Maandelijks archief: december 2016

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (45)

.

AFGODERIJ

leven-o-t-203

1. Masseben (opgerichte stenen van Gezer).
„Binnen de stad of althans in haar onmiddellijke nabijheid was voor de KanaÄnieten de plaats, waar de goden worden vereerd (Statenvert. „hoogten”). Zo’n hoogte, die niet minder dan vijftien eeuwen achtereen in hoge eer is geweest, hebben de opgravingen in Gezer ons weer voor ogen gesteld. Daardoor kunnen we ons althans met enige zekerheid een beeld vormen van de bekende „hoogtedienst” waartegen Israëls profeten zo lang hebben gestreden. We vinden hier een aantal „opgerichte stenen”; onder deze trekt de kleine de meeste aandacht: het bovenste deel ervan is gepolijst, zoals dat alleen kan ontstaan door de altijd weer vernieuwde aanraking van devote lippen, die met vuur de steen kussen, of wel van handen, die in bloed of olie gedoopt, daarmee de steen zalven ter ere van de godheid. (A. Noordtzij).

leven-o-t-204

2. Babylonische godheid in de gedaante van een vis. Deze godheid herinnert aan de Filistijnse god Dagon. Men neemt gewoonlijk aan, dat hij een visgod was. Uit 1 Sam. 5 blijkt, dat het Dagonbeeld van Asdod hoofd en armen had. Of het onderstuk in visvorm uitliep, hangt af van de vraag, of we vers 4 aldus moeten lezen: „slechts zijn visvorm was op hem gebleven”, dan wel: „slechts zijn romp was op hem gebleven”. In het eerste geval (dat nog steeds waarschijnlijk is) heeft Dagon het hoofd en het bovenlijf van een mens gehad, waarschijnlijk de romp van een vis.” (Prof. Noordtzij).

leven-o-t-205

3. Vrouwelijke godheid.
De figuur is gehuld in een nauwsluitende kledij, die de lichaamsvormen goed doet uitkomen; de godin draagt halsketting, gordel en enkelring. Op het hoofd heeft zij een kroon naar Hethietisch model. De vrouwelijke godheid van het Kanaänietisch heidendom is de pendant van de mannelijken Baäl, naast wie zij herhaaldelijk wordt genoemd (Richt. 2 : 13; 10 : 6; 1 Sam. 7 : 4; 12 : 10). De naam is: Astarte, in het Hebreeuws As’toreth; meervoudsvorm Astaroth; daarnaast ook Asjerah. De Statenvert. heeft hiervoor „bos” maar het is duidelijk, dat wij b.v. in de „vierhonderd profeten van het bos” (1 Kon. 18 : 19) te doen hebben met dienaren van deze godheid. (Daarnaast komt het woord Asjerah ook nog in een andere zin voor, namelijk als de benaming van een voorwerp, dat tot de Kanaänietische eredienst behoorde; wel heeft de Statenvert. hiervoor ook „bos”, maar dit voorwerp is hoogstens een enkele boom, liever nog een boomstam of paal). Astarte vertegenwoordigt de vrouwelijke natuurkracht en wordt als de bron van alle vruchtbaarheid, als de verwekkende en onderhoudende godin van het leven vereerd” (Prof. G. C. Aalders).

leven-o-t-206

4. Baäl.
De naam van de mannelijke godheid in het Kanaänietisch heidendom. Oorspronkelijk is Baäl geen eigennaam; de goden werden niet bij hun naam genoemd, maar deze vervangen door het vage „baäl” d. i. heer of eigenaar van bepaalde heilige bronnen, bomen, dieren, bergen, stenen of plaatsen. Van deze lokale Baäls, die dus waarschijnlijk slechts beschouwd werden als de verpersoonlijking van de grote mannelijke godheid, smeekte de Kanaäniet de vruchtbaarheid van zijn land en alle goede gaven (Hosea 2:4). — De Baäldienst in de dagen van Achab en Izebel was gewijd aan de god der Feniciërs; deze dienst te bestrijden was dus nationale en godsdienstige plicht.

leven-o-t-207

1. Moloch
(volgens H. Vincent). Moloch is een woord, dat eigenlijk hetzelfde is als „melek”, dat koning betekent; vermoedelijk is Moloch hetzij slechts een andere naam voor Baäl in zijn verderfbrengende gedaante, hetzij een van de verschillende Baäls van Kanaän geweest. In Jer. 32 : 35 worden Moloch en Baäl gelijkgesteld. Moloch is de god van de verterende zon, die door de ritus van het „door het vuur gaan” gediend werd (Lev. 21 : 21; 2 Kon. 23 : 10). — De hier afgebeelde „Moloch” is een „stierenkop”, die ook herinneringen wekt aan de kalverendienst (1 Kon. 12 : 28) en drukt de gedachte aan de zinnelijke dienst uit door het mannelijk lid boven de neus op het voorhoofd. — Maar het is een betwiste kwestie of dit beeld wel „echt” is.

leven-o-t-208

2. Babylonisch levermodel.
Bij de Babyloniërs speelde de waarzegging uit de lever (hepatoscopie) een grote rol. Men beschouwde de lever van het geslachte dier met grote aandacht; „de lever bezien” (Ezech. 21 : 21) was geen uitvinding van mensen maar een gave van de godheid. De zonnegod „bepaalde de juiste stand van de ingewanden in het lijf van het schaap” en „schreef zelf in het lijf van het offerlam het orakel op”. Geen schaapslever is volkomen gelijk aan de andere. Steunende op dit feit, heeft men een geheel stelsel opgebouwd, om uit de lever der offerdieren de toekomst te voorspellen. Zo in het gezicht van Ezechiël 21 : 21. De koning van Babel staat op de kruisweg, aan het begin van de beide wegen om waarzeggerij te plegen: hij schudt de pijlen, ondervraagt de terafim, beziet de lever. — Nu werd ook bij Israël de lever wel beschouwd als de zetel van het leven en van het gevoel (Spr. 7 : 23; Klaagl. 2 : 11). Maar de Israëlietische wet heeft de bijgelovige praktijken onmogelijk gemaakt, door het voorschrift dat de leverkwabben der offerdieren verbrand moesten worden (Ex. 29:13; Lev. 3:4; 4:9).

leven-o-t-2093. „Assyrische” goden.
Relief van Tiglath Pileser III uit Kalach. Assyrische soldaten met spitse krijgshelm dragen godenbeelden; misschien als buit; in dat geval zijn het geen Assyrische goden. De voorste (a, b) schijnen vrouwelijke godheden te zijn; beide zitten. De derde godheid is grotendeels verborgen in een kast (c). De vierde (d) godheid is een bliksemgod met de dubbele bliksem in de linker- en de bijl in de rechterhand. De processie kan een trotse uiting wezen, hoe Assyrië’s macht sterker is dan de goden der volken (Jes. 36 : 19; 2 Kon. 18 : 34).

leven-o-t-210

4.Beeld van de godin Diana in de tempel te Efeze. Diana, de Latijnse naam voor de Grieksche godin Artemis was een godheid, die in de Grieks-Oosterse wereld veel geëerd was. De dienst van Artemis van Efeze, de „Diana der Efeziërs” was wijd verbreid („aan welke gans Azië en de gehele wereld godsdienst bewijst”, Hand. 19 : 27). Oorspronkelijk was de dienst van deze godheid een Oosters getinte natuurdienst; het beeld van Diana had dan ook verschillende zinnebeeldige kentekenen, die wezen op vruchtbaarheid en groeikracht. Afbeeldingen werden als wijgeschenk door vereerders van Diana meegenomen naar huis (Hand. 19 : 24).

 

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas: vertelstof

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas Oude Testament

 

1160

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Jaarfeesten – Kerstmis – verhaal (14-3)

.

De heilige nacht

Het gebeurde eens, lang geleden, dat door een grote stad een vrouw liep. Je kon zien aan haar gang dat ze zó moe was; zij sleepte zich voort, klopte aan iedere deur aan en klaagde:
‘O,  bittere nood, mijn kind klopt aan,
Heeft geen plaats voor een beddeke staan.

Maar de deuren bleven gesloten.
Toen verzuchtte de vrouw: “De mensen horen mij niet, misschien verstaan de dieren mij wel”.

En zo verliet zij de stad. ’t Werd donker en een voor een pinkten de sterren tevoorschijn. ’t Was koud, ijs en sneeuw lagen over de velden. De vrouw wandelde vermoeid voort tot zij kwam bij een stal, die een­zaam en verlaten stond, geen boerderij was in de omtrek te bekennen.
En toch was er leven in die stal; een os en een ezel woonden daar samen en leefden tevreden met elkaar.
Ook daar klopte de vrouw aan en begon weer:

‘O,  bittere nood, mijn kind klopt aan.
Heeft geen plaats voor een beddeke staan’.

Maar het was of de wind haar woorden meenam. Toch hoorden de dieren haar en de deur werd voor haar geopend, en zij lieten haar binnen en verwarmden haar verstijfde leden met hun warme adem.

Het was in diezelfde tijd dat een broertje en een zusje in een klein kamertje bijeen zaten en wachtten op hun moeder die maar niet thuis kwam. Ze was die morgen al vroeg weggegaan naar haar werk.

’t Werd al donkerder en donkerder en het meisje begon te huilen.
‘Wees nu maar stil,’ troostte het broertje,  ‘als moeder komt zal zij de
kerstkaarsen aansteken’.                                       .

En zo spraken zij erover hoe dat zou zijn als een voor een de lichtjes aan gloeiden en alles in de kamer anders zou worden. Eindelijk kwam de moeder thuis, maar zij stak alleen de lamp aan en deed alsof het een gewone avond was.
Toen vroeg het meisje: “Moeder, steek je de kaarsen niet aan ?” en het jongetje drong aan: “Het is toch kerstnacht”.

Boze, harde woorden kwamen uit de mond van de moeder: “Heilige Nacht ? Dat was eens, lang geleden, als er ooit een heilige nacht geweest is! Er is geen liefde meer op aarde, wij hebben geen geld om kerstfeest te vieren”.

En met deze woorden zette ze het karig maal op tafel. Daarna zijn ze alle drie stilletjes naar bed gegaan.

De moeder sliep al gauw in, maar de twee kinderen bleven wakker. ‘t Was of ze op iets lagen te wachten, zou er dan toch nog iets gebeuren? Luister, daar werd op het raam getikt en toen ze samen naar buiten keken, zagen ze de os en de ezel staan en hoorden hen roepen;
“Er is iets in de stal geschied,
Komt, komt en ziet.”

Toen ze dat hoorden glipten ze stilletjes hun bed uit. In hun haast vergaten zij zich aan te kleden en op hun tenen om hun moeder niet te wekken, slopen ze in hun hemdje de straat op. Os en ezel namen hen op hun warme rug en liepen de slapende stad uit tot ze bij het bos kwamen. Nogmaals riepen os en ezel:

‘Er is iets in de stal geschied
Komt, komt en ziet.”

Daar kwamen uit alle hoeken en gaten alle dieren tevoorschijn, wilde en tamme tezamen.

Wat liep, kroop en vloog kwamen achter os en ezel aan die met de kin­deren op de rug de weg wezen.

Eindelijk na een lange tocht door het bos en over het veld stonden ze stil bij de stal waar os en ezel hun woning hadden.

Toen riepen ze voor de laatste maal:

‘Er is iets in de stal geschied
Komt, komt en ziet.’

De sterren glansden nog helderder alsof de hemel zijn ogen opsloeg. Allen verdrongen zich in de stal om te zien wat daar wel gebeurd was. Zij zagen een vrouw met een kindje dat deze nacht geboren was. Lieflijk lag het daar in het hooi,  maar het had niets aan, de moeder had geen doeken om het in te winden.

Het broertje en zusje zagen dat en trokken hun hemdjes uit en gaven het aan de moeder voor haar kind.

Zij merkten niet dat zij nu net zo bloot waren als het kindje; ze keken toe hoe licht het werd in de stal en hoe hoog.
Zij zagen engelen afdalen, deze zongen en wiegden het kind. De vrouw zag er in de glans van het licht als een koningin uit. Liefderijk boog zij zich over de kinderen,  streelde de dieren en ver­gat er geen een!

Toen brachten os en ezel het broertje en zusje weer naar huis.
Hoe verbaast was de moeder toen zij haar slapende kinderen de
volgende morgen zag.                                                                                  !,

Ze hadden beiden een nieuw hemdje aan van zijde dat je nergens op
aarde zult vinden.

(Naar een Duits verhaal van Christel Sprengel)
.

Kerstverhalenalle verhalen
.

Kerstmisalle artikelen

.
1221

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Jaarfeesten – Kerstmis (33)

Hoewel het vieren van jaarfeesten een onderdeel is van wat op de vrijeschool gebeurt, geeft Steiner er in zijn pedagogische voordrachten geen aanwijzingen voor. Dat er over de jaarfeesten op deze blog van alles is te vinden, betekent niet dat alle achtergronden die hier worden gegeven voor iedere school in gelijke mate gelden. Bovendien is ‘school’ in dit opzicht te abstract. Het gaat om de mensen die er vorm aan geven. Omdat het bij de achtergronden om  religieuze, spirituele of godsdienstige inhoud gaat, ligt het voor de hand dat iedere individuele leerkracht daarmee een bepaalde verbinding heeft – van een oppervlakkige tot een diepe.
De achtergronden die hier worden gegeven, zijn dus meer bedoeld om de sfeer te schetsen waaruit de concrete vorm van een jaarfeest is voortgekomen.
Een artikel over Kerst, geschreven vanuit antroposofische gezichtspunten.
.

De plaats van Kerstmis in de gang van het jaar:

Als we op weg gaan naar het hoogtepunt van het winterseizoen, dat we met sneeuw en ijs, met vorst en heldere lucht tegemoet zien, gaat de aarde kort daarvoor door een merkwaardige sfeer van een melancholische stemming. Het in de zomer vol levenslust opgebouwde leven, dat de hemel en de sterrenhemel tegemoet werd gedragen, zinkt terug, valt weg.  De val van de bladeren, de grijze hemel, het late gloren van de dag en het snel weer avond worden, hebben een soms bedrukkende invloed op het gemoed van de mens. Het lijkt wel of de afstervende natuur de mens mee wil trekken in de afgrond van de jaarlijks terugkerende dood.
Is het echter eenmaal echt winter, dan verdwijnt dat treurige gevoel al snel. De merkwaardig nuchtere helderheid van een zonnige winterdag reinigt het innerlijk van de mens en de duisternis verdwijnt uit zijn gemoed en verheldert de zelfstandige denkende activiteit van de mens. De mens heeft zich tot een winterse denker omgevormd. De dood in de natuur is de tegenspeler van het menselijke zelfbewustzijn. Alle twee: de neergang buiten en het opstaan in het innerlijk zijn op een raadselachtige manier met elkaar verbonden. Als mens zijn we verbonden met de werkingen in de natuur, maar juist in de winter wordt dit gebonden zijn op een bepaalde manier vrij gemaakt: natuur en mens zijn gescheiden van elkaar, maar tegelijk is er ook sprake van een open zijn voor elkaar. Kunnen we hier iets verder in doordringen, in dat winterraadsel van het enerzijds verbonden zijn en het anderzijds tegenover elkaar staan?

De aarde heeft een kosmische voorgeschiedenis. Zij is het product van een tweevoudige scheiding en haar substantie het resultaat van een dubbele loutering. Want wanneer de aarde altijd met de zon verbonden zou zijn gebleven, dan had ze nooit aarde kunnen worden. In de kosmisch vlammende gloed van de zon had ze niet de rust en ook niet de gestalte-kracht kunnen vinden, die nodig was als grondslag voor het tot stof worden van de mens en de natuurrijken. Dan zou die gestalte-kracht in de zon zijn verbrand. Het was nodig dat de aarde zich bevrijdde van het vuurproces van de zon, dat in oude tijden het “sulfur-proces” werd genoemd. Wat er in het belang van de totale kosmos ontwikkeld moest worden, kon slechts in het trage tempo van de aardegeschiedenis rijp worden. Die rijping had behoefte aan de tragere tijdmaat van de aarde tegenover de kosmisch brandende snelheid van de zon.

Maar de aarde moest zich ook afscheiden van de maan. Was de aarde met de maan verbonden gebleven, dan had ze het aarde-worden niet kunnen bereiken. Met de verstarrende kou van de maan verenigd, zou er teveel verharding zijn opgetreden, alvorens het leven zich bewegend en plastisch had kunnen ontwikkelen. Wat er aan leven zou zijn ontstaan, zou direct verhout zijn, en de bloesem zou in de knop verdroogd zijn. Om niet te vervallen tot stilstand en de rust van de dood, moest de verstarrende, verhoutende kracht van de aarde losgemaakt worden. Door de afscheiding van de maan, werd het verstarrende losgelaten.

De aarde ontwikkelde het eigenaardige en moeilijk te beschrijven midden tussen verbranden en verhouten(verharden), een wonderlijke toestand tussen kosmische snelheid en dodelijke verstarring. In oude tijden werd deze toestand “mercurius-proces” genoemd. Het pendelen tussen zon en maan is een als maar doorgaand proces, een gebeuren, wat we terugzien in het RITME. De aarde is eigenlijk onzichtbaar; het is een bovenzinnelijk wezen. Alleen dat aan haar is echt aarde, wat door het loskomen van de zon en de maan, in de invloed is gekomen van het pendelende mercurius karakter.

Dit mercuriale ritme ligt ook ten grondslag aan het jaarverloop. In de zomer wordt de aarde door een “sulfur-tendens” gegrepen. In de zomer bestaat voor de aarde altijd het gevaar van de verbranding. In de winter werkt de verhoutings(verhardings)tendens van de maan en is er altijd weer het gevaar van de verstarring.

Maar de aarde is niet alleen in het tijdsverloop tussen zomer en winter een pendelende mercurius. Ook ruimtelijk is ze, als geheel, Mercurius. Wat we op een bepaalde plaats, bijvoorbeeld onze woonplaats, als seizoen-loop beleven, is op de hele aarde ruimtelijk tegenwoordig. Zomer en winter zijn tegelijkertijd aanwezig, doordat ze op het noordelijk en het zuidelijk halfrond tegenover elkaar staan. Dus de vier seizoenen zijn op de aarde als geheel voortdurend gelijktijdig aanwezig. Rondom de evenaar is het eigenlijk eeuwig zomer. Hier is het gevaar van verbranding het grootst. Bij de Noord-en Zuidpool is het eeuwig winter en daar is het gevaar van de verstarring het grootst. Het Mercurius-karakter van de aarde is dus duidelijk aanwezig.

De Mercurius-Aarde, de onzichtbaar actieve aarde werkt het intensiefst aan de oppervlakte van de aarde. In de grenslagen van atmosfeer, hydrosfeer en aardkorst wordt het mercurius-karakter heel duidelijk. In de lente stijgt iets elementairs, iets geestelijks op in de “luchtmantel” van de aarde en streeft met een zeker heimwee naar de sterren. En het licht van de sterren en van de zon komt (met haar kosmische kracht) de aarde nooit zo sterk tegemoet dan in de zomer. De uitwisseling tussen kosmos en aarde is dan op zijn hoogtepunt. Wanneer dan de aarde in de winter onder de invloed komt van de verstarrende krachten van de maan komt het mercuriale tot rust.

In de sneeuw zien we de mercuriale tendens tot bolvorming terug, die op elke ondergrond plastische rondingen vormt. Kijk je naar de aarde als geheel, dan verschijnt het als een druppel, als sfeer in het wereldal. De in de winter door de rusttendens van de maan aangegrepen Mercurius toont zich als kogelvormig, als bol. Terwijl in de zomer de processen van verbranden en verstarren elkaar doordringen, gaan ze in de winter uiteen. In de winter krijgen deze processen hun fysiognomische uitdrukking. Zou de zon in de zomer de waterige
mercurius-bol steil van boven treffen, dan zou die meteen verdampen. De zon zou, wat zich in de winter bolvormig tot ronding maakt, oplossen en er zou een vlak ontstaan. Maar dat gebeurt niet. In de winter is de zon machteloos geworden. De zwavel(sulfur)werkingen laten zich (net zoals Mercurius) fysiognomisch zien. Het zwavelproces van de winter bereikt de aarde-zoals de zomerzon in het gebied van de polen- tangentiaal, d.w.z als een raaklijn. We bewonderen in deze tijd graag de bijna vlak, plat, horizontaal invallende winterzon, die door onze kamer kan gaan en haar fysiognomische lichtkring op de tegenoverliggende wand schildert. Maar ook het verhoutings(verhardings)proces wordt fysiognomisch in de winter: de wereld van planten, bomen en struiken verschijnt met ontbladerde takken in de wereld. En de uitdrukking daarvan is verstarring en dood. Je kunt je moeilijk voorstellen dat daaruit zich nieuw leven kan ontwikkelen.

De hoop, dat de aarde weer vrij kan worden van de dood van de winter, is terecht, omdat we weten dat de zon langzaam maar zeker weer meer invloed krijgt. Na het hoogtepunt van de winter,  verandert de lichtinval en vanuit het horizontale groeit de vertikale lichtinval. Maar op welke grond komt de stijgende zon aan? Hoe kan de zon het in de winter verharde “maanleven” in een dragend “aardeleven” veranderen?

De kiemkracht van de winterlijke aarde-grond ontstaat uit de kracht van het zout. Terwijl de maanresten in de aarde leiden tot verharding en verhouting, vormt de aarde zelf het ZOUT.  In het zout gaat de verhardingstendens niet in de richting van het maanachtige verhouten, maar in de aardse kristalvorming. Zoutkristallen zijn de harde vorm van de aarde, verhouting en verharding hoort bij de maan. En de in het zout sluimerende kiemkracht laat zich zien in de mogelijkheid van het zout om op te lossen. Wil je hout verlossen uit de verharding, dan moet je het verbranden, waardoor het hout via de omweg van de as en de oplossing daarvan weer in de mercurius-kringloop wordt teruggebracht. Zout echter is aan de ene kant aarde-vast, maar ook bereid zich op te lossen in het mercuriale water en daardoor de aarde weer te verbinden met de kringloop van het leven. Dat noemde men in oude tijden het “zout-proces”. Hiervandaan komt het “huwelijk”tussen de zwavelige zuren en de maanachtige basen, tussen lichte zonnekracht en donkere maangrond. En in dit huwelijk komen alle twee de polen tot zoutvormende aarde-rust.

Toch zou de wassende zon uit de aarde geen nieuw leven kunnen wekken, als het nieuwe leven niet in de aarde zou sluimeren, als niet al levenskiemen in de aarde op de kosmische warmte zouden wachten. Maar hoe komen deze levenskiemen in de vaste en verstarde aarde-grond?

Alle wezens op aarde zijn op een of andere manier deel van het mercurius karakter van de aarde. Zo ook het leven en dan met name de plantenwereld. In het mercuriale midden van het blad neemt ze het verbrandingsproces van de zon op in de bloesems en de verhoutingskracht van de maan in de wortels. Maar waar het op aankomt is de mercuriale activiteit van het blad, die alles doordringt, zowel bloesem als wortel. Het is echt een heel goed maatje voor de aarde bij het vervullen van de Mercurius-missie. Net zoals de aarde, maakt ook het blad heel duidelijk zichtbaar de gang door de seizoenen. Als de plant in de zomer bloeit, nadert ze de zon en ontwikkelt haar “zwavel”-organen: bloesem en vrucht. Gaat ze samen met de aarde de winter in dan reduceert ze zichzelf tot het kiemende leven in wortel, hout en zaad tijdens de verstarring van de wintertijd. Het Mercuriuswezen is innig verbonden met de aarde. Dat zie je bijvoorbeeld terug in de opeenvolging van de seizoenen. Ze zijn innig met elkaar verbonden. Kijk je bijvoorbeeld naar eenjarige planten dan is het echt niet zo, dat ze alleen tot dit jaar behoren. Ze komen voort uit een kracht, uit een kiem van het voorafgaande jaar. Als de plant in de zomer tot bloei komt, leeft ze in het nu. De zon die schijnt, wekt de bloei, waarin de “zwavel”-brand begint. Maar het verloopt op een milde manier, die bij de aarde hoort. Want elke bloei(bloesem) is een gebeuren van verbranding, maar wel een gebeuren dat bij de aarde hoort. En zoals uit het minerale(aardse) vuur de imponderabilien van warmte en licht zonder vorm in de wereld bevrijd worden, terwijl minerale as op de bodem valt, zo bevrijden zich uit de levendige verbranding van de plantenwereld in het bloeien de elementengeesten in de wereld, om het wezen van de aarde mee te delen. Maar ook daar valt as op de bodem: de stof die vrij komt uit de bloesem en vooral het vrijkomende zaad. Novalis, die de onorganische verbranding van de plant begrijpelijk wilde maken zei:”Alle as is stuifmeel en de kelk is de hemel”. Met het zaad ontwikkelt de plant zijn eigen toekomst en ook de toekomst van de aarde. Zo staat de plant als bemiddelende Mercurius tussen de tijden: in haar zaad ligt de toekomst al opgesloten; wortel, uitloping en stengel stammen uit het voorbije jaar; in het blad komen het verleden en de toekomst bij elkaar. En de bloesem(bloei) is louter NU,  het vergankelijke ogenblik. Opdat de aarde in het nieuwe jaar toekomst heeft, liggen in haar de asresten van het planten-vuur als zaad en dat wacht op de stijgende zon, die wekkend zal optreden in een nieuwe levenscyclus.

Ook de mens is een Mercurius-wezen. In zijn hoofd is de winterse verhardingskracht en in zijn stofwisseling is oplossing en verbranding actief en deze twee uitersten worden door de ritmische (mercurius)organisatie in evenwicht gehouden. In de gezonde mens moet het nooit eenzijdig zomer of winter worden. Ontstaan zomer (of winter) toch, dan moet dat direct weer worden opgeheven. Voor de mens geldt: “De winteractiviteit roept de zomeractiviteit op, de zomeractiviteit de winteractiviteit.” Deze evenwichtstoestand wordt bewerkstelligd door Mercurius en daardoor is Mercurius zowel ruimtelijk als wat betreft de tijd in de mens aanwezig. Zijn pendelbewegingen zijn impliciet, intensief werkzaam; bij de gezonde mens komen ze nooit extensief te voorschijn. Zou de zomer met de verbrandingskracht geisoleerd in de mens actief worden, dan zou ziekte het gevolg zijn. Alle ontstekingen hebben te maken met eenzijdige zomer-zwavel activiteit. Sclerose-ziekten ontstaan door geisoleerde, ziekmakende winteractiviteit. De mens draagt dus de kosmische verhoudingen in zich. De maan als “maatje” van de aarde, die het zonlicht spiegelt, komt ons in onze hersenen microkosmisch tegemoet. Zonder die spiegelfunctie van de hersenen zouden we niet het voorwerp-aardebewustzijn hebben. We zouden dan niet de nuchtere, wereld spiegelende winterse denkers zijn. Maar de maan liet in oude tijden bij zijn uittreding uit de aarde het winterse maanleven achter in de aardkorst. Zo draagt ook de mens in het vrouwelijke organisme de maanachtige baringskrachten in zich. Maand na maand wachten ze op de bevruchting en daardoor de omvorming van maanachtig leven in kiemend aarde-leven. Elk mensenkind dat op aarde ontvangen wordt, daalt als bode van de zon in de “maangrond” van de moederlijke schoot.

Kerstmis, de geboorte van Jezus, voltrekt zich op het hoogtepunt van de aarde-winter. Kijk je terug op de jaarcycli die je in je leven mag doorlopen, dan lijkt het erop alsof elke lente de kracht heeft om de verstarring van de winter geheel en al op te lossen. Kijk je echter naar de geschiedenis van de aarde en de geschiedenis van de mensheid, die daar zo innig mee verbonden is, dan zien we dat de kracht van de winter steeds groter wordt. Het lijkt erop alsof de aarde haar jeugd achter zich gelaten heeft en binnen is getreden in de fase van de ouderdom. De aarde kan de mens niets meer geven van de eens zo levend aanwezige overschotskrachten. De winterse doodsstemming op de ons omgevende aarde-lichamen (de dingen) wordt als maar groter. Maar tegelijkertijd is de maanachtige spiegelkracht van het menselijk bewustzijn en de intellectuele helderheid toegenomen. Daardoor is het ziele-leven van de mens in de moderne tijd steeds meer in een maanachtig geesteslicht gekomen: kil en koud.  Maar ook dit bewustzijn wacht op de bevruchting. De maanachtige intelligentie is de voorwaarde voor de winterse overwinning van de zon in de geestwereld. Maar bevruchting is van node.

De aartsengel, die Maria de komst van de Zonne-held verkondigt, door wie de doof geworden maankwaliteit van de aarde voor de toekomst bevrucht moest worden, is ook een voorbereider en boodschapper van een “geest-bevruchting” van het menselijk bewustzijn. Gabriél (de aartsengel die zo sterk verbonden is met de maan), heeft zich door alle tijden heen verbonden met de erfelijkheid in het menselijk bestaan. Daarbij was de aartsengel actief in het barende maanleven.

Maar nu gaat het om het volgende (Wintersonnenwende in Wahrspruchworte)

DIE SONNE SCHAUE
UM MITTERNÄCHTIGE STUNDE.
MIT STEINEN BAUE
IM LEBLOSEN GRUNDE.

SO FINDE IM NIEDERGANG
UND IN DES TODES NACHT
DER SCHÖPFUNG NEUEN ANFANG
DES MORGENS JUNGE MACHT.

DIE HÖHEN LASS OFFENBAREN
DER GÖTTER EWIGES WORT;
DIE TIEFEN SOLLEN BEWAHREN
DEN FRIEDEVOLLEN HORT.

IM DUNKEL LEBEND
ERSCHAFFE EINE SONNE.
IM STOFFE WEBEND
ERKENNE GEISTESWONNE.

RUDOLF STEINER

Klaus Dumke, Die Drei, december 1991.
Vertaling Wim Maas.

Kerstmis: alle artikelen

Jaarfeesten: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: kerstmis

1155

.

 

 

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (34)

.

opspattend grindIn Trouws ‘De Verdieping’ stond onder
‘DE OPVOEDVRAAG’:

Wat merkt een baby van ouderlijke onmin?

Woorden hebben waar de baby bij is, blijft daar iets van hangen?

Ze heeft een goede relatie met haar vriend, maar er is natuurlijk weleens ruzie, schrijft een moeder. “We hebben niet bepaald een groot appartement, dus als we woorden hebben, kan onze dochter dat horen of zit ze er zelfs bij. Ze is net 6 maanden en lijkt er geen last van te hebben, maar is dat ook zo?

Dat er aan het meisje niets te merken is, zegt niet alles. Waar het ene kind huilt, kan het andere juist verstarren of zich heel stil houden in zo’n situatie, zegt Eva Potharst. Ze werkt als kinder- en jeugdpsycholoog bij UvA Minds en ontwikkelde bij dat academisch behandelcentrum een mindfulnesstraining voor ouders met baby’s. Een kind van zes maanden kan niet praten, ze onthoudt zo’n ruzie dus niet in woorden, zegt Potharst.  (   )

 

Als ouders schreeuwen of met deuren gooien, allicht dat het kleintje dat opmerkt. Maar ook een ruzie die met de ‘silent treatment’ wordt uitgevochten, kan een baby volgens Potharst aanvoelen. “Kinderen ontwikkelen zich voor een belangrijk deel door de interactie met hun ouders. Ze zijn erg gericht op sociale stimulansen, op het gezicht en de stem van vader en moeder.” Er zijn allerlei onderzoekstechnieken om stress of emoties bij baby’s te meten. Minutieus observeren, de pupilgrootte meten of speeksel testen op het stresshormoon cortisol. Potharst: “Al heel jong kunnen baby’s verschillende gezichtsuitdrukkingen onderscheiden, stemmen herkennen. Ze kunnen dus ook angstig worden van stemverheffing, of van een boos gezicht. Ook stress van ouders voelen ze aan. Mensen denken vaak: hoe jonger kinderen zijn, hoe minder ze doorhebben. Dat is echt een fabeltje. Sommige kinderen zijn al voor de geboorte getraumatiseerd, die komen schrikachtig ter wereld. Dus ook bij een baby’tje van drie weken zou ik elkaar niet de tent uit vechten.”

René Goedhart is relatie- en gezinstherapeut in Zwolle. Hij hoort ouders vaak zeggen, ‘O maar de kinderen waren er niet bij toen wij ruzie maakten’, of: ‘Ze lagen gelukkig te slapen’. Goedhart heeft gewerkt in de reguliere jeugdzorg, bij de reclassering en bij het Advies- en Meldpunt Kindermishandeling. Nu behandelt hij, in een instelling voor geestelijke gezondheidszorg, kinderen met een verslaving en psychische problemen. In twintig jaar heeft hij gezien wat ruzies, echtscheidingen en huiselijk geweld kunnen doen: kinderen raken gestresst, hebben geen vertrouwen in anderen, kunnen zich niet concentreren of ontwikkelen gedragsproblemen. Ook als ouders dachten dat hun kinderen er niet zo’n last van hadden.”

Trouw, 26-10-2016

RUDOLF STEINER
Wat er in zijn stoffelijke omgeving voorvalt, bootst het kind na en door de activiteit van het na­bootsen worden zijn fysieke organen in de vormen gesmeed, die dan als model behouden blijven. Je moet echter het woord ‘stoffelijke omgeving’ in de ruimste zin opvatten. Hiertoe behoort bijvoorbeeld niet alleen, wat zuiver stoffelijk om het kind heen voorvalt, maar ook alles, wat zich in zijn omgeving afspeelt en wat waargenomen kan worden door zijn zintuigen, wat van de stoffelijke ruimte uit op zijn geest kan inwerken. Daartoe behoren ook alle morele of immorele, alle verstandige en dwaze handelingen, die het kind voor ogen krijgt.
GA 34/324 en verder:

Wanneer de nabootsing van gezonde voorbeelden in een  atmosfeer van warme genegenheid mo­gelijk is, dan is het kind in zijn ware element.

Het mensenwezen doet datgene wat zijn omgeving doet. Bekijkt u het kind maar eens vol aandacht en u zult zien: het kind is een nabootsend wezen, het doet datgene wat de volwas­senen doen. In het leven van het kind is het van groot belang dat de mensen die in de omgeving van het kind leven alleen datgene doen wat het kind kan nabootsen; zelfs alleen dat­gene denken en voelen wat het kind kan nabootsen.
GA 296/18
Opvoeden en onderwijzen/blz. 27

In de levensfase van geboorte tot tandenwisseling is de mens helemaal een nabootsend wezen. Je moet je voorstellen dat de mens in deze eerste levensfase op een buitengwone intieme manier in relatie staat tot zijn omgeving. In zekere zin gaat alles wat mensen uiterlijk doen, ja zelfs wat mensen voelen en denken op een bepaalde manier voor een kind zo in zijn werk dat het kind nabootsend vertrouwd raakt met die processen in zijn omgeving.
GA 304/160
Niet vertaald

Op nog veel meer plaatsen spreekt rudolf Steiner over het belangrijke verschijnsel van hoe het kleine kind op zijn omgeving reageert.

HET KLEINE KIND IS EEN EN AL ZINTUIG!

DOOR DE NABOOTSING VINDT HET KIND ZIJN WEG NAAR DE WERELD

NABOOTSING

Rudolf Steiner: alle artikelen

Opspattend grind: alle artikelen

 

1154

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – 3e klas – het leven in het Oude Testament (44)

.

SYNAGOGE YAN KAPERNAUM

leven-o-t-201

1. De Synagoge van Kapernaum
zoals die was in de eerste eeuw

leven-o-t-202

2. Doorsnede en gezicht in deze Synagoge (naar Heinrich Kohl en Carl Watzinger, Antike Synagogen in Galilea).
Op een in zee vooruitstekende landberg liggen de oude ruïnes van de Synagoge van Kapernaüm: de benedenstukken van de muren staan nog overeind. Het was tot 1905 een ruïne; daarna hebben in de jaren tussen 1905 en 1921 onderzoekingen plaats gevonden; met grote toewijding is alles minitieus nagegaan; Franciscaner monniken, die met de wacht zijn belast, hebben getracht uit de voorhanden stukken het zó te groeperen, dat men een beeld van de Synagoge kreeg. En de geleerden Kohl en Watzinger hebben in hun boek over oude Synagogen in Galilea enkele tekeningen gegeven, die een reconstructie geven van de oude Synagoge in Kapernaüm. Het is, naar grote waarschijnlijkheid, de in Lukas 7 : 5 vermelde Synagoge, door de Romeinse centurio, de hoofdman over honderd, gebouwd. De Synagoge van Kapernaüm was gebouwd op een terras, iets hoger dan het oeverland: wie binnen wil treden, moet dus eerst dit terras beklimmen, dat 3.30 m. breed is; in het Westen (links) voert een trap van vier treden, in het Oosten een trap van dertien treden (rechts); dat verschil in treden is een gevolg van het feit, dat het terrein in Oostelijke richting daalt. De lengteas van het gebouw is Noord-Zuid; het voorfront is dus Zuid; de richting naar Jeruzalem, naar de Heilige stad, waarheen de Joden bij het gebed hun aangezicht wendden. Van het terras geven drie poorten toegang tot de eigenlijke Synagoge; de vierde deur rechts tot een hof, die aan de westzijde begrensd is door de muur van de Synagoge, aan de drie andere zijden door zuilenhallen. De Synagoges in Galilea hadden in de frontzijde drie deuren. In de hof was vermoedelijk een fontein, waarin men handen en voeten kon wassen.

Van binnen had de Synagoge aan drie zijden een zuilenhal; daarboven waren (wellicht) de plaatsen voor de vrouwen (ƒ). De stenen vloer in het midden (nu nog te zien) is dan de oude plaats van de Synagoge: daar is dus de plaats, waar de voeten van de Heiland  de bodem hebben betreden: hier heeft hij genezen de man wiens rechterhand dor was (Lukas 6 : 6). In deze synagoge heeft hij geleerd en hier heeft de Heiland de bezetene verlost van de onreinen geest (Markus 1 : 21—28). Hier heeft Christus gesproken van het Brood dat uit de hemel gedaald is: deze dingen zeide Hij in de synagoge, lerende te Kapernaüm (Joh. 6 : 59).

Vlak achter de frontzijde was een estrade (verhoogde plaats) met een lessenaar voor de lezing van de wet en met de kast of ark (bij c) voor de wetsrollen en de heilige boeken. Aan weerszijden daarvan staan twee kandelaars.

Links (bij g) is de hof; de lijn boven is een golvende lijn van het heuvellandschap.

Overzicht: het leven in het Oude Testament

3e klas: vertelstof

VRIJESCHOOL  in beeld: 3e klas Oude Testament

 

1153

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

 

 

 

 
dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

 

 

 

 

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-6-7

 

 

 

 

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

 

 

 

 

 

 

 

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

 

 

 

 

 

 

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

 

 

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

1152

.

VRIJESCHOOL – Bewegen

.

Vrijeschoolleerkracht Joep Eikenboom schrijft sinds enkele jaren op zijn blog

AUDREY MCALLEN’S ‘THE EXTRA LESSON’

zeer belangrijke artikelen over de ontwikkeling van kinderen waarbij de gezichtspunten van Audrey McAllen uitgangspunt zijn.

De artikelen van Joep vormen voor een belangrijk deel de menskundige en pedagogisch-didactische achtergronden van de onderwerpen die ik op deze blog heb weergegeven wat betreft BEWEGEN:

o.a.  lichaamsoriëntatie; hinkelen, bikkelen, touwtjespringen, vingerversjes,  pittenzakjes 

Het serieus werk maken van de gezichtspunten van Audrey McAllen betekent o.a. een dieper inzicht krijgen in de samenhang van beweging en ontwikkeling en de betekenis voor de wezensdelen van de mens: ether- astraallijf en Ik; en de betekenis ervan voor de ontwikkeling van met name de zgn. lichaamszintuigen.

Het resultaat van al deze gezichtspunten mondt uit in een lijst met activiteiten voor op school en thuis:

Vaardigheden voor op school en/of thuis

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

 

1151

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – lagere klassen – pittenzakjes en ballen

.
PITTENZAKJES EN BALLEN
Eén van de belangrijkste dingen die in de lagere klassen van een vrijeschool gebeuren, is de kinderen gelegenheid geven ‘in hun lichaam’ te komen.
Voor velen of sommigen wellicht een vreemde uitdrukking, maar wie de ontwikkeling van een kind vanaf de geboorte volgt, ziet dat het kind als groeiende persoonlijkheid steeds meer met zijn lichaam kan: dat wordt bedoeld.

De nog chaotische bewegingen die de baby met zijn ledematen maakt, worden naarmate het kind ouder wordt, steeds gerichter, ze worden steeds meer gestuurd.
Maar dat proces neemt een langere tijd in beslag wanneer je kijkt naar de steeds fijnere motoriek die vereist is om in het leven van alles te kunnen doen.

Juist in die eerste jaren van de basisschool staat het kind enorm open voor al de oefeningen die hem helpen te ‘incarneren’ – hem helpen heer en meester te worden over zijn eigen bewegingen.

Vele middelen staan ons daarbij ten dienste: lichaamsoriëntatie; hinkelen, bikkelen, touwtjespringen, vingerversjes, evenwichtsbalk, pittenzakjes en nog wel meer.

Vooral de pittenzakjes zijn bij de kinderen zeer gewild.

Wanneer je daarmee veel hebt geoefend en de kinderen behendiger zijn geworden in het opgooien en vangen, kun je ook met ballen werken.

Een gouden regel voor het opgooien is: je mag zo hoog gooien dat je het pittenzakje/de bal ook kunt vangen. (Zonder die beperking gaan sommige zakjes/ballen – vooral in de gymzaal – (veel) te hoog!

Hier volgen wat spelletjes met pittenzakjes, die later ook met ballen kunnen worden gedaan:

Wat de moeilijkheidsgraad betreft: de oefeningen zijn soms eenvoudig (voor klas 1) moeilijker (misschien bewaren voor klas 2). Moeilijk (pas in klas 3).
Uiteraard moet je dat zelf beoordelen: wat kunnen mijn kinderen en wat ga ik ze leren.

De bal die hiervoor het meest geschikt is, heeft een middellijn van 6 à 7 centimeter. De bal mag niet te hard, maar ook weer niet te zacht zijn en moet goed kunnen stuiten.
Tennisballen zijn iets kleiner, maar kunnen na verloop van tijd heel goed.

Je past de spelsuggesties natuurlijk aan aan wat het kind al kan: kan het nog niet met één hand vangen, dan eerst oefenen met twee handen:

Waar ‘bal’ staat, kun je eerst ‘pittenzakje’ lezen.

1. Gooi de bal met de rechterhand omhoog en vang hem met dezelfde hand.
2. Gooi de bal met de rechterhand omhoog en vang hem met de linker.
3. Gooi de bal met de linkerhand omhoog en vang hem met de linker weer op.
4. LINKS opgooien, RECHTS vangen, dan weer als 1, 2, 3 enz.

Deze handelingen herhalen, tot de bal hoogstens 30 cm omhoog gegooid wordt. We blijven op dezelfde plaats staan.

Kinderen die dat allemaal kunnen, mogen de bal hoger gooien. Ook het recht omhoog gooien is nog moeilijk en moet je oefenen.

Kunnen de kinderen hoger gooien, zodat ze even tijd hebben, vóór ze weer moeten vangen, dan kun je de bewegingen van 1, 2, 3 en 4 herhalen, met dit verschil, dat tussen opgooien en weer vangen éénmaal in de handen moet worden geklapt.

Dit wordt herhaald, tot alle handelingen als vanzelf gaan.

Dan oefenen we alles met twéé, en later zelfs met drie en vier handklapjes tussen opgooien en vangen!

Dezelfde oefeningen als onder 1, 2, 3 en 4. echter zonder handgeklap, maar nu slaan we de hand die de bal moet vangen plat op de knie, maar zo, dat het been niet gebogen mag worden. Alleen het bovenlichaam mag hier dus bewegen.

1. Bal rechts omhoog, klap op de rechterknie, vang op.
2. Bal rechts omhoog, klap met linkerhand op de linkerknie, links vangen.
3. Bal links omhoog, klap op linkerknie, links vangen.
4. Links omhoog, rechts klappen, rechts vangen.
5. Als 1.
6. Als 2, enzovoort.

Allerlei combinaties zijn mogelijk:

Nadat we de knie hebben ‘beklapt’, klappen we een keer in de handen, vóór we de bal vangen met de hand die hierboven is aangewezen. We krijgen dus dit:

1. Bal rechts omhoog, klap op rechterknie, klap in de handen, vangen met rechterhand, enz.

 

 

Wanneer alle oefeningen met de variaties voldoende beoefend zijn (dat wil zeggen, dat alles vlot achter elkaar gaat zonder erbij te denken), oefenen we alle worpen gehurkt.

Zelfs hoog opgooien en even gaan zitten en weer opstaan en vangen, behoort tot de mogelijkheden.

Naar elkaar gooien:
Hierbij is het belangrijk dat de kinderen ‘mooi’ naar elkaar gooien: dat is: niet hard en zo dat de ander het zakje kan vangen: dus het liefst met een boogje:

Twee rijen tegenover elkaar met in het begin een afstand van bijv. 1 meter. Zakje in de rechterhand: overgooien naar de hand van de overbuurman: dat is zijn linker. Overpakken naar de rechter en weer gooien.
Dat kan eerst met 1 zakje.
Wanneer dat lukt: ieder gooit zijn zakje naar de overkant; rechter hand gooit, linkerhand vangt. En omgekeerd.
Kruiselings gooien kan ook, maar dan kunnen de zakjes elkaar raken.
Dat is op zich ook een opdracht die nog best lastig is.
De afstand tussen elkaar kan groter worden: die mag alleen groter worden als er bij de afstand ook daadwerkelijk gevangen kan worden.

De kinderen staan in een lange rij.
Op een bepaalde afstand staat de opgooier ervoor.
Deze gaat, laten we zeggen, op 2m afstand van het eerste kind staan en gooit het zakje op.
Het eerste kind moet uit de rij komen en het zakje vangen.
Nu gooit deze het zakje omhoog en nummer 2 in de rij, rent om het zakje te vangen, enz. De kinderen die geweest zijn, kunnen een wachtrij vormen aan de overkant.
De afstand tussen de opgooier en het kind kan groter worden. De opgooier moet dan hoog en recht omhoog kunnen gooien.

Het zakje in de rechterhand en dat naar rechts achter je rechterbeen brengen en vandaar naar links en om het rechterbeen weer naar voren tussen het linker- en het rechterbeen, alwaar de linkerhand is aangekomen om het zakje over te pakken.
Deze hand gaat nu linksom achter het linkerbeen naar de rechterkant ervan en geeft het zakje tussen de benen door aan de rechterhand.
Op deze manier wordt een lemniscaat beschreven.
Van langzaam naar vlug, bijv.

Het zakje op het hoofd leggen en proberen zo ver mogelijk te ‘schrijden’ zonder dat het eraf valt. Je mag het niet met de handen aanraken: gevallen = opnieuw beginnen.
Van ‘schrijden’ naar lopen en van lopen naar rennen, zonder dat het van het hoofd valt.

Met het zakje op het hoofd proberen op je hurken en later zelfs op de grond te gaan zitten en weer te gaan staan.

Hinkelen met een zakje op je hoofd is ook moeilijk.

Zittend op je stoel en zakje een beetje naar voren gooien en proberen met je gesloten benen/voeten op te vangen.

Je zakje op je rechtervoet leggen, een beetje omhoog gooien en met je linker opvangen. Ook omgekeerd.

Staan, zakje in je rechterhand, arm opzij strekken, omhoog naar je hoofd bewegen en ‘ergens’ boven je hoofd naar je linker hand gooien die daar inmiddels ook ‘ergens’ is aangekomen. Eerst nog een beetje kijken, maar later niet meer en nog later: met ogen dicht.

Zakje voor op het hoofd. Hoofd naar voren buigen tot zakje valt: opvangen.

Zakje op het achterhoofd leggen. Hoofd nog verder achterover tot het zakje valt en dan opvangen achter je rug.

Het liefst speelden mijn klassen het tikkerspel met de zakjes dat van lieverlee in de klas(sen) de vorm aannam van:

Er is een tikker, die ook een zakje op het hoofd heeft. Hij bevindt zich aan de ene kant van de ruimte. De kinderen die ‘m’ niet zijn, staan aan de andere kant, eveneens het zakje op het hoofd. De tikker moet nu kinderen proberen te tikken. Lukt dat, dan zijn ze (even) af en moeten op de bank gaan zitten.
Als het zakje van je hoofd valt, ben je ook af. (Als je het stiekem aanraakt, ook)
Valt het zakje van het hoofd van de tikker, dan komt wie af was, weer terug in het veld.
Je kunt de tikker ook een bepaalde tijd laten tikken en dan tellen hoeveel kinderen hij getikt heeft. En dan kijken welke tikker het meest succes had.

Er is ongetwijfeld nog veel meer zinnigs en leuks te bedenken en inmiddels bedacht.
Ook de kinderen hebben vaak leuke vondsten!

Van het opruimen kun je ook nog iets maken: ik had een tenen mand met een doorsnede van ca 50,  60 cm. De kinderen gingen er met hun zakje in de hand in een ruime kring omheen staan om op 1,2, 3: hun zakje in de mand werpen.
Als het mis was, zakje weer pakken: maar let op, wanneer er veel kinderen naar voren rennen en bukken, kunnen ze lelijk met hun hoofdjes tegen elkaar komen, dus liet ik ze altijd in ‘zo min mogelijk stappen’ er naartoe lopen. (Die stappen worden dus groot en dan is er niet veel vaart).
In totaal 3 pogingen. Dan niet gelukt: zakje in de mand gooien vanaf de afstand waarop het wel lukt.

Hetvolgende kan alleen met ballen:

Oefeningen tegen een muur
1. Gooi de bal met beide handen tegen de muur en vang hem met beide handen op.
2. Gooi de bal met beide handen tegen de muur en vang hem met de rechterhand op.|
3. Gooi de bal met beide handen tegen de muur en vang hem met de linker op.
4. Gooi de bal met de rechterhand tegen de muur en vang hem weer op met de rechterhand.
5. Gooi de bal met de rechterhand tegen de muur en vang hem met de linkerhand op.
6. Gooi de bal met de linkerhand tegen de muur en vang hem weer met de linker op.
7. Gooi de bal met de linkerhand tegen de muur en vang hem met de rechter.

Herhaal dezelfde oefeningen tot alles vlot achter elkaar gaat, zonder dat de bal op de grond valt.

Een paar variaties:
1. Tussen het tegen de muur werpen en het weer opvangen van de bal, wordt één keer in de handen geklapt, om daarna hetzelfde te proberen met twee, drie en zelfs vier en vijf maal in de handen te klappen.
2. Na het gooien van de bal tegen de muur en het weer vangen, één keer met de vlakke handen op de knieën slaan. Denk erom: benen gestrekt houden!
3. Zelfde oefeningen gecombineerd, dus behalve dat we in de handen klappen, slaan we ook een keer op de knieën.
4. Zelfde oefeningen, maar dan gehurkt.
laten stuiten
Gooi de bal met de rechterhand tegen de muur, vang hem niet direct op, maar laat hem eerst op de grond komen. De bal springt dan weer omhoog, en eerst dan vang je hem met beide handen.

Kijk nu eens, hoeveel keer je dat achter elkaar kunt doen, zonder fouten te maken.

Probeer hetzelfde nu eens met je linkerhand op de rug.

Hoe vaak kun je dat?

Nu alles nóg een keer, maar dan links. Dus eerst links gooien, bal laten stuiten en met beide handen vangen, en daarna alles met de linkerhand. De rechterhand dus op je rug.

Zou je alles nu ook kunnen op één been?

Nu hetzelfde weer met handenklappen. Eén, twee, of meer keer klappen!

Nu klap je met je handen achter de rug!

Het wordt steeds moeilijker, maar ook spannender!

Til je rechterbeen op, en gooi de bal met je rechterhand onder je been door tegen de muur, zet je been weer neer, en vang de bal weer op, met beide handen.

Til je linkerbeen op, gooi met je linkerhand de bal onder dat been door tegen de muur, zet je been weer op de grond en vang de bal met allebei je handen.

Als je goed de bal onder je benen kunt doorgooien en weer vangen, probeer hem dan eerst te laten stuiten, voor je hem weer vangt.

Kom zo weinig mogelijk van de plaats!

Nu wéér hetzelfde proberen, en wéér met handenklappen, voor je de bal vangt.

Het wordt dus deze volgorde.

1. Rechterbeen optillen.
2. Rechterhand gooit de bal onder rechterbeen door tegen de muur.
3. Rechtervoet weer naast de linker.
4. Handen klappen.
5. Bal laten stuiten.
6. Bal met twee handen vangen.

Doe hetzelfde met je linkerhand, dus onder je linkerbeen door. Dan doen we alles weer rechts, dan weer links, en zo maar door!

Zou je het tien keer kunnen zonder fouten?

Ga met je rug naar de muur staan en gooi nu je bal over je hoofd met twee handen tegen de muur, draai je vlug om met je gezicht naar de muur en vang hem weer met beide handen. Gooi de bal met je rechterhand over je rechterschouder, draai om en vang!

Gooi de bal met je linkerhand over je linkerschouder, draai je om en vang!

Probeer nu hetzelfde, maar vang de bal nu met één hand inplaats van met beide handen.

Éérst links, dan rechts.

Ga eens op je linkerbeen staan en laat je rechter, van voor naar achter, heen en weer schommelen.

Pak nu je bal, gooi hem met je rechterhand tegen de muur en vang hem weer op met beide handen, terwijl je door blijft schommelen met je rechterbeen.

Maak de volgende oefeningen, maar blijf op je linkerbeen staan, terwijl je doorgaat met het voor- en achterwaarts schommelen met je rechterbeen.

1. Bal rechts gooien. Tegen de muur. Beide handen vangen.
2. Bal rechts gooien. Tegen de muur. Rechts vangen.
3. Bal rechts gooien. Tegen de muur. Links vangen.
4. Bal links gooien. Tegen de muur. Beide handen vangen.
5. Bal links gooien. Tegen de muur. Links vangen.
6. Bal links gooien. Tegen de muur. Rechts vangen.

Hetzelfde met handgeklap. Denk eraan, dat je been blijft doorschommelen.

Alles wordt nu herhaald, terwijl we op het rechterbeen staan en met de linkervoet van voor naar achter schommelen.

1. Hou de bal met je rechterhand vast en strek je arm recht langs je hoofd omhoog. Gooi de bal in horizontale richting tegen de muur, dus in rechte lijn, en vang hem weer met je rechterhand op.
2. Gooi de bal met de linkerhand in horizontale richting tegen de muur, terwijl je linkerarm gestrekt langs je hoofd is, en vang hem weer links op.
3. Nu hetzelfde met twee gestrekte armen, en met twee handen vangen.
4. Links werpen, rechts vangen.
5. Rechts werpen, links vangen.

Gooi de bal tegen de muur op de normale manier, dus nu hoef je je hand niet boven je hoofd te houden.

Je gooit de bal met je rechterhand, laat hem op de grond stuiten, maar nu ga je de bal niet opvangen, maar met je platte rechterhand terug tegen de muur slaan.

Je houdt je rechterhand met de palm naar boven als je slaat, net of je hand een koekepannetje is, of een slaghout.

Je slaat dus op die manier de bal weer tegen de muur en vangt hem met beide handen op.

De volgorde van deze worp is dus:

1. Rechts gooien.
2. Stuiten.
3. Met platte rechterhand terugslaan.
4. Zonder stuiten met beide handen opvangen. Hetzelfde doen we nu links.

Ga nu op ongeveer een halve meter afstand van de muur staan, gooi de bal rechts tegen de muur, vang de bal niet op, maar sla hem horizontaal met de vlakke hand tegen de muur terug.

Horizontaal wil zeggen, in rechte lijn. Je moet je rechterhand dus geopend een beetje voor je uit houden, op dezelfde hoogte waar de bal de muur raakt. Nu mag je de bal niet vangen, maar je moet hem weer terugslaan, tegen de muur.

Hoe vaak kun je de bal zonder vallen achter elkaar terugslaan?

Je zult merken, dat je het verschrikkelijk vlug moet doen.

Wanneer je het rechts goed kunt, ga je hetzelfde links proberen.

Als je het met je linkerhand net zo goed kunt als met je rechter, kun je het met beide handen gaan oefenen.

De volgorde wordt dan zó:

1. Gooi bal, met je rechterhand.
2. Muur.
3. Rechts terugslaan.
4. Muur.
5. Links terugslaan.
6. Muur.
7. Rechts terug, enzovoort.

Hoeveel pannenkoeken lust jij wel?
Het kind gaat met de bal bij de muur staan en gooit hem steeds weer tegen de muur, terwijl het na het opvangen hardop telt: EEN!

Dit gaat zo door, tot de bal valt.

Dit ‘telspelletje’ kan met een onbeperkt aantal kinderen gespeeld worden.

De kinderen beginnen tegelijkertijd en gooien in hetzelfde tempo.

Wie de meeste pannenkoeken lust, ergo: wie een en ander het langst volhoudt, heeft gewonnen. Het pannenkoekenspelletje kan met alle mogelijke variaties gespeeld worden. Met stuiten, met handgeklap, op één been, met omdraaien,met één hand, enzovoort, enzovoort.

Juffrouw Katrijntje
De bal wordt tegen de muur gegooid en vóór dat die weer wordt opgevangen, maakt het kind de bewegingen, die volgens het liedje door juffrouw Katrijntje worden gemaakt.

Juffrouw Katrijntje (gooien en vangen)

Zat achter ’t gordijntje (door de vingers kijken)

Wat deed ze daar?

(gooien en vangen)

Ze kamde haar haar (gebaar van haar kammen)

Ze poetste haar tandjes

(vingers langs de tanden heen en weer)

Ze waste haar handjes (handen wassen)

Ze droogde ze af

(afdrogen door ze langs de jurk te strijken)

Ze stak z’in d’r zij (handen in de zij)

En knielde erbij.

(knielen)

Karel I
Tussen opgooien en vangen worden de gebaren :emaakt.

Karel Eén
(gooi, vang)
Brak zijn been
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, been vooruit, vang)

Karel Twee
(gooi, vang)
Sprong over de zee
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, spring, vang)
TWEE!
(gooi, spring, vang)

Karel Drie
(gooi, vang)
Had een stijve knie
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, knie buigen, vang)
TWEE!
(gooi, knie buigen, vang)
DRIE!
(gooi, knie buigen, vang)

Karel vier
(gooi, vang)
Dronk vier glaasjes bier
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, hand aan de mond, vang)
TWEE!
(gooi, hand aan de mond, vang)
DRIE!
(gooi, hand aan de mond, vang)
VIER!
(gooi, hand aan de mond, vang)

Karei Vijf
(gooi, vang)
Sloeg zijn wijf
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, sla op de knie, vang)
TWEE!
(gooi, sla op de knie, vang)
DRIE!
(gooi, sla op de knie, vang)
Doorgaan tot en met VIJF.

Karei Zes
(gooi, vang)
Stampte de kurk op de fles
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, stamp op de grond, vang)
TWEE!
(gooi, stamp op de grond, vang)
Enz. tot en met ZES

Karei Zeven
(gooi, vang)
Stond te beven (gooi, vang)
EEN!
(gooi, bibberen, vang)
TWEE!
(gooi, bibberen, vang)
Enz. tot en met ZEVEN.

Karei Acht
(gooi, vang)
Stond op wacht
(gooi, vang)
EEN!
(gooi, salueren, vang)
TWEE!
(gooi, salueren, vang)
enz.

Karei Negen
Moest voeten vegen
(gebaar van voeten vegen)
tot en met NEGEN.

Karel Tien
Liet z’n jurkje zien
(jurkje vastpakken tussen gooien en vangen,
tien maal)

KareL Elf
Fietst naar Delft
(nu elf keer tussen gooien en vangen een trapbeweging maken met de rechtervoet)

KareL Twaalf
Luidt de klok
Op het oude kippenhok
(twaalf keer tussen gooien en vangen een been heen en weer laten schommelen)

Karei Dertien
Lag aan de ketting
(dertien maal gebaar met hand aan de hals)

KareL Veertien
Kroop in de kist
Zonder dat KareL Vijftien het wist
(vijftien maal tussen gooien en vangen op de hurken)

KareL Vijftien
At andijvie (eetgebaar)

KareL Zestien
Klapte tot besluit
Het hele liedje uit.
(zestien keer tussen gooien en vangen klappen)

Kaatsebal ik heb je al
Tussen gooien en vangen maken we de gebaren.

Kaatsebal
Ik heb je al
Gevangen
In de ene hand
In de andere hand
Met handjesgeklap
Met voetjesgestap
Van rommeldebom
En keer om.

Klapperdeklap
Het kind gaat voor de muur staan, gooit de bal en telt:
‘EEN!’
Voordat de bal wordt gevangen klapt het één keer in de handen.
Weer gooien. Tellen: ‘Twee’. Voor het vangen twéé keer in de handen klappen.
Gooien, tellen: ‘Drie’, en drie keer in de harden klappen.
Dan ‘VIER’, ‘VIJF’, enzovoort.

Als het spel met meer kinderen wordt gespeeld, heeft het kind dat het verste komt, gewonnen.

Aanvang
1. Aanvang!
(bal tegen de muur en vangen)
2. Dubbele stand!
(bal laten stuiten, op de grond, dan tegen de muur, en vangen)
3. Rechterbeen!
(bal onder rechterbeen door gooien, laten stuiten, tegen de muur, vangen)
4. Linkerbeen!
(bal onder linkerbeen doorgooien, stuit op de grond, tegen de muur, vangen)
5. Van voor naar achter!
(bal tussen de gespreide benen op de grond laten stuiten, tegen de muur, opvangen)
6. Van achter naar voren!
(met de rug naar de muur wordt de bal tussen de benen doorgegooid, stuit op de grond, springt tegen de muur, het kind draait zich weer vlug om met het gezicht naar de muur en vangt de bal met beide handen)

Ook op dit spelletje zijn vele variaties door de kinderen bedacht. Voor een outsider klinkt een gezegde als: ‘aanvang met zoentje’, of ‘aanvang met de viedel’ wonderlijk in de oren, maar het kind dat door een ander gevraagd wordt: ‘zullen we aanvang met zoentje?’, weet onmiddellijk, dat het hierboven beschreven spelletje wordt bedoeld, terwijl als voorwaarde voor het goed uitvoeren van het spel tusen het gooien en vangen een zoentje op de rug van de rechterhand gegeven moet worden.
‘Aanvang met viedeldans’ betekent, dat gedurende het spelletje op de plaats gehuppeld moet worden.
‘Aanvang met hurken’ en ‘aanvang met klappen’ is duidelijk!

Tweeling
De bal wordt met twee handen tegen de muur gegooid, met twee handen teruggeslagen tegen de muur en met twee handen weer opgevangen. Het liedje (of liever gezegd: dreuntje) dat gezongen wordt is:

Tweeling
Die ik ving
Tweeling
Ging naar de zee
Tweeling
Ik mocht mee
Tweeling
Tante Griet
Tweeling
Jij mag niet
Tweeling
Uit is ’t lied.

Rarara wie heeft die bal?
De meespelende kinderen gaan naast elkaar op een rijtje staan, terwijl het kind dat moet raden, op een afstand van ongeveer 10 passen met de rug naar de anderen moet gaan staan. Dit kind is dan de ‘rader’.
De rader gooit de bal over zijn hoofd naar de kinderen die achter hem staan. De bal wordt gevangen door een van de kinderen, die onmiddellijk weer een rij vormen.
Allen staan met de handen op de rug. Eén van hen heeft dus de bal achter zijn rug verborgen. Nu wordt gezongen:

Ra-ra-ra wie heeft die bal,
Die mooie bal van goud?

De rader draait zich dan om en moet zeggen, welk kind de bal achter de rug heeft.
Raadt hij goed, dan mag hij in de rij gaan staan, en het kind met de bal wordt op zijn beurt nu rader.
Raadt hij mis, dan wordt de bal hem weer toegegooid, en begint het spel van voren af aan, met dezelfde rader.

Lummel
Lummel is een zeer geliefd spelletje en wordt door drie kinderen gespeeld.
Twee kinderen gaan op een afstand van ongeveer 10 meter (tien flinke passen) van elkaar staan, en de derde – de lummel – staat in het midden.
De beide kinderen gooien elkaar de bal toe, en nu mag de lummel proberen, de bal te vangen. Lukt hem dat, dan is hij lummel-af, en moet degene die de bal het laatst geworpen heeft, in het midden gaan staan, en is op zijn beurt de lummel.

Trefbal
De kinderen worden in twee partijen verdeeld. Het aantal meespelers is onbeperkt, maar het leukst is het spel als we met een groepje van meer dan acht zijn.
De beide partijen voorzien zich van een kenteken. Dit kan gemakkelijk gedaan worden, door om de rechterarm van de ene partij een zakdoek te binden.
Door loting wordt uitgemaakt, welke partij het eerst begint.
De spelregels van trefbal zijn zeer eenvoudig: Het is niet toegestaan om met de bal te lopen. Zodra de bal in het bezit van een der spelers is, moet hij proberen iemand van de tegenpartij te raken. Lukt hem dat, dan is de getroffene af en moet aan de kant gaan staan.
Mist de bal zijn doel, dan komt de bal in het bezit van de tegenpartij.
Alle spelers mogen proberen de bal met de handen te vangen.
Het spel is uit, wanneer alle spelers uit het veld zijn, op één na.
De partij waartoe deze behoort, is de winnaar.

Tunnelballetje
Alle meespelers gaan in een kring op de grond zitten, met opgetrokken knieën, dicht tegen elkaar. Er is nu een cirkelvormige tunnel gevormd, waardoor een bal kan worden gerold. Een van de kinderen staat in het midden van de kring en moet proberen, de bal te pakken, terwijl de anderen de bal door de tunnel rollen. De vanger mag van zijn plaats komen.
Als de bal is aangeraakt, wordt dit ook als gevangen beschouwd, en een ander wordt als vanger aangewezen.

Fopbal
Alle spelers, op één na, staan in een kring of op een rij naast elkaar, met tussenruimten van ongeveer één meter.
In het midden van de kring, of op een afstand van ongeveer 5 meter van de rij, staat de ‘fopper’.
De fopper gooit de bal naar een van de anderen, die hem moet opvangen. Voordat hij de bal vangt, moet hij echter een keer in de handen klappen. Daarna gooit hij de bal naar de fopper terug.
Vergeet hij te klappen, dan is hij af en moet wachten tot het spel uit is, voor hij weer mag meedoen. Ook als hij de bal laat vallen, is hij af.
De fopper mag nu een schijnbeweging maken, dus net doen alsof hij de bal wil gooien naar een bepaald kind, maar in werkelijkheid gooit hij de bal naar een ander.
Als nu het kind, dat oorspronkelijk dacht de bal in zijn bezit te krijgen, in de handen klapt, is hij af, evenals de ander, die de bal onverwacht toegeworpen krijgt en vergeet in de handen te klappen!
Tenslotte is er nog één speler over, en die mag dan in het volgende spel de fopper zijn.

Komt-ie wel of komt-ie niet?
.Alle kinderen gaan naast elkaar op een rijtje staan, met een pas tussenruimte.
Een van de kinderen, die de bal heeft, gaat op tien passen afstand voor de rij staan, in ’t midden.
De kinderen in de rij staan met de handen op de rug, en roepen:
‘Komt-ie wel of komt-ie niet?’
Het kind met de bal roept nu een naam van een van de kinderen en maakt een beweging alsof hij de bal naar het kind dat hij geroepen heeft, wil gooien.
In werkelijkheid gooit hij naar een ander kind.
.Als het kind dat is geroepen, de handen van de rug haalt, is het af.
Het is natuurlijk ook mogelijk, dat het kind dat is geroepen, de bal werkelijk krijgt toegeworpen.
.Als iemand de bal laat vallen, is hij ook af.
Wie ’t laatst overblijft is winnaar en mag op zijn beurt gooien.

Stand in de wand
.Alle kinderen staan om het kind dat de bal heeft heen. Dit kind gooit de bal recht omhoog, en roept: ‘stand in de wand voor Karel!’.
Nu maken alle kinderen dat ze uit de buurt komen, behalve Karel, die de bal moet opvangen. Zodra Karel de bal in zijn bezit heeft, roept hij:
‘Stand in de wand!’ en niemand mag meer van zijn plaats komen.
Karel mag nu proberen een van de stilstaande kinderen met de bal te raken.
Dit kind mag niet van zijn plaats komen, maar mag wel, door bijvoorbeeld te bukken, proberen de bal te ontwijken.
Wordt het kind toch geraakt dan is hij af.
Karel gooit de bal nu opnieuw omhoog en roept een andere naam.
Als hij de ander niet heeft geraakt, wordt het kind, waarop hij heeft gemikt, balwerper.

Hoog en laag
Alle kinderen staan met de rug tegen de muur.
Een van hen staat vóór de rij en werpt de bal naar het eerste kind van de rij.
Terwijl het gooit roept het:
Hoe vind jij … en noemt dan de naam van een van de andere kinderen.
Zonder te spreken kan het kind, dat de bal heeft gevangen, zijn of haar mening over het betreffende kind kenbaar maken, door de manier waarop de bal wordt gegooid.
HEEL LIEF: De bal zo hoog mogelijk recht omhoog en weer opvangen.
SOMS LIEF SOMS STOUT: Bal met een boogje teruggooien.
GAAT NOG AL: Bal over de grond terugrollen.
STOUT: Bal teruggooien met stuiten.
Dan krijgt het volgende kind uit de rij de bal toegeworpen.

Namenradertje
Het aantal meespelers is onbeperkt. Een van de kinderen heeft een bal en gaat daarmee op een paar meter afstand tegenover een van de anderen staan.
Terwijl het de bal gooit naar de ander, roept het de eerste en laatste letter van een naam. Denkt het kind bijv. aan: Johan, dan roept het onder het gooien: ‘J’ en ‘N’.
Het andere kind, dat de bal heeft gevangen, moet nu raden welke naam de ander in gedachten nam.
Weet hij het niet onmiddellijk, dan mag hij een aantal vragen stellen en trachten op die manier de naam aan de weet te komen.
Bijv.: Is het een jongen of een meisje?
Ken ik hem goed?
Woont ze in de straat?
Kan hij de naam niet raden, dan roept hij:
‘Niet thuis’ en gooit de bal terug.
Raadt hij fout, dan moet de bal ook worden teruggegooid!
Als hij goed raadt, werpt hij de bal terug en mag weglopen, tot het eerste kind (dus het kind dat de bal eerst heeft gegooid en weer heeft opgevangen, nadat het had bevestigd dat de juiste naam was geraden) roept: ‘Hela sta stil.’
Op dat moment moet het kind dat wegloopt onmiddellijk stil staan (met het gezicht naar het kind met de bal) en van zijn armen een hoepeltje maken, door de handen te vouwen en de armen enigszins te buigen.
Nu mag het kind met de bal per lettergreep van de geraden naam één pas in de richting van het armenhoepeltje maken. In dit geval dus: JO (één pas) HAN (nog één pas). Nu moet de bal door het hoepeltje worden gegooid. Lukt dat, dan moet de ander de rol ovememen.

 

Zintuigen: o.a. evenwichtszin; bewegingszin

Spel: alle artikelen

 

1150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Opspattend grind (33)

 

 

opspattend grind

VOOR DE KLAS Rene Kneyber

Lesgeven zonder principes, dat is pas raar

 

 

Rene Kneyber is leerkracht en schrijft in Trouw. Hij werkt op een christelijke school, maar hij weet niet precies wat dat zou moeten betekenen. De laatste keer dat de denominatie van zijn school onderwerp van gesprek was, was zo’n twaalf jaar geleden, toen de toenmalige rector een studiedag had georganiseerd onder het motto: ‘Christendom, wat moeten we ermee?’

Hij vond het toen al een lastige kwestie: het leek hem niet dat de leerlingen, of hun ouders, plotseling zaten te wachten op een christelijke zending. Hij voert namelijk al jaren mentorgesprekjes met zijn leerlingen en dan vraagt hij ook waar ze in geloven. Nou, de meeste van de leerlingen geloven nergens in, of willen nergens in geloven.

Kneyber vindt van een van de ideeën van de vrijheid van onderwijs, dat je als ouders een school mag kiezen die pedagogisch aansluit bij je levensovertuiging, dat die nauwelijks bewust wordt gepraktiseerd. Ouders kiezen de school die het dichtste bij ligt, of waar de vriendjes naar toe gaan, of- als er dan wel wat denkwerk in is gaan zitten – voor de school die zo efficiënt en effectief mogelijk het beste resultaat weet te halen.

Hij zegt: ‘En er zijn genoeg scholen die daarom zonder schroom dwepen met hun examenresultaten: neoliberalisme als richting voor een school bestaat officieel nog niet, maar ongetwijfeld zijn er al heel wat van.

Kneyber vindt dat zorgelijk:

‘Waar we ons veel meer zorgen over moeten maken, is die grote meerderheid aan scholen die bezig is met presteren of‘’excellentie’ zonder daarbij een duidelijke, pedagogische opdracht te hebben’.

Mahatma Gandhi vond het in ieder geval een van de zeven dodelijke zondes: kennis zonder karakter.

De schrijver heeft wel een paar scholen met principes gevonden, maar………

Scholen die wel bewust vanuit een overtuiging werken, roepen altijd wat ongemakkelijke gevoelens op: reformatorische scholen bijvoorbeeld, waar de vrouwelijke docenten in rokken moeten rondlopen, de mannen de scepter zwaaien, en er flink uit de Bijbel wordt geciteerd.

Kneyber weet ook iets van de vrijescholen:

Of vrije scholen: met euritmie, natuurverheerlijking, en met een bloemenkrans op dansjes doen.

Hij besluit met:

Nee, lesgeven zonder principes. Dat is eigenlijk pas raar.

Trouw, 05-10-2016

 

Opspattend grind – alle artikelen

P.S. Mijnheer Kneyber,
mocht u iets zinnigs willen zeggen over de vrijeschoolpedagogie: op deze blog kunt u terecht.
Wat de ‘bloemenkransjes’ betreft: St.-Jan- alle artikelen
Wat de natuur’verheerlijking’ betreft: plantkunde: alle artikelen
dierkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.26 t/m 30

Over de cirkel en over de rechte lijnen

Bij de ‘bloem’ en in het cirkelveld in ’t algemeen kunnen we zien, dat een cirkel een andere cirkel in de regel in twee punten snijdt. Verder kunnen we zien dat steeds de rechte verbindingslijn van de middelpunten, ‘centrale lijn’ genoemd, loodrecht staat op de rechte verbindingslijnen van de snijpunten. De ene rechte lijn is steeds de middellijn van een groot, de andere die van een klein blad en deze staan – zoals we al weten – loodrecht op elkaar.

Op deze tekening staan twee elkaar snijdende cirkels met willekeurige stralen. De stralen die de snijpunten met de middelpunten verbinden, vormen een deltoïde, waarvan de diagonalen de centrale lijn en de rechte verbindingslijnen van de snijpunten zijn; deze staan zoals bekend loodrecht op elkaar:

meetkunde-strakosch-5-8

 

 

 

 

 

 

 
In de volgende tekening is de linker cirkel even groot als de rechter, die t.o.v. de  tekening hierboven kleiner is geworden; de lengte van de centralen, dat is de afstand van de middelpunten, is hier en bij de volgende tekeningen even groot. Omdat hier de rechter cirkel even groot is als de linker, is de deltoïde een ruit geworden. Belangrijk is dat de afstand van de snijpunten kleiner is geworden; de figuur is vlakker geworden. De som van de stralen is nog steeds groter dan de centrale lijn:

meetkunde-strakosch-5-9

 

 

 

 

 

 
In de tekening hieronder is de som precies gelijk aan de centrale lijn. De deltoïde waarvan het langere paar zijden en het kortere, na door de ruit te zijn gegaan, van plaats gewisseld zijn, is nu geheel plat geworden; de beide snijpunten liggen bovenop elkaar, zijn in een dubbelpunt samengekomen. Dit punt ligt zowel op de ene als op de andere cirkel en heet raakpunt (Duits heeft ‘äussere‘ ‘buitenraakpunt), omdat het middelpunt van de ene cirkel buiten dat van de andere ligt. De beide cirkels hebben alleen dit punt gemeenschappelijk.

meetkunde-strakosch-5-10

 

meetkunde-strakosch-5-8

In bovenstaande tekening kunnen we de snijpunten van beide cirkels naar links laten lopen waarbij de rechter cirkel groter wordt en we kunnen waarnemen hoe deze zich steeds meer van elkaar verwijderen. De afstand zal het grootst zijn, wanneer het bovenste (snijpunt) het hoogste, het onderste het laagste punt van de cirkel heeft bereikt. Hun verbindingslijn gaat door het middelpunt en staat loodrecht op de centrale lijn; de deltoïde die uit twee gelijkbenige driehoeken ssamengesteld schijnt te zijn, is in één gelijkbenige driehoek veranderd, daar de linker driehoek steeds vlakker en tenslotte een rechte is geworden. Zoals op onderstaande tekening:

meetkunde-strakosch-5-11

Laten we de snijpunten nog verder naar links opschuiven, komt het middelpunt van de cirkel rechts van haar verbindingslijn te liggen. In onderstaande tekening met streepjes getekend:

meetkunde-strakosch-5-12Er vormt zich een gelijkbenige driehoek, die echter naar rechts ingestulpt is.

Gaan de snijpunten nog verder naar links, dan wordt de straal van de rechter cirkel nog groter, dan vallen ze weer samen, maar nu op het uiterste linkerpunt van de cirkel, op de centrale lijn; de beide cirkels raken elkaar zo, dat de ene binnen de andere ligt.

Hieruit volgt dat de afstand van middelpunt en straal van de beide cirkels zich zo verhouden: een cirkel raakt de ander aan de buitenkant: hun middelpuntsafstand is gelijk aan de som van hun stralen.
Een cirkel raakt de ander aan de binnenkant: hun middelpuntafstand is gelijk aan het verschil van hun stralen.

Kijken we nu ook naar de verbindingslijn van de snijpunten. Die staat als een diagonaal van een deltoïde loodrecht op de anderre diagonaal, de centrale. – Op de rechte. waarvan de richting bepaald wordt door de snijpunten van de twee cirkels, begrenzen de twee snijpunten een vlak dat in relatie tot de cirkel een ‘koorde’ wordt genoemd. Is deze rechte een niet begrensde lijn die de cirkel snijdt. wordt deze secant snijlijn’ genoemd. 

De lengte van een koorde groeit naar mate deze het middelpunt nadert. Wanneer deze door dit punt heengaat, heeft ze de grootste mogelijke lengte bereikt.

De doorsnede geeft de grootste koorde weer.

Iedere koorde is ook de basis van een gelijkbenige driehoek waarvan de beide benen door twee stralen worden gevormd. (Een driehoek die we in het cirkelveld overal gezien hebben met de drie zijden gelijk, heet gelijkzijdige driehoek; zijn er maar twee gelijk, dan heten de gelijke zijden ‘benen’, de driehoek: gelijkbenig).

Op iedere koorde als basis kun je nog een tweede gelijkbenige driehoek construeren. Die twee kunnen als een deltoïde beschouwd worden, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar over en weer halveren. Daaruit volgt dat de op een basis van een gelijkbenige driehoek opgerichte loodlijn steeds door het er tegenoverliggende hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat; de loodlijn die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde valt, heet een ‘hoogtelijn’. Bij een onregelmatige driehoek gaat de hoogtelijn niet door het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

De tekeningen die hierboven zijn gebruikt vatten we nu samen in  1 tekening:

meetkunde-strakosch-6-1hier staan alle snijlijnen (secanten)  – als diagonalen van deltoïden loodrecht op de centrale lijn. De koorden, d.w.z. de stukken van de snijlijnen binnen de cirkel, werden steeds kleiner, naarmate de rechte lijnen zich verder van het middelpunt (van de linker cirkel) verwijderen. In de getoonde tekeningen trekken de koorden zich in 1 punt samen; de richting van de rechten blijft echter onveranderd loodrecht t.o.v. de centrale lijn; het kleiner worden van de lengte is geen aanleiding tot een verandering van de richting. De rechte lijnen 1 en 6 snijden de cirkel niet meer, ze raken deze slechts aan. Daarom heten ze raaklijn of tangent of tangens.
Als je er zo naar kijkt is het duidelijk dat een tangens altijd loodrecht zal staan op de door het raakpunt getrokken straal (radius). Dat dit altijd zo is, blijkt ook uit hetvolgende:
Zou je de raaklijn ook maar met een oneindig klein hoekje om het raakpunt draaien, dan zou deze meteen de cirkel op nog een tweede punt snijden. Al naar gelang van de draairichting zou dit op de ene of op de andere kant van het raakpunt liggen en de hoek t.o.v. de centrale lijn zou geen rechte meer zijn.

Als we weer naar het cirkelveld kijken, dan kunnen we in deze tekening inzien, dat het zonet gevonden feit ook hier zichtbaar is.:

meetkunde-strakosch-6-2hier is de middellijn van het grootste blad gepuncteerd getekend als verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels. Deze staat loodrecht op de straal door het raakpunt, omdat deze straal de middellijn is van het erbij behorende kleine blad. Door het punt dat het raakpunt moet zijn, loopt de middellijn van de volgende grote bladeren parallel aan de eerste middellijn, dus ook loodrecht op de straal. Deze voldoet dus aan de voorwaarden van een tangens, zoals hierboven geformuleerd. In het maken van deze tekening ligt dus de oplossing van de opgave:

In elk gegeven punt van een cirkel een raaklijn tekenen.

In de eerste tekening lopen de tangenten 1 en 6 parallel, hun snijpunt ligt in het oneindige. Vanuit een punt in het oneindige kunnen we dus twee raaklijnen op 1 cirkel trekken, meer kunnen het er niet zijn. Dit blijft ook zo, wanneer het punt niet in het oneindige vanaf de cirkel ligt. Dat is hier te zien:

meetkunde-strakosch-6-3De verbindingsrechte van de beide raakpunten gaat niet meer, zoals bij de eerste tekening door het middelpunt van de cirkel (hier is ze middellijn van een groot blad); de stralen naar de raakpunten vormen geen rechte lijn meer, ze vormen een hoek die kleiner wordt naar mate het punt buiten de cirkel naar de cirkel toe komt te liggen. Deze twee stralen vormen samen met het vlak dat de raaklijnen begrenzen tussen de punten van waaruit de raaklijnen beginnen en de snijpunten een deltoïde met de bijzondere eigenschap dat de ongelijke zijden een rechte hoek vormen en alle vier de hoekpunten op een cirkel liggen.

Nu moet echter eerst in deze tekening de algemene oplossing van de opgave getoond worden hoe vanuit een punt buiten de cirkel de twee raaklijnen aan deze cirkel te trekken:

meetkunde-strakosch-6-4De oplossing moet eruit bestaan dat wat net getoond is, een deltoïde in een cirkel te tekenen. Het middelpunt van deze cirkel ligt op het midden van een rechte lijn die het beginpunt van de beide raaklijnen met het middelpunt van die cirkel verbindt waaraan de raaklijnen moeten komen. De snijpunten van de beide cirkels zijn de gezochte raakpunten.

meetkunde-strakosch-7-1

Op bovenstaande tekening zien wij verschillende punten op de omtrek van een cirkel en iedere keer blijkt uit de verhouding van de hoek tussen die van een klein en een groot blad, dat deze hoek de beide verbindingslijnen naar de eindputen van de doorsnedelijn, de zogenaamde omtrekshoek, een rechte hoek is. Het zijn hier echter punten waarvan de plaats door het cirkelveld wordt bepaald en wij moeten ons afvragen of in het algemeen iedere hoek op de omtrek een rechte hoek is.

Hiertoe willen we twee verschillende gezichtspunten uitvoeren waarvan elk tot het gewenste doel kan leiden. Echter is het steeds een verrijking van de ervaring via twee verschillende wegen een doel te bereiken.

Met bovenstaande tekening kunnen we zeggen: Er zijn bepaalde punten op de cirkelomtrek die aan de vereiste voorwaarde voldoen dat hun verbindingslijnen naar het uiteinde van de middellijn een rechte hoek vormen. (Wanneer er voor een andere richting van de middellijn wordt gekozen, verandert de rechte hoek alleen van plaats. Laten we ons voorstellen dat deze hoek groter en kleiner wordt, dus vlakker of spitser dan 90º zou worden, dan zou het hoekpunt niet meer op de cirkel liggen, dat zou zich erbinnen of erbuiten bevinden. Deze kan derhalve alleen maar het hoogste punt van een rechte hoek zijn, wanneer deze op de cirkel zelf ligt. Daarmee is vastgesteld  dat het deel van de hele cirkelboog dat overblijft precies zo groot moet zijn als dat waartoe de rechte hoek behoort.
Op de andere helft van de cirkel ligt echter ook een punt met dezelfde eigenschappen, maar symmetrisch daarop. – Je moet erop letten dat er steeds sprake van is, dat deze hoek tegenover de middellijn ligt. Draaien we de middellijn een hoekpunt verder, dan gaat hij niet meer door het middelpunt en is dus geen middellijn meer. Het ene been van de hoek (die bij het draaipunt) behoudt zijn positie, de andere moet anders worden wanneer hij het andere zich bewegende snijpunt volgt. In welk van de beide mogelijke richtingen deze zich ook mogen bewegen, de hoek kan geen rechte meer zijn. We kunnen dus zeggen:

Alleen de hoek op de halve cirkelboog (namelijk boven een middellijn) is een rechte hoek, maar ook: iedere hoek op de halve cirkelboog is een rechte hoek.

Dit feit kunnen we ook nog op een andere manier aanschouwelijk maken. We nemen deze tekening nog een keer:

meetkunde-strakosch-5-7We kijken nog eens naar de benen van de gelijkbenige driehoek. Die zijn – de naam zegt het al – in iedere driehoek van gelijke lengte en kunnen daarom ook als stralen van een cirkel met het middelpunt in de tophoek van de driehoek beschouwd worden. Wanneer je deze cirkels nu trekt, dan gaan ze vanzelfsprekend allebei door de beide eindpunten van de basis die alle driehoeken gemeenschappelijk hebben, zoals hier is te zien:

meetkunde-strakosch-7-2Er ontstaan in in iedere cirkel twee gelijkbenige driehoeken met een gemeenschappelijke basis die samen in iedere cirkel een vierhoek vormen en wel een deltoïde. Iedere vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek, omdat iedere kant een cirkelkoorde is. De basis van de driehoeken, een diagonaal, zal over het algemeen een koorde vormen en zolang dat het geval is, zullen de hoeken van de top van de driehoek  de ene groter, de andere kleiner dan 90º zijn. Alleen wanneer de koorde de bijzondere positie van de middellijn aanneemt:

meetkunde-strakosch-7-3en daarmee tegelijk haar grootste lengte heeft, worden deze beide hoeken gelijk en ieder ligt op een halve cirkel, ieder wordt een rechte hoek, de koordenvierhoek wordt een vierkant.

We zouden nog steeds te maken hebben met een bijzonder geval wanneer in iedere vierhoek elke twee aangrenzende zijden gelijk waren, wanneer het uit twee paren van gelijke zijden zou bestaan die elkaar raken, dan was het dus een deltoïde.

Om het algemeen te maken, trekken we door het middelpunt van de basis in een willekeurige richting een rechte:

meetkunde-strakosch-7-4die zal iedere cirkel in twee punten snijden. Deze snijpunten en de hoekpunten van de basis vormen in iedere cirkel een koordenvierhoek met vier ongelijke zijden en even zovele verschillende hoeken. Volgen we de veranderingen van de hoeken die op de rechte liggen wanneer we van de grootste cirkel naar binnen gaan. Van de beide hoeken wordt de spitse steeds vlakker, de vlakke steeds spitser. Dan komt de cirkel waarin ze allebei even groot zijn, dan veranderen ze weer in omgekeerde verhouding en de cirkels worden steeds groter.
In die kleinste cirkel echter is de basis een middellijn. De bogen aan weerszijden zijn halve cirkels en de hoeken moeten recht zijn, want bij de minste positieverandering van de basis (door groter worden van de cirkel naar rechts of links) zouden de hoeken opnieuw – zoals beschreven is, ongelijk zijn. We mogen weer zeggen:
Iedere hoek op een halve cirkelboog is een rechte hoek.

 

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.