VRIJESCHOOL – Rudolf Steiner over meetkunde

 


Opmerkingen van Rudolf Steiner over meetkunde die hij in zijn pedagogische voordrachten maakte (GA 293 – 311) en uit enkele andere voordrachten.

GA 294

GA 293
Allgemeine Menschkunde als Grundlage der Pädagogik

                        Algemene menskunde als basis voor de pedagogie


Zie voor wat Steiner in de 3e voordracht zegt: [3-8-1]

In de 14e voordracht zet Rudolf Steiner uiteen hoe belangrijk het voor het ontluikende astraallijf is dat het onderwijs met veel fantasie wordt gegeven.
[14-3]

M.n. noemt hij ook de meetkunde, in het bijzonder de stelling van Pythagoras.
Hij geeft als voorbeeld hoe je deze zou kunnen behandelen.

Blz. 201    vert.  201/202

Ebenso muß der ganze Unterricht, der dann erteilt wird in bezug auf Geometrie, sogar in bezug auf Arithmetik, nicht unterlassen, an die Phantasie zu appellieren. Wir appellieren an die Phantasie, wenn wir uns immer bemühen, so wie wir es versucht haben im praktisch-didaktischen Teil, dem Kinde Flächen nicht nur für den Verstand begreiflich zu machen, sondern die Flächennatur wirklich so begreiflich zu machen, daß das Kind seine Phantasie anwenden muß selbst in der Geometrie und Arithmetik. Deshalb sagte ich gestern, ich wunderte mich, daß niemand darauf gekommen ist, den pythagoreischen Lehrsatz auch so zu erklären, daß er gesagt hätte: Nehmen wir an, da wären drei Kinder. Das eine Kind hat so viel Staub zu blasen, daß das eine der Quadrate mit Staub überdeckt ist; das zweite Kind hat so viel Staub zu blasen, daß das zweite Quadrat mit Staub bedeckt ist und das dritte so viel, daß das kleine Quadrat mit Staub überdeckt ist. Da würde man dann der Phantasie des Kindes nachhelfen, indem man ihm zeigte: die große Fläche, die muß mit so viel Staub bepustet werden, daß der Staub, der zu der kleinsten Fläche und der, der zur größeren Fläche gehört, ganz gleich ist dem Staub, der in der ersten Fläche ist. Da würde dann, wenn auch nicht mit mathematischer Genauigkeit, aber mit phantasievoller Gestaltung, das Kind seine Auffassekraft in den ausgepusteten Staub hin- einbringen. Es würde die Fläche verfolgen mit seiner Phantasie. Es würde den pythagoreischen Lehrsatz durch den fliegenden und sich setzenden Staub, der auch noch quadratförmig gepustet werden müßte – das kann natürlich nicht in Wirklichkeit geschehen, die Phantasie muß angestrengt werden -, es würde das Kind mit der Phantasie den pythagoreischen Lehrsatz begreifen.

Het hele onderwijs in de meetkunde, ja zelfs in het rekenen, moet appelleren aan de fantasie. We appelleren aan de fantasie wanneer we altijd proberen om een kind niet alleen via zijn verstand bij te brengen wat vlakken zijn, maar ook zo, dat het zijn fantasie moet gebruiken — zelfs bij meetkunde en rekenen; we hebben hierover in de praktisch-didactische besprekingen gesproken. Daarom zei ik gisteren[*] dat het me verbaast dat niemand erop gekomen is om de stelling van Pythagoras ook als volgt uit te leggen. Stel er zijn drie kinderen. Het eerste kind moet zo veel stofjes bij elkaar blazen dat een van de vierkanten met stof is bedekt. Het tweede kind blaast zo veel stofjes bij elkaar dat het tweede vierkant vol is en het derde kind blaast het derde vierkant vol. Dan zou men de fantasie van het kind kunnen aanspreken door te zeggen: kijk, dat grote vlak moet je met even veel stof volblazen als de twee andere kinderen op het middelste en kleinste vlak samen. Dan zou een kind – weliswaar niet met wiskundige precisie, maar toch in fantasievolle vorm – zijn hele begripsvermogen richten op het bij elkaar geblazen stof. Het zou het vlak met zijn fantasie langsgaan. Het zou de stelling van Pythagoras begrijpen door dat rondvliegend en neerdwarrelend stof dat ook nog in een vierkant geblazen moet worden. Dat kan natuurlijk niet echt, dus het kind moet zijn fantasie inspannen. Het kind zou de stelling van Pythagoras met zijn fantasie begrijpen.
GA 293/201  
Vertaald/192

GA 294
 Erziehungskunst Methodisch-didaktisches

Opvoedkunst

Voordracht 10, Stuttgart 1 september 1919

Und jetzt (9-12) können wir in diesem Lebensalter des Menschen auch zur Geometrie übergehen, während wir vorher dasjenige, was dann Geo­metrie wird, ganz im Zeichnerischen drinnen gehalten haben. Am Zeichnerischen können wir ja dem Menschen Dreieck, Quadrat, Kreis und Linie entwickeln. Die eigentlichen Formen entwickeln wir also am Zeichnerischen, indem wir zeichnen und dann sagen: Das ist ein Drei­eck, das ist ein Quadrat. Aber was als Geometrie hinzutritt, wo wir die Beziehungen zwischen den Formen suchen, das beginnen wir erst so um das 9.Jahr herum.

En nu kunnen we in deze leeftijdsfase [9 – 12] ook meetkunde gaan geven, terwijl we voor die tijd alles wat later meetkunde wordt helemaal in de sfeer van het tekenen hebben gehouden. Door middel van het tekenen kunnen we het kind vertrouwd maken met de driehoek, het vierkant, de cirkel en de lijn. De eigenlijke vormen worden dus in het tekenen ontwikkeld, door ze eerst te tekenen en dan te zeggen: dat is een driehoek, dat is een vierkant. Maar met de eigenlijke meetkunde, de relaties tussen de vormen, beginnen we pas zo rond het negende jaar
GA 294/139
Vertaald/122

Nun wird es wichtig sein, daß wir zwar auch Anschauungsunter­richt pflegen, aber den Anschauungsunterricht nicht banalisieren. Das Kind soll niemals die Empfindung haben, daß das, was wir als An­schauungsunterricht pflegen, eigentlich selbstverständlich ist. Ich zeige dir ein Stück Kreide. Was hat die Kreide für eine Farbe? – Sie ist gelb. -Wie ist da die Kreide oben? – Sie ist abgebrochen. – Es wird mancher Anschauungsunterricht nach diesem Muster gegeben. Greulich ist er. Denn das, was eigentlich im Leben selbstverständlich ist, sollte man nicht als Anschauungsunterricht geben. Den Anschauungsunterricht sollte man durchaus in eine höhere Sphäre heben. Das Kind soll zu gleicher Zeit in eine höhere Sphäre seines Seelenlebens entrückt werden, indem es Anschauungsunterricht pflegt. Das können Sie natürlich ganz besonders, wenn Sie den Anschauungsunterricht verknüpfen mit der Geometrie.

Nu is het belangrijk dat we weliswaar ook aanschouwelijk onderwijs geven, maar dat aanschouwelijk onderwijs niet banaliseren. Het kind mag nooit het gevoel hebben dat wat we in die richting doen eigenlijk vanzelfsprekend is. ‘Hier zie je een krijtje. Wat voor kleur heeft het?’ ‘Geel.’ ‘Hoe ziet het er aan de bovenkant uit?’ ‘Het is afgebroken.’ Heel wat aanschouwelijk onderwijs verloopt volgens dat patroon. Gruwelijk is dat. Want dingen die in het dagelijks leven eigenlijk vanzelfsprekend zijn, moeten niet als stof voor aanschouwelijk onderwijs worden gebruikt. Het aanschouwelijk onderwijs moet echt op een hoger plan worden getild. Het kind moet bij het aanschouwelijk onderwijs tegelijk ook in een hogere sfeer van zijn zieleleven gebracht worden. Dat kunt u natuurlijk bij uitstek wanneer u aanschouwelijk onderwijs verbindt met de meetkundelessen. 

Die Geometrie bietet Ihnen ein außerordentlich gutes Beispiel, den Anschauungsunterricht mit dem Lehrstoff der Geometrie selber zu ver­binden. Sie zeichnen zum Beispiel zunächst dem Kinde ein rechtwink­liges, gleichschenkliges Dreieck auf. Indem Sie dies dem Kinde auf­zeichnen, können Sie unten an dieses Dreieck ein Quadrat ansetzen, so daß also an das rechtwinklige, gleichschenklige Dreieck ein Quadrat angrenzt (siehe Zeichnung I). Nun bringen Sie dem Kinde, wenn Sie es ihm noch nicht beigebracht haben, den Begriff bei, daß bei einem recht­winkligen Dreieck die Seiten a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse ist. Sie haben über der Hypotenuse ein Quadrat errichtet. Das gilt also alles selbstverständlich nur für ein gleichschenkliges Drei-eck. Nun gliedern Sie das Quadrat durch eine Diagonale ab. Sie machen einen roten Teil (oben und unten) und einen gelben Teil (rechts). Nun sagen Sie dem Kinde: Den gelben Teil schneide ich hier heraus, und setze ihn daneben (siehe Zeichnung II). Und nun setzen Sie auch noch den roten Teil heraus an den gelben Teil. Jetzt haben Sie ein Quadrat über der einen Kathete errichtet, aber dieses Quadrat ist zusammen­gesetzt aus einem roten Stück und aus einem gelben Stück. Das, was ich daneben gezeichnet habe (siehe Zeichnung II), ist daher gerade so groß wie das, was in Zeichnung 1 rot und gelb zusammen ist und die Hälfte des Hypotenusenquadrats ist. Dasselbe mache ich nun für die andere Seite mit blauer Kreide und stückle das Blaue unten an, so daß ich wiederum ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck bekomme. Das zeichne ich jetzt wieder heraus (siehe Zeichnung III). Jetzt habe ich wiederum das Quadrat über der andern Kathete.

De meetkunde biedt u een buitengewoon fraai voorbeeld van de manier waarop een meetkundig probleem aanschouwelijk aangepakt kan worden. U tekent bijvoorbeeld een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Dan kunt u onder aan deze driehoek een vierkant tekenen, zodat het vierkant grenst aan die gelijkbenige rechthoekige driehoek [zie tekening 1]. Nu vertelt u de leerlingen, als u dat nog niet gedaan hebt, dat bij een rechthoekige driehoek de zijden a en b de rechthoekszijden heten en c de hypotenusa wordt genoemd. Op de hypotenusa hebt u een vierkant geconstrueerd.  Dat geldt allemaal uiteraard alleen voor een gelijkbenige driehoek. Nu deelt u het vierkant in door middel van diagonalen. U maakt een deel ervan [boven en onder] rood en een deel [rechts] geel. Nu zegt u: ‘Het gele stuk knip ik eruit en ik zet het hiernaast’ [tekening II].  

Dan haalt u ook nog een rood stuk weg en u zet dat aan het gele stuk vast. Nu hebt u een vierkant gevormd op één rechthoekszijde, en dit vierkant bestaat uit een rood en een geel stuk. Dus wat ik ernaast heb getekend [tekening II], is net zo groot als rood en geel samen in tekening i, en het is de helft van het vierkant op de hypotenusa. Hetzelfde doe ik voor de andere zijde met blauw. Het blauw plak ik er aan de onderkant aan, zodat ik nog een gelijkbenige rechthoekige driehoek krijg. Dat teken ik er ook weer naast [tekening III]. Daarmee heb ik nu het vierkant op de andere rechthoekszijde geconstrueerd.

Schopenhauer hat sich zu seiner Zeit wahnsinnig geärgert, weil in den Schulen der pythagoräische Lehrsatz nicht so gelehrt wurde, und er hat das in seinem Buche «Die Welt als Wille und Vorstellung» zum Ausdruck gebracht, indem er in seiner etwas groben Weise sagt: Wie dumm ist die Schule, daß sie nicht so etwas einfach durch Übereinan­derlegen lehrt, so daß man aus der Anschauung heraus den pythagorä­ischen Lehrsatz zum Verständnis bringt. – Das gilt zunächst nur für ein gleichschenkliges Dreieck, aber man kann das für ein ungleichseiti­ges rechtwinkliches Dreieck auch genau so durch Ubereinanderklappen machen, wie ich es Ihnen jetzt gesagt habe. Das ist Anschauungsunter­richt. Sie können die Geometrie als Anschauungsunterricht gestalten. Aber es hat eine gewisse Bedeutung – und ich habe oftmals die Probe damit gemacht -, wenn Sie darauf hinarbeiten, auch den pythagorä­ischen Lehrsatz dem Kinde nach dem 9. Jahr anschaulich zu machen, die Sache so zu machen, daß Sie für sich selbst in Aussicht nehmen, den pythagoräischen Lehrsatz dem Kinde so recht aus den einzelnen Lappen des Hypotenusenquadrats zusammenzusetzen. Und wenn Sie sich als Lehrer bewußt sind, bei dem, was in der Geometriestunde vor­hergeht, Sie wollen das erreichen, dann können Sie in 7 bis 8 Stunden höchstens dem Kinde alles dasjenige beibringen, was nötig ist in der Geometrie, um im Unterricht bis zum pythagoräischen Lehrsatz, der bekannten Eselsbrücke, zu kommen. Ungeheuer ökonomisch werden Sie verfahren, wenn Sie die ersten Anfangsgründe der Geometrie auf diese Weise anschaulich gestalten. Sie werden viel Zeit ersparen und außerdem werden Sie dem Kinde etwas sehr Wichtiges ersparen – was zerstörend für den Unterricht wirkt, wenn nicht damit gespart wird -, das ist: Sie lassen das Kind nicht abstrakte Gedanken ausführen, um den pythagoräischen Lehrsatz zu begreifen, sondern Sie lassen es kon­krete Gedanken ausführen und gehen vom Einfachen ins Zusammen­gesetzte.

Schopenhauer heeft zich in zijn tijd waanzinnig geërgerd omdat de stelling van Pythagoras op de scholen niet op deze manier werd geleerd, en hij heeft dat uitgesproken in zijn boek Die Welt als Wille und Vorstellung. ° Hij zegt daar op zijn ietwat plompe manier: ‘Hoe dom zijn scholen, dat ze zoiets niet leren door eenvoudig de stukken op elkaar te leggen, waardoor de stelling van Pythagoras vanuit de aanschouwing begrijpelijk wordt gemaakt.’
Dat geldt in eerste instantie alleen voor een gelijkbenige driehoek, maar bij een ongelijkbenige rechthoekige driehoek kunt u net zo goed de stukken op elkaar leggen, zoals ik u dat net heb laten zien. Dat is aanschouwelijk onderwijs. U kunt de meetkunde in de vorm gieten van aanschouwelijk onderwijs. Wanneer u ernaar toewerkt om ook de stelling van Pythagoras voor kinderen na het negende jaar aanschouwelijk te maken, dan is het niet onbelangrijk – ik heb dikwijls de proef op de som genomen – dat u zich voor ogen stelt om de stelling van Pythagoras werkelijk op te bouwen uit de verschillende velden van het vierkant op de hypotenusa. En als u zich als leraar bewust bent dat u dat bij de meetkundelessen wilt bereiken, dan kunt u in hoogstens zeven à acht lessen alles aanleren wat in de meetkunde nodig is om tot de stelling van Pythagoras – de bekende ezelsbrug – te komen. U zult uiterst economisch te werk gaan wanneer u de eerste beginselen van de meetkunde op deze manier aanschouwelijk maakt. U zult veel tijd sparen en bovendien zult u de leerlingen iets heel belangrijks besparen – iets wat afbrekend werkt in het onderwijs als er niet spaarzaam mee wordt omgegaan – en dat is: u laat de kinderen geen abstracte gedachten volgen om de stelling van Pythagoras te begrijpen, maar u laat ze concrete gedachten volgen en u gaat van het eenvoudige naar het samengestelde. 

Man sollte zunächst, so wie es hier in der Zeichnung für das gleichschenklige Dreieck gemacht ist, den pythagoräischen Lehrsatz aus den Lappen zusammensetzen und dann erst zum ungleichseitigen Drei­eck übergehen. Selbst da, wo es heute anschaulich gemacht wird – das geschieht ja schon -, ist es nicht mit Bezug auf das Ganze des pythago­räischen Lehrsatzes. Es wird nicht zuerst der einfache Vorgang, der den andern gut vorbereitet, am gleichschenkligen Dreieck durchgemacht und dann erst übergegangen zum ungleichseitigen rechtwinkligen Drei­eck. Das ist aber wichtig, daß man das in ganz bewußter Weise in die Zielsetzung des geometrischen Unterrichts einfügt. Also das Auftragen von verschiedenen Farben ist es, was ich Sie bitte zu berücksichtigen. Die einzelnen Flächen sind mit Farbe zu behandeln und dann die Far­ben übereinanderzulegen. Die meisten von Ihnen werden ja auch schon etwas Ähnliches gemacht haben, aber doch nicht in dieser Weise.

Het beste is om de stelling van Pythagoras eerst bij een gelijkbenige driehoek uit die verschillende velden op te bouwen zoals het hier in de tekening is gedaan, en dan pas over te gaan naar de ongelijkbenige driehoek. Zelfs daar waar de stelling van Pythagoras tegenwoordig aanschouwelijk wordt gebracht – wat zeker wel gebeurt – wordt dat niet volledig gedaan. Men gaat niet eerst uit van het eenvoudige procédé bij de gelijkbenige driehoek, om daarmee het andere procédé goed voor te bereiden en over te stappen naar de ongelijkbenige rechthoekige driehoek. Maar dat is belangrijk, dat men dat bewust opneemt in de doelstelling van het meetkundeonderwijs. Wilt u er dus aan denken om verschillende kleuren te gebruiken. U moet de verschillende vlakken inkleuren en dan de kleuren over elkaar leggen. De meesten van u zullen iets dergelijks al wel eens gedaan hebben, maar toch niet op deze manier.
GA 294/146-148
Vertaald/128-131

[*] Dit ‘gisteren’ was de 13e cursusdag waarop Steiner eveneens een voorbeeld gaf van hoe je de stelling van Pythagoras zou kunnen behandelen:

Voordracht 13, Stuttgart 4 september 1919

180

Die Kinder, die am Ende ihrer Schulzeit stehen, die dreizehn- bis vierzehnjährigen, die bekommen wir intellektualistisch verbildet. Es ist zuviel bei dem Unterricht auf ihre Intellektualität Rücksicht ge­nommen worden. Sie haben viel zu wenig die Wohltat der Willens-und Gemütsbildung erfahren. Daher werden wir, was sie zu wenig erfahren haben, gerade in diesen letzten Jahren nachholen müssen. Wir werden daher bei jeder Gelegenheit den Versuch machen müssen, Wille und Gemüt in das bloß Intellektuelle hineinzubringen, indem wir vieles, was die Kinder rein intellektuell aufgenommen haben, dann in dieser Zeit noch in ein solches umwandeln, das sich an den Willen und ans Gemüt richtet. Wir können unter allen Umständen annehmen, daß die Kinder, die wir da in diesem Jahre bekommen, zum Beispiel den pythagoräischen Lehrsatz falsch gelernt haben, daß sie ihn nicht in der richtigen Weise gelernt haben, wie wir das besprochen haben. Es fragt sich, wie wir uns da helfen, so daß wir gewissermaßen nicht nur das geben, was das Kind nicht erhalten hat, sondern daß wir ihm noch mehr geben, so daß gewisse Kräfte, die schon abgetrocknet und abge­dorrt sind, wieder belebt werden, soweit sie wieder belebt werden kön­nen. Daher versuchen wir zum Beispiel dem Kinde noch einmal den pythagoräischen Lehrsatz ins Gedächtnis zurückzurufen. Wir sagen:

De kinderen die we in de hogere klassen krijgen, de dertien-, veertienjarigen, zijn te eenzijdig intellectualistisch gevormd wanneer ze bij ons op school komen. Er is in het onderwijs te veel nadruk gelegd op hun intellect. Ze hebben veel te weinig de weldaad van een wilsen gemoedsontwikkeling ervaren. Daarom zullen we juist in die jaren moeten inhalen wat ze gemist hebben. We zullen daarom bij iedere gelegenheid moeten proberen het wilsen gevoelsaspect te verbinden met het puur intellectuele aspect, doordat we veel dingen die de leerlingen puur intellectueel hebben opgenomen, in die tijd in iets omzetten wat ook de wil en het gevoel aanspreekt. We kunnen in ieder geval aannemen dat de kinderen die we nu dit jaar krijgen bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras verkeerd geleerd hebben, dat ze die niet geleerd hebben zoals wij dat besproken hebben. De vraag is dan wat we moeten doen om de leerlingen niet alleen te geven wat ze gemist hebben, maar in zekere zin nog iets meer, zodat bepaalde krachten die al uitgedroogd en verdord zijn weer kunnen opbloeien, voor zover dat mogelijk is. We kunnen dan bijvoorbeeld een leerling vragen om zich nog eens de stelling van Pythagoras voor de geest te halen, we zeggen

Du hast ihn gelernt. Sage mir, wie heißt er? – Sieh einmal, du hast mir jetzt den pythagoräischen Lehrsatz gesagt: das Quadrat der Hypote­nuse ist gleich der Summe der Quadrate über den zwei Katheten. -Aber es ist ganz gewiß seelisch in dem Kinde das nicht darin, was von dem Erlernen dieses pythagoräischen Lehrsatzes darin sein sollte Daher tue ich ein übriges. Ich mache ihm nicht nur die Sache anschaulich, sondern ich mache ihm die Anschauung auch noch genetisch. Ich lasse ihm die Anschauung auf eine ganz besondere Weise entstehen. Ich sage: Kommt einmal, drei von euch, heraus. Der erste überdeckt diese Fläche hier mit der Kreide: gebt acht, daß er nur so viel Kreide verwendet, als notwendig ist, um die Fläche mit Kreide zu bedecken. Der zweite bedeckt diese Fläche mit Kreide, er nimmt ein anderes Kreidestück; der dritte diese, wiederum mit einem andern Kreidestück. – Und jetzt sage ich dem Jungen oder dem Mädchen, welches das Hypotenusen­quadrat bedeckt hat: Sieh einmal, du hast gerade so viel Kreide ge­braucht wie die beiden andern zusammen. Du hast auf das Quadrat so viel draufgeschmiert, wie die beiden zusammen, weil das Quadrat der Hypotenuse gleich ist der Summe der Quadrate der Katheten. – Ich lasse ihm also die Anschauung entstehen durch den Kreideverbrauch. Da legt es sich mit der Seele noch tiefer hinein, wenn es auch noch daran denkt, daß da von der Kreide etwas abgeschunden ist, was nicht mehr an der Kreide ist, was jetzt da auf der Tafel ist. Und jetzt gehe ich noch dazu über, zu sagen:

‘Je hebt die stelling geleerd. Hoe luidt die? Inderdaad, dat is de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de beide rechthoekszijden.’ Maar daarbij heeft zo’n leerling beslist niet dat in zijn ziel wat het leren van de stelling van Pythagoras hem gegeven zou moeten hebben. Daarom doe ik iets extra’s. Ik maak de zaak niet alleen aanschouwelijk voor hem, maar ik bouw die ‘aanschouwingook nog eens genetisch voor hem op. Ik laat die op een heel speciale manier ontstaan. Ik zeg: ‘Ik wil graag drie leerlingen voor het bord. Eén van de drie kleurt dit vlak met krijt in. De anderen in de klas letten goed op dat hij niet meer krijt gebruikt dan echt nodig is. De tweede pakt een ander krijtje en kleurt dit vlak in. En de derde kleurt dit vlak, weer met een ander krijtje.’ En dan zeg ik tegen de jongen of het meisje dat het vierkant op de hypotenusa bedekt heeft: ‘Kijk, nu heb jij evenveel krijt gebruikt als de twee anderen samen. Jij hebt net zoveel krijt op dat vierkant gekalkt als de twee anderen bij elkaar, omdat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.’ Ik maak de stelling dus aanschouwelijk door middel van het krijtverbruik. Dat gaat nog dieper in de ziel als de leerling ook nog bedenkt dat er iets van het krijtje af is, iets wat nu niet meer aan het krijtje, maar op het bord zit. En dan ga ik nog een stap verder en zeg ik:

Sieh einmal, ich teile die Quadrate ab, das eine in 16 Quadrate, das andere in 9 Quadrate, das andere in 25. In die Mitte von jedem Quadrat stelle ich jetzt einen von euch hinein, und ihr denkt euch, das ist ein Acker und ihr müßt den Acker um­graben. – Die Kinder, welche die 25 kleinen Quadrate auf dieser Fläche bearbeitet haben, haben dann gerade so viel gearbeitet wie die in der Fläche mit 16 Quadraten und die in der Fläche mit 9 Quadraten zu­sammen. Aber durch eure Arbeit ist das Quadrat über der Hypotenuse umgegraben worden; durch eure Arbeit das über der einen Kathete, und durch eure Arbeit das über der andern Kathete. – So verbinde ich mit dem pythagoräischen Lehrsatz etwas, was wollend ist in dem Kinde, was wenigstens die Vorstellung hervorruft, daß es mit seinem Willen sinnvoll in der äußeren Welt drinnensteht, und ich belebe ihm das, was ziemlich unlebendig in seinen Schädel hineingekommen ist.

Nu verdeel ik de vierkanten in kleine vierkantjes: het eerste in 16, het tweede in 9 en het derde in 25 vierkantjes. Nu zet ik midden in ieder vierkantje één van jullie neer, en je stelt je voor dat dat een akker is die je moet omspitten. De kinderen die deze 25 kleine vierkantjes hier omgespit hebben, hebben net zoveel werk verzet als de kinderen van de 16 vierkantjes en de kinderen van de 9 vierkantjes samen. Door jullie werk is het vierkant van de hypotenusa omgespit, door jullie werk het vierkant op de ene rechthoekszijde en door jullie werk het vierkant op de andere rechthoekszijde.’ Zo verbind ik met de stelling van Pythagoras iets wat de wil van het kind raakt, wat tenminste de voorstelling oproept dat het kind met zijn wil zinvol in de wereld staat, en ik breng leven in iets wat tamelijk levenloos zijn schedel binnengekomen is.
GA 294/180-182
Vertaald/159-161

GA 295

                                                   Erziehungskunst
                      Seminarbesprechungen und Lehrplanvorträge

Praktijk van het lesgeven

Vierte Seminarbesprechung Stuttgart, 25 augustus 1919
Vierde werkbespreking

Blz. 43/44   vert. 43

K. macht den Vorschlag, mit dem Stereometrischen zu beginnen.

Rudolf Steiner: Für Erwachsene kann man von Körpern ausgehen, aber warum haben Sie die Sehnsucht, bei dem Kinde vom Körper auszugehen und von da zur Fläche zu gehen? Sehen Sie, es ist das Räumliche im allgemeinen unübersichtlich, sehr unübersichtlich vor allem für das Kind. Man wird nicht leicht dem Kinde eine andere als eine sehr verschwommene Vorstellung vom Räume beibringen können. Esleidet sogar die Phantasie darunter, wenn man dem Kinde zumutet, daß es gleich Körper vorstellen soll.
Sie gehen davon aus, daß der Körper das Konkrete ist, die Linie das
Abstrakte; das ist nicht der Fall. Ein Dreieck ist als solches schon ganz
konkret, ist für sich etwas im Raum. Das Kind sieht stark flächenhaft.
Es ist vergewaltigt, wenn es in die dritte Dimension, in die Tiefendimension gehen soll. Wenn das Kind seine Phantasie anwenden soll, um sich den Körper vorzustellen, dann muß es die Elemente zu diesem Phantasie vorstellen vorher schon haben. Es muß sich eigentlich schon die Linie und das Dreieck vorstellen können, ehe es sich zum Beispiel den Tetraeder vorstellen kann. Es ist besser, wenn das Kind vorher schon eine wirkliche Vorstellung vom Dreieck hat. Das Dreieck ist eine Sache für sich, es ist nicht bloß eine Abstraktion vom Körper. Ich würde glauben, daß man Geometrie nicht zuerst als Stereometrie, sondern als Planimetrie lehren soll, als Lehre von Figuren und dazwischenliegenden Flächen, was sehr wünschenswert ist, weil das dem, worauf das Kind sein Auffassungsvermögen gern richten will, Unterstützung bringen kann, auch durch Verbindung der Geometrie mit dem Zeichenunterricht. Ein Dreieck wird ein Kind verhältnismäßig bald zeichnen, und man sollte nicht zu lange warten mit dem Nachzeichnen dessen, was das Kind geometrisch anschaut

K. doet het voorstel om te beginnen met stereometrische vormen.

Rudolf Steiner: Bij volwassenen kan men uitgaan van lichamen, maar waarom hebt u het verlangen om bij de kinderen uit te gaan van lichamen en van daaruit tot het vlak te komen? Kijk, het ruimtelijke is over het algemeen onoverzichtelijk, en vooral voor kinderen heel onoverzichtelijk. Men zal een kind niet gemakkelijk iets anders dan een zeer vage voorstelling van de ruimte kunnen bijbrengen. De fantasie lijdt er zelfs onder als men van een kind vergt om zich meteen lichamen voor te stellen. U gaat ervan uit dat het lichaam het concrete is en de lijn abstract. Dat is niet zo. Een driehoek is als zodanig al heel concreet, het is een zelfstandige eenheid in de ruimte. Een kind ziet sterk in vlakken. Het wordt geweld aangedaan wanneer het in de derde dimensie, in de diepte moet gaan. Als een kind zijn fantasie moet gebruiken om zich een lichaam voor te stellen, dan moet het de elementen daarvoor van tevoren al hebben. Het moet zich eigenlijk al een lijn en een driehoek kunnen voorstellen voordat het zich bijvoorbeeld een tetraëder kan voorstellen. Het is beter wanneer het kind voor die tijd al een werkelijke voorstelling heeft van de driehoek. De driehoek is een op zichzelf staand iets, het is niet enkel een abstractie van een ruimtelijke vorm. Ik denk dat men de geometrie niet eerst als stereometrie moet leren maar als planimetrie, als leer van figuren en daartussen liggende vlakken. Dat is heel wenselijk, omdat het datgene waarop het kind zijn opmerkingsvermogen graag wil richten kan ondersteunen, ook door een verbinding van geometrie met tekenen. Een driehoek zal een kind relatief snel tekenen en men moet eigenlijk niet te lang wachten met het natekenen van wat een kind geometrisch in het oog heeft.
GA 295/43     Vertaald/43  

Blz. 94   vert. 87

Achte Seminarbesprechung Stuttgart, 29.August 1919

8e werkbespreking Stuttgart, 29 augustus 1919

T.: Eurythmische Bewegungen müssen doch ein gutes Mittel sein für den Geometrieunterricht.

Rudolf Steiner: Den Geometrieunterricht meinte ich aber nicht. Was
ich sagte, bezog sich auf das Rechnen, weil ja dem Rechnen willentliches Sich-Bewegen zugrunde liegt, der Bewegungssinn. Wenn man den in dieser Weise in Wirksamkeit bringt, so wirkt man anfeuernd auf diese Fähigkeit. Man holt etwas aus dem Unterbewußtsein herauf, was bei einem solchen Kinde nicht herauf will. Überhaupt sollte man durch Bewegungsübungen die mangelnden Fähigkeiten des Rechnens und auch der Geometrie anregen. Für Geometrie wird man viel tun können durch geistreiche Eurythmieübungen. Auch durch Stabübungen.

T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie.

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich-bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo’n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.

Blz. 119     vert. 110/111

Zehnte Seminarbesprechung Stuttgart, 2. September 1919

10e Werkbespreking Stuttgart, 2 september 1919

Rudolf Steiner gibt darauf noch eine anschauliche Erläuterung des
pythagoreischen Lehrsatzes und verweist auf einen Artikel von Dr. Ernst Müller – in Ostwalds «Annalen der Naturphilosophie»: «Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegung des pythagogoreischen Lehrsatzes.»

Rudolf Steiner geeft vervolgens nog een aanschouwelijke toelichting bij de stelling van Pythagoras en verwijst naar een artikel van Ernst Müller: ‘Bemerkung über eine erkenntnistheoretische Grundlegung des pythagoreischen Lehrsatzes’ ,
[In Annalen der Naturphilosophie, deel X, Leipzig 1911. Te vinden in ‘Die Menschenschule 10, 1939]

 

In der Zeichnung liegt der rote Teil des Flächeninhaltes der beiden Kathetenquadrate bereits innerhalb des Hypotenusenquadrates. Der übrige Teil dieses Kathetenquadrat-Inhaltes wird durch Verschiebung des blauen und grünen Dreiecks in der Richtung der Pfeile mit den innerhalb des Hypotenusenquadrates liegenden, noch ungedeckten Flächen zur Deckung gebracht.

In de tekening is de stelling van Pythagoras (het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de gekwadrateerde rechthoekszijden) geometrisch aangetoond. De tekening laat in principe één driehoek zien met drie vierkanten, die de kwadraten vormen van zijn drie zijden. De beide ‘rechtopstaande’ vierkanten zijn de kwadraten van de rechthoekszijden, het ‘schuine’ vierkant is het kwadraat van de hypotenusa. Men ziet dat het rode deel van de eerstgenoemde vierkanten het vierkant op de hypotenusa al ten dele bedekt. Het restant wordt bedekt door de blauwe en de groene driehoek omhoog te schuiven, zodat het oppervlak van de kleinere vierkanten exact binnen het oppervlak van de grootste blijkt te passen.

Rudolf Steiner: Man muß das Ganze aus Pappe ausschneiden, dann
wird es erst anschaulich.

Rudolf Steiner: Men moet het allemaal uit karton knippen, pas dan wordt het aanschouwelijk.
GA 295/119  
Vertaald/110-111

Blz. 150   vert. 150

Vierzehnte Seminarbsprechung Stuttgart, 5. September 1919

14e werkbespreking Stuttgart, 5 september 1919

M. gibt eine Einführung in die Grundbegriffe der mathematischen Geographie
für Schüler im dreizehnten Jahr, Beobachtungen am Sonnenaufgang und an der Sonnenbahn.

Rudolf Steiner: Sie können, wenn Sie die Kinder hinausbestellt haben, das später sehr gut in die Zeichnung verwandeln lassen und darauf sehen, daß ein gewisser Parallelismus besteht zwischen der Zeichnung und dem, was die Kinder draußen angesehen haben. Es ist nur ratsam, nicht zuviel auf einmal von diesem Linienhaften zu geben. Es ist sehr wichtig, daß man diese Dinge den Kindern beibringt, aber wenn man zuviel zusammenfaßt, dann bringt man es so weit, daß die Kinder es nicht mehr auffassen. Man kann es einfügen in Geographie und Geometrie. Der ungefähre Abschluß solcher Ausführungen würde sein, daß man den Begriff der Ekliptik und der Koordinaten entwickelt.

M. geeft een inleiding in de grondbegrippen van de mathematische geografie voor leerlingen van twaalf jaar en ouder. Waarnemingen omtrent de zonsopgang en de baan van de zon.

Rudolf Steiner: Als u de kinderen naar buiten hebt laten gaan, dan kunt u dat later heel goed in een tekening laten verwerken. Dan moet u erop letten dat er een zekere parallellie bestaat tussen de tekening en dat wat de kinderen buiten hebben waargenomen. Maar het is wel raadzaam om niet te veel van die lijnen tegelijk te geven. Het is heel belangrijk dat men de kinderen deze dingen leert, maar als men te veel samenvat, dan komt men op een punt dat de kinderen het niet meer opnemen. Men kan dit onder geografie en geometrie laten vallen. Men moet met deze uiteenzettingen ongeveer zo ver komen dat men de begrippen ecliptica en coördinaten uitlegt.
GA 295/150   
Vertaald/150

Blz. 169   vert. 155

Zweiter Lehrplanvortrag Stuttgart, 6. September 1919

Tweede voordracht over het leerplan Stuttgart, 6 september 1919

Nun bitte ich zu beachten, daß wir bis zum sechsten Schuljahr die geometrischen Formen: Kreis, Dreieck und so weiter herausgeholt haben aus dem Zeichnen, nachdem wir zuerst in den ersten Jahren das Zeichnen für den Schreibunterricht getrieben haben. Dann sind wir allmählich dazu übergegangen, aus dem Zeichnen, das wir für den Schreibunterricht getrieben haben, beim Kinde kompliziertere Formen zu entwickeln, die um ihrer selbst willen, um des Zeichnens willen betrieben werden; auch Malerisches zu betreiben, das um des Malerischen willen betrieben wird. In diese Sphäre leiten wir den Zeichen- und Malunterricht im vierten Schuljahr, und im Zeichnen lehren wir, was ein Kreis ist, eine Ellipse ist und so weiter. Aus dem Zeichnen heraus lehren wir dieses. Da setzen wir noch fort, durchaus auch immer zu plastischen Formen hinführend, indem wir uns des Plastilins bedienen – wenn es zu haben ist; sonst kann man irgend etwas anderes benützen, und wenn es Straßenkot wäre, das macht nichts! -, um auch Formenanschauung, Formenempfindung hervorzuholen.

Ik wil u er nu op wijzen dat we tot aan de zesde klas de geometrische vormen, cirkel, driehoek enzovoort, hebben afgeleid uit het tekenen, nadat we in de eerste jaren het tekenen hebben gedaan ten behoeve van het schrijven. Dan zijn we er geleidelijk toe overgegaan om uit het tekenen dat we voor het schrijfonderwijs deden gecompliceerdere vormen te ontwikkelen, die om zichzelf, omwille van het tekenen zelf werden uitgevoerd. Ook zijn we gaan schilderen omwille van het schilderen zelf. In deze richting leiden we de teken- en schilderlessen in de vierde klas, en in het tekenen leren we de kinderen wat een cirkel is, wat een ellips is, enzovoort. We doen dat vanuit het tekenen. Dan komen we ook nog bij plastische vormen en gebruiken we boetseerklei — als we dat tenminste kunnen krijgen, anders kan men iets anders gebruiken, desnoods modder, dat doet er niet toe! – om een voorstelling van en een gevoel voor vorm op te roepen.

Von dem, was auf diese Weise im Zeichnen gelehrt worden ist, übernimmt nun der Mathematikunterricht, der geometrische Unterricht das, was die Kinder können. Jetzt geht man erst über dazu, geometriegemäß zu erklären, was ein Dreieck, ein Quadrat, ein Kreis ist und so weiter. Also die raumesmäßige Auffassung dieser Form wird aus dem Zeichnen hervorgeholt. Und was die Kinder aus dem Zeichnen heraus gelernt haben, daran gehe man jetzt im sechsten Schuljahr mit dem geometrischen Begreifen erst heran. Dafür werden wir dann sehen, daß wir in das Zeichnerische etwas anderes aufnehmen.

Wat de kinderen op deze wijze hebben geleerd bij het tekenen, dat neemt de wiskunde, de geometrie dan over. Pas dan gaat men ertoe over om geometrisch uit te leggen wat een driehoek, een vierkant of een cirkel is enzovoort. Het ruimtelijk inzicht in deze vorm wordt dus opgeroepen met het tekenen. En wat de kinderen via het tekenen hebben geleerd, dat wordt dan in de zesde klas behandeld om tot geometrisch begrip te komen. Bij het tekenen komt dan daarvoor in de plaats iets anders.

Steiner noemt dan ook iets voor de algebra:

Im siebenten Schuljahr versuche man, nachdem man zur Buchstabenrechnung übergegangen ist, Potenzieren, Radizieren beizubringen; auch das, was man das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nennt. Und vor allen Dingen versuche man, die Kinder in das hereinzubringen, was im Zusammenhang mit freier Anwendung des praktischen Lebens die Lehre von den Gleichungen genannt werden kann.
Da setze man dann das, was mit der Gleichungslehre zusammen hängt, im achten Schuljahr fort, soweit man die Kinder bringen kann,

In de zevende klas probeert men de kinderen, na de overgang naar het letterrekenen, machtsverheffen en worteltrekken bij te brengen, ook het rekenen met wat men noemt positieve en negatieve getallen. En in de allereerste plaats probeert men de kinderen vertrouwd te maken met datgene wat de leer van de vergelijkingen genoemd kan worden, in samenhang met een vrije toepassing op het praktische leven. Alles wat dan komt kijken bij die vergelijkingen, dat zet men voort in de achtste klas, zover men kan komen,

und füge dazu Figuren- und Flächenberechnungen und die Lehre von den geometrischen Orten, wie wir sie gestern wenigstens gestreift haben.
Das gibt Ihnen ein Bild, wie Sie sich in Mathematik und Geometrie
mit den Kindern zu verhalten haben.

en men voegt eraan toe de berekening van figuren en oppervlakten en de leer van de geometrische plaats, die we gisteren even hebben aangestipt.
Dat geeft u een beeld van hoe u met de kinderen te werk moet gaan in de wiskunde en de geometrie.
GA 295/ 169  
Vertaald/155

Blz. 176    vert. 161

Fünfzehte Seminarbesprechung und dritter Lehrplanvortrag Stuttgart, 6. September 1919

Vijftiende werkbespreking en derde voordracht over het leerplan Stuttart, 6 september 1919

Nun kommt uns im offiziellen Lehrplan eines zugute: da ist in den ersten drei Schuljahren überhaupt kein Turnen. Da beginnen wir also mit der Eurythmie. Und da wäre es schon sehr schön, wenn im ersten Schuljahre namentlich Eurythmie im Einklang mit dem Musikalischen getrieben würde, so daß tatsächlich die Anpassung an Geometrie und Musik in der Eurythmie besonders gepflegt wird. Im zweiten Schuljahr würde man erst mit dem Ausbilden der Buchstaben beginnen, das man dann weiter fortsetzt im dritten Schuljahr;
immer so, daß man immer wiederum an Musik und Geometrie und Zeichnerisches anknüpft.

Nu komt het officiële leerplan ons in één opzicht tegemoet: in de eerste drie jaar is er helemaal geen gymnastiek. Dan beginnen wij dus met euritmie. En het zou dan heel mooi zijn wanneer in de eerste klas vooral euritmie in harmonie met de muziek gegeven wordt, zodat er in de euritmie werkelijk een aanpassing tot stand komt aan geometrie en muziek. 
In de tweede klas zou men pas moeten beginnen met de uitbeelding van de letters, wat een vervolg krijgt in de derde klas; steeds zo dat men voortdurend aansluit bij de muziek, de geometrie en het tekenen.
Zie ook: GA 295 vormtekenen
GA 295/176 
Vertaald/161 

De reeks wordt voortgezet

Meetkunde: alle artikelen

Algemene menskunde: alle artikelen

Menskunde en pedagogie: alle artikelen

Vrijeschool in beeld: 6e klas meetkunde

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