Tagarchief: Pythagoras stelling

Hier volgt een eigen vertaling. Bij het vertalen heb ik ernaar gestreefd Steiners woorden zo veel mogelijk in gangbaar Nederlands weer te geven. Met wat moeilijkere passages heb ik geprobeerd de bedoeling over te brengen, soms met behulp van wat er in andere voordrachten werd gezegd. Ik ben geen tolk en heb geen akten Duits. Er kunnen dus fouten zijn gemaakt, waarvoor excuses. De Duitse tekst gaat steeds vooraf aan de vertaling. Verbeteringen of andere vertaalsuggesties e.d. zijn meer dan welkom): pieterhawitvliet voeg toe apenstaartje gmail punt com

alle pedagogische voordrachten

GA 311: vertaling
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RUDOLF STEINER

DE KUNST VAN HET OPVOEDEN VANUIT HET BESEF: WAT IS DE MENS

1) 7 voordrachten gehouden in Torquay van 12 tot 20 augustus 1924, met beantwoording van vragen. Dornach 1979

Inhoudsopgave 5e voordracht 16 augustus 1924:
Over rekenen.
Beeldende ontwikkeling van het getallenbegrip.
Ritmisch tellen.
Tellen, een wilsaangelegenheid; het hoofd als toeschouwer.
De vier rekenbewerkingen.
Het materialisme als gevolg van opvoeding.
Humor in het onderwijs.
Meetkunde.
Aanschouwelijke bewijzen voor de stelling van Pythagoras.

inhoudsopgave GA 311

5e VOORDRACHT, Torquay, 16 augustus 1924

blz.78:

Wenn man einem Kinde etwas beibringen will, muß man schon et­was von dem eigentlichen Wesen der Sache verstehen, um nicht sich im Unterrichte und in der Erziehung in Dingen zu bewegen, die dem Leben fernliegen. Alles, was dem Leben naheliegt, kann man ver­stehen. Man könnte auch sagen: was man in Wirklichkeit versteht, muß dem Leben naheliegen. Die Abstraktionen liegen dem Leben nicht nahe.
Nun ist es heute so, daß der Lehrende, der Erziehende, von ge­wissen Dingen von vornherein nur Abstraktionen hat, daß er mit ge­wissen Dingen dem Leben nicht nahesteht. Das macht für die Er­ziehung und den Unterricht die allergrößten Schwierigkeiten. Be­denken Sie nur das folgende: Sie wollen einmal darüber nachdenken, wie Sie dazu gekommen sind, Dinge zu zählen; was eigentlich damit getan ist, daß Sie zählen. Sie werden wahrscheinlich finden, daß der Faden Ihrer Untersuchungen irgendwo abreißt, daß Sie wohl Zählen gelernt haben, aber nicht recht eigentlich wissen, was Sie tun mit dem Zählen.

Wanneer je een kind iets leren wil, moet je natuurlijk ook zelf iets van de essentie van de zaak begrijpen om je bij de opvoeding en het onderwijs niet in dingen te begeven die ver van het leven af staan. Alles wat bij het leven hoort, kun je begrijpen. Je zou ook kunnen zeggen: wat je in werkelijkheid doet, moet aansluiten bij het leven. Abstracties sluiten niet aan bij het leven.
Nu is het tegenwoordig zo, dat de onderwijsgevende, de opvoeder van bepaalde dingen a priori alleen maar abstracties heeft, dat hij met bepaalde dingen niet dicht bij het leven staat. Dat betekent voor de opvoeding en het onderwijs de allergrootste moeilijkheden. Denk eens aan het volgende: je wil er eens over nadenken hoe je ertoe gekomen bent, dingen te tellen; wat je eigenlijk doet, wanneer je telt. Je zal waarschijnlijk merken dat je onderzoeksdraad ergens afbreekt, dat je wel hebt leren tellen, maar dat je eigenlijk niet goed meer weet, wat je doet als je telt.

Nun werden allerlei Theorien für die Pädagogik ersonnen, wie man den Begriff der Zahl, wie man das Zählen einem Kinde beibrin-gen soll, und gewöhnlich richtet man sich dann auch nach solchen Theorien. Wenn man damit auch äußerlich Erfolge erzielen kann, an den ganzen Menschen kommt man mit diesem Zählen oder mit solchen Dingen, die dem Leben fernliegen, nicht heran. Die neuere Zeit hat ja gerade dadurch bewiesen, wie sie in Abstraktionen lebt, daß sie solche Dinge wie die Rechenmaschine für den Unterricht er­funden hat. Im kaufmännischen Büro mögen die Leute Rechenma­schinen benützen, wie sie wollen, das geht uns jetzt nichts an, aber im Unterricht verhindert die Rechenmaschine, die sich ausschließlich an den Kopf wendet, von vorneherein, daß man in einer wesensge­mäßen Weise mit der Zahl an das Kind herankommt.
Es handelt sich darum, daß man das Zählen wirklich aus dem Leben

Nu worden er allerlei theorieën voor de pedagogiek bedacht, hoe men het getalbegrip, hoe men het tellen aan een kind moet aanleren en meestal houdt men zich dan aan zo’n theorie. Wanneer men daarmee ook uiterlijk succes kan hebben, de hele mens wordt met dit tellen of met andere dingen die ver van het leven afstaan, niet bereikt. De modernere tijd heeft juist bewezen hoe ze in abstracties leeft, met dingen als een rekenmachine* voor het onderwijs uit te vinden. Op het handelskantoor mogen de mensen dan rekenmachines gebruiken zoveel ze willen, daar hebben wij niets mee te maken, maar in het onderwijs is het telraam dat hoofdzakelijk voor het hoofd bedoeld is, van meet af aan een obstakel om op een wezenlijke manier het kind aan te spreken met het getal.
Het gaat erom, dat je het tellen daadwerkelijk uit het leven

blz.79:

heraus gewinnt. Dabei wird vor allen Dingen wichtig sein, daß man von vornherein weiß: es kann sich gar nicht darum handeln, daß das Kind restlos alles versteht, was man ihm beibringt. Das Kind muß vieles auf Autorität aufnehmen, aber es muß es naturgemäß, sachgemäß aufnehmen.
Daher können Sie finden, daß das, was ich Ihnen nun über das Bei­bringen des Zählens sagen werde, vielleicht noch schwierig ist für das Kind. Aber das schadet nichts. Es ist außerordentlich bedeutsam, daß im Leben des Menschen solche Momente eintreten, wo man sich im 30., 40. Jahre sagt: Jetzt verstehe ich etwas, was ich damals im 8. oder 9. Jahre oder sogar noch früher in mich auf Autorität hin aufgenommen habe. – Das belebt. Wer dagegen all die Dinge be­trachtet, die man heute als Anschauungsunterricht in den Unterricht einführen will, der kann tatsächlich ins Verzweifeln geraten, wie trivial die Dinge gemacht werden, um sie, wie man sagt, dem Ver­ständnis des Kindes näherzubringen.

haalt. Daarbij is vooral van belang dat je vanaf het begin weet: het gaat er helemaal niet om dat het kind meteen alles helemaal begrijpt wat je het aanleert. Het kind moet veel op gezag aannemen, maar op een natuurlijke, zakelijke manier.
Vandaar dat je van mening kan zijn dat wat ik u nu zeg over het aanleren van getallen, nog moeilijk is voor een kind. Maar dat geeft niets. Het is buitengewoon belangrijk dat er in het leven van de mens ogenblikken voorkomen waarvan je op je 30e, 40e jaar zegt: nu begrijp ik pas, wat ik toen op mijn 8e of 9e of zelfs nog eerder op gezag aangenomen heb. – Dat stimuleert. Wie daarentegen alles bekijkt wat men tegenwoordig als aanschouwelijkheidsonderwijs bij het leren in wil voeren, die kan zich inderdaad wanhopig beginnen te voelen over de trivialiteit waarmee de dingen gedaan worden om die, zoals men zegt, de kinderen aan het verstand te peuteren.

Denken Sie einmal, Sie nehmen selbst das kleinste Kind, das sich noch recht ungeschickt dabei benimmt, und Sie sagen ihm: Sieh ein­mal, du stehst jetzt da. Hier nehme ich ein Stück Holz. Da habe ich ein Messer. Ich zerschneide nun dieses Stück Holz. Kann ich das auch mit dir machen? Da wird das Kind doch selber darauf kommen, daß ich das mit ihm nicht machen kann. Und nun kann ich dem Kinde sagen: Sieh einmal, wenn ich das Holz zerschneiden kann, dann ist das Holz also nicht so wie du, und du nicht so wie das Holz, denn dich kann ich nicht zerschneiden. Es ist also ein Unterschied zwischen dir und dem Holz. Der Unterschied besteht darinnen, daß du eine Einheit bist. Das Holz ist keine Einheit. Du bist eine Einheit. Dich kann ich nicht zerschneiden. Dasjenige, was du bist, deshalb, weil ich dich nicht zerschneiden kann, das nenne ich eine Einheit.
Nun, man wird jetzt allmählich dazu übergehen, dem Kinde ein Zeichen für diese Einheit beizubringen. Man macht einen Strich: I. Man bringt also dem Kinde bei, daß es eine Einheit ist, und man macht dafür diesen Strich.
Nun kann man abgehen von dem Holz und dem Vergleiche mit dem Kinde, und kann jetzt zu dem Kind sagen: Sieh einmal, da hast

Denk eens in, je kunt zelfs het kleinste kind nemen, dat zich daarbij best wel onbeholpen kan gedragen en je zegt tegen hem: kijk eens, daar sta jij. Hier heb ik een stuk hout. Hier heb ik een mes. Ik snijd dit stuk hout nu doormidden. Kan ik dat met jou ook doen?’  Daar zal het kind zelf wel op komen dat ik dat met hem niet doen kan. En dan kan ik zeggen: ‘Kijk eens, wanneer ik het hout doormidden kan snijden, dan is het hout niet zoals jij bent en jij bent niet als het hout, want jou kan ik niet doormidden snijden. Er is dus een verschil tussen jou en het hout. Het verschil is dat jij een eenheid** bent. Het hout is geen eenheid. Jij bent een eenheid. Jou kan ik niet doormidden snijden. Wat jij bent, omdat ik je niet kan doorsnijden, dat noem ik een eenheid.’
Welnu, dan ga je er langzamerhand toe over het kind een teken voor deze eenheid te leren. Je maakt een streep: l.
Je leert het kind dat dit een eenheid is en daarvoor maak je de streep.
Nu kun je de vergelijking kind – hout loslaten en zeggen: ‘Kijk eens, daar is je

blz.80:

du deine rechte Hand, da hast du auch deine linke Hand. Und man wird dem Kinde beibringen können: Wenn du nur diese eine Hand hättest, dann könnte sich diese eine Hand überall hin bewegen, wie du selber. Aber wenn du so weitergehst, dann kannst du dir nicht begegnen, du kannst dich nicht angreifen. Wenn sich aber diese Hand und diese Hand bewegen, dann können sie sich angreifen, dann können sie zusammenkommen. Das ist etwas anderes, als wenn du bloß allein gehst. Weil du allein gehst, bist du eine Einheit. Aber die eine Hand kann der anderen Hand begegnen. Das ist nicht mehr eine Einheit, das ist eine Zweiheit. Siehst du, du bist einer, aber du hast zwei Hände. Das bezeichnest du dann so: II.
Auf diese Weise bringen Sie den Begriff der Einheit und der Zwei­heit aus dem Kinde selbst heraus zustande.
Nun gehen Sie weiter, rufen ein zweites Kind heraus und sagen:
Wenn ihr aber geht, könnt ihr euch auch begegnen, könnt ihr euch auch berühren. Ihr seid eine Zweiheit. Es kann aber noch einer dazu­kommen. Das kann bei den Händen nicht der Fall sein. So kann man übergehen beim Kinde zur Dreiheit: III.

rechterhand; daar is ook je linkerhand.’ En dan zul je het kind kunnen leren: ‘Wanneer je nu alleen deze ene hand zou hebben, dan zou die hand overal naar toe kunnen bewegen, zoals jij zelf. Maar wanneer jij zo doorloopt, dan kun je jezelf niet ontmoeten; je kunt jezelf niet beetpakken. Maar wanneer deze hand en die hand zich bewegen, dan kunnen die elkaar pakken, dan kunnen die bij elkaar komen. Dat is wat anders dan wanneer je in je eentje bent. Omdat jij alleen gaat, ben je eenheid. Maar de ene hand kan de andere hand ontmoeten. Dat is geen eenheid meer, dat is een tweeheid. Zie je, jij bent één; maar je hebt twee handen.’ Dat geef je dan zo aan: l l.
Op deze manier breng je het begrip eenheid en tweeheid vanuit het kind zelf, tot stand.
Nu ga je verder, roept er nog een tweede kind bij en zegt: ‘Wanneer jullie op pad gaan, kun je elkaar ontmoeten, je kunt elkaar ook aanraken. Jullie zijn een tweeheid. Maar er kan er nog een bij komen. Dat kan bij de handen niet het geval zijn.’ Zo kun je met het kind overgaan naar de drieheid: l l l .

Auf diese Weise kann man aus dem, was der Mensch selber ist, die Zahl ableiten; Man kommt vom Menschen zu der Zahl. Der Mensch ist etwas Lebendiges, nichts Abstraktes.
Und man kann übergehen und sagen: Sieh einmal, du hast noch irgendwo eine Zweiheit. Man treibt das so lange, bis das Kind zu seinen beiden Beinen und Füßen kommt. Jetzt sagt man: Aber du hast schon des Nachbars Hund gesehen, ist der auch nur auf zwei Füßen? Dann wird das Kind dazu kommen,in den vier Strichen II II das sich Aufstützen von des Nachbars Hund kennenzulernen, und es wird so aus dem Leben heraus allmählich die Zahl aufbauen lernen.
Da ist es nun gut, wenn der Lehrer wieder überall offene Augen hat und alles mit Verständnis anschaut. So könnte ganz gut, weil man zuerst, wie es ja auch natürlich ist, diese sogenannten römischen Zah­len anfängt zu schreiben – denn das ist dasjenige, was das Kind selbstverständlich gleich auffaßt – nun der Übergang gefunden wer den von der Vier mit Hilfe der Hand zu der Fünf: V. Da wird man dem Kinde sagen: Das ist so, wenn du das (den Daumen) zurückhältst,

Op deze manier kun je uit wat de mens zelf is, het getal afleiden: je komt vanuit de mens bij het getal. De mens is iets levends, geen abstractie.
En je kunt verdergaan en zeggen: ‘Kijk eens, jij beschikt nog ergens over een tweeheid.’ Je gaat net zo lang door tot het kind op zijn beide benen en voeten komt. Je zegt: ‘Maar je hebt de hond van je buurman toch weleens gezien, staat die ook alleen maar op twee voeten?’ Dan komt het kind op de vier strepen l l l l die het leert kennen omdat buurmans hond daarop staat en zo zal het vanuit het leven langzamerhand de getallen gaan opbouwen.
En dan is het weer goed dat de leerkracht opnieuw voor alles zijn ogen open heeft en naar alles met begrip kijkt. Zo kun je heel goed, omdat je in het begin, dat is ook het natuurlijke, de zgn. Romeinse cijfers bent gaan schrijven – want dat begrijpt het kind vanzelfsprekend meteen – nu de overgang vinden vanuit de vier met behulp van de hand naar de vijf: V. Dan kun je tegen het kind zeggen: ‘Nu is het zo, wanneer je deze (de duim) weghoudt,

blz.81:

so kannst du diese vier so benützen wie der Hund: I I I I . Dann aber kommt noch der Daumen dazu, jetzt sind es fünf: V.
Ich stand einmal einem Lehrer gegenüber, der in der Erklärung der römischen Zahlen bis zu vier gekommen war, aber nicht darauf kommen konnte, warum es den Römern eingefallen ist, nun nicht fünf Striche nebeneinander zu machen, sondern dieses Zeichen V zu machen für die Fünf. Bis zu I I I I konnte er es ganz gut bringen. Da sagte ich: Nun, machen wir es einmal so, legen wir die fünf Finger so auseinander, daß sie zwei Reihen bilden, und dann haben wir es:
da haben wir in der römischen Fünf die Hand drinnen. Das ist auch die Entstehung der römischen Fünf. Die Hand ist da drinnen.
In einem so kurzen Kurs kann man natürlich nur das Prinzip er­klären. Aber auf diese Weise bekommt man die Möglichkeit, die Zahl selber unmittelbar aus dem Leben abzulesen. Und dann erst, wenn man in dieser Weise unmittelbar aus dem Leben die Zahl her-ausgewirkt hat, versucht man, das Zählen durch Anführen der Zah­len nacheinander durchzunehmen. Aber man versuche dieses so durchzunehmen, daß es den Kindern nicht gleichgültig bleibt. Ehe man ihm sagt: Jetzt sage mir einmal die Zahlen hintereinander auf:

dan kun je deze zo gebruiken als de hond: l l l l. Dan komt de duim er ook bij, nu zijn het er vijf: V.
Ik stond eens tegenover een leraar die met de uitleg van de Romeinse cijfers tot vier was gekomen, maar er niet op kon komen waarom de Romeinen de inval hadden gekregen nu geen vijf strepen naast elkaar te maken, maar dit teken V te maken voor de vijf. Tot l l l l kon hij het heel goed volgen. Toen zei ik: ‘Wel laten we het eens zo doen dat we de vijf vingers zo uit elkaar leggen dat ze twee rijen vormen en dan hebben we het al: we hebben de Romeinse vijf in onze hand.’  Zo is de Romeinse vijf ook ontstaan. Daarin zit de hand.
In zo’n korte cursus kun je natuurlijk alleen maar het principe aangeven. Maar op deze manier krijg je de mogelijkheid het getal zelf direct aan het leven af te lezen. En pas dan, wanneer je op deze manier direct uit het leven het getal hebt laten ontstaan, probeer je het tellen door te nemen, door de getallen na elkaar op te voeren. Maar dat probeer je zo door te nemen dat het voor de kinderen niet lood om oud ijzer is. Voor je hem zegt: ‘Noem de getallen eens na elkaar op:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 usw., gehe man zunächst vom Rhythmus aus. Sagen wir, wir gehen von 1 zu 2 = 1 2, 1 2, 1 2; wir lassen das Kind stärker auftreten bei dem 2, gehen zu 3 auch so ins Rhythmische hin­über = 1 2 3, 1 2 3. Auf diese Weise legen wir den Rhythmus in die Zahlenreihe hinein und bilden so auch die Fähigkeit beim Kinde, die Dinge zusammenzufassen. Wir gelangen so wirklich in einer natur­gemäßen Weise dazu, dem Kinde aus dem Wesen der Zahl heraus die Zahlen beizubringen.
Der Mensch glaubt gewöhnlich, er habe die Zahlen ausgedacht, indem er immer eins zum andern hinzugefügt hat. Das ist aber gar nicht wahr, der Kopf zählt überhaupt nicht. Man glaubt im gewöhn­lichen Leben gar nicht, welch ein merkwürdiges, unnützes Organ für das Erdenleben dieser menschliche Kopf eigentlich ist. Er ist zur Schönheit da, gewiß, weil das Antlitz den anderen gefällt. Er hat noch mancherlei andere Tugenden, aber zu den geistigen Tätigkei­ten ist er eigentlich gar nicht so stark da, denn dasjenige, was er geistig

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,’ enz. ga je eerst van het ritme uit. Laten ze zeggen, dat we uitgaan van 1 naar 2 = 1  2, 1  2, 1  2; we laten het kind de 2 sterker benadrukken en dat doen we ook ritmisch met de 3 = 1 2 3, 1 2 3. Op deze manier brengen we het ritme in de getallenrij en zo vormen we in het kind ook de vaardigheid de dingen bij elkaar te kunnen nemen. Zo lukt het ons daadwerkelijk op een natuurlijke manier om aan het kind uit het wezen van het getal de getallen aan te leren.
Gewoonlijk gelooft de mens dat hij de getallen uitgevonden heeft door aan het ene telkens het andere toe te voegen. Dat is echter helemaal niet waar, het hoofd telt echt niet. Men gelooft in het dagelijks leven helemaal niet wat een merkwaardig, nutteloos orgaan dit menselijke hoofd eigenlijk is voor het aardse leven. Voor het mooie is hij er zeker wel, omdat de ander een gezicht aardig kan vinden. Het hoofd heeft nog allerlei andere deugden, maar voor de geestelijke activiteit is het eigenlijk helemaal niet zo sterk aanwezig, want hetgeen het geestelijk

blz. 82:

in sich hat, führt immer zurück in das frühere Erdenleben; er ist das umgestaltete frühere Erdenleben. Und einen richtigen Sinn hat es eigentlich nur dann für den Menschen, einen Kopf zu haben, wenn er etwas weiß von seinen früheren Erdenl eben. Alles andere kommt gar nicht aus dem Kopf. Wir zählen nämlich in Wirklichkeit im Unter­bewußten nach den Fingern. In Wirklichkeit zählen wir 1-10 an den Fingern und 11, 12, 13, 14 an den Zehen weiter. Das sieht man zwar nicht, aber man macht das so bis 20. Und dasjenige, was man im Körper auf diese Weise tut, das spiegelt sich im Kopfe nur ab. Der Kopf schaut nur bei allem zu. Der Kopf im Menschen ist wirk­lich nur ein Spiegelungsapparat von dem, was der Körper macht. Der Körper denkt, zählt; der Kopf ist nur ein Zuschauer.
Dieser Kopf hat eine merkwürdige Ahnlichkeit mit etwas ande­rem. Wenn Sie hier ein Auto haben (es wird gezeichnet) und Sie sitzen bequem darinnen, so tun Sie gar nichts, der Chauffeur da vorne muß sich plagen. Sie sitzen drinnen und werden durch die Welt gefahren. So ist es auch mit dem Kopf; der plagt sich nicht, der ist einfach auf Ihrem Körper, läßt sich ruhig durch die Welt tragen und schaut allem zu. Dasjenige, was getan wird im geistigen Leben, das wird alles vom Körper aus gemacht. Mathematisiert wird vom Körper aus, gedacht wird auch vom Körper aus, gefühlt wird auch vom Körper aus.

in zich draagt, gaat steeds terug op vorige aardelevens; het is het omgevormde vroegere aardeleven. En echt zin voor de mens om een hoofd te hebben, heeft het eigenlijk alleen maar, wanneer hij iets weet van zijn vroegere aardelevens. Al het andere komt helemaal niet uit het hoofd. We tellen namelijk in werkelijkheid onderbewust met de vingers. In werkelijkheid tellen we 1 – 10 met de vingers en 11, 12, 13, 14 met de tenen verder. Dat zie je weliswaar niet, maar dat doe je zo tot 20. En wat je op deze manier in je lijf doet, wordt in het hoofd alleen maar gespiegeld. Het hoofd kijkt bij alles alleen maar toe. Het hoofd van de mens is in werkelijkheid alleen maar een spiegelapparaat van wat het lichaam doet. Het lichaam denkt, telt; het hoofd is slechts toeschouwer.
Dit hoofd vertoont een merkwaardige overeenkomst met wat anders. Wanneer je hier een auto hebt ( het wordt getekend – in het boek ontbreekt de tekening!) en u zit daar comfortabel in, dan doe je helemaal niets, de chauffeur op de voorstoel moet het moeilijke werk doen. U zit erin en wordt door de wereld rondgereden. Zo is het ook met het hoofd; dat doet geen moeite, dat zit alleen maar op je lijf, laat zich rustig door de wereld dragen en kijkt alles aan. Wat aan geestelijk leven wordt verricht komt allemaal vanuit het lichaam. Wiskunde komt vanuit het lichaam, ook denk je vanuit het lichaam en ook voel je er vanuit.

Die Rechenmaschine entspringt eben dem Irrtum, als ob der Mensch mit dem Kopf rechnete. Man bringt dann dem Kinde mit der Rechenmaschine die Rechnungen bei, das heißt, man strengt seinen Kopf an, und der Kopf strengt dann damit den Körper an, denn rechnen muß doch der Körper. Man berücksichtigt nicht, daß der Körper rechnen muß. Das ist wichtig. Deshalb ist es richtig, daß man das Kind mit den Fingern und auch mit den Zehen zählen läßt, wie es überhaupt ganz gut wäre, wenn man möglichste Ge­schicklichkeit bei den Kindern herausfordern würde. Es ist zum Bei­spiel nichts besser im Leben, als wenn man den Menschen im ganzen geschickt macht! Das kann man nicht durch Sport; der macht nicht eigentlich geschickt. Aber geschickt macht es zum Beispiel, wenn man den Menschen einen Griffel zwischen der großen und der nächsten Zehe halten läßt und ihn schreiben lernen läßt mit dem

De rekenmachine vindt zijn oorsprong in de vergissing dat de mens met zijn hoofd rekent. Je leert het kind rekenen met de rekenmachine, dat betekent, je maakt zijn hoofd moe en het hoofd maakt daarmee het lichaam moe, want rekenen moet uiteindelijk het lichaam. Men heeft niet in de gaten dat het lichaam moet rekenen. Dat is belangrijk. Daarom is het goed dat je het kind met zijn vingers en ook met zijn tenen laat tellen, zoals het ook heel goed is, wanneer je het kind zoveel mogelijk uitdaagt in behendigheid. Er bestaat niets beters in het leven dan wanneer je de mens handig maakt. Dat kun je niet door sport; die maakt eigenlijk niet handig. Maar handig maakt het de mens bv. wanneer je een potlood tussen zijn grote en de teen ernaast laat houden en hem dan laat schrijven met zijn

blz. 83:

Fuß, Ziffern schreiben läßt mit dem Fuß. Das ist etwas, was durchaus Bedeutung haben kann, weil in Wahrheit der Mensch mit seinem ganzen Körper seelendurchdrungen, geistdurchdrungen ist. Der Kopf ist der sich anlehnende und nichtstuende Fahrende, während-dem der Körper überall der Chauf feur ist; der muß alles tun.
Und so muß man von den verschiedensten Seiten her versuchen, dasjenige, was das Kind als Zählen lernen soll, aufzubauen. So ist es wichtig, daß man, wenn man eine Zeitlang so gearbeitet hat, auch dazu kommt, das Zählen nicht bloß durch Zulegen von einem zum anderen – das ist sogar das allerwenigst wichtigste Zählen – hervor­ruft, sondern man bringt dem Kinde bei: das ist die Einheit. Jetzt teilt man das ab (siehe Zeichnung): 

voet, cijfers laat schrijven met zijn voet. Dat kan beslist van betekenis zijn, omdat de mens in waarheid met zijn hele lichaam doordrongen is van ziel en geest. Het hoofd is de reiziger die het zich laat aanleunen, die niets doet, terwijl het lichaam overal de chauffeur is; die alles moet doen.
En dus moet je vanuit de meest verschillende kanten proberen op te bouwen wat het kind bij het tellen moet leren. En daarom is het belangrijk dat je, wanneer je een tijdlang zo gewerkt hebt, er ook toe komt het tellen niet alleen door het ene bij het andere te leggen – dat is zelfs het allerminst belangrijke tellen – maar dat je het kind leert: dit is de eenheid. Nu verdeel je dat (zie tekening):

das ist die Zweiheit. Es ist da nicht eine Einheit neben die andere gelegt zur Zweiheit, sondern da ist die Zwei­heit aus der Einheit hervorgegangen. Das ist die Einheit (siehe oben), das ist nun die Dreiheit. Auf diese Weise kann man die Vorstellung hervorrufen, daß die Einheit eigentlich das Umfas­sende ist, dasjenige, was die Zweiheit, die Dreiheit, die Vierheit zu­sammenfaßt. Wenn man auf diese Weise zählen lernt (siehe Schema) i, 2, 3,4, usw., werden dieBegriffe desKindes lebendig. Dadurch ent­steht in dem Kinde ein innerliches Durchdringen des Zahlenmäßigen.
In gewissen Zeiten des Altertums hat man überhaupt unsere Be­griffe des Zählens, wo immer nur eine Bohne neben die andere ge­legt oder eine Kugel an der Rechenmaschine neben die andere ge­setzt wird, gar nicht so gekannt, sondern man hat eben gesagt: Die Einheit ist das größte; jedes zwei ist nur die Hälfte davon und so weiter. Auf diese Weise kommen Sie in das Wesen des Zählens hin­ein, anschaulich, am Außending. Man soll das Denken des Kindes immer nur am Außending, am Anschaulichen entwickeln, die Ab­straktion möglichst fernhalten.
Das Kind bekommt dann nach und nach die Möglichkeit, die Zah­lenreihe zu haben bis zu einem gewissen Grade, meinetwillen zuerst

dat is de tweeheid. Niet de ene eenheid naast de andere gelegd, is de tweeheid, maar de tweeheid is uit de eenheid ontstaan. Dit is de eenheid – boven – dit is de drieheid.

Op deze manier kun je de voorstelling oproepen, dat de eenheid eigenlijk het meest omvattende is, die de tweeheid, drieheid en de vierheid  omvat. Wanneer je op deze manier leert tellen (zie schema) 1, 2, 3, 4, enz. worden de begrippen van het kind levend. Daardoor raakt het kind innerlijk doordringen van wat getallen zijn.
Op bepaalde tijden in de oudheid kende men helemaal niet ons begrip van tellen, waarbij steeds slechts één boon naast de andere gelegd wordt of één bolletje op het telraam naast het andere geplaatst wordt, maar men zou gezegd hebben: de eenheid is het grootst; iedere 2 is daarvan maar de helft enz. Op deze manier kom je in het wezen van het tellen, aanschouwelijk, aan het uiterlijke ding. Je moet het denken van het kind altijd alleen maar aan het uiterlijke ding, aan het aanschouwelijke ontwikkelen, abstracties zoveel mogelijk verre houden.
Het kind krijgt dan langzamerhand de mogelijkheid de getallenrij te kennen tot een bepaalde hoogte, voor mijn part eerst

blz.84:

bis 20, dann 100 usw. Aber man gehe auf diese Weise vor, um dem Kinde das Zählen lebendig beizubringen. Ein Kind kann dann zäh­len. Wirklich zählen soll das Kind zuerst lernen – ich sage das aus­drücklich -, nicht gleich rechnen, sondern zählen. Das Kind soll zählen können bevor man ans Rechnen geht.

Wenn man nun dem Kinde das Zählen nahegebracht hat, so wird es sich darum handeln, ans Rechnen heranzudringen. Auch das Rechnen muß aus dem Lebendigen herausgeholt werden. Das Lebendige ist immer ein Ganzes und als Ganzes zuerst gegeben. Man verübt Schlechtes an dem Menschen, wenn man ihn dazu veranlaßt, immer aus den Teilen ein Ganzes zusammenzusetzen, wenn man ihn nicht dazu erzieht, auf ein Ganzes hinzuschauen und dieses Ganze dann in Teile zu gliedern. Dadurch, daß man das Kind veranlaßt, auf ein Ganzes hinzuschauen, es zu gliedern und zu teilen, dadurch führt man das Kind an das Lebendige heran.
Man bemerkt ja vieles nicht, was die materialistische Zeit eigent­lich mit Bezug auf die Menschheitskultur getrieben hat. Heute wird man gar keinen besonderen Anstoß daran nehmen, sondern es als etwas Selbstverständliches betrachten, Kinder mit dem Baukasten spielen zu lassen, einzelne Steinchen zu haben und aus denen so ein Gebäude zusammenzusetzen.

tot 20, dan 100 enz. Maar zo moet je het doen om de kinderen op een levendige manier het tellen aan te leren. Een kind kan dan tellen. Echt tellen moet een kind allereerst leren – ik zeg dat met nadruk – niet meteen leren rekenen, maar tellen. Het kind moet kunnen tellen vóór het gaat rekenen.

Wanneer je nu het kind vertrouwd hebt gemaakt met het tellen, dan komt het rekenen aan de beurt. Ook het rekenen moet tevoorschijn komen uit het leven. Het leven is altijd een geheel en als geheel het eerst gegeven. Je doet iets slechts voor de mens, wanneer je hem ertoe brengt steeds uit de delen een geheel te vormen, wanneer je hem er niet toe opvoedt, eerst naar het geheel te kijken en dit geheel dan te verdelen. Door het kind aan te sporen naar het geheel te kijken, naar de delen te kijken en dan te verdelen, breng je het kind bij het leven.
Je merkt veel niet van wat de materialistische tijd eigenlijk met betrekking tot de cultuur van de mensheid gedaan heeft. Tegenwoordig zegt men er niets van,  men vindt het vanzelfsprekend, dat kinderen met een blokkendoos spelen, een paar steentjes te hebben en daarmee een gebouw te maken.

Das ist von vornherein ein Wegführen des Kindes vom Lebendigen. Das Kind hat aus seiner Wesenheit her­aus gar nicht das Bedürfnis, aus Teilen ein Ganzes zusammenzu­setzen. Das Kind hat viele andere, allerdings unbequemere Bedürf­nisse. Das Kind hat, wenn es nur einmal darauf kommt, gleich das Bedürfnis, wenn man ihm eine Uhr gibt, sie gleich zu zerteilen, das Ganze in die Teile zu zerlegen, und das entspricht viel mehr der Wesenheit des Menschen, nachzusehen, wie sich ein Ganzes in die Teile gliedert.
Das ist dasjenige, was nun auch beim Rechenunterricht berück­sichtigt werden muß. Daß das auf die ganze Kultur einen Einfluß hat, mögen Sie aus folgendem Beispiel ersehen.
So bis ins dreizehnte, vierzehnte Jahrhundert herein legte man gar keinen so großen Wert darauf, im menschlichen Denken ein Ganzes

Dat is meteen een wegvoeren van het leven. Het kind heeft van binnenuit helemaal de behoefte niet om uit delen een geheel te maken. Het kind heeft veel andere, zeker minder gemakkelijkere behoeften. Het kind heeft, wanneer hij het eenmaal door heeft, meteen de behoefte, wanneer je hem een horloge geeft, het uit elkaar te halen, het geheel in delen te splitsen en dat is veel meer in overeenstemming met het wezen van de mens, kijken hoe een geheel zich in delen laat verdelen. En dit moet ook bij het rekenonderwijs in aanmerking worden genomen. Dat dit op de hele cultuur van invloed is, moge uit het volgende voorbeeld blijken.
Zo tot in de dertiende, veertiende eeuw hechtte de mens er helemaal niet zo’n grote waarde aan om denkend een geheel

blz.85:

aus seinen Teilen zusammenzusetzen. Das kam erst später auf. Der Baumeister baute viel mehr aus der Idee des Ganzen heraus, und gliederte in die Teile, als daß er aus Teilen ein Gebäude zusammen­gesetzt hätte. Das Zusammensetzen aus Teilen kam eigentlich erst später in die Menschheitszivilisation hinein. Und das hat dann dazu geführt, daß die Menschen überhaupt angefangen haben, alles aus kleinsten Teilen sich zusammengesetzt zu denken. Daraus kam die atomistische Theorie in der Physik. Die kommt nur aus der Erzie­hung. Unsere hohen Gelehrten würden gar nicht so sprechen von diesen winzigen kleinen Karikaturen von Dämonen – denn es sind Karikaturen von Dämonen -, von den Atomen, wenn man sich nicht in der Erziehung daran gewöhnt hätte, aus Teilen alles zusammen-zusetzen. So ist der Atomismus gekommen. Wir kritisieren heute den Atomismus; aber eigentlich sind die Kritiken ziemlich überflüssig, weil die Menschen nicht loskommen von dem, was sie sich seit vier bis fünf Jahrhunderten angewöhnt haben verkehrt zu denken: statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken:

uit de delen samen te stellen. Dat kwam pas later. De bouwmeester bouwde veel meer uit de idee van het geheel, de delen onderscheidend, dan dat hij uit de delen een gebouw samenstelde. Het samenstellen uit delen kwam eigenlijk pas later in de mensheidsbeschaving. En dat heeft er dan toe geleid dat de mensen pas toen begonnen zijn om alles uit de kleinste deeltjes samengesteld te denken. Vandaaruit kwam de atomistische theorie in de natuurkunde. Die komt enkel en alleen uit de opvoeding. Onze grote geleerden zouden helemaal niet zo over deze nietige, kleine karikaturen van demonen spreken – het zijn karikaturen van demonen -, over de atomen, wanneer ze er via de opvoeding niet gewend aan waren geraakt, alles uit delen in elkaar te zetten. Zo is het atomisme ontstaan. We hebben tegenwoordig kritiek op het atomisme, maar eigenlijk is die kritiek tamelijk overbodig, omdat de mensen niet los komen van waaraan zij al vier of vijf eeuwen gewend zijn: er verkeerd over te denken

statt von dem Ganzen in die Teile hinein zu denken, von den Teilen auf das Ganze zu denken.
Das ist etwas, was man sich besonders beim Rechenunterricht sagen sollte. Wenn Sie von ferne auf einen Wald zugehen, haben Sie doch zuerst den Wald, und dann erst, wenn Sie nahekommen, glie­dern Sie den Wald in die einzelnen Bäume. So müssen Sie auch beim Rechnen vorgehen. Sie haben ja niemals in Ihrer Börse, sagen wir, i, 2, 3, 4, 5, sondern Sie haben einen Haufen Geldstücke. Sie haben die 5 zusammen. Das ist ein Ganzes. Das haben Sie zuerst. Sie haben auch gar nicht, wenn Sie sich eine Erbsensuppe kochen, i, 2, 3, 4, 5 bis 30, 40 Erbsen, sondern Sie haben einen Haufen. Sie haben auch nicht, wenn Sie ein Körbchen Äpfel haben, i, 2, 3, 4, 5, 6, 7 usw. Äpfel, sondern einen Haufen Äpfel in Ihrem Körbchen. Sie haben ein Ganzes. Was geht es uns zunächst an, wieviel wir haben, wir haben einen Haufen Äpfel (es wird gezeichnet). Jetzt kommen wir mit diesem Haufen Äpfel nach Hause. Drei Kinder sind da. Wir wollen zunächst gar nicht darauf ausgehen, die Teilung gleich so vorzunehmen, daß jedes das gleiche bekommt. Vielleicht ist das eine Kind klein, das andere groß. Wir greifen hinein, geben dem größeren

in plaats van te denken vanuit het geheel naar de delen, ze denken vanuit de delen naar het geheel.
Dat moet in het bijzonder bij het rekenonderwijs worden gezegd. Wanneer je van verre een bos nadert, zie je toch eerst het bos en pas wanneer je dichterbij komt, ga je de aparte bomen onderscheiden. Dat moet je ook bij rekenen volgen. Je hebt in je portemonnee nooit, laten ze weggen 1, 2, 3, 4, 5, maar je hebt een handje munten. Je hebt er 5 bij elkaar. Dat is het geheel. Dat heb je eerst. Je hebt ook zeker niet, wanneer je erwtensoep kookt, 1, 2, 3, 4, 5 tot 30, 40 erwten, maar je hebt een hoopje. Je hebt ook niet, wanneer je een mandje met appels hebt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enz  appels, maar een hoeveelheid appels in je mand. Je hebt een geheel. Wat interesseert het ons aanvankelijk hoeveel we er hebben, wij hebben er een aantal (het wordt getekend) Nu komen we met deze appels thuis. Er zijn drie kinderen. We willen nu nog helemaal niet zo werken de deling meteen zo te maken dat ieder evenveel krijgt. Misschien is het ene kind klein, het andere groot. Wij regelen het, geven het grotere

blz. 86

Kind einen größeren Haufen, dem kleineren Kind einen kleineren Haufen; wir gliedern den Haufen Äpfel, den wir haben, in drei Teile.
#Bild s. 86
Beim Teilen ist es ohnehin so eine merkwürdige Geschichte! Da hatte einmal eine Mutter ein großes Stück Brot und sagte zu dem einen Kind, das Heinrich hieß: Du mußt jetzt teilen, aber christlich teilen. Da fragte der Heinrich: Was heißt denn das, christlich teilen? Nun ja, sagte die Mutter, du mußt das Brot in ein kleineres und ein größeres Stück schneiden, das größere gibst du deiner Schwester Anna, du behältst das kleinere. Darauf sagte Heinrich: Nein, dann soll nur die Anna christlich teilen!
Da muß man noch andere Begriffe zu Hilfe nehmen. Wir machen das so, daß wir zum Beispiel dem einen Kind das geben (siehe Ab­grenzung bei der Zeichnung), dem zweiten Kind diesen Haufen, und dem dritten Kind diesen Haufen. Damit wir es ordentlich über­schauen können, zählen wir zunächst den ganzen Haufen, denn zäh­len kann das Kind schon.

kind een grotere hoop, het kleinere kind een kleiner hoopje; we verdelen de hoop appels die we hebben in drie delen:

Bij delen heb ik hier zondermeer een merkwaardig verhaal! Er was eens een moeder die een groot stuk brood had; ze zei tegen haar ene kind die Henk heette: ‘Jij moet nu delen, maar christelijk delen.’ Toen vroeg Henk: ‘Wat is dat dan, christelijk delen?”  ‘Nu’, zei de moeder, ‘jij moet het brood in een klein en een groot stuk snijden, het grotere geef je aan je zusje Anna, jij houdt het kleinere.’ Toen zei Henk: ‘Nee, dan moet Anna maar christelijk delen!’
Dan moet je nog andere begrippen te hulp nemen. Nu doen we het zo, dat wij bv. het ene kind dit geven (zie de begrenzing in de tekening), het tweede kind dit hoopje en het derde kind dit hoopje. Om het goed te kunnen overzien tellen we eerst de hele hoop, want tellen kan het kind al.

Es sind 18 Äpfel. Jetzt habe ich es zu zäh­len. Wieviel hat das erste Kind? 5. Wieviel hat das zweite Kind? 5. Wieviel hat das dritte Kind? 8.
Somit bin ich vom Ganzen ausgegangen, vom ganzen Haufen Äpfel, und habe ihn in drei Teile aufgeteilt.
Sehr häufig macht man es im Unterricht so, daß man sagt: Du hast 5 und noch einmal 5 und 8; die zählst du zusammen, dann gibt das 18.    Da gehen Sie vom Einzelnen aus und kommen zum Ganzen. Aber das gibt dem Kind tote Begriffe, keine lebendigen Begriffe. Gehen

Er zijn 18 appels. Nu moet ik tellen. Hoeveel heeft het eerste kind? 5. Hoeveel het tweede kind? 5. Hoeveel het derde kind? 8
Dus zo ben ik van het geheel uitgegaan, van de hele hoop appels en die heb ik in drie delen opgesplitst.
Heel vaak doet men het in het onderwijs zo, dat men zegt: ‘Je hebt er 5 en nog een keer 5 en 8; die telt men dan op, dat zijn er 18. Hierbij ga je van de losse uit en kom je bij het geheel. Maar dat levert het kind dode begrippen op, geen levende. Ga

blz. 87:

Sie vom Ganzen aus, von den 18, und teilen Sie es auf in die Summanden, so bekommen Sie die Addition.
Unterrichten Sie also nicht so, daß Sie ausgehen von dem einzelnen Addenden oder Summanden, sondern gehen Sie von der Summe aus
– die ist das Ganze – und gliedern Sie sie in die einzelnen Addenden. Dann können Sie dazu kommen, nun zu sagen: Aber ich kann jetzt auch anders aufteilen. Ich kann so teilen -ii ich habe nun andere Ad­denden, das Ganze bleibt immer gleich. Dadurch, daß Sie die Addi­tion nicht so nehmen, wie man sie sehr häufig nimmt, indem man zuerst die Addenden hat und dann die Summe, sondern zuerst die Summe gibt und dann die Addenden, kommen Sie zu ganz lebendi­gen, beweglichen Begriffen. Sie kommen auch darauf, daß da, wo es nur auf die Zahl ankommt, das Ganze eben etwas Gleichbleibendes ist; die einzelnen Summanden, Addenden, können sich ändern. Dieses Ei­gentümliche der Zahl, daß man sich die Addenden in verschiedener Art gruppiert denken kann, das kommt dabei sehr schön heraus.

je van het geheel uit, van de 18 en verdeel je die in optellers, dan krijg je een optelling.
Leer het niet zo aan dat je uitgaat van losse getallen***, maar ga uit van de som – dat is het geheel – en verdeel dan in de losse getallen. Dan kun je erop komen te zeggen: ‘Maar ik kan nu ook anders delen. Ik kan ook zo verdelen….ik heb nu andere getallen, het geheel blijft steeds hetzelfde. Omdat je de getallen niet zo neemt, zoals ze ze vaak worden genomen wanneer men eerst de getallen heeft en dan de som, maar eerst de som geeft en dan de getallen, dan kom je tot heel levendige, beweeglijke begrippen. Je komt erop dat daar waar het slechts aankomt op het getal, het geheel iets is wat gelijk blijft; de losse, de optellers en de opteltallen kunnen steeds anders zijn. Het karakteristieke van het getal dat je de losse getallen op een verschillende manier gegroepeerd kan denken, komt daarbij heel mooi naar voren.

Dann können Sie übergehen und sagen: Wenn aber etwas nicht nur Zahl ist, sondern die Zahl in sich hat, wie der Mensch, dann kann man nicht in verschiedener Weise teilen. So zum Beispiel wenn Sie den menschlichen Rumpf nehmen und dasjenige, was daran hängt, Kopf, Arme und Füße – da können Sie nicht in beliebiger Weise das Ganze aufteilen, da können Sie nicht sagen: ich schneide den einen Fuß so heraus, die Hand so heraus und so weiter, sondern das ist in bestimmter Weise schon von der Natur aus gegliedert.
Wo es bloß auE das Zählen ankommt, da ist nicht von der Natur aus gegliedert, da kann ich in verschiedener Weise aufteilen.
Das ist dasjenige, wodurch Sie überhaupt die Möglichkeit bekom­men, Leben und lebendiges Fließen in den Unterricht hineinzubrin­gen. Alle Pedanterie fällt heraus aus dem Unterricht, und Sie wer­den sehen, es kommt etwas in den Unterricht hinein, was das Kind außerordentlich gut braucht: es kommt in gesundem Sinne, nicht in kindischem Sinne, Humor in den Unterricht hinein. Und Humor muß in den Unterricht hineinkommen.
Übersetzen Sie das Wort «Humor» gut; das wird immer im Unter­richt mißverstanden!

Dan kun je verder gaan en zeggen: wanneer iets niet alleen een getal is, maar het getal in zich draagt, zoals de mens, dan kun je niet op een verschillende manier delen. Als je bv. de menselijke romp neemt en dat wat eraan hangt, hoofd, armen en voeten – daar kun je niet op een willekeurige manier het geheel opdelen, daar kun je niet zeggen: ik snij de ene voet zo weg, de hand zo enz, maar dat is op een bepaalde manier al door de natuur verdeeld.
Waar het alleen op tellen aankomt, is het niet vanuit de natuur verdeeld, daar kan ik op verschillende manieren delen.
Hierdoor krijg je bovendien de mogelijkheid leven en een levendige stroom in het onderwijs  te brengen. Alle pedanterie valt uit het onderwijs weg en je zult zien dat er iets in het onderwijs komt, dat het kind buitengewoon goed gebruiken kan: er ontstaat op een gezonde manier, niet op een kinderachtige manier, humor in het onderwijs. En bij het lesgeven hoort humor.
Vertaal het woord ‘humor’ goed; dat wordt in het onderwijs steeds verkeerd begrepen.

blz. 88:

So müssen Sie überhaupt im Unterricht vorgehen: überall von dem Ganzen ausgehen. Nehmen Sie einmal an, Sie wollen, ganz aus dem Leben heraus, folgendes machen. Die Mutter hat das Mariechen geschickt, Äpfel zu holen. Das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen. Das hat die Kaufmannsfrau auf einen Zettel aufgeschrieben. Das Mariechen kommt nach Hause und bringt nur 10 Äpfel. Die Tat­sache liegt vor, die ist aus dem Leben: das Mariechen hat 25 Äpfel bekommen und hat nur 10 nach Hause gebracht. Das Mariechen ist ein ehrliches Mariechen, hat wirklich keinen einzigen Apfel auf dem Wege aufgegessen, hat aber doch nur 10 Äpfel nach Hause gebracht. Jetzt kommt jemand nachgelaufen, der auch ehrlich ist, und bringt alle die Äpfel nach, die das Mariechen auf dem Weg verloren hat. Jetzt wird die Frage entstehen: Wieviel bringt der nach? Man sieht ihn erst von ferne kommen. Jetzt will man vorher wissen, wieviele er nachbringt. Nun, das Mariechen ist angekommen, 10 Äpfel hat es gebracht, 25 hatte es bekommen, das sieht man auf dem Zettel, auf dem die Frau es aufgeschrieben hat. Es hat also 15 Äpfel verloren.

Dat moet je in het onderwijs zeer zeker doen: overal van het geheel uitgaan. Neem eens aan dat je echt vanuit het leven het volgende wil doen. Moeder heeft Marie erop uitgestuurd om appels te halen. Marie heeft 25 appels gekregen. Dat heeft de verkoopster op een briefje geschreven. Marie komt thuis en heeft maar 10 appels. Zo ligt het, het is uit het leven: Marie heeft 25 appels gekregen en heeft er maar 10 thuisgebracht. Marie is een eerlijke Marie, ze heeft echt geen enkele appel opgegeten en toch heeft ze er maar 10 thuisgebracht. Nu komt er iemand achter haar aan gelopen die ook eerlijk is en die brengt alle appels mee die Marie onderweg verloren is. Nu zal de vraag rijzen: hoeveel worden er gebracht? Je ziet hem alleen maar van verre aankomen. Je wil wel van te voren weten met hoeveel hij er aankomt. Marie is thuisgekomen en heeft 10 appels meegebracht, ze heeft er 25 gekregen, dat staat op het papiertje dat de dame heeft geschreven. Ze is dus 15 appels verloren.

Sehen Sie, jetzt haben Sie die Rechnung gemacht. Gewöhnlich macht man es so: etwas ist gegeben, man soll etwas abziehen, und dann bleibt etwas übrig. Aber im Leben – Sie werden sich davon überzeugen – kommt es viel häufiger vor, daß man dasjenige, was man ursprünglich bekommen hat, und dasjenige, was übriggeblieben ist, weiß, und man muß dasjenige, was verlorengegangen ist, auf­suchen. Man soll also die Subtraktion, damit man die Sache lebendig treibt, so machen, daß man vom Minuend und vom Rest ausgeht, und den Subtrahend sucht; nicht vom Minuend und Subtrahend aus­gehen und den Rest suchen. Das ist tot. Lebendig ist es, vom Minuend und vom Rest auszugehen und den Subtrahen den zu suchen. Dadurch bekommen Sie Leben in den Unterricht hinein.
Sie werden das schon sehen, wenn Sie die Sache von der Mutter und dem Mariechen ins Auge fassen und den, der den Subtrahenden bringt. Das Mariechen hat vom Minuend den Subtrahend verloren, und das will man so rechtfertigen, daß man von dem, der da nach­kommt, den man herankommen sieht, wissen will, wieviel er bringen muß. Da kommt in die ganze Subtraktion Leben, wirkliches Leben

Kijk, zie je, nu heb je de berekening gemaakt. Gewoonlijk doet men het zo :iets is gegeven, je moet er iets van aftrekken en dan blijft er wat over. Maar in het leven – daar kun je je van overtuigen – komt het veel vaker voor, dat je, wat je oorspronkelijk gekregen hebt weet en wat over is weet je en wat er verloren is gegaan, moet je opzoeken. Je moet de aftrekking dus, om de zaak levendig te behandelen, zo maken, dat je van het aftrektal en van de rest uitgaat en de aftrekker zoekt; niet van het aftrektal en de aftrekker uitgaan en de rest zoeken. Dat is doods. Levend is, uitgaan van het aftrektal en de rest en de aftrekker opzoeken. Daardoor krijg je leven in het lesgeven.
Je zult het al wel zien, wanneer je kijkt naar het geval van de moeder en Marietje en van degene die de aftrekker thuisbrengt. Marie is van het aftrektal de aftrekker verloren en dat wil je zo vereffenen dat je van degene die erachter aankomt wil weten hoeveel hij er mee moet brengen. Dan komt er leven in de hele aftrekking, echt leven

blz. 89

hinein. Wenn man nur danach fragt: wieviel bleibt übrig – bringt das nur Totes in die Seele des Kindes hinein. Sie müssen immer darauf bedacht sein, überall das Lebendige, nicht das Tote in das Kind hin­einzubringen.
Und so können Sie dann weitergehen. Sie können die Multipli­kation so treiben, daß Sie sagen: Das Ganze, das Produkt ist vor­handen; wie kann man finden, wievielmal irgend etwas in diesem Produkt drinnensteckt? Sehen Sie, da kommen Sie auf Lebendiges. Denken Sie einmal, wie tot es ist, wenn Sie sagen: Ich teile mir diese ganze Gruppe von Menschen ab, da sind drei, da sind noch einmal drei usw., und ich frage jetzt: wievielmal drei sind da? Das ist tot, da ist kein Leben drinnen.
Wenn ich umgekehrt vorgehe und das Ganze nehme und frage, wie oft irgendeine Gruppe drinnen stecke, dann kann ich Leben hin­einbringen. Ich kann zum Beispiel zu den Kindern so sagen: Seht, ihr seid hier in der Klasse eine gewisse Zahl. Zählen wir es ab. Ihr seid 45. Jetzt suche ich mir 5 heraus, 1, 2, 3, 4, 5, die stelle ich daher. Nun lasse ich abzählen, wievielmal sind diese 5 da drinnen in diesen 45? Sehen Sie, da gehe ich wieder aufs Ganze, nicht in den Teil.

in. Wanneer je slechts vraagt: hoeveel blijft er over – beng je alleen iets doods in de ziel van een kind. Je moet er altijd op bedacht zijn overal het levende, niet het dode aan het kind te brengen.
En zo kun je dan verder gaan. Je kunt de vermenigvuldiging zo doen, dat je zegt: het geheel is het product, dat is aanwezig; hoe kun je vinden hoeveel keer iets in dit product zit? Kijk, dan kom je op iets levends. Denk eens hoe doods dat is, wanneer je zegt: deze hele groep mensen verdeel ik, hier zijn er drie, daar nog eens drie enz. en nu vraag ik: hoeveel keer drie zijn er? Dat is dood, daar zit geen leven in.
Wanneer ik het omgekeerd doe en het geheel neem en vraag, hoe vaak een of ander groepje daarin zit, dan kan ik er leven in brengen. Ik kan het bv. zo tegen de kinderen zeggen: ‘Kijk, jullie zijn hier in de klas met een bepaald aantal. We tellen ze. Jullie zijn met 45. Nu zoek ik er 5 uit, 1, 2, 3, 4, 5, die laat ik daar staan. Nu laat ik tellen, hoe vaak deze 5 in deze 45 zitten. Zie je, dan ga ik weer naar het geheel, niet naar het deel.

Wie­viel solcher Fünfer-Gruppen kann ich noch machen? Da komme ich darauf, es sind noch acht Fünfer-Gruppen da drinnen. Also ich mache die Sache umgekehrt, gehe vom Ganzen aus, vom Produkt, und suche, wie oft ein Faktor da drinnen steckt. Dadurch belebe ich mir die Rechnungsarten und gehe vor allen Dingen vom Anschau­lichen aus. Und darauf kommt es an, daß wir das Denken nie, nie, nie loslösen von dem Anschaulichen, sonst kommt an das Kind früh der Intellektualismus, die Abstraktion heran, und wir verderben das ganze Kind. Wir machen es trocken, und außerdem züchten wir in ihm – wir werden noch sprechen von der geistig-seelisch-physischen Erziehung -, wir zuchten in ihm die Austrocknung auch des physi­schen Leibes, die Sklerose.
Wiederum hängt viel davon ab, daß wir so rechnen lehren, wie es hier beobachtet worden ist, damit der Mensch im Alter noch beweg­lich bleibt, noch geschickt ist. Wenn Sie am menschlichen Körper, so wie ich es beschrieben habe zählen lehren, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

Hoeveel van zulke groepjes van 5 kan ik nog maken. En dan kom ik erachter dat er nog acht groepjes van vijf in zitten. Dus ik doe het omgekeerd, ga van het geheel uit, van het product en zoek op hoe vaak een factor daar in zit. Daardoor maak ik de rekenvormen levend en ga ik bovenal van het aanschouwelijke uit. En het komt erop aan dat wij het denken nooit, nooit, nooit losmaken van het aanschouwelijke, anders komt het kind te vroeg in het intellectualisme, de abstractie en dan bederven we het hele kind. We maken het dor en bovendien stimuleren we in hem – we zullen nog spreken over de opvoeding van geest, ziel en lichaam -, we stimuleren in hem het uitdrogen, ook van het fysieke lichaam, de sclerose.
Opnieuw hangt er veel vanaf dat we zo het rekenen aanleren zoals het hier bekeken is opdat de mens nog op hoge leeftijd beweeglijk blijft, nog mee kan komen. Wanneer je aan het menselijke lichaam, zoals ik het beschreven heb, leert tellen, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

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10 und dann weiter mit den Zehen – ja es wäre schon ganz gut, wenn man die Kinder gewöhnen würde, bis 20 wirklich mit Fingern und Zehen zu zählen, nicht mit der Rechenmaschine -, wenn Sie das die Kinder lehren, dann werden Sie sehen, durch dieses kindliche Meditieren – denn wenn man an den Fingern zählt, wenn man mit den Zehen zählt, so muß man auch an die Finger und Zehen denken, das ist ein Meditieren über den eigenen Körper, und zwar ein gesundes Meditieren -, da bringt man Leben hinein in den Körper. Man ist dann im Alter mit den Gliedern noch geschickt; sie behaupten sich, weil sie am ganzen Organismus das Zählen gelernt haben. Wenn man nur mit dem Kopfe denkt, nicht mit den Gliedern und dem übrigen Organismus denkt, dann können sie sich später auch nicht behaupten, und man kriegt die Gicht.
Wie man aus dem Anschaulichen heraus, nicht aus dem, was man heute oftmals «Anschauungsunterricht» nennt, alles in Erziehung und Unterricht besorgen muß, das möchte ich Ihnen nun an einem bestimmten Fall zeigen, der ja tatsächlich im Unterricht eine ganz besondere Rolle spielen kann.  

10 en dan verder met de tenen – ja het zou al heel goed zijn, wanneer je de kinderen eraan zou wennen, tot 20 werkelijk met vingers en tenen te tellen, niet met het telraam -, wanneer je dat de kinderen aanleert, dan zul je zien, dat door deze kinderlijke manier van bezinning – want wanneer je met de vingers telt, wanneer je met je tenen telt, dan moet je aan je vingers en tenen denken, dat is een bezinning over je eigen lijf en wel een gezonde bezinning – daarmee breng je leven in het lijf. Dan ben je in de ouderdom met je ledematen nog behendig; je kunt er nog wat mee, omdat ze het tellen hebben geleerd aan het hele organisme. Wanneer je alleen maar met het hoofd denkt, niet met de ledematen en de rest van het organisme denkt, dan kun je er later niet veel meer mee en je krijgt jicht.

Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen.

Es ist der Fall des pythagoreischen Lehrsatzes, den Sie ja wohl alle kennen, wenn Sie unterrichten wer­den, den Sie vielleicht schon in einer ähnlichen Weise durchschaut haben, aber wir wollen ihn heute doch noch besprechen. Sehen Sie, der pythagoreische Lehrsatz bedeutet etwas, was man sich tatsäch­lich im Unterrichte so als ein Ziel hinstellen kann für die Geometrie. Man kann schon die Geometrie so aufbauen, daß man sagt: man will alles so gestalten, daß sie gipfelt in dem pythagoreischen Lehrsatz, daß das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Es ist etwas ganz Grandioses, wenn man das so recht ins Auge faßt.
Ich habe einmal einer Dame, die dazumal schon älter war, weil sie das so liebte, Geometrie beibringen sollen. Ich weiß nicht, ob sie alles vergessen hatte – aber vermutlich hatte sie nicht viel gelernt gehabt in den Mädchenerziehungsinstituten, in denen man so als Mädchen erzogen wird -, jedenfalls wußte sie nichts von Geometrie. Ich fing nun an und gipfelte das Ganze bis zum pythagoreischen

Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is  iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt.
Ik moest eens een dame die toen al ouder was, omdat ze er zo van hield, meetkunde leren. Ik weet niet of ze alles vergeten was – maar vermoedelijk had ze op het meisjesinternaat waar je als meisje opgevoed werd niet veel geleerd – in ieder geval wist ze niets van meetkunde. Ik begon en liet alles uitmonden in de stelling van

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Lehrsatz hin. Nun hatte der pythagoreische Lehrsatz für die Dame in der Tat etwas außerordentlich Frappieren des. Man ist nur gewöhnt an dieses Frappierende. Aber nicht wahr, man soll einfach das ver­stehen, daß, wenn ich hier ein rechtwinkliges Dreieck habe (es wird gezeichnet), die Fläche, die als Quadrat über der Hypotenuse er­richtet wird, gleich ist der Summe dieser beiden Quadratflächen über den Katheten (Fig. I). Daß, wenn ich also Kartoffeln pflanze,

Pythagoras. Nu had deze stelling voor die dame inderdaad iets buitengewoon frapperends. Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)

fig.l

Dat, wanner ik aardappelen poot en die  overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien.
En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw

blz.92:

daran glauben, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.
Nun kann man ja allerlei Beweise finden, und der Beweis sollte eigentlich ganz anschaulich geliefert werden. Er ist leicht zu liefern, solange das Dreieck gleichschenklig ist. Wenn Sie hier ein gleich­schenklig-rechtwinkliges Dreieck haben (es wird gezeichnet, Fig. II),

geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.
Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)

so ist dieses hier die eine Kathete, dies ist die andere Kathete, das ist die Hypotenuse. Das, was ich jetzt orange zeichne (1, 2, 3, 4), ist das Quadrat über der Hypotenuse. Das, was ich blau zeichne, sind die Quadrate über den beiden Katheten (2, 5; 4, 6).
Nun ist es wiederum so, wenn ich in der richtigen Weise hier über diesen beiden blauen Feldern (2, 5; 4, 6), Kartoffeln anpflanze, be­komme ich gleichviel, wie wenn ich in dem orangen Feld (1, 2, 3, 4) Kartoffeln anpflanze. Das orange Feld ist das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden blauen Felder (2, 5; 4, 6) sind die Quadrate über den beiden Katheten.
Nun können Sie ja den Beweis einfach machen, indem Sie sagen:
Die zwei Stücke (2, 4) von den beiden blauen Quadraten, die fallen da (ins Hypotenusenquadrat) herein, die sind schon drinnen. Das da (5) können Sie hier heraufsetzen (auf 3). Wenn Sie sich das Ganze ausschneiden, können Sie das Stück (6) hier darauflegen (auf i), und Sie haben es gleich. Also, da ist die Sache ganz durchsichtig, wenn man ein sogenanntes rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat. Aber hat man nicht ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, sondern eines von verschiedenen Seiten (wie Fig. I), da kann man das folgende machen: Zeichnen Sie sich dieses Dreieck noch einmal

dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer

blz. 93:

heraus (Fig. III: ABC). Zeichnen Sie jetzt das Quadrat über der Hy­potenuse ABDE. Nun können Sie in folgender Weise zeichnen: Sie
#Bild s. 93
können das Dreieck ABC, das Sie hier haben, hier daran zeichnen:
BDF. Dann können Sie dieses Dreieck ABC, respektive dieses BDF, was dasselbe ist, noch einmal hierher zeichnen: AEG. Dadurch, daß Sie dieses Dreieck hier noch einmal haben, können Sie sich das Qua­drat über dieser einen Kathete so herzeichnen (rot) CAGH. Jetzt ist das, was ich rot gezeichnet habe, das Quadrat über der einen Kathete (CAGH).
Ich kann nun auch, wie Sie sehen, das Dreieck hierher zeichnen:
DEI. Hier habe ich es auch. Dann habe ich in dem, was ich hier jetzt grün zeichne, das Quadrat über der anderen Kathete: DIHF; dann habe ich da zwei, das Quadrat über der einen Kathete, das Quadrat über der anderen Kathete. Ich benutze nur bei dem einen diese Kathete AG, bei dem anderen diese Kathete DI. Die Dreiecke sind da (AEG) und da (DEI); aber gleich (d.h. kongruent). Wo habe ich das Quadrat über der Hypotenuse? Das will ich nun violett hin-einzeichnen, damit wir es gut unterscheiden können: ABDE. Das Quadrat über der Hypotenuse habe ich hier. Jetzt soll ich an der Figur selber zeigen, daß rot (1, 2) und grün (3, 4, 5) zusammen violett (2, 4, 6, 7) gibt.
Nun werden Sie ja leicht einsehen können: ich nehme dieses rote Quadrat (1, 2) hier zuerst; dasjenige, was die beiden Quadrate gemeinschaftlich

(fig.lll: ABC)

Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH).
Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert.
Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijk

blz.94:

haben (2), das fällt ja übereinander. Nun kommt da noch das Stück vom grünen Quadrat (4) herein. So habe ich also diese Figur (2, 4), die Sie da gezeichnet sehen, und die nichts an­deres ist als ein Stück von dem violetten Quadrat ABDE, richtig ein Stück von dem violetten Quadrat. Dieses Stück von dem violetten Quadrat DE enthält dieses Stück von dem roten Quadrat (2); bleibt davon nur noch der Zipfel hier übrig (1); den enthält es noch nicht. Aber außerdem enthält diese Figur diesen Zipfel von dem grünen Quadrat (4). Jetzt muß ich nur noch darauf kommen, das unter­zubringen, was mir da übriggeblieben ist (1, 3, 5).
Nun müssen Sie einmal sehen: da ist Ihnen ein Stückchen vom roten Quadrat übriggeblieben (1), da ein Stückchen vom grünen Quadrat (3), und da ist Ihnen dieses ganze Dreieck (5) übriggeblie­ben, das auch zum grünen Quadrat DIHF gehört. Jetzt nehmen Sie das, was Sie hier haben, was Ihnen da noch übriggeblieben ist, und setzen es da an: dasjenige, was Ihnen hier noch übriggeblieben ist (5), nehmen Sie und setzen es da an (6). Jetzt haben Sie auch noch die Zipfel da (1, 3). Wenn Sie das ausschneiden, kommen Sie richtig darauf, daß diese beiden Flächen (1, 3) in diese Flächen (7) hinein-gefallen sind.

hebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5).
Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen.

Es kann natürlich noch deutlicher gezeichnet werden, aber ich denke, Sie werden die Sache durchschauen. Es handelt sich jetzt nur noch darum, daß es sich durch die Sprache noch näher mit­teilt. Auf diese Weise haben Sie einfach durch das Flächen-überein­anderlegen gezeigt, daß der pythagoreische Lehrsatz richtig ist. Wenn Sie gerade diese Art des Übereinanderlegens nehmen, so wer­den Sie etwas finden. Sie werden zwar sehen, wenn Sie die Sache aus­schneiden, statt daß Sie es aufzeichnen, daß sie sehr leicht überschau­bar ist; trotzdem, wenn Sie später darüber nachdenken, wird es Ihnen wieder entfallen. Sie müssen es immer wieder von neuem suchen. Sie können es sich nicht ganz gut im Gedächtnis merken, daher muß man es immer wieder aufs neue suchen. Und das ist gut. Das ist näm­lich ganz gut. Das entspricht dem pythagoreischen Lehrsatz. Man soll immer wieder von neuem darauf kommen. Daß man ihn ein­sieht, soll man immer wieder vergessen. Das entspricht dem Frap­pierenden, was der pythagoreische Lehrsatz hat. Dadurch bekommen

Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is.
Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg je

Sie das Lebendige in dieSache hinein. Sie werden schon sehen, wenn Sie dieses von den Schülern wieder und wieder machen lassen, die müssen es herausdrucksen. Sie kommen nicht gleich wieder darauf, sie müssen jedesmal nachdenken. Das entspricht aber dem Innerlich-Lebendigen des pythagoreischen Lehrsatzes. Es ist gar nicht gut, wenn man den pythagoreischen Lehrsatz so beweist, daß er platt philiströs einzusehen ist; es ist viel besser, daß man ihn immer wie­der vergißt und immer wieder von neuem suchen muß. Das entspricht dem Frappierenden, daß es doch etwas Sonderbares ist, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Katheten­quadrate.
Nun können Sie ganz gut mit elf- oder zwölfjährigen Kindern die Geometrie so weit bringen, daß Sie den pythagoreischen Lehrsatz in einem solchen Flächenvergleich erklären; die Kinder werden eine ungeheure Freude haben, wenn sie das eingesehen haben, und sie be­kommen Eifer. Das hat sie gefreut. Jetzt wollen sie es immer wieder machen, besonders, wenn man sie es ausschneiden läßt. Es wird nur ein paar intellektualistische Taugenichtse geben, die sich das ganz gut merken, die es immer wieder zustandebringen. Die meisten, ver nünftigeren Kinder, werden immer wieder sich verschneiden und daran herumdrucksen, bis sie herausbekommen, wie es sein muß. Das entspricht aber dem Wunderbaren des pythagoreischen Lehr-satzes, und man soll nicht aus diesem Wunderbaren herauskommen, sondern drinnen stehen bleiben.

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leven in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw  moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden.
Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden.

*Rechenmaschine: rekenmachine – zie Pascal; wat de school betreft: zijn er op de scholen al rekenmachines of wordt hier het telraam, de abacus, bedoeld, zoals je zou kunnen concluderen op blz.83?

**Ik heb ‘eenheid’ hier bewust gekozen, – geheel of totaliteit – kan ook worden gebruikt, omdat het een voorbode is op weg naar het getal één, als eenheid, als nog ongedeeld. In de eerste rekenles in klas 1 wordt vaak gezegd dat één het grootste getal is; dat kun je later wel zeggen, maar daarvoor moet het kind wel ervaren hebben wat ‘eenheid’ is.

***Steiner maakt hier een onderscheid tussen het opteltal en de opteller van een optelling bv. 8 + 5 =  wordt 8 het optel(ge)tal (Addend) genoemd: het is een gegeven. 5 komt er bij, daar zit de activiteit, uitgedrukt in de uitgang -er: opteller.(Summand) ‘Het antwoord heet ‘som’. In het woordenboek ‘Duden’ wordt nauwelijks onderscheid gemaakt tussen Addend en Summand. Ik heb ze hier even vermeden en maar gewoon ‘getallen’ gebruikt. Som: In het Nederlands wat verwarrend, want de opgave wordt ook som genoemd. Het antwoord ‘de som’ is hier ‘het geheel’.

1) Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit (GA 311) De uitgave op de site is van 1965 – ik heb die van 1979 gebruikt.

GA 311 (Duits)

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