Tagarchief: Alexander Strakosch

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-4)

.

Ter verduidelijking heb ik in een tekening wat letters aangebracht – het is een deel uit de grotere tekening.

Over het ontstaan van een gelijkzijdige driehoek

Teken eens drie cirkels X. Y, Z die ieder door het middelpunt van de twee andere gaan. Er ontstaan drie grote bladeren: AYZX; YZCX; XYBZ  en door de punten van ieder blad trek je een rechte lijn: a, b en c. Het resultaat is het belangrijke feit dat deze drie rechten elkaar in één punt D snijden. Dat kan niet anders, want dan zouden de drie grote bladeren uit ongelijke boogstukken moeten bestaan. En dan zou echter iedere cirkel onmogelijk door het middelpunt van de beide andere kunnen gaan.

 

meetkunde-strakosch-3-1

 

 

 

 

 

 

 

Voor twee van de drie punten pas je nu toe wat voor deze tekening al werd gezegd, (meetkunde 4-3) wanneer je de cirkelmiddelpunten op de drie rechten steeds verder naar buiten op laat schuiven. Zodra deze middelpunten in het oneindige vallen, worden de ieder door twee punten gaande cirkelbogen tot rechten:

In deze tekening (uit 4-3) is er 1 zo’n rechte lijn ontstaan; hier doet Strakosch
meetkunde-53

het met 2 punten en dan zie je de rechte lijnen – die met de vele steeds vlakker wordende boogjes ontstaan:
meetkunde-strakosch-3
Je.kan echter ook, zoals hieronder, de middelpunten op de drie rechten in plaats van naar buiten, ook naar binnen laten verschuiven, naar het middelpunt van de driehoek toe, het snijpunt van de drie rechten. Daarbij worden de boogstukken tussen elke twee punten meer gebogen. Wanneer tenslotte de drie middelpunten met het snijpunt van de drie rechten samenvallen, dan ontstaat een drievoudige cirkel door de drie punten. (Worden bij het opschuiven naar binnen de drie middelpunten even ver van het snijpunten van de drie rechten genomen, wat vrij staat, dan liggen de snijpunten van de deze cirkels op dezelfde rechten – en wel op het gepuncteerde deel.):
meetkunde-54

Wanneer je de beweging van de middelpunten naar buiten en naar binnen in dezelfde tekning weergeeft, krijg je een cirkel waarin een gelijkzijdige driehoek ingeschreven is, een van de basisfiguren van de geometrie.

Op basis van wat zojuist werd opgemerkt en door de tekeningen hoef je het trekken van rechte lijnen in regelmatige cirkelvelden niet meer als een vreemd, erbij gehaald element te zien..

Ook het vierkant kun je in het cirkelveld intekenen.
In de middencirkel van een ‘bloem’ teken je een zeshoek:

meetkunde-31

 

 

 

 

 

 

 

meetkunde-strakosch-4-1
Op  iedere hoek komen twee grote bladeren bij elkaar waarvan de middelpunten (deels verlengd en gepuncteerd) loodrecht op de zijden van de zeshoek staan die door de aanliggende kleine blaadjes gevormd worden. Ieder door een van de hoekpunten gaande cirkels snijdt op de middellijnen de lengte van zeshoekszijde. De verbindingslijnen van deze punten zijn de vier zijden van de zo ontstane zes vierkanten.

Snijd je de inzet tussen de vierkanten weg en breng je de vierkanten omhoog, dan krijg je een doosje. De vlakken kunnen binnen en buiten (wanneer je de tekening op de achterkant met behulp van de middelpunten nog een keer maakt) met behulp van de cirkels, gekleurd worden. –

Tussen ieder twee vierkanten ligt een klein blad. Snijd je ze langs hun middellijn door en schuif je de zo ontstane tussenruimten over elkaar, dan krijg je een schaal.

Meetkunde: alle artikelen

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

1134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-5)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 21 t/m 22

Over de bloem met de twaalf blaadjes

meetkunde-strakosch-4-2

Tussen twee kleine blaadjes* ontspringt een groot blad als direct vervolg van de bogen die de kleine blaadjes insluiten. De punten van de grote blaadjes liggen weer op een cirkel waarvan de straal even groot is als de lengte van het grote blad.**

Trek je door de grote alsmede door de kleine blaadjes een rechte lijn van punt naar punt, ontstaan er om het gemeenschappelijke middelpunt twaalf gelijke hoeken van ieder 360° : 12 = 30°  (tekening hierboven)

De punten als een rondje waar de cirkel de zes assen van de grote blaadjes snijdt, halveren ieder de boog tussen de punt van de kleine blaadjes. Wanneer je vanuit die punten met een gelijke straal cirkels trekt, ontstaan opnieuw zes blaadjes; in totaal krijg je dus een ‘bloem’ met twaalf blaadjes:

meetkunde-strakosch-4-6

Je kan echter niet een heel blad met ‘bloemen van twaalf blaadjes vullen; want bij ieder ring van cirkels die je rond de begincirkel tekent, verschuiven de middelpunten ieder met de breedte van een klein blad, zoals je kan ervaren bij het maken van deze tekening.

Daarvoor in de plaas biedt de bloem met de twaalf blaadjes de gelegenheid een nieuwe wetmatigheid in te zien. Terwijl zich bij de zes-bloem steeds gelijkzijdige driehoeken vormden of figuren die daaruit te vormen zijn (zeshoeken, ruiten) kan je hier ook vierkanten ontdekken. De volgende drie tekeningen laten een serie voorbeelden zien waarmee de hoeveelheid nog lang niet uitgeput is en de liefhebber rijkelijk gelegenheid biedt om ze zelf uit te werken. Daarbij moet je er echter op letten, dat de verlengde zijden van de vierkanten, ruiten of zeshoeken op de snijpunten van cirkels of in het midden van de driehoeken liggen. Je vindt steeds aanknopingspunten in de omgeving, je hebt een goede controle voor een precieze tekening en leert steeds meer de wetmatigheden kennen.

meetkunde-strakosch-4-3

 

meetkunde-strakosch-4-4

 

meetkunde-strakosch-4-5

 

*kijk naar de bovenste twee cirkels De twee kleine blaadjes met de stippellijn erdoorheen zijn ‘de kleine blaadjes’ en het ‘grote blad’ is het blad waarin deze twee kleinere liggen met ook nog een grotere ronde punt.
**Dat zie ik niet. Strakosch merkt over die lijn op: deze lengte, preciezer gezegd de lengte van zijn middellijn is √3, wanneer de lengte van het kleine blad als eenheid wordt genomen. √3 is echter ook de lengte van de ruimtediaognaal van een kubus met een lengte van 1. Zo zit in deze eenvoudigste constructie in het plattevlak een belangrijke wetmatigheid van de ruimte verborgen.

 

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1129

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-3)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 19 t/m 20

Over het ontstaan van de rechte lijn

Na wat over de cirkel als oervorm is gezegd, zou het als een soort inbreuk beschouwd kunnen worden, wanneer je rechte lijnen in het cirkelveld zou willen tekenen.
Daarom zal er aan een paar oefeningen getoond worden, hoe er in een cirkelveld lijnen kunnen ontstaan en wel zo, als zogenaamde grensgevallen van cirkels. Hiervoor moet je het feit helder hebben dat een cirkelboog, d.w.z. een deelstuk van de cirkelomtrrek des te vlakker wordt, naarmate de doorsnede van de betreffende cirkel langer wordt. Stel je dan voor dat het middelpunt steeds verder in de verte verdwijnt. De doorsnede kan uiteindelijk zo lang worden dat voor het oog en zelfs bij meting het boogstuk geen duidelijke afwijking meer vertoont t.o.v. een rechte lijn.  Zolang echter de doorsnede – ook al is deze nog zo groot – een meetbare grootte heeft, dus mathematisch gesproken: meetbaar _ eindig, zolang is een boog van zo’n cirkel, mathematisch gezien, nog geen rechte lijn. Dat wordt deze pas op het ogenblik dat het middelpunt in het ‘oneindige’ verdwijnt en de doorsnede dus geen begrensde lengte meer heeft, maar een die boven al het meten en voorstellen uitgaat, dus ‘oneindig’. Je kunt een rechte lijn dus opvatten als een boogstuk van een cirkel, waarvan het middelpunt in het oneidige licht.

Maar een rechte lijn kan ook ontstaan als een rij punten die bij een bepaalde plaats horen, de zgn. ‘geometrische plaats’:

meetkunde-52

 

Om twee willekeurige punten als middelpunt trek je cirkels en wel met zo dat iedere twee dezelfde straal hebben. Iedere twee van die even grote cirkels snijden elkaar in twee snijpunten en al deze snijpunten liggen op een rechte lijn.

meetkunde-53

Hier zijn twee willekeurige punten genomen als middelpunt waaromheen twee cirkels zijn getrokken. Door hun snijpunten is – zoals hierboven – een rechte ontstaan (met puntjes getekend) Door de middelpunten die we net genomen hebben, kun je cirkelbundels trekken; de middelpunten van de cirkels liggen op de rechte met de puntjes. Hoe verder die middelpunten in beide richtingen uit elkaar gaan, des te vlakker worden de boogstukken tussen de beide punten. Wanneer de middelpunten aan beide kanten in het oneindige verdwijnen, dan worden de boogstukken tussen de beide punten rechte lijnen, die op elkaar liggen, een dubbele rechte vormen; want door beide punten kun je nu maar een rechte lijn trekken. (Dit behoort tot de grondbeginselen, de zgn. axioma’s van de geometrie, die ogenschijnlijk hun geldigheid vertonen en geen bewijs nodig hebben).

In de tekening is zo gewerkt dat van de ‘bloem’ de middencirkel en de drie onderste getekend zijn. (De eerste is wat benadrukt). Zo ontstaat een groot blad, waardoorheen de rechte met de punten vastgelegd is en een kleine waarbij de dubbele rechte door hun toppunten loopt*. (De bedoeling van dit boek is dat de vriend van de meetkunde zich niet tevreden stelt alleen naar de tekeningen te kijken, maar deze vaak en vanuit verschillende standpunten zelf uitvoert)

Wanneer je de bladeren met als vouwlijn de lijn met de puntjes omgevouwen denkt, dan zullen alle lijnen boven precies op dezelfde lijnen onder komen te liggen. Zo’n rechte lijn heet een symmetrie-as. Wanneer je goed kijkt zul je moeten bevestigen dat ook de dikke lijn door de twee punten een symmetrie-as is. Uit deze dubbele symmetrie wordt duidelijk dat alle vier hoeken die rond het snijpunt van deze beide rechte lijnen liggen, even groot moeten zijn; dan moeten het rechte hoeken zijn. Je komt weer bij het feit dat een klein blad loodrecht op daarbij behorende grote blad zal staan.

* van de onderste cirkels is dit toppunt beneden

.

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1123

 

 

 

VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-2)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz. 16 t/m 19

Over het regelmatige cirkelveld
De bol kunnen we als een soort oervorm in de hele natuur vinden; van de planeten tot in de cellen waaruit alle levende wezens bestaan. Alle vruchten en zaden neigen min of meer tot een ronde vorm en in het mineralenrijk neemt ieder deeltje kwik een bolle vorm aan. Doe je bijv. een druppel olie in een daarbij passend mengsel van water en alcohol, dan zweeft deze daarin als een bol, net zoals iedere in evenwicht zich bevindende druppel. Zelfs een wond in onze huid wordt naarmate deze weer geneest ronder van vorm, ook als deze aanvankelijk nog lang was door een snee of een schram.

Wanneer een lichaam in trilling wordt gebracht, begint deze bij een bepaald trillingsgetal te klinken en van hem uit gaan geluidsgolven. Deze gaan gelijkmatig naar alle kanten en vormen een zgn. bolvormige golf. Dat staat los van de vorm van het lichaam dat tot klinken is gebracht, wanneer we een punt bekijken dat ver genoeg van de geluidsbron vandaan is. Een ronddraaiende staaf, een bel waarop is geslagen worden het middelpunt van een bolvormige golf.
Een ander voorbeeld is nog de zeepbel. Dat allemaal wijst op een onstoffelijk element dat overal de neiging heeft bollen te creëren.
In de mathematica hebben we alleen met de vorm van de bol te maken. Wanneer je probeert een heel precieze beschrijving te geven die ieder ander lichaam wat zijn vorm betreft, uitsluit – een zgn. definitie – dan kun je er niet omheen op een belangrijk punt te wijzen dat niet op de oppervlakte van de bol ligt, maar erbinnen. Dit punt ligt zodanig dat het van alle punten op het oppervlak van de bol even ver af ligt.
Dus wanneer je in een willeleurige richting een rechte lijn door het middelpunt lopend denkt, dan zijn de beide delen tot aan de punten die samenvallen met de oppervlakte van de kogel, dus tot de zgn. snijpunten, in alle gevallen, even groot. Het totaal van alle door een middelpunt gaande stralen ( rechte lijnen zonder einde) noemt men een stralenbundel. Wanneer je alle door een middelpunt gaande stralen bekijkt, kun je zeggen: de kogelvorm snijdt van alle door het middelpunt van een kogel gaande stralenbundel precies even grote stukken ( rechte lijnen van een bepaalde grootte) af. –

Het stuk tussen het middelpunt en de twee snijpunten van een en dezelfde straal heet doorsnede.

Het stuk tussen het middelpunt en één van de snijpunten (je kunt ook zeggen: een willekeurig punt op het oppervlak) heet ‘halfdoorsnede’ (omdat deze half zo lang is) of met een dikwijls gebruikt Latijns woord ‘radius’ – de straal.

Je kan de kogel echter ook door een geheel vlak doorsneden denken en wel zo dat de snede steeds door het middelpunt gaat. Er zijn oneindig veel van deze vlakken die door het middelpunt gaan, een zgn. vlakkenwaaier/bundel. Iedere doorsnijding door het middelpunt snijdt de kogel in twee gelijke halve kogels. Daarbij zal ieder snijvlak iedere keer een cirkel zijn en uit wat hierboven is gezegd, zal makkelijk in te zien zijn,  dat al die cirkels even groot zijn. Dan begrijp je de zin, de definitie, van de grote Oud-Griekse mathematicus Archmedes: “Wanneer alle doorsneden van een lichaam door het middelpunt cirkels zijn, dan is het lichaam een kogel.

We tekenen met de passer ergens op het papier een cirkel. Dan zetten we de punt van de passer op een willekeurig punt van de omtrek en tekenen een nieuwe cirkel, zonder de opening van de passer te veranderen. De nieuwe cirkel zal de eerste op twee punten snijden, die evenver van het middelpunt liggen. In een van de twee punten zetten we weer een cirkel – met dezelfde passeropening -. Daardoor ontstaat weer een nieuw snijpunt en we stellen vast dat dit andere snijpunt samenvalt met het middelpunt van de vorige cirkel. Als we verder gaan, komen wij weer bij het eerste cirkelmiddelpunt uit, waarbij in totaal zes cirkels getrokken zijn, waarvan het middelpunt op de oorspronkelijke cirkel ligt.
Nu stellen we vast:

1.Met dezelfde passeropening kun je op de omtrek van een cirkel zes andere zo neerzetten dat een zevende weer precies op de eerste zou vallen:

meetkunde-31

 

 

tek 2

.
2. De omtrek van de cirkel wordt door de zes middelpunten in zes gelijke delen verdeeld. (Dat deel van de cirkelomtrek noemt men een boog). Dit basisfeit is zo gewoon geworden, dat bijna niemand de diepe betekenis ervan nauwelijks nog bewust is.
Maar stel je eens voor dat de straal niet precies zes maal op de omtrek afgezet kan worden, of niet zou passen; dat er dus een stuk over zou blijven, dat zelfs geen bepaald deel ervan zou zijn – of zelfs dat hij vijf of zeven keer erop zou passen. Dan zou de gehele meetkunde, de hele wereld een andere ordening hebben. Daaraan moet je ook eens denken, zodat je niet vergeet je te verbazen, dat volgens Goethe toch ‘het betere deel van de mensheid’ is. –

Sinds oude tijden moet de cirkelomtrek in 360 delen verdeeeld worden, die men graden noemt. Een boog van een zesde deel van de omtrek meet dus 60° (graden).
Deze indeling werd in de oudste tijden afgeleid van de jaaromloop van de zon. De gradenmaat was oorspronkelijk nog ruimtelijk in de tijd, in de meetkunde is deze alleen nog ruimtelijk.

We hebben dus door de zojuist uitgevoerde constructie een deling in zes delen gekregen. Een andere die in het praktische leven bijzonder belangrijk is, is die in vier gelijke delen van ieder 90°; zo’n hoek heet een rechte hoek en wordt in de meetkunde aangeduid met R.

3.De zes cirkels waarvan het middelpunten gelijkmatig verdeeld op de omtrek van de cirkel liggen, gaan alle door hetzelfde middelpunt. (zie tek. 2)

4.De cirkels snijden elkaar over en weer en er ontstaat een zesbladige vorm = ongeveer zoals die boven het hoofd van de ‘godin van de richting hangt'[1] – de bruine blaadjes:

6e-klas-meetkunde-1a

 

 

 

 

tek. 3

5.Elke twee van de zes cirkels snijden elkaar zo, dat de een door het middelpunt van de ander gaat. Op deze manier ontstaan zes grote bladeren, velden, eveneens om het middelpunt van de eerste cirkel gegroepeerd. De grootste breedte van elk is gelijk aan de straal die alle cirkels gemeenschappelijk hebben (velden in oranje, groen en violet in tekening boven).

6.Laat je van de zes cirkels twee die tegenover elkaar staan weg, dan zie je dat steeds een groot veld met een klein een rechte hoek vormt. Trek je door de punten van de velden rechte lijnen, dan zullen deze loodrecht op elkaar staan:

meetkunde-47

 

 

 

tek. 6

 

7a) Teken je drie cirkels zo, dat ieder door het middelpunt van de ander gaat , dan ontstaan drie grote velden:

meetkunde-29

 

 

 

 

tek 5

7b) Laat je iedere tweede cirkel weg, dan ontstaan maar drie kleine velden, waarvan de drie toppen de cirkel in drie gelijke bogen verdelen van ieder 120°:

meetkunde-30

 

 

 

 

tek 4

Om meer te weten te komen van onze ‘bloem’- de kinderen gaven hem zelfs de naam ‘wonderbloem’- nemen we de kleur als hulp, waarbij we drie basiskleuren nemen: geel (kadmium), rood (karmijn) en blauw (Pruisisch).*

Een blik op de tekeningen hierboven leert, hoe daarbij door het over elkaar kleuren (van te voren goed laten drogen!) de mengkleuren: groen, oranje en violet ontstaan en in het midden een mengkleur uit alle drie. (Om echt zuivere kleuren te krijgen, beginnen we steeds met dat deel van de cirkel te kleuren, dat wit is en dan gaan we – met niet te veel verf op de penseel – over de vlkakken die al eerder gekleurd werden.

Al deze tekeningen laten zien dat je door steeds weer andere kleurpatronen tot een bijna grenzenloze hoeveelheid vormen komt. We vergissen ons als we zouden menen dat een uitvoerig bezig zijn op deze manier als een beetje spelen wordt gezien of als tijdverdrijf. Dat is in tweeërlei opzicht niet het geval. We ontwikkelen een grotere vaardigheid in het nauwkeurig tekenen en in het kleurgebruik, vooral het eerste is onmisbaar  voor ieder die serieus met meetkunde bezig wil zijn. Maar we ontdekken ook steeds weer nieuwe mogelijkheden tot vormgeving; we halen er steeds meer uit als we ons in vrijheid op het trerrein van de wetmatigheid begeven. Dat heeft een diepe betekenis voor het leven; hier wordt het een innerlijke aangelegenheid en zoals je wellicht spoedig merkt, een kracht die harmonisch is, omdat de bron schoonheid is.
Dat geldt nog in hogere mate voor deze oefeningen:

meetkunde-48
tek 7

meetkunde-49

 

 

 

 

 

tek 8

meetkunde-50

 

 

 

 

 

 

 

tek 9

meetkunde-51

 

 

 

 

 

 

 

tek 10

 

Dit versterkt ook het voorstellingsvermogen  en later zullen we in staat zijn ons voorstellend – dus zonder te tekenen – bezig te houden met geometrische waarnemingen en opgaven; bij het tekenend werken zullen we zogezegd meer zien dan dat er op papier staat.

.
meetkunde-30

 

 

 

In tekening 4 worden de drie cirkels waarvan het middelpunt op de in het midden liggende cirkel ligt, in de basiskleuren geel, blauw en rood gekleurd; daarbij ontstaan drie kleine velden in de mengvormen: groen, violet en oranje.

Kleur je in tekening 5 elke cirkel met de primaire kleur, dan ontstaat naast de drie mengkleuren in het midden, waar alle drie de kleuren elkaar overlappen, bruin.

Het is een goede voorbereiding tek. 8 meerdere keren te doen (met zelfgekozen kleuren) en iedere keer de kleuren zo te ordenen dat de rechts en links van het grote veld in het midden liggende helften m.b.t. het grote veld symmetrisch zijn.

Tek. 8, 9 en 10 zijn voorbeelden die een aansporing willen zijn voor de eigen activiteit.
De beoefenaar wordt aangeraden veel meer kleurcombinaties voor het cirkelveld te vinden.

In tek. 9 verschijnen in de mengkleuren aaneengesloten grote en kleine velden die een soort trap vormen. De cirkels in de primaire kleuren zijn louter in parallelle rijen aangelegd.

Net zo in tek. 10, alleen zijn hier de rijen meer over elkaar geschoven en er verschijnen in bruin parallelle rijen kleine velden.

In tek. 8 staan de cirkels in de primaire kleuren in een driehoekopstelling!

Ook in dit opzicht zijn er nog vele nieuwe mogelijkheden.

Het is stimulerend en voor kinderen aan te bevelen, i.p.v. de cirkels helemaal met kleur te vullen, alleen de kleine velden op verschillende manieren te kleuren.** Daarbij ontstaan driehoeken, zeshoeken en zessterren. De laatste ontstaan uit ieder twee zich doordringende gelijkzijdige driehoeken, waarvan de zijden elkaar over en weer in drie gelijke stukken delen.

[1] godin van de richting (Meetkunde 4-1, door Strakosch als tek.1 genummerd)

 

*Strakosch schildert hier klaarblijkelijk. Dat is met de kleinere cirkels die je in het periodenschrift gebruikt, bijna niet te doen. Je moet bijv. over heel fijne penseeltjes beschikken; maar echt precies wordt het nooit en dat is toch de charme van de gekleurde figuren: dat het er exact uitziet.
Dus bleef ik bij het kleurpotlood.

**Kinderen kunnen veel als je het langzaam opbouwt.
Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

 

1119

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – meetkunde (4-1)

.

In zijn ‘Geometrie durch übende Anschauung‘ [1] vertelt Alexander Strakosch over het begin van de meetkunde in de cultuur.

Hij gaat daarvoor terug naar het Oude Egypte. Omdat je daarover met de kinderen in de 5e klas hebt gesproken in de geschiedenisperiode***, kun je daar nu op terugkomen.
Omgekeerd kun je in die periode aankondigen, dat je in de 6e klas meer over Egypte zal vertellen tijdens de meetkundeperiode.

Strakosch:
Het begin van het bezigzijn met geometrie vindt plaats in de Oud-Egyptische cultuur (ca 3000 – 800 v.C.)  Over het algemeen hadden de mensen toen nog helemaal niet de denkcapaciteit van tegenwoordig verworven; die begon pas met de cultuurfase die op de Egyptische volgde: het Grieks-Romeinse cultuurtijdperk.
In het Oude Egypte verstonden alleen de priesters door hun speciale opvoeding de kunst zich met mathematica bezig te houden. Terwijl in de vrijwel tegelijk bloeiende Babylonische, Assyrische en Chaldeïsche rijken meer de rekenkunst, de zgn. arithmetica beoefend werd, ontwikkelde zich met name in Egypte de geometrie, maar niet zozeer in de zin van een theorie als wel veel meer als praktische activiteit. Je zou kunnen zeggen: meetkunde werd bedreven.

Deze activiteit vond op twee terreinen plaats: bij de bouw en aanleg van tempels en andere cultische gebouwen, bijv. de piramiden en ook bij het uitmeten van akkers.

De Egyptenaren waren een volk van landbouwers en als zodanig waren zij in de gelukkige omstandigheid dat ze zich geen zorgen hoefden te maken over de bemesting, De geweldige rivier de Nijl,*** die helemaal van zuid naar noord door het land stroomde, trad met de allergrootste regelmaat ieder jaar buiten haar oevers, wanneer het groenachtige sterrenbeeld de hond, Sirius, ’s avonds weer in het oosten opkwam. Wekenlang bedekte de troebele vloed van de Nijl het hele land; wanneer hij zich dan weer in zijn normale loop terugtrok, was alles met een laag van de vruchtbaarste klei bedekt en de bemesting op de meest intensieve en te vertrouwen manier gedaan. Je kunt begrijpen dat de Egyptenaren hun land ‘een geschenk van de Nijl’ noemden – maar de rivier zelf was in hun ogen een geschenk van de goden.

Het grondbezit was in die tijd zo verdeeld, dat een bepaald deel van de koning was, een ander gedeelte van de priesters, een derde en laatste deel voor de soldaten. Het zgn. lagere volk moest het veldwerk verrichten; dat gebeurde ook veelvuldig door slaven uit de volkeren die overwonnen waren.

Wanneer de overstroming echter ten einde was, kon je geen begrenzing van de akkers meer zien – het slib had al het akkerland gelijkmatig bedekt. Zodra het opgedroogd was, moesten de akkers weer opnieuw uitgemeten worden. Dat gebeurde door de priesters die in de tempelscholen waren opgeleid; zij alleen beheersten de kunst van het landmeten.

Waar hadden ze die kennis vandaan? Hoe meer deze oude tijd wordt bestudeerd, met des te grotere verbazing staat men voor de diepe en omvattende wijsheid die de toenmalige priester-wijzen zich op de meest verschillende gebieden eigen hadden gemaakt: niet alleen sterren- en meetkunde, maar ook geneeskunst en scheikunde. Maar het was geen bedachte wetenschap. Men verdiepte zich bijv. met grote aandacht en eerbied in de loop van de sterren en hierbij was het de geschoolden van die tijd mogelijk door een innerlijk ervaren van dergelijke waarnemingen de wetten van de hemel te onderzoeken en het leven daarnaar in te richten.
De verbinding met de scheppende hemelsmachten werd in de tempel verzorgd en men wist – zoals men het toen tot uidrukking bracht – in welk gesternte deze of gene godheid woonde. Opdat deze nu zijn krachten in de voor hen opgerichte tempel het beste zou kunnen zenden en daar ook in zou kunnen verblijven, moest de tempel in de richting van die bepaalde ster staan, zodat op het jaarfeest van de betreffende god de ster bij het opgaan precies in de tempelas stond en het altaar bescheen.

Het is makkelijk in te zien, dat hier al een grondige kennis van de loop der sterren en van de meetkunde noodzakelijk waren – Wanneer er dus een tempel gebouwd moest worden, kwamen uit het heiligdom van de ‘godin van de richting” , die de mensen de richting leerde, de zgn ‘touwspanners”; de naam komt van hun activiteit als landmeter, als veldmeter. Tekenbord, papier uit het merg van de papyrusstruik, de passer in zijn huidige vorm waren onbekend. De dunne bladzijden van papyrus, vervaardigd uit het merg van de papyrus werden gebruikt om te schrijven, niet voor meetkundige tekeningen. Als tekenvlak diende de geëgaliseerde bouwplaats of de eveneens vlakke akkers; alle meetkundige activiteit werd direct op het veld uitgevoerd. Als werktuigen gebruikte men stokken en touw, dit zonder knopen en ook met knopen op regelmatige afstanden van elkaar om lengten te meten, maar ook om hoeken uit te zetten.

De basisvorm van de hele meetkunde is de cirkel, de ronde, bij zichzelf terugkerende lijn waarop alle punten van zijn omtrek, dus de eigenlijke lijn vanuit het middelpunt precies dezelfde afstand hebben. Tegenwoordig zou je misschien bedenken dat dus een steen, aan een touw vastgebonden en in beweging gebracht, een cirkelvormige lijn zou beschrijven. De Oude Egyptenaar zag dat anders. Hij zag in het bewegen van de sterren aan de hemel de uidrukking van de hoogste goddelijke wijsheid en harmonie en wanneer hij op aarde een cirkel moest tekenen, kon hij zich deze activiteit niet anders voorstellen dan met hulp van de ‘godin van de richting’.
Een voorstelling uit die tijd laat ons een dergelijk iets zien:

meetkunde-36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nog een afbeelding: zie onder

We zien twee figuren: een mannelijk figuur met de kenmerken van de priester en koning – en de vrouwelijke gestalte van de godin. Boven haar hoofd zien we een geometrisch figuur, een soort bloem. Beiden gestalten houden in de ene hand een rechtop staande staf en in de andere hand een stok die gebruikt wordt om de staf  met een paar slagen in de grond te slaan. Omdat het gaat om een gewijde handeling, moeten de slagen in een bepaalde, voorgeschreven maat uitgevoerd worden. Rondom de beide staven is een touw zonder einde; de staven worden zo gehouden dat het touw steeds strak gespannen staat.
Bij het uitzetten van de tempelas en van het grondplan werd de godin door een van haar priesters vertegenwoordigd, m.n. de touwspanner. Wanneer de cirkel getrokken moest worden, werd de ene staf in de aarde geslagen en in loodrechte stand vastgehouden. Wie de andere staf vasthield, deed dat ook en liep om de staande staf heen, zo dat het touw steeds gelijkmatig en gespannen bleef en de onderkant een cirkel op de grond trok.

(wat nu volgt is voor de periode meetkunde niet van direct belang, maar geeft wel motieven waarom meetkunde zoals in de 6e klas op de door mij beschreven manier wordt gegeven)

In onze tijd is onderzocht dat de Oud-Egyptische tempels zulke grondoppervlakten hadden en ook verticale projecties, waarbij alle belangrijke punten door het maken van cirkels en het trekken van lijnen door bepaalde snijpunten ontstaan. Het gereedschap dat afgebeeld is, was dus voldoende om de schetsen te tekenen. De lengtes werden van tevoren niet berekend, maar waren het gevolg van vaste punten en snijpunten van de uitgevoerde constructie – zoals de Ouden over het algemeen tekenden en niet berekenden.

Het begin van vlakkenberekening is al wel in het Oude Egypte te vinden.
Een geometrie die meet en rekent hebben de Grieken ontwikkeld op basis van het ondertussen verworven vermogen om zelfstandig te kunnen denken. Hier vinden we ook voor het eerst ‘het bewijs’, namelijk een gedachtegang die laat zien dat een duidelijke formule altijd en onvoorwaardelijk juist moet zijn.

Wanneer we tegenwoordig een cirkel tekenen, denken we er niet aan om een godin aan te roepen die buiten ons om manifest is of haar plaatsvervanger te hulp te roepen. De passer in zijn huidige vorm maakt het ons mogelijk, het met een hand zelf te doen. Dat kan gebeuren doordat de beide staven – dienovereenkomstig aangepast – in een verbinding bij elkaar komen -. We zoeken ook niet meer in de sterren naar de richting voor ons doen  – zoals Schiller zegt -: ‘In je borst zijn de sterren van je lot’.*
De geometrie zelf ontvangen we niet meer als een openbaring van buitenaf; we maken haar ons veel meer eigen met de heldere hedendaagse bewustzijnskrachten en de activiteit die door deze schrijfregels opgeroepen wordt, dient ook dit doel.

De mathematica in het algemeen wordt als een zuivere denkwetenschap gezien, maar in het deelgebied van de geometrie wordt toch ook nog de voorstellingskracht aangesproken en door dit oefenen sterker gemaakt. Dat is voor onze tijd belangrijk. Uit de geschiedenis weten we dat in de bloeitijd van de Griekse cultuur met name de mathematica de basis van de vorming was. Toen wilde men zich een denken verwerven dat in overeenstemming was met universele wetten. In de meetkunde die door de Egyptische priesters a.h.w. uit de hemel was gehaald, zag men een symbool van die wetten. Grote geesten als Pythagoras en Plato*** hebben zich jaren van hun leven aan de studie van de Egyptische geometrie en de rekenkunde uit Babylon en Chaldea gewijd.

De mensheid heeft door de voorbije eeuwen sinds die tijd in de hoogste mate het denken ontwikkeld, maar ze is daarbij wel in een zekere starheid terecht gekomen. De mensen hebben hun gedachten, maar ze vragen zich helaas te weinig af, waar deze vandaan komen, of ze werkelijk wel van hen zijn. Maar ze denken zelf helemaal niet eens zoveel, het denken is onbeweeglijk geworden en dat denken dringt niet op een levende manier tot het wereldse door. De mens stelt zich a.h.w. afzijdig van de wereld op en vormt gedachten die in hun te grote vaststaande vorm en starheid niet goed in overeenstemming zijn met de steeds doorgaande ontwikkelingen in het leven. Daarom komen we van de ene crisis in de andere.

We kunnen echter in de meetkunde weer een fundamenteel vormingselement vinden, wanneer we deze a.h.w. juist tegenovergesteld bekijken dan de Ouden. De mathematica heeft namelijk in het bijzonder sinds de 18e en 19e eeuw grote stappen voorwaarts gezet; in de geometrie is men tot geheel nieuwe gezichtspunten gekomen, waarvan men in de Griekse tijd niets wist. Toen had men in de eerste plaats een metende geometrie; men berekende lengtes, vlakken en lichamen. De moderne meetkunde echter gaat uit van algemene voor de gehele ruimte geldende wetmatigheden die zich openbaren in de wederzijdse positie van de eenvoudige elementen, zoals cirkel en rechte lijn.

Tot nog toe heeft men op de keeper beschouwd de leerlingen op onze scholen kennis laten maken met de geometrie naar de Oud-Griekse methode; zo wordt bijv. in Engeland tegenwoordig** nog vaak volgens een precieze vertaling van de Oud-Griekse leerboeken van Euklides lesgegeven.

Hier zal de methode van Euklides niet vervangen worden door de projectieve meetkunde, maar je kunt tot een andere manier van behandelen komen, wanneer de laatste min of meer door de elementaire geometrie heen klinkt.

Hier volgend willen we het wagen wat in de geometrie verschijnt eerst eens te leren kennen, wanneer we het stap voor stap laten ontstaan door wat we oefenend doen. We komen daarbij tot wetmatigheden waarvan de algemene geldigheid langs de gewone manier bewezen kan worden. – Door de projectieve meetkunde telt het element van de waarneming in de geometrie weer mee en wij willen dat benutten en het daarmee verzorgen. Op deze manier komen deze mathematische dingen weer in beweging en daarmee ons denken. Dit beperkt zich dan niet meer tot het trekken van logische conclusies, wat altijd volgens strenge, maar daardoor ook starre wetten moet gebeuren. In de huidige geometrie komen we echter tot wetmatigheden die net zo streng zijn, bovendien echter nog doortrokken zijn van beweging. We leren ons in een gebied van verheven wetmatigheden vrij te bewegen. Dat is mogelijk doordat we het denken dat in ons star is geworden weer beweeglijk en levendig beginnen te maken en het met de wil te doordringen wanneer we het op deze manier gebruiken. Zo’n denken kan ons ook een juiste plaats in het leven geven, waar we moeten leren wetmatige gegevens te respecteren en ons daarbij toch vrij te ontwikkelen. –

Zo beoefend kan mathematica weer, maar nu voor deze tijd, een element worden dat als basis van een algemene vorming gezien mag worden.

*’In deiner Brust sind deines Schicksals Sterne’

meetkunde-37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De godin Sesjat met griffel en schrijfpalet.
Bij de bouw vqn de tempel bepaalt zij of een van haar priestres met een meetstrik het grondoppervlak; hierdoor is ze ook ‘godin van de bouwlieden’. Haar belangrijkste taak is het aantal jaren dat de koning als regeringsjaren toebedeeld krijgt op te wchrijven en de jubilea. Haar niet nader te verklaren hoofdversiering lijkt op een zevenstralige ster met een beugel (of een maansikkel) daarboven, dikwijls bekroond met valkenveren. In haar hand houdt zij meestal een bladnerf van een palm; over haar kleed draagt zij vaak een pantervel.
(Lexicon der Götter und Symbole der alten Ägypter – Manfred Lurker)

[1] Geometrie durch übende Anschauung, A.Strakosch – Mellinger Verlag Stuttgart 1962l
(Niet vertaald: Geometrie door het waarnemend te beoefenen)

**Dit boek werd in 1962 uitgegeven

***links door mij aangegeven

Meetkunde: alle artikelen

 

1117