Tagarchief: meetkunde

VRIJESCHOOL Rudolf Steiner over meetkunde – alle artikelen

.

Rudolf Steiner over meetkunde: zijn opmerkingen in de pedagogische voordrachten GA 293 – 311 en enkele andere (niet compleet)

GA 293
Meetkunde/rekenen: fantasie; stelling van Pythagoras.

GA 294
Door tekenen vertrouwd maken met meetkundige figuren (vóór het 9e); vanaf 9e meer meetkunde; aanschouwelijkheid: maar niet triviaal; stelling van Pythagoras aanschouwelijk; ook voor hogere leeftijd: fantasie!

GA 295

GA 301

GA 303

GA 311

.

Meetkundealle artikelen

Algemene menskundealle artikelen

Menskunde en pedagogiealle artikelen

Vrijeschool in beeld6e klas: meetkunde

.

2811

.

.

Advertentie

VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over meetkunde – GA 293

 


Opmerkingen van Rudolf Steiner over meetkunde die hij in zijn pedagogische voordrachten maakte (GA 293 – 311) en uit enkele andere voordrachten.

 

GA 293  voordracht 14
.

Allgemeine Menschkunde als Grundlage der Pädagogik

                        Algemene menskunde als basis voor de pedagogie


Zie voor wat Steiner in de 3e voordracht zegt: [3-8-1]

In de 14e voordracht zet Rudolf Steiner uiteen hoe belangrijk het voor het ontluikende astraallijf is dat het onderwijs met veel fantasie wordt gegeven.
[14-3]

M.n. noemt hij ook de meetkunde, in het bijzonder de stelling van Pythagoras.
Hij geeft als voorbeeld hoe je deze zou kunnen behandelen.

Blz. 201    vert.  201/202

Ebenso muß der ganze Unterricht, der dann erteilt wird in bezug auf Geometrie, sogar in bezug auf Arithmetik, nicht unterlassen, an die Phantasie zu appellieren. Wir appellieren an die Phantasie, wenn wir uns immer bemühen, so wie wir es versucht haben im praktisch-didaktischen Teil, dem Kinde Flächen nicht nur für den Verstand begreiflich zu machen, sondern die Flächennatur wirklich so begreiflich zu machen, daß das Kind seine Phantasie anwenden muß selbst in der Geometrie und Arithmetik. Deshalb sagte ich gestern, ich wunderte mich, daß niemand darauf gekommen ist, den pythagoreischen Lehrsatz auch so zu erklären, daß er gesagt hätte: Nehmen wir an, da wären drei Kinder. Das eine Kind hat so viel Staub zu blasen, daß das eine der Quadrate mit Staub überdeckt ist; das zweite Kind hat so viel Staub zu blasen, daß das zweite Quadrat mit Staub bedeckt ist und das dritte so viel, daß das kleine Quadrat mit Staub überdeckt ist. Da würde man dann der Phantasie des Kindes nachhelfen, indem man ihm zeigte: die große Fläche, die muß mit so viel Staub bepustet werden, daß der Staub, der zu der kleinsten Fläche und der, der zur größeren Fläche gehört, ganz gleich ist dem Staub, der in der ersten Fläche ist. Da würde dann, wenn auch nicht mit mathematischer Genauigkeit, aber mit phantasievoller Gestaltung, das Kind seine Auffassekraft in den ausgepusteten Staub hin- einbringen. Es würde die Fläche verfolgen mit seiner Phantasie. Es würde den pythagoreischen Lehrsatz durch den fliegenden und sich setzenden Staub, der auch noch quadratförmig gepustet werden müßte – das kann natürlich nicht in Wirklichkeit geschehen, die Phantasie muß angestrengt werden -, es würde das Kind mit der Phantasie den pythagoreischen Lehrsatz begreifen.

Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet gebruiken — zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de praktisch-didactische besprekingen gesproken. Daarom zei ik gisteren[*] dat het me verbaast dat niemand erop gekomen is om de stelling van Pythagoras ook als volgt uit te leggen. Stel er zijn drie kinderen. Het eerste kind moet zo veel stofjes bij elkaar blazen dat een van de vierkanten met stof is bedekt. Het tweede kind blaast zo veel stofjes bij elkaar dat het tweede vierkant vol is en het derde kind blaast het derde vierkant vol. Dan zou men de fantasie van het kind kunnen aanspreken door te zeggen: kijk, dat grote vlak moet je met even veel stof volblazen als de twee andere kinderen op het middelste en kleinste vlak samen. Dan zou een kind – weliswaar niet met wiskundige precisie, maar toch in fantasievolle vorm – zijn hele begripsvermogen richten op het bij elkaar geblazen stof. Het zou het vlak met zijn fantasie langsgaan. Het zou de stelling van Pythagoras begrijpen door dat rondvliegend en neerdwarrelend stof dat ook nog in een vierkant geblazen moet worden. Dat kan natuurlijk niet echt, dus het kind moet zijn fantasie inspannen. Het kind zou de stelling van Pythagoras met zijn fantasie begrijpen.
GA 293/201  
Vertaald/192

.

Rudolf Steiner over meetkunde

Meetkunde: alle artikelen

Algemene menskunde: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

.

2770

.

.

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (1)

.

In zijn ‘Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen’ [1] heeft E.A. Karl Stockmeyer een samenvatting gegeven van het hoe en waarom van de elementaire meetkunde.

Doelen voor het meetkundeonderwijs:

1e klas:
tekenen voor het leren schrijven

2e en 3e klas:
tekenen van makkelijkere en moeilijkere vormen, puur om de vorm en zonder de relatie tot concrete dingen en voorwerpen, om het bewustzijn voor de ruimte te ontwikkelen als ‘vormingsgebied’. (symmetrie e.d.)

4e en 5e klas:
Meetkundige figuren in het tekenen leren kennen, in het ‘beschrijven’ van hun onderlinge verhoudingen leren begrijpen, dus driehoek, vierkant, cirkel, ellips enz. tot aan de stelling van Pythagoras, op zijn minst wat de gelijkbenige rechthoekige driehoek betreft.

Bij de 4e klas:
Meetkunde: een poging tot formulering:
Nadat in de eerste drie schooljaren eerst getekend is om te leren schrijven; ook geboetseerd puur terwille van de vorm, zonder voorwerpen als voorbeeld, begint op z’n laatst in de 4e klas het tekenen van elementaire meetkundige vormen; de verhoudingen moeten slechts waarnemend gevonden worden.

Bij de 5e klas:
Het waarnemend beschrijven van geometrische vormen wordt voortgezet em geïntensiveerd.

6e t/m 8e klas:
Wat tot nog toe tekenend en beschrijven behandeld werd, moet nu meetkundig ‘bewezen’ begrepen worden. (Tegelijkertijd komt er in het aparte tekenonderwijs de eenvoudige projectie- en schaduwleer)

Bij de 6e klas:
In de meetkunde moet – in overeenstemming met wat voor de 4e klas werd gezegd – een begin worden gemaakt met het bewijzen, ongeveer tot het begrijpen van congruentie van driehoeken en toepassingen ermee. Daarbij zijn de begrippen die in de jaren daarvoor el duidelijk zijn geworden toe te gebruiken, te verhelderen en uit te breiden; in het bijzonder moet de geometrische plaats erbij komen.

Bij de 7e klas:
Voorgesteld wordt in de meetkunde verder te gaan met het kunnen bewijzen, bijv. door de cirkel, het vierkant en de veelhoeken te behandelen. Het begrip ‘meetkundige plaats’moet verder behandeld worden, omdat deze ervoor geschikt is om meetkundige figuren uit het starheid te verlossen en beweeglijk te maken.

Bij de 8e klas:
Naast berekenen van vlakken moeten ook behandeld worden eenvoudige geometrische lichamen te berekenen; de meetkundige plaats nu toepassen op de curven van ellips, hyperbool, casinoïde en de cirkel van Apollonius

Daarnaast maakt Karl Stockmeyer nog een andere indeling:

Er zijn eigenlijk – afgezien van het tekenen om te leren schrijven – drie leerwegen die ieder op zich staan:

1e leerweg:
Vóór het 9e levensjaar wordt het vrije kunstzinnige vormgeven (symmetrie, vormverandering, toenemend in moeilijkheidsgraad, afmaken van een gegeven vorm enz) zonder uiterlijke dingen als voorbeeld te nemen, tekenend, schilderend, boetseren beoefend.

2e leerweg:
Op z’n laatst rond het 9e levensjaar wordt met een eerste meetkundeweg begonnen, die de gebruikelijke meetkundige vormen omvat en hun verhoudingen, maar die moeten nog geheel een innerlijk waarnemen blijven. Het doel is de stelling van Pythagoras.

3e leerweg:
Die begint pas op het 11e- 12e jaar en moet tot een exacte omgang met mathematische kennis leiden en moet daarom wat er tot dan toe geleerd werd door de waarneming, opnieuw vanuit het elementaire doorgenomen worden.

Sinds lang is het zo dat wie het over de meetkundeperiode(n) heeft, de perioden vanaf de 6e klas bedoelt. Waar het gaat om het bewijzen.

Alles ervoor wordt nu toch veel meer gezien als vormtekenen.

 

[1] E.A.Karl Stockmeyer: Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen

Nu:  Angaben Rudolf Steiners für den Waldorfschulunterricht

6e klas: meetkunde

7e klas: meetkunde

kringspelen en meetkunde

 

Het artikel zal verder uitgewerkt worden.

 

1110

 

VRIJESCHOOL – 6e klas – Rekenen (1)

.

REKENEN EN WISKUNDE

 

Rekenen en meetkunde tussen het twaalfde jaar en de puberteit

Het kind heeft een lange weg afgelegd voor het in deze periode tot eigen abstracties komt. De abstractie staat niet los van wil en gevoel.

Dat het kind nu een sterke eigen binnenwereld ontwikkelt waarop het in de toekomst meer en meer durft te vertrouwen, is het hoofddoel van het wiskunde-onderwijs in deze jaren.

Leer- en ontwikkelingsdoelen klassen VI en VII
De rekenvaardigheid betreft nu ook het gebied van de negatieve getallen.

Naast de vier hoofdbewerkingen worden ook machtsverheffen en worteltrekken beheerst.

Kennis van de beginselen der algebra.

Zoveel meetkundig kunnen en kennen, dat de meetkunde tot en met de stelling van Pythagoras op papier gebracht en begrepen kan worden.

Klas 6

Rekenen
Voortzetting en perfectionering van het voorafgaande. Ingeklede vraagstukken.
Berekeningen van rentepercentages, wissel- en discontoberekeningen. Beginselen van de algebra.

Meetkunde
Eenvoudige vraagstukjes met graden, minuten en seconden. Hoeken gevormd door snijdende lijnen, door twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde.
Soorten van driehoeken uitgaande van de gelijkzijdige driehoek. De grondconstructies. Merkwaardige lijnen in de driehoek.
Constructies van driehoeken uit de elementen en aansluitend de congruente driehoeken. Soorten van vierhoeken en hun eigenschappen.

Werkvormen rekenen
De vraagstukken worden alle gekozen uit het praktische leven. Levensechte vraagstukken, handel, weg- en waterbouw kunnen de kinderen boeien. De leerkracht vertelt in eerste instantie de vraagstukken, brengt ze zo dat de leerlingen ergens het gevoel krijgen dat hun goede raad voor de oplossing onmisbaar is. (Pas later in het jaar volgt een schriftelijke presentatie van vraagstukken via het bord.)

Kapitaalsommen vormen de overgang van het concrete naar het abstracte rekenen.

Er worden vele renteberekeningen gemaakt. Enkele leerlingen vinden daarbij al doende als het ware zelf de rente­formule uit.

De renteberekening wordt daarna klassikaal gereciteerd.

rente   =   kapitaal   x   percentage   x   tijd
                               100

Op zekere dag wordt deze tekst gereduceerd tot de formule:

r= k.p.t.
100

Als de kinderen dit alles intensief hebben beleefd, begint de algebra. De renteformule is de introductie tot het letterrekenen. De opdrachten die de kinderen krijgen zijn gemeenschappelijk, doch kunnen op verschillend niveau worden uitgewerkt.

In de zesde klasse moet de overgang van rekenen naar algebra komen via procentsommen.

‘Toen ik merkte dat er in de klas ‘handel werd gedreven, wilde ik aan dit soort sommen beginnen. Dit deed ik door een praatje over banken. Tegenwoordig* kunnen kinderen een koffer krijgen bij de bank met potloden, pennen, passer en liniaal, als ze een rekening openen. De vraag is nu waarom zo’n bank dat doet. Verschillende kinderen weten direct te antwoorden, dat de banken meer klanten willen, terwijl andere kinderen eigenlijk wat verbaasd zijn over mijn vraag. Over het algemeen zagen ze toch niet in, dat het beslist geen cadeautje is, ze wilden allemaal wel zo’n koffer ‘krijgen’.

We zijn toen verder gegaan over geld naar de bank brengen. Waarom doe je dat? Nou, dan ‘krijg’ je rente. Sommige kinderen konden precies vertellen hoeveel rente ze op hun spaarrekening kregen, de bedragen vlogen door de klas. Een verdere stap was toen het geld lenen bij de bank. Daar waren ze minder goed van op de hoogte, dus heb ik ze iets verteld over hypotheken en persoonlijke leningen met de hoge rente die daarover betaald moet worden. Ze zagen toen wel, waarom banken bestaan en waar die hun verdiensten vandaan halen.

Het begrip ‘procent’ werd niet moeilijk gevonden. Natuurlijk moet je kunnen overzien en zelf kunnen uitrekenen, wat je aan rente krijgt of moet betalen. De tijdsfactor heb ik nog buiten beschouwing gelaten, maar die zal, als we eenmaal met concrete gegevens van banken aan de gang gaan, verhelderend werken. Het was goed te merken, dat dit onderwerp ze aansprak. We zullen doorgaan met allerlei concrete situaties, bv. uitrekenen wat voor soort spaarplan in verschillende situaties van toepassing is, wanneer je zou kunnen lenen, etc. Het geheel zal ‘zakelijk’ zijn. Uitkomsten zullen geschat moeten worden, waarbij ze procenten als delen van het geheel moeten zien. Wat er gedaan wordt moet reëel zijn.

Bij de procenten horen ook winst- en verliessituaties, inkoop en verkoop, de keuze tussen huren en kopen.

We zullen ook zakelijke transacties spelen, waarbij de klant eventueel naar de concurrent kan gaan, of de toeschouwers een hebberige zakenman of -vrouw op de vingers kunnen tikken. Zonder het zo te noemen zijn we dus bezig met het economische leven, waar bepaalde regels van toepassing zijn.

Voorbeeld
Von Baravalle [1] stond uitgebreid stil bij de renteberekening van een som gelds, die op de bank stond. Hij vertelde dat de rente afhankelijk was van de hoogte van het de bank toevertrouwde bedrag: Als f 1000,— evenveel rente zou geven als f 2000,—, dan zou ik het wel weten, dan bracht ik van mijn f 2000,— f 1000,— naar de ene bank en de andere f 1000,— naar een andere bank, dan kreeg ik 2 x zoveel rente.

Ook ging het over de looptijd: Stel je voor dat je je geld komt halen, maar dat het aantal jaren dat het bedrag uitstaat er niet toe doet. Als je evenveel rente zou krijgen na één jaar of na twéé jaar, dan kun je beter je f 2000,-— eerst één jaar naar een bepaalde bank brengen, het eraf afhalen (met de rente!) om het vervolgens gauw naar een andere bank te brengen en dan later de rente nog eens te ontvangen. Daarom is het logisch, dat… Dat is de logica van een 6e klasser op rekengebied.

Dan volgen stapels renteberekeningen: een bepaald kapitaal staat uit tegen zoveel percent en wel gedurende 1 of 2 of 2,5 jaar. En als de rente 40, 50, 60 maal berekend wordt, dan gaat dat steeds vlotter, steeds automatischer. Dan komt het grootste moment, dat er op het bord verschijnt:

rente = kapitaal x percentage x tijd
.                                   .100

Tegelijkertijd klinkt op sonore wijze; als wij de rrrrente willen berekenen, dan nemen wij het kapitaal… enz. Daarna worden de vraagstukken anders genoteerd, en wel in de formulevorm. Eigenlijk verrekt gemakkelijk, formule opschrijven, invullen, uitrekenen. Niets te piekeren, hoe ging het ook weer, gewoon afdoen. En de leraar kan de aandacht van de leerlingen op iets anders richten.

[1] Hermannvon Baravalle: Methodische Gesichtspunkte für den Rechenunterricht

 

(Uit ‘Het binnenste buiten”: eindrapportage ‘Project Traditionele Vernieuwingsscholen’ : tevens Schoolwerkplan [van de] Rudolf Steiner Kleuterschool, Voorschoten [en de] Rudolf Steiner school, Leiden. *1985).

.

6e klas rekenenalle artikelen

6e klasalle artikelen

VRIJESCHOOL in beeld: 6e klas

.

528-487

 

VRIJESCHOOL – Menskunde en pedagogie – lichaamsoriëntatie

.

LICHAAMSORIËNTATIE

 

MENSKUNDIGE ACHTERGRONDEN

 

ONTWIKKELING BABY-SCHOOLKIND
De ontwikkeling van een baby naar een schoolkind omvat vele aspecten. Opvallend is wel dat alles in het teken van groei lijkt te staan.
Het kind verdubbelt in 7! à 8 jaar drie maal zijn lichaamsgewicht.
Met die groei gaat ook in de meeste gevallen een steeds grotere behoefte aan beweging gepaard. Als we beide onder één noemer willen brengen, past daar vooral het woord: leven.
DOEN!

Steeds meer en vaker wil het kind “het zelluf” doen.
Het wil klimmen en klauteren en …..wordt steeds behendiger
.
En daar duikt het woord “hand” weer op.

Het kind wordt steeds handiger, ook in de voeten. Die ontwikkeling zet eigenlijk al in als het kind zijn hoofd begint op te tillen.
Déze ontwikkling lijkt vooral een weg te gaan van boven naar beneden.

In Steiners optiek “IS” de mens zijn lichaam niet; hij “HEEFT” een lichaam.

De baby
Wie naar het allerkleinste kind kijkt en de beentjes met de voetjes een totaal eigen bewegingsleven ziet leiden, kan tot de gedachte komen dat het lijkt of die voetjes en beentjes er nog helemaal niet bij horen; er zit nog geen enkele beheersing in.

Langzaam maar zeker echter, wordt het kind zijn ledematen meester; het raakt “thuis” in zijn lichaam, het incarneert.

Die uitdrukking “thuis in het lichaam” is in deze tijd zo vreemd niet meer, nu we weten dat er mensen zijn die zich ongelukkig in/met hun lichaam voelen.

De kleuter
Het proces van “in het lichaam groeien” voltrekt zich voor een groot deel in de kleutertijd, maar ook daarna gaat dit door; ook in de puberteit moet het uit verhouding gegroeide lichaam opnieuw in harmonie komen met degene die het bewoont.

De vrijeschoolpedagogie wil kinderen daar waar het kan, helpen bij het proces van thuisraken op de wereld; ook in het eigen lichaam.

Kleuterklas
De kleuterklas is daartoe ingericht en is een zichtbaar geworden plaats waar het kind de mogelijkheid wordt geboden om het proces van aardser en aardser worden dat het als natuurlijk vermogen heeft meegekregen toen het op aarde kwam, te oefenen: IN HET SPELEN!

Spel is de opvoeder van het lichaam
Want juist het spel is de eigenlijke “opvoeder” van het lichaam. En als je ziet met wat een graagte en met hoeveel overgave een kind speelt, ben je geneigd te zeggen: het spel is de “voeder”, het “voedsel” voor het jonge kind.

1e klas
Ook in de eerste klas wordt de behendigheid met het lichaam geoefend; eveneens in spel, maar met nog een bijzonder soort oefening: de lichaamsoriëntatie, ook wel lichaamsgeografie genoemd.

Bij de lichaamsoriëntatie moet het kind direct uit het begrip handelen:
“pak met je rechterhand je linker schouder;
wijs met je linker wijsvinger je linkerknie aan.” Enz, enz.
“Beschrijf een cirkel met je rechterhand om je linkerhand; beschrijf 2 cirkels, met de ene hand naar de ene kant en met de andere hand naar de andere kant.” Enz.

Waarbij het tempo steeds verder wordt opgevoerd.

En passant leert het kind veel lichaamsdelen kennen: wreef, scheen, dij enz.

4e klas
Ook in de 4e klas gebruikte ik deze oefening om het kind te leren zich te oriënteren o.a. in de windrichtingen:

In de aardrijkskundeperiode hadden we een levensgroot “kompas” gemaakt van touw, boven ons hoofd, van muur tot muur. Aan de 8 touwen hingen kaarten met de namen: noordoost, zuidwest, noord enz.
Door eerst vast te stellen waar ’s morgens de zon te zien was, bepaalden we het oosten.
De kinderen wisten op den duur waar het noorden enz. was.

“Ga met je linkerschouder naar het zuidwesten staan; met je rug naar het noord-noordoosten”. Enz.

voor meer: aardrijkskunde klas 4

Tijdens de rekenperiode breuken kon het ook:
de kinderen staan in een cirkel of vierkant. In het midden daarvan ligt een doek, o.i.d. De opdracht aan een kind: “loop zo (vanaf je plaats op de cirkelrand naar het middelpunt) dat je aan je linkerhand 5/8 hebt.” Enz.

6e klas
Zelfs in klas 6 waren er nog mogelijkheden:
Tijdens de meetkundeperiode, ook staand in cirkel of vierkant: “loop zo, dat je aan je rechterhand een stompe hoek hebt”. Enz.

vormtekenen
Voordat deze vormtekeningen op papier komen, is de vorm door de leerkracht “in de lucht” aan de kinderen voorgedaan. Zij hebben in het begin dus geen concrete vorm voor zich, want het “spoor door de lucht” blijft niet. De kinderen moeten dus heel intensief waarnemen. Het wordt nog een paar maal voorgedaan; wie niet zeker is, mag even meedoen met de leerkracht, maar moet het dan toch weer zonder voorbeeld stellen. Uiteindelijk is het beeld verinnerlijkt: het is een voorstelling geworden.
Deze voorstelling wordt nu op papier getekend-grote vellen; sommige kinderen die motorisch meer hulp nodig hebben, maken de tekening bijv. met een nat sponsje op het bord; of als het weer het toelaat: in de zandbak kun je ook goed tekenen.
Maar uiteindelijk moet de tekening “van grof naar fijn” ook in een schriftje terecht (kunnen) komen.

Hier staat beschreven hoe sommige hersenonderzoekers al dit soort oefeningen zien.

In de bovenbeschreven oefeningen gaat het om:
het harmoniseren van “de bovenmens” (het geest/zielewezen) met de “benedenmens” (lichamelijk wezen).

Dit alles is maar een kleine greep uit het arsenaal dat de vrijeschoolleerkracht ten dienste staat om ‘boven met onder’ te verbinden.

.

Bewegen     pittenzakjes   handschaduwbeelden    hinkelen

Spel: alle artikelen

Zintuigen: alle artikelen

Heb je ook voorbeelden die hier bijpassen, mail ze naar
pieterhawitvliet(voeg toe)gmail(punt)com

 

125-120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.