Tagarchief: 8e klas meetkunde

VRIJESCHOOL – 8e klas – meetkunde (1-1)

.

In de meetkundeperioden in klas 6 leren de kinderen de hoeken kennen. Meestal komt in de 8e klas iets van stereometrie aan bod en vaak zie je daar dat de Platonische lichamen worden behandeld.
Hieronder een paar voorbeelden en aanwijzingen:

REGELMATIGE VEELVLAKKEN

In het platte vlak kennen we regelmatige veelhoeken. Van zo’n veelhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken even groot. Voor elk getal n, groter dan 2, bestaat er een regelmatige n – hoek. De grootte van elk van de hoeken bedraagt

n – 2    . 180    
  n

Bijvoorbeeld:  een driehoek:  n = 3, -2 = 1, : n = 3  = 1/3 x 180° = 60°
voor een vierhoek: n = 4, – 2 = 2, : n= 2 = 1/2 x 180° = 90°,
voor een vijfhoek: n = 5, – 2 = 3, : n = 5 = 3/5 x 180 = 108°  enz.

In de ruimte verstaan we onder een regelmatig veelvlak een figuur waarvan alle zijvlakken congruent zijn, en bovendien alle een regelmatige veelhoek zijn.

Er blijken slechts vijf regelmatige veelvlakken te bestaan. Om dit in te zien, bekijken we eerst een vlak vol regelmatige zeshoeken.

In een hoekpunt vullen drie zeshoeken precies de 360° rond het punt op. We kunnen daarom in het hoekpunt geen ruimtelijke kromming met de drie zeshoeken tot stand brengen, want de hoeken zouden dan samen kleiner dan 360° worden. Met meer dan drie zeshoeken kan het in elk geval ook niet, want 4 x 120° is helemaal te veel. En met twee zeshoeken kan het evenmin: dit zou een platte figuur opleveren óf er zouden ‘gaten’ vallen.

Met vijfhoeken dan? Drie hoekpunten zouden kunnen want 3 x 108° is minder dan 360°.
Vier vijfhoeken kunnen weer niet in één punt samenkomen, want dan zitten we boven 360°.

De vierkanten. Drie zou kunnen want 3 x 90° is minder dan 360°. Vier is al te veel, want 4 x 90° = 360°

Tot slot de driehoeken. Omdat de hoeken slechts 60° zijn, kunnen in elk hoekpunt van het veelvlak drie (3 x 60=180) of vier (4 x 60 = 240) of vijf (5 x 60=300) zijvlakken samenk0men.

Samenvattend zijn dus maximaal mogelijk: één regelmatig veelvlak van vijfhoeken,
één regelmatig veelvlak van vierkanten,
drie regelmatige veelvlakken van driehoeken.

Deze veelvlakken bestaan alle vijf. 

– het twaalfvlak van vijfnoeken,
– het zesvlak van vierkanten (beter bekend als kubus), 
– het twintigvlak van driehoeken,
– het achtvlak van driehoeken,
– het viervlak van driehoeken.

De bouwtekening spreekt voor zich. Op de lijnen uitsnijden, op de stippellijntjes vouwen (lipjes eventueel iets langer laten). Vooraf een koordje door het gaatje van binnenuit, en dan lijmen en plakken.

Enkele theoretische bijzonderheden.
Om te beginnen kan men de formule van Euler voor de veelvlakken controleren:

AANTAL RIBBEN + 2 = AANTAL VLAKKEN + AANTAL PUNTEN

Bij de regelmatige veelvlakken valt bovendien op:

20-vlak: 12 hoekpunten,
12-vlak: 20 hoekpunten,
t8-vlak: 6 hoekpunten,
6 – vlak: 8 hoekpunten,
4-vlak: 4 hoekpunten.

Daar kan je iets mee te doen:

alle middelpunten van de vlakken in een 20 – vlak vormen precies de hoekpunten van een 12 – vlak en omgekeerd.
En net zo voor 8 – vlak en 6-vlak (gemakkelijk na te gaan in een tekening van een kubus).
En in een viervlak vormen de middelpunten van de vlakken de hoekpunten van een kleiner viervlak.

De overgang 20 ↔ 12-vlak en 8 ↔ 6-vlak is terug te vinden in de ‘mooiste opstelling’.
Voor een 20-vlak lijkt de natuurlijke stand die met een punt naar boven (en beneden); voor een 12 -vlak die met een vlak naar boven.
Voor een 8-vlak weer een punt naar boven, een kubus staat gewoonlijk weer op een vlak.
Probeer dat eens te verwisselen. Als het vouwen en plakken goed is gedaan, maakt het niet uit, welk vlak als grondvlak dienst doet.

viervlak = tetraëder

 

zesvlak = kubus: hexaëder

achtvlak: octaëder

 

twaalfvlak: dodecaëder

twintigvlak: icosaëder

.

8e klas: alle artikelen

.

2017

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL –– Het leerplan – Caroline von Heydebrand (8e klas)

.

Kort na het overlijden van Rudolf Steiner in maart 1925 verscheen voor de eerste keer een schriftelijke weergave van het leerplan van de vrijeschool.
Die werd samengesteld door Caroline von Heydebrand die vanaf het begin in 1919 aan de vrijeschool in Stuttgart was verbonden. Zij had ook de begincursus – GA 293294 en 295 – bijgewoond en de vele lerarenvergaderingen met Rudolf Steiner (GA 300abc). 
In de jaren 1919 – 1925 tekenden zich de contouren van een leerplan af dat nadien in grote lijnen hetzelfde is gebleven.
Dat betekent echter niet dat het ‘achterhaald’ zou zijn. In velerlei opzichten zijn de ideeën nog altijd even verfrissend en laten ruimte voor ontwikkeling.

Caroline von Heydebrand, Mitteilungsblatt, okt. 1925
.

het schoolkind tot aan de tijd van de puberteit

Wanneer de tandenwisseling de afsluiting laat zien van bepaalde plastische krachten in het kinderlijke organisme, dan mag je de puberteit als de afsluiting bestempelen van bepaalde muzikale krachten in de mens. De afsluiting drukt zich bij jongens ook uit door de verandering van de stem, de stemwisseling. Meer dan men tegenwoordig ziet, werkt het uitgesproken woord van de leraar, niet wat hij spreekt, maar hoe, mee aan de voorbereiding van de puberteit en daarom is het zo belangrijk dat de opvoeding van het kind een gezonde, muzikaal-lyrische spraak meekrijgt. De verzorging van het kunstzinnig vormgegeven woord moet de leraar ook bij zichzelf nooit verwaarlozen. 
In de puberteit ontwaakt in de jonge mens een omvattende liefde voor de wereld en de mensheid, waarvan de liefde voor de ander* maar een klein deel is. Het sociale beleven, de neiging naar enkele vriendschappen en vriendschappen in groepsverband wordt sterker. De mogelijkheid om logisch te denken, tot een zelfstandig oordeel, ontstaat en dit zelfstandige oordeel krijgt nu een kennisbasis bij alles wat het kind, de autoriteit van de leerkracht volgend, tot nu toe met vertrouwen en zonder vroegtijdige kritiek, heeft aangenomen.

8e klas

Het is een feit dat, gedwongen door de sociale omstandigheden, veel kinderen al op het eind van de 8e klas, dus eigenlijk op het eind van de basisschoolleeftijd, van school moeten. Voor hun ontwikkeling veel te vroeg, verlaten deze kinderen hun schoolopvoeding om voor een inkomen te gaan werken. Daarom moet in het leerplan van deze klas veel ingevoerd worden om tot een voorlopige afsluitng te komen van wat nog door een aantal jaren onafgesloten had moeten blijven. Aan de andere kant ontstaat in deze klas de opdracht de leerlingen volledig klaar te maken voor hun plaats in de wereld.

[De vakken zijn door mij in alfabetische volgorde gezet]

Aardrijkskunde

De behandeling van de geestelijk-culturele omstandigheden van de aardebewoners in samenhang met de economische omstandigheden komt tot een afronding.

Algebra zie rekenen

Biologie

Wanneer de leerling in het leven komt te staan, moet hij een beeld van de mens kunnen meenemen dat hem de mens toont als een synthese van de natuurrijken, als microkosmos. Het grote verschil in functie van de orgaansystemen en het harmonisch samenwerken van deze verschillende systemen moet hem duidelijk zijn. Hij heeft ook leren kennen wat de samenhang is tussen gezondheid en ziekte i.v.m. psycho-somatische factoren. Besproken wordt, daar hij door zijn eigen ontwikkeling er nu aan toe is, de mechanische werking van botten en spieren, het oog, d.w.z. dát van de mens wat je kan begrijpen met mechanische en fysische voorstellingen.

Euritmie

Verdergaan met de bewegingen en de ruimtevormen die tot nu toe werden beoefend. In de keus van de gedichten neem je, die een sterke gevoelsstemming, gevoelstegenstelling in spanning en ontspanning in zich hebben, bv. balladen, humoristische gedichten worden als tegenstellingen behandeld. Nu komen er hoofd- en voethoudingen bij die de dramatiek van de tekst met een bijzondere levendigheid aanschouwelijk maken. In ieder lesuur – net zoals in de voorafgaande jaren – gaat het om een opbouw die een geheel vormt. Je laat de kinderen bv. aan het begin van de les ritmische oefeningen doen, dan serieuze spanning oproepen door ernstige teksten, overgaand naar ontspanning door iets vrolijks om aan het eind van het uur tot rust te komen door innerlijk evenwicht in de beleving van het kind op te roepen.
De oefeningen die de intelligentie moeten wekken en die tot harmoniseren van de wil leiden, worden voortgezet.

Tooneuritmie:

De mol-toonladders worden uitgewerkt. Melodieën met overgangen van dur naar mol en terug. Gesloten groepsvormen die berusten op intervalvormen.

Geschiedenis

Het geschiedenisonderwijs wordt voortgezet tot in de tegenwoordige tijd, want het is goed dat de mens in de tijd waarin hij tot een bepaalde afsluiting in zijn ontwikkeling komt, dat wat de mensheid gepresteerd heeft tot in zijn tijd, zo volledig mogelijk als dit binnen het onderwijs kan, leert kennen. De leerling moet wanneer hij van school gaat, een beeld van de geschiedenis van de mensheid hebben. Vooral de behandeling van het cultuurhistorische moet duidelijk maken hoe de uitvinding van de stoommachine, het mechanische weefgetouw enz. de wereld hebben veranderd.

Gymnastiek

Aan de toestellen eenvoudige oefeningen van de Duitse gymnastiek, zonder nadruk op uiterlijke vorm. Op de brug nog geen steunoefeningen met gekromde rug, nog geen zwaaioefeningen aan het wandrek. Bij springen alleen de Duitse sprong als hoog- ver en hoog/versprong over alle mogelijke hindernissen, hordensprong.
Der Fall aus der Überstreckung nach der Höhe und seine Überwindung. [Ik weet hier geen adequate vertaling van] Ritmische afwisseling. [weer] Überstreckung, overstrekking?, val en weer opstaan. Ritmisch springen, stille oefeningen in een rij. Worstelen.

Handenarbeid

De kinderen oefenen fantasie, doorzettingsvermogen en handvaardigheid aan moeilijkere werkjes.

Handwerken

In de eerste van de twee uren per week wordt het werk van de 7e klas verder ontwikkeld. Daarbij komt het leren van het gebruik van de naaimachine bij kleinere en grotere gebruiksvoorwerpen. Ook kunstzinnig werk voor zover er tijd voor is.
In het tweede uur herstellen en stoppen van kapotte sokken, wasgoed of kleding. Bovendien leren de kinderen wringen en strijken van de was. Verschillende stoffen leren kennen.

Meetkunde

Berekenen van vlakken en zijden van vlakke figuren en stereometrie met de daarbij behorende inhouds- en oppervlakte – en zijdenberekeningen. Begin met de geometrische plaatsbepaling.

Muziek

In de 8e klas hetzelfde als in de 7e klas.

Natuurkunde

Wat in de 6e klas is begonnen, wordt voortgezet, waarbij het om de praktische toepassingen gaat. Hydraulica, aerodynamica, klimatologie en weersverschijnselen.

Niet-Nederlandse taal

Engels en Frans:

Naast lectuur, literatuur, kennis van het land en de bevolking enz. komt daarbij de behandeling van de dichtkunst en het metrum in die talen.

Latijn en Grieks:

De Latijnse woordstructuur kan worden afgesloten, met de Griekse nog verdergaan. In het latijn kan je nu beginnen met onder meer samenhangende leesstukken, bv. met Nepos of Caesars Gallische Oorlogen. Vrij navertellen en vertalen moeten elkaar afwisselen. Hierbij hoeven grammaticaal-syntactische verklaringen alleen gebruikt te worden als dat voor het begrijpen van de tekst nodig is, zonder systematisch te hoeven zijn.

Rekenen

Rekenen en algebra worden beoefend en verder ontwikkeld aan de hand van veelvuldige toepassingen.

Scheikunde

De betekenis van chemische processen in de industrie en bij de opbouw van het menselijk lichaam, koolhydraten, suiker, eiwit, vet en wat deze betekenen voor het voedsel.

Schilderen

Door de jaren heen hebben de leerlingen met kleur leren leven en die in hun onderlinge samenhang leren kennen. Nu worden ze ertoe gebracht het spel van licht en kleur bij voorwerpen waar te nemen en weer te geven en bv. landschappen geheel uit de kleurstemming schilderend vorm te geven.

Taal

Je probeert uitgebreid begrip te wekken voor wat in proza en in poëzie is vormgegeven. Je leest episch en dramatisch werk waarvoor de leerlingen pas op de puberteitsleeftijd ontvankelijk worden. Besproken wordt Goethe en zijn tijd alsook zijn culturele invloed. Van Herders ‘Ideeën over de geschiedenis van de mensheid’ en Schillers ‘Dertigjarige oorlog’ worden bepaalde stukken gebruikt als lees- en gespreksstof. Aan wat zakelijk-praktisch is op het gebied van de taal wordt in het bijzonder aandacht besteed.

Tekenen

Alles waarmee in de 6e en 7e klas werd begonnen wordt verder gebracht en het kunstzinnige wordt nog verder ontwikkeld.

Tuinbouw

De groenteteelt die in de 6e klas werd begonnen, met een driejarig wisselteeltplan, wordt nu afgerond. Gedurende drie jaar hebben de leerlingen met praktisch werk alle noodzakelijke verrichtingen leren kennen.

Von Heydebrand vermeldt niets over de vertelstof.

Steiner in GA 295/19, noemt voor de 8e klas:
Erkenntnis der Völker. Vertaald in: volkerenkunde.

.

Meer artikelen over het leerplan

8e klasalle artikelen

.

1980

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – Meetkunde (1)

.

In zijn ‘Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen’ [1] heeft E.A. Karl Stockmeyer een samenvatting gegeven van het hoe en waarom van de elementaire meetkunde.

Doelen voor het meetkundeonderwijs:

1e klas:
tekenen voor het leren schrijven

2e en 3e klas:
tekenen van makkelijkere en moeilijkere vormen, puur om de vorm en zonder de relatie tot concrete dingen en voorwerpen, om het bewustzijn voor de ruimte te ontwikkelen als ‘vormingsgebied’. (symmetrie e.d.)

4e en 5e klas:
Meetkundige figuren in het tekenen leren kennen, in het ‘beschrijven’ van hun onderlinge verhoudingen leren begrijpen, dus driehoek, vierkant, cirkel, ellips enz. tot aan de stelling van Pythagoras, op zijn minst wat de gelijkbenige rechthoekige driehoek betreft.

Bij de 4e klas:
Meetkunde: een poging tot formulering:
Nadat in de eerste drie schooljaren eerst getekend is om te leren schrijven; ook geboetseerd puur terwille van de vorm, zonder voorwerpen als voorbeeld, begint op z’n laatst in de 4e klas het tekenen van elementaire meetkundige vormen; de verhoudingen moeten slechts waarnemend gevonden worden.

Bij de 5e klas:
Het waarnemend beschrijven van geometrische vormen wordt voortgezet em geïntensiveerd.

6e t/m 8e klas:
Wat tot nog toe tekenend en beschrijven behandeld werd, moet nu meetkundig ‘bewezen’ begrepen worden. (Tegelijkertijd komt er in het aparte tekenonderwijs de eenvoudige projectie- en schaduwleer)

Bij de 6e klas:
In de meetkunde moet – in overeenstemming met wat voor de 4e klas werd gezegd – een begin worden gemaakt met het bewijzen, ongeveer tot het begrijpen van congruentie van driehoeken en toepassingen ermee. Daarbij zijn de begrippen die in de jaren daarvoor el duidelijk zijn geworden toe te gebruiken, te verhelderen en uit te breiden; in het bijzonder moet de geometrische plaats erbij komen.

Bij de 7e klas:
Voorgesteld wordt in de meetkunde verder te gaan met het kunnen bewijzen, bijv. door de cirkel, het vierkant en de veelhoeken te behandelen. Het begrip ‘meetkundige plaats’moet verder behandeld worden, omdat deze ervoor geschikt is om meetkundige figuren uit het starheid te verlossen en beweeglijk te maken.

Bij de 8e klas:
Naast berekenen van vlakken moeten ook behandeld worden eenvoudige geometrische lichamen te berekenen; de meetkundige plaats nu toepassen op de curven van ellips, hyperbool, casinoïde en de cirkel van Apollonius

Daarnaast maakt Karl Stockmeyer nog een andere indeling:

Er zijn eigenlijk – afgezien van het tekenen om te leren schrijven – drie leerwegen die ieder op zich staan:

1e leerweg:
Vóór het 9e levensjaar wordt het vrije kunstzinnige vormgeven (symmetrie, vormverandering, toenemend in moeilijkheidsgraad, afmaken van een gegeven vorm enz) zonder uiterlijke dingen als voorbeeld te nemen, tekenend, schilderend, boetseren beoefend.

2e leerweg:
Op z’n laatst rond het 9e levensjaar wordt met een eerste meetkundeweg begonnen, die de gebruikelijke meetkundige vormen omvat en hun verhoudingen, maar die moeten nog geheel een innerlijk waarnemen blijven. Het doel is de stelling van Pythagoras.

3e leerweg:
Die begint pas op het 11e- 12e jaar en moet tot een exacte omgang met mathematische kennis leiden en moet daarom wat er tot dan toe geleerd werd door de waarneming, opnieuw vanuit het elementaire doorgenomen worden.

Sinds lang is het zo dat wie het over de meetkundeperiode(n) heeft, de perioden vanaf de 6e klas bedoelt. Waar het gaat om het bewijzen.

Alles ervoor wordt nu toch veel meer gezien als vormtekenen.

 

[1] E.A.Karl Stockmeyer: Rudolf Steiners Lehrplan für die Waldorfschulen

Nu:  Angaben Rudolf Steiners für den Waldorfschulunterricht

6e klas: meetkunde

7e klas: meetkunde

kringspelen en meetkunde

 

Het artikel zal verder uitgewerkt worden.

 

1110