VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over meetkunde – GA 311

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Opmerkingen van Rudolf Steiner over meetkunde die hij in zijn pedagogische voordrachten maakte (GA 293 – 311) en uit enkele andere voordrachten.

GA 311

Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit

De kunst van het opvoeden vanuit het besef: wat is de mens

Voordracht 5 Torquay, 16. augustus 1924

Blz 90-92   vert. 90-92

Wie man aus dem Anschaulichen heraus, nicht aus dem, was man heute oftmals «Anschauungsunterricht» nennt, alles in Erziehung und Unterricht besorgen muß, das möchte ich Ihnen nun an einem bestimmten Fall zeigen, der ja tatsächlich im Unterricht eine ganz besondere Rolle spielen kann. Es ist der Fall des pythagoreischen Lehrsatzes, den Sie ja wohl alle kennen, wenn Sie unterrichten wer­den, den Sie vielleicht schon in einer ähnlichen Weise durchschaut haben, aber wir wollen ihn heute doch noch besprechen. Sehen Sie, der pythagoreische Lehrsatz bedeutet etwas, was man sich tatsäch­lich im Unterrichte so als ein Ziel hinstellen kann für die Geometrie. Man kann schon die Geometrie so aufbauen, daß man sagt: man will alles so gestalten, daß sie gipfelt in dem pythagoreischen Lehrsatz, daß das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate. Es ist etwas ganz Grandioses, wenn man das so recht ins Auge faßt.

Hoe je alles vanuit het aanschouwelijke, niet vanuit wat men tegenwoordig dikwijls ‘aanschouwelijkheidsonderwijs’ noemt, in opvoeding en onderwijs moet doen, wil ik nog graag laten zien aan een bepaald iets dat in het onderwijs daadwerkelijk een bijzondere rol moet spelen. Dat is de stelling van Pythagoras die u allemaal wel kent, wanneer u in het onderwijs werkzaam bent, die u wellicht op een soortgelijke manier inzichtelijk is, maar we willen hem vandaag toch nog bespreken. Kijk, de stelling van Pythagoras is  iets wat je je concreet als doel kan stellen in de meetkunde. Je kan de meetkunde zo opbouwen dat je zegt: ik wil alles zo organiseren dat het uitmondt in de stelling van Pythagoras, dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden. Dat is iets grandioos, als je er goed naar kijkt.

Blz. 91    vert. 91

Man ist nur gewöhnt an dieses Frappierende. Aber nicht wahr, man soll einfach das ver­stehen, daß, wenn ich hier ein rechtwinkliges Dreieck habe (es wird gezeichnet), die Fläche, die als Quadrat über der Hypotenuse er­richtet wird, gleich ist der Summe dieser beiden Quadratflächen über den Katheten (Fig. I). Daß, wenn ich also Kartoffeln pflanze, und sie überall in den gleichen Entfernungen anordne, ich, wenn ich dieses Feld und dieses zusammen mit Kartoffeln bepflanze, genau soviel Kartoffeln anpflanzen werde, wie hier auf diesem Felde. Das ist etwas Frappieren des, etwas ganz Frappierendes, und wenn man es so ansieht, kann man es nicht eigentlich durchschauen.Und gerade das, daß man es nicht durchschauen kann, daß es etwas so Wunderbares ist, sollte man zum inneren Beleben des Seelischen im Unterricht benutzen; man sollte darauf bauen, daß man da etwas nicht so furchtbar Durchsichtiges hat, das man doch immer wieder zugeben muß. Man möchte sagen: beim pythagoreischen Lehrsatz ist es so: man kann an ihn glauben, aber man muß den Glauben im­mer gleich wieder verlieren. Man muß immer von neuem wieder

Men is alleen gewend aan dit frapperende. Maar, niet waar, je moet simpelweg begrijpen dat wanneer ik hier een rechthoekige driehoek heb (het wordt getekend) het vlak dat als kwadraat op de hypotenusa staat, even groot is als het totaal van deze twee kwadraten op de rechthoekszijde. (Fig.l)

fig.lGA 311 blz. 91

Dat, wanner ik aardappelen poot en die  overal op gelijke afstand van elkaar zet, ik, wanneer ik deze akker en deze samen met aardappelen beplant, precies evenveel aardappelen zal poten als hier op deze akker. Dat is iets verrassends, iets heel verrassends en wanneer je er zo naar kijkt kun je het eigenlijk niet doorzien.
En juist dat je het niet kunt doorzien, dat het zo wonderbaarlijk is, moet je in het onderwijs benutten als een innerlijke stimulans; je moet ervanuit gaan dat je iets hebt wat niet zo makkelijk te doorzien is, dat moet je steeds weer toegeven. Je zou willen zeggen: bij de stelling van Pythagoras is het zo: je kan die aannemen, maar je raakt het houvast steeds weer meteen kwijt. Je moet steeds weer opnieuw

blz.92:

daran glauben, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.
Nun kann man ja allerlei Beweise finden, und der Beweis sollte eigentlich ganz anschaulich geliefert werden. Er ist leicht zu liefern, solange das Dreieck gleichschenklig ist. Wenn Sie hier ein gleich­schenklig-rechtwinkliges Dreieck haben (es wird gezeichnet, Fig. II),

geloven dat het hypotenusakwadraat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.
Nu kun je allerlei bewijzen vinden en het bewijs moet eigenlijk heel aanschouwelijk geleverd worden. Het is makkelijk om het te leveren zolang de driehoek gelijkbenig is. Wanneer je hier een rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt (het wordt getekend, fig.l l)

GA 311 blz. 93 1

so ist dieses hier die eine Kathete, dies ist die andere Kathete, das ist die Hypotenuse. Das, was ich jetzt orange zeichne (1, 2, 3, 4), ist das Quadrat über der Hypotenuse. Das, was ich blau zeichne, sind die Quadrate über den beiden Katheten (2, 5; 4, 6).
Nun ist es wiederum so, wenn ich in der richtigen Weise hier über diesen beiden blauen Feldern (2, 5; 4, 6), Kartoffeln anpflanze, be­komme ich gleichviel, wie wenn ich in dem orangen Feld (1, 2, 3, 4) Kartoffeln anpflanze. Das orange Feld ist das Quadrat über der Hypotenuse, die beiden blauen Felder (2, 5; 4, 6) sind die Quadrate über den beiden Katheten.
Nun können Sie ja den Beweis einfach machen, indem Sie sagen:
Die zwei Stücke (2, 4) von den beiden blauen Quadraten, die fallen da (ins Hypotenusenquadrat) herein, die sind schon drinnen. Das da (5) können Sie hier heraufsetzen (auf 3). Wenn Sie sich das Ganze ausschneiden, können Sie das Stück (6) hier darauflegen (auf i), und Sie haben es gleich. Also, da ist die Sache ganz durchsichtig, wenn man ein sogenanntes rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck hat. Aber hat man nicht ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, sondern eines von verschiedenen Seiten (wie Fig. I), da kann man das folgende machen: Zeichnen Sie sich dieses Dreieck noch einmal

dan is dit hier de kleine rechthoekszijde, dit is de andere, dit is de hypotenusa. Wat ik oranje teken (1,2,3,4) is het kwadraat op de hypotenusa. Wat ik blauw teken zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu is het weer zo, wanneer ik op de juiste manier op deze beide blauwe velden (2, 5; 4, 6 ) aardappelen poot, dan krijg ik net zoveel als wanneer ik dat op de oranje velden (1, 2, 3, 4) doe. Het oranje veld is het kwadraat op de hypotenusa, de beide blauwe velden (2,5; 4,6) zijn de kwadraten op de beide rechthoekszijden.
Nu kun je het bewijs eenvoudig maken en zeggen: de twee stukken (2, 4) van de beide blauwe kwadraten die vallen daar (in het hypotenusakwadraat) binnen, die zitten er al in. Dit (5) kun je hier zetten ( op 3). Wanneer je het zou uitknippen, zou je het stuk (6) hier erop kunnen leggen (op 1) en dan heb je het al. Dus, nu is het goed te doorzien als je een zgn. rechthoekige gelijkbenige driehoek hebt. Maar als je die niet hebt, maar een met verschillende kanten (zoals fig.l) dan kun je het volgende doen: teken de driehoek nog een keer

blz. 93   vert. 93

heraus (Fig. III: ABC). Zeichnen Sie jetzt das Quadrat über der Hy­potenuse ABDE. Nun können Sie in folgender Weise zeichnen: Sie #Bild s. 93
können das Dreieck ABC, das Sie hier haben, hier daran zeichnen:
BDF. Dann können Sie dieses Dreieck ABC, respektive dieses BDF, was dasselbe ist, noch einmal hierher zeichnen: AEG. Dadurch, daß Sie dieses Dreieck hier noch einmal haben, können Sie sich das Qua­drat über dieser einen Kathete so herzeichnen (rot) CAGH. Jetzt ist das, was ich rot gezeichnet habe, das Quadrat über der einen Kathete (CAGH).
Ich kann nun auch, wie Sie sehen, das Dreieck hierher zeichnen:
DEI. Hier habe ich es auch. Dann habe ich in dem, was ich hier jetzt grün zeichne, das Quadrat über der anderen Kathete: DIHF; dann habe ich da zwei, das Quadrat über der einen Kathete, das Quadrat über der anderen Kathete. Ich benutze nur bei dem einen diese Kathete AG, bei dem anderen diese Kathete DI. Die Dreiecke sind da (AEG) und da (DEI); aber gleich (d.h. kongruent). Wo habe ich das Quadrat über der Hypotenuse? Das will ich nun violett hin-einzeichnen, damit wir es gut unterscheiden können: ABDE. Das Quadrat über der Hypotenuse habe ich hier. Jetzt soll ich an der Figur selber zeigen, daß rot (1, 2) und grün (3, 4, 5) zusammen violett (2, 4, 6, 7) gibt.
Nun werden Sie ja leicht einsehen können: ich nehme dieses rote Quadrat (1, 2) hier zuerst; dasjenige, was die beiden Quadrate gemeinschaftlich

(fig.lll: ABC)

GA 311 blz. 93 2

Teken nu het kwadraat van de hypotenusa ABDE. Nu kun je op de volgende manier tekenen: je kunt de driehoek ABC, die je hier hebt, er hier bij tekenen: BDF. Dan kun je deze driehoek ABC, respectievelijk deze BDF, die hetzelfde is, nog een keer hier tekenen: AEG. Doordat je deze driehoek hier nog eens hebt, kun je het kwadraat op deze ene rechthoekszijde zo opnieuw tekenen (rood) CAGH. Nu is dit, wat ik rood getekend heb, het kwadraat op de rechthoekszijde (CAGH).
Ik kan nu ook, zoals je ziet, de driehoek hier tekenen DEI. Hier heb ik die ook. Dan heb ik met wat ik hier nu groen teken, het kwadraat van de andere rechthoekszijde: DIHF; dan heb ik er twee, het kwadraat op de ene, het kwadraat op de andere rechthoekszijde. Ik gebruik alleen bij de ene deze rechthoekszijde AG, bij de ander deze DI. De driehoeken zijn daar (AEG) en daar (DEI); ze zijn gelijk (d.i. congruent). Waar heb ik het kwadraat op de hypotenusa? Dat wil ik nu paars tekenen, zodat we het goed kunnen onderscheiden: ABDE. Het kwadraat op de hypotenusa heb ik hier. Nu moet ik op de figuur zelf aantonen, dat rood (1,2) en groen 3, 4, 5) samen violet (2, 4, 6,7) oplevert.
Nu, dat zul je makkelijk kunnen snappen: ik neem dit rode kwadraat (1,2) hier eerst; wat de beide kwadraten gemeenschappelijk

Blz. 94 vert. 94

haben (2), das fällt ja übereinander. Nun kommt da noch das Stück vom grünen Quadrat (4) herein. So habe ich also diese Figur (2, 4), die Sie da gezeichnet sehen, und die nichts an­deres ist als ein Stück von dem violetten Quadrat ABDE, richtig ein Stück von dem violetten Quadrat. Dieses Stück von dem violetten Quadrat DE enthält dieses Stück von dem roten Quadrat (2); bleibt davon nur noch der Zipfel hier übrig (1); den enthält es noch nicht. Aber außerdem enthält diese Figur diesen Zipfel von dem grünen Quadrat (4). Jetzt muß ich nur noch darauf kommen, das unter­zubringen, was mir da übriggeblieben ist (1, 3, 5).
Nun müssen Sie einmal sehen: da ist Ihnen ein Stückchen vom roten Quadrat übriggeblieben (1), da ein Stückchen vom grünen Quadrat (3), und da ist Ihnen dieses ganze Dreieck (5) übriggeblie­ben, das auch zum grünen Quadrat DIHF gehört. Jetzt nehmen Sie das, was Sie hier haben, was Ihnen da noch übriggeblieben ist, und setzen es da an: dasjenige, was Ihnen hier noch übriggeblieben ist (5), nehmen Sie und setzen es da an (6). Jetzt haben Sie auch noch die Zipfel da (1, 3). Wenn Sie das ausschneiden, kommen Sie richtig darauf, daß diese beiden Flächen (1, 3) in diese Flächen (7) hineingefallen sind.

hebben (2), dat overlapt elkaar. Nu komt daar nog bij het stuk van het groene kwadraat (4). Dus krijg ik dit figuur (2, 4) dat je daar getekend ziet en dat niets anders is dan een stuk van het violette kwadraat ABDE, inderdaad een stuk van het violette kwadraat. Dit stuk van het violette kwadraat DE omvat dit stuk van het rode kwadraat (2); daarvan blijft alleen de punt hier over (1); die zit er nog niet bij. Maar bovendien bevat deze figuur de punt van het groene kwadraat (4). Nu moet ik er nog toe komen, onder te brengen wat ik nog over heb (1, 3, 5).
Nu moet je eens kijken: je hebt nog een stukje van het rode kwadraat over (1), daar een stukje van het groene (3) en daar is de hele driehoek (5) overgebleven, die ook bij het groene kwadraat DIHF hoort. Nu neem je wat je hier hebt, wat nog overgebleven is en dat leg je dan hier aan: wat je hier nog over hebt (5) neem je en leg je er hier aan (6). Nu heb je nog de punt (1, 3). Wanneer je die uitknipt, kom je er op dat deze beide vlakken (1, 3) in dit vlak (7) terecht zijn gekomen.

Es kann natürlich noch deutlicher gezeichnet werden, aber ich denke, Sie werden die Sache durchschauen. Es handelt sich jetzt nur noch darum, daß es sich durch die Sprache noch näher mit­teilt. Auf diese Weise haben Sie einfach durch das Flächen-überein­anderlegen gezeigt, daß der pythagoreische Lehrsatz richtig ist. Wenn Sie gerade diese Art des Übereinanderlegens nehmen, so wer­den Sie etwas finden. Sie werden zwar sehen, wenn Sie die Sache aus­schneiden, statt daß Sie es aufzeichnen, daß sie sehr leicht überschau­bar ist; trotzdem, wenn Sie später darüber nachdenken, wird es Ihnen wieder entfallen. Sie müssen es immer wieder von neuem suchen. Sie können es sich nicht ganz gut im Gedächtnis merken, daher muß man es immer wieder aufs neue suchen. Und das ist gut. Das ist näm­lich ganz gut. Das entspricht dem pythagoreischen Lehrsatz. Man soll immer wieder von neuem darauf kommen. Daß man ihn ein­sieht, soll man immer wieder vergessen. Das entspricht dem Frap­pierenden, was der pythagoreische Lehrsatz hat. Dadurch bekommen

Het kan natuurlijk nog duidelijker worden getekend, maar ik denk dat je de zaak wel doorziet. Het gaat er nu nog om dat je het door middel van de taal nog preciezer zegt. Op deze manier heb je eenvoudig door de vlakken over elkaar te leggen, laten zien, dat de stelling van Pythagoras juist is.
Wanneer je juist deze manier om de vlakken over elkaar te leggen neemt, dan zul je het vinden. Weliswaar zul je zien, dat wanneer je het uitknipt in plaats van te tekenen, de zaak dan heel eenvoudig te overzien is; ondanks dat: wanneer je er later over nadenkt, is het je weer ontschoten. Je moet het steeds weer opnieuw zoeken. Je kunt het niet goed in je geheugen krijgen, daarom moet je het steeds weer opnieuw uitzoeken. En dat is goed. Dat is namelijk heel goed. Dat hoort bij de stelling van Pythagoras. Je moet er steeds weer opnieuw opkomen. Dat je hem snapt, moet je ook steeds weer vergeten. Dat hoort bij het frapperende dat de stelling van Pythagoras heeft. Daardoor krijg je

Blz. 95  vert. 95

Sie das Lebendige in die Sache hinein. Sie werden schon sehen, wenn Sie dieses von den Schülern wieder und wieder machen lassen, die müssen es herausdrucksen. Sie kommen nicht gleich wieder darauf, sie müssen jedesmal nachdenken. Das entspricht aber dem Innerlich-Lebendigen des pythagoreischen Lehrsatzes. Es ist gar nicht gut, wenn man den pythagoreischen Lehrsatz so beweist, daß er platt philiströs einzusehen ist; es ist viel besser, daß man ihn immer wie­der vergißt und immer wieder von neuem suchen muß. Das entspricht dem Frappierenden, daß es doch etwas Sonderbares ist, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Katheten­quadrate.
Nun können Sie ganz gut mit elf- oder zwölfjährigen Kindern die Geometrie so weit bringen, daß Sie den pythagoreischen Lehrsatz in einem solchen Flächenvergleich erklären; die Kinder werden eine ungeheure Freude haben, wenn sie das eingesehen haben, und sie be­kommen Eifer. Das hat sie gefreut. Jetzt wollen sie es immer wieder machen, besonders, wenn man sie es ausschneiden läßt. Es wird nur ein paar intellektualistische Taugenichtse geben, die sich das ganz gut merken, die es immer wieder zustandebringen. Die meisten, vernünftigeren Kinder, werden immer wieder sich verschneiden und daran herumdrucksen, bis sie herausbekommen, wie es sein muß. Das entspricht aber dem Wunderbaren des pythagoreischen Lehrsatzes, und man soll nicht aus diesem Wunderbaren herauskommen, sondern drinnen stehen bleiben.

even in de zaak. Je zal wel zien dat wanneer je dit keer op keer door de leerlingen laat maken, zij daarbij nog aarzelen. Zij komen er niet meteen weer op, ze moeten iedere keer nadenken. Dat hoort echter bij die levendigheid die in de stelling van Pythagoras zit. Het is helemaal niet goed wanneer je de stelling zo bewijst dat die beperkt oppervlakkig te begrijpen is; het is veel beter dat je hem steeds weer vergeet en steeds weer opnieuw  moet zoeken. Dat hoort bij het frapperende, dat het toch iets wonderbaarlijk is dat het hypotenusakwadraat even groot is als de som van de beide kwadraten van de rechthoekszijden.
Nu kun je heel goed met elf-twaalfjarige kinderen zo ver met meetkunde komen, dat je de stelling van Pythagoras met een dergelijk vergelijken van de vlakken kan uitleggen; de kinderen zullen buitengewoon blij zijn, wanneer ze het gesnapt hebben en ze krijgen er zin in. Ze hebben er plezier in gehad. Nu willen ze het steeds opnieuw doen, vooral wanneer je ze laat uitknippen. Er zullen wel een paar intellectualistische deugnieten zijn die het heel goed in de gaten hebben, die het steeds voor elkaar krijgen. De meeste, verstandigere kinderen zullen het steeds weer verknippen en erbij aarzelen, tot het lukt, zoals het zijn moet. Dat hoort bij de wonderbaarlijke stelling van Pythagoras en je moet dit wonderbaarlijke niet kwijtraken, maar het vasthouden.
GA 311/90-95
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