Tagarchief: middelloodlijn

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-8)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 30 t/m 33

Over de driehoek

Met minder dan drie rechte lijnen is het niet mogelijk een gesloten figuur te maken. Daarom is de driehoek de eenvoudigste figuur. Maar wanneer je deze nader bekijkt, blijkt dat ze tegelijkertijd m.b.t. haar eigenschappen en haar relaties tot het hele vlak, het meest uitgebreid is.

Kijken we nog eens naar dit regelmatige cirkelveld:

meetkunde-49

 

 

 

 
dan zien we eerst alleen maar cirkels.Doordat deze er zijn, zijn er ook overal driehoeken:

meetkunde-strakosch-6-5

 

 

 

 

Op het eerste gezicht zie je zulke driehoeken die de rechte lijnen als zijde hebben die je vanuit een punt van een ‘klein blad’ naar de andere kan trekken. Daar sluit zo’n lijn in dezelfde richting aan bij een volgende en heel het vlak vertoont zich als overdekt met drie paar parallel getrokken lijnen die met elkaar allemaal hoeken van 60º vormen. Voor de lengte van een zijde kun je een veelvoud van ‘kleine blaadjes’ nemen, ook van ‘grote’, steeds krijg je driehoeken met gelijke hoeken, gelijke zijden, de een aan de ander. Zo kun je met gelijkzijdige driehoeken heel het vlak opvullen, zonder dat er ruimte overblijft.
Verrassend is het echter, wanneer je merkt, dat dit ook voor gelijkbenige driehoeken geldt, zelfs voor heel onregelmatige.
In het eerste geval staat het veld loodrecht t.o.v. van de basislijn van de gelijkbenige driehoeken die in de lengte getekend zijn.
Vergelijk deze tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-6

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-6-7

 

 

 

 

Bij deze laatste is het veld in de lengte getrokken en bovendien schuin vervormd, maar nog steeds bedekken de niet-gelijkzijdige-niet gelijkbenige driehoeken samenhangend het hele vlak.

Kijken we naar een gelijkzijdige driehoek in een cirkelveld op de volgende 3 tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en trekken de hoogtelijnen (dat zijn zoals bekend de loodlijnen die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde neergelaten worden), dan zien we:

1.De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in een punt, waarbij ieder de beide andere in de verhouding 1 : 2 deelt, een deel is dus  1/3 , het andere   2/van de hoogte.
In deze tekening bij de ‘kleine blaadjes’ te zien:

meetkunde-strakosch-6-8

 

 

 

 

 

 

 

2.De op het midden van iedere zijde opgerichte loodlijnen: middelloodlijnen snijden zich in 1 punt. Omdat ze ook door het er tegenoverstaande hoekpunt gaan, vallen ze samen met de hoogtelijnen en er vindt dezelfde verdeling plaats. Het snijpunt is overal even ver van de hoekpunten verwijderd, dus middelpunt van de omgeschreven cirkel. Ieder punt van een middelloodlijn is van de eindpunten van de zijde die erbij hoort, even ver verwijderd, omdat hij als top van een gelijkbenige driehoek gezien kan worden:
meetkunde-strakosch-8-2

 

 

 

 

 

 

3.De rechte lijnen die het  midden  van een zijde met het daar tegenover liggende hoekpunt verbinden, hebben de eigenschap dat zij elke parallel aan deze getrokken rechte lijn halveren. Ze heten zwaartelijn.

4. Je kan ook nog rechte lijnen trekken die iedere hoek doormidden delen. Ook deze snijden elkaar in een punt en hebben dezelfde verdelingsverhouding als de andere lijnen. Hun snijpunt ligt even ver van de lijnen af, dus is dat het middenpunt van de ingeschreven cirkel.*

*Je vindt de raakpunten als je vanaf het middenpunt op iedere zijde een loodlijn neerlaat. – De tekeningen:

meetkunde-strakosch-6-8meetkunde-strakosch-6-9

meetkunde-strakosch-6-10

 

 

 

 

 

laten steeds een gelijkzijdige driehoek zien, maar in verhouding tot het cirkelveld met verschillende zijdegrootte: 2 grote bladeren, 4 kleine en 3 kleine blaadjes.

.

Daaruit kan geconcludeerd worden:
In een gelijkzijdige driehoek vallen
1. de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3. de zwaartelijnen,
4. de hoekdeellijnen samen en snijden elkaar in een  punt, waarbij ze zich t.o.v. elkaar verhouden als 1/3  : 2/kortweg in de verhouding  2/3.

5. In deze tekening:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

 

 

|

staat een gelijkzijdige driehoek met de omgeschreven cirkel en de cirkel die door het midden van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de voetpunten van de middelloodlijn gaat. (Ook al vallen hier deze punten alle drie op een en dezelfde zijde, dan is het toch nuttig, dit feit te weten. Deze laatste cirkel heeft bij de gelijkzijdige driehoek ook de eigenschap, elk van de drie zijden in een punt, het middelpunt te raken. Het is een zgn. ingeschreven cirkel. Deze cirkel: zie volgende tekening:

meetkunde-strakosch-6-8
gaat ook door de halveringspunten van het deel van de hoogtelijn (nl. vanaf het middelpunt van de ingeschreven cirkel) die naar een hoek loopt. De verbindingslijnen van deze punten vormen een gelijkzijdige driehoek, die van de middelpunten van de zijden een tweede, beide driehoeken samen een hexagram.

De straal van de ingeschreven cirkel is een derde van de hoogtelijn. Wanneer je de lijn die de zijde doormidden deelt  60º draait in de richtinhg van de pijl:

meetkunde-strakosch-6-11

 

 

 

 

om het gemeenschappelijke middelpunt van de beide cirkels, dat echter tegelijkertijd het doorsneepunt van alle drie de lijnen die de zijde delen is, dan valt deze op de richting van de volgende deellijn.
Omdat de straal van de omgeschreven cirkel dubbel zo groot is als die van de ingeschreven cirkel en omdat het deelpunt van iedere zwaartelijn op de binnencirkel ligt, is bij de gelijkzijdige driehoek ieder punt van de binnencirkel vanaf het middenpunt net zo verwijderd als vanaf de buitencirkel. Dat zie je bijv. aan de dubbel getrokken lijn.
Dit feit kan ook zo worden verwoord:
Wanneer je de zwaartelijnen verlengt tot ze de omtrek snijden, dan is de afstand tussen deze punten en het gemeenschappelijke snijpunt van alle drie deze lijnen dubbel zo groot als de afstand van dit gemeenschappelijke snijpunt vanaf ieder punt waarin de zwaartelijn de binnencirkel snijdt.

Dat mag vanzelfsprekend lijken, er wordt toch op iets gewezen waarvan de betekenis later zal blijken.

Er liggen dus in een gelijkzijdige driehoek twaalf punten op de omgeschreven cirkel waarvan het middelpunt tegelijkertijd het middelpunt is van een ingeschreven cirkel:
1.de middelpunten van de zijden die steeds gelijk zijn aan de voetpunten van de middelloodlijnen;
2.de voetpunten van de hoogtelijnen;
3.de middelpunten van het bovenste gedeelte van de hoogtelijnen;
4.de punten waar dezwaartelijnen doorheen gaan naar de cirkel.

Omdat bij een gelijkzijdige driehoek de hoogtelijnen de zijden doormidden delen, vallen op iedere zijde deze twee punten samen, vormen een dubbelpunt. net zo vallen de net genoemde punten waardoorheen de zwaartelijnen naar de cirkel gaan, samen met de halveringspunten van de grotere stukken van de hoogtelijnen, omdat de hoogtelijnen tegelijkertijd zwaartelijnen zijn  Er zijn dus weer drie dubbelpunten, in totaal dus twaalf punten. 

*

Hoe liggen de verhoudingen bij de gelijkbenige driehoek met deze karakteristieken of bijzondere punten en de cirkel met de twaalf punten.

Teken je in een en dezelfde gelijkbenige driehoek:
1.de hoogtelijnen,
2. de middelloodlijnen,
3.de zwaartelijnen
4.de hoekdeellijnen

dan kun je vaststellen, dat de drie rechte lijnen van iedere groep zich in 1 punt snijden, maar de snijpunten vallen niet meer samen, ze liggen naast elkaar, echter allemaal op de hoogtelijn naar de basis:

meetkunde-strakosch-8-1meetkunde-strakosch-8-2meetkunde-strakosch-8-3meetkunde-strakosch-8-4

.

De cirkel met de twaalf punten heeft het middelpunt op de hoogtelijn. Van binnenuit raakt deze echter de zijden van de driehoek niet meer, maar snijdt deze op de middens en in de voetpunten van de hoogtelijnen. Alleen de basis raakt hij van binnenuit:

meetkunde-strakosch-8-7

.

dus dit punt is wèl een dubbelpunt. Ook hier deelt het snijpunt van de zwaartelijn deze in de verhouding 2/3. 

De zojuist uitgetekende relatie kan zo worden uitgesproken: de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen van hun snijpunten naar de cirkel met de twaalf punten is half zo groot als de afstand van het snijpunt van de zwaartelijnen naar de cirkelomtrek.

Het onderste punt van de cirkel met de twaalf punten moet hier dubbel tellen
1.als middelpunt van de zijde (en tegelijkertijd als voetpunt van een middelloodlijn).
2.als voetpunt van een hoogtelijn.

Het bovenste punt van de cirkel moet ook dubbel tellen:
1.als middelpunt van het bovendeel van de hoogtelijn,
2.als doorsnijdingspunt van een zwaartelijn door de cirkel die de middens van de zijden verbindt.
De overige acht punten liggen gescheiden, ieder op vier stralen die uit iedere onderste hoek komen.

Het middelpunt van de cirkel met de twaalf punten ligt op de hoogtelijn die bij de basis hoort en wel zo in het midden tussen de snijpunten van de drie hoogtelijnen en die van de drie middelloodlijnen.

Hoe is de verhouding nu tussen de beide driehoeken waaruit in deze tekening het hexagram gevormd kon worden?

meetkunde-strakosch-6-8

De hoeken van die driehoek die dezelfde positie heeft als de hoofddriehoek (tophoek naar boven) liggen op de halveringspunten van het bovenste deel van de hoogtelijn, de hoeken van de andere die op zijn tophoek staat, liggen op de halveringspunten van de driehoekszijden. De zijden van beide driehoeken zijn parallel aan een van de driehoekszijden.

De zwaartelijnen van de hoofddriehoek zijn tegelijkertijd de zwaartelijnen van een van de beide ingeschreven driehoeken en wel deze, die de tegenovergestelde positie heeft als de hoofddriehoek: dat was voor de gelijkzijdige driehoek vanzelfsprekend, maar het is toch belangrijk erop te wijzen dat deze verhouding blijft bestaan.

Dan zijn er nog de vragen:
1.Bij de gelijkzijdige driehoek zijn alle snijpunten van de speciale rechte lijnen samengevallen, bij de gelijkbenige driehoek is dit niet meer het geval. Is er nog een samenhang?
2.Bij de gelijkzijdige driehoek is de verhouding van de verdeling van deze lijnen  1/3  : 2/3.
Gaat deze verhouding helemaal verloren?

Deze tekening:

meetkunde-strakosch-8-7

laat zien dat alle drie de snijpunten op de hoogtelijn naar de basis liggen: het bovenste is van de middelloodlijnen (tegelijkertijd middelpunt van de cirkel), dan dat van de zwaartelijnen en ten slotte het snijpunt van de hoogtelijnen. De afstand van de beide laatstgenoemde punten tussen elkaar is precies dubbel zo groot, als de afstnad van de beide eerste. De verhouding  2/3. tot  1/komt hier dus op deze manier tevoorschijn.

Een bijzonder geval is een gelijkbenige driehoek, waarvan de benen een rechte hoek vormen. De tophoek is dan tegelijkertijd het snijpunt van de drie hoogtelijnen waarvan er zelfs twee samenvallen met de benen. Om de verhouding van de twaalf punten helder te krijgen, is het aan te bevelen, als vooroefening een gelijkbenige driehoek te bekijken, waarvan de overstaande hoek een beetje kleiner is dan een rechte hoek en dan pas de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Op deze manier kun je goed volgen welke punten op elkaar vallen.
Het uitvoeren hiervan wordt aan de oefenende lezer overgelaten.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

1152

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.22 t/m 26

Over de geometrische basisfiguren
Deze zijn: cirkel, gelijkzijdige driehoek, vierkant en de regelmatige vierhoeken. Zoals we hier oefenend waarnemen, kunnen de regelmatige figuren niet alleen maar als ‘speciale gevallen’ worden gezien. In het verdere verloop zal blijken dat zij het juist zijn waaraan je de wetten het eenvoudigst en duidelijkst kunt aflezen die – in erbij behorende afwijkende vormen – dan overal gevonden kunnen worden.

Van tevoren – als een vorm van vervolmaking van het handwerk – zal steeds sprake zijn van een eenvoudige, steeds terugkerende constructie. Het gebruiken van de rechte hoek is daarbij nuttig, waarbij twee basisvragen beantwoord moeten worden.

1.Op een bepaalde plaats op een rechte lijn een loodrechte lijn oprichten:

meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 

 

Vanuit het gegeven punt als middelpunt teken je het bovenste deel van de ‘bloem’. Aan weerszijden van dit punt ontstaan twee kleine blaadjes, loodrecht daarop een groot blad, waarvan de middellijn de gezochte loodlijn is.

Op de volgende tekening zie je, dat je uit het gegeven punt als middelpunt een cirkel kunt trekken met een willekeurige straal die wel groot genoeg moet zijn, zodat op de rechte lijn twee snijpunten ontstaan. De doorsnede van deze cirkel neem je dan tussen de passer en vanuit de twee snijpunten trek je twee cirkels. Deze vormen weer een een ‘groot’ blad, de eerste cirkel kan als ‘klein’ blad gezien worden:
meetkunde-strakosch-5-2

 

 

 

 

Als je goed kijkt, zie je dat het erop aankomt dat een of ander punt van de gezochte rechte lijn vanuit twee punten op de gegeven lijn dezelfde afstand heeft, die dus zelf vanaf het gegeven punt even ver verwijderd zijn.

2.Vanuit een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodlijn neerlaten, d.w.z. een lijn trekken die door dat punt gaat en loodrecht op de rechte lijn staat.
Met een  willekeurige  straal maak je een cirkel vanuit dit punt; deze cirkel zal de rechte lijn op twee plaatsen snijden die even ver van het gegeven punt verwijderd zijn:
meetkunde-strakosch-5-3

 

 

 

 

De afstand van die punten tot het gegeven punt is de straal van die cirkel. Vanuit die punten trek je nog twee cirkels. Die gaan door het gegeven punt en je vindt de loodlijn als je de middellijn van het ‘blad’ trekt dat ontstaan is. De stralen van deze cirkels zijn op de tekening even groot als die van de eerste cirkel, maar ze mogen ook anders zijn, als ze maar even groot zijn. De middellijn van het ontstane blad zal steeds door het gegeven punt gaan en loodrecht op de rechte lijn staan.

3.Een vierkant tekenen waarvan de diagonalen zijn gegeven.
meetkunde-strakosch-5-4

 

 

 

De dubbelgetrokken horizontale lijn is de gegeven diagonaal waarvan de eindpunten twee hoekpunten van het vierkant vormen. Vanuit deze als middelpunten trekt je twee cirkels met de gegeven diagonaal als straal. De middellijn van het ontstane grote blad deelt de diagonaal middendoor en staat er loodrecht op. Vormt daarmee de tweede diagonaal. Met het punt van de twee zich snijdende diagonalen als middelpunt en de halve diagonaal als straal, trek je een cirkel die de vertikale diagonaal op twee plaatsen snijdt. Dat zijn de twee andere punten van het vierkant.

4.Een gegeven hoek doormidden delen, d.w.z. een rechte lijn trekken die met de beide benen een even grote hoek vormt.
meetkunde-strakosch-5-5

 

 

 

 

Dit is in deze tekening met cirkels uitgewerkt. Links wordt een hoek van 60º in twee delen van 30º gedeeld; rechts een hoek van 2  x  60º  = 120º  in twee delen van ieder 60º . – In de tekening is het proces goed te zien: (links) met behulp van een cirkel waarvan het middelpunt in het toppunt ligt van de te verdelen hoek, worden op de beide benen van de te delen hoek gelijke stukken afgepast (de straal van de cirkel). Met dezelfde straal worden vanuit de gevonden snijpunten twee cirkels getrokken die elkaar snijden en een groot blad vormen. Het ene punt ligt in het gegeven hoekpunt; het andere daar tegenover. De verbindingslijn is de middellijn van het blad en tegelijkertijd de lijn die de hoek deelt.

Deze tekening laat de gang van zaken zien voor een willekeurige hoek:
meetkunde-strakosch-5-6

 

 

 

 

 

De hoekdeellijn wordt bepaald door de tophoek en het snijpunt van de twee cirkels die het blad vormen. Die moeten wel even groot zijn, maar de straal kan anders zijn dan van de cirkel die op de benen de gelijke afstand heeft, en de middelpunten aangeeft van de andere cirkels. In het algemeen, d.w.z. wanneer de drie cirkels niet allemaal even groot zijn, zal het tweede punt niet in de tophoek liggen, maar ergens op de hoekdeellijn en dan wel binnen de hoek wanneer de cirkel die het blad vormt kleiner is dan de eerste en erbuiten wanneer het omgekeerde het geval is. Omdat echter één punt van de hoekdeellijn altijd in de punt van de te delen hoek moet liggen en een rechte lijn door twee punten moet gaan, is het voldoende, om slechts één snijpunt van die twee cirkels die het ‘blad’ vormen, te vinden.

Wanneer je echter alleen het hoogst nodige van de constructie wil tekenen, dan zijn de sterker benadrukte cirkelstukjes genoeg. – Iemand zou kunnen zeggen: waarom dan eerst die constructie van deze tekening:
meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 
het kan toch simpeler?
Bij het puur technisch tekenen komt het – waar hier sterk naar gestreefd wordt – op de eenvoud aan. Maar we willen zo werken dat we door het oefenen juist veel leren van de verschijnselen en we de daarin tot uitdrukking komende wetten leren kennen. Want we willen ons, zogezegd, oefenend inleven in de geometrie. Steeds maar naar het simpele kijken, betekent: oogkleppen opzetten, i.p.v. steeds verder en dieper doordringen in de rijke wereld van de meetkundige feiten en de geheimzinnige en belangrijke wetten doorgronden. De mooiste constructie is, die ons de meeste samenhangen tot bewustzijn brengt. Wanneer je er steeds naar streeft, de blik op het geheel niet te verliezen, wordt later de praktische toepassing – je zou kunnen zeggen – een peulenschil. Bij het eenvoudiger maken, blijven we ons bewust van de samenhang. We hebben niet simpelweg een regel van buiten geleerd, die we weer snel vergeten; we hebben dan veel meer de samenhang innerlijk paraat, we kunnen dus uit het overzicht steeds opnieuw het detail halen. De ervaring leert dat degene die op deze manier oefent, in stijgende mate wat geoefend werd in zijn voorstellingsbeleven heeft en in staat is, ‘in het hoofd’ de meetkundige operatie uit te voeren; ja, hij zal daarbij ook op nieuwe ideeën komen en veel zelf vinden dat erbij hoort en pas later wordt besproken. Je leert met dezelfde intentie voorstellen, waarmee je voordien waargenomen hebt en dat is waardevol.

In deze trant nemen we deze oefening:
meetkunde-strakosch-5-7

 

 
We hebben deze aleens gezien (meetkunde 4-2, tek.7) en later komt die nog terug.

In het midden hebben we een lijnstuk (zo noem je ter onderscheiding van een onbegrensde rechte lijn, een door een of twee daarop liggende punten begrensd deel(stuk) van een (rechte) lijn.(pw.: let op het is de dikke vertikale (korte lijn).
In een rechte hoek daarop staat een gepuncteerde loodrechte lijn die het lijnstuk in het midden snijdt; die noemt men middelloodlijn.

Het woord loodlijn heeft te maken met het schietlood die de richting van de zwaarte aangeeft, namelijk van boven naar beneden. De richting staat ‘loodrecht’ op de oppervlakte dat gevormd wordt door stilstaand water. In de meetkunde wordt echter het begrip ‘loodrecht’ gebruikt, onafhankelijk van de richting van die krachten die ieder object wanneer het wordt losgelaten rechtlijnig naar beneden aanhoudt. Hier wordt alleen gekeken naar het feit van een rechte hoek. Men zegt dat rechte lijnen loodrecht op elkaar staan, wanneer ze een hoek van 90º vormen, een rechte hoek omsluiten en dat totaal onafhankelijk van hun positie. Ga je dus, zoals hierboven van een lijnstuk uit dat van boven naar beneden loopt en wil je de rechte lijn benoemen die door het middelpunt van dit lijnstuk gaat en daarmee een rechte hoek vormt, dan noemt men dat een ‘middelloodlijn’. 
Net zo noemt men in de meetkunde de ‘hoogte van een driehoek’ de kortste afstand, het lood van twee snijpunten op de derde driehoekszijde, dus de rechte lijn die loodrecht op een zijde staat en daarbij door de snijpunten van de beide andere gaat. Ook dat is onafhaneklijk van de positie van de driehoek op het vlak. De zijde waarop de hoogte loodrecht staat, heet haar’ basis’; deze kan dus elke willekeurige lengte hebben. – Staat ze horizontaal dan kan de hoogte zelfs in de oorspronkelijke zin een ‘loodrechte’ lijn of ‘loodlijn’ genoemd worden.

(Terug naar bovenstaande tekening): Een paar punten van de middelloodlijn(en) zijn verbonden met de hoekpunten van het lijnstuk en door het cirkelveld zie je dat ieder punt van de gepuncteerde horizontale lijn even ver verwijderd is van de eindpunten van het lijnstuk. – Dit feit kun je ook zo uitspreken, wanneer je allereerst de daardoor ontstane gelijbenige driehoeken op het oog hebt:
richt men op een gegeven basis alle mogelijke gelijkbenige driehoeken op, dan liggen alle tophoeken steeds op de middelloodlijn op de basis. Of: de middelloodlijn op de basis is de ‘meetkundige plaats‘ voor de tophoeken van alle op haar opgerichte gelijkbenige driehoeken.

De van de tophoek naar de eindpunten van de basis gaande rechte lijnen vormen een bepaalde hoek die kleiner wordt naarmate de tophoek zich verwijdert van de basis. Daarbij worden de steeds gelijkblijvende basishoeken groter. – In de tekening zie je naast het ‘grote’ blad, waarvan de lengteas de basis is, een zich steeds herhalende rij van ‘grote’ bladeren. De spitsen ervan liggen op twee rechte lijnen die steeds even ver van elkaar verwijderd blijven, hoe ver je ook het cirkelveld (in beide richtingen) uitbreidt: zulke rechte lijnen noemt men parallellen en zegt dat deze elkaar pas snijden in het ‘oneidige’. Aan de tekening kun je aflezen dat de middelloodlijnen op de basis ook parallel zijn aan deze beide rechte lijnen; verder, dat de zijden  (verbindingslijnen tussen de tophoek en eindpunt op de basis) de eerstgenoemde parallel steeds dichter naderen, naarmate de tophoek zich verder verwijdert naar het oneindige. Dat gebeurt wanneer ieder been zich om het eigen eindpunt op de basis draait. Hierbij wordt de hoek die ze insluiten, steeds groter en wanneer zij parallel gaan lopen, wordt deze recht = 90º (de rechte lijnen gaan dan door de spitsen van de boven- en onderrij van de ‘grote’ bladeren).
Je kan een hoek beschouwen als de mate waarin twee rechte lijnen samenlopen of uit elkaar bewegen, al naar gelang in welke richting je je op de rechten beweegt, naar het kruispunt of daar vandaan. Wanneer twee rechte lijnen samen lopen, noch uit elkaar gaan, dan is er geen hoek tussen hen; je kunt zeggen: de hoek die ze omsluiten is gelijk aan nul, ze zijn parallel.
Bij een driehoek met de hoogte ∞ (dat is het teken voor ‘oneindig’) zijn dus de basishoeken allebei recht, de tophoek is = 0: de som van alle drie de hoeken = 2  x  90º =  180º. Daaraan verandert niets, ook al heeft de hoogte een eindige lengte, want iedere basishoek wordt om de helft van de tophoek kleiner, als de met zwarte dubbelboogjes aangegeven hoeken gelijk zijn. omdat namelijk hun benen dezelfde richting hebben, parallel zijn.

De som van de binnenhoeken van een driehoek zijn steeds 2 R = 180º
Hiermee wordt op een feit gewezen en een oefening gegeven die later vruchtbaar blijkt te zijn.

In de tekening (boven) zijn rechts en links van de vertikale lijn punten van de horizontale middelloodlijnen met de beide eindpunten van de vertikale lijn verbonden. Zulke punten die van daaraf gelijke afstanden hebben wat je aan de kleine blaadjes makkelijk kan zien, zijn met de eindpunten van de vertikale lijn door lijnen verbonden die op dezelfde manier uitgetrokken zijn (gepuncteerd, gestippeld enz). Zo ontstaan geheel gesloten figuren, zgn. ruiten of rhomben (enkelvoud: rombe) Je kunt ze bestempelen als bestaand uit ieder twee gelijkzijdige driehoeken die allemaal de vertikale lijn als gemeenschappelijke basis hebben. Maar je kunt ook vierhoeken maken die uit twee paar even lange rechten bestaan, waarbij de rechten van ieder paar verschillend zijn; de tophoeken van de beide driehoeken waaruit ieder figuur bestaat, liggen op de middelloodlijn, maar niet op gelijke afstand van de vertikale lijn zoals bij de ruiten het geval is. Zulke vierhoekn zijn deltoïden of vliegers. De laatste naam komt van de verwantschap met de vlieger die de kinderen zo graag oplaten.

Ruiten en deltoïden hebben de belangrijke eigenschap dat hun diagonalen steeds loodrecht op elkaar staan. Bij de ruiten halveren de diagonalen elkaar over en weer, bij de deltoïden wordt alleen die diagonaal gehalveerd die de hoeken verbindt waarin de ongelijke zijden bij elkaar komen. – Uiteindelijk kun je ook vierhoeken uit zulke driehoeken met verschillende hoogte vormen die op dezelfde vertikale lijn liggen:
meetkunde-strakosch-5-12

 

 

 

 
Je kunt ze ingestulpte deltoïden noemen. De diagonaal die gehalveerd wordt, ligt buten de figuur. Om het snijpunt te bepalen, moet je de andere diagonaal langer maken.

.

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.