters puur intellectualistisch abstract leren, wordt dan niet van het getal en de letters het levende, het wezenlijke, de kwaliteit onthouden; meestal hebben ze ook problemen met het begrijpen waarom het eigenlijk gaat. Ze dreunen weliswaar zuiver automatisch na, bijv. 1 + 1 = 2; 2 + 2 = 4 enz., maar dat zijn dan volledig oppervlakkige activiteiten, bloedeloze rekenoperaties die door eenvoudig uit het hoofd leren in het brein van de leerlingen vast komen te liggen. En hoeveel leerlingen kampen juist in de 1e klas al met grote begripsproblemen bij het eerste schrijven, lezen en rekenen.
We moeten steeds uitgaan van wat een kind begrijp! Wat zou er voor een kind groter kunnen zijn dan die ene  wereld waarin het leeft? Die omvat al het andere. Dat begrijpen de kinderen en vandaar dat ze wat ze geleerd hebben trots mee naar huis nemen.
Op deze manier worden ook de andere getallen langzaam aan de orde gesteld. De volwassene kan weten dat uit de eenheid van het paradijs, waarin slechts die  ene  mens Adam leeft, uiteindelijk het dualisme, het wezen van de tweeheid (de 2), het tegenover elkaar staan, ontstond. Adam en Eva, het aardse leven en het hiernamaals, man en vrouw, licht en donkerte, warmte en koud. hard en zacht, hoog en laag, goed en slecht enz. Tegengestelden die als paar steeds bij elkaar horen. ‘Waar licht is, is ook schaduw’. Het dualisme is de tweeheid die uit de eenheid ontstond. Er heeft een delingsactiviteit plaatsgevonden, twee verschillende kwaliteiten staan voor de eerste keer als tegengestelden tegenover elkaar, iets is gedifferentieerd, afgezonderd. Dat is het begin van een ontwikkeling waarin een eerste proce waarin het bewustzijn zich ontwikkelt. Het ervaren van het tegenovergestelde veroorzaakt een mogelijkheid iets te weten over hier en daar, ik en jij, waarbij echter wat nu een gescheiden eenheid is, één oorsprong heeft en in wezen bij elkaar hoort.
Ook in de (goddelijke) natuur komen wij overal kwaliteit tegen. Door de celdeling ontstaan uit één cel, de eenheid, twee cellen. Uit deze twee ontstaan door een nieuwe deling opnieuw twee cellen. Uit een bevruchte kiem wordt door onophoudelijke celdeling een nieuw wezen gevormd. Uit de eenheid (van de kiem) volgt de differentiatie in de veelvoud, zonder het karakter van de eenheid te verliezen. Uit een eikel komt een eikenboom.
Ook de oude, overgeleverde sprookjes en fabels schilderen altijd het kwalitatieve, het wezenlijke. De sprookjesmotieven hebben symbool(beeld)karakter. Zo bestaan er veel sprookjes met de koning. Voor het kind is deze in alle sprookjes een en hetzelfde koninklijke wezen, de heerser. Het intellect zou spitsvondig erop kunnen wijzen dat ieder sprookje zijn eigen, dus een andere koning heeft en verder nog opmerken, dat het maar om ‘sprookjes’verhalen gaat, die je niet seriwus hoeft te nemen. En wat vertellen de fabels? Er is bijv. de vos die de kwaliteit, de representant is van het listige, geslepene; de wolf symboliseert de hebzucht enz.
Voor kinderen die getallen – zoals het nu gewoonlijk gaat – kwantitatief leren kennen, dus 1 + 2 + 4 + 3 = 10 uitrekenen, kan er geen grootste getal zijn. Want de zakelijke logica zegt dat bij ieder getal, al is het nog zo groot, steeds nieuwe getallen bijgevoegd kunnen worden, zonder einde. Om toch een einde te hebben, is de uitweg ‘onvoorstelbaar’, ‘oneindig groot’ gevormd. Hoe groot een dergelijk getal kan zijn, gaat het voorstellingsvermogen te boven, je kunt het niet bevatten, is niet meer denkbaar.
Is dat niet ook zo met veel andere denkmodellen, ‘theorieën’ genoemd? Theorie is volgens Duden: …een bedachte, werkelijkheisvreemde voorstelling’. En toch wordt onze wetenschap en daarmee ons leven, door vele theorieën beheerst en gesteund. Je hoeft maar aan de atoomtheorie te denken – en de concrete gevolgen voor de mensheid – aan de relativiteitstheorie, de quantentheorie en andere denkmodellen. Zo werden ook de economie, het sociale leven, de politiek als ook het onderwijs door denkmodellen, door theorieën beheerst. Veel is gebaseerd, ondanks hoogst wetenschappelijke formuleringen, op hypothesen, op aannames, op onzekerheden. Is het daarom verwonderlijk wanneer steeds meer mensen tegenwoordig in hun levensgevoel zich onzeker, bedreigd en willoos voelen, zonder precies de oorzaken te kennen?
Nog een voorbeeld kan het onderwerp waarom het hier gaat, nog duidelijker maken. In het mainstreamonderwijs leren de kinderen, zoals al gezegd, volgens de methode: 6 + 6 = 12. Rekenkundig is de uitkomst helemaal goed. Wanneer je je bewust wordt van de rekenweg die je volgt, de manier waarop het bij het optellen gaat, moet je vaststellen dat de uitkomst, de 12, volkomen vastligt.
Wat speelt zich in de ziel van het kind af die op deze manier leert rekenen en optellen: 2 + 2 = 4;  2 + 3 = 5;  7 + 8 = 15;  20 + 20 = 40 enz.?
Rudolf Steiner wijst de leerkrachten erop  dat degene die zo rekent, van te voren al denken (de uitkomst) op de plaats van de werkelijkheid zet. Dat leidt tot eenzijdigheid.
Veel meer vrijlatend, bonter en levendiger is de door Rudolf Steiner aanbevolen manier van het eerste, aanvankelijke rekenen. Je geeft het kind bijv. 12 kastanjes. Die vormen de eenheid die in het echt voor het kind ligt, de werkelijkheid. Deze kastanjes kan het kind nu op alle mogelijke manieren verdelen en daarbij levendig en vrijlatend rekenen. 12 is bijv. 11 + 1  of  10 + 2  of  9  +  3  of  8  +  4  of  7  +  5  of  14 – 2  of  22 –  10 enz. Je legt de kinderen als je zo met getallen en uitkomsten bezigbent niet vast. Ook hebben ze er zoveel meer plezier in en roept in hen een heel andere levendigheid en geestelijke beweeglijkheid op. Maar dat is maar een deel. Een ander, veel belangrijker gezichtspunt is de aandacht waard. Leert een kind rekenen met de gewone methode 6  +  6  =  12, dan betekent dit concreet, dat het rekenende kind al meteen iets heeft, namelijk 6 en wanneer het er nu nog 6 bijkrijgt, heeft het er 12 in zijn bezit. Rudolf Steiner wijst erop dat de mensen zich niet moeten verbazen , wanneer deze manier van optellen – ik bezit en er komt meer bij – in het gevoel begeerte, egoïsme enz, oproept. De manier waarop in de vrijeschool wordt gerekend, ias daarom anders, zoals al aangegeven.
De leerling gaat uit van de realiteit, zijn hoopje eikels of kastanjes, die daadwerkelijk in zijn hand liggen. Die verdeelt het, geeft ze weg, het kind  geeft, maar het haalt niet naar zich toe. 12 is bijv. 3  +  3  +  6 enz. En zo heeft de manier van rekenen de mogelijkheid in zich dat de leerling (onbewust) de zielenhouding van het (onzelfzuchtige) geven oefent en wellicht tot gewoonte maakt.
Zo zijn de beide manieren van leren rekenen niet alleen uiterlijk twee volledig verschillende wegen, ze zijn het ook kwalitatief zeer. Leren de kinderen in hun eerste levensjaren, daar horen ook de eerste jaren op school bij, de wereld die hun omringt weznelijk, d.w.z. in haar kwalitatieve vorm te kennen en te begrijpen, dan zijn dat voor hen absolute zekerheden en waarheden; ze bevinden zich op een absluut zekere basis (van vertrouwen). Daar kunnen ze op bouwen. En deze levenshouding geeft hun levenszekerheid!
Het rekenen, zoals het in de eerste klas van de vrijeschool begonnen wordt, was maar een voorbeeld van een fundamentele, levenspraktische methode die niet alleen naar het kind kijkt, maar naar de hele mens.
Wat voor een buitengewoon diepingrijpende uitwerkingen onderwijsmethoden kunnen hebben die voor de mens wezenlijk zijn, zoals bijv. de theoretisch uitgedachte rekenpraktijk voor volwassenen en hoe die op de opgroeiende zielen van invloed zijn, sprak Rudolf Steiner in alle duidelijkheid in een voordracht die hij in Oxford hield op 21-08-1922 [1]:
‘Al vroeg bezit het kind aanleg voor de eerste beginselen van de rekenkunst. Maar juist bij de rekenkunst kan men zien, hoe het kind maar al te gemakkelijk te vroeg geconfronteerd wordt met een intellectualistisch element.(….) Maar toch is het juist heel belangrijk dat het kind het rekenonderwijs op de juiste wijze krijgt aangeboden. In de grond van de zaak kan dat alleen beoordeeld worden door wie vanuit een zekere geestelijke grondslag het volledige menselijke leven kan overzien.
(….) Maar voor wie niet slechts de logica laat gelden doch vanuit de volheid van het leven de dingen beziet, ligt de zaak anders. Een kind dat op de juiste wijze met het rekenen in aanraking is gebracht zal op latere leeftijd een heel ander moreel verantwoordelijkheidsgevoel bezitten, dan een kind dat niet op de juiste wijze met het rekenen heeft kennisgemaakt.
Het volgende zal u wellicht uiterst paradoxaal in de oren klinken, maar daar ik over de werkelijkheid spreek, en niet over hetgeen ons tijdperk zich verbeeldt, wil ik, daar de waarheid in onze tijd vaak paradoxaal lijkt, voor dergelijke paradoxen ook niet terugschrikken. Wanneer wij namelijk als mens de kunst verstaan hadden de menselijke ziel in de afgelopen decennia op de juiste manier in het rekenonderwijs zich te laten verdiepen dan was er nu geen Bolsjewisme geweest in Oost-Europa.”
GA 305/110
vertaald

Hans Harres, Erziehungskunst 50-7/8-1986

.

Rudolf Steiner over: van geheel naar de delen i.v.m. rekenen: GA 301 voordracht 10

Rekenen 1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1261

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Advertenties

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (11)

.

UIT DE EERSTE REKENLESSEN

Door het laten ontstaan van de letters uit beelden [1] komt het schrijven dicht bij het gevoel van de kinderen.
Op soortgelijke manier moeten ook de getallen voor het kind vertrouwde dingen zijn voor hij gaat tellen en rekenen. Dat proces wordt bij elke rekenperiode [2] weer verdiept.
In de eerste klas kun je bijv. vragen: ‘Waarvan is er maar één in de wereld?” (Bijv. Barbara en Ulrich en ieder ander kind in de klas), of twee, of drie, vijf of zeven? Dan vinden de kinderen al gauw de zeven dagen van de week, de zeven kleuren van de regenboog en de zeven tonen en als belangrijkste de zeven raven [3] en de zeven dwergen. Ze kunnen niet ophouden met op te sommen wat er zo al in het dwergenhuis aanwezig is: 7 mesjes en 7 vorkjes, 7 bordjes, bekertjes, stoeltjes, 7 bedjes, kussens, 7 lantaarntjes, 7 hamertjes.

Moeilijker is het wel om te ontdekken dat er ook in hen zelf een zeven zit: op hun 7e kwamen ze allemaal op school.
Zeven jaar was ook Sneeuwwitje toen ze bij de dwergen kwam.
En van klein Hansje, dat alleen het bos introk wordt gezegd: ‘Zeven jaar, klip en klaar, was Hansje in den vreemde (daar).’

En wat verbaasd zijn de kinderen, wanneer ze horen dat ook de maan met de zeven kan rekenen. Iedere zeven dagen verschijnt deze weer in een nieuwe fase. Wij maken nog weleens een rekenfout, de maan verrekent zich nooit! Ook de zon kan rekenen. De zon, hè??? De hele wereld kan rekenen!
De blaadjes van de narcis worden geteld, de zaden van de vruchten. Veel dieren hebben vier poten, koeien zelfs vier magen,( alleen geen vier staarten!)

De hele wereld rekent en wij rekenen ook; dat is de stemming die het rekenonderwijs doortrekt en levend maakt.

Iedere vorm van onderwijs heeft op het kind een andere uitwerking. Het rekenonderwijs kan de kinderen op een gezonde manier aards maken, vooral wanneer het rekenen met de vingers wordt geoefend.. Eerst moeten alle kinderen eens proberen hun vingers te spreiden en ervaren dat in die tien vingers heel het rekenen zit. Hoe onbezield de vingers van veel kinderen nog zijn, vooral bij kinderen die vaak wat buiten zichzelf zijn en het nodig hebben dat zij met hun zielenkrachten dieper in hun lichaam komen. Dan kan het wel moeilijk zijn – maar ook heilzaam – de vingers van iedere hand door een opening tussen twee en drie vingers te verdelen. Er zijn veel oefeningen waaraan de kinderen plezier beleven:
Ze vouwen de handen; dan staan eerst de twee pinken op en zeggen: ‘1 en 1 is 2’; daarbij komen dan de ringvingers: ‘2 en 2 is 4’; dan de middelvingers, enz. De kinderen kunnen, zonder hun vingers krampachtig te spannen, allerlei van zulke symmetrische figuren vormen. In het midden staan de duimen en de wijsvingers, rechts en links de drie andere: 10 = 4 en 3  en 3.

Wanneer ze zo een tijdje zichzelf met hun vingers wat geplaagd hebben en daarbij goed in zichzelf zijn gekomen, zorgt het ritmische tellen en rekenen voor de noodzakelijke afwisseling en ontspanning in de klas.

Kleine ritmische gedichten hadden ze al eerder geleerd, bijv. de eenvoudige jambe: ‘Te paard, te paard, door weer en wind!’ [4]
Wat een verrassing en een plezier als ze nu ontdekken dat in het gedicht de tafel van twee zit. Het rijmpje: ‘Komt een reus, groot en dom'[4] werd ‘een, twee, drie – vier, vijf  zes, enz. Dat wordt met handen en voeten na elkaar geoefend, want de voeten wachten er al een tijdje op ook mee te mogen doen. Maar, wanneer uiteindelijk handen en voeten samen op de mooie drietelsmaat moeten bewegen: oei! Handen en voeten apart ging nog wel, met de handen makkelijker dan met de voeten; maar samen, dan lijkt het erop of sommige kinderen uit twee vreemde delen bestaan.

Wat belangrijk om te weten dat je juist aan het vermogen of onvermogen een beeld voor je hebt van het spel der krachten in de kinderen en ook een  gezondmakend middel de boven- en ondermens harmonisch met elkaar te verbinden.

Zo wordt het rekenen met de ledematen geoefend. Natuurlijk worden de getallen ook sprekend geoefend. Maar hoe anders zijn de kinderen daarmee bezig, wanneer ze daadwerkelijk honderd stappen in de klas gezet hebben. En wanneer de passen dan uit louter ijver steeds luider worden en de kinderen het meteen nog eens willen doen, moeten we snel muisjes zijn en honderd pasjes heel zachtjes zetten. Je kunt ook 50 keer in je handen klappen en eraan ontdekken hoe warm en rood ze worden. Wat zit er een plezier in de ledematen van de kinderen!

Zo bezig zijn neemt de kinderen ongetwijfeld meer mee, dan het telraam of de rekenmachine die doods en af voor het kind staat of ligt en alleen maar de activiteit van het verstand en de ogen vraagt. Het populaire aanschouwelijkheidsonderwijs op alle gebied, het zien en ‘inzien’ behoort enkel tot het hoofd. Daarmee wordt iets intellectualistisch in het kind aangelegd.

Wanneer bij ons met carnaval honderd lampions beschilderd worden, in rijen van tien opgehangen, ontstaat weliswaar hetzelfde beeld als de bolletjes op een telraam, maar het kind heeft ieder gekleurd bolletje wel eerst zelf geschilderd.

Het grootste deel van de rekenlessen bestaat uit oefenen. Bijzonder belangrijk is elke stap die weer naar iets nieuws leidt. Al het nieuwe moet langzaam zo opgebouwd worden dat het kind met heel zijn ziel mee kan doen.

Je hebt bijv. de vier tekens voor de vier rekenoperaties – ze hebben een diepe betekenis en oorsprong.
Gelukkige Hans [5] heeft eerst een klomp goud, toen hij op weg ging; het werd een paard, na een poosje een koe, een varken, een gans, een molensteen en tenslotte had hij niets meer. Het stuk weg werd met een streep getekend, dat is het teken voor het aftrekken: 12  –  4  –  3  –  2  –  2  –  1  =  0.
Vergeet niet te zeggen dat hij gelukkig was, toen hij niets meer had.

Over het deelteken werd aan de kinderen verteld:
Een koningin had 12 dienaren en zij wilde dat er altijd drie samen hetzelfde werk zouden doen. In de zaal stonden twee zuilen, daar moesten zij zo doorheen lopen dat er vier groepen van drie dienaren zouden zijn. Daar werd een beeld bij getekend. En nu zjn de twee zuilen tot twee punten geworden.

Bij het vermenigvuldigen mocht er altijd iemand Nicolaas zijn. Er was een heel diepe zak en het kind moest zich vier maal diep bukken en viermaal drie noten pakken om die aan vier kinderen te geven. Bij het vermenigvuldigen hoort het dat het aan de activiteit ontwikkeld wordt. Je moet vier keer iets doen.

Heel verschillend is de invloed van de aparte rekenbewerkingen op de klas.
Bij het vermenigvuldigen ontstaat er een drukke, plezierige stemming die echter door schatten en vergelijken weer rustiger wordt; nadenkend worden de kinderen bij delen en aftrekken; ietwat saai is het optellen; vrolijk en vindingrijk zijn ze wanneer ze uit een totaalsom verschillende getallen kunnen halen.
Voor het aftrekken en optellen is het aan te bevelen niet al te snel de tien als grensgetal in te voeren. Het rekenen boven de tien geeft meer problemen wanneer je het te vroeg op de voorstelling 10-keer-10 vastpint. Wanneer dat niet is gebeurd, dan rekenen de kinderen zorgeloos boven die grens.

Aan het eind van de eerste klas kan er ‘gekocht en verkocht’ gespeeld worden. Wat een opmerkingen wanneer de winkelier de klant teveel geld teruggeeft of wanneer deze niet merkt dat hij te weinig terugkrijgt. Maar hoe tot tevredenheid stemt het niet, wanneer het rekenen het liefst geleerd wordt door weg te geven.

Er waren in de klas veel paashazen die de eieren vrolijk mochten beschilderen voor hun families met 3 of 4 of 5 kinderen. 12 of 15 eieren hadden ze daarvoor. Daar kwamen nog eens berekeningen uit!

Veel van wat belangrijk is voor de vorming van de mens gebeurt in het rekenonderwijs.

En toch is het precies te merken wanneer het rekenen weer beëindigd moet worden en de kinderen zich weer met veel plezier op het schrijven willen toeleggen en op de eerste heemkunde.

Elisabeth Klein. Erziehungskunst 16e jrg.7 1952

[1] 1e klas schrijven: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas – letterbeelden

[2] Periode-onderwijs

[3] Spelletje De Zeven Raven
Grimm Sprookjes nr. 25

[4] Waarschijnlijk uit Hermien IJzerman (welk?) Bim Bam Belletje

[5] Grimm Sprookjes nr. 83

1e klasrekenen – alle artikelen

1e klas: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

 

1135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (10)

.

Opnieuw een artikel van lang geleden.
Met een mooie kunstzinngie aanpak worden de kinderen vertrouwd gemaakt met de getallen.

Of je de hier meer gekozen ‘hemelse’ ( en (te?) ‘heilige’) kant kiest, of de meer ‘aardse’ is aan jou.
Er zijn een paar ‘gevaren’: Hiërarchische wezens (engelen) en elementairwezens in je onderwijs laten optreden, kan maar zo leiden tot een soort inflatie van deze aspecten van het leven. Bovendien zou het voor jou een beleefbare waarheid moeten zijn om er op een bepaalde manier over te kunnen spreken, anders wordt het een (vrijeschool)maniertje! en dan komt al gauw het tweede gevaar: het wordt antroposofie. En dat hoort als inhoud niet thuis op de vrijeschool. Daarover is Steiner heel duidelijk.
Ik geeft het artikel toch weer omdat het ook mooie voorbeelden geeft om kinderen met de getallenwereld op beeldende manier te laten kennis maken.


Hier en daar heb ik het wat vrijer vertaald.

GETAL EN CIJFER IN HET ONDERWIJS VAN DE 1E KLAS

Getal, maat en gewicht zijn de belangrijkste hulpmiddelen van de huidige natuurwetenschap. Met deze hulpmiddelen zijn de grootste uitvindingen en ontdekkingen van onze tijd gedaan.
Een natuurproces lijkt verklaard, wanneer ik het met het rekenende, metende en wegende verstand toegankelijk kan maken.
Maar het leven verstart, wanneer je het in getal, maat en gewicht alleen wil vangen. Bekijk ik bijv. een lichtstraal of een toon slechts als een golfbeweging van een meetbare lengte, dan heb ik het leven gedood en slechts het lijk voor me. Want alleen de dode dingen kun je tellen, wegen en meten; tegenover het leven schiet de verstarde vorm tekort.
We hebben een vloeistof voor ons en erin opgelost een of ander zout. We kijken naar de oplossing. We ontdekken er niets in van geometrische vorm en gestalte. Nu koelt de vloeistof steeds meer af. Plotseling komen er kristallen tevoorschijn; wonderbaarlijke vormen van een meetkundige, kristalheldere schoonheid. Krachten schieten in de vorm en verstarren tot geometrische beelden. Maar als ze de vorm hebben gekregen, is het leven erin gestorven. Geometrische vorm is verstard leven. Hier zien we duidelijk hoe uit het levende het dode ontstaat.

In de tegenovergestelde richting moeten we gaan, wanneer we kinderen voor ons hebben in een eerste klas. Nu moeten we van het leven uitgaan; van de geestelijke wereld afdalen in de fysieke. Want het kind is met de geestelijke wezens en hun vormkracht nog veel sterker verbonden dan de volwassene; het maakt in zijn ontwikkeling het afdalen van het levende naar het verstarrende pas langzaam door. Vóór de tandenwisseling werkten de vormkrachten aan de vorming van het fysieke lichaam, nu komen ze omgevormd tevoorschijn in de voorstellingsbeelden. Maar deze voorstellingsbeelden zijn doortrokken van beeldende kracht, ze zijn niet af of afgesloten, maar doortrokken van kosmisch leven; ze metamorfoseren voortdurend, de scheppende fantasie leeft zich erin uit, nooit zijn deze beelden dode begrippen, maar ze lichten op in alle kleuren van de ziel – het kind beleeft niet zozeer het gewordene, maar het worden, het groeiende, vomende, daar gaat het helemeaal in op.

Zo kunnen we ons wel voorstellen hoe abstract en doods het is, wanneer we het kind de kant-en-klare getallen en cijfers, de geometrische vormen die af zijn en van het voorstellingsleven van de volwassene komen, voor de geest voeren.
De scheppende kracht van het getal, de zinvolle levendige betekenis, de vormgevende krachten moet het beleven, wil het niet voortijdig ouwelijk worden. We moeten de weg bewandelen van het levendige naar het verstarde, willen we het wezen van het kind recht doen.
En deze weg proberen we in het volgende te gaan; ik zou aan de hand van een paar voorbeelden willen laten zien, hoe ik gepoogd heb uit het leven het gestorvene, uit het wezen van het getal het cijfer te halen.

Vanuit de eenheid is de wereld ontstaan. In de ene God rustte verborgen de schepping voor deze zichtbaar werd. In de schoot van God-Vader ligt de hele kosmos besloten. Zo kun je van de één* uitgaan als de oerbasis van al wat geworden is.
Deze een bevat echter ook de tengenpolen: licht en donker. Goed en kwaad liggen er ook in verborgen. Ze worden zichtbaar wanneer de wereld vanuit de rust in het worden komt. Zo kun je de twee als de polaire tendens aan de kinderen uitleggen. Wanneer de wereld moet ontstaan, dan moet de godheid naast het goede principe ook het kwade zetten, moeten licht en duisternis elkaar tegenwerken, moet de deling in mannelijk en vrouwelijk ontstaan – Maar iedere schepping zou weer verloren gaan wanneer er geen hogere eenheid in de drie zou worden gevonden. Door de drie worden licht en donker samengenomen. Man en vrouw vinden de nieuwe drie-eenheid in het kind. Zo kun je de weg bewandelen van de eenheid als de oergrond van de schepping, door de zondeval in de twee en tot de verlossing door de drie.

Daarom vertelde ik de kinderen in de vorm van een sprookje in grote lijnen het volgende:
‘Er was eens een koning die een zoon had. Boven alles had hij deze zoon lief. Wat van zijn vader was, was van zijn zoon. Hij sliep in een bed van zijde, dronk uit een gouden beker, at van een zilveren bord, speelde met een gouden bal, plukte gouden appels; iedere dag was hij omgeven door muziek en werd er gedanst. Heel erg mooi was de tuin van zijn vader: wonderlijke bloemen bloeiden er, Vanaf de bergen bruisten klaterende stroompjes naar het dal, een milde wind ruiste door de twijgen van de bomen. En wanneer ’s avonds de sterren en de zilveren maan aan de hemel hoger kwamen en het zilveren licht van boven neerdaalde, dan hoorde en verstond de koningszoon het gezang van de sterren die zich in een kring aan de hoge hemel bewogen. Dan zongen de sterren hem toe:

‘Wij samen in het licht
van godes aangezicht,
wij
en jij!’**

(‘wir sind eins in Gottes Ruh –
Wir und du!’)

En wanneer de zon dan opging, bogen aan weerszijden van de weg waarover de koningszoon liep, de bloemen; de dieren kwamen op hem afgesprongen. Bronnetjes murmelden zachtjes naar hem:

‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(om het te laten rijmen heb ik er één bron van gemaakt:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

En de koningszoon hief zegenend zijn handen over dier, plant en steen en voelde zich een met hen en sprak: ‘Altijd zal ik van jullie houden enjullie zegenen en jullie broeder zijn!’
Op een dag riep de vader zijn zoon bij zich en sprak: ‘Nu ben je oud en sterk genoeg. Ga de wereld in en bevrijd de koningsdochter uit de macht van een boze draak.’ Toen sprak de zoon: ‘Ik wil graag daden verrichten, lieve vader, al lang hunker ik daarnaar. Maar ik heb geen zwaard!’- ‘Dit zwaard zul je zelf moeten smeden, ik kan het je niet schenken; maar de dwergen zullen je helpen, wanneer je moedig en sterk bent!’
En de konigszoon vertrok en zocht de koningsdochter, zo ver als de aarde groot was. Maar hij kon haar niet vinden. Toen kwam hij op een dag bij een donkere spelonk; hij ging er moedig in en daalde af in de donkere aarde. Toen zag hij voor zich een flakkerend vuur en daaromheen vele dwergen die aan het werk waren. Die vervaardigden uit goud, zilver en kristal de mooiste sieraden. Toen dacht de koningszoon: ‘Wat moet ik met sieraden, ringen en snuisterijen, ik wil een stevig zwaard smeden!’ Nauwelijks had hij dat gedacht of de dwergen brachten hem een hamer, een aambeeld en het harde ijzer. En de koningszoon smeedde daar in de diepte van de aarde een blinkend zwaard. Toen het klaar was, zwaaide hij het door de lucht en riep: ‘Nu wil ik daden verrichten!’ En hij trok verder, tot hij op een dag bij een hoge berg kwam; bovenop de berg stond een prachtig slot. De koningszoon beklom de berg en wilde door de poort naar binnengaan, toen een wilde draak hem tegemoet kwam. De draak blies vuur en vlammen uit zijn muil, maar de koningszoon zwaaide moedig met zijn zwaard en doodde de draak. Toen liep hij naar de deur van het slot en toen hij die wilde openen, sprong deze vanzelf open en een schone jonkvrouw schreed erdoor. Haar haar hing als een gouden stroom over haar schouder tot op de grond; haar ogen straalden als lichtende sterren. De jonkvrouw sprak: ‘Je hebt me bevrijd uit de macht van de draak! Welkom, jij held!’ En zij reikte hem haar hand en toen hoorden ze in het slot een meerstemmig gezang klinken:

‘Ga met haar aan je zijde,
Gij die de aarde (van hekserij) bevrijdde!’

(‘so schreitet zu zweit,
und grüsset die Erde,
vom Zauber befreit!’

Zo vond de koningszoon in de koningsdochter de heilige twee. En hij nam haar bij de hand en leidde haar het slot binnen en hij werd aan haar zijde koning over het hele land.”

Voorlopig vertelde ik tot hier het sprookje. De kinderen hadden het wezen van de twee eerste getallen in hun beleving opgenomen: de een als eenheid van de hele kosmos; de twee als ontmoeting van de koningszoon met de koningsdochter. Nu moest uit deze wezenlijke beleving het meetkundige beeld en ten slotte het cijfer worden gehaald. Want ik had me voorgenomen, de zuiver meetkundige vormen en de cijfers samen te nemen.

Het geometrische beeld van de eenheid is de cirkel. De cirkel is de grootste harmonie, de rust in god. De koningszoon staat in het midden. De kinderen beeldden dit beeld van de een uit. Eén kind stond in het midden als koningszoon, in de kring eromheen de andere kinderen als koor van sterren. Zij reciteerden:

Koningszoon:
Sterren bewegen zich in kringen
helder klinkt hun hemels zingen:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Sterne schwingen sich im Kreise,
hell erklingt des Weltalls Weise`:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Het koor van de sterren veranderde in een rij van bloemen en dieren, die vragend hun handen hieven:

Koningszoon:
Bloemen neigen zich ter aarde
En de deren: elk gebaarde:

Koor:
‘Zegen mij, o mensenkind,
dat ik in mijn hart ook jou liefde vind!’

(Blumen neigen sich zur Erde,
Tiere flehn in Bittgebärde:
”Segne uns, o Menschenkind,
dass wir eins in deinem Herzen,
eins in deiner Liebe sind!’)

Gelijkertijd kwam er uit het beeld van de kijkende koningszoon in de kring de Romeinse I en uit het beeld van de zegenende koningszoon het Arabische cijfer 1:

rekenen-14

 

In de ontmoeting van de koningszoon en de koningsdochter  ontstaat de II. Ook deze ontmoeting werd gespeeld. Twee kinderen vormden de poort waaruit de koningsdochter de koningszoon tegemoet kwam. Daarbij werd gereciteerd:

Koningszoon:
Ik heb je verlost,
met het blinkende zwaard
de draak geveld!

Koningsdochter:
Welkom, jij held!’

(Ich hab dich erlöst,
met dem blitzendem Schwert
den Drachen gefällt!
Willkommen, du Held!’)

Ze geven elkaar de hand en spreken:

Hier  lopen wij bei(de)
en groeten je, aarde,
bevrijd van tovenarij!’

Wir schreiten zu zweit,
und grüssen dich, Erde,
vom Zauber befreit!’

rekenen-14-1

 De Arabische 2 ontbreekt in het artikel

 

Nu ligt het voor de hand, gezien het voorafgaande, dat ik de beleving van de drie aan de kinderen ook met het vervolg van dit sprookje zou brengen door het koningskind dat de beide ouders als geschenk kregen. Maar het leek me raadzamer ook nog van een andere kant het wezen van de drie de kinderen voor de geest te voeren. Je kunt de drie ook als een eenheid van denken, voelen en willen beschouwen en juist de eenheid van deze drie wilde ik de kinderen meegeven, dat leek me pedagogisch werkzaam te kunnen zijn. Ik vertelde daarom een verhaal, waarin ieder kind zichzelf zou kunnen herkennen.

‘Er was eens een bouwmeester die drie zonen had; maar wat waren deze drie verschillend! De eerste was altijd stil en in gedachten verzonken. Als hij eens ging wandelen, merkte hij bijna niets op van het moois van de bloemen of van de kracht van een storm; zijn blik en zijn hoofd waren naar beneden gericht – en hij dacht maar -. De tweede was heel anders. Die stormde bijna iedere dag naar buiten, de wei of de velden in; geen boom was hem te hoog, geen berg te steil, geen water te diep – hij wilde de wereld veroveren en daden verrichten. De derde zoon echter liep altijd vrolijk door de wereld en nam alles in zich op. Hij werd heel blij wanneer hij de vogels in de lucht hoorde, wanneer hij de bloemen op de wind zag wiegen, wanneer hij van de hoge berg in het dal keek. Wat was de wereld voor hem toch mooi!
Op een dag riep de vader zijn drie zonen bij zich en sprak: Jullie zijn nu wel oud genoeg en jullie hebben genoeg bij mij geleerd. Bouw nu maar eens een huis voor jezelf. We zullen eens kijken wie dat het beste voor elkaar krijgt!’
Toen ging de oudste zoon naar zijn kamertje, nam potlood en paier en begon te tekenen. En hij rekende en rekende en maakte een plan hoe hij zijn huis zou bouwen. Maar nauwelijks had hij zijn plan klaar of het beviel hem toch niet helemaal. Hij scheurde zijn tekening doormidden en begon opnieuw. En zo maakte hij vele plannen. Geen enkele beviel hem. De dagen gingen voorbij en hij was nog niet met het werk begonnen.
De tweede zoon echter spande de paarden voor de wagen en hij haalde stukken rots en stenen met een ongebreidelde werlust. Hij stapelde ze op elkaar en het ging hem niet snel genoeg. Wat gaf het dat de muren wat scheef stonden en de ramen niet recht en het dak te spits werd. Hoofdzaak was toch, dat het werk klaar kwam.
De derde zoon ging ook aan het werk. Zijn huis moest er mooi uitzien zoals een mooi volgroeide boom. Aan weerszijden van de poort stonden zuilen, er lag een grote tuin voor de ingang, de kamers werden met mooie kleuren opgeluisterd, de ramen moesten hoog en licht zijn. Wat kon het hem schelen of de muren vast en stevig stonden. De hoofdzaak was toch dat ze er prachtig uitzagen met vrolijke kleuren. Hij maakte zich geen zorgen dat zijn huis niet op een stevig fundament stond. Als het er maar mooi uit zag.
Na een jaar ging de vader eens kijken wat zijn zonen zoal gebouwd hadden. ‘Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de oudste. Die haalde zijn papieren en liet  hem zien wat hij getekend had. ‘Dat is zeker allemaal heel mooi’, sprak de vader, ‘maar wat heb ik aan een huis dat ik niet bewonen kan en waarin ik niet naar binnen kan? Dat alleen maar op papier staat?! –
Waar is jouw huis?’, vroeg hij aan de tweede. Die bracht hem naar het voltooide bouwwerk. De muren stonden weliswaar stevig, maar scheef, de deur was te smal, de ramen niet recht, het dak hing er zwaar boven. ‘Het was beter geweest’, sprak de vader, ‘als je langzamer te werk zou zijn gegaan en met meer overleg. Je bent te roekeloos met je kracht. – Nu wil ik jouw huis nog zien’, sprak de vader tot de derde.
En nu liepen ze naar het huis van de derde zoon: de muren glommen je in het zonlicht tegemoet; de ramen waren helder en hoog, de tuin mooi en groot en de kamers vrolijk geschilderd. Toen sprak de vader: ‘Je huis is mooi, maar wie verzekert mij dat een windstoot de zwakke muren niet omverblaast, de ramen breken en het dak instort? Wat heb je aan schoonheid, wanneer het de storm niet doorstaan kan!’
Alle drie de zonen zagen dat geen van hun huizen het oordeel van hun vader kon doorstaan en zij keken elkaar aan en zeiden tegen elkaar: ‘Wat zijn wij een dwazen! Ieder van ons apart kan zo’n werk niet aan. Kom op, laten we het samen bouwen!’
En samen gingen ze aan het werk en bouwden een huis. De oudste rekende en tekende, de tweede haalde de stenen en bouwde het sterke fundament en stevige muren volgens het plan van zijn oudste broer en de de derde zorgde ervoor dat het allemaal mooi werd. En toen ze het werk klaar hadden, straalde dat de kracht uit van een in drieën verdeelde eensgezindheid.’

Zo beleefden de kinderen de kwaliteiten van de drie zielenkrachten denken, voelen en willen en tegelijkertijd deze drie-eenheid in zichzelf. Toen pas konden ze de driehoek als geometrisch beeld voor deze drie-eenheid begrijpen.

rekenen-14-2

En dat laten ons de Romeinse en het Arabische cijfer zien.

Nu konden we ook zonder meer een spreuk van Dr.Rudolf Steiner leren:

In het hart weeft het voelen.
In het hoofd straalt het denken
In de leden werkt het willen.
Wevend in ’t stralen,
werkend in ’t weven,
stralend in ’t werken:
dat is de mens. [1]

In den Herzen webet Fühlen,
In dem Haupte Ieuchtet Denken
In den Gliedem kraftet Wollen.
Webendes Leuchten,
Kraftendes Weben,
Leucbtendes Kraften —
das ist der Mensch!

Met de vier komen we bij de vormgevende krachten, want door de vier ontstaat de zichtbare schepping. Alles wat op aarde vorm en gestalte heeft, wordt door de vier, de kracht van de vier elementen gevormd. In het vuur, in het water, in de lucht en op de aarde worden deze 4 etherische vormkrachten zichtbaar. In deze krachten doen zich de vier elementairrijken gelden, waarvan Goethe zegt, wanneer hij Faust Mefisto door de volgende spreuk laat zweren:

Eerst, ter bezwering dier dieren,
Gebruik ‘k de spreuk van vieren:
Salamander moet gloeien,
Undine zich winden,
Sylphe verzwinden,
Kobold moet broeien.
Wie geen bekende is
met de bende,
Hunne kracht
En toovermacht,
Hoede zich ’t meeste
Voor alle geesten.
Ga vlammend henen,
Salamander!
Vloei gij ruischend ineenen,
Undine!
Moogt ge in meteoorlicht dienen,
Sylphide!
Wil ’t huis hulpe bieden,
Incubus! Incubus!
Kom te voorschijn en sluit de lus.
Geen één van dezen
Steekt in het wezen.
Het ligt heel rustig
en grijnst mij aan,
Ik heb het nog geen pijn gedaan.
Ik zal u keeren,
Sterker bezweren. [2]

En pas voor het symbool van het kruis wordt het ware wezen van Mefisto duidelijk.

Faust:
Erst zu begegnen dem Tiere,
brauch ich den Spruch der Viere:
Salamander soll glühen,
Undene sich winden,
Sylphe verschwinden,
Kobold sich mühen.
Wer sie nicht kennte
Die Elemente,
Ihre Kraft
Und Eigenschaft,
Wäre kein Meister
Über die Geister.
      Verschwind in Flammen,
Salamander!
Rauschend fließe zusammen,
Undene!
Leucht in Meteoren –Schöne,
Sylphe!
Bring häusliche Hülfe,
Incubus! Incubus!
Tritt hervor und mache den Schluß!
Keines der Viere
Steckt in dem Tiere.
Es liegt ganz ruhig und grinst mich an;
Ich hab ihm noch nicht weh getan.
Du sollst mich hören
Stärker beschwören.

Hier noemt Goethe de vier elementairwezens met name:

Salamander      –    vuur
Undine              –    water
Silfe                   –    lucht
kobold              –    aarde

Ook voor mijn kinderen waren deze elementairwezens niet vreemd meer. Uit de sprookjes wisten ze, dat zich in het water de nimfen, in de lucht de elfen, onder de aarde de dwergen en in het vuur de reuzen actief zijn.

Het geometrische beeld van de vier is het vierkant dat ons de vier elementairwezens toont in een gemeenschappelijke activiteit. Dit vierkant is tegelijk een beeld voor de vier natuurrijken: steen, plant, dier en mens, voor zover het over de zichtbare schepping gaat. Het is echter ook het beeld van het lagere mensenwezen dat zichtbaar is als fysiek lichaam, ether- en astraallijf en Ik-wezen. We kunnen echter ook de vier jaargetijden en vooral de vier windstreken betrekken op de vier elementenrijken. Vanuit het noorden werkt het licht; vanuit het zuiden het vuur, vanuit het oosten de aarde en vanuit het westen het water.

rekenen-14-3

 

Maar ook het fysieke lichaam van de mens staat onder invloed van deze elementaire wereld. En bijzonder intensief werken deze krachten aan de vorming van het fysieke lichaam, wanneer de mens nog klein en zwak is, wanneer hij nog niet voor zichzelf kan zorgen, wanneer het nog in de wieg ligt en hogere wezens, engelen en elementairwezens beschermend voor hem zorgen.

Toen vertelde ik de kinderen een klein verhaal waarin na elkaar de vier elementen bij de wieg van het koningskind kwamen: uit het noorden kwam de gele engel van het licht, vanuit het zuiden de rode engel van het vuur, vanuit het westen de blauwe engel van het water en van het oosten de violette engel van de aarde en zij brengen voor het koningskind hun geschenken mee.
De kinderen schilderden dit beeld en boetseerden het en uit de opstelling van de 4 engelen ontstond het vierkant. Tegelijk leerden de kinderen een spreuk die de kenmerken van deze 4 wezens samenvat:

in het vuur laait op,
in het licht leeft,
in het water beweegt,
in de stenen werkt
de eeuwige scheppingskracht van de Vader

Im Feuer loht,
Im Lichte lebt,
Im Wasser webt,
Im Steine schafft
des Vaters ewige Schöpferkraft!

Ze vonden het heel leuk hoe dan het beeld van het Arabische cijfer 4 uit de 4 elementen tevoorschijn kwam:

rekenen-14-4

 

 

 

In de vijf komt het leven zelf tot uiting, hier wordt het rijk van het organische zichtbaar. Het getal 5 is de verbinding van de tegenstellingen, van 2 ‘even’  en 3 ‘oneven’, het vrouwelijke en mannelijke principe, waaruit alleen het leven ontstaat. Daarom vinden we dit getal waar het eigenlijke leven tot uitdrukking komt; we vinden het in de plantenwereld, zeer zeker in het rijk van het organische. Overal waar vanuit het irrationele  vorm verschijnt. Het geometrische symbool is het gelijkzijdige pentagram dat in zijn vorm vijfmaal de gulden snede belichaamt. De gulden snede is nauw verwant met het getal √5. Slechts met behulp van de gulden snede kan weer een regelmatige vijfhoek in een cirkel en het pentagram geconstrueerd worden. We zien hier dus de onmiddellijke rekenkundige samenhang tussen het geometrische symbool, het pentagram en het cijfer 5. Vanuit het irrationele uit de gulden snede – ontstaat het heilige pentagram.
We vinden dus, zoals al gezegd, de gulden snede en het pentagram overal waar vanuit het irrationele de organische vorm opbloeit. We vinden de gulden snede uitgedrukt in het menselijke lichaam zelf, in de verhoudingen van de ledematen t.o.v. elkaar, bijv. in de verhouding van de borst tot een gestrekte arm; de voet is door de bal van de voet in een kleiner en groter deel gescheiden. We vinden hem bij de bladverdeling van de plant en de stengel. We vinden hem ook in kunstwerken die ontsproten zijn aan de menselijke geest. De volmaakste kunstvormen van de klassieke oudheid – de tempelbouw en de beelden – zijn geheel doordrongen van de beleving van de gulden snede. De scheppende hand van de kunstenaar volgt hier de organisch aangeboren oerkracht van de Logos.
Het pentagram zelf echter beheerst de plantenwereld. Je hoeft maar naar de vele vijfbladige bloemkronen en het vruchtbeginsel van appel en peer te kijken om te zien hoe prachtig daarin het gelijkzijdige pentagram, het nieuwe leven omvattend, gebouwd is. Iedere roos, iedere appelboom leert ons hetzelfde. Ook zij vertonen in hun bloem het gevormde pentagram. Vandaar dat de roos voor de Rozenkruisers een zo heilig symbool was. Voor de niet-ingewijde verhult zij dit diepe scheppingsgeheim, en maakt het gelijktijdig zichtbaar aan de ingewijde. – Maar ook het menselijk lichaam vertoont het pentagram: wanneer de mens loodrecht op twee voeten staat en naar boven kijkt, de geest als het hoogste beschouwend, de materie onder zich, staat en kijkt hij goed, d.w.z. hij leeft in overeenstemming met de wetten van de kosmos. Wanneer de punt naar beneden staat, staat de mens op zijn kop en neemt hij de materie als het hoogste goed; dan kijkt hij verkeerd.

De kinderen kan je op verschillende manieren met de vijf vertrouwd maken.
Ik vertelde hun o.a. het volgend kleine verhaal, dat ik hier in grote trekken weer zou willen geven:

‘Toen het koningskind zeven jaar oud was, liep het op een zomerdag met zijn moeder door de bloeiende tuin. De moeder bracht hem bij een bloeiende roos en liet hem de kelk zien. Toen zag het kind dat de bloemblaadjes op een heel wonderbaarlijke manier geordend waren. Toen zei de moeder tot het koningskind: ‘Ga eens met je beide voeten op de grond staan en strek je handen eens uit. Dan reik je je hoofd naar de lichte zon, met je handen zou je, wanneer je ze heel lang denkt, de sterren kunnen grijpen, met je voeten sta je zo stevig op de grond en verder naar beneden, tot in de diepte van de aarde. En kijk nu eens hoe je nu staat, dat ziet er zo uit!’ De moeder nam een stok en tekende in het zand het beeld van de mens en sprak:
‘Dit is het heilige pentagram. Je vindt het in de bloem van de roos en in je eigen lijf. Kijk er met eerbied naar, dan zal het al zijn geheimen aan je openbaren!’

We schilderden het koningskind, zoals het in de tuin staat en dan het pentagram:

rekenen-14-5

 

 

Het geometrische beeld van de zes  is het hexagram, de beide driehoeken die zich tegengesteld aan elkaar doordringen. Het hexagram geldt sinds onheugelijke tijden als het symbool van de macrokosmos: de fysieke wereld wordt doordrongen vanuit de geestelijke, dalend en stijgend gaan de hemelse krachten, zoals Goethe in zijn Faust dit onder het teken van de macrokosmos brengt:

Hoe alles toch te zamen streeft,
Het een in ’t ander schept en leeft,
Hoe hemelkrachten op en neder strijken,
Elkaar de gouden emmers reiken!
En met zegenrijke vlerken
Vanuit den hemel de aard bewerken, ‘
t Heelal tot één akkoord versterken!  [3]

Wie alles sich zum Ganzen webt,
Eins in dem andern wirkt und lebt!
Wie Himmelskräfte auf und nieder steigen
Und sich die goldnen Eimer reichen!
Mit segenduftenden Schwingen
Vom Himmel durch die Erde dringen,
Harmonisch all das All durchklingen!

In vergelijking met het pentagram heeft de zesster iets onveranderlijk-regelmatigs, je kunt hem makkelijk construeren, wanneer je de straal van de cirkel zes maal op de omtrek afzet. Dus is het niet verwonderlijk, wanneer we het hexagram in de natuur terugvinden als sneeuwster: water verdampt, stijgt op en valt uit de hemel weer op de aarde als kristalvorm, als eerste aanzet tot verstard leven. De vorm van de sneeuwster kan ons duidelijk maken, dat hemel en aarde elkaar doordringen en in deze doordringing verstard zijn.

Ook de Ster van Bethlehem is het hexagram, ook hij leert ons, dat in de geboorte van Christus hemel en aarde elkaar doordringen.
Zo heb ik dan ook de kinderen tot beleving gebracht de winter, van de beleving van de uit eeuwige hoogten neerdwarrelende sneeuwsterren, tot de beleving van de Ster van Bethlehem.
En tegelijkertijd konden we beleven dat het Arabische cijfer 6 ons hetzelfde kan leren.
Je kan de zes als een spiraal aan de kinderen geven die zich naarbinnen draait: ‘Blik in je!’ en dan weer naar buiten: ‘Kijk om je heen!’ Het fysieke beeld is het slakkenhuis en graag kruipen ze met de slak in het huisje en komen met de slak weer naar buiten:

rekenen-14-6

 

 

Is de 6 het teken van de macrokosmos en laat ze in haar geometrische vorm zien hoe hemel en aarde elkaar doordringen, zo staat de 7 in een bijzondere verhouding tot de mens. Je hoeft er alleen maar aan te denken, dat met 7 maanden het menselijk embryo levensvatbaar is, dat met iedere cyclus van 7 jaar ongeveer een nieuwe fase van ontwikkeling van de mens begint.
Maar ook de regenboog heeft 7 kleuren als teken van het verbond tussen god en de mens; de week heeft 7 dagen, er zijn 7 planeten, 7 vocalen begeleiden de planetenreeks.
Wanneer je een kind op een simpele manier op deze samenhangen wijst, voelt het de ongelooflijke belangrijkheid van het getal 7 voor de menselijke ontwikkeling
Hij weet al uit de sprookjes dat daarin het getal 7 een belangrijke rol speelt. Met deze eerbied voor het getal 7 zal het kind ook het oeroude geometrische symbool van de 7 bijzonder vinden, zoals dit in het bijzonder in de pythagoreïsche school werd geleerd. Dit symbool is het vierkant met daarboven de driehoek!
De goddelijke hogere drie-eenheid daalt af in de fysieke vierledige mens. Het kind zal dan later, wanneer het de 7 vragen van het Onzevader hoort, de diepe samenhang van dit gebed met het volledige menszijn inzien.

rekenen-14-7

En zoals het heilig licht zich zevenvoudig weerspeigelt in de heldere kleuren, zo zal eens, wanneer de mensheidsontwikkeling afgesloten is, de mens voor ons staan, zoals Christian Morgenstern het ons openbaart:

(ik wacht nog op de vertaling van dit stukje uit ‘Wir fanden ein Pfad’ uitgegeven bij Christofoor – ik heb het zelf niet)

Die Sonne will sich sieben Male spiegeln
in allen unsern sieben Leibesgliedern,
dass sie ihr siebenmal ihr Bild erwidern –
die sonne will uns siebenmal entsiegeln!

.

Dr.Franz Brumberg, Erziehungskunst jrg.4 nr. 1/2-1930

.

[1] In Rudolf Steiner: ‘Gedichtem spreuken, meditaties’ uitg. Christofoor
[2] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 1270-1295)
[3] Goethe ‘Faust’ 1 (regel 448-453)

*Als we in de klas zeggen dat één het grootste getal is, is dat voor veel kinderen verwarrend. Eenheid kent dat bezwaar niet.
**ik heb hier vrij vertaald om een indruk te geven

Wanneer je de getallen verbindt met meetkundige figuren, kun je de 1e-klaskinderen wijzen op de 6e klas. Geef je in de 6e klas meetkunde en je hebt in de 1e deze figuren gebruikt, kun je ernaar terugwijzen.

1e klas – rekenen: alle artikelen

Rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

.
VRIJESCHOOL in beeld 1e klas: alle beelden

 

1125

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (9)

.
Onderstaand artikel is een van de eerste na Rudolf Steiners dood in 1925 dat een leerkracht aan de vrijeschool te Stuttgart schreef over het rekenonderwijs in de 1e klas.
Hoewel het dus een kleine 90 jaar! oud is, had het ook vandaag geschreven kunnen zijn, want aan inhoud heeft het nauwelijks iets ingeboet.

Voor de leesbaarheid heb ik hier en daar een kopje aangebracht en het voorzien van noten en een enkele persoonlijke opmerking.

het eerste rekenen

Voor Dr. Rudolf Steiner was het opvoedingsvraagstuk allereerst een leerkrachtenvraagstuk. Voorwaarde voor een adequate opvoeding van de leerlingen was voor hem de zelfopvoeding van de leraar wat betrreft het vermogen om fantasievol te zijn, waarachtig te zijn en moreel verantwoordelijk. In een onderwijs waarin deze geestelijke aspecten aanwezig zijn, zullen die krachten waarover de leraar dan beschikt ook aan de leerlingen worden doorgegeven wat betreft behoefte aan fantasie, waarheidszin en verantwoordelijkheidsgevoel.
Dat geldt voor het onderwijs in het algemeen als ook voor ieder vak.
Omdat de lesstof door de persoonlijkheid van de leraar in wie deze stemming leeft aan de kinderen wordt overgebracht, bereiken deze krachten onwillekeurig ook de ziel van de kinderen en wel door de bepaalde kleuring die de leerkracht eraan geeft, zoals het licht van de zon wanneer dat door een prisma schijnt.
En nog meer worden in de kinderen deze zielenkrachten versterkt, wanneer de leerkracht in ieder vak bewust bezig is deze te verzorgen. Zelfs in het rekenen, dat toch met de abstracte, nuchtere getallen van doen heeft, waar de kinderziel niet zo snel een verbinding mee heeft, krijgt de interesse een hoge morele betekenis wanneer de leerkracht zich van deze eisen rekenschap geeft. Voor het rekenonderwijs zal dit in het volgende stukje worden getoond.

In zijn boek ‘Het rekenen in het licht van de antroposofie’ [1] maakt Ernst Bindel, die hier op een zeer verdienstelijke manier de aanwijzingen en opdrachten van Rudolf Steiner op het gebied van rekenen en van de getallen verwerkt heeft, er op attent, dat, gekeken naar de pedagogische vorming van de aparte lesstof,  wat het rekenen betreft, zeer veel wordt overgelaten aan de initiatieven van de leerkracht en wat deze zoal aan fantasievolle vondsten doet. Hoe meer hij zijn fanatasie ontwikkeld heeft, des te beter zal hij erin slagen, de behoefte aan fantasie van de kinderen te bevredigen.

Bijna vanzelf kan een onderwijs dat daar rekening mee houdt, de kleintjes via omwegen bij het rekenen brengen. Je knoopt aan bij het beleven van het eigen lijf, wanneer je ze de tien laat beleven aan hun vingers, d.w.z. wanneer ze in het begin met behulp van hun tien vingers binnen deze kleine getalsruimte, mogen rekenen. Weldra kun je tot de twaalf overgaan, die nu eenmaal meer mogelijkheden kent dan de tien. En aangezien ook de twintig met behulp van de tenen – vooral wanneer in de zomer de kinderen blote voeten hebben – aan het eigen lichaam ervaren kan worden, is het heel vanzelfsprekend de eerste tijd tussen de 1 en de 20 te blijven, maar wel met alle rekenoperaties, tot de kinderen zich daarin vrij kunnen bewegen.

Steeds heb ik in het begin iets gezocht wat dicht bij de kinderen staat. Na de vingers ben ik al gauw overgegaan tot andere dingen, knikkers [2], hazelnoten enz., dingen die verdeeld kunnen worden. Op een keer – het was in de kersentijd [3] – kon ik meemaken hoe heerlijk ze het vonden met deze gewaardeerde vruchten te rekenen.

‘Voor ieder van jullie,’ zei ik, ‘heb ik vanmorgen een kers meegebracht. Laten we eerst maar eens kijken of er genoeg in dit mandje zitten, zodat ieder van jullie er een kan krijgen.’
Een kind mocht nu de kinderen tellen, een ander het aantal kersen. Ze telden allebei tot 36. Omdat door de opstelling in mijn klas er drie gelijke groepen van elk twaalf kinderen waren, was het voor hen heel aanschouweliljk dat die 36 te verdelen kersen, net zoals de 36 kinderen in drie maal twaalf konden. Hun tot zover duidelijke oplettendheid werd met een kers beloond. Nadat de kinderen door deze verdeling hadden begrepen, dat je van 36 kersen drie hoopjes van elk twaalf  kan maken, dat dus in de 36 het getal 12 precies driemaal zit, kon ik hen ook laten zien, dat er ook andere verdelingen mogelijk zijn. Daarvoor had ik geen kersen meer nodig. Ik kon ertoe overgaan kleurige sterretjes op het bord te tekenen, in rijen verdeeld en met kleur zodat door de kleur de gelijke groepjes zichtbaar werden.
Bij 36 sterretjes kwam er een rij van 18 witte en 18 rode; daaronder een tweede rij van 12 witte, 12 rode en 12 gele; daaronder 9 witte, 9 rode, 9 gele, 9 groene; daaronder 6 witte, 6 rode, 6 gele, 6 groene, 6 violette, 6 blauwe. De groepjes werden steeds kleiner. Bij 9  x  4  groepjes kregen we negen verschillende kleuren, bij de 18  x  2  groepjes eigenlijk 18 kleuren, maar we behielpen ons zo, dat we steeds 2 witte en 2 rode sterretjes afwisselden.

Om nog op een andere manier de fantasie aan te spreken, zette ik binnen een grote cirkel, rond een als zon gedacht middelpunt, 36 sterretjes, zodanig dat deze drie concentrische cirkels vormden, waarvan de kleinste er 8, de middelste er 12, en de grootste er 16 hadden en iedere cirkel een andere kleur. Zo konden de kinderen ervaren dat 16  +  12  +  8  eveneens 36 zijn. Door andere tekeningen bleek dan dat 36 ook uiteengelegd kan worden in 6  +  13  +  17 of  7  +  11  +  18  of in  6  +  8  +  10  +  12.
De kinderen tekenen ook dergelijke figuren met kleurpotloden op het papier. Ze vinden het heel plezierig dat ze niet alleen kunnen tekenen als het om het tekenen gaat, maar ook bij het rekenen. De kleurige beelden die daarbij ontstaan, bijv. door het kunstzinnig ordenen van sterretjes, bloempjes, kaarsjes enz. zijn een grote hulp om het begrip van kinderen voor het rekenen te ontwikkelen.

Om bijv. te laten zien, dat 20 = 2  x  10,  4  x  5,  5  x  4  of  10  x  2  is, tekende ik 20 kaarsjes, dus gele streepjes met een rood vlammetje, naast elkaar op het bord. Met andere kleuren markeerde ik de verdelingen die we noemden en tekende ik de daarbij horende verbindingsboogjes, dus 2 violette vanuit het midden, 4 blauwe, 5 rode, 10 groene. Zo ontstond er een vrolijk, bont gekleurd beeld. Op soortelijke manier kon ik in beeld laten zien, dat 30 =  2  x  15,  5  x  6  en  15  x 2. Je kunt de voorbeelden naar believen uitbreiden en tekenend variëren.

VANUIT HET GEHEEL NAAR DE DELEN
Als een belangrijk pedagogisch aspect leerde Rudolf Steiner ons, het optellen in het begin zo te oefenen dat daarbij van de som (de totaliteit) wordt uitgegaan die dan in verschillende gelijke of ongelijke delen wordt verdeeld. Dus niet van de optelgetallen gaan we uit, maar van de som als geheel; niet  5  +  5, dat altijd 10 blijft, maar 10 =  3  +  7;  4  +  6  enz. Dat is voor de fantasie van de kinderen stimulerender. Het blijft in zijn denken beweeglijker, omdat het een rijkdom aan mogelijkheden tot zijn beschikking heeft, waaruit het vrij kan kiezen.

moraliteit
Maar het heeft ook een morele betekenis, eerst het optellen op deze manier te leren. Het is niet zonder betekenis wanneer we het kind leren waarde op waarde te stapelen, waarbij het zich kan indenken: zoveel, ik zou nog meer willen hebben – of wanneer we het een totaliteit, een optelsom van dingen geven die het onder zijn vrienjes kan verdelen. In het eerste geval voed je op tot hebzucht, in het tweede tot vrijgevigheid. Wanneer de kinderen als ze op deze manier leren optellen, ook meteen een gevoel voor delen krijgen, is dat natuurlijk helemaal niet erg. Dr. Steiner wilde dat alle vier de rekenbewerkingen tegelijkertijd aan de orde zouden komen en bijna tegelijkertijd zouden worden geoefend. Dit is economischer dan wanneer je te lang bij de aparte rekenoperaties blijft hangen.

Een vertrouwde verhouding tot de getallen krijgen de kinderen, wanneer je ze vaak hardop laat tellen en daarbij ritmisch in de handen laat klappen of met de voeten laat stampen, bijv. 1,2;  1,2;   1,2,3;  1,2,3;  1,2,3,4; 1,2,3,4;  1,2,3,4,5 enz. of 1,2,3,4,5,6;7,8,enz. of in een ander ritme.

Het kind moet goed kunnen tellen voor het leert rekenen.

Ook de tafels moet je voor de verzorging van het geheugen al snel aanleren en ritmisch in koor [4] laten spreken. Bij zulke oefeningen, net zoals bij het hoofdrekenen, moeten de kinderen levendig kunnen zijn; want de hele mens komt daardoor in een vreugdevolle activiteit.
Alleen moeten ze weten, wanneer het weer ‘mondje dicht’ is, wanneer je niets wordt gevraagd. Bij het doornemen van de tafels, liet ik de kinderen er telkens over nadenken, van welke dingen er in de wereld maar 1 is, van welke een 2-tal; waar je 3-tallen of 4-tallen ziet.
Daardoor krijgen de kinderen tot ieder getal een bepaalde verhouding, dat ze bijv. bij de 3, het eigen lijf kunnen ervaren aan hoofd, romp en ledematen; bij de 4 aan de 4 hemelsrichtingen en de jaargetijden, bij de 5 aan de vingers van de hand, aan de klinkers in onze taal, aan de bloemblaadjes van de roos; bij de 6 aan de poten van de insecten; bij de 7 aan de dagen van de week en aan de kleuren van de regenboog, om er maar een paar te noemen. Bovendien liet ik ze bij een paar tafels een kleurige tekening maken, in een bepaalde vorm die door het getal werd bepaald, waarin bijv. de 3, de 4, de 5 steeds terugkeerden, zoals bijv, in driehoeken, vierkanten of een vijfster, omrand door een vijfhoek of een cirkel, met verschillende kleuren. Bij één keer 7 tekende ik voor hen een 7-armige kandelaar op het bord, die ze mochten natekenen. Ook één maal 12 leerden ze nog in de 1e klas en tekenden daarbij een klok waarvan de grote wijzer, zoals bekend, 12 keer vaker en 12 keer zo snel gaat dan de kleine. Over het algemeen vermijden we dat de kinderen natekenen, we sporen ze aan hun fantasie voor eigen vormen te gebruiken.

Een prachtig voorbeeld van de manier waarop Dr.Steiner zelf een levendige rekenles wist te geven, heeft Bettina Mellinger voor ons opgetekend in het mooie verzamelwerk ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool’, uitgegeven door Caroline von Heydebrand. [5]
“Dr.Steiner ging eens bij een bezoek aan de virjeschool de eerste klas binnen, waar juist een tafel werd geoefend met allerlei sprookjesmotieven. Zoals dat in zijn aard lag, begon hij zelf les te geven en sprak tot de blij luisterende kinderen: ‘Denk er eens aan, we leven nu toch in de zomer en buiten bloeien de rozen; wat zou het heerlijk zijn, wanneer er nu iemand binnenkwam en ons een mand met rozen bracht. En dan moeten jullie er allemaal evenveel krijgen. Kijk, jij krijgt de eerste drie.’ Daarbij ging hij naar een klein meisje met dromerige ogen. ‘Maar’, zo klonk het, ‘je moet echt wel handig zijn om ze op te vangen en dadelijk zullen we zien hoeveel rozen er in de mand zaten.’ Zo kreeg nummer twee zijn drie rozen en die riep ‘zes’, dan de derde die ‘negen’ riep – en het ging steeds sneller 12, 15, 18, 21, 24, 27 tot bij 30 [6] het mandje leeg was. Nu was er gejuich, maar ook protest, want de andere 20 wilden ook rozen krijgen en dus moest alles weer snel herhaald worden en toen iedereen zijn drie rozen had, was de tafel van drie op de meest levende manier vol frisheid geoefend. En het was door het hele lijf gegaan, want de kleine handjes en voetjes waren bij het opvangen van de rozen minstens net zo in beweging gekomen als het hoofd. Mooi daarbij was het ritme in de beweging bij het gooien en opvangen, die tegelijk een verbinding betekende tussen de onderwijzer en het kind.”

Zoals iedere leerkracht in het eerste rekenuur uitgaat van een getal dat hem goeddunkt, zullen ook de tekeningen die hij laat maken, de verhaaltjes waarmee hij dikwijls de opgaven inleidt, de voorbeelden die hij kiest, heel individueel door hem gevonden worden. Door alle levensgebieden kunnen we ons laten inspireren, bij alles kun je wel iets rekenachtigs aanknopen. Het getal beheerst ruimte en tijd. De sterren aan de hemel, de bloemen op de wei, de vruchtbomen in de tuin zijn voor de kinderen even welkom als rekenobject als de dagen van het jaar, van de maand, van de week en de uren en minuten van de dag.

optellen        geheel naar delen
Hoe je morele impulsen met het rekenen kan verbinden, werd al getoond, toen er werd gezegd waarom Dr.Steiner bij het aanleren van het optellen van de som uit liet gaan. Hij wilde dat het uitdelen, het weggeven van een hoeveelheid eerst aan de kinderen zou worden geleerd; de impuls van liefde moet daardoor sterker worden. Maar ook vanuit andere wel overwogen motieven wordt door Dr.Steiner deze weg van het geheel naar de delen gekozen. Niet de weg van de optellers naar de som, maar omgekeerd, doceerde hij, is in overeenstemming met de menselijke natuur als gegeven. In de organische stoffelijkheid is het geheel meteen al het primaire. Uit het geheel van de cel ontstaan de tweedeling, de vele delingen. En ook de mens, wanneer deze geleidelijk tot bewustzijn komt, of dat nu uit de slaperige tijd van de eerste kindertijd is of uit de slaap van de voorbije nacht, iedere morgen, eerst neemt hij het geheel waar, dat zich langzaam laat onderscheiden in de delen; niet stelt hij vanuit kleine deeltjes de totaliteit samen.
In de moderne tijd hebben de mensen het tot gewoonte gemaakt te denken dat het hele wereldal uit de kleinste deeltjes is samengesteld. Dr.Steiner wijst ons erop dat uit zo’n foute manier van denken de atomistische theorieën in de natuurkunde zijn ontstaan en dat dit denken berust op fouten in de opvoeding. Een van die fouten zullen we vermijden, wanneer we de kinderen het optellen leren, uitgaande van het geheel, vóór we ze op de gebruikelijke manier losse getallen bij elkaar laten optellen. Een waarneming die levensecht is laat zien, dat de weg van het geheel naar de delen de natuurlijke is.
Dr.Steiner geeft daarvoor in een in Engeland (Torquay) gehouden voordracht [7] op 16 augustus 1924 voor leraren de volgende voorbeelden: ‘Dat moet  in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz  appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel.

waarheid
Toen Dr.Steiner ons leerde in het rekenonderwijs van dit geheel uit te gaan, het in delen uit elkaar te leggen en dan te onderzoeken of de som van de losse delen weer het geheel vormt, stimuleerde hij ons de zin voor waarheid, het denken in overeenstemming met de realiteit bij de kinderen te ontwikkelen.
Hoe je met deze manier van rekenen volgens de opvatting van Dr.Steiner de Ik-ontwikkeling versterkt en vandaar bijzonder gunstig op de flegmatici werkt waarbij hun zwakkere Ik versterkt wordt, kan je nalezen in het genoemde boek van Ernst Bindel in het 7e hoofdstuk dat over de vier rekenbewerkingen en de vier temperamenten gaat.[8]

aftrekken
Ook bij het aftrekken kan deze methode dienovereenkomstig worden toegepast, als je niet, zoals gewoonlijk gebeurt, van het aftrektal en de aftrekker uitgaat, maar van de rest, het verschil. Je neemt van een hoopje papiersnippers* waarvan je tegen de kinderen zegt: ‘Het zijn er 18, een hoopje weg. Je ziet: het hoopje is kleiner geworden; er is een nieuw hoopje bij gekomen. Wat van het eerste hoopje over is gebleven, noemen we de rest, 11. Van dit feit, dus van de rest, 11 gaan we uit en onderzoeken nu met hoeveel het hoopje kleiner is geworden. We constateren: dat is 7, dus net als het nieuwe hoopje, kleiner geworden; want we hadden er 18 en heben er nu nog 11. Er wordt dus niet vastgesteld wat er over blijft, maar hoeveel er verdwenen zijn, bijv. wanneer het om munten zou gaan, hoeveel je er onderweg door omstandigheden bent kwijt geraakt of hebt uitgegeven. Zo is het toch ook in het dagelijks leven: Je weet wat je had en wat er over is en je stelt vast wat er weg is. De kinderen worden dus aangespoord vast te stellen hoeveel er van een aantal moet worden afgenomen om een bepaalde rest over te houden of hoeveel er van een bepaalde hoeveelheid verdwenen is, een proces waar de melancholicus graag lang bij stilstaat. Dr. Steiner wilde ook graag een moreel neveneffect sorteren door de kinderen vol vertrouwen van de leerkracht te laten horen: dit hoopje is 18, deze rest noem ik 11. Hij benadrukte dat daardoor tegelijkertijd het autoriteitsgevoel onwillekeurig verzorgd wordt, wat volgens zijn pedagogiek tussen de tandenwisseling en het veertiende jaar beslist nodig is, zonder dat kunstmatig een autoriteitsgevoel afgedwongen mag worden.
Wanneer je deze manier van optellen en aftrekken, dat van de realiteit uitgaat, een tijdje geoefend en daarmee de vormkrachten van de kinderen levensecht gestimuleerd hebt, dan geeft het niets wanneer ze daarna ook de meer abstracte manier van het gewone optellen en aftrekken leren kennen.

vermenigvuldigen
Bij het vermenigvuldigen moet je in het begin ook niet meteen van de beide factoren uitgaan, maar van het product en het vermenigvuldigtal. En je vraagt naar de vermenigvuldiger. Dus je vraagt niet: hoeveel zijn 5 x 6 appels, maar je zegt: ‘Ik heb in een mandje 30 appels. Hoe vaak kan ik er 6 tegelijk uit nemen?’ Of je gaat uit van het product en de vermenigvuldiger en zoekt dan het vermenigvuldigtal, – dan vraag je: ‘Wanneer ik uit een klas waarin 30 kinderen zitten, 5 keer het gelijke aantal wil roepen, hoeveel moet ik er dan elke keer roepen?’ Deze manier van vermenigvuldigen spreekt vooral het sanguinische temperament aan. Een ritmisch pulseren, een ritmisch springen van getallen is het gevolg, wanneer het steeds wordt geoefend, bijv. 2 =  1  x  2;  4 =  2  x  2; 6  =  3  x  2 enz.

delen
Ten slotte wordt ook bij het delen rekening gehouden met het reële leven. Je vraagt naar wat moet worden gedaan, wanneer bijv. 12 appels onder verschillende kinderen verdeeld moeten worden. De deler wordt gezocht – hij die iets doet. ‘Wat moet je doen om de 12 appels zo te verdelen, dat meerdere kinderen 4 appels krijgen? Het quotiënt is bekend, gezocht wordt de deler, d.w.z. in dit geval het aantal kinderen. Je kunt ook naar het deeltal vragen: ‘Van hoeveel appels kunnen 3 kinderen elk 4 appels krijgen?’ Dus de vraag naar het quotiënt wordt in het begin vermeden. De gedachtesprongen die bij deze vragen nodig zijn om van kind naar kind ieder zijn deel te geven, zijn in het bijzonder voor het cholerische temperament geschikt.
Het kan voorkomen dat het bezigzijn met de temperamenten van de afzonderlijke kinderen de leerkracht ertoe brengt bepaalde vragen in wezen aan bepaalde temperamenten te stellen, niet expres, maar vanuit een onwillekeurige aanpak op grond van een aan het leven geleerde en daarom zinvolle kennis. Op de antroposofische basale gezichtspunten de rekenoperaties in samenhang te zien met de temperamenten, zal hier niet nader worden ingegaan.Het boek van Ernst Bindel bericht daarover. Hier wordt alleen maar een oproep gedaan ook wanneer je rekent, je bezig te houden met het wezen van het kind.
Het komt er in ieder geval zeer op neer de eerste vragen in de rekenlessen zo te stellen, dat de kinderen de praktische waarde ervan duidelijk zien, dat ze met spanning en interesse meedoen en niet door abstracte vragen zich gaan vervelen en ze de zin in rekenen, die bij ieder kind in het begin zeker aanwezig is, snel verliezen. Hier houdt de methode die hier gebruikt wordt rekening mee. Hoe meer het kind zo aangespoord wordt langs de weg van het rekenen de waarheid te ontdekken van hoe getallen zich verhouden, precies na te gaan hoeveel er bijv. van een totaal mag worden uitgegeven, opdat er een bepaalde rest overblijft of over hoeveel kinderen je een hoeveelheid dingen kan verdelen wanneer ieder kind een bepaalde hoeveelheid dient te krijgen, des te meer zal ook de zin voor realiteit in het leven, waarheidszin in het kind wakker worden. In het bijzonder zal je er in het verdere verloop van het lesgeven op letten, dat er alleen maar levensechte voorbeelden gekozen worden die daadwerkelijk in het leven voorkomen. Daar hechtte Dr.Steiner grote waarde aan.

verantwoordelijkheid
Zoals nu de leerkracht door het rekenen de pedagogische basiseisen van fantasie kunnen hebben en van gevoel voor waarheid, eisen die hij zichzelf  moet stellen, op deze manier aan zijn leerlingen doorgeeft, zal hij ook de derde basiseis ‘morele verantwoordelijkheid’ door zijn lessen aan de kinderen overdragen.
Juist het rekenen, wanneer het niet in dienst staat van egoïsme, kan het verantwoordelijkheidsgevoel bij kinderen buitengewoon versterken. Aan de andere kant bestaat bij het rekenen wel het bijzondere gevaar dat kinderen egoïstisch worden. Er moet dus bewust aan gewerkt worden, dat onderwijs in rekenen kinderen niet ‘berekenend’ laat worden in de negatieve betekenis, maar dat veel eerder van begin af aan het nieuw verworven vermogen in dienst van het goede wordt gesteld.
Toen Dr.Steiner eens zei: ‘We moeten zielekrachten leren met het rekenen’, dan hoort daar in het bijzonder de morele verantwoordelijkheid bij. Karaktereigenschappen waarop je deze uitdrukking ‘morele verantwoordelijkheid’ terug kan voeren, zal niemand kunnen ontwikkelen die niet van goede wil is. Een pedagogische hoofdtaak van het rekenonderwijs zal dus zijn, de goede wil in de kinderen sterker te maken. Nu heeft Dr.Steiner laten zien, hoe de wil in het kind versterkt kan worden door een kunstzinnig gevormd onderwijs. En voor het rekenen gaf hij aan hoe dat samen met ritmische bewegingskunst, in het bijzonder met behulp van de euritmie, een sterker wordende wil ontwikkelt. Dus mag je de kinderlijke zin in bewegen niet buiten beschouwing laten, wanneer je met het rekenen een stimuleren van de wil nastreeft.
Je kunt in het rekenen zwakbegaafde kinderen helpen, wanneer je ritmisch uitgevoerd de ledematen krachtige bewegingen laat maken op de getallen, bijv. 7 passen naar voren, 4 terug, enz. Deze wilskrachten nu op het goede te richten, dat zal de leerkracht proberen met opdrachten met een inhoud die morele impulsen over kan brengen. Juist in het onderwijs in het eerste schooljaar zal het gemakkelijk zijn een sociaal element, de gedachte van de schenkende deugd, in de mondelinge en schriftelijke opdrachten te laten overheersen. Een rekenvoorbeeld zal niet aan waarde verliezen, maar juist winnen, wanneer het tegelijkertijd een voorbeeld van het goede is. Onze voorbeelden moeten wel uit het praktische leven komen. Wanneer daarin veelvuldig personen handelen – oude en jonge – laten die dan voorbeeldig handelen. Ook op dit terrein krijgt het fantasievermogen van de leerkracht de mooiste gelegenheden, actief te zijn.
Zou het niet op de jaloezie werken, wanneer de leerlingen de inhoud van een spaarpot, d.w.z. de waarde van de gespaarde munten, de 50-, 20-, 10-, 5-, 2-, en 1-centstukken moeten uitrekenen en daarbij horen dat dit geld door een jongen werd gespaard om met kerst kinderen iets te geven die anders niets hadden ontvangen? Wordt dat geen aanleiding om zelf zo te handelen, wanneer er verder wordt uitgerekend wat deze jongen wel niet allemaal had kunnen kopen van dit bedrag en hoeveel kinderen er nu blij van worden? Het is wel belangrijk dat de kinderen het gebruik van geld door het rekenen zo leren kennen, dat het gebruikt kan worden om te helpen.
Iedere rekenoperatie biedt de mogelijkheid er een gevoel voor te wekken dat je voor een goed gebruik van jouw geld verantwoordelijk bent en dat je ook voor het welzijn van de medemens verantwoordelijkheid draagt, wanneer het in je vermogen ligt dat te vergroten of te verkleinen.
Zo zou bijv. het rekenonderwijs in de kinderen het inzicht kunnen wekken dat je door ergens vanaf te zien, door een offer, de mogelijkheid kan scheppen tot iets goeds. Je kunt laten uitrekenen hoeveel geld er per week nodig is voor het dagelijks brood in een gezin. Je vergelijkt dat dagelijkse broodgeld met het bedrag dat moeder nodig heeft voor bijv. op zondag een lekkere taart en je laat dan uitrekenen hoe duur het zou zijn, wanneer je elke dag taart zou willen eten. Je zou een moeder kunnen laten vertellen dat ze het eten van taart op door-de-weekse dagen helemaal achterwege liet en het daarmee uitgespaarde geld schonk aan een collecte voor mensen in nood. Het bedrag dat per maand nodig is, kan door de kinderen uitgerekend worden. Van tijd tot tijd zal er ook wel een aanleiding vanuit de klas zijn de kinderen erop te wijzen dat zij voor de dingen die hun zijn toevertrouwd in de klas, de tafeltjes, de muurversiering, de ruiten verantwoordelijk zijn. Heeft een kind schade veroorzaakt, dan is het voor een klas interessant om bij zo’n gelegenheid uit te rekenen hoeveel tijd en geld het kost om de schade weer te herstellen.
Zoals bekend wilde Dr.Steiner dat de kinderen zelf – naar vermogen – de dingen die ze kapot hebben gemaakt, weer repareren, eventueel naar de vakman te kijken en deze te helpen. In een enkel geval zou kunnen worden uitgerekend hoeveel de klas samen moet opbrengen om de betreffende klasgenoot te helpen de aangerichte schade weer goed te maken.
Wanneer er in de rekenopgaven vaak over dergelijke verantwoordelijkheden als een vanzelfsprekenheid wordt gepraat, dan wordt het verantwoordelijkheidsgevoel bij de kinderen tot een tweede natuur.

Wanneer we op deze manier proberen de grote pedagogische basiseisen die Dr.Steiner voorstond ook in het rekenonderwijs tot zijn recht te laten komen, dan zal het onderwijs niet alleen voor de kinderen stimulerend zijn en morele vruchten afwerpen, het zal ons ook op een heel andere manier tevreden stellen, dan wanneer we ons zouden moeten beperken tot het ontwikkelen van de louter intellectuele, geautomatiseerde activiteit bij de kinderen.
Een leerkracht die zich elke dag weer opnieuw inzet om alles wat aan de kinderen als leerstof geboden wordt, te voeden vanuit zijn ziel en geest, zal erin slagen ook uit de nuchtere materie van de getallen en berekeningen de esprit tevoorschijn te toveren en daardoor waarachtig opvoedend en vormend in dit onderwijs te werken.
.

Johannes Geyer, Zur Pädagogik Rudolf Steiners, 1e jrg. 5/6/ nr.4 1928
.

[1] Nu uitgegeven met de titel ‘Das Rechnen, Mellinger Verlag
[2] Rudolf Steiner heeft het in GA 295 over vlierbessen, maar ik zou erg oppassen met dingen die van de bank kunnen rollen of met ‘bes of kers’ die stuk kunnen gaan, met alle gevolgen van dien. Papiersnippers waaien bij de geringste beweging van het tafeltje.
[3] Het nieuwe schooljaar begon toen nog na Pasen – een paar maanden later zijn de kersen rijp.
[4] Over het spreken in koor
[
5] Bij Mellinger Verlag verscheen in 1926/27 een van de eerste uitgaven onder de titel ‘Rudolf Steiner in de vrijeschool‘ 2 toespraken
Van die uitgave heb ik niets teruggevonden.
Wel verscheen in de GA onder nr. 298 . ‘Rudolf Steiner in der Waldorfschule’, maar daarin staat de bedoelde rekenles (volgens mij) niet.
[6] interessant voor het kleine vraagstuk of je de tafel tot 10 x moet aanleren, of tot 12 x…….
[7] GA 311/78
Vertaald
[
8] Op deze blog staan de rekenoperaties in samenhang met de vier temperamenten uitvoerig beschreven.

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

rekenen: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas: alle beelden

1122

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 1e klas – rekenen (8)

 

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

 

Wanneer ik aan de rekenlessen denk, staat me voor het oog het beeld van een klas als een zee die door een storm in beweging is; alsof je zelf de echte Orpheus bent om die kracht vanuit de hemel tot bedaring te brengen.

Herhaaldelijk heeft Rudolf Steiner uitgesproken, dat juist door het eerste rekenonderwijs de manier van denken in het latere leven beïnvloed wordt. Je kunt je goed voorstellen, hoe door de gestage herhaling van een rekenhandeling de manier van denken er bij de mens als gewoonte ingehamerd wordt.

Het rekenonderwijs begint met optellen, bv. 6  +  4  =  10. Het is niet zo moeilijk om uit te maken welke manier van denken door deze sommen aangelegd wordt: je hebt delen en die worden een geheel. Maar in het leven ontstaat uit het bij elkaar brengen van delen, het geheel niet.

Wij doen het op aanraden van Dr.Steiner omgekeerd en gaan in het rekenen in het begin van het geheel uit.

In de eerste rekenuren vertelde ik van de 12 broers en 1 moeder [1] of we hadden het over een kip en haar kuikens. Er is altijd een moeder en veel kinderen.

Dan kwamen veel getallen langs. Wie is toch de moeder van al die getallen? Dat is de één. [2] Door te delen komen uit de een alle getallen tevoorschijn. Tegelijkertijd leerden we het gedicht van Christian Morgenstern: ‘Ich bin die Mutter Sonne’…. en omdat de zon de moeder is van alles wat er is, maken we voor de één, een zonnestraal.

Het rekenen dat van het geheel naar de delen gaat, wordt ook in het verdere verloop geoefend. Je kunt de vraag beter zo stellen: ‘Ik heb 10 hazelnoten. Hoe kan ik van alles uit 10 halen en weggeven? Je kunt het verschil tussen beide manieren van rekenen duidelijk aan de kinderen zien. Leven en beweging is er in de klas als de kinderen erop gebrand zijn de 10 hazelnoten weer een nieuw geheim te ontfutselen.
In plaats van het naar je toe halen ligt als een glans over het rekenuur de stemming van weer weggeven.

Met het rekenen met de 5 en de 6 hebben we helemaal in de sfeer van de sterren geleefd. De 5-ster, de 6-ster, de adventster en de kerstster kregen hun glanzende kleuren.

In het hoofdonderwijs hebben we ons ook tegelijkertijd met de bijen beziggehouden en dat de honingraten eigenlijk sterrenhuisjes zijn, was wel de mooiste verrassing en bevestiging van ons verhaal. Ieder raatje, alsof het om een verborgen ster was gebouwd. En hoe mooi moet je daarbij niet tekenen!
Ik zie de schriftjes en blaadjes vol met honingraten met sterretjes daarin nog voor – als werden ze op het laatst wel wat scheef en krom. De ster was de hoofdzaak. Het lijkt wel of de kinderen overvloeien als ze maar vormen die voor hen belevingen zijn, mogen kleuren.

Het streven om juist het begin van het rekenen aanschouwelijk vorm te geven, kan je tegenwoordig [3] overal waarnemen. Welke aanschouwelijkheid je daarbij kiest, is niet geheel onwezenlijk. Het is voor een kind  mooier als het inslaapt met in zijn herinnering de bladzijde uit zijn schrift waarop de bonte sterren  stralen, dan wanneer er kleine zwarte hokjes en puntjes in zijn voorstellingen moeten leven.

Maar het rekenen aanschouwelijk te brengen is maar één kant van het rekenonderwijs. Dan ben je alleen maar bezig met het oog en het hoofd van het kind. Maar dat wil nu juist alles als volledig mens beleven. het wil rekenen met de ledematen en de spieren.

Het ritme is daarbij de grote helper.

Kinderen beleven een grenzeloos plezier aan ritmische bewegingen.

Zo hebben we de eerste tafels van vermenigvuldiging met alle lichaamsdelen geoefend: stampend, klappend, schrijdend, buigend. Het meest geliefd is de ruiteroefening bij de tafel van 3. In de maat rijden de op de bank alsof ze in het zadel zitten. Bij 1 en 2 komen ze iets omhoog, bij 3 helemaal; bij 4 en 5 weer een beetje, bij 6 helemaal. Enz. Vlugger, langzamer, naar voren, naar achteren, alles hebben onze paardjes geleerd. Dat ‘zit’ dan echt en is vlees en bloed geworden. De liefde voor het ritme wordt hier ‘letterlijk’ uitgedrukt. Deze oefening heeft nog een voordeel: de ruiters moeten wel een poosje uitrusten.

Met het aanschouwelijke rekenen dat tegenwoordig zoveel beoefend wordt, bereik je alleen het verstand van het kind. Met het ritmische rekenen echter ook zijn wil.

Hoe verder je met rekenen komt, des te duidelijker kun je ervaren dat het aanschouwelijk maken door beelden alleen maar een eerste hulpmiddel bij het rekenen mag zijn. Door het ritmische rekenen kom je veel dichter bij het intuïtieve van het rekenproces, bij het wezen van het rekenen.

Het ritme is a.h.w. de pols van het rekenuur.

Ritme kan ook in de opbouw van de les zitten.

De vier rekenbewerkingen hebben we vanaf het begin alle 4 geoefend. Het lesuur is heel anders wanneer je met optellen of met delen begint en hoe je dat afwisselt. Bij vermenigvuldigen gaat het onstuimig toe, bij delen wordt het plechtig, bij optellen een beetje saai.
Wanneer ik eerst alleen maar één rekenbewerking zou hebben geoefend en dan pas de andere, dan zou dat voor mij zo zijn alsof ik eerst 4 weken zou hebben geslapen en dan vier weken wandelen. Je kan niet anders dan afwisselend door elkaar oefenen.

Hoezeer ook het rekenen in het algemeen door zichzelf al levendig is en niet door fantasie gekruid hoeft te worden, heb ik toch steeds bij een bepaald punt een verhaal verteld.

Aftrekken bv. werd verbonden met het verhaal van Gelukkig Hans [4]. Hans leert aftrekken. Eerst heeft hij het klompje goud, dan het paard, de koe; hij heeft steeds minder en wordt steeds gelukkiger. Elke keer ligt er een stukje weg te bewandelen, tot hij weer iets minder heeft. Deze weg kleuren we als het minteken.

De rekentekens zijn, zoals Ernst Bindel dat in zijn boek ‘Het rekenen in het licht van de antroposofie’ [5] mooi laat zien, zijn als realistische tekens voor het begrijpen van de aard van de rekenbewerkingen ontstaan.

En daardoor ontstond bij mij de behoefte die tekens niet simpelweg over te dragen, maar ze met een beleving te verbinden.

Heel bewust heb ik voor het sprookje van Gelukkige hans gekozen. De ziel is terecht blij wanneer hij geldstuk na geldstuk krijgt, wanneer men rijker wordt. Maar daarnaast bestaat een net zo’n terecht gevoel wat zich los kan maken van al het bezit.

Rudolf Steiner heeft geschetst dat in het sprookje van  Gelukkige Hans de belevingen van de ziel van de mens na de dood in beelden wordt beschreven. Het zou te ver voeren dat hier te bewijzen. Maar het bij elkaar tellen, het vergaren leert men vanzelf. Het grote afstand doen moet iedere mensenziel  met smart leren. En op het eind, toen de stenen in de bron waren gevallen, knielde Hans neer en dankte God met tranen in zijn ogen, dat Hij hem deze genade ook nog deelachtig liet worden en hem van de zware stenen bevrijdde. ‘Zo gelukkig als ik ben’, riep hij uit, ‘bestaat er geen mens onder de zon.’ Opgelucht en bevrijd van alle lasten snelde hij nu weg tot hij thuis was bij zijn moeder.

Dit citaat dat een gevoelige snaar bij het kind kan raken, was voor ons aanleiding die nul als een grote stralende zon, als moeder, te tekenen, omdat hij nu heel gelukkig is.

Het is mijn overtuiging dat daardoor in het onderbewuste van het kind iets ontstaat, wat hem in het leven kan helpen.

Dr.Elisabeth Klein, Dresden, Erziehungskunst 4e jrg.nr 5 1930

[1] Grimm: Sprookjes nr. 9
[2] op een bepaalde manier voor kinderen wel verwarrend. Je moet zeker de nadruk leggen op de ‘eenheid’ of de of het ‘ene’.
[3] Dit artikel uit 1930 heeft ook na 85 jr! nog niets aan frisheid verloren.
[4] Grimm: Sprookjes nr. 83
[5] (nu) Die Arithmetik, E.Bindel

1e klas rekenen: alle artikelen

1e klas: alle artikelen

894

VRIJESCHOOL – Rekenen – 1e klas – alle artikelen

.

Pieter HA Witvliet over: hoe laten de vormtekeningen voor de temperamenten ook de rekenbewerkingen zien; voorbeelden uit de klas

(1)
Temperament en rekenen (1) 
optellen “flegmatisch en cholerisch”

(2)
Temperament en rekenen (2)
vermenigvuldigen “sanguinisch en melancholisch”

(3)
Temperament en rekenen (3)

delen “cholerisch en flegmatisch”

(4)
Temperament en rekenen (4)
aftrekken “melancholisch en sanguinisch”

(5)
De 4 bewerkingen door de jaren heen

[6] Rekenen en wiskunde
Het Binnenste buiten‘ over: wat doe je als je rekent; begripsvorming, vrijheid; de jaren 6-9, beweging; tafels van vermenigvulding, maar optel- en aftrektafels uit het hoofd; wat wordt klas 1, 2 en 3 geleerd en de manier waarop; van geheel naar delen; meteen alle 4 bewerkingen;

(7)
Martin Keller over: schriftelijk rekenen vanaf klas 1 met ‘mooie’, ‘bijzondere’, ‘verrassende’ uitkomsten

(8)
Elisabeth Klein over het eerste rekenen. Fantasie, ritme, van het geheel naar de delen.

(9)
Johannes Geyer over het eerste rekenen. Van het geheel naar de delen; de 4 rekenbewerkingen vanuit het specifieke geheel; rekenen en morele verantwoordelijkheid; rekenen en waarheidszin; rekenopgaven moeten met het echte leven te maken hebben.

(10)
Franz Brumberg over het eerste rekenen. De eenheid; tweeheid enz. Voorbeeld van ‘rekenverhalen’ (te ‘heilig’?) Rekenen en geometrische figuren.

(11)
Elisabeth Klein over het eerste rekenen. Beelden voor de vier rekentekens. Met handen en voeten.

(12)
Rudolf Treichler over het eerste rekenen. Beelden voor de rekentekens; temperament en rekenen; ‘lopen, spreken, denken’ en temperament.

.

[13] Cijfers leren schrijven
Pieter HA Witvliet over: n.a.v. van een versje om de kinderen het schrijven van cijfers aan te leren: controleren is belangrijk

[14] Concreet en abstract
Pieter HA Witvliet overeen kind neemt de opgave heel concreet en komt tot andere antwoorden dan eigenlijk werd verwacht

 

1e klas rekenenalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas – alle beelden

.

520-480

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.