Tagarchief: Platonische lichamen

VRIJESCHOOL – 8e klas – meetkunde (1-1)

.

In de meetkundeperioden in klas 6 leren de kinderen de hoeken kennen. Meestal komt in de 8e klas iets van stereometrie aan bod en vaak zie je daar dat de Platonische lichamen worden behandeld.
Hieronder een paar voorbeelden en aanwijzingen:

REGELMATIGE VEELVLAKKEN

In het platte vlak kennen we regelmatige veelhoeken. Van zo’n veelhoek zijn alle zijden even lang en alle hoeken even groot. Voor elk getal n, groter dan 2, bestaat er een regelmatige n – hoek. De grootte van elk van de hoeken bedraagt

n – 2    . 180    
  n

Bijvoorbeeld:  een driehoek:  n = 3, -2 = 1, : n = 3  = 1/3 x 180° = 60°
voor een vierhoek: n = 4, – 2 = 2, : n= 2 = 1/2 x 180° = 90°,
voor een vijfhoek: n = 5, – 2 = 3, : n = 5 = 3/5 x 180 = 108°  enz.

In de ruimte verstaan we onder een regelmatig veelvlak een figuur waarvan alle zijvlakken congruent zijn, en bovendien alle een regelmatige veelhoek zijn.

Er blijken slechts vijf regelmatige veelvlakken te bestaan. Om dit in te zien, bekijken we eerst een vlak vol regelmatige zeshoeken.

In een hoekpunt vullen drie zeshoeken precies de 360° rond het punt op. We kunnen daarom in het hoekpunt geen ruimtelijke kromming met de drie zeshoeken tot stand brengen, want de hoeken zouden dan samen kleiner dan 360° worden. Met meer dan drie zeshoeken kan het in elk geval ook niet, want 4 x 120° is helemaal te veel. En met twee zeshoeken kan het evenmin: dit zou een platte figuur opleveren óf er zouden ‘gaten’ vallen.

Met vijfhoeken dan? Drie hoekpunten zouden kunnen want 3 x 108° is minder dan 360°.
Vier vijfhoeken kunnen weer niet in één punt samenkomen, want dan zitten we boven 360°.

De vierkanten. Drie zou kunnen want 3 x 90° is minder dan 360°. Vier is al te veel, want 4 x 90° = 360°

Tot slot de driehoeken. Omdat de hoeken slechts 60° zijn, kunnen in elk hoekpunt van het veelvlak drie (3 x 60=180) of vier (4 x 60 = 240) of vijf (5 x 60=300) zijvlakken samenk0men.

Samenvattend zijn dus maximaal mogelijk: één regelmatig veelvlak van vijfhoeken,
één regelmatig veelvlak van vierkanten,
drie regelmatige veelvlakken van driehoeken.

Deze veelvlakken bestaan alle vijf. 

– het twaalfvlak van vijfnoeken,
– het zesvlak van vierkanten (beter bekend als kubus), 
– het twintigvlak van driehoeken,
– het achtvlak van driehoeken,
– het viervlak van driehoeken.

De bouwtekening spreekt voor zich. Op de lijnen uitsnijden, op de stippellijntjes vouwen (lipjes eventueel iets langer laten). Vooraf een koordje door het gaatje van binnenuit, en dan lijmen en plakken.

Enkele theoretische bijzonderheden.
Om te beginnen kan men de formule van Euler voor de veelvlakken controleren:

AANTAL RIBBEN + 2 = AANTAL VLAKKEN + AANTAL PUNTEN

Bij de regelmatige veelvlakken valt bovendien op:

20-vlak: 12 hoekpunten,
12-vlak: 20 hoekpunten,
t8-vlak: 6 hoekpunten,
6 – vlak: 8 hoekpunten,
4-vlak: 4 hoekpunten.

Daar kan je iets mee te doen:

alle middelpunten van de vlakken in een 20 – vlak vormen precies de hoekpunten van een 12 – vlak en omgekeerd.
En net zo voor 8 – vlak en 6-vlak (gemakkelijk na te gaan in een tekening van een kubus).
En in een viervlak vormen de middelpunten van de vlakken de hoekpunten van een kleiner viervlak.

De overgang 20 ↔ 12-vlak en 8 ↔ 6-vlak is terug te vinden in de ‘mooiste opstelling’.
Voor een 20-vlak lijkt de natuurlijke stand die met een punt naar boven (en beneden); voor een 12 -vlak die met een vlak naar boven.
Voor een 8-vlak weer een punt naar boven, een kubus staat gewoonlijk weer op een vlak.
Probeer dat eens te verwisselen. Als het vouwen en plakken goed is gedaan, maakt het niet uit, welk vlak als grondvlak dienst doet.

viervlak = tetraëder

 

zesvlak = kubus: hexaëder

achtvlak: octaëder

 

twaalfvlak: dodecaëder

twintigvlak: icosaëder

.

8e klas: alle artikelen

.

2017

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

VRIJESCHOOL – 8e -12e klas – meetkunde

.

Dit is een overzicht van onderwerpen die in de verschillende klassen van de bovenbouw aan de orde komen.
Of wellicht kwamen. Het is mij niet bekend hoeveel mogelijkheden de middelbare vrijescholen nog hebben om, door exameneisen, het vrijeschoolleerplan nog te kunnen uitvoeren.

MEETKUNDE KLAS  8 T/M 12

8e klas

In 7 weken periodeonderwijs kan heel wat gedaan worden. Meestal worden deze 7 weken verdeeld in 2 periodes van resp. 3 weken, bijv, één in de herfst en één in de lente voor zover dit roostertechnisch mogelijk is.

In de eerste periode komen de bekende meetkundige figuren aan de orde zoals vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit, vlieger, trapezium waarvan de oppervlakte nu berekenbaar is zo ook van de driehoek.

De oppervlakte van een rechthoek is lengte x breedte.

Wat is nu de oppervlakte van een driehoek? Deze blijkt de helft van de basis x hoogte te zijn:

Hebben twee driehoeken dus dezelfde basis en dezelfde hoogte maar voor de rest zijn ze verschillend, dan is toch hun oppervlakte gelijk:

 

Verder komen aan de orde het meetkundig vermenigvuldigen van een figuur ten opzichte van een punt. Gelijkvormigheid van figuren vloeit hier als vanzelf uit voort:

Een begin wordt gemaakt met de ruimtelijke meetkunde door de vijf platonische lichamen knippend en plakkend van papier te maken.

In de tweede periode staan de “puntverzamelingen” centraal. Dit houdt het volgende in. Tot nu toe is een lijn een lijn, een cirkel een cirkel. Nu komt het moment om een lijn als een verzameling punten te zien die op een rij liggen. Zo is de cirkel te beschouwen als een verzameling punten die alle even ver van één centraal punt af liggen. Ais je alle punten neemt die even ver van een lijn L als van een punt P liggen dan krijg je een kromme die we de parabool noemen:

Alle punten die even ver van een centraal punt P liggen, vormen een cirkel

 

 

 

 

 

 

Alle punten die even ver van een punt P als van een lijn l af liggen vormen een parabool.

Op soortgelijke wijze kun je nu komen tot geheel nieuwe meetkundige figuren, nl. de ellips, de hyperbool, de cassinische curven met name de lemniscaat en de cirkels van appollonius. Dit alles wordt door de leerlingen met grote nauwgezetheid geconstrueerd.

Cassinische curven i.h.b. de lemniscaat

9e klas

Zoals in de periode Nederlands de tegenstelling sentimentaliteit – rationaliteit behandeld wordt zo wordt in de meetkunde het thema cirkel-lijn aangeroerd.

De omtrek van een cirkel blijkt 3 à 4 keer zo lang te zijn als zijn straal. Bij nadere bestudering blijkt het 3,14 keer zo lang te zijn. Maar ook dit getal blijkt niet nauwkeurig. Uit de geschiedenis is bekend dat reeds de oude Egyptenaren en de Grieken zochten naar dit getal, (het zgn. getal pi =  π). Het aantal decimalen waarin men kon vastleggen werd steeds groter totdat in onze tijd de computer in staat is tot op 1,  2 miljoen decimalen te berekenen. Met dit getal kunnen we ook de oppervlakte van een cirkel uitrekenen.

Verder maken we in deze periode kennis met begrippen als middelpuntshoeken, omtrekshoeken, booggraden, de stelling van Thales enz. dit alles in het kader van de cirkelmeetkunde:

Alle hoeken waarvan het hoekpunt op de omtrek van de cirkel ligt, zgn. omtrekshoeken, zijn alle even groot, omdat ze dezelfde cirkelboog snijden.

De platte meetkunde wordt nu verlaten en de ruimte-meetkunde, de stereometrie, wordt betreden. In de 8e hebben we de platonische lichamen geknipt en geplakt; nu worden ze getekend alsmede uitslagen ervan gemaakt. Onderlinge samenhangen worden ontdekt en samengevat in de stelling van Euler. Het begrip dualiteit krijgt inhoud. Ook de ontdekking van Keppler in de 15e eeuw dat ons planetenstelsel opgebouwd is volgens platonische lichamen wordt behandeld.

Kubus en achtvlak zijn onderling duaal, d.w.z. dat de kubus evenveel zijdevlakken als de oktaeder hoekpunten heeft en omgekeerd.

10e klas

De stereometrie wordt nu verder verkend. Lichamen met platte vlakken, kubus, blok, piramide, prisma laten we doorsneden worden door willekeurige platte vlakken. De doorsnijdingen kunnen we nauwkeurig construeren. Punt, lijn en vlak zijn de elementen waarmee we de fysieke ruimte ai denkende doordringen, parallel aan de natuurkunde waarin de fysische processen met name de mechanica nu denkend verkend worden. Ook de periode landmeten sluit hier goed op aan. Op de aarde staand van je omgeving een nauwkeurige plattegrond maken luidt hierbij de opdracht. Technische hulpmiddelen zijn meetlint en theodoliet (hoekmeter). Wiskundige hulpmiddelen zijn hierbij de goniometrie en de trigonometrie de z.g. driehoeksmeetkunde. Deze is in de algebraperiode en in de vaklessen flink geoefend om nu toegepast te kunnen worden.

Constructie ter bepaling van de doorsnijding van het scheve prisma door een vlak dat door de grondlijn en door P gaat.

We meten de hoeken A1, A2, B1 en B2 en de afstand tussen A en B en met de cosinusregel en de sinusregel zijn we in staat de afstanden tot het torentje en de antenne alsook de onderlinge afstand tussen beide te berekenen. Rekenmachientje toegestaan, waarna op schaal de plattegrond gemaakt kan worden.

11e klas

In de 11e klas wordt het assenkruis ingevoerd, ofwel het coördinatenstelsel, uitgevonden door de Fransman Descartes. Lijn, parabool, hyperbool, cirkel, figuren die we in de 8e klas als puntverzameling hebben leren kermen, zijn nu te vangen in een algebraïsch verband tussen 2 coördinaten, een formule. Algebra en meetkunde ontmoeten elkaar hier en het oplossen van vergelijkingen, ontbinden in faktoren, merkwaardige producten waarmee de leerlingen jarenlang gepijnigd zijn in de vaklessen, blijken hier zichtbaar gemaakt te kunnen worden en uiterst nuttig te zijn.

parabool                                                                                                      lijn

Y= X  – 4                                                                                               Y = X + 2

 

 

 

Snijpunten van parabool en lijn vinden we door gelijkstelling:
x2 – 4 = x + 2
verder uitwerken:

 

x2 – x – 6 = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = 2           x = 3
↓                 ↓

y = 0          y = 5

Dus punt A ( -2,0)  en B (3,5) zijn de snijpunten van parabool en lijn.

Dezelfde bovengenoemde figuren komen ook weer te voorschijn als de kegelsneden behandeld worden. Daarmee wordt het volgende bedoeld.

Als we een kegel laten snijden door een plat vlak dan is de doorsnijding van dit vlak met de kegel een meetkundig figuur, welk figuur hangt af van de stand van het vlak t.o.v. de kegel. Hiermee wordt de “Griekse” meetkunde afgesloten

Verder is het streven om in deze klas een begin te maken met de projectieve meetkunde*

Omdat hier nog ervaring mee moet worden opgedaan, gaan we hier niet verder op in.

De 12e klas

De 12e klas zet als het goed is een kroon op een ontwikkeling die 12 jaar duurt. Van een meetkunde periode is echter niet meer sprake, wel van een
bouwkundeperiode, waarin veel meetkundige vaardigheid toegepast wordt.

De opdracht luidt namelijk: ontwerp je eigen huis.

Wel degelijk is er een wiskunde-periode dit jaar, doch deze weken worden gebruikt om ingewijd te worden in de geheimen van het differentiëren en integreren.

L. Bronkhorst, Karel de Grote College, Nijmegen, datum onbekend

.

Meetkunde: alle artikelen

.

VRIJESCHOOL  in beeld: meetkunde klas 6

.

1624

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.