.
REKENEN MOET PLEZIER GEVEN
rekenen moet plezier geven (2)
Aanwijzingen voor de klassenleerkracht bij het schriftelijk rekenen in de onderbouw
Wie geen bestaande opgaven gebruiken wil, maar er plezier in heeft, zelf sommen te ontwerpen die een mooie, grappige of interessante uitkomst hebben, heeft daarvoor veel tijd nodig.
Om de zaak wat te vereenvoudigen wil ik een paar aanwijzingen geven, hoe je in korte tijd opgaven maken kan, die een ‘mooi’ resultaat geven, een rond getal als 100 of 1000 of een regelmatige getallenrij als 111 of 1234 of het jaartal 1990 [het jaar waarin dit artikel werd geschreven].
Optellen en aftrekken
Klas 1 tot 2:
eerst oefenen we (mondeling en schriftelijk) het splitsen van een som:
som: 20 = 5 + 5 + 5 + 5
6 + 5 + 5 + 4
7 + 6 + 4 + 3 enz
Omdat er veel mogelijkheden zijn, worden de kinderen vindingrijk, voelen zich er vrij bij en kunnen verbazingwekkende regelmatigheden ontdekken!
Dan oefenen we het ‘schriftelijke hoofdrekenen’ en zeggen tegen de kinderen: ‘Begin bij 2 en tel er steeds 3 bij op. Wie geen fouten maakt, komt beslist bij 50!’ En de kinderen schrijven: 2, 5, 8, 11, 14, enz. tot 50
Later net zo bijv. met de 6 vanaf 4 tot 100 of met de 7 vanaf 2 tot 100: 2, 9, 16, 23 enz. tot 100.
Makkelijk vind je een geschikt begingetal zodat de opgave een mooie uitkomst heeft die loont.
Net zo kun je terug laten rekenen tot 1: ‘Begin bij 41 en trek er steeds 4 vanaf tot het niet meer gaat!”: 41, 37, 33, enz. tot 1
Ook door elkaar: ‘Begin bij 5, tel er 11 bij op en haal er 4 af, weer 11 erbij en 4 eraf, net zo lang tot je bij 100 bent!’ Dus: 5, 16, 12, 23, 19, 30 enz. tot 100.
Dit soort opdrachten maakt het voor de snelle rekenaar mogelijk verder dan het gestelde doel te gaan en het is ook geen ramp als de langzame rekenaar onderweg blijft steken.
Klas 2 tot 3
Nu iets moeilijker: de kinderen moeten oefenen er 39 bij op te tellen. Zelf vermenigvuldig je met 10: 390. Tot 1000 ontbreken er 610. Nu zeg je tegen de leerlingen: ‘Begin bij 610 en tel er steeds 39 bij op; wanneer je dit 10x gedaan hebt, moet je bij een mooi getal zijn gekomen. En de kinderen rekenen uit:
610 649 688 961
+39 +39 +39 tot aan +39
___ ___ ___ ___
649 688 727 1000
Dit principe kun je ook terug toepassen. Opnieuw 10 x 39 = 390 en tel er 1 bij op = 391. Nu luidt de opgave: ‘Trek van 391 zo lang 39 af, dat het niet meer gaat.’ Natuurlijk moet er 1 uitkomen. Je kunt er natuurlijk ook voor zorgen dat bv. het getal 5 overblijft, enz.
391 352 313 40
-39 -39 -39 tot aan -39
___ ___ ___ ___
352 313 274 1
Heel aardig is het met grotere getallen, wanneer het resultaat bv. 111 of 999 moet zijn of een andere mooie regelmatigheid. Je moet alleen maar het gewenste resultaat, bijv. 111 10 x bij het betreffende getal optellen, dus bv. met 398: 398 x 10 = 3890, dan 111 erbij = 4091
4091 3693 509
-398 -398 -398
3693 3295 111
Wanneer je langere rijen wil samenstellen die als resultaat een mooi rond getal moeten hebben, moet je duo’s van 10-tallen maken:
56 of 26
34 37
27 54
63 43
48 78
72 62
300 300
Hetzelfde geldt ook voor 100- en 1000-tallen.
‘Wanneer de leerkracht gelegenheid heeft deze 10-talpakketjes aan kleine, 10-jarige kinderen te laten zien, kan hij een wonder beleven: hoe ineens een zwakke rekenaar die er geen plezier in heeft, enthousiast wordt om ze te pakken te krijgen, hoe hij ze eruit pikt als rozijntjes, kortom hoe een kwelling een plezier wordt…..’, schrijft Karl Menninger in zijn boekje: ‘Rekenkneepjes’,[Duits].
Verder: we maken een berekening waarvan de uitkomst ‘mooi’ is: bv.
5678 – 1234 + 9876 – 5432 = 8888. Nu zeggen we tegen de kinderen: neem eens een getal van 4 cijfers, wat je maar wilt, tel er 5678 bij op, trek van het antwoord 1234 af, tel daarbij weer 9876 op en trek nu het getal eraf dat jij had gekozen, dan komt er iets merkwaardigs uit.’
Iedereen heeft hetzelfde antwoord, 8888!
als huiswerk: ‘maak 3 tot 5 van deze opgaven met telkens een verschillend door jou gekozen getal!’
vermenigvuldigen
We nemen 2 of 3 getallen die samen 2000 zijn en het ’t liefst zo, dat er veel verschillende cijfers inzitten, bijv. 438 + 562 = 1000
Dan vermenigvuldigen de kinderen ieder getal met 2, tellen de uitkomsten op en krijgen als resultaat 2000.
438 keer 2 = 876 438 keer 3 = 1314
562 keer 2 = 1124 562 keer 3 = 1686
1000 keer 2 = 2000 1000 keer 3 = 2000
Aardig is ook de som van de getallen – het kunnen er willekeurig veel zijn! zo te kiezen, dat ze samen 1111 zijn. Dan komt met het vermenigvuldigen met 2 het getal 2222, met 7 7777 als resultaat.
355 x 2 = 710 355 x 7 = 2485
267 x 2 = 534 267 x 7 = 1869
489 x 2 = 978 489 x 7 = 3423
1111 x 2 = 2222 1111 x 2 = 7777
Een zeer opmerkelijk voorbeeld staat in ‘Das Rechnen mit reinen Zahlen’ (Sauer/Bühler).
Vermenigvuldig de rij van 13 met 7, met 77, met 777 en tel de uitkomsten bij elkaar op.
In de kolommen, maar ook in de uitkomsten vind je wetmatigheden.
13 x 7 x 77 x 777
26 91 1001 10101
39 182 2002 20202
52 273 3003 30303
65 364 4004 40404
78 455 5005 50505
91 546 6006 60606
104 637 7007 70707
117 728 8008 80808
130 819 9009 90909
715 910 10010 101010
5005 55055 555555
Veel plezier geven ook de ‘negenspelletjes’: vermenigvuldig simpelweg de hele rij van 1 t/m 9 behalve de 8, met 9!
12 345 679 x 9 = 111 111 111
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333 enz.
of omgekeerd: 111 111 111 : 9 = 12 345 679
222 222 222 : 9 = 12 345 679
of: 987 654 321 x 9 = 8 888 888 889 (de 9 komt achteraan)
987 654 321 x 9 = 17 777 777 778
987 654 321 x 9 = 26 666 666 667
hetzelfde ook omgekeerd (deling)
8 888 888 889 : 9 = 987 654 321
Opmerkelijke uitkomsten staan in ‘Mathematische Kurzweil'( Mittenzwey)
15 873 x 7 = 111 111 95 679 x 8 = 765 432
823 x 15 = 12 345 2 057 613 x 6 = 12 345 678
1929 x 64 = 123 456 1 334 668 x 74 = 98 765 432
Hier horen ook de (bekendste) rekenhulpjes bij voor de rij van 5.
Omdat 5 de helft is van 10, rekenen we bv. 48 x 5 zo uit dat we 5 met 2 doen = 10 en 48 door 2 = 24, dus 240. 49 x 5 net zo, alleen 5 erbij = 245. Net zo met bv. 50 of 500.
15 = 10 + 5, dus rekenen we 48 x 15 zo uit dat we de helft van 48 nemen, 24, en dat bij 48 optellen, 72, en dat 10 x = 720. 49 x is dan 720 + 15 = 735!
25 is een kwart van 100. We rekenen 48 x 25 zo uit dat we een kwart van 48 nemen, 12, en dat x 100 = 1200. 49 x 25 = 1200 + 25 = 1225 en 51 x 25 = 1200 + 75 = 1275. Wanneer je dit onder de knie hebt, kun je ook met 125 vermenigvuldigen: je telt bijv. bij 48 een kwart, 12, op = 60 en dit 100x. Net zo simpel zijn vermenigvuldigingen met 250, 75 enz.
Dat je bij de rij van 11 de som van de beide getallen in het midden zet, is bekend: 25 x 11 [ik weet niet of dit zo bekend is, maar het gaat om 25 = 2 + 5 = 7; je ziet waarop het getal eindigt: 5, je hebt dus al 75 en nu is de vraag of je boven de 300 komt: nee, 10 x 25 = 250, dus 275
Bij bijv. 56 x 11 zijn 5 + 6 = 11, die 11 moet je niet meer optellen als 1 + 1, maar gewoon het laatste cijfer = 1 nemen, dat komt in het midden; het laatste cijfer is een 6; je komt wel boven de 600 uit: 616.
De vaardigheid in het vermenigvuldigen kun je nog opvoeren: je zoekt 2 getallenparen die samen 100 zijn; dus; a + b = 100 en c + d = 100.
Dan is (a + b) x (c + d ) 100 x 100 = 10 000
(a + b) x (c +d ) = ac + ad + bc + bd = 10 000
bv. a = 37; b = 63; c = 48; d =52.
Dan: 37 x 48 = 1776
48 x 63 = 3024
63 x 52 = 3276
52 x 37 = 1924
10 000
Neem je getallen met 3 cijfers dan komt er 1 000 000 uit!
628 + 372 = 1000 628 x 438 = 275 064
438 + 562 = 1000 438 x 372 = 162 936
372 x 562 = 209 064
562 x 628 = 352 936
1000 000
delen
Voor je met de staartdeling begint, moet je het delen terdege oefenen, met opklimmende moeilijkheid: 24:2; 86: 2; 96: 3; 84: 4; 648:2. Dan 36:2; 54:2; enz. 48:3; 87:3; 132:3 enz.
Deze techniek blijkt waardevol tot wel de rij van 12! Zoek ‘tovergetallen’ die door veel getallen deelbaar zijn, bv. 4 x 7 x 9 = 252 (deelbaar door 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12) of 5 x 7 x 8 x 9 x 11 = 27 720, is deelbaar door alle getallen van 2 t/m 12, net zoals het dubbele of het drievoudige ervan.
Mooie getallen krijg je door bv. 2 of 3 te potentiëren: 2 (tot de 12e) x 3 (kwadraat) = 36 864, deelbaar door alle getallen die samengesteld kunnen worden uit 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2…………x 3 x 3. (dus: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32 enz.)
Als de staartdeling ingevoerd is, is het voor de zwakke rekenaar goed en tot grote steun, wanneer deze de vermenigvuldiging door deling terug maakt, omdat de uitkomst zichtbaar is en ook de rest weer verschijnt:
31 x 213 6603 : 31 =213
62 62
31 40
93 31
6603 93
93
0
Het beste is om eerst getallen te nemen met een lage eenheid, bv. 41, 52, 81 enz. Zo gauw de staartdelingtechniek beheerst wordt, is de deling hèt oefenterrein voor de 4 hoofdbewerkingen en wanneer je de delers met 2 cijfers kent, kun je snel naar 3 en 4 cijfers, waarbij je ‘tovergetallen’ kan maken: 123 x 234 x 345 = 9929790. dit getal kan door elk van de 3 getallen worden gedeeld en de uitkomst kan ook weer worden gedeeld, bv.
9 929 790 : 123 = 80 730; 80 730 : 234 = 345
9 929 790 : 234 = 42 435 42 435 : 345 = 123 enz.
Het ‘mooie’resultaat bestaat erin dat de deling uitkomt en dezelfde getallen steeds weer tevoorschijn komen! Een bijzonder iets dat de moeite loont, is de deling van grotere kwadraatgetallen, omdat de uitkomst hetzelfde getal vertoont als de deler!
654 x 654 = 427 716; 427 716 : 654 = 654
gemengde opdrachten
Om alle 4 de rekenbewerkingen bij elkaar te krijgen, heeft Georg Hofmann (Erziehungskunst 1965 – 5/136) een mooie formule opgesteld die voor hele getallen, breuken en decimaalbreuken en negatieve getallen heel goed werkt: ( a x a + a) : a -a = 1
Dus bv. 27 x 27 = 729 + 27 = 756; 756 : 27 = 28 – 27 = 1, waarbij de laatste stap bij hele getallen niet zo interessant is; alleen als controle; dat is bij de breuken anders.
Een mooi rekenvoorbeeld deelt Menninger mee (zie terug) : ‘tenslotte willen we nog de ‘Zaunkönig’ vangen. [ Een “Zaunkönig” is een winterkoninkje. Ik weet niet goed hoe dit verder te vertalen]
Hoe doen we dit. Alleen of nog mooier, met anderen, wie het eerst klaar is, op jacht: een rij getallen wordt genoemd die iedereen opschrijft: 17, 38, 4 , 3 25, 9. Die moeten door de 4 rekenbewerkingen met elkaar worden verbonden en wie daarbij het kleinste hele getal overhoudt, heeft het winterkoninkje gevangen. – De getallen mogen van plaats worden verwisseld; er mogen geen breuken in voorkomen, net zo min als het cijfer 0, behalve op het eind, natuurlijk; ook geen negatieve getallen. Ons geluk eens beproeven:
38 + 17 = 55; – 25 = 30; + 9 = 39; : 3 = 13; -4 = 9 of
38 – 25 = 13; + 17 = 30; – 9 = 21:3 = 7; – 4 = 3
Is 3 het winterkoninkje?
[het valt op dat er geen vermenigvuldiging in voorkomt en in het eerste vb. geen deling; volgens mij moet je dit heel goed afspreken met de kinderen ]
Wordt vervolgd met een bijdrage over de breuken.
[de schrijver van het artikel noemt alleen klas 1/2 en 2/3. Naar mijn ervaring staan hier opgaven in die voor een 3e klas nog te moeilijk zijn; je bent natuurlijk vrij om te kijken wat voor jouw klas geschikt is]
Martin keller in Erziehungskunst 54e jrg. nr. 11 1990
rekenen moet plezier geven (2)
1e klas: rekenen: alle artikelen
1e klas: alle artikelen
Rekenen 4e klas: alle artikelen
VRIJESCHOOL in beeld: 1e klas
143-137
.
Vind ik leuk:
Vind-ik-leuk Laden...