VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.26 t/m 30

Over de cirkel en over de rechte lijnen

Bij de ‘bloem’ en in het cirkelveld in ’t algemeen kunnen we zien, dat een cirkel een andere cirkel in de regel in twee punten snijdt. Verder kunnen we zien dat steeds de rechte verbindingslijn van de middelpunten, ‘centrale lijn’ genoemd, loodrecht staat op de rechte verbindingslijnen van de snijpunten. De ene rechte lijn is steeds de middellijn van een groot, de andere die van een klein blad en deze staan – zoals we al weten – loodrecht op elkaar.

Op deze tekening staan twee elkaar snijdende cirkels met willekeurige stralen. De stralen die de snijpunten met de middelpunten verbinden, vormen een deltoïde, waarvan de diagonalen de centrale lijn en de rechte verbindingslijnen van de snijpunten zijn; deze staan zoals bekend loodrecht op elkaar:

meetkunde-strakosch-5-8

 

 

 

 

 

 

 
In de volgende tekening is de linker cirkel even groot als de rechter, die t.o.v. de  tekening hierboven kleiner is geworden; de lengte van de centralen, dat is de afstand van de middelpunten, is hier en bij de volgende tekeningen even groot. Omdat hier de rechter cirkel even groot is als de linker, is de deltoïde een ruit geworden. Belangrijk is dat de afstand van de snijpunten kleiner is geworden; de figuur is vlakker geworden. De som van de stralen is nog steeds groter dan de centrale lijn:

meetkunde-strakosch-5-9

 

 

 

 

 

 
In de tekening hieronder is de som precies gelijk aan de centrale lijn. De deltoïde waarvan het langere paar zijden en het kortere, na door de ruit te zijn gegaan, van plaats gewisseld zijn, is nu geheel plat geworden; de beide snijpunten liggen bovenop elkaar, zijn in een dubbelpunt samengekomen. Dit punt ligt zowel op de ene als op de andere cirkel en heet raakpunt (Duits heeft ‘äussere‘ ‘buitenraakpunt), omdat het middelpunt van de ene cirkel buiten dat van de andere ligt. De beide cirkels hebben alleen dit punt gemeenschappelijk.

meetkunde-strakosch-5-10

 

meetkunde-strakosch-5-8

In bovenstaande tekening kunnen we de snijpunten van beide cirkels naar links laten lopen waarbij de rechter cirkel groter wordt en we kunnen waarnemen hoe deze zich steeds meer van elkaar verwijderen. De afstand zal het grootst zijn, wanneer het bovenste (snijpunt) het hoogste, het onderste het laagste punt van de cirkel heeft bereikt. Hun verbindingslijn gaat door het middelpunt en staat loodrecht op de centrale lijn; de deltoïde die uit twee gelijkbenige driehoeken ssamengesteld schijnt te zijn, is in één gelijkbenige driehoek veranderd, daar de linker driehoek steeds vlakker en tenslotte een rechte is geworden. Zoals op onderstaande tekening:

meetkunde-strakosch-5-11

Laten we de snijpunten nog verder naar links opschuiven, komt het middelpunt van de cirkel rechts van haar verbindingslijn te liggen. In onderstaande tekening met streepjes getekend:

meetkunde-strakosch-5-12Er vormt zich een gelijkbenige driehoek, die echter naar rechts ingestulpt is.

Gaan de snijpunten nog verder naar links, dan wordt de straal van de rechter cirkel nog groter, dan vallen ze weer samen, maar nu op het uiterste linkerpunt van de cirkel, op de centrale lijn; de beide cirkels raken elkaar zo, dat de ene binnen de andere ligt.

Hieruit volgt dat de afstand van middelpunt en straal van de beide cirkels zich zo verhouden: een cirkel raakt de ander aan de buitenkant: hun middelpuntsafstand is gelijk aan de som van hun stralen.
Een cirkel raakt de ander aan de binnenkant: hun middelpuntafstand is gelijk aan het verschil van hun stralen.

Kijken we nu ook naar de verbindingslijn van de snijpunten. Die staat als een diagonaal van een deltoïde loodrecht op de anderre diagonaal, de centrale. – Op de rechte. waarvan de richting bepaald wordt door de snijpunten van de twee cirkels, begrenzen de twee snijpunten een vlak dat in relatie tot de cirkel een ‘koorde’ wordt genoemd. Is deze rechte een niet begrensde lijn die de cirkel snijdt. wordt deze secant snijlijn’ genoemd. 

De lengte van een koorde groeit naar mate deze het middelpunt nadert. Wanneer deze door dit punt heengaat, heeft ze de grootste mogelijke lengte bereikt.

De doorsnede geeft de grootste koorde weer.

Iedere koorde is ook de basis van een gelijkbenige driehoek waarvan de beide benen door twee stralen worden gevormd. (Een driehoek die we in het cirkelveld overal gezien hebben met de drie zijden gelijk, heet gelijkzijdige driehoek; zijn er maar twee gelijk, dan heten de gelijke zijden ‘benen’, de driehoek: gelijkbenig).

Op iedere koorde als basis kun je nog een tweede gelijkbenige driehoek construeren. Die twee kunnen als een deltoïde beschouwd worden, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar over en weer halveren. Daaruit volgt dat de op een basis van een gelijkbenige driehoek opgerichte loodlijn steeds door het er tegenoverliggende hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de tegenoverliggende zijde staat; de loodlijn die vanuit een hoekpunt op de tegenoverliggende zijde valt, heet een ‘hoogtelijn’. Bij een onregelmatige driehoek gaat de hoogtelijn niet door het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

De tekeningen die hierboven zijn gebruikt vatten we nu samen in  1 tekening:

meetkunde-strakosch-6-1hier staan alle snijlijnen (secanten)  – als diagonalen van deltoïden loodrecht op de centrale lijn. De koorden, d.w.z. de stukken van de snijlijnen binnen de cirkel, werden steeds kleiner, naarmate de rechte lijnen zich verder van het middelpunt (van de linker cirkel) verwijderen. In de getoonde tekeningen trekken de koorden zich in 1 punt samen; de richting van de rechten blijft echter onveranderd loodrecht t.o.v. de centrale lijn; het kleiner worden van de lengte is geen aanleiding tot een verandering van de richting. De rechte lijnen 1 en 6 snijden de cirkel niet meer, ze raken deze slechts aan. Daarom heten ze raaklijn of tangent of tangens.
Als je er zo naar kijkt is het duidelijk dat een tangens altijd loodrecht zal staan op de door het raakpunt getrokken straal (radius). Dat dit altijd zo is, blijkt ook uit hetvolgende:
Zou je de raaklijn ook maar met een oneindig klein hoekje om het raakpunt draaien, dan zou deze meteen de cirkel op nog een tweede punt snijden. Al naar gelang van de draairichting zou dit op de ene of op de andere kant van het raakpunt liggen en de hoek t.o.v. de centrale lijn zou geen rechte meer zijn.

Als we weer naar het cirkelveld kijken, dan kunnen we in deze tekening inzien, dat het zonet gevonden feit ook hier zichtbaar is.:

meetkunde-strakosch-6-2hier is de middellijn van het grootste blad gepuncteerd getekend als verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels. Deze staat loodrecht op de straal door het raakpunt, omdat deze straal de middellijn is van het erbij behorende kleine blad. Door het punt dat het raakpunt moet zijn, loopt de middellijn van de volgende grote bladeren parallel aan de eerste middellijn, dus ook loodrecht op de straal. Deze voldoet dus aan de voorwaarden van een tangens, zoals hierboven geformuleerd. In het maken van deze tekening ligt dus de oplossing van de opgave:

In elk gegeven punt van een cirkel een raaklijn tekenen.

In de eerste tekening lopen de tangenten 1 en 6 parallel, hun snijpunt ligt in het oneindige. Vanuit een punt in het oneindige kunnen we dus twee raaklijnen op 1 cirkel trekken, meer kunnen het er niet zijn. Dit blijft ook zo, wanneer het punt niet in het oneindige vanaf de cirkel ligt. Dat is hier te zien:

meetkunde-strakosch-6-3De verbindingsrechte van de beide raakpunten gaat niet meer, zoals bij de eerste tekening door het middelpunt van de cirkel (hier is ze middellijn van een groot blad); de stralen naar de raakpunten vormen geen rechte lijn meer, ze vormen een hoek die kleiner wordt naar mate het punt buiten de cirkel naar de cirkel toe komt te liggen. Deze twee stralen vormen samen met het vlak dat de raaklijnen begrenzen tussen de punten van waaruit de raaklijnen beginnen en de snijpunten een deltoïde met de bijzondere eigenschap dat de ongelijke zijden een rechte hoek vormen en alle vier de hoekpunten op een cirkel liggen.

Nu moet echter eerst in deze tekening de algemene oplossing van de opgave getoond worden hoe vanuit een punt buiten de cirkel de twee raaklijnen aan deze cirkel te trekken:

meetkunde-strakosch-6-4De oplossing moet eruit bestaan dat wat net getoond is, een deltoïde in een cirkel te tekenen. Het middelpunt van deze cirkel ligt op het midden van een rechte lijn die het beginpunt van de beide raaklijnen met het middelpunt van die cirkel verbindt waaraan de raaklijnen moeten komen. De snijpunten van de beide cirkels zijn de gezochte raakpunten.

meetkunde-strakosch-7-1

Op bovenstaande tekening zien wij verschillende punten op de omtrek van een cirkel en iedere keer blijkt uit de verhouding van de hoek tussen die van een klein en een groot blad, dat deze hoek de beide verbindingslijnen naar de eindputen van de doorsnedelijn, de zogenaamde omtrekshoek, een rechte hoek is. Het zijn hier echter punten waarvan de plaats door het cirkelveld wordt bepaald en wij moeten ons afvragen of in het algemeen iedere hoek op de omtrek een rechte hoek is.

Hiertoe willen we twee verschillende gezichtspunten uitvoeren waarvan elk tot het gewenste doel kan leiden. Echter is het steeds een verrijking van de ervaring via twee verschillende wegen een doel te bereiken.

Met bovenstaande tekening kunnen we zeggen: Er zijn bepaalde punten op de cirkelomtrek die aan de vereiste voorwaarde voldoen dat hun verbindingslijnen naar het uiteinde van de middellijn een rechte hoek vormen. (Wanneer er voor een andere richting van de middellijn wordt gekozen, verandert de rechte hoek alleen van plaats. Laten we ons voorstellen dat deze hoek groter en kleiner wordt, dus vlakker of spitser dan 90º zou worden, dan zou het hoekpunt niet meer op de cirkel liggen, dat zou zich erbinnen of erbuiten bevinden. Deze kan derhalve alleen maar het hoogste punt van een rechte hoek zijn, wanneer deze op de cirkel zelf ligt. Daarmee is vastgesteld  dat het deel van de hele cirkelboog dat overblijft precies zo groot moet zijn als dat waartoe de rechte hoek behoort.
Op de andere helft van de cirkel ligt echter ook een punt met dezelfde eigenschappen, maar symmetrisch daarop. – Je moet erop letten dat er steeds sprake van is, dat deze hoek tegenover de middellijn ligt. Draaien we de middellijn een hoekpunt verder, dan gaat hij niet meer door het middelpunt en is dus geen middellijn meer. Het ene been van de hoek (die bij het draaipunt) behoudt zijn positie, de andere moet anders worden wanneer hij het andere zich bewegende snijpunt volgt. In welk van de beide mogelijke richtingen deze zich ook mogen bewegen, de hoek kan geen rechte meer zijn. We kunnen dus zeggen:

Alleen de hoek op de halve cirkelboog (namelijk boven een middellijn) is een rechte hoek, maar ook: iedere hoek op de halve cirkelboog is een rechte hoek.

Dit feit kunnen we ook nog op een andere manier aanschouwelijk maken. We nemen deze tekening nog een keer:

meetkunde-strakosch-5-7We kijken nog eens naar de benen van de gelijkbenige driehoek. Die zijn – de naam zegt het al – in iedere driehoek van gelijke lengte en kunnen daarom ook als stralen van een cirkel met het middelpunt in de tophoek van de driehoek beschouwd worden. Wanneer je deze cirkels nu trekt, dan gaan ze vanzelfsprekend allebei door de beide eindpunten van de basis die alle driehoeken gemeenschappelijk hebben, zoals hier is te zien:

meetkunde-strakosch-7-2Er ontstaan in in iedere cirkel twee gelijkbenige driehoeken met een gemeenschappelijke basis die samen in iedere cirkel een vierhoek vormen en wel een deltoïde. Iedere vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek, omdat iedere kant een cirkelkoorde is. De basis van de driehoeken, een diagonaal, zal over het algemeen een koorde vormen en zolang dat het geval is, zullen de hoeken van de top van de driehoek  de ene groter, de andere kleiner dan 90º zijn. Alleen wanneer de koorde de bijzondere positie van de middellijn aanneemt:

meetkunde-strakosch-7-3en daarmee tegelijk haar grootste lengte heeft, worden deze beide hoeken gelijk en ieder ligt op een halve cirkel, ieder wordt een rechte hoek, de koordenvierhoek wordt een vierkant.

We zouden nog steeds te maken hebben met een bijzonder geval wanneer in iedere vierhoek elke twee aangrenzende zijden gelijk waren, wanneer het uit twee paren van gelijke zijden zou bestaan die elkaar raken, dan was het dus een deltoïde.

Om het algemeen te maken, trekken we door het middelpunt van de basis in een willekeurige richting een rechte:

meetkunde-strakosch-7-4die zal iedere cirkel in twee punten snijden. Deze snijpunten en de hoekpunten van de basis vormen in iedere cirkel een koordenvierhoek met vier ongelijke zijden en even zovele verschillende hoeken. Volgen we de veranderingen van de hoeken die op de rechte liggen wanneer we van de grootste cirkel naar binnen gaan. Van de beide hoeken wordt de spitse steeds vlakker, de vlakke steeds spitser. Dan komt de cirkel waarin ze allebei even groot zijn, dan veranderen ze weer in omgekeerde verhouding en de cirkels worden steeds groter.
In die kleinste cirkel echter is de basis een middellijn. De bogen aan weerszijden zijn halve cirkels en de hoeken moeten recht zijn, want bij de minste positieverandering van de basis (door groter worden van de cirkel naar rechts of links) zouden de hoeken opnieuw – zoals beschreven is, ongelijk zijn. We mogen weer zeggen:
Iedere hoek op een halve cirkelboog is een rechte hoek.

 

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Advertenties

Een Reactie op “VRIJESCHOOL – Meetkunde – (4-7)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – Meetkunde – alle artikelen | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s