VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

.

Alexander Strakosch: ‘Geometrie durch übende Anschauung’
blz.22 t/m 26

Over de geometrische basisfiguren
Deze zijn: cirkel, gelijkzijdige driehoek, vierkant en de regelmatige vierhoeken. Zoals we hier oefenend waarnemen, kunnen de regelmatige figuren niet alleen maar als ‘speciale gevallen’ worden gezien. In het verdere verloop zal blijken dat zij het juist zijn waaraan je de wetten het eenvoudigst en duidelijkst kunt aflezen die – in erbij behorende afwijkende vormen – dan overal gevonden kunnen worden.

Van tevoren – als een vorm van vervolmaking van het handwerk – zal steeds sprake zijn van een eenvoudige, steeds terugkerende constructie. Het gebruiken van de rechte hoek is daarbij nuttig, waarbij twee basisvragen beantwoord moeten worden.

1.Op een bepaalde plaats op een rechte lijn een loodrechte lijn oprichten:

meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 

 

Vanuit het gegeven punt als middelpunt teken je het bovenste deel van de ‘bloem’. Aan weerszijden van dit punt ontstaan twee kleine blaadjes, loodrecht daarop een groot blad, waarvan de middellijn de gezochte loodlijn is.

Op de volgende tekening zie je, dat je uit het gegeven punt als middelpunt een cirkel kunt trekken met een willekeurige straal die wel groot genoeg moet zijn, zodat op de rechte lijn twee snijpunten ontstaan. De doorsnede van deze cirkel neem je dan tussen de passer en vanuit de twee snijpunten trek je twee cirkels. Deze vormen weer een een ‘groot’ blad, de eerste cirkel kan als ‘klein’ blad gezien worden:
meetkunde-strakosch-5-2

 

 

 

 

Als je goed kijkt, zie je dat het erop aankomt dat een of ander punt van de gezochte rechte lijn vanuit twee punten op de gegeven lijn dezelfde afstand heeft, die dus zelf vanaf het gegeven punt even ver verwijderd zijn.

2.Vanuit een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodlijn neerlaten, d.w.z. een lijn trekken die door dat punt gaat en loodrecht op de rechte lijn staat.
Met een  willekeurige  straal maak je een cirkel vanuit dit punt; deze cirkel zal de rechte lijn op twee plaatsen snijden die even ver van het gegeven punt verwijderd zijn:
meetkunde-strakosch-5-3

 

 

 

 

De afstand van die punten tot het gegeven punt is de straal van die cirkel. Vanuit die punten trek je nog twee cirkels. Die gaan door het gegeven punt en je vindt de loodlijn als je de middellijn van het ‘blad’ trekt dat ontstaan is. De stralen van deze cirkels zijn op de tekening even groot als die van de eerste cirkel, maar ze mogen ook anders zijn, als ze maar even groot zijn. De middellijn van het ontstane blad zal steeds door het gegeven punt gaan en loodrecht op de rechte lijn staan.

3.Een vierkant tekenen waarvan de diagonalen zijn gegeven.
meetkunde-strakosch-5-4

 

 

 

De dubbelgetrokken horizontale lijn is de gegeven diagonaal waarvan de eindpunten twee hoekpunten van het vierkant vormen. Vanuit deze als middelpunten trekt je twee cirkels met de gegeven diagonaal als straal. De middellijn van het ontstane grote blad deelt de diagonaal middendoor en staat er loodrecht op. Vormt daarmee de tweede diagonaal. Met het punt van de twee zich snijdende diagonalen als middelpunt en de halve diagonaal als straal, trek je een cirkel die de vertikale diagonaal op twee plaatsen snijdt. Dat zijn de twee andere punten van het vierkant.

4.Een gegeven hoek doormidden delen, d.w.z. een rechte lijn trekken die met de beide benen een even grote hoek vormt.
meetkunde-strakosch-5-5

 

 

 

 

Dit is in deze tekening met cirkels uitgewerkt. Links wordt een hoek van 60º in twee delen van 30º gedeeld; rechts een hoek van 2  x  60º  = 120º  in twee delen van ieder 60º . – In de tekening is het proces goed te zien: (links) met behulp van een cirkel waarvan het middelpunt in het toppunt ligt van de te verdelen hoek, worden op de beide benen van de te delen hoek gelijke stukken afgepast (de straal van de cirkel). Met dezelfde straal worden vanuit de gevonden snijpunten twee cirkels getrokken die elkaar snijden en een groot blad vormen. Het ene punt ligt in het gegeven hoekpunt; het andere daar tegenover. De verbindingslijn is de middellijn van het blad en tegelijkertijd de lijn die de hoek deelt.

Deze tekening laat de gang van zaken zien voor een willekeurige hoek:
meetkunde-strakosch-5-6

 

 

 

 

 

De hoekdeellijn wordt bepaald door de tophoek en het snijpunt van de twee cirkels die het blad vormen. Die moeten wel even groot zijn, maar de straal kan anders zijn dan van de cirkel die op de benen de gelijke afstand heeft, en de middelpunten aangeeft van de andere cirkels. In het algemeen, d.w.z. wanneer de drie cirkels niet allemaal even groot zijn, zal het tweede punt niet in de tophoek liggen, maar ergens op de hoekdeellijn en dan wel binnen de hoek wanneer de cirkel die het blad vormt kleiner is dan de eerste en erbuiten wanneer het omgekeerde het geval is. Omdat echter één punt van de hoekdeellijn altijd in de punt van de te delen hoek moet liggen en een rechte lijn door twee punten moet gaan, is het voldoende, om slechts één snijpunt van die twee cirkels die het ‘blad’ vormen, te vinden.

Wanneer je echter alleen het hoogst nodige van de constructie wil tekenen, dan zijn de sterker benadrukte cirkelstukjes genoeg. – Iemand zou kunnen zeggen: waarom dan eerst die constructie van deze tekening:
meetkunde-strakosch-5-1

 

 

 
het kan toch simpeler?
Bij het puur technisch tekenen komt het – waar hier sterk naar gestreefd wordt – op de eenvoud aan. Maar we willen zo werken dat we door het oefenen juist veel leren van de verschijnselen en we de daarin tot uitdrukking komende wetten leren kennen. Want we willen ons, zogezegd, oefenend inleven in de geometrie. Steeds maar naar het simpele kijken, betekent: oogkleppen opzetten, i.p.v. steeds verder en dieper doordringen in de rijke wereld van de meetkundige feiten en de geheimzinnige en belangrijke wetten doorgronden. De mooiste constructie is, die ons de meeste samenhangen tot bewustzijn brengt. Wanneer je er steeds naar streeft, de blik op het geheel niet te verliezen, wordt later de praktische toepassing – je zou kunnen zeggen – een peulenschil. Bij het eenvoudiger maken, blijven we ons bewust van de samenhang. We hebben niet simpelweg een regel van buiten geleerd, die we weer snel vergeten; we hebben dan veel meer de samenhang innerlijk paraat, we kunnen dus uit het overzicht steeds opnieuw het detail halen. De ervaring leert dat degene die op deze manier oefent, in stijgende mate wat geoefend werd in zijn voorstellingsbeleven heeft en in staat is, ‘in het hoofd’ de meetkundige operatie uit te voeren; ja, hij zal daarbij ook op nieuwe ideeën komen en veel zelf vinden dat erbij hoort en pas later wordt besproken. Je leert met dezelfde intentie voorstellen, waarmee je voordien waargenomen hebt en dat is waardevol.

In deze trant nemen we deze oefening:
meetkunde-strakosch-5-7

 

 
We hebben deze aleens gezien (meetkunde 4-2, tek.7) en later komt die nog terug.

In het midden hebben we een lijnstuk (zo noem je ter onderscheiding van een onbegrensde rechte lijn, een door een of twee daarop liggende punten begrensd deel(stuk) van een (rechte) lijn.(pw.: let op het is de dikke vertikale (korte lijn).
In een rechte hoek daarop staat een gepuncteerde loodrechte lijn die het lijnstuk in het midden snijdt; die noemt men middelloodlijn.

Het woord loodlijn heeft te maken met het schietlood die de richting van de zwaarte aangeeft, namelijk van boven naar beneden. De richting staat ‘loodrecht’ op de oppervlakte dat gevormd wordt door stilstaand water. In de meetkunde wordt echter het begrip ‘loodrecht’ gebruikt, onafhankelijk van de richting van die krachten die ieder object wanneer het wordt losgelaten rechtlijnig naar beneden aanhoudt. Hier wordt alleen gekeken naar het feit van een rechte hoek. Men zegt dat rechte lijnen loodrecht op elkaar staan, wanneer ze een hoek van 90º vormen, een rechte hoek omsluiten en dat totaal onafhankelijk van hun positie. Ga je dus, zoals hierboven van een lijnstuk uit dat van boven naar beneden loopt en wil je de rechte lijn benoemen die door het middelpunt van dit lijnstuk gaat en daarmee een rechte hoek vormt, dan noemt men dat een ‘middelloodlijn’. 
Net zo noemt men in de meetkunde de ‘hoogte van een driehoek’ de kortste afstand, het lood van twee snijpunten op de derde driehoekszijde, dus de rechte lijn die loodrecht op een zijde staat en daarbij door de snijpunten van de beide andere gaat. Ook dat is onafhaneklijk van de positie van de driehoek op het vlak. De zijde waarop de hoogte loodrecht staat, heet haar’ basis’; deze kan dus elke willekeurige lengte hebben. – Staat ze horizontaal dan kan de hoogte zelfs in de oorspronkelijke zin een ‘loodrechte’ lijn of ‘loodlijn’ genoemd worden.

(Terug naar bovenstaande tekening): Een paar punten van de middelloodlijn(en) zijn verbonden met de hoekpunten van het lijnstuk en door het cirkelveld zie je dat ieder punt van de gepuncteerde horizontale lijn even ver verwijderd is van de eindpunten van het lijnstuk. – Dit feit kun je ook zo uitspreken, wanneer je allereerst de daardoor ontstane gelijbenige driehoeken op het oog hebt:
richt men op een gegeven basis alle mogelijke gelijkbenige driehoeken op, dan liggen alle tophoeken steeds op de middelloodlijn op de basis. Of: de middelloodlijn op de basis is de ‘meetkundige plaats‘ voor de tophoeken van alle op haar opgerichte gelijkbenige driehoeken.

De van de tophoek naar de eindpunten van de basis gaande rechte lijnen vormen een bepaalde hoek die kleiner wordt naarmate de tophoek zich verwijdert van de basis. Daarbij worden de steeds gelijkblijvende basishoeken groter. – In de tekening zie je naast het ‘grote’ blad, waarvan de lengteas de basis is, een zich steeds herhalende rij van ‘grote’ bladeren. De spitsen ervan liggen op twee rechte lijnen die steeds even ver van elkaar verwijderd blijven, hoe ver je ook het cirkelveld (in beide richtingen) uitbreidt: zulke rechte lijnen noemt men parallellen en zegt dat deze elkaar pas snijden in het ‘oneidige’. Aan de tekening kun je aflezen dat de middelloodlijnen op de basis ook parallel zijn aan deze beide rechte lijnen; verder, dat de zijden  (verbindingslijnen tussen de tophoek en eindpunt op de basis) de eerstgenoemde parallel steeds dichter naderen, naarmate de tophoek zich verder verwijdert naar het oneindige. Dat gebeurt wanneer ieder been zich om het eigen eindpunt op de basis draait. Hierbij wordt de hoek die ze insluiten, steeds groter en wanneer zij parallel gaan lopen, wordt deze recht = 90º (de rechte lijnen gaan dan door de spitsen van de boven- en onderrij van de ‘grote’ bladeren).
Je kan een hoek beschouwen als de mate waarin twee rechte lijnen samenlopen of uit elkaar bewegen, al naar gelang in welke richting je je op de rechten beweegt, naar het kruispunt of daar vandaan. Wanneer twee rechte lijnen samen lopen, noch uit elkaar gaan, dan is er geen hoek tussen hen; je kunt zeggen: de hoek die ze omsluiten is gelijk aan nul, ze zijn parallel.
Bij een driehoek met de hoogte ∞ (dat is het teken voor ‘oneindig’) zijn dus de basishoeken allebei recht, de tophoek is = 0: de som van alle drie de hoeken = 2  x  90º =  180º. Daaraan verandert niets, ook al heeft de hoogte een eindige lengte, want iedere basishoek wordt om de helft van de tophoek kleiner, als de met zwarte dubbelboogjes aangegeven hoeken gelijk zijn. omdat namelijk hun benen dezelfde richting hebben, parallel zijn.

De som van de binnenhoeken van een driehoek zijn steeds 2 R = 180º
Hiermee wordt op een feit gewezen en een oefening gegeven die later vruchtbaar blijkt te zijn.

In de tekening (boven) zijn rechts en links van de vertikale lijn punten van de horizontale middelloodlijnen met de beide eindpunten van de vertikale lijn verbonden. Zulke punten die van daaraf gelijke afstanden hebben wat je aan de kleine blaadjes makkelijk kan zien, zijn met de eindpunten van de vertikale lijn door lijnen verbonden die op dezelfde manier uitgetrokken zijn (gepuncteerd, gestippeld enz). Zo ontstaan geheel gesloten figuren, zgn. ruiten of rhomben (enkelvoud: rombe) Je kunt ze bestempelen als bestaand uit ieder twee gelijkzijdige driehoeken die allemaal de vertikale lijn als gemeenschappelijke basis hebben. Maar je kunt ook vierhoeken maken die uit twee paar even lange rechten bestaan, waarbij de rechten van ieder paar verschillend zijn; de tophoeken van de beide driehoeken waaruit ieder figuur bestaat, liggen op de middelloodlijn, maar niet op gelijke afstand van de vertikale lijn zoals bij de ruiten het geval is. Zulke vierhoekn zijn deltoïden of vliegers. De laatste naam komt van de verwantschap met de vlieger die de kinderen zo graag oplaten.

Ruiten en deltoïden hebben de belangrijke eigenschap dat hun diagonalen steeds loodrecht op elkaar staan. Bij de ruiten halveren de diagonalen elkaar over en weer, bij de deltoïden wordt alleen die diagonaal gehalveerd die de hoeken verbindt waarin de ongelijke zijden bij elkaar komen. – Uiteindelijk kun je ook vierhoeken uit zulke driehoeken met verschillende hoogte vormen die op dezelfde vertikale lijn liggen:
meetkunde-strakosch-5-12

 

 

 

 
Je kunt ze ingestulpte deltoïden noemen. De diagonaal die gehalveerd wordt, ligt buten de figuur. Om het snijpunt te bepalen, moet je de andere diagonaal langer maken.

.

Meetkunde: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

 

1140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Advertenties

Een Reactie op “VRIJESCHOOL – Meetkunde (4-6)

  1. Pingback: VRIJESCHOOL – Meetkunde – alle artikelen | VRIJESCHOOL

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

w

Verbinden met %s