.
Opmerkingen van Rudolf Steiner over meetkunde die hij in zijn pedagogische voordrachten maakte (GA 293 – 311) en uit enkele andere voordrachten..
GA 295
Erziehungskunst Seminarbesprechungen und Lehrplanvorträge
Praktijk van het lesgeven
Vierde werkbespreking Stuttgart, 25 augustus 1919
Blz. 43/44 vert. 43
K. macht den Vorschlag, mit dem Stereometrischen zu beginnen. Rudolf Steiner: Für Erwachsene kann man von Körpern ausgehen, aber warum haben Sie die Sehnsucht, bei dem Kinde vom Körper auszugehen und von da zur Fläche zu gehen? Sehen Sie, es ist das Räumliche im allgemeinen unübersichtlich, sehr unübersichtlich vor allem für das Kind. Man wird nicht leicht dem Kinde eine andere als eine sehr verschwommene Vorstellung vom Räume beibringen können. Esleidet sogar die Phantasie darunter, wenn man dem Kinde zumutet, daß es gleich Körper vorstellen soll. Sie gehen davon aus, daß der Körper das Konkrete ist, die Linie das Abstrakte; das ist nicht der Fall. Ein Dreieck ist als solches schon ganz konkret, ist für sich etwas im Raum. Das Kind sieht stark flächenhaft. Es ist vergewaltigt, wenn es in die dritte Dimension, in die Tiefendimension gehen soll. Wenn das Kind seine Phantasie anwenden soll, um sich den Körper vorzustellen, dann muß es die Elemente zu diesem Phantasie vorstellen vorher schon haben. Es muß sich eigentlich schon die Linie und das Dreieck vorstellen können, ehe es sich zum Beispiel den Tetraeder vorstellen kann. Es ist besser, wenn das Kind vorher schon eine wirkliche Vorstellung vom Dreieck hat. Das Dreieck ist eine Sache für sich, es ist nicht bloß eine Abstraktion vom Körper. Ich würde glauben, daß man Geometrie nicht zuerst als Stereometrie, sondern als Planimetrie lehren soll, als Lehre von Figuren und dazwischenliegenden Flächen, was sehr wünschenswert ist, weil das dem, worauf das Kind sein Auffassungsvermögen gern richten will, Unterstützung bringen kann, auch durch Verbindung der Geometrie mit dem Zeichenunterricht. Ein Dreieck wird ein Kind verhältnismäßig bald zeichnen, und man sollte nicht zu lange warten mit dem Nachzeichnen dessen, was das Kind geometrisch anschaut
K. doet het voorstel om te beginnen met stereometrische vormen.
Rudolf Steiner: Bij volwassenen kan men uitgaan van lichamen, maar waarom hebt u het verlangen om bij de kinderen uit te gaan van lichamen en van daaruit tot het vlak te komen? Kijk, het ruimtelijke is over het algemeen onoverzichtelijk, en vooral voor kinderen heel onoverzichtelijk. Men zal een kind niet gemakkelijk iets anders dan een zeer vage voorstelling van de ruimte kunnen bijbrengen. De fantasie lijdt er zelfs onder als men van een kind vergt om zich meteen lichamen voor te stellen. U gaat ervan uit dat het lichaam het concrete is en de lijn abstract. Dat is niet zo. Een driehoek is als zodanig al heel concreet, het is een zelfstandige eenheid in de ruimte. Een kind ziet sterk in vlakken. Het wordt geweld aangedaan wanneer het in de derde dimensie, in de diepte moet gaan. Als een kind zijn fantasie moet gebruiken om zich een lichaam voor te stellen, dan moet het de elementen daarvoor van tevoren al hebben. Het moet zich eigenlijk al een lijn en een driehoek kunnen voorstellen voordat het zich bijvoorbeeld een tetraëder kan voorstellen. Het is beter wanneer het kind voor die tijd al een werkelijke voorstelling heeft van de driehoek. De driehoek is een op zichzelf staand iets, het is niet enkel een abstractie van een ruimtelijke vorm. Ik denk dat men de geometrie niet eerst als stereometrie moet leren maar als planimetrie, als leer van figuren en daartussen liggende vlakken. Dat is heel wenselijk, omdat het datgene waarop het kind zijn opmerkingsvermogen graag wil richten kan ondersteunen, ook door een verbinding van geometrie met tekenen. Een driehoek zal een kind relatief snel tekenen en men moet eigenlijk niet te lang wachten met het natekenen van wat een kind geometrisch in het oog heeft.
GA 295/43
Vertaald/43
Blz. 94 vert. 87
8e werkbespreking Stuttgart, 29 augustus 1919
T.: Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geometrieunterricht. Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willentliches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.
T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.
Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.
GA 295/94
Vertaald/87
Blz. 119 vert. 110/111
10e Werkbespreking Stuttgart, 2 september 1919
Rudolf Steiner gibt darauf noch eine anschauliche Erläuterung des pythagoreischen Lehrsatzes und verweist auf einen Artikel von Dr. Ernst Müller – in Ostwalds «Annalen der Naturphilosophie»: «Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegung des pythagogoreischen Lehrsatzes.»
Rudolf Steiner geeft vervolgens nog een aanschouwelijke toelichting bij de stelling van Pythagoras en verwijst naar een artikel van Ernst Müller: ‘Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegung des pythagoreischen Lehrsatzes’ , [In Annalen der Naturphilosophie, deel X, Leipzig 1911. Te vinden in ‘Die Menschenschule 10, 1939]
In der Zeichnung liegt der rote Teil des Flächeninhaltes der beiden Kathetenquadrate bereits innerhalb des Hypotenusenquadrates. Der übrige Teil dieses Kathetenquadrat-Inhaltes wird durch Verschiebung des blauen und grünen Dreiecks in der Richtung der Pfeile mit den innerhalb des Hypotenusenquadrates liegenden, noch ungedeckten Flächen zur Deckung gebracht.
In de tekening is de stelling van Pythagoras (het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de gekwadrateerde rechthoekszijden) geometrisch aangetoond. De tekening laat in principe één driehoek zien met drie vierkanten, die de kwadraten vormen van zijn drie zijden. De beide ‘rechtopstaande’ vierkanten zijn de kwadraten van de rechthoekszijden, het ‘schuine’ vierkant is het kwadraat van de hypotenusa. Men ziet dat het rode deel van de eerstgenoemde vierkanten het vierkant op de hypotenusa al ten dele bedekt. Het restant wordt bedekt door de blauwe en de groene driehoek omhoog te schuiven, zodat het oppervlak van de kleinere vierkanten exact binnen het oppervlak van de grootste blijkt te passen.
Rudolf Steiner: Man muß das Ganze aus Pappe ausschneiden, dann wird es erst anschaulich.
Rudolf Steiner: Men moet het allemaal uit karton knippen, pas dan wordt het aanschouwelijk.
GA 295/119
Vertaald/110-111
Blz. 150 vert. 139
14e werkbespreking Stuttgart, 5 september 1919
M. gibt eine Einführung in die Grundbegriffe der mathematischen Geographie für Schüler im dreizehnten Jahr, Beobachtungen am Sonnenaufgang und an der Sonnenbahn. Rudolf Steiner: Sie können, wenn Sie die Kinder hinausbestellt haben, das später sehr gut in die Zeichnung verwandeln lassen und darauf sehen, daß ein gewisser Parallelismus besteht zwischen der Zeichnung und dem, was die Kinder draußen angesehen haben. Es ist nur ratsam, nicht zuviel auf einmal von diesem Linienhaften zu geben. Es ist sehr wichtig, daß man diese Dinge den Kindern beibringt, aber wenn man zuviel zusammenfaßt, dann bringt man es so weit, daß die Kinder es nicht mehr auffassen. Man kann es einfügen in Geographie und Geometrie. Der ungefähre Abschluß solcher Ausführungen würde sein, daß man den Begriff der Ekliptik und der Koordinaten entwickelt.
M. geeft een inleiding in de grondbegrippen van de mathematische geografie voor leerlingen van twaalf jaar en ouder. Waarnemingen omtrent de zonsopgang en de baan van de zon.
Rudolf Steiner: Als u de kinderen naar buiten hebt laten gaan, dan kunt u dat later heel goed in een tekening laten verwerken. Dan moet u erop letten dat er een zekere parallellie bestaat tussen de tekening en dat wat de kinderen buiten hebben waargenomen. Maar het is wel raadzaam om niet te veel van die lijnen tegelijk te geven. Het is heel belangrijk dat men de kinderen deze dingen leert, maar als men te veel samenvat, dan komt men op een punt dat de kinderen het niet meer opnemen. Men kan dit onder geografie en geometrie laten vallen. Men moet met deze uiteenzettingen ongeveer zo ver komen dat men de begrippen ecliptica en coördinaten uitlegt.
GA 295/150
Vertaald/139
Blz. 169 vert. 155
Tweede voordracht over het leerplan Stuttgart, 6 september 1919
Nun bitte ich zu beachten, daß wir bis zum sechsten Schuljahr die geometrischen Formen: Kreis, Dreieck und so weiter herausgeholt haben aus dem Zeichnen, nachdem wir zuerst in den ersten Jahren das Zeichnen für den Schreibunterricht getrieben haben. Dann sind wir allmählich dazu übergegangen, aus dem Zeichnen, das wir für den Schreibunterricht getrieben haben, beim Kinde kompliziertere Formen zu entwickeln, die um ihrer selbst willen, um des Zeichnens willen betrieben werden; auch Malerisches zu betreiben, das um des Malerischen willen betrieben wird. In diese Sphäre leiten wir den Zeichen- und Malunterricht im vierten Schuljahr, und im Zeichnen lehren wir, was ein Kreis ist, eine Ellipse ist und so weiter. Aus dem Zeichnen heraus lehren wir dieses. Da setzen wir noch fort, durchaus auch immer zu plastischen Formen hinführend, indem wir uns des Plastilins bedienen – wenn es zu haben ist; sonst kann man irgend etwas anderes benützen, und wenn es Straßenkot wäre, das macht nichts! -, um auch Formenanschauung, Formenempfindung hervorzuholen.
Ik wil u er nu op wijzen dat we tot aan de zesde klas de geometrische vormen, cirkel, driehoek enzovoort, hebben afgeleid uit het tekenen, nadat we in de eerste jaren het tekenen hebben gedaan ten behoeve van het schrijven. Dan zijn we er geleidelijk toe overgegaan om uit het tekenen dat we voor het schrijfonderwijs deden gecompliceerdere vormen te ontwikkelen, die om zichzelf, omwille van het tekenen zelf werden uitgevoerd. Ook zijn we gaan schilderen omwille van het schilderen zelf. In deze richting leiden we de teken- en schilderlessen in de vierde klas, en in het tekenen leren we de kinderen wat een cirkel is, wat een ellips is, enzovoort. We doen dat vanuit het tekenen. Dan komen we ook nog bij plastische vormen en gebruiken we boetseerklei — als we dat tenminste kunnen krijgen, anders kan men iets anders gebruiken, desnoods modder, dat doet er niet toe! – om een voorstelling van en een gevoel voor vorm op te roepen.
Von dem, was auf diese Weise im Zeichnen gelehrt worden ist, übernimmt nun der Mathematikunterricht, der geometrische Unterricht das, was die Kinder können. Jetzt geht man erst über dazu, geometriegemäß zu erklären, was ein Dreieck, ein Quadrat, ein Kreis ist und so weiter. Also die raumesmäßige Auffassung dieser Form wird aus dem Zeichnen hervorgeholt. Und was die Kinder aus dem Zeichnen heraus gelernt haben, daran gehe man jetzt im sechsten Schuljahr mit dem geometrischen Begreifen erst heran. Dafür werden wir dann sehen, daß wir in das Zeichnerische etwas anderes aufnehmen.
Wat de kinderen op deze wijze hebben geleerd bij het tekenen, dat neemt de wiskunde, de geometrie dan over. Pas dan gaat men ertoe over om geometrisch uit te leggen wat een driehoek, een vierkant of een cirkel is enzovoort. Het ruimtelijk inzicht in deze vorm wordt dus opgeroepen met het tekenen. En wat de kinderen via het tekenen hebben geleerd, dat wordt dan in de zesde klas behandeld om tot geometrisch begrip te komen. Bij het tekenen komt dan daarvoor in de plaats iets anders.
Steiner noemt dan ook iets voor de algebra:
Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchstabenrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das hereinzubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des praktischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann. Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammen hängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann, und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben. Das gibt Ihnen ein Bild, wie Sie sich in Mathematik und Geometrie mit den Kindern zu verhalten haben.
In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen, en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt. Dat geeft u een beeld van hoe u met de kinderen te werk moet gaan in de wiskunde en de geometrie.
GA 295/ 169
Vertaald/155
Blz. 176 vert. 161
Vijftiende werkbespreking en derde voordracht over het leerplan Stuttart, 6 september 1919
Nun kommt uns im offiziellen Lehrplan eines zugute: da ist in den ersten drei Schuljahren überhaupt kein Turnen. Da beginnen wir also mit der Eurythmie. Und da wäre es schon sehr schön, wenn im ersten Schuljahre namentlich Eurythmie im Einklang mit dem Musikalischen getrieben würde, so daß tatsächlich die Anpassung an Geometrie und Musik in der Eurythmie besonders gepflegt wird. Im zweiten Schuljahr würde man erst mit dem Ausbilden der Buchstaben beginnen, das man dann weiter fortsetzt im dritten Schuljahr; immer so, daß man immer wiederum an Musik und Geometrie und Zeichnerisches anknüpft.
Nu komt het officiële leerplan ons in één opzicht tegemoet: in de eerste drie jaar is er helemaal geen gymnastiek. Dan beginnen wij dus met euritmie. En het zou dan heel mooi zijn wanneer in de eerste klas vooral euritmie in harmonie met de muziek gegeven wordt, zodat er in de euritmie werkelijk een aanpassing tot stand komt aan geometrie en muziek. In de tweede klas zou men pas moeten beginnen met de uitbeelding van de letters, wat een vervolg krijgt in de derde klas; steeds zo dat men voortdurend aansluit bij de muziek, de geometrie en het tekenen.
GA 295/176
Vertaald/161
Zie ook: GA 295 vormtekenen .
Rudolf Steiner over meetkunde
Meetkunde: alle artikelen
Algemene menskunde: alle artikelen
Menskunde en pedagogie: alle artikelen
Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde
.
2810
.
VRIJESCHOOL 