Tagarchief: gelijkbenige rechthoekige driehoek

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (5)

.

VOORBEREIDENDE MEETKUNDE

Gedurende de kinderleeftijd moeten rekenen en meetkunde zo gegeven worden, dat ze bij de leeftijd van het kind passen.
Rudolf Steiner heeft het over een levendigheid in het doen en laten van de mens die daaruit kan ontstaan.
De symmetrie is daarbij heel belangrijk.
De tekeningen die hieronder volgen zijn bedoeld als een kunstzinnig, geen intellectualistisch begin.
Van hier naar het bewijs van de stelling van Pythagoras in de 7e klas, is nog een lange weg. [1]  [2]

Deze bijdrage over de driehoeken is gedacht voor de 4e tot de 6e klas als waarnemende meetkunde.

Onder de vele verschillende driehoeksvormen bevinden er zich een paar die door hun symmetrie en hun ‘karakter’ bijzondere aandacht verdienen. Een nadere kennismaking met deze eenvoudige geometrische figuren is buitengewoon stimulerend.

Eerst noemen we de gelijkzijdige driehoek, het is de oerdriehoek. Behalve de drie zijden zijn ook de drie hoeken gelijk (60º).
De hoogtelijnen, bisectrices, middelloodlijnen en zwaartelijnen zijn allemaal even groot en gaan alle door één punt dat we ‘middenpunt’noemen. Die is tegelijkertijd zwaartepunt, middelpunt van de ingeschreven cirkel en van de omgeschreven cirkel. De lijnen zijn symmetrie-assen:

De halve gelijkzijdige driehoek is rechthoekig, heeft dus een hypotenusa en twee rechthoekszijden. Door het halveren is de symmetrie verloren gegaan. Het verschijnsel links – rechts treedt op. Naast de rechte hoek is de hoek van 30º ontstaan. We gebruiken deze driehoek van hout of kunststof om te tekenen. Er zijn twee soorten, met een linker en een rechter helft die je niet op elkaar kan leggen zonder ze om te draaien. Een halve gelijkzijdige driehoek is meer dan alleen maar een helft:

De gelijkbenige rechthoekige driehoek kan ook als een een half vierkant worden beschouwd. Die is eveneens rechthoekig, heeft echter twee even lange zijden; daardoor is die eveneens nog gelijkbenig. Er is een hoek van 45º, de driehoek heeft een symmetrie-as. Ook deze driehoek gebruiken we als tekendriehoek:
Tot slot moet het paar ‘gouden driehoeken‘ worden genoemd. Het gaat om de driehoeken waarvan de zijden in de verhouding van de ‘gulden snede’ staan. Omdat we een lange en een korte zijde hebben, kunnen we daarmee twee verschillende driehoeken maken: één met twee lange en een korte zijde en één met een lange en twee korte zijden:

 

De eerste noemen we de ‘scherpe gouden driehoek’ en de tweede de ‘stompe gouden driehoek’. Beide zijn gelijkbenig. Er ontstaan hoeken van 36º, 72º en 108º.

Nu moeten deze driehoeken zichzelf karakteriseren. Daartoe proberen we uit een van de driehoeken figuren te maken. Wat er zich aan mogelijkheden voordoet, is verbazingwekkend groot, hier kan er slechts een deel van worden weergegeven.

Uit zes gelijkzijdige driehoeken ontstaat een zeshoek:

Dit is de basisfiguur
We klappen de driehoeken een voor een naar buiten om en krijgen de zesster:

Klappen we ieder tweede punt weer naar binnen, dan ontstaat er een vergrote gelijkzijdige driehoek:

De randen zijn drie keer zo lang, het vlak is negen keer zo groot.
Wanneer we in de onderste rij de buitendriehoeken naar binnen en de binnendriehoek naar buiten omklappen, ontstaat er een grote ruit:

Hoe de zesster uit de basisfiguur door een gelijktijdig draaiende en verschuivende beweging van alle driehoeken ontstaat, wordt aan de vindingrijkheid van de lezer overgelaten.

De halve gelijkzijdige driehoek biedt ons meer mogelijkheden. Twee gelijke (linker of rechter) laten twee verschillende parallellogrammen of een rechthoek ontstaan:

Van verschillende kunnen we een stompe driehoek maken of een vliegerfiguur:

De derde mogelijkheid geeft de gelijkzijdige driehoek aan ons terug. Vier gelijke helften doen een vierkant ontstaan, waarin een tweede, kleinere, uitgespaard is:

We klappen de driehoeken naar buiten om en hebben dan weer een gelijke (niet in meetkundige zin!) figuur voor ons:

Uit drie paren ontstaat een grote gelijkzijdige driehoek:

Wanneer we alle driehoeken omklappen, hebben we een zeshoek voor ons waarin de oorspronkelijke driehoek uitgespaard is:

Zes gelijke driehoeken vormen twee zeshoeken in elkaar:

en twaalf gelijke driehoeken zowaar een twaalfhoek:

Een opdracht:
Uit zes gelijke driehoeken een zesster maken. Hierbij ontstaat een beweeglijke figuur die wat het middelpunt betreft symmetrisch is.

De gelijkbenige rechthoekige driehoek stelt een beetje teleur: die heeft niet zo’n grote vormenrijkdom te bieden. 2, 4, 8, 16, enz. laten zich tot een vierkant voegen. Maar ook achthoeken!:

De lezer moet zelf de twee verschillende achtsterren vinden waarin de afgebeelde achthoek veranderd kan worden.

Een vrolijke combinatie vertoont 18:

Nu wat betreft het ‘gouden driehoekspaar‘.
Door ze passend bij elkaar te zetten, herhalen ze zich zelf afwisselend in een steeds groter wordende vorm. In afb. 19 is met de scherpe driehoek links begonnen, daarbij een stompe geeft een vergrote stompe. De middelste, schuin op de punt staande scherpe driehoek daarbij, leidt tot een grotere scherpe, die net zo staat als de begindriehoek. Nog een stompe en een scherpe erbij en we krijgen die in afb. 19 getoonde grote stomphoekige driehoek. Daarmee kun je willekeurig verder gaan:

Hoe zou de afbeelding afgemaakt moeten worden om de eerst volgende grotere rechthoekige gouden driehoek te maken?

Een scherpe en twee stompe vormen een vijfhoek:

Van vijf scherpe driehoeken kunnen we het pentagram leggen:

Maar ook vijf stompe driehoeken laten dit rijke teken verschijnen, dit keer als binnenvorm:

Klappen we alle driehoeken naar buiten om, zien we twee vijfhoeken:

Dat betekent niet dat de scherpe driehoek op zich geen vijfhoek zou kunnen doen ontstaan:

Kenners zullen de positie van de driehoeken in afb. 25 in de voorstelling zo metamorfoseren dat enerzijds de vijfhoek van afb. 24 en anderzijds het pentagram van afb. 21 ontstaat:

De mooie ‘tienhoekkrans’ van tien stomphoekige driehoeken is het slot van deze ‘tentoonstelling’.

Natuurlijk kunnen tien scherpe driehoeken ook een tienhoek vormen en ook een tienster.

Als we het samenvatten:
De gelijkzijdige driehoek doet de zeshoek en de zesster ontstaan; ze is verwant met de getallen 3 en 6. Je kan er vierhoeken mee maken, maar geen vierkant; ook geen rechthoek.
Links en rechts van de halve gelijkzijdige driehoek zorgt voor beweeglijkheid. Door de rechte hoek kunnen ook de rechthoek en het vierkant ontstaan. De relatie met de getallen 3 en 6 blijft natuurlijk bestaan, nieuw is de twaalfhoek. We vinden dus verwantschap met de getallen 3, 4, 6 en 12.
De verwantschap van de gelijkbenige rechthoekige driehoek met de getallen 4 en 8 is duidelijk.
De ‘gouden driehoeken‘ verrassen ons door het ontstaan van het pentagram. Er is verwantschap met de getallen 5 en 10.

Waar haal je nu die driehoeken? Je kan ze van karton maken, bijv. Om ze voor de klas te kunnen laten zien, kan je ze met gekleurd karton en klittenband op het bord ‘plakken’.
.

Walter Kraul, Erziehungskunst jrg. 34 -04-1970
.

[1] Die wordt soms ook in klas 6 behandeld.

[2] Onder meetkunde alle artikelen vind je de reeks 2-3/1  t/m 2-3/4 als mogelijke weg naar dit doel.
.

De schrijver van het artikel heeft uit gekleurd hout een ‘vierhoek-vijfhoek- en zeshoeklegspel’ uitgebracht. De verschillende afmetingen van gelijkvormige driehoeken in de legspellen geven nog meer vormenrijkdom dan de hier getoonde voorbeelden.
Bij de genoemde uitgeverij zijn ze op dit ogenblik (02-01-2018) niet voorradig.
.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

.

1401

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

 

 

 

 
dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

 

 

 

 

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-6-7

 

 

 

 

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

 

 

 

 

 

 

 

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

 

 

 

 

 

 

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

 

 

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

1152

.