Tagarchief: 6e klas meetkunde

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (5)

.

VOORBEREIDENDE MEETKUNDE

Gedurende de kinderleeftijd moeten rekenen en meetkunde zo gegeven worden, dat ze bij de leeftijd van het kind passen.
Rudolf Steiner heeft het over een levendigheid in het doen en laten van de mens die daaruit kan ontstaan.
De symmetrie is daarbij heel belangrijk.
De tekeningen die hieronder volgen zijn bedoeld als een kunstzinnig, geen intellectualistisch begin.
Van hier naar het bewijs van de stelling van Pythagoras in de 7e klas, is nog een lange weg. [1]  [2]

Deze bijdrage over de driehoeken is gedacht voor de 4e tot de 6e klas als waarnemende meetkunde.

Onder de vele verschillende driehoeksvormen bevinden er zich een paar die door hun symmetrie en hun ‘karakter’ bijzondere aandacht verdienen. Een nadere kennismaking met deze eenvoudige geometrische figuren is buitengewoon stimulerend.

Eerst noemen we de gelijkzijdige driehoek, het is de oerdriehoek. Behalve de drie zijden zijn ook de drie hoeken gelijk (60º).
De hoogtelijnen, bisectrices, middelloodlijnen en zwaartelijnen zijn allemaal even groot en gaan alle door één punt dat we ‘middenpunt’noemen. Die is tegelijkertijd zwaartepunt, middelpunt van de ingeschreven cirkel en van de omgeschreven cirkel. De lijnen zijn symmetrie-assen:

De halve gelijkzijdige driehoek is rechthoekig, heeft dus een hypotenusa en twee rechthoekszijden. Door het halveren is de symmetrie verloren gegaan. Het verschijnsel links – rechts treedt op. Naast de rechte hoek is de hoek van 30º ontstaan. We gebruiken deze driehoek van hout of kunststof om te tekenen. Er zijn twee soorten, met een linker en een rechter helft die je niet op elkaar kan leggen zonder ze om te draaien. Een halve gelijkzijdige driehoek is meer dan alleen maar een helft:

De gelijkbenige rechthoekige driehoek kan ook als een een half vierkant worden beschouwd. Die is eveneens rechthoekig, heeft echter twee even lange zijden; daardoor is die eveneens nog gelijkbenig. Er is een hoek van 45º, de driehoek heeft een symmetrie-as. Ook deze driehoek gebruiken we als tekendriehoek:
Tot slot moet het paar ‘gouden driehoeken‘ worden genoemd. Het gaat om de driehoeken waarvan de zijden in de verhouding van de ‘gulden snede’ staan. Omdat we een lange en een korte zijde hebben, kunnen we daarmee twee verschillende driehoeken maken: één met twee lange en een korte zijde en één met een lange en twee korte zijden:

 

De eerste noemen we de ‘scherpe gouden driehoek’ en de tweede de ‘stompe gouden driehoek’. Beide zijn gelijkbenig. Er ontstaan hoeken van 36º, 72º en 108º.

Nu moeten deze driehoeken zichzelf karakteriseren. Daartoe proberen we uit een van de driehoeken figuren te maken. Wat er zich aan mogelijkheden voordoet, is verbazingwekkend groot, hier kan er slechts een deel van worden weergegeven.

Uit zes gelijkzijdige driehoeken ontstaat een zeshoek:

Dit is de basisfiguur
We klappen de driehoeken een voor een naar buiten om en krijgen de zesster:

Klappen we ieder tweede punt weer naar binnen, dan ontstaat er een vergrote gelijkzijdige driehoek:

De randen zijn drie keer zo lang, het vlak is negen keer zo groot.
Wanneer we in de onderste rij de buitendriehoeken naar binnen en de binnendriehoek naar buiten omklappen, ontstaat er een grote ruit:

Hoe de zesster uit de basisfiguur door een gelijktijdig draaiende en verschuivende beweging van alle driehoeken ontstaat, wordt aan de vindingrijkheid van de lezer overgelaten.

De halve gelijkzijdige driehoek biedt ons meer mogelijkheden. Twee gelijke (linker of rechter) laten twee verschillende parallellogrammen of een rechthoek ontstaan:

Van verschillende kunnen we een stompe driehoek maken of een vliegerfiguur:

De derde mogelijkheid geeft de gelijkzijdige driehoek aan ons terug. Vier gelijke helften doen een vierkant ontstaan, waarin een tweede, kleinere, uitgespaard is:

We klappen de driehoeken naar buiten om en hebben dan weer een gelijke (niet in meetkundige zin!) figuur voor ons:

Uit drie paren ontstaat een grote gelijkzijdige driehoek:

Wanneer we alle driehoeken omklappen, hebben we een zeshoek voor ons waarin de oorspronkelijke driehoek uitgespaard is:

Zes gelijke driehoeken vormen twee zeshoeken in elkaar:

en twaalf gelijke driehoeken zowaar een twaalfhoek:

Een opdracht:
Uit zes gelijke driehoeken een zesster maken. Hierbij ontstaat een beweeglijke figuur die wat het middelpunt betreft symmetrisch is.

De gelijkbenige rechthoekige driehoek stelt een beetje teleur: die heeft niet zo’n grote vormenrijkdom te bieden. 2, 4, 8, 16, enz. laten zich tot een vierkant voegen. Maar ook achthoeken!:

De lezer moet zelf de twee verschillende achtsterren vinden waarin de afgebeelde achthoek veranderd kan worden.

Een vrolijke combinatie vertoont 18:

Nu wat betreft het ‘gouden driehoekspaar‘.
Door ze passend bij elkaar te zetten, herhalen ze zich zelf afwisselend in een steeds groter wordende vorm. In afb. 19 is met de scherpe driehoek links begonnen, daarbij een stompe geeft een vergrote stompe. De middelste, schuin op de punt staande scherpe driehoek daarbij, leidt tot een grotere scherpe, die net zo staat als de begindriehoek. Nog een stompe en een scherpe erbij en we krijgen die in afb. 19 getoonde grote stomphoekige driehoek. Daarmee kun je willekeurig verder gaan:

Hoe zou de afbeelding afgemaakt moeten worden om de eerst volgende grotere rechthoekige gouden driehoek te maken?

Een scherpe en twee stompe vormen een vijfhoek:

Van vijf scherpe driehoeken kunnen we het pentagram leggen:

Maar ook vijf stompe driehoeken laten dit rijke teken verschijnen, dit keer als binnenvorm:

Klappen we alle driehoeken naar buiten om, zien we twee vijfhoeken:

Dat betekent niet dat de scherpe driehoek op zich geen vijfhoek zou kunnen doen ontstaan:

Kenners zullen de positie van de driehoeken in afb. 25 in de voorstelling zo metamorfoseren dat enerzijds de vijfhoek van afb. 24 en anderzijds het pentagram van afb. 21 ontstaat:

De mooie ‘tienhoekkrans’ van tien stomphoekige driehoeken is het slot van deze ‘tentoonstelling’.

Natuurlijk kunnen tien scherpe driehoeken ook een tienhoek vormen en ook een tienster.

Als we het samenvatten:
De gelijkzijdige driehoek doet de zeshoek en de zesster ontstaan; ze is verwant met de getallen 3 en 6. Je kan er vierhoeken mee maken, maar geen vierkant; ook geen rechthoek.
Links en rechts van de halve gelijkzijdige driehoek zorgt voor beweeglijkheid. Door de rechte hoek kunnen ook de rechthoek en het vierkant ontstaan. De relatie met de getallen 3 en 6 blijft natuurlijk bestaan, nieuw is de twaalfhoek. We vinden dus verwantschap met de getallen 3, 4, 6 en 12.
De verwantschap van de gelijkbenige rechthoekige driehoek met de getallen 4 en 8 is duidelijk.
De ‘gouden driehoeken‘ verrassen ons door het ontstaan van het pentagram. Er is verwantschap met de getallen 5 en 10.

Waar haal je nu die driehoeken? Je kan ze van karton maken, bijv. Om ze voor de klas te kunnen laten zien, kan je ze met gekleurd karton en klittenband op het bord ‘plakken’.
.

Walter Kraul, Erziehungskunst jrg. 34 -04-1970
.

[1] Die wordt soms ook in klas 6 behandeld.

[2] Onder meetkunde alle artikelen vind je de reeks 2-3/1  t/m 2-3/4 als mogelijke weg naar dit doel.
.

De schrijver van het artikel heeft uit gekleurd hout een ‘vierhoek-vijfhoek- en zeshoeklegspel’ uitgebracht. De verschillende afmetingen van gelijkvormige driehoeken in de legspellen geven nog meer vormenrijkdom dan de hier getoonde voorbeelden.
Bij de genoemde uitgeverij zijn ze op dit ogenblik (02-01-2018) niet voorradig.
.

Meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde

.

1401

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Advertenties

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/4)

.

1e week    2e week    3e week

4e week
Dit is de laatste week van de periode.
Het kan zijn dat je door omstandigheden een periode had van maar drie weken. Dan moet je een andere keus maken, dan ik heb gedaan. Trouwens, mijn keuze heeft ook een zekere willekeur: er zijn legio andere mogelijkheden.
Er is wel veel aan de orde gekomen en aan het begin van zo’n laatste week is het goed om alles nog eens terug te halen.

eerste dag

Je zou van een bepaalde begrippenlijst uit kunnen gaan:

geometrie
-passer (passerpunt, benen van de passer)
-willekeurige vorm t.o. vastliggende (gegeven) vorm – onwillekeurig
-cirkel
-middel (midden-)punt
-middellijn
-liniaal (lineair)
-omtrek    omtrekslijn
-snijden
-horizontaal, verticaal, diagonaal
-gemeenschappelijk
-vlak
-snijden
-punt
-hoekpunt
-symbool
– ꙩ M
-lijnstuk
-straal
-radius = r
-construeren
-constructie
-daaruit volgt    →
-loodlijn    met constructie
-loodrecht op:   ⊥
-zesster – hexagram
-zeshoek – hexagoon
-verzameling
– hoek  ∠ : scherpe, rechte, stompe, gestrekte, inspringende
-middelpuntshoek
-omtrekshoek
-overstaande hoek
-verwisselende binnen- en buitenhoek
-nevenhoek
-complement   supplement
-graad   º
-groter dan >
-kleiner dan <  (je kunt er een k, van kleiner, van maken)
-parallel
-driehoek: gelijkzijdig, gelijkbenig, rechthoekig, rechthoekig gelijkbenig
-koorde   koordeboog
-segment
-stelling
-hoekdeellijn -bisectrice
-middelloodlijn
-zwaartelijn
-vijfhoek – pentagoon
-vijfster – pentagram
-hypothenusa

We kunnen dus nu een aantal hoeken construeren: van 90º, van 60º en als we teruggaan naar deze constructie:

meetkunde-62

en we trekken er de lijnstukken CA en CB in, hebben we  ∠ C in twee gelijke hoeken verdeeld. ∠ C is de ∠ van een gelijkzijdige Δ, een hoek van 60º, dus elk deel is 30º.

We hebben dus weliswaar een ∠ van 60º verdeeld, maar we mogen ook gewoon zeggen dat we een ∠ hebben gedeeld. We kunnen nu iedere willekeurige ∠ delen!

Een willekeurige hoek ( ∠ A) delen we als volgt middendoor: construeer een willekeurige cirkel met A als m.p.; deze snijdt de benen van ∠A in B en C (de cirkel wordt niet in zijn geheel geconstrueerd, maar alleen de punten B en C). Construeer om B een cirkel met een willekeurige straal en om C een cirkel met dezelfde straal; deze cirkels snijden elkaar in P (ook van deze cirkels tekenen we maar een klein boogje). De halve lijn AP deelt nu ∠ A middendoor ( ∠ A1 = ∠ A2).

De (halve)lijn AP heet hoekdeellijn en we leren naast de benen v.e. hoek ook de moeilijkere naam: bisectrice.

Uiteraard moet dit goed worden geoefend.
Deel de rechte  ∠.   = 45º. Deze gedeeld: 22,5º.
Laat de kinderen ook zelf combinaties uitdenken en construeren. Bijv. 15 en dan dus 22,5 en 15= 37,5;
Als je nog toe komt aan de constructie van een hoe overbrengen, is er nog veel meer mogelijk.

Je zou nu meer bijzonder lijnen kunnen behandelen: de middelloodlijn, die we eigenlijk al gedaan hebben, de zwaartelijn. Het feit dat ze door één punt gaan.
Zie bijv. dit artikel   Je zou een deel hiervan in je periode kunnen opnemen. Het gedicht is zeker een vondst, maar ik weet niet of je zoveel tijd moet gaan besteden aan het leren ervan. Dat zouden bijv. een paar kinderen, die de stof snel snappen en wellicht ook snel klaar zijn, samen kunnen doen.
Uiteraard moet iedereen wél proberen om een kartonnen driehoek op het zwaartepunt in evenwicht te houden. (Exacte constructie!)

tweede dag

Herhalen. Maar stel dat je deze periode tegen de kersttijd geeft, dan is het heel mooi voor de kinderen wanneer ze ook nog de vijfster (pentagram) en de vijfhoek (pentagoon) leren construeren.

De constructie is ingewikkelder dan die van de zesster en met de kennis die we tot nog toe hebben verworven, niet te bewijzen. Dat hoeft ons er niet van te weerhouden, de constructie te leren. Uiteraard eerst weer een cirkel met middelpunt M; willekeurige straal,  bijv, 3 cm.

 

 

 

  • Teken een cirkel met het middelpunt in O, waarop de hoekpunten AEGHF van de vijfhoek moeten komen te liggen. In de figuur is deze eerste cirkel groen. Een snijpunt van de verticale as en de groene cirkel is punt A.
  • Een van de snijpunten van de groene cirkel met de horizontale as is punt B.
  • Bepaal op de bekende manier het midden C tussen O en B.
  • Zet nu de passerpunt op punt C, en de potloodpunt op A. Teken een deel van de cirkel, in de figuur rood onderbroken, tot het snijpunt met de horizontale as. Dit is punt DD ligt aan de andere kant van de oorsprong O dan C.
  • Zet de passerpunt in A, trek nu een cirkel door D. Deze cirkel, in de figuur blauw onderbroken, heeft twee snijpunten met de eerste groene cirkel. Dit zijn de punten E en F, de eerste twee gevonden hoekpunten van de regelmatige vijfhoek.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in E en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt G.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in F en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt H.
  • Zet nu ter controle de passerpunt zonder de passer te veranderen in punt G, de cirkel moet nu door punt H lopen.
  • Het door rechte lijnstukken verbinden van de vijf punten AEGHF resulteert in een regelmatige vijfhoek.

Wikipedia

Vóór we aan de construcitie beginnen kunnen we 2 even grote cirkels tekenen. De ene wordt onze werkvorm, de andere – uiterst dun – wordt het resultaat, dus zonder uitgegomde lijnen en punten. Als we in de werkvorm de juiste afstand van de zijden tussen de passer hebben, brengen we die over op de andere vorm, vanuit het geschatte midden boven op de omtrek.
Nu is er een ‘schone’ vijfhoek ontstaan.

Door de punten met elkaar te verbinden – steeds 1 overslaan – ontstaat ook de vijfster:


en dan weer naar hartelust fantaseren en kunstzinnig uitwerken:

meer op VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder 5

Een bijzondere kunstzinnige verwerking van het pentagoon is het maken van een transparant of een lantaarntje:

zie voor een beschrijving:

Je kan hiermee, naast herhalen, de periode afsluiten als je deze de laatste week van december heb gegeven. Is dat niet het geval en wanneer je geen lantaarntje(s) of transparant wil maken, kan je ook nog kiezen voor de stelling van Pythagoras.
Sommige scholen geven die pas in de 7e. Dat vergt wel overleg met de leerkracht van die klas.

Of je een tweede periode kan geven, hangt van veel factoren af die ik vanhieruit niet kan overzien. Omdat ik zelf nog les kon geven in de 7e, omdat die toen nog bij de onderouw hoorde, heb ik het wel gedaan.
In Stockmeyers leerplan wordt voor de klassen 6-8 10 weken hoofdonderwijs uitgetrokken voor rekenen en wiskunde. En 1 uur per week om te oefenen, behalve als wiskunde hoofdonderwijs is. Maar toen golden er andere omstandigheden, al is het wel een indicatie.

Je kan ook verdergaan met, naast de driehoek, het vierkant, de rechthoek, de ruit, het trapezium, het parallellogram.

Steiner neemt de stelling van Pythagoras om aan te geven hoe je aanschouwelijk onderwijs kan geven.
In de pedagogische voordrachten GA 294, 295 en 311 staat:

GA 294
De meetkunde biedt u een buitengewoon fraai voorbeeld van de manier waarop een meetkundig probleem aanschouwelijk aangepakt kan worden. U tekent bijvoorbeeld een gelijkbenige recht­hoekige driehoek. Dan kunt u onder aan deze driehoek een vier­kant tekenen, zodat het vierkant grenst aan die gelijkbenige recht­hoekige driehoek [zie tekening 1]. Nu vertelt u de leerlingen, als u dat nog niet gedaan hebt, dat bij een rechthoekige driehoek de zij­den a en b de rechthoekszijden heten en c de hypotenusa wordt ge­noemd. Op de hypotenusa hebt u een vierkant geconstrueerd.* Dat geldt allemaal uiteraard alleen voor een gelijkbenige driehoek. Nu deelt u het vierkant in door middel van diagonalen. U maakt een deel ervan [boven en onder] rood en een deel [rechts] geel. Nu zegt u: ‘Het gele stuk knip ik eruit en ik zet het hiernaast’ [tekening 11].

Dan haalt u ook nog een rood stuk weg en u zet dat aan het gele stuk vast. Nu hebt u een vierkant gevormd op één rechthoekszijde, en dit vierkant bestaat uit een rood en een geel stuk. Dus wat ik ernaast heb getekend [tekening11], is net zo groot als rood en geel samen in tekening 1, en het is de helft van het vierkant op de hy­potenusa. Hetzelfde doe ik voor de andere zijde met blauw. Het blauw plak ik er aan de onderkant aan, zodat ik nog een gelijkbenige rechthoekige driehoek krijg. Dat teken ik er ook weer naast [tekening 111]. Daarmee heb ik nu het vierkant op de andere rechthoekszijde geconstrueerd.0

*voetnoot in de vertaling:
Een vierkant geconstrueerd: in de Duitse taal heeft de leraar bij deze verklaring van de stelling van Pythogoras het voordeel dat hetzelfde woord (Quadrat) zowel vierkant als kwadraat betekent
voetnoot in de vertaling:
voor wie de stelling van Pythagoras niet kent: het kwadraat van de hypothenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden, algebraïsch: c2= a2 + b2. De tussenstap die Steiner beschrijft – het aansluiten van een nieuwe (blauwe) driehoek onderaan het vierkant – is misschien verwarrend en in ieder geval overbodig; zie ook de pijlen die van tek. 1 naar tek. 3 gaan.

Dat geldt in eerste instantie alleen voor een gelijkbenige drie­hoek, maar bij een ongelijkbenige rechthoekige driehoek kunt u net zo goed de stukken op elkaar leggen, zoals ik u dat net heb la­ten zien. Dat is aanschouwelijk onderwijs. U kunt de meetkunde in de vorm gieten van aanschouwelijk onderwijs. Wanneer u
er­naar toewerkt om ook de stelling van Pythagoras voor kinderen na het negende jaar aanschouwelijk te maken, dan is het niet on­belangrijk – ik heb dikwijls de proef op de som genomen – dat u zich voor ogen stelt om de stelling van Pythagoras werkelijk op te bouwen uit de verschillende velden van het vierkant op de hypo­tenusa. En als u zich als leraar bewust bent dat u dat bij de meet- kundelessen wilt bereiken, dan kunt u in hoogstens zeven à acht lessen alles aanleren wat in de meetkunde nodig is om tot de stel­ling van Pythagoras – de bekende ezelsbrug – te komen. U zult ui­terst economisch te werk gaan wanneer u de eerste beginselen van de meetkunde op deze manier aanschouwelijk maakt. U zult veel tijd sparen en bovendien zult u de leerlingen iets heel belangrijks besparen – iets wat afbrekend werkt in het onderwijs als er niet spaarzaam mee wordt omgegaan – en dat is: u laat de kinderen geen abstracte gedachten volgen om de stelling van Pythagoras te begrijpen, maar u laat ze concrete gedachten volgen en u gaat van het eenvoudige naar het samengestelde. Het beste is om de stelling van Pythagoras eerst bij een gelijkbenige driehoek uit die verschillende velden op te bouwen zoals het hier in de tekening is gedaan, en dan pas over te gaan naar de ongelijkbenige driehoek. Zelfs daar waar de stelling van Pythagoras tegenwoordig aanschouwe­lijk wordt gebracht – wat zeker wel gebeurt – wordt dat niet vol­ledig gedaan. Men gaat niet eerst uit van het eenvoudige procédé bij de gelijkbenige driehoek, om daarmee het andere procédé goed voor te bereiden en over te stappen naar de ongelijkbenige recht­hoekige driehoek. Maar dat is belangrijk, dat men dat bewust op­neemt in de doelstelling van het meetkundeonderwijs. Wilt u er dus aan denken om verschillende kleuren te gebruiken. U moet de verschillende vlakken inkleuren en dan de kleuren over elkaar leggen. De meesten van u zullen iets dergelijks al wel eens gedaan hebben, maar toch niet op deze manier.
GA 294/148 e.v.
vertaald/148 e.v.

We kunnen in ieder geval aannemen dat de kinderen die we nu dit jaar krijgen bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras verkeerd geleerd hebben, dat ze die niet geleerd hebben zoals wij dat be­sproken hebben. De vraag is dan wat we moeten doen om de leer­lingen niet alleen te geven wat ze gemist hebben, maar in zekere zin nog iets meer, zodat bepaalde krachten die al uitgedroogd en verdord zijn weer kunnen opbloeien, voorzover dat mogelijk is. We kunnen dan bijvoorbeeld een leerling vragen om zich nog eens de stelling van Pythagoras voor de geest te halen, we zeggen: ‘Je hebt die stelling geleerd. Hoe luidt die? – Inderdaad, dat is de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.’ Maar daarbij heeft zo’n leerling beslist niet dat in zijn ziel wat het leren van de stelling van Pythagoras hem gegeven zou moeten hebben. Daarom doe ik iets extra’s. Ik maak de zaak niet alleen aanschou­welijk voor hem, maar ik bouw die ‘aanschouwing’ ook nog eens genetisch voor hem op. Ik laat 181die op een heel speciale manier ont­staan. Ik zeg: ‘Ik wil graag drie leerlingen voor het bord. Eén van de drie kleurt dit vlak met krijt in. De anderen in de klas letten goed op dat hij niet meer krijt gebruikt dan echt nodig is. De tweede pakt een ander krijtje en kleurt dit vlak in. En de derde kleurt dit vlak, weer met een ander krijtje.’ En dan zeg ik tegen de jongen of het meisje dat het vierkant op de hypotenusa bedekt heeft: ‘Kijk, nu heb jij evenveel krijt gebruikt als de twee anderen samen. Jij hebt net zoveel krijt op dat vierkant gekalkt als de twee anderen bij elkaar, omdat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.’ Ik maak de stelling dus aanschouwelijk door middel van het krijtverbruik. Dat gaat nog dieper in de ziel als de leerling ook nog bedenkt dat er iets van

het krijtje af is, iets wat nu niet meer aan het krijtje, maar op het bord zit. En dan ga ik nog een stap verder en zeg ik: ‘Nu verdeel ik de vierkanten in kleine vierkantjes: het eerste in 16, het tweede in 9 en het derde in 25 vierkantjes. Nu zet ik midden in ieder vierkantje één van jullie neer, 182 en je stelt je voor dat dat een akker is die je moet omspitten. De kinderen die deze 25 kleine vierkantjes hier omge­spit hebben, hebben net zoveel werk verzet als de kinderen van de 16 vierkantjes en de kinderen van de 9 vierkantjes samen. Door jul­lie werk is het vierkant van de hypotenusa omgespit, door jullie werk het vierkant op de ene rechthoekszijde en door jullie werk het vierkant op de andere rechthoekszijde/ Zo verbind ik met de stelling van Pythagoras iets wat de wil van het kind raakt, wat ten­minste de voorstelling oproept dat het kind met zijn wil zinvol in de wereld staat, en ik breng leven in iets wat tamelijk levenloos zijn schedel binnengekomen is.
GA 294/181 e.v.
vertaald/181 e.v.

 

Rudolf Steiner geeft vervolgens nog een aanschouwelijke toelichting bij de stelling van Pythagoras en verwijst naar een artikel van Ernst Müller: ‘Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegmg des pythagoreischen Lehrsatzes’.
In de tekening is de stelling van Pythagoras (het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de gekwadrateerde rechthoekszijden) geometrisch aangetoond. De tekening laat in principe één driehoek zien met drie vierkanten, die de kwadraten vormen van zijn drie zijden. De beide ‘rechtopstaande’ vierkanten zijn de kwadraten van de rechthoekszijden, het ‘schuine’ vierkant is het kwadraat van de hypotenusa. Men ziet dat het rode deel van de eerstgenoemde vierkanten het vierkant op de hypotenusa al ten dele bedekt. Het restant wordt bedekt door de blauwe en de groene driehoek omhoog te schuiven, zodat het oppervlak van de kleinere vierkanten exact binnen het oppervlak van de grootste blijkt te passen.

Rudolf Steiner:… Men moet het allemaal uit karton knippen, pas dan wordt het aanschouwelijk.
GA 295/119
vertaald/110

GA 311
Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen. Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is  iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt.
Ik moest eens een dame die toen al ouder was, omdat ze er zo van hield, meetkunde leren. Ik weet niet of ze alles vergeten was – maar vermoedelijk had ze op het meisjesinternaat waar je als meisje opgevoed werd niet veel geleerd – in ieder geval wist ze niets van meetkunde. Ik begon en liet alles uitmonden in de stelling van Pythagoras. Nu had deze stelling voor die dame inderdaad iets buitengewoon frapperends. Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)

fig.lGA 311 blz. 91

Dat, wanner ik aardappelen poot en die  overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien.
En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.
Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)

GA 311 blz. 93 1

dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer

(fig.lll: ABC)

GA 311 blz. 93 2

Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH).
Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert.
Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijkhebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5).
Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen. Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is.
Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg jeleven in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw  moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden.
Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden.
GA 311/90 e.v.
Vertaald  op deze blog

Het ziet er in eerste instantie wel ingewikkeld uit, maar als je het uitknipt – wat Steiner al aangeeft – is het veel makkelijker te doorzien. Ik heb de losse delen door de kinderen laten maken – vrij groot – en daarmee konden ze dan proberen de delen weer goed te leggen.

Tot zover een impressie van 4 weken meetkunde in klas 6.

Wanneer je er een geschikt ogenblik voor vindt, zou je nog kunnen teruggrijpen op de plantkundeperiode uit de vijfde klas.
Toen het over de bloem ging, moet haast wel aan de beurt zijn gekomen de bloem met de 5 blaadjes en die met de 6. Grohmann besteedt er hier aandacht aan:

Er bestaan prachtige foto’s van deze ‘meetkunde’bloemen. Een opdracht zou kunnen zijn dat alle kinderen met een bloemillustratie naar school komen en daarbij aangeven om welk getal het gaat:

bosanemoon (erachter speeenkruid)

ooievaarsbek

Ook in sneeuw- ijskristallen zit meetkunde:

Afbeeldingsresultaat voor sneeuwkristallen

wat opvalt is dat de kristallen alle van een 6- of veelvoud daarvan – structuur zijn.

 

suggesties voor de periode:

1e week
2e week
3e week

 

6e klasalle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkundealle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1391

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

VRIJESCHOOL – 6e/7e klas – meetkunde (2-4)

.

meetkunde klas 6 en 7

Een artikel in de Branding over meetkunde dat was de vraag die de redactie me stelde. Na nauwelijks deze vraag met ‘ja’ te hebben beantwoord, zag ik me voor de volgende moeilijkheid geplaatst: hoe kun je het wezenlijke van meetkunde dat zich tenslotte uitdrukt in lijnen en vlakken die tezamen de vormenwereld zichtbaar maken, beschrijven in woorden?
Om dit dilemma zoveel mogelijk op te lossen zal ik na een inleiding de vormen grotendeels zelf laten spreken en de woorden slechts als aanvulling gebruiken en om een overzicht te geven, hoe de meetkunde in de lessituatie in klas ó en 7 gestalte krijgt.

In de ontwikkeling van de mens van geboorte tot volwassenheid zijn 3 fasen te onderscheiden:

– van 0 – 7 jaar: baby-peuter-kleuterfase
– van 7 ~ 11 jaar; lagere schoolkind
– van 14 – 21 jaar: puberteit en adolecentie

In elke fase is er sprake van een samengaan van het willen, het voelen en het denken. Hoe deze drie zich in elke fase t.a.v. elkaar verhouden voert in het bestek van dit artikel te ver; enkel het volgende gegeven is van belang:

Bij de leeftijd van 0 tot 7 ligt het accent op het willen. Van 7 tot 14 ligt het accent op het voelen.
En bij de fase van 14 tot 21 ligt het accent op het denken.

Deze driegeleding van willen, voelen, denken is ook per fase een gegeven. Zo zit het benedenbouwkind in de lagere klassen nog sterk in de beweging (het willen) – denk aan het klappen en stampen van tafels, versjes etc. Vanaf ongeveer klas 6/7 groeit het kind langzaam naar de puberteit toe en ontstaat het vermogen tot o.a. het causale en abstracte denken. Het leerplan op de vrijeschool neemt de ontwikkeling van het kind als uitgangspunt. Zo komen dan in klas 6 en klas 7 voor het eerst een aantal vakken aan de orde waarbij een appèi op het causale en abstracte denken wordt gedaan zoals: natuurkunde, scheikunde, sterrenkunde, algebra en natuurlijk meetkunde.

Het verkennen, en op papier zetten van de vormenwereld begint al bij de peuter. De eerste dag in de 1e klas leert het kind twee oervormen: de rechte en de kromme.

meetkunde-6e

Vanaf deze dag zal het vormtekenen een dagelijkse of wekelijkse activiteit zijn. Een deel van de vormtekenlessen zullen bestaan uit geometrische vormen, die meerdere malen in één beweging worden getekend.

meetkunde-6e-2

 

In klas 6 gaan vele vormen die het kind al eens getekend heeft wederom getekend worden. Nu echter niet met de vrije hand als voordien, maar m.b.v. passer en lineaal.

De intentie van de meetkundeperiode kan het best als volgt omschreven worden;

“Exactheid, schoonheid en maat. Dat is waar het in de meetkunde om gaat”

Nadat de kinderen een gesprek te hebben gevoerd waar meetkunde overal in het praktische leven is toegepast, zijn de kinderen enthousiast en aangesproken in de wil om aan de slag te gaan met die fonkelnieuwe passer, of die passer die nog een erfstuk blijkt te zijn van de grootvader van moeder…

Zoals met vormtekenen veelal het geval was, zo zal men in beginsel ook elke vorm die op papier zal verschijnen eerst in het groot in de beweging doen; met de hele klas, een groepje of individueel.

De cirkel
Teken met grote bewegingen in de lucht of op de grond; een exacte cirkel vormen met de hele klas (een sociale oefening bij uitstek! )

Waar komen cirkelvormen voor? De aardbol, de schedel, een voetbal, een gloeilamp etc, etc. zullen als antwoorden van de kinderen komen. En dan uiteindelijk de eerste cirkel in het schrift; een lijn even dik of dun met de passer op bladzijde een – tongpuntje tussen de tanden! Vanaf nu heet dit geen “rondje” meer, maar een cirkel met al zijn andere namen erbij.

meetkunde-6e-3

Dan het eerste meetkundewonder!

De straal (afstand tussen de benen van de passer) blijkt precies 6x rond de omtrek van de cirkel afgezet te kunnen worden. De 6 punten kunnen dan op verschillende manieren met elkaar verbonden worden

meetkunde-6e-4

Vanuit deze mogelijkheid volgen dan een reeks tekeningen, waarbij het kleuraspect nog een zeer grote rol speelt voor de schoonheidsbeleving van het kind. Elk kind kiest eigen kleurcombinaties,- verhoudingen en hanteert de mogelijkheden hierin van de licht-donker effecten.

Voorbeelden vanuit de 6-deling:

meetkunde-6e-5

Dan komen er verschillende soorten hoeken aan bod. Ook weer om je heen kijken on hoeken benoemen of d© hoeken vormen met b.v, je lichaam (hoofd-romp, houding boven-benedenarin) of hoeken gevormd met meerdere kinderen samen.

Na de hoeken 2 constructies:
-het delen van een hoek (bissectrice)
-het oprichten en neerlaten van een loodlijn

Vanuit deze nieuw geleerde constructies zijn er weer talloze nieuwe figuren mogelijk. Zo kan men komen van de 6~deling naar een veelvoud hiervan:

meetkunde-6e-6

Als volgende is de mogelijkheid de driehoek te bekijken. Opdracht voor de kinderen voor thuis kan dan luiden: probeer eens uit hoeveel verschillende soorten driehoeken er zijn.

Bij het behandelen en het gebruik van de geodriehoek of de gradenboog greep ik terug op de geschiedenisperiode in de 5e klas. In deze periode wordt o.a. verteld over de Egyptische cultuurperiode en het ontstaan van de meetkunde aldaar. Het Egyptische jaar telde 5 heilige dagen en 360 overige dagen; de zon stond dan weer op hetzelfde punt.

Vandaar het volgende gegeven:

meetkunde-6e-7

Ook de termen complement, supplement en applement komen nu aan bod.

Nu kan er dan ook volop met gradenboog of geodriehoek worden gewerkt. Verder komen nog aan bod zaken als snijdende lijnen, parallelle lijnen, tegenoverliggende hoeken, verwisselende hoeken etc.

Als afsluiting in klas 6 wordt de 5-hoekconstructie geleerd. Tekeningen die vanuit deze constructie afgeleid kunnen worden volgen hierna. Ook kan gesproken.worden over de gulden snedeverhouding die in deze constructie te vinden is en terugkomt op vele wijzen in de menselijke gestalte.

meetkunde-6e-8

In klas 7 wordt het variëren en uitproberen van allerlei vormen nóg verder uitpewerkt. Het benoemen’en construeren van allerlei mogelijke meetkundefenomenen zal dan echter een groter accent krijgen.

Opgave waarin bepaalde constructies worden gegeven met daarbij een vraag zijn dan aan de orde.

Bijvoorbeeld:
1)gegeven: lijnstuk AB = 5 cm
lijnstuk BC 6 cm
LA of X = 90°

gevraagd:
a) teken een driehoek ABC
b) hoeveel graden zijn B en. X

2) Bewijs dat de 3 hoeiken van een driehoek samen. 180 zijn. etc.

Verder komen zaken als congruentie, rotatie en merkwaardige lijnen aan de orde.

Voorbeeld van een soort merkwaardige lijn in dichtvorm:

We zullen eens proberen
Een lijn te constueren
Die vanuit een hoekpunt gaat
En loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat
Deze hoeken zijn dus beiden recht
90º dat is goed gezegd
Deze lijn heet: hoogtelijn
Het geeft de hoogte aan
Maar dat zal duidelijk zijn

Ook de bissectrice en de zwaartelijn komen zo aan de orde.

De berekening van omtrek en oppervlakte van o.a de cirkel, de driehoek, het parallellogram, de trapezoïde etc. worden in dit jaar behandeld.

Langzaam kan er ook toegewerkt worden naar perspectief en 3-dimensionaliteit als voorbereiding op de platonische lichamen die in klas 8 een centrale plek zullen krijgen.

meetkunde-6e-9

De periode zal eindigen bij de stelling van Pythagoras, zichtbaar gemaakt in:

Tijdens of na de periode krijgen de kinderen opdracht om met alle mogelijkheden en constructies die ze hebben leren kennen zelf een vorm te bedenken en te ontwerpen. Deze worden dan beoordeeld op exactheid, schoonheid en originaliteit.

Peter Giesen, vrijeschool Nijmegen, nadere gegevens onbekend

 

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

 

1181

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.26 t/m 30

Over de cirkel en over de rechte lijnen

Bij de ‘bloem’ en in het cirkelveld in ’t algemeen kunnen we zien, dat een cirkel een andere cirkel in de regel in twee punten snijdt. Verder kunnen we zien dat steeds de rechte verbindingslijn van de middelpunten, ‘centrale lijn’ genoemd, loodrecht staat op de rechte verbindingslijnen van de snijpunten. De ene rechte lijn is steeds de middellijn van een groot, de andere die van een klein blad en deze staan – zoals we al weten – loodrecht op elkaar.

Op deze tekening staan twee elkaar snijdende cirkels met willekeurige stralen. De stralen die de snijpunten met de middelpunten verbinden, vormen een deltoïde, waarvan de diagonalen de centrale lijn en de rechte verbindingslijnen van de snijpunten zijn; deze staan zoals bekend loodrecht op elkaar:

meetkunde-strakosch-5-8

 

 

 

 

 

 

 
In de volgende tekening is de linker cirkel even groot als de rechter, die t.o.v. de  tekening hierboven kleiner is geworden; de lengte van de centralen, dat is de afstand van de middelpunten, is hier en bij de volgende tekeningen even groot. Omdat hier de rechter cirkel even groot is als de linker, is de deltoïde een ruit geworden. Belangrijk is dat de afstand van de snijpunten kleiner is geworden; de figuur is vlakker geworden. De som van de stralen is nog steeds groter dan de centrale lijn:

meetkunde-strakosch-5-9

 

 

 

 

 

 
In de tekening hieronder is de som precies gelijk aan de centrale lijn. De deltoïde waarvan het langere paar zijden en het kortere, na door de ruit te zijn gegaan, van plaats gewisseld zijn, is nu geheel plat geworden; de beide snijpunten liggen bovenop elkaar, zijn in een dubbelpunt samengekomen. Dit punt ligt zowel op de ene als op de andere cirkel en heet raakpunt (Duits heeft ‘äussere‘ ‘buitenraakpunt), omdat het middelpunt van de ene cirkel buiten dat van de andere ligt. De beide cirkels hebben alleen dit punt gemeenschappelijk.

meetkunde-strakosch-5-10

 

meetkunde-strakosch-5-8

In bovenstaande tekening kunnen we de snijpunten van beide cirkels naar links laten lopen waarbij de rechter cirkel groter wordt en we kunnen waarnemen hoe deze zich steeds meer van elkaar verwijderen. De afstand zal het grootst zijn, wanneer het bovenste (snijpunt) het hoogste, het onderste het laagste punt van de cirkel heeft bereikt. Hun verbindingslijn gaat door het middelpunt en staat loodrecht op de centrale lijn; de deltoïde die uit twee gelijkbenige driehoeken ssamengesteld schijnt te zijn, is in één gelijkbenige driehoek veranderd, daar de linker driehoek steeds vlakker en tenslotte een rechte is geworden. Zoals op onderstaande tekening:

meetkunde-strakosch-5-11

Laten we de snijpunten nog verder naar links opschuiven, komt het middelpunt van de cirkel rechts van haar verbindingslijn te liggen. In onderstaande tekening met streepjes getekend:

meetkunde-strakosch-5-12Er vormt zich een gelijkbenige driehoek, die echter naar rechts ingestulpt is.

Gaan de snijpunten nog verder naar links, dan wordt de straal van de rechter cirkel nog groter, dan vallen ze weer samen, maar nu op het uiterste linkerpunt van de cirkel, op de centrale lijn; de beide cirkels raken elkaar zo, dat de ene binnen de andere ligt.

Hieruit volgt dat de afstand van middelpunt en straal van de beide cirkels zich zo verhouden: een cirkel raakt de ander aan de buitenkant: hun middelpuntsafstand is gelijk aan de som van hun stralen.
Een cirkel raakt de ander aan de binnenkant: hun middelpuntafstand is gelijk aan het verschil van hun stralen.

Kijken we nu ook naar de verbindingslijn van de snijpunten. Die staat als een diagonaal van een deltoïde loodrecht op de anderre diagonaal, de centrale. – Op de rechte. waarvan de richting bepaald wordt door de snijpunten van de twee cirkels, begrenzen de twee snijpunten een vlak dat in relatie tot de cirkel een ‘koorde’ wordt genoemd. Is deze rechte een niet begrensde lijn die de cirkel snijdt. wordt deze secant snijlijn’ genoemd. 

De lengte van een koorde groeit naar mate deze het middelpunt nadert. Wanneer deze door dit punt heengaat, heeft ze de grootste mogelijke lengte bereikt.

De doorsnede geeft de grootste koorde weer.

Iedere koorde is ook de basis van een gelijkbenige driehoek waarvan de beide benen door twee stralen worden gevormd. (Een driehoek die we in het cirkelveld overal gezien hebben met de drie zijden gelijk, heet gelijkzijdige driehoek; zijn er maar twee gelijk, dan heten de gelijke zijden ‘benen’, de driehoek: gelijkbenig).

Op iedere koorde als basis kun je nog een tweede gelijkbenige driehoek construeren. Die twee kunnen als een deltoïde beschouwd worden, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar over en weer halveren. Daaruit volgt dat de op een basis van een gelijkbenige driehoek opgerichte loodlijn steeds door het er tegenoverliggende hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat; de loodlijn die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde valt, heet een ‘hoogtelijn’. Bij een onregelmatige driehoek gaat de hoogtelijn niet door het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

De tekeningen die hierboven zijn gebruikt vatten we nu samen in  1 tekening:

meetkunde-strakosch-6-1hier staan alle snijlijnen (secanten)  – als diagonalen van deltoïden loodrecht op de centrale lijn. De koorden, d.w.z. de stukken van de snijlijnen binnen de cirkel, werden steeds kleiner, naarmate de rechte lijnen zich verder van het middelpunt (van de linker cirkel) verwijderen. In de getoonde tekeningen trekken de koorden zich in 1 punt samen; de richting van de rechten blijft echter onveranderd loodrecht t.o.v. de centrale lijn; het kleiner worden van de lengte is geen aanleiding tot een verandering van de richting. De rechte lijnen 1 en 6 snijden de cirkel niet meer, ze raken deze slechts aan. Daarom heten ze raaklijn of tangent of tangens.
Als je er zo naar kijkt is het duidelijk dat een tangens altijd loodrecht zal staan op de door het raakpunt getrokken straal (radius). Dat dit altijd zo is, blijkt ook uit hetvolgende:
Zou je de raaklijn ook maar met een oneindig klein hoekje om het raakpunt draaien, dan zou deze meteen de cirkel op nog een tweede punt snijden. Al naar gelang van de draairichting zou dit op de ene of op de andere kant van het raakpunt liggen en de hoek t.o.v. de centrale lijn zou geen rechte meer zijn.

Als we weer naar het cirkelveld kijken, dan kunnen we in deze tekening inzien, dat het zonet gevonden feit ook hier zichtbaar is.:

meetkunde-strakosch-6-2hier is de middellijn van het grootste blad gepuncteerd getekend als verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels. Deze staat loodrecht op de straal door het raakpunt, omdat deze straal de middellijn is van het erbij behorende kleine blad. Door het punt dat het raakpunt moet zijn, loopt de middellijn van de volgende grote bladeren parallel aan de eerste middellijn, dus ook loodrecht op de straal. Deze voldoet dus aan de voorwaarden van een tangens, zoals hierboven geformuleerd. In het maken van deze tekening ligt dus de oplossing van de opgave:

In elk gegeven punt van een cirkel een raaklijn tekenen.

In de eerste tekening lopen de tangenten 1 en 6 parallel, hun snijpunt ligt in het oneindige. Vanuit een punt in het oneindige kunnen we dus twee raaklijnen op 1 cirkel trekken, meer kunnen het er niet zijn. Dit blijft ook zo, wanneer het punt niet in het oneindige vanaf de cirkel ligt. Dat is hier te zien:

meetkunde-strakosch-6-3De verbindingsrechte van de beide raakpunten gaat niet meer, zoals bij de eerste tekening door het middelpunt van de cirkel (hier is ze middellijn van een groot blad); de stralen naar de raakpunten vormen geen rechte lijn meer, ze vormen een hoek die kleiner wordt naar mate het punt buiten de cirkel naar de cirkel toe komt te liggen. Deze twee stralen vormen samen met het vlak dat de raaklijnen begrenzen tussen de punten van waaruit de raaklijnen beginnen en de snijpunten een deltoïde met de bijzondere eigenschap dat de ongelijke zijden een rechte hoek vormen en alle vier de hoekpunten op een cirkel liggen.

Nu moet echter eerst in deze tekening de algemene oplossing van de opgave getoond worden hoe vanuit een punt buiten de cirkel de twee raaklijnen aan deze cirkel te trekken:

meetkunde-strakosch-6-4De oplossing moet eruit bestaan dat wat net getoond is, een deltoïde in een cirkel te tekenen. Het middelpunt van deze cirkel ligt op het midden van een rechte lijn die het beginpunt van de beide raaklijnen met het middelpunt van die cirkel verbindt waaraan de raaklijnen moeten komen. De snijpunten van de beide cirkels zijn de gezochte raakpunten.

meetkunde-strakosch-7-1

Op bovenstaande tekening zien wij verschillende punten op de omtrek van een cirkel en iedere keer blijkt uit de verhouding van de hoek tussen die van een klein en een groot blad, dat deze hoek de beide verbindingslijnen naar de eindputen van de doorsnedelijn, de zogenaamde omtrekshoek, een rechte hoek is. Het zijn hier echter punten waarvan de plaats door het cirkelveld wordt bepaald en wij moeten ons afvragen of in het algemeen iedere hoek op de omtrek een rechte hoek is.

Hiertoe willen we twee verschillende gezichtspunten uitvoeren waarvan elk tot het gewenste doel kan leiden. Echter is het steeds een verrijking van de ervaring via twee verschillende wegen een doel te bereiken.

Met bovenstaande tekening kunnen we zeggen: Er zijn bepaalde punten op de cirkelomtrek die aan de vereiste voorwaarde voldoen dat hun verbindingslijnen naar het uiteinde van de middellijn een rechte hoek vormen. (Wanneer er voor een andere richting van de middellijn wordt gekozen, verandert de rechte hoek alleen van plaats. Laten we ons voorstellen dat deze hoek groter en kleiner wordt, dus vlakker of spitser dan 90º zou worden, dan zou het hoekpunt niet meer op de cirkel liggen, dat zou zich erbinnen of erbuiten bevinden. Deze kan derhalve alleen maar het hoogste punt van een rechte hoek zijn, wanneer deze op de cirkel zelf ligt. Daarmee is vastgesteld  dat het deel van de hele cirkelboog dat overblijft precies zo groot moet zijn als dat waartoe de rechte hoek behoort.
Op de andere helft van de cirkel ligt echter ook een punt met dezelfde eigenschappen, maar symmetrisch daarop. – Je moet erop letten dat er steeds sprake van is, dat deze hoek tegenover de middellijn ligt. Draaien we de middellijn een hoekpunt verder, dan gaat hij niet meer door het middelpunt en is dus geen middellijn meer. Het ene been van de hoek (die bij het draaipunt) behoudt zijn positie, de andere moet anders worden wanneer hij het andere zich bewegende snijpunt volgt. In welk van de beide mogelijke richtingen deze zich ook mogen bewegen, de hoek kan geen rechte meer zijn. We kunnen dus zeggen:

Alleen de hoek op de halve cirkelboog (namelijk boven een middellijn) is een rechte hoek, maar ook: iedere hoek op de halve cirkelboog is een rechte hoek.

Dit feit kunnen we ook nog op een andere manier aanschouwelijk maken. We nemen deze tekening nog een keer:

meetkunde-strakosch-5-7We kijken nog eens naar de benen van de gelijkbenige driehoek. Die zijn – de naam zegt het al – in iedere driehoek van gelijke lengte en kunnen daarom ook als stralen van een cirkel met het middelpunt in de tophoek van de driehoek beschouwd worden. Wanneer je deze cirkels nu trekt, dan gaan ze vanzelfsprekend allebei door de beide eindpunten van de basis die alle driehoeken gemeenschappelijk hebben, zoals hier is te zien:

meetkunde-strakosch-7-2Er ontstaan in in iedere cirkel twee gelijkbenige driehoeken met een gemeenschappelijke basis die samen in iedere cirkel een vierhoek vormen en wel een deltoïde. Iedere vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek, omdat iedere kant een cirkelkoorde is. De basis van de driehoeken, een diagonaal, zal over het algemeen een koorde vormen en zolang dat het geval is, zullen de hoeken van de top van de driehoek  de ene groter, de andere kleiner dan 90º zijn. Alleen wanneer de koorde de bijzondere positie van de middellijn aanneemt:

meetkunde-strakosch-7-3en daarmee tegelijk haar grootste lengte heeft, worden deze beide hoeken gelijk en ieder ligt op een halve cirkel, ieder wordt een rechte hoek, de koordenvierhoek wordt een vierkant.

We zouden nog steeds te maken hebben met een bijzonder geval wanneer in iedere vierhoek elke twee aangrenzende zijden gelijk waren, wanneer het uit twee paren van gelijke zijden zou bestaan die elkaar raken, dan was het dus een deltoïde.

Om het algemeen te maken, trekken we door het middelpunt van de basis in een willekeurige richting een rechte:

meetkunde-strakosch-7-4die zal iedere cirkel in twee punten snijden. Deze snijpunten en de hoekpunten van de basis vormen in iedere cirkel een koordenvierhoek met vier ongelijke zijden en even zovele verschillende hoeken. Volgen we de veranderingen van de hoeken die op de rechte liggen wanneer we van de grootste cirkel naar binnen gaan. Van de beide hoeken wordt de spitse steeds vlakker, de vlakke steeds spitser. Dan komt de cirkel waarin ze allebei even groot zijn, dan veranderen ze weer in omgekeerde verhouding en de cirkels worden steeds groter.
In die kleinste cirkel echter is de basis een middellijn. De bogen aan weerszijden zijn halve cirkels en de hoeken moeten recht zijn, want bij de minste positieverandering van de basis (door groter worden van de cirkel naar rechts of links) zouden de hoeken opnieuw – zoals beschreven is, ongelijk zijn. We mogen weer zeggen:
Iedere hoek op een halve cirkelboog is een rechte hoek.

 

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.22 t/m 26

Over de geometrische basisfiguren
Deze zijn: cirkel, gelijkzijdige driehoek, vierkant en de regelmatige vierhoeken. Zoals we hier oefenend waarnemen, kunnen de regelmatige figuren niet alleen maar als ‘speciale gevallen’ worden gezien. In het verdere verloop zal blijken dat zij het juist zijn waaraan je de wetten het eenvoudigst en duidelijkst kunt aflezen die – in erbij behorende afwijkende vormen – dan overal gevonden kunnen worden.

Van tevoren – als een vorm van vervolmaking van het handwerk – zal steeds sprake zijn van een eenvoudige, steeds terugkerende constructie. Het gebruiken van de rechte hoek is daarbij nuttig, waarbij twee basisvragen beantwoord moeten worden.

1.Op een bepaalde plaats op een rechte lijn een loodrechte lijn oprichten:

meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 

 

Vanuit het gegeven punt als middelpunt teken je het bovenste deel van de ‘bloem’. Aan weerszijden van dit punt ontstaan twee kleine blaadjes, loodrecht daarop een groot blad, waarvan de middellijn de gezochte loodlijn is.

Op de volgende tekening zie je, dat je uit het gegeven punt als middelpunt een cirkel kunt trekken met een willekeurige straal die wel groot genoeg moet zijn, zodat op de rechte lijn twee snijpunten ontstaan. De doorsnede van deze cirkel neem je dan tussen de passer en vanuit de twee snijpunten trek je twee cirkels. Deze vormen weer een een ‘groot’ blad, de eerste cirkel kan als ‘klein’ blad gezien worden:
meetkunde-strakosch-5-2

 

 

 

 

Als je goed kijkt, zie je dat het erop aankomt dat een of ander punt van de gezochte rechte lijn vanuit twee punten op de gegeven lijn dezelfde afstand heeft, die dus zelf vanaf het gegeven punt even ver verwijderd zijn.

2.Vanuit een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodlijn neerlaten, d.w.z. een lijn trekken die door dat punt gaat en loodrecht op de rechte lijn staat.
Met een  willekeurige  straal maak je een cirkel vanuit dit punt; deze cirkel zal de rechte lijn op twee plaatsen snijden die even ver van het gegeven punt verwijderd zijn:
meetkunde-strakosch-5-3

 

 

 

 

De afstand van die punten tot het gegeven punt is de straal van die cirkel. Vanuit die punten trek je nog twee cirkels. Die gaan door het gegeven punt en je vindt de loodlijn als je de middellijn van het ‘blad’ trekt dat ontstaan is. De stralen van deze cirkels zijn op de tekening even groot als die van de eerste cirkel, maar ze mogen ook anders zijn, als ze maar even groot zijn. De middellijn van het ontstane blad zal steeds door het gegeven punt gaan en loodrecht op de rechte lijn staan.

3.Een vierkant tekenen waarvan de diagonalen zijn gegeven.
meetkunde-strakosch-5-4

 

 

 

De dubbelgetrokken horizontale lijn is de gegeven diagonaal waarvan de eindpunten twee hoekpunten van het vierkant vormen. Vanuit deze als middelpunten trekt je twee cirkels met de gegeven diagonaal als straal. De middellijn van het ontstane grote blad deelt de diagonaal middendoor en staat er loodrecht op. Vormt daarmee de tweede diagonaal. Met het punt van de twee zich snijdende diagonalen als middelpunt en de halve diagonaal als straal, trek je een cirkel die de vertikale diagonaal op twee plaatsen snijdt. Dat zijn de twee andere punten van het vierkant.

4.Een gegeven hoek doormidden delen, d.w.z. een rechte lijn trekken die met de beide benen een even grote hoek vormt.
meetkunde-strakosch-5-5

 

 

 

 

Dit is in deze tekening met cirkels uitgewerkt. Links wordt een hoek van 60º in twee delen van 30º gedeeld; rechts een hoek van 2  x  60º  = 120º  in twee delen van ieder 60º . – In de tekening is het proces goed te zien: (links) met behulp van een cirkel waarvan het middelpunt in het toppunt ligt van de te verdelen hoek, worden op de beide benen van de te delen hoek gelijke stukken afgepast (de straal van de cirkel). Met dezelfde straal worden vanuit de gevonden snijpunten twee cirkels getrokken die elkaar snijden en een groot blad vormen. Het ene punt ligt in het gegeven hoekpunt; het andere daar tegenover. De verbindingslijn is de middellijn van het blad en tegelijkertijd de lijn die de hoek deelt.

Deze tekening laat de gang van zaken zien voor een willekeurige hoek:
meetkunde-strakosch-5-6

 

 

 

 

 

De hoekdeellijn wordt bepaald door de tophoek en het snijpunt van de twee cirkels die het blad vormen. Die moeten wel even groot zijn, maar de straal kan anders zijn dan van de cirkel die op de benen de gelijke afstand heeft, en de middelpunten aangeeft van de andere cirkels. In het algemeen, d.w.z. wanneer de drie cirkels niet allemaal even groot zijn, zal het tweede punt niet in de tophoek liggen, maar ergens op de hoekdeellijn en dan wel binnen de hoek wanneer de cirkel die het blad vormt kleiner is dan de eerste en erbuiten wanneer het omgekeerde het geval is. Omdat echter één punt van de hoekdeellijn altijd in de punt van de te delen hoek moet liggen en een rechte lijn door twee punten moet gaan, is het voldoende, om slechts één snijpunt van die twee cirkels die het ‘blad’ vormen, te vinden.

Wanneer je echter alleen het hoogst nodige van de constructie wil tekenen, dan zijn de sterker benadrukte cirkelstukjes genoeg. – Iemand zou kunnen zeggen: waarom dan eerst die constructie van deze tekening:
meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 
het kan toch simpeler?
Bij het puur technisch tekenen komt het – waar hier sterk naar gestreefd wordt – op de eenvoud aan. Maar we willen zo werken dat we door het oefenen juist veel leren van de verschijnselen en we de daarin tot uitdrukking komende wetten leren kennen. Want we willen ons, zogezegd, oefenend inleven in de geometrie. Steeds maar naar het simpele kijken, betekent: oogkleppen opzetten, i.p.v. steeds verder en dieper doordringen in de rijke wereld van de meetkundige feiten en de geheimzinnige en belangrijke wetten doorgronden. De mooiste constructie is, die ons de meeste samenhangen tot bewustzijn brengt. Wanneer je er steeds naar streeft, de blik op het geheel niet te verliezen, wordt later de praktische toepassing – je zou kunnen zeggen – een peulenschil. Bij het eenvoudiger maken, blijven we ons bewust van de samenhang. We hebben niet simpelweg een regel van buiten geleerd, die we weer snel vergeten; we hebben dan veel meer de samenhang innerlijk paraat, we kunnen dus uit het overzicht steeds opnieuw het detail halen. De ervaring leert dat degene die op deze manier oefent, in stijgende mate wat geoefend werd in zijn voorstellingsbeleven heeft en in staat is, ‘in het hoofd’ de meetkundige operatie uit te voeren; ja, hij zal daarbij ook op nieuwe ideeën komen en veel zelf vinden dat erbij hoort en pas later wordt besproken. Je leert met dezelfde intentie voorstellen, waarmee je voordien waargenomen hebt en dat is waardevol.

In deze trant nemen we deze oefening:
meetkunde-strakosch-5-7

 

 
We hebben deze aleens gezien (meetkunde 4-2, tek.7) en later komt die nog terug.

In het midden hebben we een lijnstuk (zo noem je ter onderscheiding van een onbegrensde rechte lijn, een door een of twee daarop liggende punten begrensd deel(stuk) van een (rechte) lijn.(pw.: let op het is de dikke vertikale (korte lijn).
In een rechte hoek daarop staat een gepuncteerde loodrechte lijn die het lijnstuk in het midden snijdt; die noemt men middelloodlijn.

Het woord loodlijn heeft te maken met het schietlood die de richting van de zwaarte aangeeft, namelijk van boven naar beneden. De richting staat ‘loodrecht’ op de oppervlakte dat gevormd wordt door stilstaand water. In de meetkunde wordt echter het begrip ‘loodrecht’ gebruikt, onafhankelijk van de richting van die krachten die ieder object wanneer het wordt losgelaten rechtlijnig naar beneden aanhoudt. Hier wordt alleen gekeken naar het feit van een rechte hoek. Men zegt dat rechte lijnen loodrecht op elkaar staan, wanneer ze een hoek van 90º vormen, een rechte hoek omsluiten en dat totaal onafhankelijk van hun positie. Ga je dus, zoals hierboven van een lijnstuk uit dat van boven naar beneden loopt en wil je de rechte lijn benoemen die door het middelpunt van dit lijnstuk gaat en daarmee een rechte hoek vormt, dan noemt men dat een ‘middelloodlijn’. 
Net zo noemt men in de meetkunde de ‘hoogte van een driehoek’ de kortste afstand, het lood van twee snijpunten op de derde driehoekszijde, dus de rechte lijn die loodrecht op een zijde staat en daarbij door de snijpunten van de beide andere gaat. Ook dat is onafhaneklijk van de positie van de driehoek op het vlak. De zijde waarop de hoogte loodrecht staat, heet haar’ basis’; deze kan dus elke willekeurige lengte hebben. – Staat ze horizontaal dan kan de hoogte zelfs in de oorspronkelijke zin een ‘loodrechte’ lijn of ‘loodlijn’ genoemd worden.

(Terug naar bovenstaande tekening): Een paar punten van de middelloodlijn(en) zijn verbonden met de hoekpunten van het lijnstuk en door het cirkelveld zie je dat ieder punt van de gepuncteerde horizontale lijn even ver verwijderd is van de eindpunten van het lijnstuk. – Dit feit kun je ook zo uitspreken, wanneer je allereerst de daardoor ontstane gelijbenige driehoeken op het oog hebt:
richt men op een gegeven basis alle mogelijke gelijkbenige driehoeken op, dan liggen alle tophoeken steeds op de middelloodlijn op de basis. Of: de middelloodlijn op de basis is de ‘meetkundige plaats‘ voor de tophoeken van alle op haar opgerichte gelijkbenige driehoeken.

De van de tophoek naar de eindpunten van de basis gaande rechte lijnen vormen een bepaalde hoek die kleiner wordt naarmate de tophoek zich verwijdert van de basis. Daarbij worden de steeds gelijkblijvende basishoeken groter. – In de tekening zie je naast het ‘grote’ blad, waarvan de lengteas de basis is, een zich steeds herhalende rij van ‘grote’ bladeren. De spitsen ervan liggen op twee rechte lijnen die steeds even ver van elkaar verwijderd blijven, hoe ver je ook het cirkelveld (in beide richtingen) uitbreidt: zulke rechte lijnen noemt men parallellen en zegt dat deze elkaar pas snijden in het ‘oneidige’. Aan de tekening kun je aflezen dat de middelloodlijnen op de basis ook parallel zijn aan deze beide rechte lijnen; verder, dat de zijden  (verbindingslijnen tussen de tophoek en eindpunt op de basis) de eerstgenoemde parallel steeds dichter naderen, naarmate de tophoek zich verder verwijdert naar het oneindige. Dat gebeurt wanneer ieder been zich om het eigen eindpunt op de basis draait. Hierbij wordt de hoek die ze insluiten, steeds groter en wanneer zij parallel gaan lopen, wordt deze recht = 90º (de rechte lijnen gaan dan door de spitsen van de boven- en onderrij van de ‘grote’ bladeren).
Je kan een hoek beschouwen als de mate waarin twee rechte lijnen samenlopen of uit elkaar bewegen, al naar gelang in welke richting je je op de rechten beweegt, naar het kruispunt of daar vandaan. Wanneer twee rechte lijnen samen lopen, noch uit elkaar gaan, dan is er geen hoek tussen hen; je kunt zeggen: de hoek die ze omsluiten is gelijk aan nul, ze zijn parallel.
Bij een driehoek met de hoogte ∞ (dat is het teken voor ‘oneindig’) zijn dus de basishoeken allebei recht, de tophoek is = 0: de som van alle drie de hoeken = 2  x  90º =  180º. Daaraan verandert niets, ook al heeft de hoogte een eindige lengte, want iedere basishoek wordt om de helft van de tophoek kleiner, als de met zwarte dubbelboogjes aangegeven hoeken gelijk zijn. omdat namelijk hun benen dezelfde richting hebben, parallel zijn.

De som van de binnenhoeken van een driehoek zijn steeds 2 R = 180º
Hiermee wordt op een feit gewezen en een oefening gegeven die later vruchtbaar blijkt te zijn.

In de tekening (boven) zijn rechts en links van de vertikale lijn punten van de horizontale middelloodlijnen met de beide eindpunten van de vertikale lijn verbonden. Zulke punten die van daaraf gelijke afstanden hebben wat je aan de kleine blaadjes makkelijk kan zien, zijn met de eindpunten van de vertikale lijn door lijnen verbonden die op dezelfde manier uitgetrokken zijn (gepuncteerd, gestippeld enz). Zo ontstaan geheel gesloten figuren, zgn. ruiten of rhomben (enkelvoud: rombe) Je kunt ze bestempelen als bestaand uit ieder twee gelijkzijdige driehoeken die allemaal de vertikale lijn als gemeenschappelijke basis hebben. Maar je kunt ook vierhoeken maken die uit twee paar even lange rechten bestaan, waarbij de rechten van ieder paar verschillend zijn; de tophoeken van de beide driehoeken waaruit ieder figuur bestaat, liggen op de middelloodlijn, maar niet op gelijke afstand van de vertikale lijn zoals bij de ruiten het geval is. Zulke vierhoekn zijn deltoïden of vliegers. De laatste naam komt van de verwantschap met de vlieger die de kinderen zo graag oplaten.

Ruiten en deltoïden hebben de belangrijke eigenschap dat hun diagonalen steeds loodrecht op elkaar staan. Bij de ruiten halveren de diagonalen elkaar over en weer, bij de deltoïden wordt alleen die diagonaal gehalveerd die de hoeken verbindt waarin de ongelijke zijden bij elkaar komen. – Uiteindelijk kun je ook vierhoeken uit zulke driehoeken met verschillende hoogte vormen die op dezelfde vertikale lijn liggen:
meetkunde-strakosch-5-12

 

 

 

 
Je kunt ze ingestulpte deltoïden noemen. De diagonaal die gehalveerd wordt, ligt buten de figuur. Om het snijpunt te bepalen, moet je de andere diagonaal langer maken.

.

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-4)

.

Ter verduidelijking heb ik in een tekening wat letters aangebracht – het is een deel uit de grotere tekening.

Over het ontstaan van een gelijkzijdige driehoek

Teken eens drie cirkels X. Y, Z die ieder door het middelpunt van de twee andere gaan. Er ontstaan drie grote bladeren: AYZX; YZCX; XYBZ  en door de punten van ieder blad trek je een rechte lijn: a, b en c. Het resultaat is het belangrijke feit dat deze drie rechten elkaar in één punt D snijden. Dat kan niet anders, want dan zouden de drie grote bladeren uit ongelijke boogstukken moeten bestaan. En dan zou echter iedere cirkel onmogelijk door het middelpunt van de beide andere kunnen gaan.

 

meetkunde-strakosch-3-1

 

 

 

 

 

 

 

Voor twee van de drie punten pas je nu toe wat voor deze tekening al werd gezegd, (meetkunde 4-3) wanneer je de cirkelmiddelpunten op de drie rechten steeds verder naar buiten op laat schuiven. Zodra deze middelpunten in het oneindige vallen, worden de ieder door twee punten gaande cirkelbogen tot rechten:

In deze tekening (uit 4-3) is er 1 zo’n rechte lijn ontstaan; hier doet Strakosch
meetkunde-53

het met 2 punten en dan zie je de rechte lijnen – die met de vele steeds vlakker wordende boogjes ontstaan:
meetkunde-strakosch-3
Je.kan echter ook, zoals hieronder, de middelpunten op de drie rechten in plaats van naar buiten, ook naar binnen laten verschuiven, naar het middelpunt van de driehoek toe, het snijpunt van de drie rechten. Daarbij worden de boogstukken tussen elke twee punten meer gebogen. Wanneer tenslotte de drie middelpunten met het snijpunt van de drie rechten samenvallen, dan ontstaat een drievoudige cirkel door de drie punten. (Worden bij het opschuiven naar binnen de drie middelpunten even ver van het snijpunten van de drie rechten genomen, wat vrij staat, dan liggen de snijpunten van de deze cirkels op dezelfde rechten – en wel op het gepuncteerde deel.):
meetkunde-54

Wanneer je de beweging van de middelpunten naar buiten en naar binnen in dezelfde tekning weergeeft, krijg je een cirkel waarin een gelijkzijdige driehoek ingeschreven is, een van de basisfiguren van de geometrie.

Op basis van wat zojuist werd opgemerkt en door de tekeningen hoef je het trekken van rechte lijnen in regelmatige cirkelvelden niet meer als een vreemd, erbij gehaald element te zien..

Ook het vierkant kun je in het cirkelveld intekenen.
In de middencirkel van een ‘bloem’ teken je een zeshoek:

meetkunde-31

 

 

 

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-4-1
Op  iedere hoek komen twee grote bladeren bij elkaar waarvan de middelpunten (deels verlengd en gepuncteerd) loodrecht op de zijden van de zeshoek staan die door de aanliggende kleine blaadjes gevormd worden. Ieder door een van de hoekpunten gaande cirkels snijdt op de middellijnen de lengte van zeshoekszijde. De verbindingslijnen van deze punten zijn de vier zijden van de zo ontstane zes vierkanten.

Snijd je de inzet tussen de vierkanten weg en breng je de vierkanten omhoog, dan krijg je een doosje. De vlakken kunnen binnen en buiten (wanneer je de tekening op de achterkant met behulp van de middelpunten nog een keer maakt) met behulp van de cirkels, gekleurd worden. –

Tussen ieder twee vierkanten ligt een klein blad. Snijd je ze langs hun middellijn door en schuif je de zo ontstane tussenruimten over elkaar, dan krijg je een schaal.

Meetkunde: alle artikelen

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

1134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (2-3/2)

.

1e week    3e week   4e week

Hier volgt een impressie van de 2e week van de periode meetkunde in klas 6.

Als voorbereiding is het raadzaam Meetkunde [1]   en [2] te bestudere

Vakkenintegratie is belangrijk: de leerlingen kunnen ervaren hoe alles met elkaar samenhangt. En wat ze in het ene vak leren, zien ze in een ander vak, vanuit een ander standpunt, terug.

Een indeling in dagen is nu niet zo makkelijk te geven, want als je bijv. teruggaat naar de 5e klas – Egypte – en je laat na, na het vertellen over hoe de akkers werden gemeten, de ‘godin van de richting’te tekenen – of aan het eind van de 1e dag daar een begin mee maken, wordt de tijdsindeling anders.

De tweede week

Een eerste dag

In klas 5 kwam in de gechiedenisperioden ook Egypte aan de beurt.

In het hier al genoemde boek van Alexander Strakosch besteedt de schrijver ook aandacht aan Egypte:

Wanneer duidelijk is geworden dat je kennelijk ‘stukken grond’ met een stok en een touw kunt bepalen, moet dat ook worden bekeken:

meetkunde-32

En hierin is wel een rechthoekige akker te zien:

meetkunde-33

Dit is een zeer belangrijk ogenblik in de meetkundeperiode: voor het eerst wordt duidelijk dat een meetkundig figuur – hier de rechthoek – ontstaat vanuit de cirkel. We gaan natuurlijk vanaf nu na of dat voor elke andere figuur ook geldt.

We gaan terug naar de eerste week en nemen deze tekening:

meetkunde-23

Daarin tekenen we alle mogelijke lijnen, nadat we ons goed gerealiseerd hebben, dat de lijnen een verbinding vormen tussen punten, zoals bij de rechthoek ontdekt werd.

meetkunde-34

De kinderen zien in ieder geval driehoeken en ja, ook deze figuur ontstaat in de cirkel; en ‘déze figuur’, waarmee ze de ontstane ruit bedoelen.

Maar ‘deze figuur’ is niet echt handig als mogelijkheid om iets in een meetkundige tekening aan te duiden.
En daar hebben de mensen iets voor bedacht. Een afspraak die over de hele wereld geldt: punten geven we een letter uit het alfabet en we schrijven die met een hoofdletter.

meetkunde-35

Wanneer je naar die punten kijkt, blijken het hoekpunten te zijn, maar D bijv. is ook middelpunt van een cirkel.

Meestal gebruiken we voor het middelpunt de letter M, maar het is niet verplicht.

Het telkens moeten opschrijven: ‘teken een cirkel met een middelpunt M’ zijn wel veel woorden en daarom werken de mensen liever met symbolen en dat gaan wij ook voortaaan doen, dus zo:

ꙩ M

En nu we toch weer bij de cirkel stilstaan en aan het benoemen zijn, willen we ook weten hoe we de lijn noemen die de grootte van de cirkel bepaalt.

Wanneer de leerlingen ‘middellijn’ zeggen, is dit niet fout, maar hoe ontstaat dan die middellijn. Met een bepaald stukje lijn tussen de passer.

Dat bepaalde stukje lijn noemen de mensen een lijnstuk: van A naar B; of van D naar E. En omdat we het woord ‘naar’ niet echt nodig hebben, laten we dat weg: lijnstuk AB en/of DE enz.

In bovenstaande tekening kunnen we nu alle lijnstukken benoemen.

En we zien nu dat lijnstuk AD; DC; DB; DE; AB; BF even groot zijn, want het zijn dezelfde lijnstukken die we tussen de passer hadden toen we met de 1e cirkel begonnen.

Toen we in de 1e week deze tekening maakten:

meetkunde-10

was het woord ‘stralen’ al eens gevallen en ja, al deze lijnen zijn stralen.

Het Latijnse woord voor straal  = radius en de =r= staat symbool voor dit lijnstuk.

Dus als er dit staat:

Ꙩ M  r=5, dan weet je dat je een cirkel M – dit is het middelpunt – moet tekenen met een straal van 5 cm.

Ook de middellijn kunnen nu nog anders benoemen: 2 x de straal of wel 2  x   r. Dus 2r.

Uiteraard is het goed om te kinderen zelf de omschrijvingen te laten vinden! Zoals al eerder gezegd: ze zijn soms sprekender dan de officieel gangbare; maar de laatste leren we.

Een tweede dag
Voor je weer verder gaat met de lesstof, is het iedere dag belangrijk te herhalen wat er eerder werd geleerd. De ontstane begrippen, symbolen. Of in het algemeen: wat hebben we tot nog toe geleerd.

We gaan ook weer naar de ‘bloem’ kijken en tekenen Ꙩ M   r=5    r = MA

meetkunde-38

r blijft 5 en we tekenen nu vanuit A  Ꙩ A. De snijpunten waar deze cirkel de omtrek van Ꙩ M  raakt, noemen we B en C. Je ziet meteen dat AC een straal is van  Ꙩ A en AB eveneens.

meetkunde-39

We kunnen nu al de conclusie trekken dat MA=AB=AC

Met dezelfde passergrootte trekken we vanuit B    Ꙩ  B:
Het snijpunt op de omtrek van Ꙩ  M   noemen we D

meetkunde-40

En: BD = MA= AB (= AC, die ik hier niet teken om duidelijker te laten zien hoe de figuur verder groeit)

Weer verder met vanuit D: Ꙩ  D

meetkunde-41

We vinden op de omtrek van Ꙩ  M een nieuw snijpunt dat we E noemen.

Je kunt de letters omkeren, wanneer je vanuit de andere richting benoemt, wat je zeker moet doen om te laten zien dat het niet per se op één manier hoeft:

ED = DB =BA = AM

Vanuit E doen we het nog eens: snijpunt F

meetkunde-42

MA = AB = BD = DE = EF

En nog eens vanuit F: het snijpunt C staat er al!

meetkunde-43

CF = FE = ED = DB = BA = AM

Wanneer we dan nog C als middelpunt van de Ꙩ  C nemen:

meetkunde-44

zijn we rond en kunnen we concluderen dat AB =BD=DE=EF=FC=CA=AM

Dat betekent dat al deze lijnstukken evengroot zijn. Dat we hier 6 even grote stralen hebben en als we naar cirkel M kijken, hebben op die cirkelboog 6 punten gekregen die evenver van elkaar moeten liggen, omdat de afstand die tussen deze punten ligt dezelfde lijn is: straal MA.

Daarmee hebben we bewezen dat de straal van een cirkel 6 x op de omtrek past, m.a.w. we kunnen nu een cirkelboog in 6 gelijke delen verdelen.

Ook zien we in, dat we niet steeds de volledige cirkel hoeven te tekenen, maar alleen de punten die we nodig hebben.

meetkunde-45

De kinderen moeten er goed van doordrongen zijn, dat we, telkens als we iets willen construeren en we deze kleine boogjes zetten, we eigenlijk cirkels tekenen die we niet echt nodig hebben, maar die, als we ze wel volledig tekenen ons laten zien waarom het juist is wat we doen: het bewijs is er in te lezen!

Nu we de cirkel geometrisch juist in 6-en kunnen verdelen, levert dat weer nieuwe mogelijkheden op:

We zijn in staat een zeshoek én een zesster te construeren – het nieuwe woord dat we voortaan zullen gebruiken, mét het woord ‘constructie’.

En als we de cirkel(s) niet echt nodig hebben, tekenen we die uiterst dun, zodat we de overbodige lijnen later kunnen verwijderen:

meetkunde-46

Uiteraard levert dat weer vele schoonheidsvormen op:

6e-klas-meetkunde-2d

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde onder nummer 2

Na een best inspannende manier van voorstellen om tot bovenstaande bewijzen te komen, is het fijn als er in het kunstzinnige toepassen weer een andere kwaliteit wordt aangesproken dan het denken: de wil in de exacte uitvoering van bijv. de zesster  en het gevoel in het zoeken van mooie kleurcombinaties.
Daarmee wordt dan dag 2 afgesloten.

Een derde dag
Nu we een tijdlang aan de cirkel hebben gewerkt, is het misschien een mooi tegengesteld onderwerp: de rechte lijn.
Als voorbereiding zou je nu meetkunde 4-3 kunnen bestuderen.
Omdat het goed is er telkens aan te denken, hoe kun je met de leerlingen ‘levend’ denken, welke weg kun je gaan om van levende begrippen – en hoe minder subjectief die zijn, des te meer zijn het ‘ideeën’, geestelijke realiteiten, in een zekere verstarring te komen, dus bij het begrip dat weinig ruimte meer laat: de definitie.
Zo zou je hier – zie Strakosch – ook van een cirkel uit kunnen gaan en – in gedachten – de middellijn langer kunnen denken . Wat gebeurt er dan met de cirkelboog. Deze komt dus steeds lager te liggen, totdat hij samenvalt met de middellijn. Je kunt even een uitstapje maken naar ronde of bijna ronde voorwerpen in je omgeving en deze op soortgelijke manier veranderen. Hilariteit! Ook als je de omgekeerde weg bewandelt en een rechte lijn probeert ‘naar een halve boog te denken’. Hoe wonderlijk en vreemd zou de wereld eruit zien, als dit ook met de materie zou kunnen. (Het principe van de lachspiegel!)

Nu laten we deze oefening even rusten.
We nemen de passer en tekenen Ꙩ,  r=willekeurig (maar niet te groot). We trekken de straal. Iets verder naast het middelpunt zetten we de passerpunt op de straal en in het verlengde van de straal, met dezelfde straalgrootte, zetten we een klein boogje ( dat is dus weer een heel klein gedeelte van een cirkel. Dat herhalen we een aantal keren.

meetkunde-55
Nu kunnen we weer een voorstellingsoefening doen: Denk je eens in dat we de passerpunt op de straal bijna op het middelpunt hadden gezet en zoals boven, een cirkelboogje getrokken en dat vele keren achter elkaar. Wat zie je buiten de cirkel in het verlengde van de straal ontstaan: heel veel dicht bij elkaar liggende kleine boogjes. Als je die boogjes nog kleiner denkt, krijg je het kleinst denkbare boogje: een punt. En als je die punten heel dicht tegen elkaar aan denkt, heb je een……lijn.
En daarom wordt er van de lijn gezegd dat het een verzameling van punten is.

meetkunde-56

We hebben de lijn dus leren kennen als ‘een spoor van een beweging’, onzichtbaar totdat er concreet – op aarde, op papier enz. – een stukje ervan zichtbaar wordt; en nu als een verzameling punten.

meetkunde-57Dit is een lijn

meetkunde-58Het zichtbaar geworden stuk: een lijnstuk. Een begrensd stuk, vandaar dat het afgebakend dient te worden:

meetkunde-59

strikt genomen kunnen we dus niet zomaar over ‘een lijn’ spreken als we die in de meetkunde nodig hebben. We moeten eigenlijk steeds ‘lijnstuk’ zeggen. Maar in het dagelijks spraakgebruik zeggen we toch meestal: een lijn van 5 cm bijv.

Wanneer je dit consequent verder denkt is een halve lijn dus dit:

meetkunde-60

Niet dat de leerlingen dat allemaal hoeven te weten (maar er zijn er altijd bij die deze wetenschap prachtig vinden, dus waarom niet), het is wél goed dat ze kennis maken met een wereld waarin het om exact formuleren gaat, om goede afspraken die voor iedereen gelden.

Uiteraard komt de vraag: wat is dan de helft van een lijn, dus in het spraakgebruik: een halve lijn – meetkundig gezegd: een half, de helft van een lijnstuk.
En als je dit niet met liniaal mag meten – of kunt meten – dan moet deze geconstrueerd kunnen worden. Hoe?
Je raadt het al: terug naar de cirkel(s).

meetkunde-35

De driehoeken ABC en ADC zijn op precies gelijke manier getekend. Als je ABC omklapt met AGC als vouwlijn, vallen ze precies over elkaar: ze zijn dus gelijk. Dat geldt ook voor ABD en CBD. Als je die omvouwt met BGD als vouwlijn, vallen ze ook precies over elkaar. Dat geldt dan ook voor ABG en BGC.
Daaruit volgt dat AG = GC en BG=GD.

Omdat we ‘daaruit volgt’ nog vaak nodig hebben, leren we alvast het geometrische teken daarvoor: →

M.a.w. we hebben het lijnstuk AC precies in het midden gedeeld in G.

We trekken een lijnstuk AB van bijv. 5 cm. Deze nemen we als straal en maken vanuit A en B 2 cirkels met de snijpunten C en D. We trekken CD die AB snijdt in G. G is het midden van AB.

meetkunde-61

Nu gaan we de overtollige lijnen weglaten:

meetkunde-62

Alleen de kleine omcirkelboogjes zijn nodig en punt G.

Het is goed om dit zo (lang) te oefenen (tot)dat ieder kind het moeiteloos kan. En ook weet waarom het goed is.
Dat hoort dus bij het herhalen, de volgende morgen: wat hebben we gisteren geleerd.
Nu komt het zeker aan op juist en in volgorde van handelen te formuleren.
Natuurlijk worden ook alle begrippen en symbolen iedere keer herhaald.

Nu we een lijnstuk kunnen delen, nemen de mogelijkheden om dit kunstzinnig toe te passen enorm toe. Want de 6-ster en de 6-hoek kunnen nu 12-ster en 12-hoek worden, met al die variaties waarvan we hier maar een klein deel zien:
(voor meer achtergrond: meetkunde 4-5)

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas meetkunde –  (onder nr. 4)

.
6e-klas-meetkunde-23

Een vierde dag
De geleerde constructie van gisteren wordt, nadat deze door de kinderen mondeling beschreven is, in het periodeschrift bij de constructies nauwkeurig schriftelijk beschreven. Dit kan bijv. ook een opdracht zijn voor thuis.

Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat je met het delen van een lijnstuk – zie boven – wanneer je G gevonden hebt – tegelijk eigenlijk een loodrechte lijn in G hebt opgericht. Loodrecht omdat G van driehoek ABG net zo groot is als hoek G van driehoek CBG, dus moet de lijn precies loodrecht staan.

Van hieruit proberen we nu een loodlijn op te richten op een willekeurig punt G op lijnstuk AB:

meetkunde-63

Gegeven: lijnstuk AB = 5cm
Punt G willekeurig
Gevraagd: loodlijn in G

Je zorgt ervoor dat G in het midden komt te liggen door GB als straal te nemen en deze af te zetten op GA, snijpunt C. Nu ben je bij het uitgangspunt van de constructie om een lijn doormidden te delen. Je neemt de opening tussen de passer iets groter en cirkelt boven G om vanuit C en B. Snijpunt D. Vanuit G naar D getrokken is de gevraagde lijn de loodlijn. Je kunt hem ook doortrekken naar E als je vanuit C en B omcirkeld hebt.

Een nieuw symbool: staat loodrecht op:   ⊥

Bij de constructie van een lijnstuk halveren, een loodlijn oprichten op een gegeven punt op een willekeurig(e) lijn(stuk, ‘hoort’ eigenlijk nog de construcite vanuit een gegeven punt boven (of onder) een willekeurig(e) lijn(stuk een loodlijn neerlaten, dan wel oprichten. ‘Hoort’ omdat ze bijna hetzelfde zijn.

Voor het lijnstuk onder de gegeven punt, nemen we nu eerst maar wat het meest natuurlijk lijkt: een horizontale.

Rond deze vorm kun je het nog over de heemkundeperiode in de 3e klas hebben, waarin de huizenbouw aan de orde kwam. Bij alle gereedschappen is zeker ook het schietlood behandeld en is het ‘lood’ in loodrecht weer wat duidelijker.

Gegeven:
willekeurig punt X en lijn a
Gevraagd: vanuit X een loodlijn op a

meetkunde-64

Neem een straal tussen de passer zo groot dat omcirkelen vanuit X op a twee snijpunten geeft: A  en   B.
Cirkel vanuit deze punten onder lijn a zo om dat de boogjes elkaar snijden: Y
Trek vanuit X met een liniaal het lijnstuk X tot op lijnstuk AB: C
XC is de gevraagde lijn.
Het is goed om zo precies te zijn, dat – hoewel XC en CX even groot zijn, tóch XC te zeggen, omdat de vraag is: vanuit punt X
C is dus ook het punt wanneer we vanuit Y een loodlijn op a construeren.

Om nog even bij de loodlijnen te blijven en ons te realiseren dat we de constructies eigenlijk maken met behulp van cirkels waarvan echter alleen maar kleine (om)cirkelboogjes worden gebruikt, is dit bijv. een mooie kunstzinnige verwerking:

Vanuit (het denkbeeldige) A en B is op XY steeds met een kleiner wordende straal omcirkeld. Zou je de straal bijv. steeds 1 cm kleiner willen maken, dan moet je die grootte vanaf een liniaal overnemen.

6e-klas-meetkunde-29

Een vijfde dag
Het herhalen neemt elke dag wel een bepaalde begintijd in.
Soms moet er ook gelegenheid zijn om dingen af te maken.
vooral de kunstzinnige tekeningen. Die kunnen ook wel als huiswerk thuis afgemaakt worden.

Inmiddels kunnen de leerlingen zessterren- en hoeken tekenen; daarin driehoeken; twaalfsterren- en hoeken met daarin ook weer driehoeken en vierkanten enz.
Omgekeerd is het ook een hele opgave om een kunstzinnige tekening zo te doorzien, dat je weet hoe die tot stand is gekomen.

Hoe is deze gemaakt?

6e-klas-meetkunde-31

Vanuit de waarneming de volgorde van handelen proberen te zien.
1)  de grote cirkel
2) zesmaal de straal afzetten op de cirkelboog
3) het midden bepalen van 1 zo’n boogje
4) vandaaruit weer zes keer afzetten op de cirkelboog: er zijn nu twaalf punten
5) De punten zo verbinden dat je er telkens twee overslaat
6) Het staande vierkant helemaal tekenen
7) Het vierkant daaronder: alleen de lijnen die zichtbaar zijn
8) Het onderste vierkant: alleen de lijnen die zichtbaar zijn.

Uiteraard maken de kinderen er zelf ook een, met andere kleuren; of halen bijv. als laatste de cirkel weg, waardoor er een puntiger karakter ontstaat.

Je kunt ervoor zorgen dat je een aantal van bovenstaande vormen – oplopend in moeilijkheidsgraad – klaar hebt liggen, die de leerlingen kunnen uitzoeken en meenemen naar hun plaats om de constructie ervan te vinden en uit te voeren.

cirkel; liniaal; lineair; willekeurig; onwillekeurig; omtrek; middellijn; middelpunt, verticaal, horizontaal, diagonaal; vlak; snijden; straal; snijpunt; constructie, construeren; zesster; zeshoek (hexagram, hexagoon); cirkelboog; verzameling; lijn; lijnstuk; loodlijn;

symbolen:
Ꙩ             cirkel met middelpunt
cirkel met middelpunt M
r              radius = straal
2r           2x de radius = de middellijn
→           daaruit volgt
⊥            staat loodrecht op

suggesties voor de periode:

1e week
3e week
4e week

6e klas: alle artikelen (waarbij de meetkunde-artikelen)

meetkunde: alle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas- meetkunde: alle beelden

.

1130

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.